Faits:
A. La Ville de Genève est propriétaire d'un immeuble à Genève, dans lequel se trouve un appartement de deux pièces destiné à des personnes en situation difficile; ce logement, qui porte le n° xxx, est géré par l'Unité de logement temporaire du Service social de la Ville de Genève (ci-après: ULT).
Le 29 septembre 2006, X._ a rempli un formulaire de demande d'aide afin de bénéficier du logement n° xxx. Le même jour, le Service social de la Ville de Genève, représenté par l'ULT, et X._ ont conclu une «convention d'accompagnement social», dont la durée de validité était fixée à six mois. Le contrat comporte deux volets: d'une part, la mise à disposition de l'appartement n° xxx à titre de logement provisoire; d'autre part, un accompagnement de type social, impliquant notamment que le bénéficiaire se présente aux rendez-vous qui lui sont fixés par le collaborateur social et qu'il informe ce dernier régulièrement et complètement sur sa situation. Selon l'annexe n° 2 à la convention, X._ devait s'acquitter d'une somme de 170 fr. par mois à titre d'indemnité pour les charges d'hébergement (eau, gaz et électricité non compris).
Par courrier du 22 mars 2007, l'ULT a informé X._ que la Commission d'attribution des logements temporaires avait décidé de ne pas prolonger la mise à disposition de l'appartement, en raison du manque de collaboration du bénéficiaire. Par la suite, la Ville de Genève est revenue sur cette décision.
A partir d'octobre 2008, l'indemnité pour les charges d'hébergement a été portée à 500 fr. par mois.
Début octobre 2009, la Gérance Immobilière Municipale a proposé un appartement à X._, qui l'a refusé.
Par lettre du 2 novembre 2009, l'ULT a informé X._ qu'il était mis fin à la convention d'accompagnement social, à la suite de son refus d'emménager dans l'appartement proposé par la Gérance Immobilière Municipale; un délai au 21 janvier 2010 lui était imparti pour quitter l'appartement n° xxx.
X._ n'a pas obtempéré.
B. Par assignation déposée le 17 février 2010 au Tribunal de première instance du canton de Genève, la Ville de Genève a conclu à l'évacuation immédiate de X._ de l'appartement n° xxx; elle se fondait sur les dispositions relatives au prêt à usage.
X._ a soulevé un incident d'incompétence ratione materiae. Il faisait valoir que les parties étaient liées par un contrat de bail à loyer, de sorte que la juridiction des baux et loyers était compétente pour connaître du litige.
Par jugement du 11 octobre 2010, le Tribunal de première instance a débouté X._ de ses conclusions sur incident et, statuant à titre préparatoire sur le fond, a fixé des délais aux parties pour la suite de la procédure.
X._ a formé appel contre ce jugement. Par arrêt du 18 mars 2011, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé la décision attaquée et dit que le Tribunal de première instance n'était pas compétent à raison de la matière pour statuer sur la requête en évacuation.
C. La Ville de Genève interjette un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et demande au Tribunal fédéral, principalement, de dire et constater que le Tribunal de première instance est compétent à raison de la matière pour statuer sur la requête en évacuation. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
X._ propose le rejet du recours.
A la suite de la réponse, la Ville de Genève a déposé des observations.
Considérant en droit:
1. 1.1 La cour cantonale a nié la compétence ratione materiae du Tribunal de première instance pour statuer sur la requête en évacuation déposée par la recourante. Une telle décision est finale au sens de l'art. 90 LTF (ATF 135 V 153 consid. 1.3 p. 156).
1.2 Le litige au fond a trait à l'expulsion de l'intimé de l'appartement mis à sa disposition par la recourante. Les contestations portant sur l'usage d'une chose sont de nature pécuniaire (cf. arrêt 4A_107/2007 du 22 juin 2007 consid. 2.3 non publié in ATF 133 III 539, à propos de l'usage d'une chose louée). En principe, la condition de la valeur litigieuse doit être remplie pour pouvoir entrer en matière sur le recours en matière civile (art. 74 al. 1 LTF).
Tant la cour cantonale que la recourante indiquent que la valeur litigieuse du différend opposant les parties est indéterminée. En pareil cas, le Tribunal fédéral fixe cette valeur selon son appréciation (art. 51 al. 2 LTF). Dans un procès concernant, comme en l'occurrence, exclusivement une expulsion, le Tribunal fédéral s'est fondé sur l'intérêt économique que représentait pour le bailleur la disparition du dommage que la mise en oeuvre retardée de son projet de vente lui faisait subir (arrêt précité du 22 juin 2007 consid. 2.3 non publié in ATF 133 III 539). La situation se présente différemment dans le cas présent: la recourante n'a en vue aucune vente de l'appartement litigieux; il s'agit pour elle de récupérer son bien pour le mettre à disposition d'autres personnes nécessiteuses.
Cela étant, la valeur de l'intérêt en jeu peut rester indécise en l'espèce. En effet, que le recours soit qualifié de recours en matière civile ou de recours constitutionnel importe peu, dès lors que son auteur ne peut de toute manière se plaindre que de violation des droits constitutionnels, singulièrement d'une application arbitraire du droit cantonal ou d'une appréciation arbitraire des preuves (cf. consid. 2 et 3 infra).
1.3 Au surplus, l'arrêt entrepris a été rendu sur recours par un tribunal supérieur statuant comme autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 2 et art. 114 LTF). La recourante, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente, est manifestement touchée par la décision attaquée et dispose d'un intérêt digne de protection à sa modification (art. 76 al. 1 et art. 115 LTF). Déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. a, art. 100 al. 1 et art. 117 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
2. 2.1 La cour cantonale a jugé que le contrat liant les parties était un bail à loyer, et non un prêt à usage. Appliquant l'art. 56M let. a de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 22 novembre 1941, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010 (aLOJ/GE), elle a admis que la requête en évacuation relevait de la compétence du Tribunal des baux et loyers, de sorte que le Tribunal de première instance n'était pas compétent pour statuer sur ladite demande.
Le droit fédéral n'impose pas aux cantons d'instituer des tribunaux spéciaux dans le domaine du bail à loyer (cf. art. 274 et 274a al. 1 CO). Par conséquent, les compétences matérielles respectives du Tribunal de première instance et de la juridiction genevoise des baux et loyers sont délimitées exclusivement par le droit cantonal (cf. arrêt 4A_375/2008 du 18 novembre 2008 consid. 2.1 in SJ 2009 I p. 241).
Selon l'art. 56M let. a aLOJ/GE, le Tribunal des baux et loyers est compétent pour statuer sur tout litige relatif au contrat de bail à loyer ou au contrat de bail à ferme non agricole au sens des titres VIIIe et VIIIe bis du code des obligations, portant sur une chose immobilière. Cette disposition de droit cantonal se réfère à des notions de droit fédéral, en particulier au bail à loyer, qui constituent des conditions à la compétence du Tribunal des baux et loyers. Or, lorsque le droit cantonal, dans un domaine de son ressort exclusif, déclare applicable une règle du droit fédéral, celle-ci constitue du droit cantonal (ATF 103 IV 76 consid. 1 p. 78). Si une norme de droit cantonal utilise une notion de droit fédéral, la bonne interprétation de cette dernière relève du droit cantonal; de même, si la question à résoudre dépend du droit cantonal, une question préalable de droit fédéral ne peut pas être attaquée séparément en invoquant une violation du droit fédéral (ATF 128 III 76 consid. 1a p. 80; 125 III 461 consid. 2 p. 463). C'est dire qu'en l'espèce, déterminer si le contrat liant les parties présente ou non les caractéristiques du bail à loyer est une question qui relève exclusivement du droit cantonal (cf. arrêt précité du 18 novembre 2008 consid. 2.1).
2.2 Sauf dans les cas cités à l'art. 95 let. c à e LTF, qui n'entrent pas en ligne de compte en l'espèce, la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours. En revanche, le recourant peut faire valoir que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, en particulier de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 136 I 65 consid. 1.3.1 p. 68; 135 I 313 consid. 1.3 p. 316).
2.3 La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir qualifié la convention d'accompagnement social de bail à loyer au lieu d'un prêt à usage et d'avoir ainsi nié à tort la compétence du Tribunal de première instance à raison de la matière. Elle se plaint à cet égard d'une violation du droit fédéral, soit des art. 253 ss et 305 ss CO, mais ne soulève pas de grief tiré de la violation d'un droit constitutionnel en relation avec l'application de l'art. 56M let. a aLOJ/GE.
Comme on l'a vu (consid. 2.1 supra), la question litigieuse relève du droit cantonal. Par conséquent, le recours se révèle irrecevable en tant qu'il invoque uniquement une violation des dispositions de droit fédéral relatives au bail à loyer et au prêt à usage.
3. En définitive, seuls peuvent être examinés les griefs par lesquels la recourante fait valoir que la cour cantonale a établi des faits de façon manifestement inexacte (art. 105 al. 2 LTF) ou arbitraire au sens de l'art. 9 Cst.
Selon la recourante, la Cour de justice a établi de manière manifestement inexacte que l'intimé devait s'acquitter d'une indemnité pour pouvoir rester dans le logement mis à sa disposition. Par ailleurs, la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en retenant qu'aucun élément de la procédure ne permettait de conclure que le montant mensuel de 170 fr. mis à la charge de l'intimé correspondait uniquement aux frais d'entretien ordinaires du logement.
3.1 Il convient de préciser d'emblée que la notion d'établissement des faits de manière manifestement inexacte au sens de l'art. 105 al. 2 LTF correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 136 II 304 consid. 2.4; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
3.2 Il ressort de manière incontestée de l'annexe 2 de la convention d'accompagnement social que l'intimé devait s'acquitter envers la recourante d'une somme de 170 fr. par mois à titre d'indemnité pour les charges d'hébergement (eau, gaz et électricité non compris), montant porté par la suite à 500 fr. Dès lors que le contrat liant les parties prévoyait à la fois la mise à disposition d'un logement et le versement mensuel de charges d'hébergement, la cour cantonale pouvait en déduire sans arbitraire que l'intimé devait payer une indemnité pour pouvoir rester dans l'appartement.
Quant au fait que les charges d'hébergement correspondraient en l'occurrence à des frais d'entretien ordinaires, il ne ressort manifestement pas des éléments du dossier. Invoqué par la recourante, le détail des frais de chauffage (114 fr.50) et de téléréseau (24 fr.50) d'appartements comparables à celui occupé par l'intimé n'est pas à même de démontrer que, dans le cas présent, le montant de 170 fr. prévu initialement ne recouvrait effectivement que des frais d'entretien. La recourante semble par ailleurs oublier que les charges d'hébergement ont été augmentées ensuite à 500 fr., ce qu'elle ne justifie d'aucune manière sous l'angle de l'entretien ordinaire.
Il s'ensuit que le moyen fondé sur l'art. 9 Cst. ne peut être qu'écarté.
4. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
La recourante prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann