Faits:
A. Lors d'un cours de répétition accompli en octobre 1988, C._, né en 1961, contracta une trachéo-bronchite, avec toux spastique. Depuis cette époque, il souffre d'un asthme bronchique, ainsi que d'une pathologie oto-rhino-laryngologique et respiratoire devenue chronique (en particulier de rhinite congestive et de pharyngite). Ces atteintes l'ont rendu à plusieurs reprises partiellement ou totalement inapte au travail. Son cas fut pris en charge par l'assurance militaire.
Le 25 février 1999, C._ subit une conchotomie (cautérisation) des deux cornets nasaux moyen et inférieur avec méatotomie bilatérale visant à élargir le méat du sinus maxillaire des deux côtés. Le lendemain de cette opération, il se plaignit d'importantes douleurs au niveau des maxillaires supérieurs. En raison de la persistance de cette symptomatologie, il fut adressé, entre autres médecins, à trois spécialistes en oto-rhino-laryngologie (ORL), les docteurs M._, du service ORL et de chirurgie cervico-faciale du Centre hospitalier U._, W._, médecin à la Clinique X._ de L._, et A._, médecin à I._.
Se fondant notamment sur les avis de ces médecins, l'Office fédéral de l'assurance militaire (ci-après : OFAM) avisa C._ que le syndrome douloureux n'était pas en relation avec l'affection ORL et qu'il serait mis fin au versement des indemnités journalières le 30 juin 2000 (lettre du 16 mai 2000). L'assuré s'opposa à ce refus. L'OFAM versa au dossier, notamment, un nouvel avis du docteur M._, ainsi qu'une appréciation du docteur R._, médecin-chef du service d'anesthésiologie et antalgie de l'Hôpital Y._ (rapports des 13 et 20 novembre 2000). Par ailleurs, il confia deux expertises, l'une au docteur H._, spécialiste ORL à l'Hôpital Z._, et l'autre au docteur T._, spécialiste en neurologie à la policlinique neurologique du même établissement hospitalier.
A la suite d'une plainte pour déni de justice, le Département fédéral de l'intérieur a enjoint l'OFAM à statuer jusqu'au 31 janvier 2002 sur le droit aux prestations. Par décision du 30 janvier 2002, l'OFAM refusa toute prestation, dès le 1er juillet 2000, au motif que le syndrome douloureux présenté par l'intéressé n'était pas en relation avec l'opération assurée. Il précisa toutefois que l'assurance militaire continuerait à couvrir les conséquences directes de la rhino-sinusite initialement assurée. Par acte du 22 février 2002, C._ fit opposition à cette décision.
Entre-temps, le docteur T._ rendit son expertise, le 31 janvier 2002. Le 16 avril suivant, le docteur H._ communiqua à son tour son expertise. Les deux experts répondirent à des questions complémentaires, les 1er mai (docteur H._) et 6 août 2002 (docteur T._). Dans le courant de l'année 2002, C._ consulta par ailleurs plusieurs fois son médecin traitant, le docteur D._, à E._, ainsi que le docteur K._, médecin au service d'oto-rhino-laryngologie et de chirurgie cervico-faciale à l'Hôpital V._. Il a annoncé à l'assurance militaire des incapacités de travail attestées par son médecin traitant pour les périodes du 25 avril au 5 mai 2002 et du 5 au 15 juillet 2002 en raison d'une exacerbation des douleurs au niveau maxillaire et frontal.
Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM rejeta l'opposition de l'assuré contre la décision du 30 janvier 2002, en niant tout rapport de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération du 21 février 1999. Les recours successifs de C._ devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et le Tribunal fédéral des assurances furent rejetés, par jugement du 25 mai 2004 et arrêt du 31 octobre 2005.
Par décision et décision sur opposition des 11 juillet 2003 et 9 janvier 2004, l'OFAM refusa également d'allouer des prestations pour les incapacités de travail attestées du 25 avril au 5 mai 2002, et du 5 au 15 juillet 2002, en niant qu'elle fussent causées par la rhino-sinusite dont souffrait l'assuré.
B. C._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel contre la décision sur opposition du 9 janvier 2004. La juridiction cantonale a rejeté ses conclusions, par jugement du 28 mars 2006.
C. C._ interjette un recours contre ce jugement. Il en demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement, sous suite de dépens. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents, qui a repris la gestion de l'assurance militaire dès le 1er juillet 2005, conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L' acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. 2.1 Le litige porte sur le droit du recourant à une indemnité journalière de l'assurance militaire pour les périodes du 25 avril au 5 mai 2002 et du 5 au 15 juillet 2002. Il s'agit plus particulièrement de déterminer si cette incapacité de travail est due à la rhino-sinusite chronique dont il souffre, et dont l'assurance militaire couvre les suites. N'est plus litigieuse, en revanche, la question d'une indemnisation pour une incapacité de travail causée par l'intervention chirurgicale du 25 février 1999. Cette dernière question a déjà fait l'objet de l'arrêt du 31 octobre 2005.
2.2 Le jugement entrepris expose les règles légales et la jurisprudence applicables en l'espèce, de sorte qu'il convient d'y renvoyer.
3. 3.1 Le recourant a été déclaré incapable de travailler du 25 avril au 5 mai 2002 et du 5 au 15 juillet 2002 par son médecin traitant, le docteur D._. Il a également consulté le docteur K._, à l'époque médecin au service d'oto-rhino-laryngologie et de chirurgie cervico-faciale de l'Hôpital V._. Invité à préciser pour quelles affections l'assuré avait été examiné et si des affections oto-rhinolaryngologiques avaient été constatées, qui justifiaient une incapacité de travail, le docteur K._ a répondu : «C._ nous a consulté aux dates mentionnées [...]. Toutes ces consultations étaient dues à la rhino-sinusite chronique connue de ce patient. Objectivement, cette maladie reste assez stable avec une muqueuse rhino-sinusale épaissie et parfois érythémateuse avec des sécrétions surtout grisâtres, mais parfois colorées en cas de surinfection. Ce status ne justifie pas vraiment des arrêts de travail par contre, ce sont les exacerbations des douleurs chroniques au niveau maxillaire et frontal ddc qui empêchent le patient de travailler. Ces arrêts de travail sont gérés par le médecin traitant, le Dr D._ à E._» (lettre du 12 septembre 2002 à l'OFAM).
Le 31 janvier 2003, l'OFAM a adressé un questionnnaire complémentaire au docteur K._. Le docteur F._, médecin chef du service ORL de l'Hôpital V._, a répondu, par lettre du 14 avril 2003, que le docteur K._ avait cessé son activité au service ORL. Il a précisé : «[...] Comme mentionné dans les deux rapports établis par le Dr H. K._ (02.05.02 et 12.09.02), aucune incapacité de travail n'a été accordée à C._ en raison de sa rhino-sinusite chronique. En ce qui concerne l'exacerbation du syndrome douloureux chronique et la rhino-sinusite, un lien est possible et ne peut être totalement exclu. De même, le syndrome douloureux chronique dont souffre ce patient peut également avoir une influence sur l'exacerbation des douleurs chroniques. Il nous est malheureusement difficile d'attribuer une cause spécifique à ces douleurs, celles-ci sortant du cadre de nos compétences.»
Il ressort de ces deux rapports médicaux que l'incapacité de travail litigieuse a été attestée non pas directement en raison de la rhino-sinusite dont souffre le recourant, mais de l'exacerbation de ses douleurs maxillaires et frontales chroniques. Un rapport de causalité naturelle entre cette exacerbation des douleurs et la rhino-sinusite est tenu, tout au plus, pour possible, par le docteur F._, ce qui est insuffisant pour l'établir au degré requis de la vraisemblance prépondérante.
3.2 Le recourant soutient qu'une expertise médicale par un spécialiste de la douleur est nécessaire avant de se prononcer sur la question du rapport de causalité entre l'exacerbation des douleurs et la rhino-sinusite chronique, dès lors que le docteur F._ se serait déclaré incompétent sur ce point. On ne saurait partager ce point de vue. Il ressort assez clairement du rapport du docteur F._ qu'un rapport de causalité entre les douleurs et la rhino-sinusite est tout au plus possible; un spécialiste de la douleur ne pourrait selon toute vraisemblance que le confirmer. A cet égard, on rappellera que les docteur H._ et T._ avaient déjà précisé que les causes du syndrome douloureux dont souffre l'assuré ne pouvaient être établies, autrement dit que ce syndrome n'était pas explicable objectivement. Dans ces conditions, les premiers juges ont à juste titre considéré qu'un lien de causalité entre l'exacerbation de ce syndrome douloureux et la rhino-sinusite chronique du recourant était tout au plus possible, et qu'une nouvelle expertise médicale ne pourrait pas apporter de constatation véritablement nouvelle sur ce point.
4. En l'absence de rapport de causalité entre l'affection prise en charge par l'assurance-militaire et l'incapacité de travail subie par le recourant du 25 avril au 5 mai 2002 et du 5 au 15 juillet 2002, ce dernier ne peut prétendre le paiement des indemnités journalières litigieuses. Il voit ses conclusions rejetées, de sorte qu'il ne peut prétendre de dépens à la charge de l'intimée (art. 159 al. 1 OJ). Par ailleurs, la procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance (art. 134 OJ), de sorte qu'elle est gratuite.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 juin 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: