Sachverhalt:
A. A.a Zwischen der Stiftung Z._ und der X._ AG ist vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen ein Verfahren um Grundbuchberichtigung hängig. Der Einzelrichter gab dem Gesuch von X._ und der NS X._ AB, diesem Prozess als Nebenintervenienten beizutreten, nicht statt. Eine gegen diesen Entscheid beim Obergericht des Kantons Thurgau erhobene Beschwerde blieb erfolglos. Daraufhin erhoben X._ und die NS X._ AB am 23. November 2011 als Hauptintervenienten Klage im Sinne von Art. 73 ZPO gegen die Stiftung Z._ und die X._ AG.
A.b Mit Verfügung vom 2. Dezember 2011 verpflichtete der verfahrensleitende Richter die beiden Hauptintervenienten zur Leistung eines Kostenvorschusses von je Fr. 18'000.-- innert 20 Tagen, dies mit dem Hinweis, dass der Streitwert der Klage Fr. 2,4 Mio. betrage. Am 5. Januar 2012 reichten die beiden Hauptintervenienten ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein und erhoben zugleich Beschwerde gegen die Höhe des Kostenvorschusses, welche das Obergericht am 25. Januar 2012 abwies. Der verfahrensleitende Richter setzte den Hauptintervenienten daraufhin eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an. Am 30. April 2012 erneuerten die Hauptintervenienten das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Der Präsident wies das Gesuch von X._ und der NS X._ AB am 23. Mai 2012 ab und setzte ihnen eine weitere Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an. Das Obergericht wies die dagegen erhobene Beschwerde am 11. Juli 2012 ab und setzte diesen ebenfalls eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an.
A.c Gegen das obergerichtliche Urteil ist (einzig) X._ an das Bundesgericht gelangt, welches auf seine Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil 5A_638/2012 vom 2. November 2012 nicht eintrat und ihm eine nicht erstreckbare Frist von 20 Tagen zur Zahlung des von der Erstinstanz festgelegten Kostenvorschusses setzte. Zudem wies es das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 1'000.--.
B. Mit Revisionsgesuch vom 18. Dezember 2012 (Postaufgabe) verlangt X._ vom Bundesgericht, das Urteil vom 2. November 2012 aufzuheben. Zudem verlangt der Gesuchsteller den Ausstand von Bundesrichter von Werdt. Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügung vom 15. Januar 2013 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Revisionsgesuch antragsgemäss die aufschiebende Wirkung gewährt.
Es sind in der Sache keine Antworten eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121 bis Art. 123 BGG; ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu Art. 121). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob tatsächlich ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Immerhin gelten auch für die Revision die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen, wonach die gestellten Begehren zu begründen sind, d.h. in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Urteil 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2).
1.2 Das Revisionsgesuch richtet sich gegen ein Urteil, in welchem das Bundesgericht über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren befinden musste. Konkret ging es um die Klärung der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers sowie um die Prozesschancen seiner Klage. Der Entscheid erging im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), welcher auf die Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eintrat. Soweit der Gesuchsteller in seiner Eingabe beiläufig auf "zwei bzw. drei Strafanzeigen" hinweist, wird aus seinen Ausführungen kein Zusammenhang zum angefochtenen Urteil erkennbar, welcher als Revisionsgrund nach Art. 123 Abs. 1 BGG zur prüfen wäre. Darauf ist nicht einzugehen. Dies gilt ebenso für die Versehensrüge nach Art. 121 lit. d BGG, mit welcher der Gesuchsteller in nicht nachvollziehbarer Weise seine Rechtsposition im Verfahren gegen die Stiftung Z._ darzulegen versucht. Zwar stellt die Verletzung der Dispositionsmaxime einen Revisionsgrund dar (Art. 121 lit. b BGG). Indes genügt die bloss beiläufige Erwähnung dieser Bestimmung den Begründungsanforderungen an ein Revisionsgesuch nicht; inwiefern das Bundesgericht mit dem angefochtenen Urteil diesen Grundsatz verletzt haben sollte, bleibt unverständlich.
1.3 Das bundesgerichtliche Urteil 5A_638/2012 vom 2. November 2012 ist dem Gesuchsteller am 3. Dezember 2012 ausgehändigt worden, womit die vorliegende Eingabe rechtzeitig erfolgt ist (Art. 124 Abs. 1 lit. a und b BGG). Sie stammt vom ursprünglichen Beschwerdeführer, der dannzumal unterlegen war, womit er zum Revisionsgesuch berechtigt ist.
2. Der Gesuchsteller verlangt den Ausstand von Bundesrichter von Werdt für das vorliegende Verfahren. Das Begehren braucht indes nicht geprüft zu werden, da die Mitwirkung des genannten Magistraten bei der Prüfung des Revisionsgesuchs unabhängig von dessen bisheriger Tätigkeit und aus rein organisatorischen Gründen nicht vorgesehen war.
3. Nach Ansicht des Gesuchstellers befindet sich Bundesrichter von Werdt aufgrund seiner bisherigen Tätigkeit als Rechtsanwalt in einer Interessenkollision und hätte sich daher nicht seinen Beschwerden befassen dürfen. Soweit er damit einen Ausstandsgrund nach Art. 121 lit. a BGG geltend machen will, legt er nicht dar, weshalb ihm die Anrufung dieses Revisionsgrundes erst jetzt möglich gewesen sein soll (Art. 38 Abs. 3 BGG). Es entspricht zudem langjähriger Praxis, dass der Anspruch auf Geltendmachung eines Ausstandsgrundes verwirkt ist, wenn er bereits im vorangegangenen Verfahren hätte vorgebracht werden können (ESCHER, a.a.O., N. 6 zu Art. 121). Soweit die entsprechenden Vorbringen nachvollziehbar sind, beschlagen sie Sachverhalte, die sich vor der Fällung des angefochtenen Urteils ereignet haben und gemäss eigenen Angaben dem Gesuchsteller bekannt waren. Damit entfällt die Prüfung dieses Revisionsgrundes.
4. 4.1 Der Gesuchsteller begründet sein Revisionsbegehren im Wesentlichen mit der Verletzung von Verfahrensvorschriften. Seiner Ansicht nach hätte über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gemäss Art. 64 Abs. 3 BGG in Dreierbesetzung entschieden werden müssen. Das angefochtene Urteil erging im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG, welches Vorgehen der Gesuchsteller nicht in Frage stellt. Ob es sich dabei überhaupt um einen Verfahrensfehler gemäss Art. 121 lit. a BGG handeln würde, der zur Revision berechtigt, oder ob es hier nicht vielmehr um die Anwendung materiellen Rechts geht, braucht daher nicht beurteilt zu werden (zu dieser Kontroverse vgl. ESCHER, a.a.O., N. 5 zu Art. 121). Behandelt der Instruktionsrichter die Beschwerde als Einzelrichter, welches Vorgehen wie gesagt nicht auf seine Rechtmässigkeit zu überprüfen ist, so gilt dies auch für den Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 Abs. 3 Satz 2 BGG; Urteil 2C_423/2007 vom 27. September 2007 E. 3.1; CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 72 zu Art. 64; GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 40 zu Art. 64; SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 43 zu Art. 64). Insoweit ist das vom Gesuchsteller kritisierte Vorgehen letztlich nur eine Folge des gewählten Verfahrens und entgegen seiner Behauptung durchaus zulässig. Man kann sich sogar fragen, ob die dem Einzelrichter hinsichtlich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zustehende Entscheidkompetenz überhaupt ein Verfahrensfehler sein kann, welcher zur Revision berechtigt.
4.2 Soweit der Beschwerdeführer zudem in diesem Zusammenhang die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im angefochtenen Urteil überprüft haben will, ist auf seine Vorbringen nicht einzugehen. Ein Revisionsgesuch kann nicht dazu dienen, das Bundesgericht anzuhalten, seine Urteile gleichsam in Wiedererwägung zu ziehen. Dies würde dem Ausnahmecharakter der Revision widersprechen, welche nur bei gesetzlich vorgesehenen Revisionsgründen zulässig ist (E. 1.1). Solche werden an dieser Stelle nicht geltend gemacht.
4.3 Schliesslich wirft der Gesuchsteller dem Bundesgericht vor, es hätte ihn nicht zur Zahlung des Kostenvorschusses von Fr. 18'000.-- an die Erstinstanz verpflichten dürfen, da es auf seine Beschwerde gar nicht eingetreten sei. Mit diesem Vorwurf übergeht er, dass der angesprochene Kostenvorschuss nicht Gegenstand des vorangegangenen Verfahrens bildete. Auf Ersuchen des damaligen Beschwerdeführers wurde seiner Beschwerde lediglich die aufschiebende Wirkung gewährt, weshalb mit dem Urteil auch eine Anordnung über die aufgeschobene Frist zu treffen war. Auch hier kann man sich fragen, ob in diesem Vorbringen überhaupt ein Revisionsgrund liegen kann.
5. Nach dem Gesagten ist dem Revisionsgesuch kein Erfolg beschieden. Es war von Anfang an aussichtslos, weshalb dem Gesuchsteller keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausgangsgemäss trägt der Gesuchsteller die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung gewährt worden ist, muss im vorliegenden Urteil eine neue und nicht erstreckbare Frist zur Leistung des Kostenvorschusses gesetzt werden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Dem Gesuchsteller wird eine nicht erstreckbare Frist von 20 Tagen ab Zustellung des vorliegenden Urteils gesetzt, um den von der ersten Instanz festgelegten Kostenvorschuss zu bezahlen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, dem Bezirksgericht Kreuzlingen, Präsident, und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante