Faits:
A. A._ a exploité pendant plusieurs années le manège de "X._" situé sur le Domaine de Y._, entre W._ et Z._.
Au printemps 1999, la prénommée a contracté deux assurances auprès de l'Etablissement d'assurance contre les incendies et les éléments naturels du canton de Vaud (ECA): une assurance mobilière "ménage" (police du 9 avril 1999) et une assurance mobilière "agricole" (police du 4 mai 1999). Par décision de justice, elle a dû cesser, pour le 31 mars 2002, l'exploitation du manège précité. Par convention avec le propriétaire, le délai pour évacuer les lieux a été fixé au 30 avril 2002.
Par lettre du 27 février 2002, A._ a informé l'ECA qu'elle devait cesser ses activités au Domaine de Y._ pour le 31 mars 2002; elle précisait qu'elle était "pour l'instant" sans aucune adresse à partir du 1er avril 2002 et qu'elle tiendrait l'ECA au courant de l'évolution de la situation.
Le 4 mars 2002, l'ECA lui a adressé une lettre intitulée "Confirmation d'annulation de vos assurances ménage et agricole (...)", dans laquelle il indiquait avoir pris note de l'annulation des deux polices d'assurance susmentionnées et précisait que cette annulation était effective "dès et y compris le 1er janvier 2002".
Le 4 avril 2002, un incendie a détruit l'un des bâtiments du Domaine de Y._ et une partie des biens qu'il contenait. Le 11 avril 2002, A._ en a avisé l'ECA et lui a envoyé une liste des biens détruits, en indiquant que le montant total des dégâts s'élevait à 125'005 fr. L'ECA a refusé de payer, en faisant valoir que la police d'assurance mobilière "agricole" avait été annulée le 4 mars 2002, avec effet au 1er janvier 2002.
B. Le 22 août 2003, A._ a ouvert action devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: la Cour civile), en concluant au paiement par l'ECA d'un montant de 125'005 fr. avec intérêt à 5 % l'an dès le 22 juin 2002, montant qu'elle a porté à 158'700 fr. par la suite.
Par jugement du 26 septembre 2006, la Cour civile a condamné l'ECA à verser à A._ le montant de 120'823 fr. avec intérêt à 5 % l'an dès le 30 août 2003. Elle a considéré que l'ECA avait résilié à tort les contrats d'assurance mobilière "agricole" et "ménagère" de A._, qui devait être indemnisée pour la perte des biens qu'elle avait déclarés comme sinistrés le 11 avril 2002, à quelques exceptions près.
C. L'ECA a alors porté sa cause devant la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: la Chambre des recours) qui, par arrêt du 18 juillet 2007, a rejeté le recours en réforme et confirmé le jugement de la Cour civile du 26 septembre 2006. Le recours en nullité formé subsidiairement a été déclaré irrecevable. La Chambre des recours a considéré que l'existence de la couverture d'assurance était acquise à la date du sinistre, en rappelant le principe de l'assurance obligatoire. Elle a également écarté les différents griefs que l'ECA avait soulevés par rapport à la quotité du dommage.
D. Contre l'arrêt de la Chambre des recours du 18 juillet 2007, l'ECA interjette un recours auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'"aucune indemnité n'est due" par lui à A._ "en raison de l'incendie du 4 avril 2002", subsidiairement à l'annulation de l'arrêt entrepris.
La Chambre des recours se réfère à l'arrêt attaqué. A._ conclut, avec dépens, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. art. 29 al. 1 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral [LTF; RS 173.110]; ATF 133 III 462 consid. 2 p. 465).
1.1 Le recourant n'a pas indiqué par quelle voie de recours il procède auprès du Tribunal fédéral. Toutefois, cette imprécision ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de recours qui lui est ouverte (cf. ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302/303, 308 consid. 4.1 p. 314).
1.2 Selon l'art. 82 lettre a LTF, la voie du recours en matière de droit public est ouverte contre les décisions rendues dans des causes de droit public, peu importe qu'il soit fédéral ou cantonal. Le facteur déterminant pour établir la distinction entre le droit public et le droit privé est le droit qui régit le fond de l'affaire (Message du Conseil fédéral du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, in FF 2001 p. 4000 ss, p. 4117; Bernhard Waldmann, Commentaire bâlois, n. 17 ss ad art. 82 LTF). L'art. 72 al. 2 lettre b LTF ouvre certes la voie du recours en matière civile contre les décisions prises en application de normes de droit public dans des matières connexes au droit civil. Ce sont des motifs de connexité matérielle et de simplification qui justifient la soumission de ces causes au recours en matière civile (cf. Message précité, in FF 2001 p. 4106; Kathrin Klett/Elisabeth Escher, Commentaire bâlois, n. 8 ad art. 72 LTF).
Le présent litige porte principalement sur l'existence d'assurances incendie fondées sur une loi cantonale de droit public et doit être résolu sur la base des règles posées par le droit public cantonal. Aucun motif de connexité ou de simplification ne plaide ainsi en faveur du recours en matière civile. Le mémoire de l'ECA doit donc être envisagé comme un recours en matière de droit public et traité par la IIe Cour de droit public (cf. arrêt 2C_212/2007 du 11 décembre 2007, consid. 1.2) dans le prolongement de la jurisprudence rendue sous l'empire de la loi fédérale du 16 décembre 1943 d'organisation judiciaire abrogée le 1er janvier 2007 (OJ, RS 3 p. 521; arrêts 2P.71/2002 du 11 septembre 2002, 2P.283/1997 du 13 juillet 1998 et 2P.403/1993 du 29 août 1995).
1.3 Hormis les hypothèses visées à l'art. 89 al. 2 LTF et qui n'entrent pas en considération en l'espèce, les communes et autres corporations de droit public ont qualité pour recourir sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF, pour autant qu'elles en remplissent les conditions, c'est-à-dire qu'elles aient pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou aient été privées de la possibilité de le faire (lettre a), qu'elles soient particulièrement atteintes par la décision attaquée (lettre b) et qu'elles aient un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (lettre c). A l'origine, cette réglementation a été prévue pour des particuliers. Cependant, une collectivité publique peut aussi s'en prévaloir si la décision attaquée l'atteint de la même manière qu'un particulier ou de façon analogue (ATF 133 II 400 consid. 2.4.2 p. 406). Le Tribunal fédéral considère que le droit de recours des collectivités publiques fondé sur l'art. 89 al. 1 LTF doit s'apprécier en fonction des principes jurisprudentiels issus de l'art. 103 lettre a OJ (ATF 134 V 54 consid. 2.3.3.1 p. 58; 133 II 400 consid. 2.4.1 p. 406). Par conséquent est également légitimée à agir sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF la collectivité qui est touchée par la décision attaquée dans ses intérêts propres, dignes de protection, de puissance publique (ATF 133 II 400 consid. 2.4.2 p. 406; 131 II 58 consid. 1.3 p. 62). Elle peut être atteinte dans ses intérêts patrimoniaux, par exemple en tant que bénéficiaire d'une subvention, employeur obligé de payer des salaires ou fournisseur de prestations sociales, mais elle peut aussi être atteinte dans d'autres attributions relevant spécifiquement de tâches publiques (spezifische eigene öffentliche Sachanliegen; ATF 134 II 45 consid. 2.2.1 p. 47). En revanche, l'intérêt général à l'application correcte du droit ne fonde pas la qualité pour recourir au sens de cette réglementation; en particulier, l'instance inférieure déboutée dans une procédure de recours n'est pas habilitée à attaquer devant le Tribunal fédéral la décision qui la désavoue (ATF 134 II 45 consid. 2.2.1 p. 47; 131 II 58 consid. 1.3 p. 62). N'importe quel intérêt financier de la collectivité publique, lié directement ou indirectement à l'accomplissement d'une tâche publique, ne suffit pas, à lui seul, à lui conférer la qualité pour recourir (ATF 134 II 45 consid. 2.2.1 p. 47 et les références). Au demeurant, il y a lieu d'interpréter restrictivement l'art. 89 al. 1 LTF, faute de quoi la réglementation spécifique du "recours des autorités" figurant à l'art. 89 al. 2 lettre d LTF n'aurait plus de sens.
L'ECA est une institution de droit public ayant la personnalité morale et fonctionnant sous le contrôle de l'Etat (art. 1 de la loi vaudoise du 17 novembre 1952 concernant l'assurance des bâtiments et du mobilier contre l'incendie et les éléments naturels [ci-après: la loi vaudoise ou LAIEN]). Il a notamment pour but l'assurance mutuelle et obligatoire contre les pertes résultant de l'incendie et des éléments naturels causées aux bâtiments et aux biens mobiliers (art. 1a al. 1 LAIEN).
En l'espèce, l'ECA a incontestablement la qualité pour former un recours en matière de droit public au regard de l'art 89 al. 1 LTF. En effet, en tant que société d'assurance qui se voit contrainte de fournir des prestations qu'il n'estime pas dues, le recourant est touché comme une entreprise privée. Par conséquent, il a un intérêt digne de protection à ne pas se voir imposer une telle obligation sans justification.
Cela ne préjuge cependant pas de la question de savoir si et dans quelle mesure d'autres établissements publics peuvent, sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF, soumettre leurs litiges financiers au Tribunal fédéral.
1.4 Au surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF) contre un arrêt rendu par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 lettre d LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
2. Sauf dans les cas cités expressément par l'art. 95 LTF, le recours en matière de droit public ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Il appartient toutefois au recourant d'invoquer ce grief et de le motiver d'une manière suffisante (cf. art. 106 al. 2 LTF, disposition qui reprend les exigences posées en relation avec l'art. 90 al. 1 lettre b OJ; ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). L'intéressé doit donc préciser en quoi l'acte attaqué serait arbitraire, ne reposerait sur aucun motif sérieux et objectif, apparaîtrait insoutenable ou heurterait gravement le sens de la justice (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; 128 I 295 consid. 7a p. 312).
Par ailleurs, selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que le recourant doit aussi rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254/255; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). La notion de "manifestement inexacte" correspond du reste à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391).
Les critiques du recourant, qui portent sur les faits et l'application du droit cantonal, ne sont donc recevables que dans la mesure où elles répondent à ces exigences.
3. Le recourant s'en prend principalement au fait que les juges cantonaux ont admis que l'intimée bénéficiait d'une couverture d'assurance incendie, le 4 avril 2002, date du sinistre. Selon lui, cette conclusion procède d'une interprétation abusive des faits. Il soutient que tant la lettre du 27 février 2002 de l'assurée que sa non-réaction à la confirmation de l'ECA du 4 mars 2002 démontrent clairement la volonté de l'intimée d'annuler ses polices d'assurance. De plus, il conteste que la couverture du sinistre ait été imposée par le principe de l'assurance obligatoire prévu dans la loi vaudoise.
3.1 Contrairement à ce que soutient le recourant, on ne voit manifestement pas que les termes utilisés dans la lettre de l'intimée du 27 février 2002 permette d'en déduire la volonté de résilier ses deux polices d'assurance. L'interprétation donnée à cette lettre dans l'arrêt attaqué ne saurait donc être qualifiée de manifestement inexacte. Pour démontrer l'inverse, le recourant formule du reste des critiques purement appellatoires, opposant sa propre interprétation à celle retenue par l'autorité cantonale, ce qui n'est pas admissible (cf. supra, consid. 2).
3.2 On ne peut en outre reprocher aux juges cantonaux de n'avoir pas déduit de l'absence de réaction de l'intimée à la lettre du recourant du 4 mars 2002 le fait qu'elle ait implicitement accepté l'annulation des polices. Comme l'a retenu à juste titre l'arrêt attaqué, une telle interprétation n'aurait pas été conforme au droit cantonal.
3.2.1 Aux termes des art. 6 et 6a LAIEN, tous les bâtiments construits ou en construction sur le territoire vaudois et tous les biens mobiliers sont obligatoirement soumis à l'assurance, sous réserve de quelques exceptions qui n'entrent pas en ligne de compte en l'occurrence. Selon l'art. 27 LAIEN, toute personne ayant en sa possession des biens mobiliers situés dans le canton de Vaud est tenue de les assurer auprès de l'ECA (al. 1), le cas échéant à l'expiration de la police qui les couvrait avant leur introduction dans ledit canton mais au plus tard dans les cinq ans suivant leur introduction (al. 2). Lorsqu'un possesseur de biens mobiliers refuse de les assurer, l'ECA fait établir d'office la ou les polices, aux frais de l'assuré (cf. art. 32 LAIEN). L'art. 30a LAIEN dispose que, pour les biens mobiliers transportés définitivement hors du canton de Vaud, mais qui restent dans les limites du territoire suisse - Liechtenstein compris -, l'assurance est maintenue jusqu'à la fin de l'année civile. En vertu de l'art. 39 LAIEN, lorsque l'ensemble des biens mobiliers faisant l'objet d'une police est déplacé dans le canton de Vaud, le titulaire de la police est tenu de notifier ce déplacement à l'ECA dans les deux mois, sous peine de subir en cas de sinistre, une réduction de 10 % au plus sur l'indemnité relative aux biens déplacés. Enfin, conformément à l'art. 45 al. 1 LAIEN, lorsque le titulaire d'une police habite hors du canton de Vaud et ne paie pas la prime, les effets de l'assurance sont suspendus à l'expiration d'un délai de 14 jours dès l'envoi de la sommation de payer, cette dernière devant rappeler les conséquences du retard.
3.2.2 Sur la base de ces dispositions, on ne peut reprocher aux juges cantonaux d'avoir appliqué de manière insoutenable la loi vaudoise en estimant que l'ECA ne pouvait annuler immédiatement les deux polices d'assurance de l'intimée sans enfreindre le principe de l'assurance obligatoire et les dispositions légales qui en découlent. Les art. 27 al. 3 et 32 LAEIN imposent au contraire à l'ECA l'obligation de veiller au respect de ce principe. En outre, la loi vaudoise analyse les conséquences par rapport à l'assurance du déplacement de biens mobiliers à l'intérieur du canton de Vaud (art. 39 LAIEN) ou dans un autre canton voire au Liechtenstein (art. 30a LAIEN) ainsi que du non-paiement de la prime par le titulaire d'une police habitant hors du canton de Vaud (art. 45 al. 1 LAIEN). Dans aucune de ces hypothèses, on ne peut fonder le droit pour l'ECA d'annuler immédiatement une police d'assurance, qui plus est avec effet rétroactif. Au demeurant, le recourant affirme l'inverse, mais sans le démontrer, comme il aurait dû le faire s'agissant de droit cantonal (cf. supra, consid. 2).
En tant qu'il porte sur le principe même de l'existence d'une couverture d'assurance, le recours doit donc être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
4. A titre subsidiaire, le recourant s'en prend au dommage qu'il est tenu de réparer, reprochant aux juges cantonaux d'avoir appliqué la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) et les principes en découlant. Il soutient que l'intimée n'a pas prouvé l'importance de son dommage conformément à l'art. 50 (al. 2) LAIEN, que la procédure prévue à l'art. 51 LAIEN n'a pas été suivie, qu'une estimation du dommage a été confiée à un expert partial et que la Chambre des recours a apprécié ledit dommage sur la base de témoignages totalement imprécis.
Dire s'il y a eu dommage et quelle en est la quotité est une question de fait (ATF 130 III 145 consid. 6.2 p. 167 et la jurisprudence citée; cf. aussi arrêt 4A_444/2007 du 17 janvier 2008, consid. 4.1). Le recourant qui entend la remettre en cause doit donc expliquer en quoi les constatations cantonales seraient manifestement inexactes, autrement dit arbitraires (cf. supra, consid. 2). La motivation présentée sur ce point dans le recours est nettement insuffisante. Ainsi, le recourant conteste l'impartialité de l'expertise, mais sans donner d'explication ou d'indice précis permettant de mettre objectivement en doute la neutralité de l'expert. De même, il soutient que l'appréciation de la Chambre des recours se fonderait sur des témoignages totalement imprécis, mais sans aucun développement. Telles que motivées, les critiques ne sont pas recevables.
Par ailleurs, le recourant se plaint que la procédure prévue à l'art. 51 LAIEN pour fixer le dommage n'ait pas été respectée. Il n'explique pas pour autant quelles garanties issues de cette procédure lui auraient été refusées ni en quoi le respect de cette procédure aurait influencé la fixation du dommage. De plus, il ne soutient pas qu'il aurait demandé l'application de cette procédure, comme le lui permettait l'art. 50 al. 4 LAIEN, et qu'il se serait vu opposer un refus. Le grief portant sur l'application des art. 50 et 51 LAIEN n'est donc pas non plus admissible.
5. En dernier lieu, le recourant reproche à la Chambre des recours d'avoir fait une interprétation "totalement erronée" de l'art. 54 al. 2 LAIEN.
D'après l'art. 54 al. 1 LAIEN, en cas d'assurance à la valeur à neuf, la valeur de remplacement des biens mobiliers est égale au prix qu'exigerait l'acquisition de choses semblables. Quant à l'art. 54 al. 2 LAIEN, il dispose que, si les objets sinistrés ne sont pas réparés ou remplacés, la valeur de remplacement ne peut dépasser la valeur actuelle.
Le recourant ne démontre pas que les juges cantonaux auraient dû appliquer l'art. 54 al. 2 LAIEN (valeur actuelle) et non pas l'art. 54 al. 1 LAIEN (valeur à neuf), dans le cas particulier; d'ailleurs, il n'avait pas demandé que l'expertise porte sur la question du remplacement, ou non, des biens sinistrés et, devant les instances précédentes, il n'a jamais établi que l'intimée n'aurait pas eu l'intention de remplacer certains desdits biens. On ne voit donc pas qu'en confirmant l'application de la valeur à neuf, la Chambre des recours ait interprété arbitrairement le droit cantonal.
6. Au vu de ce qui précède, il y a lieu de rejeter le recours dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 LTF) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à A._ une indemnité de 3'500 fr., à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au mandataire de A._ ainsi qu'à la Cour civile et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 février 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz