Faits :
A.
A._ est actionnaire unique de la société B._ et sa fille, C._, en est l'administratrice. B._ a pour but de mettre en oeuvre des services pour améliorer l'apparence et le bien-être physique et psychique, en particulier l'esthétique. Cette société exploite un salon de beauté, dans lequel A._ travaille à titre indépendant.
Depuis le 1 er janvier 2010, A._ a bénéficié du revenu d'insertion (RI). Par décision du 31 juillet 2013, le Centre D._ a supprimé le droit de l'intéressée au RI avec effet au 1 er avril précédent, motif pris qu'étant donné la situation financière "des plus opaques" tant de la bénéficiaire que de B._, il était impossible de savoir si la condition d'indigence était réalisée. Saisi d'un recours contre cette décision, le Service E._ l'a rejeté par décision du 5 février 2014. Par ailleurs, il a refusé de faire droit à la demande d'assistance judiciaire formée par l'intéressée.
B.
A._ a recouru contre la décision du Service E._ du 5 février 2014 devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Elle a conclu principalement à la réforme de la décision attaquée en ce sens que l'assistance judiciaire lui est accordée et la décision du Centre D._ du 31 juillet 2013 est annulée. A titre subsidiaire, elle a requis l'annulation de la décision du Service E._ du 5 février 2014 et le renvoi de la cause audit service pour nouvelle décision.
Par décision du 15 avril 2014, le juge instructeur a rejeté la demande d'assistance judiciaire tendant à la désignation d'un conseil d'office.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de la décision du 15 avril 2014 en ce sens que la demande d'assistance judiciaire est admise et que M e Alain Dubuis est désigné en qualité de conseil d'office. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision. Préalablement, elle requiert l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à répondre au recours, le juge instructeur cantonal a indiqué se référer à sa décision.
Considérant en droit :
1.
Le refus d'accorder à la partie recourante l'assistance d'un avocat d'office au stade de la procédure de recours cantonale est une décision incidente, propre à causer un préjudice irréparable et donc susceptible d'être attaquée séparément d'avec le fond (art. 93 al. 1 let. a LTF; cf. ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 338; 129 I 281 consid. 1.1 p. 283; 129 I 129 consid. 1.1 p. 131 et les références; arrêts 8C_224/2011 du 11 avril 2011 consid. 4.1 et 8C_1031/2010 du 18 janvier 2011 consid. 1).
Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision rendue en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 LTF). Il est dès lors recevable.
2.
En matière de droit public, le droit à l'assistance judiciaire est réglé en premier lieu par le droit de procédure cantonal. Indépendamment de cette réglementation, le droit à l'assistance judiciaire repose sur l'art. 29 al. 3 Cst., lequel confère au justiciable une garantie minimale (arrêts 5A_275/2013 du 12 juin 2013 consid. 6.2.1; 5A_336/2011 du 8 août 2011 consid. 2.2). Etant donné qu'en l'occurrence, la recourante ne prétend pas qu'une règle de droit cantonal lui conférerait une protection plus étendue que celle de l'art. 29 al. 3 Cst., le grief tiré de la violation du droit à l'assistance judiciaire doit être traité exclusivement à la lumière de cette disposition constitutionnelle (ATF 128 I 225 consid. 2.3 p. 226; arrêt 5A_275/2013, déjà cité, consid. 6.2.1). Le Tribunal fédéral examine librement le point de savoir si cette garantie de droit constitutionnel a été violée. En ce qui concerne les constatations de fait son pouvoir d'examen est limité à l'arbitraire (ATF 130 I 180 consid. 2.1 p. 182; 129 I 129 consid. 2.1 p. 133 et les références).
3.
3.1. En l'occurrence, seul est litigieux le droit éventuel de la recourante à la désignation d'un avocat d'office dans la procédure cantonale, dès lors que, pour le reste, celle-ci est en principe gratuite (cf. art. 4 al. 2 du tarif cantonal vaudois des frais judiciaires en matière de droit administratif et public du 11 décembre 2007 [TFJAP; RSV 173.36.5.1]).
3.2. Toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert (art. 29 al. 3 Cst.).
D'après la jurisprudence, il se justifie en principe de désigner un avocat d'office à l'indigent lorsque sa situation juridique est susceptible d'être affectée d'une manière particulièrement grave. Lorsque, sans être d'une portée aussi capitale, la procédure considérée met sérieusement en cause les intérêts du requérant, il faut encore que l'affaire présente des difficultés de fait ou de droit auxquelles il ne pourrait pas faire face seul (ATF 130 I 180 consid. 2.2 p. 182 et les références; MARCEL MAILLARD, in: Waldmann/Weissenberger [éd.], Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, n° 38 ad art. 65). Le droit à la désignation d'un défenseur n'est pas exclu par principe lorsque la maxime d'office est applicable (ATF 130 I 180 consid. 3.2 p. 183; 125 V 32 consid. 4b p. 36).
3.3. Dans sa jurisprudence récente, le Tribunal fédéral a considéré le droit à l'assistance judiciaire comme une émanation du principe de l'égalité des armes, en particulier lorsqu'il s'agit d'examiner le droit éventuel à un conseil d'office et que la partie adverse est assistée. Cependant, il n'existe pas d'automatisme dans ce cas et il convient de prendre en considération les circonstances concrètes de l'espèce (ATF 128 I 225 consid. 2.5 p. 232 ss; arrêts 8C_292/2012 du 19 juillet 2012 consid. 8.3; 8C_551/2011 du 29 septembre 2011 consid. 4.4) et se demander si un justiciable raisonnable et de bonne foi, présentant les mêmes caractéristiques que le requérant, sans cependant disposer de moyens suffisants, ferait appel à un homme de loi (arrêts 5A_244/2014 du 25 juin 2014 consid. 4.2.1; 4A_87/2008 du 28 mars 2008 consid. 3.2; BERNARD CORBOZ, Le droit constitutionnel à l'assistance judiciaire, in: SJ 2003 II 67, p. 81).
4.
4.1. La cour cantonale a rejeté la demande tendant à la désignation d'un conseil d'office en la personne de M e Alain Dubuis au motif que le concours d'un avocat n'apparaissait pas nécessaire à la sauvegarde des droits de l'intéressée ni justifié par les circonstances de la cause. Elle a retenu que le droit de la recourante au RI avait été supprimé essentiellement au motif que l'indigence n'était pas (ou plus) établie au regard des circonstances de fait, à savoir la relation d'affaires existant entre B._ et l'intéressée, actionnaire unique de cette société, vis-à-vis de laquelle elle détient une créance de l'ordre de 77'000 fr. En ce qui concerne différents postes de frais et de salaires, les comptes de B._ appellent des éclaircissements. En outre, comme l'intéressée a indiqué donner à la société des conseils et un soutien gratuits, tout en développant ses propres activités indépendantes dans le salon de beauté, il y a lieu, selon la cour cantonale, de se demander si la recourante ne devrait pas faire rémunérer ses services, plutôt que de poursuivre une activité indépendante. Aussi le litige n'est-il pas d'une complexité telle qu'il justifierait l'assistance d'un conseil d'office, dès lors que les points incertains pourraient être clarifiés par l'examen des comptes de B._, ainsi que par le témoignage de C._, administratrice, et de l'expert fiduciaire qui a établi un rapport le 28 février 2014. Sur le plan juridique, la cour cantonale est d'avis que le cas n'apparaît pas non plus complexe, dans la mesure où, en définitive, il convient uniquement d'apprécier si, et dans quelle mesure, la recourante a rendu vraisemblable (par ses explications et les pièces qu'elle a fournies) son indigence.
4.2.
4.2.1. Par un premier moyen, la recourante fait valoir que le litige au fond comporte un enjeu essentiel, dans la mesure où la suppression du RI la plongerait dans la précarité la plus totale, ce qui porterait gravement atteinte à son droit - consacré à l'art. 12 Cst. - d'obtenir de l'aide dans des situations de détresse. Aussi est-elle d'avis que sa situation juridique est susceptible d'être affectée d'une manière particulièrement grave et que, pour ce motif déjà, la désignation d'un avocat d'office apparaît justifiée.
Ce moyen est mal fondé. Selon la jurisprudence, la cessation d'une aide financière prolongée, bien qu'elle mette en cause les intérêts économiques du requérant, n'affecte pas sa situation juridique d'une manière suffisamment grave pour justifier, à elle seule, la désignation d'un conseil d'office. Au surplus, dans le domaine de l'aide sociale, où il s'agit généralement de prendre en considération avant tout des situations personnelles, la nécessité de désigner un avocat d'office doit être examinée avec retenue (arrêts 8C_292/2012, déjà cité, consid. 8.2 et 8.6; 8C_778/2008 du 12 décembre 2008 consid. 3.2.2).
4.2.2. Par un deuxième moyen, la recourante allègue que l'affaire présente des difficultés de fait et de droit auxquelles elle ne pourrait faire face sans l'assistance d'un conseil. Sur le plan juridique, elle relève le défaut d'avertissement en relation avec la suppression du RI, ainsi que l'absence d'enquête sur sa situation financière et personnelle. Sur le plan des faits, elle invoque une situation extrêmement complexe échappant à la compréhension du citoyen moyen. A ce titre, elle allègue de multiples erreurs qui, selon elle, ont entaché la décision de suppression du RI, ainsi que la nécessité, apparue seulement au stade du recours devant la juridiction précédente, d'entendre les témoignages de C._, administratrice, et de l'expert fiduciaire, auteur du rapport du 28 février 2014.
Ces allégations ne sont pas de nature à mettre en cause le point de vue de la juridiction précédente. Il ressort clairement de la décision par laquelle le Service E._ a confirmé la suppression du RI (du 5 février 2014) que le litige repose essentiellement sur des questions de fait, à savoir quelles sont les ressources économiques dont dispose l'intéressée en relation avec son activité indépendante et en sa qualité d'actionnaire unique de B._. A cet égard, les motifs à l'appui de cette décision sont exposés de manière suffisamment claire pour que sa destinataire puisse la comprendre et la contester utilement sans être assistée par un conseil. On ne saurait dès lors considérer que l'affaire présente des difficultés de fait auxquelles la recourante ne pourrait pas faire face seule. Sur le plan juridique, la cause n'apparaît pas non plus poser de grandes difficultés, du moment que la réglementation applicable en matière de RI, exposée de manière précise dans la décision attaquée devant la juridiction cantonale, n'est pas particulièrement complexe et qu'en définitive, le litige porte exclusivement sur le point de savoir si la condition d'indigence est établie.
Etant donné les circonstances de la cause, le fait que la décision du Service E._ a été rédigée par un juriste spécialisé ne permet pas non plus d'admettre le droit à l'assistance d'un conseil d'office au regard du principe de l'égalité des armes, contrairement à ce que soutient la recourante.
4.3. Vu ce qui précède, la décision attaquée n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5.
Il est exceptionnellement renoncé à la perception de frais judiciaires (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF), de sorte que la requête d'octroi de l'assistance judiciaire est sans objet dans la mesure où elle tend à la dispense de s'acquitter de frais judiciaires. Par ailleurs, les conclusions du recours étant dénuées de chance de succès, cette requête est mal fondée, dans la mesure où elle tend également à la désignation d'un avocat d'office (art. 64 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Centre social régional de Lausanne et au Service de prévoyance et d'aide sociales.
Lucerne, le 14 août 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Le Greffier :
Ursprung Beauverd