Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 15. Dezember 1993 sprach die Kantonale Ausgleichskasse Glarus A._ (geboren 1965) für die Folgen des Unfalls vom 2. Januar 1991 ab 1. Januar 1992 eine ganze Invalidenrente zu. Diese wurde in der Folge mehrfach bestätigt (vgl. Verfügungen vom 16. Februar 1996, 21. Juni 1999, 25. Juli 2000 und 1. Oktober 2003). Im März 2008 leitete die zwischenzeitlich infolge Wegzugs ins Ausland zuständig gewordene IV-Stelle für Versicherte im Ausland erneut ein Revisionsverfahren ein. A._ retournierte den Fragebogen für die IV-Rentenrevision am 24. März 2008. Am 19. Juni 2008 beauftragte die IV-Stelle die zuständige türkische Stelle mit einer allgemeinen medizinischen Untersuchung von A._. Diese stellte der IV-Stelle entsprechende Unterlagen zu, welche sich als ungenügend erwiesen. In der Folge beauftragte die IV-Stelle die zuständige türkische Stelle mit einer psychiatrischen und rheumatologischen Untersuchung. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2008 stellte der Unfallversicherer gestützt auf ein Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 13. November 2008 seine Leistungen per 1. Februar 2009 ein. Mit Schreiben vom 10. Januar 2009 wandte sich A._ an die IV-Stelle und kritisierte die Leistungseinstellung. In der Folge liess sie Beschwerde gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers vom 17. März 2009 erheben (vgl. Urteil 8C_391/2010 vom 31. August 2010). Im Februar 2009 erhielt die IV-Stelle neue medizinische Unterlagen aus der Türkei, welche sie dem RAD unterbreitete. Mit Vorbescheid vom 28. Mai 2009 kündete sie A._ die Aufhebung der Rente an. Nach Einsicht in den Einspracheentscheid des Unfallversicherers vom 17. März 2009 und die Stellungnahme des Rechtsvertreters vom 17. Juli 2009 zum Vorbescheid vom 28. Mai 2009 hob die IV-Stelle die Invalidenrente per 1. März 2010 auf (Verfügung vom 4. Januar 2010).
B. A._ liess dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht erheben. Die IV-Stelle schloss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hob mit Entscheid vom 9. Juni 2010 die Verfügung vom 4. Januar 2010 auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen, in welchen sie u.a. die Weiterzahlung der bisherigen Invalidenrente anordnete, an die IV-Stelle zurück.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es seien in Gutheissung der Beschwerde die Anweisung der Vorinstanz, während des zusätzlichen Abklärungsverfahrens weiterhin die bisherige Rente auszurichten, aufzuheben und festzustellen, der Entzug der aufschiebenden Wirkung dauere bis zum Erlass der neuen Verfügung an. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
A._ lässt auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde, sowie auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung der Beschwerde schliessen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
D. Mit Verfügung vom 17. September 2010 gewährte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (Art. 91 BGG). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (BGE 135 V 141 E. 1.1 S. 143; 134 II 124 E. 1.3 S. 127).
Der vorinstanzliche Entscheid vom 9. Juni 2010 ist ein Zwischenentscheid, da er die Sache unter Aufhebung der Verwaltungsverfügung zum Vorgehen im Sinne der Erwägungen und erneutem Verfügungserlass an die IV-Stelle zurückweist. Allerdings ist diese Rückweisung mit der Anordnung verbunden, die IV-Stelle habe bis zum Erlass der neuen Verfügung die bisherige Rente auszurichten. Diesbezüglich belässt der vorinstanzliche Entscheid der IV-Stelle keinen Entscheidungsspielraum. Deshalb ist auf die Beschwerde der IV-Stelle einzutreten.
2. 2.1 Nach der Rechtsprechung dauert - unter Vorbehalt einer allfällig missbräuchlichen Provozierung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes durch die Verwaltung - der mit der revisionsweise verfügten Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente oder Hilflosenentschädigung verbundene Entzug der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde bei Rückweisung der Sache an die Verwaltung auch noch für den Zeitraum dieses Abklärungsverfahrens bis zum Erlass der neuen Verwaltungsverfügung an (BGE 106 V 18). Diese Rechtsprechung hat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht mit einlässlicher Begründung im Jahr 2003 bestätigt (BGE 129 V 370).
2.2 Nach Auffassung der Vorinstanz hat das Bundesgericht mit Urteil 9C_149/2009 vom 14. Juli 2009 (publiziert in SVR 2009 IV Nr. 57 S. 177) die Praxis von BGE 106 V 18 und 129 V 370 geändert. Gestützt auf diese Überzeugung hat das Bundesverwaltungsgericht die IV-Stelle verpflichtet, während des erneuten Verwaltungsverfahrens die bisherige Invalidenrente bis zum Erlass der neuen Verfügung auszurichten.
2.3 Das Bundesgericht hat mit Urteil 8C_451/2010 vom 11. November 2010 klargestellt, dass mit Urteil 9C_149/2010 vom 14. Juli 2009 keine Änderung der Rechtsprechung erfolgte (E. 2 und 3). Anschliessend hat es geprüft, ob sich eine Änderung der Rechtsprechung aufdrängt und dies verneint (E. 4).
2.3.1 Es begründete dies u.a. damit, das Bundesverwaltungsgericht habe keine Gründe für eine Rechtsprechungsänderung angeführt. Der rein formelle Einwand der Versicherten wurde - wie bereits in BGE 106 V 18 und 129 V 370 - verworfen.
2.3.2 Auch die im Urteil 9C_149/2009 vom 14. Juli 2009 unter Verweis auf das Urteil 9C_235/2009 vom 30. April 2009 festgehaltene Aussage, der im Rahmen der Rückweisung zu überprüfende Sachverhalt erstrecke sich bis zum erneuten Verfügungserlass, ändert daran nichts. Massgeblich ist, ab welchem Zeitpunkt die Ärzte eine zumutbare Arbeitsfähigkeit attestieren; bestätigen die erneuten medizinischen Abklärungen die medizinischen Feststellungen im Rahmen der ersten Abklärungen auch in zeitlicher Hinsicht (Beginn der zumutbaren Arbeitsfähigkeit), war der ursprüngliche Entscheid der IV-Stelle korrekt. Denn auch im Rahmen der Rückweisung bleibt streitig, ob die IV-Stelle anlässlich der ersten Verwaltungsverfügung zu Recht den Leistungsanspruch reduziert resp. aufgehoben hat. Eine Rückweisung bedeutet nicht zwingend, dass die Feststellungen in der ersten Verwaltungsverfügung falsch waren, sondern bloss, dass diese beim derzeitigen Abklärungsstand nicht bestätigt werden konnten. Dies hat keine Schlechterstellung der versicherten Person zur Folge: Einerseits ist ihr seit der ersten Verwaltungsverfügung bewusst, dass ihr Leistungsanspruch strittig ist. Andererseits wird ihr die Leistung nachgezahlt, sollten die erneuten Abklärungen ergeben, dass im Zeitpunkt der ersten Verwaltungsverfügung die tatbeständlichen Voraussetzungen der Leistungsaufhebung oder -reduktion (noch) nicht gegeben waren.
2.3.3 Somit ist nur für den Fall, dass eine relevante zumutbare Arbeitsfähigkeit erst nach Erlass der ersten Verwaltungsverfügung eingetreten ist und zu einer Rentenherabsetzung oder -aufhebung führt, der entsprechende Verwaltungs- oder Gerichtsentscheid massgebend für den Beginn der Frist von Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV (Herabsetzung oder Aufhebung der Leistung frühestens vom ersten Tag des zweiten der Zustellung der Verfügung folgenden Monats). Oder kurz gesagt: Eine Rentenaufhebung oder -herabsetzung kann nicht rückwirkend verfügt, wohl aber rückwirkend bestätigt werden.
2.3.4 Nach BGE 136 V 45 E. 6.1 S. 47 erfolgt eine im Rahmen einer erstmals durch das Gericht angeordneten Herabsetzung oder Aufhebung (reformatio in peius) auf den ersten Tag des zweiten Monats nach Zustellung des entsprechenden Gerichtsentscheids; das bedeutet e contrario aber auch, dass bei Bestätigung der von der Verwaltung verfügten Änderung durch das Gericht der Zeitpunkt der Verwaltungsverfügung, mit welcher erstmals diese Änderung angeordnet wurde, massgebend ist.
2.3.5 Auch in der Lehre werden keine überzeugenden Argumente für eine Änderung der Rechtsprechung vorgebracht. Insbesondere ist die vorgeschlagene Lösung, die IV-Stelle habe gleich nach der Rückweisung im Sinne einer vorsorglichen Massnahme einen Stopp der Rentenauszahlung zu verfügen, nicht zielführend. Diesbezüglich kann einerseits auf das in BGE 129 V 370 E. 4.4 S. 376 Gesagte verwiesen werden. Andererseits ist Sinn und Zweck von Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV, dass die versicherte Person rechtzeitig um die Aufhebung resp. Herabsetzung weiss. Diesem Anliegen ist jedoch mit der geltenden Praxis Genüge getan, indem die versicherte Person seit Zustellung der (im Rahmen des Beschwerdeverfahrens aufgehobenen) Verwaltungsverfügung um die Strittigkeit ihres Anspruchs weiss.
2.4 Die Herabsetzung oder Aufhebung der Rente erfolgt von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen frühestens vom ersten Tag des zweiten der Zustellung der Verfügung folgenden Monats an (Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV). Aus der Gehörsverletzung darf dem Betroffenen kein Nachteil erwachsen (BGE 129 I 129 E. 2.2.3 S. 135; 125 I 209 E. 9a S. 219). Die Verletzung des rechtlichen Gehörs darf, auch wenn sie in oberer Instanz geheilt wird, nicht dazu führen, dass zu Gunsten der Verwaltung ein Resultat erzielt wird, das bei korrekter Vorgehensweise nicht erzielt worden wäre (BGE 135 I 279 E. 2.6.1 S. 285, ebenfalls publiziert in Pra 2010 Nr. 46 S. 335). Um ein missbräuchliches Verhalten der Verwaltung zu verhindern, drängt sich die Lösung auf, wie sie sich bei formell richtigem Verhalten ergeben hätte. Die Wirkung der Rentenaufhebung ist somit auf den Zeitpunkt festzulegen, der bei korrektem Vorgehen gemäss Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV frühestens möglich gewesen wäre (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 633/98 vom 1. Dezember 1999 E. 3b). Nur auf diese Weise wird die versicherte Person in den Zustand versetzt, wie wenn keine Verletzung stattgefunden hätte (vgl. zum Ganzen Urteil 9C_617/2009 vom 15. Januar 2010 E. 2.4.2).
3. 3.1 Die Vorinstanz erachtete den Anspruch auf rechtliches Gehör als verletzt, da die IV-Stelle der Versicherten weder die massgeblichen ärztlichen Unterlagen zur Kenntnis gebracht habe noch könne der "äusserst dürftigen Begründung der Verfügung" entnommen werden, ob sich die IV-Stelle lediglich auf die Unterlagen aus der Türkei oder auch auf das Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 13. November 2008 abgestützt habe. Weiter sei die IV-Stelle nicht auf die Einwände der Versicherten gegen die ärztlichen Untersuchungen in ihrem Schreiben vom 10. Januar 2009 eingegangen und habe auch die Ablehnung des Sistierungsgesuchs nicht begründet. Da es sich um eine schwere Verletzung des rechtlichen Gehörs handle, sei eine Heilung vor Bundesverwaltungsgericht nicht möglich. Unter Aufhebung der Verfügung vom 4. Januar 2010 sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und Gewährung des rechtlichen Gehörs an die IV-Stelle zurückzuweisen; bei diesem Ausgang des Verfahrens sei das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos und die IV-Stelle habe die Invalidenrente im bisherigen Umfang mindestens bis zum Erlass einer neuen Verfügung auszurichten.
3.2 Die Rechtsprechung von BGE 106 V 18 und 129 V 370 gilt nach wie vor (E. 2.3). Allerdings ist die Versicherte angesichts der vorinstanzlich festgestellten und von der IV-Stelle vor Bundesgericht nicht gerügten Verletzung des rechtlichen Gehörs so zu stellen, wie wenn das Verfahren korrekt durchgeführt worden wäre (E. 2.4). D.h. die IV-Stelle hätte begründen müssen, weshalb sie dem in der Stellungnahme zum Vorbescheid gestellten Sistierungsgesuch nicht entsprach und weshalb auch die von der Versicherten in ihrem Schreiben vom 10. Januar 2009 vorgebrachten Einwände gegen die ärztlichen Berichte der zuständigen türkischen Stelle sowie des Gutachtens des medizinischen Zentrums X._ vom 13. November 2008 an der Rentenaufhebung nichts ändern. Nachdem die Versicherte weder in ihrem Schreiben vom 10. Januar 2009 noch ihr Rechtsvertreter in seiner Stellungnahme zum Vorbescheid Einsicht in die türkischen ärztlichen Berichte verlangte und ihm das Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 13. November 2008 bereits aus dem unfallversicherungsrechtlichen Verfahren bekannt war, erstreckt sich die Verletzung des Anspruchs des rechtlichen Gehörs nicht auch auf das Nichtzustellen dieser (nicht einverlangten) Berichte. Nach dem Gesagten hätte die rentenaufhebende Verfügung somit nicht bereits am 4. Januar 2010, sondern frühestens im März 2010 ergehen können (vgl. zur zusätzlichen Frist die Urteile 9C_617/2009 vom 15. Januar 2010 E. 2.4.3 sowie I 633/98 vom 1 Dezember 1999 E. 3b in fine), so dass eine Aufhebung der Invalidenrente und der damit verbundene Entzug der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde frühestens auf den 1. Mai 2010 möglich gewesen wäre. Für die Zeit danach ist rechtsprechungsgemäss zu Lasten der Versicherten zu entscheiden; besondere Umstände, die ein Abweichen rechtfertigen würden, sind nicht ersichtlich (vgl. Urteil I 633/98 vom 1. Dezember 1999 E. 4).
3.3 Der vorinstanzliche Entscheid ist demnach insoweit aufzuheben, als er die IV-Stelle in seinen Erwägungen zur Ausrichtung der bisherigen Invalidenrente nach dem 1. Mai 2010 verpflichtet.
4. 4.1 Die Beschwerdegegnerin ist offensichtlich bedürftig, weshalb ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Aufgrund ihrer prozessualen Stellung als Beschwerdegegnerin brauchen die Prozessaussichten nicht geprüft zu werden. Sie hat jedoch der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, sofern sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
4.2 Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die Parteien haben die Gerichtskosten im Ausmass ihres Unterliegens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden die von der Beschwerdegegnerin geschuldeten Gerichtskosten einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4.3 Die Beschwerdegegnerin hat im Rahmen ihres Obsiegens Anspruch auf eine (teilweise) Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 9. Juni 2010 wird aufgehoben, soweit damit im Sinne der Erwägungen die Beschwerdeführerin zur Ausrichtung der bisherigen Invalidenrente nach dem 1. Mai 2010 verpflichtet wird.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 100.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 400.- auferlegt. Der auf die Beschwerdegegnerin entfallende Anteil wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.- zu entschädigen.
5. Rechtsanwalt Dr. iur. Hardy Landolt wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'200.- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, der Schweizerischen Ausgleichskasse und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Riedi Hunold