Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 31. März 2008 ist das Bundesgericht auf eine von X._ gegen den Regierungsrat des Kantons Zürich erhobene Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1C_136/2008).
Mit Revisionsgesuch vom 23. April 2008 beantragt X._ sinngemäss, das Urteil sei aufzuheben.
2. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier nach Art. 61 BGG in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss Art. 121 ff. BGG möglich.
Der Gesuchsteller kritisiert das am 31. März 2008 ergangene Urteil ganz allgemein und bezeichnet verschiedene Ausführungen darin als falsch. Er unterlässt es allerdings dabei, einen der gesetzlichen Revisionsgründe (Art. 121 ff.) darzulegen, auf die er bereits früher hingewiesen worden ist. Was er in seinem Revisionsgesuch vorbringt, beschränkt sich im Wesentlichen auf eine Kritik an der dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung, wonach auf seine damalige Beschwerde wegen unzureichender Begründung (Art. 42 Abs. 2 BGG) nicht eingetreten wurde. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören. Und die Anträge des Gesuchstellers, die nach seinen Angaben im angefochtenen Urteil unberücksichtigt geblieben sein sollen, waren mit Blick auf den damaligen Nichteintretensgrund ohnehin von vornherein nicht weiter zu erörtern.
Der Gesuchsteller wäre gehalten gewesen, in seiner Eingabe einen Revisionsgrund in verständlicher Form darzulegen, was er indes unterlassen hat. Auf sein Gesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (Art. 127 BGG) nicht einzutreten. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegenstandslos.
Weitere Eingaben in dieser Sache, insbesondere weitere Revisionsgesuche, werden in Zukunft ohne Antwort abgelegt.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp