Sachverhalt:
A. Z._ bezog von Juni 2001 bis Februar 2002 eine halbe Invalidenrente und seit März 2002 eine Viertelsrente (respektive, wegen wirtschaftlichen Härtefalls, bis Ende 2003 eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 46 Prozent). Die IV-Stelle des Kantons Zürich erliess am 25. September 2008 eine Verfügung, in welcher sie einen Antrag von Z._ auf Erhöhung der Invalidenrente ablehnte; der Invaliditätsgrad betrage 48 Prozent. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hob diese Verfügung am 30. Juni 2009 auf. Nach weiteren medizinischen Abklärungen stellte die IV-Stelle fest, mit Wirkung ab Dezember 2011 bestehe (bei einem Invaliditätsgrad von nur noch 38 Prozent) kein Rentenanspruch mehr (Verfügung vom 5. Oktober 2011).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die gegen die Verfügung vom 5. Oktober 2011 erhobene Beschwerde teilweise gut und stellte fest, Z._ habe ab Dezember 2011 weiterhin Anspruch auf eine Viertelsrente. Es überband die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte, nahm den dem Beschwerdeführer auferlegten Teil indes zufolge Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung einstweilen auf die Gerichtskasse. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, dem Beschwerdeführer eine um die Hälfte gekürzte Parteientschädigung von Fr. 1'100.- zu bezahlen (Entscheid vom 15. Oktober 2012).
C. Z._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei in Abänderung des angefochtenen Entscheids zu verpflichten, ihm eine ungekürzte Parteientschädigung von Fr. 2'200.- zu bezahlen. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung.
Erwägungen:
1. Strittig und zu prüfen ist, ob die vorinstanzliche Bemessung der Parteientschädigung bundesrechtskonform ist (vgl. Art. 95 lit. a BGG).
Nach Art. 61 lit. g ATSG hat die obsiegende beschwerdeführende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Nach dieser Bestimmung bemisst das Versicherungsgericht die Parteientschädigung ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses. Dabei handelt es sich um einen Ermessensentscheid, welcher dem Mass des Obsiegens und dem (Zeit-)Aufwand der Parteivertretung Rechnung trägt (vgl. auch § 34 Abs. 3 des Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich [GSVG; LS 212.81]; § 7 Abs. 2 der Verordnung vom 12. April 2011 über die Gebühren, Kosten und Entschädigungen vor dem Sozialversicherungsgericht [GebV SVGer; LS 212.812]; Georg Wilhelm, in: Zünd/Pfiffner Rauber [Hrsg.], Kommentar zum Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, 2. Aufl. 2009, N 8 zu § 34 GSVG).
2. Der Versicherte erhob vor kantonalem Gericht Beschwerde gegen eine Verwaltungsverfügung, mit welcher die bisher ausgerichtete Viertelsrente mit Wirkung ab Dezember 2011 aufgehoben worden war. Dabei machte der Versicherte eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend; er beantragte, es sei ihm mit Wirkung ab September 2007 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Die Vorinstanz hiess das Rechtsmittel teilweise gut. Da die medizinischen Akten nach der Erkenntnis des Gerichts weder eine Verschlechterung noch eine Verbesserung des Gesundheitszustandes auswiesen, blieb es beim Anspruch auf eine Viertelsrente. Im Kostenentscheid folgerte die Vorinstanz, die vom Versicherten anbegehrte Rentenerhöhung habe einen nicht unwesentlichen Mehraufwand verursacht, so dass die Parteientschädigung (gegenüber der Honorarnote) zu halbieren sei.
3. Nach der Rechtsprechung ist bei bloss teilweisem Obsiegen nur dann eine ungekürzte Parteientschädigung zuzusprechen, wenn die versicherte Person im Grundsatz obsiegt und lediglich im Masslichen (teilweise) unterliegt. In Streitigkeiten um die Höhe einer Invalidenrente trifft dies zu, wenn nicht die beantragte ganze oder höhere Rente, sondern eine geringere Teilrente zugesprochen wird (SVR 2011 IV Nr. 38 S. 112, 9C_580/2010 E. 4.1). Dahinter steht die Überlegung, dass eine "Überklagung" eine Reduktion der Parteientschädigung nicht rechtfertigt, soweit das Rechtsbegehren keinen Einfluss auf den Prozessaufwand ausübt (BGE 117 V 401 E. 2c S. 407; Wilhelm, a.a.O.). Unter diesem Gesichtspunkt ist die vorliegende Konstellation nicht mit einer bloss quantitativen Abweichung im Rahmen eines prinzipiellen Obsiegens (z.B. erstmalige Zusprechung einer halben anstelle der beantragten ganzen Rente) vergleichbar, wo das effektiv Erhaltene grundsätzlich denselben Aufwand bedingt hätte wie das Beantragte. Die Verschiedenheit der Fragestellung erhellt schon darin, dass die materielle Beweislast für die Aberkennung der bisherigen Viertelsrente bei der Verwaltung liegt (vgl. SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 vom 29. August 2011 E. 3.1), diejenige für den geltend gemachten Anspruch auf neu eine halbe Rente hingegen bei der versicherten Person. Eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend zu machen verursacht einen grösseren Substantiierungs- und Begründungsaufwand, als er bloss zur Darlegung einer fehlenden Verbesserung nötig gewesen wäre. Der (vor kantonalem Gericht abgewehrte) Wegfall des Rentenanspruchs unterscheidet sich insofern qualitativ von der beantragten Rentenerhöhung. Die hälftige Kürzung der Parteientschädigung nach vorinstanzlichem Ermessen verletzt daher kein Bundesrecht.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin von Aesch Kamer vom Rechtsdienst Integration Handicap als Rechtsbeiständin beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin von Aesch Kamer wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Januar 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub