Sachverhalt:
A. Durch Urteil des Superior Court of California, County of Santa Barbara, vom 22. August 2002 wurde die Ehe von Y._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) geschieden. Unter anderem wurde Y._ verpflichtet, an den Unterhalt der beiden Kinder S._, geboren 1993, und T._, geboren 1994, monatliche Beiträge von insgesamt 1'085 US Dollar zu zahlen. Bereits im Oktober 2000 war X._ mit den Kindern in die Schweiz gezogen.
In der Folge ging Y._ eine neue Ehe ein und kam im März 2003 seinerseits mit seiner Ehefrau in die Schweiz. Nachdem er eine Abänderung des Scheidungsurteils verlangt hatte, schlossen er und X._ am 29. April 2004 eine Vereinbarung über die elterliche Sorge (die X._ zugewiesen werden solle), das (Y._ einzuräumende) Besuchsrecht und die Unterhaltsbeiträge für die Kinder. Die Vereinbarung, worin sich Y._ verpflichtete, mit Wirkung ab 1. Mai 2004 an den Unterhalt von S._ und T._ monatlich je Fr. 730.-- beizutragen, wurde in dem ebenfalls vom 29. April 2004 datierten Urteil der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirks B._ genehmigt.
B. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht B._ Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. August 2002 bzw. des Abänderungsentscheids vom 29. April 2004 und verlangte eine Erhöhung der den Kindern zustehenden Unterhaltsbeiträge.
Die Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirks B._ hiess diese Abänderungsklage am 27. Dezember 2005 insofern gut, als sie Y._ mit Wirkung ab 1. November 2004 verpflichtete, an den Unterhalt von S._ monatliche Beiträge von Fr. 1'050.-- und an denjenigen von T._ solche von Fr. 890.--, je zuzüglich allfälliger Kinderzulagen, zu zahlen. Sie legte fest, dass die Unterhaltsbeiträge jedem Kind bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus, geschuldet seien.
Gegen diesen Entscheid erhob Y._ Berufung, worauf das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 2. November 2007 die Unterhaltsbeiträge für jedes der beiden Kinder auf monatlich Fr. 970.-- für die Zeit vom 1. Januar 2005 bis zum 31. März 2006 und monatlich Fr. 730.-- für die Zeit ab 1. April 2006 festsetzte (Dispositiv-Ziffer 1). Den einzelrichterlichen Entscheid änderte es ferner auch hinsichtlich des Besuchsrechts ab (Dispositiv-Ziffer 2).
C. X._ führt mit Eingabe vom 6. Dezember 2007 Beschwerde in Zivilsachen und verlangt, Dispositiv-Ziffer 1 des obergerichtlichen Entscheids aufzuheben und Y._ (Beschwerdegegner) in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils vom 27. Dezember 2005 zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder monatlich insgesamt Fr. 1'940.-- (Fr. 1'050.-- für S._ und Fr. 890.-- für T._) beizutragen; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Die Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen (Art. 134 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 286 Abs. 2 ZGB) ist eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur. Der für die Zulassung der Beschwerde in einem Fall der vorliegenden Art erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist angesichts der Begehren, die im kantonalen Verfahren strittig geblieben waren (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 3 BGG), offensichtlich erreicht. Das Urteil des Obergerichts ist ein letztinstanzlicher Endentscheid, so dass auf die Beschwerde auch aus der Sicht von Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG einzutreten ist.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG).
2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (BGE 133 III 545 E. 2.2 S. 550; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG, die dem Richter geradezu in die Augen springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
3. Das Obergericht setzte die Kinderunterhaltsbeiträge mit Wirkung ab 1. Januar 2005 fest, wogegen die Einzelrichterin diese mit Wirkung ab 1. November 2004 zugesprochen hatte. Die Beschwerdeführerin, die die Bestätigung der Kinderunterhaltsbeiträge, wie sie im erstinstanzlichen Urteil vom 27. Dezember 2005 festgesetzt worden seien, verlangt, tut nicht dar, inwiefern die Zusprechung der Unterhaltsbeiträge ab einem späteren Zeitpunkt bundesrechtswidrig sein soll. Eine Verletzung von Bundesrecht wird ferner auch insofern nicht dargetan, als das Obergericht im Gegensatz zur Einzelrichterin für beide Kinder gleich hohe Beträge festgesetzt und ausserdem von der Erklärung abgesehen hat, die Unterhaltsbeiträge seien bei jedem Kind bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, auch über die Mündigkeit hinaus, geschuldet. Soweit auch diese Punkte angefochten werden sollten, ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
Für den Zeitraum vom 1. Januar 2005 bis zum 31. März 2006 haben beide kantonalen Instanzen Unterhaltsbeiträge von monatlich gesamthaft Fr. 1'940.-- zugesprochen - die Einzelrichterin Fr. 1'050.-- für S._ und Fr. 890.-- für T._, das Obergericht Fr. 970.-- für jedes der beiden Kinder. Gegenstand der Beschwerde ist demnach einzig die Frage, ob das Obergericht bei der Festsetzung der Höhe der für die Zeit ab 1. April 2006 zugesprochenen Unterhaltsbeiträge gegen Bundesrecht verstossen habe.
4. Das Obergericht hält dafür, dass es für die Zeit ab April 2006 bei den Unterhaltsbeiträgen bleibe, wie sie im (Abänderungs-)Entscheid der Einzelrichterin am Bezirksgericht B._ vom 29. April 2004 festgelegt worden seien (monatlich Fr. 730.-- für jedes Kind), da die wirtschaftlichen Verhältnisse bzw. die finanzielle Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners seit April 2006 im Vergleich zu jenem Zeitpunkt sich nicht wesentlich verbessert hätten. Die Vorinstanz räumt ein, dass der im März 2006 vollzogene Umzug des Beschwerdegegners von der Schweiz in die Vereinigten Staaten einen Abänderungsgrund darstellen könnte. Dass der Beschwerdegegner aus dem Geschäft, das er dort aufbaue, zunächst ein geringeres Einkommen erziele als zuvor in der Schweiz, sei nachvollziehbar. Die dazu ins Recht gelegten Unterlagen seien indessen wenig aussagekräftig, zumal der Buchhalter in einem Begleitschreiben erkläre, der Beschwerdegegner habe entschieden, gewisse Daten nicht in die Einnahmen- und Ausgabenrechnung einfliessen zu lassen. Da somit nicht sämtliche Geschäftsvorgänge von finanzieller Relevanz Eingang in die eingereichten Unterlagen gefunden zu haben schienen, seien diese nicht geeignet, die vom Beschwerdegegner geltend gemachte Einkommensreduktion ab 1. April 2006 und damit eine verminderte Leistungsfähigkeit darzutun. Unbelegt geblieben seien im Wesentlichen sodann auch die Behauptungen des Beschwerdegegners zu seinem Bedarf ab April 2006. Für die Zeit ab April 2006 sei daher nach wie vor auf dessen finanzielle Verhältnisse in der Periode Januar 2005 bis März 2006 abzustellen. Bei einem Tätigkeitsgrad von 120 % habe der Beschwerdegegner damals im Monat durchschnittlich Fr. 5'181.-- erzielt, doch sei ihm angesichts der Dauer der aufzuerlegenden Unterhaltspflicht ein derart hohes Arbeitspensum nicht länger zuzumuten. Es sei deshalb von dem einem 100 %-Pensum entsprechenden Einkommen von Fr. 4'317.-- und einem Bedarf von Fr. 2'671.-- (Mittelwert 2005 und 2006) auszugehen. Das Obergericht hält ausserdem fest, dass im Übrigen dem Beschwerdegegner ab dem 1. April 2008 ein hypothetisches Einkommen auf der Basis seines zuletzt in der Schweiz erzielten Einkommens (bei einer 100 %-Tätigkeit) anzurechnen wäre. An die Ausnützung der Erwerbsfähigkeit des Unterhaltsschuldners seien besonders hohe Anforderungen zu stellen und der Beschwerdegegner habe seine Erwerbstätigkeit in der Schweiz freiwillig aufgegeben. Wenn sich die Ehefrau des Beschwerdegegners wegen der behaupteten Krankheit in der Schweiz nicht zu integrieren vermocht habe und sie gänzlich arbeitsunfähig gewesen sei, habe der Umzug in die Vereinigten Staaten an deren geltend gemachten Erwerbsunfähigkeit nichts geändert. Der Beschwerdegegner anerkenne denn auch, dass es ihm rechtlich möglich gewesen wäre, in der Schweiz zu bleiben, womit er gehalten gewesen wäre, seine Erwerbskraft hier maximal auszuschöpfen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, die nach Art. 280 Abs. 2 ZGB für die Bemessung der Kinderunterhaltsbeiträge geltende Untersuchungsmaxime missachtet zu haben: Die Vorinstanz habe sich damit begnügt, die vom Beschwerdegegner zum Beweis des geltend gemachten Einkommensrückganges eingereichten Unterlagen als nicht schlüssig zu bezeichnen, und von einer Aufforderung an den Beschwerdegegner, eine vollständige Zusammenstellung der Einnahmen und Ausgaben sowie ein Budget und eine Steuererklärung für das Jahr 2006 einzureichen, abgesehen. Auch hätte sie den Beschwerdegegner befragen können und müssen, um sich ein eigenes Bild über dessen wirtschaftliches Fortkommen zu machen und die Lücken bei den vorhandenen Zahlen zu schliessen. Es könne unter den gegebenen Umständen nicht gesagt werden, das Obergericht habe die wirtschaftlichen Verhältnisse mit der "faktisch möglichen Genauigkeit" abgeklärt.
5.2 Es trifft zu, dass der angerufene Verfahrensgrundsatz die Behörde verpflichtet, von sich aus alle entscheidwesentlichen Elemente in Betracht zu ziehen und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben. Indessen verkennt die Beschwerdeführerin, dass diese Pflicht die Beteiligten nicht davon entbindet, durch Hinweise zum Sachverhalt oder Bezeichnung von Beweisen am Verfahren mitzuwirken (BGE 130 I 180 E. 3.2 S. 183 f. mit Hinweisen; vgl. auch BGE 133 III 507 E. 5.4 S. 511). Die Beschwerdeführerin, die nicht erklärt, sie habe im kantonalen Verfahren geltend gemacht, der Beschwerdegegner vermöge (bei einem ordentlichen Arbeitspensum) in den Vereinigten Staaten mehr zu verdienen als zuvor in der Schweiz, bringt solches auch in der Beschwerde nicht vor. Ebenso wenig legt sie dar, dass sie im kantonalen Verfahren die Beweismassnahmen beantragt hätte, deren fehlende Anordnung sie nun als Verletzung der Untersuchungsmaxime rügt. Es ist unter diesen Umständen davon auszugehen, dass sie ihrer Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen ist. Von einer Missachtung der Untersuchungsmaxime durch das Obergericht kann deshalb keine Rede sein.
6. 6.1 Sodann beanstandet die Beschwerdeführerin die Ermittlung des dem Beschwerdegegner angerechneten hypothetischen Einkommens: Wenn das Obergericht auf der Basis der Periode Januar 2005 bis März 2006 und eines Pensums von 100 % auf ein durchschnittliches Nettoeinkommen von Fr. 4'317.-- im Monat abgestellt habe, sei unberücksichtigt geblieben, dass der Beschwerdegegner von November 2004 bis März 2006 seine unselbständige Erwerbstätigkeit kontinuierlich in eine selbständige überführt habe, wobei ihm letztere weniger eingebracht habe. Bei der Annahme eines hypothetischen Einkommens gehe es darum, auf Seiten des Pflichtigen ein zumutbares höheres Einkommen einzusetzen. Es sei dabei vom höchsten aktenkundigen Einkommen auszugehen, weil dieses am verlässlichsten das Potential des Unterhaltspflichtigen an Arbeitskraft aufzuzeigen vermöge. Das gelte hier um so mehr, als der Beschwerdegegner nach seinen eigenen Aussagen die unselbständige Tätigkeit freiwillig aufgegeben habe. Die freiwillige Aufgabe einer verhältnismässig lukrativen Erwerbstätigkeit zugunsten einer weniger einträglichen Tätigkeit dürfe nicht mit der Anrechnung eines tieferen hypothetischen Einkommens honoriert werden. Konkret hätte die Vorinstanz allein auf das Einkommen abstellen dürfen, das der Beschwerdegegner als Arbeitnehmer bis Februar 2005 erzielt und das, umgerechnet auf ein 100 %-Pensum, Fr. 5'000.-- betragen habe. Das Obergericht habe zudem Art. 285 Abs. 1 ZGB missachtet, indem es zu Unrecht die Leistung von Überstunden bzw. eine Mehrarbeit, die dem Beschwerdegegner zumuten seien, unberücksichtigt gelassen habe. Nachdem der Beschwerdegegner während Jahren aus eigenem Antrieb eine Mehrbelastung auf sich genommen habe, gehe es nicht an, ihn nach einem freiwilligen Wechsel zu einer weniger einträglichen Erwerbstätigkeit plötzlich davon zu entbinden.
6.2 Ob einem Ehegatten ein hypothetisches Einkommen zugemutet werden kann, ist Rechtsfrage, in welcher Höhe ein solches tatsächlich als möglich erscheint, dagegen Tatfrage (BGE 128 III 4 E. 4c/bb S. 7). Beruhen Annahmen der kantonalen Instanz über hypothetische Geschehensabläufe auf Schlussfolgerungen aus konkreten Anhaltspunkten, lassen sie sich einzig mit der Rüge willkürlicher Beweiswürdigung anfechten. Als Gegenstand einer Rechtsfrage sind demgegenüber Schlussfolgerungen, die ausschliesslich auf allgemeiner Lebenserfahrung beruhen, freier Prüfung durch das Bundesgericht zugänglich (dazu BGE 126 III 10 E. 2b S. 12 mit Hinweis).
6.2.1 Die obergerichtliche Festsetzung des dem Beschwerdegegner angerechneten hypothetischen Einkommens beruht auf einer Würdigung der Erwerbseinnahmen in den letzten Jahren. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was diese Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten als willkürlich erscheinen liesse.
6.2.2 In der Regel kann von einem Unterhaltspflichtigen kein Arbeitspensum von mehr als 100 % erwartet werden. Von diesem Grundsatz kann jedoch insbesondere dann abgewichen werden, wenn die Möglichkeit einer Nebenbeschäftigung tatsächlich besteht und diese dem Unterhaltspflichtigen auch zugemutet werden kann. Letzteres hängt von den Umständen des einzelnen Falles ab (Urteil des Bundesgerichts vom 7. März 2002 [5P.418/2001], E. 5c, besprochen in: FamPra.ch 2002 S. 578 ff.). Die Frage der Zumutbarkeit einer Nebenbeschäftigung über eine vollzeitliche Arbeitstätigkeit hinaus ist mithin eine solche des Ermessens. Ermessensentscheide kantonaler Instanzen überprüft das Bundesgericht an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn Umstände nicht in Betracht gezogen worden sind, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 132 III 49 E. 2.1 S. 51; 130 III 571 E. 4.3 S. 576, mit Hinweisen).
Das Obergericht hält dafür, dass dem Beschwerdegegner auf die Dauer kein 120 %-Arbeitspensum zuzumuten sei. Unter Hinweis auf Stephan Wullschleger (in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 29 zu Art. 285 ZGB) hebt es insbesondere hervor, dass die Unterhaltsverpflichtung gegenüber seinen beiden Kindern noch mehrere Jahre andauern werde. Dass die Vorinstanz mit dieser Auffassung einen falschen Gebrauch des ihr zustehenden Ermessens gemacht oder auf andere Weise Bundesrecht verletzt hätte, ist mit dem von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang Vorgebrachten nicht dargetan.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegen Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG), und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden und dem Beschwerdegegner somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel