Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 6. September 2007 kam es in der Wohnung von X._ zwischen diesem und einem Nachbarn zu Handgreiflichkeiten. Der Nachbar erlitt unter anderem eine Distorsion der Halswirbelsäule und eine Kontusion des Oberkiefers und der Nase. Zudem wurde sein Pullover beschädigt.
Das Obergericht des Kantons Aargau verurteilte X._ am 13. März 2012 im Berufungsverfahren in teilweiser Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils wegen einfacher Körperverletzung und geringfügiger Sachbeschädigung zu 45 Tagessätzen Geldstrafe zu Fr. 10.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie einer Busse von Fr. 180.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von 18 Tagen.
X._ führt Beschwerde beim Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Obergerichts sei in Bezug auf die Schuldsprüche aufzuheben. Er sei vom Vorwurf der einfachen Körperverletzung freizusprechen. Das Verfahren betreffend geringfügige Sachbeschädigung sei zufolge Eintritts der Verjährung einzustellen.
2. In Bezug auf die Körperverletzung ging die Anklage davon aus, der Beschwerdeführer habe den Beschwerdegegner 2 ins Gesicht geschlagen, wobei dieser die erwähnten Verletzungen erlitten habe (angefochtener Entscheid S. 3). Der Beschwerdeführer bestritt die Schläge ins Gesicht und gab an, er habe den Beschwerdegegner 2 nur "mit dem Ellbogen" in den Flur "rausgestossen". Die Vorinstanz kommt zum Schluss, es spiele keine Rolle, ob der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner 2 direkt ins Gesicht geschlagen oder ihn mit dem Ellbogen aus der Wohnung gedrängt habe, denn es bestünden keine Zweifel am Kausalzusammenhang zwischen dem Verhalten des Beschwerdeführers und den Verletzungen des Beschwerdegegners 2 (angefochtener Entscheid S. 11).
Ob zwischen dem Verhalten des Beschwerdeführers und den Verletzungen des Beschwerdegegners 2 ein Kausalzusammenhang besteht, betrifft den Sachverhalt. Dieser kann vor Bundesgericht angefochtenen werden, wenn die Vorinstanz ihn offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV festgestellt hat. Eine Feststellung ist willkürlich, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist bzw. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht (BGE 137 I 1 E. 2.4). Dass Willkür vorliegt, ist in der Beschwerde präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer bezieht sich auf den Arztbericht vom 7. September 2007, wonach er den Beschwerdegegner 2 unmöglich direkt ins Gesicht geschlagen haben könne (vgl. Beschwerde S. 3/4). Der Arzt ging bei der Anamnese davon aus, dass der Beschwerdegegner 2 im Verlauf des Streits plötzlich "einen dumpfen Schlag auf den Oberkiefer und (die) Nase" bemerkte und in der Folge über Schmerzen in diesem Bereich, Schwindel und Erbrechen klagte. Er diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule und eine Kontusion von Oberkiefer und Nase (KA act. 368). Dass diese Verletzungen "unmöglich" auf das Verhalten des Beschwerdeführers zurückgeführt werden könnten, ergibt sich aus dem Arztbericht nicht. Folglich erweist sich die Annahme der Vorinstanz nicht als offensichtlich unhaltbar.
3. Die Vorinstanz stellt in Bezug auf den subjektiven Tatbestand fest, auch wenn der Wille des Beschwerdeführers primär darauf gerichtet gewesen sei, den Beschwerdegegner 2 aus seiner Wohnung zu drängen, sei aufgrund der Verletzungen darauf zu schliessen, dass der Beschwerdeführer diese zumindest in Kauf genommen habe (angefochtener Entscheid S. 11). Nach Auffassung des Beschwerdeführers ist diese Ansicht unhaltbar (vgl. Beschwerde S. 4/5). Wer indessen eine andere Person derart mit dem Ellbogen traktiert, dass sie so gravierende Verletzungen im Bereich von Hals und Gesicht erleidet wie der Beschwerdegegner 2, muss dazu eine erhebliche Kraft einsetzen, so dass ihm die Konsequenzen nicht verborgen bleiben können und er sie für den Fall ihres Eintritts mindestens in Kauf nimmt.
4. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er habe in einer rechtfertigenden Notwehr im Sinne von Art. 15 StGB gehandelt, weil er nur auf das unberechtigte Eindringen des Beschwerdegegners 2 in sein Zimmer reagiert habe (vgl. Beschwerde S. 5). Die Vorinstanz stellt demgegenüber fest, zum Zeitpunkt der Handlungen des Beschwerdeführers sei gar kein Angriff des Beschwerdegegners 2 im Gange gewesen (angefochtener Entscheid S. 12). Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, zum Zeitpunkt seiner Abwehr habe der Beschwerdegegner 2 nach wie vor unberechtigt in seinem Zimmer verweilt. Dies ändert indessen nichts daran, dass er diesem Missstand nicht mit einem derartigen Gewaltausbruch hätte begegnen dürfen. Von einer den Umständen angemessenen Abwehr im Sinne von Art. 15 StGB kann nicht die Rede sein.
5. In Bezug auf die geringfügige Sachbeschädigung macht der Beschwerdeführer geltend, es sei nicht erstellt, dass er den Pullover tatsächlich beschädigte (Beschwerde S. 6). Er legt indessen nicht dar, dass und inwieweit die Vorinstanz in Willkür verfallen sein könnte. Die Beschwerde genügt in diesem Punk den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
6. Weiter rügt der Beschwerdeführer, die geringfügige Sachbeschädigung sei verjährt (vgl. Beschwerde S. 6/7).
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung tritt wie bei den anderen Straftaten auch bei Übertretungen die Verfolgungsverjährung nach einem erstinstanzlichen Urteil nicht mehr ein (BGE 135 IV 196; letztmals bestätigt im Urteil 6B_770/2010 vom 28. Februar 2011 E. 5.3). Was der Beschwerdeführer vorbringt, wurde bei der Fällung der bundesgerichtlichen Präjudizien berücksichtigt, weshalb darauf verwiesen werden kann. Den Ausführungen sind keine stichhaltigen Hinweise dafür zu entnehmen, dass der Gesetzgeber schwerwiegendere Straftaten und Übertretungen bei der Verfolgungsverjährung nach einem erstinstanzlichen Urteil unterschiedlich behandeln wollte und Art. 97 Abs. 3 StGB auf Übertretungen nicht anwendbar sein sollte. An der Rechtsprechung ist festzuhalten.
Die erstinstanzliche Verurteilung wegen geringfügiger Sachbeschädigung datiert vom 8. Juni 2010 (angefochtener Entscheid S. 4). Zu diesem Zeitpunkt war die Verjährungsfrist von drei Jahren für die Tat vom 6. September 2007 noch nicht abgelaufen.
7. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 15 und 16) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2012
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn