Faits:
A. A.a A._ travaille comme infirmier-chef au service de l'établissement médico-social R._. A ce titre, il est assuré contre les accidents par Elvia Assurances » (ci-après: Elvia). Le 3 avril 2001, son employeur a rempli une déclaration d'accident LAA en raison d'un événement survenu le 21 mars 2001 dans les circonstances suivantes: alors qu'il se trouvait dans un couloir de l'établissement, l'employé a entendu un cri provenant de l'ascenseur; il s'est précipité et est arrivé à temps pour empêcher une pensionnaire de chuter de sa chaise roulante; il a alors ressenti une forte douleur à l'épaule.
Le jour suivant cet événement, A._ a reçu les premiers soins de son médecin traitant, le docteur B._. Celui-ci a diagnostiqué une rupture de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Une IRM a été réalisée le 29 mars 2001. Elle a révélé une tendinopathie chronique de la coiffe des rotateurs avec une tendinite du sous-épineux, une rupture complète du sus-épineux avec un diastasis assez important et une rétractation de ses fibres proximales, ainsi qu'un probable conflit sous-acromial associé avec une légère déformation du bord inférieur de l'acromion. Le patient a été adressé au docteur W._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Celui-ci a indiqué que les lésions subies étaient dues uniquement à l'événement du 21 mars 2001. Il a préconisé une réparation chirurgicale de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite et attesté une totale incapacité de travail. Le 4 décembre 2001, l'assuré a subi une acromioplastie pratiquée par le docteur W._.
Dans l'intervalle, par lettre du 8 octobre 2001 et après quelques tergiversations, l'Elvia a informé l'assuré qu'elle prenait en charge les suites de l'événement du 21 mars 2001, au titre de lésion corporelle assimilée à un accident; elle a réservé un examen ultérieur de la causalité.
A.b L'assuré a été incapable de travailler, tout d'abord à 100 %, puis à 50 % depuis le 1er avril 2002. Une tentative de reprise du travail à 100 % à partir du 1er octobre 2002 s'est soldée par un échec. L'intéressé a été mis au bénéfice d'un arrêt de travail de 50 % depuis le 25 novembre 2002.
A.c L'Allianz Suisse, Société d'assurances, qui a succédé à l'Elvia (ci-après: Allianz), a confié une expertise au docteur Z._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, qui a examiné l'assuré le 26 mars 2003. Dans un rapport rendu le 28 avril 2003, l'expert a diagnostiqué une rupture de la coiffe des rotateurs droite (sus-épineux et sous-scapulaire), ainsi qu'une rupture de la coiffe des rotateurs gauche asymptomatique. Il a exposé qu'une origine dégénérative de ces lésions était probable. La lésion était devenue symptomatique après que l'assuré eut retenu une patiente de 130 kilos. L'expert a indiqué que l'état somatique était une conséquence naturelle de l'événement du 21 mars 2001, de façon vraisemblable pour ce qui était de l'apparition de la symptomatologie douloureuse sur lésion de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. S'agissant de la lésion de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche, l'état somatique n'était pas une conséquence naturelle du sinistre. En outre, des facteurs étrangers à l' « accident » jouaient un rôle, puisque la déchirure de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite avait probablement une origine dégénérative qui était devenue symptomatique suite à l'événement du 21 mars 2001. L'épaule gauche présentait le même type de lésion, qui elle, était restée tout à fait asymptomatique à ce jour. Pour l'instant, le statu quo ante n'avait pas encore été atteint, puisque l'assuré était toujours symptomatique. L'on ne pouvait pas non plus considérer que le statu quo sine avait été obtenu, eu égard au fait que l'épaule gauche présentait le même type de lésion, mais demeurait asymptomatique. On se trouvait devant une aggravation sensible et durable de la problématique de l'épaule droite. Une reprise de travail à plus de 50 pour cent était pour le moment difficile, l'assuré présentant une aggravation de la symptomatologie douloureuse lorsqu'il reprenait ses activités à un taux supérieur à 50 pour cent. L'expert a par ailleurs fixé à 12 pour cent le taux de l'atteinte à l'intégrité.
A.d Par la suite, l'Allianz a confié une nouvelle expertise au docteur V._, également spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 4 octobre 2004, qui faisait suite à un examen clinique du 27 septembre 2004, l'expert a relevé que plusieurs facteurs parlaient contre une lésion fraîche (l'âge du patient [60 ans au moment des faits]; l'atteinte bilatérale quasiment identique, même si elle est un peu plus marquée à droite qu'à gauche; le début d'apparition d'une symptomatologie douloureuse de l'épaule gauche depuis quelques semaines, alors que jusqu'à maintenant la lésion de la coiffe des rotateurs de ce côté-là était totalement asymptomatique). Pour l'expert, on peut donc quasiment affirmer que l'événement du 21 mars 2001 n'a pas provoqué les lésions mises en évidence au niveau de la coiffe des rotateurs, que ce soit à droite ou à gauche. En revanche, cet événement a débouché sur l'apparition d'une symptomatologie douloureuse qui était inexistante auparavant. Le fait que l'évolution avec le temps n'a pas été favorable et qu'une intervention chirurgicale n'a pas modifié de manière importante cette douleur confirme plutôt la présence d'un processus chronique. Dans ces conditions, n'importe quel événement de la vie courante, accidentel ou non, aurait pu déclencher la symptomatologie douloureuse. Il est fort probable que cette dernière serait de toute façon apparue dans un avenir relativement proche, comme cela commence à être le cas au niveau de l'épaule gauche. Toujours selon l'expert, si l'existence d'un accident devait être admise, on se trouverait devant une aggravation, mais seulement transitoire en raison d'un état préexistant majeur. Le statu quo sine se situe au plus tard avant l'intervention chirurgicale du 4 décembre 2001, attendu que l'intervention a consisté à traiter la lésion préexistante à l'événement du 21 mars 2001 et non une lésion due à cet événement. L'expert s'inscrit en faux contre l'affirmation du docteur Z._ selon laquelle on se trouve en présence d'une probable lésion dégénérative devenue symptomatique après l'événement du 21 mars 2001. Selon le docteur V._, l'absence d'état inflammatoire aigu ou d'épanchement intra-articulaire associée à une certaine atrophie et rétraction musculo-tendineuse exclut que cette lésion tendineuse fût fraîche quand elle a été mise en évidence moins d'une semaine après l'événement. Celui-ci n'a pas créé la lésion, de sorte qu'il « manque la notion de dommage accidentel pour reconnaître une causalité naturelle selon l'article 9.2 OLAA ». Toujours selon l'expert, il n'y aura pas de statu quo ante, car le patient n'est jamais redevenu asymptomatique. En revanche, si l'on qualifie l'événement en cause d'accident, le statu quo sine se situe au plus tard au moment de l'intervention chirurgicale du 4 décembre 2001.
A.e L'assuré a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité du 1er mars 2002 au 31 mars 2002, puis d'une demi-rente à partir du 1er avril 2002.
A.f Par décision du 16 mars 2005, l'Allianz a refusé toute prestation à raison de l'événement du 21 mars 2001, considérant que celui-ci ne répondait pas à la définition de l'accident et que la lésion subie à cette occasion ne pouvait pas non plus être considérée comme une lésion corporelle assimilée à un accident. Elle a statué que le remboursement des frais de traitement serait réclamé à l'assureur-maladie de l'intéressé. En ce qui concerne les indemnités journalières, leur restitution serait demandée à l'assurance perte de gain maladie; la part non remboursée par cette assurance ne serait pas réclamée à l'assuré. Saisie d'une opposition, l'Allianz l'a rejetée par une nouvelle décision, du 3 octobre 2005.
B. A._ a recouru contre la décision sur opposition en concluant au remboursement des frais médicaux liés à l'événement du 21 mars 2001, au versement d'une rente complémentaire pour une incapacité de gain de 50 pour cent à partir du 1er avril 2002, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 12 pour cent.
Statuant le 27 septembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a partiellement admis le recours. Il a condamné l'Allianz au paiement des indemnités journalières et des frais de traitement jusqu'au 30 septembre 2004, sous déduction des sommes déjà versées à ce titre.
C. L'Allianz a formé un recours de droit administratif dans lequel elle a conclu à l'annulation du jugement attaqué et à la confirmation de sa décision sur opposition.
A._ et la CSS Assurances ont conclu tous deux au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110tion entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2)
2. Les premiers juges retiennent que l'événement du 21 mars 2001 est constitutif d'un accident au sens de l'art. 4 LPGA. C'est en faisant le mouvement pour retenir la pensionnaire (d'un poids de plus de 100 kilos) qui tombait de son fauteuil comme une « masse » que l'assuré a ressenti une douleur à l'épaule droite. Selon les premiers juges, un facteur extérieur est clairement identifiable (interaction entre le corps de l'infirmier et la chute de la patiente). On est en présence d'un mouvement non programmé en réaction à un phénomène extérieur, qui ne relève pas de l'activité habituelle de l'assuré et qui a entraîné une sollicitation des membres physiologiquement plus élevée que la normale. Les premiers juges considèrent, par ailleurs, que l'accident a déclenché une symptomatologie douloureuse ayant valeur d'atteinte à la santé, à l'instar d'une hernie discale. Le statu quo sine n'était pas encore atteint à la date de l'expertise du docteur Z._ (26 mars 2003). Ce n'est qu'en septembre 2004 (date de l'examen par le docteur V._) qu'une tendinopathie débutante a été constatée à l'épaule gauche, qui est alors devenue à son tour symptomatique. Aussi bien le Tribunal cantonal a-t-il estimé que, selon toute vraisemblance, l'épaule droite aurait, à ce moment également, présenté une symptomatologie douloureuse et une limitation fonctionnelle identiques à celles dont l'assuré souffre aujourd'hui. On peut donc admettre, conclut la juridiction cantonale, que le statu quo sine a été atteint au début du mois d'octobre 2004. L'assureur doit donc verser les indemnités journalières légales et les frais de traitement jusqu'au 30 septembre de la même année, sous déduction des prestations déjà versées. En revanche, aucune indemnité pour atteinte à l'intégrité n'est due, du moment que le statu quo sine a été atteint.
3. La recourante conteste tout caractère accidentel à l'événement du 21 mars 2001. Le mouvement effectué par l'intéressé lors de l'événement en question n'est pas inhabituel pour un infirmier. Selon elle, rien n'est venu perturber ce mouvement, qui visait justement à retenir une résidente qui glissait de son fauteuil roulant. De toute façon, même s'il devait être qualifié d'accident, l'événement n'a occasionné que l'apparition d'une douleur sur une atteinte préexistante, laquelle n'a pas été aggravée à cette occasion. En tout état de cause, le statu quo sine était atteint au plus tard le 4 décembre 2001, conformément aux conclusions de l'expertise du docteur V._. La même constatation s'imposerait si, contre toute attente, le Tribunal fédéral concluait à l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident.
4.1 Le point de savoir si l'on est ou non en présence d'un accident au sens de l'art. 4 LPGA peut demeurer indécis en l'espèce, pour les motifs ci-après exposés.
4.1.1 Aux termes de l'art. 6 al. 2 LAA, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident. En vertu de cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté l'art. 9 al. 2 OLAA, qui prévoit que les lésions suivantes sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire:
a. Les fractures;
b. Les déboîtements d'articulations;
c. Les déchirures du ménisque;
d. Les déchirures de muscles;
e. Les élongations de muscles;
f. Les déchirures de tendons;
g. Les lésions de ligaments;
h. Les lésions du tympan.
Cette liste des lésions assimilées à un accident est exhaustive (ATF 116 V 136 consid. 4a p. 140, 145 consid. 2b p. 147 et les références; Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2e éd., 1989, p. 202).
D'après la jurisprudence, une déchirure de la coiffe des rotateurs est assimilée à une déchirure de tendons au sens de l'art. 9 al. 2 let. f OLAA (ATF 123 V 43).
4.1.2 La jurisprudence (ATF 129 V 466) a précisé les conditions d'octroi des prestations en cas de lésion corporelle assimilée à un accident. C'est ainsi qu' à l'exception du caractère «extraordinaire» de la cause extérieure, toutes les autres conditions constitutives de la notion d'accident doivent être réalisées (cf. art. 4 LPGA). En particulier, à défaut de l'existence d'une cause extérieure - soit d'un événement similaire à un accident, externe au corps humain, susceptible d'être constaté de manière objective et qui présente une certaine importance -, fût-ce comme simple facteur déclenchant des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 OLAA, les troubles constatés sont à la charge de l'assurance-maladie.
L'existence d'une lésion corporelle assimilée un accident doit ainsi être niée, dans tous les cas où le facteur dommageable extérieur se confond avec l'apparition (pour la première fois) de douleurs identifiées comme étant les symptômes des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 let. a à h OLAA. De la même manière, l'exigence d'un facteur dommageable extérieur n'est pas donnée lorsque l'assuré fait état de douleurs apparues pour la première fois après avoir accompli un geste de la vie courante (par exemple en se levant, en s'asseyant, en se couchant ou en se déplaçant dans une pièce, etc.) à moins que le geste en question n'ait requis une sollicitation du corps, en particulier des membres, plus élevée que la normale du point de vue physiologique et dépasse ce qui est normalement maîtrisé d'un point de vue psychologique. La notion de cause extérieure suppose en effet qu'un événement générant un risque de lésion accru survienne. Tel est le cas notamment lors de changements de position du corps, qui sont fréquemment de nature à provoquer des lésions corporelles selon les constatations de la médecine des accidents (brusque redressement du corps à partir de la position accroupie, le fait d'accomplir un mouvement violent ou en étant lourdement chargé, ou le changement de position corporelle de manière incontrôlée sous l'influence de phénomènes extérieurs (ATF 129 V 466 consid. 4.2.2 p. 470).
4.1.3 En l'espèce, l'assuré a ressenti une vive douleur à l'épaule après qu'il se fut précipité pour retenir une patiente obèse (plus de 100 kilos) qui tombait de sa chaise roulante. Il y a lieu d'admettre que ce mouvement a été accompli sous l'influence d'une cause extérieure (le fait de porter secours à une personne en train de tomber). Il supposait un mouvement réflexe significatif plus ou moins brusque et qui a généré une sollicitation du corps plus importante que la normale, compte tenu, en particulier, du poids de la patiente. Au regard des principes jurisprudentiels rappelés ci-dessus, l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident doit par conséquent être reconnue (pour une jurisprudence récente, voir les arrêts du 27 septembre 2006, U 184/06, du 16 août 2006, U 153/06, du 21 décembre 2005, U 368/05, du 6 août 2003, U 220/02).
4.1.3 En l'espèce, l'assuré a ressenti une vive douleur à l'épaule après qu'il se fut précipité pour retenir une patiente obèse (plus de 100 kilos) qui tombait de sa chaise roulante. Il y a lieu d'admettre que ce mouvement a été accompli sous l'influence d'une cause extérieure (le fait de porter secours à une personne en train de tomber). Il supposait un mouvement réflexe significatif plus ou moins brusque et qui a généré une sollicitation du corps plus importante que la normale, compte tenu, en particulier, du poids de la patiente. Au regard des principes jurisprudentiels rappelés ci-dessus, l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident doit par conséquent être reconnue (pour une jurisprudence récente, voir les arrêts du 27 septembre 2006, U 184/06, du 16 août 2006, U 153/06, du 21 décembre 2005, U 368/05, du 6 août 2003, U 220/02).
4.2 Il reste à examiner si les troubles de l'assuré sont ou non en relation de causalité naturelle avec l'événement du 21 mars 2001.
4.2.1 Pour admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle, il suffit que l'événement assuré soit en partie à l'origine de l'atteinte à la santé. Un état dégénératif ou morbide antérieur n'exclut pas l'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident, cela pour autant que l'événement ait au moins déclenché ou aggravé l'atteinte préexistante (voir ATF 123 V 43 consid. 2b p. 44, 116 V 145 consid. 2c p. 147 et la jurisprudence citée; RAMA 2001 n° U 435 p. 332 [arrêt E. du 5 juin 2001, U 398/00]; Alfred Bühler, Die unfallähnliche Körperschädigung, in : RSAS 1996 p. 94; Rudolf Wipf, Koordinationsrechtliche Fragen des UVG, in : RSAS 1994 p. 9 ss).
4.2.2 Sur le vu des pièces médicales au dossier, il est incontestable que l'événement en question a déclenché chez l'assuré une symptomatologie douloureuse. Sur ce point d'ailleurs il n'y a guère de contradiction entre les deux experts. Même le docteur V._ - dont l'expertise, au demeurant, est empreinte de considérations juridiques qui interfèrent sur les considérations d'ordre purement médical - constate que « cet événement a débouché sur l'apparition d'une symptomatologie douloureuse qui était inexistante auparavant ».
Il existait certes des troubles dégénératifs préexistants, mais ceux-ci étaient alors asymptomatiques. L'événement a eu pour conséquence une aggravation sensible et durable de ces troubles. C'est dès lors à bon droit que les premiers juges ont retenu l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'événement et l'atteinte à la santé présentée par l'assuré.
4.2.3 Les premiers juges considèrent d'autre part que le statu quo sine a été atteint au début du mois d'octobre 2004. En effet, ce n'est qu'à l'occasion de l'examen de l'assuré par le docteur V._, le 27 septembre 2004, qu'il est apparu que l'épaule gauche était devenue à son tour symptomatique. Considérant qu'en septembre 2004, une tendinopathie débutante avait été constatée à cette même épaule, le Tribunal cantonal a estimé que, selon toute vraisemblance, l'épaule droite aurait à ce moment également présenté une symptomatologie douloureuse et une limitation fonctionnelle identiques à celles dont l'assuré souffrait alors à l'épaule droite.
Le Tribunal fédéral ne peut que se rallier à ces considérations, fondées sur les données médicales du dossier. Selon le docteur Z._, on ne pouvait considérer, au moment de l'examen pratiqué par ce médecin (mars 2003), que le statu quo sine avait été obtenu, attendu que l'épaule gauche, qui présentait la même lésion, était toujours asymptomatique. Certes, le docteur V._ estime - dans l'hypothèse où l'existence d'un événement accidentel ou d'une lésion assimilée serait retenue - que le statu quo sine a été atteint au plus tard juste avant l'intervention chirurgicale du 4 décembre 2001. Il fonde cette appréciation sur la constatation que l'intervention a été pratiquée « pour traiter une lésion préexistante à l'événement du 21.03.01 et n'a pas mis en évidence de lésion accidentelle due à cet événement ». Mais cet élément n'est pas déterminant. Comme on l'a vu, la présence de troubles préexistants ne suffit pas pour nier l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'événement en cause et le dommage. Le fait que l'intervention visait à traiter des troubles préexistants n'est donc pas décisif en l'espèce: ce qui l'est, bien plutôt, c'est que les troubles qui ont nécessité cette opération ont été déclenchés par cet événement et que, en cas d'état maladif antérieur, les obligations de l'assureur-accidents prennent fin lorsqu'il apparaît que l'atteinte à la santé n'est plus imputable à l'événement, en particulier que cet état est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait sans doute atteint sans l'accident. Or, il faut admettre, en l'espèce, que, sans l'événement, les troubles à l'épaule droite seraient vraisemblablement apparus en septembre 2004.
5. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. Vu la nature du litige, la procédure est gratuite (art. 134 OJ). La recourante, qui succombe, versera une indemnité de dépens à l'intimé (art. 159 al. 1 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. La recourante versera à l'intimé un montant de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à CSS Assurances Caisse-maladie, Genève, au Tribunal cantonal des assurances sociales et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 13 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: