Faits:
A. A._ est paraplégique depuis vingt ans. Le 4 octobre 2008, il s'est rendu seul au cinéma V._, à Genève, pour assister à la projection d'un film qui ne figurait à l'affiche d'aucune autre salle genevoise. Le bâtiment abritant le cinéma, exploité par X._ Sàrl, n'est pas adapté aux personnes en fauteuil roulant; celles-ci ne peuvent ni accéder aux salles, ni en sortir sans l'aide de tiers. A._ s'est vu refuser l'accès au cinéma en vertu de directives de sécurité internes de la société exploitante. Il s'en est plaint auprès de cette dernière, sans succès.
B. Le 28 septembre 2009, A._ a ouvert action contre X._ Sàrl, concluant au paiement d'une indemnité de 5'000 fr. plus intérêts. Il considérait avoir subi une discrimination en se voyant refuser l'accès au cinéma. Dans le même acte, Integration Handicap, association venant en aide aux personnes handicapées, a demandé qu'il soit constaté que A._ avait été traité de façon discriminatoire et que l'interdiction faite par la société exploitante aux personnes avec un handicap physique d'accéder au cinéma constituait un traitement discriminatoire. Cette organisation fondait sa qualité pour agir sur l'art. 9 al. 1, 2 et 3 let. a LHand, ainsi que sur le ch. 6 de l'annexe 1 OHand.
X._ Sàrl a conclu au rejet de l'action de A._ et à l'irrecevabilité de l'action d'Integration Handicap faute de qualité pour agir, subsidiairement à son rejet.
Au cours de l'instruction, il a été procédé à un transport sur place. A cette occasion, A._ - qui pèse 80 kg - a fait la démonstration qu'avec l'aide de deux personnes, il pouvait entrer en fauteuil roulant - d'un poids d'environ 15 kg - dans la salle de cinéma et sortir par l'issue de secours.
Par jugement du 15 septembre 2011, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté l'action de A._ et, dans la mesure où elle était recevable, celle d'Integration Handicap.
A._ a déposé un recours (art. 319 CPC) alors que Integration Handicap s'est pourvue en appel (art. 308 CPC). Après avoir ordonné la division des causes, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours de A._ par arrêt du 11 mai 2012. Dans un arrêt du même jour, elle a rejeté l'appel de Integration Handicap et confirmé le jugement de première instance.
C. A._ interjette un recours en matière civile et, à titre subsidiaire, un recours constitutionnel. Il conclut à la condamnation de X._ Sàrl à lui payer la somme de 5'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 4 octobre 2008.
X._ Sàrl propose le rejet des recours en tant qu'ils sont recevables.
Integration Handicap a également déposé un recours en matière civile (cause 4A_367/1012). Dans l'arrêt rendu parallèlement dans cette affaire, la cour de céans nie que X._ Sàrl ait commis envers A._ une discrimination prohibée par l'art. 6 LHand.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 138 III 46 consid. 1, 471 consid. 1 p. 475; 137 III 417 consid. 1).
1.1 Selon l'art. 6 de la loi fédérale du 13 décembre 2002 sur l'élimination des inégalités frappant les personnes handicapées (LHand; RS 151.3), les particuliers qui fournissent des prestations au public ne doivent pas traiter une personne handicapée de façon discriminatoire du fait de son handicap. Toute personne qui subit une discrimination au sens de cette disposition peut demander au tribunal le versement d'une indemnité (art. 8 al. 3 LHand) d'un montant maximal de 5'000 fr. (art. 11 al. 2 LHand).
L'action du recourant porte sur le versement de cette indemnité à hauteur de 5'000 fr. La valeur litigieuse minimale requise pour la recevabilité du recours en matière civile n'est pas atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF). Invoquant l'art. 74 al. 2 let. a LTF, le recourant soutient que la contestation soulève une question juridique de principe et que le recours en matière civile est dès lors ouvert sans égard à la valeur litigieuse. A titre subsidiaire, il demande que son écriture soit traitée comme un recours constitutionnel.
Dans l'arrêt rendu sur le recours en matière civile de Integration Handicap - dont l'argumentation est identique à celle du recours examiné ici -, le grief tiré d'une violation de l'art. 6 LHand est rejeté; en outre, le moyen fondé sur la violation de la CEDH est écarté. Examinés dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire, le premier grief se révélerait irrecevable, le recourant ne se plaignant pas d'une application arbitraire du droit fédéral (cf. art. 116 LTF), et le second serait également rejeté. Quelle que soit la qualification du recours, le recourant ne peut donc obtenir gain de cause, de sorte que la question de la voie de droit ouverte en l'occurrence restera indécise.
1.2 Pour le reste, interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (cf. art. 76 al. 1 et art. 115 LTF) et dirigé contre une décision finale (art. 90 et art. 117 LTF) rendue par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75, art. 113 et art. 114 LTF), le recours est recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
2. Invoquant l'art. 97 al. 1 LTF, le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte.
2.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Une décision n'est annulée pour arbitraire (art. 9 Cst.) que lorsqu'elle est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Par ailleurs, il ne suffit pas qu'une autre solution soit concevable, voire préférable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.2 Selon les constatations de la cour cantonale, la manipulation de la chaise roulante occupée par A._, d'une charge totale de 100 kg, "ne semble pas aisée, en particulier lorsqu'il s'agit de gravir plusieurs marches d'escalier." Le recourant critique cette conclusion en se référant aux procès-verbaux dressés en première instance. D'après lui, la manoeuvre est à la portée de n'importe quelle personne capable de suivre ses instructions; il en veut pour preuve la démonstration faite lors du transport sur place, un homme sans force particulière et une femme atteinte d'une hernie discale ayant réussi à lui faire monter les escaliers.
Le recourant joue quelque peu sur les mots. La Chambre civile n'a pas constaté que la manoeuvre était impossible ou particulièrement difficile, mais uniquement qu'elle n'était pas aisée. Or, il n'y a rien d'insoutenable à retenir que faire monter un escalier à une personne en fauteuil roulant, d'un poids total de 100 kg, n'est pas chose aisée, en tout cas pour des accompagnateurs non habitués à cette tâche.
Comme on le verra par la suite, la question n'est toutefois pas déterminante pour l'issue du litige, de sorte qu'une rectification de l'état de fait n'entre de toute manière pas en considération.
3. En deuxième lieu, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 6 LHand.
3.1 A juste titre, il ne critique pas le fait que le bâtiment abritant le cinéma est construit de telle manière que l'accès aux salles est impossible ou difficile pour les personnes en fauteuil roulant. En effet, la LHand ne s'applique pas à cet édifice, construit et rénové avant l'entrée en vigueur de la loi, le 1er janvier 2004 (art. 3 let. a LHand). Le recourant ne s'en prend pas non plus à l'absence de personnel chargé d'aider les personnes en chaise roulante à accéder à la salle, puisque la LHand ne crée pas d'obligation dans ce sens à la charge du prestataire privé (art. 6 LHand a contrario; Message du 11 décembre 2000 relatif à l'initiative populaire fédérale «Droits égaux pour les personnes handicapées» et au projet de loi fédérale sur l'élimination des inégalités frappant les personnes handicapées, FF 2001 1698 ch. 5.4.4).
Le recourant conteste en revanche les motifs avancés par l'intimée pour lui refuser l'accès à la salle de cinéma. Il relève que les risques particuliers en cas d'évacuation sont inhérents à la condition de personne en fauteuil roulant et propres à de très nombreuses situations de la vie quotidienne des personnes concernées; à titre d'exemple, il cite le non-fonctionnement des ascenseurs en cas d'incendie d'un bâtiment, éventualité qui ne saurait manifestement justifier une interdiction d'entrée, sauf à exclure les handicapés de tous les locaux accessibles uniquement par escalier ou ascenseur. En outre, le recourant est d'avis que le défaut de personnel susceptible d'assister la personne handicapée n'est pas déterminant si des tiers sont prêts à l'aider, tiers qu'en l'occurrence, il était disposé à rechercher lui-même parmi les spectateurs. Enfin, il fait valoir que, contrairement à ce que l'intimée prétend, la responsabilité de l'exploitant de cinéma n'aurait pas été engagée si lui-même ou les tiers précités s'étaient blessés à cette occasion. Le recourant en déduit qu'il n'y avait pas de motif justificatif valable pour lui refuser l'accès du cinéma et qu'il a subi une discrimination au sens de l'art. 6 LHand.
3.2 Les objections du recourant ne sont pas dénuées de toute pertinence. Elles ne font pas pour autant apparaître comme inconsistants les motifs avancés par l'intimée pour justifier le refus de lui vendre un billet d'entrée.
Certes, l'évacuation d'urgence de n'importe quel bâtiment ou local comporte des risques particuliers pour une personne en fauteuil roulant, d'autant plus si celle-ci n'est pas accompagnée. Cependant, ces risques sont encore accrus lors de l'évacuation d'urgence d'une salle de spectacle, en raison du grand nombre de personnes pouvant s'y trouver et du danger de bousculade que cela implique. Par ailleurs, même si la responsabilité juridique de l'exploitant du cinéma devait ne pas être engagée en cas de décès ou de blessures de la personne handicapée ou d'un tiers lui ayant prêté assistance, il est compréhensible que l'exploitant craigne les critiques qui pourraient lui être adressées par des proches de la victime ou par des tiers pour ne pas s'être soucié d'une personne handicapée à qui il avait pourtant fait payer un billet pour accéder à la salle.
Cela étant, il convient d'examiner si, en refusant au recourant l'entrée au cinéma pour les motifs susmentionnés, l'intimée a commis à son égard une discrimination prohibée par la loi.
3.3 Selon l'art. 6 LHand, les particuliers qui fournissent des prestations au public ne doivent pas traiter une personne handicapée de façon discriminatoire du fait de son handicap. La notion de discrimination au sens de cette disposition doit être interprétée, en se référant en particulier à la volonté du législateur telle qu'elle ressort notamment des travaux préparatoires (cf. ATF 135 III 20 consid. 4.4 p. 23, 112 consid. 3.3.2 p. 116).
3.3.1 A part le remplacement de la dénomination "personnes privées" par "particuliers", l'art. 6 LHand correspond à l'art. 6 du projet du Conseil fédéral. Les Chambres fédérales ont adopté cette disposition sans discussion (cf. BO 2001 CE 619 et BO 2002 CN 944). Dans le message déjà cité, la discrimination prohibée est définie en ces termes: "La discrimination est une inégalité qualifiée, c'est-à-dire une différence de traitement manifeste ou particulièrement choquante qui peut avoir une connotation dépréciative. Appliqué à une personne privée, le principe de non-discrimination n'entraîne cependant pas pour cette personne l'obligation de prendre des mesures particulières (positives) pour éliminer des inégalités de fait. Elle ne l'oblige pas davantage à adopter des comportements égalitaires et ne lui interdit pas de différencier ses prestations en fonction de ses clients. En d'autres termes, cette disposition a pour but de prévenir des comportements ségrégationnistes graves qui tendent à exclure les personnes handicapées de certaines activités de peur que leur seule présence ne trouble la quiétude ou les habitudes sociales de la clientèle habituelle. Ainsi un restaurateur ne saurait refuser à une personne mentalement handicapée l'accès à son établissement, par seule crainte que la présence de cette personne handicapée ne dissuade sa clientèle habituelle de venir chez lui et sans qu'il ait des indices suffisants pour penser que cette personne compromettra l'ambiance et la tranquillité de son établissement. Dans la mesure où la personne handicapée ne trouble pas l'ordre et la bienséance des lieux et où son comportement n'est pas de nature à perturber les autres clients, il serait discriminatoire de lui en refuser l'accès. Cette norme vise donc des comportements particulièrement choquants et contraires à la tolérance que se doivent mutuellement les différents membres d'une même société" (FF 2001 1671 ch. 4.3.2 ad art. 6).
Le Conseil fédéral a repris ces principes dans l'ordonnance d'application; celle-ci définit la discrimination au sens des art. 6 et 8 al. 3 LHand comme toute différence de traitement particulièrement marquée et gravement inégalitaire qui a pour intention ou pour conséquence de déprécier une personne handicapée ou de la marginaliser (art. 2 let. d de l'ordonnance sur l'élimination des inégalités frappant les personnes handicapées [OHand; RS 151.31]).
En l'espèce, le refus de prestation incriminé ne saurait être qualifié de la sorte. Fondé sur des considérations sécuritaires à tout le moins compréhensibles, le comportement adopté par l'exploitant à l'égard du recourant ne peut pas être tenu pour particulièrement choquant; il ne dénote ni un manque de tolérance, ni une volonté d'exclusion des personnes handicapées en fauteuil roulant. L'intimée accorde d'ailleurs à ces dernières un accès libre aux autres salles de cinéma qu'elle exploite à Genève, dans la mesure où elles sont adaptées aux personnes à mobilité réduite.
3.3.2 Se fondant sur un avis récent de deux auteurs, le recourant défend une notion plus étendue de la discrimination et soutient que l'art. 6 LHand doit être interprété conformément à la Constitution. Sans autre démonstration, les auteurs en question affirment qu'une discrimination n'a pas besoin d'être particulièrement crasse; il suffit qu'il y ait une inégalité de traitement qui ne peut être suffisamment justifiée (MARKUS SCHEFER/CAROLINE HESS-KLEIN, Die Gleichstellung von Menschen mit Behinderung bei Dienstleistungen, in der Bildung und in Arbeitsverhältnissen, Jusletter du 19 septembre 2011, B/II/2 p. 6).
Est ainsi posée la question de l'application de l'interdiction constitutionnelle de discrimination (art. 8 al. 2 Cst.) aux relations entre particuliers, soit, plus généralement, de l'effet horizontal des droits fondamentaux. Selon l'art. 35 Cst., les droits fondamentaux doivent être réalisés dans l'ensemble de l'ordre juridique (al. 1) et les autorités veillent à ce que ces droits, dans la mesure où ils s'y prêtent, soient aussi réalisés dans les relations qui lient les particuliers entre eux (al. 3). S'il l'on admet que les droits fondamentaux n'ont pas seulement une fonction de défense contre les atteintes dues à l'État, mais fondent également un devoir étatique de protection contre les atteintes provoquées par des tiers, il n'en demeure pas moins que les droits constitutionnels de ces tiers doivent également être protégés; une pesée des différents intérêts en présence est alors nécessaire. C'est en priorité la tâche de la législation spécifique de fixer quels sont les actes admissibles ou non et de délimiter les droits des particuliers impliqués. La question de l'étendue du devoir de protection des droits fondamentaux se confond ainsi avec celle de l'application correcte de la législation spécifique (ATF 126 II 300 consid. 5 p. 314 s.; cf. également ATF 137 I 305 consid. 2.4 p. 315).
En l'espèce, l'art. 6 LHand pose le principe selon lequel l'interdiction de la discrimination au sens de l'art. 8 al. 2 Cst. ne vaut pas seulement dans les rapports entre l'État et les particuliers, mais également dans les relations entre particuliers (FF 2001 1671 ch. 4.3.2 ad art. 6). Cette disposition a ainsi été adoptée expressément dans le but de fixer l'effet horizontal de l'interdiction constitutionnelle de discrimination. Il convient dès lors de s'en tenir à la notion de discrimination voulue par le législateur, telle qu'exposée plus haut (consid. 3.3.1).
3.4 En conclusion, le moyen tiré d'une violation de l'art. 6 LHand est mal fondé.
4. En dernier lieu, le recourant se plaint d'une violation du droit international. Il invoque l'art. 14 CEDH relatif à l'interdiction de discrimination en liaison, d'une part, avec l'art. 10 CEDH qui garantit la liberté d'expression et, d'autre part, avec l'art. 8 CEDH qui garantit le droit au respect de la vie privée et familiale. Il fait valoir que le droit d'accéder à une salle de cinéma, haut lieu de diffusion de productions culturelles, est couvert par l'art. 10 CEDH combiné avec l'art. 14 CEDH et que ce droit lui a été refusé sans aucune justification pertinente du point de vue de la CEDH. De même, le refus qui lui a été opposé, en tant qu'il porte une atteinte grave à son intégrité psychique, constituerait, en l'absence de justification objective, une violation de l'art. 8 CEDH combiné avec l'art. 14 CEDH.
4.1 L'obligation de respecter les droits fondamentaux résultant de la CEDH s'adresse à l'État (art. 1 CEDH). Pour garantir l'effectivité de ces droits, il peut être néanmoins nécessaire de les protéger dans les relations entre particuliers. Sous peine de violer les droits conventionnels, l'État peut se trouver dans l'obligation de prendre les mesures suffisantes pour protéger lesdits droits contre les atteintes par les particuliers (cf. ATF 136 I 167 consid. 2.2 p. 170; FRANZ WERRO/IRÈNE SCHMIDLIN, La protection de la personnalité et les médias: une illustration de la rencontre du droit civil et du droit constitutionnel, in Droit civil et Convention européenne des droits de l'homme, 2006, p. 184).
4.2 En l'espèce, la Suisse a adopté la LHand dans le but de prévenir, de réduire ou d'éliminer les inégalités qui frappent les personnes handicapées (art. 1 LHand). Dans ce cadre, le législateur fédéral a prévu notamment que les constructions et installations accessibles au public pour lesquelles l'autorisation de construire ou de rénover était accordée après l'entrée en vigueur de la LHand devaient être facilement accessibles aux personnes handicapées (art. 2 al. 3 et art. 3 let. a LHand); il a imposé une interdiction de discrimination aux particuliers qui fournissent des prestations au public (art. 6 LHand); il a également donné aux personnes handicapées et à certaines organisations d'aide aux handicapés le droit d'agir en justice le cas échéant (art. 7 al. 1, art. 8 al. 3, art. 9 al. 3 let. a et b LHand). La question est de savoir si ces mesures législatives sont suffisantes ou non au regard de la CEDH et, en particulier, si la Convention impose à la Suisse d'adopter une notion de discrimination plus étendue que celle de l'art. 6 LHand (cf. consid. 3.3.1 et 3.3.2).
Le recourant l'affirme en se fondant sur des considérations générales. Mais il ne cite aucun arrêt dans lequel la Cour européenne des droits de l'homme aurait retenu une obligation comparable. L'arrêt Botta contre Italie du 24 février 1998 qu'il invoque (Recueil CourEDH 1998-I p. 412) concerne le cas d'une personne handicapée qui reprochait aux autorités de n'avoir pas réagi à ses plaintes au sujet de plages non équipées de structures pour handicapés, pourtant prescrites par la loi sous menace de révocation de licence. La Cour a nié une violation des art. 8 et 14 CEDH au motif que le droit invoqué par le requérant, à savoir celui de pouvoir accéder à la plage et à la mer loin de sa demeure habituelle pendant ses vacances, concerne des relations interpersonnelles d'un contenu si ample et indéterminé qu'aucun lien direct entre les mesures exigées de l'État pour remédier aux omissions des établissements de bains privés et la vie privée de l'intéressé n'était envisageable (§ 35). L'arrêt est certes assez ancien, mais le recourant ne démontre pas que la Cour s'en serait explicitement ou implicitement écartée récemment.
Au contraire, dans un arrêt ultérieur concernant des personnes à mobilité réduite ne pouvant pas accéder à des bâtiments ouverts au public (Zehnalová et Zehnal contre République tchèque du 14 mai 2002, Recueil CourEDH 2002-V p. 317), la Cour a jugé que le champ d'intervention de l'État et la notion progressive de vie privée ne correspondent pas toujours au contenu plus limité des obligations positives de l'État. Elle a estimé que l'art. 8 CEDH ne saurait s'appliquer en règle générale et chaque fois que la vie quotidienne de la personne handicapée est en cause, mais seulement dans les cas exceptionnels où un manque d'accès aux établissements publics et ouverts au public empêchent cette personne de mener sa vie de façon telle que le droit à son développement personnel et son droit d'établir et d'entretenir des rapports avec d'autres êtres humains et le monde extérieur sont mis en cause; elle a en outre relevé, même si elle n'y attachait pas une importance déterminante, que les autorités nationales n'étaient pas restées inactives (p. 332).
Le recourant fait encore référence à l'arrêt Glor contre Suisse du 30 avril 2009 (in ASA 80 p. 693), dans lequel la Cour a admis un traitement discriminatoire, violant l'art. 14 CEDH combiné avec l'art. 8 CEDH, d'une personne qui souffre de diabète. Comme cette cause concerne la soumission à la taxe d'exemption du service militaire, à savoir une taxe étatique, l'arrêt précité est d'emblée sans pertinence lorsqu'il s'agit, comme en l'espèce, d'apprécier l'effet horizontal des droits fondamentaux entre particuliers.
Dans ces circonstances, il n'apparaît pas que la CEDH oblige la Suisse à adopter, dans sa législation visant à éliminer les inégalités qui frappent les personnes handicapées, une notion de la discrimination plus large que celle décrite plus haut ou qu'elle contraint le juge à interpréter de manière plus étendue la discrimination au sens de l'art. 6 LHand.
5. Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF; art. 10 al. 3 LHand) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 octobre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann