Faits:
A. X._ a travaillé dès novembre 2005 au service de la société Y._ SA, puis celle-ci l'a licencié avec effet au 31 août 2007.
Le 5 novembre 2007, X._ a ouvert action contre l'employeuse devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève; sa demande tendait au paiement de 158'300 fr. à titre d'arriéré de salaire et de 60'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif. La défenderesse a conclu au rejet de l'action; elle a pris des conclusions reconventionnelles tendant au paiement de 9'624 fr.90 pour remboursement d'avances de salaire.
Le tribunal s'est prononcé le 5 janvier 2009; il a rejeté l'action principale et l'action reconventionnelle.
B. Ayant interjeté appel, le demandeur fut requis de verser un émolument de mise au rôle au montant de 4'400 fr., sous menace d'irrecevabilité de l'appel, dans un délai de quinze jours échéant le 11 mars 2009.
Le 6 mars, le demandeur eut un entretien téléphonique avec le greffe pour avertir qu'il n'était pas en mesure d'effectuer le versement. On lui répondit qu'il devait remettre sans délai les documents et justificatifs propres à établir sa situation financière.
Le 9 mars, par télécopie, le conseil du demandeur confirma que celui-ci n'était pas en mesure d'effectuer le versement; il demandait un délai supplémentaire afin d'obtenir l'assistance juridique. Le Président de la Cour d'appel fit répondre que « la prolongation sollicitée ne pouvait pas être accordée en l'état » et qu'une décision serait prise très rapidement sur la base des pièces que le demandeur devait remettre « par retour du courrier » afin d'établir sa situation financière.
Le demandeur a présenté une demande d'assistance juridique le 10 mars 2009, que le Vice-président du Tribunal de première instance a rejetée par décision du lendemain.
Par arrêt du 1er avril 2009, le Président de la Cour d'appel a déclaré l'appel irrecevable au motif que son auteur n'avait pas acquitté l'émolument de mise au rôle.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt en ce sens qu'un nouveau délai lui soit accordé pour verser l'émolument de mise au rôle; subsidiairement, le demandeur requiert l'annulation de l'arrêt et le renvoi de la cause à la Cour d'appel.
Par ordonnance du 23 juin 2009, le Tribunal fédéral a rejeté une demande d'assistance judiciaire jointe au recours.
La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, de sorte que le recours constitutionnel, subsidiaire (art. 113 LTF), que le demandeur prétend également exercer, est exclu.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2). Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF). Le recours n'est pas recevable pour violation du droit cantonal, hormis les droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF) et certaines dispositions sans pertinence en matière civile (art. 95 let. d LTF).
2. Le demandeur invoque l'art. 9 Cst. et se plaint d'une application arbitraire de diverses dispositions cantonales.
Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
3. Selon la législation genevoise sur l'organisation judiciaire, les plaideurs doivent avancer au greffe les émoluments à fixer d'après le tarif. Cela concerne notamment un émolument de mise au rôle que la partie appelante, devant la juridiction des prud'hommes, doit verser d'emblée et sous peine d'irrecevabilité (art. 2 al. 1 et 2, art. 3 al. 1 du règlement fixant le tarif des greffes en matière civile, ci-après: TG, du 9 avril 1997). L'émolument est taxé par le greffe; en cas de contestation, le magistrat compétent statue (art. 4 al. 2 TG).
Aux termes de l'art. 6 al. 1 et 2 TG, la partie au bénéfice de l'assistance juridique n'acquitte pas les émoluments dont elle a été dispensée (al. 1), et la partie ayant sollicité l'assistance juridique est provisoirement dispensée d'avancer ces émoluments, jusqu'à droit jugé sur sa demande d'assistance (al. 2).
Le demandeur expose que sa demande d'assistance juridique a été rejetée par une décision du 11 mars 2009, laquelle lui est parvenue le lendemain, et que selon l'art. 143A al. 3 de la loi d'organisation judiciaire, il disposait d'un délai de trente jours pour recourir contre cette décision. Il affirme que le délai à disposition pour verser l'émolument de mise au rôle était donc « suspendu » au moins jusqu'au 13 avril 2009, et que l'appel a été déclaré irrecevable, le 1er de ce mois, alors que la décision de refus de l'assistance juridique n'était pas définitive ni exécutoire, et que lui-même, en vertu de l'art. 6 al. 2 TG, était provisoirement dispensé de verser l'émolument.
Il n'est pas nécessaire de discuter l'interprétation à donner aux mots « jusqu'à droit jugé » de l'art. 6 al. 2 TG. En effet, le demandeur ne prétend pas avoir fait usage, le cas échéant après le 1er avril 2009, de son droit de recourir contre la décision rejetant sa demande d'assistance juridique. La décision présentement attaquée se révèle donc, dans le contexte spécifique de la présente affaire, compatible avec cette disposition du tarif; par conséquent, celle-ci n'a pas été appliquée arbitrairement.
4. L'art. 34 al. 2 LPC gen. prévoit que les délais laissés à la discrétion du juge doivent être du temps strictement nécessaire à l'objet pour lequel ils sont obtenus, et qu'ils ne peuvent être prorogés que pour un juste motif et sur demande écrite formée avant leur expiration. Selon le demandeur, le Président de la Cour d'appel a appliqué arbitrairement cette disposition en ne lui accordant pas, en réponse à la demande de son conseil du 9 mars 2009, un délai supplémentaire pour le versement de l'émolument de mise au rôle.
L'affaire ne présentait aucun caractère d'urgence et on ne discerne guère pourquoi le délai n'a pas été simplement prolongé. Le demandeur n'a cependant pas fait valoir, le 9 mars 2009, qu'il serait en mesure de verser l'émolument de mise au rôle après l'échéance du délai initial et qu'une prolongation se justifiait pour ce motif; il a seulement annoncé son intention de présenter une demande d'assistance juridique. Or, cette demande-ci a été introduite - et rejetée - avant l'expiration du délai; dans ces conditions, au regard du motif invoqué, il ne s'imposait pas d'accorder un délai supplémentaire. La décision attaquée échappe donc au grief d'arbitraire.
5. Le recours en matière civile se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral. L'adverse partie n'a pas été invitée à répondre et il ne lui sera donc pas alloué de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est rejeté.
2. Le recours constitutionnel est irrecevable.
3. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 8 septembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin