Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1983) stammt aus Kamerun und hat sich hier ursprünglich als Y._ (geb. 1977) ausgegeben. Er befand sich vom 28. März 2007 bis zum 9. Juli 2007 in Ausschaffungshaft, welche das Bundesgericht auf Beschwerde hin am 24. April 2007 (2C_132/2007) prüfte und im Grundsatz bestätigte.
1.2 Am 6. Mai 2008 nahm der Migrationsdienst des Kantons Bern X._ erneut in Ausschaffungshaft. Der Haftrichter 8 am Haftgericht III Bern Mittelland prüfte diese am 8. Mai 2008 und genehmigte sie bis zum 6. August 2008. X._ beantragte gleichentags sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen. Das Haftgericht leitete sein Schreiben am 13. Mai 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter.
2. 2.1 Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden: Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig weggewiesen worden und hätte die Schweiz längst verlassen müssen. Er hat falsche Angaben zu seiner Person gemacht und ist hier untergetaucht. Im Juli 2007 musste er aus der Haft entlassen werden, da keine Papiere beschafft werden konnten; inzwischen liegt sein kamerunischer Reisepass vor und ist für ihn ein Rückflug in seine Heimat für den 9. Mai 2008 gebucht worden, doch hat er sich geweigert, diesen anzutreten. Es ist nun eine Rückführung per Sonderflug geplant. Die gesetzlichen Voraussetzungen für seine ausländerrechtliche Festhaltung sind somit erfüllt (vgl. Art. 76 AuG [SR 142.20]).
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Trotz seiner Heiratsabsichten liegt gegen ihn ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vor, dessen Vollzug mit der Ausschaffungshaft sichergestellt werden kann. Die von ihm geplante Ehe lässt die Wegweisung nicht als offensichtlich und augenfällig unzulässig erscheinen; nur in diesem Fall hätte das Haftgericht praxisgemäss von Bundesrechts wegen die Haftgenehmigung verweigern dürfen (vgl. BGE 130 II 56 E. 4.2.4 S. 63 f.). Es ist dem Beschwerdeführer, wie dies bereits im Urteil 2C_132/2007 vom 24. April 2007 dargelegt worden ist, zumutbar, die Vorbereitung seiner Heirat und den Ausgang eines allfälligen Bewilligungsverfahrens in seiner Heimat abzuwarten (vgl. Art. 17 Abs. 1 AuG). Die Bewilligungsfrage bildet nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens, weshalb auf die Darlegung seiner bisherigen Integrationsbemühungen nicht weiter einzugehen ist. Da auch alle weiteren Haftvoraussetzungen erfüllt sind, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
3. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. Art. 68 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar