Sachverhalt:
A. A.a Die 1992 geborene B._ leidet seit Geburt an schwerer cerebraler Bewegungsstörung im Sinne einer Tetraplegie. Sie bezog deswegen verschiedene Leistungen der Invalidenversicherung. Unter anderem sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich (weiterhin) bis 30. Juni 2012 medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Nr. 390, Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades mit Intensivpflegezuschlag schweren Grades für die Zeit vom 1. Januar 2004 bis 30. Juni 2010 sowie die Kosten für ein Elektrobett ab 1. Februar 2005 bis 31. Januar 2010 zu (Verfügungen vom 22. Oktober 1998, 19. August 2004 und 19. Juli 2005).
A.b Seit September 1998 besuchte B._ die Scuola Elementare in dem in Italien gelegenen X._. Am selben Ort arbeitete ihr Vater als ... mit eigenem Atelier. Mit an die Wohnadresse der Familie in Z._ geschicktem Vorbescheid vom 16. August 2001 teilte die IV-Stelle mit, die Pflegebeiträge und Hauspflegebeiträge müssten zum 1. Januar 2001 aufgehoben werden, weil davon auszugehen sei, dass der gewöhnliche Aufenthalt resp. Lebensmittelpunkt von B._ in der Schweiz nicht mehr gegeben sei. Dagegen erhoben die anwaltlich vertretenen Eltern Einwände. Mit Schreiben vom 7. Dezember 2001 annullierte die IV-Stelle den Vorbescheid mit der Begründung, der Anspruch für Pflegebeiträge bleibe auch für Versicherte bestehen, welche ihren Wohnsitz im Ausland hätten.
A.c Die telefonische Mitteilung des Vaters von B._ vom 7. März 2006, die Wohnadresse sei neu in S._, sowie die Auskunft der Einwohnerkontrolle Z._, dass bisher keine Abmeldung erfolgt sei, veranlassten die IV-Stelle zu weiteren Abklärungen zum Wohnsitz. Mit Vorbescheid vom 19. Juli 2006 teilte sie mit, die Verfügungen vom 22. Oktober 1998 (medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Nr. 390), 19. August 2004 (Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades mit Intensivpflegezuschlag schweren Grades) und 19. Juli 2005 (Mietkosten für ein Elektrobett) würden per sofort aufgehoben. Zur Begründung gab sie an, die Voraussetzungen des gewöhnlichen Aufenthaltes in der Schweiz seien nicht mehr gegeben. Der Lebensmittelpunkt liege ganz klar in Italien. Mit Verfügung vom 1. Februar 2007 hob die IV-Stelle im Sinne des Vorbescheids sämtliche laufenden Leistungen mangels versicherungsmässiger Voraussetzungen auf.
B. Die Beschwerde der Eltern von B._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich teilweise gut. Es hob die Verfügung vom 1. Februar 2007 insoweit auf, als damit eine sofortige Leistungseinstellung angeordnet wurde und stellte fest, dass weiterhin bis zum Abschluss der Scuola Media, 3. Klasse, in X._ (Italien) Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung im Umfang der Verfügungen vom 22. Oktober 1998, 19. August 2004 und 19. Juli 2005 bestehe (Entscheid vom 30. April 2009).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 30. April 2009 sei aufzuheben.
Die Eltern von B._ beantragen die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen deren Gutheissung.
D. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2009 hat der Instruktionsrichter das Gesuch des Bundesamtes, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann unter Berücksichtigung der den Parteien obliegenden Begründungs- resp. Rügepflicht eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254; Urteile 9C_867/2008 vom 6. April 2009 E. 3 und 9C_562/2008 vom 3. November 2008 E. 1).
2. Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben schützt die Bürger in ihrem berechtigten Vertrauen auf behördliches Verhalten und bedeutet u.a., dass falsche Auskünfte von Verwaltungsbehörden unter bestimmten Voraussetzungen eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung der Rechtsuchenden gebieten. Gemäss Rechtsprechung ist eine falsche Auskunft bindend, wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat und sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder aus zureichenden Gründen als zuständig betrachtet werden durfte, wenn die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne weiteres erkennbar war, der oder die Betroffene im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können und wenn die gesetzliche Ordnung seit der Auskunfterteilung keine Änderung erfahren hat (öffentlich-rechtlicher Vertrauensschutz; BGE 127 I 31 E. 3a S. 36; 126 II 377 E. 3a S. 387; 121 V 65 E. 2a S. 66; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 113/06 vom 8. Mai 2006 E. 3). Praxisgemäss können nicht bloss falsche Auskünfte eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung der Rechtsuchenden gebieten. Vielmehr kann jede Form behördlichen Verhaltens den öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutz auslösen, wenn und soweit es beim Betroffenen eine entsprechende Vertrauenssituation schafft (BGE 111 Ib 116 E. 4 S. 124; Etienne Grisel, Traité de droit administratif, 1984, S. 390 f.; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts H 31/96 vom 24. März 1997 E. 5b). Der Berufung auf Treu und Glauben dürfen keine überwiegende öffentliche Interessen gegenüberstehen (BGE 129 I 161 E. 4.1 S. 170; Urteil 2C_244/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 3.3).
3. Gemäss Vorinstanz lagen im Zeitpunkt der Verfügung vom 1. Februar 2007 die versicherungsmässigen Voraussetzungen für die Weiterausrichtung der in Frage stehenden Leistungen (medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Nr. 390, Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades mit Intensivpflegezuschlag schweren Grades, Mietkosten für ein Elektrobett) nicht mehr vor. Insbesondere habe die Beschwerdeführerin seit September 1998 (Eintritt in die Scuola Elementare) Wohnsitz in X._, Italien, gehabt. Dort sei auch ihr gewöhnlicher Aufenthalt gewesen. Die tatsächlichen Verhältnisse hätten sich seither nicht wesentlich geändert. Die Voraussetzungen für eine materielle Revision der drei Verfügungen vom 22. Oktober 1998, 19. August 2004 und 19. Juli 2005 nach Art. 17 Abs. 2 ATSG seien somit nicht gegeben. Inwiefern diese drei Verwaltungsakte in Bezug auf die Annahme des Wohnsitzes in der Schweiz als zweifellos unrichtig zu betrachten wären und darauf wiedererwägungsweise zurückgekommen werden könnte (Art. 53 Abs. 2 ATSG), sei unbeachtlich, da die IV-Stelle spätestens seit August 2004 die fraglichen Leistungen unter dem Titel Vertrauensschutz weitergewährt habe. Diesbezüglich brauche nicht geprüft zu werden, ob die Anwendung des Grundsatzes von Treu und Glauben bereits im Jahre 2004 oder sogar früher richtig gewesen sei. In der Wohnsitznahme in X._ ab September 1998 zum Zwecke des Schulbesuchs sei eine jedenfalls im Zeitpunkt der Verfügung vom 1. Februar 2007 nicht wieder rückgängig zu machende Disposition zu erblicken, welche gegen die sofortige Einstellung der laufenden Leistungen gemäss Verfügungen vom 22. Oktober 1998, 19. August 2004 und 19. Juli 2005 spreche. Im Verfügungszeitpunkt habe die Beschwerdeführerin bereits im 8. Schuljahr (2. Klasse der Scuola Media) gestanden und die Möglichkeit gehabt, noch die 3. Klasse repetitiv zu besuchen, sodass ein Schulbesuch in X._ bis zum 16. Lebensjahr vorgesehen gewesen sei. Für die Zeit danach hätten noch keine konkreten Pläne bestanden. Die wiedererwägungsweise erfolgte Aufhebung habe demnach höchstens noch zwei Schuljahre beschlagen, nachdem die Beschwerdeführerin diese öffentliche Schule bereits seit fast acht Jahren besucht und diese sich bewährt habe. Angesichts der doch schon lange andauernden Aufenthalts- und Betreuungsverhältnisse wäre es ihr nicht zuzumuten gewesen, aus Wohnsitzgründen diese Bildungsinstitution für die restliche Schulzeit zu verlassen. In Beachtung des Vertrauensschutzes bestehe somit bis Ende der 3. Klasse der Scuola Media weiterhin Anspruch auf die entsprechenden Leistungen.
4. Die Beschwerde führende IV-Stelle wirft den Eltern der Beschwerdegegnerin, insbesondere der Mutter, ein rechtsmissbräuchliches Verhalten vor. Durch Vortäuschung falscher Tatsachen sei es ihnen gelungen, dass unter Umgehung der einschlägigen Gesetzesbestimmungen weiterhin Leistungen an die behinderte Tochter ausgerichtet worden seien, obschon diese nach Überzeugung der Vorinstanz unbestrittenermassen ihren Lebensmittelpunkt in Italien begründet habe. Bei der Prüfung der versicherungsmässigen Voraussetzungen unter dem Aspekt der Wohnsitzsituation im Rahmen der revisionsweisen Prüfung der Leistungspflicht hätten die Eltern angegeben, ihren Wohnsitz nach wie vor in der Schweiz zu haben und die Tochter halte sich im Sinne von Art. 26 ZGB zu schulischen Zwecken in Italien auf. Ebenfalls sei behauptet worden, Mutter und Tochter würden mindestens sechs Monate im Jahr in der Schweiz verbringen, was die Vorinstanz als unglaubhaft und im Widerspruch zu den Akten stehend bezeichnet habe. Die Eltern hätten bereits 2002 gewusst, dass bei der Annahme des Lebensmittelpunktes im Ausland die Leistungen eingestellt würden. Die Mutter habe sodann in der vorinstanzlichen Beschwerde behaupten lassen, sie würde nach wie vor Beiträge an die Sozialversicherung in der Schweiz entrichten, was die Vorinstanz widerlegt habe. Ein solches Verhalten verdiene keinen Rechtsschutz, weshalb die laufenden Leistungen aus wichtigen Gründen zu Recht mit Verfügung vom 1. Februar 2007 eingestellt worden seien. Das Rechtsmissbrauchsverbot sei sinngemäss höher zu gewichten als der öffentlich-rechtliche Vertrauensschutz. Im gleichen Sinne hat sich die Aufsichtsbehörde in ihrer Vernehmlassung geäussert. Der Grundsatz von Treu und Glauben setze den guten Glauben voraus, welcher aufgrund der falschen Angaben der Eltern der Beschwerdegegnerin klar nicht angenommen werden könne.
5. Nach unbestrittener Feststellung der Vorinstanz besuchte die Beschwerdegegnerin ab September 1998 die Scuola Elementare in X._, Italien. Seither weilte sie lediglich während (eines Teils) der Schulferien und allenfalls zur ärztlichen Behandlung in der Schweiz. Dies stellte eine wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen dar, welcher nach Art. 17 Abs. 2 ATSG Anlass zur Überprüfung der verschiedenen Leistungsansprüche und allfälligen Anpassung oder sogar Einstellung der laufenden Leistungen gab. Die IV-Stelle nahm im Sommer 2001 die gesetzlich geforderte Prüfung in Bezug auf den Anspruch auf Pflegebeiträge und Hauspflegebeiträge vor. Mit Vorbescheid vom 16. August 2001 verneinte sie Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt der Beschwerdegegnerin in der Schweiz und stellte die Aufhebung der Pflegebeiträge und Hilfspflegebeiträge ab 1. Januar 2001 in Aussicht. Aufgrund der Einwände in der Eingabe des Rechtsvertreters der Eltern vom 20. September 2001 sowie unter Berücksichtigung der internen Stellungnahme ihres Rechtsdienstes vom 7. Dezember 2001 annullierte die Verwaltung den Vorbescheid mit Schreiben vom 7. Dezember 2001. Darin hielt sie fest, "dass der Anspruch für Pflegebeiträge auch für Versicherte, welche ihren Wohnsitz im Ausland haben, bestehen bleibt". Inwiefern in der Eingabe vom 20. September 2001 gegen den Vorbescheid Unwahrheiten oder Irreführendes gesagt wurde, welche die IV-Stelle veranlassen konnten, auf die vorgesehene Leistungseinstellung zurückzukommen, ist nicht ersichtlich. Dass die Familie in Z._ angemeldet war, traf zu, ist indessen für die Wohnsitzfrage ohne Bedeutung. Im Wesentlichen gestützt auf die bei Erlass des Vorbescheids vom 16. August 2001 bestandenen Akten hat die Vorinstanz die Wohnsitzfrage geprüft und klar im Sinne eines Wohnsitzes in Italien seit September 1998 beantwortet. Weitere diesbezügliche Abklärungen waren nicht erforderlich. Die Entrichtung von Beiträgen an die schweizerische Sozialversicherung wurde im Übrigen erstmals in der vorinstanzlichen Beschwerde behauptet und ist daher im Zusammenhang ohne Bedeutung. Unter diesen Umständen kann nicht von einem in Bezug auf den Wohnsitz und den gewöhnlichen Aufenthalt der Beschwerdegegnerin täuschenden Verhalten ihrer Eltern gesprochen werden, welches unter dem Gesichtspunkt des Rechtsmissbrauchsverbots eine sofortige Leistungseinstellung rechtfertigte.
6. 6.1 Das Schreiben vom 7. Dezember 2001 stellt eine formlose Mitteilung dar (Art. 74ter IVV), welche wie eine formelle Verfügung Rechtskraft erlangte (Art. 51 ATSG; SVR 2009 UV Nr. 21, 8C_99/2008 E. 3.2; vgl. auch BGE 134 V 145 E. 5.2 S. 150). Nach Art. 53 Abs. 2 ATSG (in Verbindung mit Art. 2 ATSG und Art. 1 Abs. 1 IVG) kann die IV-Stelle auf eine formell rechtskräftige Verfügung zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig und die Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist, was bei Dauerleistungen regelmässig zutrifft. Ziel und Zweck der Wiedererwägung ist, wenn spezifisch invalidenversicherungsrechtliche Aspekte zur Diskussion stehen, mit Wirkung ex nunc et pro futuro einen rechtskonformen Zustand herzustellen. Die Wiedererwägung ist jederzeit möglich, insbesondere auch wenn die Voraussetzungen der Revision nach Art. 17 ATSG nicht erfüllt sind (Urteil 9C_960/2008 vom 6. März 2009 E. 1.2 mit Hinweisen). Die Wiedererwägungsregeln kommen auch bei formloser Leistungszusprache zur Anwendung (Urteil I 139/05 vom 28. November 1995 E. 1).
6.2 Nachdem im Vorbescheid vom 16. August 2001 ein Wohnsitz in der Schweiz verneint worden war, konnte trotz der Bezeichnung der Tochter als Versicherte die Aussage im Schreiben der IV-Stelle vom 7. Dezember 2001, "dass der Anspruch für Pflegebeiträge auch für Versicherte, welche ihren Wohnsitz im Ausland haben, bestehen bleibt", nach ihrem wirklichen rechtlichen Gehalt, auf den es praxisgemäss ankommt (Urteil 9C_761/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 3) nur dahingehend verstanden werden, dass die IV-Stelle nach wie vor von einem Wohnsitz im Ausland ausging. Die gleichzeitige Bejahung der Anspruchsberechtigung ist nach zutreffender und unwidersprochen gebliebener Auffassung der Vorinstanz zweifellos unrichtig. Die von der IV-Stelle am 1. Februar 2007 verfügte sofortige Einstellung der laufenden Leistungen (medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Nr. 390, Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades mit Intensivpflegezuschlag schweren Grades sowie die Kosten für ein Elektrobett gemäss Verfügungen vom 22. Oktober 1998, 19. August 2004 und 19. Juli 2005) erfolgte somit grundsätzlich zu Recht, ist doch auch die weitere Wiedererwägungsvoraussetzung - die Erheblichkeit der Berichtigung - ohne weiteres erfüllt.
7. 7.1 Nach Auffassung der Vorinstanz ist in der Wohnsitznahme in X._ ab September 1998 zum Zwecke des Schulbesuchs eine (jedenfalls im Verfügungszeitpunkt 1. Februar 2007) nicht wieder rückgängig zu machende nachteilige Disposition im Sinne des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes zu erblicken, welche die Weiterausrichtung der Leistungen bis zum Abschluss der Scuola Media rechtfertige. Damit hat sie den Zeitpunkt des vertrauensbildenden Verhaltens der IV-Stelle spätestens in den September 1998 gelegt.
7.2 Die Eltern der Beschwerdegegnerin hatten den (bevorstehenden) Eintritt ihrer Tochter in die Scuola Elementare in X._ und die ständige Betreuung durch die Mutter nicht gemeldet. Dazu wären sie nach Art. 31 Abs. 1 ATSG an sich verpflichtet gewesen. In jeder der zahlreichen Verfügungen wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass geänderte tatsächliche Verhältnisse gemeldet werden müssen. Erstmals im Rahmen eines Telefongesprächs am 13. August 2001 gab die Mutter an, ihre Tochter gehe in X._ in die Schule und wohne in dieser Zeit auch dort. Sie weile nur während den Ferien in der Schweiz. Bis zu diesem Zeitpunkt bestanden keine genügenden Anhaltspunkte, welche die IV-Stelle bei der gebotenen Aufmerksamkeit hätten veranlassen müssen, die Frage der versicherungsmässigen Voraussetzungen unter dem Gesichtspunkt des Wohnsitzes und gewöhnlichen Aufenthalts in der Schweiz näher abzuklären. Die gesamte Korrespondenz (Leistungsgesuche, Mitteilungen, Vorbescheide, Verfügungen) erfolgte über die Wohnadresse der Eltern der Beschwerdegegnerin in Z._. Die medizinischen Behandlungen und Therapien wurden in der Schweiz durchgeführt, Physiotherapie gemäss den Angaben der Mutter anlässlich der Abklärung vor Ort am 7. Januar 1999 einmal wöchentlich in O._. Sodann sprach die behandelnde Heilpädagogin bei Gelegenheit zweier Telefongespräche vom 13. Juli und 31. August 1998 lediglich davon, die Eltern seien vorläufig in Italien und versuchten dort, ihre behinderte Tochter einzuschulen. Die Mutter äusserte sich bei ihrer Vorsprache betreffend die Abgabe einer Sitzvorrichtung als therapeutisches Hilfsmittel zum Transport ihrer behinderten Tochter mit dem Auto in dem Sinne, ab 5. Januar 1999 für mehrere Monate nach Italien zu gehen. Diese Umstände deuteten darauf hin, dass der Erfolg der versuchten Einschulung noch nicht feststand und ein voraussichtlich längerer Besuch der Scuola Elementare und allenfalls der Scuola Media ungewiss war. Daraus allein musste die IV-Stelle nicht auf eine mögliche Wohnsitzverlegung nach Italien schliessen. Vielmehr durfte sie davon ausgehen, dass ihr ein Definitivum im Sinne eines absehbar längeren Besuch der Schule in X._ gemeldet werde.
7.3 Eine die sofortige Leistungseinstellung ausschliessende Vertrauensgrundlage kann somit frühestens ab dem Schreiben der IV-Stelle vom 7. Dezember 2001, mit welchem der Vorbescheid vom 16. August 2001 annulliert wurde, angenommen werden. Bezogen auf die Situation Ende Dezember 2001 kann sich somit unter dem Gesichtspunkt des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes einzig fragen, ob die Eltern ihre Tochter aus der Schule in X._ genommen und die (Sonder-)Schulung in der Schweiz fortgesetzt hätten, wenn die IV-Stelle eine im Sinne des Vorbescheids vom 16. August 2001 lautende Verfügung erlassen hätte. Diese Frage ist unter dem Gesichtspunkt des Kindeswohls zu verneinen. Nach verbindlicher Feststellung der Vorinstanz hatte sich der Besuch in einer öffentlichen Schule in Italien und die ständige Betreuung durch die Mutter und den Vater bewährt. Es ist nicht anzunehmen, dass die Eltern an dieser für ihr Kind vorteilhaften Situation etwas geändert hätten.
Der öffentlich-rechtliche Vertrauensschutz bildet somit keine Grundlage, um die im Zeitpunkt der Verfügung vom 1. Februar 2007 laufenden Leistungen für eine bestimmte Zeit weiter auszurichten. Die Beschwerde ist, im Ergebnis, begründet.
8. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. April 2009 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat die Gerichtskosten und die Parteikostenentschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler