Faits:
A. Par contrat du 14 juillet 2005, la société Y._ SA, qui a son siège à ... (précédemment: à ...) et qui est active dans le domaine de la création, la fabrication et la commercialisation de montres et d'articles de bijouterie de luxe, a engagé, en qualité de président, X._, qui est domicilié dans le canton de Genève. Il était prévu un salaire de 300'000 euros par an, auquel s'ajoutait un bonus de 40 %, pour autant que les objectifs budgétaires annuels aient été atteints. Le salaire devait être réduit du montant des dépenses effectuées par la société pour l'employé et/ou les frais de scolarité de ses enfants. Il a été convenu que chacune des parties pouvait mettre fin au contrat, moyennant un préavis de six mois. Par ailleurs, la société s'est engagée à verser à son employé six mois de salaire si elle le licenciait sans cause, en précisant qu'il fallait entendre sans que l'employé n'ait commis une faute lourde.
X._ a pris ses fonctions au sein de Y._ SA le 1er novembre 2005. Les salaires perçus ont varié, sans que l'employé n'ait jamais prétendu que cela ne correspondait pas à la volonté des parties.
Le 17 mai 2006, A._, administrateur de Y._ SA, a envoyé un courriel à X._, relevant que les avantages en nature, singulièrement les frais d'écolage, que celui-ci recevait, pouvaient avoir des conséquences fiscales négatives et qu'il convenait d'envisager que ces versements s'effectuent "overseas".
A partir de l'année 2007, le libellé des certificats de salaire que l'employeuse devait remplir pour l'administration fiscale a changé et les frais d'écolage et de véhicule étaient désormais déclarés comme un élément du salaire et taxés comme tels. En janvier 2007, X._ a demandé à A._ une compensation pour ce surcoût d'impôt. Ce dernier a accepté d'en discuter, mais il n'a pas été établi que la société aurait accepté de verser une compensation pour cette péjoration dans la situation fiscale.
Le 2 juin 2008, le réviseur de Y._ SA a signalé que la société était en état de surendettement. A._ confirma à X._, par des courriels des 18 et 23 juin 2008, qu'il ne recevrait aucun bonus pour l'exercice 2007/2008.
Le 8 juillet 2008, B._, collaborateur du groupe V._ Ltd à Hong Kong - qui était, par une société interposée, le propriétaire économique de Y._ SA -, a signé un chèque d'une valeur de 120'000 fr. suisses tiré sur la banque de V._ Ltd à Hong Kong en faveur du compte que X._ avait ouvert à Hong Kong auprès de la Banque W._ peu auparavant.
Par un courriel du 18 juillet 2008, B._ a informé X._ que sa demande de compensation pour un supplément d'impôt n'était pas acceptée; quant au virement de 120'000 fr., il avait pour objet les frais d'écolage et comme il apparaissait que ceux-ci avaient déjà été payés par la société, la somme devait être immédiatement restituée. X._ a refusé en considérant que cette somme lui avait été versée à titre de compensation pour la péjoration de sa situation fiscale.
Le 30 octobre 2008, X._ a reçu en mains propres un courrier portant la signature de A._ par lequel Y._ SA déclarait le licencier avec effet immédiat pour avoir gravement violé ses obligations envers la société.
B. Le 28 novembre 2008, X._ a déposé devant le Tribunal des prud'hommes de Genève une demande en paiement dirigée contre Y._ SA, concluant à ce que celle-ci soit condamnée à lui verser plus d'un million de francs suisses en capital. Y._ SA, qui conteste la demande, a pris des conclusions reconventionnelles, portant notamment sur la restitution des 120'000 francs.
La Caisse Z._ est intervenue dans la procédure, faisant valoir qu'elle est subrogée dans les droits de l'employé à concurrence des prestations de chômage qu'elle lui a versées, soit au total 46'760 fr. 70.
Au cours de la procédure, il n'a pas été prouvé de faits qui puissent constituer un juste motif pour un licenciement immédiat.
Le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement le 18 août 2009.
Saisie d'un appel et d'un appel incident, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, par arrêt du 30 juin 2010, a annulé le jugement attaqué et statué à nouveau. La cour cantonale a retenu que les 120'000 fr. avaient été versés pour couvrir les frais d'écolage des enfants de X._ et, dès lors qu'il a été constaté qu'ils avaient déjà été payés par la société, il y a lieu à répétition de l'indu. La thèse de l'employé selon laquelle cette somme était versée à titre de compensation pour une péjoration fiscale a été écartée. Dès lors que le licenciement était intervenu sans juste motif, la cour cantonale a alloué à l'employé le salaire qu'il aurait gagné pendant le délai de résiliation fixé contractuellement à six mois, soit 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er février 2009. Elle lui a également alloué une indemnité fixée, selon la clause contractuelle, à six mois de salaire, soit 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er novembre 2008. Elle a considéré que l'indemnité contractuelle ne pouvait pas être cumulée avec celle prévue par l'art. 337c al. 3 CO. Elle a imputé les montants réclamés par la Caisse Z._, soit 46'760 fr. 70, et elle a condamné la société Y._ SA à verser cette somme à la Caisse. Elle a constaté que les parties étaient autorisées à compenser leurs créances réciproques. Elle a statué par ailleurs sur les frais de la procédure.
C. Ayant reçu cet arrêt le 2 juillet 2010, X._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le 1er septembre 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une constatation arbitraire des faits, une violation des art. 337c al. 3, 62, 63 et 120 CO, il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser, à titre de salaire pendant la période de congé, 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008, sous déduction de 46'760 fr. 70 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mars 2009 dus à la Caisse Z._; à titre d'indemnité contractuelle de licenciement, il demande que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme brute de 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008. A titre d'indemnité selon l'art. 337c al. 3 CO, il conclut au paiement de 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008 (ou toute autre indemnité que le Tribunal fédéral fixera). Il conclut enfin à ce que sa partie adverse soit condamnée à payer à la Caisse Z._ la somme de 46'760 fr. 70 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mars 2009 et à ce qu'elle soit condamnée à lui délivrer un certificat de travail.
L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement et dans ses conclusions libératoires (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de droit du travail (art. 74 al. 1 let. a LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En conséquence, il peut aussi être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il examine le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire : ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 314; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153 - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, les parties ont chacune présenté leur propre état de fait et ajouté de nombreuses données à celles figurant dans l'arrêt attaqué. Elles n'invoquent cependant aucune des circonstances qui permettraient au Tribunal fédéral de s'écarter des constatations cantonales et on ne voit pas non plus que de telles circonstances soient réalisées (cf. art. 105 al. 2 LTF). Le raisonnement doit donc être mené exclusivement sur la base des faits contenus dans l'arrêt attaqué.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 105 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). S'il admet le recours, le Tribunal fédéral peut statuer lui-même sur le fonds ou renvoyer l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (art. 107 al. 2 LTF).
En l'espèce, le recourant a conclu notamment à ce que sa partie adverse soit condamnée à payer une certaine somme à la Caisse Z._. Outre que ce point de l'arrêt déféré n'est pas attaqué (raison pour laquelle la Caisse Z._ n'est pas partie devant le Tribunal fédéral), il faut observer que le recourant, faute d'intérêt juridique, n'a pas qualité pour demander une condamnation en faveur d'un tiers (art. 76 al. 1 let. b LTF). Ce chef de conclusion est donc irrecevable.
Le recourant a également conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui délivrer un certificat de travail. La cour cantonale a cependant constaté qu'il avait reçu un tel certificat et le recourant ne présente aucune argumentation à l'appui de cette conclusion. Ce chef de conclusion est donc également irrecevable, faute de motivation (art. 42 al. 1 et 2 LTF).
2. 2.1 Il ressort des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les parties ont conclu un contrat individuel de travail au sens de l'art. 319 al. 1 CO, étant non contesté que le recourant devait travailler dans une position subordonnée.
L'employeuse a mis fin à la relation de travail en prononçant un licenciement immédiat pour justes motifs au sens de l'art. 337 al. 1 CO.
A l'issue de son appréciation des preuves, la cour cantonale est parvenue à la conclusion qu'il n'avait été prouvé aucun fait qui puisse constituer un juste motif pour une résiliation immédiate. Cette question n'est plus litigieuse devant le Tribunal fédéral. On se trouve donc en présence d'un licenciement immédiat qui n'était pas justifié. Il reste à en tirer les conséquences.
2.2 Selon l'art. 337c al. 1 CO, lorsque l'employeur résilie immédiatement sans juste motif, le travailleur a droit à ce qu'il aurait gagné, si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé ou à la cessation du contrat conclu pour une durée déterminée. En l'espèce, le contrat a été conclu pour une durée indéterminée et les parties étaient convenues d'un délai de résiliation de six mois. La cour cantonale a donc conclu à juste titre que l'employé avait droit, en application de l'art. 337c al. 1 CO, à six mois de salaire.
2.2.1 Il faut donc déterminer quel est le montant du salaire qu'il aurait reçu dans les six mois suivant la résiliation immédiate injustifiée. En se fondant sur les faits constatés par la cour cantonale, le recourant soutient que le montant du salaire a été fixé arbitrairement.
Il a été établi et il n'est pas contesté que le recourant n'a pas reçu les 300'000 euros annuels prévus dans le contrat initial, mais bien des sommes en francs suisses, qui ont varié constamment. Il faut relever que les parties peuvent toujours convenir, sans aucune exigence de forme, de modifier leur accord sur le montant de la rémunération. Le recourant n'a jamais prétendu qu'il n'avait pas reçu son dû. On doit donc en déduire - sans arbitraire - que les sommes qu'il a reçues correspondaient bien à la volonté commune des parties. Constatant que la rémunération variait d'un mois à l'autre, la cour cantonale a opéré une moyenne. Cette manière de procéder est conforme à la jurisprudence (ATF 125 III 14 consid. 2b p. 16). La doctrine préconise de faire la moyenne des gains réalisés durant l'année précédente, dont on peut supposer qu'ils reflètent les accords les plus récents des parties et la situation économique la plus actuelle (cf. RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd. 2008, p. 514). La cour cantonale s'est donc fondée sur la moyenne des sommes reçues au cours de l'exercice 2008. Le recourant voudrait que l'on calcule une moyenne sur trois ans, mais aucune règle du droit fédéral n'exige un tel système, qui pourrait recouvrir des périodes où le salaire convenu était différent. En suivant les lignes directrices tracées par la jurisprudence et par la doctrine, la cour cantonale n'a ni violé le droit fédéral, ni établi les faits de manière arbitraire.
2.2.2 Pour ces six mois de salaire, la cour cantonale a fait courir l'intérêt à partir d'une date moyenne. Cette manière de raisonner n'est pas dépourvue de logique, puisque l'employé doit être placé en principe dans la même situation que si le délai de congé avait été respecté et qu'il n'aurait reçu son salaire que de mois en mois. Toutefois, l'art. 339 al. 1 CO contient une règle spéciale et prévoit qu'à la fin du contrat, toutes les créances qui en découlent deviennent exigibles. Dans le cas d'un licenciement immédiat injustifié, le contrat prend fin néanmoins de manière immédiate (ATF 117 II 270 consid. 3b p. 271). Il en a été déduit que la somme due en application de l'art. 337c al. 1 CO portait intérêt, en raison de l'art. 339 al. 1 CO, dès le moment du licenciement immédiat (ATF 103 II 274 consid. 3b p. 275). Cette jurisprudence a été approuvée par la majorité des auteurs (MANFRED REHBINDER, Berner Kommentar, no 5 ad art. 337c CO; PHILIPPE CARRUZZO, Le contrat individuel de travail, 2009, n° 1 ad art. 337c p. 572; FAVRE/MUNOZ/TOBLER, Le contrat de travail code annoté, 2010, n° 1.11 ad art. 337c; opinion divergente: GABRIEL AUBERT, in Commentaire romand, Code des obligations, vol. I, 2003, n° 6 ad art. 337c CO). Il n'y a pas lieu d'y revenir.
Le recourant obtient gain de cause sur ce point. Le capital devait lui être alloué avec intérêts à compter de la résiliation immédiate, c'est-à-dire dès le 30 octobre 2008. Cependant, le recourant a conclu à ce que l'intérêt lui soit alloué à compter du 1er décembre 2008 et le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le point de départ de l'intérêt sera donc fixé - comme demandé - au 1er décembre 2008, ce qui revient, par rapport à l'arrêt cantonal, à l'avancer de deux mois.
2.3 En cas de licenciement immédiat injustifié, l'employé a droit, en sus du salaire pendant le délai de congé (art. 337c al. 1 CO), à une indemnité selon l'art. 337c al. 3 CO. Cette disposition prévoit que le juge peut condamner l'employeur à verser au travailleur une indemnité dont il fixera librement le montant, compte tenu de toutes les circonstances; elle ne peut toutefois dépasser le montant correspondant à six mois de salaire du travailleur. Cette indemnité doit être soigneusement distinguée des droits découlant de l'art. 337c al. 1 CO et s'ajoute à eux (ATF 120 II 209 consid. 9b p. 214). Cette indemnité a une double finalité, à la fois réparatrice et punitive (ATF 135 III 405 consid. 3.1 p. 407).
Bien que cela ne ressorte pas de l'art. 362 CO, la doctrine admet que cette indemnité revêt un caractère relativement impératif (WYLER, op. cit., p. 520; CHRISTIANE BRUNNER ET AL., Commentaire du contrat de travail, 3e éd. 2004, n° 12 p. 290).
Les parties peuvent donc convenir d'un régime d'indemnisation plus favorable au travailleur que celui prévu par l'art. 337c al. 3 CO.
2.3.1 En l'espèce, le contrat prévoit que l'employé a droit, en cas de licenciement sans faute grave de sa part, à une indemnité correspondant à six mois de rémunération. Cette clause est évidemment plus favorable au travailleur que la règle contenue à l'art. 337c al. 3 CO. En effet, elle s'applique même si le licenciement n'est pas immédiat et l'indemnité est automatiquement fixée à six mois de salaire, ce qui correspond au maximum prévu par la disposition légale. Cette clause plus favorable étant licite, la cour cantonale l'a appliquée à juste titre.
2.3.2 Le recourant soutient cependant qu'il faudrait cumuler cette indemnité conventionnelle avec celle prévue par l'art. 337c al. 3 CO.
Il pose en réalité un problème d'interprétation de la clause contractuelle. Il s'agit en effet de savoir si les parties ont voulu que cette indemnisation remplace celle, moins favorable, prévue par la loi, ou si, au contraire, elle doit être cumulée avec elle. En l'absence de toute discussion sur cette clause au moment de sa conclusion, la cour cantonale a constaté que la volonté réelle des parties ne pouvait pas être établie et qu'il fallait donc procéder à une interprétation selon le principe de la confiance (sur les principes régissant l'interprétation des manifestations de volonté : ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.).
Lorsqu'une clause contractuelle régit une question qui est également réglementée par une norme de droit dispositif, on doit, sauf indice contraire, présumer qu'elle tend à remplacer la norme dispositive et non pas à s'ajouter à elle.
S'agissant plus précisément de l'indemnité prévue par l'art. 337c al. 3 CO, la jurisprudence a souligné qu'elle tendait à réparer de manière exhaustive le préjudice résultant d'un licenciement injustifié; ainsi, un cumul avec l'indemnité prévue par l'art. 336a al. 1 CO est exclu (ATF 121 III 64 consid. 2b p. 67), de même, en principe, qu'avec toute prétention pour le tort moral ou un quelconque autre dommage (ATF 135 III 405 consid. 3.1 et 3.2 p. 408 s.).
En l'espèce, l'indemnité contractuelle, dont le montant correspond au maximum prévu par la norme dispositive, est due en cas de congé qui n'est pas fondé sur un juste motif. La parenté avec l'indemnité prévue par l'art. 337c al. 3 CO est évidente. On ne voit pas pour quel motif l'employé pourrait cumuler cette indemnité contractuelle (en soi très favorable) avec l'indemnité prévue par la loi. Rien, dans le libellé de la clause contractuelle, ne permet de penser que les parties avaient en vue un cumul, qui ne trouverait d'ailleurs aucune justification. En concluant que, d'un point de vue objectif, l'indemnité contractuelle devait remplacer l'indemnité légale, la cour cantonale n'a pas violé les règles du droit fédéral sur l'interprétation des manifestations de volonté. Ce grief est donc infondé.
3. Quant à la demande reconventionnelle portant sur la somme de 120'000 fr., la question litigieuse est de savoir pour quelle raison cette somme a été versée sur le compte du recourant. Déterminer le motif d'un paiement est une question de fait. Le Tribunal fédéral est donc lié par la constatation cantonale (art. 105 al. 1 LTF), sauf si celle-ci procède à une appréciation arbitraire des preuves (art. 105 al. 2 LTF et consid. 1.3 ci-dessus).
Le recourant souhaitait certes obtenir une compensation pour une péjoration de sa situation fiscale. Il est entré en négociation avec son employeuse à ce sujet, mais il n'est pas établi que celle-ci ait accepté de lui donner la moindre compensation. Il n'est donc guère vraisemblable que l'employeuse ait payé une somme alors que la question était en discussion et qu'il n'y a jamais eu aucune acceptation de sa part. En revanche, l'employeuse devait payer les frais d'écolage des enfants du recourant en vertu du contrat initial. Il s'agit là d'une obligation dont l'existence a été constatée. Il a été également constaté - sans que le recourant n'invoque l'arbitraire à ce propos - qu'il avait été question de verser ces sommes en dehors de Suisse pour des raisons fiscales. Il est donc tout à fait logique que le recourant ait ouvert un compte à Hong Kong à cette fin. Après le versement, l'employeuse a constamment expliqué qu'elle considérait que celui-ci était intervenu pour payer l'écolage des enfants. Dès lors qu'il s'agissait d'une obligation existante et qu'un paiement hors de Suisse avait été envisagé, cette explication est entièrement plausible. Alors qu'un paiement à titre de compensation fiscale, avant même d'en avoir accepté le principe, est totalement invraisemblable. En conséquence, on ne peut pas dire que la cour cantonale ait apprécié les preuves de manière arbitraire - au sens de l'art. 9 Cst. - en écartant la version du recourant et en retenant que le versement avait été effectué pour payer l'écolage des enfants.
Il a été établi - et il n'est pas contesté - que l'écolage avait en réalité été payé déjà directement, ce que l'auteur du versement ignorait.
Selon l'art. 62 al. 1 CO, celui qui, sans cause légitime, s'est enrichi aux dépens d'autrui, est tenu à restitution. L'art. 62 al. 2 CO précise que la restitution est due, en particulier, de ce qui a été reçu sans cause valable, en vertu d'une cause qui ne s'est pas réalisée, ou d'une cause qui a cessé d'exister. En l'espèce, le versement, qui a enrichi le recourant et appauvri l'intimée, a été effectué pour éteindre une dette contractuelle (payer l'écolage des enfants), alors que cette cause avait cessé d'exister, puisque le paiement était déjà intervenu. L'action pour enrichissement illégitime formée par l'intimée tend donc à la répétition de l'indu. Selon l'art. 63 al. 1 CO, celui qui a payé volontairement ce qu'il ne devait pas ne peut le répéter s'il ne prouve qu'il a payé en croyant, par erreur, qu'il devait ce qu'il a payé. Savoir si l'auteur du paiement était dans l'erreur est une question de fait. Le Tribunal fédéral est donc lié par la constatation cantonale selon laquelle l'auteur de ce paiement ne savait pas que l'écolage avait déjà été payé (art. 105 al. 1 LTF). La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en constatant que toutes les conditions d'une action en répétition de l'indu étaient réunies (art. 62 ss CO).
Le recourant tente de soutenir que le versement n'a pas été effectué par l'intimée, mais par une autre société. Cet argument frise la témérité. Le recourant ne prétend pas qu'il ait eu une quelconque relation contractuelle avec cette autre société et que cette dernière ait pu avoir un quelconque motif de lui faire un versement. Il est donc manifeste que la société qui a effectué formellement le paiement et qui est la société mère indirecte de l'intimée a agi en tant qu'auxiliaire de celle-ci pour exécuter une obligation qui incombait à l'intimée (cf. art. 101 al. 1 CO). La société qui est apparue pour ce paiement a donc agi manifestement au nom et pour le compte de l'intimée, en tant que représentante de celle-ci, dans l'exécution de l'obligation. Si la somme avait été due, l'intimée aurait été libérée; si un indu a été versé par la société qui représentait l'intimée, celle-ci peut agir en répétition, puisque les effets de l'action d'un représentant direct se produisent directement dans la personne du représenté (cf. art. 32 al. 1 CO). Il en résulte que la compensation entre la créance et la contre-créance est sans autre possible (cf. art. 120 al. 1 CO). Sur ces points également, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral et le recours doit être rejeté.
4. Si l'on considère l'intérêt pécuniaire attaché à chacun des griefs soulevés, il apparaît à l'évidence que le recourant a succombé et qu'il a obtenu gain de cause sur un point si minime par rapport à l'ensemble de ses prétentions devant le Tribunal fédéral, qu'il n'y a pas lieu d'en tenir compte dans la fixation des frais et dépens.
En conséquence, les frais judiciaires et les dépens doivent être mis à la charge du recourant, lequel doit être considéré comme la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et le ch. 2 du dispositif de l'arrêt attaqué est modifié de la manière suivante :
2. Condamne Y._ SA à payer à X._ les sommes suivantes :
- 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an du 1er décembre 2008 à titre de salaire durant le délai de congé.
- 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an du 1er novembre 2008 à titre d'indemnité contractuelle.
- sous déduction de 46'760 fr. 70 avec intérêts à 5 % l'an du 1er mars 2009, date moyenne, que Y._ SA est condamnée à payer en mains de la Caisse Z._, conformément au point 5. ci-dessous.
L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, fixés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 12 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin