Sachverhalt:
A. B. Y._ (Arbeitnehmer) war seit 1. November 1977 für die X._ (Beschwerdegegnerin), ab 1. Januar 1978 in der Funktion als Direktor, tätig. Die X._ kündigte das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 17. März 2006 auf den 31. Dezember 2006. Der Arbeitnehmer focht diese Kündigung am 6. März 2007 klageweise beim Zivilgericht Basel-Stadt an und beantragte, die X._ sei zu verurteilen, ihm Fr. 234'951.25, eventualiter Fr. 443'073.85, jeweils zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit 1. März 2007, zu bezahlen. Die X._ stellte das Rechtsbegehren, die Klage sei abzuweisen und verlangte widerklageweise, es sei festzustellen, dass die Kündigung gültig sei, das Arbeitsverhältnis der Parteien folglich am 31. Dezember 2006 geendet habe und keine weiteren Lohnzahlungen mehr geschuldet seien. Am 6. Dezember 2007 reichte der Arbeitnehmer dem Zivilgericht eine weitere Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die X._ habe ihm ein Arbeitszeugnis auszustellen. Mit Verfügung vom 21. Juli 2008 sistierte das Zivilgericht das Verfahren bis zum Abschluss des Prozesses betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt wies die gegen die Sistierungsverfügung erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. November 2008). Ebenfalls am 5. November 2008 wies das Zivilgericht Basel-Stadt die Klage betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis ab und trat auf die Feststellungswiderklage nicht ein.
B. Gegen den Entscheid des Zivilgerichts betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis vom 5. November 2008 erhob B. Y._ in Erneuerung seiner Anträge Appellation. Am 5. Dezember 2009 ist er verstorben. Seine Ehefrau, A. Y._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin), trat als Rechtsnachfolgerin in das Verfahren ein. Sie erkundigte sich mit Schreiben vom 18. November 2010 nach den beteiligten Richtern im Appellationsverfahren und stellte in der Folge mit Eingabe vom 26. November 2010 ein Gesuch um Ablehnung der Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._ wegen Befangenheit. Nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung wies das Appellationsgericht - in einer Besetzung ohne L._ und M._ - das Ablehnungsbegehren gegen die zwei Gerichtsmitglieder ab (Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010). Im Anschluss daran änderte das Appellationsgericht - in einer Besetzung mit L._ und M._ - den Entscheid des Zivilgerichts betreffend Kündigung insoweit ab, als es festhielt, die X._ habe der Beschwerdeführerin eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 8'500.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. März 2007 zu bezahlen; im Übrigen wies es die Appellation ab (Urteil vom 22. Dezember 2010).
C. A. Y._ führt gegen das Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Rechtsbegehren, das Ablehnungsbegehren gegen die Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._ sei gutzuheissen.
Gegen das Urteil betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis erhebt A. Y._ ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 4A_306/2011). Das Bundesgericht hat mit präsidialer Verfügung vom 9. Juni 2011 das Gesuch von A. Y._ um Vereinigung der Verfahren 4A_306/2011 und 4A_308/2011 abgewiesen.
L._ und das Appellationsgericht lassen sich in je einer separaten Antwort in abweisendem Sinn vernehmen. Die X._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden könne.
A. Y._ hat sich am 20. Oktober 2011 zu diesen Eingaben geäussert. Die X._ hat am 7. November 2011 eine weitere Vernehmlassung einreichen lassen.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Gerichtsentscheid über den Ausstand zweier Gerichtspersonen, welcher am 22. Dezember 2010 gefällt wurde und am 26. April 2011 bei der Beschwerdeführerin einging.
1.1 Es handelt sich dabei um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinn von Art. 92 Abs. 1 BGG, gegen welchen die Beschwerde zulässig ist. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um eine arbeitsrechtliche Streitigkeit und damit um eine Zivilsache gemäss Art. 72 Abs. 1 BGG. Ist die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache zulässig, unterliegt ihr auch der vorliegende Zwischenentscheid.
1.2 Gemäss Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a bis c BGG vor. Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an Art. 75 Abs. 2 BGG gewährte Übergangsfrist (Art. 130 Abs. 2 BGG) ist mit Inkrafttreten der schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen. Seit dem 1. Januar 2011 ist somit die Beschwerde in Zivilsachen, wie im Übrigen auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 114 BGG), nur noch zulässig gegen Urteile letzter kantonaler Instanzen, die zugleich obere Gerichte sind und - unter Vorbehalt der Ausnahmen - auf Rechtsmittel hin entschieden haben (Urteil 5A_162/2011 vom 19. April 2011 E. 2.2). Ob angesichts der mündlichen Eröffnung des Entscheids am 22. Dezember 2010 die Übergangsfrist noch offensteht (BGE 137 III 127 E. 2 S. 129 f.), sei dahingestellt, da die Voraussetzung auch nach geltendem Recht erfüllt ist.
Das Appellationsgericht hat nicht als Rechtsmittelinstanz über den Ausstand der zwei Gerichtsmitglieder entschieden, sondern als erste und einzige kantonale Instanz. Die Beschwerde ist allerdings dennoch zulässig, weil es gleichzeitig mit einem Rechtsmittelverfahren befasst war und den Zwischenentscheid in diesem Rahmen gefällt hat (BGE 137 III 424 E. 2.2 S. 426; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Bbl 2006 7377 Ziff. 5.23.2; HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, Rz. 2490; DIGGELMANN, Vom GVG zum GOG, SJZ 106/2010 S. 89).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr in Art. 30 BV und Art. 6 EMRK verankerter Anspruch auf einen unabhängigen Richter sei verletzt worden, indem die Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._, welche im kantonalen Appellationsverfahren betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis am (ebenfalls angefochtenen: Verfahren 4A_306/2011) Endentscheid mitgewirkt haben, bereits beim Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichtes vom 8. November 2008 in gleicher Funktion dabei und somit vorbefasst gewesen seien.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr in Art. 30 BV und Art. 6 EMRK verankerter Anspruch auf einen unabhängigen Richter sei verletzt worden, indem die Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._, welche im kantonalen Appellationsverfahren betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis am (ebenfalls angefochtenen: Verfahren 4A_306/2011) Endentscheid mitgewirkt haben, bereits beim Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichtes vom 8. November 2008 in gleicher Funktion dabei und somit vorbefasst gewesen seien.
2.2 2.2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Gericht beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 114 Ia 50 E. 3b und 3c S. 53 ff.; BGE 134 I 20 E. 4.2 S. 21; BGE 131 I 24 E. 1.1 S. 25, BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116, mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn sich im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten ergeben, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Diese können namentlich in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters begründet sein. Bei dessen Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 128 V 82 E. 2a S. 84; BGE 127 I 196 E. 2b S. 198; BGE 126 I 68 E. 3a S. 73; BGE 125 I 119 E. 3a S. 122; BGE 124 I 255 E. 4a S. 261, mit Hinweisen). Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn sich einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst haben. In einem solchen Fall der so genannten Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen. Ob dies der Fall ist, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als offen erscheint (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f. mit Hinweisen). Nach der Praxis des Bundesgerichts stellt das Mitwirken an einem früheren Entscheid regelmässig keinen Ausstandsgrund dar, sofern nicht weitere konkrete, für die Befangenheit sprechende Gesichtspunkte hinzukommen (BGE 131 I 113 E. 3.7 S. 120 ff.; Urteile 8C_543/2011 vom 25. August 2011 E. 2.4 und 8C_518/2010 vom 24. Januar 2011 E. 3.1).
2.2.2 Die Beschwerdeführerin vertritt die Ansicht, der Ausschuss des Appellationsgerichts habe sich in seinem Entscheid vom 5. November 2008 mit der Frage der Nichtigkeit der Kündigung des Arbeitsverhältnisses bereits vorfrageweise befasst und sei dabei zur Auffassung gelangt, die Kündigung sei gültig. Entsprechendes ergebe sich aus Ziffer 2.2 der Erwägungen, wonach der Arbeitnehmer "das Begehren um Zeugnisausstellung mehr als ein halbes Jahr nach Beendigung des Arbeitsvertrages erst gestellt" habe. Diese Betrachtungsweise lässt sich durch den Inhalt der Entscheidbegründung nicht stützen. Der Ausschuss des Appellationsgerichts stellt vielmehr wiederholt fest, dass zur "Gültigkeit resp. Missbräuchlichkeit der Kündigung" ein weiteres Verfahren vor Zivilgericht hängig sei. Soweit der Ausschuss des Appellationsgerichts in der von der Beschwerdeführerin zitierten Textstelle lediglich eine Feststellung zweier unbestrittener Tatsachen - einerseits die tatsächlich erfolgte Kündigung und anderseits der Umstand, dass der Arbeitnehmer danach nicht mehr im Betrieb der X._ gearbeitet hatte - sieht, lässt sich dies nicht beanstanden. Zur Wirksamkeit der Kündigung äussert sich das Gericht nämlich nicht. Es finden sich im Entscheid vom 5. November 2008 betreffend Verfahrenssistierung keine Äusserungen, welche den Schluss zuliessen, dass die Richter des Appellationsgerichts sich bereits eine feste Meinung über den Ausgang der - damals noch gar nicht am Appellationsgericht hängigen - Streitsache betreffend Kündigung des Arbeitsverhältnisses gebildet hätten.
2.3 Unter diesen Umständen kann offen bleiben, ob der Befangenheitseinwand gegen L._ rechtzeitig erhoben wurde.
3. Die Beschwerdeführerin bringt zusammenfassend nichts vor, was die zwei Appellationsgerichtspräsidenten bei objektiver Betrachtung als befangen erscheinen liesse.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die X._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz