Faits:
A. Titulaire d'un diplôme d'assistante dentaire, Y._ a travaillé dans le cabinet de X._, médecin-dentiste à ..., une première fois du 1er mars au 15 juillet 2006, sur la base d'un contrat de durée déterminée, puis une seconde fois, pour une durée indéterminée, à partir du 1er septembre 2006, contre un salaire mensuel brut de 1'400 fr. pour un taux d'occupation de 40%.
Dans le courant des mois de septembre/octobre 2006, les parties ont modifié d'un commun accord le contrat de travail en ce sens qu'elles y ont inclus l'obligation pour la travailleuse de se former en radiologie afin d'obtenir la reconnaissance de son diplôme dans le canton de Fribourg et qu'elles ont limité la durée des rapports de travail au 15 juillet 2007, la possibilité de reconduire le contrat en cas de réussite des examens étant réservée.
L'accomplissement de la formation envisagée et l'obtention de l'équivalence dans le canton de Fribourg de son diplôme vaudois n'étant pas aussi aisés que prévu, la travailleuse a préféré y renoncer, d'autant plus qu'elle était enceinte et qu'elle a accouché le 26 avril 2007. Elle ne s'est donc pas inscrite aux examens de radiologie censés valider sa formation.
Une fois le délai d'inscription à ces examens échu, X._ a résilié le contrat de travail de Y._, avec effet immédiat, le 18 janvier 2007. Elle a toutefois versé intégralement le salaire dudit mois à la travailleuse.
B. B.a Le 18 mai 2007, Y._ a saisi le Président de la Chambre des prud'hommes de la Gruyère (ci-après: le Président) d'une demande tendant notamment au paiement, par X._, de 6'920 fr. 30, à titre de salaire brut du 1er février au 15 juillet 2007, et de 870 fr. 75 pour des vacances non prises.
La défenderesse a conclu au rejet intégral de la demande.
La Caisse de chômage Z._ est intervenue dans le litige pour y faire valoir, en vertu de la subrogation légale, une créance de 4'585 fr. 60 correspondant aux indemnités versées à la demanderesse.
Par jugement du 8 novembre 2007, le Président, admettant partiellement la demande, a reconnu la défenderesse débitrice de la demanderesse du montant de 6'920 fr. Il a ordonné que cette somme soit versée à l'intervenante à concurrence de 4'585 fr. 60 et a rejeté la demande pour le surplus.
B.b La défenderesse a recouru contre ce jugement. Elle a conclu préalablement à la réouverture de la procédure probatoire et, principalement, à l'annulation dudit jugement ainsi qu'au rejet de toutes les conclusions de la demande.
L'intervenante a conclu au rejet du recours.
Quant à la demanderesse, elle en a fait de même tout en reprenant, à titre subsidiaire, ses conclusions pécuniaires cumulées s'élevant à 7'791 fr. 05.
Statuant par arrêt du 15 mai 2009, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a déclaré le recours irrecevable.
C. Le 2 juillet 2009, la défenderesse a formé un recours constitutionnel subsidiaire en vue d'obtenir l'annulation de l'arrêt précité et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour réouverture de la procédure probatoire.
L'effet suspensif a été accordé audit recours à titre superprovisoire par ordonnance présidentielle du 8 juillet 2009.
Par lettre du 15 juillet 2009, l'intervenante a fait savoir au Tribunal fédéral qu'elle s'en remettait à justice tant sur le recours que sur la demande d'effet suspensif présentée par la recourante. La cour cantonale en a fait de même par lettre du 5 août 2009.
Le 28 août 2009, la demanderesse, agissant seule, a déposé une réponse au terme de laquelle elle conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse de la cause n'atteint pas le minimum légal de 15'000 fr. prévu pour le recours en matière de droit du travail (art. 74 al. 1 let. a LTF) et aucun des cas de dispense (art. 74 al. 2 LTF) n'est réalisé. Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) est ouvert en l'espèce; c'est d'ailleurs cette voie que la recourante a empruntée.
1.2 Le jugement attaqué est une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) prise sur recours par le tribunal supérieur du canton concerné (art. 114 et 75 LTF).
La recourante a pris part à l'instance précédente et a succombé dans ses conclusions libératoires; elle a donc qualité pour recourir (art. 115 LTF).
Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le présent recours est recevable.
1.3 Comme cela ressort de son intitulé, le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 117 et 106 al. 2 LTF). L'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel a été violé, selon lui, et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF; ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2. Dans un premier moyen, la recourante invoque l'art. 118 LTF pour réclamer la rectification et le complètement des constatations de l'autorité précédente. Force est toutefois de souligner d'emblée qu'elle n'indique pas, avec la précision requise, les constatations qu'il conviendrait de corriger ni celles qu'il y aurait lieu de compléter. En réalité, ce n'est pas tant aux constatations elles-mêmes que la recourante s'en prend, mais plutôt à la manière dont les juridictions cantonales ont appliqué certaines dispositions du droit de procédure civile fribourgeois ainsi qu'à la conduite du procès. Comme ces deux points font l'objet de griefs spécifiques, ils seront examinés séparément ci-après.
3. La recourante se prévaut ensuite de la protection contre l'arbitraire, garantie par l'art. 9 Cst.
3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
3.2 A suivre la recourante, la IIe Cour d'appel civil, qui lui reproche le défaut de motivation de son mémoire de recours, aurait elle-même rendu un arrêt "particulièrement pauvre en motivation". A supposer qu'une telle remarque puisse constituer un grief en bonne et due forme, celui-ci serait irrecevable. Le droit d'obtenir une décision motivée relève, en effet, de la garantie du droit d'être entendu, au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445), et n'a donc rien à voir avec la protection contre l'arbitraire, assurée par l'art. 9 Cst.
3.2 A suivre la recourante, la IIe Cour d'appel civil, qui lui reproche le défaut de motivation de son mémoire de recours, aurait elle-même rendu un arrêt "particulièrement pauvre en motivation". A supposer qu'une telle remarque puisse constituer un grief en bonne et due forme, celui-ci serait irrecevable. Le droit d'obtenir une décision motivée relève, en effet, de la garantie du droit d'être entendu, au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445), et n'a donc rien à voir avec la protection contre l'arbitraire, assurée par l'art. 9 Cst.
3.3 3.3.1 Dans son mémoire d'appel, la recourante s'était plainte, entre autres vices procéduraux, de la violation, par le Président, de l'art. 214 CPC/FR relatif au droit de refuser de témoigner. La cour cantonale lui a donné raison sur le principe, reconnaissant, avec elle, que le magistrat intimé avait indiqué à tort à trois employées de la défenderesse citées comme témoins qu'elles pouvaient refuser de témoigner en raison de cette qualité-là, l'une d'entre elles (A._) ayant d'ailleurs fait usage de cette pseudo-exemption.
Cependant, les juges cantonaux relèvent que, dans son mémoire d'appel, la recourante n'a formulé aucune offre de preuve avec des faits déterminés qu'elle voudrait voir instruits en appel, mais qu'elle a, au contraire, renoncé implicitement à se prévaloir de la violation de la disposition citée en affirmant n'avoir pas de nouvelles preuves à faire administrer et "ne souhaiter que la réaudition des témoins déjà entendus (termes soulignés dans l'arrêt attaqué) ainsi que des parties". Ils ajoutent, en citant un exemple, que la requête de la recourante tendant à la réouverture de la procédure probatoire est purement abstraite et, partant, irrecevable.
3.3.2 Dans une argumentation de type appellatoire et peu compréhensible au demeurant, la recourante reproche aux juges d'appel d'avoir retenu arbitrairement une renonciation de sa part à se prévaloir de la violation de l'art. 214 CPC/FR (RSF 270.1) commise par le Président. A son avis, la cour cantonale ne pouvait pas déduire de la phrase susmentionnée, citée entre guillemets, en particulier de l'expression "déjà entendus", que les témoins avaient été entendus conformément au droit, étant donné que l'utilisation de ces termes, replacés dans leur contexte, visait évidemment à "éviter une précision nominale fastidieuse".
Si la recourante a été mal comprise par la cour cantonale du fait de l'imprécision des termes "déjà entendus" figurant dans son mémoire d'appel, elle ne peut s'en prendre qu'à elle-même. Son explication n'est du reste pas convaincante dans la mesure où, justement, la seule personne ayant "profité" de la violation avérée de la disposition en cause, à savoir A._, est l'unique témoin à n'avoir pas été entendu par le Président. Quant aux deux autres employées, elles ont été entendues par le juge de première instance, après qu'elle eurent renoncé à se prévaloir de la pseudo-exemption que ce magistrat leur avait faussement indiquée. Dans ces conditions, il était à tout le moins soutenable d'admettre que la recourante avait renoncé à se prévaloir de la violation de l'art. 214 CPC/FR.
Il est possible que l'intéressée se soit bornée, en réalité, à solliciter une réouverture de la procédure probatoire. Mais alors, elle doit se laisser opposer les arguments sur lesquels la cour cantonale s'est fondée pour écarter sa requête de ce chef et qu'elle ne parvient pas à réfuter dans son recours, à savoir, d'une part, l'absence d'offres de preuve en relation avec des faits déterminés, contestés et non établis ainsi que, d'autre part, le caractère purement abstrait de sa requête. De surcroît, la recourante n'indique pas quelle disposition du droit de procédure fribourgeois les juges d'appel auraient violée en n'admettant pas ladite requête. Reprocher, dans ce contexte, à ceux-ci d'être de "mauvaise foi", comme elle le fait par ailleurs, ne saurait suppléer ce défaut de motivation.
3.3.3 Au premier paragraphe du considérant 4 de son arrêt, la IIe Cour d'appel civil écrit ceci: "La recourante se livre ensuite à un commentaire du jugement querellé paragraphe par paragraphe (...), qui serait censé fonder ses conclusions principales tendant au rejet de la demande et de l'intervention". Aux yeux de la recourante, ce paragraphe contiendrait un reproche injustifié, car elle n'a fait que se conformer aux réquisits de l'art. 294 al. 2 let. b CPC/FR, lequel exige que le mémoire d'appel contienne l'indication exacte des points du jugement qui sont attaqués. Il y aurait là une nouvelle preuve du caractère arbitraire de la décision entreprise.
On peine à discerner un véritable reproche fait à la recourante dans le paragraphe mis en évidence par celle-ci. De toute façon, quand cela serait, il ne ressort nullement de l'arrêt attaqué que la cour cantonale aurait déclaré l'appel irrecevable parce que son auteur s'est livré à une critique "paragraphe par paragraphe" du jugement de première instance. Le grief examiné tombe, dès lors, à faux.
4. 4.1 Dans un dernier groupe de moyens, la recourante dénonce le fait qu'elle s'est vu refuser l'assistance d'un avocat pour l'audition des témoins, alors que l'intimée aurait bénéficié, elle, de l'assistance "pratique et psychologique" de l'intervenante. Un tel refus résulterait, à ses yeux, d'une application arbitraire de l'art. 36 al. 1 de la loi du 22 novembre 1972 sur la juridiction des prud'hommes (LJP/FR; RSF 132.1), doublée d'une violation de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst. (violation du droit d'être entendu et formalisme excessif).
4.2 Si tant est qu'ils soient recevables, ces différents moyens, présentés pêle-mêle, sont dénués de fondement.
4.2.1 Aux termes de l'art. 36 al. 1 LJP/FR, le président décide souverainement, suivant la nature et l'importance du litige, si les parties doivent être représentées ou assistées; il tient compte notamment de la nécessité d'assurer l'égalité des parties. Le second alinéa du même article réserve la faculté de représenter ou d'assister une partie aux personnes autorisées à exercer la profession d'avocat.
La recourante ne soutient pas que la disposition citée serait en soi contraire à la Constitution fédérale (cf., à ce sujet, l'ATF 105 IA 288). Il n'y a donc pas lieu d'examiner cette question (art. 117 et 106 al. 2 LTF).
Que la nature et l'importance du litige aient commandé impérativement l'assistance d'un avocat en l'espèce, la recourante ne l'allègue pas et, en tout cas, n'en fait pas la démonstration.
Pour le surplus, l'intéressée n'est pas crédible lorsqu'elle feint d'assimiler le rôle joué dans la procédure par la Caisse de chômage Z._ à celui d'un représentant de l'intimée, au sens de l'art. 36 al. 2 LJP/FR. En réalité, cette personne morale est intervenue dans le procès en vertu de la subrogation légale prévue à l'art. 29 al. 2 LACI, de sorte qu'elle ne saurait être considérée comme un avocat de la demanderesse. Il n'est d'ailleurs nullement établi, contrairement à ce que paraît vouloir soutenir la recourante, que l'intervenante ait prêté une assistance quelconque ou prodigué des conseils concrets à la demanderesse lors de la séance d'audition des témoins.
4.2.2 Les motifs indiqués au dernier paragraphe du considérant précédent s'opposent aussi à l'admission du grief tiré de l'inégalité de traitement dans la procédure.
4.2.3 Au considérant 3 de son arrêt, la cour cantonale se réfère expressément aux pages 4 à 7 du mémoire d'appel, passage dans lequel la recourante se plaint, au titre des vices procéduraux, du refus du Président de lui permettre d'être assistée d'un avocat à l'audience d'audition des témoins. L'argument soulevé par l'appelante ne lui a donc pas échappé et elle l'a écarté, à tout le moins implicitement, en indiquant, au second paragraphe du même considérant, pour quelles raisons la demande de réouverture de la procédure probatoire fondée sur la prétendue existence des vices procéduraux dénoncés était irrecevable. Dès lors, la recourante ne peut pas être suivie lorsqu'elle reproche aux juges précédents d'avoir violé son droit d'être entendue en tant qu'il lui conférait celui d'obtenir une décision motivée.
5. En dernier lieu, la recourante soutient que l'arrêt attaqué consacre un formalisme excessif. A l'en croire, du moment que le jugement de première instance est "parfaitement incohérent et incompréhensible sur le fond", elle n'avait pas d'autre solution que de formuler les remarques et constatations qu'elle a faites dans son mémoire d'appel. Exiger d'elle une argumentation plus détaillée relevait, partant, du formalisme excessif.
La prémisse de ce raisonnement n'est nullement avérée car on cherche en vain, dans le mémoire de recours, la démonstration, même incomplète, du caractère prétendument incohérent et incompréhensible du jugement de première instance sur le fond. La conclusion qu'en tire la recourante s'en trouve ainsi privée de toute assise, si bien qu'elle ne saurait être accueillie.
6. Cela étant, le présent recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable. Aussi son auteur devra-t-il supporter les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). En revanche, il n'aura pas à verser des dépens à l'intimée puisque celle-ci n'est pas représentée par un avocat.
Enfin, vu le sort réservé aux conclusions de la recourante, l'ordonnance présidentielle du 8 juillet 2009 octroyant l'effet suspensif au recours à titre superprovisoire devient caduque ipso jure.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
Lausanne, le 11 septembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo