Faits:
A.
Le 12 juin 2004, D._, hospitalisé à l'Hôpital psychiatrique X._, est décédé pendant qu'il prenait un bain. Des séquestres des dossiers médicaux ont été ordonnés et l'Institut universitaire de médecine légale de Lausanne (IUML) a rendu un rapport d'autopsie le 29 septembre 2004 et des expertises datées du 24 novembre 2005, du 8 mai et du 2 juin 2006. Une instruction pénale pour homicide par négligence a été ouverte le 19 juillet 2006, respectivement le 18 août 2006, par le Juge d'instruction de l'Office du Bas-Valais contre les docteurs E._, médecin-chef de l'hôpital psychiatrique, B._, C._, tous deux spécialistes en neurologie, et A._, alors en formation de spécialiste en psychiatrie et psychothérapie.
Le 15 janvier 2009, il a été constaté l'extinction de l'action pénale à l'encontre du docteur E._ en raison de son décès le 16 octobre 2008. Sa part des frais et ses dépens ont été mis à la charge de l'Etat.
Le docteur F._ et le professeur G._ ont été mandatés pour réaliser de nouvelles expertises. Leur rapport ont été rendus le 26 mai 2010 pour le premier, puis le 28 juin 2010 pour le second. Ces expertises ont été complétées le 4 septembre 2010, le 11 octobre 2010, ainsi que le 22 décembre 2010 par le professeur G._ et le 30 novembre 2010 par le docteur F._.
Le 8 août 2011, le Ministère public de l'Office régional du Bas-Valais a classé les procédures pénales ouvertes contre B._, C._ et A._ en raison de la prescription de l'action pénale. Il a précisé que cette issue se serait également imposée en vertu des conclusions des deux experts qui écartaient un manquement aux règles de l'art. Les frais de procédure - à l'exclusion de ceux relatifs aux rapports d'expertise des 24 novembre 2005, 8 mai et 2 juin 2006 -, soit 30'849.15 fr., ainsi que les dépenses obligatoires des parties plaignantes (à fixer ultérieurement) ont été mis à charge des trois docteurs, à raison d'un tiers chacun.
B.
Le 23 mai 2012, le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan a admis les recours formés par A._, C._ et B._. Il a modifié l'ordonnance de classement en ce sens que tous les frais de procédure, à hauteur de 36'543.90 fr., étaient mis à charge de l'État du Valais et que les hoirs de D._ n'avaient pas droit à une indemnité pour les dépenses obligatoires causées par la procédure. Le Procureur a été enjoint de statuer sur l'indemnité pour les frais occasionnés par l'exercice raisonnable des droits de procédure des trois médecins.
C.
Par mémoire du 25 juin 2012, le Ministère public de l'Office régional du Bas-Valais forme un recours en matière pénale contre cette décision, concluant à son annulation et au renvoi du dossier à la Chambre pénale pour nouvelle décision.
Invités à se déterminer, le Juge unique s'est référé aux considérants de son ordonnance, tandis que les hoirs de D._ s'en sont remis à justice. A._ et C._ ont conclu, principalement, à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet. Quant à B._, il conclut au rejet.
Considérant en droit:
1.
1.1. La décision attaquée concerne les frais d'une procédure pénale, de sorte que le recours en matière pénale au sens de l'art. 78 LTF est ouvert. L'arrêt attaqué met fin à la procédure s'agissant de l'attribution des frais et renvoie le dossier au Procureur afin qu'il statue sur le montant de l'indemnité à laquelle les trois médecins peuvent prétendre pour leurs frais de défense. Dès lors que la question des frais de procédure est indépendante de celle relative à la fixation de l'indemnité, il s'agit d'une décision partielle (art. 91 let. a LTF), qui peut et doit faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral (ATF 137 IV 137 consid. 2.2 p. 138 s.). La décision contestée émane en outre d'une autorité cantonale de dernière instance (art. 80 LTF). Enfin, le Ministère public a agi en temps utile (art. 100 al. 1 LTF).
1.2. Selon l'art. 81 al. 1 LTF, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, soit en particulier l'accusateur public (let. b ch. 3).
1.2.1. La personne visée par l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF est la personne ou l'autorité qui est chargée, en qualité de partie, de défendre l'intérêt public devant le juge pénal cantonal de dernière instance (ATF 131 IV 142 consid. 1 p. 143 s.). Avant l'entrée en vigueur de la LTF, le Tribunal fédéral avait jugé qu'en Valais seul le procureur général avait qualité pour interjeter un pourvoi en nullité en tant qu'accusateur public (ATF 131 IV 142). Si une réforme législative de l'art. 15 de l'ancienne loi cantonale sur l'organisation de la justice a habilité dès le 1er juillet 2007 les procureurs des offices régionaux à recourir en matière pénale au Tribunal fédéral, celui-ci a laissé la question indécise dès lors qu'à ce jour, les mémoires de recours ont été contresignés par le procureur général valaisan (arrêts du Tribunal fédéral 1B_169/2009 du 6 juillet 2009 consid. 1 et 6B_664/2008 du 27 avril 2009 consid. 1.1).
Le Ministère public valaisan est constitué d'un office central dont le siège est à Sion, et de trois offices régionaux dont les sièges sont respectivement à Viège, Sion et St-Maurice (art. 23 al. 2 de la Loi valaisanne d'organisation de la justice du 11 février 2009 [LOJ; RS/VS 173.1] en vigueur depuis le 1er janvier 2011). L'office central est dirigé par le procureur général et chaque office régional par un premier procureur (art. 23 al. 3 LOJ). Selon l'art. 40 al. 1 de la Loi valaisanne d'application du code de procédure pénale du 11 février 2009 (LACPP; RS/VS 312.0), entrée également en vigueur au 1er janvier 2011, le premier procureur ou le procureur qui a procédé en première instance a qualité pour interjeter recours. Quant au procureur général, il a toujours qualité, subsidiairement, pour interjeter recours (art. 40 al. 3 LACPP).
1.2.2. En l'espèce, le Procureur, s'il appartient effectivement à l'Office régional du Bas-Valais, n'est pas le premier procureur de cet office. Sa qualité pour recourir ne peut donc résulter que de l'art. 40 al. 1 in fine LACPP. Or, cette disposition prévoit une condition supplémentaire, soit la participation à la procédure de première instance. Si le Procureur a effectivement mené l'instruction de la présente cause, tout d'abord en tant que Juge d'instruction, puis comme Procureur, il n'a pas eu à soutenir l'accusation devant une autorité de jugement, ayant clôturé la procédure par une ordonnance de classement (art. 319 ss CPP). On peut se demander si une telle procédure ne pourrait pas s'apparenter à une procédure de première instance au sens des art. 328 ss CPP. Cependant, cette question peut rester indécise car, supposé recevable, le recours devrait être rejeté sur le fond.
Pour cette même raison, il n'y a pas lieu de déterminer si l'accusateur public est légitimé selon l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF à recourir sur la seule question de l'attribution des frais de procédure et si sa conclusion tendant uniquement au renvoi de la cause à l'instance précédente, sans conclusion réformatoire, est recevable.
2.
Le Ministère public se plaint d'une violation de l'art. 426 al. 2 CPP, reprochant à la juridiction cantonale d'avoir "ramen[é] à quelques manquements les insuffisances avérées et graves" des intimés. Il soutient que, si certes les trois médecins peuvent être exonérés du grief de manquement aux règles de l'art et donc d'une responsabilité pénale, ils n'ont pas rempli à totale satisfaction leur mandat de soins, violant ainsi de manière fautive les obligations découlant de l'art. 398 al. 2 CO.
2.1. Selon l'art. 426 al. 2 CPP, lorsque la procédure fait l'objet d'une ordonnance de classement ou que le prévenu est acquitté, tout ou une partie des frais de procédure peuvent être mis à sa charge s'il a, de manière illicite et fautive, provoqué l'ouverture de la procédure ou rendu plus difficile la conduite de celle-ci.
2.1.1. La condamnation d'un prévenu acquitté à supporter tout ou partie des frais doit respecter la présomption d'innocence, consacrée par les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH. Ce principe interdit de rendre une décision défavorable au prévenu libéré en laissant entendre que ce dernier serait néanmoins coupable des infractions qui lui étaient reprochées. Une condamnation aux frais n'est ainsi admissible que si le prévenu a provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui ou s'il en a entravé le cours. A cet égard, seul un comportement fautif et contraire à une règle juridique, qui soit en relation de causalité avec les frais imputés, entre en ligne de compte (ATF 119 Ia 332 consid. 1b p. 334; 116 Ia 162 consid. 2c p. 168).
Pour déterminer si le comportement en cause est propre à justifier l'imputation des frais, le juge peut prendre en considération toute norme de comportement écrite ou non écrite résultant de l'ordre juridique suisse pris dans son ensemble, dans le sens d'une application par analogie des principes découlant de l'art. 41 CO (ATF 119 Ia 332 consid. 1b p. 334; 116 Ia 162 consid. 2c p. 169). Le fait reproché doit constituer une violation claire de la norme de comportement (ATF 119 Ia 332 consid. 1b p. 334; 116 Ia 162 consid. 2d p. 171). L'acte répréhensible ne doit pas nécessairement être commis intentionnellement. La négligence suffit, sans qu'il soit besoin qu'elle soit grossière (ATF 109 Ia 160 consid. 4a p. 163 s.). L'acte répréhensible doit en outre se trouver dans une relation de causalité adéquate avec l'ouverture de l'enquête ou les obstacles mis à celle-ci. Tel est notamment le cas lorsque le comportement du prévenu, violant clairement des prescriptions écrites cantonales, était propre à faire naître, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le soupçon d'un comportement punissable justifiant l'ouverture d'une enquête pénale (ATF 116 Ia 162 consid. 2c p. 170). Enfin, une condamnation aux frais ne peut se justifier que si, en raison du comportement illicite du prévenu, l'autorité était légitimement en droit d'ouvrir une enquête. Elle est en tout cas exclue lorsque l'autorité est intervenue par excès de zèle, ensuite d'une mauvaise analyse de la situation ou par précipitation (ATF 116 Ia 162 consid. 2c p. 171).
Sur la base des principes précités, la jurisprudence a régulièrement admis qu'un comportement contraire à une autre disposition légale que celles du Code pénal peut, sans violation de la présomption d'innocence, être retenu pour justifier la mise à charge des frais, respectivement le refus d'indemnité, même si l'action pénale pour l'infraction correspondante n'a pas abouti à une condamnation (cf. arrêts du Tribunal fédéral 6B_331/2012 du 22 octobre 2012 consid. 2.6; 6B_143/2010 du 22 juin 2010 consid. 3.1; 1P.584/2006 du 22 décembre 2006 consid. 9.3; 1P.543/2001 du 1er mars 2002 consid. 1.2).
2.2. En sa qualité de mandataire, le médecin répond de la bonne et fidèle exécution du mandat (art. 398 al. 2 CO). Il doit accomplir tous les actes qui, selon les règles de l'art médical, paraissent appropriés au but du traitement. Dans l'exécution de sa mission, le médecin doit mettre à disposition ses connaissances et ses capacités; il ne garantit cependant pas d'obtenir un résultat. Comme pour tout mandataire, l'étendue de son devoir doit être déterminée selon des critères objectifs. Les exigences dépendent des particularités de chaque cas, telles que la nature de l'intervention ou du traitement et les risques qu'ils comportent, la marge d'appréciation, le temps et les moyens disponibles, la formation et les capacités du praticien. Le médecin doit observer les règles de l'art médical, soit les principes établis par la science médicale, généralement reconnus et admis, communément suivis et appliqués dans sa profession. Savoir si le médecin a violé son devoir de diligence est une question de droit; établir s'il existe une règle professionnelle communément admise, quel était l'état du patient et comment l'acte médical s'est déroulé relèvent du fait (ATF 133 III 121 consid. 3.1 p. 124; arrêt du Tribunal fédéral 4A_696/2012 du 19 février 2013 consid. 2).
2.3. En l'espèce, le Procureur a classé la procédure en raison de la prescription de l'action pénale. Il a cependant expliqué de manière détaillée dans l'ordonnance de classement qu'une telle issue se serait également imposée au vu des conclusions du professeur G._ et du docteur F._, qui écartaient un manquement aux règles de l'art, soit un comportement qui relèverait de l'homicide par négligence. Il ressort de l'ordonnance que le premier expert fondait ses conclusions sur la nature fluctuante des symptômes - somatiques et psychiatriques -, sur le fait que les deux neurologues n'avaient examiné le patient qu'à une seule reprise, respectivement deux pour B._, et qu'ils ne disposaient que de renseignements incomplets tant sur l'évolution de la victime que sur les examens subis par celle-ci. Quant au docteur F._, il expliquait que les médecins de l'hôpital X._, dont A._ faisait partie, n'avaient aucune raison d'envisager une méningite, de remettre en cause leur diagnostic psychiatrique corroboré par de nombreuses autres manifestations somatiques ou de craindre une dangerosité physique pour leur patient.
Le Procureur a toutefois estimé, en se fondant sur ces mêmes rapports d'expertise, que les intimés avaient violé les obligations résultant de l'art. 398 al. 2 CO, notamment en omettant d'envisager le diagnostic de méningite au regard des symptômes du patient, et qu'ils avaient ainsi provoqué l'ouverture de la procédure pénale. Il se justifiait donc de mettre les frais de celle-ci à leur charge. Dans son recours, le Ministère public persiste dans cette position, déclarant en particulier qu'il "tombe sous le sens, que si la méningite de D._ avait été détectée, il n'aurait pas été admis à X._, n'aurait pas pris de bain et ne serait pas mort noyé". Ce faisant, le Procureur laisse sous-entendre que ces événements ne se seraient pas enchaînés si les trois médecins avaient su reconnaître les symptômes de la méningite et pris les mesures nécessaires. Or, les experts ont expliqué pourquoi tel n'avait pas été le cas en l'espèce, excluant en conséquence toute violation des règles de l'art par les intimés. Dans ces circonstances, le raisonnement du Procureur viole le principe de présomption d'innocence.
La cour cantonale a retenu avec raison que l'ouverture de la procédure contre les intimés ne résultait pas des rapports d'expertise du docteur F._ et du professeur G._. En effet, c'était la noyade de D._ dans des circonstances inhabituelles et le séquestre des dossiers médicaux qui avaient conduit à l'ouverture d'une instruction pénale. Si celle-ci avait été par la suite dirigée contre les trois médecins intimés, c'était uniquement en raison des conclusions retenues par l'IUML. Or, la Chambre pénale a rappelé qu'elle avait constaté dans sa décision du 13 juin 2007 que les différents rapports de cet institut avaient été effectués en violation des droits de la défense, notamment sans la participation de celle-ci et sans l'audition, pourtant nécessaire, des nombreux autres médecins intervenus dans cette affaire. Ces vices avaient été corrigés préalablement à la réalisation des expertises du docteur F._ et du professeur G._ qui bénéficiaient donc d'une connaissance complète des circonstances au moment de prendre leurs conclusions. De ce point de vue également, l'arrêt attaqué ne prête pas le flanc à la critique.
3.
En conséquence, le recours intenté par le Ministère public de l'Office régional du Bas-Valais doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
3.1. Selon l'art. 66 al. 4 LTF, les cantons ne peuvent se voir imposer de frais judiciaires s'ils s'adressent au Tribunal fédéral dans l'exercice de leurs attributions officielles, sans que leur intérêt patrimonial soit en cause ou si leurs décisions font l'objet d'un recours. En l'occurrence, même si les intérêts patrimoniaux du canton sont en jeu, le Ministère public a recouru dans l'intérêt d'une application correcte de la loi. Il se justifie donc de ne pas percevoir de frais judiciaires. Les intimés, tous assistés d'un avocat et qui obtiennent gain de cause, ont chacun droit à des dépens à charge du canton du Valais (art. 68 al. 2 LTF).
3.2. Les hoirs de D._, assistés d'un avocat, n'ont pas pris de conclusion. Ils ne sauraient ainsi être assimilés à une partie qui succombe au sens des art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF puisque l'issue du présent recours ne change en rien leur situation. Il n'y a donc pas lieu de percevoir de frais judiciaires à leur charge, ni de leur allouer de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les indemnités de dépens suivantes sont mises à la charge du canton du Valais:
2.1. 2'000 fr. en faveur de A._;
2.2. 2'000 fr. en faveur de B._; et
2.3. 2'000 fr. en faveur de C._.
3.
Il n'est pas alloué de dépens aux hoirs de D._.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office régional du Ministère public du Bas-Valais, aux mandataires des intiméset des hoirs de D._, ainsi qu'au Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 25 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf