Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 28. Januar 2011 ist das Bundesgericht auf eine von X._ betreffend Baubewilligung (aufschiebende Wirkung) erhobene Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1C_18/2011).
Mit Eingabe vom 17./19. Januar 2011 (Postaufgabe: 17. Februar 2011) beanstandet X._ das genannte Urteil, dessen Aufhebung er sinngemäss verlangt. Der Sache nach handelt es sich bei seiner Eingabe um ein Revisionsgesuch.
2. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier nach Art. 61 BGG in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss Art. 121 ff. BGG möglich.
Der Gesuchsteller kritisiert das genannte bundesgerichtliche Urteil ganz allgemein. Er unterlässt es allerdings dabei, sich auf einen der gesetzlichen Revisionsgründe (Art. 121 ff. BGG) zu berufen. Was er mit seiner Eingabe vorbringt, beschränkt sich im Wesentlichen auf eine Kritik an der dem Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören. Der Gesuchsteller wäre gehalten gewesen, in seiner Eingabe einen Revisionsgrund darzulegen, was er indes unterlassen hat. Auf sein Gesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (Art. 127 BGG) nicht einzutreten.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Der Gesuchsgegnerin ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.
Demnach wird erkannt:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Brugg und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Bopp