Faits:
A. D._, née en 1951, mariée, a travaillé en qualité d'enseignante à l'Ecole X._, à N._. A ce titre, elle était assurée contre les accidents professionnels et non professionnels auprès de la Caisse Vaudoise, (Groupe Mutuel; ci-après: la caisse).
Le 12 juillet 2002, elle a été victime d'un accident de la circulation: lors d'un ralentissement, sa voiture a été heurtée à l'arrière par un véhicule qui n'avait pas freiné à temps. Etablie par l'Hôpital Y._, la déclaration d'accident LAA du 17 juillet 2002 indique que l'assurée a subi un traumatisme de type « coup du lapin », une entorse cervicale et des contusions lombaires. Dans son rapport du 30 septembre 2002, le docteur G._, médecin au service de rhumatologie, médecin physique et réhabilitation de l'Hôpital Z._, a diagnostiqué un syndrome douloureux panrachidien à focalisation cervicale dans un contexte de probable « whiplash » (soit des troubles statiques et dysbalances musculaires dans un contexte de déconditonnement physique global ainsi qu'un état de stress post-traumatique).
Par décision du 23 mars 2006, la caisse a mis un terme aux prestations d'assurance au 31 janvier 2004. Au regard de l'appréciation de son médecin-conseil, elle a considéré, notamment, que les lésions à la colonne cervicale existaient déjà avant l'événement du 12 juillet 2002, lequel avait momentanément aggravé un état dégénératif jusque-là asymptomatique, mais néanmoins présent.
D._ a fait opposition à cette décision. Après avoir complété l'instruction sous l'angle médical, la caisse a confirmé son point de vue par décision sur opposition du 12 mars 2007.
B. D._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (actuellement Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois). Elle concluait, à titre principal, à l'octroi d'une rente, calculée sur la base d'un taux d'invalidité et à partir d'une date fixés à dire de justice, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fixée à dire de justice. A titre subsidiaire, elle demandait l'annulation de la décision sur opposition et le renvoi de la cause à la caisse pour complément d'instruction au sens des considérants.
Après avoir ordonné une expertise pluridisciplinaire à la Clinique V._ (rapport du 16 mai 2008), la juridiction cantonale a admis partiellement le recours par jugement du 13 octobre 2008: la décision attaquée était réformée en ce sens que le droit à une rente de 10 % dès le 1er février 2004 était reconnu à l'assurée, de même qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 10 %. En outre, une indemnité de 2'000 fr. a été octroyée à l'assurée à titre de dépens.
C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande, principalement, la réformation, en ce sens que le droit à une rente de l'assurance-accidents soit nié. A titre subsidiaire elle conclut à ce que la cause lui soit renvoyée pour complément d'instruction et nouvelle décision sur le taux d'invalidité.
D._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
Par ailleurs, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
2. En procédure fédérale, la caisse recourante ne remet pas en cause l'indemnité pour atteinte à l'intégrité que la juridiction cantonale a allouée à l'assurée, de sorte que le litige porte uniquement sur le droit à la rente d'invalidité.
3. 3.1 Selon l'expertise judiciaire, l'assurée présente, au titre de diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail: un syndrome douloureux chronique post-traumatique du rachis cervical en flexion-extension, secondaire à l'accident du 12 juillet 2002, une polyarthrite rhumatoïde diagnostiquée en janvier 2004, des céphalées et douleurs myofaciales de tension musculaire ainsi que des cervico-brachialgies droites non déficitaires suivant le dermatome C7-C8. En outre, au titre de diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, les experts mentionnent une anxiété généralisée ainsi qu'une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques. Les experts exposent que parmi les affections précitées, seul le syndrome douloureux chronique post-traumatique du rachis cervical est en relation de causalité naturelle avec l'accident (au degré de vraisemblance de plus de 50 %). Ils précisent que si cette affection a initialement une origine organique, l'intensité des douleurs est partiellement subjective, avec une probable composante psychologique surajoutée. Les experts expliquent également que dans les premiers temps, l'assurée a présenté une symptomatologie typique d'un mécanisme par « coup du lapin » (céphalées, vertiges, douleurs cervicales, troubles visuels, irritabilité, etc.) et que par la suite s'est greffé un syndrome douloureux chronique avec une composante psychologique. Par ailleurs, les experts considèrent que le taux d'invalidité (recte: d'incapacité de travail) est de 30 %, tandis que la part de ce taux imputable à l'accident est de 10 %. De surcroît, les experts relèvent que l'incapacité de travail a évolué depuis 2002 et que le tournant majeur est l'apparition d'une polyarthrite rhumatoïde mise en évidence par le Service de rhumatologie de l'Hôpital Z._ en janvier et février 2004. Enfin, les experts relèvent que sur le plan ostéo-articulaire, le statu quo sine a été atteint au plus tard fin 2003 et que l'incapacité de travail persistante était essentiellement due depuis 2004 à la polyarthrite rhumatoïde. Le statu quo sine a été atteint durant l'été 2004 sur le plan psychique.
3.2 En l'espèce, rien ne permet de conclure à la persistance de troubles physiques objectivables qui seraient consécutifs à l'accident. Sont considérés comme objectivables, les résultats de l'investigation (médicale) susceptibles d'être confirmés en cas de répétition de l'examen, lorsqu'ils sont indépendants de la personne de l'examinateur ainsi que des indications données par le patient. On ne peut parler de lésions traumatiques objectivables d'un point de vue organique que lorsque les résultats obtenus sont confirmés par des investigations réalisées au moyen d'appareils diagnostic ou d'imagerie et que les méthodes utilisées sont reconnues scientifiquement (arrêt 8C_421/2009 du 2 octobre 2009 consid. 3 et les arrêts cités; cf. ATF 134 V 109 consid. 9 p. 122, 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103; voir également Urs Pilgrim, Nicht oder schwer objektivierbare Gesundheitsbeeinträchtigungen: Erfahrungen des Hausarztes und Rheumatologen, in: Erwin Murer [éd.], Nicht objektivierbare Gesundheitsbeeinträchtigungen: Ein Grundproblem des öffentlichen und privaten Versicherungsrechts sowie des Haftpflichtrechts, Freiburger Sozialrechtstage 2006, p. 3 ss). Dans le cas particulier, l'expertise ne révèle pas d'atteinte osseuse. Les experts indiquent que d'un point de vue strictement neurologique, l'incapacité de travail est de 10 % au maximum, tout en soulignant qu'il n'y a pas eu d'atteinte neurologique lésionnelle objective. Comme c'est souvent le cas dans ce type de pathologie, les douleurs se sont chronifiées, formant partie d'un syndrome douloureux chronique influencé négativement par une composante psychique et vraisemblablement aussi par un abus chronique d'analgésiques.
Aussi bien et compte tenu de la nature des troubles en question, le caractère adéquat du lien de causalité - la causalité naturelle n'étant pas discutable pour ce qui est des troubles consécutifs à l'accident - doit-il être examiné à la lumière des principes applicables en cas de traumatisme de type «coup du lapin» à la colonne cervicale, de traumatisme analogue à la colonne cervicale ou de traumatisme cranio-cérébral.
4. 4.1 Pour ce faire, il convient de se référer aux précisions apportées par l'arrêt ATF 134 V 109, déjà cité, qui a instauré une nouvelle pratique en matière de troubles liés à ce type de traumatisme. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a confirmé qu'il fallait s'en tenir à une méthode spécifique pour examiner le lien de causalité adéquate en présence de tels troubles. Il n'a pas modifié les principes qui ont fait leur preuve, à savoir la nécessité, d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, d'inclure, selon la gravité de l'accident, d'autres critères lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10.1). Il a cependant changé en partie les critères à prendre en considération (consid. 10). Ces critères sont désormais formulés de la manière suivante:
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (inchangé);
- la gravité ou la nature particulière des lésions (inchangé);
- l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible (formulation modifiée);
- l'intensité des douleurs (formulation modifiée);
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident (inchangé);
- les difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes (inchangé);
- l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (formulation modifiée).
4.2 En l'espèce, ainsi que le fait valoir avec raison la caisse recourante, la juridiction cantonale n'a pas examiné le cas sous l'angle de ces critères. Les faits constatés par la juridiction cantonale ne permettent pas de vérifier si ceux-ci sont ou non réalisés dans le cas concret. Il convient donc de lui renvoyer l'affaire pour qu'elle les complète et statue à nouveau.
5. La caisse recourante fait également grief à la juridiction cantonale d'avoir octroyé une rente de 10 %, sans calcul du taux d'invalidité, sur la seule base du taux d'incapacité de travail permanente retenu par les experts de la Clinique V._. Il n'y a pas lieu d'examiner plus avant ce grief. Si la causalité adéquate devait être admise par les premiers juges ceux-ci fixeront le taux d'invalidité, après examen du grief formulé ici par la recourante.
6. En tout état de cause, la juridiction cantonale statuera à nouveau sur les dépens de la procédure cantonale.
7. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'elle obtienne gain de cause, la recourante n'a pas droit aux dépens qu'elle prétend (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 13 octobre 2008 du Tribunal des assurances du canton de Vaud est annulé, dans la mesure où il porte sur le droit à une rente d'invalidité et sur le montant des dépens, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales, pour qu'il statue conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 26 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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