Erwägungen:
1. Am 15. September 2009 widerrief das Migrationsamt des Kantons Aargau die Niederlassungsbewilligung von X._. Eine hiegegen erhobene Einsprache wies das Migrationsamt am 6. Mai 2010 ab. Der Einspracheentscheid wurde dem Rechtsvertreter von X._ am 7. Mai 2010 zugestellt.
Am 8. Juni 2010 (Postaufgabe) liess X._ durch seinen Rechtsvertreter Beschwerde beim Rekursgericht im Ausländerrecht erheben. Dabei wurde ausgeführt, aufgrund eines Versehens der Anwaltskanzlei sei die Beschwerde einen Tag zu spät der Post übergeben worden; es werde um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ersucht.
Mit Urteil vom 11. Juni 2010 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
2. X._ hat mit Eingabe vom 17. Juni 2010 subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht erhoben. Diese ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen, da es um den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung geht, wofür keine der Ausnahmebestimmungen von Art. 83 lit. c BGG greift. Namentlich handelt es sich beim Widerruf einer Bewilligung nicht um eine Ausweisung oder Wegweisung im Sinne von Art. 83 lit. c Ziffer 4 BGG wie der Beschwerdeführer anzunehmen scheint. Die Beschwerde ist jedoch offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden kann.
Die Rechtsmittelfristen haben zum Zweck, den geordneten Gang der Rechtspflege sicherzustellen. Wie das Rekursgericht unter Bezugnahme auf das massgebende aargauische Prozessrecht ausführt, wäre eine Fristwiederherstellung möglich, wenn eine unverschuldete Verhinderung an der rechtzeitigen Einreichung der Beschwerde vorläge. Das aber ist nicht der Fall, weil die nicht fristgerechte Einreichung der Beschwerde zugestandenermassen auf einem Kanzleifehler beziehungsweise auf einer Arbeitsüberlastung des Sekretariats des Rechtsvertreters beruht. Was der Beschwerdeführer gegen diese Beurteilung gestützt auf das Verbot des überspitzten Formalismus (Art. 29 Abs. 1 BV), den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sowie den Anspruch auf Schutz vor willkürlicher Ausweisung gemäss Art. 13 UNO-Pakt II vorbringt, ändert hieran nichts. Es handelt sich nicht um eine unnötige Formstrenge, wenn das Gesetz eine Fristwiederherstellung nur bei unverschuldetem Hindernis ermöglicht. Das Gesetz muss auch nicht danach unterscheiden, ob der Fehler dem Rechtssuchenden oder seinem Vertreter beziehungsweise dessen Hilfspersonen zuzurechnen ist (BGE 114 Ib 67 E. 2 und 3 S. 69 ff.). Der verfassungsrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör gewährleistet sodann nicht, dass ein Gericht eine Beschwerde materiell prüft, die unter Nichteinhaltung der Rechtsmittelfristen erhoben wurde. Art. 13 UNO-Pakt II verlangt lediglich, dass eine Ausweisung aufgrund einer rechtmässig ergangenen Entscheidung erfolgen muss und dem Betroffenen Gelegenheit zu geben ist, die gegen seine Ausweisung sprechenden Gründe vorzubringen und diese Entscheidung durch die zuständige Behörde nachprüfen zu lassen. Daraus folgt aber nicht, dass diese Rechte ungeachtet der Einhaltung der Rechtsmittelfristen zu gewähren wären.
Angesichts dieses Ausgangs erübrigt sich die Behandlung des für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuches um aufschiebende Wirkung.
3. Da die Beschwerde abzuweisen ist, trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt Kanton Aargau, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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