Sachverhalt:
A.
Die 1988 geborene serbische Staatsangehörige X._ reiste am 2. April 2008 im Rahmen des Familiennachzugs zu ihrem hier niederlassungsberechtigten Ehegatten in die Schweiz ein, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und letztmals bis zum 30. April 2011 verlängert wurde. Am 1. Oktober 2009 wurde den Ehegatten eine gemeinsame Tochter geboren.
Am 8. August 2010 zog X._ aus der ehelichen Wohnung aus. Mit Urteil vom 2. November 2010 stellte der Gerichtspräsident von Muri/AG im Eheschutzverfahren die gemeinsame Tochter für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Kindsmutter; dem Kindsvater wurde ein Besuchsrecht für jedes zweite Wochenende eingeräumt. Überdies verpflichtete der Gerichtspräsident den Ehemann von X._ zur monatlichen Leistung von Fr. 700.-- zuzüglich Kinderzulagen an den Unterhalt der gemeinsamen Tochter sowie von monatlich Fr. 1'000.-- an den persönlichen Unterhalt von X._. Am 24. Februar 2011 sprach ein vom Ehemann angerufenes serbisches Gericht die Scheidung aus. Die Unterhaltspflicht des geschiedenen Ehemanns wurde neu auf EUR 200.-- / Monat festgelegt.
Mit Verfügung vom 23. Dezember 2010 lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau (heute: Amt für Migration und Integration Kanton Aargau) das Gesuch von X._ um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung ab und es wies sie aus der Schweiz weg.
B.
Gegen die Verfügung des Migrationsamtes erhob X._ Einsprache bei dessen Rechtsdienst, welcher das Rechtsmittel jedoch mit Entscheid vom 20. Juni 2011 abwies.
Dagegen beschwerte sich X._ am 20. Juli 2011 beim damaligen Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau. Dieses wurde per 1. Januar 2013 in das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau integriert. Mit Urteil vom 19. Februar 2013 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und es wies das Amt für Migration und Integration an, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern.
C.
Mit Eingabe vom 15. April 2013 führt das Bundesamt für Migration Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und stellt den Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. Februar 2013 sei aufzuheben. Das Bundesamt begründet dies im Wesentlichen damit, X._ habe keinen Anspruch auf eine Bewilligungsverlängerung.
X._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Migration und Integration Kanton Aargau beantragt dagegen deren Gutheissung.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesamt für Migration ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts befugt, gegen kantonal letztinstanzliche richterliche Entscheide mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zu gelangen (Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG in Verbindung mit Art. 14 Abs. 2 der Organisationsverordnung vom 17. November 1999 für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement [OV-EJPD; SR 172.213.1]; BGE 134 II 201 E. 1.1 S. 203 mit Hinweisen). Seine Beschwerdemöglichkeit dient der richtigen und einheitlichen Anwendung des Bundesrechts; sie setzt kein hierüber hinausgehendes spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus. Immerhin muss ein mit Blick auf die einheitliche Anwendung des Bundesrechts in vergleichbaren Fällen zureichendes Interesse an der Beurteilung der aufgeworfenen Probleme bestehen (Urteil 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 1 mit Hinweisen). Bei der hier im Streit liegenden Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) handelt es sich um eine Anspruchsbewilligung. Den Behörden kommt - anders als bei den Art. 18-30 AuG - kein Ermessen zu, über das die Gerichte nicht oder nur beschränkt befinden können (Urteil 2C_590/2010 vom 29. November 2010 E. 2.5.3). Es stellt eine Aufgabe des Bundesamts dar, in diesem Rahmen eine einheitliche Handhabung des Bewilligungstatbestands von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG sicherzustellen, weshalb seine Beschwerdebefugnis zu bejahen ist. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist deshalb einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts mit freier Kognition (Art. 95 lit. a und lit. b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG); es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Macht der Beschwerdeführer sachverhaltliche Annahmen geltend, die von den vorinstanzlichen Feststellungen abweichen, muss er substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind. Andernfalls können solche Vorbringen nicht berücksichtigt werden. Entsprechende Mängel müssen in der Beschwerde substantiiert aufgezeigt und gerügt werden (Art. 106 Abs. 2 BGG). Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Auf rein appellatorische Kritik an den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen oder an deren Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.; 135 V 39 E. 2.2 S. 41). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
In seiner Rechtsmitteleingabe ergeht sich das beschwerdeführende Bundesamt über weite Strecken in Mutmassungen und unbelegten sachverhaltlichen Behauptungen, die mit den Erkenntnissen des Verwaltungsgerichts im Widerspruch stehen. Es verkennt dabei den Gehalt seiner Begründungspflicht (Art. 42 BGG) vor dem Hintergrund der Bindung des Bundesgerichts an die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. oben E. 1.1). Das Bundesamt vermag nicht aufzuzeigen - und versucht dies nicht einmal -, in welcher Weise die vorinstanzlichen Feststellungen willkürlich sein sollen und dort, wo es den Sachverhalt ergänzt haben möchte, tut es nicht dar, inwiefern dieser vom Verwaltungsgericht offensichtlich unvollständig erhoben worden sein soll. Dem Urteil des Bundesgerichts ist daher der vorinstanzliche Sachverhalt zugrunde zu legen.
2.
2.1. Die Beschwerdegegnerin hatte gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange sie mit ihrem in der Schweiz niedergelassenen ehemaligen Ehemann zusammenwohnte. Dieser Anspruch besteht gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nach Auflösung der Ehe weiter, wenn eine erfolgreiche Integration besteht und sofern die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat, was hier unbestrittenermassen nicht der Fall ist. Ebenso besteht der Anspruch weiter, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG).
2.2. Solche Gründe können gemäss Art. 50 Abs. 2 AuG namentlich dann vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die persönliche, berufliche und familiäre Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint. Diese Gründe sind nicht abschliessend; die Bestimmung von Art. 50 AuG lässt der Behörde einen gewissen humanitären Beurteilungsspielraum (BGE 136 II 1 E. 5.3 S. 4). Entscheidend ist nicht, ob ein Leben in der Schweiz für die betroffene Person einfacher wäre; ein nachehelicher Härtefall setzt vielmehr eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben der ausländischen Person voraus, die aufgrund der konkreten Umstände mit ihrer Lebenssituation nach dem Dahinfallen der bisherigen Anwesenheitsberechtigung verbunden wäre. Hat der Aufenthalt nur kürzere Zeit gedauert und wurden keine engen Beziehungen zur Schweiz geknüpft, lässt sich ein Anspruch auf weiteren Verbleib nicht begründen, wenn die erneute Integration im Herkunftsland keine besonderen Probleme stellt (zum Ganzen: Botschaft AuG, BBl 2002 3709 Ziff. 1.3.7.6 S. 3754; BGE 138 II 229 E. 3.1 S. 231 f.; 137 II 345 E. 3.2.3 S. 349 f.).
2.3. Bei der Beurteilung, ob ein wichtiger persönlicher Grund nach Art. 50 AuG vorliegt, können ausserdem die in Art. 31 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) erwähnten Gesichtspunkte im In- oder Heimatland eine Rolle spielen, auch wenn sie einzeln betrachtet grundsätzlich noch keinen Härtefall begründen, also der Grad der Integration, die Respektierung der Rechtsordnung, die Familienverhältnisse, die finanziellen Umstände, die Dauer der Anwesenheit oder der Gesundheitszustand des Betroffenen und seiner Familie (BGE 137 II 345 E. 3.2.2 S. 349; vgl. auch das Urteil 2C_216/2009 vom 20. August 2009 E. 2.2). Mit in Betracht zu ziehen sind ausserdem die Umstände, die zum Abschluss bzw. zur Auflösung der Ehe geführt haben (vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.3 S. 349 f.; 137 II 1 E. 4.1 S. 7 f.; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten: Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, S. 78 f.).
2.4. Sodann ist im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG auch den Interessen allfälliger Kinder Rechnung zu tragen, falls eine enge Beziehung zu ihnen besteht und sie in der Schweiz ihrerseits gut integriert erscheinen (Botschaft AuG, BBl 2002 3709 Ziff. 1.3.7.6 S. 3754; BGE 138 II 229 E. 3.1 S. 232 f.; 137 II 345 E. 3.2.2 S. 349). Dabei sind auch die Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus Art. 8 EMRK ergeben, denn die wichtigen persönlichen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können nicht einschränkender verstanden werden als allfällige sich aus Art. 8 EMRK ergebende Ansprüche auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Urteile 2C_318/2013 vom 5. September 2013 E. 3.3; 2C_327/2010 / 2C_328/2010 vom 19. Mai 2011 E. 2.2, nicht publ. in: BGE 137 I 247).
3.
3.1. Die Vorinstanz hielt im angefochtenen Entscheid fest, die Beschwerdegegnerin sei zwar seitens der Familie ihres Mannes zeitweise Beleidigungen und Drohungen betreffend die gemeinsame Tochter ausgesetzt gewesen und habe sich in einer Drucksituation befunden, doch habe diese nicht die Intensität ehelicher Gewalt erreicht. Hinsichtlich der sozialen Wiedereingliederung hielt die Vorinstanz fest, der Beschwerdegegnerin als alleinerziehende Mutter würden im Falle einer Rückkehr nach Serbien erhebliche wirtschaftliche Probleme erwachsen und allenfalls müsste sie sich gar ohne Erwerbseinkommen durchschlagen. Von einer dauerhaften finanziellen Unterstützung durch ihre Eltern könne nicht ausgegangen werden. Dennoch erscheine die soziale Wiedereingliederung der Beschwerdegegnerin in Serbien insgesamt nicht als stark gefährdet, zumal sie dort den weitaus überwiegenden Teil ihres Lebens verbracht habe, mit den heimatlichen Verhältnissen nach wie vor bestens vertraut sei und insbesondere auch als geschiedene Frau dort eine Wohnung mieten könne.
3.2. Allerdings wertete das Verwaltungsgericht die wirtschaftliche Integration der Beschwerdegegnerin in der Schweiz ausserordentlich positiv. Diese habe erfolgreiche Anstrengungen unternommen und bereits kurz nach ihrem Auszug aus der ehelichen Wohnung eine Arbeitsstelle gefunden. Seit dem 1. März 2011 arbeite sie in Teilzeitpensen als Raumpflegerin und sei derzeit bei verschiedenen Arbeitgebern in teilweise unbefristeter Anstellung tätig, wobei sie gemäss eigenen Angaben ein monatliches Einkommen von aktuell rund Fr. 3'000.-- erziele. Dieses berufliche Engagement sei der Beschwerdegegnerin nur möglich, weil ihre Mutter die Tochter während ihrer Arbeitszeit betreue.
3.3. Vor allem aber erkannte das Verwaltungsgericht im Verhältnis zwischen der Tochter und der Mutter der Beschwerdegegnerin einen wichtigen Grund für den weiteren Aufenthalt: Die Tochter der Beschwerdegegnerin wohne an den Wochentagen wie auch am Samstag sogar mehrheitlich bei den Grosseltern. Aus diesem Grund gehe das Verhältnis des Kindes zur Grossmutter über die normale emotionale Verbindung zwischen Enkelkind und Grossvater oder -mutter hinaus; die umfassende Betreuung komme einer Eltern-Kind-Beziehung sehr nahe. Würde der Beschwerdegegnerin die Anwesenheitsbewilligung verweigert, könnte die enge Beziehung nicht weitergeführt werden und das Bedürfnis des Kleinkindes nach einer kontinuierlichen und stabilen Bindung zu einer der wichtigsten Bezugspersonen würde beeinträchtigt.
4.
4.1. Das beschwerdeführende Bundesamt erachtet die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG dagegen als nicht erfüllt. Es weist darauf hin, dass sich die Vorinstanz betreffend die wirtschaftliche Integration der Beschwerdegegnerin auf eine Betrachtung der aktuellen Situation beschränke und dabei ausser Acht lasse, dass das Erwerbseinkommen der Beschwerdegegnerin zuvor während längerer Zeit deutlich geringer ausgefallen sei. Zudem arbeite sie teilweise nur in befristeter Stellung, was ebenfalls gegen eine gefestigte berufliche Integration spreche.
4.2. Weiter erwartet das Bundesamt auch keine Schwierigkeiten bei einer wirtschaftlichen Reintegration der Beschwerdegegnerin in Serbien: Es verweist darauf, dass diese von ihren Eltern auch nach der Scheidung finanziell unterstützt worden sei, weshalb nicht von einer gesellschaftlichen Ausgrenzung aufgrund der Scheidung gesprochen werden könne. Vielmehr dürfe davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdegegnerin nach einer Rückkehr in ihr Heimatland von ihren dort lebenden Verwandten in einem gewissen Umfang ebenfalls unterstützt werde. Zudem könne es ihr zugemutet werden, ihrer in der Schweiz ausgeübten Tätigkeit als Raumpflegerin auch in Serbien nachzugehen. Überdies erhalte sie auch noch Alimente von ihrem geschiedenen Ehemann. Zu rechnen sei schliesslich auch mit einer Weiterführung der finanziellen Unterstützung durch die in der Schweiz lebenden Eltern, zumal aufgrund der tieferen Lebenshaltungskosten in Serbien auch ein geringfügigerer Betrag hilfreich und ausreichend sein dürfte.
4.3. Bezüglich des Kindeswohls führt das Bundesamt aus, ein Härtefall liege rechtsprechungsgemäss vor allem bei Kindern im Jugendalter vor, welche ihre Adoleszenz zumindest teilweise in der Schweiz verbracht hätten; in dieser Zeit würden sich die Kinder emotional von den Eltern ablösen und ein eigenes Beziehungsnetz aufbauen, weswegen dann eine Wegweisung aus der Schweiz besonders ins Gewicht falle. Bei kleineren Kindern werde dagegen davon ausgegangen, dass sie emotional noch enger an die Eltern gebunden seien, weswegen es ihnen regelmässig zugemutet werden könne, das Lebensschicksal des Sorge- bzw. Obhutsberechtigten zu teilen und ihm hierfür gegebenenfalls ins Ausland zu folgen. Im vorliegenden Fall befände sich die dreijährige Tochter der Beschwerdegegnerin noch in einem anpassungsfähigen Alter und sie sei vorab an ihre Mutter gebunden, welche eindeutig ihre zentrale Bezugsperson darstelle; einzig während deren Arbeitstätigkeit sei die Grossmutter für die Kinderbetreuung zuständig. Es handle sich dabei um eine ganz gewöhnliche Betreuung des Kindes während der Arbeitszeit wie sie auch anderweitig - namentlich auch in der serbischen Heimat von Mutter und Kind - möglich sei.
5.
5.1. Die Vorinstanz hat festgehalten, dass die Tochter der Beschwerdegegnerin an den Wochentagen und samstags mehrheitlich bei den Grosseltern in A._ im Kanton Schwyz wohnt. Sie hat dieses Verhältnis als "umfassende Betreuung" bezeichnet, die faktisch einer Eltern-Kind-Beziehung sehr nahe kommt und festgehalten, die Beschwerdegegnerin und ihre Mutter bildeten "zumindest gleichwertige Bezugs- und Betreuungspersonen". Was das Bundesamt hiergegen unter Verweis auf frühere, reduzierte Arbeitspensen der Beschwerdegegnerin einwendet, lässt die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht als willkürlich erscheinen, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich sind (vgl. E. 1.2 hiervor). Frei prüft das Bundesgericht dagegen, wie dieses enge innerfamiliäre Verhältnis rechtlich zu würdigen ist.
Das beschwerdeführende Bundesamt beruft sich auf BGE 127 II 60 E. 2a S. 67 und macht geltend, ein Kleinkind - wie die Tochter der Beschwerdegegnerin - könne zu Drittpersonen nicht eine Beziehung aufbauen, welche jener zu den obhuts- und sorgeberechtigten Personen gleichzustellen sei. Das Bundesgericht hat im angeführten Urteil indes nur festgehalten, ein Kleinkind unterhalte vorerst keine selbständige Beziehung zu seiner weiteren Umwelt bzw. zu einem bestimmten Land; eine solche entstehe während der ersten Lebensjahre vielmehr durch Vermittlung der Eltern. Mit diesen Erwägungen hat das Bundesgericht lediglich begründet, weshalb die Anwesenheitsberechtigung eines Kleinkindes, das über eine abgeleitete Bewilligung verfügt, an diejenige der Eltern gekoppelt ist und es ihm in der Regel ohne Weiteres zuzumuten ist, das Land zusammen mit seinen Eltern zu verlassen. In seiner jüngeren Rechtsprechung hat das Bundesgericht aber auch immer wieder festgehalten, bei hinreichender Intensität seien auch Beziehungen zwischen nahen Verwandten unter dem Blickwinkel von Art. 8 EMRK bedeutsam (BGE 135 I 143 E. 3.1 S. 148 mit Hinweisen auf die Lehre). Mit Bezug auf das konventionsrechtlich geschützte Familienleben ist nämlich nicht die formelle Obhuts- oder Sorgeberechtigung massgeblich, sondern die Effektivität der Beziehung (Achermann/Caroni in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, Rz. 6.27) : Gerade für ein Kleinkind ist einzig von Belang, wer die physische und emotionale Fürsorge tatsächlich wahrnimmt. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz trifft dies für die Grossmutter im ähnlichen Mass zu wie für die Beschwerdegegnerin selbst, so dass quasi eine Eltern-Kind-Beziehung vorliegt. Auch wenn aus einer solchen qualifizierten, vom Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK erfassten familiären Beziehung noch nicht automatisch ein Aufenthaltsrecht von Mutter und Kind entsteht, ist diese jedenfalls im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG massgeblich mitzuberücksichtigen. Sie stellt einen wichtigen persönlichen Grund dar, der stark dafür spricht, den Verbleib des Kindes in der Schweiz als erforderlich erscheinen zu lassen. Gleiches ergibt sich im Wesentlichen aus Art. 3 Abs. 1 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107), wonach bei allen Massnahmen, die Kinder betreffen, das Wohl des Kindes als vorrangiger Gesichtspunkt mitzuberücksichtigen ist (BGE 136 I 297 E. 8.2 S. 308).
Dass der Beziehung des Kindes zur Grossmutter im vorliegenden Fall eine aussergewöhnliche Stellung zukommt, ergibt sich sodann auch aus den ebenfalls verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts zum Vater-Kind-Verhältnis: Diesbezüglich hielt die Vorinstanz fest, das serbische Scheidungsurteil enthalte keine Besuchsregelung. Im schweizerischen Eheschutzurteil sei ein Besuchsrecht an jedem zweiten Samstag vorgesehen gewesen; im Januar 2011 hätten die Parteien zudem einen wöchentlichen Besuch im Umfang eines Halbtages vereinbart. Dieses Besuchsrecht sei jedoch nur sporadisch ausgeübt worden. Es sei zu mehreren mehrmonatigen Unterbrüchen gekommen, angeblich wegen gesundheitlichen Problemen und Ferienaufenthalten des Kindsvaters. Auch in jüngster Vergangenheit sei das Besuchsrecht nicht mehr ausgeübt worden. Aufgrund dieser Ausführungen erhellt, dass dem Verhältnis zum Vater, welches für ein Kind in aller Regel von erheblicher Bedeutung ist, hier nur eine stark reduzierte Funktion zukommen kann; umso mehr Gewicht erhalten dadurch die verbleibenden emotionalen Bindungen des Kindes.
5.2. Weiterhin mag der Einwand des Bundesamtes zutreffen, dass das Erwerbseinkommen der Beschwerdegegnerin zu einem früheren Zeitpunkt lediglich ca. Fr. 1'400.-- betragen hat, doch schliesst dies nicht aus, dass sie es in der Zwischenzeit, d.h. bis zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids, auf Fr. 3'000.-- steigern konnte; der Einwand ist insofern irrelevant. Auch das beschwerdeführende Bundesamt anerkennt, dass bei einer alleinerziehenden Mutter, wie es die Beschwerdegegnerin ist, deutlich geringe Anforderungen an die wirtschaftliche Integration zu stellen sind. Vor diesem Hintergrund erscheint die vorinstanzliche Einschätzung gerechtfertigt, die Beschwerdegegnerin habe sich sehr erfolgreich wirtschaftlich integriert; trotz der widrigen Umstände ist sie gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen in der Lage, ihren Lebensunterhalt selbständig und ohne finanzielle Unterstützung ihrer Eltern oder des Staats zu bestreiten. Darin ist ein weiterer, für die Einschätzung eines Härtefalls relevanter Aspekt zu erblicken.
5.3. Das Bundesamt stellt auch die von der Vorinstanz erkannten Wiedereingliederungsschwierigkeiten der Beschwerdegegnerin in Frage.
5.3.1. Das Bundesgericht hat in einem kürzlich ergangenen Entscheid im Falle einer alleinerziehenden Kroatin, die im Alter von knapp 20 Jahren in die Schweiz gekommen war, das Vorliegen eines Härtefalls im Falle der Rückkehr nach gescheiterter Ehe verneint. Es begründete dies zum einen damit, in Kroatien werde jede achte Familie von einer alleinerziehenden Mutter geführt, weshalb sie alleine wegen des Status als Geschiedene kaum mit Diskriminierungen zu rechnen hätte. Zudem sei davon auszugehen, dass die betreffende Beschwerdeführerin von ihren Eltern, die in Kroatien lebten, unterstützt würde (Urteil 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011). Bezüglich der Situation Alleinerziehender dürfte es sich in Serbien nicht völlig anders verhalten und auch die Vorinstanz ist nicht von einer gesellschaftlichen Ächtung einer alleinerziehenden Mutter ausgegangen. Die hier zu beurteilende Situation unterscheidet sich vom zitierten Fall aber immerhin dadurch, dass die Eltern der Beschwerdegegnerin in der Schweiz leben, weshalb eine direkte, praktische Unterstützung ihrer Tochter in der Bewältigung des Alltags nach einer Rückkehr ausser Betracht fällt. Nicht zwingend scheint in diesem Zusammenhang die Feststellung der Vorinstanz, es sei davon auszugehen, dass die Eltern der Beschwerdegegnerin diese im Falle einer Rückkehr nach Serbien finanziell nicht (mehr) unterstützen würden. Wenn auf der andern Seite allerdings das Bundesamt mutmasst, die Beschwerdegegnerin werde in Serbien auf die Unterstützung anderer Verwandter zählen können, erscheint auch diese Annahme wenig fundiert. Der angefochtene Entscheid enthält keine Angaben zu den finanziellen Verhältnissen und den persönlichen Umständen dieser Verwandten, welche diese Vermutung rechtfertigen würden, und das Bundesamt begründet sie auch nicht näher. Angesichts dieser Umstände kann zwar aufgrund des massgeblichen Sachverhalts keine Notlage der Beschwerdegegnerin im Falle einer Rückkehr in ihr Heimatland angenommen werden. Vertretbar erscheint aber immerhin die Einschätzung der Vorinstanz, dass die wirtschaftliche Reintegration im Sinne der Schaffung einer eigenen Existenzgrundlage für die Beschwerdegegnerin als alleinerziehende Mutter eines Kleinkindes spürbar erschwert wäre.
5.4. Neben der Integration in der Schweiz, den Möglichkeiten für eine Wiedereingliederung im Herkunftsland und den Familienverhältnissen können für die Beurteilung der Frage, ob ein Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vorliegt, auch die weiteren, in Art. 31 Abs. 1 sowie in Art. 77 VZAE erwähnten Gesichtspunkte eine Rolle spielen (vgl. E. 2.3 hiervor). Diese sprechen ebenfalls nicht gegen die Beschwerdegegnerin, lagen doch der Vorinstanz keine Hinweise auf mangelnden Respekt vor der Rechtsordnung vor, und die Beschwerdegegnerin lebte zum Urteilszeitpunkt immerhin bereits rund fünf Jahre in der Schweiz. Sie hat ihre Heimat im Vertrauen auf eine dauerhafte Ehe verlassen, was ihr eine schutzwürdigere Position verschafft als einer ausländischen Person, die zunächst illegal in die Schweiz einreist (Urteil 2C_647/2010 vom 10. Februar 2011 E. 3.7).
5.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Trennung der Tochter der Beschwerdegegnerin von ihrer Grossmutter, zu der sie eine sehr enge Beziehung unterhält, einem erheblichen Eingriff in das Recht auf Familienleben nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK gleichkäme, was ein gewichtiges Argument für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für Mutter und Kind gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG darstellt. Bei dieser Ausgangslage genügen weitere, weniger bedeutsame Aspekte, die zugunsten der Beschwerdegegnerin sprechen, um deren weiteren Aufenthalt in der Schweiz "erforderlich" im Sinne der obigen Bestimmung zu machen. Solche Aspekte liegen hier vor, denn einerseits hat sich die Beschwerdegegnerin erfolgreich wirtschaftlich in der Schweiz integriert und anderseits ist absehbar, dass sich eine Rückkehr nach Serbien sehr schwierig gestalten würde. Bei diesem Ergebnis hat die Vorinstanz durch die Bejahung wichtiger Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG kein Bundesrecht verletzt.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Das Bundesamt für Migration hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren aber mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Bundesamt für Migration hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler