Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 18. Juni 2008 im Verfahren nach Art. 175 ZGB verpflichtete das Obergericht Luzern X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer), Z._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) unter Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen ab 7. Oktober 2007 monatliche Unterhaltsbeiträge für sie persönlich von Fr. 2'100.-- bis zum Bezug einer eigenen Wohnung des Beschwerdeführers und ab dann Fr. 1'500.-- sowie für die beiden Kinder solche von je Fr. 1'000.-- zuzüglich allfällige Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu bezahlen. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
B. Die Beschwerdegegnerin liess den Beschwerdeführer mit Zahlungsbefehl Nr. .../BA A._ vom 5. August 2008 für den Betrag von Fr. 11'489.-- nebst 5% Zins seit 5. August 2008 für ausstehende Unterhaltsbeiträge betreiben. Dagegen erhob der Beschwerdeführer Rechtsvorschlag.
C. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2008 erteilte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Land in der erwähnten Betreibung die definitive Rechtsöffnung für Fr. 11'489.-- nebst Zins zu 5% seit 5. August 2008.
D. Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer am 20. Januar 2009 beim Obergericht des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, Rekurs und verlangte in Aufhebung des amtsgerichtlichen Entscheids die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs der Beschwerdegegnerin.
Mit Entscheid vom 3. März 2009 wies das Obergericht den Rekurs ab.
E. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 21. April 2009 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs der Beschwerdegegnerin.
Die Beschwerdegegnerin schliesst in ihrer Vernehmlassung vom 4. Juni 2009 auf Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter auf Abweisung, subeventualiter auf Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 6'765.-- nebst 5% Zins seit 5. August 2008. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit unaufgefordert zugestellter Eingabe vom 8. Juni 2009 nimmt der Beschwerdeführer zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin Stellung.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die definitive Rechtsöffnung, bei welchem der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt, sodass die subsidiäre Verfassungsbeschwerde insofern offen steht (Art. 113, Art. 114 i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
2. Strittig war vor Obergericht, ob sich der Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren darauf berufen könne, in der Zeit vom 7. Oktober 2007 bis Ende Juni 2008 Zahlungen an und/oder für seine Familie geleistet zu haben, und ob in diesem Umfang die Rechtsöffnung zu verweigern sei. Das Obergericht hielt zunächst fest, die gesamte Unterhaltsforderung inklusive Kinder- und Ausbildungszulagen von Oktober 2007 bis Juli 2008 betrage Fr. 45'100.--. Es erwog sodann, die für die Abwendung der definitiven Rechtsöffnung erforderliche Tilgung der Forderung könne in Form der Verrechnung ergehen. Die Verrechnungseinrede setze eine Gegenforderung des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin voraus, die durch Urteil oder vorbehaltlose Anerkennung des Gläubigers belegt sein müsse. Diesen Anforderungen vermöge der Beschwerdeführer lediglich bezüglich der von der Beschwerdegegnerin bereits im Rechtsöffnungsgesuch anerkannten Forderungen in der Höhe von Fr. 33'611.-- zu genügen. Was die übrigen Zahlungen betreffe, lege er keine Schuldanerkennung auf, mit welcher die Beschwerdegegnerin ihm bestätige, die entsprechenden Beträge zu schulden, bzw. seien sie bereits beim Betreibungsamt in Abzug gebracht worden. Daher vermöge der Beschwerdeführer mit der Tilgungseinrede durch Verrechnung nicht durchzudringen.
3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen; 125 II 129 E. 5b S. 134 mit Hinweis).
4. 4.1 Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil, so kann der Gläubiger definitive Rechtsöffnung verlangen (Art. 80 Abs. 1 SchKG). Diese kann nur erteilt werden, wenn das Urteil den Schuldner zur definitiven Zahlung einer bestimmten Geldleistung verpflichtet (BGE 135 III 315 E. 2.3 S. 318 mit Hinweis). Die zu bezahlende Summe muss im Urteil beziffert werden oder muss sich zumindest in Verbindung mit der Begründung oder aus dem Verweis auf andere Dokumente klar ergeben. Der Rechtsöffnungsrichter hat zu prüfen, ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Urteil ergibt. Dabei hat er weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ist dieses unklar oder unvollständig, bleibt es Aufgabe des Sachrichters, Klarheit zu schaffen.
4.2 Bei einer rückwirkenden Verpflichtung zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen sind schon tatsächlich erbrachte Unterhaltsleistungen in Abzug zu bringen, da nur der in einem konkreten Rechtstitel festgelegte Geldbetrag vollstreckbar ist (BGE 135 III 315 E. 2.4 S. 319 mit Hinweisen). Die Berechnung des Unterhaltsanspruchs gemäss dem Dispositiv des Eheschutzurteils ist zwar bei rückwirkenden Unterhaltsbeiträgen notwendige Voraussetzung für die Zusprechung eines konkreten Geldbetrags. Werden aber im Dispositiv die bereits bezahlten Unterhaltsleistungen vorbehalten, entspricht der im Dispositiv festgelegte Geldbetrag nicht der zu zahlenden Schuld. Im Umfang dieser Leistungen ist nämlich die entsprechende Verpflichtung untergegangen. Wie hoch der Betrag ist, der für die rückwirkenden Beiträge bezahlt werden muss, ist dem Dispositiv nicht zu entnehmen und erhellt mangels Hinweis im angefochtenen Urteil oder in der Vernehmlassung weder aus der Begründung noch aus einem in der Begründung enthaltenen Verweis auf andere Dokumente, sodass nicht gesagt werden kann, welcher Betrag geschuldet ist. Jedenfalls sind für die rückwirkenden Beiträge nicht die im obergerichtlichen Urteil vom 18. Juni 2008 genannten Beträge geschuldet. Andernfalls wäre der Vorbehalt der Anrechnung bereits geleisteter Zahlungen sinnlos. Dieses Urteil ist nach dem Gesagten derart auszulegen, dass damit bezüglich der rückwirkenden Unterhaltsbeiträge ausschliesslich die Höhe des Unterhaltsanspruchs und nicht auch der zu bezahlende Betrag festgelegt wurde. Mangels einer klaren Zahlungsverpflichtung in bestimmter Höhe kann gestützt auf dieses Urteil für die rückwirkenden Unterhaltsbeiträge nicht definitive Rechtsöffnung erteilt werden.
4.3 Würde das Eheschutzurteil als definitiver Rechtsöffnungstitel auch für die rückwirkenden Beiträge anerkannt, hätte dies zur Folge, dass der Beschwerdeführer zur Leistung der im Urteil bezifferten Beiträge verpflichtet wäre und die Beschwerdegegnerin hierfür die definitive Rechtsöffnung verlangen könnte, wie sie dies auch tut. Damit wäre aber gleichzeitig gesagt, dass im Zeitpunkt des Urteils noch keine Leistungen erbracht worden sind, denn eine getilgte Forderung darf nicht zu einem Leistungsurteil führen, das zur definitiven Rechtsöffnung berechtigt. Entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen hätte der Beschwerdeführer die Einrede der Tilgung gemäss Art. 81 SchKG nicht erheben können, weil nach dem klaren Wortlaut und Wortsinn von Art. 81 Abs. 1 SchKG Tilgung nur eingewendet werden kann, wenn diese nach Erlass des Urteils erfolgt ist. Tilgung vor dem Erlass des Urteils darf im Rechtsöffnungsverfahren nicht berücksichtigt werden, weil der Rechtsöffnungsrichter sonst den Rechtsöffnungstitel und die darin aufgeführte konkrete Zahlungsverpflichtung materiell überprüfen müsste (BGE 135 III 315 E. 2.5 S. 320 mit Hinweisen). Vor Erlass des Urteils behauptete Tilgungen hat der Sachrichter zu berücksichtigen. Gestützt auf Art. 81 SchKG dürften daher frühere Leistungen nicht berücksichtigt werden, obwohl diese im behaupteten Rechtsöffnungstitel vorbehalten wurden.
4.4 Somit stellt das obergerichtliche Urteil vom 18. Juni 2008 aufgrund der darin vorgesehenen Anrechenbarkeit bereits vorgängig geleisteter Zahlungen keinen definitiven Rechtsöffnungstitel dar. Es liegt nicht am Rechtsöffnungsrichter, darüber zu entscheiden, ob und gegebenenfalls in welcher Höhe bzw. in welchem Umfang bereits vor einer eheschutzrichterlichen Verfügung geleistete Unterhaltszahlungen an die eheschutzrichterlich verfügten Unterhaltspflichten anzurechnen, deshalb eben gar nicht mehr geschuldet sind und von den verfügten Unterhaltsbeiträgen in Abzug gebracht werden können (Urteil des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Juni 2008, in: ZR 107/2008 S. 224).
Daher stösst der Einwand der Beschwerdegegnerin ins Leere, die Vorinstanz habe zu jeder einzelnen vom Beschwerdeführer geltend gemachten Verrechnungsforderung Stellung bezogen, was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht anfechte. Ebenfalls unbehelflich ist vor diesem Hintergrund der Einwand der Beschwerdegegnerin, sie bestreite, dass der Beschwerdeführer in einem ordentlichen Prozess sämtliche Zahlungen belegen könne, sowie ihr Hinweis darauf, dass der Beschwerdeführer lediglich einen Anteil der gesamten Unterhaltsschuld direkt an sie überwiesen habe und sie nur 25% der Unterhaltsschuld in Betreibung gesetzt habe.
Die Beschwerdegegnerin bringt weiter vor, der Beschwerdeführer habe im Rahmen des Eheschutzverfahrens weder behauptet noch belegt, in welchem Umfang er bereits Leistungen erbracht habe, sodass sich der Sachrichter nicht mit den erst im Rechtsöffnungsverfahren aufgelegten Belegen über angebliche Zahlungen habe auseinandersetzen können. Ausserdem habe er mit dem Weiterzug des Eheschutzentscheides das Verfahren selber in die Länge gezogen und damit die rückwirkende Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen grösstenteils selbst verschuldet. Im Übrigen hätte das Obergericht im Eheschutzverfahren, wenn es von BGE 135 III 315 Kenntnis gehabt hätte, mutmasslich keine Leistungen angerechnet oder aber die anrechenbaren Leistungen beziffert. Diese Einwände betreffen jedoch das Eheschutzverfahren und sind vom Rechtsöffnungsrichter nicht zu beachten (s. oben, E. 4.1). Sie vermögen daher ebenfalls nichts daran zu ändern, dass das obergerichtliche Urteil vom 18. Juni 2008 aufgrund der darin vorgesehenen Anrechenbarkeit bereits vorgängig geleisteter Zahlungen keinen definitiven Rechtsöffnungstitel darstellt.
Schliesslich führt die Beschwerdegegnerin an, es wäre zumindest für prospektiv festgesetzte Unterhaltsbeiträge ab dem Zeitpunkt des Urteils vom 18. Juni 2008 bis zum 31. Juli 2008 Rechtsöffnung zu erteilen. Darauf stützt sie ihr Eventualbegehren um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 6'765.-- nebst Zins (s. oben, Sachverhalt Bst. E). Sie verkennt jedoch, dass der Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren vornehmlich die Anrechnung von Leistungen in der Zeit vor dem Eheschutzurteil beantragt hat (s. oben, E. 2) und dass die Frage ihrer Anrechenbarkeit den gesamten in Betreibung gesetzten und dem Rechtsöffnungsverfahren zugrundeliegenden Betrag beschlägt. Daher stösst auch dieser Einwand ins Leere.
5. Insgesamt steht der angefochtene Entscheid, mit welchem die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung bestätigt worden ist, im Widerspruch zu BGE 135 III 315. Er ist somit offensichtlich unhaltbar, sodass das Obergericht - wie der Beschwerdeführer zutreffend geltend macht - gegen das Willkürverbot verstossen hat. Demgemäss ist die Verfassungsbeschwerde gutzuheissen und das Rechtsöffnungsgesuch der Beschwerdegegnerin in Aufhebung des obergerichtlichen Urteils abzuweisen. Ausgangsgemäss wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Vorinstanz wird über die kantonalen Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu befinden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, als Rekursinstanz, vom 3. März 2009 aufgehoben. Das Rechtsöffnungsgesuch der Beschwerdegegnerin wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des kantonalen Verfahrens an das Obergericht zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, als Rekursinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Rapp