Faits :
A.
Par décision de mesures superprovisionnelles du 18 décembre 2020, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Jura bernois (ci-après: l'APEA) a retiré le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant B._ à ses parents, placé l'enfant au sein d'une institution et réglé les relations personnelles entre A._ et sa fille. Par décision du 21 janvier 2021, l'APEA a confirmé le retrait du droit de déterminer le lieu de résidence et le placement de l'enfant et a élargi le droit aux relations personnelles des parents. Le 24 février 2021, l'APEA a ordonné de nouvelles mesures superprovisionnelles limitant le droit aux relations personnelles de la mère.
Par courrier du 1er mars 2021, la mère a requis d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire totale, avec effet au 10 février 2021, dans la procédure pendante auprès de l'APEA concernant la détermination du lieu de résidence et le placement de l'enfant, ainsi que les modalités d'exercice de son droit aux relations personnelles durant le placement.
B.
B.a. Par décision du 25 mars 2021, l'APEA a confirmé la réglementation des relations personnelles entre la mère et l'enfant prononcée le 24 février 2021. Elle a également accordé l'assistance judiciaire gratuite à la mère et désigné son conseil comme avocat d'office, avec effet au 1er mars 2021 et jusqu'au 25 mars 2021 (date de la décision au fond).
Par arrêt du 15 juin 2021, le Tribunal de la protection de l'enfant et de l'adulte de la Cour suprême du canton de Berne a rejeté le recours de la mère tendant à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire du 10 au 28 février 2021 et après le 25 mars 2021 pour la procédure devant l'APEA. Il a par ailleurs refusé de lui accorder l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
C.
Par acte du 17 août 2021, A._ exerce un recours en matière civile et, subsidiairement, un recours constitutionnel. Elle conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 15 juin 2021 et à sa réforme en ce sens qu'elle est mise au bénéfice de l'assistance judiciaire totale dans le cadre de la procédure pendante auprès de l'APEA concernant l'enfant, avec effet rétroactif au 10 février 2021, ainsi que dans le cadre de la procédure de recours, que son conseil lui est désigné comme avocat d'office, pour la procédure pendante auprès de l'APEA et pour celle de recours, et que les honoraires de son avocat d'office sont taxés pour la procédure de recours selon la note d'honoraires produite à l'appui de son recours ou, subsidiairement, que le dossier de la cause est renvoyé à l'autorité cantonale pour qu'elle taxe les honoraires de son avocat d'office pour la procédure de recours. À titre subsidiaire, elle demande l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à la juridiction précédente afin qu'elle rende une nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence, respectivement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 146 I 126 consid. 1; 134 III 115 consid. 1, 235 consid. 1, 379 consid. 1).
Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), le présent recours est dirigé contre un refus partiel d'accorder l'assistance judiciaire prononcé par une autorité cantonale supérieure statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une décision réglementant les relations personnelles entre la recourante et sa fille mineure en application des art. 273 ss CC. La décision entreprise est une décision finale (art. 90 LTF; sur le caractère final d'une décision sur l'assistance judiciaire rendue avec l'arrêt final sur le fond, cf. arrêts 5A_118/2020 du 27 mai 2020 consid. 1; 4A_182/2018 du 21 novembre 2018 consid. 1.1; 5A_567/2011 du 10 février 2012 consid. 1 in fine), de nature non pécuniaire prise dans le domaine de la protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable, de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
Au vu de ce qui précède, les considérations de la recourante sur le fait que la cause soulève une question juridique de principe ne sont pas pertinentes.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (ATF 142 III 364 consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 142 I 99 consid. 1.7.1; 142 III 364 consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 142 II 369 consid. 2.1; 142 III 364 consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 144 II 246 consid. 6.7; 143 I 310 consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 145 IV 154 consid. 1.1).
En l'espèce, la partie intitulée " Article premier ", développée aux pages 7 et 8 du recours, sera ignorée en tant que les faits qui y sont exposés ne sont pas expressément visés par les griefs examinés ci-après, qu'ils s'écartent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué sans que la recourante démontre à satisfaction leur établissement arbitraire ou que leur correction influerait sur le sort de la cause.
Par ailleurs, les faits exposés par la recourante en lien avec le premier entretien avec son avocat le 10 février 2021 et l'incapacité de celui-ci de déposer immédiatement une requête d'assistance judiciaire auprès de l'APEA, avec l'impossibilité de consulter un avocat avant le 10 février 2021, avec un courrier daté du 28 juin 2021 qu'elle aurait reçu de l'APEA, avec l'octroi de l'assistance judiciaire au père de l'enfant dans une décision du 12 avril 2016 et avec la numérotation des dossiers, respectivement des procédures de l'APEA, doivent être d'emblée déclarés irrecevables, dès lors qu'ils ne ressortent pas de l'arrêt querellé et ne font pas l'objet d'un grief d'arbitraire dans l'établissement des faits valablement soulevé.
3.
La recourante conteste d'abord que l'assistance judiciaire ne lui ait pas été accordée pour la période du 10 au 28 février 2021 dans la procédure devant l'APEA. Elle soutient que l'arrêt querellé violerait son droit fondamental à l'assistance judiciaire gratuite ancré à l'art. 29 al. 3 Cst. et à l'art. 26 al. 3 Cst./BE et concrétisé en procédure administrative bernoise par l'art. 111 LPJA/BE. Elle invoque également un grief d'arbitraire dans l'application de cette dernière disposition.
Le Tribunal fédéral examine sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.) l'interprétation et l'application des règles du droit cantonal autres que constitutionnelles conférant un droit individuel directement applicable (ATF 141 I 36 consid. 5.4; 138 V 67 consid. 2.2; 134 II 349 consid. 3). En l'occurrence, le grief d'arbitraire dans l'application de l'art. 111 LPJA/BE doit être déclaré d'emblée irrecevable, dès lors qu'il ne fait pas l'objet d'une critique claire et détaillée (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1). S'agissant de l'art. 26 al. 3 Cst./BE, il n'apparaît pas - et la recourante ne le prétend pas - que cet article accorderait des garanties plus étendues que celles tirées de l'art. 29 al. 3 Cst. Le recours sera donc examiné exclusivement à l'aune des principes développés en lien avec cette seconde disposition de droit fédéral.
3.1. La cour cantonale a constaté que la décision au fond du 21 janvier 2021, prononçant le retrait du droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant aux parents et le placement de l'enfant, avait déjà été rendue au moment où la mère avait consulté son avocat. Cette décision pouvait encore faire l'objet d'un recours et l'assistance judiciaire sollicitée dans le cadre de la procédure de recours. L'APEA avait donc considéré à juste titre que l'assistance judiciaire n'avait pas à être sollicitée devant elle pour cette procédure, celle-ci étant close à son niveau. La cour cantonale a également relevé que la mère aurait déjà pu solliciter auprès de l'APEA l'octroi de l'assistance judiciaire au moment où elle avait demandé à consulter le dossier en date du 10 février 2021, ce qu'elle n'avait pas fait. Elle a ajouté que, si effectivement l'art. 111 al. 3 LPJA/BE permettait d'accorder l'assistance judiciaire rétroactivement à l'ouverture de la procédure devant l'autorité saisie de l'affaire, il y avait lieu de constater en l'espèce que la mère avait attendu l'ouverture de la procédure subséquente concernant la question de la limitation de ses relations personnelles en faveur de sa fille pour requérir l'octroi de l'assistance judiciaire rétroactivement en relation avec la décision du 21 janvier 2021. Dans la mesure où l'assistance judiciaire était requise pour l'examen du dossier et la détermination des chances de succès d'un recours contre cette dernière décision qu'elle avait décidé de ne pas contester sur conseil de son avocat, il ne s'agissait pas d'une assistance rétroactive, mais d'une assistance postérieure à la décision rendue. L'octroi de l'assistance dans un tel cas de figure n'était pas prévu. La mère n'aurait tout simplement pas pu requérir le bénéfice de l'assistance judiciaire si une nouvelle procédure concernant la limitation de son droit aux relations personnelles n'avait pas été ouverte après la décision de placement. Les honoraires de son conseil relatifs à la procédure de placement n'avaient ainsi pas à être indemnisés dans le cadre de la seconde procédure ouverte par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 24 février 2021; l'assistance judiciaire ne pouvait dans tous les cas pas lui être octroyée à compter du 10 février 2021. S'agissant de la période du 24 février au 28 février 2021, la cour cantonale a considéré que la condition de la nécessité d'être assistée d'un mandataire à ce moment-là n'était manifestement pas remplie, dès lors que l'ordonnance de mesures superprovisionnelles du 24 février 2021 n'était pas sujette à recours.
Selon la cour cantonale, il n'y avait en outre pas lieu de prendre la procédure de protection de l'enfant dans sa globalité, ni de considérer la procédure devant l'APEA et les différentes mesures concernant l'enfant comme une continuité du point de vue procédural. Si une ordonnance de mesures superprovisionnelles avait été rendue à peine un mois après le prononcé de la décision du 21 janvier 2021, c'était en raison de faits nouveaux. Cette ordonnance avait justement fait l'objet d'une nouvelle procédure, laquelle avait conduit à la décision au fond du 25 mars 2021. Par conséquent, les démarches entreprises par le mandataire immédiatement avant le 1er mars 2021 en vue de requérir l'assistance judiciaire (brève prise de connaissance du dossier, un entretien avec la cliente, documentation) devaient aussi être indemnisées conformément à la pratique constante, mais pas les activités de conseil en lien avec la décision du 21 janvier 2021.
3.2. La recourante relève qu'à suivre le raisonnement de la cour cantonale, sa situation était dans une impasse puisqu'il était trop tard pour adresser une requête d'assistance judiciaire à l'APEA une fois la décision du 21 janvier 2021 rendue et qu'une requête déposée en procédure de recours aurait été rejetée, faute de chances de succès du recours. Un tel raisonnement était totalement contraire aux principes rattachés au droit à l'assistance judiciaire gratuite. Il conduisait à laisser des personnes livrées à elles-mêmes dans des procédures aux enjeux si cruciaux, faute de ressources suffisantes pour s'offrir les conseils d'un avocat. Elle fait également valoir que la cour cantonale avait appliqué arbitrairement le droit cantonal en indiquant qu'il n'était pas possible d'octroyer l'assistance judiciaire gratuite postérieurement à la décision du 21 janvier 2021. Il n'y avait en effet pas de raisons de considérer que le fait d'accorder l'assistance judiciaire postérieurement à la notification d'une décision rendue dans une procédure toujours pendante pour laquelle l'assistance judiciaire était demandée ne pouvait pas être qualifiée d'assistance judiciaire rétroactive. Au surplus, aucun élément ne permettait d'établir qu'une assistance " postérieure " lorsque la décision n'est pas entrée en force serait contraire à la loi. La cour cantonale ne pouvait ainsi pas admettre sans arbitraire que l'octroi de l'assistance judiciaire n'était plus de la compétence de l'APEA, ce d'autant que cette autorité avait rendu une ordonnance de mesures superprovisionnelles le 24 février 2021, restreignant davantage son droit aux relations personnelles. La recourante soutient en outre que la cour cantonale avait faussement retenu que l'assistance d'un mandataire n'était pas nécessaire en lien avec une ordonnance de mesures superprovisionnelles non sujette à recours. Dans la mesure où l'enjeu de la décision du 21 janvier 2021 était crucial et que l'APEA avait rendu quelques jours après une ordonnance de mesures superprovisionnelles restreignant davantage ses droits, les circonstances étaient manifestement réunies pour qu'on lui reconnaisse la nécessité d'être assistée d'un avocat.
3.3. On ne discerne pas en quoi, à la lecture du recours, la cour cantonale aurait porté atteinte au droit à l'assistance judiciaire de la recourante par ce raisonnement, dès lors qu'il est relevé dans l'arrêt querellé que les démarches entreprises immédiatement avant le 1er mars 2021 par son mandataire, en vue de requérir l'assistance judiciaire, devaient être indemnisées. Au demeurant, il n'apparaît pas - et la recourante ne le soutient pas - que les conditions strictes posées par la jurisprudence pour admettre un effet rétroactif de l'assistance judiciaire allant au-delà des opérations admises par la cour cantonale soient remplies (sur ces conditions, voir ATF 122 I 322 consid. 3b; 122 I 203 consid. 2; 120 Ia 14 consid. 3f; arrêt 5A_181/2012 du 27 juin 2012 consid. 2.3.3). La critique de la recourante sur ce point peut ainsi être écartée.
Quoi qu'en dise la recourante, sa requête d'assistance judiciaire a été déposée le 1er mars 2021, soit après l'échéance du délai de recours contre la décision du 21 janvier 2021. Il en résulte que ses considérations fondées sur la prémisse que cette décision n'était pas entrée en force ou que la procédure était toujours pendante au moment de la requête d'assistance judiciaire ne sont d'aucune pertinence pour juger de la présente affaire. Autant qu'il satisfasse aux exigences de motivation (cf. supra consid. 2.1; art. 42 al. 2 LTF), son grief est de toute manière mal fondé. Il est en effet admis que l'assistance judiciaire vaut uniquement pour une procédure déterminée (ATF 128 I 225 consid. 2.4.2; arrêt 5P.44/2004 du 8 juillet 2004 consid. 4; voir également JEAN-LUC COLOMBINI, Petit commentaire, Code de procédure civil, 2020, no 3 ad art. 119 CPC; FRANCESCO TREZZINI, Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero (CPC), 2e éd. 2017, no 2 ad art. 119 CPC; LUKAS HUBER, ZPO Schweizerische Zivilprozessordnung Kommentar, 2e éd. 2016, no 26 ad art. 118 CPC; EMMEL FRANK, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), 3e éd. 2016, no 5 ad art. 119 CPC) et qu'une requête ne peut pas être déposée après la fin de la procédure (cf. art. 119 al. 1 CPC a contrario; ALFRED BÜHLER, Berner Kommentar, Bd. I 2012, n° 89 ad art. 119 CPC; COLOMBINI, op. cit., no 3 ad art. 119 CPC; DENIS TAPPY, Code de procédure civile, commentaire romand, 2e éd. 2019, no 4 ad art. 119 CPC).
4.
La recourante reproche également à la cour cantonale de ne pas lui avoir octroyé l'assistance judiciaire au-delà de la décision du 25 mars 2021.
4.1. La cour cantonale a relevé que la décision du 25 mars 2021 mettait provisoirement fin à la procédure devant l'APEA, bien qu'elle ne mettait pas un terme au dossier. De plus, ce n'était pas parce que les conditions légales relatives à l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étaient remplies à un certain stade de la procédure qu'elles le seraient d'emblée et de manière indéterminée tant que le dossier serait ouvert auprès de l'APEA. L'octroi de l'assistance judiciaire devait ainsi se faire pour une durée déterminée, coïncidant en l'occurrence avec la clôture de la procédure de limitation du droit aux relations personnelles entre la mère et l'enfant. Un éventuel élargissement de ce droit ferait l'objet d'une nouvelle procédure pour laquelle la recourante pourrait déposer une nouvelle requête, dont il appartiendrait à l'APEA de déterminer si les conditions sont remplies. Précisant qu'il ne leur appartenait pas de se prononcer sur cette question, les juges cantonaux ont constaté qu'il était toutefois douteux que la condition de la nécessité d'être assistée par un mandataire d'office serait remplie dans le cadre d'une éventuelle requête d'élargissement du droit aux relations personnelles. La recourante apparaissait en effet en mesure de défendre elles-mêmes ses droits vu qu'une telle procédure était peu formaliste car soumise aux maximes inquisitoire et d'office et que l'APEA appliquait le droit d'office. La limitation de l'octroi de l'assistance judiciaire à la fin de la procédure en cours était donc correcte.
4.2. La recourante relève que la distinction faite entre les notions de " procédure " et " dossier " est incompréhensible, aucune explication soutenable n'ayant été apportée sur cette distinction. Elle expose que si le Tribunal fédéral devait admettre cette distinction, bon nombre de questions procédurales devraient être résolues. À titre d'exemple, elle indique qu'il faudrait se demander de quelle manière et à quel instant les personnes impliquées dans un dossier de l'APEA seraient informées de la fin de la procédure en cours et de l'ouverture d'une nouvelle procédure. Il existerait par ailleurs une impossibilité pratique de distinguer les procédures séparées dans un même dossier et d'en cerner leur début et leur fin puisqu'il faudrait déterminer si chaque élément nouveau, aussi insignifiant soit-il, ouvre une nouvelle procédure, ou si chaque procédure se termine nécessairement par une décision et, dans le cas contraire, si aucune décision n'est prise à la fin d'une procédure, quel document met fin à ladite procédure. Le résultat auquel parvient la cour cantonale compliquerait en pratique, sans raison, la situation de la recourante. Cela conduirait finalement à ce qu'elle ne soit pas conseillée par un avocat dans l'avancement de la procédure de protection concernant sa fille et, partant, violerait son droit constitutionnel à l'assistance judiciaire. La recourante ajoute que la pratique de l'APEA de saucissonner un seul et même dossier en plusieurs procédures soi-disant distinctes n'était pas uniforme, ce qui ne serait pas non plus conforme au droit précité. Elle conteste enfin l'appréciation de la cour cantonale selon laquelle il serait douteux qu'elle puisse obtenir l'assistance judiciaire à l'avenir pour une procédure d'élargissement de son droit aux relations personnelles en faveur de sa fille, en soutenant que cette appréciation serait contraire aux principes jurisprudentiels sur l'assistance judiciaire.
4.3. Cette dernière critique peut d'emblée être écartée, dès lors qu'elle a trait à une appréciation concernant une possible procédure future impliquant le dépôt d'une nouvelle requête d'assistance judiciaire, qui nécessitera un nouvel examen complet des conditions d'octroi par l'APEA. Il en va de même de la critique portant sur l'absence de pratique uniforme de l'APEA, dès lors qu'elle se fonde sur des faits irrecevables (cf. supra consid. 2.2). Au surplus, la recourante se limite à expliquer, de manière abstraite et en se référant à des faits irrecevables (cf. supra consid. 2.2), que la distinction entre " dossier " et " procédure " serait incompréhensible et conduirait à des difficultés pratiques. Outre le fait que la recourante n'explique pas en quoi elle serait confrontée en l'occurrence aux difficultés qu'elle énonce, un tel argument est sans fondement, étant donné que le début et la fin d'une procédure - au contraire de l'ouverture et la clôture d'un dossier qui sont des notions pratiques auxquelles la loi n'attache pas de portée juridique - sont des notions techniques régies par des concepts précis, tels que la litispendance, les délais pour introduire des faits nouveaux, la fin de l'instruction, la clôture des débats, la phase de délibérations et la communication de la décision, etc. Il s'ensuit qu'autant que recevable, sa critique doit être rejetée, étant relevé de surcroît que l'art. 29 al. 3 Cst. ne confère en principe pas de droit à l'assistance judiciaire gratuite pour des procédures futures qui n'ont pas encore été ouvertes (ATF 128 I 225 consid. 2.4.2).
5.
5.1. Dans un dernier grief, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir rejeté sa requête d'assistance judiciaire pour la procédure de recours, sans exposer les raisons pour lesquelles elle estimait le recours comme étant dénué de toute chance de succès. Elle soutient que les motifs pris par la cour cantonale sont des considérations générales, non argumentées et établies après analyse complète de la cause, qui ne suffisent pas à retenir l'absence de chances de succès du recours.
5.2.
5.2.1. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre; il n'est en revanche pas dénué de chances de succès lorsque celles-ci et les risques d'échec sont à peu près égaux, ou lorsque les premières ne sont guère inférieures aux seconds. Est déterminante la question de savoir si une partie disposant des ressources financières nécessaires se lancerait ou non dans le procès après une analyse raisonnable. Il s'agit d'éviter qu'une partie mène un procès qu'elle ne conduirait pas à ses propres frais, uniquement parce qu'il ne lui coûte rien (ATF 142 III 138 consid. 5.1; 139 III 475 consid. 2.2; 138 III 217 consid. 2.2.4).
5.2.2. L'autorité précédente n'a ici pas pris de décision séparée sur la demande d'assistance judiciaire, se prononçant à cet égard dans sa décision finale. Ce procédé est admissible (arrêt 4A_42/2013 du 6 juin 2013 consid. 4.1), mais l'autorité d'appel n'en doit pas moins évaluer soigneusement - certes rétrospectivement - les chances de succès de l'appel, à l'aune de l'art. 117 let. b CPC, car la partie requérante ne doit subir aucun préjudice à raison de la procédure adoptée pour l'examen de sa requête. L'autorité ne peut donc pas refuser l'assistance judiciaire au seul motif qu'en définitive, à l'examen complet et détaillé de tous les moyens de fait et de droit soulevés par la partie requérante, ses conclusions d'appel doivent être rejetées. Même jointe à la décision finale, la décision sur la requête d'assistance judiciaire doit être motivée conformément aux art. 238 let. g CPC et 112 al. 1 let. b LTF, surtout lorsque l'assistance est refusée (arrêts 5A_647/2021 du 19 novembre 2021 consid. 5.1; 4A_42/2013 précité consid. 4.1 in fine).
5.3. En l'occurrence, la décision attaquée indique, sans plus de précision, qu'au " vu de l'issue de la cause et des éléments versés au dossier ", il fallait considérer le recours comme étant dénué de toute chance de succès et rejette pour ces motifs la requête d'assistance judiciaire. La référence aux éléments du dossier, sans indication des éléments concernés, ne répond pas aux exigences de motivation précitées, étant relevé qu'au surplus la cour cantonale ne pouvait pas se fonder sur l'issue de la cause pour juger des perspectives de chances de succès du recours, cet examen devant être fait de manière rétrospective à la date du dépôt de la requête d'assistance judiciaire. En l'état, faute d'une motivation suffisamment développée, le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de contrôler l'application de l'art. 117 let. b CPC par le précédent juge. Cela conduit à l'annulation de la décision sur la requête d'assistance judiciaire, conformément à l'art. 112 al. 3 LTF.
6.
En conclusion, le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il concerne le refus de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours et la cause renvoyée à la juridiction précédente pour nouvelle décision sur ce point. Le recours est rejeté pour le surplus, dans la mesure de sa recevabilité. En conséquence, des frais judiciaires réduits sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Le canton de Berne ne doit pas s'acquitter de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF), mais versera à la recourante une indemnité de dépens réduite (art. 68 LTF). Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise (art. 64 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il concerne le refus de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur ce point. Le recours est rejeté pour le surplus, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Vincent Kleiner lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Berne.
5.
Une indemnité de 1'500 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée au conseil de la recourante à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Jura bernois et au Tribunal de la protection de l'enfant et de l'adulte de la Cour suprême du canton de Berne.
Lausanne, le 27 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Piccinin