Faits:
A. C._ travaille comme technicien au service du X._, section genevoise. A ce titre, il est assuré à la Vaudoise Assurances (ci-après : la Vaudoise) pour l'assurance-accidents obligatoire. Le 23 janvier 2006, son employeur a rempli une déclaration d'accident à l'intention de l'assureur en raison d'un événement survenu le 10 janvier précédent et ayant entraîné une « déchirure au genou droit ». L'assuré y a décrit comme suit les circonstances de cet événement :
« J'étais accroupi, la secrétaire m'appelle, je me relève en me tournant à droite et à ce moment-là, mon genou s'est bloqué et je n'arrivais plus à l'étendre. Je contrôlais un véhicule. »
Le docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin traitant, a diagnostiqué au genou gauche une « anse de seau ménisque interne luxé dans l'échancrure ». Le 20 janvier 2006, l'assuré a subi une arthroscopie avec ménisectomie partielle. Il a repris le travail à mi-avril 2006.
Invité par la Vaudoise à expliciter les circonstances de l'événement en question et à remplir à cette fin un questionnaire, l'assuré a précisé, le 1er février 2006, qu'il se trouvait accroupi au moment où il contrôlait le véhicule. C'est alors que la secrétaire l'a appelé et qu'il s'est relevé en se tournant à droite. A la question de savoir s'il s'était produit quelque chose de particulier (coup, chute, glissade, etc.), il a répondu: « je me suis tourné à droite en me relevant, ce que je ne fais pas d'habitude. ».
Par décision du 30 mai 2006, la Vaudoise a refusé de prendre en charge le cas, au motif que l'événement du 10 janvier 2006 ne répondait pas à la notion d'accident et que l'atteinte à la santé subie à cette occasion ne pouvait pas non plus être considérée comme une lésion corporelle assimilée à un accident, faute d'un facteur extérieur suffisamment significatif pouvant comporter un risque lésionnel accru.
Assura, Assurance maladie et accidents (ci-après : Assura) a formé opposition à cette décision. Le 2 août 2006, la Vaudoise a rejeté l'opposition.
B. Assura a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève.
La Vaudoise a conclu au rejet du recours. Invité à se déterminer, C._ a précisé dans une lettre adressée à la juridiction cantonale le 23 novembre 2006 qu'il s'était redressé « machinalement d'un bond » lorsque la secrétaire lui avait annoncé qu'on l'appelait au téléphone. A ce moment précis, il avait pivoté et ressenti un craquement dans son genou. Il avait été surpris parce qu'il était absorbé par son activité et que l'intervention de la secrétaire, qui se trouvait dans son dos, l'avait fait réagir de façon réflexe.
Statuant le 11 décembre 2006, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a annulé la décision attaquée et condamné la Vaudoise à prendre en charge les frais encourus par l'assuré ensuite de l'événement du 10 janvier 2006
C. La Vaudoise interjette un recours de droit administratif dans lequel elle conclut à l'annulation du jugement cantonal.
Assura conclut au rejet du recours. C._ ne prend pas de conclusions explicites et demande, à tout le moins, que l'une des deux assurances couvre son dommage. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'assuré a subi une lésion corporelle assimilée à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. c OLAA.
Selon cette disposition réglementaire, les déchirures du ménisque sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs.
3. 3.1 La jurisprudence (ATF 129 V 466) a précisé les conditions d'octroi des prestations en cas de lésion corporelle assimilée à un accident. C'est ainsi qu' à l'exception du caractère «extraordinaire» de la cause extérieure, toutes les autres conditions constitutives de la notion d'accident doivent être réalisées (cf. art. 4 LPGA). En particulier, à défaut de l'existence d'une cause extérieure - soit d'un événement similaire à un accident, externe au corps humain, susceptible d'être constaté de manière objective et qui présente une certaine importance -, fût-ce comme simple facteur déclenchant des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 OLAA, les troubles constatés sont à la charge de l'assurance-maladie.
L'existence d'une lésion corporelle assimilée un accident doit ainsi être niée, dans tous les cas où le facteur dommageable extérieur se confond avec l'apparition (pour la première fois) de douleurs identifiées comme étant les symptômes des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 let. a à h OLAA. De la même manière, l'exigence d'un facteur dommageable extérieur n'est pas donnée lorsque l'assuré fait état de douleurs apparues pour la première fois après avoir accompli un geste de la vie courante (par exemple en se levant, en s'asseyant, en se couchant ou en se déplaçant dans une pièce, etc.) à moins que le geste en question n'ait requis une sollicitation du corps, en particulier des membres, plus élevée que la normale du point de vue physiologique et dépasse ce qui est normalement maîtrisé d'un point de vue psychologique. La notion de cause extérieure suppose en effet qu'un événement générant un risque de lésion accru survienne. Tel est le cas notamment lors de changements de position du corps, qui sont fréquemment de nature à provoquer des lésions corporelles selon les constatations de la médecine des accidents (brusque redressement du corps à partir de la position accroupie, le fait d'accomplir un mouvement violent ou en étant lourdement chargé, ou le changement de position corporelle de manière incontrôlée sous l'influence de phénomènes extérieurs; ATF 129 V 466 consid. 4.2.2 p. 470).
La jurisprudence a encore précisé que lorsque la lésion d'un organe ne peut pas être attribuée à une cause extérieure concrète, mais qu'elle est due à la répétition, durant la vie quotidienne, de microtraumatismes qui provoquent l'usure de l'organe et finalement la lésion de celui-ci, cette dernière doit être considérée comme l'effet d'une maladie et non d'un accident. Ainsi, le diagnostic de déchirure du ménisque ne permet pas, à lui seul, d'admettre la soudaineté de l'atteinte, dans la mesure où la charge quotidienne supportée par l'articulation du genou et les microtraumatismes qui en résultent peuvent conduire à la formation d'une déchirure (arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 198/00 du 30 août 2001, consid. 2b; arrêt non publié B. du 28 novembre 1996 [U 63/96]).
3.2 Les premiers juges considèrent, sur la base des indications données successivement par l'assuré que, le jour en question, celui-ci s'est « redressé machinalement d'un bond ». Ce mouvement du corps correspond, selon eux, à celui d'un brusque redressement depuis la position accroupie, de sorte qu'il faut admettre l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident. En conséquence, la Vaudoise est tenue de prendre en charge les frais liés à l'événement du 10 janvier 2006.
La recourante objecte que l'assuré a eu l'occasion à trois reprises de s'exprimer sur les circonstances de l'événement en question, Les deux premières fois, il n'a pas fait état d'un mouvement brusque. Aussi bien doit-on s'en tenir aux premières déclarations de l'assuré. La version donnée en procédure cantonale par celui-ci, bien que plus étoffée, ne constitue pas une précision, mais bien une nouvelle version, qu'il convient d'écarter. En se référant aux déclarations de l'assuré des 23 janvier et 1er février 2006, on doit retenir, toujours selon la recourante, que l'assuré s'est relevé d'une position accroupie, en se tournant sur la droite. Il s'agit d'un geste de la vie courante qui n'est pas de nature à provoquer un risque de lésion accru.
3.3 Il n'y a pas de raison de mettre en cause la version des faits retenue par les premiers juges. Il peut arriver que les déclarations successives d'un assuré soient contradictoires entre elles. En pareilles circonstances, il convient, selon la jurisprudence, de retenir la première affirmation, qui correspond généralement à celle que l'intéressé a faite alors qu'il n'était pas encore conscient des conséquences juridiques qu'elle aurait, les nouvelles explications pouvant être, consciemment ou non, le produit de réflexions ultérieures (ATF 121 V 45 consid. 2a p. 47 et les références; RAMA 2004 no U 515 p. 420 consid. 1.2; VSI 2000 p. 201 consid. 2d). En l'espèce, on peut toutefois retenir, à l'instar des premiers juges, que l'intéressé n'a pas donné de versions à proprement parler contradictoires de l'événement mais plutôt qu'il en a explicité les circonstances dans sa lettre du 23 novembre 2006. Par ailleurs, l'intéressé n'a pas manifesté un intérêt évident au procès. Il ne s'est pas lui-même impliqué dans la procédure (il n'a pas recouru contre la décision de la Vaudoise et son seul souci paraît être que l'une ou l'autre des assurances prenne en charge le cas). Cette absence d'implication directe dans la procédure augmente la crédibilité des explications qu'il a fournies devant le Tribunal des assurances.
Cela dit, on peut en tout cas tenir pour établi que l'assuré, alors qu'il était occupé dans la position accroupie à vérifier un véhicule, a été interpellé par une secrétaire de l'entreprise. Celle-ci se trouvait dans son dos. Il s'est alors relevé en pivotant sur sa droite cependant qu'il a entendu un « craquement » au genou. Quant aux explications données par l'assuré en procédure cantonale, elles sont cohérentes et crédibles. On conçoit tout à fait que l'assuré, qui était affairé à son travail, ait pu être surpris par l'interpellation de la secrétaire et qu'il se soit relevé dans un mouvement non contrôlé plus ou moins brusque et en pivotant, ce qui a généré une sollicitation du corps plus importante que la normale. C'est donc à bon droit, au regard de la jurisprudence susmentionnée, que les premiers juges ont conclu à l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident.
4. En l'espèce, le présent procès oppose un assureur-accidents à un assureur-maladie au sujet de la prise en charge de l'affection de leur assuré commun. Cela étant, il se justifie, conformément à l'art. 156 al. 1 OJ, de mettre des frais de justice à la charge de l'assureur-accidents qui succombe comme partie recourante dans un litige entre assureurs sociaux.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante et sont compensés avec l'avance de frais qu'elle a versée.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, à C._ et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 mai 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: