Erwägungen:
1.
Gegen X._ wird im Zusammenhang mit verschiedenen Vermögensdelikten eine Strafuntersuchung geführt. Am 28. Juni 2012 setzte die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau Rechtsanwalt Markus Henzer als amtlichen Verteidiger von X._ ein. X._ ersuchte am 31. August 2012 und 3. September 2012 um Entlassung von Rechtsanwalt Henzer und Übertragung des amtlichen Mandats auf Rechtsanwalt Ruckstuhl. Die Oberstaatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 4. September 2012 ab. Mit Entscheid vom 17. Oktober 2012 bestätigte die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau die Abweisung des Gesuchs.
2.
X._ ersuchte am 28. Januar 2013 erneut um die Absetzung seines amtlichen Verteidigers und die Einsetzung von Rechtsanwalt Ruckstuhl als neuen amtlichen Verteidiger. Die Oberstaatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 28. Februar 2013 ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde, welche die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau mit Entscheid vom 17. Mai 2013 abwies. Die Beschwerdekammer führte zusammenfassend aus, dass X._ auch in seiner erneuten Beschwerde keine Pflichtverletzungen von Rechtsanwalt Henzer darzutun vermöge, die auf ein erheblich gestörtes Vertrauensverhältnis hinweisen würden. Die Voraussetzungen für einen Wechsel des amtlichen Verteidigers seien somit nicht gegeben.
3.
X._ führt mit Eingabe vom 24. Mai 2013 (Postaufgabe 28. Mai 2013) Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau. Mit Eingabe vom 4. Juni 2013 ergänzte er seine Beschwerde. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Die Beschwerdekammer setzte sich in ihrer Begründung mit den einzelnen Vorwürfen, die der Beschwerdeführer gegen seinen amtlichen Verteidiger erhoben hatte, auseinander und legte dar, weshalb nach ihrem Dafürhalten keine Pflichtverletzung des amtlichen Verteidigers ersichtlich sei bzw. weshalb die beschwerdeführerischen Ausführungen keine Vertrauenserschütterung zu belegen vermögen. Inwiefern diese Ausführungen der Beschwerdekammer rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollten, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen. Aus seinen Eingaben ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Entscheid selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nichteinzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Rechtsanwalt Markus Henzer sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli