Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene I._ war als Sekretärin in einem 60 %-Pensum in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 30. Mai 3003 einen Unfall erlitt. Sie wurde, auf einem Gartenstuhl sitzend, von einer Krähe attackiert, machte eine Ausweichbewegung, verlor dadurch das Gleichgewicht und stürzte mit dem Stuhl seitwärts/rückwärts um. Der wegen danach aufgetretener Beschwerden im Nacken- und Kopfbereich am 2. Juni 2003 aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte mit Bericht vom 20. Juni 2003 eine Kontusion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit. Bei den folgenden medizinischen Abklärungen wurde sodann von einem beim Unfall erlittenen HWS-Distorsionstrauma ausgegangen. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 12. August 2005 eröffnete sie der Versicherten, die Leistungen würden auf den 1. Oktober 2005 eingestellt; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung führte die SUVA aus, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 30. Mai 2003. Daran hielt die SUVA auf die von I._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 11. Mai 2006).
B. I._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gewährte ihr die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 10. Dezember 2007 ab.
C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und kantonalem Entscheid sei die SUVA zu verpflichten, ab 1. Oktober 2005 weiterhin Leistungen, insbesondere Heilbehandlung, Taggeld, eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung, zu erbringen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Mit Eingabe vom 9. April 2008 ergänzt I._, in Wahrnehmung des ihr gewährten rechtlichen Gehörs, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 30. Mai 2003 ab 1. Oktober 2005 weiterhin Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zur Prüfung der für einen Leistungsanspruch erforderlichen Unfallkausalität nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt. Darauf wird verwiesen.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass sich eine allfällige weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers einzig aus Beschwerden im Bereich von Nacken und Kopf ergeben kann. Gesundheitliche Probleme in anderen Körperregionen, unter anderem im unteren Rückenbereich, seien unfallfremd.
Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten richtig. Namentlich ist unwahrscheinlich, dass das von der Beschwerdeführerin erneut erwähnte Karpaltunnelsyndrom in einem ursächlichen Zusammenhang mit dem Unfall und der dabei erlittenen HWS-Verletzung steht. Die Beschwerden aus dem Syndrom waren im Übrigen ohnehin nur vorübergehender Natur und gegen Ende des Jahres 2004 weitgehend abgeklungen.
3. Die Vorinstanz ist im Weiteren zum Ergebnis gelangt, die persistierenden Beschwerden im Bereich von Nacken und Kopf seien natürlich unfallkausal. Sie liessen sich aber nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalles vom 30. Mai 2003 erklären. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Diese hat gemäss dem insofern unbestrittenen vorinstanzlichen Entscheid nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen.
4. 4.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 30. Mai 2003 als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Vorstellbar wäre zwar auch eine Einreihung bei den leichten Unfällen, wie dies die SUVA im vorinstanzlichen Verfahren noch geltend gemacht hatte. Dies muss nicht abschliessend geprüft werden, ist doch der adäquate Kausalzusammenhang auch bei der von der Vorinstanz angenommenen Unfallschwere zu verneinen, wie die folgenden Erwägungen ergeben.
4.2 Von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten für die Bejahung der Adäquanz entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffälliger Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und alle verneint. Demgegenüber erachtet die Versicherte sämtliche gemäss BGE 134 V 109 relevanten Kriterien für erfüllt.
4.2.1 Klar nicht erfüllt ist das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls. Dies gilt auch unter Berücksichtigung des erfolgten Angriffs einer Krähe.
4.2.2 Eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, ist ebenfalls zu verneinen. Entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung bestehen keine überzeugenden Hinweise dafür, dass bei einem ersten stationären Rehabilitationsaufenthalt eine Übertherapierung stattgefunden hat, welche eine solche Verschlimmerung mit sich brachte.
4.2.3 Es liegen auch kein schwieriger Heilungsverlauf und keine erheblichen Komplikationen vor. Namentlich ist nicht wahrscheinlich, dass das von der Versicherten in diesem Zusammenhang erwähnte Karpaltunnelsyndrom den Heilungsverlauf in Bezug auf die HWS-Verletzung in erheblicher Weise beeinträchtigt hat.
4.2.4 Was die verbleibenden Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung), der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) betrifft, ist festzuhalten, dass nebst der HWS-Problematik wesentliche unfallfremde Beschwerden aufgetreten sind, namentlich aufgrund des Karpaltunnelsyndroms und im unteren Rückenbereich. Wird nur die unfallbedingte Beeinträchtigung im Bereich Nacken und Kopf berücksichtigt, liegt von den besagten Kriterien höchstens und nicht in besonders ausgeprägter Weise dasjenige der erheblichen Beschwerden vor.
Was die Versicherte vorbringt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Das Auftreten von als erheblich geschilderten Schmerzen in der Nacht nach dem Unfall lässt nicht den Schluss auf eine schwere oder besonders geartete Verletzung zu. Sodann fanden zwar zwei stationäre Rehabilitationen statt. Im Übrigen beschränkten sich die Behandlungsmassnahmen aber im Wesentlichen auf ein- bis zweimal wöchentlich durchgeführte Physiotherapie mit Craniosacraltherapie und Osteopathie sowie auf ein Aquafit nebst bedarfsabhängiger Schmerzmedikation. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung liegt damit nicht vor. Schliesslich ergibt sich aus den Akten, dass während nicht unerheblichen Zeiträumen eine Arbeitsfähigkeit in teilweisem bis vollem Umfang der vor dem Unfall ausgeübten Erwerbstätigkeit ärztlich bestätigt und auch ausgeübt wurde. Zudem zeigen die Akten, dass die Versicherte, jedenfalls im späteren Verlauf, nicht bereit war, die von den beteiligten Fachärzten bestätigte Restarbeitsfähigkeit zumindest versuchsweise erwerblich umzusetzen. Es kann somit weder von einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit noch von besonderen Anstrengungen zu deren Überwindung ausgegangen werden.
4.2.5 Zusammenfassend liegt höchstens, und nicht in besonders ausgeprägter Weise, ein Kriterium vor. Die Vorinstanz hat daher den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 30. Mai 2003 und den noch bestehenden Beschwerden, und damit die Leistungspflicht des Unfallversicherers, zu Recht verneint.
5. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten kann gewährt werden (Art. 64 BGG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist und die Beschwerde (allerdings knapp) nicht als aussichtslos zu bezeichnen war (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz