Faits:
A. Depuis sa création en 1992, la société A._ SA (ci-après: A._) avait pour administrateur et directeur X._, alors que B._ en était le principal actionnaire. Le salaire de X._ se montait à 12'300 fr. par mois en 2004.
Il a été retenu que A._ a conclu avec Y._, Compagnie d'Assurances (ci-après: Y._) un contrat d'assurance collective, selon lequel, en cas de maladie, les employés de la société perçoivent 730 indemnités journalières au maximum sur une période de 900 jours couvrant, après un délai d'attente de deux jours, le 100% du salaire soumis à l'AVS.
Lors de l'assemblée générale de A._ qui s'est tenue le 30 juin 2004, il est apparu que les comptes de l'exercice 2003 se sont révélés déficitaires de 361'882 fr.56, perte qui s'ajoutait à un déficit précédent de 25'703 fr.90. Confronté à ce résultat, B._ a décidé notamment de ne pas approuver les comptes, de ne pas accorder décharge de sa gestion au conseil d'administration et de demander un audit.
L'audit sollicité a mis à jour un nombre important d'anomalies et d'irrégularités financières, lesquelles avaient pesé lourdement sur la santé économique de A._.
Le conseil d'administration de ladite société s'est réuni à nouveau le 24 août 2004 pour analyser et commenter les résultats de l'audit. Interrogé à ce sujet, X._ a donné des explications que le conseil d'administration a jugé insuffisantes, si bien que, sur proposition de B._, le conseil en cause a révoqué le mandat d'administrateur de X._ avec effet immédiat. Considérant en outre que les manquements du précité constituaient de justes motifs de résiliation, les administrateurs ont mis fin sans délai à son contrat de travail.
Après sa mise à pied, X._ est allé consulter un médecin, qui l'a déclaré en incapacité de travail dès le 30 août 2004.
Le 13 décembre 2004, A._ a déposé plainte pénale en particulier contre X._. La procédure est en cours.
B. Par demande du 10 mars 2005, X._ a ouvert action contre Y._ devant la Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois en faisant valoir son droit à des indemnités pour perte de gain en cas de maladie. Il a conclu à ce que (1) sa demande soit déclarée recevable et bien fondée et, partant, (2) à ce qu'il soit ordonné à Y._ « de calculer et de verser l'indemnité journalière en cas de maladie au demandeur, dès le 30 août 2004 plus intérêts à 5% dès la même date ».
La défenderesse s'est opposée à la demande, au motif que X._ avait perdu sa qualité d'assuré avant la survenance du risque assuré.
Un expert mandaté par la défenderesse a établi une incapacité de travail totale du demandeur du 1er septembre 2004 au 31 mai 2005 et à 50 % du 1er juin au 30 septembre 2005.
Par jugement du 24 janvier 2008, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté la demande dans la mesure où elle était recevable. Laissant explicitement ouverte la question de la recevabilité des conclusions non chiffrées prises par le demandeur, l'autorité cantonale a retenu que la résiliation immédiate du contrat qui liait ce dernier à A._ avait mis fin aux relations de travail le 24 août 2004, si bien que X._ n'était plus assuré par Y._ lorsqu'il est tombé malade le 30 août 2004.
C. X._ exerce un recours en matière civile contre ce jugement devant le Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation dudit jugement et à ce qu'il soit statué au fond. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'intimée, par une simple lettre, déclare renoncer à déposer une réponse. Elle propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 III 629 consid. 2).
2. 2.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions pécuniaires et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une instance cantonale unique (art. 75 al. 2 et 130 al. 2 LTF), le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
L'art. 51 al. 2 LTF dispose que si, comme en l'espèce, les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation.
Il a été constaté que le recourant souhaiterait obtenir des indemnités journalières pour perte de gain pendant une incapacité de travail qui a duré du 1er septembre 2004 au 30 septembre 2005. Compte tenu que le salaire assuré était le 100% du gain soumis à l'AVS et que le travailleur percevait 12'300 fr. par mois en 2004, la valeur litigieuse déterminante dépasse largement la somme de 30'000 fr., de sorte que le recours est recevable au regard de l'art. 74 al. 1 let. b LTF.
2.2 A teneur de l'art. 42 al. 1 LTF, l'acte de recours adressé au Tribunal fédéral doit indiquer, notamment, les conclusions de la partie recourante.
Selon la jurisprudence la plus récente du Tribunal fédéral (ATF 4A_490/2007 du 27 mars 2008, consid. 2), les exigences qui avaient été déduites des art. 55 al. 1 let. b et 79 al. 1 OJ concernant les conclusions à formuler par la partie qui entend saisir la juridiction fédérale sont maintenues sous l'empire de la LTF. Il suit de là que lorsque l'action tend au paiement d'une somme d'argent, les conclusions de la partie recourante doivent être chiffrées. Ainsi, si, d'après les conclusions présentées, la juridiction fédérale se trouve requise de fixer elle-même le montant réclamé, le recours est irrecevable.
Or c'est précisément la voie qu'a empruntée le recourant, lequel a conclu principalement que le Tribunal fédéral statue sur le fond en déterminant le quantum des indemnités journalières qui lui seraient dues. Cette manière de faire est inadmissible.
Dans ses conclusions subsidiaires, le demandeur requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Mais ce procédé n'est possible qu'à supposer que le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne soit pas à même de statuer lui-même au fond et doive conséquemment retourner la cause à l'instance précédente (ATF 133 III 489 consid. 3.1). Or, on ne discerne aucunement ce qui empêcherait le Tribunal fédéral d'examiner le mérite de la querelle en l'occurrence. Le recourant n'aborde d'ailleurs même pas la question.
Au vu de ce qui précède, le présent recours est irrecevable.
3. Compte tenu de l'issue de la cause, le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée, qui a formellement renoncé à déposer une réponse et n'a pas pris de conclusions en irrecevabilité du recours, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois.
Lausanne, le 5 juin 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Ramelet