Erwägungen:
1. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern entzog X._ mit Verfügung vom 23. März 2010 den Führerausweis für Motorfahrzeuge auf die Dauer eines Monats. Gleichzeitig wurde die Belassung des Führerausweises mit der Auflage einer strikten Drogenabstinenz für weitere sechs Monate verbunden. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 22. April 2010 Beschwerde. Die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 11. August 2010 ab.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. Oktober 2010 (Postaufgabe 27. Oktober 2010) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern. Mit Eingabe vom 10. November 2010 stellte er sinngemäss ein Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG).
Die Rekurskommission liess ihren Entscheid vom 11. August 2010 am 22. September 2010 mit der Post als Gerichtsurkunde an die vom Beschwerdeführer angegebene Adresse senden. Gemäss Empfangsbestätigung hat der Beschwerdeführer die Sendung am 23. September 2010 in Empfang genommen. Die dreissigtägige Beschwerdefrist begann somit am folgenden Tag zu laufen (Art. 44 Abs. 1 BGG) und endete unter Berücksichtigung von Art. 45 Abs. 1 BGG am 25. Oktober 2010. Die erst am 27. Oktober bei der Post aufgegebene Beschwerde ist somit verspätet.
4. Der Beschwerdeführer stellt sinngemäss das Gesuch, es sei ihm die Beschwerdefrist wiederherzustellen. Diesem Gesuch wird entsprochen, wenn die Partei durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung des angefochtenen Entscheids unverschuldeterweise abgehalten wurde, fristgerecht zu handeln (Art. 50 Abs. 1 BGG). Krankheit kann nach Rechtsprechung ein unverschuldetes Hindernis sein, sofern sie derart ist, das sie den Rechtsuchenden oder seinen Vertreter davon abhält, innert Frist zu handeln oder dafür einen Vertreter beizuziehen (vgl. BGE 119 II 80 E. 2a). Vorliegend verweist der Beschwerdeführer zur Begründung seines Gesuchs auf ein Ärztliches Zeugnis, das ihm eine 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit vom 20. Oktober 2010 bis zum 30. Oktober 2010 bescheinigt. Um was für eine Krankheit es sich dabei gehandelt haben soll, lässt sich weder dem Zeugnis noch den Ausführungen des Beschwerdeführers entnehmen. Aufgrund dieser Angaben lässt sich nicht prüfen, ob der Beschwerdeführer unverschuldeterweise nicht in der Lage gewesen war, fristgerecht zu handeln. Auf das mangelhaft begründete Gesuch ist nicht einzutreten. Demzufolge ist auf die offensichtlich verspätet eingereichte Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
5. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Wiederherstellungsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern und der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli