Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene R._ betrieb ab 1998 in selbständiger Erwerbstätigkeit eine Tennisschule und war bei der "Zürich" Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Zürich) freiwillig nach UVG gegen Unfallfolgen versichert. Am 22. Mai 2004 zog er sich eine Bänderverletzung am rechten Handgelenk zu. Die Zürich anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 2. November 2005 forderte sie aufgrund einer Neuberechnung des versicherten Verdienstes die erbrachten Taggeldleistungen teilweise zurück; die Rechtmässigkeit dieser Verfügung ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
Die IV-Stelle des Kantons Solothurn sprach dem Versicherten berufliche Eingliederungsmassnahmen in Form einer im Februar 2005 beginnenden, von Mai bis Dezember 2005 berufsbegleitend absolvierten Umschulung im KV-Bereich (Bürofachdiplom AKAD) zu. In diesem Zusammenhang wurden dem Versicherten vom 5. Februar bis 30. April 2005 und erneut ab 5. Dezember 2005 Taggelder der Invalidenversicherung ausgerichtet.
Mit Verfügung vom 30. März 2006 lehnte es die Zürich ab, die Kosten für nach dem 30. April 2005 durchgeführte Behandlungen in der Klinik X._ (Faktura vom 30. November 2005 über Fr. 277.40; Faktura vom 5. Januar 2006 über Fr. 40.85) zu übernehmen. Zur Begründung hielt der Versicherer fest, der "medizinische Endzustand" werde auf den 1. Mai 2005 festgelegt. Ab diesem Zeitpunkt bestehe kein Anspruch auf Taggelder und Heilbehandlung mehr. Daran hielt die Zürich auch mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 26. September 2007 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt R._, die Zürich sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, die Kosten für die Behandlung in der Klinik X._ zu übernehmen.
Während die Zürich auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Streitig ist, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf Übernahme der Heilbehandlungskosten gemäss Rechnung vom 30. November 2005 im Umfang von Fr. 277.40 und gemäss Rechnung vom 5. Januar 2006 im Umfang von Fr. 40.85 hat. Da damit Leistungen der Unfallversicherung streitig sind, ist trotz des geringen Streitwertes auf die Beschwerde einzutreten (Art. 85 Abs. 1 BGG e contrario).
1.3 Da es sich bei der streitigen Leistung um eine Sach- und nicht um eine Geldleistung handelt (vgl. Rudolf Ursprung/Petra Fleischanderl, Die Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nach dem Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG), in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, Zürich 2005, S. 415 ff., S. 427), ist das Bundesgericht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG e contrario). Es kann daher die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur dann berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.4 Bei den vorinstanzlichen Erwägungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Die entsprechenden Feststellungen des kantonalen Gerichts sind daher im dargestellten Rahmen (E. 1.1 hiervor) für das Bundesgericht verbindlich.
2. 2.1 Gemäss Art. 6 Abs. 1 UVG erbringt die Unfallversicherung grundsätzlich Versicherungsleistungen bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten. Der Versicherte hat im Rahmen von Art. 10 UVG Anspruch auf die zweckmässige Behandlung der Unfallfolgen, insbesondere auf die ambulante Behandlung durch den Arzt, den Zahnarzt oder auf deren Anordnung durch eine medizinische Hilfsperson sowie im weiteren durch den Chiropraktor (Art. 10 Abs. 1 lit. a UVG) und auf die der Heilung dienlichen Mittel und Gegenstände (Art. 10 Abs. 1 lit. e UVG).
2.2 Ist der Versicherte infolge des Unfalles zu mindestens 10 Prozent invalid, so hat er Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 18 UVG). Der Rentenanspruch entsteht, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind. Mit dem Rentenbeginn fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin (Art. 19 Abs. 1 UVG). Der Bundesrat erlässt nähere Vorschriften über die Entstehung des Rentenanspruchs, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr zu erwarten ist, der Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung jedoch erst später gefällt wird (Art. 19 Abs. 3 UVG).
2.3 Nach der Festsetzung der Rente werden dem Bezüger die Pflegeleistungen und Kostenvergütungen gemäss Art. 10-13 UVG unter anderem dann gewährt, wenn er zur Erhaltung seiner verbleibenden Erwerbsfähigkeit dauernd der Behandlung und Pflege bedarf (Art. 21 Abs. 1 lit. c UVG).
3. 3.1 Die streitigen Arztkonsultationen fanden in der Zeit zwischen dem 16. November und dem 7. Dezember 2005 statt. Gemäss Schreiben des Dr. med. O._ vom 15. März 2006 handelte es sich hierbei um eine spezialärztliche Behandlung der Unfallfolgen. Wie dieser Arzt weiter ausführt, dürfte auch in Zukunft immer wieder die Notwendigkeit therapeutischer Massnahmen auftreten, zudem sei eine progrediente Verschlechterung zu erwarten. Es ist mithin davon auszugehen, dass der Versicherte zur Erhaltung seiner verbleibenden Erwerbsfähigkeit dauernd der Behandlung bedarf. Da dem Beschwerdeführer für den Zeitraum, in dem die Behandlung stattfand, von der Invalidenversicherung in Folge des Unfalles Eingliederungsmassnahmen in Form einer Umschulung zugesprochen worden waren und dieser Anspruch eine Erwerbseinbusse von ca. 20 % voraussetzt (BGE 124 V 108 E. 2b S. 110 f.; vgl. auch BGE 130 V 488 E. 4.2 S. 489 f.), ist es überwiegend wahrscheinlich, dass er eine unfallversicherungsrechtlich rentenrelevante Einschränkung in der Erwerbsfähigkeit erlitten hatte.
3.2 Erfüllt der Versicherte die strengeren Voraussetzungen, unter denen ein Anspruch auf Heilbehandlung im Rahmen des Art. 21 UVG besteht, so kann offenbleiben, ob sich sein Anspruch auf Übernahme der Kosten nach dieser Norm oder nach Art. 10 UVG richtet. Da somit auch dann ein Anspruch besteht, wenn die von der Beschwerdegegnerin auf den 1. Mai 2005 festgesetzte Einstellung der Heilbehandlung im Sinne von Art. 10 UVG rechtens war, braucht deren Rechtmässigkeit nicht überprüft zu werden; die Beschwerde ist dementsprechend ohne Weiterungen gutzuheissen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642 E. 5). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 26. September 2007 und der Einspracheentscheid der Zürich Versicherungs-Gesellschaft vom 27. Juli 2006 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer Anspruch auf die Übernahme der Kosten der Rechnungen der Klinik X._ vom 30. November 2005 über Fr. 277.40 und vom 5. Januar 2006 über Fr. 40.85 durch die Zürich Versicherungs-Gesellschaft hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer