Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG gegen den Beschluss vom 7. Mai 2015 des Obergerichts des Kantons Zürich, das auf ein Rechtsmittel des Beschwerdeführers gegen einen erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid (Nichteintreten - mangels vorgängiger Durchführung eines Schlichtungsverfahrens - auf eine Klage des Beschwerdeführers auf Abänderung des von ihm der Beschwerdegegnerin geschuldeten Unterhalts) nicht eingetreten ist,
in die (sinngemässen) Gesuche des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege,
in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, das Rechtsmittel des Beschwerdeführers enthalte weder Anträge noch eine auf den erstinstanzlichen Entscheid bezogene Begründung, aus der Eingabe gehe nicht ausreichend klar hervor, was genau der Beschwerdeführer anfechten wolle, auf das Rechtsmittel sei daher nicht einzutreten, der unterliegende Beschwerdeführer werde kostenpflichtig, die unentgeltliche Rechtspflege könne dem Beschwerdeführer wegen Aussichtslosigkeit nicht gewährt werden,
dass die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (BGE 133 IV 286 E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 BGG), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287 f.),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die obergerichtlichen Erwägungeneingeht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 7. Mai 2015 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das sinngemässe Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege infolge der Aussichtslosigkeit der Beschwerde auch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht gewährt werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Mitglied zuständig ist,
erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann