Sachverhalt:
A. A.a Die 1960 geborene S._ meldete sich im Oktober 2002 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Beizug namentlich des Berichtes des Dr. med. E._, Arzt für Neurologie, vom 16. Januar 2003 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Wirkung ab 1. Oktober 2001 eine halbe Rente der Invalidenversicherung bei einem Invaliditätsgrad von 50 % zu (Verfügung vom 26. August 2003).
A.b Anlässlich der im Oktober 2005 angehobenen Rentenrevision bestätigte die Verwaltung mit Verfügung vom 20. Februar 2006 den bisherigen Invaliditätsgrad. S._ liess hienach am 7. November 2006 durch ihren behandelnden Arzt, Dr. med. B._, Facharzt für Allgemeine Medizin und Manuelle Medizin, einen verschlechterten rheumatologischen Zustand melden. Gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten des Zentrums X._ vom 19. August 2008 verfügte die IV-Stelle am 8. Dezember 2008 die Einstellung der Rentenleistungen auf den folgenden Monat. Dies begründete sie mit einem verbesserten Gesundheitszustand und einem Invaliditätsgrad von nurmehr 21 %.
B. Dagegen liess S._ Beschwerde führen mit dem Begehren, es sei ihr weiterhin eine Invalidenrente zu gewähren. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragte sie die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, zu welcher sie vorzuladen und anzuhören sei. Mit Entscheid vom 9. Juni 2010 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab, ohne eine öffentliche Verhandlung durchgeführt zu haben.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ den Antrag auf Ausrichtung einer Rente erneuern. Sodann sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Stellungnahme verzichten.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin rügt in formeller Hinsicht eine Verletzung des in Art. 6 Abs. 1 EMRK verankerten Öffentlichkeitsprinzips, weil das kantonale Gericht trotz entsprechenden Antrags keine öffentliche Verhandlung durchgeführt hat, obwohl es auch um die Beurteilung gehe, inwieweit sie einem Arbeitgeber zumutbar sei. Dies könne nur durch eine mündliche Verhandlung festgestellt werden. Die Vorinstanz hat das Gesuch um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung unter Hinweis auf die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) sowie des Bundesgerichts resp. des Eidg. Versicherungsgerichts abgewiesen mit der Begründung, von der Anhörung seien keine weiteren Erkenntnisse zu erwarten.
1.2 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1).
Das kantonale Gericht, welchem es primär obliegt, die Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewährleisten (BGE 122 V 47 E. 3 S. 54), hat bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrages grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (BGE 122 V 47 E. 3a und b S. 55 f.). Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann abgesehen werden, wenn der Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Gleiches gilt, wenn sich ohne öffentliche Verhandlung mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist (BGE 122 V 47 E. 3b cc und dd S. 56). Als weiteres Motiv für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht, was etwa auf rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zutrifft, wogegen andere dem Sozialversicherungsrecht inhärente Fragestellungen materiell- oder verfahrensrechtlicher Natur wie die Würdigung medizinischer Gutachten in der Regel nicht darunter fallen. Schliesslich kann das kantonale Gericht von einer öffentlichen Verhandlung absehen, wenn es auch ohne eine solche allein aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Rechtsbegehren der bezüglich der Verhandlung antragstellenden Partei zu entsprechen ist (BGE 122 V 47 E. 3b/ee und ff S. 57 f.).
1.3 Beim vorliegenden Prozess betreffend die Revision einer Rente der Invalidenversicherung handelt es sich um eine Streitigkeit über einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (BGE 125 V 499 E. 2a S. 501, 122 V 47 E. 2a S. 50 mit Hinweisen; SVR 2006 IV Nr. 1 E. 3.3). Ferner hat die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren rechtzeitig einen unmissverständlichen Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung gestellt (BGE 122 V 47 E. 3b/bb S. 56). Unzutreffend geht der angefochtene Entscheid davon aus, die Versicherte habe die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung für nicht mehr erforderlich erachtet, nachdem sie mit Replik vom 23. März 2009 nicht auf eine öffentliche Verhandlung beharrt habe. Die Versicherte hielt replikando vielmehr an den gestellten Anträgen fest, ohne sich zum Verfahrensantrag erneut zu äussern. Damit hatte dieser trotz zweitem Schriftenwechsel weiterhin Bestand.
2. 2.1 Das Bundesgericht hat sich im (zur Publikation in der amtlichen Sammlung vorgesehenen) Urteil 9C_870/2009 vom 8. Juni 2010 eingehend mit der - als nicht einheitlich erkannten - Rechtsprechung sowohl des EGMR als auch des Bundesgerichts zum Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren betreffend sozialversicherungsrechtliche Ansprüche auseinandergesetzt. Es hat entschieden, dass eine bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens nicht erkennbar ist, falls in einer allfälligen Verhandlung die Auseinandersetzung mit den vorhandenen Stellungnahmen von Ärztinnen und Ärzten zu Gesundheitsschaden und Grad der Arbeitsunfähigkeit Gegenstand bildet. Es handelt sich bei der Würdigung solcher medizinischen Berichte und der Beurteilung der Beweiskraft einander widersprechender ärztlicher Aussagen um eine auf dem Gebiet des Sozialversicherungsrechts alltägliche und damit nicht um eine "hochtechnische" Thematik im Sinne der Rechtsprechung. Nicht zu übersehen ist sodann, dass eine öffentliche Verhandlung in einzelnen Fällen mit medizinischer Fragestellung geeignet sein kann, zu einer Klärung offener Tatfragen beizutragen (erwähntes Urteil 9C_870/2009 E. 3.2; vgl. auch Urteil 9C_1034/2009 vom 8. Juni 2010).
2.2 Im Lichte dieses Urteils sind die Voraussetzungen für einen Verzicht auf die von der Versicherten in der Beschwerde an die Vorinstanz ausdrücklich beantragte Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht gegeben. Weder ist der Antrag schikanös, noch läuft er dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider. Sodann kann das Rechtsmittel nicht als offensichtlich unbegründet oder unzulässig bezeichnet werden, was denn auch das Sozialversicherungsgericht nicht angenommen hat. Von hoher Technizität der sich stellenden Fragen kann ebenfalls nicht gesprochen werden: Streitig ist, ob sich der gesundheitliche Zustand in anspruchsbeeinflussendem Mass verändert hat und die Frage der Vermittelbarkeit der Beschwerdeführerin auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt (Art. 7 Abs. 1 ATSG). Dies begründet keine Ausnahme von der Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. Schliesslich war dem materiellen Rechtsbegehren der Versicherten allein auf Grund der Akten nicht ohne weiteres zu entsprechen.
2.3 Indem die Vorinstanz unter diesen Umständen von der beantragten öffentlichen Verhandlung abgesehen hat, wurde dieser in Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht Rechnung getragen. Es ist daher unumgänglich, die Sache an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen, damit dieses den Verfahrensmangel behebt und die von der Beschwerdeführerin verlangte öffentliche Verhandlung durchführt. Hernach wird das Gericht über die Beschwerde materiell neu zu befinden haben.
3. Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ist deshalb gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Juni 2010 aufgehoben. Die Sache wird an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit es im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin