Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Wallis, Amt der Region Oberwallis, verurteilte A._ mit Strafbefehl vom 10. Juli 2017 wegen einfacher Körperverletzung und Beschimpfung, wogegen dieser Einsprache einreichte. In der Folge erhob die leitende Staatsanwältin C._ nach Abschluss des Untersuchungsverfahrens Anklage beim Bezirksgericht Leuk und Westlich-Raron. Dieses sprach A._ mit Urteil vom 4. Dezember 2019 der einfachen Körperverletzung sowie der Beschimpfung schuldig und bestrafte ihn mit einer Geldstrafe von 70 Tagessätzen zu je Fr. 105.-- sowie einer Busse von Fr. 800.--. Gegen dieses Urteil erhob A._ Berufung beim Kantonsgericht Wallis. Im Rahmen des Berufungsverfahrens (P1 19 100) stellte er am 2. Juli 2020 beim Kantonsgericht ein Ausstandsbegehren gegen die leitende Staatsanwältin C._. Er brachte im Wesentlichen vor, der Lebenspartner der Staatsanwältin arbeite zusammen mit dem Rechtsvertreter des Privatklägers in einer aus fünf Rechtsanwälten bestehenden Kanzleigemeinschaft, was den Anschein der Befangenheit erwecke. Mit Stellungnahme vom 10. Juli 2020 beantragte die Staatsanwältin die Abweisung des Ausstandsbegehrens. Das Kantonsgericht Wallis hiess das Ausstandsgesuch mit Verfügung vom 12. August 2020 gut.
B.
Dagegen führt die Staatsanwaltschaft mit Eingabe vom 10. September 2020 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt, die Verfügung des Kantonsgericht Wallis vom 12. August 2020 sei aufzuheben. In seiner Vernehmlassung vom 7. Oktober 2020 teilte A._ dem Bundesgericht mit, dass er mit dem Privatkläger B._ im hängigen Berufungsverfahren P1 19 100 einen Vergleich schliessen konnte und dieser deshalb den Strafantrag zurückgezogen habe. Da das Berufungsverfahren dementsprechend eingestellt werde, erachte er die Beschwerde der Staatsanwaltschaft als gegenstandslos geworden. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2020 ersuchte die Staatsanwaltschaft das Bundesgericht darum, trotz Vergleichs der Parteien im Berufungsverfahren einen Entscheid in der Sache zu treffen.
C.
Aufgrund des erzielten Vergleichs im Berufungsverfahren P1 19 100 und des damit verbundenen Rückzugs des Strafantrags des Privatklägers teilte das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten mit Verfügung vom 17. November 2020 mit, das Verfahren scheine gegenstandslos geworden zu sein, und räumte ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme ein. A._ stimmt einer Abschreibung des Verfahrens unter Kostenfolgen zu und reicht eine Honorarnote ein. Die Staatsanwaltschaft vertritt mit Eingabe vom 25. November 2020 den Standpunkt, das Verfahren sei nicht gegenstanslos geworden, da es sich bei der zu klärenden Ausstandsproblematik um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung handle. Den Grundsatzcharakter erblickt die Staatsanwaltschaft darin, dass eine Bestätigung des vorinstanzlichen Entscheids eine generelle Ausweitung der Ausstandsgründe zur Folge hätte. Dies würde ihrer Ansicht nach das ordnungsgemässe Funktionieren der kantonalen Justizbehörden gefährden, da nebst der Staatsanwältin C._ auch weitere Amtspersonen ebenfalls eheliche oder partnerschaftliche Beziehungen mit ortsansässigen Rechtsanwälten führen. Für den Fall, dass das Bundesgericht die Beschwerde als gegenstandslos betrachten sollte, beantragt die Staatsanwaltschaft, es sei auf die Erhebung von Gerichtskosten sowie die Zusprechung von Parteientschädigungen zu verzichten. Mit Eingabe vom 26. November 2020 informierte die Staatsanwaltschaft das Bundesgericht darüber, dass ein weiteres von A._ im Berufungsverfahren P1 19 100 gegenüber einem Kantonsrichter erhobenes Ausstandsgesuch infolge Einstellung des Berufungsverfahrens ebenfalls als gegenstandslos abgeschrieben wurde.
Das Kantonsgericht teilte dem Bundesgericht mit, dass das Berufungsverfahren P1 19 100 mit Verfügung vom 20. November 2020 infolge Rückzugs des Strafantrags eingestellt wurde; im Übrigen verzichtete es auf auf eine Vernehmlassung. Der verfahrensbeteiligte Privatkläger B._ liess sich nicht vernehmen.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid steht gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen offen. Die Vorinstanz hat gemäss Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO als einzige kantonale Instanz entschieden. Die Beschwerde ist somit nach Art. 80 BGG grundsätzlich zulässig.
1.2. Das Beschwerderecht nach Art. 81 Abs. 1 BGG setzt ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids voraus (BGE 139 IV 121 E. 4.2 S. 123). Dieses muss aktuell sein. Es muss also nicht nur im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung bestehen (BGE 137 I 296 E. 4.2 S. 299). Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet (BGE 140 IV 74 E. 1.3.1 S. 77). Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 142 I 135 E. 1.3.1 S. 143). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 140 IV 74 E. 1.3.3 S. 78).
1.3.
1.3.1. Angesichts des Umstands, dass das Berufungsverfahren P1 19 100 infolge Rückzug des Strafantrags eingestellt wurde, besitzt die Staatsanwaltschaft kein aktuelles und praktisches Interesse mehr an der Aufhebung oder Abänderung des vorinstanzlichen Urteils. Daran ändert nichts, dass sich die hier stellenden Rechtsfragen in künftigen Verfahren möglicherweise in gleicher oder ähnlicher Form erneut stellen könnten, ist doch eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung eines Ausstandsgesuchs grundsätzlich ohne weiteres möglich.
1.3.2. Das Bundesgericht hat sich sodann bereits verschiedentlich mit der Frage auseinandergesetzt, ob und gegebenenfalls inwieweit Bürogemeinschaften in Anwaltskanzleien den Anschein von Befangenheit erwecken und damit einen Ausstandsgrund im Sinne von Art. 56 lit. f StPO begründen können. Es hat dabei insbesondere festgehalten, dass sich ein solcher Ausstandsgrund wegen seiner Einzelfallbezogenheit nicht anhand von pauschalen Kriterien beurteilen lässt, sondern einer rechtlichen Würdigung der konkreten Umstände bedarf (Urteile 1B_315/2020 vom 23. September 2020 E. 5.3.1; 1B_55/2015 vom 17. August 2015 E. 4.5; vgl. auch BGE 140 I 326 E. 5.2 S. 330; 139 III 433 E. 2.1.5 S. 438 f. mit Hinweisen). Selbst wenn also das Bundesgericht ein Urteil in der Sache fällen würde, würde dies künftige vergleichbare Fälle - wenn überhaupt - nur beschränkt präjudizieren. Die Beschwerde zielt damit auf eine theoretische Überprüfung des konkreten Einzelfalls ab und wirft demnach keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung auf (vorne E. 1.2).
1.3.3. Zusammenfassend liegen keine Gründe vor, die ein ausnahmsweises Absehen vom Erfordernis des aktuellen und praktischen Interesses rechtfertigen. Die Beschwerde ist deshalb mit einzelrichterlichem Entscheid als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als gegenstandslos, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (BGE 125 V 373 E. 2a S. 374 f. mit Hinweisen). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne Weiteres feststellen, ist auf allgemeine zivilprozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (zum Ganzen BGE 142 V 551 E. 8.2 S. 568).
2.2. Nach der Rechtsprechung ist für die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen nur dann auf den mutmasslichen Ausgang des Verfahrens abzustellen, wenn sich dieser ohne weiteres feststellen lässt. Das ist hier nicht der Fall. Ein Ausstandsgrund lässt sich nicht aufgrund von pauschalen Kriterien beurteilen, sondern bedarf einer umfassenden Würdigung der konkreten Umstände des Einzellfalls (vorne E. 1.3.2). Die Beantwortung der Frage, ob die Beziehung der leitenden Staatsanwältin zu einem Büropartner der Anwaltskanzlei des Rechtsvertreter des Privatklägers einen Ausstandsgrund im Sinne von Art. 56 lit. f StPO darstellt, bedürfte daher einer eingehenden bundesgerichtlichen Prüfung und Abwägung.
2.3. Für die Bestimmung der Kostenfolgen ist demnach auf das allgemeine Kriterium zurückzugreifen, wer das Verfahren vor dem Bundesgericht veranlasst hat. Hier ist das die Staatsanwaltschaft. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass die Staatsanwaltschaft die Gegenstandslosigkeit des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht verursachte, hatte sie doch keinerlei Einfluss auf den Rückzug des Strafantrags durch den Privatkläger. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, keine Parteientschädigungen zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG). Die Staatsanwaltschaft handelte sodann in ihrem amtlichen Wirkungskreis, weshalb für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben sind (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Die Beschwerde wird als erledigt vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Haag
Der Gerichtsschreiber: Hahn