Faits:
A. D._, née en 1952, a été engagée le 24 décembre 2007 en qualité de serveuse au service de l'Hôtel X._. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accident auprès de Swica Assurances SA (ci-après: Swica). Son contrat de travail a été résilié avec effet au 1er janvier 2008 (dernier jour d'activité).
Par déclaration de sinistre du 7 janvier 2008, l'employeur a annoncé un accident survenu le 1er janvier 2008: l'assurée était « soi-disant tombée dans la cuisine du restaurant », et s'était blessée au dos.
Consultée le 2 janvier 2008, la doctoresse B._ a attesté une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 8 janvier puis jusqu'au 13 janvier 2008. Dans un rapport du 14 janvier 2008, elle a posé les diagnostics de contusion musculaire lombaire et de la hanche gauche ainsi que de contusion des trapèzes (rapport du 14 janvier 2008). Ce médecin a précisé, le 9 février 2008, que l'examen radiologique du bassin avait permis d'exclure une fracture fémorale, des branches ilio-ischio-pubiennes, des dernières lombaires ainsi que du sacrum. En raison de douleurs au niveau des trapèzes, de la hanche gauche et du sacrum, l'assurée a été mise au bénéfice d'un traitement anti-inflammatoire non stéroïdien (AINS).
A la demande de Swica, le docteur Y._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a examiné l'assurée. Dans un rapport du 17 avril 2008, ce médecin a posé le diagnostic de (status après) contusion lombaire et de la hanche gauche en lien avec l'accident (S 70.0). Par ailleurs, tout en admettant que la constatation d'un tel trouble ne relève pas de sa spécialité, le docteur Y._ a diagnostiqué une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques (F 68.0), sans lien avec l'accident. Selon les conclusions de ce médecin, sur le plan strictement médical, il s'est agi d'une banale contusion du bassin. A l'instar du premier médecin traitant de l'assurée, on pouvait admettre une corrélation entre l'accident et les troubles pour une durée de quinze jours. Au-delà de ce délai, la persistance de troubles n'était plus liée à l'accident, mais à des facteurs étrangers à celui-ci.
Interpellé par Swica le 24 avril 2008, le docteur L._, nouveau médecin traitant, a indiqué que l'examen clinique du 30 janvier 2008 l'avait amené à retenir le diagnostic de status post-accidentel avec contusion sciatique et tendinite proximale des ischio-jambiers avec contracture de ces derniers. Ces constatations ne lui avaient pas permis d'attester une capacité de travail totale pour cette patiente serveuse. Le docteur L._ a précisé que la cause post-accidentelle était logique jusqu'à fin février, début mars. On pouvait « discuter actuellement du bien-fondé de la situation post-accidentelle par rapport à une situation qui évolue dans le sens d'une maladie et ainsi convertir l'arrêt de travail accident en arrêt de travail maladie ». En outre, le docteur L._ n'a pas exclu que la symptomatologie de l'assurée évolue vers un trouble somatoforme en raison d'un conflit et d'une récrimination sous-jacents.
Par décision du 9 juillet 2008, Swica a supprimé le droit de l'assurée à des prestations avec effet au 29 février 2008.
D._ s'est opposée à cette décision en produisant un rapport du 21 mai 2008 du docteur M._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie. Selon les conclusions de ce médecin, l'assurée présente un probable syndrome spondylogène post-traumatique (diagnostic différentiel: syndrome radiculaire sur hernie discale lombaire, périarthropathie de la hanche et lésions musculaires de la cuisse gauche). Par ailleurs, comme la radiographie réalisée par le docteur L._ le 21 janvier 2008 mettait en évidence un décalage de la symphyse pubienne, le docteur M._ a proposé que soient pratiquées une IRM lombaire ainsi qu'une échographie du bassin et de la cuisse gauche. Réalisée le 3 juin 2008, l'IRM lombaire a révélé la présence d'une discopathie étagée ainsi que d'un écrasement et débord discal circonférentiel en L3-L4, et en grande partie foraminal et extra-foraminal gauche, sans conflit évident.
Par décision sur opposition du 28 août 2008, Swica a confirmé sa décision du 9 juillet 2008.
B. D._ a déféré la décision sur opposition de Swica au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais. Elle a conclu, notamment, à la prise en charge par Swica des frais de traitement engendrés par l'accident. Par la suite, elle a produit un rapport du 14 octobre 2008 du docteur M._. Selon l'appréciation de ce médecin, les examens avaient permis de conclure à un probable syndrome spondylogène post-traumatique sur discopathie L3-L4 avec un débord en partie foraminal et extra-foraminal gauche (IRM lombaire du 3 juin 2008), activé par l'événement traumatique (diagnostic différentiel: périarthropathie de la hanche gauche). Par ailleurs, toujours selon le docteur M._, une IRM de la hanche gauche du 17 septembre 2008 avait mis en évidence une zone d'oedème osseux, compatible avec des séquelles d'une contusion osseuse.
Statuant le 9 décembre 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. D._ interjette un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce qu'elle soit mise au bénéfice des prestations de l'assureur LAA (implicitement) pour la période subséquente au 29 février 2008.
Swica conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision querellée a été rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) et aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée. Elle émane d'une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let d LTF).
Il s'ensuit que la voie du recours en matière de droit public est ouverte, si bien que celle du recours constitutionnel subsidiaire choisie par la recourante est fermée (art. 113 LTF). L'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (cf. ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382; 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 s.; 133 II 396 consid. 3.1). Encore faut-il qu'il soit possible de convertir le recours dans son ensemble; en effet, une conversion est exclue si certains griefs relèvent de la voie de droit choisie alors que d'autres devaient être soulevés dans un autre recours (cf. ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
1.2 En l'espèce, la recourante se plaint d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire dans l'application de l'art. 6 LAA. Ce grief peut être soulevé dans un recours en matière de droit public (art. 95 let. a LTF), étant précisé que le Tribunal fédéral examine librement la violation des dispositions de droit fédéral et non pas seulement sous l'angle de l'arbitraire. La conversion du recours dans son ensemble est possible, si bien que l'acte déposé par la recourante peut être traité comme un recours en matière de droit public.
2. Le litige porte sur la question de savoir si l'intimée était fondée à supprimer avec effet au 29 février 2008 le droit de la recourante à des prestations pour les suites de l'accident du 1er janvier 2008.
3. En procédure fédérale, l'assurée a produit, en annexe à son recours - en sus du rapport du 14 octobre 2008 du docteur M._ connu des premiers juges - une lettre non datée émanant du docteur L._.
Dans un arrêt récent destiné à la publication au Recueil officiel (ATF 8C_934/2008 du 17 mars 2009), le Tribunal fédéral a jugé que dans la procédure concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance militaire ou de l'assurance-accidents, aucun fait nouveau ni aucune preuve nouvelle ne peut plus être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (consid. 2 et 3). Il s'ensuit que le (nouveau) rapport non daté du docteur L._ produit par la recourante pour la première fois en procédure fédérale ne saurait être pris en considération.
4. Le jugement entrepris expose de manière correcte les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la nécessité d'une atteinte à la santé, physique ou psychique, et d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre celle-ci et un accident pour que l'assureur-accidents soit tenu à fournir des prestations.
On rappellera cependant que, dans le contexte de la suppression du droit à des prestations, la règle selon laquelle le fardeau de la preuve appartient à la partie qui invoque la suppression du droit (RAMA 2000 n° U 363 p. 46 consid. 2, arrêt U 355/98 du 9 septembre 1999) entre seulement en considération s'il n'est pas possible, dans les limites du principe inquisitoire, d'établir sur la base d'une appréciation des preuves un état de fait qui au degré de vraisemblance prépondérante corresponde à la réalité (ATF 117 V 261 consid. 3b p. 264). La preuve de la disparition du lien de causalité naturelle ne doit pas être apportée par la preuve de facteurs étrangers à l'accident. Il est encore moins question d'exiger de l'assureur-accidents la preuve négative qu'aucune atteinte à la santé ne subsiste plus ou que la personne assurée est dorénavant en parfaite santé.
Est seul décisif le point de savoir si les causes accidentelles d'une atteinte à la santé ne jouent plus de rôle et doivent ainsi être considérées comme ayant disparu (arrêt U 47/07 du 23 juin 2008, consid. 4 et les références).
5. Les premiers juges ont tenu pour établi, sur le vu des avis médicaux des docteurs B._ (des 14 janvier et 9 février 2008), Y._ (du 17 avril 2008) et L._ que les affections présentées par la recourante au-delà du 29 février 2008 n'étaient plus en relation de causalité naturelle avec l'accident du 1er janvier 2008.
La recourante fait grief aux premiers juges d'avoir écarté arbitrairement les rapports du docteur M._.
6. Avec les premiers juges, on doit admettre que les rapports du docteur M._ ne sont pas aptes à mettre en cause les conclusions des trois autres médecins sus-évoqués. En effet, quoi qu'en dise la recourante, le docteur M._ est pour le moins circonspect dans ses appréciations en ce qui concerne les troubles diagnostiqués. Par ailleurs, il ne se prononce pas de manière claire et catégorique sur la question de la causalité entre les affections constatées et la chute du 1er janvier 2008. On ajoutera que dans son premier rapport, il propose de demander, notamment, une IRM lombaire pour un bilan lésionnel plus précis. Dans une lettre au docteur L._ du 12 août 2008, nanti de l'IRM en question, il constate la présence d'une discopathie L3-L4 avec un débord intra et extra foraminale gauche et conclut que les chances de succès d'une procédure de la patiente sont minimes « étant donné l'examen clinique ainsi que les examens complémentaires ».
7. Vu ce qui précède, le recours est mal fondé. La recourante supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 1ère phrase LTF en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a). Pour le même motif, elle n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire, traité comme un recours en matière de droit public, est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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