Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 28. August 2009 lehnte die Bürgerrechtskommission der Gemeinde Buchrain ein von A. und B.X._gestelltes Einbürgerungsgesuch ab.
Hiergegen liess A.X._ Verwaltungsbeschwerde an den Regierungsrat des Kantons Luzern führen. Mit Entscheid vom 15. Juni 2010 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
In der Folge gelangte A.X._ mit einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Mit Urteil vom 28. September 2010 hat die Verwaltungsrechtliche Abteilung dieses Gerichts die Beschwerde abgewiesen.
2. Mit Eingabe vom 7. Oktober (Postaufgabe: 25. Oktober) 2010 führt A.X._ gegen das Urteil vom 28. September 2010 Beschwerde ans Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; zudem BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer kritisiert die Einbürgerungsbehörden und das verwaltungsgerichtliche Urteil auf ganz allgemeine Weise. Dabei legt er indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern die dem Urteil zugrunde liegende Begründung bzw. das Urteil im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bürgerrechtskommission der Gemeinde Buchrain sowie dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp