Sachverhalt:
A. Die X._ SA (mit Sitz in der Schweiz) und die Z._ LLC (mit Sitz in den USA) schlossen am 17. Mai 2002 einen Alleinvertriebs- und Lizenzvertrag ab, den sie Schweizer Recht unterstellten und der eine Schiedsklausel (ICC-Einzelschiedsgericht mit Sitz in London; Englisch als Verfahrenssprache) enthielt.
Im Jahr 2006 leitete die X._ SA ein Schiedsverfahren ein. Mit Schiedsspruch vom 3. November 2009 stellte der Einzelschiedsrichter insbesondere fest, die X._ SA sei die Inhaberin gewisser Marken, verbot der Z._ LLC deren weitere Verwendung und verurteilte die X._ SA zur (verzinslichen) Zahlung von USD 50'000.--. Er verpflichtete die X._ SA, der Z._ LLC die vorgeschossene Hälfte der Schiedskosten von (verzinslichen) USD 185'000.-- zu ersetzen, ihr eine Parteientschädigung von (verzinslichen) USD 3'794'824.98 zu bezahlen und ihr den geleisteten Mehrwertsteuervorschuss zurückzuerstatten.
Ein Gesuch der X._ SA vom 3. Dezember 2009 auf Auslegung des Schiedsspruchs wies der Einzelschiedsrichter mit Entscheid vom 8. Januar 2010 ab.
B. Am 28. Oktober 2010 leitete die Z._ LLC für eine Forderung von Fr. 4'014'624.88 (nebst Zins und Zinseszins) gegen die X._ SA die Betreibung ein. Als Grund der Forderung gab sie das "ICC Schiedsurteil (...) vom 3. November 2009" an. Gegen den Zahlungsbefehl vom 2. November 2010 in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts A._ erhob die X._ SA am 11. November 2010 Rechtsvorschlag.
C. C.a Am 1. Dezember 2010 ersuchte die Z._ LLC das Bezirksgericht Höfe um definitive Rechtsöffnung für Fr. 4'014'624.88 nebst Zins und Zinseszins. Das Rechtsöffnungsgesuch versah sie insbesondere mit beglaubigten Kopien des Alleinvertriebs- und Lizenzvertrags mit der Schiedsklausel vom 17. Mai 2002, des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 und des einzelschiedsrichterlichen Entscheids vom 8. Januar 2010 über das Auslegungsgesuch. Ebenso legte sie eine beglaubigte Übersetzung des Dispositivs des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 bei.
Zusammen mit ihrer Replik vom 28. Januar 2011 reichte die Z._ LLC zudem eine Übersetzung des Abschnitts "V. Costs" des Schiedsspruchs vom 3. November 2009 und des einzelschiedsrichterlichen Entscheids vom 8. Januar 2010 über das Auslegungsgesuch nach.
C.b Mit Verfügung vom 13. April 2011 (und deren Berichtigung vom 19. April 2011) erteilte das Bezirksgericht der Z._ LLC für den Betrag von "Fr. 3'984'690.94 plus Fr. 205'713.89 sowie für Zins und Zinseszins auf Fr. 4'190'404.84 zu 5% p.a. ab 29. Oktober 2010" die definitive Rechtsöffnung. Im Übrigen wies es das Rechtsöffnungsgesuch ab.
D. Eine von der X._ SA am 28. April 2011 erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 10. Oktober 2011 ab, soweit es darauf eintrat.
E. Dem Bundesgericht beantragt die X._ SA (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Oktober 2011, der kantonsgerichtliche Beschluss sei aufzuheben und das Gesuch der Z._ LLC (nachfolgend Beschwerdegegnerin) um definitive Rechtsöffnung abzuweisen.
Zudem ersucht sie, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme zu diesem Gesuch verzichtet (Schreiben vom 3. November 2011). Die Beschwerdegegnerin hat auf Abweisung des Gesuchs geschlossen und eventualiter einen Antrag auf Sicherstellung der Parteientschädigung gestellt (Vernehmlassung vom 11. November 2011). Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 14. November 2011 - wie zuvor bereits superprovisorisch - die aufschiebende Wirkung zuerkannt und das Sicherstellungsgesuch der Beschwerdegegnerin abgewiesen.
In der Sache beantragen das Kantonsgericht (Vernehmlassung vom 22. November 2011) und die Beschwerdegegnerin (Vernehmlassung vom 2. Dezember 2011) die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Endentscheid (Art. 90 BGG) über die definitive Rechtsöffnung (in dem zudem vorfrageweise über die Vollstreckbarerklärung befunden wurde) unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 BGG (Urteil 5A_49/2011 vom 12. Juli 2011 E. 1.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 137 III 429). Er betrifft eine vermögensrechtliche Angelegenheit, wobei die erforderliche Streitwertgrenze erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Das Kantonsgericht hat als oberes Gericht kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin entschieden (Art. 75 BGG). Die im Übrigen fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Rechtsöffnungsentscheide gelten nicht als vorsorgliche Massnahmen nach Art. 98 BGG (BGE 137 III 193 E. 1.2 S. 197; 135 III 670 E. 1.3.2 S. 673), weshalb mit vorliegender Beschwerde unter anderem die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG) vorgebracht werden kann (Urteil 4A_403/2008 vom 9. Dezember 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 135 III 136).
1.2 Rechtsöffnungsentscheide gelten nicht als vorsorgliche Massnahmen nach Art. 98 BGG (BGE 137 III 193 E. 1.2 S. 197; 135 III 670 E. 1.3.2 S. 673), weshalb mit vorliegender Beschwerde unter anderem die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG) vorgebracht werden kann (Urteil 4A_403/2008 vom 9. Dezember 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 135 III 136).
1.3 1.3.1 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht, da das Bundesgericht nicht gehalten ist, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen (BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; 134 V 53 E. 3.3 S. 60). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich (BGE 136 III 636 E. 2.2 S. 638) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.3.3 In der Beschwerde dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). Neu sind Tatsachen, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt wurden (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364 f.; 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.).
1.4 Die Beschwerdeführerin stellt in einem ersten Teil ihrer Beschwerde in ausführlicher Weise den Sachverhalt und die Prozessgeschichte dar. Soweit ihre Darstellung vom kantonsgerichtlichen Sachverhalt abweicht oder diesen ergänzt, unterlässt es die Beschwerdeführerin jedoch, die kantonsgerichtlichen Feststellungen im beschriebenen Sinn zu rügen. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 1.3.2 oben; BGE 136 II 508 E. 1.2 S. 511 f.). Soweit die Beschwerdeführerin zudem neue Tatsachen vorbringt, sind diese unzulässig und unbeachtlich (vgl. E. 1.3.3 oben).
2. Die Beschwerdegegnerin hat das Rechtsöffnungsverfahren am 1. Dezember 2010 eingeleitet und das Bezirksgericht hat seinen Entscheid vom 13. April 2011 den Parteien am 15. April 2011 versandt. Gemäss den Übergangsbestimmungen der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) unterstand das bezirksgerichtliche Verfahren dem bisherigen Recht (Art. 404 Abs. 1 ZPO) und richtete sich auch die materielle Beurteilung des neurechtlichen (Art. 405 Abs. 1 ZPO) Rechtsmittels nach altem Recht (BGE 138 I 1 E. 2.1 S. 3). Diese Übergangsordnung gilt auch für die Änderung der im Anhang 1 zur ZPO aufgeführten Gesetze, so dass Art. 80 Abs. 1 und Art. 81 Abs. 3 SchKG in der bis zum 31. Dezember 2010 in Kraft stehenden Fassung (AS 1995 1227 1307) anzuwenden waren. Der Bundesbeschluss vom 11. Dezember 2009 über die Genehmigung und die Umsetzung des Lugano-Übereinkommens (AS 2010 5601), mit dem der letzte Nebensatz von Art. 81 Abs. 3 SchKG abgeändert wurde, enthält keine Übergangsbestimmungen, weshalb sich die Anwendbarkeit von Art. 81 Abs. 3 SchKG in der erwähnten bis zum 31. Dezember 2010 in Kraft stehenden Fassung insoweit aus Art. 1 SchlT ZGB ergibt.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin macht vor Bundesgericht geltend, die Beschwerdegegnerin habe im Rechtsöffnungsverfahren keine Übersetzung des ganzen Schiedsspruchs eingereicht (E. 4 und 5) und die Anerkennung und Vollstreckung des Schiedsspruchs widerspreche der öffentlichen Ordnung der Schweiz (E. 6). Das Kantonsgericht hätte deshalb das Rechtsöffnungsgesuch abweisen müssen.
3.2 Gemäss aArt. 80 Abs. 1 SchKG kann der Gläubiger beim Richter die Aufhebung des Rechtsvorschlags (definitive Rechtsöffnung) verlangen, wenn die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil beruht. Entscheide von Schiedsgerichten sind Urteilen staatlicher Gerichte gleichgestellt (BGE 130 III 125 E. 2. S. 128).
3.3 Bei einem ausländischen Urteil erfolgt die Vollstreckbarerklärung gestützt auf aArt. 81 Abs. 3 SchKG vorfrageweise im definitiven Rechtsöffnungsverfahren (BGE 135 III 670 E. 1.3.2 S. 673): Ist ein Urteil in einem fremden Staat ergangen, mit dem ein Vertrag über die gegenseitige Vollstreckung gerichtlicher Urteile besteht, so kann der Betriebene die Einwendungen erheben, die im Vertrag vorgesehen sind.
Entscheide von Schiedsgerichten, die ihren Sitz wie vorliegend nicht in der Schweiz haben, sind ausländische Schiedssprüche. Für deren Vollstreckbarerklärung und die zulässigen Einreden nach aArt. 81 Abs. 3 SchKG ist das in New York abgeschlossene Übereinkommen vom 10. Juni 1958 über die Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Schiedssprüche (SR 0.277.12; nachfolgend NYÜ) massgebend (zum Ganzen BGE 135 III 136 E. 2.1 S. 139; Urteil 4A_508/2010 vom 14. Februar 2011 E. 3.1 f., in: Pra 2011 S. 938). Dies wird vorliegend von keiner Partei bestritten.
4. 4.1 Gestützt auf Art. IV Abs. 1 NYÜ hat die Gläubigerin dem Rechtsöffnungsrichter den Schiedsspruch (gehörig beglaubigte Urschrift oder Abschrift, deren Übereinstimmung mit einer solchen Urschrift ordnungsgemäss beglaubigt ist) und die Schiedsvereinbarung (Urschrift oder Abschrift, deren Übereinstimmung mit der Urschrift ordnungsgemäss beglaubigt ist) vorzulegen.
Ist der Schiedsspruch oder die Vereinbarung nicht in einer amtlichen Sprache des Landes abgefasst, in dem der Schiedsspruch geltend gemacht wird, so hat die Partei, die seine Anerkennung und Vollstreckung nachsucht, eine Übersetzung der erwähnten Urkunden in diese Sprache beizubringen. Die Übersetzung muss von einem amtlichen oder beeidigten Übersetzer oder von einem diplomatischen oder konsularischen Vertreter beglaubigt sein (Art. IV Abs. 2 NYÜ). Die authentischen (Art. XVI NYÜ) Fassungen des NYÜ in französischer und englischer Sprache lauten insoweit "(...) aura à produire une traduction (...)" und "(...) shall produce a translation (...)".
4.2 Im angefochtenen Entscheid hat das Kantonsgericht mit Blick auf das Erfordernis der Übersetzung nach Art. IV Abs. 2 NYÜ festgestellt, die Beschwerdegegnerin habe im Rechtsöffnungsverfahren einzig eine beglaubigte deutsche Übersetzung des Dispositivs des englischen Schiedsspruchs eingereicht. Weiter habe sie eine nicht beglaubigte deutsche Übersetzung des Teils "V. Costs" des englischen Schiedsspruchs und des englischen Auslegungsentscheids vom 8. Januar 2010 vorgelegt.
Das Kantonsgericht hat ausgeführt, das Fehlen einer Übersetzung der englischen Schiedsvereinbarung sei von der Beschwerdeführerin nicht beanstandet worden, weshalb sich insoweit weitere Bemerkungen erübrigten. Was die fehlende Übersetzung des ganzen Schiedsspruchs betreffe, habe zwar die Beschwerdeführerin von Anfang an eine Übersetzung verlangt. Jedoch verfüge das Kantonsgericht über ausreichende Englischkenntnisse, weshalb auf eine Übersetzung des restlichen Schiedsspruchs (neben der vorhandenen und beglaubigten Dispositivübersetzung) aus prozessökonomischen Gründen verzichtet werden könne, zumal in Bezug auf die strittige Kosten- und Entschädigungsregelung (Teil "V. Costs" sowie Auslegungsentscheid vom 8. Januar 2010) eine Übersetzung - wenn auch nicht beglaubigt - vorliege.
4.3 Die Beschwerdeführerin beanstandet nicht, dass das Kantonsgericht die nicht beglaubigten Übersetzungen des Teils "V. Costs" des Schiedsspruchs und des Auslegungsentscheids vom 8. Januar 2010 berücksichtigt hat (vgl. dazu Urteil 5P.174/1993 vom 22. Juni 1993 E. 5; sodann zu ähnlichen Konstellationen unter Art. IV Abs. 1 NYÜ Urteile 5A_427/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 5, in: SJ 2012 I 81; 4A_124/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 4.2; 5P.201/1994 vom 9. Januar 1995 E. 3, in: ASA Bulletin 2001 S. 294). Vielmehr macht sie eine Verletzung von Art. IV Abs. 2 NYÜ geltend, da diese Bestimmung eindeutig und zwingend sei und auch dann eingehalten werden müsse, wenn das Gericht der englischen Sprache mächtig sei. Die Prüfung des Einwands der Verletzung des schweizerischen ordre public (Art. V Abs. 2 lit. b NYÜ) setze eine inhaltliche Auseinandersetzung mit dem Schiedsspruch voraus, weshalb eine umfassende Übersetzung desselben notwendig sei. Aufgrund des Fehlens der Übersetzung des gesamten Schiedsspruchs hätte damit nicht auf das Rechtsöffnungsgesuch eingetreten werden dürfen und das Kantonsgericht habe nicht nur Art. IV Abs. 2 NYÜ verletzt, sondern sei auch in Willkür (Art. 9 BV) verfallen.
5. 5.1 Zur Frage, ob Art. IV Abs. 2 NYÜ zwingend zu verstehen ist und damit in jedem Fall (ausnahmslos) eine Übersetzung des ganzen englischen Schiedsspruchs einzureichen ist, hat sich das Bundesgericht noch nicht geäussert.
5.2 In der Lehre spricht sich ein Teil (ausdrücklich oder jedenfalls ohne auf Ausnahmen hinzuweisen) für den zwingenden Charakter von Art. IV Abs. 2 NYÜ aus (BUCHER, in: Commentaire romand, Loi sur le droit international privé - Convention de Lugano, 2011, N. 11 zu Art. 194 IPRG; BERGER/KELLERHALS, International and domestic arbitration in Switzerland, 2. Aufl. 2010, N. 1881; KAUFMANN-KOHLER/ RIGOZZI, Arbitrage international, 2. Aufl. 2010, N. 871; JOSI, Die Anerkennung und Vollstreckung der Schiedssprüche in der Schweiz, 2005, S. 198, wonach eine Übersetzung in die Amtssprache am Vollstreckungsort nötig sei; SCHWAB/WALTER, Schiedsgerichtsbarkeit, 7. Aufl. 2005, S. 475; FOUCHARD/GAILLARD/GOLDMAN, On international commercial arbitration, 1999, N. 1675 S. 971; SCHLOSSER, Das Recht der internationalen privaten Schiedsgerichtsbarkeit, Band I, 1975, N. 806 S. 757). Teilweise wird die Frage als strittig offengelassen (POUDRET/ BESSON, Comparative law of international arbitration, 2. Aufl. 2007, N. 951).
Nach einem anderen Teil der Lehre kann das Gericht die um Anerkennung und Vollstreckung nachsuchende Partei von der Einreichung einer Übersetzung des Schiedsspruchs dispensieren (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, SchKG I, 2. Aufl. 2010, N. 95 zu Art. 80 SchKG; KRONKE/NACIMIENTO/OTTO/PORT, Recognition and enforcement of foreign arbitral awards, 2010, S. 194; CZERNICH, New Yorker Schiedsübereinkommen, 2008, S. 38, wonach eine Übersetzung des ganzen Spruchs - und nicht nur des Dispositivs - erst dann verlangt werden könne, wenn Verweigerungsgründe nach Art. V NYÜ geltend gemacht werden; VAN DEN BERG, The New York Arbitration Convention of 1958 - Towards a uniform judicial interpretation, 1981, S. 250 und 259, wonach eine Übersetzung nur eingereicht werden müsse, wenn es das Gericht als nötig erachtet oder dies die andere Partei - mit einem berechtigten Interesse - verlangt).
5.3 Auch die Praxis handhabt das Erfordernis der Übersetzung gemäss Art. IV Abs. 2 NYÜ unterschiedlich.
Einerseits wird eine Übersetzung ausnahmslos und zwingend verlangt. So hat beispielsweise der oberste Gerichtshof von Österreich entschieden, es sei eine Übersetzung des ganzen Schiedsspruchs erforderlich (Urteil des OGH 3Ob211/05h vom 26. April 2006, abrufbar unter http://www.ris.bka.gv.at/jus [besucht am 12. Juni 2012] und auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 2007 S. 259 ff.).
Andererseits wurde bei englischen Schiedssprüchen wiederholt auf eine Übersetzung verzichtet, weil das Gericht nach eigener Darstellung der englischen Sprache genügend mächtig war, um umfassende Kenntnis des Inhalts des englischen Schiedsspruchs zu erhalten (Urteil des Voorzieningenrechters Rechtbank Amsterdam vom 18. Juni 2009, auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 2009 S. 718; Urteil der Arrondissementsrechtbank Zutphen vom 11. November 1998, auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 1999 S. 725 [betreffend fehlender Übersetzung der Schiedsvereinbarung]; Urteil des Präsidenten der Rechtbank Amsterdam vom 12. Juli 1984, auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 1985 S. 488). Ein norwegisches Gericht wies zudem darauf hin, eine Übersetzung sei teuer und könne Widersprüche zum Originalwortlaut schaffen (Urteil des Vollstreckungsgerichts Vardø vom 10. Juli 2002, auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 2003 S. 824). Ein deutsches Gericht verwarf den Einwand einer Partei, wonach eine Übersetzung fehle, mit dem Hinweis, sie habe sowohl den Vertrag auf Englisch abgeschlossen, als auch das Schiedsverfahren auf Englisch durchgeführt, weshalb es unnötig sei, nun eine Übersetzung zu fordern (Urteil des Hanseatischen Oberlandesgerichts vom 14. März 2006, auszugsweise auf Englisch in: Yearbook Commercial Arbitration 2009 S. 496).
Die Schweiz hat im Rahmen einer im Jahr 1995 von der Kommission der Vereinten Nationen für internationales Handelsrecht (UNCITRAL) geschaffenen und ständig nachgeführten Sammlung zur Umsetzung des NYÜ erklärt, sofern die Dokumente nach Art. IV Abs. 2 NYÜ nicht in einer der Amtssprachen abgefasst seien, müsse grundsätzlich eine englische Übersetzung eingereicht werden; in der Praxis sei jedoch nicht ausgeschlossen, dass das Gericht auch andere Sprachen akzeptiere (vgl. http://www.uncitral.org/uncitral/en/uncitral_texts/ arbitration/NYConvention_implementation.html [besucht am 12. Juni 2012]).
Die Schweiz hat im Rahmen einer im Jahr 1995 von der Kommission der Vereinten Nationen für internationales Handelsrecht (UNCITRAL) geschaffenen und ständig nachgeführten Sammlung zur Umsetzung des NYÜ erklärt, sofern die Dokumente nach Art. IV Abs. 2 NYÜ nicht in einer der Amtssprachen abgefasst seien, müsse grundsätzlich eine englische Übersetzung eingereicht werden; in der Praxis sei jedoch nicht ausgeschlossen, dass das Gericht auch andere Sprachen akzeptiere (vgl. http://www.uncitral.org/uncitral/en/uncitral_texts/ arbitration/NYConvention_implementation.html [besucht am 12. Juni 2012]).
5.4 5.4.1 Das NYÜ ist nach Art. 31 - 33 des Wiener Übereinkommens vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge (SR 0.111; nachfolgend VRK) auszulegen (VAN DEN BERG, a.a.O., S. 3 ff.; ICCA's guide to the interpretation of the 1958 New York Convention, 2011, S. 12 ff. [nachfolgend ICCA's guide; abrufbar unter http://www.arbitration-icca.org/publications/NYC_Guide.html, besucht am 12. Juni 2012]; allgemein zur Auslegung auch PATOCCHI/JERMINI, in: Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 2. Aufl. 2007, N. 20 zu Art. 194 IPRG). Nach Art. 31 Abs. 1 VRK ist ein Staatsvertrag nach Treu und Glauben in Übereinstimmung mit der gewöhnlichen, seinen Bestimmungen in ihrem Zusammenhang zukommenden Bedeutung und im Lichte seines Ziels und Zwecks auszulegen (vgl. dazu BGE 122 II 234 E. 4c S. 238).
5.4.2 Mit Bezug auf die Materialien zum NYÜ (Art. 32 VRK) ergeben sich keine klaren Hinweise (vgl. KRONKE/NACIMIENTO/OTTO/PORT, a.a.O., S. 146 ff. und insbesondere S. 194; VAN DEN BERG, a.a.O., S. 258 mit Hinweisen) und auch die Botschaft des Bundesrats vom 18. September 1964 betreffend die Genehmigung des NYÜ (BBl 1964 II 605 ff.) äussert sich im Übrigen zur vorliegenden Frage nicht.
5.4.3 Der Zweck des NYÜ ist es, die Anerkennung und Vollstreckung ausländischer Schiedssprüche zu erleichtern, weshalb das Übereinkommen vollstreckungsfreundlich auszulegen ist. Die Gerichte haben einen pragmatischen, flexiblen und nicht formalistischen Ansatz anzuwenden (ICCA's guide, a.a.O., S. 14 f. und S. 71). Art. IV Abs. 2 NYÜ bezweckt, den Schiedsspruch in eine dem Gericht des Vollstreckungsstaats verständliche Fassung zu bringen, um über die Verweigerungsgründe gemäss Art. V NYÜ befinden zu können (BERGER/KELLERHALS, a.a.O., N. 1881; JOSI, a.a.O., S. 198).
5.4.4 Die Formerfordernisse gemäss Art. IV NYÜ sind nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht streng zu handhaben und eine zu formalistische Anwendung dieser Bestimmung ist zu vermeiden (vgl. die in E. 4.3 oben zitierten Urteile; vgl. auch GEISINGER, Implementing the New York Convention in Switzerland, in: Journal of international arbitration, 2008, S. 694 ff.; PATOCCHI/JERMINI, a.a.O., N. 53 zu Art. 194 IPRG; JOSI, a.a.O., S. 199; PAULSSON, The New York Convention in international practice - Problems of assimilation, in: The New York Convention of 1958, ASA Special Series No. 9, 1996, S. 105 ff.; PATOCCHI, The 1958 New York Convention - The Swiss Practice, in: The New York Convention of 1958, ASA Special Series No. 9, 1996, N. 14 S. 162 f.).
5.5 Auch im vorliegenden Fall drängt sich eine grosszügige Auslegung von Art. IV Abs. 2 NYÜ auf. Es erschiene als rein formalistisch, neben der vorhandenen Übersetzung des Dispositivs und des Teils "V. Costs" auch noch eine Übersetzung des restlichen Schiedsspruchs zu verlangen, zumal gerade die Kostenverlegung strittig war (und Grundlage für den zu prüfenden Verweigerungsgrund nach Art. V NYÜ bildete). Nach heutigen Verhältnissen kann davon ausgegangen werden, dass die Gerichte bei englischen Schiedssprüchen in der Regel nicht auf eine Übersetzung angewiesen sind und so der Zweck von Art. IV Abs. 2 NYÜ genauso gut erreicht wird (vgl. zum zeitlichen Element auch VAN DEN BERG, a.a.O., S. 258; allgemein zu den Englischkenntnissen der schweizerischen Gerichte HUNZIKER-BLUM, Beweisurkunden in der Amtssprache, in Landessprachen und in Fremdsprachen im Zivilprozess, SZZP 2009 S. 203 ff.).
Ein flexibles, pragmatisches und nicht formalistisches Verständnis von Art. IV Abs. 2 NYÜ führt demnach im vorliegend zu beurteilenden Fall zum Ergebnis, dass die von der Beschwerdegegnerin eingereichte Teilübersetzung ausreichend ist.
Eine engere Interpretation im Sinne der Beschwerdeführerin würde dem allgemein anerkennungs- und vollstreckungsfreundlichen Geist und Ziel des Abkommens entgegenstehen (vgl. auch Urteil 4A_124/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 3.1). Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren zu Recht nicht geltend machte, sie sei zur Wahrung ihrer Rechte auf eine Übersetzung des ganzen Schiedsspruchs angewiesen.
Die Rüge der Verletzung von Art. IV Abs. 2 NYÜ (und von Art. 9 BV) erweist sich demnach als unbegründet. Bei diesem Ergebnis kann offengelassen werden, ob allenfalls bereits gestützt auf Art. VII Abs. 1 NYÜ eine Übersetzung entbehrlich gewesen wäre (vgl. zur deutschen Praxis das Urteil des Bundesgerichtshofs vom 25. September 2003, auszugsweise in: SchiedsVZ 2003 S. 282; SCHWAB/WALTER, a.a.O., S. 268 und S. 475).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, das Kantonsgericht habe zu Unrecht das Vorliegen des Versagungsgrunds nach Art. V Abs. 2 lit. b NYÜ verneint.
6.2 Nach Art. V Abs. 2 lit. b NYÜ darf die Anerkennung und Vollstreckung eines Schiedsspruchs auch versagt werden, wenn die zuständige Behörde des Landes, in dem die Anerkennung und Vollstreckung nachgesucht wird, feststellt, dass die Anerkennung oder Vollstreckung des Schiedsspruchs der öffentlichen Ordnung dieses Landes widersprechen würde (zum sog. "ordre public" vgl. Urteil 5A_427/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 7.1 mit Hinweisen).
6.3 Das Kantonsgericht ist zusammenfassend zum Schluss gelangt, es liege kein Verstoss gegen den ordre public vor, wenn der Einzelschiedsrichter die von den Parteien in der Schiedsklausel vereinbarte Kostenregelung als "loser pays it all"-Regelung verstanden und angewendet habe. Gemessen am Gesamtstreitwert sämtlicher Rechtsbegehren erscheine die Beschwerdeführerin sodann als überwiegend unterlegen, weshalb es weder gegen den materiellen noch gegen den formellen ordre public verstosse, wenn der Einzelschiedsrichter die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei betrachtet und ihr entsprechend sämtliche Kosten auferlegt habe.
6.4 Die Beschwerde der Beschwerdeführerin lässt eine Auseinandersetzung mit der ausführlichen Begründung des Kantonsgerichts gänzlich vermissen. Vielmehr deckt sich die Beschwerde an das Bundesgericht (bezogen auf die Behandlung von Art. V NYÜ) beinahe wortwörtlich mit der Beschwerdeschrift vom 28. April 2011 an das Kantonsgericht (vgl. N. 51 ff. der Beschwerde an das Bundesgericht und N. 45 ff. der Beschwerde an das Kantonsgericht). Einzig in einigen ganz wenigen und untergeordneten Punkten hat die Beschwerdeführerin Wörter oder Sätze eingefügt, Sätze leicht umgestellt oder anders formuliert.
Es genügt nicht, vor Bundesgericht dieselbe Beschwerdebegründung einzureichen wie im kantonalen Verfahren (BGE 134 II 244 E. 2.3 S. 247). Mangels Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid und damit mangels genügender Begründung kann auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden (Art. 42 Abs. 2 BGG).
7. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 15'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bettler