Erwägungen:
1. X._ ist Halterin zweier Hunde. Es kam gelegentlich zu Auseinandersetzungen mit Nachbarn bzw. anderen Hundehaltern. Ende 2008 wurde über ihre Hunde ein Wesens- und Verhaltenstest durchgeführt. Dabei wurden keine krankhaften Aggressionen festgestellt; hingegen wurde schon damals empfohlen, die Haltung und Beschäftigung der Hunde zu verbessern, sie häufiger draussen zu bewegen, eine Leinenpflicht im Wohngebiet anzuordnen und einen Besuch einer Hundeschule zu erwägen. Im Juli 2011 wurde ein weiterer Vorfall mit einem der beiden Hunde gemeldet. Am 1. September 2011 verpflichtete der Gemeinderat Y._ X._ gestützt auf Art. 9 Abs. 2 lit. c bzw. lit. b des Hundegesetzes des Kantons St. Gallen vom 15. Januar 1985 (HG), ihre beiden Hunde ausserhalb der Wohnung im gesamten Gemeindegebiet an der Leine zu führen bzw. auf ihre Kosten mit jedem Hunde einzeln einen Sachkundenachweis nach Art. 68 Abs. 2 der eidgenössischen Tierschutzverordnung (TSchV; SR 455.1) zu erbringen. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs, womit bloss die Verpflichtung zum Sachkundenachweis, nicht aber die Leinenpflicht bestritten wurde, wies das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 10. Februar 2012 im Wesentlichen ab; es hiess ihn bloss insofern teilweise gut, als es die Frist zur Mitteilung des schriftlichen Resultats des Sachkundenachweises neu auf den 30. Mai 2012 ansetzte. Gegen diesen Rekursentscheid gelangte X._ mit Beschwerde vom 25. Februar 2012 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Verfügung vom 22. März 2012 wies der Präsident des Verwaltungsgerichts ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab; entsprechend wurde sie zur Bezahlung einen Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- bis 16. April 2012 aufgefordert, verbunden mit dem Hinweis, dass die Beschwerde nach unbenütztem Ablauf der Frist abgeschrieben werden könne.
Mit zwei Schreiben vom 16. und 18. April 2012 (Postaufgabe 19. April 2012) beschwert sich X._ beim Bundesgericht über die Verfügung des Verwaltungsgerichtspräsidenten.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, s. Art. 95 BGG) verletze. Besonderer Geltendmachung und Begründung bedarf die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2 Gegenstand der Beschwerde ist das Begehren der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht. Gemäss Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Die Beschwerdeführerin, deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege das Verwaltungsgericht wegen Aussichtslosigkeit ihrer dort anhängig gemachten Beschwerde abgewiesen hat, nennt weder Art. 29 Abs. 3 BV noch gibt sie dessen Inhalt wieder. Ihren Äusserungen lässt sich entnehmen, dass sie mit der Einschätzung ihrer kantonalen Beschwerde als aussichtslos nicht einverstanden ist.
Das Verwaltungsgericht hat auf dem Hintergrund der Erwägungen seiner Vorinstanz (namentlich E. 4.3 und 4.4 des Entscheids des Gesundheitsdepartements vom 10. Februar 2012 betreffend die Bewertung des Vorfalls vom Juli 2011 und die daraus zu ziehenden Folgerungen sowie E. 5.3 betreffend die Verhältnismässigkeit der umstrittenen Anordnung) festgestellt, dass die Beschwerdeführerin sich im Wesentlichen auf eine eigene Darstellung des Vorfalls vom Juli 2011 und die Nachbarstreitigkeiten mit anderen Hundehaltern beschränke sowie das Fehlen von Auflagen an die übrigen Hundebesitzer erwähne; sodann hat das Verwaltungsgericht sich mit den auf deren finanzielle Situation bezogenen Einwendungen der Beschwerdeführerin befasst und dabei auch die gesetzliche Grundlage für die Anordnung genannt (Art. 9 Abs. 2 lit. b HG). Inwiefern der daraus gezogene Schluss, die Beschwerde gegen den Rekursentscheid des Departements sei als aussichtslos zu qualifizieren, Art. 29 Abs. 3 BV verletze oder sonst wie mit schweizerischem Recht nicht vereinbar wäre, legt die Beschwerdeführerin mit ihren Schilderungen nicht in einer den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügenden Weise dar.
2.3 Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Die Beschwerdeführerin ersucht auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dem Gesuch kann wegen Aussichtslosigkeit auch des bundesrechtlichen Rechtsmittels nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG)
Damit sind die Gerichtskosten dem Verfahrensausgang entsprechend der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Ihrer finanziellen Lage kann bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller