A.- P._ était assurée auprès de la SWICA Organisation de santé (ci-après : SWICA), notamment pour une indemnité journalière en cas d'incapacité de travail due à la maladie.
Du 11 au 24 mai 1998, elle a été reconnue incapable de travailler par le docteur A._, gynécologue. Par la suite, son incapacité de travail a été régulièrement prolongée par le docteur B._ en raison de douleurs à la nuque et au pouce droit.
La SWICA a pris en charge le cas. Toutefois, par décision du 3 août 1999, confirmée par décision sur opposition du 27 janvier 2000, elle a supprimé le droit à prestations à partir du 1er juin 1999, motif pris que l'assurée ne subissait pas une incapacité de travail d'origine pathologique depuis cette date.
B.- Par jugement du 16 mai 2000, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision sur opposition de la SWICA.
C.- Saisi d'un recours de droit administratif contre ce prononcé, le Tribunal fédéral des assurances l'a rejeté par arrêt du 22 janvier 2001.
D.- Le 8 février suivant, P._ a transmis au tribunal la copie d'un prononcé de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel, du 15 septembre 2000, lequel avait constaté que l'intéressée présentait une invalidité de 100 % depuis le 1er mai 1999, en raison d'une maladie de longue durée.
Se fondant sur ce prononcé, elle a déposé, le 20 février 2001, une demande de révision de l'arrêt du 22 janvier 2001.
La SWICA conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet de la demande, dans la mesure où elle est recevable.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
E.- Le 5 novembre 2001, le juge délégué a ordonné un second échange d'écritures limité à la question de la tardiveté du moyen invoqué à l'appui de la demande de révision.
Par écriture du 9 novembre 2001, la requérante a indiqué ignorer totalement qu'il fût possible d'envoyer d'autres courriers prouvant l'invalidité, surtout après la clôture de l'échange d'écritures.
La SWICA a renoncé à dupliquer.
Considérant en droit :
1.- a) Selon l'art. 137 let. b en liaison avec l'art. 135 OJ, la demande de révision d'un arrêt du Tribunal fédéral des assurances est recevable lorsque le requérant a connaissance subséquemment de faits nouveaux importants ou trouve des preuves concluantes qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente.
Selon la jurisprudence et la doctrine, une demande de révision d'un arrêt du Tribunal fédéral ou du Tribunal fédéral des assurances est "irrecevable" (recte : mal fondée [ATF 96 I 279 consid. 1; Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Vol. V, n. 1 ad art. 136]), lorsque le moyen aurait pu être invoqué déjà au cours de la procédure précédente (Poudret, op. cit. , n. 2.2.4 ad art. 137), et cela même après la clôture de l'échange d'écritures (arrêt non publié G. du 25 janvier 2000, U 305/99). Les pièces qui constituent des faits nouveaux importants ou des preuves concluantes au sens de l'art. 137 let. b OJ et pourraient, le cas échéant, justifier la révision de l'arrêt du tribunal peuvent être valablement produites après l'échéance du délai de recours de droit administratif ou la clôture du deuxième échange d'écritures (arrêt L. du 15 octobre 2001, U 147/99, destiné à la publication).
b) En l'espèce, le prononcé de l'Office AI du 15 septembre 2000 constituait indéniablement une preuve concluante au sens de l'art. 137 let. b OJ. Aussi pouvait-il être produit valablement après la clôture, le 25 juillet 2000, de l'échange d'écritures dans la procédure de recours de droit administratif. Comme ce moyen n'a pas été invoqué au cours de cette procédure, la révision de l'arrêt du 22 janvier 2001 apparaît dès lors exclue.
2.- a) Dans son écriture du 9 novembre 2001, la requérante allègue toutefois qu'elle ne savait pas qu'une telle pièce pouvait être produite, même après la clôture de l'échange d'écritures.
b) Cette allégation n'est toutefois d'aucune aide pour l'intéressée. En effet, tant qu'elle n'a pas été provoquée par une indication erronée de l'autorité, une erreur de droit ne constitue pas un empêchement valable en ce qui concerne, par exemple, l'inobservation d'un délai (ATF 103 IV 133 consid. 2; Poudret, op. cit. vol. I, n. 2.7 ad art. 35).
Au demeurant, la requérante n'ignorait pas que le prononcé de l'office AI pouvait influer sur le sort du litige en procédure de recours de droit administratif.
D'ailleurs, le fait qu'elle invoque ce moyen à l'appui de sa demande de révision montre bien qu'elle en était consciente. Or, si elle pouvait bien ignorer la jurisprudence selon laquelle une preuve décisive peut être encore valablement produite même tardivement (RCC 1986 p. 203 consid. 3b), l'intéressée, qui ne prétend pas avoir des connaissances juridiques particulières, n'avait pas non plus de raison de penser qu'un tel moyen ne peut pas être produit tant qu'un arrêt n'a pas été rendu. Dès lors, la prudence la plus élémentaire exigeait qu'elle fît valoir ce moyen dès qu'elle en eut connaissance.
Cela étant, la requérante n'apparaît pas avoir été empêchée d'invoquer ce moyen dans la procédure de recours de droit administratif et sa demande de révision se révèle mal fondée.
3.- La requérante, qui succombe, devra supporter les frais de la présente procédure (art. 156 al. 1 en liaison avec l'art. 135 OJ).
Par ailleurs, la SWICA, qui a conclu à l'octroi de dépens, ne saurait en prétendre, aucune indemnité pour les frais de procès n'étant allouée, en règle générale, aux organismes chargés de tâches de droit public (art. 159 al. 2 in fine OJ; ATF 118 V 169 s. consid. 7 et les références).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
prononce :
I. La demande de révision est rejetée.
II. Les frais de la cause, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de la requérante et sont compensés avec l'avance de frais d'un même montant qu'elle a
effectuée.
III. Il n'est pas alloué de dépens.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er février 2002
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
p. le Président de la IIe Chambre :
Le Greffier :