Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1979) stammt aus der Dominikanischen Republik. Sie reiste im August 2002 von Italien her kommend in die Schweiz ein. Am 5. November 2002 gebar sie hier den Sohn B.A._. Der in der Schweiz aufenthaltsberechtigte deutsche Staatsangehörige C._ (geb. 1975) anerkannte diesen am 5. Mai 2003, worauf das Migrationsamt des Kantons Zürich am 23. Juli 2003 A.A._ eine Aufenthaltsbewilligung (B) zum Verbleib bei ihrem Lebenspartner bzw. dem Sohn eine (abgeleitete) Aufenthaltsbewilligung B-EU/EFTA erteilte. Heute verfügt dieser über eine Niederlassungsbewilligung EU/EFTA.
A.b. Die Lebensgemeinschaft A._-C._ wurde Ende 2004 aufgelöst. In der Folge befand sich A.A._ mit ihrem Sohn in einem Frauenhaus bzw. in einer geschützten Mutter-Kind-Institution; am 27. Oktober 2005 bezog sie mit dem Sohn eine eigene Wohnung. Die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ wurde regelmässig - letztmals bis zum 9. August 2012 - verlängert, obwohl Mutter und Kind auf Sozialhilfeleistungen angewiesen waren.
A.c. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnte A.A._ am 2. Oktober 2008; am 4. Januar 2010 teilte es ihr mit, dass dem Verlängerungsgesuch noch einmal entsprochen werde, ein weiterer Aufenthalt indessen voraussetze, dass sie eine existenzsichernde Tätigkeit ausübe und nicht mehr von der Sozialhilfe unterstützt werden müsse. Bis zum August 2012 hätten sie und ihr Sohn Sozialhilfeleistungen im Umfang von Fr. 394'683.20 bezogen.
B.
B.a. Am 10. Juni 2013 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich es ab, die Bewilligung von A.A._ zu erneuern. Diese habe über Jahre hinweg in beträchtlichem Umfang von der Sozialhilfe unterstützt werden müssen, womit ein Widerrufsgrund vorliege (Art. 62 lit. e AuG [SR 142.20]). A.A._ habe es nicht verstanden, sich hier beruflich zu integrieren und sei grundlos keiner existenzsichernden Tätigkeit nachgegangen. Eine Rückkehr in die Heimat erscheine ihr zumutbar, auch wenn diese mit einer gewissen Härte verbunden sein sollte; der Sohn B.A._ befinde sich mit seinen zehn Jahren noch in einem anpassungsfähigen Alter; mit Blick auf die guten Beziehungen zu seinem Vater stehe es ihm gegebenenfalls frei, bei diesem in der Schweiz zu verbleiben. Ein (freizügigkeitsrechtlicher) Anspruch auf einen weitere Anwesenheit von A.A._ als Mutter eines deutschen Kindes bestehe mangels eigener Mittel nicht.
B.b. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hielt in seinem Urteil vom 11. Juni 2014 bezüglich des Sohnes fest, dass dessen Zusammenleben mit dem als Arbeitnehmer (freizügigkeitsrechtlich originär) anwesenheitsberechtigten Vater nur etwas mehr als zwei Jahre gedauert habe; zum Zeitpunkt als er eingeschult worden sei, habe die Beziehung zwischen seinen Eltern "längst" nicht mehr bestanden; als freizügigkeitsberechtigtes Kind komme er nicht für den Unterhalt der Mutter auf; wegen der ausgewiesenen Sozialhilfeabhängigkeit sei auch ein Verbleib ohne Erwerbstätigkeit nicht denkbar, weshalb Mutter und Sohn aus dem Freizügigkeitsabkommen nichts zu ihren Gunsten ableiten könnten. Unter dem Gesichtswinkel von Art. 8 EMRK (Privat-/Familienleben bzw. Art. 30 AuG: allgemeiner Härtefall) ging das Verwaltungsgericht davon aus, dass die Mutter sich im Hinblick auf den Sozialhilfebezug nicht im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung "tadellos" verhalten habe und sich der (grundsätzlich freizügigkeitsberechtigte) Sohn mit seinen elfeinhalb Jahren noch in einem anpassungsfähigen Alter befinde, auch wenn er, was mit der Einschulung einhergehe, bereits in einem gewissen Mass hierzulande sozialisiert sei und gewisse Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie geknüpft habe; er sei des Spanischen mächtig und das Herkunftsland seiner Mutter sei ihm "infolge von Besuchs- bzw. Ferienaufenthalten" jedenfalls nicht unbekannt. Es sei ihm deshalb zumutbar, mit der sorge- und obhutsberechtigten Mutter auszureisen. Die öffentlichen Interessen an der Entfernung von A.A._ überwögen die privaten an ihrem Verbleib im Land.
C.
C.a. A.A._ beantragt vor Bundesgericht für sich und ihren Sohn, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von einer Wegweisung abzusehen; allenfalls sei sie noch ein letztes Mal zu verwarnen. Ihr Sohn sei in der Schweiz geboren, verfüge über die deutsche Staatsbürgerschaft und pflege intensive Beziehungen zu seinem Vater und dessen neuer Familie. Als drittstaatsangehöriger Elternteil, der die elterliche Sorge über ein Kind mit EU-Bürgerrecht in Ausbildung tatsächlich wahrnehme, könne sie auch nach Beendigung der Partnerschaft mit dem Vater - ungeachtet einer allfälligen Sozialhilfeabhängigkeit - freizügigkeitsrechtlich ein vom Sohn abgeleitetes Verbleiberecht geltend machen. Dasselbe ergebe sich unter der gebotenen Berücksichtigung der Kindesinteressen aus Art. 8 EMRK (Schutz des Familienlebens).
C.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat davon abgesehen, sich vernehmen zu lassen. Das Bundesamt für Migration (heute Staatssekretariat für Migration [SEM]) beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Am 28. Oktober 2014 hat A.A._ an ihren Ausführungen und Anträgen festgehalten: Sie habe sich konstant darum bemüht, sich von der Sozialhilfe zu lösen, inzwischen beziehe sie gestützt auf ihre Anstellung als Büroassistentin (ab 1. September 2014) keine Sozialhilfeleistungen mehr. Am 30. Oktober 2014 hat A.A._ ein positives Zwischenzeugnis ihrer Arbeitgeberin (X._ AG) vom 28. Oktober 2014 nachgereicht.
C.c. Mit Verfügung vom 21. August 2014 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.
C.c. Mit Verfügung vom 21. August 2014 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.
D. Die Abteilung hat am 26. November 2015 den Fall an einer Sitzung öffentlich beraten und über die Beschwerde entschieden.
Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführer berufen sich sowohl auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA (Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [FZA; SR 0.142.112.681]) als auch auf Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 BV) und machen in vertretbarer Weise geltend, dass der in der Schweiz niedergelassene, im obligatorischen Schulunterricht eingegliederte Sohn, welcher enge Beziehungen zum hier anwesenheitsberechtigten Vater und dessen heutiger Familie pflege, über einen freizügigkeits- bzw. konventionsrechtlichen Aufenthaltsanspruch verfüge, zu dessen Wahrnehmung die sorge- und obhutsberechtigte (drittstaatsangehörige) Mutter ebenfalls in der Schweiz verbleiben könne. Ob dies zutrifft, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern eine materiellrechtliche Problematik (vgl. BGE 137 I 305 E. 2.5 S. 315; 136 II 177 E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f. sowie die Urteile 2C_111/2014 vom 25. September 2014 E. 1.2 und 2C_75/2011 vom 6. April 2011 E. 1.1.2).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen - soweit entscheidrelevant - berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - erscheint (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Im vorliegenden Fall ist grundsätzlich vom Sachverhalt auszugehen, wie das Verwaltungsgericht ihn festgestellt hat, da die Beschwerdeführer diesen unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nicht in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz sachbezogen beanstanden (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; "qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht": BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, die drittstaatsangehörige Mutter habe seit dem angefochtenen Urteil am 18. August 2014 einen unbefristeten Arbeitsvertrag unterzeichnet, der es ihr erlaube, künftig keine Sozialhilfe mehr beziehen zu müssen. Während des Verfahrens hat sie eine Erklärung der Sozialberatung der Stadt U._ vom 22. Oktober 2014 nachgereicht; danach hat sie seit dem 30. September 2014 keine Unterstützung mehr bezogen; die Beschwerdeführerin gab zudem ein Zwischenzeugnis ihres Arbeitgebers vom 28. Oktober 2014 zu den Akten. Die entsprechenden Elemente und Unterlagen können für den Entscheid in der Sache nicht berücksichtigt werden, da es sich dabei um vor Bundesgericht unzulässige echte Noven handelt (vgl. Art. 99 AuG; Urteil 2C_293/2014 vom 29. September 2014 E. 2.3; BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123; 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.; 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.).
3.
3.1. Beschwerdeführer wie Vorinstanz beziehen sich auf das Freizügigkeitsabkommen und dessen Auslegung durch das Bundesgericht. Am 9. Februar 2014 ist durch Annahme in der Volksabstimmung Art. 121a BV in Kraft getreten. Es stellt sich vorweg die Frage, in welchem Verhältnis der neue Verfassungsartikel zum Freizügigkeitsabkommen und seiner bisherigen Auslegung steht.
Gemäss Art. 16 Abs. 2 FZA ist für die Anwendung des Freizügigkeitsabkommens - soweit für die Anwendung des Abkommens Begriffe des Unionsrechts herangezogen werden - die einschlägige Rechtsprechung des EuGH vor dem Zeitpunkt der Unterzeichnung (21. Juni 1999) massgebend. Da es Ziel des Abkommens ist, die Freizügigkeit auf der Grundlage der in der Europäischen Union geltenden Bestimmungen zu verwirklichen (Präambel), und die Vertragsstaaten übereingekommen sind, in den vom Abkommen erfassten Bereichen alle erforderlichen Massnahmen zu treffen, damit in ihren Beziehungen eine möglichst parallele Rechtslage besteht (Art. 16 Abs. 1 FZA), hat das Bundesgericht in inzwischen ständiger Rechtsprechung entschieden, von der Auslegung abkommensrelevanter unionsrechtlicher Bestimmungen durch den EuGH nach dem Unterzeichnungsdatum nur bei Vorliegen "triftiger" Gründe abzuweichen (BGE 140 II 112 E. 3.2 S. 117; 364 E. 5.3 S. 372; 139 II 393 E. 4.1.1 S. 397 f.; 136 II 5 E. 3.4 S. 12 f.; 65 E. 3.1 S. 70 f.).
Nach Art. 121a BV steuert die Schweiz die Zuwanderung eigenständig (Abs. 1) und wird die Zahl der Bewilligungen für den Aufenthalt von Ausländerinnen und Ausländern durch jährliche Höchstzahlen und Kontingente begrenzt (Abs. 2). Abs. 4 des Verfassungsartikels sieht vor, dass keine völkerrechtlichen Verträge abgeschlossen werden, welche gegen diesen Artikel verstossen. Die Übergangsbestimmung zu Art. 121a BV sieht sodann vor, dass widersprechende völkerrechtliche Verträge innerhalb von drei Jahren neu zu verhandeln und anzupassen sind (Art. 197 Ziff. 11 Abs. 1 BV) sowie dass, sofern die Ausführungsgesetzgebung innert drei Jahren noch nicht in Kraft treten kann, der Bundesrat vorübergehend Ausführungsbestimmungen auf dem Verordnungsweg erlässt (Abs. 2). Die neue Verfassungsbestimmung bedarf damit der Umsetzung durch Verhandlung mit den Vertragsparteien und durch Gesetzgebung. Sie ist im konkreten Streitfall durch den Richter nicht direkt anwendbar.
3.2. Immerhin liesse sich erwägen, das Abkommen im Lichte der Zielsetzung der Verfassungsbestimmung restriktiv auszulegen oder aber triftige Gründe anzunehmen, welche nahelegen, die Rechtsprechung des EuGH, soweit sie nach dem Unterzeichnungsdatum erfolgt ist, nicht mehr zu befolgen. Völkerrechtliche Verträge sind indes nicht nach Massgabe des innerstaatlichen Rechts auszulegen, sondern nach Treu und Glauben (vgl. Art. 26 und 31 Abs. 1 des Wiener Uebereinkommens vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge [VRK; SR 0.111]), denn keine Vertragspartei kann sich auf ihr innerstaatliches Recht berufen, um die Nichterfüllung eines Vertrags zu rechtfertigen (Art. 27 VRK). Die völkerrechtliche Verpflichtung, eingegangene Verträge nach Treu und Glauben zu halten, ohne sich dieser Verpflichtung gestützt auf landesrechtliche Vorgaben wieder zu entziehen, ist auch gewohnheitsrechtlich anerkannt (MARK E. VILLIGER, Commentary on the 1969 Vienna Convention on the Law of Treaties, Leiden/Boston 2009, S. 366, 374 f.; JEAN SALMON sowie ANNEMIE SCHAUS, in Corten/Klein [Hrsg.], Les conventions de Vienne sur le droit des traités, S. 1081 bzw. S. 1124). Mit dem Freizügigkeitsabkommen und den weiteren sektoriellen Abkommen ist die Schweiz zwar nicht Teil des gesamten Binnenmarkts geworden, doch beteiligt sie sich, soweit die Abkommen reichen, immerhin sektoriell am gemeinsamen Markt. Eine solche sektorielle Teilhabe am Binnenmarkt ist aber nur möglich und funktionsfähig, wenn die massgebenden Normen, soweit sie Gegenstand des FZA bilden, einheitlich verstanden werden und der EuGH auf der einen (vgl. Urteil des EuGH vom 6. Oktober 2011 C-506/10 Graf/Engel, Slg. 2011 I-09345 Randnr. 33) und das Bundesgericht auf der anderen Seite nicht ohne sachliche Gründe von einem gemeinsamen Verständnis der verwendeten Begriffe im Rahmen des freizügigkeitsrechtlich übernommenen "Acquis communautaire" abweichen.
In Übereinstimmung mit Art. 27 VRK gehen in der Rechtsanwendung völkerrechtliche Normen widersprechendem Landesrecht vor (BGE 139 I 16 E. 5.1 S. 28; 138 II 524 E. 5.1 S. 532 f., mit weiteren Hinweisen). Dieser Grundsatz hat lediglich insofern eine Ausnahme erfahren, als der Gesetzgeber bewusst die völkerrechtliche Verpflichtung missachten und insofern auch die politische Verantwortung dafür bewusst tragen wollte (BGE 99 Ib 39 E. 3 und 4 S. 44 f. ["Schubert"]; 138 II 524 E. 5.3.2 S. 534 f.). Diese Ausnahme gilt nicht, wenn menschenrechtliche Verpflichtungen der Schweiz in Frage stehen (BGE 125 II 417 E. 4d S. 425 ["PKK"]; 139 I 16 E. 5.1 S. 28 f.); diesfalls geht die völkerrechtliche Norm der nationalen Regelung auch dann vor, wenn der schweizerische Gesetzgeber sie missachten will. Auch im Zusammenhang mit dem Freizügigkeitsabkommen hat das Bundesgericht entschieden, dass diesem gegenüber bewusst abweichendem Gesetzesrecht der Vorrang zukommt. Das Gericht begründete dies damit, dass das Freizügigkeitsabkommen demokratisch (durch Annahme in der Volksabstimmung) legitimiert sei, dieses den unter das Abkommen fallenden Personen gerichtlichen Rechtsschutz garantiere, was toter Buchstabe bliebe, wenn die Gerichte abweichendes nationales Recht anwenden müssten, und schliesslich, dass die Vertragsstaaten der EU ihrerseits verpflichtet seien, dem Abkommen den Vorrang gegenüber ihrem jeweiligen innerstaatlichen Recht zu geben (BGE 133 V 367 E. 11.4 - 11.6 S. 389 ff.). Die vorne erwähnte Ausnahme nach der sogenannten "Schubert-Praxis" gilt im Verhältnis zur Europäischen Union und den von der Schweiz im Freizügigkeitsrecht staatsvertraglich eingegangenen Pflichten nicht, weil es dabei über die Realisierung der teilweise übernommenen Grundfreiheit um eine Angleichung der Rechtsordnung (sektorielle Beteiligung am Binnenmarkt) geht, welche für die EU-Mitgliedstaaten ihrerseits direkt anwendbar ist (Urteil des EuGH vom 5. Februar 1963 C-26/62 van Gend en Loos, Slg. 1963 3) und für welche kraft Unionsrechts der Vorrang dieser Rechtsordnung ebenfalls Geltung hat (Urteil des EuGH vom 15. Juli 1964 C-6/64 Costa/E.N.E.L, Slg. 1964 1141).
Dieses Verständnis des Zusammenhangs zwischen völkerrechtlicher Verpflichtung einerseits und abweichendem Landesrecht liegt überdies Art. 121a BV selbst zugrunde, indem diese Verfassungsbestimmung dazu verpflichtet, erstens keine Verträge mehr abzuschliessen, die im Widerspruch zur von der Verfassungsnorm angestrebten eigenständigen Zuwanderungssteuerung stehen (Staatsangehörige Kroatiens können sich entsprechend nicht auf das FZA berufen: Urteile 2C_1195/2013 vom 4. Juli 2014 E. 4.4; 2C_103/2014 vom 13. Januar 2015 E. 5.5; 2C_128/2015 vom 25. August 2015 E. 3.9), und zweitens bestehende Verträge neu auszuhandeln.
3.3. Art. 121a BV ist nach dem Gesagten in der Rechtsprechung nicht direkt anwendbar. Ein Konflikt zu völkerrechtlichen Verträgen könnte entstehen, wenn eine Verhandlungslösung mit der EU nicht möglich wäre, innerstaatliche Rechtsänderungen vom Freizügigkeitsabkommen abweichen sollten und diese nicht durch völkerrechtskonforme Auslegung in Übereinstimmung mit dem FZA angewendet werden könnten. Im Falle eines tatsächlichen Normkonflikts aber ginge in der Rechtsanwendung gemäss den dargelegten Grundsätzen das FZA vor (E. 3.2 hiervor). Daraus erhellt zugleich, dass sich aus der Verfassungsbestimmung kein triftiger Grund ergeben kann, im Rahmen der Rechtsprechung vom Vertragsziel der parallelen Rechtslage im übernommenen Bereich abzuweichen (E. 3.1 hiervor).
4.
4.1. Die Beschwerdeführer berufen sich auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA. Danach dürfen die Kinder eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei unabhängig davon, ob dieser im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei eine Erwerbstätigkeit ausübt, eine solche ausgeübt hat oder erwerbslos ist, unter den gleichen Bedingungen am allgemeinen Unterricht sowie an der Lehrlings- und Berufsausbildung teilnehmen wie die Staatsangehörigen des Aufnahmestaates. Die Regelung ist Art. 12 der von der Schweiz als "Acquis communautaire" übernommenen Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 des Rates vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (ABl. L 257 vom 19. Oktober 1968 S. 2 ff.) nachgebildet und stimmt mit dieser fast wörtlich überein. Sie verschafft ihnen einen Anspruch auf einen weiteren Aufenthalt, um die Ausbildung abschliessen zu können, wenn ihnen die Rückkehr in die Heimat nicht zugemutet werden kann (Urteil des EuGH vom 15. März 1989 C-389/87 und C-390/87 Echternach und Moritz, Slg. 1989-723 Randnr. 23).
4.2. Im Urteil vom 17. September 2002 C-413/99 Baumbast gegen das Vereinigte Königreich (Slg. 2002 I-7091) hat der EuGH in Auslegung von Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 entschieden, dass die Kinder eines EU-Bürgers, die in einem Mitgliedstaat seit einem Zeitpunkt wohnen, zu dem jener ein Aufenthaltsrecht als Wanderarbeitnehmer hatte, sich dort weiter aufhalten dürfen, um am allgemeinen Unterricht teilnehmen zu können; dabei sei nicht von Belang, ob die Eltern der Kinder inzwischen geschieden wurden, nur einer von ihnen Bürger der Europäischen Union sei oder der Wanderarbeitnehmer seinerseits das Land verlassen habe bzw. die Kinder selber nicht über die EU-Bürgerschaft verfügten (Randnr. 63). Könnten die Kinder ein entsprechendes Aufenthaltsrecht geltend machen, erlaube Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 auch dem die Sorge ausübenden Elternteil - losgelöst von dessen Staatsangehörigkeit - sich bei jenen aufzuhalten, um ihnen zu ermöglichen, ihr Recht auf Bildung nach Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 wahrzunehmen (Urteil Baumbast, a.a.O., Randnr. 75, "effet utile").
In zwei Urteilen vom 23. Februar 2010 hat der EuGH seine Praxis in dem Sinn präzisiert, dass dem Elternteil, der die elterliche Sorge für die Kinder tatsächlich wahrnimmt, ein Anspruch auf Aufenthalt in Anwendung von Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 zukommt, ohne dass dieser von ausreichenden Existenzmitteln abhängig gemacht werden dürfte und der Bezug von Sozialhilfeleistungen ausgeschlossen wäre (Urteile vom 23. Februar 2010 C-310/08 und C-480/08 Ibrahim und Teixeira, Slg. 2010 I-1065 und Slg. 2010 I-1107 Randnrn. 25 ff. bzw. 34 ff.; FERDINAND WOLLENSCHLÄGER, Aktuelle Fragen der EU-Personenfreizügigkeit, in: Jahrbuch für Migrationsrecht 2009/2010, Achermann und andere [Hrsg.], S. 3 ff., dort 23 ff.). Das abgeleitete Anwesenheitsrecht des die Sorge tatsächlich wahrnehmenden Elternteils ende mit dem Eintritt der Volljährigkeit des Kindes, sofern dieses nicht weiterhin dessen Anwesenheit und Fürsorge bedürfe, um seine Ausbildung fortsetzen bzw. abschliessen zu können (Urteil Teixeira, a.a.O., Randnr. 76 ff.).
4.3. Im Urteil 2A.475/2004 vom 25. Mai 2005 hatte das Bundegericht in systemkonformer Auslegung und unter Berücksichtigung der EuGH-Urteile vom 15. März 1989 Echternach und Moritz sowie vom 17. September 2002 Baumbast weitgehend gleich entschieden, wie der EuGH es später in den Urteilen Ibrahim/Teixeira tun sollte (dort E. 4 und 5). Dabei ging es um einen deutschen Jugendlichen, der in der Schweiz seine Lehre begonnen hatte und bei der vom deutschen Vater und freizügigkeitsberechtigten Arbeitnehmer getrennt lebenden mauretanischen Mutter wohnte (Obhut), die das Sorgerecht wahrnahm und Sozialhilfe bezog. In BGE 139 II 393 ff. war über die Problematik der Sozialhilfeabhängigkeit nicht zu entscheiden, vielmehr stellte sich die Frage, ob das Recht des Kindes eines Wanderarbeitnehmers aus den Vertragsstaaten, die begonnene Ausbildung abzuschliessen, auch dann gilt, wenn die eheliche Beziehung zur drittstaatsangehörigen Mutter im Zeitpunkt der Aufnahme der Ausbildung bereits inhaltslos geworden ist und nur noch formell Bestand hatte. Das Bundesgericht verneinte dies, weil im massgebenden Zeitpunkt kein aus einem Freizügigkeitsanspruch abgeleitetes Aufenthaltsrecht mehr bestand.
4.4. Im hier zu beurteilenden Fall reiste die dominikanische Mutter (bereits) schwanger von Italien her in die Schweiz ein, wo ihr Kind zur Welt gekommen ist und von einem deutschen Arbeitnehmer anerkannt wurde. In der Folge haben die unverheirateten Eltern mit dem Kind zusammengelebt. Das Kind verfügt inzwischen über eine Niederlassungsbewilligung EU/EFTA. Der Vater lebt nach wie vor in der Schweiz und war hier ursprünglich als unselbständig Tätiger aktiv; er hat inzwischen eine neue Familie gegründet. Seinen Unterhaltspflichten dem anerkannten Kind gegenüber ist er - offenbar aus gesundheitlichen Gründen - indessen nur unvollständig nachgekommen. Das deutsche Kind hat im Rahmen von Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA freizügigkeitsrechtlich grundsätzlich einen Anspruch darauf, seine Ausbildung in der Schweiz abschliessen zu können. Dies wäre indessen bereits sichergestellt, wenn es bei seinem Vater verbliebe, zu dem (und dessen Familie) es nach Angaben in der Beschwerdeschrift eine enge Beziehung unterhält. Nach Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA haben die Familienangehörigen einer Partei, die Staatsangehörige einer Vertragspartei ist und eine Aufenthaltsbefugnis hat, das Recht, bei ihr Wohnung zu nehmen. Der Beschwerdeführer als anerkannter Sohn eines deutschen Arbeitnehmers hat bereits gestützt auf diese Bestimmung einen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch auf Familiennachzug und -gemeinschaft zu seinem Vater. Jedoch ist die Mutter sorgeberechtigt. Sie war mit dem deutschen Vater nicht verheiratet und kann deshalb nicht als "Ehegattin" im Sinne von Art. 3 Abs. 2 lit. a bzw. lit. b Anhang I FZA gelten (vgl. Urteil 2C_470/2014 vom 29. Januar 2015 E. 1.1). Aus dem Freizügigkeitsrecht ergibt sich für sie selber deshalb direkt keine geschützte Rechtsstellung, zumal der Anspruch ihres Sohnes nach Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA bei einem Verbleib beim Vater bereits sichergestellt wäre. Es kommt hinzu, dass der Beschwerdeführer zu einem Zeitpunkt in die obligatorische Schulpflicht eingetreten ist, als seine Eltern bereits nicht mehr zusammenlebten. Selbst wenn die Beschwerdeführerin mit dem Kindsvater verheiratet gewesen wäre, ergäbe sich folglich nicht, dass sie zwecks Sicherstellung des Abschlusses der Ausbildung des Kindes in der Schweiz verbleiben könnte (vgl. BGE 139 II 393 E. 4.2.2 S. 399).
5.
5.1. Gemäss Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA hat eine Person, welche die Staatsangehörigkeit einer Vertragspartei besitzt und keine Erwerbstätigkeit im Aufenthaltsstaat ausübt, ein Anwesenheitsrecht unter der Voraussetzung, dass sie über ausreichende finanzielle Mittel verfügt, so dass sie nicht auf Sozialhilfe angewiesen und sie überdies krankenversichert ist. Diese Regelung ist der Richtlinie 90/364/EWG des Rates vom 28. Juni 1990 über das Aufenthaltsrecht (ABl. L 180 vom 13. Juli 1990 S. 26 f.) nachgebildet. Anforderungen in Bezug auf die Herkunft der ausreichenden finanziellen Mittel ergeben sich weder aus Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA noch aus Art. 1 Abs. 1 der RL 90/364/EWG. Der EuGH hat daher entschieden, dass die Bedingung ausreichender finanzieller Mittel nicht dahin ausgelegt werden könne, dass der Betroffene selber über solche Mittel verfügen müsse (Urteile vom 19. Oktober 2004 C-200/02 i.S. Zhu und Chen, Slg. 2004 I-9925 Randnrn. 30 und 33; vom 23. März 2006 C-408/03 i.S. Kommission gegen Belgien, Slg. 2006 I-2647 Randnrn. 40 und 41); die finanziellen Mittel könnten auch von Familienangehörigen (Urteil Kommission gegen Belgien, a.a.O., Randnr. 42) oder sonstigen Dritten stammen (Urteil Kommission gegen Belgien, a.a.O., Randnrn. 45 ff.). Das Bundesgericht ist dieser Auslegung für die Anwendung von Art. 24 Anhang I FZA beigetreten. Es wäre in der Tat unverhältnismässig, weil nicht erforderlich, dem Kriterium der ausreichenden finanziellen Mittel, ein weiteres nach der Herkunft dieser Mittel hinzuzufügen. Die Regelung über die ökonomischen Aufenthaltsvoraussetzungen hat zum Zweck zu vermeiden, dass die öffentlichen Finanzen des Aufnahmestaates über Gebühr belastet werden, was gewährleistet ist, ohne dass es darauf ankäme, aus welcher Quelle, einer eigenen oder einer fremden, die Existenzmittel des Betroffenen stammen (BGE 135 II 265 E. 3.3 S. 269 f.).
5.2. Dem Urteil Zhu und Chen lag der Aufenthaltsanspruch eines freizügigkeitsberechtigten Kleinkindes zugrunde, das vermittelt über Familienangehörige über ausreichende finanzielle Mittel verfügte. Da ein Kleinkind seinen Aufenthaltsanspruch auf sich allein gestellt nicht wahrnehmen kann, entschied der Gerichtshof, dass unter der Voraussetzung ausreichender finanzieller Mittel auch die sorgeberechtigte drittstaatsangehörige Mutter aufenthaltsberechtigt sei (Urteil Zhu und Chen, a.a.O., Randnrn. 46 f.). Das Bundesgericht schloss sich dieser Rechtsprechung unter dem Gesichtswinkel von Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA nach einigem Zögern (vgl. das Urteil 2C_33/2007 vom 14. März 2008) in nunmehr konstanter Rechtsprechung (bisher rund zehn Fälle) an, auch wenn sie nach der Unterzeichnung des FZA am 21. Juni 1999 entstanden ist, da andernfalls das Aufenthaltsrecht des freizügigkeitsberechtigten Kindes nicht "effektiv" wahrgenommen werden könnte, mit anderen Worten der von den Vertragsparteien gewollte "effet utile" nicht bestünde (Urteil 2C_574/2010 vom 15. November 2010 E. 2.2.2 sowie zuletzt Urteil 2C_375/2014 vom 4. Februar 2015 E. 3.1-3.3 mit weiteren Hinweisen).
Der Entscheid Zhu und Chen stützt sich in seinem Wortlaut sowohl auf die Unionsbürgerschaft als auch auf die von der Schweiz mit dem FZA übernommene RL 90/364/EWG. Dabei ist zu beachten, dass die Unionsbürgerschaft erst mit dem Vertrag von Maastricht Eingang in das Primärrecht fand. Der Anspruch auf Freizügigkeit ging zu jenem Zeitpunkt sekundärrechtlich bereits über die als Marktfreiheit konzipierte Arbeitnehmerfreizügigkeit hinaus und erfasste aufgrund der schon 1990 erlassenen und von der Schweiz mit dem Abschluss des Freizügigkeitsabkommens inhaltlich übernommenen RL 90/364/EWG auch den erwerbslosen Aufenthalt. Mit der primärrechtlichen Verankerung der Unionsbürgerschaft ging eine Erweiterung auf Ansprüche einher, welche über den vorbestandenen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch hinauswiesen und der RL 90/364/EWG noch nicht zugrundelagen. So folgerte der EuGH im Urteil Zambrano (C-34/09 vom 8. März 2011, Slg. 2011 I-1177) aus der Unionsbürgerschaft, dass auch unabhängig von einem grenzüberschreitenden Sachverhalt einem Kind, das über die belgische Staatsbürgerschaft verfügt und damit Unionsbürger ist, aufgrund des Unionsrechts die Befugnis zukommt, sich in Belgien aufzuhalten, was die Anwesenheit seiner drittstaatsangehörigen Eltern notwendig macht. Für die Schweiz ist dieser Entscheid nicht massgebend (Urteile 2C_375/2014 vom 4. Februar 2015 E. 3.5 und 2C_470/2014 vom 29. Januar 2015 E. 4), genauso wenig wie die freizügigkeitsrechtlichen Erweiterungen, wie sie gestützt auf die Unionsbürgerschaft in der RL 2004/38/EG (ABl L 158 vom 30. April 2004 S. 77 ff.) verankert wurden, wie etwa der bedingungslose Anspruch auf Daueranwesenheit nach ununterbrochenem fünfjährigem (rechtmässigem) Aufenthalt (Art. 16 RL 2004/38/EG), das voraussetzungslose Aufenthaltsrecht von bis zu drei Monaten (Art. 6 RL 2004/38/EG) oder der im Vergleich zu Art. 5 Anhang I FZA verstärkte Ausweisungsschutz (vgl. Art. 28 Abs. 3 RL 2004/38/EG).
5.3. Der Beschwerdeführerin war es in der Vergangenheit über längere Zeit nicht möglich, für ihren Unterhalt und denjenigen des Beschwerdeführers aufzukommen. Teilweise beruht dies auch darauf, dass der Kindsvater seinen Unterhaltspflichten nicht oder unzureichend nachgekommen ist, so dass die Beschwerdeführerin für sich und ihren Sohn insgesamt Leistungen der Sozialhilfe im Umfang von Fr. 394'683.20 beziehen musste. Es liegt bei dieser Sachlage auf der Hand, dass die Voraussetzungen für einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA und im Sinne des Urteils Zhu und Chen nicht erfüllt sind. Die Beschwerdeführerin macht allerdings geltend, dass sie heute über eine Anstellung als Büroassistentin (ab 1. September 2014) verfüge, wofür ihr ein gutes Arbeitszeugnis ausgestellt worden sei und sie sich entsprechend aus der Sozialhilfeabhängigkeit habe lösen können. Wie es sich damit verhält, kann im vorliegenden Verfahren nicht geprüft werden, da es sich bei den genannten Vorbringen um unzulässige echte Noven handelt (E. 2.2 hiervor). Da Aufenthaltsbewilligungen gestützt auf das Freizügigkeitsabkommen keine rechtsbegründende, sondern bloss deklaratorische Bedeutung haben (BGE 136 II 329 E 2.2 S. 332 f.; 134 IV 57 E. 4 S. 58 f.), kann es sein, dass die Beschwerdeführerin zwischenzeitlich über einen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch verfügt, weil ihr Kind, für das sie sorgt, die Voraussetzungen für einen erwerbslosen Aufenthalt erfüllt. Entsprechend könnte sie, sollte die Behauptung über eine Festanstellung und die Loslösung von der Sozialhilfeabhängigkeit zutreffen und nachhaltig sein, einen freizügigkeitsrechtlichen Anspruch auf Aufenthalt haben. Dies zu prüfen wäre aber, auf Gesuch hin, Sache des Migrationsamtes des Kantons Zürich.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer berufen sich weiter auf Art. 8 EMRK. Die Europäische Menschenrechtskonvention verschafft praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen besonderen Aufenthaltstitel (vgl. BGE 139 I 330 E. 2 S. 335 ff.; 138 I 246 E. 3.2.1 S. 250; 137 I 247 E. 4.1.1 S. 249; 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.). Sie hindert die Konventionsstaaten nicht daran, die Anwesenheit auf ihrem Staatsgebiet zu regeln und den Aufenthalt ausländischer Personen unter Beachtung überwiegender Interessen des Familien- und Privatlebens gegebenenfalls auch wieder zu beenden (BGE 138 I 246 E. 3.2.1 S. 250 mit Hinweisen). Dennoch kann es das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einer ausländischen Person, deren Familienangehörige sich hier aufhalten, die Anwesenheit untersagt und damit ihr Zusammenleben vereitelt wird (BGE 139 I 330 E. 2 S. 335 ff.; 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145, 153 E. 2.1 S. 154 f.). Das entsprechende, in Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV geschützte Recht ist berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser möglich bzw. zumutbar wäre, das entsprechende Familienleben andernorts zu pflegen (vgl. BGE 116 Ib 353 E. 3c S. 357; 137 I 247 E. 4.1.2 S. 249 f.).
Der Anspruch gilt im Übrigen nicht absolut: Liegt eine aufenthaltsbeendende oder -verweigernde Massnahme im Schutz- und Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK, erweist sich diese als zulässig, falls sie gesetzlich vorgesehen ist, einem legitimen Zweck im Sinne von Art. 8 Ziff. 2 EMRK entspricht und zu dessen Realisierung in einer demokratischen Gesellschaft "notwendig" erscheint. Sowohl bei positiven wie bei negativen staatlichen Massnahmen muss im Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK jeweils ein angemessener Ausgleich zwischen den widerstreitenden Interessen des Einzelnen und jenen der Gemeinschaft beachtet werden. Nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er einen Akt bildet, der sich in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, für das wirtschaftliche Wohl des Landes und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer als nötig erweist. Die Konvention verlangt, dass die individuellen Interessen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und der öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung gegeneinander abgewogen werden (vgl. BGE 139 I 330 E. 2.2 S. 336; 135 I 143 E. 2.1 S. 147; 153 E. 2.2.1 S. 156; 122 II 1 E. 2 S. 6; 116 Ib 353 E. 3 S. 357 ff.).
6.2. Nach der Rechtsprechung hat der nicht sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil eines aufenthaltsberechtigten oder niedergelassenen ausländischen Kindes gestützt auf Art. 8 EMRK einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn er sich tadellos verhalten hat und zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Land, in welches der Ausländer vermutlich auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte (BGE 137 I 247 E. 4.2.3 S. 251). Geht es umgekehrt darum, dass der sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil seine Bewilligung einzig zur Erleichterung der Ausübung des Besuchsrechts zwischen dem Kind und dem anderen Elternteil erhältlich machen will, so ist mit noch grösserer Zurückhaltung auf eine Pflicht zu schliessen, ihm eine Bewilligung zu erteilen, als im Falle des besuchsberechtigten Ausländers, der selber, im Hinblick auf die Ausübung seines Besuchsrechts, um die Bewilligung nachsucht (BGE 137 I 247 E. 4.2.3 S. 251; vgl. auch Urteil 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.2).
6.3. Der deutsche Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz über eine Niederlassungsbewilligung und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Die Beziehung zwischen der sorgeberechtigten Beschwerdeführerin und ihm wird gelebt. Dasselbe trifft in affektiver Hinsicht auch für die Beziehung zum besuchsberechtigten Vater zu. Hingegen leistet der Vater keine Unterhaltsbeiträge, so dass eine enge wirtschaftliche Beziehung zu ihm verneint werden muss. Demgemäss lässt sich gestützt auf Art. 8 EMRK nicht folgern, dass der Beschwerdeführerin die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen wäre, damit die Beziehung des Kinds zu seinem Vater, der seinen elterlichen Pflichten nur beschränkt nachkommt, weiterhin gewahrt werden kann.
7.
7.1. Die Beschwerde erweist sich damit aufgrund der Sachlage, wie sie zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils bestand, als unbegründet. Sie ist mit Blick auf die Ausführungen in Erwägung 5 im Sinne der Erwägungen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.2. Die Beschwerdeführer ersuchen für diesen Fall, ihnen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Dem Gesuch kann hinsichtlich der Gerichtskosten entsprochen werden; die beantragte Verbeiständung fällt ausser Betracht, da der die Beschwerde unterzeichnende (substituierte) Vertreter nicht als Rechtsanwalt tätig ist. Das Bundesgericht berücksichtigt im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung grundsätzlich nur patentierte Rechtsanwälte (BGE 125 I 161 E. 3b S. 164; BERNARD CORBOZ, in: Corboz/ Wurzburger/Ferrari/Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 59 zu Art. 64 BGG mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird teilweise entsprochen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar