Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene E._ arbeitete als medizinische Laborantin beim Spital X._ und war damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 26. September 2007 meldete die Arbeitgeberin, die Versicherte habe im Jahre 2006, eventuell früher, einen ersten und im Jahre 2007 einen weiteren Zeckenbiss erlitten. Die SUVA zog diverse Arztberichte und Gutachten der Klinik A._ für Rheumatologie, Klinische Immunologie und Allergologie, Spital B._, vom 19. Juni 2009 sowie des Instituts Z._ vom 24. November 2010 mit Ergänzungen der Letzteren vom 8., 9., und 11. Dezember 2010 bei. Die Versicherte legte ein Gutachten des Prof. Dr. med. K._, Institut für Medizinische Mikrobiologie, vom 12. Juli 2011 auf. Die SUVA holte eine Stellungnahme des Dr. med. T._, Assistenzarzt, Facharzt für Allgemeinmedizin FMH, SUVA Arbeitsmedizin, vom 30. August 2011 ein. Mit Verfügung vom 7. September 2011 verneinte sie ihre Leistungspflicht, da keine Folgen eines Zeckenbisses vorlägen. Dagegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer Einsprache. Letzterer zog sie in der Folge zurück. Die Einsprache der Ersteren wies die SUVA mit Entscheid vom 25. November 2011 ab.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 12. November 2012 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen für die Folgen des erlittenen Zeckenbisses zu erbringen; eventuell sei die Sache zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen zurückzuweisen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.) sowie den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Rechtsprechung, wonach der Zeckenbiss sämtliche Merkmale des Unfallbegriffs (Art. 4 ATSG) erfüllt (BGE 122 V 230; SVR 2008 UV Nr. 3 S. 11 E. 3 [U 155/06]). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird (Art. 109 Abs. 3 BGG), erkannt, dass die Versicherte nicht an den Folgen eines Zeckenbisses leidet. Diesem Ergebnis ist beizupflichten. Die Versicherte erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zu ihrem Gesundheitszustand als unrichtig oder unvollständig (Art. 97 Abs. 2 BGG) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen lassen. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
3. 3.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird (Art. 109 Abs. 3 BGG), erkannt, dass die Versicherte nicht an den Folgen eines Zeckenbisses leidet. Diesem Ergebnis ist beizupflichten. Die Versicherte erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zu ihrem Gesundheitszustand als unrichtig oder unvollständig (Art. 97 Abs. 2 BGG) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen lassen. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie leide an Lyme-Borreliose, allenfalls in Form eines Post-Lyme-Syndroms, da die von der Schweizerischen Gesellschaft für Infektiologie vorgegebenen acht Kriterien (hierzu vgl. J. EVISON UND MITAUTOREN, Abklärung und Therapie der Lyme-Borreliose bei Erwachsenen und Kindern, Empfehlungen der Schweizerischen Gesellschaft für Infektiologie, Teil 3: Prävention, Schwangerschaft, Immundefizienz, Post-Lyme-Syndrom, in: Schweizerische Ärztezeitung 2005, S. 2422 ff. und S. 2426) zweifellos erfüllt seien. Die Gutachter des Instituts Z._ hätten eine eigentliche Prüfung dieser Kriterien nicht vorgenommen, da sie bereits das erste verneint hätten. Die Vorinstanz sei auf diese Kriterien und die entsprechenden Ausführungen der Versicherten nicht eingegangen, womit sie ihre Begründungspflicht verletzt habe.
Dem ist entgegenzuhalten, dass selbst der von der Versicherten beauftragte und ins Feld geführte Prof. Dr. K._ im Gutachten vom 12. Juli 2011 die Diagnose einer Neuroborreliose ausschloss. Er ging zwar davon aus, sie habe einen weit zurückliegenden Borrelien-Infekt durchgemacht. Indessen diagnostizierte auch er kein Post-Lyme-Syndrom. Aufgrund dieser Aktenlage kann die Versicherte aus den von ihr angerufenen Kriterien, die für die Differenzialdiagnose eines Post-Lyme-Syndroms erarbeitet wurden (vgl. J. EVISON UND MITAUTOREN, a.a.O., S. 2426), nichts zu ihren Gunsten ableiten.
Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236).
3.2.2 Selbst wenn eine vorinstanzliche Verletzung der aus dem Gehöranspruch fliessenden Begründungspflicht (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; Art. 29 Abs. 2 BV; BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88) vorläge, wäre allein deswegen eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz nicht gerechtfertigt. Denn dem Bundesgericht steht die volle Kognition zu (E. 1 hievor) und die Rückweisung würde zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der Versicherten an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren ist (BGE 133 I 201 E. 2.2 S. 204; Urteil 8C_341/2012 vom 15. November 2012 E. 4).
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt. Die Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar