Faits:
A. J._ travaille en qualité d'éducatrice spécialisée au service de l'Hôpital X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurances.
Le 23 décembre 2000, elle a été victime d'un accident de la circulation en France: lors d'un ralentissement, la voiture conduite par l'assurée a été heurtée à l'arrière par un véhicule qui n'avait pas freiné à temps. Elle a consulté le docteur T._, médecin à L._ (F), lequel a fait état de douleurs cervicales. Dans un rapport du 15 février 2001, le docteur D._, spécialiste en médecine interne, a fait état d'une commotion cérébrale sans perte de connaissance et d'un syndrome vertébral cervical dû à un traumatisme de type « coup du lapin ». Ce médecin a indiqué la présence de douleurs, de vertiges, d'intolérance à la lumière et au bruit, de nausées, de difficultés de concentration et de troubles de l'équilibre. Il a attesté une incapacité de travail entière depuis le 23 décembre 2000 pour une durée indéterminée.
Winterthur Assurances a pris en charge le cas. Dans des rapports des 11 avril et 29 mai 2001, le docteur D._ a fait état d'une lente amélioration de l'état de santé, avec disparition des vertiges et diminution des céphalées et de l'hypersensibilité à la lumière et au bruit.
Winterthur Assurances a confié une expertise au docteur A._, spécialiste en neurochirurgie. Dans un rapport du 4 octobre 2001, ce médecin a fait état d'une lésion radiologique sous la forme d'une instabilité du segment C4-C5 post-traumatique; il existait par ailleurs des phénomènes dégénératifs discrets aux niveaux C5-C6 et C6-C7. Selon l'expert, un statu quo sine vel ante n'était pas encore atteint en raison de la lente évolution de la lésion ligamentaire structurelle.
Le 21 octobre 2002, Winterthur Assurances a confié une autre expertise au docteur U._, spécialiste en neurologie. Dans un rapport du 20 décembre 2002, celui-ci a nié l'origine traumatique de l'instabilité du segment C4-C5; selon l'expert, celle-ci était vraisemblablement due à la rectitude de nature dégénérative du segment inférieur, l'assurée présentant en effet des altérations dégénératives aux segments C5-C6 et C6-C7, antérieures à l'accident.
Par décision du 30 septembre 2003, Winterthur Assurances a alloué à l'assurée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 %, conformément aux appréciations des docteurs A._ et U._. En outre, elle a accepté de prendre en charge, jusqu'au 31 décembre 2007, les soins préconisés par le docteur U._, à savoir la continuation du traitement d'AINS et d'antalgiques, ainsi que des séances de physiothérapie.
L'assurée a formé opposition contre cette décision dont elle demandait l'annulation, en concluant au maintien de son droit à une indemnité journalière. A l'appui de cette conclusion, elle produisit un rapport d'expertise privée du docteur I._, médecin au Centre de neurologie de la Fondation Z._l (du 12 décembre 2003). En ce qui concerne les plaintes de l'assurée, ce médecin a indiqué des cervicalgies irradiant dans les membres supérieurs, associées à des paresthésies prédominantes à droite dans le territoire du dermatome C6-C8, des troubles de la concentration et de la mémoire avec difficulté à trouver les mots, une labilité émotionnelle et une grande fatigabilité, des troubles visuels, une sensation de vertiges systématisés, aggravée par l'hyperextension de la nuque, sans nausée, associée à des acouphènes apparus peu après l'accident, ainsi qu'une photophobie. Selon l'expert, il n'y avait pas d'anomalies sur le plan neurologique, hormis une contracture de la musculature para-vertébrale et une hyposensibilité mandibulaire antérieure à l'accident. En outre, le docteur I._ était d'avis qu'il existait très vraisemblablement une relation de causalité naturelle entre les symptômes neuropsychologiques et l'accident, étant donné que l'intéressée travaillait sans problème à plein temps avant cet événement.
Par lettre du 24 novembre 2004, Winterthur Assurances a informé l'assurée de son intention de procéder à une reformatio in pejus de la décision du 30 septembre 2003, dans le sens d'une suppression de tout droit à des prestations, en lui accordant un délai pour retirer son opposition. L'intéressée n'a pas fait usage de cette possibilité.
Par décision sur opposition du 17 mars 2005, Winterthur Assurances a rejeté l'opposition et supprimé tout droit à prestations à partir du 1er janvier 2003, tout en renonçant à réclamer le remboursement des frais médicaux déjà accordés. Elle a considéré, en résumé, qu'il n'existait pas de lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles persistant au-delà du 31 décembre 2002.
B. J._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain d'au moins 30 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 30 %, ainsi qu'à la prise en charge du traitement médical pour les troubles découlant de l'accident.
La juridiction cantonale a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre d'expertise médicale. Dans un rapport du 21 décembre 2006, les experts ont fait état, au titre des diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail, d'un syndrome cervical avec céphalées et cervicalgies chroniques, ainsi que de brachialgies intermittentes sur troubles dégénératifs du rachis cervical et de troubles neuropsychologiques consistant en des troubles de la concentration et une fatigabilité intellectuelle. Au titre des diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, sont mentionnées des sensations vertigineuses avec modification de la perception de la verticalité dans le contexte d'une "skew" déviation en voie de compensation. Selon les experts, les troubles neuropsychologiques et les sensations vertigineuses étaient dans une relation de cause à effet certaine avec l'accident, ce qui n'était pas le cas de la symptomatologie intermittente des brachialgies sur troubles dégénératifs aux niveaux C5, C6 et C7, ni des "protrusions/hernie discale".
Par jugement du 9 mai 2007, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours. Elle a alloué à l'assurée une indemnité journalière calculée en fonction des divers taux d'incapacité de travail subie jusqu'au 31 mai 2003, ainsi qu'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 20 % dès le 1er juin suivant; en outre, elle lui a accordé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 % et reconnu son droit à la prise en charge du traitement médical jusqu'au 31 mai 2003.
C. Winterthur Assurances interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation, sous suite de frais et dépens.
J._ a conclu au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
D. Dans un arrêt du 19 février 2008 (U 394/06), le Tribunal fédéral a précisé sa pratique en matière d'accident consécutif à un traumatisme cervical de type « coup du lapin » sans preuve d'un déficit fonctionnel organique. Aussi, le Président de la Ie Cour de droit social a-t-il ordonné un second échange d'écritures dans la présente cause. Les parties ont fait usage de cette possibilité de compléter leurs mémoires.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si la recourante était fondée, par sa décision sur opposition du 17 mars 2005, à supprimer le droit de l'intimée aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 1er janvier 2003.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. 2.1 Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence relative à l'exigence d'une relation de causalité naturelle (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181 et les références) et adéquate entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé. En tant que principe répondant à la nécessité de fixer une limite raisonnable à la responsabilité de l'assureur-accidents social, la causalité adéquate n'a pratiquement aucune incidence en présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, du moment que dans ce cas l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références). En revanche, il en va autrement lorsque des symptômes, bien qu'apparaissant en relation de causalité naturelle avec un événement accidentel, ne sont pas objectivables du point de vue organique. Dans ce cas, il y a lieu d'examiner le caractère adéquat du lien de causalité en se fondant sur le déroulement de l'événement accidentel, compte tenu, selon les circonstances, de certains critères en relation avec cet événement (ATF 117 V 359 consid. 6 p. 366 ss et 369 consid. 4 p. 382ss, 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss). En présence de troubles psychiques apparus après un accident, on examine les critères de la causalité adéquate en excluant les aspects psychiques (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), tandis qu'en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 367), d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale (SVR 1995 UV n° 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 117 V 369 consid. 4b p. 383), on peut renoncer à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques (sur l'ensemble de la question, cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et SVR 2007 UV n° 8 p. 27, consid. 2 ss, U 277/04, et les références).
2.2 Dans un arrêt récent, destiné à la publication au Recueil officiel, U 394/06 du 19 février 2008, le Tribunal fédéral a précisé sur plusieurs points sa jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. Selon cet arrêt, il y a lieu de s'en tenir à une méthode spécifique pour examiner le lien de causalité adéquate en présence de tels troubles (consid. 7 à 9 de l'arrêt cité). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'a pas modifié les principes qui ont fait leur preuve, à savoir la nécessité, d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, d'inclure, selon la gravité de l'accident, d'autres critères lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10.1). Cependant, il a renforcé les exigences concernant la preuve d'une lésion en relation de causalité naturelle avec l'accident, justifiant l'application de la méthode spécifique en matière de traumatisme de type « coup du lapin » (consid. 9) et modifié en partie les critères à prendre en considération lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10). Ces critères sont désormais formulés de la manière suivante:
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (inchangé);
- la gravité ou la nature particulière des lésions (inchangé);
- l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible (formulation modifiée);
- l'intensité des douleurs (formulation modifiée);
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident (inchangé);
- les difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes (inchangé);
- l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (formulation modifiée).
3. 3.1 Winterthur Assurances a supprimé le droit de l'assurée à des prestations à partir du 1er janvier 2003, motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles persistant au-delà du 31 décembre précédent. Elle s'est fondée pour cela sur les critères (dans leur formulation antérieure à l'arrêt ATF U 394/06 déjà cité) mentionnés par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, sans preuve d'un déficit organique objectivable. En particulier, la recourante a nié le caractère particulièrement dramatique ou impressionnant de l'accident, ainsi que la gravité des lésions et l'existence d'erreurs dans le traitement. En outre, elle a considéré que le critère du degré et de la durée de l'incapacité de travail n'était pas réalisé dans le cas particulier, à l'instar des critères relatifs à la persistance des douleurs et à la durée anormalement longue du traitement médical.
De son côté, la juridiction cantonale a admis l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident - qu'elle a classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité - et les troubles persistant au-delà du 31 décembre 2002. Comme Winterthur Assurances, elle a nié le caractère particulièrement dramatique ou impressionnant de l'accident, ainsi que la gravité des lésions et l'existence d'erreurs dans le traitement. En revanche, elle a admis la nature particulière des lésions, au motif qu'il s'agit d'un tableau typique du « coup du lapin ». En outre, elle a considéré que le critère de la persistance des douleurs était réalisé, étant donné que l'assurée souffrait toujours d'un syndrome douloureux cervical avec céphalées et cervicalgies chroniques et présentait des troubles neuropsychologiques (troubles de la concentration et fatigabilité intellectuelle, sensations vertigineuses, modification de la perception de la verticalité et acouphènes). Par ailleurs, la juridiction cantonale a admis l'existence d'une longue durée d'incapacité de travail, compte tenu du fait que l'assurée avait été entièrement incapable de travailler durant trois mois, qu'une incapacité de travail partielle avait perduré jusqu'au 1er décembre 2001 et que même après cette date, elle avait subi des périodes d'incapacité de travail, son taux d'activité ayant même été réduit à 70 % depuis le 1er juin 2003. Enfin, selon les premiers juges, le critère de la durée anormalement longue du traitement médical est également réalisé, du moment que l'intéressée a été soumise à de multiples investigations et a subi des traitements médicaux (port d'une collerette, AINS, antalgiques myorelaxants, physiothérapie).
3.2 En l'espèce, il est constant que l'assurée ne présentait plus, après le 31 décembre 2002, un déficit organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident. En effet, le docteur U._ a nié l'origine traumatique de l'instabilité du segment C4-C5, due, selon lui, à la rectitude de nature dégénérative des segments C5-C6 et C6-C7, antérieure à l'accident (rapport d'expertise du 20 décembre 2002). De son côté, le docteur I._ a nié l'existence d'une anomalie sur le plan neurologique, hormis une contracture de la musculature para-vertébrale et une hyposensibilité mandibulaire antérieure à l'accident (rapport d'expertise du 12 décembre 2003). Quant aux médecins du Centre d'expertise médicale, ils ont indiqué que ni la symptomatologie intermittente des brachialgies sur troubles dégénératifs aux niveaux C5, C6 et C7, ni les protrusions et hernies discales n'étaient en relation de causalité naturelle avec l'accident (rapport d'expertise judiciaire du 21 décembre 2006).
3.3 En ce qui concerne l'examen des critères déterminants pour établir le caractère adéquat du lien de causalité, il n'y a pas de motif de revenir sur le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'accident du 23 décembre 2000 doit être classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité.
En revanche, on ne peut se rallier aux conclusions des premiers juges en ce qui concerne la réalisation de trois des critères déterminants posés par la jurisprudence.
Premièrement, les motifs invoqués par la juridiction cantonale pour admettre le critère de la persistance des douleurs - à supposer qu'ils aient été pertinents au regard de la pratique antérieure à l'arrêt U 394/06 - ne sont certainement pas de nature à établir le caractère intensif des douleurs, selon la formulation modifiée. En particulier, il n'apparaît pas que les déficits relevés par les premiers juges constituent en l'espèce des empêchements importants dans la vie quotidienne (cf. ATF U 394/06, déjà cité, consid. 10.2.4).
Deuxièmement, le critère relatif à l'importance de l'incapacité de travail, en dépit des efforts reconnaissables de l'assurée, n'apparaît pas réalisé en l'occurrence. L'assurée a été entièrement incapable de travailler du 23 décembre 2000 au 25 mars 2001. Ensuite, sa capacité a augmenté progressivement (20 % du 26 mars au 22 avril 2001; 30 % du 23 avril au 4 juin 2001; 40 % du 5 au 10 juin 2001; 50 % du 11 juin au 15 août 2001; 75 % du 16 au 28 août 2001; 50 % du 29 août au 30 septembre 2001; 60 % du 1er au 23 octobre 2001), avant de redevenir nulle ensuite d'une rechute (du 24 octobre au 16 novembre 2001), puis elle a continué d'augmenter (60 % du 17 au 30 novembre 2001), le travail ayant été repris entièrement dès le 1er décembre 2001. Ensuite, l'intéressée a subi quelques périodes d'incapacité de travail (100 % du 22 au 27 janvier 2002 et du 5 au 8 février suivant; 50 % du 8 février au 23 mars 2002; 20 % du 3 au 16 juin 2002). Ainsi, hormis ces diverses périodes d'incapacité de travail survenues par la suite, la capacité a régulièrement augmenté pour atteindre 100 % moins d'une année après l'accident. L'incapacité de travail ne saurait dès lors être qualifiée de suffisamment importante au sens de la jurisprudence. Au demeurant, même à supposer qu'elle le soit, la réalisation de ce seul critère ne suffirait pas à établir le caractère adéquat du lien de causalité, étant donné que l'accident est de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité (cf. ATF U 394/06, déjà cité, consid. 10.1).
Troisièmement, les soins subis par l'intimée (port d'une collerette, AINS, antalgiques myorelaxants et physiothérapie) et les examens auxquels elle a été soumise ne permettent pas d'admettre l'existence prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible.
Cela étant, la présence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident du 23 décembre 2000 et les troubles persistant au-delà du 31 décembre 2002 doit être niée. Aussi, la recourante était-elle fondée, par sa décision sur opposition du 17 mars 2005, à supprimer le droit de l'intimée à des prestations d'assurance à partir du 1er janvier 2003. Le recours se révèle ainsi bien fondé.
4. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
En tant qu'organisation chargée de tâches de droit public, Winterthur Assurances n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 9 mai 2007 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd