Faits:
A. A.a M._, gérant d'un bar-glacier, était assuré contre les accidents par Helsana Assurances SA. Le 29 décembre 2003, il s'est blessé à la main droite lors d'un accident. ll s'est présenté aux urgences de l'Hôpital régional X._ le 4 janvier 2004 avec une forte enflure de la main droite et sans pouvoir bouger ses doigts. Aucune fracture n'a été constatée, mais une immobilisation dans une attelle anti-inflammatoire a été ordonnée. Par la suite, un examen par ultrason a fait suspecter une lésion tendineuse par écrasement. Le docteur E._ a pratiqué une ténolyse des 4ème et 5ème extenseurs à droite, avec mise sous tension du tendon extenseur de l'annulaire, le 3 février 2004, et une ténolyse des fléchisseurs 3 et 4, neurolyse des branches 3 et 4 palmaires et incision de gaine à hauteur de la tête du métacarpe pour les fléchisseurs 3 et 4, le 30 mars 2004.
L'évolution n'a pas été favorable et la main droite a enflé à nouveau. M._ a consulté le docteur T._, spécialiste en chirurgie de la main à l'Hôpital universitaire Y._, qui a proposé une ténoplastie d'augmentation par transfert du fléchisseur superficiel du 4ème doigt vers les tendons extenseurs intrinsèques. Il a toutefois précisé que les suites de l'intervention nécessitaient la coopération du patient, à défaut de quoi l'opération serait vouée à l'échec. Le docteur T._ a émis des doutes sur la capacité de M._ à garantir une telle coopération.
Consulté à nouveau le 1er septembre 2004, le docteur T._ a constaté que l'assuré avait cessé tout traitement d'ergothérapie, de sorte que la mobilité de ses doigts s'était trouvée réduite. Par conséquent, l'intervention chirurgicale proposée précédemment n'entrait plus en considération. Indépendamment de cela, le docteur T._ a répété ses doutes sur les capacités de l'assuré à assumer la rééducation nécessaire après l'opération.
M._ a demandé un second avis médical à la doctoresse B._, spécialiste en chirurgie plastique et reconstructive, ainsi qu'en chirurgie de la main. Dans un rapport du 22 décembre 2004, celle-ci a posé le diagnostic d'incompétence de la musculature intrinsèque de l'annulaire, ce qui avait pour effet d'entraver la flexion métacarpophalangienne et l'extension interphalangienne. Passivement toutefois, la fonction était complète; en d'autres termes, il n'y avait pas de raideur. La doctoresse B._ a émis les mêmes doutes que le docteur T._ sur l'évolution postopératoire d'une très éventuelle reconstruction de cette musculature intrinsèque. De son point de vue, le port d'une petite attelle limitant l'extension métacarpophalangienne et qui permettait d'améliorer l'extension active interphalangienne constituait éventuellement un traitement adéquat. Enfin, la doctoresse B._ a précisé que l'atteinte distale cubitale était la paralysie la mieux supportée de la main et qu'il n'était pas rare qu'elle n'entraîne aucune incapacité de travail même chez un charpentier ou un travailleur manuel. Elle a attesté une capacité de travail de 75 % jusqu'au 28 février 2005, puis de 100 % dès le 1er mars.
M._ a revu le docteur T._ lors d'un contrôle le 19 janvier 2005. Dans un rapport du 21 janvier 2005, ce médecin a constaté que la mobilité passive de la main s'était considérablement améliorée, mais que la fonction active posait encore un problème. Une ténolyse pouvait être nécessaire. Si la musculature intrinsèque s'avérait insuffisante, une opération de remplacement de cette musculature serait envisageable, mais impliquait une hospitalisation de deux semaines pour une ergothérapie intensive au moins trois fois par jour sous contrôle médical. Le succès de l'opération n'était pas garanti.
Le 28 février 2005, le docteur F._, neurologue, a pratiqué divers examens au terme desquels il a posé le diagnostic de lésion du tendon extenseur perturbant l'extension de D3 et surtout de D5, avec probablement une atrophie secondaire du 4ème muscle interosseux dorsal et une limitation pour le tendon fléchisseur de D4. Il y avait également, probablement, une petite lésion du rameau palmaire du nerf médian, une subluxation douloureuse du nerf cubital au coude droit sans déficit distal au niveau de la main. Le docteur F._ n'a constaté aucune atteinte neuropathique des muscles intrinsèques de la main droite ni des muscles extenseurs et fléchisseurs des doigts.
Le 22 août 2005, le docteur T._ a précisé qu'il n'y avait pas de sens à pratiquer une opération présentant un risque fonctionnel important en l'absence d'accord du patient sur la question d'un traitement stationnaire sous contrôle médical direct. Il considérait donc le traitement comme terminé. Le 10 janvier 2006, Helsana a informé l'assuré du fait qu'elle entendait clore le dossier, sous réserve d'une rechute ou de séquelles tardives. M._ a requis une décision formelle en faisant valoir que sa main n'était pas guérie et qu'une opération était encore envisageable. Le 16 juin 2006, le docteur E._ a fait part à Helsana du fait que l'assuré était prêt à se soumettre à l'intervention chirurgicale proposée par le docteur T._; de l'avis du médecin traitant, il fallait exploiter cette dernière possibilité, même si un échec ne pouvait être exclu dans un cas aussi complexe.
A.b Par décision du 14 août 2006, Helsana a constaté que M._ disposait d'une pleine capacité de travail dès le 1er mars 2005. Sous divers, après l'indication des voies de droit, elle précisait qu'elle avait pris note du fait que l'assuré acceptait l'opération de sa main et ses suites, aux conditions prévues par le docteur T._. Elle était déjà en mesure d'accepter la prise en charge du traitement en question et attendait la confirmation du rendez-vous ainsi qu'un rapport médical du docteur T._.
L'assuré s'est opposé à cette décision le 13 septembre 2006, en invitant Helsana à accepter la prise en charge d'une opération de la main droite et à lui allouer des indemnités journalières en tenant compte d'un taux d'incapacité de travail de 50 % depuis le 1er avril 2005.
A la suite de cette opposition, Helsana a confié au docteur K._ le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport du 19 février 2007, ce médecin a notamment posé les diagnostics de syndrome douloureux permanent avec impotence sensitivo-motrice des trois derniers rayons de la main droite sans substrat anatomique objectivable, et probable insuffisance post-traumatique des extenseurs intrinsèques du 4ème rayon de la main droite sur possible syndrome des loges survenu après la contusion du 29 décembre 2003. Les atteintes à la main droite étaient en relation de causalité avec l'accident, mais l'expert a relevé une incohérence entre les plaintes de l'assuré et les troubles objectivables. Sur le plan anatomique, une petite insuffisance stromatique des extenseurs intrinsèques du 4ème rayon de la main droite était probable, mais l'expression clinique d'une telle lésion se limitait en principe à une impotence fonctionnelle localisée et modeste; elle n'expliquait pas l'intensité ni l'extension des autres troubles. L'intervention de facteurs non somatiques dans les plaintes résiduelles était très probable, le rôle de ces facteurs étant vraisemblablement prépondérant. Une nouvelle intervention chirurgicale n'avait donc que très peu de chances d'améliorer significativement la fonction de la main. Toute intervention chirurgicale semblait contre-indiquée et le taux d'atteinte à l'intégrité pouvait être fixé à 5 %.
Le 24 octobre 2007, M._ a transmis à Helsana un rapport établi par le docteur T._ le 15 octobre 2007, dans lequel ce médecin relevait que les problèmes de mobilité de la main étaient peut-être dus à une adhésion de la musculature intrinsèque ou à une atrophie de la musculature survenue dans l'intervalle. On pouvait envisager une nouvelle ténolyse puis, si celle-ci n'était pas suffisante, procéder à un ancrage dans la structure P1, comme on le propose en cas de remplacement du muscle ulnaire. Le succès d'une telle mesure n'était pas garanti et nécessitait un traitement postopératoire stationnaire intensif de deux semaines.
Par décision sur opposition du 23 novembre 2007, Helsana a maintenu sa décision du 14 août 2006, en précisant que celle-ci portait exclusivement sur le droit à des indemnités journalières. Le 16 janvier 2008, Helsana a refusé la prise en charge d'une nouvelle intervention chirurgicale et a mis fin aux prestations, concernant le traitement médical, avec effet rétroactif au 28 février 2007. Elle a alloué à l'assuré une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 5 %. Par décision sur opposition du 29 septembre 2008, elle a maintenu son refus de prendre en charge une nouvelle opération et d'allouer une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 20 %, allégué par l'assuré.
B. Ce dernier a déféré la cause au Tribunal cantonal jurassien, en demandant que l'instruction de la cause soit complétée par une expertise judiciaire. La juridiction cantonale a refusé ce complément d'instruction et rejeté le recours par jugement du 29 mai 2009.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en demande l'annulation, en concluant à la condamnation de l'intimée à prendre en charge le traitement préconisé par le docteur T._ dans son rapport du 15 octobre 2007, ainsi qu'à allouer une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 20 %, sous suite de frais et dépens. Il présente également une demande d'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à la prise en charge du traitement médical mentionné par le docteur T._ dans son rapport du 15 octobre 2007, ainsi que sur son droit à une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 20 %.
2. L'art. 10 al. 1 LAA prévoit le droit au traitement médical approprié des lésions résultant de l'accident. Ce droit s'étend à toutes les mesures qui visent une amélioration de l'état de santé ou à éviter une péjoration de cet état. La preuve que la mesure envisagée permettra d'atteindre cet objectif doit être établie avec une vraisemblance suffisante; elle est rapportée dès que l'on peut admettre que le traitement envisagé ne représente pas seulement une possibilité lointaine d'amélioration (arrêts U 188/04 du 18 juillet 2005 consid. 5.2, U 252/01 du 17 juin 2002 consid. 3a, U 134/99 du 8 novembre 2001 consid. 1b, in RDAT 2002 I no 77 p. 502; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in Soziale Sicherheit, SBVR vol. XIV, 2ème éd. 2007, no 138 p. 891; ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 1985, p. 274 ch. 1 et 2).
Aux termes de l'art. 19 al. 1 LAA, le droit au traitement médical s'éteint lorsqu'il n'y a plus lieu d'attendre du traitement une sensible amélioration de l'état de santé et que les éventuelles mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité ont été menées à terme. Dès cette date, le droit éventuel à une rente de l'assurance-accidents prend naissance. Le droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est fixé en même temps que la rente d'invalidité ou, si l'assuré ne peut prétendre une rente, lorsque le traitement médical est terminé (art. 24 al. 2 LAA). Il faut que le traitement ne puisse plus entraîner d'amélioration ni éviter de péjoration de l'état de santé, de sorte que celui-ci doive être considéré comme stable (arrêt 8C_1023/2008 du 1er décembre 2009 consid. 5.1; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, op. cit., nos 138 p. 891 et 153 p. 895; MAURER, op. cit., p. 274 et 372; cf. également ATF 134 V 109 consid. 4 p. 113 ss).
3. Les premiers juges ont considéré, en substance, qu'une nouvelle intervention chirurgicale n'était pas indiquée et que le taux d'atteinte à l'intégrité présenté par le recourant était de 5 %. Ils se sont fondés plus particulièrement sur les constatations de l'expert K._. Le recourant conteste les faits retenus par les premiers juges et la valeur probante de l'expertise, ce qui soulève la question du pouvoir d'examen dont dispose le Tribunal fédéral pour statuer.
4. 4.1 Le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés par les premiers juges (art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'ils aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. Dans ce cas, il peut rectifier ou compléter les faits d'office (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante peut également contester des constatations de faits ainsi irrégulières si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente et le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
4.2 Constituent des prestations en espèces de l'assurance-accidents, notamment, les indemnités journalières ainsi que l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Les traitements ou les soins constituent en revanche des prestations en nature (cf. art. 14 et 15 LPGA; MARKUS SCHOTT, in: Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n. 29 et 31 ad art. 97; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2ème éd. 2009, n. 14 ad art. 14 et n. 6 ad art. 15).
4.3 Sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ; RS 3 521), le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances portait également sur les constatations de faits des premiers juges lorsque le litige concernait l'octroi ou le refus de prestations d'assurances (art. 132 let. a OJ). La jurisprudence admettait une extension du pouvoir d'examen de l'instance fédérale de recours lorsqu'une même procédure portait, d'une part, sur un objet pour lequel le pouvoir d'examen était en principe limité au droit, et d'autre part, sur une prestation d'assurance, et que les deux objets litigieux étaient étroitement liés (principe d'attraction). Il en allait ainsi, par exemple, lorsque le litige portait à la fois sur l'institution d'une réserve d'assurance et sur le refus d'allouer des prestations, fondé sur cette réserve (ATF 108 V 245 consid. 1b p. 247; 97 V 190; cf. également arrêt K 56/04 du 28 avril 2005 consid. 2.3). La jurisprudence n'admettait toutefois une application du principe d'attraction que dans la mesure où il s'agissait d'éviter de statuer, dans un arrêt, sur deux rapports juridiques connexes en se fondant sur deux états de faits contradictoires. Ainsi, le Tribunal fédéral des assurances a précisé que pour trancher la question de l'obligation de restituer des prestations d'assurance (plein pouvoir d'examen) et celle de la remise de l'obligation de restituer (pouvoir d'examen limité), il ne revoyait pas librement les faits pour l'ensemble des questions litigieuses; en revanche, il prenait en considération, pour statuer sur la remise de l'obligation de restituer, d'éventuelles rectifications des faits auxquelles il avait procédé pour trancher la question de l'obligation de restituer comme telle (ATF 98 V 274 consid. I.3 p. 276).
4.4 Le recours porte sur des prestations en nature (traitement médical) et en espèces (indemnité pour atteinte à l'intégrité) de l'assurance-accidents. Mais comme on l'a vu (consid. 2 ci-avant), l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est en principe fixée lorsque le traitement médical est terminé. Par conséquent, si l'intervention proposée par le docteur T._ devait être considérée comme appropriée et de nature à améliorer l'état de santé de l'assuré, les conclusions de ce dernier tendant à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité seraient prématurées. Les faits permettant de statuer sur le droit à la prise en charge du traitement médical sont donc également pertinents pour statuer sur l'examen du droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Dans ces conditions, il convient de constater avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et de se fonder sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets, dans le sens exposé par l'ATF 98 V 274 (à l'époque en relation avec l'art. 132 OJ; consid. 3.3 ci-avant; voir également Rudolf URSPRUNG/ PETRA FLEISCHANDERL, Die Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nach dem neuen Bundesgesetz über das Bundesgericht [BGG], in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, p. 430). A défaut, le risque de contradiction dans le jugement à rendre ne pourrait être évité. Les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur les prestations en nature seront en revanche revus exclusivement dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF.
5. 5.1 Le recourant conteste la valeur probante du rapport établi par le docteur K._ au motif que les constatations de l'expert ne convergent pas avec celles du docteur T._. Ce dernier a en effet proposé de pratiquer une première intervention chirurgicale, puis une seconde si nécessaire, dans un rapport du 15 octobre 2007. L'expert n'a pas pris position sur ce dernier rapport et n'aurait pas étayé les doutes qu'il a exprimés sur la capacité de l'assuré à collaborer à la réussite du traitement. Par ailleurs, le docteur E._ a suggéré de suivre les propositions de traitement du docteur T._.
5.2 Le docteur T._ a, dans un premier temps, considéré qu'une intervention chirurgicale pourrait améliorer l'état de santé de l'assuré, mais qu'il était douteux que l'assuré coopère de manière optimale après l'opération, ce qui compromettait les chances de succès du traitement (rapports des 2 juillet, 2 septembre et 15 octobre 2004). Par la suite, il a insisté sur les risques fonctionnels importants en cas d'intervention chirurgicale et sur la nécessité d'une rééducation intensive en milieu hospitalier, avec la pleine coopération de l'assuré. Il s'est toutefois déclaré disposé à opérer l'assuré, après que ce dernier lui a confirmé sa motivation à suivre le traitement préconisé (rapports des 21 janvier et 22 août 2005). De ce point de vue, le rapport du 15 octobre 2007 du docteur T._ ne contient rien de nouveau, comme l'a d'ailleurs précisé le docteur V._, médecin-conseil de l'intimée (rapport du 29 septembre 2008). Sur la base des précédents rapports établis par le docteur T._, l'indication d'une intervention chirurgicale prêtait déjà à discussion, bien qu'en soi admise par ce médecin. Il était donc pleinement justifié de mettre en oeuvre une expertise pour clarifier la question, ce que l'intimée a fait en mandatant le docteur K._.
5.3 L'expert K._ a considéré qu'une nouvelle intervention chirurgicale était contre-indiquée en raison de facteurs non somatiques influençant les plaintes de l'assuré de manière prépondérante. Il a étayé cette motivation d'une part, en observant plusieurs incohérences lors de l'examen clinique et en mentionnant une utilisation normale de la main droite lorsque l'assuré s'habillait en fin d'examen; dans le même sens, le syndrome douloureux des trois derniers doigts de la main apparaissait de façon suraiguë lors de l'examen clinique, mais n'était pas exprimé lors de la poignée de main. D'autre part, une grande partie des limitations constatées ne pouvaient pas être expliquées par les lésions constatées. Par exemple, la force de préhension quasiment nulle des trois derniers rayons de la main droite ne pouvait s'expliquer sur le plan anatomique; le déficit subjectif majeur de la sensibilité des trois derniers doigts était également en contradiction avec les résultats d'un examen électroneuromyographique (ENMG) pratiqué le 28 février 2005 par le docteur F._. Ces constatations relatives à l'absence de corrélation entre les atteintes objectives constatées et les limitations présentées par l'assuré, ainsi qu'à des incohérences lors de l'examen clinique, confirment les conclusions de la doctoresse B._ du 22 décembre 2004. Dès lors qu'elle conclut, sur cette base, que les chances de succès d'une nouvelle intervention chirurgicale sont insuffisantes, l'expertise K._ est convaincante. Il n'y a pas de raison de nier sa valeur probante pour le seul motif que le docteur T._ et le docteur E._ ont suggéré de tenter néanmoins l'opération, comme ultima ratio, tout en se montrant eux aussi réservés sur ses chances de succès. Une instruction complémentaire sur ce point n'est pas nécessaire.
6. 6.1 Vu ce qui précède, il n'est pas établi, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le traitement litigieux permettrait une amélioration ou empêcherait une péjoration de l'état de santé du recourant. Partant, ce dernier ne peut pas en exiger la prise en charge par l'intimée au titre de l'art. 10 al. 1 LAA.
6.2 Indépendamment des conditions posées par cette disposition, le recourant invoque une violation du droit à la protection de la bonne foi. Il fait valoir que l'intimée s'est déclarée prête, le 14 août 2006, à assumer le traitement proposé par le docteur T._. Il n'expose toutefois pas quelle disposition concrète il aurait prise en se fiant à cette déclaration, sur laquelle il ne pourrait plus revenir sans subir de dommage. Les conditions d'application du droit constitutionnel à la protection de la bonne foi (art. 9 Cst.) ne sont donc pas remplies (cf. ATF 131 II 627 consid. 6.1 et les références, p. 636), de sorte que sur ce point également, le recours est mal fondé. Les premiers juges ont par ailleurs nié, à juste titre, que la déclaration en cause soit revêtue de l'autorité de chose décidée, ce que le recourant ne soutient pas.
7. 7.1 Puisque le traitement médical doit être considéré comme terminé, c'est à bon droit que l'intimée a statué sans plus attendre sur le droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Le recourant soutient toutefois présenter une atteinte à l'intégrité de 20 %, et non de 5 % seulement. Il motive ce taux d'atteinte à l'intégrité par le fait qu'il ne peut pratiquement plus utiliser sa main droite, hormis en se servant du pouce et de l'index. Il ne peut plus se saisir d'un objet avec toute la main et ne peut plus fermer le poing, ressent des douleurs à l'intérieur de la paume de la main en profondeur, d'intensité variable, et doit porter une attelle en permanence. Il éprouve en outre une perte de sensibilité sur le haut de la main et le long de l'auriculaire.
7.2 Cette argumentation repose entièrement sur des allégations qui ne sont pas étayées par les documents médicaux figurant au dossier. Le docteur K._, comme la doctoresse B._ précédemment, a considéré que les atteintes accidentelles dont souffrait le recourant n'entraînaient en principe qu'une impotence fonctionnelle localisée et modeste. Il n'y a donc pas de motif de s'écarter du taux d'atteinte à l'intégrité de 5 % retenu par les premiers juges, l'expertise du docteur K._ revêtant, sur ce point également, une pleine valeur probante.
8. Le recourant voit ses conclusions rejetées, de sorte qu'il doit en principe supporter les frais de justice et ses propres dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il a toutefois déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès, que l'indigence du recourant est établie et que l'assistance d'un avocat est justifiée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF), il convient d'accéder à cette demande. Le recourant est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il se trouve ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Alain Steullet est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2800 fr. lui est allouée à titre d'honoraire, supportée par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal jurassien et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 juillet 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral