Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene D._ war seit 1. Juni 1990 als Betriebsmitarbeiterin bei der X._ AG angestellt. Aus organisatorischen Gründen wurde sie auf den 31. Oktober 2004 entlassen. Am 26. Juli 2005 meldete sie sich unter Hinweis auf eine Depression und Rückenbeschwerden bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Gestützt auf die Auskunft der Arbeitgeberfirma und die beigezogenen Arztberichte, u.a. des Internisten und Rheumatologen Dr. med. S._ vom 4. August 2005 sowie des Psychiaters Dr. med. C._ vom 19. Februar 2006 lehnte die IV-Stelle des Kantons Zürich das Rentengesuch mit Verfügung vom 27. Februar 2006 ab. Zur Begründung führte sie aus, es bestehe keine relevante Arbeitsunfähigkeit. Auf Einsprache hin hielt die IV-Stelle an ihrem Standpunkt fest (Entscheid vom 26. Juni 2006).
B. D._ liess hiegegen Beschwerde einreichen mit den Rechtsbegehren, unter Aufhebung des Einspracheentscheides sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese ein interdisziplinäres Gutachten veranlasse und gestützt darauf über den Rentenanspruch neu verfüge. Mit Entscheid vom 31. Januar 2008 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ die Gewährung einer ganzen Invalidenrente, eventuell die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu weiteren Abklärungen und neuer Entscheidung, beantragen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Ferner darf das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über den Invaliditätsbegriff (Art. 8 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG), den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 IVG) sowie die Rechtsprechung zur Bedeutung ärztlicher Auskünfte für die Belange der Invaliditätsbemessung (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261, 115 V 133 E. 2 S. 134) und zum Beweiswert ärztlicher Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
3. 3.1 In medizinischer Hinsicht stellte die Vorinstanz hauptsächlich auf die Berichte des Dr. med. S._ vom 4. August 2005 sowie des Dr. med. C._ (vom 19. Februar, 10. Juli und 25. September 2006) ab. Dr. med. S._ diagnostizierte im Bericht vom 4. August 2005 ein chronisches cervicoradikuläres Syndrom C6 rechts bei Diskushernie C5/6 mediolateral rechts, ein chronisches lumbospondylogenes Syndrom bei unklarer Dysbalance, beides seit 2004, sowie eine reaktive Depression seit 2005. Der Psychiater Dr. med. C._ diagnostizierte am 19. Februar 2006 eine psychogene Anpassungsstörung mit vorwiegender Beeinträchtigung von anderen Gefühlen mit/bei somatischer Erkrankung. In Würdigung dieser medizinischen Unterlagen, aber auch der erwerblichen Situation mit Kündigung durch die Arbeitgeberfirma, stellte das Sozialversicherungsgericht fest, weder aus somatischer noch aus psychiatrischer Sicht bestünden Hinweise dafür, dass der Beschwerdeführerin ein ganztägiger Einsatz in der angestammten oder einer Verweisungstätigkeit nicht zumutbar wäre. Die Angaben des Rheumatologen Dr. med. S._ zur Leistungsfähigkeit hielt die Vorinstanz für wenig aussagekräftig, weil er praktisch unmittelbar nach der Entlassung der Versicherten eine volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigte, nachdem er sie zuvor seit Jahren behandelt und sie unter therapieresistenten Nacken- und Schultergürtelschmerzen gelitten hatte und keine zusätzlichen Beschwerden hinzugekommen seien. Aus psychiatrischer Sicht wiederum sei bis 25. September 2006, rund drei Monate nach Erlass des Einspracheentscheides, keine Arbeitsunfähigkeit attestiert worden; dies mache deutlich, dass keine solche vorgelegen habe.
3.2 Die Beschwerdeführerin beruft sich demgegenüber darauf, dass sie laut Bericht des Dr. med. S._ vom 4. August 2005 seit 23. August 2004 bis auf Weiteres voll arbeitsunfähig sei. Ferner macht sie geltend, die vom kantonalen Gericht angedeutete Verknüpfung zwischen Stellenverlust und Arbeitsunfähigkeit sei willkürlich. Die Auffassung der Vorinstanz sodann, dass aufgrund der vorliegenden somatischen Diagnose die bisherige Arbeit "nach allgemeiner Lebenserfahrung" ohne weiteres zumutbar wäre, sei offensichtlich unhaltbar. Schliesslich rügt sie, dass der angefochtene Entscheid sich vollumfänglich auf den regionalärztlichen Dienst stütze und nicht auf einer spezialärztlichen Beurteilung basiere. Angesichts des cervicoradikulären sowie lumbospondylogenen Syndroms und der psychischen Störungen sei eine interdisziplinäre Abklärung unabdingbar.
3.3 Diese Einwendungen sind nicht geeignet, die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts im angefochtenen Entscheid als offensichtlich unrichtig oder auf einer Bundesrechtsverletzung basierend erscheinen zu lassen. Das Sozialversicherungsgericht hat hinreichend begründet, weshalb nicht auf die Stellungnahme des Dr. med. S._ zu Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit abgestellt werden kann. Dass sich die Vorinstanz sodann weitestgehend auf den regionalärztlichen Dienst gestützt habe, wie die Beschwerdeführerin behauptet, trifft nicht zu. Vielmehr hat sie eine einlässliche Würdigung der relevanten Arztberichte vorgenommen und zu Recht auch die Tatsache berücksichtigt, dass die Beschwerdeführerin trotz jahrelanger Behandlung der Rückenprobleme bis kurz vor Beendigung ihres Anstellungsverhältnisses voll arbeitsfähig war, die Arbeitsunfähigkeit somit erst im Zusammenhang mit der Kündigung attestiert wurde. Inwieweit die Herstellung eines Konnexes zwischen Kündigung des Arbeitsvertrages und Arbeitsunfähigkeit willkürlich sein soll, wird in der Beschwerde nicht näher ausgeführt und lässt sich nicht erkennen. Die Aussage des kantonalen Gerichts, der Versicherten wäre mit Rücksicht auf die vorliegende somatische Diagnose die bisherige Arbeit nach der allgemeinen Lebenserfahrung ohne weiteres zumutbar, erscheint für sich allein betrachtet zwar nicht unproblematisch, kann im Kontext mit den Arztberichten jedoch weder als offensichtlich unrichtig noch sonstwie als bundesrechtswidrig bezeichnet werden. Schliesslich besteht kein Anlass für eine interdisziplinäre Abklärung oder weitere medizinische Untersuchungen, zumal in psychischer Hinsicht weder eine invalidisierende Diagnose gestellt noch bis zu dem für die richterliche Beurteilung massgebenden Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheides (26. Juni 2006) eine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit bescheinigt wurde, wie die Vorinstanz festgehalten hat. Der Eventualantrag ist somit ebenfalls unbegründet.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse EXFOUR und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Mai 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer