Faits:
A. Par décision du 24 novembre 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de D._ à une rente d'invalidité, au motif que le taux de sa perte de gain était inférieur à 40 % et n'ouvrait pas le droit à une telle prestation. Il a également indiqué renoncer à mettre en oeuvre des mesures professionnelles ou un service de placement.
B. Le 12 décembre 2008, l'assuré a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois). Sous suite de dépens, il a conclu à l'annulation de la décision administrative et à ce qu'il soit mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er août 2006. Après avoir ordonné un échange d'écritures, le Juge instructeur a entendu les parties lors d'une audience tenue le 18 janvier 2010. Il a ensuite fixé à l'office AI un délai au 9 février 2010 pour produire ses ultimes déterminations, en lui communiquant une écriture de l'assuré du 21 janvier 2010. L'administration y a répondu le 4 février 2010.
Par courrier du 19 juillet 2010, D._ a transmis au Tribunal cantonal la copie d'une lettre adressée le même jour à l'intimé. Accusant réception de cette pièce, la Cour des assurances sociales a informé les parties qu'un arrêt pouvait être attendu pour fin septembre 2010 (lettre du 21 juillet 2010). Le 8 novembre 2010, elle a fait savoir aux parties qu'en raison d'une surcharge, le jugement pouvait être attendu pour la fin de l'année 2010.
C. Le 8 novembre 2010, D._ a interjeté un recours pour déni de justice, en concluant, sous suite de dépens, à son admission et à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal cantonal vaudois pour qu'il statue dans les meilleurs délais.
D. Le 18 novembre 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a rendu son jugement dans la cause qui oppose D._ à l'office AI. Elle s'est déterminée sur le recours de l'assuré le 22 novembre 2010.
Considérant en droit:
1. Le recours, formé au motif que la juridiction cantonale tardait à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-invalidité, concerne une cause qui relève sur le fond du droit public, de sorte qu'il est en principe recevable. Il doit cependant être déclaré sans objet et rayé du rôle. Le recourant ne dispose en effet plus d'un intérêt juridiquement protégé à ce qu'il soit fixé un délai à l'autorité cantonale pour statuer puisqu'un jugement a été notifié postérieure-ment à l'ouverture de l'instance fédérale.
2. 2.1 Lorsque, comme en l'espèce, un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.2 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause et, entre autres critères, sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'assuré ainsi que le comportement de celui-ci et des autorités intimées. A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. Si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques "temps morts", elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur de la procédure (ATF 130 I 312 consid. 5.1 et 5.2 p. 331 s. et les références).
2.3 On ajoutera qu'en droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide; il constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
2.4 A titre d'exemple, le Tribunal fédéral a admis, au vu des circonstances, un retard inadmissible à statuer dans un cas où il s'était écoulé 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62; voir également arrêt 8C_613/2009 du 22 février 2010). En revanche, dans deux autres affaires analogues à la présente cause (soit sans acte d'instruction médicale), le Tribunal fédéral a jugé qu'un intervalle d'un peu plus de 18 mois se situait dans les limites admissibles (voir les arrêts 9C_433/2009 du 19 août 2009 et 8C_615/2009 du 28 septembre 2009). Dans le procès qui a donné lieu à l'arrêt 9C_107/2009 du 9 juin 2009 cité par le recourant, le Tribunal fédéral a jugé qu'un laps de temps de 15 mois entre le dépôt du recours cantonal et le prononcé du jugement ne paraissait pas, en soi, constituer une durée excessive pour instruire et juger une cause. Toutefois, les circonstances concrètes de ce cas, en particulier l'attitude du juge instructeur, avaient conduit le Tribunal fédéral à retenir la solution contraire. En effet, le recourant qui par trois fois avait obtenu de l'autorité compétente l'assurance que sa cause serait jugée avant une date déterminée, sans pour autant que cette garantie soit suivie d'effets, pouvait légitimement déposer un recours pour retard injustifié dans la mesure où la juridiction cantonale n'avait pas respecté ses engagements, sans motif ou explications objectifs, contrairement au principe de la bonne foi régissant les relations entre les autorités et les particuliers (cf. art. 5 al. 3 Cst.; ATF 126 II 97 consid. 4b p. 105 s.).
3. 3.1 Le recours contre la décision administrative du 24 novembre 2008 a été interjeté devant l'autorité cantonale le 12 décembre suivant. L'échange d'écritures s'est achevé avec le dépôt de la dernière écriture de l'office AI en date du 4 février 2010. Le recourant a encore adressé à la juridiction cantonale la copie d'un courrier envoyé à l'administration et daté du 19 juillet 2010. Accusant réception de celui-ci par lettre du 21 juillet 2010, l'autorité cantonale de recours a informé les parties sur la date à laquelle elles pouvaient s'attendre à recevoir un jugement (fin septembre 2010). Elle les a averties, le 8 novembre 2010, du report de cette date à la fin de l'année 2010, en invoquant la surcharge de la Cour. Le même jour, le recourant a saisi le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice, avant que la juridiction cantonale n'ait rendu son jugement le 18 novembre 2010, qui avait pour objet le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité.
3.2 Compte tenu de ces éléments, un délai de 9 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal n'apparaît pas excessif. Il en va de même de la durée de l'instruction qui a nécessité plusieurs échanges d'écritures, notamment en raison de la proposition de l'intimé visant à accorder des mesures professionnelles à l'assuré (cf. courrier du 10 septembre 2009). Par ailleurs, dès lors que le recourant n'a pas interpellé la juridiction cantonale pour s'enquérir de l'avancement de la procédure - celle-ci s'étant spontanément exprimée à ce sujet en juillet 2010 -, respectivement des motifs du dépassement du délai à fin septembre 2010, il a manqué d'entreprendre quelque démarche que ce soit pour l'inviter à faire diligence (consid. 2.2 supra). De plus, on ne saurait considérer que l'autorité de recours de première instance a adopté une attitude contraire à la bonne foi, comme le prétend à tort le recourant, puisqu'elle a de sa propre initiative informé les parties du retard pris dans la procédure avant de se prononcer dans le (second) délai annoncé. Le recourant aurait, du reste, pu éviter de saisir le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice si son mandataire avait interpellé la juridiction cantonale, car il aurait alors appris que le jugement allait être rendu avant la fin de l'année 2010 (comme cela lui a été communiqué le jour du dépôt de son recours en matière de droit public).
Dans ces conditions, le recourant n'aurait pas été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
4. Il s'ensuit que le recourant doit supporter les frais inutiles qu'il a causés (art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless