Faits:
A. C._ est née le 26 janvier 2005, de la relation hors mariage entre A._ et B._. Ses parents se sont séparés alors qu'elle avait huit mois. L'enfant vit désormais avec sa mère, détentrice de l'autorité parentale et du droit de garde. Cette dernière est domiciliée à D._, mais réside parfois dans la région de E._ (France).
Par courrier du 4 avril 2007, précisé le 16 mai suivant, le père a requis de la Justice de paix du district de Lausanne la fixation d'un droit de visite sur sa fille, relevant que la mère ne le laissait s'occuper de l'enfant que sous certaines conditions.
Plusieurs ordonnances de mesures provisionnelles et préprovisionnelles ont été rendues concernant, d'une part, les modalités du droit de visite du père sur sa fille et, d'autre part, le non-respect par la mère des décisions prises à cet égard.
Mandaté en ce sens par le Juge de paix du district de Lausanne le 7 août 2007, le Service de protection de la jeunesse (ci-après: SPJ) a déposé un premier rapport d'évaluation concernant l'enfant le 28 mai 2008.
A la suite de la séance tenue le 23 octobre 2008, la Justice de paix du district de Lausanne a, par décision du 5 décembre 2008, institué une mesure de surveillance judiciaire au sens de l'art. 307 CC en faveur de l'enfant et nommé le SPJ en qualité de surveillant; le recours interjeté par la mère contre cette décision a été rejeté par la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal vaudois le 5 mars 2009.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 5 décembre 2008, également consécutive à la séance du 23 octobre précédent, la Justice de paix a fixé provisoirement le droit de visite du père et sollicité du Service universitaire de psychiatrie de l'enfant et de l'adolescent (ci-après: SUPEA) une expertise pédopsychiatrique concernant l'enfant.
Le 29 juin 2009, les docteurs F._ et G._, respectivement cheffe de clinique adjointe et médecin assistant auprès du SUPEA, ont déposé un rapport d'expertise pédopsychiatrique concernant la fillette, rapport qui a été visé par la doctoresse H._, médecin adjointe.
Le 26 octobre 2009, le SPJ a déposé un second rapport d'évaluation dans lequel il préconisait une surveillance éducative ou une curatelle à forme de l'art. 308 al. 1 CC.
La Justice de paix a, le 21 janvier 2010, procédé à l'audition des parents assistés de leurs conseils respectifs, ainsi que d'un représentant du SPJ, du Dr G._, expert, et de deux témoins, à savoir une assistante sociale auprès du Service de la petite enfance de Lausanne et le directeur du Centre de vie enfantine de I._.
B. Par décision du 26 février 2010, rendue ensuite de la séance du 21 janvier 2010, la Justice de paix du district de Lausanne a fixé le droit de visite du père selon les modalités suivantes:
- un week-end sur deux, du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures, la moitié des vacances scolaires, ainsi qu'alternativement à Noël et Nouvel An, Pâques et Pentecôte et à l'Ascension, lorsque la mère de l'enfant réside en Suisse, à charge pour le père d'aller chercher la fillette là où elle se trouve et de l'y ramener;
- un week-end sur deux, du samedi midi jusqu'au dimanche soir à 18 heures, le reste demeurant sans changement, lorsque la mère réside en France, à charge pour celle-ci d'amener sa fille en Suisse.
La Justice de paix a en outre supprimé la surveillance judiciaire au sens de l'art. 307 CC, relevé le SPJ de son mandat de surveillant, institué une curatelle d'assistance éducative et de surveillance du droit aux relations personnelles selon l'art. 308 al. 1 et 2 CC, nommé le SPJ en qualité de curateur pour une durée d'une année dès la notification de sa décision, mis les frais à la charge de la mère, celle-ci plaidant au bénéfice de l'assistance judiciaire, et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions.
Sur recours de la mère, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a, par arrêt du 27 juillet 2010, réformé la décision de la Justice de paix en ce qui concerne les frais, qu'elle a réparti à raison d'un tiers à la charge du père et de deux tiers à la charge de la mère, et a confirmé la décision de première instance pour le surplus.
C. La mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 juillet 2010. Elle conclut, principalement, à l'annulation de cette décision, la cause étant renvoyée à la Chambre des tutelles pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, elle demande la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que le droit de visite du père sur sa fille est fixé à raison d'un week-end par mois, du samedi à 14 heures au dimanche à 10 heures, éventuellement du samedi à midi au dimanche soir à 18 heures, lorsque la mère et l'enfant résident en France.
Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé propose le rejet du recours.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par la dernière juridiction cantonale statuant sur recours (art. 75 al. 1 LTF), le recours est en principe recevable.
1.2 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié par la motivation de l'autorité précédente ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en substituant une nouvelle argumentation à celle de l'autorité précédente (ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104/105).
2. Invoquant la violation de l'art. 273 CC, la recourante s'en prend à la réglementation du droit de visite prévue par l'arrêt attaqué lorsqu'elle réside en France avec l'enfant. Elle expose que l'autorité cantonale ne pouvait se fonder intégralement sur l'expertise rendue le 29 juin 2009 par le SUPEA, car à ce moment-là, elle passait trois semaines en France puis une semaine à D._, de sorte que le père exerçait son droit de visite le week-end précédent et le week-end suivant les jours où elle se trouvait à D._ avec l'enfant. Dès lors, les trajets imposés à la fillette s'élevaient à deux par mois seulement et étaient espacés de dix jours. Or, la situation actuellement mise en place par l'arrêt attaqué impliquerait non plus deux trajets par mois (un aller et un retour), espacés de dix jours, mais bien quatre trajets par mois (deux allers et deux retours), l'aller et le retour n'étant espacés que de deux jours.
2.1 Selon l'art. 273 al. 1 CC, le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Autrefois considéré comme un droit naturel des parents, le droit aux relations personnelles est désormais conçu non seulement comme un droit et un devoir de ceux-ci (cf. art. 273 al. 2 CC), mais aussi comme un droit de la personnalité de l'enfant; il doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (ATF 131 III 209 consid. 5 p. 212 et les références). Le rapport de l'enfant avec ses deux parents est essentiel et peut jouer un rôle décisif dans le processus de sa recherche d'identité (ATF 130 III 585 consid. 2.2.2 p. 590 et les arrêts cités).
L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles de l'art. 273 al. 1 CC, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit. Le Tribunal fédéral s'impose toutefois une certaine retenue en la matière car le juge du fait dispose d'un pouvoir d'appréciation en vertu de l'art. 4 CC; il n'intervient donc que si la décision a été prise sur la base de circonstances qui ne jouent aucun rôle selon l'esprit de la loi: tel est le cas si le juge écarte, sans aucun motif, des critères essentiels pour la décision ou si, à l'inverse, il se fonde sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant (ATF 120 II 229 consid. 4a p. 235; 117 II 353 consid. 3 p. 355). Le Tribunal fédéral sanctionne en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32 et les arrêts cités).
2.2 Selon les juges précédents, il peut paraître de prime abord peu adéquat qu'un enfant âgé de cinq ans doive effectuer un aussi long trajet - soit environ 850 km en train - tous les quinze jours. Dans leur rapport du 29 juin 2009, les experts ont toutefois relevé qu'il était capital que la fillette puisse continuer à voir son père. Ils ont estimé que le droit de visite «tel que fixé» était raisonnable en termes de fréquence et de nombre de jours passés chez le père, mais que le programme gagnerait à être défini avec une plus grande régularité et à être désormais respecté. Interpellé à l'audience du 21 janvier 2010, l'expert G._ a précisé, s'agissant de la fréquence du droit de visite, qu'il se référait à un droit de visite de deux week-ends par mois «correspondant aux modalités fixées» lorsque la mère était en France. Il a indiqué qu'il s'agissait d'un bon équilibre par rapport au bien-être de l'enfant. Il a relevé que les deux week-ends «attenants» étaient liés à la localisation de la mère et qu'en revanche, le nombre de jours était en relation avec l'équilibre de l'enfant.
La Chambre des tutelles en a déduit que, dans les circonstances particulières du cas, il était plus important, pour le bien de l'enfant, que le père puisse bénéficier d'un droit de visite un week-end sur deux que d'éviter de relativement longs trajets en train à la fillette, d'autant que les inconvénients liés auxdits trajets se réduiraient avec le temps.
2.3 Dans son appréciation de la situation, l'autorité cantonale s'est ainsi fondée sur le rapport du SUPEA du 29 juin 2009 et sur les déclarations du Dr G._ faites à l'audience du 21 janvier 2010. Le rapport en question conclut certes qu'il est capital que l'enfant puisse continuer à voir son père à raison de deux week-ends par mois (en sus de la moitié des vacances scolaires) même lorsque la mère et la fille résident dans la région de E._. L'expert a cependant précisé en audience, s'agissant de la fréquence du droit de visite, qu'il se référait à deux week-ends «attenants». L'utilisation de cet adjectif s'explique par le fait que, comme le révèle le dossier, en particulier l'ordonnance de mesures provisionnelles rendue par la Justice de paix le 5 décembre 2008 ensuite de la séance du 23 octobre 2008 - dont le dispositif prévoyait un droit de visite «les week-ends précédents et suivants la semaine durant laquelle [la mère] vient chaque mois à D._ avec [l'enfant] (...)» -, la mère et la fille restaient alors en Suisse une semaine par mois, incluant si possible deux week-ends; du reste, sous chiffre 4 de leurs conclusions, les experts considèrent comme raisonnable «le droit de visite tel que fixé à ce jour». Dès lors, si l'expertise pédopsychiatrique, précisée lors de l'audience du 21 janvier 2010, aurait permis de considérer que la réglementation prévue par l'ordonnance de mesures provisionnelles était conforme à l'intérêt de l'enfant, les juges précédents ne pouvaient se baser sur cette expertise pour affirmer qu'il en allait de même s'agissant d'un droit de visite s'exerçant un week-end sur deux, soit impliquant un trajet aller-retour d'environ 850 km en train effectué deux fois par mois pour permettre l'exercice d'un droit de visite du samedi midi au dimanche à 18 heures. Force est ainsi de constater que la Chambre des tutelles a violé l'art. 273 CC.
Selon les faits retenus, la mère a exposé devant la Justice la paix, le 21 janvier 2010, qu'elle avait terminé sa formation en été 2009, mais qu'elle devait encore rédiger un mémoire pour la valider et obtenir son diplôme, ce qui ne l'obligeait toutefois pas à rester en France. Elle a en outre indiqué qu'elle avait trouvé un emploi à temps partiel dans ce pays dès le 3 février 2010 (contrat reconductible de six mois en six mois) et consacrerait ses après-midis à des ateliers de musicothérapie. Par ailleurs, elle avait un projet de musicothérapie à E._ et envisageait de passer une année en France, tout en gardant un domicile en Suisse. On ignore ainsi la fréquence et la durée des séjours de la mère et de l'enfant dans la région de E._, pour autant qu'ils soient encore actuels. Dans ces conditions, il convient de renvoyer l'affaire à la Chambre des tutelles pour instruction complémentaire sur les circonstances précitées. En cas d'éloignement durable et/ou fréquent de la mère et de sa fille, il appartiendra à cette autorité de se prononcer à nouveau sur la compatibilité entre un droit de visite impliquant de longs trajets aller et retour un week-end sur deux et le bien de l'enfant.
3. En conclusion, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires seront dès lors supportés par l'intimé (art. 66 al. 1 LTF), qui versera en outre des dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La requête d'assistance judiciaire de celle-ci devient par conséquent sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à verser à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 28 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot