Faits:
A.
X._, ressortissant kosovar né en 1980, est arrivé en Suisse en janvier 1999. La demande d'asile qu'il y a déposée a été rejetée en juillet 1999; il a toutefois été autorisé à rester en Suisse jusqu'au 31 mai 2000 au bénéfice d'une admission à titre collectif. Après avoir quitté notre pays le 26 mai 2000 en bénéficiant de l'aide au retour, il y est revenu illégalement en juin 2001. Le 26 juillet 2002, il a été condamné à deux mois d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans et à une amende de 300 fr. pour violation grave d'une règle de la circulation routière pour ne pas avoir observé les signaux, vol d'usage d'un véhicule, délit et contravention à la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers et à la loi cantonale sur le contrôle des habitants.
X._ s'est marié en 2004 avec une ressortissante suisse et a dès lors obtenu une autorisation de séjour annuelle, qui a été régulièrement prolongée jusqu'en 2009.
Les conjoints se sont séparés en 2009. L'épouse a accouché d'un enfant en 1999, dont il a été établi par jugement en 2011 qu'il n'était pas le fils de X._. Le divorce des époux a été prononcé en 2012.
B.
Par décision du 24 janvier 2012, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) a refusé à X._ la prolongation de son autorisation de séjour en raison de son parcours professionnel, comprenant des périodes de chômage et d'accident, de la perception de l'aide sociale et de sa situation financière obérée. Il a par ailleurs considéré que l'intéressé ne se trouvait pas dans une situation d'extrême gravité ni ne présentait de raisons personnelles majeures justifiant la prolongation de son séjour en Suisse.
Le 29 mai 2012, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département) a rejeté le recours déposé par X._ contre la décision du Service des migrations. Le Département a retenu que l'intéressé parlait le français, l'allemand et le suisse-allemand, et que malgré une longue période de chômage, il avait réalisé un gain intermédiaire attestant un souci d'indépendance financière. L'accident qu'il avait subi ne pouvait lui être reproché, pas plus que l'aide sociale, perçue durant deux mois seulement et pour un faible montant. En outre, plusieurs personnes témoignaient de la bonne intégration de X._, qui respectait l'ordre juridique suisse depuis sa condamnation pénale de 2002. En revanche, le Département a confirmé que son fort endettement parlait en défaveur d'une intégration réussie et que la poursuite du séjour en Suisse ne s'imposait ni en raison d'une situation personnelle d'extrême gravité, ni pour des raisons personnelles majeures.
Le 2 juillet 2012, X._ a recouru devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision du Département. Il a soutenu que l'existence des poursuites et actes de défaut de biens à son encontre ne constituait pas un élément permettant de nier son intégration et que leur montant avait diminué depuis le 6 février 2012. Il a relevé qu'à la suite de la conclusion d'un nouveau contrat de travail le 13 juin 2012, son salaire faisait l'objet d'une saisie mensuelle de 1'000 fr. et que l'entier de son 13 ème salaire était saisi, de sorte qu'il serait en mesure d'assainir sa situation financière sur une période de 6.4 ans.
Par arrêt du 17 avril 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et transmis le dossier de la cause au Service des migrations pour fixation d'un nouveau délai de départ.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision du Tribunal cantonal et de lui octroyer une prolongation de son autorisation de séjour, voire une autorisation de séjour conditionnelle, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité inférieure ou au Service des migrations pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invités à se déterminer, le Tribunal cantonal, le Département, le Service des migrations et l'Office fédéral des migrations n'ont pas formulé d'observations et ont conclu au rejet du recours.
Par ordonnance du 23 mai 2013, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1.
1.1. En vertu de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'espèce, la vie conjugale du recourant avec une ressortissante suisse ayant cessé d'exister, celui-ci ne peut déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 42 al. 1 LEtr ni de l'art. 49 LEtr. Comme il a été admis que l'union conjugale avait duré plus de trois ans, l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, dont le recourant se prévaut, pourrait lui conférer un tel droit. En pareilles circonstances, il convient d'admettre un droit de recourir sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités cantonales ont nié la réalisation des conditions de l'art. 50 LEtr ressortissant au fond et non à la recevabilité (ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287).
1.2. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); il a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il est en principe recevable en tant que recours en matière de droit public.
2.
Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. L'exception rendant les faits et moyens de preuve nouveaux recevables est réalisée lorsque la décision de l'autorité précédente justifie, pour la première fois, de les invoquer. Tel est en particulier le cas de l'allégation des faits de procédure nécessaires pour établir que l'autorité précédente a violé le droit d'être entendu du recourant (cf. arrêts 2C_293/2013 du 21 juin 2013 consid. 2; 6B_496/2012 du 18 avril 2013 consid. 7.2 et les arrêts cités).
3.
Le recourant invoque une violation du droit d'être entendu tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. A l'appui de ce grief, il relève que le Tribunal cantonal a notamment fondé sa décision sur une pièce versée au dossier postérieurement au dépôt de son recours sans qu'il n'ait pu en prendre connaissance ni a fortiori qu'il n'ait pu s'exprimer à son sujet. Il s'agit d'un document intitulé " Informations débiteur " établi par l'Office des poursuites le 13 août 2012, portant sur la situation financière du recourant pour la période du 1 er janvier 2004 au 13 août 2012.
3.1. Ce grief doit être examiné en premier lieu. En effet, compte tenu du caractère formel du droit d'être entendu, si la violation devait être avérée, elle entraînerait l'annulation de l'arrêt attaqué quelles que soient les chances de succès du recours sur le fond (ATF 137 I 195 consid. 2.2 p. 197; 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285).
3.2. Le droit d'être entendu est déterminé en premier lieu par les dispositions cantonales de procédure; dans tous les cas, l'autorité cantonale doit cependant respecter les garanties minimales déduites directement de l'art. 29 al. 2 Cst. En l'espèce, le recourant ne se prévaut pas du droit cantonal ni ne soutient que celui-ci contiendrait des garanties supérieures à l'art. 29 al. 2 Cst. Partant, les griefs soulevés doivent être examinés exclusivement à la lumière des principes déduits directement de l'art. 29 al. 2 Cst., dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (ATF 135 I 279 consid. 2.2 p. 281; 127 III 19 consid. 3 p. 194; 125 I 257 consid. 3a p. 259; arrêts 2D_46/2013 du 16 janvier 2013 consid. 4.1; 1C_572/2011 du 3 avril 2012 consid. 2.1).
3.3. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. n'oblige pas en tous les cas l'autorité à renseigner les parties sur chaque production de pièces; il peut suffire, selon les circonstances, que celle-ci tienne le dossier à leur disposition (ATF 112 Ia 198 consid. 2a p. 202; arrêt 1C_153/2009 du 3 décembre 2009 consid. 2.2). Toutefois, l'autorité qui verse au dossier de nouvelles pièces, que le recourant ne connaît pas et ne pouvait pas connaître et dont elle entend se prévaloir dans son jugement, est tenue d'en aviser les parties (ATF 132 V 387 consid. 3.1 p. 388; 124 II 132 consid. 2b p. 137; arrêt 2C_341/2008 du 30 octobre 2008 consid. 5.1), sans égard au fait de savoir si ces pièces sont de nature à influer effectivement sur le sort de la cause (ATF 138 I 484 consid. 2.1; ATF 132 V 387 consid. 3.2 p. 389; arrêts 2C_1093/2012 du 26 avril 2013 consid. 2.2; 1C_214/2012 du 4 décembre 2012 consid. 2.1 et 1C_88/2011 du 15 juin 2011 consid. 3.4). Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une pièce nouvellement versée au dossier ou une prise de position contiennent des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Ce droit de réplique vaut pour toutes les procédures judiciaires. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (ATF 138 I 484 consid. 2.1 p. 485; 137 I 195 consid. 2.3.1 p. 197 et les références citées; arrêt 2C_293/2013 du 21 juin 2013 consid. 3.2 dont la publication est prévue). Dans ce sens, l'art. 29 al. 2 Cst. confère un véritable droit de réplique, même dans les domaines qui n'entrent pas dans le champ d'application de l'art. 6 CEDH (ATF 138 I 154 consid. 2.3 p. 156 s.; arrêt 2D_46/2012 du 16 janvier 2013 consid. 4.2.1; arrêt 2D_77/2010 du 19 juillet 2011 consid. 2.2 et 2.3, in SJ 2012 I 61).
3.4. En l'espèce, il ressort du dossier et de la chronologie des faits que la pièce " Informations débiteur " établie le 13 août 2012 par l'Office des poursuites, dont le recourant se plaint qu'elle n'a pas été portée à sa connaissance, a été versée au dossier postérieurement au dépôt de son recours, daté du 2 juillet 2012.
Ce document semble faire partie des pièces que le Département a produites au Tribunal cantonal en annexe à ses observations du 21 août 2012. Dans ces observations, le Département ne mentionne toutefois pas l'existence de ce document et ne s'en prévaut pas, même implicitement. Cette correspondance n'est pas accompagnée d'une liste de pièces qui aurait pu attirer l'attention du recourant sur l'existence du document en question. Par ailleurs, aucun élément du dossier ne démontre ou ne permet de conclure que le Tribunal cantonal a transmis cette pièce au recourant ou l'a informé de son versement au dossier. Cette pièce a pourtant été citée dans l'arrêt attaqué, puisqu'elle est venue se substituer, dans l'examen par le Tribunal cantonal de l'évolution de la situation financière du recourant, à la pièce " Informations débiteur " du 18 juin 2012 produite par le recourant lui-même, mais expressément écartée par le Tribunal cantonal en raison d'une page manquante. Finalement, il y a également lieu de relever que le Tribunal cantonal n'a formulé aucune observation sur la mise à disposition ou la communication de cette pièce lorsqu'il a été invité par le Tribunal fédéral à se prononcer sur le recours.
L'on peut donc déduire de ce qui précède que le recourant n'a pas été informé par le Tribunal cantonal de la production de cette pièce, qu'il n'a pas été invité à se déterminer sur elle et qu'il n'a pas non plus eu l'occasion de le faire. Il ne pouvait d'ailleurs pas raisonnablement envisager qu'une telle pièce avait été ajoutée au dossier, dans la mesure où son propre dossier contenait déjà plusieurs documents de l'Office des poursuites le concernant: un document " Informations débiteur " du 5 janvier 2012, un extrait du registre des poursuites du 6 février 2012 et un document " Informations débiteur " du 18 juin 2012.
3.5. Au vu de ce qui précède, force est de constater qu'en n'avisant pas le recourant de l'existence de ce document et en conséquence en le privant de l'occasion de se prononcer sur celui-ci, le Tribunal cantonal a violé l'art. 29 al. 2 Cst.
3.6. Ce vice ne pouvant pas être réparé devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 137 I 195 consid. 2.7 p. 199; arrêts 2C_1093/2013 du 26 avril 2013 consid. 2.4; 2C_560/2012 du 23 janvier 2013 consid. 4.6; 5A_535/2012 du 6 décembre 2012 consid. 3), il entraîne l'admission du recours. L'arrêt attaqué doit dès lors être annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il donne l'occasion au recourant de se déterminer sur le document " Informations débiteur " établi par l'Office des poursuites le 13 août 2012 avant de statuer à nouveau.
4.
Au vu de l'issue du litige, il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Le recourant peut prétendre à des dépens, d'un montant arrêté à 2'000 fr., à la charge de la République et canton de Neuchâtel (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 2'000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'économie du canton de Neuchâtel, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 4 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Vuadens