Faits:
A. Feu A._, née le *** 1932, a épousé en 1957 B._, décédé le 3 juin 2002. Celui-ci avait consenti diverses libéralités au profit de leurs quatre enfants, notamment en 1992, ainsi qu'en faveur de tiers.
Le 2 août 2004, A._ a été admise au Home médicalisé de X._, à C._, exploité par l'Association des communes de X._ pour les services sociaux (ci-après: l'Association des communes ou la recourante). Elle a indiqué ne disposer, à cette date, que d'un revenu mensuel de 2'005 fr. provenant d'une rente AVS et d'une fortune de 2'971 fr.
Le 20 septembre 2004, la prénommée a déposé auprès de la Caisse de compensation du canton de Fribourg (ci-après: la Caisse de compensation) une demande de prestations complémentaires à l'AVS et, le 5 octobre 2004, une demande d'allocation pour personnes impotentes. Cette dernière requête, considérée comme prématurée, a été rejetée le 25 octobre 2004. La première demande a également été rejetée, par décision du 21 novembre 2005, sous réserve de l'octroi de frais d'accompagnement à concurrence de 29 fr. 45 par jour à partir du 1er juin 2005. La Caisse de compensation a invoqué les dessaisissements intervenus et la disparition inexpliquée d'éléments de fortune mentionnés dans la dernière taxation des époux A.B._. La décision de la Caisse de compensation du 21 novembre 2005 a été confirmée sur opposition le 2 juin 2006; le recours interjeté contre cette décision auprès de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a été rejeté par arrêt du 21 février 2008.
Entre-temps, le 30 avril 2007, A._ a déposé une requête d'aide matérielle auprès du Service de l'aide sociale de la Ville de Y._. Par décision du 5 juin 2008, confirmée sur réclamation le 12 septembre 2008, la Commission sociale de la Ville de Y._ a refusé toute prestation d'assistance aux motifs que l'indigence de la requérante n'était pas établie au vu des dessaisissements constatés, que l'intéressée devait intenter une action en réduction à l'encontre de ses enfants, compte tenu des libéralités dont ils avaient bénéficié et que la requête présentée était constitutive d'un abus de droit. Le recours interjeté contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a été classé le 26 mars 2009, à la suite du décès de A._ en date du 7 février 2009.
B. Se fondant sur la loi fribourgeoise du 16 septembre 1986 sur la responsabilité civile des collectivités publiques et de leurs agents (RSF 16.1; ci-après: LResp), l'Association des communes a déposé, le 21 mai 2010, auprès du Conseil communal de la Ville de Y._ une demande d'indemnisation, à concurrence de 295'524 fr. 60 plus intérêts, du préjudice subi du fait que les prestations dont avait bénéficié A._ étaient demeurées impayées en raison du refus de l'aide sociale sollicitée par cette dernière. Par décision du 16 novembre 2010, le Conseil communal de la Ville de Y._ a rejeté la demande. Laissant ouverte la question de la prescription voire de la péremption des prétentions émises, il a nié l'existence d'un acte illicite et d'un lien de causalité entre ses décisions et le dommage invoqué et a considéré que les effets du jugement du Tribunal cantonal du 26 mars 2009 ne pouvaient pas être " réparés " par le biais d'une action en responsabilité.
Le 31 mars 2011, l'Association des communes a intenté auprès de la Ière Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) une action en responsabilité à l'encontre de la Ville de Y._. Elle a repris les conclusions et les motifs contenus dans sa demande du 21 mai 2010, en soulignant notamment que l'acte illicite de la Ville de Y._ était lié à son refus de prendre en considération la jurisprudence du Tribunal fédéral publiée aux ATF 134 I 65, causant ainsi un dommage au Home médicalisé de X._ qui avait dû, en vertu de la législation cantonale, poursuivre la prise en charge de A._ en dépit de l'insolvabilité de cette dernière.
Par arrêt du 17 février 2012, le Tribunal cantonal a rejeté la demande. Il a retenu, en substance, que la requête d'aide sociale avait été rejetée en premier lieu non pas en raison des dessaisissements de biens intervenus, mais parce que A._ ne pouvait pas être considérée comme indigente au vu de la disparition inexpliquée de sommes d'argent très importantes, que l'aide sociale pouvait être refusée lorsque l'indigence n'était pas établie à cause du défaut de collaboration du requérant, qu'en l'espèce, la Ville de Y._ pouvait raisonnablement penser que A._ disposait d'une fortune cachée substantielle, que les agents de la Ville de Y._ étaient restés dans les limites de leur pouvoir d'appréciation et qu'ils n'avaient ainsi pas commis d'acte illicite en refusant les prestations matérielles sollicitées.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle du recours constitutionnel subsidiaire, l'Association des communes demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 17 février 2012 et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle dénonce une "appréciation arbitraire des faits et preuves" ainsi qu'une violation de l'interdiction de l'arbitraire.
Le Tribunal cantonal renvoie aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours. La Ville de Y._ propose de rejeter le recours. L'Association des communes a maintenu ses conclusions dans ses observations du 16 août 2012.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43; 136 II 101 consid. 1 p. 103).
1.1 Le litige porte sur la responsabilité de l'intimée à l'égard de la recourante en vertu de la LResp. Il relève donc du droit public et l'arrêt attaqué peut en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (cf. art. 82 let. a LTF), le recours au Tribunal administratif fédéral n'étant pas ouvert (cf. art. 86 al. 1 let. d LTF et art. 33 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral [LTAF; RS 173.32]). Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (cf. art. 113 a contrario LTF).
1.2 L'arrêt entrepris, qui déboute la demanderesse de son action en responsabilité, est une décision finale rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2, art. 90 LTF). La recourante est légitimée à agir sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF. Déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (cf. art. 42 LTF), le recours en matière de droit public est également recevable au regard de l'art. 85 al. 1 let. a LTF, dès lors que la valeur limite de 30'000 fr. exigée dans le domaine de la responsabilité étatique est largement dépassée.
2. La recourante se plaint d'arbitraire dans l'application du droit cantonal et dans l'établissement des faits.
2.1 Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal n'est pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire à teneur de l'art. 9 Cst. (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466; 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, il faut encore que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités), ce que le recourant doit démontrer en vertu de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
2.2 Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que le recourant doit aussi rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391).
3. 3.1 En vertu de l'art. 61 al. 1 CO, la législation cantonale peut déroger aux règles des art. 41 ss CO en ce qui concerne la responsabilité encourue par des agents publics pour le dommage ou le tort moral qu'ils causent dans l'exercice de leurs fonctions. Lorsque de telles normes existent, la responsabilité des agents publics échappe au droit civil fédéral, ce qui découle aussi de l'art. 59 al. 1 CC (cf. ATF 122 III 101 consid. 2 p. 103 et les arrêts cités).
Le canton de Fribourg a fait usage de cette faculté en édictant la LResp. Aux termes de l'art. 6 al. 1 LResp, les collectivités publiques répondent du préjudice que leurs agents causent d'une manière illicite à autrui dans l'exercice de leurs fonctions. A la différence du droit privé, qui subordonne la responsabilité à l'existence d'une faute (art. 41 CO), la LResp n'exige ainsi, pour engager la responsabilité de l'Etat, qu'un acte objectivement illicite.
S'agissant de définir la notion d'acte illicite dans le contexte du cas particulier, le Tribunal cantonal s'est référé à la jurisprudence du Tribunal de céans sur la responsabilité des collectivités publiques pour un préjudice causé par une décision administrative ou judiciaire.
3.2 Selon cette jurisprudence, toute illégalité ne peut pas être qualifiée d'acte illicite lorsque l'on a affaire non pas à un acte matériel, mais à une décision administrative ou judiciaire. La responsabilité d'une collectivité publique en raison de l'illicéité d'une décision n'est admise qu'à des conditions restrictives. Ainsi, le comportement d'un magistrat ou d'un agent n'est illicite que lorsque celui-ci viole un devoir essentiel à l'exercice de sa fonction ou commet une erreur grave et manifeste qui n'aurait pas échappé à un homologue consciencieux (ATF 132 II 449 consid. 3.3 p. 457). Le simple fait qu'une décision se révèle par la suite inexacte, contraire au droit ou même arbitraire ne suffit pas (ATF 123 II 577 consid. 4d/dd p. 582; arrêts 2C_158/2010 du 18 août 2010 consid. 3.1; 2C_25/2008 du 18 juin 2008 consid. 3.2, in SJ 2008 I p. 481; Florence Aubry Girardin, Responsabilité de l'Etat: un aperçu de la jurisprudence du Tribunal fédéral, in La responsabilité de l'Etat, 2012, p. 131 s.; Etienne Poltier, La responsabilité de l'Etat pour acte illicite: l'exigence de l'illicéité, in op. cit., p. 70).
Par ailleurs, si le fait dommageable porte atteinte à un droit absolu (comme la vie ou la santé humaines, ou le droit de propriété), l'illicéité est d'emblée réalisée, sans qu'il soit nécessaire de rechercher si et de quelle manière l'auteur a violé une norme de comportement spécifique; on parle à ce propos d'illicéité par le résultat ("Erfolgsunrecht"). Si, en revanche, le fait dommageable constitue une atteinte à un autre droit (par exemple le patrimoine), l'illicéité suppose qu'il existe un "rapport d'illicéité", soit que l'auteur ait violé une norme de comportement ayant pour but de protéger le bien juridique en cause; c'est ce qu'on appelle l'illicéité par le comportement ("Verhaltensunrecht"). La simple lésion d'un droit patrimonial d'autrui ne représente donc pas, en tant que telle, un acte illicite; il faut encore qu'une règle de comportement figurant dans l'ordre juridique interdise une telle atteinte et que cette règle ait pour but la protection du bien lésé (ATF 123 II 577 consid. 4d à 4f p. 581 ss; 132 II 301 consid. 4.1 p. 317 s.; 137 V 76 consid. 3.2 p. 79; Aubry Girardin, op. cit., p. 132 s.; Poltier, op. cit., p. 47 ss.).
4. 4.1 L'autorité précédente a d'abord relevé qu'il n'y avait pas lieu en l'espèce d'appliquer l'art. 22 LResp, aux termes duquel la légalité d'une décision ne peut pas être revue dans une procédure en responsabilité lorsqu'une autorité de recours a statué à titre définitif sur ladite décision. En effet, à la suite du décès de A._, le Tribunal cantonal avait classé le recours interjeté par celle-ci à l'encontre de la décision sur réclamation de l'intimée du 12 septembre 2008, dont il n'avait ainsi pas examiné le bien-fondé. Revoyant ensuite ladite décision à la lumière de la jurisprudence décrite ci-dessus, les juges cantonaux ont estimé que les agents de l'intimée n'avaient pas commis d'acte illicite en rejetant la demande d'aide sociale. Ils ont considéré qu'en vertu de l'art. 24 de la loi fribourgeoise du 14 novembre 1991 sur l'aide sociale (RSF 831.0.1; ci-après: LASoc) et de la jurisprudence cantonale y relative, celle-ci peut être refusée, lorsqu'en raison d'un défaut de collaboration, l'indigence de la personne qui sollicite l'aide matérielle n'est pas établie. En l'espèce, compte tenu de la disparition inexpliquée de sommes d'argent importantes, l'intimée pouvait "raisonnablement penser" que A._ disposait d'une importante fortune cachée et ne se trouvait pas dans le dénuement qu'elle alléguait. Dès lors, le refus des prestations en question ne pouvait être vu comme un acte illicite et la demande devait être rejetée, sans qu'il soit besoin d'examiner les autres conditions dont l'art. 6 LResp fait dépendre la responsabilité d'une collectivité publique.
4.2 La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir admis arbitrairement que le refus par l'intimée de l'aide sollicitée par A._ ne constituait pas un acte illicite au sens de l'art. 6 LResp. La justification de ce refus tirée du fait que l'indigence de la prénommée n'était pas établie reposerait sur une appréciation arbitraire des moyens de preuve, étant précisé que le moment déterminant à cet égard était celui du dépôt de la requête d'aide matérielle, soit le 30 avril 2007. Les juges cantonaux auraient ainsi admis sur la base de "simples conjectures", en l'absence d'indices concrets et suffisants, que A._ disposait d'une fortune dissimulée. Par ailleurs, le Tribunal cantonal aurait dû retenir que la décision de refus de l'aide sociale était manifestement contraire notamment à l'art. 3 LASoc et à l'ATF 134 I 65. Enfin, l'arrêt entrepris conduirait à un résultat choquant, dès lors que la recourante ne peut, à la suite du décès d'un résident, se retourner contre quiconque afin d'obtenir le paiement de ses créances.
4.3 Il ressort de l'arrêt attaqué, d'une manière qui lie le Tribunal de céans (cf. art. 105 al. 1 LTF et consid. 2.2 ci-dessus), que la dernière taxation des époux A.B._ (pour la période allant du 1er janvier au 3 juin 2002, date du décès de B._) faisait état d'une fortune de 180'000 fr., alors que l'avis de taxation de A._ pour la période 2003 mentionnait seulement un élément de fortune de 2'173 fr. En outre, il est constant que B._ a vendu le 6 décembre 2000 un immeuble sis sur le territoire de la commune de D._ au prix de 520'000 fr. Le Tribunal cantonal a relevé à cet égard qu'une libéralité de 180'000 fr. avait été effectuée à la même époque, qui pouvait avoir été prélevée sur le produit de la vente. En dépit des dessaisissements intervenus, un solde important devait toutefois rester disponible, comme cela ressortait d'un décompte figurant dans l'arrêt du 21 février 2008 confirmant le rejet de la demande de prestations complémentaires.
Au vu de ce qui précède, il est à tout le moins soutenable de considérer, avec l'autorité précédente, que l'indigence de A._ n'était pas établie, même si plusieurs années s'étaient écoulées entre les faits en question et le dépôt de la requête d'aide matérielle, en avril 2007. Sur ce dernier point, la recourante se contente en effet d'affirmer qu'à supposer que A._ ait celé des biens, ceux-ci auraient été "absorbés" par la dette à l'égard du Home médicalisé de X._, laquelle s'élevait déjà à plus de 100'000 fr. au 5 juillet 2006. Outre que ce dernier montant ne ressort pas du jugement attaqué, il ne va toutefois pas de soi, au vu de l ́importance des sommes indiquées ci-dessus, que ces biens auraient été entièrement "absorbés" par la dette à l ́égard du home. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher aux agents de l ́intimée d'avoir violé un devoir essentiel ou commis une faute grave en rejetant la demande d ́aide matérielle de A._, sans qu'il soit besoin de trancher le point de savoir si la jurisprudence publiée aux ATF 134 I 65, ayant trait au minimum garanti par l'art. 12 Cst., était applicable en l'espèce. A cela s'ajoute qu ́à supposer même que le refus en question ait été constitutif d ́un acte illicite, il aurait porté atteinte non à un droit absolu, mais au droit d ́une personne dans le besoin de bénéficier de l ́aide sociale. Or, les dispositions y relatives, notamment celles de la LASoc, tendent à assurer l'entretien de la personne qui sollicite cette aide; elles n'ont pas pour but de permettre à la recourante, en sa qualité de créancière, d'obtenir le remboursement des prestations fournies à la prénommée lors de son séjour dans un home. Par conséquent, même une hypothétique illicéité n ́aurait pas permis à la recourante d ́obtenir réparation, les dispositions violées ne servant pas à la protection de ses intérêts. Pour ce motif aussi, la responsabilité de l'intimée ne saurait être engagée et c'est, partant, à bon droit que l'autorité précédente a rejeté l ́action dirigée contre elle.
5. Au vu de ce qui précède, le recours constitutionnel doit être déclaré irrecevable. Le recours en matière de droit public doit être rejeté.
Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante qui succombe (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il n ́y a pas lieu d ́allouer de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante, à la Ville de Y._ et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ière Cour administrative.
Lausanne, le 11 décembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin