Erwägungen:
1. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt wies am 20. September 2012 den Rekurs des nigerianischen Staatsangehörigen X._ betreffend Nichterteilung einer Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung ab. Am 5. Oktober 2012 gelangte dieser mit Rekurs an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Dieses trat mit Urteil vom 21. November 2012 auf den Rekurs nicht ein; zudem wies es ein Gesuch um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand ab, und auf ein Gesuch um Wiedererwägung der Kostenvorschussverfügung trat es nicht ein.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Januar 2013 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Anordnung, auf den Rekurs vom 5. Oktober 2012 einzutreten und diesen sachlich zu behandeln.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch, von Wegweisungs- und Zwangsmassnahmen sei bis Ende des Verfahrens abzusehen, gegenstandslos.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren Erwägungen, die jede für sich allein dessen Ergebnis zu rechtfertigen vermögen, muss jede dieser Erwägungen angefochten werden; tut der Beschwerdeführer dies nicht, wird auf die Beschwerde mangels formgültiger Begründung nicht eingetreten (BGE 133 IV 119 E. 6.3 S. 120 f.; 136 III 534 E. 2 S. 535).
2.2 Das Appellationsgericht ist auf den bei ihm anhängig gemachten Rekurs zunächst darum nicht eingetreten, weil dieser verspätet erhoben worden sei, ohne dass der Beschwerdeführer unverschuldet von der Fristeinhaltung abgehalten worden wäre (Fehlen valabler Gründe für eine Fristwiederherstellung bzw. ein Wiedereinsetzen in den vorigen Stand). Dazu äussert sich der Beschwerdeführer in der dem Bundesgericht vorgelegten Rechtsschrift. Zusätzlich erkannte das Appellationsgericht, dass der Rekurs auch darum für dahingefallen zu erklären bzw. darauf nicht einzutreten sei, weil der Kostenvorschuss innert der hierfür angesetzten Frist nicht geleistet worden sei. Zu diesem Aspekt, den das Appellationsgericht als selbstständigen Nichteintretensgrund anführt, lässt sich der Beschwerdeschrift nichts entnehmen. Die Beschwerde enthält mithin offensichtlich keine formgültige Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Da die Beschwerde schon aus prozessrechtlichen Gründen von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller