Faits:
A. A.a L._ a travaillé à partir de janvier 2001 en qualité d'administratrice chargée de la gestion et direction de la société X._ SA. Le 7 mars 2001, elle a été victime d'un accident de la circulation, le véhicule dans lequel elle avait pris place comme passagère ayant été heurté à l'arrière par une autre voiture. Elle a subi plusieurs hospitalisations, notamment à l'Hôpital Y._ (du 2 au 20 avril 2001), à la Clinique Z._ (du 3 au 23 mai 2001) et à la Clinique W._ (du 28 février au 22 mars 2002).
La Bâloise, Compagnie d'assurances, a confié des expertises aux docteurs R._, spécialiste en neurologie (rapport du 19 juillet 2002), U._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 10 janvier 2004), et E._, spécialiste en neurologie (rapport du 6 mai 2005 et rapport complémentaire du 25 août 2005). Elle a alloué des indemnités journalières pour une incapacité de travail entière du 10 mars 2001 au 22 mars 2002, et une incapacité de travail de 25 % du 23 mars au 31 décembre 2002, date à partir de laquelle elle a interrompu le versement. Par décision du 17 juillet 2006, confirmée sur opposition le 2 novembre 2006, elle a maintenu la suppression du droit aux prestations à partir du 1er janvier 2003, motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident survenu le 7 mars 2001 et les troubles persistant au-delà du 31 décembre 2002. Par jugement du 2 octobre 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par L._ contre la décision sur opposition. Par arrêt du 3 juillet 2008, le Tribunal fédéral a rejeté le recours qu'elle a interjeté contre ce jugement. Sur le vu des conclusions des experts R._, U._ et E._, il a relevé que la problématique d'ordre psychique présentée par l'assurée ne pouvait pas être considérée comme une partie du tableau clinique typique d'un traumatisme du type «coup du lapin» mais comme une atteinte à la santé psychique propre, distincte du tableau clinique en question, et nié que les critères objectifs déterminants en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident soient réalisés dans le cas particulier.
A.b Le 16 mars 2004, L._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans un rapport du 1er juin 2004, le docteur A._, spécialiste FMH en médecine interne et maladies rhumatismales, a posé le diagnostic ayant des répercussions sur la capacité de travail de status après whiplash, en indiquant que la patiente présentait une incapacité de travail de 100 % depuis mars 2001. Le 31 janvier 2006, le docteur U._ a avisé l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) qu'il n'avait pas revu l'assurée depuis les examens effectués en novembre et décembre 2003. Dans un rapport du 9 février 2006, le docteur E._ a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de whiplash associated disorders, de réaction à un facteur de stress sévère, de fibromyalgie, d'état anxio-dépressif et de migraines sans aura. Il attestait une incapacité de travail de 100 % à partir du 7 mars 2001 en tant que directrice.
L'office AI a confié la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire à la Clinique V._, laquelle a été effectuée par les docteurs M._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique (anamnèse et examen clinique), S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (examen psychiatrique du 2 mai 2006), D._, spécialiste FMH en neurologie (consilium neurologique du 1er mai 2006), la psychologue O._ (examen psychologique) et les neuropsychologues I._ et N._ (examen neuropsychologique du 3 mai 2006). Dans un rapport d'expertise du 7 juin 2006, le docteur M._, expert principal, a posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de troubles dissociatifs multiples ([CIM-10] F44) chez une personnalité limite inférieure à traits caractériels (F60.8) et dépendants (F60.7) et de «Late whiplash syndrome» avec «Whiplash associated disorders», essentiellement cervicalgies, céphalées, troubles mnésiques, cognitifs et conatifs (S13.4). Sur le plan professionnel et toutes pathologies confondues, il concluait, essentiellement sur la base des examens psychiatrique, neuropsychologique et psychologique, à une incapacité de travail de 70 % au moins, quelle que soit l'activité envisagée.
Dans un avis médical du 14 août 2006, les médecins du SMR ont relevé qu'en ce qui concerne l'aspect psychiatrique, les différents psychiatres et experts consultés avaient tous évoqué des diagnostics différents, interprétant les plaintes de l'assurée soit comme un trouble somatoforme, un état de stress post-traumatique, un trouble dissociatif, un trouble de l'adaptation mixte ou un état anxiodépressif. D'un point de vue objectif, il était dès lors impossible de déterminer quelles conclusions de psychiatre il fallait retenir, attendu qu'aucun n'expliquait pourquoi les diagnostics de leurs confrères ne pouvaient être retenus. Aussi proposaient-ils qu'une expertise soit confiée au docteur P._.
Par lettre du 15 août 2006, l'office AI a communiqué à L._ une copie de l'avis médical SMR du 14 août 2006, en l'informant qu'il était nécessaire de procéder à une expertise médicale, qui serait effectuée par le docteur P._. Le 22 août 2006, celle-ci a répondu qu'elle refusait de se soumettre à une nouvelle expertise confiée à un médecin qui n'était pas un spécialiste en psychotraumatologie et dont les conclusions étaient connues par avance, refus qu'elle a confirmé le 4 septembre 2006 après avoir été mise en demeure le 30 août 2006 de collaborer à l'instruction.
Par décision du 31 octobre 2006, l'office AI, se prononçant en l'état du dossier, a rejeté la demande.
B. Le 1er décembre 2006, L._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction de première instance étant invitée à reconnaître son droit à une rente entière d'invalidité dès mars 2002. A titre préalable, elle requérait l'audition des docteurs U._, E._, M._, S._ et D._.
Dans une ordonnance du 4 décembre 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales, relevant que la décision de l'office AI de soumettre l'assurée à une nouvelle expertise psychiatrique était fondée attendu que malgré le nombre d'expertises au dossier la cause n'était pas en état d'être jugée en ce qui concerne l'évaluation de son invalidité, a ordonné une surexpertise psychiatrique, qu'il a confiée au docteur C._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie et médecin adjoint au service de psychiatrie adulte, Département de psychiatrie de l'Hôpital T._, dont il a fixé la mission. Dans ce cadre, des consultations ont eu lieu les 21 mai, 5 et 12 juin 2008. Les psychologues F._ et B._ ont effectué un bilan neuropsychologique les 13 et 16 juin 2008, qu'ils ont consigné dans un rapport du 23 juin 2008. Le docteur C._, dans un rapport d'expertise psychiatrique du 17 novembre 2008, a retenu le diagnostic principal d'autres modifications durables de la personnalité ([CIM-10] F62.8), qui définissait un changement de la personnalité n'étant imputable ni à «une expérience de catastrophe», ni à «une maladie psychiatrique». Ce changement était survenu dans les suites de l'accident de 2001, ce qui n'impliquait pas que le whiplash syndrome en rende compte totalement. Le trouble de modification de la personnalité était d'un degré sévère et jouait un rôle majeur dans l'incapacité de travail de l'assurée. Les manifestations cliniques les plus évidentes et les plus invalidantes en étaient l'apathie, le désintérêt, l'apragmatisme, le détachement affectif, la labilité émotionnelle, l'existence d'états de dépersonnalisation et/ou de déréalisation, ainsi que les troubles cognitifs sévères, manifestes dans les entretiens et clairement mis en évidence par l'examen neuropsychologique. L'assurée présentait aussi une symptomatologie dépressive et anxieuse (fatigue et asthénie, anhédonie, baisse de l'estime de soi, baisse de l'appétit et perte de la libido, crises anxieuses aiguës, etc.), qui se superposait partiellement aux manifestations cliniques relevant de modification de la personnalité, pour donner un tableau clinique particulièrement complexe. Les graves perturbations de son état psychique, ainsi que les altérations sévères de ses capacités cognitives, l'empêchaient d'exercer une quelconque activité lucrative. C'est à la suite de l'accident de mars 2001 qu'étaient progressivement apparus les changements marqués de personnalité et les sévères altérations cognitives qui étaient la cause principale de son incapacité de travail.
Dans ses observations du 15 janvier 2009, l'office AI, produisant un avis SMR du 12 décembre 2008, a contesté que le rapport d'expertise psychiatrique du 17 novembre 2008 ait pleine valeur probante, attendu que l'expert ne s'était pas prononcé sur les éléments soulevés par les médecins du SMR dans leur avis du 14 août 2006 et qu'il n'expliquait pas les raisons pour lesquelles il avait conclu à une incapacité de travail totale. Dans ses déterminations du 16 janvier 2009, L._ a relevé que le docteur C._ avait retenu la date de mars 2001 comme début de l'incapacité de travail totale et qu'elle avait donc droit à une rente entière d'invalidité dès mars 2002.
Par jugement du 24 février 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision de l'office AI du 31 octobre 2006 (ch. 3 du dispositif), constaté que L._ avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er mars 2002 pour une durée indéterminée (ch. 4 du dispositif), condamné l'office AI à lui verser un montant de 2'500 fr. à titre de dépens (ch. 5 du dispositif) et mis à sa charge un émolument de 500 fr. (ch. 6 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Il relève que selon l'expert C._ l'incapacité totale de travail remonte à mars 2001, que le délai de carence échoit en mars 2002 et que la rente ne saurait dès lors être allouée que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande, soit dès mars 2003. L'ordonnance du 28 mai 2009 admettant sa requête d'effet suspensif a été maintenue par ordonnance de la IIe Cour de droit social du 16 octobre 2009.
La juridiction cantonale s'en remet à justice en ce qui concerne l'allocation de la rente pour une période antérieure aux douze mois précédant le dépôt de la demande. Dans sa réponse du 18 mai 2009, L._ déclare qu'elle ne s'oppose pas à l'allocation de la rente dès le 1er mars 2003. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le point de savoir si, comme l'ont admis les premiers juges, l'intimée a droit à une rente d'invalidité, singulièrement a trait aux incidences sur sa capacité de travail et de gain des atteintes à la santé qu'elle présente sur le plan psychiatrique et à la date à partir de laquelle la rente doit lui être allouée.
2.1 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé (diagnostic, etc.), la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398).
2.2 En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (ATF 125 V 352 consid. 3b/aa et les références). En ce qui concerne, par ailleurs, la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 352 consid. 3a, 122 V 160 consid. 1c et les références).
3. Les premiers juges ont retenu que l'intimée présentait une incapacité totale de travail depuis mars 2001 pour des raisons psychiques et qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès mars 2002.
3.1 Ils ont reconnu une pleine valeur probante à l'expertise du docteur C._ du 17 novembre 2008. Ecartant les griefs de l'office AI lui reprochant de ne s'être pas prononcé sur les éléments soulevés par les médecins du SMR dans leur avis du 14 août 2006, ils ont relevé que dans son rapport, l'expert y exposait sa position, de manière claire et circonstanciée, expliquant pourquoi il retenait tel diagnostic par rapport à ses confrères plutôt que tel autre, pourquoi il s'écartait de la position d'un autre expert ou pourquoi il la rejoignait. Le rapport du 17 novembre 2008 comportait des anamnèses détaillées, tenait compte des plaintes de l'assurée, posait des diagnostics clairs ainsi que des conclusions dûment motivées, lesquelles emportaient conviction. Aucun autre médecin spécialiste ne les mettait sérieusement en doute ou soulevait des arguments faisant douter de la valeur probante de ce rapport. Cela n'est pas remis en cause devant la Cour de céans.
3.2 Ainsi, faisant siennes les conclusions de l'expert judiciaire, la juridiction cantonale a retenu le diagnostic d'autres modifications durables de la personnalité posé par le docteur C._. Les manifestations cliniques de cet état les plus évidentes et les plus invalidantes en étaient l'apathie, le désintérêt, l'apragmatisme, le détachement affectif, la labilité émotionnelle, l'existence d'états de dépersonnalisation et/ou de déréalisation, ainsi que des troubles cognitifs sévères, manifestes dans les entretiens et clairement mis en évidence par l'examen neuropsychologique. L'intimée présentait également une symptomatologie dépressive et anxieuse (fatigue et asthénie, anhédonie, baisse de l'estime de soi, baisse de l'appétit et perte de la libido, crise anxieuse aiguë, etc.), qui se superposait partiellement aux manifestations cliniques relevant de la modification de la personnalité, pour donner un tableau particulièrement complexe. Toutefois, le diagnostic d'épisode dépressif ne saurait rendre compte de l'ensemble du tableau clinique et des particularités évolutives de la psychopathologie. Le trouble de modification de la personnalité était d'un degré sévère. Il jouait un rôle majeur dans l'incapacité de travail de l'assurée et avait valeur de maladie. Le symptôme douloureux qui avait longtemps été en premier plan des manifestations cliniques et des plaintes de l'intimée était "actuellement" au deuxième plan. C'étaient en effet les perturbations des fonctions cognitives (attention, concentration, mémoire, fonctions exécutives, calcul et écriture) et les modifications profondes de la personnalité (apathie, désintérêt, détachement émotionnel, labilité affective, tendance à l'irritabilité et à l'agressivité, états transitoires de dépersonnalisation et de déréalisation) qui étaient cause de l'incapacité de travail. Celle-ci était totale depuis mars 2001, date de l'accident à la suite duquel étaient progressivement apparus les changements marqués de personnalité et les sévères altérations cognitives qui étaient la cause principale de l'incapacité totale de travail de l'assurée, étant relevé que l'ensemble des experts qui s'étaient prononcés était d'accord sur le degré d'incapacité de travail, évalué entre 70 % au moins et 100 %.
Les griefs soulevés par le recourant en instance fédérale contre le jugement cantonal ne permettent pas de retenir que les constatations de fait ci-dessus des premiers juges soient manifestement inexactes ou aient été établies de manière contraire au droit, ni que les conclusions juridiques qu'ils en ont tirées soient contraires au droit fédéral. En effet, ainsi qu'ils l'ont expliqué de manière convaincante, l'expert judiciaire a parfaitement exécuté la mission qui était la sienne selon l'ordonnance d'expertise du 4 décembre 2007, en donnant les raisons pour lesquelles il avait posé le diagnostic principal d'autres modifications durables de la personnalité et conclu à une incapacité de travail totale, dont il ressort que les changements marqués de personnalité et les sévères altérations cognitives apparues progressivement à la suite de l'accident de mars 2001 en étaient la cause principale. Le recourant, qui fonde l'essentiel de son argumentation devant la Cour de céans sur la notion économique de l'invalidité, entend tirer argument de l'exigibilité d'une activité adaptée sur le marché du travail et du taux d'invalidité à prendre en compte. Pour autant, il ne démontre pas que des éléments objectivement vérifiables et suffisamment pertinents auraient été ignorés dans le cadre de l'expertise judiciaire. A la question de savoir si l'assurée pourrait exercer une activité lucrative d'un point de vue psychique, notamment si les activités de directrice d'une PME ou de secrétaire étaient encore exigibles, le docteur C._ a répondu par la négative, en expliquant que "les graves perturbations de l'état psychique de (l'intimée), ainsi que les altérations sévères de ses capacités cognitives, l'empêch(ai)ent d'exercer une quelconque activité lucrative" (cf. page 16 du rapport du 17 novembre 2008). La réadaptation a la priorité sur la rente dont l'octroi n'entre en ligne de compte que si une réadaptation suffisante est impossible (art. 7 al. 1 LPGA; ATF 121 V 190 consid. 4a et c p. 191 s.; arrêt 9C_186/2009 du 29 juin 2009 consid. 3.2). Ainsi, selon l'art. 28 al. 1 let. a LAI (teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2008), l'assuré a droit à une rente à condition que sa capacité de gain ne puisse pas être rétablie, maintenue ou améliorée par des mesures de réadaptation raisonnablement exigibles. Les premiers juges ont constaté sur la base de l'expertise du docteur U._ du 10 janvier 2004 qu'il n'était pas réaliste d'attendre d'un traitement psychiatrique une amélioration de la capacité de travail de l'intimée. Au regard de cette constatation de fait qui n'est pas manifestement inexacte, le jugement attaqué n'est pas non plus critiquable sous cet angle. Il est bien clair qu'il s'agit de la situation de l'assurée à ce moment-là. Libre est l'office AI d'examiner à nouveau à l'avenir si sa capacité de travail et de gain peut être améliorée par un traitement psychiatrique et, cas échéant, de procéder selon l'art. 21 al. 4 LPGA.
Le jugement attaqué, qui retient une incapacité totale de travail (et de gain) pour des raisons psychiques et donc une invalidité de 100 % sur le plan psychiatrique, est dès lors conforme au droit fédéral (comparaison en pour-cent; ATF 114 V 310 consid. 3a p. 313, 104 V 135 consid. 2b p. 136 s.). Le recours est mal fondé de ce chef.
3.3 Attendu que l'incapacité de travail est totale depuis mars 2001 (supra, consid. 3.2), l'invalidité est réputée survenue en mars 2002 (art. 4 al. 2 LAI), mois au cours duquel le droit de l'intimée à une rente d'invalidité a pris naissance (art. 29 al. 1 let. b LAI, teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002).
L'intimée a présenté sa demande de prestations le 16 mars 2004, soit plus de douze mois après la naissance du droit à la rente. Au regard de l'art. 48 al. 2 LAI (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), dont la première phrase prévoyait que la rente n'est allouée que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande, le début du versement différé de la rente remonte au 1er mars 2003.
Les premiers juges ont alloué la rente à l'intimée dès le 1er mars 2002, soit pour une période antérieure aux douze mois précédant le dépôt de la demande. Aux termes de l'art. 48 al. 2 deuxième phrase LAI, (les prestations) sont allouées pour une période antérieure si l'assuré ne pouvait pas connaître les faits ouvrant droit à prestations et qu'il présente sa demande dans les douze mois dès le moment où il en a eu connaissance. Selon la jurisprudence (ATF 110 V 114 consid. 2c p. 119), les faits ouvrant droit à prestations que l'assuré ne pouvait pas connaître sont ceux qui n'étaient objectivement pas reconnaissables, mais non ceux dont l'assuré ne pouvait subjectivement pas saisir la portée. En l'espèce, où la connaissance du diagnostic concret n'est pas déterminante pour le droit à la rente (comp. ATF 120 V 89 consid. 4b p. 94), il y a lieu de retenir que les symptômes que présentait l'intimée et l'état dans lequel elle se trouvait à la suite de l'accident du 7 mars 2001 ayant entraîné une incapacité totale de travail étaient objectivement reconnaissables et qu'elle n'est donc pas dans la situation où elle ne pouvait connaître les faits ouvrant droit à prestations. L'allocation de la rente pour une période antérieure aux douze mois précédant le dépôt de la demande n'entre dès lors pas en considération. Ainsi, le jugement attaqué, dans la mesure où il alloue à l'intimée une rente entière d'invalidité dès le 1er mars 2002 au lieu du 1er mars 2003, est erroné. Sur ce point, le recours est bien fondé.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires sont répartis entre les parties pour trois quarts à la charge du recourant et un quart à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée, représentée par un avocat, a droit à une indemnité de dépens réduite à la charge de l'office recourant pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le chiffre 4 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 24 février 2009 est réformé en ce sens que L._ a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er mars 2003. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 375 fr. à la charge du recourant et pour 125 fr. à la charge de l'intimée.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 2'100 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner