Faits:
A. Ressortissant congolais né le *** 1985, X._ est arrivé en Suisse le 18 septembre 2001. Par décision du 15 janvier 2002, confirmée sur recours le 28 avril 2003, l'Office fédéral des migrations a rejeté la demande d'asile déposée par l'intéressé. Le renvoi de Suisse a été ordonné pour le 23 juin 2003.
Le *** 2004, X._ est devenu le père d'un enfant prénommé A._ dont la mère est B._, ressortissante angolaise et titulaire d'une autorisation de séjour. Le couple s'est marié le 10 novembre 2006. A la suite du mariage, X._ a sollicité une autorisation de séjour en vue du regroupement familial. Le 16 octobre 2008, le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé X._ qu'il avait l'intention de refuser de lui délivrer une autorisation de séjour au motif que sa situation financière ne lui permettait pas d'assumer l'entretien de la famille.
Le 19 novembre 2008, B._ et A._ ont obtenu la nationalité suisse. Le 27 janvier 2009, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour en vue du regroupement familial, valable jusqu'au 29 mai 2010. L'intéressé a sollicité le renouvellement de son autorisation de séjour le 9 novembre 2009.
Le 1er février 2011, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a autorisé les époux à se constituer un domicile séparé, jusqu'au 29 février 2012. La garde de l'enfant a été confiée à la mère, X._ disposant d'un droit de visite à hauteur d'un week-end sur deux. L'intéressé a par ailleurs été astreint au versement d'une pension mensuelle de 450 fr.
A teneur d'une attestation de l'Office des poursuites du 13 mai 2011, X._ faisait l'objet de poursuites à hauteur de 9'575 fr. 05 et d'actes de défaut de biens pour 27'265 fr. 90.
B. Le 8 août 2011, le Service cantonal a informé X._ de son intention de ne pas renouveler son autorisation de séjour. Par décision du 19 décembre 2011, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour aux motifs que l'intéressé vivait séparé de son épouse depuis février 2011 et qu'il n'était pas établi qu'il entretenait des relations étroites et effectives avec son fils.
Saisie d'un recours contre cette décision, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté par arrêt du 23 octobre 2012. Elle a considéré, en substance, que le recourant n'entretenait pas de liens suffisamment étroits, tant sur le plan affectif qu'économique, avec son fils pour pouvoir invoquer l'art. 8 CEDH. En outre, durant ses onze ans de présence en Suisse, l'intéressé n'avait jamais exercé d'activité lucrative. Il vivait par ailleurs de l'aide sociale. A la date du 17 novembre 2011, il avait reçu, depuis le 1er janvier 2011, un revenu d'insertion pour un montant de 17'593 fr. 05.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt rendu le 23 octobre 2012 par le Tribunal cantonal en ce sens qu'il obtienne une prolongation de son autorisation de séjour. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 8 CEDH ainsi que des art. 2, 3, 9 et 12 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107). Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et le Service cantonal renonce à se déterminer sur le recours. L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours.
Par ordonnance du 22 novembre 2012, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif déposée par l'intéressé.
Par courrier du 14 janvier 2013, X._ a produit un courrier daté du 20 décembre 2012 qu'il a adressé au Service social de Lausanne et une lettre de son épouse du 6 janvier 2013.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; cf. ATF 136 II 470 consid. 1 p. 472 et les arrêts cités).
1.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179, ATF 136 II 497 consid. 3.3 p. 501).
Le recourant invoque, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, son droit à entretenir une relation avec son fils âgé de huit ans et demi, qui a la nationalité suisse. Cette relation familiale étant potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant remplit les conditions pour obtenir une autorisation de séjour en application de l'art. 8 CEDH relève du fond et non de la recevabilité.
1.2 Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
1.3 En vertu de l'art. 99 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
Il s'ensuit que les pièces que le recourant a produites le 14 janvier 2013 (à savoir un courrier daté du 20 décembre 2012 qu'il a adressé au Service social de Lausanne et une lettre du 6 janvier 2013 écrite par son épouse) sont irrecevables. Le Tribunal de céans s'en tiendra aux faits ressortant de l'arrêt attaqué.
2. Le recourant s'est marié le 10 novembre 2006 et vit séparé de son épouse, une ressortissante suisse, au moins depuis le 1er février 2011. A juste titre, le recourant ne se prévaut plus d'un renouvellement de l'autorisation de séjour sur la base des art. 42 al. 1 et 50 al. 1 et 2 de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20). Il ne vit plus en ménage commun avec son épouse. Par ailleurs, il ne fait pas valoir une intégration réussie et n'invoque pas de raisons personnelles majeures justifiant la poursuite de son séjour en Suisse. Le recourant reproche uniquement au Tribunal cantonal d'avoir méconnu l'art. 8 CEDH, compte tenu de sa relation avec son fils. Le litige se limite ainsi au point de savoir si le recourant peut se fonder sur cette disposition pour obtenir la prolongation de son autorisation de séjour.
3. 3.1 Aux termes de l'art. 8 CEDH, toute personne a notamment droit au respect de sa vie privée et familiale. Cette disposition ne confère cependant pas un droit à séjourner dans un État déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois porter atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145; 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Pour autant, les liens familiaux ne sauraient conférer de manière absolue, en vertu de l'art. 8 CEDH, un droit d'entrée et de séjour (arrêts 2C_644/2012 du 17 août 2012 consid. 2.3; 2C_793/2011 du 22 février 2012 consid. 2.1). Selon une jurisprudence constante, un étranger peut néanmoins, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Encore faut-il, pour pouvoir invoquer cette disposition, que la relation entre l'étranger et une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse soit étroite et effective (ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287; arrêt 2C_117/2012 du 11 juin 2012 consid. 4.4.1).
3.2 L'étranger disposant d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (cf. arrêt 2C_53/2013 du 24 janvier 2013 consid. 6.1). Un droit plus étendu peut cependant exister en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique; il faut considérer qu'il existe un lien affectif particulièrement fort lorsque le droit de visite est organisé de manière large et qu'il est exercé de manière régulière, spontanée et sans encombre (arrêts 2C_235/2012 du 13 mars 2013 consid. 2.2; 2C_644/2012 du 17 août 2012 consid. 2.3). En outre, le parent qui entend se prévaloir de cette garantie doit avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (arrêts 2C_467/2012 du 25 janvier 2013 consid. 2.1.5; 2C_382/2012 du 7 décembre 2012 consid. 2.3).
3.3 En l'espèce, il est douteux que le recourant puisse se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH. Il n'est pas contesté que le recourant ne s'est jamais acquitté de la pension alimentaire due à son fils. En Suisse depuis plus de dix ans, le recourant n'a jamais véritablement cherché à s'insérer dans le monde du travail et à gagner un revenu qui lui permettrait de subvenir aux besoins de son fils. Il n'a donc noué aucun lien économique avec son enfant. L'état de fait retenu par l'instance cantonale ne permet pas non plus de conclure à un lien affectif particulièrement fort. Il ressort certes de l'arrêt attaqué que le recourant entretient des liens avec son fils. Le droit de visite du recourant fixé à un week-end sur deux par le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne ne dépasse toutefois pas la mesure ordinaire. L'instance précédente a par ailleurs retenu que le recourant avait dans un premier temps refusé de voir son fils à la suite de la séparation du couple. Certes, l'enfant du recourant, qui présente des troubles de la personnalité, fréquente une école spécialisée en Suisse. Toutefois, si ces difficultés ne sont pas à négliger, elles ne justifient à elles seules l'application de l'art. 8 par. 1 CEDH, ce d'autant plus que le recourant ne démontre pas en quoi les troubles dont souffrirait l'enfant nécessiteraient une présence continue de son père en Suisse. La question peut toutefois rester indécise, l'ingérence constituée par l'éloignement de l'intéressé s'avérant de toute façon proportionnée.
3.4 La protection découlant de l'art. 8 par. 1 CEDH n'est pas absolue. En effet, une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale est possible selon l'art. 8 par. 2 CEDH, pour autant que cette ingérence soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui. La question de savoir si, dans un cas d'espèce, les autorités de police des étrangers sont tenues d'accorder une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH doit être résolue sur la base d'une pesée de tous les intérêts privés et publics en présence (ATF 138 I 246 consid. 3.2.2 p. 252; 137 I 247 consid. 4.1.1 p. 249; 135 I 143 consid. 2.1 p. 147; 122 II 1 consid. 2 p. 6). Dans la pesée des intérêts, il faut également tenir compte de l'intérêt de l'enfant, ainsi que l'exige l'art. 3 al. 1 CDE. Cette convention implique de se demander si l'enfant a un intérêt prépondérant à maintenir des contacts réguliers avec son père. Les dispositions de la convention ne font toutefois pas de l'intérêt de l'enfant un critère exclusif, mais un élément d'appréciation dont l'autorité doit tenir compte lorsqu'il s'agit de mettre en balance les différents intérêts en présence (ATF 136 I 297 consid. 8.2 p. 308; arrêt 8C_927/2011 du 9 janvier 2013 consid. 5.2).
3.5 Le recourant se plaint du résultat de la pesée des intérêts publics et privés en présence. Il invoque l'intérêt de son fils à poursuivre la relation qu'il a avec son père. La présence du père se justifierait d'autant plus que l'enfant présente des troubles de la personnalité. Il fait valoir également qu'il a toujours eu un comportement pénalement irréprochable et qu'il n'a aucun casier judiciaire. Dans ces conditions, le fait qu'il ait bénéficié du revenu d'insertion depuis janvier 2011 ne justifierait pas, à lui seul, le refus de prolonger son autorisation de séjour.
En l'espèce, le recourant vit certes en Suisse depuis 2001, mais il n'y est pas intégré professionnellement. Depuis son arrivée en Suisse, le recourant n'a pas exercé d'activité lucrative ni acquis de formation professionnelle. Il vit grâce à l'aide sociale, si bien qu'il existe un motif de révocation au sens de l'art. 62 let. e LEtr, et fait l'objet de poursuites et actes de défaut de biens pour près de 37'000 fr. L'absence d'activité lucrative et sa situation obérée démontrent que son intégration est limitée. Par ailleurs, hormis ses relations avec son fils, il n'allègue pas avoir tissé des liens particuliers avec la Suisse. Quant aux liens avec son fils, il n'est pas démontré qu'ils étaient spécialement intenses (cf. supra consid. 3.3). Reste l'intérêt de l'enfant à maintenir des contacts réguliers avec son père. En l'occurrence, le recourant n'a pas exposé en quoi son absence serait de nature à aggraver les troubles dont souffrirait l'enfant ou à compromettre l'éducation et le développement de celui-ci en école spécialisée. Dans ces conditions, l'intérêt de l'enfant à bénéficier de la présence continue de son père n'apparaît pas déterminant au point de l'emporter sur l'intérêt public à une politique restrictive en matière de séjour des étrangers. De surcroît, le retour au Congo du recourant ne signifie pas la perte de tout lien avec son fils. Le recourant pourrait maintenir des contacts réguliers par téléphone, lettres ou messages électroniques (cf. arrêts 2C_881/2012 du 16 janvier 2013 consid. 5.5; 2C_14/2010 du 15 juin 2010 consid. 7.3).
3.6 Par conséquent, la pesée des intérêts effectuée par l'autorité intimée n'est pas critiquable. L'intérêt public à éloigner de Suisse le recourant l'emporte sur l'intérêt privé de ce dernier à pouvoir vivre en Suisse.
4. Quant aux autres dispositions de la CDE invoquées dans le recours, soit les art. 2, 9 et 12, on ne voit pas en quoi elles seraient violées, ce que le recourant ne démontre du reste nullement. Le Tribunal fédéral a, au demeurant, déjà jugé que l'on ne pouvait déduire des dispositions de la convention aucune prétention directe à l'obtention d'une autorisation de séjour (ATF 136 I 285 consid. 5.2 p. 287; 135 I 153 consid. 2.2.2 in fine p. 157; arrêts 2C_235/2012 du 13 mars 2013 consid. 2.2; 2C_48/2011 du 6 juin 2011 consid. 5).
5. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 65 et 66 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 LTF). Par ailleurs, dans la mesure où ses conclusions apparaissaient dénuées de chances de succès, le bénéfice de l'assistance judiciaire doit lui être refusé (cf. art. 64 al.1 LTF). Les frais judiciaires seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 14 mars 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor