Sachverhalt:
A. Der 1970 geborene S._ war seit dem 1. Januar 2003 als Verkaufsleiter in der Firma X._ GmbH tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 8. Januar 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Renault 19 fuhr innerorts ins Heck des von ihm gelenkten und vor einer Ampel angehaltenen Audi A6. Wegen auftretender Schmerzen im Nackenbereich begab sich S._ noch am Unfalltag zur Untersuchung ins Spital Y._. Dessen Ärzte diagnostizierten eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Der Hausarzt bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfall. Seither geht der Versicherte keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die Allianz richtete Taggelder aus und gewährte Heilbehandlung. Es folgten verschiedene medizinische Abklärungen, wobei mit MR-Untersuchung vom 8. Mai 2003 eine Diskushernie auf Höhe C3/4 festgestellt wurde. Mit Verfügung vom 23. März 2004 stellte der Unfallversicherer die Leistungen mit sofortiger Wirkung ein. Daran hielt er auf die von S._ und dessen Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest. Zur Begründung führte die Allianz aus, soweit die noch bestehenden Beschwerden mit der Diskushernie zu erklären seien, fehle es an der natürlichen, bezüglich der restlichen, objektiv nicht ausgewiesenen Beschwerden an der adäquaten Unfallkausalität (Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2004).
B. S._ erhob Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess diese mit Entscheid vom 31. August 2005 mit der Begründung, die Allianz habe den adäquaten Kausalzusammenhang zu früh geprüft, gut und bejahte eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute Teil des Bundesgerichts) hob diesen Entscheid auf. Es bejahte den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie die Adäquanz prüfe und über die Leistungsansprüche materiell urteile (Urteil U 106/06 vom 5. Oktober 2006).
Mit Entscheid vom 28. März 2007 hiess das Kantonsgericht die Beschwerde erneut gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2004 auf und verpflichtete die Allianz, die Versicherungsleistungen über den 23. März 2004 hinaus zu gewähren.
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid vom 28. März 2007 sei aufzuheben.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf die mit BGE 134 V 109 vorgenommene Präzisierung der Schleudertrauma-Praxis.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdegegner aus dem Unfall vom 8. Januar 2003 über den 23. März 2004 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dabei ist umstritten, ob der Unfall in einem rechtserheblichen Zusammenhang zu den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden steht.
Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind in den bisher in dieser Sache ergangenen Entscheiden zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2. Die Vorinstanz hat die natürliche und die adäquate Unfallkausalität der noch bestehenden gesundheitlichen Beeinträchtigung bejaht. Bei der Kausalitätsprüfung hat sie unterschieden zwischen Beschwerden aus der cervikalen Diskushernie einerseits und aus der erlittenen HWS-Distorsion anderseits.
2.1 Bezüglich der Bandscheibenproblematik hat das kantonale Gericht erwogen, die Diskushernie habe zwar vorbestanden, sei aber durch den Unfall richtunggebend verschlimmert worden. Somit sei die Diskushernie für einen Teil der aktuellen Beschwerden nach wie vor kausal. Da demnach ein organisches Substrat, nämlich die Diskushernie, für diese Beschwerden vorliege, sei der adäquate Kausalzusammenhang ohne weiteres mit dem natürlichen Kausalzusammenhang zu bejahen. Die Allianz habe daher für die durch die Diskushernie verursachten Beschwerden aufzukommen.
Die Beschwerde führende Allianz wendet namentlich ein, der Schluss von der vorbestandenen und damit unfallfremden Diskushernie auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge sei nicht zulässig. Da keine solche Unfallfolge vorliege, welche Beschwerden im Bereich der betreffenden Bandscheibe zu erklären vermöge, habe eine besondere Adäquanzprüfung stattzufinden.
2.2 Es entspricht im Bereich des Unfallversicherungsrechts einer medizinischen Erfahrungstatsache, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192 und Nr. U 378 S. 190; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45). Im vorliegenden Fall trifft dies nicht zu; die festgestellte cervikale Diskushernie bestand unbestrittenermassen schon vor dem Unfall.
Die Leistungspflicht des Unfallversicherers erfasst auch die Beeinträchtigung durch Beschwerden, welche aus einer unfallbedingten (vorübergehenden oder richtunggebenden) Verschlimmerung einer vorbestandenen Diskushernie herrühren (RKUV 2000 Nr. U 378 S. 190, U 149/99; Urteil 8C_677/2007 vom 4. Juli 2008, E. 2.1 und 2.3 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008, E. 4.1 mit Hinweisen). Wie bei jedem Gesundheitsschaden setzt dies aber nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Unfallereignis voraus. Dabei besteht die anspruchsbegründende gesundheitliche Beeinträchtigung entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht in der unfallfremden Diskushernie, sondern in deren unfallbedingten Verschlimmerung. Die Diskushernie kann daher auch nicht als organisches Substrat betrachtet werden, welches gestatten würde, den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Beschwerden und dem Unfall ohne besondere Prüfung zu bejahen. Hiefür müsste vielmehr die natürlich unfallkausale Verschlimmerung selber organisch objektiv ausgewiesen sein. Daran ändert nichts, dass die Diskushernie als gesundheitlicher Vorzustand notwendige Voraussetzung der gesundheitlichen Verschlimmerung bildet.
2.3 Dass der Unfall vom 8. Januar 2003 zu einer Verschlimmerung der vorbestandenen Diskushernie geführt hat, ist nach Lage der medizinischen Akten organisch nicht objektiv ausgewiesen. Dies schliesst zwar nicht aus, eine durch den Unfall bewirkte Verschlimmerung des Bandscheibenschadens als natürlich unfallkausale Ursache der bestehenden Beschwerden anzunehmen, wie dies die Vorinstanz getan hat. Der adäquate Kausalzusammenhang kann indessen nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden. Insofern verhält es sich nicht anders, als bei der ebenfalls diagnostizierten, unbestrittenermassen natürlich unfallkausalen HWS-Distorsion, für welche ebenfalls kein organisches Substrat gefunden werden konnte.
2.4 In Bezug auf die durch die erlittene HWS-Distorsion hervorgerufenen Beschwerden ist der adäquate Kausalzusammenhang unstreitig nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen. Es liesse sich fragen, ob die Verschlimmerung der Diskushernie unabhängig von der besagten HWS-Verletzung zu betrachten und daher adäquanzrechtlich nach den bei psychischen Fehlentwicklungen geltenden Grundsätzen zu beurteilen wäre. Dies muss aber nicht abschliessend beantwortet werden, ist doch der adäquate Kausalzusammenhang auch dann zu verneinen, wenn er gesamthaft nach der - für die versicherte Person in der Regel und jedenfalls hier günstigeren - Schleudertrauma-Praxis beurteilt wird. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
2.4 In Bezug auf die durch die erlittene HWS-Distorsion hervorgerufenen Beschwerden ist der adäquate Kausalzusammenhang unstreitig nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen. Es liesse sich fragen, ob die Verschlimmerung der Diskushernie unabhängig von der besagten HWS-Verletzung zu betrachten und daher adäquanzrechtlich nach den bei psychischen Fehlentwicklungen geltenden Grundsätzen zu beurteilen wäre. Dies muss aber nicht abschliessend beantwortet werden, ist doch der adäquate Kausalzusammenhang auch dann zu verneinen, wenn er gesamthaft nach der - für die versicherte Person in der Regel und jedenfalls hier günstigeren - Schleudertrauma-Praxis beurteilt wird. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
2.5 2.5.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Dieser Grundsatz, den das Bundesgericht jüngst in Bezug auf die Adäquanzbeurteilung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall bestätigt hat (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1), gilt auch bei Anwendung der Schleudertrauma-Praxis (Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 8. Januar 2003 als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Das ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes und im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei einfachen Auffahrunfällen (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86, U 339/06, E. 5.2; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04, E. 5.1.2 mit Hinweisen) richtig und auch nicht umstritten.
Von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten demnach entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffälliger Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
2.5.2 Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft. Die (durch BGE 134 V 109 nicht veränderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, hat es verneint. Das ist zu Recht nicht umstritten. Die Vorinstanz hat sodann erwogen, die Kriterien der körperlichen Dauerschmerzen (recte: Dauerbeschwerden; vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2 S. 127, 117 V 359 E. 6a S. 367), des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen sowie des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit seien erfüllt. Ob dies auch für das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung gelte, könne offen bleiben, da die Adäquanz ohnedies zu bejahen sei.
Der Beschwerdegegner erachtet im Wesentlichen dieselben Kriterien, und zwar in der früheren wie in der mit BGE 134 V 109 modifizierten Fassung für gegeben. Demgegenüber vertritt die Allianz die Auffassung, von den Kriterien in der nunmehr massgeblichen Fassung könne höchstens, und auch nur ansatzweise, das der erheblichen Beschwerden bejaht werden.
2.5.3 Nach Lage der Akten war der Beschwerdegegner im Anschluss an den Unfall zunächst in hausärztlicher Behandlung. Es folgten vier bis fünf Monate Physiotherapie. Sodann fanden vereinzelte medizinische Abklärungen statt. Das genügt nicht, um das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung zu bejahen. Dies gilt auch dann, wenn die im weiteren, allerdings erst nach dem die zeitliche Grenze der gerichtliche Überprüfungsbefugnis bildenden (BGE 130 V 445 E. 1.2 S. 446 mit Hinweisen) Erlass des Einspracheentscheides vom 21. Dezember 2004, erfolgte stationäre Behandlung mitberücksichtigt wird.
Ebenfalls nicht erfüllt ist das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen. Die Vorinstanz ist diesbezüglich zu einem anderen Ergebnis gelangt, weil einerseits das Vorhandensein einer Diskushernie eine Komplikation bedeute und anderseits die Allianz eine stationäre medizinische Behandlung abgelehnt habe. Eine vorbestehende Diskushernie begründet indessen wie jede andere vorbestehende Gesundheitsschädigung keine Komplikation im Sinne dieses Kriteriums. Und es trifft zwar zu, dass der Unfallversicherer die von ärztlicher Seite empfohlene stationäre Behandlung abgelehnt hat. Der Versicherte ist dann aber doch in den Genuss dieser Behandlung gelangt, wenn auch nicht auf Kosten der Allianz. Dass der Verzug bei der Durchführung der Behandlung den Heilungsverlauf erschwert oder zu erheblichen Komplikationen geführt hat, ist unwahrscheinlich. Namentlich kann entgegen der im angefochtenen Entscheid vertretenen und vom Beschwerdegegner geteilten Auffassung nicht davon ausgegangen werden, mit einer früheren Behandlung hätte eine Chronifizierung von Beschwerden verhindert werden können.
Das bisherige Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit wird von der Vorinstanz unter Hinweis auf die ärztlichen Atteste bejaht. Von einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesenen Anstrengungen gemäss neuer Umschreibung kann aber nicht gesprochen werden. Namentlich unternahm der Versicherte keine Anstrengungen, um sich wieder in den Arbeitsprozess einzugliedern, obwohl von ärztlicher Seite verschiedentlich eine zumindest teilweise Arbeitsfähigkeit bestätigt wurde. Und wenn der Gesundheitszustand die Wiederaufnahme der bisherigen Tätigkeit aufgrund der damit verbundenen zahlreichen Autofahrten erschwerte, hätten sich die Anstrengungen auch auf andere, geeignetere Berufe erstrecken müssen (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 130).
Ob das verbleibende Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) erfüllt ist, erscheint eher zweifelhaft, muss aber nicht abschliessend geprüft werden. Es liegt jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Damit wäre auch bei seiner Bejahung der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden nicht gegeben, weshalb die Allianz ihre Leistungspflicht zu Recht verneint hat. Das führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
3. Die Gerichtskosten trägt der Beschwerdegegner als unterliegende Partei (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Allianz hat, da als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben handelnd, entgegen ihrem Antrag und ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; BGE 126 V 143 E. 4a S. 150; Urteil 8C_369/2007 vom 6. Mai 2008, E. 5.2).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 28. März 2007 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz