Sachverhalt:
A. Die nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1968) reiste im Jahr 1997 mit ihrem Sohn O._ (geb. 1995) in die Schweiz ein. Im Jahr 1999 wurden sie vorläufig aufgenommen. Am 27. Oktober 2000 heiratete X._ den Schweizer nigerianischer Abstammung Z._, worauf ihr und ihrem Sohn eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Neuenburg erteilt wurde. In den Jahren 2001 und 2005 wurde X._ wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu Freiheitsstrafen von je neun Monaten verurteilt.
Die Ausländerbehörde des Kantons Neuenburg verweigerte mit Verfügung vom 10. März 2006 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung für X._ und ihren Sohn. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 6. März 2007 (2A.117/2007) auf die gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Neuenburg erhobene Beschwerde nicht ein.
B. Nach der Scheidung von Z._ heiratete X._ am 25. Januar 2008 den 33 Jahre älteren schweizerischen Staatsangehörigen Y._ (geb. 1935) und ersuchte um Aufenthaltsbewilligung im Kanton Bern für sich und ihren Sohn O._. Mit Verfügung vom 31. Juli 2009 verweigerte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern X._ die Aufenthaltsbewilligung und wies sie auf den 31. August 2009 aus der Schweiz weg. Auf das Gesuch des seit dem 12. August 2008 unter Vormundschaft stehenden Sohnes trat es nicht ein. Die gegen die Bewilligungsverweigerung von X._ und Y._ eingereichten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
C. Mit "Verwaltungsgerichtsbeschwerde" vom 23. Februar 2011 beantragen X._ und Y._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 18. Januar 2011 aufzuheben, den Kanton Bern anzuweisen, X._ die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, eventualiter die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, die Beschwerdeführer persönlich anzuhören.
Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Migrationsdienst des Kantons Bern verweist auf die Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts, ohne einen Antrag zu stellen.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Die Beschwerdeführerin 1 ist seit dem 25. Januar 2008 mit einem Schweizer Bürger - dem Beschwerdeführer 2 - verheiratet und wohnt mit ihm zusammen. Sie hat damit einen grundsätzlichen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund von Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV, da die ehelichen Beziehungen zwischen den Gatten soweit ersichtlich intakt sind und tatsächlich gelebt werden (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.; BGE 129 II 193 E. 5.3.1 S. 211 mit Hinweisen). Ausserdem kann sie sich auch auf Art. 8 EMRK berufen aufgrund ihrer Beziehung zu ihrem minderjährigen Sohn, der über das Schweizer Bürgerrecht verfügt. Ob der Bewilligungsanspruch der Beschwerdeführerin 1 erloschen ist, weil - wie die Vorinstanzen angenommen haben - ein Widerrufsgrund vorliegt, ist eine Frage der materiellen Beurteilung und nicht der Zulässigkeit des Rechtsmittels (BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 149 f. mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall steht somit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG a contrario), wobei die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels den Beschwerdeführern nicht schadet (vgl. BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382; 133 I 3000 E. 1.2 S. 302).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweist (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Das erst nach dem angefochtenen Urteil erstellte Schreiben des Sohnes der Beschwerdeführerin 1 kann als echtes Novum nicht berücksichtigt werden; es vermöchte indessen ohnehin am Ausgang des Verfahrens nichts zu ändern.
1.3 Die Beschwerdeschrift hat gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Diesen Anforderungen genügt die gerügte Verletzung von Art. 14 BV nicht. Die Beschwerdeführer legen jedenfalls nicht dar, inwiefern ihnen diese Bestimmung gegenüber dem das Familienleben schützenden Art. 8 EMRK einen weitergehenden Anspruch einräumt, weshalb darauf nicht näher einzugehen ist.
2. Die Ansprüche nach Art. 42 AuG erlöschen unter anderem dann, wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG). Dies ist namentlich der Fall, wenn eine ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG) oder wenn sie in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat (Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG).
2.1 Die Beschwerdeführerin 1 wurde mit zwei Strafurteilen zu Freiheitsstrafen von je 9 Monaten verurteilt, wobei die zweite Strafe teilweise als Zusatzstrafe zur ersten Strafe ausgesprochen wurde. Unter Berücksichtigung der Zusatzstrafe ging die Vorinstanz davon aus, dass die Beschwerdeführerin 1 zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe im Sinne von Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG) verurteilt wurde.
2.1.1 Das Bundesgericht hat jedoch präzisiert, dass eine Freiheitsstrafe als "längerfristig" gilt, wenn ihre Dauer ein Jahr überschreitet (BGE 135 II 377 E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.), wobei verschiedene Freiheitsstrafen von einem Jahr oder weniger nicht zusammenzurechnen sind. Der Widerrufsgrund ist vielmehr (nur) dann erfüllt, wenn eine Strafe für sich alleine das Kriterium der Längerfristigkeit erfüllt, d.h. die Dauer von einem Jahr überschreitet (vgl. BGE 137 II 297 E. 2.3.6 S. 302).
2.1.2 Mit Urteilen des Strafgerichts (Tribunal Correctionnel) des Bezirks Neuenburg vom 28. November 2001 und vom 11. Mai 2005 wurde die Beschwerdeführerin 1 wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz - wie erwähnt - zu Freiheitsstrafen von je neun Monaten verurteilt. Damit haben die gegen die Beschwerdeführerin 1 ausgesprochenen Freiheitsstrafen die Dauer eines Jahres jeweils nicht überschritten. Dass das Strafgericht im Jahre 2001 eine Freiheitsstrafe von 14 statt 9 Monaten verhängt hätte, wenn ihm alle im Beurteilungszeitraum begangenen Straftaten bekannt gewesen wären, und somit die zweite Freiheitsstrafe von neun Monaten im Umfang von 5 Monaten als Zusatzstrafe zur Strafe gemäss Urteil vom 28. November 2001 ausgesprochen wurde, ändert daran nichts. Bei der Prüfung des Widerrufsgrundes der längerfristigen Freiheitsstrafe ist ein Zusammenrechnen verschiedener Freiheitsstrafen - auch einer Grundstrafe mit einer (teilweisen) Zusatzstrafe - von einem Jahr oder weniger aufgrund der erwähnten Rechtsprechung nicht zulässig. Der Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG ist vorliegend somit nicht erfüllt und die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung darf der Beschwerdeführerin 1 deshalb nicht mit dieser Begründung verweigert werden (Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG e contrario; vgl. E. 2.1.1 hiervor).
2.2 Mit Urteil vom 28. November 2001 sah das Strafgericht den Kauf und Verkauf von knapp hundert Gramm Kokain durch die Beschwerdeführerin 1 sowie den Transport einer unbestimmten Menge Kokain nach Zürich als erwiesen, womit die Grenze zu einem schweren Fall im Sinn von Art. 19 Ziff. 2 BetmG überschritten sei. Der verminderten Zurechnungsfähigkeit der Beschwerdeführerin 1 trug es Rechnung, indem es eine bedingte Freiheitsstrafe von neun Monaten aussprach. Trotz erstandener Untersuchungshaft und strafrechtlicher Verurteilung nahm die Beschwerdeführerin 1 vom Drogenhandel nicht Abstand. Mit Urteil vom 11. Mai 2005 wurde sie wegen Vermittlung und Abgabe von Kokain wiederum zu einer bedingten Freiheitsstrafe von neun Monaten verurteilt und die frühere bedingte Strafe widerrufen. Im Hinblick darauf, dass durch den Betäubungsmittelhandel eine Vielzahl von Personen an Leib und Leben gefährdet werden (vgl. Urteil des EGMR Dalia gegen Frankreich vom 19. Februar 1998, Recueil CourEDH 1998-I S.76 §§ 50-55), ist der Schluss der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin 1 habe in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen und erfülle mithin den Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG, nicht zu beanstanden.
3. Die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 42 AuG in Verbindung mit Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG) rechtfertigt sich jedoch nur, wenn sich die entsprechende Massnahme aufgrund der im Einzelfall vorzunehmenden Interessenabwägung als verhältnismässig erweist (vgl. Art. 96 Abs. 1 AuG). Dabei sind namentlich die Schwere des Verschuldens, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die dem Betroffenen und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381). Analoge Kriterien ergeben sich aus Art. 8 Ziff. 2 EMRK bzw. Art. 13 BV in Verbindung mit Art. 36 BV (vgl. BGE 135 I 153 E. 2 S. 154 ff.; 143 E. 1.3.2 und E. 2 S. 146 ff; je mit Hinweisen).
3.1 Dass die Vorinstanz von einem erheblichen Verschulden ausging, ist angesichts der wiederholten und mengenmässig qualifizierten Straffälligkeit der Beschwerdeführerin im Betäubungsmittelbereich nicht zu beanstanden. Ins Gewicht fällt auch, dass sie trotz erstandener Untersuchungshaft und noch während der Probezeit erneut delinquierte. Die Behauptung der Beschwerdeführerin 1, die Betäubungsmitteldelikte aufgrund ihrer Abhängigkeit vom damaligen Ehemann begangen zu haben, erscheint im Übrigen aktenwidrig und kann als Hinweis auf mangelndes Unrechtsbewusstsein verstanden werden. Die Vorinstanz hat nicht übersehen, dass die Beschwerdeführerin 1 in den letzten Jahren nicht mehr straffällig geworden ist. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer kann insofern von einer Gehörsverletzung nicht die Rede sein. Die Vorinstanz erwog in diesem Zusammenhang jedoch, die Beschwerdeführerin 1 habe in der fraglichen Zeit unter dem Druck der Probezeit sowie der Wegweisung bzw. der ausstehenden Regelung ihrer Anwesenheit gestanden, weshalb ein gewisses Rückfallrisiko dennoch nicht ausgeschlossen werden könne. Zudem komme dem seit Ablauf der Probezeit vergangenen (kurzen) Zeitraum angesichts der Schwere der Delikte nicht genügend Gewicht zu, um die gegen die Beschwerdeführerin aufgrund ihres bisherigen Verhaltens in früheren Jahren bestehenden Bedenken auszuräumen. Diese Würdigung ist nicht zu beanstanden. Auf die Prognose wirkt sich zudem ungünstig aus, dass die Beschwerdeführerin weiterhin nicht erwerbstätig und auch sonst nicht integriert ist. Das Bundesgericht verfolgt im Zusammenhang mit dem Drogenhandel ausländerrechtlich eine strenge Praxis (BGE 125 II 521 E. 4a/aa S. 527), wobei selbst ein geringes Restrisiko nicht hinzunehmen ist. Damit bestehen erhebliche öffentliche Interessen, der Beschwerdeführerin 1 die weitere Anwesenheit in der Schweiz zu verweigern.
3.1 Dass die Vorinstanz von einem erheblichen Verschulden ausging, ist angesichts der wiederholten und mengenmässig qualifizierten Straffälligkeit der Beschwerdeführerin im Betäubungsmittelbereich nicht zu beanstanden. Ins Gewicht fällt auch, dass sie trotz erstandener Untersuchungshaft und noch während der Probezeit erneut delinquierte. Die Behauptung der Beschwerdeführerin 1, die Betäubungsmitteldelikte aufgrund ihrer Abhängigkeit vom damaligen Ehemann begangen zu haben, erscheint im Übrigen aktenwidrig und kann als Hinweis auf mangelndes Unrechtsbewusstsein verstanden werden. Die Vorinstanz hat nicht übersehen, dass die Beschwerdeführerin 1 in den letzten Jahren nicht mehr straffällig geworden ist. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer kann insofern von einer Gehörsverletzung nicht die Rede sein. Die Vorinstanz erwog in diesem Zusammenhang jedoch, die Beschwerdeführerin 1 habe in der fraglichen Zeit unter dem Druck der Probezeit sowie der Wegweisung bzw. der ausstehenden Regelung ihrer Anwesenheit gestanden, weshalb ein gewisses Rückfallrisiko dennoch nicht ausgeschlossen werden könne. Zudem komme dem seit Ablauf der Probezeit vergangenen (kurzen) Zeitraum angesichts der Schwere der Delikte nicht genügend Gewicht zu, um die gegen die Beschwerdeführerin aufgrund ihres bisherigen Verhaltens in früheren Jahren bestehenden Bedenken auszuräumen. Diese Würdigung ist nicht zu beanstanden. Auf die Prognose wirkt sich zudem ungünstig aus, dass die Beschwerdeführerin weiterhin nicht erwerbstätig und auch sonst nicht integriert ist. Das Bundesgericht verfolgt im Zusammenhang mit dem Drogenhandel ausländerrechtlich eine strenge Praxis (BGE 125 II 521 E. 4a/aa S. 527), wobei selbst ein geringes Restrisiko nicht hinzunehmen ist. Damit bestehen erhebliche öffentliche Interessen, der Beschwerdeführerin 1 die weitere Anwesenheit in der Schweiz zu verweigern.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerin 1 reiste 1997 im Alter von knapp 29 Jahren in die Schweiz ein. Die Dauer ihres Aufenthalts in der Schweiz ist jedoch insofern zu relativieren, als sie nur bis zum 27. Oktober 2005 über eine gültige Aufenthaltsbewilligung verfügte und trotz rechtskräftiger Wegweisung in der Schweiz verblieb. Zudem ist sie weder sprachlich noch beruflich integriert. Mit Ausnahme von einigen Temporärstellen ist sie nie einer regelmässigen Erwerbstätigkeit nachgegangen und bezog ab Oktober 2004 bis zur Heirat mit dem Beschwerdeführer 2 Sozialhilfe. Seither ist sie nicht mehr fürsorgeabhängig, aber auf die finanzielle Unterstützung ihres Ehegatten angewiesen, da sie - wie erwähnt - weiterhin nicht erwerbstätig ist. Im Übrigen darf davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführerin 1 die in Nigeria herrschenden sozialen und kulturellen Verhältnisse nach wie vor vertraut sind. Dort ist sie aufgewachsen, hat sie ihre Ausbildung als Grundschullehrerin absolviert und gearbeitet, bevor sie ihr Heimatland verliess. Dass ihr eine Rückkehr nach Nigeria, wo vermutlich noch ihre beiden älteren Kinder und andere Verwandte leben, nicht zumutbar wäre, ist weder dargetan noch ersichtlich. Der Umstand, dass zwei Geschwister offenbar ebenfalls in der Schweiz leben, ist vorliegend schon deshalb nicht von Bedeutung, da nicht behauptet wird, es bestehe zwischen diesen und der Beschwerdeführerin 1 ein eigentliches Abhängigkeitsverhältnis (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 13; 120 Ib 257 E. 1d S. 261).
3.2.2 Die Beschwerdeführerin 1 lernte ihren heutigen Ehemann durch dessen frühere Ehefrau, ebenfalls eine Nigerianerin, kennen und hat nach ihrer Entlassung aus dem Strafvollzug mit ihm wieder Kontakt aufgenommen. Der Verdacht der Fremdenpolizeibehörde, es könnte sich allenfalls um eine Ausländerrechtsehe handeln, liess sich auch aufgrund einer entsprechenden Befragung der Ehegatten und sonstigen Abklärungen nicht erhärten. Die Vorinstanz erwog zu Recht, dass dem 75-jährigen schweizerischen Ehemann die Übersiedlung nach Nigeria wohl kaum zumutbar sei. Grosses Gewicht kommt diesem Umstand aber nicht zu. Entscheidend ist, dass die Beschwerdeführer nach den strafrechtlichen Verurteilungen und nach der rechtskräftigen Wegweisung der Beschwerdeführerin 1 geheiratet haben. Sie mussten daher bereits im Zeitpunkt der Heirat damit rechnen, die eheliche Gemeinschaft nicht in der Schweiz leben zu können. Der Einwand des Ehegatten, er habe sich bei der Heirat über die ausländerrechtliche Situation der Beschwerdeführerin 1 keine Gedanken gemacht, vermag daran nichts zu ändern und erscheint zudem realitätsfremd, nachdem der Beschwerdeführer 2 bereits früher mit einer Nigerianerin verheiratet war und sich daher der ausländerrechtlichen Problematik bewusst sein musste. Hat er doch bei der Befragung durch den Migrationsdienst selber ausgesagt, seine erste nigerianische Ehefrau habe ihn nur geheiratet, um in der Schweiz bleiben zu können.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer besteht bei dieser Sachlage auch keine Notwendigkeit, eine persönliche Anhörung der Ehegatten durchzuführen, zumal Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf ausländerrechtliche Verfahren nicht anwendbar ist (vgl. Urteil 2C_344/2011 vom 21. September 2011 E. 3) und im Übrigen nicht bestritten wird, dass die Ehegatten in ehelicher Gemeinschaft leben.
3.2.3 Die Beschwerdeführerin 1 kann sich auch aufgrund ihrer Beziehung zu ihrem 15-jährigen Sohn O._, der in der Schweiz eingebürgert ist, im Grundsatz auf den Schutz des Familienlebens gemäss Art. 8 EMRK berufen (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). O._ ist als Zweijähriger mit seiner Mutter im September 1997 in die Schweiz eingereist. Gemäss den verbindlichen Feststellungen (vgl. E. 1.2) der Vorinstanz wohnte der Sohn aber lediglich von 2002 bis 2004 und von 2005 bis 2007, d.h. während insgesamt vier Jahren mit seiner Mutter zusammen. Seit Herbst 2007 lebt er in einem Heim der Stiftung "R._" in A._. Mit Entscheid vom 12. August 2008 wurde der Beschwerdeführerin 1 die elterliche Sorge über O._ entzogen und Q._ als Vormund eingesetzt. Nach deren Angaben konnte O._ in "R._" grosse Fortschritte in der schulischen Entwicklung machen und Beziehungen zu den Kindern sowie zu den Erwachsenen aufbauen. Aus den Akten geht hervor, dass sich O._ im Heim offensichtlich wohl fühlt. Die Wochenenden und die Schulferien verbringt er allerdings bei den Beschwerdeführern, wobei das Verhältnis zum Stiefvater nicht sehr eng ist.
Bei einer Rückkehr der Beschwerdeführerin 1 nach Nigeria würde die Aufrechterhaltung der Mutter-Sohn-Beziehung gewiss erschwert. In diesem Zusammenhang fällt jedoch ins Gewicht, dass diese Beziehung bereits jetzt nur beschränkt gelebt wird und dass die Beschwerdeführerin 1 als nicht Sorgeberechtigte die Kontakte zu ihrem Sohn grundsätzlich - zwar unter erschwerten Bedingungen - auch von Nigeria aus pflegen kann. Zudem ist der Sohn in einem Alter, in dem er nicht mehr im gleichen Ausmass auf die Beziehung zur Mutter angewiesen ist wie ein Kleinkind. Dies umso mehr als er bereits seit mehreren Jahren getrennt von seiner Mutter und zudem in einem Umfeld lebt, wo er gut aufgehoben ist und für ihn bestens gesorgt wird. Inwiefern der angefochtene Entscheid gegen das Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) verstossen soll, ist nicht ersichtlich. Jedenfalls wird zu Recht nicht behauptet, der Standpunkt des Kindes habe nicht Eingang in das Verfahren gefunden. Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit der Kinderrechtskonvention präzisiert, dass dem schweizerischen Kind nicht zugemutet werden dürfe, dem ausländischen Elternteil in dessen Heimat zu folgen, und dass im Rahmen der Interessenabwägung von Art. 8 Abs. 2 EMRK sein privates Interesse das öffentliche ordnungs- und sicherheitspolitische Interesse überwiege, wenn gegen den ausländischen, sorgeberechtigten Elternteil eines Schweizer Kindes keine strafrechtlich bedeutsamen Vorwürfe bestünden (BGE 136 I 285 E. 5.2 S. 287). Abgesehen davon, dass diese wesentliche Voraussetzung sowie die Bedingung der Sorgeberechtigung hier nicht erfüllt sind, und die strittige Massnahme auch nicht bloss die Durchsetzung einer restriktiven Einwanderungspolitik (BGE 135 I 153 E. 2.2.4 S. 158), sondern die Verhinderung von strafbaren Handlungen bezweckt, hat die Bewilligungsverweigerung vorliegend nicht zur Folge, dass der schweizerische Sohn die Schweiz zu verlassen hat.
3.3 Mit Blick auf die begangenen Delikte und die nicht hinzunehmende Rückfallgefahr bestehen ordnungs- und sicherheitspolitische Gründe, welche die privaten Interessen an einem weiteren Verbleib der Beschwerdeführerin 1 überwiegen und die Verweigerung der Bewilligung bzw. einen Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Abs. 2 EMRK rechtfertigen. Mithin erweist sich das angefochtene Urteil als bundesrechts- und konventionskonform.
4. Aufgrund des Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Für die Interessenabwägung wird ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil verwiesen.
Diesem Ausgang entsprechend werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 i.V.m. Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs