Faits:
A. Par avis inséré au Bulletin officiel du 7 octobre 2011, la commune de Bagnes a mis à l'enquête publique des travaux d'aménagement et de réfection d'une section de 200 m du chemin des Vernes, à Verbier. Le projet prévoyait de corriger légèrement l'axe général de ce tronçon, de conférer à la chaussée une largeur uniforme de 3 m et de construire un trottoir de 1 m 20 du côté amont. Pour les autorités locales, il s'agissait également d'acquérir les portions d'ouvrage encore en mains privées.
Ce projet a suscité plusieurs oppositions, dont celle de X._, propriétaire de la parcelle 440. Ce bien-fonds de 736 m2 supporte un chalet de six appartements ("C._", dont cinq mis en location, et est traversé par la route à adapter et à exproprier (125 m2). L'opposante faisait valoir que l'emprise supplémentaire de 1 m en direction de son bâtiment allait réduire le dégagement sud et supprimer les possibilités de parcage privé existantes. Pour elle, le trottoir avait sa place en aval de la chaussée, dans le talus nord de la parcelle 441, située en contrebas: cette variante, préférable en termes de sécurité, ne lésait pas les habitants du chalet "D._", plus éloigné que le sien du chemin des Vernes.
Le 22 décembre 2011, la commune de Bagnes a transmis son dossier au département cantonal des transports, de l'équipement et de l'environnement, en requérant l'approbation du projet et la levée des oppositions. Elle rappelait notamment que les places de parc prétendument menacées étaient comprises dans l'alignement, donc uniquement tolérées à bien plaire. Signalant avoir conventionnellement acquis des propriétaires du chalet "D._" 126 m2, soit une surface de terrain comparable à celle à exproprier sur la parcelle 440, elle niait tout traitement discriminatoire à l'égard de X._. Pour le reste, la construction d'un trottoir allait améliorer la sécurité des piétons qui, jusqu'ici, ne bénéficiaient pas d'un tel aménagement.
B. Le 1er février 2012, le Conseil d'Etat du canton du Valais a approuvé les plans d'exécution, déclaré les travaux d'intérêt public, moyennant diverses charges, et rejeté les oppositions.
Par arrêt du 19 juillet 2012, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de X._. Les juges cantonaux ont considéré en substance que les travaux contestés étaient justifiés par un intérêt public et respectaient le principe de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 19 juillet 2012 et de renvoyer le dossier au Tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, elle demande au Tribunal fédéral de statuer sur la cause après avoir procédé à une inspection locale et réalisé une expertise tendant à définir les intérêts privés et publics lésés en cas d'aménagement en amont et en aval de la route actuelle.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Conseil d'Etat confirme sa décision du 1er février 2012 et conclut au rejet du recours. La commune de Bagnes se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 18 septembre 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif de la recourante.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue, en dernière instance cantonale, dans une cause de droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF, sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est ouverte (art. 82 à 89 LTF).
En tant que propriétaire d'une parcelle sur laquelle les travaux d'aménagement litigieux devront empiéter, la recourante a manifestement qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF: elle a pris part à la procédure devant la cour cantonale, est particulièrement atteinte par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à son annulation.
2. A titre de moyens de preuve, la recourante requiert l'édition de l'ensemble du dossier par le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal. Ces pièces ont été versées par les autorités concernées, dans le délai qui leur a été imparti pour se déterminer (cf. art. 102 al. 1 et 2 LTF), si bien que la requête de la recourante est satisfaite sur ce point.
La recourante sollicite également l'édition de l'accord passé en 2006 entre la commune de Bagnes et la copropriété du chalet "D._", l'interrogatoire des parties, la tenue d'une inspection locale ainsi qu'une expertise. Il n'y a pas lieu de donner suite à ces diverses requêtes, le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné pour statuer en l'état du dossier.
3. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante dénonce une violation de son droit d'être entendue. Elle reproche au Tribunal cantonal d'avoir refusé d'ordonner l'examen d'une autre variante, par le biais d'une expertise, d'avoir renoncé à tenir une inspection locale et à demander l'édition de la convention passée entre la commune de Bagnes et les copropriétaires de la résidence "D._".
3.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16; 124 I 49 consid. 3a p. 51). Le juge peut cependant renoncer à l'administration de certaines preuves, notamment lorsque les faits dont les parties veulent rapporter l'authenticité ne sont pas importants pour la solution du litige. Ce refus d'instruire ne viole leur droit d'être entendues que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a ainsi procédé, est entachée d'arbitraire (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157 et les arrêts cités; sur la notion d'arbitraire, voir ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
3.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal a considéré qu'il n'était pas utile de donner suite aux offres de preuve de la recourante. Le dossier comprenait des plans et des photographies qui permettaient de se faire une idée suffisante des lieux, sans devoir procéder à un transport sur place. Il convenait par ailleurs de rejeter la "vague suggestion" de procéder à une expertise, dont on ignorait sur quoi elle devait porter. Quant aux modalités d'acquisition des 126 m2 de la parcelle 441 par la commune de Bagnes, elles n'étaient pas de nature à influencer la légalité de la décision attaquée, si bien qu'il n'y avait pas lieu de requérir l'édition de la convention y relative.
La recourante fait valoir qu'une expertise aurait pu permettre une pesée concrète des intérêts privés en cause et, ainsi, aboutir à la conclusion que la "variante sud" préservait mieux les intérêts privés des riverains du secteur. Une inspection des lieux était au demeurant de nature à influer sur le jugement à rendre, puisqu'il s'agissait de constater les "problèmes de visibilité" des résidents du chalet "C._" mais aussi des piétons et des automobilistes. Enfin, la signature d'une convention entre la commune et la résidence "D._" tendait à établir que la commune de Bagnes n'avait pas respecté les règles de la bonne foi à son égard. Ce faisant, la recourante discute la motivation des juges cantonaux de façon purement appellatoire. Elle ne démontre toutefois pas que l'appréciation anticipée des preuves par le Tribunal cantonal serait entachée d'arbitraire, ce qui n'apparaît pas être le cas. La cour cantonale pouvait dès lors, sans violer le droit d'être entendue de la recourante, renoncer à administrer les preuves requises.
3.3 Le grief de la recourante tiré d'une constatation inexacte des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves n'a pas de portée propre par rapport à celui relatif à son droit d'être entendue, dans la mesure où elle développe la même motivation à l'appui des deux griefs. Ses critiques doivent ainsi également être rejetées sous cet angle et le Tribunal fédéral est par conséquent lié par les faits retenus dans l'arrêt attaqué, conformément à l'art. 105 al. 1 LTF.
4. Au fond, la recourante se plaint d'une violation de son droit de propriété. Elle allègue que les restrictions prévues à l'art. 36 Cst. ne sont pas respectées dans le cas particulier.
En vertu de l'art. 36 Cst., toute restriction d'un droit fondamental doit être fondée sur une base légale (al. 1), justifiée par un intérêt public (al. 2) et proportionnée au but visé (al. 3).
4.1 La recourante se prévaut en vain d'un défaut de base légale. Comme elle l'a elle-même évoqué dans son recours au Tribunal cantonal du 6 mars 2012, l'art. 52 de la loi cantonale du 3 septembre 1965 sur les routes (RS/VS 725.1; ci-après: LR) prévoit en effet que l'approbation des plans routiers confère le droit d'exproprier tous les droits réels immobiliers et les droits résultant des dispositions sur la propriété foncière en matière de rapport de voisinage, de même que les droits personnels des locataires ou des fermiers des immeubles à exproprier.
Reprochant au Tribunal cantonal de n'avoir pas tenu compte de l'art. 45 du règlement communal des constructions de Bagnes (ci-après: le RCC), la recourante se plaint en réalité d'une application arbitraire du droit communal, grief qui sera examiné au consid. 5 ci-après.
4.2 La recourante ne nie pas l'intérêt public du projet litigieux, lequel vise à améliorer le réseau routier ainsi que la sécurité du trafic et des utilisateurs. Elle allègue en revanche que le projet communal serait dangereux. A l'appui de cette affirmation, elle explique que le fait d'agrandir la route côté amont, vers son chalet, restreindrait considérablement la visibilité des utilisateurs du chalet, dont les manoeuvres seraient davantage masquées par le contour et le mur de soutènement côté sud-ouest de la parcelle. La réduction de la surface de la parcelle impliquerait aussi que les voitures voulant accéder au chalet "C._" devront attendre que la porte du garage s'ouvre en restant en partie sur la voie publique et sur le trottoir, ce qui rend la situation d'autant plus dangereuse. L'aménagement du trottoir côté amont, soit à l'intérieur de la courbe du virage, restreindrait également la visibilité des piétons sur le trafic et des conducteurs sur les piétons. Ces arguments ne convainquent pas. On ne voit en effet pas comment l'aménagement du trottoir pourrait péjorer la position des piétons, qui, jusqu'ici, ne disposaient d'aucun espace propre. Ensuite, comme l'a indiqué la commune de Bagnes dans ses déterminations au Tribunal cantonal du 17 avril 2012, sans être contredite ultérieurement par la recourante sur ce point, le projet respecte les normes VSS SN 640100a et 640090b concernant le rayon minimal en courbe pour une route de desserte réglementée à 30 km/h et la distance de visibilité d'arrêt. Dans ces conditions, la recourante tente vainement de démontrer que le projet rendrait la situation plus dangereuse qu'actuellement.
L'intéressée reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas étudié les autres intérêts publics qu'elle avait invoqués (lits chauds liés à la location, volume du trafic et ses conséquences, nuisances sonores et pollution). L'arrêt attaqué fait remarquer, à bon droit, qu'il est douteux que la suppression des cinq places de parc alléguée puisse augmenter de manière perceptible le volume du trafic automobile de la station ou appauvrir de manière problématique son offre locative touristique. Quoi qu'il en soit, il apparaît que la cour cantonale n'avait pas à se pencher plus avant sur ces questions, lesquelles n'ont pas de lien direct avec l'objet du litige - qui consiste à examiner la légalité de l'aménagement et de la réfection du chemin des Vernes -. Enfin, les critiques de la recourante relatives à la suppression des places de stationnement sur sa parcelle seront examinées au consid. 5 ci-après.
4.3 Invoquant le principe de la proportionnalité, la recourante discute la pesée des intérêts effectuée par le Tribunal cantonal. A son avis, ses intérêts économiques ont été minimisés, voire niés. Elle fait valoir que la suppression des cinq places de parc sur sa parcelle pourrait avoir un impact négatif sur la location des appartements de son chalet. Par ailleurs, d'autres solutions auraient dû être examinées, notamment la construction d'un trottoir en aval de la route. En omettant d'ordonner une expertise pour analyser plusieurs variantes, les juges ne pouvaient procéder à une pesée complète des intérêts en cause et ont ainsi violé le principe de la proportionnalité.
En l'espèce, l'arrêt attaqué a admis que la recourante subissait des inconvénients essentiellement financiers, découlant de l'emprise supplémentaire de la chaussée sur sa parcelle. Ceux-ci seraient toutefois compensés au moyen d'une indemnité à fixer ultérieurement, conformément aux règles en matière d'expropriation. De plus, il convient de relever que l'impact du projet sur la location des appartements du chalet de l'intéressée est purement hypothétique, voire peu vraisemblable, et ne saurait être pris en considération. Quoi qu'il en soit, avec les juges cantonaux, on constate que les intérêts privés de la recourante à conserver l'intégralité de la surface de parking à sa disposition ne sont pas prépondérants face au but d'intérêt public auquel répond l'ouvrage communal contesté. Par ailleurs, le Tribunal cantonal a relativisé l'intensité du préjudice que représentait la suppression de cinq places de parc privées: celles-ci étant comprises dans l'alignement, la recourante devait compter avec un élargissement de la route susceptible d'avoir cette conséquence.
Au demeurant, c'est à tort que la recourante soutient que les autorités n'ont pas examiné d'autres solutions. En effet, dans sa décision d'approbation du 1er février 2012, le Conseil d'Etat a indiqué que pour des raisons de géométrie routière et de parcellaire communal, il n'était pas possible de déplacer plus au sud le tracé, faute de compromettre le bon usage de la nouvelle route et de compliquer encore plus les emprises sur les parcelles voisines. Et le Tribunal cantonal a précisé que l'option préconisée par la recourante, soit d'implanter le trottoir de l'autre côté de la route, nécessitait d'augmenter la pente des talus situés à l'aval de la route et d'y construire des ouvrages de soutènement. Il apparaît ainsi que les autorités précédentes ont procédé à une appréciation complète et approfondie des intérêts en présence, qui ne prête pas le flanc à la critique.
4.4 Il résulte de ce qui précède que le projet litigieux respecte le principe de la proportionnalité et ne consacre pas de violation de la garantie de la propriété. Mal fondé, le recours doit être rejeté sur ce point.
5. Selon la recourante, le Tribunal cantonal a appliqué l'art. 45 RCC de façon arbitraire. Cette disposition prévoit que chaque propriétaire est tenu d'aménager sur son terrain un nombre de places de stationnement ou garages suffisant pour assurer, en toutes saisons, le parcage de ses propres véhicules et de ceux de ses clients ou visiteurs, soit une place par 80 m2 de surface de plancher de logement, mais au minimum une place par logement.
5.1 Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351 s.; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254 et les références). Le recourant doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. En outre, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
5.2 En l'espèce, la cour cantonale a retenu que l'intérêt à une stricte application de l'art. 45 RCC ne pouvait à l'évidence s'imposer au détriment des améliorations qu'apportera le projet litigieux et de la plus-value qu'il conférera au quartier. Au demeurant, du fait que les places concernées étaient toutes comprises dans l'alignement, leur statut était précaire (cf. art. 48 let. b RCC) et il était douteux qu'elles puissent être valablement prises en considération (cf. art. 215 al. 1 LR). Les juges cantonaux ont aussi émis des doutes quant au fait que la suppression alléguée de cinq places de parc puisse aggraver significativement le déficit d'aires de stationnement auquel Verbier serait confronté, augmenter de manière perceptible le volume du trafic automobile de cette station ou appauvrir de façon problématique son offre locative touristique.
La recourante n'explique pas en quoi cette motivation serait arbitraire. Elle se contente de rappeler que son chalet comporte six appartements, que le nombre de places minimum à disposition s'élève à six et que cinq places disparaîtront avec le projet litigieux. Or, elle semble oublier que ces cinq places, vouées à disparaître, ont un statut précaire; ainsi, même sans le projet communal, il est douteux que son chalet comporte actuellement un nombre de places de stationnement suffisant au sens de l'art. 45 RCC. En toute hypothèse, même s'il existe un but d'intérêt public à ce que les habitants des chalets trouvent une place de parc, il n'est pas insoutenable de considérer, dans le cas particulier, que celui-ci doit céder le pas face à l'intérêt public prépondérant poursuivi par le projet (amélioration du réseau routier et sécurité du trafic automobile et des piétons). Dans ces conditions, la solution retenue par le Tribunal cantonal échappe à l'arbitraire. Mal fondé, le grief de la recourante doit être rejeté.
6. La recourante estime être victime d'une inégalité de traitement. Elle compare sa situation à celle du chalet "D._". Selon les plans déposés, la nouvelle route sera un demi-mètre plus éloignée du chalet "D._" alors qu'elle se rapprochera de plus d'un mètre en direction de son chalet. Il serait incompréhensible de "prendre du terrain" en amont, au détriment de places de parc, alors que la commune pourrait bénéficier d'un espace plus conséquent du côté du chalet "D._", la parcelle étant inexploitée à cet endroit. Le nombre de m2 sera certes sensiblement le même pour les deux parcelles, mais la surface de la parcelle 441 (1'653 m2) est plus de deux fois plus grande que la parcelle 440 (762 m2). La commune aurait dès lors clairement dû opter pour un agrandissement de la route en aval de celle-ci, du côté du chalet "D._".
Comme il a été vu au consid. 4.3 ci-dessus, un emplacement du trottoir en aval de la route, certes techniquement possible, entraînerait des inconvénients, des complications et des coûts supplémentaires. Il ne saurait dès lors y avoir d'inégalité de traitement en présence de situations différentes. A cela s'ajoute que, comme déjà constaté, le projet litigieux repose sur une saine évaluation des circonstances locales et sur une correcte pondération des intérêts en jeux, si bien que, malgré les doléances de la recourante, on ne décèle pas une quelconque manoeuvre discriminatoire dans le choix opéré par la commune.
7. Dans un dernier grief, la recourante reproche à la commune de Bagnes de n'avoir pas respecté les règles de la bonne foi à son égard. Elle allègue qu'en 2004, la commune lui avait indiqué qu'il n'était pas possible de signer des conventions avec chacun des riverains et qu'une expropriation conventionnelle n'était dès lors possible qu'avec l'accord de tous les riverains. Or, en 2006, la commune a signé une convention avec la résidence "D._", puis a affirmé à la recourante qu'une variante sud n'était plus possible vu les accords privés qui venaient d'être signés. La recourante indique avoir ressenti ces faits comme une véritable trahison, ce d'autant que l'administratrice du chalet "D._" avait également agi en tant que responsable communale dans ce contexte.
Ancré à l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi confère à l'administré, à certaines conditions, le droit d'exiger des autorités qu'elles se conforment aux promesses ou assurances précises qu'elles lui ont faites lorsque, sur la foi de celles-ci, il a pris des dispositions sur lesquelles il ne peut pas revenir sans subir de préjudice (cf. ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 s.; 129 I 161 consid. 4.1 p. 170; 128 II 112 consid. 10b/aa p. 125).
En l'occurrence, l'attitude prêtée à la commune et le contexte dans lequel aurait été signée la convention avec la résidence "D._", constituent des éléments susceptibles d'expliquer le sentiment de la recourante. Quoi qu'il en soit, même si ces faits étaient avérés et que le comportement des autorités locales n'était pas exempt de tout reproche, il n'en demeure pas moins que la recourante n'indique pas avoir pris des dispositions préjudiciables sur la base d'une promesse que lui aurait faite la commune, au sens de la jurisprudence susmentionnée. Son grief doit dès lors être écarté.
8. Il résulte de ce qui précède que le recours, entièrement mal fondé, doit être rejeté aux frais de la recourante qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Commune de Bagnes, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 27 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Merkli
La Greffière: Mabillard