Sachverhalt:
A. A.a Die 1976 geborene S._ verletzte sich im September 2002 bei einem Autounfall. Die Frage der daraus resultierenden Leistungsansprüche aus der obligatorischen Unfallversicherung bildete Gegenstand eines Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. August 2009. Darin wurde der Unfallversicherer verpflichtet, ergänzende Abklärungen vorzunehmen.
A.b Im September 2003 meldete sich S._ unter Hinweis auf Folgen des Unfalls bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Sie erhielt in der Folge im Rahmen beruflicher Massnahmen verschiedene Umschulungen zugesprochen und bezog entsprechende Taggelder. Diese Leistungen bildeten Gegenstand mehrerer Verwaltungsverfügungen und Gerichtsverfahren. Zu erwähnen ist der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 6. Dezember 2010, mit welchem die IV-Stelle des Kantons St. Gallen verpflichtet wurde, weitere Abklärungen zum Taggeldanspruch ab 9. April 2006 zu treffen und anschliessend über diesen neu zu verfügen.
A.c Zwischenzeitlich hatte die IV-Stelle am 7. Oktober 2010 Kostengutsprache für die Fortsetzung einer Umschulung im grafischen Bereich in Form des Lehrgangs Desktop-Publisher und der Kurse Digitale Fotografie im Zeitraum vom 27. September 2010 bis 28. März 2011 erteilt. Am 30. Juni, 6. September und 6. Dezember 2011 erliess die Verwaltung sodann Verfügungen über den Taggeldanspruch in der Zeit vom 9. April 2006 bis 31. März 2007. Mit Verfügung vom 8. Juli 2011 eröffnete sie der Versicherten, nach abgeschlossener Ausbildung Desktop-Publishing seien keine beruflichen Massnahmen mehr erforderlich. Mit Verfügungen vom 16. August 2011 sprach die IV-Stelle Taggeld für insgesamt 17 Eingliederungstage in der Zeit vom 27. September bis 31. Dezember 2010 und von insgesamt 7 Eingliederungstage in der Zeit vom 1. Januar bis 28. März 2011 zu.
B. S._ reichte drei Beschwerden ein. Die erste richtete sich gegen die Verfügungen vom 30. Juni, 6. September und 6. Dezember 2011 (vorinstanzliche Verfahrens-Nr. 2011/263). Die zweite Beschwerde betraf die Verfügungen vom 16. August 2011 (IV 2011/265) und die dritte die Verfügung vom 8. Juli 2011 (IV 2011/266).
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen vereinigte die Verfahren und fällte am 27. September 2012 seinen Entscheid. Es hiess die Beschwerde IV 2011/263 teilweise gut und wies die Beschwerde IV 2011/266 ab. Die Beschwerde im hier interessierenden Verfahren IV 2011/265 hiess das Gericht teilweise gut: Es hob die Verfügungen vom 16. August 2011 auf, setzte die Anzahl der anspruchsberechtigten Tage für die Zeit vom 27. September bis 31. Dezember 2010 auf 14 Tage herab und vom 1. Januar bis 28. März 2011 auf 9 Tage herauf, erhöhte die Taggelder betraglich und sprach neu Taggeld auch für die drei Tage vom 6. bis 8. April 2010 zu. Im Übrigen, insbesondere hinsichtlich des Antrags auf Zusprechung durchgehender Taggelder, wies es die Beschwerde ab. Es auferlegte sodann der Versicherten im Verfahren IV 2011/2065 Fr. 400.- und der Verwaltung Fr. 200.- der Gerichtskosten. Schliesslich sprach das Gericht S._ in diesem Verfahren zu Lasten der IV-Stelle eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 1165.- zu.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides im Verfahren IV 2011/265:
- sei die Sache zur weiteren Abklärung, insbesondere des medizinischen Sachverhalts, und zum Entscheid über den Taggeldanspruch für den Zeitraum vom 1. April 2007 bis 28. März 2011 an die Verwaltung zurückzuweisen; evtl. sei für den besagten Zeitraum ein durchgehendes Taggeld zuzusprechen;
- seien in diesem Verfahren sämtliche Gerichtskosten der Verwaltung aufzuerlegen und die Parteientschädigung an die Versicherte auf pauschal Fr. 2500.- festzusetzen; eventuell sei die Sache zur Neufestsetzung der Parteientschädigung in diesem Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 137 II 313 E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
2. Der vorinstanzliche Entscheid ist hinsichtlich der Verfahrens-Nummern IV 2011/263 und IV 2011/2066 nicht angefochten. Die Beschwerdeanträge beschränken sich auf das Verfahren IV 2011/2065. Dieses beschlägt den Anspruch auf - durchgehendes Taggeld - für den Zeitraum vom 1. April 2007 bis 28. März 2011. Die Beschwerde richtet sich auch gegen die Verlegung der Gerichtskosten und gegen die Höhe der Parteientschädigung in diesem Verfahren.
3. Die Versicherte hat im besagten Zeitraum unbestrittenermassen Anspruch auf Taggeld für die konkreten Eingliederungstage. Die entsprechenden Leistungen wurden im angefochtenen Entscheid festgelegt. Sie werden nicht beanstandet.
Streitig ist, ob in der Zeit vom 1. April 2007 bis 28. März 2011 Anspruch auf durchgehendes, d.h. auch die Zeiträume ausserhalb der konkreten Eingliederungsmassnahmen umfassendes Taggeld besteht. Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, es fehle an der mindestens 50 %igen Arbeitsunfähigkeit in der gewohnten Tätigkeit, welche gemäss Art. 22 Abs. 1 und 6 IVG (in Verbindung mit den darauf gestützten Verordnungsbestimmungen) für einen solchen Anspruch nebst anderem erforderlich sei.
4. In der Beschwerde wird als erstes eingewendet, Anfechtungsgegenstand im Verfahren IV 2011/265 habe ausschliesslich die Taggeldperiode vom 27. September 2010 bis 28. März 2011 gebildet. Die vorangegangene Periode vom 9. März 2006 bis 31. März 2007 sei im Verfahren IV 2011/263 resp. bereits mit dem vorinstanzlichen Entscheid vom 6. Dezember 2010 rechtskräftig beurteilt worden. Bezüglich des Taggeldanspruchs ab 1. April 2007 habe die Verwaltung hingegen, bis auf die konkreten Eingliederungstage, nie formell schriftlich verfügt. Es fehle somit hinsichtlich der von der Vorinstanz negativ beurteilten durchgehenden Taggeldberechtigung im Zeitraum vom 1. April 2007 bis 28. März 2011 an einer Verfügung als Anfechtungsgegenstand und damit an einer Sachurteilsvoraussetzung. Damit sei das Beschwerdeverfahren in unzulässiger Weise ausgedehnt worden.
4.1 Das kantonale Gericht hält dafür, die Verfügungen vom 16. August 2011 hätten Taggelder für den Zeitraum vom 27. September 2010 bis 28. März 2011 zugesprochen, damit aber gleichzeitig weitere Ansprüche auf durchgehendes Taggeld ab April 2007 ausgeschlossen. Zudem seien ohnehin die Voraussetzungen für die gerichtliche Ausdehnung des Streitgegenstandes auf diese Taggelder erfüllt.
4.2 Nach der Rechtsprechung, auf welche die Vorinstanz hiermit Bezug nimmt, kann das verwaltungsgerichtliche Verfahren aus prozessökonomischen Gründen auf eine ausserhalb des Anfechtungsgegenstandes, d.h. ausserhalb des durch die Verfügung bestimmten Rechtsverhältnisses liegende spruchreife Frage ausgedehnt werden, wenn diese mit dem bisherigen Streitgegenstand derart eng zusammenhängt, dass von einer Tatbestandsgesamtheit gesprochen werden kann, und wenn sich die Verwaltung zu dieser Streitfrage mindestens in Form einer Prozesserklärung geäussert hat (BGE 130 V 501 E. 1.2 S. 503 mit Hinweis; Urteil 9C_928/2011 vom 9. Juli 2012 E. 1, nicht publ. in: BGE 138 III 548, aber in: SVR 2012 EL Nr. 16 S. 51).
Die dargelegten Voraussetzungen für die vorinstanzliche Ausdehnung des Streitgegenstandes auf die Taggelder ab April 2007 sind erfüllt. Der enge Zusammenhang mit den am 16. August 2011 zugesprochenen Taggeldern liegt vor. Die Sache war spruchreif. Das gilt, wie die folgenden Erwägungen zeigen, entgegen der Auffassung der Versicherten auch für die medizinischen Entscheidsgrundlagen. Sodann hat die Verwaltung im Rahmen ihrer vorinstanzlichen Vernehmlassung den beschwerdeweise geltend gemachten Anspruch auf durchgehendes Taggeld ausdrücklich verneint. Damit kann offen bleiben, ob Letzteres bereits in den Verfügungen vom 16. August 2011 hinreichend klar geschah.
4.3 Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang überdies geltend, das kantonale Gericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es den Gesichtspunkt des durchgehenden Taggeldanspruchs mitbeurteilt habe, ohne ihr dies vorher mitzuteilen.
Die Rüge ist unbegründet. Die Versicherte hat in der vorinstanzlichen Beschwerde geltend gemacht, es bestehe ab April 2006 bis zum Abschluss sämtlicher beruflicher Massnahmen, einschliesslich der für die Jahre 2010/2011 zugesprochenen Umschulung, durchgehend Anspruch auf Taggeld. Dazu hat sich die IV-Stelle dann auch vernehmlassungsweise geäussert. In der Folge wurde ein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt. Bei dieser Ausgangslage musste das kantonale Gericht die Beschwerdeführerin nicht noch ausdrücklich darauf hinweisen, dass es die Frage der durchgehenden Taggeldberechtigung in seine Beurteilung einbeziehen werde.
5. Ein weiterer Einwand richtet sich gegen die vorinstanzliche Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im massgeblichen Zeitraum.
5.1 Das kantonale Gericht hat hier zunächst auf seinen vorangegangenen Entscheid vom 6. Dezember 2010 verwiesen: Darin hatte es erwogen, in dem vom Unfallversicherer eingeholten Gutachten des Instituts X._, vom 29. Dezember 2006 sei die Arbeitsfähigkeit in der zuletzt ausgeübten Erwerbstätigkeit auf 70 % geschätzt worden. Im Entscheid betreffend Leistungen der Unfallversicherung vom 16. Dezember 2009 habe das Versicherungsgericht dann unter anderem bemängelt, der 2002 dokumentierte Einriss des Anulus fibrosus C6/7 sei nicht erneut bildgebend untersucht worden. Das bedürfe ergänzender medizinischer Abklärungen. Frühestens wenn deren Ergebnisse vorlägen, werde mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu erheben sein, ob auf die Arbeitsfähigkeitsschätzung gemäss Gutachten des Instituts X._ abgestellt werden könne. Ergebe die ergänzende Abklärung durch den Unfallversicherer, "dass die Beschwerdeführerin ab März 2007 überwiegend wahrscheinlich zu mehr als 50 % arbeitsfähig war, so hat sie lediglich bis und mit März 2007 - bzw. allenfalls unter Gewährung einer Übergangs- bzw. Anpassungsfrist bis zu einem späteren Zeitpunkt - Anspruch auf ein IV-Taggeld. Bei einer Arbeitsfähigkeit von 50 % oder weniger besteht der durchgehende Taggeldanspruch auch für die Zeit ab April 2007 weiterhin."
Im hier angefochtenen Entscheid hat das kantonale Gericht sodann erkannt, die zwischenzeitlich vorgenommenen Abklärungen hätten die im Entscheid vom 16. Dezember 2009 bemängelte Lücke bezüglich neuer Bilder bei der Begutachtung des Instituts X._ geschlossen. Damit rechtfertige sich, auf der Grundlage der Expertise des Instituts X._ vom 29. Dezember 2006 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin jedenfalls nicht bloss 50 % oder weniger betragen habe. Das als beweiswertig zu betrachtende Gutachten lasse diesen Schluss verlässlich zu. Weitere Abklärungen seien nicht erforderlich.
5.2 Die vorinstanzliche Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit stellt eine Tatsachenfeststellung dar, welche vom Bundesgericht nur auf offensichtliche Unrichtigkeit oder anderweitige Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG hin überprüft werden kann (E. 1 hievor).
5.2.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die vorinstanzliche Beweiswürdigung stehe in Widerspruch zum Entscheid vom 6. Oktober 2012 (recte: 2010). Darin sei das kantonale Gericht noch davon ausgegangen, die Arbeitsfähigkeit lasse sich aufgrund des Gutachtens des Instituts X._ nicht ausreichend erschliessen. Die weitergehenden Abklärungen hätten mit dem Bericht des Spitals Y._ vom 6. September 2010 über die gleichentags durchgeführte MRI-Untersuchung gegenüber der bildgebenden Abklärung von 2002 sogar zusätzliche Befunde ergeben.
Der Einwand ist unbegründet, zumal das Spital Y._ am 4. Januar 2011 ergänzend Stellung genommen und dabei eine im Zeitraum zwischen der Voruntersuchung von 2002 und der MRI-Abklärung vom 6. September 2010 eingetretene relevante Verschlechterung verneint hat. Damit ist auch dem Vorbehalt betreffend aktueller bildgebender Untersuchungen, den das kantonale Gericht im Entscheid vom 6. Dezember 2010 gegenüber der Arbeitsfähigkeitseinschätzung im Gutachten des Instituts X._ vom 29. Dezember 2006 geäussert hatte, die Grundlage entzogen. Es liegen keine Widersprüche in der vorinstanzlichen Beurteilung vor.
5.2.2 Die weiteren Vorbringen in der Beschwerde vermögen den angefochtenen Entscheid ebenfalls nicht in Frage zu stellen.
Die medizinischen Akten, insbesondere das Gutachten des Instituts X._ vom 29. Dezember 2006 und die Berichte über die spätere MRI-Abklärung, sind genügend aktuell, um die hier streitige Arbeitsfähigkeit beurteilen zu können. Es bestehen auch keine Anhaltspunkte für eine seither eingetretene gesundheitliche Verschlechterung. Die Expertise des Instituts X._ weist keine Widersprüche auf, welche Zweifel an ihrer Verlässlichkeit zu begründen vermöchten.
Zwar wurde im rheumatologischen Gutachten des Dr. med. B._, vom 29. August 2007 das damalige Arbeitspensum von 50 % als angemessen bezeichnet. Dies lässt den auf die Fachärzte des Instituts X._ gestützten vorinstanzlichen Schluss auf eine Arbeitsunfähigkeit unter 50 % aber nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen, zumal Dr. med. B._ über keine medizinischen Vorakten - auch nicht über das Gutachten des Instituts X._ vom 29. Dezember 2006 - verfügte und überdies ausdrücklich bestätigte, die Bestimmung der Arbeitsfähigkeit sei bei solchen Problemen ohne bildgebende Objektivierbarkeit immer schwierig und stark vom Untersucher abhängig.
Dass das kantonale Gericht in antizipierter Beweiswürdigung von Beweisergänzung, wie der beantragten polydisziplinären medizinischen Begutachtung, abgesehen hat, ist ebenfalls nicht bundesrechtswidrig. Erst recht liegt keine Willkür bei der vorinstanzlichen Beweiswürdigung vor.
5.3 Nach dem Gesagten bleibt es dabei, dass in der Zeit vom 1. April 2007 bis 28. März 2011 keine mindestens hälftige Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit bestand. Das schliesst den geltend gemachten Anspruch auf durchgehendes Taggeld aus, weshalb die Beschwerde diesbezüglich abzuweisen ist.
6. Die Versicherte beruft sich wie bereits im kantonalen Verfahren auf die Erwägung im kantonalen Entscheid vom 6. Dezember 2010, wonach, falls sich ab April 2007 keine mindestens 50 %ige Arbeitsunfähigkeit ergebe, allenfalls während einer Übergangs- bzw. Anpassungsfrist noch Taggeld zu gewähren sei (vgl. E. 5.1 hievor). Sie macht geltend, der hier angefochtene Entscheid äussere sich dazu nicht.
Die Vorinstanz räumt Letzteres ein. Der Entscheid vom 27. September 2012 enthalte die Anordnung, dass ab April 2007 kein Anspruch auf durchgehendes Taggeld mehr bestehe. Eine Übergangs- bzw. Anpassungsfrist, wie sie im Entscheid vom 6. Dezember 2010 als möglich bezeichnet worden sei, sei nicht gewährt worden. Allerdings sei der Verzicht auf das Gewähren einer solchen Anpassungszeit mit Taggeldanspruch bedauerlicherweise nicht begründet worden.
Die Beschwerde ist somit insoweit infolge Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz gutzuheissen. Die Sache wird an diese zurückgewiesen, damit sie zum Gesichtspunkt des Taggeldanspruchs während einer Übergangs- bzw. Anpassungsfrist einen begründeten Entscheid erlässt.
7. Mangels eines begründeten Entscheides zur Übergangs- und Anpassungsfrist lässt sich die vorinstanzliche Regelung betreffend Gerichtskosten und Parteientschädigung nicht überprüfen. Der angefochtene Entscheid ist daher auch diesbezüglich aufzuheben. Das kantonale Gericht wird, unter Berücksichtigung seines begründeten Entscheides betreffend Übergangs- und Anpassungsfrist, über die Gerichtskosten und über die Parteientschädigung neu befinden.
8. Die Beschwerdeführerin obsiegt zu einem vergleichsweise geringen Teil. Dies rechtfertigt, die Gerichtskosten zu vier Fünfteln ihr und zu einem Fünftel der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Letztere hat der Versicherten überdies eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. September 2012, soweit den Taggeldanspruch während einer Übergangs- bzw. Anpassungsfrist sowie die Gerichtskosten und die Parteientschädigung betreffend, aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung in diesen Punkten an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 100.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz