Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1983) stammt aus dem Kosovo. Er heiratete am 26. Februar 2003 die hier niederlassungsberechtigte Y._. Von Oktober 2003 bis Mai 2006 wurden X._ und seine Ehefrau von der Fürsorge unterstützt. Im Jahr 2004 kam es zu einer Ehekrise, doch nahmen die Gatten den gemeinsamen Haushalt Ende 2004 wieder auf. X._ ist wiederholt straffällig und in diesem Zusammenhang auch ausländerrechtlich verwarnt worden. Am 4. September 2005 erlitt X._ einen Motorradunfall. Am 29. Mai 2006 trennten sich die Ehegatten. Am 20. November 2007 wurde die Ehe geschieden. Seit dem Unfall streitet X._ für seine Rente. Hierzu verlängerte das Departement des Innern des Kantons Solothurn ohne Anerkennung einer Rechtspflicht regelmässig seine Aufenthaltsbewilligung (Patientenbewilligung).
1.2 Am 4. Januar 2012 verfügte das Departement des Innern des Kantons Solothurn, dass X._ über keinen Verlängerungsanspruch verfüge, und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zog die Unterlagen des Versicherungsgerichts bei und wies gestützt hierauf am 12. Juli 2012 die Beschwerde gegen den entsprechenden Departementsentscheid ab. Es ging davon aus, dass die Ehe zwar drei Jahre gedauert habe, X._ aber nicht als integriert gelten könne (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG [SR 142.20]: Fürsorgeabhängigkeit, Straffälligkeit [unter anderem auch mehrfacher Betrug bei Sozialhilfegeldern], mangelnde Sprachkenntnisse usw.). Es liege auch kein Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vor: Gestützt auf die bereits erstrittenen Leistungen könne X._ sich im Heimatland behandeln lassen. Seine Anwesenheit in der Schweiz sei für das Beschwerdeverfahren vor dem Versicherungsgericht nicht erforderlich, da er anwaltlich vertreten sei. Sollte seine Präsenz nötig werden, könne er aus seiner Heimat anreisen.
1.3 X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung sei um zwei Jahre zu verlängern; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unzulässig und kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG erledigt werden:
2.1 Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen, und in gezielter Form auf die für dessen Ergebnis massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz eingehen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3). Zwar prüft das Bundesgericht die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 133 II 249 E. 1.1); dies befreit die Beschwerdeführenden indessen nicht davon, kurz darzulegen, dass und inwiefern die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht offensichtlich erscheinen, ist es - insbesondere im Bereich des Ausländerrechts und der Ausschlussgründe von Art. 83 BGG - nicht Aufgabe des Gerichts, anhand der Akten oder weiterer noch beizuziehender Unterlagen nach allfälligen Anspruchssituationen zu suchen (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; Urteile 2C_1012/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 2.1 und 2C_174/2011 vom 8. November 2011 E. 2.2.2 sowie BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356). Eine solche muss vom Betroffenen in vertretbarer Weise dargetan werden, andernfalls das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintritt.
2.2 Das Departement des Innern des Kantons Solothurn hat die Bewilligung des Beschwerdeführers jeweils ohne Anerkennung einer Rechtspflicht im Rahmen von Art. 96 i.V.m. mit Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG als humanitäre Ermessensbewilligung erteilt. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern er diesbezüglich über einen Bewilligungsanspruch verfügen würde. Seine Verweise auf die Ausführungen im vorinstanzlichen Verfahren (Art. 3 EMRK) sind vor Bundesgericht unzulässig (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Soweit der Beschwerdeführer sich auf Art. 50 AuG beruft, erschöpfen sich seine Ausführungen in unzulässiger appellatorischer Kritik am für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt (Art. 105 BGG) und der Beweiswürdigung durch die Vorinstanz. Inwiefern diese dabei verfassungsmässige Rechte verletzt haben könnte, wird nicht in einer den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügenden Weise dargelegt. Hierzu genügt der Hinweis, dass sich die Eingabe beim Kanton nicht "nur" auf humanitäre Überlegungen gestützt habe bzw. unklar sei, ob die Rente "exportabel" erscheine, nicht. Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz gestützt auf den verbindlich festgestellten Sachverhalt (Fürsorgeabhängigkeit, Straffälligkeit [unter anderem auch mehrfacher Betrug bei Sozialhilfegeldern], fehlende Integration, Behandelbarkeit in der Heimat), Art. 50 AuG falsch angewendet haben könnte. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, dass er sich zu den beigezogenen Akten des Versicherungsgerichts nicht habe äussern können, legt er nicht dar, weshalb er nicht hierum ersucht hat, nachdem ihm die Vorinstanz am 14. Februar 2012 mitgeteilt hatte, dass sie diese Unterlagen beiziehen werde. Bei den nachgereichten Berichten handelt es sich unter diesen Umständen teilweise um unzulässige echte Noven (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
3. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Mit dem entsprechenden Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Da die Eingabe des Beschwerdeführers als aussichtslos zu gelten hatte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des vorliegenden Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar