Faits:
A.
A.a. C._ a été au service de X._ jusqu'au 31 mai 2005, entreprise auprès de laquelle il a travaillé en qualité de représentant, et était affilié à ce titre à la Caisse de retraite X._ (ci-après: la Caisse de retraite). Ayant commencé un nouvel emploi auprès de la société Y._ SA le 1 er juin 2005, il a été affilié en tant que chef d'exploitation au Fonds d'assurance-retraite Z._ - aujourd'hui: le Fonds de prévoyance Z._ (ci-après: le Fonds de prévoyance) dès cette date. Le 10 juin 2005, C._ a été admis d'office à l'Hôpital psychiatrique W._, où il a séjourné jusqu'au 22 juin 2005 pour un épisode maniaque. Le 23 juin 2005, il a été licencié par la société Y._ SA, qui a annoncé au Fonds de prévoyance son départ au 31 juillet 2005.
A.b. Le 3 février 2009, C._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'une demande contre la Caisse de retraite et le Fonds de prévoyance, en concluant à ce que l'une ou l'autre soit reconnue débitrice à son égard dès le 1 er mai 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 %.
Par jugement du 27 juillet 2010, la juridiction cantonale a prononcé que le Fonds de prévoyance devait verser à C._ une rente d'invalidité de 2'178 fr. par mois dès le 1 er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 12 février 2009, et que la demande formée par C._ contre la Caisse de retraite était rejetée. Sur recours du Fonds de prévoyance contre ce jugement, le Tribunal fédéral, par arrêt du 20 mai 2011, l'a annulé et a renvoyé la cause à la juridiction de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
A.c. Reprenant l'instruction de la cause, la juridiction cantonale a élaboré avec les parties des questionnaires à l'attention des docteurs H._, A._ et L._.
Dans sa réponse du 9 mars 2012, le docteur H._ (spécialiste FMH en médecine interne) a confirmé son rapport médical du 31 octobre 2006; ses collègues psychiatres avaient à cette date confirmé le diagnostic de troubles affectifs bipolaires, tout en déclarant qu'il était évident que le patient souffrait, de plus longue date, d'un syndrome de dépendance à l'alcool qui avait entraîné un arrêt de travail à 100 % à partir du 25 mai 2005. Affirmant que malgré l'intensité des troubles psychiques présentés par la suite, il était tout à fait possible que l'assuré avait présenté un état de santé psychique compatible avec une pleine capacité de travail sans diminution de rendement avant le 1 er juin 2005, ce médecin a rappelé toutefois qu'il avait suivi C._ depuis 2004 jusqu'en 2005 pour un syndrome de dépendance à l'alcool, que la situation était difficile pour lui et que le patient n'avait jamais nécessité d'arrêt de travail signé de sa main.
Dans sa réponse du 16 mars 2012, la doctoresse L._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) a confirmé les diagnostics inscrits dans son rapport du 5 juin 2007 de troubles bipolaires, épisode actuel de dépression moyenne avec syndrome somatique depuis janvier 2005, et de syndrome de dépendance à l'alcool depuis une dizaine d'années. Elle a indiqué que C._ présentait depuis de nombreuses années un trouble bipolaire ou maladie maniaco-dépressive. En effet, après discussion avec les proches et le patient, des épisodes hypomanes et dépressifs antérieurs à 2005 avaient pu être identifiés et permettaient de poser ce diagnostic même si ces épisodes n'avaient pas entraîné d'hospitalisations ou d'arrêts de travail. Probablement, l'alcoolisme de l'assuré avait évité que les symptômes du trouble bipolaire soient invalidants. A la question de savoir s'il était certain, hautement vraisemblable ou seulement possible que le trouble bipolaire ait été incapacitant (en terme de taux d'activité ou de rendement au travail) avant le 1 er juin 2005, la doctoresse L._ a répondu par "certain". Pour sa part, C._ avait présenté un épisode maniaque avec répercussions sur sa capacité de travail dès janvier 2005.
Les docteurs O._ et M._, chef de clinique et médecin assistante de la Clinique V._, ont déclaré le 13 avril 2012, à propos de l'hospitalisation d'office du 10 juin 2005 pour un épisode maniaque, qu'ils ne pouvaient isoler dans le temps une période précise à laquelle avait débuté la décompensation mais que selon la description des docteurs B._ et K._ dans leur lettre de sortie du 24 juin 2005, la décompensation maniaque s'était installée plusieurs mois avant son admission à l'hôpital. Au vu d'une symptomatologie maniaque installée sur plusieurs mois, il était très probable que la capacité de travail et le rendement aient été diminués avant le 1 er juin 2005, mais le patient étant inconnu de leurs services avant le 10 juin 2005, il leur était impossible de confirmer ou d'infirmer une éventuelle diminution du rendement ou incapacité de travail de façon catégorique. Compte tenu du temps nécessaire (probablement plusieurs mois) pour voir les symptômes maniaques se développer jusqu'au moment d'un dysfonctionnement total nécessitant une hospitalisation, il était vraisemblable que l'incapacité de travail totale ait été antérieure à la date du 25 mai 2005, mais, malgré la décompensation maniaque, le dysfonctionnement ne pouvait devenir manifeste que tardivement.
Dans ses observations du 12 juin 2012, C._ a conclu, sous suite de frais et dépens, à ce que la juridiction cantonale dise que la caisse de retraite X._ était sa débitrice dès le 1 er mai 2006 d'une rente d'invalidité de 34'140 fr. par année (valeur 2006), avec intérêts moratoires à 5 % l'an dès l'ouverture de l'action le 3 février 2009, après déduction du montant des prestations préalables versées par le Fonds de prévoyance Z._, dont la Caisse de retraite était la débitrice. Pour sa part, la Caisse de retraite, dans ses observations du 22 juin 2012, a conclu que les éléments de fait réunis par la juridiction cantonale démontraient clairement que l'incapacité de travail dont avait souffert C._ ne remontait ni au 25 mai 2005 ni à une autre date antérieure, et qu'elle devait en conséquence être fixée au 10 juin 2005. Dans ses déterminations du 28 juin 2012, le Fonds de prévoyance a considéré qu'il ne faisait aucun doute, selon le degré de vraisemblance prépondérante, que l'incapacité de travail durable de 20 % au moins était survenue avant le début des rapports de travail du 1 er juin 2005.
Par arrêt du 12 août 2013, la juridiction cantonale a prononcé que la Caisse de retraite X._ devait verser à C._ une rente d'invalidité de 34'140 fr. par année, valeur 2006, dès le 1 er mai 2006, plus intérêts moratoires sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 3 février 2009, cela après déduction, pour la période où il y avait eu versement de prestations préalables par le Fonds de prévoyance Z._, du montant de ces prestations préalables, dont la Caisse de retraite était débitrice à l'égard du Fonds de prévoyance (ch. I du dispositif). La demande formée par C._ contre le Fonds de prévoyance était rejetée (ch. II du dispositif).
B.
La Caisse de retraite X._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que C._ soit débouté de toutes les conclusions formulées à l'encontre de la caisse de retraite dans sa requête du 3 février 2009 et à ce que le dossier de la procédure soit renvoyé à l'autorité inférieure afin qu'elle détermine le montant de la rente d'invalidité due par le Fonds de prévoyance Z._ à C._.
Considérant en droit:
1.
Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF) - incluant les droits fondamentaux - et est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans qu'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
2.
2.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine en principe que les griefs invoqués. Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation qui répond aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
2.3. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
2.4. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). L'exclusion des faits et moyens de preuve nouveaux est la règle. Cette règle connaît une exception lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123). Devant la Cour de céans, la recourante produit les statistiques des chefs de vente de X._ indiquant les cumuls à fin avril et à fin mai 2005, mais n'explique pas pourquoi elle ne les a pas produites devant la juridiction cantonale, à la différence des statistiques des chefs de vente de X._ comportant les cumuls à fin mars 2003, 2004 et 2005 déjà produites. Il lui appartenait d'exposer les raisons pour lesquelles elle considère être en droit de présenter exceptionnellement ces moyens de preuve nouveaux, ce qu'elle ne démontre pas (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123; 133 III 393 consid. 3 p. 395). Abstraction sera donc faite, ci-après, des statistiques des chefs de vente Provins indiquant les cumuls à fin avril et à fin mai 2005.
3.
Est litigieuse la question de savoir si, comme l'ont admis les premiers juges, l'intimé a droit à une rente d'invalidité de la part de la recourante. Singulièrement, le litige porte sur le point de savoir si l'incapacité de travail dont la cause - soit le trouble bipolaire - est à l'origine de l'invalidité de l'intimé est survenue alors que celui-ci était affilié à la recourante.
3.1. Le texte de l'art. 23 let. a LPP (nouvelle teneur en vigueur depuis le 1 er janvier 2005) est reproduit dans le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer.
3.2. Le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire suppose que l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, soit survenue pendant la durée du rapport de prévoyance (y compris la prolongation prévue à l'art. 10 al. 3 LPP), conformément au principe d'assurance (art. 23 LPP ancienne teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004, art. 23 let. a LPP nouvelle teneur; ATF 135 V 13 consid. 2.6 p. 17, 134 V 20 consid. 3 p. 21 s., 123 V 262 consid. 1c p. 264). Ainsi que cela est exposé dans le jugement entrepris, l'événement assuré est uniquement la survenance d'une incapacité de travail d'une certaine importance, indépendamment du point de savoir à partir de quel moment et dans quelle mesure un droit à une prestation d'invalidité est né. La qualité d'assuré doit exister au moment de la survenance de l'incapacité de travail, mais pas nécessairement lors de l'apparition ou de l'aggravation de l'invalidité (ATF 136 V 65 consid. 3.1 p. 68, 123 V 262 consid. 1a p. 263). Ces principes trouvent aussi application en matière de prévoyance plus étendue, si - comme c'est le cas en ce qui concerne la Caisse de retraite X._ (cf. art. 26 du Règlement d'assurance, en vigueur dès le 1 er janvier 2005) - le règlement de l'institution de prévoyance ne prévoit rien d'autre (ATF 136 V 65 consid. 3.2 p. 69, 123 V 262 consid. 1b p. 264, 120 V 112 consid. 2b p. 116 s.).
4.
La juridiction cantonale a exposé qu'il résultait de l'administration des preuves à laquelle elle avait procédé que les médecins interpellés, bien qu'ils ne puissent affirmer au degré de la certitude - faute d'avoir pu le constater personnellement - que la maladie de l'intimé ait eu des effets sur son rendement au travail avant le 1 er juin 2005, avaient établi clairement que c'était l'hypothèse la plus probable, au regard du dossier du patient comme du processus clinique bien connu de la décompensation psychique. A l'inverse, ils avaient estimé peu probable que l'intimé ait eu une pleine capacité de travail les semaines précédant l'apogée de la décompensation psychique qui l'avait mené à son hospitalisation d'office du 10 juin 2005. Les premiers juges ont retenu que l'intimé avait présenté, avant le 1 er juin 2005, une capacité de travail restreinte et dont la cause était à l'origine de son invalidité, singulièrement que l'incapacité de travail de l'intimé, dont ils ont admis qu'elle se trouvait en relation d'étroite connexité tant matérielle que temporelle avec l'invalidité ultérieure, était en tout cas survenue à la date du 25 mai 2005 et qu'elle était demeurée totale depuis lors.
4.1. La recourante allègue que la juridiction cantonale a mal appliqué le droit fédéral, singulièrement a excédé son pouvoir d'appréciation. D'autre part, elle lui reproche d'avoir versé dans l'arbitraire dans la constatation des faits, au motif que les premiers juges auraient omis d'établir la capacité fonctionnelle de l'intimé pour avril et mai 2005 et auraient retenu plus globalement l'existence d'une incapacité de travail alors que celui-ci avait accompli ses activités professionnelles régulièrement, sans aucune absence pour raison de maladie entre 2003 et le jour de son départ, et qu'il avait une capacité fonctionnelle non seulement conforme aux attentes de son employeur mais même supérieure à celles-ci.
4.2. En tant qu'elle fait grief à la juridiction cantonale d'avoir excédé son pouvoir d'appréciation, la recourante affirme que les premiers juges ont tenu compte de manière prépondérante de l'avis exprimé par la doctoresse L._ à propos du début de l'incapacité de travail de l'intimé et qu'ils ont écarté de manière incompréhensible à la fois les éléments de preuve découlant des avis des autres médecins et les éléments de preuve fournis par la caisse de retraite elle-même. Toutefois, tel qu'il est formulé, ce grief a trait à l'appréciation des preuves et se rattache à l'établissement des faits (art. 97 al. 1 LTF; supra, consid. 2.2) et non pas à l'application de la règle de droit ( BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, n° 23 ad art. 95 LTF). Il n'est pas démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (supra, consid. 2.1) que dans le jugement entrepris, la juridiction cantonale a prononcé quelque chose que l'art. 23 let. a LPP ne permettait pas et aurait ainsi excédé les limites de son pouvoir d'appréciation ( CORBOZ, in op. cit., n° 18 ad art. 95 LTF et la référence à l'arrêt ATF 132 III 758 consid. 3.3. p. 762). Le recours est mal fondé de ce chef.
4.3. Au consid. 4c du jugement entrepris, les premiers juges ont constaté que la doctoresse L._ et les docteurs M._ et O._ avaient pris en compte les événements intervenus dans la vie sociale, familiale et professionnelle de l'intimé, notamment les idées de grandeurs manifestées, les dépenses inconsidérées, le climat conflictuel dans lequel il avait quitté son dernier emploi et la pression exercée par l'employeur quant à la formation de son successeur, et que de l'avis de ces médecins ces faits étaient révélateurs du processus de décompensation de la maladie. Ils ont constaté également que le docteur H._, bien qu'il se soit montré le plus prudent dans l'analyse du processus de la décompensation psychique de l'assuré, avait tout de même retenu qu'elle avait vraisemblablement débuté avant le 1 er juin 2005.
La recourante tente de remettre en cause ces constatations, au motif qu'à la différence du docteur H._, qui seul a vu l'intimé pendant la période où il était affilié à la caisse de retraite et n'a pas détecté de décompensation en novembre 2004 ni en mai 2005, la doctoresse L._ l'a vu en consultation pour la première fois le 5 juillet 2005. Elle allègue que l'évaluation par la doctoresse L._ de la capacité de travail de l'intimé sur le plan psychique est dès lors insoutenable en ce qui concerne la période antérieure à cette date-ci. Il s'agit là d'une critique purement appellatoire du résultat univoque de l'administration des preuves en ce qui concerne le point de savoir si de l'avis des médecins interpellés par les premiers juges la maladie de l'intimé avait eu des effets sur son rendement au travail avant le 1 er juin 2005, critique sur laquelle il n'y a pas lieu d'entrer en matière (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.).
4.4. Devant la Cour de céans, la recourante reprend son argumentation de première instance selon laquelle il n'y avait pas eu de diminution de rendement dans son activité de chef de vente au service X._, mais au contraire une constante progression de ses performances au moins au cours des trois dernières années au service de son employeur comme cela résultait des statistiques de vente, ni d'incapacité de travail pour maladie attestée par certificat médical ni d'absence au travail.
Cette argumentation a été réfutée par la juridiction cantonale, qui a considéré que le fait que les performances de l'intimé avaient été meilleures en mars 2005 que celles effectuées une année auparavant ne permettait pas de prouver qu'il ne souffrait d'aucune baisse de rendement les semaines précédant l'hospitalisation d'office du 10 juin 2005. En effet, les statistiques de vente produites par la recourante pour l'année 2005 ne donnaient pas d'indications sur l'état des performances de l'intimé au-delà de mars 2005. En outre, rien n'indiquait que de telles statistiques globales soient susceptibles de rendre compte d'une diminution de rendement qui s'installerait progressivement, encore moins lorsque le processus de décompensation en était à ses débuts.
Contestant le point de vue des premiers juges reproduit ci-dessus, la recourante déclare qu'ils ont omis d'établir la capacité fonctionnelle de l'intimé pour avril et mai 2005, singulièrement qu'ils ont enfreint son droit d'être entendue faute de l'avoir interrogée sur l'absence de données relatives à l'intimé au-delà du 11 avril 2005. Ces déclarations de la recourante ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale, en retenant que l'intimé se trouvait dans la situation où il ne pouvait continuer son activité professionnelle de représentant en vins qu'en s'exposant à une aggravation de son état de santé et qu'il présentait à ce moment-là déjà une diminution de sa capacité fonctionnelle de rendement d'au moins 20 %, a établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Il n'est pas démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF que l'appréciation des preuves à laquelle ont procédé les premiers juges soit arbitraire dans son résultat en ce qui concerne l'existence d'une incapacité de travail sur le plan psychiatrique dans la poursuite de l'activité de représentant en vins jusqu'à mai 2005 (arrêt 9C_127/2008 du 11 août 2008, consid. 3.3). Le recours est mal fondé.
5.
5.1. Vu le sort du litige, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.
5.2. Les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 et al. 3 LTF). Il n'y a pas matière à allouer des dépens au Fonds de prévoyance Z._. L'intimé a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF), qu'il se justifie de fixer à 500 fr. compte tenu de sa réponse du 15 octobre 2013 à l'ordonnance du 8 octobre 2013 l'invitant à se déterminer sur la requête d'effet suspensif formulée dans l'acte de recours.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
La recourante versera à l'intimé la somme de 500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Fonds de prévoyance Z._, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner