Erwägungen:
1. Der 1940 geborene iranische Staatsangehörige X._ reiste 1969 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung und nach zehn Jahren (1979) eine Niederlassungsbewilligung. In der Schweiz leben zwei Söhne, die das Schweizer Bürgerrecht haben.
Zwischen 1983 und 1999 wurde X._ wiederholt straffällig und deswegen zu Freiheitsstrafen und Bussen verurteilt. Mit zwei Urteilen von 1999 wurde er zu einer Gefängnisstrafe von insgesamt 39 1⁄2 Monaten verurteilt, verbunden mit einer unbedingten fünfjährigen Landesverweisung. Die kantonale Ausländerrechtsbehörde verfügte daraufhin am 8. Februar 2000 gestützt auf Art. 10 Abs. 1 lit. a und b ANAG seine Ausweisung auf unbestimmte Zeit; er wurde aufgefordert, nach der Entlassung aus dem Strafvollzug bis spätestens Ende 2001 aus der Schweiz auszureisen. Dieser Aufforderung leistete er keine Folge. Er blieb im Lande und erwirkte weitere Verurteilungen: Am 6. Januar 2004 wurde er mit Gefängnis von acht Monaten bestraft, verbunden mit einer weiteren (strafrechtlichen) Landesverweisung von fünf Jahren. 2005 und 2006 wurden Gefängnisstrafen von sechs Wochen bzw. drei Monaten ausgesprochen. Am 26. August 2008 verpflichtete ihn das Bezirksgericht Kulm wegen Urkundenfälschung und migrationsrechtlicher Vergehen zu gemeinnütziger Arbeit von 720 Stunden.
Dem am 5. Februar 2008 gestellten Gesuch um Aufhebung der "Landesverweisung" gab das Migrationsamt (heute: Amt für Migration und Integration) des Kantons Aargau mit der Begründung keine Folge, dass keine Veranlassung bestehe, auf die rechtskräftig verfügte migrationsrechtliche Ausweisung zurückzukommen. Am 6. Mai 2008 stellte X._ das Gesuch, es sei ihm der Aufenthalt in der Schweiz als Rentner zu bewilligen. Das Migrationsamt beantwortete das Gesuch am 30. Juli 2008 in dem Sinn, dass mangels wesentlich veränderter Sachlage die Aufhebung der Ausweisung nicht in Betracht falle und bis zur Aufhebung dieser Massnahme auf das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung nicht eingetreten werden könne. Am 5. Juni 2009 trat das Migrationsamt auf das Gesuch um Rentnerbewilligung mit formeller Verfügung nicht ein. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache blieb erfolglos. Mit Urteil vom 19. Mai 2011 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid vom 1. März 2010 erhobene Beschwerde ab.
Mit als subsidiärer Verfassungsbeschwerde bezeichneter Rechtsschrift vom 29. Juni 2011 stellt X._ dem Bundesgericht unter Bezugnahme auf das Urteil des Rekursgerichts die Begehren, die Verfügung des Migrationsamts vom 5. Juni 2009 sei aufzuheben, auf das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung sei einzutreten, allenfalls sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung als Rentner zu erteilen. Innert ihm hierfür angesetzter Frist hat der Beschwerdeführer das angefochtene Urteil nachgereicht.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhebt ausdrücklich Verfassungsbeschwerde. Dieses Rechtsmittel ist nur zulässig, wenn die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig ist (s. Art. 113 BGG). Vorliegend ist die Bewilligungsfrage eng mit der Frage der Wiedererwägung einer Ausweisung verbunden; ob deswegen das ordentliche Rechtsmittel offenstünde, kann offen bleiben, weil auf die Beschwerde auch in diesem Fall aus den nachfolgenden Gründen nicht einzutreten wäre.
2.2 Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein; der Beschwerdeführer hat sich mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen.
Das Rekursgericht hat sich ausführlich mit der Natur eines Ausweisungsentscheids befasst und dargelegt, dass diese ausländerrechtliche Entfernungs- und Fernhaltemassnahme von der Abschaffung der strafrechtlichen Landesverweisung und durch die Einführung des neuen Ausländergesetzes nicht berührt sei. Alsdann hat es die Auffassung seiner Vorinstanz bestätigt, dass - solange eine wirksame Fernhaltemassnahme andauert - keine neue Bewilligung erteilt werden könne; erforderlich wäre, dass die Fernhaltemassnahme zuvor wiedererwägungsweise aufgehoben würde (namentlich E. 2.2 und 2.3 und 3.3.2 des angefochtenen Urteils). Konsequent hat es sodann die Voraussetzungen für die Wiedererwägung rechtskräftiger Verfügungen - insbesondere im Zusammenhang mit migrationsrechtlichen Massnahmen - beschrieben (E. 3.1 bis 3.4.1) und konkret geprüft, wie es sich damit im Falle des Beschwerdeführers verhält (E. 3.4.2 und 3.4.3); anhand von dessen persönlichen Verhältnissen und wegen dessen Verhaltens in den auf die im Jahr 2000, nach einer Landesanwesenheit von gut 30 Jahren, verfügte Ausweisung folgenden zehn Jahren kam es zum Schluss, dass diese Voraussetzungen nicht erfüllt seien, weshalb die Möglichkeit einer Bewilligungserteilung entfalle. Der Beschwerdeführer führt zwar seine lange Landesanwesenheit und seine Eigenschaft als Rentner ins Feld, und er erwähnt auch die jeweilige zeitliche Begrenzung der strafrechtlichen Landesverweisungen. Seine Ausführungen lassen jedoch eine gezielte Auseinandersetzung mit den vorstehend wiedergegebenen Erwägungen des Rekursgerichts vermissen; er zeigt nicht auf, inwiefern diese Erwägungen bzw. das angefochtene Urteil im Ergebnis schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzten.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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