Faits:
Faits:
A. T._ a souffert de troubles psychiques qui l'ont empêchée d'acquérir une formation professionnelle. Elle bénéficie d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1er juin 1997.
Depuis le mois de septembre 2002, elle suit des cours à l'Ecole X._ afin d'acquérir une formation d'assistante médicale. Elle a présenté une demande tendant à l'octroi d'une indemnité journalière durant cette formation. Par une communication du 15 août 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé l'assurée qu'il allait prendre en charge les frais de la formation susmentionnée durant les trois premiers mois, soit du 2 septembre au 30 novembre 2002, afin d'évaluer l'aptitude de l'intéressée à suivre cette formation. Par décision des 23/26 août 2002, l'office AI a alloué à l'assurée une indemnité journalière pour la période précitée. Le droit à cette prestation a été prolongé durant la période du 1er décembre 2002 au 15 juin 2005, terme probable de la formation suivie (décision du 8 janvier 2003).
Par décision du 30 janvier 2003, confirmée sur opposition le 12 mai suivant, l'office AI a refusé de prendre en charge les frais liés à la formation d'assistante médicale. Il a considéré que cette formation n'entraînait pas des frais beaucoup plus élevés que pour une personne valide désirant devenir assistante médicale, du moment que la majorité des personnes qui choisissent cette profession suivent une école plutôt que la filière de l'apprentissage.
Lors de la procédure d'opposition introduite par ministère de Me Thonney, avocat à Lausanne, T._ a sollicité le bénéfice de l'assistance juridique et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office. Par décision des 12/18 juin 2003, l'office AI a rejeté cette demande, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire.
Lors de la procédure d'opposition introduite par ministère de Me Thonney, avocat à Lausanne, T._ a sollicité le bénéfice de l'assistance juridique et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office. Par décision des 12/18 juin 2003, l'office AI a rejeté cette demande, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire.
B. T._ a recouru devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 12 mai 2003 de refus de prise en charge des frais liés à la formation d'assistante médicale et contre la décision des 12/18 juin 2003 de rejet de la demande d'assistance juridique.
La juridiction cantonale a joint les deux causes. En outre, elle a invité les parties à lui adresser un questionnaire complémentaire à l'intention du docteur C._, médecin traitant de l'assurée, lequel a rédigé un rapport le 19 avril 2004.
Par jugement du 3 juin 2004, la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision sur opposition de refus de prise en charge des frais de formation professionnelle initiale et admis le recours contre la décision de rejet de la demande d'assistance juridique. Elle a renvoyé la cause à l'office AI pour nouvelle décision faisant droit à une telle demande.
Par jugement du 3 juin 2004, la juridiction cantonale a rejeté le recours contre la décision sur opposition de refus de prise en charge des frais de formation professionnelle initiale et admis le recours contre la décision de rejet de la demande d'assistance juridique. Elle a renvoyé la cause à l'office AI pour nouvelle décision faisant droit à une telle demande.
C. T._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement en concluant, sous suite de dépens, à la prise en charge par l'assurance-invalidité des frais de la formation d'assistante médicale suivie à l'Ecole X._, soit notamment les frais d'inscription, de cours et d'écolage, pour la totalité de la durée de ses études, à savoir du 2 septembre 2002 au 15 juin 2005. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement. En outre, elle demande le bénéfice de l'assistance judiciaire en procédure fédérale (cause I 713/04).
L'office AI conclut au rejet du recours.
De son côté, il forme un recours de droit administratif contre le jugement cantonal, dans la mesure où la juridiction cantonale a accordé à l'assurée le bénéfice de l'assistance juridique dans la procédure d'opposition et, partant, alloué à l'intéressée une indemnité de dépens pour la procédure cantonale (cause I 676/04).
T._ conclut au rejet de ce recours, sous suite de dépens.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations sur les recours.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, reposent sur le même état de fait et opposent les mêmes parties. Il se justifie dès lors de les liquider dans un seul arrêt (ATF 127 V 33 consid. 1).
1. Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, reposent sur le même état de fait et opposent les mêmes parties. Il se justifie dès lors de les liquider dans un seul arrêt (ATF 127 V 33 consid. 1).
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Le présent litige porte notamment sur le droit éventuel au remboursement des frais supplémentaires entraînés par la formation professionnelle initiale, soit des prestations qui n'ont pas encore acquis force de chose décidée. En vertu des principes généraux en matière de droit inter-temporel, il convient dès lors d'examiner cet aspect du litige à la lumière de l'ancien droit en ce qui concerne la période précédant le 1er janvier 2003 et à l'aune de la LPGA et de ses dispositions d'exécution pour la période ultérieure (ATF 130 V 329, 445).
Le litige portant sur le droit éventuel à l'assistance juridique dans la procédure d'opposition doit être examiné à la lumière des dispositions de la LPGA, en vertu du principe selon lequel le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 121 V 366 consid. 1b).
Le litige portant sur le droit éventuel à l'assistance juridique dans la procédure d'opposition doit être examiné à la lumière des dispositions de la LPGA, en vertu du principe selon lequel le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 121 V 366 consid. 1b).
Le litige portant sur le droit éventuel à l'assistance juridique dans la procédure d'opposition doit être examiné à la lumière des dispositions de la LPGA, en vertu du principe selon lequel le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 121 V 366 consid. 1b).
3.1 3.1.1 Aux termes de l'art. 16 al. 1 LAI, l'assuré qui n'a pas encore eu d'activité lucrative et à qui sa formation professionnelle initiale occasionne, du fait de son invalidité, des frais beaucoup plus élevés qu'à un non-invalide a droit au remboursement de ses frais supplémentaires si la formation répond à ses aptitudes.
En l'espèce, il est constant que la formation suivie à l'Ecole X._ par l'assurée est une formation professionnelle initiale qui répond aux aptitudes de l'intéressée. Le litige porte donc sur le point de savoir si l'acquisition de la formation d'assistante médicale occasionne des frais beaucoup plus élevés parce que l'assurée est invalide.
3.1.2 Les frais de formation professionnelle initiale ou de perfectionnement sont réputés beaucoup plus élevés lorsque, à cause de l'invalidité, la différence entre ces frais et ceux qu'aurait l'assuré pour sa formation s'il n'était pas invalide dépasse un montant annuel de 400 fr. (art. 5 al. 2 RAI). Pour calculer le montant des frais supplémentaires, on compare les frais de formation de l'invalide avec ceux qu'une personne non atteinte dans sa santé devrait probablement assumer pour atteindre le même objectif professionnel (art. 5 al. 3 RAI). Font partie des frais reconnus par l'assurance, dans les limites de l'art. 5 al. 3 RAI, les dépenses faites pour acquérir les connaissances et l'habileté nécessaires, les frais d'acquisition d'outils personnels et de vêtements professionnels ainsi que les frais de transport (art. 5 al. 4 RAI).
Dans un arrêt non publié K. du 14 juillet 1987 (I 342/85), le Tribunal fédéral des assurances a considéré que les montants perçus par un assuré au titre d'une bourse d'études devaient être déduits des frais de formation professionnelle initiale occasionnés par l'invalidité.
3.2 La juridiction cantonale a nié l'existence de frais beaucoup plus élevés occasionnés par l'invalidité, motif pris que la majorité des candidats à la formation d'assistant médical suivent la voie de l'école plutôt que celle de l'apprentissage au sein d'un cabinet médical. Les juges cantonaux se réfèrent pour cela à un rapport de la division administrative de l'office AI du 28 mars 2000, selon lequel les places d'apprentissage sont très rares dans ce domaine, d'après des renseignements recueillis auprès de la présidente de l'Association romande des assistantes médicales. La juridiction cantonale infère de cela que même si elle n'était pas invalide, l'intéressée aurait opté de toute façon pour la formation au sein d'une école.
De son côté, l'assurée fait valoir que le rapport susmentionné n'a pas de force probante, dans la mesure où il ne repose sur aucune statistique officielle. Au demeurant, même s'il était vrai que la majorité des assistants médicaux suivent une formation au sein d'une école, cela ne permet pas de nier le droit d'un assuré à la prise en charge d'une telle formation, lorsque celle-ci est rendue nécessaire par l'invalidité de l'intéressé. Or, sur ce point, il est indéniable que les troubles psychiques dont elle souffre ont contraint l'assurée à suivre la formation envisagée dans une école, plutôt qu'en apprentissage. A l'appui de ses allégations, l'intéressée se réfère au rapport du docteur C._, du 19 avril 2004, selon lequel la formation dans une école offre un cadre structurant, valorisant et sécurisant, qui doit être préféré en l'occurrence, en raison de la personnalité borderline de l'assurée.
3.3 En l'espèce, la recourante ne chiffre pas le montant des frais occasionnés par la formation dispensée par l'Ecole X._. Elle demande essentiellement la prise en charge des frais d'inscription et de l'écolage qui s'élève à 2'000 fr. environ par semestre. Or, l'assurée est au bénéfice d'une bourse d'études qui lui a été allouée par la Fondation Y._. De siège à W._, cette fondation s'est donnée pour but principal d'apporter aide à la formation d'assistantes médicales qui en auraient financièrement besoin Sur le vu d'une lettre adressée le 27 mars 2002 à l'intéressée par cette institution, celle-ci s'est engagée à lui allouer, pendant la période de sa formation à l'Ecole X._, un soutien financier de 2'000 fr. par semestre. Ce montant serait versé directement à l'école, sur demande et sur présentation de la facture d'écolage, ainsi que de la décision de promotion autorisant l'intéressée à poursuivre ses études au semestre suivant. Dans le questionnaire relatif à sa requête d'assistance judiciaire en procédure fédérale, l'assurée a d'ailleurs déclaré percevoir effectivement cette bourse d'études.
Cela étant, et conformément à la jurisprudence exposée au consid. 3.1.2, le montant obtenu par l'assurée au titre de la bourse d'études - qui n'est pas lié à son handicap - doit être déduit des frais de la formation professionnelle initiale. Même si, en l'espèce, le montant alloué à ce titre ne couvre pas la totalité des frais occasionnés par la formation dispensée par l'Ecole X._, il n'apparaît pas que les autres frais non couverts (frais d'inscription, achat de livres) sont beaucoup plus élevés que ceux qui auraient été occasionnés par un apprentissage de la profession d'assistante médicale (et pour autant que l'invalidité eût empêché le choix d'une telle voie).
Cela étant, il y a lieu de considérer que la formation professionnelle initiale suivie par l'assurée n'occasionne pas des frais beaucoup plus élevés qu'à un non-invalide. Aussi, l'office intimé était-il fondé, par sa décision sur opposition du 12 mai 2003, à refuser de prendre en charge les frais liés à cette formation. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable dans la mesure où il confirme cette décision et le recours de T._ se révèle mal fondé.
Cela étant, il y a lieu de considérer que la formation professionnelle initiale suivie par l'assurée n'occasionne pas des frais beaucoup plus élevés qu'à un non-invalide. Aussi, l'office intimé était-il fondé, par sa décision sur opposition du 12 mai 2003, à refuser de prendre en charge les frais liés à cette formation. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable dans la mesure où il confirme cette décision et le recours de T._ se révèle mal fondé.
4. En tant qu'il porte sur le droit de l'assurée à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition, le jugement attaqué n'a pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance. C'est pourquoi le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
4. En tant qu'il porte sur le droit de l'assurée à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition, le jugement attaqué n'a pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance. C'est pourquoi le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
5. Les décisions qui accordent ou refusent l'assistance gratuite d'un conseil juridique (art. 37 al. 4 LPGA) sont des décisions d'ordonnancement de la procédure au sens de l'art. 52 al. 1 LPGA (ATF 131 V 155 consid. 1; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar: Kommentar zum Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000, Zurich 2003, n. 18 ad art. 52).
5. Les décisions qui accordent ou refusent l'assistance gratuite d'un conseil juridique (art. 37 al. 4 LPGA) sont des décisions d'ordonnancement de la procédure au sens de l'art. 52 al. 1 LPGA (ATF 131 V 155 consid. 1; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar: Kommentar zum Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000, Zurich 2003, n. 18 ad art. 52).
6. 6.1 Dans la procédure administrative en matière d'assurances sociales, l'assistance gratuite d'un conseil juridique est accordée au demandeur lorsque les circonstances l'exigent (art. 37 al. 4 LPGA). La LPGA a ainsi introduit une réglementation légale de l'assistance juridique dans la procédure administrative (ATF 131 V 155 consid. 3.1; Kieser, op. cit., n. 22 ad art. 37).
6.2 Selon la loi (art. 152 OJ) et la jurisprudence, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (ATF 125 V 202 consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
La jurisprudence considère que les conclusions paraissent vouées à l'échec lorsqu'une partie, disposant des moyens nécessaires, ne prendrait pas le risque, après mûre réflexion, d'engager un procès ou de le continuer (ATF 129 I 135 consid. 2.3.1, 128 I 236 consid. 2.5.3 et la référence).
Le point de savoir si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée doit être tranché d'après les circonstances concrètes objectives et subjectives. Pratiquement, il faut se demander pour chaque cas particulier si, dans des circonstances semblables et dans l'hypothèse où le requérant ne serait pas dans le besoin, l'assistance d'un avocat serait judicieuse, compte tenu du fait que l'intéressé n'a pas lui-même des connaissances juridiques suffisantes et que l'intérêt au prononcé d'un jugement justifierait la charge des frais qui en découle (ATF 103 V 47, 98 V 118; cf. aussi ATF 130 I 182 consid. 2.2, 128 I 232 consid. 2.5.2 et les références).
Ces conditions d'octroi de l'assistance judiciaire, posées par la jurisprudence sous l'empire de l'art. 4 aCst., sont applicables à l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition (arrêt M. du 29 novembre 2004, I 557/04, consid. 2.1, publié à la Revue de l'avocat 2005 n. 3 p. 123). Toutefois, le point de savoir si elles sont réalisées doit être examiné à l'aune de critères plus sévères dans la procédure administrative (Kieser, op. cit., n. 20 ad art. 37).
En ce qui concerne le point de savoir si l'assistance d'un avocat est exigée (art. 37 al. 4 LPGA) et pas seulement justifiée par les circonstances (art. 61 let. f LPGA; arrêt A.-A. du 24 janvier 2006, I 812/05, consid. 4.3) dans la procédure d'opposition, il y a lieu de tenir compte des circonstances du cas d'espèce, de la particularité des règles de procédure applicables, ainsi que des spécificités de la procédure administrative en cours. Si la procédure en cause présente des risques importants pour la situation juridique de l'intéressé, l'assistance gratuite d'un défenseur est en principe accordée. Sans cela, elle ne le sera que si, à la difficulté relative de l'affaire, s'ajoutent des problèmes de fait ou de droit auxquels le requérant ne pourrait faire face seul (ATF 130 I 182 consid. 2.2 et les références citées). En plus de la complexité des questions de droit et de l'état de fait, il faut mentionner les circonstances qui tiennent à la personne concernée, comme sa capacité de s'orienter dans une procédure (arrêt M. du 29 novembre 2004, I 557/04, déjà cité, consid. 2.2, et la référence; cf. aussi arrêt A.-G. du 12 janvier 2006, I 501/05, consid. 4.1, prévu pour la publication dans le Recueil officiel).
En ce qui concerne le point de savoir si l'assistance d'un avocat est exigée (art. 37 al. 4 LPGA) et pas seulement justifiée par les circonstances (art. 61 let. f LPGA; arrêt A.-A. du 24 janvier 2006, I 812/05, consid. 4.3) dans la procédure d'opposition, il y a lieu de tenir compte des circonstances du cas d'espèce, de la particularité des règles de procédure applicables, ainsi que des spécificités de la procédure administrative en cours. Si la procédure en cause présente des risques importants pour la situation juridique de l'intéressé, l'assistance gratuite d'un défenseur est en principe accordée. Sans cela, elle ne le sera que si, à la difficulté relative de l'affaire, s'ajoutent des problèmes de fait ou de droit auxquels le requérant ne pourrait faire face seul (ATF 130 I 182 consid. 2.2 et les références citées). En plus de la complexité des questions de droit et de l'état de fait, il faut mentionner les circonstances qui tiennent à la personne concernée, comme sa capacité de s'orienter dans une procédure (arrêt M. du 29 novembre 2004, I 557/04, déjà cité, consid. 2.2, et la référence; cf. aussi arrêt A.-G. du 12 janvier 2006, I 501/05, consid. 4.1, prévu pour la publication dans le Recueil officiel).
7. 7.1 Par sa décision des 12/18 juin 2003, l'office AI a rejeté la demande d'assistance gratuite d'un conseil juridique, motif pris que le degré de complexité du cas n'était pas tel que l'assistance d'un avocat fût nécessaire.
De son côté, la juridiction cantonale a considéré que l'intéressée avait droit à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition, au seul motif que cette mesure lui a été accordée dans la procédure judiciaire cantonale en vertu de l'art. 61 let. f LPGA.
Dans son recours de droit administratif, l'office AI fait valoir que le seul fait que les conditions de l'assistance judiciaire gratuite étaient réalisées dans la procédure judiciaire cantonale ne permet pas d'inférer que l'intéressée avait droit à une telle mesure dans la procédure d'opposition. Au contraire, ce droit doit être nié étant donné que l'affaire n'était pas particulièrement complexe sur le plan des faits ni sur le plan du droit.
Dans ses déterminations sur le recours de l'office AI, l'assurée fait valoir que l'issue du litige sur le fond est susceptible d'affecter sa situation de manière particulièrement grave : non seulement l'octroi des prestations de l'assurance-invalidité lui est indispensable pour financer sa formation professionnelle, mais encore l'issue du litige dépasse la question financière, puisque son avenir professionnel dépend du succès de cette formation. Au demeurant, la situation juridique est en l'occurrence suffisamment complexe pour justifier l'assistance d'un conseil. A cela s'ajoute le fait qu'en raison de son jeune âge et de sa fragilité psychologique, l'intéressée est particulièrement démunie pour s'orienter dans une procédure administrative de cette nature.
7.2 En l'occurrence, on ne saurait partager le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'assurée avait droit à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition, au seul motif que cette mesure lui a été accordée dans la procédure judiciaire cantonale. Dans la procédure administrative, en effet, les conditions d'octroi d'une telle mesure doivent être examinées à l'aune de critères plus sévères que dans la procédure judiciaire (arrêt A.-G. du 12 janvier 2006, I 501/05, déjà cité, consid. 4.1). Par ailleurs, l'affaire n'apparaît pas, sur les plans des faits et du droit, suffisamment complexe pour justifier l'assistance d'un avocat dans la procédure d'opposition. En revanche, il est probable que la procédure en cause affecte sensiblement la situation juridique de l'intéressée, dans la mesure où elle est en relation avec son avenir professionnel. Or, dans son rapport du 19 avril 2004, le docteur C._ a indiqué que son projet d'insertion sociale et professionnelle avait une importance décisive pour l'assurée. A cela s'ajoute le fait que celle-ci présente principalement une personnalité borderline (F 60.31). Selon le docteur C._, ce trouble de la personnalité se caractérise notamment par des efforts pour éviter des abandons réels ou imaginés et par le sentiment de ne pas exister qui peut survenir en cas de perte de soutien. Cela étant, il n'apparaît pas que l'assurée était en mesure de s'orienter seule dans la procédure d'opposition, laquelle représentait un enjeu important pour sa situation juridique. Aussi, les circonstances du cas d'espèce exigeaient-elles l'assistance d'un avocat dans la procédure d'opposition. Le jugement attaqué n'est dès lors pas non plus critiquable dans son résultat, dans la mesure où il accorde à l'assurée l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition. Le recours de l'office AI se révèle ainsi mal fondé.
7.2 En l'occurrence, on ne saurait partager le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'assurée avait droit à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition, au seul motif que cette mesure lui a été accordée dans la procédure judiciaire cantonale. Dans la procédure administrative, en effet, les conditions d'octroi d'une telle mesure doivent être examinées à l'aune de critères plus sévères que dans la procédure judiciaire (arrêt A.-G. du 12 janvier 2006, I 501/05, déjà cité, consid. 4.1). Par ailleurs, l'affaire n'apparaît pas, sur les plans des faits et du droit, suffisamment complexe pour justifier l'assistance d'un avocat dans la procédure d'opposition. En revanche, il est probable que la procédure en cause affecte sensiblement la situation juridique de l'intéressée, dans la mesure où elle est en relation avec son avenir professionnel. Or, dans son rapport du 19 avril 2004, le docteur C._ a indiqué que son projet d'insertion sociale et professionnelle avait une importance décisive pour l'assurée. A cela s'ajoute le fait que celle-ci présente principalement une personnalité borderline (F 60.31). Selon le docteur C._, ce trouble de la personnalité se caractérise notamment par des efforts pour éviter des abandons réels ou imaginés et par le sentiment de ne pas exister qui peut survenir en cas de perte de soutien. Cela étant, il n'apparaît pas que l'assurée était en mesure de s'orienter seule dans la procédure d'opposition, laquelle représentait un enjeu important pour sa situation juridique. Aussi, les circonstances du cas d'espèce exigeaient-elles l'assistance d'un avocat dans la procédure d'opposition. Le jugement attaqué n'est dès lors pas non plus critiquable dans son résultat, dans la mesure où il accorde à l'assurée l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure d'opposition. Le recours de l'office AI se révèle ainsi mal fondé.
8. L'assurée demande à bénéficier de l'assistance judiciaire en instance fédérale.
En tant qu'elle vise aussi la dispense de payer des frais de procédure, cette requête est sans objet. En effet, la procédure est en principe gratuite lorsqu'elle concerne l'octroi ou le refus de prestations d'assurance (art. 134 OJ), ainsi que de l'assistance judiciaire (SVR 2002 ALV n° 3 p. 7 consid. 5).
Par ailleurs, les conditions d'octroi de l'assistance gratuite d'un avocat sont réalisées dans la cause I 713/04. L'assurée est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du tribunal si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ).
Dans la mesure où elle obtient gain de cause dans la procédure I 676/04, l'assurée a droit à une indemnité de dépens (art. 159 al. 1 OJ). La requête d'assistance judiciaire est ainsi sans objet en tant qu'elle vise la prise en charge des honoraires de son avocat dans cette affaire.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Les causes I 676/04 et I 713/04 sont jointes.
1. Les causes I 676/04 et I 713/04 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés.
2. Les recours sont rejetés.
3. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Il n'est pas perçu de frais de justice.
4. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud versera à T._ une indemnité de 800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale dans la cause I 676/04.
4. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud versera à T._ une indemnité de 800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale dans la cause I 676/04.
5. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires de Me Thonney sont fixés à 2'000 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) pour la procédure fédérale dans la cause I 713/04 et seront supportés par la caisse du tribunal.
5. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires de Me Thonney sont fixés à 2'000 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) pour la procédure fédérale dans la cause I 713/04 et seront supportés par la caisse du tribunal.
6. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mars 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre: Le Greffier: