Sachverhalt:
A. Die zentrale Gerichtspolizei Finnlands führt eine Strafuntersuchung wegen qualifizierter Entführung und Erpressung im Zusammenhang mit der Entführung eines Frachtschiffes am 24. Juli 2009 auf dessen Fahrt von Finnland nach Algerien. Am 27. November 2009 ersuchten die finnischen die schweizerischen Behörden um die rechtshilfeweise Erhebung und Herausgabe von Bankunterlagen betreffend ein Konto der Firma X._ SA bei einer Bank in Genf.
B. Mit Verfügung vom 5. Januar 2010 delegierte das Bundesamt für Justiz (BJ) den Vollzug des Rechtshilfeersuchens an die Bundesanwaltschaft (BA). Diese trat mit Verfügung vom 25. Januar 2010 auf das Ersuchen ein und liess in der Folge Bankunterlagen edieren. Mit Schreiben vom 30. Mai 2011 präzisierten die finnischen Behörden ihr Ersuchen, indem sie die Herausgabe von Bankunterlagen auf Kontoeröffnungsunterlagen inklusive Vollmachten beschränkten. Mit Schlussverfügung vom 4. Juli 2011 bewilligte die BA die rechtshilfeweise Herausgabe der erhobenen Kontoeröffnungsunterlagen sowie von Informationen zu den betreffenden Vollmachten. Eine gegen die Schlussverfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 9. Juli 2012 ab.
C. Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichts gelangte die Firma X._ SA mit Beschwerde vom 23. Juli 2012 an das Bundesgericht. Sie beantragt (im Hauptstandpunkt) die Aufhebung des angefochtenen Entscheides vom 9. Juli 2012 und die Verweigerung der Rechtshilfe.
Das BJ beantragt, es sei auf die Beschwerde (mangels besonders bedeutenden Falles) nicht einzutreten. Die BA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Bundesstrafgericht hat auf Stellungnahme verzichtet. Die Beschwerdeführerin replizierte am 20. August 2012.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid erging in deutscher Sprache, weshalb auch das vorliegende Urteil auf Deutsch redigiert wird (Art. 54 Abs. 1 BGG).
2. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn er eine Auslieferung, eine Beschlagnahme, eine Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten oder eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
2.1 Zwar geht es im vorliegenden Fall um die rechtshilfeweise Herausgabe von Bankunterlagen und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich wäre. Zu prüfen ist jedoch zusätzlich, ob es sich hier um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
2.2 Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis; vgl. auch BGE 133 IV 125 E. 1.4 S. 128 f.; 129 E. 1 S. 130; 131 E. 2-3 S. 131 f.; 132 E. 1 S. 133 f.; 215 E. 1.2 S. 217 f.; 271 E. 2.2.2 S. 274). Gerade im Bereich der sogenannten "kleinen" Rechtshilfe kann ein besonders bedeutender Fall nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich namentlich keine wichtigen bzw. erstmals zu beurteilenden Rechtsfragen, die einer Klärung durch das Bundesgericht bedürften (BGE 134 IV 156 E. 1.3.4 S. 161; zur einschlägigen Praxis vgl. Heinz Aemisegger/Marc Forster, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Basel 2011, Art. 84 N. 29-32). An einem besonders bedeutenden Fall (bzw. an einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung) fehlt es insbesondere, wenn sich der Vorwurf, die Vorinstanz sei von der Praxis des Bundesgerichts abgewichen, in appellatorischer Kritik an den materiellen Erwägungen des angefochtenen Entscheides erschöpft (Urteil 1C_219/2010 vom 25. Mai 2010 E. 4; vgl. Aemisegger/Forster, a.a.O., Art. 84 N. 30).
3. Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über das Nichteintreten auf eine Beschwerde, wenn kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet (Abs. 3; zum vereinfachten Verfahren nach Art. 109 i.V.m. Art. 84 und Art. 107 Abs. 3 BGG vgl. näher BGE 133 IV 125 ff.).
4. Die Beschwerdeführerin begründet das Vorliegen eines besonders bedeutenden Falles wie folgt: Die Rechtshilfe verletze den Grundsatz von Treu und Glauben, das Verhältnismässigkeitsgebot sowie das Spezialitätsprinzip. Das Ersuchen sei unzureichend begründet. Es liege kein ausreichender Sachzusammenhang vor zwischen den rechtshilfeweise erhobenen Bankunterlagen und den verfolgten Straftaten. Die bewilligte Herausgabe gehe über das Ersuchen hinaus. Das Rechtshilfegesuch sei vermutlich fiskalisch motiviert. Der ersuchende Staat habe denn auch in anderen Fällen das Spezialitätsprinzip verletzt. Mit diesen materiellen Einwänden gegen die Zulässigkeit der Rechtshilfe hat sich die Vorinstanz bereits ausführlich befasst. Ihre Erwägungen stützen sich auf die bundesgerichtliche Praxis, auf die zurückzukommen kein Anlass besteht. Dass die Beschwerdeführerin der vom Bundesstrafgericht zutreffend dargelegten Gerichtspraxis sowie der Sachdarstellung des Ersuchens ihre eigene (abweichende) Meinung und Interpretation entgegenstellt, lässt den Rechtshilfefall nicht als besonders bedeutend erscheinen.
5. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG). Da der Beschwerde schon von Gesetzes wegen die aufschiebende Wirkung zukam (Art. 103 Abs. 2 lit. c BGG), erwies sich das betreffende Gesuch zum Vornherein als hinfällig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Bundesanwaltschaft, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Forster