Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Dem Beschwerdeführer wurden mit Verfügungen vom 8. Juli und 2. September 2008 eine Frist und eine Nachfrist bis 23. September 2008 angesetzt, um dem Bundesgericht einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen, ansonsten in Anwendung von Art. 62 Abs. 3 BGG auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Mit Schreiben vom 19. September (Postaufgabe 20. September) 2008 teilt der Beschwerdeführer mit, aufgrund einer Erkrankung sei er in einen finanziellen Engpass geraten, der es ihm nicht erlaube, den Kostenvorschuss fristgerecht zu bezahlen. Damit kann er schon deshalb nicht gehört werden, weil er seine Behauptung nicht näher begründet und auch nicht belegt. Im Übrigen stellt er ausdrücklich fest, "keinen weiteren Vorschlag unterbreiten zu können". Unter diesen Umständen ist auf die Beschwerde mangels Leistung des Kostenvorschusses androhungsgemäss im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn