Faits:
A. A.a X._ et dame X._ se sont mariés le 25 janvier 1966. De cette union sont nés trois enfants, aujourd'hui majeurs et indépendants financièrement.
A.b Par jugement du 28 avril 2009, le Tribunal civil du Lac a prononcé le divorce des époux X._ et, entre autres points, astreint l'époux à contribuer à l'entretien de l'épouse par le versement d'une pension mensuelle de 300 fr.
A.c Statuant sur recours de l'époux, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a confirmé ce jugement, par arrêt du 19 janvier 2010.
B. L'époux interjette le 22 février 2010 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens qu'il n'est pas astreint à contribuer à l'entretien de son épouse après divorce. Il se plaint d'une violation de l'art. 125 CC.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 En l'espèce, seule la contribution d'entretien après divorce allouée en faveur de l'intimée est litigieuse. L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans une contestation pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée. Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
2. La cour cantonale a retenu que les parties ont été mariées durant quarante-trois ans et qu'elles ont élevé ensemble trois enfants. L'épouse est actuellement invalide à cent pour cent. Elle perçoit, depuis le 1er juillet 2009, une rente de l'assurance-invalidité de 1'026 fr., à laquelle s'ajoute une rente LPP de 260 fr. par mois. Selon les juges précédents, les prestations complémentaires qui lui sont versées depuis le 1er août 2009, de 881 fr. par mois, n'ont pas à être incluses dans ses revenus, dans la mesure où elles sont subsidiaires à l'obligation d'entretien de l'époux après divorce; leur montant sera recalculé pour prendre en considération la pension due par l'époux, si celle-ci n'a pas déjà été prise en compte. Les charges de l'épouse s'élèvent à 2'302 fr., montant arrondi (minimum vital 1'100 fr., loyer 650 fr., prime d'assurance-maladie 96 fr., remboursement d'un prêt bancaire 455 fr. 95). Son déficit mensuel s'établit ainsi à 1'016 fr.
L'époux, également invalide, perçoit une rente de l'assurance-invalidité de 904 fr., une rente de l'assurance-accident de 1'316 fr. 75 et une rente LPP de 836 fr., à savoir 3'056 fr. 75 par mois au total. Ses charges se montent à 2'270 fr. 20 (minimum vital 1'100 fr., loyer 853 fr. 50, prime d'assurance-maladie 316 fr. 70), de sorte qu'il a un disponible de 786 fr. 55. Sa charge fiscale ne doit pas être prise en compte, vu la situation financière tendue des parties; quant aux frais liés à l'appartement dont celles-ci sont propriétaires au Portugal, ils ne sont pas établis.
Vu ce qui précède, la cour cantonale a confirmé la contribution d'entretien de 300 fr. fixée par les premiers juges, en rappelant que la situation financière très précaire de l'épouse doit premièrement être "réhaussée" grâce à la contribution de l'époux et que le recours au versement de prestations complémentaires n'intervient qu'en second lieu. En outre, l'absence de limitation dans le temps au versement de cette pension est justifiée, l'épouse étant invalide à cent pour cent et n'ayant aucune perspective d'amélioration de sa situation financière. Enfin, l'argumentation des juges de première instance, selon laquelle la pension fixée doit comprendre une part équitable d'indemnité selon l'art. 124 CC n'est, selon la cour cantonale, certes pas très heureuse, mais le résultat auquel les premiers juges aboutissent est correct. Enfin, le versement de cette contribution d'entretien ne porte pas atteinte au minimum vital de l'époux, puisque selon un procès-verbal de saisie du 13 août 2009 - qui n'a pas été contesté par l'intéressé - sa quotité saisissable s'élève à 540 fr. par mois.
3. 3.1 Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir considéré que les prestations complémentaires perçues par l'intimée ne doivent pas être incluses dans son revenu. Il fait valoir que les prestations complémentaires à une rente du premier pilier sont financées par les cotisations de l'assurance-vieillesse et survivants et ne sont en aucun cas comparables à des prestations de l'aide sociale. A tout le moins devait-on tenir compte, selon lui, de la différence entre les prestations complémentaires servies et la pension alimentaire prise en considération dans le calcul des revenus déterminants, à savoir d'un montant de 581 fr. par mois (881 fr. - 300 fr.).
3.2 Selon la jurisprudence, il n'y a pas lieu de tenir compte, dans les revenus du crédirentier, de l'aide que celui-ci perçoit de l'assistance publique. En effet, l'aide sociale est subsidiaire par rapport aux obligations d'entretien du droit de la famille. Les époux doivent en principe subvenir seuls à leurs besoins vitaux; l'aide sociale, par nature subsidiaire, n'intervient qu'en cas de carence et elle est supprimée lorsque les conjoints peuvent assumer seuls leurs dépenses incompressibles (arrêt 5A_170/2007 du 27 juin 2007 consid. 4, in FamPra.ch 2007 p. 895 et les références).
Il en va de même pour les prestations d'assurance-vieillesse et d'assurance-invalidité complémentaires. Selon l'art. 9 de la loi fédérale sur les prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI du 6 octobre 2006 (LPC; RS 831.30), le montant de la prestation complémentaire annuelle correspond à la part des dépenses reconnues qui excède les revenus déterminants. A cet égard, l'art. 11 al. 1 let. h LPC stipule que les pensions alimentaires prévues par le droit de la famille sont comprises dans les revenus déterminants. Ainsi, les prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI sont subsidiaires aux obligations alimentaires, les premières n'étant dues que si les secondes, notamment, ne suffisent pas (cf. Deschenaux/Tercier/Werro, Le mariage et le divorce, La formation et la dissolution du lien conjugal, 4e éd. Berne 1995, nos 762 à 764 p. 152/153; Hausheer/Spycher, in Handbuch des Unterhaltsrechts, Berne 1997, n° 01.38 p. 44 et n° 05.143 p. 293; Bastons Bulletti, L'entretien après divorce: méthodes de calcul, montant, durée et limites, in SJ 2007 II p. 77 ss, p. 81; à propos de l'art. 151 aCC, arrêt 5C.6/2002 du 11 juin 2002 consid. 2c).
3.3 C'est ainsi à juste titre que la cour cantonale n'a pas pris en considération dans le revenu de l'intimée les prestations complémentaires perçues par celle-ci. Le grief du recourant est infondé.
Il en va de même lorsqu'il reproche aux juges précédents d'avoir entériné l'argument du tribunal de première instance selon lequel la pension de 300 fr. par mois est "une sorte de compensation en vertu de l'art. 124 CCS", "alors que l'on ne saurait tenir compte actuellement de l'art. 124 CCS compte tenu de la situation financière précaire du demandeur et de l'absence des acquêts du couple". Le recourant déforme de cette manière les considérants de la cour cantonale, qui a expressément admis que cette argumentation des premiers juges n'était "pas très heureuse", tout en confirmant que le résultat auquel ils ont abouti est correct. On doit ainsi admettre que les juges précédents ont écarté cette motivation, pour s'en tenir à la précédente.
4. 4.1 Le recourant affirme ensuite que l'argument avancé par la cour cantonale, selon lequel il dispose d'une quotité saisissable non contestée de 540 fr. par mois, "n'est pas du tout pertinent". Il soutient que le minimum vital du droit des poursuites ne serait pas une référence pour fixer la pension alimentaire, surtout lorsque les revenus du débirentier sont très bas. A cet égard, le recourant méconnaît à l'évidence la jurisprudence du Tribunal fédéral, en vertu de laquelle, en cas de situations financières serrées, il convient précisément de prendre comme point de départ le minimum vital au sens du droit des poursuites du débirentier, lequel doit être préservé, ce principe valant dans tous les domaines du droit de la famille (ATF 133 III 57 consid. 3 p. 59; 123 III 1 consid. 3b/bb p. 4; cf. à propos de la contribution due au conjoint: ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292). En outre, en tant qu'il fait valoir qu'il aurait des franchises importantes pour ses traitements médicaux, des primes d'assurance-maladie complémentaires élevées, et qu'il s'acquitterait des frais de l'appartement dont les parties sont copropriétaires au Portugal, le recourant s'écarte des faits retenus par la cour cantonale, sans démontrer en quoi ceux-ci auraient été établis de manière manifestement inexacte ou incomplète; son grief est ainsi irrecevable (cf. supra, consid. 1.3).
4.2 Enfin, c'est en vain que le recourant soutient que la cour cantonale aurait refusé à tort de prendre en considération sa charge fiscale. En effet, selon la jurisprudence constante - et non ancienne comme le soutient l'intéressé - de la cour de céans, si les moyens des époux sont insuffisants pour couvrir leur minima vitaux du droit des poursuites, la charge fiscale ne doit pas être prise en compte dans le calcul du minimum vital du débirentier (arrêt 5C.282/2002 du 27 mars 2003 consid. 2.1, in JdT 2003 I 193, qui confirme le principe sous l'empire du nouveau droit du divorce; 5A_383/2007 du 9 novembre 2007 consid. 2.2, in FamPra.ch 2008 p. 397; cf. aussi ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292; 126 III 89 consid. 3b p. 93, 353 consid. 1a/aa p. 356 et les arrêts cités). Le fait que l'intimée ne paie "quasi pas d'impôts", alors que les rentes LPP et LAA du recourant seraient entièrement soumises à l'impôt, n'y change rien.
5. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Celui-ci apparaissant d'emblée dépourvu de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée. Le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 25 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet