Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene N._ war in der Administration der Firma M._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 9. November 2003 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Sie sass als Beifahrerin vorne in einem Mazda MPV. Dieser stand innerorts als hinterstes von drei vor einem Fussgängerstreifen wartenden Fahrzeugen. Ein nachfolgender VW Sharan prallte ins Heck des Mazda, der dadurch gegen den davor stehenden Hyundai Lantra geschoben wurde. Wegen danach aufgetretenen Beschwerden suchte N._ am folgenden Tag den Hausarzt auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 25. April 2007, die Leistungen würden auf den 30. April 2007 eingestellt. Zudem verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 9. November 2003. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 6. August 2007).
B. Die von N._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 20. Februar 2008 ab.
C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die SUVA anzuweisen, weiterhin und rückwirkend die gesetzlichen Leistungen zu erbringen sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 9. November 2003 über den 30. April 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen über den Leistungsanspruch bei Berufs- und Nichtberufsunfällen (Art. 6 Abs. 1 UVG; die in dieser Bestimmung ebenfalls geregelten Berufskrankheiten stehen hier und im Folgenden nicht zur Diskussion) und über den Unfallbegriff (Art. 4 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) im Allgemeinen (vgl. BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie nach der mit BGE 117 V 359 begründeten sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Beschwerden verbundenen Schleudertraumen der HWS, äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2, U 183/93) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) zur Anwendung gelangt. Darauf wird verwiesen. Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis präzisiert hat (BGE 134 V 109).
2. Das kantonale Gericht ist, wie bereits die SUVA, davon ausgegangen, die über den 30. April 2007 hinaus bestandenen Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 9. November 2003 zu erklären. Es hat sodann den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Beschwerden und dem Unfall nach der Schleudertrauma-Praxis geprüft und verneint. Mit dieser Begründung hat es den folgenlosen Fallabschluss durch die SUVA bestätigt.
3. Die Versicherte wendet zunächst ein, es bestehe ein Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV), über welchen die IV-Organe noch nicht entschieden hätten. Der Unfallversicherer hätte daher noch nicht die Adäquanz prüfen und den Fall abschliessen dürfen. Er sei demzufolge zu verpflichten, entweder rückwirkend weiterhin Taggeld zu leisten oder aber eine Übergangsrente auszurichten.
3. Die Versicherte wendet zunächst ein, es bestehe ein Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV), über welchen die IV-Organe noch nicht entschieden hätten. Der Unfallversicherer hätte daher noch nicht die Adäquanz prüfen und den Fall abschliessen dürfen. Er sei demzufolge zu verpflichten, entweder rückwirkend weiterhin Taggeld zu leisten oder aber eine Übergangsrente auszurichten.
3.1 3.1.1 In BGE 134 V 109 hat sich das Bundesgericht auch mit der Frage des Zeitpunktes des Fallabschlusses und des in diesem Zusammenhang verschiedentlich erhobenen Einwandes der verfrühten Adäquanzprüfung auseinandergesetzt. Es hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG und die dazu ergangene Rechtsprechung erwogen, dass der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der IV abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen).
3.1.2 Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwarten liess. Sodann waren nach Lage der Akten keine Eingliederungsmassnahmen der IV im Gange. Entsprechendes wird auch nicht behauptet. Geltend gemacht wird vielmehr, für die Einstellung der vorübergehenden Leistungen hätte ein Entscheid der IV über Eingliederungsmassnahmen abgewartet werden müssen. Das trifft nicht zu. Wird der Entscheid der IV über die (berufliche) Eingliederung erst später gefällt, kann dies vielmehr Anlass für eine das Taggeld ablösende Übergangsrente nach Art. 19 Abs. 3 UVG in Verbindung mit Art. 30 UVV bilden. Die Übergangsrente ist (vorläufiges) Surrogat der allenfalls folgenden (definitiven) Invalidenrente nach Art. 18 ff. UVG. Beim Entscheid über die Übergangsrente ist der Unfallversicherer, nicht anders als beim Entscheid über die definitive Invalidenrente, im Lichte von BGE 134 V 109 gehalten, auch die Adäquanzfrage zu prüfen. Darauf wird nachfolgend einzugehen sein. Hier hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass die SUVA zu Recht das beschwerdeweise beantragte Taggeld eingestellt hat.
3.1.2 Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwarten liess. Sodann waren nach Lage der Akten keine Eingliederungsmassnahmen der IV im Gange. Entsprechendes wird auch nicht behauptet. Geltend gemacht wird vielmehr, für die Einstellung der vorübergehenden Leistungen hätte ein Entscheid der IV über Eingliederungsmassnahmen abgewartet werden müssen. Das trifft nicht zu. Wird der Entscheid der IV über die (berufliche) Eingliederung erst später gefällt, kann dies vielmehr Anlass für eine das Taggeld ablösende Übergangsrente nach Art. 19 Abs. 3 UVG in Verbindung mit Art. 30 UVV bilden. Die Übergangsrente ist (vorläufiges) Surrogat der allenfalls folgenden (definitiven) Invalidenrente nach Art. 18 ff. UVG. Beim Entscheid über die Übergangsrente ist der Unfallversicherer, nicht anders als beim Entscheid über die definitive Invalidenrente, im Lichte von BGE 134 V 109 gehalten, auch die Adäquanzfrage zu prüfen. Darauf wird nachfolgend einzugehen sein. Hier hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass die SUVA zu Recht das beschwerdeweise beantragte Taggeld eingestellt hat.
3.2 3.2.1 Der von der Versicherten alternativ geltend gemachte Anspruch auf eine Übergangsrente knüpft wie erwähnt ebenfalls an Eingliederungsmassnahmen der IV an: Gemäss Art. 19 Abs. 3 UVG erlässt der Bundesrat "nähere Vorschriften über die Entstehung des Rentenanspruchs, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr zu erwarten ist, der Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung jedoch erst später gefällt wird." Gestützt auf diese Gesetzesvorschrift hat der Bundesrat in Art. 30 Abs. 1 UVV (in der seit 1. Januar 1998 geltenden Fassung; Abs. 2 der Bestimmung enthält eine hier nicht interessierende Regelung) Folgendes bestimmt: "Ist von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung mehr zu erwarten, wird jedoch der Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung erst später erlassen, wird vom Abschluss der ärztlichen Behandlung an vorübergehend eine Übergangsrente ausgerichtet; diese wird aufgrund der in diesem Zeitpunkt bestehenden Erwerbsunfähigkeit festgesetzt. Der Anspruch erlischt: a. beim Beginn des Anspruchs auf ein Taggeld der IV; b. mit dem negativen Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung; c. mit der Festsetzung der definitiven Rente."
3.2.2 Damit eine Übergangsrente nach Art. 19 Abs. 3 UVG ausgerichtet werden kann, muss der ausstehende Entscheid der IV über die berufliche Eingliederung aber Vorkehren beschlagen, welche einer Eingliederungsproblematik aufgrund eines unfallkausalen Gesundheitsschadens gelten. Ein Anspruch auf eine Übergangsrente ist daher jedenfalls dann zu verneinen, wenn kein unfallkausaler Gesundheitsschaden vorliegt oder, wie hier von der Vorinstanz entschieden, noch bestehende Beschwerden nicht mehr mit einer solchen Gesundheitsschädigung erklärt werden können. Diesfalls entfällt auch von vornherein ein Anspruch auf eine definitive Invalidenrente der Unfallversicherung, als deren vorübergehendes Surrogat die Übergangsrente gedacht ist.
Es gilt daher zu prüfen, ob das kantonale Gericht eine kausale Bedeutung der beim Unfall vom 9. November 2003 erlittenen Gesundheitsschädigung für die über den Fallabschluss hinaus noch bestandenen Beschwerden zu Recht verneint hat.
4. Die Beurteilung, wonach die persistierenden Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären sind (vgl. E. 2 hievor), ist nach Lage der medizinischen Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen und E. 9 Ingress S. 121 f.).
5. Dass der adäquate Kausalzusammenhang nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen ist, wie die Vorinstanz entschieden hat, ist nicht umstritten.
5.1 Für die Adäquanzprüfung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, U 2, 3 und 4/07; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat den Verkehrsunfall vom 9. November 2003 als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Diese, im angefochtenen Entscheid einlässlich begründete, Beurteilung ist nach Lage der Akten und im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei einfachen Auffahrkollisionen, einschliesslich Doppelkollisionen mit primärer Heckkollision und sekundärer Frontkollision (vgl. SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86 E. 5.2, U 339/06; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2 mit Hinweisen, U 380/04; Urteile 8C_687/2007 vom 26. August 2008 E. 5.1, 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 6.2 und 8C_51/2007 vom 20. November 2007 E. 4.3.1), nicht zu beanstanden. Die Versicherte wendet einzig ein, sie habe beim Unfall den Kopf nach links abgedreht gehalten. Das sei als erschwerender Umstand zu berücksichtigen. Gemäss dem Erhebungsblatt vom 7. Januar 2004 hatte die Beschwerdeführerin indessen zunächst angegeben, ihr sei nicht erinnerlich, wie sie den Kopf im Zeitpunkt des Unfalls gehalten habe, vermutlich geradeaus. Gemäss dem Dokumentationsbogen des Hausarztes vom 20. März 2004 hatte sie den Kopf gerade gehalten, evtl. leicht nach links gewendet. Auf jeden Fall ergeben sich aus den Akten keine zuverlässigen Hinweise, dass der Kopf deutlich und damit gegebenenfalls in relevanter Weise zur Seite gewendet war. Es kann daher auch offenbleiben, ob andernfalls dieser Gesichtspunkt nicht eher beim - nachfolgend behandelten - Adäquanzkriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 128 mit Hinweisen) zu berücksichtigen gewesen wäre.
5.2 Von den weiteren in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es liege bloss, und nicht in besonders ausgeprägter Weise, dasjenige der Dauerbeschwerden vor. Demgegenüber erachtet die Beschwerdeführerin insgesamt fünf Kriterien, wovon drei in besonders ausgeprägter Weise, als erfüllt. Dabei wird teilweise die Terminologie der Kriterienumschreibung nach älterer und neuerer Rechtsprechung vermischt. Massgebend ist die Fassung der Kriterien gemäss BGE 134 V 109.
5.2.1 Die (durch BGE 134 V 109 nicht geänderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, werden zu Recht nicht geltend gemacht.
Das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist ebenfalls nicht gegeben. Die für das Schleudertrauma typischen Beschwerden traten nicht in besonders schwerer, mithin das bei derartigen Verletzungen übliche Mass deutlich übertreffender Weise auf. Die von der Versicherten in diesem Zusammenhang erwähnten Gesichtspunkte der Arbeitsunfähigkeit und einer eingetretenen Chronifizierung der Beschwerden gestatten keine andere Betrachtungsweise. Sie sind nachfolgend bei den entsprechenden eigenständigen Kriterien zu berücksichtigen. Besondere Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können, liegen ebenfalls nicht vor. Die geltend gemachte, nach dem zuvor Gesagten (E. 4.2.1) höchstens leicht abgewandte Kopfstellung und die erfolgte Doppelkollision (vgl. Urteil 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 7.2.2) stellen keine solchen Umstände dar. Sodann hat sich die Versicherte neben dem Schleudertrauma keine erheblichen Verletzungen zugezogen, welche gegebenenfalls die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten (vgl. zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f. mit Hinweisen).
Es liegen auch kein schwieriger Heilungsverlauf oder erhebliche Komplikationen im Sinne des entsprechenden (unveränderten) Kriteriums vor. Die gesundheitliche Entwicklung nach dem Unfall unterscheidet sich nicht wesentlich von dem bei derartigen Verletzungen Üblichen. Besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben, liegen nicht vor (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.5, U 479/05; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_9/2008 vom 17. September 2008 E. 6.1.4). Persistierende Beschwerden trotz durchgeführter Behandlungen wie auch die eingetretene Arbeitsunfähigkeit stellen keine solchen Gründe dar (vgl. Urteile 8C_623/2007 vom 22. August 2008 E. 8.6 und 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008 E. 9.6.1).
5.2.2 Damit verbleiben drei Kriterien. Selbst wenn diese als erfüllt betrachtet würden, wäre keine Häufung gegeben, welche bei der gegebenen Unfallschwere gestattete, den adäquaten Kausalzusammenhang zu bejahen. Hiefür müsste demnach mindestens ein Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Dies trifft nach Lage der Akten nicht zu. Was die Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. In Bezug auf das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (früher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung) wird auf tägliche Übungen zu Hause, regelmässige Besuche beim Hausarzt und wöchentliche Therapietermine verwiesen. Dies genügt selbst dann nicht zur Bejahung der besonders ausgeprägten Weise, wenn auch die weiteren sich aus den Akten ergebenden Gesichtspunkte, wie die stationäre Rehabilitation von knapp einem Monat Dauer und die Zeiträume mit mehrfach wöchentlich durchgeführten Therapien mitberücksichtigt werden. Sodann übertreffen die aufgetretenen Schmerzen und die Beeinträchtigung, welche die Versicherte dadurch im Lebensalltag erfahren hat, das bei derartigen Verletzungen Übliche nicht in einem Masse, dass das Kriterium der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden) als in besonders ausgeprägter Weise erfüllt erscheint. Gleiches gilt in Bezug auf das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (früher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Zwar ist der Einsatz, den die Versicherte gezeigt hat, anerkennenswert. Mit Blick darauf, dass sie von ärztlicher Seite fast durchwegs als zumindest hälftig, über einen grösseren Zeitraum auch als voll leistungsfähig erachtet wurde, fehlt es aber an der notwendigen Erheblichkeit der Arbeitsunfähigkeit.
Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob alle drei Kriterien überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wären.
5.3 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 9. November 2003 und den noch bestehenden Beschwerden und damit die Leistungspflicht der SUVA zu Recht verneint. Das gilt auch in Bezug auf die geltend gemachte Übergangsrente.
6. Die Kosten des vorliegenden Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz