Sachverhalt:
A. Zwischen Y._ und X._ ist vor dem Einzelrichter summarische Zivilsachen des Bezirksgerichts Z._ ein Eheschutzverfahren hängig. In diesem Verfahren ersuchte X._ mit Eingabe vom 12. März 2010 um den Ausstand von Einzelrichter und Bezirksgerichtsvizepräsident lic. iur A._ mit der Begründung, der anwaltliche Vertreter der Klägerin und A._ hätten beide das Gymnasium B._ besucht und an der Uni C._ studiert; heute seien sie beide Altherren der Gymnasialverbindung "D._" sowie der akademischen Verbindung "E._" und träfen sich wöchentlich jeweils donnerstags zu einem privaten Anlass mit mehreren anderen von "E._" mit anschliessendem Umtrunk in einer Bar. In dieser Runde würden auch Fälle besprochen. Der Magistrat lehnte einen freiwilligen Ausstand ab. In seinem Überweisungsschreiben vom 15. März 2010 an das Kantonsgericht Schwyz bestritt er unter Hinweis auf den Altersunterschied (Jahrgang 1953 bzw. 1964), den Rechtsvertreter der Klägerin von der gemeinsamen Gymnasial- bzw. Uni-Zeit her zu kennen, räumte aber ein, dass beide Mitglieder der vorgenannten Altherrenschaften seien und sich wöchentlich mit anderen zu einem "Herrenabend" mit anfänglicher sportlicher Betätigung und anschliessendem Abendessen sowie einem nachfolgenden Schlusstrunk träfen. Angesichts der Zusammensetzung der Runde würden gelegentlich juristische Fragen, nicht jedoch Fälle diskutiert.
B. Mit Beschluss vom 24. März 2010 wies Kantonsgericht Schwyz das Ausstandsgesuch ab, soweit darauf einzutreten war.
C. X._ hat gegen den ihm am 30. März 2010 zugestellten Beschluss des Kantonsgerichts beim Bundesgericht mit Eingabe vom 6. April 2010 Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er rügt im Wesentlichen eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK und beantragt, den kantonsgerichtlichen Beschluss aufzuheben und das Ausstandsbegehren gutzuheissen; eventuell sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung, zur Beweisergänzung und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
D. Mit Verfügung vom 13. April 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts dem Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung bzw. um vorsorgliche Massnahmen insoweit entsprochen, als das Eheschutzverfahren für die Dauer des vorliegenden Beschwerdeverfahrens nicht fortgesetzt werden darf.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Beschluss über den Ausstand einer Magistratsperson. Dabei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinn von Art. 92 Abs. 1 BGG, welcher ohne Weiteres der Beschwerde unterliegt.
1.2 Der Rechtsweg des Zwischenentscheides folgt jenem der Hauptsache. Diese beschlägt ein Eheschutzverfahren, in dem ausschliesslich vermögensrechtliche Fragen strittig sind und der Streitwert nach Angaben der Vorinstanz den Betrag von Fr. 30'000.-- übersteigt. Ist die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache zulässig (Art. 72 Abs. 1 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), unterliegt ihr auch der vorliegende Zwischenentscheid.
2. Strittig ist im vorliegenden Fall, ob die freundschaftliche Beziehung zwischen dem gegnerischen Anwalt und dem mit dem Eheschutzverfahren des Beschwerdeführers und dessen Ehefrau befassten Einzelrichter einen Ausstandsgrund darstellt.
2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht (in rechtlicher Hinsicht) frei (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3; 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 134 I 238 E. 2.1. S. 240 mit Hinweisen).
2.2 Nach der Rechtsprechung vermögen auch besondere Gegebenheiten hinsichtlich des Verhältnisses zwischen einem Richter und einem Parteivertreter den objektiven Anschein der Befangenheit des Ersteren zu begründen und daher dessen Ausstand zu gebieten (BGE 92 I 271 E. 5 S. 276, Urteile 1P.515/2002 vom 13. Februar 2003 E. 2.4 und 1P.180/2004 vom 7. Mai 2004 E. 2.5). Diese Umstände können sich gleichermassen auf ein besonders freundschaftliches als auch auf ein besonders feindschaftliches Verhältnis zwischen Richter und Rechtsvertreter beziehen. In solchen Situationen kann Voreingenommenheit des Richters indessen nur bei Vorliegen spezieller Umstände und mit Zurückhaltung angenommen werden. Erforderlich wäre, dass die Intensität und Qualität der beanstandeten Beziehung vom Mass des sozial Üblichen abweicht und bei objektiver Betrachtung geeignet ist, sich auf die Partei selbst und deren Prozess auszuwirken, und derart den Anschein der Befangenheit hervorzurufen vermag (vgl. REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 133; Urteile 1B_303/2008 vom 25. März 2009 E. 2.2; 1P.180/2004 vom 7. Mai 2004 E. 2.5).
2.3 Das Kantonsgericht hat in der blossen Zugehörigkeit zur gleichen Altherrenverbindung keinen Ausstandsgrund erblickt und hat, was den vom Beschwerdegegner angesprochenen juristischen Meinungsaustausch zwischen Rechtskollegen anbelangt, dafürgehalten, zwischen dem Beschwerdegegner und dem Anwalt der Gegenpartei bestehe das Amts- bzw. das Anwaltsgeheimnis. Insgesamt hat es einen Ausstandsgrund verneint.
2.3.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst als Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV, das Kantonsgericht habe wesentliche, im Ausstandsbegehren geltend gemachte Befangenheitskriterien nicht berücksichtigt. Namentlich sei unbeachtet geblieben, dass sich der Einzelrichter und der gegnerische Anwalt jeweils am Donnerstag zu einem privaten Anlass mit anschliessendem Schlusstrunk in einer Bar träfen, ferner dass sich aus der Mitgliedschaft in derselben katholischen Studentenverbindung nach dem Leitbild des StV als Mittelpunkt des Vereinslebens die Pflege der Freundschaft, Unterstützung im Studium und Förderung der Sozial- und Querkompetenz ergäben, welche Leitlinien auch in den Bereich der Berufe der StV-Mitglieder übergriffen. Vor allem aber habe die Vorinstanz die zwischen dem Richter und dem gegnerischen Anwalt bestehende langjährige und enge Freundschaft ausser Acht gelassen. Aufgrund der vom Kantonsgericht berücksichtigten und der nicht in die Erwägungen aufgenommenen Sachverhaltselemente erachtet der Beschwerdeführer Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK als verletzt.
2.3.2 Im angefochtenen Beschluss wird auf den (rechtlichen) Meinungsaustausch zwischen den Betroffenen hingewiesen, der, wie sich aus der Stellungnahme des Beschwerdegegners zum Ausstandsbegehren ergibt, anlässlich des wöchentlichen gemeinsamen Treffens des gegnerischen Anwalts, des Beschwerdegegners und weiterer Kollegen erfolgt. Angesichts der Erwähnung des Meinungsaustausches und unter Berücksichtigung der im angefochtenen Beschluss aufgeführten Stellungnahme des Beschwerdegegners kann somit nicht gesagt werden, das wöchentliche Treffen des gegnerischen Anwalts und des Beschwerdegegners und anderer Kollegen sei nicht berücksichtigt worden.
Dass der Beschwerdegegner und der gegnerische Anwalt Altherren der besagten Vereine sind, hat das Kantonsgericht ausdrücklich hervorgehoben. Nicht von Belang ist dabei die unterbliebene explizite Erwähnung der Zielsetzungen des bzw. der Vereine, kann doch aus den Satzungen des Vereins nicht auf den Anschein der Befangenheit im konkreten Fall geschlossen werden.
Im Ausstandsgesuch hatte der Beschwerdeführer eine besondere freundschaftliche Beziehung zwischen dem Beschwerdegegner und dem gegnerischen Anwalt damit begründet, die beiden würden sich seit deren Gymnasialzeit, dem Studium an der Uni C._ sowie aus der Mitgliedschaft bei der Gymnasialverbindung "D._" und der akademischen Verbindung "E._" her kennen; zudem hatte er unter Hinweis auf das Leitbild der "E._" allgemein geltend gemacht, die Mitgliedschaft in einer Studentenverbindung sei ein Bund fürs Leben; überdies hatte er auf das wöchentliche Treffen der Beiden hingewiesen. Der Beschwerdegegner hatte in seiner Stellungnahme lediglich die gemeinsame Mitgliedschaft in den besagten Altherrenverbindungen und die wöchentlichen Treffen eingeräumt, im Übrigen aber unter Hinweis auf den Altersunterschied bestritten, dass sich der Beschwerdeführer und der gegnerische Anwalt aus der gemeinsamen Gymnasial- und Studienzeit her kennen. Das Kantonsgericht hat die widersprechende Meinung des Beschwerdegegners über die Dauer der Bekanntschaft berücksichtigt und die anderslautende Behauptung des Beschwerdeführers nicht als glaubhaft gemacht erachtet. Soweit der Beschwerdeführer aus den im Ausstandsgesuch und in der Beschwerde erwähnten tatsächlichen Elementen eine besonders enge, die Befangenheit begründende Freundschaft ableitet, sind die entsprechenden Elemente im angefochtenen Beschluss berücksichtigt, aber nicht im Sinn des Beschwerdeführers gewichtet worden.
Gesamthaft betrachtet kann somit nicht gesagt werden, das Kantonsgericht habe wesentliche Befangenheitskriterien nicht berücksichtigt. Von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) kann keine Rede sein (zur Pflicht und zum Umfang der Begründung des Entscheids: BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445).
2.4 Der Beschwerdeführer behauptet in seiner Eingabe an das Bundesgericht, die beschriebene Freundschaft zwischen dem Beschwerdegegner und dem gegnerischen Anwalt bestehe abgesehen von den öffentlichen Treffen auch privat.
2.5 Eine entsprechende Behauptung lässt sich indes dem Ausstandsgesuch nicht entnehmen. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang geltend macht, er habe nach Erlass des kantonsgerichtlichen Beschlusses erfahren, dass der Beschwerdegegner und der gegnerische Anwalt auch regelmässig private Kontakte pflegten, handelt es sich um ein neues tatsächliches Vorbringen, das im Rahmen des vorliegenden Beschwerdeverfahrens nicht berücksichtigt werden kann (Art. 99 BGG).
2.6 Für die Beurteilung der Befangenheit ist somit in tatsächlicher Hinsicht davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner und der gegnerische Anwalt Mitglieder der beiden genannten Altherrenverbindungen sind, sich wöchentlich zusammen mit anderen öffentlich zu einem Anlass treffen und dabei gelegentlich auch rechtliche Fragen erörtern. Eine derartige freundschaftliche Beziehung weist nicht die Intensität und Qualität auf, die vom üblichen Mass abweicht. Es ist im Gegenteil durchaus üblich und systembedingt, dass sich Richter und Anwälte, die überdies Mitglieder des gleichen Vereins sind, auch ausserhalb ihrer beruflichen Tätigkeit in der Öffentlichkeit treffen, wobei freilich nicht ausgeschlossen werden kann, dass auch rechtliche Fragen erörtert werden. Im vorliegenden Fall ist nicht glaubhaft gemacht worden, dass sich die beiden Betroffenen auch privat unter vier Augen getroffen hätten bzw. treffen. Auch solche privaten Treffen vermöchten denn auch den Anschein der Befangenheit regelmässig nicht zu begründen. Im Lichte der glaubhaft gemachten tatsächlichen Umstände und unter Berücksichtigung der in diesem Bereich geforderten Zurückhaltung (E. 2.2) erweist sich der Vorwurf der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK als unbegründet.
3. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde aufgrund der Vorbringen von Anfang an als aussichtslos erwiesen hat (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden