Sachverhalt:
A. A.a Die serbische Staatsangehörige X._, geb. 1974, reiste am 23. August 2001 in die Schweiz ein, wo sie am 7. September 2001 einen im Kanton Schwyz lebenden Schweizer heiratete. Gestützt darauf erhielt sie im Kanton Schwyz eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann, die mehrmals, zuletzt bis zum 6. April 2007, verlängert wurde.
A.b Im Sommer 2002 leitete der Ehemann in Serbien ein Scheidungsverfahren ein. X._ rief ihrerseits am 24. November 2002 in der Schweiz den Eheschutzrichter an. Das Scheidungsurteil des Belgrader Gerichts erging am 27. Februar 2003 und wurde dort gleichentags rechtskräftig. X._ wehrte sich in der Schweiz zunächst gegen die Anerkennung des ausländischen Urteils. Nachdem sie ihren Widerstand am 1. September 2006 aufgegeben hatte, anerkannte das Zivilstandsinspektorat des Kantons Schwyz das Scheidungsurteil am 20. Oktober 2006.
A.c Am 5. Dezember 2002 stellte X._ ein Gesuch um Bewilligung des Kantonswechsels, um zu ihrer im Kanton Basel-Landschaft lebenden Schwester ziehen zu können. Mit Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 10. Dezember 2003 wurde das Gesuch rechtskräftig abgewiesen, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ berufe sich rechtsmissbräuchlich auf eine nur der Form nach noch bestehende Ehe.
B. B.a Am 1. Juni 2003 trat X._ eine Stelle im Kanton Basel-Stadt an und lebte dort in den folgenden Jahren mit Einverständnis der kantonalen Migrationsbehörde als Wochenaufenthalterin. Am 17. Oktober 2006 ersuchte sie um Bewilligung des Kantonswechsels. Die Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt erteilte ihr diese am 13. November 2006 provisorisch und leitete die Sache an das Bundesamt für Migration weiter zur Erteilung der dafür erforderlichen Zustimmung der Bundesbehörde.
B.b Am 12. Februar 2007 verweigerte das Bundesamt für Migration die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies X._ aus der Schweiz weg.
B.c In der Folge brachte X._ zwei Kinder zur Welt, über deren Vater nichts bekannt ist.
C. Mit Urteil vom 8. Januar 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht eine von X._ erhobene Beschwerde gegen die Verfügung des Bundesamts für Migration vom 12. Februar 2007 ab. Zur Begründung führte es, wie schon das Bundesamt, im Wesentlichen aus, X._ berufe sich rechtsmissbräuchlich auf die inzwischen geschiedene Ehe mit einem Schweizer. Zudem habe das Bundesamt sein Ermessen nicht bundesrechtswidrig ausgeübt.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. Februar 2010 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Januar 2010 sei aufzuheben und es sei das Bundesamt für Migration anzuweisen, die Zustimmung zum Kantonswechsel und zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Überdies sei festzustellen, dass das Bundesverwaltungsgericht das Beschleunigungsgebot verletzt habe.
E. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
F. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 19. Februar 2010 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerden von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 30 E. 1 Ingress S. 31, 94 E. 1 S. 96).
2. 2.1 Zu prüfen ist vorab, ob gegen ausländerrechtliche Entscheide über den Kantonswechsel Beschwerde beim Bundesgericht geführt werden kann.
2.2 Gemäss Art. 126 Abs. 1 AuG (SR 142.20) ist der Antrag auf Kantonswechsel nach dem bis zum 31. Dezember 2007 geltenden Ausländerrecht zu beurteilen, da er vor diesem Datum eingereicht worden ist. Das insoweit anzuwendende Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) vermittelt - im Gegensatz zum neuen Art. 37 AuG - keinen Anspruch auf Kantonswechsel. Damit die Beschwerdeführerin einen solchen Anspruch aus dem Niederlassungs- und Konsularvertrag zwischen der Schweiz und Serbien vom 16. Februar 1888 (SR 0.142.118.181) ableiten könnte, wäre vorausgesetzt, dass sie über die Niederlassungsbewilligung verfügen würde oder wenigstens einen Anspruch auf Erteilung einer solchen hätte (vgl. BGE 132 II 65 E. 2.1 S. 68; 127 II 177 E. 2b S. 180; 123 II 145 E. 2b S. 149 f.). Ob dies hier zutrifft, ist unter anderem strittig.
2.3 Nach der bis zum 31. Dezember 2007 geltenden Rechtslage war die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht gegen die Verweigerung eines Kantonswechsels zulässig, wenn ein Anspruch auf Wohnsitznahme in einem neuen Kanton bestand. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 6 BGG (in der Fassung vom 20. Dezember 2006; AS 2006 5599) ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nunmehr seit dem 1. Januar 2008 unzulässig gegen bestimmte ausländerrechtliche Entscheide, worunter generell solche über den Kantonswechsel. Das gilt nicht nur, wenn kein Anspruch auf Kantonswechsel besteht, sondern auch dann, wenn sich der Ausländer auf einen solchen Anspruch berufen kann (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 2C_886/2008 vom 4. Mai 2009 E. 2 mit Hinweisen auf die Literatur). Der Gesetzgeber erkannte, dass die Schaffung zusätzlicher Rechtsansprüche - unter anderem auf Kantonswechsel gemäss Art. 37 AuG - zu neuen und längeren Beschwerdeverfahren führen könnte. Durch den Ausschluss der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in den in Art. 83 lit. c Ziff. 6 BGG genannten Bereichen wollte er die Verfahren beschleunigen und das Bundesgericht entlasten. Er erachtete einen Zugang zum Bundesgericht als verzichtbar, wenn der Aufenthalt in der Schweiz als solcher nicht in Frage gestellt ist (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 2C_886/2008 vom 4. Mai 2009 E. 2 mit Hinweisen auf die Materialien). Entsprechend Art. 132 Abs. 1 BGG gilt der neue Art. 83 lit. c Ziff. 6 BGG für alle Beschwerdeverfahren, in denen der beim Bundesgericht angefochtene Entscheid - wie hier - nach dem 31. Dezember 2007 ergangen ist. Für den Streitgegenstand des Kantonswechsels ist die Beschwerde mithin ausgeschlossen.
2.4 Da es hier um die Zustimmungsverweigerung durch die Bundesbehörden geht, ist hinsichtlich des Kantonswechsels - anders, als wenn die Verweigerung desselben durch den Kanton in Frage stünde (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 2C_886/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3) - auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG unzulässig.
3. 3.1 Es erscheint allerdings fraglich, ob die Tragweite des angefochtenen Entscheides bzw. der Streitgegenstand mit der Beschränkung auf den Kantonswechsel korrekt erfasst wird.
3.2 Aus einer streng formellen Sicht verweigerten die Bundesbehörden der Beschwerdeführerin lediglich den ersuchten Kantonswechsel. Inhaltlich behandelten sie die Streitsache aber so, wie wenn überhaupt über die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu entscheiden gewesen wäre, was schon aus dem Wortlaut des Dispositivs der Verfügung des Bundesamtes hervorgeht. Die Bundesbehörden verweigerten die Zustimmung im Wesentlichen deshalb, weil sich die Beschwerdeführerin ihrer Ansicht nach rechtsmissbräuchlich auf die nunmehr geschiedene frühere Ehe mit einem Schweizer berief. Das Erfordernis der Zustimmung des Bundesamts beruhte darauf, dass die Ehe inzwischen auch für die Schweiz rechtsgültig geschieden war (vgl. nachfolgende E. 5.4 und 5.5). Während des Verfahrens um Kantonswechsel lief die bis zum 6. April 2007 befristete Aufenthaltsbewilligung ab, womit sie erlosch (vgl. Art. 9 Abs. 1 lit. a ANAG; zum neuen Recht vgl. Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG). Aus der Argumentation der Vorinstanzen geht hervor, dass sie auch ohne Kantonswechsel der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Kanton Schwyz nicht zugestimmt hätten. Im Grunde genommen verweigerten sie daher nicht nur den Kantonswechsel, sondern überhaupt den weiteren Aufenthalt in der Schweiz. Folgerichtig verknüpfte das Bundesamt seine Zustimmungsverweigerung unmittelbar mit der Wegweisung der Beschwerdeführerin, was die Vorinstanz ebenfalls schützte.
3.3 Gegen den Wegweisungsentscheid ist die Beschwerde in öffentlichen-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zwar ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Für die vorfrageweise geprüfte Frage der Verlängerung der Bewilligung stünde die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aber dann offen, wenn Bundesrecht oder Völkerrecht einen Anspruch darauf einräumte (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). In diesem Sinne ist daher zu prüfen, ob gegen die Bewilligungsverweigerung als solche Beschwerde an das Bundesgericht erhoben werden kann. Dafür sprechen nicht nur inhaltliche, sondern auch verfahrensökonomische Gründe: Den angefochtenen Entscheid bloss als einen solchen über den Kantonswechsel mit absolutem Ausschluss der Beschwerde an das Bundesgericht zu behandeln, würde bedeuten, dass über die Bewilligungsverlängerung im Kanton Schwyz noch nicht formell entschieden worden wäre und ein entsprechendes Verfahren neu eingeleitet werden könnte. Es ist aber offensichtlich, dass das Bundesamt die Zustimmung dazu verweigern würde bzw. bereits implizite kund getan hat, dies gegebenenfalls zu tun. Einerseits ist dies die zwingende Folge aus der verfügten Wegweisung. Andererseits ergibt sich dasselbe schlüssig aus den Begründungen der Vorinstanzen. Da sie davon ausgingen, die Beschwerdeführerin berufe sich rechtsmissbräuchlich auf ihre inzwischen geschiedene Ehe, hätten sie zwangsläufig auch die Zustimmung zu einer vom Kanton Schwyz erteilten Bewilligungsverlängerung verweigern müssen. Würde dem Entscheid des Bundesamts bzw. dem Urteil der Vorinstanz nicht diese Tragweite zukommen, hätten die Bundesbehörden sich einzig auf die Frage des Kantonswechsel beschränken und der Beschwerdeführerin bzw. dem Kanton Schwyz die Gelegenheit geben müssen, sich über die Bewilligungsverlängerung im Kanton auszusprechen, bevor die Wegweisung verfügt bzw. bestätigt wurde, was sie aber nicht getan haben. Es rechtfertigt sich daher, den angefochtenen Entscheid auch als solchen über die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung zu behandeln.
3.4 Gemäss dem hier noch anwendbaren Art. 7 Abs. 1 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren auf die Niederlassungsbewilligung. Kein Anspruch besteht unter anderem dann, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen (Art. 7 Abs. 2 ANAG), oder wenn an einer definitiv gescheiterten Ehe aus den gleichen Gründen festgehalten wird (vgl. BGE 128 II 145 E. 2.1 S. 151 mit Hinweisen).
3.5 Die Beschwerdeführerin heiratete am 7. September 2001 einen Schweizer. Das Scheidungsurteil des Belgrader Gerichts vom 27. Februar 2003 wurde in der Schweiz am 20. Oktober 2006 anerkannt. Fraglich erscheint, ob es unter dem Gesichtspunkt der Fünfjahresfrist von Art. 7 Abs. 1 ANAG auf den Zeitpunkt des ausländischen Urteils oder auf denjenigen der Anerkennung desselben in der Schweiz ankommt. Das kann jedoch offen bleiben. Denn selbst wenn von einem Anspruch auf Niederlassungsbewilligung - und damit um so mehr auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung - auszugehen wäre, wäre diesem materiell keine Folge zu leisten (vgl. nachfolgende E. 4 und 5). Die Frage, ob die Bewilligung verweigert werden durfte, weil einer der in Art. 7 ANAG vorgesehenen Ausnahmetatbestände oder ein Verstoss gegen das Rechtsmissbrauchsverbot gegeben ist, betrifft allerdings nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 128 II 145 E. 1.1.2-1.1.5 S. 148 ff. mit Hinweisen). In diesem Sinne kann vorliegend auf die Beschwerde eingetreten werden, ohne dass damit über die Frage endgültig entschieden wird, ob die Fünfjahresfrist von Art. 7 Abs. 1 ANAG erfüllt ist und damit ein Anspruch auf Bewilligungsverlängerung besteht.
4. 4.1 Nach gefestigter bundesgerichtlicher Rechtsprechung liegt Rechtsmissbrauch vor, wenn der Ausländer sich im ausländerrechtlichen Verfahren auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell besteht oder aufrecht erhalten wird, mit dem alleinigen Ziel, ihm eine Anwesenheitsberechtigung zu ermöglichen; dieses Ziel wird von Art. 7 ANAG nicht geschützt (BGE 131 II 265 E. 4.2 S. 267; 130 II 113 E. 4.2 S. 117, je mit Hinweisen). Dass die Ehe nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht, entzieht sich in der Regel dem direkten Beweis und ist bloss durch Indizien zu erstellen (BGE 130 II 113 E. 10.2 und 10.3 S. 135 f. mit Hinweis). Feststellungen über das Bestehen solcher Indizien können äussere Gegebenheiten, aber auch innere, psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten); es handelt sich so oder anders um tatsächliche Feststellungen, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind. Frei zu prüfen ist die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften und sei rechtsmissbräuchlich (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152 mit Hinweisen).
4.2 Die Ehe der Beschwerdeführerin mit einem Schweizer wurde am 7. September 2001 geschlossen. Bereits im Sommer 2002 leitete der Ehemann in Serbien ein Scheidungsverfahren ein. Mitte November 2002 zog die Beschwerdeführerin zu ihrer Schwester im Kanton Basel-Landschaft, wo sie ein erstes Mal um Kantonswechsel ersuchte. Dieser wurde rechtskräftig wegen rechtsmissbräuchlicher Berufung auf die Ehe verweigert. Am 24. November 2002 rief die Beschwerdeführerin in der Schweiz den Eheschutzrichter an. Die Ehegatten lebten in der Folge getrennt, und es gibt keine nachgewiesenen Bemühungen dafür, das Zusammenleben wieder aufzunehmen. Am 27. Februar 2003 sprach das serbische Gericht die Scheidung aus. Die Beschwerdeführerin wehrte sich zwar längere Zeit gegen die Anerkennung des Scheidungsurteils. Diesen Widerstand gab sie kurz vor dem Ablauf der Fünfjahresfrist nach Art. 7 Abs. 1 ANAG auf. Auch wenn die Anerkennung formell erst nach Ablauf der Frist erfolgte, verlor selbst die Beschwerdeführerin den Glauben an die Ehe bereits vorher. Die Kontakte zwischen den Ehegatten beschränkten sich seit längerem im Wesentlichen auf die hängigen Gerichtsverfahren. Unter diesen Umständen konnte die Vorinstanz, ohne damit Bundesrecht zu verletzen, davon ausgehen, dass die Ehe vor Ablauf der Fünfjahresfrist nach Art. 7 Abs. 1 ANAG am 7. September 2006 definitiv gescheitert war und sich die Beschwerdeführerin im vorliegenden Verfahren nur noch aus ausländerrechtlichen Gründen und damit rechtsmissbräuchlich auf die Beziehung zu ihrem früheren Ehemann beruft.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Bewilligungsverweigerung verstosse gegen den Vertrauensgrundsatz nach Art. 9 BV.
5.2 Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben sieht das Verbot widersprüchlichen Verhaltens vor und verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden. Die Voraussetzung für eine Berufung auf Vertrauensschutz, welche eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung der Rechtsuchenden gebieten kann, hängt von verschiedenen Voraussetzungen ab. Dazu zählt insbesondere, dass die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat und dass sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder dass die rechtsuchende Person die Behörde aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte (BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f. mit Hinweisen).
5.3 Die Beschwerdeführerin beruft sich darauf, sie habe die Gesuche um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung an die Migrationsbehörde des Kantons Schwyz gestellt, ohne den Verbleib beim Ehegatten als Aufenthaltszweck anzugeben. Sie habe die Behörde mithin über ihre Lebensverhältnisse nicht im Unklaren gelassen. Zwar mag allenfalls zutreffen, dass der Beschwerdeführerin kein aktiv täuschendes Verhalten - wie es beim hier nicht in Frage stehenden Tatbestand des Bewilligungswiderrufs nach Art. 9 Abs. 2 lit. a ANAG von Bedeutung wäre - vorgeworfen werden kann. Es ist aber auch nicht davon auszugehen, dass das Migrationsamt in genügendem Umfang Kenntnisse über die persönlichen und ehelichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin hatte; schon gar nicht genügt dafür, dass die Beschwerdeführerin ihre Gesuche um Bewilligungsverlängerung nicht mehr ausdrücklich mit dem Zweck des Zusammenlebens mit dem Ehemann begründete. Die Migrationsbehörde darf eine Bewilligung bzw. deren Verlängerung, auf die Anspruch besteht, nicht bereits beim ersten oder bei einem geringen Verdacht des Rechtsmissbrauchs verweigern, sondern braucht dafür die nötige Beweislage. Nur schon deshalb kann in den erteilten Bewilligungsverlängerungen nicht ein vertrauensbegründendes Verhalten der kantonalen Migrationsbehörde gesehen werden. Dass sich die Beweise für einen Rechtsmissbrauch nachträglich verdichteten, ändert daran nichts.
5.4 Hinzu kommt, dass die kantonale Migrationsbehörde im vorliegenden Zusammenhang gar nicht abschliessend zuständig war. Zwar fällt der Entscheid über die Erteilung und Verlängerung von Aufenthaltsbewilligungen grundsätzlich in die Kompetenz der Kantone (Art. 15 Abs. 1 und 2 ANAG). Nach Art. 18 Abs. 3 und 4 ANAG bedürfen bestimmte ausländerrechtliche Bewilligungen aber der Zustimmung des Bundesamtes für Migration, was namentlich dann zutrifft, wenn das Ausländerrecht eine solche als notwendig erklärt. Die entsprechenden Ausführungsbestimmungen finden sich in Art. 19 der Vollziehungsverordnung vom 1. März zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAV; AS 1949 I 228) sowie in der Verordnung vom 20. April 1983 über das Zustimmungsverfahren im Ausländerrecht (Zustimmungsverordnung; AS 1983 535). Ist die Zustimmung des Bundes erforderlich, darf eine kantonale Bewilligung erst ausgestellt werden, wenn die Genehmigung vorliegt. Ansonsten ist die Bewilligung ungültig (Art. 19 Abs. 5 ANAV). Der Bund ist an den kantonalen Entscheid nicht gebunden. Die Zustimmung ist unter anderem dann erforderlich, wenn die Koordination der Praxis im Rahmen des Gesetzesvollzugs die Zustimmung für bestimmte Gruppen von Ausländern verlangt (Art. 1 Abs. 1 lit. a der Zustimmungsverordnung).
5.5 Diese Voraussetzung ist im vorliegenden Fall erfüllt. Gemäss den hier noch anwendbaren Weisungen des Bundesamts für Migration über Einreise, Aufenthalt und Arbeitsmarkt aus dem Jahre 2006 ist die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung eines Ausländers oder einer Ausländerin nach der Scheidung vom schweizerischen Ehegatten oder nach dessen Tod dem Bundesamt zur Zustimmung zu unterbreiten, falls der Ausländer oder die Ausländerin nicht aus einem Mitgliedstaat der EFTA oder der EG stammt (Ziff. 132.4 der ANAG-Weisungen, 3. Aufl., Bern, Mai 2006; vgl. auch die auf der Website des Bundesamtes [www.bfm.admin.ch] aufgeschalteten heute gültigen Weisungen "I. Ausländerbereich Verfahren und Zuständigkeiten" vom 1. Juli 2009 Ziff. 1.3.1.4 lit. e mit der inhaltlich gleichen Regelung). Diese Weisungen binden die Gerichte zwar nicht; ihre Anwendung im Einzelfall ist aber nicht zu beanstanden, soweit dabei das übergeordnete Recht eingehalten wird (vgl. BGE 119 Ib 33 E. 3c S. 41 f.). Dass das hier in den Weisungen des Bundesamtes vorgesehene Zustimmungserfordernis grundsätzlich gegen höherrangiges Recht verstossen würde, ist nicht ersichtlich. Insbesondere liegt darin, entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin, keine Verletzung der verfassungsmässigen Zuständigkeitsordnung. Nach Art. 121 BV ist die Gesetzgebung über die Ein- und Ausreise sowie über den Aufenthalt und die Niederlassung von Ausländerinnen und Ausländern Sache des Bundes. Damit kann sich dieser selbst im Gesetz (vgl. Art. 18 Abs. 3 und 4 ANAG) auch das Zustimmungserfordernis zu den von den Kantonen gemäss entsprechender gesetzlicher Kompetenzzuweisung erteilten Bewilligungen vorbehalten.
5.6 Der Bund verweigert die Zustimmung unter anderem dann, wenn dies zur Koordination der Praxis erforderlich ist (vgl. Art. 1 Abs. 3 der Zustimmungsverordnung). Im vorliegenden Fall sah das Bundesamt den Grund für die Bewilligungsverweigerung darin, dass die Beschwerdeführerin ihren Anspruch auf Bewilligung rechtsmissbräuchlich geltend machte, was praxisgemäss zum Ausschluss der Verlängerung führt. Das Bundesamt äusserte sich im Vorfeld der Zustimmungsverweigerung weder ausdrücklich noch indirekt zum vorliegenden Fall. Da der Bund an die Bewilligungserteilung der Kantone nicht gebunden ist, kann die Beschwerdeführerin weder aus dem Vorverhalten der Migrationsbehörde des Kantons Schwyz noch aus der, ohnehin lediglich provisorisch und damit unter Vorbehalt der Zustimmung des Bundes erteilten, Bewilligung des Kantons Basel-Stadt zum Kantonswechsel ein vertrauensbegründendes Verhalten des Bundesamtes ableiten. Für eine eventuell gegenseitige Anrechenbarkeit des Behördenverhaltens der verschiedenen Gemeinwesen, etwa aufgrund gemeinsamen oder abgesprochenen Vorgehens, gibt es vorliegend keine Grundlage oder Anhaltspunkte. Auch wenn die Zuständigkeitsordnung relativ komplex und gerade für Laien nicht einfach zu verstehen ist, kann nicht allein aus dem Handeln einer der beteiligten Behörde bereits ein vertrauensbegründendes Verhalten abgeleitet werden, das auch die anderen Behörden bindet. Dies wäre nur dann der Fall, wenn der Betroffene mit Grund - etwa aufgrund entsprechender Abklärungen und weil dies anders nicht erkennbar war - von der uneingeschränkten Zuständigkeit dieser Behörde ausgehen durfte, was hier nicht zutrifft. Ein Verstoss gegen Treu und Glauben liegt daher nicht vor.
6. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, selbst dann, wenn der Anspruch auf Bewilligungsverlängerung nicht zu bejahen wäre, sei von einer Bundesrechtsverletzung auszugehen, weil das Bundesamt sein Ermessen pflichtwidrig ausgeübt habe, was die Vorinstanz verkenne. Zwar trifft es zu, dass grundsätzlich - im Rahmen der gesetzlichen Vorgaben - eine Bewilligung auch dann erteilt werden könnte, wenn kein Anspruch darauf besteht, wobei die Zustimmung des Bundes auch in derartigen Fällen gemäss den entsprechenden rechtlichen Vorgaben, insbesondere zwecks Koordination der Praxis, vorbehalten bliebe. Für solche Ermessensentscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht - im Unterschied zu derjenigen an das Bundesverwaltungsgericht (vgl. Art. 44 und 49 VwVG, Art. 31, 33 und 32 e contrario VGG) - mangels Anspruchs aber ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario), weshalb darauf nicht näher einzugehen ist.
7. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, das Bundesverwaltungsgericht habe das Beschleunigungsgebot verletzt. Sie legt allerdings nicht dar, auf welche Grundlage sie sich dabei stützt bzw. inwiefern sie durch die behauptete überlange Verfahrensdauer überhaupt in ihren Rechten beeinträchtigt worden sein sollte. Im Übrigen trifft es zwar zu, dass das Bundesverwaltungsgericht, bei dem am 16. März 2007 Beschwerde erhoben worden war und das darüber am 8. Januar 2010 entschied, relativ lange zur Erledigung des Streitfalles benötigte. Eine eigentliche Rechtsverzögerung oder -verweigerung liegt aber nicht mehr vor, nachdem der Entscheid nunmehr gefallen ist. Was die Beschwerdeführerin sonst für Rechte geltend machen will, erscheint nicht klar, zumal ihre Anwesenheit in der Schweiz während des vorinstanzlichen - wie im Übrigen auch des bundesgerichtlichen - Verfahrens zumindest prozessual geduldet war. Die entsprechende Rüge erfüllt somit die Anforderungen an die nötige Begründung einer Beschwerde an das Bundesgericht nach Art. 42 Abs. 2 bzw. allenfalls Art. 106 Abs. 2 BGG nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
8. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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