Sachverhalt:
A. Am 17. Juni 2003 hatte das Amt für Landwirtschaft des Kantons Solothurn gegenüber der Bäuerin A._ (geb. 1958) verschiedene Massnahmen zum Zweck der Verbesserung ihrer Tierhaltung verfügt, darunter eine Reduktion des Viehbestandes. Mit Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Dorneck-Thierstein vom 25. Februar/1. März 2005 wurde A._ zudem wegen mehrfacher Übertretung des Tierschutzgesetzes zu einer Busse von Fr. 1'500.-- verurteilt.
Gestützt auf die Feststellungen, welche die kantonale Tierschutzbehörde am 7. März 2006 bei einer erneuten Kontrolle auf dem Landwirtschaftsbetrieb von A._ gemacht hatte, unterwarf das kantonale Amt für Landwirtschaft mit Verfügung vom 28. März 2006 deren Tierhaltung erneut einer Reihe von Einschränkungen. Neben der angeordneten Reduktion des Rindvieh- und Ponybestandes wurde A._ lediglich noch die Haltung eines einzigen, kastrierten Hundes gestattet (Ziffer 7 der Verfügung vom 28. März 2006). Einer allfälligen Beschwerde gegen diese Verfügung entzog das Amt für Landwirtschaft die aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 27. April 2006 weigerte sich das Volkswirtschaftsdepartement, die aufschiebende Wirkung der dort angehobenen Beschwerde wieder herzustellen. Dies tat jedoch später das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, an welches sich A._ im Rahmen des kantonalen Rechtsmittelzuges gewandt hatte (Urteil vom 9. Juni 2006).
B. Am 18. Oktober 2006 hiess das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn die Beschwerde gegen die Verfügung vom 28. März 2006 teilweise gut. Es hob deren Ziff. 6 (Verpflichtung zum Beizug einer Fachperson zwecks Überprüfung des "Managements für die auf dem Hof verbleibenden Tiere") auf und wies das Amt für Landwirtschaft an, die Ausführungen zur Pony- und Hengsthaltung sowie zum Aufgabenbereich der beizuziehenden Fachperson zu präzisieren. Im Übrigen wies das Departement die Beschwerde ab, darunter namentlich auch die Anträge von A._ betreffend Belassung eines Bestandes von sieben Hunden.
Hiegegen wandte sich A._ erneut ans Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Ihre Beschwerde richtete sich noch gegen die "Reduktion des Bestandes auf einen Hund sowie gegen die Verlegung von Verfahrens- und Parteikosten".
Mit Urteil vom 5. Februar 2007 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 21. März 2007 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Auflage, wonach der Hundebestand auf einen kastrierten Hund zu reduzieren sei, aufzuheben.
Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn stellt denselben Antrag. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement hat sich unter Beilage einer Stellungnahme des Bundesamtes für Veterinärwesen vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen.
D. Mit Verfügung vom 30. April 2007 hiess der Abteilungspräsident das mit der Beschwerdeeinreichung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gut.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil ist am 15. Februar 2007, d.h. nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) ergangen, weshalb für das vorliegende Verfahren die Vorschriften des neuen Gesetzes massgebend sind (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), welche unter keinen der in Art. 83 BGG genannten Ausschlussgründe fällt, weshalb das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Die Beschwerdeführerin, die als Partei (Rechtsmittelklägerin) am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung; sie ist demzufolge zur Beschwerde berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3. Die Beschwerdeführerin - deren prekäre persönliche Verhältnisse in dem bei den Akten liegenden Strafurteil des Amtsgerichtspräsidenten von Dorneck-Thierstein vom 25. Februar 2005 (S. 23) dargestellt werden (vgl. auch vorne "A") - hat sich sowohl in der Nutztierhaltung wie auch in der Haltung ihrer zahlreichen Hunde (zuletzt um die 40 Tiere) schwerwiegende Versäumnisse zuschulden kommen lassen. Streitpunkt des angefochtenen kantonalen Urteils sowie des vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahrens bildet aber nur noch die Reduktion des Hundebestandes auf ein einziges, kastriertes Tier. Die für die Nutztierhaltung getroffenen Anordnungen sind hier nicht weiter zu erörtern.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die verfügte Auflage, wonach ihr nur noch die Haltung eines einzigen, kastrierten Hundes gestattet sein solle, sei bundesrechtswidrig. Im angefochtenen Urteil werde mit keinem Wort erwähnt, gestützt auf welche gesetzliche Grundlage die Reduktion des Tierbestandes verfügt werden dürfe. Eine solche Reduktion verstosse ausserdem gegen die Eigentumsgarantie, da der Eingriff weder im öffentlichen Interesse liege noch verhältnismässig sei.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die verfügte Auflage, wonach ihr nur noch die Haltung eines einzigen, kastrierten Hundes gestattet sein solle, sei bundesrechtswidrig. Im angefochtenen Urteil werde mit keinem Wort erwähnt, gestützt auf welche gesetzliche Grundlage die Reduktion des Tierbestandes verfügt werden dürfe. Eine solche Reduktion verstosse ausserdem gegen die Eigentumsgarantie, da der Eingriff weder im öffentlichen Interesse liege noch verhältnismässig sei.
4.2 4.2.1 Das Eigentum ist gewährleistet (Art. 26 Abs. 1 BV). Einschränkungen von Grundrechten bedürfen einer gesetzlichen Grundlage. Sie müssen durch ein öffentliches Interesse oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sein. Der Kerngehalt der Grundrechte ist unantastbar (Art. 34 Abs. 1 - 4 BV).
4.2.2 Gemäss Art. 25 Abs. 1 Satz 1 des Tierschutzgesetzes vom 9. März 1978 (TschG, SR 455) schreitet die zuständige Behörde unverzüglich ein, wenn feststeht, dass Tiere stark vernachlässigt oder völlig unrichtig gehalten werden. Sie kann das Halten von Tieren Personen verbieten, die wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunksucht "oder aus anderen Gründen" hierzu unfähig sind (Art. 24 lit. b TschG). Unfähigkeit der Tierhaltung ist gegeben, wenn sich der Halter nicht an die grundsätzlichen Verhaltensgebote und -verbote des Tierschutzgesetzes zu halten vermag (Urteil 2A.1999 vom 3. Juni 1999, E. 3b). Danach sind Tiere namentlich so zu behandeln, dass ihren Bedürfnissen in bestmöglicher Weise Rechnung getragen wird (Art. 2 TschG); ausserdem hat, wer ein Tier hält oder betreut, dieses unter anderem angemessen zu nähren und zu pflegen (Art. 3 TschG); ferner ist das starke Vernachlässigen von Tieren verboten (Art. 22 TschG).
4.3 Dass die gesetzliche Grundlage für das verfügte partielle Hundehalteverbot im angefochtenen Entscheid nicht ausdrücklich genannt wird, vermag dessen Bundesrechtskonformität nicht in Frage zu stellen. Die zur Anwendung gelangte Gesetzesbestimmung - Art. 24 TschG - wurde zumindest in vorangegangenen Verfahren genannt (vgl. etwa Verfügung vom 28. März 2006 S. 5) und ist der Beschwerdeführerin bzw. ihrem Rechtsvertreter durchaus bekannt. Soweit sich die Beschwerdeführerin zur Begründung der behaupteten Rechtsverletzungen auf das Informationsblatt 800.103.02 des Bundesamtes für Veterinärwesen beruft ("Einschreiten bei stark vernachlässigten Tieren/Tierhalteverbot"), übersieht sie, dass es sich dabei um Empfehlungen bzw. Anweisungen an die Vollzugsbehörden handelt, die sich zwar an den Bestimmungen der Tierschutzgesetzgebung orientieren, selber aber keine verbindlichen Rechtsnormen darstellen (vgl. Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Auflage, Rz. 123 ff.). Dass für die Anordnung eines Tierhalteverbotes zuerst eine entsprechende Androhung an den Halter ergangen sein muss, kann sich, je nach den konkreten Umständen, aus dem Gebot der Verhältnismässigkeit ergeben, doch ist ein solches Vorgehen vom Gesetz nicht zwingend vorgeschrieben. Ein Halteverbot kann, wo sich dies aufdrängt, auch ohne vorherige Androhung ergehen.
4.4 Aus den vorliegenden Akten ergibt sich, dass gegen die Beschwerdeführerin schon im Jahre 2003 - damals allerdings nur wegen Mängeln in der Viehhaltung - tierschutzrechtliche Einschränkungen verfügt werden mussten. Im Frühjahr 2006 lebten auf dem Hof der Beschwerdeführerin gemäss den Feststellungen der Behörde 40 - 45 Hunde in zum Teil stark vernachlässigtem Zustand. Sie waren zum grossen Teil schlecht genährt und verhaltensauffällig (vgl. Entscheid des Volkswirtschaftsdepartements vom 18. Oktober 2006, S. 8). Es gab zudem auch Klagen von Passanten über Belästigungen durch freilaufende Hunde (vgl. E-Mail der Kantonstierärztin vom 18. April 2006). Zwar hat die Beschwerdeführerin in der Zwischenzeit 37 Hunde mit entsprechenden Verzichtserklärungen an die Tierschutzorganisation beider Basel abgegeben. Sie kann sich aber mit der Reduktion auf ein einziges Tier nicht abfinden und möchte den gegenwärtigen Bestand von 7 Hunden (bzw. Rüden, die sich nicht vermehren könnten, vgl. S. 4 der Beschwerdeergänzung an das Departement vom 12. Mai 2006) beibehalten, u.a. auch zur besseren Bewachung des Hofes. Im Rahmen der Gewährung des rechtlichen Gehörs machte sie geltend, da sie nur um gehörlose Menschen herum lebe, nähmen ihr die übriggebliebenen Hunde die Angst, "so abgelegen allein hörend zu leben". Zwei Hunde hätten überdies schon ein Alter von 8 Jahren erreicht, weshalb es ein Anliegen sei, "die jüngeren Lieblinge auch zu behalten".
Diese Einwendungen sind verständlich, vermögen aber gegenüber den Überlegungen der Tierschutzbehörden nicht aufzukommen. Die Beschwerdeführerin hat durch ihr bisheriges Verhalten gezeigt, dass sie nicht eine grössere Anzahl Hunde artgerecht zu halten vermag. Wer es zu derart gravierenden Missständen hat kommen lassen, wie sie im Frühjahr 2006 festgestellt wurden, muss in Kauf nehmen, dass ihm die Eignung zur Hundehaltung grundsätzlich abgesprochen wird. Dem geltend gemachten persönlichen Bedürfnis der Beschwerdeführerin wird ausreichend Rechnung getragen, wenn ihr wenigstens die Haltung noch eines einzigen (kastrierten) Hundes gestattet wird. Damit kann auch leichter sichergestellt werden, dass Passanten nicht mehr belästigt werden. Diese Einschränkung erscheint objektiv nicht unverhältnismässig, begnügen sich doch auch viele andere Landwirtschaftsbetriebe mit einem einzigen Hofhund.
4.5 Von einem ungerechtfertigten Eingriff in die Eigentumsgarantie kann nicht gesprochen werden. Das verfügte partielle Hundehaltungsverbot beruht auf gesetzlicher Grundlage, liegt im öffentlichen Interesse und erweist sich nach dem Gesagten auch als verhältnismässig.
Soweit die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht erneut geltend macht, die Eigentumsverhältnisse seien nicht abgeklärt worden, übersieht sie, dass sie aufgrund der bestehenden Verhältnisse jedenfalls zulässigerweise als Halterin der vorhandenen Tiere betrachtet werden durfte und alsdann auch Adressatin eines entsprechenden Halteverbots sein kann.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Landwirtschaft, dem Volkswirtschaftsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: