Faits:
A. D._ a été engagé, le 1er novembre 2006, par l'Université de Neuchâtel comme administrateur Y._. Il a été nommé à ce poste à partir du 1er novembre 2008.
Informé d'abord oralement, puis par lettre du 9 septembre 2010, de l'intention du rectorat de supprimer son poste, D._ a fait valoir que cette suppression était contraire aux règles de la bonne foi; il a allégué avoir été victime de mobbing (cf. lettre du 29 septembre 2010). Par décision du 10 novembre 2010, la rectrice de l'Université de Neuchâtel a supprimé le poste de l'intéressé et mis fin aux rapports de travail avec effet au 31 mai 2011.
D._ a recouru contre cette décision devant le Département de l'éducation, de la culture et des sports du canton de Neuchâtel (ci-après: DECS). Par décision du 6 avril 2011, le DECS a rejeté le recours.
B. Par acte du 26 mai 2011, D._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et conclu, sous suite de dépens, à son annulation. Il a également requis l'annulation de la décision du 10 novembre 2010 de la rectrice de l'Université de Neuchâtel. Dans sa réponse du 21 juin 2011, l'Université de Neuchâtel a demandé le retrait de l'effet suspensif au recours et conclu au rejet de celui-ci. Le DECS a fait part de ses observations le 22 juin 2011. Le 27 juin 2011, D._ a conclu au maintien de l'effet suspensif et au rejet de la requête du 21 juin 2011. Le 17 août 2011, il s'est déterminé sur la prise de position du DECS.
Par la suite, D._ s'est enquis à deux reprises auprès du Tribunal cantonal de l'avancement de la procédure, soit les 12 avril et 8 juin 2012. Le 12 juin 2012, le Tribunal cantonal a répondu qu'il n'avait pas été en mesure de statuer sur sa cause en raison du nombre important d'affaires en attente d'être jugées.
C. Le 11 septembre 2012, D._ a interjeté un recours pour déni de justice. Sous suite de frais et dépens, il a conclu à la constatation d'un déni de justice de la part de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, et à ce qu'il soit ordonné à cette autorité de commencer, dans un délai de dix jours, l'instruction de la cause et l'administration des preuves requises.
Le 4 octobre 2012, la juridiction cantonale a présenté des observations sur le recours et indiqué qu'elle avait rendu son jugement le jour même dans la cause opposant D._ à l'Université de Neuchâtel et au DECS.
D._ s'est encore exprimé le 16 octobre 2012.
Considérant en droit:
1. Conformément aux art. 94 et 100 al. 7 LTF, le recours au Tribunal fédéral est recevable en tout temps si, sans en avoir le droit, la juridiction saisie s'abstient de rendre une décision sujette à recours ou tarde à le faire. En l'espèce, la cause au fond, qui relève des rapports de travail de droit public, aurait pu être portée devant le Tribunal fédéral (art. 83 let. g LTF a contrario et 85 al. 1 let. b LTF; cf. également arrêts 1C_547/2008 du 23 février 2009 consid. 2.1 et 1C_116/2007 du 24 septembre 2007 consid. 2). Le présent recours doit cependant être déclaré sans objet et rayé du rôle. En effet, le recourant ne dispose plus d'un intérêt juridiquement protégé à faire constater un éventuel retard à statuer, puisque l'arrêt, dont il demandait la notification, a été rendu le 4 octobre 2012, postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale.
2. 2.1 Lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.2 En vertu de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité, ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. Viole la garantie ainsi accordée, l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable. Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard en particulier à la complexité de l'affaire, au comportement du requérant et à celui des autorités compétentes, ainsi qu'à l'enjeu du litige pour l'intéressé (ATF 135 I 265 consid. 4.4 p. 277; 130 I 312 consid. 5.1 p. 331).
2.3 En l'occurrence, le recours a été interjeté devant l'autorité cantonale le 26 mai 2011. L'échange d'écritures s'est achevé par la détermination du recourant le 17 août 2011. Il n'y a pas eu d'autre mesure d'instruction. D._ a adressé deux lettres au tribunal cantonal pour s'informer de l'avancement de sa cause. Il a saisi le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice le 11 septembre 2012, avant que la juridiction cantonale n'ait rendu son jugement le 4 octobre 2012.
Devant l'autorité cantonale, le litige portait sur le bien-fondé de la décision, par laquelle l'Université de Neuchâtel a mis fin aux rapports de travail pour le 31 mai 2011. Il s'agissait en particulier de déterminer si cette décision avait été justifiée par des motifs objectifs ou si elle constituait en fait un licenciement déguisé, comme le soutenait le recourant, qui se plaignait également d'avoir été victime de mobbing de la part de son supérieur.
Au vu de ces éléments, un délai d'un peu plus d'une année entre la fin de l'échange d'écritures et le dépôt du présent recours, respectivement de quinze mois et demi depuis l'introduction du recours cantonal, n'apparaît pas excessif au point de constituer une violation du principe de la célérité. A titre de comparaison, le Tribunal fédéral a admis, au vu des circonstances, un retard inadmissible à statuer dans un cas où il s'était écoulé 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62; voir également arrêt 8C_613/2009 du 22 février 2010). En revanche, dans deux autres affaires (sans acte d'instruction), le Tribunal fédéral a jugé qu'un intervalle d'un peu plus de 18 mois se situait encore dans les limites admissibles (voir les arrêts 9C_433/2009 du 19 août 2009 et 8C_615/2009 du 28 septembre 2009).
Quoi qu'en dise le recourant, son dossier ne revêtait pas un caractère d'urgence par rapport aux cas de licenciement habituels. Au demeurant, l'octroi de l'effet suspensif au recours cantonal a permis au recourant d'assurer ses moyens d'existence pendant la durée de la procédure.
Dans ces conditions, le recourant n'aurait pas été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
3. Il s'ensuit que le recourant n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Il se justifie, vu les circonstances, de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Université de Neuchâtel et au Département de l'éducation, de la culture et des sports, du canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 12 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Reichen