Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 30. März 2012 bestätigte das Regionalgericht Bern-Mittelland einen von A._ (Versicherter) mit seinen Gläubigern abgeschlossenen Nachlassvertrag mit Dividendenvergleich. Es stellte fest, dass eine Forderung der Versicherung X._ AG (Versicherung) im Betrag von Fr. 1'708.75 bestritten ist, und setzte dieser Frist zur Klage gemäss Art. 315 SchKG an, ansonsten sie der Sicherstellung der Dividende verlustig gehe.
B. B.a Die Versicherung (Klägerin) reichte am 23. April 2012 gegen den Versicherten (Beklagter) beim Regionalgericht Bern-Mittellland fristgerecht Klage ein. Dieses trat mit Entscheid vom 8. Juni 2012 mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein und stellte die Verfahrensakten in sinngemässer Anwendung von Art. 1 Abs. 3 ZPO/BE dem Obergericht des Kantons Bern zu. Dieses sandte die Akten dem Regionalgericht zurück und führte dazu im Schreiben vom 13. Juni 2012 aus, ein Kompetenzkonfliktverfahren, wie es das frühere kantonale Prozessrecht gekannt habe, sei in der schweizerischen Zivilprozessordnung nicht mehr vorgesehen. Daraufhin trat das Regionalgericht mit Entscheid vom 20. Juli 2012 erneut mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein.
B.b Gegen diesen Entscheid erhob die Klägerin beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde mit den Anträgen, das Regionalgericht sei anzuweisen, auf die Klage einzutreten. Das Obergericht trat mit Entscheid vom 12. November 2012 auf die Beschwerde nicht ein.
C. Die Beschwerdeführerin erhebt beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts vom 12. November 2012 aufzuheben und den Beklagten zur Zahlung von Fr. 1'708.75 zu verpflichten. Eventuell sei der Entscheid aufzuheben und das Obergericht anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten. Subeventuell sei das Obergericht anzuweisen, ihr eine Nachfrist im Sinne von Art. 132 Abs. 1 ZPO einzuräumen, um die Beschwerde vom 14. September 2012 rechtsgültig zu unterzeichnen.
Der Beschwerdegegner stellt den Antrag, die Beschwerde sei "zurückzuweisen". Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 138 III 46 E. 1; 135 III 329 E. 1 S. 331; je mit Hinweisen).
1.2 Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit keine Beschwerde nach den Art. 72-89 BGG zulässig ist (Art. 113 BGG). Da dies vorliegend der Fall ist, weil namentlich der Streitwert gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht erreicht wird, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
2. 2.1 Das Obergericht führte zur Begründung seines Nichteintretensentscheids aus, die Beschwerdeführerin sei als juristische Person nur prozessführungsbefugt, wenn sie durch ein rechtmässiges Organ oder eine zeichnungsberechtigte Person vertreten werde. Die Beschwerde sei von zwei gemäss Handelsregister nicht zeichnungsberechtigten Juristen unterzeichnet worden und daher grundsätzlich unwirksam. Zwar könne sich die Beschwerdeführerin gemäss Art. 68 ZPO durch jede beliebige Person ihres Vertrauens vertreten lassen, sofern diese nicht berufsmässig handle. Vorliegend sei eine berufsmässige Vertretung gegeben, weil die Beschwerde von zwei Juristen unterzeichnet worden sei, die als Angestellte der Beschwerdeführerin für ihre Tätigkeit ein Entgelt in Form von Lohn erhielten und bereit seien, die Beschwerdeführerin regelmässig in rechtlichen Angelegenheiten zu vertreten. Die berufsmässige Vertretung vor dem Obergericht sei nach Art. 68 Abs. 2 lit. a ZPO Anwälten und Anwältinnen vorbehalten, die nach dem Anwaltsgesetz vom 23. Juni 2000 (SR 935.61) berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichten zu vertreten. Aufgrund ihres Anstellungsverhältnisses zur Beschwerdeführerin könnten sich die beiden unterzeichnenden Juristen gemäss Art. 8 Abs. 1 lit. d des Anwaltsgesetzes nicht in das kantonale Anwaltsregister eintragen lassen, wies dies Art. 6 Abs. 1 des Anwaltsgesetzes verlange. Damit fehle ihnen eine der Voraussetzungen, die Beschwerdeführerin gemäss Art. 68 ZPO berufsmässig zu vertreten.
2.2 Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht sei in Willkür verfallen, weil es angenommen habe, nur im Handelsregister eingetragene Organe könnten für eine juristische Person im Prozess auftreten. Es habe nicht beachtet, dass auch Unternehmensjuristen, zu deren üblichen und täglichen Aufgabe das Verfassen und Einreichen von Beschwerden gehören, in juristischen Belangen den Willen der juristischen Person zum Ausdruck brächten und damit von Art. 68 ZPO - gleich wie von der parallelen Regelung in Art. 40 BGG - nicht erfasst würden.
2.2.1 Art. 68 Abs. 2 lit. a ZPO behält die berufsmässige Vertretung von Parteien im Prozess grundsätzlich Anwälten vor, die nach dem Anwaltsgesetz berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichten zu vertreten. Die Vertretung von Parteien vor Bundesgericht in Zivil- und Strafsachen kann nach Art. 40 Abs. 1 BGG ebenfalls nur durch solche Anwälte erfolgen. Das damit statuierte prozessrechtliche Anwaltsmonopol bezieht sich auf die Vertretung von Personen durch Dritte und kommt damit nicht zur Anwendung, soweit das materielle Zivilrecht bei juristischen Personen die Vertretung im Prozess durch firmeninterne Personen mit Organfunktion zulässt (MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar zur ZPO, Bd. I, 2012, N. 12 zu Art. 68 ZPO; LUCA TENCHIO, in: Basler Kommentar, ZPO, 2010, N. 2 und 21 zu Art. 68 ZPO; vgl. auch BGE 130 II 87 E. 4.3.2 S. 97; LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar zum BGG, 2. Aufl. 2011, N. 3 zu Art. 40 BGG; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 5 zu Art. 40 BGG). So lassen Art. 458 ff. OR bei juristischen Personen, die ein kaufmännisches Gewerbe führen, ihre Vertretung im Prozess durch Prokuristen und andere Handlungsbevollmächtigte zu, denen damit nicht die Stellung eines berufsmässigen Vertreters im Sinne von Art. 68 Abs. 2 ZPO zukommt (vgl. BGE 97 II 94 S. 95, der Prokuristen betrifft; STERCHI, a.a.O., N. 12 zu Art. 68 ZPO; Urteil des Berner Verwaltungsgerichts vom 21. Juni 2007, VGE 22813, E. 1.4.6, publ. in: BVR 2008, S. 29). Die Prokura umfasst vermutungsweise das Recht, alle Arten von Rechtshandlungen vorzunehmen, die der Zweck des Unternehmens mit sich bringen kann (Art. 459 Abs. 1 OR). Zu diesen Rechtshandlungen gehört auch die Prozessvertretung (Urteil 4P.184/2003 vom 2. Februar 2004 E. 2.3.2 mit Hinweis). Mit der kaufmännischen Handlungsvollmacht wird jemand ohne Erteilung der Prokura zum Betrieb des Gewerbes oder zu bestimmten Geschäften im Gewerbe als Vertreter bestellt (Art. 462 Abs. 1 OR). Gemäss Art. 462 Abs. 2 OR ist der Handlungsbevollmächtigte jedoch zur Prozessführung nur ermächtigt, wenn ihm eine solche Befugnis ausdrücklich erteilt worden ist. Die ausdrückliche Erteilung der Prozessführungsbefugnis kann schriftlich oder mündlich, nicht jedoch bloss stillschweigend erfolgen (CHRISTINE CHAPPUIS, in: Commentaire Romand, CO I, 2. Aufl. 2012, N. 14 zu Art. 462 OR i.V.m. N. 7 zu Art. 459 OR; KARL WAGNER, Die Handlungsvollmachten nach Art. 462 des Obligationenrechts, 1945, S. 38; vgl. betreffend Art. 426 Abs. 2 aOR: Entscheid des Bundesgerichts, I. Abteilung, vom 31. Mai 1902 E. 3, publ. in: Blätter für Zürcherische Rechtsprechung, Neue Folge Bd. I, 1902, Nr. 159 S. 199 f.). Die Regelung der ausdrücklichen Vollmachtserteilung in Art. 462 Abs. 2 OR erfährt insoweit eine Ausnahme, als der Geschäftsinhaber gemäss Art. 458 Abs. 1 OR einem Handlungsbevollmächtigten stillschweigend die Prokura erteilen kann (BGE 94 II 117 E. 3 S. 118 f.; vgl. auch: BGE 99 IV 1 E. 1c S. 3). Anders als die Prokura kann die Handlungsvollmacht nicht ins Handelsregister eingetragen werden (Urteil 4C.348/2006 vom 17. Januar 2007 E. 8.1 mit Hinweis). Der Handlungsbevollmächtigte hat daher dem Gericht seine Ermächtigung zur Prozessführung nach Art. 642 Abs. 2 OR durch eine von den zuständigen Personen erteilte Vollmacht zu belegen (vgl. Urteil des Berner Verwaltungsgerichts vom 21. Juni 2007, VGE 22813, E. 1.4.8., publ. in: BVR 2008, S. 30).
2.2.2 Nach dem Gesagten hat das Obergericht verkannt, dass nicht im Handelsregister eingetragene Handlungsbevollmächtigte gemäss Art. 462 Abs. 2 OR zur Prozessführung ermächtigt werden können, ohne unter das Anwaltsmonopol gemäss Art. 68 ZPO zu fallen. Das Obergericht ist daher in Willkür verfallen, wenn es die Vertretungsbefugnis der von der Beschwerdeführerin angestellten Juristen aufgrund ihrer fehlenden Eintragung im Handelsregister ausschloss, ohne zu prüfen, ob eine Ermächtigung zur Prozessführung gemäss Art. 462 Abs. 2 OR vorlag.
3. 3.1 Gemäss Art. 132 Abs. 1 ZPO sind Mängel wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht innert gerichtlicher Nachfrist zu verbessern. Die Ansetzung einer Nachfrist setzt voraus, dass der Mangel auf ein Versehen und nicht auf ein bewusst unzulässiges Vorgehen zurückzuführen ist (REMO BORNATICO, in: Basler Kommentar, ZPO, 2010, N. 6 zu Art. 132 ZPO; FRANÇOIS BOHNET, in: Code de procédure civile commenté, Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 40 zu Art. 132 ZPO; vgl. auch: BGE 121 II 252 E. 4 S. 255 f.; Urteil 5A_461/2012 vom 1. Februar 2013 E. 4.1 und 4.2).
3.2 Das Obergericht hat keine Nachfrist zur Einreichung einer Vollmacht angesetzt, weil es annahm, vorliegend sei ein Versehen auszuschliessen, da bereits die Klage der Beschwerdeführerin von zwei Personen unterzeichnet worden sei, die im Handelsregister nicht als zeichnungsberechtigt eingetragen gewesen seien.
3.3 Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe damit Art. 132 ZPO willkürlich angewendet und gegen das Verbot des überspitzten Formalismus verstossen, da kein schützenswertes Interesse ersichtlich sei, das die vom Obergericht angewandte Formstrenge rechtfertigen könnte. Daraus, dass schon im früheren Verfahren die Rechtsschriften der Beschwerdeführerin von zwei von ihr angestellten (nicht im Handelsregister eingetragenen) Juristen unterzeichnet worden seien, könne nicht abgeleitet werden, diese seien nicht zeichnungsberechtigt gewesen. Die Zeichnungsberechtigung dieser Juristen sei denn auch im bisherigen Verfahren vom Regionalgericht und vom Obergericht nicht in Frage gestellt worden. Die Verweigerung einer Nachfrist stelle daher ein gegen Treu und Glauben verstossendes widersprüchliches Verhalten dar.
3.4 Wie bereits dargelegt, können nach Art. 462 Abs. 2 OR auch nicht im Handelsregister eingetragene Handlungsbevollmächtigte zur Prozessführung ermächtigt werden. Demnach kann daraus, dass sich die Beschwerdeführerin bereits im bisherigen Verfahren durch von ihr angestellte Juristen vertreten liess, die nicht im Handelsregister eingetragen waren, nicht abgeleitet werden, sie habe sich absichtlich von nicht zeichnungsberechtigten Personen vertreten lassen. Vielmehr ist anzunehmen, die Beschwerdeführerin sei gemäss ihrem im erstinstanzlichen Verfahren tolerierten Vorgehen irrtümlich davon ausgegangen, wenn sie sich durch von ihr angestellte und mit der Verfassung und Einreichung von Rechtsschriften betraute Angestellte vertreten lasse, sei die Einreichung einer Vollmacht nicht oder nur auf Aufforderung des Gerichts erforderlich. Unter diesen Umständen hat das Obergericht den durch Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV gewährleisteten Grundsatz des Handelns nach Treu und Glauben verletzt, indem es der Beschwerdeführerin nicht gemäss Art. 132 Abs. 1 ZPO eine gerichtliche Nachfrist zur Einreichung einer Vollmacht ansetzte. Zur Behebung dieses Verfahrensmangels ist der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Stellung einer Nachfrist zur Vollmachtseinreichung und zum späteren neuen Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen. Damit werden die Anträge der Beschwerdeführerin in der Sache gegenstandslos.
4. 4.1 Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache gemäss Art. 107 Abs. 2 BGG zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
4.2 Da die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens unnötigerweise durch das Vorgehen der Vorinstanz verursacht wurden, rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zulasten des grundsätzlich unterliegenden Beschwerdegegners zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 12. November 2012 aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Gelzer