Sachverhalt:
A.
Die 1964 geborene A._, verheiratet und Mutter zweier Kinder, war vom 1. September 2007 bis 30. April 2008 bei der B._ AG angestellt. Am 7. November 2008 meldete sie sich unter Hinweis auf eine Depression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen traf Abklärungen in erwerblicher Hinsicht und zog Berichte des Psychiaters Dr. med. C._, Chefarzt der Klinik D._, vom 2. Juni 2009 sowie der Klinik E._, Fachklinik für kardiale und psychosomatische Rehabilitation, vom 28. Mai 2008, wo die Versicherte vom 27. März bis 16. April 2008 stationär behandelt worden war, sowie der Klinik F._, vom 4. Januar 2010, wo sich A._ vom 8. November bis 4. Dezember 2009 aufgehalten hatte, bei. Der Psychiater Dr. med. G._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst Ostschweiz (RAD) berichtete am 16. April 2010 über die am 3. März 2010 durchgeführte fachärztliche Untersuchung der Versicherten. Mit Verfügung vom 5. November 2010 eröffnete die IV-Stelle A._, sie habe ab 1. Dezember 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung.
B.
A._ liess beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung vom 5. November 2010 sei ihr anstelle der Viertelsrente eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Die IV-Stelle beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen mit der Feststellung, dass die Versicherte keinen Invalidenrentenanspruch habe. Mit Entscheid vom 20. Juli 2012 hiess das Versicherungsgericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach A._ rückwirkend ab 1. Mai 2009 eine halbe Invalidenrente zu.
In teilweiser Gutheissung der von der IV-Stelle hiegegen eingereichten Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hob das Bundesgericht den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 20. Juli 2012 auf und wies die Sache zur Durchführung einer polydisziplinären Expertise durch eine Medizinische Abklärungsstelle (H._) der Invalidenversicherung und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Urteil vom 18. März 2013, 9C_603/ 2012).
C.
In Nachachtung des Urteils des Bundesgerichts beauftragte das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Medizinische Begutachtungsstelle I._ mit der Erarbeitung einer fachärztlichen Expertise. Die Medizinische Begutachtungsstelle I._ erstattete das Gutachten am 28. November 2013. Mit Entscheid vom 21. Januar 2014 hob das Versicherungsgericht die Verfügungen vom 5. November 2010 und 19. Januar 2011 auf und sprach A._ ab 1. Mai 2009 wiederum eine halbe Invalidenrente zu.
D.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit ab 1. Mai 2009 ein Anspruch auf eine halbe Invalidenrente bejaht wurde, und die Sache sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es der Versicherten das rechtliche Gehör gewähre und alsdann die Rentenverfügung aufhebe.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Bei Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, z.B. der Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei, geht es um Rechtsfragen. Im Übrigen gilt in diesem Zusammenhang Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (BGE 137 V 64 E. 1.2 S. 65 f.).
2.
Im kantonalen Gerichtsentscheid vom 20. Juli 2012, welchen das Bundesgericht mit Urteil vom 18. März 2013 aufgehoben hat, wurde die Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung somatoformer Schmerzstörungen (BGE 130 V 352 und seitherige Urteile) korrekt wiedergegeben, weshalb darauf verwiesen wird.
3.
Zu prüfen ist der Sachverhalt, wie er sich bis zum Erlass der Verwaltungsverfügungen vom 5. November 2010/19. Januar 2011, mit welchen der Versicherten die Viertelsrente samt Kinderrenten zugesprochen wurden, entwickelt hat (BGE 131 V 242 E. 2.1 S. 243 mit Hinweis), wogegen eine seither eingetretene Änderung des Gesundheitszustandes ausser Acht zu bleiben hat.
3.1. Gemäss Urteil des Bundesgerichts 9C_603/2012 vom 18. März 2013 steht fest, dass die depressive Episode der Beschwerdegegnerin eine Komorbidität zur somatoformen Schmerzstörung bildet; dabei ist auch das Kriterium der erheblichen Dauer der Komorbidität erfüllt. Andere Aspekte wie die Erheblichkeit, Intensität und Schwere der Depression waren hingegen ärztlicherseits nicht hinreichend geklärt. Weil der rechtserhebliche Sachverhalt von der Vorinstanz unvollständig festgestellt worden war, wurde dem Urteil des Bundesgerichts entsprechend in der Medizinischen Begutachtungsstelle I._ eine polidisziplinäre medizinische Untersuchung durchgeführt.
3.2. Die Vorinstanz stellt fest, gemäss Gutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle I._ vom 28. November 2013 leide die Beschwerdegegnerin an einer "double depression", d.h. an einer Dysthymie mit sich darauf aufpfropfender depressiver Episode, wobei diese Episode ab 2009 als mittelgradig und aktuell als schwer ausgeprägt einzustufen sei. Das Krankheitsbild sei chronifiziert; der Schweregrad der Depression habe in den vergangenen fünf Jahren zugenommen; vom psychiatrischen Standpunkt müssten Intensität und Ausprägungsgrad der Depression derzeit als schwer bezeichnet werden. Zur Frage der Überwindbarkeit hielt die Vorinstanz ebenfalls gestützt auf das Gerichtsgutachten fest, diese sei deutlich reduziert. Psychische Ressourcen, die der Versicherten den Umgang mit Schmerzen erleichtern könnten, seien ausreichend vorhanden; ab etwa 2004 sei sie jedoch zunehmend an ihre Belastungsgrenzen gestossen, die mit der Kündigung der Arbeitsstelle im Jahre 2007 schliesslich überschritten worden seien. Mit der gegenwärtigen depressiven Symptomatik sei der Versicherten ein Zugriff auf ihre Ressourcen nur in eingeschränktem Mass möglich. Das kantonale Gericht gelangte zum Schluss, die verselbstständigte depressive Problematik erreiche das von der Rechtsprechung geforderte Ausmass. Ebenso sei die Frage der Überwindbarkeit des somatoformen Schmerzgeschehens (bzw. der somatoformen Funktionsstörung des Urogenitaltrakts) von den Gutachtern klar in dem Sinne beantwortet worden, dass nur eine teilweise Überwindung gelingen kann. Auch wenn die Gutachter auf den Zeitpunkt der Untersuchung abstellten, sei es unter Berücksichtigung der gesamten medizinischen Aktenlage überwiegend wahrscheinlich, dass die depressive Erkrankung bereits im Mai 2009, dem frühest möglichen Rentenbeginn, und während der vorangegangenen Wartezeit von einem Jahr (Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG) hinreichend erheblich war; laut Gutachten habe sich bereits ab Ende 2007/Anfang 2008 eine schwere Form der Depression herausgebildet, und die psychische Problematik habe spätestens im Jahr 2008 ein behandlungsbedürftiges Ausmass erreicht. Auch der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) habe den Beginn der hälftigen Arbeitsunfähigkeit auf Januar 2008 festgesetzt. Weiter erscheine es plausibel, dass der Beschwerdegegnerin im Rahmen der ab Frühjahr 2008 bestehenden ausgeprägten depressiven Episode auch bei Aufbietung allen guten Willens nur noch eine Erwerbstätigkeit von 50 % zumutbar war.
3.3. Die IV-Stelle wendet ein, in dem für die Beurteilung massgebenden Zeitraum vor Erlass der Invalidenrentenverfügungen habe eine mittelschwere Depression bestanden. Deren invalidisierende Wirkung sei nicht schlechthin auszuschliessen. Es müssten jedoch verschiedene Voraussetzungen erfüllt sein, welche hier fehlten. Die Vorinstanz habe bundesrechtswidrig eine erhebliche Komorbidität bejaht. Wenn das mittelschwere depressive Zustandsbild - wie hier - von Anfang an durch psychosoziale Umstände geprägt wird, könne nicht von einem invalidisierenden psychischen Gesundheitsschaden gesprochen werden.
4.
4.1. Gemäss Urteil vom 18. März 2013 (9C_603/2012) hielt das Bundesgericht eine ergänzende Abklärung des medizinischen Sachverhalts in psychischer und somatischer Hinsicht als erforderlich, wobei es als erstellt betrachtete, dass die mittelgradige Depression den Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin durchgehend während mindestens dreier Jahre beeinträchtigt habe; das Kriterium der Dauer der psychischen Komorbidität sei damit erfüllt. Damit stellt sich einzig die Frage, wie es sich mit Bezug auf Intensität und Schwere des psychischen Gesundheitsschadens verhält, welche Punkte eine Aktenergänzung notwendig machten, damit beurteilt werden kann, ob die psychische Komorbidität in Form eines depressiven Leidens die rechtsprechungsgemäss (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353 ff.) einschlägigen Kriterien erfüllt. Auf die übrigen in der Beschwerde aufgegriffenen und zur Diskussion gestellten Punkte ist hingegen nicht einzugehen.
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz hat verbindlich (E. 1.1 hievor) festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin aktuell (im Zeitpunkt der Begutachtung) an einer schweren Depression leide, wobei angesichts des Verlaufs von einem mittlerweile chronifizierten Krankheitsbild auszugehen sei. Wenn das Versicherungsgericht aufgrund des polydisziplinären Gutachtens festgehalten hat, dass die Depression in Bezug auf Schwere, Intensität und Ausprägung die von der Rechtsprechung geforderte Erheblichkeit bereits in den hier in Frage stehenden Jahren ab 2008 erreicht hat, verletzt es entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin kein Bundesrecht. Insbesondere die Aussage der Gerichtsexperten, ab Ende 2007/Anfang 2008 habe sich eine schwere Form der Depression herausgebildet, erlaubt den Schluss, dass bereits während eines Jahres vor Rentenbeginn eine Arbeitsunfähigkeit von durchschnittlich 50 % vorgelegen hat, die nach Ablauf der Wartezeit von einem Jahr (Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG) ab 1. Mai 2009 eine Erwerbsunfähigkeit gleichen Ausmasses bewirkt hat. Die Überwindbarkeit des somatoformen Schmerzgeschehens, einschliesslich der somatoformen Funktionsstörung des Urogenitaltrakts, hat die Vorinstanz anhand der klaren Stellungnahme der Experten der Medizinischen Begutachtungsstelle I._ zu Recht verneint.
4.2.2. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, zu einem abweichenden Ergebnis zu führen. Soweit sie die Schwere und Intensität des depressiven Leidens im massgebenden Zeitraum in Frage stellt, kann ihr nicht gefolgt werden. Die diesbezügliche Einschätzung der Vorinstanz beruht auf einer Würdigung des Gerichtsgutachtens und ist aufgrund der zitierten fachärztlichen Angaben begründet. Dass der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig ermittelt wurde, behauptet die IV-Stelle zu Recht nicht. Ihre Ausführungen zur allfälligen invalidisierenden Wirkung einer mittelschweren depressiven Störung sind von geringer Relevanz, geht doch die Vorinstanz gestützt auf die fachärztlichen Angaben in der Expertise der Medizinischen Begutachtungsstelle I._ begründeterweise bereits ab Anfang 2008 von einer schweren Form der Depression aus. Auch der von der Verwaltung vorgebrachte Einwand, dass bei der Beschwerdegegnerin seit Jahren psychosoziale Belastungen und damit verbundene emotionale Konflikte im Vordergrund stünden, ist nicht stichhaltig. Die erwähnten Aspekte (u.a. Konflikte in der Ehe, soziale Isolierung zufolge des religiösen Fanatismus des Ehemannes, Überlastung in Beruf und Familie) tragen allenfalls zur Entstehung und Aufrechterhaltung der invalidisierenden schweren Depression bei, die auch durch eine langjährige ambulante psychiatrische Behandlung einschliesslich Medikation und zwei stationärer Krankenhausaufenthalte nicht hatte verhindert werden können. Es kann deswegen jedoch nicht davon gesprochen werden, dass das klinische Beschwerdebild hauptsächlich in Beeinträchtigungen, die von belastenden soziokulturellen Faktoren herrühren, besteht. Dass das Krankheitsbild völlig unabhängig von den genannten Faktoren bestehen müsste, um eine Invalidität bewirken zu können, wie die IV-Stelle dem Sinne nach geltend macht, trifft nicht zu (vgl. BGE 127 V 294 E. 5.a S. 299). Dass äussere Umstände an der Entstehung vieler Erkrankungen aus dem depressiven Formenkreis wesentlich mitwirken, ist unbestritten. Davon geht auch die Expertise der Medizinischen Begutachtungsstelle I._ aus; deren Ärzten war aufgrund der Akten und eigener Untersuchungen bekannt, dass bei der Beschwerdegegnerin verschiedene psychosoziale Faktoren am Krankheitsbild mitbeteiligt sind; dies hinderte sie nicht daran, eine schwere Depression zu diagnostizieren.
4.2.3. Aus diesen Erwägungen erhellt, dass im vorliegenden Fall das Kriterium einer relevanten psychischen Komorbidität, welche den Schluss auf Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs der Beschwerdegegnerin in den Arbeitsprozess nahe legt (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353 f.), entgegen den Ausführungen der IV-Stelle erfüllt ist. Die Prüfung, ob zusätzliche Kriterien nach BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353 ff. zu bejahen wären, erübrigt sich daher. Dass die Vorinstanz dazu keine sachverhaltlichen Feststellungen getroffen hat, ist somit entgegen den Vorbringen in der Beschwerde unerheblich.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Widmer