Faits:
A. A.a Les 22 septembre et 15 octobre 1993, les époux C._ ont signé une convention de séparation, respectivement une convention sur les effets accessoires du divorce, établies par Me A._. Dans sa réponse à la demande en divorce, l'épouse - alors représentée par Me D._ - a conclu à l'invalidation de la convention sur les effets accessoires. Le 25 mars 1995, les époux C._ ont passé une nouvelle convention sur les effets accessoires du divorce, qui prévoyait une liquidation du régime matrimonial plus favorable à l'épouse qu'en vertu de l'accord précédent. Le 20 juin 1995, le divorce a été prononcé et la convention homologuée.
A.b Par lettre du 23 août 1995, Me D._ a informé Me A._ que sa cliente lui avait demandé «d'intervenir auprès des autorités de surveillance, tant auprès du Département de Justice et Police en ce qui concerne la violation de la loi sur le notariat, qu'auprès de la Chambre de surveillance des avocats». Se référant au montant final obtenu dans la liquidation du régime matrimonial, Me D._ estimait que sa cliente avait été lésée par l'intervention de Me A._, motif pour lequel il invitait celui-ci à aviser son assurance responsabilité civile.
Le 9 octobre 1995, Me D._ a dénoncé son confrère à la Chambre de surveillance des avocats et au Département de justice et police. À la suite de cette dénonciation, les rapports entre les deux avocats sont devenus extrêmement houleux et ont donné lieu à de très nombreuses procédures de part et d'autre. Le conflit s'est étendu aux deux associés et mandataires de Me D._, c'est-à-dire Me B._ et Me E._.
A.c Dans un avis de droit du 13 décembre 2004, rédigé à la demande de Me A._, le Prof. Claude Rouiller est parvenu à la conclusion que la liquidation du régime matrimonial, telle qu'elle était prévue dans la convention finalement homologuée, s'écartait de la solution légale au détriment des intérêts de l'époux, que, bien que la dénonciation à la Chambre de surveillance ne fût pas justifiée, il n'était pas possible de déterminer si Me D._ connaissait l'inexactitude des accusations qu'il avait formulées envers son confrère et que, vu la législation cantonale restrictive, la responsabilité de l'Etat ou du Tribunal cantonal n'était pas engagée.
Dans le cadre d'une plainte pénale déposée (en 2003) par Me D._ contre Me A._, celui-ci a envoyé le 2 septembre 2004 au juge chargé du dossier une lettre - dont copie était adressée au Procureur, à la Chambre de surveillance des avocats, au Bâtonnier et à Me B._ - dans laquelle il expliquait avoir sollicité d'un «expert faisant autorité en la matière» un avis de droit concernant les procédures qui l'opposaient à Me D._; ce document serait transmis «à toutes les Etudes valaisannes afin qu'elles soient informées des agissements de Me B._, Vice-Bâtonnier de l'Ordre des avocats valaisans, dont le comportement dans cette procédure n'est pas digne de la charge qu'il entend assumer».
B. B.a Le 6 septembre 2004, Me B._ a requis des mesures provisionnelles tendant à ce qu'il soit interdit à Me A._ de publier ou diffuser l'avis de droit auprès de divers tiers. Le 7 septembre 2004, le Juge du district de Sion a admis la requête à titre préprovisionnel; le 25 octobre suivant, il a confirmé sa décision et imparti au requérant un délai de trois mois pour ouvrir action au fond. Celle-ci a été introduite le 12 novembre 2004; elle n'est plus en cause dans le cas présent.
B.b Le 17 janvier 2005, Me B._ a ouvert action à l'encontre de Me A._ devant le Juge du district de Sion. Il a conclu, à titre provisionnel, à ce qu'il soit fait interdiction au défendeur de divulguer, sous quelque forme que ce soit et à quiconque, des faits et écrits relevant de sa sphère privée ou professionnelle (ch. 1), cette interdiction étant assortie de la menace des sanctions prévues par l'art. 292 CP (ch. 2). Quant au fond, il a conclu à ce qu'il soit constaté que les écrits diffusés par le défendeur à divers institutions, organes et confrères les 19 octobre 2004 et 1er décembre 2004 lèsent ses droits de la personnalité (ch. 1), à ce qu'il soit fait interdiction au défendeur de divulguer, sous quelque forme que ce soit et à quiconque, des faits et écrits relevant de sa sphère privée ou professionnelle (ch. 2), cette interdiction étant faite sous la menace des sanctions prévues par l'art. 292 CP (ch. 3), et au paiement d'une indemnité de 5'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er décembre 2004 à titre de réparation morale (ch. 4).
B.c Le 13 juillet 2006, le Juge du district de Sion a décidé de joindre les deux causes pour l'instruction et le jugement. Le 24 octobre 2007, il a révoqué - à la requête du défendeur - l'ordonnance de mesures provisionnelles du 25 octobre 2004. Il a clos l'instruction le 2 juin 2008 et transmis le dossier au Tribunal cantonal le 11 juin suivant.
C. Statuant le 14 septembre 2010, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a notamment constaté que les écrits diffusés par le défendeur à divers institutions, organes et confrères les 19 octobre 2004 et 1er décembre 2004 lèsent les droits de la personnalité du demandeur (ch. 1), pris acte que celui-ci a renoncé aux prétentions ténorisées à la conclusion n° 1 de son mémoire-demande du 12 novembre 2004 et aux conclusions nos 2, 3 et 4 de son mémoire-demande du 17 janvier 2005 (ch. 2), rejeté toute autre ou plus ample conclusion dans la mesure de sa recevabilité (ch. 3) et mis les frais de procédure et de jugement à concurrence de 1/3 à la charge du demandeur et de 2/3 à la charge du défendeur (ch. 4).
D. Par mémoire du 20 octobre 2010, Me A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut, avec suite de frais et dépens (ch. 3 et 4), à ce que le «Jugement du 14 septembre 2010 [soit] réformé (ch. 1)» et à ce qu'il soit «constaté que la Décision de mesures provisionnelles du 11 mars 2005 n'était pas fondée» (ch. 2).
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Le recours a été déposé à temps (art. 100 al. 1 LTF) à l'encontre d'une décision finale (art. 90 LTF) rendue dans une affaire civile de nature non pécuniaire (art. 72 al. 1 LTF; ATF 127 III 481 consid. 1a) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF).
2. Le recours en matière civile étant une voie de réforme, le recourant est en principe tenu de prendre des conclusions tendant à la modification sur le fond de la décision attaquée (ATF 133 II 409 consid. 1.4.2; 133 III 489 consid. 3.1). En l'espèce, il ne formule aucun chef de conclusions à l'encontre du jugement de la cour cantonale, qui peut seul faire l'objet du recours (art. 75 al. 1 LTF; Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 11 ad art. 75), mais - autant que son mémoire est intelligible - s'en prend à l'ordonnance de mesures provisionnelles rendue le 11 mars 2005 par le Juge du district de Sion.
En tant qu'il est dirigé contre cette décision, le recours est irrecevable à plusieurs titres: L'écriture ne peut être reçue sous l'angle de l'art. 93 al. 3 LTF, dès lors qu'il n'est plus possible, à l'occasion de la décision finale, de se plaindre de mesures provisionnelles qui ont été prises pour la durée du procès et qui sont tombées avec la décision finale (CORBOZ, op. cit., nos 40 et 42 ad art. 93). De surcroît, alors que le demandeur (intimé) avait conclu à titre provisionnel à ce qu'il soit interdit au défendeur (recourant) «de divulguer, sous quelque forme que ce soit et à quiconque, des faits et écrits relevant de [sa] sphère privée ou professionnelle», il y a renoncé dans son action au fond; l'autorité cantonale en a pris acte, considérant que l'ordonnance du premier juge avait par conséquent cessé de produire ses effets. Aussi, malgré ce qu'affirme le recourant, la cour cantonale n'a-t-elle pas «validé» l'interdiction prononcée par le juge de première instance, mais uniquement accueilli le chef de conclusions sur le fond n° 1 de la demande du 17 janvier 2005, tendant à faire constater que les écrits diffusés par le défendeur à des institutions, organes et confrères les 19 octobre 2004 et 1er décembre 2004 ont lésé les droits de la personnalité du demandeur. Le recours a donc perdu son intérêt sur ce point (art. 76 al. 1 let. b LTF). Enfin, si le recourant entendait contester au regard des art. 28 ss CC l'ordonnance de mesures provisionnelles prise le 11 mars 2005, il lui incombait de la déférer préalablement au Tribunal cantonal par la voie du pourvoi en nullité, conformément à l'art. 294 CPC/VS (du 24 mars 1998), puis, le cas échéant, par celle du recours en matière civile au Tribunal fédéral (art. 93 al. 1 let. a et 98 LTF; cf. ATF 134 I 83 consid. 3).
3. L'autorité précédente a mis les frais de procédure et de jugement pour 1/3 à la charge du demandeur (= 2'200 fr.) et pour 2/3 à la charge du défendeur (= 4'400 fr.). Le recourant estime que cette répartition viole d'une manière arbitraire l'art. 252 al. 2 CPC/VS, en vertu duquel il peut être dérogé à la règle d'après laquelle les frais sont mis à la charge de la partie qui succombe lorsque celle-ci «pouvait de bonne foi se croire fondée à procéder».
3.1 La fixation des frais des instances cantonales est régie par le droit cantonal. Sous réserve d'hypothèses qui n'entrent pas en considération dans le cas présent (art. 95 let. c à e LTF), la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours; en revanche, le recourant peut se plaindre d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) de ce droit (ATF 136 I 241 consid. 2.4 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral ne connaît d'un tel grief que s'il a été invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire exposé d'une façon claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2; 134 II 349 consid. 3 et les arrêts cités); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 136 II 489 consid. 2.8; 133 III 589 consid. 2).
3.2 En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que, bien que l'action ouverte le 12 novembre 2004 ait été rejetée, la lettre que le défendeur (recourant) avait transmise le 2 septembre 2004 au juge d'instruction laissait entendre que l'avis de droit du Prof. Claude Rouiller faisait état «d'agissements déontologiquement discutables du demandeur (intimé)», de sorte que ce dernier pouvait légitimement se croire fondé à agir en justice; d'ailleurs, il a obtenu à titre provisionnel l'interdiction de publier ou de diffuser cet avis de droit. Certes, après avoir pris connaissance de ce document, le demandeur n'a pas retiré son action; il faut toutefois signaler que cette procédure, jointe à l'autre cause, n'a pas donné lieu à l'administration de moyens de preuve propres.
Le recourant ne discute pas ces motifs, mais se contente de présenter sa propre argumentation, ce qui ne correspond pas aux exigences de motivation rappelées ci-dessus. De surcroît, sa critique se fonde sur la prémisse que le demandeur a agi en justice «en sachant que l'avis de droit ne le concernait pas»; or, une telle affirmation ne ressort pas des constatations de la cour cantonale (art. 105 al. 1 LTF) selon lesquelles l'intéressé ne l'a appris qu'«après avoir pris connaissance du document incriminé». Au demeurant, la répartition des frais litigieuse tient compte de l'admission de la «conclusion constatatoire» de l'action introduite le 17 janvier 2005, ainsi que du rejet de la «demande reconventionnelle du défendeur»; le recourant ne démontre pas en quoi cette répartition serait arbitraire dans son résultat (cf. ATF 109 Ia 107 consid. 3d), dès lors que, en tout état de cause, sa partie adverse n'a pas été déboutée entièrement de ses conclusions.
4. En conclusion, le recours doit être déclaré irrecevable, aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 25 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Braconi