Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A._ ist die Tochter der verstorbenen Eheleute B._ und C._. Diese waren ab 1987 Insassen des Alters- und Pflegeheims "Y._" der Gemeinde X._. Nachdem zuvor bloss B._ in der Pflegeabteilung untergebracht war, wurde im März 1990 auch C._ wegen zunehmender Gebrechlichkeit von einem Altersheimzimmer in die Pflegeabteilung verlegt. Während ihres Heimaufenthaltes wurden die Eheleute Opfer von Vermögensdelikten des seinerzeitigen Verwalters des Altersheims, D._, welcher sich 1989 eine Generalvollmacht sowie eine Bankvollmacht von C._ hatte ausstellen lassen. D._ hob Geld von den Konten des Ehepaars zu eigenen Zwecken ab, wobei er sich die Bezüge weitgehend von C._ quittieren liess. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen sprach D._ mit Urteil vom 26. Februar 2002 der mehrfachen Veruntreuung im Amt schuldig (Art. 138 Ziff. 2 StGB) und verurteilte ihn zu einer bedingten Gefängnisstrafe von acht Monaten, dies als Zusatzstrafe zu einer bereits früher verhängten Gefängnisstrafe von zehn Monaten wegen Handlungen zum Nachteil der Einwohnergemeinde X._ bzw. des Alters- und Pflegeheims "Y._" (im Wesentlichen mehrfache Veruntreuung im Amt, mehrfache Urkundenfälschung im Amt). Zugleich hiess es die Zivilklage von A._ gegen den Verurteilten in der Höhe von Fr. 135'000.-- zuzüglich Zins gut.
A._ machte diese Forderung beim Verurteilten nicht geltend. Vielmehr erhob sie am 24. September 2002 beim Kantonsgericht des Kantons Schaffhausen Klage gegen die Gemeinde X._. Sie forderte gestützt auf das Schaffhauser Gesetz vom 23. September 1985 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behördemitglieder und Arbeitnehmer (Haftungsgesetz, HG) von der Gemeinde einen Betrag von Fr. 164'186.20, eventuell von Fr. 135'000.--, nebst Zins zu 5 % seit 1. April 1991, und den Ersatz der Anwaltskosten im Strafverfahren von Fr. 10'153.--. Zusätzlich verlangte sie Genugtuung in der Höhe von Fr. 15'000.--. Das Kantonsgericht wies die Klage am 30. Dezember 2003 ab. Mit Urteil vom 29. Juli 2005 wies das Obergericht die gegen das kantonsgerichtliche Urteil erhobene Berufung sowie die Klage ab (Ziff. 1 und 2 des Urteilsdispositivs), auferlegte die Verfahrenskosten beider kantonalen Instanzen der Klägerin (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs) und verpflichtete diese, der beklagten Gemeinde für die Verfahren vor dem Kantonsgericht und vor dem Obergericht Parteientschädigungen von Fr. 19'987.35 bzw. von Fr. 9'904.15 zu bezahlen (Ziff. 4 des Urteilsdispositivs). Zuvor, am 29. März 2004, war ein Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Obergericht abgewiesen worden.
A._ machte diese Forderung beim Verurteilten nicht geltend. Vielmehr erhob sie am 24. September 2002 beim Kantonsgericht des Kantons Schaffhausen Klage gegen die Gemeinde X._. Sie forderte gestützt auf das Schaffhauser Gesetz vom 23. September 1985 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behördemitglieder und Arbeitnehmer (Haftungsgesetz, HG) von der Gemeinde einen Betrag von Fr. 164'186.20, eventuell von Fr. 135'000.--, nebst Zins zu 5 % seit 1. April 1991, und den Ersatz der Anwaltskosten im Strafverfahren von Fr. 10'153.--. Zusätzlich verlangte sie Genugtuung in der Höhe von Fr. 15'000.--. Das Kantonsgericht wies die Klage am 30. Dezember 2003 ab. Mit Urteil vom 29. Juli 2005 wies das Obergericht die gegen das kantonsgerichtliche Urteil erhobene Berufung sowie die Klage ab (Ziff. 1 und 2 des Urteilsdispositivs), auferlegte die Verfahrenskosten beider kantonalen Instanzen der Klägerin (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs) und verpflichtete diese, der beklagten Gemeinde für die Verfahren vor dem Kantonsgericht und vor dem Obergericht Parteientschädigungen von Fr. 19'987.35 bzw. von Fr. 9'904.15 zu bezahlen (Ziff. 4 des Urteilsdispositivs). Zuvor, am 29. März 2004, war ein Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Obergericht abgewiesen worden.
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 1. September (Datum der Rechtsschrift 31. August) 2005 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Urteile des Obergerichts vom 29. Juli 2005 und des Kantonsgerichts vom 30. Dezember 2003 seien vollumfänglich aufzuheben und die Streitsache an das Obergericht zurückzuweisen, um in einem die Klage gutheissenden Sinne zu entscheiden (Rechtsbegehren Ziff. 1). Eventualiter beantragt sie, es sei durch das Bundesgericht selber in der Sache zu entscheiden; dabei sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr aus Staatshaftung den Betrag von Fr. 164'186.20 nebst Zins (Rechtsbegehren Ziff. 2a), eventualiter einen Betrag nach Ermessen, mindestens aber von Fr. 135'000.-- nebst Zins zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2b); sodann sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr die im Strafverfahren i.S. D._ vor Kantonsgericht und Obergericht zugesprochene Prozessentschädigung von insgesamt Fr. 10'153.-- zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2c); für den Fall eines Eintritts der Rechtskraft der Vorurteile sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihr die Verfahrenskosten des Zivilverfahrens vor Obergericht und Kantonsgericht von insgesamt Fr. 13'050.-- sowie die an den Rechtsanwalt der Gegenpartei geleistete Parteientschädigung von total Fr. 29'891.50 zu erstatten; weiter sei die Beschwerdegegnerin und Beklagte zu verpflichten, ihre Anwaltskosten vor Kantonsgericht von Fr. 21'964.80 und vor Obergericht von Fr. 8'973.35, insgesamt von Fr. 30'938.15, zu bezahlen (Rechtsbegehren Ziff. 2d). Für den Fall einer Abweisung der Beschwerde in den Hauptbegehren wird beantragt, es sei die der Beklagten in Ziff. 4 des angefochtenen Urteils zugesprochene Prozessentschädigung zu streichen, eventualiter nach richterlichem Ermessen herabzusetzen (Rechtsbegehren Ziff. 3).
Die Gemeinde X._ beantragt Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Das Obergericht hat Bemerkungen zur Beschwerde eingereicht, ohne einen Antrag zu stellen.
C. Mit Verfügung vom 23. September 2005 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung dem Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung entsprochen.
Mit Beschluss vom 24. November 2005 ist der Beschwerdeführerin in Gutheissung eines entsprechenden Gesuchs für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und ein unentgeltlicher Rechtsanwalt beigegeben worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Ob anstelle des Verwalters des von ihr betriebenen Alters- und Pflegeheims die Beschwerdegegnerin im Staatshaftungsverfahren für den der Beschwerdeführerin entstandenen Schaden belangt werden kann, bestimmt sich nach kantonalem Recht (vgl. Art. 61 Abs. 1 OR). Das angefochtene Urteil stützt sich denn auch ausschliesslich auf kantonales Recht, nämlich auf das Schaffhauser Haftungsgesetz. Damit liegt keine bundeszivilrechtliche Streitigkeit vor und ist die eidgenössische Berufung nach Art. 43 ff. OG nicht gegeben. Das Urteil des Obergerichts kann auch nicht mit einem anderen Rechtsmittel bei einer Bundesbehörde angefochten werden, sodass dagegen allein die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen steht (Art. 84 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 OG).
1.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur (BGE 131 I 137 E. 1.1 S. 139). Es kann bloss die (vollständige oder teilweise) Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt werden. Nicht zu hören sind die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin, die auf einen Entscheid des Bundesgerichts über die Klagebegehren selber abzielen.
1.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur (BGE 131 I 137 E. 1.1 S. 139). Es kann bloss die (vollständige oder teilweise) Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt werden. Nicht zu hören sind die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin, die auf einen Entscheid des Bundesgerichts über die Klagebegehren selber abzielen.
1.3 1.3.1 Gemäss Art. 90 Abs. 1 OG muss die Beschwerdeschrift ausser der Bezeichnung des angefochtenen Entscheides die Anträge (lit. a) sowie die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Begründung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen (lit. b). Das Bundesgericht prüft auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur klar und einlässlich erhobene Rügen hinsichtlich konkreter Verletzungen verfassungsmässiger Rechte; auf nicht substantiierte Vorbringen und appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt es nicht, wenn der Beschwerdeführer im Rahmen pauschaler Vorbringen behauptet, der angefochtene Entscheid sei verfassungswidrig, indem er seine Sicht der Dinge derjenigen der letzten kantonalen Instanz gegenüberstellt; er muss vielmehr in Auseinandersetzung mit der Begründung des angefochtenen Entscheids dartun, inwiefern dieser gegen ein konkretes verfassungsmässiges Recht verstossen soll. Die massgebliche Begründung muss in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; ungenügend ist der blosse Hinweis auf andere Rechtsschriften oder sonstige Aktenstücke (zu den Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG s. BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31; 129 I 113 E. 2.1 S. 120; 127 I 38 E. 3c und E. 4 S. 43; 125 I 71 E. 1c S. 76, 492 E. 1b S. 495; 110 Ia 1 E. 2a S. 3/4; 107 Ia 186 E. b).
1.3.2 Auf die Beschwerde nicht einzutreten ist hinsichtlich des Rechtsbegehrens Ziff. 2d, wonach die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin "für den Fall des Eintritts der Rechtskraft der Vorurteile" sämtliche ihr bisher auferlegten Kosten und Entschädigungsforderungen sowie die eigenen Anwaltskosten zu bezahlen habe. Es fehlt jegliche Begründung dafür, inwiefern die entsprechenden Belastungen der Beschwerdeführerin mit amtlichen und ausseramtlichen Verfahrenskosten gegen verfassungsmässige Rechte verstossen könnten, wenn es bei einem Unterliegen im materiellrechtlichen Streitpunkt bleibt (s. auch Art. 159 Abs. 6 OG e contrario). Insbesondere wird das Urteil des Obergerichts vom 24. März 2004 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege weder ausdrücklich noch sinngemäss (mit) angefochten. Soweit sodann mit Rechtsbegehren Ziff. 3 beantragt wird, die der Beschwerdegegnerin durch das Obergericht für das kantonsgerichtliche und das obergerichtliche Verfahren zugesprochenen Prozessentschädigungen zu streichen oder zu reduzieren, kann darauf nicht eingetreten werden, weil in der diesbezüglichen Beschwerdebegründung (S. 15 Ziff. II/B.3.1) weder aufgezeigt wird, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch die grundsätzliche Zusprechung einer Parteientschädigung an das Gemeinwesen verletzt worden sein könnten, noch die Höhe der entsprechenden Entschädigungen bzw. die Festsetzung des Stundenansatzes beim Anwaltshonorar mit Argumenten verfassungsrechtlicher Natur bemängelt wird.
Schliesslich können die Rechtsschriften des kantonalen Verfahrens, worauf die Beschwerdeführerin verweist, höchstens insoweit (ergänzend) berücksichtigt werden, als die dortigen Vorbringen im Wesentlichen in der staatsrechtlichen Beschwerde selber wiedergegeben sind.
Schliesslich können die Rechtsschriften des kantonalen Verfahrens, worauf die Beschwerdeführerin verweist, höchstens insoweit (ergänzend) berücksichtigt werden, als die dortigen Vorbringen im Wesentlichen in der staatsrechtlichen Beschwerde selber wiedergegeben sind.
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, unter Berücksichtigung aller Umstände verletze das angefochtene Urteil das Willkürverbot, wenn es das Verhalten der Beschwerdegegnerin bzw. des von dieser angestellten Heimleiters als nicht staatshaftungsrelevant werte. Als willkürlich rügt sie auch das Verfahren im Kanton in seiner Gesamtheit (einschliesslich das langwierige Strafverfahren).
Gemäss Art. 9 BV hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, sich auf keinen vernünftigen Grund stützen kann, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder (sonst) in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 131 I 57 E. 2 S. 61; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 128 I 177 E. 2.1 S. 182, 273 E. 2.1 S. 275; 127 I 54 E. 2b S. 56, 60 E. 5a S. 70, je mit Hinweisen).
Gemäss Art. 9 BV hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, sich auf keinen vernünftigen Grund stützen kann, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder (sonst) in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 131 I 57 E. 2 S. 61; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 128 I 177 E. 2.1 S. 182, 273 E. 2.1 S. 275; 127 I 54 E. 2b S. 56, 60 E. 5a S. 70, je mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Schaffhauser Haftungsgesetz gilt einerseits für den Staat, für die Mitglieder seiner Behörden sowie die in seinem Dienst stehenden Personen (Art. 1 Abs. 1 HG). Gemäss Art. 1 Abs. 2 HG gilt es andererseits entsprechend auch für die Gemeinden und, mit Ausnahme der Schaffhauser Kantonalbank, für die anderen Körperschaften und Anstalten des öffentlichen Rechts, die Mitglieder ihrer Behörden und die in ihrem Dienste stehenden Personen. Art. 3 Abs. 1 HG erklärt den Staat bzw. eine Gemeinde haftbar "für den Schaden, den ein Arbeitnehmer in Ausübung amtlicher Verrichtung einem Dritten widerrechtlich zufügt". Damit die Haftung des Gemeinwesens beansprucht werden kann, verlangt das Gesetz einen genügend engen Zusammenhang zwischen der schädigenden Handlung des Angestellten und seinen amtlichen Verrichtungen, die er für das Gemeinwesen auszuüben hat.
3.2 Das Obergericht versteht Art. 3 Abs. 1 HG so, dass der Angestellte des Gemeinwesens dann in Ausübung amtlicher Verrichtung handle, wenn er im Rahmen seiner ihm übertragenen öffentlichen Aufgabe tätig werde; lasse sich sein Handeln nicht der Erfüllung der übertragenen Aufgabe zuordnen, hafte er allein als Privatperson nach den Regeln des OR. Für eine Haftung des Gemeinwesens genügt es nach Ansicht des Obergerichts nicht, dass der Angestellte die schädigende Handlung bei Gelegenheit seiner amtlichen Tätigkeit vornimmt, vielmehr müsse diese in Ausübung dieser Tätigkeit begangen werden; erforderlich sei nicht bloss irgendein Zusammenhang zwischen amtlicher Stellung als öffentlicher Angestellter und der schädigenden Handlung, sondern ein funktioneller Zusammenhang.
3.3 Zum Vergleich herangezogen werden können die Regelung der Organhaftung bei juristischen Personen (Art. 55 ZGB) bzw. die Geschäftsherrenhaftung nach Art. 55 OR. Die Organe der juristischen Personen verpflichten diese gemäss Art. 55 Abs. 2 ZGB nebst durch den Abschluss von Rechtsgeschäften auch "durch ihr sonstiges Verhalten". Der Geschäftsherr haftet nach Art. 55 Abs. 1 OR für den Schaden, den seine Arbeitnehmer oder andere Hilfspersonen "in Ausübung ihrer dienstlichen oder geschäftlichen Verrichtungen" verursacht haben. Die Haftung der juristischen Person oder des Geschäftsherrn wird durch die Handlung eines Organs oder eines Angestellten nur dann ausgelöst, wenn die Handlung ihrer Natur nach im allgemeinen Rahmen der dem Organ oder dem Angestellten zukommenden Kompetenzen liegt, d.h. mit dieser Kompetenz in funktionellem Zusammenhang steht (BGE 121 III 176 E. 4a S. 180; 105 II 289 E. 5a und b S. 292). Das Bundesgericht hat für das öffentliche Verantwortlichkeitsrecht analog entschieden, dass dieses nur dann zur Anwendung kommt, wenn der Schaden in Ausübung der amtlichen Funktion und nicht bloss bei Gelegenheit der amtlichen Verrichtung verursacht wird; verlangt wird ein funktioneller Zusammenhang zwischen der amtlichen Stellung als öffentlicher Beamter oder Angestellter und der schädigenden Handlung (BGE 130 IV 27 E. 2.3.2 S. 30).
Die durch den Wortlaut von Art. 3 Abs. 1 HG gedeckte Auslegung der einschlägigen Haftungsnorm durch das Obergericht hält nach dem Gesagten grundsätzlich vor dem Willkürverbot stand und erscheint auch sonst verfassungskonform.
3.4 Nun lässt sich in abstrakter Weise nicht leicht feststellen, wo die Grenze für die Annahme eines genügend engen funktionellen Zusammenhangs liegt. Schädigendes Handeln vollzieht sich immer ein Stück weit ausserhalb der Amtspflicht oder missachtet dieselbe vorsätzlich oder fahrlässig. Je weiter sich die Schädigung aber ausserhalb des mit dem Amt verbundenen Kompetenzbereiches vollzieht, desto zweifelhafter ist der die Haftung des Gemeinwesens auslösende innere, funktionelle Zusammenhang zur staatlichen Aufgabenerfüllung (Jost Gross, Was ist Schädigung in amtlicher Funktion im Staatshaftungsrecht? in: Haftung und Versicherung [HAVE] 2003, S. 235). Was die strafbare Verhaltensweise eines Angestellten betrifft, wird eine solche in der Regel kaum je als unmittelbar durch die mit dem öffentlichen Amt verbundenen Befugnisse gedeckt gelten können; dies kann aber nicht bedeuten, dass bei strafbarem Verhalten des Angestellten die Haftung des Gemeinwesens grundsätzlich ausgeschlossen ist (Jost Gross, Schweizerisches Staatshaftungsrecht, Stand und Entwicklungstendenzen, 2. Aufl., Bern 2001, S. 114; vgl. ferner Urteil 6S.365/2002 vom 22. Januar 2004, E. 2 publ. in BGE 130 IV 27, in Verbindung mit der nicht publizierten E. 1).
Das Obergericht ist zur Auffassung gelangt, dass vorliegend kein genügend enger funktioneller Zusammenhang zwischen der die Schädigung herbeiführenden strafbaren Handlung des Heimleiters und seiner amtlichen Stellung bestanden habe; der Heimleiter habe die Veruntreuung nicht bei Ausübung, sondern nur bei Gelegenheit einer amtlichen Verrichtung begangen. Nachfolgend ist zu prüfen, ob die Anwendung der Haftungsnorm von Art. 3 Abs. 1 HG auf den konkreten Fall verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt, insbesondere die Verneinung eines funktionellen Zusammenhangs zwischen Schadenszufügung und der Amtsausübung vor dem Willkürverbot standhält.
Das Obergericht ist zur Auffassung gelangt, dass vorliegend kein genügend enger funktioneller Zusammenhang zwischen der die Schädigung herbeiführenden strafbaren Handlung des Heimleiters und seiner amtlichen Stellung bestanden habe; der Heimleiter habe die Veruntreuung nicht bei Ausübung, sondern nur bei Gelegenheit einer amtlichen Verrichtung begangen. Nachfolgend ist zu prüfen, ob die Anwendung der Haftungsnorm von Art. 3 Abs. 1 HG auf den konkreten Fall verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt, insbesondere die Verneinung eines funktionellen Zusammenhangs zwischen Schadenszufügung und der Amtsausübung vor dem Willkürverbot standhält.
4. 4.1 Das Obergericht hat zunächst festgehalten, dass die strafrechtliche Verurteilung des Heimleiters wegen Veruntreuung im Amt die Frage des funktionellen Zusammenhangs zwischen schädigendem Verhalten und amtlicher Stellung nicht präjudiziere; für die Annahme des qualifizierten Straftatbestandes von Art. 138 Ziff. 2 StGB sei zwar die auf sein Amt zurückzuführende Vertrauensposition des Heimleiters massgeblich gewesen, wobei im Hinblick darauf aber nicht habe geprüft werden müssen, ob dieser in amtlicher Eigenschaft und in seinem Aufgabenkreis gehandelt habe. Mit diesen Darlegungen sowie mit seinem Hinweis auf Art. 53 OR bzw. BGE 125 III 401 E. 3 S. 410 hat es, anders als die Beschwerdeführerin meint, ausreichend und willkürfrei begründet, dass und warum es für die Beurteilung der Haftungsfrage an die strafrechtliche Würdigung der Angelegenheit nicht gebunden war.
4.2 Im Zusammenhang mit der Erteilung der Generalvollmacht und der Bankvollmacht sowie der gestützt darauf vorgenommenen und im Einzelnen vom Vater der Beschwerdeführerin signierten Quittungen für Vermögensdispositionen ist unter anderem von Vermögensverwaltung die Rede. Die Beschwerdeführerin legt grossen Wert darauf, dass ihr Vater nie einen Vermögensverwaltungsauftrag erteilt habe; die Vermögensdispositionen seien im Rahmen des "kleinen Zahlungsverkehrs" erfolgt, welcher darin bestehe, den Heiminsassen die für den Heimaufenthalt erforderlichen Barmittel zur Verfügung zu stellen.
4.2.1 Die Annahme des Obergerichts, es liege ein Vermögensverwaltungsauftrag vor, hat einiges für sich und erscheint im Lichte der weitgehend appellatorischen Ausführungen in der Beschwerdeschrift (S. 10 und 11) nicht als willkürlich; so lassen sich die Handlungen des Heimleiters kaum den dem Heim im Rahmen des "kleinen Zahlungsverkehrs" allenfalls übertragenen Kompetenzen zurechnen. Inwiefern sich eine entsprechend weitreichende Aufgabe aus Ziff. 6.2 und Ziff. 7 Abs. 2 der Stellenbeschreibung für den Heimleiter des Alters- und Pflegeheims "Y._" ableiten liesse, ist nicht ersichtlich. Im Übrigen kann diesbezüglich ergänzend auf die Vernehmlassung des Obergerichts (S. 2) verwiesen werden. Es erübrigt sich aber ohnehin, das in den fraglichen Ermächtigungs- und Handlungsvorgängen bestehende Rechtsverhältnis abschliessend zu qualifizieren. Wenn das Obergericht vom Vorliegen einer Vermögensverwaltung ausgeht, soll damit gesagt werden, dass die entsprechenden Vorgänge sich insgesamt nicht dem Tätigkeitsbereich ("Geschäft") eines Alters- und Pflegeheims und damit dem Aufgabenkreis von dessen Heimleiter zuordnen liessen.
4.2.2 Die Beschwerdeführerin rügt diese Wertung - wiederum vorwiegend in appellatorischer Weise - als willkürlich. Sie geht unter Berufung auf Art. 30a Abs. 3 lit. b und c des Schaffhauser Gesundheitsgesetzes vom 19. Oktober 1970 (GG) von einer umfassenden Fürsorgepflicht im Rahmen des Heimaufenthaltes aus; insofern gehe es nicht an, von einer blossen Beherbergungs- und Verpflegungsverpflichtung auszugehen. Ohne dessen Inhalt wiederzugeben (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), erwähnt sie einen Aargauer Fall, von welchem sich ihr Fall nicht unterscheiden soll. Das Obergericht hat auf das entsprechende Urteil des Aargauer Obergerichts vom 5. Januar 2002 hingewiesen, welches eine Gemeinde für den Schaden haftbar machte, den eine von ihr im kommunalen Krankenheim angestellte Krankenpflegerin verursacht hatte, indem sie einem in seiner geistigen Gesundheit beeinträchtigten Patienten Bargeld stahl und ihn zur Überweisung eines grösseren Betrags auf ihr Konto veranlasste.
In einer Besprechung dieses Aargauer Urteils (Jost Gross, Was ist Schädigung in amtlicher Funktion im Staatshaftungsrecht? in: HAVE 2003, S. 235 f.) wird hervorgehoben, dass das Erfordernis des funktionellen schädigenden Kausalzusammenhanges immer auch Elemente einer Art Vertrauenshaftung in sich trage, indem der Geschädigte umso eher Vertrauen in die amtspflichtgemässe Erfüllung haben dürfe, je ausgeprägter die Machtposition und damit das Schädigungspotential des Gemeinwesens sei; beim Patienten im Krankenheim bestehe eine besonders ausgeprägte Schutzbedürftigkeit, und dem Personal komme eine recht weit gehende persönliche Verfügungsmacht zu, was zu erhöhter Verantwortung führe; entsprechend bestehe ein umfassender Vor- und Fürsorgeauftrag für den Patienten.
4.2.3 Es gibt in der Tat beachtliche Gründe, die dafür sprechen, dass das Gemeinwesen für Schaden haftet, den ein Spitalangestellter einem geistig verwirrten stationären Patienten durch das Begehen von Vermögensdelikten zufügt. Die Frage der Verantwortlichkeit des Gemeinwesens könnte gerade im Falle des Spitalpatienten im Sinne einer eigentlichen Organisationshaftung (dazu Jost Gross, Schweizerisches Staatshaftungsrecht, a.a.O., S. 136 f.) gesehen werden. Die Unterscheidung zwischen Zufügung eines Schadens bei Gelegenheit der amtlichen Tätigkeit und Schadenszufügung in Ausübung amtlicher Verrichtung verliert bei solcher Betrachtungsweise an Bedeutung (in dem Sinn für eine weitreichende Staatshaftung Tobias Jaag, Staats- und Beamtenhaftung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Organisationsrecht, Nr. 5, S. 32 ff., Rz. 90).
Die Anwendung der in eigener Kompetenz erlassenen Staatshaftungsregeln eines Kantons durch sein oberstes kantonales Gericht kann das Bundesgericht indessen nur unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten prüfen. Was das erwähnte Aargauer Urteil betrifft, liegt im Übrigen kein Entscheid des Bundesgerichts zur Haftungsfrage selber vor; dieses ist auf die gegen das entsprechende Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde der betroffenen Gemeinde mit Urteil 2P.248/2002 vom 28. Januar 2003 nicht eingetreten.
Wie das Obergericht festhält, lässt sich der Fall eines Spitalpatienten nicht in jeder Hinsicht mit demjenigen des Vaters der Beschwerdeführerin als Insasse des Alters- und Pflegeheims vergleichen. Wenngleich er zumindest zeitweise verwirrt war, hatte er sowohl zum Zeitpunkt, als er die Generalvollmacht erteilte, als auch noch später, nachdem er ins Pflegeheim gewechselt hatte, insgesamt noch eine gewisse Selbstständigkeit. Jedenfalls war er vom Heimleiter nicht in gleicher Weise abhängig wie ein stationärer Spitalpatient von einer Krankenpflegerin. Im Übrigen räumen weder die bereits erwähnte Stellenbeschreibung für den Heimleiter noch das Schaffhauser Altersbetreuungs- und Pflegegesetz vom 21. August 1995 noch die Hausordnung und das Reglement für das Alters- und Pflegeheim "Y._" noch der Pensionsvertrag für den Vater der Beschwerdeführerin dem Heimpersonal besondere Befugnisse gegenüber Insassen ein. Der Heimleiter ist eindeutig ausserhalb seines Kompetenzbereichs zum Nachteil der Eltern der Beschwerdeführerin tätig geworden.
4.3 In Berücksichtigung aller Umstände vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, dass das Obergericht in willkürlicher Weise den funktionellen Zusammenhang zwischen der schädigenden Handlung des Heimleiters und dessen Amtsausübung verneint hat. Dass diesbezüglich eine andere Betrachtungsweise vertretbar oder allenfalls gar vorzuziehen wäre, reicht zur Annahme von Willkür nicht (s. zum Willkürbegriff vorne E. 2).
4.3 In Berücksichtigung aller Umstände vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, dass das Obergericht in willkürlicher Weise den funktionellen Zusammenhang zwischen der schädigenden Handlung des Heimleiters und dessen Amtsausübung verneint hat. Dass diesbezüglich eine andere Betrachtungsweise vertretbar oder allenfalls gar vorzuziehen wäre, reicht zur Annahme von Willkür nicht (s. zum Willkürbegriff vorne E. 2).
5. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe ihre Aufsichtspflicht verletzt, was einen eigenen Haftungsgrund darstelle. Das Obergericht hat sich mit diesem Aspekt in seinem Urteil (S. 8 unten bis S. 10 Mitte) befasst. Es hält dafür, dass weder eine andere Organisation des Heims noch eine intensivere Aufsicht die strafbaren Handlungen gegen die Eltern der Beschwerdeführerin hätten verhindern können. Mit den entsprechenden detaillierten Darlegungen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht näher auseinander. Diesbezüglich fehlt es an einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Beschwerdebegründung, und auf die Rüge ist nicht einzutreten.
5. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe ihre Aufsichtspflicht verletzt, was einen eigenen Haftungsgrund darstelle. Das Obergericht hat sich mit diesem Aspekt in seinem Urteil (S. 8 unten bis S. 10 Mitte) befasst. Es hält dafür, dass weder eine andere Organisation des Heims noch eine intensivere Aufsicht die strafbaren Handlungen gegen die Eltern der Beschwerdeführerin hätten verhindern können. Mit den entsprechenden detaillierten Darlegungen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht näher auseinander. Diesbezüglich fehlt es an einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Beschwerdebegründung, und auf die Rüge ist nicht einzutreten.
6. Die Beschwerdeführerin rügt das Verfahren im Kanton insgesamt als willkürlich. Inwiefern der gesamte Verfahrensverlauf Anlass für eine Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Anerkennung der Haftung der Beschwerdegegnerin führen könnte, ist nicht ersichtlich. Die Langwierigkeit des vor den kantonalen Behörden durchgeführten Verfahrens (insbesondere des Strafverfahrens) hat keinen Einfluss auf das Vorliegen oder Fehlen der nach kantonalem Recht massgebenden Voraussetzungen der Haftung einer Gemeinde.
6. Die Beschwerdeführerin rügt das Verfahren im Kanton insgesamt als willkürlich. Inwiefern der gesamte Verfahrensverlauf Anlass für eine Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Anerkennung der Haftung der Beschwerdegegnerin führen könnte, ist nicht ersichtlich. Die Langwierigkeit des vor den kantonalen Behörden durchgeführten Verfahrens (insbesondere des Strafverfahrens) hat keinen Einfluss auf das Vorliegen oder Fehlen der nach kantonalem Recht massgebenden Voraussetzungen der Haftung einer Gemeinde.
7. Soweit auf die staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann, ist sie in jeder Hinsicht unbegründet und abzuweisen.
7. Soweit auf die staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann, ist sie in jeder Hinsicht unbegründet und abzuweisen.
8. Die Beschwerdeführerin ist unterliegende Partei. Nachdem ihr die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt worden ist, ist ihr keine Gerichtsgebühr aufzuerlegen; zudem wird ihrem Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse für das bundesgerichtliche Verfahren ein Honorar ausgerichtet (Art. 152 Abs. 2 OG). Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege entbindet sie nicht von der Pflicht, der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung nach Art. 159 Abs. 2 OG zu bezahlen. Bei deren Bemessung ist nebst dem Streitwert insbesondere dem für das bundesgerichtliche Verfahren betriebenen Arbeitsaufwand des Anwalts der Beschwerdegegnerin Rechnung zu tragen (Art. 4 des Tarifs vom 9. November 1978 über die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Verfahren vor Bundesgericht [SR 173.119.1]).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Rechtsanwalt Dr. iur. Daniel P. Candrian, wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 4'000.-- ausgerichtet.
3. Rechtsanwalt Dr. iur. Daniel P. Candrian, wird aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 4'000.-- ausgerichtet.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: