Fatti:
A. Il 10 marzo 2003 la B._SA ha concesso all'avvocato A.A._ un credito in conto corrente di fr. 400'000.--.
La relazione fra le parti è proseguita in modo travagliato, sinché, il 13 febbraio 2006, la banca ha definitivamente disdetto il contratto e, il 22 marzo seguente, ha fatto notificare a A.A._ un precetto esecutivo per fr. 353'461.15 oltre interessi. L'opposizione dichiarata dall'escusso è stata rigettata in via provvisoria il 23 febbraio 2007, in considerazione della firma da lui apposta sull'estratto bancario del 2 giugno 2006, con la quale si era riconosciuto debitore del saldo ivi indicato.
B. Il 20 marzo 2007 A.A._ ha adito la Pretura del Distretto di Lugano, sezione 3, con un'azione tendente all'accertamento dell'inesistenza del debito. In breve, egli ha spiegato che, con l'apertura del credito in conto corrente nel 2003, era subentrato personalmente nella posizione debitoria di una società del gruppo A._, la C._SA, nei confronti della B._SA dietro promessa, da parte di quest'ultima, di cedergli i diritti di regresso contro D.A._ e E._, che insieme a lui avevano precedentemente garantito i debiti della società per mezzo di un avallo su vaglia cambiario. Questa condizione non si è però poi realizzata, perché la banca, contravvenendo agli accordi presi, ha svincolato i due co-avallanti.
La banca si è opposta all'azione invocando, in sostanza, il riconoscimento di debito del 2 giugno 2006 e, aderendo a questa argomentazione, il 19 febbraio 2008 il Pretore ha respinto la petizione.
C. L'impugnativa presentata da A.A._ contro la pronunzia pretorile è stata respinta dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino il 19 febbraio 2009.
D. Prevalendosi della violazione del diritto privato federale e del diritto costituzionale, il 2 aprile 2009 A.A._ è insorto dinanzi al Tribunale federale con un ricorso in materia civile volto a ottenere, in via principale, l'accertamento dell'inesistenza del debito, la conferma definitiva dell'opposizione al precetto esecutivo, l'annullamento dell'esecuzione e, di conseguenza, la modifica dei vari giudizi su spese e ripetibili delle istanze cantonali; in via subordinata ha invece postulato l'annullamento della sentenza d'appello e il rinvio degli atti all'autorità ticinese per nuovo giudizio, previa l'assunzione di due testimoni e il richiamo dalla Pretura di Bellinzona dell'originale della cambiale.
Nelle osservazioni del 23 aprile 2009 la banca propone di respingere il ricorso, mentre la Corte cantonale ha rinunciato a determinarsi.
La richiesta di concessione dell'effetto sospensivo al gravame formulata contestualmente al ricorso è stata accolta con decreto presidenziale del 5 maggio 2009.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 1 consid. 1.1 pag. 3).
Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile di carattere pecuniario il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 72 e 74 cpv. 1 lett. b LTF) il ricorso è ricevibile e può essere esaminato nel merito, perlomeno nella misura in cui è motivato conformemente alle esigenze di legge (art. 42 e 106 LTF), esposte qui di seguito.
2. Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente censura l'applicazione del diritto privato federale, in particolare dell'art. 8 CC e dell'art. 151 segg. CO, e quella del diritto costituzionale, segnatamente degli art. 8, 9 e 29 Cost.
2.1 Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF), che include i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 446 consid. 3.1), per cui è proponibile anche la censura di arbitrio (art. 9 Cost.) nell'applicazione del diritto cantonale (DTF 133 III 462 consid. 2.3 pag. 466).
2.1.1 Il Tribunale federale è tenuto ad applicare d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale esamina di regola solo le censure sollevate (DTF 134 III 102 consid. 1.1 pag. 104 seg.).
Le esigenze di motivazione sono più rigorose quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali. II Tribunale federale esamina queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 134 II 244 consid. 2.2), il cui campo di applicazione corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali e valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF 133 III 638 consid. 2). Ne discende che l'allegato ricorsuale deve indicare chiaramente i diritti che si pretendono violati e precisare altresì in che consista tale violazione; critiche appellatorie non sono ammissibili. In particolare, qualora sia lamentata la violazione del divieto d'arbitrio (art. 9 Cost.), non ci si può limitare a criticare la decisione impugnata opponendovi semplicemente la propria opinione, come in una procedura d'appello, ma occorre dimostrare, con un'argomentazione chiara e dettagliata, ch'essa è manifestamente insostenibile (DTF 134 Il 244 consid. 2.2; 133 III 638).
2.1.2 In ogni caso, le censure devono essere motivate in maniera completa nell'allegato inoltrato al Tribunale federale (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF). Il rinvio che in concreto ambedue le parti fanno agli argomenti esposti negli scritti presentati dinanzi alle istanze inferiori è pertanto inammissibile (DTF 133 II 396 consid. 3.2 pag. 400).
2.2 In linea di principio il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti effettuato dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene o completarlo solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF).
L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza criticata esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni (art. 97 cpv. 1 LTF).
Dato che la definizione di "manifestamente inesatto" corrisponde a quella di arbitrario (DTF 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252) e configura dunque a sua volta una violazione di un diritto fondamentale (art. 9 Cost.; DTF 134 IV 36 consid. 1.4.1 pag. 39), valgono le esigenze di motivazione poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF.
2.3 Infine, nuovi fatti e nuovi mezzi di prova possono essere addotti soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (art. 99 cpv. 1 LTF; cfr. DTF 133 III 393 consid. 3).
3. Nella sentenza impugnata è stato preliminarmente rammentato che nell'azione di disconoscimento giusta l'art. 83 cpv. 2 LEF l'inversione dei ruoli processuali non influisce sull'onere della prova: il creditore-convenuto deve sostanziare e provare il fondamento del suo credito e il debitore-attore deve fare altrettanto per le eccezioni liberatorie che invoca.
In seguito i giudici cantonali - applicando l'art. 321 cpv. 1 lett. b CPC, che vieta l'adduzione di eccezioni, fatti e prove nuovi in sede di appello - hanno dichiarato irricevibili sia le censure di errore (art. 23 CO), dolo (art. 28 CO) e lesione (art. 21 CO), sia il richiamo del vaglia cambiario dalla Pretura di Bellinzona, siccome proposti dal qui ricorrente per la prima volta in appello.
Indi, il Tribunale d'appello ha affrontato l'argomento secondo cui il Pretore avrebbe violato il diritto di essere sentito del ricorrente rifiutando, per apprezzamento anticipato, di assumere le prove testimoniali a suo dire rilevanti. La motivazione della pronunzia cantonale su questo punto, centrale, è suddivisa in tre parti.
3.1 Nella parte introduttiva la Corte cantonale si è diffusa sul diritto alla prova derivante dall'art. 29 cpv. 2 Cost., che è temperato dalla facoltà del giudice di rifiutare le prove che si rivelassero manifestamente inefficaci o irrilevanti sulla base di una valutazione anticipata. Il rifiuto ingiustificato, sempre secondo la Corte ticinese, lede gli art. 8 CC e 8 Cost., con la conseguenza che la sentenza che Io pronuncia è annullabile o nulla per diritto federale e in forza degli art. 142 lett. b nonché 143 e 184 CPC/TI.
Posti questi principi, l'autorità cantonale ha osservato che, contrariamente a quanto asserito dal ricorrente, in concreto il Pretore ha motivato il rifiuto delle prove testimoniali nel corso dell'udienza preliminare svoltasi 20 settembre 2007: D.A._ non poteva essere interrogato perché fratello dell'attore; F._ e E._, invece, perché le loro audizioni non erano parse pertinenti né rilevanti, avuto riguardo alle tesi sostenute negli allegati introduttivi. La Corte ticinese ha condiviso entrambe le esclusioni: la prima in forza dell'art. 228 n. 2 CPC/TI; la seconda in considerazione delle allegazioni preliminari e d'appello del ricorrente.
3.2 I giudici d'appello hanno in seguito stabilito che il 10 marzo 2003 l'opponente aveva concesso al ricorrente un credito in conto corrente di fr. 400'000.-- in sostituzione di quello precedente, aperto l'11 luglio 2001, con il quale egli aveva ripreso la posizione debitoria della C._SA in liquidazione. Essi hanno inoltre accertato che il 2 giugno 2006, dopo l'avvio della procedura esecutiva che ha dato origine all'attuale causa, egli aveva riconosciuto il debito in conto corrente "sino a concorrenza di fr. 354'071.--, confermando di avere ricevuto e visionato la documentazione bancaria, nonché di aver ricevuto e capito le informazioni e le spiegazioni per poter giudicare l'operato della B._SA risultante dalla presente situazione patrimoniale, dando scarico alla banca sino al momento del riconoscimento".
Questo riconoscimento del saldo in conto corrente, ha proseguito l'autorità cantonale citando prassi e dottrina, ha comportato novazione, con la conseguenza che il debitore ha perso la possibilità di avvalersi delle obiezioni e delle eccezioni che gli erano note e può fare valere soltanto l'errore, sulla base di fatti scoperti successivamente. In siffatte circostanze, hanno osservato i giudici ticinesi, la deposizione di F._ non avrebbe potuto mutare l'esito della causa nemmeno se il teste avesse confermato le asserzioni del ricorrente.
3.3 Nella parte finale del giudizio la Corte ticinese ha ritenuto infondata la tesi secondo la quale il ricorrente era convinto in buona fede di potere esercitare il regresso verso i due co-avallanti.
A questo proposito ha accertato che "l'attore al più tardi all'inizio del mese di febbraio 2003 sapeva con certezza che egli non avrebbe più potuto esercitare il suo diritto di regresso nei confronti degli altri due condebitori (art. 1046 CO) che avevano garantito per avallo". In effetti, in una sentenza del 28 gennaio 2003, la Camera di esecuzione e fallimenti aveva stabilito ch'egli aveva prima assunto (art. 176 cpv. 1 CO) e poi estinto il debito della C._SA; di conseguenza, non subentrando egli per legge nei diritti della banca, non poteva beneficiare delle garanzie costituite a favore del primo creditore. In verità, ha soggiunto la Corte ticinese, avendo il ricorrente pagato il debito della C._SA con valuta 30 giugno 2001, già la convenzione del 10 marzo 2003 aveva avuto effetto novatorio per rispetto a quella precedente del luglio 2001; il ricorrente era peraltro pienamente consapevole della propria situazione, tant'è che inizialmente aveva considerato responsabile il suo patrocinatore dell'epoca, il quale aveva notificato il suo errore all'assicuratore di responsabilità civile.
3.4 Alla luce di queste considerazioni, i giudici ticinesi hanno concluso che il 2 giugno 2006 il ricorrente non poteva essere in errore ed aveva anzi espresso il riconoscimento di debito senza condizioni, escludendo esplicitamente di prevalersi di eventuali inadempimenti della banca.
4. Dinanzi al Tribunale federale iI ricorrente si propone di dimostrare che la Corte ticinese ha leso gli art. 8 CC e varie norme del CO nonché gli art. 8, 9 e 29 Cost. In breve, egli sostiene che le assicurazioni fornite dall'opponente - in merito alla cessione dei diritti di regresso nei confronti dei due co-avallanti - al momento in cui egli aveva accettato di subentrare nella posizione debitoria della C._SA equivalevano a una condizione (art. 151 CO), che non si è avverata per volontà della stessa banca, la quale si è arricchita indebitamente e dovrebbe quindi rispondere per inadempienza (art. 97 segg. CO), per dolo (art. 28 CO) e anche secondo le norme della rappresentanza (art. 402 CO).
Tutte le argomentazioni di merito presuppongono l'esistenza degli accordi verbali dei quali il ricorrente si era prevalso nelle sedi cantonali. Di tali fatti non vi è però traccia nella sentenza impugnata, perché l'assunzione dei mezzi di prova che, secondo il ricorrente, erano suscettibili di dimostrarli - ovvero le testimonianze di E._ e F._ - non è stata ammessa. L'unica questione che può porsi davanti al Tribunale federale riguarda pertanto la legittimità del rifiuto, contestata dal ricorrente, per il quale tali prove sarebbero determinanti ai fini del giudizio. Egli chiede che le stesse vengano assunte in sede federale, in applicazione degli art. 55, 97 e 105 LTF.
L'esame va quindi circoscritto a questo tema, con l'eccezione che segue.
5. Il ricorrente sostiene che l'opponente non ha contestato le sue allegazioni di prima istanza, secondo le quali il contratto del 10 marzo 2003 era accompagnato da accordi verbali; tali fatti andavano di conseguenza ammessi in forza dell'art. 170 cpv. 2 CPC, per cui la Corte cantonale, ignorandoli, è caduta nell'arbitrio.
La censura, già proposta con l'appello (senza che fosse menzionato l'art. 170 cpv. 2 CPC), non è stata affrontata nella sentenza impugnata. Essa si fonda quindi su di un fatto procedurale - la mancata contestazione di un'allegazione da parte della controparte - che, benché addotto, non è stato tenuto in considerazione dall'autorità cantonale. Un fatto simile è nuovo nel senso dell'art. 99 cpv. 1 LTF e l'argomentazione giuridica che si fonda su di esso è pertanto irricevibile (cfr. BERNARD CORBOZ in Commentaire de la LTF, 2009, n. 13 e 45 art. 99 LTF). Il ricorrente avrebbe semmai dovuto censurare il mancato esame dell'eccezione fondata sull'art. 170 cpv. 2 CPC da parte dei giudici d'appello.
6. Tornando alle prove, il ricorrente rimprovera all'autorità cantonale, sotto il profilo formale, di non avere motivato il giudizio di conferma del rifiuto del Pretore di sentire i testimoni e di non avervi rimediato assumendo le prove in sede di appello; menziona, in modo sparso, gli art. 94, 95, 96, 285 lett. e) e 322 CPC.
Egli non sembra avvedersi che la sentenza d'appello è praticamente tutta tesa a dimostrare l'inutilità delle prove in discussione: a mente della Corte ticinese, infatti, i testimoni non avrebbero in nessun caso potuto influire sull'esito della causa, sia perché il riconoscimento di debito del 2 giugno 2006 ha sostituito per novazione i rapporti giuridici anteriori, sia perché il ricorrente sapeva comunque fin dal febbraio 2003 di non potere esercitare il regresso contro gli altri due avallanti. La censura di carenza di motivazione della pronunzia impugnata si avvera pertanto manifestamente infondata, senza che sia necessario approfondire se le argomentazioni ricorsuali, così come formulate, rispettino le esigenze poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF (cfr. quanto esposto al consid. 2.1).
7. Le considerazioni iniziali della sentenza impugnata riguardanti il diritto di essere sentito, garantito dall'art. 29 cpv. 2 Cost., nella forma del diritto di ottenere l'assunzione delle prove offerte e la facoltà del giudice civile di procedere alla cosiddetta valutazione anticipata delle prove - qui riassunte al consid. 3.1 - non sono di per sé contestate. Basti aggiungere che, nell'ambito di tale valutazione, all'autorità competente spetta un vasto margine di apprezzamento e che il suo rifiuto di assumere un mezzo di prova viola il diritto di essere sentito solamente qualora l'apprezzamento anticipato della rilevanza di tale mezzo di prova risulti arbitrario (DTF 131 I 153 consid. 3 pag. 157 con rinvii).
In questo caso la censura di violazione del diritto di essere sentito coincide di conseguenza con quella di apprezzamento arbitrario delle prove.
7.1 Di nuovo ci si può esimere dal verificare puntualmente se il lungo esposto ricorsuale, nel suo insieme, adempia i requisiti di una motivazione in questo senso, sia cioè atta a dimostrare l'arbitrarietà dell'apprezzamento anticipato per mezzo del quale le prove testimoniali sono state rifiutate. È infatti palese che, quand'anche fosse motivata correttamente, la censura sarebbe in ogni caso infondata.
7.2 Secondo giurisprudenza invalsa, infatti, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione dell'art. 9 Cost. solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589).
Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
7.3 In concreto, la Corte ticinese ha accertato che fin dal febbraio 2003 il ricorrente sapeva con certezza che non avrebbe più potuto esercitare il suo diritto di regresso nei confronti degli altri due condebitori avallanti e, soprattutto, che il 2 giugno 2006 egli aveva riconosciuto il debito nei confronti dell'opponente, la quale aveva già avviato la procedura esecutiva, dandole scarico dopo essere stato informato e avere esaminato la documentazione bancaria.
A fronte di questi fatti - vincolanti per il Tribunale federale, siccome non contestati (cfr. quanto esposto al consid. 2.2) - non è certamente arbitrario ritenere che i testimoni rifiutati non avrebbero potuto essere di alcun rilievo. In altre parole: non è insostenibile considerare che, di fronte al riconoscimento esplicito, consapevole e incondizionato espresso dal ricorrente nel 2006, quando il contenzioso con la banca era in corso, le deposizioni da lui auspicate - anche qualora i testimoni avessero confermato l'esistenza di accordi verbali risalenti agli anni 2001 o 2003, dei quali egli si è prevalso in causa - sarebbero state prive d'influsso sull'esito del giudizio.
8. Il ricorrente si duole anche del mancato richiamo dalla Pretura di Bellinzona della cambiale originale.
L'argomento è irricevibile, perché non si confronta con la motivazione del giudizio impugnato che non ha accettato la domanda in applicazione dell'art. 321 cpv. 1 lett. b CPC, siccome presentata per la prima volta in appello (cfr. quanto esposto al consid. 3).
9. Non essendo ravvisabile arbitrio nell'appezzamento (anticipato) delle prove, il Tribunale federale deve porre a fondamento del proprio giudizio Io stato di fatto risultante dalla sentenza impugnata.
9.1 L'assunzione di prove nella sede federale, auspicata dal ricorrente in base all'art. 55 LTF, è esclusa. Si tratta di una possibilità del tutto eccezionale, che potrebbe entrare in considerazione soltanto qualora fosse necessario completare gli accertamenti di fatto secondo l'art. 105 cpv. 2 LTF (JEAN-MAURICE FRÉSARD in Commentaire de la LTF, 2009, n. 9 ad art. 99 LTF; Philipp Gelzer in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n. 2 ad art. 55).
Questa eventualità non si realizza nel caso in rassegna.
9.2 S'è detto che, secondo gli accertamenti vincolanti contenuti nella sentenza impugnata, il 2 giugno 2006 il ricorrente ha riconosciuto il saldo del debito in conto corrente di fr. 354'071.--. Egli sostiene invero che l'accettazione si riferiva solo al saldo contabile e che mai avrebbe dichiarato di rinunciare al diritto di farsi cedere le azioni di regresso contro terzi". Dimentica tuttavia che il riconoscimento del saldo comportava di per sé la rinuncia a prevalersi delle obiezioni e delle eccezioni note a quel momento, a meno che non fosse stata posta una riserva espressa (sentenza 4A_46/2009 del 1° aprile 2009 consid. 2.2; sentenza 4C.175/2006 del 4 agosto 2006 consid. 2.1).
In concreto il ricorrente non solo non ha formulato riserve, ma, stando a quanto accertato in sede cantonale, ha dato "scarico alla banca sino al momento del riconoscimento".
9.3 In presenza di un tale riconoscimento, pronunciato da un debitore non sprovveduto, trattandosi di un avvocato, allorquando già correva la procedura esecutiva promossa dalla banca, la Corte ticinese ha applicato correttamente il diritto federale, concludendo che il 2 giugno 2006 vi è stata novazione secondo l'art. 117 cpv. 2 CO (cfr. DTF 130 III 694 consid. 2.2.2).
In simili circostanze, è superfluo esaminare se questo effetto fosse intervenuto già con la convenzione del 10 marzo 2003, come rilevato nella sentenza cantonale.
10. Per le considerazioni che precedono il ricorso, nella misura limitata in cui è ammissibile, va respinto.
Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). All'opponente, che davanti al Tribunale federale non è stata rappresentata da un avvocato, non sono assegnate ripetibili (DTF 133 III 439 consid. 4a pag. 446).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 6'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.