Sachverhalt:
A. X._ stellte am 21. September 2009 gegen die zuständige Stadtrichterin Christine Zenklusen Orlé ein Ausstandsgesuch, nachdem der Einzelrichter am Bezirksgericht Zürich ein Verfahren wegen Verletzung von Verkehrsregeln an das Stadtrichteramt zurückgewiesen hatte. Der Statthalter des Bezirks Zürich wies das Begehren am 11. November 2009 ab.
Gegen diesen Entscheid des Statthalteramts erhob X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde. Dieses überwies die Eingabe zuständigkeitshalber der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich zum Entscheid. In der Folge wies die Sicherheitsdirektion den Rekurs am 11. November 2010 als unbegründet ab.
B. Gegen den Entscheid der Sicherheitsdirektion reichte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 20. Dezember 2010 Beschwerde ein. Mit Beschluss vom 27. Januar 2011 trat dieses auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Eingabe von X._ samt den Akten dem Bundesgericht (Verfahren 1B_62/2011). Es kam in prozessualer Hinsicht zum Schluss, dass gestützt auf die Rechtslage vor Inkrafttreten der eidgenössischen Strafprozessordnung der Entscheid der Sicherheitsdirektion kantonal endgültig sei und mit Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht angefochten werden könne.
Den Beschluss des Verwaltungsgerichts hat X._ seinerseits beim Bundesgericht mit Beschwerde in Strafsachen bzw. mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde angefochten (Postaufgabe am 23. März 2011; Verfahren 1B_132/2011). Er beantragt die Aufhebung des Verwaltungsgerichtsbeschlusses und die Rückweisung der Sache an das Verwaltungsgericht oder das Obergericht zur materiellen Beurteilung seines gegen den Entscheid der Sicherheitsdirektion geführten Rechtsmittels. Eventualiter ersucht er das Bundesgericht um eine materielle Beurteilung der Streitsache.
Das Stadtrichteramt Zürich, die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht beantragen unter Hinweis auf die Akten die Abweisung der Beschwerden, soweit darauf eingetreten werden könne.
Erwägungen:
1. Die beiden Verfahren 1B_62/2011 und 1B_132/2011 betreffen dieselbe Angelegenheit und sind zu vereinen.
Die Beschwerde in Strafsachen im Sinne von Art. 78 ff. BGG fällt grundsätzlich sowohl in Bezug auf den materiellen Entscheid der Sicherheitsdirektion wie in Bezug auf den prozessualen Beschluss des Verwaltungsgerichts in Betracht, da beide Entscheide in Anwendung von strafprozessualem Recht ergangen sind (BGE 133 IV 335 E. 2 S. 337). Der Beschwerdeführer ist vom Verfahren betroffen und zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 2). Die Voraussetzungen von Art. 92 Abs. 1 BGG zum Eintreten sind gegeben. Damit verbleibt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 BGG kein Raum.
Die Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 80 Abs. 1 BGG u.a. zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Es ist daher als Erstes zu prüfen, ob die Sicherheitsdirektion oder aber das Verwaltungsgericht bzw. das Obergericht in der vorliegenden Konstellation als letzte kantonale Instanz zu betrachten sind. Soweit die Sicherheitsdirektion Vorinstanz gemäss Art. 80 Abs. 1 BGG ist, kann ihr Entscheid im vorliegenden Verfahren materiell überprüft werden. Andernfalls ist die Sache an das zuständige Gericht zur materiellen Behandlung zu überweisen.
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht hat vorerst ausgeführt, das umstrittene Ausstandsbegehren betreffe eine übertretungsstrafrechtliche Angelegenheit und liege daher ausserhalb des massgeblichen Zuständigkeitsbereichs nach § 1 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (VRG; Gesetzessammlung 175.2). Zudem sei es nicht Aufsichtsbehörde über die Sicherheitsdirektion. Aus diesen Gründen könne auf die vom Beschwerdeführer erhobene Beschwerde mangels Zuständigkeit nicht eingetreten werden.
Der Beschwerdeführer zieht diese Erwägungen des Verwaltungsgerichts nicht in Frage. Im Wesentlichen geht es ihm nicht darum, dass das Verwaltungsgericht seine Beschwerde behandelt. Vielmehr verlangt er aus Gründen der Rechtsweggarantie, dass ein kantonales oberes Gericht seine Beschwerde beurteile. Seinem Rechtsbegehren ist zu entnehmen, dass die Sache dem Verwaltungsgericht oder dem Obergericht zur Beurteilung unterbreitet werde. Die Frage, ob das Verwaltungsgericht über den Bereich des Straf- und Massnahmenvollzugs hinaus in weitern Gebieten des Strafrechts zuständig ist, kann offen bleiben.
2.2 Zu prüfen ist, ob die Sicherheitsdirektion vor dem einschlägigen Gesetzesrecht des Kantons und des Bundes sowie vor dem Verfassungsrecht im vorliegenden Fall als letzte kantonale Instanz und Vorinstanz des Bundesgerichts betrachtet werden kann.
Die Strafprozessordnung des Kantons Zürich in der bis Ende 2010 geltenden Fassung (StPO/ZH; Gesetzessammlung 321) bezeichnet in § 402 Ziff. 10 für die vorliegende Konstellation die für das Polizeiwesen zuständige Direktion als Rekursbehörde. Gemäss § 409 Abs. 1 StPO/ZH ist der Entscheid der Rekursinstanz endgültig. Das bedeutet, dass er vor keiner kantonalen Instanz mehr angefochten werden kann. Vorbehalten bleibt unbestrittenermassen die Beschwerde an das Bundesgericht.
Gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der Begriff "Entscheide in Strafsachen" umfasst sämtliche Entscheidungen, denen materielles Strafrecht oder Strafprozessrecht zu Grunde liegt (BGE 133 IV 335 E. 2 S. 337). Der Entscheid der Sicherheitsdirektion erweist sich unter dem Gesichtswinkel der bisher gültigen Strafprozessordnung als letztinstanzlich im Sinne von Art. 80 Abs. 1 BGG. Insoweit unterliegt der Entscheid der Sicherheitsdirektion der Beschwerde in Strafsachen.
2.3 Der Beschwerdeführer beruft sich indes auf Art. 80 Abs. 2 BGG, wonach die Kantone als letzte kantonale Instanz obere Gerichte einsetzen, die als Rechtsmittelinstanzen entscheiden. Zudem ruft er die Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV an. Er schliesst daraus, dass vorerst eine kantonale Gerichtsinstanz seine Beschwerde zu behandeln habe.
Nach Art. 130 Abs. 1 der Schlussbestimmungen zum Bundesgerichtsgesetz haben die Kantone auf den Zeitpunkt des Inkrafttretens einer schweizerischen Strafprozessordnung Ausführungsbestimmungen über die Zuständigkeit, die Organisation und das Verfahren der Vorinstanzen in Strafsachen (Art. 80 Abs. 2 BGG) einschliesslich der Bestimmungen, die zur Gewährleistung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) erforderlich sind, zu erlassen.
Kantonale Vorschriften, welche eine gerichtliche Überprüfung auf kantonaler Ebene ausschliessen, sind somit bis zum Ablauf der Übergangsfristen von Art. 130 Abs. 1 BGG zulässig. Sie ermöglichen zum einen ein Abweichen von Art. 80 Abs. 2 BGG. Zum andern haben sie die Bedeutung einer gesetzlichen Ausnahme von der Rechtsweggarantie (BGE 135 I 313 E. 1.2 S. 315; Urteil 1B_224/2010 vom 11. Januar 2011 E. 3.4). Diese Regelung gilt für altrechtliche Konstellationen, in denen sowohl der angefochtene Entscheid wie die dagegen gerichtete Beschwerde aus dem Jahr 2010 stammen, d.h. vor Ablauf der Übergangsfrist von Art. 130 Abs. 1 BGG und vor Inkrafttreten der schweizerischen Strafprozessordnung.
Somit kann die Sicherheitsdirektion unter dem Gesichtswinkel des kantonalen Verfahrensrechts, des Bundesgerichtsgesetzes und des Verfassungsrechts als kantonal letztinstanzliche Vorinstanz betrachtet werden. Ihr Entscheid kann von keiner kantonalen Instanz überprüft werden. Er unterliegt direkt der Beschwerde an das Bundesgericht.
Demnach erweist sich die gegen den Beschluss des Verwaltungsgerichts gerichtete Beschwerde (Verfahren 1B_132/2011) als unbegründet. Auf die weitern Rügen der Verletzung von Art. 29 und 30 BV braucht nicht weiter eingegangen zu werden.
3. Mit Entscheid vom 11. November 2010 hat die Sicherheitsdirektion den Rekurs des Beschwerdeführers gegen den Bescheid des Statthalteramts vom 11. November 2009 abgewiesen, mit dem das Ablehnungsbegehren gegen Stadtrichterin Christine Zenklusen Orlé für unbegründet bezeichnet worden war. Gegen den Direktionsentscheid richtet sich die Beschwerde des Beschwerdeführers vom 20. Dezember 2010.
3.1 Der Beschwerdeführer erachtet die Stadtrichterin als befangen. Sinngemäss macht er damit eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV geltend, ohne sich auf entsprechendes kantonales Verfahrensrecht zu berufen.
3.2 Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Strafsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird indes verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn sich im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Gegebenheiten Umstände ergeben, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Bei deren Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Fehler in der Verfahrensführung vermögen grundsätzlich keinen Anschein der Befangenheit eines Richters zu begründen. Anders verhält es sich lediglich, wenn besonders krasse und wiederholte Irrtümer vorliegen, diese einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken können (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124, mit Hinweisen).
3.3 Im vorliegenden Fall bringt der Beschwerdeführer vor, die Stadtrichterin habe ihm eine Vorladung zu einer Zeugeneinvernahme nicht wie gesetzlich vorgesehen gegen Empfangsschein zukommen lassen, sondern in amtsmissbräuchlicher Weise veranlasst, dass ihm die Vorladung von zwei Polizisten am Abend des 7. September 2009 gegen 19.30 Uhr überbracht wurde. Er erblickt darin ein gegen den Grundsatz der Verhältnismässigkeit im Sinne von Art. 5 Abs. 2 BV verstossendes Verhalten und erachtet es als Denkzettel für zahllose Niederlagen, die er den Behörden im Allgemeinen und dem Stadtrichteramt im Besondern zugefügt hatte.
Wie es sich mit den Möglichkeiten der Zustellung der Vorladung zur Zeugeneinvernahme im gegebenen Zeitpunkt im Einzelnen verhält, braucht im vorliegenden Verfahren nicht abgeklärt zu werden. Ebenso kann offen bleiben, welche Tragweite der Bestimmung von § 180 des Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG; Gesetzessammlung 211.1) zukommt und unter welchen Voraussetzungen diese Vorschrift eine Zustellung durch Polizeibeamte erlaubt. Entscheidend ist vielmehr, dass die polizeiliche Zustellung der Vorladung für sich in keiner Weise einen Umstand darstellt, der bei objektiver Betrachtung Misstrauen in die Unvoreingenommenheit der Stadtrichterin zu erwecken vermöchte. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann im Vorgehen der Stadtrichterin auch kein krasser und wiederholter Fehler in der Verfahrensführung erblickt werden, der einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkäme und sich einseitig zulasten des Beschwerdeführers auswirkte.
Der Beschwerdeführer weist auf keine weitern Umstände hin, welche die abgelehnte Richterin als befangen erscheinen lassen könnten. Damit erweist sich die gegen den Entscheid der Sicherheitsdirektion gerichtete Beschwerde als unbegründet (Verfahren 1B_62/2011).
4. Die Beschwerden sind demnach abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat im Verfahren 1B_132/2011 darum ersucht, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten. Auf die Einladung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses im Verfahren 1B_62/2011 hin hat er die vorläufige Sistierung beantragt. Mit beiden Ersuchen stellte er kein Gesuch um Erlass der Gerichtskosten bzw. um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Demnach sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 1B_62/2011 und 1B_132/2011 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen.
3. Die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Christine Zenklusen Orlé dem Stadtrichteramt Zürich, der Sicherheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Steinmann