Erwägungen:
1.
1.1. A._ wurde am 14. Juli 2020 an einem Grenzwachtposten weggewiesen. Gegen diese Verfügung erhob er Rekurs beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Dieses forderte ihn am 10. August 2020 auf, bis spätestens 10. September 2020 einen Kostenvorschuss von Fr. 400.-- zu leisten. In der Folge erhob A._ Rekurs beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Das Gericht wies am 3. Oktober 2020 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte ihm Frist bis 5. November 2020 an, um einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- zu leisten, widrigenfalls der Rekurs dahinfallen würde. Das daraufhin angerufene Bundesgericht trat mit Urteil 1C_671/2020 vom 7. Dezember 2020 auf die Beschwerde nicht ein. Nachdem der Kostenvorschuss nicht geleistet worden war, schrieb das Appellationsgericht das Verfahren am 6. Januar 2021 als erledigt ab.
1.2. Mit Beschwerde vom 27. Januar 2021 wendet sich A._ gegen die Verfahrensabschreibung an das Bundesgericht. Dieses hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe. Dem Beschwerdeführer sind die Begründungsanforderungen bereits im Urteil 1C_671/2020 vom 7. Dezember 2020 dargelegt worden.
2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei mittellos und nicht in der Lage, den Kostenvorschuss zu bezahlen. Diese Ausführungen zielen auf die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ab. Dabei verkennt der Beschwerdeführer, dass sein Gesuch wegen Aussichtslosigkeit und nicht wegen fehlender Mittellosigkeit abgewiesen wurde. Zudem kann er die Abweisung seines Gesuchs im vorliegenden Verfahren nicht mehr rügen, nachdem er den entsprechenden Zwischenentscheid bereits beim Bundesgericht angefochten hat (Art. 93 Abs. 3 BGG e contrario; Urteil 1C_671/2020 vom 7. Dezember 2020). Nachdem die Beschwerde in Bezug auf die Verfahrensabschreibung keine Rügen enthält, mangelt es ihr offensichtlich an einer hinreichenden Begründung. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten (dem Beschwerdeführer durch Publikation des Dispositivs im Bundesblatt) und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger