Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der Lebensgefährdung, einfachen Körperverletzung, versuchten schweren Körperverletzung, Drohung, Nötigung, mehrfachen Gewalt und Drohung gegen Beamte, Sachbeschädigung, des Diebstahls sowie diverser Strassenverkehrsdelikte. Er wurde am 17. August 2011 polizeilich festgenommen und auf Antrag der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 19. August 2011 durch das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt in Untersuchungshaft versetzt.
B. Das Zwangsmassnahmengericht befristete die Haft vorläufig bis zum 11. November 2011. Eine vom Beschuldigten gegen den Haftanordnungsentscheid gerichtete Beschwerde wies der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. September 2011 ab. Die vom Beschuldigten beim Bundesgericht dagegen erhobene Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 24. Oktober 2011 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 1B_552/2011).
C. Mit Verfügung vom 11. November 2011 verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft (auf Antrag der Staatsanwaltschaft vom 7. November 2011) bis zum 3. Februar 2012. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde wies der Appellationsgerichtspräsident mit Entscheid vom 8. Dezember 2011 ab. Die unentgeltliche Rechtspflege bewilligte er nicht.
D. Gegen den Entscheid vom 8. Dezember 2011 des Appellationsgerichtspräsidenten gelangte X._ mit Beschwerde vom 29. Dezember 2011 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine sofortige Haftentlassung.
Das Zwangsmassnahmengericht und der Appellationsgerichtspräsident verzichteten am 2. bzw. 3. Januar 2012 je auf die Einreichung einer Stellungnahme zur Beschwerde und verwiesen auf die Haftverlängerungsverfügung vom 11. November 2011 bzw. auf den angefochtenen Entscheid vom 8. Dezember 2011. Die Staatsanwaltschaft verzichtete am 4. Januar 2012 ebenfalls auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass. Art. 98 BGG gelangt hier nicht zur Anwendung (vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1).
2. Untersuchungshaft ist (vom Spezialfall der Ausführungsgefahr nach Art. 221 Abs. 2 StPO abgesehen) nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist (Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO) und zudem ein besonderer Haftgrund im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. a-c StPO vorliegt (insbesondere Kollusionsgefahr, lit. b, oder Wiederholungsgefahr, lit. c). Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen von Haftgründen und rügt insbesondere eine Verletzung der persönlichen Freiheit.
3. In seinem Urteil vom 24. Oktober 2011 hat das Bundesgericht dargelegt, was die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer gemäss den bisherigen Untersuchungsergebnissen zur Last legt. Es hat die rechtlichen Voraussetzungen des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes erörtert und erwogen, dass diese (im Zeitpunkt der Haftanordnung und ihrer Überprüfung) erfüllt waren (vgl. Urteil 1B_552/2011 E. 2-3). Auf diese ausführlichen Erwägungen kann hier sinngemäss verwiesen werden.
3.1 Was der Beschwerdeführer im vorliegenden Haftverlängerungsverfahren neu vorbringt, lässt den dringenden Tatverdacht nicht dahinfallen: Unter anderem wird ihm vorgeworfen, er habe am 7. August 2011 eine Frau angegriffen und gewürgt und sie am 17. August 2011 nochmals aufgesucht und mit dem Tode bedroht. Zwar behauptet der Beschwerdeführer, die Anzeigerin habe anlässlich einer weiteren Befragung vom 18. November 2011 (indirekte Konfrontationseinvernahme) sinngemäss ihren Strafantrag zurückgezogen, weshalb in diesem untersuchten Fall keine Strafverfolgung (wegen Körperverletzung und Drohung) mehr zulässig sei. Diese Interpretation findet in den Untersuchungsakten jedoch keine Stütze. Darüber hinaus besteht der dringende Tatverdacht weiterer Verbrechen und Vergehen zum Nachteil diverser Personen, den der Beschwerdeführer nicht bestreitet.
3.2 In diesem Zusammenhang sind auch weder willkürliche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz ersichtlich, noch eine das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzende mangelhafte Begründung des angefochtenen Entscheides. Die erneut erhobene Rüge, es verstosse gegen die strafprozessuale Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV), dass die kantonalen Instanzen die Anzeigerin mitunter als "Opfer" (und nicht ausnahmslos als "mutmassliches" Opfer) bezeichnet hätten, ist offensichtlich unbegründet und wurde schon im Urteil des Bundesgerichts vom 24. Oktober 2011 (E. 4.4.2) ausdrücklich verworfen.
4. Zwar bestreitet der Beschwerdeführer auch das Vorliegen eines besonderen Haftgrundes (Kollusionsgefahr bzw. Wiederholungsgefahr). Er setzt sich mit den entsprechenden Erwägungen der Vorinstanzen jedoch nur beiläufig auseinander (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG).
In seinem Urteil vom 24. Oktober 2011 hat das Bundesgericht (mit ausführlicher Begründung) erwogen, dass der Beschwerdeführer bereits Kollusionshandlungen nachweislich begangen hat und dass bei ihm die Neigung zu weiteren Verdunkelungsversuchen als erheblich einzustufen ist (vgl. Urteil 1B_552/2011 E. 4). Der blosse Hinweis, es habe eine Konfrontationseinvernahme mit einer Anzeigerin stattgefunden, lässt den von den Vorinstanzen dargelegten Haftgrund der Kollusionsgefahr nicht dahinfallen. Nicht substanziiert zu entkräften vermag der Beschwerdeführer auch die begründete Befürchtung, dass er nach einer Haftentlassung weiterhin Personen angreifen, verletzen, am Leben gefährden und bedrohen könnte. Im Übrigen kann hier aber offen bleiben, ob neben der Verdunkelungsgefahr auch noch der alternative besondere Haftgrund der Wiederholungsgefahr erfüllt wäre.
5. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, dass die (von den kantonalen Instanzen dargelegte) Kollusions- und Fortsetzungsgefahr durch blosse Ersatzmassnahmen für Untersuchungshaft (wie Kontakt- oder Rayonverbot, ambulante ärztliche Betreuung usw.) im jetzigen Verfahrensstadium nicht ausreichend gebannt werden könne. Der Beschwerdeführer habe sich "wiederholt unter den Augen" der Polizei "in eklatanter Weise über hoheitliche Anordnungen hinweggesetzt". Eine Opferzeugin habe er massiv zu beeinflussen versucht. Bei einer gegen ihn erfolgten Festnahme habe er gegenüber Polizeibeamten (laut deren Rapport) erklärt, nur er sei in der Lage, "richtig für Ruhe und Ordnung" zu sorgen. Da die Polizei nötigenfalls Zwangsmassnahmen bzw. "Hilfsmittel" (wie z.B. Pfeffersprays) einsetzen dürfe, sei er (seiner Ansicht nach) dazu "selbstverständlich" auch berechtigt, weshalb er "jederzeit wieder" davon Gebrauch machen werde. Mit den diesbezüglichen Erwägungen des Appellationsgerichtspräsidenten (schon in dessen Beschwerdeentscheid vom 14. September 2011) habe der Beschwerdeführer sich inhaltlich nicht auseinandergesetzt.
Aus diesen Erwägungen und den Vorbringen des Beschwerdeführers wird keine Verletzung von Bundesrecht ersichtlich (vgl. Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO; s. auch schon Urteil des Bundesgerichts vom 24. Oktober 2011, E. 4.6).
6. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine unverhältnismässige Haftdauer bzw. die Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen.
6.1 Die kantonalen Instanzen legen dem Beschwerdeführer Lebensgefährdung, einfache Körperverletzung, versuchte schwere Körperverletzung, Drohung, Nötigung, mehrfache Gewalt und Drohung gegen Beamte, Diebstahl, Sachbeschädigung sowie diverse Strassenverkehrsdelikte zur Last. Laut dem angefochtenem Entscheid ist er bereits mehrfach vorbestraft (unter anderem wegen wiederholten Betrugs, Hinderung einer Amtshandlung und einer Vielzahl von Strassenverkehrsdelikten). Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, droht dem Beschwerdeführer im Falle einer Anklageerhebung und Verurteilung eine empfindliche Freiheitsstrafe (vgl. auch Urteil des Bundesgerichts vom 24. Oktober 2011, E. 5). Die bisherige Haftdauer von ca. fünf Monaten ist noch nicht in grosse Nähe der konkret in Frage kommenden freiheitsentziehenden Sanktion gerückt (vgl. Art. 212 Abs. 3 StPO; BGE 133 I 168 E. 4.1 S. 170 f., 270 E. 3.4.2 S. 281 f.; 132 I 21 E. 4.1-4.2 S. 27 f.).
6.2 Der Beschwerdeführer beanstandet weiter eine angebliche massive Verletzung des Beschleunigungsgebotes. Das von der Staatsanwaltschaft am 7. November 2011 in Auftrag gegebene psychiatrische Gutachten sei frühestens auf 31. März 2012 zu erwarten. Die Konfrontationseinvernahme mit einer Opferzeugin habe erst am 18. November 2011 stattgefunden. Er, der Beschwerdeführer, sei längere Zeit nicht mehr befragt worden; eine auf 21. Dezember 2011 angesetzte Einvernahme habe (wegen einer notwendig gewordenen Spitaleinweisung des Beschwerdeführers) auf 28. Dezember 2011 verschoben werden müssen.
6.3 Aus den vorliegenden Akten werden keine Verfahrensverzögerungen der Untersuchungsbehörde ersichtlich, welche eine sofortige Haftentlassung als geboten erscheinen liessen (vgl. BGE 133 I 270 E. 3.4.2 S. 281; 132 I 21 E. 4.1 S. 28 mit Hinweisen). Angesichts der diversen abzuklärenden Vorwürfe und der divergierenden Sachdarstellungen der (zwischen 7. August und 28. Oktober 2011 zunächst einzeln befragten) verschiedenen Strafanzeiger bzw. des Beschuldigten begründet eine Konfrontationseinvernahme drei Monate nach Vorfall der untersuchten Delikte keinen Vorwurf der Verfahrensverschleppung. Im Gegenteil ergibt sich aus den Akten ein zügige Untersuchungsführung, zumal die Staatsanwaltschaft am 28. November 2011 eine baldige Anklageerhebung in Aussicht gestellt hat. Ebenso wenig lässt eine voraussichtliche psychiatrische Begutachtungsdauer von knapp fünf Monaten (bzw. von ca. sieben Monaten seit der Haftanordnung) eine Verletzung von Art. 31 Abs. 3 BV bzw. Art. 5 Abs. 2 StPO erkennen. Zwar kann es sich in Fällen wie dem vorliegenden (in Nachachtung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen) aufdrängen, vom psychiatrischen Experten vorab eine Kurzbeurteilung einzuholen zu Fragen, welche sich auf die Prüfung der Haftgründe (hier: Kollusionsgefahr und Wiederholungsgefahr) auswirken (vgl. BGE 128 I 149 E. 4.4 S. 154; Art. 226 Abs. 4 lit. b StPO; zu betreffenden Praxis s. auch Marc Forster, Basler Kommentar StPO, Basel 2011, Art. 226 N. 11 und Art. 227 N. 10; DANIEL LOGOS, Code de procédure pénale suisse, Commentaire romand, Basel 2011, Art. 226 N. 18). Der Beschwerdeführer räumt jedoch ein, dass die Untersuchungsbehörde den Experten "im November 2011" telefonisch darauf hingewiesen habe, dass "ein Haftfall" vorliege, der beschleunigt zu behandeln sei, bzw. dass sie ihn aufgefordert habe, das Gutachten "etwas schneller" zu erstellen.
7. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Abweisung seines Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren verletze Art. 29 Abs. 3 und Art. 9 BV. Er habe das Rechtsmittel gegen einen äusserst einschneidenden Eingriff in die persönliche Freiheit ergriffen. Sein Beschwerderecht werde vom Bundesrecht garantiert. Im Hauptverfahren sei ihm die Offizialverteidigung bzw. notwendige Verteidigung von der Staatsanwaltschaft bewilligt worden, und auch im Haftprüfungsverfahren habe er einen gesetzlichen Anspruch auf notwendige Verteidigung. Seine finanzielle Bedürftigkeit sei belegt, und die juristische Verbeiständung erscheine angesichts seiner mehrmonatigen Inhaftierung als sachlich geboten. Bei der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung wegen angeblicher Aussichtslosigkeit der Beschwerde handle es sich um eine unzulässige "Disziplinierung" der Verteidigung, die damit offenbar von einer wirksamen Interessenwahrung in Haftsachen abgehalten werden solle.
7.1 Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf Art. 132 Abs. 1 lit. b StPO bzw. Art. 29 Abs. 3 BV. Im StPO-Beschwerdeverfahren sei eine Offizialverteidigung nur zu bewilligen, wenn das Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Bei schwerwiegenden Eingriffen in die Rechte von Beschwerdeführenden sei Aussichtslosigkeit zwar nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen. Auch in Haftprüfungsfällen bestehe jedoch kein bedingungsloser Anspruch auf kostenlose Beschwerdeführung und Rechtsverbeiständung. Daran ändere auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführer im Hauptverfahren die Voraussetzungen der notwendigen Verteidigung (Art. 130 StPO) erfülle. Eine Partei, welche bei vernünftiger Abwägung das fragliche Rechtsmittel auf eigene Rechnung und Gefahr nicht ergreifen würde, solle ein gerichtliches Nebenverfahren nicht bloss deshalb folgenlos anstrengen können, weil es sie vermutlich nichts kosten wird. Es sei daher auch bei Haftbeschwerden aufgrund der konkreten Verhältnisse im Einzelfall zu prüfen, ob das im Nebenverfahren verfolgte Prozessziel zum Vornherein aussichtslos erscheint oder nicht. Die im kantonalen Beschwerdeverfahren erhobenen Vorbringen seien grösstenteils schon im konnexen Haftanordnungsverfahren vom Zwangsmassnahmengericht, vom Appellationsgerichtspräsidenten und vom Bundesgericht (im Verfahren 1B_552/2011) geprüft und abschlägig entschieden worden. Soweit im Haftverlängerungsverfahren neue Rügen vorgebracht worden seien, erwiesen sich diese als offensichtlich unbehelflich.
7.2 An der bisherigen Lehre und Praxis, wonach die unentgeltliche Rechtspflege bei Haftbeschwerden (und anderen strafprozessualen Nebenverfahren) von der Nichtaussichtslosigkeit des konkret verfolgten Prozessziels abhängig gemacht werden kann, ist auch nach Inkrafttreten der StPO grundsätzlich festzuhalten (vgl. BGE 134 I 92 E. 3.2.1 S. 99; 129 I 129 E. 2.2.2 S. 134 f.; 281 E. 4.2-4.5 S. 287 f.; Maurice Harari/Tatiana Aliberti, Code de procédure pénale suisse, Commentaire romand, Basel 2011; Art. 132 N. 41; Niklaus Ruckstuhl, Basler Kommentar StPO, Basel 2011, Art. 130 N. 10; a.M. Niklaus Schmid, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, Zürich 2009, Art. 130 N. 2). Auch Art. 29 Abs. 3 BV garantiert einen unentgeltlichen Rechtspflegeanspruch nur bei nicht zum Vornherein aussichtslosen Rechtsmitteln. Die Annahme der Aussichtslosigkeit der kantonalen Beschwerde wird im angefochtenen Entscheid nachvollziehbar und ausführlich begründet. Sie erscheint nach dem Dargelegten bundesrechtskonform. Das Recht bedürftiger Parteien auf Prozessführung (Verzicht auf die gerichtliche Erhebung eines Kostenvorschusses als Prozessvoraussetzung) gewährleistet im Übrigen keinen Anspruch des beschwerdeführenden Kostenverursachers auf definitive Kostenbefreiung, weshalb auch die Auflage einer Gerichtsgebühr (hier von Fr. 500.--) nicht gegen Bundesrecht verstösst (vgl. BGE 135 I 91 E. 2.4.2.2-2.4.2.3 S. 96 f.; 122 I 5 E. 4a S. 6, 322 E. 2c S. 324; je mit Hinweisen).
8. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Er ist amtlich bzw. notwendig verteidigt und befindet sich seit einigen Monaten in strafprozessualer Haft. Seine finanzielle Bedürftigkeit wird ausreichend dargetan. Die Beschwerde war zumindest teilweise nicht zum Vornherein als aussichtslos zu erkennen. Die gesetzlichen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege sind noch knapp erfüllt (Art. 64 BGG), weshalb das Gesuch zu bewilligen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der amtlichen Verteidigerin des Beschwerdeführers, Rechtsanwältin Ana Dettwiler, wird für das Verfahren vor Bundesgericht aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft, dem Zwangsmassnahmengericht und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Forster