Sachverhalt:
A. Die serbische Staatsangehörige X._ und ihre beiden Kinder Y._ und Z._ waren im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung, welche letztmals bis zum 12. März 2008 verlängert worden war. Mit Verfügung vom 20. November 2009 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern eine weitere Verlängerung unter Hinweis auf die Fürsorgeabhängigkeit der Gesuchsteller ab.
B. Hiergegen erhob Rechtsanwalt A._ namens von X._, Y._ und Z._ am letzten Tag der Rechtsmittelfrist Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (JSD). Nebst Anträgen zur Sache ersuchten die Beschwerdeführer auch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beigabe von Rechtsanwalt A._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Zudem beantragten sie, es sei dem Rechtsvertreter die Gelegenheit zur Akteneinsicht und danach zur Beschwerdeergänzung einzuräumen.
In der Folge verlangte der Rechtsvertreter anlässlich verschiedener Eingaben an das JSD, dass das Gesuch betreffend die unentgeltliche Rechtspflege vorab zu entscheiden sei; bis zu diesem Entscheid dürfe er nicht zu weiteren kostenverursachenden Arbeiten, insbesondere zum Studium der zwischenzeitlich zur Einsicht zugestellten Akten, angehalten werden. Auf diesem Standpunkt beharrte der Rechtsvertreter auch, als ihm das JSD mit Schreiben vom 23. Februar 2010, unter nochmaliger Zustellung der Akten, eine weitere Gelegenheit zur Wahrnehmung des rechtlichen Gehörs gewährte und darauf hinwies, dass die Sache und insbesondere auch der Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege spruchreif seien.
Mit Entscheid vom 15. Juni 2010 wies das JSD die Beschwerde und zufolge Aussichtslosigkeit auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
C. Gegen den Entscheid des JSD erhoben X._, Y._ und Z._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Sie rügten im Wesentlichen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör und unentgeltliche Rechtspflege, zumal das JSD über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung nicht vorab entschieden habe. Mit Urteil vom 1. Dezember 2010 wies das Verwaltungsgericht sowohl die Beschwerde als auch das von X._, Y._ und Z._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im verwaltungsgerichtlichen Verfahren ab.
D. Mit Eingabe vom 24. Januar 2011 führen X._, Y._ und Z._ subsidiäre Verwaltungsbeschwerde (recte: subsidiäre Verfassungsbeschwerde) beim Bundesgericht und stellen die folgenden Anträge:
"1. Der Entscheid der Vorinstanzen 1 und 2 sei aufzuheben.
2. Die Sache sei zur Neubeurteilung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung durch den Kanton Luzern an eine unbefangene Departementsbehörde zurückzuweisen und anschliessend durch eine unbefangene Gerichtsinstanz zu überprüfen.
3. Den Beschwerdeführern 1-3 sei nachträglich für die kantonalen Beschwerdeverfahren die vollumfängliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung der unentgeltlichen Rechtspflege durch den Kanton Luzern an eine unbefangene Departementsbehörde zurückzuweisen und anschliessend durch eine unbefangene Gerichtsinstanz zu überprüfen.
4. Den Beschwerdeführern 1-3 sei für das bundesgerichtliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihnen der Unterzeichnende als Rechtsbeistand beizugeben.
5. Der vorliegenden Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu erteilen, dass die Beschwerdeführer bis zum Entscheid über eine allfällige Rückweisung in der Schweiz bleiben und hier weiterhin arbeiten bzw. zur Schule gehen können.
6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen in sämtlichen Beschwerdeverfahren (Kanton und Bund) zu Lasten des Kantons Luzern."
E. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das JSD und das Amt für Migration des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen.
F. Mit Verfügung vom 31. Januar 2011 hiess das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gut und ernannte Rechtsanwalt A._ zum unentgeltlichen Rechtsbeistand.
G. Mit Verfügung vom 7. Februar 2011 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1. 1.1 Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass die Beschwerdeführer weder aus Bundes- noch aus Völkerrecht einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung haben, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ausgeschlossen ist, was sich auch auf die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung erstreckt (Grundsatz der Einheit des Verfahrens). Das von den Beschwerdeführern ergriffene Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG fällt dagegen in Betracht, da es sich beim angefochtenen Urteil um den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz handelt. Zwar haben die Beschwerdeführer zufolge des fehlenden Anspruchs auf eine Bewilligungserteilung grundsätzlich auch kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (vgl. Art. 115 lit. b BGG). Indes ist es selbst bei fehlender Legitimation in der Sache statthaft, mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198). Im vorliegenden Fall werden ausschliesslich solche Rügen erhoben, weswegen sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässig erweist. Auf das im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel ist somit einzutreten.
1.2 Mit einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 116 BGG), wobei hierfür das sog. Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 i.V. mit Art. 117 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Dieses verlangt, dass die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe dartun, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden seien; das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenüglich vorgebrachte, klar erhobene und - soweit möglich - belegte Rügen (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.3 Vor Bundesgericht stellen die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer nebst den Begehren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen und bundesgerichtlichen Verfahren nur den Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Rückweisung der Angelegenheit zur Neubeurteilung der streitigen Bewilligungsverlängerung. Sie stellen aber nicht - auch nicht im Sinne eines Eventualantrags - das Begehren auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer beanstanden, dass im Beschwerdeverfahren vor dem JSD nicht vorgängig über ihr Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung entschieden worden sei. Sie machen geltend, dass eine Beschwerdeinstanz zuerst über ein solches Gesuch befinden müsse und der Anwalt eine vollumfänglich materiell begründete Beschwerde zu einem späteren Zeitpunkt einreichen könne. Andernfalls würde das Recht auf unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung sowie der Anspruch auf eine wirksame Beschwerdemöglichkeit für unbemittelte Personen vereitelt, da sich kein Anwalt bereit erklären würde, ein volles Verfahren zu durchlaufen, wenn er keine Klarheit über die Kostengutsprache habe. Im vorliegenden Fall habe das Vorgehen der kantonalen Behörden insbesondere dazu geführt, dass sie, die Beschwerdeführer, bisher nie Einsicht in die Verfahrensakten hätten nehmen können. Im Zusammenhang mit diesen Vorbringen behaupten die Beschwerdeführer eine Verletzung von § 46 und § 204 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU), Art. 29 und Art. 29a BV, Art. 8 und Art. 13 EMRK, Art. 1 des 7. Zusatzprotokolls zur EMRK sowie von Art. 3 und Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (SR 0.107).
2.2 Die Vorinstanz ist demgegenüber davon ausgegangen, dass es zulässig sei, über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung erst zusammen mit dem Sachentscheid zu befinden. Nur wenn der Anwalt nach Einreichung des Gesuchs gehalten gewesen wäre, weitere Prozesshandlungen vorzunehmen, hätte vorgängig über das Gesuch entschieden werden müssen. Dies sei im hier interessierenden Beschwerdeverfahren vor dem JSD jedoch nicht der Fall gewesen: Mit Ausnahme der Aufforderung zur weiteren Substantiierung des Begehrens um unentgeltliche Rechtspflege sei der Vertreter der Beschwerdeführer zu keinen weiteren (kostenverursachenden) Prozesshandlungen verhalten worden. Auch aus den Akten ergäben sich keine Anhaltspunkte dafür, dass zur Wahrung der Interessen der Klientschaft die Notwendigkeit zur Einleitung von weiteren Verfahrensschritten bestanden habe. Mithin hätten die Beschwerdeführer ihr Gesuch zu einem Zeitpunkt gestellt, als die Arbeit des Anwalts bereits zum grössten Teil geleistet gewesen sei. Im Übrigen gehe es nicht an, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend zu machen, nachdem der Rechtsvertreter die Einsicht in die ihm zweimal zur Verfügung gestellten Vorakten verweigert habe. Dem Argument der Beschwerdeführer, dass das Aktenstudium einen weiteren kostenverursachenden Verfahrensschritt darstelle, könne nicht gefolgt werden; auch bei kurzfristiger Mandatierung gehöre das Aktenstudium zur Erstinstruktion, denn es sei dies eine unerlässliche Voraussetzung dafür, dass innert der Rechtsmittelfrist überhaupt eine hinreichend begründete Beschwerde eingereicht werden könne. Da die Rechtsmittelfrist grundsätzlich nicht erstreckbar sei, erscheine die vom Rechtsvertreter geforderte Gelegenheit zur Nachreichung einer erweiterten Begründung nach Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege von vornherein als unstatthaft. Darüber hinaus sei das Vorliegen einer in Bezug auf ihre Begründung formgenügenden Beschwerde auch deshalb notwendig, damit die Beschwerdeinstanz zum Zeitpunkt der Gesuchseinreichung über die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege, insbesondere über die Frage der Aussichtslosigkeit des Verfahrens und die Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung, befinden könne. Aus den genannten Gründen könne der Anwalt auch bei Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung nicht davon entbunden werden, sich vor Einreichung der Beschwerde ein Bild über die Prozesschancen und -risiken zu machen.
2.3 Im vorliegenden Fall ist von Bedeutung, dass die Eingabe der Beschwerdeführer an das JSD erst am letzten Tag der Beschwerdefrist erfolgt ist: Es wäre deshalb keinesfalls möglich gewesen, vor Ablauf der Beschwerdefrist über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu entscheiden und dem Anwalt anschliessend Gelegenheit zu geben, noch innerhalb der Frist die Beschwerdebegründung nach Akteneinsicht zu ergänzen. Die rechtliche Argumentation der Beschwerdeführer könnte daher überhaupt nur dann erfolgsversprechend sein, wenn ein Anspruch darauf bestünde, die vollständige materielle Beschwerdebegründung nicht nur erst im Anschluss an den Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sondern auch noch nach Ablauf der Beschwerdefrist zu ergänzen. Dies ist jedoch nicht der Fall: § 130 und § 133 VRG/LU bestimmen, dass eine Beschwerde samt Rechtsbegehren und Begründung innert der Rechtsmittelfrist eingereicht werden muss. Diese Regelung stimmt auch mit den Bestimmungen in anderen Prozessordnungen überein (vgl. etwa Art. 42 BGG sowie Art. 50 und Art. 52 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren [Verwaltungsverfahrensgesetz, VwVG; SR 172.021]). Eine Erstreckung der Rechtsmittelfrist sieht das luzernische Recht nur für den Fall vor, dass die betroffene Partei oder ihr Vertreter während des Fristenlaufes stirbt oder handlungsunfähig wird (§ 35 Abs. 1 VRG/LU i.V.m. § 130 VRG/LU). Art. 47 Abs. 1 BGG und Art. 22 Abs. 1 VwVG sehen gar vor, dass die gesetzlichen Fristen überhaupt nicht erstreckt werden können. Die Möglichkeit einer nachträglichen Ergänzung der Beschwerdebegründung oder einer Verlängerung der Rechtsmittelfrist im Falle der Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ist demnach nicht vorgesehen. Die Einwendungen der Beschwerdeführer erweisen sich somit von vornherein als unbehelflich.
2.4 Selbst bei einer frühzeitigen Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege wäre jedoch nicht anders zu entscheiden gewesen:
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es grundsätzlich zulässig, erst zusammen mit dem Sachentscheid über das Gesuch zu befinden. Ausgenommen sind lediglich Konstellationen, in denen der Anwalt gehalten ist, bis dahin weitere Verfahrensschritte zu unternehmen (Urteile 9C_463/2009 vom 8. Juli 2009 E. 3.3.2 f.; 4P.300/2005 vom 15. Dezember 2005 E. 3.1; 1P.345/2004 vom 1. Oktober 2004 E. 4.3 mit Hinweisen). Dies trifft oftmals bei Zivilprozessen zu, weswegen dort in der Regel separat über ein solches Gesuch entschieden wird (so die Praxis der I. Zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts, vgl. CORBOZ in: Corboz/Wurzburger/Ferrari/ Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, Rz. 67 zu Art. 64 BGG). In einem Verwaltungsprozess ist der Verfahrensgegenstand dagegen aufgrund der erstinstanzlichen Verfügung grundsätzlich bekannt. Da die Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege zudem voraussetzt, dass das eingelegte Rechtsmittel nicht aussichtslos ist, muss bereits bei Gesuchseinreichung zumindest eine summarische Begründung in der Sache selbst vorgebracht werden, was eine entsprechende Auseinandersetzung mit dem Prozessstoff verlangt. Danach sind regelmässig keine weiteren, umfangreichen Verfahrenshandlungen mehr notwendig. Auch im vorliegenden Fall wurden die Beschwerdeführer weder vom JSD aufgefordert, weitere Verfahrenshandlungen vorzunehmen, noch wären solche nach objektiven Gesichtspunkten erforderlich gewesen; insbesondere war der Sachverhalt bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung beim JSD weitgehend klar und nicht bestritten. Auch die kurze Vernehmlassung des Migrationsamtes vom 15. Februar 2010 enthielt nichts, was eine zusätzliche Stellungnahme erfordert hätte, zumal das Migrationsamt darin im Wesentlichen bloss seine Begründung der angefochtenen Verfügung vom 20. November 2009 wiederholte. Aus diesen Gründen war es hier praxisgemäss zulässig, zusammen mit dem Sachurteil über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden.
Zwar ist richtig, dass dem Anwalt aufgrund dieser Praxis ein gewisses Kostenrisiko entstehen kann. Dies wäre jedoch selbst bei einem vorgängigen, separaten Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung nicht anders; wie aufgezeigt, müsste der Anwalt auch dann nebst den Unterlagen bezüglich der Bedürftigkeit zumindest eine summarische Begründung hinsichtlich der Beurteilung der Aussichtslosigkeit einreichen. Eine Vereitelung des Rechtsschutzes unbemittelter Personen liegt daher nicht vor. Dies zeigt sich insbesondere auch im vorliegenden Fall, zumal der Rechtsvertreter der Beschwerdeführer grundsätzlich in der Lage war, eine rechtsgenügliche Beschwerde an das JSD abzufassen. Dass er die Beschwerde gemäss eigenen Angaben nur aufgrund einer summarischen Besprechung und ohne Akteneinsicht erheben konnte, resultierte einzig daraus, dass die Beschwerdeführer erst kurz vor Ablauf der Rechtsmittelfrist einen Anwalt aufsuchten. Die negativen Folgen der zu kurzfristigen Mandatierung müssen die Beschwerdeführer hinnehmen: Wie aufgezeigt, kann die Frist zur Einreichung des begründeten Rechtsmittels deswegen nicht erstreckt werden (E. 2.3 hiervor). Überdies ist den Beschwerdeführern mit der Vorinstanz entgegenzuhalten, dass die Verfahrensakten ihrem Rechtsvertreter zweimal zur Einsicht zugestellt wurden.
Bei dieser Sachlage kann von einer Verletzung der von den Beschwerdeführern angerufenen Gesetzes-, Verfassungs- und Staatsvertragsbestimmungen nicht die Rede sein.
3. Schliesslich wenden die Beschwerdeführer ein, die Vorinstanz habe die Beschwerde beim JSD zu Unrecht als aussichtslos bezeichnet; insbesondere müssten die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege auch dann ex ante beurteilt werden, wenn der Entscheid betreffend das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zusammen mit dem Endentscheid in der Sache ergehe. Weiter habe das Verwaltungsgericht auch betreffend der bei ihm eingereichten Beschwerde unzutreffenderweise auf die Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels geschlossen. Im Zusammenhang mit diesen Vorbringen rügen die Beschwerdeführer abermals eine Verletzung von Art. 29 BV und § 204 Abs. 2 VRG/LU.
Die Rüge geht ins Leere, zumal das Verwaltungsgericht umfassend und ausführlich die Umstände dargelegt hat, wie sie bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung beim JSD bestanden haben. Gestützt hierauf hat die Vorinstanz erwogen, die Erfolgsaussichten seien bereits bei Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege beträchtlich geringer gewesen als die Wahrscheinlichkeit eines Unterliegens. Die diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen werden von den Beschwerdeführern zu Recht nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Ebenso wenig beruhen die Erwägungen des Verwaltungsgerichts auf einer falschen Rechtsanwendung. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer ändert daran auch nichts, dass sich alle von der Vorinstanz aufgeführten Aspekte auf die Sozialhilfeabhängigkeit beziehen und keine weiteren negativen Punkte ins Feld geführt wurden: Die einzelnen in Art. 62 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) aufgeführten Umstände stellen alternative und nicht kumulative Gründe für einen Bewilligungswiderruf bzw. eine Nichtverlängerung (vgl. Art. 33 Abs. 3 AuG) dar, weswegen die Sozialhilfeabhängigkeit auch für sich alleine eine solche Massnahme rechtfertigen kann.
Die Vorinstanz hat sodann - wiederum entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer - eine klare Unterscheidung zwischen der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im Beschwerdeverfahren vor dem JSD und deren Verweigerung im eigenen Verfahren getroffen. Letztere wurde vom Verwaltungsgericht auch damit begründet, dass die Beschwerdeführer ihre Hauptbegehren unzureichend motiviert hätten. Diese Schlussfolgerung ist nicht zu beanstanden: Wenn der Anwalt sich darauf beschränkt, die Beschwerde ausschliesslich mit (unzutreffenden) Verfahrensrügen zu begründen, dann hat er es sich selbst zuzuschreiben, wenn die Vorinstanz die Beschwerde in der Hauptsache als aussichtslos betrachtet.
4. Nach dem Ausgeführten erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist.
Da das Bundesgericht den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren - wie bereits ausgeführt - mit Verfügung vom 31. Januar 2011 bewilligt hat, wird auf die Erhebung von Kosten verzichtet und dem unentgeltlichen Rechtsbeistand eine Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3. Rechtsanwalt A._ wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Amt für Migration und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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