Sachverhalt:
A. Rechtsanwalt X._ (praktizierend in F._) vertrat A._ gegen ihren von Rechtsanwalt Y._ (praktizierend in G._) vertretenen Ehemann B._ in einem Ehescheidungs- bzw. Eheschutzverfahren (vgl. u.a. das Urteil des Bundesgerichts 5P.182/2005 vom 21. Oktober 2005). Im Zusammenhang mit diesem Verfahren zeigte Rechtsanwalt Y._ seinen Berufskollegen X._ bei der Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri an und verlangte, gegen Kollege X._ sei eine disziplinarische Massnahme wegen Verletzung der Berufsregeln zu verfügen.
Mit Entscheid vom 30. Mai 2007 belegte die Aufsichtskommission Rechtsanwalt X._ wegen Verletzung von Berufsregeln gestützt auf Art. 12 lit. a in Verbindung mit Art. 17 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) mit einem Verweis.
B. Entgegen der diesem Entscheid beigegebenen, auf die Weiterzugsmöglichkeit an das Bundesgericht hinweisenden Rechtsmittelbelehrung erhob Rechtsanwalt X._ am 8. August 2007 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Uri. Dieses trat mit Entscheid vom 3. April 2008 auf die Beschwerde nicht ein.
C. Mit Eingabe vom 5. Mai 2008 führt Rechtsanwalt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 3. April 2007 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 8. August 2007 einzutreten.
Die Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht des Kantons Uri verweist auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (Bundesamt für Justiz) verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Urteil des Obergerichts des Kantons Uri, mit dem dieses als letzte kantonale Instanz auf eine Beschwerde gegen einen Entscheid der urnerischen Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte nicht eingetreten ist. In der Sache geht es um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Anwaltsrecht), die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt. Der genannte kantonal letztinstanzliche Endentscheid unterliegt daher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 86 lit. d und Art. 90 BGG), und der Beschwerdeführer ist zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer trägt zutreffend vor, dass nach der bisherigen Regelung des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) gegen - sich auf das eidgenössische Anwaltsgesetz stützende - letztinstanzliche kantonale anwaltsrechtliche Disziplinarentscheide bisher die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht offen stand (vgl. BGE 130 II 270 E. 1.1 S. 272 f.). Dabei habe nach Art. 98a OG als letzte kantonale Instanz eine richterliche Behörde entscheiden müssen. An dieser Rechtslage, macht der Beschwerdeführer geltend, habe das neue Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.10) nichts geändert. Die Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri sei keine richterliche, sondern eine vom Obergericht gewählte nichtrichterliche Behörde. Zudem stehe gemäss Art. 55 Abs. 3 lit. a der kantonalen Verordnung vom 23. März 1994 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPV) die (kantonale) Verwaltungsgerichtsbeschwerde immer offen, wenn letztlich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht gegeben sei. Diese kantonale Bestimmung sei allein dadurch, dass der Bundesgesetzgeber die bisherige eidgenössische Verwaltungsgerichtsbeschwerde (Art. 97 ff. OG) in eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten "umgetauft" habe, nicht hinfällig geworden, weshalb das Obergericht auf das bei ihm eingelegte Rechtsmittel hätte eintreten müssen.
2.2 Das angefochtene Urteil legt Art. 54 und Art. 55 der Verordnung über die Verwaltungsrechtspflege (Fassung vom 23. März 1994) dahingehend aus, dass gegen Entscheide der Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte die kantonale Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht zulässig sei. Beim Erlass der auf der gleichen Rechtssetzungsstufe stehenden (jüngeren) Anwaltsverordnung vom 13. Juni 2001 habe der Landrat bewusst darauf verzichtet, gegen Anordnungen der Aufsichtskommission (welche ein Teil des Obergerichts sei), als kantonsinternes Rechtsmittel den Weiterzug an das Obergericht vorzusehen, da eine solche Regelung rechtsstaatlich nicht zu befriedigen vermöchte. Zwar seien nach der am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Rechtsweggarantie gemäss Art. 29a BV Rechtsstreitigkeiten durch mindestens eine gerichtliche Instanz zu beurteilen. Zudem bestimme heute Art. 86 Abs. 2 BGG, dass die Kantone in den Materien der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte einzusetzen hätten. Art. 130 Abs. 3 BGG gewähre jedoch den Kantonen für die Anpassung ihres Rechts eine Übergangsfrist von zwei Jahren, innert welcher die Rechtsweggarantie von Art. 29a BV noch nicht vollumfänglich zum Tragen komme. Der Kanton Uri habe die entsprechenden Bestimmungen innert dieser laufenden Frist noch nicht erlassen, weshalb heute gegen den streitigen Disziplinarentscheid der Aufsichtskommission nur die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG an das Bundesgericht gegeben sei; auf die kantonale Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht sei nicht einzutreten.
2.3 Diese Argumentation des Obergerichts verstösst nicht gegen die angerufenen Vorschriften des Bundesrechts (bzw. gegen die sinngemäss angerufene Garantie von Art. 49 Abs. 1 BV [Vorrang des Bundesrechts]):
2.3.1 Die Regelung von Art. 55 Abs. 3 lit. a VRPV ist gemäss ihrem Wortlaut eine Ausnahme von den in Abs. 1 und in Abs. 2 desselben Artikels genannten Fällen, in denen die (kantonale) Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht aufgrund des Verfahrensgegenstandes (Abs. 1) oder der verfahrensrechtlichen Natur des angefochtenen Entscheides (Abs. 2) ausgeschlossen ist. Hingegen bezieht sich der Vorbehalt von Art. 55 Abs. 3 lit. a VRPV, wie das Obergericht zumindest ohne Willkür annehmen durfte, nicht auch auf die Regelung von Art. 54 Abs. 2 VRPV, wonach die Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit die Gesetzgebung nichts anderes bestimmt, gegen Verfügungen des Regierungsrates grundsätzlich zulässig ist, während Verfügungen anderer Behörden diesem Rechtsmittel nur dann unterliegen, wenn die Gesetzgebung den Weiterzug an das Obergericht ausdrücklich vorsieht. Die heutige Verfahrensordnung (Art. 55a VRPV, in der Fassung vom 1. Juni 2008, in Kraft seit 1. September 2008) enthält einen weitergehenden Vorbehalt, indem die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nunmehr in jedem Fall zulässig ist, "wenn übergeordnetes Recht eine gerichtliche Beurteilung durch eine kantonale Gerichtsinstanz verlangt". Zwar liesse sich mit dem Beschwerdeführer die Auffassung vertreten, schon dem bisherigen Vorbehalt in Art. 55 Abs. 3 VRPV (gemäss der ursprünglichen Fassung vom 23. März 1994) habe, entgegen seinem Wortlaut, diese weitergehende Tragweite zuerkannt werden müssen, da die beabsichtigte Respektierung der Vorgaben von Art. 98a OG und Art. 6 Ziff. 1 EMRK nur so gesichert gewesen sei. Die gegenteilige Auslegung des Obergerichts erscheint jedoch keineswegs unhaltbar: Gemäss den unwidersprochen und jedenfalls unwiderlegt gebliebenen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (S. 7/8) hat der Landrat beim Erlass der - das eidgenössische Anwaltsgesetz vollziehenden - jüngeren Anwaltsverordnung vom 13. Juni 2001 erklärtermassen davon abgesehen, gegenüber Anordnungen der Aufsichtskommission das Obergericht als Rechtsmittelinstanz einzusetzen, da zwischen den beiden Instanzen eine zu enge personelle Verbindung bestünde; auf ein kantonsinternes Rechtsmittel ist bewusst verzichtet worden (vgl. Bericht und Antrag des Regierungsrates vom 3. April 2001 an den Landrat zur Anwaltsverordnung, S. 9/10). Die Auffassung des Obergerichts, wonach die (im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheides noch geltende) Regelung von Art. 54 und Art. 55 VRPV den Weiterzug von Anordnungen der Aufsichtskommission mittels Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht nicht zulasse, verstösst bei dieser Sachlage nicht gegen das Willkürverbot.
2.3.2 Gemäss Art. 86 Abs. 2 BGG haben die Kantone als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte einzusetzen. Kantonal erstinstanzliche Aufsichtsbehörden über die Rechtsanwälte können aufgrund ihrer Aufgabe und Funktion nicht als unabhängige Gerichte eingestuft werden (BGE 126 I 228, mit Hinweisen). Die urnerische Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte (welche vom Obergerichtspräsidenten präsidiert wird und zum Teil aus Mitgliedern des Obergerichts besteht), ist wohl eine obere kantonale Behörde, aber kein Gericht im Sinne von Art. 86 Abs. 2 BGG, weshalb die geltende Regelung im Kanton Uri den genannten bundesrechtlichen Vorgaben nicht genügt. Art. 130 Abs. 3 BGG gewährt jedoch den Kantonen für die Anpassung ihrer Gesetzgebung an die Vorgabe von Art. 86 Abs. 2 BGG (einschliesslich der weiteren Bestimmungen zur Gewährleistung der Rechtsweggarantie von Art. 29a BV) eine Frist von zwei Jahren seit Inkrafttreten (1. Januar 2007) des Bundesgerichtsgesetzes. Die vorliegend festgestellte Nichtübereinstimmung mit Art. 86 Abs. 2 BGG schliesst daher die einstweilige Weitergeltung der heutigen kantonalen Verfahrensordnung nicht aus (vgl. auch Urteil 2C_271/2008 vom 27. November 2008, E. 3.2.3).
2.3.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung darf eine den Kantonen zur Anpassung ihres Rechts gewährte Übergangsfrist allerdings nicht dazu benutzt werden, in dieser Zeit neue disharmonisierende Vorschriften zu erlassen oder ihre Praxis in eine disharmonisierende Richtung zu ändern (so betreffend Steuerharmonisierung: BGE 124 I 101 E. 3 und 4 S. 103 ff.; betreffend Art. 98a OG: BGE 134 I 125 E. 3.5 S. 135; betreffend Art. 80 Abs. 2 BGG: BGE 133 IV 267 E. 3 sowie Urteil 1P. 64/2007 vom 20. Juni 2008, E. 2; vgl. auch Urteile 1C_183/2008 vom 23. Mai 2008, E. 1.1.3 sowie 2C_271/2008 vom 27. November 2008, E. 3.2.3).
Vorliegend kann dem Kanton Uri nach dem Gesagten nicht vorgeworfen werden, er habe eine nach der bisherigen Verfahrensordnung bestehende Möglichkeit, Entscheide der Aufsichtskommission mittels Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht weiterzuziehen, während der Anpassungsfrist gemäss Art. 130 Abs. 3 BGG durch eine disharmonisierende Rechtsänderung abgeschafft. Ebenso wenig ist dargetan (Art. 42 Abs. 2 BGG), dass die streitige Gesetzesauslegung durch das Obergericht auf eine die bisherige innerkantonale Weiterzugsmöglichkeit abschaffende Praxisänderung hinausläuft. Dass die in Frage stehende, auf Art. 98a OG ausgerichtete Verfahrensvorschrift von Art. 55 Abs. 3 lit. a VRPV (ursprüngliche Fassung vom 23. März 1994) allenfalls auch eine andere Auslegung erlaubt hätte, welche den Weiterzug von Disziplinarentscheiden der Aufsichtskommission an das Obergericht zulässt, lässt den angefochtenen Nichteintretensentscheid noch nicht als bundesrechtswidrig erscheinen.
Beizufügen bleibt, dass das kantonale Recht in Fällen, wo Art. 6 Ziff. 1 EMRK die Möglichkeit einer gerichtlichen Kontrolle erfordert, den Zugang an ein kantonales Gericht ungeachtet der Übergangsfrist von Art. 130 Abs. 3 BGG schon bisher vorsehen musste (vgl. Urteil 1C_183/2008 vom 23. Mai 2008, E. 1.1.4). Vorliegend ging es in der Sache aber lediglich um einen gegenüber dem als Rechtsanwalt tätigen Beschwerdeführer ausgesprochenen disziplinarischen Verweis, für dessen Überprüfung die Garantien von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht anwendbar sind; der Beschwerdeführer hat sich denn auch nicht auf diese Konventionsbestimmung berufen.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Aufsichtskommission über die richterlichen Behörden und die Rechtsanwälte im Kanton Uri, dem Obergericht des Kantons Uri (Verwaltungsrechtliche Abteilung) und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein