Faits:
A. L._ a requis le 2 mai 2006 et obtenu le 24 avril 2007 de l'Office de l'assurance-invalidité de la République et canton de Genève (ci-après: l'office AI) un quart de rente d'invalidité, avec effet au 2 mai 2005, en raison des séquelles partiellement incapacitantes (40%) d'un accident de la circulation routière survenu le 24 novembre 2003.
L'assurée a invoqué la péjoration de son état de santé et sollicité la révision de son droit à la rente le 4 septembre 2007. L'office AI n'est pas entré en matière sur la demande (décision du 18 décembre 2007). Sur recours de l'intéressée, concluant à l'octroi de trois-quarts de rente depuis le 1er septembre 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, depuis le 1er janvier 2011) a confirmé la décision de non-entrée en matière (jugement du 30 avril 2009). Saisi d'un recours de L._ contre ce jugement, le Tribunal fédéral l'a admis et a enjoint le tribunal cantonal d'analyser le bien-fondé de la décision entreprise à la lumière du rapport du 16 décembre 2008 de la doctoresse H._4 déposé devant lui le 13 février 2009 afin de réparer la violation du droit d'être entendu de l'assurée (arrêt du 1er mars 2010). Se référant au rapport médical mentionné, ainsi qu'à l'audition de son auteur, les premiers juges ont finalement admis le recours et renvoyé le dossier à l'administration afin qu'elle entre en matière sur la demande de révision de l'intéressée (jugement du 16 septembre 2010); ils ont estimé que celle-ci avait rendu plausible une aggravation de sa situation médicale.
L._ a demandé à plusieurs reprises à l'office AI d'exécuter le jugement cantonal et de lui accorder trois-quarts de rente fondés sur la capacité de travail constatée par la doctoresse H._ (40%). Il lui a d'abord été répondu que son cas faisait l'objet d'un examen par le Service médical régional de l'administration (SMR) puis qu'une évaluation médicale sous forme d'expertise était indispensable. L'assurée s'y est opposée. Elle considérait son dossier comme suffisamment instruit dès lors que le tribunal cantonal avait admis la valeur probante du rapport de la doctoresse H._. Les parties ont maintenu leurs positions respectives. L'expertise prévue le 26 avril 2011 a été annulée et, à défaut d'entente notamment sur la période devant faire l'objet de l'investigation médicale envisagée, n'était pas réagendée le 14 juillet 2011.
B. L'intéressée a saisi le tribunal cantonal d'un recours pour déni de justice le 20 octobre 2011. Son argumentation et ses conclusions portaient sur la condamnation de l'office AI à rendre, sans délai, une décision lui octroyant trois-quarts de rente à partir du 1er septembre 2007 (ch. 2) et à ouvrir, toujours sans tarder, une nouvelle procédure de révision avec mesures d'instruction destinées à éclaircir la seule question de la péjoration de l'état de santé depuis le mois de décembre 2010 (ch. 3). L'office AI a proposé le rejet du recours. L._ a retiré sa troisième conclusion, refusé de se soumettre à la nouvelle expertise, dont elle venait de recevoir communication, et requis une décision formelle et motivée sur la mise en oeuvre d'une telle mesure.
Les premiers juges ont admis le recours et invité l'administration à rendre sans délai une décision incidente concernant la mise en oeuvre de l'expertise contestée (jugement du 1er février 2012). Ils ont en substance relevé des lenteurs dans le traitement du dossier mais n'ont constaté un déni de justice que dans la mesure où l'office AI n'avait pas rendu la décision incidente mentionnée; ils ont en outre expliqué que leur précédent jugement se contentait d'ordonner à l'administration d'entrer en matière sur la demande de révision mais ne statuait pas sur le fond du litige contrairement à ce que soutenait l'assurée.
C. L'administration recourt contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation, concluant implicitement à ce qu'il soit constaté que les conditions d'un déni de justice n'étaient pas remplies.
Sous suite de frais et dépens, l'intéressée a conclu à l'irrecevabilité ou au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. L'office recourant entend contester le jugement cantonal qui, sous suite de dépens, lui renvoie le dossier pour qu'il rende une décision sur la mise en oeuvre d'une expertise. Il considère que son recours est recevable dès lors que, si la nouvelle décision administrative était rendue à la satisfaction de l'assurée, il ne disposerait alors d'aucune voie légale pour remettre en question les dépens fixés dans le jugement entrepris, ce qui serait constitutif d'un dommage irréparable et lui donnerait droit de critiquer la constatation par la juridiction cantonale d'un déni de justice.
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. notamment ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117).
2.2 Le recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
2.3 Un jugement cantonal renvoyant la cause à l'administration ne met pas fin à la procédure et constitue une décision incidente pouvant faire séparément l'objet d'un recours aux conditions prévues par l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 sv. et les références). Le Tribunal fédéral a considéré qu'un jugement cantonal, qui comme en l'occurrence constate un déni de justice et renvoie le dossier à l'office intimé pour qu'il rende sans délai une décision particulière, était une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF (arrêt 8C_308/2009 du 30 juillet 2009 consid. 2).
3. 3.1 Il s'agira donc d'examiner si le recours interjeté céans peut causer un préjudice irréparable ou si l'admission dudit recours est susceptible de conduire immédiatement à une décision finale, qui permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
3. 3.1 Il s'agira donc d'examiner si le recours interjeté céans peut causer un préjudice irréparable ou si l'admission dudit recours est susceptible de conduire immédiatement à une décision finale, qui permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
3.2 3.2.1 Lorsque comme en l'espèce une autorité judiciaire cantonale retourne le dossier à l'autorité inférieure pour nouvelle décision et fixe simultanément les frais et les dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle, elle rend une décision incidente sur le point principal (soit, la constatation d'un déni de justice) et un prononcé sur le point accessoire des frais et dépens, qui est également considéré comme une décision incidente (ATF 135 III 329 consid. 1.2 p. 331); celui-ci n'est pas de nature à causer un préjudice irréparable puisqu'il peut être attaqué avec le jugement final ou, si celui-ci n'est pas remis en cause, dès qu'il a été énoncé, nonobstant le libellé de la réserve formulée à l'art. 93 al. 3 LTF (ATF 135 III 329 consid. 1.2.2 p. 332 ss); il peut faire l'objet d'un recours immédiat seulement dans le cadre d'un recours contre la décision incidente sur le point principal, si une telle voie de droit est ouverte selon l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 135 III 329 consid. 1.2.1 p. 332).
3.2.2 Il résulte de ce qui précède que l'office recourant ne pouvait pas prétexter de sa condamnation au paiement des dépens pour invoquer un dommage irréparable et critiquer le point principal de la décision incidente. Le recours immédiat au Tribunal fédéral ne pouvait en l'espèce se justifier que si la constatation du déni de justice était susceptible d'engendrer un préjudice irréparable. Or, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il appartenait à l'administration, sous peine d'irrecevabilité, non seulement d'alléguer mais aussi d'établir que la décision incidente sur le point principal lui causait un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 sv.), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2); une telle argumentation fait totalement défaut en l'espèce. On ne voit en outre pas en quoi le fait de devoir rendre une décision (que ce soit sur la demande de révision ou sur la réalisation d'une expertise) qu'il sera de toute façon amené à prendre constituerait pour l'office recourant un préjudice irréparable.
3.3 On relèvera encore que l'art. 93 al. 1 let. b LTF - qui n'est du reste ni invoqué ni motivé - n'entre pas en ligne de compte puisque le renvoi des premiers juges n'est manifestement pas de nature à engendrer une procédure probatoire longue et coûteuse (ATF 134 III 426 consid. 1.3.2 p. 430 et les références).
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office recourant (art. 66 al. 1 LTF) qui versera à l'intimée une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge de l'office recourant.
3. L'office recourant versera à l'intimée la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton