Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene K._ schloss im Sommer 1997 die Ausbildung zur Lehrerin für Schlagzeug an der Musik-Akademie der Stadt X._ ab. Seit August 1998 arbeitete sie teilzeitlich als Fachlehrerin Instrumental an der Musikschule Y._ sowie als Schlagzeuglehrerin an der Musikschule der Region Z._. Im Zeitraum Mai 1999 bis April 2000 war sie zudem als Musikerin an der Schule H._ in I._ tätig. Wegen rezidivierender depressiver Episoden stand K._ seit Juli 2001 in psychiatrischer Behandlung, im Sommer 2002 und 2003 im Rahmen eines mehrwöchigen stationären Spitalaufenthaltes. Ende Dezember 2003 meldete sich K._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen lehnte die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 6. April 2005 das Leistungsbegehren ab, was sie mit Einspracheentscheid vom 8. Dezember 2005 bestätigte.
A. Die 1969 geborene K._ schloss im Sommer 1997 die Ausbildung zur Lehrerin für Schlagzeug an der Musik-Akademie der Stadt X._ ab. Seit August 1998 arbeitete sie teilzeitlich als Fachlehrerin Instrumental an der Musikschule Y._ sowie als Schlagzeuglehrerin an der Musikschule der Region Z._. Im Zeitraum Mai 1999 bis April 2000 war sie zudem als Musikerin an der Schule H._ in I._ tätig. Wegen rezidivierender depressiver Episoden stand K._ seit Juli 2001 in psychiatrischer Behandlung, im Sommer 2002 und 2003 im Rahmen eines mehrwöchigen stationären Spitalaufenthaltes. Ende Dezember 2003 meldete sich K._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen lehnte die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 6. April 2005 das Leistungsbegehren ab, was sie mit Einspracheentscheid vom 8. Dezember 2005 bestätigte.
B. In Gutheissung der Beschwerde der K._ hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 8. Dezember 2005 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück damit sie aufgrund eines Invaliditätsgrades von 43 % eine Viertelsrente zuspreche und den Leistungsbeginn festsetze (Entscheid vom 31. August 2006).
B. In Gutheissung der Beschwerde der K._ hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 8. Dezember 2005 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück damit sie aufgrund eines Invaliditätsgrades von 43 % eine Viertelsrente zuspreche und den Leistungsbeginn festsetze (Entscheid vom 31. August 2006).
C. K._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist am 31. August 2006 ergangen. Das Verfahren richtet sich somit nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG). Das am 1. Januar 2007 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG [AS 2006 1205 ff., 1243]) ist insoweit nicht anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach dem 1. Juli 2006 anhängig gemacht worden ist, bestimmt sich die Kognition im vorliegenden Streit um eine höhere Invalidenrente nach Art. 132 OG in der seit 1. Juli 2006 geltenden Fassung (BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395). Es ist daher nur zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 104 lit. a OG), oder ob das kantonale Gericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG).
1.2 Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach dem 1. Juli 2006 anhängig gemacht worden ist, bestimmt sich die Kognition im vorliegenden Streit um eine höhere Invalidenrente nach Art. 132 OG in der seit 1. Juli 2006 geltenden Fassung (BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395). Es ist daher nur zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 104 lit. a OG), oder ob das kantonale Gericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Das kantonale Gericht hat die Invalidität nach der Einkommensvergleichsmethode bemessen (vgl. Art. 16 ATSG und BGE 128 V 29 E. 1 S. 30 in Verbindung mit BGE 130 V 343). In tatsächlicher Hinsicht hat es festgestellt, die Versicherte würde ohne gesundheitliche Beeinträchtigung ein erwerbliches Pensum von 87 %, aufgeteilt auf verschiedene Anstellungen sowie Musikprojekte mit Konzerten, leisten. Gemäss Gutachten des Dr. med. F._ vom 6. Mai 2004 sei sie als Folge der rezidivierenden depressiven Störung (ICD-10 F33.4) bei jeglicher Tätigkeit im Schnitt etwa zu 50 % arbeitsunfähig. Aufgrund dieser fachärztlichen Beurteilung, auf welche abzustellen sei, könnten Invaliden- und Valideneinkommen «parallelisiert» werden. Im Ergebnis führe dies zu einer am Grad der Arbeitsfähigkeit sich orientierenden Invaliditätsbemessung. Bei dieser Sachlage wäre aber nicht einzusehen, weshalb der Versicherten ein leidensbedingter Abzug im Sinne von BGE 126 V 75 zu gewähren wäre. Die Tatsache des gesundheitlich bedingt tieferen Arbeitspensums reiche als Grund für einen solchen Abzug nicht aus. Bei einem möglichen Arbeitspensum von 50 % und einem Pensum im Gesundheitsfall von 87 % ergebe sich ein Invaliditätsgrad von gerundet 43 % ([87 % - 50 %]/87 % x 100 %). Es bestehe somit Anspruch auf eine Viertelsrente (Art. 28 Abs. 1 IVG).
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird geltend gemacht, es sei von einer Vollzeittätigkeit ohne gesundheitliche Beeinträchtigung auszugehen und beim Invalideneinkommen sei ein leidensbedingter Abzug von 25 % vorzunehmen.
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird geltend gemacht, es sei von einer Vollzeittätigkeit ohne gesundheitliche Beeinträchtigung auszugehen und beim Invalideneinkommen sei ein leidensbedingter Abzug von 25 % vorzunehmen.
3. Die Annahme eines erwerblichen Arbeitspensums ohne gesundheitliche Beeinträchtigung von 87 % ist weder offensichtlich unrichtig noch das Ergebnis der Beweiswürdigung eines unvollständig festgestellten Sachverhalts (E. 1.2). Sie beruht auf den im Zeitpunkt der Abklärung vor Ort vom 16. Dezember 2004 bestandenen Anstellungen und Engagements der Versicherten sowie ihren Angaben gegenüber der Abklärungsperson zu den im Gesundheitsfall zusätzlichen erwerblichen Betätigungen. In diesem Zusammenhang wird die vorinstanzliche Feststellung, ein Arbeitspensum von 100 % erscheine bereits aufgrund der (zeitlich und örtlich) recht zersplitterten hypothetischen Aktivitäten aus praktischen Gründen, wie z.B. wegen Terminkollisionen, im Vergleich mit einem Pensum von 87 % als nicht überwiegend wahrscheinlich, zu Recht nicht beanstandet. Im Übrigen wird eine Konzerttätigkeit im Rahmen von Musikprojekten als Erwerbstätigkeit anerkannt, allerdings lediglich im Umfang von 7 % und nicht wie beantragt 20 %. Schliesslich wird nicht verkannt, dass Musiker regelmässig, nicht selten sogar täglich üben, um sich auf Musikstunden vorzubereiten und das Niveau zu halten, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Wird diese Zeit ebenfalls als entlöhnte Arbeitszeit betrachtet und ergibt sich daraus ein Pensum von mehr als 41,7 Stunden in der Woche, ist von einem entsprechend höheren individuellen Normalarbeitspensum auszugehen. Folgerichtig kann in einem solchen Fall nicht gesagt werden, die betreffende Person sei zu mehr als 100 % erwerbststätig. Festzustellen bleibt, dass die 87 % erwerbliches Pensum im Gesundheitsfall als Durchschnittswert zu verstehen sind. Es ist davon auszugehen, dass es in der Regel an einer Musikschule kein festes und garantiertes Lehrpensum gibt. In diesem Sinne wies die Musikschule der Region Z._ im Fragebogen Arbeitgeber vom 13. Februar 2004 darauf hin, das Pensum richte sich nach der Nachfrage und könne semesterweise wechseln.
3. Die Annahme eines erwerblichen Arbeitspensums ohne gesundheitliche Beeinträchtigung von 87 % ist weder offensichtlich unrichtig noch das Ergebnis der Beweiswürdigung eines unvollständig festgestellten Sachverhalts (E. 1.2). Sie beruht auf den im Zeitpunkt der Abklärung vor Ort vom 16. Dezember 2004 bestandenen Anstellungen und Engagements der Versicherten sowie ihren Angaben gegenüber der Abklärungsperson zu den im Gesundheitsfall zusätzlichen erwerblichen Betätigungen. In diesem Zusammenhang wird die vorinstanzliche Feststellung, ein Arbeitspensum von 100 % erscheine bereits aufgrund der (zeitlich und örtlich) recht zersplitterten hypothetischen Aktivitäten aus praktischen Gründen, wie z.B. wegen Terminkollisionen, im Vergleich mit einem Pensum von 87 % als nicht überwiegend wahrscheinlich, zu Recht nicht beanstandet. Im Übrigen wird eine Konzerttätigkeit im Rahmen von Musikprojekten als Erwerbstätigkeit anerkannt, allerdings lediglich im Umfang von 7 % und nicht wie beantragt 20 %. Schliesslich wird nicht verkannt, dass Musiker regelmässig, nicht selten sogar täglich üben, um sich auf Musikstunden vorzubereiten und das Niveau zu halten, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Wird diese Zeit ebenfalls als entlöhnte Arbeitszeit betrachtet und ergibt sich daraus ein Pensum von mehr als 41,7 Stunden in der Woche, ist von einem entsprechend höheren individuellen Normalarbeitspensum auszugehen. Folgerichtig kann in einem solchen Fall nicht gesagt werden, die betreffende Person sei zu mehr als 100 % erwerbststätig. Festzustellen bleibt, dass die 87 % erwerbliches Pensum im Gesundheitsfall als Durchschnittswert zu verstehen sind. Es ist davon auszugehen, dass es in der Regel an einer Musikschule kein festes und garantiertes Lehrpensum gibt. In diesem Sinne wies die Musikschule der Region Z._ im Fragebogen Arbeitgeber vom 13. Februar 2004 darauf hin, das Pensum richte sich nach der Nachfrage und könne semesterweise wechseln.
3. Die Annahme eines erwerblichen Arbeitspensums ohne gesundheitliche Beeinträchtigung von 87 % ist weder offensichtlich unrichtig noch das Ergebnis der Beweiswürdigung eines unvollständig festgestellten Sachverhalts (E. 1.2). Sie beruht auf den im Zeitpunkt der Abklärung vor Ort vom 16. Dezember 2004 bestandenen Anstellungen und Engagements der Versicherten sowie ihren Angaben gegenüber der Abklärungsperson zu den im Gesundheitsfall zusätzlichen erwerblichen Betätigungen. In diesem Zusammenhang wird die vorinstanzliche Feststellung, ein Arbeitspensum von 100 % erscheine bereits aufgrund der (zeitlich und örtlich) recht zersplitterten hypothetischen Aktivitäten aus praktischen Gründen, wie z.B. wegen Terminkollisionen, im Vergleich mit einem Pensum von 87 % als nicht überwiegend wahrscheinlich, zu Recht nicht beanstandet. Im Übrigen wird eine Konzerttätigkeit im Rahmen von Musikprojekten als Erwerbstätigkeit anerkannt, allerdings lediglich im Umfang von 7 % und nicht wie beantragt 20 %. Schliesslich wird nicht verkannt, dass Musiker regelmässig, nicht selten sogar täglich üben, um sich auf Musikstunden vorzubereiten und das Niveau zu halten, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Wird diese Zeit ebenfalls als entlöhnte Arbeitszeit betrachtet und ergibt sich daraus ein Pensum von mehr als 41,7 Stunden in der Woche, ist von einem entsprechend höheren individuellen Normalarbeitspensum auszugehen. Folgerichtig kann in einem solchen Fall nicht gesagt werden, die betreffende Person sei zu mehr als 100 % erwerbststätig. Festzustellen bleibt, dass die 87 % erwerbliches Pensum im Gesundheitsfall als Durchschnittswert zu verstehen sind. Es ist davon auszugehen, dass es in der Regel an einer Musikschule kein festes und garantiertes Lehrpensum gibt. In diesem Sinne wies die Musikschule der Region Z._ im Fragebogen Arbeitgeber vom 13. Februar 2004 darauf hin, das Pensum richte sich nach der Nachfrage und könne semesterweise wechseln.
4.1 4.1.1 Die ohne und mit Behinderung erzielbaren Einkommen sind so konkret wie möglich zu ermitteln. Beim Valideneinkommen ist massgebend, was die versicherte Person aufgrund ihrer beruflichen Fähigkeiten und persönlichen Umstände unter Berücksichtigung ihrer beruflichen Weiterentwicklung, soweit hiefür hinreichend konkrete Anhaltspunkte bestehen (Kursbesuche, Aufnahme eines Studiums etc.), zu erwarten gehabt hätte (BGE 96 V 29; RKUV 2005 Nr. U 554 S. 315 E. 2.2 mit Hinweisen [U 340/04]). Da erfahrungsgemäss in der Regel die bisherige Tätigkeit im Gesundheitsfall weitergeführt worden wäre, ist Anknüpfungspunkt für die Bestimmung des ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erzielten Einkommens häufig der letzte, an die Teuerung sowie die reale Einkommensentwicklung angepasste Verdienst (RKUV 2006 Nr. U 568 S. 65 E. 2 [U 87/05]; Urteil I 407/06 vom 28. Februar 2007 E. 4.1 mit Hinweisen).
4.1.2 Übt die versicherte Person nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung eine Erwerbstätigkeit aus, gilt grundsätzlich der damit erzielte Verdienst als Invalideneinkommen, wenn besonders stabile Arbeitsverhältnisse gegeben sind, weiter anzunehmen ist, dass sie die ihr verbliebene Arbeitsfähigkeit in zumutbarer Weise voll ausschöpft, und wenn das Einkommen aus der Arbeitsleistung als angemessen und nicht als Soziallohn erscheint (BGE 129 V 472 E. 4.2.1 S. 475; BGE 126 V 75 E. 3b/aa S. 76 mit Hinweisen). Kann der nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung realisierte Verdienst nicht als Mass für das durch eine zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielbare Einkommen gelten, ist zu fragen, inwiefern der versicherten Person im Rahmen der Pflicht zur Selbsteingliederung (BGE 113 V 22 E. 4a S. 28; vgl. auch BGE 130 V 97 E. 3.2 S. 99) die Aufgabe der aktuellen und die Ausübung einer anderen erwerblichen Beschäftigung zuzumuten ist. Dabei sind die gesamten objektiven und subjektiven Umstände in Betracht zu ziehen, wie Alter, Ausbildung und berufliche Karriere, Stabilität und Qualität des Arbeitsverhältnisses unter dem Gesichtspunkt der Eingliederung im Betrieb, Aussichten im konkreten Beruf, ferner Art und Schwere der gesundheitlichen Beeinträchtigung sowie die noch zu erwartende Arbeitsdauer (AHI 2001 S. 283 E. 5a/bb [I 11/00], 1997 S. 39 E. 4a; Urteil U 365/06 vom 26. Januar 2007 E. 4.2 mit Hinweis).
4.1.3 Lassen sich die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen nicht zuverlässig ermitteln oder schätzen, ist in Anlehnung an die spezifische Methode für Nichterwerbstätige (alt Art. 27 IVV, in der bis 31. Dezember 2003 geltenden Fassung und Art. 28 Abs. 2bis IVG) ein Betätigungsvergleich anzustellen und der Invaliditätsgrad nach Massgabe der erwerblichen Auswirkungen der verminderten Leistungsfähigkeit in der konkreten erwerblichen Situation zu bestimmen (BGE 128 V 29 E. 1. S. 30 f.; BGE 104 V 135 E. 2c S. 137).
4.2 Die Beschwerdeführerin war vor und nach Eintritt des aufgrund der medizinischen Akten auf spätestens Juli 2001 festzulegenden Zeitpunkts des Eintritts der invalidisierenden psychischen Störung als Lehrerin tätig, und zwar hauptsächlich an den selben beiden Musikschulen. Die damit erzielten Verdienste bilden indessen keine zuverlässige Grundlage für die Ermittlung von Validen- und Invalideneinkommen. Die zeitliche Bemessungsgrundlage ist insbesondere in Anbetracht des schwankenden Beschäftigungsgrades zu schmal. Sodann umfasste die erwerbliche Tätigkeit im Gesundheitsfall weitere teilzeitliche Anstellungen als Musiklehrerin sowie nebenberufliche Konzerttätigkeit. Schliesslich ist fraglich, ob die Beschwerdeführerin mit den seit Juli 2001 geleisteten Pensen die verbliebene Arbeitsfähigkeit in zumutbarerweise voll ausschöpfte. Jedenfalls erscheint unter den gegebenen Umständen eine hinreichend genaue Bestimmung von Validen- und Invalideneinkommen nicht mit verhältnismässigem Aufwand möglich. Gegen die Anwendung des ausserordentlichen Bemessungsverfahrens spricht, dass gemäss dem psychiatrischen Gutachten vom 6. Mai 2004 die depressiven Störungen rezidivierend, zur Zeit jährlich während mehrerer Monate auftreten und zu einer stark verminderter Belastungs- und Leistungsfähigkeit führen. In den depressionsfreien Phasen dagegen ist die Arbeitsfähigkeit grundsätzlich nicht eingeschränkt. Schliesslich erscheint - zumindest ohne vorgängige Umschulung - ein Wechsel des Betätigungsfeldes nicht zumutbar. Die Beschwerdeführerin ist zwar gemäss Dr. med. F._ in jeglicher Tätigkeit zu 50 % eingeschränkt. Sie verfügt aber ausser dem Diplom als Lehrerin für Schlagzeug über keinen Abschluss und keine nennenswerte Berufserfahrung ausserhalb des angestammten Bereichs. Es kommt dazu, dass sie aufgrund der Akten als Musiklehrerin offenbar bedeutend mehr verdienen kann als Frauen ohne Berufs- und Fachkenntnisse gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2004 des Bundesamtes für Statistik (vgl. Tabelle TA1 S. 53; BGE 126 V 75 E. 3b/bb S. 76; BGE 124 V 321).
4.3 Es ist daher grundsätzlich nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Gericht den Invaliditätsgrad durch Vergleich der medizinisch zumutbaren Arbeitsfähigkeit in zeitlicher Hinsicht (50 %) und dem ohne gesundheitliche Beeinträchtigung geleisteten Arbeitspensum (87 %) im angestammten Bereich als Lehrerin für Schlagzeug und nebenberufliche Musikerin bestimmt hat. Dabei besteht entgegen den Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aber kein Raum für einen leidensbedingten Abzug nach BGE 126 V 75 in Form eines zusätzlichen Einschlags beim Grad der Arbeitsunfähigkeit. Es trifft zwar zu, dass aufgrund des rezidivierenden Charakters der psychischen Störung mit zum Teil nicht vorhersehbaren Arbeitsausfällen und Absenzen vom Arbeitsplatz gerechnet werden muss. Dies vermindert die Anstellungschancen gegenüber gesunden Personen. Dem hat indessen Dr. med. F._ bei seiner Zumutbarkeitsbeurteilung bereits Rechnung getragen.
Zu beachten ist indessen in rechtlicher Hinsicht Folgendes: Die Beschwerdeführerin hat sich ein erwerbliches Arbeitspensum im Gesundheitsfall von 87 % resp. ein entsprechend tieferes Valideneinkommen anrechnen zu lassen (E. 3). Es ist unbestritten, dass die Reduktion des an sich zumutbaren vollen Arbeitspensums nicht aus freien Stücken, sei es um mehr Freizeit zu haben, sei es um in einem Aufgabenbereich nach Art. 5 Abs. 1 IVG und Art. 8 Abs. 3 ATSG tätig zu sein, erfolgte (BGE 131 V 51 E. 5.1.2 und 5.2 S. 53 f.). Der Grund hiefür liegt im Wesentlichen im Umstand, dass die Tätigkeit als Musiklehrerin in Teilzeitpensen an verschiedenen Orten ausgeübt werden muss. Dies kann dazu führen, dass eine mögliche Anstellung wegen Terminkollisionen, Überschneidungen mit bereits bestehenden Arbeitsverhältnissen von vornherein ausser Betracht fällt, wie im angefochtenen Entscheid festgehalten wird (vgl. E. 3). Diesem invaliditätsfremden Umstand ist, jedenfalls solange die Aufgabe der angestammten Tätigkeit als hauptberufliche Musiklehrerin mit nebenberuflicher Konzerttätigkeit nicht zumutbar ist (E. 4.1.2), in gleicher Weise auch beim Invalideneinkommen Rechnung zu tragen, ansonsten der Grundsatz der parallelen Betrachtungsweise bei der Ermittlung der beiden Vergleichseinkommen verletzt wäre (Art. 104 lit. a OG; vgl. BGE 129 V 222 E. 4.4 S. 225; ZAK 1989 S. 456). Der so korrigierte vorinstanzliche Einkommensvergleich nach Massgabe der Arbeitsunfähigkeit im Rahmen des ohne gesundheitliche Beeinträchtigung geleisteten Arbeitspensums ergibt einen Invaliditätsgrad von 50 % ([87 % - 50 % x [87 %/100 %]] /87 % x 100 %). Somit besteht Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab dem von der IV-Stelle noch festzusetzenden Zeitpunkt.
Zu beachten ist indessen in rechtlicher Hinsicht Folgendes: Die Beschwerdeführerin hat sich ein erwerbliches Arbeitspensum im Gesundheitsfall von 87 % resp. ein entsprechend tieferes Valideneinkommen anrechnen zu lassen (E. 3). Es ist unbestritten, dass die Reduktion des an sich zumutbaren vollen Arbeitspensums nicht aus freien Stücken, sei es um mehr Freizeit zu haben, sei es um in einem Aufgabenbereich nach Art. 5 Abs. 1 IVG und Art. 8 Abs. 3 ATSG tätig zu sein, erfolgte (BGE 131 V 51 E. 5.1.2 und 5.2 S. 53 f.). Der Grund hiefür liegt im Wesentlichen im Umstand, dass die Tätigkeit als Musiklehrerin in Teilzeitpensen an verschiedenen Orten ausgeübt werden muss. Dies kann dazu führen, dass eine mögliche Anstellung wegen Terminkollisionen, Überschneidungen mit bereits bestehenden Arbeitsverhältnissen von vornherein ausser Betracht fällt, wie im angefochtenen Entscheid festgehalten wird (vgl. E. 3). Diesem invaliditätsfremden Umstand ist, jedenfalls solange die Aufgabe der angestammten Tätigkeit als hauptberufliche Musiklehrerin mit nebenberuflicher Konzerttätigkeit nicht zumutbar ist (E. 4.1.2), in gleicher Weise auch beim Invalideneinkommen Rechnung zu tragen, ansonsten der Grundsatz der parallelen Betrachtungsweise bei der Ermittlung der beiden Vergleichseinkommen verletzt wäre (Art. 104 lit. a OG; vgl. BGE 129 V 222 E. 4.4 S. 225; ZAK 1989 S. 456). Der so korrigierte vorinstanzliche Einkommensvergleich nach Massgabe der Arbeitsunfähigkeit im Rahmen des ohne gesundheitliche Beeinträchtigung geleisteten Arbeitspensums ergibt einen Invaliditätsgrad von 50 % ([87 % - 50 % x [87 %/100 %]] /87 % x 100 %). Somit besteht Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab dem von der IV-Stelle noch festzusetzenden Zeitpunkt.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 zweiter Satz OG, in Kraft seit 1. Juli 2006). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 135 OG). Zudem hat die Verwaltung der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist demzufolge gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass in Abänderung des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 31. August 2006 festgestellt wird, dass Anspruch auf eine halbe Invalidenrente besteht.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass in Abänderung des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 31. August 2006 festgestellt wird, dass Anspruch auf eine halbe Invalidenrente besteht.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Basel-Stadt auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Basel-Stadt auferlegt.
3. Die IV-Stelle Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.-(einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die IV-Stelle Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.-(einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 5. April 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: