Faits:
A. X._ a porté plainte pénale contre Y._ pour injure (art. 177 CP).
Par un arrêt du 5 septembre 2008, la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a déclaré irrecevable, pour défaut de motivation, le recours interjeté par X._ contre le jugement d'acquittement rendu le 7 mai 2008 par le Juge de police de la Sarine. Elle a considéré que, dans son mémoire d'appel, X._ se bornait à des critiques générales, ne satisfaisant pas aux exigences de motivation de l'art. 214 al. 2 let. c du code de procédure pénale fribourgeois (CPP/FR; RSF 32.1).
B. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont il demande implicitement la réforme en ce sens que Y._ soit condamné.
Il demande l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur un possible déni de justice formel, le Ministère public et la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg ont renoncé à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. Contre une décision de dernière instance cantonale qui met fin à une procédure pénale, le lésé qui est intervenu comme partie, ou qui a été empêché de le faire, peut recourir au Tribunal fédéral notamment pour violation d'un droit formel entièrement séparé du fond que lui accordent les règles de procédure applicables, catégorie de griefs qui comprend en particulier le refus injustifié de l'autorité précédente d'entrer en matière sur le moyen de droit dont elle était saisie (arrêt 6B_480/ 2007 du 31 janvier 2008 consid. 1.1 et 1.3; cf., pour la notion de droits formels entièrement séparés du fond, ATF 120 Ia 157 consid. 2a/bb p. 160). En revanche, le lésé n'a pas qualité pour contester la conformité au droit de fond d'un acquittement, si l'infraction ne l'a pas directement atteint dans son intégrité corporelle, sexuelle ou psychique (cf. ATF 133 IV 228 et les références; arrêt 6B_480/2007 du 31 janvier 2008 consid. 1.1 et 1.3).
Dans le cas présent, le recourant a porté plainte pour atteinte à l'honneur. La plupart de ses griefs, qui sont liés au fond, sont dès lors irrecevables. Mais dans la mesure où il conteste s'être uniquement livré, dans son recours cantonal, à des développements juridiques abstraits et à des critiques toutes générales du jugement de première instance, le recourant s'en prend au motif pour lequel la cour cantonale a refusé d'entrer en matière sur son appel. Il se plaint ainsi, avec toute la précision requise d'un justiciable non assisté, d'un déni de justice formel. Ce grief est recevable.
2. L'autorité cantonale qui refuse d'entrer en matière sur un recours par suite d'une interprétation ou d'une application arbitraire du droit cantonal de procédure, ou d'une constatation arbitraire des faits, commet un déni de justice formel (ATF 120 Ia 220 consid. 2a p. 222 et les références).
En l'espèce, dans le mémoire qu'il a adressé à la cour cantonale le 14 août 2008, le recourant s'est expressément plaint du fait que la gendarmerie ne lui a pas signifié en temps utile le mandat de comparution qui le convoquait à l'audience du juge de police. Il est arbitraire ou excessivement formaliste de nier qu'il invoquait ainsi un vice de la procédure, soit un motif recevable d'appel (art. 197, 212 al. 1 CPP/FR). En refusant de statuer sur le bien-fondé de ce grief, la cour cantonale a commis un déni de justice formel, prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst.
Il s'ensuit que le recours doit être admis dans la faible mesure où il est recevable.
3. S'il admet le recours, le Tribunal fédéral renvoie l'affaire à l'autorité précédente ou statue lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF).
Dans le cas présent, il ressort du dossier cantonal qu'avant de requérir la notification du mandat de comparution par la gendarmerie, le juge de police l'avait adressé au recourant par la poste, sous pli recommandé avec demande d'accusé de réception. Or, quand bien même il lui incombait de relever son courrier ou, s'il s'absentait de son domicile, de prendre des dispositions pour qu'il lui parvienne néanmoins, le recourant n'est pas allé retirer l'envoi du juge à la poste. Le délai de garde a expiré le 25 avril 2008. Conformément à une jurisprudence constante (ATF 130 III 396 consid. 1.2.3 p. 399; 119 V 89 consid. 4b/aa p. 94; 116 Ia 90 consid. 2a p. 92; 115 Ia 12 consid. 3a p. 15), il est dès lors réputé avoir pris connaissance du mandat de comparution le 25 avril 2008 et avoir été ainsi régulièrement cité à comparaître à l'audience du juge de police.
Les autres griefs formulés par le recourant dans son mémoire d'appel, qui se rapportaient au fond, étaient tous voués à l'échec, puisque le recourant admettait lui-même qu'aucun témoin n'avait vu ou entendu le prévenu, qui conteste les faits, proférer les injures qui lui sont reprochées.
Il est dès lors manifeste que, si elle était entrée en matière, la cour cantonale aurait dû rejeter l'appel dans la mesure où il était recevable. Aussi convient-il, exceptionnellement et par économie de procédure, de réformer immédiatement l'arrêt attaqué en ce sens. Les observations de l'intimé Y._, qui ne sera pas touché par cette réforme, et à qui il sied par conséquent d'épargner des dépenses inutiles, ne sont pas nécessaires.
4. Comme l'accusateur public succombe sur le principe, l'arrêt doit être rendu sans frais (art. 66 al. 4 LTF).
La demande d'assistance judiciaire du recourant, qui a procédé sans l'assistance d'un avocat, n'a dès lors plus d'objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable et l'arrêt entrepris réformé au chiffre I de son dispositif en ce sens que le recours (cantonal) est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas prélevé de frais judiciaires.
3. La demande d'assistance judiciaire n'a plus d'objet.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de l'État de Fribourg, Cour d'appel pénal.
Lausanne, le 5 décembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Schneider Oulevey