Faits :
A.
A.a. A.A._, née en 1975, de nationalité russe, et B.A._, né en 1970, de nationalité belge, se sont mariés en 2006 à Porrentruy. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2004, et D._, né en 2007.
Les époux vivent séparés depuis le 15 janvier 2014.
A.b. Par convention du 29 octobre 2014, ratifiée le même jour par le Juge civil du Tribunal de première instance du canton du Jura (ci-après: juge civil), pour valoir prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale, les parties ont notamment convenu qu'elles exerceraient la garde sur leurs deux enfants de manière partagée et que l'époux verserait, dès le 1er novembre 2014, une contribution mensuelle de 400 fr. pour l'entretien de chacun de ses enfants, respectivement de 1'700 fr. pour celui de son épouse. Une curatelle éducative a été instituée en faveur des deux enfants.
A.c. En dépit de la surveillance exercée par le curateur, le dossier de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte (APEA) démontre que l'exercice de la garde par l'un ou l'autre parent a été perpétuellement conflictuel, impliquant régulièrement l'intervention du curateur ou de l'APEA. Aucun arrangement n'a été possible entre les parties. Le curateur a dès lors été contraint d'exiger des parties le respect strict de la convention.
B.
B.a. Par requête en modification de mesures protectrices de l'union conjugale et de mesures superprovisionnelles du 28 octobre 2015, le mari a notamment conclu à l'attribution de la garde sur ses enfants, ainsi qu'au dépôt, par l'épouse, des passeports des enfants.
Le mari a soutenu en substance que son épouse était incapable de respecter le planning de garde et que le dialogue était totalement rompu, de sorte que le maintien de la garde alternée n'était plus envisageable. Il craignait en outre qu'elle parte avec les enfants en Russie.
L'épouse s'est opposée à la requête, concluant dans une requête indépendante à ce que la garde lui soit exclusivement confiée.
B.b. Par ordonnance du 30 octobre 2015, le juge civil a notamment ordonné à l'épouse de déposer les passeports des enfants à la police. Il a en revanche rejeté le surplus des conclusions retenues à titre superprovisionnel de l'époux.
B.c. Par ordonnance du 3 mai 2016, le juge civil a ordonné une enquête sociale. Dans son rapport du 30 novembre 2016 et dans son complément du 2 février 2017, le Service social régional du district des Franches Montagnes, par l'assistante sociale E._, s'est déclaré favorable à l'attribution de la garde des deux enfants au père, tout en réservant un droit de visite élargi à la mère.
B.d. Par jugement du 7 juin 2017, le juge civil a attribué à l'époux la garde provisoire sur ses deux enfants et fixé le droit de visite de la mère conformément aux conclusions de l'enquêtrice sociale, soit un week-end sur deux, du mercredi pour le repas de midi jusqu'au jeudi matin et la moitié des vacances scolaires. Le juge civil a en outre supprimé l'obligation pour le mari de verser une contribution d'entretien pour les enfants et a fixé à 2'000 fr. la contribution due pour l'entretien de l'épouse. La majoration de 300 fr. par rapport au jugement du 29 octobre 2014 tient compte des coûts nécessaires pour l'exercice du droit de visite de l'épouse. Le juge civil a finalement restitué à celle-ci les passeports russes des enfants.
B.e. Le 16 juin 2017, l'épouse a interjeté appel contre cette décision, Elle a conclu à l'attribution de la garde sur ses enfants, à la fixation du droit de visite du père et à la condamnation de ce dernier à lui verser une pension de 1'300 fr. par enfant. Elle a également conclu à l'octroi d'une provisio ad litem pour la procédure d'appel de 3'500 fr., subsidiairement au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
L'époux a conclu au rejet de l'appel et de la requête de provisio ad litem.
B.f. Par arrêt du 3 octobre 2017, la Cour civile du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a notamment rejeté la requête de provisio ad litem de l'appelante, l'a mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite dans la procédure de seconde instance et lui a désigné un conseil d'office, a rejeté l'appel et confirmé le jugement de première instance.
C.
Par acte posté le 2 novembre 2017, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 3 octobre 2017, avec demande d'effet suspensif. Sur le fond, elle requiert la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens des conclusions suivantes:
" A titre principal:
2. Constater que le jugement du 7 juin 2017 de M. le Juge civil du Tribunal de première instance est entré en force dans la mesure où:
i. il restitue à la mère les passeports russes des enfants à compter de l'entrée en force du jugement;
ii. il dit que l'époux versera à son épouse, mensuellement et d'avance, une contribution d'entretien de CHF 2'000.00, à compter de l'entrée en force du jugement;
iii. il dit que les frais judiciaires fixés à CHF 4'700.00 sont partagés par moitié, sous réserve de l'assistance judiciaire gratuite dont bénéficie la requise;
iv. il compense les dépens des parties entre elles sous la même réserve;
v. il taxe la note d'honoraires du mandataire d'office et réserve les droits de l'Etat;
Pour le surplus, en réformation du jugement du 7 juin 2017 de M. le Juge civil du Tribunal de première instance et de l'arrêt du 3 octobre 2017 de la Cour civile du Tribunal cantonal jurassien:
3. Attribuer à Mme A.A._ la garde sur ses enfants C._, né en 2004, et D._, né en 2007;
4. Fixer le droit de visite de M. B.A._ sur ses enfants;
5. Condamner M. B.A._ à verser à Mme A.A._, mensuellement et d'avance, une pension alimentaire de CHF 1'300.00 par enfant, allocations familiales et pour enfants à verser en sus, indexée à l'indice suisse des prix à la consommation selon la pratique du Tribunal de première instance;
A titre subsidiaire:
6. Annuler l'arrêt du 3 octobre 2017 de la Cour civile du Tribunal cantonal jurassien;
7. Renvoyer la cause au Tribunal cantonal jurassien, Cour civile, pour qu'il statue à nouveau dans le sens des considérants; "
La recourante requiert en outre d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 23 novembre 2017, l'effet suspensif a été attribué au recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2; 133 III 393 consid. 4) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; ATF 133 III 393 consid. 2), par une autorité cantonale supérieure statuant en dernière instance et sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le litige porte sur la garde des enfants, le droit aux relations personnelles et les contributions d'entretien, à savoir une affaire non pécuniaire dans son ensemble. La recourante a en outre qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF).
1.2. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (ATF 142 V 2 consid. 1.1; 141 II 113 consid. 1.7; 137 II 199 consid. 6.5; 135 I 119 consid. 4 et les arrêts cités). Dans cette mesure, les conclusions 2.i.-v. du recours sont irrecevables.
1.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). Cette exception, dont il appartient aux parties de démontrer que les conditions sont remplies, vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée, par exemple concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente afin d'en contester la régularité, ou encore des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours (arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3 non publié in ATF 142 III 617). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (vrais nova; ATF 143 V 19 consid. 1.2 et les références), ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2; 136 III 123 consid. 4.4.3; arrêt 5A_756/2017 du 6 novembre 2017 consid. 2.3).
Postérieure à la date du prononcé de l'arrêt attaqué, la preuve nouvelle jointe au recours, soit une attestation de l'Ecole St-Ursule du 6 octobre 2017, n'est pas admissible, pas plus que les allégations qui s'y rapportent, quand bien même elle ne ferait " que confirmer les décomptes qui figurent déjà au dossier ".
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur des mesures protectrices de l'union conjugale, lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5.1, 585 consid. 3.3), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 139 I 22 consid. 2.2; 137 III 580 consid. 1.3; 135 III 232 consid. 1.2; 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités). La partie recourante qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme elle le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; elle ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (ATF 134 II 349 consid. 3; 133 II 396 consid. 3.2). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (ATF 134 II 244 consid. 2.1 et 2.3). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 140 II 264 consid. 2.3; 139 II 404 consid. 10.1 et les arrêts cités).
D'après la jurisprudence, une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 139 III 334 consid. 3.2.5; 132 III 209 consid. 2.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable (ATF 129 I 8 consid. 2.1); pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 131 I 217 consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, la partie recourante ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de la décision attaquée que si elle démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (ATF 133 III 585 consid. 4.1). Elle ne peut donc pas se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves, mais doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 133 II 249 consid. 1.2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.3).
En l'espèce, la description des faits de la cause que la recourante croit utile de faire à l'Article 1, pages 5 à 7, de son acte de recours ne peut être prise en considération, en tant qu'elle s'écarte des faits arrêtés par les juges précédents sans que l'intéressée n'invoque, ni a fortiori ne démontre, leur établissement arbitraire.
3.
La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.) et établi les faits de façon manifestement inexacte en retenant que la disponibilité des parents était équivalente. Le Tribunal cantonal aurait dû considérer que sa disponibilité était " bien supérieure à celle du père " en constatant que " pendant les périodes où [ils] étaient soi-disant en classe d'accueil, les enfants étaient en réalité chez leur mère ". Ce faisant, non seulement la recourante présente des allégations appellatoires fondées sur une pièce nouvelle irrecevable (cf. supra consid. 1.3), mais elle se borne pour le surplus à recopier mot pour mot son acte d'appel. De la sorte, elle ne s'en prend pas concrètement et précisément aux motifs détaillés qui ont conduit la juridiction précédente à rejeter ses arguments. Ne répondant manifestement pas aux exigences de motivation susrappelées (cf. supra consid. 2.1), le grief est irrecevable.
4.
La recourante considère que le Tribunal cantonal a arbitrairement retenu que l'attribution de la garde à l'intimé ne déstabiliserait pas les enfants au motif que la modification ne serait pas importante. Selon la recourante, il est au contraire manifeste que l'attribution de la garde au père constitue un changement majeur pour les enfants susceptible de les déstabiliser. Il apparaît toutefois que, pour l'essentiel, la recourante reprend sans variation les arguments déjà présentés aux pages 10 et 11 de son mémoire d'appel en lien avec la motivation du Tribunal de première instance, en y ajoutant, de manière purement appellatoire, des allégations relatives à la présence prétendument limitée des enfants en classe d'accueil et à la cantine, allégations de surcroît en partie fondées sur une pièce irrecevable (cf. supra consid. 1.3). Une telle manière de procéder est contraire aux exigences de motivation d'un grief d'arbitraire (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1). Le moyen doit, partant, être déclaré irrecevable.
5.
La recourante soutient que le Tribunal de première instance puis le Tribunal cantonal ne pouvaient retenir, sans arbitraire, qu'elle avait fait preuve d'un manque de collaboration avec l'enquêtrice sociale et considère qu'il est insoutenable de lui opposer un tel manque de collaboration pour fonder une attribution de la garde des enfants au père, " l'encadrement des enfants par leur mère a[yant] été totalement éludé par le Tribunal cantonal ". Selon elle, l'enquête sociale sur laquelle les juges cantonaux s'étaient basés pour retenir notamment qu'elle avait des difficultés à collaborer était " partiale et lacunaire ". A l'appui de sa critique, la recourante se livre toutefois à une appréciation purement appellatoire de la situation, reprenant, une fois encore, quasiment mot pour mot le texte de son mémoire d'appel (pages 9 à 11). Pour seul argument supplémentaire, elle allègue, là aussi de manière appellatoire, que la décision unilatérale de l'intimé de déménager à V._, alors que les enfants sont domiciliés à U._, avait dégradé la situation: ce déménagement - auquel elle s'était opposée et qui s'était fait sans que l'autorité n'ait été sollicitée - avait considérablement compliqué les choses et rendu une garde partagée " périlleuse ". La recourante ajoute qu' " il " lui avait été demandé " que les trajets pour aller chercher les enfants soient partagés entre les parents ". Une telle argumentation, qui ne respecte à l'évidence pas les exigences de motivation accrues déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 2.1), est manifestement impropre à démontrer l'arbitraire de la cour cantonale.
Pour le surplus, la recourante ne fait qu'affirmer péremptoirement que la décision attaquée heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité en tant qu'elle tient compte, pour juger de l'attribution de la garde, du fait qu'elle a changé plusieurs fois de mandataires en cours de procédure. Ce faisant, elle n'expose pas précisément en quoi consisterait l'arbitraire dont elle se prévaut, la cour cantonale s'étant limitée à évoquer cet élément parmi plusieurs autres pour considérer que l'enquêtrice sociale avait à juste titre tenu compte du manque de collaboration de la recourante dans le cadre de son appréciation de la situation.
Faute de répondre aux exigences de motivation ci-avant rappelées (cf. supra consid. 2.1), son argumentation est irrecevable.
6.
La recourante reproche ensuite au Tribunal cantonal d'avoir estimé que ses griefs financiers et ceux relatifs à son statut de séjour ne constituaient pas des critères pertinents dans l'attribution de la garde. Reprenant son argumentation présentée en appel, la recourante se focalise sur son statut de séjour et affirme qu'elle risque de voir son permis B non renouvelé si la garde des enfants est attribuée au père, l'attribution de l'autorité parentale et de la garde étant, selon elle, un élément essentiel dans la décision de renouvellement ou non d'un permis B avec regroupement familial et activité. La recourante explique qu'en cas de non-renouvellement de son permis B, elle devrait retourner en Russie, son pays d'origine, et ne pourrait plus voir ses enfants alors qu'ils vivent aujourd'hui avec elle. Elle en déduit qu'une telle situation les perturberait et les ferait souffrir. Ces circonstances n'avaient à tort pas été prises en compte et auraient dû conduire à l'attribution de la garde en sa faveur.
La motivation présentement développée par la recourante est identique à celle qu'elle a déjà soumise au Tribunal cantonal. Elle se fonde au demeurant sur de simples conjectures liées à un hypothétique non-renouvellement de son permis B. Par ailleurs, en se limitant à prétendre le contraire, elle ne réfute pas valablement, sous l'angle de l'arbitraire, l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle l'attribution de la garde à l'intimé n'est pas un élément essentiel dans la décision du renouvellement ou non de son permis de séjour. Singulièrement, elle ne cite aucune disposition de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20), ni aucune jurisprudence qui soutiendrait son point de vue. Le recours ne satisfait, là non plus, pas aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Le moyen est partant irrecevable.
7.
Au vu du sort réservé aux griefs de la recourante en lien avec l'attribution de la garde, les arguments relatifs au montant de 1'300 fr. que l'intimé devrait lui payer mensuellement pour l'entretien de chacun des enfants n'ont pas à être examinés.
8.
En définitive, le recours doit être déclaré irrecevable. Faute de chances de succès du recours, la requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale formée par la recourante ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas déposé d'observations sur la requête d'effet suspensif et qui n'a pas été invité à répondre sur le fond (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 27 février 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Hildbrand