Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 19. April 2007 lehnte es die IV-Stelle Basel-Landschaft ab, dem 1970 geborenen B._ eine Invalidenrente auszurichten. Zur Begründung wurde erklärt, der ermittelte Invaliditätsgrad belaufe sich lediglich auf 4 %.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft ab (Entscheid vom 15. Februar 2008, versandt am 15. August 2008).
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ein neurologisches Gutachten zu erstellen und die Beschwerdegegnerin entsprechend dem Ergebnis des Gutachtens anzuweisen, einen neuen Rentenentscheid zu fällen; eventualiter sei dem Beschwerdeführer eine IV-Rente in noch zu bestimmender Höhe zuzusprechen. In verfahrensmässiger Hinsicht wird beantragt, das Verfahren zu sistieren. Das überdies gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wurde mit Verfügung vom 16. Dezember 2008 abgewiesen.
Vorinstanz, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im Verfahren vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Tatsachen und Beweismittel, die nach Ablauf der Beschwerdefrist ausserhalb eines zweiten Schriftenwechsels geltend gemacht bzw. eingereicht werden, sind grundsätzlich unbeachtlich, es sei denn, sie vermöchten eine Revision des Gerichtsurteils zu rechtfertigen (BGE 127 V 353; SVR 2009 IV Nr. 10 S. 21 E. 3.1, 9C_40/2007).
1.3 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen beschlägt die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage (Art. 61 lit. c ATSG; BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.).
2. 2.1 Das kantonale Gericht gelangte zum Ergebnis, der Beschwerdeführer sei weder in organischer noch in psychischer Hinsicht in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt. Zur Begründung hat die Vorinstanz erwogen, es könne mit der IV-Stelle auf das Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ vom 2. Februar 2007 abgestellt werden. Dieses werde den rechtsprechungsgemässen Anforderungen an eine beweiskräftige ärztliche Stellungnahme gerecht und vermöge für den medizinischen Sachverhalt den vollen Beweis zu erbringen.
2.2 Der Beschwerdeführer lässt einwenden, sein Vertreter sei am 1. September 2008 vom Hausarzt telefonisch kontaktiert und darüber informiert worden, dass aus dessen Sicht ein neurologisches Gutachten hätte erstellt werden müssen. Dabei habe sich der Hausarzt auf Dokumente gestützt, die ihm von Dr. med. S._, Neurologie FMH, und von der orthopädischen Klinik des Spitals Y._ zugestellt worden seien. Diese Dokumente seien dem Versicherten und seinem Vertreter zuvor nicht bekannt gewesen. Sie begründeten Anspruch auf eine vollständige medizinische Abklärung des gesundheitlichen Zustandes. Aufgrund der vom neurologischen Facharzt festgestellten ischämischen Muskelschädigung Quadrizeps femoris rechts und ischämischen Neuropathie Nervus femoralis rechts sei ein entsprechendes neurologisches Gutachten zu erstellen, weil im vorangehenden Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ vom 2. Februar 2007 eine neurologische Begutachtung und Untersuchung unterlassen worden sei.
3. 3.1 Wenn das kantonale Gericht gestützt auf die ihm vorliegenden Akten dem Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ vollen Beweiswert zuerkannte, liegt darin keine Verletzung von Bundesrecht, denn die Expertise wird den von der Rechtsprechung entwickelten Anforderungen (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) gerecht. Die daraus abgeleitete Beurteilung der Arbeitsfähigkeit ist auf dieser Grundlage jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.3 hiervor). In der Beschwerdeschrift wird dies auch nicht bestritten. Vielmehr lässt der Versicherte geltend machen, ihm neu bekannt gewordene Informationen und Unterlagen hätten gezeigt, dass ergänzende Abklärungen in neurologischer Hinsicht erforderlich seien.
3. 3.1 Wenn das kantonale Gericht gestützt auf die ihm vorliegenden Akten dem Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ vollen Beweiswert zuerkannte, liegt darin keine Verletzung von Bundesrecht, denn die Expertise wird den von der Rechtsprechung entwickelten Anforderungen (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) gerecht. Die daraus abgeleitete Beurteilung der Arbeitsfähigkeit ist auf dieser Grundlage jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.3 hiervor). In der Beschwerdeschrift wird dies auch nicht bestritten. Vielmehr lässt der Versicherte geltend machen, ihm neu bekannt gewordene Informationen und Unterlagen hätten gezeigt, dass ergänzende Abklärungen in neurologischer Hinsicht erforderlich seien.
3.2 3.2.1 Die Argumentation, der medizinische Sachverhalt sei in neurologischer Hinsicht unzureichend abgeklärt worden, wurde im kantonalen Verfahren nicht vorgebracht. Die ihr zugrunde liegenden Behauptungen sind neu und wurden nicht im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG durch den vorinstanzlichen Entscheid veranlasst. Sie könnten deshalb nur berücksichtigt werden, wenn sie - entsprechend E. 1.2 am Ende hiervor - geeignet wären, eine Revision des bundesgerichtlichen Urteils zu begründen.
3.2.2 Den Akten ist zu entnehmen, dass Dr. med. S._ bereits am 30. September 2005 ein neurologisches Konsilium (inkl. EMG-Bericht) zuhanden von Dr. med. T._, Orthopädie FMH, verfasste. Dr. med. S._ wies schon damals auf eine Quadricepsatrophie hin. Zudem hielt er fest, er habe eine massiv erhöhte Muskelinkonsistenz gefunden, wie sie für eine ischämische Muskelschädigung oder Myositis typisch sei. Da der Patient neurophysiologisch nur schwer untersuchbar sei, rate er zu einem ergänzenden seitenvergleichenden MRI der Oberschenkelmuskulatur. Eine ischämische Alteration wäre im Seitenvergleich durchaus erkennbar. Dr. med. T._ hielt in einem Schreiben vom 21. November 2005 an die Klinik Z._ fest, eine MRI-Untersuchung habe den Verdacht von Dr. med. S._ nicht bestätigt. Im Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ werden sowohl der Bericht von Dr. med. S._ als auch - unter der Rubrik "nachträglich eingereichte Unterlagen" - der Befundbericht MRI des Oberschenkels beidseits durch I._ an Dr. med. T._ vom 9. November 2005 erwähnt. Letzterer wird zusammengefasst. Die Gutachter gelangten auf dieser Basis offenbar zum Ergebnis, ein neurologisches Teilgutachten sei entbehrlich. Vor diesem Hintergrund konnte das kantonale Gericht das Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ ohne Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich des Untersuchungsgrundsatzes [Art. 61 lit. c ATSG]) als beweiskräftig ansehen und in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Abklärungen - auch solche in neurologischer Hinsicht - verzichten. An diesem Ergebnis ändern die letztinstanzlich aufgelegten Unterlagen nichts. Der Umstand, dass Dr. med. S._ eine ischämische Muskelschädigung mit ischämischer Neuropathie vermutet, bildet angesichts der bereits bestehenden Vorakten keine Basis für einen Revisionsgrund. Ebenso wenig besteht Anlass für die beantragte Sistierung des Verfahrens. Eine nach dem 19. April 2007 (Erlass der Verwaltungsverfügung und damit zeitliche Grenze der gerichtlichen Prüfung; BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220) eingetretene Veränderung des Gesundheitszustandes wäre im Rahmen eines Neuanmeldungsverfahrens (Art. 87 Abs. 4 IVV) geltend zu machen. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger