Sachverhalt:
A. Die 1964 geborene F._ war vom 1. September 2007 bis 30. April 2008 bei der Firma W._ AG angestellt. Am 7. November 2008 meldete sie sich unter Hinweis auf eine Depression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen traf Abklärungen in erwerblicher Hinsicht und zog Berichte des Psychiaters Dr. med. K._, Chefarzt der Klinik X._, vom 2. Juni 2009 sowie der Klinik Y._, Fachklinik für kardiale und psychosomatische Rehabilitation, vom 28. Mai 2008, wo die Versicherte vom 27. März bis 16. April 2008 stationär behandelt worden war, sowie der Psychiatrischen Klinik Z._ vom 4. Januar 2010, wo sich F._ vom 8. November bis 4. Dezember 2009 aufgehalten hatte, bei. Der Psychiater Dr. med. P._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) berichtete am 16. April 2010 über die am 3. März 2010 durchgeführte fachärztliche Untersuchung der Versicherten. Mit Verfügung vom 5. November 2010 eröffnete die IV-Stelle F._, sie habe ab 1. Dezember 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung.
B. F._ liess beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung vom 25. November 2010 sei ihr anstelle der Viertelsrente eine halbe Invalidenrente zuzusprechen.
Die IV-Stelle beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen mit der Feststellung, dass die Versicherte keinen Invalidenrentenanspruch habe. Mit Entscheid vom 20. Juli 2012 hiess das Versicherungsgericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach F._ rückwirkend ab 1. Mai 2009 eine halbe Invalidenrente zu.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Versicherte keine Invalidenrente beanspruchen kann. Ferner ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
F._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Bei Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, z.B. der Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei, geht es um Rechtsfragen. Im Übrigen gilt in diesem Zusammenhang Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (BGE 137 V 64 E. 1.2 S. 65 f.).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass die Beschwerdeführerin an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung leidet. Ebenso ist nach den Darlegungen des kantonalen Gerichts erstellt, dass eine psychische Komorbidität gegeben ist und zusätzliche Umstände vorliegen, welche die Schmerzbewältigung behindern.
2.2 Die Beschwerdeführerin wendet ein, es bestehe keine relevante psychische Komorbidität. Aber selbst wenn eine solche mit der Vorinstanz zu bejahen sei, fehle es aufgrund der Feststellungen im RAD-Bericht an der notwendigen Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer der diagnostizierten mittelgradigen depressiven Episode. Überdies seien die weiteren rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien wie sozialer Rückzug oder Scheitern der konsequent durchgeführten Behandlungen nicht hinreichend gehäuft und ausgeprägt erfüllt, um insgesamt den Schluss auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten.
3. 3.1 Die IV-Stelle hat von einer Begutachtung der Versicherten durch eine externe Stelle abgesehen und statt dessen die Angelegenheit zur Stellungnahme RAD-Arzt Dr. med. P._ unterbreitet (vgl. zum Beweiswert von RAD-Berichten BGE 135 V 254 E. 3.3 und 3.4 S. 257). Die Vorinstanz wiederum hat zur Frage, ob eine psychische Komorbidität gegeben ist sowie zur Beurteilung der Erheblichkeit einer allfälligen derartigen Krankheit ebenfalls zur Hauptsache auf die ärztlichen Feststellungen, insbesondere des RAD-Psychiaters Dr. med. P._ im Bericht vom 16. April 2010, und des Dr. med. K._ vom 10. März 2011 abgestellt. Aus dem Bericht des RAD-Arztes hat es geschlossen, die diagnostizierte "Double Depression" stelle mit überwiegender Wahrscheinlichkeit einen verselbstständigten Gesundheitsschaden dar; eine mitwirkende, psychisch ausgewiesene, erhebliche Komorbidität im Sinne der Rechtsprechung sei damit gegeben. Nähere Aussagen zur vorinstanzlich bejahten Erheblichkeit der Komorbidität lassen sich den Erwägungen des angefochtenen Entscheides jedoch nicht entnehmen. Richtig ist, dass bereits gemäss Diagnose der Klinik Y._ vom 28. Mai 2008 bei der Versicherten Angst und depressive Störung gemischt vorlagen. Ein Jahr später, am 2. Juni 2009, diagnostizierte Dr. med. K._ eine mittelgradige depressive Episode sowie eine generalisierte Angststörung, und in der Klinik Z._ wurde am 4. Januar 2010 nebst einer generalisierten Angststörung eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode, erkannt. Die mittelgradige Depression beeinträchtigte den Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin demnach durchgehend während mindestens dreier Jahre, womit das Kriterium der Dauer der Komorbidität, nicht aber deren Erheblichkeit, erfüllt ist. Wie es sich mit der von der Rechtsprechung geforderten Intensität und der Schwere des selbstständigen Gesundheitsschadens verhält, vermag RAD-Psychiater Dr. med. P._ nicht darzulegen. Es wäre jedoch Aufgabe des Gutachters, durch die zur Verfügung stehenden diagnostischen Möglichkeiten fachkundiger Exploration der Verwaltung (oder im Streitfall dem Gericht) aufzuzeigen, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr erlauben, mit ihren Schmerzen umzugehen (BGE 130 V 352 E. 2.2.4 S. 355). Diese Anforderungen erfüllt der Bericht des RAD-Arztes nicht. So äussert sich Dr. P._ nicht substanziiert zur Erheblichkeit der psychisch ausgewiesenen Komorbidität, welche nebst der Dauer auch eine erhebliche Schwere, Intensität und Ausprägung voraussetzt (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353 f.). Der erforderlichen Klarheit entbehren sodann auch die Ausführungen des RAD-Arztes zum Verhältnis zwischen psychischer Komorbidität und Überwindbarkeit der somatoformen Schmerzstörung. Der Bericht des Dr. med. P._ erlaubt demnach keine Beantwortung der sich hier stellenden Fragen. Die Vorinstanz hätte bei dieser unzulänglichen Sachverhaltsermittlung durch die Verwaltung zusätzliche Beweisvorkehren treffen müssen. Somit hat sie den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig und damit offensichtlich unrichtig (Art. 105 Abs. 2 BGG) festgestellt, weshalb das Bundesgericht nicht daran gebunden ist.
3.2 Mit Blick auf die unterbliebene Abklärung des vollständigen medizinischen Sachverhalts, der nicht nur psychische Aspekte, sondern auch mannigfaltige Beschwerden umfasst, welche sich als somatische Leiden, beispielsweise im urogenitalen Bereich mit sehr häufigem Harndrang, präsentieren, ist es geboten, eine polydisziplinäre Expertise durch eine medizinische Abklärungsstelle der Invalidenversicherung (MEDAS) anzuordnen (siehe dazu BGE 137 V 210), welche nebst der psychischen Situation auch die somatischen Aspekte des Krankheitsbildes prüft. Zu diesem Zweck wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen. Gestützt auf die Erkenntnisse der Gutachter wird das Versicherungsgericht über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Invalidenrente neu entscheiden. Im Falle einer in Aussicht genommenen reformatio in peius hätte die Vorinstanz der Versicherten Gelegenheit einzuräumen, ihre Beschwerde zurückzuziehen, um den ihr drohenden Rechtsnachteil zu vermeiden (BGE 109 V 278).
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), die auch keine Parteientschädigung vor Bundesgericht beanspruchen kann (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 20. Juli 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Widmer