Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1955) und Z._ (geb. 1977) haben am xxxx 2003 geheiratet. Sie sind die Eltern der Tochter Y._ (geb. xxxx 2003), die sie schlicht Y._ nennen. Ende März zog Z._ aus dem gemeinsamen Haushalt aus.
B. B.a Gestützt auf X._s Eheschutzbegehren vom 2. März 2010 verbot das Gerichtspräsidium 4 von Baden Z._ mit Verfügung vom 4. März 2010 "vorläufig sofort", Y._ über das Wochenende oder über Nacht zu ihrem Freund oder ihrer Freundin zu nehmen. Am 30. März 2010 ordnete das Gerichtspräsidium an, dass Y._ bis zur Verhandlung bzw. bis zum richterlichen Obhutsentscheid in ihrer gewohnten Umgebung beim Vater verbleibe. Anlässlich der Eheschutzverhandlung vom 15. April 2010 errichtete es eine Erziehungsbeistandschaft. Mit Verfügung vom 28. Mai 2010 stellte das Gericht Y._ vorläufig unter die Obhut des Klägers. X._ seinerseits reichte am 31. August 2010 das weitere Begehren ein, Z._ sei zu verpflichten, ihm Beiträge an den ehelichen Unterhalt "rückwirkend auf ein Jahr nach Gesuchseinreichung", das heisst ab 1. März 2009 zu bezahlen.
B.b Am 22. November 2010 fällte das Gerichtspräsidium 4 Baden den Eheschutzentscheid. Soweit vor Bundesgericht noch von Bedeutung, stellte es Y._ für die Dauer der Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes unter die Obhut des Vaters, bestätigte die Errichtung der Erziehungsbeistandschaft und erklärte die Mutter für berechtigt, Y._ jedes zweite Wochenende, von Freitag nach Krippenschluss bis Sonntagabend, 19.00 Uhr, mit sich auf Besuch zu nehmen und mit ihr jährlich drei Wochen Ferien zu verbringen. Weiter verurteilte das Gerichtspräsidium Z._, X._ an Y._s Unterhalt einen Beitrag von "monatlich vorschüssig" Fr. 285.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu zahlen, erstmals per 1. April 2010. Soweit mehr oder anderes verlangt worden sei, würden die entsprechenden Begehren abgewiesen. Schliesslich bewilligte es Z._ die unentgeltliche Rechtspflege.
C. Hierauf ergriff X._ die Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. In seiner Eingabe vom 4. Mai 2011 beantragte er, die Sache "zur Neubeurteilung/Durchführung an die Vorinstanz gemäss meinen Begehren zurückzuweisen"; eventuell habe das Obergericht den Bericht des Kinderarztes und einen Ergänzungsbericht der Beiständin einzuholen und den Parteien Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Weiter sei die Vorinstanz anzuweisen, seine Eingabe vom 31. August 2010 betreffend Festlegung der rückwirkenden Beiträge an den ehelichen Unterhalt (Bst. B.a) zu behandeln bzw. zu entscheiden. Allenfalls seien diese Rechtsbegehren durch das Obergericht zu entscheiden. Das Obergericht wies X._s Beschwerde mit Entscheid vom 15. August 2011 ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 25. September 2011 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) nun an das Bundesgericht. Er verlangt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer Verhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziffer 1); eventuell habe das Bundesgericht das Besuchsrecht für die Tochter Y._ neu festzusetzen, indem Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) die Tochter einmal in der Woche abwechselnd Samstag/Sonntag von 9.00 Uhr - 19.00 Uhr zu sich nehmen darf (Ziffer 2). Sodann habe das Bundesgericht der Beschwerdegegnerin "entsprechende Auflagen bezüglich Handhabung des Besuchsrechtes zu machen, keine negative Beeinflussung, keine Anwesenheit von (wechselnden?) Freunden bzw. Liebhabern in der Wohnung"; das Ferienrecht sei nach Einholung eines Berichts des Kinderspitals A._/Kinderarztes zu beurteilen bzw. festzusetzen (Ziffer 3). Weiter sei das Begehren auf die rückwirkende Ausrichtung des Beitrages an den ehelichen Unterhalt gemäss Begehren vom 31. August 2010 zu entscheiden; eventuell sei die Sache zur Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziffer 4). In der Beschwerdebegründung, die er dem Bundesgericht mit Postaufgabe am 3. Oktober 2011 zukommen liess, verlangte der Beschwerdeführer überdies eine Verhandlung, sofern eine solche im Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht möglich sei (Ziffer 8). Zudem beantragte er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziffer 9).
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit seinen fristgerecht (Art. 100 BGG) eingereichten Schriftsätzen ficht der Beschwerdeführer einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) an, der die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB) betrifft. Wie vor der letzten kantonalen Instanz betrifft diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) auch vor Bundesgericht zum einen das Besuchs- und Ferienrecht und zum andern den Kinderunterhalt. Stehen sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit, so ist die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_127/2009 vom 12. Oktober 2009 E. 1.1). Auf das Rechtsmittel ist somit grundsätzlich einzutreten.
1.2 Nicht zulässig sind vor Bundesgericht jedoch neue Begehren (Art. 99 Abs. 2 BGG), das heisst Begehren, mit denen die Vorinstanz nicht befasst war (BGE 135 I 119 E. 2 S. 121) und die zu einer Ausweitung des Streitgegenstandes führen. Soweit der Beschwerdeführer in Ziffer 3 seiner Anträge vor Bundesgericht erstmals "Auflagen bezüglich Handhabung des Besuchsrechts" verlangt (Bst. D), ist daher auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten.
1.3 Nach der Rechtsprechung unterstehen Eheschutzentscheide der in Art. 98 BGG enthaltenen Vorschrift (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann in der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Die Beschwerde vermag den geschilderten Rügeanforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer begnügt sich grösstenteils damit, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht darzustellen oder blosse Behauptungen aufzustellen, ohne ein konkretes verfassungsmässiges Recht zu bezeichnen und dessen Verletzung darzutun. Dies ist zur Begründung von Verfassungsrügen unzureichend, wobei jeweils im Sachzusammenhang darauf zurückzukommen sein wird.
1.4 Der Beschwerdeführer beantragt eine "Verhandlung" (Bst. D). Er legt jedoch nicht dar, was er genau will. Soweit er die Anordnung einer öffentlichen mündlichen Parteiverhandlung (Art. 57 BGG) verlangt, ist eine solche nicht angezeigt. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist der Entscheid aufgrund der Akten spruchreif. Im Übrigen hat das Gerichtspräsidium Baden am 15. April 2011 eine mündliche (öffentliche) Parteiverhandlung durchgeführt, anlässlich derer der Beschwerdeführer sich zur Sache äussern und seine Rechtsbegehren begründen konnte. Damit ist dem Anspruch auf Durchführung einer Verhandlung nach Art. 6 Abs. 1 EMRK Genüge getan (Urteil 5A_896/2010 vom 11. März 2011 E. 2.2). Aus der zitierten Vorschrift folgt kein Anspruch darauf, vor der gleichen oder vor der höheren Instanz in zusätzlichen Verhandlungen weitere Rechtsbegehren mündlich begründen oder verpasste Erörterungen nachholen zu können. Dass sich ein solcher Anspruch aus der aargauischen Kantonsverfassung ergäbe, tut der Beschwerdeführer jedenfalls nicht in einer Weise dar, die den Anforderungen des Rügeprinzips (E. 1.3) genügt.
Auch eine mündliche Einvernahme im Sinne einer Beweismassnahme ordnet das Bundesgericht grundsätzlich nicht an, ebenso wenig die vom Beschwerdeführer verlangte Einholung eines Berichts des Kinderspitals A._ bzw. eines Kinderarztes (Bst. D). Denn soweit die Hauptsache betreffend führt das Bundesgericht kein Beweisverfahren durch, sondern entscheidet gestützt auf den Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2. Der vorliegende Streit dreht sich zum einen um das Begehren vom 31. August 2010 betreffend die rückwirkende Ausrichtung des Unterhaltsbeitrages (s. Bst. B.a).
2.1 In diesem Zusammenhang hat das Obergericht zweierlei erkannt: Erstens befand es, wenn der Beschwerdeführer der Auffassung sei, dass ihm der eingeklagte Unterhaltsanspruch zustehe, hätte er sich - nachdem die erste Instanz sein Begehren vom 31. August 2010 abgewiesen hat (s. Bst. B.b) - im Verfahren vor dem Obergericht nicht mit einem Rückweisungsantrag begnügen dürfen, sondern einen materiellen Antrag stellen, das heisst dartun müssen, "wie anders (als im Sinne einer Abweisung) zu entscheiden sei". Da er dies nicht getan habe, sei auf das Rechtsmittel insofern nicht einzutreten. Zweitens erwog das Obergericht unter Hinweis auf die anwendbare kantonale Zivilprozessordnung, schon das Gerichtspräsidium Baden hätte auf das besagte Begehren vom 31. August 2010 gar nicht eintreten dürfen, weil der Beschwerdeführer den geltend gemachten Anspruch auf eine Geldleistung nicht beziffert habe; entsprechend sei der erstinstanzliche Urteilsspruch von Amtes wegen neu zu fassen.
2.2 Der Beschwerdeführer erhebt nur mit Bezug auf das zuletzt wiedergegebene vorinstanzliche Erkenntnis konkrete Verfassungsrügen, wie sie im vorliegenden Verfahren einzig zulässig sind (E. 1.3). Er wirft dem Obergericht vor, es begehe einen überspitzten Formalismus und verweigere ihm das rechtliche Gehör und eine "faire Behandlung", wenn es annehme, er hätte das Begehren vom 31. August 2010 beziffern müssen. Eine Bezifferung sei gar nicht möglich gewesen, weil ihm die Beschwerdegegnerin keinerlei Auskünfte über ihr Einkommen und Vermögen in der Schweiz oder in Thailand erteilt habe.
Diese Vorbringen gehen an der Sache vorbei. Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Daher steht vor Bundesgericht gar nicht zur Debatte, ob der Beschwerdeführer sein Begehren an das Gerichtspräsidium vom 31. August 2010 hätte beziffern müssen (oder können), denn diese Frage betrifft das erstinstanzliche Verfahren. Aufwerfen liesse sich allenfalls die - ganz andere - Frage, ob das Obergericht Ziffer 8 des Urteilsspruches des Gerichtspräsidiums im beschriebenen Sinne überhaupt von Amtes wegen berichtigen durfte, nachdem es diesbezüglich auf das Rechtsmittel gar nicht eintrat. Dass das Obergericht mit diesem Vorgehen verfassungsmässige Rechte verletzt hätte, macht der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich.
2.3 Mit Bezug auf den Antrag, das Bundesgericht habe das Begehren vom 31. August 2010 "zu entscheiden" oder die Sache eventuell zur Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Bst. D), gilt auch vor Bundesgericht sinngemäss, was das Obergericht schon für das kantonale Verfahren festgehalten hat (E. 2.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss einen materiellen Antrag stellen, das heisst angeben, inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig (BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f.). Rechtsbegehren, die eine Summe Geldes zum Gegenstand haben, sind daher zu beziffern (BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f.). Auf nicht bezifferte Anträge tritt das Bundesgericht ausnahmsweise ein, sofern sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt (BGE a.a.O. mit Hinweisen). Ansonst reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst nicht entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen und die Sache zur Erhebung des erforderlichen Sachverhaltes an die Vorinstanz zurückgewiesen werden müsste (vgl. BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383).
Angesichts dieser Anforderungen erscheint fraglich, ob auf den Antrag, über "die rückwirkende Ausrichtung des Beitrages an den ehelichen Unterhalt gemäss Begehren vom 31.08.2010 zu entscheiden", einzutreten ist oder ob gegebenenfalls ein nicht bezifferter Antrag bzw. ein Rückweisungsantrag genügte. Die blosse Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe keine Auskünfte über ihre wirtschaftlichen Verhältnisse erteilt, vermöchte die fehlende Bezifferung freilich nicht zu rechtfertigen. Die Frage kann aber offenbleiben. Denn der Beschwerdeführer legt jedenfalls nicht in einer dem Rügeprinzip (E. 1.3) genügenden Weise dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte unvollständig festgestellt hätte und dieser ergänzt werden müsste, so dass ein Rückweisungsantrag genügen würde. Allein mit der pauschalen Unterstellung, die Parteien seien zur rückwirkenden Festsetzung des Unterhaltsbeitrages nie befragt worden und er habe zu den Beweisergebnissen der Gerichtspräsidentin nicht Stellung nehmen können, ist eine verfassungswidrige Sachverhaltsfeststellung nicht darzutun.
3. Gegenstand der vorliegenden Auseinandersetzung ist weiter der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf persönlichen Verkehr mit ihrer Tochter Y._. Dem Antrag des Beschwerdeführers zufolge soll die Mutter das Kind nicht alle zwei Wochen von Freitag- bis Sonntagabend (Bst. B.b), sondern jedes Wochenende für einen Tag ohne Übernachtung (Bst. D) zu sich nehmen dürfen. Der Beschwerdeführer äussert sich jedoch nicht dazu, inwiefern das Obergericht bei der Überprüfung der Besuchs- und Ferienregelung das Recht willkürlich angewendet oder sonst wie verfassungsmässige Rechte verletzt hätte, und er legt auch keine Gründe dar, weshalb einzig die von ihm beantragte Besuchsordnung die richtige wäre. Soweit sich der Beschwerdeführer darüber hinaus an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung stört, erschöpfen sich seine Ausführungen darin, dass er den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht schildert und an der Mandatsführung der Kinderbeiständin Kritik übt. Mit den tatsächlichen Feststellungen, welche die Vorinstanz mit Bezug auf die Frage des persönlichen Verkehrs getroffen hat, setzt er sich hingegen nicht auseinander. Er nennt in diesem Zusammenhang auch keine Verfassungsbestimmungen, deren Verletzung er rügt, noch behauptet er, das Obergericht hätte den Sachverhalt willkürlich festgestellt.
Immerhin beanstandet der Beschwerdeführer auch noch, das Gerichtspräsidium Baden habe trotz entsprechender Zusicherungen keinen telefonischen Arztbericht eingeholt. Es sei "eindeutig aktenwidrig", wenn das Obergericht auf das erstinstanzliche Verhandlungsprotokoll verweise, wonach "eventuell ein Bericht bei der Vormundschaftsbehörde eingeholt wird". Selbst wenn der Beschwerdeführer dem Obergericht damit wenigstens sinngemäss eine verfassungswidrige Beweiswürdigung vorwirft, ist seiner Rüge kein Erfolg beschieden. Denn auch unter der Herrschaft der Untersuchungsmaxime, wie sie im Bereich des Kindesrechts ganz allgemein gilt (vgl. Urteil 5P.507/2006 vom 5. April 2007 E. 4.1), ist der Richter keineswegs verpflichtet, jedem Beweisantrag stattzugeben. Verfügt er über genügend Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann er im Sinne einer so genannten antizipierten Beweiswürdigung auf weitere Beweiserhebungen verzichten (BGE 130 III 734 E. 2.2.3 S. 735 mit Hinweisen) und muss sich auch nicht bei früheren Zusagen behaften lassen. Lässt sich der massgebliche Sachverhalt auf andere Weise abklären, verstösst der Verzicht auf einen bestimmten Arztbericht daher nicht gegen Verfassungsrecht (vgl. Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2) - umso weniger, als der Beschwerdeführer auch nicht aufzeigt, inwiefern sich durch den von ihm gewünschten Arztbericht etwas am Ergebnis geändert hätte.
4. Alles in allem erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit im Lichte der gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG) überhaupt darauf eingetreten werden kann. Mit diesem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gemäss Ziffer 9 der Anträge des Beschwerdeführers gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn