Sachverhalt:
A. Der 1942 geborene K._ war als technischer Berater im Aussendienst in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Basler Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Basler) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 18. Juni 1997 erlitt er einen ersten Unfall. Die Basler sprach ihm für die verbleibenden Folgen (andauerndes cervicales Schmerzsyndrom und eingeschränkte Beweglichkeit der Halswirbelsäule [HWS] sowie Schmerzausstrahlungen in den linken Arm mit Parästhesien der Finger) mit rechtskräftigen Verfügungen vom 11. Dezember 2001 und 23. Mai 2002 eine ab 1. Dezember 2000 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 25 % zu.
Am 6. September 2001 meldete K._ einen zweiten Unfall. Er sei am 27. Juni 2001 beim Aussteigen aus einem Kleinbus aufs Gesäss gefallen. Die danach vorgenommenen Untersuchungen ergaben eine Diskushernienproblematik im unteren Rückenbereich, welche am 18. Juli 2001 operativ behandelt wurde. Die Basler holte ein neurologisches Gutachten vom 16. Januar 2004 ein und lehnte mit Verfügung vom 14. Oktober 2005 und Einspracheentscheid vom 11. Mai 2006 nebst anderem eine Erhöhung der seit 1. Dezember 2000 laufenden Invalidenrente ab.
B. Die von K._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, soweit auf Zusprechung einer Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit lautend, ab. Soweit eine höhere Integritätsentschädigung geltend gemacht wurde, trat das Gericht auf die Beschwerde nicht ein (Entscheid vom 11. April 2007).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert K._ sein vorinstanzliches Rentenbegehren.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz ist auf die kantonale Beschwerde nicht eingetreten, soweit damit eine Erhöhung der am 23. Mai 2002 zugesprochenen Integritätsentschädigung geltend gemacht wurde. Die letztinstanzliche Beschwerde äussert sich dazu nicht. Der kantonale Entscheid ist somit, soweit auf Nichteintreten lautend, nicht angefochten.
Die letztinstanzliche Beschwerde genügt, soweit den einzig streitigen Rentenpunkt betreffend, knapp den gesetzlichen Mindestanforderungen an Begehren und Begründung (Art. 42 Abs. 1 BGG). Es ist daher auf sie einzutreten, zumal auch die weiteren Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Zu beurteilen ist, ob die seit 1. Dezember 2000 laufende Invalidenrente aufgrund von Auswirkungen des zweiten Unfalles vom 27. Juni 2001 zu erhöhen ist.
Die Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die Frage des für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden mit den sich stellenden Beweisfragen.
3. 3.1 Der erste Unfall vom 18. Juni 1997 wurde mit Zusprechung einer Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % abgeschlossen. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit sei durch den zweiten Unfall vom 27. Juni 2001 aus somatischer Sicht nicht weiter verschlechtert worden. Selbst wenn sodann von einer natürlich unfallkausalen psychischen Beeinträchtigung ausgegangen werden müsste, als deren Folge (auch) die von ärztlicher Seite beschriebene Opiatabhängigkeit zu betrachten wäre, ergäbe sich mangels adäquater Kausalität keine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin. Es bestehe somit kein Anspruch auf eine höhere Invalidenrente.
3.2 Dass ein den Anspruch auf eine höhere Invalidenrente begründendes, unfallkausales psychisches Leiden vorliegt, wird vom Beschwerdeführer richtigerweise nicht geltend gemacht. Die vorinstanzliche Beurteilung ist aber auch was somatische Unfallfolgen betrifft nicht zu beanstanden. Sie beruht auf einer sorgfältigen Darstellung und Würdigung der medizinischen Akten und stützt sich namentlich auf das Gutachten des Prof. Dr. med. W._, Neurologie FMH, vom 16. Januar 2004. Darin werden die Auswirkungen des zweiten Unfalles auf den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit des Versicherten in überzeugender und von der Vorinstanz zu Recht als beweiswertig (vgl. BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) erachteter Weise beschrieben.
Die hier nicht einzeln aufzuführenden Vorbringen in der Beschwerde führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Dies betrifft einmal den Einwand, die Vorinstanz habe in Bezug auf die somatischen Unfallfolgen einseitig auf das Gutachten des Prof. Dr. med. W._ abgestellt und sei nicht auf anderslautende Aussagen des Prof. Dr. med. R._ und des Dr. med. S._, welche ihn seit Jahren behandelten, eingegangen. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid einlässlich dargelegt, weshalb es die Aussagen des Prof. Dr. med. W._ für überzeugender hält als diejenigen anderer Ärzte, soweit sich diese überhaupt abweichend haben verlauten lassen. Die Vorinstanz hat dabei auch die Stellungnahmen der behandelnden Ärzte berücksichtigt. Der Versicherte wendet weiter ein, er sei entgegen dem Gutachten des Prof. Dr. med. W._ nicht opiatabhängig. Zudem sei der Experte unzutreffend davon ausgegangen, der Beschwerdeführer habe zwischenzeitlich nicht 50 %, sondern 100 % gearbeitet. Mit diesen Vorbringen wird indessen, selbst wenn sie zutreffen sollten, weder die Zuverlässigkeit des neurologischen Gutachtens noch die namentlich darauf, aber auch auf weitere Arztberichte gestützte Annahme einer weiterhin bestehenden 50%igen Restarbeitsfähigkeit durch das kantonale Gericht in Frage gestellt. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der aufgetretenen Lungenproblematik, deren Unfallkausalität entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung als unwahrscheinlich zu betrachten ist. Geltend gemacht wird schliesslich, seitens der Basler sei dem Beschwerdeführer die Ausrichtung einer 100 % Erwerbsunfähigkeit entsprechenden Invalidenrente versprochen worden. Dies findet indessen in den Akten, auch in der aufgelegten Aufstellung von Telefonnotizen, keine verlässliche Stütze. Gleiches gilt für die Annahme eines anderweitigen, gegebenenfalls unter dem Gesichtspunkt Vertrauensschutz relevanten Verhaltens von Mitarbeitern der Beschwerdegegnerin. Es kann im Übrigen vollumfänglich auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden.
4. Die Beschwerde ist somit offensichtlich unbegründet und im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz