Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 17. Januar 2002 stellte das Kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zug (KWA) B._ wegen quantitativ ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen vor der Anmeldung zum Leistungsbezug ab dem 1. November 2001 für sechs Tage in der Anspruchsberechtigung ein.
A. Mit Verfügung vom 17. Januar 2002 stellte das Kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zug (KWA) B._ wegen quantitativ ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen vor der Anmeldung zum Leistungsbezug ab dem 1. November 2001 für sechs Tage in der Anspruchsberechtigung ein.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 28. November 2002 ab, und sprach B._ zu Lasten des KWA eine Parteientschädigung von Fr. 800.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu, weil ihr das Amt vor der Einstellungsverfügung das rechtliche Gehör nicht gewährt hatte.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 28. November 2002 ab, und sprach B._ zu Lasten des KWA eine Parteientschädigung von Fr. 800.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu, weil ihr das Amt vor der Einstellungsverfügung das rechtliche Gehör nicht gewährt hatte.
C. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei in Bezug auf die Parteientschädigung aufzuheben.
Das kantonale Gericht und B._ schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, das KWA beantragt deren Gutheissung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der Arbeitslosenversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (BGE 127 V 467 Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: Zusprechung einer Parteientschädigung mit vorinstanzlichem Gerichtsentscheid vom 28. November 2002) eingetretenen Sachverhalt abstellt (BGE 121 V 366 Erw. 1b), ist im vorliegenden Fall Art. 103 AVIG anwendbar (BGE 129 V 113; SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21 Erw. 1).
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der Arbeitslosenversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (BGE 127 V 467 Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: Zusprechung einer Parteientschädigung mit vorinstanzlichem Gerichtsentscheid vom 28. November 2002) eingetretenen Sachverhalt abstellt (BGE 121 V 366 Erw. 1b), ist im vorliegenden Fall Art. 103 AVIG anwendbar (BGE 129 V 113; SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21 Erw. 1).
2. Das Eidgenössische Versicherungsgericht ist zur Überprüfung der Parteientschädigungen auf dem Gebiet der Arbeitslosenversicherung, welche bis zum Erlass der dem ATSG angepassten kantonalen Rechtspflegebestimmungen (vgl. Art. 61 lit. g und Art. 82 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 1 AVIG in der Fassung gemäss Änderung vom 6. Oktober 2000) auf kantonalem Recht beruhen (BGE 124 V 286 Erw. 2 mit Hinweisen, 112 V 111 f.; ARV 1990 Nr. 11 S. 64), sachlich zuständig (BGE 126 V 143; SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21 Erw. 1).
2. Das Eidgenössische Versicherungsgericht ist zur Überprüfung der Parteientschädigungen auf dem Gebiet der Arbeitslosenversicherung, welche bis zum Erlass der dem ATSG angepassten kantonalen Rechtspflegebestimmungen (vgl. Art. 61 lit. g und Art. 82 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 1 AVIG in der Fassung gemäss Änderung vom 6. Oktober 2000) auf kantonalem Recht beruhen (BGE 124 V 286 Erw. 2 mit Hinweisen, 112 V 111 f.; ARV 1990 Nr. 11 S. 64), sachlich zuständig (BGE 126 V 143; SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21 Erw. 1).
3. 3.1 Da es sich bei der angefochtenen Verfügung nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen handelt, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
3.2 Im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren der Arbeitslosenversicherung ist es bis zum In-Kraft-Treten des ATSG und der darauf beruhenden Anpassung der kantonalen Rechtspflegebestimmungen (Art. 82 Abs. 2 ATSG; SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 22 Erw. 1.2) dem kantonalen Recht überlassen, ob und unter welchen Voraussetzungen es einen Anspruch auf Parteientschädigung vorsehen will. Den auf kantonalem Recht beruhenden Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung einer Parteientschädigung hat das Eidgenössische Versicherungsgericht daher nur daraufhin zu überprüfen, ob die Anwendung der entsprechenden kantonalen Bestimmungen zu einer Verletzung von Bundesrecht (Art. 104 lit. a OG) geführt hat, insbesondere des Verbots der Willkür oder des überspitzten Formalismus (SVR 2002 ALV Nr. 3 S. 6 Erw. 4a, 2001 AHV Nr. 4 S. 11 Erw. 2; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: BGE 125 V 408 Erw. 3a, 114 V 86 Erw. 4a, je mit Hinweisen).
3.3 Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürliche Rechtsanwendung liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (BGE 129 I 9 Erw. 2.1, 58 Erw. 4, 128 I 182 Erw. 2.1, 127 I 41 Erw. 2a, 56 Erw. 2b, 70 Erw. 5a, 126 I 170 Erw. 3a; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: BGE 125 I 168 Erw. 2a, 125 II 15 Erw. 3a, 124 I 316 Erw. 5a, 124 V 139 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
3.3 Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürliche Rechtsanwendung liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (BGE 129 I 9 Erw. 2.1, 58 Erw. 4, 128 I 182 Erw. 2.1, 127 I 41 Erw. 2a, 56 Erw. 2b, 70 Erw. 5a, 126 I 170 Erw. 3a; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: BGE 125 I 168 Erw. 2a, 125 II 15 Erw. 3a, 124 I 316 Erw. 5a, 124 V 139 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
4. In BGE 126 V 130 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass einer versicherten Person vor Erlass einer Verfügung über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung das rechtliche Gehör zur beabsichtigten Sanktion zu gewähren ist. Des Weitern hat es in BGE 128 V 311 festgehalten, der allgemeine Rechtsgrundsatz, wonach jene Partei für die Kosten eines Verfahrens aufzukommen hat, welche es verursacht hat, gelte auch bei Verletzungen des rechtlichen Gehörs. Im Lichte dieser beiden Urteile ist die Zusprechung einer Parteientschädigung an einen unterliegenden Beschwerdeführer nicht willkürlich, wenn diesem von der Verwaltung vor Erlass der Einstellungsverfügung das rechtliche Gehör verweigert worden ist. Eine solche Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör stellt das seco indessen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde in Abrede.
Aus den Akten geht hervor, dass zunächst die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug die Versicherte mit Verfügung vom 27. November 2001 wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen für sechs Tage in der Anspruchsberechtigung eingestellt hatte. Gegen diese Verfügung liess die Versicherte am 28. Dezember 2001 bei der Vorinstanz Beschwerde einreichen. Mit Schreiben vom 10. Januar 2002 teilte die Arbeitslosenkasse der Vorinstanz mit, dass sie die angefochtene Verfügung infolge Unzuständigkeit aufgehoben habe, worauf das kantonale Gericht das Beschwerdeverfahren infolge Gegenstandslosigkeit am 11. Januar 2002 als erledigt abschrieb. Unmittelbar darauf erliess das KWA am 17. Januar 2002 eine gleichlautende Einstellungsverfügung, ohne zuvor der Beschwerdegegnerin Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Diese Vorgehensweise stellt nach Auffassung des seco keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar, da die unzuständige Arbeitslosenkasse die Versicherte vor Erlass ihrer Verfügung vom 27. November 2001 angehört habe und das KWA nicht mehr verpflichtet gewesen sei, nochmals das rechtliche Gehör zu gewähren. Demgegenüber stellt sich das kantonale Gericht auf den Standpunkt, weder die Arbeitslosenkasse noch das KWA habe die Versicherte angehört. Die von der Arbeitslosenkasse mit Schreiben vom 19. November 2001 der Versicherten eingeräumte Möglichkeit, Erklärungen zur Lücke betreffend Arbeitsbemühungen abgeben zu können, stelle keine Gewährung des rechtlichen Gehörs dar, da zu diesem Zeitpunkt noch nicht festgestanden habe, ob überhaupt eine Einstellung zu erfolgen habe. Welche Betrachtungsweise den Vorzug verdient, kann offen bleiben, da der Standpunkt des kantonalen Gerichts im Lichte der angeführten Rechtsprechung (BGE 128 V 311, 126 V 130) aufgrund der Aktenlage durchaus vertretbar ist und daher nicht als willkürlich qualifiziert werden kann. Das seco übersieht, dass eine willkürliche Rechtsanwendung nicht schon vorliegt, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (Erw. 3.3 hievor).
Aus den Akten geht hervor, dass zunächst die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug die Versicherte mit Verfügung vom 27. November 2001 wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen für sechs Tage in der Anspruchsberechtigung eingestellt hatte. Gegen diese Verfügung liess die Versicherte am 28. Dezember 2001 bei der Vorinstanz Beschwerde einreichen. Mit Schreiben vom 10. Januar 2002 teilte die Arbeitslosenkasse der Vorinstanz mit, dass sie die angefochtene Verfügung infolge Unzuständigkeit aufgehoben habe, worauf das kantonale Gericht das Beschwerdeverfahren infolge Gegenstandslosigkeit am 11. Januar 2002 als erledigt abschrieb. Unmittelbar darauf erliess das KWA am 17. Januar 2002 eine gleichlautende Einstellungsverfügung, ohne zuvor der Beschwerdegegnerin Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Diese Vorgehensweise stellt nach Auffassung des seco keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar, da die unzuständige Arbeitslosenkasse die Versicherte vor Erlass ihrer Verfügung vom 27. November 2001 angehört habe und das KWA nicht mehr verpflichtet gewesen sei, nochmals das rechtliche Gehör zu gewähren. Demgegenüber stellt sich das kantonale Gericht auf den Standpunkt, weder die Arbeitslosenkasse noch das KWA habe die Versicherte angehört. Die von der Arbeitslosenkasse mit Schreiben vom 19. November 2001 der Versicherten eingeräumte Möglichkeit, Erklärungen zur Lücke betreffend Arbeitsbemühungen abgeben zu können, stelle keine Gewährung des rechtlichen Gehörs dar, da zu diesem Zeitpunkt noch nicht festgestanden habe, ob überhaupt eine Einstellung zu erfolgen habe. Welche Betrachtungsweise den Vorzug verdient, kann offen bleiben, da der Standpunkt des kantonalen Gerichts im Lichte der angeführten Rechtsprechung (BGE 128 V 311, 126 V 130) aufgrund der Aktenlage durchaus vertretbar ist und daher nicht als willkürlich qualifiziert werden kann. Das seco übersieht, dass eine willkürliche Rechtsanwendung nicht schon vorliegt, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre (Erw. 3.3 hievor).
5. Da es nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht, wäre das Verfahren an und für sich kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Gestützt auf Art. 156 Abs. 2 OG sind dem seco jedoch keine Gerichtskosten aufzuerlegen. Hingegen hat es gemäss Art. 159 Abs. 2 OG der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu entrichten.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, dem Kantonalen Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zug und der Arbeitslosenkasse des Kantons Zug zugestellt.
Luzern, 28. Mai 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: