Sachverhalt:
A. Der 1976 geborene A._ war zuletzt als ungelernter Eisenleger in der Firma B._ tätig. Im Februar 2003 meldete er sich für berufliche Massnahmen bei der Invalidenversicherung an. Er verwies dabei auf seit einem am 14. Februar 2002 erlittenen Unfall bestehende gesundheitliche Beschwerden (Schmerzen an Kopf, Nacken, Hals, rechtem Bein und Rücken). Die IV-Stelle Bern gewährte Arbeitsvermittlung (Verfügung vom 16. März 2003) und veranlasste eine berufliche Abklärung an der Klinik E._ vom 12. Januar bis 12. März 2004 sowie eine Einarbeitung/Umschulung in der Stiftung Zentrum S._ vom 15. März bis 30. Juni 2004. Sie zog sodann die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA), dem für den Unfall vom 14. Februar 2002 zuständigen obligatorischen Unfallversicherer, bei und holte nebst weiteren Arztberichten ein MEDAS-Gutachten vom 6. Juli 2005 ein. Mit Verfügung vom 3. Mai 2006 sprach die IV-Stelle dem Versicherten rückwirkend ab 1. Februar 2003 eine bis 31. Juli 2005 befristete ganze Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zu. Die von A._ hiegegen erhobene Einsprache wies die IV-Stelle ab (Entscheid vom 11. Juni 2008).
Zwischenzeitlich hatte die SUVA A._ mit Verfügung vom 20. Juli 2006 für die Folgen des Unfalls vom 14. Februar 2002 mit Wirkung ab 1. Juli 2006 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 40 % und eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse (aufgrund neuropsychologischer Defizite) von 35 % zugesprochen. Daran hielt der Unfallversicherer mit rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 23. Mai 2008 fest.
B. A._ erhob gegen den Einspracheentscheid vom 11. Juni 2008 Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei zu verpflichten, ab 1. August 2005 eine halbe, mindestens aber eine Viertelsrente zu gewähren; eventuell seien obergutachterliche Abklärungen in einer MEDAS und Schlafklinik (mit einer neurologisch-neuropsychiatrischen und psychiatrischen Abteilung) anzuordnen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gewährte A._ die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab. Dabei stellte es im Sinne einer (zuvor angekündigten) Schlechterstellung (reformatio in peius) fest, es bestehe lediglich vom 1. Februar 2003 bis 28. Februar 2005 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente; ab 1. März 2005 sei keine Rentenberechtigung mehr gegeben (Entscheid vom 10. Dezember 2008).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ sinngemäss seine vorinstanzlichen Rechtsbegehren erneuern.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 8C_652/2008 vom 8. Mai 2009 E. 1 mit Hinweisen).
2. Streitig ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung und dabei die Befristung der Rente auf Ende Februar 2005.
2.1 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff Invalidität als Erwerbsunfähigkeit (Art. 8 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG), die Regelung des Rentenanspruchs nach Massgabe des Invaliditätsgrades (Art. 28 Abs. 1 IVG in den vor 2004 und ab Anfang 2004 bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassungen; Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit Anfang 2008 gültigen Fassung), die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen mittels Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG), die Aufgabe des Arztes bei der Invaliditätsbemessung (BGE 132 V 93 E. 4 S. 99 f. mit Hinweisen) und die Beweiswürdigung in Bezug auf ärztliche Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; vgl. auch BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232) zutreffend dargelegt. Richtig ist auch, dass die im Rahmen der 5. IV-Revision Anfang 2008 in Kraft getretenen Rechtsänderungen intertemporalrechtlich nicht anwendbar sind.
2.2 Beizufügen ist, dass nach der Rechtsprechung bei der rückwirkenden Zusprechung einer abgestuften oder befristeten Rente die Revisionsbestimmungen (Art. 17 Abs. 1 ATSG; Art. 88a Abs. 1 IVV) analog anwendbar sind, weil noch vor Erlass der ersten Rentenverfügung eine anspruchsbeeinflussende Änderung eingetreten ist mit der Folge, dass dann gleichzeitig die Änderung mitberücksichtigt wird (vgl. aus jüngster Zeit: Urteil 9C_233/2009 vom 6. Mai 2009 E. 2.1 mit Hinweisen).
Nach Art. 17 Abs. 1 ATSG ist die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend zu erhöhen, herabzusetzen oder aufzuheben. Revisionsbegründend kann u.a. eine Änderung des Gesundheitszustandes oder der erwerblichen Auswirkungen sein (BGE 133 V 545 E. 6.1 S. 546; 130 V 343 E. 3.5 S. 349 ff.). Dabei kann auch eine geringfügige Änderung des Sachverhalts Anlass zu einer Revision geben, sofern sie zu einer Über- oder Unterschreitung des rentenbestimmenden Schwellenwertes beim Invaliditätsgrad führt (BGE 133 V 545). Die Frage, ob eine erhebliche, d.h. mit Bezug auf den Invaliditätsgrad rentenwirksame Änderung der tatsächlichen Verhältnisse eingetreten ist, beurteilt sich durch Vergleich des Sachverhaltes, wie er im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenverfügung bestanden hat, mit demjenigen im Zeitpunkt der streitigen Revisionsverfügung (BGE 130 V 343 E. 3.5.2 S. 351; Urteil 8C_871/2008 vom 24. März 2009 E. 2.2.1 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch BGE 133 V 108). Wird rückwirkend eine abgestufte oder befristete Rente zugesprochen, sind einerseits der Zeitpunkt des Rentenbeginns und anderseits der in Anwendung der Dreimonatsfrist von Art. 88a Abs. 1 IVV festzusetzende Zeitpunkt der Rentenherabsetzung oder -aufhebung die massgebenden Vergleichszeitpunkte (Urteile I 716/06 vom 12. Juli 2007 E. 5.2 und I 541/06 vom 28. März 2007 E. 2.1 mit Hinweis).
Gemäss Art. 88a Abs. 1 IVV ist bei einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit die anspruchsbeeinflussende Änderung für die Herabsetzung oder Aufhebung der Leistung von dem Zeitpunkt an zu berücksichtigen, in dem angenommen werden kann, dass sie voraussichtlich längere Zeit dauern wird; sie ist in jedem Fall zu berücksichtigen, nachdem sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird.
3. Das kantonale Gericht hat die von der Verwaltung mit Wirkung ab 1. Februar 2003 zugesprochene ganze Invalidenrente bestätigt. Es ging dabei davon aus, ab dem Unfall vom 14. Februar 2002 habe gesundheitsbedingt zunächst eine volle und ab März 2003 eine 70 %ige Arbeitsunfähigkeit bestanden, wobei allenfalls zwischendurch vom Oktober 2003 bis ca. Februar 2004 aus psychischen Gründen wiederum eine volle Arbeitsunfähigkeit vorgelegen habe. Dies habe sich erwerblich in einer jeweils mindestens 70%igen Invalidität ausgewirkt.
Das ist insoweit nicht umstritten und gibt zu keinen Weiterungen Anlass. Streitig ist die Befristung der Rente.
3.1 Die Vorinstanz hat zunächst erkannt, die Zusprechung einer UVG-Invalidenrente stehe der Befristung der IVG-Invalidenrente nicht entgegen. Das ist richtig, kommt doch nach der jüngeren Rechtsprechung der Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung keine Bindungswirkung für die Invalidenversicherung zu (BGE 133 V 549). Abgesehen davon beruhte die hier zugesprochene Rente des Unfallversicherers auf einem Vergleich mit dem Versicherten, was auch nach der früheren Rechtsprechung eine Bindungswirkung für die Invalidenversicherung ausgeschlossen hätte (BGE 126 V 288 E. 2b S. 292 mit Hinweis auf BGE 112 V 174; AHI 2003 S. 106 [I 153/00]).
3.2 Das kantonale Gericht hat weiter erwogen, ab 10. November 2004 habe wieder eine 75 %ige Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten bestanden. Für die nachfolgende Zeit sei entweder von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit bei einer 70 %igen Leistungsfähigkeit, von einer Arbeitsfähigkeit von 75 % oder von einer solchen von zwei Dritteln auszugehen. Die Vorinstanz stützt sich dabei namentlich auf das MEDAS-Gutachten vom 6. Juli 2005 und die Berichte der Klinik X._, in der sich der Versicherte wiederholt zur stationären Rehabilitation aufgehalten hat, sowie auf nachträgliche Untersuchungsberichte und Stellungnahmen einzelner Fachärzte der Klinik X._, insbesondere des Neurologen Prof. Dr. med. J._.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was diese Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig oder als rechtsverletzend nach Art. 95 BGG erscheinen liesse. Die von der Vorinstanz für massgeblich erachteten Berichte der Fachärzte zu Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit weisen entgegen der Auffassung des Versicherten keine Widersprüche auf, welche ihre Verlässlichkeit in Frage stellen könnten. Zwar trifft zu, dass sich Prof. Dr. med. J._ in der Stellungnahme vom 12. Dezember 2005 anders als zuvor im Austrittsbericht der Klinik X._ vom 6. Dezember 2004 geäussert hat. Er begründet dies aber überzeugend damit, in die Einschätzung des Zumutbarkeitsprofils gemäss Austrittsbericht sei auch der vom Versicherten gezeigte Mangel an Leistungsbereitschaft eingeflossen; demgegenüber sei in der Stellungnahme vom 12. Dezember 2005 ausschliesslich auf das Zumutbarkeitsprofil abgestellt worden, welches sich unter Berücksichtigung der tatsächlichen gesundheitlich bedingten Beeinträchtigung ergebe. Sodann beanstandet Prof. Dr. med. J._ in dieser Stellungnahme einzelne Punkte im MEDAS-Gutachten. Bei den Feststellungen zu Gesundheitszustand und Zumutbarkeitsprofil lassen sich aber keine wesentlichen Differenzen zwischen seinen Aussagen und denjenigen der MEDAS-Experten erkennen. Sämtliche weiteren Vorbringen in der Beschwerde vermögen im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis ebenfalls zu keiner anderen Betrachtungsweise zu führen. Das gilt auch für den Hinweis auf die Berichte der behandelnden Psychiater. Es kann auf die einlässlichen vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden. Darin wird auch zutreffend erkannt, dass von weiteren medizinischen Abklärungen abzusehen ist, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
3.3 Das kantonale Gericht ist im Weiteren zum Ergebnis gelangt, mit der ab 10. November 2004 gegebenen Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten sei die Ausübung einer rentenausschliessenden Erwerbstätigkeit (Invaliditätsgrad unter den für einen Rentenanspruch mindestens erforderlichen 40 % [Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung]) zumutbar. Diese, auf einem Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG) beruhende Beurteilung wird nicht beanstandet und gibt keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen.
3.4 Umstritten ist hingegen, ob im massgeblichen Vergleichszeitraum (vgl. E. 2.2 hievor) eine revisionsbegründende Änderung der tatsächlichen Verhältnisse eingetreten ist. Der Versicherte verneint dies mit der Begründung, der Gesundheitszustand habe sich im massgeblichen Zeitraum nicht gebessert.
Dem Bericht des Dr. med. K._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Medizinischer Leiter des Zentrums für Begutachtung der Klinik X._, vom 30. Juli 2007 lässt sich indessen entnehmen, dass eine solche Besserung eingetreten ist. Dr. med. K._ verweist auf die beiden Konsiliaruntersuchungen, welche am 13. Oktober 2003 und am 22. Oktober 2004 an der Klinik X._ durchgeführt wurden. Er bestätigt, dass die bestehende depressive Störung bei der zweiten Untersuchung als nunmehr leichter eingestuft wurde als bei der ersten Untersuchung. Insofern sind die Voraussetzungen für die Befristung der zugesprochenen Invalidentenrente auch unter diesem revisionsrechtlichen Gesichtspunkt gegeben.
3.5 Dass die Rente auf Ende Februar 2005 befristet wurde, ist zu Recht nicht beanstandet worden.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz