Faits:
A. A.a M._, sans formation professionnelle, a exercé divers emplois en qualité de serveuse ou de sommelière, en dernier lieu en tant que vendeuse remplaçante dans une cafétéria pendant la période du 19 mars au 5 mai 2001, activité qu'elle a cessé d'exercer en raison d'une première grossesse. Le 18 juin 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en sollicitant une orientation professionnelle et l'octroi éventuel d'une rente d'invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a procédé à une enquête économique sur le ménage, dont il résultait qu'en bonne santé, elle n'aurait pas travaillé à plus de 50 % à l'extérieur, pour pouvoir se consacrer à son enfant (rapport du 4 octobre 2004). Les médecins traitants de l'assurée ont déposé leurs conclusions, le docteur S._ (spécialiste FMH en neurologie) dans un rapport du 23 octobre 2003, la doctoresse D._ (chef de clinique du Service de neurologie de X._) dans un rapport du 7 avril 2005 et le docteur F._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin-adjoint de l'Hôpital Y._) dans des rapports des 4 mai et 26 octobre 2005, dont il résultait que la patiente était atteinte d'une myopathie facio-scapulo-humérale et qu'elle avait subi en septembre 2004 une arthrodèse scapulo-thoracique gauche. Dans un rapport d'examen du 5 juillet 2005, le docteur C._, médecin du SMR, a admis que la capacité de travail exigible était de 50 % dès septembre 2005 dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (flexion et abduction du bras gauche limitées à 90°, pas de port de charges de plus de trois kg avec le membre supérieur gauche, possibilité d'alterner les positions).
Par décision du 14 février 2006, l'office AI a informé M._ qu'elle présentait en tant que personne active (50 % de son temps) une invalidité de 5 % et en tant que ménagère (50 % de son temps) une invalidité de 23.27 %, soit un taux de 28.27 % ne donnant pas droit à une rente et qu'elle n'avait pas droit non plus à un reclassement, de sorte que sa demande était rejetée. Le 13 mars 2006, l'assurée a formé opposition contre cette décision. Par décision du 29 octobre 2007, l'office AI a rejeté l'opposition. Le 30 novembre 2007, M._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Elle a produit une lettre du 26 mai 2008 du professeur K._, responsable unité nerf-muscle du Service de neurologie de X._, et de la doctoresse D._. Par jugement du 27 juin 2008, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition du 29 octobre 2007, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il complète l'instruction conformément aux considérants et rende une nouvelle décision. Relevant que l'assurée présentait un déficit musculaire lié à la myopathie, handicap qui paraissait avoir une composante irréductible dans ses effets, pour toute activité, elle a considéré qu'à part le défaut de mobilité, l'incidence sur l'exercice d'une activité lucrative de la faiblesse générale due à l'affection nécessitait une instruction complémentaire sous la forme d'un stage d'observation dans un COPAI, mesure qui était de nature à apporter les éléments déterminants pour évaluer les possibilités concrètes d'exercer une activité à mi-temps.
A.b Du 19 février au 20 mars 2009, M._ a effectué un stage d'observation professionnelle au COPAI de Z._. Dans un rapport du 23 mars 2009, le docteur A._, médecin-conseil, a indiqué que le groupe d'observation était d'avis que l'assurée présentait une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée. Le Centre W._, dans un rapport final du 6 avril 2009, a conclu qu'elle était en mesure d'être active à la demi-journée avec des rendements proches de la norme dans une activité légère adaptée aux limitations fonctionnelles (contrôle de la qualité de petites pièces, conditionnement léger, montage léger à l'établi, activités de bureau et de commerce). Dans un préavis du 22 avril 2009, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a nié tout droit de M._ à une rente d'invalidité, au motif qu'elle présentait une invalidité de 28.27 %. Le 13 mai 2009, l'assurée a fait part à l'office AI de ses observations. Par décision du 14 juillet 2009, l'office AI, rejetant la demande, a refusé de lui allouer la prestation requise.
B. Le 14 septembre 2009, M._ a formé recours contre cette décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité "à compter d'une date qui sera précisée en cours d'instance, à défaut fixée à dire de justice", à titre subsidiaire à son annulation, la cause étant renvoyée à l'office AI pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants. Produisant une lettre du professeur K._ et de la doctoresse D._ du 3 août 2009, elle requérait la mise en oeuvre d'une expertise médicale, d'un stage d'observation sur une période d'une année au moins et d'une enquête économique sur le ménage. Par arrêt du 18 mai 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'elle a droit à une rente entière d'invalidité à compter du 1er juin 2003, à titre subsidiaire à son annulation, la cause étant renvoyée à l'instance cantonale pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite.
Considérant en droit:
1. Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF) - incluant les droits fondamentaux - et est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans qu'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. le message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.2 Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). Par rapport aux dernières conclusions prises devant l'autorité précédente tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité "à compter d'une date qui sera précisée en cours d'instance, à défaut fixée à dire de justice", la conclusion de la recourante tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, dans la mesure où elle requiert que l'octroi prenne effet à compter du 1er juin 2003 est nouvelle (ATF 136 V 362 consid. 4.2 p. 367 et les références) et selon l'art. 99 al. 2 LTF irrecevable.
3. 3.1 Le litige, relatif au droit de la recourante à une rente d'invalidité, porte sur l'atteinte à la santé et son incidence sur la capacité de gain et l'accomplissement des travaux habituels, singulièrement sur le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation.
3.2 Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 LPGA), d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI et 8 al. 1 LPGA) et son évaluation en ce qui concerne l'exercice d'une activité lucrative à temps partiel (art. 28 al. 2ter LAI [en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007] et art. 28a al. 3 LAI [en vigueur depuis le 1er janvier 2008] en corrélation avec l'art. 16 LPGA) et l'accomplissement des travaux habituels (art. 28 al. 2bis LAI [en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007] et art. 28a al. 2 LAI [en vigueur depuis le 1er janvier 2008]). Il expose correctement les règles et principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). On peut ainsi y renvoyer.
4. La juridiction cantonale, relevant que le stage d'observation au COPAI avait permis d'obtenir des indications complémentaires sur les possibilités concrètes d'exercer une activité professionnelle à mi-temps et qu'aucun élément au dossier ne faisait état d'une aggravation significative de la myopathie jusqu'à la date de la décision de refus de rente du 14 juillet 2009, a retenu que la recourante présentait une capacité de travail résiduelle de 50 % dans l'exercice d'une activité lucrative adaptée aux limitations fonctionnelles. En ce qui concerne l'empêchement dans l'accomplissement des travaux habituels, fixé à 46.55 % dans le rapport d'enquête économique du 4 octobre 2004, l'autorité précédente a rejeté l'argument de la recourante qui mettait en doute la possibilité de concilier activité professionnelle et activité ménagère en raison de la fatigue qui résulterait de l'activité lucrative. Dans la mesure où la fatigabilité liée à la myopathie était retenue dans les rapports médicaux, le tribunal ne voyait pas de motif, sur la base des pièces au dossier - y compris le dernier avis des neurologues de X._ -, de retenir que l'activité professionnelle à mi-temps, exercée dans un poste réputé adapté, soit à l'origine d'une fatigue insupportable, compromettant toute autre activité. Les circonstances ne justifiaient pas non plus que l'on tienne compte spécifiquement de la fatigabilité dans l'exercice des tâches ménagères.
4.1 L'autorité précédente a relevé que, compte tenu du caractère progressif (ou évolutif) de l'atteinte musculaire, il était évident que l'appréciation qui avait été faite par l'office AI à l'époque de la décision du 14 juillet 2009 n'était pas nécessairement valable à moyen ou long terme, ce qu'affirmait le médecin-conseil du COPAI dans son rapport du 23 mars 2009. Néanmoins, il ne se justifiait pas de faire dans le cadre de la procédure en cours un pronostic plus précis au sujet de l'évolution possible, de sorte que les mesures d'instruction complémentaire proposées par la recourante n'étaient pas nécessaires, le tribunal étant en mesure de statuer sur la base du dossier.
4.2 La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des faits, dont elle allègue qu'ils ont été retenus hors contexte et qu'ils étaient subordonnés à maintes réserves. Selon elle, il en va ainsi de la période d'observation au COPAI, trop courte pour apprécier de façon fiable l'endurance à long terme, de l'évaluation des capacités professionnelles et ménagères à moyen ou long terme et du cumul d'un travail à mi-temps et des tâches ménagères et éducatives.
4.3 Il appartient toutefois à la recourante de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 135 III 127 consid. 1.6 p. 130 et l'arrêt cité, 134 II 244 consid. 2.2 p. 246, 133 I 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.), ce qu'elle ne fait pas. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. La juridiction cantonale a relevé que l'avis du 3 août 2009 du professeur K._ et de la doctoresse D._ était très bref - comme l'était leur avis précédent du 26 mai 2008, dont la teneur était similaire -, peu étayé et insuffisamment motivé pour qu'il puisse être considéré comme un rapport médical complet propre à remettre en cause les avis médicaux des autres médecins consultés, lesquels étaient en substance concordants en ce qui concerne la capacité de travail exigible de 50 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. Contrairement à ce que laisse entendre la recourante, qui affirme que l'avis mentionné ci-dessus du 3 août 2009 est suffisamment étayé pour que des doutes subsistent quant à la fiabilité de l'avis du médecin du SMR, elle ne se trouve pas dans la situation de l'arrêt 8C_216/2009 du 28 octobre 2009, publié aux ATF 135 V 465. A la différence du rapport du docteur C._ du 5 juillet 2005, qui remplit les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante, l'avis du professeur K._ et de la doctoresse D._ du 3 août 2009 ne repose pas sur un examen de la capacité de travail exigible dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles et ses conclusions ne sont pas non plus dûment motivées, de sorte qu'il ne saurait avoir pleine valeur probante (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352, 122 V 157 consid. 1c p. 160).
Dans la mesure où la recourante reprend son argumentation de première instance, sans discuter les motifs pour lesquels la juridiction cantonale a nié toute aggravation significative de la myopathie jusqu'au moment déterminant de la décision du 14 juillet 2009 et rejeté ses griefs fondés sur la fatigabilité liée à la myopathie, son mémoire ne satisfait pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF, ce qui vaut également pour les griefs formés contre les considérations de l'autorité précédente relatives au caractère progressif (ou évolutif) de l'atteinte musculaire et à l'appréciation de l'office AI à moyen ou long terme. Quant à la durée de quatre semaines du stage d'observation, la juridiction cantonale a relevé qu'elle n'était pas inhabituelle, que les constatations du COPAI sur le plan général comme sur le plan médical résultaient d'un examen suffisant du cas et que le Centre W._ disposait dans le rapport final du 6 avril 2009 d'éléments concrets pour émettre une appréciation sérieuse.
Les rapports de la doctoresse D._ du 7 avril 2005, du docteur C._ du 5 juillet 2005 et du docteur A._ du 23 mars 2009 et le rapport final du Centre W._ du 6 avril 2009 suffisaient pour statuer en pleine connaissance de cause, de sorte que l'autorité précédente pouvait se dispenser d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157, 125 I 127 consid. 6c/cc p. 135). Le recours est mal fondé de ce chef.
4.4 Du jugement entrepris, il résulte que la comparaison des revenus (revenu sans invalidité de 24'642 fr. et revenu d'invalide de 22'177 fr. par année) donne un empêchement de 10 % et une invalidité de 5 % pour ce qui est de la part active (50 % du temps de l'assurée). En ce qui concerne l'empêchement de 46.55 % dans l'accomplissement des travaux habituels et l'invalidité de 23.27 % pour ce qui est de la part ménagère (50 % du temps de l'assurée), la juridiction cantonale a relevé que même à admettre, par hypothèse, que les circonstances en cause obligeraient à procéder à un abattement supplémentaire de 15 %, cela porterait l'empêchement à 61.55 % (46.55 % + 15 %) et l'invalidité à 30.78 % pour ce qui est de la part ménagère, de sorte que le degré d'invalidité global s'élèverait à 35.78 % (5 % + 30.78 %), taux inférieur au seuil déterminant de 40 % ouvrant droit à une rente. En définitive, compte tenu du rapport final du Centre W._ du 6 avril 2009, le degré d'invalidité global de 28.27 % (5 % + 23.27 %) fixé par l'office AI n'était pas critiquable. Le jugement entrepris est conforme au droit fédéral (supra, consid. 3.2 ). Le recours est mal fondé.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire a été rejetée par ordonnance du 13 octobre 2010.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner