Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1953) und Y._ (geb. 1968) haben am 16. Dezember 2005 geheiratet. Sie sind die Eltern der Tochter Z._ (geb. 2006).
B. B.a Im Herbst 2009 wurde gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen Verdachts sexueller Handlungen mit seiner Tochter sowie wegen verbotener Pornographie eingeleitet. Am 21. September 2009 wies das Verhöramt Obwalden den Vater aus der ehelichen Wohnung und verbot ihm deren Betreten bis zum 1. Oktober 2009. Mit Eingabe vom 24. September 2009 beantragte Y._ beim Kantonsgerichtspräsidium Obwalden die superprovisorische Bestätigung und Aufrechterhaltung der Wegweisung und des Betretungsverbots. Zugleich stellte sie ein Eheschutzgesuch und ersuchte um Regelung des Getrenntlebens.
B.b Der Kantonsgerichtspräsident II des Kantonsgerichts Obwalden entsprach dem superprovisorischen Massnahmegesuch am 2. Oktober 2009. Mit Verfügung vom 14. Juni 2010 fällte er den Eheschutzentscheid. Er stellte Z._ unter die Obhut von Y._, räumte dem Vater ein begleitetes Besuchsrecht ohne Übernachtungen und ohne Ferienrecht ein und errichtete zu diesem Zweck eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Weiter wurde X._ zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen verurteilt. Für Z._ belaufen sich diese auf Fr. 900.-- ab Oktober 2009 (Ziff. 5.1 der Verfügung); für Y._ auf Fr. 676.-- von Oktober bis Dezember 2009, auf Fr. 253.-- von Januar bis Juli 2010 und auf Fr. 541.-- ab August 2010 (Ziff. 5.2).
C. X._ rekurrierte gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 23. August 2010. Er verlangte, Ziff. 5.1. und 5.2 der Verfügung des Kantonsgerichtspräsidenten II (Bst. B.b) seien dahingehend abzuändern, dass er den Unterhaltsbeitrag für Z._ von Fr. 900.-- lediglich von Oktober 2009 bis April 2010 und denjenigen für Y._ überhaupt nicht zu bezahlen habe. Das Obergericht des Kantons Obwalden wies den Rekurs ab und bestätigte die Verfügung des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 14. Juni 2010 (Entscheid vom 12. April 2011).
D. D.a Hierauf gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 12. April 2011 aufzuheben. Er habe den monatlichen, vorauszahlbaren und ab Verfall zu 5 % verzinslichen Unterhaltsbeitrag für Z._ von Fr. 900.-- (zuzüglich Kinderzulagen) lediglich von Oktober 2009 bis April 2010 zu bezahlen und seiner Tochter ab Mai 2010 keine Unterhaltsbeiträge mehr auszurichten. Der Unterhaltsbeitrag für Y._ (fortan "Beschwerdegegnerin") sei für die Zeit von Oktober bis Dezember 2009 auf Fr. 676.-- und für die Zeit von Januar bis April 2010 auf Fr. 253.-- festzusetzen; ab Mai 2010 seien auch der Beschwerdegegnerin keine Unterhaltsbeiträge mehr geschuldet. Eventualiter ersucht der Beschwerdeführer darum, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.b Das Obergericht des Kantons Obwalden hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin beantragt dessen Abweisung. Ferner ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 23. Juni 2011 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung; über das Rechtspflegegesuch der Besuchsgegnerin werde später entschieden werden.
D.c In der Hauptsache wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) betrifft die Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen. Sie ist vermögensrechtlicher Natur und übersteigt die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG). Auf das Rechtsmittel ist somit einzutreten.
1.2 Nach der Rechtsprechung gelten Eheschutzentscheide als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). In der Beschwerde kann deshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Art. 95 und Art. 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG gelangen nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen mithin denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588).
1.3 Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich daher nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.). Dies ist nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2. 2.1 Die vorliegende Streitigkeit dreht sich um die Bemessung des Einkommens des Beschwerdeführers ab Mai 2010. Dem angefochtenen Entscheid zufolge ist der Beschwerdeführer seit dem 22. Mai 2010 für den Verein A._ in Wien als Schiffsführer mit einschlägiger Fachausbildung auf dem Jugendschiff "B._" tätig. Er erzielt ein monatliches Nettoeinkommen von rund EUR 1'500.--. Die Vorinstanz rechnet ihm ab Mai weiterhin ein Einkommen in der Höhe des von ihm bis Ende April in der Schweiz bezogenen Krankentaggeldes von Fr. 4'750.-- an. Sie geht davon aus, eine allfällige Arbeitslosenentschädigung würde in etwa gleich hoch ausfallen, und hält dem Beschwerdeführer vor, es wäre ihm möglich und zumutbar gewesen, in der Schweiz zu bleiben und eine besser bezahlte Erwerbstätigkeit anzunehmen bzw. durch den Bezug von Arbeitslosengeldern ein höheres Einkommen zu erzielen. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe damit das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV verletzt.
2.2 Als "vollkommen realitätsfremd" geisselt der Beschwerdeführer die Annahme der Vorinstanz, er wäre aufgrund seiner Berufserfahrung in anderen Tätigkeitsgebieten und seiner zusätzlichen Ausbildungen in der Lage, in einem anderen Berufsfeld eine Stelle zu finden.
2.2.1 Das Obergericht stellt fest, der Beschwerdeführer sei gemäss eigenen Angaben ausgebildeter KFZ-Mechaniker und Psychiatriepfleger und habe auch schon im Bereich der Suchtprävention sowie in der Altenpflege gearbeitet. Ein Berufswechsel sei zumutbar, weil damit ein erhebliches Mehreinkommen verbunden wäre. Es sei anzunehmen, dass der Vorteil der breiten und langjährigen Berufserfahrung des Beschwerdeführers die Nachteile seines fortgeschrittenen Alters und der eher schlechten Arbeitsmarktlage in etwa auszugleichen vermöge und er in der Lage wäre, eine Arbeitsstelle in einem anderen Tätigkeitsgebiet als der Jugendsozialarbeit zu finden. Auch das laufende Strafverfahren falle bei der Stellensuche in anderen Branchen weniger ins Gewicht. In Anbetracht der höheren Löhne in der Schweiz könne davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer auch bei Ausübung einer nach schweizerischen Massstäben weniger gut bezahlten Arbeit immer noch erheblich mehr verdienen würde als mit seiner derzeitigen Tätigkeit. Aufgrund seiner früheren mehrfachen Berufswechsel sei ihm auch ein erneuter Wechsel zumutbar. Trotz der eher bescheidenen Erwerbsaussichten in der Jugendsozialarbeit erscheine es für den Beschwerdeführer grundsätzlich möglich und im Hinblick auf ein erheblich höheres erzielbares Einkommen auch zumutbar, einer Erwerbstätigkeit in der Schweiz nachzugehen.
2.2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen vorträgt, vermag den angefochtenen Entscheid nicht als geradezu unhaltbar auszuweisen. Der Beschwerdeführer begnügt sich grösstenteils damit, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern, blosse Behauptungen aufzustellen und das Gegenteil von dem zu behaupten, was das Obergericht festgestellt und erwogen hat. Dies gilt insbesondere für seinen Standpunkt, er könne trotz seiner weiteren Berufserfahrung kaum damit rechnen, in einem anderen Tätigkeitsgebiet eine Anstellung zu finden. Selbst wenn sich das hängige Strafverfahren ungünstig auf seine Chancen auf dem Arbeitsmarkt auswirkt und er seine weiteren Berufskenntnisse schon vor längerer Zeit erworben hat, ist der Beschwerdeführer damit immer noch besser gestellt als jemand, der nur über eine einzige Berufsausbildung verfügt und trotzdem vor einem Berufswechsel steht. Auch mit der Feststellung, dass eine Weiterbeschäftigung im angestammten Bereich der Jugendsozialarbeit nicht geradezu unmöglich sei, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Die Willkürbeschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als unbegründet.
2.2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen vorträgt, vermag den angefochtenen Entscheid nicht als geradezu unhaltbar auszuweisen. Der Beschwerdeführer begnügt sich grösstenteils damit, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern, blosse Behauptungen aufzustellen und das Gegenteil von dem zu behaupten, was das Obergericht festgestellt und erwogen hat. Dies gilt insbesondere für seinen Standpunkt, er könne trotz seiner weiteren Berufserfahrung kaum damit rechnen, in einem anderen Tätigkeitsgebiet eine Anstellung zu finden. Selbst wenn sich das hängige Strafverfahren ungünstig auf seine Chancen auf dem Arbeitsmarkt auswirkt und er seine weiteren Berufskenntnisse schon vor längerer Zeit erworben hat, ist der Beschwerdeführer damit immer noch besser gestellt als jemand, der nur über eine einzige Berufsausbildung verfügt und trotzdem vor einem Berufswechsel steht. Auch mit der Feststellung, dass eine Weiterbeschäftigung im angestammten Bereich der Jugendsozialarbeit nicht geradezu unmöglich sei, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Die Willkürbeschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als unbegründet.
2.3 2.3.1 Den Vorwurf der Willkür erhebt der Beschwerdeführer auch gegen die Annahme der Vorinstanz, es bliebe ihm immer noch die Möglichkeit, die fehlenden Einkünfte durch den Bezug von Sozialversicherungsleistungen erhältlich zu machen, falls er in der Schweiz keine Anstellung finden sollte. Dass er durch den Antritt der Stelle in Wien seinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung verwirkt haben soll, ist seiner Meinung nach irrelevant. Ein hypothetisches Einkommen dürfe ihm nach der Rechtsprechung nur dann angerechnet werden, wenn er die Einkommensverminderung auch tatsächlich wieder rückgängig machen kann. In Anbetracht der Rechtslage und unter Berücksichtigung einer angemessenen Übergangsfrist sei die effektive Möglichkeit, ab 1. Mai 2010 Arbeitslosenentschädigung zu beziehen, jedoch ausgeschlossen gewesen.
2.3.2 Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss kommen, dass es dem Beschwerdeführer tatsächlich möglich und im Hinblick auf ein höheres erzielbares Einkommen auch zumutbar sei, einer Erwerbstätigkeit in der Schweiz nachzugehen und damit erheblich mehr Geld zu verdienen als in seiner gegenwärtigen Anstellung in Wien (E. 2.2.1 und 2.2.2). Zur Frage, in welcher Höhe dem Beschwerdeführer dieses hypothetische Erwerbseinkommen tatsächlich anzurechnen ist, äussert sich der angefochtene Entscheid nicht. Das Obergericht begnügt sich mit dem Hinweis, eine allfällige Arbeitslosenentschädigung würde ungefähr den zuvor bezogenen Krankentaggeldern entsprechen (s. E. 2.1). Es anerkennt zwar, dass der Beschwerdeführer seinen Anspruch durch den Antritt der Arbeitsstelle im Ausland verwirkt hat, wirft ihm jedoch vor, anstatt zunächst in der Schweiz eine Arbeitsstelle zu suchen und währenddessen Arbeitslosengeld zu beziehen, habe er voreilig das erste Arbeitsangebot aus dem Ausland angenommen und damit verschuldetermassen auf die Einkünfte aus der Arbeitslosenversicherung verzichtet. Diese Vorgehensweise ist sogar unter dem Blickwinkel von Art. 9 BV nicht über jeden Zweifel erhaben. Zwar hat das Bundesgericht in einem neueren Urteil erkannt, dass ein Ehegatte die Folgen versäumter Arbeitslosenentschädigungen selbst zu tragen hat, wenn er freiwillig auf Einkünfte verzichtet, die ihm zustehen. Wie der Beschwerdeführer zu Recht bemerkt, ging es in diesem Fall aber um rückwirkende Unterhaltsbeiträge für eine beschränkte und bereits abgeschlossene Zeitspanne. Das Bundesgericht hielt ausdrücklich fest, es liege eine Ausgangslage vor, auf welche die Rechtsprechung zur Anrechenbarkeit des hypothetischen Einkommens gerade nicht anwendbar sei (Urteil 5A_795/2008 vom 2. März 2010 E. 4.5). In einem weiteren Entscheid hat das Bundesgericht für Recht befunden, das hypothetisch erzielbare Erwerbseinkommen dürfe nicht in abstrakter Weise nach den Taggeldern bemessen werden, die der Unterhaltsschuldner während seiner Krankheit bezogen hat; vielmehr sei anhand konkreter tatsächlicher Feststellungen zu ermitteln, welche Tätigkeit der Unterhaltsschuldner aufgrund seines Alters und seiner Qualifikationen anstatt seines angestammten Berufes ausüben und welches Einkommen er in dieser neuen Tätigkeit unter Berücksichtigung des Arbeitsmarktes erzielen kann (Urteil 5A_736/2008 vom 30. März 2009 E. 4.2). Bei alledem ist freilich zu beachten, dass eine Verletzung von Art. 9 BV nur dann vorliegt, wenn der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist (E. 1.3). Dass der Betrag von Fr. 4'750.--, den ihm das Obergericht angerechnet hat, in willkürlicher Weise die Höhe der Einkünfte überschreitet, die er durch den Einsatz seiner Arbeitskraft in der Schweiz zu erzielen imstande wäre, vermag der Beschwerdeführer jedoch nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Weise darzutun: Die blosse Behauptung, er würde in der Schweiz "mit Bestimmtheit" kein Einkommen in dieser Höhe erzielen, genügt nicht.
2.3.2 Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss kommen, dass es dem Beschwerdeführer tatsächlich möglich und im Hinblick auf ein höheres erzielbares Einkommen auch zumutbar sei, einer Erwerbstätigkeit in der Schweiz nachzugehen und damit erheblich mehr Geld zu verdienen als in seiner gegenwärtigen Anstellung in Wien (E. 2.2.1 und 2.2.2). Zur Frage, in welcher Höhe dem Beschwerdeführer dieses hypothetische Erwerbseinkommen tatsächlich anzurechnen ist, äussert sich der angefochtene Entscheid nicht. Das Obergericht begnügt sich mit dem Hinweis, eine allfällige Arbeitslosenentschädigung würde ungefähr den zuvor bezogenen Krankentaggeldern entsprechen (s. E. 2.1). Es anerkennt zwar, dass der Beschwerdeführer seinen Anspruch durch den Antritt der Arbeitsstelle im Ausland verwirkt hat, wirft ihm jedoch vor, anstatt zunächst in der Schweiz eine Arbeitsstelle zu suchen und währenddessen Arbeitslosengeld zu beziehen, habe er voreilig das erste Arbeitsangebot aus dem Ausland angenommen und damit verschuldetermassen auf die Einkünfte aus der Arbeitslosenversicherung verzichtet. Diese Vorgehensweise ist sogar unter dem Blickwinkel von Art. 9 BV nicht über jeden Zweifel erhaben. Zwar hat das Bundesgericht in einem neueren Urteil erkannt, dass ein Ehegatte die Folgen versäumter Arbeitslosenentschädigungen selbst zu tragen hat, wenn er freiwillig auf Einkünfte verzichtet, die ihm zustehen. Wie der Beschwerdeführer zu Recht bemerkt, ging es in diesem Fall aber um rückwirkende Unterhaltsbeiträge für eine beschränkte und bereits abgeschlossene Zeitspanne. Das Bundesgericht hielt ausdrücklich fest, es liege eine Ausgangslage vor, auf welche die Rechtsprechung zur Anrechenbarkeit des hypothetischen Einkommens gerade nicht anwendbar sei (Urteil 5A_795/2008 vom 2. März 2010 E. 4.5). In einem weiteren Entscheid hat das Bundesgericht für Recht befunden, das hypothetisch erzielbare Erwerbseinkommen dürfe nicht in abstrakter Weise nach den Taggeldern bemessen werden, die der Unterhaltsschuldner während seiner Krankheit bezogen hat; vielmehr sei anhand konkreter tatsächlicher Feststellungen zu ermitteln, welche Tätigkeit der Unterhaltsschuldner aufgrund seines Alters und seiner Qualifikationen anstatt seines angestammten Berufes ausüben und welches Einkommen er in dieser neuen Tätigkeit unter Berücksichtigung des Arbeitsmarktes erzielen kann (Urteil 5A_736/2008 vom 30. März 2009 E. 4.2). Bei alledem ist freilich zu beachten, dass eine Verletzung von Art. 9 BV nur dann vorliegt, wenn der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist (E. 1.3). Dass der Betrag von Fr. 4'750.--, den ihm das Obergericht angerechnet hat, in willkürlicher Weise die Höhe der Einkünfte überschreitet, die er durch den Einsatz seiner Arbeitskraft in der Schweiz zu erzielen imstande wäre, vermag der Beschwerdeführer jedoch nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Weise darzutun: Die blosse Behauptung, er würde in der Schweiz "mit Bestimmtheit" kein Einkommen in dieser Höhe erzielen, genügt nicht.
2.4 2.4.1 Unzutreffend ist in den Augen des Beschwerdeführers auch, dass keine persönlichen, familiären oder gesundheitlichen Gründe für eine Arbeitstätigkeit im Ausland sprechen würden. Der Beschwerdeführer verweist auf sein psychisches Wohlergehen, dem die Erwerbstätigkeit in Wien förderlich sei. Schleierhaft sei auch, weshalb die Vorinstanz in diesem Zusammenhang die Tatsache, dass er seine Wohnung in der Schweiz behalten hat, zu seinen Lasten wertet; er benötige die Wohnung zur Ausübung des Besuchsrechts. Schliesslich stelle die Vorinstanz den beruflichen Nutzen seiner derzeitigen Tätigkeit mit der Begründung in Frage, dass eine Verurteilung im Strafverfahren schwerer wiegen dürfte als die zusätzliche Berufserfahrung. Darin liege ein unzulässiger Verstoss gegen die Unschuldsvermutung.
2.4.2 Schon in seiner Rekursschrift an die Vorinstanz machte der Beschwerdeführer geltend, es stehe ihm "nach all dem Erlebten eine räumliche Distanz" zu. Offensichtlich spinnt er diese Argumentation nun vor Bundesgericht weiter und befleissigt sich aufzuzeigen, dass die Vorinstanz seinen Gesundheitszustand als rechtserheblichen Umstand ausser Acht gelassen hat. Allein mit seinen Befindlichkeiten vermag der Beschwerdeführer seinen Wegzug ins Ausland und die damit verbundene Einkommenseinbusse aber nicht zu rechtfertigen. Zwar mag es zutreffen, dass er seine Schweizer Wohnung primär zur Ausübung des Besuchsrechts behalten hat. Ob sich damit auch sein Lebensmittelpunkt nach wie vor in der Schweiz befindet, kann dahingestellt bleiben. Der Umstand, dass er in unmittelbarer Nähe zu seinem früheren Wohnort eine Wohnung unterhält, lässt eine "räumliche Distanz" jedenfalls im beanspruchten Umfang nicht als geradezu unabdingbar erscheinen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers gibt der angefochtene Entscheid auch nicht zur Befürchtung Anlass, die Vorinstanz gehe implizit von einem Schuldspruch im hängigen Strafverfahren aus. Der Beschwerdeführer unterschlägt in seinem Schriftsatz, dass das Obergericht den beruflichen Nutzen der neuen Stelle in Österreich ausdrücklich mit einer "allfälligen" Verurteilung im Strafverfahren relativiert. Gerade mit dieser Ausdrucksweise lässt das Obergericht den Ausgang des hängigen Strafverfahrens aber offen. Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
2.5 Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich, das Obergericht habe ihm das hypothetische Einkommen bereits ab Mai 2010 angerechnet, ohne ihm eine angemessene Übergangsfrist einzuräumen.
2.5.1 Nach der Rechtsprechung ist ein Ehegatte nur unter der Voraussetzung unterhaltspflichtig, dass er leistungsfähig ist; dies ist er aber nicht nur dann, wenn er ein Einkommen hat, sondern auch, wenn er bei gutem Willen ein solches haben könnte (BGE 110 II 116 E. 2a S. 117). Bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen darf daher von einem hypothetischen Einkommen ausgegangen werden, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben (BGE 128 III 4 E. 4a S. 5 mit Hinweisen). Bejaht der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit und verlangt er von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse, so hat er ihr nach der Rechtsprechung grundsätzlich auch hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen (BGE 129 III 417 E. 2.2 S. 421; 114 II 13 E. 5 S. 17). Anders verhält es sich demgegenüber, wenn der Unterhaltsschuldner - wie hier - schon bis anhin einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen ist und seine vorbestehende Unterhaltspflicht erfüllt hat. Denn in diesem Fall bedarf es keiner Übergangs- oder Anpassungsfrist, damit der Schuldner eine Erwerbstätigkeit aufnehmen oder ausweiten und hierzu seine Lebensverhältnisse umstellen kann. Vielmehr muss dieser alles in seiner Macht stehende tun und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit weiterhin voll ausschöpfen, um seiner Unterhaltspflicht nachzukommen. Begnügt sich der Unterhaltspflichtige selbst bei einem unfreiwilligen Stellenwechsel wissentlich mit einer nur ungenügend einträglichen Erwerbstätigkeit, so hat er sich anrechnen zu lassen, was er unter den gegebenen Umständen zu erwirtschaften vermöchte.
2.5.2 Das Obergericht stellt fest, der Beschwerdeführer habe keiner Umstellungsfrist bedurft. Es gehe nicht darum, ihn zur Aufnahme oder Ausdehnung seiner Erwerbstätigkeit zu verpflichten, denn er sei bereits erwerbstätig gewesen. Sein Arbeitsverhältnis sei auf Ende April 2010 aufgelöst worden. Von diesem Zeitpunkt an hätte er Arbeitslosenentschädigung beziehen und so die erforderlichen Einkünfte ohne grossen Aufwand erhältlich machen können. Zudem habe der Beschwerdeführer mit den Krankentaggeldern bereits in den Monaten zuvor Sozialversicherungsleistungen bezogen. Das Obergericht kommt zum Schluss, eine Umstellung seiner Lebensverhältnisse sei nicht notwendig gewesen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erkenntnissen nicht in einer Weise auseinander, die den strengen Anforderungen des Rügeprinzips (E. 1.3) genügt. Insbesondere übersieht er, dass das Obergericht von ihm weder eine Aufnahme bzw. Ausdehnung seiner Erwerbstätigkeit noch eine Umstellung seiner Lebensverhältnisse fordert und ihm aus diesem Grund keine Übergangsfrist einräumt. Wenn nun der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift trotzdem darzutun versucht, weshalb ihm zur Steigerung seiner wirtschaftlichen Leistungskraft eine angemessene Übergangsfrist zu gewähren sei, gehen seine Ausführungen an der Sache vorbei. Schliesslich wusste der Beschwerdeführer bereits lange vor dem Antritt der Stelle in Wien, dass er unterhaltspflichtig ist. Entsprechend musste ihm auch bewusst sein, dass er mit dem in Wien erzielten Monatseinkommen von (netto) EUR 1'500.-- seinen Unterhaltspflichten in der Schweiz nicht wird nachkommen können. Er kann sich deshalb nicht darauf berufen, dass er die geforderte Einkommenssteigerung nicht habe voraussehen können.
2.5.3 Dem angefochtenen Entscheid zufolge soll der Beschwerdeführer überdies "praktisch" auf die ihm zustehenden Einkünfte aus der Arbeitslosenversicherung verzichtet haben, weil er sich nicht rechtzeitig über die Anspruchsvoraussetzungen informierte. Das Obergericht erwägt, bei dieser Sachlage könne sich der Beschwerdeführer "ohnehin" nicht auf den Grundsatz berufen, wonach eine Umstellungsfrist zu gewähren ist und ein hypothetisches Einkommen nicht rückwirkend angerechnet werden darf. Nach dem Gesagten gibt die Auffassung des Obergerichts, dass eine Umstellungsfrist im Fall des Beschwerdeführers nicht notwendig ist, unter dem Gesichtspunkt von Art. 9 BV keinen Grund zur Beanstandung (E. 2.5.2). Steht aber fest, dass der Beschwerdeführer von vornherein gar keiner Übergangsfrist bedurfte, so kann zumindest für den Ausgang dieses Verfahrens offenbleiben, ob das Obergericht dem Beschwerdeführer eine solche Umstellungsfrist mit dem blossen Hinweis hätte verweigern dürfen, er habe freiwillig auf die ihm zustehende Arbeitslosenentschädigung verzichtet (s. immerhin E. 2.3.2).
2.6 Im Ergebnis hält der vorinstanzliche Entscheid, dem Beschwerdeführer für die Zeit ab Mai 2010 ein hypothetisches Einkommen in der Höhe von Fr. 4'750.-- anzurechnen, vor dem Willkürverbot stand. Damit erübrigen sich Ausführungen zum weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers, er sei ab Mai 2010 von der Erfüllung seiner Unterhaltspflichten gegenüber seiner Tochter und der Beschwerdegegnerin zu befreien.
3. 3.1 Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu bezahlen (Art. 66 Abs. 1 BGG), wobei hinsichtlich des Verfahrens um Erteilung der aufschiebenden Wirkung keine Gerichtskosten ausgeschieden werden. Parteikosten sind der Beschwerdegegnerin keine zu ersetzen, denn diese hat sich lediglich zum Verfahrensantrag betreffend aufschiebende Wirkung geäussert, ist in diesem Punkt mit ihrem Antrag jedoch unterlegen.
3.2 Die Beschwerdegegnerin ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Nachdem sie vor Bundesgericht in der Hauptsache obsiegt und der Beschwerdeführer für die Gerichtsgebühr aufzukommen hat, wird ihr Gesuch insoweit gegenstandslos. An ihr haften bleiben lediglich die Kosten, die durch ihre Stellungnahme zum Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung entstanden sind.
Wie sich aus der Begründung der Präsidialverfügung vom 23. Juni 2011 ergibt, muss der Antrag um Nichterteilung der aufschiebenden Wirkung als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abgewiesen werden muss.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn