Erwägungen:
1.
X._, 1970 geborener nigerianischer Staatsangehöriger, reiste 2000 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Trotz rechtskräftiger Abweisung des Asylgesuchs blieb er in der Schweiz. Schliesslich heiratete er am 27. Oktober 2005 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Da der gemeinsame Haushalt anfangs 2008 aufgehoben worden war, wurde am 19. Januar 2010 eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung abgelehnt. Rechtsmittel gegen diese Verfügung blieben erfolglos; zuletzt wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde mit Urteil vom 24. Januar 2011 ab, wobei es eine neue Ausreisefrist ansetzte; sein Urteil wurde nicht angefochten. Danach wie auch nach dem Scheidungsurteil vom 15. Juli 2011 blieb die Ausreiseaufforderung unbeachtet.
X._ ersuchte am 27. Juli bzw. 4. September 2012 um Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Eheschliessung mit einer liberianischen Staatsangehörigen, die über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt. Zudem gelangte er am 6. August 2012 mit einer als "demande de réexamen" bezeichneten Eingabe an den Migrationsdienst des Amtes für Migration und Personenstand des Kantons Bern, welche als Gesuch um eine Härtefallbewilligung entgegengenommen wurde. Die Gesuche wurden mit Verfügung vom 20. September 2012 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 27. Mai 2013 ab. Mit Urteil vom 5. Dezember 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen diesen Beschwerdeentscheid erhobene Beschwerde ab.
Mit als "Recours en matière de droit administratif" betitelter Rechtsschrift beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, seinen Entscheid zu seinen Gunsten abzuändern, sodass das Amt für Migration und Personenstand ihm eine Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung seiner Heirat erteilen könne.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein; die Beschwerde führende Partei hat sich mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen. Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch, d.h. willkürlich, oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Rügen bedürfen besonderer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 105 Abs. 1 und 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Die Begründungspflicht erstreckt sich auch auf die Eintretensfrage, wenn die Eintretensvoraussetzungen nicht ohne Weiteres erfüllt sind (BGE 134 II 45 E. 2.2.3 S. 48; 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404).
2.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Das Verwaltungsgericht erwägt die Möglichkeit eines Bewilligungsanspruchs insofern, als die Aufenthaltsbewilligung der Verlobten des Beschwerdeführers allenfalls ein gefestigtes Anwesenheitsrecht sein könnte. Zu diesem einzigen denkbaren Ansatzpunkt für die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten äussert sich der Beschwerdeführer nicht; er macht nicht in vertretbarer Weise einen Bewilligungsanspruch geltend (vgl. zu diesem Erfordernis zuletzt Urteil 2C_1172/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.3 mit Hinweisen; zur Geltendmachung des Bestehens von Ansprüchen s. auch BGE 137 I 305 E. 2.5 S. 315 f.). Ohnehin aber setzt er sich mit den für die Frage der Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung im Hinblick auf die Eheschliessung entscheidenden Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts zur Frage der Sozialhilfeabhängigkeit von ihm selber und seiner Ehefrau nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise auseinander. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten könnte mithin selbst dann nicht eingetreten werden, wenn und soweit sie im Hinblick auf diesen Bewilligungszweck (vgl. BGE 137 I 351) zulässig sein sollte. Von vornherein unzulässig ist dieses Rechtsmittel, soweit um eine Härtefallbewilligung nach Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG ersucht wird; auf die Erteilung einer solchen besteht kein Rechtsanspruch (Urteil 2C_400/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 1.2.2).
2.3. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtsprechung kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller