Sachverhalt:
A. Der aus dem Libanon stammende X._ (geb. 1963) reiste im Frühjahr 1989 mit seiner ebenfalls libanesischen Ehefrau Y._ (geb. 1970) in die Schweiz ein. Zunächst ersuchten beide erfolglos um Asyl. Am 19. April 1990 kam ihre Tochter A._ zur Welt. In der Folge stellte X._ mit falschen Angaben ein neues Asylgesuch, welches am 13. Dezember 1991 durch einen Nichteintretensentscheid erledigt wurde. In der Zwischenzeit hatte Y._ zusammen mit der Tochter A._ die Schweiz verlassen und sich im Mai 1991 von ihrem Ehemann scheiden lassen, ihn aber einen Monat später wieder geheiratet. Im Verkündgesuch, das X._ am 13. Februar 1992 für eine Eheschliessung mit der elf Jahre älteren Schweizerin Z._ stellte, gab er allerdings noch an, unverheiratet zu sein. Zu einer Eheschliessung mit Z._ kam es vorerst nicht. X._ kehrte vielmehr in den Libanon zurück, wo Y._ am 7. Mai 1993 den gemeinsamen Sohn B._ zur Welt brachte.
Nachdem er sich zum zweiten Mal von seiner Ehefrau hatte scheiden lassen, reiste X._ erneut in die Schweiz ein und heiratete am 3. Dezember 1993 Z._. Diese Ehe wurde mit rechtskräftigem Urteil des Bezirksgerichts Andelfingen am 5. Mai 1999 geschieden. X._ heiratete in der Folge - im Januar 2000 - seine frühere Ehefrau Y._, mit welcher er während der Ehe mit Z._ das dritte gemeinsame Kind (Sohn C._, geb. 1995) gezeugt hatte, zum dritten Mal, kurz nachdem er im Juni 1999 bei der Schweizerischen Botschaft in Beirut für sie und die drei Kinder Einreisevisa für einen Besuchsaufenthalt in der Schweiz beantragt hatte. Inzwischen war er, der seit der Heirat mit Z._ im Besitz einer regelmässig verlängerten Aufenthaltsbewilligung gewesen war, in der Schweiz erleichtert eingebürgert worden (am 18. November 1998).
B. Mit Verfügung vom 12. Dezember 2003 erklärte das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (heute: Bundesamt für Migration) die erleichterte Einbürgerung von X._ wegen unwahrer Angaben über den Ehewillen für nichtig. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement am 13. Januar 2005 ab.
C. Am 6. Juni 2005 ersuchte X._ beim Migrationsamt des Kantons Zürich um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 23. Februar 2005 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Migrationsamt) - unter Ansetzung einer Ausreisefrist für den Betroffenen - dieses Gesuch ab, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ habe die Behörden unter Verletzung der gesetzlichen Offenbarungs- und Wahrheitspflicht jahrelang über seine tatsächlichen familiären Verhältnisse getäuscht, indem er die Weiterführung der Beziehung zu Y._ und die Zeugung des während der Ehe mit Z._ geborenen Sohnes C._ verschwiegen habe.
Der hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rekurs blieb erfolglos, und mit Urteil vom 14. Mai 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 23. Januar 2008 erhobene Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 7. Juli 2008 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Mai 2008 aufzuheben und festzustellen, dass dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen sei.
Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und das Bundesamt für Migration.
E. Mit Verfügung vom 10. Juli 2008 hat der damalige Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. BGE 133 I 185 E. 2.3 S. 189; 130 II 281 E. 2 S. 284; 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
1.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. BGE 133 I 185 E. 2.3 S. 189; 130 II 281 E. 2 S. 284; 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
1.4 1.4.1 Der Beschwerdeführer, dessen erleichterte Einbürgerung rechtskräftig für nichtig erklärt worden ist (vorne lit. "B"), war während mehr als fünf Jahren mit der Schweizer Bürgerin Z._ verheiratet. Gemäss Art. 7 Abs. 1 Satz 1 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat er gemäss Satz 2 derselben Bestimmung Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung.
Kein Anspruch besteht, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen (Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe) oder wenn sich die Berufung auf die Ehe anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist (BGE 127 II 49 E. 5a S. 56 mit Hinweisen). Rechtsmissbrauch im Zusammenhang mit Art. 7 ANAG liegt vor, wenn der Ausländer sich im Verfahren um Erteilung einer fremdenpolizeilichen Anwesenheitsbewilligung auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht (BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151 mit Hinweisen).
1.4.2 Nach der Eheschliessung mit Z._ war der Beschwerdeführer zunächst im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung (vorne lit. "A"). Mit der Nichtigerklärung der Einbürgerung wurde er ausländerrechtlich grundsätzlich in die gleiche Rechtsstellung wie vor der Einbürgerung versetzt (zur Publikation vorgesehenes Urteil 2C_306/2008 vom 12. November 2008, E. 3). Er hat damit, nach erfolgter Scheidung, zwar keinen Anspruch mehr auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung nach Art. 7 Abs. 1 Satz 1 ANAG. Sollte er aber vor der Scheidung einen Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung gemäss Art. 7 Abs. 1 Satz 2 erworben haben, so kann er sich hierauf auch nach Beendigung der Ehe berufen (BGE 128 II 145 E. 1.1.4 S. 149). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario). Im kantonalen fremdenpolizeilichen Verfahren hat der Beschwerdeführer allerdings nur die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung beantragt (vgl. das von ihm am 6. Juni 2005 unterzeichnete Gesuchsformular), weshalb er vor Bundesgericht kein weiter gehendes Begehren stellen kann; es müsste ihm aber, falls die Voraussetzungen für den Erwerb einer Niederlassungsbewilligung erfüllt wären, wenigstens die anbegehrte - ein weniger gefestigtes Anwesenheitsrecht gewährende - Aufenthaltsbewilligung erteilt werden (BGE 128 II 145 E. 1.1.4 S. 149 mit Hinweisen).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht hat - zum Teil unter Bezugnahme auf die Sachdarstellung des Regierungsrates (vgl. S. 8 ff. des angefochtenen Entscheides) - erwogen, die Ehe mit der Schweizerin Z._ habe spätestens ab November 1998 und damit vor Ablauf der Fünfjahresfrist von Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft bestanden. So sei der Beschwerdeführer schon seit September 1994 Wochenaufenthalter in der Stadt Zürich gewesen, so dass ein eheliches Zusammenleben nur jeweils an den Wochenenden stattgefunden habe. Der Ehewille des Beschwerdeführers, welch letzterer seine Einbürgerung durch Verschweigen der Existenz seiner beiden jüngsten Kinder erschlichen und diese Kinder auch in den Verfahren um Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht erwähnt habe, müsse jedenfalls schon vor Ablauf der Fünfjahresfrist erloschen sein; es erscheine vor diesem Hintergrund überhaupt ausgeschlossen, dass der Beschwerdeführer mit seiner schweizerischen Ehefrau auf Dauer habe zusammenleben wollen. Sein einem hinlänglich bekannten Verhaltensmuster entsprechendes Vorgehen erfülle vielmehr den Tatbestand des Erschleichens der Bewilligung durch wissentliches Verschweigen wesentlicher Tatsachen als Grund für einen Widerruf einer Aufenthalts- bzw. Niederlassungsbewilligung (Art. 9 Abs. 2 lit. a und Art. 9 Abs. 4 lit. a ANAG).
2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Ehewille sei im massgeblichen Zeitpunkt ungebrochen vorhanden gewesen. Er habe von der Eheschliessung Anfang Dezember 1993 bis Mitte Dezember 1998 in echter ehelicher Gemeinschaft mit Z._ gelebt. Diese habe mehrfach erklärt, die Ehe sei "bis zum Schluss gut verlaufen" (S. 7 der Beschwerdeschrift). Aus ihren Einvernahmen sei klar ersichtlich, dass es in der Ehe keinen Bruch gegeben habe, der ihm - dem Beschwerdeführer - klar gemacht hätte, dass die Ehe zerrüttet sei. Vom Scheidungsentschluss seiner Frau habe er zur Zeit der Einreichung des Einbürgerungsantrages im November 1998 noch gar nichts gewusst (S. 9 der Beschwerdeschrift). Auch habe er nie die Absicht gehabt, die schweizerischen Behörden über die Existenz seiner beiden Söhne zu täuschen. Vielmehr sei seine Vaterschaft damals in rechtlicher Hinsicht noch nicht anerkannt gewesen, weshalb es nachvollziehbar und verständlich erscheine, wenn er diese Kinder gegenüber den schweizerischen Behörden nicht erwähnt habe. Die Vorinstanz stelle demgegenüber lediglich auf "klischierte Verhaltensmuster" ab und würdige die tatsächlichen Verhältnisse in keiner Weise. Sie habe damit nicht nur seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, sondern bereits auf der Ebene der Entscheidfindung eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung getroffen und die vorhandenen Indizien für die Annahme einer nur noch formell bestehenden Ehe willkürlich gewertet (vgl. S. 10/11 der Beschwerdeschrift).
3. 3.1 Nach der Rechtsprechung zum Widerruf von fremdenpolizeilichen Anwesenheitsbewilligungen ist der Ausländer auch zur Offenlegung von Tatsachen verpflichtet, nach denen er nicht ausdrücklich gefragt wird, sofern er wissen muss, dass sie für den geltend gemachten Bewilligungsanspruch von Belang sein können (vgl. statt vieler Urteil 2A.57/2002 vom 10. Juni 2002, E. 2.2, publ. in Pra 2002 Nr. 165). Dies ist bei einem gestützt auf Art. 7 oder 17 ANAG anwesenheitsberechtigten Ausländer, der in einer eheähnlichen Parallelbeziehung Kinder zeugt, für welche bei Erteilung einer Niederlassungsbewilligung im Grundsatz ein Nachzugsrecht entsteht (vgl. Art. 17 Abs. 2 ANAG), der Fall (vgl. Urteil 2C_235/2008 vom 16. Oktober 2008, E. 2.3). Anders als im bereits in E. 1.4.2 genannten, zur Publikation vorgesehenen Urteil 2C_306/2008 vom 12. November 2008 war der Beschwerdeführer hier aber nie im Besitz einer - gemäss dem genannten Entscheid bei Untergang des Schweizer Bürgerrechts im Prinzip wieder auflebenden - Niederlassungsbewilligung. Es geht daher nicht (direkt) um die Frage, ob die Voraussetzungen für den Widerruf derselben erfüllt sind (wofür die Behörde die Beweislast trägt, vgl. E. 4.4 des genannten Urteils), sondern darum, ob ein Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung überhaupt erst entstanden ist, wofür die Beweislast dem Beschwerdeführer obliegt.
3.2 Gemäss den - nach Massgabe von Art. 97 und Art. 105 BGG für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen - Feststellungen des Verwaltungsgerichts (vorne E. 1.5) war die Ehe des Beschwerdeführers mit der Schweizer Bürgerin Z._ bei Ablauf der Fünfjahresfrist von Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG, d. h. Ende 1998, bereits definitiv gescheitert bzw. die eheliche Gemeinschaft unwiderruflich beendet, womit das Rechtsmissbrauchsverbot der Geltendmachung eines Anspruches auf die Niederlassungsbewilligung entgegenstand (vorne E. 1.4.1). Der Beschwerdeführer behauptet demgegenüber, seine nur wenige Monate später, am 5. Mai 1999, geschiedene Ehe sei Ende 1998 noch intakt gewesen (vorne E. 2.2), weshalb er den fraglichen Anspruch erworben habe. Damit vermag er so oder anders nicht durchzudringen: Gemäss der Feststellung im angefochtenen Urteil hat er sowohl gegenüber den Fremdenpolizeibehörden als auch im Einbürgerungsverfahren die Existenz seiner beiden kurz vor bzw. während der Ehe mit der schweizerischen Ehefrau in einer Parallelbeziehung gezeugten Kinder verschwiegen. Damit wäre auch eine allfällige Niederlassungsbewilligung klarerweise mit einem Widerrufsgrund gemäss Art. 9 Abs. 4 lit. a ANAG behaftet gewesen; die Behörde hätte bei Kenntnis des wahren Sachverhaltes zulässigerweise auf einen Rechtsmissbrauch im Sinne des bekannten, im angefochtenen Urteil (S. 9) erwähnten Verhaltensmusters schliessen und die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung verweigern dürfen. Damit besteht auch kein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung, zumal - wie das Verwaltungsgericht zutreffend festgestellt hat - besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen des Beschwerdeführers zur oder in der Schweiz, welche ihm allenfalls ein Anwesenheitsrecht gestützt auf die Garantie der Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK) verschaffen könnten (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2.1) nicht dargetan sind (Art. 42 Abs. 2 BGG). Aus den vor Bundesgericht explizit angerufenen (vgl. S. 13 der Beschwerdeschrift), im kantonalen Verfahren eingereichten Unterlagen (welche namentlich belegen sollen, dass der Beschwerdeführer als Autohändler in der Branche geschätzt wird, nicht im Strafregister verzeichnet ist sowie Miete und Steuern regelmässig zahlt), ergibt sich nichts Gegenteiliges.
3.3 Der Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Niederlassungsbewilligung ist nach dem Gesagten daher nie entstanden, und es entfällt ein Anwesenheitsrecht, ohne dass es auf die Verhältnismässigkeit der damit verbundenen Konsequenzen noch ankäme (davon abgesehen ist dem Beschwerdeführer, der erst als Erwachsener in die Schweiz gekommen ist, die Rückkehr in sein Heimatland, wo er mit Y._ eine Art "Parallelehe" geführt hat und wo heute insbesondere auch seine Kinder leben [vgl. S. 13 der Beschwerdeschrift], nicht unzumutbar).
4. Die Argumentation des Verwaltungsgerichts im angefochtenen Entscheid erweist sich damit als bundesrechtskonform, ohne dass auf die zahlreichen sonstigen Einwendungen des Beschwerdeführers noch im Einzelnen eingegangen werden müsste. Das gilt insbesondere für die unzulässigen Vorbringen im Zusammenhang mit der Handhabung des Ermessens für eine Bewilligung im Rahmen von Art. 4 ANAG (Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG).
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht (2. Kammer) des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein