Faits:
A. Au bénéfice d'un quart de rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er mars 1994, puis d'une rente entière dès le 1er octobre 1996, M._ s'est vu supprimer cette prestation avec effet au 1er décembre 2009, par décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) du 16 septembre 2009. En bref, celui-ci a procédé à une révision du droit à la rente, au motif que l'assurée aurait alors exercé une activité lucrative à temps partiel si elle avait été en bonne santé et que le degré d'invalidité s'élevait de ce fait à 19 %, taux insuffisant pour maintenir la prestation. Il a par ailleurs retiré l'effet suspensif à un éventuel recours.
B. B.a Sur recours successifs de M._, le Tribunal fédéral a, par arrêt du 15 novembre 2011 (9C_254/2011), annulé le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 18 février 2011 (par lequel le recours de l'assurée était rejeté), ainsi que la décision de l'office AI du 16 septembre 2009. Il a renvoyé la cause à celui-ci pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
B.b Par courrier du 15 décembre 2011, M._ a demandé à l'office AI que le versement de sa rente soit repris à partir du 1er décembre 2009, ce que celui-ci a refusé par lettres des 19 janvier et 24 février 2012, parce que le retrait de l'effet suspensif prononcé le 16 septembre 2009 y faisait obstacle selon lui.
B.c M._ a saisi la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois d'un recours "pour déni de justice", assorti d'une requête de mesures provisionnelles urgentes, en concluant à ce que le versement de la rente entière d'invalidité dès le 1er décembre 2009, ou à tout le moins dès le 1er février 2012, soit ordonné à titre provisionnel. Elle a requis "sur le fond" que l'office AI lui verse cette prestation dès le 1er décembre 2009. Par jugement du 17 avril 2012, le Tribunal cantonal neuchâtelois a débouté l'assurée.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, que l'office AI soit condamné à lui verser une rente entière d'invalidité dès le 1er décembre 2009.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3; 134 V 138 consid. 1 p. 140).
2. 2.1 Par son jugement, la juridiction cantonale a rejeté le recours de l'assurée formé à l'encontre du refus de l'office AI de reprendre le versement de la rente d'invalidité à partir du 1er décembre 2009. Le jugement entrepris ne met pas fin à la procédure (pendante devant l'intimé et portant sur la révision de ladite prestation) et ne constitue donc pas un jugement final au sens de l'art. 90 LTF, mais une décision incidente qui peut être attaquée aux conditions posées par l'art. 93 LTF.
2.1.1 En vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, les décisions préjudicielles et incidentes (autres que celles prévues à l'art. 92 LTF) peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable. Un préjudice irréparable au sens de cette disposition est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 141, 288 consid. 3.1 p. 291). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 137 V 314 consid. 2.2.1 p. 317; 134 I 83 consid. 3.1 p. 87).
2.1.2 Des mesures provisionnelles causent un préjudice irréparable si elles ont pour effet d'interdire certains actes, sur lesquels il n'est par la suite pas possible de revenir concrètement. On peut mentionner à titre d'exemples le retrait provisoire d'un permis de conduire (arrêt 1C_420/2007 du 18 mars 2008 consid. 1, in JdT 2008 I 466) ou des interdictions générales d'effectuer un acte (cf. arrêts 4D_71/2007 du 7 février 2008 consid. 1.1 et 5A_202/2007 du 13 juin 2007 consid. 1.1 [interdiction de publication]; voir aussi ATF 134 I 83 consid. 3.1 p. 86 s.). En revanche, une suppression à titre provisoire de prestations financières ne cause en règle générale pas un préjudice irréparable (cf. arrêts 8C_473/2009 du 3 août 2009 consid. 4.3, in SJ 2010 I p. 37, 5A_270/2008 du 20 novembre 2008 consid. 3, non publié aux ATF 135 III 238, mais dans FamPra.ch 2009 p. 486). Ceci est également valable pour la suspension provisoire du versement d'une rente (arrêt 9C_45/2010 du 12 avril 2010 consid. 1.2, in SVR 2011 IV n° 12 p. 32; cf. aussi l'arrêt 9C_1016/2009 du 3 mars 2010 consid. 1). En effet, lorsqu'il apparaît au cours de la procédure de révision (au sens de l'art. 17 LPGA) qu'une rente n'est pas supprimée, celle-ci est versée ultérieurement avec des intérêts pour toute la durée de la suspension provisoire (arrêt 9C_45/2010 cité consid. 1.2; HANSJÖRG SEILER, in: VwVG, Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, n° 70 s. ad art. 55 et n° 54 s. ad art. 56 PA).
2.2 La recourante n'expose pas en quoi la suspension du versement de sa rente serait susceptible d'entraîner - en dérogation à la jurisprudence exposée ci-avant - un dommage irréparable, son argumentation ne portant pas sur les conditions de recevabilité du recours, singulièrement sur l'existence d'un dommage irréparable. Aucun élément ne permet, au demeurant, d'admettre que cette condition serait réalisée, de sorte que le recours est irrecevable sous l'angle de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
Il l'est également sous l'angle de l'art. 93 al. 1 let. b LTF, puisque l'admission du recours ne mettrait pas fin au litige sur le fond.
2.3 En conséquence, dès lors que la motivation du recours en ce qui concerne les conditions de recevabilité est manifestement insuffisante, le recours doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 let. b et al. 2 LTF.
On précisera cependant qu'il ressort de l'arrêt 9C_254/2011 du 15 novembre 2011 que la recourante se trouve dans la situation très particulière dans laquelle la jurisprudence a considéré qu'il n'était pas opportun de supprimer la rente, malgré l'existence d'une capacité de travail médicalement documentée, avant que les possibilités théoriques de travail n'aient été confirmées avec l'aide de mesure d'ordre professionnel (consid. 7.1.2.1 et 7.2); ce n'est qu'à la suite de l'examen des mesures nécessaires à la réintégration de la recourante dans le circuit économique que l'office AI sera en mesure de statuer définitivement sur la révision de la rente d'invalidité, ce qui implique que cette prestation n'est pas supprimée jusque-là et continue à être versée.
3. Vu les circonstances, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires (art. 66 al. 1 deuxième phrase LTF).
Par ces motifs, le Juge unique prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique: Borella
La Greffière: Moser-Szeless