Sachverhalt:
A. Die 1980 geborene Z._ war als Produktionsmitarbeiterin in der Firma Y._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 12. März 2006 im Kosovo verunfallte. Sie sass als Beifahrerin vorne in einem von ihrem Ehemann gelenkten und vor einem Stoppsignal angehaltenen Ford Escort. Ein nachfolgender Renault Clio prallte ins Heck des Ford. Z._ klagte in der Folge namentlich über Beschwerden an Kopf und Nacken bis in den Bereich der (LWS). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 13. März 2007 stellte sie die Leistungen auf den 31. März 2007 ein und verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 12. März 2006. Daran hielt die SUVA auf die von Z._ und deren Krankenpflegeversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 22. Oktober 2008).
B. Die von Z._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, mit Entscheid vom 13. Juli 2009 ab.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einsprache- und des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, Leistungen zu erbringen, insbesondere Taggeld ab 1. April 2007, Heilbehandlung sowie eventuell eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung. Eventuell sei die Sache zur erneuten Abklärung an den Versicherer zurückzuweisen.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 12. März 2006 über den 31. März 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang sowie über den Zeitpunkt des Fallabschlusses durch den Unfallversicherer. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat erkannt, bezüglich der Beschwerden im Bereich der LWS sei von einem vorbestehenden degenerativ bedingten Gesundheitsschaden auszugehen, welcher durch den Unfall vom 12. März 2006 höchstens vorübergehend und längstens bis 12. März 2007 verschlimmert worden sei. Einen Leistungsanspruch über diesen Zeitpunkt hinaus vermöge das LWS-Leiden daher nicht zu begründen.
Diese Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Würdigung der medizinischen Akten. Sie wird durch die Vorbringen in der Beschwerde nicht in Frage gestellt. Die Versicherte beschränkt sich auf den Hinweis, das kantonale Gericht habe eine richtunggebende Verschlimmerung des LWS-Leidens bejaht. Dieses Vorbringen trifft nach dem Gesagten nicht zu. Es wird überdies nicht etwa zur Begründung eines allfälligen Leistungsanspruchs aus der LWS-Problematik, sondern im Zusammenhang mit der Adäquanzbeurteilung bei den HWS-Beschwerden geäussert. Darauf wird später zurückzukommen sein.
4. Das kantonale Gericht hat sich im Weiteren mit den Beschwerden im HWS-Bereich (mit Ausstrahlungen in den Kopf) befasst.
4.1 Es erwog, die SUVA habe den Fall zu Recht auf den 31. März 2007 abgeschlossen. In der Beschwerde wird eingewendet, es sei noch mittels eines interdisziplinären medizinischen Gutachtens abzuklären, ob durch eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung nicht noch eine namhafte Verbesserung der Arbeitsfähigkeit erzielt werden könne.
Nach Gesetz und Rechtsprechung hat der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (Art. 19 Abs. 1 UVG; BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Eingliederungsmassnahmen der IV stehen hier nicht zur Diskussion. Sodann beurteilt sich die Frage der noch zu erwartenden namhaften Besserung des Gesundheitszustandes zwar insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit. Voraussetzung hiefür ist aber, dass es um eine unfallbedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit geht (BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115). Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz die Unfallkausalität der über den 31. März 2007 noch geklagten Beschwerden und damit auch einer daraus allenfalls resultierenden Arbeitsunfähigkeit verneint. Trifft diese Beurteilung zu, was nachfolgend geprüft wird, ist der erfolgte Fallabschluss ohne weiteres, namentlich ohne die beantragte Beweisergänzung, als rechtens zu betrachten.
4.2 Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, die persistierenden Beschwerden liessen sich nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 12. März 2006 erklären.
Diese Beurteilung wird, nach Lage der medizinischen Akten zu Recht, nicht in Frage gestellt.
4.3 Das kantonale Gericht hat sich im Weiteren mit der Frage befasst, ob die anhaltenden Beschwerden in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 12. März 2006 stehen. Es hat hiebei erwogen, dass sich dieser Zusammenhang mangels einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge nicht ohne besondere Prüfung bejahen lässt. Das ist zu Recht (vgl. BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen) nicht umstritten.
Im kantonalen Verfahren war hingegen streitig, ob die Adäquanz - wie von der Versicherten geltend gemacht - nach der mit BGE 117 V 359 begründeten und mit BGE 134 V 109 präzisierten sog. Schleudertrauma-Praxis oder - wie vom Unfallversicherer postuliert - nach den für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten Grundsätzen (sog. Psycho-Praxis) gemäss BGE 115 V 133 zu beurteilen sei.
Die Vorinstanz hat dies offen gelassen mit der Begründung, die Adäquanz sei auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen.
Trifft dies zu, erübrigt sich, auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Frage einzugehen, weshalb und allenfalls gestützt auf welche ergänzenden Beweismassnahmen der Schleudertrauma-Praxis nun der Vorzug gegenüber der Psycho-Praxis zu geben sei.
4.4 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1 mit Hinweis; Urteil 8C_129/2009 vom 15. September 2009 E. 5.1 mit Hinweis).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 12. März 2006 im mittleren Bereich und dort nicht nahe den schweren Unfällen eingeordnet.
Die Beschwerdeführerin macht, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend, der erlittene Verkehrsunfall sei in der Nähe der schweren Unfälle oder gar bei diesen einzustufen. Sie beanstandet, das kantonale Gericht hätte feststellen müssen, dass es sich um einen mittelschweren Unfall im eigentlichen Sinne und nicht um einen Grenzfall zu den leichten Unfällen handle.
Ob der Unfall tatsächlich die postulierte Schwere aufweist, erscheint mit Blick auf die rechtsprechungsgemässe Einordnung von Heckauffahrunfällen (vgl. RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04 E. 5.1.2; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_626/2009 vom 9. November 2009 E. 4.2.2; je mit Hinweisen) und die Anhaltspunkte, welche sich aus den Akten, insbesondere aus der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 17. Oktober 2006 ergeben, eher fraglich, kann aber mit dem kantonalen Gericht offen gelassen werden. Denn auch wenn der Versicherten gefolgt wird, führt das nicht zur Bejahung der Adäquanzfrage. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
4.5 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges jedenfalls entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Die Vorinstanz hat fünf der sieben massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) verneint. Das weitere Kriterium der erheblichen Beschwerden hat es bejaht. Dieses sei allerdings, ebenso wie das verbleibende Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen, nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Ob das letztgenannte Kriterium überhaupt in der einfachen Form erfüllt sei, müsse nicht abschliessend beantwortet werden, da auch diesfalls der adäquate Kausalzusammenhang nicht gegeben sei.
Die Versicherte macht geltend, es seien sämtliche Kriterien erfüllt, das der erheblichen Beschwerden sogar in besonders ausgeprägter Weise.
4.5.1 Bezüglich der vom kantonalen Gericht verneinten Kriterien ergibt sich Folgendes:
Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls liegen nicht vor. Dass die Beschwerdeführerin vom Unfall überrascht wurde und ihr Ehemann (und Vater des gemeinsamen, einige Wochen zuvor geborenen Kindes), vorübergehend das Bewusstsein verlor, genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums. Gleiches gilt für die weiteren geltend gemachten Umstände.
Das Kriterium die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen ist nicht gegeben. Schleudertraumatypische Beschwerden traten nicht in einer Weise auf, dass dies die Bejahung des Kriteriums gestatten würde. Die erlittene Verletzung kann sodann nicht mit der Begründung als besonders qualifiziert werden, die Beschwerdeführerin habe drei Monate vor dem Unfall ein Kind geboren. Wie das kantonale Gericht richtig erkannt hat, lässt auch eine Vorschädigung im Bereich der LWS eine Verletzung im Bereich der HWS nicht als besonders im Sinne des Kriteriums erscheinen. Aus dem von der Versicherten erwähnten Urteil 8C_785/2007 vom 11. Juni 2006 ergibt sich nichts anderes.
Die Behandlung beschränkte sich im Wesentlichen auf ärztliche Untersuchungen und Kontrollen, Schmerzmedikation, ambulante Physio- und Wassertherapie sowie auf einen zweiwöchigen Abklärungs- und Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik X._. Eine fortgesetzt belastende ärztliche Behandlung im Sinne des entsprechenden Kriteriums liegt damit nicht vor (vgl. SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80, 8C_209/2008 E. 5.4; Urteil 8C_488/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 5.2.2 mit Hinweisen). Das gilt selbst dann, wenn einzelne Therapien über den Zeitpunkt des Fallabschlusses hinaus andauerten und noch eine psychiatrische/psychotherapeutische Behandlung hinzukam.
Dass der behandelnde Arzt anfänglich einen weichen Halskragen verordnet hat, genügt nicht, um das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, als erfüllt zu betrachten. Dies hat die Vorinstanz in zutreffender Anwendung der in SVR 2009 UV Nr. 41 S. 142, 8C_1020/2008 E. 5.6, aufgeführten Grundsätze erkannt. Abgesehen davon geht aus den Akten hervor, dass der behandelnde Arzt mehrere Versuche unternahm, die Versicherte vom Tragen des Kragens zu entwöhnen (Bericht Dr. med. G._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 14. Juni 2006). Es wird im Übrigen weder begründet noch ergibt sich aus den Akten, inwiefern das Tragen des Halskragens die Unfallfolgen erheblich verschlimmert haben soll.
Ein allfälliger Medikamentenüberkonsum und daraus folgende Kopfschmerzen genügen nicht, um das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen bejahen zu können. Gleiches gilt für das Ausbleiben einer Beschwerdefreiheit. Daran ändert nichts, dass - wie unter Hinweis auf BGE 134 V 109 E. 9.3 S. 124 geltend gemacht wird - bei einer Vielzahl solcher Unfälle schon nach kurzer Zeit eine Besserung eintritt. Andernfalls müsste das Kriterium in sämtlichen Fällen, in welchen keine solche Besserung zu verzeichnen ist, als erfüllt betrachtet werden und verlöre so jegliche Bedeutung im Rahmen der Adäquanzprüfung.
4.5.2 Das vom kantonalen Gericht bejahte Kriterium der erheblichen Beschwerden liegt entgegen der Auffassung der Versicherten nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Das gilt auch unter Berücksichtigung der geltend gemachten Einschränkungen im Alltag.
Dass das verbleibende Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Bemühungen in besonders ausgeprägter Weise gegeben wäre, wird zu Recht nicht geltend gemacht. Es kann daher mit der Vorinstanz offen gelassen werden, ob das Kriterium überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wäre. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können. Das gilt auch bei einem mittelschweren Unfall im engeren Sinn.
4.6 Zusammenfassend hat die Vorinstanz einen Leistungsanspruch über den 31. März 2007 hinaus zu Recht mangels eines adäquaten Zusammenhangs zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 12. März 2006 verneint. Damit erübrigen sich auch Weiterungen zur Frage der natürlichen Unfallkausalität (vgl. BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 5.1) und dazu, ob überhaupt eine Verletzung vorliegt, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis bei der Adäquanzbeurteilung zu rechtfertigen vermag.
5. Im vorinstanzlichen Verfahren war auch darüber zu befinden, ob die SUVA die Kosten eines von der Versicherten eingeholten medizinischen Gutachtens zu bezahlen habe. Das kantonale Gericht hat dies verneint. Dabei hat es ohne Weiterungen sein Bewenden, äussert sich doch die Beschwerdeführerin letztinstanzlich nicht mehr zu diesem Punkt.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz