Sachverhalt:
A. S._ erlangte 19.. das Lizentiat und 19.. das Doktorat der juristischen Fakultät an der Universität X._. Anschliessend bezog sie Taggelder der Arbeitslosenversicherung, wobei sie im Rahmen der obligatorischen beruflichen Vorsorge bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG versichert war. Im September 1999 meldete sie sich unter Hinweis auf eine Psychose bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Landschaft sprach ihr mit Verfügung vom 4. August 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente ab 1. Juni 1999 zu. Im Februar 2001 trat S._ eine Stelle als Juristin bei einem eidgenössischen Departement mit einem Beschäftigungsgrad von 60 % an, weshalb sie seither bei der Pensionskasse des Bundes (heute: Pensionskasse des Bundes PUBLICA; nachfolgend: Publica) für die berufliche Vorsorge versichert war. Mit Verfügung vom 27. September 2001 ermittelte die IV-Stelle neu einen Invaliditätsgrad von 40 % und setzte die bisherige ganze Rente ab 1. November 2001 auf eine Viertelsrente herab. Am 20. April 2004 bestätigte sie einen unveränderten Invaliditätsgrad und Rentenanspruch. Ein erneutes Revisionsverfahren ergab einen Invaliditätsgrad von 36 %, weshalb die IV-Stelle die Rente mit Verfügung vom 26. September 2007 auf Ende Oktober 2007 aufhob.
Nachdem sich im März 2008 ihr Gesundheitszustand verschlechtert hatte, ersuchte S._ erneut um Leistungen der Invalidenversicherung. Die IV-Stelle errechnete einen Invaliditätsgrad von 77 % und sprach ihr mit Verfügungen vom 27. Januar und 19. Februar 2010 eine ganze Invalidenrente ab März 2009 zu. In diesem Zusammenhang wandte sich die Versicherte auch an die Publica, die indessen eine Leistungspflicht verneinte.
B. Am 19. Januar 2011 liess S._ Klage gegen die Publica erheben mit dem Antrag, diese sei zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente entsprechend den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen zu bezahlen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Klage mit Entscheid vom 31. Mai 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ die Aufhebung des Entscheids vom 31. Mai 2012 beantragen und das vorinstanzliche Rechtsbegehren erneuern.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.1 2.1.1 Nach Art. 23 lit. a BVG hat Anspruch auf eine Invalidenrente, wer im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid ist und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war. Entscheidend im Rahmen von Art. 23 BVG ist einzig der Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit (zu diesem Begriff vgl. BGE 130 V 343 E. 3.1 S. 345 f. mit Hinweisen; SZS 2003 S. 521, B 49/00 E. 3), unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt und in welchem Masse daraus ein Anspruch auf Invalidenleistungen entsteht. Die Versicherteneigenschaft muss nur bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit gegeben sein, dagegen nicht notwendigerweise auch im Zeitpunkt des Eintritts oder der Verschlimmerung der Invalidität. Für eine einmal aus - während der Versicherungsdauer aufgetretener - Arbeitsunfähigkeit geschuldete Invalidenleistung bleibt die Vorsorgeeinrichtung somit leistungspflichtig, selbst wenn sich nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses der Invaliditätsgrad ändert. Entsprechend bildet denn auch der Wegfall der Versicherteneigenschaft keinen Erlöschungsgrund (Art. 26 Abs. 3 BVG e contrario; BGE 123 V 262 E. 1a S. 263; 118 V 35 E. 5 S. 45). Umgekehrt entfällt im Anwendungsbereich von Art. 23 lit. a BVG die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung, wenn die massgebliche Arbeitsunfähigkeit bereits vor der Entstehung des Versicherungsverhältnisses eintrat (HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 333 f. N. 914; derselbe, Die berufliche Vorsorge, in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 2. Aufl. 2006, S. 52 und 56; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, Kommentar zum BVG, Zürich 2009, N. 8 zu Art. 23 BVG).
2.1.2 Die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung für eine erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene oder verschlimmerte Invalidität setzt voraus, dass zwischen der relevanten Arbeitsunfähigkeit und der nachfolgenden Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht. Der sachliche Zusammenhang ist zu bejahen, wenn der der Invalidität zu Grunde liegende Gesundheitsschaden im Wesentlichen derselbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat (BGE 123 V 262 E. 1c S. 264 f.; 120 V 112 E. 2c/aa und bb S. 117 f. mit Hinweisen). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde (BGE 123 V 262 E. 1c S. 265 mit Hinweisen).
2.1.3 Für den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG ist die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf massgeblich; sie ist relevant, wenn sie mindestens 20 % beträgt und sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirkt oder ausgewirkt hat (Urteile 9C_18/2009 vom 7. April 2009 E. 3.2.1; 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2). Der zeitliche Zusammenhang zur später eingetretenen Invalidität als weitere Voraussetzung für den Anspruch auf Invalidenleistungen der damaligen Vorsorgeeinrichtung beurteilt sich hingegen nach der Arbeits(un)fähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit. Diese Beschäftigungen müssen jedoch bezogen auf die angestammte Arbeit die Erzielung eines rentenausschliessenden Einkommens erlauben (BGE 134 V 20 E. 5.3 S. 27; Urteil 9C_292/2008 vom 22. August 2008 E. 2.2.2).
2.2 Mit Bezug auf die weitergehende berufliche Vorsorge steht es den Vorsorgeeinrichtungen im Rahmen von Art. 6 und Art. 49 Abs. 2 BVG sowie der verfassungsmässigen Schranken (wie Rechtsgleichheit, Willkürverbot und Verhältnismässigkeit) frei, den Invaliditätsbegriff und/oder das versicherte Risiko abweichend von Art. 23 BVG (vgl. E. 2.1) zu definieren (SZS 1997 S. 557, B 40/93 E. 4a; BGE 120 V 106 E. 3c S. 108 f. mit Hinweisen). Während sie im Rahmen der obligatorischen beruflichen Vorsorge jedenfalls die Mindestvorschrift des Art. 23 BVG zu beachten haben (Art. 6 BVG), gilt diese Bestimmung einschliesslich der hierzu ergangenen Rechtsprechung im überobligatorischen Bereich nur, soweit die Reglemente oder Statuten bezüglich des massgebenden Invaliditätsbegriffs oder versicherten Risikos nichts Abweichendes vorsehen (vgl. BGE 123 V 262 E. 1b S. 264; SZS 2006 S. 144, B 33/03 E. 3.2).
2.3 Nach Art. 51 Abs. 2 lit. a des Vorsorgereglements vom 15. Juni 2007 für die Angestellten und die Rentenbeziehenden des Vorsorgewerks Bund (VRAB; SR 172.220.141.1) hat eine versicherte Person Anspruch auf Invalidenleistungen, wenn sie "im Sinne des IVG zu mindestens 40 Prozent invalid ist und bei Beginn der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, bei Publica versichert war (Art. 23 Bst. a BVG)".
2.4 Mit dem klaren Verweis des VRAB auf Art. 23 lit. a BVG steht fest, dass ein allfälliger Rentenanspruch grundsätzlich an dieser Bestimmung und der dazu ergangenen Rechtsprechung (E. 2.1) zu messen ist. Dass die Beschwerdegegnerin bereits unter früherem Recht Invalidenleistungen geschuldet (vgl. die Übergangsbestimmung von Art. 103 Abs. 1 VRAB) oder je ausgerichtet (vgl. BGE 130 V 270) haben soll, ist nicht ersichtlich und wird resp. wurde auch nicht geltend gemacht. Die vorbehaltlose Aufnahme einer Person in die Vorsorgeeinrichtung ändert nichts daran, dass eine überobligatorische Leistungspflicht nur im Rahmen der reglementarischen Voraussetzungen - die im konkreten Fall mit den gesetzlichen übereinstimmen - entsteht. Anders als im von der Beschwerdeführerin angerufenen Urteil B 101/02 vom 22. August 2003 (publiziert in: SVR 2005 BVG Nr. 17 S. 55) ist nicht aktenkundig, dass die belangte Vorsorgeeinrichtung die Versicherte in Kenntnis der bestehenden Teilinvalidität vorbehaltlos und für uneingeschränkte (überobligatorische) Leistungen aufgenommen haben soll; auch die Eintrittsbestätigung vom 10. März 2001 kann in guten Treuen nicht so verstanden werden. Es ist daher nicht von einem Ausnahmetatbestand im Sinne des Vertrauensgrundsatzes auszugehen (SVR 2005 BVG Nr. 17 S. 55, B 101/02 E. E. 4.4; vgl. auch HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 334 N. 914, Fn. 91). Für die Beurteilung der Leistungspflicht in grundsätzlicher Hinsicht ist somit nicht zwischen der gesetzlichen und der weitergehenden Vorsorge zu differenzieren.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Arbeitsunfähigkeit, welche die Zusprache einer ganzen Rente der Invalidenversicherung erstmals ab Juni 1999 und - nach Herabsetzung ab November 2001 resp. Aufhebung ab November 2007 - später wieder ab März 2009 zur Folge hatte, bereits während der Arbeitslosigkeit im Jahr 1998 und damit nicht während des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin eingetreten sei. Seither habe die Einschränkung andauernd über 20 % betragen; während ihrer Anstellung beim Departement sei die Beschwerdeführerin zu keiner Zeit mehr als zu 60 % arbeitsfähig gewesen. Die ursprüngliche Arbeitsunfähigkeit und die später eingetretene Invalidität basierten auf der gleichen Ursache.
Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht, dass diese Feststellungen (zur Unterscheidung von Rechts- und Tatfragen vgl. Urteil 9C_292/2008 vom 22. August 2008 E. 3.2) offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht, dass diese Feststellungen (zur Unterscheidung von Rechts- und Tatfragen vgl. Urteil 9C_292/2008 vom 22. August 2008 E. 3.2) offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
3.2 3.2.1 Dass das kantonale Gericht den sachlichen Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen Invalidität (E. 2.1.2) bejaht hat, wird zu Recht nicht beanstandet, beruhte doch die gesundheitliche Einschränkung stets auf dem im Wesentlichen gleichen psychischen Leiden.
3.2.2 Was die zeitliche Konnexität betrifft, so macht die Beschwerdeführerin geltend, die Beeinträchtigung habe sich nicht auf ihre - im Umfang von 60 % ausgeübte - Tätigkeit beim Departement ausgewirkt, und sie habe dabei ein rentenausschliessendes Einkommen erzielt. Daraus kann sie nichts für sich ableiten. So steht fest, dass sich die ursprüngliche Arbeitsunfähigkeit von 100 % nur aufgrund der damaligen Arbeitslosigkeit nicht sinnfällig auf ein Arbeitsverhältnis auswirkte. Dieses Kriterium ist in einer solchen Situation nicht relevant; immerhin scheinen aber gesundheitliche Gründe ausschlaggebend dafür gewesen zu sein, dass die kantonale Amtsstelle für Arbeitslosenversicherung mit Verfügung vom 4. August 1999 der Beschwerdeführerin ab 3. Juni 1998 die Vermittlungsfähigkeit absprach. Eine Konsequenz für die spätere Tätigkeit ergab sich aber insofern, als sie offensichtlich nur zu 60 % und nicht in einem vollen Pensum ausgeübt werden konnte; dass innerhalb dieses reduzierten Beschäftigungsgrades keine zusätzliche Einschränkung zu Tage trat, liegt weitgehend in der Natur der Sache und ist nicht massgeblich (vgl. Urteil 9C_340/2010 vom 23. November 2010 E. 5.2.2 in fine). Für die Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs ist indessen die Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit erforderlich, sei es zu 100 % oder - in Anlehnung an die rechtsprechungsgemässe Erheblichkeitsgrenze (E. 2.1.3) - zumindest zu 80 %. Das trifft im konkreten Fall nicht zu. Es ist daher im hier interessierenden Kontext auch nicht von Belang, dass die Versicherte vorübergehend ein Gehalt verdiente, das eine Rentenaufhebung nach sich zog. Dieser Aspekt wäre nur von Bedeutung, wenn in einer anderen als der angestammten, dem Leiden besser angepassten Tätigkeit eine (annähernd) vollständige Arbeitsfähigkeit bestünde; dafür fehlt es angesichts des Charakters der Krankheit an Anhaltspunkten. Eine weitergehende resp. eigenständige Bedeutung wird dem Umstand eines rentenausschliessenden Einkommens auch mit BGE 134 V 20 E. 5.3 S. 27 (E. 2.1.3 in fine) nicht beigemessen.
Inwiefern dadurch die berufliche Wiedereingliederung behindert oder die Rechtssicherheit gefährdet werden soll, ist nicht nachvollziehbar. Insbesondere ist die Situation von gesunden, zu 100 % erwerbstätigen Versicherten nicht vergleichbar mit jener von Versicherten, die bei bestehender gesundheitlicher Beeinträchtigung neu eine Teilzeitbeschäftigung im Umfang der verbliebenen Arbeitsfähigkeit aufnehmen, weshalb in Bezug auf die Versicherungsdeckung bei der neuen Vorsorgeeinrichtung eine unterschiedliche Handhabung gerechtfertigt ist.
3.3 Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zu Recht die Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs zwischen Invalidität und ursprünglicher Arbeitsunfähigkeit und folglich auch die Leistungspflicht der Publica verneint. Die Beschwerde ist unbegründet.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Dezember 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann