Erwägungen:
Im Zusammenhang mit der Weitergabe von Gesundheitsdaten gelangte X._ mit einer Klage gegen den Kanton Solothurn auf Bezahlung von Schadenersatz an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Mit Verfügung seines Präsidenten vom 4. Dezember 2009 lehnte das Verwaltungsgericht das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege ab; zugleich wurde er aufgefordert, einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
Mit Eingabe ans Bundesgericht vom 10. Dezember (Postaufgabe 9. Dezember) 2009 erklärte X._, "Beschwerde gegen öffentliches Recht mit Unentgeltlicher Rechtspflege" führen zu wollen. Im Auftrag des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts wurde er mit Schreiben vom 10. Dezember über die formellen Anforderungen, denen eine Beschwerdeschrift genügen muss, und allgemein über die Beschwerdemodalitäten informiert; zugleich wurde erwähnt, dass die Eingabe vom 9/10. Dezember 2009 den erwähnten Anforderungen nicht genüge, die Beschwerdefrist aber noch laufe und eine verbesserte Beschwerdeschrift nachgereicht werden könne. Am 11. Dezember 2009 reichte der Beschwerdeführer einen mit dem Datum vom 12. Dezember 2009 versehenen Beschwerdenachtrag ein.
Das Verwaltungsgericht hat das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der dort eingereichten Klage abgewiesen. Inwiefern es damit in der Anwendung kantonaler Gesetzesbestimmungen über die unentgeltliche Rechtspflege schweizerisches Recht oder unmittelbar sich aus der Verfassung ergebende Garantien verletzt haben könnte, lässt sich den zwei Eingaben des Beschwerdeführers nicht entnehmen. Es fehlt damit offensichtlich an einer hinreichenden, den dem Beschwerdeführer am 10. Dezember 2009 geschilderten Anforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Beschwerdebegründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Da sich die vorliegende Beschwerde (schon aus formellen Gründen) als aussichtslos erweist, kann dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller