Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene M._ war als Bäcker/Konditor in der Firma A._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 13. April 2000 wurde an der Klinik für Rheumatologie und klinische Immunologie/Allergologie des Spitals B._ ein Asthma bronchiale bei Nikotinabusus und Sensibilisierung auf Roggen- und Weizenmehl, 7 Getreidesorten, Alpha-Amylase, sowie grenzwertiger Sensibilisierung auf Vollkorn- und Maismehl, Bäckereistaub und Gluten diagnostiziert. Hierauf erklärte die SUVA den Versicherten mit rechtskräftiger Verfügung vom 29. August 2000 für gesundheitsbedingt nicht geeignet, die Tätigkeit eines Bäcker/Konditors auszuüben. Eine von der Invalidenversicherung (IV) in die Wege geleitete, am 28. Mai 2001 begonnene Umschulung zum polymechanischen Mitarbeiter in der Firma H._ musste im Herbst 2001 wegen gesundheitlichen Beschwerden abgebrochen werden. Nach einer am 29. Juli 2002 von der IV verfügten dreimonatigen Abklärung in der Behindertenwerkstätte konnte M._ dort eine Erwerbstätigkeit als Chauffeur für Kleinlastwagen aufnehmen. Am 2. Juni 2004 sprach die SUVA dem Versicherten für den Zeitraum 1. Januar 2001 bis 31. Dezember 2004 Übergangsentschädigungsleistungen von Fr. 54'819.35 zu. Aufgrund des von M._ am 27. Juli 2004 bei der SUVA gestellten Begehrens um eine UVG-Invalidenrente wurde eine fachärztliche Begutachtung bei Dr. med. E._, Spezialarzt für Innere Medizin und Lungenkrankheiten FMH, veranlasst. Dieser gelangte gemäss Expertise vom 29. Oktober 2004 zum Ergebnis, für Arbeiten in einer lufthygienisch nicht stark belasteten Umgebung bestehe rein aufgrund der Lungenerkrankung bzw. der vorliegenden Lungenfunktion eine normale Arbeitsfähigkeit. Mit Verfügung vom 25. Juli 2005 eröffnete die SUVA M._, die Voraussetzungen für die Gewährung von Rentenleistungen seien nicht erfüllt, weil kein die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigender Gesundheitsschaden vorliege. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 14. November 2005).
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 22. Januar 2007 ab.
C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde - recte: Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - führen mit dem Rechtsbegehren, ihm sei ab 1. Januar 2005 eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 22 % zuzüglich gesetzlichem Verzugszins seit wann rechtens zuzusprechen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Da der Entscheid der Vorinstanz am 22. Januar 2007 und somit nach Inkrafttreten des Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) erging, ist dieses anwendbar. Mit dem BGG wurde das bisherige Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde durch die in Art. 82 ff. BGG geregelte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ersetzt (Ulrich Meyer, Der Einfluss des BGG auf die Sozialrechtspflege, in: SZS 2007 S. 222 ff., S. 224). Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels schadet indessen nicht (BGE 133 I 308 E. 4.1 S. 314). Dieses ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Im Rahmen des Beschwerdeverfahrens kann dabei auch jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden (Art. 97 Abs. 2 BGG).
2. Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden, als die Zusprechung von Verzugszins verlangt wird, bildete doch diese nicht Gegenstand des kantonalen Verfahrens.
3. Streitig ist, ob der Beschwerdeführer an einer Berufskrankheit leidet, welche den Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung begründet.
Das kantonale Gericht hat zunächst das Vorliegen einer Berufskrankheit geprüft. Im Weiteren hat es sich einlässlich und mittels einer historischen Auslegung unter Beizug von Gesetzesmaterialien mit der Frage der Rentenberechtigung einer von einer Nichteignungs-Verfügung betroffenen Person auseinandergesetzt. Beides kann indessen offen bleiben, da wie unten dargelegt wird, ein Rentenanspruch ohnehin mangels der erforderlichen Mindestinvalidität zu verneinen ist.
4. Die Umschulung zum polytechnischen Mitarbeiter in der Firma H._ AG musste wegen Rückengebrechen sowie Fussbeschwerden und mithin aus Gründen abgebrochen werden, die mit der Nichteignungs-Verfügung und einer allfälligen Berufskrankheit des Beschwerdeführers nichts zu tun haben (Bericht der IV-Stelle Bern vom 20. November 2001). Wenn der Versicherte wegen den genannten Leiden letztlich nur eine Tätigkeit als Chauffeur für Kleinlastwagen aufnehmen konnte, so entspricht das von ihm dort erzielte, gegenüber demjenigen eines polymechanischen Mitarbeiters niedrigere Gehalt nicht dem zumutbaren Invalideneinkommen, das für die Ermittlung des aufgrund einer möglichen Berufskrankheit gegebenen Invaliditätsgrades massgebend ist. Vielmehr ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer ohne die nicht mit der Berufskrankheit zusammenhängenden Leiden ein Einkommen erzielen könnte, das dem eines polymechanischen Mitarbeiters entspricht. Eine solche Tätigkeit wurde mit der Umschulungsmassnahme der IV anvisiert. Der Einwand des Beschwerdeführers, dass er seine Tätigkeit als Bäcker nicht wegen des Rückenleidens habe aufgeben müssen, führt zu keinem anderen Ergebnis, denn die Umschulungsmassnahme musste ja gerade wegen einer allfälligen Berufskrankheit eingeleitet werden. Nicht massgebend ist auch der während der Umschulungsmassnahme tatsächlich erzielte Verdienst von Fr. 4'800.-- pro Monat, da dieser nicht dem Lohn nach absolvierter Umschulung entspricht.
Nach der Umschulung vom 28. Mai 2001 bis 31. Mai 2003 hätte der Beschwerdeführer als polymechanischer Mitarbeiter in der Firma H._ AG Fr. 5200.-- im Monat (x 13) verdient. Für das Jahr 2004 wäre somit unter Berücksichtigung eines durchschnittlichen Nominallohnanstieges von 0,9 % (Die Volkswirtschaft, Heft 12/2007, S. 99 Tabelle B10.2) auf dem ab Juni 2003 in Aussicht gestellten, auf ein Jahr hochgerechneten Gehalt ein Invalideneinkommen von Fr. 68'208.40 (Fr. 5200.-- x 13 x 1.009) erzielbar gewesen. In Beziehung gesetzt zu dem zwischen den Parteien unbestrittenen Valideneinkommen von Fr. 74'700.-- ergibt sich ein Invaliditätsgrad von gerundet (BGE 131 V 121) 9 %. Dieser Wert liegt unter dem gemäss Art. 18 Abs. 1 UVG für eine Rentenberechtigung mindestens erforderlichen Invaliditätsgrad von 10 %.
5. Selbst wenn das von der H._ AG nach Abschluss der Umschulungsmassnahme in Aussicht gestellte Gehalt als zu wenig repräsentativ für die Bestimmung des Invalideneinkommens betrachtet würde, wäre auch bei Beizug der Tabellenlöhne gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) kein Invaliditätsgrad von 10 % gegeben. Nach erfolgter Umschulungsmassnahme zum polymechanischen Mitarbeiter wäre der Beschwerdeführer am ehesten im Maschinen- und Fahrzeugbau tätig gewesen. Im Anforderungsniveau 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) hätte er bei 40 Arbeitsstunden einen Monatslohn von Fr. 5862.-- erzielen können (LSE 2004, S. 53 Tabelle TA 1). Umgerechnet auf ein Jahr (x 12) sowie auf die durchschnittliche Wochenarbeitszeit im Jahr 2004 von 41,6 Stunden (Die Volkswirtschaft, Heft 12/2007, S. 98 Tabelle B9.2) ergibt sich ein Jahreslohn von Fr. 73'157.75 und ein Invaliditätsgrad von weit unter 10 %.
Der rentenberechtigende Mindestinvaliditätsgrad würde aber auch dann nicht erreicht, wenn nach erfolgter Umschulungsmassnahme von einer Tätigkeit in der Metallbe- und -verarbeitung auszugehen wäre. Der hiefür ausgewiesene Durchschnittslohn beträgt Fr. 5471.-- im Monat (LSE 2004, S. 53 Tabelle TA1, Anforderungsniveau 3). Die Umrechnung auf ein Jahr (x 12) und auf 41,6 Wochenarbeitsstunden führt zu einem Jahreseinkommen von Fr. 68'278.10 und zu einem Invaliditätsgrad von gerundet lediglich 9 %. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
6. Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz