Faits:
A. Le 3 septembre 2010, A._ a requis l'assistance juridique complète dans le cadre d'une procédure d'avis aux débiteurs ouverte par B._ (ex-épouse) et C._ (fils).
Par décision du 29 septembre 2010, le Vice-président du Tribunal de première instance de Genève a accordé l'assistance judiciaire au requérant avec effet à compter du dépôt de la requête et seulement pour la première instance; Me Romain Jordan lui a été désigné comme avocat d'office.
B. B.a Statuant au fond le 9 février 2011, le Tribunal de première instance de Genève a ordonné à la Caisse chômage SIT de verser mensuellement à D._ (fille devenue majeure durant la procédure) la somme de 650 fr., à prélever sur les indemnités de chômage dues au débirentier, à concurrence de la somme totale de 1'000 fr.
B.b Le 14 février 2011, A._ a demandé une extension de l'assistance judiciaire pour interjeter appel de ce jugement.
Par décision du 21 février 2011, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté la requête. Le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a, le 15 mars suivant, rejeté le recours du requérant contre cette décision.
C. Agissant le 11 avril 2011 par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A._ conclut à ce que le Tribunal fédéral annule la décision du 15 mars 2011 et lui accorde l'assistance judiciaire complète pour la procédure de recours à l'encontre du jugement du Tribunal de première instance de Genève du 9 février 2011; il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'autorité précédente persiste dans les motifs de sa décision.
D. Par ordonnance du 30 mai 2011, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 129 consid. 1.1). En vertu du principe de l'unité de la procédure (ATF 134 V 138 consid. 3), la voie de recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (ATF 135 I 265 consid. 1.2); la cause sur le fond étant une procédure d'avis aux débiteurs au sens de l'art. 291 CC, la décision attaquée est en principe sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b LTF; ATF 137 III 193 consid. 1.1). En revanche, c'est à tort que le recourant affirme que cette procédure serait soumise à l'art. 98 LTF; il ressort du jugement du 9 février 2011 que l'avis litigieux n'a pas été ordonné dans le cadre d'une procédure de mesures protectrices (art. 172 ss CC) ou de mesures provisoires en instance de divorce (art. 276 CPC), auxquels cas la norme précitée eût été applicable (ATF 137 III 193 consid. 1.2 in fine et les arrêts cités). Cette précision n'a toutefois pas d'incidence, seul le recours constitutionnel subsidiaire étant recevable en l'espèce (cf. infra, consid. 1.2).
1.2 La décision attaquée se rapporte à une affaire qui, sur le fond, est de nature pécuniaire au sens de l'art. 74 al. 1 LTF (ATF 137 III 193 consid. 1.1 et les citations); sous réserve d'exceptions non pertinentes en l'espèce (art. 74 al. 1 let. a et al. 2 LTF), le recours en matière civile n'est donc recevable que si la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Bien que la décision entreprise soit muette à ce sujet (art. 112 al. 1 let. d LTF), il est manifeste que cette condition n'est pas réalisée (art. 51 al. 1 let. c LTF). Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire est ouvert (art. 113 ss LTF).
1.3 Les autres conditions de recevabilité sont remplies: le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision rendue par une juridiction cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 et 114 LTF); le recourant, qui a succombé devant l'autorité précédente, a qualité pour recourir (art. 115 LTF).
2. Dans un premier moyen, le recourant se plaint de la composition de la juridiction précédente; il fait valoir en substance que, conformément aux art. 119 et 120 de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire (OJ/GE) du 26 septembre 2010 (entrée en vigueur le 1er janvier 2011), l'autorité compétente pour connaître des recours contre le refus de l'assistance judiciaire est la Chambre civile de la Cour de justice, qui siège dans la composition de trois juges. En tant qu'il attribue une telle compétence au président de la Cour de justice, c'est-à-dire un juge unique, l'art. 1er al. 3 du Règlement du Conseil d'État du 28 juillet 2010 sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale (RAJ/GE) enfreint le principe de la séparation des pouvoirs, dès lors qu'une loi formelle octroie cette compétence à une juridiction composée de trois juges.
Alors même que le recours cantonal était expressément adressé à la "Cour de justice", la décision attaquée n'évoque pas la problématique de la compétence. Invité à répondre, le magistrat précédent n'aborde pas davantage cette question en instance fédérale, puisqu'il a renoncé à formuler des observations.
2.1 Le respect du principe de la légalité dans le cadre d'une délégation de compétence législative découle du principe de la séparation des pouvoirs (ATF 118 Ia 305 consid. 2a) et doit en principe être invoqué en relation avec celui-ci (ATF 134 I 322 consid. 2.1). L'illégalité d'une ordonnance dont l'objet serait plus étendu que la stricte application de la loi ou sortirait du cadre d'une délégation expresse doit être dénoncée à l'appui d'un recours dirigé contre une décision d'application (ATF 103 IV 192 consid. 2a et les arrêts cités).
Le principe de la séparation des pouvoirs est garanti, à tout le moins implicitement, par toutes les constitutions cantonales; il représente un droit constitutionnel dont peut se prévaloir le citoyen. Sans être expressément consacré en droit genevois - sauf au sujet de l'indépendance du pouvoir judiciaire (art. 130 Cst./GE) -, le principe de la séparation des pouvoirs découle notamment de l'art. 116 Cst./GE, en vertu duquel le Conseil d'État est chargé de l'exécution des lois et prend à cet effet les règlements et arrêtés nécessaires (arrêt 8C_7/2011 du 29 septembre 2011 consid. 3.2 et la jurisprudence citée).
Il appartient en premier lieu au droit public cantonal de déterminer les compétences des autorités. Le principe de la séparation des pouvoirs prohibe à un organe de l'État d'empiéter sur les compétences d'un autre organe; il interdit en particulier au pouvoir exécutif d'édicter des règles de droit, sinon dans le cadre d'une délégation valablement conférée par le législateur. L'ordonnance d'exécution ne peut ainsi disposer qu'intra legem, et non pas praeter legem; elle peut établir des règles complémentaires de procédure, préciser et détailler certaines dispositions de la loi, éventuellement combler de véritables lacunes; par contre, à moins d'une délégation expresse, elle ne peut poser des règles nouvelles qui restreindraient les droits des administrés ou leur imposeraient des obligations, même si ces règles restent conformes au but de la loi (arrêt 8C_7/2011 précité consid. 3.2 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral examine sous l'angle de l'arbitraire l'interprétation des dispositions en matière de compétence qui figurent dans les lois cantonales (ATF 134 I 313 consid. 5.2).
Il appartient en premier lieu au droit public cantonal de déterminer les compétences des autorités. Le principe de la séparation des pouvoirs prohibe à un organe de l'État d'empiéter sur les compétences d'un autre organe; il interdit en particulier au pouvoir exécutif d'édicter des règles de droit, sinon dans le cadre d'une délégation valablement conférée par le législateur. L'ordonnance d'exécution ne peut ainsi disposer qu'intra legem, et non pas praeter legem; elle peut établir des règles complémentaires de procédure, préciser et détailler certaines dispositions de la loi, éventuellement combler de véritables lacunes; par contre, à moins d'une délégation expresse, elle ne peut poser des règles nouvelles qui restreindraient les droits des administrés ou leur imposeraient des obligations, même si ces règles restent conformes au but de la loi (arrêt 8C_7/2011 précité consid. 3.2 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral examine sous l'angle de l'arbitraire l'interprétation des dispositions en matière de compétence qui figurent dans les lois cantonales (ATF 134 I 313 consid. 5.2).
2.2 2.2.1 La décision du premier juge refusant au recourant le bénéfice de l'assistance judiciaire a été notifiée après le 1er janvier 2011 (ATF 137 III 130 consid. 2); c'est dès lors à juste titre que le magistrat précédent a statué en application des art. 117 ss CPC (RS 272).
2.2.2 Selon l'art. 121 CPC, la décision refusant l'assistance judiciaire peut faire l'objet d'un recours au sens des art. 319 ss CPC. L'autorité supérieure compétente est désignée par le droit cantonal, conformément au principe général posé à l'art. 4 al. 1 CPC.
Sur ce point, l'art. 1er al. 3 RAJ/GE - à l'instar de la solution prévue par l'art. 143A al. 3 aOJ/GE - met dans la compétence du président de la Cour de justice la connaissance des recours dirigés contre le refus du président du Tribunal civil (art. 1er al. 1 RAJ/GE) d'octroyer l'assistance judiciaire. Cette norme entre en conflit avec l'art. 120 al. 1 let. a OJ/GE, à teneur duquel la Chambre civile de la Cour de justice, qui siège dans la composition de trois juges (art. 119 OJ/GE), exerce les compétences que le Code de procédure civile attribue à l'autorité d'appel, à l'autorité de recours, à la juridiction cantonale unique ou au tribunal supérieur en matière d'arbitrage, sauf si la loi désigne une autre autorité. Comme la décision refusant l'assistance judiciaire est - on l'a vu - susceptible de recours, la juridiction précédente ne pouvait en principe être composée d'un magistrat unique, à moins que le pouvoir du Conseil d'État d'édicter une telle règle ne repose sur une délégation valablement conférée par le législateur. Or, tel n'est pas le cas.
Il est vrai que l'art. 64 al. 3 OJ/GE prévoit que, en cas de refus total ou partiel de l'assistance juridique, le demandeur peut, dans les 30 jours à compter de la communication de la décision, recourir auprès du président de la Cour de justice. Toutefois, cette norme est insérée dans le chapitre consacré à l'assistance juridique extrajudiciaire (art. 63 à 65), et rien ne permet d'affirmer que le législateur genevois entendait appliquer par analogie cette disposition à l'assistance judiciaire prévue aux art. 117 ss CPC; pour le même motif, la délégation de compétence ne saurait s'appuyer sur l'art. 65 OJ/GE (i.e. "Le Conseil d'État édicte les dispositions d'exécution fixant les conditions et limites selon lesquelles l'assistance juridique est accordée, refusée ou retirée [...]"). Enfin, on ne peut admettre que l'art. 120 OJ/GE viserait seulement les décisions sur le fond, dès lors que le refus (ou le retrait) de l'assistance judiciaire constitue une décision contre laquelle un "recours" est expressément institué par le CPC (art. 319 let. b ch. 1; Tappy, in: Code de procédure civile commenté, 2011, n° 4 s. ad art. 121 CPC).
La compétence du président de la Cour de justice est expressément consacrée, en matière d'assistance juridique administrative, par l'art. 10 al. 3 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LAP/GE); mais cette compétence résulte alors d'une loi au sens formel, de sorte qu'elle ne pose aucune difficulté sous l'angle de l'art. 120 OJ/GE (arrêt 1B_171/2011 du 15 juin 2011 consid. 3). Enfin, tout récemment, le Tribunal fédéral n'a pas réprouvé une décision de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice qui avait statué dans une composition de trois juges sur un recours interjeté à l'encontre du refus de l'assistance juridique en matière pénale; l'autorité cantonale a ainsi fait prévaloir l'art. 128 OJ/GE - qui concerne la compétence de la Chambre pénale de recours - sur l'art. 1er al. 3 RAJ/GE, alors même que ledit règlement se fonde, en particulier, sur "les articles 132 à 138 du code de procédure pénale, du 5 octobre 2007" (arrêt 1B_522/2011 du 23 novembre 2011 consid. 3.2). Au regard des textes, une différence de régime entre les procédures civile et pénale au sujet de la compétence pour connaître des recours en matière d'assistance judiciaire n'est pas justifiée.
2.3 Vu ce qui précède, le grief de violation de l'art. 30 al. 1 Cst. s'avère fondé. Cela étant, la décision attaquée doit être annulée; il appartiendra à la juridiction compétente de se prononcer sur le moyen déduit d'une violation des "art. 117 CPC et 29 al. 3 Cst.", soulevé par le recourant en instance cantonale.
3. Vu l'issue du présent recours, la requête d'assistance judiciaire devient sans objet (ATF 109 Ia 5 consid. 5; 133 I 234 consid. 3). Les dépens incombent au canton de Genève (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 125 I 389 consid. 5), mais non les frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF; cf. pour les recours en matière d'assistance judiciaire: Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 29 ad art. 66).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Genève.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève (Assistance juridique).
Lausanne, le 8 décembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Braconi