Faits :
A.
Le 17 janvier 2014, B._, assistée de l'avocat Philippe Reymond, a introduit auprès de la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois une demande de contrôle spécial et de désignation d'un contrôleur spécial, dirigée contre la société A._ SA (art. 697b CO). Le 25 février 2014, cette dernière a formulé une requête de récusation de l'ensemble du Tribunal cantonal, motivée par le fait que Me Philippe Reymond siège comme expert au sein de la Commission de présentation du Grand Conseil vaudois, dont la tâche est de donner un préavis au sujet de l'élection et de la réélection des juges et juges suppléants du Tribunal cantonal.
La requête de récusation a été transmise au Tribunal neutre. Par arrêt du 10 juillet 2014, celui-ci l'a rejetée.
B.
La société A._ SA (recourante) a interjeté un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral, concluant principalement à ce que l'arrêt du Tribunal neutre soit annulé et la cause renvoyée à cette autorité pour instruction et nouvelle décision sur la requête de récusation, subsidiairement à ce que l'arrêt attaqué soit réformé dans le sens que la requête de récusation est admise et le Tribunal neutre chargé d'instruire et de trancher la demande de contrôle spécial du 17 janvier 2014.
Le Tribunal neutre et le Tribunal cantonal ont renoncé à se déterminer; B._ a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
La loi vaudoise d'organisation judiciaire prévoit un "Tribunal neutre" (art. 2 ch. 1 let. b LOJ/VD, RSV 173.01). Celui-ci est constitué par le Grand Conseil; la procédure d'élection des juges cantonaux et de leurs suppléants est applicable (art. 86 al. 1 LOJ/VD). Le Tribunal neutre est notamment compétent pour statuer sur les demandes de récusation en matière civile visant l'ensemble du Tribunal cantonal ou la majorité de ses membres (art. 8a al. 6 CDPJ/VD, RSV 211.02) et pour statuer au fond lorsqu'il est impossible de constituer une cour ad hoc du Tribunal cantonal chargée de suppléer une cour de ce tribunal dont les membres ont été récusés (art. 8b al. 3 CDPJ/VD).
L'arrêt rendu par le Tribunal neutre est une décision incidente sur une question de récusation (art. 92 LTF) rendue dans une cause civile (art. 697b CO) qui, de par le droit fédéral, doit être jugée par une autorité cantonale statuant en instance unique (art. 5 al. 1 let. g CPC). La voie du recours en matière civile est partant ouverte (art. 72 al. 1, art. 74 al. 2 let. b, art. 75 al. 1 et al. 2 let. a LTF).
2.
La Constitution du Canton de Vaud du 14 avril 2003 prévoit que les juges et juges suppléants du Tribunal cantonal sont élus pour une durée de cinq ans par le Grand Conseil, sur préavis d'une Commission de présentation désignée par le Grand Conseil et composée de députés et d'experts indépendants (art. 131 al. 1 et 2 Cst./VD, RS 131.231).
Aux termes de la loi vaudoise sur le Grand Conseil, la Commission de présentation est composée de neuf députés représentant tous les groupes politiques du Grand Conseil ainsi que de quatre experts indépendants dont la voix est consultative. Les experts indépendants sont choisis sur la base de leurs qualifications, qui doivent être propres à assurer que les juges et juges suppléants du Tribunal cantonal remplissent les conditions posées par la loi (art. 160 LGC/VD, RSV 171.01). La Commission peut convoquer les candidats ou requérir des compléments d'informations; au cas où elle envisage un préavis négatif à une réélection, elle entend le candidat concerné (art. 161 et 162 LGC/VD). Elle émet un préavis motivé à l'attention du Grand Conseil au plus tard une semaine avant la date de l'élection (art. 163 LGC/VD).
3.
La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de l'art. 112 LTF en raison d'une prétendue absence de véritable état de fait dans l'arrêt attaqué.
Les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral sont notifiées par écrit et doivent contenir "les motifs déterminants de fait et de droit" (art. 112 al. 1 let. b LTF). Ainsi, lesdites décisions doivent indiquer clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui en sont tirées (ATF 135 II 145 consid. 8.2). La motivation peut néanmoins être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêt 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, in RDAF 2009 II p. 434). Ces exigences ont été déduites du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), qui impose au juge de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer son droit de recours à bon escient. Le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Le juge n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 138 IV 81 consid. 2.2). Sous l'angle de l'art. 112 LTF, il s'agit donc uniquement d'examiner si la décision attaquée est correctement rédigée, à savoir notamment si le juge a indiqué les faits sur lesquels il a effectivement basé son prononcé; il ne s'agit pas de dire si la décision attaquée est juste dans son résultat, ou si le juge a établi tous les faits nécessaires pour trancher la cause.
Les faits sur lesquels l'autorité précédente s'est fondée pour rejeter la requête ressortent sans autre de l'arrêt attaqué. Cela scelle le sort du grief.
4.
La recourante se plaint ensuite d'une violation de son droit à la preuve (art. 29 al. 2 Cst.) et d'arbitraire dans l'appréciation anticipée des preuves (art. 9 Cst.). Elle se réfère à sa réquisition d'audition des membres de la Commission de présentation destinée à établir le rôle concret et précis des experts, respectivement à la prise en compte d'un rapport de la Commission dans lequel celle-ci dit que la sélection technique des candidats est effectuée par les experts qui se basent exclusivement sur les compétences juridiques et personnelles des candidats.
Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 i.f.). Le recourant doit discuter les attendus de la décision attaquée et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation du droit constitutionnel; il ne suffit pas d'affirmer une opinion contraire à celle de l'autorité précédente (ATF 133 III 393 consid. 6). La motivation du présent recours ne satisfait pas à ces exigences.
Quoi qu'il en soit, supposé recevable, le grief serait de toute façon infondé. La requête de récusation est dirigée contre tous les juges et juges suppléants du Tribunal cantonal, et elle est fondée uniquement sur le fait que l'avocat de la partie adverse est l'un des quatre experts indépendants de la Commission de présentation; la recourante invoque ainsi un motif de récusation objectif et général, valant pour tous les juges et juges suppléants indépendamment de leur situation individuelle ou de leur comportement subjectif. En outre, la procédure devant la Commission est régie par la loi (art. 160 ss LGC/VD). Dans la mesure où l'autorité précédente en a déduit que l'audition des membres de la Commission ne serait pas de nature à apporter des éléments supplémentaires utiles, il ne saurait être question d'une appréciation insoutenable. En particulier, on ne discerne pas en quoi le fait que la Commission, à bon ou à mauvais escient, entende tous les juges soumis à réélection, serait pertinent pour juger de l'indépendance de ces juges par rapport à l'un des experts membres de la Commission.
5.
Il reste donc à examiner si le fait qu'un avocat siège comme expert dans la Commission de présentation, compétente pour préaviser les réélections, est de nature à objectivement créer des doutes quant à l'indépendance de l'ensemble des juges et juges suppléants du Tribunal cantonal, dans toutes les causes où cet avocat agit comme mandataire d'une partie.
5.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial permet de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité (art. 30 al. 1 Cst., art. 6 § 1 CEDH, art. 47 CPC). Pour établir si un tribunal peut passer pour "indépendant", il faut prendre en compte, notamment, le mode de désignation et la durée du mandat de ses membres, l'existence d'une protection contre les pressions extérieures et le point de savoir s'il y a ou non apparence d'indépendance. Quant à la condition d'impartialité, elle revêt deux aspects. Il faut d'abord que le tribunal ne manifeste subjectivement aucun parti pris ni préjugé personnel. Ensuite, le tribunal doit être objectivement impartial, c'est-à-dire offrir des garanties suffisantes pour exclure à cet égard tout doute légitime; dans ce cadre, il s'agit de se demander si, indépendamment de la conduite personnelle des juges, certains faits vérifiables autorisent à suspecter l'impartialité de ces derniers. En la matière, même les apparences peuvent revêtir de l'importance. Il y va de la confiance que les tribunaux d'une société démocratique se doivent d'inspirer aux justiciables, à commencer par les parties à la procédure. Toutefois, seules des circonstances constatées objectivement sont pertinentes; les impressions purement individuelles d'une partie au procès ne sont pas décisives (ATF 138 I 1 consid. 2.2; 137 I 227 consid. 2.1; 136 III 605 consid. 3.2.1; 136 I 207 consid. 3.1).
Le système d'élection des juges, pour un mandat limité avec possibilité de réélection, est traditionnellement pratiqué en Suisse aux niveaux cantonal et fédéral. Ce système repose sur le postulat qu'une fois élus, les magistrats sont présumés capables de prendre le recul nécessaire par rapport à leur parti politique et à l'organe d'élection et de se prononcer objectivement sur le litige qui divise les parties. Seules des circonstances exceptionnelles peuvent donner à penser que le juge pourrait subir une influence au point de ne plus apparaître comme impartial dans le traitement d'une cause particulière (arrêt 1B_460/2012 du 25 septembre 2012 consid. 3.2, in SJ 2013 I 438; cf. REGINA KIENER, Sind Richter trotz Wiederwahl unabhängig?, in Plädoyer 2001 vol. 5 p. 36 ss).
Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le préciser, l'élection puis la réélection périodique des magistrats de l'ordre judiciaire par le parlement n'est à l'évidence pas un élément susceptible de mettre objectivement en doute l'impartialité du magistrat traitant une affaire judiciaire dans laquelle un député est impliqué. En particulier, la possibilité pour un avocat député de participer à l'élection des juges est inhérente au système; cette situation ne saurait constituer, de manière générale, un motif de récusation. On ne peut pas soutenir que d'ordinaire, la voix d'un seul député avocat aurait un poids tel au sein d'un parlement qu'elle serait propre à porter atteinte à l'indépendance des juges (arrêt 1C_103/2011 du 24 juin 2011 consid. 3, in SJ 2011 I 492 et RtiD 2011 II 16).
5.2. Contrairement au député qui glisse un bulletin secret dans l'urne, l'expert vaudois doit exprimer et justifier un éventuel avis négatif face aux autres experts et aux députés qui forment la Commission de présentation; si celle-ci envisage de le suivre, elle doit entendre le juge concerné et lui donner la possibilité de se déterminer. Par la suite, les experts donnent leur avis, les députés arrêtent le préavis et l'adressent avec leurs motifs au parlement; ce préavis est rendu public. Dans de telles circonstances, il apparaît pour le moins hautement invraisemblable qu'un expert puisse être en mesure d'obtenir, pour des motifs subjectifs, l'évincement d'un juge. Une telle hypothèse est d'autant plus invraisemblable que la non-réélection de juges est délicate sous l'angle de l'indépendance de la justice; les parlements en sont conscients et font régulièrement preuve de la plus grande retenue en la matière, si bien que d'aucuns parlent même d'une "inamovibilité de fait" des juges ( JEAN-FRANÇOIS AUBERT, Traité de droit constitutionnel suisse, vol. II, 1967, ch. 1609; plus nuancée, KIENER, op. cit., p. 39).
Tant le juge que l'avocat sont des acteurs de la justice, des professionnels qui savent faire la part des choses et dont on peut objectivement attendre qu'ils ne se laissent pas influencer par d'éventuels ressentiments causés par des actes, incidents ou décisions intervenus dans le cadre d'une cause spécifique. Dans le monde judiciaire restreint des cantons, il est inévitable que juges et avocats se connaissent et se fréquentent; les exigences en matière d'apparence objective d'impartialité entre juges et mandataires des parties ne sauraient être poussées à un point tel que le fonctionnement normal de la justice en soit entravé. Le même type de réglementation prévaut du reste au plan fédéral (cf. art. 40a LParl, RS 171.10).
On relèvera aussi que la préparation des élections judiciaires par une commission parlementaire ayant dans ses rangs des experts indépendants, notamment des représentants du barreau, est une solution proposée en doctrine pour garantir l'indépendance de la justice (cf. REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit - Verfassungsrechtliche Anforderungen an Richter und Gerichte, 2001, p. 277 s.). Les représentants du barreau ne pouvant logiquement être que des avocats plaidant devant les tribunaux, la proposition sous-entend que leur participation dans des procédures judiciaires n'entraîne pas automatiquement la récusation de juridictions entières, sauf à réduire très fortement leur activité en tant qu'avocat.
5.3. La recourante ne saurait dès lors être suivie. On notera au passage qu'elle n'est pas très conséquente lorsqu'elle demande à ce que le Tribunal neutre se saisisse de la cause au fond, alors que les membres de cette autorité sont, à l'instar des juges et des juges suppléants du Tribunal cantonal, élus et réélus par le Grand Conseil sur préavis de la Commission de présentation.
6.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante supporte les frais judiciaires et les dépens de B._ (art. 66 et 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à B._ une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et au Tribunal neutre du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 janvier 2015
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Monti