Sachverhalt:
A. Der aus Serbien und Montenegro stammende AX._ (geb. 1963) hielt sich ab dem Jahr 1985 als Saisonnier in der Schweiz auf. Im Jahr 1991 wurde seine Saisonbewilligung in eine Aufenthaltsbewilligung umgewandelt und im Jahr 1997 erhielt er die Niederlassungsbewilligung. Seine Ehefrau BX._ (geb. 1965) zog im Mai 1992 zu ihm nach und kam zunächst in den Genuss einer Aufenthaltsbewilligung. Zuvor hatte sie in der Heimat die gemeinsamen Töchter C._ (geb. September 1986) und D._ (geb. September 1989) sowie den Sohn E._ (geb. Oktober 1990) zur Welt gebracht. Die Eltern nahmen die Kinder nicht zu sich, sondern liessen sie bei den Grosseltern mütterlicherseits zurück. Seit Februar 2002 verfügt auch BX._ über eine Niederlassungsbewilligung.
B. Am 4. Dezember 2007 reichten die Eheleute AX._ und BX._ ein Gesuch um Familiennachzug für ihren Sohn E._ ein. Am 13. Februar 2008 teilte das Amt für Migration des Kantons Zug ihnen mit, der beantragte Familiennachzug werde abgelehnt. Es bot ihnen an, das Gesuch zurückzuziehen. Dem kamen die Eheleute mit Schreiben vom 29. Februar 2008 nicht nach. Im Übrigen bezeichneten sie ihre Eingabe von diesem Tage zusätzlich als "neues Gesuch", das im Gegensatz zum Antrag vom 4. Dezember 2007 nach der am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen Rechtsänderung zu beurteilen sei. Mit Verfügung vom 11. Juni 2008 wies das Amt für Migration das Nachzugsgesuch sowohl nach altem als auch nach neuem Recht ab. Es führte zur Begründung an, der Familiennachzug werde zweckwidrig und damit rechtsmissbräuchlich geltend gemacht. Die dagegen von den Eheleuten AX._ und BX._ im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. Februar 2010 beantragen die Eheleute AX._ und BX._ dem Bundesgericht, das in dieser Sache zuletzt ergangene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 28. Januar 2010 aufzuheben und den "beantragten Nachzug" des Sohnes E._ zum Verbleib bei seinen Eltern zu bewilligen.
Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zug beantragt namens des Zuger Regierungsrates die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration hat darauf verzichtet, einen Antrag zu stellen. Das kantonale Amt für Migration hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Gemäss Art. 126 Abs. 1 AuG bleibt aber das zuvor geltende Recht anwendbar auf Gesuche, die vor dem 1. Januar 2008 eingereicht worden sind. Somit gilt für den am 4. Dezember 2007 gestellten Antrag auf Familiennachzug noch das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121). Für das am 29. Februar 2008 zusätzlich gestellte Gesuch ist hingegen das neue Recht anwendbar. Ob dieser neue Antrag überhaupt gestellt werden durfte, bevor rechtskräftig über das alte Gesuch befunden worden ist, braucht hier - mit Blick auf die nachfolgenden Ausführungen - nicht beantwortet zu werden.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts nur zulässig, wenn das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf Bewilligung einräumt (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Da die Beschwerdeführer Inhaber von Niederlassungsbewilligungen sind und sie die Nachzugsanträge vom Dezember 2007 und Februar 2008 gestellt haben, bevor ihr Sohn 18 Jahre alt war, haben sie einen grundsätzlichen Bewilligungsanspruch gemäss Art. 17 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) und Art. 43 AuG. Auf ihre rechtzeitig eingereichte Beschwerde ist somit einzutreten (vgl. zum ANAG: BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; zum AuG: BGE 2C_84/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 3; Urteil 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 1). Ob die Bewilligung aus den von den Vorinstanzen angeführten Gründen zu versagen ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 150 mit Hinweisen).
3. Nach Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG haben ledige Kinder unter 18 Jahren Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ledige Kinder von Ausländern mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen und noch nicht 18 Jahre alt sind. Dem neuen Ausländergesetz zufolge haben nur noch Kinder unter zwölf Jahren Anspruch auf sofortige Erteilung der zeitlich unbefristeten Niederlassungsbewilligung (vgl. Art. 43 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 34 AuG).
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht stellt fest, die Fremdenpolizei habe im November 1999 eine Ermächtigung zur Visumerteilung für alle drei Kinder zwecks Familiennachzug erteilt. Diese bis am 2. Februar 2000 zeitlich befristete Ermächtigung hätten die Beschwerdeführer unbenutzt erlöschen lassen, ohne dass hierfür ökonomische Schwierigkeiten nachgewiesen wären. In der Folge hätten sie acht Jahre lang aus freien Stücken auf den Familiennachzug verzichtet. Erst kurz vor Vollendung des 18. Altersjahrs des Sohnes stellten sie das neue Nachzugsgesuch. Zu diesem Zeitpunkt war eine Zusammenführung der Gesamtfamilie aufgrund der Volljährigkeit der Töchter schon rechtlich nicht mehr möglich. Dass der in der Heimat angestrebte Abschluss der Lehre des Sohnes im Juni 2008 eine Änderung der Betreuungsverhältnisse gebieten würde, sei nicht nachvollziehbar. Letztlich hätten sich die Beschwerdeführer durch ihr Gesamtverhalten klar gegen eine Zusammenführung der Familie entschieden. Das Verwaltungsgericht gelangt deshalb zum Schluss, den Beschwerdeführern gehe es beim jetzigen Nachzug ihres Sohnes im Wesentlichen nur noch darum, diesem eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz bzw. eine bessere Erwerbsmöglichkeit zu verschaffen, ohne dass dem Motiv des familiären Zusammenlebens noch die ernsthafte, vom Gesetz vorausgesetzte Bedeutung zukomme. Daher seien die Voraussetzungen für den Familiennachzug nicht mehr erfüllt.
4.2 Nach der Rechtsprechung zu Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG ist der nachträgliche Familiennachzug durch Eltern, die sich beide in der Schweiz niedergelassen haben und einen gemeinsamen ehelichen Haushalt führen, möglich, ohne dass besondere stichhaltige Gründe die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechtes rechtfertigen müssen. Grundsätzlich ist der Nachzug von gemeinsamen Kindern jederzeit zulässig. Vorbehalten bleibt einzig das Rechtsmissbrauchsverbot (BGE 129 II 11 E. 3.1.2 S. 14; 126 II 329 E. 3b S. 332). Je länger mit der Ausübung des Nachzugsrechtes ohne sachlichen Grund zugewartet wird und je knapper die verbleibende Zeit bis zur Volljährigkeit ist, umso eher kann sich auch bei im Ausland zurückgelassenen gemeinsamen Kindern von zusammenlebenden Eltern die Frage stellen, ob wirklich die Herstellung der Familiengemeinschaft beabsichtigt ist oder die Ansprüche aus Art. 17 ANAG zweckwidrig für die blosse Verschaffung einer Niederlassungsbewilligung geltend gemacht werden (BGE 126 II 329 E. 3b S. 333).
4.3 Die Beschwerdeführer wenden gegen den Schluss des Verwaltungsgerichts ein, sie hätten einen aus integrationspolitischer Sicht klugen Nachzugszeitpunkt gewählt. Durch Verzicht auf einen früheren Nachzug wollten sie ihren Sohn vor dem Verlust eines Schuljahres bewahren. Dank dem erfolgreichen Lehrabschluss werde er zudem in die Lage versetzt, sich auf dem Schweizer Arbeitsmarkt zu behaupten. Eine im Interesse der ausbildungsmässigen Entwicklung eines Jugendlichen "sinnvolle und integrationspolitisch begrüssenswerte Entscheidung" könne ausländerrechtlich nicht negativ sanktioniert werden. Im Übrigen würden die Eltern in Bälde in der Schweiz ein Einbürgerungsgesuch stellen.
4.4 Das Bundesgericht hat in einem von den Beschwerdeführern zitierten Entscheid eingeräumt, dass ein Nachzug nicht schon deshalb zu verweigern ist, weil die Eltern wegen schlechter Erfahrungen mit einem anderen Kind vorgezogen haben, den Schulabschluss ihres Kindes abzuwarten. Zudem darf bei der Würdigung der konkreten Umstände auch eine bevorstehende Einbürgerung der Eltern berücksichtigt werden (BGE 126 II 329 E. 4b S. 334).
Im soeben erwähnten Entscheid (BGE 126 II 329) wurde der Familiennachzug indes beantragt, als das Kind noch fünfzehneinhalbjährig war. Ausserdem waren bereits alle anderen Geschwister in die Schweiz gezogen. Die Vorinstanz hatte zudem in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt, dass die Eltern vornehmlich die Zusammenführung der Familie anstrebten.
Derartige Feststellungen hat die Vorinstanz hier nicht getroffen. Vielmehr sollte der Sohn erst vier Monate vor Vollendung seines 18. Lebensjahres nachgezogen werden. Dieser sollte nämlich nach dem Willen der Beschwerdeführer noch bis Juni 2008 seine Lehre in der Heimat abschliessen. Ausserdem verbleiben die Schwestern von E._, mit denen er aufgewachsen ist, in der Heimat. Von dem im Jahre 1999 bewilligten Familiennachzug, als sich E._ noch im anpassungsfähigen Alter von neun Jahren befand, machten die Beschwerdeführer ohne nachvollziehbare Begründung keinen Gebrauch. Wollten sie - wie von ihnen eingewandt - den Nachzug nicht während eines laufenden Schuljahres durchführen, hätten sie sich entsprechend an die zuständigen Stellen wenden können. Sie liessen ihren Sohn schliesslich auch nach Beendigung der obligatorischen Schulzeit bei den Grosseltern zurück.
Somit ist der Schluss der Vorinstanz nicht zu beanstanden, dass mit dem Nachzug das familiäre Zusammenleben - wenn überhaupt - nur verschwindend geringe Bedeutung hatte. Deshalb durften sie das auf Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG gestützte Nachzugsgesuch vom Dezember 2007 ablehnen (vgl. auch Urteil des Bundesgerichts 2A.455/2004 vom 13. Dezember 2004 E. 2.2 mit zahlreichen Anwendungsbeispielen, in: Pra 2005 Nr. 113 S. 796). Die Beschwerdeführer wenden zwar zusätzlich ein, es sei nicht damit zu rechnen, dass ihr Sohn den elterlichen Haushalt bald verlassen würde, weil Kinder aus ihrem Kulturkreis noch längere Zeit über die Volljährigkeit hinaus im elterlichen Haushalt bleiben würden. Dieses Argument ist indes unbehelflich. Die Beschwerdeführer hatten ihren Sohn als nicht einmal Zweijährigen bei den Grosseltern zurückgelassen und seither nicht mehr mit ihm zusammen gelebt. Zudem blieben auch seine beiden Schwestern nicht lange nach Erreichen des 18. Lebensjahres im Haushalt, in welchem sie aufgewachsen waren.
5. Die Vorinstanz wies das Nachzugsgesuch mit Blick auf das zusätzliche Gesuch vom Februar 2008 auch gestützt auf das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Recht ab .
5.1 Wie erwähnt richtet sich der Nachzug von Kindern niedergelassener Ausländer unter dem neuen Recht zunächst nach Art. 43 AuG. Die Voraussetzungen dieser Bestimmung sind hier wohl erfüllt. Gemäss Art. 47 Abs. 1 und 3 lit. b AuG müssen Eltern den Anspruch auf Nachzug ihrer über zwölfjährigen Kinder aber innerhalb von zwölf Monaten ab Erhalt der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung geltend machen. Mit dieser Frist hat der Gesetzgeber einen frühzeitigen Nachzug zwecks besserer Integration der Kinder beabsichtigt (BGE 136 II 78 E. 4.3 S. 82). Die Frist des Art. 47 Abs. 1 und 3 AuG war vorliegend unstreitig verstrichen, als die Beschwerdeführer Anfang 2008 ihr Nachzugsgesuch gestützt auf das neue Recht stellten. Nach Ablauf der erwähnten Frist ist ein Nachzug nur zu bewilligen, wenn wichtige familiäre Gründe gegeben sind (Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG). Daran würde es hier fehlen. Ausserdem erlöschen die Ansprüche nach Art. 43 AuG, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden, namentlich um Vorschriften des Ausländergesetzes und seiner Ausführungsbestimmungen zu umgehen (Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG).
5.2 Das Ausländergesetz sieht allerdings eine Übergangsregelung vor. Gemäss Art. 126 Abs. 3 AuG beginnen die Fristen nach Art. 47 Abs. 1 AuG mit seinem Inkrafttreten am 1. Januar 2008, sofern die Eltern vor diesem Zeitpunkt eingereist sind. Das Gesuch vom Februar 2008 ist insoweit fristgerecht erfolgt, da es innerhalb von zwölf Monaten ab dem Inkrafttreten der neuen Rechtsordnung gestellt wurde.
Mit der erwähnten Übergangsregelung soll unter anderem bereits anwesenden, niedergelassenen Ausländern ermöglicht werden, von der neuen Nachzugsregelung allenfalls noch profitieren zu können, ansonsten ihr Anspruch unter Umständen bereits erloschen wäre, bevor er überhaupt entstehen konnte. Rechtsmissbrauch nach Art. 51 AuG soll deshalb nicht bereits angenommen werden, weil von der Sonderregelung des Art. 126 Abs. 3 AuG Gebrauch gemacht wird. Letztgenannte Bestimmung ist auch nicht entgegen ihrem Wortlaut einschränkend auszulegen. Es kommt - entgegen der Ansicht der Vorinstanz - insbesondere nicht darauf an, ob der Nachzug entweder nach dem alten Recht oder - ohne die Übergangsregelung - nach dem neuen Recht zulässig wäre. Jeder, der eine Familienzusammenführung nach Art. 42 ff. AuG anstrebt, soll diese innerhalb der durch Art. 126 Abs. 3 AuG gewährten Übergangsfristen erreichen können, auch wenn die Fristen nach Art. 47 AuG an sich bereits verstrichen wären. Unerheblich ist zudem, dass ein Nachzug nicht (mehr) möglich gewesen wäre, wenn für das Gesuch noch das alte Recht gegolten hätte. Es soll allein auf die neue Rechtslage abzustellen sein. Davon betroffen sind vor allem die sog. Teilfamiliennachzüge, bei denen das alte Recht im Gegensatz zum neuen Recht die Geltendmachung besonderer Gründe für den zeitlich versetzten Nachzug von Kindern verlangte (vgl. zum Ganzen: Urteil 2C_44/2010 vom 26. August 2010 E. 2, insb. E. 2.2 sowie erwähntes Urteil 2C_606/2009 E. 2, insb. E. 2.3).
5.3 Das heisst aber nicht, dass das Rechtsmissbrauchsverbot von vornherein nicht für Sachverhalte greifen kann, die unter das Übergangsregime fallen. Andernfalls würde Art. 51 AuG bei Übergangsfällen seines Sinnes entleert. Die intertemporalen Regelungen schliessen die Anwendung von Art. 51 AuG gerade nicht aus (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.7 und 4.8 S. 85 f.; Urteil 2C_526/2009 vom 14. Mai 2010 E. 9.1). Der Anwendungsbereich des Rechtsmissbrauchsverbots ist beim Nachzug von Kindern aber vor allem mit Blick auf die Fristenregelungen der Art. 47 und 126 Abs. 3 AuG sehr klein (vgl. erwähntes Urteil 2C_606/2009 E. 2.4; Peter Uebersax, Der Rechtsmissbrauch im Ausländerrecht, in: Jahrbuch für Migrationsrecht 2005/2006, S. 24 f.; Martina Caroni, in: Caroni/Gächter/Thurnherr, Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, N. 19 zu Art. 51 AuG). In der Lehre wird als Beispiel genannt, dass die Familie nur formell zusammenwohnen soll, das nachzuziehende Kind aber bereits selbständig lebt oder sogar eine eigene Familie gegründet hat (Uebersax, a.a.O., S. 25). Laut Bundesgericht soll das Rechtsmissbrauchsverbot bei Machenschaften, um die Behörden zu täuschen oder eine Bewilligung zu erschleichen, greifen (erwähntes Urteil 2C_606/2009 E. 2.4.1).
Um solche Machenschaften geht es vorliegend. Zwar sind wirtschaftliche Erwägungen für den Nachzug von Kindern nicht von vornherein verpönt, solange auch eine echte Familienzusammenführung beabsichtigt ist (vgl. erwähntes Urteil 2C_526/2009 E. 9.1). Den Beschwerdeführern geht es jedoch, wie ausgeführt (E. 4 hievor), beim Nachzug ihres Sohnes nicht wirklich um das familiäre Zusammenleben, sondern letztlich nur darum, ihrem Sohn einen Aufenthaltstitel für die Schweiz und damit bessere Erwerbsmöglichkeiten zu verschaffen. Beide Beschwerdeführer lebten spätestens seit dem zweiten Lebensjahr ihres Sohnes von ihm getrennt. Obwohl ein Nachzug seit vielen Jahren möglich gewesen wäre, sollte der Sohn erst vier Monate vor Vollendung des 18. Lebensjahrs nachgezogen werden, als er - auch aufgrund abgeschlossener Ausbildung - dabei war, in die persönliche und finanzielle Eigenständigkeit überzugehen. Die Beschwerdeführer berufen sich somit in rechtsmissbräuchlicher Weise auf einen Anspruch nach Art. 43 AuG. Deshalb hat die Vorinstanz auch das auf diese Bestimmung gestützte Nachzugsgesuch im Ergebnis zu Recht abgelehnt. Dass sie teilweise von anderen rechtlichen Vorgaben ausgegangen ist (s. E. 5.2 hievor), spielt keine Rolle. Das Bundesgericht wendet das Recht bei Zugrundelegung des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts von Amtes wegen an, ohne an ihre Erwägungen gebunden zu sein (vgl. Art. 105 und 106 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
6. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist (s. E. 1 hievor). Bei diesem Ausgang haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. Art. 68 AuG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz