Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Veterinäramt Thurgau kontrolliert seit dem 4. Juni 2004 in unregelmässigen Abständen aufgrund von Hinweisen der Polizei oder Dritter die Tierhaltung von X._. Eine solche Kontrolle fand auch am 13. September 2012 statt. Aufgrund früherer Erfahrungen mit X._ wurden der Kantonstierarzt und der Tierschutzbeauftragte von zwei Polizisten begleitet. Die Kontrolleure und die Polizisten betraten dabei gegen den Willen von X._ dessen Haus und die Küche, um das Auslaufjournal zu behändigen. Zudem hielten die Polizisten X._ fest, als er sich allein in sein Haus begeben wollte.
Am 14. September 2012 erstattete X._ Strafanzeige gegen die Kontrolleure und die Polizisten wegen Hausfriedensbruchs, Nötigung und Amtsmissbrauchs. Mit zwei Verfügungen vom 16. Oktober 2013 nahm die Staatsanwaltschaft die Untersuchung gegen die Polizisten nicht an die Hand.
X._ erhob kantonale Beschwerden und beantragte, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Untersuchung gegen die Polizisten wegen Hausfriedensbruchs und Nötigung zu eröffnen.
Das Obergericht des Kantons Thurgau wies die Beschwerden am 20. Dezember 2013 ab. Die Verfahrensgebühr von Fr. 1'000.-- wurde X._ auferlegt (SW.2013.141 und 142).
X._ beantragt mit Beschwerde beim Bundesgericht, der Kostenspruch des Entscheids SW.2013.141 und 142 vom 20. Dezember 2013 sei aufzuheben.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Generalstaatsanwaltschaft hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
X._ hält nach Einsicht in die Vernehmlassungen an der Beschwerde fest.
2.
Gemäss Art. 424 Abs. 1 StPO legen die Kantone für ihren Bereich die Gebühren fest. Im vorliegenden Fall stützt sich die Kostenauflage des angefochtenen Entscheids auf § 13 Abs. 1 Ziff. 4 der thurgauischen Verordnung des Grossen Rates über die Gebühren der Strafverfolgungs- und Gerichtsbehörden vom 13. Mai 1992 (VGG; RB TG 638.1). Gemäss dieser Bestimmung erhebt das Obergericht für Rechtsmittelentscheide eine Gebühr von Fr. 100.-- bis Fr. 20'000.--.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Begründungspflicht, da die Höhe der Verfahrensgebühr im angefochtenen Entscheid mit keinem Wort begründet wurde.
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann im Kostenpunkt eine äusserst knappe Begründung genügen oder eine solche sogar fehlen. Dies gilt insbesondere, wenn es um Kosten geht, die nach Massgabe der anwendbaren kantonalen Bestimmung pauschal, innerhalb eines gewissen Rahmentarifs, erhoben werden können, was eine gewisse Schematisierung erlaubt. In einem solchen Fall wird eine besondere Begründung nur verlangt, wenn der Rahmen über- oder unterschritten wird oder besondere Umstände ersichtlich sind (Urteil 1C_156/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 8.1.1).
Die Vorinstanz wies auf § 13 Abs. 1 Ziff. 4 VGG hin (Entscheid S. 13 E. 6). Die erhobene Gebühr liegt innerhalb des Rahmentarifs. Der Beschwerdeführer verweist auf seine finanziellen Verhältnisse und den Umstand, dass die E. 5 des angefochtenen Entscheids angeblich überflüssig war (vgl. Beschwerde S. 3/4 Ziff. 3.3). Da die Gebühr am unteren Rand des Rahmentarifs liegt, musste die Vorinstanz indessen auf die finanzielle Lage des Beschwerdeführers nicht ausdrücklich hinweisen. Die E. 5 besteht nur aus fünf Zeilen und ist so kurz, dass das Vorbringen des Beschwerdeführers nur als trölerisch bezeichnet werden kann. Da der Kostenentscheid nicht besonderes begründet werden musste, ist die Beschwerde im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 12 und 13) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn