Erwägungen:
1. Am 13. Dezember 2012 erstattete X._ Strafanzeige u.a. gegen Oberrichter Y._. Er wirft dem Oberrichter vor, er habe die Ermächtigung zur Einleitung einer Strafuntersuchung gegen verschiedene Beamte nicht erteilt. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich leitete die Anzeige mit Verfügung vom 17. Januar 2013 an die Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich weiter mit dem Antrag, die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung sei nicht zu erteilen. Mit Beschluss vom 7. März 2013 wies die Geschäftsleitung des Kantonsrates das Ermächtigungsgesuch von der Hand. Die Geschäftsleitung des Kantonsrates führte zusammenfassend aus, dass der Anzeiger offenbar mit einem Entscheid des Angezeigten nicht einverstanden sei. Dieser Entscheid sei weder genauer bezeichnet noch liege er der Anzeige bei. Der Umstand allein, dass eine Behörde nicht im Sinne des Anzeigers entscheide, begründe noch keinen Straftatbestand. Vorliegend vermöge der Anzeiger nicht darzulegen, inwiefern sich der Angezeigte eines strafbaren Verhaltens schuldig gemacht haben könnte. Das Ermächtigungsgesuch erweise sich als offensichtlich unbegründet, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abzuweisen sei. Die Kosten seien deshalb in Anwendung von § 40 KRG dem Gesuchsteller aufzuerlegen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 9. April 2013 (Postaufgabe 12. April 2013) Beschwerde gegen den Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seiner weitschweifigen Beschwerde nicht rechtsgenüglich mit der Begründung des angefochtenen Beschlusses auseinander. Auch vor Bundesgericht legt er nicht dar, mit welchen konkreten Entscheiden sich der Angeschuldigte eines strafbaren Verhaltens schuldig gemacht haben sollte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die dem angefochtenen Beschluss zugrunde liegende Begründung bzw. der Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli