Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies am 20. April 2015 eine Beschwerde und ein Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat. Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, der Beschluss vom 20. April 2015 sei vollumfänglich nichtig zu erklären und aufzuheben (Antrag 24). Indessen unterlässt er es einmal mehr, sich gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG mit den Erwägungen der Vorinstanz zu befassen. Wie schon öfter beschränken sich seine Ausführungen auf eine allgemeine Kritik an verschiedenen Verfahren und Behörden sowie auf die Erwähnung mehrerer Rechtssätze insbesondere der EMRK, die angeblich verletzt worden sein sollen. Solche Vorbringen sind unzulässig. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Wegen der querulatorischen Art der Prozessführung kommt eine Reduktion der Gerichtskosten nicht in Betracht.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn