Faits:
A. A.a Le 27 juillet 2011, A._ s'est vu notifier le commandement de payer les montants de 289 fr. 40, avec intérêt à 5% dès le 10 juin 2011, et de 210 fr., à l'instance de B._ SA, dans la poursuite n° xxxx de l'office des poursuites et faillites du district de Sion. Le 17 octobre 2011, elle s'est vu notifier la commination de faillite puis, le 25 janvier 2012, B._ SA a requis sa faillite.
A.b Le 27 février 2012, l'avis de l'audience de faillite, fixée au 17 avril 2012, a été expédié aux parties par pli recommandé. Le pli recommandé contenant la convocation de A._ a été retourné à l'expéditeur avec la mention "Non réclamé".
B. B.a Par décision du 17 avril 2012, le juge suppléant III du district de Sion a prononcé la faillite de A._, avec effet le même jour à 14 heures 15.
B.b Par décision du 24 mai 2012, le Juge de l'Autorité de recours en matière de faillite du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours interjeté par la faillie contre cette décision.
C. Par acte posté le 19 juin 2012, A._ exerce un recours en matière civile contre cet arrêt, assorti d'une demande d'effet suspensif, concluant à son annulation. Elle se plaint de la violation de son droit d'être entendu, protégé à l'art. 29 al. 2 Cst., en ce sens qu'elle n'a pas pu se présenter à l'audience du 17 avril 2012, faute d'avoir reçu une citation à comparaître.
Par acte posté le 11 juillet 2007, la recourante a en outre requis d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invitées à se déterminer, l'intimée n'a transmis aucune observation alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de l'arrêt attaqué.
D. L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 13 juillet 2012, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne devait être entrepris, les mesures conservatoires demeurant toutefois en vigueur.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été interjeté dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 133 III 687 consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (art. 75 LTF), l'ouverture de la faillite de la recourante (art. 72 al. 2 let. a LTF). Il est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF). La faillie, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
1.2 Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF est une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF). Si le Tribunal fédéral admet le recours, il peut en principe statuer lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF). Sauf exception non réalisée en l'espèce, la partie recourante ne peut dès lors se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais elle doit également, en principe, prendre des conclusions sur le fond du litige (ATF 134 III 379 consid. 1.3; 133 III 489 consid. 3.1; 130 III 136 consid. 1.2; arrêts 5A_195/2011 du 25 novembre 2011 consid. 1.3, non publié aux ATF 138 III 132, 5A_835/2010 du 1er juin 2011 consid. 1.2).
En l'espèce, la recourante se limite à exiger l'annulation de l'arrêt attaqué, rejetant son recours, de sorte que sa conclusion est a priori irrecevable au regard des exigences posées par la jurisprudence. Il convient néanmoins de l'interpréter au regard de la motivation contenue dans le mémoire de recours (ATF 127 IV 101 consid. 1; arrêts 5A_25/2012 du 4 juin 2012 consid. 1.2; 5A_643/2011 du 22 novembre 2011 consid. 2; 4A_206/2011 du 19 août 2011 consid. 1.2), dont on comprend que la recourante, reprochant à l'autorité cantonale de n'avoir pas annulé la décision de faillite malgré la violation de son droit d'être entendue, entend conclure à la réforme de l'arrêt attaqué, en ce sens que la décision de faillite du 17 avril 2012 est annulée.
1.3 Au vu de ce qui précède, il convient en principe d'entrer en matière sur le recours.
2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (art. 95 let. a LTF; ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties (ATF 133 III 545 consid. 2.2). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée ("principe d'allégation"; art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 349 consid. 3 et les références).
3. 3.1 L'autorité cantonale a retenu, en substance, que les allégations de la recourante et les moyens de preuve que celle-ci avait offerts en procédure (extrait "Track and Trace" de l'envoi litigieux, courriel du 4 mai 2012 du service de la clientèle de la Poste suisse, attestations de proches de la recourante) ne permettaient pas d'établir l'absence de dépôt, dans sa boîte aux lettres, de l'avis de retrait de la citation à comparaître en audience de faillite, envoyé par pli recommandé. Elle a également a ajouté que, la commination de faillite lui ayant été notifiée le 17 octobre 2011, la recourante devait s'attendre à recevoir une convocation à l'audience de faillite. Au vu de ces éléments, l'autorité cantonale a jugé que, à défaut de preuve contraire, il y avait lieu de présumer que l'employé postal avait correctement inséré l'avis de retrait dans la boîte aux lettres de la recourante, que la date de ce dépôt, soit le 29 février 2012, était correcte et que l'avis de l'audience de faillite était réputé avoir été notifié sept jours après la date de la remise de l'avis de retrait, soit le 7 mars 2012. Dès lors, le premier juge avait valablement tenu la séance du 17 avril 2012 en l'absence de la recourante, puisqu'il avait respecté le délai d'avis de trois jours au moins, prévu à l'art. 168 LP, et que l'art. 171 LP l'enjoignait à statuer même en l'absence des parties. L'autorité cantonale a en outre précisé que la situation de la recourante était du reste fortement obérée: du décompte débiteur établi le 2 mai 2012 par l'office des poursuites et faillites du district de Sion, il ressortait que le montant des poursuites en cours contre la recourante et des actes de défaut de biens délivrés s'élevaient à 78'951 fr. 95; de l'extrait des registres établi par l'office des poursuites et faillites du district de Conthey le 2 mai 2012, il ressortait que, depuis qu'elle était établie à X._, la recourante avait fait l'objet de nouvelles poursuites à concurrence de 33'139 fr. 45, auxquelles, pour la plupart, elle n'avait pas fait opposition.
3.2 La recourante se plaint tout d'abord de la violation de son droit d'être entendue protégé par l'art. 29 al. 2 Cst. en reprochant à l'autorité cantonale d'avoir considéré qu'elle devait s'attendre à être avisée de l'audience de faillite alors que la citation lui a été notifiée quatre mois après la commination de faillite. Se plaignant implicitement d'arbitraire dans l'établissement des faits (art. 9 Cst.), elle lui reproche aussi d'avoir retenu qu'elle n'était pas parvenue à démontrer que l'avis de retrait n'avait pas été correctement inséré dans sa boîte aux lettres. Enfin, la recourante se plaint, pour autant qu'on la comprenne, de la violation de l'art. 171 LP, en tant qu'elle reproche à l'autorité cantonale d'avoir rendu une décision disproportionnée en prononçant la faillite suite à la requête d'un créancier titulaire d'une prétention de 289 fr. 40 seulement.
4. Est litigieuse la question de savoir si l'avis de l'audience de faillite, prévu à l'art. 168 LP, peut être considéré comme valablement notifié.
4.1 Aux termes de l'art. 138 al. 3 let. a CPC, un acte du tribunal est réputé notifié, en cas d'envoi recommandé, lorsque celui-ci n'a pas été retiré à l'expiration d'un délai de sept jours à compter de l'échec de la remise, si le destinataire devait s'attendre à recevoir la notification.
4.1.1 La fiction de notification valant en cas d'envoi recommandé ne s'applique pas à l'avis de l'audience de faillite (art. 168 LP; ATF 138 III 225 consid. 3). En effet, comme le prévoit expressément l'art. 138 al. 3 let. a CPC, un acte judiciaire ne peut être réputé notifié que si son destinataire devait s'attendre à le recevoir. Un rapport procédural, qui impose aux parties de se comporter conformément aux règles de la bonne foi, soit, notamment, de se préoccuper de ce que les actes judiciaires concernant la procédure puissent leur être notifiés, ne prend toutefois naissance qu'à partir de la litispendance (ATF 138 III 225 consid. 3.1; 130 III 396 consid. 1.2.3 et les références; arrêt 5D_130/2011 du 22 septembre 2011 consid. 2.1, publié in Pra 2012 (42) 300). Or, la procédure tendant au prononcé de la faillite est une nouvelle procédure par rapport aux étapes précédentes y menant. Elle ne fait automatiquement suite ni à la procédure préalable, ni à la commination de faillite (art. 159 ss LP). Ainsi, la procédure de faillite n'est pendante qu'à partir de la réquisition de faillite et le devoir des parties de se comporter selon la bonne foi ne naît qu'après la création du rapport de procédure en découlant (ATF 138 III 225 consid. 3.2).
4.1.2 L'avis aux parties de l'audience de faillite avant la tenue de celle-ci (art. 168 LP) est une condition formelle de la décision de faillite. Si cet avis n'a pas lieu, le droit des parties d'être entendues, protégé par l'art. 29 al. 2 Cst., est violé, car il découle de ce droit notamment le droit d'être cité régulièrement aux débats. Cette garantie a pour but d'assurer à chaque partie le droit de ne pas être condamnée sans avoir été mise en mesure de défendre ses intérêts (ATF 131 I 185 consid. 2.1; 117 Ib 347 consid. 2b/bb et les références). En particulier, le débiteur est privé de la possibilité de prouver les faits qui doivent conduire au rejet de la réquisition de faillite (art. 172 LP). L'atteinte causée par le défaut d'une citation valablement notifiée est d'une gravité telle qu'elle ne peut pas être réparée devant l'instance de recours; si cette atteinte est réalisée, la cause doit être renvoyée à l'autorité de première instance (ATF 138 III 225 consid. 3.3 et les références).
4.1.3 En l'espèce, faute de rapport procédural, la fiction de la notification prévue à l'art. 138 al. 3 let. a CPC ne s'appliquait pas, si bien que, la recourante n'ayant pas été avisée de la tenue de l'audience, son droit d'être entendue a été violé. La décision de faillite du 17 avril 2012 doit donc être annulée et renvoyée au juge suppléant III du district de Sion pour qu'il agende une nouvelle audience, en respectant le prescrit de l'art. 168 LP.
5. La décision attaquée devant être annulée, il n'y a pas lieu d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante.
6. En définitive, le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et réformé en ce sens que la décision de faillite du 17 avril 2012 est annulée et la cause renvoyée au juge suppléant III du district de Sion pour qu'il ordonne une nouvelle audience de faillite. Vu l'issue de la procédure, la recourante n'a pas à supporter de frais de justice. Néanmoins, puisque l'intimée n'a pas provoqué la décision attaquée - il ne ressort pas de la décision attaquée qu'elle ait même été invitée à répondre - les frais et dépens ne peuvent pas non plus être mis à sa charge. Dans ces circonstances, la recourante sera indemnisée, à hauteur de 1'000 fr., pour ses frais dans la procédure fédérale par le canton du Valais, de sorte que sa requête d'assistance judiciaire devient sans objet; il ne sera toutefois pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé. La décision de faillite du 17 avril 2012 est annulée et la cause est renvoyée au juge suppléant III du district de Sion pour qu'il ordonne une nouvelle audience de faillite.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 1'000 fr. est allouée à la recourante à titre de dépens, à la charge de l'Etat du Valais.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des faillites du district de Sion, à l'Office des poursuites et faillites du district de Conthey, au Préposé au registre du commerce de Sion, au Service juridique du Registre foncier et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Autorité de recours en matière de faillite.
Lausanne, le 4 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari