Faits:
A. P._, née en 1988, est assurée depuis le 1er janvier 1996 auprès d'Assura, assurance-maladie et accident (ci-après: Assura) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
Le 28 novembre 2006, la prénommée a informé Assura qu'elle entendait résilier son contrat d'assurance au 31 décembre 2006 afin de pouvoir changer d'assureur. Elle s'est acquittée par la même occasion de la somme de 345 fr. 95 correspondant aux primes dues pour la période courant du 13 août au 31 décembre 2006.
Par décision du 8 février 2007, confirmée sur opposition le 3 avril suivant, Assura a refusé la résiliation, au motif qu'il subsistait un solde impayé résultant du contrat d'assurance de 2'434 fr. 65 correspondant à différents arriérés de primes et de participations aux coûts, ainsi qu'à des frais de rappel et de poursuites. La décision de l'assureur a été confirmée sur recours par le Tribunal des assurances du canton de Vaud (jugement du 3 juillet 2007) et par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_660/2007 du 25 avril 2008).
Assura a présenté un décompte à l'Organe cantonal vaudois de contrôle de l'assurance-maladie et accidents dans le but de demander la prise en charge des primes demeurées impayées par l'assurée. Un remboursement de la prime du mois d'août 2006 a été refusé, au motif que l'assurée était devenue majeure au cours de ce mois.
Par décision du 21 décembre 2009, confirmée sur opposition le 12 février 2010, Assura a requis l'assurée de lui payer la somme de 52 fr. 25 correspondant au solde impayé de la prime du mois d'août 2006, à raison de 29 fr. 05, et des frais de mise en demeure, à raison de 23 fr. 20.
B. Par jugement du 30 août 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision sur opposition du 12 février 2010.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation.
Assura conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 En substance, la recourante estime que la caisse intimée n'est pas fondée à lui réclamer le paiement de la somme de 52 fr. 25, du moment que la prime litigieuse a été échue pendant sa minorité, période où seule sa mère en était la débitrice.
2.2 Dans l'arrêt 9C_660/2007 du 25 avril 2008, le Tribunal fédéral a constaté que la recourante était personnellement débitrice des arriérés de cotisations d'assurance et de participations aux coûts résultant de l'exécution du contrat d'assurance conclu en sa faveur par sa mère alors qu'elle était encore mineure. Bien que l'Organe cantonal vaudois de contrôle de l'assurance-maladie et accidents ait pris en charge la plus grande partie de l'arriéré dû par la recourante à la caisse intimée (cf. art. 23 sv. de la loi d'application vaudoise de la loi fédéral sur l'assurance-maladie [LVLAMal; RSVd 831.02]), il reste un montant de 29 fr. 05 en souffrance dont la recourante est la débitrice. En tant qu'il concerne le solde de la prime due pour le mois d'août 2006, le recours doit être rejeté.
3. 3.1 La recourante considère par ailleurs que le solde des frais de mise en demeure qui lui est réclamé, à savoir 23 fr. 20, relève de rappels et sommations adressées exclusivement à sa mère, A._.
3.2 Il ressort du dossier administratif qu'avant le mois de décembre 2009, la recourante n'a personnellement fait l'objet d'aucun rappel, sommation ou poursuite de la part de la caisse intimée à raison de la prime litigieuse. La caisse intimée s'est systématiquement adressée à la mère de la recourante, débitrice solidaire des primes arriérées. Par conséquent, la caisse intimée ne saurait lui réclamer le remboursement de frais dont elle n'est nullement à l'origine. Dans cette mesure, le recours doit être admis.
4. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis. Les frais judiciaires doivent être mis proportionnellement à la charge de la recourante et de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). La recourante a par ailleurs sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale. Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée, de sorte qu'elle sera dispensée de sa part des frais judiciaires. L'attention de la recourante est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais du 30 août 2010 et la décision sur opposition d'Assura, assurance maladie et accident du 12 février 2010 sont annulés. P._ est reconnue débitrice à l'égard d'Assura, assurance maladie et accident d'un montant de 29 fr. 05. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de la recourante et pour 250 fr. à la charge de l'intimée. La part de frais mise à à la recourante est toutefois supportée provisoirement par la caisse du Tribunal.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 21 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet