Sachverhalt:
A. Die serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1967) kam 1982 im Rahmen des Familiennachzugs zu ihren Eltern in die Schweiz und verfügt über eine Niederlassungsbewilligung. 1988 heiratete sie im Heimatland einen Landsmann, der darauf zu ihr in die Schweiz zog. Aus dieser Ehe sind zwei Söhne, A._ (geb. 22. Juli 1989) sowie dessen ein Jahr jüngerer Bruder, hervorgegangen. 1992 oder 1993 kehrten die beiden Söhne in das damalige Serbien und Montenegro zurück. Am 31. August 1994 liess sich X._ vom Kindsvater scheiden, wobei ihr das Sorgerecht für die beiden Kinder zugeteilt wurde. Die Kinder blieben aber weiterhin im Heimatland, wo sie von der Urgrossmutter bzw. einer Tante mütterlicherseits betreut wurden.
Von August 1997 bis September 1999 verbüsste X._ eine Gefängnisstrafe wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz. Am 20. Februar 2004 heiratete sie ihren heutigen aus dem Kosovo stammenden Ehemann.
B. Der Sohn A._ übersiedelte im Jahr 2005 (zusammen mit seinem Bruder) zum Vater nach Österreich. Am 15. März 2007 reiste er als Tourist in die Schweiz ein. X._ stellte für ihn am 14. Juli 2007 ein Familiennachzugsgesuch.
C. Mit Verfügung vom 11. September 2008 lehnte das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, das Familiennachzugsgesuch ab und wies A._ aus der Schweiz weg.
Die dagegen von X._ erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn blieb ohne Erfolg.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. April 2009 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 12. März 2009 aufzuheben und den Familiennachzug für A._ zu bewilligen. Zudem stellt sie das Begehren, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Bundesgericht hat die Akten der kantonalen Behörden beigezogen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
E. Mit Verfügung vom 23. April 2009 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechtes unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Familiennachzugsgesuch wurde am 14. Juli 2007, also vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen.
1.3 Ledige Kinder von Ausländern, die in der Schweiz niedergelassen sind, haben Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammenwohnen und noch nicht 18 Jahre alt sind (Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG).
Da der Sohn der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung, auf welchen es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt, die Altersgrenze noch nicht erreicht hatte, steht ihm im Grundsatz ein Nachzugsanspruch bzw. ein solcher auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung seiner Mutter zu. Auf Art. 8 EMRK und Art. 13 BV kann sich die Beschwerdeführerin für den inzwischen volljährigen Sohn nicht mehr berufen, da hierfür auf die Rechts- und Sachlage im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Entscheides abzustellen ist (zum Ganzen BGE 130 II 137 E. 2.1 S. 141 mit Hinweisen). Dass ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis vorliege, welches dem Sohn nach Erreichen der Volljährigkeit allenfalls einen Anspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 EMRK verschaffen könnte, wird sodann nicht behauptet und ist auch nicht ersichtlich.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig und die Beschwerdeführerin ist hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.4 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Ob die Eingabe der Beschwerdeführerin diesen Begründungsanforderungen genügt, kann jedoch dahin gestellt bleiben, da die Beschwerde ohnehin nicht durchdringt.
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig erfolgt ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweisen kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Die in der Rechtsprechung zu Art. 7 und 17 ANAG entwickelten Voraussetzungen für den nachträglichen Nachzug von Kindern sind unterschiedlich, je nachdem ob es sich um die Vereinigung mit den gemeinsamen Eltern oder aber mit einem getrennt lebenden Elternteil handelt. Im ersten Fall bedarf es, unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauches, keiner besonderen Rechtfertigung dafür, dass das Nachzugsrecht erst nachträglich geltend gemacht wird; im zweiten Fall dagegen wird ein nachträglicher Familiennachzug nur bewilligt, wenn besondere familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation dies gebieten (BGE 133 II 6 E. 3.1 S. 8; 130 II 1 E. 2.2 S. 4; 129 II 11 E. 3.1.2 S. 14). Der Nachzug des Kindes muss sich zu dessen Betreuung aus stichhaltigen Gründen als erforderlich erweisen (vgl. BGE 124 II 361 E. 3a S. 366); dies ist regelmässig nicht der Fall, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen, beispielsweise weil dadurch vermieden werden kann, dass das Kind aus seiner bisherigen Umgebung und dem ihm vertrauten Beziehungsnetz gerissen wird (BGE 133 II 6 E. 3.1.2 S. 11 f.; 125 II 585 E. 2c S. 588 mit Hinweisen). Auf die Frage der vorrangigen Beziehung kommt es nach der jüngeren Praxis nicht mehr an (vgl. etwa Urteil 2C 99/2008 vom 23. Juli 2008 E.2.1 mit Hinweisen).
2.2 Die Beschwerdeführerin kann als geschiedener Elternteil den nachträglichen Nachzug ihres Kindes nur verlangen, wenn stichhaltige Gründe für dessen Übersiedelung zur Mutter in die Schweiz bestehen. Solche Gründe dürfen nicht leichthin bejaht werden. Es gelten hohe Beweisanforderungen (BGE 133 II 6 E. 3.3 S. 13; 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16 mit Hinweisen). An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland sind umso höhere Anforderungen zu stellen, je älter das nachzuziehende Kind ist bzw. je grösser die ihm in der Schweiz drohenden Integrationsschwierigkeiten sind (vgl. BGE 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16 sowie BGE 133 II 6 E. 5.3 S. 19 f. mit Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte i.S. Tuquabo-Tekle u. andere gegen die Niederlande [Nr. 60665 vom 1. Dezember 2005]).
2.3 Der 1989 in der Schweiz geborene Sohn der Beschwerdeführerin wurde 1992 zusammen mit seinem Bruder zurück ins Heimatland gebracht. Bis 2005 wurde er dort von der Urgrossmutter bzw. einer Tante und danach bis zu seiner Einreise in die Schweiz im März 2007 von seinem Vater in Österreich betreut. Die Notwendigkeit seines Nachzugs in die Schweiz wird von der Beschwerdeführerin damit begründet, dass der Sohn nicht mehr bei seinem Vater bleiben könne bzw. wolle. Die Angaben betreffend die näheren Umstände sowie den heutigen Aufenthaltsort des Vaters (unbekannter Aufenthaltsort bzw. Serbien) bzw. des zweiten Sohnes (Serbien bzw. Österreich) sind widersprüchlich. Wie dem auch sei, ändert dies nichts an der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin während Jahren freiwillig in Kauf genommen hat, von ihrem Sohn getrennt zu leben, und seine Erziehung der Urgrossmutter, der Tante bzw. dem Kindsvater überlassen hat, obwohl ihr bei der Scheidung im Jahre 1994 für die beiden Kinder das Sorgerecht zugesprochen worden ist. Auch nach ihrer bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug im September 1999 sind keine Bemühungen ersichtlich, die Kinder wieder in die Schweiz nachzuziehen.
Stichhaltige Gründe für die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechts bringt die Beschwerdeführerin auch in ihrer Eingabe an das Bundesgericht keine vor. Dabei wurde sie im Jahre 2004 von der solothurnischen Fremdenpolizeibehörde ausdrücklich auf die Schwierigkeit eines späteren nachträglichen Gesuchs um Aufenthaltsbewilligung für die Kinder aufmerksam gemacht. Trotzdem hat die Beschwerdeführerin das Nachzugsgesuch für den älteren Sohn erst gestellt, als dieser unmittelbar vor Erreichung der Volljährigkeit stand. Aufgrund des Alters des Sohnes konnte das Ziel des gemeinsamen Familienlebens somit nur noch eine nebensächliche Rolle spielen. Der vom Gesetz vorgesehen Zweck des Familiennachzugs wird aber von vornherein verfehlt, wenn nicht die Familienzusammenführung, sondern andere Motive wie beispielsweise Ausbildungsmöglichkeiten bzw. Berufsaussichten das Gesuch bestimmen. Dass der Sohn der Beschwerdeführerin es vorzieht, in der Schweiz eine Lehre zu machen und zu arbeiten, ist somit nicht geeignet, das Nachzugsgesuch zu begründen. Seine Deutschkenntnisse wären im Fall eines Verbleibs in der Schweiz gewiss von Vorteil, aber stellen selbstverständlich keinen Grund dar, den Familiennachzug zu bewilligen.
Selbst wenn die Urgrossmutter, die den Sohn in Serbien betreut hat, inzwischen gestorben ist, und sich der Vater nicht mehr um ihn kümmern kann, besteht damit noch keine Notwendigkeit für den Nachzug des Sohnes in die Schweiz. Als junger Erwachsener bedurfte er bereits im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung nicht mehr einer engen familiären Betreuung. Er ist in Serbien aufgewachsen, wo auch heute noch Verwandte (offenbar auch der Vater) leben, und ist mit der dortigen Sprache und den kulturellen Gepflogenheiten nach wie vor bestens vertraut. Es ist ihm zuzumuten, nach Serbien zurückzukehren, wo er im Übrigen nicht auf sich alleine gestellt sein wird, da dort ausser sonstigen Verwandten auch die Tante lebt, die ihn über längere Zeit betreut hatte. Es steht ihm zudem frei, nach Österreich auszureisen, wo er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügte und nach Angabe in der Beschwerdeschrift sein inzwischen verheirateter Bruder immer noch wohnt. Weiter ist es der Beschwerdeführerin nicht verwehrt, ihren Sohn finanziell zu unterstützen, selbst wenn sich dieser nicht in der Schweiz aufhält, und den Kontakt zu ihm von der Schweiz aus zu pflegen, wie sie das über viele Jahre hinweg getan hat.
2.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass keine stichhaltigen Gründe für eine Übersiedelung des Sohnes Mica zu seiner Mutter in die Schweiz bestehen und das verzögerte nachträgliche Familiennachzugsgesuch zu Recht abgewiesen wurde. Zur Begründung kann ergänzend auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. 3.1 Die Beschwerde erweist sich somit als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.2 Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Departement des Innern, Abteilung Ausländerfragen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Müller Dubs