Erwägungen:
1. X._ (geb. 1955) stammt aus Frankreich. Er ersuchte am 23. November 2010 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur Stellensuche, was das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht Graubünden am 8. Februar 2011 ablehnte. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden bestätigte dessen Verfügung kantonal letztinstanzlich am 31. Mai 2011 (Mitteilung vom 1. Juli 2011). Es ging davon aus, dass X._ "den Nachweis über die ausreichenden finanziellen Mittel und den alle Risiken abdeckenden Krankenversicherungsschutz gemäss Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA nicht erbracht" habe, "weshalb es an den Voraussetzungen für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA im Rahmen der erwerbslosen Wohnsitznahme" fehle; aus demselben Grund sei die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur medizinischen Behandlung abzulehnen. Es fehle für die Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur Stellensuche überdies an "den berechtigten Aussichten auf Beschäftigung". X._ ist hiergegen am 27. Juli 2011 an das Bundesgericht gelangt mit dem sinngemässen Antrag, ihm den abgelehnten Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten.
2. Seine Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde an das Bundesgericht offensichtlich nicht, weshalb ohne Weiterungen auf diese im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist:
2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten muss die Begehren und deren Begründung enthalten; der Betroffene hat in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Seine Ausführungen müssen sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen; er muss in gezielter Form auf die für das Ergebnis des Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz eingehen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3).
2.2 Der Beschwerdeführer setzt sich in seinem Schreiben mit keinem Wort mit den Überlegungen im angefochtenen Entscheid auseinander, sondern erzählt ausschliesslich seine Lebensgeschichte. Angesichts der plausibel erscheinenden Erwägungen der Vorinstanz lässt sich nicht erkennen, inwiefern der beanstandete Entscheid bundesrechtswidrig sein könnte bzw. der bundesgerichtlichen Praxis widersprechen würde. Auch eine formgültig formulierte Beschwerdeschrift hätte deshalb keine ernsthaften Erfolgsaussichten. Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten, obwohl die Beschwerdefrist noch läuft (vgl. Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) und die Eingabe allenfalls noch fristgerecht verbessert werden könnte.
3. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar