Sachverhalt:
A. Die 1971 geborene S._ bezog ab 1. Oktober 1999 eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt zwei Kinderrenten, ab 1. März 2003 zudem eine Zusatzrente für den (zweiten) Ehemann (Verfügungen vom 6. November 2001 und 7. Juli 2003). Im Rahmen des von der IV-Stelle des Kantons Aargau im April 2004 eingeleiteten Revisionsverfahrens wurde S._ in der Psychiatrischen Klinik X._ abgeklärt (Gutachten vom 21. Dezember 2006). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in welchem die Versicherte eine Stellungnahme der behandelnden Psychiaterin vom 2. April 2007 einreichen liess, setzte die IV-Stelle die ganze Rente zum 1. Oktober 2007 auf eine halbe Rente herab und sprach der Versicherten mit Verfügung vom 14. August 2007 die entsprechenden Leistungen zu, wobei sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzog. In der Mitteilung vom 12. Oktober 2007 sodann bejahte sie den Anspruch auf Arbeitsvermittlung.
B. Die Beschwerde der S._ gegen die Verfügung vom 14. August 2007 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 28. Mai 2008 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. Mai 2008 und die Verfügung vom 14. August 2007 seien aufzuheben und ihr die bisherige ganze Rente weiterhin zu gewähren, eventuell die Akten an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zur Durchführung weiterer medizinischer und beruflicher Massnahmen zurückzuweisen.
IV-Stelle und kantonales Gericht verzichten auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die von der IV-Stelle verfügte Herabsetzung der ganzen auf eine halbe Rente zum 1. Oktober 2007 bestätigt. In tatsächlicher Hinsicht hat es festgestellt, der psychische Gesundheitszustand habe sich im Vergleichszeitraum (6. November 2001 bis 14. August 2007) mit überwiegender Wahrscheinlichkeit verbessert. Die depressive Episode sei gegenwärtig weniger schwer als im Jahr 2001 und nicht mehr von psychotischen Symptomen begleitet. Sodann seien aktuell weder eine schizoaffektive Störung noch eine posttraumatische Belastungsstörung mehr diagnostizierbar. Gemäss dem Gutachten vom 21. Dezember 2006, welchem voller Beweiswert zukomme (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352), sei der Versicherten eine Tätigkeit unter der Bedingung, dass die begonnene Psychotherapie weitergeführt und von einer medikamentösen Therapie begleitet werde, zu 50 % zumutbar. Die Vorinstanz bejahte daher die Voraussetzungen für die revisionsweise Überprüfung der ganzen Rente nach Art. 17 Abs. 1 ATSG und ermittelte durch Vergleich der Einkommen ohne und mit Behinderung (Art. 28 Abs. 2 IVG in Verbindung mit Art. 16 ATSG; BGE 128 V 29 E. 1 S. 30 und Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 1/03 vom 15. April 2003 E. 5.2) einen Invaliditätsgrad von 58 % (zum Runden BGE 130 V 121), was Anspruch auf eine halbe Rente gibt (Art. 28 Abs. 1 IVG).
2. In der Beschwerde wird gerügt, die Vorinstanz habe zum Bericht der behandelnden Psychiaterin vom 2. April 2007, worin auch eine Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit von aktuell und bis auf weiteres 100 % angegeben worden sei, keine Ausführungen gemacht. Dies stelle eine vom Bundesgericht zu korrigierende unvollständige Sachverhaltsfeststellung dar. Sodann sei die Annahme der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin sei offenbar in der Lage, «regelmässig 5 Kinder für die Schule vorzubereiten und für sie Mittag- und Abendessen zu kochen», aktenwidrig. Die Versicherte habe sich lediglich um zwei schulpflichtige Kinder zu kümmern gehabt, welche auf Grund ihres Alters von damals immerhin schon knapp 13 und 17 Jahren weitestgehend in der Lage gewesen seien, sich selber für die Schule vorzubereiten. Diese Aktenwidrigkeit werfe ein völlig falsches Licht auf den seit der Begutachtung verschlechterten Gesundheitszustand und die von der behandelnden Ärztin mit 100 % angegebene Arbeitsunfähigkeit. Der diesbezügliche Sachverhalt sei unklar und somit abklärungsbedürftig. Schliesslich ergebe sich aus den medizinischen Unterlagen die Notwendigkeit beruflicher Massnahmen. Die Beschwerdeführerin dürfe nach ihrem zehnjährigen Arbeitsunterbruch nicht einfach ohne Unterstützung in die Arbeitswelt hinausgeschickt und - gemäss Urteil 9C_720/2007 vom 28. April 2008 E. 4.1 - die Rente nicht gekürzt werden, bevor Integrationsversuche durchgeführt worden seien.
3. 3.1 Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde hat das kantonale Gericht den Bericht der behandelnden Psychiaterin vom 2. April 2007 bei der Würdigung der medizinischen Akten mitberücksichtigt (vgl. E. 3.3.5-3.4.2 des angefochtenen Entscheids). Insbesondere hat es zum Einwand Stellung genommen, das Gutachten vom 21. Dezember 2006 sei hinsichtlich der Diagnose einer Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung unvollständig. Diesbezüglich wird in der Beschwerde nichts vorgebracht. Abgesehen davon hätten die Gutachter die Diagnose eine Persönlichkeitsänderung gestellt oder zumindest diskutiert, wenn sie ernsthaft in Betracht gefallen wäre. Im Weitern ist die vorinstanzliche Annahme von fünf zu betreuenden Kindern aktenmässig zwar nicht ausgewiesen, aber auch nicht entscheidend. Dass im Zeitpunkt der Untersuchung im November und Dezember 2006 aufgrund der erhobenen Befunde aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsfähigkeit von 50 % bestand, hat die Vorinstanz gestützt auf die medizinischen Akten verbindlich festgestellt.
3. 3.1 Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde hat das kantonale Gericht den Bericht der behandelnden Psychiaterin vom 2. April 2007 bei der Würdigung der medizinischen Akten mitberücksichtigt (vgl. E. 3.3.5-3.4.2 des angefochtenen Entscheids). Insbesondere hat es zum Einwand Stellung genommen, das Gutachten vom 21. Dezember 2006 sei hinsichtlich der Diagnose einer Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung unvollständig. Diesbezüglich wird in der Beschwerde nichts vorgebracht. Abgesehen davon hätten die Gutachter die Diagnose eine Persönlichkeitsänderung gestellt oder zumindest diskutiert, wenn sie ernsthaft in Betracht gefallen wäre. Im Weitern ist die vorinstanzliche Annahme von fünf zu betreuenden Kindern aktenmässig zwar nicht ausgewiesen, aber auch nicht entscheidend. Dass im Zeitpunkt der Untersuchung im November und Dezember 2006 aufgrund der erhobenen Befunde aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsfähigkeit von 50 % bestand, hat die Vorinstanz gestützt auf die medizinischen Akten verbindlich festgestellt.
3.2 3.2.1 Nach für das Bundesgericht ebenfalls verbindlicher und insoweit nicht bestrittener Feststellung der Vorinstanz hat sich der allgemeine psychische Gesundheitszustand seit der Zusprechung der ganzen Rente (Verfügung vom 6. November 2001) bis zur Herabsetzung der ganzen auf eine halbe Rente (Verfügung vom 14. August 2007) verbessert (vgl. E. 1). Dies schliesst nicht aus, dass nach dem Gutachten vom 21. Dezember 2006 eine Verschlechterung eingetreten war, da die depressive Störung rezidivierender Natur ist. Im Zeitpunkt der Exploration wurde eine leichte Form der Depression diagnostiziert, zugleich aber darauf hingewiesen, dass sich die Krankheit phasenweise in massiverer Intensität darstellen könne. Die behandelnde Psychiaterin hielt in ihrer Stellungnahme vom 2. April 2007 fest, es bestehe gegenwärtig eine mittel- bis schwergradige Episode der depressiven Störung mit somatischen Symptomen.
3.2.2 Zur Arbeitsfähigkeit wurde im Gutachten ausgeführt, die depressive Störung sei phasisch wiederkehrend, sodass die konkrete Auswirkung im Längsschnitt/Durchschnitt nicht punktuell genau bestimmbar bleibe. Die darauf gestützte Annahme der Vorinstanz, unabhängig vom Schweregrad der Episode der depressiven Störung bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 50 %, ist auch unter diesem Aspekt durchaus vertretbar. Zu beachten ist, dass im Gutachten eine Psychotherapie und eine begleitende medikamentöse Therapie als notwendig bezeichnet wurden, um die Auswirkungen der Störung auffangen und beeinflussen zu können. Zur Inanspruchnahme des therapeutischen Angebotes war und ist die Beschwerdeführerin im Rahmen der invalidenversicherungsrechtlichen Schadenminderungspflicht (BGE 113 V 22 E. 4a S. 28) jederzeit gehalten.
3.2.3 Es steht ausser Frage, dass für den auch im Gutachten wegen des rezidivierenden Charakters der depressiven Störung als schwierig bezeichneten Wiedereintsieg in den Arbeitsprozess berufliche Massnahmen notwendig sind. Dafür spricht auch die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin bereits seit beinahe zehn Jahren nicht mehr erwerbstätig war und ausser der Grundschule von acht Jahren über keine weitergehende (berufliche) Ausbildung verfügt. In der Beschwerde wird insoweit richtig auf das Urteil 9C_720/2007 vom 28. April 2008 E. 4.1 und 4.2 hingewiesen. Die IV-Stelle sprach daher der Versicherten Beratung und Unterstützung durch ihre Stellenvermittlung zu, was die Vorinstanz als hinreichend erachtet hat. Dies ist nicht zu beanstanden unter der Annahme einer unabhängig vom Schweregrad der Episode der depressiven Störung bestehenden Arbeitsfähigkeit von 50 % und wenn die zur Stabilisierung dieser Arbeitsfähigkeit erforderliche begleitende Therapie durchgeführt wird (E. 3.2.2). Auch im PDAG-Gutachten wurde in erster Linie die Vermittlung einer angepassten Tätigkeit ins Auge gefasst. Somit ist von einer grundsätzlich sofortigen Einsatzfähigkeit auf dem (offenen) Arbeitsmarkt ohne Einarbeitungs- oder Angewöhnungszeit durch Verwertung der hälftigen Arbeitsfähigkeit auszugehen. Der Antrag, die Rente dürfe nicht gekürzt werden, bevor Integrationsversuche durchgeführt worden seien (E. 2 in fine), ist daher unbegründet.
3.3 Der vorinstanzliche Einkommensvergleich wird insofern beanstandet, als bezogen auf das durchschnittliche Normalarbeitspensum von 41,7 Wochenstunden von einer Arbeitsfähigkeit von 50 % ausgegangen werde. Gemäss Gutachten betrage das zumutbare Arbeitspensum 4 Stunden im Tag. Daraus resultiert zwar eine Arbeitsfähigkeit von weniger als 50 % (20/41,7 x 100 % = 48 %), was aber bei im Übrigen gleichen Berechnungsfaktoren lediglich 59,23 % ergibt und gerundet zu einem Invaliditätsgrad von 59 % (BGE 130 V 121) führt.
Der vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Ausgleichskasse des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler