Sachverhalt:
A. Die 1980 geborene B._ war Sachbearbeiterin bei der Stadt X._ und damit bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA) obligatorisch unfallversichert. Am 26. Mai 2009 meldeten sie der AXA, die Versicherte sei am 10. Mai 2009 in einem Wald von einer Zecke gebissen worden, ohne dass sie dies bemerkt habe; vom 17. bis 19. Mai 2009 habe sie die Arbeit ausgesetzt. Mit Verfügung vom 7. Januar 2010 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht. Dagegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer Einsprache. Letzterer zog sie später zurück. Die Einsprache der Versicherten wies die AXA mit Entscheid vom 29. März 2010 mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen ihren Beschwerden und einem Zeckenbiss am 10. Mai 2009 ab.
B. In Gutheissung der Beschwerde der Versicherten hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und stellte fest, sie habe im Zusammenhang mit dem Zeckenbiss vom 10. Mai 2009 Anspruch auf Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung (Entscheid vom 24. Oktober 2011).
C. Mit Beschwerde beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Entscheides; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Rahmen der Beschwerdebegründung verlangt sie die Rückweisung an sie zwecks Einholung eines externen unabhängigen Aktengutachtens, falls die Sache anhand der vorliegenden Akten nicht abschliessend beurteilt werden könne.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde; es seien ihr die entstandenen Heilungskosten gemäss UVG zuzüglich 5 % Zins und die Abklärungskosten von Euro 606 zu bezahlen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung nicht zu gewähren.
Erwägungen:
1. Die Versicherte beantragt vernehmlassungsweise ausserhalb der Beschwerdefrist (Art. 100 BGG), die AXA habe ihr die Kosten von Euro 606 für das vorinstanzlich eingereichte Aktengutachten des Dr. med. K._, Internist/hausärztl. Versorgung, vom 15. Juni 2011 zu bezahlen. Hierauf ist nicht einzutreten. Denn im Verfahren vor Bundesgericht ist eine solche Anschlussbeschwerde unzulässig, zumal kein kantonaler Rückweisungsentscheid in Frage steht, gemäss welchem die Versicherte teilweise unterlegen wäre (BGE 8C_312/2010 vom 15. Dezember 2011 E. 2). Hievon abgesehen wurde das Rechtsbegehren vorinstanzlich nicht gestellt, weshalb es neu und damit unzulässig ist (Art. 99 Abs. 2 BGG; SVR 2010 BVG Nr. 41 S. 155 E. 1.2 [9C_1049/2010]). Zudem ist die erstmals vor Bundesgericht aufgelegte Rechnung des Dr. med. K._ vom 15. Juni 2011 ein unzulässiges Novum, zumal nicht dargelegt wird, dass deren vorinstanzliche Beibringung prozessual unmöglich und objektiv unzumutbar war (vgl. E. 4.1 hienach).
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 2.1 S. 232) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Rechtsprechung, wonach der Zeckenstich sämtliche Merkmale des Unfallbegriffs (Art. 4 ATSG) erfüllt (BGE 122 V 230; SVR 2008 UV Nr. 3 S. 11 E. 3 [U 155/06]). Darauf wird verwiesen. Beizupflichten ist der Vorinstanz weiter, dass es nicht entscheidend ist, ob sich die versicherte Person an einen Zeckenstich erinnern kann. Massgebend ist, ob aufgrund der fachärztlichen Stellungnahmen darauf geschlossen werden kann, dass im Zeitpunkt der vorhandenen Versicherungsdeckung überwiegend wahrscheinlich von einem Zeckenstich auszugehen ist, der die Gesundheitsschädigung bewirkt hat (Urteil U 208/05 vom 18. Januar 2006 E. 5.3). Der erfolgte Kontakt mit dem Borreliose-Erreger kann mit serologischen Untersuchungen belegt werden; indessen genügen diese nicht für den Schluss auf eine daraus entstandene Lyme-Borreliose. Deren Diagnose - gleich welchen Stadiums - setzt ein entsprechendes klinisches Beschwerdebild und den Ausschluss von Differentialdiagnosen voraus, wobei je nach Krankheitsstadium ein pathologischer laborchemischer Test die Wahrscheinlichkeit der Diagnose erhöhen kann. Ebenso hilfreich können bei rückblickender Einschätzung der Verlauf und die Ergebnisse einer Therapie sein. Weitere Indizien sind denkbar (SVR 2008 UV Nr. 3 S. 11 E. 4.3; Urteil 8C_695/2010 vom 9. Juni 2011 E. 5; NORBERT SATZ, Klinik der Lyme-Borreliose, 3. Auflage, Bern 2010, S. 189 f. Ziff. 6.1 und S. 525 ff., insbes. S. 529; J. EVISON und Mitautoren, Abklärung und Therapie der Lyme-Borreliose bei Erwachsenen und Kindern, Empfehlungen der Schweizerischen Gesellschaft für Infektiologie, Teil 1: Epidemiologie und Diagnostik, in: Schweizerische Ärztezeitung 2005, S. 2332 ff., S. 2333 Ziff. 3).
4. Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte am 10. Mai 2009 einen Zeckenstich erlitten hat, auf den ihre gesundheitlichen Beschwerden natürlich und adäquat kausal zurückzuführen sind (betreffend die adäquate Kausalität vgl. RKUV 2001 Nr. U 432 S. 321 [U 245/99]).
4.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was von der Partei näher darzulegen ist (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194; SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63 E. 4 [8C_239/2008]). Solche Umstände können namentlich in formellrechtlichen Mängeln des angefochtenen Entscheids liegen, mit denen die Partei nicht rechnete und nach Treu und Glauben nicht zu rechnen brauchte, oder darin, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit unechter Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (nicht publ. E. 2.3 des Urteils BGE 135 V 163, in SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109 [9C_920/2008]; Urteil 8C_131/2011 vom 5. Juli 2011 E. 3). Die AXA reicht neu eine Akten-Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. T._, physikalische Medizin und Rehabilitation spez. Rheumaerkrankungen FMH, vom 5. Dezember 2011 ein, macht hiefür aber keine relevanten Gründe geltend. Diese Stellungnahme muss somit bei der Beurteilung unbeachtet bleiben. Hieran ändert ihr Vorbringen nichts, Dr. med. T._ beschränke sich lediglich darauf, die Schlüssigkeit und Wertigkeit der Schlussfolgerungen der Dres. med. S._, Facharzt für Innere Medizin FMH, und K._ anhand von allgemein zugänglicher Fachliteratur zu überprüfen. Soweit die AXA zusätzlich solche Fachliteratur auflegt, fällt dies nicht unter das Novenverbot (nicht publ. E. 2.3 des Urteils BGE 136 V 395, in SVR 2011 KV Nr. 5 S. 20 E. 2.3 [9C_334/2010]).
4.2 Unzulässig ist der Verweis der AXA auf Ausführungen in ihren vorinstanzlichen Rechtsschriften (BGE 134 II 244; SVR 2010 UV Nr. 9 S. 35 E. 6 [8C_286/2009]).
5.1 5.1.1 Dr. med. N._, beratender Arzt der AXA, führte in der Akten-Stellungnahme vom 30. Juni 2009 aus, in der Unfallmeldung vom 26. Mai 2009 habe die Versicherte dargelegt die "Zecke hat mich gebissen, ohne dass ich es bemerkt habe". Am 6. Juni 2009 habe sie geschrieben "nach dem Waldbesuch spürte ich ein Kribbeln auf meinem Körper, habe danach geduscht, konnte keine Zecke sehen". Anderseits habe Dr. med. S._ im Zeugnis vom 12. Juni 2009 "bemerkter Zeckenstich" bzw. Status nach Zeckenstich, Lyme-Borreliose angegeben. In der Serologie vom 29. Mai 2009 werde erwähnt, die Reaktion sei unspezifisch und könne nicht interpretiert werden; es liege ein leicht erhöhter Borrelien-IgG- und IgM-Suchtest vor; zudem sei empfohlen worden, diesen Befund nach einigen Wochen zu wiederholen. Die Diagnose einer Borreliose sei im jetzigen Zeitpunkt nicht überwiegend wahrscheinlich. Es fehlten der nachgewiesene Zeckenstich, das nachgewiesene Erythem und eine für Borreliose sprechende Klinik. Zudem scheine das Resultat der Laboruntersuchung nicht zuverlässig zu sein. In der Akten-Stellungnahme vom 30. November 2009 legte Dr. med. N._ dar, der jetzige serologische Verlauf (Laborbefund vom 28. August 2009) bestätige seine erste Beurteilung, dass eine Zeckenexposition am 10. Mai 2009 nur möglich, aber nicht überwiegend wahrscheinlich sei.
5.1.2 Der die Versicherte seit 29. Mai 2009 behandelnde Dr. med. S._ führte im Bericht vom 28. April 2010 aus, die Versicherte habe anfangs Mai 2009 einen Zeckenstich bemerkt. Es hätten Nackenschmerzen, Müdigkeit, grippeartige Symptome und Ameisenlaufen in der Kopfhaut begonnen. Es sei kein Erythema migrans (Wanderröte), jedoch seien circa zwei Wochen später grippale Symptome und passagere Schmerzen und Schwellungen an zahlreichen Gelenken, die wieder spontan abgeklungen seien, aufgetreten. Sie sei mit Spiralgin behandelt worden. Bei der jetzigen Untersuchung habe physikalisch kein wesentlicher pathologischer Befund erhoben werden können. Die speziellen Untersuchungen bezüglich Borrelia burgdorferi hätten bei erhöhtem IgG-Antikörpertiter im Western Blot ein Resultat ergeben, das mit einem kurzfristigen Immunkontakt vereinbar sei. Die KBR (Komplementbindungsreaktion) sei normal ausgefallen. Aufgrund der vorliegenden Resultate habe mit Eindeutigkeit die Diagnose einer Lyme-Borreliose im Stadium I mit Allgemeinsymptomen gestellt werden können. In der Kontrolluntersuchung nach drei Monaten sei die Versicherte weiterhin beschwerdefrei gewesen und der IgG-Titerwert habe sich normalisiert. Das Fehlen eines Erythema migrans sei kein Argument gegen das Vorliegen einer Lyme-Borreliose, sondern der Normalfall. Nur 30 % aller Lyme-Borreliosen machten ein Erythema migrans durch. Hier habe das Krankheitsstadium I der Lyme-Borreliose mit Allgemeinsymptomen bestanden. Diese Manifestation sei ebenso häufig wie das Erythema migrans. Die Versicherte habe erhöhte IgG- und IgM-Titerwerte aufgewiesen. Im Western Blot hätten richtigerweise nur unspezifische Antikörper gegen Flagelin nachgewiesen werden können. Diese unspezifischen Antikörper könnten aber trotzdem vom Erreger Borrelia burgdorferi stammen. Diese Annahme werde dadurch bestätigt, dass sich der IgG-Antikörpertiter nach drei Monaten wieder normalisiert habe. Dieser Titerverlauf sei typisch für ein Lyme-Borreliose Stadium I, das komplikationslos ausheile. Wären die Titer unspezifisch erhöht gewesen, hätte sich dies auch bei der zweiten Blutuntersuchung gezeigt. Auch der klinische Verlauf spreche für eine Lyme-Borreliose: Zeckenstich, ca. zwei Wochen später zeitgerecht Auftreten von grippalen Symptomen mit Beschwerden an den Gelenken, die alle spontan ausgeheilt seien. Dr. med. K._ stimmte in der Akten-Stellungnahme vom 15. Juni 2011 den Schlussfolgerungen des Dr. med. S._ zu.
5.2 Die Vorinstanz stellte auf die Einschätzung des Dr. med. S._ ab, die von Dr. med. K._ bestätigt worden sei. Es sei somit überwiegend wahrscheinlich, dass die Versicherte am 10. Mai 2009 von einer Zecke gebissen worden sei. Die von ihr beklagten Beschwerden, die zur Arbeitsunfähigkeit vom 17. bis 19. Mai 2009 geführt hätten, seien natürlich kausal auf diesen Zeckenbiss zurückzuführen.
6. 6.1 Unbestritten ist die vorinstanzliche Feststellung, die Versicherte habe den umstrittenen Zeckenstich vom 10. Mai 2009 nicht bemerkt. Dr. med. S._ und und der seinen Bericht bestätigende Dr. med. K._ gingen somit zu Unrecht von der gegenteiligen Prämisse aus (E. 5.1.2 hievor). Der Vorinstanz ist zwar beizupflichten, dass es nicht allein entscheidend ist, ob sich die Versicherte an einen Zeckenstich erinnern kann bzw. ob sie einen solchen bemerkte. Denn dieser bleibt häufig, nämlich in bis zu 50 % der Erkrankungsfälle, unbemerkt (Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch, 2012, 263. Aufl., Berlin 2011, S. 1241; J. EVISON und Mitautoren, a.a.O., S. 2333 Ziff. 3). Richtig erkannt hat die Vorinstanz auch, dass die Erythema migrans, die bei der Versicherten fehlte, keine obligate Manifestation der Lyme-Borreliose ist. In Europa liegt sie nur bei 20 bis 30 % der Patienten vor (Satz, a.a.O., S. 190 Ziff. 6.2; J. EVISON und Mitautoren, a.a.O., S. 2375 Ziff. 6.1). Indessen lässt die Aktenlage nicht ohne Weiteres den Schluss zu, der Gesundheitsschaden der Versicherten sei natürlich und adäquat kausal auf einen Zeckenstich zurückzuführen.
6.2 Die AXA bestreitet nicht, dass die Beschwerden der Versicherten, die das Spital Y._ am 17. Mai 2009 (Gelenkschmerzen und -schwellungen, Erschöpfung, Fieber, Schlafstörungen, Herzrasen, Nervosität, Durchfall) und Dr. med. S._ am 28. April 2010 (E. 5.1.2 hievor) beschrieben, Symptome sind, die auch bei einer Lyme-Borreliose-Infektion auftreten können (Satz, a.a.O., S. 265 Ziff. 7.4; J. EVISON und Mitautoren, a.a.O., S. 2333 Ziff. 3; Pschyrembel, a.a.O., S. 1241; Urteil U 282/04 vom 14. März 2005 E. 2.2). Die Allgemeinsymptome können sich wenige Tage bis Wochen nach der Infektion bilden (vgl. Arbeitsgemeinschaft der Wissenschaftlichen Medizinischen Fachgesellschaften [AWMF], Leitlinien der Deutschen Gesellschaft für Neurologie, Neuroborreliose, Ziff. 3, www.awmf.org).
Zu beachten ist jedoch, dass die Versicherte gemäss dem Bericht des Spitals Y._ vom 17. Mai 2009 zwar seit drei Tagen, mithin erst nach dem fraglichen Zeckenstich vom 10. Mai 2009, über zunehmende Schmerzen und Schwellungen an Finger-, Hand- und Zehengelenken klagte, aber bereits in den letzten 10 Tagen vor diesem Bericht und damit schon vor dem 10. Mai 2009 häufig erschöpft und nervös war, schlecht schlafen konnte sowie erhöhte Temperatur und Herzrasen hatte. Das Spital Y._ diagnostizierte eine Oligoarthritis, dd reaktiv, rheumatoid; empfohlen wurde bei Beschwerdepersistenz die Bestimmung von Rheumafaktoren und Anti CCP sowie von Chlamydien und Gonokokken im Erststrahl-Urin und die serologische Bestimmung von Borrelien; weiter käme auch eine Abklärung bezüglich Hepatitis C in Betracht. Am 26. Juni 2009 teilte das Spital Y._ der AXA mit, es handle sich nicht um einen Unfall, ohne dies jedoch zu begründen. Anderseits äusserten sich aber die Dres. med. S._ und K._ (E. 5.1.2 hievor) in keiner Weise zu der vom Spital Y._ ins Auge gefassten Diagnose, welche das klinische Beschwerdebild anders erklärt, bzw. zu den von diesem vorgeschlagenen weiteren Abklärungen.
Gemäss der Literatur findet die Serokonversion für IgM 3-5 Wochen und für IgG 6-8 Wochen nach der Lyme-Borrliose-Infektion statt (J. EVISON und Mitautoren, a.a.O., S. 2333 Ziff. 5.2). Vorliegend waren der Elisa-IgG-Test mit 20 U/ml und der Elisa-IgM-Test mit 16 U/ml aber bereits am 29. Mai 2009 positiv, somit 19 Tage nach dem angegeben Zeckenstich. Es geht hier mithin um die Interpretation von infektserologischen Laborwerten, welche die involvierten Ärzte unterschiedlich vornahmen (E. 5.1.1 f. hievor). Die Interpretation der serologischen Befunde bereitet nicht selten Schwierigkeiten (J. EVISON und Mitautoren, a.a.O., S. 2333 Ziff. 3; Pschyrembel, a.a.O., S. 1242; vgl. auch Urteil U 117 /06 vom 2. August 2006 E. 3).
Nach dem Gesagten ist die Aktenlage unklar und widersprüchlich. Bei den Folgen eines allfällig erlittenen Zeckenbisses handelt es sich um spezial-medizinische, unter den beteiligten Ärzten umstrittene Fragen, die das Gericht nicht durch freie Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c in fine ATSG) zu Gunsten der einen oder anderen fachlichen Betrachtungsweise entscheiden kann. Der Umstand, dass die Dres. med. S._ und K._ in ihren Einschätzungen übereinstimmen, kann nicht als ausschlaggebend angesehen werden, da Letzterer in seiner Akten-Stellungnahme, die in materieller Hinsicht knapp zwei Seiten umfasste, im Wesentlichen praktisch kritiklos die Argumente des Ersteren übernahm (E. 5.1.2 hievor). Die Sache ist daher an die AXA zurückzuweisen, damit sie zur Klärung der Frage, ob ein Zeckenstich überwiegend wahrscheinlich einen massgeblichen Ursachenanteil am Beschwerdebild hat, ein versicherungsexternes Gutachten einhole und danach über den Leistungsanspruch neu verfüge (vgl. auch Urteile 8C_695/2010 E. 6.9 und U 117 /06 E. 3).
7. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit heutigem Urteil gegenstandslos.
8. Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235). Die AXA hat keinen Parteientschädigungsanspruch (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [8C_606/2007]).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Oktober 2011 und der Einspracheentscheid der AXA vom 29. März 2010 aufgehoben werden und die Sache an die AXA zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch neu verfüge.
2. Auf den Antrag der Beschwerdegegnerin auf Bezahlung der Abklärungskosten von Euro 606 wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar