Faits:
A. G._, née en 1959, a exercé des activités de conciergerie au service de différents employeurs et travaillé en qualité d'aide-hospitalière à raison d'un horaire de travail de 50 %.
Le 3 décembre 2002, elle a été victime d'un accident qui a entraîné des douleurs cervico-dorsales et à l'épaule gauche.
Le 14 octobre 2004, elle a présenté une demande tendant à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité.
Par décision du 26 juin 2007, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité, ainsi qu'à une mesure de reclassement.
B. L'intéressée a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité.
La juridiction cantonale a confié une expertise bidisciplinaire aux docteurs S._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie (rapport du 29 septembre 2008), et B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 30 septembre 2008).
Le 27 novembre 2008, la juridiction cantonale a rendu un jugement dont le dispositif a la teneur suivante:
1. Rejette le recours.
2. Renvoie la cause à l'intimé pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
3. Met un émolument de 500 fr. à charge de l'intimé.
4. Condamne l'intimé à verser à la recourante une indemnité de 2'500 fr.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à l'annulation des chiffres 3 et 4 de son dispositif. En outre, il demande l'octroi de l'effet suspensif du recours.
L'intimée conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable, ainsi qu'au rejet de la demande d'octroi de l'effet suspensif, le tout sous suite de frais et dépens.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. Aux termes du chiffre 2 du dispositif du jugement attaqué, la cause est renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Tout en reconnaissant le bien-fondé de la décision de refus de prestations du 26 juin 2007, la juridiction cantonale a considéré que le délai de carence d'une année (cf. art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, mais reprise à l'art. 28 al. 1 let. b LAI, dans sa version valable depuis le 1er janvier 2008) était échu entre le 1er septembre 2007 et le 26 juin 2008, de sorte qu'il incombait à l'office AI de rendre une nouvelle décision sur le droit de l'assurée à des prestations « après instruction complémentaire auprès du docteur B._, afin que celui-ci indique à quelle date exacte il estime que (l'intéressée) a présenté une incapacité de travail totale ».
En principe, la répartition des frais et dépens dans le cas d'une décision de renvoi est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF, qui n'est pas susceptible de causer un préjudice irréparable (ATF 133 V 645 consid. 2.1 p. 647; arrêt 9C_567/2008 du 30 octobre 2008 consid. 2 à 4). En l'espèce toutefois, l'objet de la contestation, tel qu'il a été déterminé par la décision litigieuse du 26 juin 2007, portait sur le refus d'une rente au moment - déterminant pour la fixation de cet objet (ATF 121 V 362 consid. 1b p. 366 et les arrêts cités) - où cette décision a été rendue. Ce refus a été confirmé par les premiers juges. La décision de renvoi ne porte pas sur ce point, mais sur le droit de l'assurée à une rente pour une période postérieure. Le jugement attaqué doit dès lors être considéré comme une décision finale (art. 90 LTF), du moment qu'il statue définitivement sur l'objet du litige, mais renvoie pour nouvelle décision sur le début du droit à la rente pour une période postérieure. Le recours est ainsi recevable.
2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes.
3. Le litige porte sur la condamnation de l'office AI par la juridiction cantonale au paiement d'un émolument de justice de 500 fr. et au versement à l'assurée d'un montant de 2'500 fr. au titre d'indemnité de dépens.
3.1 Selon l'art. 61 let. a LPGA, la procédure devant le tribunal cantonal des assurances est en principe gratuite pour les parties. L'art. 69 al. 1bis LAI (en vigueur depuis le 1er juillet 2006) déroge cependant à l'art. 61 let. a LPGA, dans la mesure où il prévoit que la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'assurance-invalidité devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice; le montant des frais est fixé en fonction de la charge liée à la procédure, indépendamment de la valeur litigieuse, et doit se situer entre 200 et 1'000 fr.
La jurisprudence considère qu'en tant qu'il déroge au principe de la gratuité de la procédure de recours pour les parties, l'art. 69 al. 1bis LAI impose l'obligation de supporter des frais de justice aux parties (et non exclusivement à la partie recourante). Le caractère onéreux de la procédure cantonale s'applique donc à toutes les parties à celle-ci, la répartition des frais de justice suivant le principe selon lequel ceux-ci doivent en règle générale être mis à la charge de la partie qui succombe, quel que soit son rôle - recourant ou intimé - dans la procédure (arrêt 9C_428/2007 du 20 novembre 2007 consid. 5).
Par ailleurs, aux termes de l'art. 61 let. g LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal; leur montant est déterminé sans égard à la valeur litigieuse d'après l'importance et la complexité du litige.
3.2 Succombe la partie dont les conclusions ont été écartées ou rejetées. En première instance, l'assurée a conclu à l'annulation de la décision attaquée et au paiement d'une rente entière d'invalidité. Indiscutablement, ses conclusions ont été rejetées par les premiers juges.
Selon le chiffre 2 du dispositif du jugement attaqué, la cause est toutefois renvoyée à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. En tant que ce chiffre renvoie aux motifs, ceux-ci deviennent partie intégrante du dispositif dans la mesure où ils participent de la force matérielle, c'est-à-dire où ils tranchent l'objet du litige (ATF 120 V 233 consid. 1a p. 237; 113 V 159 et les références). Dans les considérants du jugement attaqué, le tribunal cantonal considère que le délai de carence d'une année est échu entre le 1er septembre 2007 et le 26 juin 2008, et enjoint à l'office AI de se prononcer, dans une nouvelle décision, sur le droit de l'assurée à des prestations d'invalidité, après complément d'instruction sur le point de savoir à quelle date exacte l'intéressée a présenté une incapacité de travail totale.
On peut inférer de cette motivation que la juridiction cantonale reconnaît le droit de l'intéressée à une rente d'invalidité, dont le moment de la naissance devra encore être fixé par l'administration après une instruction complémentaire. Ce faisant, la juridiction cantonale a pris en considération des faits survenus postérieurement à la décision litigieuse, lesquels devaient, en principe, faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (ATF 121 V 362 consid. 1b p. 366 et la référence). Dans la mesure où le recourant ne conteste pas le chiffre 2 du dispositif du jugement cantonal, la Cour de céans n'a certes pas à trancher au fond le point de savoir si la juridiction cantonale était fondée à reconnaître le droit de l'assurée à une rente pour une période postérieure à la décision administrative attaquée. Cependant, eu égard aux points litigieux en procédure fédérale - à savoir la répartition des frais judiciaires et le versement de dépens -, il n'en demeure pas moins qu'en se prononçant, au chiffre 2 du dispositif, sur le droit de l'intéressée à des prestations pour une période postérieure à la décision administrative litigieuse, la juridiction cantonale a statué au-delà de l'objet de la contestation (cf. ATF 121 V 362 consid. 1b p. 366). C'est pourquoi ce chiffre du dispositif ne saurait avoir une incidence pour trancher le point de savoir si l'office AI a succombé et l'assurée obtenu gain de cause devant la juridiction cantonale. Sur le vu du chiffre 1 du dispositif, qui rejette le recours, cette question doit être résolue par la négative et la juridiction cantonale n'était pas fondée à condamner l'office AI au paiement d'un émolument de justice de 500 fr. et au versement à l'assurée d'un montant de 2'500 fr. au titre d'indemnité de dépens. L'intéressée ayant succombé sur l'objet de la contestation en instance cantonale, c'était à elle de supporter les frais de justice (cf. consid. 3.1).
Le recours se révèle ainsi bien fondé.
4. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
5. La cause étant ainsi tranchée, la requête d'effet suspensif devient sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le chiffre 3 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève du 27 novembre 2008 est réformé en ce sens qu'un émolument de justice de 500 fr. est mis à la charge de G._; le chiffre 4 du dispositif dudit jugement est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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