Faits:
A. Le 28 juillet 2006, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg a rendu une décision sur opposition, par laquelle il a confirmé le rejet de la demande de prestations présentée par M._ le 8 septembre 2005. Par acte daté du 13 septembre 2006, celui-ci a déféré la décision sur opposition au Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui, Tribunal cantonal). Dans le cadre de l'échange d'écritures ordonné par le Tribunal administratif, l'Office fribourgeois de l'assurance-invalidité a déposé ses observations le 26 septembre 2006, dont le prénommé a reçu une copie par envoi du 3 octobre suivant.
Une année plus tard, M._ s'est enquis auprès du Tribunal administratif de l'avancement de sa cause. Le 22 octobre 2007, l'autorité judiciaire lui a répondu que son recours allait être tranché selon l'ordre chronologique de son inscription au rôle du Tribunal, sans qu'une date précise pût lui être indiquée. Le 7 avril 2008, l'intéressé a réitéré son interpellation, dont le Tribunal a pris acte "dans un contexte de surcharge lié à la recrudescence du contentieux AI" (courrier du 14 avril 2008). Par courrier du 9 septembre suivant (dont le Tribunal a accusé réception), M._ a averti le Tribunal qu'il allait saisir la juridiction supérieure s'il ne recevait pas de jugement jusqu'au 30 septembre 2008.
B. Agissant le 6 octobre 2008 par la voie du recours en matière de droit public, M._ demande, sous suite de frais et dépens, que soit constatée la violation, par le Tribunal cantonal fribourgeois, de la garantie à un jugement dans un délai raisonnable, qu'il soit enjoint à cette autorité de se prononcer à très bref délai et que l'arrêt à rendre soit communiqué au Conseil d'Etat du canton de Fribourg.
Le 2 octobre 2008, le Tribunal cantonal a statué sur le recours de l'intéressé contre la décision sur opposition du 28 juillet 2006. Il observe dès lors en procédure fédérale que la seconde conclusion du recourant est sans objet.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est formé au motif que la juridiction cantonale a tardé à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-invalidité. Le recours concerne donc une cause qui relève sur le fond du droit public, de sorte que le recours en matière de droit public est en principe recevable.
1.2 Le recourant requiert du Tribunal fédéral qu'il ordonne à la juridiction cantonale de se prononcer à très bref délai. Le Tribunal cantonal fribourgeois a cependant statué sur la décision litigieuse par jugement du 2 octobre 2008, qui a été notifié au recourant le 13 octobre suivant, soit postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale. Le recourant ne dispose dès lors plus d'un intérêt juridiquement protégé (art. 89 al. 1 let. c LTF) à ce que l'autorité judiciaire en cause rende une décision "à très bref délai". Dans une telle situation, lorsqu'il existe un intérêt actuel au recours au moment où celui-ci est formé, mais qu'il tombe ultérieurement en cours de procédure, le recours pour retard à statuer doit être déclaré sans objet et rayé du rôle (arrêts 9C_889/2007 du 12 février 2008 consid. 2.2 et U 197/96 du 3 septembre 1997 consid. 5b/aa et les références, in SVR 1998 UV n° 11 p. 29).
Par ailleurs, les conditions auxquelles il serait possible à titre exceptionnel de renoncer à l'exigence d'un intérêt digne de protection (sur ces conditions, voir ATF 130 V 90 consid. 4 p. 94 ou ATF 131 II 670 consid. 1.2 p. 673 s. cité par le recourant) ne sont pas réalisées en l'espèce. Celui-ci n'invoque aucune circonstance permettant d'admettre le contraire, en se limitant à affirmer que son intérêt actuel et pratique à l'admission du recours n'a pas disparu avec le prononcé du jugement cantonal le 2 octobre 2008.
2. Cela étant, lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue sur les frais du procès par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de choses existant avant le fait qui met fin au litige (art. 72 PCF en relation avec l'art. 71 LTF). Il convient, en particulier, de tenir compte de l'issue probable du litige (ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.1 Le retard injustifié à statuer est une forme particulière du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst et l'art. 6 § 1 CEDH (qui n'offre à cet égard pas une protection plus étendue [ATF 103 V 190 consid. 2 p. 192]). Il y a retard injustifié à statuer lorsque l'autorité administrative ou judiciaire compétente ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prévu par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409 et les références). Entre autres critères sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332; 125 V 188 consid. 2a p. 191).
En droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide et constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
2.2 M._ a formé son recours cantonal le 13 septembre 2006. L'Office fribourgeois de l'assurance-invalidité a répondu par une détermination du 26 septembre 2006, qui a été communiquée au recourant le 3 octobre suivant. Celui-ci a saisi le Tribunal fédéral le 6 octobre 2008, date à laquelle le jugement cantonal sur le fond avait déjà été rendu (le 2 octobre précédent), mais pas encore notifié aux parties. Entre le 3 octobre 2006 et le début du mois d'octobre 2008, aucun acte de procédure n'a été accompli, à l'exception de trois courriers du recourant qui s'enquérait de l'état de l'avancement de la procédure et des réponses correspondantes du Tribunal cantonal.
L'autorité de recours de première instance était appelée à se prononcer sur une décision sur opposition par laquelle l'administration a nié le droit à une rente de l'assurance-invalidité (et à des mesures professionnelles). Compte tenu des motifs du recours cantonal, il s'agissait en particulier d'examiner les revenus avant et après invalidité déterminés par l'administration pour évaluer l'invalidité au sens de l'art. 16 LPGA, voire les conditions d'assurance au regard du statut de réfugié que le recourant a obtenu à son arrivée en Suisse en 1993. Il s'agit dans une large mesure de questions qui ne sauraient nécessiter de très longues analyses. L'instruction y relative, qui s'est limitée à un échange d'écritures, était par ailleurs terminée depuis deux ans au moment du recours en instance fédérale, de sorte que la cause se trouvait apparemment en état d'être jugée à la fin du mois d'octobre 2006. Si on ne saurait reprocher à une autorité quelques temps morts, lesquels sont inévitables dans une procédure, la surcharge de travail liée à une augmentation du contentieux en matière d'assurance-invalidité invoquée par la juridiction cantonale dans sa détermination en instance fédérale ne constitue pas une circonstance en rapport avec le litige qui lui était soumis et ne saurait justifier qu'elle ait tardé à statuer (ATF 125 V 188 consid. 2a p. 191). De son côté, conformément à l'obligation du justiciable - dans le contexte d'un éventuel déni de justice - d'entreprendre ce qui est en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence (ATF 125 V 373 consid. 2b/aa et bb p. 375 s.), le recourant a interpellé à plusieurs reprises la juridiction cantonale sur l'avancement de la procédure, avant de l'inviter à statuer dans un certain délai.
Au regard de l'ensemble de ces circonstances - auxquelles s'ajoute l'importance particulière que le législateur accorde à une liquidation rapide des procès en matière d'assurances sociales (art. 61 let. a LPGA; ATF 126 V 249 consid. 4a) -, la durée de la procédure, respectivement le temps nécessité par la juridiction cantonale pour statuer ne peuvent plus être considérés comme raisonnables, même si un délai de 24 mois représente une situation-limite (comp. arrêts [du Tribunal fédéral des assurances] I 473/04 du 29 novembre 2005 et I 314/99 du 16 juillet 1999; arrêt [du Tribunal fédéral] 5A.8/2000 du 6 novembre 2000). Le recourant aurait dès lors été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
2.3 Il résulte de ce qui précède que le recourant a droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF) à la charge du canton de Fribourg. Le Tribunal fédéral ne percevra par ailleurs pas de frais judiciaires (cf. art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Etat de Fribourg versera au recourant la somme de 1000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Fribourg, à l'Etat de Fribourg, à l'Office AI du canton de Fribourg et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless