Sachverhalt:
A. Die Stiftung Y._ (nachfolgend auch: Stiftung) unterhielt in A._ eine Kinderklinik. X._ (Beschwerdeführer) war Präsident des Stiftungsrates, Z._ (Beschwerdegegner) ärztlicher Leiter und Klinikdirektor. Als sich die Ertragslage der Klinik ab 2004 verschlechterte, kam es zwischen Beschwerdeführer und -gegner zu Konflikten über organisatorische und finanzielle Fragen des Klinikbetriebs.
Nach einem Misstrauensantrag wurde X._ Anfang Dezember 2008 in einer schriftlichen Abstimmung durch Mehrheitsentscheid der Stiftungsräte als Präsident des Stiftungsrats abgewählt. X._ anerkannte dies nicht und übte seine Funktion weiterhin aus. Anlässlich der Sitzung des Stiftungsratsausschusses vom 18. Dezember 2008 wurde die Kündigung des Arbeitsverhältnisses mit Z._ als Klinikdirektor und Chefarzt unter sofortiger Freistellung beschlossen.
Mit Entscheid vom 23. Januar 2009 wies das Eidgenössische Departement des Innern, Eidgenössische Stiftungsaufsicht, die von zwei Mitgliedern des Stiftungsratsausschusses erhobene Stiftungsaufsichtsbeschwerde ab und stellte fest, dass die Abwahl von X._ nichtig und dieser nach wie vor Präsident des Stiftungsrats sei.
Am 20. Februar 2009 wurde gegenüber Z._ die fristlose Kündigung ausgesprochen. Am 13. März 2009 gab der als Chefarzt ad interim ernannte Dr. W._ seine Tätigkeit per sofort auf. In den ersten drei Monaten des Jahres 2009 kündigten sieben weitere Ärzte ihre Anstellung.
B. B.a Am 24. März 2009 erhob Z._ Aufsichtsbeschwerde bei der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht und beantragte, X._ sei von seinem Amt als Stiftungsratsmitglied und -präsident abzuberufen. Eventualiter sei ihm die Weisung zu erteilen, gewisse Mandate niederzulegen bzw. bei bestimmten, die Y._ betreffenden Rechtsgeschäften in den Ausstand zu treten. Die Amtsführung von X._ sei zu prüfen und es seien verschiedene Massnahmen zum Schutze und Erhalt der Y._ zu treffen, u.a. sei X._ zu verpflichten, einen detaillierten Bericht über Umfang, Begründetheit und Grundlage seiner Honorare in den Jahren 2004 bis 2009 zu liefern. Mit Verfügung vom 26. März 2009 ordnete die Stiftungsaufsicht an, dass der Stiftungsrat ohne Zustimmung der Aufsichtsbehörde keine Verfügungen über die Stiftungsliegenschaft treffen und keine Verpflichtungen hinsichtlich Kauf oder Miete einer anderen Klinikliegenschaft eingehen dürfe.
B.b Am 27. März 2009 entzog das Gesundheitsamt Graubünden der Y._ die Bewilligung zum Betrieb der Klinik. Eine dagegen erhobene Beschwerde blieb erfolglos.
Per Ende Juni 2009 hatten, mit einer Ausnahme, sämtliche Ärzte der Klinik ihre Stelle gekündigt bzw. war sie ihnen gekündigt worden.
Mitte Juli 2009 zog die Klinik in ein anderes, angemietetes Gebäude um. Im Rahmen der Neuorganisation wurden ein kaufmännischer Direktor und ein interimistischer Chefarzt angestellt.
B.c Mit Entscheid vom 3. September 2009 wies die Eidgenössische Stiftungsaufsicht die Aufsichtsbeschwerde vom 24. März 2009 ab, soweit sie darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1), hob die aufsichtsrechtlichen Massnahmen vom 26. März 2009 auf (Dispositiv-Ziffer 2), auferlegte die Verfahrenskosten der Stiftung (Dispositiv-Ziffer 4) und verpflichtete Z._ zum Ersatz der Parteikosten von X._ im Umfang von Fr. 4'265.30 (Dispositiv-Ziffer 5).
C. Am 5. Oktober 2009 erhob Z._ dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht (Verfahren B-6308/2009) und beantragte die Aufhebung der Ziffern 1, 2, 4 und 5 des angefochtenen Entscheids. In der Sache stellte er im Wesentlichen dieselben Anträge wie vor der Stiftungsaufsicht und ergänzte diese um einen Antrag auf Massnahmen wegen Verletzung der Verfügung vom 26. März 2009.
Am 25. Mai 2010 eröffnete der Konkursrichter des Bezirksgerichts V._ den Konkurs über die Stiftung Y._. Am 11. Juni 2010 wurde dieser mangels Aktiven eingestellt.
Aufgrund des Konkurses der Stiftung schrieb das Bundesverwaltungsgericht das Beschwerdeverfahren am 28. Juli 2010 als gegenstandslos ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- wurden Z._ und X._ je zur Hälfte auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2). Eine Parteientschädigung wurde nicht zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 3). Zur Regelung der Kostenfolgen für das Verfahren vor der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht wurde die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen (Dispositiv-Ziffer 4).
D. Am 14. September 2010 hat X._ elektronisch Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Er beantragt die Aufhebung von Ziff. 2 des angefochtenen Entscheids und dass dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht keine Verfahrenskosten aufzuerlegen seien. Zudem sei Ziff. 4 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei auf einen Eingriff in den Entscheid der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht zu verzichten.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner ersucht um Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist binnen Frist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) ein Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 75 Abs. 1 BGG) aus dem Gebiet der Stiftungsaufsicht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4 BGG). Mit der Aufsichtsbeschwerde soll die Aufsichtsbehörde angehalten werden, eine zweckgemässe Verwendung des Stiftungsvermögens sicherzustellen (Art. 84 Abs. 2 ZGB; BGE 112 II 471 E. 2). Mit ihr wird daher letztlich und überwiegend ein wirtschaftlicher Zweck verfolgt, womit eine solche Angelegenheit grundsätzlich als vermögensrechtlich zu betrachten ist (vgl. BGE 118 II 528 E. 2c S. 531 mit Hinweisen). Entgegen Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG fehlen im angefochtenen Urteil Angaben zum Streitwert. Angesichts der vor der Vorinstanz strittigen Fragen der Amtsführung des Stiftungsratspräsidenten wird dieser ermessensweise auf über Fr. 30'000.-- festgesetzt (Art. 51 Abs. 2 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Vor Bundesgericht sind allerdings diese Begehren bzw. der auf sie bezügliche Abschreibungsbeschluss als solcher nicht umstritten, sondern einzig die einen Nebenpunkt darstellende Verteilung der Gerichts- und Parteikosten. Diese erreichen den erforderlichen Streitwert für sich betrachtet nicht. Letzteres ist jedoch nicht nötig; es genügt für die Zulässigkeit der Beschwerde, dass die vor der Vorinstanz in der Hauptsache streitigen Begehren einen genügenden Streitwert aufweisen (Urteil 4A_194/2010 vom 17. November 2010 E. 1.2).
1.2 Die Hauptbegehren wurden von der Vorinstanz als gegenstandslos abgeschrieben und der Prozess aus verfahrensrechtlichen Gründen in dieser Hinsicht beendet. Insoweit stellt der Abschreibungsbeschluss einen Endentscheid dar (Art. 90 BGG; BGE 135 III 212 E. 1.2 S. 216). Hinsichtlich der vorliegend umstrittenen Frage der Parteientschädigung für das Verfahren vor der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht verweist er allerdings an diese zurück. Rückweisungsentscheide schliessen das Verfahren nicht ab und bilden mithin keine End-, sondern Zwischenentscheide, die nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 BGG angefochten werden können (BGE 135 III 212 E. 1.2 S. 216). Zwar ist die Abschreibung nicht angefochten, doch stehen Kostenfragen grundsätzlich im Verhältnis der Akzessorietät zur Hauptsache, wie sich auch an der Berechnung des Streitwerts zeigt (oben E. 1.1). Es rechtfertigt sich mithin, den angefochtenen Entscheid insgesamt als Endentscheid aufzufassen.
1.3 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (BGE 135 III 127 E. 1.5 S. 130 mit Hinweis).
Wird Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung geltend gemacht, muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 135 III 513 E. 4.3 S. 522).
2. Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids und beantragt, ihm keine Kosten des bundesverwaltungsgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen. Des Weiteren verwendet er die verbreitete Schlussformel "unter Kosten- und Entschädigungsfolge" und bezieht sie ausdrücklich nicht nur auf das bundesgerichtliche, sondern auch auf das bundesverwaltungsgerichtliche Verfahren. Dispositiv-Ziffer 2 äussert sich einzig zu den Gerichtskosten des Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht. Die Parteikosten für dieses Verfahren sind in Dispositiv-Ziffer 3 geregelt, und zwar im Sinne des Verzichts auf Ausrichtung einer Entschädigung. Der Beschwerdeführer stellt keinen ausdrücklichen Antrag auf Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 3 und greift die Verweigerung der Parteientschädigung auch in der Begründung nicht an. Aus diesem Grunde und trotz der nicht ganz klaren Schlussformel ist davon auszugehen, dass er einzig die Regelung der vorinstanzlichen Gerichtsgebühren durch das Bundesgericht beurteilt wissen will.
2.1 Gemäss Art. 5 des Reglements vom 21. Februar 2008 über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (VGKE; SR 173.320.2) werden die Verfahrenskosten bei Gegenstandslosigkeit in der Regel jener Partei auferlegt, deren Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt hat (Satz 1). Ist das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden, so werden die Kosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes festgelegt (Satz 2). Die Vorinstanz hat festgehalten, dass keine Partei die Gegenstandslosigkeit selber direkt bewirkt habe und Satz 1 deshalb nicht zur Anwendung gelange (E. 4.1 und 4.3 des angefochtenen Entscheids). Im Rahmen von Satz 2 sei in erster Linie auf den mutmasslichen Verfahrensausgang abzustellen, welcher sich aber vorliegend nicht ohne weiteres feststellen lasse (E. 4.2). Habe keine Partei die Gegenstandslosigkeit direkt bewirkt und könne der mutmassliche Verfahrensausgang nicht problemlos festgestellt werden, so werde diejenige Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst habe. Das Verfahren sei vom Beschwerdegegner eingeleitet und damit formell veranlasst worden. Zurückzuführen sei der Rechtsstreit jedoch auf das Zerwürfnis der Parteien und ihr Unvermögen, die Klinik gemeinsam weiterzuführen. Es liege auf der Hand, dass der Konkurs zumindest zum Teil durch die erzwungene Einstellung des Klinikbetriebs - bei gleichzeitiger Verpflichtung zur Bezahlung eines relativ hohen Mietzinses nach Umzug in das neue Klinikgebäude - verursacht worden sei. Bei dieser Sachlage rechtfertige es sich, den Parteien die Verfahrenskosten je zur Hälfte aufzuerlegen und auf die Ausrichtung einer Parteientschädigung zu verzichten (E. 4.3).
2.2 Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, der Beschwerdegegner als formeller Veranlasser des Aufsichtsverfahrens müsse die Gerichtskosten tragen. Der Beschwerdeführer bestreitet mit verschiedenen Einwänden, dass er für den Zusammenbruch der Stiftung mitverantwortlich gewesen sei; der Sachverhalt sei komplex und werde im angefochtenen Entscheid nur am Rande und einseitig gestreift.
2.3 Die Vorinstanz hat für die Kostenverteilung nicht die formelle Verfahrensveranlassung, d.h. die Einreichung der Aufsichtsbeschwerde, als massgebend erachtet, sondern die mittelbare Verursachung des Verfahrens, nämlich das Zerwürfnis der Parteien und ihr Unvermögen, die Klinik gemeinsam weiterzuführen. Auf diese mittelbare Veranlassung abzustellen, ist nicht zu beanstanden (vgl. Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 3.3). Art. 5 VGKE sieht keine bestimmte Methode der Kostenverlegung vor, wenn das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden ist und auch die Abschätzung des mutmasslichen Verfahrensausgangs nicht möglich ist. Das urteilende Gericht geniesst diesfalls einen weiten Ermessensspielraum, welcher mit dem gewählten Vorgehen nicht überschritten wurde. Das für massgeblich befundene Zerwürfnis wird vom Beschwerdeführer im Übrigen nicht in Abrede gestellt.
Die Vorinstanz geht ferner davon aus, dass der Konkurs zumindest teilweise auf die erzwungene Einstellung des Klinikbetriebs zurückzuführen sei. Zugleich hat sie aber auch festgehalten, dass die Ursachen des Konkurses nicht Gegenstand des laufenden Verfahrens seien. Diese Erwägung über die Ursache des Konkurses ist in ihrer Tragweite nicht ganz klar und mag überflüssig erscheinen, da sie wieder zum Kriterium der Ursache der Gegenstandslosigkeit zurückzuführen scheint (Art. 5 Satz 1 VGKE). Sie ist aber insofern unschädlich, als bereits der Verweis auf die mittelbare Verfahrensveranlassung durch das beiderseitige Zerwürfnis die Kostenverteilung zu rechtfertigen vermag. Schliesslich kann die Erwägung auch so verstanden werden, dass das angesprochene Zerwürfnis indirekt eine Mitursache des finanziellen Endes der Stiftung darstellt.
Allerdings nimmt der Beschwerdeführer diese Erörterung über die Konkursursache zum Anlass, sich in diversen sachverhaltlichen Einzelpunkten gegen seine Mitverantwortung am Konkurs und am Entzug der Betriebsbewilligung zu wenden. Er legt dabei aber einerseits bloss seine eigene Sicht der Dinge dar, ohne den Anforderungen an eine Willkürrüge zu genügen (oben E. 1.3); andererseits sind seine Einwände unerheblich, da sich die Kostenverteilung alleine auf das Zerwürfnis der Parteien stützen lässt und die vorgebrachten Einzelpunkte hinsichtlich des Gesamteindrucks eines Konflikts weder massgeblich sind noch den vorinstanzlichen Entscheid in erkennbarer Weise beeinflusst haben. Dass dieses Zerwürfnis in keiner Art und Weise Einfluss auf die Entwicklung gehabt hätte, welche in den Konkurs der Stiftung mündete, behauptet im Übrigen auch der Beschwerdeführer nicht. Zu Unrecht kritisiert er in diesem Zusammenhang die bloss summarische Sachverhaltsabklärung der Vorinstanz. Bei Gegenstandslosigkeit entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten (BGE 125 V 373 E. 2a S. 374). Es muss bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage bleiben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 3.1). Dies gilt nicht nur dann, wenn die Kosten nach dem mutmasslichen Verfahrensausgang, sondern auch, wenn sie nach dem Anlass des Verfahrens verteilt werden.
In diesem Punkt ist die Beschwerde mithin abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Umstritten ist ausserdem, ob das Bundesverwaltungsgericht die Angelegenheit an die Vorinstanz zur neuen Bestimmung der erstinstanzlichen Kosten zurückweisen durfte. Vorneweg ist anzumerken, dass die angefochtene Dispositiv-Ziffer 4 unklar ist. Sie lautet wie folgt:
"Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit diese über die Kostenfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens im Sinne der Erwägungen neu bestimmt."
Daraus könnte abgeleitet werden, dass die Eidgenössische Stiftungsaufsicht nicht nur über die Partei-, sondern auch über ihre Verfahrenskosten neu befinden soll. Begründet wird die Dispositiv-Ziffer 4 in E. 4.4 des angefochtenen Entscheids. Dort ordnet die Vorinstanz ausdrücklich an, dass die Stiftungsaufsicht die "Entschädigungsfolgen" neu regeln soll. Zu den erstinstanzlichen Verfahrenskosten äussert sich das Bundesverwaltungsgericht hingegen nirgends ausdrücklich. Dies ist allenfalls darauf zurückzuführen, dass die Stiftungsaufsicht die Verfahrenskosten der Stiftung auferlegt hatte und diese nicht am Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht beteiligt war. Auch der Beschwerdeführer äussert sich nicht klar darüber, ob er einzig die Rückweisung zur Neuregelung der Parteikosten überprüft haben will, oder zusätzlich - falls dies überhaupt Gegenstand des angefochtenen Entscheids gewesen sein sollte - die Rückweisung zur Neuverteilung der Verfahrenskosten. Von Letzteren ist er indes zur Zeit ohnehin nicht direkt betroffen. Es ist nicht am Bundesgericht, den Inhalt des angefochtenen Entscheids zu erläutern (Art. 48 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht [Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG; SR 173.32] i.V.m. Art. 129 BGG). Auf die Frage der erstinstanzlichen Verfahrenskosten kann deshalb nicht weiter eingegangen werden. Die nachfolgenden Erwägungen gelten zwar - soweit sie allgemeiner Natur sind - für Gerichts- wie Parteikosten, beziehen sich aber im vorliegenden Fall aus den genannten Gründen in unmittelbarer Weise einzig auf die erstinstanzlichen Parteikosten.
3.1 Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, es sei einzig das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht gegenstandslos geworden, nicht auch der in diesem Verfahren angefochtene Entscheid vom 3. September 2009 der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht. Der erstinstanzliche Kostenentscheid könne weder durch das Bundesverwaltungsgericht selber noch mittelbar über eine Rückweisung an die Stiftungsaufsicht abgeändert werden.
3.2 Der angefochtene Entscheid äussert sich nicht deutlich über den Umfang der Gegenstandslosigkeit. Aus allgemeinen prozessrechtlichen Erwägungen erhellt jedoch, dass das Aufsichtsverfahren als solches gegenstandslos geworden ist und nicht bloss das Rechtsmittelverfahren an das Bundesverwaltungsgericht (zu dieser Unterscheidung Felix Addor, Die Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits, 1997, S. 129 ff.; vgl. auch Hans Ulrich Walder, Prozeßerledigung ohne Anspruchsprüfung, 1966, S. 106). Die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht ist ein ordentliches Rechtsmittel (Gächter/Egli, in: Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], 2008, N. 31 zu Art. 39 VwVG, und Markus Müller, daselbst, N. 7 zu Art. 44 VwVG). Die angefochtene Verfügung der Stiftungsaufsicht war somit - zumindest im Umfang des Weiterzugs - nicht rechtskräftig, als das Verfahren vor der Rechtsmittelinstanz gegenstandslos geworden ist. Sie wird auch nicht rechtskräftig durch die Abschreibung des Verfahrens vor der Rechtsmittelinstanz. Durch den Konkurs der Stiftung hat die Beurteilung der erhobenen aufsichtsrechtlichen Rügen nämlich insgesamt ihren Sinn verloren. Zweckerhaltung und statutenkonforme Verwendung des Stiftungsvermögens sind nach dem Konkurs bzw. dessen Einstellung mangels Aktiven nicht mehr möglich. Das nicht rechtskräftige, erstinstanzliche Urteil ist damit seiner Grundlage und seines Zwecks beraubt. Seine Weiterexistenz wäre sinnlos, was deutlicher in Erscheinung treten würde, wenn die Stiftungsaufsicht die Aufsichtsbeschwerde gutgeheissen hätte (vgl. Thomas Merkli und andere, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, 1997, N. 3 zu Art. 39 VRPG/BE). Liegt demnach Gegenstandslosigkeit des Gesamtverfahrens vor, hat der erstinstanzliche Entscheid der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht in der Sache keinen Bestand und ist dahingefallen (BGE 91 II 146 E. 1 S. 148 f.; Urteil 1C_130/2008 vom 30. Mai 2008 E. 3.2; Urteil 5C.265/2006 vom 19. März 2008 E. 3; Urteil 5P.337/2006 vom 27. November 2006 E. 4, in: Pra 96/2007 Nr. 59 S. 393).
3.3 Folglich ist auch der erstinstanzliche Kostenschluss als blosser Nebenpunkt der Hauptsache dahingefallen (BGE 91 II 146 E. 3 S. 150). Da er auf einer Grundlage gefällt wurde, die keinen Bestand mehr hat, sind die erstinstanzlichen Kosten neu zu verteilen. Das Anliegen des Beschwerdeführers, die ihm durch die Eidgenössische Stiftungsaufsicht zugesprochene Parteientschädigung unangetastet zu lassen, ist insoweit nicht zu schützen. Dies bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass die Verteilung im Ergebnis geändert werden muss; je nach Liquidationsmethode kann der neue Kostenschluss mit dem vorherigen übereinstimmen. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Neuverteilung allerdings nicht selber vorgenommen, sondern die Entschädigungsfrage in Anlehnung an die bundesgerichtliche Rechtsprechung an die Eidgenössische Stiftungsaufsicht zurückgewiesen. Es bleibt die Rechtmässigkeit dieses Vorgehens zu untersuchen.
3.4 Das vor Bundesverwaltungsgericht massgebliche Verfahrensrecht regelt nicht ausdrücklich, wie mit vorinstanzlichen Kostenregelungen zu verfahren ist, wenn der hauptsächliche Streit gegenstandslos wird. Weder Art. 23 Abs. 1 lit. a VVG noch das über Art. 37 VGG anwendbare Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021) enthalten eine entsprechende Norm. Zwar regelt Art. 61 VwVG in allgemeiner Weise den Inhalt eines Beschwerdeentscheids und sieht vor, dass die Beschwerdeinstanz in der Sache selbst entscheidet oder diese ausnahmsweise mit verbindlichen Weisungen an die Vorinstanz zurückweist. Allerdings ist diese Norm nach verbreiteter Ansicht auf Abschreibungsbeschlüsse nicht anwendbar (Madeleine Camprubi, in: Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], 2008, N. 5 zu Art. 61 VwVG; Philippe Weissenberger, in: VwVG, Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 5 zu Art. 61 VwVG). Art. 4 VwVG verweist auf detailliertere Bestimmungen des Bundesrechts, die ergänzend heranzuziehen sind. So scheint Art. 72 BZP (SR 273) zwar vom Wortlaut her einen Anhaltspunkt zu liefern, doch kann der Bestimmung ihrem Sinn nach keine Antwort entnommen werden, da es in Direktprozessen vor Bundesgericht keine Vorinstanzen gibt. Es ist deshalb nicht zu beanstanden, wenn das Bundesverwaltungsgericht die vom Bundesgericht im Rahmen des OG entwickelte und unter dem BGG weitergeführte Praxis zur Handhabung solcher Fälle übernommen hat.
3.5 Gemäss dieser Praxis gilt Folgendes: Kann das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid zufolge Gegenstandslosigkeit des Verfahrens nicht in der Sache modifizieren, kann es auch den vorinstanzlichen Kostenentscheid nicht selber abändern (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG; BGE 91 II 146 E. 3 S. 150; Urteil 1C_130/2008 vom 30. Mai 2008 E. 3.2; Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 2.3). In dieser Situation weist es die Sache zu neuem Entscheid über den Kostenpunkt an die Vorinstanz zurück (BGE 91 II 146 E. 3 S. 150; 102 II 252 S. 254; Urteil 5C.265/2006 vom 19. März 2008 E. 4.3; Urteil 1C_130/2008 vom 30. Mai 2008 E. 3.2 mit Hinweisen) oder berücksichtigt das Problem bei seiner eigenen Kostenregelung (Urteil 5P.467/2000 vom 13. März 2001 E. 2b und 3b i.f.; Urteil I 231/05 vom 27. Dezember 2005 E. 2; Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 2.3 und 3.3; ablehnend Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 4 zu Art. 67 BGG). Eine Überprüfung des vorinstanzlichen Kostenschlusses durch das Bundesgericht kommt nach Gegenstandslosigkeit der Hauptsache nur dann in Betracht, wenn der Kostenpunkt eigenständig und nicht bloss mittelbar über die Sache angefochten wurde (Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 2.3).
3.6 Das Bundesverwaltungsgericht hat sich diese bundesgerichtliche Rechtsprechung in zweifacher Hinsicht zu Eigen gemacht. Einerseits hat es ebenfalls abgelehnt, die vorinstanzlichen Kosten selber zu verlegen; andererseits hat es die erste der dargestellten Methoden zur Liquidation der erstinstanzlichen Parteikosten übernommen, nämlich die Rückweisung an die Vorinstanz. Mangels anderslautender verfahrensrechtlicher Vorschriften kann darin keine Bundesrechtsverletzung erblickt werden. Die Methode der Rückweisung an die Vorinstanz hat gegenüber der zweitgenannten Methode zudem den Vorteil, dass Entschädigungen und Gerichtsgebühren auf jeder Stufe effektiv dem zutreffenden Verfahrensbeteiligten angelastet werden können und es auf der Rechtsmittelebene nicht zu Verzerrungen durch den Ausgleich der vorinstanzlichen Kostenverteilung kommt.
Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt unbegründet und abzuweisen.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg