Faits:
A. Ressortissante camerounaise née en 1954, AX._ a épousé le 27 octobre 2000 BY._, né en 1936, de nationalité suisse. Arrivée en Suisse le 11 avril 2001, elle a obtenu une autorisation de séjour qui a par la suite été renouvelée à deux reprises.
Par jugement du 3 juin 2003 du Président de l'Arrondissement judiciaire de Z._, BY._ a été autorisé à vivre séparé de son épouse et le domicile conjugal attribué à cette dernière. Les époux Y._ ont cessé la vie commune le 30 juin 2003.
B. Par décision du 18 janvier 2007, le Service des migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne (ci-après: le Service des migrations) a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de AXY._ au motif qu'elle invoquait abusivement son mariage pour demeurer en Suisse.
Saisie d'un recours contre ce prononcé, la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne l'a rejeté par décision du 25 juillet 2007.
Le 22 août 2007, AXY._ a recouru contre cette décision au Tribunal administratif du canton de Berne. Par acte du même jour, elle a également interjeté un recours auprès du Conseil exécutif du canton de Berne. Cette dernière autorité a suspendu la procédure devant elle jusqu'à droit connu dans la procédure devant le Tribunal administratif.
Le Tribunal administratif s'est saisi de la cause sous l'angle du droit à l'octroi d'une autorisation de séjour (ou d'établissement) en vertu de l'art. 7 al. 1 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), alors que la question du bien-fondé de la décision entreprise au regard de l'art. 4 LSEE - disposition qui laisse l'octroi de l'autorisation à l'appréciation de l'autorité - ressortissait au Conseil exécutif. Par arrêt du 15 février 2008, le Tribunal administratif a rejeté le recours, en considérant qu'aucun indice concret ne laissait entrevoir une possible réconciliation entre les époux et la reprise de la vie commune. Il a considéré que les motifs de la séparation - à savoir, selon AXY._, le comportement inadéquat et violent de son mari - ne jouaient aucun rôle du point de vue du droit à l'autorisation, dès le moment où la volonté de maintenir l'union conjugale avait cessé d'exister. Il a donc estimé qu'il était superflu d'administrer de nouveaux moyens de preuve relatifs aux prétendues violences conjugales, comme le demandait la prénommée. Au demeurant, le Tribunal administratif a rejeté la requête d'assistance judiciaire gratuite formée par cette dernière, au motif que le recours était dénué de chances de succès.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, AXY._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 15 février 2008 et d'ordonner la prolongation de son autorisation de séjour. Elle conteste également le refus de l'autorité intimée de lui accorder l'assistance judiciaire. A titre préalable, elle requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif et demande à bénéficier de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
Par ordonnance du Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal de céans du 18 mars 2008, la requête d'effet suspensif a été admise.
Il n'a pas été requis d'observations.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) est entrée en vigueur le 1er janvier 2008 (RO 2007 5487). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit. La présente affaire doit donc être examinée à la lumière de l'ancienne loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
2. 2.1 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En vertu de l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour. Pour juger de la recevabilité du recours en matière de droit public, seule est déterminante la question de savoir si un mariage au sens formel existe (cf. ATF 126 II 265 consid. 1b p. 266 s'agissant du recours de droit administratif au sens des art. 97 ss de l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 [OJ; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2006]). La recourante est mariée à un Suisse. Son recours est donc recevable sous cet angle.
La voie du recours en matière de droit public est également ouverte en ce qui concerne le refus de l'assistance judiciaire, puisqu'à cet égard la décision attaquée ne tombe sous aucune des dispositions de l'art. 83 LTF.
2.2 Au surplus, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre un jugement rendu dans une cause de droit public (art. 82 lettre a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 lettre d LTF). Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, il est en principe recevable.
3. Selon l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour; après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, il a droit à l'autorisation d'établissement; ce droit s'éteint lorsqu'il existe un motif d'expulsion. Quant à l'art. 7 al. 2 LSEE, il prévoit que le conjoint étranger d'un ressortissant suisse n'a pas droit à l'octroi ou à la prolongation de l'autorisation de séjour, lorsque le mariage a été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers et notamment celles sur la limitation du nombre des étrangers. D'après la jurisprudence, le fait d'invoquer l'art. 7 al. 1 LSEE peut être constitutif d'un abus de droit, en l'absence même d'un mariage contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers au sens de l'art. 7 al. 2 LSEE (ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117; 127 II 49 consid. 5a p. 56 et la jurisprudence citée).
L'existence d'un abus de droit découlant du fait de se prévaloir de l'art. 7 al. 1 LSEE ne peut être simplement déduit de ce que les époux ne vivent plus ensemble, puisque le législateur a volontairement renoncé à faire dépendre le droit à une autorisation de séjour de la vie commune (cf. ATF 118 Ib 145 consid. 3 p. 149 ss). Pour admettre l'existence d'un abus de droit, il ne suffit pas non plus qu'une procédure de divorce soit entamée; le droit à l'octroi ou à la prolongation d'une autorisation de séjour subsiste en effet tant que le divorce n'a pas été prononcé, car les droits du conjoint étranger ne doivent pas être compromis dans le cadre d'une telle procédure. Enfin, on ne saurait uniquement reprocher à des époux de vivre séparés et de ne pas envisager le divorce. Toutefois, il y a abus de droit lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'existant plus que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de séjour, car ce but n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE. Le mariage n'existe plus que formellement lorsque l'union conjugale est rompue définitivement, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a plus d'espoir de réconciliation; les causes et les motifs de la rupture ne jouent pas de rôle (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267; 130 II 113 consid. 4.2 p. 117 et les arrêts cités).
4. 4.1 La recourante fait valoir que la rupture du lien conjugal est imputable à son mari, qui aurait eu à plusieurs reprises un comportement violent à son endroit et qui entretiendrait une relation extra-conjugale. De son côté, elle aurait toujours souhaité et souhaiterait encore la reprise de la vie commune. Dans ces conditions, on ne saurait lui reprocher d'agir abusivement en se prévalant de son mariage. Il serait inadmissible "de soutenir les maris qui épousent une femme d'origine étrangère, la font venir en Suisse et se comportent violemment avec elle, voire même entretiennent des relations extra-conjugales, ce qui engendre le renvoi de cette dernière dans son pays d'origine".
4.2 Comme l'a relevé l'autorité intimée et comme indiqué ci-dessus (consid. 3), les motifs de la séparation ne jouent pas de rôle du point de vue du droit à l'autorisation en vertu de l'art. 7 al. 1 LSEE. A cet égard, seul importe le point de savoir s'il existe encore un espoir de réconciliation ou si l'union conjugale est définitivement rompue. Or, en l'espèce, les époux Y._ étaient séparés depuis plus de quatre ans et demi lors du prononcé de la décision attaquée. Il ressort d'un courrier adressé à l'intimé le 10 août 2006 par le mandataire d'alors de la recourante que "les époux Y._ n'ont plus conservé de contacts et n'envisagent pas une reprise de la vie commune" (décision attaquée, p. 9). La recourante ne fait valoir aucun indice concret que cette situation aurait évolué dans le sens d'une reprise de la vie commune. Dans ces conditions, l'autorité intimée était fondée à considérer qu'il était (manifestement) abusif de la part de la recourante de se prévaloir de son mariage n'existant plus que formellement pour obtenir le renouvellement de son autorisation de séjour sur la base de la disposition précitée. Partant, le recours est mal fondé sur ce point.
Les motifs de la séparation peuvent éventuellement être pris en considération par l'autorité compétente pour délivrer une autorisation en vertu de son pouvoir d'appréciation, sur la base de l'art. 4 LSEE. L'examen du cas de la recourante sous l'angle de cette disposition ne fait toutefois pas l'objet de la présente procédure.
5. Le droit à l'assistance judiciaire est défini en premier lieu par le droit cantonal, dont le Tribunal fédéral ne contrôle l'application et l'interprétation que sous l'angle de l'arbitraire; dans tous les cas, l'autorité cantonale doit cependant respecter les garanties minimales déduites directement de l'art. 29 al. 3 Cst., dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (ATF 129 I 129 consid. 2.1 p. 133; 128 I 225 consid. 2.3 p. 226).
Aux termes de l'art. 111 al. 1 de la loi bernoise du 23 mai 1989 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/BE 155.21), "l'autorité de justice administrative dispense du paiement des frais de procédure [...] la partie dont l'indigence pour subvenir aux frais de procès est établie [...] et pour autant que la procédure ne paraisse pas d'emblée vouée à l'échec".
Selon l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent guère être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter (ATF 129 I 129 consid. 2.2 p. 133; 122 I 267 consid. 2b p. 271).
6. 6.1 La recourante fait grief à l'autorité intimée d'avoir violé son droit à l'assistance judiciaire gratuite. Elle lui reproche en effet d'avoir admis que son recours était dépourvu de chances de succès au terme d'un examen approfondi, alors qu'elle aurait dû se limiter à examiner si, de prime abord, son recours n'était pas dénué de chances de succès. Tel ne serait pas le cas, puisque le litige porte sur la question de l'abus de droit à invoquer le mariage. Il s'agirait d'une question d'appréciation. Au vu des circonstances de l'espèce (mariage qui n'a jamais été considéré comme fictif, prolongation de l'autorisation de séjour à deux reprises, union conjugale de plus de cinq ans, séparation due exclusivement au comportement de l'époux), la recourante pourrait prétendre au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite aux fins de sauvegarder ses droits.
6.2 A l'appui du grief de violation du droit à l'assistance judiciaire gratuite, la recourante n'invoque aucune disposition de droit constitutionnel ou cantonal, de sorte qu'il est douteux que le recours soit suffisamment motivé à cet égard (cf. art. 106 al. 2 LTF). Quoi qu'il en soit, il est mal fondé.
S'agissant en tout cas de la condition liée aux chances de succès de la procédure, l'art. 111 al. 1 LPJA n'est pas moins restrictif que l'art. 29 al. 3 Cst., de sorte que le grief doit être examiné seulement à la lumière de cette dernière disposition.
Le recours devant l'autorité intimée était motivé principalement par le fait que la séparation des époux Y._ aurait été imputable au comportement violent et infidèle de l'époux. Pour le reste, la recourante n'a pas allégué d'indice concret de reprise de la vie commune, mais s'est limitée à faire valoir que son mari et elle étaient "en bons termes" et qu'il n'était ainsi "pas exclu" que la vie commune puisse reprendre (recours, p. 8). Dans ces conditions, au vu de la jurisprudence constante selon laquelle les causes et motifs de la séparation sont sans importance pour trancher la question de l'abus de droit (manifeste) à invoquer un mariage n'existant plus que formellement pour obtenir une autorisation, l'autorité intimée n'a pas violé l'art. 29 al. 3 Cst. en estimant que les perspectives que la recourante obtienne gain de cause devant elle étaient, de prime abord, notablement plus faibles que les risques qu'elle succombe et en lui refusant, partant, le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
7. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Les conclusions de la recourante apparaissant dénuées de toute chance de succès également en instance fédérale, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF a contrario). Les frais de justice seront fixés compte tenu de la situation financière de la recourante (cf. art. 64 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Des frais judiciaires de 800 fr. sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des migrations et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 17 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Vianin