Sachverhalt:
A. A.a Mit Betreibungsbegehren vom 30. August 2010 leitete Rechtsanwalt X._ sowohl im eigenen Namen wie auch als Bevollmächtigter der Z._ AG beim Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt die Betreibung gegen den Kanton Luzern für eine Forderungssumme von Fr. 293'074.90 nebst Zins zu fünf Prozent seit 14. Februar 2006 ein. Gemäss Begleitschreiben vom 31. August 2010 ist unter den Gläubigern umstritten, ob und wem diese Gesamtforderung ganz oder teilweise zusteht. Dieser Umstand sei aufgrund pendenter Streitfälle gerichtsnotorisch. X._ machte im erwähnten Schreiben weiter geltend, weder das Gesetz noch das Bundesgericht verlange eine schriftliche Vollmacht. Ob eine genügende Bevollmächtigung vorliege, solle der Amtsgerichtspräsident anhand der bisherigen beigelegten Vollmachten und Schreiben und durch telefonische Rückfrage bei der Z._ AG abklären.
A.b Am 1. September 2010 setzte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt X._ eine Frist, um seine Berechtigung zur Vertretung der Z._ AG mittels einer aktuellen Vollmacht nachzuweisen. Ohne fristgerechten Nachweis gehe er davon aus, es bestehe keine Vertretungsbefugnis; diesfalls führe er auf dem Zahlungsbefehl nur X._ als Gläubiger auf.
B. B.a Hierauf erhob X._, wiederum sowohl in eigenem Namen als auch im Namen der Z._ AG, Beschwerde beim Obergericht des Kantons Luzern. Er stellte das Begehren, die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten vom 1. September 2010 betreffend Nachreichung einer schriftlichen aktuellen Vollmacht aufzuheben und den Zahlungsbefehl gemäss Betreibungsbegehren dem Schuldner zuzustellen. Weiter wies er darauf hin, dass er die Beschwerde auch dem Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt zugestellt habe, und ersuchte das Obergericht darum, einen Vorentscheid betreffend die sachliche Zuständigkeit zu fällen. In prozessualer Hinsicht beantragte X._, das Beschwerdeverfahren bis zum Entscheid des Justizdepartements über die Verlängerung des Verjährungsverzichts zu sistieren; eventuell seien unbefangene Oberrichter bzw. Ersatzrichter einzusetzen, welche die Haftung des Kantons noch nicht bestritten hatten. Schliesslich verlangte er, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, die Namen der am Beschwerdeentscheid mitwirkenden Richter seien ihm mitzuteilen und es sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (Eingabe vom 13. September 2010).
B.b Mit Verfügung vom 4. Oktober 2010 teilte Oberrichter Y._ X._ mit, seine Beschwerde werde gemäss Art. 18 SchKG durch die Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts als obere Beschwerdeinstanz beurteilt werden. Der Spruchkörper bestehe aus ihm als Präsident sowie aus Ersatzrichterin S._ und Ersatzrichter T._. X._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme. Er liess sich aber nicht vernehmen.
B.c Am 20. Oktober 2010 erklärte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt die bei ihm in gleicher Sache hängige Beschwerde als erledigt. Die Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts des Kantons Luzern wies die Beschwerde von X._ mit Entscheid vom 23. November 2010 ab.
C. Mit Beschwerde vom 12. Januar 2011 gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt - diesmal ausschliesslich in eigenem Namen -, den Entscheid des Obergerichts vom 23. November 2010 (Bst. B.c), dessen Verfügung vom 4. Oktober 2010 (Bst. B.b) sowie die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten III vom 1. September 2010 (Bst. A.b) aufzuheben. "Das Bundesgericht habe entweder in der Sache selbst zu entscheiden oder eine sachlich zuständige und ... unabhängige kantonale Vorinstanz zu bezeichnen und diese anzuweisen, einen neuen Entscheid in der Sache zu fällen..." Dieser Entscheid sei zu begründen und dem Betreibungsamt A._, der Z._ AG, dem Kanton Luzern und dem Bundesamt für Justiz zu eröffnen. Ebenso sei die Beschwerde diesen Behörden bzw. juristischen Personen sowie der Vorinstanz zur Vernehmlassung zuzustellen. Weiter verlangt der Beschwerdeführer, die Rechtsverzögerung bei der Zustellung des Zahlungsbefehls festzustellen. Sodann sei eine öffentliche mündliche Verhandlung in einer vom Bundesgericht bezeichneten zuständigen unabhängigen Instanz durchzuführen. Vorfrageweise solle das Bundesgericht die Vereinbarkeit von § 5 und § 27 Abs. 3 des luzernischen Einführungsgesetzes zum SchKG mit Bundes- und Bundesverfassungsrecht prüfen. Abteilungsübergreifend sei über weitere Rechtsfragen betreffend die Befangenheit von Richtern, die Rechtsweggarantie in den Kantonen und die Pflicht der Kantone zur Durchführung öffentlicher Gerichtsverhandlungen zu befinden. All diese grundlegenden Rechtsfragen seien vom Bundesgericht öffentlich zu beraten; ebenso die Rechtsfrage, welches Verfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden für die SchKG-Beschwerden nach altem und neuem Recht stattzufinden hatte.
Mit Verfügung vom 1. Februar 2011 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu und verzichtete auf die Erhebung eines Kostenvorschusses.
Es wurden die kantonalen Akten, in der Hauptsache aber keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen). Freilich muss die Eingabe auch bezüglich der Eintretensvoraussetzungen hinreichend begründet sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 134 II 120 E. 1 S. 121).
2. Mit seiner rechtzeitig (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) eingereichten Beschwerde wehrt sich der Beschwerdeführer im Wesentlichen gegen den Entscheid, den die Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts des Kantons Luzern am 23. November 2010 als obere kantonale Aufsichtsbehörde gefällt hat. Hierbei handelt es sich um den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Insofern könnte das Bundesgericht ohne Rücksicht auf die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG) auf die Beschwerde grundsätzlich eintreten. Kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid im Sinne von Art. 75 Abs. 1 BGG ist die erstinstanzliche Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt vom 1. September 2010. Der Antrag, diese Verfügung aufzuheben bzw. deren Nichtigkeit festzustellen, ist unzulässig.
3. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig gegen Endentscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG). Gegen Teilentscheide (Art. 91 BGG) und gegen Vor- und Zwischenentscheide (Art. 92 und 93 BGG) kann hingegen nur unter bestimmten Voraussetzungen Beschwerde in Zivilsachen geführt werden.
3.1 Der angefochtene Entscheid der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts des Kantons Luzern hat den als "Verfahrensverfügung" bezeichneten Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt vom 1. September 2010 zum Gegenstand. In dieser Verfügung setzt der Amtsgerichtspräsident dem Beschwerdeführer eine Frist zur Nachreichung einer aktuellen Vollmacht, "aus der sich ergibt, dass Sie im vorliegenden Betreibungsverfahren gegen den Kanton Luzern berechtigt sind, die Z._ AG zu vertreten." Für den Fall, dass binnen der gesetzten Frist keine entsprechende Vollmacht eingeht, stellt der Amtsgerichtspräsident in Aussicht, mangels Vertretungsbefugnis auf dem auszustellenden Zahlungsbefehl lediglich den Beschwerdeführer als Gläubiger aufzuführen (s. Bst. A.b).
3.2 Ihrer Natur nach ist die Verfahrensverfügung des Amtsgerichtspräsidenten ein Zwischenentscheid über eine formelle Voraussetzung im Verfahren, das die Ausstellung des Zahlungsbefehls für die Z._ AG zum Gegenstand hat. Der vorinstanzliche Entscheid schliesst dieses Verfahren nicht ab. Er erweist sich deshalb seinerseits als Zwischenentscheid (vgl. dazu BGE 134 III 426 E. 1.1 S. 428). Der selbständig eröffnete Zwischenentscheid betrifft weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 92 BGG. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit nur zulässig, wenn der obergerichtliche Entscheid entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (BGE 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633).
3.3 Der Beschwerdeführer äussert sich in seinem Schriftsatz zu einer ganzen Reihe von Gesetzesvorschriften, aufgrund derer das Bundesgericht seiner Ansicht nach seine verschiedenen Rechtsbegehren zu behandeln habe. Er behauptet jedoch an keiner Stelle, der vorinstanzliche Entscheid könne einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken oder die Gutheissung seiner Beschwerde würde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen. Tut der Beschwerdeführer aber überhaupt nicht dar, warum ein selbständig anfechtbarer Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG vorliegt, übersieht er mithin diese Eintretensfrage schlechthin, so kann das Bundesgericht von vornherein nicht auf die Beschwerde eintreten (vgl. BGE 118 II 91 E. 1a S. 92).
Dass der selbständig eröffnete Zwischenentscheid vor Bundesgericht anfechtbar gewesen wäre, liegt im Übrigen auch nicht auf der Hand. Insbesondere ist nicht ohne weiteres ersichtlich, welchen nicht wieder gutzumachenden Nachteil der Beschwerdeführer persönlich durch eine Verfahrensverfügung hätte erleiden können, die nicht die Gültigkeit seines eigenen Betreibungsbegehren betraf, sondern die Gültigkeit des Betreibungsbegehrens der Z._ AG (s. E. 3.2). Denn an das Bundesgericht ist der Beschwerdeführer nicht als Vertreter dieser Gesellschaft, sondern in seinem eigenen Namen gelangt.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn