Sachverhalt:
A. Der 1951 geborene H._ war als Geschäftsführer der Firma E._ AG tätig, bevor er sich am 28. Mai 2008 bei der Arbeitslosenversicherung meldete. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern setzte daraufhin den Taggeldansatz auf 80 Prozent des versicherten Verdienstes fest. Mit Verfügung vom 3. September 2008, bestätigt durch den Einspracheentscheid vom 29. Oktober 2008, forderte sie in den Monaten Juni und Juli 2008 zu viel bezahlte Leistungen im Umfang von Fr. 2'244.25 zurück, weil mangels Unterhaltspflichten gegenüber von Kindern lediglich Anspruch auf einen Taggeldansatz von 70 Prozent des versicherten Verdienstes bestehe, ohne Kinder- bzw. Ausbildungszulagen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 11. März 2009 ab.
Am 20. November 2008 machte H._ geltend, das von seiner Tochter (Jahrgang 1985) am 3. September 2008 aufgenommene Sprachstudium sei Teil ihrer Ausbildung zur Primarlehrerin, weshalb er ihr gegenüber zu Unterhalt verpflichtet sei. Ab diesem Zeitpunkt habe er daher Anspruch auf ein Taggeld von 80 Prozent des versicherten Verdienstes sowie auf Ausbildungszulagen. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2008 wies die Arbeitslosenkasse das Leistungsbegehren ab. Die dagegen erhobene Einsprache sistierte sie bis zum Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 11. März 2009 über die Rückforderung. Da dieses darin zu erkennen gab, dass sich der Anspruch auf die ab 3. September 2008 geltend gemachten Leistungen aufgrund der damaligen Aktenlage nicht abschliessend beurteilen lasse, ersuchte die Arbeitslosenkasse den Versicherten, Arbeitspensum und Lohn der Tochter ab September 2008 zu dokumentieren. Nachdem dieser entgegen wiederholter Aufforderung keine Unterlagen einreichte, trat sie mit Einspracheentscheid vom 16. Juni 2009 androhungsgemäss auf die Einsprache nicht ein.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die von H._ dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 17. September 2009 ab; gleichzeitig trat es auf das Leistungsbegehren nicht ein.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt H._ Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die im Bereich der Arbeitslosenversicherung anwendbaren (Art. 1 AVIG) Bestimmungen über die Pflicht der Versicherungsträger zur Abklärung des Sachverhalts nach Massgabe des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 ATSG) und die Mitwirkungspflicht der versicherten Personen im Sinne der Auskunftspflicht (Art. 28 Abs. 2 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt in Bezug auf die Ausführungen über die Befugnis der Versicherer, bei unentschuldbarer Verletzung der Mitwirkungspflichten aufgrund der Akten zu verfügen oder die Erhebungen einzustellen und Nichteintreten zu beschliessen sowie über das dabei zu beobachtende Vorgehen (Art. 43 Abs. 3 ATSG). Darauf wird verwiesen.
2.2 Beizufügen ist, dass Arbeitslose gemäss Art. 22 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 2 lit. a e contrario AVIG ein Taggeld von 80 Prozent des versicherten Verdienstes erhalten, sofern sie eine Unterhaltspflicht gegenüber Kindern haben. Eine solche besteht, wenn der Versicherte nach Art. 277 ZGB unterhaltspflichtig ist (Art. 33 Abs. 1 AVIV in der seit 1. Juni 2002 in Kraft stehenden Fassung). Soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf, haben die Eltern gemäss Art. 277 Abs. 2 ZGB für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, das im Zeitpunkt der Mündigkeit noch über keine angemessene Ausbildung verfügt.
3. 3.1 Auf das schon im vorinstanzlichen Verfahren gestellte Begehren um Zusprechung eines Taggeldes von 80 Prozent des versicherten Verdienstes und von Ausbildungszulagen ist das kantonale Gericht mit der Begründung nicht eingetreten, es liege insoweit gar kein Anfechtungsobjekt vor. Das Bundesgericht kann bei dieser Konstellation nur die Rechtmässigkeit der Verfahrenserledigung, nicht aber die Voraussetzungen für die beantragten Leistungen materiell prüfen. Soweit der Beschwerdeführer letztinstanzlich erneut die Zusprechung von Leistungen beantragt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.2 Da der streitige Einspracheentscheid vom 16. Juni 2009 auf Nichteintreten lautet, hatte sich die Prüfung des kantonalen Gerichts auf die Rechtmässigkeit dieses Vorgehens der Arbeitslosenkasse zu beschränken, weshalb es auf den materiellen Antrag zu Recht nicht eingetreten ist. Nachfolgend zu prüfen ist daher einzig, ob das kantonale Gericht zu Recht bestätigte, dass die Arbeitslosenkasse auf die Einsprache des Versicherten vom 22. Dezember 2008 mit Einspracheentscheid vom 16. Juni 2009 nicht eintrat.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat erwogen, die Tochter des Beschwerdeführers habe ihre Ausbildung zur Lehrperson noch nicht ordentlich abgeschlossen, mit der Folge, dass ab Kursbeginn am 3. September 2008 die Unterhaltspflicht der Eltern wieder aufleben könne. Ob dies tatsächlich der Fall sei, hänge von der Zumutbarkeit und damit insbesondere von den wirtschaftlichen Gegebenheiten auf Seiten des Pflichtigen wie der Berechtigten ab. Die Aktenlage lasse bezüglich des tatsächlichen oder zumutbaren Verdienstes der Tochter neben der berufsbegleitenden Ausbildung und Prüfungsvorbereitung keine abschliessende Beurteilung zu. Nach den Feststellungen des kantonalen Gerichts hat der Beschwerdeführer in unentschuldbarer Weise die Erhebung des relevanten Sachverhalts verhindert und damit die ihm obliegende Mitwirkungspflicht im Sinne von Art. 43 Abs. 3 ATSG verletzt, so dass die Arbeitslosenkasse nach Durchführung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens gemäss Androhung laut Schreiben vom 14. Mai 2009 habe vorgehen dürfen und zu Recht auf die Einsprache vom 22. Dezember 2008 nicht eingetreten sei.
4.2 Der Beschwerdeführer bestreitet demgegenüber den Vorwurf, die Mitwirkungspflicht unentschuldbar verletzt zu haben. Insbesondere fehle es an einer gesetzlichen Grundlage, welche arbeitslose Personen dazu verpflichten würde, den Nachweis ihrer Unterhaltspflicht gegenüber mündigen Kindern bis zum ordentlichen Ausbildungsabschluss zu erbringen.
5. 5.1 Im Rahmen von Art. 22 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 2 lit. a AVIG haben die Organe der Arbeitslosenversicherung vorfrageweise über die Mündigenunterhaltspflicht zu befinden. In diesem Zusammenhang haben sie unter anderem die Rechtsfrage der Zumutbarkeit der Unterhaltsverpflichtung im Sinne von Art. 277 Abs. 2 ZGB zu beantworten (BGE 130 V 237 ff.). Zumutbarkeit gemäss Art. 277 Abs. 2 ZGB bedeutet, dass die wirtschaftlichen Verhältnisse der Eltern der Leistungsfähigkeit des Kindes gegenüberzustellen sind (BGE 111 II 410 ff.; 107 II 406; vgl. auch Urteil 5P.333/2005 vom 27. Januar 2006 E. 1; PETER BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3. Aufl. 2006, N. 15 zu Art. 277 ZGB). Die Eigenverantwortung des mündigen Kindes geht der Unterhaltspflicht der Eltern in jedem Fall vor (vgl. Art. 276 Abs. 3 ZGB), weshalb dieses, soweit mit der Ausbildung vereinbar, alle Möglichkeiten auszuschöpfen hat, um den Unterhalt während der Ausbildung nach Möglichkeiten selbst zu bestreiten und namentlich einem Erwerb nachzugehen, wobei allenfalls ein hypothetisches Einkommen aufzurechnen ist (FamPra.ch 2006 S. 480, 5C_150/2005 E. 4.4).
5.2 Um die Frage der Unterhaltspflicht als Voraussetzung für den geltend gemachten Anspruch auf ein höheres Taggeld beantworten zu können, war die Arbeitslosenkasse nach Art. 43 Abs. 1 ATSG aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes dazu verpflichtet, die zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts notwendigen Abklärungsmassnahmen hinsichtlich der wirtschaftlichen Verhältnisse der Tochter des Beschwerdeführers zu tätigen. Dazu bestand vor allem deshalb Anlass, weil der Versicherte in seiner Einsprache vom 21. September 2008 selber ausführte, seine Tochter sei nebst dem Englischstudium der Stufe Cambridge Advanced mit einem Pensum von 50 Prozent als Lehrkraft tätig. Bei der Beschaffung der benötigten Unterlagen war die Arbeitslosenkasse auf die Mithilfe des Versicherten angewiesen, wozu dieser gemäss Art. 43 Abs. 3 ATSG verpflichtet war. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) und im Übrigen unwidersprochen festgestellt, dass die Arbeitslosenkasse den Beschwerdeführer unter anderem mit Schreiben vom 19. März und 9. April 2009 aufforderte, Unterlagen betreffend des Arbeitsverhältnisses seiner Tochter einzureichen, aus welchen sowohl Lohn als auch Arbeitspensum ab September 2008 ersichtlich seien, was dieser selbst nach Hinweis auf die Mitwirkungspflicht und Androhung der Säumnisfolgen gemäss Schreiben vom 14. Mai 2009 verweigert hat. Es ist nicht ersichtlich und wird vom Versicherten auch nicht dargetan, inwiefern es ihm nicht zumutbar gewesen wäre, die verlangten Angaben zu machen. Vielmehr stellte er sich trotz gegenteiliger Äusserungen des Verwaltungsgerichts im Entscheid vom 11. März 2009 auf den Standpunkt, die wirtschaftliche Situation seiner Tochter sei für die Festlegung des Taggeldanspruchs nicht relevant. Wie bereits das kantonale Gericht festgehalten hat, waren die verlangten Dokumente für die Beurteilung des geltend gemachten Leistungsanspruchs weder unnötig noch überflüssig. Wenn es bei dieser Sachlage auf eine unentschuldbare Verletzung der Mitwirkungspflicht schloss, erweist sich dies als bundesrechtskonform.
6. Damit stellt sich die Frage nach der Rechtsfolge der verletzten Mitwirkungspflicht.
6.1 Gemäss Art. 52 Abs. 1 Satz 1 ATSG kann gegen Verfügungen innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden. Gemäss Art. 10 Abs. 1 ATSV müssen Einsprachen ein Rechtsbegehren und eine Begründung enthalten. Genügt die Einsprache den Anforderungen nach Abs. 1 nicht oder fehlt die Unterschrift, so setzt der Versicherer eine angemessene Frist zur Behebung der Mängel an und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Einsprache nicht eingetreten wird (Art. 10 Abs. 5 ATSV). Zusätzlich zu diesen formellen Anforderungen ist als Eintretensvoraussetzung zu prüfen, ob der Einsprecher ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung hat. Das Einspracheverfahren wird mit einem Nichteintretensentscheid abgeschlossen, wenn die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt sind (SVR 2009 UV Nr. 43 S. 150, 8C_770/2008 E. 5.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_528/2009 vom 3. November 2009 E. 4.2).
6.2 Davon zu unterscheiden sind nach der Rechtsprechung die in Art. 43 Abs. 3 ATSG vorgesehenen Sanktionen einer unentschuldbaren Verletzung der Auskunfts- und Mitwirkungspflicht. In BGE 131 V 42 hat das Bundesgericht erkannt, dass eine Nichteintretensverfügung, mit welcher der Sozialversicherungsträger gestützt auf Art. 43 Abs. 3 ATSG eine Verweigerung der Mitwirkung sanktionieren kann, dem Verwaltungsverfahren ein Ende setzt und folglich als Endverfügung zu qualifizieren ist, gegen welche nach Art. 52 Abs. 1 ATSG Einsprache erhoben werden kann. Gleichzeitig hat das Bundesgericht bestätigt, dass von der Möglichkeit des Nichteintretens auf ein Leistungsgesuch nur mit grösster Zurückhaltung Gebrauch zu machen ist (BGE 131 V 42 E. 3 S. 47 mit Hinweisen). Nichteintreten kommt erst in Betracht, wenn eine materielle Beurteilung des Leistungsbegehrens auf Grund der gesamten Aktenlage ohne Mitwirkung der Partei ausgeschlossen ist (SVR 2009 UV Nr. 43 S. 150, 8C_770/2008 E. 5.2; Urteil 8C_528/2009 vom 3. November 2009 E. 4.2.2).
6.3 Nach UELI KIESER (ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 53 zu Art. 43 ATSG) hat ein Nichteintretensentscheid insbesondere dort Bedeutung, wo die nicht wahrgenommene Mitwirkungspflicht eine Eintretensvoraussetzung betrifft. Dies ist grundsätzlich dann nicht der Fall, wenn die rechtsuchende Person einer ihr auferlegten Mitwirkungspflicht nicht nachkommt. Von deren Befolgung bzw. Nichtbefolgung hängt nicht die Rechtsgültigkeit der Beschwerde ab, sondern deren Erfolgsaussicht (vgl. ZAK 1985 S. 318; UELI KIESER, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, 1999, S. 108 Rz. 229). Im Bereich des vom Untersuchungsgrundsatz beherrschten Sozialversicherungsrechts besteht zwar keine Beweisführungslast, doch haben die Parteien die Beweislast insofern zu tragen, als der Entscheid im Falle der Beweislosigkeit zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte, sofern es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes auf Grund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (SVR 2009 UV Nr. 43 S. 150, 8C_770/2008 E. 5.5.3; vgl. auch Urteil 9C_961/2008 vom 30. November 2009 E. 3.1 mit Hinweis).
6.4 Die Arbeitslosenkasse hatte in ihrer Verfügung vom 10. Dezember 2008 das Leistungsbegehren mit der Begründung abgewiesen, die Tochter des Beschwerdeführers habe eine angemessene Ausbildung abgeschlossen, weshalb keine Unterhaltspflicht mehr bestehe. Zudem hindere die ab 3. September 2008 aufgenommene Aus- oder Weiterbildung diese nicht an der Ausübung einer Erwerbstätigkeit. Dieses Vorgehen veranlasste das Verwaltungsgericht, im Entscheid vom 11. März 2009 im Sinne eines obiter dictum darauf hinzuweisen, dass die Tochter die Ausbildung zur Lehrperson noch nicht ordentlich abgeschlossen habe, sodass ab Kursbeginn am 3. September 2008 die Unterhaltspflicht der Eltern wieder aufleben könne, wobei die vorliegende Aktenlage jedoch keine abschliessende Beurteilung erlaube. Nachdem der Beschwerdeführer der Aufforderung zur Einreichung der verlangten Unterlagen nicht nachgekommen war, hätte die Arbeitslosenkasse nicht auf Nichteintreten erkennen dürfen. Vielmehr hätte sie einen materiellen Entscheid über das strittige Leistungsbegehren aufgrund und in Würdigung der verfügbaren Akten - allenfalls unter Anrechnung eines hypothetischen Einkommens der Tochter - erlassen müssen. Die Sache ist daher an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen, damit sie über die Einsprache materiell entscheide.
7. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 17. September 2009 und der Einspracheentscheid der Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern vom 3. September 2008 aufgehoben werden und die Sache an die Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Einsprache vom 22. Dezember 2008 materiell entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer