Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1979), Staatsangehörige der Elfenbeinküste, reiste zwischen Juni 2004 und Februar 2006 mehrmals ohne Visum in die Schweiz ein. Anlässlich einer Hausdurchsuchung wurde X._ am 29. März 2006 in der Wohnung des Schweizer Bürgers A._ (geb. 1939) angetroffen. Im Rahmen der polizeilichen Einvernahme sagte sie aus, sie sei etwa am 10. Juli 2004 bei A._ eingezogen und habe mit ihm eine Beziehung geführt. Sie habe ihn heiraten wollen und habe auch versucht schwanger zu werden. A._ sei interessiert gewesen an einer Ehe. Nach drei Monaten habe er ihr gesagt, dass er erst heiraten werde, wenn sie schwanger sei. Später habe er ihr gesagt, sie sei zu jung zum Heiraten. Schliesslich habe er ihr gesagt, er sei zeugungsunfähig. Im April 2005 habe sie sich von ihm getrennt. Im Januar und März 2006 arbeitete sie als Haushaltshilfe für ihn.
Das Bezirksamt Bremgarten bestrafte X._ am 30. März 2006 wegen Widerhandlung gegen das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121 ff.) mit 90 Tagen Gefängnis bedingt, unter Ansetzung einer Probezeit von drei Jahren. Gleichentags verfügte das Migrationsamt des Kantons Aargau die sofortige Wegweisung aus der Schweiz. X._ leistete dieser Anordnung keine Folge. Über das Internet lernte sie vielmehr den Schweizer Bürger B._ (geb. 1977), wohnhaft in Lausanne, kennen. Im Jahr 2006 brachte sie in Zürich die Tochter C._ zur Welt, welche im Juli 2008 von B._ als eigenes Kind anerkannt wurde.
B. Mit Eingabe vom 25. September 2007 ersuchte X._ das Migrationsamt des Kantons Zürich um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 11. November 2008 wies das Migrationsamt das Gesuch ab und setzte X._ Frist zum Verlassen der Schweiz.
Der hiegegen beim Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rekurs wurde in der Hauptsache abgewiesen. Der Regierungsrat beauftragte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, nach Eintritt der Rechtskraft des Entscheides dem Bundesamt für Migration einen Antrag betreffend vorläufige Aufnahme von X._ zu stellen. Mit Urteil vom 10. Februar 2010, versandt am 19. Februar 2010, hiess das Verwaltungsgericht die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde gut und lud die Sicherheitsdirektion ein, X._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
C. Mit Eingabe vom 16. März 2010 führt das Bundesamt für Migration Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Februar 2010 aufzuheben.
X._ beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 1. April 2010 hat der Abteilungspräsident der Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich untersagt, während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens die Wegweisung der Beschwerdegegnerin in die Wege zu leiten. Gleichzeitig wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gutgeheissen und der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt Florian Wick als Rechtsbeistand beigegeben.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesamt für Migration ist im Ausländerrecht befugt, gegen kantonal letztinstanzliche richterliche Entscheide mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zu gelangen (Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG in Verbindung mit Art. 14 Abs. 2 der Organisationsverordnung vom 17. November 1999 für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement [OV-EJPD; SR 172.213.1]; BGE 134 II 201 E. 1.1 mit Hinweisen). Seine Beschwerdemöglichkeit dient der richtigen und einheitlichen Anwendung des Bundesrechts; sie setzt kein hierüber hinausgehendes spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus (Urteil 2A.748/2006 vom 18. Januar 2007 E. 2.2). Immerhin muss ein mit Blick auf die einheitliche Anwendung des Bundesrechts in vergleichbaren Fällen zureichendes Interesse an der Beurteilung der aufgeworfenen Probleme bestehen (Urteile 2C_49/2009 vom 27. April 2009 E. 1 und 2A.709/2006 vom 23. März 2007 E. 2.2). Dies ist praxisgemäss dann der Fall, wenn dem Gericht eine neue Rechtsfrage unterbreitet oder eine konkret drohende und nicht anders abwendbare bundesrechtswidrige Rechtsentwicklung verhindert werden soll (BGE 134 II 201 E. 1.1 mit Hinweisen). Die Behördenbeschwerde darf nicht die Behandlung einer vom konkreten Fall losgelösten abstrakten Rechtsfrage des objektiven Rechts bezwecken, sondern hat sich auf konkrete Probleme eines tatsächlich bestehenden Einzelfalls mit Auswirkungen über diesen hinaus zu beschränken (BGE 134 II 201 E. 1.1 S. 203; 129 II 1 E. 1.1 S. 4). Sie muss zudem auch für diesen noch von einer gewissen Aktualität und (wenigstens potentiellen) Relevanz sein (vgl. Urteil 2A.748/2006 vom 18. Januar 2007 E. 2.1 und 2.2). Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
1.2 Die Beschwerdegegnerin hat im Jahre 2007 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersucht. Soweit Bundesgesetzesrecht zur Anwendung kommt, richtet sich die Beurteilung des vorliegenden Falles daher noch nach dem Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121, vgl. Art. 126 Abs. 1 des am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]).
2. Das Verwaltungsgericht hat vorliegend erkannt, der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ergebe sich aus dem in Art. 8 Abs. 1 der Europäischen Menschenrechtskonvention (EMRK; SR 0.101) garantierten Schutz des Familienlebens bzw. aus der entsprechenden Interessenabwägung (Art. 8 Ziff. 2 EMRK).
2.1 Die Europäische Menschenrechtskonvention garantiert grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.). Es kann aber das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (BGE 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145, 153 E. 2.1 S. 154 f. ). Das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Familienlebens kann nur angerufen werden, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt. Selbst dann gilt der Anspruch jedoch nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Pflichten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden individuellen Interessen an der Erteilung der Bewilligung einerseits und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung andererseits, wobei Letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (vgl. BGE 135 I 156 E. 2.2.1; 135 II 143 E. 2.1; 122 II 1 E. 2 S. 6; 116 Ib 353 E. 3 S. 357 ff.).
2.2 Als zulässiges öffentliches Interesse fällt dabei grundsätzlich auch das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik in Betracht. Eine solche ist im Hinblick auf ein ausgewogenes Verhältnis zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung, auf die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz bereits ansässigen Ausländer und die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie auf eine möglichst ausgeglichene Beschäftigung im Lichte von Art. 8 Ziff. 2 EMRK zulässig (BGE 135 I 153 E. 2.2.1; 135 II 143 E. 2.2). Muss ein Ausländer, dem eine ausländerrechtliche Bewilligung verweigert worden ist, das Land verlassen, haben dies seine Angehörigen grundsätzlich hinzunehmen, wenn es ihnen "ohne Schwierigkeiten" möglich ist, mit ihm auszureisen; eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK erübrigt sich in diesem Fall. Anders verhält es sich, falls die Ausreise für die Familienangehörigen "nicht von vornherein ohne Weiteres zumutbar" erscheint. In diesem Fall ist immer eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK geboten, welche sämtlichen Umständen des Einzelfalls Rechnung trägt (vgl. BGE 135 I 153 E. 2.1 mit Hinweisen; Urteil 2C_841/2009 vom 19. Mai 2011).
2.3 Das Bundesgericht ist ursprünglich davon ausgegangen, dass es einem schweizerischen Kind, namentlich einem solchen im Kleinkindalter, regelmässig zumutbar ist, das Lebensschicksal des Sorge- bzw. Obhutsberechtigten zu teilen und diesem hierfür gegebenenfalls ins Ausland zu folgen (vgl. BGE 127 II 60 E. 2a S. 67; 122 II 289 E. 3c S. 298). In neueren Entscheiden hat es diese Rechtsprechung mit Blick auf die Vorgaben des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) sowie die verfassungsrechtlichen Gebote staatsbürgerrechtlicher Natur bei Schweizer Kindern relativiert. Allein die Zumutbarkeit der Ausreise und das öffentliche Interesse, eine restriktive Einwanderungspolitik betreiben zu können, genügen danach nicht mehr dafür, dem sorgeberechtigten ausländischen Elternteil eines Schweizer Kindes die Anwesenheit mit diesem zu verweigern (vgl. BGE 136 I 285 ff.; 135 I 153 ff.).
2.4 In seinen jüngsten Entscheiden hat das Bundesgericht die Voraussetzungen weiter konkretisiert, unter denen dem sorgeberechtigten ausländischen Elternteil eines Kindes mit Schweizer Bürgerrecht eine solche Bewilligung im so genannten "umgekehrten Familiennachzug/regroupement familial inversé" nicht erteilt bzw. nicht mehr verlängert wird:
2.4.1 Es bedarf hierfür jeweils besonderer - namentlich ordnungs- und sicherheitspolizeilicher - Gründe, welche die mit der Ausreise für das Schweizer Kind verbundenen weitreichenden Folgen zusätzlich rechtfertigen (BGE 136 I 285 E. 5.2; 135 I 153 E. 2.2.4 S. 158, 143 E. 3 und 4 S. 148 ff.). Nur Verfehlungen von einer gewissen Schwere überwiegen das Interesse des Schweizer Kindes, mit dem sorgeberechtigten Elternteil hier aufwachsen zu können (BGE 136 I 285 E. 5.2 S. 287; Urteile 2C_660/2009 vom 7. Juni 2010 E. 2.2 und 2.3 [Verurteilung zu 10 Jahren wegen banden- und gewerbsmässiger Widerhandlung gegen das BetmG]); Bagatelldelikte oder blosse Verstösse gegen aufenthaltsrechtliche Vorschriften gehören nicht dazu (BGE 136 I 285 E. 5.3 S. 288/289; zur Publikation vorgesehenes Urteil 2C_327/2010 + 2C_328/2010 vom 19. Mai 2011, E. 5.2.2).
2.4.2 Sodann kann rechtsmissbräuchliches Verhalten des sorgeberechtigten ausländischen Elternteils einen Grund bilden, diesem die beantragte Aufenthaltsbewilligung zu verweigern. Zu denken ist dabei an Lügengebäude und falsche, täuschende Angaben, an Umgehungsanerkennungen bzw. -adoptionen oder Umgehungsehen (auch "Ausländerrechts-" oder "Scheinehen" genannt). Beziehungen oder Verwandtschaftsverhältnisse, die ausschliesslich geschlossen oder begründet werden, um der ausländischen Person die Einreise oder deren Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen, verdienen als solche verfassungs- und konventionsrechtlich keinen Schutz. Der Gesetzgeber hat dies als Ausfluss des allgemeinen Rechtsmissbrauchsverbots inzwischen mit verschiedenen Anpassungen des Zivilgesetzbuches klargestellt (vgl. Art. 97a, 98 Abs. 4, 99 Abs. 4, 105 Ziff. 4 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 1 und 109 Abs. 3 ZGB). Auch in solchen Fällen ist jedoch ausländerrechtlich dem Wohl des Schweizer Kindes im Einzelfall jeweils sachgerecht und nicht schematisierend Rechnung zu tragen und soll - obwohl das Eingehen einer Scheinehe ein rechtsmissbräuchliches Verhalten darstellt - dem Schweizer Kind ein bloss mutmassliches missbräuchliches Verhalten des sorgeberechtigten Elternteils im Rahmen der ausländerrechtlichen Interessenabwägung nicht entgegengehalten werden, solange sein zivilrechtlicher Status und die daran geknüpften Rechtswirkungen fortbestehen (zur Publikation vorgesehenes Urteil 2C_327/2010 + 2C_328/2010 vom 19. Mai 2011, E. 5.1.2 und 5.1.3, Urteil 2C_54/2011 vom 16. Juni 2011, E. 2.2). Steht der Rechtsmissbrauch des sorgeberechtigten Elternteils damit im Zusammenhang, dass das Kind das Schweizer Bürgerrecht erworben hat, haben die Kantone die Regeln und Instrumente des Zivilgesetzbuches anzuwenden. Dies bedeutet, dass im Rahmen einer ausländerrechtlichen Bewilligungserteilung bzw. -verlängerung von den zivilrechtlichen Vorgaben auszugehen ist und diese von den Migrationsbehörden anzuerkennen sind, so lange sie nicht auf den dort vorgesehenen Rechtswegen abgeändert wurden (Urteil 2C_841/2009 vom 19. Mai 2011, E. 3.4).
2.4.3 Schliesslich kann auch eine fortgesetzte und erhebliche Sozialhilfeabhängigkeit dem Verbleib des sorgeberechtigten ausländischen Elternteils eines Schweizer Kindes im umgekehrten Familiennachzug entgegenstehen, wenn keine Änderung absehbar erscheint (erwähntes Urteil 2C_327/2010 + 2C_328/2010, E. 5.2.5 mit Hinweisen, Urteil 2C_54/2011 vom 16. Juni 2011, E. 2.2.).
3. 3.1 Das Bundesamt für Migration macht geltend, das rechtsmissbräuchliche Vorgehen der Beschwerdegegnerin verdiene keinen Schutz. Es bestehe ein erhebliches öffentliches Interesse an der Nichterteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Es würden auch inskünftig ernsthafte fürsorgerische Bedenken bestehen, womit auch der Ausweisungsgrund nach Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG erfüllt sei. Damit lägen ordnungspolitische Gründe vor, welche die Wegweisung eines obhutsberechtigten Elternteils eines Schweizer Kindes zu rechtfertigen vermöchten. Die Tochter der Beschwerdegegnerin sei erst rund dreieinhalb Jahre alt und noch in einem anpassungsfähigen Alter. Es sei davon auszugehen, dass zwischen ihr und ihrem schweizerischen Vater keine tatsächlich gelebte Beziehung bestehe. Mit den - wenn auch an die Verhältnisse der Elfenbeinküste anzupassenden - Alimenten dürfte es der Mutter und der Tochter möglich sein, dort eine Existenz aufzubauen. Die Integrationsschwierigkeiten, mit welchen bei einer allfälligen späteren Rückkehr der Tochter in die Schweiz zu rechnen sei, könnten für sich allein das Interesse an der Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung schon angesichts des rechtsmissbräuchlichen Verhaltens der Mutter und deren Straffälligkeit nicht aufwiegen. Soweit die Frage der Zumutbarkeit der Ausreise allfällige Vollzugshindernisse in Bezug auf die Situation im Herkunftsland betreffe, würden diese im Rahmen des Vollzugs der Wegweisung und der Prüfung einer vorläufigen Aufnahme nach Art. 83 AuG zu prüfen sein.
3.2 Vorweg ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Frage der Zumutbarkeit der Ausreise und namentlich die Schwierigkeiten, denen Mutter und Kind im Heimatland begegnen würden, in die Interessenabwägung einbezogen und nicht lediglich als Frage von Vollzugshindernissen behandelt hat (vgl. zur Publikation vorgesehenes Urteil 2C_784/2010 vom 26. Mai 2011, E. 3.3.2). Auch die übrigen Ausführungen des Bundesamtes überzeugen im Lichte der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht: Die Vaterschaft von B._ und damit die schweizerische Staatsbürgerschaft der Tochter der Beschwerdegegnerin stehen zweifelsfrei fest. Das Bundesamt klammert die Interessen des Schweizer Kindes, auf die es entscheidend ankommt, weitestgehend aus und hält diesem einseitig das Verhalten seiner sorgeberechtigten Mutter entgegen. Deren Straffälligkeit ist im Übrigen zu relativieren: Sie wurde zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 90 Tagen wegen Widerhandlung gegen das ANAG verurteilt. Diese Verurteilung wiegt nicht derart schwer, dass sie aus sicherheitspolizeilichen Gründen das Recht des Schweizer Kindes überwiegen würde, mit dem sorgeberechtigten Elternteil in seinem Heimatland verbleiben zu dürfen. Der Fall ist diesbezüglich weitgehend mit dem in BGE 136 I 285 ff. beurteilten vergleichbar. Es handelt sich um Delikte im Zusammenhang mit dem illegalen Aufenthalt, welche für sich allein nicht geeignet sind, das Interesse des Kindes mit Schweizer Bürgerrecht zu überwiegen (vorne E. 2.4.1). Die Vorinstanz hat im Weiteren festgestellt, die - aktuelle - Fürsorgeabhängigkeit der Beschwerdegegnerin vermöge - wenn überhaupt - nur ein geringfügiges Interesse an der Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung zu begründen. Mit dieser Feststellung setzt sich das Bundesamt nicht auseinander. Sollte im Übrigen keine Änderung absehbar und die Beschwerdegegnerin dauerhaft und in erheblichem Mass auf Sozialhilfe angewiesen sein, bestünde die Möglichkeit, im Rahmen einer neuen Interessenabwägung - wiederum unter angemessener Berücksichtigung der Interessen der Schweizer Tochter - die Aufenthaltsbewilligung allenfalls zu widerrufen oder nicht mehr zu verlängern, wessen sich die Beschwerdegegnerin bei der Gestaltung ihres weiteren Aufenthalts im Land bewusst sein muss (vgl. vorne E. 2.4.3 sowie Urteil 2C_327/2010 vom 19. Mai 2011, E. 5.2.5).
3.3 Zusammengefasst überwiegen die privaten Interessen der Tochter der Beschwerdegegnerin, mit ihrer sorgeberechtigten Mutter in der Schweiz verbleiben zu können, zurzeit die öffentlichen Interessen, die gegen deren weiteren Aufenthalt im Land sprechen. Die im Zeitpunkt des Entscheids der Vorinstanz etwas über 3 Jahre alte C._ hat ein offenkundiges Interesse daran, in der Schweiz aufwachsen zu können und nicht nach der Elfenbeinküste ausreisen zu müssen. Die Verweigerung der Anwesenheit der sorgeberechtigten Mutter erscheint mit Blick auf das Kindeswohl, das nach Art. 3 KRK "vorrangig" zu berücksichtigen ist, zurzeit damit als unverhältnismässig.
4. Die Beschwerde ist damit abzuweisen.
Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten geschuldet (Art. 66 Abs. 4 BGG). Das Bundesamt für Migration hat die Beschwerdegegnerin hingegen angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die gewährte unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird dadurch gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Das Bundesamt für Migration hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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