Erwägungen:
1. A._ (31. Mai 2005) und B._ (5. November 2007) sind die Kinder von X._. Da A._ seit dem 7. März 2011 den Kindergarten nicht mehr besuchte und auch eine Einschulung dieses Kindes durch die Eltern nicht stattfand, bemühte sich C._, Leiterin der Abteilung Sozialabklärungen, um ein Gespräch mit den Eltern; anlässlich einer Besprechung vom 11. November 2011 wies Frau C._ die Eltern darauf hin, dass ein Obhutsentzug und eine Fremdplatzierung der Kinder ins Auge gefasst würden, falls eine Einschulung von A._ unterbleibe. Da die Eltern nicht reagierten, entzog ihnen die Vormundschaftsbehörde St. Gallen mit Beschluss vom 7. Dezember 2011 die Obhut über A._ und B._ und ordnete deren Platzierung an einem vorerst geheimen Ort an. Der Beschluss wurde vollstreckbar erklärt.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der Eltern hob das Departement des Innern des Kantons St. Gallen am 15. Februar 2012 den Beschluss der Vormundschaftsbehörde auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und zu neuem Entscheid an die Vormundschaftsbehörde zurück. Für die Dauer des Abklärungsverfahrens ordnete das Departement im Rahmen vorsorglicher Massnahmen die Fremdplatzierung der Kinder an einem geeigneten fremden Ort an (4a) und wies die Vormundschaftsbehörde an, den Ort zu bestimmen (4b). Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen (5). Die Eltern erhoben gegen die Anordnung vorsorglicher Massnahmen, d.h. gegen die Dispositiv-Ziffern 4a, 4b und 5 beim Kantonsgericht St. Gallen der Rechtsmittelbelehrung entsprechend Beschwerde (FE.2012.11-EZE2) und ersuchten sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 31. Mai 2012 wies der Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab und forderte die Beschwerdeführer auf, für das Beschwerdeverfahren FE.2012.11-EZE2 innert 10 Tagen einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu leisten.
Die Eltern haben gegen den ihnen am 5. Juni 2012 zugestellten Entscheid am 5. Juli 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie ersuchen sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdesverfahren sowie für das Verfahren vor Bundesgericht und begehrten überdies die aufschiebende Wirkung. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Mit Verfügung vom 13. Juli 2012 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Beschwerdeführer haben ihre Beschwerde mit Eingabe vom 6. August 2012 ergänzt.
2. Der angefochtene Entscheid ist den Beschwerdeführern am 5. Juni 2012 zugestellt worden, womit die 30-tägige Beschwerdefrist am Donnerstag, 5 Juli 2012 abgelaufen ist (Art. 100 Abs. 1 und Art. 44 Abs. 1 BGG). Die am 6. August 2012 eingereichte Ergänzung der Beschwerde ist verspätet. Darauf ist nicht einzutreten.
3. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
4. Der Einzelrichter im Familienrecht hat geprüft, ob im Fall der Beschwerdeführer die Voraussetzungen des Art. 117 ZPO für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erfüllt sind. Im Einzelnen hat er zusammengefasst erwogen, nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung seien Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer seien als die Verlustgefahren und die deshalb nicht mehr als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gälten Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich die Gewinnaussichten und die Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer seien als diese. Die Prozesschancen seien in einer vorläufigen und summarischen Prüfung des Prozessstoffs abzuschätzen. Die Beschwerdeführer nennten keine konkreten Beschwerdegründe und setzten sich auch nicht im Einzelnen mit dem vorinstanzlichen Entscheid auseinander. Auch wenn an Laien keine zu hohen Anforderungen bezüglich der Begründung des Rechtsmittels zu stellen seien, erscheine es doch als fraglich, ob unter dem Gesichtspunkt der Begründung auf die Beschwerde einzutreten sei. Aufgrund des Entscheides des Departementes habe die Vormundschaftsbehörde weitere Abklärungen zu treffen und danach neu zu entscheiden. Die Beschwerdeführer könnten sich in diesem Verfahren einbringen. Im Weiteren werfe sich jede Seite gegenseitig fehlerhaftes Verhalten vor. Dokumente, die den Beschwerdeführern nicht zusagten, würden von ihnen kurzerhand als Fälschungen/Falsifikate bezeichnet, wobei sie die Begriffe nicht ihrem wahren Sinn entsprechend verstünden. Völlig unverständlich sei, dass sie das Angebot, die Kinder zu sehen, nicht angenommen hätten. Die Versuche der Behörden, Vertrauenspersonen der Eltern in das Gespräch mit einzubeziehen, hätten zu keiner Änderung ihrer generell ablehnenden Haltung geführt. Die Beschwerdeführer stellten viele Behauptungen in der Raum, ohne auch nur ansatzweise Beweise dafür anzubieten. Das Departement habe die Angelegenheit auf sachgerechte Weise "erwogen" und beurteilt. Dass die Beschwerdeführer keine realistischen Vorstellungen hätten, ergebe sich aus ihrer letzten Eingabe, gemäss welcher neu die Idee der "Schule zu Hause" aufgeworfen werde. In der konkreten allgemeinen und finanziellen Situation seien diese Lösung sowie der Besuch einer Privatschule offensichtlich völlig unrealistisch. Aufgrund der Gesamtkonstellation erscheine es zutreffend, dass das Departement des Innern für die Dauer der Abklärungen den bisherigen Zustand beibelassen habe. Mit einer dem Antrag entsprechenden Änderung oder einer Erteilung der aufschiebenden Wirkung würden die angeordneten Abklärungen offensichtlich unterlaufen.
5. Die Beschwerdeführer setzen sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids nicht den aufgezeigten Anforderungen (E. 2) entsprechend auseinander. Sie behaupten einfach, die Beschwerde sei aussichtsreich, ohne aber auf die gegenteilige und begründete Auffassung der Vorinstanz einzugehen und anhand dieser Erwägungen aufzuzeigen, inwiefern unter den berücksichtigten Tatsachen die Annahme der Aussichtslosigkeit Bundesrecht verletzen soll. Mit keinem Wort wird begründet, inwiefern die festgestellten Tatsachen willkürlich sein oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossen könnten. Die Beschwerdeführer beschränken sich über weite Strecken in einer Behauptung anderer als im angefochtenen Entscheid enthaltenen Tatsachen. Überdies ergehen sie sich in einem Spiel um Worte, indem sie einfach behaupten, ihnen sei nur gesagt worden, sie könnten die Kinder vielleicht sehen, wenn sie sich zu Gesprächen bereit erklärten. Insgesamt vermag die Beschwerde, den Begründungsanforderungen nicht zu genügen.
6. Auf die offensichtlich ungenügend begründete und damit unzulässige Beschwerde ist somit in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG durch den Einzelrichter nicht einzutreten. Angesichts der gewährten aufschiebenden Wirkung obliegt nun der Vorinstanz, eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen.
7. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
8. Da keine Gerichtskosten erhoben werden, die Beschwerdeführer keinen Anwalt mit der Wahrung ihrer Interessen betraut haben und ihnen somit insoweit keine ausgewiesenen Kosten entstanden sind, wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden