Sachverhalt:
A. X._ wurde 1977 geboren und stammt aus Kamerun. Während eines Aufenthalts in der Schweiz im Frühling 1996 lernte sie den Schweizer Bürger Y._ (geboren 1945) kennen. Einige Tage nachdem X._ erneut in die Schweiz gereist war, heirateten die beiden am 11. März 1998. In der Folge erhielt sie eine Aufenthaltsbewilligung.
Am 5. November 2002 stellte X._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Einbürgerungsverfahren unterzeichneten sie und ihr Ehemann am 9. September 2003 eine Erklärung, wonach sie in stabiler ehelicher Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt habe oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Am 30. September 2003 wurde X._ das Schweizer Bürgerrecht verliehen.
Am 30. April 2004 verfassten die Ehegatten ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Mit Urteil vom 4. August 2004 wurden sie vom Kreisgericht St. Gallen geschieden. Der Ehemann verstarb am 15. Januar 2006 an einer schweren Krankheit.
Mit Schreiben vom 15. Juli 2005 orientierte das Bundesamt für Migration (BFM) X._ über die Eröffnung eines Verfahrens auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung nach Art. 41 des Bürgerrechtsgesetzes vom 29. September 1952 (BüG; SR 141.0). X._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme. Mit Verfügung vom 28. August 2007 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung für nichtig. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 8. März 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 12. April 2010 beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben.
Das BFM und das Bundesverwaltungsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 BüG, somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Die Beschwerdeführerin hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist beschwerdelegitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Voraussetzungen der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung nach Art. 41 Abs. 1 BüG seien nicht erfüllt. Sie rügt zudem eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV, weil das Bundesverwaltungsgericht eine Einvernahme der Kinder des geschiedenen Ehemanns aus einer ersten Ehe und dessen damaliger Ehefrau abgelehnt hat.
2.2 Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern eine tatsächliche Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist. Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern.
Nach Art. 41 Abs. 1 BüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt für Migration mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 135 II 161 E. 2 S. 164 f. mit Hinweisen).
2.3 In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (Art. 12 VwVG). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig.
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung. Da sie keine Umkehrung der Beweislast bewirkt, muss der Betroffene nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, liegt deshalb bei der Verwaltung.
Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene somit nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, dass er einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (BGE 135 II 161 E. 3 S. 165 f. mit Hinweisen).
2.4 Zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Einbürgerung einen intakten Ehewillen besass und ob sie auf das Fortbestehen einer stabilen ehelichen Gemeinschaft vertrauen durfte. Da die Ehegatten bereits am 30. April 2004 ein gemeinsames Scheidungsbegehren unterzeichneten (d.h. lediglich sieben Monate nach der Einbürgerung), geht das Bundesverwaltungsgericht richtigerweise von der Vermutung aus, dass dies nicht zutraf.
2.5 Die Beschwerdeführerin argumentiert, bei der Eheschliessung habe das Aufenthaltsrecht keine Rolle gespielt. Es sei eine Heirat aus Liebe gewesen. In der Ehe sei der beidseitige Kinderwunsch im Vordergrund gestanden. Leider sei ihr Ehemann an Prostatakrebs erkrankt und dadurch zeugungsunfähig geworden. Dabei sei zu berücksichtigen, dass er im Zeitpunkt des Unterschreibens der gemeinsamen Erklärung am 9. September 2003 noch keine genaue Diagnose hatte und mögliche Nebenfolgen der Krankheit noch nicht kannte. Erst nach langem Zögern habe er sie überhaupt mit diesen Tatsachen konfrontiert. Nach gemeinsamen Gesprächen seien sie zum Entschluss gekommen, dass eine Scheidung das Beste für beide Parteien sei. So habe sie als Ehefrau die Aussicht gehabt, ihren Familien- und Kinderwunsch mit einem anderen Partner zu erfüllen. Sie sei ihrem Ehegatten jedoch auch nach der Scheidung treu geblieben und habe ihn gepflegt und unterstützt, bis er schliesslich gestorben sei. Wäre sie tatsächlich eine "eiskalte und berechnende Person", so hätte sie dies nicht getan. Auch hätte sie sich diesfalls nicht scheiden lassen, da ihr ein grösseres Erbe in Aussicht gestanden war. Sie habe sich jedoch nicht späteren Vorwürfen der Erberschleichung aussetzen wollen und deshalb in die Scheidung eingewilligt. Der Vorschlag dazu sei von ihrem damaligen Ehemann ausgegangen, der es ihr habe ermöglichen wollen, mit einem anderen Partner Kinder zu haben.
2.6 Das Bundesverwaltungsgericht hält die Darstellung der Ereignisse durch die Beschwerdeführerin für nicht überzeugend. Zwar könne eine intakte eheliche Beziehung durch einen unerfüllten Kinderwunsch destabilisiert werden. Dabei handle es sich aber um einen Prozess, der eine gewisse Zeit in Anspruch nehme. Zwischen dem Zeitpunkt, als die Beschwerdeführerin von der Zeugungsunfähigkeit ihres Ehemanns erfuhr und dem Scheidungsentschluss seien nur einige wenige Tage vergangen. Hinzu komme, dass es nicht nur um die Zeugungsunfähigkeit gegangen sei. Der Ehemann habe an einer lebensbedrohlichen Krankheit gelitten, an der er 21 Monate später gestorben sei. Es wäre zu erwarten gewesen, dass in einer solchen Situation der eheliche Beistand völlig in den Vordergrund trete. Die Beschwerdeführerin sei zudem im April 2004 gerade einmal 26 1⁄2 Jahre alt gewesen. Für die Erfüllung des Kinderwunsches hätte noch lange Zeit bestanden. Zudem habe der Ehemann offenbar sehr wohl gewusst, dass ihm nur noch eine kurze Lebensspanne verblieb. Inwieweit unter diesen Umständen der Familien- und Kinderwunsch der Beschwerdeführerin gefährdet und ihre Zukunft verbaut worden wäre, hätten die Ehegatten an der Ehe festgehalten, könne nicht nachvollzogen werden. Auch in Bezug auf die Frage der Erbberechtigung ergäben die Erklärungen der Beschwerdeführerin keinen Sinn.
2.7 Die vorinstanzlichen Erwägungen sind überzeugend. Nach den Ausführungen der Beschwerdeführerin war es nicht eigentlich die Erkrankung ihres Ehemanns, sondern die damit verbundene Zeugungsunfähigkeit, welche zum Scheitern der Ehe führte. Zwar kann, wie dies das Bundesverwaltungsgericht richtigerweise einräumte, ein unerfüllter Kinderwunsch eine intakte Ehe beeinträchtigen. Dass das sonst glückliche Ehepaar jedoch innert weniger Tage nachdem die Beschwerdeführerin von der Zeugungsunfähigkeit ihres Gatten erfuhr, sich deswegen zu einer Scheidung entschloss und auch gleich ein gemeinsames Scheidungsbegehren unterzeichnete, erscheint nicht glaubhaft. Hinzu kommt, dass spätestens zu diesem Zeitpunkt die Eheleute nach den unbestrittenen Ausführungen im angefochtenen Entscheid auch nicht mehr an derselben Adresse lebten. Es ist nicht einsichtig, weshalb sie sich in der ausgesprochen schwierigen persönlichen Situation zu einer derartigen Hast veranlasst gesehen haben. Die Beschwerdeführerin hat dies auch in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nicht überzeugend zu erklären vermocht. Insgesamt hat sie deshalb auch nicht in plausibler Weise dargelegt, dass die Zeugungsunfähigkeit als ausserordentliches, nach der erleichterten Einbürgerung eingetretenes Ereignis zum raschen Scheitern der Ehe geführt hat.
2.8 Vor diesem Hintergrund ist auch nicht zu beanstanden, dass das Bundesverwaltungsgericht von einer Einvernahme der Kinder des geschiedenen Ehemanns aus einer ersten Ehe und dessen damaliger Ehefrau absah. Der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) abgeleitete Anspruch auf Abnahme rechtserheblicher Beweise ist nicht absolut. Es liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen). Es ist nicht willkürlich anzunehmen, die beantragte Einvernahme würde am dargelegten Ergebnis nichts ändern. Die Beschwerdeführerin sagt denn auch nicht, was sie damit konkret aufzeigen will. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist unter diesen Umständen zu verneinen.
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold