Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer erstattete am 31. August 2007 Strafanzeige gegen die Redaktion der Rundschau der Gesellschaft A._ wegen Ehrverletzung. Der Untersuchungsrichter 1 von Bern-Mittelland und der zuständige Prokurator traten auf die Anzeige nicht ein. Der Beschwerdeführer erhob dagegen Rekurs, auf den die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern am 24. Juni 2008 nicht eintrat.
Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde, datiert vom 21. Juli 2008, ans Bundesgericht.
2. Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Zur Beschwerde berechtigt ist insbesondere das Opfer, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG).
Gemäss Art. 2 Abs. 1 OHG ist Opfer, wer durch eine Straftat in seiner körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist. Grundsätzlich sind von einer Ehrverletzung betroffene Personen nicht Opfer im Sinne des OHG (BGE 129 IV 206 E. 1 S. 207). In der Beschwerde wird nicht geltend gemacht, noch ist ersichtlich, dass die angebliche Ehrverletzung einen aussergewöhnlich schweren Fall darstellen sollte, der allenfalls die Annahme einer unmittelbaren Beeinträchtigung der psychischen Integrität des Betroffenen rechtfertigen könnte (vgl. Urteil 6P.41/2004 vom 8. Juni 2004, E. 1 mit Hinweis). Eine Opferstellung des Beschwerdeführers fällt deshalb ausser Betracht. Da er auch sonst kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, ist er zur Beschwerde nicht legitimiert. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Den angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Willisegger