Sachverhalt:
A. K._ meldete sich im Juli 2006 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Nach Abklärungen und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügungen vom 22. November und 5. Dezember 2007 rückwirkend ab 1. Juli 2005 eine halbe Rente zu.
B. In teilweiser Gutheissung der vom Sozialamt X._ für K._ eingereichten Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 23. Mai 2008 die Verfügungen vom 22. November und 5. Dezember 2007 auf, wies die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück (Dispositiv-Ziff. 1) und verpflichtete diese zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 3'500.- (Dispositiv-Ziff. 3).
C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 23. Mai 2008 sei aufzuheben.
K._, vertreten durch das Sozialamt X._, beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und die Zusprechung einer Parteientschädigung von Fr. 3'500.- gemäss Dispositiv-Ziff. 3 des Entscheids vom 23. Mai 2008. Die IV-Stelle beantragt die Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 3 des vorinstanzlichen Entscheids.
Der Instruktionsrichter des Bundesgerichts hat der Beschwerde in Bezug auf die von der Vorinstanz zugesprochene Parteientschädigung aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Im Rechtsbegehren der Beschwerde wird die vollumfängliche Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragt. In der Begründung wird indessen ausdrücklich festgehalten, die Beschwerde richte sich gegen die Zusprechung der Parteientschädigung an die Versicherte, und einzig auf diesen Punkt beziehen sich die Vorbringen der Aufsichtsbehörde. In diesem Sinne haben die anderen Verfahrensbeteiligten das Rechtsmittel denn auch verstanden. Streitgegenstand ist somit entgegen dem offensichtlich aus Versehen zu weit gefassten Rechtsbegehren in der Beschwerde lediglich der vorinstanzliche Parteikostenentscheid.
2. Der angefochtene Entscheid weist die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und neuer Beurteilung an die IV-Stelle zurück. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, welcher nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481). Nach lit. a dieser Bestimmung muss der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können.
2.1 Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist rechtlicher Natur und auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar (BGE 134 III 188 E. 2.1 S. 190, 133 V 645 E. 2.1 S. 647). Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen solchen Nachteil (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.).
2.2 In BGE 133 V 645 E. 2.1 S. 647 hat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts erkannt, dass die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolge in einem Rückweisungsentscheid ebenfalls einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG darstellt, auch insofern der nicht wieder gutzumachende Nachteil zu verneinen und daher auf entsprechende Beschwerden nicht einzutreten ist (ebenso weitere Urteile der beiden sozialrechtlichen Abteilungen [9C_834/2007 vom 18. Dezember 2007, 9C_748/2007 vom 19. Februar 2008 E. 2, 9C_551/2007 vom 19. Juni 2008 E. 1.2, 8C_59/2008 vom 3. September 2008 E. 2.2 und E. 3] und anderer Abteilungen des Bundesgerichts [1B_69/2008 vom 26. März 2008 E. 2, 1C_324/2007 vom 18. Dezember 2007 E. 2.3, 2C_571/2007 vom 30. Oktober 2007 E. 2, 2C_222/2007 vom 15. Oktober 2007 E. 2, 6B_309/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 1.2). Dasselbe galt bei der staatsrechtlichen Beschwerde unter der Herrschaft des früheren OG (BGE 131 III 404 E. 3.3 S. 407, 122 I 39, 117 Ia 251).
3. Das Beschwerde führende Bundesamt stellt die Rechtsprechung gemäss BGE 133 V 645 E. 2.1 S. 647 in Frage, weil sie weder der Prozessökonomie noch dem Rechtsschutzinteresse Rechnung trage und allen Verfahrensbeteiligten zum Nachteil gereiche. Würde jetzt auf die Beschwerde nicht eingetreten, wäre eine spätere Anfechtung der zugesprochenen Parteientschädigung nicht mehr möglich. Falle der neue Entscheid zu Ungunsten der Versicherten aus, wäre Streitgegenstand einer allfälligen neuen Beschwerde nur die Rente, nicht aber die Parteientschädigung für das erste kantonale Beschwerdeverfahren. Darüber könne die Verwaltung nicht mehr befinden und ausserdem wäre sie zur Anfechtung ihrer eigenen diesbezüglichen Verfügung nicht befugt. Zudem wäre auch die in Art. 93 Abs. 3 BGG enthaltene Voraussetzung nicht erfüllt, wonach der Zwischenentscheid im Rahmen des Endentscheids nur anfechtbar sei, wenn er sich auf dessen Inhalt ausgewirkt habe. Die Möglichkeit, nach der neuen Verfügung direkt den kantonalen Rückweisungsentscheid beim Bundesgericht anzufechten, würde daran scheitern, dass die Beschwerde nur nach Eintritt der Rechtskraft des Verwaltungsaktes erhoben werden könne, was zu verneinen wäre. Die IV-Stelle könnte mangels Rechtsschutzinteresses auch keine Rechtsmittel gegen den neuen kantonalen Entscheid ergreifen. Die Mitanfechtung des strittigen Rückweisungsentscheids werde dadurch verunmöglicht. Auch wenn die neue Verfügung zu Gunsten der Versicherten lautete und dagegen nicht Beschwerde geführt würde, wäre die Voraussetzung nach Art. 93 Abs. 3 BGG für die Anfechtung der Kostenauferlegung für das erste kantonale Beschwerdeverfahren nicht erfüllt. Die vom Bundesgericht angeführten prozessökonomischen Gründe vermöchten nicht zu überzeugen, da es sich so oder anders im Endeffekt im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dieser Frage zu befassen habe. Bis dahin könnten aber unter Umständen Monate, wenn nicht sogar Jahre vergehen. Das Bundesgericht hätte sich die unterdessen abhanden gekommenen Dossierkenntnisse wieder anzueignen, was sehr zeitaufwändig sei. Die betroffene Partei müsste die Anfechtungsmöglichkeit ständig in Erinnerung behalten und den geeigneten Moment zur Beschwerdeerhebung abwarten. Zudem wäre eine allfällige Rückforderung der zu Unrecht ausgerichteten Entschädigung nach mehreren Jahren unter Umständen als aussichtslos zu betrachten. Im Übrigen müsse vorliegend die Eintretensvoraussetzung schon deshalb bejaht werden, weil die Zusprechung einer Parteientschädigung an die durch eine Institution der öffentlichen Sozialhilfe vertretene Versicherte offensichtlich gegen die Rechtsprechung gemäss BGE 126 V 11 verstosse.
4. 4.1 Die Qualifizierung des Kostenspruchs eines Rückweisungsentscheides als Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG wird zu Recht nicht in Frage gestellt. Die Regelung der Kosten ist immer ein Nebenpunkt zur Hauptsache (vgl. Art. 51 Abs. 3 BGG) und kann daher nicht als selbständig anfechtbarer Teilentscheid über ein unabhängig von der Hauptsache gestelltes Begehren nach Art. 91 lit. a BGG betrachtet werden. Fragen kann sich einzig, ob der Kostenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG verursachen kann, wenn er nicht selbständig vor dem Endentscheid angefochten werden kann. Dies wäre zu bejahen, wenn die Kostenauferlegung für das (erste) kantonale Beschwerdeverfahren später nicht mehr anfechtbar wäre, was die Aufsichtsbehörde geltend macht.
4.2 Die in der Beschwerde vorgebrachten prozessualen Bedenken sind bei formaler Betrachtung insofern verständlich, als die Kostenregelung im Rückweisungsentscheid weder Gegenstand der neuen Verfügung der IV-Stelle noch Streitgegenstand in einem allfälligen weiteren Beschwerdeverfahren ist. Indessen konnte bereits nach der Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde (Art. 84 ff. aOG) der Kostenspruch in einem Rückweisungsentscheid später noch beim Bundesgericht angefochten werden, entweder selbständig innerhalb der normalen Rechtsmittelfrist ab Rechtskraft des Endentscheids oder zusammen mit dem neuen Entscheid der Vorinstanz. Einer formellen Beschwer der vom Kostenentscheid betroffenen Partei im neuen Verfahren bedurfte es nicht (BGE 122 I 39 E. 1a/bb S. 42 f., 117 Ia 251 E. 1b S. 255). Dies gilt auch unter der Herrschaft des BGG (BGE 133 V 645 E. 2.2 S. 648; YVES DONZALLAZ, Commentaire de la Loi sur le Tribunal fédéral, Bern 2008, N 3363 zu Art. 92 und 93 BGG). Dem steht Art. 93 Abs. 3 BGG nicht entgegen. Die Kostenregelung im Rückweisungsentscheid wird mit dem Endentscheid zum materiellen Inhalt dieses Erkenntnisses.
Entgegen der Auffassung des Bundesamtes sodann kann die Rechtmässigkeit der Kostenregelung nicht isoliert von der Hauptsache beurteilt werden. Dass die Rückweisung als solche nicht angefochten ist, bedeutet nicht zwangsläufig, dass sie als zu Recht erfolgt anerkannt wird. Dies kann auch darin begründet sein, dass eine solche Anfechtung nur unter bestimmten Voraussetzungen überhaupt möglich ist (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.). Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Rechtmässigkeit der Rückweisung in einem späteren Zeitpunkt zur Diskussion gestellt wird (Art. 93 Abs. 3 BGG). Würde alsdann die Rückweisung vom Bundesgericht als rechtswidrig beurteilt, fiele damit die Basis der Kostenregelung weg.
Schliesslich kann ein nicht wieder gutzumachender Nachteil auch nicht dadurch entstehen, dass die Rückforderung einer allenfalls zu Unrecht zugesprochenen Parteientschädigung unter Umständen aussichtslos sein könnte. Die Kostenregelung im Rückweisungsentscheid ist nicht vollstreckbar und stellt keinen definitiven Rechtsöffnungstitel nach Art. 80 Abs. 1 SchKG dar, solange sie noch zusammen mit dem Endentscheid im dargelegten Sinne wird angefochten werden können (BGE 131 III 404 E. 3.3 S. 407; Urteil 6B_309/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 1.2; DONZALLAZ a.a.O.). Die Parteientschädigung muss somit - auch vorliegend - vorderhand nicht bezahlt werden, so dass sich die Frage einer allfälligen späteren Rückerstattung nicht stellt.
4.3 Es besteht kein Anlass zu einer Änderung der Rechtsprechung gemäss BGE 133 V 645 E. 2.1 S. 647.
5. Die Beschwerde ist somit unzulässig, ebenso der Antrag in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin, der vorinstanzliche Parteikostenentscheid sei zu bestätigen.
6. Das Beschwerde führende Bundesamt trägt keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Die durch eine Institution der öffentlichen Sozialhilfe vertretene Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung für das Verfahren vor dem Bundesgericht (Art. 68 BGG; BGE 126 V 11; Urteil I 1040/06 vom 20. März 2007 E. 6).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Oktober 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler