Sachverhalt:
A. Nachdem die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ dem von X._ (Ehefrau) gestellten Gesuch, geeignete vormundschaftliche Massnahmen zum Schutz von Y._, ihrem Ehemann, anzuordnen, nicht stattgegeben und der Bezirksrat A._ die hierauf eingereichte Beschwerde abgewiesen hatte, rekurrierte X._ an das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich. Dieses wies den Rekurs am 12. Dezember 2007 ab.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Januar 2008 beantragte X._, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Massnahmen zum Schutz von Y._ und seiner Familie, die sie in der kantonalen Rekursschrift verlangt habe, anzuordnen.
Die erkennende Abteilung entschied am 22. Mai 2008, dass die Beschwerde von X._ (wie auch die Beschwerde, die Z._, Sohn von Y._ und X._, gegen den gleichen obergerichtlichen Beschluss erhoben hatte) gutgeheissen und Y._ unter kombinierte Beistandschaft gestellt werde (Dispositiv-Ziffer 2.1). Ausserdem wurde erkannt, dass die Sache zur Bestellung des Beistandes und Umschreibung seiner Aufgaben im Sinne der Erwägungen an die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ zurückgewiesen werde (Dispositiv-Ziffer 2.2).
B. Mit Eingabe vom 4. Juli 2008 stellt X._ ein Erläuterungsbegehren mit den Anträgen:
"1. Es sei zu erläutern, dass die Frage der Urteilsfähigkeit des Beschwerdegegners
-1 hinsichtlich der von ihm erteilten Vollmachten aller Art einschliesslich der Generalvollmacht vom 3. April 2006,
-2 hinsichtlich der Verweigerung des Kontakts zu seiner Ehefrau und seinen Söhnen Z._ und S._,
-3 hinsichtlich der Wahrnehmung seiner Aktionärsrechte und
-4 hinsichtlich der Ausübung seiner Verwaltungsratsmandate
1.1 von einer Fachperson zu überprüfen ist.
1. Es sei zu erläutern, dass ohne Bestätigung der Urteilsfähigkeit im Rahmen der vorzunehmenden fachärztlichen Untersuchung den Handlungen des Beschwerdegegners bzw. seiner "Bevollmächtigten" in Fragen gemäss Ziff. 1 hiervor keine Rechtswirkung zukommt.
2. Es sei zu erläutern, dass die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ verpflichtet sei, geeignete Massnahmen zum Schutz der Kernfamilie X._ zu ergreifen und eine Zusammenführung der Kernfamilie während einiger Tage in einer unbelasteten Umgebung zu organisieren."
C. Vernehmlassungen zum Erläuterungsbegehren sind nicht eingeholt worden. Eine vom Gesuchgegner unaufgefordert eingereichte Eingabe ist aus den Akten gewiesen und zurückgesandt worden.
Erwägungen:
1. Nach Art. 129 Abs. 1 BGG nimmt das Bundesgericht die Erläuterung vor, wenn das Dispositiv seines Entscheids unklar, unvollständig oder zweideutig ist, wenn die Bestimmungen des Entscheids untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch stehen oder wenn der Entscheid Redaktions- oder Rechnungsfehler enthält. Die Erläuterung eines Rückweisungsentscheids ist nur zulässig, solange die Vorinstanz nicht den neuen Entscheid getroffen hat (Art. 129 Abs. 2 BGG).
1.1 Ob die Vormundschaftsbehörde aufgrund von Dispositiv-Ziffer 2.2 des Urteils vom 22. Mai 2008 Anordnungen getroffen hat, die im Sinne von Art. 129 Abs. 2 BGG einer Erläuterung entgegenstünden, mag dahin gestellt bleiben. Wie im Folgenden darzulegen sein wird, ist dem Gesuch ohnehin kein Erfolg beschieden.
1.2 Einen Grund zur Erläuterung erblickt die Gesuchstellerin darin, dass "der aufgrund der etwas knappen bzw. lückenhaften Begründung entstehende Eindruck in klarem Widerspruch zum Urteils-Dispositiv mit der vollumfänglichen Beschwerdegutheissung" stehe. Mit dem Hinweis, ihre Beschwerde sei vollumfänglich gutgeheissen worden, ersucht sie darum, Fragen, die Gegenstand ihres Rekurses an das Obergericht gebildet hätten, in dem von ihr vorgegebenen Sinn zu erläutern. Sie verlangt damit letztlich eine materielle Abänderung von Dispositiv-Ziffer 2.2 des Urteils vom 22. Mai 2008 (Überweisung der Sache an die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ zur Bestellung des Beistands und zur Umschreibung der diesem zufallenden Aufgaben): Die Urteilserwägungen, auf die an der genannten Stelle des Dispositivs verwiesen wird, enthalten Ausführungen, die die von der Gesuchstellerin angesprochenen Einzelfragen betreffen (E. 6). Aus ihnen ergibt sich die Anordnung, dass letztere durch die Vormundschaftsbehörde bzw. durch den zu ernennenden Beistand zu prüfen sein werden. Die Gesuchstellerin strebt mit ihren Erläuterungsanträgen an, die angeführten Fragen (abschliessend) durch das Bundesgericht beurteilen zu lassen, was darauf hinausliefe, das Urteil vom 22. Mai 2008 in dieser Hinsicht in Wiedererwägung zu ziehen. Hierzu fehlt die gesetzliche Grundlage.
2. Ein Erläuterungsgrund im Sinne von Art. 129 Abs. 1 BGG ist nach dem Gesagten nicht dargetan, so dass das Gesuch abzuweisen ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Gesuchstellerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden und dem Gesuchgegner somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Erläuterungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich und der Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel