Sachverhalt:
A.
A.X._ (geb. 1976) ist Staatsangehöriger von Mexiko. Seit 2007 lebte er in den USA, wo er die Schweizerin B.X._ (geb. 1976) kennen lernte. Aus dieser Beziehung ging die Tochter C.X._ (geb. am 21. Februar 2009) hervor. B.X._ liess sich im Mai 2009 von ihrem ersten Ehemann scheiden und kehrte im Frühling 2010 in die Schweiz zurück. A.X._ folgte ihr wenig später nach, und im August 2010 heirateten die beiden. Im Herbst 2010 kam es zu tätlichen Auseinandersetzungen, in deren Folge B.X._ leichte Verletzungen erlitt.
Die Eheleute erwogen daraufhin zum Wohl ihrer Tochter die Trennung. Im April 2011 ordnete die Vormundschaftsbehörde Frauenfeld für C.X._eine Beistandschaft an. Am 4. April 2011 ersuchte A.X._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, was ihm auch gewährt wurde. Am 19. April 2011 ersuchten die Eheleute gemeinsam um Scheidung ihrer Ehe. Im Scheidungsurteil vom 26. April 2011 wurde - entsprechend dem Antrag der Eheleute - unter anderem was folgt festgelegt:
"2. Die Tochter C.X._... wird der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter zugeteilt.
3. Der Vater wird für berechtigt erklärt, die Tocher C.X._jedes Wochenende von Sonntag 9.00 Uhr bis 18.00 Uhr zu oder mit sich auf Besuch zu nehmen. Bezieht die Ehefrau Ferien, fällt das Besuchsrecht ersatzlos aus. Den Parteien steht es frei, ein weitergehendes Besuchsrecht sowie ein Ferienbesuchsrecht zu vereinbaren. Die Parteien werden sich über ein Ferienbesuchsrecht zu gegebener Zeit verständigen und wissen, dass ein solches ab einem gewissen Alter der Tochter notwendig ist. (...) "
B.
Mit Verfügung vom 12. Dezember 2011 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die weitere Verlängerung der am 9. Mai 2012 ablaufenden Aufenthaltsbewilligung von A.X._ ab und es wies ihn aus der Schweiz weg. Gegen diesen Entscheid beschwerte sich A.X._ erfolglos beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, das die Beschwerde mit Urteil vom 12. September 2012 abwies.
C.
Mit Eingabe vom 8. November 2012 führt A.X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen, die kantonalen Behörden seien anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Thurgau zu verlängern.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 14. Juni 2013 an einer öffentlichen Sitzung beraten.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (BGE 138 I 475 E. 1 S. 476).
1.2. Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen. Im vorliegenden Fall kann sich ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung aus Art. 50 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) ergeben, wonach der Bewilligungsanspruch des Ehegatten nach Auflösung der Ehe oder Familiengemeinschaft fortbesteht, wenn "wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen" (vgl. E. 2.1 hiernach). Die Tochter des Beschwerdeführers ist Schweizer Bürgerin und verfügt hier somit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht. Da der Beschwerdeführer mit ihr eine intakte Beziehung pflegt, die auch tatsächlich gelebt wird, kann sich ein Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der umstrittenen Bewilligung zudem aus dem von Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) gewährleisteten Recht auf Familienleben ergeben (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146). Ob die Bewilligung tatsächlich zu erteilen bzw. zu verlängern ist, bildet nicht Eintretensfrage, sondern Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 150).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG), muss in der Beschwerdeschrift nach den Anforderungen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG vorgebracht und begründet werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nachdem die Ehe des Beschwerdeführers mit seiner Schweizer Gattin aufgelöst wurde, kann er sich nicht mehr auf diese Bestimmung berufen. Art. 50 Abs. 1 AuG sieht jedoch vor, dass der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 und Art. 43 AuG im Anschluss an die Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft weiterbesteht, wenn (lit. a) die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht oder (lit. b) wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen. Im vorliegenden Fall hat die Ehegemeinschaft in der Schweiz unbestrittenermassen weniger als drei Jahre gedauert. Zu prüfen bleibt indes, ob wichtige persönliche Gründe für einen weiteren Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz vorliegen. Solche Gründe können insbesondere in einer schützenswerten Beziehung zu einem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kind bestehen (vgl. Urteil 2C_327/2010 vom 19. Mai 2011 E. 2.2 in fine, nicht publ. in BGE 137 I 247).
2.2. Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind jedoch von vornherein nur in beschränktem Rahmen pflegen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Um dieses wahrnehmen zu können, ist es in der Regel nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 13 Abs. 1 BV) ist es grundsätzlich ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind. Gemäss der ständigen bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts kann ein weitergehender Anspruch nur dann in Betracht fallen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (sog. tadelloses Verhalten; BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5; 120 Ib 22 E. 4 S. 24 ff.; Urteile 2C_1231/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 3.3; 2C_858/2012 vom 8. November 2012 E. 2.2; 2C_751/2012 vom 16. August 2012 E. 2.3).
2.3. Das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung wurde bis anhin stets daran gemessen, ob ein "grosszügig ausgestaltetes" Besuchsrecht eingeräumt worden ist und dieses kontinuierlich, spontan und reibungslos ausgeübt wird (vgl. beispielsweise Urteil 2C_145/2012 vom 16. Juli 2012 E. 2.3.1 m.w.H.). In diesem Zusammenhang ist nun festzustellen, dass die Ausgestaltung des Besuchsrechts des nicht sorgeberechtigten Elternteils während der letzten Jahre eine erhebliche Entwicklung erfahren hat (vgl. Cyril Hegnauer in: Hausheer [Hrsg.], Berner Kommentar, 4. Aufl. 1997, Rz. 100 zu Art. 273 ZGB m.H) : Früher war ein persönlicher Kontakt entweder überhaupt nicht vorgesehen ("Zahlvaterschaft") oder nur in sehr beschränktem Masse möglich (vgl. Richard Blum, Der persönliche Verkehr mit dem unmündigen Kind, Diss. Zürich 1983, S. 83 ff.); in BGE 100 II 76 E. 4 S. 81 bezeichnete das Bundesgericht im Jahr 1974 ein Besuchsrecht von einem Tag pro Monat und zwei Wochen Ferien pro Jahr als gerichtsüblich. Demgegenüber hat sich heute die Auffassung durchgesetzt, dass die gelungene Regelung des Kontakts für das Kind von grosser Bedeutung ist. Namentlich wird dadurch die Scheidungsverarbeitung erleichtert und eine normgemässe Persönlichkeitsentwicklung des Kindes gefördert (Joachim Schreiner in: Schwenzer [Hrsg.], Scheidung, Band II: Anhänge, 2. Aufl. 2011, Anh. Psych. N 182 m.H.). Aus diesem Grund sind grosszügig (er) ausgestaltete Besuchsrechte zunehmend verbreitet: In der Romandie sehen die entsprechenden Vereinbarungen schon seit längerem vor, dass das Kind jedes zweite Wochenende und die Hälfte der Ferien beim getrennt lebenden Elternteil verbringt. Auch in der Deutschschweiz gilt jedenfalls bei einvernehmlichen Regelungen mittlerweile ein ähnlich grosszügiger Massstab (Ingeborg Schwenzer in: Honsell/Vogt/Geiser [Hrsg.], Basler Kommentar - Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, Rz. 15 zu Art. 273 ZGB; vgl. auch Schreiner, a.a.O., Anh. Psych. N 162; Linus Cantieni, Gemeinsame elterliche Sorge nach Scheidung, 2007, S. 194). Diese Entwicklung des Besuchsrechts hat auch eine Reflexwirkung auf die Qualifikation der affektiven Beziehung zwischen dem nicht sorgeberechtigten Elternteil und seinem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kind: Während die ursprünglich geforderte Intensität bei Begründung der aufgezeigten Bewilligungspraxis (BGE 120 Ib 1) einem besonders ausgeprägten resp. "grosszügig ausgestalteten" Besuchsrecht entsprach, so widerspiegelt der gleiche quantitative Umfang des persönlichen Kontakts heute nicht mehr als das allgemein Übliche. Dies macht es erforderlich, zu prüfen, ob bzw. inwieweit die gestellten Anforderungen an die heutigen Gegebenheiten anzugleichen sind.
2.4. Ausländer, die aufgrund einer inzwischen aufgelösten ehelichen Gemeinschaft mit einem/-er schweizerischen Staatsangehörigen oder einer Person mit Niederlassungsbewilligung bereits eine Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz besitzen, können sich - wie bereits aufgezeigt - nicht nur auf Art. 8 EMRK berufen; seit dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes per 1. Januar 2008 haben sie gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG auch kraft Bundesrecht einen (bedingten) Anspruch auf die Bewilligungsverlängerung, soweit die in dieser Bestimmung statuierten Voraussetzungen erfüllt sind. Zudem hatten sie durch den legalen Aufenthalt in der Schweiz auch Gelegenheit, sich hier in legitimer Weise zu integrieren und vertiefte Verbindungen zur Schweiz zu knüpfen. Insoweit unterscheiden sie sich von jenen Ausländern, welche aufgrund ihrer Elternschaft zu einem hier anwesenheitsberechtigten Kind erstmals um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersuchen: Letztere haben keine qualifizierten vorbestehenden Verbindungen zur Schweiz und können ihr Gesuch auch nicht auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG, sondern ausschliesslich auf Art. 8 EMRK abstützen. Aufgrund dieser Unterschiede rechtfertigt es sich grundsätzlich, die Anforderungen für den bereits in der Schweiz ansässigen, besuchsberechtigten (ehemaligen) Ehegatten weniger streng zu handhaben (vgl. Urteil 2C_692/2011 vom 22. September 2011 E. 2.2.2 in fine). Das trägt auch Art. 9 Abs. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention; SR 0.107) Rechnung: Gemäss dieser Bestimmung achten die Vertragsstaaten das Recht des Kindes, das von einem oder beiden Elternteilen getrennt ist, regelmässige persönliche Beziehungen und unmittelbare Kontakte zu beiden Elternteilen zu pflegen, soweit dies nicht dem Wohl des Kindes widerspricht. Zwar hat das Bundesgericht schon mehrfach festgehalten, dass die Bestimmungen der Kinderrechtskonvention keinen unmittelbaren Anspruch auf die Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung gewähren (BGE 126 II 377 E. 5 S. 391 f.; 124 II 361 E. 3b S. 367). Eine mittelbare Berücksichtigung dieser Normen im Rahmen der Auslegung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist jedoch möglich und angezeigt.
2.5. Gemäss den obenstehenden Ausführungen drängt sich eine Präzisierung der Rechtsprechung im folgenden Sinne auf:
Bei nicht sorgeberechtigten ausländischen Elternteilen eines hier aufenthaltsberechtigten Kindes, welche aufgrund einer inzwischen aufgelösten ehelichen Gemeinschaft mit einem/-er schweizerischen Staatsangehörigen oder einer Person mit Niederlassungsbewilligung bereits eine Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz besassen, ist das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung künftig bereits dann als erfüllt anzusehen, wenn der persönliche Kontakt im Rahmen eines nach heutigem Massstab üblichen Besuchsrechts ausgeübt wird.
Bei Ausländern, welche erstmals um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersuchen, ist dagegen weiterhin das Bestehen einer besonders qualifizierten Beziehung zum hier lebenden Kind zu verlangen: Erforderlich bleibt in jenen Fällen ein grosszügig ausgestaltetes Besuchsrecht, wobei "grosszügig" dort im Sinne von "deutlich mehr als üblich" zu verstehen ist.
In jedem Fall kommt es weiterhin darauf an, dass das Besuchsrecht kontinuierlich und reibungslos ausgeübt wird. Das formelle Ausmass des Besuchsrechts ist mit anderen Worten nur insoweit massgeblich, als dieses auch tatsächlich wahrgenommen wird. Die faktische Ausübung des persönlichen Kontakts muss daher von der zuständigen Behörde notwendigerweise mit geeigneten Massnahmen abgeklärt werden.
Festzuhalten ist zudem an den übrigen Voraussetzungen einer Bewilligungsverlängerung: Nach wie vor bleibt es erforderlich, dass auch in wirtschaftlicher Hinsicht eine besonders intensive Beziehung zwischen dem Kind und dem nicht sorgeberechtigten Elternteil besteht und dass Letzterer sich tadellos verhalten hat.
2.6. Nach dem Ausgeführten bleibt daher zu prüfen, ob der Beschwerdeführer bezüglich seiner Tochter ein Besuchsrecht ausübt, welches dem hiervor aufgezeigten, üblichen Umfang entspricht. Sodann ist zu klären, ob der Vater eine signifikante finanzielle Unterstützung an die Tochter leistet und ob sich der Beschwerdeführer wohlverhalten hat.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat das Vorliegen einer besonders engen affektiven Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter (im Sinne der bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts) verneint. Im Wesentlichen begründete es dies einerseits mit dem Verhalten des Beschwerdeführers, nachdem es in den USA erstmals zu ehelichen Problemen gekommen war, und andererseits insbesondere auch mit dem Umfang des Besuchsrechts, welches das Verwaltungsgericht als "keineswegs grosszügig" bezeichnet hat.
Was den letztgenannten Punkt betrifft, ist auf die obenstehende Praxispräzisierung hinzuweisen und festzustellen, dass der Beschwerdeführer seine Tochter jeden Sonntag ganztags - 09:00 bis 18:00 Uhr - zu sich nimmt. Bei einem Kleinkind von zwei Jahren entspricht dies ohne Weiteres einem Besuchsrecht im hiervor aufgezeigten, üblichen Umfang. Dass dieses auch tatsächlich ausgeübt wird, lässt sich den aktenkundigen Äusserungen der Kindsmutter und der mit dem Vollzug des Besuchsrechts betrauten Sachbearbeiterin hinreichend entnehmen.
In ihrem Urteil hält die Vorinstanz fest, nachdem es in den USA erstmals zu ehelichen Problemen gekommen sei, habe der Beschwerdeführer Mutter und Tochter verlassen; er sei zurück nach Mexiko gereist und es habe ihn nichts dazu veranlasst, weiter dort leben zu wollen, wo sich seine Tochter aufhielt (vgl. E. 7.1 des angefochtenen Entscheids). Dem Aktenstück, auf das sich das Verwaltungsgericht beruft (Akten des Migrationsamts A/12), lässt sich die Aussage des Beschwerdeführers entnehmen, er habe eigentlich schon damals gewusst, dass B.X._ nicht die Frau fürs Leben sei, doch habe er "einfach die Verantwortung auch für die Tochter übernommen". Es sei ihm nicht gut gegangen, er habe "so etwas wie eine Depression" gehabt und sei zurück nach Mexiko gegangen. Er sei etwa zwei Monate dort gewesen. Dann habe seine Frau ihn angerufen und vorgeschlagen, sie sollten "es nochmals in der Schweiz probieren". Er habe auch seine Tochter vermisst.
Bei isolierter Betrachtung dieser Äusserung lässt sich in der Tat vermuten, zum damaligen Zeitpunkt - im Frühling 2010 - habe den Beschwerdeführer keine enge Beziehung mit seiner Tochter verbunden. Allerdings lässt sich demselben Aktenstück auch entnehmen, dass die Tochter vom Zeitpunkt der Einreise des Beschwerdeführers in die Schweiz im Mai 2010 bis zur Trennung im Frühling 2011 mehrheitlich von ihm betreut wurde. Ähnliches ergibt sich aus dem Schreiben der Kindsmutter vom 24. Januar 2012 an das Migrationsamt, wo sie ausführt, der Beschwerdeführer habe sich von Anfang an sehr an der Betreuung des Kindes beteiligt und er sei seit der Geburt von C.X._stets ein engagierter, verantwortungs- und liebevoller Vater gewesen.
Bei einer Gesamtwürdigung dieser Sachlage ist das Vorliegen einer engen affektiven Verbindung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter zu bejahen. Angesichts der grossen Distanz zwischen der Schweiz und Mexiko wäre es zudem kaum möglich, dieses persönliche Verhältnis aufrechtzuerhalten.
3.2. Mit Scheidungsurteil vom 26. April 2011 wurde der Beschwerdeführer verpflichtet, an den Unterhalt seiner Tochter monatlich Fr. 800.-- zu leisten. Er macht geltend, diesen Betrag immer rechtzeitig geleistet zu haben und dies weiterhin zu tun. Sofern sich dies als zutreffend erweist, steht fest, dass er damit einen namhaften Beitrag an den Unterhalt seiner Tochter leistet. Mithin bestünde auch in wirtschaftlicher Hinsicht eine hinreichend enge Vater-Kind-Beziehung.
3.3. Die Vorinstanz ist der Auffassung, dem Beschwerdeführer sei eine Aufenthaltsbewilligung auch deshalb zu verweigern, weil er verschiedentlich zu Klagen Anlass gegeben habe. Zum einen habe er gegen die in Art. 90 lit. a AuG festgehaltene Verpflichtung verstossen, vollständige Angaben über die für die Regelung des Aufenthaltsrechts wesentlichen Tatsachen zu machen, indem er die Zerrüttung seiner Ehe verschwiegen habe; zum anderen sei er gegenüber seiner ehemaligen Ehefrau mehrmals gewalttätig geworden.
Den Vorhalt der unvollständigen Auskunftserteilung begründet die Vorinstanz mit der am 5. April 2011 abgegebenen Erklärung des Beschwerdeführers, bei seiner Schweizer Gattin bleiben zu wollen: Da die Eheleute bereits am 19. April 2011 das Scheidungsbegehren gestellt hätten, sei seine Behauptung unglaubwürdig, der Scheidungswille sei erst am 17. April 2011 entstanden. In der Tat erscheint die zeitliche Abfolge resp. der geringe zeitliche Abstand zwischen der abgegebenen Erklärung des Beschwerdeführers und der Einreichung des Scheidungsbegehrens auffällig. Indessen lässt sich den Akten entnehmen, dass es am 17. April 2011 zu einer massiven ehelichen Auseinandersetzung gekommen ist, wobei offenbar der Beschwerdeführer die Polizei gerufen und um Hilfe gebeten hat (vgl. das Schreiben der geschiedenen Gattin vom 20. April 2012 [Beilage 3 zur vorinstanzlichen Beschwerde]; Schreiben der Kantonspolizei Thurgau vom 25. Oktober 2012 [Beschwerdebeilage 4]). Insoweit ist es immerhin vorstellbar, das erst dieses Vorkommnis bei den Eheleuten zur definitiven Einsicht geführt hat, ihre Beziehung sei nicht mehr zu retten.
Bezüglich der tätlichen Auseinandersetzungen zwischen dem Beschwerdeführer und seiner geschiedenen Ehefrau hielt das Verwaltungsgericht fest, der Beschwerdeführer habe seine Gattin im Herbst 2010 ein erstes Mal geschlagen. Am 4. November 2010 habe diese nach einer erneuten tätlichen Auseinandersetzung die Polizei gerufen. Sie habe Verletzungen in Form von Schwellungen der rechten Wange, ihrer Oberlippe sowie unterhalb ihres rechten Auges erlitten. Zudem sei ein Teil eines Schneidezahns unten rechts abgebrochen. Das Verhalten des Beschwerdeführers habe zu seiner Ausweisung aus der gemeinsamen Wohnung geführt.
Diesen Ausführungen der Vorinstanz hält der Beschwerdeführer entgegen, es sei zwar richtig, dass es zwischen ihm und seiner geschiedenen Gattin mehrmals zu einem heftigen Streit gekommen sei. Anlässlich dieser Auseinandersetzungen sei jedoch auch die Gattin handgreiflich geworden und sie habe zudem verbal stark provoziert. Letzteres räumte die Ehegattin anlässlich ihrer Einvernahme bei der Kantonspolizei Thurgau sinngemäss ein. Erstellt ist zudem, dass die ehelichen Auseinandersetzungen zu keiner strafrechtlichen Verurteilung des Beschwerdeführers geführt haben.
Da das Verwaltungsgericht bereits das Vorhandensein einer besonders intensiven affektiven Beziehung im Lichte der bisherigen Rechtsprechung verneinte, musste es sich konsequenterweise auch nicht im Detail mit der Frage des tadellosen Verhaltens des Beschwerdeführers auseinandersetzen. Angesichts der nunmehr veränderten Ausgangslage kommt den genauen Umständen der ehelichen Auseinandersetzungen zwischen dem Beschwerdeführer und seiner geschiedenen Gattin indes heute eine gewichtigere Bedeutung zu und sie erweisen sich für die Entscheidung der Streitsache als massgeblich. Dies rechtfertigt es, die Angelegenheit zu weiteren und vertieften Abklärungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen : Zu prüfen ist dabei insbesondere, ob die genannten tätlichen Auseinandersetzungen im Rahmen von ehelichen Streitigkeiten erfolgten, die beiderseits mit unangemessenen Mitteln geführt wurden, oder ob von einer einseitigen, erheblichen häuslichen Gewalt des Beschwerdeführers auszugehen ist. Im ersten Fall wäre das Erfordernis des tadellosen Verhaltens als erfüllt zu erachten, im zweiten Fall wäre diese Bewilligungsvoraussetzung zu verneinen.
4.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als begründet. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 12. September 2012 ist aufzuheben und die Sache zu weiterer Abklärung und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Prozessausgang sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 12. September 2012 aufgehoben und die Sache zu weiterer Abklärung und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler