Erwägungen:
1.
1.1. Y._ (geb. 1994) reichte am 22. Oktober 2012 bei der Schlichtungsbehörde des Zivilgerichts gegen ihre Mutter X._ ein als Klage bezeichnetes Gesuch um Durchführung eines Schlichtungsverfahrens bezüglich ihres Begehrens um Volljährigenunterhalt ein (5A_759/2013). Des weiteren stellte sie ein Gesuch um vorsorgliche Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen (5A_760/2013). Am 19. November 2012 zog sie das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen unter Bestreitung der Prozesskosten zurück. Am 12. Februar 2013 schrieb der Zivilgerichtspräsident nach Gewährung des rechtlichen Gehörs das Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen zufolge Rückzugs infolge eines aussergerichtlichen Vergleichs in der Hauptsache ab und verpflichtete X._ zur Tragung der Kosten des Massnahmeverfahrens von Fr. 350.-- und zur Leistung einer Parteientschädigung von Fr. 572.50 plus Mehrwertsteuer an ihre Tochter. X._ gelangte gegen den Kostenentscheid an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches ihre Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2013 abwies.
1.2. X._ (Beschwerdeführerin) hat den ihr am 6. September 2013 zugestellten Entscheid am 7. Oktober 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Sie beantragt den angefochtenen Entscheid aufzuheben und Y._ (Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, die vorinstanzlichen Verfahrenskosten zu bezahlen und der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- (je Fr. 750.-- für das Verfahren vor Bezirksgericht und vor Appellationsgericht) auszurichten. Eventuell seien die Verfahrenskosten auf die Staatskasse zu nehmen und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine angemessene Entschädigung im genannten Umfang zu bezahlen. Subeventuell seien die Verfahrenskosten der Staatskasse aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen. Für den Fall der Unzulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen (nachfolgend: Beschwerde) ersucht sie darum, ihre Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (nachfolgend Verfassungsbeschwerde) entgegenzunehmen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.
Hat eine Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Kosten des kantonalen Verfahrens zum Gegenstand und ging es schon im vorinstanzlichen Verfahren allein um diesen Punkt, bestimmt sich der Streitwert allein nach dem Betrag der Verfahrenskosten, in dem diese vor der Vorinstanz strittig waren (BGE 137 III 47 E. 1.2.2; Urteile 4A_691/2012 vom 17. Januar 2013 E. 1.1; 5A_261/2013 vom 19. September 2013 E. 1; 5A_396/2012 vom 5. September 2012 E. 1.2). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass der Streitwert gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht gegeben ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher von vornherein unzulässig.
3.
Gemäss Art. 119 BGG kann die Verfassungsbeschwerde in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden wie die ordentliche Beschwerde, und ist vom Bundesgericht im gleichen Verfahren zu behandeln. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet der Beschwerdeführerin nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. BGE 131 I 291 E. 1.3 S. 296).
3.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Verletzungen nur insofern, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). Es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 II 396 E. 3.2 S. 400).
3.2. Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe nicht einmal aufzeigt, welches verfassungsmässige Recht verletzt worden sein soll und zudem einfach auf die Ausführungen in der Beschwerde verweist, ohne aber anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert die Verfassungsverletzung aufzuzeigen, ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt den vorinstanzlichen Entscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich:
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt die Tatsachenfeststellung der Vorinstanz als willkürlich, es sei ein Schlichtungsgesuch eingereicht worden. Mit dieser rein appellatorischen Kritik ist Willkür nicht zu belegen; darauf ist nicht einzutreten.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe eine Klage und nicht ein Schlichtungsgesuch eingereicht; mit der gegenteiligen Annahme verletze die Vorinstanz die Dispositionsmaxime und handle damit willkürlich
Die Vorinstanz hat begründet, dass für die Ermittlung der Bedeutung und des Sinns einer Eingabe nicht einfach auf die Bezeichnung abgestellt, sondern die Rechtschrift als Ganzes herangezogen werden muss. Aufgrund dieser Würdigung ist die Vorinstanz zum Schluss gelangt, es liege ein Gesuch um Durchführung eines Schlichtungsverfahrens vor. Inwiefern bei dieser Sachlage die Dispositionsmaxime krass verletzt worden sein soll, wird nicht substanziiert erörtert. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen an den Erwägungen der Vorinstanz vorbei. Darauf ist nicht einzutreten. Ebensowenig wird rechtsgenüglich erörtert, inwiefern mit der Annahme, es liege ein Schlichtungsgesuch vor, das rechtliche Gehör bzw. der Grundsatz von Treu und Glauben verletzt worden sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
4.3. Aber auch mit den weiteren Ausführungen unter diesem Abschnitt (Eventualbegründung) beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, eine eigene Sicht der Dinge darzulegen, bzw. etwas anderes als die Vorinstanz zu behaupten. Auch insoweit liegt ausschliesslich appellatorische Kritik vor, auf die nicht eingetreten werden kann. Das gilt namentlich für folgende Punkte: Die Vorinstanz hat auch ausgeführt, dass das Verfahren betreffend Volljährigenunterhalt mit dem Schlichtungsgesuch hängig gemacht worden ist. Warum es unter den von der Vorinstanz berücksichtigten Umständen willkürlich sein soll oder sonstwie gegen Verfassungsrecht verstossen könnte, ab diesem Zeitpunkt vorsorgliche Massnahmen zu verlangen, wird nicht rechtsgenüglich erörtert (E. 3.1). Schliesslich hat sich die Vorinstanz mit dem Einfluss des Scheidungsurteils auf das hängige Verfahren um Volljährigenunterhalt befasst und hat namentlich hervorgehoben, dass das Scheidungsurteil den Volljährigenunterhalt gar nicht geregelt habe. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin bewegen sich insgesamt im Spekulativen und setzen sich mit der Tatsache nicht auseinander, dass im Scheidungsurteil kein Unterhalt für die Beschwerdegegnerin über deren Volljährigkeit hinaus gesprochen worden ist. Inwiefern unter den gegebenen Umständen statt der durch die (volljährige) Beschwerdegegnerin hängig gemachten Klage (Art. 62 ZPO) auf Volljährigenunterhalt eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils anzuheben gewesen wäre, wird nicht erörtert. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen an den Erwägungen des angefochtenen Entscheids vorbei und vermögen daher den an die Verfassungsbeschwerde gestellten Begründungsanforderungen (E. 3.1) nicht zu genügen. Keine genügende Begründung enthalten schliesslich die Ausführungen unter dem Titel IV Weitere Aspekte. Darauf ist nicht einzutreten.
4.4. Zusammenfassend ergibt sich somit, dass die Beschwerde insgesamt den Begründungsanforderungen einer Verfassungsbeschwerde nicht entspricht.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Da die Eingabe mangels einer der Verfassungsbeschwerde entsprechenden Begründung (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) auch nicht als solche entgegengenommen werden kann, ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung und unter Kostenfolge für die Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden