Faits:
A. C._, née en 1942, est affiliée à Futura, Caisse-maladie et accidents, pour l'assurance obligatoire des soins et diverses assurances complémentaires.
Le 28 mars 2003, le docteur B._, gynécologue, a fait savoir au médecin-conseil de Futura que sa patiente souffrait d'un carcinome mammaire au niveau du sein droit. Il a invité Futura à informer sa patiente des modalités de prise en charge d'une thérapie d'avant-garde, consistant en une chirurgie associée à une irradiation per-opératoire pratiquée par l'équipe du professeur V._ à M._ (Italie). Cette thérapie, qui n'était pas encore dispensée en Suisse, permettait d'éviter de nombreuses séances de radiothérapie post-opératoire s'étendant sur plus de six semaines. A l'issue de ses investigations, Futura a refusé d'accorder la garantie demandée, par lettre du 28 octobre 2003, car le traitement sollicité ne faisait pas partie du catalogue des prestations obligatoires et qu'un traitement adéquat existait en Suisse.
C._ a été hospitalisée à l'Institut européen d'oncologie de M._ du 6 au 8 novembre 2003. Le coût s'est élevé à 23'094,30 euros. Par décision du 18 juin 2004, confirmée sur opposition le 26 août 2004, Futura a refusé de prendre en charge le traitement subi en Italie aussi bien par l'assurance obligatoire des soins que par les assurances complémentaires de droit privé.
B. C._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève en concluant à la prise en charge du traitement subi en Italie, soit 23'094,30 euros, avec intérêts à 5 % dès le 31 décembre 2003.
Par jugement du 17 novembre 2005, la juridiction cantonale a rejeté le recours dans la mesure où il portait sur des prestations relevant de l'assurance obligatoire des soins.
C. C._ a interjeté recours de droit administratif contre ce jugement dont elle a demandé l'annulation, avec suite de dépens, en reprenant ses conclusions formées en première instance.
Mutuel Assurances, fondation issue de la fusion avec Futura, conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. La LAMal régit l'assurance-maladie sociale, qui comprend l'assurance obligatoire des soins et une assurance facultative d'indemnités journalières (art. 1a al. 1 LAMal; avant l'entrée en vigueur de la LPGA, le 1er janvier 2003, voir l'ancien art. 1 al. 1 LAMal [RO 1995 p. 1328]). En revanche, les assurances complémentaires pratiquées par les assureurs-maladie sont soumises au droit privé et régies par la LCA (art. 12 al. 2 et 3 LAMal). Les litiges qui pourraient survenir dans ce domaine entre assureurs et assurés sont donc du ressort du juge civil et ne peuvent pas faire l'objet d'un recours de droit administratif au Tribunal fédéral des assurances (cf. art. 47 LSA; ATF 131 V 271 consid. 2 et les références p. 274). Le fait que certains cantons - comme le canton de Genève - ont désigné, pour trancher les litiges relatifs aux assurances complémentaires, la même autorité que le tribunal des assurances qui est compétent pour connaître des contestations entre assurés et assureurs dans l'assurance sociale ne suffit pas pour ouvrir la voie du recours de droit administratif pour ce type de litiges. Il n'y a donc pas lieu d'examiner le cas sous l'angle des assurances complémentaires souscrites par la recourante.
