Faits:
A. Par contrat du 6 février 2006, A._ (ci-après: A._ ou la bailleresse) a remis à bail à Y._ et X._ une arcade de 141 m2 au rez-de-chaussée de l'immeuble sis 1, place des Augustins à Genève; les locaux étaient destinés à l'exploitation d'une entreprise de nettoyage chimique.
Le loyer mensuel a été fixé en dernier lieu à 5'059 fr.; il est payable par mois d'avance.
En 2009, les locataires ont, à plusieurs reprises, payé leur loyer par mois échu. Au 31 décembre 2009, ils étaient à jour. Entre janvier et mars 2010, ils ont effectué deux versements: un montant de 5'059 fr. le 20 janvier et un montant de 5'069 fr. le 4 mars.
Par lettre du 8 mars 2010, la bailleresse a rappelé aux locataires qu'ils étaient tenus de payer le loyer par mois d'avance.
Les locataires ont versé à la bailleresse 2'559 fr. le 12 avril 2010 et 2'500 fr. le 15 avril 2010.
Par courrier du 19 avril 2010, la bailleresse a rappelé aux locataires les termes de sa lettre du 8 mars 2010 et leur a imparti un délai au 30 avril 2010 pour régler leur retard. Aucun versement n'est intervenu.
Par avis comminatoires du 17 mai 2010, la bailleresse a mis les locataires en demeure de lui verser dans les trente jours un montant de 10'118 fr. représentant les arriérés de loyer de février et mai 2010; elle les a informés de son intention de résilier le bail sur la base de l'art. 257d CO s'ils ne payaient pas intégralement le montant réclamé dans le délai imparti.
Le 2 mai 2010, les locataires ont avisé la régie représentant A._ qu'une infiltration d'eau s'était produite dans les locaux loués; la bailleresse a fait procéder aux réparations.
Les 22 mai et 8 juin 2010, les locataires ont payé les montants de 3'059 fr., respectivement de 2'000 fr.
Par avis officiels du 21 juin 2010, la bailleresse a résilié le bail pour le 31 juillet 2010, considérant que le montant mentionné dans la mise en demeure n'avait pas été intégralement réglé dans le délai imparti.
B. Par requête du 19 juillet 2010 adressée à la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève, Y._ et X._ ont contesté le congé.
Par requête du 4 août 2010, A._ a requis l'évacuation des époux X-Y._.
La conciliation a échoué. Les parties ont chacune introduit action devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, qui a ordonné la jonction des causes.
Par jugement du 17 décembre 2010, le Tribunal des baux et loyers a constaté la validité de la résiliation et condamné les locataires à évacuer immédiatement l'arcade louée.
Statuant le 13 juillet 2011 sur appel de Y._ et X._, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance.
C. X._ et Y._ interjettent un recours en matière civile. Ils concluent à ce qu'il soit constaté que le contrat de bail du 6 février 2006 n'a pas été valablement résilié.
Une avance de frais a été demandée aux recourants. Ceux-ci ont alors sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'intimée n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de bail à loyer (art. 74 al. 1 let. a LTF; sur la manière de calculer la valeur litigieuse en cas de contestation d'une résiliation de bail, cf. ATF 137 III 389 consid. 1.1 p. 390; 136 III 196 consid. 1.1 p. 197). Il est interjeté par les locataires, qui ont succombé dans leurs conclusions tendant à faire constater la non-validité du congé et qui ont donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Au surplus, déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
2. 2.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187 et les arrêts cités). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités).
2.2 Dans la première partie de leur mémoire, les recourants exposent leur propre version des faits, en se référant sur chaque point à l'«interrogatoire des parties», à l'«audition de témoins» ou à «tous autres moyens», comme si le Tribunal fédéral était l'instance chargée d'établir les faits. Ils n'invoquent aucune des circonstances qui permettraient au Tribunal fédéral de s'écarter des constatations cantonales. Un tel mode de procéder est inadmissible. La cour de céans s'en tiendra par conséquent à l'état de fait établi dans l'arrêt attaqué.
3. Les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 257d CO en n'admettant pas l'inefficacité du congé du 21 juin 2010. Ils font valoir que l'avis comminatoire doit contenir le montant exact des loyers en retard au moment de l'envoi de la sommation, sous peine d'être affecté d'un vice de forme inguérissable. Or, en l'espèce, les avis comminatoires du 17 mai 2010 porteraient notamment sur le loyer de février 2010, lequel aurait alors été payé depuis plus de deux mois, ce qui résulterait d'un décompte établi par la régie chargée de la gérance de l'immeuble.
3.1 Aux termes de l'art. 257d CO, lorsque, après réception de la chose, le locataire a du retard pour s'acquitter d'un terme ou de frais accessoires échus, le bailleur peut lui fixer par écrit un délai de paiement et lui signifier qu'à défaut de paiement dans ce délai il résiliera le bail. Ce délai sera de dix jours au moins et, pour les baux d'habitations ou de locaux commerciaux, de trente jours au moins (al. 1). Faute de paiement dans le délai fixé, le bailleur peut résilier le contrat avec effet immédiat; les baux d'habitations et de locaux commerciaux peuvent être résiliés moyennant un délai de congé minimum de 30 jours pour la fin d'un mois (al. 2).
La demeure du locataire, au sens de cette disposition, suppose que la créance du bailleur soit exigible et que le locataire soit en retard dans l'exécution de l'obligation y relative. Si l'une de ces deux conditions cumulatives n'est pas réalisée, le délai de paiement imparti au locataire par le bailleur, en application de l'art. 257d al. 1 CO, reste sans effet. Il y a retard lorsque le paiement d'une prestation exigible n'est pas encore accompli au terme prévu. Point n'est besoin d'une interpellation du créancier, à l'inverse de ce que l'art. 102 al. 1 CO prescrit pour la mise en demeure ordinaire du débiteur (arrêt 4A_38/2007 du 7 août 2007 consid. 4.1; arrêt 4C.479/1997 du 24 juin 1998 consid. 3a).
Par ailleurs, la sommation doit indiquer le montant impayé de façon suffisamment claire et précise. Une indication chiffrée n'est pas indispensable; il suffit que l'objet de la mise en demeure soit déterminable sans discussion (arrêt 4A_585/2010 du 2 février 2011 consid. 2.1; arrêt 4C.123/2000 du 14 juin 2000 consid. 3b, in CdB 2000 p. 109).
3.2 En l'espèce, il ressort de l'état de fait cantonal - non contesté sur ce point par les recourants - que lors de l'envoi des sommations du 17 mai 2010, les locataires étaient en retard de deux loyers mensuels, pour un montant total de 10'118 fr. En effet, entre le 1er janvier et le 1er mai 2010, cinq loyers mensuels sont devenus exigibles, étant donné que le loyer était payable par mois et d'avance; or, seuls trois loyers étaient réglés le 17 mai 2010 (versements de 5'059 fr. le 20 janvier 2010, de 5'069 fr. le 4 mars 2010, de 2'559 fr. le 12 avril 2010 et de 2'500 fr. le 15 avril 2010). Les mises en demeure mentionnent les loyers impayés de février et de mai 2010. Les recourants prétendent que le loyer de février a été payé par le bulletin de versement du 4 mars 2010 et en veulent pour preuve «un décompte établi par la Régie». Ils ne fournissent toutefois aucune précision supplémentaire à propos de ce document (date, numéro de la pièce dans le dossier), de sorte que le grief d'établissement arbitraire des faits se révèle d'emblée irrecevable faute d'une motivation suffisante (cf. consid. 2.1 supra).
Au surplus, les avis comminatoires indiquent expressément un arriéré de loyer de 10'118 fr., ce qui correspond à deux loyers mensuels. Dans ces circonstances, un défaut de clarté dans la mise en demeure ne saurait être retenu. Le moyen tiré d'une violation de l'art. 257d CO est manifestement mal fondé.
4. Invoquant l'arbitraire dans l'établissement des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF, les recourants font grief à la cour cantonale de n'avoir pas tenu compte d'éléments propres à démontrer le caractère abusif de la résiliation. Ils citent à cet égard l'écart important entre le montant réclamé dans l'avis comminatoire et le loyer réellement en retard. Ils font également état de procédures judiciaires ayant précédemment opposé les parties. Enfin, ils invoquent l'animosité régnant depuis longtemps entre la régie et eux-mêmes. En particulier, la gérance aurait exigé des locataires, en 2006, le versement d'une caution représentant trois mois de loyer; en outre, les recourants n'auraient pu obtenir la réparation de dégâts d'eau en mai 2010, ainsi que le remboursement de diverses factures. Le congé du 21 juin 2010 aurait ainsi été notifié en représailles à un fax que les locataires auraient adressé la veille directement à la bailleresse pour attirer l'attention de celle-ci sur l'attitude de la régie à leur endroit.
4.1 Même s'il remplit toutes les conditions posées par l'art. 257d CO, le congé pour cause de demeure peut, à titre exceptionnel, être annulé s'il contrevient aux règles de la bonne foi (art. 271 CO) ou réalise l'un des cas prévus à l'art. 271a al. 1 let. a, b, c et f (arrêt 4C.59/2007 du 25 avril 2007 consid. 3.4; arrêt 4C.35/2004 du 27 avril 2004 consid. 3.1, in SJ 2004 I p. 424). Le droit du bailleur de résilier le bail s'oppose alors à celui du locataire d'être protégé contre une résiliation abusive. Le juge ne peut annuler le congé litigieux que si celui-ci est inadmissible au regard de la jurisprudence relative à l'abus de droit; il faut toutefois des circonstances particulières pour que le congé soit annulé (ATF 120 II 31 consid. 4a p. 33). Tel sera le cas, par exemple, lorsque le bailleur, lors de la fixation du délai comminatoire, réclame au locataire une somme largement supérieure à celle en souffrance, sans être certain du montant effectivement dû (ATF 120 II 31 consid. 4b p. 33 s.). Le congé sera également tenu pour contraire aux règles de la bonne foi si le montant impayé est insignifiant (ATF 120 II 31 consid. 4b p. 33), si l'arriéré a été réglé très peu de temps après l'expiration du délai alors que le locataire s'était jusqu'ici toujours acquitté à temps du loyer (arrêt 4A_634/2009 du 3 mars 2010 consid. 2.2.2 et les références), ou encore si le bailleur résilie le contrat longtemps après l'expiration de ce délai (arrêt 4C.430/2004 du 8 février 2005 consid. 3.1, in SJ 2005 I p. 310).
4.2 Le premier élément que les recourants invoquent pour démontrer le caractère abusif du congé n'est pas établi. En effet, il ne ressort pas des faits constatés par la cour cantonale que le montant réclamé dans les sommations était deux fois plus important que l'arriéré de loyer réel. Au contraire, les juges genevois ont retenu qu'au 17 mai 2010, le montant des loyers en retard s'élevait bel et bien à 10'118 fr., comme indiqué dans les mises en demeure.
Quant aux prétendues procédures précédentes ayant opposé les parties, il s'agit d'un fait nouveau dont le Tribunal fédéral ne peut tenir compte (art. 99 al. 1 LTF). En tout état de cause, cette circonstance, même avérée, n'est pas de nature à rendre abusif un congé notifié pour cause de demeure du locataire, comme l'art. 271a al. 3 let. b CO le précise expressément.
Enfin, la cour cantonale n'a pas constaté un climat délétère entre les recourants et la régie. Ce faisant, elle n'a pas omis de manière arbitraire un fait déterminant pour l'issue de la cause. A cet égard, on ne voit guère en quoi le fait d'avoir réclamé une caution aux locataires peut avoir une quelconque incidence dans l'appréciation du caractère éventuellement abusif de la résiliation. Quant aux factures prétendument non remboursées aux locataires, ces derniers s'en tiennent à une affirmation toute générale, dépourvue de toute précision quant à la nature de ces factures. Et lorsqu'ils allèguent n'avoir pu obtenir réparation du dégât d'eau de mai 2010, les recourants se heurtent à la constatation contraire de l'arrêt attaqué, dont ils ne cherchent même pas à démontrer l'arbitraire. Au demeurant, il faut des circonstances tout à fait exceptionnelles pour qu'une résiliation pour cause de demeure du locataire puisse être annulée sur la base de l'art. 271a al. 1 let. a CO, qui prohibe le congé de représailles (arrêt précité du 25 avril 2007 consid. 3.5). Or, les faits allégués par les recourants, évoquant des relations difficiles avec la régie, ne constituent manifestement pas de telles circonstances.
En tant qu'il est recevable, le moyen fondé sur l'arbitraire ne peut être que rejeté.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours était voué à l'échec. Par conséquent, la demande d'assistance judiciaire formulée par les recourants sera rejetée en application de l'art. 64 al. 1 LTF, sans qu'il soit nécessaire d'examiner la condition de l'indigence.
Les recourants prendront à leur charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Ils n'auront pas à payer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre des baux et loyers.
Lausanne, le 6 décembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann