. Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 12. September 2008 betreffend Hausverbot untersagte es die Institution X._ dem 1963 geborenen S._ mit sofortiger Wirkung, für die Dauer von zwei Jahren ihre Räumlichkeiten zu betreten.
B. Nachdem S._ dagegen Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht hatte erheben lassen, wurde das Verfahren, bevor die Institution X._ sich im Rahmen einer Beschwerdeantwort materiell zur Sache geäussert hatte, auf Ersuchen beider Parteien zwecks Führung aussergerichtlicher Verhandlungen zur Beilegung des Konflikts nach mehrmaligen Erstreckungsbegehren bis 31. Oktober 2009 sistiert (gerichtliche Zwischenverfügungen vom 30. Oktober 2008 sowie 27. Januar und 6. August 2009). Mit Verfügung vom 10. November 2009 hob die Institution X._ - wie mit Eingabe vom 30. Oktober 2009 gegenüber dem angerufenen Gericht angekündigt - ihr am 12. September 2008 verfügtes Hausverbot per sofort wiedererwägungsweise auf. In der Folge liessen sich die Verfahrensbeteiligten zu den Modalitäten des gerichtlichen Verfahrensabschlusses vernehmen. Das Bundesverwaltungsgericht schrieb den Prozess mit Entscheid vom 1. Dezember 2009 infolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 1), auferlegte den Parteien keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 2) und sprach ihnen keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziffer 3).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 3 des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Neubeurteilung der Parteientschädigung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen, welche durch eine unbefangene Abteilung der Vorinstanz vorzunehmen sei.
Während das Bundesverwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich die Institution X._ nicht vernehmen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts können regelmässig mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, nicht aber mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht weitergezogen werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 und Art. 113 BGG). Gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse ist die Beschwerde indessen unzulässig - vorbehältlich der in casu jedoch nicht interessierenden Thematik der Geschlechtergleichstellung -, wenn sie eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit betreffen (Art. 83 lit. g BGG). In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse sodann nur statthaft, wenn der Streitwert nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) oder sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 85 Abs. 2 BGG).
1.2 Angefochten wird der vorinstanzliche Entscheid einzig bezüglich der Nichtgewährung der Parteientschädigung. Dem Streite zugrunde liegt das dem Beschwerdeführer auferlegte Hausverbot, welche Massnahme als Hauptsache für die Eintretensfrage massgeblich ist (vgl. Thomas Häberli, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 zu Art. 83; Seiler/Von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 13 zu Art. 83). Ob es sich dabei um eine der Beschwerde an das Bundesgericht zugängliche Angelegenheit aus einem öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnis handelt bzw. darin ein vermögensrechtlicher Aspekt zu erblicken ist, kann, zumal die Beschwerdeschrift keine diesbezüglichen Ausführungen enthält, offen gelassen werden, da die Beschwerde ohnehin abzuweisen ist.
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3. 3.1 Das Bundesgericht hat sich einzig mit der letztinstanzlich umstrittenen Frage zu befassen, ob die Vorinstanz dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer zu Recht keine Parteientschädigung zugesprochen hat.
3.2 Gemäss Art. 16 Abs. 1 lit. a VGG in Verbindung mit Art. 7 des Reglements über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht vom 21. Februar 2008 (VGKE; SR 173.320.2) haben obsiegende Parteien Anspruch auf eine Parteientschädigung für die ihnen erwachsenen notwendigen Kosten (Abs. 1). Obsiegt die Partei nur teilweise, so ist die Parteientschädigung entsprechend zu kürzen (Abs. 2). Sind die Kosten verhältnismässig gering, so kann von einer Parteientschädigung abgesehen werden (Abs. 4). Wird ein Verfahren gegenstandslos, so prüft das Gericht, ob eine Parteientschädigung zuzusprechen ist. Für die Festsetzung der Parteientschädigung gilt Art. 5 sinngemäss (Art. 15 VGKE). Nach Art. 5 VGKE werden die Verfahrenskosten in der Regel jener Partei auferlegt, deren Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt hat. Ist das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden, so werden die Kosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes festgelegt.
4. 4.1 Die Wiedererwägung der angefochtenen Verfügung vom 12. September 2008 betreffend Hausverbot durch die Beschwerdegegnerin im Sinne einer Aufhebung (vgl. Verfügung der Institution X._ vom 10. November 2009) hat die Gegenstandslosigkeit des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens bewirkt. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Zusprechung einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer im Wesentlichen - teilweise implizit vor dem Hintergrund der Wiedererwägungsverfügung vom 10. November 2009 - mit der Begründung abgelehnt, dass die Beschwerdegegnerin ihren Verwaltungsakt nicht aus besserer eigener Erkenntnis aufgehoben habe, sondern zum einen weil der Umstand, welcher ehemals Anlass zum Einschreiten gegeben habe, durch den Beschwerdeführer beseitigt worden sei, indem er sich während längerer Zeit wohl verhalten habe, und zum anderen auf Grund des bevorstehenden Ablaufs des - infolge der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde im Bedarfsfalls ohnehin nicht durchsetzbaren - befristeten Hausverbots. Sei aber nicht abschliessend beurteilbar, welche der Parteien die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens zu verantworten habe, müsse von einem ohne Zutun der Verfahrensbeteiligten gegenstandslos gewordenen Verfahren ausgegangen werden. Dies führe nach Massgabe von Art. 5 Satz 2 (in Verbindung mit Art. 15) VGKE zu einer Festlegung der Parteientschädigung auf der Basis der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Da es sich - so das Bundesverwaltungsgericht im Weiteren - mangels Durchführung eines Schriftenwechsels indes ausserstande sähe, zu beurteilen, wie die Prozessaussichten vor Eintritt des Erledigungsgrundes (in casu in Form der Wiedererwägung der angefochtenen Verfügung) summarisch zu würdigen gewesen wären, erscheine es unverhältnismässig, die Beschwerdegegnerin zur Entrichtung einer Parteientschädigung zu verpflichten.
4. 4.1 Die Wiedererwägung der angefochtenen Verfügung vom 12. September 2008 betreffend Hausverbot durch die Beschwerdegegnerin im Sinne einer Aufhebung (vgl. Verfügung der Institution X._ vom 10. November 2009) hat die Gegenstandslosigkeit des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens bewirkt. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Zusprechung einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer im Wesentlichen - teilweise implizit vor dem Hintergrund der Wiedererwägungsverfügung vom 10. November 2009 - mit der Begründung abgelehnt, dass die Beschwerdegegnerin ihren Verwaltungsakt nicht aus besserer eigener Erkenntnis aufgehoben habe, sondern zum einen weil der Umstand, welcher ehemals Anlass zum Einschreiten gegeben habe, durch den Beschwerdeführer beseitigt worden sei, indem er sich während längerer Zeit wohl verhalten habe, und zum anderen auf Grund des bevorstehenden Ablaufs des - infolge der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde im Bedarfsfalls ohnehin nicht durchsetzbaren - befristeten Hausverbots. Sei aber nicht abschliessend beurteilbar, welche der Parteien die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens zu verantworten habe, müsse von einem ohne Zutun der Verfahrensbeteiligten gegenstandslos gewordenen Verfahren ausgegangen werden. Dies führe nach Massgabe von Art. 5 Satz 2 (in Verbindung mit Art. 15) VGKE zu einer Festlegung der Parteientschädigung auf der Basis der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Da es sich - so das Bundesverwaltungsgericht im Weiteren - mangels Durchführung eines Schriftenwechsels indes ausserstande sähe, zu beurteilen, wie die Prozessaussichten vor Eintritt des Erledigungsgrundes (in casu in Form der Wiedererwägung der angefochtenen Verfügung) summarisch zu würdigen gewesen wären, erscheine es unverhältnismässig, die Beschwerdegegnerin zur Entrichtung einer Parteientschädigung zu verpflichten.
4.2 4.2.1 Die Bestimmung derjenigen Partei, welche die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens im Sinne von Art. 5 Satz 1 (in Verbindung mit Art. 15) VGKE bewirkt hat, erfolgt nach materiellen Kriterien; unerheblich ist damit, wer die formelle Prozesshandlung vornimmt, welche die Behörde unmittelbar zur Abschreibung veranlasst. Zieht die Vorinstanz ihren Entscheid in Wiedererwägung, gilt sie deshalb nur dann als nach Art. 5 VGKE unterliegend, wenn sie ihren Entscheid aus besserer eigener Erkenntnis abgeändert hat (etwa weil sie erkennt, dass dieser von Beginn weg fehlerhaft war) und nicht für den Fall, dass sie dies tut, weil der Umstand, der Anlass zum Einschreiten gegeben hat, durch die Gegenpartei beseitigt worden ist. Letztgenannte Konstellation stellt in Wirklichkeit einen Abstand der Gegenpartei dar, weshalb diese - auch hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen - als unterliegend anzusehen ist. Ist die Gegenstandslosigkeit in diesem Sinne durch eine Partei bewirkt worden, so ist es nach dem klaren Wortlaut von Art. 5 VGKE irrelevant, wie die Prozessaussichten vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit zu würdigen gewesen wären. Diese Frage stellt sich erst, wenn das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden ist, d.h. die Ursache dafür ausserhalb der Verantwortlichkeit der Streitbeteiligten liegt. Die für den Entscheid zuständige Einzelrichterin (Art. 23 Abs. 1 lit. b VGG) nimmt diesfalls eine summarische Untersuchung der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes vor (André Moser/Michael Beusch/Lorenz Kneubühler, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, Basel 2008. N. 4.56 f.; Lorenz Kneubühler, Die Kostenverlegung im Beschwerdeverfahren des Bundes, in: ZBl 2005, S. 449 ff., S. 460 f.; vgl. auch Urteil 9C_624/2008 vom 10. September 2008 E. 3 mit Hinweis).
4.2.2 Die Wiedererwägung der Verfügung vom 12. September 2008 durch die Beschwerdegegnerin, welche zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens vor der Vorinstanz führte, erfolgte zum einen wegen des längeren (Wohl-)Verhaltens des Beschwerdeführers und zum andern vor dem Hintergrund des bevorstehenden Ablaufs des befristeten Hausverbots (im September 2010) sowie der auf Ende Oktober 2009 terminierten Sistierung des Beschwerdeprozesses (vgl. Verfügung der Institution X._ vom 10. November 2009). Die Beschwerdegegnerin hat ihre ursprüngliche Verfügung somit nicht aufgehoben, weil sie die angeordnete Massnahme nachträglich für fehlerhaft eingestuft hätte, sondern auf Grund des Umstands, dass sich der Beschwerdeführer offenbar - obgleich er Gegenteiliges behauptet (siehe Eingabe an das Bundesverwaltungsgericht vom 24. November 2009; Beschwerde, S. 4) - über einen längeren Zeitraum hinweg wunschgemäss benommen hat und das verfügte Hausverbot ohnehin in absehbarer Zeit ausgelaufen wäre. Von einer durch die Institution X._ "materiell" bewirkten Gegenstandslosigkeit des Verfahrens kann auf Grund dieser Sachlage nicht gesprochen werden. Ebenso wenig erscheint es in Anbetracht der Verhältnisse opportun, die Verantwortung für die Wiedererwägung - im Sinne eines Unterliegens - allein den Beschwerdeführer tragen zu lassen. Vielmehr dürfte als massgebender Faktor, insbesondere auch angesichts der bis Ende Oktober 2009 befristeten Sistierung des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens, der ohne Zutun der Parteien erfolgte blosse Zeitablauf zu werten sein. Ist die Gegenstandslosigkeit des Prozesses demnach keinem der Verfahrensbeteiligten allein bzw. beiden etwa zu selben Teilen anzulasten, rechtfertigt es sich, die in Art. 5 (in Verbindung mit Art. 15) VGKE für derartige Konstellationen vorgesehene Regelung der Kosten- und Entschädigungsfrage auf Grund der Prozesschancen vor Eintritt des Erledigungsgrundes Platz greifen zu lassen. Das Bundesverwaltungsgericht hat in diesem Zusammenhang indessen einlässlich dargelegt (vgl. auch dessen letztinstanzliche Vernehmlassung vom 17. Februar 2010), dass es, da das Verfahren auf Ersuchen der Parteien sistiert worden war, bevor die Institution X._ überhaupt eine Beschwerdeantwort samt Vorakten hatte einreichen können, mangels durchgeführtem Schriftenwechsel in der Hauptsache nicht in der Lage gewesen war, den mutmasslichen Prozessausgang auch nur anhand einer summarischen Würdigung bestimmen zu können. Nach der erfolgten Wiedererwägung durch die Beschwerdegegnerin Instruktionsmassnahmen nachzuholen und einen (erstmaligen) Schriftenwechsel durchzuführen, hätte - entgegen der Betrachtungsweise des Beschwerdeführers - bedeutet, dass sich die Vorinstanz in unzulässiger Weise inhaltlich mit einer infolge Aufhebung bereits gegenstandslos gewordenen Sache befasst hätte. Dass das Bundesverwaltungsgericht in Anbetracht dieser Verhältnisse darauf verzichtet hat, die Institution X._ zu verpflichten, für die dem Beschwerdeführer entstandenen Parteikosten aufzukommen, kann jedenfalls weder als willkürbehaftet noch sonstwie bundesrechtswidrig gewertet werden. Da der Vorinstanz schliesslich in Bezug auf den Parteikostenersatz, welcher Punkt nochmals vertieft mit Entscheid der Vorinstanz vom 11. Januar 2010 erläutert worden war, auch keine Verletzung ihrer Begründungspflicht vorgeworfen werden kann, hat es beim Abschreibungsbeschluss vom 1. Dezember 2009 sein Bewenden.
5. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Fleischanderl