Sachverhalt:
A. X._ ist Eigentümerin des Grundstücks Kat.-Nr. 1 (vormals: Kat.-Nr. 2) an der Strasse S._ in A._. Das südlich an dieses grenzende, ebenfalls an der Strasse S._ gelegene Grundstück Kat.-Nr. 4, das früher zum Grundstück Kat.-Nr. 3 der Schulgemeinde A._ gehört hatte, steht im Eigentum von Y._ und Z._. Zugunsten und zulasten der Grundstücke Kat.-Nr. 1 und Kat.-Nr. 4 ist ein "unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht" (SP Art. 7) im Grundbuch eingetragen.
B. Mit Eingabe vom 12. Oktober 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht D._ Klage gegen Y._ und Z._ und beantragte, es sei festzustellen, dass die Dienstbarkeit SP Art. 7 mit Bezug auf das berechtigte Grundstück Kat.-Nr. 4 und auf ihr belastetes Grundstück Kat.-Nr. 1 mit der Abtrennung des von Y._ und Z._ erworbenen Teils des Grundstücks Kat.-Nr. 3 der Schulgemeinde A._ erloschen sei, und das Grundbuchamt A._ sei anzuweisen, das Grundbuch entsprechend nachzuführen.
Das Bezirksgericht D._ (I. Abteilung) und das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich wiesen die Klage durch Urteile vom 3. November 2006 bzw. vom 11. März 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. April 2008 verlangt X._ die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die Gutheissung der im kantonalen Verfahren gestellten Klagebegehren; allenfalls sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht oder an das Obergericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Über die Beschwerde wurde im Rahmen einer öffentlichen Beratung entschieden.
Erwägungen:
1. Angefochten ist der Entscheid der letzten kantonalen Instanz in einer Dienstbarkeitsstreitigkeit, d.h. in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur (BGE 54 II 51 f.). Für eine solche steht in einem Fall der vorliegenden Art die Beschwerde in Zivilsachen nur offen, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Das Obergericht beziffert diesen auf 40'000 Franken. Auf die Beschwerde ist aus dieser Sicht somit ohne weiteres einzutreten, zumal die Beschwerdegegner nichts gegen den erwähnten Betrag vorbringen und auch sonst kein Anlass besteht, die vorinstanzliche Festsetzung des Streitwerts in Zweifel zu ziehen.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Begründung des angefochtenen Entscheids genüge den sich aus Art. 29 BV ergebenden Garantien nicht. Wie sie selbst erklärt, geht es bei der aus Art. 29 Abs. 2 BV abgeleiteten Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, darum, der betroffenen Partei im Hinblick auf eine allfällige Anfechtung des Entscheids ein Bild über dessen Tragweite zu verschaffen. Hierzu ist nicht erforderlich, dass die Behörde auf jede Einwendung der Parteien eingeht (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen). Inwiefern es der Beschwerdeführerin nicht möglich gewesen sein soll, das obergerichtliche Urteil sachgerecht anzufechten, ist nicht ersichtlich, so dass die Rüge der Gehörsverweigerung unbegründet ist.
2.2 Sodann erblickt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 9 BV darin, dass das Obergericht in willkürlicher Weise von ihr ins Recht gelegte Beweisurkunden, die für den Ausgang des Verfahrens wesentlich seien, ausser Acht gelassen bzw. falsch interpretiert habe. Sie sei unter diesen Umständen darauf angewiesen, dass das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG von Amtes wegen berichtige bzw. ergänze.
Dass und inwiefern tatsächliche Feststellungen des Obergerichts offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), sein sollen, legt die Beschwerdeführerin nicht dar (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Auf die Rüge willkürlicher Würdigung von Beweisurkunden ist daher nicht einzutreten. Wie sich sodann aus den nachstehenden Ausführungen ergeben wird, sind die vorinstanzlichen Feststellungen zu den tatsächlichen Gegebenheiten aus der Sicht der zu beurteilenden Rechtsfragen ausreichend. Die - im Übrigen ebenfalls nicht substantiierte - Rüge, es seien wesentliche Akten unbeachtet geblieben, stösst mithin ins Leere.
3. 3.1 Den von ihr geltend gemachten Anspruch auf Löschung des zugunsten des Grundstücks der Beschwerdegegner auf ihrem Grundstück eingetragenen Fuss- und Fahrwegrechts leitet die Beschwerdeführerin vorab aus Art. 743 Abs. 2 ZGB ab. Gemäss dieser Bestimmung kann der Dienstbarkeitsbelastete im Anschluss an eine Teilung des berechtigten Grundstücks verlangen, dass die Dienstbarkeit - die in der Regel zugunsten aller Teile weiter besteht (Art. 743 Abs. 1 ZGB) - mit Bezug auf diejenigen Teile, auf denen sie nach den Umständen nicht ausgeübt wird, gelöscht werde.
3.2 Aufgrund der tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts ist davon auszugehen, dass bereits zugunsten (und zulasten) des Grundstücks Kat.-Nr. 3 ein unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht zulasten (und zugunsten) des Grundstücks der Beschwerdeführerin (Kat.-Nr. 2; heute: Kat.-Nr. 1) bestanden hatte. Das Grundstück Kat.-Nr. 3 wurde im Jahre 2000 aufgeteilt, wobei unter anderem die Parzelle Kat.-Nr. 4 entstand, die heute im Eigentum der Beschwerdegegner steht. Sodann ist dem Grundbuchauszug vom 26. April 2004 betreffend das Grundstück Kat.-Nr. 1 (der Beschwerdeführerin) zu entnehmen, dass als Recht und Last unter anderem zulasten und zugunsten des Grundstücks Kat.-Nr. 4 (der Beschwerdegegner) ein "unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht" eingetragen ist und dass für die beiden Liegenschaften (wie zuvor schon für die Grundstücke Kat.-Nrn. 3 und 2) eine "im Plan Haupt-Beleg A._ 2000 Nr. 5 gelb und rot eingezeichnet[e]" Fuss- und Fahrweganlage besteht (die im Westen in die Strasse S._ einmündet). Aus den dargelegten Gegebenheiten geht hervor, dass die strittige Dienstbarkeit ausdrücklich (auch) auf dem Grundstück der Beschwerdegegner ausgeübt wird, der Tatbestand von Art. 743 Abs. 2 ZGB somit nicht erfüllt ist.
4. 4.1 Alsdann bringt die Beschwerdeführerin vor, eine Dienstbarkeit könne nicht zugunsten eines Grundstücks bestehen, dem sie nicht zu dem ursprünglichen, bei ihrer Errichtung definierten Zweck diene; würden durch Teilung des berechtigten Grundstücks Parzellen gebildet, die nichts mit dem ursprünglichen Zweck zu tun hätten, seien sie nicht berechtigte Grundstücke und ihr Eigentümer sei nicht dienstbarkeitsberechtigt; eine Dienstbarkeit, die gar nicht ausgeübt werden könne oder für die kein Interesse im Sinne des ursprünglich verfolgten Zwecks bestehe, könne gar nicht existieren. Die Beschwerdeführerin erklärt ferner, dass das Grundstück der Beschwerdegegner von der Strasse S._ her ausreichend erschlossen sei und keine zweite Zufahrt benötige. Sinn und Zweck des im Mai 2000 zugunsten der Schulliegenschaft (Kat.-Nr. 3) errichteten Fuss- und Fahrwegrechts habe nur die Sicherung der Zufahrt von der Strasse S._ zum hinteren Teil der Liegenschaft sein können. Indessen habe die Schulgemeinde die geplante Primarschulanlage schliesslich nicht auf dem erwähnten Grundstück, sondern an einem anderen Ort realisiert.
4.2 Mit ihren Vorbringen spricht die Beschwerdeführerin den in Art. 736 Abs. 1 ZGB geregelten Tatbestand an, wonach der Belastete die Löschung der Dienstbarkeit verlangen kann, wenn diese für das berechtigte Grundstück alles Interesse verloren hat. Letzteres beurteilt sich nach Inhalt und Umfang der Dienstbarkeit, für deren Ermittlung Art. 738 ZGB eine Stufenordnung vorgibt. Ausgangspunkt ist der Grundbucheintrag. Soweit sich Rechte und Pflichten aus dem Eintrag deutlich ergeben, ist dieser massgebend (Art. 738 Abs. 1 ZGB). Nur wenn sein Wortlaut unklar ist, darf im Rahmen des Eintrags auf den Erwerbsgrund zurückgegriffen werden (Art. 738 Abs. 2 ZGB), d.h. auf den Begründungsakt, der als Beleg beim Grundbuchamt aufbewahrt wird (Art. 948 Abs. 2 ZGB) und einen Bestandteil des Grundbuchs bildet (Art. 942 Abs. 2 ZGB). Ist auch der Erwerbsgrund nicht schlüssig, kann sich der Inhalt der Dienstbarkeit - im Rahmen des Eintrags - aus der Art ergeben, wie sie während längerer Zeit unangefochten und in gutem Glauben ausgeübt worden ist (Art. 738 Abs. 2 ZGB)(BGE 131 III 345 E. 1.1 S. 347 mit Hinweisen; dazu auch BGE 132 III 651 E. 8 S. 655). Andere Elemente fallen bei der Bestimmung von Inhalt und Umfang einer Dienstbarkeit ausser Betracht.
4.3 Der oben (E. 3.2) erwähnte Grundbucheintrag ("unbeschränktes Fuss- und Fahrwegrecht zugunsten und zulasten Kat.-Nr. 4") ist klar und enthält nichts, was darauf schliessen liesse, dass mit der Dienstbarkeit nur der (von der Strasse S._ her gesehen) hintere (d.h. östliche) Teil des ursprünglichen Grundstücks Kat.-Nr. 3 hätte erschlossen werden sollen und sie für das Grundstück der Beschwerdegegner demnach alles Interesse verloren hätte. Es ist insbesondere hervorzuheben, dass das Fuss- und Fahrwegrecht auch als Recht für das Grundstück der Beschwerdegegner eingetragen ist. Wäre es einzig um die Erschliessung des östlich davon liegenden Teils der ursprünglichen Parzelle Kat.-Nr. 3 gegangen, wäre die Dienstbarkeit auf dem Grundstück Kat.-Nr. 4 nur als Last eingetragen worden.
Für den Standpunkt der Beschwerdeführerin liesse sich auch nichts gewinnen, wenn auf den Erwerbsgrund zurückgegriffen würde: Gemäss Ziff. 7 lit. a der "Gemeinsamen weiteren Bestimmungen" des der Dienstbarkeit zugrunde liegenden Abtretungsvertrags vom 16. Mai 2000 hat jeder der beteiligten Grundeigentümer das unbeschränkte Fuss- und Fahrwegrecht auf dem zur Liegenschaft des Mitbeteiligten gehörenden Teil des bestehenden Fuss- und Fahrweges. Dieser Vertragsbestimmung ist mit anderen Worten ebenfalls ausdrücklich zu entnehmen, dass das Grundstück der Beschwerdegegner hinsichtlich des Wegrechts nicht etwa nur belastet, sondern auch berechtigt ist. Eine räumliche Beschränkung der Dienstbarkeit in dem von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Sinn ergibt sich damit ebenso wenig aus dieser Sicht.
Die Vorbringen der Beschwerdeführerin zu dem ebenfalls im genannten Abtretungsvertrag (Ziff. 10 des Abschnitts "Grundbuchanmeldung") festgehaltenen, im Grundbuch angemerkten Revers, wonach der privatrechtlich geordnete Zugang samt Zufahrt gemäss der strittigen Dienstbarkeit ohne Bewilligung der Baubehörde nicht gelöscht werden dürfe, sind unbehelflich: Dass die Gemeinde die Bewilligung zu einer Aufhebung des strittigen Fuss- und Fahrwegrechts erteilt hat, bedeutet einzig, dass die Dienstbarkeit gelöscht werden darf; ein Anspruch auf Löschung lässt sich daraus jedoch nicht ableiten. Die von der Beschwerdeführerin ausserdem angerufenen (Besprechungs-)Notizen vom 10. Juli 1998 (zur Besprechung vom 6. Juli 1998) und vom 2. November 1998 sind keine Grundbuchbelege, und es wird im Grundbuch auf sie auch sonst nicht verwiesen. Im Übrigen waren die Beschwerdegegner bei den Besprechungen nicht anwesend, so dass sie sich Abmachungen, die dabei allenfalls getroffen worden sein sollten, nicht entgegenzuhalten hätten. Das zu den erwähnten Notizen Vorgebrachte ist nach dem Gesagten von vornherein unbeachtlich.
Das Fuss- und Fahrwegrecht hat schliesslich auch insofern sein Interesse nicht verloren, als nach den von der Beschwerdeführerin nicht beanstandeten Feststellungen der Vorinstanz der zur Zeit als Garten genutzte (östliche) Teil des Grundstücks der Beschwerdegegner Bauland ist: Für eine Erschliessung dieses (nicht an die Strasse S._ grenzenden) Grundstückteils wäre die strittige Dienstbarkeit somit durchaus von Bedeutung.
Der Beschwerdeführerin steht nach dem Ausgeführten auch aus der Sicht von Art. 736 Abs. 1 ZGB kein Anspruch auf Löschung des Fuss- und Fahrwegrechts zu.
5. Die Beschwerde ist mithin abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese ist ausserdem zu verpflichten, die Beschwerdegegner für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, die Beschwerdegegner für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel