Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 17. April 2020 wies das Richteramt Olten-Gösgen ein Gesuch des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der Frist (im Rahmen seines Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege) ab und erteilte der Beschwerdegegnerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Olten-Gösgen die definitive Rechtsöffnung für Fr. 5'450.55 nebst Zins.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. August 2020 (Postaufgabe) Beschwerde beim Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Urteil vom 7. September 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies es ebenfalls ab.
Gegen dieses Urteil hat der Beschwerdeführer am 16. Oktober 2020 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2020 hat das Bundesgericht das Gesuch um Fristerstreckung zur weiteren Begründung der Beschwerde abgewiesen (Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig. Die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Der Beschwerdeführer schildert seine Sicht auf den Sachverhalt und die Rechtslage. Er legt nicht dar, inwieweit verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Einzig am Rande wirft er dem Obergericht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vor. Er setzt sich jedoch nicht damit auseinander, dass seine kantonale Beschwerde nach Beurteilung des Obergerichts aussichtslos war.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat sich vor Bundesgericht nicht vertreten lassen, ersucht aber um Beiordnung von Rechtsanwalt B._, Zürich. Der Beschwerdeführer ist darauf aufmerksam zu machen, dass es an ihm liegt, mit dem von ihm gewünschten Rechtsvertreter in Kontakt zu treten, damit dieser innerhalb der Beschwerdefrist eine Beschwerde einreichen und die notwendigen weiteren Gesuche stellen kann.
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg