Erwägungen:
1. X._ (geb. angeblich 1976) will nach eigenen Angaben als Staatenloser in der Republik Benin aufgewachsen sein. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren (Verfügung des Bundesamts für Migration vom 2. Februar 2006 und Entscheid der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 6. Dezember 2006). Am 2. Oktober 2007 nahm der Migrationsdienst des Kantons Bern ihn in Ausschaffungshaft. Das Haftgericht III Bern-Mittelland bestätigte diese am 4./12. Oktober 2007 bis zum 1. Januar 2008 und verlängerte sie am 27./28. Dezember 2007 bis zum 30. April 2008. X._ ist hiergegen am 25. Januar 2008 mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihn sofort aus der Haft zu entlassen und als staatenlose Person in der Schweiz zu anerkennen; es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
2. Seine Eingabe ist - soweit er sich darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt und nicht allein seine Lebensgeschichte erzählt (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) - offensichtlich unbegründet und kann aufgrund der vorliegenden Unterlagen ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Das Bundesgericht hat am 11. Dezember 2007 festgestellt, dass beim Beschwerdeführer gestützt auf sein bisheriges Verhalten Untertauchensgefahr besteht. Der Beschwerdeführer ist am 14. September 2007 einer Delegation des "Nigerian Immigration Service" vorgeführt worden, welche zusätzliche Abklärungen für nötig erachtete; eine weitere Vorführung ist im Frühjahr 2008 geplant. Zurzeit kann somit nicht gesagt werden, dass eine allfällige Ausschaffung nicht (mehr) absehbar wäre und sich die Behörden nicht (weiterhin) darum bemühen würden, für ihn Papiere zu beschaffen (vgl. das Urteil 2C_698/2007 vom 11. Dezember 2007, E. 2.2).
2.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, staatenlos zu sein, deuten die bisher vorliegenden Hinweise darauf hin, dass er in einem englischsprachigen Staat sozialisiert worden sein dürfte bzw. aus Nigeria oder Ghana stammen könnte; er versucht offenbar, die Behörden über seine Herkunft zu täuschen. Ob er als staatenlos zu gelten hat, ist nicht im Haftverfahren definitiv zu entscheiden; in diesem geht es nur darum, ob die gesetzlichen Voraussetzungen für seine administrative Festhaltung nach wie vor erfüllt sind, was zu bejahen ist. Sein Antrag, ihm sei ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen, ist wegen der Aussichtslosigkeit seiner Begehren abzuweisen, soweit sich sein Ersuchen auf das bundesgerichtliche Verfahren bezieht (Art. 64 BGG). Vor dem Haftrichter hat er erst nach Abschluss der Verhandlung hierum ersucht (Protokoll, S. 3 in fine), weshalb es nicht Bundesrecht verletzt, wenn davon abgesehen wurde, ihm für diese einen amtlichen Vertreter beizugeben; für ein künftiges Haftprüfungsverfahren könnte ihm dieser nicht verweigert werden (vgl. BGE 122 I 49 E. 2c/cc S. 52 f.). Soweit der Beschwerdeführer um eine anwaltliche Vertretung zur Abklärung seiner Staatenlosigkeit ersucht, ist hierüber nicht im Haftverfahren zu entscheiden, da die entsprechende Feststellung in diesem nicht Verfahrensgegenstand bildet.
2.3 Im Hinblick auf die Umstände (Bedürftigkeit, Absehbarkeit der Ausschaffung) rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das bundesgerichtliche Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar