Sachverhalt:
A. Die 1938 geborene Dr. med. S._ ist als selbstständigerwerbende Ärztin bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) freiwillig gegen Unfallfolgen versichert. Sie erlitt als Autolenkerin am 27. Februar 2003 und am 5. Juli 2005 je einen Heckauffahrunfall. Nach dem ersten Unfall wurde namentlich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und nach dem zweiten ein HWS-Beschleunigungstrauma diagnostiziert. Die Zürich gewährte nach beiden Unfällen Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Die Leistungen aus dem ersten Unfall stellte der Versicherer mit Verfügung vom 19. Januar 2004 und Einspracheentscheid vom 4. März 2004 auf den 31. Januar 2004 ein. Das wurde letztinstanzlich mit Urteil U 228/05 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (heute: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts) vom 16. März 2006 bestätigt. Bezüglich des Unfalls vom 5. Juli 2005 unterbreitete die Zürich am 8. Juni 2007 einen Erledigungsvorschlag/Vorbescheid, wobei sie davon ausging, ein Leistungsanspruch habe bis 31. Dezember 2005 bestanden. Die Versicherte erhob am 2. Juli 2007 verschiedene Einwände.
Zwischenzeitlich hatte S._ am 10. April 2007 erneut einen Verkehrsunfall erlitten. Der von ihr gelenkte Personenwagen stand als letztes von drei Fahrzeugen innerorts vor einem Fussgängerstreifen. Ein nachfolgender Personenwagen prallte ins Heck des Fahrzeugs der Versicherten. Am 13. April 2007 meldete S._ den Unfall der Zürich, wobei sie angab, ein kranio-zervikales Beschleunigungstrauma erlitten zu haben. Am 14. Mai 2007 erstattete der behandelnde Arzt PD Dr. med. F._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, Bericht. Er führte aus, die Versicherte habe ihn am 11. April 2007 telefonisch konsultiert und am 12. April 2007 zur klinischen Untersuchung aufgesucht. Dabei habe er Folgendes festgestellt: "Arme betreffend Reflexe, Motorik unauffällig. Im linken Oberarm besteht eine Hypästhesie. HWS-Reklination induziert Schwindel. Der Trapezius ist stark verspannt und druckdolent. Die Bewegung der HWS ist in allen Richtungen mindestens 1/3 eingeschränkt". An der Folgeuntersuchung vom 17. April 2007 habe er folgende Befunde erhoben: "Trapezius immer noch verspannt. Die Arme sind neurologisch unauffällig. Seitneigung der HWS geht nicht." Auch am 25. April 2007 habe das gleiche Bild bestanden. Der Trapezius sei massiv verspannt und druckdolent gewesen (Arztbericht 14. Mai 2007). Dr. med. F._ bestätigte auf dem Unfallschein ab 10. April 2007 eine Arbeitsunfähigkeit. Die Zürich liess eine unfallanalytische Expertise vom 12. Juli 2007 erstellen. Mit Verfügung vom 28. August 2007 verneinte sie ihre Leistungspflicht für den Unfall vom 10. April 2007 mit der Begründung, es fehle am natürlichen und am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis und den danach geklagten Beschwerden. Daran hielt die Zürich auf die von S._ und deren Krankenpflegeversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 9. November 2007).
B. S._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich führte einen zweifachen Schriftenwechsel durch, in welchem der Versicherer eine Ergänzung vom 14. Februar 2008 zum unfallanalytischen Gutachten vom 12. Juli 2007 auflegte, und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 6. April 2009 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Zürich zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen aus dem Unfall vom 10. April 2007 zu erbringen.
Die Zürich lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 10. April 2007 Anspruch auf Leistungen der freiwilligen Unfallversicherung nach UVG besteht. Versicherer und Vorinstanz haben dies mit der Begründung verneint, es fehle am natürlichen und am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den danach geklagten Beschwerden.
3. Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen über den Anspruch auf Heilbehandlung (Art. 10 Abs. 1 UVG), Taggeld (Art. 16 Abs. 1 UVG) sowie auf eine Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG) der obligatorischen und gestützt auf Art. 5 Abs. 1 UVG auch der freiwilligen Unfallversicherung nach UVG zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung über den für einen Leistungsanspruch nebst anderem vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie nach der sog. Schleudertrauma-Praxis (BGE 117 V 359; vgl. auch BGE 134 V 109) im Besonderen. Darauf wird verwiesen.
4. Das kantonale Gericht hat unter Hinweis auf die Schleudertrauma-Praxis erwogen, es sei bereits fraglich, ob von einer HWS-Distorsion auszugehen sei. Auch sei nicht das schleudertraumatypische Beschwerdebild geklagt worden. Auffallend sei sodann, dass die Versicherte im Verlauf zunehmend über weitere Beschwerden geklagt habe. Das spreche gegen eine Unfallkausalität und zeige, dass die Beschwerden vielmehr auf die auch altersbedingt angeschlagene Gesundheit zurückzuführen seien. Selbst wenn aber vom Vorliegen einer HWS-Distorsion und einem entsprechenden natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 10. April 2007 ausgegangen würde, wäre ohnehin der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen. Bei der Auffahrkollision hätten keine ausserordentlichen Kräfte auf die Kopf- und Halsregion eingewirkt. Es seien auch sonst keine äusseren Umstände ersichtlich, die geeignet wären, erhebliche und langwierige Gesundheitsstörungen mit entsprechender Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit zu verursachen. Angesichts der tiefen kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderung des Fahrzeuges der Versicherten, der kaum sichtbaren Schäden an den Autos, dem unterlassenen Beizug der Polizei, der Rückkehr der Versicherten an den Arbeitsplatz nach dem Unfall, der Vorstellung beim Arzt erst am übernächsten Tag und den rasch bessernden resp. unspezifischen Beschwerden könne nicht ernsthaft vorgebracht werden, der Unfall sei geeignet gewesen, nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge zu relevanten Beschwerden zu führen. Das Ereignis erscheine vielmehr derart bagatellär, dass ein adäquater Kausalzusammenhang nicht zu ersehen sei.
Die Vorinstanz setzte sich sodann mit dem Einwand der Versicherten auseinander, die Rechtsprechung habe noch nie bei einem HWS-Distorsionstrauma von Anfang an die Adäquanz verneint. Es hat erwogen, die Kausalität könne bei eindeutigen Sachverhalten schon von Beginn weg verneint werden. Der vorliegende Unfall sei zu bagetellär, um eine relevante Beeinträchtigung der Gesundheit herbeizuführen. Denn es bleibe auch bei Auffahrunfällen mit HWS-Distorsionsproblematik beim rechtlichen Grundsatz, dass eine Kausalität zu jedem Zeitpunkt des beabsichtigten Leistungsbezugs gegeben sein müsse. Mit seiner differenzierten Rechtsprechung zu den objektiv nicht nachweisbaren Beschwerden bei Schleudertrauma habe das Bundesgericht eine verlässliche Regelung dieser Fälle herbeiführen wollen, ohne indes elementare juristische Grundsätze zu umgehen.
Zusammenfassend hält der angefochtene Entscheid fest, der Unfall vom 10. April 2007 sei nicht geeignet gewesen, relevante Beschwerden herbeizuführen. Die Zürich habe ihre Leistungspflicht daher zu Recht von Beginn weg verneint.
5. Jeder Anspruch nach UVG auf Leistungen aus einem Unfall setzt - nebst anderem - einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) voraus (vgl. BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181; zuletzt: BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2; zu den entsprechenden Kausalitätserfordernissen im privatrechtlichen Haftpflichtrecht: BGE 123 III 110; 107 II 269; Pra 2002 Nr. 151 S. 816, 4C.215/2001 E. 3a; insbesondere zur Prospekthaftung gemäss Art. 752 OR: BGE 132 III 715 E. 2.1 S. 718 mit Hinweis).
5.1 Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (conditio sine qua non; BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181, 402 E. 4.3.1 S. 406; vgl. auch BGE 132 III 715 E. 2.2 S. 718; je mit Hinweisen).
Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (BGE 129 V 177 E. 3.1; vgl. auch: BGE 132 III 715 E. 3.2 S. 720 f.; je mit Hinweisen).
5.2 Der weiteren Voraussetzung des adäquaten Kausalzusammenhangs kommt sowohl im Sozialversicherungs- als auch im Haftpflichtrecht die Funktion einer Haftungsbegrenzung zu (BGE 129 V 177 E. 3.2 S. 182; 123 III 110 E. 3a S. 112; Urteil 4C.222/2004 vom 14. September 2004 E. 3, nicht publ. in: BGE 131 III 12, aber in: Pra 2005 Nr. 119 S. 829; je mit Hinweisen). Die Adäquanz dient als Korrektiv zum naturwissenschaftlichen Ursachenbegriff, der unter Umständen der Einschränkung bedarf, um für die rechtliche Verantwortung tragbar zu sein (BGE 123 III 110 E. 3a; 123 V 98 E. 3b S. 102).
Der Begriff der adäquaten Kausalität ist in allen Rechtsgebieten identisch (BGE 127 V 102 E. 5b/aa; 123 III 110 E. 3a S. 112). Als adäquate Ursache eines Erfolgs hat ein Ereignis dann zu gelten, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolgs also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (129 V 177 E. 3.2 S. 181 mit Hinweis; 123 III 110 E. 3a S. 112; 119 Ib 334 E. 3c S. 343; Urteil 4C.222/2004 vom 14. September 2004 E. 3, nicht publ. in: BGE 131 III 12, aber in: Pra 2005 Nr. 119 S. 829; je mit Hinweisen).
Hingegen unterscheiden sich die gesetzlichen Haftungsvoraussetzungen. Dies führt mit Rücksicht auf die Besonderheiten des jeweiligen Rechtsgebietes notwendigerweise dazu, dass der Grundsatz der adäquaten Kausalität unterschiedlich angewendet wird, und hat namentlich auch zur Folge, dass im Recht der sozialen Unfallversicherung der Adäquanz als Wertungselement im Hinblick auf eine versicherungsmässig vernünftige und gerechte Abgrenzung haftungsbegründender und haftungsausschliessender Unfälle andere Beurteilungskriterien und Massstäbe zu Grunde gelegt werden als im Haftpflichtrecht (vgl. BGE 127 V 102 E. 5b/aa S. 102 f. mit Hinweisen; BGE 123 III 110 E. 3 S. 111 ff.; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 8.1 S. 119 mit weiteren Hinweisen). Zu beachten gilt es in diesem Zusammenhang, dass die zivilrechtliche Praxis selbst bei weitgehender Preisgabe der steuernden oder begrenzenden Funktion des Adäquanzbegriffs im Gegensatz zum Sozialversicherungsrecht nach Art. 43 f. OR die Möglichkeit zu einem differenzierten Schadensausgleich hat, wenn die Haftungsvoraussetzungen im Grundsatz bejaht werden. Demgegenüber ist mit dem Inkrafttreten des UVG am 1. Januar 1984 das bisherige Kürzungskorrektiv des Art. 91 KUVG durch den neuen Art. 36 UVG stark eingeschränkt worden (BGE 127 V 102 E. 5b/aa S. 103).
5.3 Innerhalb des Sozialversicherungsrechts spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich klar ausgewiesener organischer Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen; vgl. ferner, auch zum Folgenden: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112).
Die Rechtsprechung hat sodann besondere Regeln aufgestellt für die Beurteilung der Adäquanz von organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis nach BGE 115 V 133 werden diese Kriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft. Bei der sog. Schleudertrauma-Praxis hingegen, welche mit BGE 117 V 359 für Schleudertraumen der HWS begründet und auch auf hinsichtlich der Folgen vergleichbare Verletzungsmechanismen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) für anwendbar erklärt wurde, wird auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 und E. 6.2.2 S. 117 mit weiteren Hinweisen). Bei psychischer Schädigung nach einem Schreckereignis kommt wiederum die allgemeine Adäquanzformel zur Anwendung (BGE 129 V 177 E. 4 S. 183 ff.). Gleiches gilt, ausserhalb des Unfallbegriffs, bei psychischen Fehlentwicklungen im Zusammenhang mit UVG-versicherten Berufskrankheiten (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103; 125 V 456 E. 5 S. 461 ff.).
6. Der angefochtene Entscheid nimmt zwar an einer Stelle mit dem Hinweis, der Unfall sei nicht "geeignet gewesen, nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge zu relevanten Beschwerden zu führen" (E. 4 hievor), auf die allgemeine Adäquanzformel Bezug. Aus den weiteren Erwägungen geht aber hervor, dass die Vorinstanz den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Schleudertrauma-Praxis geprüft und verneint hat. Es fragt sich, ob es zulässig ist, die Unfallkausalität von Beginn weg nach dieser Praxis zu beurteilen.
6.1 Bei der Schleudertrauma-Praxis wird davon ausgegangen, dass bei diagnostiziertem, wenn auch organisch nicht objektiv ausgewiesenem, Schleudertrauma der HWS - oder einer adäquanzrechtlich gleich behandelten Verletzung - und Vorliegen eines für diese Verletzung typischen Beschwerdebildes der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der danach eingetretenen Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit in der Regel anzunehmen ist. Liegt eine solche natürlich unfallkausale Verletzung vor, führt dies zu einer besonderen Adäquanzprüfung (erstmals in: BGE 117 V 359 E. 4b S. 360). Daran wurde seither grundsätzlich festgehalten, wobei zwischenzeitlich die Anforderungen an den Nachweis einer die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigenden Verletzung erhöht und die Bestandteil dieser Adäquanzprüfung bildenden Zusatzkriterien teilweise präzisiert wurden (vgl. BGE 134 V 109 E. 9 S. 121 ff. und E. 10 S. 126 ff.).
6.2 Grundlage der Schleudertrauma-Praxis bildet die Erkenntnis, dass ausgehend von den Ergebnissen der medizinischen Forschung ein Unfall mit HWS-Schleudertrauma und dem diesem zugeschriebenen "bunten" Beschwerdebild eine Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit verursachen kann, auch wenn die festgestellten Funktionsausfälle organisch nicht nachweisbar sind. Deshalb wurde für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen einem Unfall und der infolge eines Schleudertraumas der HWS auch nach Ablauf einer gewissen Zeit nach dem Unfall weiterbestehenden Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit, die nicht auf organisch nachweisbare Funktionsausfälle zurückzuführen ist, die für psychische Störungen nach einem Unfall entwickelte Methode (BGE 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.) im Einzelfall für analog anwendbar erklärt (BGE 117 V 359 E. 4d/bb S. 365; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 6.2.1 S. 116 f.), dies mit der bereits erwähnten Differenzierung bei den Zusatzkriterien (E. 5.3 hievor).
6.3 Aus dem Gesagten erhellt, dass es bei der Schleudertrauma-Praxis darum geht, länger dauernde Beschwerden und deswegen bestehende Einschränkungen, insbesondere eine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit bis hin zur Erwerbsunfähigkeit, aus organisch nicht fassbaren HWS-Schleudertraumen und vergleichbaren Verletzungen kausalrechtlich zu erfassen. Dies geschieht vor dem Hintergrund, dass es eher ungewöhnlich erscheint, wenn schleudertraumatypische Beschwerden, welche sich nicht mit einer organisch nachweisbaren Unfallfolge erklären lassen, längere Zeit bis hin zur Chronifizierung und Invalidisierung anhalten. Die Schleudertrauma-Praxis will dem Rechnung tragen und namentlich auch das Instrumentarium bieten, um in solchen Fällen die Grenze der Leistungspflicht des Unfallversicherers nachvollziehbar und rechtsgleich ziehen zu können (vgl. Hans-Jakob Mosimann, Bemerkungen zu BGE 127 V 102, in: AJP 2002 S. 570 ff., S. 573).
6.4 Für die Kausalitätsbeurteilung bei gleich anschliessend an den Unfall auftretenden Beschwerden erscheint die Schleudertrauma-Praxis indessen auch bei diagnostiziertem HWS-Schleudertrauma wenig geeignet. Das ergibt sich schon aus der unterschiedlichen Zielrichtung, will doch die Schleudertrauma-Praxis nach dem Gesagten die kausalrechtliche Beurteilung länger dauernder Beschwerden ermöglichen. Entsprechend weisen die gegebenenfalls zu berücksichtigenden zusätzlichen Adäquanzkriterien nach der Schleudertrauma-Praxis teilweise eine Zeitkomponente auf, auch wenn diese mit BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff. stark relativiert wurde. Aber auch die Psycho-Praxis bietet keine vernünftige Handhabe, zumal sie ihrerseits auf invalidisierende, mithin länger dauernde Beschwerden ausgerichtet ist und überdies adäquanzrechtlich wesentlich an erhebliche körperliche Unfallfolgen anknüpft, wie sie bei den hier zu regelnden Fällen nicht vorliegen (vgl. BGE 115 V 133).
6.5 Liegt bei unfallnahen Beschwerden ein organisches Korrelat vor, bleibt es beim bewährten Grundsatz, wonach sich der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne Weiteres zusammen mit dem natürlichen bejahen lässt (E. 5.3 hievor). Sind die gleich nach dem Unfall auftretenden Beschwerden hingegen organisch nicht objektiv ausgewiesen, wäre es denkbar, die allgemeinen Kausalitätsgrundsätze zur Anwendung zu bringen, wie sie u.a. auch im Haftpflichtrecht gelten (E. 5.2 und 5.3 in fine hievor).
Bei vielen Unfallereignissen wird auch ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge der adäquate Kausalzusammenhang zu den unmittelbar danach auftretenden Beschwerden recht einfach zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden können. Anderseits wird es bei ausgesprochenen Bagatellunfällen oft schon am natürlichen Kausalzusammenhang fehlen. Entsprechend gab die Adäquanzfrage gleich nach dem Unfall schon bisher selten Anlass zu Diskussionen. Dennoch ginge es zu weit, hier bei gegebener natürlicher Unfallkausalität voraussetzungslos auch die Adäquanz zu bejahen, sind doch auch Konstellationen denkbar, in welchen letztere zwar vorliegt, das Unfallereignis aber als rechtlich relevante (adäquate) Ursache ausser Betracht fällt.
6.6 Von einer solchen Regelung der Kausalitätsprüfung wären naturgemäss in erster Linie die vorübergehenden Leistungen betroffen. Anknüpfungspunkt für die Vorgehensweise bei der Kausalitätsbeurteilung sollte aber nicht die Leistungsart bilden. Das wurde bereits in BGE 127 V 102, auf welchen verwiesen wird, verworfen. Massgebend ist vielmehr die zeitliche Unfallnähe der Beschwerden.
Wäre die natürliche und adäquate Unfallkausalität für die anfänglichen Beschwerden nach den dargelegten Grundsätzen zu bejahen, gälte dies sodann nicht ohne Weiteres auch für länger andauernde oder gar sich chronifizierende Beschwerden. In solchen Fällen wäre, in einigem zeitlichen Abstand zum Unfallereignis, eine erneute Kausalitätsbeurteilung vorzunehmen. Dabei wäre gegebenenfalls die Schleudertrauma-Praxis (zu den Voraussetzungen hiefür und zur Vorgehensweise vgl. BGE 134 V 109 E. 9 f. S. 122 ff.) oder die Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) anzuwenden.
Wie es sich damit letztlich verhält, kann indessen offenbleiben, da es am Nachweis des natürlichen Kausalzusammenhangs fehlt (E. 7).
7. Im vorliegenden Fall zeigen die umfangreichen medizinischen Vorakten, dass die Versicherte bereits vor dem Unfall vom 10. April 2007 wiederholt an Beschwerden namentlich im HWS-Bereich litt und deswegen arbeitsunfähig war. Auch bestehen offensichtlich unfallfremde degenerative Veränderungen an der HWS, welche das Auftreten von Beschwerden zu erklären vermögen. Hinsichtlich des Gesundheitszustandes nach dem erneuten Unfall vom 10. April 2007 liegen nebst der in der Unfallmeldung enthaltenen Selbstdiagnose der Beschwerdeführerin einzig der Unfallschein des behandelnden Arztes und dessen Bericht vom 14. Mai 2007 vor. Die darin beschriebenen Symptome entsprechen den bereits früher geklagten Beschwerden, und es lässt sich aufgrund der ärztlichen Aussagen nicht sagen, der erneute Unfall sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit notwendige Voraussetzung für ihr Auftreten gewesen. Es fehlt demnach am Nachweis eines natürlich kausal auf diesen Unfall zurückzuführenden Gesundheitsschadens. Ergänzende medizinische Abklärungen lassen unter den gegebenen Umständen keinen verlässlichen neuen Aufschluss erwarten, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung von ihnen abzusehen ist. Unfallversicherer und Vorinstanz haben somit einen Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 10. April 2007 im Ergebnis zu Recht verneint.
8. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin handelt als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation. Sie hat daher ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch auf die von ihr beantragte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45, 8C_606/2007 E. 11 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz