Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 12. Dezember 2001 stellte die Stiftung X._ als Grundeigentümerin und Bauherrin das Gesuch um Abbruch der Liegenschaften ... resp. ... und Neubau von zwei Wohn- und Geschäftshäusern mit unterirdischer Einstellhalle auf der Parzelle 455 an der ... in Basel. Die auf die Publikation des Gesuchs im Kantonsamtsblatt hin eingegangenen Einsprachen wies das Bauinspektorat des Kantons Basel-Stadt am 4. Juni 2002 ab und bewilligte gleichentags das Baubegehren unter Auflagen. Die dagegen erhobenen Rekurse wies die Baurekurskommission ab, soweit sie nicht als hinfällig abgeschrieben wurden.
Gegen den Entscheid der Baurekurskommission rekurrierten verschiedene Betroffene in einer gemeinsamen Rechtsschrift an das Appellationsgericht und beantragten, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und der Stiftung X._ die Bau- und Abbruchbewilligung zu verweigern. Mit Urteil vom 24. September 2003 wies das Appellationsgericht den Rekurs ab.
Gegen den Entscheid der Baurekurskommission rekurrierten verschiedene Betroffene in einer gemeinsamen Rechtsschrift an das Appellationsgericht und beantragten, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und der Stiftung X._ die Bau- und Abbruchbewilligung zu verweigern. Mit Urteil vom 24. September 2003 wies das Appellationsgericht den Rekurs ab.
B. Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts führen die im Rubrum aufgeführten Personen staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV. Sie beantragen dessen Aufhebung und Rückweisung an das Appellationsgericht zur neuen Entscheidung.
Die Stiftung X._ beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Bauinspektorat hat, ohne konkreten Antrag zu stellen, auf den angefochtenen Entscheid verwiesen und vermerkt, dass hierzu nichts hinzuzufügen sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Die Stiftung X._ beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Bauinspektorat hat, ohne konkreten Antrag zu stellen, auf den angefochtenen Entscheid verwiesen und vermerkt, dass hierzu nichts hinzuzufügen sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
C. Mit Verfügung vom 15. Januar 2004 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Beim angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid. Als Mieter einer Wohnung bzw. eines Ateliers in einer vom Abbruch betroffenen Liegenschaft sind die Beschwerdeführer in ihren rechtlich geschützten Interessen unmittelbar berührt. Sie sind daher zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert, soweit sie sich bezüglich des beanstandeten Eingriffs im Geltungsbereich der angerufenen Grundrechte befinden. Das trifft auf die von den Beschwerdeführern (ausschliesslich) gerügte Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) zu. Da sich ihre Beschwerde gegen denselben Entscheid richtet, der Sachverhalt im Wesentlichen gleichgelagert ist und übereinstimmende Interessen betroffen sind, ist es zulässig, ihre Rügen in einer gemeinsamen Rechtsmitteleingabe vorzubringen. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, sofern sie auch den übrigen an eine staatsrechtliche Beschwerde gestellten Anforderungen genügt.
1. Beim angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid. Als Mieter einer Wohnung bzw. eines Ateliers in einer vom Abbruch betroffenen Liegenschaft sind die Beschwerdeführer in ihren rechtlich geschützten Interessen unmittelbar berührt. Sie sind daher zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert, soweit sie sich bezüglich des beanstandeten Eingriffs im Geltungsbereich der angerufenen Grundrechte befinden. Das trifft auf die von den Beschwerdeführern (ausschliesslich) gerügte Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) zu. Da sich ihre Beschwerde gegen denselben Entscheid richtet, der Sachverhalt im Wesentlichen gleichgelagert ist und übereinstimmende Interessen betroffen sind, ist es zulässig, ihre Rügen in einer gemeinsamen Rechtsmitteleingabe vorzubringen. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, sofern sie auch den übrigen an eine staatsrechtliche Beschwerde gestellten Anforderungen genügt.
2. Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss eine staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurzgefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (BGE 129 I 113 E. 2.1 S. 120, mit Hinweisen).
2.1 Die Beschwerdeführer machen geltend, das Appellationsgericht habe verschiedene von ihnen in der Rekursschrift vorgebrachte Punkte tatsächlicher Natur in seinem Urteil zu wenig berücksichtigt, was bei der Auslegung des kantonalen Gesetzes vom 20. November 1975 über Abbruch und Zweckentfremdung von Wohnhäusern (GAZW), vor allem von § 3 GAZW, von entscheidender Bedeutung sei.
2.1.1 Sowohl bei Beschwerden wegen Verletzung von Art. 9 BV als auch bei Rügen betreffend Verstösse gegen spezielle Verfassungsgarantien ist das Bundesgericht grundsätzlich an die Sachverhaltsfeststellung der kantonalen Behörden gebunden. Es kann daher nur prüfen, ob die Feststellungen, welche im kantonalen Verfahren bezüglich des rechtlich relevanten Sachverhalts gemacht wurden, willkürlich erfolgten (BGE 128 I 184 E. 2.1 S. 186, mit Hinweisen; Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Auflage, Bern 1994, S. 171). Eine Sachverhaltsfeststellung ist dann willkürlich, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, insbesondere mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 129 I 173 E. 3.1 S. 178, mit Hinweisen). Ob solche Gründe gegeben sind, hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzutun. Der Richter beschränkt sich ausschliesslich auf die Prüfung genügend klar erhobener und hinreichend begründeter Rügen (BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31, mit Hinweisen).
2.1.2 Das Appellationsgericht hat festgestellt, dass an Stelle der bestehenden 19 Wohnungen neu 32 Wohnungen errichtet werden sollen, von welchen neun als Dreizimmerwohnungen und 17 als Wohnungen mit vier und mehr Zimmern konzipiert seien. 26 Wohnungen würden aufgrund ihrer Grösse praxisgemäss als Familienwohnungen gelten und sich auch hinsichtlich des vorgesehenen Mietzinses von Fr. 14.-- bis Fr. 15.-- pro m2 für Familien eignen. Die Beschwerdeführer behaupten nicht, diese Sachverhaltsfeststellungen des Appellationsgerichts seien willkürlich. Ihre dagegen erhobenen Einwände erschöpfen sich vielmehr in unzulässiger appellatorischer Kritik. Dasselbe trifft auch zu, soweit sie sich zur Sanierungsbedürftigkeit, zum Sanierungsaufwand, zur vorhandenen Bausubstanz und zur Vernachlässigung des Gebäudeunterhalts äussern. Dazu genügt es nicht, gestützt auf das eingelegte Privatgutachten von Architekt Y._ den vom Appellationsgericht festgestellten Sachverhalt zu kritisieren, ohne eine im Rahmen der staatsrechtlichen Beschwerde zulässige Tatbestandsrüge (Aktenwidrigkeit, willkürliche Beweiswürdigung, Verletzung des rechtlichen Gehörs) zu erheben und im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unhaltbar sein sollen (Walter Kälin, a.a.O., S. 366; Peter Galli, Die rechtsgenügende Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde, SJZ 81/1985, S. 125/ 127). Soweit die Beschwerdeführer den vom Appellationsgericht seinem Entscheid zu Grunde gelegten Sachverhalt beanstanden, erfüllt ihre Rechtsschrift die an eine staatsrechtliche Beschwerde gestellten Substantiierungsanforderungen gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG durchwegs nicht. Darauf ist daher nicht einzutreten.
2.2 In materieller Hinsicht werfen die Beschwerdeführer dem Appellationsgericht vor, § 3 lit. a und c GAZW willkürlich ausgelegt und zudem gegen die ratio legis des GAZW krass verstossen zu haben.
2.2.1 Wirft der Beschwerdeführer der kantonalen Behörde vor, sie habe mit der Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts Art. 9 BV verletzt, so genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Auch bei der Rechtsanwendungsrüge hat der Beschwerdeführer nicht nur die Rechtsnorm, die qualifiziert unrichtig angewandt bzw. nicht angewandt worden sein soll, zu bezeichnen, sondern zudem anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll (BGE 127 I 38 E. 3c S. 43). In dieser Hinsicht unterliegt die Rechtsanwendungsrüge den gleichen Begründungsanforderungen wie die Rüge gegen die Sachverhaltsfeststellung (vgl. dazu E. 2.1.1 hiervor).
2.2.2 Gemäss § 3 GAZW kann die Bewilligung zum Abbruch von Wohnungen erteilt werden, wenn die Umstände es rechtfertigen, worunter insbesondere die unter lit. a - e genannten Tatbestände fallen. Das Appellationsgericht erwog unter Hinweis auf frühere Entscheide, dass zwischen den einzelnen Abbruchgründen von § 3 lit. a - c GAZW ein innerer Zusammenhang bestehe, der eine isolierte Betrachtung von § 3 lit. a GAZW verbiete. Dies bedeute jedoch keineswegs, dass § 3 lit. c GAZW als übergeordnete Vorschrift zu gelten hätte, welche bei Vernachlässigung des Gebäudeunterhalts einen Abbruch zum vornherein ausschliessen würde. In § 3 lit. a - c GAZW seien Einzeltatbestände aufgeführt, deren Voraussetzungen gemäss dem klaren Wortlaut des Gesetzes nicht kumulativ, sondern alternativ vorliegen müssten. Ihrem sachlichen Zusammenhang sei beim Entscheid über ein Abbruchgesuch insoweit Rechnung zu tragen, als bei der Auslegung der einzelnen Tatbestände sowie bei der Beurteilung eines Projekts unter dem Gesichtspunkt der Generalklausel eine Gesamtwürdigung zu erfolgen habe, bei welcher alle im Gesetz beschriebenen Faktoren mitzuberücksichtigen seien. Allerdings würde es zu weit gehen, bei den einzelnen Abbruchgründen auf dem Weg der Auslegung eigentliche Zusatzkriterien aus andern Tatbeständen einzuführen.
Von diesen Überlegungen ausgehend kam das Appellationsgericht zum Schluss, dass selbst bei Abzug der auf die Vernachlässigung des Gebäudeunterhalts zurückzuführenden Kosten die verbleibenden Sanierungskosten derart hoch seien, dass die bisherigen, sehr preisgünstigen Wohnmöglichkeiten nicht mehr zur Verfügung stehen würden. Allein aus diesem Grund könne das im Rahmen von § 3 lit. a GAZW zu beachtende Interesse am Erhalt des bestehenden Wohnraums nicht als so gewichtig eingestuft werden, dass es einen Abbruch und die Erstellung neuer Wohnungen verbieten würde. Dass die Bewilligung der projektierten Überbauung mit den Vorschriften des GAZW im Einklang stehe, ergebe sich aber auch aus deren Gesamtzusammenhang und einer Abwägung aller geschützten Interessen. Der Schutzgedanke des GAZW beschränke sich nicht auf das sozialpolitische Anliegen, den Bestand preisgünstigen Wohnraums für Familien sicherzustellen. Vielmehr umfasse die Zielsetzung des GAZW ebenso sehr das raumplanerische Interesse an einer wohnlichen und bewohnten Stadt und das Bestreben, der Stadt ihre Einwohner zu erhalten. Das vorliegende Neubauprojekt sei auf Stadtbewohner zugeschnitten, die Wert auf eine besondere Wohn- und Wohnumfeldqualität legen würden und das besonders auch für Familien geeignet erscheine. Aufgrund seines gesamten Konzepts entspreche es somit den Bedürfnissen der städtischen Wohnbevölkerung in idealer Weise und diene so einem der Hauptzwecke des GAZW. Die gestützt auf das GAZW erteilte Abbruch- und Baubewilligung sei daher auch aus diesem Grund gerechtfertigt.
2.2.3 Die Beschwerdeführer machen geltend, von einer bedeutenden Vergrösserung des Wohnraums im Sinne § 3 lit. a GAZW könne vorliegend nicht gesprochen werden. Soweit sich die Beschwerdeführer hierbei auf vom Appellationsgericht abweichende tatsächliche Feststellungen berufen, sind sie nicht zu hören (vgl. E. 2.1.2 hiervor). Es ist somit davon auszugehen, dass mit dem Neubau die Nettowohnfläche um rund 2'000 m2 zunimmt und anstelle der bestehenden 19 neu 32 Wohnungen errichtet werden, von denen sich 26 Wohnungen für Familien eignen. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern das Appellationsgericht bei diesem Sachverhalt durch die Abbruchbewilligung § 3 lit. a GAZW krass verletzt haben soll. Ebenso wenig begründen sie näher, weshalb gemäss dieser Bestimmung auch die Flächen im Freien zum Wohnraum zu zählen sind und der Entscheid des Appellationsgerichts durch dessen Nichtberücksichtigung offensichtlich falsch sein soll. Nicht anders verhält es sich, soweit die Beschwerdeführer die vom Appellationsgericht vorgenommene Interessenabwägung rügen. Wohl mag es zutreffen, dass sich anstatt eines Abbruchs der bestehenden Liegenschaften auch durch einen Neubau im Hinterhof mehr Wohnraum für Familien realisieren liesse. Wie es sich damit letztlich verhält, kann jedoch offen bleiben, da es sich hierbei nicht um das allein massgebende Kriterium handelt. In die Interessenabwägung miteinzubeziehen sind insbesondere auch die Sanierungsbedürftigkeit der bestehenden Liegenschaften und der damit verbundene Kostenaufwand. Diesbezüglich gehen die Beschwerdeführer bei der von ihnen vorgeschlagenen Überbauungsvariante davon aus, dass der bisherige günstige Wohnraum beibehalten werden könne. Zudem machen sie geltend, die Sanierungskosten seien Folge des vernachlässigten Gebäudeunterhalts. Auch diese Behauptungen stehen im Gegensatz zu den tatsächlichen Feststellungen des Appellationsgerichts, wonach die erforderlichen Sanierungsmassnahmen selbst bei Abzug der Sanierungskosten für den vernachlässigten Gebäudeunterhalt zwangsläufig zu einer erheblichen Verteuerung des Wohnraums führen. Wie erwähnt (vgl. E. 2.1.2 hiervor), sind die von den Beschwerdeführern dagegen vorgebrachten Einwände unbehelflich. Verzichtet der Beschwerdeführer auf eine Eventualbegründung und hält er den von der kantonalen Behörde festgestellten tatsächlichen Verhältnissen bloss seine eigene, nicht rechtsgenüglich substantiierte Sicht entgegen, kommt er bei einer gestützt darauf vorgenommenen Interessenabwägung seiner Begründungspflicht im Sinne von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht hinreichend nach. Auf die Beschwerde ist daher auch nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführer hinsichtlich der vorgenannten Punkte eine sachgerechte Interessenabwägung bestreiten.
2.2.4 Den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügen schliesslich auch die Einwände der Beschwerdeführer zum Abbruch der Liegenschaft ... nicht. Das Appellationsgericht hat dazu ausgeführt, dass diese Liegenschaft im Vergleich zu den anderen Liegenschaften zwar einen geringeren Renovationsbedarf aufweise. Sie könne jedoch nicht isoliert betrachtet werden, da ihr Abbruch Teil des Gesamtkonzepts bilde, mit welchem mehr Wohnraum für Familien geschaffen würde. Dabei hat sich das Appellationsgericht bei der Interessenabwägung nicht nur auf § 3 lit. a GAZW abgestützt, sondern zudem auf die Generalklausel von § 3 GAZW und den sich aus den Materialien zum GAZW ergebenden Schutzgedanken. Die Beschwerdeführer zeigen nicht auf, inwiefern diese Gesetzesauslegung und der gestützt darauf erfolgte Einbezug der Liegenschaft ... in das Gesamtkonzept offensichtlich unhaltbar sein sollen. Ihr Vorwurf, die vom Appellationsgericht vorgenommene Gesetzesauslegung sei ein krasser Verstoss gegen die ratio legis des GAZW, beruht auch hier zur Hauptsache auf Behauptungen, die den tatsächlichen Feststellungen des Appellationsgerichts entgegenstehen. Zudem setzen sich die Beschwerdeführer auch in diesem Punkt mit der einlässlichen Begründung des Appellationsgerichts nicht substantiiert auseinander.
2.2.5 Nach dem Gesagten genügt die Rechtsschrift der Beschwerdeführer somit auch hinsichtlich der materiellen Rügen den an eine staatsrechtliche Beschwerde gestellten Begründungsanforderungen im Sinne von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG durchwegs nicht. Auf sie ist daher nicht einzutreten.
2.2.5 Nach dem Gesagten genügt die Rechtsschrift der Beschwerdeführer somit auch hinsichtlich der materiellen Rügen den an eine staatsrechtliche Beschwerde gestellten Begründungsanforderungen im Sinne von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG durchwegs nicht. Auf sie ist daher nicht einzutreten.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Zudem haben sie die anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung eines Rechtsbeistandes ist abzuweisen, da sich die Beschwerde von vornherein als aussichtslos erwies (Art. 152 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird den Beschwerdeführern auferlegt; sie haften hierfür solidarisch.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird den Beschwerdeführern auferlegt; sie haften hierfür solidarisch.
4. Die Beschwerdeführer haben unter solidarischer Haftbarkeit die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Die Beschwerdeführer haben unter solidarischer Haftbarkeit die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Baudepartement und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2004
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: