Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1971; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1979; Beschwerdeführer) heirateten 2008. Sie sind die Eltern des Sohns C.A._ (geb. 2010).
Am 5. Juni 2017 trennten sich die Ehegatten und einen Tag später ersuchte B.A._ das Bezirksgericht Horgen um die Regelung des Getrenntlebens. Mit Urteil vom 14. Juli 2017 bewilligte das Bezirksgericht die Trennung der Ehegatten. Soweit hier interessierend stellte es den Sohn unter die Obhut der Mutter, räumte dem Vater aber ein Ferienrecht ein und berechtigte diesen ab dem 20. August 2017 in zeitlich zunehmendem Umfang zur Betreuung des Sohnes. Insbesondere räumte es ihm ab dem 1. Mai 2018 das Recht ein, sich von Mittwochnachmittag nach Schulschluss bis Donnerstagmorgen Schulbeginn um den Sohn zu kümmern. Weiter verpflichtete das Bezirksgericht A.A._, an B.A._ für den Sohn monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 400.-- zwischen dem 1. August und dem 31. Dezember 2017 sowie von Fr. 2'134.-- ab dem 1. Januar 2018 zu bezahlen. Gleichzeitig stellte es fest, dass damit der gebührende Unterhalt des Kindes nicht gedeckt sei. Mangels finanzieller Leistungsfähigkeit legte es zwischen den Ehegatten keine Unterhaltsbeiträge fest.
B.
Gegen diesen Entscheid reichten beide Ehegatten Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Mit Beschluss und Urteil vom 16. April 2018 (eröffnet am 20. April 2018) berechtigte dieses in teilweiser Änderung des bezirksgerichtlichen Urteils A.A._ dazu, den Sohn ab 1. Mai 2018 jeweils in geraden Kalenderwochen am Wochenende und in ungeraden Kalenderwochen von Mittwochnachmittag nach Schulschluss bis Donnerstagmorgen Schulbeginn zu betreuen. Den an B.A._ für den Sohn zu bezahlenden Unterhalt bezifferte es auf monatlich Fr. 750.-- zwischen 1. Juni und 31. Dezember 2017 sowie Fr. 2'520.-- ab 1. Januar 2018 für die weitere Dauer des Getrenntlebens. Auch das Obergericht hielt fest, dass damit der gebührende Unterhalt des Sohnes nicht gedeckt sei.
C.
Mit Beschwerde vom 22. Mai 2018 ist A.A._ mit den folgenden Anträgen in der Sache an das Bundesgericht gelangt:
"1. Es sei der Beschluss und Urteil vom 16. April 2018 des Obergerichts des Kantons Zürich aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen;
2. Es sei dieser Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen;
3. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung / unentgeltlichen Prozessbeistand in der Person des Unterzeichnenden zu gewähren;"
Am 30. Mai 2018 verzichtete das Obergericht auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. Mit Eingabe vom 7. Juni 2018 schliesst B.A._ auf Abweisung dieses Gesuchs. Eventuell sei der Beschwerde für die bis und mit Mai 2018 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zu erteilen und das Gesuch im Übrigen abzuweisen. Ausserdem ersucht auch B.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Mit Verfügung vom 13. Juni 2018 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde für die bis und mit April 2018 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung erteilt.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) im Rahmen der Regelung des Getrenntlebens der Parteien über den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Sohn sowie den Kindesunterhalt entschieden hat (Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 und Abs. 3 ZGB). Im Streit steht damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 5A_1033/2017 vom 21. Juni 2018 E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, welche er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Die Beschwerde in Zivilsachen hat ein Begehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), muss dieses Begehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die rechtsuchende Partei hat daher einen Antrag in der Sache zu stellen, d.h. anzugeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids sie anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Dies beinhaltet, dass Rechtsbegehren beziffert werden, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben. Ein blosser Aufhebungsantrag genügt diesen Anforderungen grundsätzlich nicht und macht die Beschwerde unzulässig; ein solcher Antrag ist ausnahmsweise dann ausreichend, wenn das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung der Beschwerde naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte. Zur Interpretation der gestellten Begehren zieht das Bundesgericht die Beschwerdebegründung bei (vgl. zum Ganzen BGE 143 III 111 E. 1.2; 136 V 131 E. 1.2; 134 II 235 E. 2, 379 E. 1.3).
2.2. Zwischen den Parteien strittig ist die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdeführer und dem Sohn sowie der Kindesunterhalt (vgl. vorne E. 1). Sowohl hinsichtlich des persönlichen Verkehrs als auch bezüglich des Unterhalts ist es dem Bundesgericht im Falle einer Gutheissung der Beschwerde im Prinzip möglich, selbst in der Sache zu entscheiden. Dennoch beschränkt der Beschwerdeführer sich darauf, einen Antrag auf Rückweisung der Sache an das Obergericht zu stellen (vgl. vorne Bst. C), was nach dem Ausgeführten nicht zulässig ist.
Etwas anderes würde nur gelten, wenn die Sache im Falle der Gutheissung der Beschwerde zwingend an das Obergericht zurückzuweisen wäre. Insoweit fällt auf, dass der Beschwerdeführer namentlich die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sowie die willkürliche Sachverhaltsfeststellung (Art. 9 BV) durch das Obergericht geltend macht und damit Rügen erhebt, deren Begründetheit regelmässig die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Folge hat (vgl. etwa BGE 142 II 218 E. 2.8.1). F reilich ist dies nicht die zwingende Rechtsfolge des Zutreffens dieser Vorwürfe (vgl. Urteile 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2; 5A_1005/2017 vom 23. August 2018 E. 1.2). Ausserdem macht der Beschwerdeführer in einem Atemzug mit den genannten Vorbringen weitere Verfassungsverletzungen - namentlich die Missachtung des Anspruchs, nach Treu und Glauben behandelt zu werden - geltend, deren Vorliegen eine Rückweisung der Sache nicht zwingend notwendig erscheinen liessen. Aus der Beschwerdebegründung ist zudem ersichtlich, was der Beschwerdeführer mit seiner Eingabe vor Bundesgericht ungefähr erreichen möchte, nämlich die Ausdehnung des Besuchsrechts und eine Reduktion der Unterhaltsbeiträge.
2.3. Folglich bleibt offen, ob die gestellten Rechtsbegehren den Anforderungen des Bundesgerichtsgesetzes genügen. In dieser Situation wäre vom Beschwerdeführer - er ist anwaltlich vertreten - zu erwarten, dass er seine Beschwerde auch hinsichtlich der Eintretensvoraussetzungen begründet (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 134 II 120 E. 1; Urteil 4A_461/2017 vom 26. März 2018 E. 1.1, nicht publiziert in: BGE 144 III 253). Da er dies unterlässt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten (inkl. der Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen: Mangels Einholens einer Vernehmlassung sind der obsiegenden Beschwerdegegnerin in der Hauptsache keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden und im Verfahren betreffend die aufschiebende Wirkung werden in Konstellationen wie der vorliegenden praxisgemäss keine Parteikosten gesprochen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Beide Parteien ersuchen allerdings um unentgeltliche Rechtspflege. Das Gesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen da seine Begehren nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtlos qualifiziert werden müssen. Dies gilt auch für das Gesuch um aufschiebende Wirkung, das der Beschwerdeführer einzig mit dem Hinweis darauf begründet, ihm gegenüber sei das Inkasso angedroht worden (vgl. Verfügung 5A_437/2018 vom 13. Juni 2018; Art. 64 Abs. 1 BGG). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin ist demgegenüber gutzuheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und ihr ist ihr Rechtsanwalt als unentgeltlicher Vertreter beizuordnen. Die Beschwerdegegnerin ist aktenkundig mittellos, ihre Begehren können nicht als aussichtlos angesehen werden und die Beiordnung einer unentgeltlichen Vertretung erweist sich als notwendig (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und ihr wird Rechtsanwalt Adam Arend als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Rechtsanwalt Arend wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber