Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1967) ist serbischer Staatsangehöriger. Er reiste am 9. Juni 1982 im Rahmen eines Familiennachzugs in die Schweiz ein, wo ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 27. Dezember 1987 heiratete er in der Heimat seine Landsfrau Y._ (geb. 1971), welche am 4. Januar 1988 zu ihm zog. Der Ehe entstammen insgesamt vier Kinder (geb. 1988, 1991, 1992 und 1998). Die älteste Tochter wurde am 14. September 2005 hier eingebürgert. X._ zeugte zudem zwei aussereheliche Kinder (geb. 1988 bzw. 2004).
B. Am 9. August 2005 verurteilte das Strafgericht Basel-Landschaft X._ wegen Veruntreuung und Betrugs zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 9 Monaten und einer Busse von Fr. 500.--, da er 1997 unter Anzeige eines Diebstahls einen geleasten BWM nach Jugoslawien hatte schaffen lassen (Deliktsbetrag: Fr. 50'708.85). Am 13. März 2006 lehnte es das Migrationsamt des Kantons Thurgau ab, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern; er sei mehrfach wegen verschiedenster Verstösse gegen die Rechtsordnung verurteilt und verwarnt worden, ohne dass ihn dies dazu habe bewegen können, sich an die hier geltende Ordnung zu halten. Seinen Angehörigen sei es gegebenenfalls zumutbar, ihr Familienleben mit ihm in der Heimat zu pflegen. X._ gelangte hiergegen erfolglos an das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheide vom 27. August und 12. Dezember 2007).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. Verfassungsbeschwerde vom 27. Februar 2008 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vollumfänglich aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und auf eine Wegweisung zu verzichten. X._ macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV, zudem sei die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung unverhältnismässig (Art. 5 Abs. 2 BV) und greife in ungerechtfertigter Weise in seine persönliche Freiheit ein (Art. 10 Abs. 2 BV). Das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen, auf die Beschwerde nicht einzutreten bzw. sie abzuweisen; das Bundesamt für Migration schliesst für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 1. März 2008 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.
Erwägungen:
1. Gegenstand des angefochtenen Urteils bildet der Entscheid der Thurgauer Behörden, die am 1. März 2006 abgelaufene Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers nicht mehr zu verlängern und ihn wegzuweisen. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist hiergegen nur zulässig, falls das Bundesrecht oder das Völkerrecht ihm einen Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der Bewilligung verschafft (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG); gegen die Wegweisung als solche ist sie immer ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Ob ein entsprechendes Anwesenheitsrecht besteht, ist als Eintretensvoraussetzung zu prüfen (vgl. BGE 130 II 281 E. 1 S. 283 f.). Die Vorinstanzen haben zwar festgehalten, dass der Beschwerdeführer verschiedene Widerrufs- und Ausweisungsgründe gesetzt habe; dennoch steht weder eine Ausweisung noch ein Bewilligungswiderruf zur Diskussion, nachdem die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers ab März 2003 nur noch provisorisch verlängert wurde und anfangs März 2006 abgelaufen ist.
2. 2.1 Nach Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG), welches am 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist, bleibt für Gesuche, die vor diesem Zeitpunkt gestellt worden sind, das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung (ANAG) anwendbar. Der Beschwerdeführer behauptet zu Recht nicht, gestützt auf dieses einen Anspruch auf die Verlängerung seiner Bewilligung zu haben: Ist ein Ausländer im Besitz der Niederlassungsbewilligung oder ist der Zeitpunkt für deren Erteilung bereits festgelegt, so hat sein Gatte grundsätzlich Anspruch darauf, dass ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt bzw. verlängert wird (Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG). Weder der Beschwerdeführer noch seine Gattin oder seine Kinder haben in der Schweiz je eine Niederlassungsbewilligung besessen. Zwar verfügen offenbar seine Eltern inzwischen über eine solche; hieraus kann der volljährige Beschwerdeführer mit Blick auf Art. 17 ANAG jedoch nichts zu seinen Gunsten ableiten, auch wenn er mit diesen noch verkehrt und inzwischen auch in das gleiche Dorf wie sie gezogen ist. Dasselbe gilt für den Umstand, dass er seit 1982 in der Schweiz lebt (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284); die lange Anwesenheit allein verschafft keinen Anspruch darauf, dass eine Bewilligung verlängert wird. Weil der Beschwerdeführer in den vergangenen Jahren wiederholt gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat, konnte ihm bisher keine Niederlassungsbewilligung erteilt und auch kein entsprechender Zeitpunkt festgelegt werden. Die Behörden durften somit "im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland nach freiem Ermessen" über die Erneuerung seiner Anwesenheitsberechtigung entscheiden (Art. 4 ANAG).
2. 2.1 Nach Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG), welches am 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist, bleibt für Gesuche, die vor diesem Zeitpunkt gestellt worden sind, das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung (ANAG) anwendbar. Der Beschwerdeführer behauptet zu Recht nicht, gestützt auf dieses einen Anspruch auf die Verlängerung seiner Bewilligung zu haben: Ist ein Ausländer im Besitz der Niederlassungsbewilligung oder ist der Zeitpunkt für deren Erteilung bereits festgelegt, so hat sein Gatte grundsätzlich Anspruch darauf, dass ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt bzw. verlängert wird (Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG). Weder der Beschwerdeführer noch seine Gattin oder seine Kinder haben in der Schweiz je eine Niederlassungsbewilligung besessen. Zwar verfügen offenbar seine Eltern inzwischen über eine solche; hieraus kann der volljährige Beschwerdeführer mit Blick auf Art. 17 ANAG jedoch nichts zu seinen Gunsten ableiten, auch wenn er mit diesen noch verkehrt und inzwischen auch in das gleiche Dorf wie sie gezogen ist. Dasselbe gilt für den Umstand, dass er seit 1982 in der Schweiz lebt (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284); die lange Anwesenheit allein verschafft keinen Anspruch darauf, dass eine Bewilligung verlängert wird. Weil der Beschwerdeführer in den vergangenen Jahren wiederholt gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat, konnte ihm bisher keine Niederlassungsbewilligung erteilt und auch kein entsprechender Zeitpunkt festgelegt werden. Die Behörden durften somit "im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland nach freiem Ermessen" über die Erneuerung seiner Anwesenheitsberechtigung entscheiden (Art. 4 ANAG).
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer macht einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung aus dem in Art. 8 EMRK und Art. 13 BV verankerten Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens geltend. Es kann diese Garantien verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird. Der sich hier aufhaltende Familienangehörige muss aber seinerseits über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen, was praxisgemäss der Fall ist, wenn er das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassungsbewilligung gewährt wurde oder er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.). Das geschützte Familienleben beschränkt sich grundsätzlich auf die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 14).
2.2.2 Entgegen seinen Ausführungen kann der Beschwerdeführer aus seinen familiären Beziehungen direkt keinen Bewilligungsanspruch ableiten: Wie bereits dargelegt verfügen weder seine Frau noch seine (ehelichen) Kinder in der Schweiz über einen gefestigten Aufenthalt. Zwar besitzt seine älteste Tochter inzwischen das Schweizer Bürgerrecht; es ist jedoch weder ersichtlich noch dargetan, dass und inwiefern zwischen ihnen ein Abhängigkeitsverhältnis bestehen würde, welches einen Aufenthaltsanspruch zu begründen vermöchte (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 14; 120 Ib 257 E. 1d und e S. 261 f.). Zwar hat der Beschwerdeführer in der Schweiz zusätzlich zwei aussereheliche Kinder; doch ergeben sich aus den Akten bzw. seiner Eingabe keinerlei Hinweise darauf, dass er intensive familiäre Beziehungen mit diesen pflegen oder sie auch nur regelmässig besuchen würde (vgl. das Urteil 2A.562/2006 vom 16. Februar 2007, E. 3.2 u. 3.4); im Gegenteil: Während Jahren kam er seinen Unterhaltspflichten ihnen gegenüber nicht oder nur mangelhaft nach; zudem ist das ältere der beiden Kinder inzwischen ebenfalls volljährig geworden.
2.2.2 Entgegen seinen Ausführungen kann der Beschwerdeführer aus seinen familiären Beziehungen direkt keinen Bewilligungsanspruch ableiten: Wie bereits dargelegt verfügen weder seine Frau noch seine (ehelichen) Kinder in der Schweiz über einen gefestigten Aufenthalt. Zwar besitzt seine älteste Tochter inzwischen das Schweizer Bürgerrecht; es ist jedoch weder ersichtlich noch dargetan, dass und inwiefern zwischen ihnen ein Abhängigkeitsverhältnis bestehen würde, welches einen Aufenthaltsanspruch zu begründen vermöchte (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 14; 120 Ib 257 E. 1d und e S. 261 f.). Zwar hat der Beschwerdeführer in der Schweiz zusätzlich zwei aussereheliche Kinder; doch ergeben sich aus den Akten bzw. seiner Eingabe keinerlei Hinweise darauf, dass er intensive familiäre Beziehungen mit diesen pflegen oder sie auch nur regelmässig besuchen würde (vgl. das Urteil 2A.562/2006 vom 16. Februar 2007, E. 3.2 u. 3.4); im Gegenteil: Während Jahren kam er seinen Unterhaltspflichten ihnen gegenüber nicht oder nur mangelhaft nach; zudem ist das ältere der beiden Kinder inzwischen ebenfalls volljährig geworden.
2.3 2.3.1 Aus dem Anspruch auf Schutz des Privatlebens ergibt sich ein Recht auf Verbleib im Land nur unter besonderen Umständen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen hierzu nicht; erforderlich sind besonders intensive private Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 126 II 377 E. 2c S. 384 ff.; 120 Ib 16 E. 3b S. 22). Das Bundesgericht hat es abgelehnt, von einer bestimmten Aufenthaltsdauer an schematisierend eine solche besondere, einen Anspruch auf die Erteilung eines Anwesenheitsrechts begründende Verwurzelung in den hiesigen Verhältnissen anzunehmen; ein entsprechender Rechtsanspruch setzt eine umfassende Interessen- und Rechtsgüterabwägung voraus, wobei die Aufenthaltsdauer nur ein Element unter anderen bildet (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 287; Urteil 2A.564/2006 vom 10. Januar 2007, E. 2.5.1).
2.3.2 Der Beschwerdeführer befindet sich seit rund 25 Jahren in der Schweiz; ab dem Jahr 2003 wurde seine Bewilligung indessen jeweils nur noch provisorisch verlängert. Es kann nicht gesagt werden, dass er sich in dieser Zeit hier überdurchschnittlich integriert hätte: In den Jahren 2001, 2002 und 2003 wurde er wiederholt wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln verurteilt; bereits zuvor war er mit dem Gesetz in Konflikt geraten (Hehlerei, überhöhte Geschwindigkeit) und deshalb am 15. Juli 1993 ausländerrechtlich verwarnt worden. Es wurde ihm schon damals der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung angedroht, sollte er sich in Zukunft nicht klaglos verhalten. Am 16. Juli 1996 musste er dennoch erneut gebüsst werden, da er die ihm entzogenen Kontrollschilder trotz behördlicher Aufforderung nicht abgab; am 12. September 1997 verurteilte ihn die Bezirksgerichtskommission Bischofszell wegen Überschreitens der Höchstgeschwindigkeit innerorts um 31 Kilometer zu einer Busse von Fr. 1'000.--; in den gleichen Zeitraum fielen die von ihm begangene Veruntreuung und der Versicherungsbetrug, welche am 9. August 2005 zu seiner Verurteilung zu neun Monaten Gefängnis (bedingt) führten und bei Kenntnis der Tat wohl schon damals zu einer Nichtverlängerung der Bewilligung Anlass gegeben hätten. Am 5. November 1997 wurde er erneut aufgefordert, künftig die hiesige Rechtsordnung zu respektieren. Weder die strafrechtlichen Verurteilungen noch die Wegweisungsandrohungen oder der sechsmalige Entzug seines Führerausweises vermochten ihn jedoch dazu zu bewegen, sich an die hiesigen Regeln zu halten und nicht andere Verkehrsteilnehmer durch sein Verhalten zu gefährden. Selbst während der Frist zur Gewährung des rechtlichen Gehörs bezüglich seiner Wegweisung musste er wegen einer Tätlichkeit gegenüber seiner Ehefrau mit Fr. 300.-- gebüsst werden.
2.3.3 Auch in beruflicher, sozialer und finanzieller Hinsicht kann der Beschwerdeführer nicht als in besonderer Weise in die schweizerischen Verhältnisse integriert gelten: Gemäss Auszug aus dem Betreibungsregister des Betreibungsamts R._ vom 27. März 2006 wurde er zwischen dem 1. Januar 2003 und dem 31. Dezember 2005 zwölfmal im Gesamtbetrag von Fr. 76'441.15 betrieben. Ende 2005 bestanden sieben Verlustscheine über total Fr. 18'252.55 gegen ihn; am 13. August 2007 waren es bereits deren zehn im Gesamtbetrag von Fr. 69'452.45. Ende Sommer 2007 bestanden bei den Betreibungsämtern Ausstände gegen ihn von über Fr. 100'000.--, wobei hinsichtlich der künftigen Entwicklung - trotz des Wegfalls der Unterstützungspflicht gegenüber einem der ausserehelichen Kinder - keine positive Prognose gestellt werden konnte. Der Beschwerdeführer ist wiederholt - nicht zuletzt auch wegen seiner zahlreichen Führerausweisentzüge, die ihn als Berufschauffeur trafen - selbstverschuldet arbeitslos geworden. Dass anderweitig besonders enge Beziehungen zur Schweiz bestünden, wird nicht geltend gemacht. Da der Beschwerdeführer nicht ausgewiesen, sondern lediglich seine Bewilligung nicht verlängert wird, bleibt es ihm unbenommen, seine sozialen Kontakte zu hiesigen Bezugspersonen besuchsweise zu pflegen; durch die Nichterneuerung wird ihm - anders als bei einer Ausweisung - das Betreten der Schweiz nicht vollumfänglich untersagt (Art. 11 Abs. 4 ANAG). Der Beschwerdeführer hat seine ersten 15 Jahre in der Heimat verbracht und dort später auch seinen Militärdienst geleistet (21. September 1989 bis 3. Oktober 1990). Er ist mit Sprache und Kultur seines Herkunftslands nach wie vor vertraut; im Übrigen soll die Familie dort auch noch über Grundbesitz verfügen. Als Lastwagenchauffeur bzw. Betreiber einer Transportfirma wird es ihm möglich sein, seine berufliche Existenz in der Heimat fortzusetzen.
2.3.4 Richtig ist, dass die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers auch seine Ehefrau und seine Kinder in ihrem jeweiligen Anspruch auf Schutz des Privatlebens bzw. der familiären Beziehungen trifft. Die Verfügung des Migrationsamts bezieht sich jedoch nur auf seine eigene Aufenthaltsbewilligung, nicht auch auf jene seiner Angehörigen. Es erscheint deshalb zweifelhaft, ob und wieweit er befugt ist, sich im vorliegenden Zusammenhang auf deren konventionsrechtlichen Ansprüche zu berufen, nachdem sie sich am Verfahren nie selber beteiligt haben. Seiner psychisch angeschlagenen Ehefrau und den hier geborenen und eingeschulten Kindern dürfte eine allfällige Rückkehr in die gemeinsame Heimat zwar schwer fallen, doch scheint eine solche dennoch nicht schlechterdings ausgeschlossen: Seine Gattin hat die ersten 17 Jahre ihres Lebens ebenfalls in Serbien verbracht; nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) können ihre psychischen Probleme dort ähnlich behandelt werden wie in der Schweiz. Einschneidend wäre ein allfälliger Wechsel des Lebensmittelpunkts vorab für die drei minderjährigen Kinder, doch wird ein entsprechender Wechsel des Kulturkreises - wie der Fall des Beschwerdeführers selber belegt (Einreise mit 15 Jahren) - regelmässig als möglich und zumutbar erachtet, wenn es sich um eine Übersiedlung aus dem Heimatland in die Schweiz handelt. Dies muss - ohne besondere erschwerende Umstände - auch umgekehrt gelten. Der Beschwerdeführer wendet nicht ein, seine Kinder seien mit den Verhältnissen in der Heimat überhaupt nicht mehr vertraut und des Serbischen gar nicht mächtig.
2.3.5 Über die Aufenthaltsberechtigung der Ehegattin - die offenbar zufolge psychischer Erkrankung arbeitsunfähig ist und gemäss der Darstellung in der Beschwerdeschrift eine ganze IV-Rente bezieht - bzw. jene der Kinder haben die kantonalen Behörden noch nicht entschieden. Das Familienband zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Ehefrau scheint insofern gelockert, als der Beschwerdeführer 1988 und 2004 je mit zwei verschiedenen Partnerinnen aussereheliche Kinder gezeugt hat, welche durch die öffentliche Hand unterstützt werden mussten; im Jahre 2005 wurde er zudem wegen einer Tätlichkeit seiner Frau gegenüber gebüsst. Gestützt auf diese Vorkommnisse war von einer möglichen Scheidung die Rede, zu der es bisher jedoch offenbar nicht gekommen ist. Der vorliegende Fall kann somit nicht mit dem in BGE 130 II 281 ff. beurteilten verglichen werden, wo das Bundesgericht einen Bewilligungsanspruch aus dem kombinierten Schutzbereich von Familien- und Privatleben ableitete: Dort war das Privat- und Familienleben des Betroffenen zwar ebenfalls schwergewichtig in der Schweiz gepflegt worden, doch konnte es nirgend anderswo mehr in zumutbarer Weise gelebt werden, nachdem der Beschwerdeführer und seine Familie als Angehörige der ethnischen Minderheit der Roma bei einer Übersiedlung in den Kosovo sich in einer ausgesprochen schwierigen Lebenssituation gesehen hätten; es fehlte eine namhafte Beziehung zu irgendeinem anderen Land als der Schweiz, weshalb ein Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK bestand und es sich rechtfertigte, die kantonalen Behörden anzuhalten, die Erneuerung der Bewilligungen unter diesem Aspekt zu prüfen (BGE 130 II 281 E. 3.3 S. 289). Vorliegend bestehen, nachdem sich der Beschwerdeführer hier - trotz wiederholter Ermahnungen - nicht zu integrieren vermochte, nach wie vor hinreichend enge Beziehungen zum Heimatland der Familie, womit das gemeinsame Leben gegebenenfalls dort gepflegt werden kann, sollte sich die Familie dazu entschliessen, mit dem Beschwerdeführer auszureisen. Aus Art. 8 EMRK ergibt sich weder ein Recht auf Einreise oder Aufenthalt in einem bestimmten Staat noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts (EGMR-Urteil i.S. Slivenko gegen Lettland vom 9. Oktober 2003 [Nr. 48321/99], Rz. 94 mit Hinweisen); der Anspruch auf Achtung des Familienlebens ist nicht berührt, wenn die Familie bei einer zumutbaren gemeinsamen Ausreise in das Heimatland nicht getrennt wird (BGE 126 II 377 E. 2b/cc S. 383). Der Beschwerdeführer verfügt somit über keinen Anspruch auf Verlängerung seiner Bewilligung, weshalb auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten werden kann.
3. Der Beschwerdeführer macht für diesen Fall mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde eine Verletzung von Art. 5 Abs. 2 BV (Verhältnismässigkeitsgrundsatz) und von Art. 10 Abs. 2 BV (persönliche Freiheit) geltend. Hierzu ist er nicht legitimiert: Gemäss Art. 115 lit. b BGG ist zur Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Weder das Willkürverbot noch das Verhältnismässigkeitsprinzip vermögen ein solches zu begründen (BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 197 ff.; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_704/2007 vom 1. April 2008, E. 4). Der Ausländer, der über keinen Rechtsanspruch auf eine ausländerrechtliche Bewilligung verfügt, kann den die Aufenthaltsbewilligung verweigernden Entscheid in der Sache nicht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung dieser verfassungsmässigen Prinzipien beanstanden (Urteil 2C_317/2008 vom 23. Mai 2008, E. 2.2). Was das verfassungsmässige Recht der persönlichen Freiheit betrifft, ergibt sich bereits aus den vorstehenden Erwägungen, dass der Beschwerdeführer hieraus nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermag. Eine Verletzung von Verfahrensgarantien, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellen würde und die er deshalb trotz fehlender Legitimation in der Sache rügen könnte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend (Art. 42 i.V.m. Art. 116 BGG). Auf die Eingabe ist somit auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar