Faits:
A. Dans une décision du 3 juillet 2006, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a alloué à M._ une rente d'invalidité LAA, fondée sur un degré d'invalidité de 36%, dès le 1er janvier 2006 pour les suites des événements survenus respectivement les 24 juin 1998, 12 octobre 2001 et 5 février 2003. Saisie d'une opposition, la CNA l'a écartée dans une nouvelle décision du 14 mars 2007.
B. Le 19 avril 2007, l'assuré a déféré cette dernière décision au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel. Sous suite de frais et dépens, il a conclu, principalement, à l'octroi d'une rente d'invalidité sur la base d'une incapacité de gain de 70% et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la CNA pour nouvelle décision au sens des considérants. La CNA a déposé sa réponse au recours le 11 juillet 2007.
Par lettre du 20 avril 2009, M._ s'est enquis auprès du Tribunal administratif de l'avancement de sa cause. Celui-ci lui a répondu le 12 mai suivant que le tribunal n'avait pas encore été en mesure de statuer sur son cas en raison du nombre important d'affaires en attente d'être jugées.
C. Le 17 juillet 2009, M._ a interjeté un recours en matière de droit public pour déni de justice, en concluant à ce que le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel soit invité à statuer sur son recours dans un délai de 30 jours.
Le 6 août 2009, le tribunal cantonal a rendu son jugement dans la cause qui oppose M._ à la CNA.
Considérant en droit:
1. Le recours, formé au motif que la juridiction cantonale tardait à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-accidents, concerne une cause qui relève sur le fond du droit public, de sorte qu'il est en principe recevable. Il doit cependant être déclaré sans objet et rayé du rôle comme l'admet à juste titre le recourant. Ce dernier ne dispose plus, en effet, d'un intérêt juridiquement protégé à ce que l'autorité cantonale statue dans un délai de 30 jours puisqu'un jugement a été notifié postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale.
2. 2.1 Lorsque, comme en l'espèce, un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.2 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause et, entre autres critères, sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'assuré ainsi que le comportement de celui-ci et des autorités intimées. A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. Si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques "temps morts", elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur de la procédure (ATF 130 I 312 consid. 5.1 et 5.2 p. 331 s. et les références).
2.3 On ajoutera qu'en droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide; il constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
3. En l'espèce, le recours a été interjeté devant l'autorité cantonale le 19 avril 2007. L'intimée a déposé sa réponse le 11 juillet suivant. L'échange d'écritures s'est achevé par la transmission de cette réponse au recourant deux jours plus tard. Par la suite, aucun acte d'instruction n'a été accompli par l'autorité cantonale jusqu'au dépôt du recours pour déni de justice en juillet 2009. Dans l'intervalle, M._ a adressé une lettre au tribunal pour s'informer de l'avancement de la procédure.
Quant au fond, le litige avait uniquement pour objet le taux d'invalidité présenté par l'assuré (cf. art. 16 LPGA). Dans son écriture cantonale, le recourant a circonscrit son argumentation à la divergence d'opinion entre son médecin traitant et le médecin d'arrondissement de la CNA ainsi qu'à l'exigibilité des descriptions de postes de travail sur la base desquelles l'assureur-accidents avait fixé son taux d'invalidité. Ces questions ne sauraient nécessiter de très longues analyses. L'instruction du cas par les premiers juges s'est d'ailleurs limitée à un seul échange d'écritures terminé en juillet 2007. Il s'est écoulé 27 mois entre le moment du dépôt du recours cantonal et celui du présent recours. Dans une affaire comparable où il s'agissait d'évaluer les revenus avec et sans invalidité d'un assuré et où il y avait eu un délai de 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal, le Tribunal fédéral a admis un retard inadmissible à statuer, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62). Il n'y a pas de raison de statuer différemment ici. Le recourant aurait dès lors été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
4. Il s'ensuit que le recourant a droit à des dépens à la charge du canton de Neuchâtel (art. 68 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral ne percevra pas de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Etat de Neuchâtel versera au recourant la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, à l'Etat de Neuchâtel ainsi qu'à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 22 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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