Erwägungen:
1. X._ (geb. 1983) stammt vermutlich aus dem Libanon. Die Fremdenpolizei der Stadt Biel nahm ihn am 6. August 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 8. August 2008 prüfte und bis zum 5. November 2008 bestätigte. Das Bundesgericht wies eine hiergegen gerichtete Beschwerde von X._ am 22. August 2008 ab, soweit darauf einzutreten war (2C_593/2008). Am 24. Oktober 2008 genehmigte der Haftrichter eine Verlängerung der Festhaltung bis zum 4. Mai "2008" (recte: 2009). Am 29. Oktober 2008 leitete das Haftgericht III Bern-Mittelland eine Eingabe von X._ an das Bundesgericht weiter; darin bringt dieser zum Ausdruck, dass er mit der Haftverlängerung nicht einverstanden sei und er auf keinen Fall in den Libanon zurückgehen werde.
2. 2.1 Auf die Eingabe ist mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten: Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht; die Ausführungen des Beschwerdeführers erschöpfen sich in der Erklärung, mit der Haftverlängerung nicht einverstanden und nicht bereit zu sein, in den Libanon zurückzukehren. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen im haftrichterlichen Entscheid nicht sachbezogen auseinander und legt auch nicht ansatzweise dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundes(verfassungs)recht verletzen könnte.
2.2 In der Sache selber wäre im Übrigen auf die Ausführungen im Urteil vom 22. August 2008 zu verweisen. Der Beschwerdeführer ist in der Zwischenzeit dem libanesischen Konsul vorgeführt worden; dieser geht davon aus, dass er tatsächlich aus dem Libanon stammt. Die entsprechenden Abklärungen sind gestützt auf das gemeinsame Rückübernahmeabkommen im Gang. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass sich die Behörden nicht weiterhin zielstrebig um den Vollzug der Wegweisung bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG).
3. Es sind praxisgemäss keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Fremdenpolizei der Stadt Biel wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar