Faits:
A. T._, née en 1956, a travaillé en qualité de gestionnaire juridique au service de la société X._ SA. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Mobilière Suisse, Société d'assurances SA (ci-après: la Mobilière).
Elle a été victime d'un accident de la circulation le 24 janvier 2006: alors qu'elle était arrêtée à un feu rouge, sa voiture a été emboutie à l'arrière par un autre véhicule, avant de percuter la voiture qui la précédait. Consulté le 26 janvier suivant, le docteur D._, médecin généraliste, a fait état d'une entorse cervicale sans fracture. Il a ordonné un traitement analgésique, ainsi que le port d'un collier cervical (rapport du 3 février 2006). L'assurée a subi une incapacité de travail de 100 % du 26 au 30 janvier 2006, puis de 50 % jusqu'au 5 février suivant.
Dans un rapport du 24 juin 2006, le docteur D._ a indiqué une persistance des douleurs cervicales à la rotation externe droite et gauche, ainsi que des douleurs à la pression de la région lombaire. De son côté, le docteur M._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, a diagnostiqué un status après entorse cervicale de degré modéré et un syndrome spondylogène associant plusieurs dysfonctions des trois segments du rachis (rapport du 27 novembre 2006).
Dans un rapport du 17 janvier 2007, le docteur O._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin-conseil de l'assureur-accidents, a indiqué que les différents traitements avaient fait disparaître les cervicalgies et les douleurs associées (maux de tête, vertiges, etc.) et que les douleurs lombaires étaient d'origine dégénérative. Le statu quo sine était donc atteint six mois après l'accident.
Se fondant sur cet avis médical, la Mobilière a rendu une décision, le 19 février 2007, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance à partir du 26 janvier 2007.
L'assurée a fait opposition à cette décision. En cours de procédure, elle a produit des rapports du docteur G._, spécialiste en neurochirurgie, des 4 mai, 1er et 7 juin 2007. Ce médecin a indiqué que le traumatisme par accélération avait entraîné une lésion de l'appareil ligamentaire à l'origine d'une hypermobilité ou instabilité C4-C5. Cette atteinte, qui n'avait pas été diagnostiquée jusqu'alors en raison d'une instruction incomplète, avait été objectivée à l'aide de radiographies fonctionnelles, ainsi que d'un bloc articulaire pratiqué le 24 mai 2007. L'assurée avait été adressée au docteur B._ en vue de se soumettre à une chirurgie de stabilisation.
La Mobilière a alors confié une expertise au docteur A._, spécialiste en neurochirurgie. Dans son rapport du 5 janvier 2009, ce médecin a indiqué que l'assurée souffrait encore de douleurs cervicales accentuées par la mobilisation de la tête ou l'usage des membres supérieurs. En outre, elle présentait des difficultés de mémoire et de concentration. Selon le docteur A._, l'ensemble de ces troubles était dû à l'accident, y compris les contractures musculaires et les douleurs liées à la palpation des épineuses, lesquelles étaient de nature organique. L'expert était d'avis que ces symptômes pouvaient être atténués efficacement au moyen d'une chirurgie de stabilisation C4-C5, même si un tel traitement ne pouvait offrir toutes les garanties de succès.
Par courrier du 26 janvier 2009, la Mobilière a informé l'assurée qu'elle acceptait "d'entrer en matière sur la prise en charge" d'une chirurgie de stabilisation C4-C5, dès lors qu'il existait un lien de causalité entre l'ensemble des troubles et l'accident. Toutefois, le 1er septembre 2009, l'intéressée a fait part à la Mobilière de son intention de renoncer à une intervention chirurgicale étant donné que l'indication opératoire était controversée et que les chances de succès n'étaient pas clairement garanties. Elle se référait pour cela à un avis du docteur F._, neurochirurgien, selon lequel une prise en charge chirurgicale n'était pas justifiée au regard des constatations neuroradiologiques et radiologiques (rapport du 7 juillet 2009).
Par décision du 12 octobre 2009, la Mobilière a rejeté l'opposition dont elle était saisie. Elle a considéré, en résumé, qu'il existait un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'atteinte à la santé, laquelle consistait en une lésion du rachis cervical par accident de type "coup du lapin". En revanche, elle a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate en se référant aux critères jurisprudentiels déterminants pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre des plaintes et un traumatisme de ce type.
B. Saisi d'un recours de l'assurée qui concluait au maintien de son droit aux prestations d'assurance au-delà du 25 janvier 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. En ce qui concerne le droit à des prestations pour soins après le 25 janvier 2007, le tribunal a considéré que la question du lien de causalité entre l'atteinte à la santé et l'accident pouvait rester indécise. En effet, à l'exception d'une intervention chirurgicale, le traitement médical, essentiellement symptomatique, ne permettait pas d'attendre une amélioration sensible, de sorte qu'il n'était pas à la charge de l'assurance-accidents. Quant à l'incapacité de travail de longue durée apparue le 24 septembre 2008, elle n'était pas due à l'accident. D'une part, en effet, en admettant qu'elle découle des troubles de la concentration et de la mémoire, ceux-ci étaient dus exclusivement à un trouble dépressif majeur sans lien avec l'accident. D'autre part, étant donné que l'assurée avait pu travailler à temps complet jusqu'au mois de septembre 2008, la juridiction cantonale a nié l'existence d'une connexité temporelle entre l'incapacité de travail et les lésions de nature somatique existant sous la forme d'une instabilité cervicale. Enfin, elle a laissé indécise la question de la causalité entre cette instabilité et l'accident, cette question ne devant être examinée que dans l'éventualité où l'assurée demanderait la prise en charge d'une intervention chirurgicale par l'assurance-accidents (jugement du 30 juin 2010).
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit à des prestations de l'assurance-accidents au-delà du 25 janvier 2007.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. 2.1 Par sa décision sur opposition du 12 octobre 2009, la Mobilière a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance à partir du 26 janvier 2007, motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé persistant à cette date.
De son côté, la juridiction cantonale a confirmé cette décision dans son résultat, tout en laissant indécise la question de la causalité entre l'accident et l'atteinte à la santé, en tout cas en ce qui concerne l'aspect somatique (instabilité cervicale). Considérant implicitement que le cas devait être clôturé (art. 19 al. 1 LAA), elle a nié le droit au traitement médical au motif qu'il n'y avait plus lieu d'attendre de sa continuation une sensible amélioration de l'état de l'assurée, ainsi que le droit à une rente d'invalidité. Elle ne s'est toutefois pas prononcée sur le droit éventuel de l'intéressée à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
2.2 Ainsi donc, tandis que l'intimée s'est prononcée sur la suppression de tout droit à des prestations d'assurance, la juridiction cantonale a statué sur la clôture du cas et nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité. Or, pour se prononcer sur la suppression du droit à des prestations, il faut examiner s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé persistant à un moment donné. En revanche, pour statuer sur la clôture du cas, il faut, une fois admise l'existence d'un tel lien, examiner d'autres conditions comme l'amélioration ou la récupération de la capacité de travail au moyen de la continuation du traitement (art. 19 al. 1 LAA; cf. ATF 134 V 109 consid. 4.3 p. 115 et les références), ainsi que les conditions spécifiques du droit aux prestations de longue durée (invalidité, etc.).
Aussi, la juridiction cantonale ne pouvait-elle pas se dispenser d'examiner la question de la causalité entre l'accident et la persistance des troubles en se contentant de statuer sur le droit éventuel à des prestations de longue durée. Au demeurant, tout en laissant indécis le point de savoir si une intervention chirurgicale était nécessaire pour remédier à l'instabilité cervicale, la juridiction précédente a considéré que le cas devait être clôturé, sans examiner s'il y avait encore lieu d'attendre de la continuation du traitement médical une sensible amélioration de l'état de l'assurée (cf. art. 19 al. 1 LAA), ce par quoi il faut entendre l'amélioration ou la récupération de la capacité de travail (ATF 134 V 109 consid. 4.3 p. 115 et les références).
Cela étant, il y a lieu d'examiner si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 12 octobre 2009, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 26 janvier 2007, singulièrement, s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé persistant à cette date.
2.3 Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
3. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
4. 4.1 Il convient d'examiner si, comme le soutient la recourante, il existait encore, au moment de la suppression du droit aux prestations d'assurance, un déficit fonctionnel organique découlant de l'accident.
Dans ses rapports des 4 mai, 1er et 7 juin 2007, le docteur G._ a attesté l'existence d'une lésion post-traumatique de l'appareil ligamentaire sous la forme d'une hypermobilité ou instabilité C4-C5. Cette atteinte, qui n'avait pas été diagnostiquée jusqu'alors en raison d'une instruction incomplète, avait été objectivée à l'aide de radiographies fonctionnelles selon la technique de Penning, ainsi que d'un bloc articulaire C4-C5 pratiqué par le docteur R._, le 24 mai 2007.
Dans son rapport d'expertise du 5 janvier 2009 et son rapport rédigé à la demande de l'assurée le 14 décembre suivant, le docteur A._ a confirmé l'existence d'une instabilité post-traumatique C4-C5 à l'origine de la persistance de céphalées et de sensations de vertige.
4.2 La juridiction cantonale a nié la valeur probante du second rapport du docteur A._, motif pris, d'une part, qu'il contient des contradictions avec son rapport d'expertise du 5 janvier 2009 en ce qui concerne la capacité de travail et, d'autre part, que selon ce médecin, des troubles psychiques sont à l'arrière-plan, alors que l'assurée souffre de dépression depuis des années. De son côté, l'intimée soulève les mêmes griefs dans sa réponse au recours.
Toutefois, ni la juridiction cantonale ni l'intimée ne contestent le second rapport du docteur A._ dans la mesure où ce médecin atteste l'existence d'un déficit organique post-traumatique. Au demeurant, ce rapport confirme sur ce point les conclusions de l'expertise du 5 janvier 2009 et celles du docteur G._. Au surplus, la juridiction cantonale ne nie pas l'existence d'une relation de causalité entre l'instabilité cervicale et l'accident mais laisse cette question indécise. Quant à l'intimée, elle conteste l'existence d'une instabilité C4-C5 en se contentant, en dépit des diverses appréciations médicales qui attestent une telle lésion et sans même indiquer de moyens de preuve, d'affirmer que cette lésion ne ressort pas des examens pratiqués mais d'une combinaison d'éléments.
Cela étant, il n'y a pas de motif en l'occurrence de mettre en cause les avis des docteurs G._ et A._, selon lesquels la recourante présente encore au-delà du 25 janvier 2007 un déficit fonctionnel organique post-traumatique sous la forme d'une instabilité C4-C5. La causalité naturelle entre ce trouble physique et l'accident étant admise, la causalité adéquate doit être admise sans examen (ATF 118 V 286 consid. 3a p. 291; 117 V 359 consid. 5d/bb p. 365) et l'intimée n'était pas fondée, par sa décision sur opposition du 12 octobre 2009, à supprimer, à partir du 26 janvier 2007, le droit de la recourante à des prestations d'assurance pour les suites de l'accident du 24 janvier 2006 au motif de l'absence d'un lien de causalité adéquate. Le recours se révèle ainsi bien fondé.
5. 5.1 Selon l'art. 21 al. 4 LPGA, les prestations peuvent être réduites ou refusées temporairement ou définitivement si l'assuré se soustrait ou s'oppose, ou encore ne participe pas spontanément, dans les limites de ce qui peut être exigé de lui, à un traitement ou à une mesure de réinsertion professionnelle raisonnablement exigible et susceptible d'améliorer notablement sa capacité de travail ou d'offrir une nouvelle possibilité de gain. Une mise en demeure écrite l'avertissant des conséquences juridiques et lui impartissant un délai de réflexion convenable doit lui avoir été adressée. Les traitements et les mesures de réadaptation qui présentent un danger pour la vie ou pour la santé ne peuvent être exigés.
5.2 En l'espèce, les docteurs G._ et A._ ont préconisé une chirurgie de stabilisation C4-C5 en indiquant toutefois qu'un tel traitement ne pouvait offrir toutes les chances de succès. De son côté, l'intimée a exprimé son accord quant à la prise en charge de cette intervention, au motif qu'il existait un lien de causalité entre l'ensemble des troubles et l'accident (lettre du 26 janvier 2009). Cependant, l'assurée a déclaré renoncer à cette opération en se référant à un avis du docteur F._, selon lequel une prise en charge n'était pas justifiée au regard des constatations neuroradiologiques et radiologiques (rapport du 7 juillet 2009).
Il appartiendra dès lors à l'intimée d'examiner si l'opération en question est raisonnablement exigible et susceptible d'améliorer notablement la capacité de travail de l'assurée. Le cas échéant et si l'intéressée refuse de s'y soumettre, elle pourra réduire ou refuser temporairement ses prestations après lui avoir adressé une mise en demeure écrite l'avertissant des conséquences de son refus (ATF 134 V 189 consid. 2 p. 193 s.).
En ce qui concerne l'incapacité de travail de longue durée apparue le 24 septembre 2008, il incombera en outre à l'intimée d'examiner si elle résulte de l'atteinte à la santé due à l'accident.
Cela étant, la décision sur opposition litigieuse et le jugement attaqué doivent être annulés et la cause renvoyée à l'intimée pour nouvelle décision sur le droit aux prestations en considération du déficit fonctionnel organique post-traumatique.
6. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). En outre, la recourante a droit à une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 30 juin 2010 et la décision sur opposition de la Mobilière du 12 octobre 2009 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour qu'elle procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de dépens de 2'800 fr. est allouée à la recourante à la charge de l'intimée pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 10 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd