Faits:
A. Le 10 juin 2011, le Juge de paix du district de Morges a levé définitivement, à concurrence de 6'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 18 février 2011, l'opposition formée par A._ (i.e. poursuivie) au commandement de payer que lui a fait notifier la Banque X._ (i.e. poursuivante).
La poursuivie a recouru contre cette décision à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Invitée à fournir une avance de frais dans un délai échéant le 6 septembre 2011, elle a, à l'expiration de ce délai, sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. Le 13 septembre 2011, le Président de l'autorité cantonale lui a adressé le formulaire de requête d'assistance judiciaire, fixant au 28 septembre suivant le délai pour présenter cette requête ou pour effectuer l'avance de frais, et l'informant que si, dans le délai imparti, elle ne versait pas l'avance ni ne "déposait la demande d'assistance judiciaire", le recours serait déclaré irrecevable.
Le 28 septembre 2011, la poursuivie a déposé sa requête d'assistance judiciaire, accompagnée d'une unique annexe. Le 7 octobre 2011, le Président de l'autorité cantonale lui a fixé un délai supplémentaire au 18 octobre 2011 pour faire parvenir les justificatifs manquants ou pour "déposer" l'avance de frais, sous peine d'irrecevabilité du recours.
Le 18 octobre 2011, la poursuivie a répondu que, "dans l'affaire de la Banque X._, l'assistance judiciaire [lui] avait été accordée par décision du 11 mars 2008 du Bureau de l'A.J.", et a exposé être sans emploi et n'avoir ni revenu ni fortune. Le 25 octobre 2011, le Président de l'autorité cantonale lui a imparti une ultime prolongation échéant le 4 novembre suivant pour effectuer l'avance de frais ou pour déposer les justificatifs mentionnés dans le formulaire ad hoc, avec le même avis comminatoire.
B. Par arrêt du 11 novembre 2011, le Président de la cour cantonale a déclaré le recours irrecevable. Cette décision a été annulée le 26 mars 2012 par le Tribunal fédéral, qui a considéré en substance que l'autorité précédente aurait dû statuer préalablement sur la requête d'assistance judiciaire formée par la poursuivie et lui fixer, en cas de refus, un délai supplémentaire pour s'acquitter de l'avance de frais (5D_7/2012).
C. Statuant à nouveau le 26 avril 2012, le Président de la cour cantonale a refusé derechef à la poursuivie le bénéfice de l'assistance judiciaire "dans le procès en mainlevée" qui l'oppose à la poursuivante.
D. Par acte du 28 juin 2012, la poursuivie interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral; elle conclut à la réforme de la décision attaquée en ce sens que l'assistance judiciaire totale lui est octroyée avec effet au 28 septembre 2011 dans le cadre du recours déposé contre le prononcé de mainlevée rendu dans la poursuite n° xxxx, Me Aba Neeman lui étant désigné comme avocat d'office.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
E. Par ordonnances des 29 juin et 19 juillet 2012, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a renoncé provisoirement à réclamer une avance de frais, respectivement attribué l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 129 consid. 1.1). En vertu du principe de l'unité de la procédure (ATF 134 V 138 consid. 3), la voie de recours ouverte contre une telle décision est déterminée par le litige principal (ATF 135 I 265 consid. 1.2; 137 III 261 consid. 1.4); la cause au fond ressortissant au droit des poursuites (art. 80-81 LP), la décision entreprise est en principe sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF; ATF 134 III 520 consid. 1.1).
1.2 La décision attaquée se rapporte à une affaire qui, sur le fond, est pécuniaire selon l'art. 74 al. 1 LTF (ATF 133 III 399 consid. 1.3). Sous réserve d'exceptions non réalisées en l'occurrence (cf. art. 74 al. 1 let. a et al. 2 LTF), le recours en matière civile n'est dès lors ouvert que si la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Tel n'étant pas le cas ici, seul le recours constitutionnel subsidiaire est recevable (art. 113 ss LTF); la fausse dénomination du présent recours ne porte pas préjudice à la recourante (ATF 137 IV 269 consid. 1.6 et les arrêts cités).
1.3 Pour le surplus, le recours a été déposé à temps (art. 100 al. 1 et 117 LTF) par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de l'acte attaqué (art. 115 LTF) contre une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 114 LTF), même si elle n'a pas statué "sur recours" (art. 75 al. 2 et 114 LTF; ATF 138 III 41 consid. 1.1).
1.4 À l'appui de son mémoire, la recourante a produit diverses pièces; cependant, elle n'expose pas en quoi leur production serait admissible (ATF 133 III 393 consid. 3; 134 V 223 consid. 2.2.1), de sorte que, dans la mesure où elles sont nouvelles, ces pièces s'avèrent irrecevables (art. 99 al. 1 et 117 LTF). Au demeurant, elle ne saurait remédier à la violation de son devoir de collaborer en instance cantonale en déposant les pièces pertinentes devant le Tribunal fédéral (arrêt 5A_565/2011 du 14 février 2012 consid. 4.3.2).
2. L'autorité précédente a rappelé que le justiciable a droit à l'assistance judiciaire si, en particulier, il ne dispose pas de ressources suffisantes (art. 117 let. a CPC); à cette fin, il doit justifier de sa situation de fortune et de ses revenus (art. 119 al. 2 CPC), par quoi il faut entendre "tous les éléments pertinents pour constater son éventuelle indigence, y compris ses charges, ses liens de famille ou d'alliance et les revenus et fortunes de proches (conjoint, parents, etc.) susceptibles d'avoir une obligation d'assistance et d'entretien à son égard".
En l'espèce, la juridiction précédente a retenu que le fait d'avoir obtenu l'assistance judiciaire en 2008 dans la procédure au fond qui l'opposait à l'intimée ne dispensait pas la recourante d'établir sa situation financière à l'appui de sa nouvelle requête d'assistance judiciaire. Le formulaire ad hoc, rempli et déposé le 28 septembre 2011, indique (ch. 6) les pièces à joindre à la requête (dernière déclaration d'impôts, les six dernières fiches de salaire ou, pour les indépendants, les derniers bilans et comptes de pertes et profits, les relevés des comptes bancaires et/ou postaux des six derniers mois et tous les documents permettant de vérifier la quotité des revenus et dépenses mensuels, de la fortune et des dettes). Or l'intéressée s'est contentée d'affirmer qu'elle n'avait aucun revenu ni fortune et que son mari percevait une rente AVS de 1'949 fr. par mois, mais n'a produit aucune pièce justificative hormis un extrait du registre des poursuites la concernant, ce qui ne suffit pas. Au surplus, elle a déjà déposé son acte de recours et l'affaire ne présente pas de complexité exigeant l'assistance d'un avocat.
2.1 La recourante ne critique pas le refus du magistrat précédent de lui nommer un défenseur d'office. Le recours apparaît dès lors irrecevable d'emblée en tant qu'il vise à "l'assistance d'office d'un avocat" avec effet au 28 septembre 2011 (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 133 III 439 consid. 3.2).
2.1 La recourante ne critique pas le refus du magistrat précédent de lui nommer un défenseur d'office. Le recours apparaît dès lors irrecevable d'emblée en tant qu'il vise à "l'assistance d'office d'un avocat" avec effet au 28 septembre 2011 (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 133 III 439 consid. 3.2).
2.2 2.2.1 Dans un premier grief, la recourante dénonce une "constatation arbitraire des faits" au sens de l'art. 97 al. 1 LTF. Elle soutient que l'extrait du registre des poursuites "laisse apparaître dettes et actes de défaut de biens pour plusieurs milliers de francs", de nombreuses dettes se rapportant à des "besoins des plus courants de la vie de tous les jours"; cette pièce établit ainsi "indubitablement une situation de défaut de paiement totale et un patrimoine totalement obéré", ce qui aurait dû amener l'autorité cantonale à admettre l'indigence.
La recourante affirme encore que, dans le cadre du recours qu'elle a déposé le 22 mars 2012 devant la juridiction précédente au sujet de la même poursuite, "mais en rapport avec un avis de saisie", elle a fait parvenir à cette autorité toutes les pièces nécessaires pour établir son indigence qu'elle ne possédait pas encore lors du dépôt de la requête d'assistance judiciaire et qu'elle a pu réunir depuis lors; au moment de statuer, l'autorité cantonale avait dès lors connaissance de sa situation patrimoniale d'une façon précise et ne pouvait pas faire abstraction de l'indigence "qui était notoirement de sa connaissance".
2.2.2 Le magistrat précédent n'a pas nié que la pièce produite par la recourante pouvait contribuer à documenter sa situation économique, mais il a estimé que, à lui seul, l'extrait du registre des poursuites "ne suffit pas à établir" l'indigence, en tout cas pas au point de la tenir pour "évidente". Or la question de savoir si une telle pièce suffit à démontrer l'absence de ressources suffisantes (art. 117 let. a LTF) relève du droit; c'est le second moyen de la recourante (cf. infra, consid. 2.3). Pour le surplus, celle-ci ne prétend pas que le juge cantonal aurait constaté de façon arbitraire le contenu de l'extrait du registre des poursuites (cf. à ce sujet: ATF 133 III 393 consid. 7.2 et la jurisprudence citée).
Les allégations relatives au recours dont la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois aurait été saisie le 22 mars 2012 ne résultent pas des constatations du juge précédent, si bien qu'elles sont irrecevables (art. 118 al. 1 LTF). Quoi qu'il en soit, les documents en question auraient alors été communiqués largement après l'expiration de l'"ultime prolongation" échéant le 4 novembre 2011 accordée par le Président de la cour cantonale, étant entendu que, après l'annulation de sa première décision (cf. supra, let. B), ce magistrat eût été tenu de statuer au regard de la situation économique existant à cette date.
Les allégations relatives au recours dont la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois aurait été saisie le 22 mars 2012 ne résultent pas des constatations du juge précédent, si bien qu'elles sont irrecevables (art. 118 al. 1 LTF). Quoi qu'il en soit, les documents en question auraient alors été communiqués largement après l'expiration de l'"ultime prolongation" échéant le 4 novembre 2011 accordée par le Président de la cour cantonale, étant entendu que, après l'annulation de sa première décision (cf. supra, let. B), ce magistrat eût été tenu de statuer au regard de la situation économique existant à cette date.
2.3 2.3.1 Dans un second moyen, la recourante se plaint d'un formalisme excessif dans l'application des art. 117 et 119 CPC. Partant du principe que la loi ne précise pas quelles sont les pièces qui doivent être déposées, elle en déduit que la "seule nécessité concrète réside dans le fait que le juge doit pouvoir se convaincre, sur la base des éléments dont il dispose, que la situation patrimoniale du requérant est obérée"; or, en l'espèce, la simple lecture de l'extrait du registre des poursuites correspond à cette exigence, de sorte qu'aucun autre document n'était nécessaire pour établir l'indigence. L'autorité précédente s'est dès lors montrée excessivement stricte en réclamant d'autres pièces, d'autant que la jurisprudence du Tribunal fédéral admet que cette condition soit rendue simplement "vraisemblable".
2.3.2 D'emblée, il y a lieu de préciser que la jurisprudence fédérale ne se satisfait de la vraisemblance de l'indigence que lorsque le requérant a pris toutes les mesures qu'on pouvait raisonnablement attendre de lui pour établir sa situation économique (ATF 104 Ia 323 consid. 2b [requérant suisse domicilié à l'étranger]; arrêt 5P.155/1999 du 27 mai 1999 consid. 4e). Cette condition n'est pas réalisée ici; la recourante n'explique pas ce qui l'aurait empêchée de donner suite aux invitations du juge cantonal, d'autant qu'elle affirme avoir finalement transmis les pièces requises dans le cadre d'un autre recours concernant la même poursuite.
La Cour de céans a rappelé récemment qu'il appartient au requérant d'indiquer d'une "manière complète" et d'établir - dans la mesure du possible - ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (arrêt 5A_565/2011 précité consid. 3.3, avec les arrêts cités); il faut mettre en balance, d'une part, la totalité des ressources effectives du requérant et, d'autre part, l'ensemble de ses engagements financiers (ATF 135 I 221 consid. 5.1 et la jurisprudence citée). À lui seul, l'extrait du registre des poursuites ne répond pas à ces exigences; il ne renseigne que sur les dettes, et non les revenus, de la recourante; de plus, il mentionne des poursuites parfois anciennes (i.e. 2006 à 2009) et, pour la plupart, les actes de défaut de biens ont été délivrés le 13 novembre 2009. À ce stade, on ignore donc quelle suite les créanciers concernés entendent donner aux procédures de poursuite. Au surplus, le devoir de l'État de fournir l'assistance judiciaire est subsidiaire à l'obligation d'entretien découlant du droit de la famille (ATF 115 Ia 193 consid. 3a; 119 Ia 11 consid. 3a; 127 I 202 consid. 3b). Or, on ignore quelle est la situation du mari de la recourante; celle-ci se borne à déclarer que l'intéressé est retraité et perçoit, à ce titre, une rente de 1'949 fr. par mois, mais cette seule allégation n'est pas suffisante (arrêt 5P.155/1999 ibid.).
La question litigieuse en l'occurrence est de savoir si la recourante peut prétendre à l'assistance judiciaire pour la procédure de recours contre le prononcé de mainlevée rendu en première instance, ce qui implique une nouvelle décision à ce sujet (art. 119 al. 5 CPC; Tappy, in: Code de procédure civile commenté, 2011, n° 20 et 23 ad art. 119 CPC; pour la procédure devant le Tribunal fédéral: ATF 123 III 392 consid. 3a). Le fait que l'assistance judiciaire lui a "déjà été octroyée par le passé" (en 2008 dans la procédure au fond l'opposant à l'intimée), n'est dès lors pas pertinent; contrairement à ce que suggère l'intéressée, le magistrat cantonal n'avait pas à présumer que sa situation économique ne s'était pas améliorée depuis cette époque.
3. Vu ce qui précède, le recours - traité comme recours constitutionnel subsidiaire (cf. supra, consid. 1.2) - doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les conclusions de la recourante étaient dénuées de chances de succès, ce qui implique le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF) ainsi que sa condamnation aux frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'accorder des dépens à l'intimée, qui ne s'est pas déterminée sur la requête d'effet suspensif.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, traité comme recours constitutionnel subsidiaire, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 octobre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Braconi