3. Le litige porte sur la prise en charge par l'intimée d'un traitement médical subi à l'étranger.
4. Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige. En particulier, reprenant l'arrêt publié aux ATF 131 V 271 consid. 3.2 pp. 375 ss (K 78/05), ils ont rappelé à bon droit que l'efficacité, l'adéquation et l'économicité de traitements fournis en Suisse par des médecins est présumée (cf. art. 33 al. 1 LAMal a contrario; RAMA 2000 n° KV 132 p. 279 consid. 3 pp. 283 ss). Une exception au principe de la territorialité selon l'art. 36 al. 1 OAMal en corrélation avec l'art. 34 al. 2 LAMal n'est admissible que dans deux éventualités du point de vue de la LAMal. Ou bien il n'existe aucune possibilité de traitement de la maladie en Suisse; ou bien il est établi, dans un cas particulier, qu'une mesure thérapeutique en Suisse, par rapport à une alternative de traitement à l'étranger, comporte pour le patient des risques importants et notablement plus élevés (RAMA 2003 n° KV 253 p. 229 consid. 2 p. 231). Il s'agira, en règle ordinaire, de traitements qui requièrent une technique hautement spécialisée ou de traitements complexes de maladies rares pour lesquelles, en raison précisément de cette rareté, on ne dispose pas en Suisse d'une expérience diagnostique ou thérapeutique suffisante (Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2e éd, n° 482). En revanche, quand des traitements appropriés sont couramment pratiqués en Suisse et qu'ils correspondent à des protocoles largement reconnus, l'assuré n'a pas droit à la prise en charge d'un traitement à l'étranger en vertu de l'art. 34 al. 2 LAMal. C'est pourquoi les avantages minimes, difficiles à estimer ou encore contestés d'une prestation fournie à l'étranger, ne constituent pas des raisons médicales au sens de cette disposition; il en va de même du fait qu'une clinique à l'étranger dispose d'une plus grande expérience dans le domaine considéré (RAMA 2003 précité).
5. A l'appui de ses conclusions, la recourante relève que les premiers juges ont constaté que le traitement dont elle a bénéficié à M._ diffère de celui qui est pratiqué en Suisse, dans la mesure où une radiothérapie intra-opératoire s'est substituée à plus de trente séances de radiothérapie post-opératoire, avec un gain considérable de confort et la suppression de l'angoisse inévitablement liée à la nécessité de subir des séances de radiothérapie après une opération mutilante, une diminution de la toxicité sur le sein, avec la suppression des risques de brûlure et d'altération de la texture du sein, ainsi qu'une meilleure protection des autres organes. De surcroît, le coût total du traitement était inférieur à celui qui aurait été pratiqué en Suisse.
La recourante soutient essentiellement que le traitement qu'elle a subi en Italie était adéquat, efficace et plus économique, tout en lui apportant des avantages importants indéniables par rapport à la technique proposée en Suisse. A son avis, les juges cantonaux ont admis à tort qu'il n'existait pas de raison médicale impérieuse justifiant la prise en charge du traitement prodigué en Italie.
6. Lors de son audition par le Tribunal cantonal, le docteur A._, spécialiste en oncologie, a précisé que le traitement dispensé à M._ apporte un confort et un gain de temps, de même qu'il supprime le risque de brûlures et provoque nettement moins de modifications de la texture cutanée. Il a ajouté que cette technique deviendra le standard en Suisse dans cinq ou dix ans. Le docteur A._ a toutefois précisé que ce traitement ne présente pas d'avantages d'un point de vue médical strict (procès-verbal du 13 septembre 2005).
L'instruction de la cause a permis d'établir que la recourante aurait pu se faire soigner en Suisse où elle aurait bénéficié d'un traitement adéquat et efficace. De plus, il est avéré que le critère de l'existence de risques importants et notablement plus élevés, dans l'éventualité d'un traitement en Suisse, n'était pas non plus réalisé. Compte tenu de ces deux éléments, les premiers juges ont admis à juste titre (consid. 6 du jugement attaqué) que les avantages liés au traitement médical dispensé en Italie ne justifient pas de le mettre à la charge de l'assurance obligatoire des soins.
Le refus que l'intimée a signifié le 26 août 2004 était dès lors conforme au droit fédéral.
7. La recourante ne saurait se prévaloir de l'ALCP, les conditions mises à l'octroi des prestations litigieuses par l'art. 22 du règlement no 1408/71, applicable en vertu de l'Accord, n'étant manifestement pas remplies.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 26 février 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: