Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1959) und B._ (geb. 1970) heirateten am 5. Mai 2008. Sie sind Eltern des am 8. Februar 2008 geborenen Sohnes C._. Am 11. März 2013 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe. Unter anderem gestützt auf ein Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes (KJPD) U._ vom 25. September/6. Dezember 2012 wies es die elterliche Sorge über C._ der Mutter zu, entzog dieser jedoch die elterliche Obhut und ordnete eine Fremdplatzierung an. Die schon bestehende Beistandschaft nach Art. 308 ZGB wurde aufrechterhalten.
A.b. Am 8. September 2014 klagte A._ auf Änderung des Scheidungsurteils. Er beantragte unter anderem das alleinige Sorgerecht über C._; eventuell sei den Parteien die gemeinsame elterliche Sorge zuzuweisen, wobei ihm die Obhut zu überlassen sei.
Nachdem die Pflegefamilie das Pflegeverhältnis am 29. September 2014 auf den 31. Dezember 2014 gekündigt hatte, gab das Kantonsgericht den Parteien Gelegenheit, zur Frage des vorläufigen Aufenthalts des Kindes ab Januar 2015 Stellung zu nehmen. Zudem beauftragte es den KJPD V._ mit einer Begutachtung. Infolge einer Auseinandersetzung zwischen dem Lebenspartner von B._ und der Pflegemutter am Abend des 15. Dezember 2014 ersuchte die Pflegefamilie um eine sofortige Auflösung des Pflegeverhältnisses. Nach einer ergebnislosen Einigungsverhandlung entschied das Kantons gericht am 17. Dezember 2014, das Aufenthaltsbestimmungsrecht bei der zuständigen Kindesschutzbehörde zu belassen. C._ werde ab dem 19. Dezember 2014 vorläufig bei der Mutter platziert. Zudem regelte das erstinstanzliche Gericht das Besuchsrecht des Vaters, ersuchte es die zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB), die Alkoholabstinenz der Beklagten zu überwachen, und ordnete es eine sozialpädagogische Familienbegleitung für beide Parteien an. Die bestehende Beistandschaft sei fortzusetzen.
B.
Mit Eingabe an das Obergericht des Kantons Schaffhausen vom 29. Dezember 2014 erhob A._ Berufung mit den Anträgen, Sohn C._ sei vorübergehend bei ihm unterzubringen, eventuell über eine spezialisierte Organisation vorübergehend fremdzuplatzieren. In prozessualer Hinsicht ersuchte er unter anderem um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Vertretung).
Am 17. März 2015 wies das Obergericht die Berufung in der Sache ab (Dispositiv-Ziff. 1), ebenso das Gesuch des A._ um unentgeltliche Prozessführung und Vertretung für das Berufungsverfahren (Ziff. 2). Hingegen gewährte es B._ die unentgeltliche Vertretung (Ziff. 3). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 1'500.-- auferlegte es A._ (Ziff. 4). Dieser wurde ausserdem zu einer Parteientschädigung an B._ von Fr. 4'806.-- verpflichtet (Ziff. 5).
C.
Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 4. Mai 2015 führte A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Obergerichts vom 17. März 2015. Er beantragte die Aufhebung von dessen Dispositiv-Ziffern 2, 4 und 5. Es sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Die Kosten vor Vorinstanz seien den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und es sei von der Zusprechung einer Parteientschädigung abzusehen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege sowie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Es seien die Akten der vorinstanzlichen Verfahren sowie der KESB U._ beizuziehen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Obergericht liess sich am 21. September 2015 vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 140 IV 57 E. 2 S. 59; 138 I 435 E. 1 S. 439).
Die vor Bundesgericht allein angefochtene Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erfolgte im Rahmen des Entscheidseiner letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die vorläufige Regelung der Kindesobhut für die Dauer eines Verfahrens betreffend die Änderung eines Scheidungsurteils, somit über die Anordnung vorsorglicher Massnahmen (Art. 284 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 276 ZPO). Da die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege zusammen mit dem Entscheid in der Sache erging, der einen Endentscheid darstellt (vgl. BGE 134 III 426 E. 2.2 S. 431), handelt es sich auch beim Kostenentscheid nicht um einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG, sondern um einen Endentscheid (Art. 90 BGG; Urteil 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 1.2). Dass das Obergericht in diesem Punkt nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 BGG entschieden hat, macht die Beschwerde an das Bundesgericht nicht unzulässig (vgl. BGE 137 III 424 E. 2.2 S. 426 [betreffend Zwischenentscheide]).
Das Verfahren betreffend die vorläufige Unterbringung des Kindes ist nicht vermögensrechtlicher Natur. So wie bei einer Streitsache vermögensrechtlicher Natur die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist, wenn die vorinstanzlich streitig gebliebenen Begehren (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG) den erforderlichen Streitwert erreichen würden, der einzig angefochtene Kostenpunkt jedoch unter der Streitwertgrenze nach Art. 74 Abs. 1 BGG bleibt (BGE 137 III 47 E. 1.2.2 S. 48), gilt es hier, bereits unabhängig von der ohnehin nicht vermögensrechtlichen Natur der Hauptsache, keine Streitwertgrenze zu beachten, wenn die Hauptfrage erledigt und nur noch die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege offen ist (Urteil 5D_41/2007 vom 27. November 2007 E. 2.3; Jean-Maurice Frésard, in: Commentaire de la LTF, Corboz et al. [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 32 und 34 zu Art. 51 BGG; Beat Rudin, in: Basler Kommentar zum BGG, Niggli et al. [Hrsg.], 2. Aufl. 2011, N. 16 zu Art. 51; vgl. aber auch Urteil 5D_175/2008 vom 6. Februar 2009 E. 1.1). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 ff. BGG) sind ebenfalls erfüllt: Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen; er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 76 Abs. 1 BGG). Schliesslich ist die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2.
1.2.1. Steht somit die Beschwerde in Zivilsachen zur Verfügung, bleibt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum (Art. 113 BGG; Urteil 5A_103/2014 vom 4. Juni 2014 E. 1.3). Die Bezeichnung des Rechtsmittels als Verfassungsbeschwerde schadet nicht (vgl. BGE 136 II 497 E. 3.1 S. 499; 134 III 379 E. 1.2 S. 382). Ohnehin ist die Frage des zulässigen Beschwerdewegs insofern ohne Belang, als es sich in der Hauptsache, zu welcher der strittige Kostenentscheid erging, um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG handelt. Im Zusammenhang mit vorsorglichen Massnahmen kann wie bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 116 BGG) vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. BGE 133 III 393 E. 5 S. 396). Dies gilt auch dann, wenn nicht mehr die vorsorgliche Massnahme als Hauptsache, sondern nur noch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege strittig ist (erwähntes Urteil 5A_761/2014 E. 1.2 und 1.4). Daher gelangen die Art. 95 und 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG nicht zur Anwendung. Ebenfalls wie bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz dabei verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588; vgl. Urteil 5D_73/2012 vom 24. Mai 2012 E. 1.2).
1.2.2. Indessen vermag sich die strittige Rechtsposition bereits unmittelbar auf das verfassungsmässige Recht von Art. 29 Abs. 3 BV abzustützen (unten E. 4). Somit wirkt sich die Vorgabe, wonach mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 98 BGG), nicht einschränkend aus: Zum einen kann das Bundesgericht den Sachverhalt nach dem in E. 1.2.1 Gesagten berichtigen oder ergänzen, wenn ein Mangel in den tatsächlichen Feststellungen ein verfassungsmässiges Recht zu vereiteln droht. Zum andern ist die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auf Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens erkannt hat, frei überprüfbar.
1.3. Für Verfassungsrügen gilt unabhängig von der Beschwerdeart das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2, Art. 117 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen).
2.
Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege betrifft das Rechtsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer als Gesuchsteller und dem Staat; sie tangiert die Rechte und Pflichten der geschiedenen Ehefrau des Beschwerdeführers nicht. Diese ist daher im Gesuchsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege nicht Gegenpartei (BGE 139 III 334 E. 4.2 S. 343).
3.
3.1. Die Vorinstanz hatte eine vorsorgliche Massnahme nach Art. 284 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 276 ZPO zu überprüfen, mit welcher geregelt wurde, wie die Obhut des Sohnes der Parteien, C._, bis zum Entscheid über die beantragte Änderung des Scheidungsurteils auszugestalten sei. Im Scheidungsurteil war das Kind der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter - nicht aber deren Obhut - unterstellt worden. Seit Februar 2013 war es bei einer Pflegefamilie fremdplatziert. Diese kündigte das Pflegeverhältnis indessen auf Ende 2014. Nachdem die Pflegemutter am 16. Dezember 2014 einen tätlichen Angriff des Lebenspartners der Berufungsbeklagten auf sie an die KESB gemeldet hatte, ersuchte die Pflegefamilie darum, das Kind umgehend anderweitig unterzubringen.
3.2. Mit Urteil vom 17. März 2015 bestätigte das Obergericht die Anordnung des erstinstanzlichen Gerichts vom 17. Dezember 2014, Sohn C._ für die Dauer des weiterhin hängigen Abänderungsverfahrens vorläufig bei der "zur Ausübung der Obhut wieder grundsätzlich geeigneten Mutter" unterzubringen. In der Sache selber wurde dieser Entscheid nicht angefochten. Letztinstanzlich strittig ist allein, ob die Vorinstanz das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege verweigern durfte, weil die Berufung aussichtslos gewesen sei. Diese Frage ist frei zu überprüfen (oben E. 1.2.2), dies jedoch nur, soweit substantiiert begründete Rügen erhoben worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; E. 1.3).
4.
4.1. Nach Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit zur Wahrung ihrer Rechte notwendig, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Art. 117 ff. ZPO wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in Art. 29 Abs. 3 BV verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (BGE 138 III 217 E. 2.2.3 S. 218). Der verfassungsmässige Anspruch besteht unabhängig von der gesetzlichen Regelung; er kann unmittelbar geltend gemacht werden (Urteil 5A_711/2011 vom 21. Dezember 2011 E. 3.1).
4.2. Nach der bundesgerichtlichen Praxis zum Begriff der Nicht-Aussichtslosigkeit gemäss Art. 29 Abs. 3 BV (und Art. 117 lit. b ZPO) sind Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren, und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Die Frage lautet, ob eine Partei, welche über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Für die Beurteilung der Erfolgsaussichten massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (BGE 140 V 521 E. 9.1 S. 537; 139 III 475 E. 2.2 S. 476). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Elemente des hiefür erheblichen Sachverhalts erstellt sind (BGE 124 I 304 E. 2c S. 307; Urteil 5A_530/2014 vom 19. März 2015 E. 4.2).
4.3. Geht es, wie hier, um die Frage, ob die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren gewährt wird, ist massgebend, ob das Rechtsmittel aus Sicht einer vernünftigen Partei hinreichend erfolgversprechend war. Die Prognose ist vom Inhalt des angefochtenen Entscheides sowie davon abhängig, in welchen Punkten sowie mit welchen Rügen und (allenfalls neuen) Tatsachen der Gesuchsteller sich gegen diesen Entscheid wendet und ob die Vorbringen im Rechtsmittel zulässig sind. Wird dem erstinstanzlichen Urteil nichts Substanzielles entgegengesetzt, besteht die Gefahr, dass das Rechtsmittel als aussichtslos beurteilt wird (Urteile 4A_193/2012 vom 20. August 2012 E. 2.2 und 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 3.3).
5.
5.1. Die Vorinstanz verwarf zunächst das Hauptbegehren des Beschwerdeführers, Sohn C._ sei vorläufig bei ihm statt bei der Mutter unterzubringen. Das Gericht bezog sich auf die Erkenntnisse des Gutachters im Scheidungsverfahren (Expertise vom 25. September/6. Dezember 2012), wonach der Vater "aufgrund seiner völlig unklaren, ungeordneten und für die Zukunft sehr offenen Lebensumstände" nicht in der Lage sei, die Obhut für den Sohn zu übernehmen (E. 2.5 des angefochtenen Entscheids). Nun sei er vollzeitig, aber nicht zu einem existenzsichernden Lohn, in einem Beschäftigungsprogramm für Arbeitslose tätig. Im Übrigen bestreite er seinen Lebensaufwand durch die Sozialhilfe. Seit Mai 2014 verfüge er zwar über eine eigene 21 /2-Zimmer-Wohnung, womit eine Grundvoraussetzung für eine Obhutsübertragung erfüllt sei. Jedoch lege er nicht dar, wie er die dauerhafte Betreuung des Sohns konkret handhaben wolle; die massgebenden Lebensumstände und das soziale Umfeld seien auch nicht aus den Akten ersichtlich. Es komme daher nicht ernsthaft infrage, die faktische Obhut nach Beendigung der Fremdplatzierung bei der bisherigen Pflegefamilie vorläufig an den Vater zu übertragen. Der Hauptantrag sei offensichtlich unbegründet, die Berufung insoweit aussichtslos gewesen (E. 2.6 und E. 3).
5.2. Der Beschwerdeführer konnte bei Einreichung des kantonalen Rechtsmittels zwar für sich ins Feld führen, dass sowohl die Berufsbeiständin wie auch die Pflegefamilie ihm stets ein einwandfreies Verhalten in Belangen des Kindes attestierten (vgl. Schreiben der Berufsbeistandschaft W._ an die KESB vom 23. Oktober 2014 sowie vom 7. November 2013 a.E.; Schreiben des Pflegevaters an die KESB vom 24. Oktober 2014 sowie an den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers vom 16. Dezember 2014). Die vorinstanzliche Begründung zeigt indessen auf, dass eine Unterbringung von C._ beim Vater nicht in Frage kommt, solange er dessen Betreuung nicht gewährleisten kann. In diesem Zusammenhang ist auch der vom Obergericht hervorgehobene Umstand bedeutsam, dass das Kantonsgericht mit einer vorsorglichen Massnahme unverzüglich - und damit notwendigerweise summarisch - über den Aufenthalt des Kindes zu entscheiden hatte (E. 2.2 des angefochtenen Entscheids). Weiterführende Abklärungen können erst im Hinblick auf den späteren Entscheid in der Hauptsache erfolgen. Insoweit vermochte der Berufungskläger dem erstinstanzlichen Entscheid vor Obergericht nichts entgegenzusetzen, was geeignet gewesen wäre, das angefochtene Erkenntnis zu erschüttern. In dieser Hinsicht ist die vorinstanzliche Feststellung, die Berufung sei aussichtslos gewesen, verfassungskonform.
6.
Der Beschwerdeführer hatte im Berufungsverfahren überdies den Eventualantrag gestellt, der Sohn sei jedenfalls nicht bei der Mutter unterzubringen, sondern mithilfe einer spezialisierten Organisation vorläufig fremdzuplatzieren.
