Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. xxxx 1924) ist seit 22. August 2005 gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB verbeiständet. Sie ist pflegebedürftig und lebt seit ihrer Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (21. Oktober 2010) bei ihrer Tochter Y._. Das Amt des Beistandes wird zurzeit von Z._, Mitarbeiterin der Vormundschaftsbehörde Winterthur, ausgeübt. Y._ ist mit der Amtsführung der Beiständin nicht einverstanden und möchte das Amt des Beistands übernehmen; X._ und Y._ wurden deswegen bei der Vormundschaftsbehörde Winterthur vorstellig.
A.b Am 18. Februar 2011 wies die Vormundschaftsbehörde Winterthur das Gesuch von X._ und Y._ um Wechsel des Beistandes ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde gestützt auf Art. 420 Abs. 2 ZGB von X._ und Y._ wies der Bezirksrat Winterthur (als untere Aufsichtsbehörde) mit Beschluss vom 24. Juni 2011 ab, soweit er darauf eintrat. Er belehrte X._ und Y._ dahingehend, dass gegen seinen Beschluss innert 10 Tagen seit dessen Zustellung beim Obergericht des Kantons Zürich schriftlich Berufung erhoben werden könne.
B. X._ und Y._ gelangten gegen diesen Beschluss mit fristgerecht eingereichter Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich mit den Begehren, es sei festzustellen, dass der Beschluss des Bezirksrats Winterthur vom 24. Juni 2011 eine falsche Rechtsmittelbelehrung enthalte. Statt der zehntägigen Berufungsfrist gemäss § 188 GOG/ZH sei gemäss Art. 311 ZPO die dreissigtägige Frist für anwendbar zu erklären (1). Gestützt darauf sei der Bezirksrat Winterthur anzuweisen, einen neuen Beschluss mit der berichtigten Rechtsmittelbelehrung und einer neuen Fristansetzung zu erlassen (2). Mit Urteil vom 28. Juli 2011 wies das Obergericht die "Beschwerde" ab.
C. X._ und Y._ (Beschwerdeführerinnen) haben gegen das obergerichtliche Urteil am 2. September 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Sie beantragen, das Urteil des Obergerichts wegen Verletzung von Bundesrecht und des rechtlichen Gehörs aufzuheben (1). Ferner sei das Obergericht anzuweisen, das Berufungsverfahren gegen den Beschluss des Bezirksrats vom 24. Juni 2011 gemäss Art. 311 ZPO wieder aufzunehmen und eine neue Frist von 30 Tagen für die Einreichung der begründeten Berufung anzusetzen (2). Sodann sei eine Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerinnen festzustellen, weil das Obergericht die falsche Fristenregelung (10 Tage statt 30 Tage) angewendet habe.
D. Mit Verfügung vom 6. September 2011 ist das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden. Einem Gesuch um Wiedererwägung dieser Verfügung ist am 3. Oktober 2011 nicht entsprochen worden. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 90 BGG) im Bereich der Beistandschaft und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerdeführerinnen haben am kantonalen Verfahren als Partei teilgenommen (Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG); zudem sind sie mit dem Vorwurf nicht durchgedrungen, der Bezirksrat habe mit Bezug auf die Rechtsmittelfrist in unzulässiger Weise kantonales Recht (§ 188 GOG/ZH) statt Bundesrecht (Art. 311 ZPO) angewendet. Sie sind somit durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
1.2 Die Beschwerdeführerinnen ersuchen um urteilsmässige Feststellung der Verletzung des rechtlichen Gehörs. Sie verlangen in erster Linie die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Ansetzung einer dem Bundesrecht entsprechenden Rechtsmittelfrist. Inwiefern nicht nur an der beantragten Anordnung, sondern zusätzlich an der verlangten urteilsmässigen Feststellung der Rechtsverletzung ein schutzwürdiges Interesse bestehen soll, legen sie nicht dar. Auf das Feststellungsbegehren ist nicht einzutreten.
2. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
Die Ausführungen der Beschwerdeführerinnen entsprechen den vorgenannten Anforderungen über weite Strecken nicht. Insbesondere wird nicht erörtert, inwiefern die Behebung der falschen Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte.
3. Das Obergericht hat im Wesentlichen erwogen, Entscheide der Bezirksräte in familienrechtlichen Angelegenheiten (Art. 90-456 ZGB) beschlügen öffentliches und nicht privates Recht und unterstünden demnach nicht der schweizerischen Zivilprozessordnung. Das Argument der Beschwerdeführerinnen, wonach Bundesrecht hier dem kantonalen Recht (Art. 188 GOG/ZH) vorgehe, verfange nicht. Vielmehr sei die Regelung der Rechtsmittel gegen Entscheide der Bezirksräte in familienrechtlichen Angelegenheiten dem kantonalen Recht vorbehalten und in den §§ 187 ff. GOG/ZH verwirklicht worden. Gemäss § 188 Abs. 1 GOG sei das Rechtsmittel der Beschwerde/Berufung innert 10 Tagen seit der schriftlichen Mitteilung des Entscheides der Rechtsmittelinstanz schriftlich einzureichen. Die Vorinstanz habe die Parteien dementsprechend belehrt; der angefochtene Entscheid sei nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführerinnen erachten auch vor Bundesgericht, bezirksrätliche Entscheide unterstünden als Privatrecht der schweizerischen Zivilprozessordnung (Art. 311 ZPO), weshalb die Rechtsmittelfrist nicht zehn, sondern dreissig Tage betrage. Sie rügen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), des Vorrangs des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BGG) sowie eine Verletzung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV).
3.1 Die Beschwerdeführerinnen beanstanden mit ihren Ausführungen nebst der Verletzung des Vorrangs des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV) und der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) im Ergebnis, ihnen sei im Widerspruch zum anwendbaren Bundesrecht die Rechtsmittelfrist gemäss Art. 311 ZPO verkürzt worden. Entscheidet eine gerichtliche Instanz vor Ablauf der gesetzlichen Rechtsmittelfrist, so kann dies unter bestimmten Voraussetzungen den Anspruch des Rechtsmittelklägers auf rechtliches Gehör verletzen (BGE 112 Ia 1). Mit den anderen Rügen richten sich die Beschwerdeführerinnen im Grunde genommen ebenfalls gegen eine unerlaubte Rechtsmittelfristverkürzung, sodass ihnen im konkreten Fall nebst der beanstandeten Verletzung des rechtlichen Gehörs keine selbstständige Bedeutung zukommt. Die Eingabe der Beschwerdeführerinnen ist somit ausschliesslich im Lichte von Art. 29 Abs. 2 BV zu prüfen.
3.2 Nach Ansicht des Obergerichts handelt es sich bei der strittigen Frage um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Es ist nicht von der Hand zu weisen, dass die Bestimmungen über das Vormundschaftsrecht und die fürsorgerische Freiheitsentziehung grundsätzlich als öffentliches Recht zu bezeichnen wären. Ebenso anerkannt ist indes, dass die entsprechenden Normen aufgrund der Zivilrechtskompetenz des Bundes erlassen wurden (Art. 64 aBV; Art. 122 BV; ARNOLD MARTI, Zürcher Kommentar 3. Aufl. 1998 N. 96 Vorbem. zu Art. 5 und 6 ZGB); sie stehen in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht und dienen seiner Verwirklichung, weshalb sie auch als ergänzendes bzw. formelles Bundeszivilrecht bezeichnet werden und nach traditioneller Betrachtungsweise zur Zivilrechtsgesetzgebung gehören (CHRISTOPH LEUENBERGER, Die schweizerische Bundesverfassung, Kommentar, 2. Aufl. 2008, N.11 zu Art. 122 BV; vgl. auch AUBERT/MAHON, Petit Commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 5 zu Art. 122 BV). Dem trägt auch das Bundesgerichtsgesetz (BGG; SR 173.110) Rechnung, indem es für die Anfechtung von Entscheiden über die Errichtung einer Beirat- oder Beistandschaft beim Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen und nicht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) vorsieht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Von daher lässt sich die Anwendbarkeit der Zivilprozessordnung auf die entsprechenden Verfahren nicht mit dem Hinweis auf den öffentlich-rechtlichen Charakter der Angelegenheit verneinen.
3.3 Entscheidend ist vielmehr, dass die Zivilprozessordnung lediglich auf Verfahren für gerichtliche Anordnungen der freiwilligen Gerichtsbarkeit anwendbar ist (Art. 1 lit. b ZPO). Sie gilt mit anderen Worten nicht für Verfahren, die - wie im konkreten Fall - in die Zuständigkeit einer kantonalen Verwaltungsbehörde (der Vormundschaftsbehörde) fallen (SUTTER-SOMM/KLINGLER, Kommentar zur schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 6 zu Art. 1 ZPO), wobei den Kantonen allerdings im Rahmen des Zivilgesetzbuches unbenommen bleibt, auch solche Verfahren der ZPO zu unterstellen (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7257). Das ab dem 1. Januar 2013 geltende Erwachsenenschutzrecht enthält in den Art. 443 bis 450e eigene Verfahrensvorschriften und erklärt in Art. 450f die Bestimmungen der Zivilprozessordnung "im Übrigen" für sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes vorsehen. Sodann stellt das geltende schweizerische Zivilgesetzbuch ebenso Verfahrensnormen (wie z.B. Art. 420 ZGB) auf, die bis zum 31. Dezember 2012 weiter gelten. Die Lehre geht davon aus, dass die Bestellung der Beistandschaft gemäss Art. 392 und 393 ZGB mit der Vormundschaftsbeschwerde (Art. 420 ZGB) angefochten werden kann (DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 4. Aufl. 2001, S. 422 Rz. 1127). Folgerichtig darf angenommen werden, dass auch die Weigerung der Vormundschaftsbehörde, dem beantragten Wechsel des Beistands zuzustimmen, mit diesem Rechtsmittel anzufechten ist. Mit Bezug auf den hier ausschliesslich strittigen Umfang der Rechtsmittelfrist sieht das Bundesrecht in Art. 420 Abs. 2 ZGB vor, dass gegen Beschlüsse der Vormundschaftsbehörde binnen zehn Tagen nach deren Mitteilung bei der Aufsichtsbehörde Beschwerde geführt werden kann. Die darin erwähnte zehntägige Frist ist nach herrschender Auffassung auch auf Beschwerden gegen Entscheide der unteren Aufsichtsbehörde anwendbar, sofern der Kanton gestützt auf Art. 361 Abs. 2 ZGB ein solches Rechtsmittel vorsieht (THOMAS GEISER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 38 zu Art. 420 ZGB; ANDREAS SCHWARZ, Die Vormundschaftsbeschwerde Art. 420 ZGB, Diss. Zürich 1968, S. 111 f.). Gemäss Art. 75 EGZGB/ZH ist der Bezirksrat Aufsichtsbehörde erster Instanz; als Aufsichtsbehörde zweiter Instanz amtet die vom Regierungsrat bezeichnete Direktion (§ 44 Ziff. 9), wobei die Zuständigkeit des Obergerichts zur Behandlung von Rechtsmitteln ausdrücklich vorbehalten bleibt (§§ 50 und 187 ff. GOG/ZH). Gestützt auf diesen Vorbehalt entscheidet das Obergericht namentlich Rechtsmittel gegen familienrechtliche Entscheide des Bezirksrats in Familienrechtssachen gemäss den Art. 90-455 ZGB (§ 56b EGZGB/ZH; § 50 lit. a GOG/ZH).
3.4 Ergibt sich aber aus Art. 420 Abs. 2 ZGB und der gestützt auf Art. 361 Abs. 2 ZGB erlassenen kantonalen Ordnung, dass Entscheide der Bezirksräte in familienrechtlichen Angelegenheiten innert zehn Tagen an das Obergericht weitergezogen werden können, erweist sich der Vorwurf der Verweigerung des rechtlichen Gehörs als (materiell) unbegründet.
4. Die Beschwerdeführerinnen haben das Urteil der Vorinstanz nicht angefochten, soweit darin die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens ihrem Rechtsbeistand auferlegt worden sind. Dieser Punkt bleibt daher ungeprüft.
5. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG), wobei sie für die Kosten solidarisch haften (Art. 66 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden