Sachverhalt:
A. M._ (Jg. 1953) erlitt bei einem Auffahrunfall am 13. Juni 2004 als Beifahrerin in dem von hinten angefahrenen, vor einem Lichtsignal wartenden Personenwagen laut Diagnose des am 15. Juni 2004 aufgesuchten Hausarztes Dr. med. K._ gemäss Bericht vom 13. September 2004 eine Distorsion der Halswirbelsäule. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Anlässlich einer kreisärztlichen Untersuchung durch Dr. med. W._ vom 5. November 2004 klagte M._ über starke Schmerzen in der Nacken- und Hinterkopfgegend, im Bereich von Kinn und linkem Ohr, in der linken Schulter, am linken Arm, Schlafstörungen, Schwindel und ein Rauschen im linken Ohr. Nachdem er keine somatisch objektivierbaren Befunde erheben konnte, sprach Dr. med. W._ von einem Verdacht auf eine erhebliche psychische Überlagerung. Der Psychiater Dr. med. H._ diagnostizierte in seiner Expertise vom 29. April 2005 eine ängstlich-depressive Anpassungsstörung (ICD-10 F43.22) und äusserte den Verdacht auf eine beginnende anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4). In der Rehaklinik X._ schliesslich, wo sich M._ ab 29. März bis 26. April 2005 aufgehalten hatte, stellte Dr. med. S._ im Bericht vom 20. Juni 2005 nebst einem persistierenden cervicocephalen Symptomenkomplex ein cervicothoracolumbales Schmerzsyndrom, eine vegetative Dysregulation sowie eine ängstlich-depressive Anpassungsstörung (ICD-10: F43.22) bei Verdacht auf eine beginnende anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) fest.
Mit Verfügung vom 3. Januar 2006 stellte die SUVA ihre Leistungen auf den 15. Januar 2006 hin ein, da zwischen den noch vorhandenen Beschwerden und dem versicherten Unfallereignis kein adäquater Kausalzusammenhang bestehe. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. April 2006 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 26. März 2008 ab.
C. Mit Beschwerde lässt M._ die Zusprache der gesetzlichen Versicherungsleistungen, namentlich Taggelder, eventuell die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung beantragen; weiter sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136, E. 1.4 S. 140).
2. Das kantonale Gericht hat die Voraussetzungen für die Leistungspflicht des Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG) und die einzelnen in Betracht fallenden Ansprüche wie namentlich Heilbehandlung (Art. 10 Abs. 1 UVG), Taggelder (Art. 16 Abs. 1 UVG) und Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG) zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Richtig sind auch die Ausführungen über den für die Leistungspflicht des Unfallversicherers rechtsprechungsgemäss erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen versichertem Unfallereignis und darauf zurückzuführender gesundheitlicher Schädigung (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181 ff. mit Hinweisen). Beizupflichten ist weiter den vorinstanzlichen Erwägungen zur Bedeutung ärztlicher Arbeitsfähigkeitsschätzungen für die Kausalitätsbeurteilung (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen) und zur Beweistauglichkeit einzelner medizinischer Berichte (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
3. 3.1 Anders noch als die SUVA in ihrem Einspracheentscheid vom 4. April 2006 hat das kantonale Gericht die natürliche Kausalität des Verkehrsunfalles vom 13. Juni 2004 für die noch vorhandenen Beschwerden nicht mehr ausdrücklich verneint. Es ging davon aus, dass sich die Beschwerdeführerin anlässlich ihres Unfalles eine Distorsion der Halswirbelsäule zugezogen hatte, weshalb es angesichts der daraufhin aufgetretenen multiplen Beschwerden auf ein Schleudertrauma schloss. Dabei gelangte es zur Erkenntnis, dass schon frühzeitig psychische Beschwerden im Sinne einer Überlagerung der für ein Schleudertrauma typischen (somatischen) Beschwerden im Vordergrund standen. Deshalb prüfte es die Adäquanzfrage nach Massgabe der in BGE 115 V 133 ergangenen Rechtsprechung unter Ausklammerung der durch psychische Komponenten bedingten Beeinträchtigungen. Im Ergebnis stellte es dabei fest, dass von den in die Adäquanzbeurteilung mit einzubeziehenden Kriterien keines in der in BGE 115 V 133 verlangten qualifizierten Ausprägung gegeben sei, und verneinte daher die Adäquanz der noch vorhandenen Leiden. Die Frage nach dem natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Auffahrunfall vom 13. Juni 2004 und den noch vorhandenen Beschwerden hat es dabei letztlich offen gelassen. Die Beschwerdeführerin stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, die Adäquanzprüfung habe nach der in BGE 117 V 359 entwickelten und in BGE 134 V 109 nunmehr präzisierten Rechtsprechung zu erfolgen.
3.2 Im bundesgerichtlichen Verfahren ist demnach primär die Frage nach der Adäquanz der anhaltenden Beeinträchtigungen zu prüfen. Ist diese mit der Vorinstanz zu verneinen, kann von näheren Abklärungen zur natürlichen Unfallkausalität abgesehen werden, womit insoweit auf die Argumentation in der Beschwerdeschrift nicht weiter einzugehen ist, als diese ausschliesslich Aspekte beleuchtet, welche allenfalls für die Beurteilung der natürlichen Kausalität von Bedeutung sein könnten, zur Beantwortung der Adäquanzfrage jedoch nichts beitragen.
3.2.1 Wiederholt bezeichnet die Beschwerdeführerin die Abklärung der medizinischen Situation als ungenügend und bemängelt unter Berufung auf BGE 134 V 109 namentlich das Fehlen einer poly-/interdisziplinären Begutachtung. Der Vorinstanz ist jedoch darin beizupflichten, dass sich zusätzliche Abklärungen angesichts der genügend dokumentierten Aktenlage erübrigen, zumal von solchen - in antizipierter Beweiswürdigung (vgl. BGE 124 V 90 E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162) - keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären, welche sich auf die Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche auswirken könnten.
3.2.2 In BGE 134 V 109 hat sich das Bundesgericht in E. 9 (S. 121 ff.) mit den Erfordernissen auseinandergesetzt, welche an den Nachweis natürlicher Kausalzusammenhänge zu stellen sind und dabei in E. 9.3 (S. 124) namentlich für die Fälle länger und ohne deutliche Besserungstendenz bestehender Beschwerden einerseits und kurz nach dem Unfall vorliegender Anhaltspunkte für einen problematischen Heilungsverlauf andererseits die möglichst frühzeitige (zügige) Einholung einer interdisziplinären Expertise als angezeigt erklärt. Daraus kann die Beschwerdeführerin indessen nichts ableiten, das ihre Argumentation und namentlich ihre Forderung nach weiteren medizinischen Abklärungen stützen würde, steht doch primär nicht die Frage nach der natürlichen Kausalität des Verkehrsunfalles vom 13. Juni 2004 für die noch geklagten Beschwerden zur Diskussion. Zwar stellen sich auch im Rahmen der Adäquanzprüfung verschiedentlich Fragen, zu deren Beantwortung ärztliche Auskünfte nützliche Dienste leisten können und sich oftmals als unabdingbar erweisen. Zu denken ist dabei namentlich an die Einschätzung der trotz gesundheitlicher Schädigung verbliebenen zumutbaren Arbeitsfähigkeit sowie an die Art und Notwendigkeit ärztlicher Behandlungen. Eines poly-/interdisziplinären Gutachtens bedarf es für die Klärung solcher bei der Prüfung einzelner Adäquanzkriterien zuweilen auftauchender Probleme indessen nicht zwingend, wenn - wie hier - Berichte von Ärzten verschiedener in Betracht fallender Fachrichtungen vorliegen, welche eine schlüssige Gesamtbeurteilung zulassen.
3.2.3 Ob bei Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhanges zwischen dem versicherten Unfallereignis und der eingetretenen gesundheitlichen Schädigung auch der erforderliche adäquate Kausalzusammenhang besteht, stellt schliesslich eine Rechtsfrage dar, deren Beantwortung der Verwaltung - und im Beschwerdefall dem Gericht - obliegt. Des beantragten Gutachtens zur Klärung der Adäquanz ("Kausalitätsgutachten") bedarf es daher nicht.
4. 4.1 Soweit die Beschwerdeführerin den Zeitpunkt der Adäquanzprüfung beanstandet, ist festzuhalten, dass nach BGE 134 V 109 E. 3.2 S. 113 nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäqanzprüfung vorgenommen werden darf, sondern wann der Unfallversicherer einen Fall abzuschliessen hat. Im Zeitpunkt, auf welchen hin die SUVA ihre Leistungen einstellte (15. Januar 2006), standen keine medizinischen Massnahmen mehr zur Diskussion, von welchen eine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustandes mit entsprechender Auswirkung auf die erwerbliche Leistungsfähigkeit erwartet werden konnte. Etwas anderes wird denn auch in der Beschwerdeschrift nicht behauptet. Einem Fallabschluss auf den 15. Januar 2006 hin stand daher nichts im Wege.
4.2 Den Auffahrunfall vom 13. Juni 2004 hat die Vorinstanz als mittelschwer, im Bereich zu den leichten Fällen liegendes Ereignis qualifiziert. Dies steht mit der Rechtsprechung in Einklang und wird von der Beschwerdeführerin zu Recht nicht beanstandet.
4.2.1 Wollte man - der Argumentation der Beschwerdeführerin folgend - die Adäquanzfrage nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen oder Schädel-Hirntraumen massgebenden Methode, wie sie in BGE 117 V 359 entwickelt und in BGE 134 V 109 präzisiert worden ist, beurteilen, ist das Kriterium "besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalles" (BGE 134 V 109 E. 10.2.1 S. 127) klarerweise zu verneinen. Auch das Kriterium "Schwere und besondere Art der erlittenen Verletzung" (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.) kann nicht als erfüllt gelten, genügt doch die Diagnose einer Distorsion der Halswirbelsäule für sich allein nicht zu dessen Bejahung. Es bedarf hiezu vielmehr einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 128 mit Hinweisen). Solche liegen hier aber ebenso wenig vor wie erhebliche Verletzungen, welche sich die Beschwerdeführerin nebst dem Schleudertrauma zusätzlich zugezogen hätte. Die ärztliche Behandlung war nicht kontinuierlich und mit einer gewissen Planmässigkeit auf eine Verbesserung des Gesundheitszustandes ausgerichtet, sodass auch das Kriterium "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" (BGE 134 V 109 E. 10.2.3 S. 128) nicht als gegeben betrachtet werden kann. Von "ärztlicher Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert" hätte (BGE 134 V 109 E. 10.2.5 S. 129), oder von "schwierigem Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen" (BGE 134 V 109 E. 10.2.6 S. 129) kann ebenfalls nicht gesprochen werden.
4.2.2 Allenfalls als erfüllt können hingegen die Kriterien "erhebliche Beschwerden" (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128) und "erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen" (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129 f.) betrachtet werden. Folgt man den Angaben der Beschwerdeführerin, war das Leidensbild mit ständigen Beschwerden verbunden, deren Intensität erheblich gewesen sein dürfte. Jedenfalls wurde die Glaubwürdigkeit der beschwerdeführerischen Darlegungen und Selbsteinschätzungen diesbezüglich von den involvierten Ärzten nicht ernsthaft in Frage gestellt. Auch attestierten diese - namentlich der Hausarzt Dr. med. K._ - seit dem Unfall vom 13. Juni 2004 immer wieder eine vollständige Arbeitsunfähigkeit. Kurz vor dem Auffahrunfall vom 13. Juni 2004 hatte die Beschwerdeführerin eine Teilzeitbeschäftigung im Reinigungsdienst der Firma Y._ aufgenommen. Da dort die Probezeit im Unfallzeitpunkt noch nicht abgelaufen war, kündigte diese Gesellschaft auf den 26. Juli 2004. Nebstdem war die Beschwerdeführerin ab 1. April 2004 ebenfalls teilzeitlich in der Firma J._ AG angestellt. Auf Ende Oktober 2005 wurde auch diese Stelle von Arbeitgeberseite gekündigt. Damit bestand für eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit in einer der bisherigen Arbeitgeberfirmen keine Möglichkeit mehr. Anderweitige Versuche einer Verwertung ihrer Arbeitskraft unternahm die Beschwerdeführerin nicht, weil sie sich jeweils von vornherein auf den Standpunkt stellte, dass ihr auf Dauer ein Arbeitseinsatz nicht mehr möglich sein werde. Diese persönliche Einstellung wurde durch entsprechende ärztliche Bescheinigungen jeweils bekräftigt, wobei immerhin festzuhalten ist, dass der Psychiater Dr. med. H._ in einem Bericht vom 29. April 2005 aus psychiatrischer Sicht von einer bloss 30 %igen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen ist. Unter diesen Umständen ist fraglich, ob das Kriterium "erhebliche Arbeitsunfähigkeit", welches nach der präzisierten Rechtsprechung auch gewisse - hier kaum evidente - Anstrengungen zur Überwindung der Arbeitsunfähigkeit voraussetzt (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129 f.), als erfüllt gelten kann. Die Frage muss indessen nicht abschliessend geklärt werden, denn selbst wenn der Beschwerdeführerin erhebliche Beschwerden und eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen zugebilligt werden könnten, wären lediglich zwei der relevanten Kriterien - und dies jedenfalls nicht in ausgeprägtem Masse - erfüllt, was für eine Bejahung der adäquaten Unfallkausalität bei einem mittelschweren, im Bereich zu den leichten Unfällen liegenden Ereignis (E. 4.2 hievor) nicht genügt. Die Beschwerde wäre demnach auch bei einer - vom Vorgehen der SUVA und des kantonalen Gerichts abweichenden - Adäquanzprüfung nach BGE 134 V 109 abzuweisen.
5. Mit diesem Verfahrensausgang wird die Frage nach der beantragten aufschiebenden Beschwerdewirkung hinfällig.
6. Die Gerichtskosten sind von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um aufschiebende Beschwerdewirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl