Sachverhalt:
A. D._ wurde am 23. Juni 2005 im Universitätsspital Basel infolge eines Schlaganfalls an der rechten Halsschlagader operiert. Die Operation erfolgte mit Hilfe eines sogenannten Elektrokauters. Im Verlauf der Operation kam es zu einer plötzlichen Brandentwicklung, wobei sich die sterilen Abdecktücher, mit welchen der Patient bedeckt war, entzündeten. Nach der Brandlöschung konnte die Operation beendet werden. Das abgestorbene Gewebe wurde einige Tage später operativ entfernt.
Am 24. September 2005 liess D._ gegen Prof. Dr. C._, Leitender Arzt Gefässchirurgie am Universitätsspital Basel, eventuell gegen Unbekannt, Strafanzeige erheben. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt erteilte in der Folge dem Institut für Rechtsmedizin (IRM) der Universität Basel einen Gutachtensauftrag. Geklärt werden sollten insbesondere Fragen zur Art und Schwere der Verletzung. D._ äusserte mit Eingabe vom 13. August 2006 Bedenken darüber, dass mit der Begutachtung das IRM der Universität Basel beauftragt worden war, zumal er und seine Ehefrau zivilrechtliche Ansprüche gegen den Kanton Basel-Stadt geltend machen würden. Die Staatsanwaltschaft teilte D._ jedoch mit, die Bedenken seien unbegründet.
Nach Zustellung des vom 16. Oktober 2006 datierenden Gutachtens kritisierte D._, es mangle an zentralen Informationen. Am 16. Oktober 2008 gab die Staatsanwaltschaft dem IRM der Universität Basel ein ergänzendes Gutachten in Auftrag, das die Brandursache klären und diverse weitere offene Fragen beantworten sollte. Dieses Ergänzungsgutachten vom 27. Januar 2009 (fälschlich datiert mit 27. Januar 2008) wurde von Dr. E._ erstellt. Sie gelangte zum Schluss, dass sich die genaue Brandursache aufgrund der vorhandenen Akten nicht klären lasse. Es gebe keine Hinweise auf die Nichteinhaltung der Regeln der ärztlichen Kunst.
Mit Beschluss vom 30. Oktober 2009 stellte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt das Strafverfahren gegen Prof. Dr. C._ wegen vorsätzlicher einfacher Körperverletzung, fahrlässiger einfacher, eventuell schwerer Körperverletzung mangels hinreichenden Beweises des Tatbestands ein. Gegen diesen Einstellungsbeschluss erhoben die Witwe und der Sohn des zu Beginn des Jahres 2009 verstorbenen D._, A._ und B._, Rekurs. Mit Entscheid vom 5. Dezember 2010 wies die Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt das Rechtsmittel ab.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 13. April 2011 beantragen A._ und B._, der Entscheid des Strafgerichts Basel-Stadt sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sei anzuweisen, gegen den Beschuldigten Anklage zu erheben. Eventuell sei die Sache an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zur ergänzenden Abklärung zurückzuweisen. Eventuell sei zudem die Weisung zu erteilen, die eingestellte Strafsache gemäss Art. 102 StGB zur Anklage zu bringen.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Das Strafgericht Basel-Stadt und der Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme dazu im Wesentlichen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest. In der Folge liess sich der Beschwerdegegner erneut vernehmen. Er weist insbesondere darauf hin, dass das Universitätsspital organisatorisch nicht der Universität angehöre.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Nach Art. 453 Abs. 1 der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (StPO; SR 312.0) werden Rechtsmittel gegen einen Entscheid, der vor Inkrafttreten dieses Gesetzes gefällt wurde, nach bisherigem Recht von den bisher zuständigen Behörden beurteilt. Der angefochtene Entscheid datiert vom 5. Dezember 2010. Massgeblich ist somit die Strafprozessordnung vom 8. Januar 1997 des Kantons Basel-Stadt (SG 257.100; im Folgenden: StPO/BS). Danach steht kein kantonales Rechtsmittel zur Verfügung. Es liegt ein Endentscheid im Sinne von Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG vor.
1.2 Die Beschwerdelegitimation beurteilt sich nach Art. 81 BGG. Diese Bestimmung ist mit Wirkung ab 1. Januar 2011 teilweise geändert worden. Nach der Übergangsbestimmung von Art. 132 Abs. 1 BGG ist das Datum des angefochtenen Entscheids massgebend, weshalb vorliegend die bis am 31. Dezember 2010 geltende Fassung von Art. 81 BGG anzuwenden ist.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Ein rechtlich geschütztes Interesse in diesem Sinne hat insbesondere das Opfer, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (aZiff. 5). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Näher zu untersuchen ist, ob und inwiefern sie auch ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids haben.
1.3 Als Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes gilt jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Art. 1 Abs. 1 OHG). Anspruch auf Opferhilfe haben auch der Ehegatte oder die Ehegattin des Opfers, seine Kinder und Eltern sowie andere Personen, die ihm in ähnlicher Weise nahestehen (Abs. 2). Der Anspruch besteht unabhängig davon, ob der Täter ermittelt worden ist, ob er sich schuldhaft verhalten hat und ob er vorsätzlich oder fahrlässig gehandelt hat (Abs. 3). Wird die Beschwerde gegen einen Einstellungsbeschluss geführt, genügt es, dass - wie vorliegend der Fall - eine die Opferstellung begründende Straftat in Betracht fällt (vgl. BGE 131 IV 195 E. 1.1.2 S. 197; Urteil 6B_41/2010 vom 25. März 2010 E. 1.2; je mit Hinweis).
1.4 Die Opferstellung genügt für die Beschwerdelegitimation nach dem Gesagten jedoch nicht. Der angefochtene Entscheid muss sich zudem auf die Beurteilung der Zivilansprüche des Opfers auswirken können. Keine Zivilansprüche im Sinne von aArt. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG sind Ansprüche, die sich aus dem öffentlichen Recht ergeben.
Was die Beschwerdeführer hinsichtlich der von ihnen geltend gemachten Haftungsansprüche vorbringen, lässt sich ausschliesslich auf das Gesetz des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz, HG; SG 161.100) stützen. Nach dessen § 3 haftet der Staat nach den Bestimmungen dieses Gesetzes für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Die Beschwerdeführer haben somit keine Möglichkeit, die ihrer Ansicht nach fehlbaren Personen zivilrechtlich zur Verantwortung zu ziehen, sondern sind hinsichtlich ihrer Haftungsansprüche auf das kantonale öffentliche Recht verwiesen (BGE 131 I 455 E. 1.2.4 S. 461; Urteil 1B_82/2011 vom 30. März 2011 E. 1.3.2; je mit Hinweisen).
1.5 Sind die Beschwerdeführer nach aArt. 81 Abs. 1 lit. b BGG in der Sache selbst nicht zur Beschwerde legitimiert, so können sie lediglich die Verletzung von Rechten rügen, die ihnen als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen (BGE 136 IV 29 E. 1.9 S. 40 mit Hinweisen). Das nach aArt. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Zulässig sind dementsprechend Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.3.2 S. 253; 133 I 185 E. 6.2 S. 198 ff.; je mit Hinweisen). Ein Geschädigter kann daher nach der Praxis zu aArt. 81 BGG - trotz Parteistellung im kantonalen Verfahren - weder die Würdigung der beantragten Beweise infrage stellen noch beanstanden, dass seine Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt wurden. Die Beurteilung dieser Fragen kann von der materiellen Prüfung nicht getrennt werden (vgl. BGE 126 I 81 E. 7b S. 94; 120 Ia 157 E. 2a/bb S. 160; Urteile des Bundesgerichts 6B_380/2007 vom 13. November 2007 E. 2.1; 1B_31/2011 vom 7. April 2011 E. 2; je mit Hinweisen).
1.6 Die Beschwerdeführer rügen, die Gutachterin sei befangen gewesen und die Vorinstanz habe in diesem Zusammenhang ihre Begründungspflicht verletzt. Zudem beanstanden sie die Beweiswürdigung im angefochtenen Entscheid. Während nach dem Gesagten die ersten zwei Rügen zulässig sind, ist auf die dritte nicht einzutreten.
1.7 Nicht einzutreten ist auch auf den Eventualantrag, es "sei verbindlich Weisung zu erteilen, die eingestellte Strafsache unter Art. 102 StGB zur Anklage zu bringen". Das Begehren wird erstmals vor Bundesgericht gestellt und ist deshalb unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Die Beschwerdeführer bringen vor, sie hätten vor der Vorinstanz gerügt, es bestehe ein objektiv begründeter Anlass, den Anschein der Befangenheit der Autorin des Ergänzungsgutachtens anzunehmen. Das Strafgericht Basel-Stadt habe jedoch ausschliesslich die Frage beurteilt, ob das IRM als unabhängige Stelle gelte. Damit habe es sich mit ihrer Kritik nicht hinreichend auseinandergesetzt und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2 Das Strafgericht Basel-Stadt legte im angefochtenen Entscheid dar, es habe sich mit Entscheid vom 8. April 2008 bereits mit der Frage der Unabhängigkeit des IRM auseinandergesetzt. Es sei zum Schluss gelangt, dass die mit dem Gutachten beauftragten Personen der Objektivität und Unparteilichkeit verpflichtet seien, zumal sie den Regeln über Ausstand und Ablehnung von Richtern und den Straffolgen wissentlich falscher Begutachtung unterstünden, weshalb die Unabhängigkeit gewahrt sei. Von dieser Rechtsprechung abzuweichen, bestehe kein Anlass. Ebenso wenig sei an der konkreten Unbefangenheit der Gutachterin zu zweifeln. Dass sie es in ihrem Gutachten als "mutig" bezeichnet, am Hochrisikopatienten D._ eine Operation der Halsschlagader durchzuführen, vermöge für sich allein entgegen den Ausführungen der Rekurrenten keine Befangenheit zu indizieren. Abgesehen davon habe der Gutachtensauftrag nicht darin bestanden, den Erfolg der Halsschlagaderoperation zu begutachten (dieser sei unbestrittenermassen eingetreten). Vielmehr sei der Vorfall des während der Operation aufgetretenen Brandes Gegenstand der Untersuchung gewesen. Dass das Gutachten nach dem Standpunkt der Beschwerdeführer unvollständig und nicht schlüssig sei, vermöge genauso wenig wie die gerügten angeblichen formellen Fehler den Anschein der Befangenheit zu begründen.
2.3 Mit diesen Ausführungen hat sich die Vorinstanz offensichtlich mit der Frage auseinandergesetzt, ob ein Anschein der Befangenheit der Gutachterin besteht. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich als unbegründet (vgl. BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
3. 3.1 Inhaltlich erachten die Beschwerdeführer die Begründung der Vorinstanz für nicht haltbar. Sie laufe darauf hinaus, dass eine Befangenheit gerade deshalb ausgeschlossen sei, weil gesetzliche Ausstandsvorschriften bestehen. Die Beschwerdeführer legen dar, weshalb sie die Gutachterin Dr. E._ als nicht unabhängig ansehen. Sie erblicken im Umstand, dass sowohl das Universitätsspital als auch das IRM in die Universität Basel eingegliedert sind, ein Merkmal der Abhängigkeit. Dr. E._ habe ihr Gutachten als wissenschaftliche Leistung erbracht und unterstehe damit einem potentiellen "Druck aus den eigenen Reihen". Sowohl ihr Vorgesetzter, Prof. Dr. F._, als auch Prof. Dr. C._ gehörten dem Lehrkörper der Universität an. Das eigene Interesse am Arbeitsplatz und an beruflicher Karriere sowie das Bedürfnis, Repräsentanten der Universität nicht zu desavouieren, stehe einer unbefangenen Gutachtertätigkeit im Wege. Mitarbeiter der medizinischen Fakultät dürften deshalb nicht als Experten befragt werden, wenn die straf- oder zivilrechtliche Haftung anderer Mitarbeiter der medizinischen Fakultät zu beurteilen sei.
3.2 Nach der Rechtsprechung gelten für Sachverständige grundsätzlich die gleichen Ausstands- und Ablehnungsgründe, wie sie für Richter vorgesehen sind. Da sie nicht Mitglied des Gerichts sind, richten sich die Anforderungen zwar nicht nach Art. 30 Abs. 1 BV, sondern nach Art. 29 Abs. 1 BV. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt Art. 29 Abs. 1 BV indessen ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (Urteile 8C_474/2009 vom 7. Januar 2010 E. 7.2, in: SVR 2010 Nr. 41 S. 128; 8C_509/2008 vom 4. Februar 2009 E. 4.2, in: SVR 2009 UV Nr. 32 S. 111; 6B_299/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 5.1.1; je mit Hinweisen). Danach ist Befangenheit anzunehmen, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit zu erwecken. Bei der Befangenheit handelt es sich allerdings um einen inneren Zustand, der nur schwer bewiesen werden kann. Es braucht daher für die Ablehnung nicht nachgewiesen zu werden, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen ist. Es genügt vielmehr, wenn Umstände vorliegen, die objektiv den Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen (BGE 136 III 605 E. 3.2.1 S. 608 f.; 136 I 207 E. 3.1 S. 210; je mit Hinweisen).
Umstände, welche den Anschein der Befangenheit begründen, können insbesondere im Verhalten der betroffenen Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Auch ein persönliches Interesse am Verfahrensausgang sowie persönliche oder wirtschaftliche Beziehungen zu einem Verfahrensbeteiligten sind bedeutsam (BGE 136 I 207 E. 3.1 S. 210; Urteile 8C_474/2009 vom 7. Januar 2010 E. 7.4, in: SVR 2010 Nr. 41 S. 128; 8C_509/2008 vom 4. Februar 2009 E. 4.3).
3.3 Den Beschwerdeführern ist zuzustimmen, dass der blosse Umstand, dass der Sachverständige rechtlich zu Objektivität und Unparteilichkeit verpflichtet ist und deshalb auch Ausstandsgründe zu beachten hat, offensichtlich nicht geeignet ist, von vornherein jeden Anschein der Befangenheit auszuschliessen. Nach dem Gesagten ist eine Beurteilung des konkreten Einzelfalls notwendig.
Im Urteil 1B_22/2007 vom 29. Mai 2007 hatte das Bundesgericht die Frage der Befangenheit eines Experten der Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) zu beurteilen. Der Beschwerdeführer jenes Verfahrens, welcher einer psychiatrischen Expertise unterzogen worden war, machte den Ablehnungsgrund der Befangenheit geltend. Er berief sich darauf, dass der Experte dem gleichen wissenschaftlichen Institut (den UPK) angehöre wie andere Psychiater (darunter ein Vorgesetzter des Experten), die den Beschwerdeführer bereits früher begutachtet hätten. Die Vorinstanz des Bundesgerichts hatte dazu erwogen, die blosse Möglichkeit, dass der Experte fachlich veranlasst sein könnte, sich mit früheren Gutachten von Kollegen oder Vorgesetzten des gleichen gerichtsmedizinischen Instituts allenfalls auch kritisch auseinanderzusetzen, begründe keinen objektiven Anschein der Befangenheit. Das Bundesgericht bestätigte diese Ansicht (a.a.O., E. 3.5).
Der vorliegende Fall ist anders gelagert. Die Beschwerdeführer begründen die Befangenheit der Gutachterin Dr. E._ im Wesent-lichen damit, dass diese als Mitarbeiterin des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Basel tätig geworden sei. Als solche sei sie Prof. F._ unterstellt, der ein Ordinariat in der medizinischen Fakultät der Universität Basel innehabe. Der Beschuldigte gehöre als Titularprofessor mit Lehrverpflichtung ebenfalls der medizinischen Fakultät der Universität Basel an. Dass diese Verbindungen von den Beschwerdeführern korrekt wiedergegeben wurden, wird von keiner Seite bestritten.
Davon ausgehend stellen sich die Beschwerdeführer auf den Standpunkt, die Gutachterin stehe in einem persönlichen und fachlichen Spannungsfeld, wenn sie als Mitarbeiterin der medizinischen Fakultät das Verhalten eines Fakultätskollegen ihres Vorgesetzten zu beurteilen habe. Tatsächlich lässt sich nicht von der Hand weisen, dass eine Gutachterin in einer derartigen Situation (möglicherweise unbewusst) zu einer gewissen Rücksichtnahme verleitet sein könnte. Dies kann seinen Grund im Respekt vor einer hierarchisch höher gestellten Person der eigenen Fakultät haben, oder darin, dass sie befürchten könnte, durch ein belastendes Gutachten Spannungen zwischen ihrem Vorgesetzten und dessen Fakultätskollegen zu verursachen. Es ist auch denkbar, dass sie davor zurückschrecken könnte, sich innerhalb der Fakultät zu exponieren, zumal ein Strafverfahren gegen ein Fakultätsmitglied einige Aufmerksamkeit auf sich ziehen dürfte. Vor diesem Hintergrund könnte sie schliesslich auch befürchten, dass es ihr berufliches Fortkommen erschweren könnte, wenn sie dem Beschuldigten ein Fehlverhalten vorwerfen würde. Der Anschein der Befangenheit ist deshalb zu bejahen.
Im Unterschied zum erwähnten Urteil 1B_22/2007 vom 29. Mai 2007 geht es vorliegend somit nicht darum, dass sich die Sachverständige in ihrem Gutachten von ihren Institutskollegen allenfalls hätte fachlich distanzieren müssen. Vielmehr war sie vor die Aufgabe gestellt, die beruflichen Leistungen eines in einem Strafverfahren stehenden Fakultätskollegen ihres Vorgesetzten zu würdigen, wobei sie erwarten musste, dass ihr Gutachten zentral für den Ausgang dieses Strafverfahrens sein würde. Unter diesen Voraussetzungen hatten die Beschwerdeführer nachvollziehbare Gründe davon auszugehen, dass die Sachverständige befangen sein könnte. Der Entscheid der Vorinstanz, die zum gegenteiligen Resultat gelangt, verletzt Art. 29 Abs. 1 BV.
4. Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist dem privaten Beschwerdegegner, der in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde beantragt hat, die Hälfte der Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat keine Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt und der Beschwerdegegner haben den Beschwerdeführern je eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache wird zur neuen Beurteilung an das Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden zur Hälfte, d.h. im Umfang von Fr. 1'000.--, dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Kanton Basel-Stadt und der Beschwerdegegner haben je den Beschwerdeführern eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Dold