Erwägungen:
1. Der serbische Staatsangehörige X._, geb. 1959, kam 1983 als Basketballspieler und -trainer mit einer Saisonbewilligung in die Schweiz. Am 4. Mai 1984 heiratete er die Schweizerbürgerin Y._ und erhielt gestützt darauf die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Luzern. Dem Ehepaar wurden zwei Töchter geboren (im Juli 1989 und Juli 1992). Im März 1996 trennten sich die Eheleute gerichtlich, und am 9. August 2004 wurde die Ehe geschieden. X._ pflegt heute eine Beziehung mit einer russischen Staatsangehörigen, die in Italien aufenthaltsberechtigt ist und mit der er ein gemeinsames Kind hat.
Ab 1987 begann X._ zu delinquieren. Im Dezember 1990 wurde er erstmals zu einer bedingt vollziehbaren zweimonatigen Freiheitsstrafe verurteilt. Daran schlossen in relativ dichter Folge zahlreiche weitere Strafurteile an, meist wegen Verstössen gegen das SVG oder wegen Ungehorsams im Betreibungs- und Konkursverfahren. Im Weiteren wurden gegen ihn im Zeitraum von 2001 bis 2006 30 Betreibungen im Gesamtbetrag von Fr. 65'000.-- eingeleitet; das Betreibungsamt Emmen hatte bis zum Januar 2006 ausserdem 39 Verlustscheine im Gesamtbetrag von Fr. 165'000.-- ausgestellt.
Wegen seines langen Aufenthalts in der Schweiz und der beiden noch nicht volljährigen Kinder verlängerte die kantonale Migrationsbehörde jeweils die Aufenthaltsbewilligung von X._, verweigerte ihm jedoch im Jahre 2002 die anbegehrte Niederlassungsbewilligung. Zwei Mal wurde X._ überdies wegen seiner Verurteilungen und seinen Betreibungs- und Steuerausständen fremdenpolizeilich verwarnt. Am 14. Juli 2006 verlängerte die Migrationsbehörde dessen Aufenthaltsbewilligung ein letztes Mal für ein Jahr, verbunden mit einer dritten Verwarnung. Dieser Verlängerung verweigerte das Bundesamt für Migration (BFM) mit Verfügung vom 7. Dezember 2006 die Zustimmung und wies X._ aus der Schweiz weg.
2. Hiergegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses beurteilte den geltend gemachten Anwesenheitsanspruch in seinem Entscheid vom 19. Januar 2010 zunächst unter dem Gesichtswinkel von Art. 8 EMRK (aus der Beziehung zur jüngeren Tochter abgeleitete Anwesenheitsberechtigung; Garantie auf Achtung des Privatlebens) und gelangte zum Ergebnis, die Voraussetzungen für den weiteren Aufenthalt in der Schweiz seien nicht erfüllt. Alsdann untersuchte es, ob X._ eine Ermessensbewilligung auszustellen sei und verneinte dies trotz langer Anwesenheit wegen mangelhafter Integration und Beachtung der hiesigen Rechtsordnung. Endlich gelangte es zum Ergebnis, es liege auch kein Grund zur Erteilung einer Härtefallbewilligung vor.
3. Mit Eingabe vom 24. Februar 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt, das vorinstanzliche Erkenntnis sei aufzuheben und das Bundesamt für Migration anzuweisen, die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Bindung zur jüngeren, minderjährigen Tochter sei intensiv und rechtfertige seine Anwesenheit im Lande. Zumindest aber sei die Verweigerung einer Ermessensbewilligung unverhältnismässig.
Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Verfügung vom 2. März 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
4. Das Bundesgericht beurteilt die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Beschwerden von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 30 E. 1 S. 31).
4.1 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig im Zusammenhang mit Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Soweit der Beschwerdeführer die Verweigerung einer Ermessensbewilligung durch die Vorinstanz anfechten will, ist die Beschwerde an das Bundesgericht daher von vornherein ausgeschlossen. Soweit ein Anspruch gestützt auf Bundesrecht in Frage kommen kann, ist zu beachten, dass das Verlängerungsgesuch vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) eingereicht worden ist und somit noch das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) anwendbar ist (Art. 126 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG hat der Ehegatte eines Schweizer Bürgers (grundsätzlich) Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung. Bei Einreichung des Verlängerungsgesuchs im Jahre 2006 war der Beschwerdeführer schon seit längerem von seiner schweizerischen Ehefrau geschieden, und die beantragte Niederlassungsbewilligung ist ihm bereits am 12. November 2002 rechtskräftig verweigert worden, weshalb die genannten Anspruchsgrundlagen entfallen sind. Dass zwischen November 2002 und dem Datum der Scheidung am 9. August 2004 neue Umstände einen Anspruch auf Niederlassung hätten entstehen lassen können, ist weder dargetan worden noch ersichtlich. Dies umso weniger, als in dieser Periode weitere Strafverfügungen ergingen (vgl. die Verfügung des Amtes für Migration des Kantons Luzern vom 14. Juli 2006) und die Eheleute schon damals seit langem (März 1996) getrennt lebten. Der Beschwerdeführer macht denn auch nicht geltend, das Bundesrecht verleihe ihm einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltserlaubnis.
4.2 Ein derartiger Anspruch kann sich aus dem Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV) ergeben. Das ist dann der Fall, wenn einem Ausländer, dessen Angehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (BGE 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145). Art. 8 EMRK schützt in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146; 127 II 60 E. 1d/aa S. 64 f.). Die Beziehung zu einem volljährigen Kind kann nur ausnahmsweise, wenn ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis vorliegt, ein Anwesenheitsrecht verschaffen (BGE 129 II 11 E. 2 S. 14; 120 Ib 257 E. 1d und e S. 261). Für die Beurteilung eines Anspruchs gestützt auf Art. 8 EMRK stellt das Bundesgericht auf den Zeitpunkt seines Entscheids ab (BGE 129 II 11 E. 2 S. 13; 120 Ib 257 E. 1f S. 262 f.).
Auch die jüngere Tochter des Beschwerdeführers (geb. am 23. Juli 1992) ist seit kurzem volljährig. Aus der Beziehung zu ihr kann der Beschwerdeführer heute keinen Anspruch auf Verlängerung seines Aufenthalts in der Schweiz mehr ableiten. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis (namentlich Betreuungs- oder Pflegebedürfnisse wie bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten) ist nicht erkennbar (vgl. BGE 120 Ib 257 E. 1e S. 261). Finanzielle Unterstützungsleistungen in einem üblichen Rahmen, wie sie hier in Frage stehen, begründen keine derartige Abhängigkeit. Die Beschwerde erweist sich daher auch insoweit als unzulässig, als der Beschwerdeführer Art. 8 EMRK angerufen hat.
4.3 Der Beschwerdeführer leitet die Zuständigkeit des Bundesgerichts unter Berufung auf das Urteil 2A.66/2000 vom 26. Juli 2000 (E. 1a) und auf THOMAS HÄBERLI (in: Basler Kommentar zum BGG, N. 62 zu Art. 83) daraus ab, dass gegen den Entscheid über den Widerruf oder die Feststellung des Erlöschens einer Anwesenheitsbewilligung die Beschwerde unabhängig davon zulässig sei, ob ein Bewilligungsanspruch bestehe oder nicht (Beschwerde Ziff. I/4. S. 3). Er übersieht, dass sich diese Belege - auch wenn das nicht mit wünschbarer Klarheit zum Ausdruck kommen mag - auf Situationen beziehen, in denen eine Bewilligung nach wie vor Rechtswirkungen entfalten würde, wenn in sie nicht eingegriffen worden wäre. Es besteht in solchen Fällen ein grundsätzlicher Rechtsanspruch auf das Fortbestehen der Bewilligung während ihrer Gültigkeitsdauer (BGE 135 II 1 E. 1.2.2 S. 4), d.h. es geht um den Schutz des damit verbundenen berechtigten Vertrauens (Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 1.1 mit Hinweisen). Eine solche Situation liegt hier nicht vor. Die Aufenthaltsbewilligung des Amtes für Migration des Kantons Luzern vom 14. Juni 2006 war auf ein Jahr befristet und wäre längst abgelaufen, selbst wenn ihr das BFM die Zustimmung erteilt hätte. Eine geschützte Rechtsstellung ergibt sich aus dieser Bewilligung nicht mehr. Umstritten kann nur noch der Verlängerungsanspruch sein, der für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter dem Vorbehalt von Bundesrecht und Völkerrecht steht. Die einschlägigen Normen verleihen dem Beschwerdeführer, wie dargelegt, keinen Anspruch auf weiteren Aufenthalt in der Schweiz. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher unzulässig.
5. 5.1 Aus dem Ausgeführten ergibt sich, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5.2 Bei diesem Ergebnis wird der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger