Erwägungen:
1. X._ (geb. 1983) stammt nach eigenen Angaben aus Nigeria. Er durchlief im Jahre 2006 in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren; am 14. Juli 2006 konnte er nach Österreich ausgeschafft werden. Am 1. April 2008 wurde er in Biel angehalten und in Ausschaffungshaft genommen. Der Haftrichter 3 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte diese tags darauf und genehmigte sie bis zum 30. Juni 2008. X._ ist hiergegen am 14. April 2008 mit dem Antrag an den Haftrichter gelangt, er sei freizulassen. Sein Schreiben wurde zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet.
2. Die Eingabe, welche als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln ist, erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt:
2.1 Der Beschwerdeführer ist am 1. April 2008 durch die Fremdenpolizei der Stadt Biel formlos weggewiesen worden (Art. 64 Abs. 1 und Abs. 3 in Verbindung mit Art. 69 Abs. 1 lit. b AuG). Bei seiner Anhaltung gab er sich als Y._ aus, zudem trug er eine spanische Aufenthaltsbewilligung auf sich, die einer Drittperson zustehen soll. Im Jahre 2006 war ihm die Einreise in die Schweiz für zehn Jahre untersagt worden; die entsprechende Anordnung hielt ihn nicht davon ab, wiederum illegal in die Schweiz einzureisen. Gestützt hierauf besteht bei ihm Untertauchensgefahr. Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich ohne Festhaltung den Behörden für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.). Zudem erfüllt er den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziffer 1 in Verbindung mit Art. 75 Abs. 1 lit. c AuG (Missachtung eines Einreiseverbots).
2.2 Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen gegeben sind, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht: Der Beschwerdeführer konnte bereits einmal ausgeschafft werden; es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass die Behörden sich nicht erneut zielstrebig hierum bemühen werden. Den gesundheitlichen Problemen des Beschwerdeführers kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden. Soweit er geltend macht, bereit zu sein, in ein anderes Land zu reisen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne Reisepapiere rechtmässig tun könnte. Sollte der Beschwerdeführer sich legal nach Österreich oder Spanien begeben können, werden die Behörden den Vollzug seiner Ausschaffung in eines dieser Länder prüfen (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG). Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es rechtfertigt sich indessen, aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung) keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Die Fremdenpolizei der Stadt Biel wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar