Faits:
A. Le 24 septembre 2010, X._ (demandeur) a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye d'une action en protection de la personnalité dirigée contre A._ et l'Association B._ (défendeurs). Les parties ont comparu à l'audience du 14 janvier 2011, au cours de laquelle elles ont été interrogées; après la clôture de la procédure probatoire, le conseil du demandeur et le défendeur A._ ont plaidé.
Selon le dispositif du jugement prononcé ce même jour et notifié aux défendeurs le 31 janvier 2011, l'action a été admise en ce sens, notamment, que les défendeurs ont été astreints à faire cesser toute atteinte à la personnalité du demandeur. Le 25 février 2011, les défendeurs ont sollicité la rédaction du jugement.
B. Par écritures séparées des 28 et 31 janvier 2011, les défendeurs - par l'intermédiaire de leur avocat - ont requis la récusation de Jean-Benoît Meuwly, Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye. Le 11 mars 2011, ils ont déposé une plainte pénale à l'encontre de celui-ci pour abus d'autorité (art. 312 CP).
Par décision du 11 avril 2011, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye a rejeté la requête de récusation. Le 12 mai 2011, les défendeurs ont recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg, concluant à la récusation du magistrat précité. Le 20 août 2011, ils ont demandé la récusation du "Tribunal Cantonal du Canton de Fribourg entier" en raison d'un arrêt de la Chambre pénale du Tribunal cantonal, du 9 août 2011, rejetant leur recours contre une ordonnance de non-entrée en matière rendue le 28 avril précédent par le Ministère public; tous les membres ordinaires de la section civile du Tribunal cantonal se sont récusés.
Statuant le 17 février 2012, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité.
C. Par acte du 3 mai 2012, les défendeurs forment un recours en matière civile au Tribunal fédéral; ils concluent à l'annulation de la décision du Tribunal cantonal et à la récusation du Président Meuwly (ch. 1), ainsi qu'à l'annulation du jugement rendu le 14 janvier 2011 par le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye (ch. 2).
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures sur le fond.
D. Par ordonnance du 2 juillet 2012, la Juge présidant la IIe Cour de droit civil a suspendu la présente procédure de recours jusqu'à droit connu sur la demande de récusation dirigée à l'encontre de la Juge fédérale Hohl, Présidente de ladite Cour.
Par ordonnance du 14 août 2012, la IIe Cour de droit civil a rejeté cette requête.
Considérant en droit:
1. Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision sur récusation (art. 92 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). La cause au fond étant de nature non pécuniaire (ATF 102 II 161 consid. 1), le présent recours est ouvert sans égard à la valeur litigieuse. Les recourants, qui ont été déboutés de leurs conclusions par l'autorité précédente, ont qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
2. Conformément à l'art. 54 al. 1 LTF, le présent arrêt est rendu en français, alors même que le mémoire de recours est (valablement) rédigé en allemand (art. 42 al. 1 LTF).
3. Les reproches de partialité adressés à la Présidente de la IIe Cour de droit civil ont été examinés dans l'ordonnance du 14 août 2012; il n'y a pas lieu d'y revenir.
4. Dans un premier moyen, les recourants font valoir que l'autorité précédente ne s'est pas prononcée sur la demande de récusation du Tribunal cantonal "in corpore" formée le 20 août 2011 à la suite de l'arrêt de la Chambre pénale (cf. supra, let. B); or cette demande - qui devait faire l'objet d'une décision préalable et distincte du fond - visait également les juges suppléants, lesquels sont membres du Tribunal cantonal aux termes de l'art. 27 al. 2 (recte: 37 al. 1) de la loi fribourgeoise du 31 mai 2010 sur la justice.
4.1 En tant qu'elle vise indistinctement tous les juges - ordinaires et suppléants - du Tribunal cantonal, la requête de récusation devrait être tenue pour abusive (arrêt 5A_324/2007 du 29 novembre 2007 consid. 3, non publié aux ATF 134 I 20 ss; idem, pour la récusation "en bloc" des juges du Tribunal fédéral: ATF 105 Ib 301). Quoi qu'il en soit, la critique doit être écartée pour un autre motif.
4.2 Il ressort du dossier que, par lettre du 3 octobre 2011, le conseil des recourants a été informé que, "à la suite de la récusation de tous les membres ordinaires de dite section [i.e. la Ie Cour d'appel civil], le recours du 12 mai 2011 contre la décision du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye du 11 avril 2011 sera traité par la Ière Cour d'appel civil composée des juges suppléantes suivantes: Mme Parisima Vez, présidente, Mmes Catherine Hayoz et Francine Defferrard". Les recourants n'ont alors émis aucune objection quant à la composition de la juridiction cantonale, de sorte qu'ils ne sauraient s'en plaindre pour la première fois devant le Tribunal fédéral (ATF 117 Ia 322 consid. 1c et les citations).
5. Les recourants se plaignent, en outre, d'arbitraire dans l'établissement des faits.
5.1 En vertu de l'art. 97 al. 1 LTF, la partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si, en particulier, les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5). De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (ATF 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas saisi le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a effectué des déductions insoutenables sur la base des éléments recueillis (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3 et les arrêts cités).
5.1 En vertu de l'art. 97 al. 1 LTF, la partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si, en particulier, les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5). De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (ATF 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas saisi le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a effectué des déductions insoutenables sur la base des éléments recueillis (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3 et les arrêts cités).
5.2 5.2.1 La juridiction cantonale a constaté que les recourants sollicitaient la réouverture de la procédure probatoire et l'administration de divers moyens de preuve, dont l'audition du recourant n° 1 et de la traductrice ayant oeuvré à l'audience du 14 janvier 2011. Mais elle a estimé que, "vu l'objet du recours et le fait que tous les moyens, pièces et preuves nécessaires à son traitement figurent au dossier, il n'est nécessaire ni d'assigner les parties à une audience, ni de rouvrir la procédure probatoire". Les juges précédents ont ainsi refusé d'ordonner des mesures probatoires à la suite d'une appréciation anticipée des preuves; quoi qu'en disent les recourants, un tel procédé n'enfreint pas le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst. et 53 al. 1 CPC), et ne peut être critiqué que sous l'angle de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves (ATF 138 III 374 consid. 4.3.2 et la jurisprudence citée).
5.2.2 Il est vrai que, dans ses considérants "en fait", la cour cantonale s'est limitée à retracer les différentes étapes de la procédure, les faits pertinents étant exposés dans la partie "en droit", en relation avec les griefs soulevés par les recourants en instance cantonale. Cette manière de faire n'est pas critiquable, pour autant que l'acte attaqué comporte tous les faits permettant au Tribunal fédéral de statuer sur l'application du droit, faute de quoi l'affaire doit être renvoyée à l'autorité précédente pour complément de l'état de fait (ATF 133 IV 293 consid. 3.4.2).
En l'espèce, les recourants se réfèrent à la version du déroulement de la séance du 14 janvier 2011 qu'ils ont présentée dans leur requête de récusation, soulignant que le procès-verbal d'audience ne saurait être utilisé pour établir les faits, dès lors qu'il a été rédigé sous la direction du juge dont la participation est précisément contestée. Cependant, ils exposent les événements d'une manière unilatérale, sans désigner avec précision les points qui auraient été constatés arbitrairement. Faute de motivation suffisante, le grief est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; cf. sur les exigences: ATF 138 III 374 consid. 4.3.1).
6. Les recourants remettent en cause l'impartialité du Président Meuwly et prétendent avoir demandé sa récusation à temps.
6.1 Selon une jurisprudence constante - désormais ancrée à l'art. 49 al. 1 CPC -, la partie qui a connaissance d'un motif de récusation doit l'invoquer aussitôt, sous peine d'être déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement (ATF 138 I 1 consid. 2.2 in fine; 134 I 20 consid. 4.3.1 et la jurisprudence citée). Nonobstant ce qu'affirment les recourants, la question de savoir si la récusation a été sollicitée à temps ne relève pas d'une "Sachverhaltsfeststellung" qui lierait le Tribunal fédéral; il s'agit, au contraire, d'un point de droit qui est revu librement sur la base des faits retenus par la dernière autorité cantonale quant aux circonstances dans lesquelles la requête a été formée.
En l'espèce, l'autorité de première instance a expressément laissé cette question irrésolue, alors que la cour cantonale ne l'a pas évoquée. Il ressort de l'arrêt déféré que la demande de récusation est motivée par l'attitude du Président Meuwly lors de l'audience du 14 janvier 2011; présentée les 28 et 31 janvier suivants, elle apparaît ainsi tardive. À ce propos, le Message du Conseil fédéral relatif au CPC - loi qui, bien que n'étant pas directement applicable en l'occurrence pour les conditions de la récusation (art. 404 al. 1 CPC), exprime néanmoins un principe général - déclare que, quand "la cause de récusation est découverte en audience, la récusation doit être requise avant qu'elle ne soit levée, sous peine de péremption" (FF 2006 6887 ch. 5.2.3; idem: Tappy, in: Code de procédure civile commenté, 2011, n° 11 ad art. 49 CPC). Quoi qu'il en soit, la requête est de toute manière infondée (cf. infra, consid. 6.2).
En l'espèce, l'autorité de première instance a expressément laissé cette question irrésolue, alors que la cour cantonale ne l'a pas évoquée. Il ressort de l'arrêt déféré que la demande de récusation est motivée par l'attitude du Président Meuwly lors de l'audience du 14 janvier 2011; présentée les 28 et 31 janvier suivants, elle apparaît ainsi tardive. À ce propos, le Message du Conseil fédéral relatif au CPC - loi qui, bien que n'étant pas directement applicable en l'occurrence pour les conditions de la récusation (art. 404 al. 1 CPC), exprime néanmoins un principe général - déclare que, quand "la cause de récusation est découverte en audience, la récusation doit être requise avant qu'elle ne soit levée, sous peine de péremption" (FF 2006 6887 ch. 5.2.3; idem: Tappy, in: Code de procédure civile commenté, 2011, n° 11 ad art. 49 CPC). Quoi qu'il en soit, la requête est de toute manière infondée (cf. infra, consid. 6.2).
6.2 6.2.1 La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH - qui ont, de ce point de vue, la même portée - permet de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à la cause puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de la part du juge ne peut être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat; cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte, les impressions purement individuelles n'étant pas décisives (ATF 138 I 1 consid. 2.2; 138 IV 142 consid. 2.1, avec les arrêts mentionnés). Le risque de prévention ne saurait être admis trop facilement, sous peine de compromettre le fonctionnement normal des tribunaux (ATF 105 Ia 157 consid. 6a).
De jurisprudence constante, des décisions ou des actes de procédure viciés, voire arbitraires, ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention. En effet, de par son activité, le juge est contraint de se prononcer sur des questions contestées et délicates; même si elles se révèlent ensuite erronées, des mesures inhérentes à l'exercice normal de sa charge ne permettent pas encore de le suspecter de parti pris; en décider autrement, reviendrait à affirmer que tout jugement inexact, voire arbitraire, serait le fruit de la partialité du juge, ce qui n'est pas admissible. Seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent en conséquence justifier une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances corroborent à tout le moins objectivement l'apparence de prévention (ATF 125 I 119 consid. 3e; 138 IV 142 consid. 2.3, avec les arrêts cités).
6.2.2 Selon les recourants, les nombreuses irrégularités commises par le Président Meuwly lors de l'audience du 14 janvier 2011 établissent, à tout le moins objectivement, une prévention à leur endroit. Toutefois, les prémisses de cette thèse ne sont pas fondées. La cour cantonale a écarté les griefs que les intéressés avaient soulevé dans ce contexte, considérant en définitive que la procédure s'était déroulée de manière régulière; or les recourants se bornent à opposer leur argumentation à celle des magistrats précédents, sans démontrer en quoi les motifs de la décision entreprise - essentiellement déduits du droit de procédure cantonal (cf. art. 404 al. 1 CPC) - seraient contraires au droit (art. 106 al. 2 LTF; cf. sur les exigences: ATF 134 II 244 consid. 2.2).
Au demeurant, encore faudrait-il que ces prétendus vices de procédure fussent révélateurs d'un parti pris à l'endroit des recourants. Au regard des conditions posées par la jurisprudence (cf. supra, consid. 6.2.1), tel n'est pas le cas; il n'est pas établi que les violations alléguées - qui ne sont, par ailleurs, nullement avérées - ne puissent s'expliquer que par une prévention envers les intéressés. Comme le rappelle à cet égard la juridiction cantonale, c'est à l'autorité appelée à statuer sur le recours contre le jugement au fond (i.c. du 14 janvier 2011), et non à celle qui est saisie d'une requête de récusation, qu'il appartient de redresser les éventuelles erreurs de procédure imputables au premier juge (ATF 116 Ia 135 consid. 3a).
7. Les recourants ont conclu à ce qu'il soit constaté "dass die Vorinstanz seit Abschluss des vorinstanzlichen Verfahrens durch Zustellung des begründeten Urteils an die Parteien nicht mehr befugt ist, den Kostenentscheid zu Lasten einer Partei zu ändern oder zu ergänzen oder auf anderem Wege zu Lasten einer Partei Verfahrenskosten festzusetzen, die nicht im Kostenentscheid enthalten sind" (ch. 4).
7.1 L'argumentation des recourants se fonde sur la prémisse que "die Parteien könnten [d'après la cour cantonale] nach dem Urteil noch ihre Kostennoten präsentieren". En réalité, la décision entreprise constate simplement que, le 17 février 2012, un délai de dix jours a été imparti au conseil de l'intimé "pour produire sa liste de frais relative à l'appel" (p. 3 let. M); les dépens ont été arrêtés à 735 fr. 15, TVA comprise, montant qui correspond à celui qui figure sur la liste de frais présentée le 2 mars 2012. Il s'agit dès lors de frais - en l'occurrence de dépens (art. 95 al. 3 CPC) - déjà encourus. Pour le surplus, cette somme, fixée en application du droit cantonal (art. 96 CPC; cf. parmi plusieurs: arrêt 5A_178/2012 du 20 septembre 2012 consid. 8.2; Tappy, op. cit., n° 6 ad art. 96 CPC), n'est pas remise en discussion (art. 106 al. 2 LTF).
7.2 La question de savoir si la juridiction précédente serait habilitée, à l'occasion de la décision finale, à prélever des frais supplémentaires (relatifs à la procédure de récusation) n'est pas l'objet de la présente procédure (cf. à ce propos: Tappy, op. cit., n° 17 ad art. 104 CPC et les exemples cités). La cour cantonale ne l'a pas évoquée et les recourants se livrent à des conjectures; or le Tribunal fédéral doit se prononcer sur des questions concrètes, et non sur de simples hypothèses (ATF 135 III 513 consid. 7.2; 136 I 274 consid. 1.3; 137 IV 87 consid. 1). Il s'ensuit que le recours est irrecevable sur ce point, faute d'intérêt actuel (art. 76 al. 1 let. b LTF).
8. Vu ce qui précède, le présent recours est rejeté dans la mesure où il est recevable; les frais de la procédure fédérale incombent aux recourants, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
Lausanne, le 17 octobre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Braconi