Faits:
A. Par décision du 1er mai 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'OAI) a refusé à G._ l'octroi de toute rente ou mesure professionnelle. Représenté par DAS Protection juridique SA (ci-après: la DAS), l'assuré a recouru contre cette décision auprès du Tribunal des assurances du canton de Vaud. Le mémoire était signé, au nom de la DAS, par une personne titulaire du brevet d'avocat. Par jugement du 6 décembre 2007, le recours a été rejeté. G._, toujours représenté par la DAS, a recouru contre ce jugement au Tribunal fédéral, lequel, dans le dispositif de l'arrêt rendu le 4 février 2009, a notamment prévu que « 3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'800 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale » et que « 4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance ».
B. La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois ayant succédé, à partir du 1er janvier 2009, au Tribunal cantonal des assurances, l'affaire lui a été transmise pour l'exécution du ch. 4 du dispositif de l'arrêt du Tribunal fédéral. Donnant suite à une interpellation de la cour cantonale, la DAS a répondu, le 16 mars 2009, que le contrat d'assurance protection juridique conclu par l'assuré ne prévoyait aucune franchise, ni participation aux frais à charge de ce dernier pour les litiges couverts. En revanche, les conditions générales d'assurance prévoyaient que les participations aux frais obtenus par voie judiciaire ou transactionnelle, dont notamment les dépens, étaient acquises à la DAS. Par jugement du 25 mars 2009, la Cour des assurances sociales a prononcé que, pour la procédure de recours au Tribunal des assurances, il n'est pas alloué de dépens à G._.
C. G._, représenté par la DAS, interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, principalement, à ce que l'OAI soit condamné à verser à G._ des dépens pour la procédure de première instance, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire cantonale pour qu'elle statue sur la hauteur des dépens, et subsidiairement, à ce que le Tribunal fédéral fixe le montant des dépens.
L'OAI et la Cour des assurances sociales concluent au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
1.2 Le recourant se prévaut d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et du principe de la bonne foi (art. 9 Cst.), alléguant que le tribunal cantonal n'a pas indiqué de manière suffisamment claire, en l'interpellant et en lui fixant un délai pour se déterminer, quel serait l'objet du jugement qui a ensuite été rendu. Dans la mesure où il soulève un grief d'ordre formel contre le déroulement de la procédure de première instance, celui-ci doit en principe être examiné en premier lieu, car il se pourrait que le tribunal accueille le recours sur ce point et renvoie la cause à l'autorité cantonale sans examen du litige au fond (ATF 124 V 90 consid. 2 p. 92 et la référence). Vu l'issue du litige, il n'y a pas lieu de statuer sur les griefs d'ordre formel en question.
2. 2.1 En motivant le refus d'allouer des dépens à G._ pour la procédure de recours en instance cantonale, la Cour des assurances sociales a d'abord relevé que le recourant ne doit pas supporter lui-même des frais d'avocat ou de représentant, ni d'autres frais directement liés à la procédure de recours cantonale. Elle a en outre considéré que la DAS n'avait pas mandaté un avocat pratiquant la représentation juridique au sens de l'art. 2 de la Loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (Loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61) pour agir au nom de l'assuré. Le juge cantonal a ensuite relevé que, même en l'absence de frais d'avocat, il arrive que le Tribunal fédéral alloue des dépens pour l'instance fédérale à une partie représentée directement par son assurance protection juridique qui n'a pas elle-même mandaté un avocat. A son avis, on ne saurait toutefois déduire de ces arrêts que les tribunaux cantonaux doivent, dans le cadre du droit cantonal, allouer des dépens à une partie qui ne doit pas supporter de frais d'avocat ni d'autres frais. D'autres situations spéciales pouvaient se présenter, dans lesquelles le Tribunal fédéral avait rappelé, sous l'empire de l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ), qu'une solution particulière se justifiait pour les assurés recourants représentés par certaines associations ou organisations d'aide aux invalides ou aux personnes handicapées, voire à certains organismes analogues, ceci compte tenu des besoins financiers de ces organismes régis par le droit privé, lesquels tiraient généralement leurs ressources des cotisations ou du soutien financier de leurs membres (ATF 126 V 11, 122 V 278). Cependant, aucun motif d'appliquer cette jurisprudence par analogie dans l'affaire en cause n'était donné, puisqu'elle ne traite pas la question de la représentation par une assurance de protection juridique qui ne mandate pas un avocat. La Cour des assurances sociales a conclu que la définition de la notion de dépens de l'art. 61 let. g LPGA n'impose pas aux cantons d'allouer une indemnité à ce titre au recourant qui, représenté par son assurance de protection juridique, obtient gain de cause sans devoir participer aux frais de représentation ou de défense en justice. Enfin, l'instance cantonale a relevé que, pour le recourant personnellement, il est économiquement indifférent d'obtenir ou non l'allocation de dépens, puisqu'il n'a pas de frais à rembourser et qu'il s'est engagé contractuellement à céder à l'assureur les dépens éventuellement alloués.
2.2 Dans son recours, la DAS fait valoir que le jugement cantonal est constitutif d'une violation du droit fédéral, en particulier de l'art. 61 let. g LPGA. Elle considère qu'en matière d'assurance-invalidité, seul le droit fédéral définit les conditions dans lesquelles le recourant a droit à des dépens, l'allocation des dépens selon l'art. 61 let. g LPGA étant une obligation et non pas une simple faculté de l'autorité. Ainsi, lorsque l'assuré est représenté par des personnes qualifiées ou organismes dont le champ d'activité ressortit au droit privé et dont le financement repose sur des contributions de membres, celui-ci peut prétendre à des dépens. Selon l'argumentation du recourant, la notion de représentant qualifié doit être interprétée à la lumière du droit fédéral, et la jurisprudence rendue à propos de l'art. 68 LTF, d'après lequel le Tribunal fédéral décide, dans son arrêt, si et dans quelle mesure les frais de la partie qui obtient gain de cause sont supportés par celle qui succombe (al. 1), peut être appliquée par analogie. Or, le Tribunal fédéral avait reconnu à réitérées reprises, tant sous l'empire de l'OJ (art. 159 OJ) que de la LTF, la qualité de représentant qualifié aux assurances de protection juridique dont le champ d'activité ressortit au droit privé, tandis qu'il l'avait niée dans le cas d'une institution de droit public, l'organisme en question (l'Hospice général du canton de Genève) ne tirant en l'occurrence pas ses ressources des cotisations ou du soutien financier de ses membres, mais essentiellement de subventions étatiques destinées à lui permettre de mener à bien sa fonction d'organisme d'assistance publique (ATF 126 V 11). Le recourant conteste l'opinion de la juridiction de première instance dans la mesure où elle a refusé d'appliquer à son cas la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances, respectivement du Tribunal fédéral, en invoquant le fait que celle-ci ne traite pas la question de la représentation par une assurance de protection juridique qui ne mandate pas un avocat. Elle relève que le Tribunal cantonal des assurances du canton de Vaud a reconnu la qualité de mandataire qualifié à la DAS dans un autre jugement qui lui a été notifié postérieurement au jugement querellé, que cette qualité a par ailleurs été admise par le Tribunal fédéral en statuant sur l'octroi de dépens en application de l'art. 68 LTF dans de nombreux arrêts et que, par souci de cohérence, la qualité de mandataire qualifié ne peut être accordée sur la base de l'art. 68 LTF d'une part, mais être refusée sur celle de l'art. 61 let. g LPGA d'autre part. Enfin, le recourant ne conteste pas que les cantons sont libres de fixer le montant des dépens, mais considère néanmoins que la notion d'ayant-droit n'est pas de la compétence des cantons et que, en tout état de cause, celle-ci est limitée par les exigences du droit fédéral, plus particulièrement de l'art. 61 let. g LPGA.
3. 3.1 Dans un arrêt du 27 janvier 1992, le Tribunal fédéral des assurances avait jugé, en se fondant sur l'art. 159 OJ, qu'un assuré représenté par l'avocat d'une assurance de protection juridique et qui obtient gain de cause a droit à une indemnité de dépens (arrêt H. du 27 janvier 1992, K 44/91). Cette jurisprudence a été confirmée par un arrêt publié aux ATF 122 V 278 consid. 3e/aa p. 280, dans lequel il a été jugé qu'une partie représentée par l'Association suisse des invalides (ASI) et qui obtient gain de cause a droit à une indemnité de dépens, tant pour la procédure de recours fédérale que pour la procédure cantonale (VSI 1997 p. 36 consid. 5). En revanche, le Tribunal fédéral des assurances a nié ce droit dans le cas publié aux ATF 126 V 11 consid. 2 ss p. 11 ss, puisqu'il s'agissait en l'occurrence d'une institution de droit public. Depuis lors, cette jurisprudence a été confirmée à maintes reprises, tant sous le régime de l'art. 159 OJ qu'en application de l'art. 68 LTF (consid. 6 de l'arrêt K 136/06 du 18 janvier 2008, non publié aux ATF 134 V 72; consid. 3 de l'arrêt C 284/05 du 25 avril 2006, non publié au DTA 2007 p. 46; arrêts C 154/04 du 12 juillet 2005 consid. 4 et I 333/03 du 9 septembre 2003 consid. 7; sous le régime de la LTF: consid. 7 de l'arrêt 9C_853/2007 du 15 avril 2008, non publié aux ATF 134 V 162; arrêts 8C_888/2008 du 14 août 2009 consid. 10 in fine, 8C_794/2008 du 29 janvier 2009 consid. 8, 8C_277/2008 du 4 décembre 2008 consid. 5 et 8C_370/2008 du 29 août 2008 consid. 5). Par ailleurs, il est arbitraire de refuser à une partie une indemnité à titre de dépens du seul fait qu'elle est au bénéfice d'une assurance de protection juridique (ATF 117 Ia 295 consid. 3 p. 296 sv.).
3.2 Contrairement à l'opinion de la Cour des assurances sociales, la notion d'ayant droit à des dépens n'est pas de la compétence des cantons et la présente contestation ne porte dès lors pas sur l'application d'une norme de droit cantonal. De plus, il est de jurisprudence constante que les garanties de procédure minimales (art. 61 let. g LPGA) incluent un droit de la partie à l'obtention de dépens pour la procédure de première instance (cf. Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2009, nos 116 et 120 - 122 ad art. 61 LPGA). Enfin, le raisonnement de la Cour des assurances sociales du canton de Vaud n'est pas convaincant dans la mesure où, dans son jugement, elle relève d'une part que la DAS n'avait pas mandaté un avocat pratiquant la représentation juridique au sens de l'art. 2 LLCA pour agir au nom de l'assuré et qu'il n'y avait dès lors aucun motif d'appliquer cette jurisprudence par analogie dans l'affaire en cause, mais d'autre part constate que le mémoire de recours en instance cantonale était signé, au nom de la DAS, par une personne titulaire du brevet d'avocat, en relevant par ailleurs, dans sa détermination du 14 août 2009, que la société représentant le recourant confie le suivi de ses dossiers à des juristes expérimentés ou titulaires du brevet d'avocat.
3.3 La cour cantonale a notamment considéré que, à la suite de l'entrée en vigueur de nouvelles règles de procédure cantonale, elle n'est pas liée par la jurisprudence exposée ci-dessus en raison du fait que, dans le cas d'espèce, le recourant n'était pas représenté par une personne qualifiée ou un organisme dont le champ d'activité ressortit au droit privé et dont la protection juridique est assurée par un avocat mandaté par cet organisme. Or, tel n'est pas le cas. En outre, les principes développés dans le cadre de l'OJ, applicables par analogie à l'art. 61 let. g LPGA et à l'art. 68 LTF, doivent être observés en l'occurrence. Dans ces conditions, en refusant d'allouer des dépens à G._ pour la procédure de première instance, le Tribunal cantonal des assurances a violé le droit fédéral. Le recours est dès lors bien fondé et le jugement cantonal doit être annulé.
4. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens à la charge de l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, du 25 mars 2009, est annulé, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure de dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Scartazzini