Sachverhalt:
A. Die Stiftung pensionskasse pro, Schwyz, meldete der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Schweizerische Sozialpartner-Stiftung für die Auffangeinrichtung gemäss Artikel 60 BVG), Zürich, mit Schreiben vom 3. Januar 2011 die Auflösung des Anschlusses der Firma M._ GmbH auf den 31. Oktober 2010. Am 17. Februar 2011 forderte die Auffangeinrichtung BVG die M._ GmbH auf, sich innert zweier Monate einer registrierten Vorsorgeeinrichtung anzuschliessen. Falls man bis zum 17. April 2011 nicht im Besitz der Kopie einer rechtsgültig unterschriebenen Anschlussvereinbarung sei, sehe man sich gezwungen, den gesetzlich vorgeschriebenen Zwangsanschluss vorzunehmen. Die eingeschriebene Sendung wurde nicht abgeholt und von der Post an die Auffangeinrichtung BVG retourniert. Mit Verfügung vom 1. Juni 2011 schloss diese die M._ GmbH rückwirkend auf den 1. November 2010 an.
B. Die M._ GmbH erhob am 4. Juli 2011 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und beantragte die Aufhebung der Verfügung. Zur Begründung brachte sie vor, sie habe "dieser Tage" mit der Allvor Sammelstiftung, Freienbach, einen neuen Vertrag abgeschlossen und die Prämien ab 1. Januar 2011 bezahlt. Es bestehe darum kein Raum für einen Zwangsanschluss an die Auffangeinrichtung. Das in der Anschlussverfügung erwähnte Schreiben vom 17. Februar 2011 sei ihr nicht bekannt. Mit Entscheid vom 9. Januar 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es befristete den Anschluss der M._ GmbH an die Auffangeinrichtung BVG bis 31. Dezember 2010 (Dispositiv-Ziffer 2).
C. Die Auffangeinrichtung BVG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides. Es sei festzustellen, dass der Anschluss der M._ GmbH auch nach dem 31. Dezember 2010 unbefristet bestehe.
Die M._ GmbH schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Anschluss der Beschwerdegegnerin an die Beschwerdeführerin zu Recht bis zum 31. Dezember 2010 befristete. Die Vorinstanz entschied dies mit der Begründung, eine Doppelversicherung sei nach der Rechtsprechung (Urteil 9C_924/2009 vom 31. Mai 2010 E. 3.3) unzulässig. Der verfügte Zwangsanschluss sei aufgrund des neuen, nach dem 1. Juni 2011 zustande gekommenen Vorsorgevertrages mit der Allvor Sammelstiftung bis 31. Dezember 2010 zu befristen.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Beschwerdegegnerin habe sich erst nach Erhalt der Anschlussverfügung vom 1. Juni 2011 rückwirkend auf den 1. Januar 2011 erneut einer registrierten Vorsorgeeinrichtung angeschlossen. Eine Doppelversicherung sei zwar unzulässig, die Vorinstanz habe aber nicht begründet, warum der spätere Anschluss an die Sammelstiftung Vorrang gegenüber dem früheren Anschluss an die Beschwerdeführerin haben soll. Da das Versicherungsverhältnis nicht wie in den Anschlussbedingungen vorgesehen gekündigt worden sei, sei der spätere Anschluss an die Sammelstiftung nicht rechtskonform zustande gekommen.
Die Beschwerdegegnerin stellt sich auf den Standpunkt, da eine Doppelversicherung ausgeschlossen sei, könne ein Zwangsanschluss an die Beschwerdeführerin nur für die Monate November und Dezember 2010 ein Thema sein. Die Anschlussbedingungen habe sie weder gekannt noch anerkannt. Nach dem Zustandekommen eines neuen Vertrages mit der Sammelstiftung auf den 1. Januar 2011 habe kein Raum für eine Kündigung gegenüber der Beschwerdeführerin und die Einhaltung einer Kündigungsfrist bestanden. Der vorinstanzliche Entscheid sei korrekt.
2. 2.1 Ein - wie hier letztinstanzlich unbestritten - rechtmässig zwangsweise verfügter Anschluss an die Auffangeinrichtung BVG ist nicht einfach formlos durch einen (allenfalls rückwirkenden) Neuanschluss an eine andere Vorsorgeeinrichtung auflösbar, sondern ordnungsgemäss aufzukündigen. Der Auffangeinrichtung kommen bezüglich des Zwangsanschlusses hoheitliche Rechte zu, und sie hat insofern Behördeneigenschaft, als sie in Erfüllung ihr übertragener öffentlich-rechtlicher Aufgaben des Bundes tätig ist. Damit steht ihr die Befugnis zu, einzelne Rechtsverhältnisse durch Verfügung einseitig zu gestalten. Dies betrifft aber nur den Zwangsanschluss, das Beitragsinkasso, die Regelung des Zuschlages bei ausstehenden Beiträgen sowie die Verzugszinse. Die sonstigen Rechtsbeziehungen der Auffangeinrichtung und insbesondere die Verträge sind hingegen privatrechtlicher Natur (HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 704 N. 1862 und 1864 mit Hinweisen; s.a. JÜRG BRÜHWILER, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2018 Rz. 48). Die abgesehen von den genannten Ausnahmen privatrechtliche Natur ihrer Rechtsbeziehungen stellt die Auffangeinrichtung gleich mit den registrierten Vorsorgeeinrichtungen. Sie hat die Funktion einer solchen zur Durchführung des Obligatoriums für bestimmte Personenkreise (Art. 60 Abs. 1 BVG). Wie bei einer gewöhnlichen registrierten Vorsorgeeinrichtung erfolgt die Finanzierung dieser Vorsorge durch die Beteiligten (Art. 72 BVG). Die Auffangeinrichtung ist mithin an sich eine Sammelstiftung, für die allerdings bestimmte Sondervorschriften gelten (RIEMER/RIEMER-KAFKA, Das Recht der beruflichen Vorsorge in der Schweiz, 2. Aufl. 2006, S. 83 N. 36).
2.2 Auf den konkreten Streitfall bezogen heisst dies, dass die Beschwerdegegnerin die ihr vor Abschluss eines neuen Vorsorgevertrages mit der Sammelstiftung nachgewiesenermassen mitgeteilten Modalitäten für eine allfällige Auflösung des rechtsgültig zustande gekommenen Anschlusses bei der Beschwerdeführerin einzuhalten hat. Mit der Anschlussverfügung vom 1. Juni 2011 wurden ihr die Anschlussbedingungen zugestellt und in Verfügungsdispositiv-Ziffer 2 festgehalten, dass die Rechte und Pflichten aus dem Anschluss sich aus den auf dem Zusatzblatt befindlichen Anschlussbedingungen ergeben, und diese einen integrierenden Bestandteil der Verfügung bilden. Danach kann der Anschluss beidseitig jeweils per Ende Jahr unter Einhaltung einer sechsmonatigen Frist gekündigt werden (wobei weitere Voraussetzungen erfüllt sein müssen). Eine solche Regelung in der Anschlussverfügung ist zulässig. Weil die Verfügung vom 1. Juni 2011 der Beschwerdegegnerin, von ihr unbestritten, korrekt eröffnet wurde, ist der Einwand, sie habe diese Anschlussbedingungen weder gekannt noch anerkannt, nicht weiter zu erörtern. Da die Beschwerdegegnerin die für die Auflösung massgebenden Regelungen nicht eingehalten und die Beschwerdeführerin im Unterschied zum Verfahren 9C_924/2009 keinen Verzicht auf die sechsmonatige Kündigungsfrist erklärt bzw. - zumindest in den bisherigen Verfahren - keiner Verkürzung der Anschlussdauer zugestimmt hat, bestand das Anschlussverhältnis mit der Beschwerdeführerin nach dem 31. Dezember 2010 rechtlich weiter. Die vorinstanzliche Befristung gemäss Dispositiv-Ziffer 2 ist daher nach dem Gesagten nicht rechtmässig.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauter Organisation ist der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheides des Bundesverwaltungsgerichts, Abteilung III, vom 9. Januar 2013 wird aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz