Sachverhalt:
A. Die 1959 geborene C._ zog sich im Jahr 1985 als Autoinsassin bei einer Frontalkollision ein erstes Trauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Sie war danach ab 1988 wieder voll arbeitsfähig und bedurfte keiner Heilbehandlung mehr. Am 22. März 2003 erlitt C._ einen erneuten Verkehrsunfall. Ein nachfolgender VW Scirocco prallte ins Heck des Mercedes 500 SEC, in welchem sie als Beifahrerin vorne sass. Wegen danach aufgetretenen Beschwerden suchte C._ Frau Dr. med. G._, Allgemeine Medizin FMH, auf, welche mit Bericht vom 25. Juni 2003 eine Einschränkung der Beweglichkeit der HWS sowie Ohrensausen und Kopfschmerzen beschrieb, ein HWS-Distorsions- und Kontusionstrauma diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte. In der Folge traten auch lumbale Beschwerden auf. Mittels bildgebender Untersuchungen wurden Bandscheibenveränderungen im Bereich der HWS und der Lendenwirbelsäule (LWS) festgestellt. C._ war im Zeitpunkt des zweiten Unfalls als Fitnessinstruktorin in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Die National erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum medizinischen Sachverhalt (unter anderem Einholung des Gutachtens des Dr. med. Z._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, vom 6. Juni 2005 mit Ergänzung vom 31. Oktober 2005) eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 29. November 2005 die Einstellung der Leistungen rückwirkend ab 1. April 2004. Zur Begründung wurde ausgeführt, seit diesem Zeitpunkt hätten keine Unfallfolgen mehr vorgelegen. Die vom Krankenversicherer der C._ hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die auf Zusprechung weiterer Leistungen, insbesondere auch einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung, lautende Einsprache der Versicherten wies die National ab, wobei sie sich bereit erklärte, an das Honorar des von C._ beigezogenen Dr. med. J._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, einen Anteil von Fr. 970.80 zu leisten (Einspracheentscheid vom 25. August 2006).
B. Die von C._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 22. Mai 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es seien Leistungen gemäss UVG, insbesondere eine Rente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 55 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 15 %, zuzusprechen; eventuell sei ein multidisziplinäres Gutachten in Auftrag zu geben, um die Arbeitsfähigkeit und den Integritätsschaden abzuklären; subeventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung und Verfügung an die Vorinstanz resp. an die National zurückzuweisen.
Die National schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 6. resp. 7. Mai 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 22. März 2003 über den 1. April 2005 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies nebst den massgeblichen Gesetzesbestimmungen zunächst den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (BGE 129 V 177 E. 3.1 mit Hinweisen), insbesondere auch bei Diskushernien (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45 E. 3a, Nr. U 379 S. 192 E. 2a mit Hinweisen und Nr. U 379 S. 190 E. 3; Urteil U 441/04 vom 13. Juni 2005, E. 3.1), und das Dahinfallen dieses Zusammenhanges - und damit der Leistungspflicht des Unfallversicherers - bei Erreichen des Zustand vor dem Unfall resp. ohne diesen (status quo ante vel sine; RKUV 1994 Nr. U 206 S. 326 E. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 75 E. 4b, je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung über den nebst dem natürlichen erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang im Allgemeinen (BGE 129 V 181 E. 3.2 mit Hinweisen) und bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133) sowie bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen (BGE 117 V 359), äquivalenten Verletzungen der Halswirbelsäule (HWS; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) im Besonderen ist ebenfalls richtig wiedergegeben. Zu berichtigen ist einzig, dass mit der Prüfung der Adäquanz nicht bis zum Abschluss des unfallbedingt erforderlichen Heilungsprozesses abzuwarten ist (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.). Wiederum zutreffend dargelegt sind die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sog. Schleudertrauma-Praxis präzisiert hat (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst geprüft, ob sich ein weiterer Leistungsanspruch aufgrund der mittels bildgebenden Untersuchungen festgestellten Diskushernien/-protrusionen auf Höhe der HWS und der LWS ergeben kann.
2.1 Mit der Vorinstanz ist zuverlässig auszuschliessen, dass die Diskushernien/-protrusionen durch den Unfall vom 22. März 2003 verursacht wurden. Es entspricht im Bereich des Unfallversicherungsrechts einer medizinischen Erfahrungstatsache, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192 und Nr. U 378 S. 190; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45). Diese Voraussetzungen sind hier nicht gegeben. Aus sämtlichen fachärzlichen Stellungnahmen ergibt sich nichts anderes.
2.2 Damit stellt sich die Frage, ob der Unfall vom 22. März 2003 zu einer Verschlimmerung der Bandscheibenproblematik geführt hat.
2.2.1 In Bezug auf den unteren Rückenbereich kann dies schon aufgrund des erheblichen Zeitraums zwischen dem Unfall und dem Auftreten von Beschwerden ohne weiteres verneint werden. Die fachärztlichen Berichte äussern sich denn auch einhellig in diesem Sinne. Lediglich Dr. med. K._, FMH Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, scheint gemäss Stellungnahme vom 31. Januar 2005 eine abweichende Auffassung zu vertreten. Seine Aussagen sind indessen nur sehr kurz begründet und überdies widersprüchlich, weshalb sie an der vorgenannten Beurteilung nichts zu ändern vermögen.
2.2.2 Im HWS-Bereich wird von den berichterstattenden Fachärzten eine unfallbedingte Verschlimmerung überwiegend bejaht. Die Meinungen gehen aber darin auseinander, ob es sich um eine bloss vorübergehende und Ende März 2004 beendete oder um eine richtunggebende und damit für noch bestehende Beschwerden verantwortliche Verschlimmerung handelt.
Dr. med. Z._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, gelangte im von der National eingeholten Gutachten vom 6. Juni 2005 (mit Ergänzung vom 31. Oktober 2005) zum Ergebnis, es handle sich hier um eine lediglich vorübergehende Verschlimmerung eines Grundleidens mit schicksalsmässigem Verlauf, wobei anzunehmen sei, dass der status quo sine per Ende März 2004 erreicht wurde. Diese fachärztliche Beurteilung ist überzeugend begründet. Sie berücksichtigt die medizinische Vorgeschichte und trägt den mittels bildgebenden Untersuchungen festgestellten Befunden ebenso wie der klinischen Präsentation und dem Unfallhergang Rechnung. Die Beurteilung durch den Experten hält sich namentlich auch im Rahmen der Erkenntnisse der Unfallmedizin, welche die Rechtsprechung als allgemein anerkannt betrachtet und für massgeblich hält. Danach ist die unfallbedingte Verschlimmerung einer vorbestehenden Wirbelsäulenerkrankung nur unter bestimmten Voraussetzungen, welche hier nicht vorliegen, als richtunggebend zu betrachten. Ansonsten ist sie vorübergehender Natur, wobei ihre Dauer auf längstens ein Jahr anzusetzen ist (Urteil U 290/06 vom 11. Juni 2007, E. 4.2.1 mit Hinweisen).
Eine abweichende Auffassung vertritt der von der Versicherten beigezogene Dr. med. J._, Spezialarzt für Orthopädische Chirurgie, im Bericht vom 7. September 2005 (mit Ergänzung vom 2. Dezember 2005). Er beschränkt sich indessen darauf, das Gutachten des Dr. med. Z._ zu kritisieren, wobei er namentlich die von diesem für massgeblich erachteten medizinischen Erfahrungswerte hinterfragt. Es besteht indessen kein Anlass, diesbezüglich von der erwähnten, bewährten Rechtsprechung abzuweichen. Zu keiner abweichenden Betrachtungsweise führen auch der - aus den schon erwähnten Gründen nicht aussagekräftige - Bericht des Dr. med. K._ vom 31. Januar 2005 und die weiteren medizinischen Akten. Namentlich vermag auch Dr. med. H._, Facharzt FMH für Neurologie und Computer-Tomographie, im vom Versicherten eingeholten Gutachten vom 17. August 2007 eine Verschlimmerung oder eine richtungweisende Änderung gestützt auf die durchgeführten bildgebenden Untersuchungen nicht zu bestätigen. Mit der weiteren Aussage des Dr. med. H._, der klinische Befund sei nach dem Unfall neu aufgetreten, ist eine unfallbedingte richtunggebende Verschlimmerung der Bandscheibenproblematik nicht dargetan (vgl. Urteil U 290/06 vom 11. Juni 2007, E. 4.2.3 mit Hinweisen).
Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Dies gilt namentlich auch, soweit Einwände gegen die Einholung und den Inhalt des Gutachtens des Dr. med. Z._ erhoben werden. Dessen fachärztliche Beurteilung ist im Rahmen der freien Beweiswürdigung und der rechtsprechungsgemässen Anforderungen an beweiskräftige Arztberichte (vgl. BGE 125 V 351 E. 3 S. 352 ff.) als überzeugend zu betrachten. Verfahrensrechtliche Mängel, welche Zweifel hieran zu begründen vermöchten, liegen nicht vor. Sodann ist auf weitere medizinische Abklärungen zu verzichten, da davon kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss erwartet werden kann.
2.3 Zusammenfassend ist mit der Vorinstanz als unwahrscheinlich anzusehen, dass die persistierenden Beschwerden in einer durch den Unfall vom 22. März 2003 bedingten Beeinflussung im Bereich der Bandscheiben begründet liegen.
3. Anhaltspunkte für eine anderweitige, organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge, welche gegebenenfalls die noch bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchte, liegen nicht vor. Demnach hat, anders als bei Gesundheitsschäden mit einem klaren unfallbedingten organischen Substrat, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel mit dem natürlichen bejaht werden kann (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen. Dabei kann auf weitere Abklärungen zur natürlichen Kausalität verzichtet werden, wenn ohnehin der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist (Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008, E. 2 Ingress mit Hinweisen). Zu letzterem Ergebnis ist die Vorinstanz gelangt, was es nachfolgend zu prüfen gilt.
3.1 Das kantonale Gericht hat den adäquaten Kausalzusammenhang der persistierenden Beschwerden nach der sog. Schleudertrauma-Praxis beurteilt. Dies ist mit Blick auf die erlittene HWS-Distorsion und die hiezu sich äussernden Arztberichte zutreffend und auch nicht umstritten. Eine daneben bestehende eigenständige psychische Erkrankung, deren Adäquanz nach den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen zu prüfen wäre, haben die medizinischen Abklärungen nicht ergeben.
3.2 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 366 f.; BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Die Heckauffahrkollision vom 22. März 2003 ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes (höchstens) als mittelschwerer Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen.
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.). Daran hat sich mit BGE 134 V 109 (dortige E. 10.1 S. 126 f.) nichts geändert.
3.3 Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist von den nach der bisherigen Rechtsprechung relevanten Kriterien einzig, und nicht in besonders ausgeprägter Weise, dasjenige des schwierigen Heilungsverlaufs erfüllt. Die Versicherte erachtet mehrere Kriterien nach der bisherigen wie nach der mit BGE 134 V 109 präzisierten Praxis für gegeben.
Zu Recht nicht geltend gemacht werden die beiden (unveränderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert. Gleiches gilt für das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung).
Entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung ist sodann das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen nicht erfüllt. Praxisgemäss genügt dafür die Diagnose eines HWS-Distorsionstraumas nicht. Und der weiter geltend gemachte Gesichtspunkt der Arbeitsunfähigkeit ist nicht hier, sondern beim entsprechenden eigenständigen Kriterium zu prüfen.
Die Bejahung des (unveränderten) Kriteriums des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen im angefochtenen Entscheid erscheint nicht zwingend, unterscheidet sich doch die diesbezügliche Entwicklung nicht wesentlich von dem bei derartigen Unfällen Üblichen. Abschliessend muss dies aber nicht beantwortet werden. Denn selbst wenn dieses und, ohne nähere Prüfung, die beiden weiteren Kriterien der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) als gegeben betrachtet würden, lägen die adäquanzrelevanten Faktoren nicht in gehäufter oder auffälliger Weise vor. Auch wäre kein Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt, zumal mit den hinzugekommenen lumbalen Beschwerden auch unfallfremde Faktoren einen wesentlichen Einfluss hatten.
Die Vorinstanz hat somit eine weitere Leistungspflicht der National zu Recht mangels eines rechtserheblichen Zusammenhangs zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 22. März 2003 verneint.
4. Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 65 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz