Faits:
A. A.a T._ travaillait comme peintre industriel. Arguant souffrir des séquelles d'une affection au coude droit, totalement incapacitante depuis le mois de février 1999, il s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : l'office AI) le 13 mars 2000.
Se fondant seulement sur l'avis du docteur B._, interniste et rhumatologue traitant, qui avait fait état d'une épitrochléite droite apparue en 1997, traitée conservativement (infiltrations, physiothérapie), puis opérée (ténotomie), ayant théoriquement permis la reprise, à plein temps, d'une activité adaptée (épargnant le bras droit) depuis le 1er novembre 1999 (rapport du 10 avril 2000), l'office AI a rejeté la requête de l'assuré (décision du 30 mai 2000). La décision a été annulée par le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (actuellement, Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel) dans la mesure où la cause aurait été insuffisamment instruite, notamment sur le point de savoir quelles étaient concrètement les activités adaptées à l'état de santé de l'intéressé (jugement du 5 octobre 2000).
Suivant l'avis de son médecin-conseil, l'administration a confié la réalisation d'une expertise au docteur S._, interniste et rhumatologue. Le praticien a diagnostiqué des douleurs chroniques de l'épitrochlée, bilatérales, prédominant à droite, un status post-cure chirurgicale d'épitrochléite droite le 18 juin 1999 et radiothérapie à visée anti-inflammatoire, un diabète anamnestique et une obésité n'influençant pas la capacité de travail dans une activité légère, évitant les travaux de force, les mouvements répétitifs ou les positions statiques prolongées des membres supérieurs (rapport du 22 juin 2001). Une mesure d'aide au placement ayant été vainement entreprise et la poursuite de l'instruction médicale ayant été suggérée par le médecin traitant, un avis complémentaire a été requis du docteur S._. Outre les affections connues, celui-ci a signalé l'existence d'un trouble somatoforme douloureux persistant sous forme de douleurs chroniques des avant-bras des deux côtés sans influence sur la capacité de travail dans une activité adaptée (rapport d'expertise du 11 juillet 2002). Egalement mandatée par l'office AI, la doctoresse L._, psychiatre, a conclu à une capacité totale de travail malgré une personnalité émotionnellement labile, type borderline, des douleurs aux coudes d'origine indéterminée et un diabète (rapport d'expertise du 15 novembre 2002).
Au regard des informations médicales collectées, l'administration a rejeté la demande (décision du 27 mai 2003) et, en dépit de l'opposition formulée par l'assuré, soutenu par le docteur H._, nouveau rhumatologue traitant, qui doutait des chances de son patient de retrouver une capacité de travail à cause principalement des douleurs aux épitrochlées (rapport du 22 juin 2003), a confirmé son refus de prester (décision sur opposition du 8 mars 2004).
A.b L'intéressé s'est une nouvelle fois annoncé à l'administration le 28 avril 2004.
Spontanément et sur requête, le docteur H._ a fait état d'une aggravation de la situation médicale de T._; outre les diagnostics connus, il a mentionné l'apparition d'une coronopathie sévère avec quintuple pontage coronarien, une polyneuropathie diabétique sévère générant des douleurs difficilement supportables aux jambes, une discopathie L4/5 et un épisode dépressif majeur totalement et définitivement incapacitants (rapports des 3 mai 2004, ainsi que 27 janvier et 9 février 2005). Sollicité, le docteur G._, cardiologue, a attesté une incapacité totale de travail depuis le 13 décembre 2004 en lien avec la pathologie cardiaque (rapport du 29 février 2005).
L'office AI a encore mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire. Les docteurs M._, interniste, U._, psychiatre, et E._, cardiologue, Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI), ont diagnostiqué une maladie coronarienne, un status après cinq pontages coronariens, un diabète de type II avec polyneuropathie discrète à modérée des membres inférieurs, des douleurs aux coudes d'origine indéterminée et une dysthymie laissant subsister une pleine capacité de travail (sauf lors des périodes post-opératoires) dans toute activité évitant les mouvements répétitifs des membres supérieurs, les longues marches sur terrains irréguliers et les travaux lourds (rapport du 18 octobre 2005).
Estimant que la situation médicale de l'assuré n'avait pas fondamentalement évolué par rapport à celle prévalant au moment de la décision sur opposition du 8 mars 2004, l'administration a rejeté la demande de prestations (décision du 9 juin 2006). Appuyé par le docteur H._, qui mettait notamment l'accent sur une hospitalisation due à l'affection psychiatrique apparue récemment (rapport du 16 juin 2006), l'intéressé s'est opposé à la décision. L'avis des docteurs A._ et N._, psychiatres traitants, Centre psycho-social neuchâtelois, concluant à une incapacité totale de travail en raison d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère sans symptômes psychotiques, d'une épitrochléite bilatérale, d'un diabète de type II insulino-dépendant, d'une polyneuropathie diabétique de type "burning feet", d'une insuffisance cardiaque sur maladie coronarienne et d'une capsulite rétractile de l'épaule droite (rapport du 30 mai 2007), n'a pas influencé la position de l'office AI qui, sur la base d'une évaluation du rapport des psychiatres traitants par son service médical régional (SMR; rapport du docteur F._, du 8 octobre 2007), a rejeté l'opposition (décision du 18 octobre 2007).
B. T._ a recouru à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, concluant au renvoi de la cause à l'administration pour nouvelle décision au sens des considérants. Il reprochait à celle-ci une appréciation arbitraire des faits dans la mesure où elle ne s'était référée qu'à l'avis, succinct, de son service médical et ne s'était pas véritablement prononcée sur les nouvelles affections diagnostiquées, reconnues comme étant totalement incapacitantes par l'ensemble de ses médecins traitants. Il a aussi déposé un rapport établi par le docteur G._ le 20 septembre 2006.
La juridiction cantonale a débouté l'assuré de ses conclusions par jugement du 18 août 2009. Elle constatait substantiellement que l'office AI ne s'était pas contenté de l'avis du docteur F._ pour trancher le litige puisqu'il avait fait réaliser une expertise pluridisciplinaire, qualifiée de probante, qui n'était pas valablement remise en question par les rapports des docteurs H._, A._ et N._ ainsi que G._.
C. L'intéressé interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi du dossier à l'administration pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
L'office AI conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. D'une manière générale, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation manifestement inexacte des preuves. Il ne conteste pas formellement les conclusions de l'expertise réalisée par le COMAI et rappelle que le recours interjeté contre la décision litigieuse visait à démontrer - et avait démontré - que les éléments médicaux produits postérieurement à ladite expertise attestaient une évolution défavorable de son état de santé et une incapacité totale à exercer une quelconque activité lucrative. Il estime en particulier que l'appréciation inexacte mentionnée a conduit la juridiction cantonale à violer le droit fédéral en ne lui accordant pas une rente d'invalidité ou, du moins, en ne diligentant pas une nouvelle expertise dès lors que le rapport du docteur F._ - d'après lequel il n'y avait pas de faits nouveaux mais une appréciation différente d'une même situation et sur lequel reposait le jugement entrepris - ne suffisait pas à réfuter la péjoration de la situation médicale certifiée unanimement par les docteurs A._ et N._ ainsi que G._.
3. Cette argumentation n'est pas pertinente. En effet, elle a déjà été invoquée telle quelle en première instance, du moins pour l'essentiel, puis a été reportée sur le travail des premiers juges. On relèvera que ceux-ci y ont répondu en constatant, d'une part, que l'office intimé ne s'était pas contenté du rapport du médecin du SMR pour forger son opinion, mais qu'il s'était notamment fondé sur l'expertise pluridisciplinaire réalisée par le COMAI et en expliquant, d'autre part, de manière détaillée, pourquoi les remarques des différents médecins traitants n'étaient pas susceptibles de réduire la portée et la valeur probante de ce document (cf. jugement cantonal p. 11ss). Le raisonnement en question ainsi formulé ne saurait donc en soi faire ressortir de l'acte attaqué une constatation manifestement inexacte des faits.
On précisera également que le docteur F._ n'a jamais été sollicité pour procéder à une évaluation du dossier médical, contrairement à ce que veut faire accroire l'assuré, mais que son rôle a seulement consisté à analyser le contenu du rapport des psychiatres traitants pour déterminer si celui-ci établissait ou rendait vraisemblable un changement important des circonstances, ce que le médecin du SMR niait pour des raisons précises (diagnostic fondé sur des éléments subjectifs connus, appréciation différente d'une même situation, contradictions, etc). Peu importe par conséquent le caractère succinct de son rapport ou l'existence d'avis d'autres médecins attestant l'apparition de nouveaux troubles dans leur domaine de spécialité. Seule compte la pertinence des conclusions du docteur F._ qui ont du reste été largement confirmées par la juridiction cantonale (cf. jugement cantonal p. 12). Ce type d'argumentation ne démontre en outre pas en quoi cette dernière se serait trompée.
On rappellera encore que, en cas de nouvelle demande de prestations ou de procédure de révision, le changement de circonstances ne peut être qualifié d'important que s'il influence le degré d'invalidité (cf. ATF 133 V 108 consid. 5. p. 110ss). Or, les premiers juges n'ont jamais nié l'apparition de nouvelles affections, contrairement à ce que prétend le recourant; ils ont seulement estimé que celles-ci n'avaient aucune incidence sur la capacité de travail et, par conséquent, sur le taux d'invalidité de l'assuré. Ils ont d'ailleurs analysé minutieusement les nouveaux documents médicaux produits à l'aune de l'expertise du COMAI pour chaque diagnostic énoncé et ont constaté que l'essentiel des éléments invoqués était connu des experts du COMAI et avait été pris en compte à cette époque (cf. jugement cantonal p. 11 à 15).
On notera finalement que le rapport du docteur G._, produit pour la première fois devant la juridiction cantonale mais antérieur à la décision litigieuse, ne change rien à ce qui précède. Au contraire, bien que les chiffres mentionnés notamment en ce qui concerne le test d'effort sont inférieurs à ceux rapportés par le docteur E._ en 2005, il semble d'une part que ces chiffres peuvent être influencés par la bonne ou mauvaise collaboration de l'assuré (cf. jugement cantonal p. 13) et il apparaît d'autre part que le cardiologue traitant ne pose pas d'indication cardiologique péremptoire, qu'il tient compte dans son pronostic des autres affections dont il a déjà été question ci-dessus et dont l'influence sur la capacité de travail a été valablement niée et qu'il ne semble plus exclure la possibilité d'exercer certaines activités professionnelles adaptées contrairement à ce qu'il affirmait en 2005.
4. Le recours est donc entièrement mal fondé. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF) et qui ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al.1 LTF). Cependant, les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées, celle-ci lui est accordée. L'attention de l'assuré est encore attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge du recourant. Il sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Blaise Péquignot à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Borella Cretton