Sachverhalt:
A.
Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1955) reiste am 21. März 1981 in die Schweiz ein und heiratete im selben Jahr die Schweizer Bürgerin B.B._. Seit dem 7. November 2001 ist er im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Der gemeinsame Sohn C.B._ wurde am 27. März 2002 geboren.
X._ trat mehrfach strafrechtlich in Erscheinung und wurde wie folgt verurteilt:
am 13. Mai 1983 vom Strafamtsgericht Thun wegen fahrlässiger Körperverletzung mit schwerer Schädigung zu einer Gefängnisstrafe von sieben Monaten, am 29. Januar 1987 vom Obergericht des Kantons Bern wegen Raufhandels zu fünf Monaten Gefängnis, am 7. Juli 1993 durch den Gerichtspräsidenten Wimmis wegen einfacher Körperverletzung mit gefährlichem Gegenstand, fahrlässigen Fahrens in angetrunkenem Zustand und Führens eines Personenwagens ohne Licht zu zwei Monaten Gefängnis, am 28. Juli 1993 durch den Gerichtspräsidenten Niedersimmental wegen unerlaubten Waffenerwerbs und -besitzes mit einer Busse von Fr. 200.--, am 28. Februar 2001 durch den Gerichtspräsidenten 6 des Gerichtskreises X Thun wegen einfacher Körperverletzung mit gefährlichem Gegenstand (Messer) zu 2 Monaten Gefängnis.
Am 10. Dezember 2004 - also im Alter von bereits 49 Jahren - wurde X._ in einem Club in E._ - nach einer zunächst verbalen Auseinandersetzung - von ca. fünf bis sechs Personen mit Billardqueues und Stühlen angegriffen und durch einen heftigen Schlag auf den Hinterkopf verletzt. Er fuhr daraufhin zu seiner Wohnung in Spiez, wo er seine Wunde verarztete, eine Pistole behändigte und zum Club zurückfuhr. Dort wollte O.D._ von ihm wissen, was vorher vorgefallen war. X._ verweigerte diese Informationen ("lass mich in Ruhe"), worauf O.D._ einen verdeckt mitgeführten Revolver zückte und X._ damit auf den bereits lädierten Kopf schlug. X._ nahm in der Folge seinerseits die Pistole hervor und schoss zwei Mal "sehenden Auges" aus einer Distanz von weniger als 40 cm auf O.D._. Er traf diesen im Brustkorb und am streckseitigen Unterarm. O.D._ starb an den Folgen der Schussverletzungen.
B.
Mit Urteil des Kreisgerichts Thun vom 22. September 2006 wurde X._ von der Anschuldigung der vorsätzlichen Tötung wegen Notwehr freigesprochen. Auf Appellation der Staatsanwaltschaft und der Privatkläger sprach das Obergericht des Kantons Bern X._ mit Urteil vom 25. Oktober 2007 der vorsätzlichen Tötung, begangen im Notwehrexzess, schuldig und verurteilte ihn zu sechs Jahren Freiheitsstrafe. Eine hiegegen gerichtete Beschwerde hiess das Bundesgericht teilweise gut (Urteil 6B_15/2008 vom 2. September 2008) und wies die Sache an das Obergericht zurück. Dieses bestätigte mit Urteil vom 12. Februar 2009 den Schuldspruch wegen vorsätzlicher Tötung, reduzierte jedoch die Freiheitsstrafe auf viereinhalb Jahre. Die hiegegen erneut erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 5. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_480/2009).
X._ befand sich ab 11. Januar 2010 im Strafvollzug und wurde nach Verbüssen von zwei Dritteln der Strafe bedingt entlassen.
C.
Mit Verfügung vom 21. Dezember 2010 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Eine hiegegen erhobene Beschwerde hiess die kantonale Polizei- und Militärdirektion am 16. Februar 2012 hinsichtlich der Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung gut; im Übrigen wies die Direktion die Beschwerde ab.
D.
Mit Urteil vom 9. Januar 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid gerichtete Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs). Sodann überwies es die Akten an das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (Migrationsdienst), "damit dieses beim Bundesamt für Migration die Einleitung des Verfahrens auf vorläufige Aufnahme von X._ veranlasse" (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs). Ausgangsgemäss auferlegte das Verwaltungsgericht X._ die Gerichtskosten (Ziff. 4 des Urteilsdispositivs), gewährte ihm aber die unentgeltliche Prozessführung (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs).
E.
Mit Eingabe vom 6. Februar 2013 führt X._ "öffentlich-rechtliche Beschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, Ziff. 1 und 4 des letztgenannten Urteils aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Niederlassungsbewilligung nicht zu "entziehen" (recte: zu widerrufen); eventuell sei die Angelegenheit "zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Anhörung des Beschwerdeführers und neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen".
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 3. Juni 2013 hielt X._ an seinen Anträgen fest.
F.
Mit Verfügung vom 8. Juli 2013 erteilte der Instruktionsrichter der Beschwerde im Sinne der Erwägungen aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_926/2011 vom 12. Oktober 2012 E. 1, nicht publ. in: BGE 139 I 31), und der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Den Streitgegenstand, welcher durch die angefochtene Verfügung bestimmt, aber auch begrenzt wird (vgl. FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Auflage, Bern 1983, S. 45), bildet einzig der Widerruf der Niederlassungsbewilligung. Indessen liegt hier eine besondere Konstellation vor, indem die Vorinstanz die Angelegenheit an das kantonale Amt für Migration und Personenstand überwiesen hat, damit dieses - wegen allenfalls vorhandenen Vollzugshindernissen - beim Bundesamt für Migration die Einleitung des Verfahrens auf vorläufige Aufnahme des Beschwerdeführers "veranlasse". Anders als im Normalfall, wo der Widerruf einer Anwesenheitsbewilligung mit der Wegweisung des Ausländers kombiniert wird (Art. 64 Abs. 1 AuG), führt der angefochtene Entscheid daher (noch) nicht zur effektiven Wegweisung des Beschwerdeführers aus der Schweiz. Gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid bzw. gegen das Verneinen von Vollzugshindernissen stehen gegebenenfalls Rechtsmittel offen (vgl. BGE 137 II 305 E. 3.3 S. 310). Soweit der Beschwerdeführer hier mit drohender Blutrache im Kosovo argumentiert, geht dies deshalb am Streitgegenstand vorbei.
1.3. Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Solche Mängel müssen in der Beschwerde rechtsgenüglich gerügt werden (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn der Ausländer zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt worden ist, wobei mehrere unterjährige Strafen bei der Berechnung nicht kumuliert werden dürfen (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; BGE 135 II 377 E. 4.2 S. 381; 137 II 297 E. 2 S. 299 ff.; 139 I 31 E. 2.1 S. 32). Keine Rolle spielt, ob die Sanktion bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde (Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 2.1).
Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung muss - wie jedes staatliche Handeln - verhältnismässig sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 BV; Art. 96 AuG). Dabei sind praxisgemäss namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381). Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich schon seit langer Zeit hier aufhält, soll nur mit Zurückhaltung widerrufen werden. Bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit ist dies jedoch selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn der Ausländer hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. das Urteil 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.3 [Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines hier geborenen 43-jährigen Türken] und das Urteil des EGMR Trabelsi gegen Deutschland vom 13. Oktober 2011 [Nr. 41548/06] §§ 53 ff. bezüglich der Ausweisung eines in Deutschland geborenen, wiederholt straffällig gewordenen Tunesiers). Bei schweren Straftaten und bei Rückfall bzw. wiederholter Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der dermassen die öffentliche Sicherheit und Ordnung beeinträchtigt (vgl. BGE 139 I 31 E. 2.3.1 S. 33 mit zahlreichen Hinweisen auf die Praxis).
Mit der Verurteilung des Beschwerdeführers zu einer Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren ist der Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG ohne Weiteres erfüllt. Der Beschwerdeführer stellt dies denn auch nicht in Abrede. Er rügt aber die Verletzung von Verfahrensgarantien und macht geltend, der Widerruf der Niederlassungsbewilligung erweise sich als unverhältnismässig.
3.
3.1. Vorab rügt er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da die Vorinstanz - entgegen seinem ausdrücklichen Antrag - darauf verzichtet habe, ihn bzw. seine Ehefrau, seine beiden Brüder sowie andere Personen persönlich einzuvernehmen. Er beruft sich auf einen Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung aus Art. Ziff. 6 Abs. 1 EMRK sowie auf Art. 29 Abs. 2 BV.
3.2. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf dem Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird.
Anders als in sozialversicherungsrechtlichen Angelegenheiten - auf welche sich der Beschwerdeführer beruft - steht ein Entscheid über den Aufenthalt eines Ausländers in einem Land oder dessen Wegweisung nach ständiger Rechtsprechung aber ausserhalb des Anwendungsbereiches von Art. 6 Ziff. 1 EMRK; ein solcher Entscheid betrifft weder einen zivilrechtlichen Anspruch noch eine strafrechtliche Anklage im Sinne der genannten Konventionsbestimmung (vgl. BGE 137 I 128 E. 4.4 mit zahlreichen Hinweisen auf die Rechtsprechung des EGMR). Es geht in solchen Fällen auch nicht um Verfahren um Erteilung einer Arbeitsbewilligung, welche vom Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK dann erfasst werden, wenn nach der innerstaatlichen Gesetzgebung ein subjektiver Anspruch auf eine solche Bewilligung besteht (vgl. Urteil 2D_16/2013 vom 8. Juli 2013 E. 3.2 mit Hinweis auf die EGMR-Urteile Koottummel ca. Österreich vom 10. Dezember 2009 und Jurisic ca. Österreich vom 27. Juli 2006).
Aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK kann der Beschwerdeführer mithin nichts zu seinen Gunsten ableiten.
3.3. Art. 29 Abs. 2 BV vermittelt sodann nicht zwingend das Recht, mündlich angehört zu werden. Eine mündliche Äusserungsmöglichkeit kann zwar geboten sein wegen persönlicher Umstände, die sich nur aufgrund einer mündlichen Anhörung klären lassen (vgl. Gerold Steinmann, in: Kommentar BV, 2. Auflage 2008, Rz. 25 zu Art. 29 Abs. 2 BV) bzw. wenn sich eine solche Anhörung für den zu fällenden Entscheid als unerlässlich erweist (BGE 122 II 464 E. 4 S. 469 f.). Ein solcher Fall liegt aber hier nicht vor: Der Beschwerdeführer hatte in den dem Verwaltungsgericht vorangegangenen Verfahren regelmässig Gelegenheit, seinen Standpunkt einzubringen. Das Verwaltungsgericht hat zudem die Umstände, die gemäss den Vorbringen des Beschwerdeführers anzuhören gewesen wären, im angefochtenen Urteil berücksichtigt, so dass es ohne Gehörsverletzung im Rahmen einer zulässigen antizipierten Beweiswürdigung (vgl. BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 131 I 153 E. 3 S. 157) auf die Abnahme der entsprechenden Beweise (persönliche Anhörung des Beschwerdeführers selber sowie die beantragten Zeugeneinvernahmen) verzichten konnte.
4.
4.1. Weiter beruft sich der Beschwerdeführer auf das Verwertungsverbot von Art. 369 StGB. Er macht geltend, die aus dem Strafregister entfernten Urteile aus den Jahren 1983, 1987 und 1993 dürften für einen Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht zu seinen Lasten berücksichtigt werden.
4.2. Zwar trifft zu, dass nach Art. 369 Abs. 7 StGB (in der seit 1. Januar 2007 in Kraft stehenden Fassung) aus dem Strafregister entfernte Urteile dem Betroffenen nicht mehr entgegengehalten werden dürfen. An diese Urteile dürfen somit generell keine Rechtsfolgen mehr geknüpft werden (vgl. BGE 135 I 71 E. 2.10 mit Hinweisen). Im Bereich der ausländerrechtlichen Interessenabwägung ist aber das Verwertungsverbot gemäss Art. 369 Abs. 7 StGB insofern zu relativieren, als es den Migrationsbehörden nicht verwehrt ist, strafrechtlich relevante Daten, die sich in ihren Akten befinden oder ihnen anderweitig bekannt sind bzw. werden, namentlich solche, die Anlass zu einer fremdenpolizeilichen Verwarnung gaben, nach deren Löschung im Strafregister in die Beurteilung des Verhaltens des Ausländers während seiner gesamten Anwesenheit in der Schweiz einzubeziehen (vgl. Urteile 2C_711/2011 vom 27. März 2012 E. 5. 2 mit Hinweisen, sowie 2C_477/2008 vom 24. Februar 2009, E. 3.2.2).
Zwar mag ebenfalls zutreffen, dass die vom Beschwerdeführer zitierten früheren Urteile nicht zu einer fremdenpolizeilichen Verwarnung geführt haben. Doch überzeugt die vorinstanzliche Überlegung, wonach - zumal nach der Rechtsprechung eine lange Aufenthaltsdauer im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung migrationsrechtlicher Massnahmen in der Regel zu Gunsten eines weiteren Verbleibs des Betroffenen spricht (vgl. vorne E. 2) - auch eine Beurteilung darüber möglich sein muss, ob während dieser langen Dauer ein rechtskonformes Verhalten vorlag, ansonsten ein verzerrtes Bild entstünde (E. 4.3.1 des angefochtenen Entscheides).
Dass die Vorinstanz die in früheren Jahren begangenen Verfehlungen des Beschwerdeführers (mit-) berücksichtigt und daraus auf dessen "nicht unerhebliche Uneinsichtigkeit" und "insbesondere" auf dessen "beträchtliche allgemeine Gewaltbereitschaft" geschlossen hat, ist demnach nicht zu beanstanden.
4.3. Aus dem Umstand, dass das erstinstanzliche Strafgericht den Beschwerdeführer noch vom Vorwurf der vorsätzlichen Tötung freigesprochen hat (vgl. vorne lit. B), kann dieser aus migrationsrechtlicher Sicht ebenfalls nichts zu seinen Gunsten ableiten. Entscheidend ist das rechtskräftige Urteil des Obergerichts vom 12. Februar 2009, welches höchstrichterlich bestätigt wurde und welches auf einen massiven Notwehrexzess erkannt hat. Die Notwehrsituation war dabei bereits im Rahmen der Strafzumessung berücksichtigt worden.
5.
Mit der Rückfallgefahr des Beschwerdeführes hat sich die Vorinstanz eingehend auseinandergesetzt. Ihre Ausführungen, wonach bei schweren Straftaten, insbesondere bei Gewalt-, Sexual-, und schweren Betäubungsmitteldelikten angesichts der von diesen Delikten ausgehenden potentiellen Gefahr für die Gesellschaft ausländerrechtlich selbst ein geringes Rückfallrisiko nicht hingenommen werden muss, entsprechen ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung. Gemäss dem vom Verwaltungsgericht mitberücksichtigten ergänzenden Führungsbericht der Anstalten Witzwil vom 3. Januar 2012 war der Beschwerdeführer stets sehr bemüht, sich unter Kontrolle zu halten, was für die Verantwortlichen des Strafvollzugs unnatürlich gewirkt hatte, zumal sonst schon kleine Abweichungen in Alltagssituationen beim Beschwerdeführer nicht nachvollziehbare Reaktionen auslösten und er dabei "sehr bestimmt" und "teils aufbrausend" reagierte. Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen die Auffassung der Polizei- und Militärdirektion, beim Beschwerdeführer bestehe eine ausländerrechtlich nicht zu tolerierende Rückfallgefahr, geschützt hat, ist nicht bundesrechtswidrig.
6.
Dies gilt auch für die übrige Interessenabwägung, welche von der Vorinstanz umfassend und sorgfältig vorgenommen worden ist. Das Verwaltungsgericht hat insbesondere nicht übersehen, dass der Widerruf der Niederlassungsbewilligung die Trennung des Beschwerdeführers von seiner schweizerischen Ehefrau und seinem heute elfjährigen Sohn zur Folge haben könnte. Angesichts dessen, dass die Ehefrau und auch der Sohn hier ein gefestigtes Anwesenheitsrecht besitzen und deshalb eine Betreuung des minderjährigen Sohnes durch mindestens einen Elternteil jedenfalls gewährleistet bleibt, erscheint es auch mit Blick auf die Garantie auf Achtung des Familienlebens (Art. 8 EMRK, Art. 13 BV) aber nicht unzulässig, dem Beschwerdeführer die Niederlassungsbewilligung zu widerrufen, zumal in diesem Zusammenhang auch der Wertung von Art. 121 Abs. 3 BV Rechnung zu tragen ist (vgl. BGE 139 I 31 E. 2.3.2 S. 34). Selbst seine Familie hat ihn nicht von der schweren Straffälligkeit abhalten können; und er hat mit seinem Verhalten die Beeinträchtigung seiner familiären Beziehungen selber in Kauf genommen. Sodann ist die Aufrechterhaltung des Kontaktes zwischen Vater und Sohn -etwa besuchsweise - auch von der Heimat des Beschwerdeführers aus möglich.
7.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65/66 BGG). Parteikosten sind keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein