Faits:
A. A.a Après avoir exercé la profession de journaliste, A._ a travaillé à partir du 15 octobre 2002 auprès de l'Office X._ en qualité de rédacteur socioprofessionnel, puis comme chef de projet dès le 1er mars 2003. A ce titre, il a été affilié pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de prévoyance du personnel de l'instruction publique et des fonctionnaires du canton de Genève (ci-après: CIA). Après avoir subi plusieurs périodes d'incapacité de travail, l'intéressé a démissionné de son poste avec effet au 31 mars 2004. Au bénéfice d'un délai-cadre du 1er avril 2004 au 31 mars 2006, il a perçu des indemnités journalières de l'assurance-chômage.
Désirant travailler à nouveau en qualité de journaliste indépendant, A._ s'est assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pensions en faveur des journalistes (ci-après: CPJ) avec effet au 1er juillet 2004.
A.b Le 19 juillet 2007, A._ a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI), en indiquant qu'il souffrait d'un trouble bipolaire et qu'il avait été en incapacité de travail totale du 12 août au 30 août 2003, du 14 janvier au 30 janvier 2004, du 13 avril au 13 juin 2004 et du 20 juillet au 30 novembre 2004, et à 50 % du 17 novembre au 9 décembre 2003 et du 2 février au 25 février 2004. Après avoir consulté son Service médical régional (SMR) et le docteur U._, médecin adjoint agrégé auprès du Département de psychiatrie de l'Hôpital Y._ et médecin traitant, l'office AI a retenu que la capacité de travail de l'assuré était considérablement restreinte depuis la fin du mois d'août 2004. Par projet de décision du 24 juillet 2008, l'office AI a reconnu le droit de A._ à un quart de rente d'invalidité à compter du 1er août 2005, puis à une rente entière dès le 1er septembre 2006, sa capacité de travail étant de 60 % depuis la fin du mois d'août 2004 jusqu'au 15 mai 2006 et de 30 % dès le 16 mai 2006. Selon décisions du 12 septembre 2008 et du 23 octobre 2008, l'administration a confirmé son projet d'acceptation de rente. Par communication du 12 octobre 2009, elle a maintenu le droit de l'intéressé à une rente entière d'invalidité sur la base d'un degré d'invalidité de 70 %.
A.c Le 6 novembre 2008 A._ a présenté une demande de prestations à la CPJ, que celle-ci a refusée, au motif que la cause et les symptômes de l'invalidité existaient déjà au moment de son affiliation auprès d'elle, le 1er juillet 2004 (cf. courrier du 22 décembre 2008). De son côté, la Fondation suisse des partenaires sociaux pour l'Institution supplétive (ci-après: Fondation Institution supplétive LPP) a admis sa compétence et donné acte à l'assuré qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité pour lui et ses deux enfants (cf. courrier du 4 mai 2009). A._ s'est également adressé à la CIA, qui a dénié le droit de l'intéressé à toute prestation (courrier du 27 avril 2009).
B. Par écriture du 6 novembre 2009, A._ a assigné la CIA, la CPJ et la Fondation Institution supplétive LPP devant le Tribunal cantonal des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Par jugement du 17 novembre 2011, la Cour de justice a astreint la CPJ à verser à A._ un quart de rente d'invalidité pour la période du 1er août 2005 au 31 août 2006 et une rente entière à partir du 1er septembre 2006, pour lui et ses deux enfants, en lui renvoyant la cause pour qu'elle fixe le montant des rentes. Le Tribunal cantonal a également reconnu l'obligation de prester de la Fondation Institution supplétive LPP et l'a invitée à coordonner le montant de ses rentes avec celles de la CPJ. La demande de l'assuré a été rejetée pour le surplus.
C. C.a La CPJ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement (cause 9C_59/2012), dont elle demande l'annulation. Elle conclut à ce que la CIA soit tenue à verser des prestations, les frais et dépens devant être supportés solidairement par les intimés.
C.b A._ forme également un recours en matière de droit public (cause 9C_53/2012) contre le jugement cantonal, dont il demande principalement l'annulation; sous suite de frais et dépens, il requiert que la CIA soit tenue à prestations, "tant obligatoires que surobligatoires (...) à partir du 1er août 2005, tant pour la rente d'invalidité que pour les rentes d'enfant d'invalide". Subsidiairement, il conclut à ce que l'arrêt soit confirmé et que la CIA, la CPJ et la Fondation Institution supplétive LPP soient déboutées de toutes leurs conclusions; plus subsidiairement encore, il demande qu'il soit donné acte à la Fondation Institution supplétive LPP "de ce qu'elle reconnaît devoir les prestations de l'assurance obligatoire LPP en cas d'invalidité en faveur de A._ et de ses deux enfants, à partir du 1er août 2005".
C.c Invitée dans le cadre de la procédure 9C_59/2012 à se déterminer sur le recours formé par la CPJ, la CIA a conclu au rejet du recours interjeté par A._ et, de manière implicite, à celui formé par la CPJ (réponse du 20 novembre 2012). Également invité à se prononcer sur le recours de la CPJ, A._ a conclu à titre principal à son admission, au sens des conclusions prises dans son propre recours (réponse du 27 novembre 2012). La Fondation Institution supplétive LPP, quant à elle, a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, opposent les mêmes parties et concernent le même complexe de faits, de sorte qu'il se justifie de joindre les causes (ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60 s., 128 V 192 consid. 1 p. 194, 123 V 214 consid. 1 p. 215 s.).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours dont il est saisi (ATF 135 III 329 consid. 1 p. 331).
2.2 A._ a formé recours (9C_53/2012) en déclarant se satisfaire de l'arrêt entrepris. Il a indiqué recourir, car il ne voulait pas prendre le risque en cas de recours de la CPJ et si celle-ci obtenait gain de cause, qu'aucune institution de prévoyance ne soit finalement tenue de verser des prestations, en l'absence de conclusions prises à l'encontre de la CIA. En réalité, le dépôt - comme en l'espèce - d'un recours pour le cas où la partie adverse dépose également un recours, doit être compris comme un recours conditionnel qui, en tant que tel, est irrecevable (ATF 134 III 332 consid. 2 p. 333 s.).
3. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Une constatation incomplète des faits correspond à une violation du droit au sens de cette disposition (arrêt A.214/2008 du 9 juillet 2008 consid. 1.2, non publié in ATF 134 III 570).
4. 4.1 Il n'est pas contesté que le trouble bipolaire, dont souffre A._, se trouve à l'origine d'incapacités de travail survenues durant son affiliation à la CIA, puis à la CPJ, et de l'invalidité reconnue ultérieurement par les organes de l'assurance-invalidité. Est en revanche litigieuse, la question de savoir si la CPJ est tenue à prestation en raison de cette invalidité.
4.2 Tel que l'on peut comprendre le jugement cantonal, les premiers juges se sont fondés sur l'appréciation de l'office AI pour retenir que l'incapacité de travail déterminante au sens de l'art. 23 LPP avait débuté à la fin du mois d'août 2004. Constatant qu'il s'était écoulé plus de trois mois entre la fin de l'affiliation de A._ à la CIA, le 30 avril 2004, et la fin du mois d'août 2004, ils ont nié l'existence d'un lien de connexité temporelle entre les incapacités de travail survenues durant la période d'affiliation auprès de la CIA et l'invalidité ultérieure. Affilié depuis le 1er juillet 2004 à la CPJ, A._ pouvait prétendre des prestations de cette institution.
La CPJ invoque le caractère insoutenable des décisions de l'office AI. Selon elle, l'assuré présentait déjà depuis le 12 août 2003 une incapacité de travail de plus de 50 % en moyenne sur une année. L'incapacité de travail constatée à cette époque n'ayant connu aucune interruption notable, l'existence d'un lien de connexité avec l'invalidité subséquente devait ainsi être reconnue. La CIA, à l'exclusion de la CPJ, devait, par conséquent, être tenue de verser des prestations.
De son côté, la CIA est d'avis que A._ n'a subi aucune incapacité de travail de longue durée pendant son affiliation auprès d'elle. Il n'y aurait aucune raison de s'écarter de l'appréciation de l'office AI. A l'appui de son argumentation, la CIA mentionne que A._ a perçu des indemnités journalières de chômage du 1er avril 2004 au 31 mars 2006 et qu'il disposait d'une pleine capacité de travail au moment de la résiliation des rapports de service, ainsi que lors de son affiliation auprès de la CPJ. Par ailleurs, selon l'extrait du compte individuel AVS de A._ du 25 octobre 2007, des revenus lui auraient été versés par Z._ SA d'un montant de 11'277 fr. en août 2004 et de 7'984 fr. en décembre 2004, ainsi que par W._ SA pour un montant de 4'471 fr. également en décembre 2004. A._ aurait, en outre, déclaré avoir cherché un emploi à 100 % dans la presse et la communication de janvier à août 2005. Le dossier de l'assurance-invalidité ne contiendrait aucun certificat médical pour l'année 2005. Enfin, A._ aurait maintenu l'exercice d'une activité professionnelle à des taux variables à l'issue de sa période de chômage, soit dès la fin du mois de mars 2006.
Selon A._, les incapacités de travail, certifiées depuis le mois d'août 2002, qui ont toutes la même cause, se trouvent dans une relation de connexité temporelle et matérielle avec l'invalidité. Il allègue par ailleurs que ses revenus ont rencontré une baisse importante en 2004 (31'071 fr. 30), 2005 (24'147 fr.) et 2006 (46'779 fr.) par rapport aux années précédentes (121'071,30 fr. en 2002 et 109'136,70 fr. en 2003). Il conviendrait ainsi d'apprécier les revenus dont parle la CIA à la lumière des constatations du docteur U._.
5. 5.1 L'art. 23 LPP, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004, disposait qu'ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui sont invalides à raison de 50 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. L'art. 23 let. a LPP (nouvelle teneur selon le ch. I de la novelle du 3 octobre 2003 [1re révision LPP], en vigueur depuis le 1er janvier 2005) dispose qu'ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité.
5.2 Le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire suppose que l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, soit survenue pendant la durée du rapport de prévoyance (y compris la prolongation prévue à l'art. 10 al. 3 LPP), conformément au principe d'assurance (art. 23 LPP ancienne teneur, art. 23 let. a LPP nouvelle teneur; ATF 135 V 13 consid. 2.6 p. 17, 134 V 20 consid. 3 p. 21 s., 123 V 262 consid. 1c p. 264). L'événement assuré est uniquement la survenance d'une incapacité de travail d'une certaine importance, indépendamment du point de savoir à partir de quel moment et dans quelle mesure un droit à une prestation d'invalidité est né. La qualité d'assuré doit exister au moment de la survenance de l'incapacité de travail, mais pas nécessairement lors de l'apparition ou de l'aggravation de l'invalidité (ATF 136 V 65 consid. 3.1 p. 68, 123 V 262 consid. 1a p. 263). Ces principes trouvent aussi application en matière de prévoyance plus étendue, si le règlement de l'institution de prévoyance ne prévoit rien d'autre (ATF 136 V 65 consid. 3.2 p. 69, 123 V 262 consid. 1b p. 264, 120 V 112 consid. 2b p. 116 s.).
5.3 La détermination du moment de la survenance de l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, est une question de fait. En revanche, les aspects sur lesquels doit se fonder la décision relative au moment où survient une incapacité de travail déterminante relève du droit (arrêts 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.3, in SVR 2011 BVG n° 14 p. 51 et 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.2, in SVR 2008 BVG n° 34 p. 143).
5.4 Après la dissolution du rapport de prévoyance, pour que l'ancienne institution de prévoyance reste tenue à prestations, il faut non seulement que l'incapacité de travail ait débuté à une époque où l'assuré lui était affilié, mais encore qu'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité une relation d'étroite connexité. La connexité doit être à la fois matérielle et temporelle (ATF 130 V 270 consid. 4.1 p. 275). Il y a connexité matérielle si l'affection à l'origine de l'invalidité est la même que celle qui s'est déjà manifestée durant le rapport de prévoyance (et qui a entraîné une incapacité de travail). La connexité temporelle implique qu'il ne se soit pas écoulé une longue interruption de l'incapacité de travail; elle est rompue si, pendant une certaine période qui peut varier en fonction des circonstances du cas, l'assuré est à nouveau apte à travailler. L'institution de prévoyance ne saurait, en effet, répondre de rechutes lointaines plusieurs années après que l'assuré a recouvré sa capacité de travail (ATF 123 V 262 consid. 1c p. 264; 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117).
La relation de connexité temporelle doit être examinée au regard de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, tels la nature de l'atteinte à la santé, le pronostic médical, ainsi que les motifs qui ont conduit la personne assurée à reprendre ou ne pas reprendre une activité lucrative. En ce qui concerne la durée de la capacité de travail interrompant le rapport de connexité temporelle, on peut s'inspirer de la règle de l'art. 88a al. 1 RAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2011) comme principe directeur. Conformément à cette disposition, il y a lieu de prendre en compte une amélioration de la capacité de gain ayant une influence sur le droit à des prestations lorsqu'elle a duré trois mois, sans interruption notable, et sans qu'une complication prochaine soit à craindre. Lorsque l'intéressé dispose à nouveau d'une pleine capacité de travail pendant au moins trois mois et qu'il apparaît ainsi probable que la capacité de gain s'est rétablie de manière durable, il existe un indice important en faveur de l'interruption du rapport de connexité temporelle. Il en va différemment lorsque l'activité en question, d'une durée éventuellement plus longue que trois mois, doit être considérée comme une tentative de réinsertion ou repose de manière déterminante sur des considérations sociales de l'employeur et qu'une réadaptation durable apparaissait peu probable (ATF 134 V 20 consid. 3.2.1 p. 22 et les références; 123 V 262 consid. 1c p. 264; 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117; arrêt 9C_768/2008 du 15 mai 2009, consid. 3).
5.5 Pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'art. 23 LPP, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là ou le champ d'activités habituelles qui est déterminante (ATF 134 V 20 consid. 3.2.2 p. 23 et les références), la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là devant être de 20 % au moins (arrêts 9C_748/2010 du 20 mai 2011 consid. 2.5, 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.1 et 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.3).
6. 6.1 Concernant le début de l'incapacité de travail fixé par les organes de l'assurance-invalidité à la fin du mois d'août 2004, on relèvera que selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, lorsque l'annonce pour obtenir des prestations de l'assurance-invalidité a été faite tardivement - comme c'est le cas en l'espèce -, il n'y a aucune raison, du point de vue de l'assurance-invalidité, d'examiner l'évolution de la capacité de travail au-delà de la période précédant le dépôt de la demande prévue par l'art. 48 al. 2 LAI dans sa teneur en vigueur entre le 1er janvier 2003 et le 31 décembre 2007 (arrêts 9C_414/2007 du 25 juillet 2008 et I 204/04 du 16 septembre 2004; MARC HÜRZELER, in Commentaire LPP et LFLP, 2010, no 13 ad art. 23 LPP). Ainsi, pour ce qui est de la période antérieure, les constatations et autres appréciations des organes de l'assurance-invalidité n'ont a priori aucune force contraignante pour les organes de la prévoyance professionnelle. En l'occurrence, A._ s'est annoncé auprès de l'assurance-invalidité le 19 juillet 2007. Dès lors que la période litigieuse remonte à plus de deux ans avant le dépôt de la demande de prestations, les premiers juges n'étaient pas liés par les constatations de l'office AI pour fixer le début de l'incapacité de travail déterminante pour la prévoyance professionnelle.
Par conséquent, la juridiction cantonale ne pouvait se fonder sur les constatations de l'office AI, sans avoir au préalable examiné si les incapacités de travail survenues auparavant, notamment lors du rapport d'affiliation de A._ à la CIA, n'étaient pas constitutives d'une incapacité de travail déterminante au sens de la LPP, ce qui impliquait également d'élucider si l'intéressé avait récupéré une capacité de travail durant une période suffisamment longue pour interrompre le lien de connexité temporelle entre les incapacités de travail antérieures et celle ayant conduit à la reconnaissance de l'invalidité.
6.2 Sur ces questions, la juridiction cantonale n'a établi aucune constatation. Les pièces du dossier, émanant de l'assuré lui-même, de l'employeur et en partie du docteur U._, montrent que A._ a présenté des incapacités de travail durant sa période d'affiliation à la CIA et ce, dès le début des rapports de travail. En l'état, il n'est pas possible de se prononcer à satisfaction de droit sur la survenance de l'incapacité de travail déterminante au sens de la LPP. En effet, en l'absence de constatations des premiers juges, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'établir les faits, d'autant moins qu'en l'espèce le dossier est incomplet en raison du défaut de l'apport de l'intégralité du dossier de l'assurance-invalidité. Il convient par conséquent de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète les faits, en ordonnant la production du dossier de l'assurance-invalidité et au besoin des mesures d'instruction complémentaires.
A l'heure actuelle, la question de savoir si A._ peut prétendre des prestations surobligatoires de la CIA, dans l'hypothèse où l'incapacité de travail déterminante serait survenue pendant la période d'affiliation auprès de cette institution, peut rester indécise.
Cela étant, les premiers juges ont reconnu à la fois l'obligation de prester de la CPJ et celle de la Fondation Institution supplétive LPP, soit deux institutions couvrant notamment le risque invalidité dans la prévoyance professionnelle obligatoire. Dans ce système, toutefois, deux institutions de prévoyance ne peuvent être tenues simultanément de verser des prestations à un assuré pour le même cas d'assurance. Sur ce point, le jugement cantonal contrevient de manière tellement fondamentale aux principes de base de la prévoyance professionnelle obligatoire et, partant au droit fédéral, qu'il convient d'en constater la nullité.
7. Le recours formé dans la cause 9C_59/2012 est admis et le jugement entrepris annulé. La cause est renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle détermine le droit de A._ à des prestations de la prévoyance professionnelle obligatoire et surobligatoire conformément aux considérants.
8. Vu l'issue de la cause 9C_53/2012, A._ supportera les frais judiciaires afférents à cette procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Dans la cause 9C_59/2012, la CIA, qui succombe, supportera les frais judiciaires et versera une indemnité de dépens à A._ (cf. art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF). Bien qu'obtenant gain de cause, la CPJ ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 3 LTF; ATF 128 V 124 consid. 5b p. 133).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 9C_53/2012 et 9C_59/2012 sont jointes.
2. Le recours de A._ formé dans la cause 9C_53/2012 est déclaré irrecevable.
3. Le recours de la CPJ formé dans la cause 9C_59/2012 est admis. Le jugement du 17 novembre 2011 de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède conformément aux considérants et rende un nouveau jugement.
4. Les frais judiciaires afférents à la procédure 9C_53/2012, arrêtés à 300 fr., sont mis à la charge de A._.
5. Les frais judiciaires de la procédure 9C_59/2012, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la CIA.
6. La CIA versera à A._ la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la cause 9C_59/2012.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 février 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Reichen