Faits:
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A. A._, avocat et notaire à Y._, a défendu les intérêts de X._ SA devant les tribunaux valaisans du 18 juillet 1997 au 11 mai 2001, date à laquelle il a résilié son mandat. Dans le cadre de cette activité, il a déposé une requête de preuve à futur afin de déterminer l'origine des défauts affectant deux ouvrages; il a ensuite ouvert action contre quatre sociétés, concluant à ce que celles-ci soient condamnées solidairement à payer à X._ SA le montant de 237'871 fr. 30.
Le 28 mai 2001, A._ a adressé à X._ SA une note d'honoraires s'élevant à 29'148 fr. Ce montant comprenait notamment des honoraires judiciaires pour la procédure principale (17'900 fr.) et pour la procédure de preuve à futur (3'500 fr.) ainsi qu'un honoraire extrajudiciaire de 1'500 fr.
Le 28 mai 2001, A._ a adressé à X._ SA une note d'honoraires s'élevant à 29'148 fr. Ce montant comprenait notamment des honoraires judiciaires pour la procédure principale (17'900 fr.) et pour la procédure de preuve à futur (3'500 fr.) ainsi qu'un honoraire extrajudiciaire de 1'500 fr.
B. Le 18 décembre 2001, X._ SA a saisi le juge des districts de Martigny et St-Maurice (ci-après: le juge de district) d'une requête en fixation d'honoraires visant à la réduction des honoraires judiciaires et à la suppression de l'honoraire extrajudiciaire. A._ a conclu au rejet de la requête.
Par décision du 8 juillet 2002, le juge de district a partiellement admis la requête. Appliquant les dispositions cantonales topiques, il a considéré que les honoraires judiciaires et extrajudiciaires pour la procédure principale (19'400 fr.) n'étaient pas excessifs; en revanche, les honoraires pour la procédure de preuve à futur devaient être réduits à 1'600 fr.
Contre cette décision, X._ SA a déposé auprès du Tribunal cantonal du canton du Valais une écriture intitulée "pourvoi en nullité valant au besoin déclaration d'appel". Cet acte, à la motivation unique, comportait des conclusions distinctes pour le cas où il serait traité comme un pourvoi en nullité et pour celui où il serait traité comme un appel. Le Tribunal cantonal n'a pas émis de réserve quant à sa recevabilité. Dans sa détermination, A._ a conclu à l'irrecevabilité du pourvoi en nullité, subsidiairement à son rejet.
Par jugement du 13 mai 2003, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal a admis le pourvoi en nullité et modifié la décision du juge de district au détriment de l'intimé. Sur le plan de la recevabilité, elle a considéré que seule la voie du pourvoi en nullité était ouverte contre la décision entreprise; dès lors qu'un seul grief était invoqué pour les deux recours, la Cour de cassation civile a estimé qu'il serait excessivement formaliste de reprocher à la recourante de ne pas avoir énoncé deux fois son unique grief.
Par jugement du 13 mai 2003, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal a admis le pourvoi en nullité et modifié la décision du juge de district au détriment de l'intimé. Sur le plan de la recevabilité, elle a considéré que seule la voie du pourvoi en nullité était ouverte contre la décision entreprise; dès lors qu'un seul grief était invoqué pour les deux recours, la Cour de cassation civile a estimé qu'il serait excessivement formaliste de reprocher à la recourante de ne pas avoir énoncé deux fois son unique grief.
C. A._ a formé un recours de droit public contre le jugement du 13 mai 2003 dont il demande l'annulation.
L'intimée conclut au rejet du recours. La cour cantonale se réfère aux motifs indiqués dans son jugement.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 129 III 415 consid. 2.1).
Formé en temps utile contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale, le recours répond aux exigences des art. 86 al. 1, 87 et 89 al. 1 OJ. II est à cet égard recevable.
Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; ATF 127 I 38 consid. 3c).
Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; ATF 127 I 38 consid. 3c).
2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir rendu une décision arbitraire.
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable; il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 129 I 8 consid. 2.1).
En matière d'application du droit cantonal, arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation de la loi doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable (ATF 128 II 259 consid. 5).
En matière d'application du droit cantonal, arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation de la loi doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable (ATF 128 II 259 consid. 5).
2.2 2.2.1 Le recourant soutient que la cour cantonale a violé la jurisprudence constante qu'elle a elle-même établie en matière de recevabilité et selon laquelle la réunion dans un seul et même mémoire d'une déclaration d'appel et d'un pourvoi en nullité constitue un procédé abusif, propre à rendre irrecevables l'une et l'autre voies de droit (Cour de cassation civile du 18 septembre 1992, RVJ 1992 p. 319 consid. 1a; Michel Ducrot, Le droit judiciaire privé valaisan, p. 483). Comme cela ressort du jugement précité, cette jurisprudence s'inspire directement des décisions du Tribunal fédéral sur l'irrecevabilité des recours en réforme et de droit public, déposés dans des écritures distinctes, mais dont la motivation est identique et se caractérise par le fait que les griefs propres à un moyen de droit sont mélangés avec ceux propres à un autre recours (ATF 115 II 396 consid. 2b).
La jurisprudence fédérale a cependant été précisée, en ce sens que deux recours ne sont pas irrecevables du seul fait qu'ils ont la même motivation; il ne peut être refusé d'entrer en matière que si, en raison du mélange des griefs soulevés, la motivation des recours n'apparaît pas suffisamment claire et, partant, ne respecte pas les exigences légales (ATF 116 II 745 consid. 2). En présence de deux recours dont la motivation est similaire, il convient ainsi d'examiner si, pour chaque acte de recours, les moyens invoqués sont recevables dans le cadre de cette voie de droit et satisfont aux exigences de motivation qui lui sont propres (ATF 118 IV 293 consid. 2a).
2.2.2 En l'espèce, la cour cantonale a été saisie d'un seul recours à la motivation unique. Par l'intitulé de son acte ("pourvoi en nullité valant au besoin déclaration d'appel"), la recourante a signifié qu'elle ne voulait pas être privée de la possibilité de voir son pourvoi en nullité traité, le cas échéant, comme un appel. La cour cantonale n'y a décelé aucun abus de procédure, du moment que la motivation que la recourante aurait dû développer tant dans son pourvoi en nullité que dans sa déclaration d'appel était identique: en l'occurrence, une violation de l'art. 16 du Code de procédure civile valaisan du 24 mars 1998 (ci-après CPC). Au surplus, l'acte respectait les règles de forme des deux recours: le pourvoi en nullité, en effet, doit indiquer quelles règles de procédure sont violées et préciser en quoi consiste la violation (art. 229 al. 2 let. b CPC); quant au mémoire d'appel, il doit indiquer dans quelle mesure le jugement est attaqué et contenir l'énoncé précis des principes de droit sur lesquels il se fonde (art. 217 al. 2 CPC).
Ainsi, la motivation du recours était suffisamment claire et il n'existait pas de mélange de griefs susceptible de créer la confusion entre plusieurs voies de droit ou de consacrer un abus de procédure. En admettant la recevabilité du recours litigieux, la cour cantonale a privilégié le but poursuivi par sa jurisprudence (l'interdiction des abus de procédure) plutôt que le respect absolu des prescriptions de forme qui doivent en dernier lieu servir cette fin. Une telle solution n'est en tout cas pas arbitraire. Le premier grief soulevé par le recourant n'est donc pas fondé.
Ainsi, la motivation du recours était suffisamment claire et il n'existait pas de mélange de griefs susceptible de créer la confusion entre plusieurs voies de droit ou de consacrer un abus de procédure. En admettant la recevabilité du recours litigieux, la cour cantonale a privilégié le but poursuivi par sa jurisprudence (l'interdiction des abus de procédure) plutôt que le respect absolu des prescriptions de forme qui doivent en dernier lieu servir cette fin. Une telle solution n'est en tout cas pas arbitraire. Le premier grief soulevé par le recourant n'est donc pas fondé.
3. A suivre le recourant, l'admission du recours litigieux consacrerait encore une inégalité de traitement tombant sous le coup de l'art. 8 Cst. Cela reviendrait à admettre - contrairement à la jurisprudence cantonale - la recevabilité d'un recours dans une situation identique à d'autres où la même autorité n'était pas entrée en matière.
Dans la mesure où ce grief peut se distinguer de celui tiré de l'application arbitraire du droit cantonal, il est dénué de fondement. En effet, la décision querellée consacre une solution qui est conforme aux buts poursuivis par la jurisprudence relative à la recevabilité des actes de recours. Le simple fait que le recourant, à titre de conseil dans d'autres litiges, ait vu ses recours déclarés irrecevables pour des motifs de procédure ne suffit pas à fonder une inégalité de traitement. Les situations dont il se prévaut sont différentes de celle qui caractérise la présente espèce, ce qui exclut toute inégalité de traitement (ATF 129 I 113 consid. 5.1).
4. Sous couvert de la violation du principe de la bonne foi, ancré à l'art. 9 Cst., le recourant reproche derechef à la cour cantonale de ne pas avoir respecté sa propre jurisprudence. Cet argument tombe à faux pour le simple motif qu'on ne discerne pas de contradiction entre la présente affaire - qui ne consacre pas d'abus de procédure - et les jurisprudences tendant à éviter que les plaideurs abusent des voies que leur offre la procédure.
Mal fondé dans tous ses griefs, le recours ne peut qu'être rejeté.
Mal fondé dans tous ses griefs, le recours ne peut qu'être rejeté.
5. Le recourant, qui succombe, supportera l'émolument judiciaire et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 3 novembre 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: