Faits:
A. M._ a travaillé en qualité de garçon d'office dans un restaurant d'entreprise et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Elvia Société Suisse d'Assurances Zurich, laquelle a été reprise depuis lors par Allianz Suisse Société d'Assurances SA (ci-après: Allianz).
Le 23 février 1996, l'assuré a chuté sur le sol et s'est blessé à la main droite. Allianz a pris en charge le cas. Elle a notamment alloué des indemnités journalières qui ont donné lieu à diverses procédures devant le Tribunal administratif et le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), ainsi que devant le Tribunal fédéral des assurances (jusqu'au 31 décembre 2006) et le Tribunal fédéral.
Allianz a recueilli de nombreux avis médicaux, en particulier des rapports des docteurs E._, médecin responsable de l'Unité de chirurgie de la main de l'Hôpital X._ des 12 novembre 2008 et 7 janvier 2009, A._, spécialiste en médecine interne, diabétologie et endocrinologie (du 24 mars 2009) et R._, spécialiste en chirurgie de la main (des 4 avril et 31 août 2009).
Par décision du 1er novembre 2010, confirmée sur opposition le 30 mai 2011, Allianz a alloué à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un montant de 9'720 fr., fondée sur un taux de 10 %.
B. Saisie d'un recours de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un montant de 344'981 fr., la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté par jugement du 8 février 2012.
C. M._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction sous la forme notamment d'une expertise médicale neutre. Subsidiairement, il requiert l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un montant de 344'981 fr. avec intérêts moratoires à 5 % l'an dès le 19 mars 2010. Plus subsidiairement encore, il conclut à l'allocation d'une indemnité de 40 % au titre de l'atteinte à l'intégrité physique, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité morale de 10 %, ce qui équivaut à un montant total de 63'000 fr., avec intérêts à 5 % l'an dès le 19 mars 2010, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité allouée au recourant pour les suites de l'accident du 23 février 1996. Le Tribunal fédéral n'est dès lors pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
A l'appui de ses conclusions, le recourant produit un certificat médical du docteur A._ du 23 février 2012, ainsi qu'une prescription pour un arthroscanner du poignet droit prévu le 14 mars 2012 et un rendez-vous de contrôle de X._ agendé au 22 mars 2012. Ces nouveaux moyens ne peuvent toutefois pas être pris en considération par la Cour de céans dès lors que - sauf exception non réalisée en l'espèce -, un moyen de preuve qui n'a pas été examiné dans la procédure devant l'autorité précédente n'est pas admissible dans la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF; cf. ATF 135 V 194).
3. 3.1 Par un premier moyen de nature formelle, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu par la juridiction cantonale à qui il reproche de n'avoir pas tenu compte de moyens de preuves qu'il avait pourtant produits, ni répondu à ses arguments pertinents.
3.2 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, ainsi que le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Le droit d'être entendu ne s'oppose cependant pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Par ailleurs, pour répondre aux exigences de motivation, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs retenus, même s'il ne prend pas position sur tous les arguments invoqués dans le recours. Par ailleurs, en reprochant à la juridiction cantonale d'avoir écarté certains moyens de preuves produits pour en privilégier d'autres, le recourant ne soulève pas un grief relevant de la violation du droit d'être entendu mais invoque un moyen concernant la libre appréciation des preuves par le Tribunal cantonal des assurances (art. 61 let. a LPGA). Le reproche de violation du droit d'être entendu se révèle ainsi mal fondé.
4. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et réglementaires, ainsi que la jurisprudence concernant le droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité et la fixation de son montant. Il suffit donc d'y renvoyer tout en relevant que le recourant perd totalement de vue, au regard de ses prétentions chiffrées, que l'indemnité pour atteinte à l'intégrité ne saurait excéder le montant maximum du gain annuel assuré tel que défini aux art. 15 al. 3 LAA et 22 OLAA.
4.1 La juridiction cantonale a confirmé le point de vue d'Allianz selon lequel le taux de l'atteinte à l'intégrité physique était de 10 %. Elle s'est fondée pour cela sur l'appréciation du docteur R._, lequel a fixé ce taux en se référant à l'annexe 3 à l'OLAA (rapport du 4 avril 2009). La juridiction précédente a écarté l'avis du docteur A._ (rapport du 24 mars 2009) qui faisait état d'une atteinte permanente à l'intégrité physique consistant dans le fait que l'usage de la main droite était compromis à 100 %. Elle a considéré que cette appréciation contredisait une autre indication de ce médecin, selon laquelle la limitation fonctionnelle de l'usage de la main droite dans la vie courante était globalement de 40 %.
De son côté, le recourant fait valoir que le taux d'atteinte à l'intégrité physique doit être fixé à 40 %, ce qui correspond à la perte d'une main selon l'annexe 3 à l'OLAA. Il fait valoir que sa main droite est irrémédiablement atteinte à 100 % d'après ce qui ressort des conclusions du docteur A._, lesquelles ne sont aucunement contradictoires. Au demeurant, celles-ci sont confirmées par le docteur E._, lequel n'a pas indiqué que l'intéressé pouvait à nouveau travailler en utilisant sa main droite (rapport du 7 janvier 2009).
De son côté, le recourant fait valoir que le taux d'atteinte à l'intégrité physique doit être fixé à 40 %, ce qui correspond à la perte d'une main selon l'annexe 3 à l'OLAA. Il fait valoir que sa main droite est irrémédiablement atteinte à 100 % d'après ce qui ressort des conclusions du docteur A._, lesquelles ne sont aucunement contradictoires. Au demeurant, celles-ci sont confirmées par le docteur E._, lequel n'a pas indiqué que l'intéressé pouvait à nouveau travailler en utilisant sa main droite (rapport du 7 janvier 2009).
4.2 4.2.1 Dans son rapport du 4 avril 2009, le docteur R._ a indiqué un taux d'atteinte à l'intégrité physique de 10 %, en précisant que le status n'était toutefois pas définitif, "quelle que soit la chirurgie ultérieure". Ce spécialiste était d'avis, en effet, qu'une nouvelle intervention chirurgicale était indispensable en raison d'une très probable consolidation incomplète de la réarthrodèse et de la présence totalement ectopique, et dans une zone fonctionnelle importante, d'une broche ayant migré, avec de surcroît une arthrose scapho-trapézo-trapézoïdienne. La nécessité d'une intervention chirurgicale sous la forme d'une trapézectomie a été confirmée par le docteur H._, spécialiste en chirurgie orthopédique et chirurgie de la main (rapport du 11 décembre 2009).
4.2.2 Aux termes de l'art. 24 al. 2 LAA, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est fixée en même temps que la rente d'invalidité ou, si l'assuré ne peut prétendre une rente, lorsque le traitement médical est terminé. Cette disposition légale ne fixe pas seulement le moment auquel l'assureur-accidents doit statuer sur le droit éventuel à une indemnité pour atteinte à l'intégrité mais également le moment déterminant auquel les conditions matérielles du droit doivent être examinées (RAMA 2004 n° U 508 p. 265, U 105/03, consid. 5.2 et les références).
Dans le cas particulier, par un jugement du 30 juillet 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a nié le droit de M._ à une rente d'invalidité de l'assurance-accidents à partir du 1er octobre 2007 au motif que l'intéressé ne subissait pas d'incapacité de gain. Saisi d'un recours contre ce jugement, le Tribunal fédéral l'a déclaré irrecevable par arrêt du 14 octobre 2008 (8C_738/2008), de sorte que le prononcé cantonal a acquis force de chose jugée. Comme l'assuré ne peut donc prétendre une rente d'invalidité, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité ne peut être fixée qu'une fois le traitement médical terminé, conformément à l'art. 24 al. 2 LAA. Or, tel n'est pas le cas en l'occurrence sur le vu des avis médicaux versés au dossier. Les conditions matérielles du droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité ne pouvaient dès lors pas être examinées tant que le traitement médical envisagé par les médecins n'eût pas été mené à terme, cela d'autant moins qu'une révision de l'indemnité a lieu seulement à titre exceptionnel (art. 36 al. 4 OLAA). Ainsi, il n'est pas possible de se fonder sur le taux d'atteinte à l'intégrité physique de 10 % fixé par le docteur R._, pas plus que sur l'appréciation du docteur A._.
Cela étant, la décision et la décision sur opposition d'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité des 1er novembre 2010 et 30 mai 2011, ainsi que le jugement attaqué du 8 février 2012 doivent être annulés et il convient de renvoyer la cause à Allianz pour qu'elle se prononce à nouveau sur le droit éventuel de l'assuré à une telle indemnité lorsque le traitement médical aura été mené à terme.
4.2.3 Dans sa réponse au recours, l'intimée a allégué que l'assuré avait renoncé à un traitement complémentaire dont il avait sollicité la prise en charge et qui avait été accepté par l'assureur-accidents par lettres des 29 mai et 23 juin 2009. Il appartiendra dès lors à l'intimée d'examiner si l'opération proposée par les médecins consultés est raisonnablement exigible. Le cas échéant et si l'intéressé refuse de s'y soumettre, elle pourra réduire ou refuser temporairement ses prestations après lui avoir adressé une mise en demeure écrite l'avertissant des conséquences de son refus (art. 21 al. 4 LPGA; ATF 134 V 189 consid. 2 p. 193 s.).
4.3 Dans ses conclusions, le recourant demande également que l'indemnité comprenne un dédommagement au titre de l'atteinte à l'intégrité "morale". Dans la mesure où il faut l'interpréter comme tendant à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité psychique, cette requête sera examinée par l'intimée dans le cadre de la nouvelle décision à rendre.
5. Le recourant n'obtient que partiellement gain de cause par rapport à ses conclusions et, de surcroît, pour des motifs étrangers aux moyens invoqués dans son recours. Il se justifie dès lors de répartir les frais entre les parties et d'allouer au recourant une indemnité de dépens réduite à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis partiellement en ce sens que la décision de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 8 février 2012, ainsi que les décisions d'Allianz des 1er novembre 2010 et 30 mai 2011 sont annulées, la cause étant renvoyée à l'intimée pour qu'elle procède conformément aux considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis pour moitié à la charge du recourant et pour moitié à celle de l'intimée.
3. Une indemnité de dépens réduite de 1'000 fr. est allouée au recourant à la charge de l'intimée pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 4 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd