Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 2002) ist die gemeinsame Tochter von A.A._ und C.A._. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2013 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (KESB U._) den Eltern die elterliche Sorge über ihre Tochter nach Art. 311 ZGB und bestätigte den Obhutsentzug und die Fremdplatzierung nach Art. 310 Abs. 1 und 3 ZGB. Ferner regelte sie das Besuchsrecht nach Art. 274 Abs. 2 ZGB und erteilte Weisungen nach Art. 273 Abs. 2 ZGB. Gegen diesen Beschluss erhob A.A._ am 2. Dezember 2013 Beschwerde bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Insgesamt stellte er 17 Anträge. Im Wesentlichen verlangte er die Aufhebung des Beschlusses und die Rückweisung an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung und Entscheidung.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 20. März 2014 (Verfahren V-2013/295) wies der Präsident der V. Abteilung der Verwaltungsrekurskommission das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Ziffer 1 des Dispositivs) und forderte A.A._ auf, bis zum 8. April 2014 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu bezahlen, falls er an seiner Beschwerde festhalten wolle. Bei unbenütztem Ablauf der Frist werde das Beschwerdeverfahren kostenfällig als erledigt abgeschrieben (Ziffer 2).
B.b. Am 31. März 2014 erhob A.A._ beim Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen gegen diese Verfügung Beschwerde. Er verlangte, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen (Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und unentgeltliche Rechtsverbeiständung, Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses). Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor der Verwaltungsrekurskommission ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Subeventualiter beantragte der Beschwerdeführer, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses vor Vorinstanz zu verzichten. Für den Fall der Ablehnung der Beschwerde verlangte er schliesslich einen neuen Zahlungstermin für die Zahlung des Kostenvorschusses.
B.c. Am 27. Mai 2014 bestätigte der Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen den Entscheid des Abteilungspräsidenten der Verwaltungsrekurskommission vom 20. März 2014. Gleichzeitig forderte er diesen auf, dem Beschwerdeführer zur Leistung des Kostenvorschusses eine neue Frist zu setzen. Dem Beschwerdeführer wurden die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 400.-- überbunden und sein Rechtsvertreter für das Beschwerdeverfahren mit Fr. 250.-- entschädigt.
C.
Mit Eingabe vom 27. Juni 2014 wendet sich A.A._ an das Bundesgericht. Er stellt dabei die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Der angefochtene Entscheid der Vorinstanz 2 sei aufzuheben und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz 2 zurückzuweisen.
2. Eventualiter seien Ziffer 1, 2, 3 und 4 des angefochtenen Entscheides der Vorinstanz 2 aufzuheben und es sei wie folgt zu entscheiden:
a. Ziffer 1 und Ziffer 2 des Entscheides der Vorinstanz 1 vom 20.03.2014 seien aufzuheben, dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Rechtspflege und die unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz 1 (V-2013/295) zu bewilligen und es sei der Unterzeichnende als unentgeltlicher Vertreter des Beschwerdeführers in diesem Verfahren zu ernennen.
a.1. Eventualiter hierzu sei Ziffer 2 des Entscheides der Vorinstanz 1 vom 20.03.2014 aufzuheben und die Vorinstanz 1 sei anzuweisen, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten.
b. Dem Beschwerdeführer sei für das Verfahren vor der Vorinstanz 2 eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 3'556.75 zuzusprechen und es seien die Kosten des Beschwerdeverfahrens vor der Vorinstanz 2 auf die Staatskasse zu nehmen.
b.1. Eventualiter hierzu sei dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor der Vorinstanz 2 die unentgeltliche Rechtspflege und die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu bewilligen und es sei der Unterzeichnende als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers für das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz 2 zu ernennen. Dem Unterzeichnenden sei eine Entschädigung zufolge unentgeltlicher Rechtsverbeiständung in der Höhe von Fr. 2'845.50 zuzusprechen.
b.2 Subeventualiter hierzu sei auf die Erhebung von Kosten für das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz 2 zu verzichten.
3. Subeventualiter seien Ziffer 1, 2, 3 und 4 des angefochtenen Entscheides der Vorinstanz 2 aufzuheben und die Vorinstanz 1 sei anzuweisen, dem Beschwerdeführer nach rechtskräftigem Abschluss des vorliegenden Beschwerdeverfahrens eine neue angemessene Frist für die Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen.
4. Dem Beschwerdeführer sei für das vorliegende Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen und es sei der Unterzeichnende als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers zu ernennen.
5. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
6. Unter Kosten und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Staates.
7. Eventualiter sei auf die Erhebung von Kosten zu verzichten."
D.
Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat am 10. Juli 2014 der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.
E.
Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und den Abteilungspräsidenten der Verwaltungsrekurskommission zur Vernehmlassung eingeladen. Letzter hat auf eine solche verzichtet (Schreiben vom 10. Dezember 2014). Die Vorinstanz hat in ihrer Vernehmlassung vom 17. Dezember 2014 auf ihren Entscheid verwiesen und im Übrigen auf die Weitschweifigkeit der Beschwerde aufmerksam gemacht. Die Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Entscheid des Kantonsgerichts, mit dem dieses die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vor der Verwaltungsrekurskommission abgewiesen hat. Der Präsident dieser Behörde hatte das Armenrechtsgesuch mittels einer selbständigen, vorab eröffneten Verfügung abgewiesen und die inhaltliche Prüfung der Beschwerde von der Leistung eines Kostenvorschusses abhängig gemacht. Der angefochtene Entscheid betrifft damit einen Zwischenentscheid, der nach der Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). In dieser geht es um den Entzug der elterlichen Sorge. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das gleiche Rechtsmittel ist daher gegen den angefochtenen Zwischenentscheid zulässig. Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bildet einzig das vorinstanzliche Urteil. Das Bundesgericht tritt daher auf die Beschwerde insofern nicht ein, als sich diese gegen das Urteil der Verwaltungsrekurskommission richtet (Art. 75 BGG). Nicht eingetreten werden kann auch auf das Gesuch des Beschwerdeführers, Einsicht in die vollständigen Akten zu nehmen und im Anschluss daran einen weiteren Schriftenwechsel durchzuführen. Ein solches Akteneinsichtsgesuch bildet nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens. Ebensowenig tut der Beschwerdeführer dar, dass ihm der Zugang zu diesen Akten verweigert worden wäre. Nicht Gegenstand dieses Beschwerdeverfahrens sind schliesslich die allgemein gehaltenen Vorwürfe an die Adresse der KESB U._, die ihn als persona non grata behandle. Entsprechend ist auch nicht auf die in diesem Zusammenhang formulierten Verfassungsverletzungen einzugehen (Art. 5 Abs. 3 und Art. 36 Abs. 3 BV).
2.
Rechtsschriften müssen eine Begründung enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Übermässig weitschweifige Rechtsschriften kann das Bundesgericht zur Änderung an den Beschwerdeführer zurückweisen (Art. 42 Abs. 6 BGG). Obwohl es im vorliegenden Verfahren einzig um die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege geht, umfasst die Beschwerde 91 Seiten. Sie hat als weitschweifig zu gelten, worauf die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung zu Recht hingewiesen hat (s. Sachverhalt Bst. E). Dies ändert aber nichts daran, dass das Anliegen des Beschwerdeführers leicht zu isolieren und klar ist: Er wehrt sich dagegen, dass seine Beschwerde an die Verwaltungsrekurskommission von dieser und der Vorinstanz als aussichtslos bezeichnet worden ist. Das Bundesgericht verzichtet deshalb aus prozessökonomischen Gründen darauf, die Beschwerde zur Verbesserung an den Beschwerdeführer zurückzuweisen.
3.
Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor der Verwaltungsrekurskommission richtet sich nach den Ausführungen der Vorinstanz nach den Vorschriften der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008, auf die Art. 99 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons St. Gallen über die Verwaltungsrechtspflege (VRP) verweist. Das Bundesgericht überprüft die korrekte Anwendung der subsidiär und als kantonales Recht zur Anwendung gelangenden ZPO nicht frei, sondern nur auf Willkür (Art. 9 BV) hin (BGE 139 III 225 E. 2.3 S. 231). Für diese Vorbringen gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Vorwürfe. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Was den Sachverhalt angeht, ist das Bundesgericht grundsätzlich an die Feststellungen der Vorinstanz gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer einzig vorbringen, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auch dafür gilt das strenge Rügeprinzip (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
4.
4.1. Nach Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Bst. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Bst. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (Art. 118 Abs. 1 Bst. c ZPO).
4.2. Mit Art. 117 ff. ZPO wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in Art. 29 Abs. 3 BV verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt. Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss Art. 29 Abs. 3 BV entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von Art. 117 Bst. b ZPO zu berücksichtigen (BGE 138 III 217 E. 2.2.4 S. 218). Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (BGE 133 III 614 E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels kommt es ferner darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (Urteil 5A_417/2009 vom 31. Juli 2009 E. 2.2 mit Hinweisen). Mithin ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 4A_226/2011 vom 31. Mai 2011 E. 3.2). Bei alledem ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (BGE 124 I 304 E. 2c S. 307).
5.
5.1. Die Vorinstanz hat erwogen, dass Art. 326 ZPO das Novenrecht für das Beschwerdeverfahren gemäss Art. 319 ff. ZPO regle. Demnach seien neue Anträge, neue Tatsachenbehauptungen und neue Beweismittel unter Vorbehalt besonderer Bestimmungen des Gesetzes ausgeschlossen. Der Ausschluss von Noven gelte gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung auch für Verfahren, die der Untersuchungsmaxime unterstünden. Der Grundsatz, wonach sich die Angelegenheit nach der zur Zeit der Gesuchseinreichung gegebenen tatsächlichen Situation beurteile, werde dadurch nicht in Frage gestellt, denn der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege werde nur formell, nicht aber materiell rechtskräftig, und es könne daher jederzeit ein neues Gesuch gestellt werden, wenn sich die Verhältnisse seit dem ersten Entscheid verändert hätten.
5.2. Der Beschwerdeführer kritisiert diesen Standpunkt. Er macht geltend, dass es ihm bei Abweisung der Beschwerde verwehrt sei, unter dem Titel der unentgeltlichen Rechtspflege die bisher entstandenen Kosten geltend zu machen. Zudem habe die Vorinstanz bereits in Aussicht gestellt, das Beschwerdeverfahren bei Nichtbezahlen des Kostenvorschusses kostenpflichtig abzuschreiben. Die Vorinstanz verletze willkürlich die Untersuchungsmaxime. In Berücksichtigung von Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 29a BV, sowie Art. 30 Abs. 1 BV hätte die Vorinstanz alle Tatsachen, Vorbringen und Beweismittel berücksichtigen müssen, welche bis zur Urteilsberatung vorgetragen würden.
5.3. Wie die ZPO das Verhältnis von Novenverbot und Untersuchungsmaxime genau geregelt hat, braucht vorliegend nicht geprüft zu werden. Der Beschwerdeführer kann nämlich zum vorneherein nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen (E. 3). Diesbezüglich ist festzustellen, dass er auch nicht ansatzweise dartut, welche Nachteile ihm daraus entstanden sind, dass die Vorinstanz das Novenrecht in der kritisierten Art und Weise gehandhabt hat. Die Auflistung vermeintlich verletzter Verfassungsbestimmungen genügt nicht, um eine Verfassungsverletzung in einer dem Rügeprinzip entsprechenden Art und Weise darzutun.
6.
6.1. Umstritten ist, ob die Vorinstanz die Beschwerde als aussichtslos bezeichnen durfte und - in diesem Zusammenhang - ob B.A._ vor dem Entzug der elterlichen Sorge (erneut) anzuhören bzw. zu begutachten gewesen wäre. Die Vorinstanz verweist auf Art. 314a Abs. 1 ZGB. Danach sei ein Kind persönlich anzuhören, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen würden. Im konkreten Fall habe die langjährige Therapeutin von B.A._ von einer erneuten Befragung und Begutachtung mit Hinweis auf deren psychische Belastung abgeraten. Auch die KESB U._ habe sich im Rahmen der Helfersitzung vom 10. Juni 2013 mit dieser Frage auseinandergesetzt und sei zum Schluss gekommen, dass auf eine erneute Befragung und Begutachtung von B.A._ verzichtet werden könne. Aufgrund dieser eindeutigen Vorbehalte der Fachpersonen sei es nicht zu beanstanden, wenn derzeit sowohl auf die Anhörung als auch die Begutachtung von B.A._ verzichtet worden sei, zumal das Kindeswohl an oberster Stelle stehe und insbesondere den Interessen der Eltern klar vorgehe.
In Bezug auf die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers wies die Vorinstanz darauf hin, dass der Beschwerdeführer am 12. März 2005 [recte: 11. September 2008] der mehrfachen sexuellen Handlung und mehrfachen Schändung seiner Tochter schuldig gesprochen worden sei. Dieses Urteil sei später vom Bundesgericht bestätigt worden (Urteil 6B_793/2010 vom 14. April 2011). Die vom Beschwerdeführer an seiner Tochter begangenen Taten seien schwerwiegend und würden vom Anwalt des Beschwerdeführers in unzulässiger Weise bagatellisiert. B.A._ sei im Zeitpunkt der Tatbegehung ein zwei bis vier Jahre altes Kleinkind gewesen. Sie sei dem Vater schutzlos ausgeliefert gewesen und habe aufgrund des kindlichen Alters auch keine Möglichkeit gehabt, sich gegen den Vater zu wehren oder dessen Verhalten einzuordnen. Die Taten hätten sich im Haus der Familie, dem Ort, der gewöhnlich für Schutz und Geborgenheit stehe, ereignet. Das Fehlverhalten des Beschwerdeführers gegenüber seinem Kind, welchem er Schutz und Sicherheit bieten müsste, wögen so schwer, dass der Gedanke, das Kind derzeit in dessen Obhut zurückzugeben und unter seiner elterlichen Sorge zu belassen, unverständlich erscheine. Dass die Taten mehrere Jahre zurücklägen, vermöge daran nichts zu ändern. Dies gelte umso mehr, als der Beschwerdeführer die Taten nach wie vor leugne. Eine spezifische Therapie erscheine unter diesem Gesichtspunkt als unmöglich. Auch aus dem Therapiebericht von Dr. med. D._ vom 19. November 2013 könne zugunsten des Beschwerdeführers für das vorliegende Verfahren nichts abgeleitet werden. Die Wahrscheinlichkeit für weitere Delikte im Sinne der bisher gezeigten Delinquenz werde zwar als zurückgegangen eingestuft. Allerdings werde auch betont, dass sich die Frage stelle, wie weit mit der aktuell laufenden Therapie noch eine weitere Verbesserung der Legalprognose zu erreichen sei. Im Vordergrund stehe auch hier die Perspektive des Kindes. Es sei aufgrund des Gesagten nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz aufgrund des schwerwiegenden Fehlverhaltens des Beschwerdeführers auf dessen Erziehungsunfähigkeit schliesse.
Auch aus dem Umstand, dass zwischen der Fremdplatzierung und dem Entzug der elterlichen Sorge einige Jahre liegen, könne der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten: Im Kindesschutz gelte der Grundsatz der Proportionalität. Es solle die im Einzelfall mildeste Erfolg versprechende Massnahme angeordnet werden. Der Entzug der elterlichen Sorge stelle die ultima ratio dar. Indem die Vormundschaftsbehörde V._ zuerst die Obhut entzogen und beobachtet habe, ob diese Massnahme ausreiche, sei sie diesem Grundsatz nachgekommen. Hierzu sei festzuhalten, dass allfällige formelle Unzulänglichkeiten nicht dazu führen dürfen, die Kindesinteressen und das Kindeswohl in den Hintergrund zu drängen.
Die Verwaltungsrekurskommission habe auch in Bezug auf das Kontaktverbot die Aussichtslosigkeit der Beschwerde festgestellt: Sie habe festgehalten, B.A._ habe zu entscheiden, ob und wann sie mit dem Vater Kontakt haben möchte. Diese Beurteilung erscheine angesichts der erheblichen Verfehlung des Vaters und insbesondere der Empfehlungen der Therapeutin plausibel. Gerade auch das Verhalten und die Prozessführung des Vaters im vorliegenden Verfahren zeigten, dass er einzig seine Interessen im Auge habe, ohne Rücksicht auf B.A._ vorgehe und das Geschehene bagatellisiere. So sei beispielsweise der ohne jede Einschränkung (und ohne Hinweis auf eine Übergangsfrist) gestellte Hauptantrag betreffend Erteilung von elterlicher Sorge und Obhut an den Vater völlig unverständlich und zeuge von einem eigenartigen Verständnis des Kindeswohls. Selbst wenn dieses Ziel als denkbar erachtet würde, bräuchte es offensichtlich vorerst eine behutsame Wiederannäherung. In diesem Zusammenhang hätten auch die sehr vielen formellen Einwendungen in Berücksichtigung des Kindeswohls und angesichts des Hauptvorwurfes an die Adresse des Vaters keine eigenständige Bedeutung. Die ganze Prozessführung zeuge von wenig Sensibilität gegenüber B.A._ und bestätige damit die Vorbehalte gegenüber dem Beschwerdeführer.
Selbstverständlich sollten damit nicht für alle Zeiten die Brücken zwischen Kind und Vater abgebrochen werden, es habe aber dabei zu bleiben, dass in diesem Zusammenhang die Initiative von der Tochter komme müsste. B.A._ habe ihren Vater seit mehreren Jahren nicht mehr gesehen. Eine allfällige Annäherung habe behutsam und unter enger Begleitung der involvierten Fachpersonen zu erfolgen. Auch wenn der Beschwerdeführer in seinen Eingaben stets behaupte, B.A._ wünsche den Kontakt zu ihm und habe den Wunsch bei den Eltern zu leben, so finde sich in den Akten kein Hinweis, der diese Behauptung unterstütze. B.A._ sei fast 12 Jahre alt und in Bezug auf das Besuchs- und Kontaktrecht urteilsfähig.
6.2. Der Beschwerdeführer begründet in weitschweifiger Weise (vgl. E. 2), weshalb der Entscheid der KESB falsch sei und er diesen deshalb mit Grund bei der Verwaltungsrekurskommission angefochten habe. Darauf ist nur insofern einzutreten, als er damit darzulegen versucht, dass seine Beschwerde nicht als aussichtslos bezeichnet werden kann. Dies gelingt ihm nicht. Vielmehr sind die Erwägungen der Vorinstanz in jeder Hinsicht nachvollziehbar: Der Beschwerdeführer hat sich an seiner Tochter vergangen und ist dafür mit einer mehrjährigen Freiheitsstrafe bestraft worden. Auch wenn er damit nicht ex lege das Sorgerecht verloren hat, hat sich der Beschwerdeführer durch sein Verhalten als Vater disqualifiziert. Er musste in der Folge damit rechnen, dass die vormalige Vormundschaftsbehörde und heutige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, ihm gestützt auf Art. 311 Abs. 1 ZGB die elterliche Sorge entziehen würde, um so jeder weiteren Traumatisierung und Gefährdung der Tochter zuvorzukommen. Daran ändert nichts, dass sich die Behörde bis zu ihrem definitiven Entscheid sehr viel Zeit liess. Ebensowenig ist von Belang, dass der Beschwerdeführer nicht einsichtig ist. Er kann von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde nicht erwarten, dass sie den vom Strafrichter verbindlich festgestellten Sachverhalt einer erneuten Prüfung unterzieht.
Fehl geht der Beschwerdeführer auch, wenn er meint, dass die Vorinstanz gehalten gewesen wäre, einen differenzierteren Entscheid in Bezug auf die Aussichtslosigkeit seiner ganz unterschiedlichen Rechtsbegehren zu fällen. Es ist mit anderen Worten nicht zu beanstanden, dass sich die Vorinstanz bezüglich ihrer Prozessprognose auf den umstrittenen Sorgerechtsentzug konzentrierte. Es ist im Übrigen keineswegs so, dass die Vorinstanz die weniger weit reichenden Anliegen des Beschwerdeführers, wie beispielsweise seinen Wunsch nach einem begleiteten Kontakt, ausser Acht gelassen hätte. Vielmehr hielt sie auch seine diesbezüglichen Anträge so lange für aussichtslos, als sich B.A._ keinen Kontakt zu ihm wünsche. Vor diesem Hintergrund geht die Kritik des Beschwerdeführers ins Leere, wonach die Vorinstanz ihren Entscheid nicht ausreichend begründet hätte. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers ist nicht auszumachen.
Der Beschwerdeführer irrt schliesslich, wenn er seiner Beschwerde deshalb Erfolgschancen einräumt, weil ihm im Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt worden ist. Die beiden Verfahren sind strikte voneinander zu trennen. Während es im Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde darum gegangen ist, ob dem Beschwerdeführer die elterliche Sorge entzogen werden kann, besteht die Aufgabe der Verwaltungsrekurskommission darin, diesen Entscheid gerichtlich zu überprüfen. Dieser Unterschied macht den Weg frei, die Prozessaussichten unterschiedlich zu beurteilen. Von Willkür kann keine Rede sein und auch nicht von einem Entscheid, der in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen würde. Schliesslich begründet die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege im Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde keine Vertrauensposition (Art. 5 Abs. 3 BV), die dazu führen würde, dass danach auch die Rechtsmittelinstanz unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren hätte. Ebensowenig kann der Beschwerdeführer etwas daraus ableiten, dass die Verwaltungsrekurskommission seiner Ehefrau die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat. Das Rechtsgleichheitsgebot (Art. 8 BV) wird dadurch nicht verletzt. Es ist kein Rechtsmissbrauch ersichtlich.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer stellt in Bezug auf das kantonale Verfahren diverse Eventualbegehren (s. Sachverhalt Bst. C). Wie weit diese selbständigen Gehalt aufweisen, d.h. auch bei Abweisung des Hauptantrags Bestand haben, kann offen bleiben. So oder so ist der Beschwerde auch bezüglich dieser Eventualbegehren nur dann Erfolg beschieden, wenn dem Beschwerdeführer der Nachweis der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gelingt. Konkret müsste der Beschwerdeführer beispielsweise aufzeigen, inwiefern es willkürlich war, dass die Verwaltungsrekurskommission von ihm einen Kostenvorschuss verlangte (Art. 96 Abs. 1 VRP), nachdem sie sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen hatte. Diesen Nachweis führt der Beschwerdeführer nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Weise (E. 3). Einfach auf seine Mittellosigkeit zu verweisen und zu behaupten, dass das Einfordern eines Kostenvorschusses im vorliegenden Fall Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 29a BV, Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletze, genügt nicht.
7.2. Das Gleiche gilt für den Vorwurf des Beschwerdeführers, dass ihm die Vorinstanz zu Unrecht Verfahrenskosten auferlegt und ihn trotz teilweise Obsiegens nicht angemessen entschädigt habe. Auch damit ist noch keine Verletzung der Verfassung dargetan. Geradezu trölerisch mutet es schliesslich an, wenn der Beschwerdeführer der Vorinstanz Rechtsverweigerung vorwirft, weil sie gemäss Dispositiv das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, über den Antrag auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung sowie über den Antrag betreffend Verzicht auf Erhebung von Kosten bzw. Erlass von Kosten gar nicht entschieden habe.
8.
Auch wenn ein gewisses Verständnis dafür besteht, dass sich ein Vater mit allen zur Verfügung stehenden (Rechts-) Mitteln gegen den Entzug der elterlichen Sorge zur Wehr setzt, ist der Entscheid der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Die Chancen sind im konkreten Fall als äusserst gering zu bezeichnen, dass die Verwaltungsrekurskommission den Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde in Sachen des Entzugs der elterlichen Sorge umstossen könnte. Anders als dem Strafprozess (Art. 130 StPO) ist dem Zivilprozess das Institut der notwendigen Verteidigung fremd bzw. es existiert nur bei Unvermögen einer Partei (Art. 69 ZPO). Davon kann im vorliegenden Fall, in dem der Beschwerdeführer in der Lage war, einen Anwalt mit der Interessenwahrung zu beauftragen, erklärtermassen keine Rede sein.
9.
Zusammengefasst muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Es bleibt damit beim vorinstanzlichen Urteil, worin die Verwaltungsrekurskommission aufgefordert wird, dem Beschwerdeführer eine neue Frist für das Leisten eines Kostenvorschusses zu setzen. Im bundesgerichtlichen Verfahren wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im kantonalen Verfahren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; betreffend Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren: BGE 139 III 396 E. 1.2 S. 397, E. 2.4 S. 399). Die vorstehenden Erwägungen verdeutlichen, dass die gestellten Rechtsbegehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten. Mit Rücksicht auf die finanziellen Verhältnisse auf Seiten des Beschwerdeführers wird auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise verzichtet (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, und C.A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann