Sachverhalt:
A. Die aus Gambia stammende X._ (geb. 1977) heiratete im Februar 1999 in Afrika den Schweizer Bürger Y._ (geb. 1962). Ein erstes Gesuch um Nachzug der Ehefrau in die Schweiz wurde abgelehnt, weil der Ehemann eine längere Gefängnisstrafe zu verbüssen hatte. Später wurde ein zweites Gesuch bewilligt, worauf X._ im März 2003 einreiste. Am 17. April 2003 gebar sie den Sohn A._. Am 10. Mai 2005 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt das Getrenntleben der Eheleute X._-Y._. Ausserdem erkannte es am 16. März 2006 auf Antrag des Ehemannes dessen Vaterschaft zu A._ ab. Am 28. März 2007 brachte X._ in der Schweiz die Tochter B._ zur Welt.
Den Antrag von X._ vom 16. Dezember 2005 um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt am 29. Oktober 2007 ab. Die von ihr dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
B. Mit Beschwerde vom 4. Mai 2009 beantragt X._ dem Bundesgericht, das in dieser Sache kantonal letztinstanzlich gefällte Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. Januar 2009 sowie den vorausgegangenen Entscheid des kantonalen Sicherheitsdepartements vom 22. September 2008 aufzuheben; ihr sowie ihrem Sohn A._ sei die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventualiter seien die Entscheide "vorläufig aufzuheben zwecks weiterer Abklärungen und der Beschwerdeführerin und ihrem Sohn A._ eine befristete Aufenthaltsbewilligung bis zum Abschluss des Verfahrens auszustellen". Mit Eingabe vom 7. Mai 2009 reichte X._ ein Schreiben vom 6. Mai 2009 der Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Kantons Basel-Stadt nach.
C. Wegen eines von X._ beim kantonalen Migrationsamt gestellten Wiedererwägungsgesuchs sistierte der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 28. Mai 2009 das Verfahren. In der Folge trat das kantonale Migrationsamt auf das Wiedererwägungsgesuch nicht ein, worauf das Bundesgericht am 23. September 2009 das Verfahren wieder aufnahm.
D. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Migrationsamt hat sich nur zur Sistierung geäussert, jedoch nicht zur Sache selbst.
Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts über Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer vom 16. Dezember 2005 (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Nach Art. 126 Abs. 1 AuG bleibt das alte materielle Recht - d.h. das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) - anwendbar auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten des neuen Gesetzes eingereicht worden sind. Das ist hier der Fall, da das Verlängerungsgesuch noch vor dem 1. Januar 2008 eingereicht wurde. Das Verfahren richtet sich hingegen nach dem neuen Recht (Art. 126 Abs. 2 AuG).
Da die Ehe mit dem Schweizer Bürger zumindest formell weiter besteht, hat die Beschwerdeführerin gemäss Art. 7 ANAG (in der Fassung vom 20. Juni 1986, AS 1987 1665) grundsätzlich einen Bewilligungsanspruch. Zudem kann sie sich auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 f. BV berufen (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3 S. 145 f.). Das gilt zumindest aufgrund ihrer Mutter-Tochter-Beziehung zu B._. Denn diese ist Schweizer Bürgerin, auch wenn der Ehemann der Mutter - wegen angeblicher Zeugungsunfähigkeit - nicht der leibliche bzw. genetische Vater von B._ sein soll; eine Anfechtung der Vaterschaft ist in Bezug auf B._ bislang unterblieben (vgl. Art. 255 Abs. 1 ZGB in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 lit. a und Art. 8 des Bürgerrechtsgesetzes [BüG; SR 141.0]; BGE 108 II 344 E. 1 S. 347 f.; 122 II 289 E. 1c S. 293 f.). Ob die begehrten Bewilligungen tatsächlich zu erteilen sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 150; 122 II 289 E. 1d S. 294).
Somit ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Das gilt allerdings nicht, soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, es sei zumindest eventualiter eine sog. Härtefallbewilligung - namentlich wegen einer B._ in Gambia drohenden Beschneidung - nach Art. 13 lit. f oder 36 der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO; AS 1986 1791) zu erteilen. Diesbezüglich ist die Beschwerde an das Bundesgericht ausgeschlossen (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2, 3, 4 und 5 BGG; nicht amtlich publizierte E. 1.1.4 von BGE 135 I 153 [2C_353/2008 vom 27. März 2009]; Urteil 2C_142/2009 vom 20. Juli 2009 E. 2.2).
1.2 Nicht einzutreten ist wegen des Devolutiveffektes auch auf den Antrag, ebenfalls den Entscheid des Sicherheitsdepartements aufzuheben; immerhin gilt er als inhaltlich mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2. Die Vorinstanzen werfen der Beschwerdeführerin vor, dass sie sich zwecks Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung auf die Ehe mit dem Schweizer Bürger berufe, die nur noch formell bestehe. Das sei rechtsmissbräuchlich (vgl. dazu allg. BGE 131 II 265 E. 4 S. 266 ff.; 130 II 113 E. 4.2, 10.2 und 10.3 S. 117 und 135 f.; 127 II 49 E. 5a und d S. 56 ff., je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin wendet ein, die Ehe werde nach wie vor gelebt.
2.1 Die Vorinstanz nimmt im Wesentlichen Bezug auf die Ausführungen im Entscheid des Sicherheitsdepartements vom 22. September 2008. Insoweit wurde unter anderem festgehalten, dass die Beschwerdeführerin beide Kinder - A._ und B._ - ausserehelich zur Welt brachte. Nach der gerichtlichen Bewilligung des Getrenntlebens im Oktober 2005 ging sie eine Beziehung mit einem anderen Mann in der Schweiz ein, während ihr Ehegatte nach Gambia reiste und dort seinerseits mit einer anderen Frau lebte. Insoweit hatte die Beschwerdeführerin keinen Kontakt mehr zu ihrem Ehemann und wusste auch nicht, wo sie ihn erreichen konnte. Ausserdem hatte Letzterer vorher noch die Vaterschaft bezüglich A._ erfolgreich angefochten (vgl. Art. 256 ff. ZGB) und im August 2006 erklärt, er sehe keine gemeinsame Zukunft mehr mit der Beschwerdeführerin; er werde für einen Scheidungstermin in die Schweiz kommen. Zwar ist er Anfang 2007 wieder in die Schweiz zurückgekehrt, als er von den Problemen mit der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erfuhr. Er setzt sich seither dafür ein, dass die Beschwerdeführerin und ihre Kinder in der Schweiz bleiben können. Eine echte Wiederaufnahme der ehelichen Beziehung wurde jedoch nicht ernsthaft angestrebt. Auch wenn die Eheleute im selben Haus wohnen, haben sie dennoch getrennte Wohnungen. Zudem hat der Ehemann erklärt, er wolle das Winterhalbjahr aus gesundheitlichen Gründen jeweils in Gambia verbringen. Der angebliche Wunsch des Ehemannes, den Buben A._ zu adoptieren, wurde nicht weiter konkretisiert; nicht einmal der Amtsvormund des Ehemannes weiss etwas von einer derartigen Absicht. Als der Ehemann im Frühjahr 2008 in Basel in Untersuchungshaft genommen wurde, dauerte es zehn Wochen, bis die Beschwerdeführerin ihn erstmals besuchte. Einen plausiblen Grund dafür, warum ein an sich früher möglicher Besuch nicht erfolgte, gab die Beschwerdeführerin nicht an; sie begnügte sich stattdessen, zu rügen, dass das Departement Erkundigungen bei den Strafvollzugsbehörden einholte. Den Vorinstanzen zufolge zeugt das - zu Recht - von einem Desinteresse gegenüber dem Ehepartner. Das Appellationsgericht weist sodann darauf hin, dass die Eheleute auch sonst keine gemeinsamen Interessen oder andere verbindende Tatsachen aufführen. Begrüssenswert sei das gemeinsame Engagement der Ehegatten bezüglich der Kinder. Nachweise, welche darüber hinaus ein gemeinsames Eheleben belegen, erbringe die Beschwerdeführerin aber nicht. In einem von ihr vorgelegten Referenzschreiben vom 20. Oktober 2008 sei wiederholt von ihrer Beziehung zum leiblichen Vater der Tochter B._ die Rede; unter anderem werde erwähnt, dass dessen Familie die Beschwerdeführerin mittlerweile viel besser akzeptiere. Das deute auf eine aktuelle Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin und dem genetischen Vater von B._ hin.
2.2 Die Beschwerdeführerin wiederholt diesbezüglich, was sie bereits bei der Vorinstanz vorgebracht hat: Namentlich würden sich die Ehegatten lieben, sich gegenseitig unterstützen und in engem Kontakt zueinander stehen; sie seien nicht geschieden. Mit Blick auf die Darlegungen der Vorinstanzen sind ihre Einwände indes nicht geeignet, von der nachvollziehbaren Schlussfolgerung, die Ehe bestehe seit Längerem nur noch formell, abzuweichen. Entgegen der pauschalen Kritik der Beschwerdeführerin stellt die Vorinstanz nicht bloss Spekulationen an. Es ist offensichtlich, dass die eheliche Beziehung zwischen Mai 2005 und Frühjahr 2007 nicht mehr gelebt wurde. Für die Frage, ob eine Bewilligung nach Art. 7 ANAG zu erteilen ist, spielt keine Rolle, aus welchen Gründen - laut Beschwerdeführerin die Sucht, Schizophrenie und Aggressivität des Ehemannes - es zur Trennung der Eheleute kam (vgl. BGE 130 II 113 E. 4.2 und 10.2 S. 117 und 135). Eine dem Art. 50 AuG vergleichbare Regelung gibt es im hier anzuwendenden alten Recht (ANAG) nicht, und die Härtefälle nach der Begrenzungsverordnung hat das Bundesgericht nicht zu beurteilen (s. E. 1.1 hievor).
Die Beschwerdeführerin bringt nichts Substantiiertes vor, aus dem sich ergibt, dass das Eheleben nach Rückkehr des Ehemannes in die Schweiz tatsächlich wieder aufgenommen wurde bzw. dass das Appellationsgericht insoweit falsche oder unzulängliche Feststellungen getroffen hat (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 1 BGG). Sie rügt zwar, die Vorinstanzen hätten Informationen diverser Stellen zur Ehesituation verwertet. Sie behauptet jedoch nicht, die Auskünfte seien unter Verletzung von Rechtsnormen eingeholt worden (vgl. im Übrigen Art. 97 AuG), seien falsch oder sie habe sich hiezu nicht äussern können. Entgegen ihrer Behauptung sind diese Informationen für sie auch überprüfbar, da sie ihre Ehe betreffen, über die sie letztlich am Besten Bescheid weiss. Fest steht, dass der Ehemann der Beschwerdeführerin und ihren Kindern zu einem weiteren Verbleib in der Schweiz verhelfen will. Deshalb kehrte er - seinen eigenen Bekundungen zufolge - in die Schweiz zurück. Daraus folgt aber noch nicht, dass er mit ihnen ein Familienleben führen möchte; das hatte er auch nicht als Grund für seine Rückkehr genannt. Selbst regelmässige und freundschaftliche Kontakte genügen nicht, auch dann nicht, wenn der Ehemann Unterhaltsbeiträge leistet. Diese Art von Beziehung schützt Art. 7 ANAG nicht (vgl. Urteil 2C_278/ 2008 vom 18. Juni 2008 E. 4.2 und 4.3). Auf diese Bestimmung gestützt ist eine Aufenthaltsbewilligung nur zu erteilen, wenn eine tatsächlich gelebte Ehe besteht. Das ist nach den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht der Fall. Demzufolge hat diese in nicht zu beanstandender Weise eine Verlängerung der Bewilligung nach Art. 7 ANAG verweigert.
3. Es fragt sich, ob der Beschwerdeführerin gestützt auf ein allfälliges Anwesenheitsrecht ihrer Kinder eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen ist. Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr Anspruch sowie derjenige ihrer Kinder auf Verbleib in der Schweiz gestützt auf Art. 8 EMRK sei bisher nicht geprüft worden. Namentlich müsste B._ bei Wegweisung ihrer Mutter - der Beschwerdeführerin - die Schweiz ebenfalls verlassen, obwohl sie Schweizer Bürgerin sei. Das hätte zudem Auswirkungen auf das Recht auf Familienleben von B._ und "ihrem Vater". Sodann sei Y._ der "soziale Vater" von A._. Er sei eine wichtige und präsente Bezugsperson für ihn; das Gleiche gelte für die Eltern von Y._.
4. 4.1 Das in Art. 8 EMRK und Art. 13 f. BV geschützte Recht auf Achtung des Familienlebens kann grundsätzlich nur angerufen werden, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt. Muss ein Ausländer, dem eine ausländerrechtliche Bewilligung verweigert worden ist, das Land verlassen, haben das seine Angehörigen - besondere Umstände vorbehalten - hinzunehmen, wenn es ihnen "ohne Schwierigkeiten" möglich ist, mit ihm auszureisen; eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK bzw. Art. 36 BV erübrigt sich unter diesen Umständen. Anders verhält es sich, falls die Ausreise für die Familienangehörigen "nicht von vornherein ohne weiteres zumutbar" erscheint. In diesem Fall ist immer eine Interessenabwägung geboten, welche sämtlichen Umständen des Einzelfalls umfassend Rechnung trägt (vgl. BGE 135 I 153 E. 2.1 und 2.2.1 S. 155 f. mit Hinweisen auf die Rechtsprechung).
