Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Im angefochtenen Entscheid wurde ein kantonaler Rekurs aus dem Recht gewiesen, weil der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss innert Frist nicht geleistet hatte. In der dagegen gerichteten Beschwerde hätte er darlegen müssen, dass der angefochtene Entscheid das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG bzw. seine Grundrechte verletzt (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dieser Voraussetzung genügt die Beschwerde nicht. Die Hinweise auf die "Rechtsgrundlage", auf den Umstand, dass es um ein Offizialdelikt geht, sowie auf angeblich "wirtschaftlich beweisbare Gründe" reichen zur Begründung einer Beschwerde vor Bundesgericht nicht aus. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die beantragte Akteneinsicht muss der Beschwerdeführer im Übrigen nicht beim Bundesgericht, sondern bei den kantonalen Behörden verlangen.
3. Ausnahmsweise kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden. Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn