Erwägungen:
1.
Im Rekursverfahren gegen einen Entscheid der Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 24. März 2021 stellte das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Verfügung vom 12. Oktober 2021 die Replik des Rekurrenten A._ vom 10. Oktober 2021 der Baurekurskommission und den Beigeladenen zur Kenntnisnahme zu. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2021 stellte das Appellationsgericht die Eingabe des Rekurrenten A._ vom 18. Oktober 2021 der Baurekurskommission, dem Bau- und Gastgewerbeinspektorat und den Beigeladenen zur Kenntnisnahme zu.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 9. November 2021 (Postaufgabe 11. November 2021) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügungen des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 12. und 26. Oktober 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Mit den angefochtenen Verfügungen wird das baurechtliche Verfahren nicht abgeschlossen. Es handelt sich somit nicht um Endentscheide im Sinne von Art. 90 BGG, sondern um Zwischenentscheide.
3.1. Zwischenentscheide sind, von hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss Art. 92 BGG abgesehen, nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht anfechtbar.
Die Beschwerde gegen die vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheide ist nur zulässig, wenn diese einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder - was vorliegend von vornherein nicht zutrifft - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten, dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34). Ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt der Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG).
3.2. Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu den Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG. Diese sind auch nicht offensichtlich gegeben. Somit ist mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Entsprechend dem Beschwerdeausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli