Faits:
A.
Ressortissant congolais, X._ est entré illégalement en Suisse en mars 2012 pour rejoindre son père, A._, de nationalités congolaise et française. Marié à une suissesse, ce dernier est titulaire d'une autorisation d'établissement. A son arrivée en Suisse en février 2003, A._ n'avait pas mentionné l'existence de ses quatre enfants.
Le 30 mai 2012, X._ a sollicité une autorisation de séjour afin de vivre auprès de son père. L'intéressé a été entendu par la police cantonale vaudoise le 26 juillet 2012. A cette occasion, il a déclaré avoir toujours vécu à Kinshasa, où il avait terminé la scolarité obligatoire puis interrompu ses études universitaires car il " n'avai[t] pas assez d'argent et [...] ne s'entendai[t] plus avec [s]a maman ". Il avait choisi de venir en Suisse de sa propre initiative; son père n'était pas au courant de son projet. L'intéressé a également indiqué que le but de son séjour était de poursuivre ses études en Suisse.
Entendu le même jour, le père de l'intéressé a confirmé qu'il n'était pas au courant du projet de son fils. Il a cependant indiqué qu'il souhaitait que son fils vienne mais qu'il n'avait rien entrepris en ce sens.
B.
Le 26 octobre 2012, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé X._ de son intention de refuser l'octroi d'une autorisation d'entrée en Suisse. Par décision du 22 mars 2013, après avoir entendu l'intéressé, le Service cantonal a rejeté sa demande d'autorisation de séjour et a prononcé son renvoi de Suisse.
Saisi d'un recours contre cette décision, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté par arrêt du 2 juillet 2013, et a confirmé la décision du Service cantonal. Elle a retenu en substance que la demande de regroupement familial se fondait sur des raisons économiques.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'octroyer au prénommé une autorisation de séjour pour regroupement familial. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi du dossier à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
Le Service cantonal renonce à se prononcer sur le recours. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué et l'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours déposés devant lui (ATF 139 V 42 consid. 1 p. 44).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'occurrence, le père du recourant, ressortissant français, vit en Suisse au bénéfice d'une autorisation d'établissement. En tant que membre de la famille d'un ressortissant communautaire établi en Suisse, le recourant est en principe habilité à invoquer les art. 7 let. d ALCP et 3 al. 1 Annexe I ALCP pour en déduire un droit à une autorisation de séjour.
1.2. Le Tribunal fédéral fait en outre dépendre la recevabilité du recours en matière de regroupement familial de l'âge de l'enfant au moment du dépôt de la demande (cf. arrêt 2C_195/2011 du 17 octobre 2011 consid. 4.2). D'après l'art. 3 al. 2 let. a Annexe I ALCP, sont considérés comme membres de la famille, quelle que soit leur nationalité, son conjoint et leurs descendants de moins de 21 ans ou à charge. En l'occurrence, le recourant était âgé de 20 ans lorsqu'il a déposé une demande d'autorisation de séjour au titre de regroupement familial pour vivre avec son père. Son recours est, à cet égard, recevable, sans préjudice de l'existence d'un éventuel abus de droit qui concerne le fond de la cause (cf. ATF 139 I 330 consid. 1 p. 332).
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF dans une matière relevant du droit public (art. 82 let. a LTF), le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire - ou en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 139 II 404 consid. 10.1 p. 445).
3.
Le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir retenu que sa demande d'autorisation de séjour était abusive.
3.1. D'après l'art. 3 al. 1 Annexe I ALCP, en relation avec l'art. 7 let. d ALCP, les membres de la famille d'une personne ressortissant d'une partie contractante ayant un droit de séjour ont le droit de s'installer avec elle. Le travailleur salarié doit disposer d'un logement pour sa famille considéré comme normal pour les travailleurs nationaux salariés dans la région où il est employé sans que cette disposition puisse entraîner de discriminations entre les travailleurs nationaux et les travailleurs en provenance de l'autre partie contractante (al. 1). Sont notamment considérés comme membres de la famille, quelle que soit leur nationalité, le conjoint et leurs descendants de moins de 21 ans ou à charge (al. 2 let. a).
3.2. Les droits mentionnés par les art. 3 al. 1 Annexe I et 7 let. d ALCP sont accordés sous réserve d'un abus de droit (ATF 136 II 177 consid. 3.2.3 p. 186; arrêts 2C_274/2012 du 8 juillet 2013 consid. 2.2.1; 2C_1144/2012 du 13 mai 2013 consid. 4.2; 2C_195/2011 du 17 octobre 2011 consid. 4.3). Les dispositions sur le regroupement familial visent à permettre la vie commune des membres de la famille (cf. arrêt 2C_274/2012 du 8 juillet 2013 consid. 2.2.1). On peut donc parler de contournement des prescriptions d'admission lorsque des indices montrent clairement que le regroupement familial n'est pas motivé par l'instauration d'une vie familiale, mais par des intérêts économiques (cf. arrêt 2C_1144/2012 du 13 mai 2013 consid. 4.2). La jurisprudence exige en outre qu'existe une relation familiale minimale entre le parent en Suisse et l'enfant résidant à l'étranger. Dans un arrêt 2C_195/2011 du 17 octobre 2011, le Tribunal fédéral a confirmé le refus des autorités d'accorder le regroupement familial sollicité par une mère en faveur de son fils âgé de 19 ans au moment de la requête. La Cour de céans a considéré qu'il n'était pas démontré que le fils, qui avait toujours vécu chez sa grand-mère à Kinshasa, ait pu maintenir une relation avec sa mère, la simple contribution financière à l'entretien de l'enfant n'étant à cet égard pas suffisante (consid. 4.3).
3.3. Contrairement à la LEtr, l'ALCP ne prévoit pas de délai pour demander le regroupement familial. Jusqu'à l'âge de 21 ans, le descendant d'une personne ressortissant d'une partie contractante peut donc en tout temps solliciter une demande d'autorisation de séjour au titre de regroupement familial. En revanche, le fait qu'un enfant vienne en Suisse peu avant d'atteindre l'âge limite peut, dans certaines circonstances, constituer un indice d'abus du droit conféré par l'art. 3 al. 1 Annexe I ALCP, en relation avec l'art. 7 let. d ALCP. Cela vaut en tout cas lorsque les descendants ne sont pas eux-mêmes ressortissants d'une partie contractante. Dans ce cas, l'enfant ne dispose que d'un droit dérivé à une autorisation de séjour qui dépend du droit de séjour originaire de l'un des membres de sa famille. Au-delà de l'âge de 21 ans, le descendant d'une personne ressortissant d'une partie contractante ne dispose en principe plus de droit de séjour en Suisse. En pareille situation, " plus l'enfant est âgé, plus il est indiqué de s'interroger sur l'intention du requérant " (directives de l'Office fédéral des migrations sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes, état au 1er mai 2011, para. 10.7, p. 100). En effet, lorsque l'enfant attend le dernier moment pour bénéficier du regroupement familial, il y a lieu de se demander si la requête est motivée principalement par l'instauration d'une vie familiale et non par des intérêts économiques. Toute autre est la situation du descendant qui possède la nationalité d'une partie contractante. Dans ce cas, l'enfant ayant atteint ses 21 ans peut en principe se prévaloir d'un droit propre à une autorisation de séjour. Le danger d'un contournement des prescriptions d'admission est donc plus faible (cf. directives, para. 10.7, p. 101).
3.4. Dans le cas particulier, le recourant, qui ne possède pas la nationalité de l'une des parties contractantes, a déposé sa demande de regroupement familial peu avant ses 21 ans, soit à une époque où, la scolarité obligatoire étant terminée, il faut se tourner vers la vie professionnelle. Il apparaît dès lors que son objectif était de bénéficier de meilleures conditions de vie et de travail en Suisse. Ce but économique ressort d'ailleurs de l'ensemble du dossier. Entendu par la police cantonale vaudoise le 26 juillet 2012, l'intéressé a déclaré qu'il venait en Suisse pour y continuer ses études universitaires qu'il avait interrompues dans son pays. Le recourant n'a, au demeurant, pas établi qu'ayant toujours vécu chez sa mère à Kinshasa, il ait pu maintenir une relation avec son père, même s'ils ont gardé des contacts téléphoniques. De tels contacts restent en effet limités et ne sont pas de nature à établir une relation étroite entre X._ et son père. Ce dernier n'était d'ailleurs même pas au courant de l'arrivée de son fils en Suisse. Le recourant fait valoir que son père avait attendu d'avoir la capacité financière lui permettant de l'accueillir effectivement. Cette allégation est irrecevable parce qu'elle s'appuie sur un élément de fait qui ne ressort pas de l'arrêt attaqué, sans que le recourant n'expose en quoi les faits auraient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 97 al. 1 LTF; supra consid. 2). Tout porte donc à croire que la demande du recourant était avant tout motivée par des raisons économiques, le but étant plus d'assurer son avenir professionnel que de permettre un regroupement familial. Or un tel but n'est pas conforme à l'objectif poursuivi par les art. 3 al. 1 Annexe I ALCP, en relation avec l'art. 7 let. d ALCP, et une demande de regroupement familial formulée exclusivement dans cette optique est abusive. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, l'autorité intimée n'a ainsi pas violé le droit fédéral en confirmant le refus de délivrer une autorisation de séjour en faveur du recourant.
3.5. Dans ces conditions, il n'est pas nécessaire d'examiner encore, comme le demande le recourant, s'il est dans son intérêt de venir rejoindre son père en Suisse, dès lors que l'invocation de l'art. 3 al. 1 Annexe I ALCP n'est pas admissible lorsqu'un abus de droit est retenu. Au surplus, le recourant étant majeur, il ne peut déduire aucun droit de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (RS 0.107; cf. art. 1 CDE).
4.
Mal fondé, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al.1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 6 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Seiler
La Greffière: McGregor