Faits:
A. Les époux A.X._ et B.X._ se sont mariés le 4 mai 2002 à Dakar (Sénégal). Un enfant est issu de cette union: C.X._, née le 18 juin 2004 à Genève.
Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 7 octobre 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal «dès que [l'épouse] aura trouvé un nouveau logement», instauré une garde alternée et «fixé le lieu du domicile principal de l'enfant» chez son père. Ce jugement n'a pas été exécuté faute de séparation des parents.
B. Par nouveau jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 8 juin 2012, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué au père la garde de l'enfant et la jouissance exclusive du domicile conjugal, un délai au 15 juillet 2012 étant fixé à l'épouse pour qu'elle quitte ledit domicile.
L'épouse a interjeté appel contre cette décision, concluant notamment à l'attribution de la garde de l'enfant et du domicile conjugal; simultanément, elle a requis l'effet suspensif à son recours.
Par décision du 6 juillet 2012, le Président de la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a refusé d'accorder l'effet suspensif.
C. Par acte du 2 août 2012, l'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'assistance judiciaire. Elle sollicite au préalable l'octroi de l'effet suspensif à son recours; au fond, elle conclut principalement à l'annulation de la décision querellée et à l'octroi de l'effet suspensif à son appel contre le jugement du Tribunal de première instance, subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance inférieure pour nouvelle décision.
Des déterminations n'ont pas été demandées.
D. Par décision du 6 août 2012, la Présidente de la Cour de céans a refusé d'octroyer l'effet suspensif au recours en matière civile.
Considérant en droit:
1. La décision querellée refuse de suspendre l'exécution d'un jugement de mesures protectrices de l'union conjugale, objet d'un appel de la mère, attribuant la garde de l'enfant du couple et le logement conjugal au père et fixant un délai à la mère pour quitter dit logement. Il s'agit là d'une décision incidente en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; ATF 120 Ia 260 consid. 2b; arrêts 5A_834/2010 du 17 décembre 2010 consid. 1; 5D_16/2008 du 10 mars 2008 consid. 4).
Hormis les décisions mentionnées à l'art. 92 al. 1 LTF, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Selon la jurisprudence, la décision entreprise entraîne un préjudice irréparable, la garde étant en effet arrêtée pour la durée de la procédure et, même si la mère obtient finalement gain de cause au fond, aucune réparation ne sera possible pour la période écoulée (ATF 137 III 475 consid. 1 et les références).
Le Tribunal cantonal n'a pas statué sur recours mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'effet suspensif requis dans le cadre d'une procédure d'appel; le recours en matière civile est cependant admissible en vertu de l'art. 75 al. 2 LTF (ATF 138 III 41 consid. 1.1; 137 III 424 consid. 2.2).
Interjeté en temps utile par une partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale, contre une décision rendue dans une contestation non pécuniaire, le recours est également recevable au regard des art. 46 al. 2 et 100 al. 1 ainsi que 76 LTF.
2. La décision refusant l'effet suspensif, comme celle d'exécution provisoire, et celle de retrait ou d'octroi de l'effet suspensif (ATF 137 III 475 consid. 2; 134 II 192 consid. 1.5 et les références), est une décision de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF, de sorte que seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée.
Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 136 I 65 consid. 1.3.1; 134 V 53 consid. 3.3; 133 IV 286 consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2; cf. ATF 136 I 65 précité et 134 II 244 consid. 2.1). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 et les références).
3. La recourante reproche en définitive à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement appliqué l'art. 315 al. 5 CPC.
3.1 La décision attaquée refuse l'effet suspensif au motif que l'intérêt de l'enfant, dont la garde a été confiée au père, impose que ses parents vivent séparés, étant précisé que la jouissance du domicile conjugal a été attribuée au père, investi du droit de garde. Par ailleurs, il ressort du dossier que le Tribunal de première instance, se fondant sur les déclarations des parties, le rapport du SPMi du 13 avril 2012 et l'audition de l'enfant, a acquis la conviction que l'intérêt de celui-ci commandait de confier la garde au père. En dehors des éléments invoqués par le SPMi, qui peuvent être discutables - la mère contestant les reproches qui lui sont faits et le rapport du SPMi de 2010 concluant à une garde alternée -, le Tribunal de première instance a tenu compte de la grande détresse dans laquelle la mère disait se trouver, estimant que celle-ci semblait aujourd'hui dans une trop grande souffrance pour assumer sa fille au quotidien, l'intérêt de l'enfant - déterminant - commandant dès lors qu'elle soit confiée au père, mieux à même de répondre actuellement à ses besoins et de s'en occuper de manière adéquate.
La recourante expose qu'elle subit deux préjudices irréparables, le premier parce que la garde de l'enfant est arrêtée pour la durée de la procédure, le second parce que le domicile conjugal est attribué au père, de sorte qu'elle s'expose à une procédure d'expulsion. Elle précise d'ailleurs que, suite au changement de serrure par l'intimé, «le préjudice est déjà consommé», dès lors qu'elle se retrouve «à la rue depuis une semaine déjà». Elle critique en outre l'appréciation du bien de l'enfant par l'autorité cantonale, qui se serait fondée sur un rapport lacunaire du SPMi, et estime que dite autorité n'aurait pas dû tenir compte de ses déclarations quant à sa situation de détresse, émises «dans l'unique but de contrer le RSPMI». Soutenant qu'elle dispose de capacités éducatives égales à celles de son mari, elle expose aussi que la situation de famille, qui n'a pas changé depuis deux ans, aurait pu perdurer et qu'une pesée des intérêts penche en sa faveur. Il conviendrait dès lors, selon elle, d'octroyer l'effet suspensif à son appel, comme ordonné d'ailleurs, dans un premier temps, à titre superprovisionnel.
3.2 Selon l'art. 315 al. 4 let. b CPC, l'appel n'a pas d'effet suspensif lorsqu'il a pour objet des décisions portant sur des mesures provisionnelles. À teneur de l'art. 315 al. 5 CPC, l'exécution des mesures provisionnelles peut exceptionnellement être suspendue si la partie concernée risque de subir un préjudice difficilement réparable. Les mesures protectrices de l'union conjugale constituent des mesures provisionnelles au sens de l'art. 315 al. 4 let. b et al. 5 CPC (ATF 137 III 478 consid. 4.1 et les nombreuses références).
La notion de préjudice difficilement réparable se retrouve dans les conditions matérielles du prononcé de mesures provisionnelles (cf. art. 261 al. 1 let. b CPC) et dans celles de la suspension de l'exécution de ces mesures durant la procédure d'appel (cf. art. 315 al. 5 CPC). Dans les deux cas, le préjudice difficilement réparable peut être de nature factuelle; il concerne tout préjudice, patrimonial ou immatériel, et peut même résulter du seul écoulement du temps pendant le procès. Le dommage est constitué, pour celui qui requiert les mesures provisionnelles, par le fait que, sans celles-ci, il serait lésé dans sa position juridique de fond et, pour celui qui recourt contre le prononcé de telles mesures, par les conséquences matérielles qu'elles engendrent (ATF 138 III 378 consid. 6.3 et les références; arrêt 5A_194/2012 du 8 mai 2012 consid. 5.1.2).
Saisie d'une demande d'effet suspensif, l'autorité de recours doit faire preuve de retenue et ne modifier la décision de première instance que dans des cas exceptionnels; elle dispose cependant d'un large pouvoir d'appréciation permettant de tenir compte des circonstances concrètes du cas d'espèce (ATF 137 III 475 consid. 4.1).
3.3 La décision querellée confirme l'appréciation du Tribunal de première instance qui considère le père comme personne de référence, parent le plus apte à prendre soin de l'enfant, dans l'intérêt duquel les mesures protectrices sont prises. Les autorités cantonales ont tenu compte des différents éléments du dossier, dont le rapport du SPMI, même si certains éléments peuvent en être discutés sans qu'il n'y ait toutefois lieu de s'écarter des conclusions retenues. Au demeurant, même si la première décision de mesures protectrices de l'union conjugale, du 7 octobre 2010, avait prévu une «garde alternée», elle avait elle aussi attribué le logement conjugal à l'intimé et fixé le lieu de domicile principal de l'enfant auprès de son père. La recourante, qui fonde en partie son argumentation sur des faits nouveaux, voire non établis et, partant, irrecevables (art. 99 al. 1 LTF), entend en définitive opposer son appréciation à celle du juge cantonal; elle propose également une lecture partielle du rapport du SPMi, occultant par exemple le fait que ce rapport expose qu'il arrive que la mère aille vivre chez des amis. Autant que recevable, son argumentation n'est pas de nature à démontrer que le Président de la Chambre civile aurait arbitrairement refusé l'effet suspensif, en décidant de maintenir la situation ordonnée par le premier juge pour la durée de la procédure d'appel. La recourante ne saurait du reste se contenter d'opposer sa propre pesée des intérêts en présence pour démontrer l'arbitraire de la décision attaquée (cf. supra, consid. 2).
4. En conclusion, le recours doit être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité. Vu ce qui précède, les conclusions de la recourante étaient dépourvues de toutes chances de succès; partant, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 18 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot