Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der georgische Staatsangehörige X._, geb. 1968, wurde am 5. Februar 2004 im Kanton Bern in Ausschaffungshaft genommen. Die Haft wurde vom Haftrichter 3 des Haftgerichts III Bern-Mittelland am 9. Februar 2004 bestätigt. Das Bundesgericht wies die gegen den Haftbestätigungsentscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde am 22. März 2004 ab (Urteil 2A.155/2004). Der Haftrichter 3 des Haftgerichts III Bern-Mittelland lehnte am 5. April 2004 ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab; die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Bundesgericht blieb erfolglos (Urteil 2A.215/2004 vom 20. April 2004).
Nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung am 3. Mai 2004 verlängerte die Haftrichterin 7 des Haftgerichts III Bern-Mittelland die Ausschaffungshaft um drei Monate bis zum 5. August 2004 (schriftliche Ausfertigung des Entscheids vom 6. Mai 2004).
Mit in russischer Sprache verfasstem Schreiben vom 6. Mai (zur Post gegeben 7. Mai, Eingang beim Bundesgericht am 10. Mai) 2004, welches von Amtes wegen übersetzt worden ist (Eingang der Übersetzung beim Bundesgericht am 12. Mai 2004), äussert sich X._ aus seiner Sicht zu den Hintergründen seiner Anwesenheit in der Schweiz trotz abgewiesenem Asylgesuch und entsprechendem Wegweisungsentscheid sowie insbesondere zu seinem Gesundheitszustand. Er führt aus, es sei ihm möglichst rasch die Rückkehr in sein Heimatland zu ermöglichen und er wolle aus der Haft entlassen werden.
Die Eingabe ist als Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu betrachten. Das Haftgericht und der Migrationsdienst haben ihre Akten eingereicht und beantragen je Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich mit Schreiben in russischer Sprache vom 17. Mai (Eingang beim Bundesgericht 21. Mai) 2004 nochmals geäussert. Das Bundesamt für Flüchtlinge hat sich nicht vernehmen lassen.
Die Eingabe ist als Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu betrachten. Das Haftgericht und der Migrationsdienst haben ihre Akten eingereicht und beantragen je Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich mit Schreiben in russischer Sprache vom 17. Mai (Eingang beim Bundesgericht 21. Mai) 2004 nochmals geäussert. Das Bundesamt für Flüchtlinge hat sich nicht vernehmen lassen.
2. 2.1 Dass die allgemeinen Voraussetzungen für die Anordnung von Ausschaffungshaft gegeben sind, insbesondere ein Wegweisungsentscheid vorliegt, der von den Behörden angerufene Haftgrund erfüllt ist und auch die gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers dessen Hafterstehungsfähigkeit nicht grundsätzlich in Frage stellen, ist bereits in den vorne erwähnten zwei bundesgerichtlichen Urteilen genügend dargelegt worden (Urteile 2A.155/2004 vom 22. März 2004 E. 2.2 und 2A.215/2004 vom 20. April 2004 E. 2.1). Es kann auf die entsprechenden Erwägungen verwiesen werden, wobei einzig nochmals hervorzuheben ist, dass die angeblichen Zweifel des Beschwerdeführers über die Massgeblichkeit der Ausreisepflicht nichts am Bestehen des Haftgrundes ändern.
2.2 Angefochten ist nicht ein Entscheid über die Anordnung der Ausschaffungshaft für vorerst höchstens drei Monate, sondern der Entscheid über deren Verlängerung. Die vorerst auf eine Dauer von höchstens drei Monate beschränkte Haft darf mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde um höchstens sechs Monate verlängert werden, wenn dem Vollzug der Weg- oder Ausweisung besondere Hindernisse entgegenstehen (Art. 13b Abs. 2 ANAG). Dabei muss die Aufrechterhaltung bzw. Verlängerung der Haft weiterhin verhältnismässig sein (vgl. BGE 126 II 439; 125 I 377 E. 4 S. 383), und der Vollzug der Wegweisung darf nicht aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen inzwischen als undurchführbar gelten (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; BGE 125 II 217 E. 1 S. 219 mit Hinweisen). Dazu ist unerlässlich, dass die für den Vollzug der Weg- oder Ausweisung notwendigen Vorkehrungen umgehend getroffen werden (Art. 13b Abs. 3 ANAG, Beschleunigungsgebot; vgl. BGE 124 II 49).
2.3 Die Haftrichterin hat in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (vgl. Art. 105 Abs. 2 OG), dass die Angaben des Beschwerdeführers zu seiner Identität nach Auffassung der Konsulin von Georgien mit grösster Wahrscheinlichkeit nicht stimmten und dass zur Identitätsfeststellung eine Vorführung bei einer georgischen Delegation, die die Schweiz besuchen werde, erforderlich erscheine. Es liegen damit offenkundig Schwierigkeiten bei der Beschaffung von Reisepapieren vor, und dem Wegweisungsvollzug stehen besondere Hindernisse im Sinne von Art. 13b Abs. 2 ANAG entgegen, ohne dass aber davon ausgegangen werden müsste, dass die Ausschaffung in absehbarer Zeit nicht organisiert werden könnte. Es fragt sich einzig, ob dem Beschleunigungsgebot nachgelebt worden ist.
Das Beschleunigungsgebot gemäss Art. 13b Abs. 3 ANAG gebietet es der mit dem Vollzug der Wegweisung betrauten kantonalen Behörde zu versuchen, die Identität des Ausländers so schnell wie möglich festzustellen und die für seine Ausreise erforderlichen Papiere zu beschaffen. Das unkooperative Verhalten des Ausländers erlaubt es dabei der Behörde nicht, einfach untätig zu bleiben; dem Verhalten des Ausländers und der Art seiner Auskünfte darf aber im Hinblick auf die Anforderungen an ihr Vorgehen Rechnung getragen werden, wenn diese dadurch an zielstrebigen Abklärungen und Vorkehrungen gehindert wird.
Die Haftrichterin stützt sich diesbezüglich auf die Aktennotiz der zuständigen Sachbearbeiterin, in welcher die im Hinblick auf die Identitätsabklärungen und Papierbeschaffung unternommenen Schritte aufgezeichnet sind. Daraus ergibt sich insbesondere, dass die Behörden regelmässig und zweckmässig Kontakt mit der Konsulin von Georgien aufgenommen haben und diese auch mehrmals mit dem Beschwerdeführer kommuniziert hat. Im Laufe der Gespräche gab dieser auch einen neuen Namen an, wobei es sich dabei offenbar um den durch Wiederverheiratung erworbenen neuen Familiennamen seiner Mutter handeln soll. Nachdem die Konsulin gegenüber den Behörden erhebliche Zweifel an den Identitätsangaben geäussert hatte, leiteten diese am 25. März 2004 via Interpol Identitätsabklärungen in verschiedenen Ländern ein; diesbezüglich liegt erst eine (negative) Antwort von Wien vor. Als weitere zielstrebige Massnahme erscheint eine Vorführung bei einer georgischen Delegation, die aber erst im kommenden Juni in die Schweiz kommen wird, wobei der Termin noch nicht feststeht. Unter diesen Umständen lässt sich nicht sagen, welche zweckdienlichen Abklärungen die Behörden unterlassen haben könnten. Das Beschleunigungsgebot ist eingehalten worden.
2.4 Den weiteren umfangreichen Ausführungen in der Beschwerdeschrift lässt sich nichts entnehmen, was für die Beurteilung der Rechtmässigkeit des Haftverlängerungsentscheids von Bedeutung wäre, sodass darauf nicht einzugehen ist. Die Haftrichterin hat Bundesrecht nicht verletzt, wenn sie die Haft um drei Monate verlängerte. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist offensichtlich unbegründet und abzuweisen.
2.5 Entsprechend dem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). In Fällen der vorliegenden Art rechtfertigt es sich jedoch, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 und 153a Abs. 1 OG).
2.6 Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird darum ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern und dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Bundesamt für Flüchtlinge schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: