Sachverhalt:
A. Der ursprünglich aus Guinea stammende X._ (geb. 1979) reiste am 3. Dezember 1999 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Am 7. August 2000 heiratete er eine Schweizer Bürgerin (geb. 1958), worauf ihm der Aufenthalt bei der Ehefrau bewilligt wurde. Am 4. Oktober 2005 wurde ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt. Inzwischen hat X._ das Schweizer Bürgerrecht erworben.
B. Am 23. September 2003 ersuchte X._ um Nachzug seines 1997 in Guinea geborenen ausserehelichen Sohnes Y._. Er gibt an, erst im Jahre 2002 von seiner Vaterschaft Kenntnis erhalten zu haben. Das Gesuch wurde am 29. Juli 2004 abgelehnt, weil keine Beziehung zwischen Vater und Sohn bestehe.
Mit Eingaben vom 9. und 19. November 2007 stellte X._ erneut ein Familiennachzugsgesuch für seinen Sohn. Er machte geltend, die Mutter von Y._ habe sich wieder verheiratet und der Sohn sei ihr in dieser Ehe zur Last geworden, weshalb das Sorgerecht dem Vater übertragen worden sei. Mangels vorrangiger Beziehung zwischen Y._ und seinem Vater wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, das Gesuch mit Verfügung vom 20. Februar 2008 ab. Dagegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Juni 2008 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Mai 2008 aufzuheben und das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, zu verpflichten, den Familiennachzug zu bewilligen; eventuell sei die Angelegenheit zwecks zusätzlicher Abklärungen an die Vorinstanz bzw. an die Abteilung Ausländerfragen zurückzuweisen.
D. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
E. Mit Verfügung vom 25. August 2008 wies das Bundesamt für Migration das Gesuch um Erteilung eines Touristenvisums für Y._ ab, da dessen fristgerechte Wiederausreise nicht als gesichert erachtet werden konnte.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Da das Gesuch um Familiennachzug vor dem 1. Januar 2008 eingereicht worden ist, sind für das vorliegende Verfahren noch das Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und dessen Ausführungserlasse massgeblich (Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]). Die Ausführungen des Beschwerdeführers zu den - somit hier noch nicht anwendbaren - Vorschriften des neuen Ausländergesetzes sind daher unbehelflich; im Übrigen setzt auch das neue Gesetz dem nachträglichen Familiennachzug zeitliche Grenzen (vgl. Art. 47 AuG).
1.3 Nach Art. 17 Abs. 2 dritter Satz ANAG haben ledige Kinder unter 18 Jahren Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammen wohnen. Die genannte Bestimmung gilt sinngemäss auch für ausländische Kinder eines Schweizers (grundlegend: BGE 118 Ib 153 E. 1b S. 155 f.; ferner: BGE 130 II 137 E. 2.1 S. 141; 129 II 249 E. 1.2 S. 252).
Der Beschwerdeführer verfügt über das Schweizer Bürgerrecht. Sein nachzuziehender Sohn, der nicht Schweizer Bürger ist, war zum Zeitpunkt der Gesuchseinreichung, auf den es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt (statt vieler: BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen), noch nicht 18 Jahre alt, womit ein grundsätzlicher Anspruch auf dessen Nachzug besteht. Da das Kind auch heute noch nicht volljährig ist, kann sich der Beschwerdeführer zudem auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. in Art. 13 Abs. 1 BV garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens berufen (vgl. BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
Auf die Regelung über den Familiennachzug des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681), namentlich auf Art. 3 Anhang I zum FZA, kann sich der Beschwerdeführer nicht berufen, wenn sich der nachzuziehende Drittstaatsangehörige - wie vorliegend - nicht bereits rechtmässig in einem Vertragsstaat aufhält (BGE 130 II 1 E. 3.6 S. 9 ff.). Dies gälte auch, wenn der Beschwerdeführer EU-Bürger wäre.
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweist (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte tatsächliche Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheides eingetreten sind, können im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht berücksichtigt werden (BGE 134 IV 342 E. 2.1 S. 343).
2. 2.1 Die in der Rechtsprechung zu Art. 7 und 17 ANAG entwickelten Voraussetzungen für den nachträglichen Nachzug von Kindern sind unterschiedlich, je nachdem ob es sich um die Vereinigung mit den gemeinsamen Eltern oder aber mit einem getrennt lebenden Elternteil handelt. Im ersten Fall bedarf es, unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauches, keiner besonderen Rechtfertigung dafür, dass das Nachzugsrecht erst nachträglich geltend gemacht wird; im zweiten Fall dagegen wird ein nachträglicher Familiennachzug nur bewilligt, wenn besondere familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation dies gebieten (BGE 133 II 6 E. 3.1 S. 8; 130 II 1 E. 2.2 S. 4; 129 II 11 E. 3.1.2 S. 14). Der Nachzug des Kindes muss sich zu dessen Betreuung aus stichhaltigen Gründen als erforderlich erweisen (vgl. BGE 124 II 361 E. 3a S. 366); dies ist regelmässig nicht der Fall, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen, beispielsweise weil dadurch vermieden werden kann, dass das Kind aus seiner bisherigen Umgebung und dem ihm vertrauten Beziehungsnetz gerissen wird (BGE 133 II 6 E. 3.1.2 S. 11 f.; 125 II 585 E. 2c S. 588 mit Hinweisen). Auf die Frage der vorrangigen Beziehung kommt es nach der jüngeren Praxis nicht mehr an (vgl. etwa Urteil 2C 99/2008 vom 23. Juli 2008 E.2.1 mit Hinweisen).
2.2 Der Beschwerdeführer kann als getrennt lebender Elternteil den nachträglichen Nachzug seines Kindes nur verlangen, wenn stichhaltige Gründe für dessen Übersiedelung zum Vater in die Schweiz bestehen. Solche Gründe dürfen nicht leichthin bejaht werden. Es gelten hohe Beweisanforderungen (BGE 133 II 6 E. 3.3 S. 13; 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16 mit Hinweisen). An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland sind umso höhere Anforderungen zu stellen, je älter das nachzuziehende Kind ist bzw. je grösser die ihm in der Schweiz drohenden Integrationsschwierigkeiten sind (vgl. BGE 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16 sowie BGE 133 II 6 E. 5.3 S. 19 f. mit Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte i.S. Tuquabo-Tekle u. andere gegen die Niederlande [Nr. 60665 vom 1. Dezember 2005]).
2.3 Das 1997 geborene Kind des Beschwerdeführers wurde bis anhin von dessen Mutter und/oder sonstigen Verwandten aufgezogen. Die Notwendigkeit seines Nachzuges in die Schweiz wird vom Beschwerdeführer damit begründet, dass durch ein Gericht im Heimatland am 9. Februar 2007 die elterliche Sorge von der Mutter, welche sich inzwischen mit einem Dritten verheiratet habe, auf den Vater übertragen worden sei. Der Ehemann der Mutter sei nicht bereit, für das Kind zu sorgen, und die Mutter könne es aus finanziellen Gründen nicht mehr betreuen. Die beabsichtigte diesbezügliche Befragung der Mutter konnte wegen Unerreichbarkeit derselben nicht stattfinden. Die blosse formelle Übertragung des Sorgerechts, die auf Antrag der Mutter erfolgte, vermag den Nachweis der fehlenden weiteren Betreuung des Kindes durch die Mutter oder durch sonstige Verwandte väterlicher- oder mütterlicherseits, wie sie im afrikanischen Kulturkreis üblich ist und im vorliegenden Fall bereits bisher gewährleistet wurde, jedoch nicht zu ersetzen.
Aufgrund der den Beschwerdeführer treffenden Mitwirkungspflicht wäre es an ihm gelegen, durch entsprechende Erklärungen der Familienangehörigen, bei denen der Sohn bis anhin gelebt hat bzw. immer noch lebt, und sonstigen Belegen darzutun, dass die bisherigen Betreuungsmöglichkeiten nicht mehr genügen, zumal es sich dabei um Tatsachen handelt, welche eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben können (BGE 124 II 361 E. 2b S. 365). Der Beschwerdeführer macht in seiner Eingabe an das Bundesgericht erstmals geltend, der Sohn riskiere vom Ehemann seiner Mutter misshandelt oder sogar getötet zu werden und die Grosseltern seien nicht mehr die Jüngsten und könnten sich auch aus gesundheitlichen Gründen nicht weiter um das Kind kümmern. Diese Vorbringen sind neu und können daher im vorliegenden Verfahren nicht gehört werden (vgl. E. 1.4). Abgesehen davon handelt es sich dabei um blosse Behauptungen, die in keiner Weise belegt werden. Das Verwaltungsgericht hat bezüglich des Nachweises, dass die bisherigen Betreuungsmöglichkeiten nicht mehr genügen, zu Recht hohe Beweisanforderungen gestellt. Bei einer Übersiedlung in die Schweiz würde der Sohn Y._ nicht nur von seinen Verwandten getrennt, die ihn bisher aufgezogen haben, sondern er würde auch aus seiner vertrauten sonstigen Umgebung gerissen und wäre in der Schweiz mit erheblichen Integrationsschwierigkeiten konfrontiert. Zudem kennt der inzwischen Elfjährige den Beschwerdeführer wenig und dessen Ehefrau überhaupt nicht. Was der Beschwerdeführer vorbringt, ändert nichts am entscheidenden Umstand, dass nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. 105 Abs. 1 bzw. Art. 105 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1 BGG) die Notwendigkeit des Nachzugs des Kindes bzw. eine entsprechende nachträgliche Änderung der Betreuungssituation vorliegend nicht nachgewiesen ist. Eine nähere Überprüfung der eingereichten ausländischen Zivilstandsurkunden erübrigte sich daher.
Der Beschwerdeführer kann seinem Sohn weiterhin von der Schweiz aus die nötige finanzielle Unterstützung zukommen lassen. Eine Übersiedlung des Kindes in die Schweiz ist dafür nicht erforderlich. Zudem kann der Beschwerdeführer den Kontakt zu seinem Sohn im bisherigen Rahmen durch Besuche in Guinea aufrechterhalten. Wenn die kantonale Behörde bei der gegebenen Sach- und Beweislage den Nachzug des Kindes nicht bewilligte, verstiess sie damit weder gegen Bundesrecht noch gegen Art. 8 EMRK.
3. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern, Abteilung Ausländerfragen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Müller Dubs