Erwägungen:
1. Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 24. Februar 2009 auf eine Beschwerde von X._ gegen eine Verfügung der Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn nicht ein (Verfahren 1B_49/2009). Das Urteil erging im Verfahren nach Art. 108 BGG, unter Mitwirkung von Bundesrichter Aemisegger.
2. Mit Eingabe vom 16. März 2009 (Postaufgabe 17. März 2009) ersucht X._ um Aufhebung des bundesgerichtlichen Urteils vom 24. Februar 2009. Er macht geltend, Bundesrichter Aemisegger, der als Einzelrichter das Urteil vom 24. Februar 2009 gefällt hatte, sei befangen gewesen. Damit beruft er sich sinngemäss auf den Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG.
3. Der Gesuchsteller sieht den Ausstandsgrund allein im Umstand, dass Bundesrichter Aemisegger, der übrigens nicht FDP-Mitglied ist, mit Urteil vom 24. Februar 2009 gegen ihn entschieden hatte. Ein solchermassen begründetes Ausstandsgesuch ist unzulässig und rechtsmissbräuchlich. Allein die Tatsache, dass Richter in früheren Verfahren zu Ungunsten des Gesuchstellers entschieden hatten, bildet keinen Ausstandsgrund (vgl. auch Art. 34 Abs. 2 BGG). Solche Begehren sind letztlich auf die Lahmlegung des Bundesgerichts gerichtet (vgl. weiteres Verfahren 1F_5/2009 des Gesuchstellers). Am Entscheid über das unzulässige Ausstandsbegehren kann die abgelehnte Gerichtsperson mitwirken, ohne dass gemäss Art. 37 BGG vorzugehen wäre (vgl. dazu BGE 114 Ia 278 E. 1 zu Art. 26 des Ende 2006 ausser Kraft gesetzten OG, welcher im Wesentlichen mit Art. 37 BGG übereinstimmt).
4. Nach dem Gesagten ist weder auf das Ausstandsbegehren noch das Revisionsgesuch einzutreten. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit des vorliegenden Revisionsgesuchs kann dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Pfäffli