Erwägungen:
1. Gegen den 1973 geborenen kroatischen Staatsangehörigen X._ wurde am 12. November 2003 eine Einreisesperre für die Schweiz und Liechtenstein auf unbestimmte Zeit verhängt. Am 15. Mai 2012 gelangte er im Rahmen eines Auslieferungsverfahrens von Deutschland in die Schweiz zwecks Durchführung eines Strafverfahrens.
Mit Verfügung vom 18. Juli 2012 ordnete das Amt für Migration des Kantons Luzern die Wegweisung von X._ aus der Schweiz und aus dem Schengengebiet an. Soweit der Ausländer in der zuvor eingeholten Stellungnahme auch um Aufhebung der Einreisesperre ersucht hatte, war die Sache zuständigkeitshalber an das Bundesamt für Migration weitergeleitet worden. Die gegen die Verfügung des Amtes für Migration erhobene Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos (Entscheid vom 7. September 2012), und mit Urteil vom 24. September 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde ab.
Mit vom 17. Oktober 2012 datierter, am 22. Oktober 2012 zur Post gegebener Rechtsschrift beschwert sich X._ beim Bundesgericht gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wendet sich nicht nur gegen die Wegweisung, sondern massgeblich auch gegen die Einreisesperre, deren Ausgestaltung bzw. deren Aufrechterhaltung er bemängelt. Gegenstand des angefochtenen Urteils bildet indessen allein seine auf Art. 64 Abs. 1 lit. b AuG gestützte Wegweisung aus dem Schengenraum; nicht Verfahrensgegenstand sind hingegen die Einreisesperre und die damit verbundene Einschreibung im Schengener Informationssystem SIS bzw. das Anliegen des Beschwerdeführers, die Einreisesperre sei aufzuheben. Diesbezüglich ist das Bundesamt für Migration zuständig, dessen Entscheid an das Bundesverwaltungsgericht weiterzuziehen ist. Bereits die kantonale Erstinstanz hatte denn auch die Sache diesbezüglich an das Bundesamt für Migration überwiesen, welches am 14. August 2012 feststellte, dass das Gesuch um Aufhebung des Einreiseverbots frühestens nach zehn Jahren Gültigkeit (2013) geprüft werden könne. Ob der Beschwerdeführer dagegen ans Bundesverwaltungsgericht gelangt ist, ist nicht bekannt und für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens unerheblich.
2.2 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, das ordentliche Rechtsmittel gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts (s. Art. 82 lit. a BGG), unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend die Ausweisung gestützt auf Art. 121 Abs. 2 der Bundesverfassung und die Wegweisung. Unzulässig wäre sie übrigens auch in Bezug auf die Einreisesperre (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 1 BGG). Damit erweist sich die Eingabe des Beschwerdeführers als offensichtlich unzulässig, soweit sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben wird. Als bundesrechtliches Rechtsmittel käme allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG ff.) in Betracht.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann - bloss - die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer nennt kein verfassungsmässiges Recht bzw. zeigt nicht auf, inwiefern das Verwaltungsgericht mit seinem Urteil solche missachtet habe; ohnehin könnten bei der Anfechtung eines Wegweisungsentscheids bei Fehlen einer ausländerrechtlichen Bewilligung bzw. eines Anspruchs darauf nur beschränkt besondere verfassungsmässige Rechte angerufen werden (vgl. BGE 137 I 305 E. 3.3 S. 310 f.).
2.3 Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration (diesem zusammen mit einer Kopie der Beschwerdeschrift) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller