Sachverhalt:
A. A.a Y._, zuletzt wohnhaft in B._, verstarb am xxxx 1989. Sein Nachlass wird konkursamtlich liquidiert. Mit Verfügungen vom 4. März 1991 trat das Konkursamt Meilen das Inventar Nr. 51 als Rechtsansprüche der Masse gemäss Art. 260 SchKG an X._ und an Z._ ab. Dabei handelt es sich um Gründerrechte bzw. allfällige weitere Rechte an der W._, einer Anstalt nach liechtensteinischem Recht mit Sitz in C._/FL. Das Konkursamt erstreckte mehrfach die Frist zur Geltendmachung der abgetretenen Ansprüche.
A.b Am 19. Juli 2010 verlangte X._ vom Konkursamt, die Abtretung an Z._ zu widerrufen und ihm die Vollmacht zur Wahl eines neuen Verwaltungsrates für die V._ (vormals W._) zu erteilen. Mit Verfügung vom 30. August 2010 lehnte das Konkursamt das Gesuch ab und gewährte X._ eine erneute Frist bis am 31. Dezember 2011 zur Geltendmachung der abgetretenen Rechtsansprüche. Das Bezirksgericht Meilen als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen wies die von X._ gegen die Verfügung des Konkursamtes erhobene Beschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 21. Dezember 2010 ab, soweit sich das Verfahren nicht als gegenstandslos erwiesen hatte.
B. X._ wandte sich daraufhin an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welches mit Beschluss vom 4. Februar 2011 auf den Rekurs wegen Verspätung nicht eintrat.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 17. Februar 2011 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben, ihm die Rekursfrist wieder herzustellen und das Obergericht anzuweisen, auf seinen Rekurs einzutreten.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss Art. 17 SchKG unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 19 SchKG). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist daher einzutreten. Damit erübrigt sich die Einreichung einer Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
1.2 Mit vorliegender Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
1.3 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 589 E. 2 S. 591, Rügeprinzip).
2. Die Vorinstanz hat für das kantonale Verfahren vor der Aufsichtsbehörde in Zwangsvollstreckungssachen auf Art. 20a Abs. 2 SchKG verwiesen. Die Rechtsmittelfristen seien in Art. 17 f. SchKG abschliessend geregelt, womit die kantonale Gerichtsferienregelung keine Anwendung finde. Demnach sei die Rekursfrist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht gestützt auf § 140 Abs. 1 GVG/ZH bis und mit 8. Januar 2011 still gestanden. Ebenso wenig gelte § 140 Abs. 3 GVG/ZH, wonach den Parteien angezeigt werde, wenn eine Frist während den Gerichtsferien laufe. Schliesslich kämen die in Art. 56 Abs. 2 Ziff. 2 SchKG vorgesehenen Betreibungsferien für die Beschwerde an die Aufsichtsbehörde nicht zum Tragen, da eine solche keine Betreibungshandlung darstelle. Die Vorinstanz hat alsdann festgestellt, dass der bei ihr angefochtene Beschluss dem Anwalt des Beschwerdeführers am 23. Dezember 2010 ausgehändigt worden war. Die zehntägige Rekursfrist sei am 3. Januar 2011 unbenutzt abgelaufen. Der Rekurs vom 18. Januar 2011 erweise sich demzufolge als verspätet. Die Voraussetzungen für eine Wiederherstellung der Frist seien nicht gegeben, da es beim anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer an einem unverschuldeten Hindernis im Sinne von Art. 33 Abs. 4 SchKG fehle. Damit komme auch eine Verlängerung der Frist infolge Wohnsitz im Ausland gemäss Art. 33 Abs. 2 SchKG nicht in Frage. Auf den verspätet eingereichten Rekurs werde daher nicht eingetreten.
3. Für das Verfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden gelten die Bestimmungen des Bundesrechts (Art. 20a Abs. 2 SchKG) einschliesslich der verfassungsrechtlichen Vorgaben; im Übrigen regeln die Kantone das Verfahren (Art. 20a Abs. 3 SchKG), wobei sie durch kantonalrechtliche Verweisung Bestimmungen des Verwaltungsverfahrens- oder Zivilprozessrechts anwenden können (Cometta/Möckli, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 38 u. 39 zu Art. 20a).
3.1 Der Beschwerdeführer bringt zunächst vor, der Versand des Beschlusses durch das Bezirksgericht am 21. Dezember 2010 sei missbräuchlich und verletze das Gebot der schonenden Rechtsausübung nach Art. 2 ZGB. Zutreffend ist, dass gemäss Art. 9 BV die Behörden verpflichtet sind, jedermann ohne Willkür und nach Treu und Glauben zu behandeln. Hierbei handelt sich es um ein selbständiges Grundrecht (Müller/Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 7). Das aus dem Grundsatz von Treu und Glauben abgeleitete Rechtsmissbrauchsverbot (Art. 5 Abs. 3 BV) stellt hingegen kein verfassungsmässiges Recht dar (Müller/Schefer, a.a.O., S. 27). Welche Bedeutung dem vom Beschwerdeführer angeführten Art. 2 ZGB für das staatliche Handeln überhaupt zukommen kann, braucht vorliegend nicht entschieden zu werden. Der Vorwurf, die untere Aufsichtsbehörde habe ihren Beschluss am 21. Dezember, einen Tag nach Beginn der Gerichtsferien, versandt und damit rechtsmissbräuchlich gehandelt, wird nämlich in sehr allgemeiner Weise erhoben. Insbesondere übergeht der Beschwerdeführer, dass das Verfahren bereits fortgeschritten war und sich insbesondere alle Beteiligten zur Sache geäussert hatten. Mit einem Entscheid über die Beschwerde war daher zu rechnen und es oblag dem Beschwerdeführer bzw. seinem Anwalt, sich mit Blick auf einen allfälligen Weiterzug entsprechend zu organisieren. Dies hat der Anwalt zumindest teilweise getan, indem er sich seine Postsendungen in die Ferien nachsenden liess. Dass er dem Gericht vorgängig besondere Umstände, wie z.B. die Ferienabwesenheit, gemeldet hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Von einem treuwidrigen oder gar schikanösen Verhalten der unteren Aufsichtsbehörde bei dem Versand ihres Beschlusses kann daher keine Rede sein.
3.2 Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf BGE 84 III 8 S. 9 festgehalten, dass die Beschwerdefrist von zehn Tagen (Art. 17 Abs. 2, Art. 18 Abs. 1 SchKG) durch das kantonale Recht nicht verändert werden kann, da sie sich nach Bundesrecht richtet (vgl. Hauser/Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, 2002, N. 8 zu § 140; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 46 zu Art. 18, N. 150 zu Art. 20a). Der Beschwerdeführer stellt die vorinstanzliche Begründung nicht in Frage, soweit es um das anwendbare Verfahrensrecht und im Speziellen den nicht geltenden Fristenstillstand während den Gerichtsferien geht. Hingegen geht er von der allgemeinen Geltung weihnachtlicher Gerichtsferien aus. Soweit er in diesem Zusammenhang auf die Gerichtsferienregelung in anderen (eidgenössischen) Erlassen hinweist und zudem die Unterscheidung von Betreibungsferien und Gerichtsferien im Zwangsvollstreckungsrecht als überholt bezeichnet, äussert er letztlich Kritik an einer allseits bekannten gesetzlichen Regelung, an welche die Vorinstanz gebunden ist. Dass der revidierte Art. 31 SchKG (allgemeine Verweisung auf das Fristenrecht der ZPO unter Vorbehalt von SchKG-Regelungen) im konkreten Fall eine Rolle spielen würde, behauptet der Beschwerdeführer selber nicht. Er stellt auch nicht in Frage, dass die Zustellung eines Beschwerdeentscheides keine Betreibungshandlung darstellt, sofern - wie mit den beschwerdeabweisenden Entscheid der unteren Aufsichtsbehörde - bloss über die Begründetheit einer Beschwerde entschieden wird (vgl. BGE 115 III 6 E. 4 u. 5 S. 9 f., 11 E. 1b S. 13; 117 III 4 E. 3 S. 5). Von einer Verletzung von Bundesrecht kann daher keine Rede sein.
3.3 Sodann wirft der Beschwerdeführer der unteren Aufsichtsbehörde vor, ihren Beschluss mit einer unvollständigen und missverständlichen Rechtsmittelbelehrung versehen zu haben, da sie nicht auf den Fristenlauf während der Gerichtsferien hingewiesen habe. Als Adressat des Beschlusses habe er diesbezüglich auf den Wortlaut vertrauen dürfen und sei nicht verpflichtet gewesen, diesen zu überprüfen. Dass die kantonale Fristenregelung vorliegend (nach § 140 Abs. 2 GVG/ZH) nicht zur Anwendung gelangt, behauptet der Beschwerdeführer zu Recht nicht. Weshalb in einem solchen Falle gleichwohl die im kantonalen Recht verankerte Pflicht (§ 140 Abs. 3 GVG/ZH) zum Hinweis auf den Fristenlauf während der Gerichtsferien gelten sollte, ist nicht nachvollziehbar und wird vom Beschwerdeführer auch nicht begründet.
3.4 Schliesslich wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, ihm die Wiederherstellung oder Verlängerung der Frist zur Einreichung des Rekurses ohne vorgängige Anhörung verweigert zu haben. Zudem legt er seine Gründe für eine Wiederherstellung der Frist dar. Der Beschwerdeführer hat keine Wiederherstellung oder Verlängerung der Frist verlangt, sondern seinen Rekurs - die Beschwerde gemäss Art. 18 SchKG - verspätet eingereicht. Weshalb er nun vorgängig zur Wahrung der Frist und allfälliger Möglichkeiten einer späteren Eingabe hätte angehört werden sollen, ist unerfindlich. Zudem wäre ein entsprechendes Gesuch an die hiefür zuständigen Vorinstanz zu richten gewesen. Damit hat sich das Bundesgericht zu den nunmehr geschilderten Hindernissen für die rechtzeitige Einreichung des Rekurses nicht zu äussern.
4. Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde in Zivilsachen kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante