Sachverhalt:
A. Der 1957 geborene S._ war als Systemanalytiker bei der X._ AG tätig und dadurch bei der Visana Versicherungen AG (nachfolgend: Visana) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 10. Juni 2009 liess er der Visana über die Arbeitgeberin melden, er habe sich am 23. Mai 2009 bei einer Motorradfahrt an der rechten Schulter verletzt. Im Spital Y._, welches der Versicherte am 24. Mai 2009 erstmals aufgesucht hatte, wurde eine traumatische Rotatorenmanschettenruptur diagnostiziert und am 15. Juni 2009 durch Dr. med. W._, Leitender Arzt an der Klinik Z._, eine Schulterarthroskopie (mit offener Naht der Rotatorenmanschette, Bizepsstenodese und Acromioplastik) durchgeführt (Spitalberichte u.a. vom 16. und 29. Juni 2009). Mit Verfügung vom 15. September 2009 verneinte die Visana ihre Leistungspflicht mit der Begründung, das Ereignis vom 23. Mai 2009 sei nicht geeignet gewesen, eine Rotatorenmanschettenruptur zu verursachen. Die diagnostizierten Verletzungen stünden somit nicht in einem überwiegend wahrscheinlichen Kausalzusammenhang zum besagten Ereignis. Daran hielt die Visana mit Einspracheentscheid vom 25. November 2009 fest, wobei sie sich namentlich auf das von ihr eingeholte Aktengutachten des Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 2. November 2009 stützte.
B. S._ und sein Krankenpflegeversicherer, die avanex Versicherungen AG (nachfolgend: avanex), reichten hiegegen je Beschwerde ein. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft vereinigte die beiden Verfahren. Der Versicherte legte eine Stellungnahme des Dr. med. W._ vom 3. Februar 2010 zum Gutachten des Dr. med. G._ auf. Dieser äusserte sich dazu in der von Visana eingeholten Stellungnahme vom 15. März 2010. Mit Entscheid vom 22. September 2010 hiess das Kantonsgericht die Beschwerden gut, hob den Einspracheentscheid vom 25. November 2009 auf und stellte fest, dass die Visana für die Folgen der am 23. Mai 2009 erlittenen unfallähnlichen Körperschädigung die gesetzlichen Leistungen zu erbringen habe.
C. Die Visana führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid "sei insoweit aufzuheben, als die Beschwerdeführerin die Leistungspflicht bis zur Vornahme der diagnostischen Schulterarthroskopie (SAS) anerkennt".
S._ und die avanex schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Vorab ist auf die teilweise Anerkennung einer Leistungspflicht gemäss Antrag und Begründung der Beschwerde einzugehen.
Die Visana führt aus, durch den Vorfall vom 23. Mai 2009 sei es, begünstigt durch die vorbestehende Rotatorenmanschettenruptur, zu einer vorübergehenden Beeinträchtigung des Vorzustandes (mässige Instabilität bei Klaviertastenphänomen) am AC-Gelenk rechts gekommen. Dabei handle es sich nicht um eine Diagnose im Sinne einer unfallähnlichen Körperschädigung. Aber die heftige Schmerzsymptomatik und die konsekutive Pseudoparalyse würden dadurch erklärt. Streng genommen wäre die Visana demnach im Sinne der Abklärungen bis inklusive der durchgeführten Sonographie zuständig, grosszügigerweise allenfalls inklusive der diagnostischen Schulterarthroskopie (vom 15. Juni 2009), nicht aber für den rekonstruierenden Anteil der Operation und dessen Heilbehandlung/Rehabilitation, weil hier unfallfremde Läsionen behandelt worden seien. Die Visana erkläre sich daher bereit, "die Kosten bis inklusive der Sonographie und der diagnostischen Schulterarthroskopie", nicht aber "für den rekonstruierenden Anteil der Operation und dessen Heilbehandlung/Rehabilitation", "als UVG-leistungspflichtige Behandlungen zu übernehmen".
Im Rahmen der damit umschriebenen Anerkennung einer beschränkten Leistungspflicht ist der vorinstanzliche Entscheid nicht angefochten und besteht kein Anlass zu Weiterungen.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob sich aus der diagnostizierten Rotatorenmanschettenruptur ein Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung ergibt. Dabei steht ein Leistungsanspruch aus unfallähnlicher Körperschädigung im Sinne von Art. 9 Abs. 2 lit. f UVV zur Diskussion.
Gemäss dem - gestützt auf Art. 6 Abs. 2 UVG ergangenen - Art. 9 Abs. 2 UVV sind verschiedene Körperschädigungen, sofern sie nicht eindeutig auf eine Erkrankung oder eine Degeneration zurückzuführen sind, auch ohne ungewöhnliche äussere Einwirkung Unfällen gleichgestellt. Rotatorenmanschettenrupturen zählen zu den in lit. f dieser Bestimmung aufgeführten Sehnenrissen (BGE 123 V 43).
Das kantonale Gericht hat die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zum Begriff der unfallähnlichen Körperschädigung, insbesondere auch zum Erfordernis eines äusseren Ereignisses, d.h. eines ausserhalb des Körpers liegenden, objektiv feststellbaren, sinnfälligen, eben unfallähnlichen Vorfalles, zutreffend dargelegt (vgl. BGE 129 V 466 E. 2.2 S. 467 und Urteil 8C_158/2007 vom 13. November 2007 E. 3, nicht veröffentlicht in: BGE 133 V 642). Gleiches gilt bezüglich des für einen Leistungsanspruch nach UVG erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem versicherten Ereignis mit den sich stellenden Beweisfragen (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181, auch zum Folgenden). Zu ergänzen ist, dass es auch eines adäquaten Kausalzusammenhanges bedarf, welcher aber bei einer organisch objektiv ausgewiesenen Gesundheitsschädigung, wie sie hier zur Diskussion steht, in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweis).
4. Das kantonale Gericht hat erkannt, der Beschwerdeführer sei mit seinem Motorrad auf einem Waldweg in einer Kurve geradeaus gefahren und habe wegen eines Baumes sehr stark abbremsen müssen. Dabei habe es ihn, da er in diesem Zeitpunkt auf den Pedalen gestanden habe und der Schwerpunkt entsprechend weit oben gewesen sei, "nach vorne über den Lenker geschlagen". Er habe sich mit aller Kraft an diesem festgehalten, um nicht nach vorne geschleudert zu werden. Das Erfordernis eines sinnfälligen (unfallähnlichen) Vorfalles sei damit erfüllt.
Die Visana anerkennt diese sachverhaltlichen Feststellungen und deren rechtliche Würdigung nunmehr ausdrücklich, nachdem sie im kantonalen Verfahren noch die Auffassung vertreten hatte, es fehle am sinnfälligen Ereignis. Es besteht diesbezüglich kein Anlass zu weiteren Ausführungen.
5. Umstritten ist, ob die Rotatorenmanschettenruptur bei diesem Ereignis eingetreten, mit anderen Worten natürlich kausal auf dieses zurückzuführen ist. Dabei würde für die Begründung eines Leistungsanspruchs nach Art. 9 Abs. 2 UVV genügen, wenn das Ereignis lediglich Auslösungsfaktor des Gesundheitsschadens war (BGE 129 V 466 E. 2.2 S. 467 und erwähntes Urteil 8C_158/2007 E. 3). Ob ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, beurteilt sich nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181).
Zur Kausalitätsfrage haben sich die Dres. med. W._ (in den Stellungnahmen vom 19. Oktober 2009 und 3. Februar 2010) und G._ (im Aktengutachten vom 2. November 2009 mit Ergänzung vom 15. März 2010) geäussert. Während der erstgenannte Arzt den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis vom 23. Mai 2009 und der Rotatorenmanschettenruptur bejaht, verneint ihn der letztgenannte.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es sei auf die von Dr. med. W._ vertretene Auffassung abzustellen. Diese Beurteilung vermag nicht zu überzeugen. Der Beschwerdeführerin kann aber ebenfalls nicht gefolgt werden, soweit sie gestützt auf Dr. med. G._ den natürlichen Kausalzusammenhang verneint. Es liegen sich diametral widersprechende Einschätzungen zweier Fachärzte vor. Um auf eine dieser Auffassungen abstellen zu können, müsste diese nachvollziehbar und schlüssig begründet sein, und zwar auch unter Berücksichtigung der übrigen medizinischen Akten, einschliesslich der für die gegenteilige Meinung vorgebrachten Argumente. Das trifft hier nicht zu. Die bestehenden Widersprüche werden weder durch den einen noch durch den anderen Facharzt in überzeugender Weise aufgelöst. Auch die weiteren medizinischen Akten bieten diesen Aufschluss nicht. Damit ist keine verlässliche Grundlage für die Beurteilung der Kausalitätsfrage gegeben. Es bedarf weiterer medizinischer Abklärung. Die Sache wird an das kantonale Gericht zurückgewiesen, damit es ein fachärztliches (Ober-)Gutachten einholt und anschliessend über die Beschwerde, soweit noch streitig (vgl. E. 2 hievor), neu entscheidet. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
6. Die Kosten des Verfahrens sind je hälftig von den unterliegenden Beschwerdegegnern zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 22. September 2010, soweit angefochten, aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden je hälftig den Beschwerdegegnern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Mai 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz