Sachverhalt:
A. Die Einwohnergemeinde Teufen schrieb am 5. Dezember 2007 das Projekt "Sport- und Freizeitanlage Landhaus, Ersatz Naturrasen Nebenplatz durch Kunstrasen", im offenen Verfahren öffentlich aus und erteilte am 7. Februar 2008 der Z._ AG den Zuschlag. Die Begründung der Zuschlagsverfügung erschöpfte sich in der Wiedergabe der Netto-Offertbeträge (ohne Namensnennung der Anbieter) sowie im Hinweis, "der Zuschlag erfolgte an das wirtschaftlich günstigste Angebot, wobei die Kriterien Eignung, Preis, Ökologie und Kapazität massgebend waren". Mit Eingabe vom 11. Februar 2008 erhob die Mitbewerberin X._ AG, hiegegen beim Präsidenten des Verwaltungsgerichts Appenzell Ausserrhoden Beschwerde, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Sie beanstandete u.a., dass in der Zuschlagsverfügung der Preis für die vergebene Arbeit nicht angegeben worden sei; als günstigste Anbieterin hätte sie den Zuschlag erhalten müssen. Eine Rückfrage beim Gemeindeingenieur sei wegen Ferienabwesenheit desselben nicht möglich gewesen, weshalb sie sich zur Anfechtung des Entscheides veranlasst sehe. Mit Verfügung vom 28. Februar 2008 stellte der Verwaltungsgerichtspräsident fest, aus der inhaltsleeren Begründung des Zuschlagsentscheides sei nicht ersichtlich, wieso das Produkt der Beschwerdeführerin weniger geeignet sein soll als dasjenige des Zuschlagsempfängers. Ebensowenig könne dem Zuschlagsentscheid entnommen werden, wer das günstigste Angebot eingereicht habe. Eine gewisse Erfolgschance lasse sich der Beschwerde daher nicht absprechen. Es sei zur Zeit auch nicht ersichtlich, welche öffentlichen Interessen der Gewährung aufschiebender Wirkung entgegenstehen könnten. Der Beschwerde sei daher die aufschiebende Wirkung zu erteilen, wobei diese Anordnung aber im Laufe des weiteren Verfahrens, d.h. insbesondere nach Vorliegen der Akten und der Beschwerdeantwort, widerrufen werden könne.
In ihrer am 20. März 2008 eingereichten Beschwerdeantwort widersetzte sich die Gemeinde der Gewährung der aufschiebenden Wirkung, u.a. mit dem Hinweis auf die Bedürfnisse des Spielbetriebes der verschiedenen lokalen Fussballmannschaften; weiter hob sie hervor, dass die Beschwerdeführerin nach erfolgter Auswertung der Zuschlagskriterien auf dem 7. Platz rangiere und damit keinerlei Aussichten auf den Zuschlag habe. Mit Verfügung vom 8. April 2008 entzog der Verwaltungsgerichtspräsident der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B. Gegen diesen letzteren Zwischenentscheid führt die - nunmehr anwaltlich vertretene - X._ AG beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, die Verfügung vom 8. April 2008 aufzuheben und damit die frühere Verfügung vom 28. Februar 2008 wieder in Kraft zu setzen; eventuell sei die Sache zur neuen Entscheidung an den Verwaltungsgerichtspräsidenten zurückzuweisen.
C. Die Gemeinde Teufen beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Z._ AG hat auf Gegenbemerkungen verzichtet, ebenso der Verwaltungsgerichtspräsident von Appenzell Ausserrhoden.
D. Dem von der X._ AG für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 22. April 2008 superprovisorisch insoweit entsprochen, als der Gemeinde jegliche Vollziehungsvorkehrungen, insbesondere der Abschluss eines Werkvertrages gemäss dem Zuschlagsentscheid vom 7. Februar 2008, einstweilen untersagt wurden.
Erwägungen:
1. 1.1 Das ordentliche Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen nur zulässig, wenn die in Art. 83 lit. f Ziff. 1 und 2 BGG genannten beiden Bedingungen kumulativ erfüllt sind, d.h. wenn einerseits der zu vergebende Auftrag den massgebenden Schwellenwert erreicht und sich zugleich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (BGE 133 II 396 E. 2.1 S. 398, mit Hinweisen). Vorliegend fehlt es, falls das Vorhaben als Bauwerk einzustufen ist, schon am erforderlichen Auftragswert (9,575 Mio. Franken, vgl. Art. 1 lit. c der Verordnung des EVD vom 26. November 2007 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für das Jahr 2008, SR 172.056.12). Jedenfalls stellt sich, was in der Beschwerdeschrift (S. 2/3) ausdrücklich eingeräumt wird, keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher ausgeschlossen. Zulässig bleibt, da es sich um den Entscheid einer kantonalen Instanz handelt, die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG, als welche die Beschwerdeführerin ihre Eingabe gegebenenfalls verstanden haben will.
1.2 Da sie als unterlegene Bewerberin eines Vergabeverfahrens rechtlich geschützte Interessen geltend machen kann, ist sie zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (Art. 115 BGG).
1.3 Der angefochtene Entscheid schliesst das vorinstanzliche Verfahren nicht ab, sondern befindet lediglich über die aufschiebende Wirkung des bei der kantonalen Rechtsmittelinstanz eingereichten Rechtsmittels. Durch die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung wird die Vergabestelle in die Lage versetzt, den angefochtenen Zuschlag trotz des hängigen Rechtsmittelverfahrens durch Abschluss eines Vertrages zu vollziehen, womit der Beschwerdeführerin bei einem gutheissenden Endentscheid nur noch die allfällige Geltendmachung von Schadenersatz möglich bleibt. Der Beschwerdeführerin droht insoweit ein nicht wieder gutzumachender rechtlicher Nachteil, weshalb sie diesen Zwischenentscheid sofort gesondert anfechten kann (Art. 117 in Verbindung mit Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG).
1.4 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Eine entsprechende Beschränkung der Beschwerdegründe gilt zudem generell für die Anfechtung von Entscheiden über vorsorgliche Massnahmen (Art. 98 BGG), wozu auch Entscheide über die aufschiebende Wirkung gehören (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_203/2008 vom 29. April 2008, E. 1.5 mit Hinweis).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Zum einen habe die Gemeinde Teufen die Zuschlagsverfügung nicht ordnungsgemäss begründet. Vor allem aber habe es der Verwaltungsgerichtspräsident unterlassen, nach Eingang der den Zuschlag näher begründenden Beschwerdeantwort der Gemeinde sowie der dazugehörigen Unterlagen der Beschwerdeführerin eine nochmalige Äusserungsmöglichkeit einzuräumen, bevor er nochmals über die aufschiebende Wirkung entschied; die Beschwerdeführerin sei ohne die nachgereichte Begründung der Gemeinde gar nicht in der Lage gewesen, ihre Beschwerde an das Verwaltungsgericht richtig zu begründen. Erst im Rahmen der anstehenden Replik habe sie die Möglichkeit, zur vorgenommenen Auswertung der Offerten Stellung zu nehmen und eine unzulässige Beeinflussung der Entscheidgremien durch die Z._ AG zu rügen. Es gehe nicht an, dass der Verwaltungsgerichtspräsident aufgrund der von der Gemeinde nachgeschobenen Begründung über die "matchentscheidende" aufschiebende Wirkung befinde, ohne der Beschwerdeführerin nochmals das rechtliche Gehör gewährt zu haben, zumal die ursprüngliche Verfügung praktisch überhaupt nicht begründet gewesen sei. Sofern der Naturrasen gemäss den Vorbringen der Gemeinde bereits entfernt und die Tiefbauarbeiten bereits im Gange sein sollten, habe dies die Gemeinde zu vertreten; sie habe ihr Projekt so zu planen, dass durch allfällige Beschwerden kein Schaden entstehe.
2.2 Dass die kantonalen Behörden durch ihr Vorgehen bestimmte kantonalrechtliche Verfahrensvorschriften verletzt hätten, wird nicht behauptet. Es kann sich daher einzig darum handeln, ob eine Verletzung des unmittelbar durch Art. 29 Abs. 2 BV gewährleisteten Gehörsanspruches vorliegt.
Nach Art. 17 der Interkantonalen Vereinbarung vom 25. November 1994/15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (IVöB), welcher der Kanton Appenzell Ausserrhoden beigetreten ist (AS 2003 4119), hat die Beschwerde gegen Verfügungen der Vergabestelle keine aufschiebende Wirkung (Abs. 1); die Beschwerdeinstanz kann auf Gesuch hin oder von Amtes wegen die aufschiebende Wirkung erteilen, wenn die Beschwerde als ausreichend begründet erscheint und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen (Abs. 2). Nach Art. 4 Abs. 3 des ausserrhodischen Gesetzes vom 24. September 2000 über das öffentliche Beschaffungswesen (GöB) ist diese Regelung für den Rechtsschutz im öffentlichen Beschaffungswesen generell anwendbar.
2.3 Es liegt in der Natur der Sache, dass die Rechtsmittelbehörde über die Gewährung der aufschiebenden Wirkung rasch und ohne zeitraubende Abklärungen entscheidet. Das vorliegend anwendbare kantonale Verfahrensrecht setzt der Beschwerdeinstanz im Bereich der öffentlichen Beschaffungen hierfür eine kurze Frist von 10 Tagen seit Eingang der Beschwerde (Art. 4 Abs. 3 GöB). Besteht von Gesetzes wegen keine aufschiebende Wirkung und wird diese nur unter einschränkenden Bedingungen erteilt, hat die ersuchende Partei die Notwendigkeit dieser Massnahme gestützt auf die ihr bekannten Umstände darzutun. Von einer umfassenden Anhörung der Beteiligten oder einem zweiten Schriftenwechsel darf in der Regel abgesehen werden (Urteil 2P.103/2006 vom 29. Mai 2006, E. 3.1, mit Hinweisen). Das rechtliche Gehör des Gesuchstellers wird in der Regel durch das Gesuch selbst gewahrt.
2.4 Die der Zuschlagsverfügung der Gemeinde beigefügte Begründung war unbestrittenermassen mangelhaft; sie erschöpfte sich in Leerformeln und einigen Zahlenangaben ohne Aussagekraft. Ob und wieweit die Möglichkeit bestanden hätte, innert der 10-tägigen Beschwerdefrist seitens der Vergabestelle ergänzende Angaben zu erhalten, um allfällige Mängel des Vergabeverfahrens in einer Rechtsmitteleingabe sachgerecht rügen zu können, ist unklar. Nach Darstellung der Beschwerdeführerin sei ihr der Erhalt zusätzlicher Informationen wegen Abwesenheit des Gemeindeingenieurs verwehrt geblieben. Die Gemeinde hält dem entgegen, dass der Gemeindeingenieur über eine Stellvertretung verfügt habe und die Vergabestelle zudem durch ein externes Ingenieurbüro vertreten gewesen sei. Die Beschwerdeführerin habe nie ein Begehren "so begründet, dass die Vergabestelle richtig reagieren konnte" (S. 5 der Vernehmlassung vom 5. Mai 2008). Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben.
2.5 Der Umstand, dass die angefochtene Zuschlagsverfügung ungenügend begründet war, hätte von Verfassungs wegen die Gewährung einer zweiten Äusserungsmöglichkeit der Beschwerdeführerin vor dem nochmaligen Entscheid über die aufschiebende Wirkung wohl dann geboten, wenn die erste, gegenteilige Anordnung aufgrund eines dahingehenden Antrages der Beschwerdeführerin ergangen wäre. Ein Antrag auf aufschiebende Wirkung wurde jedoch in der Beschwerdeschrift gar nicht gestellt; der kantonale Richter erteilte die aufschiebende Wirkung, wozu er nach dem Gesagten befugt war, zunächst (superprovisorisch) von Amtes wegen, ohne die Vergabestelle anzuhören. Nach Vorliegen der Stellungnahme der Gemeinde fällte er einen neuen, gegenteiligen Entscheid, durch den die Beschwerdeführerin, da sie diesbezüglich gar keinen bzw. keinen gegenteiligen Antrag gestellt hatte, prozessual nicht beschwert war, womit sich auch ihre nochmalige Anhörung nicht zwingend aufdrängte. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich damit als unbegründet.
2.6 Dass die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung inhaltlich gegen verfassungsmässige Rechte verstosse, wird nicht geltend gemacht, weshalb sich Erörterungen hiezu erübrigen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte, superprovisorisch bewilligte Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden Endentscheid hinfällig.
3. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Die Gemeinde hat, wiewohl anwaltlich vertreten, keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG). Der Beschwerdegegnerin Z._ AG sind keine anwaltlichen Aufwendungen entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser