Faits:
A. Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 2 novembre 2009, le juge II des districts d'Hérens et Conthey (ci-après: le juge de district) a, notamment, autorisé les conjoints A._ et B.X._ à se constituer un domicile séparé pour une durée indéterminée, attribué à l'épouse l'usage du domicile familial et condamné le mari à verser à celle-ci une contribution d'entretien d'un montant de 1'750 fr. pour juillet 2009, de 1'950 fr. pour août 2009 puis de 1'250 fr. par mois dès septembre 2009.
B. Le 8 avril 2011, le mari a déposé une demande en divorce et, le 13 juillet suivant, une requête de mesures provisionnelles, modifiée lors de l'audience du 28 novembre 2011, tendant à ce qu'il soit dispensé de toute contribution à l'entretien de l'épouse.
Le juge de district a, par décision du 18 janvier 2012, modifié la décision de mesures protectrices de l'union conjugale en ce sens que la contribution en faveur de l'épouse est supprimée avec effet dès le 1er août 2011.
Par décision du 27 avril 2012, la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a admis l'appel interjeté par l'épouse contre la décision du 18 janvier 2012 et rejeté la requête de mesures provisionnelles du mari.
C. Par acte du 25 mai 2012, le mari exerce un recours en matière civile contre la décision du 27 avril 2012. Il conclut, principalement, à son annulation et à la confirmation de la décision de première instance. Subsidiairement, il demande le renvoi de l'affaire à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
L'intimée et l'autorité cantonale proposent le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2), rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité de dernière instance cantonale statuant sur recours (art. 75 LTF), dans une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). Il a en outre été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), de sorte qu'il est en principe recevable.
1.2 Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles (art. 276 CPC; ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine un tel grief que s'il a été dûment invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF), à savoir exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités). Lorsque la partie recourante se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), elle ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme elle le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; elle ne saurait en particulier se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction précédente mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une application du droit ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (ATF 134 II 349 et les références). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale. Les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent donc pas directement puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1, 585 consid. 4.1). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision.
2. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) et du déni de justice formel (art. 29 Cst.) ainsi que le devoir des parties de collaborer à l'administration des preuves (art. 164 CPC), le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir apprécié les preuves sans tenir compte du comportement procédural de l'intimée. Il reproche, d'une part, à l'intéressée d'avoir refusé de le renseigner sur sa situation financière, en particulier d'avoir tu qu'elle percevait des indemnités de chômage parallèlement à sa contribution d'entretien. Il soutient d'autre part que, contrairement à ce qu'elle avait d'abord affirmé devant la justice, l'intimée vit en concubinage, ce qui aurait dû être pris en compte dans le calcul de son minimum vital.
2.1 La décision de première instance constate que, dans la procédure de modification des mesures protectrices par voie de mesures provisionnelles comme dans celle de divorce, actuellement pendante, l'épouse a fourni au mari tous les renseignements utiles, en l'état, sur sa situation financière actuelle. Partant, l'autorité cantonale ne saurait se voir reprocher d'avoir fait preuve d'arbitraire à ce sujet. S'agissant plus particulièrement des indemnités de chômage perçues par l'intimée, cette question ne relève ni de l'art. 29 Cst., ni de l'art. 164 CPC. En effet, l'arrêt attaqué retient que ces indemnités ont été versées postérieurement au prononcé de la décision de mesures protectrices du 2 novembre 2009, de sorte qu'on ne peut considérer que celle-ci repose sur des constatations factuelles erronées qui impliqueraient une modification. Le recourant, qui ne critique pas cette motivation, a du reste intenté à cet égard une procédure de révision de la décision du 2 novembre 2009. Ses griefs tombent dès lors à faux.
2.2 En ce qui concerne le concubinage de l'intimée, le recourant soutient à juste titre qu'il a invoqué celui-ci dans ses déterminations sur appel du 2 mars 2012, en demandant qu'il soit pris en compte dans le calcul du minimum vital de l'intéressée. Bien qu'il s'agisse-là d'un fait nouveau, l'autorité cantonale ne pouvait passer cette allégation sous silence sans en indiquer les motifs. Supposée avérée et présentée dans les formes et délais légaux, cette circonstance présentait en effet une certaine pertinence pour déterminer si la situation financière de l'épouse s'était améliorée (arrêts 5A_464/2012 du 30 novembre 2012 consid. 4.4.2; 5P.90/2002 du 1er juillet 2002 consid. 2b publié in FamPra.ch 2002 p. 813). En ne se prononçant ni sur la recevabilité ni sur le bien-fondé de cette allégation, l'autorité cantonale a dès lors violé l'art. 29 Cst., singulièrement le droit du recourant à une décision motivée (ATF 134 I 83 consid. 4.1). Le recours doit par conséquent être admis sur ce point et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à ce sujet.
3. Se référant à l'art. 29 al. 1 Cst. (recte: art. 29 al. 2 Cst.), le recourant se plaint en outre d'une violation de son droit d'être entendu, sous l'angle du droit à une décision motivée. Ce grief n'étant pas étayé, sa recevabilité apparaît douteuse (art. 106 al. 2 LTF). Quoi qu'il en soit, l'autorité cantonale s'est conformée aux exigences posées par la jurisprudence en mentionnant, au moins brièvement, les principes juridiques applicables et les motifs à l'appui de sa décision. Il ressort par ailleurs de son argumentation fondée sur l'arbitraire que le recourant a compris le sens et la portée de la décision attaquée (cf. ATF 134 I 83 consid. 4.1; 133 III 439 consid. 3.3; 130 II 530 consid. 4.3; 125 II 369 consid. 2c et les références).
4. Le recourant reproche par ailleurs à l'autorité cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits et l'application du droit en refusant de supprimer la contribution due à l'intimée.
4.1 Les époux peuvent solliciter la modification de mesures protectrices de l'union conjugale si, depuis l'entrée en vigueur de celles-ci, les circonstances de fait ont changé d'une manière essentielle et durable, notamment en matière de revenus, à savoir si un changement significatif et non temporaire est survenu postérieurement à la date à laquelle la décision a été rendue, ou encore si le juge s'est fondé sur des faits erronés (art. 179 al. 1 CC; arrêt 5A_402/2010 du 10 septembre 2010 consid. 4.2.2 et les références), autrement dit si les faits qui ont fondé le choix des mesures dont la modification est sollicitée se sont révélés faux ou ne se sont par la suite pas réalisés comme prévus (arrêt 5A_218/2012 du 29 juin 2012 consid. 3.3.3 et les références). Une modification peut également être demandée si la décision de mesures protectrices ou provisionnelles est apparue plus tard injustifiée parce que le juge appelé à statuer n'a pas eu connaissance de faits importants (ATF 129 III 60 consid. 2; arrêt 5A_883/2011 du 20 mars 2012 consid. 2.4 et les arrêts cités).
La décision de mesures protectrices étant revêtue d'une autorité de la force de chose jugée limitée (ATF 127 III 474 consid. 2b/aa), les parties ne peuvent pas invoquer, pour fonder leur requête en modification, une mauvaise appréciation des circonstances initiales, que le motif relève du droit ou de l'établissement des faits allégués sur la base des preuves déjà offertes (arrêt 5A_511/2010 du 4 février 2011 consid. 2.1; 5A_618/2009 du 14 décembre 2009 consid. 3.2.2). Pour faire valoir de tels motifs, seules les voies de recours sont ouvertes (arrêt 5A_147/2012 du 26 avril 2012 consid. 4.2.1).
4.2 En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que le juge de première instance avait admis à tort le principe d'un réexamen de la situation des parties au motif que l'épouse avait bénéficié, entre le 27 août 2009 et le 26 août 2011, d'indemnités de chômage pour un montant net de 2'353 fr. 55 par mois, circonstance qui n'avait pas été portée à la connaissance du juge des mesures protectrices avant qu'il ne rende la décision du 2 novembre 2009 qui, partant, reposait sur des constatations de fait erronées. Selon la décision attaquée, les prestations de l'assurance chômage requises par l'intéressée le 4 septembre 2009 n'avaient pu lui être versées avant le 4 novembre 2009, de sorte qu'elle ne percevait pas encore d'indemnités au jour du prononcé de la décision de mesures protectrices du 2 septembre 2009; dans ces conditions, on ne pouvait considérer que cette décision reposait sur des constatations factuelles erronées. Au surplus, même si l'on devait retenir que le revenu que l'épouse obtient de la location de l'appartement sis dans la maison familiale se monte dorénavant à 1'000 fr. par mois au lieu de 850 fr. par mois en 2009, pareille augmentation ne pourrait être tenue pour suffisamment notable pour qu'il soit entré en matière sur la conclusion du mari tendant à la suppression de toute contribution d'entretien. Enfin, il était constant que l'intimée avait désormais épuisé son droit au versement d'indemnités de chômage. Quant à la situation du mari, il n'était pas établi que celle-ci se fût péjorée dans une notable mesure depuis le prononcé de la décision de mesures protectrices du 2 novembre 2009.
4.2 En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que le juge de première instance avait admis à tort le principe d'un réexamen de la situation des parties au motif que l'épouse avait bénéficié, entre le 27 août 2009 et le 26 août 2011, d'indemnités de chômage pour un montant net de 2'353 fr. 55 par mois, circonstance qui n'avait pas été portée à la connaissance du juge des mesures protectrices avant qu'il ne rende la décision du 2 novembre 2009 qui, partant, reposait sur des constatations de fait erronées. Selon la décision attaquée, les prestations de l'assurance chômage requises par l'intéressée le 4 septembre 2009 n'avaient pu lui être versées avant le 4 novembre 2009, de sorte qu'elle ne percevait pas encore d'indemnités au jour du prononcé de la décision de mesures protectrices du 2 septembre 2009; dans ces conditions, on ne pouvait considérer que cette décision reposait sur des constatations factuelles erronées. Au surplus, même si l'on devait retenir que le revenu que l'épouse obtient de la location de l'appartement sis dans la maison familiale se monte dorénavant à 1'000 fr. par mois au lieu de 850 fr. par mois en 2009, pareille augmentation ne pourrait être tenue pour suffisamment notable pour qu'il soit entré en matière sur la conclusion du mari tendant à la suppression de toute contribution d'entretien. Enfin, il était constant que l'intimée avait désormais épuisé son droit au versement d'indemnités de chômage. Quant à la situation du mari, il n'était pas établi que celle-ci se fût péjorée dans une notable mesure depuis le prononcé de la décision de mesures protectrices du 2 novembre 2009.
4.3 4.3.1 En ce qui concerne la situation financière de l'épouse, le recourant ne conteste pas l'opinion de l'autorité cantonale selon laquelle le juge des mesures protectrices ne s'est pas fondé sur des faits erronés, se contentant de se plaindre à cet égard du «comportement procédural» de l'intimée, dont il aurait fallu tenir compte dans l'appréciation des preuves. Il ne s'en prend pas non plus au raisonnement de la juge précédente concernant l'éventuelle augmentation du loyer perçu par l'épouse. Enfin, il ne nie pas non plus que celle-ci ait épuisé son droit au versement d'indemnités de chômage. Dès lors que l'autorité cantonale a estimé, sans que le recourant ne démontre d'arbitraire à ce sujet, que les facultés économiques de l'épouse n'avaient pas fait l'objet de constatations erronées au moment du prononcé des mesures protectrices de l'union conjugale, et qu'elles ne s'étaient pas non plus améliorées de manière essentielle et durable depuis cette date, il n'était pour le moins pas insoutenable de considérer qu'une modification de la contribution d'entretien ne se justifiait pas pour de tels motifs. Sont dès lors sans pertinence les griefs du recourant concernant l'absence de prise en compte, par l'autorité cantonale, des constatations du premier juge concernant la capacité économique de l'épouse, en particulier s'agissant du revenu hypothétique pouvant être imputé à celle-ci. La procédure de modification n'a en effet pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles (arrêt 5A_193/2012 consid. 3 et les arrêts cités).
4.3.2 Quant à la péjoration de la situation financière du mari, jugée non établie par l'autorité cantonale, celui-ci ne démontre pas non plus l'arbitraire. Selon la décision attaquée, le revenu qu'il réalise actuellement, à savoir 6'369 fr. par mois, a augmenté de 723 fr. par rapport à celui qu'il percevait en 2009, soit 5'645 fr. Il fait actuellement ménage commun avec sa compagne, le couple vivant dans la maison dont celle-ci est propriétaire. Il a certes produit un contrat daté du 14 septembre 2011 par lequel elle lui a remis à bail l'appartement de trois pièces sis au premier étage de cette villa pour un loyer de 1'500 fr. par mois. Toutefois, ce montant apparaît d'emblée excessif compte tenu du concubinage existant entre les intéressés, qui implique un partage de frais, notamment de logement. Une somme maximale de 1'000 fr. doit donc être comptabilisée à ce titre. Or, dans la décision du 2 novembre 2009, le juge de district avait retenu un montant approchant, soit 900 fr. de frais - prévisibles - de loyer. Par ailleurs, compte tenu de dite cohabitation, sa base mensuelle du droit des poursuites s'élève dorénavant à 850 fr., alors qu'elle était de 1'100 fr. en 2009. En outre, dans la comparaison de ses dépenses entre 2009 et 2012, il n'y a pas lieu de prendre en considération les contributions qu'il verse à ses deux enfants, qui sont majeurs. Pour le surplus, il n'apparaît pas que l'intéressé assumerait actuellement de nouvelles et importantes charges par rapport à celles qui existaient en 2009. Dans ces circonstances, il n'est - tant s'en faut - pas établi, fût-ce selon le degré de la vraisemblance, que la situation économique du mari se soit péjorée dans une notable mesure depuis le prononcé des mesures protectrices.
Le recourant se contente d'affirmer, de manière appellatoire, que ses charges ont augmenté dans une notable mesure, ce qui n'est pas suffisant au regard des exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF. De plus, quand bien même le salaire actuel du recourant serait, comme il l'allègue, de l'ordre de 5'850 fr. et non de 6'369 fr., la décision attaquée retient qu'en 2009, son revenu était de 5'645 fr., ce qu'il ne conteste pas. Dès lors, il n'apparaît pas que ledit revenu ait diminué. Ses explications concernant son loyer ne permettent pas non plus de considérer que l'autorité cantonale a arrêté celui-ci de manière insoutenable. Enfin, cette juridiction n'a pas non plus fait preuve d'arbitraire en refusant d'inclure dans le minimum vital élargi du mari les sommes qu'il verse à ses deux enfants majeurs, l'obligation d'entretien du conjoint l'emportant sur celle de ceux-ci (sur ce point: ATF 132 III 209 consid. 2.3 et les références).
4.4 Vu ce qui précède, les allégations du recourant tendant à démontrer que l'autorité cantonale aurait arbitrairement violé le droit fédéral, en particulier les art. 276 CPC et 179 CC, en relation avec l'art. 125 CC, allégations fondées en particulier sur la nécessité d'imputer un revenu hypothétique à l'épouse, se révèlent infondées, dans la mesure de leur recevabilité.
5. En conclusion, le recours doit être partiellement admis, pour violation de l'art. 29 Cst., la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle se prononce à nouveau dans le sens du considérant 2.2 ci-dessus. Vu l'issue incertaine de la procédure, il se justifie de mettre les frais judiciaires pour moitié à la charge de chacune des parties et de compenser les dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour 1'000 fr. à la charge du recourant et pour 1'000 fr. à la charge de l'intimée.
3. Les dépens sont compensés.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 25 février 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot