Faits:
A. M._ a travaillé en qualité de cheffe de cuisine dans un restaurant. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Swica Assurances SA (ci-après: Swica).
Le 1er novembre 2002, elle a subi une entorse à la cheville droite ensuite d'une chute. Le 6 novembre suivant, elle a été victime d'un second accident alors qu'elle était passagère d'un bus qui a brusquement freiné. Sa chute sur le côté gauche a entraîné une entorse cervicale bénigne, ainsi que des douleurs à l'épaule et au poignet gauches. L'assurée a été entièrement incapable de travailler jusqu'au 11 novembre 2002, puis du 3 janvier au 30 avril 2003, date à laquelle l'incapacité de travail a été de 50 %. Swica a pris en charge le cas.
Elle a confié une expertise au docteur G._, spécialiste en chirurgie. Dans un rapport du 16 février 2004, l'expert a indiqué qu'il n'y avait plus de séquelles des entorses à la cheville droite et à la colonne cervicale, ni de la contusion au poignet gauche. En revanche, l'évolution n'était pas aussi favorable en ce qui concerne l'épaule gauche, les examens pratiqués (échographie et IRM) ayant permis d'objectiver une probable tendinopathie chronique de l'extrémité du tendon du sus-épineux avec suspicion d'un discret conflit sous-acromial. Selon l'expert, cette affection entraînait une incapacité de travail de 50 % depuis le 1er mai 2003 mais ne devait pas empêcher la reprise d'une activité adaptée, nécessitant moins d'efforts et de manipulations d'objets lourds que l'emploi exercé précédemment. Par ailleurs, le docteur G._ a indiqué un taux d'atteinte à l'intégrité de 10 %.
Du 13 mars au 17 mai 2004, l'assurée a accompli un stage dans le Service de rééducation de l'Hôpital X._ afin d'évaluer sa capacité de travail. Dans un rapport du 29 juillet 2004, le technicien responsable du stage a indiqué que l'atteinte à l'épaule gauche ne permettait pas à l'intéressée de reprendre son ancienne activité; en revanche, un emploi plus sédentaire ne comportant pas de contraintes excessives pour l'épaule et le bras gauches était envisageable.
L'assurée ayant requis des prestations de l'assurance-invalidité, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a confié une expertise au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), laquelle a été réalisée par le docteur H._ (rapport du 8 septembre 2004).
Du 20 février au 9 avril 2006, l'intéressée a suivi un stage d'observation professionnelle mis en oeuvre par l'assurance-invalidité (rapport du 29 mai 2006). Par des décisions du 24 novembre 2006, l'Office AI lui a alloué une demi-rente pour la période du 1er novembre 2003 au 30 juin 2004 et une rente entière à partir du 1er juillet suivant. Cette dernière prestation était fondée sur une incapacité de gain de 75 %.
Après avoir recueilli divers rapports du docteur A._, chef de clinique au Service de rééducation de l'Hôpital X._ et médecin traitant de l'assurée, Swica a confié une nouvelle expertise au docteur I. _, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 15 janvier 2007).
Se fondant sur les conclusions de cet expert, Swica a rendu une décision, le 29 janvier 2007, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à toute prestation à partir du 1er février 2007, motif pris que l'affection à l'épaule gauche n'était plus en relation de causalité avec l'accident du 6 novembre 2002, celui-ci n'ayant qu'aggravé momentanément une affection préexistante.
Saisi d'une opposition, l'assureur-accidents l'a rejetée par décision du 24 mai 2007, après avoir requis derechef l'avis du docteur I._ (rapport du 11 mai 2007).
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi, dès le 1er février 2007, d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 75 %, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %.
Lors d'une audience d'enquêtes tenue le 7 février 2008, la juridiction cantonale a entendu en qualité de témoins le docteur A._ et D._, technicien responsable du stage effectué en 2004 dans le Service de rééducation de l'Hôpital X._.
Statuant le 19 juin 2008, elle a annulé la décision sur opposition entreprise et reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 23 % dès le 1er février 2007 et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %.
C. Swica interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement entrepris.
M._ forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal dont elle demande l'annulation en tant qu'il reconnaît son droit à une rente fondée sur une invalidité de 23 %, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 75 %.
Swica et l'assurée concluent au rejet du recours formé par la partie adverse, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Les recours en matière de droit public concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement. Il se justifie donc de joindre les causes et de les liquider dans un seul arrêt (ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60; 128 V 124 consid. 1 p. 126; 123 V 214 consid. 1 p. 215 et les références).
2. Le litige porte sur le droit éventuel de l'assurée à une rente d'invalidité et, le cas échéant, sur son taux, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
3. 3.1 Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181, 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3.2 Par sa décision sur opposition du 24 mai 2007, Swica a nié le droit de l'assurée à des prestations à partir du 1er février précédent, motif pris de l'absence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'atteinte à la santé subsistant après cette date et consistant en une tendinopathie chronique à l'épaule gauche. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du docteur I._. Dans son rapport d'expertise du 15 janvier 2007, ce médecin a attesté l'existence, vraisemblablement antérieure à l'accident du 6 novembre 2002, d'une tendinopathie chronique importante avec une déchirure partielle vraisemblable. Selon l'expert, les troubles actuels à l'épaule gauche sont dus partiellement à l'événement en cause dans la mesure où, à la suite de celui-ci, il y avait eu une aggravation passagère d'une affection préexistante. En outre, le docteur I._ a répondu négativement à la question de savoir si cette aggravation, causée par l'accident, pouvait être considérée comme guérie. Toutefois, il a encore indiqué que l'atteinte à la santé causée « pour le moins avec une vraisemblance prépondérante » par l'accident serait apparue tôt ou tard, un statu quo sine ayant été atteint dès la reprise du travail à 100 %, soit dès le 31 mars 2004.
De son côté, la juridiction cantonale est d'avis qu'il existe un lien de causalité naturelle entre l'atteinte à l'épaule gauche et l'accident, motif pris qu'aucune lésion préexistante n'a été établie au degré de la vraisemblance prépondérante. Se référant à l'avis du docteur A._ (procès-verbal d'enquêtes du 7 février 2008), elle considère, en effet, que l'assurée n'a jamais souffert de l'épaule gauche avant l'accident. En outre, l'existence d'une lésion préexistante n'apparaît pas établie au seul motif que le traitement aurait déjà dû agir favorablement après quelques semaines s'il ne s'était agi que d'une contusion sans état prémorbide. Enfin, les premiers juges se réfèrent au rapport du docteur G._ (du 16 février 2004) qui n'a pas fait état d'une affection préexistante et a admis l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'affection à l'épaule gauche et l'accident puisqu'il a reconnu le droit de l'intéressée à une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 10 %.
Quant à Swica, elle se réfère à un témoignage de l'expert I._ consigné dans un procès-verbal d'enquêtes du 24 avril 2008 établi par la juridiction cantonale dans le cadre du litige opposant l'assurée à son institution de prévoyance. Dans son témoignage, le médecin prénommé a réitéré son opinion selon laquelle l'accident avait aggravé passagèrement un état maladif préexistant et le statu quo sine devait être admis au 31 mars 2004, voire au 16 février précédent. A l'appui de son point de vue, il a indiqué que d'après les études concernant la coiffe des rotateurs, une déchirure supposait une altération du tendon, une déchirure partielle n'étant qu'exceptionnellement d'origine traumatique. Même dans ce cas, un traitement conservateur apporte généralement la guérison au terme d'une période de six à douze semaines. Cela n'ayant pas été le cas, le docteur I._ est d'avis que l'existence d'un lien de causalité entre l'atteinte et l'accident est tout au plus possible.
Quant à Swica, elle se réfère à un témoignage de l'expert I._ consigné dans un procès-verbal d'enquêtes du 24 avril 2008 établi par la juridiction cantonale dans le cadre du litige opposant l'assurée à son institution de prévoyance. Dans son témoignage, le médecin prénommé a réitéré son opinion selon laquelle l'accident avait aggravé passagèrement un état maladif préexistant et le statu quo sine devait être admis au 31 mars 2004, voire au 16 février précédent. A l'appui de son point de vue, il a indiqué que d'après les études concernant la coiffe des rotateurs, une déchirure supposait une altération du tendon, une déchirure partielle n'étant qu'exceptionnellement d'origine traumatique. Même dans ce cas, un traitement conservateur apporte généralement la guérison au terme d'une période de six à douze semaines. Cela n'ayant pas été le cas, le docteur I._ est d'avis que l'existence d'un lien de causalité entre l'atteinte et l'accident est tout au plus possible.
3.3 3.3.1 D'après une jurisprudence constante, l'assureur-accidents est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (ATF 125 V 351 consid. 3b/bb p. 353). Par ailleurs, le juge peut et doit tenir compte du fait que, selon l'expérience, le médecin traitant est généralement enclin, en cas de doute, à prendre partie pour son patient en raison de la relation de confiance qui l'unit à ce dernier (ATF 125 V 351 consid. 3b/cc p. 353; VSI 2001 p. 106, I 128/98 consid. 3b/cc). Cependant, le simple fait qu'un certificat médical est établi à la demande d'une partie et produit pendant la procédure ne justifie pas, en soi, des doutes quant à sa valeur probante. Une expertise présentée par une partie peut également valoir comme moyen de preuve. Le juge est donc tenu d'examiner si elle est propre à mettre en doute, sur les points litigieux importants, l'opinion et les conclusions de l'expert mandaté par le tribunal, l'assureur-accidents ou un office AI (ATF 125 V 351 consid. 3c p. 354).
3.3.2 En l'espèce, le rapport d'expertise du docteur I._, sur lequel Swica s'est fondée pour nier le droit de l'assurée à des prestations à partir du 1er février 2007 n'est pas clair en ce qui concerne le lien de causalité naturelle entre l'atteinte à la santé et l'accident. L'expert indique en effet que l'accident a entraîné l'atteinte à la santé, dans la mesure où il a aggravé une affection préexistante consistant en une tendinopathie chronique à l'épaule gauche. Toutefois, bien que qualifiant cette aggravation de passagère, il est d'avis qu'elle n'est pas guérie. En outre, il ajoute que les troubles que présente actuellement l'assurée sont dus partiellement à l'accident du 6 novembre 2002. On doit donc déduire de ces constatations qu'il existe une relation de causalité naturelle entre les troubles affectant encore l'épaule gauche et l'accident, dans la mesure où celui-ci apparaît comme la condition sine qua non du dommage persistant. Cependant, cette conclusion est contredite par une autre affirmation de l'expert, selon laquelle l'atteinte à la santé causée pour le moins avec une vraisemblance prépondérante par l'accident serait apparue tôt ou tard, un statu quo sine ayant été atteint dès la reprise du travail à 100 %, soit dès le 31 mars 2004, voire le 16 février précédent (cf. procès-verbal d'enquêtes du 24 avril 2008).
Cela étant, dans la mesure où l'expert indépendant n'aboutit pas à des résultats convaincants, ses conclusions ne sont pas de nature à mettre en cause le point de vue de la juridiction cantonale, fondé sur l'appréciation du docteur A._ et selon lequel il existe un lien de causalité naturelle entre l'atteinte à l'épaule gauche persistant au-delà du 31 janvier 2007 et l'accident du 6 novembre 2002.
4. 4.1 La juridiction cantonale a considéré que l'assurée avait droit, dès le 1er février 2007, à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 23 % (arrondi). Se référant aux conclusions des experts G._ (rapport du 16 février 2004) et I._ (rapport du 15 janvier 2007), ainsi qu'à celles du docteur H._, médecin du SMR (rapport du 8 septembre 2004), elle est d'avis que l'intéressée est en mesure d'exercer, à plein temps, une activité adaptée, puisque tous les travaux effectués coudes au corps sont possibles. Pour évaluer le revenu d'invalide, la juridiction cantonale a pris en compte le salaire auquel pouvaient prétendre les femmes exerçant des activités simples et répétitives, soit, en 2006 (dernière année dont les données étaient disponibles au moment du jugement cantonal), 4'019 fr. par mois ou 48'228 fr. par année (Enquête suisse sur la structure des salaires 2006 [ESS], TA1, niveau de qualification 4). En opérant une déduction de 10 % sur le salaire statistique pour tenir compte des limitations fonctionnelles liées au handicap, elle a fixé le revenu d'invalide à 43'405 fr., lequel, comparé à un revenu annuel sans invalidité de 56'394 fr., donne un taux d'invalidité de 23,03 %.
4.2 De son côté, l'assurée demande que le taux de son incapacité de gain soit fixé à 75 %.
4.2.1 En particulier, elle conteste le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'appréciation du docteur I._ - qui conclut à une capacité de travail entière dans une activité adaptée - est assimilable à celles des docteurs G._ et H._. D'après l'intéressée, le docteur G._ n'a fait qu'envisager la possibilité d'exercer une activité adaptée en cas d'échec de reprise de l'activité habituelle. Quant au docteur H._, s'il partage bien l'opinion du docteur I._ dans son rapport du 8 septembre 2004, il est certainement revenu postérieurement sur son appréciation, puisque l'office AI a constaté un taux d'invalidité de 75 % après avoir requis une nouvelle fois l'avis du SMR.
Ce grief n'est pas de nature à mettre en cause le point de vue de la juridiction cantonale au sujet de la capacité résiduelle de travail de l'assurée. En envisageant au mois de février 2004, soit trois ans avant le docteur I._, la prise d'une activité adaptée, le docteur G._ ne contredit pas l'expert prénommé, bien au contraire. Quant au docteur H._, il fait effectivement état d'une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée.
4.2.2 Les autres critiques de l'assurée apparaissent également mal fondées, dans la mesure où elles sont pertinentes. En particulier, l'intéressée n'indique pas sérieusement en quoi la déduction de 10 % opérée par les premiers juges sur le salaire statistique ne tient pas suffisamment compte des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier (cf. ATF 134 V 322 consid. 5.2 p. 327 s.; 126 V 75; consid. 3b publié à la RAMA 2002 no U 467 p. 513 de l'arrêt ATF 128 V 174).
4.3 Cela étant, le jugement entrepris doit toutefois être rectifié en ce qui concerne le calcul du taux d'incapacité de gain. En fixant à 4'019 fr. par mois ou 48'228 fr. par année le salaire de référence, la juridiction cantonale n'a pas tenu compte du fait que les montants ressortant de l'ESS sont calculés sur la base d'un horaire de travail de 40 heures par semaine. Or, l'horaire hebdomadaire en 2006 était de 41,7 heures (La Vie économique 12/2008 p. 94 B 9.2), de sorte que le salaire annuel de référence doit être porté à 50'278 fr. On obtient dès lors un revenu d'invalide de 45'250 fr. compte tenu de la déduction de 10 %. En comparant ce montant avec le revenu sans invalidité de 56'394 fr. (non contesté), on obtient un taux d'incapacité de gain de 19,76 %, qu'il y a lieu d'arrondir à 20 % (ATF 130 V 121 consid. 3.2 p. 123).
4.4 Vu ce qui précède, le jugement attaqué doit être réformé en ce sens que l'assurée a droit, dès le 1er février 2007, à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 20 % au lieu de 23 %.
Le recours de l'assurée se révèle ainsi mal fondé. Quant à Swica, elle obtient très partiellement gain de cause.
5. Les frais judiciaires seront répartis entre M._ qui succombe et Swica Assurances SA qui obtient très partiellement gain de cause (art. 66 al. 1 LTF).
En tant qu'intimée dans la cause 8C_662/2008, M._ ne succombe que dans une mesure très limitée dans ses conclusions tendant au rejet du recours de Swica Assurances SA. Elle a droit dès lors à une indemnité de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 8C_658/2008 et 8C_662/2008 sont jointes.
2. Le recours de M._ est rejeté.
3. Le recours de Swica Assurances SA est très partiellement admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève du 19 juin 2008 est réformé en ce sens que M._ a droit, dès le 1er février 2007, à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 20 % au lieu de 23 %.
4. Les frais judiciaires, arrêtés globalement à 1'000 fr., sont mis à la charge de M._ pour trois quarts, soit 750 fr., et à la charge de Swica Assurances SA pour un quart, soit 250 fr.
5. Swica Assurances SA versera à M._ une indemnité de dépens de 2000 fr.
6. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
7. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd