Faits:
A.
A.A._ et B.A._ sont les uniques héritiers de leurs parents C.A._, décédée à Neuchâtel le 21 août 2002 et D.A._, décédé à Hauterive le 24 septembre 2008.
Les époux A._ avaient conclu un pacte successoral le 27 mars 1997, aux termes duquel ils avaient prescrit, en substance, que, sous réserve de l'attribution à titre de règle de partage de quelques objets et d'immeubles à leur fils ou à leur fille, tous leurs biens devaient être partagés entre frère et soeur. Le père a confirmé le contenu de ce pacte successoral par codicille du 30 juin 2008.
A.a. Le 27 octobre 2008, une séance en présence des deux héritiers a eu lieu en l'étude de Me E._, avocat et exécuteur testamentaire de feu D.A._, en vue du partage de la succession de ce dernier.
A.b. Le 8 juin 2010, l'exécuteur testamentaire a fait parvenir aux héritiers un projet de convention de partage incluant notamment une reddition de comptes et une copie du compte-courant de chaque héritier. La lettre de l'exécuteur testamentaire, le projet de convention annexé et le compte-courant indiquaient que le montant dû par la soeur à la succession de feu leur père s'élevait à 200'091 fr. 60.
Lors d'une séance en l'étude de l'exécuteur testamentaire le 18 août 2010, les héritiers ont signé la convention de partage.
Le 25 octobre 2010, le conseil de la soeur a donné ordre à sa banque de verser sur les comptes bancaires indiqués par le frère respectivement 50'000 fr. et 150'091 fr. 60, soit au total 200'091 fr. 60.
A.c. Le 8 février 2011, l'exécuteur testamentaire a écrit aux héritiers que, selon la convention de partage, la " somme redue " par la soeur se montait à 237'591 fr. 60, la somme de 200'091 fr. 60 ne représentant que son compte-courant, de sorte que celle-ci était encore redevable d'une soulte de 37'500 fr. à son frère.
Le 10 mars 2011, le mandataire de la soeur a répondu que la convention de partage prévoyait expressément une soulte de 200'091 fr. 60, payée au frère et que le compte rendu de la séance du 18 août 2010 indiquait que la banque avait soumis un contrat-cadre à la soeur pour l'octroi d'un crédit hypothécaire pour s'acquitter de la soulte de 200'091 fr. 60 qu'elle devait à son frère.
Le 29 avril 2011, l'exécuteur testamentaire a informé le conseil de la soeur que le frère et lui-même avaient constaté qu'une erreur de chiffre était intervenue à l'art. 4 de la convention de partage, le montant dû s'élevant à 237'591 fr. 60, "tel que mentionné sous chiffre VII ad page 7 rubrique compte de Mme A.A._". L'exécuteur testamentaire a en outre écrit au mandataire que, au vu de ces éléments, le frère lui avait indiqué, par pli du 18 avril 2011, révoquer son accord avec les termes de la convention, dans la mesure où cet acte comportait l'erreur susmentionnée.
Le mandataire de la soeur a répondu le 9 juin 2011 que sa cliente était d'avis qu'il n'y avait pas d'erreur puisque les montants avaient été clairement articulés et la soulte due versée.
Les échanges de courriers subséquents n'ont pas permis de trouver un accord entre les héritiers.
B.
Le 2 juillet 2012, B.A._ a ouvert action à l'encontre de sa soeur, concluant à ce qu'il soit constaté que la convention de partage successoral du 18 août 2010 est entachée d'une erreur de calcul qu'il convenait de corriger, et à ce que sa soeur soit condamnée à lui verser la somme de 37'500 fr., au titre de solde de ses droits dans la succession de leur père, avec intérêts à 5 % l'an, dès le 1er juillet 2011.
La soeur a conclu au rejet de la demande.
B.a. Par jugement du 19 mars 2013, le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers a rejeté la demande, retenant que l'art. 4 de la convention de partage - qui prévoyait une soulte de 200'091 fr. 60 - était limpide, que l'art. 24 al. 3 CO "concerne uniquement les erreurs de calcul qui se glissent dans les déclarations de volonté concordantes des parties", mais que "les erreurs commises par une partie en cours d'élaboration d'un rapport contractuel et que l'autre partie ne peut reconnaître comme telles" ne tombaient pas sous le coup de la disposition précitée.
B.A._ a interjeté appel contre ce jugement le 30 avril 2013. Sa soeur a conclu au rejet de l'appel.
B.b. Statuant par arrêt du 6 janvier 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a partiellement admis l'appel et condamné A.A._ à payer à B.A._ la somme de 37'500 fr., plus intérêts à 5 % l'an, dès le 1er juillet 2011.
C.
Par acte du 3 février 2014, A.A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que la demande déposée par B.A._ est rejetée.
Invité à se déterminer sur le recours, le frère a conclu à son rejet.
Considérant en droit:
1.
Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans le cadre du partage d'une succession, à savoir en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Portant sur la correction d'une convention de partage successoral au motif d'une prétendue erreur d'un montant de 37'500 fr. sur la somme de la soulte due par l'un des héritiers, la cause est de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF), dès lors que la demande en rectification de la convention de partage vise un but économique, à savoir assurer l'égalité en valeur des parts des héritiers (arrêts 5A_337/2013 du 23 octobre 2013 consid. 1 avec les références). La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et, ayant succombé dans ses conclusions, a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 134 III 102 consid. 1.1 p. 104). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3 p. 310 s.; 134 I 83 consid. 3.2 p. 88), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF 135 III 232 consid. 1.2 p. 234; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
3.
Le recours a pour objet la reconnaissance d'une erreur de calcul au sens de l'art. 24 al. 3 CO dans la convention de partage.
La Cour d'appel civile a d'emblée constaté que le frère ne soutenait pas que la convention de partage était invalide en raison d'une erreur essentielle, selon les art. 23 ss CO, mais concluait à une rectification de la soulte due en sa faveur par sa soeur, en raison d'une "erreur de calcul". L'autorité précédente a considéré que la convention de partage signée le 18 août 2010 ne contient pas d'erreur de calcul au sens strict, dès lors que les opérations arithmétiques effectuées sont correctes, mais a toutefois relevé que, à l'article 4 page 8 de cet accord, l'exécuteur testamentaire a indiqué par erreur, qu'à la signature, la soeur verserait une soulte de 200'091 fr. 60, qui correspond au "rapport selon compte courant" mentionné en page 7 et non à la "somme redue" de 237'591 fr. 60. La cour d'appel a en outre constaté que cette erreur figurait aussi dans le courrier de l'exécuteur testamentaire du 8 juin 2010, qu'elle était reprise dans le procès-verbal de la séance du 18 août 2010 et que le mandataire de la soeur avait confirmé l'accord de celle-ci avec le projet et le montant de 200'091 fr. 60, par lettre du 16 juin 2010. L'autorité précédente a enfin constaté que le frère a réagi en février 2011 alors que l'ordre de paiement a été passé le 25 octobre 2010 et qu'il s'attendait à recevoir une somme plus importante, mais elle a également relevé que le frère n'a jamais soutenu que sa soeur se serait rendue compte de l'inadvertance commise par l'exécuteur testamentaire et l'aurait intentionnellement tue. Au vu de ces constatations, la cour d'appel a considéré que les parties s'étaient mises d'accord sur le paiement d'un montant de 200'091 fr. 60 par la soeur en faveur de son frère, mais qu'elles étaient victimes d'une erreur commune, involontairement provoquée par l'exécuteur testamentaire. L'autorité précédente a ainsi jugé que le montant articulé à l'article 4 de la convention "correspond trèsexactement " à "une dénomination inexacte (falsa demonstratio) qui, d'après l'article 18CO, doit céder le pas à la réelle intention des parties ".
4.
La recourante se plaint de la violation des art. 18 et 23 ss CO, dès lors que la cour d'appel a retenu que les parties s'étaient " bel et bien mises d'accord sur le paiement, pour solde de tout compte, d'un montant de CHF 200'091,60 " par la recourante à son frère, mais que les héritiers étaient victimes d'une erreur commune, involontairement provoquée par l'exécuteur testamentaire. La recourante expose que, soit il y a erreur de l'une ou l'autre des parties et celles-ci peuvent invalider la convention en conformité avec les art. 23 ss CO, soit aucune des parties n'invalide l'acte et elles demeurent liées à leur accord portant sur le montant de 200'091 fr. 60 dû par elle-même à son frère. En tant que la cour cantonale a retenu dans son état de fait que l'ensemble des échanges de correspondances entre les parties et la convention de partage mentionnent un montant de 200'091 fr. 60, celle-ci ne pouvait ensuite retenir qu'il y aurait dénomination inexacte, sans violer les art. 18 et 24 al. 3 CO, d'autant qu'elle a expressément exclu l'erreur de calcul au sens strict, " les opérations arithmétiques effectuées étant correctes ". La recourante conteste ainsi que la somme de 200'091 fr. 60 résulterait d'une erreur de calcul et qui irait à l'encontre de la volonté concordante des parties; elle expose que les notions "somme redue" et "soulte" dans le préambule de la convention n'étant pas identiques et les calculs difficilement compréhensibles, il n'apparaissait pas de manière manifeste que le montant figurant à l'art. 4 de la convention pouvait être erroné. La recourante soutient enfin que si la somme de 237'591 fr. 60 avait été proposée dans le cadre du projet de partage, des négociations entre les parties seraient intervenues, alors que les parties ont, de manière concordante, choisi de transiger à 200'091 fr. 60, car il ne s'agissait pas d'une " simple répartition par moitié du solde de liquidation d'une société simple ".
4.1. Selon l'art. 23 CO, le contrat n'oblige pas celle des parties qui, au moment de le conclure, était dans une erreur essentielle. Les cas d'erreur essentielle sont énumérés à l'art. 24 CO.
L'erreur de calcul, dont parle l'art. 24 al. 3 CO vise l'hypothèse d'une erreur commune aux deux parties, résultant d'une pure inadvertance dans les opérations arithmétiques, alors qu'en réalité elles sont d'accord sur les prestations dues (ATF 116 II 685 consid. 2b bb/ p. 687 s.), de sorte que ces faux calculs doivent être corrigés car les parties se sont en réalité mises d'accord sur le résultat de leur raisonnement arithmétique (ATF 116 II 685 consid. 2b bb/ p. 688). Le résultat erroné est dans ce cas une désignation inexacte ( falsa demonstratio ), qui, en vertu de l'art. 18 CO, doit céder le pas à la réelle et commune volonté des parties (ATF 119 II 341 consid. 2 p. 343). L'art. 24 al. 3 CO constitue donc une véritable règle de consensus; il indique en particulier que le raisonnement mathématique concrétisant la volonté des parties prime le résultat final clairement exprimé ( AEPLI, Präjudizienbuch zum OR, Gauch/Aepli/Stöckli [éds], 6 ème éd., 2006, n° 17 ad art. 24 CO). Le terme d'erreur comptable utilisé dans la loi doit être compris au sens large; cette règle s'applique par conséquent lorsqu'une clause d'un accord est déduite d'autres éléments du contrat, de manière incorrecte. L'application de cette disposition suppose toutefois que la base de calcul et les éléments dont est déduit le résultat final erroné fassent partie intégrante du contrat ( ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2 ème éd., 1997, p. 335) et qu'il s'agisse d'une erreur ouverte des deux parties ( SCHMIDLIN, Commentaire Romand CO I, Thévenoz/Werro [éds], 2 ème éd., 2012, n° 96 ad art. 23-24 CO; SCHWENZER, Basler Kommentar OR I, Honsell/Vogt/Wiegand [éds], 5 ème éd., 2011, n° 30 ad art. 24 CO), non d'une erreur interne d'évaluation, à savoir une erreur de motif, effectuée par l'une des parties lors de la rédaction de l'acte, non reconnaissable pour les tiers (ATF 119 II 341 consid. 2 p. 343; SCHMIDLIN, op. cit. n° 97 ad art. 23-24 CO; SCHWENZER, op. cit., n° 31 ad art. 24 CO; AEPLI, op. cit., n° 17 ad art. 24 CO). Il s'ensuit que l'art. 24 al. 3 CO ne s'applique que pour des erreurs de calcul qui se manifestent dans les déclarations de volonté concordantes des deux parties et qui sont reconnaissables comme telles, à savoir, lorsque les parties se sont manifestement trompées dans la retranscription des bases de leur accord. Ce cas de figure concerne également l'hypothèse de la récapitulation erronée de soldes d'actifs et de passifs effectuée conjointement par les parties, à l'encontre de leur intention concordante (ATF 116 II 685 consid. 2b bb/ p. 688; 102 II 82 consid. 1 p. 83).
4.2. En l'espèce, il ressort de l'acte de partage (p. 7) que des calculs ont été opérés afin de liquider la succession conformément aux dispositions de leur défunt père et qu'en définitive, la "somme redue" par la soeur se monte à 237'591 fr. 60. Certes, ainsi que l'a relevé l'autorité cantonale, le terme " soulte " employé en page 8 n'est pas identique, mais a le même sens, que les mots " somme redue " et " somme redue par Mme A.A._ ", alors que la locution " Rapport selon compte-courant " qui figure en face du montant de 200'091 fr. 60 a clairement une autre signification. Il apparaît d'emblée que le montant repris dans l'article 4 page 8 ne correspond pas au résultat du calcul effectué en page 7 de la convention et figurant une deuxième fois sur cette même page dans la vérification du calcul - page de calculs qui a au demeurant été signée par les cocontractants -, mais à un montant intermédiaire, de sorte que l'erreur apparaît manifestement pour tout tiers. Il ressort par ailleurs du dossier cantonal, singulièrement de l'ensemble de la convention de partage, que les parties se sont mises d'accord sur le règlement de la succession conformément aux dispositions de leur défunt père, puisque ces dispositions sont rappelées au début de la convention, que les calculs des parts - qui ne présentent d'ailleurs pas de difficultés contrairement à ce que soutient la recourante - partent du postulat que la succession est partagée par moitié entre les parties, de sorte que le raisonnement arithmétique, qui figure juste avant les termes de la convention de partage, concrétise ce mode de liquidation. Quant au fait que les parties se seraient mises d'accord sur une soulte conventionnelle d'un montant inférieur au résultat du calcul, ainsi que le soutient la recourante, cet argument n'est pas confirmé par le contenu de la convention, qui ne l'indique pas comme tel, mais semble au contraire correspondre au calcul déterminé exposé à la page précédente, vu le montant retenu avec une précision au centime de franc. La volonté des parties de se conformer aux dispositions testamentaires est en définitive corroborée par le rappel des dispositions à cause de mort, par les calculs qui présentent deux parts équivalentes d'une valeur de 637'500 fr. pour chacune des parties, ainsi que par le contenu des clauses du titre X page 8 de la convention de partage, de sorte que cette volonté apparaît, par la signature des parties, comme étant réelle et concordante au sens de l'art. 18 CO. Ainsi, une erreur de retranscription commise par l'exécuteur testamentaire, qui doit être qualifiée d'erreur de calcul ouverte, au sens large, a été commise en bas de la page 8, et a par la suite été reprise dans plusieurs autres documents, singulièrement dans la lettre du conseil de la recourante du 16 juin 2010 donnant son accord avec ce montant pour solde de tout compte et dans le procès-verbal de la séance du 18 août 2010. Vu l'intention commune des cocontractants, la convention qui fait figurer les éléments du raisonnement et l'erreur de retranscription manifeste commise par un tiers, il y a lieu d'admettre en l'espèce un cas d'erreur au sens de l'art. 24 al. 3 CO et de corriger la convention de partage successoral. La cour cantonale n'a par conséquent pas violé les art. 18 et 24 al. 3 CO. Le grief de mauvaise application des dispositions précitées est mal fondé.
5.
La recourante reproche également à la Cour d'appel civile d'avoir établi les faits de manière arbitraire (art. 9 Cst.). Elle soutient que la cour cantonale n'a tenu aucun compte des circonstances qui ont entouré la signature de la convention de partage, en particulier le fait qu'elle est gravement malade, qu'elle voulait trouver une solution rapide avec son frère et qu'elle a confirmé son accord avec ce montant pour solde de tout compte. Elle affirme en outre que les discussions avec la banque concernant le financement du paiement de la soulte sont éloquentes et que l'interrogatoire de son frère, duquel il ressort que celui-ci pensait que sa soeur était d'accord avec le montant de 200'091 fr. 60, mais lui non, doivent être prises en considération. Enfin la recourante fait valoir que son frère a soutenu successivement diverses versions, celui-ci ayant invoqué d'abord l'erreur essentielle et invalidé la convention le 18 avril 2011, puis soutenu, dans sa demande du 2 juillet 2012, l'erreur de calcul, de sorte que celui-ci ne pourrait pas prétendre qu'il y avait accord entre les parties pour le versement de la somme de 237'591 fr. 60.
5.1. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et ne peut s'en écarter que si les constatations de fait ont été établies de façon manifestement inexacte et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités) et n'intervient que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s. ; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
5.2. Les faits concernant la maladie et la solution rapide souhaitée par la recourante apparaissent manifestement comme étant non-déterminants pour juger de l'existence ou non d'une erreur de calcul dans la convention de partage - la recourante n'entreprend d'ailleurs même pas de le démontrer -, de sorte qu'il n'était pas arbitraire d'écarter ces éléments de l'arrêt entrepris. Le fait que la recourante ait confirmé, par lettre de son conseil du 16 juin 2010, le montant de 200'091 fr. 60 pour solde de tout compte et requis de sa banque un financement pour ce montant, figurent dans la décision querellée, mais ne sont toutefois pas non plus des éléments permettant de douter de la commune et réelle intention des parties de convenir d'une soulte résultant d'un calcul précis des parts réparties conformément aux dispositions testamentaires, vu l'acte de partage dans son ensemble. Ces derniers faits permettent uniquement de constater que la recourante s'est fiée de bonne foi au montant indiqué à l'article 4 page 8 de la convention de partage pour entreprendre la suite des démarches, autrement dit de retenir que les cocontractants ignoraient tous deux, lors de la signature de la convention, l'erreur de transcription par rapport au résultat noté à la page précédente résultant leur volonté commune. S'agissant des déclarations faites par le frère sur un désaccord quant au montant de la soulte, il sied de les placer dans leur contexte, à savoir dans le cadre de l'instruction, autrement dit, une fois seulement l'erreur constatée et le litige pendant. Or, ce qui est déterminant est la réelle intention des parties lors de la signature de l'accord de partage et non leurs attitudes à la suite de la découverte de la dénomination inexacte. Enfin, la modification de l'argumentation juridique concernant l'erreur a été prise en considération dans l'arrêt entrepris, puisque la cour cantonale a relevé que le frère avait certes voulu "invalider" la convention le 18 avril 2011, puis a précisé qu'il ne faisait pas valoir, dans le cadre de la présente cause, le cas d'erreur essentielle. Il s'ensuit que l'état de fait de l'arrêt cantonal attaqué ne saurait être revu. Le grief d'établissement arbitraire (art. 9 Cst.) des faits doit être rejeté.
6.
Vu ce qui précède, le recours est mal fondé et doit être rejeté. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera une indemnité de dépens à l'intimé, qui s'est déterminé et a conclu au rejet du recours (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé la somme de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 23 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin