Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG gegen
a) den Beschluss vom 6. Oktober 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich, das auf eine Berufung der Beschwerdeführer gegen einen erstinstanzlichen Befehlsentscheid (u.a. Aufforderung an die Beschwerdeführer zur Wiederinbetriebnahme der Gasheizung und zur Belieferung der Liegenschaften der Beschwerdegegner mit Heizwärme sowie zur Verschaffung des Zutritts zum Heizraum) nicht eintrat, soweit die Berufung nicht die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Urteils betraf, die Anschlussberufung der Beschwerdegegner als dahingefallen erklärte und das erstinstanzliche Kosten- und Entschädigungsdispositiv bestätigte,
sowie gegen
b) den Zirkulationsbeschluss vom 20. April 2011 des Kassationsgerichts des Kantons Zürich, das auf eine Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführer gegen den obergerichtlichen Beschluss nicht eintrat,
in die nachträgliche Eingabe der Beschwerdeführer,
in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die Beschwerdeführer hätten ihr Grundstück verkauft und seien daher nicht mehr Eigentümer, sie beantragten denn auch nicht die Abweisung der Befehlsbegehren, sondern erhöben vielmehr Widerklage auf Zahlung noch ausstehender Beträge, die erst im Berufungsverfahren erhobene Widerklage sei jedoch unzulässig, die erstinstanzliche Kostenverteilung, die von einem Streitwert von 44'000 Franken ausgehe, sei nicht zu beanstanden, für das Berufungsverfahren würden die unterliegenden Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig,
dass das Kassationsgericht erwog, durch Verweisungen auf vorinstanzliche Eingaben lasse sich zum Vornherein kein Nichtigkeitsgrund nachweisen, ferner sei nicht ersichtlich, inwiefern sich der geltend gemachte Mangel im Ergebnis zum Nachteil der Beschwerdeführer ausgewirkt haben könnte, weshalb es den Beschwerdeführern diesbezüglich an einer rechtsrelevanten Beschwer und damit an einem rechtlich geschützten Interesse an der Beurteilung ihres Einwand fehle, sodann genügten die Beschwerdevorbringen den formellen Begründungsanforderungen von § 288 ZPO/ZH nicht, weshalb auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht einzutreten sei,
dass auf die (in der nachträglichen Eingabe sinngemäss gestellten) Ausstandsbegehren der Beschwerdeführer gegen Mitglieder des Bundesgerichts nicht einzutreten ist (BGE 105 Ib 301 E. 1c und d), zumal die Mitwirkung von Bundesrichtern und Bundesrichterinnen an früheren Urteilen nicht geeignet ist, sie bei objektiver Betrachtung als befangen erscheinen zu lassen (BGE 114 Ia 278 E. 1, 105 Ib 301 E. 1c),
dass sodann die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (BGE 133 IV 286 E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 BGG), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287 f.),
dass die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden Erwägungen des Obergerichts und des Kassationsgerichts eingehen,
dass es insbesondere auch vor Bundesgericht nicht genügt, auf eine vorinstanzliche Eingabe zu verweisen und diese im Text der bundesgerichtlichen Beschwerde wortwörtlich wiederzugeben,
dass die Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand der obergerichtlichen und der kassationsgerichtlichen Erwägungen aufzeigen, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 6. Oktober 2010 und der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 20. April 2011 rechts- oder verfassungswidrig sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass die unterliegenden Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig werden (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG),
dass in den Fällen des Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,
dass schliesslich die Beschwerdeführer (in Beantwortung ihrer nachträglichen Eingabe) darauf hingewiesen werden, dass der Kostenvorschuss dem Tarif entsprach (SR 173.110.210.1) und dass die Erwähnung des Namens O._ in einem Betreff der Kanzlei auf eine (für die Vorschussfestsetzung unerhebliche) Fehlinformation des Computers zurückzuführen ist,
erkennt die Präsidentin:
1. Auf die sinngemässen Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht sowie dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann