Faits:
A. Ressortissant guinéen, X._ est arrivé en Suisse en décembre 1998 et y a déposé une demande d'asile qui a été définitivement rejetée le 25 avril 2002. Le 29 novembre 2002, il a épousé une Suissesse. Il s'est par conséquent vu octroyer, au titre du regroupement familial, une autorisation de séjour qui a été régulièrement renouvelée, la dernière fois jusqu'au 28 (recte 29) novembre 2007.
Le 14 septembre 2007, X._ a demandé la prolongation de son autorisation de séjour. Dans le cadre de la procédure y relative, il a indiqué, le 11 octobre 2007, qu'il vivait séparé de sa femme depuis décembre 2006. Le divorce des époux X._ a été prononcé le 9 janvier 2008. Le 15 février 2008, X._ a demandé une autorisation d'établissement sur la base de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20).
Le 9 juin 2008, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la demande de renouvellement d'autorisation de séjour, respectivement d'autorisation d'établissement, déposée par X._ et imparti à l'intéressé un délai de départ de trente jours dès la notification de cette décision. Il a notamment considéré que X._ avait commis un abus de droit en invoquant un mariage n'existant plus que formellement pour obtenir une autorisation de police des étrangers, ledit mariage ayant perdu toute substance avant l'écoulement du délai de cinq ans prévu dans la législation.
B. Par arrêt du 20 janvier 2009, la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Service cantonal du 9 juin 2008.
C. Le 26 février 2009, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 20 janvier 2009. Il demande principalement, sous suite de frais et dépens, que l'arrêt attaqué soit annulé et qu'une autorisation d'établissement lui soit octroyée. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal, voire au Service cantonal, pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours. Le Service cantonal a renoncé à formuler des observations.
L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
D. Par ordonnance du 5 mars 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113) a été abrogée par l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la LEtr (cf. ch. I de l'annexe à l'art. 125 LEtr). Selon l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi sont régies par l'ancien droit. Le présent litige a pour origine une demande de prolongation d'autorisation de séjour qui, datant du 14 septembre 2007, est soumise à l'ancien droit. Le recourant a en outre déposé une demande d'autorisation d'établissement le 15 février 2008, soit après l'entrée en vigueur de la LEtr, mais il l'a fait dans le cadre de la procédure relative à la prolongation de son autorisation de séjour régie, quant au fond, par la LSEE. Par conséquent, il y a lieu d'appliquer l'ancien droit également à la demande d'autorisation d'établissement présentée par le recourant, d'autant que les éléments déterminants pour statuer se sont déroulés avant l'entrée en vigueur de la LEtr (cf. arrêts 2C_371/2008 du 9 février 2009 consid. 2.2, 2C_492/2008 du 26 janvier 2009 consid. 3.4 et 2C_716/2008 du 25 novembre 2008 consid. 2.4).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 II 94 consid. 1 p. 96).
2.2 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
D'après l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour ainsi que, après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, à l'autorisation d'établissement. Pour juger de la recevabilité du recours, seule est déterminante la question de savoir si un mariage au sens formel existe (cf. ATF 126 II 265 consid. 1b p. 266). Cette condition n'est pas remplie actuellement, puisque le divorce des époux X._ a été prononcé le 9 janvier 2008. En revanche, au moment décisif soit le 29 novembre 2007 - date correspondant à un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans conformément à l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE -, le recourant était encore marié à une Suissesse et vivait depuis cinq ans en Suisse au bénéfice d'une autorisation de séjour, de sorte que le présent recours est recevable comme recours en matière de droit public, au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. ATF 135 II 1 consid. 1.2.2 p. 4; 128 II 145 consid. 1.1.5 p. 149 s.). La question de savoir s'il faut refuser l'autorisation sollicitée en raison d'une des exceptions prévues à l'art. 7 LSEE ou pour abus de droit relève du fond (ATF 128 II 145 consid. 1.1.5 p. 150).
Dans la mesure où l'intéressé demande une autorisation de police des étrangers pour cas de rigueur dans le cadre de la libre appréciation de l'autorité cantonale (cf. art. 4 LSEE) en invoquant notamment son intégration sociale et professionnelle, sa bonne réputation et les mauvais traitements que lui aurait infligés sa femme, son recours est toutefois irrecevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (ATF 133 I 185 consid. 2.3 p. 189 s.; arrêt 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 1.1.4 non publié in ATF 135 I 153).
2.3 Au surplus, dirigé contre une décision rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
3. Dans sa décision du 9 juin 2008, le Service cantonal s'est référé aux ch. 623, 652 et 654 des Directives LSEE et en a résumé le contenu. Dans son recours cantonal, l'intéressé a requis la production de ces textes pour exercer son droit d'être entendu. Le Tribunal cantonal n'a pas donné suite à cette réquisition d'instruction, dont il n'a du reste pas fait état dans l'arrêt attaqué. Le recourant se plaint que les juges cantonaux aient violé son droit d'être entendu en ne répondant pas à sa demande et en ne motivant pas "ce refus".
3.1 Le droit d'être entendu garanti constitutionnellement comprend le droit pour l'intéressé de prendre connaissance du dossier, de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 132 II 485 consid. 3.2 p. 494). La jurisprudence admet que le droit d'être entendu n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 429). Par ailleurs, le droit d'être entendu implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Il ne lui impose cependant pas d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; l'autorité peut, au contraire, se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445).
3.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal n'a pas donné suite à la requête du recourant tendant à obtenir les Directives LSEE résumées par le Service cantonal dans sa décision du 9 juin 2008 ni n'a du reste évoqué ce point. On ne saurait cependant y voir une violation du droit d'être entendu. En effet, ces directives n'ont joué aucun rôle dans l'arrêt attaqué, qui n'y fait en aucune façon référence. Il s'agit ainsi d'un élément qui, sans arbitraire, peut être qualifié de non pertinent. Par conséquent, on ne peut reprocher aux juges cantonaux de ne pas avoir donné suite à l'offre de preuve du recourant à ce sujet, ni du reste de ne pas avoir expliqué pourquoi, car le fait que l'arrêt attaqué ne repose pas sur ces directives est à cet égard suffisant.
4. 4.1 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4 p. 254 s.; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288; voir aussi arrêt 4A_326/2007 du 29 novembre 2007, consid. 4.1).
4.2 Considérant que c'est le nouveau droit des étrangers qui est applicable en l'occurrence, le recourant développe toute une argumentation fondée sur différentes dispositions de la LEtr, qui constituent une "lex mitior". Il n'y a toutefois pas lieu d'entrer en matière sur les griefs que l'intéressé soulève à cet égard, dès lors que c'est encore l'ancien droit qui s'applique (cf. consid. 1, ci-dessus).
4.3 Par ailleurs, le recourant présente sa propre version des faits, l'opposant à celle du Tribunal cantonal qu'il discute comme s'il intervenait dans le cadre d'une procédure d'appel. Une telle argumentation ne permet toutefois pas au Tribunal fédéral de rectifier ou de compléter les constatations de fait de l'arrêt attaqué qui, au surplus, n'apparaissent pas avoir été établies par l'autorité précédente de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). De plus, le recourant se prévaut de faits non pertinents, qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération. C'est donc sur la base des faits retenus dans l'arrêt entrepris qu'il convient de vérifier si le droit fédéral a été correctement appliqué. Les critiques du recourant qui se fondent sur un état de fait différent de celui qui a été retenu par les juges cantonaux sont ainsi vidées de leur substance.
5. 5.1 D'après l'art. 7 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour (al. 1 1ère phrase) puis, après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, à l'autorisation d'établissement (al. 1 2ème phrase), à moins que le mariage n'ait été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers (al. 2), sous réserve au surplus d'un abus de droit (ATF 131 II 265 consid. 4.1 p. 267). Il y a abus de droit lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'existant plus que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de police des étrangers, car ce but n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267). Le mariage n'existe plus que formellement lorsque l'union conjugale est définitivement rompue, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a plus d'espoir de réconciliation (ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117). Sauf circonstances particulières, on doit considérer le lien conjugal comme vidé de son contenu deux ans après la fin de la vie commune (ATF 130 II 113 consid. 10.4 p. 137).
5.2 Le Tribunal cantonal a constaté que, depuis 2004, le recourant vivait séparé de sa femme, celle-ci étant partie s'installer à Genève. Le Tribunal cantonal a aussi retenu, sur la base des déclarations faites par la femme du recourant le 6 décembre 2007 lors d'une audition administrative et sur la base du procès-verbal de l'audience du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine du 9 janvier 2008, que le mariage des époux X._ n'avait plus aucune substance en tout cas à la fin 2005 et se résumait à une adresse fiscale à Fribourg. Tels sont les faits pertinents retenus par les juges cantonaux qui lient l'Autorité de céans (cf. consid. 4, ci-dessus). Ils ne contredisent d'ailleurs pas les dires du recourant, qui prétend que les époux ont eu des relations intimes jusqu'à la fin de l'année 2005 et que l'épouse a transféré officiellement son domicile à Genève en 2006. Le recourant n'invoque aucun élément concret et vraisemblable permettant d'admettre qu'il existait, avant le 29 novembre 2007 (date d'échéance du délai de cinq ans figurant à l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE), une volonté de reprendre à court terme la vie commune. Il n'allègue du reste pas avoir entrepris à l'époque des démarches en ce sens; il relève au contraire que notamment l'infidélité manifeste et répétée de sa femme est à l'origine du divorce et il admet avoir adhéré en novembre 2007 aux conclusions en divorce de sa femme, qui était enceinte d'un autre homme. Dans ces circonstances, le Tribunal cantonal pouvait estimer, sans tomber dans l'arbitraire, qu'à partir de la fin de l'année 2005, le mariage du recourant était purement formel et que, depuis lors, l'intéressé commettait un abus de droit en invoquant cette union pour obtenir une autorisation de police des étrangers. Comme cet abus de droit est intervenu avant l'échéance du délai de cinq ans de l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE, c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a considéré que l'intéressé ne pouvait pas prétendre à une autorisation d'établissement sur la base de la disposition précitée.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et des migrants et à la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 20 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz