Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 30. November 1999 wurde B._ festgenommen, weil der Verdacht bestand, er sei als Besitzer des auf seinen Bruder C._ eingelösten Fahrzeugs LU 1..... an zwei Einbruchdiebstählen beteiligt gewesen. Am selben Tag erfolgte in G._ die erste polizeiliche Befragung durch Wachtmeister A._ sowie eine erste Einvernahme durch den Amtsstatthalter, anlässlich welcher der Angeschuldigte bemerkte, es sei nicht zulässig, dass er von der Polizei geschlagen werde. Anschliessend verfügte der Amtsstatthalter die Untersuchungshaft wegen Kollusionsgefahr.
Nachdem B._ über Schmerzen geklagt hatte, erfolgte am 3. Dezember 1999 eine erste Arztvisite. Der Notfallarzt verordnete zunächst Medikamente. Als der verantwortliche Gefängnisarzt B._ vier Tage später untersuchte, stellte er eine aussergewöhnliche Druckempfindlichkeit des Jochbeins fest und ordnete eine Magnetresonanzuntersuchung an. Diese ergab eine Jochbeinfraktur rechts sowie eine Orbitabodenfraktur rechts. Am 20. Dezember 1999 wurde B._ im Kantonsspital Luzern, Klinik für Mund-Kiefer-Gesichts-Chirurgie, operiert.
Nachdem B._ über Schmerzen geklagt hatte, erfolgte am 3. Dezember 1999 eine erste Arztvisite. Der Notfallarzt verordnete zunächst Medikamente. Als der verantwortliche Gefängnisarzt B._ vier Tage später untersuchte, stellte er eine aussergewöhnliche Druckempfindlichkeit des Jochbeins fest und ordnete eine Magnetresonanzuntersuchung an. Diese ergab eine Jochbeinfraktur rechts sowie eine Orbitabodenfraktur rechts. Am 20. Dezember 1999 wurde B._ im Kantonsspital Luzern, Klinik für Mund-Kiefer-Gesichts-Chirurgie, operiert.
B. Am 2. Februar 2000 erhob B._ Strafklage gegen A._ wegen einfacher Körperverletzung. Er machte geltend, der Polizeibeamte habe ihm während der ersten Befragung mit zwei Faustschlägen die genannten Verletzungen zugefügt. A._ bestritt die ihm vorgeworfenen Schläge. Im Frühsommer des Jahres 2000 verliess B._ die Schweiz und kehrte nach Jugoslawien (Kosovo) zurück.
Am 28. November 2000 erging in Sachen A._ ein Strafbefehl des Amtsstatthalters G._, lautend auf drei Wochen Gefängnis, bedingt vollziehbar, wegen einfacher Körperverletzung. Diesen anerkannte der Polizeibeamte nicht, weshalb die Akten dem Amtsgericht G._ zur gerichtlichen Beurteilung überwiesen wurden. Am 19. März 2001 wurde der Angeklagte in Anwendung des Grundsatzes in dubio pro reo freigesprochen.
Am 28. November 2000 erging in Sachen A._ ein Strafbefehl des Amtsstatthalters G._, lautend auf drei Wochen Gefängnis, bedingt vollziehbar, wegen einfacher Körperverletzung. Diesen anerkannte der Polizeibeamte nicht, weshalb die Akten dem Amtsgericht G._ zur gerichtlichen Beurteilung überwiesen wurden. Am 19. März 2001 wurde der Angeklagte in Anwendung des Grundsatzes in dubio pro reo freigesprochen.
C. Gegen das Urteil des Amtsgerichts G._ erklärte B._ als Privatkläger mit Eingabe vom 27. April 2001 die Appellation. Die Staatsanwaltschaft beantragte demgegenüber anlässlich der Verhandlung vor dem Obergericht des Kantons Luzern, das vorinstanzliche Urteil sei zu bestätigen. Das Obergericht sprach A._ am 4. September 2001 (Versand des begründeten Urteils: 14. März 2002) der einfachen Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu drei Wochen Gefängnis, bedingt vollziehbar, und verwies die Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen des Privatklägers auf den Zivilweg. Es bestünden entgegen der Vorinstanz insgesamt keine erheblichen und nicht zu unterdrückenden Zweifel daran, dass der Angeklagte den Privatkläger anlässlich der polizeilichen Befragung durch Faustschläge ins Gesicht verletzt habe.
C. Gegen das Urteil des Amtsgerichts G._ erklärte B._ als Privatkläger mit Eingabe vom 27. April 2001 die Appellation. Die Staatsanwaltschaft beantragte demgegenüber anlässlich der Verhandlung vor dem Obergericht des Kantons Luzern, das vorinstanzliche Urteil sei zu bestätigen. Das Obergericht sprach A._ am 4. September 2001 (Versand des begründeten Urteils: 14. März 2002) der einfachen Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu drei Wochen Gefängnis, bedingt vollziehbar, und verwies die Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen des Privatklägers auf den Zivilweg. Es bestünden entgegen der Vorinstanz insgesamt keine erheblichen und nicht zu unterdrückenden Zweifel daran, dass der Angeklagte den Privatkläger anlässlich der polizeilichen Befragung durch Faustschläge ins Gesicht verletzt habe.
D. Gegen das Urteil des Obergerichts erhebt A._ mit Eingabe vom 11. April 2002 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung des Grundsatzes in dubio pro reo als Beweislast- und Beweiswürdigungsregel. Er beantragt ausserdem, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
Mit Vernehmlassung vom 18. April 2002 stellt die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern zwar keinen Antrag, führt aber aus, sie erachte das Beweisergebnis in der vorliegenden Strafsache für einen Schuldbefund als zu wenig zwingend. Das Obergericht und B._ beantragen demgegenüber, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. B._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Präsidialverfügung vom 17. Mai 2002 ist dem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung entsprochen worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Beim angefochtenen Urteil des Obergerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid (Art. 86 Abs. 1 OG), gegen den auf Bundesebene einzig die staatsrechtliche Beschwerde zur Verfügung steht (Art. 84 Abs. 2 OG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Der Privatkläger und Beschwerdegegner stellt sich indessen auf den Standpunkt, auf die Beschwerde könne grösstenteils nicht eingetreten werden, da dem Rügeprinzip nicht Genüge getan sei.
Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss eine staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. BGE 127 I 38 E. 3c S. 43; 125 I 492 E. 1b S. 495 mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen vermag die Eingabe vom 11. April 2002 nicht durchwegs zu genügen. Der Beschwerdeführer beschränkt sich teilweise darauf, die obergerichtliche Beweiswürdigung in rein appellatorischer Weise zu kritisieren, ohne aufzuzeigen, inwiefern die gerügte Beweiswürdigung unhaltbar sein soll. Verschiedene Teile der Beschwerdeschrift lassen damit ausreichend substanziierte Verfassungsrügen gegen den Entscheid des Obergerichts vermissen. Namentlich der globale Verweis auf die nach Ansicht des Beschwerdeführers zutreffenden Ausführungen des Bezirksgerichts G._ wird dem Rügeprinzip nicht gerecht. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, den Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweislastregel verletzt zu haben, indem es festgestellt habe, es könne aus den Angaben des Amtsstatthalters und dem Bericht der Haftanstalt D._ nicht zwingend geschlossen werden, dass die Verletzung des Beschwerdegegners nicht am 30. November 1999 und somit nicht durch den Beschwerdeführer erfolgt sei. Es sei aber nicht die Aufgabe des Angeschuldigten, seine Unschuld zu beweisen.
2.1 Als Beweislastregel bedeutet der Grundsatz "in dubio pro reo", dass es Sache der Anklagebehörde ist, die Schuld des Angeklagten zu beweisen, und nicht dieser seine Unschuld nachweisen muss. Die Maxime ist verletzt, wenn der Strafrichter einen Angeklagten mit der Begründung verurteilt, er habe seine Unschuld nicht nachgewiesen, oder wenn sich aus der Begründung des Urteils ergibt, dass der Strafrichter von der falschen Meinung ausging, der Angeklagte habe seine Unschuld zu beweisen, und dass er ihn verurteilte, weil ihm dieser Beweis misslang (BGE 127 I 38 E. 2a S. 40; 120 Ia 31 E. 2c S. 37). Das Bundesgericht prüft frei, ob der Sachrichter diese Beweislastregel missachtet hat (BGE 127 I 38 E. 2a S. 40; 120 Ia E. 2d S. 38).
2.2 Die kritisierte Erwägung des angefochtenen Entscheids befasst sich mit der Würdigung der Angaben zweier schriftlich befragter Ärzte. Diese hatten namentlich Stellung zu nehmen zur Frage, welche Ursachen die hier in Frage stehende Verletzung haben könne und ob eine derartige Einwirkung unverzüglich von aussen feststellbar sei bzw. für den Laien äusserlich feststellbare Symptome wie z.B. eine Schwellung mit sich bringe. Aus den Antworten zieht das Obergericht den Schluss, es bestehe durchaus die Möglichkeit, dass die Gesichtsverletzung erst längere Zeit (mehrere Stunden) nach dem Vorfall (z.B. durch Aufschwellen) äusserlich sichtbar geworden sei, womit sie mit den Angaben des Amtsstatthalters und des Direktors des Untersuchungsgefängnisses D._ in Übereinstimmung zu bringen seien. Mit dieser Aussage wird aber keineswegs die Beweislast dem Angeklagten überbunden. Vielmehr wird zum Ausdruck gebracht, dass im Rahmen der Gesamtwürdigung die Arztberichte und die Angaben von Statthalter und Haftanstalt zwar nicht zwingend den Schluss auf die Täterschaft des Angeklagten nahe legen, diese aber auch nicht ausschliessen. Da aber die Arztberichte neben dem Geschehensablauf, dem Aussageverhalten des Beschwerdeführers sowie demjenigen des Beschwerdegegners in eine Gesamtbetrachtung eingeflossen sind, bezieht sich die beanstandete Aussage des Obergerichts ausschliesslich auf die Beweiswürdigung. Es wird im Ergebnis lediglich gesagt, die genannten Berichte seien für den Indizienbeweis tauglich, wenn sie auch für sich allein genommen vielleicht keinen eindeutigen Schluss auf die Täterschaft des Beschwerdeführers zulassen. Daraus kann aber keine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweislastregel abgeleitet werden. Die Beschwerde ist erweist sich daher insoweit als unbegründet.
2.2 Die kritisierte Erwägung des angefochtenen Entscheids befasst sich mit der Würdigung der Angaben zweier schriftlich befragter Ärzte. Diese hatten namentlich Stellung zu nehmen zur Frage, welche Ursachen die hier in Frage stehende Verletzung haben könne und ob eine derartige Einwirkung unverzüglich von aussen feststellbar sei bzw. für den Laien äusserlich feststellbare Symptome wie z.B. eine Schwellung mit sich bringe. Aus den Antworten zieht das Obergericht den Schluss, es bestehe durchaus die Möglichkeit, dass die Gesichtsverletzung erst längere Zeit (mehrere Stunden) nach dem Vorfall (z.B. durch Aufschwellen) äusserlich sichtbar geworden sei, womit sie mit den Angaben des Amtsstatthalters und des Direktors des Untersuchungsgefängnisses D._ in Übereinstimmung zu bringen seien. Mit dieser Aussage wird aber keineswegs die Beweislast dem Angeklagten überbunden. Vielmehr wird zum Ausdruck gebracht, dass im Rahmen der Gesamtwürdigung die Arztberichte und die Angaben von Statthalter und Haftanstalt zwar nicht zwingend den Schluss auf die Täterschaft des Angeklagten nahe legen, diese aber auch nicht ausschliessen. Da aber die Arztberichte neben dem Geschehensablauf, dem Aussageverhalten des Beschwerdeführers sowie demjenigen des Beschwerdegegners in eine Gesamtbetrachtung eingeflossen sind, bezieht sich die beanstandete Aussage des Obergerichts ausschliesslich auf die Beweiswürdigung. Es wird im Ergebnis lediglich gesagt, die genannten Berichte seien für den Indizienbeweis tauglich, wenn sie auch für sich allein genommen vielleicht keinen eindeutigen Schluss auf die Täterschaft des Beschwerdeführers zulassen. Daraus kann aber keine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweislastregel abgeleitet werden. Die Beschwerde ist erweist sich daher insoweit als unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht in der Hauptsache vor, den Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel verletzt zu haben.
Als Beweiswürdigungsregel besagt dieser aus der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Grundsatz, dass sich der Strafrichter nicht von einem für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Die Maxime ist verletzt, wenn der Strafrichter an der Schuld des Angeklagten hätte zweifeln müssen. Dabei sind bloss abstrakte und theoretische Zweifel nicht massgebend, weil solche immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann. Das Bundesgericht legt sich bei der Überprüfung von Beweiswürdigungen im Strafprozess Zurückhaltung auf. Es greift mit anderen Worten nur ein, wenn der Sachrichter den Angeklagten verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des ganzen Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an dessen Schuld fortbestanden (BGE 127 I 38 E. 2a S. 41; 124 IV 86 E. 2a S. 88; 120 Ia 31 E. 2c und d S. 37 f.).
Als Beweiswürdigungsregel besagt dieser aus der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Grundsatz, dass sich der Strafrichter nicht von einem für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Die Maxime ist verletzt, wenn der Strafrichter an der Schuld des Angeklagten hätte zweifeln müssen. Dabei sind bloss abstrakte und theoretische Zweifel nicht massgebend, weil solche immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann. Das Bundesgericht legt sich bei der Überprüfung von Beweiswürdigungen im Strafprozess Zurückhaltung auf. Es greift mit anderen Worten nur ein, wenn der Sachrichter den Angeklagten verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des ganzen Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an dessen Schuld fortbestanden (BGE 127 I 38 E. 2a S. 41; 124 IV 86 E. 2a S. 88; 120 Ia 31 E. 2c und d S. 37 f.).
4. 4.1 Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass B._ am Nachmittag des 30. November 1999 sowohl durch den Beschwerdeführer erstmals polizeilich einvernommen als auch dem Amtsstatthalter vorgeführt worden ist. Der Beschwerdeführer hat anlässlich der Befragung durch das Amtsgericht G._ angegeben, der Beschwerdegegner habe vor der Einvernahme um ca. 14.00 Uhr Schmerzmittel gewünscht. Die Befragung habe mit teilweisen Unterbrüchen maximal eine Stunde gedauert. Er habe den Privatkläger zur Hafteröffnung geführt; dies sei sicher um 15.30 Uhr gewesen. Der Beschwerdeführer behauptet, nach der Befragung des Beschwerdegegners seien keinerlei Spuren von Gewalteinwirkung zu sehen gewesen. Es sei nicht einmal eine leichte Rötung der Haut feststellbar gewesen. Der Vertreter des Beschwerdegegners hat demgegenüber mit Strafanzeige bzw. Strafklage vom 2. Februar 2000 geltend gemacht, das rechte Auge von B._ sei blutunterlaufen gewesen. Der Beschwerdeführer wendet dazu wie schon vor Obergericht ein, angesichts dieser Behauptung des Beschwerdegegners stelle sich umso mehr die Frage, warum weder der Amtsstatthalter persönlich noch das Gefängnispersonal der Haftanstalt D._ die relativ schwere Gesichtsverletzung erkannt habe.
4.1.1 Das Obergericht führt aus, es bestehe gemäss den Arztberichten durchaus die Möglichkeit, dass die Gesichtsverletzung erst längere Zeit (mehrere Stunden) nach dem Vorfall (z.B. durch Aufschwellen) äusserlich sichtbar geworden sei. Mit der anschliessend getroffenen Feststellung, immerhin habe auch der behandelnde Arzt eine Woche später keinen Bluterguss feststellen können, wird im angefochtenen Entscheid die Frage gar offen gelassen, ob äusserlich erkennbare Symptome sichtbar gewesen sind. Der Amtsstatthalter hat zu Protokoll gegeben, er habe keine Verletzung im Gesicht feststellen können. Das Gesicht sei weder blau noch schwarz verfärbt gewesen. Das Obergericht hält dazu fest, über eine allfällige Schwellung des Gesichts des Privatklägers, welche gemäss Bericht des Kantonsspitals Luzern bei Mittelgesichtsfrakturen "in der Regel innerhalb der ersten Stunden" auftrete, habe sich der Amtsstatthalter nicht geäussert.
4.1.2 Zwar wäre denkbar, dass nicht nur der Amtsstatthalter, sondern auch das Personal der Haftanstalt D._ bei der Zuführung um 19.35 Uhr aus Nachlässigkeit die sichtbaren Symptome nicht wahrgenommen haben. Aber auch dann müsste jemand die Verletzung später bemerkt haben. Es ist in diesem Zusammenhang hervorzuheben, dass die Notfallvisite offenbar nicht wegen äusserlich erkennbarer Symptome angeordnet worden ist. Vielmehr hat sich der Beschwerdegegner über Schmerzen beklagt. Der entsprechende Eintrag im Journal vom 3. Dezember 1999 lautet: "B._ dringend zum Arzt; Problem mit Kiefer oder Zahn". Der Beschwerdegegner selbst hat dazu ausgesagt, er habe einen Arzt aufsuchen können, weil festgestellt worden sei, dass er nicht essen könne. Auch im Journal des einvernehmenden Polizisten E._ in Sachen B._ ist unter dem 2.Dezember 1999 vermerkt, dieser beklage sich über starke Schmerzen auf der rechten Wangenseite; angeblich sei er von der Polizei in G._ geschlagen worden. Der Umstand, dass der Notfallarzt, der B._ am 3.Dezember 1999 besucht hat, dem Beschwerdegegner lediglich Medikamente abgegeben hat, lässt darauf schliessen, dass selbst für den Mediziner damals keine sichtbaren Symptome feststellbar waren. Der Gefängnisarzt hat am 7.Dezember 1999 keinen Bluterguss feststellen können. Indem das Obergericht wie aufgezeigt begründet und für den Jochbeinbruch als Datum den 30. November 1999 annimmt, schliesst es gleichzeitig den Regelfall aus, wonach bei Mittelgesichtsfrakturen innerhalb der ersten Stunden Schwellungen, Schürfungen, Blutergüsse oder auch eine Rötung der Haut auftreten, sodass für den Laien sichtbare Symptome vorhanden sind. Ein solcher Ausschluss steht aber in Widerspruch zumindest zu einem Teil des vom Obergericht als erhärtet angenommen Sachverhalts. Aus alledem erscheint es unhaltbar, dass das Obergericht letztlich offen gelassen hat, ob äusserlich erkennbare Symptome sichtbar gewesen sind. Diese hätten jedenfalls anlässlich der Einvernahme vom 2. Dezember 1999 oder seitens des Gefängnispersonals wahrgenommen werden müssen. Dies insbesondere angesichts der Tatsache, dass sich der Beschwerdegegner unbestrittenermassen am 2.Dezember 1999 -nach seinen eigenen Angaben schon früher - über Schmerzen beklagt hat und für den 3.Dezember 1999 eine Notfallvisite angeordnet worden ist.
4.2 Das Amtsgericht G._ hat festgestellt, das Protokoll der Anhörung durch den Statthalter spreche teilweise gegen den vom Beschwerdegegner behaupteten Geschehensablauf. B._ hat auf die Frage, ob er Medikamente oder einen Arzt brauche, geantwortet, er benötige Medikamente für seinen Rücken; er wolle, dass ihm eine Tablette gegeben werde. Dazu wiederum passt, dass im Effektenverzeichnis neun Kapseln CELEBREX aufgeführt sind. Im Festnahme-Rapport vom 30.November 1999 ist die Angabe enthalten, B._ benötige Medikamente. Dies würde, wenn man die obergerichtlichen Feststellungen zugrunde legt, bedeuten, dass sich der Beschwerdegegner trotz einer soeben erlittenen Jochbeinfraktur damals nicht über Schmerzen in der rechten Gesichtshälfte zu beklagen hatte. Der Beschwerdegegner hat dazu ausgesagt, er sei während der Anhörung durch den Statthalter benommen gewesen und habe deshalb nicht sofort bemerkt, was im Protokoll gestanden habe. Der Vertreter des Beschwerdegegners hat im Parteivortrag vor Obergericht ausgeführt, der Amtsstatthalter habe nicht richtig protokolliert. B._ spreche nur gebrochen deutsch. Es könne durchaus sein, dass ihn der Amtsstatthalter falsch verstanden habe. B._ habe dem Amtsstatthalter gesagt, dass er Schmerzen im Gesicht habe wegen der Faustschläge des Beschwerdeführers. Er habe deswegen Medikamente verlangt. Das Amtsgericht G._ hat festgehalten, gemäss Arztbericht des Kantonsspitals vom 15. Januar 2001 würden Verletzungen der vorliegenden Art in der Regel starke Schmerzen verursachen, die nach Auffassung des Amtsgerichts nicht am Rücken, sondern im verletzten Gesicht auftreten. Das Obergericht hat den in Frage stehenden Protokollauszug über die Vernehmung vor dem Amtsstatthalter nicht gewürdigt. Dazu hätte es aber unter den geschilderten Umständen Anlass gehabt. Zwar ist nicht auszuschliessen, dass das Protokoll nicht die Angaben des Beschwerdegegners wiedergibt; im Zweifel darf aber nicht ohne Begründung davon ausgegangen werde, das Protokoll sei falsch. Zudem hat der Beschwerdegegner selbst zu diesem Punkt vor Obergericht nicht mehr befragt werden können.
4.3 Im angefochtenen Entscheid wird festgehalten, ein Motiv für eine falsche Anschuldigung sei nicht ersichtlich. Dem widerspricht der Beschwerdeführer. Es sei unbestritten, dass der Beschwerdegegner im Zusammenhang mit einem Einbruch in F._ einvernommen worden sei. Es leuchte daher ohne weiteres ein, dass er aufgrund dieser speziellen Konstellation Aggressionen gegen den einvernehmenden Polizeibeamten entwickelt haben könne. Eine gewisse Aggression persönlicher Art sei sogar aktenkundig.
Das Obergericht führt zum Geschehensablauf aus, im Verlaufe der Befragung sei es zu einer provokativen Äusserung des Privatklägers gekommen. Nach den Angaben des Beschwerdeführers hat der Einvernommene "auf stur geschaltet" und immer gesagt, er wisse nichts. Der Beschwerdeführer habe zum Beschwerdegegner gesagt, wenn er von allem nichts mehr wisse, müsse man in Erwägung ziehen, seinen Geisteszustand zu überprüfen. Es könne sein, dass der Privatkläger daraufhin gesagt habe, es sei dann noch die Frage zu stellen, wer in die psychiatrische Klinik gehöre. Daraus wird im angefochtenen Entscheid der Schluss gezogen, ein Motiv für das dem Angeklagten vorgeworfene Handeln sei zumindest nicht von der Hand zu weisen. Darüber hinaus ist aktenkundig, dass der Beschwerdegegner nach einer an einen Zeugen gerichteten telefonischen Rückfrage des Beschwerdeführers, die zur Korrektur einer Zeitangabe des Zeugen geführt hatte, die Bemerkung hat fallen lassen, wenn der einvernehmende Polizeibeamte noch einige Male telefoniere, so würde zuletzt vielleicht alles zusammenpassen. Aufgrund der geschilderten Gesprächssituation lässt sich wohl einerseits begründen, weshalb der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner geschlagen haben könnte. Andererseits ist damit auch ein mögliches Motiv für eine falsche Anschuldigung nicht einfach von der Hand zu weisen. Davon könnte auch der Amtsstatthalter ausgegangen sein, der der Behauptung des Beschwerdegegners, er sei von der Polizei geschlagen worden, nach den Angaben des Beschwerdeführers keinerlei Bedeutung beigemessen hat (vgl. E. 4.1 hiervor). Das Obergericht hat den unbestrittenen Sachverhalt in nicht vertretbarer Weise einseitig gewürdigt, indem es zwar auf ein mögliches Motiv für die behaupteten Faustschläge, nicht aber auf einen möglichen Anlass für eine falsche Anschuldigung geschlossen hat.
Das Obergericht führt zum Geschehensablauf aus, im Verlaufe der Befragung sei es zu einer provokativen Äusserung des Privatklägers gekommen. Nach den Angaben des Beschwerdeführers hat der Einvernommene "auf stur geschaltet" und immer gesagt, er wisse nichts. Der Beschwerdeführer habe zum Beschwerdegegner gesagt, wenn er von allem nichts mehr wisse, müsse man in Erwägung ziehen, seinen Geisteszustand zu überprüfen. Es könne sein, dass der Privatkläger daraufhin gesagt habe, es sei dann noch die Frage zu stellen, wer in die psychiatrische Klinik gehöre. Daraus wird im angefochtenen Entscheid der Schluss gezogen, ein Motiv für das dem Angeklagten vorgeworfene Handeln sei zumindest nicht von der Hand zu weisen. Darüber hinaus ist aktenkundig, dass der Beschwerdegegner nach einer an einen Zeugen gerichteten telefonischen Rückfrage des Beschwerdeführers, die zur Korrektur einer Zeitangabe des Zeugen geführt hatte, die Bemerkung hat fallen lassen, wenn der einvernehmende Polizeibeamte noch einige Male telefoniere, so würde zuletzt vielleicht alles zusammenpassen. Aufgrund der geschilderten Gesprächssituation lässt sich wohl einerseits begründen, weshalb der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner geschlagen haben könnte. Andererseits ist damit auch ein mögliches Motiv für eine falsche Anschuldigung nicht einfach von der Hand zu weisen. Davon könnte auch der Amtsstatthalter ausgegangen sein, der der Behauptung des Beschwerdegegners, er sei von der Polizei geschlagen worden, nach den Angaben des Beschwerdeführers keinerlei Bedeutung beigemessen hat (vgl. E. 4.1 hiervor). Das Obergericht hat den unbestrittenen Sachverhalt in nicht vertretbarer Weise einseitig gewürdigt, indem es zwar auf ein mögliches Motiv für die behaupteten Faustschläge, nicht aber auf einen möglichen Anlass für eine falsche Anschuldigung geschlossen hat.
5. Nach dem in Erwägung 4.1 hiervor Gesagten ist entgegen der insoweit unhaltbaren Beweiswürdigung des Obergerichts wahrscheinlich, dass keine bzw. nur leicht zu übersehende Symptome einer Jochbeinfraktur erkennbar gewesen sind. Damit lässt sich einerseits die Behauptung des Vertreters des Beschwerdegegners, dessen rechtes Auge sei blutunterlaufen gewesen, schwer in Einklang bringen. Andererseits eröffnet sich damit die Möglichkeit, dass der Beschwerdegegner den Jochbeinbruch vor oder nach der polizeilichen Einvernahme erlitten hat. Die Angabe des Beschwerdeführers, es sei ihm am Beschwerdegegner nichts aufgefallen, als er ihn aus seiner Zelle geholt habe, kann deshalb nicht als tragfähiges Indiz für den vom Obergericht zugrunde gelegten Geschehensablauf dienen. Auch die Auskunft des Hausarztes, der Beschwerdeführer sei bisher nur wegen Rückenschmerzen bei ihm in Behandlung gewesen, schliesst nicht aus, dass dieser die geplante Konsultation vom 30. November 1999 wegen einer Mittelgesichtsfraktur vereinbart hat. Das Obergericht führt weiter aus, es sei nicht anzunehmen, dass der Privatkläger den Arzttermin auch abgesagt hätte, wenn er zu diesem Zeitpunkt die offensichtlich schmerzhaften Gesichtsverletzungen bereits gehabt hätte. Auch diese Schlussfolgerung ist keinesfalls zwingend. Die Verhaftung des Bruders wäre gleichwohl ein durchaus plausibler Grund, den Arztbesuch aufzuschieben und sich bei der Polizei zu melden. Die Aufzeichnungen im Protokoll der Anhörung, wonach sich der Beschwerdegegner gegenüber dem Amtsstatthalter über Rückenschmerzen beklagt haben soll (E. 4.2 hiervor), vermögen das Beweisergebnis ebenfalls nicht zum Nachteil des Angeklagten zu konsolidieren. Die zuungunsten des Beschwerdeführers gewürdigte aggressive Grundstimmung der Einvernahme des Beschwerdegegners kann nicht nur als Beweggrund für die behaupteten Faustschläge, sondern ebenso als Motiv für eine falsche Anschuldigung gewertet werden. Es ist jedenfalls mit dem Grundsatz in dubio pro reo nicht vereinbar, diesen Aspekt bloss einseitig zuungunsten des Angeschuldigten zu berücksichtigen (E. 4.3 hiervor). Als Schutzbehauptung des Beschwerdeführers hat das Obergericht dessen Aussage gewertet, wonach der Beschwerdegegner sich bereits zu Beginn der Befragung über Schmerzen beklagt und ein Medikament verlangt habe. Dies sei im Festnahmerapport enthalten. Dort ist tatsächlich angegeben, der Kläger benötige Medikamente, was aber auch durch die in der Effektenliste aufgeführten CELEBREX-Kapseln erklärt werden könnte. Der Beschwerdegegner hat darauf erwidert, er habe bei der Anhaltung Medikamente für Rückenschmerzen bei sich gehabt; Kopfschmerzen habe er damals nicht gehabt. Wie die in Frage stehende Aussage des Beschwerdeführers zu würdigen ist, kann indessen offen bleiben. Denn selbst wenn davon auszugehen wäre, dass der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zu seiner Entlastung wahrheitswidrig angegeben hat, der Beschwerdegegner habe vor der Befragung Schmerzmittel verlangt, verkannte das Obergericht, dass gesamthaft gesehen gleichwohl offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdeführers bestanden. Damit ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5. Nach dem in Erwägung 4.1 hiervor Gesagten ist entgegen der insoweit unhaltbaren Beweiswürdigung des Obergerichts wahrscheinlich, dass keine bzw. nur leicht zu übersehende Symptome einer Jochbeinfraktur erkennbar gewesen sind. Damit lässt sich einerseits die Behauptung des Vertreters des Beschwerdegegners, dessen rechtes Auge sei blutunterlaufen gewesen, schwer in Einklang bringen. Andererseits eröffnet sich damit die Möglichkeit, dass der Beschwerdegegner den Jochbeinbruch vor oder nach der polizeilichen Einvernahme erlitten hat. Die Angabe des Beschwerdeführers, es sei ihm am Beschwerdegegner nichts aufgefallen, als er ihn aus seiner Zelle geholt habe, kann deshalb nicht als tragfähiges Indiz für den vom Obergericht zugrunde gelegten Geschehensablauf dienen. Auch die Auskunft des Hausarztes, der Beschwerdeführer sei bisher nur wegen Rückenschmerzen bei ihm in Behandlung gewesen, schliesst nicht aus, dass dieser die geplante Konsultation vom 30. November 1999 wegen einer Mittelgesichtsfraktur vereinbart hat. Das Obergericht führt weiter aus, es sei nicht anzunehmen, dass der Privatkläger den Arzttermin auch abgesagt hätte, wenn er zu diesem Zeitpunkt die offensichtlich schmerzhaften Gesichtsverletzungen bereits gehabt hätte. Auch diese Schlussfolgerung ist keinesfalls zwingend. Die Verhaftung des Bruders wäre gleichwohl ein durchaus plausibler Grund, den Arztbesuch aufzuschieben und sich bei der Polizei zu melden. Die Aufzeichnungen im Protokoll der Anhörung, wonach sich der Beschwerdegegner gegenüber dem Amtsstatthalter über Rückenschmerzen beklagt haben soll (E. 4.2 hiervor), vermögen das Beweisergebnis ebenfalls nicht zum Nachteil des Angeklagten zu konsolidieren. Die zuungunsten des Beschwerdeführers gewürdigte aggressive Grundstimmung der Einvernahme des Beschwerdegegners kann nicht nur als Beweggrund für die behaupteten Faustschläge, sondern ebenso als Motiv für eine falsche Anschuldigung gewertet werden. Es ist jedenfalls mit dem Grundsatz in dubio pro reo nicht vereinbar, diesen Aspekt bloss einseitig zuungunsten des Angeschuldigten zu berücksichtigen (E. 4.3 hiervor). Als Schutzbehauptung des Beschwerdeführers hat das Obergericht dessen Aussage gewertet, wonach der Beschwerdegegner sich bereits zu Beginn der Befragung über Schmerzen beklagt und ein Medikament verlangt habe. Dies sei im Festnahmerapport enthalten. Dort ist tatsächlich angegeben, der Kläger benötige Medikamente, was aber auch durch die in der Effektenliste aufgeführten CELEBREX-Kapseln erklärt werden könnte. Der Beschwerdegegner hat darauf erwidert, er habe bei der Anhaltung Medikamente für Rückenschmerzen bei sich gehabt; Kopfschmerzen habe er damals nicht gehabt. Wie die in Frage stehende Aussage des Beschwerdeführers zu würdigen ist, kann indessen offen bleiben. Denn selbst wenn davon auszugehen wäre, dass der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zu seiner Entlastung wahrheitswidrig angegeben hat, der Beschwerdegegner habe vor der Befragung Schmerzmittel verlangt, verkannte das Obergericht, dass gesamthaft gesehen gleichwohl offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdeführers bestanden. Damit ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 152 OG, Art.156 Abs. 2 OG). Der Kanton Luzern hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer jedoch eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 159 OG). Da beim Beschwerdegegner die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung gegeben sind (Art. 152 OG), ist dessen Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 4. September 2001 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 4. September 2001 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. 3.1 Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3.2 Rechtsanwalt Bruno Burch wird als unentgeltlicher Vertreter des Beschwerdegegners bezeichnet und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.2 Rechtsanwalt Bruno Burch wird als unentgeltlicher Vertreter des Beschwerdegegners bezeichnet und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft sowie dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2002
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: