Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer wurde durch das Einzelgericht in Strafsachen des Kantons Basel-Stadt am 20. Mai 2014 wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Zollgesetz und mehrfacher Widerhandlung gegen das Mehrwertsteuergesetz zu einer Busse von Fr. 700.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von sieben Tagen verurteilt. Nachdem die Frist für die Berufungserklärung am 30. Juni 2014 abgelaufen war, reichte der Beschwerdeführer das Rechtsmittel am 11. Juli 2014 ein. Dem Beschwerdeführer wurde mitgeteilt, dass die Rechtzeitigkeit der Eingabe geprüft werden müsse und er sich dazu bis zum 11. August 2014 schriftlich äussern könne. Auch diese Frist verstrich ungenutzt. Mit Eingabe vom 28. August 2014 verlangte der Beschwerdeführer unter Hinweis auf eine Krebserkrankung eine Restitution aller Fristen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies das Gesuch um Wiederherstellung am 24. September 2014 unter anderem mit der Begründung ab, dass der Beschwerdeführer die geltend gemachte Erkrankung und insbesondere die damit einhergehende objektive Unfähigkeit, rechtzeitig zu handeln oder einen Dritten mit der Fristwahrung zu beauftragen, durch nichts belegt hat. Auf die Berufung trat das Gericht nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, es sei dem zu Unrecht Verurteilten der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör zu gewähren und die erste Instanz zu verpflichten, das Verfahren in seiner Anwesenheit abzuwickeln.
2.
Das Verfahren vor der ersten Instanz ist nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch das Bundesgericht deshalb nicht zu überprüfen. Die Vorbringen in den Ziff. 3, 4 und 5 der Beschwerde sind unzulässig.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Urteil der zweiten Instanz trage keinen amtlichen Stempel und sei deswegen ungültig (Beschwerde Ziff. 2). Auf welche Vorschrift er sich bei dieser Rüge beziehen will, sagt er nicht. In diesem Punkt erfüllt die Beschwerde die Begründungsvoraussetzungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht.
4.
Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei nie aufgefordert worden, die objektive Unfähigkeit, rechtzeitig zu handeln, zu belegen (Beschwerde Ziff. 6). Welche Bestimmung eine solche Aufforderung verlangt hätte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe infolge narkotisierender Medikamente nicht aus eigener Kraft rechtzeitig handeln können (Beschwerde Ziff. 6). Weil er keine entsprechenden Belege beibringt, kann sich das Bundesgericht mit dem Vorbringen von vornherein nicht befassen.
6.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 9 und 10) ist durch eine Reduktion der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn