Sachverhalt:
A. In den von der X._ AG (Beschwerdeführerin) beim Kantonsgericht Schaffhausen gegen A._ und B._, gegen C._ und gegen D._ (Beschwerdegegner) eingeleiteten Forderungsprozessen erhielt die Beschwerdeführerin eine Frist zur Stellungnahme zur Eingabe der Gegenparteien bis 16. Februar 2012. Mit Eingabe vom 16. Februar 2012 ersuchte sie um Fristerstreckung und stellte zugleich weitere Anträge betreffend Auskunftsbegehren und Überweisung des Verfahrens an ein ausserkantonales Gericht. Das Kantonsgericht bewilligte in drei separaten Verfügungen das Fristerstreckungsgesuch (Dispositiv-Ziffer 1) und lehnte die weiteren Anträge ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 2). Ferner wurde angeordnet, dass die Kosten dieser Verfügungen bei der Hauptsache bleiben (Dispositiv-Ziffer 3).
Die Beschwerdeführerin erhob gegen die drei Verfügungen Beschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen und beantragte, die angefochtenen Verfügungen seien in den Dispositiv-Ziffern 2 und 3 aufzuheben und das Kantonsgericht sei anzuweisen, seinen Amtspflichten nachzukommen.
Mit Entscheid vom 29. Juni 2012 wies das Obergericht die Beschwerde ab und trat auf das in der Beschwerde ebenfalls enthaltene pauschale Ausstandsbegehren nicht ein.
B. Die Beschwerdeführerin beantragt mit "staatsrechtlicher Beschwerde", der Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 29. Juni 2012 sei "wegen Verletzung der Ausstandspflichten des Obergerichts Richtergremiums besetzt mit E._, F._, G._ und des Obergerichts Gerichtsschreibers H._" aufzuheben. Sodann beantragt sie, "vorbefasste und mehrfach abgelehnte, ausständige Richter und Personen der Rechtspflege" hätten "bis zum betreffenden Entscheid in den Ausstand zu treten und sich bis zur rechtsgültigen Klärung und Erschöpfung sämtlicher, in dem Zusammenhang Rechtswege, insbesondere bei laufenden Gerichtsverfahren auf übergeordneten Ebenen zu enthalten, ggf. sind zur Erfüllung der verfassungsrechtlichen gegebenen Garantie des unabhängigen, neutralen Richters ggf. ausserkantonale Ersatzrichter zu berufen oder das Verfahren an die Gerichtsbarkeit des Kantons Zug, dem Sitz der Beschwerdeführerin in Anwendung der geltenden Menschenrechte und in Anwendung der [...] sich ergebenden Ableitung und Rechtsauslegung gemäss dem verfassungsmässig garantierten Grundrecht [...] innert angemessener Frist von 3 Wochen nach Rechtswirksamkeit des Urteils an diese abzutreten."
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
C. Mit Eingabe vom 4. Oktober 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin unter anderem darum, es sei ihr die vorgesehene Besetzung des Bundesgerichts zur Kenntnis zu bringen und es sei ihr Auskunft darüber zu geben, ob und welche der beteiligten Gerichtspersonen dem "Schaffhauser Juristenverein angehören, angehört haben oder freundschaftliche Beziehungen dort pflegen" im Sinne der "Einschätzung des [...] Neutralitätsgesichtspunktes". Ferner beantragte sie die Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens bis zur Entscheidung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte über die Beschwerde gegen den Entscheid des Bundesgerichts vom 27. April 2011 (4D_8/2011).
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 6 Abs. 1 BZP (SR 273) kann das Bundesgericht das Verfahren aus Gründen der Zweckmässigkeit aussetzen. Der Entscheid steht im Ermessen des Bundesgerichts, wobei dieses von der ihm eingeräumten Möglichkeit der Verfahrensaussetzung zurückhaltenden Gebrauch macht (vgl. Urteile 5A_869/2011 vom 10. Mai 2012 E. 1; 4A_595/2011 vom 17. Februar 2012 E. 1.5). Vorliegend sind keine überwiegenden Gründe ersichtlich, welche die Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens rechtfertigen würden. Namentlich bildet das von der Beschwerdeführerin erwähnte Verfahren beim Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte betreffend das Urteil des Bundesgerichts vom 27. April 2011 keinen Grund zur Aussetzung des vorliegenden Verfahrens. Das Sistierungsgesuch ist daher abzuweisen.
1.2 Abzuweisen ist auch das Gesuch um vorgängige Bekanntgabe der bundesgerichtlichen Gerichtsbesetzung, weil die Beschwerdeführerin die Namen der Mitglieder der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts anhand des Staatskalenders hätte ermitteln und auf dieser Grundlage Ausstandsbegehren stellen können.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 137 III 417 E. 1; 136 II 101 E. 1, 470 E. 1).
2.2 Im angefochtenen Entscheid wird auf ein Ausstandsbegehren nicht eingetreten. Sodann wird darin die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid des Kantonsgerichts abgewiesen, der im weiteren Sinn ebenfalls Ausstandsfragen, nämlich Auskunftsbegehren über die Gerichtsbesetzung und Begehren betreffend Überweisung an ein ausserkantonales Gericht, zum Gegenstand hatte. Mit Blick auf die angesprochene Thematik kann der angefochtene Entscheid insgesamt als selbständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG betrachtet werden, gegen den die Beschwerde zulässig ist.
2.3 Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Vor- und Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2). Weder dem angefochtenen Entscheid noch der Beschwerde kann entnommen werden, wie hoch der Streitwert der Hauptsache ist. Da nicht dargetan ist, dass es um eine Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Streitwert von mehr als Fr. 30'000.-- geht, scheidet die Beschwerde in Zivilsachen aus. Die erhobene "staatsrechtliche Beschwerde" ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG).
3. 3.1 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Die Verletzung dieser Rechte kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG; BGE 136 I 65 E. 1.3.1; 134 II 244 E. 2.2). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 133 III 589 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1).
Die zahlreichen Hinweise auf andere die Beschwerdeführerin betreffende Verfahren des Kantonsgerichts Schaffhausen, des Obergerichts Schaffhausen, der Staatsanwaltschaft Schaffhausen, des Bundesgerichts und des EGMR sind daher unbeachtlich. Entsprechend entfällt auch der angeregte Beizug der diesbezüglichen Akten.
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG, mithin auf einer Verletzung von verfassungsmässigen Rechten, beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat das Vorliegen einer Verfassungsverletzung mit einer den vorstehend genannten Anforderungen (Erwägung 3.1) genügenden Begründung geltend zu machen (BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 445). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: BGE 137 III 539; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570).
Auch diese Grundsätze missachtet die Beschwerdeführerin, weshalb auf ihre beliebig ergänzte Sachverhaltsdarstellung nicht abgestellt werden kann.
Von vornherein nicht einzutreten ist auf den Beweisantrag der Beschwerdeführerin auf Befragung von Frau Dr. J._ als Zeugin. Zum einen ist nicht dargetan, dass sie diesen Beweisantrag prozesskonform im kantonalen Verfahren gestellt hätte, zum andern fehlen die Voraussetzungen, unter denen das Bundesgericht ausnahmsweise eine Beweismassnahme selbst vornehmen könnte.
4. Die Beschwerdeführerin beanstandet eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), wobei eine nachvollziehbare Begründung in der Beschwerde indessen weitgehend fehlt: Sie behauptet unter diesem Titel einerseits, dass die Vorinstanz wie auch die "beschwerdegegenständlichen Personen" Ausstandsregeln vorsätzlich missachtet hätten. Darauf ist bei der Behandlung der Rüge einer Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK einzugehen (Erwägung 5). Andererseits moniert die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Pflicht der Behörden, "zu den vorgebrachten Argumenten und Anträgen" Stellung zu nehmen. Sie konkretisiert aber nicht, zu welchen rechtsrelevanten Vorbringen die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht Stellung genommen hätte. Inwiefern die Vorinstanz den Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin in dieser Beziehung verletzt haben soll, wird demnach nicht rechtsgenüglich begründet. Darauf ist nicht einzutreten.
An anderer Stelle beanstandet die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe nicht begründet, "auf welcher nachvollziehbaren Rechtsgrundlage diese ihre Gebühren 'Staatsgebühr' [von] Fr. 1'000.--" erhebe oder festlege und "warum willkürlich Umbuchungen von geleisteten Gerichtskostenzahlungen rückwirkend durchgeführt" würden, "ohne die Rechtskraft des Entscheids abzuwarten". Damit scheint sie eine Verletzung der Begründungspflicht hinsichtlich des Kostenentscheids rügen zu wollen. Hierzu ist zu erwähnen, dass nach der Rechtsprechung die verfassungsrechtliche Begründungspflicht in der Regel nicht erfordert, die Höhe der erhobenen Gebühr näher zu begründen, solange sie sich innerhalb des Gebührenrahmens hält (Urteil 1C_156/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 8.1.1; hinsichtlich der Parteientschädigung: BGE 111 Ia 1 E. 2a). Die angesprochene Thematik der "Umbuchung" findet im angefochtenen Entscheid keine Erwähnung. Mangels tatsächlicher Feststellungen kann darauf nicht eingegangen werden.
5. Die Beschwerdeführerin beanstandet eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie kritisiert, es bestünden Zweifel an der Unparteilichkeit, der Neutralität, der Unbefangenheit und an der Unvoreingenommenheit der "Vorinstanz wie auch der beschwerdegegenständlichen Amtspersonen".
5.1 Es wird nicht präzisiert, wer mit dem Ausdruck "beschwerdegegenständlichen Amtspersonen" konkret gemeint ist. Insoweit kann daher auf die Rüge von vornherein nicht eingetreten werden. Dasselbe gilt, soweit die Beschwerdeführerin allgemein beantragt, "vorbefasste und mehrfach abgelehnte, ausständige Richter und Personen der Rechtspflege" hätten in den Ausstand zu treten, und gegebenenfalls seien ausserkantonale Ersatzrichter zu berufen oder das Verfahren an die Gerichtsbarkeit des Kantons Zug zu überweisen. Auch insoweit bleibt sie im Allgemeinen verhaftet und bezieht ihre Darlegungen pauschal auf "sämtliche Justizpersonen wie auch die Gegenanwälte im Kanton Schaffhausen". Sie scheint sich auf den Ausstandsgrund besonderer freundschaftlicher Beziehungen berufen zu wollen, vermag aber nicht zu konkretisieren, wer mit wem aufgrund welcher Umstände in einer besonderen freundschaftlichen Beziehung stehen soll. Ihre vage Behauptung freundschaftlicher, die Neutralität beseitigender Beziehungen der Gerichtspersonen im Kanton Schaffhausen belegt keinen Ausstandsgrund. Auch wurde schon wiederholt festgehalten, dass die blosse Mitgliedschaft im Schaffhauser Juristenverein die Unabhängigkeit der Schaffhauser Gerichtspersonen nicht aufhebt (vgl. Urteile 4D_42/2012 vom 2. Oktober 2012 E. 5.2.1; 4D_8/2011 vom 27. April 2011 E. 5.5). Ohnehin besteht keine Rechtsgrundlage, ausserkantonale Ersatzrichter zu berufen oder die Gerichtsbarkeit des Kantons Zug mit dem Verfahren der Beschwerdeführerin zu befassen. Dies erkannte die Vorinstanz zutreffend. Die Beschwerde ist insoweit unbegründet, soweit mit Blick auf die unbestimmte Formulierung des Ausstandsbegehrens überhaupt darauf eingetreten werden kann.
5.2 Demgegenüber steht der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht grundsätzlich die Rüge offen, das Obergericht sei im zu beurteilenden Fall nicht mit unabhängigen, unparteiischen Personen und damit verfassungswidrig besetzt gewesen.
5.2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (BGE 136 I 207 E. 3.1; 133 I 1 E. 5.2 S. 3). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei deren Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 136 III 605 E. 3.2.1; 136 I 207 E. 3.1).
5.2.2 Die Beschwerde lässt kaum erkennen, in welchem konkreten Verhalten oder welchen äusseren Begebenheiten die Beschwerdeführerin einen Grund für die Befangenheit der am angefochtenen Entscheid beteiligten Gerichtspersonen des Obergerichts erblickt. Sie verweist auf frühere Verfahren vor dem Kantons- und dem Obergericht sowie der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen und auf den Umstand, dass die betreffenden Justizpersonen schon in den früheren Verfahren abgelehnt worden seien. Mit diesem Vorbringen verkennt die Beschwerdeführerin, dass die blosse Geltendmachung einer Ablehnung von ihrer Seite nicht genügt, sondern dargetan werden müsste, dass die betroffenen Gerichtspersonen im vorliegenden Verfahren tatsächlich in den Ausstand hätten treten müssen. Dies ist nicht der Fall, weshalb hieraus auch keine Verletzung der Ausstandsregeln folgt. Sodann ist auch bezüglich der am angefochtenen Entscheid beteiligten Gerichtspersonen einmal mehr anzumerken, dass alleine aus der gemeinsamen Mitgliedschaft im Schaffhauser Juristenverein keine besondere Freundschaft zwischen den betreffenden Personen abgeleitet werden kann (vgl. Erwägung 5.1). Die Beschwerdeführerin moniert sodann "die bisherige widerrechtliche Handhabe des Fall[e]s" und fügt an, "die sich zeigende, einseitig vorgefasste feindliche Haltung des Schaffhauser Gerichts gegenüber der Beschwerdeführerin" sei ebenfalls ein Grund für die Ablehnung. Mit diesen unsubstanziierten Vorwürfen vermag sie keinen Ausstandsgrund zu belegen. Schliesslich begründet die Beschwerdeführerin auch dadurch, dass sie einzelne Passagen aus Lehre und Rechtsprechung zu Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK wiedergibt, nicht konkret, inwiefern der angefochtene Entscheid die genannten Bestimmungen verletzen soll.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Beschwerdeantwort eingeholt wurde, entfällt die Pflicht zur Bezahlung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Gesuche der Beschwerdeführerin um Sistierung des Verfahrens sowie um vorgängige Bekanntgabe der Gerichtsbesetzung werden abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz