Faits:
A. Le 24 juin 2011, X._ a été admis aux Services psychiatriques du Jura bernois - Bienne-Seeland (SPJBB) à Bellelay, dans le cadre d'une mesure de privation de liberté à des fins d'assistance (art. 397a al. 1 CC) ordonnée, à titre préventif (art. 12 de la loi du 22 novembre 1989 sur la privation de liberté à des fins d'assistance et sur d'autres mesures de l'assistance personnelle [LPLA; RSB 213.316]), par les Drs A._ et B._, des Services psychiatriques de Bienne-Seeland, à Bienne, en raison d'une décompensation psychotique aiguë avec risque d'hétéro-agressivité.
B. Par courrier daté du 25 juin 2011, envoyé par fax le 27 juin 2011 à la Commission cantonale de recours en matière de privation de liberté à des fins d'assistance du canton de Berne (ci-après: CCR), X._ a déposé un recours contre cette mesure. La première audience, fixée le 8 juillet 2011, a été annulée étant donné que le mandat d'amener confié à la Police cantonale bernoise n'a pas pu être effectué. De plus, du 27 au 29 juin 2011, l'intéressé s'était enfui de la clinique où il avait été placé. Il a dès lors été entendu par la CCR lors d'une audience tenue le 19 juillet 2011, au terme de laquelle cette autorité a confirmé le placement pour une période de six semaines au maximum, à savoir jusqu'au 4 août 2011 au plus tard (art. 17 al. 1 LPLA).
L'autorité cantonale a considéré, en substance, que la mesure de privation de liberté à des fins d'assistance était nécessaire en date du 24 juin 2011, compte tenu de la situation de détresse du recourant et du danger qu'il représentait tant pour lui-même que pour autrui. Actuellement, son état psychique n'était pas encore stabilisé. Il souffrait de troubles affectifs bipolaires, sa conscience morbide était quasiment absente et il présentait encore un risque d'hétéro-agressivité. L'isolement et la médication forcée du recourant constituaient en outre des mesures appropriées et conformes au principe de la proportionnalité, vu son besoin de protection et le grave danger qu'il représentait pour autrui.
C. Par acte du 20 juillet 2011, complété les 21 juillet, 28 juillet et 17 août suivants, X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 19 juillet 2011, dont il demande l'annulation. Il conclut en outre à sa libération immédiate et à la constatation de la violation des art. 2, 3, 5 § 1 et 4, 6 § 1 et 11 CEDH.
Le recourant sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.
D. Par ordonnance du 21 juillet 2011, la Présidente de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par le recourant dans son recours du 20 juillet 2011.
La nouvelle requête d'octroi de l'effet suspensif du recourant, datée du 30 juillet 2011, adressée par fax puis par courrier parvenu le 3 août 2011 au Tribunal fédéral, a été déclarée sans objet par ordonnance du Juge instructeur du 8 août 2011, la mesure de placement, prévue jusqu'au 4 août 2011 au plus tard, étant échue.
Considérant en droit:
1. Interjeté en temps utile, compte tenu de la suspension des délais (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) prise par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF) en matière de privation de liberté à des fins d'assistance (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions.
2. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur le recours et le déclare irrecevable lorsque l'intérêt au recours fait défaut au moment du dépôt de celui-ci; en revanche, si cet intérêt disparaît en cours de procédure, le litige est déclaré sans objet et la cause est rayée du rôle (cf. ATF 118 Ia 488 consid. 1a p. 490). En pareil cas, la personne concernée est renvoyée, pour faire constater l'illicéité de la mesure de privation de liberté à des fins d'assistance ordonnée à son encontre, à l'action en responsabilité de l'art. 429a CC (cf. ATF 136 III 497 ss).
Dans la première hypothèse, le Tribunal fédéral statue en procédure ordinaire (art. 57 ss LTF) ou simplifiée (art. 108 ss LTF); dans la seconde, le juge instructeur statue comme juge unique sur la radiation du rôle, sans qu'un jugement d'irrecevabilité soit rendu (art. 32 al. 2 LTF; ATF 136 III 497 consid. 2 p. 500). L'art. 32 al. 2 LTF vise les cas dans lesquels la disparition de l'intérêt au recours est relativement claire, de sorte qu'il ne reste guère matière à décision (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, in FF 2001 p. 4089). Il faut en revanche réserver les situations dans lesquelles un examen formel de la recevabilité du recours et un jugement sur ce point en procédure ordinaire ou simplifiée se justifient, compte tenu de l'opposition de la partie recourante à une simple radiation du rôle et de l'intérêt dont elle prétend encore se prévaloir (cf. arrêts 6B_1011/2010 du 18 février 2011 consid. 2.2.2; 1B_271/2010 du 30 novembre 2010 consid. 2.3; 8C_635/2008 du 11 décembre 2008 consid. 2.2.2). Tel est le cas en l'espèce vu la position exprimée par le recourant dans son écriture du 17 août 2011.
3. 3.1 Selon la jurisprudence de la cour de céans (ATF 136 III 497 consid. 1.1 p. 499 et les références), le recours en matière civile contre une décision cantonale de dernière instance en matière de privation de liberté à des fins d'assistance suppose l'existence d'un intérêt actuel à l'annulation ou à la réforme de l'acte attaqué. Un tel intérêt n'existe en principe plus lorsque la personne concernée a été libérée (art. 76 al. 1 let. b LTF). La jurisprudence renonce toutefois à l'exigence d'un intérêt pratique actuel et continu, lorsque la situation ayant donné lieu aux griefs invoqués est susceptible de se répéter à n'importe quel moment de manière à rendre pour ainsi dire impossible un contrôle judiciaire en temps opportun dans un cas concret (intérêt dit «virtuel»).
3.2 Contrairement à ce qu'il prétend, le recourant n'a plus d'intérêt actuel à remettre en cause la mesure de privation de liberté à des fins d'assistance qu'il critique, puisque celle-ci a pris fin le 4 août 2011. Par ailleurs, les circonstances exceptionnelles qui permettent de renoncer à cette exigence ne sont en l'occurrence pas réalisées. Le placement litigieux constitue en effet une mesure ordonnée à titre préventif dès lors qu'il y avait péril en la demeure (cf. art. 12 LPLA). Elle repose sur les données spécifiques des événements qui se sont déroulés à la Neuveville le 24 juin 2011 - événements qui ont amené la vice-Préfète du Jura bernois à ordonner, le jour même, le transport du recourant dans un centre psychiatrique en raison de son état de stress aigu -, et sur le diagnostic médical qui a alors été effectué. A chaque fois qu'un tel placement est ordonné, il doit être examiné à nouveau de façon distincte. On ne saurait dès lors parler d'un acte qui peut se reproduire en tout temps dans des circonstances semblables et qui échapperait toujours à la censure du Tribunal fédéral. Au demeurant, il n'apparaît pas que les autorités tentent de compromettre l'examen d'une privation de liberté d'une durée plus longue par des décisions successives de placement à court terme. L'existence d'un intérêt virtuel fait par conséquent défaut.
4. La requête d'assistance judiciaire du recourant pour la procédure fédérale ne peut qu'être rejetée, dès lors que son recours apparaissait d'emblée dénué de chances de succès (art. 64 LTF).
Il se justifie cependant, dans les circonstances données, de renoncer à percevoir un émolument judiciaire (art. 66 al. 1, seconde phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est devenu sans objet et la cause est rayée du rôle.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Direction des Services psychiatriques du Jura bernois - Bienne-Seeland et à la Commission cantonale de recours en matière de privation de liberté à des fins d'assistance du canton de Berne.
Lausanne, le 29 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot