Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass auf eine Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung, Erpressung und Verleumdung mangels Vorliegens eines strafbaren Verhaltens nicht eingetreten wurde. Es geht um eine Strafsache, weshalb die "verfassungsmässige Beschwerde" als eine solche gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen ist. Da die Staatsanwaltschaft am kantonalen Verfahren beteiligt war, ist der Beschwerdeführer indessen nicht Privatstrafkläger im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG. Er ist auch nicht Opfer im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG, weil er durch die angezeigten Straftaten nicht in seiner körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Art. 2 Abs. 1 OHG). Als Geschädigter, der nicht Opfer ist, ist er zur vorliegenden Beschwerde nicht legitimiert (BGE 133 IV 228). Soweit er Verfahrensfehler geltend macht, genügt die Beschwerde den strengen Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Der Hinweis darauf, dass er Anspruch auf ein faires Verfahren habe, reicht nicht aus. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
3. Der Beschwerdeführer wohnt in Thailand. In seiner Beschwerde hat er ein Anwaltsbüro in Bern als Zustelldomizil in der Schweiz im Sinne von Art. 39 Abs. 3 Satz 1 BGG verzeigt. Nachdem dieses Büro noch den Kostenvorschuss überwiesen hatte, teilte es dem Bundesgericht mit Kopie an den Beschwerdeführer mit, dass es fortan nicht mehr Rechtsdomizil für den Beschwerdeführer verzeigen werde (act. 9). Dieser hat es unterlassen, dem Bundesgericht ein neues Zustelldomizil anzuzeigen. Folglich ist nach Art. 39 Abs. 3 Satz 2 BGG vorzugehen. Es rechtfertigt sich, das Dispositiv des vorliegenden Urteils auf dem Ediktalweg mittels Publikation im Bundesblatt zu eröffnen. Das für den Beschwerdeführer bestimmte Exemplar des begründeten Entscheids wird einstweilen im Dossier deponiert.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Beschwerdeführer im Dispositiv auf dem Ediktalweg, und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn