Faits:
A. A.a Depuis le 1er avril 2002, X._ a travaillé pour l'entreprise A._ SA, à Genève, en tant qu'ébéniste polisseur. A ce titre, il était au bénéfice d'une assurance collective conclue avec B._ Caisse-maladie, devenue Y._ Assurances SA (ci-après: l'assurance), couvrant les conséquences économiques d'une incapacité de travail due à la maladie; l'indemnité journalière assurée, correspondant à 80% du salaire, était octroyée dès le 31e jour jusqu'au 720e jour après l'apparition de la maladie en cas d'incapacité de travail d'au minimum 50%. D'après les conditions générales de l'assurance collective, édition de septembre 2005, est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique ou mentale.
Le 11 février 2010, l'assurance a reçu une déclaration selon laquelle le travailleur était en incapacité de travail depuis le 21 décembre 2009.
Par rapport du 15 mars 2010, le Dr C._, médecin traitant de l'assuré, a diagnostiqué une hypertension artérielle rebelle au traitement existant depuis 2008, une broncho-pneumopathie chronique obstructive, existant depuis des années, et une cyphoscoliose, présente également depuis plusieurs années. D'après ce médecin, l'incapacité de travail de l'assuré était totale à compter du 21 février 2009.
Mandatée par l'assurance pour une mission d'expertise, la Dresse D._, spécialiste en rhumatologie auprès de la clinique E._, a diagnostiqué, dans un rapport du 7 juin 2010, une cyphoscoliose dorso-lombaire, en partie responsable d'une insuffisance respiratoire chronique, et une névralgie cervico-brachiale C6 droite. Ce spécialiste a estimé que l'assuré pouvait reprendre son activité professionnelle dès le 29 avril 2010, avec toutefois une diminution de rendement de 20%.
Par courrier du 11 mai 2010, l'assurance a informé l'assuré qu'au vu des conclusions du rapport d'expertise de la Dresse D._, le versement des indemnités journalières prendrait fin le 16 mai 2010.
Le 17 mai 2010, l'assuré a tenté sans succès de reprendre son activité lucrative.
Le 21 mai 2010, le Dr C._ a attesté d'une incapacité de travail totale de l'assuré jusqu'au 7 juin 2010, de sorte que celui-ci, par pli du même jour, a demandé à l'assurance qu'elle lui verse à nouveau des indemnités journalières.
Le 23 juin 2010, l'entreprise A._ SA a mis fin au contrat de travail de l'assuré, avec effet au 31 août 2010.
L'assurance a chargé le Dr F._, spécialiste en pneumologie auprès de la clinique E._, d'une nouvelle expertise de l'assuré. Par rapport du 7 juillet 2010, ce praticien a diagnostiqué une broncho-pneumopathie chronique obstructive de grade II associée à une cyphoscoliose. Il a considéré que la capacité de travail de l'assuré était totale, avec baisse de rendement de 15%.
Par courrier du 23 juillet 2010, l'assurance, sur la base des conclusions de ce pneumologue, a indiqué à l'assuré qu'il bénéficiait d'une capacité de travail dans son activité habituelle de 100% dès le 16 mai 2010, avec une baisse de rendement de 20%; l'assurance en a inféré qu'elle n'avait pas à reconsidérer sa prise de position du 11 mai 2010.
Par rapport du 16 septembre 2010, le Dr G._, spécialiste FMH en pneumologie consulté par l'assuré, a diagnostiqué une broncho-pneumopathie chronique obstructive avec syndrome respiratoire fonctionnel obstructif sévère, compliqué d'une hypoxémie et d'une polyglobulie secondaire, dans le contexte d'un tabagisme chronique actif. Selon ce médecin, la capacité de travail de l'assuré comme vernisseur en ébénisterie était très réduite, un travail dans une fonction sédentaire pouvant cependant convenir. Le Dr G._ a attesté d'une incapacité de travail de l'assuré pour la période s'étendant du 1er juin 2010 au 31 août 2010.
Par rapport du 26 novembre 2010, le Dr F._ a maintenu ses conclusions, en dépit de celles divergentes du Dr G._.
A.b Du 29 août au 12 octobre 2010, l'assuré a été hospitalisé en raison de deux accidents vasculaires cérébraux (AVC).
Le 7 septembre 2010, l'assuré a fait part à l'assurance de son hospitalisation à compter du 29 août 2010 et a requis le versement des indemnités journalières prévues par l'assurance collective.
Le 24 septembre 2010, l'assurance a reçu une déclaration d'incapacité de travail débutant le 29 août 2010.
Le 27 septembre 2010, l'assurance a écrit à l'assuré qu'à compter du 1er septembre 2010 il ne bénéficiait plus de la couverture d'assurance de son ancien employeur, mais qu'il avait la faculté de maintenir l'affiliation en qualité de membre individuel.
Par rapport du 15 octobre 2010, la Dresse H._, médecin adjoint dans le service de neurorééducation des Hôpitaux I._, a diagnostiqué un accident vasculaire cérébral ischémique survenu le 22 août 2010. La capacité de travail dans l'activité exercée antérieurement était nulle du 29 août 2010 au 12 novembre 2010 (art. 105 al. 2 LTF).
Le 9 novembre 2010, la Dresse J._, cheffe de clinique dans le service de neurorééducation des I._, a attesté une incapacité de travail totale de l'assuré du 29 août 2010 au 30 novembre 2010.
B. Par demande du 18 janvier 2011 déposée devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève, X._ a conclu à ce que l'assurance lui verse 40'466 fr., plus intérêts à 5% dès le 17 octobre 2010, à titre d'indemnités journalières du 17 mai 2010 au 18 janvier 2011 et à ce que son droit à des indemnités journalières après ce terme soit reconnu.
L'assurance a conclu au déboutement de l'assuré.
Par arrêt du 28 novembre 2011, la Chambre des assurances sociales, statuant en instance cantonale unique, a partiellement admis la demande en ce sens que l'assurance a été condamnée à verser au demandeur des indemnités journalières entières pour la période du 28 septembre 2010 au 30 novembre 2010, avec intérêts à 5% l'an dès le 7 octobre 2010, ainsi que pour la période postérieure au 30 novembre 2010 si l'assuré fournissait à l'assurance les certificats médicaux attestant de son éventuelle incapacité de travail.
C. X._, alors représenté par l'Association suisse des assurés (ASSUAS), exerce un recours en matière droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce que l'assurance soit condamnée à lui payer des indemnités journalières entières du 17 mai au 28 septembre 2010, l'arrêt attaqué étant confirmé pour le surplus.
L'intimée propose l'irrecevabilité du recours, l'ASSUAS n'étant pas en droit de représenter le recourant, et, sur le fond, le rejet dudit recours.
Averti par le Tribunal fédéral que l'ASSUAS ne pouvait pas le représenter en instance fédérale (cf. art. 40 al. 1 LTF) et invité à signer lui-même le recours, le recourant a remédié à cette irrégularité dans le délai qui lui avait été imparti.
Dans sa réplique, le recourant a informé le Tribunal fédéral qu'il était désormais représenté par l'avocat genevois Pierre-Bernard Petitat. Il a également produit une décision prise le 22 mars 2012 par l'Office cantonal AI de Genève, qui se réfère à un avis du Service Médical Régional (SMR) du 15 novembre 2011.
L'assurance a dupliqué en confirmant les termes de sa réponse.
Considérant en droit:
1. 1.1 En tant que partie qui a partiellement succombé dans ses conclusions en paiement, l'assuré a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
Dans le domaine de l'assurance couvrant le risque de perte de gain en cas de maladie, les parties peuvent librement choisir, soit de conclure une assurance sociale d'indemnités journalières régie par les art. 67 à 77 de la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10), soit de conclure une assurance d'indemnités journalières soumise à la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (arrêt 4A_595/2011 du 17 février 2012 consid. 2.1). En l'occurrence, il ressort des considérants 1 et 2 de l'arrêt déféré que le contrat conclu avec l'assuré relève de l'assurance complémentaire à l'assurance sociale, laquelle ressortit au droit privé, plus particulièrement à la LCA (art. 12 al. 2 et 3 LAMal). La décision attaquée est ainsi rendue en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF (ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s.). Ladite décision n'est susceptible que du recours en matière civile. Le mauvais choix de la voie de recours par l'assuré ne saurait lui nuire, dès l'instant où son acte de recours remplit, comme on le verra, les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
1.2 Selon l'art. 7 CPC, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la LAMal. Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, l'art. 74 al. 2 let. b et l'art. 75 al. 2 let. a LTF ont été modifiés en ce sens que la formule « une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique » a été remplacée par la phrase « une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique ». Il ressort clairement des travaux préparatoires que la volonté du législateur, en adoptant cette modification, était d'englober non seulement les cas où le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi les cas où il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique (Procès-verbal de la séance du 3 avril 2008 de la Commission des affaires juridiques du Conseil national, p. 9; cf. arrêts 4A_445/2010 du 1er décembre 2010 consid. 1.1 et 4A_412/2010 du 27 septembre 2010 consid. 1.2.3). Il résulte donc de l'art. 7 CPC que l'on se trouve en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique. En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (art. 75 al. 2 let. a LTF) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. b LTF).
Dirigé pour le reste contre un arrêt final (art. 90 LTF), le recours est en principe recevable à ce stade de l'examen, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 1.4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 II 304 consid. 2.4) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Le recourant, avec sa réplique, a produit une décision prise le 22 mars 2012 par l'Office cantonal AI de Genève. Dès lors que cette décision a été prise postérieurement à l'arrêt attaqué, il s'agit d'un fait nouveau (art. 99 al. 1 LTF), qui est irrecevable dans la présente instance.
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. Il résulte de l'arrêt critiqué que la cour cantonale a reconnu une valeur probante entière aux rapports établis tant par la Dresse D._, spécialiste en rhumatologie, que par le Dr F._, spécialiste en pneumologie, et retenu qu'il n'existait aucune circonstance bien établie susceptible d'ébranler sérieusement la crédibilité de ces experts. Suivant l'avis de ces deux médecins, l'autorité cantonale a admis que l'assuré disposait d'une complète capacité de travail dans son activité habituelle dès le 17 mai 2010, avec une diminution de rendement de 20%. Elle en a déduit que l'assurance avait mis fin à juste titre au versement des indemnités journalières à compter du 17 mai 2010, du moment que l'assuré ne subissait alors plus d'incapacité de travail d'au moins 50%.
La Chambre des assurances sociales a ensuite examiné si le demandeur avait droit à des indemnités journalières en raison des AVC diagnostiqués le 29 août 2010. Contrairement à l'opinion de la défenderesse, elle a estimé que la fin des rapports de travail, survenue le 31 août 2010, n'avait pas entraîné la suppression du droit au versement des prestations prévues par l'assurance collective. Compte tenu d'une incapacité de travail totale dès le 29 août 2010, l'assuré avait droit au paiement d'indemnités journalières dès l'expiration du délai d'attente de 30 jours, soit dès le 28 septembre 2010, cela jusqu'au 30 novembre 2010, l'existence d'une incapacité de travail totale jusqu'à cette date ayant été prouvée au degré de la vraisemblance prépondérante. Pour la période postérieure, il incombera à l'assuré de fournir à l'assurance des certificats médicaux démontrant, le cas échéant, la poursuite de l'incapacité de travail.
3. Invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant fait grief à l'autorité cantonale d'avoir admis, sur la base des rapports des Drs D._ et F._, que sa capacité de travail dépassait largement 50% entre le 17 mai et le 28 août 2010, en sorte qu'il n'avait pas droit aux prestations d'assurance couvrant sa perte de gain. Il prétend que ces rapports, en particulier celui de la Dresse D._, contiendraient à plusieurs endroits des contradictions et minimiseraient « ses problèmes respiratoires associés à sa cyphoscoliose et hypertension artérielle ». Il fait référence à la décision rendue le 22 mars 2012 par l'Office cantonal genevois AI, qui contredirait les deux rapports médicaux précités, et prétend que la cour cantonale devait se rallier aux conclusions des rapports des médecins traitants, soit les Drs C._ et G._, qui sont confortées par l'avis du SMR et établiraient de manière indiscutable qu'il présentait une incapacité de travail totale depuis le 17 mai 2010.
3.1 L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision attaquée n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait une déduction insoutenable (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant, c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions médicales soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352; 122 V 157 consid. 1c p. 160 et les références; récemment: arrêt 9C_514/2011 du 26 avril 2012 consid. 4.2).
3.2 Les critiques adressées par le recourant aux rapports établis par les Drs D._ et F._, datés respectivement des 7 juin 2010 et 7 juillet 2010, ne permettent pas de mettre en doute l'appréciation des preuves opérée par la cour cantonale.
Tout d'abord, le recourant, qui se plaint de troubles statiques et respiratoires, ne prétend pas que ces praticiens ne disposaient pas des connaissances médicales suffisantes pour procéder aux missions d'expertise que leur a confiées l'intimée. A juste titre dès lors que la Dresse D._ est spécialiste en rhumatologie et le Dr F._ est un pneumologue. Que ces derniers n'aient pas rédigé leur rapport en qualité d'experts judiciaires n'est pas déterminant, ainsi que l'on vient de le voir au considérant 3.1 in fine. De toute façon, le recourant ne donne pas le plus petit indice de leur absence d'impartialité à son endroit.
Ces deux rapports reposent sur des anamnèses détaillées établies après l'examen clinique de l'assuré par les deux praticiens. Ces anamnèses comprennent notamment des éléments biographiques, rappellent l'historique de la maladie et font état des plaintes du recourant. Ils comportent in fine des conclusions claires et dûment motivées. Les deux rapports sont bien structurés, de sorte qu'il n'est pas possible d'admettre qu'ils ne suivent pas une méthodologie.
Les deux praticiens précités ont tenu compte du diagnostic posé le 15 mars 2010 par le Dr C._, même s'ils n'ont pas partagé l'opinion de ce dernier en relation avec la capacité de travail de l'assuré.
A ces deux avis médicaux, le recourant oppose l'opinion de son médecin traitant, le Dr C._, et celle du Dr G._, qu'il a spontanément consulté. Or il est de jurisprudence que les opinions des médecins traitants doivent être examinées avec circonspection (ATF 125 V 351 consid. 2b/cc p. 353; 124 I 170 consid. 4 p. 175).
Le recourant se réfère en pure perte à la décision de l'Office cantonal genevois AI du 22 mars 2012 et à l'avis du SMR. La décision susmentionnée est un fait nouveau irrecevable, étant donné qu'elle a été rendue postérieurement à l'arrêt attaqué (cf. consid. 1.4 ci-dessus). Quant à l'avis du SMR, il constitue aussi un novum, puisque le recourant n'a jamais prétendu l'avoir allégué devant l'autorité cantonale (art. 99 al. 1 LTF; arrêt 4A_18/2010 du 15 mars 2010 consid. 2.1, non publié in ATF 136 I 197).
Il suit de là que la cour cantonale n'a pas outrepassé les limites de son pouvoir d'appréciation, ni conséquemment versé dans l'arbitraire, en privilégiant les avis des Drs D._ et F._, lesquels se sont livrés à une approche scientifique du cas qui leur était soumis, au détriment des appréciations émises par les médecins traitants de l'assuré, approche qui a conduit la Chambre des assurances sociales à juger que le recourant avait retrouvé - provisoirement - une capacité de travail entière dans son activité habituelle dès le 17 mai 2010, avec une diminution de rendement de 20%.
Le grief de violation de l'art. 9 Cst. est infondé.
4. Il suit de là que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'est pas représentée par un avocat et n'a pas fait état de dépenses particulières (cf. ATF 133 III 439 consid. 4 p. 446).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales.
Lausanne, le 30 mai 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet