Sachverhalt:
A. Mit Verfügungen vom 7. Juli 2010 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau dem 1964 geborenen B._ eine halbe Rente der Invalidenversicherung für die Zeit vom 1. September 2007 bis 31. Mai 2008 sowie ab 1. Oktober 2008 zu.
B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde des B._ hob das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 16. Februar 2011 die Verfügungen vom 7. Juli 2010 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und zur Neuverfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. Februar 2011 sei aufzuheben, die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, ihm "vor Aufhebung der Verfügungen (...) vom 7. Juli 2010 zur weiteren Abklärung und zur Neuverfügung" das rechtliche Gehör mit Hinweis auf die Rückzugsmöglichkeit zu gewähren.
Die IV-Stelle beantragt, auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten, eventualiter diese abzuweisen. Das kantonale Versicherungsgericht verzichtet unter Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
D. Mit Verfügung vom 3. Juni 2011 ist das Gesuch von B._ um aufschiebende Wirkung der Beschwerden abgewiesen worden.
Erwägungen:
1. Der vorinstanzliche Entscheid hebt die Verfügungen vom 7. Juli 2010, mit welchen die IV-Stelle dem Beschwerdeführer eine halbe Rente für die Zeit vom 1. September 2007 bis 31. Mai 2008 sowie ab 1. Oktober 2008 zugesprochen hat, auf und weist die Sache an die Verwaltung zu weiterer Abklärung (psychiatrische Begutachtung) und neuer Entscheidung zurück. Dabei handelt es sich um einen - selbständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 482). Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten setzt somit gemäss Abs. 1 dieser Bestimmung voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Die Eintretensvoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG gelten auch in Bezug auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 117 BGG; Urteile 8C_473/2009 vom 3. August 2009 E. 4.2 und 2D_144/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1). Da mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auch eine willkürliche Rechtsanwendung oder Sachverhaltsfeststellung oder andere Verfassungsverletzungen gerügt werden können, bleibt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde indessen kein Raum und ist darauf nicht einzutreten (Art. 95 lit. a BGG; Urteil 9C_42/2011 vom 27. April 2011 E. 1).
2. 2.1 Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (BGE 133 V 645 E. 2.1 S. 647; Urteile 8C_1012/2010 vom 31. März 2011 E. 2 und 9C_567/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 2.1; Hansjörg Seiler, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2008, S. 32 ff.). Dies gilt auch, wenn die vorinstanzlich angefochtene Verfügung eine Rente zuspricht oder revisionsweise bestätigt (Urteile 9C_710/2010 vom 30. September 2010; 9C_614/2010 vom 27. August 2010; 9C_728/2008 vom 6. April 2009 E. 2, nicht publ. in: BGE 135 V 141, aber in: SVR 2009 IV Nr. 38 S. 109, 9C_446/2007 vom 5. Dezember 2007 und 9C_613/2007 vom 23. Oktober 2007; vgl. auch SVR 2011 IV Nr. 12 S. 32, 9C_45/2010 E. 1.2).
Der Beschwerdeführer stellt diese Rechtsprechung in Frage. Sie stehe im Widerspruch zum Wortlaut von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG. Danach sei ein Zwischenentscheid nicht nur anfechtbar, wenn er mit Sicherheit einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirke, sondern es reiche, wenn er einen solchen bewirken könnte. Dies treffe in Konstellationen wie der vorliegenden zu. Der Chance auf die erneute Zusprechung mindestens einer halben Rente stehe das Risiko eines Wegfalls der Rente gegenüber. Der Gesetzeswortlaut führe zu einem Ergebnis, das der ratio legis, dass das Bundesgericht über eine bestimmte Sache nur einmal entscheiden müsse, entspreche. Er sei gewillt, die Beschwerde gegen die Rentenverfügung zurückzuziehen, wenn ihm die Vorinstanz gestützt auf Art. 61 lit. d ATSG die Gelegenheit dazu gebe.
2.2 Die Änderung einer Rechtsprechung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (BGE 136 III 6 E. 3 S. 8; 135 I 79 E. 3 S. 82; 134 V 72 E. 3.3 S. 76).
2.2.1 Der Gesetzeswortlaut, auf den sich der Beschwerdeführer vorab beruft, stellt nur ein, wenn auch wichtiges Auslegungselement dar (BGE 137 V 20 E. 5.1 S. 26; 136 II 149 E. 3 S. 154). Vorliegend fällt ins Gewicht, dass der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG rechtlicher Natur sein muss, was voraussetzt, dass er durch einen späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann. Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht (BGE 135 II 20 E. 1.3.4 S. 36; 133 V 645 E. 2.1 S. 647; je mit Hinweisen). Hingegen genügt die blosse Möglichkeit eines rechtlichen Nachteils (BGE 134 III 188 E. 2.1 S. 191).
2.2.2 Ein solcher rechtlicher Nachteil ist bei Aufhebung einer Rentenverfügung und Rückweisung der Sache zu weiterer Abklärung und neuer Entscheidung an die IV-Stelle insofern nicht gegeben, als der Anspruch nicht resp. erst mit Eintritt der Rechtskraft als erworben gelten kann (Urteil 9C_875/2010 vom 28. März 2011 E. 4.2.2; vgl. auch BGE 136 V 45 E. 6.2 S. 46). Dementsprechend bildet die Rente insgesamt (Umfang des Anspruchs, Beginn, Dauer und Höhe der Leistung) Streitgegenstand des erstinstanzlichen Beschwerdeverfahrens (BGE 125 V 413 E. 2d S. 417 f.; ZAK 1988 S. 613, I 449/86 E. 2b). Dies verkennt der Beschwerdeführer, wenn er vorbringt, er habe mit der vorinstanzlichen Beschwerde (lediglich) eine Erhöhung der halben Rente beabsichtigt und der angefochtene Entscheid greife in seinen Besitzstand ein, weil er damit seinen bestehenden Anspruch auf eine halbe Rente verliere.
2.2.3 Es besteht somit kein Anlass für eine Änderung der Rechtsprechung zur Eintretensvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bei Rückweisungsentscheiden in IV-Rentenstreitigkeiten.
3. Unter dem Blickwinkel von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG zu prüfen ist, ob die Vorinstanz gestützt auf Art. 61 lit. d ATSG dem Beschwerdeführer unter Hinweis darauf, dass der rechtserhebliche Sachverhalt ungenügend abgeklärt sei und die Sache daher in Aufhebung der Rentenverfügung an die IV-Stelle zurückgewiesen werden könnte, Gelegenheit zum Rückzug der Beschwerde hätte geben müssen. Ist die Frage zu bejahen, kann aufgrund entsprechender Willensäusserung in diesem Verfahren sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden in dem Sinne, dass in Gutheissung der Beschwerde der vorinstanzliche Entscheid aufgehoben und die Verfügung bestätigt werden kann (Urteil 9C_613/ 2007 vom 23. Oktober 2007 E. 3.3.1).
3.1 Art. 61 lit. d ATSG lautet wie folgt: "Das Versicherungsgericht ist an die Begehren der Parteien nicht gebunden. Es kann eine Verfügung oder einen Einspracheentscheid zu Ungunsten der Beschwerde führenden Person ändern oder dieser mehr zusprechen, als sie verlangt hat, wobei den Parteien vorher Gelegenheit zur Stellungnahme sowie zum Rückzug der Beschwerde zu geben ist." Nach der Rechtsprechung bedeutet die blosse Möglichkeit einer Schlechterstellung infolge Aufhebung der Verfügung über eine Rente und Rückweisung der Sache zu ergänzender Sachverhaltsabklärung sowie neuer Entscheidung an die IV-Stelle keine reformatio in peius im Sinne dieser Bestimmung (Urteil 9C_990/2009 vom 4. Juni 2010 E. 2). Das Verfahren wird dadurch lediglich in den Zustand vor Erlass der Verfügung zurückversetzt. Der Ausgang des weiteren Verfahrens ist völlig offen, und die zu erlassende neue Verfügung ist in gleicher Weise anfechtbar, wie es die erste war (ARV 1995 Nr. 23 S. 138, C 30/94 E. 3a mit Hinweisen; ZBJV 140/2004 S. 752, C 259/03 E. 2; Urteil 9C_613/2007 vom 23. Oktober 2007 E. 3.3.2; vgl. auch SVR 2011 IV Nr. 19 S. 51, 9C_6/2010; ferner Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 93 ff. zu Art. 61 ATSG). Ein in diesem Sinne kassatorischer Entscheid stellt selbst dann keine reformatio in peius dar, wenn die angeordneten Abklärungen im Rechtsmittelverfahren nicht beanstandete, aber von Amtes wegen zu prüfende Belange betreffen. Dies ergibt sich im Übrigen auch aus der Begriffsumschreibung der "reformatio in peius (vel melius)", welche erkennen lässt, dass eine solche nur vorliegen kann, wenn die angefochtene Verfügung "reformiert" wird, d.h. wenn die Rechtsmittelinstanz in der Sache selbst abschliessend entscheidet (ZAK 1988 S. 613, I 449/86 E. 2; vgl. auch Urteil 9C_992/2008 vom 6. Januar 2009 E. 2).
3.2 Der Beschwerdeführer erachtet diese Rechtsprechung als verfassungs- und gesetzwidrig.
3.2.1 Soweit er zur Begründung vorbringt, die Aufhebung einer Rentenverfügung und die Rückweisung der Sache zu weiterer Abklärung und neuer Entscheidung an die IV-Stelle führe durchaus zu einer Schlechterstellung, wenn damit der mit dem angefochtenen Verwaltungsakt erworbene Besitzstand gefährdet werde, kann auf das in E. 2.2.2 hievor Gesagte verwiesen werden. Nichts ergibt sich sodann aus dem Wortlaut von Art. 61 lit. d ATSG. Immerhin trifft zu, dass der Begriff "reformatio in peius" (vgl. dazu auch Annette Guckelberger, Zur reformatio in peius vel melius in der schweizerischen Bundesverwaltungsrechtspflege nach der Justizreform, ZBl 111/2010 S. 98 ff.) nicht verwendet wird, sondern von "eine Verfügung oder einen Einspracheentscheid zu Ungunsten der Beschwerde führenden Person ändern" die Rede ist. Ob darunter auch die Aufhebung einer Rentenverfügung wegen eines unvollständig abgeklärten Sachverhalts fällt, ist fraglich, kann jedoch offenbleiben.
3.2.2 Im Weitern lässt nichts den Schluss zu, mit Art. 61 lit. d ATSG sei das Interesse an der Klärung des Sachverhalts und der Gewährleistung der Durchsetzung des materiellen Rechts dem Willen der Beschwerde führenden Partei anheimgestellt worden. Gegenteils wird mit der laut Satz 1 dieser Bestimmung fehlenden Bindung an die Parteibegehren die Verwirklichung des objektiven Rechts über das subjektive Rechtsschutzinteresse gestellt (Kieser, a.a.O., mit Hinweis auf BGE 122 V 166 E. 2c in fine S. 168; vgl. auch Guckelberger, a.a.O., S. 101 ff.). Dementsprechend gilt denn auch im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht der Untersuchungsgrundsatz (Art. 61 lit. c ATSG; SVR 2010 EL Nr. 7 S. 19, 9C_724/2009 E. 3.2.3.1).
3.2.3 Begründet ist hingegen die Rüge der Ungleichbehandlung gegenüber Beschwerde führenden Versicherten, bei denen das kantonale Versicherungsgericht die verfügungsweise zugesprochene Rente herabsetzt oder sogar aufhebt. Diese Personen haben die Möglichkeit, die Beschwerde zurückzuziehen und so der drohenden Verschlechterung ihrer Rechtsposition zu entgehen. Lässt aber Art. 61 lit. d ATSG den Rückzug der Beschwerde gegen eine als rechtsfehlerhaft erkannte Verfügung zu, muss dies umso mehr gelten, wenn das erstinstanzliche Gericht den Sachverhalt als unvollständig abgeklärt erachtet und die Sache zu weiterer Abklärung und zu neuer Entscheidung an die IV-Stelle zurückweist, weil damit die Rente nicht herabgesetzt oder aufgehoben wird, vielmehr Bestehen und Umfang des Anspruchs (weiterhin) offen sind. Die Rentenzusprechung könnte korrekt sein oder sogar zu Ungunsten der versicherten Person fehlerhaft, wie in der Beschwerde ausgeführt wird. Die Tatsache allein, dass die Herabsetzung oder Aufhebung der verfügungsweise zugesprochenen Rente in einem reformatorischen Entscheid erfolgt, stellt keinen Grund für die gerügte Ungleichbehandlung dar, und zwar umso weniger, als auch im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren der Untersuchungsgrundsatz gilt (vorne E. 3.2.2 in fine).
3.2.4 Wortlaut und Normzweck von Art. 61 lit. d ATSG stehen einer Anwendung dieser Bestimmung in dem Sinne, dass der Beschwerde führenden Partei auch dann die Gelegenheit zum Rückzug der Beschwerde zu geben ist, wenn eine rentenzusprechende (z.B. Viertelsrente) Verfügung aufgehoben und die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Entscheidung an die IV-Stelle zurückgewiesen werden soll, nicht entgegen. Dazu hat die II. sozialrechtliche Abteilung die Zustimmung der I. sozialrechtlichen Abteilung eingeholt (Art. 23 Abs. 1 BGG). Diese Lösung entspricht einer auch bei Bundesgesetzen zu beachtenden (SVR 2006 IV Nr. 47 S. 171, I 68/02 E. 3.2 mit Hinweisen) verfassungskonformen Auslegung und ist der geltenden anders lautenden Gerichtspraxis vorzuziehen. Sie steht im Einklang damit, dass in erster Linie die IV-Stelle für die richtige und vollständige Sachverhaltsabklärung zu sorgen hat (Art. 43 Abs. 1 ATSG; Guckelberger, a.a.O., S. 102 und 112). Nicht betroffen sind kantonale Rückweisungsentscheide, welche auf rentenablehnende Verfügungen hin ergehen. Ferner kann sich die Hinweispflicht erübrigen, wenn das kantonale Gericht in den Erwägungen des Rückweisungsentscheides die von der IV-Stelle verfügte oder von ihm selber bejahte teilweise Rente (z.B. Viertelsrente) abschliessend als ausgewiesen und begründet erklärt. Was letztinstanzliche Rückweisungsentscheide anbelangt, die ein - eine teilweise Leistung (z.B. Viertelsrente) zusprechendes oder bestätigendes - Erkenntnis eines kantonalen Versicherungsgerichts aufheben, ist Art.107 Abs.1 BGG zu beachten, wenn nur die versicherte Person Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben hat (Hansjörg Seiler und Andere, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 2 zu Art. 107 BGG; Ulrich Meyer , in: Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 2 zu Art. 107 BGG; vgl. BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364).
3.3 Der Beschwerdeführer zieht die vorinstanzliche Beschwerde zurück, wenn er gestützt auf Art. 61 lit. d ATSG dazu Gelegenheit erhält (vorne E. 2.1 in fine). Damit kann durch Aufhebung des angefochtenen Entscheids und ohne die vorinstanzlich angeordneten Abklärungen durch die IV-Stelle sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden. Eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Abschreibung des Verfahrens vom Geschäftsverzeichnis zufolge Rückzugs der Beschwerde ist nicht notwendig. Die Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG sind somit gegeben (vorne E. 3 Ingress) und die Beschwerde ist daher begründet.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Über die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene wird die Vorinstanz neu zu befinden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 16. Februar 2011 aufgehoben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Aargau auferlegt.
4. Die IV-Stelle des Kantons Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juli 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler