hat sich ergeben:
A.- Die aus Tunesien stammende A._, geboren 1965, verheiratete sich in Tunesien mit B._ und gebar 1985 den Sohn X._. Die Ehe A._-B. _ wurde am 19. Januar 1987 geschieden, und das Sorgerecht über den Sohn wurde der Mutter von A._, Y._, übertragen. Am 30. Dezember 1991 reiste A._ in die Schweiz ein und heiratete den Schweizer Bürger C._. Gestützt auf die Eheschliessung erwarb sie das Schweizer Bürgerrecht. Mit Urteil des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 1996 wurde die Ehe mit C._ geschieden. Am 22. Februar 1999 verheiratete sich A._ in der Türkei mit dem türkischen Staatsangehörigen Z._. Dieser reiste am 27. Juli 1999 in die Schweiz ein.
B.- Am 4. August 1999 stellte A._ ein Familiennachzugsgesuch für den Sohn X._. Die Einwohnerdienste des Kantons Basel-Stadt (Fremdenpolizei) wiesen das Gesuch mit Verfügung vom 9. Mai 2000 ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Polizei- und Militärdepartement des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 20. Oktober 2000 ab.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 30. Oktober 2000 erfolglos Rekurs beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt.
C.- Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 10. Juli 2001 hat A._ am 19. September 2001 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Sie beantragt, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und ihr den Nachzug ihres Sohnes X._ zu bewilligen; eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Polizei- und Militärdepartement und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Ausländerfragen beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Auf dem Gebiete der Fremdenpolizei ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG). Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung.
Der Ausländer hat damit grundsätzlich keinen Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, er oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen, die ihm einen Anspruch auf eine solche Bewilligung einräumt (BGE 127 II 60 E. 1a S. 62 f.; 126 II 425 E. 1 S. 427, je mit Hinweisen).
b) Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG haben ledige Kinder von Ausländern, die in der Schweiz niedergelassen sind, Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammen wohnen und noch nicht 18 Jahre alt sind. Diese Regelung gilt analog für ausländische Kinder von Eltern mit Schweizer Bürgerrecht (BGE 118 Ib 153 E. 1b S. 156). Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantiert seinerseits den Schutz des Familienlebens. Hat ein Ausländer nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung zu ihnen tatsächlich gelebt, kann es diese Bestimmung verletzen, wenn ihm die Anwesenheit in der Schweiz untersagt wird.
Der Familienbegriff umfasst dabei die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (BGE 127 II 60 E. 1d/aa S. 65, mit Hinweisen).
Der Sohn der Beschwerdeführerin ist noch nicht 18 Jahre alt. Damit kann sie sich für seinen Nachzug sowohl auf Art. 17 Abs. 2 ANAG als auch auf Art. 8 EMRK berufen; auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist einzutreten.
2.- a) Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann vorliegend die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung und Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige und unvollständige Feststellung des Sachverhalts (Art. 104 lit. a und b OG), nicht jedoch Unangemessenheit des angefochtenen Entscheids (vgl. Art. 104 lit. c OG) gerügt werden. Hat - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden, ist das Bundesgericht an deren Sachverhaltsfeststellung gebunden, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensgarantien erfolgt ist (Art. 105 Abs. 2 OG).
b) Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde von Amtes wegen an, ohne an die Begründung der Parteibegehren gebunden zu sein (Art. 114 Abs. 1 in fine OG). Es kann die Beschwerde daher aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (BGE 121 II 473 E. 1b S. 477; 117 Ib 114 E. 4a S. 117, mit Hinweis).
3.- a) Der Familiennachzug nach Art. 17 Abs. 2 ANAG soll das Leben in der Familiengemeinschaft ermöglichen. Der Gesetzeswortlaut verdeutlicht, dass dabei die rechtliche Absicherung des Zusammenlebens der Gesamtfamilie gemeint ist: Verlangt wird ausdrücklich, dass die Kinder mit ihren Eltern (Plural) zusammenleben werden. Auch die innere Systematik von Art. 17 Abs. 2 ANAG geht vom Zusammenleben mit Mutter und Vater aus. Die Nachzugsregelung ist daher auf Familien zugeschnitten, in denen die (leiblichen) Eltern einen gemeinsamen ehelichen Haushalt führen (BGE 126 II 329 E. 2a S. 330). Für diese Fälle hat das Bundesgericht entschieden, dass innerhalb der allgemeinen Schranken von Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG der Nachzug jederzeit zulässig sei; vorbehalten bleibe einzig das Verbot des Rechtsmissbrauchs.
Je länger mit der Ausübung des Nachzugsrechts ohne sachlichen Grund zugewartet werde und je knapper die verbleibende Zeit bis zur Volljährigkeit sei, umso eher könne ein solcher vorliegen (BGE 126 II 329 E. 3b S. 333).
b) Soweit ein geschiedener oder getrennt lebender Ausländer allein den Nachzug seiner Kinder verlangt, besteht hierauf kein bedingungsloser Anspruch (BGE 126 II 329 E. 2b S. 331): Bei einem Kind getrennt lebender Eltern führt der Umzug in die Schweiz nicht ohne Weiteres zu einer engeren Einbindung in die Familiengemeinschaft. Es wird dabei lediglich eine Obhut durch eine andere ersetzt, ohne dass die Familie als Ganzes näher zusammengeführt würde. In solchen Fällen setzt der spätere Nachzug daher voraus, dass eine vorrangige Bindung zum in der Schweiz lebenden Elternteil nachgewiesen ist und stichhaltige familiäre Gründe, zum Beispiel eine Änderung der Betreuungsverhältnisse, dieses Vorgehen rechtfertigen bzw. gebieten (BGE 126 II 329 E. 3a S. 332). Dem steht Art. 8 EMRK nicht entgegen: Diese Bestimmung räumt grundsätzlich nicht demjenigen Elternteil einen Anspruch auf Nachzug des Kindes ein, der freiwillig ins Ausland verreist ist, ein weniger enges Verhältnis zum Kind hat als der andere Elternteil oder sonstige Verwandte, die für dieses sorgen, und der seine bisherige Beziehung zum Kind weiterhin pflegen kann. Ein Nachzugsrecht des in der Schweiz lebenden Elternteils bedingt auch gestützt auf Art. 8 EMRK, dass das Kind zu diesem die vorrangige familiäre Beziehung unterhält und sich der Nachzug als zu deren Pflege notwendig erweist (BGE 122 II 385 E. 4b; 124 II 361 E. 3a und 4d, je mit Hinweisen). Dabei kommt es nicht allein auf die bisherigen Verhältnisse an, sondern es können auch nachträglich eingetretene oder künftige Umstände wesentlich erscheinen (BGE 124 II 361 E. 3a S. 366; 122 II 385 E. 4b S. 392). Es ist zu prüfen, ob im Herkunftsland alternative Betreuungsmöglichkeiten zur Verfügung stehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen; beispielsweise weil dadurch bei schon älteren Kindern vermieden werden kann, dass sie aus ihrer bisherigen Umgebung und dem ihnen anvertrauten Beziehungsfeld gerissen werden. Der in der Schweiz ansässige Elternteil soll sein Kind umgekehrt aber auch nicht erst dann nachziehen können, wenn es an einer alternativen Betreuungsmöglichkeit im Heimatland überhaupt fehlt (BGE 125 II 633 E. 3a S. 640, mit Hinweisen). Die Verweigerung der Bewilligung ist mit Art. 8 EMRK vereinbar, wenn die Familientrennung von den Betroffenen ursprünglich selber herbeigeführt worden ist, für die Änderung der bisherigen Verhältnisse keine überwiegenden familiären Interessen bestehen und die Fortführung bzw. Pflege der bisherigen familiären Beziehungen nicht behördlich verhindert wird (BGE 122 II 385 E. 4b S. 392, mit Hinweisen).
4.- a) Die Beschwerdeführerin lebt seit Ende 1991 in der Schweiz, wobei sie ihren aus erster Ehe stammenden, damals sechsjährigen Sohn bei ihrer Mutter in Tunesien zurückliess.
Erst im August 1999 ersuchte sie um dessen Nachzug.
Vom Vater ihres Sohnes ist sie schon seit Januar 1987 geschieden; es geht somit nicht darum, jene Familienverhältnisse herzustellen, die Art. 17 Abs. 2 ANAG erfassen will und die BGE 126 II 329 ff. zugrunde lagen.
Für den Nachzugsentscheid ausschlaggebend ist das erzieherische und betreuerische Umfeld während der Dauer der von der Ausländerin selber gewählten Trennung von ihrem Kind und die hieraus erwachsenen oder verstärkten Beziehungen, die nicht nur zum andern Elternteil, sondern auch zu sonstigen Verwandten bestehen können (Urteil des Bundesgerichts vom 21. September 2001 i.S. S., 2A.280/2001, E. 4a).
Die Beschwerdeführerin lebte, bevor sie in die Schweiz ausreiste, mit ihrem Sohn im Haushalt ihrer Mutter.
Damit war die Grossmutter für X._ schon damals eine wichtige Bezugsperson. Als die Beschwerdeführerin in die Schweiz ausreiste, wurde die Grossmutter zur Hauptbezugsperson, dies bis heute. Der Sohn lebte zum Zeitpunkt des Nachzugsgesuchs schon seit über sieben Jahren von seiner Mutter getrennt, wobei ein gewisser Kontakt durch Ferienaufenthalte aufrechterhalten wurde. Es erstaunt, dass die Beschwerdeführerin nicht schon im Jahre 1992, als sie durch Heirat Schweizer Bürgerin geworden war und damit auch gegenüber ihrem Sohn ein Nachzugsrecht hatte, ein entsprechendes Gesuch stellte. Wie aus dem Gespräch vom 21. August 2000 mit der kantonalen Fremdenpolizei hervorgeht, hätte sich ihr damaliger Ehemann dem Nachzug des Sohnes nicht entgegengestellt. Damit hat die Beschwerdeführerin die Trennung von ihrem Sohn freiwillig herbeigeführt und über Jahre freiwillig aufrechterhalten.
b) Der Familiennachzug könnte daher nur gewährt werden, wenn sich aufgrund von seither eingetretenen Änderungen im Umfeld von X._ ein Wechsel der Hauptbezugsperson von der Grossmutter zur Beschwerdeführerin als Mutter rechtfertigen würde. Dies ist vorliegend nicht der Fall:
Gemäss den Aussagen der Beschwerdeführerin vor der Fremdenpolizei vom 21. August 2000 hat die mittlerweilen 70-jährige Grossmutter Probleme mit dem Blutdruck und muss jeweils für ein paar Tage das Spital besuchen; X._ wohnt während dieser Zeiten jeweils bei einer seiner beiden Tanten, die beide vier bzw. fünf Kinder haben, in Tunis.
Aufgrund dieser Schilderung ist davon auszugehen, dass zumindest eine der beiden Tanten mittlerweile für X._ ebenfalls zu einer wichtigen Bezugsperson geworden ist; er sieht sie mit Sicherheit häufiger als seine eigene Mutter. Nachdem die Grossmutter und beide Tanten in Tunis wohnen, ist für die Betreuung, die X._ im Alter von heute sechzehn Jahren noch nötig hat, gesorgt; ein Herausreissen des kurz vor dem Erwachsenenalter stehenden Jugendlichen aus der ihm gewohnten Umgebung und Kultur erscheint daher nicht gerechtfertigt. Dass X._ selber lieber bei seiner Mutter in der Schweiz leben möchte, ist dabei nicht von wesentlicher Bedeutung, kann er doch die Risiken einer Entwurzelung kaum abschätzen. Mutter und Sohn können ihre Beziehung weiterhin im bisherigen Rahmen - d.h.
in Form von Ferienaufenthalten -pflegen.
c) Da die Beschwerdeführerin Ende 1991 ihren Sohn freiwillig in Tunesien zurückgelassen und erst über sieben Jahre später ein Nachzugsgesuch gestellt hat, und da sich heute ein Wechsel der Hauptbezugspersonen nicht aufdrängt, hat das Appellationsgericht den Familiennachzug zu Recht verweigert. Dass sich die Beschwerdeführerin im Einverständnis mit ihrer Mutter bei einem Gericht in Tunis um die Übertragung des Sorgerechts über X._ bemüht und dieses am 15. Mai 2000 - kurz nach der ablehnenden Verfügung der Fremdenpolizei vom 9. Mai 2000 - auch erhalten hat, stellt zwar im Hinblick auf den geplanten Familiennachzug grundsätzlich einen sinnvollen Schritt dar (vgl. BGE 122 II 361 E. 3a S. 366), kann aber die schweizerischen Behörden nicht dazu verpflichten, den Nachzug ohne Weiteres zu gewähren.
5.- a) An dieser Rechtslage ändert auch die UNO-Kinderrechtekonvention vom 20. November 1989 (für die Schweiz in Kraft getreten am 26. März 1997; SR 0.107) nichts. Aus Art. 9 und 10 des Abkommens vermögen weder ein Kind noch dessen Eltern einen gerichtlich durchsetzbaren Anspruch auf Familienzusammenführung abzuleiten.
Das Recht der Staaten, ihre Einwanderungsgesetze selbst auszugestalten, wird durch diese Bestimmungen nicht beeinträchtigt.
Im Übrigen hat die Schweiz gerade im Hinblick auf die Gesetzgebung über die Familienzusammenführung einen Vorbehalt zu Art. 10 Abs. 1 der UNO-Kinderrechtekonvention angebracht (BGE 124 II 361 E. 3b S. 367, mit Hinweisen).
b) Die Beschwerdeführerin trägt vor, auch wenn Art. 9 und 10 der UNO-Kinderrechtekonvention nach herrschender Auffassung hier keine subjektiven Rechte begründeten, sei doch das Nachzugsgesuch wohlwollend, human und beschleunigt zu behandeln.
aa) Im vorliegenden Fall ist nicht einzusehen, inwiefern die Fremdenpolizei, das Polizei- und Militärdepartement oder auch das Appellationsgericht das Gesuch nicht wohlwollend oder nicht human behandelt haben sollten.
Ein solcher Rechtsgrundsatz könnte denn auch eine Bewilligungsverweigerung nicht von vornherein ausschliessen; entscheidend sind vielmehr die gesamten Umstände des Einzelfalles, die im Rahmen der Anwendung der einschlägigen Rechtsnormen angemessen und fallbezogen abgewogen werden müssen (BGE 124 II 361 E. 3b S. 367). Im Übrigen hatte X._ im Verfahren vor Verwaltungsgericht die Gelegenheit, seinen Wunsch, zur Mutter zu ziehen, zu äussern. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, das Gesuch sei nicht wohlwollend behandelt worden, weil dem Wunsch des Sohnes nicht entsprochen worden sei, ist nicht zu hören, müsste doch sonst jedes Familiennachzugsgesuch dann, wenn die nachzuziehenden Kinder den entsprechenden Wunsch äussern, ohne weitere Prüfung zwingend gutgeheissen werden, was der oben ausgeführten Rechtsprechung klar widerspricht.
Eine Anhörung X._s im vorliegenden Verfahren, wie die Beschwerdeführerin wünscht, erübrigt sich, zweifelt das Bundesgericht doch nicht an seinem Wunsch, in die Schweiz zu kommen.
bb) Es trifft zu, dass eine Verfahrensdauer von fast zwei Jahren bis zum letztinstanzlichen kantonalen Entscheid für einen Familiennachzug als relativ lange zu bezeichnen ist; im Gegensatz etwa zu einem Ausweisungsverfahren, wo eine lange Verfahrensdauer dem Ausländer eher entgegenkommt, müssen hier die Beteiligten in dem für sie ungewünschten Zustand ausharren. Im vorliegenden Fall fällt insbesondere die Verfahrensdauer zwischen dem Nachzugsgesuch (4. August 1999) und der Verfügung der Fremdenpolizei (9. Mai 2000) von neun Monaten auf. An der Verfahrensdauer vor dem Polizei- und Militärdepartement (Entscheid am 20. Oktober 2000) ist hingegen nichts auszusetzen, ebenso wenig an der Dauer des Verfahrens vor dem Appellationsgericht, ist doch die Dauer von knapp neun Monaten unter anderem darauf zurückzuführen, dass der Vertreter der Beschwerdeführerin, nachdem er den Rekurs am 30. Oktober 2000 fristgerecht angemeldet hatte, zweimal erfolgreich um eine Fristverlängerung für die Rekursbegründung, zuletzt bis zum 19. Januar 2001, ersucht hatte.
Ob die gesamte Verfahrensdauer von zwei Jahren bis zum Entscheid des Appellationsgerichts mit Art. 10 der UNO-Kinderrechtekonvention vereinbar ist, kann hier offen bleiben, denn auch eine allfällige Verletzung dieser Norm führte nicht zum Entstehen eines - nach dem Gesagten hier nicht gegebenen - absoluten Anspruchs auf Familiennachzug.
c) An dieser Rechtslage ändert nichts, dass es sich im vorliegenden Fall nicht um eine niedergelassene Ausländerin, sondern um eine Schweizerin handelt, die ihren ausländischen Sohn nachziehen will. Inwiefern die Beschwerdeführerin durch den Entscheid schlechter gestellt sein sollte als eine gebürtige Schweizerin, ist nicht einsehbar, stellt sich doch die vorliegende Problematik bei Schweizer Kindern von Schweizer Eltern gerade nicht.
6.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen. Gemäss diesem Verfahrensausgang würde die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Da aber die Beschwerde nicht als von vornherein aussichtslos gelten kann und die Prozessarmut der Beschwerdeführerin gegeben erscheint, ist ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (vgl.
Art. 152 Abs. 1 und 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
a) Es werden keine Kosten erhoben.
b) Advokat Dr. Walter Zähner wird als amtlicher Vertreter der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Polizei- und Militärdepartement sowie dem Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 5. Februar 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: