Faits:
A. H._, né en 1954, a été victime d'un accident professionnel le 30 janvier 2003. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge le cas.
Par décision du 16 juin 2004, confirmée sur opposition le 3 janvier 2005, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à partir du 1er juillet 2004, tout en réservant son droit éventuel à des prestations au titre de l'assurance en cas de maladie professionnelle pour des troubles auditifs.
Saisi d'un recours, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais a annulé la décision sur opposition attaquée et renvoyé la cause à la CNA pour nouvelle décision sur le droit de l'assuré à des prestations au-delà du 30 juin 2004, après complément d'instruction éventuel (jugement du 16 octobre 2006).
Après avoir requis des renseignements complémentaires, la CNA a informé l'assuré, le 11 avril 2007, qu'elle reprenait le versement d'une indemnité journalière à partir du 1er juillet 2004 à raison d'une incapacité de travail de 50 % jusqu'au 30 avril 2007 et de 30 % dès le 1er mai suivant. Par ailleurs, elle a confié une expertise aux médecins du Centre X._, lesquels ont déposé leur rapport le 20 décembre 2007.
Par décision du 13 mars 2008, confirmée sur opposition le 19 mai suivant, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à des prestations (frais médicaux et indemnité journalière) à partir du 1er avril 2008 et nié son droit à une rente d'invalidité, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais l'a rejeté dans la mesure où il était recevable (jugement du 23 mars 2009).
C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une indemnité journalière, d'une rente d'invalidité, d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, « respectivement » d'une allocation pour impotent et au remboursement du « dommage supplémentaire ».
Considérant en droit:
1. 1.1 Le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (art. 42 al. 1 LTF). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit; il faut qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon lui, transgressées par l'autorité cantonale (cf. ATF 134 II 244 consid. 2.1 p. 245 s.; 134 V 53 consid. 3.3 p. 60).
Selon la jurisprudence, un mémoire de recours ne satisfait pas aux exigences minimales fixées à l'art. 42 al. 2 LTF lorsque sa motivation reprend mot pour mot l'argumentation déjà développée devant la juridiction inférieure et que, partant, le recourant ne discute pas les motifs de la décision entreprise et n'indique pas - même succinctement - en quoi ceux-ci méconnaissent le droit selon lui (ATF 134 II 244 consid. 2.3 p. 247).
1.2 En l'occurrence, le recourant reprend pratiquement mot pour mot aux chiffres 3.2 à 3.7 de la partie « motifs » (ch. III) de son mémoire de recours l'argumentation qu'il a déjà développée dans son écriture destinée à la juridiction cantonale (ch. 4.1 à 4.6 de la partie « moyens de droit » [ch. IV]). Dans cette mesure, le recours en matière de droit public ne satisfait pas aux conditions de motivation requises.
2. Cela étant, seuls deux griefs paraissent nouveaux.
2.1 Sous ch. 3.6 let. i de son mémoire, le recourant invoque un déni de justice en tant que la juridiction cantonale n'a pas statué sur son droit éventuel à une allocation pour impotent.
Ce grief est manifestement infondé. Par une décision du 18 juin 2008, la CNA a nié le droit de l'intéressé à une telle prestation. Celui-ci indique avoir fait opposition à cette décision le 26 juillet 2008 mais pas que la CNA aurait rendu une décision sur opposition contre laquelle il aurait recouru devant la juridiction cantonale. Dès lors, celle-ci n'avait pas à statuer sur le droit éventuel de l'assuré à une allocation pour impotent, laquelle a fait l'objet d'une procédure séparée.
2.2 Ce qui semble être également nouveau, c'est le grief tiré d'une violation de la maxime inquisitoire (ch. 3.1 du mémoire de recours).
Ce grief est à l'évidence mal fondé. La CNA et la juridiction cantonale pouvaient en effet s'appuyer sur le rapport d'expertise des médecins du Centre X._ du 20 décembre 2007. Certes, le recourant conteste ce rapport au motif qu'il « serait contradictoire au regard des autres expertises administrées au dossier ». Toutefois, il n'existe pas au dossier d'autres expertises qui examinent les troubles du recourant au moment déterminant. En effet, le rapport d'expertise de l'Hôpital Y._ (du 21 juin 2005) auquel se réfère le recourant - d'ailleurs d'une manière très vague - concerne la situation antérieure aux faits déterminants pour statuer sur le bien-fondé de la suppression des prestations d'assurance à compter du 1er avril 2008.
3. Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'apparaît pas critiquable. Le recours se révèle ainsi manifestement infondé et l'affaire doit être liquidée selon la procédure simplifiée prévue à l'art. 109 al. 2 let. a LTF.
Le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd