Faits:
A. A._, de nationalité somalienne, est né à Genève le 20 février 2004 de la relation hors mariage entre B._, ressortissante somalienne née en 1981, et C._, ressortissant suisse né en 1973. Celui-ci a reconnu, en 2004, être le père de l'enfant. Par convention du 25 mai 2004, il s'est par ailleurs engagé à payer mensuellement, à titre de contribution d'entretien pour son fils, 400 fr. jusqu'à l'âge de 5 ans, 500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 600 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 700 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais au maximum jusqu'à 25 ans, en cas de formation régulière, sérieuse et suivie.
Le 17 décembre 2010, B._ a donné naissance, à Genève, à un second fils, de nationalité somalienne. Le père de l'enfant, D._, ressortissant suisse né en 1970, l'a reconnu en janvier 2011. Depuis le 1er mars 2011, B._ et D._ sont colocataires d'un appartement sis à X._.
B. Par jugement du 14 janvier 2011, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur l'action alimentaire intentée le 26 mai 2010 par A._ contre C._, a condamné ce dernier à verser mensuellement en faveur de son fils, dès et y compris le mois de juin 2010, une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 850 fr. jusqu'à 10 ans, 950 fr. jusqu'à 15 ans et 1'100 fr. jusqu'à la majorité, voire jusqu'à 25 ans en cas d'études suivies et régulières, allocations familiales en sus.
Statuant par arrêt du 9 décembre 2011 sur l'appel de A._, la Cour de justice du canton de Genève a partiellement annulé ce jugement et, statuant à nouveau, a fixé le point de départ de la contribution au mois d'avril 2010 inclusivement. Ledit jugement a été confirmé pour le surplus.
C. Par acte du 30 janvier 2012, A._ exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 9 décembre 2011. Il conclut à ce que les montants de la contribution mensuellement due pour son entretien soient respectivement portés de 850 fr. à 1'000 fr., de 950 fr. à 1'200 fr. et de 1'100 fr. à 1'500 fr. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé n'a pas été invité à répondre.
Considérant en droit:
1. La décision statuant sur une action alimentaire (art. 279 CC) est sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) lorsque, comme en l'espèce, la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Interjeté contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions. Il a en outre été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. c LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
2. Comme l'enfant a sa résidence habituelle en Suisse, les tribunaux de ce pays sont compétents (art. 79 al. 1 LDIP) et le droit suisse est applicable (art. 83 al. 1 LDIP et art. 4 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.231.01]).
3. Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé les art. 4 et 285 al. 1 CC. Se référant à diverses méthodes de calcul de la contribution d'entretien utilisées dans la pratique, il expose que toutes aboutissent à un résultat plus généreux que celle du minimum vital, appliquée par la Cour de justice, laquelle ne tient pas compte du revenu supérieur à la moyenne du débirentier.
3.1 Les père et mère doivent pourvoir à l'entretien de l'enfant et assumer, par conséquent, les frais de son éducation, de sa formation et des mesures prises pour le protéger (art. 276 al. 1 CC); l'entretien est assuré par les soins et l'éducation ou, lorsque l'enfant n'est pas sous la garde de ses père et mère, par des prestations pécuniaires (art. 276 al. 2). A teneur de l'art. 285 al. 1 CC, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère; il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant, ainsi que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Ainsi, les besoins de l'enfant doivent être examinés en relation avec les trois autres éléments évoqués et la contribution d'entretien doit toujours être dans un rapport raisonnable avec le niveau de vie et la capacité contributive du débirentier (ATF 116 II 110 consid. 3a; arrêts 5A_216/2009 du 14 juillet 2009 consid. 4.2; 5C.173/2005 du 7 décembre 2005 consid. 2.1). Celui des parents dont la capacité financière est supérieure peut par ailleurs être tenu, suivant les circonstances, de subvenir à l'entier du besoin en argent si l'autre remplit son obligation à l'égard de l'enfant essentiellement en nature (ATF 120 II 285 consid. 3a/cc; arrêt 5A_216/2009 du 14 juillet 2009 consid. 4.2). La loi n'impose cependant pas de méthode de calcul de la contribution d'entretien (ATF 128 III 411 consid. 3.2.2; arrêts 5A_894/2011 du 14 mai 2012 consid. 6.2.3; 5A_908/2011 du 8 mars 2012 consid. 4.3; 5A_862/2011 du 16 février 2012 consid. 3.3; 5A_497/2011 du 5 décembre 2011 consid. 7.1.3; 5A_84/2007 du 18 septembre 2007 consid. 5.1). Le montant de la contribution d'entretien ne doit donc pas être calculé de façon linéaire en fonction de la capacité contributive des parents, sans tenir compte de la situation concrète de l'enfant (ATF 120 II 285 consid. 3b/bb; arrêt 5A_497/2011 du 5 décembre 2011 consid. 7.1.3).
Le juge applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), le Tribunal fédéral lui reconnaissant à cet égard un large pouvoir d'appréciation: ce dernier n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent pas de rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels, ou bien encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté apparaît manifestement inéquitable au regard des circonstances (ATF 136 III 278 consid. 2.2.1; 132 III 178 consid. 5.1; 130 III 571 consid. 4.3; 128 III 161 consid. 2c/aa; 127 III 136 consid. 3a et les arrêts cités).
3.2 En l'espèce, la cour cantonale a considéré que la mère du demandeur avait désormais un second enfant, âgé de moins de 10 ans, dont elle devait également s'occuper. Toutefois, jusqu'en septembre 2011, elle travaillait comme interprète pour Y._ et son fils aîné était gardé par des tiers, puisqu'il fréquentait le restaurant scolaire à midi. Compte tenu de son âge, de son état de santé et de ses connaissances linguistiques, notamment d'allemand, il pouvait dès lors être exigé de la mère qu'elle recherchât un nouvel emploi, du moins à temps partiel. Il convenait ainsi de lui imputer un revenu mensuel de l'ordre de 1'323 fr., correspondant aux 80% des 1'654 fr. par mois qu'elle avait réalisés en 2010 en tant qu'interprète. Le montant total de ses charges mensuelles étant de 2'088 fr. 95, son budget se révélait ainsi déficitaire. En ce qui concerne le père, les juges précédents ont retenu que celui-ci percevait un salaire mensuel net de 8'770 fr. pour des charges incompressibles de 5'442 fr.; partant, son disponible s'élevait à 3'328 fr. par mois. Examinant ensuite les besoins de l'enfant, l'autorité cantonale a retenu que ceux-ci comprenaient son entretien de base du droit des poursuites (400 fr.) augmenté de 20% (80 fr.), dont il fallait retrancher le montant de 200 fr. perçu à titre d'allocations familiales. S'y ajoutait la somme mensuelle de 102 fr. 20 à titre d'assurance maladie et la part du loyer imputable à l'enfant, de 378 fr. 75, soit un montant total de 760 fr. 95. La Cour de justice a déduit de ce qui précède qu'en fixant la contribution d'entretien à 850 fr. par mois, le Tribunal de première instance avait tenu compte du fait que le père avait un disponible relativement important, alors que le budget de la mère était déficitaire. En outre, cette contribution couvrait les besoins de l'enfant. La gradation des montants (850 fr., 950 fr., puis 1'100 fr.) était par ailleurs adéquate, compte tenu de la situation financière du père et des besoins futurs de l'enfant.
Contrairement à ce que prétend le recourant (qui ne critique pas ces constatations), l'autorité cantonale n'a pas appliqué de méthode particulière pour fixer la contribution d'entretien. Comme exposé ci-dessus, elle s'est fondée sur les besoins de l'enfant et sur les capacités contributives respectives des parents, soit sur les principes généraux fixés par la loi et par la jurisprudence. Ce faisant, elle ne saurait se voir reprocher d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation. Le moyen tiré de la comparaison de méthodes utilisées en pratique est par ailleurs dénué de fondement, l'art. 285 CC n'imposant pas de méthode spécifique pour déterminer l'étendue de l'entretien (cf. supra, consid. 3.1), ce qu'admet du reste le recourant. Celui-ci n'expose pas non plus, de façon suffisamment motivée (art. 42 al. 2 LTF), en quoi la contribution litigieuse, qui couvre intégralement les besoins de l'enfant, serait manifestement inéquitable au regard des circonstances (art. 4 CC).
4. En conclusion, le recours apparaît mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Vu cette issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire du recourant ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Celui-ci supportera dès lors les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Escher
La Greffière: Mairot