Faits:
A. A.a Ayant cessé toute activité lucrative et épuisé son droit à l'indemnité de chômage pendant l'année 2000, B._ a requis des prestations de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 12 décembre de l'année mentionnée.
Le docteur S._, généraliste traitant, a diagnostiqué une rhinite chronique à composante allergique, des lombalgies et un status après cure d'une hernie inguinale engendrant une diminution de rendement (50 %) dans la dernière activité exercée (chauffeur-livreur) mais permettant la reprise à 100 % d'une profession qui n'exigeait ni port de charges ni contact avec un allergène (poussière, moisissure, animaux; rapport du 30 mars 2001). Le docteur D._, neurologue, qui évoquait une «sinistrose», n'a pas décelé de troubles pouvant entraver la pratique, à plein temps, d'un métier sédentaire (rapports des 12 et 19 septembre 2001). Le scanner réalisé par le docteur K._, radiologue, a révélé un canal lombaire limite en L3/4 pouvant expliquer les cruralgies irritatives alléguées (rapport du 24 août 2001). Le docteur A._, orthopédiste et traumatologue, a fait état de discopathies lombo-sacrées, ainsi que de discarthrose en L3/L4/L5/S1 (rapport du 28 août 2001). Le docteur L._, médecin-conseil de l'office AI, a estimé que ces discopathies existaient avant la cessation de toute activité et qu'elles n'avaient pas diminué la capacité de travail à l'époque, ni évolué depuis (avis du 13 septembre 2001).
Souffrant des séquelles totalement incapacitantes pour une période de trois à quatre mois à compter du 4 mars 2001 d'un ulcère duodénal et d'une gastrite à hélicobacter pylori (rapports des docteurs G._, gastroentérologue, et S._ des 2 mai et 15 juin 2002), l'intéressé a interrompu prématurément un stage d'observation professionnelle organisé par l'administration. Le docteur L._ a affirmé que, au-delà de quelques semaines de traitement, ces affections étaient compatibles avec un travail (avis du 12 juillet 2002).
L'office AI a aussi confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur E._, qui a fait état d'un trouble somatoforme indifférencié avec tendance marquée à la majoration des plaintes (probable évolution vers une sinistrose) et un éventuel fond dysthymique laissant cependant subsister une capacité de travail d'au moins 80 % dans toutes activités adaptées aux compétences, à la volonté et à la motivation de l'assuré (rapport du 21 novembre 2003).
L'administration a finalement rejeté la demande de B._ dans la mesure où le degré d'invalidité, évalué à 13 %, ne donnait droit à aucune prestation (décision du 17 août 2004, confirmée sur opposition le 7 février 2006 puis sur recours le 3 juillet 2006 par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales [aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales] et le 3 août 2007 par le Tribunal fédéral [arrêt I 766/06]).
A.b L'assuré s'est annoncé à l'office AI, une nouvelle fois le 11 janvier 2008. Invité à démontrer l'aggravation de son état de santé, il a produit l'avis de ses médecins traitants. Le docteur H._, médecin praticien, n'a signalé aucune péjoration (rapport du 23 janvier 2008). Le docteur M._, psychiatre, a attesté une incapacité totale engendrée par un trouble dépressif récurrent (épisode actuel sévère), un trouble somatoforme douloureux et une modification de la personnalité (rapports des 13 février et 3 mars 2008).
Sur la base des conclusions du complément d'expertise requis du docteur E._ qui retenait un trouble somatoforme indifférencié dans le cadre d'une probable névrose de rente, sans incidence sur la capacité de travail (rapport du 12 août 2008), l'administration a rejeté la nouvelle demande de prestations (décision du 6 novembre 2008).
B. B._ a saisi le Tribunal cantonal genevois des assurances sociale d'un nouveau recours. Il concluait à l'octroi d'une rente et déposait à l'appui de ses prétentions l'avis des docteurs I._, département de psychiatrie de l'Hôpital X._, et N._, psychiatre. Le premier a relevé la présence d'un épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique, d'un trouble obsessionnel compulsif et d'un trouble somatoforme douloureux (rapport du 11 février 2009). En sus de l'état dépressif sévère et du trouble somatoforme douloureux signalé, le second a fait état d'un trouble anxieux important (rapport du 2 février 2009).
L'administration ayant contesté par le truchement de son service médical la pertinence des diagnostics rapportés (avis des docteurs U._ et C._ du 5 mars 2009) et conclu au rejet du recours, la réalisation d'une expertise judiciaire a été confiée au docteur F._, psychiatre, qui a diagnostiqué un trouble somatofome indifférencié, un épisode dépressif moyen et un trouble anxieux mixte autorisant l'exercice d'une activité adaptée à plein temps avec un rendement diminué de 35 % depuis le mois de novembre 2003 probablement (rapport du 5 décembre 2009). Les parties ont maintenu leurs conclusions.
Se fondant sur les conclusions de l'expertise judiciaire jugée probante, les premiers juges ont partiellement admis le recours, annulé la décision du 6 novembre 2008 et constaté le droit de l'intéressé à un quart de rente à partir du 1er juillet 2008 (jugement du 15 mars 2010). Ils ont évalué le degré d'invalidité de l'assuré à 44,6 %.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de la décision du 6 novembre 2008.
B._ conclut au rejet du recours alors que l'Office fédéral des assurances en propose l'admission.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués et le rejeter par une argumentation autre que celle de l'autorité précédente (cf. ATF 133 V 515 consid. 1.3 p. 519; 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Il n'examine en principe que les griefs allégués, eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public, l'art. 106 al. 2 LTF exige que la violation des droits fondamentaux soit explicitement soulevée et clairement exposée dans le mémoire de recours (cf. ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261).
2. En l'espèce, la juridiction cantonale a estimé que le rapport d'expertise rédigé par le docteur F._ revêtait pleine valeur probante dans la mesure où ce document remplissait les critères jurisprudentiels. Elle mentionnait d'une manière générale à ce sujet l'examen documenté et motivé d'un dossier complet expliquant clairement les diagnostics retenus, relatant en détail les plaintes de l'intimé et reposant sur deux entretiens avec ce dernier et un avec les médecins traitants. Elle a aussi considéré que les conclusions de l'expert, pour qui l'état dépressif et le trouble anxieux constituaient une comorbidité indépendante du trouble somatoforme douloureux, n'étaient pas valablement mises en doute par l'avis sommaire du SMR à ce propos. Elle s'est par conséquent fondée sur les diagnostics évoqués par le docteur F._ et l'évaluation de la capacité de travail effectuée par celui-ci. Elle constatait ainsi que le rendement de l'assuré était diminué de 35 % probablement depuis le mois de novembre 2003 quelle que soit l'activité envisagée à cause de l'influence du trouble somatoforme indifférencié, de l'épisode dépressif moyen et du trouble anxieux mixte observés. Elle a enfin jugé que ces éléments constituaient des faits nouveaux importants, qui mettaient objectivement en évidence le caractère erroné de la décision du 7 février 2006, dont il fallait tenir compte dans le cadre de la nouvelle demande de prestations dès lors qu'il ne lui était pas possible de revenir sur la période couverte par l'arrêt du Tribunal fédéral, et justifiaient l'octroi d'un quart de rente d'invalidité à partir du 1er juillet 2008.
3. Le raisonnement des premiers juges, confus dans la mesure où ceux-ci semblent appliquer, pêle-mêle, dans le cadre d'une nouvelle requête de prestations les principes afférents à la révision procédurale au sens de l'art. 53 al. 1 LGPA et à la reconsidération au sens de l'art. 53 al. 2 LPGA sans expliciter clairement leur démarche, viole manifestement le droit fédéral.
Quand l'administration entre en matière sur une nouvelle demande (cf. art. 87 al. 4 RAI), elle doit effectivement procéder de la même manière que dans les cas de révision au sens de l'art. 17 al. 1 LPGA et comparer les circonstances prévalant lors de la nouvelle décision avec celles existant lors de la dernière décision entrée en force et reposant sur un examen matériel du droit à la rente (cf. ATF 133 V 108) pour déterminer si une modification notable du taux d'invalidité justifiant la révision du droit en question est intervenue. La reconsidération par substitution de motifs d'une décision est, en principe, admissible dans un tel cadre (cf. p. ex. arrêt 9C_342/2008 du 20 novembre 2008 consid. 5, non publié in ATF 135 I 1). Selon un principe général du droit des assurances sociales, l'administration peut reconsidérer une décision formellement passée en force et sur laquelle aucune autorité judiciaire ne s'est prononcée quant au fond à condition que ladite décision soit manifestement erronée et que sa rectification revête une importance notable (cf. art. 53 al. 2 LPGA; voir aussi ATF 133 V 50 consid. 4.1 p. 52; 119 V 475 consid. 1b/cc p. 479; 116 V 62 consid. 3a p. 62 s.). Rien ne semble s'opposer à ce que la découverte de faits nouveaux importants ou la production de nouveaux moyens de preuve au sens de l'art. 53 al. 1 LPGA (sur ces notions, cf. arrêt I 183/04 du 28 avril 2005 consid. 2.2 in REAS 2005 p. 242) puissent servir à démontrer le caractère erroné de la décision initiale. Les conditions d'une telle construction juridique font cependant défaut en l'occurrence. En effet, il ne saurait d'abord être question de reconsidérer la décision du 7 février 2006 dans la mesure où deux autorités judiciaires se sont prononcées sur le fond du litige. L'expertise judiciaire ne peut ensuite être considérée comme un moyen de preuve nouveau mettant en évidence des faits nouveaux démontrant que la décision initiale était manifestement erronée. Si l'on compare les diagnostics et la capacité résiduelle de travail retenue par le docteur E._ en 2003 (trouble somatoforme indifférencié et dysthymie laissant subsister une pleine capacité de travail avec une baisse de rendement d'au plus 20 %) avec les mêmes éléments décrits par le docteur F._ six ans après (trouble somatoforme indifférencié, épisode dépressif moyen et trouble anxieux mixte laissant subsister depuis 2003 une pleine capacité de travail avec une baisse de rendement de 35 %), on constate qu'il s'agit clairement d'une appréciation différente de la même situation qui ne constitue ni un motif de révision ni un motif de reconsidération (cf. arrêt I 8/04 du 12 octobre 2005 in Plädoyer 2006/1 p. 64). La juridiction cantonale l'admet du reste explicitement (jugement attaqué, consid. 8 p. 18). On relèvera encore à cet égard que l'expert judiciaire mentionne expressément l'absence d'évolution significative depuis 2003 ou un état psychique inchangé depuis cette date (réponse 7 et 8 du rapport d'expertise, p. 18).
Il apparaît ainsi que l'expertise du docteur F._ n'établit nullement l'existence de faits nouveaux qui, selon sa théorie, pourraient démontrer le caractère erroné de la décision initiale et justifier sa reconsidération au sens de l'art. 53 al. 2 LPGA mais établit, au contraire, la stabilité de la situation médicale de l'assuré entre 2003 et 2009, ce qui a pour conséquence d'exclure l'application par analogie des principes de la révision au sens de l'art. 17 LPGA dans le cadre d'une nouvelle demande, une péjoration de l'état de santé n'étant pas réalisée, de sorte que le jugement entrepris doit être annulé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimé (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement rendu le 15 mars 2010 par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton