Faits:
A.
Par jugement du 25 janvier 2010, le Tribunal de police du canton de Genève a acquitté X._ des chefs d'accusation de gestion déloyale et d'abus de confiance. Il a considéré que la plupart des infractions de gestion déloyale aggravée étaient prescrites et, pour le surplus, que le dommage n'avait pas pu être établi, la partie civile se fondant sur des comptabilités " reconstituées " pour les exercices 2001 et 2002.
B.
B.a. Par arrêt du 14 novembre 2011, la Chambre pénale de la Cour de justice genevoise a admis l'appel formé par l'association Y._ et annulé le jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée (art. 158 ch. 1 al. 3 CP) et d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 al. 2 CP). Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de nonante jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 60 fr., et a suspendu l'exécution de cette peine pendant une durée de deux ans. Sur le plan civil, elle a constaté que les prétentions en dommages-intérêts formulées par l'association Y._ étaient fondées dans leur principe et l'a renvoyée à agir devant la juridiction civile.
Dans un arrêt du 9 octobre 2012 (6B_830/2011), la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a admis partiellement le recours de X._ et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. Elle a considéré que X._ ne pouvait être qualifié de gérant au sens de l'art. 158 CP, de sorte que les éléments constitutifs de l'infraction de gestion déloyale n'étaient pas réalisés. En revanche, la condamnation pour abus de confiance n'a pas été remise en cause.
B.b. Dans un arrêt du 28 juin 2013, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a acquitté X._ du chef d'accusation de gestion déloyale aggravée et confirmé pour le surplus la condamnation pour abus de confiance. Elle a réduit en conséquence la peine pécuniaire à 40 jours-amende, maintenant le montant du jours-amende à 60 fr. et le sursis pendant deux ans. Elle a condamné X._ au paiement d'un cinquième des frais de la procédure de première instance et d'appel, dont le montant total est de 5'580 fr., et au paiement d'un cinquième des dépens de Y._, dont le montant total est de 87'500 fr. 60.
C.
Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est condamné au plus au paiement d'un dix-septième des frais de procédure et des dépens de Y._; il conclut, subsidiairement, à ce que l'intégralité des frais de la procédure de première instance et d'appel soit laissée à la charge de l'Etat et à ce que les dépens soient compensés.
Invités à se déterminer, la cour cantonale et le Ministère public ont renoncé à formuler des observations. L'intimée a déposé une réponse, avec différentes conclusions, qui a été communiquée au recourant avec la possibilité de prendre position.
Considérant en droit:
1.
La décision attaquée concerne la question des frais de défense dans le cadre d'une procédure pénale et de l'indemnité due à la partie plaignante. La jurisprudence admet que les frais exposés par les parties, c'est-à-dire essentiellement les honoraires payés pour le mandataire privé ou l'avocat commis d'office, sont indissociables de la procédure pénale, de sorte que les griefs dirigés contre leur fixation doivent être invoqués par la voie du recours en matière pénale (ATF 135 IV 43 consid. 1.1.1 p. 45 s.).
2.
Le recourant se plaint d'un défaut de motivation de la décision sur les frais et sur l'indemnité versée à la partie plaignante.
2.1. Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. implique l'obligation pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540). L'étendue de la motivation dépend de la liberté d'appréciation dont jouit le juge et de la gravité des conséquences de sa décision (ATF 112 Ia 107 consid. 2b p. 110; cf. également ATF 129 I 232 consid. 3.3 p. 239).
2.2. En l'espèce, la cour cantonale a expliqué que l'acquittement relatif à une partie des faits poursuivis justifiait une réduction de la quote-part des frais de la procédure à la charge du prévenu. En conséquence, elle a fixé les frais judiciaires à un cinquième du montant total et les frais d'avocat à un cinquième du montant total. Ces explications permettent de suivre le raisonnement de la cour cantonale pour fixer les frais et les dépens à la charge du recourant. La cour cantonale a motivé sa décision de manière suffisante. Le grief tiré d'un défaut de motivation doit donc être rejeté.
3.
Le recourant fait valoir que seule la condamnation pour abus de confiance a été retenue sur les dix-sept chefs d'inculpation figurant dans l'acte d'accusation et que, partant, seul un dix-septième des frais pouvait être mis à sa charge.
3.1. Les frais de procédure doivent être fixés selon le principe de la couverture des frais et de l'équivalence, à savoir, d'une part, qu'ils ne doivent pas excéder l'ensemble des dépenses que l'Etat a consenti pour fournir la prestation en cause et, d'autre part, qu'ils doivent être dans un rapport raisonnable avec la valeur objective de la prestation fournie ( YVAN JEANNERET/ANDRÉ KUHN, Précis de procédure pénale, 2013, n° 5053, p. 116).
En principe, le prévenu supporte les frais de la procédure s'il est condamné (art. 426 al. 1 CPP). Si sa condamnation n'est que partielle, les frais ne doivent être mis à sa charge que de manière proportionnelle, en considération des frais liés à l'instruction des infractions pour lesquelles un verdict de culpabilité a été prononcé ( LAURENT MOREILLON/AUDE PAREIN-REYMON, Petit commentaire du Code de procédure pénale, 2013, n° 6 ad art. 426 CPP; YVAN JEANNERET/ANDRÉ KUHN, op. cit., n° 5054, p. 117). Dans ce cas, une certaine marge d'appréciation doit être laissée à l'autorité dès lors qu'il est difficile de déterminer avec exactitude les frais qui relèvent de chaque fait imputable ou non au condamné (arrêts 6B_45/2011 du 12 septembre 2011, consid. 3.1; 6S.421/2006 du 6 mars 2007 consid. 2.1.2 in fine).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a considéré que l'acquittement relatif à une partie des faits justifiait une réduction de la quote-part des frais de la procédure à la charge du prévenu. Contrairement à ce que soutient le recourant, la part des frais imposés au prévenu ne l'est pas en fonction du nombre d'infractions pour lesquelles il est (encore) condamné, mais, conformément au principe de la couverture des frais et de l'équivalence, en fonction des frais engendrés par l'instruction de ces infractions. La cour cantonale a considéré qu'un cinquième des frais devait être mis à la charge du recourant, compte tenu du fait qu'il avait été acquitté pour une grande partie des infractions. Cette estimation ne sort pas du large pouvoir d'appréciation laissé à la cour cantonale en cette matière. Le grief soulevé doit donc être rejeté.
4.
Le recourant se plaint du montant de l'indemnité due à la partie plaignante.
4.1. La partie plaignante a la qualité de partie dans la procédure pénale (art. 104 al. 1 let. b CPP). On entend par partie plaignante le lésé qui déclare expressément vouloir participer à la procédure pénale comme demandeur au pénal ou au civil (art. 118 al. 1 CPP). Le lésé au sens de l'art. 118 al. 1 CPP est celui dont les droits ont été touchés directement par une infraction. Une plainte pénale équivaut à une déclaration selon l'art. 118 al. 1 CPP (art. 118 al. 2 CPP). Le lésé peut selon l'art. 119 al. 2 let. a et b CPP participer à la procédure pénale en tant que demandeur au pénal et/ou au civil. Il peut demander la poursuite et la condamnation de la personne pénalement responsable de l'infraction (plainte pénale) (art. 119 al. 2 let. a CPP) et/ou faire valoir des conclusions civiles déduites de l'infraction (action civile) par adhésion à la procédure pénale (art. 119 al. 2 let. b CPP).
4.2. Aux termes de l'art. 433 CPP, la partie plaignante peut demander au prévenu une juste indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure si elle obtient gain de cause (let. a). La partie plaignante adresse ses prétentions à l'autorité pénale et doit les chiffrer et les justifier (al. 2).
Lorsque le prévenu est condamné, la partie plaignante obtient gain de cause comme demandeur au pénal, de sorte qu'elle doit être indemnisée pour les frais de défense privée en relation avec la plainte pénale (ATF 139 IV 102 consid. 4.3 p. 108).
Si la partie plaignante est renvoyée à agir par la voie civile, elle ne peut pas être considérée comme ayant eu gain de cause en sa qualité de demandeur au civil ni, comme ayant succombé, en tout cas lorsqu'une ordonnance pénale a été rendue. Les frais d'avocat liés exclusivement à l'action civile ou les autres frais de la partie plaignante qui concernent uniquement la question civile ne sont pas indemnisés dans la procédure pénale en cas de renvoi de l'action civile au juge civil. La partie plaignante doit faire valoir ses dépens avec la prétention civile (ATF 139 IV 102 consid. 4.4 p. 109). La loi distingue déjà entre les dépenses occasionnées au plan pénal et au plan civil. Ainsi l'art. 432 al. 1 CPP différencie entre les dépenses occasionnées par les conclusions civiles et celles qui sont occasionnées par la procédure pénale (cf. en outre l'art. 427 al. 1 CPP qui parlent des frais de procédure causés par les conclusions civiles). La délimitation exacte peut certes se révéler difficile. Il convient toutefois de tenir compte que la notion de juste indemnité selon l'art. 433 al. 1 CPP réserve l'appréciation du juge (ATF 139 IV 102 consid. 4.5 p. 109).
4.3. En l'espèce, l'intimée s'est portée demanderesse au pénal et au civil. Sur le plan pénal, elle a obtenu partiellement gain de cause. Au civil, elle a été renvoyée à agir devant le juge civil. La cour cantonale a fixé les dépens à un cinquième des honoraires produits par l'intimée. En ne distinguant pas les frais d'avocat et les autres dépenses engendrées par la procédure pénale et ceux occasionnés par les conclusions civiles, la cour cantonale n'a pas respecté les principes posés par la jurisprudence. Le recours doit donc être admis sur ce point, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle fixe l'indemnité due à la partie plaignante conformément à la jurisprudence citée et en suivant la procédure prévue à l'art. 433 al. 2 CPP. Il appartiendra en particulier à la partie civile de chiffrer et de documenter les frais de défense liés à la procédure pénale.
5.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur l'indemnité due à la partie plaignante.
Il se justifie de statuer sans frais dans les circonstances de l'espèce (art. 66 al. 1 LTF).
Le recourant peut prétendre à une indemnité de dépens, à la charge pour moitié chacun, d'une part, du canton de Genève et, d'autre part, de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 3000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise pour moitié à la charge du canton de Genève et pour moitié à la charge de l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale.
Lausanne, le 17 février 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin