Erwägungen:
1. In der gegen X._ laufenden Strafuntersuchung wegen Drohung (Art. 180 StGB), evtl. Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte (Art. 285 StGB), und Missbrauchs einer Fernmeldeanlage (Art. 179septies StGB) verweigerte das Amtsstatthalteramt Luzern dem Angeschuldigten persönlich - nicht aber seinem Verteidiger - die Akteneinsicht, nachdem er bei einer früheren Akteneinsicht Originalakten beschädigt haben soll.
Dagegen rekurrierte X._ an das Obergericht des Kantons Luzern, wobei er auch aufzeigte, unter welchen Modalitäten die Gefahr der Aktenbeschädigung gebannt werden könnte. Im obergerichtlichen Verfahren stellte die Staatsanwaltschaft fest, das Amtsstatthalteramt habe an sich die Akteneinsicht zu Recht verweigert, doch erscheine der Vorschlag des Angeschuldigten praktikabel; das Amtsstatthalteramt sei daher inzwischen bereit, die Akteneinsicht zu gewähren. In Anbetracht dessen hat die Kriminal- und Anklagekommission des Obergerichts das Rekursverfahren mit Entscheid vom 21. August 2008 als gegenstandslos geworden abgeschrieben. Gerichtskosten sind für das Rekursverfahren nicht erhoben worden. Anderseits ist dem Angeschuldigten keine Parteientschädigung zugesprochen worden mit der Begründung, dass er bei einer materiellen Prüfung des Rekurses unterlegen wäre (unter Hinweis auf § 68bis Abs. 1 Ziff. 1 StPO/LU).
2. Gegen diesen Entscheid führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG).
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen einzuholen.
3. 3.1 Nachdem das Amtsstatthalteramt offenbar seine Bereitschaft erklärt hatte, den Angeschuldigten die Akten einsehen zu lassen, konnte das obergerichtliche Verfahren als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden. Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid somit höchstens dadurch beschwert und entsprechend auch nur insoweit beschwerdelegitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG), als ihm keine Parteientschädigung geleistet worden ist.
3.2 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer beanstandet den angefochtenen Entscheid auf allgemeine Weise und wirft dem Obergericht vor, den Sachverhalt unrichtig festgestellt zu haben. Er macht indes nicht geltend, zu Unrecht keine Parteientschädigung zugesprochen erhalten zu haben. Namentlich legt er in diesem Zusammenhang nicht dar, inwiefern der in Anwendung der massgebenden kantonalen strafprozessualen Regelung ergangene Entscheid geradezu willkürlich und damit verfassungswidrig sein soll.
Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten bereits aus dem genannten Grunde, sind die vom Beschwerdeführer nebst dem Hauptbegehren um Aufhebung des Entscheids vom 21. August 2008 gestellten Zusatzbegehren und auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen nicht weiter zu erörtern.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp