Faits:
A. Souffrant de douleurs dorsales, nucales, brachiales et scapulaires partiellement incapacitantes, R._, née en 1971, a diminué de moitié son taux d'activité comme coiffeuse indépendante. Elle s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) le 17 septembre 2003.
L'administration a recueilli l'avis des médecins traitants successifs. Le docteur O._, qui suit l'assurée depuis le mois d'août 2002, a conclu à une capacité résiduelle de travail de 50 % comme coiffeuse - voire totale avec une baisse de rendement de 30 % dans une activité sans station debout prolongée - en raison de lombalgies basses récidivantes sur sacralisation de L5, de vertiges avec perte de connaissance sur probable hypertension orthostatique et de migraines (rapport du 23 septembre 2003 se fondant sur ceux établis les 9 septembre 2002 et 21 mai 2003 par les docteurs V._, radiologue, et F._, neurologue). Le docteur I._, qui a suivi l'intéressée de 1983 à 2001, a fait état d'un syndrome cervico-céphalique et lombaire limitant la capacité de travail à 50 % dans une activité ne nécessitant pas l'emploi surélevé et répétitif des bras (rapport du 24 novembre 2003).
La comparaison des champs d'activité issue du rapport d'enquête pour activité professionnelle indépendante du 25 novembre 2004 a abouti à une incapacité de travail pondérée de 50 %
L'expertise pluridisciplinaire réalisée par le Centre d'expertise médicale de Genève a mis en évidence un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, avec syndromes somatiques, une agoraphobie avec troubles paniques, des traits de personnalité émotionnellement labile et un probable syndrome du tunnel carpien bilatéral permettant l'exercice de l'activité habituelle à 60 % avec baisse de rendement de 30 % et d'une activité adaptée à 60 %; le traitement de la dépression et du syndrome du tunnel carpien rendrait probablement possible une reprise à plein temps quelle que soit l'activité envisagée; la fibromyalgie et le syndrome fémoro-patellaire observés n'avaient pas de répercussion sur la capacité de travail (rapport des docteurs A._, médecin-chef, T._, spécialiste en médecine physique et réadaptation et E._, psychiatre, du 20 avril 2005 complété les 5 juillet 2005 et 20 mars 2006).
Se fondant sur plusieurs avis du Service médical régional de l'AI pour la Suisse romande (SMR; rapports des 23 mai 2005, 6 mars et 7 août 2006), l'administration a projeté de rejeter la demande de l'assurée au motif qu'elle ne présentait pas de comorbidité psychiatrique au trouble somatoforme dont elle souffrait (projet de décision du 23 août 2006).
L'office AI a recueilli des informations auprès de la doctoresse P._, psychiatre traitant depuis le 1er septembre 2005, qui a retenu un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, avec syndrome somatique et un trouble panique avec agoraphobie à l'origine d'une capacité de travail de 40 à 50 % et d'une perte de rendement de 50 à 60 % dans l'activité de coiffeuse (rapport du 25 janvier 2007).
Le docteur I._ a spontanément signalé à l'administration un accident de la circulation routière dont les suites - whiplash de la colonne cervicale le 6 novembre 2006 avec un syndrome cervico-brachial droit aldoparesthésiant, actuellement en diminution - influençaient encore la capacité de travail de sa patiente (rapport du 10 avril 2007 fondé sur ceux établis par les docteurs B._, interniste et rhumatologue, et S._, service de radiologie de l'Hôpital X._, les 25 janvier et 26 mars 2007).
L'office AI a confirmé son projet de rejeter la demande de prestations pour le motif déjà invoqué (décision du 19 avril 2007).
B. L'intéressée a déféré cette décision à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité ou, subsidiairement, à la réalisation d'une nouvelle expertise psychiatrique. Soulignant que les médecins consultés avaient unanimement évalué sa capacité de travail à 50 % environ, elle contestait le caractère non invalidant de la fibromyalgie et estimait son taux d'invalidité à 77 %.
La juridiction cantonale a débouté R._ niant en substance le caractère invalidant de la fibromyalgie diagnostiquée (jugement du 2 octobre 2007).
C. L'assurée interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause aux premiers juges pour instruction complémentaire ou, subsidiairement, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Elle produit un rapport établi le 21 octobre 2007 par le docteur I._ qui, notamment, rappelle l'influence du traumatisme de la colonne cervicale et souligne l'absence d'amélioration de l'état dépressif. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
L'administration conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Le Tribunal fédéral a renoncé à exiger une avance de frais (lettre du 21 janvier 2008).
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs invoqués (art. 42 al. 2 LTF) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF).
2. La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir, tout comme l'office intimé, totalement omis de prendre en compte les conséquences du traumatisme de la colonne cervicale consécutif à l'accident de la circulation routière survenu le 6 novembre 2006.
A cet égard, le docteur I._ a signalé des douleurs importantes, spécialement au bras droit, fait référence au docteur B._ qui parlait d'un syndrome cervico-brachial droit avec dysfonction segmentaire cervicale persistante C5, C6 et C7, puis mentionné les limitations afférentes à cette affection, ainsi que leurs répercussions sur la capacité de travail. Compte tenu de ces indications médicales, les premiers juges, pas plus que l'administration, ne pouvaient ignorer les troubles dûment allégués sans effectuer le moindre acte d'instruction, ni même y faire allusion dans leur décision respective. Dans ces circonstances, la violation du devoir d'établir les faits pertinents, au sens de l'art. 43 al. 1 LPGA pour l'office intimé et 61 let. c LPGA pour la juridiction cantonale, est manifeste. Il y a donc lieu d'annuler le jugement cantonal, ainsi que la décision administrative et de renvoyer le dossier à l'office intimé pour instruction complémentaire sur ce point.
Au cours de la réalisation de ce complément d'instruction, l'administration tiendra également compte du fait que, sous leur forme lapidaire, même si elles apportent un éclairage pertinent pour la résolution du cas, les considérations du SMR ne sont pas suffisantes pour suppléer aux conclusions de l'expertise dont la valeur probante mérite à juste titre d'être relativisée vu les propos peu compréhensibles des médecins du Centre d'expertise médicale de Genève quant à l'antériorité des troubles psychiatriques par rapport à la symptomatologie douloureuse qui a pourtant imprégné le début de la procédure et justifié la mise en oeuvre de cette dernière.
3. La procédure est onéreuse (art. 62 LTF). Les frais judiciaires doivent être supportés par l'office intimé qui succombe (art. 66 al. LTF). L'intéressée, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien du 2 octobre 2007, ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura du 19 avril 2007 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais de justice, arrêtés à 500 fr., sont mis la charge de l'office AI.
3. L'office AI versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. La Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien statuera à nouveau sur le sort des dépens de l'instance cantonale au regard de l'issue du procès.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 juillet 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton