Sachverhalt:
A. M._ meldete sich im Februar 2008 (ein zweites Mal) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und beruflichen Abklärungen (u.a. Gutachten des Instituts X._ vom 1. März 2011) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 28. Dezember 2011 den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente.
B. Die Beschwerde der M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 12. April 2012 ab.
C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. April 2012 sei aufzuheben, nach ergänzenden medizinischen Abklärungen ihr Rentenanspruch neu zu prüfen und ihr bei der Arbeitssuche zu helfen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat die Frage der Arbeitsvermittlung (Art. 18 IVG) mangels Anfechtungsgegenstand (BGE 125 V 413 E. 1a S. 414) nicht geprüft. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern dies Recht verletzt (Art. 41 Abs. 2 BGG). Auf ihr Begehren um Hilfe bei der Arbeitssuche ist somit nicht einzutreten. Die erstmals vor Bundesgericht erhobene Rüge der Befangenheit des Dr. med. Gerber vom regionalen ärztlichen Dienst der IV-Stelle ist verspätet (Urteil 9C_842/2010 vom 26. Januar 2011 E. 1).
2. Die Beschwerdeführerin wiederholt weitgehend und teilweise wortwörtlich, was sie bereits in der vorinstanzlichen Beschwerde vorgebracht hat. Darauf ist nicht weiter einzugehen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1-2.3 S. 245 ff.), ebenso nicht auf ihre Vorbringen, soweit sie nicht auf die vorinstanzlichen Erwägungen Bezug nehmen oder sich mit diesen nicht rechtsgenüglich auseinandersetzen (Art. 41 Abs. 1 und 2 BGG). Dies betrifft insbesondere auch die Einwendungen gegen das von der Vorinstanz im Rahmen der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung (Art. 28a Abs. 3 IVG; BGE 125 V 146 E. 2a-c S. 148 ff.) ermittelte Invalideneinkommen. Darauf könnte im Übrigen nicht abgestellt werden, weil es insofern offensichtlich unrichtig berechnet worden ist, als neben dem Status als im Gesundheitsfall zu 70 % Teilerwerbstätige zusätzlich die gesundheitlich bedingte Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit von 30 % berücksichtigt wurde. Dies widerspricht der Rechtsprechung, wonach Validen- und Invalideneinkommen im zeitlichen Rahmen der ohne Gesundheitsschaden (voraussichtlich dauernd) ausgeübten Teilerwerbstätigkeit zu bestimmen sind (BGE 125 V 146 E. 2b in fine S. 150; Urteil 8C_384/2010 vom 12. Dezember 2011 E. 10.1). Im Ergebnis ist die Vorinstanz bei der Ermittlung des erwerblichen Invaliditätsgrades von einer Arbeitsunfähigkeit von 51 % ([1 - 0,7 x 0,7] x 100%) ausgegangen. Im Folgenden zu prüfen ist einzig das Valideneinkommen.
3. 3.1 Das von der Vorinstanz angenommene Einkommen ohne gesundheitliche Beeinträchtigung von Fr. 48'394.10 entspricht der Summe aus dem 1998 bei einem Arbeitspensum von 70 % erzielten Verdienst von Fr. 37'800.- (12 x Fr. 3'150.-) gemäss IK-Eintragung und dem Durchschnitt der Beteiligungsbeiträge für die Jahre 1998 bis 2000 von Fr. 4'597.-, angepasst an die Nominallohnentwicklung 1999-2007 für Frauen im Sektor "Unterrichtswesen; Gesundheits- und Sozialwesen; sonstige öffentliche Dienstleistungen; persönliche Dienstleistungen" (vgl. Statistisches Lexikon der Schweiz, T1.2.93_I). Das kantonale Gericht hatte schon im Entscheid vom 3. Oktober 2003 das Valideneinkommen auf den gleichen Grundlagen ermittelt. In der dagegen erhobenen Verwaltungsgerichtsbeschwerde hatte die Versicherte geltend gemacht, das Arbeitspensum von 60-80 % sei auf ärztliches Anraten hin ab 1. September 1999 auf 50 % reduziert worden. Das Eidg. Versicherungsgericht stellte in E. 5.2 seines Urteils I 690/03 vom 5. Juli 2004 fest, die Beschwerdeführerin habe ab September 1999 ihren Beschäftigungsgrad auf 50 % reduziert, was indessen nicht entscheidrelevant war. Den nämlichen Einwand bringt sie auch in diesem Verfahren wieder vor. Es kann offenbleiben, ob es sich dabei um eine unzulässige neue Tatsache nach Art. 99 Abs. 1 BGG handelt.
3.2 3.2.1 Wird für die Bestimmung des Valideneinkommens im Sinne der Beschwerdeführerin auf die erwerblichen Verhältnisse ab 1. September 1999 abgestellt, ergibt sich bei einem Verdienst von Fr. 2'900.- im Monat gemäss Fragebogen Arbeitgeber vom 31. August 2001 hochgerechnet auf ein 70 %-Pensum ein Einkommen von Fr. 48'720.- (12 x [Fr. 2'900.- x 7/5]). Dazu kommen die 1998-2000 durchschnittlich ausbezahlten Beteiligungsbeiträge von Fr. 4'597.-. Daraus resultiert ein an die Nominallohnentwicklung 1999-2007 angepasstes Valideneinkommen von Fr. 60'159.-.
3.2.2 Wird zugunsten der Beschwerdeführerin dem auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2006 des Bundesamtes für Statistik (LSE 06) zu ermittelnden Invalideneinkommen das Anforderungsniveau 4 zugrundegelegt, ergibt sich unter Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung 2006/07 der Betrag von Fr. 35'722.30 (12 x Fr. 4'019.- x 41,7/40 x 0,7 x 1,015 ; vgl. LSE 06 S. 25 und BGE 124 V 321). Daraus resultiert eine Erwerbsunfähigkeit von 40,62 % ([Fr. 60'159.- - Fr. 35'722.30]/Fr. 60'159.- x 100 %) und zusammen mit der gesundheitlich bedingten Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt von 18 % ein Invaliditätsgrad von 34 % (0,7 x 40,62 % + 0,3 x 18 %; zum Runden BGE 130 V 121), was für den Anspruch auf eine Invalidenrente nicht ausreicht (Art. 28 Abs. 2 IVG). Daran änderte nichts, wenn unter dem Titel Wechselwirkungen zwischen erwerblichem Bereich und Haushalt von einer um 15 % höheren Einschränkung in diesem Aufgabenbereich ausgegangen würde (vgl. BGE 134 V 9 und Urteil 8C_729/2009 vom 30. November 2009 E. 4.4).
4. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe die Auskunft erhalten, dass eine Umschulung zu Lasten der Invalidenversicherung ausser Betracht falle, da sie nur ein Teilzeitpensum suche. Da Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art nicht Prozessthema sind, ist auf das Vorbringen nicht weiter einzugehen. Immerhin ist in diesem Zusammenhang auf das Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 190/01 vom 6. Dezember 2001 E. 2 hinzuweisen, wonach der erforderliche Mindestinvaliditätsgrad von 20 % für den Umschulungsanspruch im Rahmen der gemischten Bemessungsmethode einzig im Erwerbsbereich - nicht aber im Rahmen der Gesamtinvalidität - erfüllt sein muss.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juli 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler