Fatti:
A. A.a Con giudizio 19 ottobre 1999 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto parzialmente una petizione proposta da C._ contro la Cassa pensioni dei dipendenti dello Stato, riconoscendole il diritto ad una mezza rendita d'invalidità della previdenza professionale dalla data di cessazione del versamento dello stipendio da parte del datore di lavoro. Tale pronuncia è cresciuta incontestata in giudicato e in sua applicazione l'assicurata è stata posta al beneficio della mezza rendita con effetto dal 1° ottobre 1993 (cfr. sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 28/01 del 10 settembre 2003).
A.b Facendo tra le altre cose valere un peggioramento del suo stato di salute, C._ si è rivolta il 14 febbraio 2007 alla Cassa pensioni alla quale ha chiesto di attribuirle una rendita intera. La Cassa ha respinto tale richiesta con la motivazione che il preteso peggioramento dello stato di salute era da ricondurre a una nuova causa, e più precisamente a un eczema atopico alle mani, insorto quando l'interessata non sarebbe più stata assicurata presso di lei.
B. In seguito al rifiuto oppostole dall'istituto di previdenza, C._ ha convenuto la Cassa pensioni dinanzi al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino chiedendone la condanna al versamento di una rendita intera d'invalidità (petizione del 10 maggio 2007).
Per pronuncia del 3 giugno 2008 la Corte cantonale ha respinto la petizione. A motivazione del giudizio, ha osservato che gli atti prodotti dall'interessata non erano idonei a sufficientemente oggettivare l'esistenza di una patologia dermatologica avente carattere invalidante e che in ogni caso l'eventuale peggioramento dello stato di salute sarebbe stato riconducibile a una causa insorta in un momento in cui l'interessata non era più assicurata presso la Cassa pensioni.
C. C._ ha presentato al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico con cui chiede, in via principale, l'annullamento del giudizio impugnato e il riconoscimento di una rendita piena d'invalidità della previdenza professionale; in via subordinata postula l'annullamento del giudizio cantonale e il rinvio della causa all'istanza precedente affinché disponga un complemento istruttorio e renda un nuovo giudizio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
La Cassa pensioni si riconferma nelle conclusioni formulate in sede cantonale, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. 1.1 Con il ricorso in materia di diritto pubblico può in particolare venir censurata la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF), nozione che comprende anche i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 446 consid. 3.1 pag. 447, 462 consid. 2.3 pag. 466). Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, sotto pena d'inammissibilità (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate. Il ricorrente deve motivare il ricorso (art. 42 cpv. 1 LTF) spiegando in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto (art. 42 cpv. 2 LTF).
1.2 Inoltre, l'accertamento dei fatti può venir censurato solo entro limiti ristretti, ovvero se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Occorre quindi, ad esempio, che la valutazione delle prove risulti arbitraria (sentenza 4A_223/2007 del 30 agosto 2007, consid. 3.2). La parte ricorrente che intende scostarsi dai fatti stabiliti dall'autorità precedente deve spiegare in maniera circostanziata per quali motivi ritiene che le condizioni di una delle eccezioni previste dall'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate. In caso contrario, a meno di lacune manifeste da rettificare d'ufficio, non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (DTF 133 II 249 consid. 1.4.3 pag. 254).
2. Oggetto del contendere è il diritto della ricorrente ad ottenere una rendita intera in luogo della mezza che le era stata riconosciuta in seguito al giudizio del 19 ottobre 1999.
3. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, cui si rinvia, il Tribunale cantonale ha correttamente esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, rammentando in particolare le regole che reggono il diritto alle prestazioni di invalidità della previdenza professionale obbligatoria (art. 23 LPP), l'inizio di tale diritto (art. 26 LPP) e la fine dell'assicurazione obbligatoria (art. 10 cpv. 3 LPP). Alle considerazioni dell'istanza precedente può inoltre pure essere fatto riferimento per quanto concerne l'esposizione delle norme regolamentari della Cassa opponente relative al diritto a prestazioni di invalidità (art. 6 cpv. 3, 16a, 28, 29 della legge sulla Cassa pensioni dei dipendenti dello Stato del Cantone Ticino [Lcpd; RL/Ti 2.5.5.1]).
Giova nondimeno rammentare che, affinché l'istituto di previdenza possa essere chiamato a fornire prestazioni, l'incapacità di lavoro deve essersi manifestata in un'epoca in cui l'assicurato era affiliato presso il medesimo istituto. Inoltre, tra detta incapacità e la susseguente invalidità deve sussistere uno stretto nesso materiale e temporale. A questo riguardo questa Corte ha precisato che vi è segnatamente connessione materiale se il danno alla salute all'origine dell'invalidità è essenzialmente lo stesso che si era già manifestato durante l'affiliazione al precedente istituto di previdenza e che ha causato un'incapacità di lavoro di una certa importanza (di almeno il 20%; DTF 123 V 262 consid. 1c pag. 264; cfr. inoltre sentenze del Tribunale federale delle assicurazioni B 127/04 del 21 aprile 2005, consid. 4.1, riassunta in RSAS 2005 pag. 549; B 96/01 del 10 luglio 2003, consid. 3.3, riassunta in RSAS 2004 pag. 449; B 36/01, consid. 1, riassunta in RSAS 2003 pag. 511, e B 100/00 del 16 febbraio 2001, consid. 2). Questo presupposto trova ugualmente applicazione per determinare la responsabilità del vecchio istituto di previdenza di un assicurato che in seguito non è più stato affiliato ad altro istituto (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 34/01 del 15 novembre 2001, consid. 1b). Quantomeno in assenza di disposizioni regolamentari o statutarie contrarie, questi principi valgono pure in materia di previdenza professionale più estesa (DTF 123 V 262 consid. 1b pag. 264 con riferimenti).
Va infine precisato che la modifica di una rendita secondo la LPP soggiace alle medesime condizioni materiali della revisione di una rendita dell'assicurazione per l'invalidità (DTF 133 V 67).
4. 4.1 L'insorgente lamenta in particolar modo una violazione del principio inquisitorio che ravvisa nel fatto che i giudici cantonali si sarebbero limitati ad esaminare la documentazione da lei prodotta a sostegno della sua domanda di adeguamento della rendita e a dichiararla inidonea a dimostrare o almeno rendere verosimile l'intervento di un peggioramento rilevante delle sue condizioni di salute rispetto all'epoca di attribuzione della mezza rendita. Per la ricorrente, l'osservanza del predetto principio avrebbe quantomeno dovuto imporre la messa in atto di ulteriori accertamenti.
4.2 Nel settore delle assicurazioni sociali, la procedura è retta dal principio inquisitorio. In virtù di tale principio il giudice deve accertare d'ufficio i fatti determinanti della causa, fermo restando tuttavia l'obbligo per le parti di collaborare a tale accertamento nella misura in cui ciò risulti loro possibile ed esigibile. Il giudice deve segnatamente procedere o disporre indagini supplementari in presenza di valide ragioni, quali possono essere delle censure invocate dalle parti o comunque degli indizi risultanti dagli atti (DTF 117 V 282 consid. 4a con riferimenti).
4.3 Ora, nella misura in cui, procedendo a un apprezzamento anticipato delle prove (vedi al riguardo DTF 130 II 425 consid. 2.1 pag. 428 seg.; 125 I 127 consid. 6c/cc pag. 135; 124 I 208 consid. 4a pag. 211 con rinvii), hanno rinunciato a disporre ulteriori accertamenti, i primi giudici non sono incorsi in un apprezzamento arbitrario delle prove (sul vasto margine di apprezzamento che compete all'autorità cantonale in quest'ambito e, di riflesso, sul ristretto margine di intervento del Tribunale federale cfr. DTF 131 I 153 consid. 3 pag. 157 seg. con riferimenti).
Né si sono resi responsabili di un accertamento manifestamente inesatto o incompleto dei fatti, segnatamente in ordine alla valutazione dell'incapacità lavorativa dovuta alla patologia dermatologica (cfr. DTF 132 V 393 consid. 3.2 e 3.3 pag. 398 in cui il Tribunale federale delle assicurazioni ha osservato che la valutazione giudiziaria della (in)capacità lavorativa sulla base di conclusioni mediche è un accertamento di fatto). Basti qui ricordare, come ha fatto notare la Corte cantonale, che il certificato 26 gennaio 2007 del dott. W._, prodotto dalla ricorrente a sostegno del fatto che l'eczema alle mani sarebbe notevolmente peggiorato, non si esprime chiaramente sulle concrete ripercussioni della patologia sulla capacità lavorativa dell'interessata. Addirittura, il certificato conclude dicendo che la paziente dovrebbe potere portare sul lavoro guanti di cotone, rispettivamente a base di Dermasilk, lasciando così (implicitamente) intendere che l'eczema cronico ragadiforme di natura atopica al palmo delle mani non le impedisce di svolgere un'attività lavorativa regolare.
4.4 Sia come sia, i primi giudici non avevano valide ragioni per disporre indagini supplementari. Essi potevano infatti - come hanno del resto fatto - lasciare aperta la questione relativa al peggioramento dello stato di salute dovuto alla patologia dermatologica dal momento che alla data di uscita dalla Cassa resistente - fatta risalire dalla Corte cantonale, in conformità agli atti, al 16 novembre 1993 (vale a dire al giorno in cui l'assicurata era stata rimossa con effetto immediato dalla sua carica), rispettivamente alla fine di dicembre 1993 (cfr. art. 10 cpv. 3 LPP) - l'eczema atopico alle mani non si era (ancora) manifestato in misura rilevante (cfr. consid. 3). Tale circostanza, oltre a risultare inequivocabilmente dall'insieme dei certificati medici del dott. W._ (cfr. gli attestati del 27 febbraio 1992, del 13 dicembre 1993 e del 26 gennaio 2007) e del dott. E._, che aveva svolto l'esame peritale nell'estate del 1999, si evince anche dal giudizio del Tribunale cantonale delle assicurazioni del 19 ottobre 1999 (consid. 2.19), cresciuto incontestato in giudicato, come pure da quanto ammesso dalla ricorrente stessa in occasione della sua richiesta del 14 febbraio 2007 all'indirizzo della Cassa pensioni (per il resto, riguardo alle esigenze probatorie altrimenti richieste per potere sufficientemente accertare l'inizio di un'incapacità lavorativa di rilievo, cfr. sentenza B 68/06 del 31 agosto 2007, consid. 6.4, e sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 82/02 del 18 febbraio 2003, riassunta in RSAS 2003 pag. 438, consid. 2.2 con riferimenti). Non potendosi in alcun modo definire questo accertamento manifestamente errato, l'autorità giudiziaria cantonale non ha di certo violato il principio inquisitorio.
4.5 Da tale accertamento deriva pertanto l'impossibilità per la ricorrente di fondare validamente la propria domanda di adeguamento sul preteso - e comunque non provato - peggioramento della patologia dermatologica. Non è infatti l'apparizione dei disturbi in quanto tale a costituire l'evento assicurato ai sensi dell'art. 23 LPP, ma piuttosto l'intervento di una incapacità lavorativa di una certa importanza (di almeno il 20%) dovuta all'affezione invalidante (sentenze del Tribunale federale delle assicurazioni B 74/01 del 29 maggio 2002, riassunta in RSAS 2003 pag. 361, B 100/00 del 16 febbraio 2001, consid. 2, e B 36/01, consid. 2b). Pur potendo ammettere che l'eczema atopico delle mani fosse già apparso in un'epoca in cui l'assicurata era ancora assicurata presso la Cassa opponente (v. ad esempio a tal proposito il certificato 27 febbraio 1992 del dott. W._), ciò non basta a giustificare un obbligo di prestazione a carico di quest'ultima poiché il disturbo in questione (quantomeno fino al 19 ottobre 1999, quando ormai la ricorrente non era più affiliata) non aveva ancora avuto alcuna incidenza (di rilievo) sulla capacità lavorativa (sentenza citata B 36/01, consid. 2c).
4.6 Per il resto, il preteso peggioramento delle condizioni di salute non può essere attribuito alle patologie di natura otorinolaringoiatrica e allergica, che avevano già assunto una dimensione invalidante prima dell'uscita dall'istituto di previdenza e che avevano determinato la decisione di assegnare una mezza rendita. Pur potendo eventualmente riconoscere anche all'eczema alle mani una componente eziologica di tipo allergico, si può ritenere, insieme ai primi giudici, che le patologie presentate dalla ricorrente fossero del tutto distinte l'una dall'altra e che pertanto le affezioni in esame difettassero dell'interazione e quindi del nesso materiale necessari (cfr. sentenza citata B 74/01, consid. 5b/bb; sul tema v. inoltre sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 62/01 del 24 giugno 2002, riassunta in RSAS 2003 pag. 361, consid. 4). Le confuse contestazioni ricorsuali non sono certamente tali da fare apparire arbitrario questo accertamento che in questo modo vincola il Tribunale federale.
4.7 La ricorrente non può quindi validamente fondare la sua domanda sul fatto che il giudizio del 19 ottobre 1999 (consid. 2.19, pag. 26) l'avrebbe invitata a presentare una domanda di adeguamento nell'ipotesi in cui avesse ritenuto che le affezioni allora segnalate al perito avrebbero influito in modo rilevante sulla sua capacità lavorativa. C._ non può infatti invocare il principio della buona fede per pretendere un trattamento contrario alla legge e questo non fosse altro perché non fa valere né dimostra di avere, fidente nelle indicazioni ricevute, preso delle disposizioni non reversibili senza pregiudizio (DTF 131 II 636 consid. 6.1 pag. 636; 130 I 26 consid. 8.1 pag. 60 con riferimenti).
4.8 Infondato è pure il richiamo a una violazione del diritto di essere sentita in un'udienza; diritto che le sarebbe stato negato dalla Corte cantonale.
L'obbligo di organizzare un dibattimento pubblico ai sensi dell'art. 6 n. 1 CEDU presuppone una richiesta chiara e inequivocabile di una parte; semplici domande di assunzione di prove, come ad esempio istanze di audizione personale o di interrogatorio di parti o di testimoni, oppure richieste di sopralluogo, non bastano per creare un simile obbligo (DTF 122 V 47 consid. 3a pag. 54 seg.). In concreto, non essendo stata presentata una domanda espressa di procedere ad un'udienza pubblica (l'assicurata ha presentato in sede cantonale una generica richiesta di "vegliare alla parità delle armi [...] e all'applicazione dell'art. 6 CEDU" [v. osservazioni del 21 gennaio 2008, pag. 2]), non vi è stata da parte del Tribunale di prime cure alcuna violazione dell'art. 6 CEDU.
4.9 Inammissibili, in quanto già evase dal Tribunale cantonale in occasione del giudizio del 19 ottobre 1999, sono infine le censure ricorsuali nella misura in cui cercano vanamente di rimettere in discussione la valutazione allora operata dai primi giudici in merito alla possibilità di svolgere un'attività adeguata - in professioni affini a quella precedentemente esercitata di docente di scienze - nonostante il danno alla salute.
5. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono dunque poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico della ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.