Sachverhalt:
A. Y._ ersuchte am 16. Februar 2007 die Direktion der Justiz des Kantons Zürich, Kantonale Opferhilfestelle, um Ausrichtung einer Entschädigung und einer Genugtuung für die Folgen eines Brandereignisses vom 18. Februar 2005 sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 13. Juni 2007 wies die kantonale Opferhilfestelle das Ersuchen mangels Vorliegen einer Straftat ab.
Mit Urteil vom 26. Oktober 2007 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde von Y._ ab, soweit es darauf eintrat.
B. Y._ und X._ führen Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen namentlich, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei gutzuheissen, der angefochtene Entscheid des Sozialversicherungsgerichts und die Verfügung der kantonalen Opferhilfestelle Nr. 89/07 vom 13. Juni 2007 seien aufzuheben. Im Weiteren beantragen sie die unentgeltliche Rechtspflege. Sie rügen zahlreiche Rechts- und Verfassungsverletzungen und stellen in diesem Zusammenhang weitere Sachanträge.
C. Die kantonale Opferhilfestelle und das Sozialversicherungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts ist am 26. Oktober 2007 ergangen. Auf das Verfahren ist das Bundesgerichtsgesetz (BGG, SR 173.110) anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. Gemäss Art. 109 BGG entscheiden die Abteilungen des Bundesgerichts in Dreierbesetzung bei Einstimmigkeit über die Abweisung offensichtlich unbegründeter Beschwerden (Abs. 2 lit. a). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
3. Das Opferhilfegesuch vom 16. Februar 2007 steht im Zusammenhang mit einem Brand in einem Mehrfamilienhaus in Glattburg vom 18. Februar 2005, in welchem der Beschwerdeführer 2 wohnt. Er macht geltend, durch den Brand geschädigt worden zu sein. Die gegen einen Hausgenossen geführte Strafuntersuchung wegen Verdachts auf fahrlässige Verursachung einer Feuersbrunst wurde eingestellt (Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 23. März 2006). Dagegen erhoben der Beschwerdeführer 2 und weitere Geschädigte Rekurs, welchen das Bezirksgericht Bülach mit Verfügung vom 14. August 2006 abwies. Dieser Entscheid ist rechtskräftig.
Das Sozialversicherungsgericht führte aus, Opferhilfe setze eine Straftat voraus. Im vorliegenden Fall sei das Strafverfahren aber rechtskräftig eingestellt worden. Es sei davon auszugehen, dass keine Straftat vorliege. Daher fehle es an einer Opferstellung.
Diese Auffassung steht mit Art. 2 Abs. 1 Opferhilfegesetz (OHG, SR 312.5) und der diesbezüglichen Rechtsprechung des Bundesgerichts im Einklang. Beim Entscheid, ob dem Gesuchsteller Opfereigenschaft im Sinne des OHG zukommt, darf die Opferhilfestelle grundsätzlich auf die rechtskräftige Einstellung des Strafverfahrens abstellen (Urteil 1A.110/2003 vom 28. Oktober 2003 E. 3.2, publiziert in Praxis 2004 Nr. 141 S. 797).
4. Im Übrigen setzt die Behandlung der Beschwerde eine genügende Begründung voraus und ist auf den Streitgegenstand beschränkt. Genügend begründet ist die Beschwerde namentlich insoweit, als darin in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Soweit die vorliegende Beschwerde diesen Begründungsvorschriften nicht genügt, ist darauf nicht einzutreten. Streitgegenstand ist vorliegend das Opferhilfegesuch bzw. die Behandlung der diesbezüglichen Verfügung der kantonalen Opferhilfestelle durch das Sozialversicherungsgericht. Vorbringen, die über diesen Streitgegenstand hinausgehen, können nicht behandelt werden. Dies gilt namentlich für Einwände betreffend das Strafverfahren gegen den Inhaber der ausgebrannten Wohnung, welches rund sechs Monate vor Einreichung des Opferhilfegesuchs rechtskräftig eingestellt wurde.
5. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens kann offen bleiben, ob die im kantonalen Urteil nicht als Partei aufgeführte Beschwerdeführerin 1 im bundesgerichtlichen Verfahren zuzulassen ist. Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Thönen