Fatti:
A. A._ e B._ sono comproprietari di uno stabile situato a Bellinzona che ospita un esercizio pubblico (ristorante). Il fondo confina con la particella di C.C._ e D.C._, dalla quale è separato da un muro di cinta, alto un paio di metri, a ridosso del quale sorge una tettoia (porticato) di 65 m2. Quest'ultima, contigua all'edificio principale, è parzialmente chiusa sui lati ed è adibita durante la bella stagione al servizio esterno del ristorante.
B. Nel 2000, i comproprietari, senza previamente chiedere il permesso, avevano chiuso con una vetrata il lato aperto della tettoia. Il diniego municipale di rilasciare una licenza edilizia in sanatoria e l'ordine di procedere all'allontanamento dei serramenti vetrati per il superamento dell'indice di sfruttamento, sono stati confermati in ultima istanza dal Tribunale federale (sentenza 1P.199/2005 del 20 ottobre 2005).
C. Dopo aver tolto le pareti vetrate, sostituendole con tende verticali trasparenti in PVC che permettono di realizzare un vano protetto dalle intemperie, nel 2008 A._ ha chiesto al Municipio di rilasciargli il permesso di costruzione in sanatoria, richiesta avversata dai vicini. Il 2 febbraio 2009, il Municipio ha negato la licenza e intimato la rimozione delle pareti abusivamente montate, decisione confermata dal Consiglio di Stato e, con giudizio del 7 giugno 2010, dal Tribunale cantonale amministrativo.
D. A._ e B._ impugnano questa decisione con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono, concesso al gravame effetto sospensivo, in via principale, di annullare la criticata decisione e di accogliere la domanda di costruzione a posteriori, in via subordinata, di rinviare la causa alla Corte cantonale per nuova decisione nel senso dei considerandi.
La Corte cantonale si riconferma nella pronunzia impugnata, l'Ufficio domande di costruzione non si esprime sul gravame, il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale, i vicini propongono di respingere il ricorso, il Municipio di Bellinzona di respingerlo in quanto ammissibile.
Con decreto presidenziale del 13 settembre 2010, al ricorso è stato conferito effetto sospensivo.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (DTF 136 II 101 consid. 1).
1.2 Presentato contro una decisione dell'ultima istanza cantonale nell'ambito del diritto edilizio, il ricorso in materia di diritto pubblico, tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF), è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a e 86 cpv. 1 lett. d LTF (DTF 133 II 409 consid. 1.1). La legittimazione dei ricorrenti è pacifica.
1.3 Secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il gravame dev'essere motivato in modo sufficiente, spiegando nei motivi perché l'atto impugnato viola il diritto (DTF 133 II 249 consid. 1.4.1). Le esigenze di motivazione sono inoltre accresciute laddove il ricorrente lamenta, come in concreto, la violazione di diritti fondamentali e di norme del diritto cantonale (art. 106 cpv. 2 LTF), nonché l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, poiché ciò equivale a sostenere che i fatti sono stati accertati in violazione dell'art. 9 Cost. e del diritto federale (DTF 136 II 304 consid. 2.4 e 2.5; 136 I 229 consid. 4.1).
2. 2.1 I ricorrenti fanno valere una violazione del diritto di essere sentito, poiché la Corte cantonale non ha effettuato il richiesto sopralluogo.
2.2 Il contenuto del diritto di essere sentito è determinato in primo luogo dalle norme cantonali e dalle garanzie minime dedotte direttamente dall'art. 29 cpv. 2 Cost. Esso conferisce all'interessato il diritto di esprimersi prima che sia adottata una decisione sfavorevole nei suoi confronti, di fornire prove circa i fatti suscettibili di influire sul provvedimento, di poter prendere visione dell'incarto, di partecipare all'assunzione delle prove, di prenderne conoscenza e di determinarsi al riguardo (DTF 135 I 279 consid. 2.2 e 2.3).
2.3 La Corte cantonale ha ritenuto, sulla base di un apprezzamento anticipato delle prove (al riguardo vedi DTF 136 I 229 consid. 5.3), valutazione esaminata dal Tribunale federale soltanto sotto il ristretto profilo dell'arbitrio (DTF 131 I 153 consid. 3), che si poteva rinunciare all'esperimento di un sopralluogo, poiché la situazione dei luoghi risultava in maniera sufficiente dai piani e dalle fotografie agli atti.
2.4 Questa conclusione non è insostenibile e quindi arbitraria. L'arbitrio, vietato dall'art. 9 Cost., è ravvisabile soltanto quando la decisione impugnata risulta manifestamente insostenibile, in contraddizione palese con la situazione effettiva, gravemente lesiva di una norma o di un chiaro principio giuridico, o in contrasto intollerabile con il sentimento di giustizia e di equità. La decisione deve inoltre essere arbitraria nel suo risultato e non solo nella sua motivazione. Non risulta per contro arbitrio dal semplice fatto che anche un'altra soluzione potrebbe entrare in linea di conto o sarebbe addirittura preferibile (DTF 135 V 2 consid. 1.3; 134 II 124 consid. 4.1).
2.5 In effetti, dai piani e dalle fotografie prodotte anche dai ricorrenti, risulta chiaramente la natura e il sistema di posa delle pareti litigiose, in materiale plastico e trasparente, montate su supporti su cui si possono avvolgere. In siffatte circostanze, l'esito della censura non muta per il riferimento alla massima dell'ufficialità e al principio inquisitorio vigente nella procedura amministrativa ticinese. Come ancora si vedrà, l'accenno ricorsuale a una dichiarazione del gerente secondo cui la terrazza non sarebbe utilizzata durante i mesi invernali, poiché un suo riscaldamento sarebbe impossibile, non è decisivo, determinante essendo la possibile utilizzazione oggettiva del locale.
Del resto, come pertinentemente addotto dai vicini e dal Municipio, mal si comprenderebbe lo scopo della chiusura della tettoia, che già protegge il vano sottostante dalla pioggia, con le tende litigiose, che peraltro possono facilmente essere sigillate con la posa di inserti adesivi, se le stesse non perseguissero quello di estendere l'utilizzo del locale per la ristorazione per un periodo prolungato, ben oltre i mesi estivi.
2.6 Il mancato esperimento del sopralluogo avrebbe inoltre comportato, secondo i ricorrenti, un accertamento dei fatti e una valutazione delle prove arbitrari. Ora, non essendo ravvisabili motivi che ne imporrebbero una rettifica o una modifica d'ufficio (art. 105 cpv. 1 e 2 in relazione con l'art. 97 cpv. 1 LTF; DTF 136 I 184 consid. 1.2; 136 II 304 consid. 2.4), il Tribunale federale è vincolato dai fatti accertati dalla Corte cantonale.
3. 3.1 Nella decisione impugnata si precisa che in concreto l'indice di sfruttamento è già esaurito dall'edificio utilizzato come ristorante, accertamento non contestato dai ricorrenti. Si ricorda che giusta l'art. 37 cpv. 1 della legge edilizia cantonale del 13 marzo 1992 (LE), l'indice di sfruttamento è il rapporto tra la superficie utile lorda degli edifici e la superficie edificabile del fondo. Secondo l'art. 38 cpv. 1 secondo periodo LE, nella superficie utile lorda non vengono computate le superfici non utilizzate o non utilizzabili per l'abitazione o il lavoro come, tra l'altro, i porticati aperti, le terrazze dei tetti coperte, ma non chiuse lateralmente, i balconi e le logge aperte che non servono come ballatoi. La Corte cantonale ha ricordato, ciò che i ricorrenti non contestano, che decisiva per il computo è la possibilità oggettiva di utilizzare la superficie di un determinato vano a fini abitativi o lavorativi. Ha poi accertato che la costruzione litigiosa si presenta come una tettoia chiusa sui lati, aperta unicamente verso il giardino del ristorante, l'utilizzo del portico per la ristorazione non essendo contestato. All'interno si trova il tipico arredamento di una sala da pranzo di un ristorante: l'ampio spazio è coperto e risulta sufficientemente chiuso da poterlo adibire senza particolari inconvenienti alla ristorazione, per cui i clienti possono usufruirne senza particolare disagio e con un comfort adeguato, analogo agli altri spazi interni del ristorante, per un periodo prolungato che si estende ben oltre la bella stagione. Sempre secondo la Corte cantonale, gli aspetti che apparentano il manufatto a un locale utilizzabile per il lavoro, e quindi computabili sulla superficie utile lorda, prevalgono abbondantemente sulle poche caratteristiche che lo accomunano a uno spazio esterno di ristorazione al riparo dalle precipitazioni, conclusione suffragata dalla sostanziale equivalenza rispetto al locale precedentemente creato con la posa di vetrate amovibili. L'assenza di ermeticità a causa delle ridotte fessure tra i teli in PVC e i supporti laterali, rispettivamente il pavimento e la difficoltà a riscaldare il locale in condizioni atmosferiche particolarmente avverse, non sovvertono tale equivalenza, l'eventuale impossibilità di utilizzo durante pochi mesi invernali, o in condizioni meteorologiche estreme, non essendo decisiva.
3.2 Queste conclusioni non sono arbitrarie. In effetti, le pareti in materiale plastico e trasparente, per una lunghezza complessiva di una dozzina di metri, sono state montate su supporti che, tramite un sistema di avvolgimento e apposite guide di scorrimento, permettono di realizzare un vano protetto dalle intemperie, senza ostacolare la luce e la vista verso il giardino.
3.3 I ricorrenti fanno valere una violazione del principio della parità di trattamento (art. 8 cpv. 1 e art. 29 cpv. 1 Cost.). Al riguardo adducono che nel quadro di un'altra decisione del 7 dicembre 2005, la Corte cantonale ha stabilito che la superficie di balconi di un appartamento chiusi lateralmente ma aperti in facciata, protetta dalle precipitazioni ma comunque esposta alle altre intemperie, che non si presta pertanto a essere utilizzata a scopi abitativi, può essere esclusa dal computo della superficie utile lorda.
3.4 In tale ambito i ricorrenti si limitano ad asserire, in maniera generica, che detta fattispecie sarebbe del tutto simile a quella in esame. Ora, la differenza tra le due fattispecie, balconi chiusi lateralmente ma aperti in facciata, esposti al vento e al freddo e quindi non utilizzabili per il soggiorno di persone a scopo residenziale, da una parte, e tettoia chiusa sui lati e posa di pareti in materiale plastico sull'unico lato aperto, che consente di utilizzarlo come locale per la ristorazione, dall'altra, costituisce una differenza di trattamento fondata su una giustificazione obiettiva e ragionevole. Non si è pertanto in presenza dell'asserita disparità di trattamento (DTF 136 I 121 consid. 5.2, 1 consid. 4.1).
4. Infine, i ricorrenti ravvisano un'interpretazione arbitraria dell'art. 38 LE, poiché la Corte cantonale, avallando la decisione municipale, avrebbe in sostanza negato a torto un asserito abuso del potere di apprezzamento da parte del Comune. Al riguardo, essi ripropongono le censure appena esaminate, rilevando semplicemente di reputare, in maniera generica, che le pareti in materiale plastico non sarebbero idonee a riparare la terrazza dal vento e dal freddo. Essi non tentano nemmeno di dimostrare che, oggettivamente, il locale litigioso non può essere utilizzato senza particolari inconvenienti per la ristorazione per un periodo prolungato dell'anno, come accertato in maniera non arbitraria dalla Corte cantonale. D'altra parte, l'applicazione dell'art. 38 LE al caso in esame non presta il fianco a critiche. In effetti, la comparazione tra la posa di vetrate amovibili, ritenute illegali, e quella di pareti avvolgibili in PVC, anch'esse peraltro posate senza previamente chiedere il necessario permesso, non è addirittura insostenibile e quindi arbitrario.
5. Il ricorso, in quanto ammissibile, dev'essere pertanto respinto. Le spese e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 3'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti, che rifonderanno a C.C._ e a D.C._ un'indennità unica di fr. 2'000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Municipio di Bellinzona, al Dipartimento del territorio, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.