Faits:
A. A.a S._, né en 1961, travaillait au service de l'entreprise X._ SA et était de ce fait assuré contre le risque d'accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Depuis octobre 1998 au moins, il a été victime de plusieurs accidents au niveau des membres supérieurs, lesquels ont nécessité diverses interventions chirurgicales.
Dans une déclaration LAA du 19 mai 2005, l'employeur a annoncé un accident survenu le 1er mai 2005: S._ était tombé à la suite d'un malaise et s'était blessé aux doigts droits; sous « type de lésion », il a indiqué « fracture ». Le prénommé a séjourné à l'Hôpital Y._ du 1er au 5 mai 2005. Dans un rapport du 6 mai 2005, les médecins de l'Hôpital Y._ ont posé les diagnostics de plaie transverse au niveau de la main droite, côté dorsal, suspicion de rupture de la bandelette (ligament) médiale du tendon extenseur au niveau de l'articulation métacarpo-phalangienne du 5ème doigt droit, fracture peu déplacée du processus spinosus au niveau L3 et status après ostéosynthèse par une vis du cubitus distal à gauche (pratiquée le 29 avril 2005 à l'Hôpital Z._ par le docteur E._, spécialiste en chirurgie, consultant de l'unité de chirurgie de la main de l'Hôpital W._).
Par décision du 21 novembre 2005, la CNA a mis fin, avec effet au 31 octobre 2005, à ses prestations en relation avec l'accident du 1er mai 2005.
Par acte du 17 décembre 2005, S._ s'est opposé à cette décision. Il se plaignait de douleurs lombaires.
Par décision sur opposition du 2 juin 2006, la CNA a rejeté l'opposition. Elle a considéré que l'influence de l'accident du 1er mai 2005 sur les troubles dorsaux était éteinte au 1er novembre 2005.
Par décision sur opposition du 2 juin 2006, la CNA a rejeté l'opposition. Elle a considéré que l'influence de l'accident du 1er mai 2005 sur les troubles dorsaux était éteinte au 1er novembre 2005.
A.b A.b.a Face à la dégradation de son poignet droit et de sa main droite, l'assuré a consulté les docteurs A._ et E._. A la fin de l'année 2007, il a été adressé à l'Unité de chirurgie de la main de l'Hôpital W._. Par ailleurs, une arthro-IRM du poignet droit, réalisée le 20 novembre 2007, a mis en évidence une lésion du ligament LT (luno-triquétral) avec passage du produit de contraste du radio-carpe dans le médio-carpe, une lésion partielle assez sévère du TFCC sur son versant cubital principalement, une lésion partielle du ligament ulno-triquétral et anomalie du ligament scapho-triquétral au niveau dorsal, côté pyramidal, ainsi qu'un petit kyste du semi-lunaire, éventuellement secondaire à un conflit.
Dans un rapport du 28 janvier 2008, le docteur N._, chef de clinique de l'unité de chirurgie de la main de l'Hôpital W._, a fait état d'un conflit ulno-carpien et d'une instabilité médio-carpienne du poignet droit.
A.b.b Fondée notamment sur deux avis du docteur V._ des 21 mai 2008 et 10 novembre 2008, la CNA a considéré qu'il n'existait aucun lien de causalité certain ou vraisemblable entre l'événement du 1er mai 2005 et les troubles du poignet droit (décision du 17 mars 2009). L'assuré s'est opposé à cette décision par acte du 15 avril 2009 en produisant un rapport du docteur A._ du 25 mars 2009. Après avoir pris position sur l'avis du docteur A._, le docteur V._ a confirmé son appréciation précédente dans un rapport du 23 novembre 2009. La CNA a rejeté l'opposition par une nouvelle décision du 15 janvier 2010.
B. S._ a recouru devant le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, chambre des assurances, contre la décision sur opposition de la CNA en concluant à l'octroi de prestations LAA et en demandant, éventuellement, la mise sur pied d'une expertise médicale complémentaire. Il a joint à son recours les rapports des docteurs A._ (du 21 janvier 2010) et E._ (du 22 janvier 2010).
Statuant par jugement du 1er octobre 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à titre principal, à ce que la CNA soit condamnée à lui verser les prestations légales LAA; à titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la CNA pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale ad hoc. Il joint à son recours deux rapports du 22 octobre 2010 du docteur E._, (adressés l'un au docteur A._, l'autre à son mandataire) ainsi qu'un CD de l'IRM du 4 janvier 2005, une photo tirée du CD et un rapport radiologique du docteur F._ du 11 mai 2005.
La CNA conclut au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La question litigieuse est de savoir si la CNA était fondée à mettre fin à ses prestations d'assurance au 31 octobre 2005 pour ce qui est des suites de l'accident du 1er mai 2005 en concerne le poignet droit.
2. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 LTF).
3. Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cela vaut également lorsque le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits constatés dans le jugement attaqué (ATF 135 V 194). En principe, les pièces déposées devant le Tribunal fédéral par le recourant ne peuvent donc pas être prises en considération. Certes, le recourant soutient que les premiers juges ont écarté l'appréciation du docteur A._ sur la base d'une prémisse erronée (cf. infra consid. 5.4), de sorte que les nouveaux moyens seraient recevables, car ils résultent de la décision attaquée au sens de l'art. 99 LTF. La question peut toutefois demeurer indécise vu le sort qui sera réservé au recours, indépendamment des nouvelles pièces invoquées.
4. Le jugement entrepris expose de manière correcte les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la nécessité d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre une atteinte à la santé et un accident pour que l'assureur-accidents soit tenu à fournir des prestations (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181).
5. 5.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir écarté les divers rapports des docteurs A._ et E._ au profit de celui du médecin-conseil de l'intimée. Il fait grief à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral en procédant à une appréciation arbitraire des preuves. Il estime que les rapports médicaux du docteur V._ sont contredits par l'ensemble des pièces médicales du dossier, si bien que la juridiction cantonale aurait dû mettre en oeuvre un complément d'instruction sous la forme d'une expertise neutre et indépendante.
5.2 En matière d'appréciation des preuves, le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. Il ne peut écarter un rapport médical au seul motif qu'il est établi par le médecin interne d'un assureur social, respectivement par le médecin traitant (ou l'expert privé) de la personne assurée, sans examiner autrement sa valeur probante. Dans une procédure portant sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurances sociales, le Tribunal fédéral a précisé que lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes suffisants quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation, la cause ne saurait être tranchée en se fondant sur l'un ou sur l'autre de ces avis et il y a lieu de mettre en oeuvre une expertise par un médecin indépendant selon la procédure de l'art. 44 LPGA ou une expertise judiciaire (ATF 135 V 465).
5.3 Le docteur V._ considère comme seulement possible le lien de causalité naturelle entre la lésion du ligament LT et l'accident du 1er mai 2005. Il ressort de son rapport du 21 mai 2008 qu'il n'est pas possible de dire s'il convient d'attribuer la lésion du ligament luno-triquétral à l'accident ou plutôt au conflit ulno-carpien (dû à un cubitus trop long de l'articulation radio-lunaire distale) constaté le 28 janvier 2008 par le docteur N._. Selon le rapport du docteur V._ du 10 novembre 2008, la lésion ligamentaire mise en évidence par l'IRM du 20 novembre 2007 avait vraisemblablement été causée par une instabilité du métacarpe. Une origine traumatique aurait pu être retenue si une telle atteinte avait été diagnostiquée de manière isolée. Tel n'était pas le cas en l'espèce, dans la mesure où elle avait été constatée en relation avec une lésion partielle assez sévère du TFCC. Enfin, dans le rapport du 23 novembre 2009, le docteur V._ a expliqué les raisons pour lesquelles l'avis du docteur A._ ne pouvait pas être suivi: il n'y avait pas eu de lésion ligamentaire documentée dans les suites immédiates de l'accident du 1er mai 2005 et le mécanisme en cause n'avait pas eu l'intensité que le médecin traitant voulait bien lui prêter.
Le docteur A._ est d'avis que le lien de causalité entre l'accident et la lésion du ligament luno-triquétral est hautement probable, voire certain. Ce médecin explique que l'instabilité du poignet droit est survenue pour la première fois cinq mois après l'accident (dès que le patient a pu utiliser normalement sa main après la longue syndactilie exigée par la rupture de l'appareil extenseur du cinquième doigt de la main droite). Selon le docteur A._, la lésion luno-triquétrale - qui pouvait cliniquement passer inaperçue en raison de la présence de lésions associées (plaie contuse du dos de la main et lésion du tendon extenseur du cinquième doigt de la main droite - est responsable de cette instabilité (cf. rapport du 21 janvier 2010). Les docteurs A._ et E._ considèrent que le cubitus long (présenté par l'assuré à l'époque de l'accident) rend le carpe cubital plus vulnérable en cas de chute (rapports des docteurs A._ du 25 mars 2009 et du docteur E._ du 22 janvier 2010).
Selon le docteur E._, la chute en hyperflexion n'est pas étrangère à une décompensation médio-carpienne; nier une relation de cause à effet paraît délicat et ne correspond pas au vécu du patient. Pour ce médecin, le refus de la prise en charge par l'intimée du carpe droit semble lié à la documentation lacunaire. Le docteur E._ ne s'explique pas comment un carpe stable cliniquement devient instable après une chute, si ce n'est par le fait de la chute elle-même (cf. rapport du 22 janvier 2010).
5.4 La juridiction cantonale a écarté l'appréciation du docteur A._, d'une part, en raison de sa qualité de médecin traitant et, d'autre part, du fait que ce médecin prétendait que la lésion du poignet droit de l'assuré avait pu passer inaperçue lors de l'IRM réalisée le 1er mai 2005, dans la mesure où l'examen était centré sur la lésion de l'appareil extenseur du cinquième doigt. Or, l' IRM montrerait clairement le poignet, de sorte que s'il y avait eu une lésion, les médecins l'auraient remarquée (jugement entrepris consid. 5 p. 8 au début).
Ainsi que l'admet la CNA, cette argumentation est erronée. En effet, la pièce à laquelle se sont référés les premiers juges n'était pas une IRM, mais une radiographie, de sorte qu'elle ne permettait pas de mettre en évidence des lésions ligamentaires.
5.5 C'est donc sur la base d'un raisonnement erroné que les premiers juges ont écarté l'avis du docteur A._. Par ailleurs, le fait que le docteur A._ est le médecin traitant de l'assuré ne justifie pas à lui seul que l'on écarte d'emblée son avis (cf. consid. 5.2 supra). Si l'on considère en outre l'avis exprimé par le docteur E._, force est de constater qu'il existe des points de divergence qui séparent les considérations du docteur V._ de celles des autres médecins qui se sont exprimés, sans que l'on ait des motifs décisifs pour dénier une valeur probante à leurs avis respectifs. Il existe un doute suffisant pour qu'il soit fait appel à un expert en vue de départager ces opinions conformément à la jurisprudence précitée. Il convient donc de renvoyer la cause à la CNA pour qu'elle procède à une instruction complémentaire au sens de l'art. 44 LPGA et qu'elle rende une nouvelle décision.
6. Le recourant obtient gain de cause, de sorte qu'il peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est admis en ce sens que le jugement du 1er octobre 2010 du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, ainsi que la décision sur opposition du 15 janvier 2010 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'assureur-accidents pour instruction complémentaire au sens des motifs et nouvelle décision.
2. Les frais de justice, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura statuera à nouveau sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset