Fatti:
A. A._ è stato arrestato il 31 luglio 2010 a Giubiasco alla guida di un autoveicolo rubato. Il giorno seguente il Procuratore pubblico (PP) ha promosso l'accusa per i titoli di rapina, furto, subordinatamente furto d'uso, circolazione senza licenza di condurre, inosservanza dei doveri in caso di infortunio e infrazione alla legge federale sulle armi. Lo stesso giorno il Giudice dell'istruzione e dell'arresto (GIAR) ha confermato l'arresto di A._. Durante l'interrogatorio quest'ultimo ha chiesto di designargli un difensore d'ufficio e di concedergli il gratuito patrocinio. Il 2 agosto 2010, il GIAR gli ha nominato l'avvocato C._ quale difensore d'ufficio, con il beneficio del gratuito patrocinio.
B. Con scritto del 25 agosto 2010, l'avvocato B._ ha informato il GIAR d'aver assunto il patrocinio dell'arrestato, chiedendo nel contempo di confermare il gratuito patrocinio: il cambiamento sarebbe avvenuto per la perdita di fiducia nei confronti del precedente patrocinatore dovuta a un asserito disaccordo sulla strategia difensiva da seguire.
Mediante decisione del 26 agosto 2010, il GIAR ha revocato la nomina dell'avv. C._ e, con decisione del 7 settembre seguente, ritenuto l'inesistenza di motivi atti a giustificare la sostituzione del difensore, ha revocato il gratuito patrocinio. La Camera dei ricorsi penali del Tribunale d'appello (CRP), adita dall'arrestato, con giudizio del 25 ottobre 2010, ne ha respinto il gravame.
C. A._ impugna questa decisione con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiede di annullarla, nonché di concedergli l'assistenza giudiziaria e il gratuito patrocinio.
Il Ministero pubblico propone di respingere il gravame, il GIAR, rinviando alla propria decisione, e la CRP si rimettono al giudizio del Tribunale federale.
Diritto:
1. 1.1 La decisione impugnata è stata resa nell'ambito di un procedimento penale e si fonda sul CPP/TI e sulla legge ticinese del 3 giugno 2002 sul patrocinio d'ufficio e sull'assistenza giudiziaria (Lag), segnatamente sugli art. 26 e 27 concernenti l'assistenza giudiziaria e il gratuito patrocinio. Il gravame dev'essere quindi trattato come ricorso in materia penale ai sensi dell'art. 78 e segg. LTF (DTF 133 IV 335 consid. 2). La legittimazione del ricorrente è pacifica; il ricorso è tempestivo e il corso delle istanze cantonali è stato esaurito.
1.2 Di massima, la decisione, incidentale (art. 93 LTF), di non autorizzare il cambiamento del difensore d'ufficio nel quadro di un procedimento penale non costituisce una decisione comportante un pregiudizio irreparabile di natura giuridica, poiché l'interessato rimane comunque assistito da un legale che deve difendere diligentemente gli interessi del suo mandante. La circostanza che lo stesso abbia perso la fiducia nel suo patrocinatore rende certo più difficile la difesa, ma di regola non la impedisce, ricordato che il difensore, d'intesa con il suo cliente, ha comunque il compito di determinare una strategia difensiva e di attuarla. Un siffatto pregiudizio ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF risulta per contro di principio dal rifiuto dell'assistenza giudiziaria o del gratuito patrocinio (DTF 133 IV 335 consid. 4 e 5; 129 I 129 consid. 1; 126 I 207 consid. 1 e 2a e b).
Nella fattispecie il GIAR, con decisione del 26 agosto 2010, ha revocato dapprima la nomina del difensore d'ufficio e in seguito, il 7 settembre seguente, pure la concessione del gratuito patrocinio. Sotto il profilo dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF, queste decisioni comportano un pregiudizio irreparabile.
1.3 Giusta l'art. 453 cpv. 1 del Codice di diritto processuale penale svizzero, entrato in vigore il 1° gennaio 2011 (CPP), i ricorsi inoltrati contro le decisioni emanate prima di questa data sono giudicati secondo il diritto anteriore, ossia secondo il CPP/TI, e dalle autorità competenti secondo tale diritto (cfr. anche sentenza 1B_224/2010 dell'11 gennaio 2011).
2. 2.1 Il ricorrente invoca la garanzia del gratuito patrocinio di cui all'art. 29 cpv. 3 secondo periodo Cost. e l'art. 6 n. 3 lett. c CEDU, nonché l'art. 27 Lag, secondo cui il beneficio del gratuito patrocinio decade con la scelta di un nuovo patrocinatore (cpv. 1) ed è ripristinato se la sostituzione è giustificata (cpv. 2).
2.2 Nel merito, il ricorrente rileva che dopo la nomina del difensore d'ufficio, dietro sua richiesta, sua madre ha incaricato un altro legale di subentrare al patrocinatore nominato dal GIAR, essendo venuto meno il necessario e indispensabile rapporto di fiducia che deve sussistere tra difensore e accusato. Adduce che il difensore d'ufficio lo avrebbe invitato insistentemente a confessare la rapina di cui è accusato, dimostrando con ciò di non credere nella sua innocenza. Aggiunge che, dinanzi al GIAR, egli aveva indicato che quella ipotesi di reato sarebbe praticamente caduta e ch'egli nel frattempo già si trovava in stato di libertà provvisoria. Afferma che non si sarebbe in presenza di un abuso di diritto e che il cambiamento del patrocinatore non avrebbe rallentato il procedimento penale ancora nel suo stadio iniziale. Assevera che il difensore d'ufficio avrebbe insistito affinché ammettesse un reato che non avrebbe commesso, circostanza questa al suo dire pacifica poiché l'accusa sarebbe praticamente caduta e che il necessario rapporto di fiducia non sussisterebbe più. Non essendovi registrazioni dei colloqui tra lui e il difensore, egli non potrebbe sostanziare detta allegazione: rileva di non avere comunque alcun motivo per adulterare la verità, mentre la CRP avrebbe pur dovuto riconoscere che sarebbe "del tutto umano" che un professionista non voglia ammettere di avere commesso errori nell'espletamento del suo mandato.
La CRP, accertato che si è in presenza di un caso di difesa obbligatoria, ha ricordato che secondo l'art. 27 Lag il beneficio del gratuito patrocinio decade con la scelta di un nuovo patrocinatore ed è ripristinato qualora la sostituzione sia giustificata; ha pure accennato all'art. 134 cpv. 2 CPP (non ancora in vigore all'epoca), secondo cui se il rapporto di fiducia tra l'imputato e il difensore d'ufficio si deteriora notevolmente, chi dirige il procedimento designa un altro difensore d'ufficio. Essa ha ricordato che, secondo la prassi, la sostituzione è ammessa se per motivi oggettivi non può più essere garantita una corretta tutela degli interessi del patrocinato, un semplice disaccordo di tipo personale non essendo sufficiente, e rilevato che occorre sostanziare i motivi per i quali il rapporto di fiducia sarebbe venuto meno. I giudici cantonali, fondandosi sulla prassi e la dottrina, hanno ritenuto che in concreto il ricorrente non ha sostanziato le ragioni delle sue asserite divergenze, limitandosi a invocare generici motivi di contrasto sulla strategia difensiva da seguire.
La Corte cantonale ha precisato che il difensore d'ufficio nelle sue osservazioni ha affermato d'aver avuto due colloqui con il ricorrente, il quale gli ha comunicato la sua estraneità ai fatti rimproveratigli e "l'insopportabilità dello stato di detenzione". Egli non avrebbe avvertito un venir meno del rapporto di fiducia durante questi colloqui e che la decisione di affidare il mandato a un altro legale sarebbe stata molto verosimilmente presa non dal ricorrente, ma dalla di lui madre. Detto patrocinatore ha inoltre contestato che vi fosse un accordo sulla strategia difensiva da seguire, poiché non vedeva come si poteva parlare di strategia in quello stadio del procedimento, quando l'interessato contestava recisamente ogni sua partecipazione all'episodio e quando si attendevano ancora i risultati delle indagini.
2.3 Anche nel gravame in esame il ricorrente si limita ad addurre affermazioni del tutto generiche. Certo, sebbene l'autorità debba tener conto dei desideri dell'interessato, un cambiamento del difensore d'ufficio può essere ammesso soltanto qualora sussistano motivi obiettivi che facciano dubitare di un'adeguata difesa dell'accusato da parte del patrocinatore d'ufficio (DTF 131 I 350 consid. 4.1; 120 Ia 48 consid. 2b/bb pag. 51 seg.; 116 Ia 102 consid. 4b/aa; 114 Ia 101 consid. 3). Inoltre, quando non si è in presenza di circostanze eccezionali, l'indebolimento della relazione di fiducia non impedisce di massima una difesa efficace (cfr. DTF 133 IV 335 consid. 4 pag. 339).
Contrariamente all'assunto ricorsuale, mal si comprende quale interesse avrebbe potuto avere il difensore d'ufficio nell'insistere perché il ricorrente confessasse un reato di cui contestava la commissione, quando ancora attendeva i risultati delle indagini. D'altra parte, nelle osservazioni al ricorso, il PP rileva che se l'accusa per il reato di rapina è destinata a cadere, nel corso dell'inchiesta contro il ricorrente sono state promosse ulteriori gravi accuse, basate anche su ampie ammissioni. In effetti, il ricorrente non indica alcun motivo oggettivo per il quale il difensore d'ufficio, avvocato navigato, ricordati i doveri di diligenza professionale che incombono ai patrocinatori, avrebbe dovuto adottare l'asserito modo di agire, che invero sarebbe assai incomprensibile. Non sono quindi ravvisabili indizi concreti e oggettivi che avvalorerebbero l'assunto ricorsuale e che dimostrerebbero una trascuranza dei diritti di difesa del ricorrente o un grave errore di patrocinio (DTF 131 I 350 consid. 4.1 e 4.2 con riferimenti anche alla prassi della Corte europea dei diritti dell'uomo). Ricordato che di massima non sussiste un diritto al cambiamento dell'avvocato d'ufficio, ne consegue che, in relazione all'asserito vizio, neppure reso verosimile, la valutazione delle prove esperita dalla Corte cantonale non è affatto insostenibile e quindi non è arbitraria (sulla nozione di arbitrio vedi DTF 136 I 316 consid. 2.2.2; 134 II 124 consid. 4.1). La circostanza, sulla quale insiste il ricorrente, che il procedimento si trovi ancora nella fase iniziale, non è quindi decisiva.
3. Il ricorso dev'essere pertanto respinto. La domanda di assistenza giudiziaria e di gratuito patrocinio dev'essere respinta, ritenuto che le conclusioni del gravame erano fin dall'inizio prive di probabilità di successo. Vista la situazione economica del ricorrente, si può nondimeno rinunciare a prelevare spese giudiziarie (art. 64 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Non si prelevano spese giudiziarie.
4. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, al Ministero pubblico, all'Ufficio del giudice dei provvedimenti coercitivi e alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.