Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Am 20. April 2012 erstattete der Beschwerdeführer bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner 2 wegen Verleumdung. Die Staatsanwaltschaft nahm die Untersuchung am 8. März 2013 nicht an die Hand.
Der Beschwerdeführer erhob am 28. März 2013 Beschwerde. Das Obergericht setzte ihm am 17. Dezember 2013 eine Nachfrist von zehn Tagen an, um eine verbesserte Rechtsschrift einzureichen. Ausserdem wurde ihm aufgegeben, eine Prozesskaution zu leisten. Beide Anordnungen ergingen unter der Androhung, dass bei Säumnis auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
Am 21./23. Dezember 2013 stellte der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Zudem stellte er den Antrag, bis zur Entscheidung über das Gesuch sei ihm die Frist zur Verbesserung der Beschwerde abzunehmen.
Die Vorinstanz wies das zweite Gesuch mit Verfügung vom 30. Dezember 2013 ab. Die Frist zur Leistung einer Prozesskaution wurde abgenommen.
Am 4. Januar 2014 reichte der Beschwerdeführer eine weitere Rechtsschrift ein.
Am 19. Februar 2014 trat die Vorinstanz auf die Beschwerde nicht ein, da die Eingabe vom 4. Januar 2014 verspätet war.
Der Beschwerdeführer beantragt beim Bundesgericht, die Verfügung vom 30. Dezember 2013 und der Beschluss vom 19. Februar 2014 seien aufzuheben. Die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft sei aufzuheben. Gegen den Beschwerdegegner 2 sei Anklage zu erheben oder Strafbefehl zu erlassen.
2.
Nach Ansicht des Beschwerdeführers hätte sein Fristerstreckungsgesuch vom 21. Dezember 2013 nicht abgewiesen werden dürfen, da er es rechtzeitig gestellt und dafür "plausible Gründe" angeführt habe (Beschwerde S. 4).
Im Gesuch vom 21. Dezember 2013 machte der Beschwerdeführer geltend, aus einer Pfändungsurkunde von Juni 2013 seien seine derzeitigen Einkommens- und Vermögensverhältnisse erkennbar. Das Existenzminimum betrage Fr. 1'200.--. Er befinde sich in einer evidenten Bedürftigkeit und sei nicht in der Lage, für die Kaution aufzukommen, ohne dass er die Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung seines Notbedarfs notwendig seien (KA act. 22 S. 2 Ziff. 2). Diese Ausführungen betreffen sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Die Vorinstanz hat die Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses denn auch abgenommen.
Im Anschluss an die soeben zitierten Vorbringen stellt der Beschwerdeführer das Gesuch, bis zur Entscheidung über "diesen Antrag" (gemeint ist offensichtlich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege) solle die Frist von zehn Tagen zur Verbesserung der Beschwerdeschrift abgenommen werden (KA act. 22 S. 2 Ziff. 3). Eine Begründung für dieses Gesuch, geschweige denn eine plausible, findet sich in der Eingabe nicht. Es ist auch nicht nachvollziehbar, aus welchem Grund es dem Beschwerdeführer nicht möglich gewesen sein sollte, fristgerecht eine verbesserte Beschwerde einzureichen. Dies hängt ja nicht von seinen finanziellen Verhältnissen ab. Aus welchem Grund die Vorinstanz, indem sie das nicht und schon gar nicht plausibel begründete Gesuch um Fristerstreckung zur Einreichung einer verbesserten Beschwerde abwies, gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen haben könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht und ist auch nicht ersichtlich.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn