Sachverhalt:
A. Mit Schadenmeldung UVG vom 18. Januar 2006 teilte die Firma A._ der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit, R._, welcher seit 1. Mai 2005 als Gipser/ Fassdenisoleur bei ihr tätig sei, habe sich am 26. Dezember 2005 bei einem Skiunfall eine Stauchung der Wirbelsäule zugezogen. R._ ist der Bruder des Inhabers der Firma A._. Dr. med. S._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, den R._ nach dem Unfall in der Schweiz aufgesucht hatte, diagnostizierte mit Bericht vom 27. Januar 2006 ein posttraumatisches Lumbovertebralsyndrom bei vorbestehender bekannter Diskushernie L5/S21 links und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfalldatum. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen verneinte die SUVA mit Verfügung vom 26. Mai 2008 ihre Leistungspflicht aus der obligatorischen Unfallversicherung. Zur Begründung führte sie aus, R._ sei im Unfallzeitpunkt nicht als Unselbstständigerwerbender bzw. Angestellter im Unternehmen des Bruders tätig gewesen. Es bestehe daher für das Unfallereignis keine Versicherungsdeckung bei der SUVA. Daran hielt der Versicherer auf die von R._ erhobene Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 14. Januar 2009).
B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 19. August 2009 ab.
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es seien ihm Leistungen der Unfallversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die SUVA und die Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten auch im Streit um die Versicherungsdeckung in der obligatorischen Unfallversicherung. Die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 BGG kommt hier nicht zur Anwendung, und zwar ungeachtet dessen, dass von der Frage der Versicherungsdeckung auch Geldleistungen abhängen können. Soweit die Frage der Versicherungsdeckung von Sachverhaltsfeststellungen abhängt, gilt daher die eingeschränkte Kognition (BGE 135 V 412).
2. Der Beschwerdeführer legt letztinstanzlich verschiedene neue Aktenstücke auf. Er macht geltend, der angefochtene Entscheid gebe Anlass dazu. Ob dies zutrifft und ob die neuen Beweismittel demnach im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG als zulässig betrachtet werden können, muss nicht abschliessend beantwortet worden, da sich aus diesen ohnehin keine entscheidrelevanten neuen Aufschlüsse ergeben. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
3. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen nach UVG und dabei die Frage, ob für den Unfall vom 26. Dezember 2005 bei der SUVA Versicherungsdeckung im Rahmen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die namentlich interessierenden Bestimmungen über die obligatorische Unfallversicherung der Arbeitnehmer und über den Arbeitnehmerbegriff mit der dazu ergangenen Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Erwägungen über den Untersuchungsgrundsatz und die zu beachtenden Beweisregeln.
Hervorzuheben ist, dass gemäss Art. 1a Abs. 1 UVG die in der Schweiz beschäftigten Arbeitnehmer - nebst anderen, hier nicht interessierenden Personenkategorien - obligatorisch nach dem UVG versichert sind. Als Arbeitnehmer im Sinne dieser Gesetzesbestimmung gilt nach Art. 1 UVV, wer eine unselbstständige Erwerbstätigkeit im Sinne der Bundesgesetzgebung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) ausübt. Gemäss Art. 10 ATSG gelten als Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer Personen, die in unselbstständiger Stellung Arbeit leisten und dafür Lohn nach dem jeweiligen Einzelgesetz leisten. Rechtsprechungsgemäss ist als Arbeitnehmer nach UVG zu bezeichnen, wer um des Erwerbes oder der Ausbildung willen für einen Arbeitgeber, mehr oder weniger untergeordnet, dauernd oder vorübergehend tätig ist, ohne hiebei ein eigenes wirtschaftliches Risiko tragen zu müssen. Die Arbeitnehmereigenschaft ist jeweils unter Würdigung der gesamten Umstände des Einzelfalles zu beurteilen. Entscheidend ist dabei namentlich, ob geleistete Arbeit, ein Unterordnungsverhältnis und die Vereinbarung eines Lohnanspruchs in irgendeiner Form vorliegen. Blosse Handreichungen genügen demgegenüber nicht. Wird jemand nur aus Gefälligkeit kurzfristig für einen andern tätig, ist er deswegen selbst dann nicht obligatorisch versichert, wenn er dafür in irgendeiner Form entschädigt wird. Schliesslich ist zu beachten, dass sich die Frage nach der Arbeitnehmereigenschaft regelmässig nach der äusseren Erscheinungsform wirtschaftlicher Sachverhalte und nicht nach allfällig davon abweichenden internen Vereinbarungen der Beteiligten beurteilt (BGE 115 V 55 E. 2d S. 58 f. mit Hinweisen; RKUV 2001 Nr. U 418 S. 99, U 85/00 E. 2a; vgl. auch FRÉSARD/MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2007, S. 839 Rz. 2).
4. Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer im Unfallzeitpunkt als Arbeitnehmer im Unternehmen des Bruders tätig und dadurch obligatorisch unfallversichert war. SUVA und Vorinstanz haben dies verneint. Dagegen richtet sich die Beschwerde.
4.1 Das kantonale Gericht hat in tatsächlicher Hinsicht zunächst Folgendes für die Zeit bis zum Unfall vom 26. Dezember 2006 festgestellt: Die SUVA habe dem Bruder des Beschwerdeführers am 28. Juni 2005 mitgeteilt, er gelte ab 1. Mai 2005 als selbstständiger Unternehmer ohne eingestelltes Personal. Weiter habe die SUVA darauf hingewiesen, auch eine nur vorübergehende Einstellung von Arbeitnehmern sei im voraus der SUVA und der AHV zu melden. Der Beschwerdeführer selber habe sich am 22. August 2005 als Selbstständigerwerbender im Bereich Fassadenbau bei der Ausgleichskasse Schwyz angemeldet. Dabei habe er als Datum der Betriebsaufnahme den 1. September 2005 und als letzte Arbeitgeberin die Firma E._, bei der er bis Ende April 2005 angestellt gewesen war, angegeben. Am 22. November 2005 habe der Beschwerdeführer den ausgefüllten Fragebogen für die Abklärung der Selbstständigkeit bei der SUVA eingereicht und als letzten Arbeitgeber die Firma A._ angegeben. Die SUVA habe ihm hierauf mit Schreiben vom 5. Dezember 2005 mitgeteilt, er gelte ab 1. September 2005 bei den Sozialversicherungen für seine Tätigkeit im Bereich "Gipser- und Fassadenisolationen" als Selbstständigerwerbender. Mit Schreiben vom 13. Dezember 2005 habe die Stiftung Auffangeinrichtung BVG dem Beschwerdeführer bestätigt, dass sie den Auftrag zur Auflösung seines Freizügigkeitskontos erhalten und entsprechend den Betrag von Fr. 28'492.- ausbezahlt habe. Im vorinstanzlichen Verfahren habe die Stiftung Auffangeinrichtung BVG dann klargestellt, dass die Auszahlung erfolgt sei, weil der Beschwerdeführer zu diesem Zeitpunkt Selbstständigerwerbender und weder bei einem Verband noch freiwillig für die berufliche Vorsorge versichert gewesen sei. Sodann wird im angefochtenen Entscheid ausgeführt, der Bruder habe als Arbeitgeber im November 2005 für den Beschwerdeführer bei der Pensionskasse "pro" einen Antrag zum Abschluss einer BVG-Versicherung gestellt. Zudem habe die Firma des Bruders im Dezember 2005 den Beschwerdeführer als Angestellten zum Bezug von Kinderzulagen ab 16. Mai 2005 angemeldet.
Diese Feststellungen sind unbestritten.
4.2 Weiter werden im angefochtenen Entscheid die Ergebnisse verschiedener Besprechungen von SUVA-Revisoren insbesondere mit dem Beschwerdeführer und der Firma A._ zusammenfasst und die hiebei sowie in der Folge aufgelegten Dokumente aufgeführt. Das kantonale Gericht hat sodann in Würdigung der Akten erwogen, der Nachweis, dass der Beschwerdeführer im Unfallzeitpunkt tatsächlich im Unternehmen des Bruders gearbeitet habe, sei nicht erbracht. Namentlich seien die zum Beweis einer Arbeitnehmertätigkeit eingereichten Belege (Buchhaltungsunterlagen, Abrechnung mit der AHV-Ausgleichskasse, Lohnerklärung des Bruders, Arbeitsvertrag), soweit ersichtlich erst nach dem Unfallereignis erstellt worden und vermöchten nicht den Beweis zu erbringen, dass der Beschwerdeführer im Unfallzeitpunkt tatsächlich im Unternehmen seines Bruders tätig gewesen sei. Es lägen vor allem auch keine schlüssigen Belege für erfolgte Lohnzahlungen vor.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, lässt diese Tatsachenfeststellungen und die ihr zugrunde liegende Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend im Sinne von Art. 95 BGG erscheinen.
4.2.1 Der Beschwerdeführer äussert sich zunächst zur Frage erfolgter Lohnzahlungen. Er verweist darauf, die Arbeitgeberin habe einen korrekten Lohnausweis für ihn als Arbeitnehmer ausgefüllt. Dieser Ausweis wurde indessen, wie das kantonale Gericht erkannt hat, erst nach dem Unfall vom 26. Dezember 2005 ausgestellt. Gegen seine Verlässlichkeit spricht auch, dass die Arbeitgeberin davor von der SUVA als Unternehmen ohne eingestelltes Personal betrachtet wurde, ohne dagegen Einwände erhoben zu haben. Auch aus dem aufgelegten schriftlichen Arbeitsvertrag kann nicht verlässlich abgeleitet werden, dass tatsächlich Lohnzahlungen erfolgt sind. Die Beschwerde setzt sich im Übrigen nicht mit der vorinstanzlichen Beurteilung auseinander, wonach der Arbeitsvertrag erst nach dem Unfall erstellt wurde.
Wenn das kantonale Gericht bei dieser Ausgangslage geschlossen hat, Lohnzahlungen seien nicht nachgewiesen, ist das im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden. Der Hinweis des Beschwerdeführers, die Sozialversicherungsanstalt Zürich habe am 8. Januar 2007 für ihn einen AHV-pflichtigen Lohn verfügt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Gleiches gilt für das Vorbringen, die Firma A._ habe sämtliche Finanzgeschäfte in bar abgewickelt.
Der Beschwerdeführer beruft sich überdies auf Aussagen des U._, welcher die Buchhaltung der Firma A._ geführt habe. Der Beschwerdeführer beanstandet in diesem Zusammenhang, SUVA und kantonales Gericht hätten seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie die Buchhaltungsunterlagen des U._ nicht beigezogen hätten. Wie das kantonale Gericht indessen im angefochtenen Entscheid dargelegt hat, tat die SUVA das Mögliche, um zu verlässlichen Angaben über erfolgte Lohnzahlungen zu gelangen. Eine Gehörsverletzung liegt nicht vor. Daran ändert das vom Beschwerdeführer aufgelegte Schreiben vom 7. September 2009 nichts. In diesem Schreiben bestätigt U._, er habe als Vertreter der B._ GmbH die Buchhaltung der Firma A._ geführt. Derselbe U._ hatte aber im Abklärungsverfahren der SUVA angegeben, er habe der Firma A._ lediglich beim Jahresabschluss geholfen, sei aber nicht deren Buchhaltungsstelle und verfüge nicht über weitere Unterlagen. Auch vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn von weiteren Abklärungen bei U._ abgesehen wurde.
4.2.2 Geltend gemacht wird weiter, verschiedene Auftraggeber der Firma A._ wie auch U._ bestätigten, dass der Beschwerdeführer für das Unternehmen seines Bruders tätig gewesen sei.
Entsprechende Aussagen des U._ vermöchten indessen eine solche Tätigkeit schon aufgrund des zuvor Gesagten nicht verlässlich zu belegen. Eine Grundlage hiefür kann auch nicht in den aufgelegten Bestätigungen von (Werk-)Auftraggebern der Firma A._ gesehen werden, zumal darin gar keine Tätigkeiten zum Zeitpunkt des Unfalles vom 26. Dezember 2005, für welchen Zeitpunkt die Versicherungsdeckung zu prüfen ist, erwähnt werden. Abgesehen davon ergibt sich aus den Bestätigungen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht, dass der Beschwerdeführer in einem Subordinationsverhältnis zu seinem Bruder gestanden hätte. Die Bestätigungen schliessen auch nicht aus, dass allfällige Tätigkeiten des Beschwerdeführers nur blosse Handreichungen oder Gefälligkeitsverrichtungen für das Unternehmen des Bruders darstellten oder in einem Subunternehmerverhältnis ausgeführt wurden. Festzuhalten bleibt, dass der Verzicht auf die Einvernahme der als Zeugen angerufenen Auftraggeber durch SUVA und Vorinstanz entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung in korrekter antizipierter Beweiswürdigung erfolgte und somit keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör darstellt.
4.3 Das kantonale Gericht ist in Würdigung der dargelegten tatsächlichen Gegebenheiten zum Ergebnis gelangt, der Beschwerdeführer könne im Unfallzeitpunkt nicht als Arbeitnehmer im Unternehmen des Bruders gelten. Namentlich das widersprüchliche Verhalten und das vollständige Fehlen eines Lohnnachweises stünden dem entgegen.
Diese Beurteilung beruht auf einer überzeugenden Abwägung der Gesichtspunkte, welche für und gegen eine Arbeitnehmerstellung sprechen. Was in der Beschwerde vorgetragen wird, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Die erfolgten Anmeldungen bei der Pensionskasse "pro", der AHV und für Kinderzulagen hat das kantonale Gericht berücksichtigt und sich deswegen nicht veranlasst gesehen, den Beschwerdeführer als Arbeitnehmer im Unternehmen des Bruders zu betrachten. Das ist bei der erforderlichen Gesamtbetrachtung nicht zu beanstanden. Sodann mag zwar sein, dass der Beschwerdeführer unter Mithilfe des Bruders zum Zwecke der Auszahlung des Freizügigkeitsguthabens eine selbstständige Erwerbstätigkeit vortäuschte und dies sein widersprüchliches Verhalten zumindest teilweise erklären könnte. Dass ein derartiger Missbrauch der Sozialversicherungsinstitutionen keinen Rechtsschutz verdient, muss nicht besonders betont werden. Abgesehen davon wäre mit einem solchen Täuschungshintergrund noch nicht gesagt, dass der Beschwerdeführer im massgeblichen Zeitpunkt die Voraussetzungen erfüllte, um als Arbeitnehmer im unfallversicherungsrechtlichen Sinne gelten zu können.
4.4 Der Beschwerdeführer war somit im Unfallzeitpunkt nicht Arbeitnehmer im Unternehmen des Bruders. Er war damit auch nicht über diesen Betrieb obligatorisch bei der SUVA versichert. Dass er in einer anderen Eigenschaft - ob nun als Arbeitnehmer bei einem anderen Arbeitgeber oder als freiwillig versicherter Selbstständigerwerbender - bei der SUVA unfallversichert gewesen wäre, steht nicht zur Diskussion. Beschwerdegegnerin und Vorinstanz haben somit die Versicherungsdeckung für den Unfall vom 26. Dezember 2005 bei der SUVA zu Recht verneint.
5. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz