Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Am 15. Dezember 2009 und 11. Januar 2010 reichte A.X._ beim Untersuchungsrichteramt Aargau wegen der Tötung seiner Tochter eine Strafanzeige ein. Es bestünden erhebliche Verdachtsmomente, dass Personen, die in den Vollzug der vom Bezirksgericht Bremgarten am 4. Juni 2004 gegenüber dem Täter ausgesprochenen Massnahme involviert gewesen seien, Vorschriften nicht beachtet hätten und dass diese Unterlassungen adäquat kausal und voraussehbar zum Tod seiner Tochter geführt hätten.
Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau setzte am 14. Februar 2011 einen ausserordentlichen Staatsanwalt ein.
Am 17. Juni 2011 eröffnete dieser eine Untersuchung wegen fahrlässiger Tötung unter anderem gegen den seinerzeit für die Betreuung des Täters zuständigen Sachbearbeiter sowie dessen Vorgesetzten in der Sektion Straf- und Massnahmenvollzug der Abteilung Strafrecht des Departementes Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau (DVI).
Am 21. Januar 2013 stellte der ausserordentliche Staatsanwalt das Strafverfahren gegen die beiden Beschuldigten ein. Zudem verfügte er, eine Strafverfolgung gegen den Chef der Abteilung Strafrecht des DVI werde nicht an die Hand genommen.
Eine von A.X._ und B.X._ gegen die Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügung eingereichte Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau am 28. August 2013 ab.
A.X._ und B.X._ wenden sich mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragen, der Entscheid vom 28. August 2013 sei aufzuheben. Der ausserordentliche Staatsanwalt sei anzuweisen, das Strafverfahren gegen die Beschuldigten weiterzuführen bzw. an die Hand zu nehmen, wobei der Fall einem anderen ausserordentlichen Staatsanwalt zuzuweisen sei.
2.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Nach lit. b Ziff. 5 derselben Bestimmung ist zur Erhebung der Beschwerde insbesondere die Privatklägerschaft legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann.
Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach Art. 41 ff. OR. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, welche sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteil 6B_530/2013 vom 13. September 2013, E. 2.1, mit Hinweis auf BGE 133 IV 228 E. 2.3.3 und 128 IV 188 E. 2).
Gemäss § 75 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 (SAR 110.000) haften der Kanton und die Gemeinden für den Schaden, den ihre Behörden, Beamten und übrigen Mitarbeitenden in Ausübung der amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich verursachen. Die Geschädigten haben insoweit gegenüber den Mitarbeitenden, die den Schaden verursacht haben, keinen Anspruch auf Schadenersatz oder Genugtuung (§ 10 Abs. 1 des Haftungsgesetzes des Kantons Aargau vom 24. März 2009; SAR 150.200). Die von den Beschwerdeführern erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe können sich allenfalls auf ihre Staatshaftungsansprüche, nicht aber auf Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG auswirken.
3.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst können die Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Als Parteien des kantonalen Verfahrens können die Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihnen nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Unzulässig sind allerdings Rügen, deren Beurteilung von der Prüfung in der Sache nicht getrennt werden kann und die im Ergebnis auf eine materielle Prüfung des angefochtenen Entscheids hinauslaufen (BGE 136 IV 41 E. 1.4).
3.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör unter anderem deshalb, weil der ausserordentliche Staatsanwalt es unterlassen habe, ihnen eine Stellungnahme des Beschwerdegegners 3 vom 17. Dezember 2012 zur Vernehmlassung zuzustellen, bevor er die Verfügung vom 21. Januar 2013 erliess (vgl. Beschwerde S. 3-5 Ziff. 5).
Die Vorinstanz hat sich zur Frage des rechtlichen Gehörs geäussert. Einerseits liege keine Verletzung vor. Anderseits wäre eine solche gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung als geheilt zu betrachten, weil sie - die Vorinstanz - über dieselbe Kognition wie der ausserordentliche Staatsanwalt verfüge und den Beschwerdeführern deshalb aus einer Gehörsverletzung kein Nachteil erwachsen wäre (Entscheid S. 11-13 E. 2).
Enthält der angefochtene Entscheid eine Haupt- und eine Eventualbegründung, die je für sich den Ausgang der Sache besiegeln, müssen für eine Gutheissung der Beschwerde beide Begründungen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzen (BGE 136 III 536 E. 2.2; 133 IV 119 E. 6).
Die Beschwerdeführer äussern sich zur Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs geheilt wäre, mit keinem Wort. Folglich genügt die Beschwerde in diesem Punkt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
Nachdem auf die Beschwerde in Bezug auf die Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids nicht eingetreten werden kann, muss sich das Bundesgericht mit der Hauptbegründung nicht befassen.
3.2. Nach Auffassung der Beschwerdeführer hat der ausserordentliche Staatsanwalt den Grundsatz in dubio pro duriore verletzt, weil er das Strafverfahren einstellte bzw. nicht an die Hand nahm, obwohl er zunächst zumindest einen Teil der Vorwürfe zur Anklage bringen wollte (Beschwerde S. 5 Ziff. 6).
Ob sich eine Anklageerhebung aufgedrängt hätte, könnte nur nach einer materiellen Prüfung beurteilt werden, die das Bundesgericht nicht vornehmen darf (vgl. oben E.2). Der Umstand, dass der zuständige Staatsanwalt im Laufe der von ihm getätigten Ermittlungen seine Meinung änderte und in Bezug auf die Anklageerhebung zu einem anderen Schluss kam, stellt jedenfalls für sich allein keine Verletzung des Grundsatzes in dubio pro duriore dar.
3.3. Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung der Ausstandsbestimmung von Art. 56 lit. b StPO geltend. Der ausserordentliche Staatsanwalt habe am 28. November (recte März) 2011 G._ als sachverständigen Zeugen unter ausdrücklichem Hinweis auf die Wahrheitspflicht einvernommen, obwohl dieser bereits 2009 als Gutachter einen Bericht über die Arbeit der Vollzugsorgane zu Handen der Aargauer Behörden erstellt habe. Unter diesen Umständen sei es offensichtlich, dass G._ in den Ausstand hätte treten müssen (vgl. Beschwerde S. 5-7 Ziff. 7).
Ein Ausstandsgrund ist ohne Verzug geltend zu machen, sobald die Partei davon Kenntnis erhält (Art. 58 Abs. 1 StPO). Dies haben die Beschwerdeführer unterlassen. Wie dem Protokoll zu entnehmen ist, nahm der Vertreter der Beschwerdeführer am 28. März 2011 an der Einvernahme von G._ teil. Obwohl der ausserordentliche Staatsanwalt einleitend ausdrücklich erläuterte, dass und aus welchen Gründen er G._ als sachverständigen Zeugen befragen werde (S. 1), hatte der Vertreter gegen dieses Vorgehen nichts einzuwenden. Auch in der von ihm vor Bundesgericht zitierten Eingabe vom 15. August 2012 stellte er nur fest, er gehe davon aus, dass der ausserordentliche Staatsanwalt bei seiner Beurteilung des Falles nicht auf den Bericht von G._ aus dem Jahre 2009 abstelle (Beschwerdebeilage 3 S. 15 Ziff. 10). Dass G._ überdies in den Ausstand hätte treten müssen und durch den ausserordentlichen Staatsanwalt nicht als Zeuge hätte einvernommen werden dürfen, machte der Vertreter in der Eingabe vom 15. August 2012 nicht geltend. Vor Bundesgericht kann er damit nicht mehr gehört werden, zumal weder dem angefochtenen Entscheid noch der Eingabe vor Bundesgericht zu entnehmen ist, dass er die Rüge im kantonalen Beschwerdeverfahren nachträglich noch erhoben hätte.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Den Beschwerdegegnern 3-5 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn