Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer liess durch seinen Vertreter mit Eingabe vom 14. Februar 2009 bei der Bundesanwaltschaft Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung im Sinne von Art. 303 StGB gegen die Bediensteten der Bundesstrafbehörden (Bundeskriminalpolizei, Bundesanwaltschaft, Anklagekammer des Bundesgerichts) einreichen, welche mit einem Strafverfahren gegen mehrere Mitglieder des Vereins A._, unter ihnen den Beschwerdeführer, unter anderem wegen Bildung einer kriminellen Vereinigung (Art. 260ter StGB) befasst waren.
Mit Verfügung (gemäss Art. 100 Abs. 3 BStP) vom 9. April 2009 gab die Bundesanwaltschaft der Strafanzeige vom 14. Februar 2009 keine Folge, unter anderem mit der Begründung, dass ein ausreichend konkreter Tatverdacht gegen bestimmte Personen offensichtlich fehle, der objektive sowie subjektive Tatbestand der falschen Anschuldigung im Sinne von Art. 303 StGB nicht erfüllt sei und auch der Tatbestand des Amtsmissbrauchs gemäss Art. 312 StGB nicht erfüllt sein könne. In der Verfügung wurde zudem ausgeführt, dass der Anzeigeerstatter nur gegen eine allfällige Kostenauflage und nicht gegen die Nichtanhandnahme als solche Beschwerde beim Bundesstrafgericht einreichen könne und dass in Ermangelung einer Kostenauflage an den Anzeigeerstatter diesem folglich gegen die Verfügung kein Rechtsmittel zustehe.
2. Der Beschwerdeführer erhob innerhalb der seines Erachtens üblichen Rechtsmittelfrist von 30 Tagen mit Eingabe vom 14. Mai 2009 gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Bundesanwaltschaft Beschwerde, welche er - "um nichts zu versäumen" und wegen der seines Erachtens "unklaren Rechtslage hinsichtlich der zuständigen Instanz" (Beschwerde S. 12) - sowohl beim Bundesstrafgericht als auch beim Bundesgericht einreichte. In einem Begleitschreiben vom 14. Mai 2009 zur Beschwerde an das Bundesgericht brachte der Beschwerdeführer zum Ausdruck, dass seines Erachtens gegen Entscheide der Bundesanwaltschaft das Bundesstrafgericht als Rechtsmittelinstanz zu amten habe und dessen Entscheide an das Bundesgericht weitergezogen werden könnten. Der Beschwerdeführer ersuchte daher im genannten Begleitschreiben das Bundesgericht darum, vorab in Absprache mit dem Bundesstrafgericht die Zuständigkeit zu klären. Sollte sich, wie erwartet, das Bundesstrafgericht für "zuständig" erklären, sei die vorliegende Eingabe an das Bundesgericht als "gegenstandslos" zu betrachten.
In der Folge wurde das bundesgerichtliche Verfahren bis zum Abschluss des Verfahrens vor dem Bundesstrafgericht sistiert.
3. Die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts trat mit Entscheid vom 12. Juni 2009 auf die Beschwerde gegen die Verfügung der Bundesanwaltschaft betreffend Nichtfolgegebung nicht ein. Sie liess eine Kopie dieses Entscheids, der am 16. Juni 2009 versandt wurde, dem Bundesgericht zur Kenntnis zukommen. Die Kopie ging am 17. Juni 2009 beim Bundesgericht ein.
4. Nachdem das Bundesgericht den Beschwerdeführer zur Zahlung eines Kostenvorschusses aufgefordert hatte, ersuchte dieser um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, worauf ihm das Bundesgericht beschied, dass auf den Kostenvorschuss verzichtet und über das Gesuch im Endentscheid befunden werde.
5. Gegen den Entscheid der I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts vom 12. Juni 2009 reichte der Beschwerdeführer kein Rechtsmittel ein. In der Rechtsmittelbelehrung dieses Entscheids wurde darauf hingewiesen, dass dagegen kein ordentliches Rechtsmittel gegeben sei.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer hat im Schreiben vom 14. Mai 2009 das Bundesgericht darum ersucht, die bei diesem eingereichte Beschwerde als "gegenstandslos" zu betrachten, falls sich, wie erwartet, das Bundesstrafgericht für "zuständig" erklären sollte. Die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts ist in ihrem Entscheid vom 12. Juni 2009 auf die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Bundesanwaltschaft nicht mangels Zuständigkeit, sondern im Wesentlichen in Anwendung von Art. 100 Abs. 5 BStP deshalb nicht eingetreten, weil erstens der Beschwerdeführer mangels Opfereigenschaft im Sinne von Art. 100 Abs. 5 BStP in Verbindung mit Art. 2 OHG nicht legitimiert sei und zweitens die Beschwerde nicht gemäss Art. 100 Abs. 5 Satz 2 BStP innert zehn Tagen eingereicht worden und somit verspätet sei. Die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts hat sich mithin als zur Behandlung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Bundesanwaltschaft als funktionell zuständig erachtet. Demnach sollte das Bundesgericht die bei ihm eingereichte Beschwerde als "gegenstandslos" betrachten, falls es entsprechend dem Ersuchen des Beschwerdeführers im Schreiben vom 14. Mai 2009 verfahren würde.
6.2 Das Ersuchen des Beschwerdeführers, die Beschwerde an das Bundesgericht als gegenstandslos zu betrachten, falls sich das Bundesstrafgericht als zuständig erklären sollte, ist indessen unzulässig. Denn dadurch wird die Einreichung der Beschwerde an das Bundesgericht beziehungsweise deren Rückzug an eine Bedingung geknüpft. Erklärungen betreffend die Einreichung und den Rückzug von Rechtsmitteln sind indessen bedingungsfeindlich. Daher ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer auch beim Bundesgericht eine Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Bundesanwaltschaft eingereicht und diese nicht zurückgezogen hat. Die Beschwerde ist deshalb zu behandeln und kann nicht als gegenstandslos geworden beziehungsweise durch Rückzug erledigt abgeschrieben werden.
7. 7.1 Gemäss dem Bundesgesetz über die Bundesstrafrechtspflege ist gegen Nichtanhandnahmeverfügungen, Amtshandlungen und Säumnis sowie Einstellungsverfügungen des Bundesanwalts die Beschwerde an die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts zulässig (siehe Art. 100 Abs. 5 Satz 2, Art. 105bis Abs. 2 in Verbindung mit Art. 216, Art. 120 Abs. 4 BStP). Soweit nicht nur das in Art. 100 Abs. 5 BStP einzig erwähnte Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes, sondern allenfalls auch der Geschädigte zur Beschwerde gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung des Bundesanwalts legitimiert sein sollte, wäre zu deren Beurteilung selbstredend ebenfalls die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts und nicht das Bundesgericht zuständig. Dies ergibt sich auch daraus, dass zur Beurteilung von Beschwerden gegen Einstellungsverfügungen des Bundesanwalts, zu welchen sowohl die Opfer als auch die Geschädigten legitimiert sind, die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts zuständig ist (siehe Art. 120 Abs. 4 BStP).
7.2 Auf die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung des Bundesanwalts ist daher im Verfahren nach Art. 108 BGG mangels funktioneller Zuständigkeit des Bundesgerichts nicht einzutreten.
8. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Den angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Schweizerischen Bundesanwaltschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Mathys Näf