Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1960) stammt aus Nigeria. Er heiratete hier nach einem erfolglosen Asylverfahren die um 18 Jahre ältere Schweizerin Y._. Gestützt hierauf erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Am 6. Juli 1998 wurde er erleichtert eingebürgert. Am 14. September 1999 ist die Ehe X._ und Y._ geschieden worden, worauf X._ am 3. August 2000 die nigerianische Mutter seines am 2. November 1998 geborenen Sohnes heiratete, die in der Folge beide zu ihm in die Schweiz zogen. Am 16. Juli 2002 kam die gemeinsame Tochter A._ zur Welt. Am 9. Mai 2003 erklärte das zuständige Bundesamt die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig, womit auch das Schweizer Bürgerrecht des Sohnes entfiel.
A.b Am 3. Oktober 2003 wies das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen X._ und seine beiden Kinder aus der Schweiz weg. Gleichzeitig verweigerte es seiner Ehefrau die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Mit Urteil vom 14. November 2005 bestätigte das Bundesgericht letztinstanzlich diese Anordnungen: Die Beziehung X._ und Y._ sei eine Scheinehe gewesen bzw. vor der Einbürgerung von X._ definitiv gescheitert gewesen, da er bereits damals eine aussereheliche Beziehung mit seiner künftigen Ehefrau unterhalten habe. Da keines der Familienmitglieder ein festes Anwesenheitsrecht in der Schweiz besitze und die ganze Familie gemeinsam das Land verlassen müsse, liege kein Eingriff in den Schutzbereich der Garantie auf Achtung des Familienlebens (Art. 8 EMRK) vor.
B. B.a Die Familie X._ wurde in der Folge wiederholt aufgefordert, das Land zu verlassen. Sämtliche Bemühungen der Migrationsbehörden, von der nigerianischen Botschaft die notwendigen Reisepapiere für eine Ausschaffung zu erhalten, scheiterten daran, dass X._ sich konsequent weigerte, das Land zu verlassen. Er wurde deshalb am 27. September 2010 in Durchsetzungshaft genommen, welche die Haftprüfungsrichterin am Kantonsgericht Schaffhausen am 29. September 2010 bis zum 27. Oktober 2010 bestätigte.
B.b X._ gelangte hiergegen am 8. Oktober 2010 an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Am 25. Oktober 2010 beantragte das Migrationsamt des Kantons Schaffhausen der Haftprüfungsrichterin, die Haft von X._ um zwei Monate zu verlängern. Die Haftprüfungsrichterin trat auf das Gesuch nicht ein; ein Haftverlängerungsgesuch könne nach der analog anwendbaren Bestimmung von Art. 162 Abs. 3 StPO/SH erst nach Abschluss des Rechtsmittelverfahrens geprüft werden. Mit Urteil vom 26. November 2010 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Beschwerde gegen die Haftgenehmigung vom 29. September 2010 ab. Es erklärte zudem, die analoge Anwendung von Art. 162 Abs. 3 StPO/SH durch die Haftprüfungsrichterin als zulässig.
C. X._ ist hiergegen am 8. Dezember 2010 an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 26. November 2010 aufzuheben und ihn aus der Durchsetzungshaft zu entlassen. Diese sei unverhältnismässig.
Das Migrationsamt und das Obergericht des Kantons Schaffhausen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die Haftprüfungsrichterin am Kantonsgericht und das Bundesamt für Migration haben sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Hat ein Ausländer seine Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innerhalb der ihm angesetzten Frist nicht erfüllt und kann die rechtskräftige Weg- oder Ausweisung aufgrund seines persönlichen Verhaltens nicht vollzogen werden, so darf er, um der Ausreisepflicht Nachachtung zu verschaffen, in Durchsetzungshaft genommen werden, sofern die Anordnung der Ausschaffungshaft nicht zulässig ist oder keine andere, mildere Massnahme zum Ziel führt (Art. 78 Abs. 1 AuG). Die Haft ist erstmals für einen Monat möglich; sie kann hernach mit der Zustimmung der zuständigen kantonalen richterlichen Behörde (vgl. Art. 78 Abs. 2 AuG) jeweils um zwei Monate verlängert werden, sofern der Ausländer weiterhin nicht bereit ist, sein Verhalten zu ändern und auszureisen. Die maximale Haftdauer beträgt grundsätzlich 18 Monate (Art. 78 Abs. 2 AuG). Die Haft wird beendet, wenn eine selbständige und pflichtgemässe Ausreise nicht möglich ist, obwohl die betroffene Person den behördlich vorgegebenen Mitwirkungspflichten nachgekommen ist (Art. 78 Abs. 6 lit. a AuG), oder die Schweiz weisungsgemäss verlassen (lit. b), die Ausschaffungshaft angeordnet (lit. c) oder einem Haftentlassungsgesuch entsprochen wird (lit. d).
1.2 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht (mehr) möglich erscheint. Der damit verbundene Freiheitsentzug stützt sich auf Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen der Erzwingung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung (Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK). Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Sie darf nach dem Willen des Gesetzgebers maximal 18 Monate dauern, muss aber in jedem Fall verhältnismässig sein. Innerhalb dieser Höchstdauer ist jeweils aufgrund der Umstände im Einzelfall zu prüfen, ob die ausländerrechtliche Festhaltung insgesamt (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot verstösst (vgl. BGE 135 II 105 E. 2.2.1 S. 107; 134 II 201 E. 2 S. 204 ff.; 134 I 92 E. 2.3 S. 96 ff.).
1.3 Bei dieser Beurteilung ist dem Verhalten des Betroffenen, den die Papierbeschaffung allenfalls erschwerenden objektiven Umständen (ehemalige Bürgerkriegsregion usw.) sowie dem Umfang der von den Behörden bereits getroffenen Abklärungen Rechnung zu tragen und zu berücksichtigen, wieweit der Ausländer es tatsächlich in der Hand hat, die Festhaltung zu beenden, indem er seiner Mitwirkungs- bzw. Ausreisepflicht nachkommt. Von Bedeutung können zudem seine familiären Verhältnisse sein sowie der Umstand, dass er allenfalls wegen seines Alters, Geschlechts oder Gesundheitszustands als "besonders schutzbedürftig" gelten muss. Das mutmassliche künftige Verhalten des Betroffenen ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände abzuschätzen. Dabei kommt dem Haftrichter wegen der Unmittelbarkeit seiner Kontakte mit dem Betroffenen ein gewisser Beurteilungsspielraum zu. Ein erklärtes konsequent unkooperatives Verhalten bildet in diesem Rahmen nur einen - allenfalls aber gewichtigen - Gesichtspunkt unter mehreren. Je länger die ausländerrechtlich motivierte Festhaltung dauert und je weniger die Ausschaffung absehbar erscheint, desto strengere Anforderungen sind an die fortbestehende Hängigkeit des Ausweisungsverfahrens im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK zu stellen und desto kritischer ist die jeweilige Haftverlängerung zu hinterfragen (vgl. BGE 135 II 105 E. 2.2.2 S. 107 f.; 134 II 201 E. 2 S. 204 ff.; 134 I 92 E. 2.3 S. 96 ff.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, mit seiner Familie rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden zu sein, seine Ausreisepflicht wiederholt missachtet zu haben und nicht in Ausschaffungshaft genommen werden zu können, weil die nigerianischen Behörden sich weigern, ihn gegen seinen Willen zurückzunehmen. Unbestrittenermassen weigert er sich auch nach wie vor, mit seiner Familie die Rückreise in die gemeinsame Heimat anzutreten. Er bestreitet indessen die Verhältnismässigkeit seiner Festhaltung. Diese sei mit Blick auf seine familiären Verhältnisse und seine hier eingeschulten Kinder, welche kein Wort Ibo sprächen, ungeeignet, ihn dazu zu bewegen, das Land zu verlassen. Nach der Rechtsprechung ist - worauf der Beschwerdeführer zu Recht hinweist - bei der Durchsetzungshaft das mutmasslich künftige Verhalten des Betroffenen jeweils aufgrund sämtlicher Umstände abzuschätzen; dabei bildet ein erklärt unkooperatives Verhalten - wie es der Beschwerdeführer an den Tag legt und unumwunden zugesteht - einen gewichtigen Gesichtspunkt. Die Durchsetzungshaft soll den Betroffenen zwangsweise dazu veranlassen, seine Position zu überdenken. Der Beschwerdeführer befand sich bei Anfechtung des Entscheids des Migrationsamts erst seit rund 2 Wochen in Haft. Diese war für einen Monat bewilligt worden. Mit Blick hierauf kann nicht gesagt werden, die Durchsetzungshaft sei zum Vornherein nicht geeignet gewesen, ihr Ziel zu erreichen, und habe das Übermassverbot verletzt. Der Gesetzgeber hat im Rahmen des Verhältnismässigkeitsgebots und der Vorgaben der EMRK eine maximale Haftdauer von achtzehn Monaten vorgesehen, wovon die Festhaltung des Beschwerdeführers noch weit entfernt war. Seine ausländerrechtlich begründete Festhaltung dauerte damit - auch mit Blick auf seine familiäre Situation - noch nicht so lange, dass gestützt auf Art. 5 Abs. 1 lit. f EMRK besonders strenge Anforderungen an die fortbestehende Hängigkeit des Ausweisungsverfahrens zu stellen waren (vgl. das Urteil 2C_683/2009 vom 30. November 2009 E. 5.2).
2.2 Wie es sich heute damit verhält, braucht nicht weiter geprüft zu werden, weil die Beschwerde aus einem anderen Grund gutzuheissen und der Beschwerdeführer aus der Haft zu entlassen ist: Die Haftprüfungsrichterin am Kantonsgericht hat die Durchsetzungshaft bis zum 27. Oktober 2010 genehmigt. In der Folge hat sie die Haftverlängerung um zwei Monate nicht geprüft, sondern das Verfahren sistiert, womit der Beschwerdeführer sich seither formell ungerechtfertigt in Durchsetzungshaft befindet. Entgegen der Auffassung sowohl der Haftprüfungsrichterin als auch des Obergerichts war die Durchsetzungshaft unabhängig von der Anfechtung durch den Beschwerdeführer bundesrechtlich auf einen Monat beschränkt. Ihre Verlängerung um zwei Monate bedurfte gemäss Art. 78 Abs. 2 AuG nach diesem Datum obligatorisch einer weiteren richterlichen (Haft-)Genehmigung. Hieran änderte die hängige Beschwerde gegen die ursprüngliche Haftanordnung nichts. Nur bei Vorliegen eines richterlich genehmigten Verlängerungsentscheids ist die Durchsetzungshaft nach dem ersten Monat noch rechtens. Zwar kann dieser schriftlich ergehen, wenn der Betroffene nicht eine mündliche Verhandlung verlangt, es kann darauf jedoch nicht in Anwendung von kantonalem Verfahrensrecht überhaupt verzichtet werden (vgl. ANDREAS ZÜND, in: Spescha/Thür/Zünd/ Bolzli, Migrationsrecht, 2. Aufl. 2009, N. 6 zu Art. 78 AuG; TARKAN GÖKSU, in: Caroni/Gächter/Turnherr [Hrsg.], Handkommentar zum AuG, 2010, N. 15 zu Art. 78 AuG; THOMAS HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.125 ff). Eine kantonale strafprozessuale Beschwerderegelung (Art. 162 Abs. 3 StPO/SH) darf abweichendes materielles Bundes(verwaltungs)recht, welches eine richterliche Haftprüfung von Amtes wegen obligatorisch vorschreibt, nicht vereiteln. Der richterliche Haftverlängerungsentscheid tritt nach der Rechtsprechung an die Stelle des ursprünglichen Haftgenehmigungsentscheids, wobei dieser dann über jenen anzufechten ist (vgl. so etwa das Urteil 2C_683/2009 vom 30. November 2009 E. 2.2).
2.3 Zwar rügt der Beschwerdeführer dies vorliegend nicht, doch gereicht ihm das nicht zum Nachteil: Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Die ist hier der Fall: Die kantonalen Behörden haben mit ihrer Verfahrensgestaltung klarerweise Bundesrecht verletzt. Die Missachtung von Art. 78 Abs. 2 AuG ist bereits aus der Lektüre des Gesetzestextes ohne Weiteres ersichtlich. Nach der Rechtsprechung kommt den verfahrensrechtlichen Garantien bei den Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht grundsätzliche Bedeutung zu (vgl. das zur Publikation bestimmte Urteil 2C_823/2009 vom 19. Oktober 2010). Das Bundesgericht achtet deshalb besonders streng auf deren Einhaltung (vgl. HUGI YAR, a.a.O., N. 10.14 und N. 10.44 ff.). Zwar führt eine Verletzung von Verfahrensvorschriften nicht immer auch zu einer Haftentlassung (vgl. BGE 121 II 105 E. 2c S. 109, 110 E. 2a S. 113; bestätigt im Urteil 2C_60/2007 vom 10. April 2007 E. 2.3.2). Eine solche ist hier indessen unumgänglich: Der Beschwerdeführer wird seit dem 27. Oktober 2010 in Verletzung von Art. 78 Abs. 2 AuG ohne gültigen Hafttitel festgehalten, was gegen Art. 5 EMRK verstösst. Das öffentliche Interesse an der reibungslosen Durchsetzung der Ausschaffung hat gegen das private Interesse an einem korrekten Haftprüfungsverfahren zurückzutreten, nachdem der Beschwerdeführer keine Gefahr für die öffentliche Sicherheit bildet. Ein gültiger Hafttitel liegt auch heute noch nicht vor, obwohl das Obergericht das Kantonsgericht angewiesen hat, das Verlängerungsgesuch des Migrationsamts nach seinem Entscheid zu behandeln. Das Kantonsgericht ist dem nicht nachgekommen, sondern hat das entsprechende Verfahren wiederum sistiert, obwohl auch bei der Durchsetzungshaft ein - umfangmässig etwas reduziertes - Beschleunigungsgebot gilt (HUGI YAR, a.a.O., N. 10.123). Dass der unentgeltlich beigegebene Anwalt die verfahrensrechtliche Problematik des Falls verkannt hat, darf nicht dazu führen, dass der Beschwerdeführer in Verletzung von Art. 78 Abs. 2 AuG und Art. 5 EMRK weiter festgehalten wird.
3. 3.1 Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen, der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 26. November 2010 aufzuheben und der Beschwerdeführer sofort aus der Durchsetzungshaft zu entlassen.
3. 3.1 Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen, der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 26. November 2010 aufzuheben und der Beschwerdeführer sofort aus der Durchsetzungshaft zu entlassen.
3.2 3.2.1 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).
3.2.2 Mit der Gutheissung der Beschwerde wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos. Der Kanton Schaffhausen muss den Beschwerdeführer für das vorliegende Verfahren jedoch angemessen entschädigen (vgl. Art. 66 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und Ziffer 1 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 26. November 2010 aufgehoben. Der Beschwerdeführer ist unverzüglich aus der Haft zu entlassen.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Kanton Schaffhausen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.-- zu entschädigen.
2.3 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Kantonsgericht und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Dezember 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar