Faits:
A. A._, né en 1952, a travaillé depuis le 1er octobre 2000 en qualité de responsable de la maintenance informatique pour l'entreprise X._. Il a été licencié avec effet au 31 juillet 2003, son dernier jour de travail remontant au 12 janvier 2003. La Winterthur Assurances, en sa qualité d'assureur perte de gain en cas de maladie, a versé des indemnités journalières après que le docteur M._, généraliste FMH, eut attesté une incapacité totale de travailler à partir du 13 janvier 2003. A la demande de cet assureur, le degré de la capacité de travail a fait l'objet d'une expertise psychiatrique réalisée par le docteur S._, psychiatre FMH, et C._, psychologue et psychothérapeute FSP, qui se sont exprimés dans un rapport du 1er avril 2004.
Le 31 mars 2005, A._ a sollicité le versement d'une rente de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il souffrait d'une dépression profonde depuis décembre 2002. Par décision du 29 juin 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (l'office AI) a rejeté la demande. Pour justifier son refus, l'office AI a retenu en particulier que « vous ne présentez toutefois aucune atteinte à la santé sur le plan psychiatrique franchement invalidante. Il découle en effet d'un rapport d'expertise psychiatrique circonstancié que, suite à une réaction anxio-dépressive consécutive à différents facteurs de stress, la symptomatologie a évolué positivement par le cours naturel des choses de sorte que vous présentiez, à l'échéance du délai de carence, un trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive de gravité légère, diagnostic qui n'est pas invalidant au sens de l'assurance-invalidité. » L'assuré s'est opposé à cette décision. Il a produit un rapport d'expertise privée du 19 décembre 2005 émanant du docteur O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, qui a confirmé l'existence d'une incapacité totale de travail depuis le 13 janvier 2003. L'office AI a soumis le dossier au SMR Suisse romande; la doctoresse U._ s'est exprimée dans un avis du 26 avril 2006, après avoir analysé le cas avec le docteur B._, psychiatre au SMR. Par décision du 5 mai 2006, l'office AI a rejeté l'opposition.
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, qui l'a débouté par jugement du 2 décembre 2008.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint. Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398 et les arrêts cités).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Le jugement du 2 décembre 2008 expose correctement les règles légales et jurisprudentielles sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la libre appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3. Le litige porte sur le point de savoir si le tribunal administratif a violé le droit fédéral, sur la base du dossier dont il disposait, en niant un caractère invalidant aux affections psychiques dont souffre le recourant (art. 8 LPGA, en relation avec les art. 4 et 28 al. 1 LAI, dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007; ATF 127 V 294 consid. 4c p. 298).
Pour résoudre cette question, il s'agit de déterminer si les premiers juges ont établi les faits de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1 LTF). Plus particulièrement, il faut se demander s'ils pouvaient se fonder sur l'avis que les experts de l'assureur perte de gain avaient rendu deux ans avant le prononcé de la décision sur opposition (expertise S._/C._), quand bien même des divergences résultaient d'autres avis psychiatriques (docteurs O._, M._, I._ et R._).
3.1 Le tribunal cantonal a examiné minutieusement le rapport d'expertise S._/C._ en tenant compte des objections soulevées à son encontre, avant de lui reconnaître force probante. Il a par ailleurs exposé les motifs qui l'ont conduit à ne pas suivre le point de vue du docteur O._, bien qu'il fût postérieur à celui des prénommés, ainsi que les raisons pour lesquelles il a admis que les avis des médecins traitants (docteurs V._, I._ et M._) ne justifiaient pas la reconnaissance d'une incapacité de travail liée à des affections psychiques. A l'issue de son appréciation des preuves, la juridiction cantonale s'est ralliée à l'opinion des experts S._ et C._, qui avaient admis que la capacité de travail du recourant était réduite au maximum de 20 % en raison de troubles psychiques.
3.2 L'évaluation de la capacité de travail exigible, par la juridiction cantonale, constitue une question de fait qui lie le Tribunal fédéral (consid. 1.2 ci-dessus). A cet égard, le recourant méconnaît le fait que la fixation de la gravité d'un trouble dépressif et de son évolution est, par essence, toujours le fruit de l'exercice du pouvoir d'appréciation. C'est ainsi que le caractère fiable de constatations psychiatriques est notoirement très limité, en particulier lorsque les diagnostics portent sur des troubles dépressifs, somatoformes ou dissociatifs. Il s'ensuit que la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise psychiatrique ne serait justifiée que dans l'éventualité où l'expertise du docteur O._ devait contenir des éléments objectifs mettant en doute les conclusions des experts S._ et C._. Ce n'est pourtant pas le cas, à l'examen de la prise de position du SMR sur le rapport du docteur O._. En effet, le rapport S._/C._ ne se fonde pas seulement sur des examens psychométriques - qui n'ont pour but que de compléter une expertise psychiatrique (cf. arrêt I 391/06 du Tribunal fédéral des assurances du 9 août 2006 consid. 3.2.2) - mais il procède également d'une analyse psychiatrique réalisée selon les règles de l'art. Le tribunal administratif n'a dès lors pas violé le droit fédéral, en particulier le principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA), lorsqu'il a fixé le degré de l'incapacité de travail du recourant sur la base de l'expertise S._/C._.
Par ailleurs, les considérations du recourant - qui reproche aux premiers juges de n'avoir pas suivi l'appréciation des docteurs V._, I._ et R._ - ne sont pas de nature à remettre en cause le jugement entrepris, puisqu'elles ne tiennent pas compte de la jurisprudence relative à la différence entre un mandat de soins et un mandat d'expertise (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; arrêt I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV n° 15 p. 43; arrêt 9C_326/2008 du 27 février 2009 consid. 2.1). De plus, elles ne mettent pas en évidence en quoi la juridiction cantonale aurait établi les faits de manière manifestement inexacte ou contraire au droit.
3.3 On ajoutera que la décision sur opposition ne saurait être déclarée contraire au droit fédéral pour le seul fait que le degré de l'incapacité de travail se fonde sur un rapport d'expertise (S._/C._) qui avait été établi deux ans auparavant. Il en irait autrement si des éléments concrets permettaient d'admettre une aggravation de l'état de santé depuis le mois d'avril 2004. Pareille éventualité n'est toutefois pas réalisée, à la lecture du dossier; en particulier, une aggravation ne ressort pas des avis médicaux des médecins traitants qui attestent une incapacité totale de travail depuis le 13 janvier 2003.
Une péjoration de l'état de santé ne ressort pas non plus du rapport d'expertise privée du docteur O._, en particulier de la description du status psychique, du diagnostic et de la discussion du cas par l'expert. L'avis de ce dernier constitue uniquement une appréciation différente de la capacité de travail depuis le 13 janvier 2003, ce qui ne permet pas pour autant de dire que les conclusions de l'expertise S._/C._ sont manifestement erronées.
4. Il s'ensuit que le jugement attaqué n'est pas contraire au droit fédéral.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud