Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene V._, als Plattenleger in der Firma M._ AG angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 9. April 2003 einen Verkehrsunfall. Im Kreisverkehr fuhr ein nachfolgender Personenwagen ins Heck des von ihm gelenkten und verkehrsbedingt angehaltenen VW Golf. Im gleichentags aufgesuchten Spital B._ wurde eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und der Lendenwirbelsäule (LWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 3. Dezember 2004 die Einstellung der Leistungen auf den 31. Dezember 2004. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Die von der Helsana Versicherungen AG hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 6. Mai 2005).
B. Die von V._ erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, soweit es darauf eintrat, ebenso ab wie das vom Versicherten gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung (Entscheid vom 25. Oktober 2006).
C. V._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, es seien weiterhin die vollen Taggelder auszurichten; eventuell seien eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen; subeventuell sei die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 9. resp. 10. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus der Auffahrkollision vom 9. April 2003 über den 31. Dezember 2004 hinaus.
Das kantonale Gericht hat die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zum für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133) und nach der für nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen (BGE 117 V 359), äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) geltenden sog. Schleudertrauma-Praxis im Besonderen mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen zutreffend dargelegt.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 9 und 10). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (E. 6.1 des erwähnten Urteils).
Die Frage nach der anwendbaren besonderen Adäquanzprüfungsmethode ist insofern von Bedeutung, als im Falle einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, anders als nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, bei der Prüfung der abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzprüfung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien die psychische Komponente ausser Acht gelassen wird.
3. 3.1 Die SUVA hat im Einspracheentscheid vom 6. Mai 2005 das Vorliegen organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchten, verneint. Die demnach bei Annahme eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 9. April 2003 und den noch geklagten Beschwerden erforderliche Adäquanzprüfung sei unter den gegebenen Umständen nach den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen vorzunehmen. Eine die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigende Verletzung liege nicht vor. Das kantonale Gericht ist zum gleichen Ergebnis gelangt.
3.2 Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage.
Es betrifft dies zunächst die Verneinung einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge. Sämtliche Einwände des Versicherten führen zu keinem anderen Ergebnis. Dies gilt namentlich auch für das neue Vorbringen in der Eingabe vom 9. April 2008, wonach nunmehr mittels MRI-Untersuchung eine Diskushernienproblematik festgestellt worden sei. Entsprechendes wurde in den vorangegangenen, auch auf bildgebende Untersuchungen gestützten Arztberichten nicht erwähnt. Selbst wenn mittels einer neu durchgeführten MRI-Untersuchung Diskushernien festgestellt worden wären, was im Übrigen nicht weiter belegt wird, wäre ein natürlich kausaler Zusammenhang zum Unfall vom 9. April 2003 als unwahrscheinlich zu betrachten. Es erübrigen sich daher Weiterungen zur prozessualen Zulässigkeit dieses nachträglichen Vorbringens des Beschwerdeführers.
Nicht zu beanstanden ist auch die Verneinung einer die Schleudertrauma-Praxis rechtfertigenden Verletzung durch das kantonale Gericht. Sie hält unter der mit BGE 117 V 359 begründeten Rechtsprechung, wonach für die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis nebst der medizinischen Diagnose eines Schleudertraumas der HWS das weitgehende Vorliegen des für eine derartige Verletzung typischen Beschwerdebildes genügte (BGE 117 V 359 E. 4b S. 360), und erst recht im Lichte der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 erhöhten Anforderungen an den Nachweis derartiger Verletzungen stand.
3.3 Entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung hat das kantonale Gericht zu Recht auch auf die Aussagen im Gutachten des Instituts X._, vom 3. Mai 2006 abgestellt. Die Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vermögen keine Zweifel an der Verlässlichkeit der Expertenaussagen zu begründen. Dies gilt sowohl für die erhobenen grundsätzlichen Einwände gegenüber der Begutachtungsstelle, als auch für die Beanstandungen betreffend die Durchführung der medizinischen Untersuchungen. Dass das Gutachten im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren eingeholt wurde, ändert hieran nichts, haben sich doch die berichterstattenden Fachärzte auch ausdrücklich und in überzeugender Weise zu den im vorliegenden Verfahren relevanten medizinischen Gesichtspunkten geäussert.
Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers rechtfertigen ebenfalls keine andere Betrachtungsweise. Dies betrifft namentlich den Hinweis auf das laufende invalidenversicherungsrechtliche Verfahren. Es besteht auch keine Veranlassung für die beantragten ergänzenden medizinischen Abklärungen. Ein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zur Frage des Vorliegens organisch nachweisbarer Unfallfolgen oder aber einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis bei der Adäquanzprüfung zu rechtfertigen vermöchte, ist davon nicht zu erwarten.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat die Frage nach einem natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 13. März 2004 nicht abschliessend beantwortet, da es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang fehle. Dies ist nicht zu beanstanden, wenn die Adäquanz in der Tat zu verneinen ist (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c).
4.2 Der Unfall vom 9. April 2003 ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes (BGE 115 V 133 E. 6 Ingress S. 139) mit der Vorinstanz bei den mittelschweren Unfällen und dort im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen (vgl. RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2 mit Hinweisen, U 380/04). Dass der Unfall schwerer zu gewichten sei, wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zwar geltend gemacht, aber nicht sachbezüglich begründet.
Um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können, müssten demnach von den weiteren, in die Gesamtwürdigung einzubeziehenden Kriterien (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140) entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 140).
Das kantonale Gericht hat dies im Rahmen einer in allen Teilen Gesetz und Praxis entsprechenden Beurteilung verneint. Es hat dabei namentlich auch dem Umstand Rechnung getragen, dass bei der Prüfung der Kriterien psychische Gesichtspunkte ausser Acht zu lassen sind (E. 2 hievor). Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die Erfüllung von Adäquanzkriterien geltend gemacht wird, findet dies in den Akten keine Stütze. Es ist auch nicht ersichtlich, weshalb der in diesem Zusammenhang beantragte Beizug der Akten der Helsana Versicherungen AG ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen vermöchte. Der Umstand, dass die Helsana Krankentaggeld ausgerichtet hat, spricht entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde sogar eher gegen die Unfallkausalität der Beschwerden, für welche vom Krankenversicherer Leistungen erbracht wurden. Es kann im Übrigen vollumfänglich auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden.
5. Die Vorinstanz hat somit einen weiteren Leistungsanspruch des Versicherten zu Recht mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Beschwerden und Unfall verneint.
6. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten ist somit gegenstandslos.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist als aussichtslos zu betrachten, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung, ohne dass deren weitere Voraussetzungen zu prüfen wären, abzuweisen ist (Art. 152 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG; BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 f., 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236, 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Widmer Lanz