Sachverhalt:
A. Der aus Bosnien-Herzegowina stammende X._ (geb. 1962) arbeitete 1991 sowie in den Jahren 1993-1996 als Saisonnier in der Schweiz. Im November 1996 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._, worauf er regelmässig verlängerte Aufenthaltsbewilligungen erhielt und im November 2000 erleichtert eingebürgert wurde. Auf gemeinsames Scheidungsbegehren der Eheleute vom März 2001 hin wurde die Ehe im September 2001 geschieden. Die Behörden gingen in der Folge davon aus, dass X._ lediglich seine Einbürgerung abgewartet hatte, um anschliessend seine bereits bestehenden Trennungs- und Scheidungsabsichten in die Tat umzusetzen. Deshalb erklärte das damalige Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; heute Bundesamt für Migration) am 26. März 2004 die erleichterte Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG (SR 141.0) für nichtig. Dieser Entscheid wurde nicht angefochten. X._ blieb in der Schweiz und meldete sich bei der Einwohnerkontrolle wieder an. Das Amt für Migration des Kantons Luzern gewährte ihm am 14. November 2005 das rechtliche Gehör. Sie stellte ihm in Aussicht, keine neue Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. X._ nahm am 2. Oktober 2006 Stellung und beantragte, "das Gesuch möglichst schnell zu behandeln und gutzuheissen". Am 17. Februar 2009 verweigerte das Amt für Migration des Kantons Luzern schliesslich die "Neuerteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. die Verlängerung der ursprünglichen Aufenthaltsbewilligung" und wies X._ aus der Schweiz weg.
Hiegegen gelangte dieser an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Zudem stellte er am 4. März 2009 beim kantonalen Amt für Migration ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wobei er sich auf das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) stützte. Das Amt für Migration lehnte am 4. Mai 2009 die Vornahme einer Prüfung nach neuem Recht ab und hielt an seiner Verfügung vom 17. Februar 2009 fest. Auch hiegegen gelangte X._ mit Beschwerde an das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement. Dieses wies die Rechtsmittel gegen die Entscheide vom 17. Februar und 4. Mai 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Die anschliessend beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern eingereichte Beschwerde blieb erfolglos.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. November 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. September 2010 sowie die Entscheide des Amtes für Migration sowie des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 17. Februar und 17. Juli 2009 aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Ausserdem sei festzustellen,
"dass die Information Dritter (über die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Ausweisung) vor Eintritt der Rechtskraft unzulässig war und dadurch die Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers verletzt worden sind;
[...] dass die Vernichtung der ausländerrechtlichen Akten des Beschwerdeführers unzulässig war,
[...] dass die Verfahrensdauer gegen das Beschleunigungsgebot verstösst."
Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanzen zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen oder nicht auf sie einzutreten. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und das kantonale Amt für Migration hat sich nicht geäussert. Am 21. März 2011 hat X._ eine Replik eingereicht; er hält an seinen Anträgen fest.
C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 16. November 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Vorliegend geht es nicht um den Widerruf oder um die Feststellung des Erlöschens einer Niederlassungsbewilligung. Denn der Beschwerdeführer hat nie über eine derartige Bewilligung verfügt, sondern allenfalls über zeitlich befristete Aufenthaltsbewilligungen, deren Gültigkeitsdauern längst abgelaufen sind. Gegenstand des Verfahrens bildet daher nur die Frage, ob dem Beschwerdeführer wieder eine Bewilligung zu erteilen ist (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.2.1 und 1.2.2 S. 4). Insoweit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG aber nur zulässig, wenn das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Bewilligungsanspruch einräumt. Der Beschwerdeführer beruft sich ausdrücklich auf Art. 8 EMRK sowie auf Art. 50 AuG.
1.2 Am 1. Januar 2008 ist das Ausländergesetz (AuG) unter Aufhebung des zuvor geltenden Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121 sowie Änderungen gemäss Fussnote zu Ziff. I des Anhangs 2 zum AuG) in Kraft getreten (AS 2007 5489). Gemäss Art. 126 Abs. 1 AuG bleibt das frühere materielle Recht aber anwendbar auf Gesuche, die vor dem 1. Januar 2008 eingereicht worden sind. Gegenüber dem Bundesgericht stellt der Beschwerdeführer in Frage, dass vor dem 1. Januar 2008 überhaupt je ein Gesuch gestellt oder ein "eigentliches" Verfahren eingeleitet worden sei. Deshalb sei nur auf das neue Recht abzustellen. Dieses Vorbringen geht fehl. Zum einen hatten die Behörden vor dem Jahr 2008 ein Verfahren zwecks Prüfung der (Wieder-) Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung eingeleitet und dem Beschwerdeführer dabei das rechtliche Gehör gewährt, nachdem er sich im Jahr 2004 bei der Einwohnerkontrolle Emmenbrücke angemeldet hatte (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2C_701/2008 vom 26. Februar 2009 E. 2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 2.1, in: ZBl 112/2011 S. 96, zu den von Amtes wegen eingeleiteten Verfahren). Zum anderen hatte dieser namentlich am 2. Oktober 2006 erklärt, das "Gesuch" um Aufenthaltsbewilligung möge gutgeheissen werden. Demnach besteht kein Zweifel, dass insoweit noch das alte materielle Recht anwendbar ist.
1.3 Gemäss Art. 7 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Satz 1). Nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat er Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung (Satz 2). Letztgenannter Anspruch kann auch nach erfolgter Scheidung geltend gemacht werden. Das setzt allerdings voraus, dass die Ehe - für das Eintreten nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG zumindest formell - mindestens fünf Jahre bestanden hat. Die Ehe des Beschwerdeführers mit der Schweizer Ehefrau ist seit September 2001 geschieden. Die im November 1996 geschlossene Ehe hatte somit weniger als fünf Jahre gedauert. Damit scheidet ein Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 7 Abs. 1 Satz 1 oder 2 ANAG von vornherein aus (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.2.2 S. 4; 128 II 145 E. 1.1 S. 148 f. mit Hinweisen).
1.4 Aus dem Niederlassungs- und Konsularvertrag zwischen der Schweiz und Serbien vom 16. Februar 1888 (SR 0.142.118.181) kann der Beschwerdeführer ebenso wenig einen Anspruch ableiten, da dieser Vertrag den Personen ohne bereits bestehende Niederlassungsbewilligung - nach aktuellem Verständnis - kein Aufenthaltsrecht verschafft (vgl. BGE 132 II 65 E. 2.3 S. 68 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 2.2). Ob das Abkommen zudem überhaupt auf den zwar der serbischen Volksgruppe angehörigen Beschwerdeführer, der aber Staatsangehöriger von Bosnien-Herzegowina ist, anwendbar wäre, kann offen gelassen werden (vgl. BGE 132 II 65 E. 3.4 und 3.5.4 in fine S. 70 ff.; erwähntes Urteil 2C_426/2010 E. 2.2).
1.5 Hinsichtlich des Gesuchs des Beschwerdeführers vom 4. März 2009 ist nach Art. 126 AuG das neue Ausländerrecht anwendbar. Bewilligungsansprüche bestehen insoweit nur gemäss Art. 42 - 52 AuG. Nach Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft bleibt der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 AuG aufrechterhalten, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Dem Vorbringen des Beschwerdeführers zufolge ist nicht zum Vornherein ausgeschlossen, dass eine oder beide Tatbestandsalternativen von Art. 50 Abs. 1 AuG erfüllt sein könnten. Vorliegend ist schon streitig, ob eine Beurteilung nach dieser Bestimmung überhaupt in Betracht kommt. Ob die Vorinstanzen zu Recht auf das Gesuch vom 3. März 2009 nicht eingetreten sind bzw. keine Prüfung anhand von Art. 50 AuG vorgenommen haben, betrifft nicht das Eintreten; diese Frage bildet vielmehr Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 136 II 177 E. 1.2 S. 180 mit Hinweisen; Urteil 2C_181/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 1 und 2).
1.6 Soweit der Beschwerdeführer auch die Aufhebung der Entscheide des Amtes für Migration und des Justiz- und Sicherheitsdepartements beantragt, ist darauf mit Blick auf den Devolutiveffekt der Beschwerdeverfahren nicht einzutreten; immerhin gelten diese als mitangefochten (vgl. Art. 86 BGG; BGE 136 II 177 E. 1.3 S. 180 f.; 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
1.7 Im Übrigen ist auf die Beschwerde nur einzutreten, soweit der Beschwerdeführer hinreichend begründete Rügen erhebt (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1, 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f.).
2. 2.1 Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement trat auf das Gesuch vom 4. März 2009 nicht ein mit der Begründung, durch die Einreichung eines neuen Gesuchs dürfe die Anwendung des bisherigen Rechts nicht umgangen werden. Das Gesuch sei nur dann materiell zu prüfen, wenn der Gesuchsteller neue Tatsachen oder veränderte Verhältnisse geltend mache, was der Beschwerdeführer nicht getan habe.
Dem Verwaltungsgericht zufolge hätten die Vorinstanzen auf das Gesuch vom 4. März 2009 "grundsätzlich [...] nicht eintreten müssen", da gemäss § 107 Abs. 2 lit. f des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL Nr. 40) ein Sachentscheid voraussetze, dass in der gleichen Sache kein anderes Verfahren hängig sei. Zwar könne eine Änderung des objektiven Rechts zum Anlass für eine Wiedererwägung genommen werden. Mit Blick auf ein Bundesgerichtsurteil (2C_114/2009 vom 4. August 2009) sei jedoch davon auszugehen, dass die Behörden auf ein Wiedererwägungsgesuch nicht eintreten bzw. dieses abweisen würden. Es widerspräche Art. 126 Abs. 1 AuG, wenn mit einem Wiedererwägungsgesuch die Anwendung des neuen Rechts auf einen rechtskräftig beurteilten Sachverhalt erwirkt werden könnte. Der Gesetzgeber habe keine Rückwirkung des neuen Ausländerrechts vorgesehen. Er habe mit der Regelung von Art. 50 AuG kaum beabsichtigt, Aufenthaltsansprüche wegen Ehen zu begründen, die mehr als sechs Jahre vor Inkrafttreten des neuen Rechts geschieden worden seien.
2.2 Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, ihm stehe aufgrund der geänderten Rechtslage nach Art. 50 AuG ein Anspruch auf Bewilligungserteilung zu. Die "derart veränderte Rechtslage" verschaffe ihm auch einen Anspruch auf Neubefassung. Er verweist dazu auf BGE 136 II 177 E. 2.2 S. 181 f. und macht Rechtsverweigerung durch die Vorinstanzen geltend.
2.3 Im zuletzt erwähnten Urteil führte das Bundesgericht aus, ein Anspruch auf Neubefassung bzw. einen neuen Sachentscheid bestehe gestützt auf Art. 29 BV, wenn der Gesuchsteller darlege, dass und inwiefern sich die massgebende Rechtslage nachträglich wesentlich verändert habe. Entsprechende Darlegungen hat der Beschwerdeführer gegenüber den Vorinstanzen vorgenommen. Das Bundesgericht ging aber von einem Sachverhalt aus, der nach rechtskräftigem Abschluss des ursprünglichen ausländerrechtlichen Verfahrens anhielt (BGE 136 II 177 E. 2.2.1 S. 181 f.: Nachzug von Kindern, welche die vorgesehene Alterslimite noch nicht erreicht haben). Hingegen sollte mit einem neuen Gesuch bzw. einem Wiedererwägungsgesuch nicht die Anwendung des neuen Rechts auf einen zeitlich abgeschlossenen Sachverhalt erwirkt werden können, wenn die Übergangsregelungen das nicht vorsehen. Davon betroffen sind die Fälle der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach bzw. infolge Auflösung der Ehe oder Ehegemeinschaft, die gemäss Art. 126 AuG noch unter dem früheren Ausländerrecht (ANAG) zu beurteilen waren. Der insoweit nach altem Recht rechtskräftig beurteilte Sachverhalt ist hernach nicht erneut unter dem Blickwinkel von Art. 50 AuG zu prüfen (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2C_492/2008 vom 26. Januar 2009 E. 3.4.2; 2C_114/2009 vom 4. August 2009 E. 2.3; 2C_168/2009 vom 30. September 2009 E. 4 und 2C_376/2010 vom 18. August 2010 E. 2.2.2).
Die soeben zitierten Urteile bezogen sich allerdings auf Fälle, in denen bereits rechtskräftige Entscheide vorlagen. Das trifft hier nicht zu, da der Beschwerdeführer seinen neuen Antrag stellte, als erst das kantonale Amt für Migration verfügt hatte und die Entscheide der Rechtsmittelinstanzen noch ausstanden. Das Kantonsgericht hält dem neuen Antrag zwar die Regelung von § 107 Abs. 2 lit. f VRG/LU entgegen. Danach setzt ein Sachentscheid voraus, dass in der gleichen Sache kein anderes Verfahren hängig ist. Mit dieser Bestimmung befasst sich der Beschwerdeführer nicht. Das Kantonsgericht scheint aber - wohl aus prozessökonomischen Gründen - einzuräumen, dass von dieser Regelung abgewichen wird, wenn nach rechtskräftigem Abschluss des ersten Verfahrens ohnehin auf ein Wiedererwägungsgesuch hin eine Beurteilung nach dem neuen Recht stattzufinden hätte. Mit Blick auf die erwähnten Bundesgerichtsurteile könnte der Beschwerdeführer nach einem rechtskräftigen Entscheid über die Erneuerung seiner Aufenthaltsbewilligung jedoch nicht mehr eine Prüfung nach Art. 50 AuG unter Bezugnahme auf die zwischen den Jahren 1996 und 2001 bestehende Ehe verlangen. Somit haben die Vorinstanzen folgerichtig von einer entsprechenden Beurteilung nach dieser Vorschrift abgesehen, auch wenn sie noch nicht rechtskräftig über die Bewilligungserteilung nach altem Recht entschieden hatten.
Zwar hat das Bundesgericht wiederholt Fälle nach Art. 50 AuG beurteilt, obwohl die Ehe oder eheliche Gemeinschaft noch im Geltungszeitraum des alten Ausländerrechts aufgelöst worden war (vgl. BGE 2C_411/2010 vom 9. November 2010, insb. lit. A und nicht publ. E. 1; Urteile 2C_416/2009 vom 8. September 2009; 2C_711/2009 vom 30. April 2010; 2C_377/2010 vom 28. Juli 2010; 2C_225/2010 vom 4. Oktober 2010; 2C_682/2010 vom 17. Januar 2011). Im Unterschied zum vorliegenden Fall verfügten die Betroffenen dort aber noch im Zeitpunkt des Inkrafttretens des neuen Ausländerrechts über einen Aufenthaltstitel, der infolge der Eheschliessung erteilt worden war. Insoweit war denn auch jeweils erst nach dem 1. Januar 2008 ein Verfahren zur Erneuerung bzw. Überprüfung der Bewilligung eingeleitet worden. Dementsprechend war nach den Übergangsregelungen in Art. 126 AuG das neue Recht anzuwenden. Der Beschwerdeführer war hingegen am besagten Datum seit Jahren ohne jegliche Aufenthaltsbewilligung und es war wegen Art. 126 AuG noch unter dem alten Recht zu klären, ob ihm eine solche namentlich mit Blick auf die frühere Ehe wieder erteilt werden könnte (s. auch E. 1.2 hievor).
2.4 Der Beschwerdeführer macht zwar zusätzlich geltend, das kantonale Amt für Migration hätte das Beschleunigungsgebot verletzt, indem es jahrelang nicht über die Wiedererteilung eines Aufenthaltstitels entschieden hätte. Daraus will er offenbar einen Anspruch auf eine Prüfung nach Art. 50 AuG ableiten. Es ist jedoch weder ersichtlich noch vom Beschwerdeführer dargelegt worden, woraus sich das ergeben soll. Hätte die Behörde noch während der Geltungsdauer des früheren Ausländerrechts entschieden, wäre eine Prüfung nach Art. 50 AuG von vornherein nicht in Betracht gekommen; auch ein späteres Wiedererwägungsgesuch hätte ihm dann nicht weiter geholfen (vgl. E. 2.3 hievor). Wie dargelegt, wäre dem Beschwerdeführer aber auch nicht gedient gewesen, wenn das Amt für Migration kurz nach Inkrafttreten des neuen Ausländerrechts verfügt hätte, da wegen Art. 126 AuG noch das frühere materielle Recht anzuwenden war.
2.5 Demzufolge hat die Vorinstanz zu Recht eine Prüfung unter dem Blickwinkel von Art. 50 AuG abgelehnt (im Ergebnis ebenso Urteil des Bundesgerichts 2C_241/2009 vom 23. September 2009 E. 2).
3. Der Beschwerdeführer macht auch einen Bewilligungsanspruch aus dem Recht auf Schutz des Privatlebens nach Art. 8 EMRK geltend. Ein solcher Anspruch setzt aber voraus, dass er besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Beziehungen in der Schweiz hat (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 126 II 377 E. 2c/aa S. 385). Der Beschwerdeführer legt vor Bundesgericht nichts dergleichen dar. Seine allgemein gehaltene Kritik und sein blosser Verweis auf die kantonalen Akten genügen nicht, zumal er damit auch nicht gemäss Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2 BGG aufzeigt, dass und warum die anders lautenden Feststellungen und Schlussfolgerungen der Vorinstanz unzutreffend sein sollen (s. E. 1.7 hievor und BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.). Wie diese unter anderem bemerkt, war der Beschwerdeführer in beruflicher Hinsicht in den vergangenen Jahren wiederholt arbeitslos und seine privaten Beziehungen übersteigen nicht das übliche Mass. Der Beschwerdeführer legt auch nicht dar, warum die Möglichkeit, sich bei den Vorinstanzen schriftlich äussern zu können, nicht genügen soll und er daher persönlich anzuhören sei (vgl. BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 130 II 425 E. 2.1 S. 428 f.). Dass seine ausländerrechtlichen Akten aus der Zeit vor der Einbürgerung - im November 2000 - vernichtet worden sind, stellt schliesslich kein Hindernis dar, seine aktuellen Beziehungen zur Schweiz, auf die es ankommt, darzulegen bzw. zu beurteilen. Somit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK abgelehnt hat.
Auch die - kaum substanziierte - Rüge der Verletzung von Art. 13 EMRK führt nach dem Dargelegten zu keiner anderen Beurteilung. Das gilt ebenso für die Kritik, die Vorinstanz habe ihre Kognition bundesrechtswidrig beschränkt. Zwar ist dem Beschwerdeführer Recht zu geben, dass grundsätzlich auf den Sachverhalt im Zeitpunkt des Entscheids der einzigen kantonalen Gerichtsinstanz - und nicht, wie das Verwaltungsgericht meint, des kantonalen Departements - abzustellen ist. Damit konnten dem Verwaltungsgericht denn auch neue Tatsachen und Beweismittel unterbreitet werden (vgl. Art. 29a BV und Art. 110 BGG; BGE 135 II 369 E. 3.3 S. 374; zum Kanton Luzern Urteil 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.1). Der Beschwerdeführer hat jedoch nicht innert Beschwerdefrist geltend gemacht (vgl. Art. 42 Abs. 2, 100 und 102 Abs. 3 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2 S. 21), inwiefern spätere Entwicklungen vom Verwaltungsgericht hätten berücksichtigt werden müssen und sich solche auf den Entscheid ausgewirkt hätten (dazu Art. 97 Abs. 1 BGG).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer stellt einen Antrag auf Feststellung, dass die Information Dritter über die Nichterteilung einer Bewilligung vor Rechtskraft des betreffenden Entscheids unzulässig sei. Die Vorinstanz ist auf den entsprechenden Antrag mangels Rechtsschutzinteresses nicht eingetreten, weil das kantonale Departement ausgeführt hatte, künftig sollten entsprechende Mitteilungen an Dritte erst dann erfolgen, wenn die verfügte Wegweisung vollstreckbar geworden sei. Insoweit stellt sich beim Bundesgericht nur die Frage, ob die Vorinstanz zu Unrecht von einem fehlenden Rechtsschutzinteresse ausgegangen ist. Inwiefern die Vorinstanz dabei Recht verletzt hat, zeigt der Beschwerdeführer aber trotz der ihn treffenden Begründungsobliegenheit (s. E. 1.7 hievor) nicht auf, weshalb auf den erwähnten Antrag nicht weiter einzugehen ist. Im Übrigen hatte das Bundesgericht in dem vom Beschwerdeführer zitierten Urteil 2C_184/2010 vom 1. August 2010 (E. 4.1 und 4.2), dem eine vergleichbare Konstellation zugrundelag, festgehalten, dass das Verwaltungsgericht den Beschwerdeführern ohne Willkür ein praktisches Interesse am erhobenen Feststellungsbegehren absprechen durfte.
4.2 Der Beschwerdeführer beanstandet, dass das kantonale Amt für Migration unmittelbar nach seiner Einbürgerung im November 2000 die über ihn angelegten ausländerrechtlichen Akten vernichtet hatte. Es solle festgestellt werden, dass dies unzulässig gewesen sei. Obwohl im angefochtenen Entscheid vom Fehlen eines Interesses für diesen Feststellungsantrag ausgegangen wird, legt der Beschwerdeführer in keiner Weise dar, inwiefern die Vorinstanz dadurch gegen verfassungsmässige Rechte oder zumindest gegen die in Art. 95 BGG erwähnten Rechte verstösst. In seiner Replik macht er - im Grunde verspätet (vgl. BGE 135 I 19 E. 2.2 S. 21) - geltend, es könne ausnahmsweise auf ein aktuelles Rechtsschutzinteresse verzichtet werden. Eine entsprechende Ausnahmesituation hat er indes nicht dargelegt. Soweit er wegen der Vernichtung der Akten Rügen im Zusammenhang mit dem Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung geltend machen wollte, war ihm dies möglich. Die Vorinstanz hat sich denn auch damit befasst (z.B. in E. 4b des angefochtenen Entscheids). Ausserdem ist nicht ersichtlich, inwieweit diese früheren Akten für den Entscheid erheblich sein könnten, da allfällige, früher erteilte Aufenthaltsbewilligungen durch Zeitablauf erloschen wären und ohnehin keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung bzw. Erneuerung begründen würden (vgl. BGE 126 II 377 E. 3b S. 388). Im Übrigen hat die Vorinstanz ausgeführt, dass das Amt für Migration seit dem Jahr 2006 in Anpassung seiner bisherigen Praxis die Akten von eingebürgerten Personen erst nach einer Frist von fünf Jahren (vgl. Art. 41 Abs. 1 BüG in der bis zum 28. Februar 2011 geltenden Fassung) löscht. Ein zusätzliches, eigenständiges Interesse an der begehrten Feststellung ist demnach nicht ersichtlich, weshalb auf diesen Antrag schon aus diesem Grunde nicht einzutreten ist (vgl. auch BGE 119 II 368 E. 2a S. 370; 118 Ia 488 E. 1c S. 491; 127 III 481 E. 1b/aa S. 483).
4.3 Die Vorinstanz hat in einer eigenen Urteilserwägung (E. 11) und nicht - wie der Beschwerdeführer behauptet - bloss in einem Nebensatz eine Verletzung des Beschleunigungsgebots durch das kantonale Amt für Migration festgestellt. Der Beschwerdeführer will, dass diese Feststellung in das Urteilsdispositiv aufgenommen werde. Woraus sich das ergeben und inwiefern er hiefür noch ein Rechtsschutzinteresse haben soll, ist allerdings auch nicht ersichtlich, weshalb auf das diesbezügliche Begehren vor Bundesgericht ebenso wenig einzutreten ist (s. auch E. 1.7 hievor).
5. Dem Dargelegten zufolge ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Diesem Ausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Parteientschädigungen werden nicht zugesprochen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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