Sachverhalt:
A. Die Universität Bern liess X._ am 27. Januar 2006 ab dem Sommersemester 2006 zu allen nichtmedizinischen Studiengängen unter dem Vorbehalt zu, dass er vor der Maturitätskommission des Kantons Bern eine Aufnahmeprüfung in Mathematik bestehe. Am 24. April 2006 wies die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 500.--. Hiergegen gelangte dieser an den Regierungsrat des Kantons Bern. Während dessen Verfahren liess die Universität Bern X._ am 23. August 2006 zum Studium der Rechtswissenschaften zu, da er zwischenzeitlich (am 27. Juli 2006) in Deutschland eine Prüfung im Fach Rechtswissenschaft erfolgreich absolviert hatte ("Fachzulassung aufgrund eines ausländischen Vorbildungsausweises"). Im Nachgang hierzu schrieb die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern das regierungsrätliche Verfahren am 20. November 2006 ab, wobei es die Kosten von Fr. 300.-- X._ auferlegte (Ziffer 2 des Dispositivs). Mit Urteil vom 9. April 2008 hiess das Bundesgericht die von diesem hiergegen eingereichte staatsrechtliche Beschwerde gut, soweit sie sich auf den Kostenentscheid der Verfügung vom 20. November 2006 bezog, und hob die entsprechende Dispositivziffer auf; in den übrigen Punkten trat es auf die Eingabe wegen Verspätung bzw. unzureichender Begründung nicht ein (Verfahren 2P.2/2007). Die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern entschied hierauf am 22. April 2008, dass der Kanton Bern die Kosten des Beschwerdeverfahrens vor dem Regierungsrat zu tragen habe. Der entsprechende Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B. Am 28. Mai 2011 ersuchte X._ die Erziehungsdirektion des Kantons Bern darum, "die Nichtigkeit" ihres Entscheids vom 24. April 2006 "festzustellen", nachdem die Kosten ihres Beschwerdeverfahrens in Betreibung gesetzt worden waren. Mit Verfügung vom 8. November 2011 trat die Erziehungsdirektion auf das als Revisionsgesuch gedeutete Feststellungsbegehren nicht ein, wies das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wegen Aussichtslosigkeit ab und auferlegte dem Gesuchsteller die Verfahrenskosten von Fr. 300.--. Hiergegen gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, welches am 5. Juni 2012 "in teilweiser Gutheissung" der Beschwerde die Verfügung der Erziehungsdirektion aufhob; im Übrigen wies es die Beschwerde ab und sprach sich gegen die Rückerstattung (zuzüglich Mahn- und Betreibungskosten) der zwischenzeitlich bezahlten Kosten an X._ aus.
C. X._ gelangte hiergegen am 5. Juli 2012 an das Bundesgericht, welches am 25. Juli 2012 auf seine Beschwerde nicht eintrat, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies und ihm die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegte (2C_671/2012). Mit Eingabe vom 9. September 2012 beantragt X._, unter Aufhebung dieses Urteils auf die Rechtsbegehren in seiner Eingabe vom 5. Juli 2012 einzutreten und in der Sache (neu) zu entscheiden. Für das Revisionsverfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; zudem sei auf den Vollzug des Kostenentscheids vom 25. Juli 2012 einstweilen zu verzichten.
Erwägungen:
1. 1.1 Das bundesgerichtliche Urteil 2C_671/2012 vom 25. Juli 2012 ist dem Gesuchsteller während der Gerichtsferien eröffnet worden, womit die Revisionsfrist von dreissig Tagen am 16. August 2012 zu laufen begonnen hat und die vorliegende Eingabe rechtzeitig erfolgt ist (vgl. Art. 46 Abs. 1 lit. b i.V.m. 124 Abs. 1 lit. a und b BGG). Damit das Bundesgericht auf ein Revisionsgesuch eintritt, genügt, dass der Gesuchsteller den Minimalanforderung von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genügend einen Revisionsgrund anruft oder zumindest Tatsachen nennt, die von einem solchen erfasst werden. Ob ein Urteil tatsächlich zu revidieren ist, bildet keine Frage des Eintretens, sondern eine solche der materiellen Beurteilung (vgl. die Urteile 2F_15/2012 vom 23. August 2012 [ungenügende Begründung] und 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2). Auf das durch den hierzu legitimierten ursprünglichen Beschwerdeführer frist- und formgerecht eingereichte Revisionsgesuch ist demnach einzutreten.
1. 1.1 Das bundesgerichtliche Urteil 2C_671/2012 vom 25. Juli 2012 ist dem Gesuchsteller während der Gerichtsferien eröffnet worden, womit die Revisionsfrist von dreissig Tagen am 16. August 2012 zu laufen begonnen hat und die vorliegende Eingabe rechtzeitig erfolgt ist (vgl. Art. 46 Abs. 1 lit. b i.V.m. 124 Abs. 1 lit. a und b BGG). Damit das Bundesgericht auf ein Revisionsgesuch eintritt, genügt, dass der Gesuchsteller den Minimalanforderung von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genügend einen Revisionsgrund anruft oder zumindest Tatsachen nennt, die von einem solchen erfasst werden. Ob ein Urteil tatsächlich zu revidieren ist, bildet keine Frage des Eintretens, sondern eine solche der materiellen Beurteilung (vgl. die Urteile 2F_15/2012 vom 23. August 2012 [ungenügende Begründung] und 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2). Auf das durch den hierzu legitimierten ursprünglichen Beschwerdeführer frist- und formgerecht eingereichte Revisionsgesuch ist demnach einzutreten.
1.2 1.2.1 Der Gesuchsteller beruft sich auf Art. 121 Abs. 1 lit. a BGG (Verstoss gegen die Ausstandspflicht). Aus seiner Begründung ergibt sich, dass er nicht in erster Linie geltend machen will, das Urteil vom 25. Juli 2012 sei wegen der damaligen Besetzung bereits ursprünglich mangelhaft gewesen. Er ersucht mit den entsprechenden Ausführungen vielmehr darum, dass weder Bundesrichter Zünd noch Gerichtsschreiber Felber am Revisionsverfahren beteiligt werden dürften, da sie zu Unrecht im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG entschieden hätten, auf seine Eingabe nicht eingetreten seien und diese als "weitschweifig" bezeichnet hätten, was sie als befangen erscheinen lasse.
1.2.2 Grundsätzlich ist diejenige Abteilung des Bundesgerichts für die Beurteilung eines Revisionsgesuchs zuständig, die das ursprüngliche Urteil getroffen hat. In der Regel darf darüber in der gleichen Zusammensetzung entschieden werden (vgl. Art. 34 Abs. 2 BGG; vgl. auch YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Bern 2008, S. 1682 N. 4677). Da es sich bei einem Revisions- nicht um ein Beschwerdeverfahren handelt (vgl. Art. 108 und 109 BGG), ist indessen grundsätzlich in Normalbesetzung - d.h. in der Regel zu Dritt - über ein Revisionsgesuch zu befinden (vgl. ELISABETH ESCHER, in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, N. 7 zu Art. 128); dabei dürfen das ursprünglich instruierende Gerichtsmitglied bzw. der mitwirkende Gerichtsschreiber beigezogen werden, soweit gegen sie nicht andere Ausstandsgründe als die (blosse) Beteiligung am umstrittenen Entscheid geltend gemacht werden (vgl. Urteil 2F_11/2011 vom 9. August 2011). Der Beschwerdeführer begründet sein Ausstandsbegehren ausschliesslich mit der (angeblichen) Fehlerhaftigkeit des Urteils vom 25. Juli 2012, was als Ausstandsgrund nach dem Gesagten grundsätzlich nicht genügt. Da am vorliegenden Verfahren weder Bundesrichter Zünd noch Gerichtsschreiber Feller mitwirken, erübrigen sich indessen weitere Ausführungen hierzu.
2. 2.1 Wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften kann die Revision gemäss Art. 121 BGG unter anderem verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (lit. c) oder das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (lit. d). Die Begründung eines Begehrens stellt keinen Antrag dar und eine Rüge ist keine revisionsrelevante Tatsache (vgl. das Urteil 2F_12/2011 E. 2); das Übergehen einer prozesskonform vorgetragenen Kritik bildet deshalb keinen Revisionsgrund. Die Revision ist unzulässig bzw. es liegt kein Grund für eine solche vor, falls die materiellrechtliche Beurteilung aus prozessrechtlichen Gründen abgelehnt worden ist und deshalb einzelne (verfahrensrechtliche) Anträge (Beweis, Sistierung usw.) unbeurteilt geblieben sind; es fehlt in diesem Fall an dem für die Revision erforderlichen Versehen. Der Revisionsgrund von Art. 121 lit. d BGG liegt nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat, nicht wenn die Tatsache oder das Aktenstück in der äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen wurde und allenfalls bloss eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung vorgenommen worden ist (BGE 115 II 399 E. 2a; Urteile 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 1 und 4F_1/2007 vom 13. März 2007, E. 6.1; PIERRE FERRARI, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 17 zu Art. 121). Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen (hier einem Eintreten), wären sie berücksichtigt worden. Die Revision dient nicht dazu, um angebliche Rechtsfehler (fälschlicherweises Nichteintreten, Verweigerung des rechtlichen Gehörs usw.) zu korrigieren (BGE 122 II 17 E. 3; Urteil 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3) oder in der ursprünglichen Rechtsschrift Verpasstes nachzuholen (vgl. Urteil 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.2; ESCHER, a.a.O., N. 9 zu Art. 121 BGG).
2.2 Der Gesuchsteller kritisiert, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern habe bei seiner Sachverhaltsfeststellung die (verbindliche) Tatsache "übergangen", dass durch die spätere Verfügung vom 23. August 2006 die erste Verfügung der Universität vollständig ersetzt worden sei, was er in seiner Eingabe gerügt habe; das Bundesgericht habe sich bei der Beurteilung, ob eine ausreichende Begründung im Sinne von Art. 42 BGG vorliege, mit dem Sachverhalt versehentlich nicht auseinandergesetzt. Hiervon kann indessen nicht die Rede sein: Das Bundesgericht hat in seinem Urteil dargelegt, dass die Eingabe des Beschwerdeführers den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genüge, da er in seiner Eingabe nicht aufzeige, dass die Interpretation der Abschreibungsverfügung bzw. die grundsätzlichen Erwägungen "im angefochtenen Urteil über die Tragweite solcher Akte sowie über die Problematik der Nichtigkeit willkürlich seien (s. zum Begriff der Willkür BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5; 136 III 552 E. 4.2 S. 560; 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f.; 134 II 124 E. 4.1 S. 133)". Zudem hielt es fest: "So ist nicht erkennbar, inwiefern das Verwaltungsgericht den für die zu lösende Rechtsfrage erheblichen Sachverhalt, etwa durch 'Verstoss gegen die Bindungswirkung des am 9. April 2008 ergangenen Rückweisungsentscheids BGE 2P.2/2007', offensichtlich unrichtig oder unter Verletzung des rechtlichen Gehörs festgestellt hätte". Der Gesuchsteller kritisiert diese rechtliche Würdigung aufgrund seiner formell ungenügend begründeten Beschwerdeschrift; wie dargelegt, dient das Revisionsverfahren indessen nicht hierzu. Eine Revision ist nur möglich, wenn das Bundesgericht eine Tatsache übergangen hat, nicht aber, falls es eine unzutreffende (rechtliche) Würdigung des vorgetragenen Sachverhalts vorgenommen haben sollte (ESCHER, a.a.O., N. 9 zu Art. 121 BGG). Das Bundesgericht war sich, wie sich aus dem Sachverhalt und der Begründung des Entscheids vom 25. Juli 2012 ergibt, der Rüge des Beschwerdeführers bezüglich des angeblich falsch bzw. unvollständig festgestellten Sachverhalts bewusst, erachtete sie indessen nicht als rechtsgenügend im Sinne von Art. 42 BGG dargelegt, was eine im Revisionsverfahren nicht rügbare rechtliche Beurteilung bildete (FERRARI, a.a.O., N. 19 zu Art. 121 BGG; YVES DONZALLAZ, a.a.O. S. 1680 N. 4669). Soweit der Gesuchsteller kritisiert, seine Beweisanträge seien aus Versehen nicht behandelt worden, verkennt er, dass dies nicht erforderlich war, nachdem aus prozessrechtlichen Gründen keine materiellrechtliche Beurteilung erfolgen konnte (vgl. Urteil 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.2).
3. 3.1 Da die Gründe, welche der Gesuchsteller anführt, weshalb das Urteil 2C_671/2012 zu revidieren sei, die Voraussetzungen von Art. 121 lit. c und d BGG nicht erfüllen, ist sein Gesuch abzuweisen. Es erübrigt sich, einen Schriftenwechsel durchzuführen (vgl. Art. 127 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selber wird das Gesuch um den Erlass einer vorsorglichen Massnahme für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens gegenstandslos (vgl. Art. 126 BGG).
3.2 Die vorliegende Eingabe hatte gestützt auf die vom Gesuchsteller selber zitierte Rechtsprechung keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg, weshalb seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (Art. 64 BGG). Er wird für das Revisionsverfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); bei der Festlegung der Höhe der Kosten ist der mit dem Verfahren verbundene Aufwand (Entscheid zu Dritt) mitzuberücksichtigen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2 Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar