Fatti:
A. A.a A.A._ e B.A._ hanno avuto sei figli; il primogenito, C.A._, è ormai maggiorenne, ed il secondogenito, D.A._, lo diverrà il xx dicembre 2011. La famiglia si è trasferita in Ticino nel 2003 e dall'anno successivo è seguita dalla Commissione tutoria regionale 14 di Bellinzona (qui di seguito: CTR 14) per le difficoltà incontrate dai figli nell'inserimento scolastico e nella socializzazione. Il disagio sociale si è acuito a partire dal mese di settembre 2010, sicché la CTR 14 ha deciso di intervenire in modo più incisivo: con decisione provvisionale 20 gennaio 2011 ha tolto ai genitori la custodia sui cinque figli ancora minorenni, ed il 26 gennaio 2011 li ha collocati presso l'Istituto X._ di Bellinzona; l'ultima nata, E.A._, è stata lasciata con i genitori, che sono stati alloggiati in un albergo a Bellinzona. Con decisione provvisionale del giorno successivo 27 gennaio 2011, la CTR 14 ha confermato il collocamento di tutti i figli. Questa decisione, confermata dalla CTR 14 dopo contraddittorio il 10 febbraio 2011, con una soluzione più sfumata per l'ultimogenita E.A._, è stata ribadita dall'Autorità di vigilanza sulle tutele con decisione 9 giugno 2011; un appello presentato dai genitori in data 21 giugno 2011 non era ancora stato deciso al momento della pronuncia del 5 settembre 2011 qui impugnata.
A.b Trovato alloggio a Y._ dal 1° giugno 2011, A.A._ e B.A._ hanno chiesto il 9 giugno 2011 (e ribadito il 14 successivo) in via cautelare l'autorizzazione a trattenere presso di sé i figli dopo la fine dell'anno scolastico; hanno pure chiesto il trasferimento del caso alla Commissione tutoria regionale 18 di Faido (qui di seguito: CTR 18). Il 17 giugno 2011 essi hanno denunciato in sede penale i membri della CTR 14 per abuso d'autorità e per lesioni. Il 20 giugno 2011, la CTR 14 ha respinto le richieste dei coniugi A.A._ e B.A._ e ha mantenuto la convocazione per un'udienza del 30 giugno 2011. Il 21 giugno 2011 i coniugi A.A._ e B.A._, avanti all'Autorità di vigilanza sulle tutele, hanno ricusato i membri della CTR 14 e chiesto nuovamente di trasferire il caso alla CTR 18 e hanno inoltre sollecitato il beneficio dell'assistenza giudiziaria. Con decisione 24 giugno 2011 l'Autorità di vigilanza sulle tutele ha respinto le relative "istanze", nella misura della loro ricevibilità, come pure la richiesta di assistenza giudiziaria.
B. Adito da A.A._ e B.A._ con ricorso ("appello") 4 luglio 2011, il Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, con la decisione qui impugnata del 5 settembre 2011, accolto parzialmente il gravame e trasferito le istanze a protezione dei figli introdotte dopo il 1° giugno 2011 alla CTR 18; esso ha per contro respinto la domanda di ricusa nei confronti della CTR 14. Il Tribunale di appello ha infine posto A.A._ e B.A._ a beneficio dell'assistenza giudiziaria limitatamente alla questione della competenza territoriale della CTR 14 (per la procedura dinanzi ad esso e per quella dinanzi all'Autorità di vigilanza sulle tutele).
C. Con ricorso in materia civile e ricorso sussidiario in materia costituzionale del 7 ottobre 2011, A.A._ e B.A._ (qui di seguito: ricorrenti) chiedono l'annullamento delle "sentenze" 5 settembre 2011 del Tribunale di appello e 24 giugno 2011 dell'Autorità di vigilanza sulle tutele, l'accoglimento dell'istanza di ricusa nei confronti della CTR 14 e della richiesta di trasmettere l'incarto alla CTR 18, nonché (nei motivi) l'accoglimento della richiesta di assistenza giudiziaria per le procedure dinanzi alle predette autorità. In via subordinata chiedono di ordinare al Tribunale di appello di emanare una nuova decisione in merito all'istanza di ricusa ed alla concessione del gratuito patrocinio. In ogni caso postulano la concessione del gratuito patrocinio per la procedura avanti al Tribunale federale.
Non sono state chieste osservazioni.
Diritto:
1. 1.1 La decisione impugnata del 5 settembre 2011 del Tribunale di appello tratta, per quanto qui di rilievo, una domanda di ricusa e un'istanza di concessione del gratuito patrocinio (la questione della competenza per territorio non è invece più contestata in questa sede; v. infra consid. 2). La decisione incidentale sulla ricusa notificata separatamente è impugnabile in virtù dell'art. 92 cpv. 1 LTF, senza obbligo per i ricorrenti di dimostrare un pregiudizio irreparabile (v. da ultimo sentenza del Tribunale federale 4A_255/2011 del 4 luglio 2011 consid. 1.2 con rinvii). Per costante giurisprudenza, la decisione di rifiuto del gratuito patrocinio è una decisione incidentale atta a causare un pregiudizio irreparabile (art. 93 cpv. 1 lett. a LTF; DTF 129 I 129 consid. 1.1 con rinvio). La via ricorsuale contro una decisione incidentale è quella aperta contro la decisione di merito (DTF 133 III 645 consid. 2.2); nel caso concreto, motivo del contendere sono misure a protezione dei figli minorenni dei ricorrenti, ovvero decisioni in rapporto diretto con il diritto civile pronunciate in applicazione di norme di diritto pubblico, contro le quali è aperta la via del ricorso in materia civile (art. 72 cpv. 2 lett. b n. 7 LTF). La decisione impugnata del 5 settembre 2011 emana dal tribunale supremo cantonale che ha deciso in ultima istanza e su ricorso (art. 75 cpv. 1 e 2 LTF). I ricorrenti hanno partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore e, in quanto genitori dei giovani a proposito dei quali sono discusse le misure litigiose, sono ovviamente toccati dalla decisione impugnata in modo particolarmente intenso (art. 76 cpv. 1 lett. a e b LTF). Infine, il ricorso è tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF). Il ricorso in materia civile è dunque di principio ammissibile. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale, inoltrato in parallelo senza che i ricorrenti ne espongano la ragione, è di conseguenza comunque inammissibile (art. 113 LTF).
La decisione del 24 giugno 2011 dell'Autorità di vigilanza sulle tutele non può per contro essere impugnata dinanzi al Tribunale federale poiché non emana dall'autorità cantonale di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF).
1.2 Il Tribunale federale applica il diritto d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF). Ciò nondimeno, giusta l'art. 42 cpv. 2 LTF, nei motivi del ricorso occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Ciò significa che il ricorrente deve almeno confrontarsi brevemente con i considerandi della sentenza impugnata pena l'inammissibilità del gravame (DTF 134 II 244 consid. 2.1). Giova poi ricordare che il Tribunale federale esamina la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (art. 106 cpv. 2 LTF). Il ricorrente deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata, in che modo sarebbero stati violati diritti costituzionali (DTF 135 III 232 consid. 1.2 con rinvii; 134 II 244 consid. 2.2).
2. Il Tribunale di appello ha evaso la questione della competenza territoriale delle due CTR (14 e 18) nel senso che la prima rimane competente sulla privazione della custodia parentale, mentre la seconda è divenuta competente per quanto concerne la postulata reintegrazione dei genitori nella custodia parentale (chiesta dopo il cambiamento di domicilio avvenuto il 1° giugno 2011). Il tema non è più riproposto avanti al Tribunale federale.
3. Relativamente all'istanza di ricusa proposta dai ricorrenti contro i membri (supplenti inclusi) della CTR 14, il Tribunale di appello ha invero rammentato che una tale domanda è ricevibile solo se motivata nei confronti di ogni singolo membro dell'autorità collegiale, ciò che i ricorrenti non hanno fatto. Si è tuttavia dilungato anche nel merito della ricusa, respingendo - nella misura della loro ammissibilità - le censure sollevate dai ricorrenti.
3. Relativamente all'istanza di ricusa proposta dai ricorrenti contro i membri (supplenti inclusi) della CTR 14, il Tribunale di appello ha invero rammentato che una tale domanda è ricevibile solo se motivata nei confronti di ogni singolo membro dell'autorità collegiale, ciò che i ricorrenti non hanno fatto. Si è tuttavia dilungato anche nel merito della ricusa, respingendo - nella misura della loro ammissibilità - le censure sollevate dai ricorrenti.
3.1 3.1.1 La ricusa di un membro di un'autorità non giudiziaria - come nella fattispecie la CTR 14 - va determinata sulla scorta del diritto procedurale applicabile (in concreto la legge del Cantone Ticino dell'8 marzo 1999 sull'organizzazione e la procedura in materia di tutele e curatele [RL 4.1.2.2], la quale al suo art. 31 cpv. 1 rinvia ai motivi di esclusione e di ricusazione del codice di procedura civile ticinese, abrogato il 1° gennaio 2011 con l'entrata in vigore del codice di diritto processuale civile svizzero del 19 dicembre 2008 [CPC; RS 272]) e dei principi consacrati all'art. 29 cpv. 1 Cost.; le garanzie previste dall'art. 30 Cost. e dall'art. 6 n. 1 CEDU nell'ambito di procedure giudiziarie non trovano invece applicazione (sentenza del Tribunale federale 5A_357/2011 del 7 ottobre 2011 consid. 3.2 con rinvii, concernente la ricusa di un membro di un'autorità tutoria; 2D_29/2009 del 12 aprile 2011 consid. 3.2 con rinvii; 8C_425/2009 del 9 ottobre 2009 consid. 3 con rinvii). In analogia all'art. 30 cpv. 1 Cost., l'art. 29 cpv. 1 Cost. obbliga una persona facente parte di un'autorità a ricusarsi quando esistono circostanze idonee, da un punto di vista oggettivo, a suscitare l'apparenza di una prevenzione (DTF 127 I 196 consid. 2b; sentenza del Tribunale federale 2D_29/2009 del 12 aprile 2011 consid. 3.3).
3.1.2 Per prassi costante, la domanda di ricusa di un intero corpo giudicante è inammissibile: i motivi di ricusa devono riferirsi al rapporto fra una determinata persona facente parte di un'autorità ed una determinata parte, ed essi vanno pertanto esposti individualmente con riferimento ad ogni singolo ricusando (DTF 105 Ib 301 consid. 1; sentenza del Tribunale federale 6F_12/2011 del 19 ottobre 2011 consid. 2.2; 5A_532/2007 dell'8 aprile 2008 consid. 3; FLORENCE Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 16 ad art. 36 LTF; Geiser/Uhlmann, in Prozessieren vor Bundesgericht, 3a ed. 2011, n. 1.17; Isabelle Häner, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2a ed. 2011, n. 3 ad art. 36 LTF; Spühler/Dolge/Vock, Kurzkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2006, n. 1 ad art. 36 LTF; Regina Kiener, in Kurzkommentar ZPO, 2010, n. 2 ad art. 49 CPC). Tale prassi va anche applicata alla ricusa di membri di autorità non giudiziarie.
3.2 Anche avanti al Tribunale federale i ricorrenti non discutono la posizione di ogni singolo membro della CTR 14, allegando e rendendo verosimile perché l'uno o l'altro dei membri (eventualmente anche tutti, REGINA KIEner, ibid.) sia in posizione di doversi ricusare o di dover essere ricusato. Atteso che i ricorrenti sono stati assistiti durante l'intera procedura da un legale, e che il Tribunale di appello li ha resi espressamente attenti a questa esigenza (supra consid. 3), il loro ricorso su questo punto non può che essere dichiarato inammissibile.
4. Il Tribunale di appello ha parzialmente accolto il ricorso dei ricorrenti circa il diniego del gratuito patrocinio da parte dell'Autorità di vigilanza sulle tutele poiché la richiesta di trasferire gli atti alla CTR 18 (relativamente alla procedura di reintegrazione nella custodia parentale; v. supra consid. 2) era legittima; per quanto riguarda la ricusa, invece, esso ha ritenuto che il ricorso non denotava possibilità di successo alcuna. Limitatamente alla questione della competenza per territorio della CTR 14 esso ha pure parzialmente accolto la domanda di assistenza giudiziaria per la procedura di ricorso.
4.1 La procedura di ricusa della CTR 14 ha preso avvio il 21 giugno 2011, quando i qui ricorrenti hanno proposto la relativa istanza avanti all'Autorità di vigilanza sulle tutele. Trova pertanto applicazione la legge del Cantone Ticino del 15 marzo 2011 sull'assistenza giudiziaria e sul patrocinio d'ufficio (LAG; RL 3.1.1.7). I ricorrenti, tuttavia, non si richiamano ad alcuna norma di diritto cantonale, sicché la loro censura va come da prassi esaminata alla luce della garanzia costituzionale offerta dall'art. 29 cpv. 3 Cost. (DTF 129 I 129 consid. 2.1), secondo il quale chi non dispone dei mezzi necessari ha diritto alla gratuità della procedura se la sua causa non sembra priva di probabilità di successo. Il Tribunale federale esamina con piena cognizione se il diritto all'assistenza giudiziaria previsto dall'art. 29 cpv. 3 Cost. è stato violato (DTF 134 I 12 consid. 2.3; 129 I 129 consid. 2.1). Il ricorrente deve motivare la censura conformemente alle esigenze poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF (supra consid. 1.2).
4.2 Ai sensi dell'art. 29 cpv. 3 Cost. sono da ritenersi prive di possibilità di esito favorevole quelle conclusioni per le quali le possibilità di successo sono manifestamente inferiori a quelle di insuccesso, e che pertanto non possono definirsi serie. A tal fine ci si deve chiedere se una parte che disponesse dei mezzi finanziari sufficienti si deciderebbe, dopo matura riflessione, ad agire in giudizio; va infatti evitato che una parte inoltri una causa che non affronterebbe a proprie spese soltanto perché non le costa nulla. La valutazione va fatta sulla base di un esame sommario delle circostanze vigenti al momento dell'inoltro della domanda (DTF 133 III 614 consid. 5; 129 I 129 consid. 2.3.1). Va verificato se la posizione giuridica della parte istante appaia obiettivamente sostenibile rispettivamente non infondata sin dall'inizio (DTF 119 III 113 consid. 3a).
4.3 I ricorrenti sostengono di aver avuto fondati motivi per mettere in dubbio l'imparzialità della CTR 14, segnatamente tenuto conto del parere unanime degli specialisti cui era stata chiesta una valutazione in merito alla decisione se lasciare tornare i ragazzi dai genitori alla fine dell'anno scolastico 2010/2011.
Che la posizione procedurale assunta dai ricorrenti in punto all'istanza di ricusa fosse sin dall'inizio priva di possibilità di esito favorevole appare tuttavia evidente già solo riflettendo all'inammissibilità della loro istanza, poiché genericamente rivolta contro l'autorità in toto e non contro le persone che ne fanno parte (supra consid. 3.1.2 e 3.2).
4.4 L'esame abbondanziale che il Tribunale di appello ha effettuato delle censure ricorsuali - pedissequamente riproposte avanti al Tribunale federale - torna utile per dimostrare che il ricorso in sede cantonale non aveva alcuna possibilità di esito favorevole nemmeno nel merito della ricusa.
4.4.1 A proposito delle asserite omissioni delle autorità assistenziali fra gli anni dal 2004 al 2010, il Tribunale di appello rileva che non appare che le stesse siano state rese note all'autorità tutoria, che i ricorrenti hanno fortemente osteggiato i tentativi di intervento, e che comunque non si ravvisano omissioni che lascino trasparire indizi di prevenzione (v. art. 47 cpv. 1 lett. f CPC). È vero che errori ed omissioni possono configurare indizi di prevenzione; ma deve trattarsi di errori particolarmente gravi o ripetuti, e devono sussistere motivi oggettivi atti a far pensare che tali errori riflettano un atteggiamento che testimonia mancanza di distanza e di neutralità (DTF 125 I 119 consid. 3e; 116 Ia 135 consid. 3a; 116 Ia 14 consid. 5; 115 Ia 400 consid. 3b; 114 Ia 153 consid. 3b/bb). È ciò che a più riprese ha ribadito il Tribunale di appello. Ma limitandosi a rimproverare alla CTR 14 di non aver spiegato quali provvedimenti avrebbe voluto adottare e perché non li ha adottati, i ricorrenti non motivano la loro censura; evocano possibili ipotesi di intervento, senza confrontarsi con l'obiezione dei Giudici cantonali secondo la quale non vi sarebbe traccia di segnalazione all'autorità tutoria, non bastando a tal fine la menzione che la presidente della CTR 14 sia anche municipale di Bellinzona. Né la loro personale opinione sulle capacità dei responsabili dell'Ufficio delle famiglie e dei minorenni del Cantone Ticino e dell'Istituto X._ - capacità presunte superiori a quelle della CTR 14 in merito alla decisione se lasciare tornare i ragazzi dai genitori alla fine dell'anno scolastico 2010/2011 - oppure sull'effetto che lo scritto 10 gennaio 2011 della CTR 14 relativo alla ventilata possibilità di trasferta della famiglia nella Svizzera orientale possa avere avuto sui ricorrenti basta per far apparire errate le decisioni dell'autorità tutoria, e men che meno a farle apparire espressione di prevenzione.
4.4.2 Quanto alla rilevanza della denuncia penale presentata dai ricorrenti contro i membri della CTR 14, i ricorrenti affermano che la ricusa avrebbe dovuto essere esaminata sotto il profilo dell'art. 47 cpv. 1 lett. a CPC (interesse personale dei membri dell'autorità) e non della clausola generale della lett. f della medesima norma. A prescindere dalla disposizione applicabile, la Corte cantonale ha giustamente osservato che non basta denunciare il membro di un'autorità per motivare una ricusa e che in concreto non traspare alcun elemento suscettivo di far apparire i membri della CTR 14 particolarmente toccati dalla denuncia (v. sentenza del Tribunale federale 1P.514/2002 del 13 febbraio 2003 consid. 2.5). I ricorrenti si limitano in sostanza a sostenere che, in seguito alla denuncia, la CTR 14 avrebbe perso ogni oggettività e imparzialità, ma non riescono a sollevare dubbi che permettono di inficiare la validità della conclusione del Tribunale di appello. Se la CTR 14 si è riservata, nelle sue osservazioni al ricorso presentato il 21 giugno 2011 dai ricorrenti contro la decisione emessa il 9 giugno 2011 dall'Autorità di vigilanza sulle tutele (supra consid. in fatto A.a), di avviare un procedimento penale nei confronti del legale dei ricorrenti, tale affermazione (che non si era comunque ancora concretizzata al momento della pronuncia del 5 settembre 2011 qui impugnata) concerne semmai l'operato del patrocinatore e non dimostra un'avversione nei confronti di quest'ultimo o dei ricorrenti stessi.
4.4.3 Per il resto, come hanno giustamente posto in evidenza i Giudici cantonali, l'atteggiamento della CTR 14, ovvero le sue decisioni e (pretese) omissioni, è dipeso in maniera importante dall'ostruzionismo di cui hanno dato evidente prova i ricorrenti nel corso degli anni, con comportamenti fra il contraddittorio (si veda la preannunciata ma mai avvenuta partenza per la Svizzera orientale) e l'irresponsabile (si pensi all'opposizione al collocamento provvisorio dei figli all'Istituto X._ per il Natale 2010, o ancora alla decisione di far disertare la scuola ai figli).
4.5 Tutto ciò considerato, e senza ovviamente esprimersi sulla correttezza delle singole misure prese dalla CTR 14, questione ancora pendente avanti al Tribunale di appello (supra consid. in fatto A.a), si deve concludere che la Corte cantonale non ha esercitato il proprio apprezzamento in maniera contraria al diritto federale concludendo che l'istanza di ricusa proposta dai ricorrenti appariva sin dall'inizio priva di serie possibilità di esito favorevole.
5. Ne discende che il ricorso in materia civile va respinto nella misura della sua ricevibilità, con conseguenza di tassa e spese a carico dei ricorrenti (art. 66 cpv. 1 LTF). La loro istanza di concessione del gratuito patrocinio per la sede federale va respinta poiché, come già il rimedio cantonale, anche - e a maggior ragione - quello federale, pure esso rivolto inammissibilmente contro l'autorità in corpore (supra consid. 3.1.2), appariva sin dall'inizio privo di possibilità di esito favorevole (art. 64 cpv. 1 LTF). Non si assegnano ripetibili.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria dei ricorrenti è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti.
4. Comunicazione al patrocinatore dei ricorrenti e alla I Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.