Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 10. Juni 2010 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich das Gesuch von A._ und B._, Staatsangehörige von Sri Lanka, sowie ihrer beiden Kinder um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligungen ab. Auf den von einem Rechtsanwalt am 6. Juli 2010 eingereichten Rekurs, der innert Rechtsmittelfrist unter Hinweis darauf, dass ihm die Akten nicht vorliegen würden, bloss einen Antrag gestellt und um Ansetzung einer Frist zur Rekursbegründung ersucht, hingegen keine Rekursbegründung verfasst hatte, trat der Regierungsrat des Kantons Zürich am 27. Oktober 2010 nicht ein. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 9. März 2011 ab. Die Familie A._ gelangte am 14. April 2011 gegen dieses Urteil mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. Mit Verfügung vom 19. April 2011 wurde dem Gesuch um aufschiebende Wirkung entsprochen.
Am 4. Juli 2011 meldeten sich die Beschwerdeführer beim Bevölkerungsamt des Kantons Zürich per 31. Juli 2011 ab, wobei sie eine Wegzugserklärung unterzeichneten. Zu entsprechender Stellungnahme aufgefordert, erklärte der mandatierte Rechtsanwalt am 22. August 2011 den Rückzug der Beschwerde, wobei er um einen Entscheid über die Anträge betreffend unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Verbeiständung ersuchte.
2. Gestützt auf die Rückzugserklärung kann das Verfahren in Anwendung von Art. 32 Abs. 2 BGG abgeschrieben werden.
Was das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im engeren Sinn (Kostenbefreiung) betrifft, setzte dies voraus, dass die Beschwerde nicht aussichtslos erschien (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Hauptantrag der Beschwerdeführer (und die entsprechende Beschwerdebegründung) ist - angesichts des beschränkten Prozessgegenstands (Recht- bzw. Verfassungsmässigkeit des Nichteintretensentscheids des Regierungsrats) - unzulässig. Einzutreten gewesen wäre von vornherein einzig auf den Eventualantrag, wobei die diesbezüglichen Probleme primär darauf zurückzuführen sind, dass die Beschwerdeführer 25 Tage verstreichen liessen, bis sie an einen Rechtsvertreter gelangten. Die Erfolgsaussichten der Beschwerde waren keineswegs gewiss. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich indessen, ohne nähere Beurteilung der Erfolgsaussichten der Beschwerde und formellen Entscheid über das Kostenbefreiungsgesuch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Was das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung betrifft, ist Art. 64 Abs. 2 BGG massgeblich, wonach als unentgeltlicher Rechtsbeistand nur ein Anwalt beigegeben werden kann. Die Beschwerdeführer haben zwar am 6. Juli 2010 eine Anwaltsvollmacht unterzeichnet, die indessen eine Substitutionsklausel enthält. Die Beschwerdeschrift wurde vom Substituten verfasst, der seinerseits um Beigabe als unentgeltlicher Rechtsbeistand ersucht ("in der Person des Unterzeichneten"). Es handelt sich dabei zwar um einen Juristen (lic.iur.), der jedoch nicht Rechtsanwalt ist. Dessen Bestellung als unentgeltlicher Vertreter nach Art. 64 Abs. 2 BGG ist daher nicht zulässig. Der bevollmächtigte Anwalt selber kann nicht bestellt werden, da die massgebliche Rechtsvertretungsarbeit, für die Entschädigung aus der Gerichtskasse beantragt wird, nicht von ihm geleistet wurde. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung ist daher abzuweisen. Zuständig dafür ist die Abteilung in Dreier-Besetzung (Art. 64 Abs. 3 erster Satz BGG).
Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Das Verfahren wird infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Kostenbefreiung) ist gegenstandslos.
Das Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters wird abgewiesen.
4. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller