Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1955) und Z._ (geb. 1965) heirateten am xxxx 1994. Sie sind Eltern der gemeinsamen Tochter Y._ (geb. 1995). Das Bezirksgericht Arbon schied die Ehe der Parteien mit Urteil vom 21. Mai 2002. Es beliess die gemeinsame Tochter in der elterlichen Sorge der Mutter, regelte den persönlichen Verkehr zwischen Tochter und Vater und verpflichtete Letzteren, dem Kind monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 500.-- während seiner Arbeitslosigkeit für maximal ein Jahr zu bezahlen, von Fr. 600.-- bis zum zwölften Altersjahr des Kindes und danach von Fr. 700.--.
A.b Nachdem X._ (fortan Beschwerdeführer) in der Folge dagegen erfolgreich staatsrechtliche Beschwerde geführt hatte, wurde er vom Obergericht des Kantons Thurgau verpflichtet (Urteil vom 26. August/28. Oktober 2004) seiner geschiedenen Ehefrau an den Unterhalt der Tochter Y._ bis zu deren vollendeten 12. Altersjahr einen monatlichen Beitrag von Fr. 600.-- und alsdann bis zum ordentlichen Abschluss der Erstausbildung einen solchen von Fr. 700.-- zu bezahlen. Eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung wies das Bundesgericht mit Urteil vom 10. Februar 2005 ab (Verfahren 5C.247/2004).
A.c Mit Urteil vom 14. Juli/29. August 2006 wies die Bezirksgerichtliche Kommission Bischofszell (als Ersatzgericht für die Bezirksgerichtliche Kommission Arbon) eine Abänderungsklage des Beschwerdeführers auf Herabsetzung des Kinderunterhalts ab.
B. B.a Dagegen erklärte der Beschwerdeführer Berufung und ersuchte um unentgeltliche Prozessführung mit Offizialanwalt. Zufolge Aussichtslosigkeit der Berufung wies das Obergerichtspräsidium das Armenrechtsgesuch mit Verfügung vom 12./30. März 2007 ab. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 8. Januar 2008 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 5A_180/2007).
B.b Am 29. Januar 2008 teilte der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers dem Obergericht mit, sein Mandant habe einen Hirnschlag erlitten und sei arbeitsunfähig; dementsprechend sei auf den Kostenvorschuss zu verzichten und die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Das Obergerichtspräsidium hielt mit Schreiben vom 1. Februar 2008 fest, auch wenn sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers verschlechtert habe, bleibe die Abänderungsklage nach wie vor aussichtslos, soweit sie sich auf die Zeit bis Ende Dezember 2007 beziehe; immerhin werde die Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses bis zum 31. März 2008 erstreckt. Werde der Kostenvorschuss nicht rechtzeitig geleistet, könne auf die Berufung insofern nicht eingetreten werden, als sich die Abänderungsklage auf den Zeitraum bis Ende 2007 beziehe. Der Kostenvorschuss ging nicht ein.
Im März 2008 wurde ein ärztliches Zeugnis der Klinik A._ eingereicht, welches eine Hospitalisation des Beschwerdeführers ab 13. Februar 2008 auswies und eine Arbeitsunfähigkeit von 100% bescheinigte. Mit Beschluss vom 9./18. Dezember 2008 trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein, soweit sich die Abänderungsklage auf den Zeitraum bis Ende Dezember 2007 richtete. Für die Zeit ab Januar 2008 wurde dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung mit Offizialanwalt bewilligt.
B.c Mit Urteil vom 4. Mai 2010 wurde die Klage abgewiesen (Dispositiv-Ziff. 1).
C. Mit Eingabe vom 21. Juni 2010 gelangt der Beschwerdeführer an das Bundesgericht und beantragt, Ziffer 1 des angefochtenen Urteils sei aufzuheben und die Abänderungsklage hinsichtlich der Kinderunterhaltsbeiträge für die Tochter Y._ für das Jahr 2008 sei zu schützen, d.h. es seien in teilweiser Aufhebung bzw. Abänderung des Urteils der Bezirksgerichtlichen Kommission Bischofszell vom 14. Juli 2006, § 130 K, die Kinderunterhaltsbeiträge für Tochter Y._ mit Wirkung ab 1. Januar 2008 vollständig aufzuheben bzw. zumindest beträchtlich zu reduzieren. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung hinsichtlich der Kinderunterhaltsbeiträge für die Tochter Y._ für das Jahr 2008 im Sinn der nachstehenden Ausführungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 75 und Art. 90 BGG). Sie betrifft eine vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG), deren Streitwert des vorinstanzlich noch strittigen (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG) Unterhalts nach Angabe des Obergerichts für die relevante Zeit vom 1. Januar 2008 bis bis 31. Oktober 2013 Fr. 49'000.-- beträgt. Der Beschwerdeführer teilt diese Auffassung, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen offensteht und folglich auf die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG nicht eingetreten werden kann (BGE 135 III 397 E. 1.2 S. 440).
Ebenfalls nicht eingetreten werden kann insofern auf die Beschwerde, als die Aufhebung des Urteils der Bezirksgerichtlichen Kommission Bischofszell verlangt wird (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2 Gemäss Art. 99 Abs. 2 BGG sind neue Begehren nicht zulässig. Vor Obergericht beantragte der Beschwerdeführer, ab Januar 2008 sei seine Unterhaltspflicht gegenüber der Tochter Y._ aufzuheben, beziehungsweise es sei die Unterhaltspflicht zu beschränken auf die Weiterleitung der für das Kind bestimmten Anteile der Sozialversicherungsrenten (E. 3a S. 3). Vor Bundesgericht wird begehrt, die Kinderunterhaltsbeiträge für die Tochter Y._ mit Wirkung ab 1. Januar 2008 vollständig aufzuheben bzw. zumindest beträchtlich zu reduzieren. Abgesehen davon, dass die verlangte beträchtliche Reduktion nicht beziffert wird (BGE 134 III 235 E. 2), ist sie auch neu und damit unzulässig.
1.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit dem Ausdruck der offensichtlichen Unrichtigkeit ist Willkür gemeint (BGE 133 II 249 E. 1.2.2). Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Entsprechende Beanstandungen sind vergleichbar mit den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
1.4 Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148; 133 I 149 E. 3.1; 132 III 209 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2. 2.1 Mit dem rechtskräftigen Scheidungsurteil sollen die Nebenfolgen der Scheidung grundsätzlich auf Dauer und mit Bestandeskraft geregelt werden. Indes lässt sich die Entwicklung der wirtschaftlichen Verhältnisse der Parteien im Zeitpunkt der Scheidung oftmals nur beschränkt vorhersehen. Eine unerwartete Veränderung der finanziellen Situation kann dazu führen, dass sich der ursprünglich festgelegte Unterhaltsbeitrag im Nachhinein als unangemessen erweist. Die Abänderung des Scheidungsurteils setzt voraus, dass die erhebliche und dauernde Veränderung der wirtschaftlichen Verhältnisse unvorhersehbar gewesen ist. Dabei kommt es nicht entscheidend auf die Vorhersehbarkeit der Veränderung an, sondern darauf, ob der Unterhaltsbeitrag mit Blick auf diese vorhersehbare Veränderung festgelegt wurde (BGE 131 III 189 E. 2.7.4 S. 199, mit Hinweisen). Im Sinne einer tatsächlichen Vermutung ist anzunehmen, dass vorhersehbare Veränderungen auch berücksichtigt wurden. Als vorhersehbar haben künftige Veränderungen zu gelten, die sich mit Bestimmtheit oder grosser Wahrscheinlichkeit verwirklichen werden (BGE 120 II 4 E. 5d S. 5). Es muss eine Prognose mit genügender Sicherheit gestellt werden können (BGE 118 II 229 E. 3a S. 232; Urteil 5C.52/2007 vom 12. Juli 2007 E. 2, publ. in FamPra.ch 2007 S. 933).
2.2 Sind die drei Kriterien der Erheblichkeit, der Dauerhaftigkeit und der Unvorhersehbarkeit erfüllt, führt dies nicht zu einer vollständigen Neufestsetzung der Unterhaltsrente, sondern zu einer Anpassung an die veränderten Verhältnisse, denn die Abänderungsklage bezweckt keine Revision des Scheidungsurteils (BGE 131 III 189 E. 2.7.4 S. 199). Es ist somit nicht zu prüfen, welcher Unterhaltsbeitrag auf Grund der aktuellen wirtschaftlichen Verhältnisse als angemessen erschiene. Ausgangspunkt bildet vielmehr das Scheidungsurteil, das massgebend dafür ist, welche Lebenshaltung der Bemessung des Unterhaltsbeitrags zugrunde gelegen hat. Daran ist der Abänderungsrichter gebunden, selbst wenn sich die Annahmen des Scheidungsrichters im Nachhinein als unrichtig erweisen sollten. Dieser im Scheidungszeitpunkt gegebenen Lebensstellung hat das Abänderungsgericht die aktuelle gegenüberzustellen und zu prüfen, ob und in welchem Umfang sich die wirtschaftlichen Verhältnisse erheblich, dauernd und unvorhersehbar verändert haben (Urteile 5C.197/2003, E. 2.1; 5C.112/2005, E. 3.1.4).
2.3 Die Rechtsanwendung überprüft das Bundesgericht im Rahmen hinreichend begründeter Vorbringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 f. BGG) grundsätzlich mit freier Kognition (Art. 106 Abs. 1 BGG). Allerdings ist der Richter - wie bei der Unterhaltsfestsetzung selbst (vgl. BGE 127 III 136 E. 3a S. 141) - auch bei deren Abänderung in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (Art. 4 ZGB; BGE 108 II 30 E. 8 S. 32; zuletzt: Urteile 5C.197/2003 E. 2.3 und 5C.112/2005 E. 1). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung und greift nur bei eigentlicher Ermessensüberschreitung ein (BGE 129 III 380 E. 2 S. 382; 131 III 12 E. 4.2 S. 15; 132 III 97 E. 1 S. 99).
Die Beweislast für die Abänderungsvoraussetzungen - hier: die dauerhafte Verminderung des Erwerbseinkommens - bzw. die Folge für deren Beweislosigkeit trifft den Beschwerdeführer, zumal er aus dem Vorhandensein des von ihm behaupteten Herabsetzungs- oder Aufhebungsgrundes Rechte ableitet (Art. 8 ZGB; BGE 104 II 237 E. 5 S. 243). Zum Beweisthema gehören die Entwicklung des Einkommens und die tatsächliche Möglichkeit, ein höheres als das zur Zeit erwirtschaftete Einkommen zu erzielen; desgleichen auch die Frage, ob vom Grundsatz, wonach die Verbesserung der wirtschaftlichen Verhältnisse des unterhaltsberechtigten Elternteils grundsätzlich in Form von besseren Lebensbedingungen den Kindern zu gute kommen muss, abgewichen werden darf, wenn für den unterhaltspflichtigen Elternteil, der in bescheidenen Verhältnissen lebt, die Unterhaltslast übertrieben schwer würde (BGE 134 III 337 E. 2.2.2 S. 340; 108 II 83 E. 2c S.85). Rechtsfrage ist, ob die festgestellte Einkommenseinbusse nach menschlichem Ermessen von Dauer sein wird (vgl. BGE 96 II 301 E. 4 S. 302 f.; 117 II 211 E. 5a S. 217; zum geltenden Recht: zit. Urteil 5C.197/2003, E. 3.3, in: FamPra.ch 2004 S. 691 f.).
3. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht in verschiedener Hinsicht eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK vor, weil es auf vorinstanzliche Entscheide, insbesondere auch auf das Scheidungsurteil verwiesen habe.
Wegen der formellen Natur des rechtlichen Gehörs, wonach dessen Verletzung in der Regel ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt (BGE 127 V 431 E. 3d/aa S. 437; 132 V 387 E. 5.1 S. 390), werden solche Rügen regelmässig vorweg behandelt.
3.1 3.1.1 Teilgehalt des rechtlichen Gehörs nach Art. 29 Abs. 2 BV bildet die Begründungspflicht. Die Begründung eines Entscheids muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite desselben Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne muss die Behörde wenigstens kurz die Überlegungen nennen, auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
Die aus Art. 29 Abs. 2 BV ableitbare Pflicht, Entscheide zu begründen, schliesst nicht aus, dass die zweite Instanz, soweit sie den angefochtenen Entscheid bestätigt und auch mit der Begründung einig geht, auf die Motivation der ersten Instanz verweist. Denn in diesem Fall weiss der Beschwerdeführer, aus welchen Gründen die zweite Instanz seinem Antrag nicht gefolgt ist. Er kann die Gründe im erstinstanzlichen Entscheid nachlesen. Anders ist es nur, wenn der Beschwerdeführer vor der zweiten Instanz beachtliche Gründe vorbringt, zu denen die erste Instanz noch nicht Stellung bezogen hat, sei es, dass diese Gründe vor erster Instanz noch nicht vorgebracht wurden, aber trotzdem vor zweiter Instanz neu vorgebracht werden dürfen, oder sei es, dass sie vor erster Instanz schon vorgetragen wurden, diese aber dazu in der Entscheidbegründung nicht Stellung bezogen hat (BGE 103 Ia 407 E. 3a S. 409; 123 I 31 E. 2c S. 34). Welche seiner erheblichen Vorbringen ohne die erforderliche Begründung übergangen worden sein sollen, hat der Beschwerdeführer vor Bundesgericht im Einzelnen darzulegen (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 103 Ia 407 E. 3a S. 410; zur Begründung und Verweisung s. Michele Albertini, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, S. 424 ff.).
3.1.2 Vorab unbegründet ist der Einwand, dem von der Lehre verlangten Erfordernis, dass ein Urteil bzw. seine Begründung aus sich selber verständlich sein müsse, stehe ein analoges "Verweisungsverbot" für die Parteien im Rahmen ihrer Pflicht zur Begründung von Rechtsmitteln ans Bundesgericht gegenüber. Wenn die Vorinstanz auf das Urteil der ersten Instanz verweist, macht sie nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dessen Erwägungen zu ihren eigenen (BGE 117 II 432 E. 2a S. 441; mit Bezug auf die Bestimmung des Einkommens: 126 III 353 E. 1 S. 355). Die kantonalen Richter können sich mit einem (verfahrensökonomischen) Verweis auf die Erwägungen der Erstinstanz insbesondere dann begnügen, wenn sie dessen Motivation vollumfänglich teilen oder wenn der Rechtsmittelkläger dazu keine neuen Argumente vorbringt (vgl. zur Möglichkeit der Verweisung durch das Bundesgericht nach Art. 109 Abs. 3 BGG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4348). Das für das bundesgerichtliche Verfahren geltende Verweisungsverbot (zuletzt BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400) hat seinen Grund in der seit jeher geforderten Begründungspflicht seitens des Beschwerdeführers, wonach Letzterer darzulegen hat, welche Bundesrechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind; seine vor den kantonalen Richtern gemachten Ausführungen können per se keine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid zum Gegenstand haben und genügen daher den Anforderungen des Art. 42 Abs. 2 BGG nicht (vgl. BGE 84 II 107 E. 1 S. 110 betreffend Art. 55 Abs. 1 lit. c aOG).
3.1.3 Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe auf das von ihm erkannte Scheidungsurteil vom 26. August/28. Oktober 2005 verwiesen. Dies sei in zweifacher Hinsicht nicht angängig und akzeptabel: Zum einen stünde man in einem Abänderungsprozess. Da genüge es offensichtlich nicht, den Abänderungskläger einfach - dazu noch ohne ausdrückliche Wiedergabe der seinerzeitigen Argumentation - auf das Scheidungsurteil zu verweisen. Zum anderen liege das frühere Urteil mittlerweile zeitlich mehr als ein halbes Jahrzehnt zurück und seither hätten sich die tatsächlichen Grundlagen erheblich verändert.
Vorweg ist zu bemerken, dass gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (s. E. 2.2 hiervor) zuerst die drei Kriterien der Erheblichkeit, der Dauerhaftigkeit und der Unvorhersehbarkeit erfüllt sein müssen, bevor veränderte Verhältnisse überhaupt geprüft werden können. Das Obergericht verweist auf sein Urteil vom 26. August/28. Oktober 2005 und diejenigen des Bundesgerichts, wonach von einem durchschnittlichen Monatseinkommen des Beschwerdeführers im Scheidungszeitpunkt von Fr. 3'600.-- bis Fr. 3'700.-- ausgegangen wurde (Urteil 5A_180/2007 vom 8. Januar 2008 E. A.) und folgert gestützt auf das Monatseinkommen für das Jahr 2008 von Fr. 4'526.50, dass eine Aufhebung zur Leistung von Kinderunterhalt oder auch nur eine Herabsetzung des Kinderunterhaltsbeitrags nicht in Betracht komme. Da der Beschwerdeführer in keiner Hinsicht darlegt, inwiefern ihm aufgrund dieser Verweisungen die sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Urteils vereitelt worden ist, kann auf die Rüge der Verletzung der Begründungspflicht nicht eingetreten werden (E. 3.1.2 hiervor).
3.1.4 Weiter werden die vorinstanzlichen Verweisungen auf eine Verfügung des Obergerichtspräsidenten vom 2./30. März 2007 (S. 6 ff.) sowie auf das mit der kantonalen Berufung angefochtene Urteil der Bezirksgerichtlichen Kommission Bischofszell als verfassungs- und konventionswidrig gerügt (S. 14/15). Auch diesbezüglich wird bloss behauptet, aber nicht erörtert, warum der angefochtene Entscheid den Anspruch auf Begründung verletzten soll, weshalb auch darauf nicht einzutreten ist (E. 1.3 und 3.1.1 hiervor).
4.1 4.1.1 Im angefochtenen Urteil wird ausgeführt, ab 1. Januar 2009 erhalte der Beschwerdeführer gemäss Verfügung der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 21. Oktober 2009 monatlich eine persönliche Invalidenrente von Fr. 1'229.-- sowie eine Kinderrente von Fr. 491.--; Letztere werde der Tochter direkt ausbezahlt. Von der Versicherung W._ erhalte der Beschwerdeführer ausserdem eine Invalidenrente von Fr. 1'550.15 sowie eine Kinderrente von Fr. 413.35 pro Monat. Insgesamt resultierten damit monatliche Nettoeinnahmen von Fr. 3'683.50, was wiederum den Annahmen gemäss Scheidungsurteil entspreche.
Das Obergericht fährt fort, erhalte der Unterhaltspflichtige infolge Invalidität Sozialversicherungsrenten oder ähnliche für den Unterhalt des Kindes bestimmte Leistungen, die Erwerbseinkommen ersetzten, so habe er diese Beträge gemäss Art. 285 Abs. 2bis ZGB dem Kind zu zahlen; der bisherige Unterhaltsbeitrag vermindere sich von Gesetzes wegen im Umfang dieser neuen Leistungen. Angesichts dieser Rechtslage bedürfe es ab dem 1. Januar 2009 keiner Änderung des Scheidungsurteils: Die Kinderrenten seien von Gesetzes wegen an die Tochter weiterzuleiten (sofern die Leistung nicht schon von den Sozialversicherungsträgern direkt an die Tochter ausbezahlt würden), wobei sich der im Scheidungsurteil festgelegte Unterhaltsbeitrag ohne weiteres im Umfang der Versicherungsleistungen reduziere. Weil im konkreten Fall die Versicherungsleistungen zugunsten der Tochter höher seien als der dem Beschwerdeführer auferlegte Unterhaltsbeitrag, seien von ihm keine persönlichen Unterhaltsbeiträge mehr zu erbringen. Umgekehrt könne nicht in Betracht gezogen werden, dem Beschwerdeführer einen Teil der für die Tochter bestimmten Kinderrenten zu belassen, da aufgrund des zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter offenbar zerrütteten Verhältnisses gegenwärtig das Besuchsrecht gar nicht ausgeübt werde.
4.1.2 Der Beschwerdeführer setzt sich damit in keiner Weise auseinander und rügt als Erstes eine Missachtung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie des Beweisführungsanspruchs aus Art. 8 und eine Verletzung von Art. 286 Abs. 2 ZGB, weil die Einkommensentwicklung der Kindsmutter nach 2005 nicht abgeklärt worden sei.
4.1.2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es habe sich mit seinen Vorbringen zur günstigen Einkommensentwicklung der Beschwerdegegnerin nicht ernsthaft befasst, wenn man von einem neuerlichen Pauschalverweis auf das Urteil der Bezirksgerichtlichen Kommission Bischofszell vom 14. Juli/29. August 2006 und die Präsidialverfügung vom 12./30. März 2007 sowie das Bundesgerichtsurteil vom 8. Januar 2008 absehe (S. 16). Insoweit damit eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV geltend gemacht wird, kann darauf mangels hinreichender Begründung von vornherein nicht eingetreten werden (E. 1.3 und 3.1.1 hiervor).
4.1.2.2 Die Vorinstanz hat dazu bemerkt (E. 2c), soweit sich der Beschwerdeführer erneut auf eine Verbesserung der Einkommensverhältnisse der Beschwerdegegnerin berufe, gehe seine Auffassung fehl; es könne ohne weiteres auf das Urteil der Erstinstanz verwiesen werden. Letztere hat erwogen, gemäss BGE 108 II 83 sei die Verbesserung der wirtschaftlichen Verhältnisse des Inhabers der elterlichen Gewalt an sich noch kein Grund zur Herabsetzung des vom andern Elternteil zu leistenden Unterhaltsbeitrags. Eine solche Veränderung der Verhältnisse müsse - in Form von besseren Lebensbedingungen - in erster Linie den Kindern zugute kommen.
4.1.2.3 Der Beschwerdeführer trägt dazu weiter vor, das Bundesgericht habe im Zusammenhang mit seinem UP-Gesuch die Prozessaussichten ausdrücklich lediglich summarisch geprüft, aber dennoch eingeräumt, eine Ausnahme vom Prinzip, dass Mehrverdienst des Sorgeberechtigten primär dem Kind zugute kommen müsse, werde vorgesehen für den Fall, dass die Leistung der geschuldeten Unterhaltsbeiträge für den Pflichtigen eine besonders schwere Last darstelle. Genau dies mache er hier geltend. Deshalb hätte das Obergericht seinen diesbezüglichen Vorbringen nachgehen und seine Beweisanträge abnehmen müssen.
Das Zitat des Beschwerdeführers aus dem ihn betreffenden Urteil des Bundesgerichts (Urteil 5A_180/2007 vom 8. Januar 2008 E. 5.1 S. 8) ist richtig, hilft ihm aber dennoch nicht weiter (E. 4.1.2.4 nachfolgend). Gemäss Art. 286 Abs. 2 ZGB kommen als Abänderungsgründe in Betracht: nebst unvorhersehbaren Ereignissen (u.a. Krankheit oder Invalidität eines Elternteils) und dem allgemeinen Lauf der Dinge qualifiziert veränderte wirtschaftliche Umstände (Arbeitslosigkeit oder sonstiger Einkommensrückgang ohne Einflussmöglichkeit des Pflichtigen); nicht zu berücksichtigen ist aber in der Regel die wirtschaftliche Besserstellung des Inhabers der elterlichen Sorge (BGE 108 II 83), welche - soweit nicht das Gleichgewicht aller Beteiligten in Frage gestellt wird - dem Kind zukommen soll (Peter Breitschmid, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl. 2006, N. 13 zu Art. 286 ZGB, S. 1536; Stephan Wullschleger, in: FamKommentar Scheidung, Hrsg. Ingeborg Schwenzer, 2. Aufl. 2005, N. 7 zu Art. 286 ZGB, S. 956 mit Hinweis auf BGE 108 II 83 f.; und BGE 134 III 337 E. 2.2.2 S. 340 f.).
4.1.2.4 Der Beschwerdeführer stellt vor allem die seit 2005 behauptete gesteigerte Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in den Vordergrund und rügt, das Obergericht sei in Willkür verfallen, da es dies nicht abgeklärt habe (S. 17). Zu seiner wirtschaftlichen Beeinträchtigung führt er lediglich an (S. 19/20), die Vorinstanz habe die Grundsätze von Art. 286 ZGB und der Praxis dazu missachtet, indem sie einzig auf die (aus diversen Quellen, z.T. Versicherungen] fliessenden Gesamteinkünfte des Beschwerdeführers pro 2008 abgestellt und diese mit seinem Einkommen im Zeitpunkt der Scheidung verglichen habe. Bei korrekter Anwendung von Art. 286 ZGB und der Praxis dazu (insbesondere auch BGE 108 II 83/85) hätte berücksichtigt werden müssen, dass mit dem Hirnschlag und der anschliessenden vollständigen Invalidität sich die Finanzmisere (von ihm wiederholt geltend gemacht hohe Schulden bei diversen Privaten und auch bei der öffentlichen Hand) des mehr als 55-jährigen Beschwerdeführers nie mehr verbessern werde.
Mit diesen Vorbringen kann dem Obergericht keine Bundesrechtsverletzung zur Last gelegt werden. Der blosse Hinweis auf die Versicherungsleistungen genügt dazu nicht, sondern der unterhaltspflichtige Beschwerdeführer hätte der Vorinstanz seine Notlage - seine konkrete Einkommenssituation und seinen aktuellen Bedarf (zum unzulässigen Eingriff in das Existenzminimum s. BGE 135 III 66 E. 4 S. 70) - dartun oder begründen müssen, warum die Berechnung seines Existenzminimums durch die Erstinstanz kantonales oder Bundesrecht missachtet. Bloss appellatorische und damit unzulässige Kritik (dazu BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 589) am angefochtenen Entscheid stellt deshalb das Vorbringen dar, gemäss Feststellung des Obergerichts seien ihm "in seinem Notbedarf von seinen Gesamteinkünften im Jahr 2008 Fr. 9'800.65 abgezweigt und direkt dem Betreibungsamt überwiesen worden" (S. 20). Die Vorinstanz hat dazu auf das Urteil der ersten Instanz hingewiesen (E. 2a S. 5), und inwiefern darin Art. 29 Abs. 3 BV verletzt worden sein soll, wird überhaupt nicht erörtert. Es hätte somit primär dem Beschwerdeführer oblegen, die Vorinstanz gestützt darauf zu überzeugen, dass sich eine Änderung nach Art. 286 Abs. 2 ZGB aufgrund seiner finanziellen Belastung aufdrängt; und erst in diesem Fall, d.h. wenn sich die Unterhaltsverpflichtung als besonders schwere Last ("une charge particulièrement lourde" gemäss BGE 108 II 83 E. 2c S. 85) herausgestellt hätte, hätte das Obergericht die (behauptete) gesteigerte Leistungskraft der Beschwerdegegnerin beurteilen bzw. die vom Beschwerdeführer hierfür beantragten Beweismittel prüfen müssen. Und nur dann, wenn der Beschwerdeführer mit seiner Rüge der willkürlichen Bedarfsermittlung durchgedrungen wäre, hätte sich das Bundesgericht mit dem Vorwurf der Verletzung des Beweisführungsanspruchs nach Art. 8 ZGB befassen müssen (BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148).
4.2 Das Obergericht hat somit kein Bundesrecht verletzt und das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten, indem es die Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils abgewiesen hat.
5. Nach dem Ausgeführten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten, und die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist. Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da sie nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde und ihr kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Schett