Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1972, ledig) wurde von der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt ab 1991 als Wochenaufenthalter eingestuft, für die Jahre 2005 und 2006 hingegen mit Domizilverfügung vom 6. Februar 2006 als unbeschränkt im Kanton steuerpflichtig. Am 9. Oktober 2008 bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt diese Verfügung kantonal letztinstanzlich.
B. Am 12. Dezember 2008 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. Er beantragt im Wesentlichen, das appellationsgerichtliche Urteil aufzuheben und festzustellen, dass sich sein Hauptsteuerdomizil 2005 und 2006 nicht in der Stadt Basel, sondern in B._ TI am Wohnsitz seiner Eltern befunden habe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter seien die im Kanton Tessin ergangenen Veranlagungsverfügungen für die beiden Jahre aufzuheben und die dort schon bezahlten Steuern zurückzuerstatten.
C. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt schliesst (wie das Appellationsgericht) auf Abweisung der Beschwerde gegenüber ihrem Kanton, diejenige des Kantons Tessins dagegen auf Aufhebung des angefochtenen Urteils. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Präsidialverfügung vom 23. Januar 2009 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Bestreitet eine zur Veranlagung herangezogene Person die Steuerhoheit des Kantons, muss grundsätzlich in einem Vorentscheid rechtskräftig über die Steuerpflicht entschieden werden, bevor das Veranlagungsverfahren fortgesetzt werden darf. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt betreffend die Feststellung der Steuerpflicht ab 1. Januar 2005 ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a in Verbindung mit Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Anfechtung des vorinstanzlichen Urteils legitimiert. Auf das frist- und formgerecht eingereichte Rechtsmittel ist einzutreten (vgl. Art. 100 und Art. 42 BGG).
1.2 Im hier zu beurteilenden interkantonalen Kompetenzkonflikt können die bereits rechtskräftigen Veranlagungen des Kantons Tessin für die Steuerperioden 2005 und 2006 ebenfalls mit angefochten werden (Art. 100 Abs. 5 BGG, vgl. noch BGE 131 I 145 E. 2.1 S. 145). Es spielt keine Rolle, dass sie nicht Urteile im Sinne von Art. 86 BGG bilden (vgl. BGE 133 I 300 E. 2.4 S. 307, 308 E. 2.4 S. 313).
2. Im vorliegenden Fall wird das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers für die Steuerjahre 2005 und 2006 sowohl vom Kanton Tessin, wo er rechtskräftig eingeschätzt ist, als auch aufgrund des angefochtenen Urteils vom Kanton Basel-Stadt beansprucht. Daraus ergibt sich für die beiden Jahre eine gemäss Art. 127 Abs. 3 BV verbotene aktuelle Doppelbesteuerung (vgl. zu diesem Begriff u.a. BGE 132 I 29 E. 2.1 S. 31 f.; 131 I 285 E. 2.1 S. 286; ASA 74, 684 E. 2.1 S. 685, je mit Hinweisen).
2.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 127 Abs. 3 BV (bzw. Art. 46 Abs. 2 aBV) ist der steuerrechtliche Wohnsitz (Hauptsteuerdomizil) einer unselbständig erwerbstätigen Person derjenige Ort, wo sich die betreffende Person mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält bzw. wo sich nach der Gesamtheit der objektiven, äusseren Umstände der Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen befindet (vgl. Art. 23 Abs. 1 ZGB; Art. 3 Abs. 2 DBG; Art. 3 Abs. 2 StHG). Wenn sich eine Person abwechslungsweise an zwei Orten aufhält, namentlich wenn ihr Arbeitsort und ihr sonstiger Aufenthaltsort auseinanderfallen, ist für die Bestimmung des steuerrechtlichen Wohnsitzes darauf abzustellen, zu welchem Ort sie die stärkeren Beziehungen unterhält. Bei unselbständig erwerbstätigen Steuerpflichtigen ist das gewöhnlich der Ort, wo sie für längere oder unbestimmte Zeit Aufenthalt nehmen, um von dort aus der täglichen Arbeit nachzugehen, ist doch der Zweck des Lebensunterhalts dauernder Natur. Die Frage, zu welchem der Aufenthaltsorte die steuerpflichtige Person die stärkeren Beziehungen unterhält, ist jeweils aufgrund der Gesamtheit der Umstände des Einzelfalls zu beurteilen (vgl. zum Ganzen BGE 132 I 29 E. 4 36 ff., mit Hinweisen). Diese Grundsätze sind auch auf Ledige anwendbar (vgl. u.a. BGE 125 I 54 E. 3b S. 59; ASA 62 443 E. 4; Pra 1998 Nr. 4 S. 21 E. 2d), bei denen die Beziehungen am Arbeitsort sogar dann überwiegen können, wenn sie wöchentlich zu den Eltern oder Geschwistern zurückkehren. Das ist namentlich der Fall, wenn sie sich am Arbeitsort eine Wohnung eingerichtet haben oder dort über einen grösseren Freundes- oder Bekanntenkreis verfügen. Besonderes Gewicht haben in diesem Zusammenhang auch die Dauer des Arbeitsverhältnisses und das Alter des Steuerpflichtigen (vgl. BGE 125 I 54 E. 3b S. 59; ASA 62 443 E. 4; Pra 1998 Nr. 4 S. 21 E. 2d).
2.2 In Bezug auf die Beweisführung sind folgende Grundsätze massgebend: Der Umstand, dass der unverheiratete Steuerpflichtige vom Ort aus, wo er sich während der Woche aufhält, eine unselbständige Erwerbstätigkeit ausübt, begründet nach der Rechtsprechung die natürliche Vermutung, dass der Steuerpflichtige dort sein Hauptsteuerdomizil hat. Diese Vermutung lässt sich nur entkräften, wenn er regelmässig, mindestens ein Mal pro Woche, an den Ort zurückkehrt, wo seine Familie lebt, mit welcher er aus bestimmten Gründen besonders eng verbunden ist, und wo er andere persönliche und gesellschaftliche Beziehungen pflegt. Nur wenn der steuerpflichtigen Person der Nachweis solcher familiärer und gesellschaftlicher Beziehungen am Ort, wo die Familie wohnt, gelingt, obliegt es dem Kanton des Wochenaufenthalts- oder Arbeitsorts nachzuweisen, dass die Person gewichtige wirtschaftliche und allenfalls persönliche Beziehungen zu diesem Ort unterhält (vgl. u.a. BGE 125 I 54 E. 3a S. 58).
3. 3.1 Nach diesen Grundsätzen besteht hier zunächst die natürliche Vermutung, dass sich das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers für die Steuerjahre 2005 und 2006 in Basel befand. Dafür hat sich das Appellationsgericht auf mehrere Umstände stützen können: Wesentlich ist in erster Linie, dass der Beschwerdeführer in Basel während den hier massgeblichen Jahren eine 140 m2 grosse 4-Zimmer-Wohnung mit zwei Balkonen und einer Dachterrasse für monatlich Fr. 1'650.-- mietete. Zwar hatte er einen Mitmieter, der einen monatlichen Beitrag von Fr. 800.-- an die Miete leistete. Dennoch haben die Basler Behörden in diesen Wohnverhältnissen zu Recht ein gewichtiges Indiz für eine unbeschränkte Steuerpflicht gesehen, wie auch im Umstand, dass der Beschwerdeführer seit 1996 im gleichen unbefristeten und ungekündigten Arbeitsverhältnis stand. Da er schon (ab 1991) in Basel studiert hatte, muss weiter davon ausgegangen werden, dass er dort über einen beträchtlichen Freundes- und Bekanntenkreis verfügte, umso mehr, als er selber unterstreicht, welche besondere Bedeutung er gesellschaftlichen Beziehungen beimisst. Schliesslich war er damals bereits älter als 30 Jahre und von seiner Familie seit Jahren sowohl persönlich wie auch wirtschaftlich unabhängig.
3.2 Es gelingt dem Beschwerdeführer nicht, die natürliche Vermutung zu Gunsten des Wochenaufenthaltsorts durch den Nachweis einer allwöchentlichen Rückkehr an den Familienort bzw. vorrangiger Beziehungen zu diesem Ort zu entkräften. Er vermag weder den einen noch den anderen Nachweis zu erbringen, obwohl sein weiterhin starkes Verhältnis zur Heimat unbestreitbar scheint. Es erübrigt sich, hier näher auf die von ihm eingebrachten, zahl- und umfangreichen Belege einzugehen. Die Basler Behörden haben sich mit diesen Belegen sorgfältig sowie differenziert auseinandergesetzt und sie auf eine Art gewürdigt, die vor Art. 127 Abs. 3 BV standhält. Es kann diesbezüglich auf das angefochtene Urteil, aber auch auf die Stellungnahme der kantonalen Steuerverwaltung (vom 23. Februar 2009) vor Bundesgericht verwiesen werden. Gesamthaft ist festzuhalten, dass die vom Beschwerdeführer vorgelegten Dokumente insofern von vornherein ohne Belang sind, als sie sich (zumindest teilweise) auf die Jahre 2004 oder 2007 beziehen (z.B. Mieten einer 1-Zimmer-Wohnung in Lausanne, Präsidentschaft der Karnevalsgesellschaft, Arbeitseinsätze im Kanton Tessin vom April bis zum Juni 2007). Gewisse Angaben scheinen unrichtig zu sein, so z.B. die Anzahl der 2005 und 2006 im Tessin getätigten Bankomatbezüge. Wieder anderen Bestätigungen kommt schon deshalb keine (genügende) Beweiskraft zu, weil sie zu ungenau sind, wie z.B. die durch den Arbeitgeber ausgestellten Bescheinigungen. Allgemein sind, wie die Basler Behörden zutreffend festgehalten haben, durchaus beweisbare Elemente unbelegt geblieben, hat der Beschwerdeführer doch nur eigene Aufstellungen ins Recht gelegt, wo er Belege Dritter hätte einreichen können, oder liegen bloss Erklärungen von Freunden und Bekannten vor, wo Urkundenbeweise möglich gewesen wären (Dienst- oder Reisepläne für seine Arbeitstätigkeit, vollständiger offizieller Bankkontoauszug, Police für die obligatorische Krankenversicherung, usw.).
3.3 Aus dem gleichen Grund erweisen sich sämtliche Vorwürfe des Beschwerdeführers an das Appellationsgericht als ungerechtfertigt, in erster Linie diejenigen der Willkür, des Ermessensmissbrauchs und des überspitzten Formalismus. Insbesondere hat das Gericht davon absehen dürfen, die vom Beschwerdeführer genannten möglichen Zeugen anzuhören. Deren Aussagen haben der Vorinstanz schon schriftlich vorgelegen und sind - wie bereits hervorgehoben (vgl. oben E. 3.2) - von ihr gebührend gewürdigt worden. Eine mündliche Einvernahme hätte die (zu) geringe Beweiskraft dieser Aussagen nicht verstärkt. Dazu kommt, dass die Basler Behörden den Beschwerdeführer spätestens im Jahr 2002 deutlich auf das Ungenügen solcher Belege hingewiesen (vgl. E. 5.4 des angefochtenen Urteils) und ihm in der Folge ebenso klar mitgeteilt haben, welche Nachweise zusätzlich beizubringen waren (Reise- und Dienstpläne, vollständige offizielle Bankkontoauszüge, usw., vgl. dazu oben E. 3.2). Dabei handelte es sich weder um absolute bzw. unmögliche noch um sonstwie unzumutbare Beweiserfordernisse. Auch hatte der Beschwerdeführer im Laufe des Verfahrens noch mehr als einmal Gelegenheit, das Versäumte nachzuholen, was er aber bis zuletzt unterlassen hat. Genauso unbegründet ist es, wenn er den Basler Behörden bzw. der Vorinstanz ein widersprüchliches Verhalten oder einen Verstoss gegen das Rückwirkungsverbot vorwirft.
4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde gegenüber dem Kanton Basel-Stadt als unbegründet. Ebenso wenig rechtfertigt sich eine Rückweisung an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Dagegen sind die Veranlagungsverfügungen des Kantons Tessin vom 3. Oktober 2007 für 2005 und vom 2. Juli 2008 für 2006 aufzuheben und die dort schon bezahlten Steuern dem Beschwerdeführer zurückzuerstatten.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer, der mit seinem Haupt- und Eventualantrag nicht durchdringt, auferlegt (Art. 65 f. BGG).
5. Entgegen dieser Kostenregelung hat der Beschwerdeführer nach Erhalt des Urteilsdispositivs das Bundesgericht mit Eingabe vom 16. Dezember 2009 darum ersucht, die Verfahrenskosten nicht ihm, sondern dem Kanton Tessin aufzuerlegen. Das zugestellte Dispositiv enthalte entweder ein offensichtliches Versehen oder müsse in Wiedererwägung gezogen werden.
Eine solche Sichtweise verkennt, dass das vorliegende Urteil am Tag seiner Ausfällung (d.h. am 2. Dezember 2009) in Rechtskraft erwachsen ist (vgl. Art. 61 BGG), was auch die Kostenregelung umfasst. Diesbezüglich hat das Bundesgericht nicht versehentlich, sondern begründet sowie in Übereinstimmung mit Gesetz und Praxis entschieden, wie aus den vorangehenden Erwägungen deutlich wird. Für eine Korrektur des Urteils (bzw. des Dispositivs) besteht kein Grund (vgl. Art. 129 BGG), ebenso wenig für eine Wiedererwägung oder eine Revision, die ohnehin nicht verlangt wird.
Im übrigen ist zu bemerken, dass sich eine Auferlegung der gesamten Kosten zulasten des Beschwerde führenden Steuerpflichtigen insbesondere dann rechtfertigt, wenn er - wie hier - durch sein Verhalten den Doppelbesteuerungsstreit in qualifizierter Weise veranlasst hat und seine Ausführungen vom Zweitkanton einfach übernommen worden sind. Es trifft zwar zu, dass er, wenn er rechtsgenüglich die Veranlagungen beider Kantone anficht, insofern obsiegt, als die aktuelle Doppelbesteuerung beseitigt wird. In der Regel geht es ihm aber vor allem darum, in einem bestimmten Kanton besteuert oder nicht besteuert zu werden. Das Obsiegen bzw. Unterliegen in diesem Punkt kann bei der Verlegung der Kosten sehr wohl in den Vordergrund gestellt werden. Dass die konkurrierende Veranlagung aufgehoben werden muss, ist nur die logische und als solche meist unbestrittene Folge des Domizilentscheids, um den es primär geht, und darf bei der Kostenverlegung ausser Acht gelassen werden. Aus denselben Gründen kann auch von der Zusprechung einer Parteientschädigung abgesehen werden. Im vorliegenden Fall rechtfertigt sich dies umso mehr, als die Ausführungen des Rechtsvertreters sich zum grössten Teil auf die unbegründeten Haupt- und Eventualbegehren beziehen (vgl. im gleichen Sinne gerade das vom Beschwerdeführer zitierte Urteil 2P.86/2006 E. 4.2).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Kanton Basel-Stadt wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegenüber dem Kanton Tessin wird gutgeheissen, und die Veranlagungsverfügungen für die Steuerperioden 2005 sowie 2006 werden aufgehoben. Die bereits bezogenen Staats- und Gemeindesteuern sind zurückzuerstatten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt, der Steuerverwaltung des Kantons Tessin, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Matter