Sachverhalt:
A. Mit Schreiben vom 7. August und 12. Oktober 2009 stellte X._ an die Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Gesuch um Opferhilfe (Übernahme von Anwaltskosten, Entschädigung und Genugtuung sowie unentgeltliche Rechtsvertretung im Opferhilfeverfahren). Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, dass sie ihr Ehemann bis zur Trennung im Jahr 2005 wiederholt geschlagen und eingesperrt habe. Die kantonale Opferhilfestelle wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. Oktober 2009 ab. Dagegen erhob X._ mit Eingabe vom 3. Dezember 2009 Beschwerde an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich.
Mit Verfügung vom 17. Dezember 2009 teilte das Sozialversicherungsgericht X._ mit, die Beschwerdeschrift sei übermässig weitschweifig. Es setzte ihr eine einmalige, nicht erstreckbare Frist von 10 Tagen an, um eine verbesserte Beschwerdeschrift einzureichen. Diese habe eine gedrängte Darstellung des Sachverhalts, ein klares Rechtsbegehren und eine kurze Begründung zu enthalten. Komme die Beschwerdeführerin dieser Anordnung nicht nach, so werde auf das Rechtsmittel nicht eingetreten. Mit Schreiben vom 10. Januar 2010 reichte X._ eine neue Beschwerde ein. In der Folge trat das Sozialversicherungsgericht mit Beschluss vom 25. Januar 2010 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es an, dass die erste Eingabe 37 Seiten und die zweite 55 Seiten umfasse und dass beide als weitschweifig zu qualifizieren seien.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 18. März 2010 beantragt X._ im Wesentlichen, Ziffer 1 des Dispositivs des Beschlusses des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und es sei auf die an die Vorinstanz gerichtete Beschwerde einzutreten. Es sei zudem unverzüglich und vollumfänglich Kostengutsprache für das gegen den Ehemann des Opfers geführte Strafverfahren sowie die gemäss Art. 13 Abs. 1 und Art. 14 Abs. 1 OHG (SR 312.5) damit in engem Zusammenhang stehenden Verfahren zu leisten. Der Kanton Zürich habe die Anwaltskosten für sämtliche Aufwendungen der Beschwerdeführerin und die ihr auferlegten Kosten sowohl im Strafverfahren gegen ihren Ehemann als auch in den damit eng zusammenhängenden Verfahren von Anfang an vollumfänglich zu übernehmen. Insbesondere seien die Kosten der Ablehnungsverfahren gegen Bezirksrichter T. Frey und Gerichtssekretärin S. Althaus wie auch diejenigen für das Revisionsverfahren gegen die Eheschutzverfügung vom 15. Juli 2005 vollumfänglich zu übernehmen. Soweit noch kein bundesgerichtliches Urteil vorliege, sei Kostengutsprache zu leisten. In den mit bundesgerichtlichem Urteil abgeschlossenen Verfahren seien die Anwaltskosten sowie die dem mittellosen Opfer auferlegten Kosten gemäss den detaillierten Aufstellungen zu übernehmen. Eventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, den Sachverhalt im vorliegenden Verfahren durch Befragung des Opfers durch eine Fachfrau und/oder durch ein Gutachten betreffend die Opfereigenschaft der Beschwerdeführerin abzuklären und für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts gemäss dem Untersuchungsgrundsatz nach Art. 29 Abs. 2 OHG zu sorgen. Subeventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, die Sache zur Durchführung der Sachverhaltsabklärung an die kantonale Opferhilfestelle zurückzuweisen. Die Vorinstanz sei weiter anzuweisen, die Sache zur weiteren Behandlung der Gesuche um Entschädigung und Genugtuung an die kantonale Opferhilfestelle zurückzuweisen. Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Beschlusses sei aufzuheben und das Sozialversicherungsgericht sowie die kantonale Opferhilfestelle seien anzuweisen, dem Opfer in der Person der Unterzeichneten eine unentgeltliche Rechtsvertreterin zu bestellen. Subeventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, die Frist zur Einreichung einer gekürzten Beschwerdeschrift wiederherzustellen.
Das Sozialversicherungsgericht und die kantonale Opferhilfestelle haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Schreiben vom 7. Mai 2010 liess sich die Beschwerdeführerin unaufgefordert ein weiteres Mal vernehmen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Nichteintretensentscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich im Bereich des öffentlichen Rechts. Dieser prozessuale Endentscheid bildet ein zulässiges Anfechtungsobjekt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht (Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor.
1.2 Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und macht geltend, das Sozialversicherungsgericht habe durch den Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt. Zu dieser Rüge ist sie im bundesgerichtlichen Verfahren ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG, vgl. BGE 129 II 297 E. 2.3 S. 301; 127 II 161 E. 3b S. 167). Der Streitgegenstand ist jedoch auf diese Frage beschränkt (Urteil 1C_405/2008 vom 18. März 2009 E. 1). Deshalb kann insofern nicht auf die Beschwerde eingetreten werden, als die Beschwerdeführerin geltend macht, das Sozialversicherungsgericht habe verschiedene Bestimmungen des Opferhilfegesetzes verletzt, weil es ihr daraus fliessende Ansprüche verweigert habe. Schliesslich ist auch insoweit nicht auf die Beschwerde einzutreten, als damit die Verfügung der Opferhilfestelle kritisiert wird. Diese Verfügung ist durch das Urteil des Sozialversicherungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 mit Hinweis).
1.2 Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und macht geltend, das Sozialversicherungsgericht habe durch den Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt. Zu dieser Rüge ist sie im bundesgerichtlichen Verfahren ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG, vgl. BGE 129 II 297 E. 2.3 S. 301; 127 II 161 E. 3b S. 167). Der Streitgegenstand ist jedoch auf diese Frage beschränkt (Urteil 1C_405/2008 vom 18. März 2009 E. 1). Deshalb kann insofern nicht auf die Beschwerde eingetreten werden, als die Beschwerdeführerin geltend macht, das Sozialversicherungsgericht habe verschiedene Bestimmungen des Opferhilfegesetzes verletzt, weil es ihr daraus fliessende Ansprüche verweigert habe. Schliesslich ist auch insoweit nicht auf die Beschwerde einzutreten, als damit die Verfügung der Opferhilfestelle kritisiert wird. Diese Verfügung ist durch das Urteil des Sozialversicherungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 mit Hinweis).
1.3 1.3.1 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 135 III 127 E. 1.6 S. 130; 134 II 244 E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
1.3.2 Die Beschwerdeführerin behauptet, es sei zu vermuten, dass die Gegenseite auf das Verfahren Einfluss genommen habe. Worauf sie sich dabei stützt, legt sie nicht dar. Mangels hinreichender Begründung ist auf die Rüge nicht einzutreten.
1.3.3 Weiter wird kritisiert, das Sozialversicherungsgericht habe den Sachverhalt überhaupt nicht abgeklärt (Art. 97 Abs. 1 BGG). Insbesondere sei die Opfereigenschaft offen gelassen worden. Diese sei aber für den Ausgang des Verfahrens wesentlich.
Es ist nicht klar, weshalb die Opfereigenschaft für den Ausgang des Verfahrens wesentlich sein sollte, denn es geht vorliegend um die Frage, ob die Vorinstanz zu Unrecht einen Nichteintretensentscheid gefällt hat (vgl. E. 1.2 hiervor). Die Beschwerde enthält keine entsprechende Begründung, sodass auf die Rüge nicht einzutreten ist.
2. 2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beanstandet und eine mangelhafte Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist, kann sie nur geltend machen, die Feststellungen seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Vorbehalten bleibt die Sachverhaltsberichtigung von Amtes wegen nach Art. 105 Abs. 2 BGG (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_242/2007 vom 11. Juni 2008 E. 1.6).
2.2 Die Beschwerdeführerin rügt eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts, weil das Sozialversicherungsgericht seiner Pflicht gemäss § 28 des Gesetzes des Kantons Zürich über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (LS 212.81; im Folgenden: GSVGer) i.V.m. § 157 lit. a Ziff. 6 des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG; LS 211.1) nicht nachgekommen sei, wonach es das Rechtsbegehren in den angefochtenen Beschluss aufzunehmen habe. Diese Rüge betrifft indessen nicht die Sachverhaltsfeststellung, sodass diese auch nicht zu berichtigen ist (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Im Übrigen macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, die von ihr zitierten Bestimmungen des kantonalen Rechts seien willkürlich angewendet worden (Art. 9 BV und Art. 95 BGG). In dieser Hinsicht ist auf das Vorbringen nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 8 Abs. 1 und 2 BV. Sie gehe davon aus, dass sie als HIV-positive Frau und IV-Bezügerin, die nicht arbeiten könne, über keine finanziellen Ressourcen verfüge und zudem seit ihrer Kindheit traumatisiert sei, unter anderem aufgrund ihrer schwachen sozialen Stellung schlechter gestellt worden sei.
Es sind keine Anhaltspunkte ersichtlich, wonach der angefochtene Entscheid eine ungerechtfertigte Ungleichbehandlung oder eine Diskriminierung im Sinne der angerufenen Bestimmungen bewirkt. Die Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich als unbegründet.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht weiter eine Verletzung folgender Bestimmungen durch die Vorinstanz geltend: Art. 5 Abs. 1, Art. 9, Art. 16, Art. 29 und Art. 29a BV, Art. 6 Ziff. 1, Art. 10 Ziff. 1 und Art. 13 EMRK, Art. 42 BGG, Art. 61 lit. b ATSG (SR 830.1), Art. 76 KV/ZH (SR 131.211), § 18 Abs. 2 GSVGer und § 131 Abs. 1 Satz 2 GVG. Der Entscheid der Vorinstanz ist ihrer Ansicht nach überspitzt formalistisch. Der Sachverhalt sei derart komplex, dass eine kurze Zusammenfassung nicht möglich sei. Die Beschwerdeführerin habe die Rückweisung der Gesuche um Entschädigung und Genugtuung zur weiteren Behandlung und zur Abklärung des Sachverhalts beantragt. Unter anderem aus diesem Grund sei eine ausführliche Darlegung des Sachverhalts notwendig gewesen.
Auch in materieller Hinsicht sei die Materie komplex. Zudem habe es so viele Mängel in den Verfahren gegeben, die hätten dargelegt und gerügt werden müssen, dass jedes einzelne Wort in der ursprünglichen Beschwerdeschrift des vorinstanzlichen Verfahrens notwendig gewesen sei. Da die Beschwerdefrist durch die Verfügung vom 17. Dezember 2009 verlängert worden sei, habe sie zudem mit der Eingabe vom 10. Januar 2010 weitere Anträge gestellt. Insbesondere seien die Anträge um Kostenübernahme auf sämtliche mit dem Strafverfahren eng zusammenhängenden Verfahren, insbesondere auch auf die notwendig gewordenen Ablehnungsverfahren und auf die Übernahme sämtlicher der Beschwerdeführerin in diesen Verfahren auferlegten Kosten ausgedehnt worden. Durch diese Anträge habe sie das Prozessthema bestimmt. Die nachfolgenden Ausführungen in der Begründung, die sich mit den verschiedenen Verfahren befassten, schweiften daher nicht vom Prozessthema ab, wie dies das Sozialversicherungsgericht behaupte.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Vorwurf, dass gewisse Ausführungen schwer verständlich gewesen seien, könne nicht nachvollzogen werden. Sie beantragt, in dieser Frage ein Gutachten einzuholen.
Im Ergebnis sei von ihr verlangt worden, auf die Begründung einzelner Anträge zu verzichten, unter der Androhung, dass sonst auf die Beschwerde in allen Punkten nicht eingetreten werde. Da die Vorinstanz indessen nicht angegeben habe, welche Verbesserungen und welche Kürzungen sie verlange, habe die Beschwerdeführerin der Verfügung gar nicht nachkommen können. Insbesondere sei ihr nicht mitgeteilt worden, wie viele Seiten pro Antrag zulässig seien.
4.2 Art. 2 ATSG sieht vor, dass die Bestimmungen dieses Gesetzes auf die bundesgesetzlich geregelten Sozialversicherungen anwendbar sind, wenn und soweit die einzelnen Sozialversicherungsgesetze es vorsehen. Im vorinstanzlichen Verfahren ging es indessen um Ansprüche aus dem Opferhilfegesetz. Das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts ist darauf nicht anwendbar. Die Rüge der Verletzung von Art. 61 lit. b ATSG geht deshalb fehl.
4.2 Art. 2 ATSG sieht vor, dass die Bestimmungen dieses Gesetzes auf die bundesgesetzlich geregelten Sozialversicherungen anwendbar sind, wenn und soweit die einzelnen Sozialversicherungsgesetze es vorsehen. Im vorinstanzlichen Verfahren ging es indessen um Ansprüche aus dem Opferhilfegesetz. Das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts ist darauf nicht anwendbar. Die Rüge der Verletzung von Art. 61 lit. b ATSG geht deshalb fehl.
4.3 4.3.1 Eine formelle Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) liegt nach der Praxis des Bundesgerichts vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (BGE 135 I 6 E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen).
Prozessuale Formen sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Dies kommt gerade auch in Art. 29 Abs. 1 BV zum Ausdruck, wonach Gerichts- und Verwaltungsinstanzen eine Beurteilung innert angemessener Frist zu gewährleisten haben. Im Verfahren gemäss Opferhilfegesetz kommt dazu, dass die Kantone verpflichtet sind, dieses Verfahren einfach und rasch zu gestalten (Art. 29 Abs. 1 OHG). Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit Art. 29 Abs. 1 BV im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (BGE 130 V 177 E. 5.4.1 S. 183 f. mit Hinweisen).
Ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht frei. Die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts untersucht es hingegen nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür.
4.3.2 Im Folgenden ist zu prüfen, ob die auf das vorliegende Verfahren angewendeten Formvorschriften oder deren Anwendung im konkreten Fall übertrieben streng sind, ohne dass dafür eine sachliche Rechtfertigung besteht. Die neben Art. 29 Abs. 1 BV von der Beschwerdeführerin angerufenen Bestimmungen haben in diesem Zusammenhang (das heisst im Rahmen der Beschwerdebegründung, wie sie in Erwägung E. 4.1 hiervor wiedergegeben wurde), keine über das Verbot des überspitzten Formalismus hinausgehende Bedeutung. Zur Beurteilung, ob dieser Verfassungsgrundsatz vorliegend respektiert wurde, ist kein Gutachten notwendig. Der Antrag, es sei über die Frage der Verständlichkeit der Ausführungen in den Eingaben der Beschwerdeführerin an die Vorinstanz ein Gutachten einzuholen, ist deshalb abzuweisen.
4.4 Das Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht wird im Gesetz über das Sozialversicherungsgericht geregelt (§§ 13 ff. GSVGer), wobei die Bestimmungen des Gerichtsverfassungsgesetzes ergänzend Anwendung finden (§ 12 lit. c GSVGer). Gemäss § 18 Abs. 2 GSVGer hat die Beschwerdeschrift eine kurze Darstellung des Sachverhalts, ein klares Rechtsbegehren und dessen Begründung zu enthalten. Genügt die Eingabe den Anforderungen nicht, so setzt das Gericht nach Abs. 3 dieser Bestimmung eine angemessene Frist zur Verbesserung an, mit der Androhung, dass sonst auf die Beschwerde oder die Klage nicht eingetreten werde. Laut § 131 Abs. 1 Satz 2 GVG dürfen schriftliche Eingaben weder einen ungebührlichen Inhalt aufweisen noch weitschweifig oder schwer lesbar sein.
Diese Bestimmungen sind nicht überspitzt formalistisch, sondern gemäss den in Erwägung 4.3.1 hiervor genannten Kriterien sachlich gerechtfertigt. In einem weiteren Schritt ist nun zu prüfen, ob die Bestimmungen von der Vorinstanz übertrieben streng angewendet worden sind.
4.5 Aus der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 42 Abs. 6 BGG geht hervor, dass umfangreiche Ausführungen nicht per se mit verpönter Weitschweifigkeit gleichzustellen sind. Die Darlegung komplizierter Sachverhalte und komplexer Rechtsverhältnisse erfordert unter Umständen ausführliche Erörterungen. Auch in solchen Fällen darf jedoch eine Beschränkung auf das Wesentliche erwartet werden. Das Erfordernis der Verständlichkeit verlangt sodann nach einer nachvollziehbaren Struktur der Eingabe. Die Rügen sind klar zu formulieren und müssen dem zugehörigen Sachverhalt zugeordnet werden können. Ob eine Eingabe diesen Anforderungen genügt, hängt auch von den Umständen des Einzelfalls ab. Angesichts der möglichen Konsequenz des Verlusts des Rechtsschutzes darf dabei allerdings kein allzu strenger Massstab angelegt werden (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1S.16/2006 vom 9. Januar 2007 E. 2.3; 2D_11/2009 vom 14. April 2009 E. 4 mit Hinweis; 5A_797/2009 vom 15. Januar 2010 E. 5).
4.5 Aus der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 42 Abs. 6 BGG geht hervor, dass umfangreiche Ausführungen nicht per se mit verpönter Weitschweifigkeit gleichzustellen sind. Die Darlegung komplizierter Sachverhalte und komplexer Rechtsverhältnisse erfordert unter Umständen ausführliche Erörterungen. Auch in solchen Fällen darf jedoch eine Beschränkung auf das Wesentliche erwartet werden. Das Erfordernis der Verständlichkeit verlangt sodann nach einer nachvollziehbaren Struktur der Eingabe. Die Rügen sind klar zu formulieren und müssen dem zugehörigen Sachverhalt zugeordnet werden können. Ob eine Eingabe diesen Anforderungen genügt, hängt auch von den Umständen des Einzelfalls ab. Angesichts der möglichen Konsequenz des Verlusts des Rechtsschutzes darf dabei allerdings kein allzu strenger Massstab angelegt werden (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1S.16/2006 vom 9. Januar 2007 E. 2.3; 2D_11/2009 vom 14. April 2009 E. 4 mit Hinweis; 5A_797/2009 vom 15. Januar 2010 E. 5).
4.6 4.6.1 Mit Verfügung vom 15. Oktober 2009 wies die kantonale Opferhilfestelle das Gesuch der Beschwerdeführerin um Übernahme von Anwaltskosten, um Entschädigung und Genugtuung sowie um unentgeltliche Rechtsvertretung im Opferhilfeverfahren ab. Anwaltskosten könnten zwar nach Art. 13 und 14 OHG übernommen werden, vorliegend fehle es indessen an der Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung. Gesuche um Entschädigung und Genugtuung seien sodann innert zwei Jahren nach der Straftat zu stellen. Da die Beschwerdeführerin das Gesuch erst nach Ablauf dieser Frist eingereicht habe, sei der Anspruch verwirkt. Diesbezüglich sei das Verfahren aussichtslos. Im Übrigen stellten sich keine schwierigen Rechtsprobleme, die den Beizug eines Rechtsvertreters als notwendig erscheinen liessen. Deshalb sei auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtsvertretung abzuweisen.
4.6.2 Mit Eingabe vom 3. Dezember 2009 legte die Beschwerdeführerin gegen diesen Entscheid ein Rechtsmittel beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein. Die Rechtsschrift umfasst ganze 37 Seiten beziehungsweise 342 Randziffern. Dabei ist die Angelegenheit nicht besonders komplex und stellt juristisch keine grossen Anforderungen. Der Entscheid der Opferhilfestelle ist zudem klar und präzise begründet. Die Beschwerdeschrift enthält lange Ausführungen zum Sachverhalt, die nicht klar mit den erhobenen Rügen in Zusammenhang gebracht werden können. Lediglich beispielhaft sei auf Ausführungen zu Einzahlungen auf das Konto des Ehemanns der Beschwerdeführerin hingewiesen sowie auf Schilderungen, wie die Beschwerdeführerin ihren kranken Vater gepflegt hatte. Auch in Bezug auf ihre Aussagen, dass sie nicht wisse, ob der Angeschuldigte ihr wieder nachstellen werde, und dass sie selbst erkrankt sei und von der Gesellschaft an den Rand gedrängt werde, ist die Relevanz für die Beschwerde nicht klar. Die Eingabe enthält sodann zahlreiche unnötige Wiederholungen. Schliesslich werden eine ganze Reihe von Ereignissen im Rahmen von verschiedenen zivil- und strafrechtlichen Verfahren beschrieben, welche nur schwer verständlich sind.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin war es nicht die Aufgabe der Vorinstanz, im Detail aufzuzeigen, welche Passagen weitschweifig oder schwer verständlich sind. Dies würde dem Sinn der gesetzlichen Anforderungen an die Beschwerdeschrift zuwiderlaufen. Schliesslich ist auch die Behauptung der Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar, es sei von ihr verlangt worden, auf einzelne Anträge oder die Begründungen dazu zu verzichten.
4.6.3 Das Sozialversicherungsgericht handelte deshalb dem Verbot des überspitzten Formalismus nicht zuwider, als es der Beschwerdeführerin eine Frist von 10 Tagen zur Verbesserung der Beschwerdeschrift ansetzte und androhte, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Statt dieser Anordnung nachzukommen, reichte die Beschwerdeführerin mit Datum vom 10. Januar 2010 erneut eine Beschwerde ein, welche 55 Seiten beziehungsweise 469 Randziffern umfasst. Sie ergänzte ihre frühere Eingabe um weitere Anträge und um Ausführungen zur Verfügung des Sozialversicherungsgerichts vom 17. Dezember 2009. Es kann nicht als überspitzt formalistisch bezeichnet werden, dass die Vorinstanz in der Folge auf die Beschwerde nicht eintrat. Die Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich deshalb als unbegründet.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör. Sie habe in ihrer Beschwerdeschrift vom 10. Januar 2010 ausgeführt, weshalb auf das Rechtsmittel einzutreten oder ihr eine angemessene Frist zur Verbesserung der Eingabe anzusetzen sei, wobei die entsprechenden Abschnitte genau zu bezeichnen seien. Zudem sei die Vorinstanz auf ihr Argument, die Beschwerdeschriften seien in guten Treuen eingereicht worden, nicht eingegangen. Auch habe die Vorinstanz die angeblich unklar formulierten Rügen nicht bezeichnet.
5.2 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
5.3 Aus den bereits wiedergegebenen Ausführungen des Sozialversicherungsgerichts geht mit hinreichender Klarheit hervor, auf welche Überlegungen sich ihr Entscheid stützt. Nachdem es die Beschwerdeführerin in hinreichend konkreter Weise darauf hingewiesen hatte, wie die Beschwerdeschrift zu verbessern sei, musste es nicht zusätzlich darlegen, weshalb nicht eine zweite Frist angesetzt werde. Dass die genaue Bezeichnung von zu überarbeitenden Abschnitten nicht Aufgabe des Gerichts ist, wurde bereits dargelegt. Dies geht im Übrigen auch aus dem angefochtenen Entscheid hervor. Insgesamt kann nicht gesagt werden, die Beschwerdeführerin habe sich über die Tragweite des Entscheids nicht hinreichend Rechenschaft geben können, um ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterzuziehen. Damit erweist sich die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör als unbegründet.
6. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei ihr die Frist zur Einreichung einer gekürzten Beschwerdeschrift wiederherzustellen. Sie beruft sich dafür auf Art. 41 ATSG.
Wie in E. 4.2 hiervor ausgeführt, ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts auf das vorliegende Verfahren von vornherein nicht anwendbar. Soweit eine Frist von der Vorinstanz angesetzt und ohne Verletzung von Bundesrecht nicht wiederhergestellt worden ist, ist es zudem nicht Sache des Bundesgericht, diesen Entscheid zu korrigieren. Dass die Vorinstanz diesbezüglich Bundesrecht verletzt hat, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Das Gesuch der Beschwerdeführerin ist deshalb abzuweisen.
7. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung gemäss Art. 64 BGG. Nach dem Gesagten ist vorliegend die Beschwerde zwar klarerweise unbegründet. Sie ist jedoch nicht geradezu aussichtslos im Sinne von Abs. 1 der genannten Bestimmung. Da auch die übrigen Voraussetzungen der unentgeltlichen Prozessführung erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden. Bei der Festsetzung einer angemessenen Entschädigung ist zu berücksichtigen, dass die Eingaben der Beschwerdeführerin an das Bundesgericht ebenfalls übermässig weitschweifig sind und der betriebene Aufwand sich als sachlich nicht gerechtfertigt erweist (Art. 64 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Cornelia Haubold wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Kanton Zürich, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold