Erwägungen:
1. Auf eine von X._ erstattete Strafanzeige hin erliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn eine Nichtanhandnahmeverfügung. Hiergegen wandte sich der Strafantragsteller mit einer Beschwerde ans Obergericht des Kantons Solothurn. Im Rahmen dieses Verfahrens ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2012 hat der zuständige Instruktionsrichter der Beschwerdekammer des Obergerichts das Gesuch abgewiesen und X._ Frist bis 25. Januar 2013 gesetzt, um für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit in der Höhe von Fr. 500.-- zu leisten. Beigefügt wurde der Hinweis darauf, dass das Obergericht auf das Rechtsmittel nicht eintrete, falls die Prozesskostensicherheit nicht innerhalb der Frist geleistet werde.
2. Gegen diese Verfügung vom 20. Dezember 2012 führt X._ mit Eingabe vom 9. Februar 2013, die am 11. Februar 2013 der Post übergeben wurde, Beschwerde ans Bundesgericht. In der Folge hat er eine korrigierte Version der Beschwerde nachgereicht (Datum des Poststempels dieser letztgenannten Eingabe: 12. Februar 2013).
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, beim Obergericht eine Vernehmlassung einzuholen.
3. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob bzw. inwieweit ein bei ihm eingereichtes Rechtsmittel zulässig ist (s. etwa BGE 138 I 367 E. 1 S. 369 mit Hinweisen).
3.1 Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG).
3.2 Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die schriftlich begründete Verfügung laut Aktenlage mittels Gerichtsurkunde (GU) am 20. Dezember 2012 (Datum des Poststempels) postlagernd nach 4001 Basel zugestellt. Die Post hat dann eine Abholfrist bis 30. Dezember 2012 angesetzt. Da die Gerichtsurkunde nicht abgeholt wurde, retour-
nierte die Post die Sendung. Am 3. Januar 2013 traf sie wiederum beim Obergericht ein.
3.3 Mit Blick auf das von ihm angestrengte Verfahren muss der Beschwerdeführer ohne weiteres von der ihm nach Treu und Glauben obliegenden Pflicht wissen, dafür zu sorgen, dass ihm in diesem Verfahren insbesondere auch Gerichtsurkunden zugestellt werden können (BGE 116 Ia 90 E. 2a).
Bei einem Postrückbehaltungsauftrag gilt eine eingeschriebene Sendung bzw. eine solche mittels GU stets spätestens am letzten Tag der siebentägigen, ab Eingang bei der Poststelle am Ort des Adressaten laufenden Frist als zugestellt (BGE 134 V 49 E. 4 S. 52). So verhält es sich somit auch im vorliegenden Fall, wo der Beschwerdeführer dem Obergericht als Zustelladresse "postlagernd, 4001 Basel" angegeben hat.
Spätestens am 30. Dezember 2012 ist die fragliche GU-Sendung somit als zugestellt zu erachten.
3.4 Zu berücksichtigen ist hier allerdings, dass dieses letztgenannte Datum in die vom 18. Dezember 2012 bis und mit 2. Januar 2013 dauernden Weihnachtsgerichtsferien fällt (Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG), also in eine Zeit des Fristenstillstands.
Bei einer Zustellung eines Entscheids während des Fristenstillstands beginnt die Beschwerdefrist nach Massgabe der Bestimmungen des BGG (anders als noch unter der Herrschaft der Regelung von Art. 32 Abs. 1 OG) mit dem ersten Tag nach dem Ende des Stillstands zu laufen (vgl. etwa BGE 132 II 153 E. 4.2 S. 158 f. mit Bezug u.a. auf Art. 44 BGG).
Verhält es sich so, so begann die Frist vorliegend am Donnerstag, 3. Januar 2013 zu laufen. Der letzte Tag der Frist fiel somit auf den 1. Februar 2013 (Freitag).
Die erst am 11. Februar 2013 der Post übergebene Beschwerde ist nach dem Gesagten als verspätet eingereicht zu erachten (vgl. Art. 48 BGG), weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Mangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG entschieden werden kann.
4. Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben.
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Bopp