Sachverhalt:
A. Das Betreibungsamt Thierstein pfändete in den gegen Y._ gerichteten Betreibungen (Gläubiger: Kantonales Sozialamt Basel-Landschaft) den Liquidationsanteil des Schuldners am Gemeinschaftsvermögen der Erbengemeinschaft Z._ selig. Im Zuge des Verwertungsverfahrens gelangte das Betreibungsamt am 28. Juni 2010 nach Scheitern der Einigungsverhandlung an die kantonale Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs, um den Verwertungsmodus festzulegen.
B. Mit Urteil vom 29. Juli 2010 schloss die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn, dass der Liquidationsanteil von Y._ an der Erbschaft Z._ zu versteigern sei, und wies das Betreibungsamt an, den betreffenden Liquidationsanteil "zu inventarisieren, zu schätzen und zu versteigern".
C. X._ als Miterbe führt mit Eingabe vom 12. August 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer verlangt vom Bundesgericht die Aufhebung des Urteils der kantonalen Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs vom 29. Juli 2010.
Die Aufsichtsbehörde schliesst ohne weitere Bemerkungen auf die Abweisung der Beschwerde. Das Betreibungsamt hat sich zur Beschwerde vernehmen lassen und beantragt die Abweisung. Der Beschwerdeführer hat hierzu eine weitere Stellungnahme eingereicht.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig vom Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden sind nicht nur Beschwerdeentscheide (Art. 17 f. SchKG), sondern liegen auch vor, wenn die kantonale Aufsichtsbehörde Entscheidungen trifft, welche ihr vom Bundesrecht zugewiesen werden. Ein derartiger Entscheid liegt vor, wenn - wie hier - die kantonale Aufsichtsbehörde über die Art der Verwertung von Anteilen an Gemeinschaftsvermögen (Art. 132 Abs. 3 SchKG; Art. 10 der Verordnung über die Pfändung und Verwertung von Anteilen an Gemeinschaftsvermögen; VVAG, SR 281.41) entscheidet (Urteil 5A_623/2008 vom 29.10.2008 E. 1.1). Der angefochtene Entscheid über den Verwertungsmodus stellt einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG dar (BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351).
1.2 Als Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs ist im Kanton Solothurn das obere kantonale Gericht vorgesehen (§ 33 Gerichtsorganisationsgesetz/SO), was Art. 75 Abs. 2 BGG entspricht (Urteil 5A_83/2010 vom 11. März 2010 E. 1). Dass das Obergericht als kantonale Aufsichtsbehörde nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat, ändert an der Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen nichts, da hier die bundesrechtlichen Bestimmungen des Zwangsvollstreckungsrechts den Entscheid der kantonalen und - im Kanton Solothurn - einzigen Aufsichtsbehörde zuweisen (vgl. Art. 13 Abs. 2 SchKG; Urteil 5A_623/2008 vom 29.10.2008 E. 1.3). Der Beschwerdeführer als Miterbe hat ohne weiteres ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des angefochtenen Entscheides (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Die fristgerecht (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.3 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Mit der Beschwerde kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG).
2. Die Aufsichtsbehörde hat festgehalten, dass das Betreibungsamt am 28. Juni 2010 nach erfolgloser Einigungsverhandlung beantragt habe, den Verwertungsmodus betreffend den gepfändeten Anteil am Gemeinschaftsvermögen (Erbschaft) festzulegen. Sie hat erwogen, dass sie die Parteien mit Verfügung vom 2. Juli 2010 ersucht habe, innert 10 Tagen Anträge über die Verwertungsmassnahmen zu stellen. Ausser dem Gläubiger, der den Vollzug der Verwertung verlangt habe, hätten sich die Miterben nicht vernehmen lassen. Es kam (ohne jede weitere Erwägung) zum Schluss, dass der Liquidationsanteil gemäss Art. 10 VVAG zu versteigern sei.
3. Der Beschwerdeführer als Miterbe bestreitet unter anderem die Auffassung der Aufsichtsbehörde, dass er sich betreffend die weiteren Massnahmen zur Verwertung des gepfändeten Liquidationsanteils nicht habe vernehmen lassen. Er habe am 9. Juli 2010 dem Betreibungsamt rechtzeitig eine Stellungnahme zu Verwertungsmassnahmen abgegeben.
3.1 Gemäss Art. 132 Abs. 3 SchKG hat die Aufsichtsbehörde die Beteiligten anzuhören, bevor sie einen Entscheid nach Art. 10 Abs. 2 VVAG über die Art der Verwertung eines Anteils an einem Gemeinschaftsvermögen fällt. Die konkretisierenden Bestimmungen der VVAG sehen vor, dass im Fall, in welchem eine gütliche Verständigung nicht gelingt, das Betreibungsamt oder die Behörde, welche die Einigungsverhandlungen leitet, die pfändenden Gläubiger, den Schuldner und die Mitanteilhaber auffordert, ihre Anträge über die weiteren Verwertungsmassnahmen innert zehn Tagen zu stellen, und nach Ablauf dieser Frist sämtliche Betreibungsakten der für das Verfahren nach Artikel 132 SchKG zuständigen Aufsichtsbehörde übermittelt; diese kann nochmals Einigungsverhandlungen anordnen (Art. 10 Abs. 1 VVAG). Die Aufsichtsbehörde verfügt unter möglichster Berücksichtigung der Anträge der Beteiligten, ob das gepfändete Anteilsrecht als solches versteigert, oder ob die Auflösung der Gemeinschaft und Liquidation des Gemeinschaftsvermögens nach den für die betreffende Gemeinschaft geltenden Vorschriften herbeigeführt werden soll (Art. 10 Abs. 2 VVAG).
3.2 Nach den Sachverhaltsfeststellungen gibt es keinen Anhaltspunkt, dass bereits das Betreibungsamt nach Scheitern der Einigungsverhandlungen zu Anträgen über die weiteren Verwertungsmassnahmen eingeladen habe. Die Aufsichtsbehörde hat dies zu Recht (Art. 132 Abs. 3 SchKG) und entsprechend der Praxis (Entscheid der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Graubünden vom 23. September 1958 E. 1, in: BlSchK 1960 S. 154) mit der Aufforderung zur Stellungnahme vom 2. Juli 2010 nachgeholt.
3.2.1 Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor (Art. 105 Abs. 1 BGG), dass der Beschwerdeführer sich nach der betreffenden Aufforderung der Aufsichtsbehörde nicht habe vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer verlangt die Berücksichtigung seiner Stellungnahme vom 9. Juli 2010, die er dem Betreibungsamt eingereicht habe. Das Betreibungsamt bestätigt in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht den Eingang der Stellungnahme, welche jedoch nicht an die Aufsichtsbehörde weitergeleitet worden sei. Damit hat erst der Entscheid der Aufsichtsbehörde dem Beschwerdeführer den Anlass gegeben (Art. 99 BGG), sich auf die betreffende Stellungnahme zu berufen. Zu prüfen ist, ob Bundesrecht verletzt worden ist, wenn die Aufsichtsbehörde ohne Berücksichtigung der Stellungnahme des Beschwerdeführers über den Verwertungsmodus entschieden hat.
3.2.2 Das Betreibungsamt hat gemäss seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht das Schreiben des Beschwerdeführers nicht weitergeleitet, weil es eine Aufforderung zur Ausstellung eines Betreibungsregisterauszugs enthalte und der Beschwerdeführer keine Weiterleitung verlangt habe. Diese Auffassung ist nicht haltbar. Dass es in dem Schreiben um einen Registerauszug geht, stimmt nur teilweise. Der Beschwerdeführer äussert sich darin - wenn auch in diffuser Weise - zu Verwertungsmassnahmen. Jedenfalls erscheint die Eingabe nicht ungeeignet, dass ihr ein Antrag betreffend die anstehenden Verwertungsmassnahmen entnommen werden kann. Sodann hat das Betreibungsamt Kenntnis von der Fristansetzung vom 2. Juli 2010 durch die Aufsichtsbehörde gehabt und ist die Eingabe des Beschwerdeführers beim Amt unbestrittenermassen innert der angesetzten Frist eingegangen. Damit wäre das Betreibungsamt nach Art. 32 Abs. 2 SchKG verpflichtet gewesen, die Eingabe unverzüglich an die zuständige Behörde - die Aufsichtsbehörde - weiterzuleiten.
3.3 Nach dem Dargelegten hat die Aufsichtsbehörde über die Art der Verwertung des Anteils am Gemeinschaftsvermögens entschieden, ohne dass sie Kenntnis von der Stellungnahme des Beschwerdeführers und Mitanteilhabers hatte. Dies ist vorliegend mit Art. 10 Abs. 1 und 2 VVAG bzw. Art. 132 Abs. 3 SchKG nicht vereinbar; diese Bestimmungen verlangen, dass der Entscheid über den Verwertungsmodus nach Anhörung aller Beteiligten bzw. unter möglichster Berücksichtigung von deren Anträgen zu treffen ist (RUTZ, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, 1998, N. 21 zu Art. 132). Die Beschwerde ist begründet.
3.4 Bei diesem Ergebnis ist auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers über die von der Aufsichtsbehörde getroffene Anordnung nicht einzugehen. Die Ausführungen betreffend den Betreibungsregisterauszug sind nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist an die Aufsichtsbehörde zu neuer Entscheidung zurückzuweisen, wobei sie das Schreiben des Beschwerdeführers vom 9. Juli 2010 mit Blick auf mögliche (sinngemässe) Anträge zu Verwertungsmassnahmen zu berücksichtigen hat.
Falls die Aufsichtsbehörde in der Folge nicht nochmals Einigungsverhandlungen anordnet (Art. 10 Abs. 1 a.E. VVAG), hat sie über die Verwertungsart unter Berücksichtigung der massgebenden Kriterien zu entscheiden (Art. 10 Abs. 2 und 3 VVAG; BGE 80 III 117 E. 1 S. 120; RUTZ, a.a.O., N. 26 ff. zu Art. 132; BISANG, Die Zwangsverwertung von Anteilen an Gesamthandschaften, 1978, S. 187 ff.).
5. Die Rückweisung erfolgt vorliegend allein zum Zweck der Behebung des festgestellten Mangels und Neuentscheidung, so dass die Einholung einer Vernehmlassung der übrigen am Zwangsvollstreckungsverfahren Beteiligten nicht erforderlich ist (Urteil 5C.258/2004 vom 28. Februar 2005 E. 3). Gerichtskosten werden keine erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Eine Parteientschädigung zu Gunsten des nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 S. 446).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn vom 29. Juli 2010 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Y._, A._, dem Kantonalen Sozialamt Basel-Landschaft (Gestadeckplatz 8, 4410 Liestal), dem Betreibungsamt Thierstein und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante