Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a Am 21. Oktober 2002 stellte K._ (geb. 1940) Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 20. November 2002 verneinte die Kantonale Arbeitslosenkasse von St. Gallen die Anspruchsberechtigung ab 21. Oktober 2002 wegen Nichterfüllung der Beitragszeit und Fehlen eines Befreiungsgrundes. Die Kasse anerkannte eine Beitragszeit von 5,820 Monaten, herrührend aus den Arbeitsverhältnissen vom 13. Mai bis 19. September 2002 mit 4,353 Monaten (Bademeisterin für die Gemeinde X._) und vom 1. Januar bis 14. Februar 2001 mit 1,467 Monaten (Curling-Trainerin für den Kur- und Verkehrsverein Y._). Mit Schreiben vom 3. Dezember 2002 reichte K._ eine zusätzliche Arbeitgeberbescheinigung ein. Nach der Überprüfung der geleisteten Arbeitsstunden beim Amt für Personal und Organisation Q._ (nachfolgend: Amt für Personal und Organisation) hielt die Kasse mit schriftlicher Mitteilung vom 20. Dezember 2002 an der Verfügung fest.
A.b Mit Eingabe vom 14. April 2003 ersuchte K._ um rückwirkende Neuberechnung der Beitragszeiten aufgrund der von der Gemeinde X._ ausgestellten Bestätigung betreffend Entlöhnung geleisteter Arbeitsstunden in der Zeit vom 23. bis 30. September 2002. Die Kasse überwies den Fall an das Amt für Arbeit des Kantons St. Gallen. Dieses lehnte das Revisionsgesuch am 11. Juni 2003 mit der Begründung ab, die Tatsache eines weiteren Arbeitsverhältnisses sei der Versicherten zum Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 20. November 2002 bereits bekannt gewesen. Daran hielt es auf Einsprache hin mit Entscheid vom 20. August 2003 fest.
A.b Mit Eingabe vom 14. April 2003 ersuchte K._ um rückwirkende Neuberechnung der Beitragszeiten aufgrund der von der Gemeinde X._ ausgestellten Bestätigung betreffend Entlöhnung geleisteter Arbeitsstunden in der Zeit vom 23. bis 30. September 2002. Die Kasse überwies den Fall an das Amt für Arbeit des Kantons St. Gallen. Dieses lehnte das Revisionsgesuch am 11. Juni 2003 mit der Begründung ab, die Tatsache eines weiteren Arbeitsverhältnisses sei der Versicherten zum Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 20. November 2002 bereits bekannt gewesen. Daran hielt es auf Einsprache hin mit Entscheid vom 20. August 2003 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es bejahte einen Revisionsgrund und wies die Sache zur Neuberechnung der Beitragszeit unter Berücksichtigung des zusätzlichen Arbeitsverhältnisses an das Amt für Arbeit zurück (Entscheid vom 9. Juni 2004).
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es bejahte einen Revisionsgrund und wies die Sache zur Neuberechnung der Beitragszeit unter Berücksichtigung des zusätzlichen Arbeitsverhältnisses an das Amt für Arbeit zurück (Entscheid vom 9. Juni 2004).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt das Amt für Arbeit, der Entscheid des kantonalen Gerichts sei aufzuheben.
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. K._ sowie das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Anfechtungsgegenstand ist der kantonale Gerichtsentscheid vom 9. Juni 2004. Darin hat die Vorinstanz in Anwendung von Art. 53 Abs. 1 ATSG befunden, die von der Gemeinde X._ als Arbeitgeberin der Beschwerdegegnerin am 10. April 2003 ausgestellte Bestätigung betreffend Entlöhnung der vom 23. bis 30. September 2002 geleisteten Arbeitsstunden (Aufräumarbeiten der Sommersaison 2002) sei eine prozessualrevisionsrechtlich erhebliche Tatsache, welche zur Aufhebung der unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Ablehnungsverfügung der Arbeitslosenkasse vom 20. November 2002 führe. In jenem Verwaltungsakt hatte die Kasse, nach getroffenen Abklärungen, entschieden, der Beschwerdegegnerin könne für die am 21. Oktober 2002 eröffnete Rahmenfrist für den Leistungsbezug gemäss Art. 9 Abs. 2 AVIG keine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet werden, weil sie sich nicht über eine sechsmonatige beitragspflichtige Beschäftigung im Sinne der (bis 30. Juni 2003 intertemporalrechtlich) anwendbaren Fassung des Art. 13 Abs. 1 AVIG (AS 1996 273 293, 2003 1730 1753) auszuweisen vermöge. Diese betrage aus den Arbeitsverhältnissen vom 13. Mai bis 19. September 2002 als Bademeisterin (für die Gemeinde X._) und dem Einsatz als Curling-Trainerin vom 1. Januar bis 14. Februar 2001 (für den Kur- und Verkehrsverein Y._) insgesamt nur 5,820 Monate (4,353 + 1,467). Obwohl der Versicherten bei Verfügungserlass bekannt gewesen war, dass sie effektiv bis 30. September 2002 noch für die Gemeinde X._ Arbeiten der Nachsaison 2002 verrichtet hatte, bejahte das kantonale Gericht das Erfordernis einer in unverschuldeter Weise nicht rechtzeitig ins ordentliche Beschwerdeverfahren beibringbaren Tatsache, und zwar deswegen, weil sich die Versicherte bezüglich der Entlöhnung dieser Arbeitsstunden in einem Irrtum befunden habe. Noch mit Schreiben vom 14. Februar 2003 - und somit nach Ablauf der Rechtsmittelfrist gegen die Verfügung vom 20. November 2002 - habe die Gemeinde X._ bestritten, dass sie die vom 23. bis 30. September 2002 geleisteten Arbeitsstunden bezahlen werde. Daher wies das kantonale Gericht die Sache zur "revisionsweisen Neuberechnung der Beitragszeit" an die Verwaltung zurück.
1.2 Das Beschwerde führende Amt für Arbeit bestreitet diese Erwägungen mit dem Argument, die vorinstanzliche Betrachtungsweise habe zur Folge, dass jede mangelhafte Deklaration einer versicherten Person ein Revisionsverfahren von Amtes wegen nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nach sich ziehe, was weder Wortlaut noch Sinn des Gesetzes (Art. 53 Abs. 1 ATSG) entspreche. Auch eine Revision auf Antrag der Beschwerdegegnerin falle nicht in Betracht, weil die für die Beitragszeit entscheidende Frage nicht jene nach der Entgeltlichkeit, sondern nach dem Bestehen eines Arbeitsverhältnisses als solchem gewesen sei, welche die Versicherte von Anfang an und ohne weiteres richtig hätte beantworten können. Auf Rechtsirrtum könne sie sich nicht berufen.
1.2 Das Beschwerde führende Amt für Arbeit bestreitet diese Erwägungen mit dem Argument, die vorinstanzliche Betrachtungsweise habe zur Folge, dass jede mangelhafte Deklaration einer versicherten Person ein Revisionsverfahren von Amtes wegen nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nach sich ziehe, was weder Wortlaut noch Sinn des Gesetzes (Art. 53 Abs. 1 ATSG) entspreche. Auch eine Revision auf Antrag der Beschwerdegegnerin falle nicht in Betracht, weil die für die Beitragszeit entscheidende Frage nicht jene nach der Entgeltlichkeit, sondern nach dem Bestehen eines Arbeitsverhältnisses als solchem gewesen sei, welche die Versicherte von Anfang an und ohne weiteres richtig hätte beantworten können. Auf Rechtsirrtum könne sie sich nicht berufen.
2. 2.1 Der Untersuchungsgrundsatz, welcher auch im Rahmen von Art. 104/105 Abs. 2 OG gilt (BGE 97 V 136 Erw. 1), besagt, dass Verwaltung und Gerichte von sich aus für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen haben. Das Prinzip der Rechtsanwendung von Amtes wegen verpflichtet den Richter, auf den festgestellten Sachverhalt jenen Rechtssatz anzuwenden, den er als den zutreffenden ansieht, und ihm auch die Auslegung zu geben, von der er überzeugt ist (BGE 110 V 52 f. Erw. 4a mit Hinweisen; vgl. BGE 116 V 26 f. Erw. 3c). Das Eidgenössische Versicherungsgericht kann deshalb eine Beschwerde aus anderen Gründen schützen als in der Beschwerdebegründung vorgetragen und umgekehrt den angefochtenen Entscheid auch mit rechtlichen Erwägungen bestätigen, die von denjenigen der Vorinstanz abweichen (BGE 125 V 500 Erw. 1 mit Hinweisen; in BGE 130 V 309 nicht publizierte, aber in SVR 2004 ALV Nr. 10 S. 28 veröffentlichte Erw. 3.1 des Urteils C 225/03).
2. 2.1 Der Untersuchungsgrundsatz, welcher auch im Rahmen von Art. 104/105 Abs. 2 OG gilt (BGE 97 V 136 Erw. 1), besagt, dass Verwaltung und Gerichte von sich aus für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen haben. Das Prinzip der Rechtsanwendung von Amtes wegen verpflichtet den Richter, auf den festgestellten Sachverhalt jenen Rechtssatz anzuwenden, den er als den zutreffenden ansieht, und ihm auch die Auslegung zu geben, von der er überzeugt ist (BGE 110 V 52 f. Erw. 4a mit Hinweisen; vgl. BGE 116 V 26 f. Erw. 3c). Das Eidgenössische Versicherungsgericht kann deshalb eine Beschwerde aus anderen Gründen schützen als in der Beschwerdebegründung vorgetragen und umgekehrt den angefochtenen Entscheid auch mit rechtlichen Erwägungen bestätigen, die von denjenigen der Vorinstanz abweichen (BGE 125 V 500 Erw. 1 mit Hinweisen; in BGE 130 V 309 nicht publizierte, aber in SVR 2004 ALV Nr. 10 S. 28 veröffentlichte Erw. 3.1 des Urteils C 225/03).
2.2 2.2.1 Die Frage, ob der Standpunkt des kantonalen Gerichts oder derjenige des Beschwerdeführers bundesrechtsmässig (Art. 104 lit. a OG) sei, kann offen bleiben. Denn - obwohl von keiner Seite aufgeworfen - enthält das Dossier schlüssige Anhaltspunkte für die Annahme, dass der Kassenakt vom 20. November 2002 nicht in Rechtskraft erwachsen konnte, was nach dem in Erw. 2.1 Gesagtem von Amtes wegen zu prüfen ist.
2.2.2 Aus den Akten ist ersichtlich, dass der Beschwerdegegnerin am 21. Oktober 2002 eine Rahmenfrist für den Leistungsbezug eröffnet wurde. Für den Nachweis der Beitragszeit führt dies kraft Gesetz zur Festlegung der zweijährigen Rahmenfrist, welche in diesem Fall vom 21. Oktober 2000 bis 20. Oktober 2002 dauert (Art. 9 Abs. 3 AVIG). Aus der beim Amt für Personal und Organisation vom 19. Dezember 2002 eingeholten präzisierten Auskunft in Verbindung mit den schon am 5. Dezember 2002 beigezogenen Lohnkontoauszügen geht hervor, dass die Versicherte tatsächlich im November 2000 Arbeit im Hallenbad des Schulzentrums Z._ verrichtete. Nun ist zu beachten, dass sie am 3. Dezember 2002 (Eingang bei der Kasse am 5. Dezember 2002), somit während der Rechtsmittelfrist, auf Anraten des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV), der Kasse eine Arbeitgeberbescheinigung und die Kopie des Anstellungsvertrages bis 31. Dezember 2001 einreichte, woraus erkennbar ist, dass sie "eine Stelle als Aushilfsbadmeister" innehatte. Ob es sich bei diesen erwähnten Unterlagen um die Anstellung beim Amt für Personal und Organisation handelt, ist zwar nicht mit letzter Sicherheit bewiesen, jedoch nicht entscheidend. Ausschlaggebend ist vielmehr, dass die Arbeitslosenkasse der Versicherten - welche sich in Anbetracht ihres Schreibens vom 3. Dezember 2002 offensichtlich mit der Ablehnung nicht zufrieden geben wollte, sondern weitere Beitragszeiten geltend machte - am 20. Dezember 2002 schriftlich mitteilte, dass aufgrund der Informationen des Amtes für Personal und Organisation sie (die Versicherte) in den Jahren 2001 und 2002 keine Stunden mehr geleistet habe, weshalb die Kasse an ihrer Verfügung festhalte. Mit diesem Schreiben hat die Arbeitslosenkasse - aus welchen Gründen auch immer - verschwiegen, dass ihr das Amt für Personal und Organisation auf Rückfrage hin zudem ausdrücklich bestätigt hatte, dass die Auszahlung im Dezember 2000 die Stunden im November 2000 betreffen würden. Es geht nicht an, bei äusserst knapper Nichterfüllung der damals erforderlichen mindestens sechsmonatigen beitragspflichtigen Beschäftigung, diese im November 2000 und damit in der Rahmenfrist für den Nachweis der Beitragszeit liegende stundenweise Arbeit der Beschwerdegegnerin mit Stillschweigen zu übergehen. Darin liegt einerseits eine klare Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und andererseits aufgrund der konkreten Situation (erkennbarer Beschwerdewille der Versicherten) eine Verletzung von Treu und Glauben im Verfahren, dessen Prinzip die Beziehungen zwischen Verwaltung und Bürger prägt und insbesondere auch im Sozialversicherungsrecht gilt. Aus dem Grundsatz von Treu und Glauben fliessen u.a. das Verbot widerspruchsvollen oder rechtsmissbräuchlichen Handelns und das Vertrauensschutzprinzip. Daraus folgt, dass das Verhalten (Willenserklärungen, faktische Handlungsweisen, Stillschweigen) desjenigen, welcher von einem Sozialversicherer Leistungen beansprucht, so aufzufassen ist, wie sie dieser in guten Treuen verstehen durfte und musste (BGE 108 V 88 Erw. 3a mit Hinweisen). Die Versicherte konnte aufgrund des Antwortschreibens vom 20. Dezember 2002 darauf vertrauen, dass ihr keine weiteren Arbeitszeiten angerechnet werden, weshalb sie zusätzliche Arbeitgeberbescheinigungen an die Kasse einreichte, anstatt eine Beschwerde zu erheben. Wäre sie aber darüber informiert worden, dass der Arbeitgeber die im November 2000 geleisteten Arbeitsstunden bestätigte, hätte die Versicherte sich beschwerdeweise gegen die Ablehnung ihres Anspruches zur Wehr gesetzt.
2.3 Davon abgesehen hätte die Arbeitslosenkasse grundsätzlich nicht in der Art, wie sie es getan hat, auf das Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 3. Dezember 2002, in welchem sie weitere Beitragszeiten geltend machte, eingehen dürfen. Denn aus dem von Treu und Glauben abgeleitete Vertrauensgrundsatz folgt, dass der Verzicht oder Verlust prozessualer Befugnisse des Bürgers unbeachtlich bleiben, wenn er durch vertrauenerweckendes Verhalten einer Verwaltungsbehörde verursacht worden ist (unveröffentlichtes Urteil Z. vom 29. August 1994, C 179/93, Erw. 1b mit Hinweisen). Indem die Kasse nach dem Erhalt des Schreibens vom 3. Dezember 2002 der Versicherten am 20. Dezember 2002 schriftlich mitteilte, dass sie aufgrund der Informationen des Amtes für Personal und Organisation an ihrer Verfügung festhalte, erweckte sie bei der Beschwerdegegnerin den berechtigten Eindruck, dass weitere Arbeitgeberbescheinigungen eingereicht werden können. Aus den Akten geht hervor, dass die Versicherte dies am 24. Januar 2003 denn auch getan hat, worauf die Arbeitslosenkasse wieder nach erfolgten Abklärungen an der Verfügung festhielt und die Versicherte darüber telefonisch informierte. Am 14. April 2003 stellte die Beschwerdegegnerin nochmals eine Bestätigung betreffend Entlöhnung der vom 23. bis 30. September 2002 geleisteten Arbeitsstunden bei der Gemeinde X._ der Kasse zu. Diese Arbeitgeberbescheinigung wurde dann als Revisionsgesuch an das Amt für Arbeit überwiesen und führte zum Entscheid vom 11. Juni 2003. Die Arbeitslosenkasse wäre verpflichtet gewesen, nach dem eingereichten Schreiben vom 3. Dezember 2002 entweder die Verfügung vom 20. November 2002 vor Ablauf der Rechtsmittelfrist zurückzunehmen, um einen neuen Verwaltungsakt zu erlassen (vgl. BGE 107 V 192 Erw. 1) oder aber die Versicherte darauf aufmerksam zu machen, dass nur mittels Beschwerde ans Gericht (seit dem am 1. Januar 2003 in Kraft getretenen ATSG durch Einsprache bei der verfügenden Stelle) der Einwand zusätzlicher Arbeitszeiten behandelt werden kann, da ansonsten die Gefahr besteht, dass die Beschwerdefrist unbenutzt abläuft, was vorliegend auch geschehen ist.
2.3 Davon abgesehen hätte die Arbeitslosenkasse grundsätzlich nicht in der Art, wie sie es getan hat, auf das Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 3. Dezember 2002, in welchem sie weitere Beitragszeiten geltend machte, eingehen dürfen. Denn aus dem von Treu und Glauben abgeleitete Vertrauensgrundsatz folgt, dass der Verzicht oder Verlust prozessualer Befugnisse des Bürgers unbeachtlich bleiben, wenn er durch vertrauenerweckendes Verhalten einer Verwaltungsbehörde verursacht worden ist (unveröffentlichtes Urteil Z. vom 29. August 1994, C 179/93, Erw. 1b mit Hinweisen). Indem die Kasse nach dem Erhalt des Schreibens vom 3. Dezember 2002 der Versicherten am 20. Dezember 2002 schriftlich mitteilte, dass sie aufgrund der Informationen des Amtes für Personal und Organisation an ihrer Verfügung festhalte, erweckte sie bei der Beschwerdegegnerin den berechtigten Eindruck, dass weitere Arbeitgeberbescheinigungen eingereicht werden können. Aus den Akten geht hervor, dass die Versicherte dies am 24. Januar 2003 denn auch getan hat, worauf die Arbeitslosenkasse wieder nach erfolgten Abklärungen an der Verfügung festhielt und die Versicherte darüber telefonisch informierte. Am 14. April 2003 stellte die Beschwerdegegnerin nochmals eine Bestätigung betreffend Entlöhnung der vom 23. bis 30. September 2002 geleisteten Arbeitsstunden bei der Gemeinde X._ der Kasse zu. Diese Arbeitgeberbescheinigung wurde dann als Revisionsgesuch an das Amt für Arbeit überwiesen und führte zum Entscheid vom 11. Juni 2003. Die Arbeitslosenkasse wäre verpflichtet gewesen, nach dem eingereichten Schreiben vom 3. Dezember 2002 entweder die Verfügung vom 20. November 2002 vor Ablauf der Rechtsmittelfrist zurückzunehmen, um einen neuen Verwaltungsakt zu erlassen (vgl. BGE 107 V 192 Erw. 1) oder aber die Versicherte darauf aufmerksam zu machen, dass nur mittels Beschwerde ans Gericht (seit dem am 1. Januar 2003 in Kraft getretenen ATSG durch Einsprache bei der verfügenden Stelle) der Einwand zusätzlicher Arbeitszeiten behandelt werden kann, da ansonsten die Gefahr besteht, dass die Beschwerdefrist unbenutzt abläuft, was vorliegend auch geschehen ist.
3. Zusammenfassend ist festzustellen, dass aufgrund der Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und des Prinzips von Treu und Glauben die Ablehnungsverfügung vom 20. November 2002 nicht in Rechtskraft erwachsen konnte. Das führt - da die nachträgliche Bestätigung der Gemeinde X._ die Erfüllung der Beitragszeit unbestrittenerweise ausweist - im Ergebnis zur Bestätigung des kantonalen Gerichtsentscheides.
3. Zusammenfassend ist festzustellen, dass aufgrund der Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und des Prinzips von Treu und Glauben die Ablehnungsverfügung vom 20. November 2002 nicht in Rechtskraft erwachsen konnte. Das führt - da die nachträgliche Bestätigung der Gemeinde X._ die Erfüllung der Beitragszeit unbestrittenerweise ausweist - im Ergebnis zur Bestätigung des kantonalen Gerichtsentscheides.
4. Es geht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen, weshalb von der Auferlegung von Gerichtskosten abzusehen ist (Art. 134 OG).
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Kantonalen Arbeitslosenkasse St. Gallen und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 20. Januar 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: