Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1958) und Y._ (geb. 1966) heirateten am 16. Juli 1996. Der Ehe entspross die Tochter A._ (geb. 17. Mai 2001).
Am 22. November 2011 leitete die Ehefrau vor dem Richteramt Solothurn-Lebern ein Eheschutzverfahren ein. Soweit vorliegend relevant, stellte der Amtsgerichtspräsident mit Urteil vom 19. Juni 2012 die Tochter für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut ihres Vaters und wies diesem auch die eheliche Liegenschaft zu. Auf die Zusprache von Unterhaltsbeiträgen wurde unter Hinweis auf die finanziell knappen Verhältnisse verzichtet.
B. Gegen dieses Urteil erhob die Ehefrau am 21. Juni 2012 beim Obergericht des Kantons Solothurn Berufung. Gleichentags reichte sie mit separater Eingabe eine Ergänzung der Berufungsschrift (betreffend Unterhalt) ein. Mit Urteil vom 25. Juli 2012 wies das Obergericht die Berufung ab.
C. Hiergegen gelangt die Ehefrau (nachfolgend: Beschwerdeführerin) mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. August 2012 an das Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung sowohl des erst- als auch des oberinstanzlichen Urteils sowie die Rückweisung der Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und neuem Entscheid. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 30. August 2012 ab.
In ihrer Vernehmlassung vom 14. November 2012 beantragt die Vorinstanz die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner beantragt seinerseits, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter diese abzuweisen (Beschwerdeantwort vom 26. November 2012). Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines Rechtsvertreters. Die Beschwerdeführerin hat sich mit Eingabe vom 4. Dezember 2012 zur Beschwerdeantwort geäussert. Der Beschwerdegegner hat sich nicht (mehr) vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer nicht vermögensrechtlichen Zivilsache, womit die Beschwerde in Zivilsachen offensteht (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 und Art. 90 BGG).
Eheschutzentscheide unterstehen der Vorschrift von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 S. 397), weshalb einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerde in Zivilsachen steht nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen offen, die als Rechtsmittelinstanz entschieden haben (Art. 75 Abs. 1 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin den erstinstanzlichen Entscheid beanstandet, ist darauf nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeschrift ist teilweise schwer verständlich und führt keine einzige Verfassungsbestimmung an, welche durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein soll.
2.1 Immerhin rügt die Beschwerdeführerin zumindest dem Sinne nach, die Vorinstanz habe ihrem Beweisantrag auf Einholung eines Fachberichtes über die Zuteilung der elterlichen Obhut nicht stattgegeben und dadurch ihr rechtliches Gehör verletzt.
Das rechtliche Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (BGE 135 II 286 E. 5.1 S. 293). Das Beweisführungsrecht schliesst indes eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus. Das Gericht darf das Beweisverfahren schliessen und von weiteren, m Rahmen der die Parteien treffenden Mitwirkungspflicht (BGE 128 III 411 E. 3.2.1 S. 413) beantragten Beweiserhebungen mit der Begründung absehen, es halte sie von vornherein nicht für geeignet, den entscheiderheblichen Sachverhalt zu klären, oder es habe seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen und gehe davon aus, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten (vgl. BGE 130 III 734 E. 2.2.3 S. 735 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin müsste daher in einem ersten Schritt darlegen, inwiefern das Obergericht den Sachverhalt unvollständig und daher offensichtlich falsch festgestellt hat. Das tut sie nicht. Namentlich zeigt sie nicht auf, weshalb die Vorinstanz ohne Einholung eines Sachverständigenberichts über ungenügende Sachverhaltsfeststellungen verfügt hätte, um die Obhut über die Tochter zu regeln. Entgegen der Annahme der Beschwerdeführerin liegt in der Ablehnung weiterer Abklärungen keine Verletzung des Beweisanspruchs.
2.2 Sodann kann die Beschwerdeführerin dahingehend verstanden werden, dass sie in verschiedener Hinsicht die Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend macht. Sie wirft dem Obergericht vor, hinsichtlich der Kinderzuteilung den Sachverhalt ungenügend abgeklärt zu haben. Ferner habe es ihre Behauptung nicht näher geprüft, wonach sie die Familienwohnung zur Ausübung ihres Gewerbes (Kosmetikstudio) benötige. Schliesslich trägt die Beschwerdeführerin pauschal vor, der vor der ersten Instanz erfolgte Anwaltswechsel hätte zu weiteren Abklärungen Anlass gegeben.
2.2.1 In Kinderbelangen gelten, unabhängig der Art des Verfahrens, die Offizial- und die Untersuchungsmaxime (Art. 296 Abs. 1 ZPO). Letztere schreibt dem Gericht vor, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen. Die Untersuchungspflicht des Gerichts reicht so weit und dauert so lange, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichende Klarheit besteht. Art. 296 Abs. 1 ZPO schreibt dem Sachgericht indessen nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Ebenso wenig erfasst diese Bestimmung die Art der Erhebung von Beweismitteln. Wie das Beweisführungsrecht schliesst auch die Untersuchungsmaxime eine vorweggenommene Würdigung von Beweisanerbieten nicht aus. Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (BGE 130 III 734 E. 2.2.3 S. 735). Wer sich auf die Untersuchungsmaxime beruft bzw. eine Verletzung derselben geltend macht, muss daher zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich festgestellt hat. Ausserdem muss die Beschwerdeführerin diejenigen Tatsachen behaupten, die das Gericht festzustellen bzw. abzuklären unterlassen hat. Schliesslich obliegt es ihr darzutun, inwiefern die behaupteten Tatsachen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin begnügt sich sowohl hinsichtlich der Unterstellung der Tochter in die Obhut des Beschwerdegegners als auch mit Bezug auf Frage der Zuteilung der ehelichen Wohnung damit, einen von den oberinstanzlichen Feststellungen abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Sie zeigt jedoch nicht im Einzelnen auf, inwiefern das Obergericht in Willkür verfallen sein soll. Folglich vermag sie aus der behaupteten Verletzung der Untersuchungsmaxime nichts zu ihren Gunsten abzuleiten.
Keine Willkür ist mit dem Hinweis auf die mit dem Datum vom 17. Juli 2012 versehene, allerdings erst am 25. Juli 2012 der Post übergebene Eingabe darzutun, denn im Zeitpunkt des Eingangs dieses Schriftstücks beim Obergericht hatte dieses sein Urteil bereits gefällt.
Wenn die Beschwerdeführerin nun auch vor Bundesgericht ins Feld führt, sie benötige die Liegenschaft zur Ausübung ihres Gewerbes (Kosmetikstudio), stellt sie auf Tatsachen ab, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben; darauf ist nicht einzutreten.
2.3 Die weitere - zumindest sinngemässe - Kritik der Beschwerdeführerin, wonach die Vorinstanz sich beim Entscheid über die Zuteilung der Obhut einzig auf die Zuweisung der ehelichen Wohnung abgestützt habe, geht fehl, denn die Vorinstanz hat unter Hinweis auf die erste Instanz ausdrücklich festgehalten, die Wohnsituation sei "wohl eines, jedoch klar nicht das alleinige Kriterium für die Obhutszuteilung".
2.4 Im Ergebnis hält der angefochtene Entscheid hinsichtlich der Obhutsregelung und der Zuweisung der ehelichen Wohnung vor der Verfassung stand.
3. Die Beschwerdeführerin macht ausserdem geltend, sie habe ihren Antrag auf Zusprache eines Unterhaltsbeitrages von monatlich Fr. 971.-- vor der Vorinstanz mit separater Eingabe vom 21. Juni 2012 beziffert und detailliert begründet. Zu Unrecht werfe ihr die Vorinstanz in Erwägung 4 des angefochtenen Urteils daher vor, für diesen Antrag fehle jegliche Begründung. Dadurch habe die Vorinstanz ihr rechtliches Gehör verletzt.
In der Tat beanstandet die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 21. Juni 2012 die Anrechnung von Amortisationen (Fr. 756.--), Freizeitkosten des Kindes (Fr. 155.--) und Autoleasing (Fr. 458.--) im Bedarf des Beschwerdegegners und nennt auch die Gründe, weshalb diese Beträge aus ihrer Sicht im Existenzminimum des Beschwerdegegners nicht zu berücksichtigen seien. Das Obergericht begnügt sich mit dem Hinweis, nachdem A._ unter die elterliche Obhut des Vaters gestellt werde, sei der Antrag der Beschwerdeführerin auf Leistung von Frauenalimenten nicht weiter zu behandeln, zumal für diesen Antrag "jegliche Begründung" fehle. Zu den Vorbringen der Beschwerdeführerin äussert sich das Obergericht nicht. Es kann auch nicht gesagt werden, dass sich die erste Instanz fundiert zu den streitigen Beträgen geäussert hätte, so dass sich das Obergericht die erstinstanzlichen Erwägungen hätte zu eigen machen können. Mithin verletzt das Obergericht seine Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV). Wegen der formellen Natur des Gehörsanspruchs führt seine Verletzung ungeachtet der Erfolgsaussichten zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (BGE 135 I 187 E. 2.2 S. 190; 132 V 387 E. 5.1 S. 390). Der Umstand, dass das Obergericht in seiner Stellungnahme vom 14. November 2012 eine Begründung nachgeliefert hat, ändert daran nichts.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Da die Beschwerdeführerin nur teilweise obsiegt, rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten vor Bundesgericht den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteientschädigungen wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht werden gutgeheissen. Die Voraussetzungen hierfür sind erfüllt (Art. 64 BGG). Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, sofern sie später dazu in der Lage sein werden (Art. 64 Abs. 4 BGG). Nach erfolgter Rückweisung wird das Obergericht über die Kosten und Entschädigungen im obergerichtlichen Verfahren neu zu entscheiden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 25. Juli 2012 insoweit aufgehoben, als es Dispositivziffer 10 des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten des Richteramts Solothurn-Lebern vom 19. Juni 2012 bestätigt. Die Dispositivziffern 2 und 3 des obergerichtlichen Urteils betreffend Kosten und Entschädigungen des vorangegangenen Verfahrens werden ebenfalls aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur neuen Entscheidung der Unterhaltsfrage an das Obergericht zurückgewiesen.
2. 2.1 Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Fürsprech Urs Tschaggelar als Rechtsbeistand beigegeben.
2.2 Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwalt Alexander Kunz als Rechtsbeistand beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
5. 5.1 Fürsprech Urs Tschaggelar wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- entrichtet.
5.2 Rechtsanwalt Alexander Kunz wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- entrichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn