Faits:
A.
Le 21 juillet 2004, une altercation est survenue entre X._ et Y._. A un moment donné, Y._ a asséné, au moyen d'un couteau suisse, plusieurs coups à X._. Alors même que celui-ci implorait son agresseur, assis à califourchon sur lui, de l'épargner, Y._ ne s'est arrêté que parce qu'un voisin, qui passait par là en voiture, est intervenu. X._ a ainsi subi des lésions au niveau du cou, du bras, du thorax du ventre et du dos. Le rapport médical établi par l'institut universitaire de médecine légale retient que la vie de l'intéressé a été mise en danger, notamment en raison du type d'instrument utilisé et des endroits visés présentant un risque élevé de lésion des structures vitales.
Depuis son agression, X._ souffre de troubles psychologiques graves. Selon le Département universitaire de psychiatrie adulte des hospices cantonaux, l'incapacité de travail prolongée de l'intéressé était principalement motivée par des raisons d'ordre psychiatrique, celui-ci souffrant d'un état dépressif persistant lié à la perte de son intégrité physique et psychique ainsi que d'un stress post-traumatique secondaire lié à la violence de l'agression subie. Une expertise psychiatrique réalisée pour le compte de la SUVA le 30 octobre 2006 a abouti à des conclusions similaires. La pathologie évoquée semble par ailleurs avoir conduit X._ à une consommation excessive d'alcool ainsi qu'à un geste suicidaire grave en septembre 2004: l'intéressé s'est planté un couteau dans le thorax à travers sa main droite, s'infligeant à cette occasion une coupure au niveau de l'index et du médius provoquant une section des tendons. On ignore à l'heure actuelle si la reconstruction chirurgicale du membre concerné et si la réadaptation postopératoire ont pu avoir lieu. Dans la dernière expertise psychiatrique de X._ figurant au dossier et datée du 29 février 2008, il est relevé que l'intéressé, qui semble avoir fait deux autres tentatives de suicide en 2007, est plus calme et plus posé, que le syndrome de stress post-traumatique ne semble plus avoir un degré cliniquement significatif et que sa consommation d'alcool a pu être réduite. L'expert ne retient plus que les diagnostics de troubles dépressifs récurrents, actuellement en rémission, sous traitement, et une personnalité émotionnelle labile, de type impulsif.
L'incapacité totale de travail se prolongeant, principalement pour des raisons d'ordre psychiatrique, X._ s'est ensuite vu octroyer une rente entière d'invalidité à compter du 1er juillet 2005 à hauteur de 100 %, plus tard diminuée de moitié au vu de la gravité caractérisée de son propre comportement, constatée en dernière instance par le Tribunal des assurances dans un arrêt du 20 juin 2008.
B.
Par requête du 29 janvier 2008, modifiée le 17 novembre 2010, X._ a déposé une demande au sens de la loi fédérale du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions (aLAVI; RO 1992 2465) tendant au versement d'une indemnisation à raison de l'agression du 21 juillet 2004, pour perte de gain, réparation du tort moral et frais de conseil. Il faisait valoir, entre autres dommages, un préjudice ménager éprouvé de 39'480 francs.
Par décision du 13 septembre 2011, le Département vaudois de l'intérieur, Service juridique et législatif, a partiellement admis cette demande et a alloué au requérant, à titre d'indemnisation du dommage matériel fondée sur l'art. 12 al. 1 aLAVI, un montant de 3'657 fr. plus intérêt moyen à 5 % l'an dès le 1er janvier 2008, sous déduction de 2'000 fr. déjà versés à titre de provision. Dans le cadre du calcul de la perte de gain subie, l'autorité a tenu pour non établi le dommage ménager dont se prévaut l'intéressé en l'espèce, celui-ci vivant chez son père. Elle n'a rien alloué à ce titre.
Saisie d'un recours contre cette décision, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (CDAP) en a confirmé la teneur s'agissant du dommage ménager. En substance, la cour cantonale s'est interrogée sur la nature directe du lien de causalité entre l'agression et l'invalidité résultant de la section des tendons de la main de l'intéressé lors d'un épisode dépressif grave ultérieur. Elle a toutefois laissé cette question indécise, considérant qu'en tout état, aucun des certificats médicaux au dossier n'attestait d'une incapacité physique du requérant à effectuer ses tâches ménagères ou soins corporels journaliers, son incapacité de travail résultant des séquelles psychiques de l'agression.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt cantonal en ce sens qu'une indemnité de 100'000 fr. lui est octroyée. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction dans le sens des considérants. Il requiert en outre que lui soit accordé le bénéfice de l'assistance judiciaire. La cour cantonale conclut au rejet du recours et se réfère aux considérants de son arrêt. Se référant également à l'arrêt attaqué ainsi qu'à sa décision, le Service juridique et législatif du canton de Vaud conclut lui aussi au rejet du recours. Consulté, l'Office fédéral de la justice renonce à formuler des déterminations. Le recourant n'a pas déposé d'écriture complémentaire.
Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Le recourant a un intérêt à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué qui confirme le rejet d'une partie de ses prétentions à titre d'indemnité au sens de la loi sur l'aide aux victimes d'infraction (art. 89 al. 1 LTF).
Les autres conditions de recevabilité énoncées aux art. 82 ss LTF sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant prétend que la cour cantonale aurait dû lui reconnaître un droit à une indemnité à raison de son préjudice ménager.
La loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5) est entrée en vigueur le 1er janvier 2009. En vertu de l'art. 48 let. a LAVI, le droit d'obtenir une indemnité pour des faits qui se sont déroulés avant l'entrée en vigueur de la loi sont régis par l'ancien droit. Applicables à toute personne ayant subi, du fait d'une infraction, une atteinte directe à son intégrité corporelle, sexuelle ou psychique (art. 2 aLAVI), les art. 11 ss aLAVI prévoient que la victime dont les revenus ne dépassent pas le seuil fixé par la loi peut demander une indemnisation déterminée en fonction notamment du montant du dommage. Selon la jurisprudence rendue sous l'ancien droit, l'indemnité au sens de ces dispositions comprend le préjudice ménager (ATF 131 II 656 consid. 6.4 p. 666; 129 II 145 consid. 2.2 p. 148). L'invalidité peut en effet grever non seulement la capacité de gain et l'avenir économique du lésé, mais aussi son aptitude à assurer les soins personnels, la tenue du ménage ou, cas échéant, le soin et l'assistance aux enfants; un dédommagement lui est éventuellement dû à raison de ce préjudice spécifique (ATF 134 III 534 consid. 3.2.3.1 p. 538; 132 III 321 consid. 3.1 p. 332). Le juge du fait doit évaluer l'incidence de l'invalidité médicale sur la capacité du lésé à accomplir ces actes, et il est possible qu'un handicap, selon sa nature, n'entraîne aucune réduction de cette capacité (ATF 129 III 135 consid. 4.2.1 p. 153).
Comme en matière de responsabilité civile, le droit à l'indemnité au sens de l'aLAVI suppose tout d'abord un lien de causalité naturelle entre l'événement et le dommage (arrêt 1A.252/2004 du 25 février 2005 consid. 4.2). Savoir si un tel lien existe est une question de fait, généralement d'ordre médical, qui doit être résolue selon la règle du degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit en effet pas que l'existence d'un rapport de cause à effet soit simplement possible ou probable. En droit des assurances sociales, il n'existe pas un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré; le défaut de preuve va au détriment de la partie qui entendait tirer un droit du fait non prouvé (ATF 126 V 319 consid. 5a p. 322).
3.
Le recourant se plaint de l'établissement des faits dans l'arrêt attaqué. Celui-ci méconnaîtrait que le lien entre l'agression, respectivement la section de ses tendons de la main qui s'en est suivie en raison de son état dépressif subséquent, et une incapacité physique d'effectuer les tâches ménagères ou les soins corporels journaliers est établi. Il se réfère à l'expertise du 30 octobre 2006 qui constatait qu'il "ne fait plus la cuisine, en rapport avec les séquelles à la main droite", ainsi qu'à une autre expertise au dossier qui indiquerait que la blessure à sa main droite correspond à une atteinte à l'intégrité de 10 %.
3.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 LTF, il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 105 al. 2 LTF), c'est-à-dire arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 III 226 consid. 4.2 p. 234; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Si le recourant entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 II 101 consid. 3 p. 104 et les arrêts cités).
3.2. Préalablement, il y a lieu de compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué, s'agissant du montant de l'indemnité requise dans la demande du 17 novembre 2010 puis à nouveau dans le recours auprès de la cour cantonale. L'arrêt attaqué ne mentionne en effet que le préjudice ménager éprouvé de 39'480 francs. Or, le recourant prétendait également à un dédommagement de son préjudice ménager futur, qu'il évaluait à 411'932 fr. 15, ce qui explique les conclusions prises dans la présente procédure en versement d'une indemnité de 100'000 francs.
3.3. En ce qui concerne les griefs soulevés par le recourant, la cour cantonale n'a pas méconnu l'expertise de 2006 dont il se prévaut, puisqu'elle l'a mentionnée dans l'état de fait (p. 2 de l'arrêt attaqué). Elle ne s'y est toutefois pas référée lorsqu'elle a examiné le préjudice ménager allégué par le recourant du fait de l'atteinte subie à sa main. A cette occasion, les premiers juges ont analysé un rapport médical de 2005 relatif à cette blessure, ainsi qu'un complément d'expertise de 2008 décrivant les causes de l'incapacité de travail du recourant. Ils ont aussi pris en considération, sans la tenir pour pertinente, une attestation selon laquelle le recourant prend tous ses repas dans un établissement de restauration rapide. En bref, les juges cantonaux constataient qu'aucun élément reposant sur des fondements médicaux ne prouvait l'incompatibilité de l'état de santé du recourant avec l'exécution de tâches domestiques, de sorte qu'aucun préjudice ménager ne pouvait être établi. S'agissant de l'expertise psychiatrique qu'invoque aujourd'hui le recourant, elle mentionne que celui-ci "ne fait plus la cuisine", uniquement sous une rubrique "plaintes actuelles" (p. 6 s.). Elle ne rapporte pas une constatation ou appréciation du médecin, mais reprend les déclarations du recourant lui-même. La cour cantonale pouvait dès lors considérer que ce passage du rapport d'expertise ne constituait pas un élément suffisamment probant pour attester de l'existence d'un préjudice ménager. Quant à la constatation par une expertise médicale que la section des tendons de la main droite du recourant correspond à une atteinte à l'intégrité de 10 %, elle n'est pas de nature à démontrer l'incapacité qu'il allègue de faire la cuisine, d'exécuter d'autres tâches ménagères ou ses soins quotidiens. C'est donc sans arbitraire que les premiers juges ont constaté le défaut de toute démonstration de l'existence d'un préjudice ménager. Au demeurant, dans son recours auprès de la cour cantonale, le recourant lui-même se référait pour cette question à la seule preuve par témoins - offre de preuve que la CDAP a écartée, considérant, par une appréciation anticipée des preuves, que seuls des avis médicaux étaient propres à établir le préjudice ménager allégué - et non aux expertises du dossier.
Le moyen doit dès lors être rejeté.
4.
Dans un second grief, le recourant se plaint de la violation des art. 8 CC (fardeau de la preuve) et 29 al. 2 Cst. (droit d'être entendu). Comme il l'expose lui-même, ces deux normes auraient été enfreintes faute de prise en compte de la preuve d'un lien de causalité établi. Or, dans la mesure où la cour cantonale pouvait retenir sans arbitraire qu'il n'y avait pas de préjudice ménager (consid. 3 ci-dessus), la question de l'existence d'un lien de causalité est sans pertinence. Le grief est privé de toute portée. Ni le droit d'être entendu du recourant ni les règles du fardeau de la preuve n'ont donc été violés.
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté et l'arrêt cantonal confirmé. Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (art. 64 al. 1 LTF). Il y a lieu de désigner Me Stephen Gintzburger en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 2 LTF). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (art. 64 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Stephen Gintzburger est désigné comme avocat d'office du recourant et ses honoraires, supportés par la caisse du Tribunal fédéral, sont fixés à 1'500 francs.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Autorité d'indemnisation LAVI et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral de la justice.
Lausanne, le 3 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Sidi-Ali