Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 25. Juli 2007 erklärte die Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe sowie sowie zur Bezahlung der Zivilforderung des Sozialamts der Stadt Bern und der Verfahrenskosten.
Gegen dieses Urteil appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Bern. Dessen 1. Strafkammer gab ihm mit Verfügung vom 12. November 2007 die urteilenden Gerichtsmitglieder bekannt mit dem Hinweis, allfällige Ablehnungsgründe seien innert 20 Tagen geltend zu machen.
Mit Eingabe vom 11. Dezember lehnte X._ sämtliche Mitglieder des Obergerichts ab. Das Obergericht hat dieses Begehren am 21. Dezember 2007 zuständigkeitshalber dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern zukommen lassen.
Mit Urteil vom 22. Januar 2008 ist der Einzelrichter der Verwaltungsrechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichts auf das von ihm als rechtsmissbräuchlich erachtete Ablehnungsgesuch nicht eingetreten.
2. Gegen dieses Urteil vom 22. Januar 2008 führt X._ mit Eingabe vom 3. März 2008 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG).
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer kritisiert das angefochtene Urteil nur auf ganz allgemeine Weise. Er beschränkt sich einmal mehr weitgehend darauf, verschiedene Bestimmungen namentlich der Bundesverfassung und des Völkerrechts zu zitieren, die er pauschal als verletzt erachtet, wie er dies bereits in früheren bundesgerichtlichen Verfahren tat. Dabei unterlässt er es, sich sachbezogen mit den dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden Erwägungen auseinanderzusetzen. Insbesondere legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern die Begründung des Nichteintretensentscheids bzw. dieser im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels genügender Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Da die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. Wegen Aussichtslosigkeit ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die bundesgerichtlichen Kosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Obergericht und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp