Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 25. September 2008 wies die Erlassabteilung des Finanzdepartements des Kantons Solothurn das Gesuch von X._ um Erlass der Staatssteuern und der direkten Steuern 2007 (einschliesslich Steuer auf Kapitalabfindung) ab. Einen Rekurs des Gesuchstellers wies das Steuergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 16. Februar 2009 ab. Mit Eingabe vom 6. April 2009 führt X._ Beschwerde mit dem Antrag, die Steuern des Jahres 2007 seien ganz oder mindestens teilweise zu erlassen.
2. 2.1 Gegen Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (Art. 83 lit. m BGG). In Betracht fällt einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Diese setzt voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid in rechtlich geschützten Interessen betroffen ist (Art. 115 lit. b BGG). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur zur Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen steht (vgl. Art. 116 BGG), kann der Entscheid, mit dem ein Steuererlass verweigert worden ist, im Wesentlichen nur wegen Verletzung des verfassungsmässigen Verbots von Willkür (Art. 9 BV) angefochten werden. Dieses verschafft indessen für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG (BGE 133 I 185 E. 6). Zur Willkürrüge ist deshalb nur legitimiert, wer sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihm im Bereich seiner betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt.
Nach konstanter Rechtsprechung (Urteile 2D_1/2009 vom 8. Januar 2009; 2D_106/2008 vom 13. Oktober 2008; 2D_83/2008 vom 8. August 2008; 2D_135/2008 vom 26. Februar 2008) besteht ein solcher rechtlicher Anspruch auf Steuererlass im Kanton Solothurn nicht. Gemäss § 182 Abs. 1 StG/SO "können" die geschuldeten Beträge ganz oder teilweise erlassen werden, wenn "der Steuerpflichtige durch besondere Verhältnisse wie Naturereignisse, Todesfall, Unglück, Krankheit, Arbeitslosigkeit, geschäftliche Rückschläge (...) in seiner Zahlungsfähigkeit stark beeinträchtigt" ist oder die "Bezahlung der Steuer, eines Zinses oder einer Busse zur grossen Härte würde". Das sind nur allgemeine Umschreibungen, die auf das Ermessen der Behörde verweisen. Auch die Steuerverordnung Nr. 11 vom 13. Mai 1986 über Zahlungserleichterungen, Erlass und Abschreibungen enthält nur "Allgemeine Grundsätze", welche für die Behörde wegleitend sein sollen, wie z.B. die Zukunftsaussichten oder die Zumutbarkeit von Einschränkungen in der Lebenshaltung. Weder aus dem Gesetz noch aus der Steuerverordnung ergibt sich somit, unter welchen Voraussetzungen dem Betroffenen der beantragte Vorteil zu gewähren ist (vgl. BGE 112 Ia 93 E. 2c S. 94 f.). Die Behörde, welche über das Erlassgesuch entscheidet, hat vielmehr eine Interessenabwägung vorzunehmen, welche im Rahmen der geschilderten gesetzlichen Erlassgründe so oder anders ausfallen kann. Ein justiziabler Anspruch auf Steuererlass besteht damit nicht. Auf die Beschwerde kann hinsichtlich der Staatssteuer mangels Legitimation nicht eingetreten werden.
2.2 Art. 167 DBG (SR 642.11) regelt den Steuererlass für das Recht der direkten Bundessteuer (ähnlich wie § 182 StG/SO) nur in allgemeiner Weise. Auch das Bundesrecht stellt die Gewährung des Steuererlasses ins Ermessen der Behörde und räumt keinen Rechtsanspruch auf ganzen oder teilweisen Erlass der direkten Bundessteuer ein (Urteil 2D_138/2007 vom 21. Februar 2008; Werner Lüdin, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bd. I/2b, N. 20 zu Art. 167 DBG). Dem Beschwerdeführer fehlt damit die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde auch hinsichtlich der direkten Bundessteuer.
3. Die Beschwerde ist offensichtlich unzulässig und im vereinfachten Verfahren mit Nichteintreten zu erledigen (Art. 108 Abs. 1 in Verbindung mit 117 BGG). Auf eine Kostenauflage ist angesichts der besonderen Umstände zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Wyssmann