Faits:
A. D._ a été assuré par la Fondation institution supplétive LPP (ci-après : la fondation) dans le cadre de l'assurance obligatoire des chômeurs. Le 23 mars 2005, le prénommé a saisi le Tribunal administratif de la République et Canton de Neuchâtel d'une action de droit administratif tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité servie par la fondation, que la juridiction cantonale a rejetée par jugement du 28 juillet 2006.
Saisi à son tour par D._, le Tribunal fédéral a jugé, en bref, que le droit aux indemnités journalières avait pris fin en juin ou juillet 2001 et simultanément mis un terme au rapport de prévoyance avec la fondation intimée. Il a dès lors laissé ouverte la question de savoir si cette dernière couverture s'était prolongée ou non durant les trente jours suivants, car l'intéressé n'était plus assuré auprès de la fondation intimée lorsqu'était survenue - en juin 2002 ou juillet 2002 - l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit administratif, par arrêt du 27 décembre 2007 qui a été notifié au représentant du recourant le 17 janvier 2008 (B 110/06).
B. Sous plis postés les 11 et 24 avril 2008, D._ requiert la révision de l'arrêt du 27 décembre 2007. Il demande au Tribunal fédéral de constater que des indemnités de chômage ont été versées jusqu'en juin 2002 et de statuer sur son droit à des rentes d'invalidité avec intérêts moratoires. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Dans sa réponse, la Fondation institution supplétive LPP s'est déterminée quant à la fin de l'assurance obligatoire des chômeurs, et a conclu au renvoi de la cause aux premiers juges pour fixer le moment de la survenance de l'incapacité de travail. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à produire des observations.
Considérant en droit:
1. Conformément à l'art. 54 al. 1 LTF, la présente procédure est conduite dans la langue de l'arrêt attaqué, savoir le français, qui est d'ailleurs aussi la langue dans laquelle le demandeur en révision s'exprime.
On pourrait ainsi attendre de la Fondation institution supplétive LPP, qui a répondu en allemand, qu'elle procède à l'avenir également dans la langue de la décision attaquée (cf. ATF 130 I 234 consid. 3.5 p. 239), compte tenu de son statut et de ses attributions légales (art. 60 LPP).
2. Le requérant invoque trois motifs à l'appui de sa demande de révision. En premier lieu, il reproche à la Cour de céans d'avoir omis de prendre en considération des faits pertinents résultant du dossier (art. 121 let. d LTF), singulièrement d'avoir constaté à tort qu'il avait perçu au maximum 250 indemnités journalières de chômage durant les mois de juillet 2000 à juin 2002 (comme indiqué au consid. 6.3 de l'arrêt attaqué), alors qu'en réalité il en avait perçu 515 jusqu'en juin 2002 y compris. Il fait ensuite grief au Tribunal fédéral d'avoir omis de statuer sur certaines conclusions (art. 121 let. c LTF), particulièrement sur le droit aux rentes d'invalidité de la fondation intimée. Enfin, il invoque des faits pertinents découverts après coup (art. 123 al. 2 let. a LTF), savoir le versement des 515 indemnités.
3. 3.1 L'art. 124 LTF règle les délais concernant le dépôt d'une demande de révision devant le Tribunal fédéral. La loi prévoit ainsi que pour la violation des dispositions sur la récusation, la demande doit être déposée dans les 30 jours qui suivent le motif de récusation (al. 1 let. a), tandis que pour la violation d'autres règles de procédure, le délai de 30 jours court dès la notification de l'expédition complète de l'arrêt (al. 1 let. b).
En l'espèce, le requérant a présenté sa demande de révision le 11 avril 2008, alors que l'arrêt attaqué avait été notifié le 17 janvier précédent à son mandataire. Eu égard à la tardiveté de la requête, la Cour de céans ne saurait dès lors examiner le bien-fondé des deux griefs que le requérant soulève à propos de la violation de règles de procédure (art. 121 let. c et d LTF).
3.2 Quant au motif de révision tiré de la découverte après coup de faits pertinents (art. 123 al. 2 let. a LTF), il est assurément mal fondé, car les faits invoqués (en particulier la période durant laquelle les indemnités journalières ont été versées) étaient connus du requérant avant la procédure précédente (ils ont été allégués dans l'action du 23 mars 2005). En d'autres termes, ces faits n'étaient pas nouveaux, au sens de la disposition légale précitée (sur cette question, voir par ex. ELISABETH ESCHER, Bundesgerichtsgesetz, commentaire bâlois, n. 5 ad art. 123), mais ils auraient pu ou dû être allégués dans le cadre de l'art. 121 let. d LTF.
3.3 Il s'ensuit que la demande de révision est mal fondée, dans la mesure où elle est recevable.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du requérant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Comme il remplit les conditions du droit à l'assistance judiciaire, il sera provisoirement dispensé du paiement des frais (art. 64 al. 1 LTF), l'art. 64 al. 4 LTF étant réservé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où elle est recevable, la demande de révision est rejetée.
2. L'assistance judiciaire est accordée au requérant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du requérant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office fédéral des assurances sociales et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 4 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud