Sachverhalt:
A. Für die Dauer des zwischen X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau) hängigen Scheidungsverfahrens ordnete der Bezirksrichter I am Bezirksgericht A._ mit Entscheid vom 7. März 2007 gestützt auf Art. 137 Abs. 2 ZGB verschiedene vorsorgliche Massnahmen an. Eine von X._ gegen die Höhe und den festgelegten Beginn seiner Unterhaltspflicht (1. Dezember 2005) eingereichte Nichtigkeitsklage wies das Kantonsgericht Wallis (Kassationshof in Zivilsachen) am 13. Juli 2007 ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Eingabe vom 14. September 2007 erhebt X._ Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil sei insofern aufzuheben, als die vorsorglichen Massnahmen mit Wirkung ab 1. Dezember 2006 (Rechtshängigkeit des entsprechenden Begehrens) anzuordnen seien. Ausserdem hat er darum ersucht, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung zu den Beschwerden verzichtet. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf deren Abweisung und ersucht ihrerseits um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1. Von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen (dazu Art. 100 Abs. 2-4 BGG), ist die Beschwerde an das Bundesgericht innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Unter anderem vom 15. Juli bis und mit dem 15. August steht diese Frist grundsätzlich still (Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG). Diese Vorschrift gilt in Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen indessen nicht (Art. 46 Abs. 2 BGG).
2. Das angefochtene Urteil hat der Beschwerdeführer am 26. Juli 2007 in Empfang genommen. Der erste Tag der dadurch ausgelösten Beschwerdefrist (Art. 44 Abs. 1 BGG) von 30 Tagen war der 27. Juli 2007 und der letzte der 27. August 2007, zumal der 30. Tag (25. August 2007) auf einen Samstag fiel (Art. 45 Abs. 1 BGG). Die erst am 14. September 2007 zur Post gebrachte Beschwerdeschrift ist somit verspätet eingereicht worden, so dass auf die beiden Beschwerden nicht einzutreten ist.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist der Beschwerdeführer grundsätzlich kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Da die Beschwerden nach dem Gesagten von vornherein als aussichtslos erschienen, ist sein Gesuch, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). In Anbetracht der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers ist von einer Auferlegung von Gerichtskosten jedoch abzusehen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Bezüglich der Gerichtskosten ist das von der Beschwerdegegnerin gestellte Armenrechtsgesuch gegenstandslos. Da im Übrigen bei der Beschwerdegegnerin die Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 BGG offensichtlich erfüllt sind, ist ihrem Gesuch stattzugeben und ihre Anwältin zur Rechtsbeiständin zu ernennen. Für den Fall der Uneinbringlichkeit der vom Beschwerdeführer zu zahlenden Parteientschädigung ist die Rechtsbeiständin aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen und auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. 2.1 Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
2.2 Das Gesuch der Beschwerdegegnerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird gutgeheissen, und es wird der Beschwerdegegnerin in der Person von Rechtsanwältin lic. iur. Doris Vogel eine unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Beschwerdeführer wird verpflichtet, die Beschwerdegegnerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 600.-- zu entschädigen; im Falle der Uneinbringlichkeit wird Rechtsanwältin lic. iur. Doris Vogel aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 500.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Wallis (Kassationshof in Zivilsachen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel