Faits:
A. C._ a travaillé en qualité de poseur de revêtements de sols au service de l'entreprise X._ jusqu'au 31 mars 2008. Le 13 octobre suivant, il a présenté une demande d'affiliation à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la caisse de compensation) en indiquant qu'il exerçait depuis le 1er juillet 2008 une activité indépendante de poseur de revêtements de sols sous la raison individuelle Y._. Invitée par la caisse de compensation à examiner le statut d'indépendant de l'intéressé, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a informé celui-ci, le 16 décembre 2008, qu'elle le considérait comme une personne exerçant une activité lucrative dépendante pour la pose de tout type de sols, motif pris qu'il mettait sa capacité de travail à disposition de la société Z._.
C._ a contesté ce point de vue en faisant valoir notamment qu'il était astreint en qualité d'indépendant au paiement de la taxe sur la valeur ajoutée (TVA) depuis le 1er juillet 2008 et qu'il travaillait aussi pour d'autres entreprises que la société Z._.
Par décision du 29 juin 2009, confirmée sur opposition le 11 novembre suivant, la CNA a constaté que l'intéressé avait exercé une activité lucrative dépendante au service de trois entreprises durant la période du mois de septembre au mois de décembre 2008 et qu'il ne pouvait être considéré comme indépendant qu'à partir du 1er avril 2009 pour les travaux effectués directement en son nom propre et à son propre compte pour des clients privés, mais pas pour les travaux confiés par un entrepreneur en sous-traitance (en d'autres termes, en cas de location de services).
B. Saisi d'un recours, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a annulé la décision sur opposition du 11 novembre 2009, ainsi que la décision du 29 juin précédent, et constaté que C._ exerce son activité lucrative à titre indépendant à compter du 1er juillet 2008 (jugement du 5 mai 2010).
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en ce qu'il reconnaît à l'intéressé le statut d'indépendant et conclut à la confirmation de sa décision sur opposition du 11 novembre 2009.
L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de dépens.
L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
D. Par courrier du 4 janvier 2011, l'intimé a produit les copies de quatre contrats de travail concernant du personnel engagé au cours de l'année 2010.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur la qualification - salariée ou indépendante - de l'activité lucrative exercée par l'intimé depuis le 1er juillet 2008.
Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. L'exception de l'art. 99 al. 1 LTF n'étant pas réalisée en l'espèce, les pièces produites par l'intimé en procédure fédérale ne peuvent donc pas être prises en considération.
3. 3.1 Selon l'art. 1a LAA, les travailleurs occupés en Suisse sont assurés à titre obligatoire contre le risque d'accident. Est réputé travailleur au sens de cette disposition quiconque exerce une activité lucrative dépendante au sens de la législation sur l'AVS (art. 1 OLAA). Chez une personne qui exerce une activité lucrative, l'obligation de payer des cotisations dépend, notamment, de la qualification du revenu touché dans un certain laps de temps; il faut se demander si cette rétribution est due pour une activité indépendante ou pour une activité salariée (cf. art. 5 et 9 LAVS, art. 6 ss RAVS). Selon l'art. 5 al. 2 LAVS, on considère comme salaire déterminant toute rétribution pour un travail dépendant effectué dans un temps déterminé ou indéterminé; quant au revenu provenant d'une activité indépendante, il comprend tout revenu du travail autre que la rémunération pour un travail accompli dans une situation dépendante (art. 9 al. 1 LAVS).
3.2 Selon la jurisprudence, le point de savoir si l'on a affaire, dans un cas donné, à une activité indépendante ou salariée ne doit pas être tranché d'après la nature juridique du rapport contractuel entre les partenaires. Ce qui est déterminant, bien plutôt, ce sont les circonstances économiques. Les rapports de droit civil peuvent certes fournir éventuellement quelques indices pour la qualification en matière d'AVS, mais ne sont pas déterminants. Est réputé salarié, d'une manière générale, celui qui dépend d'un employeur quant à l'organisation du travail et du point de vue de l'économie de l'entreprise, et ne supporte pas le risque économique encouru par l'entrepreneur.
Ces principes ne conduisent cependant pas à eux seuls à des solutions uniformes, applicables schématiquement. Les manifestations de la vie économique revêtent en effet des formes si diverses qu'il faut décider dans chaque cas particulier si l'on est en présence d'une activité dépendante ou d'une activité indépendante en considérant toutes les circonstances de ce cas. Souvent, on trouvera des caractéristiques appartenant à ces deux genres d'activité; pour trancher la question, on se demandera quels éléments sont prédominants dans le cas considéré (ATF 123 V 161 consid. 1 s. p. 162; 122 V 169 consid. 3a p. 171; 281 consid. 2a p. 283; 119 V 161 consid. 2 et les arrêts cités).
3.3 Les tâcherons et sous-traitants sont réputés exercer une activité dépendante. Leur activité ne peut être qualifiée d'indépendante que lorsque les caractéristiques de la libre entreprise dominent manifestement et que l'on peut admettre, d'après les circonstances, que l'intéressé traite sur un pied d'égalité avec l'entrepreneur qui lui a confié le travail (ATF 101 V 87 consid. 2 p. 89; arrêt du Tribunal fédéral des assurances [TFA] H 169/04 du 21 avril 2005 consid. 4.4; GUSTAVO SCARTAZZINI, in : GREBER/DUC/SCARTAZZINI, Commentaire des art. 1 à 16 de la Loi fédérale sur l'assurance-vieillesse et survivants [LAVS], 1996, n. 134 ss ad art. 5; HANS-PETER KÄSER, Unterstellung und Beitragswesen in der obligatorischen AHV, 2ème éd., ch. 4.51).
4. 4.1 La juridiction cantonale a constaté que C._, inscrit au registre des personnes assujetties à la TVA à partir du 1er juillet 2008, avait travaillé pour cinq entreprises qui lui sous-traitaient des travaux; en outre, il s'était assuré auprès d'une compagnie privée contre le risque de perte de gain en cas d'accident et de maladie avec effet au 27 septembre 2008, respectivement au 15 octobre suivant; il avait également travaillé pour des clients privés selon des devis établis à partir du 29 octobre 2008, ainsi que des factures concernant des travaux réalisés dès le mois de juin 2009; par ailleurs, l'intéressé avait acheté des fournitures, loué des machines, obtenu un raccordement téléphonique avec fax, contracté une assurance-responsabilité civile professionnelle et fait de la publicité pour son entreprise. Les premiers juges ont inféré de ces constatations que les éléments dénotant une activité indépendante étaient prédominants dans le cas particulier. En outre, ils ont considéré que la circonstance que l'intéressé avait travaillé en qualité de sous-traitant pour diverses entreprises n'était pas déterminante, du moment qu'il avait bénéficié de tarifs différents selon les entreprises et qu'il était indépendant du point de vue de l'économie de l'entreprise, ainsi que de l'organisation du travail. En outre, bien que l'intéressé ne supportât pas le risque de l'encaissement ni du ducroire dans ses relations avec les entreprises principales, cette circonstance n'était pas déterminante, du moment que, selon la jurisprudence (arrêt du TFA H 201/85 du 21 mars 1986 consid. 2c, in RCC 1986 p. 347), une entreprise gérée par un seul homme, sans investissement important, peut encourir des risques en ce qui concerne l'avenir de l'entreprise, le maintien d'un minimum de commandes, etc. Enfin, la juridiction cantonale a reconnu le statut d'indépendant dès le 1er juillet 2008, c'est-à-dire dès la date à laquelle l'intéressé a commencé son activité selon le fonctionnement constaté, du moment que la manière d'exercer ladite activité n'avait pas varié durant la période considérée.
4.2 La recourante conteste le point de vue de la juridiction cantonale en faisant valoir que l'intimé ne supportait pas le risque économique d'un employeur. Durant la période considérée, il avait travaillé, en effet, uniquement en qualité de sous-traitant, il n'avait pas fait des investissements particuliers et ne disposait pas d'une véritable infrastructure d'entreprise. Même s'il était libre d'organiser son travail à sa convenance, il était entièrement tributaire des entreprises principales, de sorte que son seul risque résidait dans le non-paiement de ses factures par lesdites entreprises. Un tel risque n'est pas propre à une activité indépendante mais, selon la jurisprudence, il est comparable à celui d'un salarié dont l'employeur n'est pas en mesure ou refuse de payer le salaire pour le travail accompli (arrêt du TFA H 30/99 du 14 août 2000 consid. 5a, in VSI 2001 p. 55).
4.3 En l'occurrence, il ressort du jugement entrepris que durant la période du mois de septembre 2008 au mois de mars 2009, C._ a travaillé en sous-traitance pour cinq entreprises, dont l'une d'elles lui procurait 66 % de son chiffre d'affaires, et qu'il n'a pas effectué des travaux pour des particuliers. Durant la période considérée, son activité lucrative a donc consisté uniquement en travaux de sous-traitance. Dans la mesure où une seule des entreprises principales lui procurait déjà 66 % de son chiffre d'affaires, le risque encouru s'apparentait bien plutôt à celui d'un salarié dont l'employeur ne s'acquitte pas du salaire pour un travail accompli.
En outre, l'existence d'un lien de dépendance aussi étroit avec les entreprises principales ne permet pas d'admettre que l'intéressé traitait sur un pied d'égalité avec lesdites entreprises. Comme le fait valoir la recourante, les caractéristiques de la libre entreprise ne sont pas dominantes dans le cas particulier, de sorte que l'activité de sous-traitant accomplie par l'intéressé durant la période considérée ne peut être qualifiée d'indépendante.
4.4 Vu ce qui précède, l'activité lucrative exercée par l'intimé durant la période du 1er juillet 2008 au 31 mars 2009 doit être qualifiée de salariée, comme l'a retenu la recourante dans sa décision sur opposition du 11 novembre 2009.
5. En ce qui concerne la période à compter du 1er avril 2009, la recourante a retenu la qualification d'activité indépendante pour les travaux effectués directement par l'intimé en son nom propre et à son propre compte pour des clients privés, mais pas pour les travaux confiés par un entrepreneur en sous-traitance (en d'autres termes, en cas de location de services).
Les éléments de fait ressortant du jugement entrepris ne permettent toutefois pas de juger s'il existe, après le 31 mars 2009, un lien de dépendance avec d'éventuelles entreprises principales, de sorte qu'il faille nier la présence d'un risque de l'entrepreneur, ainsi que des caractéristiques de la libre entreprise. C'est pourquoi il convient de renvoyer la cause à la recourante pour qu'elle complète l'instruction et statue une nouvelle fois sur le statut - de salarié ou d'indépendant - de l'intimé à partir du 1er avril 2009.
6. Vu ce qui précède, le jugement attaqué doit être réformé en ce sens que la décision sur opposition du 11 novembre 2009 est annulée dans la mesure où elle se rapporte à la période à compter du 1er avril 2009, ce qui conduit à l'admission partielle du recours.
Etant donné l'issue du litige, les frais de justice seront répartis entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, la recourante, qui n'obtient que partiellement gain de cause, versera des dépens réduits à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le chiffre 2 du dispositif du jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel est réformé en ce sens que la décision sur opposition de la CNA du 11 novembre 2009 est annulée dans la mesure où elle concerne la période à compter du 1er avril 2009. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. La cause est renvoyée à la CNA pour nouvelle décision après complément d'instruction au sens des considérants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis pour 375 fr. à la charge de la recourante et pour 375 fr. à la charge de l'intimé.
4. La recourante versera à l'intimé la somme de 1'400 fr. à titre de dépens réduits pour l'instance fédérale.
5. Le chiffre 5 du dispositif du jugement attaqué est annulé et le dossier est renvoyé à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 12 mai 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd