Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (Jg. 1965) heiratete am 8. Juni 1998 die Schweizerin Y._ (Jg. 1951). Tags darauf stellte diese ein Familiennachzugsgesuch. Am 19. April 2000 erteilte die Fremdenpolizei X._ die beantragte Aufenthaltsbewilligung.
Am 21. Dezember 2005 wurde X._ gestützt auf sein Gesuch um erleichterte Einbürgerung vom 18. April 2002 in Anwendung von Art. 27 BüG eingebürgert.
Am 17. März 2008 wurde die Ehe zwischen X._ und Y._ geschieden. Am 19. August 2008 heiratete X._ die Kosovarin Z._ (Jg. 1975) und anerkannte deren Kind (Jg. 2003) als sein eigenes.
B. Am 13. November 2008 teilte das Bundesamt für Migration (im Folgenden: Bundesamt) X._ mit, dass es gegen ihn ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eröffne.
Am 2. November 2010 erklärte das Bundesamt die erleichterte Einbürgerung für nichtig und stellte fest, die Nichtigkeit beziehe sich auf alle Familienmitglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruhe.
Am 17. August 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ gegen diese Verfügung ab.
C. Mit Beschwerde vom 24. September 2012 beantragt X._, die Entscheide des Bundesamts und des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass die Einbürgerung zu Recht erfolgt sei.
D. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bundesamt verzichtet auf Vernehmlassung und beantragt unter Hinweis auf seine Verfügung vom 2. November 2010, die Beschwerde abzuweisen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerungen nach Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Es liegt auch keine der übrigen Ausnahmen von Art. 83 BGG vor. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist beschwerdelegitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG setzt nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern eine tatsächliche Lebensgemeinschaft voraus. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer ehelichen Gemeinschaft intakt ist (BGE 130 II 169 E. 2.3.1 S. 172). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (BGE 135 II 161 E. 2 S. 165; 130 II 482 E. 2 S. 484).
2.2 Nach Art. 41 Abs. 1 BüG (in der hier anwendbaren, bis Ende Februar 2011 geltenden Fassung) kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", d.h. mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (BGE 132 II 113 E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich, wohl aber, dass der Betroffene bezüglich erheblicher Tatsachen bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 135 II 161 E. 2 S. 165; 132 II 113 E. 3.1 S. 115 mit Hinweisen).
Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Im Wesentlichen geht es dabei um innere Vorgänge, die der Behörde oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind. Sie kann sich daher veranlasst sehen, von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) zu schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (BGE 135 II 161 E. 2 S. 166; 130 II 482 E. 3.2 S. 486).
2.3 Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 486). Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene deshalb nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, wenn er einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass er bei der Erklärung, wonach er mit seiner Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebt, nicht gelogen hat. Bei diesem Grund kann es sich um ein ausserordentliches, nach der Einbürgerung eingetretenes Ereignis handeln, welches zum raschen Scheitern der Ehe führte, oder um das fehlende Bewusstsein des Gesuchstellers bezüglich bestehender Eheprobleme im Zeitpunkt der Einbürgerung (BGE 135 II 161 E. 2 S. 166 mit Hinweisen).
2.4 Der angefochtene Entscheid geht von folgendem, unbestrittenem Sachverhalt aus:
Der Beschwerdeführer arbeitete zwischen 1991 und 1996 in der Schweiz. Nachdem seine Saison- nicht in eine Jahresbewilligung umgewandelt worden war, kehrte er in die Schweiz zurück und stellte ein Asylgesuch, welches am 8. Juli 1997 abgewiesen wurde. Er blieb trotz des Wegweisungsentscheids in der Schweiz und heiratete am 8. Juni 1998 eine 14 Jahre ältere Schweizerin, worauf er am 19. April 2000 die Aufenthaltsbewilligung erhielt.
Am 18. April 2002 stellte der Beschwerdeführer ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung.
Am 24. April 2003 gebar Z._ im Kosovo einen Sohn.
Am 7. November 2005 unterzeichneten der Beschwerdeführer und Y._ gemeinsam die "Erklärung betreffend eheliche Gemeinschaft", worin beide bestätigten, in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenzuleben und keine Trennungs- oder Scheidungsabsichten zu hegen.
Am 21. Dezember 2005 wurde der Beschwerdeführer erleichtert eingebürgert.
Am 17. März 2008 wurde der Beschwerdeführer geschieden. Am 5. Juni 2008 anerkannte er das Kind von Z._ als sein eigenes an und heiratete die Kindsmutter am 19. August 2008.
2.5 Für das Bundesverwaltungsgericht begründen diese Fakten die unwiderlegte Vermutung, dass der Beschwerdeführer am 7. November 2005 gegenüber dem Bundesamt wahrheitswidrig bestätigte, in einer intakten Ehe zu leben und keine Scheidungsabsichten zu hegen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, diese Beurteilung in Frage zu stellen.
2.5.1 Nichts zu seinen Gunsten ableiten kann der Beschwerdeführer aus dem Urteil 2A.533/1999 vom 1. Februar 2000. Darin gelangte das Bundesgericht - entgegen der Auffassung der Thurgauer Fremdenpolizei und des Verwaltungsgerichts - zum Schluss, es lägen nicht genügend Anhaltpunkte für die Annahme vor, der Beschwerdeführer sei am 8. Juni 1998 mit Y._ eine Scheinehe zur Erschleichung einer Aufenthaltsbewilligung eingegangen. Mehr lässt sich daraus nicht ableiten, insbesondere nicht, dass das Bundesgericht das Vorliegen einer Scheinehe ausgeschlossen hätte. Die Frage ist ohnehin irrelevant, da das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdeführer gar nicht vorwirft, am 8. Juni 1998 eine Scheinehe eingegangen zu sein. Es hält indessen für erstellt, dass er am 7. November 2005 bzw. spätestens ab diesem Zeitpunkt nicht (mehr) die Absicht hatte, die Ehe mit seiner damaligen Frau auf Dauer weiterzuführen.
2.5.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe Z._ 2002 während seiner Ferien kennengelernt und eine kurze Affäre mit ihr gehabt. Seine damalige Ehefrau habe ihm diesen Seitensprung verziehen. Seine Erklärung vom 7. November 2005, in einer intakten Ehe zu leben und keine Trennungsabsichten zu hegen, habe der Wahrheit entsprochen. Erst 2007 habe er erfahren, dass er Vater geworden sei und sich im Anschluss daran entschlossen, sich scheiden zu lassen, das Kind anzuerkennen und die Kindsmutter zu heiraten.
Diese Darstellung des Beschwerdeführers ist, wie das Bundesverwaltungsgericht zu Recht erkannt hat, unglaubhaft. Es ist bereits schwer vorstellbar, dass eine in den überkommenen Familien- und Gesellschaftsstrukturen des ländlichen Kosovo aufgewachsene ledige junge Frau mit einer Zufallsbekanntschaft ein intimes Verhältnis eingeht. Vor allem aber ist es kaum denkbar, dass in einem solchen Fall ihre Familie nicht mit der in einem Nachbardorf wohnenden Familie des Schwängerers umgehend Kontakt aufgenommen hätte, um diesen - im Idealfall noch vor der Niederkunft - zur Heirat zu drängen oder die durch den "Fehltritt" befleckte Familienehre sonstwie wiederherzustellen. Sehr viel näher liegt allerdings, dass Z._ von beiden Familien schon 2002 als rechtmässige Ehefrau des Beschwerdeführers anerkannt war. So oder so kann jedenfalls kein vernünftiger Zweifel daran bestehen, dass der Beschwerdeführer am 7. November 2005 längst von seiner Vaterschaft wusste, mit der Scheidung von seiner Schweizerischen Ehefrau, der Anerkennung seines Sohnes und der Heirat der Kindsmutter aber den Abschluss des Einbürgerungsverfahrens sowie eine gewisse Karenzfrist abwarten wollte, um bei den Fremdenpolizeibehörden nicht den Verdacht zu erwecken, seine Einbürgerung durch die unwahre Erklärung, die Ehe mit Y._ auf Dauer fortsetzen zu wollen, erschlichen zu haben.
3. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Störi