Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 23. Februar 2021 Anzeige gegen Staatsanwalt B._ wegen mehrfachen "Amtsmissbrauchs, Irreführung der Rechtspflege, Irrtum in Sachverhalt, Freiheitsberaubung, Propaganda, event. Menschenhandel und falscher Anschuldigung". Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich überwies die Akten mit Verfügung vom 9. August 2021 dem Obergericht des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte der Staatsanwaltschaft mit Beschluss vom 15. Oktober 2021 die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dem Angezeigten werde kein konkreter Sachverhalt vorgeworfen, der einen Straftatbestand erfüllen könnte. Aus der Anzeige sei zu schliessen, dass der Angezeigte eine Untersuchung gegen A._ führe und dieser mit der Untersuchungsführung bzw. gerichtlichen Entscheiden nicht einverstanden sei. Allein dieser Umstand führe jedoch zu keinem Anfangsverdacht für eine strafbare Handlung.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 21. Oktober 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer in rechtswidriger Weise das Vorliegen eines Anfangsverdachts für eine strafbare Handlung verneint hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli