Faits:
A. Le 25 mai 2007, la société portugaise X._, en liquidation (ci-après: X._) a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête tendant à la nomination d'un arbitre. La requérante indiquait qu'elle entendait élever une prétention en paiement de 948'460 US$, plus intérêts, à l'encontre de la société espagnole Y._ SA (ci-après: Y._), pour cause d'inexécution partielle d'un accord de coopération conclu le 7 mars 1997 avec cette société. Selon X._, le différend devait être soumis à un tribunal arbitral de trois membres, avec siège à Genève, en vertu d'une clause compromissoire insérée dans ledit accord. La requérante précisait qu'elle avait désigné son arbitre, lequel avait accepté sa mission, mais que sa cocontractante avait refusé de choisir le sien.
Contestant l'existence de la convention d'arbitrage invoquée, au motif que le contrat de coopération daté du 7 mars 1997 en était resté au stade du projet, Y._ s'est opposée à la requête de X._.
Par jugement du 4 janvier 2008, le Tribunal de première instance a rejeté la requête, en application de l'art. 179 al. 3 LDIP, après avoir constaté que les parties n'étaient pas liées par une convention d'arbitrage.
B. Contre ce jugement, reçu par elle le 8 janvier 2008, X._ a interjeté appel le 18 du même mois.
Y._ a conclu à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet de ce moyen de droit.
Par arrêt du 3 avril 2008, la Cour de justice du canton de Genève a déclaré irrecevable l'appel formé par X._ et mis les dépens à la charge de cette partie. Elle a retenu, en bref, que le droit de procédure genevois ne prévoit aucun recours contre le refus du juge de nommer un arbitre.
C. Le 9 mai 2008, X._ a formé, dans un seul mémoire, un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle y prend une série de conclusions en cascade qui tendent, en substance, à ce que le Tribunal fédéral annule la décision attaquée, nomme l'arbitre dont la désignation incombe à Y._, invite les deux arbitres à choisir un président et dise que le Tribunal arbitral aura à connaître des différents points énumérés par elle. A titre subsidiaire, la recourante conclut au renvoi du dossier à la cour cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Plus subsidiairement encore, X._ requiert que lui soit restitué le délai pour recourir au Tribunal fédéral contre le jugement du Tribunal de première instance et qu'un nouveau délai de recours lui soit octroyé à cette fin.
L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours et, subsidiairement, au rejet de ceux-ci. La cour cantonale se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans la décision attaquée.
Par ordonnance du 12 juin 2008, le président de la Ire Cour de droit civil a rejeté la demande de sûretés en garantie des dépens déposée par l'intimée.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué, qui a été rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 75 LTF), constitue une décision finale (art. 90 LTF). En effet, la Cour de justice genevoise a déclaré irrecevable l'appel de la recourante parce que, à son avis, les décisions du genre de celle qui lui a été soumise ne sont pas susceptibles de recours au niveau cantonal (cf. arrêt 4P.113/1994 du 10 janvier 1995, consid. 1, reproduit in Bulletin de l'Association suisse de l'arbitrage [ASA] 1995 p. 227 ss). Il a déjà été jugé qu'un recours fédéral est ouvert contre ce type de décisions indépendamment du point de savoir si la décision au fond, telle la nomination d'un arbitre, peut être déférée ou non au Tribunal fédéral (cf. arrêt 4P.63/1995 du 20 juin 1995, consid. 2).
En vertu de l'art. 72 LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours contre les décisions rendues en matière civile. La décision entreprise fait suite à une requête déposée par la recourante en vue de la nomination d'un arbitre et de la constitution d'un tribunal arbitral appelé à trancher un différend relevant de l'arbitrage international visé par les art. 176 ss LDIP. Ce domaine du droit international privé relève incontestablement de la matière civile. La disposition que la loi sur le Tribunal fédéral lui consacre, i.e. l'art. 77, a du reste été rangée dans celles qui ont trait au recours en matière civile (art. 72 à 77 LTF). C'est donc par cette voie de droit que la décision en cause pouvait être soumise à l'autorité judiciaire suprême de la Confédération.
L'intimée soutient certes, en se fondant sur l'arrêt publié aux ATF 118 Ia 20, que le refus de nommer un arbitre ne constitue pas une décision rendue dans une contestation civile, mais un acte de souveraineté contre lequel la loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ), abrogée, n'ouvrait que la voie du recours de droit public (art. 84 ss OJ). Elle en déduit qu'une telle décision, qui n'a pas changé de nature sous l'empire du nouveau droit de procédure fédéral, ne peut être attaquée qu'au moyen d'un recours constitutionnel subsidiaire. En argumentant ainsi, l'intimée perd de vue que le législateur fédéral a renoncé délibérément à reprendre, aux art. 72 à 77 LTF, la distinction, entre "contestations civiles" et "affaires civiles". Partant, il est sans importance, dans le nouveau système, que la cause dans laquelle un recours en matière civile est envisagé soit contentieuse ou gracieuse (Denis Tappy, Le recours en matière civile, in La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, CEDIDAC n° 71, p. 55 s., n. 13). Aussi la décision par laquelle le juge d'appui refuse de nommer un arbitre peut-elle être soumise au Tribunal fédéral par la voie du recours en matière civile, bien qu'elle relève de la juridiction gracieuse (Gabrielle Kaufmann-Kohler/Antonio Rigozzi, Arbitrage international, n. 316; Bernhard Berger/Franz Kellerhals, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, n. 781). Il n'en va pas autrement en ce qui concerne la décision attaquée, qui déclare irrecevable le recours cantonal formé contre un tel refus. Pour le surplus, il n'est pas nécessaire d'examiner ici si le caractère gracieux de la procédure close par cette décision a pour effet de soustraire le recours en matière civile à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale (dans ce sens, cf. Kaufmann-Kohler/Rigozzi, ibid.), ni, de manière plus générale, si cette exigence vaut également dans le domaine de l'arbitrage international. En effet, la valeur litigieuse minimale fixée à l'art. 74 al. 1 let. b LTF est de toute façon atteinte en l'espèce.
Il suit de là que le recours constitutionnel subsidiaire formé par la recourante est irrecevable (art. 113 LTF).
1.2 La recourante, qui s'est vu refuser le droit de déférer à la Cour de justice la décision rejetant sa requête en désignation d'un arbitre, a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que ce refus n'ait pas été décidé en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, ce qui lui confère la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 et 2 LTF, art. 119 al. 1 LTF), le présent recours est donc recevable.
1.3 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3). En revanche, il ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel; cependant, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire ou contraire à d'autres droits constitutionnels (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 383; 133 III 462 consid. 2.3). La violation de droits fondamentaux n'est examinée que si le recourant a invoqué et motivé ce grief (art. 106 al. 2 LTF).
Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), ce que la partie recourante doit démontrer de manière claire et circonstanciée.
2. La recourante articule un certain nombre de griefs qu'elle énumère et résume sous chiffre V de son mémoire. Elle reproche, successivement, à la Cour de justice d'avoir violé le principe d'égalité (art. 8 Cst.) en procédant à une distinction et à une assimilation insoutenables et en revenant sans raison valable sur sa jurisprudence antérieure; d'avoir méconnu le principe constitutionnel de la primauté du droit fédéral (art. 49 al. 2 Cst.) et, plus précisément, l'art. 179 al. 2 LDIP; d'avoir interprété de manière arbitraire (art. 9 Cst.) le droit de procédure genevois; enfin, d'avoir violé le principe de la bonne foi (art. 9 Cst.) en ne l'avertissant pas du changement de jurisprudence qu'elle s'apprêtait à effectuer et en mettant à sa charge les dépens de la procédure de recours sans égard au changement de jurisprudence opéré par elle.
Il conviendra d'examiner, dans un premier temps, si les juges précédents ont fait une interprétation arbitraire des dispositions pertinentes du droit genevois (consid. 3). En cas de réponse négative, on recherchera ensuite si ces dispositions, interprétées de manière soutenable par les juges cantonaux, ne portent pas atteinte à la primauté du droit fédéral (consid. 4). Si tel n'est pas le cas, il faudra encore se demander si le résultat auquel les juges cantonaux sont parvenus crée une inégalité de traitement et, dans l'affirmative, s'il existe un motif, tel un revirement de jurisprudence admissible, rendant cette inégalité compatible avec l'art. 8 Cst. (consid. 5). Le cas échéant, il y aura lieu de s'assurer, enfin, que ce changement de jurisprudence respecte le principe de la bonne foi, ancré à l'art. 9 Cst., quant aux modalités de sa mise en oeuvre (consid. 6).
3. 3.1 La recourante soutient que la décision attaquée applique le droit cantonal d'une manière arbitraire et contraire au principe d'égalité de traitement. Selon elle, la Cour de justice aurait méconnu la volonté du législateur genevois, lequel n'entendait exclure l'appel cantonal que pour la décision de nomination d'un arbitre et non pour celle portant refus de nommer un arbitre. Dans cette dernière hypothèse, exclure ce moyen de droit cantonal irait à l'encontre de la ratio legis, qui est de faciliter et d'accélérer le processus de constitution du tribunal arbitral, car cela reviendrait à empêcher toute contestation d'une décision de blocage de ce processus.
3. 3.1 La recourante soutient que la décision attaquée applique le droit cantonal d'une manière arbitraire et contraire au principe d'égalité de traitement. Selon elle, la Cour de justice aurait méconnu la volonté du législateur genevois, lequel n'entendait exclure l'appel cantonal que pour la décision de nomination d'un arbitre et non pour celle portant refus de nommer un arbitre. Dans cette dernière hypothèse, exclure ce moyen de droit cantonal irait à l'encontre de la ratio legis, qui est de faciliter et d'accélérer le processus de constitution du tribunal arbitral, car cela reviendrait à empêcher toute contestation d'une décision de blocage de ce processus.
3.2 3.2.1 La loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre (interprétation littérale). Si plusieurs interprétations sont possibles, le juge recherchera la véritable portée de la norme, en la dégageant de sa relation avec d'autres dispositions légales et de son contexte (interprétation systématique), du but poursuivi, singulièrement de l'intérêt protégé (interprétation téléologique), ainsi que de la volonté du législateur telle qu'elle ressort notamment des travaux préparatoires (interprétation historique; ATF 131 III 623 consid. 2.4.4 p. 630, 314 consid. 2.2). Le sens que prend la disposition dans son contexte est également important (ATF 131 II 361 consid. 4.2 p. 368; 130 II 65 consid. 4.2 p. 71). Lorsqu'il est appelé à interpréter une loi, le Tribunal fédéral adopte une position pragmatique en suivant une pluralité de méthodes, sans soumettre les différents éléments d'interprétation à un ordre de priorité (ATF 133 III 257 consid. 2.4 p. 265 s.; 131 III 623 consid. 2.4.4 p. 630 et les arrêts cités).
En matière d'interprétation et d'application du droit cantonal, il ne faut pas confondre arbitraire et violation de la loi. Une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement se prononcer sur le caractère défendable de l'application ou de l'interprétation du droit cantonal qui a été faite. Il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 133 III 462 consid. 4.4.1 et les arrêts cités).
3.2.2 L'art. 461 B let. a de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.) attribue au Tribunal de première instance la compétence pour nommer les arbitres. L'alinéa 2 de cette disposition renvoie, notamment, à l'art. 458 LPC gen., en vertu duquel cette autorité statue suivant les règles de la procédure sommaire et "en dernier ressort". Les jugements de première instance rendus en dernier ressort sont, en principe, susceptibles d'un appel extraordinaire, au sens de l'art. 292 LPC gen. Nonobstant cette disposition, la Cour de justice, se fondant sur la volonté historique du législateur, a cependant exclu la possibilité d'interjeter un tel recours contre les décisions de nomination d'arbitres (arrêt du 3 mars 1994 reproduit in SJ 1994 p. 446 ss). Statuant sur un recours de droit public, le Tribunal fédéral a jugé que la cour cantonale n'avait pas interprété de manière insoutenable l'art. 458 al. 1 LPC gen. (arrêt 4P.113/1994 du 10 janvier 1995, reproduit in Bulletin ASA 1995 p. 227 ss, consid. 2b/aa). A la même époque, il est entré en matière sur un recours de droit public visant une décision de refus de nomination d'un troisième arbitre après avoir constaté, en se référant à l'arrêt cantonal précité, que le législateur genevois a exclu la voie de l'appel contre les décisions de nomination d'un arbitre prises par le juge d'appui (ATF 121 I 81 consid. 1a).
3.2.3
3.2.3.1 La recourante fait grief à la cour cantonale de s'être écartée sans motif valable du texte clair de l'art. 458 al. 1 LPC gen. Le reproche tombe à faux pour la raison déjà que l'expression "en dernier ressort", figurant dans ce texte, peut avoir plusieurs significations. Il n'est pas sans intérêt de noter, à ce propos, que, dans son sens courant, cette expression est définie ainsi: "après que les autres moyens ont été épuisés; en dernière instance, sans possibilité de recours, d'appel" (Le Robert électronique, sous le terme "ressort", n. 1 in fine). C'est dire que l'expression "en dernier ressort" n'est pas univoque, puisque, dans l'une de ses acceptions, elle est synonyme de "en dernière instance". C'est dire aussi qu'en lui donnant une telle signification, les juges cantonaux ne se sont pas écartés de la lettre de la loi. C'est dire enfin que la disposition en cause est sujette à interprétation, si l'on veut donner aux termes "en dernier ressort" un autre sens que celui qu'ils revêtent d'ordinaire en procédure civile genevoise, et singulièrement à l'art. 292 LPC gen., comme le Tribunal fédéral l'a relevé dans l'arrêt 4P.113/1994, précité (consid. 2b/aa).
3.2.3.2 L'art. 179 al. 2 LDIP énonce que le juge d'appui applique par analogie les dispositions du droit cantonal sur la nomination, la révocation et le remplacement des arbitres. L'art. 461 B al. 2 LPC gen. renvoie, à cet égard, aux règles du droit cantonal en matière d'arbitrage concordataire. Le Concordat intercantonal sur l'arbitrage (CIA) prévoit - mais n'impose pas - la compétence du tribunal supérieur de la juridiction civile ordinaire du canton pour nommer les arbitres, tout en réservant l'art. 45 al. 2 CIA qui permet aux cantons d'attribuer cette compétence à une autre autorité judiciaire. Le législateur genevois a fait usage de ce pouvoir dérogatoire à l'art. 458 LPC gen. en transférant la compétence de nommer les arbitres au Tribunal de première instance, qui statue "en dernier ressort". Lors des débats parlementaires, le rapporteur de la commission ad hoc s'est exprimé en ces termes à ce sujet (Mémorial des séances du Grand Conseil, 1970, p. 2704):
"Cette adhésion nécessite une refonte complète des dispositions de la loi de procédure civile relatives à l'arbitrage, notamment en ce qui concerne la procédure sommaire prévue pour la nomination judiciaire des arbitres et, vu la suppression de l'appel, la mention que le jugement est rendu en dernier ressort (article 370 LPC), le recours en nullité pour violation de la loi de l'art. 36, lettre f, du concordat garantissant suffisamment les droits des justiciables."
La thèse défendue par le rapporteur n'ayant pas été combattue par les députés au Grand Conseil, la Cour de justice en a déduit que le législateur genevois avait entendu exclure la possibilité d'un recours cantonal contre la décision de nomination d'un arbitre, tout en réservant un éventuel recours en nullité contre la sentence elle-même, et le Tribunal fédéral a considéré que cette interprétation n'avait rien d'insoutenable (arrêt 4P.113/1994, précité, consid. 2b/aa).
Selon la recourante, la volonté exprimée en 1970 par le législateur genevois ne visait que l'hypothèse de la nomination d'un arbitre par le juge d'appui et non pas celle du refus de nommer un arbitre. En effet, si tel n'avait pas été le cas, le recours en nullité contre la sentence n'aurait pas été réservé comme garantie suffisante des droits des justiciables, étant donné qu'aucune sentence ne peut être rendue si le juge d'appui refuse de nommer un arbitre. Aussi, de l'avis de la recourante, la Cour de justice ne pouvait-elle s'écarter du texte clair de la loi, en procédant à la même interprétation historique, pour exclure tout recours cantonal contre la décision du Tribunal de première instance portant refus de nommer un arbitre. En soi, la thèse défendue par la recourante n'est pas dénuée de fondement. Cette constatation ne suffit toutefois pas à épuiser le sujet.
Si on l'examine dans une perspective plus large, l'avis du rapporteur de la commission ad hoc, reproduit plus haut, exprime sans conteste l'idée que la décision du juge d'appui relative à la nomination d'un arbitre - qu'elle soit positive ou négative - ne doit pouvoir être contestée que dans la mesure nécessaire à la sauvegarde des droits des parties en litige. Semblable idée, qui concrétise en matière d'arbitrage le principe cardinal de l'économie de la procédure, implique que la décision du juge d'appui de nommer un arbitre ne puisse être remise en cause qu'une seule fois, fût-ce de manière indirecte au moyen d'un recours dirigé contre la sentence (cf. ATF 115 II 294 consid. 2d et les arrêts cités; voir toutefois les critiques formulées par les auteurs cités dans l'ATF 121 I 81 consid. 1b au sujet d'une solution qui comporte le risque de devoir recommencer toute la procédure arbitrale), et que le refus de nommer un arbitre puisse être soumis à un contrôle judiciaire qui ne prolonge pas indûment la durée du processus de constitution du tribunal arbitral. Considérée de ce point de vue, l'interprétation de l'art. 458 al. 1 LPC gen., telle qu'elle a été faite par la Cour de justice, ne méconnaît pas manifestement la volonté du législateur genevois - si tant est que l'on puisse dégager cette volonté de la seule déclaration du rapporteur de la commission ad hoc, ce qui n'est pas certain - même si cette volonté n'apparaît qu'en filigrane, dans la déclaration susmentionnée, pour ce qui est du refus de nommer un arbitre.
Il ressort, par ailleurs, de l'arrêt attaqué que la cour cantonale a procédé surtout, sinon exclusivement, à une interprétation téléologique de la disposition en cause et qu'elle a cherché, ce faisant, à dégager le but de cette norme en tenant compte de la possibilité de contester la décision du juge d'appui devant le Tribunal fédéral ainsi que de la codification future du problème litigieux. Sur le premier point, elle souligne que l'impossibilité de recourir à Genève contre le refus du juge d'appui de nommer un arbitre, signifié en application de l'art. 179 al. 3 LDIP, ne constitue pas un frein à la constitution du tribunal arbitral, étant donné qu'une telle décision peut être soumise directement au Tribunal fédéral, ce qui représente un gain de temps considérable. Force est, en effet, de constater que la recourante ne tient pas compte de cette possibilité de recours lorsqu'elle affirme que l'absence de recours au niveau cantonal contre le refus de nommer un arbitre ne permet pas à une partie de s'opposer à une décision susceptible de bloquer le processus arbitral. Sur le second point, les juges genevois notent que le projet de Code de procédure civile suisse prescrit une instance cantonale unique pour la nomination d'un arbitre dans le cadre d'un arbitrage interne (art. 354 al. 2 let. a; FF 2006 p. 7101). Le résultat de cette interprétation téléologique, qui vient confirmer celui de l'interprétation historique, ne comporte, lui non plus, rien d'insoutenable.
3.2.4 Ainsi, l'interprétation que la Cour de justice a faite de l'art. 458 al. 1 LPC gen. aboutit à une solution qui est à tout le moins défendable. Cette interprétation est dès lors exempte d'arbitraire, même si elle n'est pas la seule qui se puisse concevoir.
4. 4.1 La Cour de justice se voit encore reprocher par la recourante d'avoir violé le droit fédéral, plus précisément l'art. 179 al. 2 LDIP, en tant qu'il imposerait aux cantons de prévoir un recours cantonal contre les décisions portant refus de nommer un arbitre.
Selon la recourante, pareille obligation, imposée aux cantons, résulterait de l'interprétation faite par le Tribunal fédéral de l'art. 179 al. 2 LDIP dans l'arrêt publié aux ATF 119 Ia 421. Et la recourante de citer, pour étayer ses dires, la traduction française suivante d'un passage du considérant 2b de cet arrêt (JdT 1994 I 625 ss, 626):
"Selon l'opinion dominante en doctrine, il incombe au droit cantonal (art. 179 al. 2 LDIP) de prévoir un recours contre les décisions portant refus de nommer un arbitre (...). Cette thèse doit être approuvée."
4.2 Le passage cité n'est d'aucun secours à la recourante. En effet, il ressort du contexte dans lequel il s'insère et, singulièrement, de la phrase qui le précède, que ce passage visait uniquement la question de savoir si l'institution d'un recours cantonal contre le refus du juge d'appui de nommer un arbitre est admissible au regard du concordat sur l'arbitrage, auquel renvoie l'art. 179 al. 2 LDIP (thèse soutenue par la doctrine majoritaire), ou si elle ne l'est pas (opinion professée par Pierre Lalive, Jean-François Poudret et Claude Reymond, in Le droit de l'arbitrage interne et international en Suisse, n. 3 ad art. 12 CIA, p. 83 et n. 14 ad art. 179 LDIP, p. 335). Le Tribunal fédéral a opté pour le premier terme de l'alternative en formulant la phrase suivante (ATF 119 Ia 421 consid. 2b p. 423):
"In der Lehre wird überwiegend die Meinung vertreten, es obliege dem kantonalen Recht (Art. 179 Abs. 2 IPRG), allfällige kantonalrechtliche Rechtsmittel gegen Ablehnungsentscheide vorzusehen (...). Dieser Auffassung ist beizupflichten."
Si l'on compare la version originale de ce passage avec la traduction française reproduite ci-dessus, il apparaît d'emblée que cette dernière ne reproduit pas fidèlement l'idée exprimée par le Tribunal fédéral, du fait notamment qu'elle omet de traduire l'adjectif "allfällige" figurant dans le texte allemand. Or, cet adjectif - un helvétisme (cf. Duden, Die deutsche Rechtschreibung, 24e éd., p. 173) -, qui a pour synonyme "eventuell" (en français: "éventuel"), revêt une importance décisive dans la phrase en question, en ce sens qu'il exclut que l'on puisse interpréter celle-ci comme faisant obligation aux cantons de prévoir un recours contre la décision par laquelle l'autorité inférieure refuse de nommer un arbitre.
Au demeurant, s'il subsistait un doute à ce sujet, il aurait été levé ultérieurement dans un arrêt du 17 juillet 1998 (cause 4P.108/1998) où le Tribunal fédéral réfute derechef en ces termes la thèse minoritaire soutenue par les professeurs Lalive, Poudret et Reymond (consid. 1b):
"Toutefois, ce point de vue n'est pas celui de la jurisprudence et de la doctrine dominante. En effet, le Tribunal fédéral, se référant à plusieurs autres auteurs, a jugé qu'une réglementation qui prévoit un recours de droit cantonal ordinaire ou extraordinaire, contre une décision refusant de nommer un arbitre conformément à l'art. 179 LDIP, n'est pas contraire aux dispositions du concordat sur l'arbitrage auquel renvoie implicitement l'art. 179 al. 2 LDIP. Il s'est rallié à la thèse selon laquelle les cantons sont habilités à prévoir un recours cantonal contre les décisions de refus de nomination d'un arbitre (ATF 119 Ia 421 consid. 2b). Cette jurisprudence a été confirmée ultérieurement (cf. arrêt du 10 janvier 1995 dans la cause A._ Ltd, consid. 2a, publié in Bulletin ASA 1995 p. 227)."
Cela étant, le moyen pris de la violation de l'art. 179 al. 2 LDIP tombe à faux.
5. Au demeurant, de l'avis de la recourante, l'arrêt déféré créerait une inégalité de traitement en ce sens, d'une part, qu'il traite différemment deux cas - la présente espèce et une précédente affaire similaire - requérant un traitement identique et, d'autre part, qu'il traite de la même façon deux cas - la présente espèce et une cause antérieure relative à la nomination d'un arbitre - requérant un traitement différent.
5.1 L'art. 8 al. 1 Cst. proclame que tous les êtres humains sont égaux devant la loi. Le principe d'égalité, ainsi formulé par cette norme, et la protection contre l'arbitraire, garantie par l'art. 9 Cst., sont étroitement liés. Une décision est arbitraire lorsqu'elle ne repose pas sur des motifs sérieux et objectifs ou n'a ni sens ni but. Elle viole le principe de l'égalité de traitement lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait ou lorsqu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et lorsque ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente. Il faut que le traitement différent ou semblable injustifié se rapporte à une situation de fait importante. La question de savoir s'il existe un motif raisonnable pour une distinction peut recevoir des réponses différentes suivant les époques et les idées dominantes (ATF 133 I 249 consid. 3.3 et les arrêts cités). L'inégalité de traitement apparaît ainsi comme une forme particulière d'arbitraire, consistant à traiter de manière inégale ce qui devrait l'être de manière semblable ou inversement (ATF 131 I 394 consid. 4.2 et les arrêts cités).
L'autorité judiciaire qui change de jurisprudence commet à première vue une inégalité de traitement, parce qu'elle se contredit en prenant des décisions différentes dans deux situations identiques. Cependant, l'art. 8 Cst. ne peut pas avoir pour effet de la contraindre à maintenir une solution qui, à un moment donné, lui paraît moins satisfaisante qu'une autre. Dès lors, un revirement de jurisprudence est compatible avec l'art. 8 Cst. à certaines conditions (Andreas Auer/Giorgio Malinverni/Michel Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, n. 1072). Tel est le cas lorsqu'il s'appuie sur des raisons objectives comme une connaissance plus exacte de l'intention du législateur, la modification des circonstances extérieures, un changement de conception juridique ou l'évolution des moeurs (ATF 130 V 492 consid. 4.1 et les arrêts cités). Toutefois, plus la jurisprudence est constante, plus le juge sera exigeant quant à la valeur des motifs invoqués (ATF 120 II 137 consid. 3f p. 142).
5.2 La recourante s'estime victime d'une inégalité de traitement du fait que la Cour de justice serait entrée en matière précédemment sur un appel interjeté dans des circonstances identiques à celles de la présente affaire. Elle invoque, à ce propos, un arrêt du 7 février 1991 (Bulletin ASA 1991 p. 155 ss, 159/160).
Il est vrai que l'arrêt attaqué et l'arrêt précité aboutissent à des solutions inverses dans des circonstances pourtant similaires. Du point de vue objectif, on a donc affaire, en l'espèce, à une inégalité de traitement.
Cependant, l'inégalité de traitement ainsi mise au jour résulte d'un revirement de jurisprudence. A ce stade du développement, il y a lieu de réserver l'examen du point de savoir si ce revirement de jurisprudence a été opéré dans l'arrêt attaqué ou antérieurement (cf. consid. 6 ci-après). L'essentiel, ici, est de constater que le changement de jurisprudence incriminé s'appuyait sur des raisons objectives, de sorte que l'inégalité de traitement établie par lui est compatible avec l'art. 8 Cst.
Il sied d'observer, à cet égard, que l'arrêt du 7 février 1991 est apparemment le seul qui ait été publié sur le point litigieux avant le changement de jurisprudence controversé. On n'est donc pas en présence d'une jurisprudence constante et claire, d'autant moins que la partie publiée de cette décision ne contient pas le considérant relatif à la recevabilité de l'appel contre la décision prise en application de l'art. 179 al. 3 LDIP (cf. Bulletin ASA 1991 p. 155 ss). Au demeurant, et c'est là l'élément décisif, il a été démontré plus haut, lors de l'examen du grief d'arbitraire (cf. consid. 3.2.3.2), que la nouvelle jurisprudence, sans méconnaître l'intention du législateur cantonal, a cherché, bien plutôt, à actualiser cette intention, dans une perspective téléologique, en tenant compte de la possibilité de contester la décision du juge d'appui devant le Tribunal fédéral ainsi que de la codification future du problème litigieux.
Dans ces conditions, la recourante ne peut pas invoquer le principe de l'égalité de traitement pour faire barrage à une nouvelle jurisprudence qui résulte d'un changement de conception juridique touchant le problème controversé.
Le grief tiré de la violation de l'art. 8 Cst. apparaît, dès lors, lui aussi mal fondé.
6. Dans un dernier groupe de moyens, la recourante reproche aux juges précédents d'avoir violé le principe de la bonne foi en procédant au changement de jurisprudence incriminé sans l'avoir avertie au préalable et en lui faisant supporter les frais et dépens de la procédure d'appel.
En argumentant ainsi, l'intéressée perd de vue que ce changement de jurisprudence n'a pas été opéré dans l'arrêt attaqué, mais dans une décision antérieure. C'est, en effet, dans son arrêt, déjà cité, du 3 mars 1994, reproduit in SJ 1994 p. 446 ss, que la Cour de justice s'est écartée de la jurisprudence instaurée par le précédent du 7 février 1991 en posant le principe selon lequel toute décision relative à la nomination d'un arbitre rendue par le Tribunal de première instance ne pourrait plus faire l'objet d'un appel extraordinaire à l'avenir et échapperait désormais à son examen. Que cette jurisprudence visât aussi bien le refus de nommer un arbitre (décision négative) que la nomination d'un arbitre (décision positive) n'est pas douteux. Preuve en est l'arrêt du 20 mars 1995, publié aux ATF 121 I 81, dans lequel le Tribunal fédéral s'y est référé expressément pour constater que, dans la cause qui lui était soumise, la décision du Tribunal de première instance portant refus de nommer un arbitre avait été rendue en dernière instance cantonale et pouvait ainsi être attaquée directement devant lui par la voie du recours de droit public (consid. 1a).
Dans ces circonstances, la Cour de justice n'était pas tenue d'informer la recourante du fait que son appel était irrecevable, puisque cet état de choses résultait d'une jurisprudence publiée de longue date, ni de renoncer à mettre les dépens de la procédure d'appel à la charge de cette partie.
Sur le vu des motifs énoncés plus haut, le recours en matière civile se révèle ainsi mal fondé et doit, dès lors, être rejeté.
7. La recourante voudrait enfin se voir restituer le délai pour former un recours en matière civile contre le jugement rendu le 4 janvier 2008 par le Tribunal de première instance du canton de Genève dans la cause divisant les parties.
7.1 En vertu de l'art. 50 al. 1 LTF, si, pour un autre motif qu'une notification irrégulière, la partie ou son mandataire a été empêché d'agir dans le délai fixé sans avoir commis de faute, le délai est restitué pour autant que la partie en fasse la demande, avec indication du motif, dans les 30 jours à compter de celui où l'empêchement a cessé; l'acte omis doit être exécuté dans ce délai. Hormis le fait qu'elle rallonge de 10 à 30 jours le délai dans lequel la demande de restitution doit être présentée et l'acte omis exécuté, cette disposition ne modifie pas les conditions de fond posées par l'art. 35 OJ pour la restitution de délai. Aussi la jurisprudence relative à la norme abrogée conserve-t-elle toute sa valeur sous l'empire du nouveau droit (Kathrin Amstutz/Peter Arnold, Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, n. 2 ad art. 50 LTF).
La restitution de délai est subordonnée à la condition que la partie ou son mandataire qui a été empêché d'agir dans le délai fixé n'ait pas commis de faute. Par empêchement non fautif de la partie ou du mandataire, il faut entendre, selon la jurisprudence, non seulement l'impossibilité objective, comme la force majeure, mais également l'impossibilité subjective due à des circonstances personnelles ou à l'erreur excusable (cf. ATF 96 II 262 consid. 1a p. 265; Jean-François Poudret, COJ, n. 2.3 et 2.7 ad art. 35). La pratique, qui se montre stricte dans l'appréciation de la réalisation de cette condition, exige que le caractère non fautif de l'empêchement allégué apparaisse clairement ("klare Schuldlosigkeit"; cf. arrêt 1P.123/2005 du 14 juin 2005, publié in ZBl 107/2006 p. 390, consid. 1.2 et les arrêts cités; voir aussi: Amstutz/Arnold, op. cit., n. 5 ad art. 50 LTF).
7.2 Si la recourante n'avait eu sous les yeux que l'arrêt de la Cour de justice du 7 février 1991 avant de prendre connaissance de l'arrêt présentement attaqué, on ne pourrait pas lui reprocher de n'avoir pas formé un recours au Tribunal fédéral contre le jugement rendu par le Tribunal de première instance. Dans cette hypothèse, le caractère non fautif de l'empêchement allégué serait indéniable. Cependant, en l'occurrence, deux décisions publiées, rendues dans l'intervalle, sont venues modifier sensiblement les données du problème. Il s'agit de l'arrêt genevois du 3 mars 1994 (SJ 1994 p. 446 ss) et de l'arrêt fédéral du 20 mars 1995 (ATF 121 I 81). Sur le vu de ces deux décisions, le mandataire de la recourante ne pouvait pas raisonnablement partir de l'idée que la décision prise par le Tribunal de première instance était susceptible d'un appel extraordinaire à la Cour de justice. Il devait, à tout le moins, envisager l'éventualité du refus de cette autorité d'entrer en matière et agir en conséquence, c'est-à-dire former un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ladite décision (ATF 134 I 199 consid. 1.3 p. 202). Ne pas avoir utilisé cette possibilité a pour conséquence de rendre fautif l'empêchement qu'il allègue. Le serait tout autant le fait d'avoir ignoré l'existence des deux arrêts précités.
Par conséquent, la requête de la recourante visant à obtenir une restitution du délai pour recourir au Tribunal fédéral contre le jugement rendu le 4 janvier 2008 par le Tribunal de première instance ne saurait être admise.
8. La recourante, qui succombe, devra payer les frais judiciaires afférents à la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et verser des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Le Tribunal fédéral prononce:
1. La requête tendant à la restitution du délai pour former un recours en matière civile contre le jugement rendu le 4 janvier 2008 par le Tribunal de première instance du canton de Genève dans la cause divisant les parties est rejetée.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Le recours en matière civile est rejeté.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo