Faits:
A. En 1970, X._ a été nommé en qualité de professeur au Conservatoire du canton de Fribourg. En 1998, il a été en outre désigné en qualité d'organiste titulaire de l'orgue du Collège B._ de Fribourg. Par courrier du 16 mars 2005, il a démissionné pour la fin de l'année scolaire en cours de son poste de professeur au Conservatoire, afin de bénéficier d'une retraite anticipée. Cette démission a été acceptée par la Direction de l'instruction publique, de la culture et du sport du canton de Fribourg (ci-après: la DICS). Dès le 1er septembre 2005, X._ n'a plus reçu de salaire, ni du Conservatoire, ni du Collège B._. Il a toutefois poursuivi une activité au profit de l'orgue du collège. En septembre 2006, A._, qui avait succédé au prénommé en qualité de professeur au Conservatoire, a été désigné titulaire de l'orgue en question.
Le 10 octobre 2006, X._ a écrit à la DICS qu'il s'estimait toujours titulaire de l'orgue, dans la mesure où il n'avait pas démissionné de son poste au Collège B._. Par lettre du 17 octobre 2006, la DICS lui a répondu que la charge d'organiste titulaire était liée à celle de professeur au Conservatoire, de sorte qu'il n'était plus titulaire de l'orgue à compter du 1er septembre 2005. X._ a contesté cette appréciation le 30 octobre 2006 et une entrevue s'est déroulée le 16 novembre 2006, sans que les parties ne modifient leur point de vue.
Par courrier du 14 décembre 2006, X._ a demandé à la DICS de rendre une décision formelle de fin des rapports de services pour sa fonction d'organiste titulaire, avec indication des voies de droit utiles. Il a relancé la DICS le 8 février 2007. Par courrier du 17 avril 2007, la DICS a répondu à l'intéressé qu'elle maintenait sa position et qu'elle n'avait pas à rendre une décision de résiliation de la charge d'organiste titulaire, celle-ci s'étant éteinte le 31 août 2005 avec la fin des rapports de service de X._ en sa qualité de professeur au Conservatoire. Le 24 avril 2007, ce point de vue a été confirmé par le Conseil d'Etat du canton de Fribourg, en réponse à une question écrite d'un député du Grand Conseil.
B. Le 13 septembre 2007, X._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Fribourg. En cours de procédure, la cause est devenue de la compétence de la Ire Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). X._ se plaignait d'un défaut de décision et reprochait à la DICS d'avoir refusé de rendre une décision administrative motivée sur l'existence de rapports de service en sa qualité d'organiste titulaire de l'orgue du Collège B._.
Par arrêt du 14 mars 2008, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable, pour cause de tardiveté. Il a considéré que le courrier de la DICS du 17 avril 2007 constituait une décision sujette à recours. Cette lettre exprimait en effet la position officielle et définitive de l'autorité, qui estimait inutile de rendre une décision de résiliation, la fin des rapports de service étant déjà intervenue en septembre 2005. Il ne saurait dès lors être question d'un déni de justice. Selon le Tribunal cantonal, X._ aurait dû attaquer cette décision du 17 avril 2007 auprès du Conseil d'Etat dans un délai de trente jours suivant sa notification, intervenue le 23 avril 2007. Le défaut d'indication des voies de droit n'y changeait rien, la voie de recours ressortant clairement de la loi et l'intéressé étant assisté d'un mandataire professionnel.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et, subsidiairement, de constater que la DICS aurait dû rendre une décision quant au maintien ou à la fin des rapports de service en sa qualité d'organiste titulaire et, enfin, de constater qu'il est toujours organiste titulaire, avec les droits et les obligations qui se rattachent à cette fonction, notamment quant à sa rétribution. Il se plaint d'arbitraire et d'une violation de son droit d'être entendu. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. La Direction cantonale de l'instruction publique, de la culture et du sport s'est déterminée; elle conclut au rejet des recours.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Le recourant conclut à la constatation du fait qu'il est toujours organiste titulaire, avec la rétribution rattachée à cette fonction. Dès lors que son action a, en tout cas partiellement, un but économique et dans la mesure où son objet peut être apprécié en argent, il y a lieu de considérer qu'il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire (cf. Fabienne Hohl, Procédure civile, Tome II, Berne 2002, p. 77; Jean-François Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, Berne 1990, p. 196 ss). Il s'ensuit que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La contestation porte sur le maintien du recourant au service de l'Etat après le 1er septembre 2005 et pour une durée indéterminée. On peut donc admettre que la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF). Dès lors que l'arrêt attaqué déclare irrecevable le recours formé pour défaut de décision quant à ses rapports de service, le recourant est particulièrement atteint par ce prononcé et il a un intérêt digne de protection à son annulation; il a donc la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 let. b et c LTF). Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Le recours en matière de droit public est par conséquent recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2. Le recourant reproche en substance à l'autorité intimée d'avoir considéré arbitrairement que la lettre de la DICS du 17 avril 2007 était une décision au sens de l'art. 4 al. 1 du code de procédure et de juridiction administrative fribourgeois (CPJA; RS/FR 150.1). Il relève que ce courrier ne respecte pas les exigences de l'art. 66 CPJA, qui prévoit qu'une décision doit contenir une motivation (let. c) ainsi que l'indication des voies de droit (let. f).
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). Appelé à revoir l'interprétation d'une norme sous cet angle, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain (ATF 133 II 257 consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
2.2 L'art. 4 al. 1 CPJA définit la notion de décision dans des termes identiques à ceux de l'art. 5 al. 1 de la loi fédérale sur la procédure administrative (PA; RS 172.021). Est considérée comme une décision au sens de ces dispositions toute mesure de caractère obligatoire prise dans un cas d'espèce en application du droit public et qui a pour objet de créer, de modifier ou d'annuler des droits ou des obligations (let. a), de constater l'existence, l'inexistence ou le contenu de droits ou d'obligations (let. b) ou de rejeter ou déclarer irrecevables des demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits ou des obligations (let. c). Tel n'est pas le cas en revanche de l'expression d'une opinion, d'une simple communication, d'une prise de position, d'une recommandation, d'un renseignement, d'une information, d'un projet de décision ou de l'annonce d'une décision, car il leur manque un caractère juridique contraignant (cf. arrêt 1P.315/1998 du 7 décembre 1998 consid. 1d, in Pra 1999 p. 481; Häfelin/Müller/ Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5e éd., Zurich 2006, p. 182 ss et les références cités). Quant à l'art. 66 CPJA, il prévoit que la décision doit contenir divers éléments, en particulier une motivation (let. c) et l'indication des voies de droit (let. f). Si ce dernier élément fait défaut, on attend en principe du destinataire de la décision qu'il se renseigne auprès d'un avocat ou de l'autorité qui a statué; dans certains cas, une restitution du délai peut être envisagée sur la base du droit à la protection de la bonne foi, mais on ne saurait admettre que le recours soit déposé dans n'importe quel délai (cf. Carlos Jaïco Carranza/Sébastien Micotti, CPJA annoté, n. 66.44 ad art. 66 CPJA; Benoît Bovay, Procédure administrative, Berne 2000, p. 272).
2.3 Dans son courrier du 17 avril 2007, la DICS écrivait que la charge d'organiste titulaire des orgues du Collège B._ était manifestement et juridiquement liée à la fonction de professeur au Conservatoire. Dès lors que l'intéressé avait démissionné de cette fonction et qu'il avait été mis au bénéfice d'une retraite anticipée effective depuis le 1er septembre 2005, la charge d'organiste titulaire était également terminée depuis cette date. La DICS estimait donc qu'elle n'avait pas à prendre une décision de résiliation de cette charge, celle-ci s'étant éteinte le 31 août 2005 avec la fin des rapports de service du recourant en sa qualité de professeur au Conservatoire.
Comme le Tribunal cantonal l'a considéré à juste titre, cette lettre exprime la position officielle et définitive de l'autorité concernant la question litigieuse. Elle relève du droit public et a pour objet de constater l'inexistence de droits ou d'obligations ainsi que de rejeter une demande tendant à constater des droits ou des obligations. L'autorité intimée pouvait dès lors considérer sans arbitraire que ce courrier constituait une décision sujette à recours au sens de l'art. 4 al. 1 CPJA, respectivement de l'art. 5 al. 1 PA. Le fait que le recourant ait insisté à plusieurs reprises - avant le 17 avril 2007 - pour obtenir une décision formelle au sens de l'art. 66 CPJA n'y change rien. Il ressortait en effet clairement de la lettre précitée que l'autorité ne rendrait pas une telle décision, si bien que ce courrier apparaissait comme le seul acte susceptible d'être attaqué.
2.4 S'agissant de l'indication des voies de droit, elle est certes requise pour les décisions prises en dernière instance cantonale (art. 35 PA en relation avec l'art. 1 al. 3 PA; art.112 al. 1 let. d LTF), mais il ne s'agit pas d'une exigence du droit constitutionnel fédéral qui s'appliquerait de manière générale à toutes les décisions cantonales (cf. ATF 123 II 231 consid. 8a p. 238). Le recourant ne le fait d'ailleurs pas valoir, si bien qu'il convient d'examiner cette question uniquement sous l'angle de l'arbitraire dans l'application du droit cantonal. L'autorité intimée a considéré que le défaut d'indication des voies de droit ne permettait pas au recourant d'attendre cinq mois avant de recourir pour faire valoir ce vice. Cette appréciation n'est pas manifestement insoutenable, dans la mesure où les voies de droit ressortaient clairement de la loi et dès lors que le recourant était assisté d'un mandataire professionnel. De plus, vu le caractère reconnaissable de la décision, il appartenait à son destinataire de se renseigner le cas échéant sur les voies de recours, de sorte qu'il ne peut pas se prévaloir du droit à la protection de la bonne foi. Il n'y a donc pas eu une application arbitraire du droit cantonal à cet égard.
2.5 Le recourant se plaint enfin du fait que la décision litigieuse souffrirait d'un « vice manifeste de motivation ». Il est vrai que cette décision est motivée de manière relativement sommaire. La DICS se limite en effet à soutenir que les rapports de services du recourant en qualité d'organiste titulaire se sont éteints lorsque l'intéressé a démissionné de son poste de professeur au Conservatoire car les deux fonctions étaient « manifestement et juridiquement » liées, sans exposer les éléments qui fondent ce point de vue. Elle exprime néanmoins sa position de manière particulièrement claire, de sorte que le recourant, assisté d'un avocat, était à même de comprendre les motifs pertinents. De plus, la décision se réfère expressément à un précédent courrier du 17 octobre 2006, dans lequel la DICS avait développé son raisonnement de manière plus détaillée, si bien qu'il n'apparaissait pas nécessaire de rappeler ces éléments. Ce courrier répondait par ailleurs aux griefs du recourant et celui-ci ne dit pas quels autres arguments n'auraient pas été examinés. Quoi qu'il en soit, l'autorité n'était pas tenue de discuter tous les arguments de l'intéressé et elle pouvait se limiter aux éléments décisifs pour l'issue du litige (cf. ATF 126 I 15 consid. 2a/aa p. 17 et les références). En définitive, le recourant était en mesure d'apprécier correctement la portée de la décision et de la contester efficacement. Il y a donc lieu de constater que les exigences minimales de motivation de la décision sont respectées et que l'art. 66 let. c CPJA n'a pas été appliqué de façon arbitraire.
3. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Direction de l'instruction publique, de la culture et du sport ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ire Cour administrative.
Lausanne, le 22 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener