Sachverhalt:
A. X._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) sind die Eltern einer Tochter namens Z._ (geb. 2005). Per 1. März 2006 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf. Seither lebt die Ehefrau mit zwei vorehelichen Kindern in der Dominikanischen Republik. Mit Gesuch vom 23. Januar 2007 leitete sie vor dem Richteramt Solothurn-Lebern ein Eheschutzverfahren ein.
B. B.a Mit Urteil vom 23. März 2007 verpflichtete der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern den Ehemann, mit Wirkung ab 1. März 2006 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 700.-- zuzüglich Kinderzulagen für die Tochter und von Fr. 500.-- für die Ehefrau zu bezahlen.
B.b Gegen dieses Urteil erhob der Ehemann am 5. April 2007 Rekurs an das Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte, er sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Ehefrau monatlich höchstens Fr. 190.-- und an den Unterhalt der Tochter höchstens Fr. 150.--, zuzüglich Kinderzulagen, zu bezahlen. Mit Urteil vom 27. Juni 2007 verurteilte das Obergericht des Kantons Solothurn den Ehemann in teilweiser Gutheissung des Rekurses, rückwirkend ab 1. März 2006 für die Tochter einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von Fr. 250.--, zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen, zu bezahlen. Im Übrigen wurde der Rekurs abgewiesen, namentlich soweit der Ehemann die Herabsetzung der Unterhaltsleistung für die Ehefrau beantragt hatte. Die Gerichtskosten wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. Infolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde der Anteil der Beschwerdeführerin an den Gerichtskosten vom Staat Solothurn übernommen und dem unentgeltlichen Anwalt zulasten der Staatskasse eine Entschädigung von Fr. 1'230.-- ausgerichtet.
C. Die Ehefrau (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Juli 2007 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 27. Juni 2007 sei aufzuheben und der Ehemann (nachfolgend: Beschwerdegegner) zu verurteilen, ihr mit Wirkung ab 1. März 2006 für die Tochter Z._ einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von Fr. 700.--, zuzüglich allfällig bezogener Kinderzulagen, zu bezahlen, alles unter Anrechnung bereits bezahlter Unterhaltsbeiträge. Zudem sei der Beschwerdegegner zu den Gerichts- und Parteikosten der Vorinstanz zu verurteilen.
In seiner Vernehmlassung vom 16. April 2008 beantragt der Beschwerdegegner Nichteintreten, eventuell Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt Abweisung der Beschwerde.
D. In einer separat begründeten Eingabe ersucht die Beschwerdeführerin zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid betreffend Eheschutzmassnahmen (Art. 172 ff. ZGB), wobei vor Bundesgericht einzig noch der Unterhaltsbeitrag an die gemeinsame Tochter der Parteien strittig ist. Damit liegt eine vermögensrechtliche Zivilsache vor, die grundsätzlich nur bei einem Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG; vgl. Urteil 5D_60/2007 vom 9. August 2007, E. 1.2; Urteil 5 A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2).
1.2 Der Beschwerdegegner bestreitet die Erreichung der Streitwertgrenze. Er habe am 3. März 2008 Klage auf Scheidung eingereicht, weshalb jetzt der Scheidungsrichter für den Erlass von vorsorglichen Massnahmen zuständig sei. Mithin betreffe das vorliegende Verfahren einen Zeitraum von lediglich 24 Monaten, was bei einer Differenz von Fr. 450.-- pro Monat einen Streitwert von Fr. 10'800.-- ergebe. Zudem habe er gestützt auf das erstinstanzliche Urteil vom März 2006 bis Juli 2007 insgesamt Fr. 7'650.-- zuviel bezahlt. Schliesslich habe er der Beschwerdeführerin im Rahmen der Trennung Fr. 5'500.-- für die Eröffnung eines Coiffeursalons und Fr. 4'000.-- als Handgeld vor ihrer Abreise in die Dominikanische Republik übergeben. Damit reduziere sich der Streitwert um Fr. 17'150.--.
Gemäss Art. 51 Abs. 1 BGG berechnet sich der Streitwert nach dem Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben sind. Als Wert wiederkehrender Leistungen gilt der Kapitalwert. Bei ungewisser oder unbeschränkter Dauer gilt als Kapitalwert der zwanzigfache Betrag der einjährigen Leistung (Art. 51 Abs. 4 BGG). Stichtag für die Berechnung des Streitwerts ist mithin das Datum des angefochtenen Entscheids. Dieser Stichtag gilt auch für die Beurteilung der Frage, ob die Dauer der wiederkehrenden Leistungen ungewiss bzw. unbeschränkt ist. Danach eingetretene, veränderte tatsächliche Verhältnisse bleiben unberücksichtigt. Dies gilt namentlich dann, wenn - wie vorliegend - zu einem späteren Zeitpunkt Ehescheidungsklage eingereicht wird, zumal vor der Einleitung eines Scheidungsverfahrens erlassene Eheschutzmassnahmen weitergelten, bis sie gegebenenfalls durch spätere ersetzt werden (BGE 129 III 60 E. 2 S. 61, mit Hinweisen). Ebensowenig vermögen gestützt auf ein erstinstanzliches Urteil allenfalls zuviel bezahlte Unterhaltsbeiträge etwas an der Berechnung des Streitwertes zu ändern. Dies gilt hier umso mehr, als die Beschwerdeführerin mit ihrer Beschwerde im Ergebnis die Wiedereinsetzung des erstinstanzlichen Urteils anbegehrt, was - wenn sie obsiegt - bedeuten würde, dass der Beschwerdegegner nicht zuviel bezahlt hat.
Streitig ist vorliegend eine Differenz von Fr. 450.-- pro Monat, was Fr. 5'400.-- pro Jahr ausmacht. Weil die Unterhaltsleistungen für eine unbeschränkte Dauer ausgesprochen wurden, ist die einjährige Leistung zwanzigfach zu kapitalisieren. Mithin beträgt der Streitwert Fr. 108'000.--, womit der in Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG statuierte Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- offenkundig überschritten ist.
1.3 Entschieden hat das Obergericht als letzte kantonale Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) teilweise gegen die Beschwerdeführerin, die mit ihrem Antrag, die Unterhaltsbeiträge für die Tochter nicht herabzusetzen, unterlegen und deshalb zur Beschwerde berechtigt ist (Art. 76 Abs. 1 BGG).
1.4 Die Eheschutzmassnahme, die den Unterhalt für die Dauer des Getrenntlebens festlegt, ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) und eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von Art. 98 BGG, so dass die Beschwerdegründe auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt sind (BGE 133 III 393 E. 5). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es gilt das Rügeprinzip entsprechend der bisherigen Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde. In der Beschwerdeschrift ist deshalb zumindest in erkennbarer Weise anzuführen, welches Grundrecht verletzt sein soll, und kurz darzulegen, worin die behauptete Verletzung besteht (BGE 133 III 393 E. 6). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur vorgebracht werden, soweit erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Entsprechendes gilt auch für neue rechtliche Vorbringen (BGE 133 III 638 E. 2).
1.5 Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden.
2. 2.1 Die Vorinstanz ermittelte für die Beschwerdeführerin einen Bedarf von insgesamt Fr. 3'200.-- (Grundbeträge Fr. 1'250.--, Wohnkosten Fr. 1'250.-- [für zwei Personen], Krankenkasse Fr. 250.-- und Steuern Fr. 200.--) und errechnete dem Bedarf entsprechend Alimente von Fr. 1'000.--, zuzüglich Kinderzulagen, für die Tochter und von Fr. 2'200.-- für die Beschwerdeführerin. Ergänzend erwog sie sodann, indessen seien die Lebenshaltungskosten in der Dominikanischen Republik erheblich niedriger als in der Schweiz. Die Kaufkraft eines US$ betrage 3.06 in der Dominikanischen Republik und 0.7 in der Schweiz. Mit einem US$ (recte: CHF) könne man in der Dominikanischen Republik somit rund 4.4 mal mehr Waren und Dienstleistungen erstehen. Um dort den gleichen Lebensstandart wie in der Schweiz pflegen zu können, benötige die Beschwerdeführerin folglich 4.4 mal weniger Geld, weshalb der Unterhaltsanspruch von Ehefrau und Tochter rund Fr. 750.-- (= Fr. 3'200 : 4.4) betrage. Unter Berücksichtigung der Lebenshaltungskosten hat die Vorinstanz einen Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdeführerin persönlich von Fr. 500.-- und einen solchen für die Tochter von Fr. 250.--, zuzüglich Kinderzulagen, festgesetzt.
2.2 Die Beschwerdeführerin wendet nichts gegen die vorinstanzlichen Berechnungen ein, soweit diese einen Bedarf von Fr. 3'200.-- für Mutter und Kind ermittelt hat. Hingegen beanstandet sie die anteilsmässige Reduktion der Unterhaltsbeiträge anhand des Kaufkraftindexes. Diese Reduktion trage dem Umstand nicht Rechnung, dass sie allein schon ausgewiesene Wohnkosten von Fr. 575.-- pro Monat zu bestreiten habe und ihr überdies ein Anspruch auf Beibehaltung des Lebensstandards zustehe, wie er während der Ehe in der Schweiz geführt worden sei. Wenn die Mehrheit ihrer Landsleute in ärmlichen Behausungen lebten, welche tatsächlich zu einem tieferen Mietzins erhältlich seien, dann heisse dies nicht, dass sie und die gemeinsame Tochter ebenfalls so leben müssten. So oder so sei der geltend gemachte Mietzins noch deutlich tiefer, als er in der Schweiz üblich sei. Im Weiteren setzt die Beschwerdeführerin auseinander, nach Abzug der Wohnkosten verbleibe ihr - unter Anrechnung der Kinderzulagen - noch ein Betrag von Fr. 335.--, welcher auch in der Dominikanischen Republik nicht ausreiche, um die Kosten zu decken. Gemäss der Berechnungsmethode der Vorinstanz entspreche diese Summe in der Schweiz einem Betrag von Fr. 1'474.--. Demgegenüber billige ihr die Vorinstanz ein schweizerisches Existenzminimum, nach Abzug der Wohnkosten, von Fr. 1'950.-- zu. Bei einer Berücksichtigung der tatsächlichen Wohnkosten vermöge sie vom zugesprochenen Unterhaltsbeitrag ihr Existenzminimum und das ihrer Tochter nicht zu bestreiten. Indem die Vorinstanz die ausgewiesenen Wohnkosten nicht beachte, lasse diese entscheidende Tatsachen, nämlich den eingereichten Mietvertrag, ausser Acht, ohne dies freilich zu begründen. Der vorinstanzliche Entscheid sei deshalb willkürlich und wegen Verletzung von Art. 9 BV aufzuheben.
Zusammengefasst führt der Beschwerdegegner seinerseits aus, die Vorinstanz habe der Beschwerdeführerin ohnehin mehr zugesprochen als ein korrekt berechneter Notbedarf, sodass von Willkür keine Rede sein könne.
2.3 Ein Entscheid ist dann willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 129 I 173 E. 3.1 S. 178, mit Hinweisen).
Es trifft zu, dass die Vorinstanz die ausgewiesenen Wohnkosten von Fr. 575.-- pro Monat ohne Begründung nicht berücksichtigt hat. Indessen sind die geltend gemachten Wohnkosten unter anderem darauf zurück zu führen, dass die Beschwerdeführerin zwei voreheliche Kinder hat, mit denen sie auch zusammen wohnt. Die Beschwerdeführerin macht nicht etwa geltend, dass sie vom leiblichen Vater dieser Kinder keinen Kinderunterhalt beanspruchen könne, ansonsten die stiefelterliche Unterstützungspflicht des Beschwerdegegners hier greifen würde (Urteil 5C.149/2004 vom 6. Oktober 2004, E. 4.5, in: Fampra.ch 2005, S. 352). Damit wäre eine Herabsetzung der effektiven Wohnkosten nicht als solche willkürlich. Berechnet man die von der Vorinstanz für die Schweiz angenommenen Wohnkosten von Fr. 1'250.-- anhand des Kaufkraftverhältnisses in der Dominikanischen Republik, ergibt dies einen Betrag von Fr. 284.-- (= Fr. 1'250 : 4.4). Dieser Betrag ist denn auch in der Aufstellung des auf die Verhältnisse der Dominikanischen Republik zugeschnittenen Notbedarfs der Beschwerdeführerin enthalten, womit sich das angefochtene Urteil jedenfalls im Ergebnis nicht als unhaltbar erweist; die diesbezügliche Rüge ist unbegründet.
3. 3.1 Sodann bemängelt die Beschwerdeführerin die Berechnungsmethode der Vorinstanz. Nach Abzug der beiden Existenzminima vom Nettoeinkommen des Beschwerdegegners verbleibe ein Überschuss von Fr. 2'450.--, welcher ihr, da sie Kinder zu versorgen habe, zu 2/3 gutzuschreiben sei. Die Vorinstanz gebe in ihrem Entscheid die Überschussverteilung als Berechnungsgrundlage an, mache jedoch in der Folge keinerlei Ausführungen dazu, so dass von einem offensichtlichen Versehen auszugehen sei. Der angefochtene Entscheid enthalte keine vertretbare Begründung für die ungleiche bzw. gar nicht erfolgte Aufteilung des Überschusses und erweise sich daher als willkürlich (Art. 9 BV).
3.2 Die Beschwerdeführerin rügt die mangelnde Aufteilung des Überschusses erstmals vor Bundesgericht, weshalb sich die Beschwerde als unzulässig erweist, soweit nicht der Entscheid der letzten kantonalen Instanz zum vorgenannten Novum Anlass geboten hat (E. 1.4 hiervor). Richtig ist, dass der Beschwerdegegner den für die Beschwerdeführerin günstigen erstinstanzlichen Entscheid angefochten hat, was aber nicht heisst, dass sich die Beschwerdeführerin nicht spätestens im Verfahren vor Obergericht veranlasst gesehen hat, die Frage der Überschussteilung zu thematisieren. Der erstinstanzliche Richter hatte den Kinderunterhaltsbeitrag auf Fr. 700.--, zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 160.-- und den persönlichen Unterhaltsbeitrag der Beschwerdeführerin auf Fr. 500.-- pro Monat festgesetzt. Dabei war von einer Verteilung des Überschusses keine Rede, was die Beschwerdeführerin nicht zu stören schien, zumal sie die für sie persönlich und das gemeinsame Kind zugesprochenen Beiträge als angemessen betrachtete und akzeptierte. Der gegen den erstinstanzlichen Entscheid rekurrierende Beschwerdegegner wollte der Beschwerdeführerin und dem Kind nur gerade einen Betrag von gesamthaft Fr. 340.-- zugestehen und begründete dies mit den tieferen Lebenshaltungskosten der Dominikanischen Republik, welche vor erster Instanz - wenn auch ohne genauere Angaben - thematisiert worden waren. Bei dieser Ausgangslage musste die Beschwerdeführerin mit einer Reduktion der Unterhaltsbeiträge zufolge tieferer Lebenshaltungskosten rechnen und hätte daher Anlass gehabt, die rechtserhebliche Frage der Überschussteilung aufzuwerfen. Zur Rechtfertigung des vorgenannten Novums lässt sich auch nicht vorbringen, das Obergericht habe den Fall gestützt auf eine völlig neue Begründung gelöst (BGE 133 III 393 E. 5; Urteil 4A_36/2008 vom 18. Februar 2008, E. 4.1). Zusammenfassend kann nicht gesagt werden, erst das angefochtene Urteil habe Anlass geboten, die strittige Frage vor Bundesgericht aufzuwerfen. Die erstmals vor Bundesgericht erfolgte Geltendmachung der mangelnden Teilung des Überschusses erweist sich daher als unzulässig, so dass insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat sie den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
5. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist gutzuheissen, zumal sie bedürftig ist und das Verfahren nicht als von vornherein aussichtslos erschien. Der Beschwerdeführerin ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sind die Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und ist dem Anwalt der Beschwerdeführerin ein reduziertes Honorar aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen; ihr wird Fürsprecher Christian Gerber als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Fürsprecher Christian Gerber wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'500.-- entrichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden