Sachverhalt:
A. A.a X._ ersuchte am 22. Mai 2009 beim Amt für Wasserbau des Kantons Schwyz um Erlaubnis, Wasser des Brünnenbachs für den Betrieb einer Wärmepumpenanlage zur Beheizung eines Wohnhauses und eines Lagergebäudes nutzen zu dürfen. Mit Beschluss Nr. 773/2009 vom 7. Juli 2009 erteilte der Regierungsrat des Kantons Schwyz (nachfolgend: Regierungsrat) X._ die beantragte Konzession für die Dauer von 20 Jahren. Er erhob eine einmalige Gebühr von Fr. 871.-- (bestehend aus Fr. 380.-- Konzessionsgebühr und Fr. 471.-- Bearbeitungsgebühr) und setzte den jährlichen Wasserzins auf einen Rappen pro Kubikmeter der genutzten Wassermenge fest. Die Konzession enthielt ferner einen Vorbehalt betreffend Erhöhung des Wasserzinses im Fall der Revision der gesetzlichen Bestimmungen sowie verschiedene Auflagen.
A.b Am 20. Juli 2009 forderte X._ den Regierungsrat auf, den Beschluss Nr. 773/2009 vom 7. Juli 2009 zu berichtigen. Er beantragte, auf die Erhebung der Gebühren und des Wasserzinses sowie auf die Auflagen zu verzichten, da er gemäss Grundbuchauszug das Recht habe, unentgeltlich das Wasser des Brünnenbachs zu nutzen. Sollte wider Erwarten nicht auf seinen Antrag eingetreten werden, gelte die Eingabe gleichzeitig als Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz (nachfolgend: Verwaltungsgericht).
Das Amt für Wasserbau teilte X._ am 29. Juli 2009 mit, die Eingabe vom 20. Juli 2009 werde als Wiedererwägungsgesuch entgegengenommen, und leitete eine Kopie der Eingabe als "vorsorgliche" Beschwerde an das Verwaltungsgericht weiter. Dieses sistierte das Beschwerdeverfahren am 31. Juli 2009.
A.c Mit Beschluss Nr. 986/2009 vom 15. September 2009 wies der Regierungsrat das Wiedererwägungsgesuch ab; der Entscheid wurde X._ jedoch zunächst infolge gescheiterter Zustellung nicht eröffnet.
A.d Am 22. September 2009 schrieb das Verwaltungsgericht die Beschwerde vom 20. Juli 2009 als gegenstandslos vom Protokoll ab. Dadurch erfuhr X._ von der Existenz des Regierungsratsbeschlusses Nr. 986/2009 vom 15. September 2009. Nach zweimaliger Intervention beim Amt für Wasserbau wurde ihm der Beschluss am 26. November 2009 eröffnet.
B. Am 17. Dezember 2009 focht X._ den Regierungsratsbeschluss Nr. 986/2009 vom 15. September 2009 beim Verwaltungsgericht an, welches mit Entscheid vom 20. Juni 2012 auf die Beschwerde wegen Verspätung nicht eintrat. Das Verwaltungsgericht erwog zudem, selbst wenn auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, wäre diese abzuweisen, und hielt dies im Dispositiv fest.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 10. September 2012 beantragt X._ sinngemäss, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Juni 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen; eventuell seien die Beschwerden vom 20. Juli 2009 und vom 17. Dezember 2009 gutzuheissen und die Verpflichtung zur Zahlung eines Wasserzinses sowie damit zusammenhängende Verpflichtungen aufzuheben.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Regierungsrat beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. X._ lässt sich mit Replik vom 19. November 2012 vernehmen.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG); eine sachliche Ausnahme im Sinn von Art. 83 BGG liegt nicht vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig.
1.2 Ziff. 1 des Entscheiddispositivs vom 20. Juni 2012 lautet:
"Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten. Soweit darauf einzutreten wäre, wird sie im Sinne der Erwägungen abgewiesen."
Der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid ist dem mit einer Eventualbegründung versehenen materiellen Entscheid vorgelagert: Das Bundesgericht prüft, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist; im Fall einer Gutheissung könnte es direkt den abweisenden Sachentscheid der Vorinstanz überprüfen. In dieser Konstellation wird gestützt auf Art. 42 Abs. 2 BGG verlangt, dass sich die beschwerdeführende Partei sowohl mit der Haupt- als auch mit der Eventualbegründung auseinandersetzt (vgl. BGE 133 IV 119 E. 6.3 S. 120). Diese Voraussetzung ist vorliegend erfüllt.
1.3 Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat an dessen Aufhebung oder Änderung ein schutzwürdiges Interesse (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG). Er ist somit zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.4 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Die rechtsfehlerhafte Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (BGE 136 I 316 E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen).
3. Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht nicht auf die Beschwerde vom 17. Dezember 2009 eingetreten ist.
Der Beschluss des Regierungsrates vom 15. September 2009 wurde dem Beschwerdeführer am 26. November 2009 eröffnet, nachdem die erste Zustellung gescheitert war. Gemäss Art. 56 Abs. 1 der Verordnung des Kantons Schwyz vom 6. Juni 1974 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP; SRSZ 234.110) beträgt die Beschwerdefrist 20 Tage. Sie hat am 27. November 2009 (Freitag) zu laufen begonnen und am 16. Dezember 2009 (Mittwoch) geendet. Die am 17. Dezember 2009 der Vorinstanz überbrachte Beschwerde wurde somit einen Tag nach Ablauf der Rechtsmittelfrist eingereicht.
Der Beschwerdeführer bestreitet die Verspätung bei der Beschwerdeerhebung nicht. Zudem war bereits im vorinstanzlichen Verfahren unbestritten, dass keine Fristwiederherstellungsgründe vorlagen; solche waren auch nicht geltend gemacht worden. Vor Bundesgericht ist nicht strittig, dass die Beschwerde vom 17. Dezember 2009 verspätet war. Unter dem Vorbehalt der Gültigkeit des Regierungsratsbeschlusses vom 15. September 2009 ist der Nichteintretensentscheid daher rechtens.
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Regierungsratsbeschluss vom 15. September 2009 sei nichtig, da er nicht unterschrieben gewesen sei. Zugleich rügt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs: Dieser Anspruch umfasse auch das Recht zu erfahren, dass ein Entscheid ergangen sei und wer diesen gefällt habe.
4.1 Gemäss § 31 Abs. 1 lit. h VRP müssen Verfügungen und Entscheide die Unterschrift enthalten. Eine ohne Unterschrift eröffnete Verwaltungsverfügung leidet an einem Formmangel, welcher - wie jeder Eröffnungsmangel - der rechtsuchenden Partei nicht zum Nachteil gereichen darf. Dieser Grundsatz ergibt sich aus Art. 29 Abs. 1 und 2 BV und ist für das bundesrechtliche Verwaltungsverfahren explizit in Art. 38 VwVG (SR 172.021) statuiert. Formfehler fallen indessen nicht ins Gewicht, wenn eine objektiv mangelhafte Eröffnung gleichwohl den beabsichtigten Zweck erfüllt (TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl. 2009, S. 260 Rz. 20).
Dem Beschwerdeführer wurde der angefochtene Beschluss - wenn auch erst zwei Monate nach dessen Ausfertigung und ohne Unterschriften - mit vollständiger Begründung und Rechtsmittelbelehrung eröffnet. Der Regierungsrat als verfügende Behörde war angegeben, ebenso die Namen des Landammanns und des Staatsschreibers. Da der Beschwerdeführer durch den Eröffnungsmangel nicht daran gehindert wurde, den Regierungsratsbeschluss fristgerecht anzufechten, stellt sich infolge der (unbestrittenermassen) abgelaufenen Rechtsmittelfrist nur noch die Frage, ob der Regierungsratsbeschluss nichtig ist.
4.2 Im Rahmen des Schriftenwechsels vor der Vorinstanz erklärte der Vorsteher des federführenden Umweltdepartements in seiner Stellungnahme vom 20. Januar 2010, der für den Konzessionär bestimmte Regierungsratsbeschluss sei jeweils mit der Originalunterschrift versehen, das für das Amt für Wasserbau bestimmte Exemplar jedoch nicht. Der erstmalige Versand des original unterzeichneten Regierungsratsbeschlusses vom 15. September 2009 sei am 28. September 2009 erfolgt; die Zustellung sei jedoch gescheitert. Da das Amt für Wasserbau nicht mehr im Besitz eines Regierungsratsbeschlusses mit Originalunterschrift gewesen sei, habe es dem Beschwerdeführer am 25. November 2009 ein als Kopie gekennzeichnetes, nicht unterzeichnetes Exemplar gesandt.
4.3 Nach der gescheiterten Zustellung wäre der Regierungsrat gemäss § 31 Abs. 1 lit. h VRP verpflichtet gewesen, ein neues Exemplar des Beschlusses vom 15. September 2009 auszufertigen, dieses unterzeichnen zu lassen und dem Beschwerdeführer zu eröffnen. Nach der Lehre können jedoch nur schwerwiegende Form- oder Eröffnungsfehler unter Umständen die Nichtigkeit einer Verfügung nach sich ziehen (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 972); dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Adressat berechtigte Zweifel an der Identität der verfügenden Behörde haben durfte (TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., S. 260 f. Rz. 21).
Hier wiegt der Mangel nicht besonders schwer: Der Beschwerdeführer wusste, dass es sich um die zweite Zustellung eines Regierungsratsbeschlusses handelte, von dessen Existenz er bereits Kenntnis hatte. An der Identität der verfügenden Behörde bestand somit kein Zweifel. Zudem ist das Exemplar als Kopie gekennzeichnet und geht die Identität der unterschriftsberechtigten bzw. -verpflichteten Personen aus dem Unterschriftenblock hervor. Bei dieser Sachlage stehen die fehlenden Unterschriften der Gültigkeit des Beschlusses nicht entgegen.
5. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Rechts auf ein faires Verfahren im Sinn von Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
5.1 Er habe gegen den Beschluss des Regierungsrates vom 7. Juli 2009 rechtzeitig Beschwerde erhoben. Infolge Rechtshängigkeit der Sache bei der Vorinstanz habe der Regierungsrat keine Verfügungsbefugnis zu Lasten des Beschwerdeführers gehabt. Der Regierungsratsbeschluss vom 15. September 2009 sei von einer unzuständigen Behörde erlassen worden und daher nichtig.
5.2 Der Beschwerdeführer übersieht, dass das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz wenige Tage nach Einreichung bzw. Weiterleitung der Eingabe vom 20. Juli 2009 an die Vorinstanz sistiert wurde. Bei dieser Sachlage stand der Streitgegenstand entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht in der Verfügungsmacht des Gerichts, denn der Zweck der Verfahrenssistierung besteht gerade darin, den Devolutiveffekt vorübergehend aufzuheben.
5.3 Das Wiedererwägungsgesuch gehört zu den ausserordentlichen Rechtsmitteln. Es ist ein formloser Rechtsbehelf, mit dem die formelle Rechtskraft einer Verfügung beseitigt werden soll (URSINA BEERLI-BONORAND, Die ausserordentlichen Rechtsmittel in der Verwaltungsrechtspflege des Bundes und der Kantone, 1985, S. 30). Das Rechtsinstitut der Wiedererwägung wird vornehmlich im Zusammenhang mit der Aufhebung formell rechtskräftiger Verfügungen diskutiert (vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., S. 287 ff.; JOSEF HENSLER, Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde im Kanton Schwyz, 1980, S. 26). Eine entsprechende Regelung findet sich in § 34 VRP, welcher die Marginalie "Widerruf" trägt.
§ 34 Abs. 1 und 2 VRP haben folgenden Wortlaut:
"1 Verfügungen können auf Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen von der erlassenden oder der Aufsichtsbehörde ausserhalb eines Revisionsverfahrens abgeändert oder aufgehoben werden, wenn sich die Verhältnisse geändert haben oder erhebliche öffentliche Interessen es erfordern und dabei der Grundsatz von Treu und Glauben nicht verletzt wird.
2 Die Behörde ist nicht verpflichtet, auf das Wiedererwägungsgesuch einzutreten."
Im Gegensatz zu dem in § 61 VRP geregelten Revisionsverfahren, welches gemäss Wortlaut nur auf formell rechtskräftige Verfügungen Anwendung findet, erwähnt § 34 VRP die formelle Rechtskraft der zu korrigierenden Verfügung nicht. Zwar legt der Passus "wenn sich die Verhältnisse geändert haben" nahe, dass § 34 Abs. 1 VRP auf formell rechtskräftige Verfügungen zugeschnitten ist. Indessen schliesst der Wortlaut dieser Bestimmung die Entgegennahme einer Eingabe während der Rechtsmittelfrist als Wiedererwägungsgesuch nicht ausdrücklich aus. Es ist somit möglich, dass eine Verwaltungsbehörde auf ihren Entscheid zurückkommt, obwohl bei Einreichung des Wiedererwägungsgesuchs der ordentliche Rechtsweg offen stand. Dieses Vorgehen weist Ähnlichkeit auf mit der Konstellation, in der eine Verwaltungsbehörde, deren Entscheid bei der Rechtsmittelinstanz hängig ist, bis zu ihrer Vernehmlassung auf den angefochtenen Entscheid zurückkommen kann (Wiedererwägung pendente lite, vgl. für den Bund Art. 58 VwVG). Die VRP kennt dafür keine selbständige Rechtsgrundlage. Jedoch zeigt § 28 lit. c VRP, welcher die Abschreibung des Beschwerdeverfahrens nach Widerruf der angefochtenen Verfügung vorsieht, dass § 34 VRP zugleich als Rechtsgrundlage für die Wiedererwägung pendente lite dient. § 34 VRP ist somit nicht ausschliesslich auf formell rechtskräftige Verfügungen anwendbar. Während die Wiedererwägung pendente lite jeweils zu einer zumindest teilweisen Gutheissung des Begehrens führt, kann ein Wiedererwägungsgesuch abgewiesen oder gestützt auf § 34 Abs. 2 VRP durch Nichteintreten erledigt werden. Die Vorinstanz hat deshalb vorsorglich ein Beschwerdeverfahren eröffnet, um den Beschwerdeführer nicht dem Risiko auszusetzen, dass die Angelegenheit infolge Nichteintretens durch den Regierungsrat materiell nicht mehr beurteilt werden könnte.
Aus den genannten Gründen ist es nicht geradezu willkürlich, wenn der Regierungsrat die Eingabe vom 20. Juli 2009 auf Antrag des Beschwerdeführers hin behandelt hat. Nachdem der Regierungsrat auf das Wiedererwägungsgesuch eintrat und es materiell behandelte, während das Beschwerdeverfahren sistiert war, kann der Beschwerdeführer sich nicht darauf berufen, der Regierungsrat sei zur Behandlung des Gesuchs nicht zuständig gewesen.
5.4 Der Beschwerdeführer macht in diesem Zusammenhang geltend, die Vorinstanz hätte ihm vor der Abschreibung des Beschwerdeverfahrens am 22. September 2009 das rechtliche Gehör gewähren müssen bzw. sie hätte das Beschwerdeverfahren nicht abschreiben dürfen. Anstatt die Angelegenheit pendent zu halten und den Beschluss des Regierungsrates als Vernehmlassung entgegenzunehmen, habe die Vorinstanz das Beschwerdeverfahren unzulässigerweise abgeschrieben.
5.4.1 Wird ein Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren eingeleitet, bleibt dieses hängig, bis über die Sache materiell entschieden oder das Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben worden ist. In der hier zu beurteilenden Konstellation war das am 20. Juli 2009 angehobene Beschwerdeverfahren trotz des (infolge Sistierung) unterbrochenen Devolutiveffekts bei der Vorinstanz hängig, als der Regierungsrat am 15. September 2009 seinen abweisenden Wiedererwägungsentscheid fällte.
5.4.2 Grundsätzlich führt die Wiedererwägung einer Verfügung während der Rechtshängigkeit des Beschwerdeverfahrens (pendente lite) nur dann zur Gegenstandslosigkeit, wenn den gestellten Rechtsbegehren vollumfänglich entsprochen worden ist. Entspricht die neue Verfügung indessen nur teilweise den Begehren, darf die Beschwerde nicht als gegenstandslos abgeschrieben werden; diesfalls ist das Beschwerdeverfahren weiterzuführen, soweit es durch die neue Verfügung nicht hinfällig geworden ist (vgl. für den Bund Art. 58 Abs. 3 VwVG; BGE 127 V 228 E. 2b/bb S. 233; Urteil 2C_733/2010 vom 16. Februar 2011 E. 3.2 mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur; für das kantonale Verfahren vgl. Urteil 2C_267/2011 vom 18. Juli 2011 E. 2.2). In Bezug auf die abgewiesenen Begehren kommt der neuen Verfügung lediglich die Funktion einer Stellungnahme zuhanden des Verwaltungsgerichts zu. Diese Regeln können grundsätzlich auch herangezogen werden, wenn - wie hier - ein Wiedererwägungsgesuch pendente lite abgewiesen wird.
5.4.3 Dem Beschwerdeführer ist daher grundsätzlich beizupflichten, wenn er moniert, das Verfahren vor der Vorinstanz hätte pendent gehalten werden müssen. Sodann ist ein letztinstanzlicher kantonaler Abschreibungsentscheid als Endentscheid beim Bundesgericht anfechtbar (vgl. FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar, BGG, 2. Aufl. 2011, N. 9 zu Art. 90 BGG); der Abschreibungsentscheid vom 22. September 2009 wurde dem Beschwerdeführer jedoch ohne Rechtsmittelbelehrung eröffnet. Aus diesem Eröffnungsmangel darf der Partei kein Nachteil erwachsen, wobei sie gehalten ist, sich nach den Anfechtungsmöglichkeiten zu erkundigen, wenn sie den Entscheid nicht gegen sich gelten lassen will (BGE 129 II 125 E. 3.3 S. 134). Nachdem der Beschwerdeführer den Abschreibungsentscheid vom 22. September 2009 erhalten hatte, intervenierte er beim Amt für Wasserbau, worauf ihm am 26. November 2009 der Regierungsratsbeschluss vom 15. September 2009 mit Rechtsmittelbelehrung eröffnet wurde. Dadurch erhielt der Beschwerdeführer Gelegenheit, den abweisenden Beschluss (dessen Dispositiv im Vergleich zum ursprünglichen Beschluss des Regierungsrates vom 7. Juli 2009 unverändert war) von der Vorinstanz überprüfen zu lassen. Im Ergebnis entspricht dies der Weiterführung des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens, wobei es dem Beschwerdeführer erspart blieb, diese durch die Anfechtung des Abschreibungsentscheids gerichtlich zu erzwingen. Durch die Möglichkeit der Anfechtung des Regierungsratsbeschlusses vom 15. September 2009 innerhalb der gesetzlichen Beschwerdefrist von 20 Tagen blieb ihm somit der Rechtsschutz - trotz mehrerer Eröffnungsfehler durch den Regierungsrat und die Vorinstanz - vollumfänglich erhalten.
Bei dieser Sachlage ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil erwachsen wäre, hat er doch mit dem Wiedererwägungsentscheid des Regierungsrates einen ausführlicher begründeten erstinstanzlichen Entscheid erhalten. Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer den Beschluss vom 15. September 2009 verspätet angefochten hat, steht nicht in einem kausalen Zusammenhang mit der Behandlung des Widererwägungsgesuchs durch den Regierungsrat und der anschliessenden (unzulässigen und mangelhaft eröffneten) Abschreibung des Beschwerdeverfahrens durch die Vorinstanz. Der Beschwerdeführer kann die Verantwortung dafür, dass er die Rechtsmittelfrist verpasst hat, nicht dem Regierungsrat oder der Vorinstanz zuschieben.
5.5 Unbehelflich ist zudem die (ebenfalls im Zusammenhang mit der geltend gemachten Nichtigkeit des Regierungsratsbeschlusses) vorgebrachte Rüge, auch Art. 30 BV sei verletzt, indem der Regierungsrat entschieden habe, obwohl er - der Beschwerdeführer - den Richter angerufen habe. Art. 30 Abs. 1 BV setzt voraus, dass eine Angelegenheit gerichtlich beurteilt werden muss, und statuiert für diesen Fall Anforderungen an das Gericht. Die Bestimmung ist für die hier zu beurteilende Sachlage nicht einschlägig.
5.6 Als Zwischenfazit ergibt sich, dass der Regierungsratsbeschluss vom 15. September 2009 nicht als nichtig infolge Unzuständigkeit des Regierungsrates gelten kann.
6. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung des Rechts auf Treu und Glauben gemäss Art. 9 BV.
6.1 Die Vorinstanz habe widersprüchlich gehandelt, indem sie nach der Abschreibung des ersten Beschwerdeverfahrens am 22. September 2009 den Kostenvorschuss zurückbehalten habe. Damit habe sie gegenüber dem Beschwerdeführer kundgetan, das Verfahren sei noch nicht rechtskräftig erledigt.
6.2 Dieser Einwand kann nicht gehört werden. Es ist zwar ungewöhnlich, dass eine Rechtsmittelbehörde einen Kostenvorschuss nach der Abschreibung des Beschwerdeverfahrens der betroffenen Partei nicht zurückerstattet. Im Abschreibungsentscheid der Vorinstanz vom 22. September 2009 wurde jedoch erläutert, der Kostenvorschuss werde für den Fall einbehalten, dass der Beschwerdeführer den Beschluss des Regierungsrates vom 15. September 2009 anfechten würde. Im Dispositiv des Abschreibungsentscheids vom 22. September 2009 wurde klar die Abschreibung des Verfahrens und die Rückerstattung des Kostenvorschusses nach Eintritt der Rechtskraft des Regierungsratsbeschlusses vom 15. September 2009 verfügt. Für den Beschwerdeführer war allerdings die Tatsache verwirrend, dass im Abschreibungsentscheid vom 22. September 2009 von einem Beschluss des Regierungsrates die Rede war, den er - der Beschwerdeführer - nicht erhalten hatte. Dieses Versehen wurde jedoch mit der Eröffnung des Beschlusses am 26. November 2009 korrigiert. Jedenfalls durfte der Beschwerdeführer - auch als juristischer Laie - aus dem Abschreibungsentscheid vom 22. September 2009 nicht schliessen, das erste Beschwerdeverfahren sei noch hängig. Eine Verletzung von Treu und Glauben ist zu verneinen.
7. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Regierungsratsbeschluss vom 15. September 2009 nicht als nichtig zu qualifizieren ist: Weder war der Regierungsrat zur Behandlung der Eingabe vom 20. Juli 2009 unzuständig, noch bewirkten die fehlenden Unterschriften die Nichtigkeit des Beschlusses vom 15. September 2009. Dieser ist somit als gültiges Anfechtungsobjekt im Verfahren vor der Vorinstanz zu betrachten. Da die Beschwerde vom 17. Dezember 2009 einen Tag nach Ablauf der Rechtsmittelfrist und somit verspätet eingereicht wurde, ist die Vorinstanz zu Recht nicht darauf eingetreten. Aufgrund dieses Ergebnisses sind die materiellen Anträge des Beschwerdeführers nicht zu behandeln.
8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner