Faits:
A. A.a Y._ est affilié auprès de X._ SA pour l'assurance obligatoire de soins et les assurances maladie et accident complémentaires « Complementa plus », « natura » et « ultra ». Cette dernière concerne l'hospitalisation en division privée ou en clinique, sans limitation du choix de l'établissement, et est entrée en vigueur le 1er janvier 2003.
Le 3 août 2005, une demande de garantie pour une hospitalisation de Y._ dès le 15 du même mois auprès de la Clinique T._ (ci-après: la clinique) a été adressée à l'assureur. Celui-ci a, le 24 août 2005, garanti le séjour en division privée.
Y._ a séjourné en chambre privée à la clinique du 15 août au 2 septembre 2005. Le 16 août 2005, il a subi une opération de l'épaule gauche pratiquée par le Dr A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Les frais d'hospitalisation se sont élevés à 31'215 fr. au total.
A.b Le 10 novembre 2005, sur la base des renseignements obtenus et de l'avis de son médecin-conseil, l'assureur a confirmé au Dr A._ prendre en charge en division privée la phase aiguë du traitement, à savoir du 15 au 23 août 2005. Pour le reste du séjour, l'assurance n'a accepté de verser que l'équivalent du forfait prévu pour une réadaptation, au titre de l'assurance obligatoire des soins. Ainsi, l'assureur a pris en charge, en qualité de tiers payant, le séjour à hauteur de 15'145 fr.30.
Le 23 novembre 2005, le Dr A._ a contesté la position de l'assureur, qui a ultérieurement confirmé sa décision.
B. Le 9 novembre 2006, Y._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant au paiement de 10'310 fr.40, plus intérêts à 5% dès le dépôt de la demande. Ce montant correspond à celui que l'assuré a dû s'acquitter auprès de la clinique, consécutivement à la suspension de la garantie d'hospitalisation à partir du 24 août 2005.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
Dans le cadre des enquêtes, les magistrats cantonaux ont procédé à l'audition du Dr A._ le 29 novembre 2007; le Dr B._, médecin-conseil de l'assureur, a été entendu à titre de renseignements.
Par jugement du 30 septembre 2008, le Tribunal cantonal des assurances a partiellement admis la demande et condamné la défenderesse à verser au demandeur la somme de 7'329 fr.70, avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 2006, ainsi qu'une indemnité de procédure de 3'750 francs.
En bref, la juridiction cantonale a considéré que, du 24 août au 2 septembre 2005, l'hospitalisation du demandeur visait encore le traitement de celui-ci et non pas sa réadaptation. Le Tribunal a retenu que la garantie d'hospitalisation a été donnée sans condition, en particulier sans limitation de durée, et qu'une prise en charge limitée à la phase aiguë du traitement ne ressortait pas des conditions générales. Les magistrats ont arrêté que, sur le vu des déclarations précises et circonstanciées du Dr A._, l'assurance, chargée du contrôle des conditions d'hospitalisation, s'est écartée à tort de l'appréciation de ce dernier. Ils ont en outre observé qu'un refus rétroactif de prise en charge, après que la garantie eût été accordée, n'est pas admissible.
C. C.a Contre cet arrêt, la défenderesse interjette un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut à l'annulation du jugement rendu le 30 septembre 2008, en ce sens que la demande introduite par la partie adverse soit rejetée.
Le demandeur invite le Tribunal fédéral à débouter la défenderesse de toutes ses conclusions et à confirmer l'arrêt entrepris, sous suite de frais et dépens.
C.b Par ordonnance présidentielle du 17 novembre 2008, l'effet suspensif a été accordé au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Une contestation entre un assuré et une caisse-maladie au sujet de prétentions découlant d'une assurance complémentaire soumise à la LCA constitue une affaire pécuniaire en matière civile, au sens des art. 72 al. 1 et 74 al. 1 LTF (ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s.; 124 III 44 consid. 1a/aa p. 46, 232 consid. 2b). Une décision statuant sur une telle contestation ne peut donc pas être attaquée par la voie du recours en matière de droit public (cf. art. 82 LTF) - comme indiqué dans le dispositif de l'arrêt attaqué -, mais bien par celle du recours en matière civile ou, si cette voie n'est pas ouverte, par celle du recours constitutionnel subsidiaire.
Dans le cas d'espèce, la valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF) et la cause ne correspond à aucun des cas de dispense prévus par la loi (art. 74 al. 2 LTF). Dès lors, seul entre en ligne de compte le recours constitutionnel subsidiaire, au sens des art. 113 ss LTF, dont les conditions apparaissent remplies en l'espèce. En effet, le recours, interjeté par la partie défenderesse qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (art. 115 LTF; cf. ATF 133 III 421 consid. 1.1 p. 425 s.), est dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 et 75 LTF). Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF), le recours constitutionnel subsidiaire est donc en principe recevable.
1.2 Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF).
2. La recourante se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et dans l'application du droit.
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 118 Ia 28 consid. 1b p. 30 et les arrêts cités).
2.2 La recourante prétend que l'instance inférieure n'a pas pris en compte un élément de preuve essentiel, à savoir l'avis médical du Dr B._, qui est propre à influencer le sort du litige, et qu'elle n'a pas indiqué les motifs de la prééminence de l'appréciation du Dr A._, médecin-traitant, au détriment de celle du médecin-conseil.
Il n'en est rien. Contrairement à ce que soutient la recourante, les magistrats cantonaux n'ont pas occulté la déposition du médecin-conseil, mais ont été convaincus par celle, précise et circonstanciée, du Dr A._. Ils ont en effet indiqué, à plusieurs reprises, que le spécialiste en chirurgie orthopédique avait de façon convaincante expliqué les raisons pour lesquelles le patient se trouvait, tout au long de son hospitalisation, en phase de traitement.
Le point de vue relaté par le médecin-conseil est au demeurant discuté à plusieurs reprises par les juges cantonaux, qui n'ont donc pas omis d'examiner le contenu de l'avis du Dr B._. Ainsi, les magistrats ont considéré, dans l'examen des phases de traitement, que si l'on devait s'en tenir aux termes de la facture - évoquée par le médecin-conseil dans sa déposition - la phase aiguë prendrait fin le lendemain de l'opération. Ils ont par ailleurs indiqué que la durée usuelle du type d'hospitalisation située entre deux et huit jours, à laquelle le médecin-conseil s'est référé, n'était qu'une échelle, une moyenne, qui ne tenait pas compte des particularités de chaque cas d'espèce, qu'il convenait pourtant d'examiner.
Pour répondre à la recourante qui rappelle que l'opinion du médecin-traitant doit être évaluée avec circonspection dès lors que celui-ci est enclin à prendre parti pour son patient, il convient d'observer que, dans le cas d'espèce, les magistrats genevois n'avaient pas à relativiser l'avis du médecin-traitant par rapport à celui du médecin-conseil, puisque l'un comme l'autre étaient liés aux parties. La recourante ne conteste en outre pas que la teneur du témoignage du spécialiste en orthopédie est précise et circonstanciée.
Dans ces circonstances, il n'est pas insoutenable, pour la cour cantonale, d'avoir favorisé les faits, précis et circonstanciés, tels que relatés par le Dr A._.
2.3 La recourante reproche encore à la cour cantonale d'avoir tiré des conclusions insoutenables des preuves recueillies.
A l'appui de son grief, la recourante reprend les circonstances évoquées par le Dr A._, à savoir la nécessité de garder l'accès au patient, l'aptitude de celui-ci à rentrer chez lui, l'immobilisation et la mobilisation deux fois par jour de l'épaule et la physiothérapie effectuée dès le début de la période litigieuse, et soutient que ces éléments de fait ne sont pas indissociables d'un séjour durant lequel sont essentiellement prodiguées des mesures médicales de réadaptation. Pour la recourante, la cour cantonale a, de manière insoutenable, déduit des considérations du Dr A._ que l'hospitalisation litigieuse n'avait pas pour finalité de faire retrouver au patient la fonction de son épaule.
La recourante construit son argumentation en opposant d'éventuelles mesures de réadaptation à tout traitement de l'affection, soit en excluant la juxtaposition des premières avec le second. Or, c'est précisément ce cas de figure, spécifique au cas particulier, qui est décrit par le spécialiste en chirurgie orthopédique, ce qui a manifestement échappé à la recourante. Il ressort en effet de la déposition du Dr A._ que, pendant la phase de traitement, des mesures de réadaptation ont été entreprises. En insistant sur les particularités du cas d'espèce, le chirurgien a bien mentionné que le patient devait rester sous son contrôle et que son épaule devait être tenue totalement immobile, à l'exception de la mobilisation deux fois par jour effectuée par un physiothérapeute.
Dans la mesure où il ressort clairement du témoignage litigieux que les mesures de réadaptation, à caractère ponctuel, intervenaient en sus du traitement de l'affection de l'intimé, on ne voit pas que l'autorité cantonale aurait fait une appréciation insoutenable de cet élément de preuve en retenant que toute la période d'hospitalisation était liée au traitement et non pas à la réadaptation.
Pour le surplus, la recourante se trompe manifestement de grief, lorsqu'elle reproche aux juges cantonaux de s'être mépris sur l'objet du litige en s'étant fondés sur la durée du séjour et non pas sur sa nature. Au demeurant, lorsque les magistrats ont indiqué que le spécialiste avait justifié de manière convaincante la durée de l'hospitalisation, ils se sont prononcés sur le caractère nécessaire de la durée de l'hospitalisation pour traiter l'affection et non pas sur la durée de l'hospitalisation en tant que telle, comme compris par la recourante.
Enfin, dès lors que la recourante ne prétend pas que l'autorité cantonale aurait fait une application arbitraire du droit fédéral en lien avec l'interprétation des conditions générales du contrat, il n'y a pas lieu d'examiner cette question.
3. La recourante reproche enfin à l'autorité cantonale de s'être fondée sur la garantie délivrée à l'établissement hospitalier pour la condamner à la prise en charge de l'hospitalisation contestée et dénonce, à cet égard, une violation de l'interdiction de l'arbitraire dans l'application du droit.
Ainsi, la recourante prétend que les juges cantonaux ont gravement méconnu le principe de la relativité des conventions, en élargissant les effets de la relation contractuelle nouée entre elle-même et l'établissement hospitalier à un tiers, soit à l'intimé.
La critique de la recourante est d'emblée infondée, puisque indépendamment de l'argument supplémentaire basé sur la garantie donnée à l'établissement hospitalier, l'autorité cantonale a posé que les conditions générales qui liaient les parties au litige ne prévoyaient pas de limitation de la prise en charge à la phase aiguë du traitement et que, comme toute la période d'hospitalisation était justifiée par le traitement et non pas par des mesures de réadaptation, l'assureur ne pouvait refuser le remboursement des frais.
En outre, l'autorité cantonale n'a fait que relever qu'une garantie d'hospitalisation sans condition engageait son auteur et que celui-ci ne pouvait pas revenir sur sa parole de façon rétroactive, sans pour autant prétendre - quoi qu'en dise la recourante - que la garantie de paiement donnée par l'assurance à l'établissement hospitalier liait également l'assurance à l'assuré. C'est donc en vain que la recourante se réfère à l'ATF 112 V 190 qui traite de cette dernière question, ainsi qu'au principe de la relativité des conventions.
Cela étant, on ne voit pas en quoi l'autorité cantonale aurait fait une application insoutenable du droit fédéral.
4. Sur le vu de ce qui précède, le recours est rejeté.
5. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires et dépens sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (Chambre 2).
Lausanne, le 8 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin