Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Gemäss Art. 62 Abs. 1 BGG hat die Partei, die das Bundesgericht anruft, einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten.
Gestützt auf diese gesetzliche Bestimmung wurde der Beschwerdeführer mit Verfügung vom 22. April 2010 aufgefordert, dem Bundesgericht spätestens am 14. Mai 2010 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- einzuzahlen. Mit Schreiben vom 28. April 2010 erhob er "Einspruch" gegen die Verfügung vom 22. April 2010, weil sie willkürlich sei und der Verfassung widerspreche. Mit Schreiben vom 30. April 2010 wurde ihm mitgeteilt, dass das Bundesgericht am Kostenvorschuss festhalte. Weil dieser innert Frist nicht einging, wurde dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 19. Mai 2010 die in Art. 62 Abs. 3 BGG vorgeschriebene Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bis zum 4. Juni 2010 angesetzt, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Der Beschwerdeführer erhob mit Schreiben vom 1. Juni 2010 erneut mit denselben Vorbringen "Einspruch" gegen die Verfügung vom 19. Mai 2010. Der Kostenvorschuss ging innert Frist nicht ein.
Aus dem Gesagten folgt, dass auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn