Faits:
A. A._, né le 23 septembre 2003, est le fils de Y._ et de X._.
Par décision du 18 mai 2004, l'Autorité tutélaire de Z._ a attribué l'autorité parentale aux deux parents. Le père a assumé de manière prépondérante la garde de fait de l'enfant depuis sa naissance, compte tenu d'hospitalisations successives de la mère jusqu'en automne 2005.
B. Dès l'automne 2005, une procédure en retrait de l'autorité parentale du père a opposé l'autorité tutélaire et Y._ à celui-ci devant le préfet du district de Moutier. Ce dernier a décidé le maintien de l'autorité parentale conjointe et l'attribution du droit de garde au père pour la durée de la procédure, le droit de visite étant laissé à la libre appréciation des parties. Une curatelle éducative a été ordonnée à partir du 10 novembre 2005. Sur décision de l'autorité tutélaire de retirer provisoirement la garde au père, l'enfant a été placé dans un foyer entre le 23 mars et le 18 mai 2006; il est ensuite retourné sous la garde de son père, la décision de placement ayant été annulée sur recours de ce dernier. Un rapport d'expertise ordonné par l'autorité tutélaire a été déposé le 7 novembre 2006 et complété le 26 juillet 2007. Des difficultés importantes ont surgi au cours de la procédure tant dans les rapports entre les parties qu'avec le curateur concernant l'exercice du droit de visite.
Par décision du 12 décembre 2007, le préfet du district de Moutier a attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère, a fixé le droit de visite du père et ses modalités d'exercice en cas de désaccord entre les parents, a ordonné une curatelle d'assistance éducative et de surveillance du droit de visite (art. 308 al. 1 et 2 CC) et a déclaré retirer l'effet suspensif à un éventuel recours contre ladite décision. L'enfant se trouve chez sa mère depuis cette date.
Statuant par ordonnance du 17 janvier 2008 sur recours du père contre la décision préfectorale, la Cour suprême du canton de Berne a, entre autres mesures, rejeté la requête du recourant tendant à la restitution de l'effet suspensif (ch. 7).
C. Agissant par la voie du recours en matière civile contre ce point de l'ordonnance, X._ conclut à son annulation et à l'octroi de l'effet suspensif à son recours formé contre la décision préfectorale du 12 décembre 2007. Sur mesures provisionnelles, il requiert que le Tribunal fédéral rétablisse, pour la durée de la procédure, l'autorité parentale et la garde de l'enfant en sa faveur, le tout sous suite de frais et dépens.
Le recourant sollicite également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Les intimées n'ont pas été invitées à répondre quant au fond.
D. Après avoir recueilli les déterminations de Y._ et celles de l'Autorité tutélaire de Z._ sur la requête d'effet suspensif présentée par le recourant, le Président de la cour de céans a rejeté celle-ci par ordonnance du 10 mars 2008.
Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé en temps utile à l'encontre d'une décision de nature non pécuniaire, rendue en matière civile par une autorité cantonale de dernière instance, le recours est recevable sous l'angle des art. 72 al. 1, 75 al. 1 et 100 al. 1 LTF.
1.2 Le refus ou la restitution d'un effet suspensif est une décision incidente qui cause un préjudice irréparable (arrêt 5A_17/2007 du 6 mars 2007, consid. 2.2), en sorte que le recours est aussi ouvert au regard de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. pour l'art. 87 al. 2 OJ: ATF 120 Ia 260 consid. 2b p. 264 et les références).
1.3 S'agissant en l'espèce d'une décision incidente en matière de mesures provisionnelles (FF 2001 p. 4134; arrêt 5A_537/2007 du 3 octobre 2007, consid. 1.2), le recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, dont les exigences demeurent valables pour les griefs soumis au principe d'allégation (FF 2001 p. 4142; ATF 133 III 393 consid. 6 p. 397, 638 consid. 2 p. 639), le recourant qui se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; il ne saurait, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est fondée sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 585 consid. 4.1 p. 589; cf. pour l'art. 90 al. 1 let. b OJ: ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262).
1.4 Les pièces déposées après l'expiration du délai de recours, en dehors de toute ordonnance fixant une instruction complémentaire, ne sont pas recevables (ATF 127 V 353 consid. 2 p. 355 et les arrêts cités).
2. Le législateur, lors de l'adoption de l'art. 314 ch. 2 CC, a relevé que l'intérêt de l'enfant pouvait exiger des mesures immédiates et il a donc habilité l'autorité qui a ordonné la mesure, ou l'autorité de recours, à priver le recours de l'effet suspensif que pouvait lui attacher le droit cantonal (FF 1974 p. 87 s.). L'intérêt de l'enfant constitue ainsi la condition d'application de la norme. Selon la jurisprudence récente (arrêts 5P_461/2006 du 16 janvier 2007 et 5A_17/2007 du 6 mars 2007), qui se réfère à la doctrine (Breitschmid, Commentaire bâlois, 3e éd., n. 6 ad art. 314/314a CC), la règle permettant au juge de retirer l'effet suspensif l'autorise également à le restituer, dans la mesure où il faut pouvoir rendre effective toute mesure prise dans l'intérêt de l'enfant. L'autorité de jugement dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (arrêt 5P.461/2006 du 16 janvier 2007, consid. 5).
3. La cour cantonale considère qu'ensuite de la décision préfectorale, l'enfant se trouve actuellement chez sa mère. Selon cette autorité, il ne fait guère de doute que cette situation a surpris l'enfant, qui n'y avait pas été préparé, et la réaction de sa thérapeute, qui s'est insurgée contre ce procédé, est compréhensible. Cependant, aucun élément ne permet de dire, à ce stade, que la nouvelle situation pose des problèmes sérieux susceptibles de nuire à l'avenir de l'enfant ou de le péjorer davantage que ne le fait déjà la mésentente de ses parents. Confier à nouveau l'enfant à son père aurait pour conséquence inévitable de l'insécuriser une fois encore, ce qui serait préjudiciable à son équilibre psychique et doit donc être évité. C'est d'autant plus vrai qu'il n'est pas exclu que la décision préfectorale soit confirmée, ce qui impliquerait un nouveau et troisième changement d'environnement pour l'enfant. Ainsi, dans l'intérêt de ce dernier, il convient de maintenir le statu quo jusqu'à ce que la question soit tranchée au fond.
3.1 Dans un premier moyen, le recourant soulève une violation du droit fédéral, à savoir de l'art. 314 al. 2 CC. Il s'en prend à la décision préfectorale, à qui il reproche d'avoir modifié une situation de fait qui avait perduré pendant plus de quatre ans, et ce au détriment du bien de l'enfant.
En tant que le recourant critique la décision de première instance, son grief est irrecevable, le recours devant être dirigé contre la décision de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Or, il n'adresse aucun grief à celle-ci, si ce n'est, de façon générale, d'être en contradiction avec le droit fédéral. De surcroît, comme indiqué ci-dessus (consid. 1.3), dans le cadre limité du recours en matière civile de l'art. 98 LTF, le recourant ne peut se plaindre que d'arbitraire dans l'application du droit matériel (ATF 133 III 585 consid. 4.1 p. 588/589). Or, en l'occurrence, il ne s'en prend pas à la motivation de l'autorité cantonale, qui a mentionné pour quelles raisons l'intérêt de l'enfant commandait de maintenir le statu quo, à savoir, en particulier, pour lui éviter un nouveau changement d'environnement qui serait préjudiciable à son équilibre, cela jusqu'à ce qu'elle tranche sur le fond. Le recourant n'expose pas en quoi la décision cantonale serait insoutenable au regard de l'intérêt de l'enfant. Son grief est ainsi irrecevable.
3.2 Le recourant se plaint ensuite d'arbitraire, faisant valoir en substance que la décision préfectorale va à l'encontre des constatations de l'expert et ne tient pas compte des problèmes que pourrait causer un changement de personne de référence pour l'enfant. Il fait valoir que le bien de celui-ci n'était nullement menacé et que ses compétences éducatives ont toujours été reconnues. A nouveau, le recourant discute les mérites de la décision de première instance, comme il le ferait en procédure d'appel, en ignorant la motivation de l'arrêt cantonal, qui peut seul être attaqué. Au demeurant, il ne fait état d'aucune circonstance qui permettrait de considérer que la cour cantonale aurait arbitrairement apprécié la nouvelle situation de l'enfant en considérant qu'elle n'était pas susceptible de lui nuire. Le moyen est par conséquent infondé, dans la faible mesure de sa recevabilité.
3.3 Enfin, le recourant reproche à l'autorité cantonale, en invoquant l'art. 29 Cst., d'avoir violé son droit à un procès équitable du fait que le déplacement de l'enfant chez l'intimée affaiblit sa position dans la procédure au fond. Il n'expose toutefois pas quelles garanties procédurales auraient été violées sous le couvert de l'art. 29 Cst. Si tant est que le recourant considère que le refus de l'effet suspensif préjuge de l'issue du recours, il convient de rappeler, en fait, que la décision se fonde sur le droit fédéral et que c'est le législateur qui a institué, à l'art. 314 ch. 2 CC, la faculté pour l'autorité d'ordonner l'exécution immédiate de décisions prises dans l'intérêt de l'enfant, les mesures pouvant être cependant rapportées par le jugement au fond. Le grief est ainsi irrecevable.
4. En conclusion, le recours doit donc être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les conclusions de l'intéressé étant dépourvues de toutes chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et l'émolument de justice mis à sa charge (art. 66 al. 1 OJ). Y._, qui s'est prononcée uniquement sur l'effet suspensif, a droit à des dépens de ce chef. Il en va de même de l'Autorité tutélaire de Z._ qui, en tant que partie à la présente procédure (cf. à ce sujet ATF 86 II 213 consid. 3 p. 216), a également été invitée à présenter des observations sur l'effet suspensif, ce qu'elle a fait par l'intermédiaire d'un avocat.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 300 fr., à verser à chacune des intimées, est mise à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la 2ème Chambre civile de la Cour d'appel du canton de Berne.
Lausanne, le 28 mars 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot