Faits:
A. A.a Y._, ouvrier de chantier né en 1956, se plaint de lombalgies en tout cas depuis 1996. Employé au service de l'entreprise R._ SA, il était au bénéfice, à partir du 1er janvier 2001, d'une assurance collective conclue avec la société d'assurances S._, qui deviendra par la suite X._ SA (ci-après: l'assureur ou X._). En cas de maladie, cette assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale garantit une indemnité journalière couvrant 80% du salaire brut journalier durant 730 jours, avec un délai d'attente de 30 jours.
A.b Le 18 avril 2001, Y._ a chuté d'un camion alors qu'il se trouvait sur un chantier. Les conséquences de cet accident professionnel ont été prises en charge par la Suva (Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents). L'assuré a ainsi séjourné à la Clinique V._ du 31 octobre au 30 novembre 2001. Dans un consilium psychiatrique du 5 novembre 2001, complété le 3 décembre 2001, le Dr A._, médecin associé au service psychosomatique de V._, a posé le diagnostic de syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4 selon CIM-10) et conclu que ce trouble psychique ne justifiait pas une incapacité de travail, la reprise progressive d'une activité professionnelle étant souhaitable. Par décision du 11 janvier 2002, la Suva a mis un terme à ses prestations avec effet au 13 janvier 2002.
A.c Y._ n'a pas repris le travail. L'assureur a versé des indemnités journalières directement à R._ SA pour les périodes du 13 février au 30 avril 2002, puis du 25 mai au 2 juillet 2002; durant cette dernière période, Y._ a séjourné au centre thermal de .... Auparavant, le 3 mai 2002, les Drs B._ et C._, du Service de rhumatologie de W._, avaient posé le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans une lettre du 17 juillet 2002 adressée à l'assureur de protection juridique de Y._, le Dr D._, chirurgien orthopédiste et médecin-chef au centre thermal de ..., a diagnostiqué des lombalgies chroniques dans le cadre d'un syndrome somatoforme douloureux; il estimait la capacité de travail de Y._ à 50% sur un mois, puis à 100% dans un travail adapté. Selon ce médecin, il n'y avait aucune justification d'incapacité de travail sur le plan traumatique; en revanche, il pouvait en exister une sur le plan psychiatrique, de sorte qu'il conseillait une évaluation psychiatrique, domaine dans lequel il n'était pas compétent.
Par courrier du 15 août 2002, l'assureur a maintenu son refus d'organiser une expertise médicale et de verser des prestations. Y._ a alors pris contact avec la Policlinique psychiatrique universitaire, à ....
Selon un rapport du Département universitaire de psychiatrie adulte (DUPA) du 15 novembre 2002 signé des Drs I._ et J._, l'assuré est atteint d'un syndrome douloureux somatoforme persistant et sa capacité de travail est nulle. Les médecins ont considéré que la chronicité du trouble, la perte d'intégration sociale, la précarité de la situation économique ainsi que l'échec des traitements instaurés étaient des facteurs de mauvais pronostic. Par ailleurs, ils ont estimé ne pas disposer de suffisamment d'éléments pour poser avec certitude le diagnostic de comorbidité psychiatrique sous forme d'un épisode dépressif.
L'assureur a ensuite accepté de mettre en oeuvre une expertise. Celle-ci a été confiée conjointement par les parties au Dr G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Selon le rapport de ce médecin du 10 janvier 2004, Y._ ne souffre pas d'un trouble somatoforme douloureux, mais d'un trouble factice (F68-1 selon CIM-10), lequel n'est pas réputé entraîner une incapacité de travail. L'expert a exclu par ailleurs une comorbidité psychiatrique.
Sur la base de ce rapport, l'assureur a confirmé son refus de verser des prestations à Y._ en date du 20 janvier 2004.
L'assuré a chargé le Dr E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, d'effectuer une nouvelle expertise. Dans son rapport du 6 janvier 2005, ce médecin retient les diagnostics suivants: troubles mixtes de la personnalité (F61.0); trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, avec syndrome somatique (F33.11); syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4); syndrome de dépendance à la nicotine, utilisation continue (F17.25). Le Dr E._ considère que Y._ est totalement incapable de travailler depuis le 18 avril 2001 en raison de l'ensemble des troubles qu'il présente. En répondant au questionnaire qui lui a été soumis au cours de la procédure cantonale, ce médecin a précisé au juge instructeur, par lettre du 5 mai 2008, que les troubles présentés par l'expertisé ne pouvaient s'expliquer que par une comorbidité psychiatrique, que le trouble dépressif était aggravé par le syndrome douloureux somatoforme persistant ainsi que par le trouble mixte de la personnalité et que l'ensemble de ces troubles, qui duraient depuis plusieurs années, était la cause de l'incapacité de travail.
Après avoir consulté le dossier de l'assurance-invalidité de l'assuré, l'assureur a maintenu son refus d'allouer toute prestation par courrier du 22 juin 2005.
A.d Du 1er janvier 2003 au 1er janvier 2004, les services sociaux vaudois ont versé à Y._ - au titre de l'aide sociale - un montant total de 30'168 fr.65 pour son entretien et celui de sa famille.
A.e Par décision sur opposition du 17 mars 2006, Y._ s'est vu refuser le droit aux prestations de l'assurance-invalidité pour la période s'étendant du 18 avril 2001 à août 2005. Cette décision a été confirmée par le Tribunal des assurances du canton de Vaud dans un jugement du 7 janvier 2008; le tribunal a retenu l'existence d'un trouble somatoforme douloureux qui ne satisfaisait pas aux critères de la jurisprudence autorisant à lui reconnaître un caractère invalidant.
Par la suite, une rente entière d'invalidité sera servie à Y._ à partir du 1er septembre 2006. En effet, son état de santé s'était détérioré. Dans un rapport du 30 septembre 2005 du DUPA, les Drs I._ et K._ ont ainsi diagnostiqué chez Y._ un trouble dépressif majeur, épisode actuel sévère avec symptômes psychotiques, ainsi qu'un trouble somatoforme douloureux; l'hospitalisation immédiate du patient a été décidée.
B. Par demande du 11 avril 2006, Y._ a ouvert action contre l'assureur, concluant au paiement de 72'386 fr.80 plus intérêts à 5% dès le 14 janvier 2002. Ce montant représente la somme des indemnités journalières par 123 fr.95 du 14 janvier 2002 jusqu'à épuisement des prestations convenues contractuellement, soit jusqu'au 13 janvier 2004, sous déduction des indemnités journalières versées directement à R._ SA entre le 13 février et le 30 avril 2002, puis entre le 25 mai et le 2 juillet 2002.
Les dossiers de l'assurance-invalidité et de l'assurance-accidents ont été produits dans la procédure.
Par jugement du 22 décembre 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a fait droit en principe à la demande de l'assuré, les intérêts à 5% n'étant dus qu'à partir du 28 mars 2003. Cependant, en raison d'une clause de subsidiarité figurant dans les conditions générales d'assurance, la cour cantonale a ordonné le renvoi de la cause à l'assureur afin que celui-ci fixe les modalités d'octroi de la somme due en tenant compte des prestations qui, pour la période à indemniser, auraient été servies à l'assuré par d'autres institutions ou assureurs sociaux.
X._ a interjeté un recours en matière civile contre ce jugement. Statuant le 29 avril 2010 (cause 4A_39/2010), le Tribunal fédéral a admis le recours, annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'autorité précédente afin qu'elle rende un nouveau jugement. En substance, il a considéré que la cour cantonale avait commis un déni de justice en laissant le soin à l'assureur de rendre la décision définitive sur la somme due. Il appartenait ainsi à l'autorité précédente d'épuiser sa compétence et de statuer sur le montant dû par X._.
Par jugement du 28 octobre 2010, la Cour des assurances sociales a admis les conclusions de la demande et reconnu X._ débitrice de Y._ du montant de 72'386 fr.80 avec intérêts à 5% dès le 28 mars 2003, à titre de pleines indemnités journalières de l'assurance-maladie complémentaire.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Dans ses conclusions, elle demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler le jugement cantonal et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Y._ propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'assurance d'indemnités journalières ici en cause est une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale; elle est soumise à la LCA (art. 12 al. 2 et 3 LAMal). Par conséquent, la contestation opposant les parties est de nature civile (cf. art. 72 al. 1 LTF; ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s. et l'arrêt cité).
Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF); il est interjeté, en temps utile (art. 46 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF), par la partie qui a succombé en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF).
1.2 Tout mémoire doit indiquer les conclusions (art. 42 al. 1 LTF). S'il admet le recours, le Tribunal fédéral peut en principe statuer lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF). La partie recourante ne peut dès lors se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais elle doit également, en principe, prendre des conclusions sur le fond du litige; il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3.1 p. 489 s.). En outre, les conclusions doivent être interprétées à la lumière de la motivation. Il n'y a ainsi pas lieu de se montrer trop strict dans la formulation des conclusions si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 18 ad art. 42).
En l'espèce, la recourante ne prend aucune conclusion sur le fond. Dans son mémoire, elle précise toutefois à deux reprises qu'elle entend obtenir le rejet de la demande en paiement de l'intimé, puis, en ce qui concerne le grief subsidiaire relatif à une prétendue surindemnisation, qu'il convient de réduire les prestations de l'assureur de 30'168 fr.65. La recevabilité du recours doit être ainsi admise, sans qu'il soit nécessaire d'examiner si le Tribunal fédéral serait ou non en situation de statuer lui-même sur le fond en cas d'admission du recours.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 134 III 102 consid. 1.1 p. 104). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 134 III 102 consid. 1.1 p. 105).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 314; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Selon les faits retenus dans le jugement attaqué, l'intimé était affecté, durant la période déterminante du 14 janvier 2002 au 13 janvier 2004, d'un trouble somatoforme douloureux persistant (F45.4) qui a entraîné une incapacité de travail.
La recourante s'en prend à ces constatations par deux sortes de griefs: l'établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF et l'appréciation arbitraire des preuves, d'une part; la violation des règles sur le fardeau de la preuve selon l'art. 8 CC, d'autre part.
Il convient d'examiner tout d'abord ce moyen-ci.
3. Invoquant l'art. 8 CC, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir violé le droit fédéral en écartant l'expertise du Dr G._, mise en oeuvre en commun par les parties, en faisant fi des appréciations des autres médecins consultés qui ont, pour le moins, émis des doutes quant à l'existence d'une incapacité de travail, en se fondant sur le rapport du Dr E._, dénué de valeur probante, et en s'écartant du jugement du 7 janvier 2008 rendu par le Tribunal des assurances du canton de Vaud dans la cause portant sur l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité.
3.1 En l'absence de disposition spéciale contraire, l'art. 8 CC répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit privé fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences d'un échec de la preuve. Un droit à la preuve et à la contre-preuve est également déduit de l'art. 8 CC. Ainsi, le juge viole cette disposition s'il refuse d'administrer une preuve régulièrement offerte, dans les formes et les délais prévus par la loi de procédure, et portant sur un fait pertinent pour l'appréciation juridique de la cause (ATF 133 III 189 consid. 5.2.2 p. 195, 295 consid. 7.1 p. 299 et les arrêts cités). Le juge enfreint également l'art. 8 CC s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par l'autre (ATF 130 III 591 consid. 5.4 p. 601 s.; 114 II 289 consid. 2a p. 291). En revanche, l'art. 8 CC ne régit pas l'appréciation des preuves, de sorte qu'il ne prescrit pas quelles sont les mesures probatoires qui doivent être ordonnées (ATF 127 III 519 consid. 2a p. 522), ni ne dicte au juge comment forger sa conviction (ATF 128 III 22 consid. 2d p. 25; 127 III 248 consid. 3a p. 253, 519 consid. 2a p. 522); cette disposition n'exclut pas non plus que le juge puisse, sur la base d'une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles, refuser l'administration d'une preuve supplémentaire au motif qu'il la tient pour impropre à modifier sa conviction (ATF 131 III 222 consid. 4.3 p. 226; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24 ss).
3.2 En l'espèce, la recourante ne prétend pas que la cour cantonale aurait refusé d'administrer une preuve régulièrement offerte. Ce qu'elle critique en réalité, c'est l'appréciation des divers avis médicaux par les juges précédents. La question de savoir quel était le contenu de ces rapports relève de l'établissement des faits, qui ne peuvent être remis en cause que sous l'angle de l'arbitraire. De même, la manière dont le juge s'est forgé sa conviction, en se fondant sur une expertise plutôt que sur une autre, ressortit à l'appréciation des preuves qui ne peut être contestée qu'en invoquant l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Enfin, on ne voit pas en quoi l'art. 8 CC obligerait le juge civil à tenir compte des considérants d'une décision prononcée dans le cadre d'une procédure relative à une rente de l'assurance-invalidité.
Le moyen tiré d'une violation de l'art. 8 CC se révèle dès lors privé d'objet.
4. 4.1 La recourante fait valoir le caractère manifestement inexact, au sens de l'art. 97 al. 1 LTF, des faits retenus dans le jugement attaqué en relation avec la pathologie de l'intimé et la nature invalidante de celle-ci. La cour cantonale aurait ainsi constaté de manière arbitraire que l'ensemble des médecins consultés, à la seule exception du Dr G._, avaient estimé que l'intimé était affecté d'un trouble somatoforme douloureux persistant invalidant. Plus loin, la recourante reproche aux juges précédents d'avoir versé dans l'arbitraire en écartant l'expertise du Dr G._, pourtant mise en oeuvre en commun, en raison de quelques points d'exclamation mis entre parenthèses, destinés à exprimer le doute de l'expert sur certains éléments de l'anamnèse. Il serait également arbitraire de prendre en compte le rapport du Dr E._, dénué de valeur probante puisqu'il retient une incapacité de travail avec effet rétroactif et en contradiction avec les constatations des médecins traitants et de l'expert G._ pendant la période litigieuse.
4.2 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Lorsque la juridiction cantonale se rallie au résultat d'une expertise, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si l'expert n'a pas répondu aux questions, si ses conclusions sont contradictoires ou si, de quelqu'autre manière, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même en l'absence de connaissances ad hoc, qu'il n'était tout simplement pas possible de les ignorer. L'autorité cantonale n'est pas tenue de contrôler à l'aide d'ouvrages spécialisés l'exactitude scientifique des avis de l'expert. Il n'appartient pas non plus au Tribunal fédéral de vérifier que toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite à examiner si l'autorité cantonale pouvait, sans arbitraire, faire siennes les conclusions de l'expertise. Si l'autorité cantonale est, comme dans le cas particulier, confrontée à plusieurs rapports médicaux et qu'elle adhère aux conclusions de l'un d'eux, elle est tenue de motiver son choix; le Tribunal fédéral n'accueille alors le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si elle a fourni une motivation insoutenable ou s'est fondée sur un rapport qui souffre de l'un des défauts indiqués précédemment (cf. arrêts 5P.76/2006 du 26 septembre 2006 consid. 2.1; 5P.421/2001 du 22 janvier 2002 consid. 4a; 5P.187/2001 du 29 octobre 2001 consid. 2a; 5P.457/2000 du 20 avril 2001 consid. 4a).
C'est le lieu de rappeler que le principe de la libre appréciation des preuves s'applique lorsqu'il s'agit de se prononcer sur des prestations en matière d'assurance sociale. Rien ne justifie de ne pas s'y référer également lorsque, comme en l'espèce, une prétention découlant d'une assurance complémentaire à l'assurance sociale est en jeu. Selon ce principe, le juge apprécie librement les preuves médicales qu'il a recueillies, sans être lié par des règles formelles, en procédant à une appréciation complète et rigoureuse des preuves. Le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. S'il existe des avis contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt que sur une autre. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant, c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352; 122 V 157 consid. 1c p. 160 et les références; cf également ATF 134 V 231 consid 5.1 p. 232). En particulier, il n'est pas exclu que le juge s'écarte des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, notamment lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires propres à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert (ATF 125 V 351 consid. 3b/aa p. 352; arrêt 9C_603/2009 du 2 février 2010 consid. 3.2, in SVR 2010 IV n° 58 p. 177).
4.3 En l'espèce, la cour cantonale a, dans un premier temps, établi que l'intimé était affecté d'un trouble somatoforme douloureux persistant (F45.4), puis, elle a constaté que ce trouble psychique avait atteint la capacité de travail de l'assuré durant la période litigieuse. Il convient d'examiner ces deux faits l'un après l'autre.
4.3.1 S'agissant du diagnostic, les juges précédents ont écarté l'expertise du Dr G._ au profit des autres avis médicaux figurant au dossier. Le fait que le Dr G._ a été mandaté par les deux parties n'obligeait pas les juges à accorder plus de poids à l'expertise de ce médecin. Il n'en demeure pas moins qu'ils devaient justifier leur choix par une motivation dénuée d'arbitraire.
A cet égard, la cour cantonale a expliqué pourquoi elle avait retenu que la pathologie présentée par l'intimé était un trouble somatoforme douloureux persistant. D'une part, il s'agissait du diagnostic posé par l'ensemble des médecins consultés sauf le Dr G._, qui retenait un trouble factice. D'autre part, la cour cantonale a écarté l'expertise du Dr G._ parce que son rapport, ponctué de jugements de valeur, ne présentait pas l'apparence de l'impartialité et, surtout, parce que ce médecin laissait entendre que le trouble somatoforme douloureux n'est pas une pathologie médicalement reconnue.
Cette motivation n'a rien d'arbitraire. Le diagnostic de trouble somatoforme douloureux persistant a été retenu dans le consilium psychiatrique du Dr A._ des 5 novembre/3 décembre 2001, par le Service de rhumatologie de W._ daté du 3 mai 2002, dans l'avis du 17 juillet 2002 du Dr D._, dans le rapport du DUPA du 15 novembre 2002 ainsi que dans l'expertise psychiatrique du Dr E._ du 6 janvier 2005. Par ailleurs, le rapport du Dr G._ comporte effectivement une ponctuation - des points d'exclamation et d'interrogation - et des expressions - «et pour cause» par exemple - dans lesquelles il n'est pas insoutenable de trouver un motif de douter d'une attitude neutre de la part de l'expert. Le Dr G._ se réfère en outre expressément à une publication médicale qui, selon ses propres termes, «disqualifie» le trouble somatoforme douloureux en le «reléguant» dans les troubles factices, contrairement à la CIM-10.
Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant la pathologie du trouble somatoforme douloureux persistant.
4.3.2
4.3.2.1 En matière d'assurance-invalidité, le Tribunal fédéral a publié plusieurs arrêts sur les incidences du trouble somatoforme douloureux sur la capacité de travail. Il convient de s'y référer également lorsqu'il s'agit, comme en l'espèce, de se prononcer sur des indemnités journalières en cas de maladie fondées sur un contrat relevant de la LCA (cf. arrêt 5P.76/2006 du 26 septembre 2006 consid. 2.2.3).
Selon la jurisprudence, les troubles somatoformes douloureux n'entraînent pas, en règle générale, une limitation de longue durée de la capacité de travail. Il y a une présomption que les troubles somatoformes douloureux ou leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible. Il existe toutefois des facteurs déterminés qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne incapable de fournir cet effort de volonté. Parmi les critères permettant d'apprécier le caractère invalidant de troubles somatoformes douloureux, on retiendra, au premier plan, la présence d'une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée. Dans les autres critères déterminants, figurent un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable (symptomatologie inchangée ou progressive), des affections corporelles chroniques, une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie et l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art (même avec différents types de traitement), cela en dépit de l'attitude coopérative de la personne assurée. Enfin, on conclura à l'absence d'une atteinte à la santé ouvrant le droit aux prestations d'assurance, si les limitations liées à l'exercice d'une activité résultent d'une exagération des symptômes ou d'une constellation semblable (par exemple une discordance entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeurent vagues, l'absence de demande de soins, de grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissent insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psychosocial intact) (ATF 132 V 65 consid. 4.2.1 et 4.2.2 p. 70 ss; 131 V 49 consid. 1.2 p. 50 s.; 130 V 352 consid. 2.2 p. 353 ss). Une expertise psychiatrique est, en principe, nécessaire lorsqu'il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail que les troubles somatoformes douloureux sont susceptibles d'entraîner (ATF 132 V 65 consid. 4.3 p. 72; 130 V 352 consid. 2.2.2 p. 353, 396 consid. 5.3.2 p. 399).
4.3.2.2 En l'espèce, la cour cantonale disposait de deux expertises psychiatriques et de nombreux avis médicaux. Pour retenir l'incapacité de travail de l'intimé pendant toute la durée déterminante, elle s'est fondée sur l'expertise du Dr E._, confirmée par les Drs F._ et D._ ainsi que par le DUPA, et a écarté les conclusions de l'expertise du Dr G._, qui admettait une capacité de travail entière.
Sur ce dernier point, les juges précédents ont motivé leur position en expliquant qu'ils ne pouvaient à la fois retenir un autre diagnostic que celui posé par le Dr G._ et reprendre les conclusions de ce dernier à propos de la capacité de travail de l'intimé. Une telle motivation n'a rien d'insoutenable, dans la mesure où il est évident que la pathologie retenue - comme on l'a vu, sans arbitraire - a une incidence sur l'appréciation de la capacité de travail.
Quant à l'expertise du Dr E._, elle a certes été effectuée après la fin de la période en cause pour l'octroi des indemnités journalières, puisque l'expert a vu l'assuré en juillet et août 2004. Le Dr E._ a toutefois pu disposer de rapports médicaux antérieurs et son examen n'a porté sur l'état de l'intimé que quelques mois après l'échéance de ladite période. Selon l'expert, le trouble somatoforme douloureux est associé chez l'assuré à une comorbidité psychiatrique sous forme d'un trouble dépressif récurrent et le trouble psychique, qui dure depuis plusieurs années, s'est chronifié; l'intimé est ainsi incapable de travailler depuis avril 2001. Rien ne permet d'affirmer que cette expertise est entachée de défauts reconnaissables sans autre. Le fait que la conclusion de l'expertise E._ sur la capacité de travail soit infirmée par le rapport du Dr A._ des 5 novembre et 3 décembre 2001 ne suffit pas à la faire apparaître comme arbitraire. A ce sujet, la recourante invoque également le rapport du 19 avril 2002 du Dr H._, qui admet une pleine capacité de travail. Ce document ne concerne toutefois pas l'intimé puisqu'il mentionne le cas d'une patiente, Z._, née en 1976. La recourante se réfère en outre à un rapport de son médecin-conseil, le Dr L._; comme ce médecin n'a pas examiné l'assuré et fonde son opinion uniquement sur divers rapports médicaux établis à propos du patient, son avis ne saurait constituer un élément propre à rendre insoutenables les conclusions du Dr E._. En revanche, l'incapacité de travail a été confirmée par d'autres médecins. Certes, les certificats médicaux du médecin-traitant, le Dr F._, ne sont pas étayés et le Dr D._, chirurgien-orthopédiste, se borne en réalité à réserver une incapacité de travail sur le plan psychiatrique, qu'il ne peut retenir faute de compétences dans ce domaine. Mais le rapport du DUPA du 15 novembre 2002, qui admet une incapacité de travail, émane de médecins-psychiatres; sans poser le diagnostic de comorbidité psychiatrique, pour lequel ils ne disposaient pas à l'époque de suffisamment d'éléments, ces médecins déduisent l'incapacité de travail de l'intimé en particulier de la chronicité du trouble, de son évolution défavorable avec extension de la symptomatologie, de la perte d'intégration sociale et de l'échec des traitements instaurés. Or, il s'agit précisément de circonstances qui, selon la jurisprudence, sont susceptibles de fonder exceptionnellement un pronostic défavorable quant à la capacité de la personne atteinte à surmonter le trouble somatoforme douloureux et, donc, à travailler.
Il s'ensuit qu'en constatant une incapacité de travail de l'intimé durant la période du 14 janvier 2002 au 13 janvier 2004, la cour cantonale ne s'est pas livrée à une appréciation arbitraire des preuves. Le grief tiré d'une violation de l'art. 9 Cst. ne peut être que rejeté.
5. Pour le surplus, la recourante ne critique pas l'octroi d'indemnités journalières entières, correspondant à une incapacité de travail totale. Il n'y a dès lors pas lieu d'examiner si c'est à bon droit que la cour cantonale n'a pas tranché la question du taux d'incapacité en raison de l'absence de mise en demeure de l'assureur invitant l'assuré à changer de profession.
6. 6.1 Dans un dernier moyen soulevé subsidiairement, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir méconnu le principe de l'interdiction de la surindemnisation, applicable aux assurances de dommage. A son sens, le montant versé au titre de l'aide sociale par 30'168 fr.65 est une prestation de substitution du salaire et devait en conséquence être imputé de la prétention à payer par l'assureur.
6.2 La disposition B4 des conditions générales d'assurance (CGA) applicables en l'espèce concerne les prestations de tiers. Le chiffre 1 de cette disposition prévoit que, lorsque l'assuré a droit à des prestations servies par des assurances sociales ou des assurances de l'entreprise ou par un tiers responsable, l'assureur complète ces prestations dans les limites de la prestation à sa charge jusqu'à concurrence de l'indemnité journalière assurée.
En l'espèce, le montant de 30'168 fr.65 a été alloué à l'intimé, durant la période en cause, sur la base de la loi sur l'action sociale vaudoise du 2 décembre 2003 (LASV; RSV 850.051). Aux termes de l'art. 3 al. 1 LASV, l'aide financière aux personnes est subsidiaire à l'entretien prodigué par la famille à ses membres, aux prestations des assurances sociales et aux autres prestations sociales, fédérales, cantonales, communales ou privées; elle peut, le cas échéant, être accordée en complément de revenu ou à titre d'avance sur prestations sociales. La prestation financière, dont l'importance et la durée dépendent de la situation particulière du bénéficiaire, est versée complètement ou en complément de revenus ou encore à titre d'avance remboursable sur des prestations d'assurances sociales ou privées et d'avances sur pensions alimentaires (art. 36 al. 1 LASV). Ainsi définie, l'aide sociale ne constitue manifestement pas une prestation servie par une assurance sociale, une assurance de l'entreprise ou un tiers responsable au sens de la disposition B4 chiffre 1 CGA. La recourante ne saurait par conséquent voir sa prestation réduite du montant de 30'168 fr.65. Autre est la question, qui n'a pas à être tranchée ici, du remboursement de cette somme par l'intimé sur la base de l'art. 46 al. 1 LASV ou de la subrogation de l'autorité qui a versé l'aide sociale (art. 46 al. 2 LASV).
C'est dès lors à bon droit que la cour cantonale a condamné la recourante à payer à l'intimé la totalité des indemnités journalières dues, dont le montant de 72'386 fr.80 n'est en lui-même pas contesté par l'assureur.
7. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
La recourante, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 4'000 fr., à payer à titre de dépens à l'intimé, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 24 mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann