Sachverhalt:
A. Y._ reichte im November 2008 bzw. März 2009 ein Baugesuch betreffend die Erstellung einer privaten Zufahrt zu ihrem Wohnhaus auf Grundstück Nr. 1589, GB Weggis, ein. Die geplante Zufahrt führt über das benachbarte Grundstück Nr. 1588, das im Eigentum von X._ steht. Die Berechtigung zur Vornahme von Bauarbeiten auf dem Grundstück Nr. 1588 wird von Y._ aus einem Fuss- und Fahrwegrecht zugunsten ihrer eigenen Liegenschaft abgeleitet. Über den Umfang dieser Dienstbarkeit hat das Bundesgericht mit Urteil vom 22. August 2008 entschieden (Verfahren 5A_253/2008).
B. X._ erhob gegen das Bauprojekt innert Auflagefrist Einsprache. Nachdem anlässlich einer Einspracheverhandlung keine Einigung hatte erzielt werden können, bewilligte der Gemeinderat Weggis am 25. November 2009 die Erstellung der privaten Hauszufahrt auf den Parzellen Nrn. 1588 und 1589, dies unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess eine von X._ gegen die Bewilligung erhobene Beschwerde am 30. August 2010 im Sinne der Erwägungen teilweise gut, hob den Entscheid vom 25. November 2009 auf und wies die Sache zurück an den Gemeinderat, damit dieser nach Aktenergänzung über die Baubewilligung neu befinde.
C. In der Folge holte der Gemeinderat von der Gebäudeversicherung des Kantons Luzern eine Stellungnahme aus feuerpolizeilicher Sicht ein. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2010 stimmte die Gebäudeversicherung dem Strassenbauvorhaben zu. Mit Ergänzungsentscheid vom 17. November 2010 erteilte der Gemeinderat Weggis der Gesuchstellerin die Baubewilligung erneut, wiederum unter Bedingungen und Auflagen. Die von X._ erhobene öffentlich-rechtliche Einsprache wies er dabei ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden war und soweit er im Übrigen darauf eintrat. Sodann wurde auch auf die privatrechtlichen Einwendungen nicht eingetreten, dies unter Hinweis auf das erwähnte bundesgerichtliche Urteil vom 22. August 2008. Am 9. Dezember 2010 erhob X._ gegen die Baubewilligung erneut Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Mit Urteil vom 25. Mai 2011 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
D. Am 24. Juni 2011 gelangt X._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt, die Urteile des Verwaltungsgerichts vom 30. August 2010 und 25. Mai 2011 sowie die Entscheide des Gemeinderats Weggis vom 25. November 2009 und 17. November 2010 seien aufzuheben. Eventuell sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die Entscheide des Gemeinderats vom 25. November 2009 und vom 17. November 2010 aufhebe.
E. Mit Verfügung vom 21. Juli 2011 hat das Bundesgericht das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
F. Die Beschwerdegegnerin, die Vorinstanz und (sinngemäss) der Gemeinderat Weggis beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Stellungnahme vom 20. September 2011 hält der Beschwerdeführer an seiner Beschwerde fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit Urteil vom 25. Mai 2011 bestätigte das Verwaltungsgericht die Genehmigung für die Erstellung einer privaten Zufahrt zum Wohnhaus der Beschwerdegegnerin. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Abs. 2 und Art. 90 BGG).
Die Beschwerde richtet sich überdies gegen das Urteil vom 30. August 2010, in welchem sich das Verwaltungsgericht bereits mit der gleichen Angelegenheit befasste. Mit diesem Urteil hat die Vorinstanz die Beschwerde gegen die geplante Zufahrt teilweise gutgeheissen und die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen sowie zu neuem Entscheid an den Gemeinderat Weggis zurückgewiesen. Gleichzeitig hat sie verschiedene vom Beschwerdeführer vorgebrachte Rügen als nicht stichhaltig eingestuft. Die Beschwerdegegnerin ist der Auffassung, dieses Urteil sei in Rechtskraft erwachsen und für den Beschwerdeführer nicht mehr anfechtbar. Sie verkennt, dass der Rückweisungsentscheid vom 30. August 2010 weder das Verfahren ganz oder teilweise abgeschlossen (vgl. Art. 90 f. BGG) noch die Zuständigkeit oder Ausstandsbegehren betroffen hat (vgl. Art. 92 BGG). Es handelt sich damit um einen Zwischenentscheid, der durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar ist, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG). Soweit die Vorinstanz sich im Urteil vom 25. Mai 2011 an die Ausführungen im Rückweisungsentscheid gebunden betrachtete (vgl. Urteil vom 25. Mai 2011 E. 2), hat sich der Rückweisungsentscheid auf den Inhalt des Urteils vom 25. Mai 2011 ausgewirkt. Damit ist der Rückweisungsentscheid vom 30. August 2010 zusammen mit der Beschwerde gegen das Urteil vom 25. Mai 2011 anfechtbar.
1.2 Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Die projektierte Zufahrt führt über das Grundstück Nr. 1588, das in seinem Eigentum steht. Damit ist der Beschwerdeführer nach Art. 89 Abs. 1 BGG beschwerdeberechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.3 Nicht einzutreten ist auf den Antrag des Beschwerdeführers, die Entscheide des Gemeinderats Weggis vom 25. November 2009 und vom 17. November 2010 seien aufzuheben. Diese Entscheide sind durch den Entscheid der Vorinstanz ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Errichtung der projektierten Zufahrt führe zu einer Änderung der bestehenden und bewilligten Zufahrt zu seiner eigenen Liegenschaft. Dies habe zur Folge, dass die Zufahrt zu seiner Liegenschaft nur noch beschränkt nutzbar sei. Wohl müsse er sich aufgrund des Fuss- und Fahrwegrechts eine Belastung seines Eigentums gefallen lassen. Die Belastung müsse aber in schonender Weise erfolgen und zu seinen Interessen als Eigentümer des belasteten Grundstücks in einem angemessenen Verhältnis stehen. Konkret bedeute dies, dass Erschliessungsvarianten zu prüfen seien, welche die Zufahrt zu seiner Liegenschaft nicht erschweren würden. Das angefochtene Urteil verletze das Gebot der schonenden Rechtsausübung nach Art. 737 Abs. 2 ZGB sowie das Verhältnismässigkeitsprinzip nach Art. 5 Abs. 2 BV. Dass die Vorinstanz nicht Varianten geprüft habe, die ihn nicht beeinträchtigen würden, stelle zudem eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV dar. Ausserdem verstosse das angefochtene Urteil gegen die von Art. 26 BV geschützte Eigentumsgarantie.
2.1 Das Bundesgericht berechtigte die heutige Beschwerdegegnerin mit Urteil 5A_253/2008 vom 22. August 2008 unter Vorbehalt öffentlich-rechtlicher Bewilligungen, auf dem Grundstück Nr. 1588 zugunsten ihres Grundstücks Nr. 1589 eine Erschliessungsstrasse gemäss Plan vom 5. Juli 2006 zu erstellen. Es führte aus, Dienstbarkeiten führten ihrem Wesen nach stets zu einer mehr oder weniger starken Einschränkung des Eigentums am belasteten Grundstück. In Betracht zu ziehen sei, dass die baulichen Vorkehren sich auf den 190 m2 messenden Teil des Grundstücks Nr. 1588 beschränkten, der ursprünglich zum (Strassen-)Grundstück Nr. 1579 gehört habe und lediglich einen kleinen ausbuchtungsartigen Anhang im Bereiche der südöstlichen Ecke des Grundstücks des heutigen Beschwerdeführers bilde. Es könne keineswegs gesagt werden, mit der projektierten Zufahrt würde das Eigentumsrecht des heutigen Beschwerdeführers geradezu ausgehöhlt. Dessen Widerstand gegen die von der heutigen Beschwerdegegnerin beanspruchte Dienstbarkeitsausübung auf dem nachträglich erworbenen Grundstücksteil sei angesichts der massgebenden Grundsätze nicht zu schützen.
Das Bundesgericht hat mit seinem Urteil vom 22. August 2008 demzufolge nicht nur den Bestand der das Grundstück Nr. 1588 belastenden Dienstbarkeit bestätigt, sondern darüber hinaus unmissverständlich entschieden, dass die heutige Beschwerdegegnerin als Eigentümerin des Grundstücks Nr. 1589 in privatrechtlicher Hinsicht berechtigt ist, die Erschliessungsstrasse wie projektiert zu erstellen. Zwar weicht die vom Gemeinderat am 25. November 2009 bewilligte Zufahrt gemäss den Ausführungen der Vorinstanz geringfügig vom Projektplan vom 5. Juli 2006 ab. Zurecht widerspricht der Beschwerdeführer aber der Auffassung der Vorinstanz nicht, wonach diese Abweichung äusserst gering und das vom Gemeinderat bewilligte Projekt mit dem Fuss- und Fahrwegrecht bzw. mit dem Bundesgerichtsurteil 5A_253/2008 vom 22. August 2008 vereinbar sei.
2.2 Soweit die vom Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren gegen die geplante Zufahrt vorgebrachten Einwände Inhalt und Umfang der Dienstbarkeit betreffen, welche sein Grundstück zugunsten des Grundstücks der Beschwerdegegnerin belastet, ist darauf schon im Hinblick auf das rechtskräftige Urteil des Bundesgerichts 5A_253/2008 vom 22. August 2008 nicht mehr einzugehen. Dies gilt insbesondere auch für die Einwände, die Belastung seines Grundstücks müsse in schonender Weise erfolgen, sie stehe zu seinen Interessen nicht in einem angemessenen Verhältnis und es seien keine Erschliessungsvarianten geprüft worden, welche die Zufahrt zu seiner Liegenschaft nicht erschweren würden. Soweit der Beschwerdeführer damit eine Verletzung von Art. 737 Abs. 2 ZGB, des Verhältnismässigkeitsprinzips (Art. 5 Abs. 2 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV) begründen will, ist auf seine Rügen nicht einzutreten, zumal er entsprechende Einwände im Verfahren 5A_253/2008 hätte vorbringen können und müssen.
Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe die Eigentumsgarantie (Art. 26 BV) verletzt. Zwar ist die Eigentumsgarantie im Verhältnis zwischen Privatpersonen bei der Auslegung der massgebenden Gesetzesbestimmungen, namentlich des dienstbarkeitsrechtlichen Grundgedankens in Art. 737 ZGB, zu beachten (vgl. Urteil 5A_699/2008 vom 5. Dezember 2008 E. 4). Entsprechende Einwände hätte der Beschwerdeführer aber ebenfalls schon im Verfahren 5A_253/2008 vorbringen können und müssen. Nichts anderes gilt schliesslich für die Rüge, die Vorinstanz hätte die projektierte Zufahrt nicht genehmigen dürfen, weil das Verhalten der Beschwerdegegnerin insofern widersprüchlich und rechtsmissbräuchlich sei, als sie im Zeitpunkt der Bewilligung seines Wohnhauses gegen die Errichtung der bestehenden Zufahrt keine Einsprache erhoben habe.
2.3 Immerhin ist der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren zur Rüge berechtigt, die Errichtung der geplanten Zufahrt führe dazu, dass sein eigenes Grundstück nicht mehr im Sinne von Art. 19 RPG (SR 700) erschlossen sei. Auch wenn feststeht, dass die Beschwerdegegnerin in privatrechtlicher Hinsicht zur Errichtung der projektierten Zufahrt berechtigt ist, wäre die Bewilligung der Zufahrt nicht mit dem Bundesrecht vereinbar, wenn damit die im Sinne von Art. 19 RPG genügende Erschliessung des Grundstücks des Beschwerdeführers ersatzlos aufgehoben würde. Dies zumal schon die Erteilung einer Baubewilligung gemäss Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG voraussetzt, dass das überbaute Land erschlossen ist.
3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Zufahrt zu seinem Haus sei mit der neuen Erschliessungslösung bei schlechten Witterungsbedingungen nicht mehr gewährleistet und werde für Lastwagen aufgehoben. Hinzu komme, dass die Übersichtlichkeit eingeschränkt werde und erhebliche Mehrkosten für die Heizölanlieferung und den gehörigen Unterhalt der Zufahrt anfielen. Indem die Vorinstanz die geplante Zufahrt dennoch genehmigt habe, habe sie eine bestehende und bewilligte Erschliessung im Sinne von Art. 19 RPG aufgehoben. Damit macht der Beschwerdeführer (sinngemäss) geltend, die Genehmigung der geplanten Zufahrt führe dazu, dass sein eigenes Grundstück nicht mehr genügend im Sinne von Art. 19 RPG erschlossen sei.
3.1 Zur Erschliessung zählt die Gesamtheit aller Einrichtungen, die notwendig sind, damit ein Grundstück zonen- und bauordnungsgerecht genutzt werden kann. Land ist erschlossen, wenn unter anderem eine für die betreffende Nutzung hinreichende Zufahrt besteht (Art. 19 Abs. 1 RPG). Für den Wohnungsbau präzisiert sodann Art. 4 des Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetzes vom 4. Oktober 1974 (WEG, SR 843) den Begriff der Erschliessung. Hinreichende Zufahrt besteht, wenn die Zugänglichkeit sowohl für die Benützer der Bauten als auch für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste gewährleistet ist. Die Zufahrten sollen verkehrssicher sein und haben sich nach den zonengerechten Baumöglichkeiten jener Flächen zu richten, die sie erschliessen sollen. Aus bundesrechtlicher Sicht genügt es, wenn eine Zufahrtsstrasse hinreichend nahe an Bauten und Anlagen heranführt. Die befahrbare Strasse muss nicht bis zum Baugrundstück oder gar zu jedem einzelnen Gebäude reichen; vielmehr genügt es, wenn Benützer und Besucher mit dem Motorfahrzeug (oder einem öffentlichen Verkehrsmittel) in hinreichende Nähe gelangen und von dort über einen Weg zum Gebäude oder zur Anlage gehen können. Für Erschliessungsanlagen auf fremdem Grund ist deren rechtliche Sicherstellung nachzuweisen (BGE 136 III 130 E. 3.3.2 S. 135 f. mit Hinweis).
3.2 Die einzelnen Anforderungen an die Erschliessung ergeben sich im Detail hauptsächlich erst aus dem kantonalen Recht und der kantonalen Gerichts- und Verwaltungspraxis, die sich am bundesrechtlichen Rahmen zu orientieren haben. Das entsprechende kantonale Recht kann insbesondere das Ausmass der Erschliessungsanlagen und die Anforderungen an die genügende Zugänglichkeit in abstrakter Weise festlegen. Hingegen bleibt es den Kantonen verwehrt, im Rahmen der Konkretisierung der Erschliessungsanforderungen den durch Art. 19 RPG und die Spezialgesetzgebung gezogenen bundesrechtlichen Rahmen zu überschreiten (Urteil 1C_376/2010 vom 1. Februar 2011 E. 4.1 mit Hinweis; vgl. auch BGE 123 II 337 E. 5b S. 350 mit Hinweis). Bei der Beurteilung, ob eine Zufahrt ein Baugrundstück hinreichend erschliesst, steht den kantonalen und kommunalen Behörden ein erhebliches Ermessen zu (vgl. BGE 121 I 65 E. 3a S. 68 mit Hinweisen; Urteil 1C_376/2010 vom 1. Februar 2011 E. 4.3 mit Hinweis). Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts nur auf Willkür hin und nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorbebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.3 Im Urteil vom 30. August 2010 führte die Vorinstanz aus, allein der Umstand, dass die neue Erschliessungslösung für den Beschwerdeführer allenfalls weniger komfortabel sei als die bisherige, vermöge die Rechtmässigkeit der geplanten Zufahrt nicht zu erschüttern. Die grundsätzliche Erschliessung des Grundstücks des Beschwerdeführers werde durch die geplante Zufahrt nicht tangiert. Sie sei jedoch insofern beeinträchtigt, als die Zufahrt zum Wohnhaus des Beschwerdeführers möglicherweise erschwert werde. Der Beschwerdeführer habe allfällige zumutbare Unannehmlichkeiten indessen in Kauf zu nehmen, solange die Erschliessung seiner Parzelle gewährleistet sei. Auch eine Erschliessung, die in Einzelfällen gewisse Schwierigkeiten mit sich bringe, könne genügend im Sinne von Art. 19 Abs. 1 und Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG sein.
Für die Beurteilung der verkehrsmässigen Erschliessung der Liegenschaft des Beschwerdeführers stützte sich die Vorinstanz auf die Baupläne sowie den technischen Bericht vom 30. Januar 2009 und in Ergänzung vom 30. Juli 2009 eines vom Gemeinderat beauftragten Ingenieurbüros. Sie hielt fest, dass die umgestaltete Zufahrt zum Wohnhaus des Beschwerdeführers für Personenwagen und die Sanität genügend breit sei, die Befahrbarkeit mit entsprechendem Unterhalt trotz der erheblichen Steigung auch bei nicht optimaler Witterung sichergestellt werden könne, die Installation eines Spiegels die erforderliche Übersichtlichkeit im Bereich der Kreuzung der beiden Grundstückszufahrten schaffe, die Lieferung mit Heizöl mittels Schlauch ab dem Wendeplatz am Ende der Quartierstrasse möglich sei und die Kehrichtabfuhr offensichtlich bereits bis anhin nur bis zum Wendeplatz erfolge.
Im Urteil vom 25. Mai 2011 hielt die Vorinstanz - gestützt auf eine vorbehaltlose Zustimmung zur projektierten Zufahrt durch die Gebäudeversicherung als zuständige Fachstelle - sodann fest, dass der projektierten Zufahrt auch aus feuerpolizeilicher Sicht nichts entgegen stehe. Ausschlaggebend sei, dass der Brandschutz für das Gebäude des Beschwerdeführers vom Wendeplatz aus gesichert sei. Im Ergebnis kam die Vorinstanz zum Schluss, die Rüge der mangelnden tatsächlichen Erschliessung erweise sich als unbegründet.
3.4 Dass die Vorinstanz bei der Beurteilung der Frage, ob das Grundstück des Beschwerdeführers nach der Realisierung der umstrittenen Zufahrt noch genügend erschlossen sei, in willkürlicher Weise gegen kantonales Recht verstossen habe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Was die bundesrechtlichen Anforderungen an eine hinreichende Zufahrt angeht, hat die Vorinstanz überzeugend dargelegt, dass die Zugänglichkeit zur Liegenschaft des Beschwerdeführers sowohl für die Benützer des Wohnhauses als auch für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste gewährleistet und die Zufahrt verkehrssicher ist. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass künftig grössere Lastwagen im Gegensatz zur bisherigen Situation offenbar weniger nahe an das Wohnhaus des Beschwerdeführers, nämlich nur noch bis zum Wendeplatz am Ende der Quartierstrasse zufahren können. Selbst wenn die Zufahrt zum Wohnhaus des Beschwerdeführers - etwa bei schwierigen Wetterbedingungen - mit der neuen Erschliessungslösung erschwert wird oder wenn für den Beschwerdeführer allenfalls gewisse Mehrkosten für den Unterhalt der Zufahrt sowie die Lieferung von Heizöl anfallen, erweist sich die Zufahrt jedenfalls immer noch als hinreichend im Sinne von Art. 19 Abs. 1 RPG.
3.5 Solche (geringfügigen) Einschränkungen muss sich der Beschwerdeführer angesichts der sein Grundstück belastenden Dienstbarkeit gefallen lassen. Im Hinblick auf das rechtskräftige Urteil 5A_253/2008 vom 22. August 2008, gemäss dem die Beschwerdegegnerin unter Vorbehalt öffentlich-rechtlicher Bewilligungen berechtigt ist, die geplante, über das Grundstück Nr. 1588 führende Erschliessungsstrasse zu erstellen, bleibt für eine Abwägung zwischen den privaten Interessen des Beschwerdeführers an der Unverändertheit der bisherigen Zufahrt und der Beschwerdegegnerin an der Errichtung der neuen Zufahrt im vorliegenden Verfahren kein Platz (vgl. E. 2.1 f. hiervor).
4. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Weggis und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle