Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 7. November 2011 ist das Bundesgericht auf eine von X._ sowie der Y._AG, der Z._AG und der W._AG, alle drei in Liquidation, erhobene Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1C_498/2011).
Mit Revisionsgesuch vom 20. Dezember (Postaufgabe: 26. Dezember) 2011 beantragt X._ (u.a.), das bundesgerichtliche Urteil vom 7. November 2011 sei aufzuheben.
Sodann stellt der Gesuchsteller das Begehren, es hätten alle "SVP-und SP-Richter der extremradikalen Volksparteien" (Beschwerde S. 9) sowie "deren Gerichtsschreiber, Sekretäre & rubrizierte Konsorten" (Beschwerde S. 11) wegen Befangenheit in den Ausstand zu treten.
2. Ausschliesslich an die Parteizugehörigkeit anknüpfende Ausstandsbegehren, die - wie hier - keine Gründe nennen, weshalb die betreffenden Richter bzw. deren Mitarbeiter in einem konkreten Fall befangen sein sollten, sind unzulässig (s. etwa Urteile des Bundesgerichts 1C_514/2010 vom 16. Februar 2011, 1P.715/1995 vom 8. Januar 1995). Auf das Ausstandsbegehren ist somit nicht einzutreten.
3. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier nach Art. 61 BGG in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss Art. 121 ff. BGG möglich.
Der Gesuchsteller kritisiert das am 7. November 2011 ergangene Urteil ganz allgemein. Er unterlässt es allerdings dabei, sich auf einen der gesetzlichen Revisionsgründe (Art. 121 ff. BGG) zu berufen. Was er in seinem Revisionsgesuch vorbringt, beschränkt sich im Wesentlichen - soweit seine weitschweifige Eingabe überhaupt verständlich ist und nicht völlig am Streitgegenstand vorbeigeht - auf eine Kritik an der dem Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören. Der Gesuchsteller wäre gehalten gewesen, in seiner Eingabe einen Revisionsgrund darzulegen, was er indes unterlassen hat. Auf sein Gesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (Art. 127 BGG) nicht einzutreten. Weitere Eingaben in dieser Sache, insbesondere weitere Revisionsgesuche, werden in Zukunft ohne Antwort abgelegt.
Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um Gewährung aufschiebender Wirkung gegenstandslos.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Kantonsrat des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp