Sachverhalt:
A. X._ ist Eigentümer der Parzelle Nr. 460, die im Baugebiet der Gemeinde Grub (AR) liegt. Auf der Parzelle steht ein Einfamilienhaus, an das nach Norden hin eine Garage angebaut ist. Zwischen der Garage und der Grenze zu der Y._ gehörenden Parzelle Nr. 458 befindet sich ein Parkplatz; auf dieser Fläche stellt X._ seit Jahren seinen Wohnwagen ab. Auf eine Eingabe von Y._ hin verlangte der Gemeinderat Grub mit Verfügung vom 8. Juni 2006 für das Abstellen des Wohnwagens auf Parzelle Nr. 460 die Einhaltung eines Grenzabstands von drei Metern.
Diese Verfügung focht X._ beim Departement Bau und Umwelt des Kantons Appenzell Ausserrhoden (DBU) an. Dieses erwog im Rekursentscheid vom 4. Oktober 2006, der Wohnwagen sei nicht als grenzabstandspflichtige Baute einzustufen; der Abstellplatz bzw. das Abstellen des Wohnwagens unterliege aber der Baubewilligungspflicht. Aus den Akten gehe nicht hervor, dass jemals eine entsprechende Baubewilligung erteilt worden sei. Falls eine solche nicht vorliege, habe die Gemeinde ein nachträgliches Baubewilligungsverfahren einzuleiten. In diesem Sinne hob das DBU die kommunale Verfügung auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an den Gemeinderat zurück. Der Entscheid des DBU vom 4. Oktober 2006 erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B. Daraufhin erliess der Gemeinderat Grub gegenüber X._ am 19. Januar 2007 folgende Verfügung: Für den Abstellplatz und das Abstellen des Wohnwagens sei eine Baubewilligung einzuholen. X._ rekurrierte gegen diese Aufforderung an das DBU und machte im Wesentlichen geltend, der Abstellplatz falle unter die Bestandesgarantie. Das DBU wies den Rekurs am 19. Juli 2007 ab.
X._ zog den Entscheid vom 19. Juli 2007 an das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden weiter. Dieses erwog im Urteil vom 30. April 2008, die Frage der Baubewilligungspflicht sei bereits rechtskräftig im Rekursentscheid des DBU vom 4. Oktober 2006 entschieden worden; es gebe keine Revisionsgründe, um darauf zurückzukommen. Weiter sei fraglich, ob der als Verfügung bezeichneten Aufforderung des Gemeinderats vom 19. Januar 2007 überhaupt Verfügungscharakter zukomme. Diese Frage beantwortete das Verwaltungsgericht nicht abschliessend. Es hielt dafür, selbst bei einer Qualifizierung als Verfügung müsste dieser eine verfahrensleitende Natur beigelegt werden; Verfügungen dieser Art seien gemäss dem kantonalen Verfahrensrecht nicht selbstständig anfechtbar. Jedenfalls unterliege X._ mit seinem Anliegen, vom nachträglichen Baubewilligungsverfahren befreit zu werden. Im Dispositiv des Urteils hat das Verwaltungsgericht die Beschwerde von X._ im Sinne der Erwägungen abgewiesen, den Rekursentscheid des DBU vom 19. Juli 2007 hinsichtlich des Sachentscheids aufgehoben und die Sache an den Gemeinderat zurückgewiesen. Ausserdem hat das Verwaltungsgericht festgehalten, der Gemeinderat habe das nachträgliche Baubewilligungsverfahren gemäss der Aufforderung vom 19. Januar 2007 fortzusetzen und pflichtgemäss zu vollstrecken.
C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhebt X._ beim Bundesgericht mit Eingabe vom 19. Januar 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Feststellung, dass keine Baubewilligungspflicht vorliege.
Y._ und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das DBU hat Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt. Der Gemeinderat Grub hat sich nicht vernehmen lassen. Die eingegangenen Stellungnahmen sind den Verfahrensbeteiligten am 25. Februar 2009 zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Sie haben sich in der Folge nicht mehr dazu geäussert.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 22 E. 1 S. 24 mit Hinweis).
1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dieser betrifft die Baubewilligungspflicht für einen Abstellplatz bzw. für das Abstellen eines Wohnwagens. Dabei geht es um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer ist als Eigentümer des betroffenen Grundstücks zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde wurde rechtzeitig eingereicht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG).
1.2 Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers handelt es sich indessen beim angefochtenen Urteil nicht um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG. Das Verfahren wurde dadurch nicht abgeschlossen; vielmehr wurde die Sache an die Gemeinde zur Fortsetzung des nachträglichen Baubewilligungsverfahrens zurückgewiesen. Rückweisungsentscheide sind grundsätzlich Zwischenentscheide, gegen die nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG beim Bundesgericht Beschwerde erhoben werden kann, selbst wenn damit über materielle Teilaspekte der Streitsache entschieden wird (vgl. BGE 135 II 30 E. 1.3.1 S. 34 mit Hinweisen). Vorliegend kommt eine Anfechtbarkeit einzig gestützt auf Art. 93 Abs. 1 BGG in Frage. Dabei ist zu beachten, dass die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG das Bundesgericht entlasten sollen. Das Bundesgericht tritt auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein, sofern allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden können (vgl. BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34 f.).
1.3 Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG lässt die Beschwerde zu, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Im vorliegenden Fall wird der Ausgang des nachträglichen Baubewilligungsverfahrens durch den angefochtenen Entscheid nicht präjudiziert. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer aufgrund des angefochtenen Entscheids ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG entsteht.
1.4 Nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist die Beschwerde zulässig, wenn deren Gutheissung sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Diese Bestimmung gibt die früher in Art. 50 Abs. 1 OG verankerte Regelung wieder, die für das zivilrechtliche Verfahren vor Bundesgericht galt. Ob die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG erfüllt sind, prüft das Bundesgericht frei (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.2.3 S. 143 f. mit Hinweisen).
Würde das Bundesgericht in Gutheissung der Beschwerde die Pflicht zur Einholung einer Baubewilligung verneinen, wäre das Verfahren endgültig abgeschlossen. Somit ist die erste Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG gegeben.
Als zweite kumulative Voraussetzung verlangt Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG, dass ein bedeutender Aufwand für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. In zwei Fällen, bei denen sich die Beschwerdeführer gegen die Bejahung der Baubewilligungspflicht im kantonalen Rückweisungsentscheid wehrten, ist das Bundesgericht auf die Beschwerde eingetreten; es erwog, bei einer Gutheissung bliebe den Rechtsuchenden der gesamte mit einem Baugesuchsverfahren verbundene Aufwand erspart (vgl. Urteile 1C_136/2007 vom 24. September 2007 E. 1.2, in: ZBl 109/2008 S. 439; 1C_414/2007 vom 22. Februar 2008 E. 1.2). Der vorliegend angefochtene Entscheid ist jedoch bereits im Rahmen des zweiten kantonalen Verfahrens ergangen, bei dem Fragen zur Baubewilligungspflicht hinsichtlich des Parkplatzes und seiner Nutzung behandelt worden sind. In diesem Rahmen sind bereits gewisse Beweise erhoben worden; so hat das Verwaltungsgericht einen Augenschein durchgeführt. Es ist nicht zu erwarten, dass im nachträglichen Baubewilligungsverfahren noch ein weitläufiges Beweisverfahren durchgeführt werden muss. Die rein theoretische Möglichkeit, dass im weiteren Verfahren neue Beweisanträge gestellt werden, genügt für die Anerkennung der Voraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG nicht, zumal nicht vorgebracht wird, dass noch kostspielige Abklärungen erforderlich wären (vgl. BGE 133 III 629 E. 2.4.2 S. 634). Die zweite Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist daher nicht erfüllt.
1.5 Demzufolge kann auf die Beschwerde gegen den vorliegenden Zwischenentscheid nicht eingetreten werden. Hingegen kann dieser zusammen mit dem Endentscheid angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG). Bei diesem Ergebnis erübrigt sich eine Behandlung des Editionsbegehrens des Beschwerdeführers.
2. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ausgangsgemäss sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser hat dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Grub, dem Departement Bau und Umwelt des Kantons Appenzell Ausserrhoden und dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet