Faits:
A. Le 2 juillet 2003, M._ (né en 1966) a été renversé par un chariot élévateur, alors qu'il travaillait à l'usine X._ comme employé d'exploitation au département Y._. La chute a provoqué un mouvement brusque au niveau cervical et entraîné des contusions au niveau du dos, du genou et du poignet gauche. Après avoir tenté à deux reprises de reprendre son activité, l'intéressé a été mis en arrêt de travail à partir du 17 février 2004 et présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 24 mai suivant. A partir du 6 décembre 2004, il a travaillé à mi-temps pour la société Z._ dans le cadre d'un reclassement professionnel pris en charge par l'assurance-invalidité, qu'il a cependant interrompu pour cause de maladie au début du mois de février 2005.
Après avoir recueilli divers avis médicaux, dont celui du docteur R._, psychiatre traitant, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a chargé le docteur B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, d'une expertise. Dans son rapport du 27 juin 2005, le médecin a notamment diagnostiqué une cervico-brachialgie droite post-traumatique se doublant d'une psychorigidité importante; il a conclu à une incapacité totale de travail tant dans la profession antérieure que dans toute activité adaptée au handicap de l'assuré. L'office AI a demandé à son Service médical régional (SMR) de se prononcer sur ce rapport, avant de rendre une décision, le 5 août 2005, par laquelle il a rejeté la demande de prestations, motif pris de l'absence d'invalidité.
L'assuré s'étant opposé à cette décision, l'administration l'a soumis à un examen rhumatologique et psychiatrique auprès du SMR. Les docteurs I._, spécialiste en médecine physique et rééducation, et H._, psychiatre, ont posé les diagnostics (avec répercussion sur la capacité de travail) de cervico-brachialgies droites persistantes non déficitaires dans le cadre d'un status post possible distorsion cervicale le 2 juillet 2003, hernie discale C4-C5 volumineuse et protrusion C7-D1. D'autres diagnostics, tels des "troubles de l'adaptation avec perturbation mixte des émotions et des conduites, réactionnelle à l'accident" et des "troubles anxieux et dépressifs mixtes chronifiés, réactionnels à un accident", n'avaient pas d'influence sur la capacité de travail. Celle-ci était nulle dans un travail de force, mais était entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites par les médecins, dès le mois de juin 2004. Se prononçant le 18 octobre 2006, l'office AI a rejeté l'opposition de l'assuré, en considérant qu'il ne subissait aucune invalidité.
B. M._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du Jura, Chambre des assurances, en produisant en cours d'instance des rapports médicaux du docteur F._ (des 29 janvier et 23 février 2007) et C._ (du 12 mars 2007). Par jugement du 4 juillet 2007, le Tribunal cantonal a débouté l'assuré.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut à titre principal à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité; subsidiairement, il demande le renvoi de la cause au Tribunal cantonal jurassien pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité, en particulier sur le taux d'invalidité qu'il présente. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. Invoquant en premier lieu une appréciation arbitraire des preuves, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir accordé pleine valeur probante à l'expertise des docteurs I._ et H._ du SMR qu'il qualifie de lacunaire et insuffisante, avant tout parce que le rapport ne comprend pas "l'examen de l'ensemble des critères posés par la jurisprudence en cas de troubles psychiques".
3.1 L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30) ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9, 127 I 38 consid. 2a p. 41).
3.2 Pour motiver le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves, le recourant fait valoir que l'expertise du SMR ne serait pas "sérieuse sur le plan psychiatrique", en contestant d'abord certains éléments dont ont fait état les docteurs I._ et H._. En ce qui concerne la mention de son retard de 35 minutes, il s'agit d'un fait descriptif sur le déroulement de l'expertise, dont les médecins n'ont tiré aucune conclusion négative. Leur rapport ne contient par ailleurs aucun indice de l'irritation qu'ils auraient prétendument manifestée. Les critiques du recourant ne suffisent donc pas pour admettre que les médecins du SMR ont eu "une forme de prévention" à son égard. Quant au manque de collaboration, il a également été constaté par le docteur B._ (p. 16 de son expertise) lorsqu'il relève, par exemple, que "ladite limitation [au niveau du rachis] semble davantage être causée par un manque de collaboration de l'assuré plutôt que par des lésions anatomo-pathologiques". En outre, c'est en vain que le recourant conteste les indications des experts sur le déroulement de ses journées, puisqu'elles correspondent dans une large mesure à celles données par le docteur B._. Celui-ci avait également mentionné que l'assuré restait fréquemment couché sur le dos durant la journée (p. 5 de l'expertise du 27 juin 2005) ou "passait ses journées couché sur le dos" (p. 8 de l'expertise).
Contrairement à ce que soutient ensuite le recourant, les médecins du SMR n'avaient pas à se prononcer sur les critères développés par le Tribunal fédéral en matière de troubles somatofomes douloureux (cf. ATF 130 V 352), dès lors qu'ils n'ont pas retenu ce diagnostic. Ces critères servent à apprécier le caractère invalidant de troubles somatoformes douloureux et d'une fibromyalgie (voire de tout autre état douloureux semblable dont l'étiologie est incertaine, cf. ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398 s. et Ulrich Meyer, La récente jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances [notamment en matière de prestations d'invalidité], in: Nouveautés en matière de prévoyance professionnelle, Colloque de l'IRAL 2006, Berne 2007, p. 113 note 4). Ils n'ont en revanche pas à être analysés, de manière générale, pour "toute atteinte à la santé psychique" comme le prétend le recourant.
3.3 Cela étant, les médecins du SMR arrivent à la conclusion que le recourant n'est atteint d'aucune maladie psychiatrique majeure. Ils excluent le diagnostic de trouble somatoforme douloureux parce que les douleurs évoquées par le recourant ne dominent pas suffisamment le tableau clinique. Ils admettent en revanche l'existence d'un trouble anxieux et dépressif, dont la sévérité n'est cependant pas suffisante pour conclure à une dépression majeure. Ils se réfèrent également à l'avis du docteur R._ selon lequel "nous nous trouvons en face de phénomènes qui sortent partiellement du champ médical" et considèrent que le fait que le recourant arrive à faire les courses avec sa femme, à conduire et à se rendre à l'étranger confirme qu'il ne s'agit pas d'une maladie psychiatrique "incapacitante", mais qu'il y a d'autres motifs qui sortent partiellement du champ médical.
A la lecture de l'"appréciation consensuelle du cas", on constate que les médecins du SMR se limitent dans une large mesure à nier l'existence d'un trouble psychiatrique ayant une répercussion sur la capacité de travail du recourant, sans toutefois mettre les éléments décrits (de manière relativement succincte) dans le "status psychiatrique" (p. 8 de l'expertise) en relation avec leurs conclusions. Par ailleurs, s'ils mentionnent l'expertise du docteur B._ dans leur "anamnèse psychosociale et psychiatrique", les docteurs H._ et I._ ne se prononcent pas sur l'évaluation de leur confrère, si ce n'est pour expliquer que contrairement à lui, ils ne retiennent aucune maladie psychiatrique. Même si le docteur B._ n'est pas psychiatre (infra consid. 3.4), son analyse de la situation du recourant portait cependant sur des aspects psychiques (vécu délétère du traumatisme, détresse intense, expression de la douleur comme moyen de soulager le psychisme) - et non seulement psycho-sociaux comme retenu à tort par la juridiction cantonale - dont le rhumatologue a déduit une incapacité de travail entière. Il appartenait dès lors aux médecins du SMR de prendre position de manière circonstanciée sur les conclusions du docteur B._. En particulier, celui-ci a mis en relation l'événement accidentel du 2 juillet 2003 avec l'évolution du recourant sur le plan psychique, alors que les docteurs I._ et H._ n'évoquent en rien cet élément.
Les médecins du SMR se fondent ensuite sur l'avis du médecin traitant du recourant pour affirmer se trouver face à des phénomènes qui ne relèveraient en partie pas du champ médical. Au regard des rapports établis par le docteur R._, une telle affirmation est toutefois erronée. Comme l'indique ce médecin dans son courrier du 8 décembre 2006 au SMR, il n'a jamais exprimé une telle appréciation selon laquelle son patient ne souffrirait qu'en partie de problèmes psychiques. Le docteur H._ ne prend du reste pas position à cet égard dans sa note du 11 janvier 2007. Pour le reste, les médecins du SMR n'expliquent pas en quoi consisteraient "les autres motifs qui sortent partiellement du champ médical".
Dans ces circonstances, le rapport du SMR apparaît insuffisamment motivé, ses auteurs ne tenant pas suffisamment compte de l'avis contraire du docteur B._ et se référant de manière erronée à l'appréciation du médecin traitant. On ne saurait donc reconnaître une pleine force probante à l'expertise du SMR, dont les conclusions ont été entièrement suivies par les premiers juges en violation des règles jurisprudentielles sur la valeur probante des rapports médicaux (cf. ATF 122 V 157 consid. 1c p. 160 et les références).
3.4 Contrairement à ce que voudrait le recourant, les conclusions du docteur B._, auxquelles s'est rallié le docteur R._ (courrier du 8 décembre 2006 au SMR) ne peuvent pas non plus être suivies. Comme l'ont relevé à juste titre les premiers juges, le rhumatologue justifie l'incapacité totale de travail de l'assuré essentiellement par des troubles psychiques, alors qu'il n'est pas psychiatre. En règle générale, une expertise psychiatrique est cependant nécessaire quand il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail qu'est susceptible d'entraîner une atteinte psychique (ATF 130 V 352 consid. 2.2.2 p. 353).
3.5 Compte tenu de ce qui précède, il apparaît que la cause ne saurait être tranchée sans que la situation du recourant ne fasse l'objet d'une expertise psychiatrique (voir infra consid. 4.2 in fine).
4. En ce qui concerne la situation du recourant sur le plan somatique, celui-ci reproche aux premiers juges de n'avoir pas pris en compte les rapports des docteurs F._ (des 29 janvier et 23 février 2007) et C._ (du 12 mars 2007). Dès lors que ces avis médicaux concernaient son état de santé au moment où la décision sur opposition a été rendue (le 18 octobre 2006) et contredisaient les conclusions des médecins du SMR, l'autorité cantonale de recours n'était pas en droit de les écarter sans se prononcer à leur égard.
4.1 Du point de vue temporel, le juge apprécie en règle générale la légalité des décisions entreprises d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11 et les arrêts cités). Des faits qui se sont produits postérieurement doivent cependant être pris en considération, dans la mesure où ils présentent un lien étroit avec l'objet du litige et sont susceptibles d'influencer l'appréciation du cas au moment de la décision litigieuse (cf. ATF 99 V 102 et les arrêts cités). Les rapports médicaux invoqués par le recourant remplissent ces conditions, puisque le docteur F._, spécialiste en neurologie, fait état d'une volumineuse hernie discale médiane C4/5 comprimant la moelle, inchangée par rapport aux constatations qu'il avait faites en octobre 2003, ainsi que d'une aggravation depuis deux à trois mois d'une brachialgie droite avec dysesthésie électrique dans le territoire du nerf cubital droit (rapport du 29 janvier 2007). De même, le docteur C._ de l'Hôpital V._ diagnostique une hernie discale déjà mise en évidence en automne 2003, avec une myélo-compression et des signes d'une myélopathie débutante. Dès lors, comme ils permettaient d'apprécier les circonstances au moment de la décision sur opposition, les rapports médicaux produits en instance cantonale auraient dû être pris en considération par les premiers juges.
4.2 Dans son rapport du 23 février 2004, le docteur F._, spécialiste en neurologie, précise le diagnostic en faisant état d'une myélopathie cervicale sur volumineuse hernie discale C4/5 avec déficit sensitif segmentaire bilatéral sur les deux épaules et le bras droit et signes de compression des voies longues motrices et sensitives destinées aux quatre extrémités. Selon lui, cette atteinte entraîne des douleurs cervicoscapulaires et brachiales, une fatigabilité, un épuisement et des troubles du sommeil, la capacité de travail étant nulle. Compte tenu de cette nouvelle appréciation qui diverge sensiblement de l'évaluation des médecins du SMR et du docteur B._ quant à la capacité de travail de l'assuré du point de vue somatique, il convient de compléter l'instruction de la cause par une expertise pluridisciplinaire portant non seulement sur l'état de santé psychique du recourant (supra consid. 3.5), mais également physique.
5. En conclusion, le jugement entrepris doit être annulé et la cause renvoyée aux premiers juges pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale pluridisciplinaire. La conclusion subsidiaire du recourant se révèle donc bien fondée.
6. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 en relation avec l'art. 65 al. 4 LTF). Obtenant gain de cause, le recourant a droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF), ce qui rend sa demande d'assistance judiciaire sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, du 4 juillet 2007 est annulé, la cause lui étant renvoyée pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 juin 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless