Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene E._ war als Aussendienstmitarbeiterin über ihren jeweiligen Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 30. April 1996, 11. August 1999, 30. März 2000, 28. Juni 2001, 17. September 2002 und 6. September 2005 als Autolenkerin insgesamt sechs Unfälle erlitt. Ein weiterer Autounfall vom 4. August 1998 führte nicht zu einer Meldung an den Unfallversicherer. Die SUVA gewährte bei den anderen Unfällen jeweils Heilbehandlung und richtete, soweit eine Arbeitsunfähigkeit vorlag, Taggeld aus. Mit Verfügung vom 22. Mai 2008 eröffnete sie der Versicherten, mangels adäquat unfallkausaler Unfallfolgen würden die noch laufenden Leistungen aus den beiden Unfällen von 2001 und 2005 auf den 31. Mai 2008 eingestellt und bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt die SUVA auf die von E._ und deren Krankenpflegeversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2008).
B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 12. Juli 2010 ab.
C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides seien die gesetzlichen Unfallversicherungs-Leistungen zusprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 19. November 2010 lässt E._ weitere Belege einreichen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die mit der Beschwerde und der nachträglichen Eingabe vom 19. November 2010 neu aufgelegten Aktenstücke stellen unzulässige Noven dar und sind daher ausser Acht zu lassen (Art. 99 Abs. 1 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus den Unfällen von 2001 und 2005 über den 31. Mai 2008 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid und im Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2008, auf den die Vorinstanz verweist, zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die zu beachtenden kausal- und beweisrechtlichen Grundsätze.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier bedarf es einer besonderen Adäquanzbeurteilung. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Gemäss der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Umstritten ist zunächst, ob die über den 31. Mai 2008 hinaus geklagten Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Gesundheitsschädigung im Bereich der Halswirbelsäule (HWS), als Folge von unfallbedingten HWS-Distorsionen (Schleudertraumen) zu erklären sind.
4.1 Ob eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, beurteilt sich nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181; Urteil 8C_577/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 4.1). Dabei gilt es zu beachten, dass beispielsweise das Thoracic-outlet-Syndrom oder myofasziale und tendinotische bzw. myotendinotische Befunde für sich allein nicht als organisch hinreichend nachweisbare Unfallfolgen zu betrachten sind. Auch Verhärtungen und Verspannungen der Muskulatur, Druckdolenzen im Nacken sowie Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit können für sich allein nicht als klar ausgewiesenes organisches Substrat der Beschwerden qualifiziert werden. Gleiches gilt für Nackenverspannungen bei Streckhaltung der HWS mit Retrohaltung (SVR 2009 UV Nr. 18 S. 69, 8C_744/2007 E. 4.5). Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25).
4.2 Das kantonale Gericht ist nach eingehender Darstellung der medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, die noch geklagten Beschwerden liessen sich nicht mit einer solchen Unfallfolge erklären.
Die Versicherte stützt sich bei ihrer abweichenden Auffassung namentlich auf die Berichte des Spitals X._ vom 15. September 2005, des Zentrums Y._ vom 2. August 2006 und 31. Januar 2008, des Dr. med. S._, Spezialarzt FMH für Neurologie vom 10. Oktober 2006, des Zentrums W._ vom 11. Juni 2008 und des Dr. med. G._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Schmerztherapie, Wirbelsäulenchirurgie vom 20. Februar 2009
Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
4.2.1 Dem Bericht des Spitals X._ vom 15. September 2005 ist zu entnehmen, dass das MRI der HWS vom 14. September 2005 namentlich eine Skoliose und eine Tendenz zur Kyphosebildung sowie im Bereich des vorderen atlantoaxialen Gelenks nebst degenerativen Veränderungen eine diskrete Signalerhöhung ergab. Letzterer Befund deutete gemäss dem berichterstattenden Radiologen auf eine traumatische Distorsion hin. Beim Folge-MRI vom 2. März 2006 konnten aber gemäss Bericht des Spitals X._ vom 8. März 2006 im Gegensatz zum Vorbefund keine Signalalterationen im Bereich des besagten Gelenks mehr festgestellt werden. Auch in den medizinischen Folgeberichten wurde den Signalveränderungen gemäss Vorbefund keine weitere Bedeutung beigemessen.
4.2.2 Gemäss Bericht des Zentrums Y._ vom 2. August 2006 ergab das Feinschicht-CT vom 31. Juli 2006 namentlich eine Kyphose und Rotationsfehlstellung der oberen HWS und im Dens-Atlasgelenks sowie Verkalkungen zwischen Densspitze und vorderem Atlasarcus. Kreisarzt Dr. med. A._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, Manuelle Medizin, interpretierte dies im Untersuchungsbericht vom 10. April 2007 dahingehend, dass keine unfallbedingte strukturelle Läsion nachgewiesen sei. Dies ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung überzeugend. Denn der Radiologe des Zentrums Y._ bezeichnete im Bericht vom 2. August 2006 die Ätiologie der Verkalkungen als offen und äusserte sich auch sonst nicht in einer Weise, welche auf eine Unfallkausalität der Befunde schliessen liesse. Dr. med. S._ beschreibt im Bericht vom 10. Oktober 2006 aus neurologischer Sicht ebenfalls keine unfallbedingten Veränderungen und lässt ausdrücklich offen, ob die erwähnten Verkalkungen traumatischer Genese sind.
4.2.3 Laut Bericht des Zentrums Y._ vom 31. Januar 2008 zeigte die MRI-Untersuchung vom 31. Januar 2008 eine HWS-Fehlstellung, eine Kyphose C2-C4 und eine Hyperlordose C4-C7. Frische Frakturen, Luxationen, ligamentäre Läsionen und Diskushernien wurden ausgeschlossen. Eine unfallkausale Schädigung ist damit ebenfalls nicht dargetan. Zu diesem Ergebnis gelangte mit überzeugender Begründung auch Kreisarzt Dr. med. R._, FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, in der ärztlichen Beurteilung vom 10. März 2008. Er hielt überdies fest, die durchgeführten Funktionsaufnahmen hätten keine Instabilität im Bereich der HWS ergeben.
4.2.4 Der Bericht des Zentrums W._ vom 11. Juni 2008 beruht auf dem am 10. Juni 2008 durchgeführten funktionellen MRI der HWS. Dieser Untersuchungsmethode kommt indessen nach dem aktuellen Stand der medizinischen Wissenschaft bei der Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden nach Schleudertraumen der HWS und äquivalenten Unfallmechanismen kein Beweiswert zu (BGE 134 V 231). Abgesehen davon wurde in diesem Bericht die Ursache der kyphotischen Fehlhaltung C2/3 offen gelassen, eine Instabilität oder dynamische Stenose zwischen C2 und Th5 ausgeschlossen und eine Weichteilverletzung im Bereich des craniocervicalen Überganges mehr als Vermutungsbefund sowie ohne Aussagen zu einer möglichen Unfallkausalität erwähnt.
4.2.5 Dr. med. G._ diagnostizierte im Bericht vom 20. Februar 2009 eine Dysstabilität C1/2 und hielt dazu fest, mittels einer speziellen Aufnahme der Kopfgelenke habe eine einseitige Instabilität links nachgewiesen werden können. Damit liege "eine objektive Dokumentation eines unfallursächlichen Schadens des Ereignisses vom 17. September 2002 vor".
Mit dieser Aussage setzte sich Dr. med. K._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, von der Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA in der ärztlichen Beurteilung vom 7. Mai 2009 auseinander. Er gelangte mit einlässlicher Begründung zum Ergebnis, die von Dr. med. G._ vermutete Instabilität auf Höhe des kraniozervikalen Überganges sei auf den zur Verfügung stehenden transbukkalen Funktionsaufnahmen vom 20. Februar 2009 nicht verifizierbar.
Die Beschwerdeführerin nahm im kantonalen Verfahren Stellung zur Beurteilung des Dr. med. K._. Sie hielt unter Berufung auf Dr. med. G._ an ihrer Auffassung betreffend unfallbedingter Instabilität fest, räumte aber ein, dass die Ergebnisse der angewandten Aufnahmetechnik mit dem SUVA-Arzt "cum grano salis" zu beurteilen seien. Dies spricht sicher gegen die Verlässlichkeit der auf dieser Untersuchung basierenden Kausalitätsannahmen des Dr. med. G._. Die Versicherte bestätigt zudem, dass sich Dr. med. G._ seine Meinung auch unter Einbezug klinischer Befunde gebildet hat, mithin nicht nur aufgrund apparativer/bildgebender Abklärungen (vgl. E. 4.1 hievor). Damit bestehen bezüglich der Aussagen des Dr. med. G._ doch gewichtige Unsicherheitsfaktoren. Diese gestatten nicht, auf eine unfallkausale Instabilität oder gar auf dadurch verursachte Beschwerden zu schliessen, zumal die anderen mit verschiedenen bildgebenden Verfahren durchgeführten Untersuchungen keine verlässlichen Hinweise für einen solchen Befund ergeben haben. Festzuhalten bleibt, dass Dr. med. G._ aus nicht nachvollziehbaren Gründen einen kausalen Zusammenhang zum Unfall vom 2002 angenommen hat, ohne sich zum zwischenzeitlich eingetretenen, nach Lage der Akten sicher schwereren Unfall von 2005 zu äussern. Weiterungen dazu erübrigen sich.
4.3 Es fehlt demnach an einer unfallkausalen organisch objektiv ausgewiesenen Schädigung, welche die noch geklagten Beschwerden zu erklären vermöchte. An diesem Ergebnis vermögen die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin nichts zu ändern. Namentlich trifft mit Blick auf die durchgeführten zahlreichen Untersuchungen und deren Interpretationen durch Spezialärzte verschiedener Fachrichtungen nicht zu, dass der medizinische Sachverhalt ungenügend abgeklärt ist. Das gilt insbesondere auch, soweit geltend gemacht wird, es fehle an einer neurologischen Beurteilung. Eine solche hat Dr. med. S._ im erwähnten Bericht vom 10. Oktober 2006 mit einlässlicher Begründung vorgenommen.
5. 5.1 Nach dem Gesagten kann der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und den zur Diskussion stehenden Unfallereignissen von 2001 und 2005 nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (vgl. E. 3 hievor). Das kantonale Gericht hat eine solche Adäquanzbeurteilung getrennt für beide Ereignisse vorgenommen und ist dabei beim Unfall von 2001 nach der Psycho-Praxis und beim Unfall von 2005 nach der Schleudertrauma-Praxis vorgegangen.
5.2 In der Beschwerde wird zunächst eingewendet, die Adäquanzprüfung sei verfrüht erfolgt. Der Einwand ist unbegründet. Die für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen den noch geklagten Beschwerden und den beiden besagten Unfällen erforderlichen Grundlagen waren zweifellos bereits im Zeitpunkt der Leistungseinstellung gegeben.
5.3 Die gesonderte Beurteilung der beiden Ereignisse ist ebenfalls nicht zu beanstanden (vgl. SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1, U 39/04 E. 3.2.2 und 3.3.2 mit Hinweisen). Gleiches gilt für die unterschiedlichen Vorgehensweisen bei der Adäquanzprüfung. Der Einwand, es sei auch der Unfall von 2001 nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung zu beurteilen, ist unbegründet. In Bezug auf dieses Ereignis wurde keine HWS-Distorsion oder ein der anderen Verletzungen, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigen könnte, diagnostiziert. Das gilt namentlich auch für das geltend gemachte Schädel-Hirntrauma. Dies hat das kantonale Gericht in überzeugender Würdigung der medizinischen Akten erkannt. Es ist unwahrscheinlich, dass die beantragte polydisziplinäre Begutachtung im Sinne von BGE 134 V 109 zu einem anderen Ergebnis führen würde. Damit fehlt eine wesentliche Voraussetzung für die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis.
6. 6.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist - nach der Psycho- wie nach der Schleudertrauma-Praxis - an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 12 f.; 115 V 133 E. 6 S. 139 ff.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 4/07 E. 5.3.1).
6.2 Beim Unfall von 2001 kollidierte der von der Beschwerdeführerin gelenkte VW Golf mit einem entgegenkommenden Personenwagen. Dieses Ereignis ist nach Lage der bekannten Umstände und im Lichte der Rechtsprechung zu vergleichbaren Verkehrsunfällen mit der Vorinstanz den mittelschweren Unfällen im engeren Sinn zuzurechnen (vgl. etwa Urteile 8C_375/2010 vom 4. August 2010 E. 6.1, 8C_327/2010 vom 22. Juli 2010 E. 5.2.1). Ein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen liegt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht vor. Als Unfälle mit diesem Schweregrad werden regelmässig nur Ereignisse qualifiziert, die mit markant höheren Krafteinwirkungen verbunden sind (vgl. die Zusammenstellungen im Urteil 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 4.6.2 sowie in RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1 und Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2, je mit Hinweisen). Vorliegend bestehen, auch unter Berücksichtigung des erfolgten Kopfanpralles und der erlittenen Verletzungen, keine Anhaltspunkte, welche die von der Beschwerdeführerin postulierte Unfallschwere zu stützen vermöchten.
Beim Ereignis von 2005 handelt es sich um einen typischen Heckauffahrunfall. Solche Ereignisse werden regelmässig den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zugeordnet (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86, U 339/06 E. 5.2; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_626/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 5.1). Darauf hat auch die Vorinstanz im vorliegenden Fall erkannt. Nach Lage der Akten erfolgte dies zu Recht. Es bestehen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung keine Anhaltspunkte, welche dies in Frage stellen könnten.
6.3 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten bei den beiden Ereignissen für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges jeweils entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Eine Häufung setzt bei einem Unfall im eigentlichen mittleren Bereich drei und bei einem Grenzfall zu den leichten Unfällen vier Kriterien voraus (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5).
Die Kriterien nach der - auf den Unfall von 2001 anzuwendenden - Psycho-Praxis lauten: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit (BGE 115 V 133 E. 6c/aa).
Als Kriterien nach der - für den Unfall von 2005 massgeblichen - Schleudertrauma-Praxis gelten: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, bei beiden Unfällen sei jeweils nur ein Kriterium (körperliche Dauerschmerzen resp. erhebliche Beschwerden) in nicht besonders ausgeprägter Weise gegeben. Die Beurteilung dieser Kriterien ist nicht umstritten. Die Beschwerdeführerin erachtet aber beim Unfall von 2001 überdies das Kriterium der Begleitumstände/Eindrücklichkeit für erfüllt. Sie bejaht zudem bei beiden Ereignissen zusätzlich die vier Kriterien betreffend Verletzungsschwere/-art, ärztliche Behandlung, Heilungsverlauf/Komplikationen sowie Arbeitsunfähigkeit, wobei sie davon auszugehen scheint, das erste und das letzte dieser Kriterien sei bei beiden Unfällen sogar in besonders ausgeprägter Weise gegeben. Weiter äussert sich die Versicherte zum Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung.
Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
6.3.1 Ob besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls vorliegen, beurteilt sich objektiv und nicht aufgrund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls der versicherten Person. Zu beachten ist, dass jedem mindestens mittelschweren Unfall eine gewisse Eindrücklichkeit eigen ist, welche somit noch nicht für eine Bejahung des Kriteriums ausreichen kann (aus jüngster Zeit: Urteil 8C_655/2010 vom 15. November 2010 E. 4.2.2).
Dem Verkehrsunfall von 2001 ist zwar eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abzusprechen. Diese war aber im Lichte der Rechtsprechung zu diesem Kriterium (vgl. die Übersicht im Urteil 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 5.2) nicht in einer Weise besonders oder von dramatischen Umständen begleitet, dass dies die Bejahung des Kriteriums gestatten könnte. Sämtliche von der Beschwerdeführerin aufgezählten - und auch im genannten Urteil 8C_786/2009 erwähnten - Unfälle, bei denen das Kriterium bejaht wurde, waren deutlich eindrücklicher. Es handelte sich dabei u.a. um eine Massenkarambolage und um eine Frontalkollision mit einem Sattelschlepper, welcher das Fahrzeug mit der versicherten Person dann längere Zeit vor sich hinschob. Vergleichbare Umstände waren hier nicht gegeben. Das Kriterium ist daher mit der Vorinstanz zu verneinen.
Gleiches gilt im Übrigen auch für den Unfall von 2005, bei welchem denn auch nichts anderes geltend gemacht wird.
6.3.2 Das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung ist beim Unfall von 2001 nicht gegeben. Gleiches gilt für das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung beim Unfall von 2005. Es fehlt namentlich bei beiden Ereignissen an einer kontinuierlichen, mit einer gewissen Planmässigkeit auf die Verbesserung des Gesundheitszustandes gerichteten Behandlung (vgl. Urteile 8C_715/2010 vom 2. Dezember 2010 E. 5.3.1 und 8C_855/2009 vom 21. April 2010 E. 8.3.1 mit Hinweisen), welche von ungewöhnlich langer Dauer oder in anderer Hinsicht mit einer deutlichen Mehrbelastung verbunden gewesen wäre. An durchgeführten therapeutischen Massnahmen zu erwähnen sind nebst recht kurz befristeten ärztlichen Behandlungen und medizinischen Abklärungen hauptsächlich ein knapp einmonatiger Rehabilitationsaufenthalt sowie Therapieversuche mit verschiedenen alternativen Behandlungsmethoden (u.a. Akupunktur, Craniosacraltherapie sowie, von der Versicherten selber initiiert, u.a. Rolfing und Anwendungen von Schlangengift). Ab dem Jahr 2007 fand auch ein - von der Versicherten nach einigen Sitzungen abgebrochener - Behandlungsversuch mit Psychotherapie statt. Dies alles genügt selbst dann nicht für die Bejahung des Kriteriums bei einem oder beiden Unfällen, wenn nicht zwischen somatischer und psychosomatischer Behandlung differenziert wird.
6.3.3 In Bezug auf das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung verweist die Beschwerdeführerin lediglich auf den - vom Unfallversicherer und vom Sozialversicherungsgericht zu beachtenden - Untersuchungsgrundsatz. Dass eine Fehlbehandlung stattgefunden hat, wird aber nicht geltend gemacht. Anhaltspunkte hiefür ergeben sich auch nicht aus den Akten und sind von ergänzenden Abklärungen ebenfalls nicht zu erwarten. Das Kriterium liegt daher bei beiden Unfällen nicht vor.
6.3.4 Ein schwieriger Heilungsverlauf oder erhebliche Komplikationen sind bei beiden Unfällen zu verneinen. Der Verlauf hielt sich im Rahmen des nach derartigen Ereignissen üblichen. Daran ändern auch die geltend gemachten Konzentrationsstörungen nichts. Es liesse sich allenfalls fragen, ob mit Blick auf den Unfall von 2001 die Folgeunfälle von 2002 und 2005 die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten. Auch das wäre aber nicht gerechtfertigt. Der Unfall von 2002 war nach Lage der Akten nur leicht und zeigte sehr geringe Folgen. Namentlich war, wenn überhaupt, nur eine sehr kurze Arbeitsunfähigkeit zu verzeichnen. Es kann sodann verlässlich ausgeschlossen werden, dass der Unfall von 2005 den in diesem Zeitpunkt bereits lange abgeschlossenen Heilungsverlauf der somatischen Verletzungen aus dem Unfall von 2001 beeinträchtigt hat.
6.3.5 Bezüglicher der restlichen Kriterien ergibt sich beim Unfall von 2001 Folgendes:
Das kantonale Gericht hat erkannt, dass die Versicherte nach dem Unfall vom 28. Juni 2001 bereits ab Dezember 2001 wieder hälftig und ab April 2002 voll arbeitsfähig war. Das ist nicht umstritten. Das Kriterium von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit ist damit bei diesem Unfall nicht erfüllt.
Es kann sodann ohne weiteres ausgeschlossen werden, dass die beim Unfall von 2001 erlittenen Verletzungen besonders geeignet waren, psychische Fehlentwicklungen auszulösen. Das Kriterium von Schwere/Art der Verletzungen ist daher mit Bezug auf diesen Unfall ebenfalls nicht erfüllt.
Damit bleibt es in Bezug auf den Unfall von 2001 beim Kriterium der körperlichen Dauerschmerzen. Dessen Bejahung durch die Vorinstanz bedürfte allenfalls näherer Betrachtung. Davon kann aber abgesehen werden, da auch die Annahme dieses - demnach einzigen und jedenfalls nicht besonders ausgeprägten - Kriteriums nicht genügt, um auf eine rechtserhebliche Bedeutung des Unfalls von 2001 für die noch geklagten Beschwerden zu schliessen.
6.3.6 In Bezug auf den Unfall von 2005 bleiben die beiden Kriterien betreffend Verletzungsschwere/-art und Arbeitsunfähigkeit offen. In besonders ausgeprägter Weise sind diese sicher nicht erfüllt. Beim ersten dieser Kriterien steht dem entgegen, dass die HWS zwar bereits wiederholt von Unfällen betroffen war, diese aber vergleichsweise geringfügig waren und nicht zu einer organisch nachgewiesenen Schädigung führten. Zudem war auch kein erheblicher degenerativer Vorzustand zu verzeichnen. Hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit ist festzuhalten, dass diese nach dem Unfall von 2005 von ärztlicher Seite massgeblich mit einer psychischen Störung, welche auf den Unfall von 2001 zurückzuführen sei, begründet wurde. Eine durch den Unfall von 2005 verursachte Arbeitsunfähigkeit, welche für die besondere Ausprägung des Kriteriums sprechen würde, liegt damit nicht vor. Auch die von der Versicherten gezeigten Bemühungen zur beruflichen Wiedereingliederung vermöchten eine entsprechende Beurteilung nicht zu stützen.
Damit muss nicht abschliessend beantwortet werden, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form gegeben wären. Denn selbst bejahendenfalls würde dies, auch zusammen mit dem vom kantonalen Gericht angenommenen Kriterium der erheblichen Beschwerden, nicht genügen, um auf einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall von 2005 und den noch geklagten Beschwerden schliessen zu können.
7. Das kantonale Gericht hat demnach die adäquate Unfallkausalität in Bezug auf die noch geklagten Beschwerden, und damit die Leistungspflicht der SUVA hiefür, zu Recht verneint.
An diesem Ergebnis vermag auch der weitere Einwand nichts zu ändern, wonach bezüglich des Anspruchs auf Integritätsentschädigung anders vorgegangen werden müsse. Geltend gemacht wird, die Schleudertrauma-Praxis sei hiebei nicht anwendbar. Die Versicherte beruft sich dabei namentlich auf das Urteil U 112/04 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (EVG; heute: Bundesgericht) vom 9. November 2004 E. 3.2.1. Im besagten Fall ging es indessen um eine psychische Fehlentwicklung und die von der dort Beschwerde führenden Versicherten postulierte Anwendbarkeit der Schleudertrauma-Praxis. Das EVG hielt dem entgegen, dass diese Rechtsprechung bei der Beurteilung der Unfallkausalität einer Integritätseinbusse, welche in einem psychogenen Gesundheitsschaden begründet liege, nicht anwendbar sei. Dies spricht nicht gegen Anwendung der Schleudertrauma-Praxis auf den vorliegenden Unfall von 2005. Abgesehen davon wäre die adäquate Unfallkausalität, in Bezug auf eine allfällige Integritätseinbusse und weitere Beeinträchtigungen, auch nach der Psycho-Praxis zu verneinen.
8. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Marco Unternährer, Luzern, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Januar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz