Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1983), kosovarischer Staatsangehöriger, heiratete am 21. Juli 2003 die in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau Y._ (geb. 1984). Am 3. März 2005 reiste X._ in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau.
B. Nachdem sich die Eheleute im November 2007 getrennt hatten, wies das Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: Migrationsamt) X._s Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 6. Oktober 2010 ab und wies ihn weg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 24. November 2011.
C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, es sei dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und den Vorinstanzen zu verbieten, den Beschwerdeführer aus der Schweiz (und/oder dem Kanton Luzern) wegzuweisen. Subeventualiter seien weitere Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen oder vornehmen zu lassen.
Am 4. Januar 2012 hat der Abteilungspräsident dem Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde stattgegeben.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid auf dem Gebiet des Ausländerrechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 lit. a BGG und Art. 90 BGG).
1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Vorliegend beruft sich der Beschwerdeführer auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20), welcher bei Vorliegen wichtiger persönlicher Gründe grundsätzlich einen Anspruch auf Verlängerung des (abgeleiteten) Anwesenheitsrechts verleiht. Ob der Anspruch auf Verlängerung der Bewilligung im konkreten Fall zu bejahen ist, betrifft nicht die Eintretensfrage, sondern die materielle Behandlung der Eingabe (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung zulässig.
1.2 Soweit der Beschwerdeführer die Wegweisung beanstandet, gilt Folgendes: Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Wegweisungsentscheide. Im Eventualantrag des Beschwerdeführers betreffend Wegweisung ist daher sinngemäss eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG zu erblicken. Weil der Antrag den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht genügt, ist darauf nicht einzutreten.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht (inklusive Bundesverfassungsrecht), Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; 134 II 349 E. 3; 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3).
3. Nachdem die in der Schweiz gelebte Ehegemeinschaft des Beschwerdeführers rund 2 Jahre und 9 Monate gedauert hat, kann ein allfälliger Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG gestützt werden. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG, wonach für die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wichtige persönliche Gründe vorliegen müssen, die einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen.
3.1 Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer an einer Hormonerkrankung, dem Kallmann-Syndrom, leidet, weshalb er eine lebenslange Hormontherapie benötigt und regelmässig endokrinologisch untersucht werden muss. Gemäss dem durch das Migrationsamt veranlassten Attest des behandelnden Arztes Dr. med. A._ vom 31. August 2010 wurde die Erkrankung im September 2007 festgestellt. Der Patient benötige alle 3 Monate eine intramuskuläre Injektion Nebido (Wirkstoff Testosteron), dazu Schilddrüsen- und Nebennierenrindenhormone. Die reinen Behandlungskosten würden sich auf ca. Fr. 2'000.-- pro Jahr belaufen; zudem seien halbjährliche Laboruntersuchungen notwendig.
3.2 Schwere gesundheitliche Probleme können als wichtige persönliche Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anerkannt werden, wenn sie so gravierend sind, dass eine Rückkehr ins Herkunftsland in medizinischer Hinsicht unhaltbar erscheint. Ob dies der Fall ist, hängt im Wesentlichen von den Behandlungsmöglichkeiten im Herkunftsland ab (Urteil 2C_316/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.3). Für die Beurteilung der Frage, ob ein wichtiger persönlicher Grund vorliegt, können die in Art. 31 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) genannten Kriterien eine wichtige Rolle spielen, auch wenn sie einzeln betrachtet grundsätzlich noch keinen Härtefall zu begründen vermögen (BGE 137 II 1 E. 4.1 S. 7). Das Bundesgericht hat bisher die Frage offen gelassen, in welchem Verhältnis Art. 31 Abs. 1 VZAE und Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zueinander stehen (Urteile 2C_826/2011 vom 17. Januar 2012 E. 4.2; 2C_663/2009 vom 23. Februar 2010 E. 4.1; 2C_216/2009 vom 20 August 2009 E. 2.2).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer beanstandet im Wesentlichen eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Diese sei willkürlich davon ausgegangen, dass für den Beschwerdeführer in Kosovo ausreichende Behandlungsmöglichkeiten existierten. Die speziellen Schilddrüsen- und Nebennierenrindenhormone, welche der Beschwerdeführer benötige, seien in Kosovo gar nicht erhältlich. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz könne nicht ohne Willkür davon ausgegangen werden, dass in Kosovo passende Präparate verfügbar seien. Die Vorinstanz habe in unhaltbarer Weise angenommen, in Kosovo sei medizinisch geschultes Personal vorhanden, was nicht zutreffe. Dr. med. A._ habe dem Beschwerdeführer im Attest vom 23. Dezember 2011 bescheinigt, dass er an spezialisierte Zentren in der Schweiz angebunden sein müsse.
Der Beschwerdeführer könne sich zudem die Behandlung in Kosovo nicht leisten, da er angesichts der hohen Arbeitslosigkeit nicht damit rechnen könne, eine Arbeit zu finden. Wegen der ernsten und lebenslang zu behandelnden Erkrankung könne er in Kosovo auch keine Krankenversicherung abschliessen. Ein Versicherungszwang existiere dort nicht, was die Vorinstanz willkürlich übersehen habe.
Schliesslich sei die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch unverhältnismässig. Der Beschwerdeführer habe sich während seines nunmehr über 6 1/2-jährigen Aufenthalts in der Schweiz beruflich sehr gut etabliert. Seit dem 1. März 2011 arbeite er zur vollsten Zufriedenheit seiner Arbeitgeberin sogar als Vorarbeiter, wobei er 4 Mitarbeiter führe. Abgesehen von einer geringfügigen Busse durch einen Strafbefehl habe der Beschwerdeführer stets tadelloses Verhalten gezeigt. Er habe weder gegen das Gesetz verstossen noch sei er jemals vom Staat abhängig gewesen. Auch sozial sei er gut integriert. In Kosovo hingegen hätte er keinerlei Perspektiven und wäre aufgrund einer ungenügenden medizinischen Behandlung existenziell gefährdet. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung bedeute deshalb für den Beschwerdeführer eine unzumutbare Härte.
Die Vorinstanz vertritt demgegenüber den Standpunkt, das Kallmann-Syndrom könne in Kosovo adäquat behandelt werden. Das Migrationsamt habe diese Frage abklären lassen und festgestellt, dass der vom Beschwerdeführer benötigte Wirkstoff Testosteron sowie verschiedene Schilddrüsen- und Nebennierenrindenhormone in Kosovo erhältlich und die entsprechenden Laborkontrollen möglich seien. Der Beschwerdeführer benötige keine speziellen Behandlungsmethoden, da bei ihm einzig Injektionen sowie Blutentnahmen vorgenommen würden. Auch wenn Kosovo ein anderes Gesundheitssystem habe als die Schweiz, sei davon auszugehen, dass die medizinische Versorgung in Bezug auf den Beschwerdeführer gewährleistet sei.
Die Vorinstanz weist darauf hin, dass die finanzielle Belastung allenfalls problematisch sein dürfte. In Anbetracht des notorisch tiefen Lohnniveaus in Kosovo sei jedoch davon auszugehen, dass die Behandlungskosten geringer seien als in der Schweiz. Es sei dem Beschwerdeführer unbenommen, eine Krankenversicherung abzuschliessen. Ob er sich die Behandlung leisten könne, hänge davon ab, ob er in Kosovo eine Arbeitstätigkeit aufnehmen könne. Dies sei angesichts seiner Arbeitserfahrungen nicht zum vornherein ausgeschlossen, zumal er durch seine Krankheit körperlich nicht eingeschränkt sei bzw. solches zumindest nicht geltend mache.
Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei zudem verhältnismässig im Sinn von Art. 96 AuG. Ausländerrechtlich betrachtet habe sich der Beschwerdeführer eine kurze bis mittlere Zeit in der Schweiz aufgehalten. Die Ehe sei von kurzer Dauer gewesen und kinderlos geblieben. Der Beschwerdeführer sei beruflich gut etabliert; auch seien keine Betreibungen aktenkundig. Der Beschwerdeführer sei wegen Täuschung der Behörden infolge Nichtdeklaration der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts zu einer Busse verurteilt worden. Dass er sozial gut integriert sei, vermöge er nicht zu belegen. Es sei davon auszugehen, dass seine Familie und Freunde noch in Kosovo leben würden und ihm eine Reintegration in die Heimat deshalb eher gelingen dürfte.
5. 5.1 Die Abklärungen des Migrationsamtes, auf welche die Vorinstanz sich stützt, haben ergeben, dass in Kosovo die vom Beschwerdeführer benötigten Hormonpräparate erhältlich sind und problemlos injiziert werden können. Auch die Laborkontrollen können in Kosovo durchgeführt werden. Die Behauptung des Beschwerdeführers, die benötigten Hormonpräparate seien in Kosovo nicht erhältlich, entbehrt der Grundlage. Insbesondere geht solches nicht aus dem mit der Beschwerde eingereichten Attest von Dr. med. A._ vom 23. Dezember 2011 hervor. Der Arzt hält dort lediglich fest, der Beschwerdeführer müsse an spezialisierte Zentren in der Schweiz angebunden sein, begründet diese Auffassung jedoch nicht. Zudem wird nicht dargetan, inwiefern der behandelnde Arzt über Kenntnisse der medizinischen Versorgungssituation in Kosovo verfügen würde. Die Vorinstanz hat demnach nicht willkürlich gehandelt, wenn sie bei ihrem Entscheid auf die erstinstanzlichen Abklärungen abgestellt hat. Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, dass sie auf die Vornahme zusätzlicher Abklärungen verzichtet hat.
5.2 Der Beschwerdeführer tut auch nicht dar, dass die soziale Wiedereingliederung in Kosovo stark gefährdet wäre. Dem (behaupteten) Umstand, dass er dort "keine Perspektiven" habe, kommt im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG geringe Bedeutung zu. Nach der Rechtsprechung geht es bei der sozialen Wiedereingliederung in den Herkunftsstaat nicht darum abzuwägen, ob ein Verbleib in der Schweiz für die betroffene Person vorteilhafter wäre, sondern einzig darum festzustellen, ob eine Wiedereingliederung im Herkunftsland derart stark gefährdet ist, dass ein weiterer Aufenthalt in der Schweiz notwendig erscheint (vgl. Urteile 2C_155/2011 vom 7. Juli 2011 E. 4.7; 2C_369/2010 vom 4. November 2010 E. 4.1). Vorliegend ist diese Voraussetzung nicht erfüllt.
5.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass keine wichtigen persönlichen Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vorliegen. Ein nachehelicher Härtefall ist somit zu verneinen.
5.4 Zu prüfen bleibt, ob der angefochtene Entscheid verhältnismässig ist.
Hinsichtlich des finanziellen Aspekts der Behandlung weist die Vorinstanz zu Recht auf die im Vergleich zur Schweiz geringere Kaufkraft und das damit verbundene tiefere Preisniveau in Kosovo hin. Der Beschwerdeführer vermag auch nicht zu belegen, dass die Behandlung in Kosovo für ihn mit untragbaren Kosten verbunden wäre. Ob für ihn aufgrund seiner beruflichen Kompetenzen Aussichten bestehen, in Kosovo Arbeit zu finden, kann daher ebenso dahingestellt bleiben wie die Frage, ob er in eine Krankenversicherung aufgenommen würde.
Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern eine Rückkehr nach Kosovo für ihn unzumutbar wäre. Zwar mag zutreffen, dass er in der Schweiz beruflich gut etabliert ist. Die berufliche Integration ist im Rahmen von Art. 96 Abs. 1 AuG zu berücksichtigen, bildet jedoch nur ein Element in der Gesamtwürdigung des angefochtenen Entscheids und genügt nicht, um eine Rückkehr des Beschwerdeführers nach Kosovo unverhältnismässig erscheinen zu lassen. Eher negativ ins Gewicht fällt der am 10. Februar 2011 erlassene Strafbefehl wegen Täuschung der Behörden im Sinn von Art. 118 Abs. 1 AuG. Der Beschwerdeführer hat keine familiären Bindungen in der Schweiz; seine Krankheit kann in Kosovo behandelt werden und eine Wiedereingliederung erscheint möglich. Eine Rückkehr des Beschwerdeführers nach Kosovo erscheint demnach nicht unzumutbar im Sinn des Verhältnismässigkeitsgebots.
6. Aus den vorstehenen Erwägungen ergibt sich, dass die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist. Sie ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen.
Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Karlen
Die Gerichtsschreiberin: Genner