Par ces motifs, le Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 1er juillet 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique : La Greffière :
Kolly Monti