Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene S._ war als Primarlehrerin tätig und über den Arbeitgeber bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 13. Juli 2001 auf einer Treppe ausrutschte und rückwärts auf Rücken, Schultern und Arme fiel. Die Winterthur anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2003 eröffnete sie der Versicherten, die Arbeitsfähigkeit betrage ab 1. Oktober 2003 75 % und ab 1. Januar 2004 100 %. Zudem verneinte die Winterthur einen Anspruch auf eine Integritätsentschädigung. Die vom obligatorischen Krankenpflegeversicherer der S._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) als Rechtsnachfolgerin der Winterthur nach medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung des Gutachtens der Klinik C._ vom 16. Mai 2007) und erneuter - vorübergehend und ohne Anerkennung einer Rechtspflicht erfolgter - Ausrichtung von Taggeld mit Entscheid vom 7. Oktober 2008 ab. Sie begründete dies damit, spätestens im Zeitpunkt der effektiven Einstellung des Taggelds am 31. Mai 2007 hätten keine unfallkausalen Beschwerden mehr vorgelegen.
B. Beschwerdeweise beantragte S._, es sei mit Wirkung ab 1. Juni 2007 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 40 % und eine angemessene Integritätsentschädigung zuzusprechen; eventuell sei die Sache für weitere medizinische Abklärungen an die AXA zurückzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Juni 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ die Aufhebung von Einsprache- sowie vorinstanzlichem Entscheid beantragen und ihre vorinstanzlichen Begehren erneuern.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 13. Juli 2001 über den 31. Mai 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, die noch geklagten Beschwerden seien nicht unfallkausal.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die zu beachtenden kausal- und beweisrechtlichen Grundsätze.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht hat erkannt, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einer strukturellen traumatischen Schädigung zu erklären. Bezüglich des körperlichen Gesundheitszustandes sei (spätestens) am 31. Mai 2007 der Zustand, wie er ohne den Unfall vom 13. Juli 2001 bestehen würde (status quo sine), erreicht gewesen.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten, insbesondere dem Gutachten der Klinik C._ vom 16. Mai 2007, und einer überzeugenden rechtlichen Würdigung.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte. Namentlich werden keine begründeten Einwände betreffend das Erreichen des (somatischen) status quo sine erhoben. Die Vorbringen der Versicherten gelten denn auch nicht der Frage, ob die noch geklagten Beschwerden mit einem unfallbedingten organischen Korrelat zu erklären sind. Beanstandet wird vielmehr, dass das kantonale Gericht in seinen weiteren Erwägungen die (adäquate) Kausalität nach der Psycho-Praxis geprüft hat. Nach Auffassung der Versicherten sind die persistierenden Beschwerden auf eine beim Unfall erlittene Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zurückzuführen, weshalb die Schleudertrauma-Praxis anzuwenden sei. Dies führe zur Bejahung der Unfallkausalität der Beschwerden.
4. Es erscheint fraglich, ob es beim Unfall vom 13. Juli 2001 zu einer Verletzung gekommen ist, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen vermöchte. Abschliessend muss dies aber nicht beantwortet werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch geklagten Beschwerden selbst nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung zu verneinen ist. Trifft dies zu, was nachfolgend geprüft wird, erübrigt sich auch, weiter auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität und der diesbezüglich beantragten Beweisergänzungen einzugehen (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472).
4.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9.1 Ingress, auch zum Folgenden). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1).
Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist der Sturz vom 13. Juli 2001 den leichten Unfällen zuzurechnen. Die Versicherte geht von einem mittelschweren Unfall aus. Wird dieser Auffassung - vorläufig und ohne abschliessende Beurteilung ihrer Richtigkeit - gefolgt, wäre der Treppensturz innerhalb der mittelschweren Unfälle sicher nicht oberhalb des Grenzbereichs zu den leichten Unfällen einzustufen (vgl. Urteile 8C_798/2007 vom 3. Juli 2008 E. 4.1 und U 83/05 vom 1. Juni 2006 E. 3.1, je mit Hinweisen).
4.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis). Eine Häufung der Kriterien liegt bei der hier (höchstens) gegebenen Unfallschwere vor, wenn mindestens deren vier erfüllt sind (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5).
4.3 Gemäss der in der Beschwerde vertretenen Auffassung sind von diesen Zusatzkriterien deren vier erfüllt, wovon eines in besonders ausgeprägter Weise. Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
Zu Recht nicht geltend gemacht werden die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen.
Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ebenfalls nicht erfüllt. Die - ohnehin fragliche - Diagnose einer HWS-Distorsion genügt hiefür ebenso wenig wie die beim Unfall erlittenen Kontusionen (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.). Andere Faktoren, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten, sind ebenfalls nicht ersichtlich.
Von den verbleibenden drei Kriterien müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das wird für die Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung und der erheblichen Beschwerden zu Recht nicht geltend gemacht. Entgegen der Auffassung der Versicherten liegt aber auch das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen jedenfalls nicht besonders ausgeprägt vor, zumal bereits kurz nach dem Unfall wieder eine 65%ige Arbeitsfähigkeit bestätigt wurde. Damit kann offen bleiben, ob eines oder mehrere dieser Kriterien überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wären.
4.4 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 13. Juli 2001 und den noch geklagten Beschwerden, und damit die Leistungspflicht der AXA hiefür, zu Recht verneint. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz