Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Nachdem der Beschwerdeführer am 26. November 2012 eine Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner 2 wegen Beschimpfung eingereicht hatte, nahm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Untersuchung mit Verfügung vom 29. November 2012 nicht an die Hand (Ziff. 1). Die Zivilklage wurde auf den Zivilweg verwiesen (Ziff. 2). Die Verfahrenskosten wurden dem Beschwerdeführer auferlegt (Ziff. 3).
Der Beschwerdeführer beantragte im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht des Kantons Zürich, die Ziffern 1 bis 3 der Nichtanhandnahmeverfügung seien aufzuheben und eine Strafuntersuchung zu eröffnen.
Das Obergericht wies die Beschwerde am 11. November 2013 ab (Ziff. 2). Die Gerichtsgebühr wurde dem Beschwerdeführer auferlegt (Ziff. 3).
Der Beschwerdeführer beantragt beim Bundesgericht, der Beschluss vom 11. November 2013 sei aufzuheben, soweit ihm dadurch direkt (nämlich durch dessen Dispositiv-Ziffer 3) oder indirekt (durch die in dessen Dispositiv-Ziffer 2 enthaltene Bestätigung der Kostenauferlegung gemäss der staatsanwaltschaftlichen Verfügung vom 29. November 2012) Kosten auferlegt wurden.
Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Der Beschwerdegegner 2 beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Der Beschwerdeführer hat sich zu den Stellungnahmen geäussert.
2.
Gemäss Art. 427 Abs. 2 lit. a StPO können dem Strafantragsteller die Kosten unter anderem auferlegt werden, sofern er mutwillig oder grob fahrlässig die Einleitung des Verfahrens bewirkt hat. Die Vorinstanz kommt zu Recht zum Schluss, diese Voraussetzung sei erfüllt (vgl. Beschluss S. 9/10 E. 4). Das Obergericht des Kantons Zürich hatte den vom Beschwerdeführer angezeigten Sachverhalt (Geste mit dem Mittelfinger verbunden mit dem Satz "Du kannst mich mal") bereits am 30. Oktober 2012 vollständig beurteilt (vgl. S. 7 E. 3a, S. 9 E. IV, S. 10 E. V/2) und den Beschwerdegegner 2 wegen Beschimpfung verurteilt (vgl. dazu Urteil des Bundesgerichts 6B_2/2013 vom 4. März 2013). Dass der Beschwerdeführer, bei dem es sich um einen promovierten Juristen und Rechtsanwalt handelt, rund einen Monat nach der Verurteilung des Beschwerdegegners 2 durch das Obergericht nochmals Strafanzeige wegen des Satzes "Du kannst mich mal" einreichte, war mutwillig.
3.
Die Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens wurden dem Beschwerdeführer in Anwendung von Art. 428 Abs. 1 StPO auferlegt, weil er vor Obergericht unterlag. Was daran gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ist nicht ersichtlich.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner 2 hat sich vernehmen lassen, ohne einen Antrag auf Entschädigung zu stellen (act. 13).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn