Erwägungen:
1.
1.1. X._ (Beschwerdeführer) erhob durch seinen Anwalt eine Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde vom 6. Juni 2018 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn:
1. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn sei anzuweisen, unverzüglich eine anfechtbare Verfügung bezüglich des Settings (Interventionsstufe) zu erlassen (Verfügung AJUV vom 16. März 2018, RA20180316).
2. Es sei festzustellen, dass es im vorliegenden Verfahren durch das Departement (Beschwerde vom 22. März 2018) zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei (Art. 29 Abs. 1 sowie Art. 31 Abs. 3-4 BV sowie Art. 6 und Art. 5 Ziff. 4 EMRK; RA20180316).
3. Es sei für das verwaltungsexterne Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Verbeiständung durch den Schreibenden.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, (1.) das Verwaltungsgericht (Vorinstanz) anzuweisen, unverzüglich sofort einen begründeten Entscheid betreffend die an die Vorinstanz erhobene Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde vom 6. Juni 2018 zu erlassen, (2) die Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung (wie oben E. 1.1 Ziff. 2) festzustellen, (3) ihm die unentgeltliche Rechtspflege (und Verbeiständung) zu gewähren.
1.3. Der Beschwerdeführer begründet, in der Hauptsache gehe es um die Verlegung in die sogenannte Interventionsstufe während einer stationären therapeutischen Massnahme. Gestützt auf Art. 78 Abs. 2 lit. b BGG sei daher der sachliche Anwendungsbereich eröffnet (Beschwerde S. 3, Ziff. 2.2).
Der Beschwerde in Strafsachen unterliegen u.a. Entscheide über den Vollzug von Strafen und Massnahmen (Art. 78 Abs. 2 lit. b BGG). Die Beschwerde im Sinne von Art. 78 BGG ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), oder gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (Art. 80 Abs. 1 BGG).
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen die Vorinstanz mit dem Vorwurf, sie habe den Erlass eines Entscheids verweigert und verzögert. Es liegt mithin weder ein verfahrensabschliessender Endentscheid noch ein Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG vor.
Die Beschwerde in Strafsachen ist nicht zulässig.
1.4. Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids kann Beschwerde gemäss Art. 94 BGG geführt werden. Der Beschwerdeführer bezeichnet den Gegenstand der Beschwerde in Strafsachen als Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde. Eine Rechtsverweigerung ist nicht ersichtlich. Bei der Rechtsverzögerung geht es um die Frage der (ungerechtfertigten) Verfahrensdauer. Entsprechend bildet die Sache selbst nicht Beschwerdegegenstand, sodass darauf nicht einzutreten ist.
Gemäss Art. 29 Abs. 1 BV hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Die Norm verbietet die ungerechtfertigte Verzögerung der Entscheidung ("prohibe le retard injustifié à statuer"; Urteil 1B_232/2018 vom 4. Juni 2018 E. 3). Die Angemessenheit der Verfahrensdauer beurteilt sich nach der Art oder der Natur des Verfahrens und den konkreten Umständen einer Angelegenheit wie Umfang und Komplexität der aufgeworfenen Sachverhalts- und Rechtsfragen, der Bedeutung des Verfahrens für die Beteiligten usw. (BGE 135 I 265 E. 4.4 S. 277). Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleistet keinen weitergehenden Anspruch (BGE 130 I 312 E. 5.1 S. 332). Die Rechtsverzögerungsbeschwerde setzt voraus, dass der Berechtigte vergeblich bei der Behörde intervenierte, deren Entscheid innert angemessener Frist er verlangte (BGE 126 V 244 E. 2d S. 248; Urteil 1B_232/2018 vom 4. Juni 2018 E. 3).
1.5. Am 6. Juni 2018 (Datum der Beschwerde) gelangte der Beschwerdeführer an die Vorinstanz (oben E. 1.1).
Am 22. Juni 2018 (Datum der Postaufgabe) erhob der Beschwerdeführer die vorliegende Beschwerde beim Bundesgericht (oben E. 1.2). Er legte u.a. eine Verfügung der Vorinstanz vom 8. Juni 2018 an das Departement zur Stellungnahme und Akteneinreichung sowie die Stellungnahme des Departements (Amt für Justizvollzug) vom 12. Juni 2018 ins Recht.
Der Beschwerdeführer erhob mithin gut zwei Wochen (am 16. Tag) nach der Beschwerdeeinreichung bei der Vorinstanz Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde beim Bundesgericht.
1.6. Eine eingereichte Beschwerde muss beim Gericht erfasst, registriert, zugeteilt, bearbeitet, entschieden, ausgefertigt und versandt werden. Das bewirkt ebenso viele Handänderungen. Hinzu kommt das Akteneinreichungs- und regelmässig das Vernehmlassungsverfahren mit weiteren Fristansetzungen zu Stellungnahmen. Beachtlich ist ferner der Umstand, dass Behörden und Gerichte Pendenzen aufweisen, die alle beförderlich zu behandeln sind.
1.7. Für die Angemessenheit der vorinstanzlichen Verfahrensdauer ist relevant, dass die Beschwerde sachlich die Modalitäten des stationären therapeutischen Massnahmenvollzugs und damit einen interdisziplinären Sachverhalt betrifft, der seiner Natur nach komplex ist.
Die Beschwerde entbehrt bereits aufgrund des zeitlichen Kriteriums jeder Begründetheit. Die Beschwerdeführung ist als rechtsmissbräuchliche Ausübung eines Rechtsinstituts zu qualifizieren.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Unnötige Kosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht (Art. 66 Abs. 3 BGG). Die bundesgerichtlichen Verfahrenskosten sind dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers gemäss Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG aufzuerlegen (Urteile 1B_138/2018 vom 4. Juni 2018 E. 6, 2C_281/2018 vom 4. Juni 2018 E. 5 und 5A_880/2017 vom 6. November 2017).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden Rechtsanwalt A._ auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw