Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 1. Dezember 2008 in der Justizvollzugsanstalt Sennhof in Chur im Strafvollzug. Mit Disziplinarmassnahme vom 24. Dezember 2009 wurde er wegen Drohung und Tätlichkeit gegenüber einem Gefangenen mit drei Tagen Arrest belegt.
Eine vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang erhobene kantonale Beschwerde wurde durch das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden mit Verfügung vom 27. Mai 2010 gutgeheissen. Das Departement hob insbesondere die Disziplinarmassnahme vom 24. Dezember 2009 auf und erwog, der Vollzugsleiter oder der Direktor der Justizvollzugsanstalt habe nach der allfälligen Gewährung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 42 Abs. 1 des kantonalen Justizvollzugsgesetzes (JVG; BR 350.500) erneut über die Disziplinarmassnahme zu entscheiden.
Gegen die Verfügung vom 27. Mai 2010 legte der Beschwerdeführer Berufung beim Kantonsgericht von Graubünden ein. Dieses trat auf die Berufung mit Urteil vom 28. Juni 2010 nicht ein. Es erwog, ob der bereits vollzogene Arrest gerechtfertigt war, werde sich erst zeigen, wenn der neue Entscheid der Anstaltsleitung vorliege. Unter diesen Umständen erwüchsen dem Beschwerdeführer aus der angefochtenen Verfügung keine Nachteile, weshalb er nicht legitimiert sei, dagegen Berufung einzulegen (E. 2a). Soweit er beantrage, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine ordentliche Untersuchung zum Vorfall vom 24. Dezember 2009 durchzuführen, falle gemäss Art. 42 Abs. 1 JVG die Beurteilung von Disziplinarvergehen im Rahmen des Strafvollzugs in die Zuständigkeit der Direktion oder der Leitung der Vollzugseinrichtung (E. 2b). Soweit er Änderungen des JVG und des kantonalen Instanzenzuges verlange, falle dies nicht in die Kompetenz des Kantonsgerichts als Berufungsinstanz (E. 2c).
Der Beschwerdeführer wendet sich mit "staatsrechtlicher Beschwerde" ans Bundesgericht. Da es um eine Strafsache geht, ist die Eingabe als Beschwerde gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen.
2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens können nur die oben erwähnten E. 2a, 2b und 2c des Urteils des Kantonsgerichts vom 28. Juni 2010 sein. Die meisten Ausführungen der Beschwerde befassen sich nicht mit diesen Erwägungen der Vorinstanz. Darauf ist nicht einzutreten.
Zur E. 2a macht der Beschwerdeführer geltend, die Argumentation der Vorinstanz sei fragwürdig, solange es keine unabhängige, sondern nur eine parteiische Untersuchung des Vorfalls vom 24. Dezember 2009 gebe (Beschwerde S. 6). Damit ist der Beschwerdeführer zurzeit nicht zu hören. Die Rüge, die Anstaltsleitung sei parteiisch und nicht unabhängig, wird er gegen den neuen Entscheid der Anstaltsleitung vorbringen können. Zum heutigen Zeitpunkt ist das Bundesgericht nicht befugt, sich zu dieser Frage zu äussern.
Zur E. 2b macht der Beschwerdeführer geltend, offenbar sei eine versuchte Tötung nach Auffassung der Vorinstanz keine Untersuchung durch die Staatsanwaltschaft wert (Beschwerde S. 7). Das Vorbringen geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz hat sich nur zur Beurteilung von Disziplinarvergehen im Rahmen des Strafvollzugs geäussert. Zur Frage, ob der Beschwerdeführer wegen des Verdachts, ein Mithäftling habe ihn vorsätzlich zu töten versucht, eine Strafanzeige an die Staatsanwaltschaft einreichen kann, äussert sich die Vorinstanz nicht. Das Bundesgericht kann deshalb im vorliegenden Verfahren zu dieser Frage ebenfalls keine Stellung nehmen.
Zur E. 2c stellt der Beschwerdeführer die Frage, ob der Kanton Graubünden nicht verpflichtet sei, seine Gesetzgebung der Rechtsprechung des Bundesgerichts anzupassen (Beschwerde S. 7). Auch dieses Vorbringen geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz hat nur festgestellt, dass es jedenfalls nicht in ihre Kompetenz falle, Gesetze zu ändern. Dass der Vorinstanz diese Kompetenz zukäme, behauptet selbst der Beschwerdeführer nicht.
3. Nachdem sowohl das Departement als auch die Vorinstanz darauf verzichtet haben, dem Beschwerdeführer Kosten aufzuerlegen (angefochtener Entscheid S. 2 lit. C und S. 5 Ziff. 3), sind seine Ausführungen zur Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren gegenstandslos. Aus welchem Grund ihm eine Umtriebsentschädigung hätte zugesprochen werden müssen, legt er nicht dar.
4. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Graubünden, Einzelrichter der II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn