Faits:
A. A.a M._, ressortissante française domiciliée en France et travaillant en Suisse, s'est cassé la base du métacarpien de la main gauche le 30 août 1999. Arguant souffrir des séquelles de cette fracture, elle s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI-N) le 17 mai 2001.
La requête de l'assurée a été rejetée, en tant qu'elle portait sur le droit à des mesures d'ordre professionnel (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger [ci-après: l'office AI-E] du 12 septembre 2001 entérinant le projet de décision de l'office AI-N du 26 juin précédent), et admise, en tant qu'elle portait sur le droit à une rente. L'office AI-E a alloué à l'intéressée une rente entière pour la période limitée comprise entre les 1er août 2000 et 31 mai 2003 en raison des suites somatiques de l'accident (décision du 28 janvier 2004). Considérant l'opposition de M._ pertinente, notamment en ce qui concernait la poursuite du versement de la rente après le 31 mai 2003 pour raisons psychiatriques, l'office AI-N a implicitement annulé la décision attaquée et repris l'instruction (décision sur opposition du 23 juin 2006). Au terme de ses investigations, il a informé l'assurée qu'il envisageait de lui accorder une rente entière à compter du 1er mai 2006 pour motifs psychiatriques; il ne mentionnait plus le droit reconnu précédemment (projet de décision du 26 janvier 2007). Cette intention a été confirmé par l'office AI-E (décision du 23 mars 2007).
Le Tribunal administratif fédéral a partiellement admis le recours formé par l'intéressée contre la décision du 23 mars 2007, l'a annulée, puis a renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants (mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique) et nouvelle décision (jugement du 4 décembre 2008).
A.b Chargé par l'office AI-E de procéder à l'instruction requise dans le jugement de première instance, l'office AI-N n'y a pas donné suite. Il a annoncé à M._ sa volonté de rejeter sa demande dans la mesure où elle ne remplissait plus les conditions d'assurance (projet de décision du 5 août 2009). Malgré les observations de l'assurée, qui exigeait l'exécution du jugement entré en force, il a confirmé son projet (décision du 7 octobre 2009). Averti du fait qu'il était incompétent pour notifier des décisions officielles, l'office AI-N a envoyé à l'intéressée une décision non datée ni signée, dont le contenu était identique à celui de l'acte administratif du 7 octobre 2009, sur papier à en-tête de l'office AI-E. Il mentionnait que son courrier ne valait pas notification. L'office AI-E n'a pas réagi.
B. M._ a une nouvelle fois saisi l'autorité de recours, sollicitant l'annulation ou la constatation de la nullité de la décision non datée ni signée qui remplaçait celle du 7 octobre 2009, concluant au renvoi de la cause à l'administration pour la mise en oeuvre des mesures imposées par jugement du 4 décembre 2008. Elle invoquait la violation du principe de l'autorité de chose jugée et de l'art. 53 LPGA, ainsi que du principe de l'interdiction de l'arbitraire.
La juridiction de première instance a déclaré le recours irrecevable au motif qu'il n'existait aucune décision sujette à recours (jugement du 23 février 2010). La détermination de l'office AI-E et les pièces recueillies pendant l'instruction ont été communiquées à l'assurée simultanément à la notification du jugement.
C. L'intéressée interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral ou à l'office AI-E pour que lui soit accordé le droit de se prononcer sur les pièces annexées au jugement attaqué, pour qu'il soit statué sur les conclusions de son recours ou pour que le jugement du 4 décembre 2008 soit exécuté.
L'office AI-E et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués et le rejeter par une argumentation autre que celle de l'autorité précédente (cf. ATF 133 V 515 consid. 1.3 p. 519; 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Il n'examine en principe que les griefs allégués, eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public, l'art. 106 al. 2 LTF exige que la violation des droits fondamentaux soit explicitement soulevée et clairement exposée dans le mémoire de recours (cf. ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261).
2. 2.1 La recourante fait principalement grief au Tribunal administratif fédéral d'avoir violé son droit d'être entendue.
2.2 Il apparaît effectivement que la juridiction de première instance a transmis à l'assurée, simultanément à la notification de son jugement, un double de la détermination de l'office AI-E et une copie de la correspondance entre l'office AI-E et l'office AI-N postérieure à la décision censée remplacer celle du 7 octobre 2009 (ch. 3 et 4 du dispositif). Ce procédé contrevient clairement l'art. 29 al. 2 Cst. dans la mesure où le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toutes les observations et pièces soumises au tribunal et de se déterminer à leur propos, que celles-ci contiennent ou non des nouveaux éléments de fait ou de droit et qu'elles soient concrètement ou non susceptibles d'influer sur le jugement à rendre (cf. notamment 9C_557/2008 du 3 avril 2009 consid. 3.2 et les références, non publié in ATF 135 III 289).
2.3 Compte tenu de la nature formelle du droit d'être entendu, sa violation entraîne l'annulation du jugement attaqué indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (cf. notamment ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 121 III 331 consid. 3c p. 334 sv.). La cause devrait en principe être renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour qu'il permette à la recourante de se prononcer sur les documents annexés à son jugement. Par souci d'économie de procédure, il convient cependant de retourner le dossier à l'office intimé dès lors que, conformément à ce qu'a retenu la juridiction de première instance pour sanctionner le recours d'irrecevabilité, il n'existe effectivement aucune décision entrée en force qui statue sur le droit à une quelconque rente. La décision du 28 janvier 2004, qui accordait une rente entière pour la période courant du 1er août 2000 au 31 mai 2003, a été remplacée par la décision sur opposition du 23 juin 2006, qui se contentait d'admettre l'opposition et d'annoncer la reprise de l'instruction (au sujet de l'effet de la décision sur opposition sur la décision initiale, cf. notamment arrêt 9C_236/2010 du 10 janvier 2011 consid. 3.1 et les références). La décision subséquente du 23 mars 2007, qui octroyait une rente entière à partir du 1er mai 2006 pour des raisons psychiatriques, a été annulée par le Tribunal administratif fédéral (ch. 1 du dispositif du jugement du 4 décembre 2008), même si celui-ci constatait que l'office AI-E reconnaissait implicitement le droit à une rente entière pour la période comprise entre les mois d'août 2000 et mai 2003. Cette autorité a par ailleurs retourné le dossier à l'administration pour qu'elle réalise une expertise psychiatrique portant sur l'intensité des troubles relevant de ce domaine existant en 20002003 en lien avec ceux constatés en 2005. L'office AI-N a décidé, bien qu'il n'était pas compétent pour le faire, de ne pas mettre en oeuvre cette mesure d'instruction, sans toutefois recourir contre le jugement qui l'imposait, pour un motif (l'assurée ne remplissait plus les conditions d'assurance) qui démontre qu'il n'a pas saisi la portée de la mesure requise. Celle-ci tendait en effet à déterminer si le versement de la rente postérieurement au 31 mai 2003 pour des raisons psychiatriques était justifié et non de documenter le trouble observé en 2005. Il ressort enfin des documents déposés en première instance que la notification régulière de la décision attaquée n'a jamais eu lieu.
Vu ce qui précède, l'administration devra mettre en oeuvre l'expertise requise par le jugement du 4 décembre 2008, se prononcer non seulement sur l'influence de l'affection somatique durant la période allant du 1er août 2000 au 31 mai 2003 mais aussi sur l'influence d'une éventuelle affection psychique durant cette même période et postérieurement à celle-ci et notifier dans les meilleurs délais une décision régulière.
3. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office intimé (art. 66 al. 1 LTF) qui versera à la recourante une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du 23 février 2010 de la IIIe Cour du Tribunal administratif fédéral est annulé. La cause est renvoyée à l'office intimé pour qu'il procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge de l'office intimé.
3. L'office intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la IIIe Cour du Tribunal administratif fédéral et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton