Fatti:
A. Con decisione 7 gennaio 2009 l'Ufficio AI del Canton Ticino (UAI) ha respinto la richiesta di prestazioni di S._, nato nel 1961 e affetto tra l'altro da sindrome somatoforme da dolore persistente e tendenza fibromialgica, poiché sulla base degli accertamenti esperiti egli non presentava un grado di invalidità pensionabile. Per pronuncia 5 agosto 2009, cresciuta incontestata in giudicato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il gravame dell'assicurato.
Il 1° settembre 2009 S._ ha inoltrato una nuova domanda di rendita. Mediante decisione del 18 novembre 2009, l'UAI gli ha però comunicato di non potere esaminare la nuova richiesta poiché non aveva reso verosimile una modifica rilevante delle circostanze di fatto suscettibili di influire sul diritto alla rendita.
B. L'interessato si è aggravato nuovamente al Tribunale cantonale delle assicurazioni chiedendo, in via principale, l'assegnazione di una rendita intera e, in via subordinata, il rinvio degli atti all'amministrazione per ulteriori accertamenti. Ha inoltre domandato di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Statuendo per giudice unico e confermando l'operato dell'amministrazione, la Corte cantonale ha respinto il gravame e negato nel contempo la concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio (pronuncia del 16 giugno 2010).
C. S._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, ripropone le richieste formulate a titolo principale e subordinato in sede cantonale. Anche per la sede federale postula la concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Non sono state chieste osservazioni al ricorso.
D. Con decreto del 28 settembre 2010 il Tribunale federale ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria gratuita ritenendo a un primo esame il gravame privo di probabilità di successo.
Diritto:
1. La lite verte sul tema di sapere se l'UAI poteva - come ritenuto anche dalla Corte cantonale - rifiutarsi di entrare nel merito della nuova domanda di rendita del 1° settembre 2009 per non avere l'assicurato reso verosimile una rilevante modifica del suo stato di salute.
2. 2.1 Nei considerandi dell'impugnato giudizio, il primo giudice ha già esposto le disposizioni legali e i principi giurisprudenziali applicabili al caso di specie, rammentando in particolare le regole che disciplinano la procedura di nuova domanda di rendita. A questa esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ribadire che qualora la rendita sia stata negata perché il grado di invalidità era insufficiente, una nuova domanda è riesaminata soltanto se l'assicurato rende verosimile che il grado di invalidità si è modificato in misura rilevante per il diritto alle prestazioni (art. 87 cpv. 3 e 4 OAI). Per valutare questo aspetto occorre confrontare la situazione al momento della nuova domanda (in concreto: al 1° settembre 2009) con quella esistente al momento dell'ultima decisione (in concreto: al 7 gennaio 2009) cresciuta in giudicato che è stata oggetto di un esame materiale del diritto alla rendita dopo contestuale accertamento pertinente dei fatti, apprezzamento delle prove e determinazione del grado di invalidità (DTF 130 V 71 consid. 3.2.3 pag. 75 segg.; cfr. pure DTF 133 V 108).
2.2 La verosimiglianza richiesta dall'art. 87 cpv. 3 OAI non è la verosimiglianza preponderante altrimenti valida nel diritto delle assicurazioni sociali. Il grado della prova richiesto dall'art. 87 cpv. 3 OAI è attenuato in quanto non è necessario che l'amministrazione raggiunga il convincimento, nel senso di una prova piena, che rispetto all'ultima decisione cresciuta in giudicato sia effettivamente subentrata una modifica rilevante. Basta piuttosto che sussistano almeno certi indizi a favore della circostanza invocata, ferma restando comunque la possibilità che la modifica invocata venga poi smentita da un più attento esame successivo (v. sentenza 9C_68/2007 del 19 ottobre 2007 consid. 4.4 con riferimenti; cfr. pure SVR 2003 IV no. 25 pag. 76 consid. 2.2 [I 238/02]). Adita con una nuova domanda, l'amministrazione deve cominciare con l'esaminare se le allegazioni dell'assicurato sono, in maniera generale, plausibili. Se ciò non è il caso, può liquidare l'istanza senza ulteriori indagini con un rifiuto di entrata in materia. A tal proposito occorre precisare che quanto più breve è il lasso di tempo trascorso dalla decisione precedente, tanto più rigorosamente l'amministrazione apprezzerà la plausibilità delle allegazioni dell'assicurato. Su questo aspetto, essa dispone di un certo potere di apprezzamento che il giudice è di principio tenuto a rispettare (DTF 109 V 108 consid. 2b pag. 114; cfr. pure SVR 2003 IV no. 25 pag. 76 consid. 2.2).
2.3 La questione di sapere se con la nuova domanda di rendita il richiedente abbia reso verosimile una modifica delle circostanze rilevanti per il diritto alle prestazioni costituisce un accertamento di fatto che il Tribunale federale può riesaminare solo entro i limiti di cui all'art. 97 cpv. 1 LTF (sulla delimitazione, nel presente contesto, tra questioni di fatto e di diritto cfr. la sentenza 9C_688/2007 del 22 gennaio 2008 consid. 2.3 e la sentenza citata 9C_68/2007 consid. 4.1). Secondo questo disposto, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'articolo 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento. Non basta però che all'accertamento del Tribunale cantonale il ricorrente contrapponga la propria versione dei fatti o il proprio apprezzamento delle prove, quand'anche questi possano apparire sostenibili o addirittura preferibili. Occorre invece che l'insorgente esponga chiaramente perché e in quale misura l'accertamento dell'istanza precedente sarebbe contrario al diritto o manifestamente sbagliato, cioè arbitrario (cfr. DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 133 III 393 consid. 7.1 pag. 398). Una critica che non soddisfa tali esigenze è irricevibile (sentenza 4A_28/2007 del 30 maggio 2007 consid. 1.3 [non pubblicato in DTF 133 III 421]; cfr. pure sentenza citata 9C_688/2007 consid. 2.3).
3. 3.1 L'istanza precedente ha accertato che con i nuovi certificati del dott. C._ (specialista FMH in psichiatria e psicoterapia) e della dott.ssa K._ (specialista FMH in medicina interna) l'assicurato non ha reso verosimile una modifica rilevante delle circostanze di fatto (peggioramento dello stato di salute). Da un lato, la Corte cantonale rileva che la valutazione del dott. C._ non pone una nuova diagnosi secondo una classificazione internazionale riconosciuta e non contesta validamente le conclusioni cui era giunto il dott. B._ del centro X._ nel suo referto del 26 aprile 2007, bensì descrive una situazione sostanzialmente sovrapponibile a quella esistente il 7 gennaio 2009 e verificata in occasione della pronuncia del 5 agosto 2009. Dall'altro osserva che dalla valutazione della dott.ssa K._ non emerge un nuovo danno somatico oggettivabile.
3.2 Orbene, né il ricorso né gli atti all'inserto fanno concludere per un errore manifesto nell'accertamento dei fatti o per un abuso nell'apprezzamento delle prove da parte del primo giudice, la cui valutazione vincola così il Tribunale federale. Le censure ricorsuali si esauriscono perlopiù in una - tenuto conto del potere di esame limitato di cui dispone il Tribunale federale - inammissibile critica appellatoria dell'accertamento compiuto dal giudice di prime cure. Il ricorrente avrebbe dovuto spiegare in quale misura la decisione impugnata sarebbe manifestamente errata, ossia arbitraria. Ciò che però egli nemmeno pretende. Venendo meno a tale obbligo (art. 42 cpv. 2 LTF) e non confrontandosi adeguatamente con l'accertamento del Tribunale cantonale, il ricorso andrebbe considerato (quantomeno parzialmente) inammissibile.
In via abbondanziale si osserva comunque che la decisione del primo giudice di considerare sovrapponibile la situazione al momento della presentazione della nuova domanda di rendita con quella esistente il 7 gennaio 2009 non risulta insostenibile o in chiaro contrasto con la situazione di fatto, né si fonda su una svista manifesta o contraddice in modo urtante il sentimento di giustizia e di equità. È sufficiente il rilievo che lo stesso dott. C._ nel suo rapporto del 12 ottobre 2009 sottolinea "il carattere invariabile della sindrome somatoforme malgrado una cura psicoterapica [...]". Quanto alla cronicizzazione dello stato di salute, essa non configura una novità, lo stesso dott. C._ avendo già fatto stato di una "sintomatologia cronica (iniziata nel 2005) senza miglioramenti soggettivi e con piuttosto un peggioramento da circa 6 mesi con un ritiro sociale che si limita alla cerchia famigliare e a pochi contatti con i connazionali" in occasione di una sua presa di posizione del 7 novembre 2008. Ritiro sociale che non parrebbe peraltro essere stato completo (nemmeno) nell'ottobre 2009 (v. scritto 12 ottobre del dott. C._ all'indirizzo del dott. E._: "Un degrado dell'integrazione relazionale con restringimento della cerchia comunque molto limitata e un peggioramento dei rapporti inter relazionali con episodi di violenza"). Queste constatazioni, unite al fatto che la nuova domanda di prestazioni del 1° settembre 2009 segue di nemmeno 8 mesi la decisione del 7 gennaio 2009, non consentono di considerare arbitraria la valutazione del primo giudice.
3.3 Il ricorrente rimprovera comunque all'UAI e al giudice cantonale di aver accertato i fatti in maniera contraria al diritto. In particolare lamenta una violazione del suo diritto di essere sentito per essersi le precedenti istanze espresse unicamente sulla base di dati accertati in epoca di molto anteriore, risalenti al 2007 se non addirittura a prima, senza avergli dato la possibilità di parlare con i responsabili del servizio medico regionale dell'AI e senza avere attualizzato la sua nuova situazione. Sennonché, come già spiegato dalla Corte cantonale, non avendo l'interessato - a distanza di pochi mesi dalla prima decisione che ha esaminato il diritto alla rendita - reso verosimile una rilevante modifica del suo stato di salute, giustamente l'amministrazione poteva decidere di non entrare nel merito della nuova domanda senza ulteriori indagini (DTF 125 V 410 consid. 2b pag. 412; 117 V 198 consid. 4b pag. 200 con riferimenti).
3.4 Ne segue che, per quanto ammissibile - anche relativamente al diniego dell'assistenza giudiziaria in sede cantonale, il ricorrente, che pur chiede l'annullamento del giudizio di prime cure, non motiva minimamente la richiesta - il ricorso, manifestamente infondato, dev'essere respinto secondo la procedura semplificata di cui all'art. 109 LTF. Le spese seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico dell'insorgente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.