Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 8. Mai 2007 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe von Z._ (Ehefrau) und X._ (Ehemann). Es teilte die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter Y._, geboren 2000, der Mutter zu, unter Einräumung eines Besuchsrechts für den Vater am ersten und dritten Wochenende jedes Monats und eines Ferienrechts von drei Wochen pro Jahr. Zudem errichtete es eine Beistandstandschaft zur Überwachung des persönlichen Verkehrs von Vater und Tochter. X._ wurde zu abgestuften Unterhaltsbeiträgen für das Kind verpflichtet. Z._ wurde kein nachehelicher Unterhalt zugesprochen. Über die weiteren Folgen der Scheidung einigten sich die Parteien, welche Konvention das Kantonsgericht genehmigte.
B. Gegen dieses Urteil gelangten beide Parteien mit Berufung an das Obergericht. X._ verlangte die Zuteilung der elterlichen Sorge über das Kind samt entsprechender Abänderung des Besuchs- und Ferienrechts sowie der Unterhaltsregelung. Zudem sei festzustellen, dass er vorsorglich keinen Kinderunterhalt hätte leisten müssen, eventualiter sei ein solcher Beitrag ab 1. Juli 2007 auf Fr. 190.-- zuzüglich Kinderzulagen festzulegen. Er ersuchte um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das Berufungsverfahren. Z._ verlangte ihrerseits eine Einschränkung des väterlichen Besuchsrechts auf den ersten und dritten Samstag des Monates sowie den Verzicht auf das Ferienrecht. Sie stellte ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung.
C. Mit Verfügung vom 12. Juni 2008 wies das Obergericht das Gesuch beider Parteien um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung wegen Aussichtslosigkeit ihrer Begehren ab. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) hat die Verfügung mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. August 2008 beim Bundesgericht angefochten. Er verlangt die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das kantonale Berufungsverfahren, eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Es sind keine Antworten eingeholt worden.
Z._ hat die obergerichtliche Verfügung mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Juli 2008 ihrerseits beim Bundesgericht angefochten (5A_455/2008). Das Verfahren ist noch hängig.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege (Art. 75 Abs. 1 BGG). Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007; zum bisherigen Recht: BGE 129 I 129 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese beschlägt die Zuteilung der elterlichen Sorge über ein Kind für die Zeit nach der Scheidung und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde in der Hauptsache gegeben ist, ist sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid gegeben.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Nicht zulässig sind neue tatsächliche Vorbringen, soweit sie nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst werden (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte tatsächliche Noven werden in keinem Fall berücksichtigt (BGE 133 IV 342 E. 2.1).
2. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach Art. 29 Abs. 3 BV Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Antrag nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Wer einen Prozess auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, soll ihn nicht deshalb anstrengen können, weil er ihn nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition. Massgebend sind die Verhältnisse, wie sie sich bei Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege darstellen (BGE 133 III 614 E. 5; 129 I 129 E. 2.3.1).
3. Die Vorinstanz kam aufgrund summarischer Prüfung des angefochtenen Entscheides zum Schluss, dass die nunmehr angefochtene Sorgerechtsregelung über das Kind Y._ nachvollziehbar sei. Dabei nahm sie Bezug auf die der Erstinstanz vorgelegenen Berichte des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes (KJPD) sowie der zuständigen Vormundschaftsbehörden. Demnach sei die Erziehungsfähigkeit der Mutter grundsätzlich gegeben und diese sei bemüht, ihr Alkoholproblem in Griff zu bekommen und mit der Beiständin des Kindes zusammen zu arbeiten. Zudem sei es problematisch, das Kind aus der bisherigen Umgebung herauszunehmen und von seiner Halbschwester W._ zu trennen. Der zeitliche Umfang der Eigenbetreuung durch die Mutter sei erheblich grösser als beim Vater. Der Kontakt des Kindes zu V._, dem erwachsenen Sohn der Partnerin des Beschwerdeführers, sei im Hinblick auf dessen allfällige sexuelle Übergriffe heikel und könnte bei der verlangten Obhutszuteilung nicht unterbunden werden. Die Aussichten des Beschwerdeführers, mit seinem Berufungsantrag durchzudringen, sei demzufolge als deutlich geringer einzustufen als die Gefahr, auch vor Obergericht zu unterliegen.
4. 4.1 Damit hat sich die Vorinstanz auf die ihr im Zeitpunkt des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vorgelegenen Unterlagen gestützt. Zwischen dem Gesuch und dem erstinstanzlichen Urteilsspruch liegt fast ein Jahr, welcher Zeitraum für eine Beurteilung der Prozesschancen indes durchaus noch realistisch sein dürfte. Aus diesem Grunde musste die Vorinstanz im Hinblick auf die Prüfung der Prozessaussichten für die strittige Sorgerechtsregelung den Beschwerdeführer nicht bereits anhören. Er macht auch nicht geltend, dass ihm das kantonale Verfahrensrecht einen solchen Anspruch einräumen würde. Ebenso wenig musste die Vorinstanz ein neues kinderpsychiatrisches Gutachten anordnen, zumal ein solches Vorgehen der unerwünschten Vorwegnahme einer wenn schon in das Hauptverfahren gehörenden Beweisvorkehr gleichkommen würde.
4.2 Aufgrund der Berufungserklärung ist nicht erkennbar, inwiefern der Beschwerdeführer vor Obergericht neue Tatsachen und Beweise anbringen will. Dies ist gemäss kantonalem Recht im Scheidungsverfahren zulässig und hat anlässlich der Begründung und Beantwortung der Berufung oder Anschlussberufung zu erfolgen (Art. 349 Abs. 3 ZPO/SH). Gemäss Aktenlage war dies bisher nicht der Fall und eine Verhandlung hat ebenfalls noch nicht stattgefunden (Art. 350 Abs. 1 ZPO/SH). Damit fehlen jegliche Angaben über die Einwände des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Sorgerechtsregelung. Die Prozessaussichten sind daher im Rahmen der nunmehr erhobenen Rügen und anhand des angefochtenen Sachentscheides sowie der kantonalen Akten zu beurteilen.
4.3 Der Beschwerdeführer führt aus, in der Zwischenzeit habe sich die Erziehungsfähigkeit der Kindsmutter verschlechtert, da sie ihr Alkoholproblem nicht in Griff habe. Das Wohl seiner Tochter sei daher in grosser Gefahr. Bei diesem Vorbringen handelt es sich um ein echtes Novum, das im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden kann (E. 1.2). Alsdann - so der Beschwerdeführer - wisse die Vorinstanz offenbar, dass V._ nicht mehr bei ihm wohne und daher keine Gefahr mehr für seine Tochter darstellen könne. Soweit er hier die tatbeständlichen Feststellungen der Vorinstanz anficht, erweist sich sein Vorbringen als ungenügend begründet und ist daher nicht zu berücksichtigen. Zu bemerken bleibt, dass die Vorinstanz die Aussichtslosigkeit des Begehrens um Zuteilung der elterlichen Sorge über Y._ mit einer Reihe von weitern Argumenten begründet hat (E. 3). So weist sie insbesondere auf die besseren Möglichkeiten der Kindesmutter hin, die gemeinsame Tochter persönlich zu betreuen. Zudem sollte eine Trennung von Y._ und ihrer Halbschwester W._ nach Möglichkeit verhindert werden. Dazu nimmt der Beschwerdeführer mit keinem Wort Stellung. Die Beschwerde erschöpft sich damit in unzulässigen und ungenügend begründeten Vorbringen.
5. Auf die Beschwerde kann nach dem Gesagten insgesamt nicht eingetreten werden. Sie erwies sich von vornherein als aussichtslos, womit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausgangsgemäss sind ihm die Verfahrenskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Präsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett