Erwägungen:
1. 1.1 X._, geboren 1980, stammt aus der Türkei. Er reiste am 10. Juli 2002 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Nach der Heirat mit einer Schweizer Bürgerin (2003) erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, worauf er sein Asylgesuch zurückzog. Das Migrationsamt des Kantons Aargau lehnte am 29. August 2006 wegen längerem Getrenntleben von der Ehefrau eine weitere Verlängerung der Bewilligung ab (Bestätigung durch Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau vom 30. März 2007); die damit verbundene Wegweisung dehnte das Bundesamt für Migration am 13. August 2007 auf das ganze Gebiet der Schweiz aus. X._ leistete der Ausreiseaufforderung keine Folge, vielmehr tauchte er unter. Schliesslich stellte er ein neues, erfolglos gebliebenes Asylgesuch (vgl. E. 2.2.1).
1.2 Am 25. März 2008 nahm das Migrationsamt des Kantons Aargau X._ in Ausschaffungshaft, welche der Präsident des Rekursgerichts im Ausländerrecht als Haftrichter am 27. März 2008 prüfte und bis zum 23. Juni 2008 genehmigte. Die hiergegen gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_270/2008 vom 11. April 2008 ab, soweit es darauf eintrat. Am 8. Mai 2008 wies der Präsident des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab. Auch die gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 2C_403/2008 vom 29. Mai 2008).
Am 13. Juni 2008 stellte X._ ein Haftentlassungsgesuch. Gleichentags beantragte das Migrationsamt des Kantons Aargau die Verlängerung der Ausschaffungshaft. Der Präsident des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau bestätigte mit Urteil vom 23. Juni 2008 die Verlängerung der Ausschaffungshaft unter Vorbehalt der Urteilserwägungen bis zum 23. September 2008 (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs). Zugleich wies er das Migrationsamt an, die im Ausschaffungszentrum Aarau an die Hand zu nehmenden infrastrukturellen und organisatorischen Anpassungen zu überwachen und den Präsidenten des Rekursgerichts bis zum 15. Juli 2008 über die getroffenen und geplanten Massnahmen zu orientieren (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs). Weiter wurde erkannt, dass die Haft im Ausschaffungszentrum Aarau, im Ausschaffungsgefängnis Bässlergut in Basel oder im Flughafengefängnis Kloten zu vollziehen sei; einer allfälligen Verlegung in die Psychiatrische Klinik Königsfelden oder in das Inselspital Bern werde bei akuter Suizidgefahr zugestimmt (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs).
1.3 Mit Schreiben vom 2. Juli 2008 erklärt X._ dem Bundesgericht, gegen die Verlängerung der Ausschaffungshaft Beschwerde zu führen.
Das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau hat die Akten eingereicht; es beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf einzutreten sei; zugleich erwähnt es, dass im angefochtenen Urteil monierte Mängel im Ausschaffungszentrum Aarau sukzessive behoben würden (Stand 17. Juli 2008). Das Migrationsamt des Kantons Aargau hat, gleich wie das Bundesamt für Migration, auf eine Stellungnahme verzichtet.
1.4 Aus den Akten ergibt sich, dass der Beschwerdeführer am 2. Juli 2008 ein Haftentlassungsgesuch eingereicht hat, nachdem ihm im Flughafengefängnis Zürich, wohin er am 30. Juni 2008 verlegt worden ist, keine Arbeitsmöglichkeit geboten wurde. Der Präsident des Rekursgerichts im Ausländerrecht wies das Gesuch mit Urteil vom 3. Juli 2008 vorläufig ab, hielt aber das Migrationsamt an, dafür besorgt zu sein, dass der Beschwerdeführer spätestens ab dem 8. Juli 2008 einer Beschäftigung nachgehen könne, ansonsten er aus der Haft zu entlassen wäre. Dieses Urteil ist bis heute beim Bundesgericht nicht angefochten worden.
Am 22. Juli 2008 liess die Vorinstanz dem Bundesgericht eine verfahrensleitende Verfügung vom 21. Juli 2008 zukommen, woraus sich ergibt, dass dort gestützt auf ein Haftentlassungesuch des Beschwerdeführers vom 18. Juli 2008 ein Verfahren betreffend Haftentlassung hängig ist.
2. 2.1 Die Beschwerde des Beschwerdeführers vom 2. Juli 2008 gegen die Verlängerung der Ausschaffungshaft genügt den gesetzlichen Anforderungen an eine Rechtsschrift (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) kaum. Soweit seine Ausführungen überhaupt die Überprüfung des angefochtenen Urteils erlauben, erweist sich die Beschwerde aus den nachstehenden Gründen als offensichtlich unbegründet.
2. 2.1 Die Beschwerde des Beschwerdeführers vom 2. Juli 2008 gegen die Verlängerung der Ausschaffungshaft genügt den gesetzlichen Anforderungen an eine Rechtsschrift (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) kaum. Soweit seine Ausführungen überhaupt die Überprüfung des angefochtenen Urteils erlauben, erweist sich die Beschwerde aus den nachstehenden Gründen als offensichtlich unbegründet.
2.2 2.2.1 Gegen den Beschwerdeführer liegt seit Sommer 2007 eine rechtskräftige Wegweisung vor. Zudem ist das Bundesamt für Migration am 20. Mai 2008 auf das erneute Asylgesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten und hat seinerseits die Wegweisung verfügt; auch diese Wegweisung ist rechtskräftig, nachdem das Bundesverwaltungsgericht die gegen die Verfügung des Bundesamtes erhobene Beschwerde mit Urteil E-3169/2008 vom 3. Juni 2008 abgewiesen hat. Die Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung des Vollzugs dieser Wegweisungsverfügungen und verfolgt mithin einen vom Gesetz vorgesehenen Zweck (vgl. Art. 76 Abs. 1 AuG). Da sich der Beschwerdeführer nun auch nach im Asylverfahren angeordneter Wegweisung klar weigert, in die Türkei zurückzukehren, sind die Haftgründe von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG nach wie vor bzw. erst recht erfüllt (s. dazu auch die beiden bisher ergangenen bundesgerichtlichen Urteile 2C_403/2008 und 2C_270/2008 betreffend die Ausschaffungshaft des Beschwerdeführers). Offensichtlich stehen sodann dem Vollzug der Wegweisung (nicht von den Behörden zu verantwortende) besondere Hindernisse im Sinne von Art. 76 Abs. 3 AuG entgegen, die eine Verlängerung der Haft über drei Monate hinaus erlauben; es genügt hierzu der Verweis auf E. 3.5 und 3.6 des angefochtenen Urteils (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG). Es sind sodann keine die Haft ausschliessenden bzw. beendenden Gründe im Sinne von Art. 80 Abs. 6 AuG erkennbar.
2.2.2 Damit könnten die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Ausschaffungshaft höchstens wegen unzulänglicher Haftbedingungen (Art. 81 AuG) in Frage gestellt werden. Dazu schreibt der Beschwerdeführer, dass es während seines Aufenthalts im Ausschaffungszentrum Aarau nicht einfach für ihn gewesen sei, er habe unter psychischem Druck und strengen Haftbedingungen gelitten; er habe dem Druck nicht standhalten können und einen Selbstmordversuch unternommen; er bitte darum, den negativen Entscheid "nochmals durch(zu)gehen"; er möchte wie jeder andere frei sein, weil er nichts gemacht habe.
Der Haftrichter hat sich mit den Haftbedingungen im Ausschaffungszentrum Aarau ausführlich auseinandergesetzt, dies sowohl in allgemeiner Form als auch unter Berücksichtigung der konkreten Situation des Beschwerdeführers. Namentlich hat er erkannt, dass die bauliche Infrastruktur des Ausschaffungszentrums eine ausländerrechtliche Inhaftierung von insgesamt maximal sechs Monaten zulasse. Im Einzelnen hat er Handlungsbedarf bei der Ausstattung des Spazierhofs, den wesentlich zu verbessernden Beschäftigungsmöglichkeiten, den Zellenöffnungszeiten und vereinzelt im Hinblick auf die Anpassung der Hausordnung festgestellt und konkrete Hinweise betreffend das Angebot von Arbeit gemacht. Speziell unter Berücksichtigung der Verhältnisse des Beschwerdeführers (z.B. Suizidabsichten, die aber der Hafterstehungsfähigkeit nicht entgegenstünden) hat er schliesslich dargelegt, unter welchen Umständen dieser in ein anderes Ausschaffungsgefängnis bzw. in ein spezielles Institut zur psychiatrischen Betreuung zu verbringen sei. Dazu nimmt der Beschwerdeführer, welchem im Kanton ein Rechtsanwalt beigegeben worden ist, nicht Stellung. Die Erwägungen im angefochtenen Urteil geben dem Bundesgericht keinen Anlass, die Zulässigkeit der Haftverlängerung vom 23. Juni 2008 unter dem Gesichtswinkel von Art. 81 AuG in Frage zu stellen. Was die seitherige Entwicklung anbelangt, so ergibt sich aus den Akten, dass der Beschwerdeführer, in Befolgung der Auflagen im angefochtenen Haftverlängerungsurteil, seit dem 30. Juni 2008 nicht mehr im Ausschaffungszentrum Aarau weilt. Die Überprüfung der neuen Haftvollzugs-Umstände steht dem Bundesgericht nicht zu, zumal das inzwischen ergangene, ein Haftentlassungsgesuch abweisende Urteil vom 3. Juli 2008 nicht angefochten worden ist.
2.3 Soweit es gestützt auf die Beschwerdeschrift überprüft werden kann, hält das angefochtene Urteil der bundesgerichtlichen Prüfung stand. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG), und sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2.4 Dem Verfahrensausgang entsprechend wären die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Indessen rechtfertigen es die Umstände, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Aargau, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau, dem Bundesamt für Migration sowie (zur Kenntnisnahme) Rechtsanwalt Dr. Marcel Buttliger schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Feller