Faits:
A. Y._ et X._ sont les parents de A._, née le 25 janvier 2006.
Le 5 juillet 2006, X._ a quitté le domicile où elle vivait avec Y._ en emmenant l'enfant. Son compagnon ayant lancé un avis de disparition, elle a rapidement été retrouvée et a ramené l'enfant chez le père.
B. Par décision d'urgence du 12 juillet 2006, la Justice de paix de M._ a retiré à la mère la garde de l'enfant et l'a confiée au père; elle a encore instauré une curatelle au sens de l'art. 308 CC en faveur de l'enfant. Par décisions provisoires des 16 novembre, 4 décembre 2006 et 5 février 2007, cette autorité a confirmé l'octroi de la garde de l'enfant au père et a fixé le droit de visite de la mère.
Mandaté par la Justice de paix, le Service de l'enfance et de la jeunesse (ci-après : SEJ) a déposé le 28 juin 2007 un rapport d'enquête sociale sur la situation de l'enfant.
Par décision du 3 septembre 2007, la Justice de paix a confié la garde de l'enfant à la mère en réglant provisoirement le droit de visite du père jusqu'à l'établissement d'une convention réglant définitivement cette question.
C. Y._ a formé recours contre cette décision auprès de la Chambre des tutelles de l'arrondissement de la Sarine.
Sur mandat de cette autorité, le Service de pédopsychiatrie cantonal fribourgeois a déposé un rapport d'expertise daté du 27 mai 2008.
Par jugement du 30 octobre 2009, la Chambre des tutelles a annulé la décision du 3 septembre 2007, retiré le droit de garde de l'enfant à la mère, placé l'enfant chez le père et réglé le droit de visite de la mère en maintenant la curatelle éducative.
La Chambre des tutelles du Tribunal cantonal fribourgeois a, le 3 février 2010, rejeté le recours déposé par X._ contre ce jugement, tout en complétant d'office le dispositif en attribuant la garde de l'enfant à la Justice de paix.
D. Le 12 mars 2010, X._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle demande l'annulation de l'arrêt cantonal, l'attribution en sa faveur de la garde de l'enfant et la fixation d'un droit de visite du père à raison d'un week-end sur deux, d'une semaine à Noël, d'une semaine à Pâques et de quinze jours en été. Elle prend également des conclusions en paiement par le père d'une contribution d'entretien en faveur de l'enfant et requiert l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Interjeté dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF) par la dernière juridiction cantonale (art. 75 al. 1 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
2. Il peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Le Tribunal fédéral applique en principe le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), à savoir s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4).
3. Dans un premier grief, la recourante se plaint "d'arbitraire dans le comportement des juges cantonaux". A ses yeux, il est contradictoire et choquant de rejeter le recours tout en modifiant partiellement le dispositif sur l'attribution de la garde à la Justice de paix.
Dans l'arrêt attaqué, les juges cantonaux ont rappelé que lorsqu'un enfant est placé chez son père biologique qui ne dispose pas de l'autorité parentale et, par conséquent, n'est pas titulaire du droit de garde, celui-ci est confié à l'autorité tutélaire (ATF 128 III 9). Le dispositif du 30 octobre 2009 ne mentionnant que le retrait de la garde à la mère et le placement de l'enfant chez l'intimé, ils l'ont complété d'office en mentionnant l'attribution de la garde à la Justice de paix. En ce qui concerne le grief de la recourante, l'arrêt cantonal n'indique pas que celle-ci ait formulé devant l'autorité précédente une conclusion, prise éventuellement à titre subsidiaire, tendant à l'attribution de la garde à la Justice de paix. La recourante ne prétend d'ailleurs rien de tel. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher aux juges précédents d'avoir versé dans l'arbitraire en rejetant le recours.
4. La recourante invoque la protection de l'abus de droit. Elle reproche à l'autorité précédente d'avoir tardé à statuer entre le 12 juillet 2006 et le 3 février 2010 "fabriquant ainsi de toutes pièces le critère de stabilité de vie" de l'enfant, sur lequel l'autorité s'est ensuite appuyée pour reconduire le placement de l'enfant chez le père.
Cette critique, empreinte de mauvaise foi, ne résiste pas à l'examen. Elle repose sur l'affirmation lapidaire selon laquelle l'autorité cantonale aurait tardé à statuer entre les dates du 12 juillet 2006 au 3 février 2010. La recourante développe à peine son grief sur ce point, si ce n'est pour présenter une version biaisée du déroulement de la procédure. A supposer qu'il faille entrer en matière sur une argumentation aussi indigente au regard des exigences de motivation déduites de l'art. 42 al. 2 LTF, force est de constater que l'autorité cantonale n'a pas "omis de statuer pendant près de quatre ans". La recourante passe sous silence que, pendant ces quatre années, le présent litige a notamment fait l'objet de plusieurs rapports concernant l'exercice du droit de visite, d'un rapport d'enquête sociale, d'un rapport de pédopsychiatrie, de cinq décisions de la Justice de paix (décisions des 12 juillet 2006, 16 novembre 2006, 4 décembre 2006, 5 février 2007, 3 septembre 2009), la dernière de ces décisions ayant été contestée devant la Chambre des tutelles de l'arrondissement de la Sarine, puis devant le Tribunal cantonal, lequel a rendu l'arrêt attaqué le 3 février 2010. A aucun moment au cours de la procédure, la recourante ne s'est plainte de déni de justice pour le motif que les autorités auraient tardé à statuer, ce qu'elle ne met nullement en évidence dans le présent recours. De surcroît, son affirmation selon laquelle les autorités auraient délibérément fait traîner la procédure dans le but de "fabriquer de toutes pièces le critère de la stabilité", ne se fonde sur aucun élément concret. En tout état de cause, en tenant compte du besoin de stabilité de l'enfant, les autorités précédentes ont tenu compte d'un critère pertinent, auquel jurisprudence et doctrine accordent une importance décisive lorsqu'il s'agit de statuer sur la reprise d'un enfant placé chez un parent nourricier (cf. consid. 6.1 infra).
5. Dans un grief difficilement compréhensible, la recourante dénonce une violation de l'art. 8 CC. Elle affirme d'une part que les juges cantonaux ne pouvaient attribuer la garde de l'enfant sans établir les besoins de celle-ci liés à son âge. D'autre part, en omettant de comparer les capacités éducatives des parents, elle soutient que les magistrats précédents ont favorisé l'attribution de la garde à la Justice de paix, inversant ainsi le fardeau de la preuve.
Dans la mesure où la recourante prétend que les magistrats cantonaux n'ont pas établi les besoins de la fillette en relation avec son âge, le grief ne relève pas de l'art. 8 CC qui, pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral, répartit le fardeau de la preuve et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 127 III 519 consid. 2a; 126 III 189 consid. 2b). Tel que formulé, il relève plutôt de la maxime inquisitoire qui s'applique à tous les stades dans les mesures de protection de l'enfant (arrêt 5C.112/2001 du 30 août 2001 consid. 2c/aa in FamPra.ch 2002 p. 405) et prescrit au juge d'établir les faits d'office (ATF 128 III 411 consid. 3.2.1). Quoi qu'il en soit, les besoins de la fillette ont été analysés dans les expertises du 28 juin 2007 et du 27 mai 2008, qui ont mis en exergue le besoin de stabilité et de continuité des relations affectives de l'enfant; ces constatations ont ensuite été reprises par les juges cantonaux, de sorte qu'on ne saurait leur reprocher de ne pas avoir instruit la cause au sujet des besoins de la fillette.
Enfin, en tant que la recourante dénonce un renversement du fardeau de la preuve pour le motif que l'arrêt attaqué ne compare pas "les capacités éducatives de la mère et celles de l'autorité tutélaire", son grief est incompréhensible, de sorte qu'il ne sera même pas examiné, faute de motivation suffisante (art. 42 al. 2 LTF).
6. La recourante soutient qu'en refusant de lui transférer la garde de la fillette, les juges précédents ont violé l'art. 310 al. 1 CC.
6.1 Selon l'art. 310 al. 1 CC, lorsqu'elle ne peut éviter autrement que le développement de l'enfant ne soit compromis, l'autorité tutélaire retire l'enfant aux père et mère ou aux tiers chez qui il se trouve et le place de façon appropriée. Comme l'application de ces mesures est régie par le principe de la proportionnalité, elles doivent être levées dès que le besoin de protection n'existe plus ou être remplacées par une mesure plus légère si l'évolution de la situation le permet. Les modifications qui s'imposent sont prises d'office ou à la requête de tout intéressé (art. 313 al. 1 CC; cf. aussi ATF 120 II 384 consid. 4d).
La reprise d'un enfant placé chez un/des parent/s nourricier/s se détermine ainsi selon des critères différents que ceux qui prévalent lors de la décision du retrait de la garde (arrêt 5P.116/2002 du 15 avril 2002 consid. 4.3). A ce stade, il faut prendre en considération le besoin de stabilité de l'enfant et l'importance de la continuité des relations affectives. Il faut éviter qu'un enfant qui a vécu longtemps chez des parents nourriciers et s'est enraciné auprès de ceux-ci soit enlevé à ce milieu, de sorte que cela mette sérieusement en danger son développement psychologique ou physique (arrêt 5P.116/2002, 5C.28/2007 du 3 avril 2007 consid. 2.2). Tel sera le cas si l'enfant s'est véritablement intégré chez les parents nourriciers et si ceux-ci sont devenus ses principales références (MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 4ème éd., 2009, n° 1175). Il faut examiner si la relation psychique entre le parent naturel et l'enfant est intacte et si les capacités éducatives et le sens des responsabilités du parent permettent de justifier le transfert de la garde. Seul l'intérêt de l'enfant est déterminant pour décider de son retour auprès de sa mère (arrêt 5C.28/2007 du 3 avril 2007 consid. 2.2). Dès lors que l'application des art. 310 ss CC suppose une pesée d'intérêts de la part des autorités cantonales, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue en revoyant leurs décisions (ATF 120 II 384 consid. 5b).
6.2 Dans le cas particulier, bien que le père ne dispose pas de l'autorité parentale et donc n'est pas titulaire du droit de garde, il doit être considéré comme un parent nourricier (ATF 128 III 9; 120 Ia 260). Il s'agit de vérifier si le placement de l'enfant chez lui (et l'attribution de la garde à la Justice de paix) doit être maintenu ou s'il se justifie de rétablir la garde en faveur de la mère.
Il résulte des faits de l'arrêt attaqué que l'enfant est placée chez son père depuis près de trois ans et demi. Selon le rapport d'expertise pédopsychiatrique du 27 mai 2008, le père présente d'excellentes compétences éducatives et la situation de vie de la fillette chez lui donne entière satisfaction. Lorsqu'il travaille, elle est confiée à l'une ou l'autre de ses grand-mères, ce qui lui permet de garder des liens étroits avec sa famille élargie des deux côtés. Dès le mois de juin 2010, l'épouse de l'intimé prendra également soin de l'enfant, en alternance avec les deux grand-mères. Le rapport note que l'enfant grandit ainsi entre plusieurs personnes de référence dans un cadre cohérent. S'agissant des relations avec la mère, le père a toujours favorisé de manière optimale le contact entre celle-ci et l'enfant.
En ce qui concerne la mère, le rapport d'enquête sociale du Service de l'enfance et de la jeunesse du 28 juin 2007 et le rapport d'expertise pédopsychiatrique du 27 mai 2008 mentionnent que celle-ci a un bon contact avec sa fille et une volonté sincère de s'en occuper. Les deux rapports la décrivent toutefois comme une personne relativement instable, dont la fiabilité pourrait se révéler incertaine en situation de stress; elle l'est en particulier en ce qui concerne ses projets d'avenir. La cour cantonale a noté que cette instabilité constatée par les experts se retrouvait dans les circonstances de la séparation, puis dans le comportement de la recourante dans les mois qui ont suivi : celle-ci est partie sans préavis vivre en Valais avec sa compagne rencontrée neuf jours auparavant sur internet et n'a pas exercé son droit de visite de juillet à décembre 2006, hormis à une reprise. Sa stabilité actuelle dépend dans une large mesure de sa compagne, qui l'entretient quasi-entièrement. En rupture avec sa propre famille, la recourante ne dispose que d'une très faible autonomie matérielle et personnelle. Sans formation professionnelle, elle est dépourvue de fortune et ne travaille qu'à domicile, un après-midi par semaine. Elle n'envisage pas de prendre une activité lucrative, ni encore de passer à court terme un permis de conduire. Elle n'a de téléphone qu'au nom de son amie et ne s'occupe pas du tout des affaires du ménage. Le rapport du 28 juin 2007 a également mis en exergue l'ascendant de la compagne de la recourante sur celle-ci et l'instrumentalisation de l'enfant, placée au coeur d'un combat tendant à prouver l'homophobie des autorités. Les juges cantonaux ont relevé que les interventions de la compagne qui a souvent servi d'intermédiaire pour l'organisation des visites, n'ont pas favorisé un apaisement des tensions entre les parties. Ils ont observé des difficultés récurrentes dans l'organisation du droit de visite, du fait de la recourante (manque de coopération avec la curatrice, refus d'échange de week-end de visite pour que A._ assiste au mariage de sa marraine en prétextant que le père "avait déjà trop profité", grandes difficultés dans le passage de l'un à l'autre parent, avertissement à la dernière minute de son impossibilité de venir chercher ou de reconduire A._, refus de communiquer à l'intimé un numéro de téléphone portable). Enfin, les juges cantonaux ont constaté que, bien que la recourante ait déclaré en séance être disposée à accorder au père un droit de visite équivalent à celui dont elle dispose, elle avait conclu formellement à la fixation d'un simple droit de visite (un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires) alors même que l'intimé s'était occupé de l'enfant de façon prépondérante quasiment depuis sa naissance.
Se fondant sur ces constatations, la cour cantonale a considéré que la stabilité de la mère demeurait relative et fragile et qu'elle offrait une fiabilité limitée. En outre, elle n'offrait pas de garanties quant au maintien de relations étroites de l'enfant avec le père et avec la famille élargie, tant paternelle que maternelle. Ceux-ci lui offrent depuis sa naissance un cadre de référence qui réunit toutes les conditions nécessaires à son épanouissement. Dans ces conditions, la cour cantonale a jugé qu'un transfert de la garde représenterait pour l'enfant un déracinement qui risquait de compromettre sérieusement son développement. Le besoin de stabilité du cadre socio-éducatif et psychologique devait l'emporter sur le bouleversement des habitudes et du cadre de vie de la fillette.
6.3 La cour cantonale a ainsi décrit de manière détaillée toutes les circonstances pertinentes et a opéré une soigneuse pesée d'intérêts qui ne souffre aucune critique, eu égard à la marge d'appréciation dont elle dispose.
C'est en vain que la recourante reproche aux juges cantonaux de s'être fondés sur une "absence temporaire datant de 2006" et des rapports obsolètes "datant de 2007" pour en tirer un manque de fiabilité et de stabilité de sa part. Il faut rappeler en premier lieu que, dans la mesure où la question à résoudre nécessite de faire un pronostic quant à la stabilité de la recourante, son comportement antérieur est un élément déterminant (ATF 120 II 384 consid. 4d). Par ailleurs, il est faux de prétendre que les juges précédents, qui ont statué le 3 février 2010, se sont contentés du seul rapport de 2007. Ils ont fondé leurs constatations également sur le rapport du 27 mai 2008 ainsi que sur les interrogatoires des parties qui ont eu lieu le 24 septembre 2009 devant la Chambre des tutelles de l'arrondissement et le 3 février 2010 devant l'autorité précédente. A ces occasions, les parties ont été entendues au sujet de leur situation personnelle. Il n'apparaît pas que celle de la recourante ait évolué significativement depuis les rapports d'expertise. Elle a certes un téléphone portable à son nom dont elle refuse toutefois de communiquer le numéro à l'intimé; l'exercice du droit de visite reste toujours problématique même s'il s'est un peu amélioré depuis que l'intimé traite avec le père de la recourante. Peu importe enfin que le lieu de vie de la recourante en Valais n'ait pas été visité. Comme le relève l'arrêt attaqué, il n'est nullement retenu que le milieu de la mère n'est pas adéquat. Ce qui est déterminant, c'est que la stabilité et la fiabilité de celle-ci demeurent limitées, qu'elle n'offre pas de garanties quant au maintien de relations étroites avec le père et la famille élargie de l'enfant et que, dans ces conditions, l'éloignement du cadre de vie dans lequel la fillette a grandi jusqu'à maintenant et qui offre toutes les garanties nécessaires à son épanouissement serait de nature à mettre en danger son développement.
En définitive, l'attribution de la garde à la Justice de paix et le placement de l'enfant chez son père doivent être confirmés; cette issue rend sans objet les conclusions tendant à la fixation d'un droit de visite et d'une contribution d'entretien.
7. Le recours étant rejeté dans la mesure de sa recevabilité, les frais seront mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Comme les conclusions prises dans l'acte de recours apparaissaient d'emblée vouées à l'échec, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à se déterminer (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal fribourgeois.
Lausanne, le 10 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Rey-Mermet