4.2 Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf die Praxis, nach der ein schweizerisches Kind, insbesondere ein solches im Kleinkindalter, das Lebensschicksal des Sorge- bzw. Obhutsberechtigten grundsätzlich zu teilen und diesem gegebenenfalls ins Ausland zu folgen hat (vgl. BGE 135 I 143 E. 2.2 S. 147; 127 II 60 E. 2a S. 67; 122 II 289 E. 3c S. 298). Diese Rechtsprechung bedeutet indessen nicht, dass Schweizer Kinder auch dann, wenn sie noch in einem anpassungsfähigen Alter sind und nur beschränkt über soziale Bindungen verfügen, ohne nähere Interessenabwägung gezwungen werden dürfen, mit dem obhutsberechtigten Elternteil die Schweiz zu verlassen. Denn sie haben ein offenkundiges Interesse daran, in der Schweiz zu leben, um in den Genuss der hiesigen Ausbildungsmöglichkeiten und Lebensbedingungen zu kommen. Als Schweizer wären sie zudem bei Volljährigkeit befugt, selbständig in das Land zurückzukehren. Müssten sie dieses zuvor verlassen, wäre bei ihrer Wiedereinreise mit Integrationsschwierigkeiten zu rechnen, die den vom Gesetzgeber angestrebten Zielen zuwiderliefen (BGE 135 I 153 E. 2.2.3 S. 158).
Damit dem allein obhutsberechtigten Elternteil des Schweizer Kindes der weitere Aufenthalt verweigert werden darf, ist daher nebst der Zumutbarkeit der Ausreise für das Kind zusätzlich erforderlich, dass besondere, namentlich ordnungs- oder sicherheitspolizeiliche Gründe vorliegen, welche diese weitreichenden Folgen zu rechtfertigen vermögen. Allein das öffentliche Interesse an einer restriktiven Einwanderungspolitik genügt dafür nicht (vgl. BGE 135 I 143 E. 2 - 4 S. 147 ff., 153 E. 2 S. 154 ff.).
4.3 Die Vorinstanz hätte sich demnach wegen der Schweizer Staatsbürgerschaft der Tochter B._ nicht mit einer Prüfung der Zumutbarkeit begnügen dürfen, sondern hätte an sich eine umfassende Interessenabwägung durchführen müssen. Bei der Frage, ob die Kindesmutter Anlass zu Klagen gegeben hat, ist mit zu berücksichtigen, ob diese eine Scheinehe eingegangen und illegal eingereist ist (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2C_2/2009 vom 23. April 2009 E. 3.3.1 und 2C_697/2008 vom 2. Juni 2009 E. 4.4). Ob eine fortgesetzte Fürsorgeabhängigkeit der Familie in der Schweiz zu erwarten ist, lässt sich aufgrund des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts nicht beurteilen (vgl. erwähntes Urteil 2C_697/2008 E. 4.4 mit Hinweisen). Für die nach Art. 8 EMRK erforderliche Gesamtwürdigung braucht es ausserdem weiterer Abklärungen. In die Abwägung wird auch eine allfällige, von der Beschwerdeführerin behauptete Gefahr der Beschneidung ihrer Tochter in Gambia einzubeziehen sein. Die Vorinstanz wird schliesslich ebenfalls zu berücksichtigen haben, wie sich die Beziehung der Tochter zu ihrem biologischen Vater in der Schweiz gestaltet (vgl. Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte Kroon et al. gegen Niederlande vom 27. Oktober 1994 Serie A Nr. 297-C, S. 55, §§ 30 und 40; Lebbink gegen Niederlande vom 1. Juni 2004 Recueil CourEDH 2004-IV S. 199 §§ 35 ff.; Grant gegen Vereinigtes Königreich vom 8. Januar 2009 §§ 30 f.). Hiezu hatte sich die Beschwerdeführerin zwar teilweise geäussert, die Vorinstanzen haben indes keine Feststellungen getroffen.
4.4 Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Da dieser nicht alle erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen enthält, ist es angezeigt, die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen und unter Einhaltung des Anspruchs auf rechtliches Gehör an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG; Urteil des Bundesgerichts 2C_174/2009 vom 14. Juli 2009 E. 5).
5. Bei diesem Ausgang werden keine Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Basel-Stadt der Beschwerdeführerin insoweit eine Parteientschädigung zu leisten (Art. 68 BGG). Hiermit wird das beim Bundesgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Über die Kosten und Entschädigungen im kantonalen Verfahren wird das Appellationsgericht im Rahmen des von ihm neu zu treffenden Entscheids zu befinden haben (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. Januar 2009 aufgehoben. An dieses wird die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2. Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz