Sachverhalt:
A. J._ (Jg. 1957) rutschte am 25. August 2002 zu Hause auf einem nassen Fussboden aus und zog sich dabei Frakturen des rechten Schienbeins und der rechten Wade zu. Die Basler Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: Basler) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Mit Verfügung vom 24. Januar 2007 eröffnete sie dem Versicherten, er werde ab 1. April 2007 eine Invalidenrente auf Grund einer 29%igen Erwerbsunfähigkeit sowie eine Entschädigung für eine 20%ige Integritätseinbusse erhalten. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2007.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 21. November 2007 ab.
C. Mit Beschwerde lässt J._ beantragen, die Basler sei zu verpflichten, "die gesetzlichen Leistungen in Form von Taggeldern und Übernahme der Heilungskosten rückwirkend und künftig zu erbringen". Eventualiter stellt er das Begehren, es sei festzustellen, dass die Beschwerden am rechten Knie unfallkausal sind, und die Sache zwecks neuer Bemessung des Invaliditätsgrades und der Integritätsentschädigung an die Basler zurückzuweisen; diese sei im Zweifelsfall anzuhalten, bei einer geeigneten und neutralen Stelle ein weiteres Gutachten einzuholen.
Die Basler lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Am 29. April 2008 reicht J._ medizinische Unterlagen nach, welche im Zusammenhang mit gegenüber der Deutschen Rentenversicherung geltend gemachten Leistungsansprüchen stehen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136, E. 1.4 S. 140). Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Zu prüfen ist zunächst, ob der Beschwerdeführer über den 31. März 2007 hinaus weiterhin Anspruch auf Taggelder und Heilbehandlung hat (vgl. nachstehende E. 3). Ist dies zu verneinen, würde sich auf Grund der in der Beschwerdeschrift gestellten Anträge die Frage stellen, ob die Bemessung der zugesprochenen Invalidenrente und die Höhe der Integritätsentschädigung einer letztinstanzlichen Überprüfung standhält (vgl. nachstehende E. 4).
2.2 Die für eine Beurteilung der zur Diskussion stehenden Leistungsansprüche massgebenden Rechtsgrundlagen hat das kantonale Gericht zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Es betrifft dies namentlich die gesetzlichen Bestimmungen über den nach der Rechtsprechung für einen Leistungsanspruch gegenüber der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Schaden (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) mit den sich dabei stellenden Beweisfragen. Richtig sind auch die Ausführungen über die bei der Würdigung medizinischer Berichte zu beachtenden Grundsätze (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
3. Die Basler ging in ihrer Verfügung vom 24. Januar 2007 davon aus, dass dem Beschwerdeführer aus medizinischer Sicht die Ausübung einer angepassten, mittelschweren Tätigkeit im Umfang von 100 % zumutbar wäre. Dabei sollte es ihm laut den der Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik für das Jahr 2004 entnommenen Daten möglich sein, trotz seiner Behinderung einen Verdienst von jährlich Fr. 75'215.- (Invalideneinkommen) zu erzielen. Daraus ergibt sich verglichen mit dem ohne gesundheitliche Beeinträchtigung mutmasslich realisierbaren Gehalt von jährlich Fr. 105'714.- (Valideneinkommen) ein Invaliditätsgrad von gerundet 29 %. Dieser Betrachtungsweise schloss sich das kantonale Gericht in seinem Entscheid vom 21. November 2007 an.
3.1 Zur Bestimmung der nach dem Unfall vom 25. August 2002 verbliebenen Gesundheitsschäden und des restlichen Leistungsvermögens stützten sich die Basler und die Vorinstanz in erster Linie auf ein fachorthopädisches Gutachten der Kliniken X._, vom 4. November 2006. Wie das kantonale Gericht im angefochtenen Entscheid einlässlich dargelegt hat, erfüllt diese Expertise die Anforderungen, die rechtsprechungsgemäss an eine medizinische Expertise zu stellen sind, damit sie als beweistauglich gelten kann (vgl. BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
3.1.1 Im Zeitpunkt, auf welchen hin die Basler die umstrittene Leistungseinstellung verfügte (31. März 2007), lagen nebst lumbalen Rückenschmerzen noch Beschwerden im rechten Unterschenkel und im rechten Knie vor. Nicht mehr streitig ist, dass zwischen Rückenschmerzen und versichertem Unfallereignis vom 25. August 2002 kein relevanter Kausalzusammenhang besteht. Soweit in der Beschwerdeschrift ausdrücklich die Feststellung verlangt wird, dass die Kniebeschwerden unfallkausal seien, ist mit der Vorinstanz zunächst festzuhalten, dass die von den Ärzten der Kliniken X._ im Gutachten vom 4. November 2006 attestierte Arbeitsfähigkeit auf einer unter Mitberücksichtigung der vom rechten Knie ausgehenden Beeinträchtigung erfolgten Einschätzung beruht. Für die Bemessung der Invalidität war daher eine abschliessende Klärung der Unfallkausalität dieser Behinderung insofern nicht mehr nötig, als auch eine ausdrückliche Anerkennung des Knieleidens als Unfallfolge keine Verminderung der für mittelschwere körperliche Tätigkeiten als uneingeschränkt zumutbar bezeichneten Leistungserbringung nach sich gezogen hätte. Von Bedeutung könnte die auf die Beschwerden am rechten Knie bezogene Kausalitätsfrage lediglich insoweit sein, als es um die Frage nach der Zulässigkeit der verfügten Ablehnung eines weiteren Anspruchs auf Heilbehandlung geht, wobei im Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Einstellungsverfügung allerdings konkret gar keine das rechte Knie betreffende medizinische Massnahmen zur Diskussion standen. Dessen ungeachtet hat das kantonale Gericht im angefochtenen Entscheid aufgezeigt, weshalb es - der Auffassung der Gutachter der Kliniken X._ folgend - das Knieleiden nicht als unfallkausal betrachtet hat. Insbesondere liegt auch eine Begründung dafür vor, weshalb es sich weder von der Expertise des Center S._, vom 26. November 2005 noch von den verschiedenen Berichten des Schmerzzentrums Y._ zu einer andern Betrachtungsweise führen liess. Die pauschal gehaltene Kritik in der Beschwerdeschrift setzt sich kaum mit den von der Vorinstanz angeführten Argumenten auseinander und zeigt auch nicht differenziert Äusserungen der beiden letztgenannten Institutionen auf, welche der vorinstanzlich bestätigten Beurteilung der Basler entgegenstehen würden.
3.1.2 Auf Grund des erwähnten Gutachtens der Kliniken X._ vom 4. November 2006 gelangte die Vorinstanz wie zuvor schon die Basler zum Schluss, dass zwar die Indikation zu einer Korrekturoperation der Aussenrotationsfehlstellung des rechten Unterschenkels gegeben sei, dass aber - abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer einer solchen bisher aus nachvollziehbaren Gründen eher ablehnend gegenüberstand - nicht ersichtlich sei, wie ein solcher Eingriff die Arbeitsfähigkeit namhaft sollte verbessern können, zumal für eine mittelschwere Tätigkeit bereits eine uneingeschränkte Einsatzmöglichkeit erreicht worden sei. Was unter einer namhaften Besserung des Gesundheitszustandes im Sinne von Art. 19 Abs. 1 UVG zu verstehen ist, hat das Bundesgericht in BGE 134 V 109 klargestellt und dabei mit Blick darauf, dass die soziale Unfallversicherung ihrer Konzeption nach auf erwerbstätige Personen ausgerichtet ist, insbesondere festgehalten, dass dies nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt, zu beurteilen ist; der vom Gesetzgeber verwendete Begriff 'namhaft' zeige, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen müsse und unbedeutende Verbesserungen nicht genügten (BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen). Vor diesem Hintergrund ist die vorinstanzliche Annahme, wonach der medizinische Endzustand gemäss Art. 19 Abs. 1 UVG erreicht worden sei, nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer begründet seine dagegen erhobenen Einwände einzig mit dem Hinweis auf vom Gutachten der Kliniken X._ abweichende 'andere aktenkundige Meinungen und Feststellungen' 'verschiedener Fachstellen und Fachpersonen'. Auch in diesem Zusammenhang unterlässt er es, einschlägige Fundstellen zu bezeichnen, und erwähnt konkret nur die Ärzte des Schmerzzentrums Y._, ohne indessen aufzuzeigen, inwiefern deren angeblich abweichende Auffassung die von der Basler und auch vom kantonalen Gericht aus dem Gutachten der Kliniken X._ gezogenen Schlüsse in Frage stellen könnte. Eine Durchsicht der vom Schmerzzentrum Y._ stammenden medizinischen Unterlagen fördert jedenfalls keine eindeutigen Anhaltspunkte zu Tage, welche ernsthafte Zweifel an der Zuverlässigkeit des Gutachtens der Experten der Kliniken X._ vom 4. November 2006 und den gestützt darauf von den Vorinstanzen getroffenen Feststellungen aufkommen lassen könnten. Dass den Aussagen der Ärzte des Schmerzzentrums Y._ entscheidende Bedeutung zukommen würde - was von der Basler in ihrer Beschwerdeantwort vom 5. März 2008 mit Recht in Abrede gestellt wird -, kann unter diesen Umständen nicht gesagt werden. Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift sind demnach nicht geeignet, im Rahmen einer letztinstanzlichen richterlichen Überprüfung eine Änderung des angefochtenen Entscheids zu begründen.
3.2 Angesichts der in medizinischer Hinsicht gut dokumentierten Aktenlage, welche eine zuverlässige Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche ermöglicht, ist auch von der beantragten Einholung eines zusätzlichen Gutachtens abzusehen. Bei den vom Beschwerdeführer am 29. April 2008 nachträglich eingereichten Dokumenten handelt es sich um ärztliche Berichte, die - mit Ausnahme eines Attests des Dr. med. B._, vom 3. April 2008 - bereits im Herbst 2006 und damit schon vor Erlass der Verfügung der Basler vom 24. Januar 2007 existierten und zu deren Beibringung nicht erst der kantonale Entscheid vom 21. November 2007 Anlass gab. Sie sind daher auf Grund von Art. 99 Abs. 1 BGG als unzulässige Beweismittel zu qualifizieren (E. 1.2 hievor). Abgesehen davon wären sie ohnehin nicht geeignet, Aufschlüsse zur Zulässigkeit des mehre Monate nach ihrer Erstellung erfolgten Fallabschlusses durch die Basler zu vermitteln. Dasselbe gilt für das Zeugnis des Dr. med. B._, welcher sich weder mit der Unfallkausalität des Knieleidens noch mit dem Zeitpunkt des vom Unfallversicherer vorgenommenen Fallabschlusses befasst.
3.3 Nach dem Gesagten ist die angefochtene Einstellung der Taggeldleistungen auf den 31. März 2007 nicht zu beanstanden. Auch auf weitere Heilbehandlungsmassnahmen besteht grundsätzlich kein Anspruch, wobei davon Vormerk zu nehmen ist, dass sich die Basler in ihrer Verfügung vom 24. Januar 2007 immerhin bereit erklärt hat, trotz Rentenzusprache noch für die im Gutachten der Kliniken X._ vom 4. November 2006 als weiterhin sinnvoll bezeichnete Physiotherapie oder eine medizinische Trainingstherapie, für die Versorgung mit orthopädischem Schuhwerk und für Kompressionsstrümpfe aufzukommen. Dabei handelt es sich um Vorkehren, welche der Erhaltung der bestehenden Erwerbsfähigkeit, nicht aber einer Steigerung derselben dienen. Als solche stehen auch sie dem angefochtenen Fallabschluss nicht entgegen.
4. Was die beantragte Zusprechung einer höheren Invalidenrente und einer höheren Integritätsentschädigung anbelangt, ist - wie die Basler in ihrer Beschwerdeantwort vom 5. März 2008 mit Recht einwendet - festzustellen, dass bezüglich der Bemessung dieser Leistungen jegliche Begründung fehlt und daher auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG; E. 1.2 hievor).
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl