Sachverhalt:
A. Die 1954 geborene S._ war vom 18. Juni 2001 bis 30. Juni 2006 als Mitarbeiterin im Personalrestaurant B._ angestellt. Am 14. Januar 2008 stellte sie Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Februar 2008. Mit Verfügung vom 29. Februar 2008 verneinte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern die Anspruchsberechtigung ab 1. Februar 2008 mit der Begründung, es fehle am Erfordernis der erfüllten Beitragszeit und auch ein Grund zur Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit liege nicht vor. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. Juli 2008 fest.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 10. Februar 2009).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid vom 10. Februar 2009 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, welche das Verfahren alsdann zu sistieren habe, "bis die Resultate der ergänzenden medizinischen Abklärungen der IV-Stelle des Kantons Luzern bzw. die neue Verfügung der IV-Stelle (...) vorliegen". Ferner lässt sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung ersuchen.
Nach unbenutztem Verstreichenlassen der vom Bundesgericht auf 4. Mai 2009 angesetzten Frist zur Einreichung des ausgefüllten Erhebungsbogens für die unentgeltliche Rechtspflege lässt S._ mit Eingabe vom 6. Mai 2009 Gesuche um Wiederherstellung und Erstreckung der Frist zur Einreichung des Erhebungsbogens stellen.
Am 29. Mai 2009 reicht die Rechtsvertreterin der S._ den ausgefüllten Erhebungsbogen nach und stellt die Zusendung der Bestätigung des Steueramtes der Wohnsitzgemeinde in Aussicht. Letztere wird am 4. Juni 2009 der Post aufgegeben.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte verletzt (Art. 95 lit. a-c BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle (BGE 126 V 75 E. 6 S. 81 zu Art. 132 lit. a OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Vorschriften zur Erfüllung der Beitragszeit (Art. 13 Abs. 1 AVIG) als einer Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG), zu den Rahmenfristen (Art. 9 AVIG) und zur Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit (Art. 14 AVIG) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Es steht fest und ist unbestritten, dass die Versicherte innerhalb der für die Erfüllung der Beitragszeit massgebenden Rahmenfrist vom 1. Februar 2006 bis 31. Januar 2008 (Art. 9 Abs. 3 AVIG) nicht während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat (Art. 13 Abs. 1 AVIG). Streitig ist einzig, ob sie wegen Krankheit nach Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit ist.
4. 4.1 Das kantonale Gericht gelangte gestützt auf die Angaben des Hausarztes der Versicherten, Dr. med. G._, Allgemeine Medizin FMH, wonach ab 2. März 2006 eine 100 %ige und in der Zeit vom 24. Dezember 2006 bis 31. März 2008 eine 50 %ige Arbeitsunfähigkeit bestanden habe, zum Ergebnis, die Versicherte sei zumindest ab 24. Dezember 2006 teilweise arbeitsfähig gewesen. Diese Feststellung ist tatsächlicher Natur (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 398). Sie lässt sich im Rahmen der Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (Erwägung 1 hiervor) nicht beanstanden. Die Vorinstanz verneinte unter den gegebenen Umständen einen Befreiungsgrund nach Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG, da die Beschwerdeführerin während der Dauer der Rahmenfrist für die Beitragszeit (vom 1. Februar 2006 bis 31. Januar 2008) mehr als 13 Monate hätte erwerbstätig sein können und damit nicht im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG daran gehindert gewesen sei, eine beitragspflichtige Beschäftigung auszuüben.
4.2 Die Einwände der Beschwerdeführerin vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen. Es trifft zwar zu, dass sich die Invalidenversi-cherung noch nicht abschliessend über einen allfälligen Anspruch auf Invalidenrente geäussert hat. Bereits am 3. Juli 2006 hatte sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons Luzern lehnte einen Rentenanspruch unter Hinweis auf einen Invaliditätsgrad von 15 % ab (Verfügung vom 9. November 2007). Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hob diese Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre (Entscheid vom 10. Februar 2009). In den Erwägungen hielt das kantonale Gericht fest, dass sich die vorhandenen medizinischen Berichte und Gutachten widersprächen und keine Klarheit über die Arbeitsfähigkeit bestehe, weshalb die IV-Stelle ergänzende medizinische Abklärungen vorzunehmen habe. Die Versicherte ist der Ansicht, es müsse der Ausgang des invalidenversicherungsrechtlichen Prozesses abgewartet werden; erst im Anschluss daran könne objektiv beurteilt werden, ob der Befreiungstatbestand des Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG erfüllt sei. Dabei übersieht sie allerdings, dass keine der im IV-Entscheid des kantonalen Gerichts vom 10. Februar 2009 erwähnten medizinischen Fachpersonen (welche sich überhaupt verbindlich zur Arbeitsfähigkeit geäussert hat) eine Teilarbeitsfähigkeit während mindestens eines Jahres innerhalb der zweijährigen Rahmenfrist für die Beitragszeit verneint hat. Mit anderen Worten besteht ärztlicherseits Einigkeit darüber, dass die Versicherte in der Zeit vom 1. Februar 2006 bis 31. Januar 2008 krankheitsbedingt nicht verhindert war, während einer zwölf Monate deutlich überschreitenden Dauer eine teilzeitliche Erwerbs-tätigkeit auszuüben. Demgemäss ergibt sich auch ohne neuerliche medizinische Abklärungen klar, dass die Beschwerdeführerin die erforderliche Beitragszeit durch Ausübung eines Teilzeitpensums innerhalb der massgebenden Rahmenfrist hätte erfüllen können, womit ein Befreiungsgrund im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG nicht vorliegt. Daran kann entgegen der Auffassung der Versicherten nichts ändern, dass das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren noch nicht abgeschlossen ist, nachdem sie gegen die verfügungsweise Ablehnung der Invalidenrente Beschwerde erhoben und die Vorinstanz die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die IV-Stelle zurückgewiesen hat. Würde anders entschieden, so käme es zu einer ungerechtfertigten Privilegierung jener Versicherten, die (erfolglos) gegen den Rentenentscheid Beschwerde führen (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_988/2008 vom 14. Mai 2009 E. 4.2.1). Schliesslich ist es nicht möglich, fehlende Zeiten der Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit mit Beitragszeiten aufzufüllen (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2256 Rz. 254). Die Ablehnung des Anspruchs auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung durch Verwaltung und Vorinstanz infolge nicht erfüllter Beitragszeit bzw. fehlender Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG) lässt sich demzufolge nicht beanstanden.
5. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG, insbesondere ohne Durchführung eines Schriftenwechsels und mit summarischer Begründung, erledigt.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Befreiung von den Gerichtskosten und unentgeltliche Verbeiständung) im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit sind die Gesuche um Wiederherstellung sowie Erstreckung der Frist zur Einreichung des ausgefüllten Erhebungsbogens für die unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Dienststelle für Wirtschaft und Arbeit Luzern (wira), Stab Recht, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz