Erwägungen:
1. Der aus der Elfenbeinküste stammende X._, geb. 1987, wurde am 4. Januar 2009 in Ausschaffungshaft genommen. Der Haftrichter 3 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und bestätigte die Haft am 5. Januar 2009. In der Rechtsmittelbelehrung wurde angeführt, gegen das Hafturteil könne Beschwerde beim Bundesgericht erhoben werden. Mit Eingaben vom 12. und 22. Januar 2009 in französischer Sprache an das Bundesgericht reichte X._ dem Bundesgericht eine Beschwerde ein. Das Haftgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Am 2. Februar 2009 reichte X._ eine ergänzende Eingabe ein.
2. 2.1 Nach Art. 86 Abs. 2 BGG setzen die Kantone als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte ein, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen. Dabei handelt es sich um eine Eintretensvoraussetzung, die das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition prüft.
2.2 Mit Urteil 2C_10/2009 und 2C_25/2009 vom 5. Februar 2009 hat das Bundesgericht entschieden, dass das im Kanton Bern zur Prüfung ausländerrechtlicher Administrativhaft als einziges und letztinstanzlich urteilendes Gericht eingesetzte Haftgericht der Untersuchungsregion Bern-Mittelland die Voraussetzungen von Art. 86 Abs. 2 BGG nicht erfüllt. Auf Beschwerden, die sich direkt gegen Hafturteile dieses Gerichts richten, kann daher nicht eingetreten werden. Es obliegt dem Obergericht des Kantons Bern als Aufsichtsbehörde über das Haftgericht, eventuell in Zusammenarbeit mit dem Verwaltungsgericht und dem Regierungsrat des Kantons Bern, eine vorsorgliche Regelung für die bereits hängigen Fälle zu treffen. Auf die vorliegende Beschwerde ist daher nicht einzutreten, und die Sache ist zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Bern zu überweisen.
3. 3.1 Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG).
3.2 Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat den Instruktionsrichter gemäss Art. 108 Abs. 2 BGG damit betraut, im vorliegenden Fall als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG zu entscheiden.
3.3 Nach Art. 54 Abs. 1 BGG wird das Verfahren in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids, hier in deutscher Sprache, geführt. Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird darum ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. 1.1 Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
1.2 Die Sache wird an das Obergericht des Kantons Bern überwiesen zur weiteren Behandlung der Beschwerde im Sinne der Erwägungen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 3, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Uebersax