6.1. Dazu erwog die Vorinstanz, nach fachärztlichem Dafürhalten sei die Rückkehr in die eigene Familie einer Umplatzierung in eine weitere Pflegefamilie vorzuziehen. Soweit sei nicht zu beanstanden, dass das erstinstanzliche Gericht in erster Linie geprüft habe, ob das Kind vorläufig bei einem Elternteil untergebracht werden könne (E. 2.4). Der KJPD sei im Herbst 2012 davon ausgegangen, dass die Mutter "aufgrund ihrer geordneten und stabilen Lebensumstände und ihres emotionalen Engagements für den Sohn" grundsätzlich in der Lage sei, diesen adäquat zu betreuen und zu erziehen. Allerdings führten wiederholte Alkoholintoxikationen mitunter zu einer erheblichen Gefährdung des Sohns. Daher sei eine Obhutszuteilung an die Mutter erst ernsthaft zu prüfen gewesen, nachdem sie mindestens zwei Jahre lang erwiesenermassen abstinent gelebt habe (E. 2.5). Die KESB habe im Juni 2014 festgestellt, dass es seit mindestens 18 Monaten zu keinem "Alkoholrückfall" mehr gekommen sei. Auch Laborwerte wiesen darauf hin, dass das Alkoholproblem "zurzeit grundsätzlich behoben" sei. Das Kantonsgericht habe die vorläufige Platzierung bei der zur Ausübung der Obhut wieder grundsätzlich geeigneten Mutter einer erneuten, in ihrer Ausgestaltung ungewissen Fremdplatzierung vorziehen dürfen (E. 2.7). Die Vorinstanz schloss, auch die Erfolgsaussichten des Eventualantrages seien "angesichts dessen, dass die Gründe für den seinerzeitigen Obhutsentzug bei der Berufungsbeklagten offensichtlich nicht mehr bestehen", deutlich geringer als die Verlustgefahr (E. 3).
6.2.
6.2.1. Der Beschwerdeführer thematisierte die Eignung der Mutter im vorinstanzlichen Verfahren nicht nur unter Suchtaspekten. Vielmehr hatte er auch vorgebracht, die Beklagte habe nicht das Kindeswohl im Blick, sondern verfolge Eigeninteressen. Damit schade sie nicht nur dem Berufungskläger und den Pflegeeltern, sondern auch dem Sohn (vgl. Rz. 35 ff. und 53 ff. der vorinstanzlichen Berufungsschrift vom 29. Dezember 2014). Die Berufungsgegnerin bestritt diese Darstellung entschieden, dies etwa mit Hinweis auf ein Schreiben der Sohn C._ betreuenden Psychotherapeutin vom 16. November 2014, die sich für eine Unterbringung bei der Mutter aussprach, und einer Stellungnahme einer Psychologin des KJPD vom 20. Januar 2014 (Berufungsantwort vom 19. Januar 2015).
6.2.2. Unter Beziehungsaspekten führte das Obergericht aus, wohl sei davon auszugehen, dass die Mutter "in ihrem Engagement für den Sohn durchaus mit Dritten in Konflikt geraten" könne. Das erstinstanzliche Gericht habe nicht verkannt, dass ihr Verhältnis zum Berufungskläger und zu den früheren Pflegeeltern offensichtlich belastet, ihr Verhältnis zu Behörden von Misstrauen geprägt gewesen sei; es habe dem mit gewissen Auflagen Rechnung getragen. Jedoch könne nicht gesagt werden, die Mutter unternehme alles, um die Besuche des Vaters zu unterbinden. Daher bestehe kein Grund, die bei summarischer Betrachtung nach Lage der Akten prinzipiell gegebene Erziehungs- und Betreuungseignung der Berufungsbeklagten allein wegen angeblich fehlender Kooperationsbereitschaft doch noch zu verneinen (E. 2.7 des angefochtenen Urteils).
6.2.3. Es fragt sich, ob der Beschwerdeführer bei Einreichung der Berufungsschrift vor Obergericht mit Blick auf den Inhalt des erstinstanzlichen Entscheids einerseits und seine Darstellung der Sach- und Rechtslage anderseits (vgl. oben E. 4.3) in guten Treuen davon ausgehen konnte, die Gewinnaussichten seines Rechtsmittels seien nicht beträchtlich geringer als die Verlustgefahren (oben E. 4.2). Entgegen der vernehmlassungsweise vorgetragenen Ansicht des Obergerichts substantiiert der Beschwerdeführer vor Bundesgericht hinreichend (Art. 106 Abs. 2 BGG), inwiefern die Vorinstanz bei der materiellen Beurteilung seiner Rechtsbegehren - und damit auch bei der Frage nach der Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels - Gesichtspunkte ausser Acht gelassen habe, die seine kantonale Berufung als erfolgversprechend erscheinen liessen (vgl. Ziff. 61-88 der Beschwerdeschrift), nachdem sich schon das Kantonsgericht mit entsprechenden Vorbringen nicht befasst hatte. Schon deswegen kann dem Beschwerdeführer nicht vorgeworfen werden, er zitiere bloss selektiv aus den Akten (vgl. die vorinstanzliche Vernehmlassung S. 2).
So lag ein Schreiben der Berufsbeistandschaft vom 23. Oktober 2014 vor, wonach die Mutter und ihr Partner das Kind ohne Rücksicht auf dessen Wohlergehen im Rahmen eines Kampfes sowohl gegen die Pflegefamilie wie gegen den Kindsvater instrumentalisierten. Die Behörde warnte zudem davor, dass das Kind im Falle einer Unterbringung bei der Mutter - ohne die bisher als "Puffer" funktionierende Pflegefamilie - dem Streit der Eltern noch stärker ausgesetzt sein würde. Diese Einschätzungen und Hinweise passen zu Beobachtungen von weiteren mit dem Kind befassten Personen (vgl. Telefonnotiz der KESB vom 24. Oktober 2014) und auch zu aktenkundigen Schilderungen der Pflegeeltern. Es handelt sich um Elemente, die für die Frage einer Fremdplatzierung des Sohnes C._ mit entscheidungserheblich sind. Sie sind geeignet darzutun, dass das Vater-Kind-Verhältnis mit einer Platzierung bei der Mutter gefährdet sein könnte. Der Standpunkt des Beschwerdeführers, eine Fremdplatzierung diene dem Interesse des Kindes an einem Umgang mit beiden Eltern im Ergebnis besser als eine Unterbringung bei der Mutter, erscheint auch insoweit nicht unvertretbar, als die Eignung der Parteien zur Ausübung der Obhut im vorsorglichen Massnahmeverfahren noch Gegenstand einer laufenden gutachtlichen Abklärung war; die damit einhergehende Ungewissheit relativiert das vorinstanzliche Argument, die Unterbringung bei der Mutter verschaffe dem Sohn C._ am ehesten stabile Lebensverhältnisse.
6.3. Die Vorinstanz begründete die Aussichtslosigkeit des Eventualbegehrens sodann damit, einer Fremdunterbringung des Kindes für die Dauer des hängigen Abänderungsprozesses stehe nichts mehr entgegen, nachdem die Mutter den Nachweis erbracht habe, die Alkoholabhängigkeit während längerer Zeit überwunden zu haben. Damit hat das Obergericht aber nichts dazu gesagt, ob die einschlägige gutachtliche Empfehlung des KJPD aus dem Jahr 2012 auch im Lichte der seitherigen Entwicklung gültig ist; in Kindesbelangen gilt die Offizial- und Untersuchungsmaxime (Art. 296 ZPO). Zudem setzte sich die Vorinstanz nicht mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinander, die aus dessen Sicht weiterhin für eine Fremdunterbringung sprechen. Daher beruht der vorinstanzliche Schluss, das Rechtsmittel sei aussichtslos gewesen, hinsichtlich des Eventualbegehrens einmal auf einem unvollständigen Sachverhalt (vgl. E. 1.2.2). Indem das Obergericht potentiell entscheidungserhebliche Vorbringen des Berufungsklägers übergangen hat, fehlt es überdies an einer hinreichenden Begründung, weshalb seine Gewinnaussichten beträchtlich geringer gewesen sein sollten als das Risiko des Unterliegens. Darin wiederum liegt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. BGE 139 V 496 E. 5.1 S. 503; 139 IV 179 E. 2.2 S. 183). Unter diesem Aspekt wäre eine Rückweisung an die Vorinstanz indessen unverhältnismässig (vgl. zur Möglichkeit des Bundesgerichts, einen unvollständig festgestellten Sachverhalt zu ergänzen: BGE 136 V 362 E. 4.1 S. 366) : Aus dem in E. 6.2 hievor Gesagten ergibt sich ohne Weiteres, dass das Eventualbegehren in der Berufungsschrift vom 29. Dezember 2014 auf erneute Fremdplazierung nicht von vornherein aussichtslos war. Das Obergericht hat bei der Ablehnung der unentgeltlichen Rechtspflege zu sehr vom Ergebnis in der Sache her gedacht und zu wenig auf die Situation abgestellt, wie sie sich für den Beschwerdeführer zum Zeitpunkt der Berufung dargestellt hat.
7.
Hinsichtlich des Eventualbegehrens in der Berufung verletzt der angefochtene Entscheid den verfassungsmässigen Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtspflege (Art. 29 Abs. 3 BV), zumal die weitere Voraussetzung der Bedürftigkeit unstrittig erfüllt ist (vgl. E. 3 des angefochtenen Entscheids). Dagegen ist der Schluss, das Hauptbegehren sei aussichtslos, nicht zu beanstanden (oben E. 5).
7.1. Damit stellt sich die Frage, ob diese differenzierte Beurteilung in eine nur teilweise Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren münden muss. Das Bundesgericht erwog mit Urteil 4C.222/2005 vom 27. Oktober 2005, abzustellen sei auf die Erfolgschancen insgesamt, weshalb die unentgeltliche Rechtspflege auch dann vollumfänglich abzulehnen sei, wenn die Begehren in gewissen Teilpunkten nicht aussichtslos sind. In jenem Fall wies das Bundesgericht das Gesuch insgesamt ab mit der Begründung, eine nicht bedürftige Partei hätte das Rechtsmittel bei vernünftiger Überlegung nicht eingereicht, weil der nicht aussichtslose bzw. begründete Teilaspekt streitwertmässig nur eine sehr untergeordnete Bedeutung hatte und die Kosten des Gegenanwalts diesen Prozessgewinn bei weitem überstiegen (E. 9.2). Im Urteil 5P.432/2006 vom 14. Mai 2007 stellte das Bundesgericht klar, dass die unentgeltliche Rechtspflege (jedenfalls) teilweise zu gewähren ist, eine vollumfängliche Ablehnung des Gesuchs dagegen Art. 29 Abs. 3 BV verletzen würde, wenn der nicht aussichtslose Teil der Beschwerdebegehren nicht nur von ganz untergeordneter Bedeutung ist bzw. als Bagatelle bezeichnet werden kann (E. 5.4). Scheinbar abweichend davon beschränkte das Bundesgericht die Möglichkeit, die unentgeltliche Rechtspflege bloss teilweise zu gewähren, im Urteil 5A_264/2012 vom 6. Dezember 2012 auf Ausnahmefälle (E. 5.2). Dabei bezog es sich unter anderem auf das Urteil 6B_588/2007 vom 11. April 2008 (E. 6.2). Dort hatte das Bundesgericht den Regelfall einer gesamtheitlichen Betrachtungsweise indes aus der Überlegung abgeleitet, das Gesetz verlange die Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren und nicht einzelner Rügen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit ist an sich noch nichts darüber gesagt, ob der im Urteil 5A_264/2012 vertretene Grundsatz, wonach die unentgeltliche Rechtspflege regelmässig nur ganz - oder dann gar nicht - gewährt wird, der im Urteil 5P.432/2006 vorgesehenen Differenzierung auch dann entgegensteht, wenn nicht bloss Rügen, sondern Rechtsbegehren teilweise aussichtslos sind.
7.2. Die Frage muss an dieser Stelle jedoch nicht beantwortet werden. Denn die Urteile 4C.222/2005, 5P.432/2006 und 5A_264/2012 betrafen jeweils Teilbegehren, welche entweder anhand ihres Streitwertes oder wegen unterschiedlicher Gegenstände je für sich gewichtet werden können. Im Unterschied dazu ging es im vorinstanzlichen Berufungsverfahren um ein Haupt- und ein Eventualbegehren zum gleichen, nicht vermögensrechtlichen Gegenstand. Für die Frage, ob die unentgeltliche Rechtspflege differenziert beurteilt werden soll, kann es hier höchstens darauf ankommen, welchen Aufwand die Anträge bei der Ausarbeitung der Beschwerdeschrift sowie auf Seiten des Gerichts jeweils verursacht haben. Dazu ist festzustellen, dass die Berufung vor Obergericht weniger vom - mit dem Hauptbegehren verfolgten - Interesse an einer vorläufigen Unterbringung des Sohnes beim Vater bestimmt war als vom Anliegen, eine Platzierung bei der Mutter zu verhindern. Der Beschwerdeführer wollte offenkundig eine Unterbringung erreichen, welche seinen Umgang mit dem Sohn möglichst nicht belastet und auch den späteren Entscheid im Abänderungsverfahren nicht präjudiziert. Diese Vorgabe war aus seiner Sicht bei einem Aufenthalt des Kindes bei Pflegeeltern erfüllt. Der Grossteil des in der Berufungsschrift betriebenen argumentativen Aufwandes betraf denn auch die Begründung des auf eine Fremdplatzierung abzielenden Eventualbegehrens.
7.3. Unter diesen Voraussetzungen rechtfertigt es sich, die Berufung insgesamt als nicht aussichtslos einzustufen. Die Sache ist an das Obergericht zurückzuweisen, damit es eine Entschädigung unter dem Titel der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das kantonale Berufungsverfahren festlege und den Beschwerdeführer (einstweilen) von den Gerichtskosten befreie (Art. 107 Abs. 2 erster Satz BGG). Hingegen kann dem Begehren um Befreiung von der an die Gegenpartei zu bezahlenden Parteientschädigung (vgl. Ziff. 5 des vorinstanzlichen Urteilsdispositivs) nicht stattgegeben werden (Art. 118 Abs. 3 und 122 Abs. 1 lit. d ZPO).
8.
Der Beschwerdeführer wirft noch die Frage auf, ob das Obergericht die Kosten im Verhältnis unter den Parteien des Hauptverfahrens praxisgerecht verteilt habe. Dies liegt indessen weitgehend im Ermessen des erkennenden Gerichts (vgl. Art. 104 ff. ZPO). Der Beschwerdeführer macht denn auch nicht geltend, der angefochtene Entscheid sei in dieser Hinsicht willkürlich (vgl. oben E. 1.2.1). Auf das insofern nicht mit einer Begründung versehene Rechtsbegehren ist nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
9.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit diesem Entscheid gegenstandslos.
10.
Dem unterliegenden Gemeinwesen werden im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege praxisgemäss keine Gerichtskosten auferlegt (Art. 66 Abs. 4 BGG; Urteile 5A_875/2014 vom 20. Mai 2015 E. 6, 5A_849/2014 vom 30. März 2015 E. 6, 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 4, 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 4, 5A_305/2013 vom 19. August 2013 E. 4; vgl. auch BGE 109 Ia 5 E. 5 S. 11; anders aber Urteil 5A_897/2013 vom 8. Juli 2014 E. 4). Hingegen hat das Gemeinwesen als unterliegende Partei für die Parteikosten des Beschwerdeführers aufzukommen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Entschädigung ist dem Anwalt des Beschwerdeführers geschuldet. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Rechtsmittel wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Dispositiv-Ziff. 2 und 4 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 17. März 2015 werden aufgehoben. Dem Beschwerdeführer wird für das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung erteilt sowie Rechtsanwalt Beat Wieduwilt als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine Entschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren zuspreche und den Beschwerdeführer einstweilen von den Gerichtskosten befreie.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Schaffhausen hat Rechtsanwalt Wieduwilt für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub