Sachverhalt:
A. Die 1949 geborene B._ arbeitete ab 3. April 1993 teilzeitlich als Sozialpädagogin im Wohnheim X._. Ab 2. Mai 2005 war sie zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Im Februar 2006 meldete sich B._ unter Hinweis auf seit 1998 bestehende Rückenprobleme bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle Basel-Landschaft klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte zweimal im Spital Y._ untersuchen und begutachten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle mit Verfügungen vom 23. Juli 2008 B._ für die Zeit vom 1. Mai 2006 bis 30. November 2007 eine ganze Invalidenrente zu.
B. Die Beschwerde der B._ hiess das Kantonsgericht BaselLandschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 25. März 2009 insoweit gut, als es feststellte, dass ab 1. Dezember 2007 Anspruch auf eine Viertelsrente bestehe.
C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 25. März 2009 sei aufzuheben. In einer separaten Eingabe beantragt sie, dem Rechtsmittel sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
B._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat in Anwendung der gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 IVG und BGE 125 V 146) bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit (= ohne gesundheitliche Beeinträchtigung geleistetes Arbeitspensum als Sozialpädagogin) von 0,6 für die Zeit ab 1. Dezember 2007 einen Invaliditätsgrad von mindestens 40 % und maximal 44 % ermittelt, was Anspruch auf eine Viertelsrente gibt (Art. 28 Abs. 2 [bis 31. Dezember 2007: Abs. 1] IVG). Umstritten ist einzig das Invalideneinkommen für die Bemessung der Invalidität im erwerblichen Bereich durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2006 des Bundesamtes für Statistik (LSE 06) bestimmt (vgl. dazu BGE 129 V 472 E. 4.2.1 S. 476). Dabei ist sie vom durchschnittlichen monatlichen Bruttolohn von Frauen für einfache und repetitive Tätigkeiten (Anforderungsniveau 4) im privaten Sektor («Total»; Fr. 4019.-; LSE 06 S. 25) ausgegangen. Unter der Annahme eines im Gesundheitsfall ausgeübten Arbeitspensums von 60 %, welches tiefer ist als das zumutbare Pensum von zwei Mal drei Stunden täglich in einer leidensangepassten Tätigkeit, und einer betriebsüblichen Arbeitszeit von 41,7 Wochenstunden, ergab sich in Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung 2006/07 von +1,5 % und eines Abzugs vom Tabellenlohn nach BGE 126 V 75 von mindestens 10 % und höchstens 20 % ein Invalideneinkommen von Fr. 27'557.20 resp. Fr. 24'495.30. Die Wahl der Tabelle zum Anforderungsniveau 4 hat das kantonale Gericht damit begründet, gemäss Einschätzung der Ärzte des Spitals Y._ im Gutachten vom 13. August 2007 samt ergänzenden Berichten vom 11. März und 9. Oktober 2008 seien der Versicherten noch administrative (Hilfs-)Tätigkeiten zumutbar.
2.2 Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Versicherte lediglich noch für administrative Hilfstätigkeiten arbeitsfähig sei, sei offensichtlich unrichtig, das Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung. Aufgrund der Beurteilung der Gutachter des Spitals Y._ müsse davon ausgegangen werden, dass auch eine Tätigkeit als Sozialpädagogin ohne pflegerische Betreuung (behinderter Erwachsener) im zeitlichen Umfang von zwei Mal drei Stunden täglich zumutbar sei. Gemäss Auskunft der Abteilungsleiterin berufliche Eingliederung der IV-Stelle vom 16. Oktober 2008 würde z.B. eine Tätigkeit in einer Eingliederungsstätte diesen Voraussetzungen entsprechen. Dort sei eine pflegerische Teiltätigkeit nicht notwendig und eine Betreuung und Begleitung von Behinderten am Arbeitsplatz oder in einer relativ selbständigen Wohngruppe durchaus möglich. Es existierten zweifellos etliche pädagogische Tätigkeiten auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt, in welchen keine körperliche Belastung resultiere (etwa bei der Arbeit mit Kindern, Jugendlichen, Menschen mit Suchtproblemen, Straftätern, Asylbewerbern; in Notschlafstellen, Gefängnissen; im ambulanten Bereich [z.B. für Beratungsstellen in der Familien- und Angehörigenbegleitung]; dabei gehörten zum Arbeitsalltag auch Teamsitzungen, organisatorische, planerische und administrative Aufgaben). Die Ermittlung des Invalideneinkommens habe daher vom Durchschnittslohn im Wirtschaftszweig Gesundheits- und Sozialwesen auszugehen. Aufgrund der beruflichen Ausbildung (Gymnasium, Ausbildung zur Heilpädagogin) und der langjährigen Berufserfahrung sei zudem zumindest vom Anforderungsniveau 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) auszugehen. Damit könnte die Versicherte ein Einkommen von Fr. 37'541.- erzielen. Daraus resultiere bei einem unbestrittenen Valideneinkommen von Fr. 47'876.- ein erwerblicher Invaliditätsgrad von 22 %. Bei einer gesundheitlich bedingten Einschränkung im Haushalt von 36,8 % betrage der Invaliditätsgrad insgesamt 28 %, sodass ab 1. Dezember 2007 kein Rentenanspruch mehr bestehe.
3.1 3.1.1 Das trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen ist bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln. Ein solcher Arbeitsmarkt ist gekennzeichnet durch ein gewisses Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage nach Arbeitskräften und weist einen Fächer verschiedenster Tätigkeiten auf und zwar sowohl bezüglich der dafür verlangten beruflichen und intellektuellen Voraussetzungen wie auch hinsichtlich des körperlichen Einsatzes (BGE 110 V 273 E. 4b S. 276; ZAK 1991 S. 321 E. 3b). Bei der Umschreibung der noch in Betracht fallenden erwerblichen Tätigkeiten ist nicht von realitätsfremden Einsatzmöglichkeiten auszugehen. Es kann nur die Ausübung von Tätigkeiten verlangt werden, die unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten des Einzelfalles zumutbar sind (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 97/00 vom 29. August 2002 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Anderseits sind an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen (Urteil 9C_121/2008 vom 4. August 2008 E. 5.1).
3.1.2 Im Rahmen der Invaliditätsbemessung ist es Aufgabe des Arztes, den Gesundheitszustand festzustellen und sich dazu zu äussern, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten der oder die Versicherte arbeitsunfähig ist (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen) und welche Arbeitsleistungen ihm oder ihr noch zugemutet werden können (BGE 105 V 157 E. 1 in fine S. 159; vgl. auch Urteil 9C_323/2009 vom 14. Juli 2009 E. 4.2: «funktionelle Leistungsfähigkeit»). Es geht darum, inwiefern die betreffende Person in den körperlichen und/oder geistigen Funktionen gesundheitlich bedingt eingeschränkt ist, insbesondere ob sie sitzend oder stehend, in freien oder in geheizten Räumen arbeiten kann oder muss, ob sie Lasten heben und tragen kann usw. (BGE 107 V 17 E. 2b S. 20). Aufgrund dieses Anforderungsprofils hat der Berufsberater zu sagen, welche konkreten beruflichen Tätigkeiten unter Berücksichtigung der Fähigkeiten, Ausbildung und Berufserfahrung der versicherten Person realistischerweise noch in Betracht fallen. Dazu sind unter Umständen Rückfragen beim Arzt erforderlich (BGE 107 V 17 E. 2b S. 20; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 5.2; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts I 484/00 vom 21. März 2001 E. 2b, I 586/00 vom 29. Januar 2001 E. 1b und I 389/97 vom 6. Oktober 1998 E. 2b).
3.1.2 Im Rahmen der Invaliditätsbemessung ist es Aufgabe des Arztes, den Gesundheitszustand festzustellen und sich dazu zu äussern, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten der oder die Versicherte arbeitsunfähig ist (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen) und welche Arbeitsleistungen ihm oder ihr noch zugemutet werden können (BGE 105 V 157 E. 1 in fine S. 159; vgl. auch Urteil 9C_323/2009 vom 14. Juli 2009 E. 4.2: «funktionelle Leistungsfähigkeit»). Es geht darum, inwiefern die betreffende Person in den körperlichen und/oder geistigen Funktionen gesundheitlich bedingt eingeschränkt ist, insbesondere ob sie sitzend oder stehend, in freien oder in geheizten Räumen arbeiten kann oder muss, ob sie Lasten heben und tragen kann usw. (BGE 107 V 17 E. 2b S. 20). Aufgrund dieses Anforderungsprofils hat der Berufsberater zu sagen, welche konkreten beruflichen Tätigkeiten unter Berücksichtigung der Fähigkeiten, Ausbildung und Berufserfahrung der versicherten Person realistischerweise noch in Betracht fallen. Dazu sind unter Umständen Rückfragen beim Arzt erforderlich (BGE 107 V 17 E. 2b S. 20; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 5.2; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts I 484/00 vom 21. März 2001 E. 2b, I 586/00 vom 29. Januar 2001 E. 1b und I 389/97 vom 6. Oktober 1998 E. 2b).
3.2 3.2.1 Gemäss Gutachten des Spitals Y._ vom 13. August 2007 ist die Versicherte in ihrer ursprünglichen Tätigkeit als Sozialpädagogin mit pflegerischer Betreuung behinderter Erwachsener zu 100 % arbeitsunfähig. Hingegen sind Berufe mit vorwiegend administrativen Tätigkeiten und mit der Möglichkeit, wechselnde Positionen einzunehmen, im zeitlichen Umfang von zwei Mal drei Stunden täglich zumutbar. Auf entsprechende Anfrage der IV-Stelle präzisierten die Gutachter im Bericht vom 9. Oktober 2008, dass unter administrativen Tätigkeiten die Organisation des Schreibtisches, Dokumenten-Ablage sowie Korrespondenz führen zu verstehen sei. Ebenfalls sei eine eher sitzende Tätigkeit an einem Schreibtisch gemeint. Das Belastungsprofil umschrieben sie wie folgt: Maximale Gehdauer am Stück: ca eine halbe Stunde; Stehdauer: bei nicht nach vorne gebeugtem Oberkörper eine halbe Stunde ununterbrochen; Sitzdauer: ununterbrochen eine Stunde; maximales Gewicht: 2 kg nahe am Körper.
3.2.2 Die Leiterin der Abteilung berufliche Eingliederung der IV-Stelle äusserte sich in ihrer Stellungnahme vom 16. Oktober 2008 dahingehend, aufgrund des medizinischen Anforderungsprofils könnte die Versicherte in einer anderen Institution z.B. in einer geschützten Werkstätte als Sozialpädagogin arbeiten. Hier wäre eine pflegerische Teiltätigkeit nicht notwendig und die Betreuung und Begleitung von Behinderten am Arbeitsplatz oder in einer relativ selbständigen Wohngruppe durchaus möglich. Dabei handle es sich um dieselbe Funktion, nur das Umfeld und der Schweregrad der zu betreuenden Personen sei unterschiedlich.
Das kantonale Gericht hat offen gelassen, ob in einer solchen von der Leiterin der Abteilung berufliche Eingliederung der IV-Stelle bezeichneten Anstellung tatsächlich keine das medizinische Belastungsprofil der Versicherten übersteigenden körperlichen Tätigkeiten zu bewältigen wären, da jedenfalls nicht davon auszugehen sei, dass sie dabei ohne weiteres ein ihrem vormaligen Verdienst entsprechendes Einkommen erzielen könnte.
3.3 Entgegen den Vorbringen der Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung wurde von den Gutachtern des Spitals Y._ eine Tätigkeit als Sozialpädagogin im zeitlichen Umfang von zwei Mal drei Stunden täglich nicht explizit und absolut ausgeschlossen. Die Vorinstanz hat auch keine Feststellungen in diesem Sinne getroffen. Entscheidend ist, dass eine Tätigkeit nur zumutbar ist, soweit sie den gesundheitlich bedingten funktionellen Einschränkungen Rechnung trägt, insbesondere dem Belastungsprofil entspricht. Ob diese Voraussetzung in Bezug auf die von der Berufsberaterin angegebenen Einsatzmöglichkeiten gegeben ist, ist zweifelhaft. Die betreffenden Tätigkeiten erfordern die Betreuung und Begleitung von Behinderten am Arbeitsplatz oder auf einer relativ selbständigen Wohngruppe, was gemäss den substanziierten Ausführungen der Beschwerdegegnerin in verschiedener Hinsicht mit körperlicher Arbeit verbunden ist. Abgesehen davon steht die Betreuung und Begleitung von Behinderten am Arbeitsplatz oder auf einer relativ selbständigen Wohngruppe in einem gewissen, nicht ohne weiteres auflösbaren Widerspruch dazu, dass gemäss den Gutachtern des Spitals Y._ an eine eher sitzende Tätigkeit an einem Schreibtisch zu denken ist. Die Frage der Kompatibilität mit dem medizinischen Anforderungs- und Belastungsprofil stellt sich auch in Bezug auf die von der IV-Stelle erstmals in der Beschwerde ans Bundesgericht erwähnten weiteren in Betracht fallenden Betätigungsfelder (Arbeit mit Kindern, Jugendlichen, Menschen mit Suchtproblemen, Straftätern, Asylbewerbern, in Notschlafstellen, Gefängnissen, im ambulanten Bereich [z.B. für Beratungsstellen in der Familien- und Angehörigenbegleitung]; vgl. E. 2.2). Solche Tätigkeiten gehen im Übrigen weit über die von der Berufsberaterin wenn auch nur beispielhaft genannten Einsätze in geschützten Werkstätten hinaus.
3.4 Nach dem Gesagten besteht Unklarheit darüber, welche konkreten, mit dem medizinischen Anforderungs- und Belastungsprofil vereinbaren erwerblichen Tätigkeiten trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Beschwerdegegnerin zumutbar sind. Die Abteilung Berufsberatung der IV-Stelle wird mit den Gutachtern des Spitals Y._ Rücksprache nehmen und nach allfälligen weiteren Abklärungen die in Betracht fallenden konkreten beruflichen Tätigkeiten bezeichnen. Danach bestimmt sich, ob das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik zu ermitteln ist und bejahendenfalls, von welchem Anforderungsniveau allenfalls innerhalb eines bestimmten Wirtschaftszweiges auszugehen ist sowie die Höhe eines allfälligen Abzugs vom Tabellenlohn nach BGE 126 V 75. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
4. Mit dem sofortigen Entscheid in der Sache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos (Urteil 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009 E. 4).
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens gilt die Beschwerdegegnerin als unterliegende Partei. Sie hat daher die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). In Bezug auf das vorangegangene Verfahren gilt sie jedoch nach wie vor als obsiegende Partei. Die vorinstanzliche Verneinung einer Kostenpflicht und Zusprechung einer Parteientschädigung sind daher zu belassen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG; vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 157/06 vom 19. Dezember 2006 E. 6 mit Hinweis).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 25. März 2009 (mit Ausnahme der Gerichtskosten und der Parteientschädigung) und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Landschaft vom 23. Juli 2008 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Dezember 2007 neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. September 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler