Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 23. Februar 2009 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der Unfallversicherung Stadt Zürich vom 2. Juli 2008 (Leistungseinstellung per 31. Januar 2008 mangels natürlichen Kausalzusammenhangs) erheben und dessen Aufhebung sowie die Ausrichtung des UVG-Taggeldes und die Einholung eines erneuten Gutachtens durch orthopädische Fachärzte beantragen. Zugleich wurde um Wiederherstellung der abgelaufenen Beschwerdefrist ersucht.
B. Das kantonale Gericht trat mit Beschluss vom 23. März 2009 auf die Beschwerde mangels Vorliegens eines Grundes zur Fristwiederherstellung nicht ein.
C. Mit als "Einsprache" betitelter Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Beschlusses vom 23. März 2009 sei die Fristwiederherstellung zu gewähren und das kantonale Gericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten. Nach Erhalt der Aufforderung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses lässt die Versicherte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchen.
Erwägungen:
1. Anfechtungsobjekt ist letztinstanzlich der Beschluss des kantonalen Gerichts vom 23. März 2009, mit welchem das Gesuch der Versicherten um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren abgewiesen und auf die Beschwerde nicht eingetreten worden ist. Es handelt sich dabei um einen das vorinstanzliche Verfahren abschliessenden Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG, gegen welchen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensteht (vgl. zur kantonalgerichtlichen Verfügung betreffend Nichtwiederherstellung der Rechtsmittelfrist: Urteile [des Bundesgerichts] 9C_753/2007 vom 29. August 2008 E. 1.1 und 1.2 sowie 5A_729/2007 vom 29. Januar 2008 E. 1; zum vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid: BGE 132 V 74 E. 1.1 S. 76). Da die übrigen allgemeinen Prozessvoraussetzungen (Art. 42, Art. 82 ff., Art. 100 Abs. 1 BGG) erfüllt sind, ist auf die Rechtsvorkehr einzutreten.
2. Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts in tatsächlicher Hinsicht dahingehend eingeschränkt, dass es die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich frei. Die ausnahmsweise uneingeschränkte bundesgerichtliche Sachverhaltskontrolle gemäss Art. 97 Abs. 2 BGG (vgl. auch Art. 105 Abs. 3 BGG) gelangt in casu nicht zur Anwendung, betrifft die vorliegende Rechtsstreitigkeit doch zwar grundsätzlich den Sozialversicherungszweig der Unfallversicherung nach UVG, erfasst aber nicht die - für eine Anwendung der Ausnahmeregelung erforderliche - "Zusprechung oder Verweigerung" von Geldleistungen (vgl. MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 28 ff. zu Art. 97; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N. 29 zu Art. 97).
3. Es steht fest und ist nicht bestritten, dass die Eingabe vom 23. Februar 2009 nach Ablauf der 30tägigen Frist zur Beschwerdeerhebung gegen den Einspracheentscheid der Unfallversicherung Stadt Zürich vom 2. Juli 2008 und damit verspätet eingereicht wurde. Dies hat zur Folge, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten ist, es sei denn, die Rechtsmittelfrist wäre wiederherzustellen.
Das Gesetz bestimmt hiezu in Art. 41 ATSG (in der seit Anfang 2007 geltenden Fassung) Folgendes: Ist die gesuchstellende Person oder ihre Vertretung unverschuldeterweise abgehalten worden, binnen Frist zu handeln, so wird diese wieder hergestellt, sofern sie unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht.
4. Umstritten ist, ob die Beschwerdefrist unverschuldet versäumt wurde.
4.1 Der Vertreter der Versicherten hat hiezu geltend gemacht, er sei erst durch ein Schreiben der Invalidenversicherung vom 27. Januar 2009 darauf aufmerksam geworden, dass die Beschwerdefrist gegen den Einspracheentscheid vom 2. Juli 2008 ungenutzt abgelaufen sei, und habe daher nicht früher reagieren können. Im Zeitraum Juni/ August 2008 habe er stark an den Folgen eines früheren Unfalls gelitten. Er habe der Versicherten, die sich keinen Anwalt leisten könne, helfen wollen und sein Möglichstes getan. Er verfüge über kein Personal und sei überzeugt gewesen, alle hängigen Einsprachen im Falle der Versicherten erledigt zu haben. Es handle sich daher um ein Versehen, welches auf seinen angeschlagenen Gesundheitszustand zurückzuführen sei. Zudem seien Ende Juli 2008 viele Daten durch einen Computerschaden verloren gegangen, sodass die Arbeit an der Einsprache nur noch anhand des Arbeitsprotokolls nachvollziehbar gewesen sei.
4.2 Das kantonale Gericht hat festgestellt, dass der Vertreter der Versicherten gemäss ärztlichen Eintragungen auf dem Unfallschein bereits am 12. Mai 2008, als er die Einsprache der Versicherten ergänzt hatte, zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben war und am 25. Juli 2008, mithin während der vorliegend zur Diskussion stehenden Rechtsmittelfrist, in einem andern Verfahren für die Versicherte eine dreiseitige Einsprache verfasst hatte. Die Vorinstanz schloss hieraus, dass der Rechtsvertreter trotz attestierter 100%iger Arbeitsunfähigkeit in der Lage gewesen wäre, innert der Rechtsmittelfrist selber zu handeln oder aber eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Seine Argumentation - so das kantonale Gericht - lasse darauf schliessen, dass die Frist aus Versehen und nicht aufgrund der Arbeitsunfähigkeit verpasst worden sei. Es könne daher nicht von einer unverschuldeten Fristversäumnis ausgegangen werden.
4.3 Die vorinstanzliche Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Die weitschweifigen Ausführungen in der Beschwerde führen zu keinem anderen Ergebnis. Gesundheitliche Probleme können ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis sein, doch müssen sie derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder doch eine Drittperson mit der Vornahme der Handlung zu beauftragen. Wenn der Vertreter der Versicherten ausführlich auf seine gesundheitlichen Probleme hinweist und geltend macht, er habe deswegen an der von der Vorinstanz erwähnten Einsprache eine Woche gearbeitet, bestätigt er damit, dass er trotz attestierter 100%iger Arbeitsunfähigkeit in der Lage war, gewisse Arbeiten zu erledigen. Erst recht hätte er somit auch eine andere Person mit deren Vornahme betrauen können. Soweit sodann geltend gemacht wird, mangels Zustellung des Einspracheentscheides auch an die Versicherte selber habe diese die Fristeinhaltung durch ihren Vertreter nicht überwachen können, ist darauf hinzuweisen, dass im Sozialversicherungsverfahren der Grundsatz gilt, wonach der Versicherungsträger seine Mitteilungen an die Vertretung der versicherten Person macht, solange die Partei die Vollmacht nicht widerruft (Art. 37 Abs. 3 ATSG). Dieser Grundsatz dient im Interesse der Rechtssicherheit dazu, allfällige Zweifel darüber zum Vornherein zu beseitigen, ob die Mitteilungen an die Partei selber oder an ihre Vertretung zu erfolgen haben, sowie um klarzustellen, welches die für einen Fristenlauf massgebenden Mitteilungen sein sollen (BGE 99 V 177 E. 3 S. 182; SVR 2009 IV Nr. 16 S. 62 mit Hinweisen). Die Zustellung des Einspracheentscheids vom 2. Juli 2008 ist korrekterweise an den Vertreter der Versicherten erfolgt und löste somit den Fristenlauf für die Beschwerdeerhebung aus.
5. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung eines Schriftenwechsels erledigt.
6. Die unterliegende Versicherte trägt die reduzierten Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihr wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden (Art. 64 BGG; BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 250.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch