Sachverhalt:
A. Die 1947 geborene T._ war bis 31. Dezember 2006 Serviceangestellte bei der Firma C._ AG und damit bei den Winterthur-Versicherungen, heute AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA) obligatorisch unfallversichert. Am 4. November 2006 verletzte sie sich bei einem Sturz unter anderem die linke Hand. Die AXA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 23. Juli 2008 verneinte sie ihre Leistungspflicht ab 1. Juli 2008. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie ab, da der natürliche Kausalzusammenhang zwischen obigem Unfall und den linksseitigen Handbeschwerden nicht mehr gegeben sei (Entscheid vom 6. Februar 2009).
B. In Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde hob das Kantonsgericht Basel-Landschaft den Einspracheentscheid auf und es verpflichtete die AXA, der Versicherten die gesetzlichen Leistungen für den Unfall vom 4. November 2006 über den 30. Juni 2008 hinaus zu erbringen (Entscheid vom 4. September 2009).
C. Mit Beschwerde beantragt die AXA, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei zu erkennen, dass sie für den Unfall vom 4. November 2006 nicht über Ende Juni 2008 hinaus leistungspflichtig sei; eventuell sei die Sache für weitere medizinische Abklärungen an sie zurückzuweisen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 4. März 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (nicht publ. E. 1.1 des Urteils BGE 135 V 412, aber in SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7 [8C_784/2008]).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Versicherte ist deutsche Staatsbürgerin. Unbesehen der Anwendbarkeit des am 1. Juni 2002 in Kraft getretenen Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft sowie der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten über die Freizügigkeit (FZA) und der dazu gehörenden Koordinierungsverordnungen bestimmen sich die materiellen Voraussetzungen des hier streitigen Leistungsanspruchs aus dem Unfall vom 4. November 2006 nach schweizerischem Recht (BGE 130 V 253 E. 2.4 S. 257, 128 V 315; Urteil 8C_239/2008 vom 17. Dezember 2009 E. 2).
3. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181), den Wegfall des ursächlichen Zusammenhangs und damit des Leistungsanspruchs der versicherten Person bei Erreichen des Status quo sine vel ante (SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 E. 2.2 [8C_354/2007]), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 f. E. 5.1 mit Hinweis) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Der Wegfall jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens muss überwiegend wahrscheinlich erstellt sein, wobei die Beweislast beim Unfallversicherer liegt. Bevor sich aber die Beweislastfrage stellt, ist der Sachverhalt im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes richtig und vollständig zu klären (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG; SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 E. 2.2).
4. Streitig und zu prüfen ist, ob die über den 30. Juni 2008 hinaus bestehenden Beschwerden der Versicherten an der linken Hand natürlich kausal auf den Unfall vom 4. November 2006 zurückzuführen sind.
4.1 Dr. med. G._, Facharzt FMH für Chirurgie, führte im Aktenbericht vom 22. August 2007 aus, die nach dem Unfall vom 4. November 2006 erfolgte bildgebende Abklärung habe eine scapholunäre Dissoziation entsprechend einer komplexen Bandverletzung in der proximalen Handwurzelreihe ergeben. Damit sei sicher mit einer sechs- bis neunmonatigen Behandlungsdauer zu rechnen.
4.2 Dr. med. B._, FMH MBSR Facharzt für Rheumatologie Physikalische Medizin und Rehabilitation, diagnostizierte im für den Krankenversicherer erstellten Gutachten vom 29. November 2007 (nach Untersuchung der Versicherten vom 23. November 2007) einen Status nach Kontusion linke Hand/Handgelenk infolge Sturzes am 4. November 2006 mit radiologisch gesicherter scapholunärer Dissoziation Os scaphoideum und lunatum (Unfallfolge) sowie eine subklinisch verlaufende Algodystrophie/Sudeck nicht ausgeschlossen (Unfallfolge). Wie der Verlauf zeige, erhoffe man sich eine weitere Verbesserung der Schmerzsymptomatik und den Rückgang der Schwellung, sodass die Versicherte seitens des linken Handgelenks einsatzfähig würde. Die Versicherte sollte von manueller Tätigkeit, v.a. unter starker Benützung des linken Handgelenks, dispensiert werden. Ansonsten könnten ihr ab 1. Februar 2008 leichte bis mittelschwere Tätigkeiten zugemutet werden.
4.3 Dr. med. O._, Zentrum Radiologie, gab nach einer Kernspintomographie der linken Hand vom 10. Dezember 2007 im Bericht gleichen Datums an, es bestehe ein deutliches Ödem über der distalen Ulna, dem distalen Radius sowie den Carpalia und proximalen Metacarpalia streckseitig. Das Ödem finde sich im Unterhautfettgewebe. Es sei keine Fraktur nachweisbar. Es bestehe ein unauffälliger knöcherner Befund der Carpalia sowie des distalen Radius und der distalen Ulna. Das beschriebene Ödem finde sich streckseitig im Unterhautfettgewebe bei unauffälliger Darstellung der knöchernen Elemente sowie der Sehnen und -scheiden. Die ulnare Discusfixation sei nicht mehr in regelrechter Weise erkennbar; stattdessen finde sich hier ein gering kontrastmittelaufnehmendes Gewebe, kugelig konfiguriert, wahrscheinlich Granulationsgewebe. Empfohlen werde daher hier eine arthroskopische Überprüfung und gegebenenfalls eine Biopsie.
4.4 Frau Dr. med. S._, Leitende Ärztin, Orthopädische Klinik, Spital X._, diagnostizierte nach Untersuchung der Versicherten mit Röntgen des linken Handgelenks vom 4. Januar 2008 im Bericht vom 17. Januar 2008 Verdacht auf komplexe Bandverletzung Handgelenk links, ulnarer Abriss des Discus, Verdacht auf scapholunäre Bandläsion. Eine sichere Beurteilung der carpalen Ligamente wäre mit einem Arthro-CT oder allenfalls einer Arthroskopie möglich. Aus ihrer Sicht seien die Veränderungen eindeutig als Unfallfolge anzusehen; mit den immer noch deutlichen Restbeschwerden und der persisitierenden Schwellung sei die Versicherte noch zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben.
4.5 Dr. med. U._, Chirurgie FMH spez. Handchirurgie, diagnostizierte im Aktengutachten vom 17. März 2008 einen Status nach Handgelenksdistorsion links ohne Fraktur, möglicherweise vorbestehende, allenfalls bilaterale Desintegration des Carpus, beginnende Arthrose. Es sei davon auszugehen, dass die Versicherte vor dem Unfall vom 4. November 2006 keine Handgelenksprobleme aufgewiesen habe, was aber noch nachgefragt werden müsste. Sollten die Schmerzen einzig und allein posttraumatisch sein, dann sei die Unfallkausalität gegeben. Er denke, dass die Versicherte nach wie vor gewisse Handgelenksbeschwerden aufweise. Trotzdem wäre ihr auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt allenfalls mit Tragen einer Handgelenksschiene ein Teilarbeitspensum möglich. Bei gut angepasster Tätigkeit ohne schwere Verrichtungen wäre ihr vielleicht sogar eine ganztägige Arbeit möglich mit entsprechend eingeschränkter Leistung.
4.6 Gemäss Bericht der Frau Dr. med. S._ (E. 4.4 hievor) vom 8. Mai 2008 wurden Vergleichsaufnahmen beider Handgelenke angefertigt. Eine genauere Untersuchung habe sie nicht durchgeführt. Die Versicherte weise aber nach wie vor eine deutliche Schwellung und auch leicht bläuliche Verfärbung des Handrückens links auf und klage über deutliche Schmerzen.
4.7 Dr. med. C._, Facharzt Chirurgie FMH, Regionalärztlicher Dienst (RAD) der IV, diagnostizierte nach einer Untersuchung der Versicherten vom 29. Mai 2008 im Bericht gleichen Datums eine Verstauchung des linken Handgelenks, subjektive Krankheitsüberzeugung bei fehlenden objektivierbaren Befunden, chronische Schwellung des Handrückens links. Die Unfallfolgen am linken Handgelenk seien als abgeheilt anzusehen, die chronische Weichteilschwellung am Handrücken bleibe unklar, habe jedoch keine erhebliche Funktionseinbusse zur Folge. Die Versicherte setze beide Hände uneingeschränkt ein, die Feinmotorik sei erhalten, es fehlten Zeichen einer Schonung. Die Knochenstrukturen beider Handgelenke seien seitengleich, es dürfte sich somit um eine Normvariante handeln. Nach Abheilung der Handgelenksdistorsion, die bei fehlender Unfallfolge durch die angepasste Behandlung nach spätestens vier Monaten erfolgt sei, bestehe eine vollschichtige zumutbare Arbeitsfähigkeit unter Vermeidung von schweren Krafteinsätzen mit der linken Hand. Für jede leicht- bis mittelschwere Frauenarbeit ohne repetitive Kraftanwendung der linken Hand in wechselbelastender Stellung bestehe volle Arbeitsfähigkeit seit März 2007. Eine unklare Handrückenschwellung werde in der Literatur unter anderem bei Selbstmanipulationen und Artefakten beschrieben.
4.8 Im Aktenbericht vom 18. Juni 2008 legte Dr. med. U._ (E. 4.5 hievor) - gestützt auf die die Röntgenkontrolle des linken Handgelenks vom 4. Januar 2008 und die vergleichenden Handgelenksröntgenbilder rechts und links vom 30. April 2008 - dar, die vergleichenden Röntgenbilder zeigten beidseits praktisch identische Befunde, insbesondere sei links keine scapholunäre Dissoziation nachvollziehbar; bei der Radial-/Ulnarduktion öffne sich der Gelenkspalt kaum; ebenso liege weder links noch rechts eine manifeste Arthrose vor. Sie könnten davon ausgehen, dass das linke Handgelenk durch den Unfall keine nachhaltige Schädigung erlitten habe; es habe sich sicher um eine umschriebene Verstauchung gehandelt, die bis heute keine weitere radiologische Schädigung des Handgelenks provoziert habe. Normalerweise könnten zwar Handgelenksdistorsionen längere Zeit lokal Schmerzen verursachen; normalerweise müsste sich aber bei unauffälligen Röntgenbild ohne Dissoziation des Carpus nach einigen Monaten Schmerzfreiheit einstellen. Wieso die Versicherte also heute immer noch Handgelenksschmerzen habe, könne er nicht sicher entscheiden, da er sie nie selber untersucht habe. Es gebe aber doch einige Hinweise und Verdachtsmomente, dass dies nicht mehr mit dem Trauma zu erklären sei.
4.9 Der behandelnde Arzt W._, Facharzt für Chirurgie, gab im Bericht vom 5. August 2008 unter Beilage von Fotos der Hände der Versicherten vom 31. Juli 2009 an, die linke Hand und der Handrücken seien erkennbar erheblich geschwollen. Nicht nachzuvollziehen sei, warum dies nicht als Unfallfolge anerkannt werden solle.
5. 5.1 Aufgrund der medizinischen Akten steht fest, dass die linke Hand und der linke Handrücken der Versicherten geschwollen sind. Dr. med. B._ ging bei der von ihm am 29. November 2007 für die Zeit ab 1. Februar 2008 prognostizierten Arbeitsfähigkeit weiterhin von einer Beeinträchtigung aus, da er eine Dispensation von manuellen Tätigkeiten, vor allem unter starker Benützung des linken Handgelenks, verlangte. Dr. med. O._ stellte am 10. Dezember 2007 aufgrund einer Kernspintomographie ein deutliches Ödem an der linken Hand fest. Frau Dr. med. S._ beschrieb am 8. Mai 2008 eine deutliche Schwellung und auch leicht bläuliche Verfärbung des Handrückens links und deutliche Schmerzen der Versicherten. Selbst Dr. med. C._ beschrieb am 29. Mai 2008 eine Weichteilschwellung auf dem Handrücken links und räumte ein, dass keine repetitive Kraftanwendung der linken Hand erfolgen solle; somit kann auch aufgrund seiner Angaben nicht von Beschwerdefreiheit bzw. uneingeschränkter Arbeitsfähigkeit gesprochen werden.
Dass die andauernden Handbeschwerden auf eine Selbstmanipulation der Versicherten zurückzuführen wären, wird ihr in keinem der bisherigen Arztberichte substanziiert vorgeworfen und kann aufgrund der Akten nicht als erstellt gelten. Dr. med. C._ verwies diesbezüglich am 29. Mai 2008 lediglich allgemein auf die Literatur.
Hinsichtlich der Frage der Unfallkausalität der Handbeschwerden sind die Akten divergierend. Während sie von Dr. med. B._ am 29. November 2007, von Frau Dr. med. S._ am 17. Januar 2008 und vom behandelnden Arzt W._ am 5. August 2009 bejaht wurde, wurde sie von Dr. med. C._ am 29. Mai 2008 verneint. Dr. med. U._ führte am 18. Juni 2008 aus, er könne nicht sicher entscheiden, wieso die Versicherte heute immer noch Handgelenksschmerzen habe, da er sie nie untersucht habe.
Dr. med. O._ empfahl am 10. Dezember 2007 eine arthroskopische Überprüfung und gegebenenfalls Biopsie. Frau Dr. med. S._ gab am 17. Januar 2008 an, eine sichere Beurteilung der carpalen Ligamente wäre mit einem Arthro-CT oder allenfalls einer Arthroskopie möglich. Diese Abklärungen erfolgten aufgrund der Akten bisher nicht.
Weiter ist zu beachten, dass Dr. med. B._ am 29. November 2007 eine subklinisch verlaufende Algodystrophie/Sudeck als Unfallfolge nicht ausschloss. Synonym für diese Gesundheitsschädigung ist der Begriff "complex regional pain syndrom (CRPS) I". Dieses ist eine Erkrankung der Extremität, die ohne definierte Nervenläsion nach relativ geringfügigem Trauma ohne Bezug zum Innervationsgebiet eines Nervs auftritt. Eingeteilt wird es in drei Stadien: I: Entzündungsstadium; II: Dystrophie; III: Atrophie (irreversibel). Das CRPS gehört zu den neurologisch-orthopädisch-traumatologischen Erkrankungen (Urteil 8C_673/2009 vom 22. März 2010 E. 5.1 mit Hinweisen). Es drängen sich auch weitere Untersuchungen der Versicherten in dieser Richtung auf. In diesem Lichte können die Schlussfolgerungen der Chirurgin Frau Dr. med. C._ vom 29. Mai 2008, welche die Versicherte als Letzte untersucht hatte, für sich allein nicht als massgebend erachtet werden. Unter den gegebenen Umständen kann auch nicht auf das Aktengutachten bzw. den -bericht des Dr. med. U._ vom 17. März resp. 18. Juni 2008 abgestellt werden (zum Beweiswert von Aktengutachten/-berichten: RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d; Urteil 8C_833/2009 vom 26. Januar 2009 E. 5.1).
5.2 Bei dieser insgesamt widersprüchlichen und unvollständigen Aktenlage lässt sich die Unfallkausalität der Handbeschwerden links sowie die daraus allenfalls folgende Behandlungsbedürftigkeit, Arbeitsunfähigkeit und Integritätseinbusse ab 1. Juli 2008 nicht rechtsgenüglich beurteilen. Es kann nicht im Sinne antizipierter Beweiswürdigung (vgl. BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148) gesagt werden, von einem zusätzlichen, nachvollziehbar und schlüssig begründeten medizinischem Gutachten - in dessen Rahmen die Versicherte persönlich zu untersuchen ist - seien keine verwertbaren entscheidrelevanten Erkenntnisse zu erwarten. Die Sache ist demnach in Nachachtung des Untersuchungsgrundsatzes an die AXA zurückzuweisen, damit sie eine solche Begutachtung durchführe (vgl. auch Urteil 8C_833/2009 E. 6.2). Hernach hat sie über den Leistungsanspruch der Versicherten ab 1. Juli 2008 neu zu verfügen (zum Zeitpunkt des Fallabschlusses unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung vgl. BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.).
6. Die Rückweisung der Sache an die AXA zu neuem Entscheid mit offenem Ausgang gilt für die Auferlegung der Gerichtskosten als volles Obsiegen derselben (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_673/2009 vom 22. März 2010 E. 9). Sie hat jedoch keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [8C_606/2007]). Die vorinstanzliche Parteikostenzusprechung an die Versicherte ist zu belassen (BGE 132 V 215 E. 6.2 S. 235 f.).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. 1 des Entscheides des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 4. September 2009 und der Einspracheentscheid der AXA vom 6. Februar 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird an die AXA zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch der Beschwerdegegnerin ab 1. Juli 2008 neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar