Sachverhalt:
A. Die 1982 geborene F._ begann nach abgeschlossener Lehre zur Gärtnerin im August 2001 die Zusatzausbildung zur Floristin. Am 28. Oktober 2001 zog sie sich bei einem Verkehrsunfall gemäss ärztlichen Diagnosen eine commotio cerebri, eine Thoraxkontusion, eine Rissquetschwunde am Kinn und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zu. F._ schloss danach die begonnene Zusatzausbildung im August 2003 erfolgreich ab und übte, unterbrochen von Arbeitslosigkeit, die Tätigkeit einer Floristin aus. Dabei wurde ihr von ärztlicher Seite eine Arbeitsunfähigkeit in jeweils wechselndem Ausmass bescheinigt. Im Juni 2004 meldete sich F._ unter Hinweis auf seit dem Unfall bestehende Kopfschmerzen, Verspannungen, Müdigkeit und Konzentrationsstörungen bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte mit Verfügung vom 3. März 2005 einen Anspruch auf berufliche Massnahmen, da die Versicherte bestmöglich eingegliedert sei. Die IV-Stelle traf sodann erwerbliche und medizinische Abklärungen zur Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente. Unter anderem beteiligte sie sich mit Zusatzfragen am polydisziplinären medizinischen Gutachten des Begutachtungsinstituts Y._, vom 6. Dezember 2007 (mit Nachtrag vom 31. Januar 2008), welches der für den Unfall vom Oktober 2001 zuständige obligatorische Unfallversicherer unter Mitwirkung des betroffenen Haftpflichtversicherers eingeholt hat. Mit Verfügung vom 10. Juli 2008 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch mit der Begründung, der Invaliditätsgrad liege unter den hiefür mindestens erforderlichen 40 %.
Der Unfallversicherer seinerseits stellte mit Verfügung vom 21. Februar 2008 und Einspracheentscheid vom 26. September 2008 per 31. März 2008 die bis dahin erbrachten Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV).
B. Die von F._ gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 10. Juli 2008 erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. November 2010 ab. Zur Begründung führte es aus, es liege einzig eine mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzproblematik vor.
In einem weiteren, gleichentags ergangenen Entscheid wies das Sozialversicherungsgericht auch die von F._ gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers vom 26. September 2008 eingereichte Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt F._ beantragen, der vorinstanzliche Entscheid betreffend IV-Leistungen und die Verwaltungsverfügung vom 10. Juli 2008 seien aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz, subeventuell an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. F._ hat auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid vom 29. November 2010 betreffend UV-Leistungen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Darüber entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_100/2011.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Von diesen tatsächlichen Feststellungen kann es nur dann abweichen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. Streitig ist nach Anfechtungsgegenstand sowie Antrag und Begründung der Beschwerde der Anspruch auf eine Invalidenrente der IV.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die massgeblichen Gesetzesbestimmungen zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung über die (ausnahmsweise) invalidisierende Wirkung von anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen (BGE 131 V 50; 130 V 352), über die sinngemässe Anwendung der entsprechenden Grundsätze auf andere pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder, wie etwa HWS-Verletzungen ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle (BGE 136 V 279), und über die zu beachtenden Beweisregeln, insbesondere den im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f.).
In BGE 136 V 279 hat das Bundesgericht entschieden, es sei aus Gründen der Rechtsgleichheit geboten, sämtliche pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage den gleichen sozialversicherungsrechtlichen Anforderungen zu unterstellen. Daher rechtfertige es sich, die in BGE 130 V 352 im Zusammenhang mit somatoformer Schmerzstörung entwickelten Kriterien auch für die Beurteilung der invalidisierenden Wirkung einer spezifischen HWS-Verletzung ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle analog anzuwenden (BGE 136 V 279 E. 3.2.3 S. 283; vgl. auch BGE 9C_871/2010 E. 4.2). Nach BGE 130 V 352 besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischen Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person. Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f.; vgl. auch BGE 136 V 279 E. 3.2.1 S. 281 f. und BGE 9C_871/2010 E. 4.1).
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, es liege eine anhaltende Schmerzproblematik vor, welche mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als Residuum einer beim Unfall vom Oktober 2001 erlittenen HWS-Verletzung ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle zu betrachten sei.
3.1 Dass keine organisch nachweisbare Funktionsausfälle vorliegen, ist nicht umstritten. Hingegen wird geltend gemacht, die Beschwerden seien auch mit einer beim Unfall erlittenen mild traumatic brain injury (MTBI) zu erklären.
3.2 Es finden sich in den zahlreichen Arztberichten unterschiedliche Auffassungen dazu, ob auch eine MTBI für die noch bestehenden Beschwerden verantwortlich zu machen ist. Die vorinstanzliche Tatsachenfeststellung, wonach lediglich eine HWS-Verletzung beteiligt ist, erscheint nicht offensichtlich unrichtig, zumal auch die seit Jahren behandelnde Neurologin die noch geklagten Beschwerden einem persistierenden, stark belastungsabhängigen Zervikalsyndrom zuschreibt.
Soweit ergänzende Beweiserhebungen verlangt werden, ist festzuhalten, dass sich mittels bildgebender Verfahren unbestrittenermassen keine Befunde erheben liessen, welche die bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchten. Es kommt daher massgeblich auf die klinische Präsentation an. Die von der Versicherten geklagten Beschwerden können grundsätzlich der einen wie der anderen der zur Diskussion stehenden Verletzungen zugerechnet werden. Es ist daher davon auszugehen, dass auch weitere Beweismassnahmen nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine massgebliche Beteiligung eines MTBI ergeben würden. Damit muss auch nicht weiter darauf eingegangen werden, wie eine solche Verletzung bei der Invaliditätsprüfung zu beurteilen wäre.
4. Die Vorinstanz ist sodann gestützt auf eine Würdigung der medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, die Schmerzproblematik sei überwindbar.
4.1 Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (BGE 9C_871/2010 vom 25. Februar 2011 E. 1.2 mit Hinweis auf SVR 2008 IV Nr. 23 S. 72, I 683/06 E. 2.2).
4.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist keines der Kriterien, welche praxisgemäss gegen die Überwindbarkeit der Schmerzproblematik sprechen würden, gegeben.
Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten nicht offensichtlich unrichtig oder sonst bundesrechtswidrig. Es ergeben sich entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch keine Anhaltspunkte dafür, dass der rechtserhebliche Sachverhalt ungenügend abgeklärt wurde. Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, dass die gegebenen Akten genügend Aufschluss geben, um die rechtsprechungsgemäss für eine Unüberwindbarkeit sprechenden Kriterien verlässlich verneinen zu können. Diese Beurteilung ist im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden.
Es wird in der Beschwerde auch nicht ausgeführt, welche der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung erfüllt sein sollen. Die Versicherte nimmt zwar auf den von ihr eingeholten Bericht des Dr. med. S._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 10. Oktober 2009 Bezug. Sollte sie damit geltend machen wollen, es bestehe eine massgebliche psychische Komorbidität, könnte ihr indessen nicht gefolgt werden. Die von Dr. med. S._ aus psychiatrischer Sicht hauptsächlich gestellte Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode mit somatischen Symptomen stellt keine Komorbidität dar, welche für sich allein genügen würde, um die Schmerzproblematik als unüberwindbar erscheinen zu lassen.
Das kantonale Gericht hat sodann erwogen, Dr. med. S._ postuliere zwar die Unüberwindbarkeit der Schmerzproblematik. Dies vermöge aber nicht zu überzeugen, zumal der Psychiater dies einzig mit der Behauptung begründe, die Versicherte verfüge aufgrund ihrer Lebensgeschichte über keine genügenden Ressourcen und habe keine guten Copingmechanismen. Das genüge nicht, um auf Unüberwindbarkeit der Schmerzproblematik schliessen zu können. Diese Beurteilung ist weder offensichtlich unrichtig noch verletzt sie Bundesrecht. Sie wird von der Versicherten denn auch nicht begründet in Frage gestellt.
4.3 Zusammenfassend hält die vorinstanzliche Beurteilung, wonach die Schmerzproblematik im Sinne der Rechtsprechung überwindbar und daher nicht invalidisierend ist, vor Bundesrecht stand. Das schliesst einen Rentenanspruch aus und führt zur Abweisung der Beschwerde.
5. Damit kann offen bleiben, ob auch die in der Verwaltungsverfügung vom 10. Juli 2008 angegebenen Gründe zur Verneinung eines Rentenanspruchs führen würden. Immerhin ist festzuhalten, dass sich die IV-Stelle hiebei auf das Gutachten des Begutachtungsinstituts Y._ vom 7. Dezember 2007 (mit Nachtrag vom 31. Januar 2008) stützen konnte. Die Versicherte hat den Beweiswert der Expertise bestritten und sich dabei auf die von ihr eingeholten Berichte der Neuropsychologin Frau Dr. phil. W._ vom 28. November 2008, des Psychiaters Dr. med. S._ vom 10. Oktober 2009 und des Neurologen Dr. med. Z._ vom 25. Oktober 2010 gestützt. Es erscheint eher fraglich, ob diese Berichte Zweifel an der auf polydisziplinären Abklärungen und interdisziplinärem Diskurs beruhenden Beurteilung der Fachärzte des Begutachtungsinstituts Y._ zu begründen vermöchte, zumal sich Frau Dr. phil. W._ und Dr. med. Z._ einzig aufgrund der ihnen vorgelegten Akten äusserten und Dr. med. S._ die Abklärungen, auf welche er sich massgeblich stützt, erst ab August 2009, mithin über ein Jahr nach dem - in der Regel den gerichtlich zu überprüfenden Sachverhalt zeitlich begrenzenden (BGE 131 V 242 E. 2.1 S. 243 mit Hinweis) - Erlass der Verwaltungsverfügung vom 10. Juli 2008, vorgenommen hat. Dies muss aber wie gesagt nicht abschliessend beurteilt werden.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juni 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz