Faits:
A. A.a Le 20 décembre 2006, au cours d'une altercation, Z._ a tiré un coup de pistolet à plombs dans l'oeil droit de X._, citoyen suisse d'origine kosovare.
Interrogée le jour même par la police, Y._, l'amie de Z._, a déclaré qu'avant l'altercation, elle et son ami circulaient en voiture, quand ils avaient entendu le bruit d'un coup contre la carrosserie. Ils s'étaient arrêtés. Une fois sortie du véhicule, elle avait vu X._ gesticuler et insulter Z._. Elle s'était interposée et avait invectivé X._. Puis X._ s'était détourné d'elle et s'était dirigé vers Z._, dans le but, selon elle, de lui donner un coup de poing. Voyant X._ s'approcher de lui, Z._ avait sorti son pistolet à plombs et lui avait tiré dans l'oeil. Un ami de X._ qui avait assisté à la scène avait alors poursuivi Z._, en brandissant un objet métallique d'une longueur de quelque 50 cm, qui ressemblait, aux dires de Y._, à une lame. Z._ avait pris la fuite.
A.b Le 27 janvier 2007, X._ a porté plainte avec constitution de partie civile contre Y._, notamment pour atteinte à l'honneur (art. 173 ss CP) et dénonciation calomnieuse (art. 303 CP). Entre autres griefs, il reprochait à Y._ d'avoir tenu à des journalistes et sur le blog d'une émission de télévision les propos suivants au sujet des événements du 20 décembre 2006 :
"Et en décembre, lors d'un nouvel affrontement avec des Albanais, il [Z._] a répliqué d'un coup de pistolet à plombs, blessant gravement l'un d'eux à l'oeil." (Le Matin, 14 janvier 2007)
"Puis en décembre, un Albanais a sorti une machette avec une lame de 50 cm pour s'en prendre à lui. Il s'est défendu avec son pistolet à plomb et a blessé à l'oeil le copain de cet homme qui s'en prenait également à lui". (Le Matin, 16 janvier 2007)
"Ou peut-être que le jeune homme qui s'est fait tirer dans l'oeil, ne s'est pas érigé immédiatement en victime, car il connaît très bien les raisons de cet acte. Il a aussi perforé l'arcade et endommagé la cornée du tireur à coup de cendrier, en pleine rue quelques mois plus tôt (ils étaient en plus 2), et le soir du tir était accompagné d'une personne armée d'une machette tout de même... Je sais de quoi je parle." (déclaration sur internet, 15 janvier 2007)
"Si le jeune homme qui s'est retrouvé avec un oeil meurtri n'a pas fait de battage autour de son histoire, c'est peut-être parce qu'il se rendait bien compte que ce n'était pas arrivé pour rien (...). Si le tireur était armé ce soir là, c'est qu'il avait peur. Et la pauvre victime, qui a agressé notre voiture en pleine rue, était quand même accompagné d'un comparse armé d'une machette. Pour le plomb dans l'oeil, je dirais légitime défense, bien que peut-être excessive..." (déclaration sur internet, 24 janvier 2007)
B. Le 29 novembre 2007, le Juge d'instruction du Bas Valais a, notamment, refusé de donner suite à la plainte du 27 janvier 2007 dans la mesure où elle visait les déclarations précitées.
Par décision du 20 février 2008, le Juge de l'Autorité de plainte du Tribunal cantonal valaisan, saisi par X._ d'une plainte au sens des art. 166 ss du code de procédure pénale valaisan (CPP/VS; RS/VS 312.0), a annulé la décision du 29 novembre 2007 dans la mesure où elle refusait de donner suite à une plainte pénale que X._ avait déposée contre Y._ pour voies de fait, mais rejeté la plainte, au sens des art. 166 ss CPP/VS, pour le surplus.
C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cette dernière décision, dont il conclut à l'annulation en tant qu'elle confirme le refus de suivre à la plainte déposée pour atteinte à l'honneur.
À titre préalable, il demande l'assistance judiciaire.
Le Juge de l'Autorité de plainte se réfère aux motifs de sa décision.
L'intimée Y._ conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 IV 182 consid. 4).
1.1 Aux termes de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 4 LTF, l'accusateur privé a qualité pour recourir au Tribunal fédéral si, conformément au droit cantonal, il a soutenu l'accusation sans l'intervention de l'accusateur public. Cette disposition ne fait que reprendre la solution que le législateur avait adoptée, pour le pourvoi en nullité, à l'art. 270 let. g aPPF (cf. NIKLAUS SCHMID, Die Strafrechtsbeschwerde nach dem Bundesgesetz über das Bundesgericht - eine erste Auslegeordnung, RPS 2006 p. 260 ss, spéc. p. 182). Elle a seulement pour but d'assurer qu'un accusateur ait qualité pour recourir dans les cas où, en vertu du droit cantonal, l'accusateur public ne peut exercer les droits appartenant aux parties. Aussi n'accorde-t-elle la qualité pour recourir au particulier qui a soutenu l'accusation que si l'accusateur public n'était pas habilité, en vertu du droit cantonal, à exercer lui-même les poursuites (cf., pour le pourvoi en nullité, ATF 128 IV 39 consid. 2a p. 41).
En procédure valaisanne, le ministère public n'est pas habilité à soutenir l'accusation pour les infractions qui ne se poursuivent que sur plainte (cf. arrêt 6S.159/2005 du 16 novembre 2005 consid. 1 et les références). Certes, lorsque le fait dénoncé constitue deux infractions en concours idéal punies de peines du même genre, dont l'une se poursuit d'office, mais l'autre uniquement sur plainte, le ministère public doit pouvoir requérir, en vertu du droit fédéral, une peine d'ensemble sanctionnant le fait sous ses deux qualifications (cf. art. 49 al. 1 CP). Dans cette mesure, il est nécessairement habilité à poursuivre l'infraction qui se poursuit sur plainte avec celle qui se poursuit d'office. Mais rien n'impose, en revanche, qu'il soit habilité à poursuivre la première s'il renonce à poursuivre, ou à poursuivre plus avant, la seconde, par exemple en s'abstenant de recourir contre un refus de suivre, un non-lieu ou un acquittement. Dans ce dernier cas, le plaignant a qualité pour recourir au Tribunal fédéral contre le refus de suivre, le non-lieu ou l'acquittement concernant l'infraction qui se poursuit sur plainte.
En l'espèce, le recourant a porté plainte non seulement pour les délits de calomnie subsidiairement diffamation, mais encore pour le crime de dénonciation calomnieuse, qui se poursuit d'office. Mais le ministère public ne conteste pas le refus de suivre sur ce dernier chef de prévention. Dès lors, le recourant a qualité pour recourir au Tribunal fédéral contre la confirmation du refus de suivre à sa plainte pour les chefs de prévention de calomnie, subsidiairement diffamation.
1.2 La décision attaquée ne met pas fin à toute la procédure qui divise, notamment, le recourant d'avec l'intimée. Mais elle statue sur une partie des plaintes déposées par le recourant, sans que les questions tranchées soient, en droit, préjudicielles à celles qui restent en cause. La décision attaquée constitue dès lors une décision partielle au sens de l'art. 91 let. a LTF, contre laquelle le recours est ouvert au Tribunal fédéral. Partant, exercé dans les formes et le délai prévus par la loi, le présent recours est recevable.
2. Aux termes de l'art. 173 ch. 1 CP, celui qui, en s'adressant à un tiers, aura accusé une personne ou jeté sur elle le soupçon de tenir une conduite contraire à l'honneur, ou de tout autre fait propre à porter atteinte à sa considération, celui qui aura propagé une telle accusation ou un tel soupçon, sera, sur plainte, puni d'une peine pécuniaire de 180 jours-amende au plus.
2.1 Cette disposition protège la réputation d'être une personne honorable, c'est-à-dire de se comporter comme une personne digne a coutume de le faire selon les conceptions généralement reçues. L'honneur protégé par le droit pénal est conçu de façon générale comme un droit au respect, qui est lésé par toute assertion propre à exposer la personne visée au mépris en sa qualité d'homme. Pour apprécier si une déclaration est attentatoire à l'honneur, ainsi entendu, il faut se fonder, non sur le sens que la personne visée prête à la déclaration litigieuse, mais sur une interprétation objective de celle-ci, c'est-à-dire sur le sens qu'un destinataire non prévenu devait, selon les règles de la bonne foi, lui attribuer dans les circonstances de l'espèce. S'il s'agit de tout un texte, cette interprétation doit se fonder non seulement sur les expressions utilisées prises séparément, mais aussi sur le sens général qui se dégage du texte dans son ensemble (ATF 128 IV 53 consid. 1a p. 58 et les arrêts cités).
2.2 Dans le cas présent, le juge de dernière instance cantonale a considéré que les déclarations litigieuses de l'intimée ne mettaient en cause que le tiers prétendument porteur d'une machette. Il en a conclu que le recourant n'avait pas qualité pour déposer plainte pénale en raison de ces déclarations.
Le recourant conteste ce point de vue, en faisant valoir que les propos de l'intimée lui imputaient le fait d'avoir prétendument agressé Z._, puisqu'ils tendaient à faire prévaloir la thèse selon laquelle celui-ci lui avait tiré dans l'oeil en état de légitime défense (art. 15 CP) ou, à tout le moins, en excédant les limites de la légitime défense (art. 16 CP).
Ce grief est fondé. En affirmant que, lors d'un affrontement avec des Albanais, Z._ avait "répliqué" d'un coup de pistolet à plombs, blessant l'un d'eux gravement à l'oeil, l'intimée a, dans sa déclaration du 14 janvier 2007, clairement laissé entendre à toute personne non prévenue que le geste de son ami avait été immédiatement postérieur à une agression physique imputable à plusieurs individus, parmi lesquels se trouvait le recourant. Quant aux autres déclarations litigieuses, si elles expliquent le coup de pistolet à plombs par le fait qu'un tiers aurait préalablement brandi une machette, elles n'en imputent pas moins au recourant une forme de complicité, voire de co-activité. En effet, la déclaration du 16 janvier 2007 contient l'allégation expresse d'une participation du recourant à l'attaque à la machette par les termes "qui s'en prenait également à lui", tandis que celles des 15 et 24 janvier, certes moins précises, donnent néanmoins à entendre, par la juxtaposition des faits allégués, que le recourant avait agressé Z._ juste avant de recevoir le coup de pistolet à plombs dans l'oeil. Ces dernières déclarations font même porter la responsabilité principale de l'attaque au recourant, puisqu'elles présentent le tiers prétendument armé d'une machette comme son "comparse" ou comme une personne qui l'"accompagnait". Il s'ensuit que ces déclarations pourraient porter atteinte à l'honneur du recourant, qui avait donc qualité pour déposer plainte pénale contre l'intimée pour diffamation (art. 173 ch. 1 CP).
La décision attaquée ne se prononce ni sur la véracité des allégations litigieuses, ni sur la bonne foi de leur auteur, au sens de l'art. 173 ch. 2 et 3 CP. Il y a dès lors lieu d'admettre le recours, d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause au juge de dernière instance cantonale pour nouvelle décision. Le présent arrêt ne fait pas obstacle à une éventuelle suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur l'action pénale dirigée contre Z._.
3. L'intimée, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF), ainsi que l'indemnité à laquelle le recourant, qui obtient gain de cause, a droit pour ses dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Vu la demande d'assistance judiciaire du recourant, il y a lieu d'ordonner la distraction des dépens alloués à celui-ci au profit de son conseil (art. 64 al. 2 LTF). La demande d'assistance n'a dès lors plus d'objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée au juge de dernière instance cantonale pour nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à Me Henri Carron une indemnité de 2'000 fr., au titre des dépens.
4. La demande d'assistance judiciaire du recourant n'a plus d'objet.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Procureur général et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Autorité de plainte.
Lausanne, le 26 novembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Schneider Oulevey