Erwägungen:
1. Der serbische Staatsangehörige X._, geboren 1971, weilte von 1990 bis 1994 als Saisonnier, seit 15. Dezember 1994 als Jahresaufenthalter in der Schweiz. Im Zeitraum vom 23. März 1999 bis 26. Juni 2006 ergingen gegen ihn insgesamt 28 Strafverfügungen; zudem musste er seit dem Jahr 2000 über zwanzigmal betrieben werden. Mit Verfügung vom 7. September 2007 lehnte es das Migrationsamt des Kantons Luzern ab, die zuletzt bis zum 25. April 2007 verlängerte Aufenthaltsbewilligung zu erneuern; entsprechend lehnte es das Gesuch um Familiennachzug für die Ehefrau von X._ ab. Zudem ordnete es dessen Wegweisung aus dem Gebiet des Kantons Luzern an. X._ gelangte mit Beschwerde an das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons Luzern, wobei er um Gutheissung der Gesuche um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewillung bzw. um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an seine Ehefrau ersuchte und eventuell eine Verwarnung beantragte. Das Justiz- und Polizeidepartement wies die Beschwerde am 11. Dezember 2007 ab.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 28. Januar 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Justiz- und Polizeidepartements aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Beschwerdebegründung an dieses zurückzuweisen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer ersucht um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens bis zum Vorliegen des Entscheids des Justiz- und Sicherheitsdepartements über das in gleicher Angelegenheit bei diesem anhängig gemachte Wiedererwägungsgesuch. Da sich die vorliegende Beschwerde als offensichtlich unzulässig erweist (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) und darüber sofort, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen, entschieden werden kann, wobei übrigens das rein verfahrensrechtlich motivierte Urteil des Bundesgerichts den Ausgang des kantonalen Wiedererwägungsverfahrens kaum präjudizieren dürfte, ist dem Begehren nicht zu entsprechen.
Der weitere verfahrensrechtliche Antrag des Beschwerdeführers auf Erlass vorsorglicher Massnahmen bzw. auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung wird mit dem vorliegenden Urteil gegenstandslos.
2.2 Der Beschwerdeführer geht zu Recht davon aus, dass er keinen Rechtsanspruch auf Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung hat; die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten fällt damit gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ausser Betracht, und als Rechtsmittel steht nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG zur Verfügung.
2.2 Der Beschwerdeführer geht zu Recht davon aus, dass er keinen Rechtsanspruch auf Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung hat; die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten fällt damit gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ausser Betracht, und als Rechtsmittel steht nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG zur Verfügung.
2.3 2.3.1 Gemäss Art. 115 lit. b BGG ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Da der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf Bewilligung hat, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, und er ist grundsätzlich nicht legitimiert, den Bewilligungsentscheid in materieller Hinsicht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten (BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.).
2.3.2 Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Verletzung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.; Weiterführung der so genannten "Star-Praxis", s. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 ff.). Grundsätzlich zulässig ist insbesondere die Rüge, das rechtliche Gehör sei verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, so der Vorwurf, die Begründung des angefochtenen Entscheids sei unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen oder setze sich nicht mit sämtlichen von der Partei vorgetragenen Argumenten auseinander oder würdige Parteivorbringen unzureichend. Ebenso wenig kann gerügt werden, der Sachverhalt sei unvollständig abgeklärt oder sonstwie willkürlich ermittelt worden und Beweisanträgen sei wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung keine Folge gegeben worden (grundlegend BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 129 I 271 E. 1.4 S. 222; 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1c S. 236; 117 Ia 90 E. 4a S. 95).
2.3.3 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör; er beruft sich dazu auf § 46 Abs. 1 und § 110 Abs. 1 lit. c des Luzerner Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG). Dass diese Bestimmungen Rechte einräumten, die über das hinausgingen, was sich unmittelbar aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt, ist nicht ersichtlich; wie es sich damit verhält, kann aber offenbleiben. Was § 46 Abs. 1 VRG betrifft, behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass er vor der Fällung des für ihn negativen Entscheids nicht Gelegenheit gehabt hätte, sich zur Sache zu äussern. Die Gehörsverweigerungsrüge beruht im Wesentlichen auf dem Vorwurf, dass das Justiz- und Polizeidepartement mit keinem Wort auf den im Beschwerdeverfahren gestellten Eventualantrag, der Beschwerdeführer sei zu verwarnen (womit gemeint gewesen sei, es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung unter der Auflage einer Verwarnung zu erneuern), und die hierzu vorgebrachte Begründung eingegangen sei. Der Beschwerdeführer nimmt offenbar nicht wahr, dass das Departement vom Eventualantrag Kenntnis genommen hat, hat es ihn doch in seinem Entscheid (Ziff. 3 der Sachverhaltsdarstellung) wortwörtlich wiedergegeben und durch die vollständige Abweisung der Beschwerde unmissverständlich mit abgewiesen. Es hat sich, wenn auch stillschweigend, offensichtlich inhaltlich damit befasst, indem es die bedingungslose Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers sowie die Wegweisung unter Berücksichtigung aller Umstände als verhältnismässig erachtete und bestätigte; insofern stösst die Gehörsverweigerungsrüge von vornherein ins Leere. In Wahrheit laufen die Ausführungen des Beschwerdeführers denn auch einzig darauf hinaus, die Begründung des angefochtenen Entscheids als unvollständig und zu wenig differenziert zu bezeichnen; damit aber ist er wegen fehlender Legitimation zur Anfechtung des Sachentscheids nach dem vorstehend Gesagten nicht zu hören.
2.4 Mit der Beschwerde werden keine zulässigen Rügen erhoben; diese erweist sich ihrerseits als offensichtlich unzulässig, und es ist darauf im vereinfachten Verfahren (Art. 108 BGG) nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller