Sachverhalt:
A. Die 1980 geborene B._ erlitt am 25. Januar 2003 und 11. Februar 2004 je einen Snowboard-Unfall. Die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA), bei welcher sie über ihren damaligen Arbeitgeber obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert war, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung des medizinischen Gutachtens des medizinischen Abklärungsinstituts X._ vom 16. Juni 2009) stellte der Versicherer mit Verfügung vom 8. Dezember 2009 sämtliche Leistungen auf den 30. September 2009 ein, da die noch bestehenden Beschwerden weder natürlich noch adäquat unfallkausal seien. Daran hielt die AXA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Entscheid vom 16. April 2010).
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Zusprechung der "gesetzlichen Leistungen aus UVG" wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Oktober 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ die Aufhebung von Verfügung, Einsprache- und kantonalem Entscheid beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die letztinstanzliche Beschwerde erschöpft sich in weiten Teilen in einer wörtlichen Wiederholung der Vorbringen in der vorinstanzlichen Beschwerde, ohne dass eine Auseinandersetzung mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid stattfände. Diesbezüglich genügt die Beschwerde nicht den Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG (BGE 134 II 244 E. 2.3 S. 246 f.), weshalb auf die entsprechenden Vorbringen nicht näher einzugehen ist.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus den Unfällen von 2003 und 2004 über den 30. September 2009 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden. Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, welche einen weiteren Leistungsanspruch zu begründen vermöchte.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Das kantonale Gericht hat namentlich zutreffend erkannt, dass die Beschwerden im Kiefergelenksbereich keine Heilbehandlung erfordern und keine relevante Arbeitsunfähigkeit verursachen. Das ist soweit unbestritten. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung führt das Kiefergelenksproblem nicht dazu, dass die weiter geklagten Beschwerden im Bereich der Halswirbelsäule (HWS) und die Kopfschmerzen sowie kognitiven Beeinträchtigungen organisch objektiv als Unfallfolge ausgewiesen wären. Was die von der Versicherten überdies erwähnte "Abknickverletzung Facettengelenk C3" betrifft, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass eine unfallbedingte organische Schädigung weder in diesem Bereich noch an der restlichen HWS oder im Schädel-Hirnbereich mittels wissenschaftlich anerkannten apparativen/ bildgebenden Untersuchungsmethoden (vgl. zum entsprechenden Beweiserfordernis: Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_738/2011 vom 3. Februar 2012 E. 2) nachgewiesen werden konnte.
4. Mangels einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge lässt sich der adäquate Kausalzusammenhang, anders als bei Beschwerden mit einem klaren unfallbedingten organischen Substrat, nicht ohne besondere Prüfung zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejahen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112). Dabei braucht auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität nicht weiter eingegangen zu werden, wenn es ohnehin an der - kumulativ erforderlichen - Adäquanz fehlt (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472).
Das kantonale Gericht hat eine solche Adäquanzbeurteilung vorgenommen. Es ist dabei nach der Schleudertrauma-Praxis (BGE 134 V 109; 117 V 359) vorgegangen, was nicht umstritten ist.
4.1 Die Vorinstanz hat erwogen, es sei massgeblich auf den Unfall von 2004 abzustellen, welcher höchstens als mittelschwer an der Grenze zu den leichten Unfällen einzustufen sei. Die für die Adäquanzprüfung massgeblichen Zusatzkriterien seien nicht in genügender Weise erfüllt.
4.2 Die Beschwerdeführerin wendet zunächst ein, der erste Unfall von 2003 sei bei der Adäquanzbeurteilung nicht genügend beachtet worden.
Der Einwand ist unbegründet. Der erste Unfall wäre alleine für sich betrachtet nach Lage der Akten sicher als leichter Unfall, bei welchem die adäquate Unfallkausalität länger dauernder Beschwerden ohne Weiteres zu verneinen ist, einzustufen. Selbst wenn - wie geltend gemacht wird - eine einwöchige hälftige Arbeitsunfähigkeit vorlag, rechtfertigte dies entgegen der Auffassung der Versicherten bei gesamthafter Betrachtung nicht den Schluss, der Unfall von 2003 sei mittelschwer. Das kantonale Gericht hat sodann den ersten Unfall bei der Prüfung der zusätzlichen Adäquanzkriterien hinsichtlich des Unfalls von 2004 berücksichtigt. Darauf ist nachfolgend einzugehen.
4.3 Entgegen dem weiter erhobenen Einwand hat die Vorinstanz den Schweregrad des Unfalles von 2004 richtig eingeordnet. Nach Lage der Akten bestehen keine Anhaltspunkte für einen Unfall im eigentlichen mittelschweren Bereich. Dass sich zuvor bereits der besagte Snowboard-Unfall von 2003 ereignet hatte, führt zu keinem anderen Ergebnis.
4.4 Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, müssten bei der demnach gegebenen Unfallschwere von den massgeblichen sieben Zusatzkriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) deren vier oder aber mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise gegeben sein, damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5 mit Hinweis).
Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, dies treffe hier nicht zu. Es seien höchstens und jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise die Kriterien der erheblichen Beschwerden sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt.
4.5 Die Beschwerdeführerin macht geltend, es seien alle Zusatzkriterien, teils sogar in besonders ausgeprägter Weise, erfüllt. Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
Die grundsätzliche Kritik, die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls seien untauglich, geht fehl. Beide Kriterien stellen nach konstanter Rechtsprechung, von der abzuweichen kein Anlass besteht, geeignete Differenzierungsmerkmale bei der Adäquanzprüfung dar. Das gilt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch bei der hier gegebenen Unfallschwere. Im vorliegenden Fall wurden diese Kriterien zu Recht verneint. Auch unter Berücksichtigung des geltend gemachten Geschehensablaufs hielt sich der erlittene Schrecken im Rahmen des bei Unfällen Üblichen und liegt keine besondere Eindrücklichkeit vor. Sodann bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass die behandelnden Ärzte Regeln der medizinischen Kunst verletzt haben und dadurch Unfallfolgen erheblich verschlimmert wurden. Das gilt auch hinsichtlich der Abgabe eines Halskragens im Rahmen der medizinischen Erstbehandlung (vgl. SVR 2009 UV Nr. 41 S. 142, 8C_1020/2008 E. 5.6) und der Verordnung von Analgetika.
Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist nicht erfüllt. Die Vorinstanz hat dies zutreffend erkannt und dabei namentlich zu Recht eine erhebliche Vorschädigung im Bereich der HWS, ob nun durch den Unfall von 2003 oder krankheitsbedingt degenerativ verursacht, ausgeschlossen. Es liegen nach Lage der Akten auch keine anderen Gesichtspunkte vor, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten würden. Das gilt selbst dann, wenn wie geltend gemacht nach dem ersten Unfall während einer Woche eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % bestand.
Die durchgeführten Behandlungsmassnahmen genügen nicht, um auf eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung schliessen zu können. Das gilt auch unter Berücksichtigung des mehrwöchigen stationären Rehabilitationsaufenthaltes und der geltend gemachten ambulanten Therapien sowie verschriebenen Medikation. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium höhere Anforderungen gestellt (vgl. SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80, 8C_209/2008 E. 5.4).
Ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen sind ebenfalls nicht gegeben. Es bedürfte besonderer Umstände, welche die Heilung beeinträchtigt haben. Solche Umstände können nicht in der erfolglosen Durchführung verschiedener Therapien gesehen werden (erwähntes Urteil SVR 2009 UV Nr. 41, E. 5.7). Es bestehen auch keine verlässlichen Anhaltspunkte dafür, dass der Heilungsverlauf durch die geltend gemachte Medikamenteneinnahme verzögert wurde. Aus dem in der Beschwerde erwähnten Urteil 8C_116/2009 vom 26. Juni 2009 lässt sich nichts anderes herleiten, unterschied sich doch der dortige Sachverhalt von dem hier zu beurteilenden.
Geltend gemacht wird weiter, die beiden verbleibenden Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen seien entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Das trifft nicht zu. Die aufgetretenen Beschwerden überstiegen das Mass des bei derartigen Unfällen Üblichen nicht in einer Weise, dass das entsprechende Kriterium in besonders ausgeprägter Weise vorläge. Gleiches gilt, trotz anerkennenswerter Bemühungen zur Überwindung der gesundheitlichen Beschwerden, für das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit, zumal die Versicherte während geraumer Zeit - mit kurzen Unterbrüchen - nach dem Unfall von 2004 zu mindestens 50 %, nach Lage der Akten sogar recht lange zu 80 % bis hin zu 100 % arbeiten konnte. Zudem wird im Gutachten des medizinischen Ablärungsinstituts X._ vom 16. Juni 2009 erwähnt, dass die Beschwerdeführerin nach diesem Unfall noch in der Lage war, ihr laufendes berufsbegleitendes Studium im Oktober 2004 erfolgreich abzuschliessen. Damit muss mit der Vorinstanz nicht abschliessend beantwortet werden, ob diese beiden Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt sind. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang als gegeben zu erachten.
4.6 Das kantonale Gericht hat einen weiteren Leistungsanspruch somit zu Recht mangels einer rechtserheblichen Unfallfolge verneint. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht stattzugeben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz