Faits:
A. X._, ressortissante suisse, née en 1966, célibataire, a grandi dans le canton d'Uri. Elle a séjourné à Genève en tant qu'étudiante, du 15 octobre 1997 au 28 juin 1998, date à laquelle elle est retournée à Bürglen, dans le canton d'Uri. Engagée depuis le 1er janvier 2001 comme directrice assistante au Centre pour le contrôle des forces armées, à Genève (Geneva Centre for the Democratic Control of Armed Forces, ci-après: DCAF), elle a loué un appartement de 5 pièces, sis rue Colombier 2, à Genève, dont le loyer s'élevait à 2'507 fr. plus 180 fr. pour la place de parc au sous-sol. Le 29 janvier 2001, le canton de Genève lui a délivré une attestation d'établissement.
Le 21 décembre 2007, X._ a déclaré quitter le canton de Genève pour s'installer à Altdorf dans le canton d'Uri, tout en conservant son travail et son appartement à Genève. Dans le questionnaire que l'Administration fiscale genevoise lui a demandé de remplir pour déterminer son assujettissement aux impôts cantonal et communal pour l'année fiscale 2007, elle a déclaré qu'elle avait d'importantes attaches dans le canton d'Uri, où vivait sa mère. Enfant unique, elle s'occupait beaucoup de celle-ci depuis le décès de son père et avait acquis, en novembre 2007, un bien immobilier à Schattdorf, où elle séjournait pendant tout son temps libre. Elle n'avait ainsi passé que six congés hebdomadaires à Genève, onze à l'étranger et trente-cinq dans le canton d'Uri. Elle précisait encore qu'elle voyageait beaucoup pour son travail et qu'elle était très active au sein de l'église protestante du canton d'Uri.
Par décision du 15 janvier 2010, l'Administration fiscale du canton de Genève a signifié à X._ qu'au vu de sa situation personnelle et de la jurisprudence en matière de domicile fiscal, elle entendait continuer à l'assujettir aux impôts dans le canton de Genève à partir du 1er janvier 2007. Cette décision a été confirmée sur réclamation, le 3 mars 2010.
Par jugement du 28 juin 2011, le Tribunal administratif de première instance du canton de Genève a rejeté le recours formé par X._ contre la décision sur réclamation, sans avoir donné suite à sa demande d'audition.
B. X._ a recouru contre ce jugement auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève. Elle sollicitait son audition et celle de plusieurs personnes habitant le canton d'Uri pour démontrer que son domicile et son centre de vie se trouvaient bien dans ce canton et non à Genève, qui n'était pour elle que le lieu de son activité professionnelle, centrée sur le monde.
Par arrêt du 4 octobre 2011, la Cour de justice a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Elle a tout d'abord considéré comme tardives les conclusions subsidiaires de la recourante et les a déclarées irrecevables. S'estimant ensuite suffisamment renseignée sur la base des pièces du dossier, elle a renoncé aux auditions et enquêtes sollicitées. Au fond, statuant sur la base de la jurisprudence découlant de l'art. 127 al. 3 Cst., elle a jugé que la recourante devait être intégralement assujettie aux impôts dans le canton de Genève.
C. X._ forme auprès du Tribunal fédéral un "recours" contre l'arrêt de la Cour de justice du 4 octobre 2011, ainsi que contre le jugement du Tribunal administratif de première instance du 28 juin 2011 et la décision sur réclamation de l'Administration fiscale cantonale du 3 mars 2010, sous suite de dépens. Elle demande au Tribunal fédéral de prononcer qu'elle n'est pas assujettie aux impôts genevois dès le 1er janvier 2007, subsidiairement qu'elle n'y est assujettie qu'à concurrence de 30%, les 70% de son revenu imposable étant taxés dans le canton d'Uri. Plus subsidiairement, elle requiert de renvoyer l'affaire aux autorités genevoises pour nouvelle décision dans le sens des considérants, voire de l'acheminer à prouver ses allégations par toutes voies de droit.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.
L'Administration fiscale cantonale genevoise a déposé des observations et conclut, principalement, au rejet du recours sous suite de frais et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la Cour de justice s'agissant des conclusions subsidiaires de la recourante, voire à un partage d'impôt par moitié entre les cantons de Genève et d'Uri.
Invitée à se déterminer, l'Administration fiscale du canton d'Uri conclut à l'admission du recours, éventuellement à l'admission des conclusions subsidiaires tendant au partage de l'impôt, et produit ses taxations définitives pour les années fiscales 2007 et 2008.
L'Administration fédérale de contributions se rallie aux considérants et au dispositif de l'arrêt attaqué, ainsi qu'à la réponse de l'Administration fiscale cantonale, et conclut au rejet du recours.
La recourante a persisté dans ses conclusions au terme de sa réplique.
Considérant en droit:
1. 1.1 Hormis la violation de son droit d'être entendue qu'elle présente dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire, recourante n'a pas indiqué par quelle voie de droit elle agit devant le Tribunal fédéral. Cette imprécision ne saurait toutefois lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 383; 133 I 300 consid. 2.1 p. 302 ss).
1.2 Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée (voir ATF 133 I 308 consid 2.3 p. 312 à propos des recours en matière de double imposition depuis l'entrée en vigueur de la LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. a LTF), par la destinataire de la décision attaquée qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours est donc en principe recevable comme recours en matière de droit public.
Par conséquent, le recours n'est pas recevable comme recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), de sorte que les violations des art. 9 et 29 al. 2 Cst. alléguées par la recourante doivent être examinées dans le cadre du recours en matière de droit public (art. 95 let. a LTF), pour autant que celles-ci soient motivées conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF et de la jurisprudence (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). Tel n'est toutefois pas le cas en l'espèce du grief de violation de l'art. 9 Cst. qui n'est pas motivé spécialement et se confond avec celui de la violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
1.3 Les conclusions en annulation des décisions des instances précédant la Cour de justice sont irrecevables en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès de cette dernière (cf. art. 56 de la loi genevoise de procédure fiscale du 4 octobre 2001; LPFisc; RS/GE D 3 17; ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543).
1.4 L'arrêt attaqué et les décisions qui l'on précédé concernent uniquement le domicile fiscal de la recourante en matière d'impôts cantonal et communal de l'année 2007. Il ne porte donc pas sur la taxation de l'impôt fédéral direct, mais sur un conflit de compétences intercantonal, de sorte qu'une décision de taxation du canton d'Uri pour la période fiscale 2007 peut également faire l'objet du recours, même si elle est déjà entrée en force (art. 100 al. 5 LTF; arrêts 2C_518/2011 du 1er février 2012, consid. 1.2 et 2C_397/2010 du 6 décembre 2010, consid. 1.2, publié notamment in RDAF 2011 p. 127 ss). Dans un tel cas, le Tribunal fédéral considère en effet que le contribuable qui forme un recours pour double imposition ne veut pas être imposé dans deux cantons, de sorte qu'il y a lieu d'admettre que, même s'il ne le dit pas expressément, ses conclusions en annulation de l'arrêt attaqué visent également la taxation définitive de l'autre canton, sans égard au fait que les instances cantonales n'ont pas été épuisées (arrêt 2C_230/2008 du 27 août 2008, consid. 1.2, publié in RF 64/2009 p. 302 ss). Pour admettre une telle volonté, exprimée de manière seulement implicite par le recourant, il est toutefois nécessaire qu'une taxation dans l'autre canton ait été effectivement prononcée et que le Tribunal fédéral en ait connaissance de manière certaine (arrêt 2C_518/2011 du 1er février 2012 consid. 1.2). Tel est le cas en l'espèce, puisque le canton d'Uri a produit la taxation définitive de la recourante pour la période fiscale 2007. Par conséquent, si le recours n'est dirigé que contre l'arrêt de la Cour de justice du canton de Genève, il faut considérer qu'il est aussi formé implicitement contre le canton d'Uri. Ce canton a d'ailleurs été invité à déposer des observations. Le fait que le recours concerne tant la taxation du canton de Genève, que celle du canton d'Uri a également pour résultat que les conclusions subsidiaires de la recourante formées devant le Tribunal fédéral, qui tendent à être assujettie aux impôts uranais à concurrence de 70% de son revenu imposable dès le 1er janvier 2007 et à 30% seulement dans le canton de Genève, sont recevables, indépendamment du fait qu'elles ont été déclarées irrecevables pour cause de tardiveté par la Cour de justice.
2. Dans un grief formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante reproche à la juridiction cantonale de ne pas l'avoir entendue oralement, alors qu'elle avait sollicité sa comparution personnelle depuis le début de la procédure. Invoquant une violation des art. 29 al. 2 et 9 Cst., elle prétend que son audition aurait permis aux juges de l'interroger sur ses relations personnelles, sur ses connaissances de Genève et du français.
A lui seul, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas un droit d'être entendu oralement par l'autorité (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Au demeurant, le droit de faire administrer des preuves découlant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505). Cette garantie constitutionnelle n'empêche du reste pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505 ss).
En l'espèce, la juridiction cantonale a retenu à juste titre que l'ignorance éventuelle du français ou des institutions genevoises étaient sans pertinence pour déterminer l'assujettissement à l'impôt à Genève et que la recourante avait eu largement la possibilité de s'exprimer par écrit sur son absence de réseau social à son lieu de travail. Pour le reste, la recourante ne dit pas en quoi l'appréciation anticipée des preuves à laquelle est parvenue la Cour cantonale serait arbitraire. Son grief de violation du droit d'être entendu doit dès lors être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. 3.1 Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à l'art. 127 al. 3 Cst., le domicile fiscal (principal) d'une personne physique exerçant une activité lucrative dépendante se trouve au lieu où elle réside avec l'intention de s'y établir durablement (voir aussi art. 3 al. 2 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directes des cantons et des communes: LHID; RS 642.14), soit le lieu où la personne a le centre de ses intérêts personnels. Ce lieu se détermine en fonction de l'ensemble des circonstances objectives et non sur la base des seules déclarations du contribuable, qui ne peut pas choisir librement son domicile. Dans ce contexte, le domicile politique ne joue aucun rôle décisif: le dépôt des papiers et l'exercice des droits politiques ne constituent, au même titre que les autres relations de la personne assujettie à l'impôt, que des indices propres à déterminer le domicile fiscal (ATF 132 I 29 consid. 4.1 p. 35/36; arrêts précités 2C_518/2011, consid. 2.1 et 2C_397/2010 consid. 2.2 in RDAF 2011 II p. 130).
3.2 Si une personne séjourne alternativement à deux endroits, ce qui est notamment le cas lorsque le lieu de travail ne coïncide pas avec le lieu de résidence habituelle, son domicile fiscal se trouve au lieu avec lequel elle a les relations les plus étroites (ATF 131 I 145 consid. 4.1 p. 149 s.; 125 I 458 consid. 2b p. 467 et les arrêts cités). Pour le contribuable exerçant une activité lucrative dépendante, le domicile fiscal se trouve en principe à son lieu de travail, soit au lieu à partir duquel il exerce quotidiennement son activité lucrative, pour une longue durée ou pour un temps indéterminé, en vue de subvenir à ses besoins (cf. ATF 125 I 54 consid. 2b p. 56 et l'arrêt cité). Pour le contribuable marié, les liens créés par les rapports personnels et familiaux sont tenus pour plus forts que ceux tissés au lieu de travail; pour cette raison, ces personnes sont imposables en principe au lieu de résidence de la famille (ATF 132 I 29 consid. 4.2 p. 36; 125 I 54 consid. 2b/aa p. 56/57; 125 I 458 consid. 2d p. 467 s.; 121 I 14 consid. 4a p. 16; consid. 4a p. 16; 111 Ia 41 consid. 3 p. 42). Il en va de même pour le contribuable marié qui exerce une activité lucrative dépendante (sans avoir de fonction dirigeante) et ne rentre dans sa famille que pour les fins de semaine et pendant son temps libre ("Wochenaufenthalter", ATF 104 Ia 264 consid. 2a p. 268). Ce n'est que lorsque ce même contribuable ne rentre pas dans sa famille en fin de semaine ou pas avec la régularité nécessaire que son domicile fiscal principal est au lieu du travail, le lieu de résidence de la famille représentant alors pour lui un domicile fiscal secondaire (ATF 132 I 29 consid. 4.2 p. 36).
Ces principes s'appliquent également au contribuable célibataire, car la jurisprudence considère que les parents et les frères et soeurs font partie de la famille. Toutefois, les critères qui conduisent le Tribunal fédéral à désigner non pas le lieu où le contribuable travaille, mais celui où réside sa famille comme domicile fiscal doivent être appliqués de manière particulièrement stricte, dans la mesure où les liens avec les parents sont généralement plus distants que ceux entre époux. Pour le contribuable célibataire, il faut se demander s'il existe d'autres relations, en sus des rapports familiaux, qui rattacheraient de façon prépondérante le contribuable à l'un ou l'autre lieu. Dans cette situation, la règle selon laquelle le domicile principal du contribuable exerçant une activité lucrative dépendante se trouve en principe à son lieu de travail revêt une grande importance: même si le contribuable célibataire retourne chaque semaine chez ses parents ou frères et soeurs, les relations avec le lieu de travail peuvent être plus étroites. Tel est notamment le cas lorsqu'il dispose d'un appartement au lieu de travail qu'il a agencé lui-même ou qu'il s'y est créé un cercle d'amis et de connaissances. En pareilles circonstances, la durée des rapports de travail et l'âge du contribuable ont une importance particulière (ATF 125 I 54 consid. 2b/bb p. 57). Le Tribunal fédéral considère ainsi que les relations du contribuable célibataire avec ses parents sont en général moins étroites, lorsque celui-ci a plus de trente ans et qu'il réside sur son lieu de travail de manière ininterrompue depuis plus de cinq ans (arrêts précités 2C_518/2011, consid. 2.1 et 2C_397 /2010, consid. 2.2 in RDAF 2011 II p. 131).
3.3 En matière du fardeau de la preuve, il faut appliquer les principes suivants: le fait que le contribuable est âgé de plus de trente ans et exerce une activité lucrative dépendante au lieu où il séjourne pendant la semaine crée une présomption naturelle qu'il y a son domicile fiscal principal. Cette présomption peut être renversée si le contribuable rentre régulièrement, au moins une fois par semaine, au lieu de résidence des membres de sa famille et qu'il parvient à démontrer qu'il entretient avec eux des liens particulièrement étroits et jouit dans ce même lieu d'autres relations personnelles et sociales. Dans un tel cas, il appartient alors au canton du lieu de résidence en semaine ou du lieu de travail de démontrer que le contribuable entretient sur son territoire des relations économiques et personnelles prépondérantes (arrêts précités 2C_518/2011, consid. 2.2 et les références citées, ainsi que 2C_397 /2010, consid. 2.3 in RDAF 2011 II p. 132).
En l'espèce, la recourante était âgée de quarante-et-un ans en 2007 et exerce une activité dépendante à 100% à Genève, où elle travaille depuis 2001 et y loue un appartement de 5 pièces, cuisine comprise. Il y a donc une présomption naturelle de considérer que son domicile fiscal principal se trouve à Genève. L'intéressée a toutefois démontré qu'elle se rendait fréquemment en fin de semaine dans le canton d'Uri, et sans doute plus régulièrement depuis qu'elle avait acquis un appartement à Schattdorf en novembre 2007; par ailleurs, elle entretenait dans ce canton, où elle a vécu durant toute son enfance, des relations étroites avec sa mère et plusieurs autres personnes. Il y a lieu dès lors d'examiner la portée de ces éléments sur la création d'un domicile fiscal.
3.4 Si la recourante a des liens très étroits avec le canton d'Uri, ces liens ne sont pas plus intenses que ceux d'une personne célibataire qui passe ses fins de semaine et son temps libre chez ses parents. L'intéressée n'est en effet pas crédible lorsqu'elle affirme n'avoir tissé aucune relation sociale à Genève, alors qu'elle y a fait une année d'études et y a déposé ses papiers pendant les six premières années où elle a travaillé au DCAF. Par ailleurs, sa situation professionnelle, à plein temps, dans une fonction importante, ne s'est pas modifiée depuis 2001, année où elle s'est établie à Genève et y a créé son domicile fiscal. Elle doit toujours voyager pour son travail et recevoir des relations internationales. Face aux exigences professionnelles de son activité, ses déclarations au sujet de sa mère, dont elle dit s'occuper, comme fille unique, depuis le décès de son père, doivent être relativisées, de même que les activités sociales qu'elle peut encore avoir en fin de semaine avec ses amis et au sein de l'église protestante. Il n'en va pas différemment de la méconnaissance du français ou de l'ignorance des institutions genevoises dont se prévaut la recourante, qui sont à l'évidence le cas d'une grande partie de la population imposée dans le canton de Genève et ne sont donc pas significatives par rapport au domicile fiscal. L'intéressée a en outre conservé son appartement de 5 pièces genevois pour un loyer mensuel de 2'687 fr., place de parc comprise, logement qui, comme l'a relevé la juridiction cantonale, ne saurait être qualifié de temporaire ou de simple pied-à-terre. A cet égard, on a de la peine à suivre les affirmations de la recourante au sujet des difficultés de trouver un logement plus petit à Genève, dans la mesure où les appartements de 5 pièces sont très recherchés et qu'il doit donc être possible de procéder éventuellement à un échange. Enfin, le fait que la recourante a été nommée « ambassadrice » du canton d'Uri en 2008 n'est pas pertinent puisque, non seulement il ne concerne pas l'année de taxation litigieuse, mais qu'il s'agit aussi d'une fonction purement honorifique. Il s'ensuit que les éléments allégués par la recourante ne sont pas suffisants pour apporter la preuve d'un transfert de domicile dans le canton d'Uri en 2007.
3.5 Exceptionnellement, la jurisprudence a admis l'existence d'un domicile alternant, c'est-à-dire de deux domiciles fiscaux d'importance égale, lorsqu'un contribuable a des liens d'égale intensité avec les deux lieux où il séjourne. Tel est le cas lorsque le contribuable transfère à intervalles réguliers son domicile d'un lieu à un autre, puis à nouveau au premier endroit, de telle manière qu'en additionnant ces périodes, la durée de la résidence à chacun des deux endroits soit à peu près équivalente sur une année. L'existence d'un domicile alternant entraîne en principe le partage de la souveraineté fiscale entre les deux cantons concernés, les facteurs fiscaux étant répartis par moitié (ATF 131 I 145 consid. 4.2 p. 150; 100 Ia 242 consid. 2b p. 244; arrêt 2C_969/2010 du 3 août 2011, consid. 3.1).
Comme on l'a vu, l'examen de l'ensemble des circonstances concrètes conduit au constat que les relations professionnelles, familiales et sociales de la recourante n'ont pas subi de changement notable en 2007, bien qu'elle ait déclaré au mois de décembre de la même année avoir transféré le centre de ses intérêts de Genève à Schattdorf. Alors que ses séjours dans le canton d'Uri se sont limités à trente-cinq week-ends et à une partie des vacances, les conditions pour admettre exceptionnellement l'existence d'un domicile alterné ne sont manifestement pas remplies. Les conclusions subsidiaires prises par la recourantes sont infondées.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté en tant qu'il conclut principalement au non-assujettissement de la recourante aux impôts genevois à partir de 2007. Il doit en revanche être admis en tant qu'il porte implicitement (cf. supra consid. 1.4) sur la décision de taxation du canton d'Uri du 18 août 2008 pour l'année 2007, cette décision étant annulée. Il appartiendra à ce canton de rendre une nouvelle décision relative à l'imposition de l'immeuble sis sur son territoire, le solde des impôts déjà perçus étant restitués à la recourante. Les frais de justice doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe sur l'entier des conclusions qu'elle a expressément formulées (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable en tant qu'il est dirigé contre le canton de Genève.
2. Le recours en matière de droit public est admis dans la mesure où il est recevable en tant qu'il est dirigé contre le canton d'Uri et la décision de taxation de ce canton du 18 août 2008 est annulée. L'affaire est renvoyée à ce canton pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3. Le recours est irrecevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Administration fiscale du canton de Genève, à la Steuerverwaltung des Kantons Uri, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section, et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 12 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Rochat