Faits:
A. R._ travaille en qualité d'aide-soignante à l'Hôpital X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Winterthur Assurances (ci-après: la Winterthur).
Le 11 juin 2004, l'employeur de R._ a informé la Winterthur que l'intéressée avait fait une chute sur le genou droit le 31 mai précédent, durant son activité professionnelle. Consulté le 2 juin 2004, le docteur D._ a fait état d'une forte contusion du genou et d'une déchirure méniscale externe (rapport du 22 septembre 2004). Ce médecin ayant requis l'avis du docteur C._, spécialiste en orthopédie, celui-ci a diagnostiqué une contusion/distorsion du genou droit avec lésion méniscale (rapport du 25 octobre 2004). Il a procédé à une arthroscopie le 12 novembre 2004.
La Winterthur a alors confié une expertise au docteur A._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 21 décembre 2004, ce médecin a indiqué qu'une relation de causalité naturelle entre les troubles constatés et l'événement du 31 mai 2004 était tout au plus du domaine du possible, voire exclue. Selon l'expert, le statu quo sine devait être admis à l'expiration d'une période maximale d'un mois.
Par décision du 23 mars 2005, la Winterthur a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance à partir du 1er juillet 2004.
De son côté, l'employeur de l'intéressée, l'Hôpital X._, a confié une expertise au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 12 avril 2005, ce médecin a indiqué que les troubles constatés étaient très probablement en liaison directe avec l'événement du 31 mai 2004, décrit comme une chute avec entorse en valgus forcé du genou droit, sans choc direct. Selon ce médecin, le cas ne pouvait pas être considéré comme stabilisé avant l'expiration d'une période de deux ans à compter de la ménisectomie.
R._, son assureur-maladie SWICA Organisation de santé (ci-après: la SWICA) et l'Hôpital X._ en leur qualité d'employeur ont fait opposition à la décision de la Winterthur du 23 mars 2005.
Celle-ci a alors passé avec SWICA, d'une part, et l'Hôpital X._, d'autre part, une convention de règlement aux termes de laquelle l'assureur-accidents a accepté de prendre en charge jusqu'au 28 février 2005 les frais relatifs au traitement médical, y compris les coûts de l'intervention chirurgicale du 12 novembre 2004, et d'allouer l'indemnité journalière jusqu'à la même date.
Par décision du 14 décembre 2005, la Winterthur a admis partiellement les oppositions et réformé la décision du 23 mars 2005 en ce sens que la suppression du droit aux prestations d'assurance a été reportée au 28 février 2005.
B. Statuant le 18 décembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté un recours formé contre cette décision sur opposition par R._.
C. Celle-ci interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit à des prestations d'assurance (traitement, frais médicaux) jusqu'au 12 novembre 2006 au moins.
La Winterthur conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 14 décembre 2005, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 1er mars 2005.
3. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (ATF 129 V 181 consid. 3.1, 406 consid. 4.3.1, 119 V 337 consid. 1, 118 V 289 consid. 1b et les références).
En cas d'état maladif antérieur, s'il y a lieu d'admettre que l'accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité entre les symptômes présentés par l'intéressé et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (cf. RAMA 1992 no U 142 p. 75 consid. 4b; Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., no 80).
4. 4.1 L'intimée a supprimé le droit aux prestations d'assurance à partir du 1er mars 2005, motif pris qu'il existait un état pathologique antérieur et qu'à cette date, l'accident ne jouait plus de rôle dans la persistance des troubles. Elle s'est fondée pour cela sur une appréciation de son médecin-conseil, le docteur H._ (rapport du 11 mai 2005), lequel a confirmé «sous un angle strictement médical et statistique» le point de vue de l'expert A._, tout en précisant qu'il ne serait jamais possible d'établir avec certitude l'existence de déchirures méniscales antérieures à l'accident. En particulier, l'intimée s'est écartée des conclusions du docteur E._ au motif que celles-ci étaient fondées sur un déroulement de l'accident qui ne correspondait pas aux circonstances exactes de l'événement du 31 mai 2004.
De son côté, la juridiction cantonale a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre cet événement et les lésions au genou droit. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du docteur A._, qui, selon elle, n'étaient remises en cause ni par l'appréciation du docteur C._ (lettre du 31 mars 2005) ni par celle du docteur E._.
Dans son recours de droit administratif, R._ est d'avis qu'il existe un lien de causalité naturelle entre ses troubles au genou droit existant jusqu'au 12 novembre 2006 - soit à l'expiration d'une période de deux ans après la ménisectomie externe pratiquée le 12 novembre 2004 - et l'événement du 31 mai 2004. Elle se réfère pour cela au point de vue du docteur E._, selon lequel les suites d'une ménisectomie externe nécessitent fréquemment une surveillance médicale d'une année avec un traitement anti-inflammatoire intermittent, un total de deux ans étant même nécessaire pour considérer le cas comme stabilisé. La recourante est d'avis qu'il n'y a pas lieu de s'écarter des conclusions du docteur E._ au motif qu'elles reposent sur des prémisses erronées: l'existence d'une chute avec entorse du genou droit est attestée non seulement par le médecin prénommé mais aussi par le docteur C._ qui indique une contusion/distorsion (rapport du 25 octobre 2004).
4.2 D'après une jurisprudence constante, l'assureur-accidents est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (ATF 125 V 351 consid. 3b/bb p. 353).
Par ailleurs, selon la jurisprudence et la doctrine, l'autorité administrative ou le juge ne doivent considérer un fait comme prouvé que lorsqu'ils sont convaincus de sa réalité (Kummer, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4e éd., Berne 1984, p. 136; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 278 ch. 5). Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible. Parmi tous les éléments de fait allégués ou envisageables, le juge doit, le cas échéant, retenir ceux qui lui paraissent les plus probables (ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360, 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 III 321 consid. 3.2 et 3.3 p. 324 s.). Aussi n'existe-t-il pas, en droit des assurances sociales, un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré (ATF 126 V 319 consid. 5a p. 322).
4.3 En l'espèce, les appréciations des docteurs E._ et C._ reposent sur l'opinion que l'assurée a été victime, le 31 mai 2004, d'une entorse en valgus forcé du genou droit. Or, une telle description de l'événement en question ne ressort pas des rapports des premiers médecins qui se sont exprimés sur le cas ni des déclarations de l'intéressée consignées dans la « déclaration d'accident-bagatelle LAA » remplie par l'employeur le 11 juin 2004. Tant le rapport du Centre d'imagerie Y._ du 29 juillet 2004 (docteur M._, spécialiste en radiologie) que le « rapport médical initial LAA » du 22 septembre 2004 (docteur D._) font état uniquement d'une chute sur le genou droit. Quant à la déclaration d'accident du 11 juin 2004, elle décrit l'accident comme suit: « en descendant les escaliers dans la cour pour fermer le portail, il y a un paillasson; (l'assurée) a mal mis ses pieds et est tombée sur le genou droit ». Ce n'est finalement que le 25 octobre 2004 que le docteur C._ a indiqué l'existence d'une contusion/distorsion du genou droit.
Vu ce qui précède, il apparaît plus vraisemblable que l'événement se soit déroulé comme le décrivent les premiers médecins qui se sont prononcés sur le cas, et ainsi que cela ressort de la déclaration d'accident.
Cela étant, dans la mesure déjà où elles reposent sur un état de fait inexact, les appréciations des docteurs E._ et C._ ne sont pas de nature à mettre en doute le bien-fondé des conclusions de l'expertise du docteur A._, laquelle satisfait à toutes les exigences posées par la jurisprudence (cf. consid. 4.2). Au demeurant, les conclusions des docteurs E._ et C._ reposent notamment sur l'adage « post hoc, ergo propter hoc », raisonnement qui n'est pas admissible selon la jurisprudence (ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.).
Etant donné les conclusions du docteur A._, il apparaît que le statu quo sine était atteint à l'expiration d'une période d'un mois après l'accident, de sorte que l'intimée était fondée à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance. Le fait que cette suppression a été reportée au 1er mars 2005, conformément à la convention de règlement passée avec ZWICA et l'Hôpital X._, ne constitue pas un motif de maintien du droit aux prestations dans le sens des conclusions de la recourante.
Le jugement entrepris, qui confirme la décision sur opposition litigieuse, n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et Canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 10 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd