Sachverhalt:
A. Der Arrestrichter des Richteramtes E._ erliess am 2. Oktober 2008 auf Begehren der B._ AG für eine Forderungssumme von Fr. 80'688.20 gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4, eventuell Ziff. 1, SchKG einen Arrestbefehl gegen F._. Als Arrestgegenstände wurden die auf die A._ AG eingelösten Motorfahrzeuge "Harley-Davidson VRSCA V-Rod" und "Audi A8 W12 quattro" bezeichnet, wobei als mutmasslicher Standort die Tiefgarage an der G._-strasse in H._ (Domizil der A._ AG) angegeben wurde.
Beim Vollzug des Arrests am 3. Oktober 2008 konnte das Betreibungsamt C._ (Filiale D._) nur das Automobil mit Beschlag belegen. Das Amt wies darauf hin, dass das Motorrad sich nicht am angegebenen Ort befunden habe und dessen Standort nicht bekannt sei.
B. Mit Eingabe vom 2. April 2009 ersuchte die A._ AG das Betreibungsamt gestützt auf Art. 277 SchKG darum, ihr gegen Leistung einer Sicherheit (von Fr. 92'000.--) das mit Beschlag belegte Automobil zur freien Verfügung herauszugeben. Das Gesuch wurde mit Verfügung vom 15. April 2009 abgewiesen, weil der Arrestgegenstand in der zur Prosequierung des Arrests eingeleiteten Betreibung inzwischen gepfändet worden sei. Nachdem die A._ AG diese Verfügung zugestellt erhalten hatte, ersuchte sie das Betreibungsamt mit Schreiben vom 17. April 2009 um Zustellung der vollständigen Pfändungsakten. Hierauf teilte ihr das Betreibungsamt am 24. April 2009 per E-Mail mit, die Abschrift der Pfändungsurkunde werde im kantonalen Amtsblatt vom ... publiziert. Noch am gleichen Tag wurde der A._ AG per Fax eine Kopie des Formulars "Pfändungsvollzug" übermittelt, wonach die Pfändung am 24. März 2009 (in Abwesenheit des Schuldners) vollzogen worden sei.
Die A._ AG führte mit Eingabe vom 27. April 2009 Beschwerde an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn und verlangte, die betreibungsamtliche Verfügung vom 15. April 2009 aufzuheben und ihr Gesuch vom 2. April 2009 um Freigabe des Automobils im Sinne von Art. 277 SchKG gutzuheissen.
Die kantonale Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde am 17. Juni 2009 ab.
C. Die A._ AG führt mit Eingabe vom 3. Juli 2009 Beschwerde an das Bundesgericht und verlangt, das Urteil der kantonalen Aufsichtsbehörde aufzuheben und die "mit Arrest belegten Gegenstände" im Sinne von Art. 277 SchKG gegen Sicherheitsleistung zur freien Verfügung herauszugeben.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
D. Die Beschwerdeführerin hatte auch Arresteinsprache erhoben und focht deren Abweisung durch die kantonalen Instanzen beim Bundesgericht an. Mit Urteil vom 10. September 2009 (Verfahren 5A_225/2009) hat die erkennende Abteilung jene Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten war.
Erwägungen:
1. Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig von einem allfälligen Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Der angefochtene Entscheid stammt von der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) und befindet über die betreibungsamtliche Verweigerung, einen Arrestgegenstand gegen Sicherheitsleistung zur freien Verfügung zu belassen (Art. 277 SchKG), d.h. über eine Verfügung im Sinne von Art. 17 Abs. 1 SchKG. Er stellt damit einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG dar (BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351). Aus der Sicht der angeführten Punkte ist auf die Beschwerde nach dem Gesagten ohne weiteres einzutreten. Allerdings ist der Antrag auf Gutheissung des Freigabegesuchs insoweit unzulässig, als neu von einer Mehrzahl von mit Arrest belegten Gegenständen die Rede ist, das Freigabegesuch mit anderen Worten auch das Motorrad zu erfassen scheint.
2. 2.1 Gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hatte (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Anders als nach der Rechtsprechung zu Art. 19 SchKG in der Fassung, wie sie bis zum Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes am 1. Januar 2007 gegolten hatte, reicht ein bloss tatsächliches Interesse (vgl. BGE 130 III 400 E. 2 S. 402 mit Hinweis) somit nicht mehr (Kurt Amonn/Fridolin Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Auflage, Bern 2008, § 6 Rz. 89, S. 66; ELISABETH ESCHER, Zum Rechtsschutz in Zwangsvollstreckungssachen nach dem Bundesgesetz über das Bundesgericht, in: AJP 2006 S. 1250). Zu der nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG erforderlichen Begründung der Beschwerde gehören auch Darlegungen zu den gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen. Soweit deren Erfüllung nicht klar auf der Hand liegt, ist es nicht Sache des Bundesgerichts, nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen sei (BGE 133 II 400 E. 2 S. 404 mit Hinweis).
2.2 Gestützt auf Art. 277 SchKG, wonach der Arrestgegenstand dem Schuldner unter gewissen Voraussetzungen zur freien Verfügung belassen werden kann, strebt die das in einem Verfahren gegen eine andere Person mit Arrest belegte Fahrzeug zu Eigentum beanspruchende Beschwerdeführerin dessen Freigabe an. Sie bringt vor, ein rechtlich geschütztes Interesse an einer Aufhebung des die Abweisung des Freigabebegehrens schützenden Entscheids der kantonalen Aufsichtsbehörde zu haben. Indessen legt sie in keiner Weise dar, inwiefern diese Legitimationsvoraussetzung, deren Erfüllung nicht ohne weiteres ersichtlich ist, gegeben sein soll.
3. Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt C._ (Filiale D._) und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel