Faits:
A. X._, ressortissant du Kosovo, est le père de quatre enfants nés d'un premier mariage dissous par divorce en 2002: A._, née en 1991, B._, né en 1993, C._, né en 1995 et D._, née en 1997.
X._ a séjourné et travaillé illégalement en Suisse pendant une période relativement importante au cours de laquelle il a fait l'objet de deux renvois contrôlés vers son pays d'origine, les 21 mai 2002 et 1er décembre 2005, renvois assortis à chaque fois d'une interdiction d'entrée dans le pays pour une durée de trois ans.
Le 22 décembre 2006, le prénommé a épousé une Suissesse et a obtenu, à la suite de cette union, une autorisation de séjour.
Le 10 juillet 2007, X._ a déposé une demande de regroupement familial en faveur de ses quatre enfants vivant au Kosovo avec la famille de son frère.
B. Après avoir donné à X._ la possibilité de se déterminer et avoir procédé à son audition ainsi qu'à celle de son épouse, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service de la population) a rejeté la demande de regroupement familial, par décision du 19 mai 2009.
Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg l'a rejeté par arrêt du 19 janvier 2010. Il a considéré que les relations que le recourant avait maintenues avec ses enfants n'avaient pas une intensité plus grande que celles que ces derniers entretenaient avec leurs proches au Kosovo, en particulier avec leur oncle et l'épouse de celui-ci, auprès de qui ils vivaient. Par ailleurs, il n'y avait pas de changement important des circonstances qui ait rendu nécessaire la venue des enfants en Suisse. De plus, il n'était pas dans l'intérêt de ces derniers de quitter le Kosovo.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public ou du recours constitutionnel subsidiaire, X._ demande au Tribunal de céans d'annuler l'arrêt du 19 janvier 2010 et d'octroyer une autorisation de séjour à ses quatre enfants, sous suite de frais et dépens pour la procédure devant les instances cantonales et pour la procédure fédérale.
L'autorité précédente renonce à se déterminer sur le recours, en renvoyant aux considérants de sa décision. Le Service de la population conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des migrations n'a pas donné suite à l'invitation qui lui a été faite de se prononcer.
Par courrier du 1er mars 2010, le recourant a relevé que sa fille aînée A._ avait atteint la majorité. Il a modifié ses conclusions en ce sens qu'une autorisation de séjour devait être octroyée seulement à ses trois autres enfants.
Considérant en droit:
1. 1.1 D'après l'art. 42 al. 1 LTF, les mémoires de recours doivent être rédigés dans une langue officielle. Selon l'art. 54 al. 1 LTF, la procédure devant le Tribunal fédéral est conduite dans l'une des langues officielles (allemand, français, italien, rumantsch grischun), en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Le recourant peut rédiger le mémoire de recours dans la langue (officielle) de son choix, qui ne doit pas nécessairement correspondre à celle de la procédure devant le Tribunal de céans (arrêt 2C_272/2009 du 28 octobre 2009 consid. 1.1 et les références).
En l'occurrence, le recourant a entrepris le jugement du 19 janvier 2010, rendu en langue française, à l'aide d'un mémoire rédigé en allemand. Ainsi qu'il vient d'être dit, ce procédé est admissible. La langue de la procédure demeure toutefois le français et le présent jugement sera rendu dans cette langue, dans laquelle le recourant a déposé son mémoire de recours devant le Tribunal cantonal.
1.2 Le 1er janvier 2008 est entrée en vigueur la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), qui a remplacé la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit.
La demande de regroupement familial qui est à la base de la présente affaire est antérieure au 1er janvier 2008, de sorte qu'elle est régie par l'ancien droit.
2. 2.1 Les conclusions nouvelles sont irrecevables devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 2 et 117 LTF). Cette règle n'interdit toutefois nullement de réduire celles adoptées devant la dernière instance cantonale (cf. arrêt 2C_762/2009 du 11 février 2010 consid. 1.5).
En l'occurrence, il est donc pris acte de ce que le recourant ne demande plus une autorisation de séjour que pour ses enfants B._, C._ et D._.
2.2 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, en droit des étrangers, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.2.1 Le recourant se prévaut de l'art. 17 al. 2 LSEE pour faire venir ses enfants en Suisse.
Selon l'art. 17 al. 2 3e phrase LSEE, les enfants célibataires âgés de moins de 18 ans ont le droit d'être inclus dans l'autorisation d'établissement de leurs parents aussi longtemps qu'ils vivent auprès d'eux.
Dans le cas particulier, le recourant possède seulement une autorisation de séjour, de sorte qu'il ne peut invoquer la disposition précitée pour en tirer un droit au regroupement familial.
2.2.2 Le recourant invoque également l'art. 8 CEDH.
Un étranger peut se prévaloir de la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective (cf. ATF 131 II 265 consid. 5 p. 269; 129 II 193 consid. 5.3.1 p. 211) avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (ce qui suppose que cette personne ait la nationalité suisse, une autorisation d'établissement en Suisse ou un droit certain à une autorisation de séjour en Suisse, cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145 s.; 130 II 281 consid. 3.1 p. 285). Les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de police des étrangers sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (ATF 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; 120 Ib 257 consid. 1d p. 261).
En tant qu'époux d'une citoyenne suisse, le recourant a en principe un droit au renouvellement de son autorisation de séjour en Suisse, pour autant qu'il fasse ménage commun avec sa femme (cf. art. 42 al. 1 LEtr) ou bénéficie d'une exception à cette exigence en vertu de l'art. 49 LEtr. L'arrêt attaqué ne retient pas que le recourant ne vivrait pas avec son épouse. Il a ainsi le droit de résider durablement en Suisse, de sorte qu'un droit au regroupement familial peut a priori découler de l'art. 8 CEDH en ce qui concerne ses enfants B._, C._ et D._, qui sont actuellement - moment déterminant pour se prononcer sur la recevabilité du recours sous l'angle de l'art. 8 par. 1 CEDH (cf. ATF 130 II 137 consid. 2.1 p. 141; 129 II 11 consid. 2 p. 13) - encore mineurs.
2.3 Les autres conditions de recevabilité des art. 82 ss LTF étant réunies, il convient d'entrer en matière sur le recours envisagé comme un recours en matière de droit public.
3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322; 135 III 397 consid 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4 p. 254/255). Il doit en outre rendre vraisemblable que la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF; arrêt 2C_762/2009 du 11 février 2010 consid. 4.2.2).
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir constaté les faits de manière incomplète, en omettant de relever les déclarations de son épouse, selon lesquelles il se serait rendu au Kosovo pour y voir ses enfants quatre fois en 2007 et à trois reprises en 2008, pour la seule période de janvier à septembre.
L'autorité précédente a retenu que le recourant, selon ses dires, était retourné voir ses enfants en été 2007 et en été 2008 (partie "En fait", point B). Elle n'a certes pas indiqué le nombre de voyages effectués. Cela n'étant, quoi qu'en dise le recourant, pas de nature à influer sur le sort de la cause, il n'y a pas lieu de compléter l'état de fait retenu dans la décision entreprise.
4. L'art. 8 CEDH constitue l'unique base qui permettrait de fonder le droit du recourant de faire venir ses enfants en Suisse. Le litige revient ainsi à déterminer si, sous l'angle de cette seule disposition, il se justifie d'octroyer aux enfants du recourant une autorisation de séjour au titre du regroupement familial.
4.1 L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145, 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Pour autant, les liens familiaux ne sauraient conférer de manière absolue, en vertu de l'art. 8 CEDH, un droit d'entrée et de séjour. Ainsi, lorsqu'un étranger a lui-même pris la décision de quitter sa famille pour aller vivre dans un autre Etat, ce dernier ne manque pas d'emblée à ses obligations de respecter la vie familiale s'il n'autorise pas la venue des proches du ressortissant étranger ou qu'il la subordonne à certaines conditions (arrêt 2C_508/2009 du 20 mai 2010 consid. 4.1, avec renvoi à Frowein/ Peukert, EMRK-Kommentar, 3e éd., 2009, no 40 ad art. 8 CEDH p. 309).
4.2 Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH est possible aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH. La question de savoir si, dans un cas d'espèce, les autorités de police des étrangers sont tenues d'accorder une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH doit être résolue sur la base d'une pesée des intérêts publics et privés en présence (ATF 133 II 6 consid. 5.5 p. 23 avec l'indication des circonstances à prendre en considération; ATF 130 II 281 consid. 4.1 p. 290; 122 II 1 consid. 2 p. 5/6; 120 Ib 22 consid. 4a p. 25).
Dans la pesée des intérêts, il convient de tenir compte notamment des exigences auxquelles le droit interne soumet le regroupement familial, qui valent aussi sous l'angle de l'art. 8 CEDH (cf. ATF 133 II 6 consid. 3.1 p. 10). La jurisprudence rendue sous l'empire de l'ancienne loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers, applicable en l'espèce, distingue selon que les parents font ménage commun ou qu'ils sont séparés ou divorcés, l'un d'eux se trouvant en Suisse et l'autre à l'étranger avec les enfants (regroupement familial partiel). Dans cette dernière situation, il n'existe pas un droit inconditionnel de faire venir auprès du parent établi en Suisse des enfants qui ont grandi à l'étranger dans le giron de l'autre parent. La reconnaissance d'un droit au regroupement familial suppose que des circonstances importantes d'ordre familial rendent nécessaire la venue des enfants en Suisse, comme par exemple une modification des possibilités de leur prise en charge à l'étranger (ATF 133 II 6 consid. 3.1 p. 9 s.; 129 II 11 consid. 3.1.1 à 3.1.3 p. 14 s. et les références). Tel n'est pas le cas lorsqu'il existe sur place des solutions alternatives concernant leur prise en charge éducative, qui correspondent mieux à leur situation et à leurs besoins spécifiques, dans la mesure où elles permettent d'éviter de les déraciner en les coupant de leur environnement et de leur réseau social. L'absence de solutions alternatives de prise en charge dans le pays d'origine doit être d'autant mieux établie que les enfants sont âgés et que leur intégration en Suisse s'annonce difficile (ATF 133 II 6 consid. 3.1.2 p. 11 s., consid. 5.3 p. 19 s.; 129 II 11 consid. 3.3.2 p. 16; arrêts 2C_606/2009 du 17 mars 2010 consid. 2.1; 2C_624/2009 du 5 février 2010 consid. 2.1).
5. 5.1 Le recourant fait valoir que lorsqu'il a quitté le Kosovo pour la Suisse, à la fin 2006, il a laissé ses enfants, dont il a seul la garde, dans la famille de son frère. Il s'agissait là d'une solution temporaire, car son frère est lui-même père de quatre enfants et il était déjà malade à l'époque. Or, son état de santé se serait encore péjoré dans l'intervalle, de sorte que les enfants du recourant ne pourraient demeurer chez lui. Il n'y aurait ainsi pas de solution alternative au regroupement sollicité, un placement des enfants chez leur mère n'entrant pas non plus en considération. Le recourant relève en outre qu'il a déposé la demande de regroupement familial sans tarder, environ six mois après avoir obtenu lui-même l'autorisation de séjour; la durée de la séparation à compter du dépôt de la demande serait due à la procédure de regroupement et ne lui serait pas imputable. Il fait aussi valoir qu'il est très bien intégré et qu'avec son épouse de nationalité suisse ils sont en mesure, culturellement et matériellement, d'accueillir ses enfants de manière à leur donner de très bonnes chances d'intégration.
5.2 Selon l'état de fait établi par l'autorité précédente, qui lie le Tribunal de céans (cf. consid. 3 ci-dessus), les problèmes de santé du frère du recourant remontent à 2005, année durant laquelle celui-ci a subi un infarctus. Malgré cela, les enfants du recourant, qui vivaient dans la famille de leur oncle depuis 2002, ont continué de vivre sous le même toit. Pour ce qui est de l'état de santé actuel du frère du recourant, l'autorité précédente a retenu qu'il "reste visiblement stable" (décision attaquée, consid. 2c p. 7). Le recourant allègue une péjoration de l'état de santé de son frère, en se référant à un certificat médical établi le 8 juin 2009 à Gjakove (Kosovo) par un médecin spécialiste en médecine interne ainsi qu'à sa transcription en allemand, pièces qui ont été produites devant l'autorité précédente. Dans le document en question, le médecin relève que le patient a des troubles permanents avec aggravation de son état et recommande de procéder à un examen cardiologique complet. Or, le recourant n'indique pas que son frère se serait soumis à un tel examen ni quels en auraient été les résultats. Quoi qu'il en soit, l'état de santé du frère du recourant n'est pas seul déterminant: B._, C._ et D._ vivent dans la famille de celui-ci qui comprend aussi son épouse ainsi que leurs quatre enfants, le recourant pourvoit depuis la Suisse à l'entretien de ses enfants par une aide financière et ces derniers, âgés de respectivement (environ) dix-sept, quinze et treize ans, deviennent de plus en plus autonomes, ce qui décharge d'autant leur famille d'accueil.
Dans ces conditions, on ne saurait admettre l'existence de circonstances importantes d'ordre familial imposant que B._, C._ et D._ viennent en Suisse. Il y a au contraire lieu de considérer que ceux-ci peuvent continuer de vivre dans la famille de leur oncle et qu'il existe ainsi une solution alternative de prise en charge dans leur pays d'origine. Cela vaut d'autant plus que, comme indiqué plus haut (consid. 4.2), la jurisprudence soumet la preuve de l'absence d'une telle solution alternative à des exigences accrues, lorsque, comme en l'espèce, les enfants sont déjà relativement grands - B._ est même proche de la majorité - et que leur intégration en Suisse n'irait pas sans difficultés.
A cela s'ajoute que la venue en Suisse de B._, C._ et D._ conduirait à les séparer de leur soeur aînée A._, ce qui, dans la pesée des intérêts, n'est pas en faveur des conclusions du recourant.
Ainsi, le refus par l'autorité précédente de reconnaître un droit au regroupement familial et d'octroyer aux enfants du recourant à ce titre une autorisation de séjour n'est pas contraire à l'art. 8 CEDH.
6. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Des frais judiciaires de 2'000 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et des migrants et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 29 juin 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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