Fatti:
A. Nel 1992 il cittadino italiano A._ ha aperto i conti xxx e yyy presso la succursale di Lugano di B.B._SA. Su entrambi i conti egli ha concesso una procura amministrativa a C._, a quel tempo funzionario della succursale milanese di D.B._.
Non essendo possibile eseguire a Lugano operazioni swap, l'anno successivo egli ha aperto un conto yyy anche presso la succursale di Zurigo di D.B._. Anche su questa relazione C._ agiva quale procuratore amministrativo.
Dopo essersi reso conto che tra il 1997 e il 1998 il suo patrimonio aveva subito diminuzioni rilevanti, A._ ha chiesto a B.B._SA un rendiconto che chiarisse le perdite. Non soddisfatto delle risposte ricevute egli ha per finire introdotto la presente causa.
B. L'11 febbraio 2000 A._ ha adito la Pretura del Distretto di Lugano, chiedendo che B.B._SA venisse condannata al pagamento di fr. 1'035'964.-- e che le fosse ordinato di presentare il rendiconto dettagliato sulla gestione e sulle perdite subite dai conti yyy e xxx. Quest'ultima domanda è stata abbandonata in sede di conclusioni.
Statuendo il 27 agosto 2007 il Pretore ha respinto interamente la petizione, mentre la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino l'ha accolta parzialmente con sentenza del 3 febbraio 2009. Essa ha segnatamente riconosciuto a A._ il diritto a Euro 26'590.75, US$ 5'000.-- e fr. 2'874.40 oltre interessi; tassa giudiziaria e ripetibili sono state suddivise in proporzione alla soccombenza, valutata in ragione di 1/15 per la banca e 14/15 per il cliente.
C. Adducendo la violazione di diverse disposizioni del diritto federale - art. 8, 9, 29 cpv. 1 e cpv. 2 Cost., art. 8 CC, art. 1, 97, 394 segg. e 398 CO - il 6 marzo 2009 A._ è insorto davanti al Tribunale federale con un ricorso in materia civile volto a ottenere, in via principale, la modifica della sentenza cantonale nel senso dell'accoglimento integrale del suo appello e, di conseguenza, della condanna della banca al versamento di fr. 1'064.--, US$ 16'743.85, GB£ 105'559.--, AU$ 41'329.--, Euro 173'150.90, US$ 75'000.-- nonché fr. 43'116.--, con interessi al 5 % da diverse scadenze; in via subordinata postula l'annullamento della sentenza impugnata e il rinvio della causa per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
Nella risposta del 7 aprile 2009 B.B._SA ha proposto di respingere il gravame, mentre l'autorità cantonale non ha preso posizione.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio esperito (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 1 consid. 1.1 pag. 3).
Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte parzialmente soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile di carattere pecuniario il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 72 e 74 cpv. 1 let. a LTF), il ricorso risulta ricevibile e può essere esaminato nel merito, perlomeno nella misura in cui è motivato conformemente alle esigenze di legge (art. 42 e 106 LTF), esposte qui di seguito.
2. Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF), che include anche i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 446 consid. 3.1), per cui è proponibile anche la censura di violazione del divieto dell'arbitrio (art. 9 Cost.) nell'applicazione del diritto cantonale (DTF 133 III 462 consid. 2.3 pag. 466).
2.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale esamina di regola solo le censure sollevate (DTF 134 III 102 consid. 1.1 pag. 104 seg.).
Le esigenze di motivazione sono più rigorose quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale. II Tribunale federale esamina infatti queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 134 II 244 consid. 2.2). Il campo di applicazione di questa norma corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali (DTF 133 III 397 consid. 6 pag. 397, 638 consid. 2); valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (cfr. DTF 130 I 258 consid. 1.3 pag. 261 seg.). Ne discende che l'allegato ricorsuale deve indicare chiaramente i diritti costituzionali che si pretendono violati, precisando altresì in che consista tale violazione (DTF 134 II 244 consid. 2.2; 133 III 393 consid. 6); critiche appellatorie non sono ammissibili.
2.2 In linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene o completarlo solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto ovvero arbitrario (art. 105 cpv. 2 LTF).
2.2.1 L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza criticata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni (art. 97 cpv. 1 LTF; DTF 133 IV 286 consid. 6.2).
2.2.2 Dato che la definizione di "manifestamente inesatto" corrisponde a quella di arbitrario (DTF 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252) e configura dunque a sua volta una violazione di un diritto fondamentale (art. 9 Cost.; DTF 134 IV 36 consid. 1.4.1 pag. 39), valgono le esigenze di motivazione poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF.
In particolare, qualora sia lamentata la violazione del divieto d'arbitrio (art. 9 Cost.), non ci si può limitare a criticare la decisione impugnata opponendovi semplicemente la propria opinione, come in una procedura d'appello, bensì occorre dimostrare, con un'argomentazione chiara e dettagliata, che essa è manifestamente insostenibile (DTF 134 II 244 consid. 2.2; 133 III 638).
Per giurisprudenza invalsa, infatti, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione dell'art. 9 Cost. solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 con rinvii). Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
2.2.3 Infine, dinanzi al Tribunale federale possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (art. 99 cpv. 1 LTF; cfr. DTF 133 III 393 consid. 3).
3. Nella sentenza qui impugnata la Corte ticinese ha stabilito preliminarmente che le parti hanno scelto di riferirsi al diritto svizzero e che, essendo i loro rapporti di natura mista, la responsabilità della banca va decisa secondo le regole del mandato.
Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente aderisce a questa qualificazione, mentre l'opponente parrebbe metterla in discussione. A torto. Le considerazioni dei giudici ticinesi (con rinvii giurisprudenziali e dottrinali), secondo le quali per la responsabilità prevalgono le norme sul mandato, sono pertinenti.
Non è comunque necessario approfondire l'analisi perché, come si vedrà qui di seguito, il gravame può essere deciso senza ricorrere a norme specifiche di responsabilità.
4. Il primo gruppo di censure ricorsuali riguarda l'eccezione di carenza di legittimazione passiva sollevata dall'opponente contro la richiesta di risarcimento dei danni avanzata dal ricorrente in relazione ad alcune operazioni swap che sostiene di non aver autorizzato.
4.1 II Pretore, che aveva respinto interamente la petizione per altri motivi, non l'aveva esaminata.
4.2 Il Tribunale d'appello - premesso che l'eccezione è stata proposta in modo proceduralmente corretto - l'ha invece ritenuta fondata nel merito, essendo giunto alla conclusione che le operazioni swap sono state effettuate presso la succursale zurighese di D.B._, mentre l'opponente (succursale luganese di B.B._SA) si è limitata a contabilizzarne i risultati.
Tale conclusione si fonda innanzitutto sul tenore dei contratti IRS (Interest Rate Swap) e di altri documenti bancari sottoscritti dal ricorrente, dai quali si evince che, contrariamente a quanto da lui preteso, l'intervento dell'istituto zurighese in queste operazioni non era avvenuto per una semplice esigenza interna dell'opponente. La Corte cantonale ha poi osservato che le uniche persone, oltre al ricorrente, intervenute nelle operazioni swap - e che avevano quindi potuto ordinarle - erano C._, allora dipendente della succursale milanese di D.B._ con procura amministrativa sui conti del ricorrente, e E._, a quell'epoca dipendente della succursale zurighese di D.B._; in particolare, questi due dipendenti di D.B._ avevano partecipato a una riunione del 21 marzo 1994 e a una consultazione telefonica del 5 maggio 1994, durante le quali il ricorrente ha affermato di avere dato le istruzioni poi disattese dalla banca. Nessun impiegato dell'opponente, hanno proseguito i giudici ticinesi, aveva per contro i poteri per intervenire nelle operazioni swap, né risulta che qualcuno l'abbia mai fatto. Sempre basandosi su documenti e testimonianze, l'autorità cantonale ha infine stabilito che gli ordini per le operazioni swap non passavano da Lugano bensì andavano direttamente a Zurigo, donde provenivano del resto anche le comunicazioni e la documentazione contabile riguardante quelle operazioni, che erano registrate su un "estratto di deposito integrato" intestato a D.B._ di Zurigo.
Tenuto conto di questo stato di fatto il Tribunale di appello ha giudicato "prive di rilevanza" le obiezioni del ricorrente concernenti l'identità di denominazione e numerazione dei conti aperti a Zurigo e a Lugano, l'esistenza di una succursale luganese di D.B._ al medesimo indirizzo dell'opponente, il controllo dei documenti di apertura del conto D.B._ da parte di un responsabile dell'opponente, la corrispondenza delle condizioni generali dei due istituti, nonché il fatto che l'opponente non si fosse prevalsa della sua estraneità alle operazioni swap nella corrispondenza precedente la causa. Secondo i giudici cantonali, tutte queste circostanze trovano infatti "una semplice e logica spiegazione nel fatto che le due entità giuridiche erano parte del medesimo gruppo societario B._".
4.3 Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente contesta queste considerazioni. Egli spiega in sostanza che, non essendo in grado di eseguire direttamente le operazioni swap da lui auspicate, l'opponente si era appoggiata sull'istituto zurighese, del cui comportamento rimane in ogni caso responsabile in forza dell'art. 101 CO. Accenna quindi alla necessità di procedere all'interpretazione delle dichiarazioni di volontà delle parti secondo i metodi soggettivo o oggettivo, diffondendosi in una lunga disquisizione suddivisa in tre momenti, che definisce "svolgimento del rapporto contrattuale", "fase pre-processuale" e "procedura giudiziaria". In breve, a suo dire, il trasferimento delle operazioni swap a Zurigo sarebbe avvenuto per ragioni "squisitamente tecniche" mentre il rapporto contrattuale, per concorde volontà delle parti, è rimasto uno solo, sempre gestito dall'opponente. Nemmeno nella corrispondenza nessuno ha d'altro canto mai chiamato in causa l'istituto zurighese e persino il teste F._, che ha allestito un audit esterno per l'opponente, ha considerato i conti di Lugano e Zurigo come un tutt'uno. Del resto, soggiunge il ricorrente, l'opponente non ha eccepito "esplicitamente" in causa la carenza di legittimazione passiva e ha prodotto senza difficoltà tutta la documentazione interna concernente il conto presso la D.B._.
4.4 Ora, contrariamente a quanto pare ritenere il ricorrente, non si tratta di qualificare giuridicamente il rapporto instauratosi fra le varie parti coinvolte nell'affare, ma soltanto di stabilire se il contratto concernente le operazioni swap, indipendentemente dalla sua natura, sia venuto in essere con l'opponente o con la D.B._ di Zurigo.
4.4.1 La Corte ticinese, come sopra esposto, ha scelto quest'ultima possibilità, sulla base della valutazione delle prove e di accertamenti di fatto dei quali ha reso conto in modo preciso nella sua sentenza. L'esposizione qui impugnata della sentenza attiene quindi ai fatti, che vincolano di principio il Tribunale federale, con le riserve delle quali s'è già detto (cfr. quanto esposto al consid. 2.2).
4.4.2 Il ricorrente rimprovera all'autorità ticinese di aver "liquidato sbrigativamente" gli elementi di giudizio ch'egli aveva proposto davanti all'istanza cantonale, a suo dire determinanti, e li ripropone nel gravame al Tribunale federale, ma senza approfondimenti e, soprattutto, senza metterli in relazione con le prove in senso contrario analizzate nel giudizio impugnato. Il ricorrente non si confronta veramente con gli apprezzamenti decisivi svolti dalla Corte cantonale a questo proposito, non tenta nemmeno di dimostrarne l'insostenibilità, l'arbitrarietà (cfr. quanto esposto al consid. 2.2.2). Le sue argomentazioni sono appellatorie, praticamente staccate dalla motivazione del Tribunale di appello, alla quale è semplicemente opposta un'altra versione dei fatti, in parte priva di riscontro nella sentenza impugnata e in parte in palese contrasto con essa. Ciò vale, ad esempio, laddove egli sostiene di non aver mai conosciuto nessun dipendente della succursale zurighese di D.B._ mentre nella sentenza impugnata si legge che il dipendente di tale succursale E._ aveva partecipato, insieme a C._, a una riunione del 21 marzo 1994 e a una consultazione telefonica del 5 maggio 1994. Anche l'affermazione secondo la quale l'opponente non avrebbe eccepito correttamente l'assenza di legittimazione passiva si scontra contro l'accertamento contrario nella pronunzia criticata, nella quale vengono indicati i passaggi precisi di risposta e duplica ove sono addotti i fatti e viene precisato che l'opponente ne ha tratto le debite conseguenze giuridiche nelle conclusioni. Il ricorrente non prende posizione su queste motivazioni.
4.5 In siffatte circostanze le censure ricorsuali contro la decisione dei giudici ticinesi di negare la legittimazione passiva dell'opponente per la domanda di risarcimento in relazione alle operazioni swap risultano inammissibili, siccome fondate su di uno stato di fatto completamente differente da quello considerato nella sentenza cantonale, della quale non è stato adeguatamente addotto né tantomeno dimostrato il carattere arbitrario.
5. La seconda parte del gravame riguarda la pretesa di risarcimento avanzata dal ricorrente in relazione a vendite di titoli e altre operazioni che l'opponente avrebbe effettuato senza autorizzazione, creando un ammanco totale di Lit. 504'000'000. Il Tribunale d'appello ha reputato tale domanda irricevibile.
5.1 Nel giudizio cantonale si è ricordato che il ricorrente, al momento di presentare la petizione, non era stato in grado di spiegare questo ammanco; egli avrebbe quindi potuto sostanziare la sua pretesa solo dopo l'emanazione della sentenza di rendiconto, una volta in possesso delle informazioni necessarie. Sennonché, invece di procedere in tale modo, il ricorrente, il 3 ottobre 2001, al termine dello scambio degli allegati, aveva presentato un'istanza di completazione delle adduzioni di fatto e di diritto, subordinatamente di restituzione in intero. L'istanza - sulla quale si tornerà - era tuttavia stata respinta dal Pretore e la sua decisione, non essendo stata impugnata, è passata in giudicato. I giudici cantonali ne hanno dedotto, menzionando l'art. 78 CPC/TI, l'impossibilità per il ricorrente di richiamarsi in sede conclusionale e di appello alle circostanze di fatto esposte nell'istanza del 3 ottobre 2001, e in particolare, a quelle elencate nella tabella in essa integrata. Donde l'irricevibilità della pretesa di risarcimento fondata su tali circostanze.
5.2 Il ricorrente insorge contro questa argomentazione sotto più punti di vista. In primo luogo obietta di avere sostanziato sufficientemente già con la petizione la sua pretesa di risarcimento dell'ammanco di Lit. 504'000'000 derivante da operazioni non autorizzate, tant'è che le sue domande d'assunzione di prove a questo proposito erano state accolte; omettendo di tenere conto delle allegazioni formulate in petizione, la Corte cantonale avrebbe pertanto violato l'art. 8 CC. In secondo luogo sostiene di avere "specificato la composizione del danno e le operazioni contestate" al più tardi con le conclusioni; non essendosi l'opponente opposta al completamento delle allegazioni di fatto in quella sede, l'intervento d'ufficio dei giudici ticinesi ha "crassamente violato il diritto processuale cantonale". Infine, sempre in relazione alla mancata considerazione delle sue allegazioni di petizione e all'applicazione del diritto processuale ticinese da parte dell'autorità cantonale, il ricorrente si ritiene vittima di una disparità di trattamento, di arbitrio, di formalismo eccessivo e di una lesione del diritto di essere sentito.
5.3 I suoi argomenti sono parzialmente fondati.
5.3.1 L'art. 8 CC conferisce alla parte cui incombe l'onere della prova il diritto di dimostrare l'esattezza delle proprie allegazioni, a patto che i fatti allegati siano giuridicamente rilevanti e che le prove siano state proposte conformemente alle esigenze procedurali poste dal diritto cantonale. L'autorità cantonale infrange questa regola generale in materia di prove, in particolare, quando considera giusta l'allegazione di una parte nonostante le contestazioni della controparte e l'assenza di ogni prova, oppure quando rifiuta l'assunzione di prove idonee e proposte correttamente su circostanze giuridicamente rilevanti (DTF 133 III 295 consid 7. 1 pag. 299 con rinvii).
5.3.2 Il ricorrente cita con pertinenza la DTF 127 III 365, che tratta delle esigenze poste all'allegazione del danno e si attaglia quindi bene al caso in rassegna. In quell'occasione il Tribunale federale ha confermato che è il diritto federale a stabilire in quale misura debbano essere sostanziati i fatti posti a fondamento di una pretesa affinché possano essere sussunti nel diritto materiale. Le esigenze poste all'allegazione dipendono sia dagli elementi costitutivi della fattispecie regolata dalla norma materiale in questione sia dal comportamento processuale della controparte. Le allegazioni di fatto devono in ogni caso essere formulate in modo tale da permettere alla controparte di contestarle in maniera dettagliata o di proporre controprove. Qualora una pretesa allegata in modo generico ma di per sé concludente venga contestata, la parte attrice può essere tenuta a esporre i fatti giuridicamente rilevanti in modo più circostanziato e chiaro, così da permettere appunto l'assunzione delle prove. Nel caso specifico del danno, la parte attrice che si vede contestata una pretesa fatta valere per una cifra globale, deve quindi allegare i singoli fatti idonei a stabilire che la diminuzione del patrimonio da lei subita configura un danno giuridicamente rilevante (DTF 127 III 365 consid. 2b pag. 368).
Va tuttavia sottolineato che il Tribunale federale può intervenire, per violazione del diritto federale, soltanto qualora le allegazioni di fatto e le offerte di prova siano state presentate nei modi e nei tempi previsti dalle disposizioni procedurali cantonali (DTF 108 II 337 consid. 2c pag. 340). In altre parole, è il diritto cantonale che stabilisce la forma e il momento in cui le allegazioni devono avvenire; esso può esigere, in particolare, che queste vengano specificate già nella fase iniziale, in modo da consentirne l'esame durante la procedura probatoria, ed escludere quindi che le parti possano precisarle ancora nell'ambito di quest'ultima fase processuale (DTF citata consid. 2d e 3 pag. 340 seg.). Benché viga il principio generale secondo cui il diritto processuale cantonale non può impedire l'applicazione del diritto materiale federale, la perenzione di pretese materiali dovute a una condotta processuale irregolare rimane possibile (DTF citata consid. 2d pag. 340).
5.4 Ai fini del giudizio sulla fattispecie in esame, prima di chinarsi sulle censure ricorsuali è opportuno riassumere gli atti processuali che attengono alle allegazioni in discussione.
5.4.1 Dai passaggi della petizione riprodotti nell'impugnativa risulta che in essa il ricorrente aveva asserito che il danno globale da lui subito consisteva nella differenza tra il suo patrimonio effettivo al 29 giugno 1998 e quello che avrebbe avuto se l'opponente avesse eseguito correttamente gli ordini da lui impartiti il 5 maggio 1994; egli aveva quantificato in Lit. 885'000'000 la perdita complessiva riconducibile alla violazione contrattuale. Dopo l'esposizione di vari conteggi che consideravano perdite su operazioni autorizzate e non, il ricorrente aveva soggiunto che, secondo le informazioni note a quel momento, Lit. 313'000'000 parevano essere state perse in operazioni swap effettuate in violazione del contratto e Lit. 68'000'000 per interessi di vendite non autorizzate. Egli aveva poi concluso asserendo che la banca non aveva presentato documenti che permettessero di capire l'origine della perdita rimanente, di Lit. 504'000'000.
Nella risposta di causa l'opponente aveva contestato tali allegazioni senza entrare nei dettagli, obiettando in sostanza di avere consegnato tutta la documentazione al ricorrente, sul quale incombeva l'onere della prova. Nel secondo scambio di scritti le parti non avevano formulato altre allegazioni di rilievo.
5.4.2 Per chiarire questi e altri fatti, contestualmente alla petizione il ricorrente aveva presentato anche un'azione di rendiconto della gestione dei conti yyy e xxx, fondata sull'art. 400 CO, con la quale chiedeva che gli fossero messi a disposizione documenti e ricostruzioni di tutte le operazioni eseguite su di essi, dai quali risulterebbe, in particolare, la "mancanza patrimoniale complessiva di Lit. 504 milioni". L'azione di rendiconto era poi stata abbandonata in sede di conclusioni, per il motivo che la banca, durante l'istruttoria, aveva colmato parzialmente il "deficit di informazioni" e dimostrato in ogni caso di "non poter fare meglio".
5.4.3 All'udienza preliminare del 10 ottobre 2000 il ricorrente aveva inoltre presentato un'istanza di edizione di documenti nei confronti dell'opponente, avente per oggetto, tra l'altro, ancora documenti, giustificativi, ordini, estratti e situazioni riguardanti i due conti.
L'istanza era stata accolta solo parzialmente con decreto del 3 settembre 2001, che il ricorrente aveva impugnato con successo. La motivazione del giudizio d'appello del 17 luglio 2003 verrà esposta in seguito.
5.4.4 Oltre al suddetto appello, il 3 ottobre 2001 il ricorrente aveva pure introdotto l'istanza già citata "di completazione di adduzioni di fatto e di diritto" e, subordinatamente, "di restituzione in intero", argomentando che, dopo la reiezione di buona parte delle richieste di edizione ad opera del Pretore,egli correva il rischio che l'unica fonte d'informazione rimanessero i documenti 5 e 6 che l'opponente aveva prodotto soltanto con la duplica, donde il suo diritto di prendere posizione sulle operazioni che ivi indicate, riassunte in una tabella.
L'istanza era stata respinta con decreto del 14 febbraio 2002 dal giudice di primo grado, il quale aveva ricordato che tutte le allegazioni vanno per principio proposte con gli scritti introduttivi e che la domanda di restituzione, qualora ne fossero adempiuti i presupposti, era ad ogni modo tardiva". Questa decisione non è stata impugnata.
5.5 Tenuto conto di quanto appena esposto, la prima considerazione che s'impone, in applicazione delle regole giurisprudenziali riassunte al consid. 5.3, è che la Corte cantonale non ha violato il diritto federale dichiarando irricevibili le allegazioni di fatto contenute nell'istanza del 3 ottobre 2001.
Tale giudizio è conforme alla prassi ticinese per la quale un decreto processuale non impugnato acquisisce forza di cosa giudicata formale, con la conseguenza che non è più possibile rimettere in discussione, nel medesimo processo, l'oggetto deciso. La prassi ticinese - la sentenza criticata menziona Rep. 1996 pag. 217 e la sentenza inedita emanata dalla II Camera civile il 2 gennaio 1998 n. 12.97.202 - non è affatto arbitraria: essa rientra nella sfera di competenza del diritto di procedura cantonale che, s'è visto, stabilisce liberamente come e fino a quando ammettere le allegazioni delle parti.
5.6 Rimane pertanto da valutare la portata delle prime allegazioni del ricorrente.
5.6.1 Nella fase iniziale del processo egli aveva asserito di non disporre ancora di tutta la documentazione necessaria per precisare le sue pretese. Dalla petizione emergevano tuttavia il momento preciso nel quale andava calcolato il danno patrimoniale così come la data degli ordini che l'opponente avrebbe dovuto rispettare; veniva pure precisato che tra le diverse posizioni del danno, riconducibile all'inesecuzione di ordini o a violazioni del contratto, ve n'era una di Lit. 504'000'000, ch'egli non era ancora in grado di spiegare, non disponendo, appunto, della documentazione bancaria.
Dal profilo del diritto federale tali allegazioni, alle quali la controparte ha contrapposto solo contestazioni generiche, erano sufficienti, perché davano modo all'opponente di comprendere che le venivano rimproverate inadempienze contrattuali per un danno complessivo, calcolato al 29 giugno 1998, di Lit. 504'000'000. Esse avevano anche permesso l'assunzione di prove. Tant'è che, come osserva con ragione il ricorrente, nella sentenza del 17 luglio 2003 - relativa all'istanza di edizione di documenti da lui presentata all'udienza preliminare - la Corte cantonale aveva dato atto ch'egli aveva addotto di non essere in grado di ricostruire la perdita patrimoniale e aveva di conseguenza giudicato "puntuale e legittima" la sua domanda di edizione dalla controparte dei giustificativi di tutte le operazioni effettuate sui conti, non solo di quelli concernenti l'acquisto e la vendita di titoli e le operazioni swap.
5.6.2 In questo contesto processuale, la Corte ticinese, escludendo d'acchito di tenere in ogni considerazione le allegazioni presentate dal ricorrente nella petizione in merito all'ammanco di Lit. 504'000'000, ha violato l'art. 8 CC.
Una volta terminata l'assunzione delle prove essa doveva concedere alle parti la possibilità di pronunciarsi e, in seguito, valutare la rilevanza dei loro argomenti in relazione con le allegazioni iniziali del ricorrente, a prescindere dal contenuto dell'istanza del 3 ottobre 2001, scartata correttamente (senza arbitrio). Ciò non significa necessariamente che i giudici ticinesi dovevano ammettere tutte le allegazioni proposte dal ricorrente con le conclusioni, giacché, come si è detto, il diritto cantonale può imporre che le allegazioni siano precisate già nella fase iniziale del procedimento ed escludere completamenti successivi (consid. 5.3): in forza dell'art. 8 CC l'esposizione conclusiva va considerata soltanto nella misura in cui è effettivamente riferita ai fatti già allegati negli scritti introduttivi.
Ne viene che la causa va ritornata all'autorità cantonale affinché completi l'esame della fattispecie nel modo appena descritto e si pronunci di nuovo sulla domanda di risarcimento che il ricorrente aveva quantificato in Lit. 504'000'000 nella petizione. Dovrà se del caso rivedere anche l'ammontare delle spese preprocessuali, addebitate alla convenuta proporzionalmente alle altre posizioni del danno, nonché i giudizi su spese e ripetibili delle due istanze ticinesi (art. 68 cpv. 5 LTF).
6. In conclusione, dunque, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è parzialmente accolto e la causa viene rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso del considerando precedente.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la reciproca soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF) che, considerato il valore complessivo rimasto litigioso davanti al Tribunale federale, può essere determinata in 2/5 a carico del ricorrente e 3/5 a carico dell'opponente.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è parzialmente accolto. Di conseguenza la sentenza emanata il 3 febbraio 2009 dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino è annullata e la causa è rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
2. La tassa di giustizia di fr. 7'000.-- è posta a carico del ricorrente per fr. 2'800.-- e per fr. 4'200.-- a carico dell'opponente, la quale rifonderà al ricorrente fr. 4'800.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.