Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene B._ war vom 1. November 1986 bis zum 31. März 1998 bei der Firma A._ angestellt und über seine Arbeitgeberin bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Berufskrankheiten versichert. Am 17. November 2005 liess der Versicherte der SUVA sein Lungenleiden melden; er führte dieses auf eine Asbeststaub-Exposition in den Jahren 1986 bis 1989 an seinem damaligen Arbeitsplatz, dem Bauwerk X._ zurück. Die SUVA verneinte mit Verfügung vom 17. Juli 2007 und Einspracheentscheid vom 10. Juli 2008 einen Leistungsanspruch, da das geltend gemachte Leiden nicht als Berufskrankheit zu qualifizieren sei.
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 14. Januar 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt B._ sinngemäss, die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
D. Das Bundesgericht gewährte den Parteien das rechtliche Gehör zur Frage, ob die geltend gemachte Berufskrankheit im Sinne von Art. 9 Abs. 3 UVG ausgebrochen sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat, setzt die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (Art. 6 Abs. 1 UVG). Als Berufskrankheiten gelten Krankheiten (Art. 3 ATSG), die bei der beruflichen Tätigkeit ausschliesslich oder vorwiegend durch schädigende Stoffe oder bestimmte Arbeiten verursacht worden sind. Der Bundesrat erstellt die Liste dieser Stoffe und Arbeiten sowie der arbeitsbedingten Erkrankungen (Art. 9 Abs. 1 UVG). Die schädigenden Stoffe und arbeitsbedingten Erkrankungen sind im Anhang 1 zur UVV aufgeführt. In dieser Liste wird "Asbeststaub" als schädigender Stoff erwähnt.
3. Es steht fest und ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer in den Jahren 1986 bis 1989 im Bauwerk X._ gearbeitet hat. Es ist weiter bekannt, dass in diesem Bürogebäude asbesthaltige Materialien verbaut waren; das Bauwerk X._ wurde in den 1990er Jahren saniert. Unbestritten ist im weiteren die Diagnose der rechtsbetonten Pleuraplaques beim Versicherten. Streitig und zu prüfen ist demgegenüber, ob diese Pleuraplaques vorwiegend auf eine berufsbedingte Asbeststaub-Exposition in den Jahren 1986 bis 1989 zurückzuführen sind.
4. 4.1 Da das Bauwerk X._ in den 1990er Jahren asbestsaniert wurde, können heute keine für die hier zu entscheidenden Fragen relevanten Messungen über die Asbestbelastung mehr durchgeführt werden. Die SUVA verfügt jedoch aus anderen Dossiers über Messresultate aus den Jahren 1989, 1991 und 1996. Diese Messungen ergaben Konzentrationen an lungengängigen Asbestfasern, welche unter den Werten, die in den 1980er Jahren auch in der Aussenluft zu erwarten waren, lagen. Somit ist nicht überwiegend wahrscheinlich, dass die Pleuraplaques vorwiegend auf eine berufsbedingte Asbeststaub-Exposition in diesem Gebäude zurückzuführen sind. Solches wird vom Beschwerdeführer letztinstanzlich auch nicht mehr behauptet.
4.2 Der Versicherte macht geltend, in den Jahren 1986 bis 1989 berufsbedingt mehrere Stunden am Tag in einem halboffenen Raum (überdachter Zugang) verbracht zu haben; in diesen wurde die gesamte Abluft des Gebäudes geleitet. Wie jedoch H._, SUVA Bereich Chemie, in seinen Stellungnahmen vom 8. Januar und 10. Juni 2008 nachvollziehbar und überzeugend dargelegt hat, ist in diesem Bereich eher mit einem weiteren Verdünnungseffekt als mit einer Aufkonzentration von Asbestfasern zu rechnen. Daran vermag auch der Umstand nichts zu ändern, dass die asbestfaserhaltigen Baustoffe gerade im Bereich der Lüftung verbaut worden waren. Es erscheint demnach als überwiegend wahrscheinlich, dass die Belastung der Luft mit lungengängigen Asbestfasern im streitigen Zeitraum auch im Bereich dieses überdachten Zuganges nicht über derjenigen lag, welche in der gleichen Zeit in der Aussenluft zu erwarten war. Demnach ist eine vorwiegende Verursachung der Pleuraplaques durch eine berufsbedingte Asbeststaub-Exposition während des Aufenthaltes im überdachten Zugang zum Gebäude ebenfalls als unwahrscheinlich.
4.3 Ist nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass die Pleuraplaques vorwiegend auf eine berufsbedingte Exposition mit einem gefährlichen Stoff zurückzuführen ist, entfällt eine Leistungspflicht der SUVA, ohne dass weitere Anspruchsvoraussetzungen näher geprüft zu werden brauchten. Es kann insbesondere offenbleiben, ob der Ausbruch der Berufskrankheit im Sinne von Art. 9 Abs. 3 UVG gelten erfolgt ist.
Einsprache- und kantonaler Gerichtsentscheid sind rechtens; die Beschwerde ist abzuweisen.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer