Erwägungen:
1.
1.1. Die nigerianische Staatsangehörige A._ (geb. 4. Juni 1969) heiratete am 18. Dezember 2004 in Lagos (Nigeria) ihren in der Schweiz niedergelassenen Landsmann B.X._, mit dem sie bereits drei gemeinsame Kinder hatte. Im Februar 2008 reiste A.X._ mit den Kindern C._ (geb. 23. April 1995) sowie den Zwillingen D._ und E._ (geb. 17. September 2000) in die Schweiz und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Den Kindern wurde eine Niederlassungsbewilligung erteilt. Am 7. November 2008 gebar sie den Sohn F._.
Der Ehemann bestritt die Vaterschaft zum Kind F._ und zog am 20. Januar 2009 aus der Familienwohnung aus. Gemäss Verfügung des Einzelgerichts in Familiensachen, Zivilgericht Basel-Stadt, vom 7. Mai 2009 lebten die Ehegatten ab 1. März 2009 getrennt. Mit Urteil vom 4. Juni 2009 stellte das Zivilgericht Basel-Stadt fest, dass zwischen dem Ehemann und dem Kind F._ kein Kindsverhältnis besteht. Mit Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 14. Oktober 2011 wurde die Ehe von A.X._ und B.X._ geschieden und die elterliche Sorge über die drei gemeinsamen Kinder der Mutter zugeteilt.
1.2. Mit Verfügung vom 20. September 2011 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt A.X._ die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und verfügte ihre Wegweisung. Die von A.X._ gegen die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Mai 2013 beantragt A.X._, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 15. April 2013 aufzuheben, ihr die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Präsidialverfügung vom 18. Juni 2013 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2.
2.1. Aufgrund ihrer gelebten Beziehung zu ihren über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügenden minderjährigen Kindern macht die Beschwerdeführerin einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK geltend, so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ob der Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 135 I 143 E. 1.5 S. 146 f.).
Die Beschwerdeführerin macht erstmals vor Bundesgericht geltend, sie sei inzwischen Christin geworden, was in Nigeria zu grossen Problemen führen würde, und durch den Umstand, dass sie ein aussereheliches Kind habe, würde sie in ihrer Heimat zusätzlich stigmatisiert. Diese Nova sind unbeachtlich. Abgesehen davon vermöchten die nicht weiter belegten Behauptungen am Ausgang des Verfahrens ohnehin nichts zu ändern und namentlich keinen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG darzutun.
2.3. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 8 EMRK unter Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte Udeh gegen Schweiz vom 16. April 2013 [Nr. 12020/09]. Aus diesem Urteil kann sie aber schon deshalb nichts zu ihren Gunsten ableiten, weil die dort massgeblichen Umstände mit dem hier zu beurteilenden Sachverhalt in wesentlichen Punkten nicht vergleichbar sind. Im Unterschied zum Fall Udeh sind die Kinder vorliegend nicht Schweizer Bürger, sondern nigerianische Staatsangehörige und stehen zudem unter dem Sorgerecht des ausländischen Elternteils, der die Schweiz zu verlassen hat und mit dem sie (mit Ausnahme des jüngsten Kindes) bereits im gemeinsamen Heimatland gelebt haben. Von entscheidender Bedeutung ist sodann, dass vorliegend zwischen den Kindern und dem hier ansässigen Vater unbestrittenermassen keine gelebte Beziehung besteht, womit hinsichtlich der Vater-Kind-Beziehung eine Berufung auf Art. 8 EMRK von vornherein ausser Betracht fällt. Der Vater, der seit Aufnahme des Getrenntlebens zu seinen Kindern keinen Kontakt mehr pflegt, wendet gegen die Ausreise der Kinder denn auch nichts ein, sondern ist vielmehr der Ansicht, dass es für sie besser sei, nach Nigeria zurückzukehren.
2.4. Aufgrund des gefestigten Anwesenheitsrechts ihrer Kinder kann sich die Beschwerdeführerin zwar grundsätzlich gestützt auf Art. 8 EMRK auf einen bedingten Bewilligungsanspruch berufen. Nach langjähriger Rechtsprechung des Bundesgerichts ist Art. 8 EMRK indessen nicht verletzt, wenn es (auch) dem fest anwesenheitsberechtigten Familienmitglied zumutbar ist, das Familienleben im Ausland zu führen (vgl. BGE 127 II 60 E. 2a S. 67; 122 II 289 E. 3c S. 298). Die bundesgerichtliche Praxis betreffend Aufenthaltsbewilligungen im "umgekehrten Familiennachzug" an den ausländischen, sorgeberechtigten Elternteil eines Schweizer Kindes (vgl. BGE 135 I 143 E. 3 und 4 S. 148 ff.; 135 I 153 E. 2.2.4 S. 158) hat sodann die Rechtslage bei der analogen Situation eines anwesenheitsberechtigten, selbst niedergelassenen, ausländischen Kindes nicht wesentlich verändert: Diesfalls kann die Zumutbarkeit der Ausreise weiterhin für eine Bewilligungsverweigerung an den sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteil genügen (vgl. Urteile 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 3.2.2, 2C_364/2010 vom 23. September 2010 E. 2.2.2).
2.5. Minderjährige Kinder teilen in der Regel den Aufenthaltsort des für sie verantwortlichen Elternteils. Der älteste Sohn der Beschwerdeführerin ist inzwischen volljährig, womit ihm grundsätzlich frei steht, in der Schweiz zu verbleiben. Wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat, ist sowohl den in der Ehe geborenen Kindern als auch dem aus einer anderen Beziehung stammenden jüngsten Kind, dessen Vater nicht bekannt ist, die Ausreise mit ihrer Mutter nach Nigeria zumutbar. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was diese Würdigung zu erschüttern vermöchte. Es kann daher auf die diesbezüglichen Ausführungen im vorinstanzlichen Urteil verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG). Damit verstösst das angefochtene Urteil weder gegen Bundesrecht noch gegen Art. 8 EMRK.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich demnach als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
3.2. Wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (Art. 64 AuG). Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihren finanziellen Verhältnissen ist jedoch bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs