Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt sprach die Beschwerdeführer am 23. Dezember 2009 der mehrfachen Drohung schuldig. Er verurteilte die Beschwerdeführerin 1 zu einer Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 270.-- und den Beschwerdeführer 2 zu einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 210.--, beide Strafen bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von drei Jahren. Mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 3. Mai 2011 wurde der Entscheid des Strafgerichtspräsidenten bestätigt.
Die Beschwerdeführer wenden sich ans Bundesgericht und beantragen, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sache zu erneuter Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie seien von sämtlichen Vorwürfen freizusprechen.
2. Die als "staatsrechtliche Beschwerde" bezeichnete Eingabe ist als Beschwerde in Strafsachen im Sinne von Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen. Mit diesem Rechtsmittel kann auch die Verletzung von schweizerischem Verfassungsrecht und der EMRK vorgebracht werden (Art. 95 BGG).
3. Die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG ist eine gesetzliche Frist, die nicht erstreckt werden kann (Art. 47 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um eine Nachfrist für die Beschwerdebegründung ist abzuweisen.
4. In einer Beschwerde ans Bundesgericht ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Insbesondere eine Verletzung von Grundrechten ist präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Nur soweit die Beschwerde diesen Anforderungen genügt, ist darauf einzutreten.
5. Die Beschwerdeführer machen Willkür geltend (Beschwerde S. 3/4 Ziff. 1), ohne dass sich aus der Begründung ergäbe, dass das Willkürverbot von Art. 9 BV verletzt worden sein könnte. So ist z.B. nicht ersichtlich, inwieweit die angebliche Verleumdung der Beschwerdeführer in der Presse einen Einfluss auf das angefochtene Urteil gehabt haben könnte (vgl. Beschwerde S. 3/4 Ziff. 1b).
6. Die Beschwerdeführer rügen, ihr Anspruch auf ein unabhängiges Gericht und ein faires Verfahren sei missachtet worden (Beschwerde S. 4/5 Ziff. 2). Es ergibt sich indessen aus der Beschwerde nicht, aus welchem Grund die Vorinstanz das Verfahren bis zur rechtskräftigen Erledigung eines Ausstandsbegehrens hätte sistieren müssen (vgl. Beschwerde S. 4 Ziff. 2a), inwieweit die Eingaben der Beschwerdeführer pauschal als unglaubwürdig eingestuft worden wären (vgl. Beschwerde S. 5 Ziff. 2b) und dass die Unschuld der Beschwerdeführerin in Bezug auf gewisse Beschuldigungen infrage gestellt worden sein könnte (vgl. Beschwerde S. 5 Ziff. 2c).
7. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt falsch bzw. willkürlich festgestellt (vgl. Beschwerde S. 5 - 9 Ziff. 3). Willkür liegt vor, wenn die Feststellung des Sachverhalts offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4). Wie schon gesagt, ist die angebliche Willkür in der Beschwerde präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen. Dieser Voraussetzung genügt die Beschwerde, die sich auf unzulässige appellatorische Kritik beschränkt, nicht. So wird aus den wirren Ausführungen z.B. nicht klar, inwieweit die Vorinstanz aus dem Begriff "Ziehen", den ein Zeuge gebraucht haben soll, einen falschen Schluss gezogen haben oder in diesem Punkt sonst in Willkür verfallen sein könnte (Beschwerde S. 5 Ziff. 3a). In Bezug auf das angeblich mangelhafte Protokoll wird nicht ausgeführt, was genau denn unrichtig protokolliert worden sein soll (vgl. Beschwerde S. 5/6 Ziff. 3b). Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen weiteren ähnlichen Vorbringen ausdrücklich äussern müsste, ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
8. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG schon deshalb abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Im Übrigen ist auch die Bedürftigkeit nicht ausgewiesen (vgl. act. 10 und die in act. 11 enthaltenen Gehaltsabrechnungen).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Das Gesuch um eine Nachfrist zur Beschwerdebegründung wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Schneider
Der Gerichtsschreiber: C. Monn