Faits:
A. S._, né en 1945, a bénéficié d'un premier délai-cadre d'indemnisation de chômage du 2 août 2002 au 1er août 2004 pour un gain assuré de 4'437 fr. Dès le 1er octobre 2002, il a retrouvé un emploi auprès de X._. L'employeur a résilié les rapports de travail au 30 juin 2004 pour des raisons économiques et versé à S._ une indemnité de licenciement équivalente à trois salaires mensuels (6'178 fr. x 3). Le prénommé s'est réinscrit au chômage le 28 juin 2004 et un deuxième délai-cadre d'indemnisation lui a été ouvert (du 2 août 2004 au 1er août 2006) pour un gain assuré de 6'693 fr. (13ème salaire y compris).
A la suite d'une action ouverte par l'intéressé contre son ancien employeur devant la Juridiction des Prud'hommes du canton de Genève, les parties ont conclu le 3 mars 2005 une transaction aux termes de laquelle X._ a accepté de payer à S._ le montant de 100'000 fr. nets (107'446 fr. moins les charges sociales) pour solde de salaire de juillet 2004 à décembre 2005 (18 mois) sous déduction de 36'472 fr. 80 représentant les indemnités journalières allouées au prénommé par la Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après : la caisse) du 1er juillet 2004 au 28 février 2005. Au mois de mai 2005, l'inscription de l'assuré comme demandeur d'emploi a été annulée.
Le 3 janvier 2006, S._ a présenté une nouvelle demande d'indemnité de chômage. Le 23 février suivant, il a contesté le décompte de la caisse du mois de janvier 2006 en demandant à ce que son délai-cadre d'indemnisation soit reporté au 1er janvier 2006 et son gain assuré calculé sur la base des montants qu'il avait reçus de son ancien employeur (18'534 fr. + 107'446 fr.) Par décision du 27 février 2006, la caisse a fixé le gain assuré à 6'693 fr. et maintenu la date du 2 août 2004 comme début du délai-cadre applicable à la période d'indemnisation.
Le 9 septembre 2006, l'assuré s'est déclaré en désaccord avec le décompte de la caisse du mois d'août 2006 et a requis une décision formelle sujette à opposition. Après avoir obtenu une réponse de la caisse, il a retiré son objection dans une lettre subséquente du 11 septembre 2005 (recte : 11 septembre 2006). En avril et juin 2008, il s'est à nouveau adressé à la caisse au sujet de son indemnisation et plusieurs courriers ont été échangés.
B. Le 23 juillet 2008, S._ a saisi le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales d'une "requête en détermination du gain assuré".
Retenant que le prénommé avait en réalité voulu, par le biais de cette requête, contester la décision de la caisse du 27 février 2006, le tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté (jugement du 19 mai 2009).
C. S._ interjette un recours de droit public (recte: recours en matière de droit public) contre ce jugement dont il requiert l'annulation. Il invite le Tribunal fédéral à constater que la juridiction cantonale a "erré dans sa décision" en "statu[ant] sur autre chose que ce qui était demandé" et conclut au renvoi de la cause à cette autorité pour qu'elle détermine correctement son gain assuré. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF).
2. A la lecture du recours, on comprend que le recourant reproche aux premiers juges d'avoir tenu sa requête en détermination du gain assuré (du 23 juillet 2008) pour un recours contre la décision de la caisse du 27 février 2006, décision contre laquelle il n'a pas eu la volonté de recourir mais dont il considère néanmoins qu'elle lui est inopposable en raison d'une irrégularité dans sa notification. Son litige avec la caisse formant l'objet de la requête concernerait la fixation de son gain assuré pour un troisième délai-cadre d'indemnisation qui lui a apparemment été ouvert du 2 août 2006 au 1er août 2008. C'est sur ce point, semble-t-il, que le recourant entend obtenir un jugement du tribunal cantonal.
3. On peut se demander si le recourant a un intérêt actuel et pratique digne de protection au sens de l'art. 89 al. 1 let. c LTF à faire constater que c'est à tort que la juridiction cantonale a retenu l'écriture du 23 juillet 2008 comme un recours contre la décision du 27 février 2006. Le jugement entrepris, en tant qu'il déclare irrecevable un éventuel recours contre cette décision, n'affecte en effet aucunement la situation juridique du recourant. Au demeurant le point de vue des premiers juges n'apparaît pas totalement infondé si l'on considère les nombreuses références à la décision du 27 février 2006 qui figurent dans l'écriture en question.
Quoi qu'il en soit, vu les remarques du recourant relatives à la décision rendue par la caisse, c'est le lieu de préciser que selon la jurisprudence, la notification irrégulière d'une décision, notamment celle qui ne comporte pas d'indication des voies de droit, n'a pas pour effet d'empêcher indéfiniment le délai de recours de courir, et n'est de surcroît pas nécessairement nulle. Chacun sait en effet que les décisions deviennent définitives si elles ne sont pas attaquées dans un certain délai; l'absence de toute indication incite naturellement à se renseigner sans attendre. La règle de la bonne foi s'applique aussi au justiciable et il ne saurait être protégé en cas de faute lourde de sa part. On ne peut donc pas admettre, en pareille situation, qu'un recours soit déposé dans n'importe quel délai (ATF 121 II 72 consid. 2a p. 78; 119 IV 330 consid. 1c p. 334 et la jurisprudence citée). Cela signifie notamment qu'une décision, fût-elle notifiée de manière irrégulière, peut entrer en force si elle n'est pas contestée dans un délai raisonnable (SJ 2000 I p. 118, arrêt 1P.485/1999). En l'occurrence, indépendamment de savoir si la décision du 27 février 2006 contenait bel et bien une indication des voies de droit au verso, il est établi que le recourant en a eu connaissance et qu'il s'est abstenu d'en contester le bien-fondé ou de se renseigner auprès de la caisse. Dans ces conditions, et contrairement à ce qu'il prétend, cette décision déploie tous ses effets.
4. En ce qui concerne le second grief soulevé par le recourant, à savoir que les juges cantonaux auraient dû entrer en matière sur sa requête du 23 juillet 2008, il convient de rappeler les dispositions légales suivantes :
En vertu de l'art. 49 al. 1 LPGA, les assureurs sociaux doivent rendre par écrit les décisions qui portent sur des prestations, créances ou injonctions importantes ou avec lesquelles l'intéressé n'est pas d'accord. Les décisions peuvent être attaquées dans les trente jours par voie d'opposition auprès de l'assureur qui les a rendues, à l'exception des décisions d'ordonnancement de la procédure (art. 52 al. 1 LPGA). Hormis l'éventualité d'un refus de statuer de l'assureur (art. 56 al. 2 LPGA), le recours devant un tribunal cantonal des assurances (art. 57 LPGA) n'est ouvert que contre des décisions sur opposition et des décisions contre lesquelles la voie de l'opposition n'est pas ouverte (art. 56 al. 1 LPGA).
Il en découle que la juridiction cantonale n'avait, en tout état de cause, pas à se prononcer sur la requête du recourant. Celle-ci n'est en effet pas dirigée contre une décision au sens de l'art. 56 al. 1 LPGA. On ne saurait non plus la considérer, vu ses motifs et ses conclusions, comme un recours pour refus de statuer de la caisse. D'ailleurs, dans ses différents courriers à la caisse des mois d'avril et juin 2008, le recourant a requis de celle-ci de lui fournir des explications mais ne lui a pas demandé de rendre une décision formelle au sens de l'art. 49 al. 1 LPGA, alors même qu'il apparaît tout à fait au clair sur la procédure à suivre. En vérité, le recourant voudrait saisir directement le juge des assurances sociales d'une question touchant à son droit aux prestations de chômage sans passer par la voie de la procédure administrative prévue par la LPGA. Un tel procédé n'est toutefois pas admissible.
5. Le recours doit par conséquent être rejeté. Les conclusions du recourant étaient d'emblée dénuées de chances de succès, si bien que l'assistance judiciaire tendant à la dispense des frais judiciaires doit être refusée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant supporte les frais de la procédure (66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 28 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl