Faits :
A.
A.a. A._, psychiatre et psychothérapeute, exploite un cabinet à xxx. Dès le 1er octobre 2011, il a employé B._ selon un contrat signé le 14 octobre 2011 auquel ont succédé trois autres contrats, tous de durée indéterminée. La prénommée avait étudié la psychologie en... où elle avait obtenu son diplôme en..., mais ne pouvait pas exercer en cette qualité en Suisse. Elle a successivement été l'assistante personnelle de A._, son assistante et collaboratrice clinique, puis psychologue-sexologue, à des taux d'activités variés.
A.b. Les parties ont entretenu une relation amoureuse. A compter de juillet 2012 et durant plusieurs années, elles ont vécu en concubinage. Elles étaient convenues que B._ verserait en mains de A._ 2'500 fr. par mois à titre de participation aux coûts du ménage.
Fin janvier 2013, B._ est tombée enceinte des oeuvres de A._. L'enfant est né le... 2013. Des dissensions sont apparues par la suite.
Par convention signée le 6 décembre 2013, A._ s'est engagé à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement mensuel de 1'500 fr. jusqu'à ce qu'il ait atteint l'âge de six ans, puis 1'750 fr. par mois jusqu'à ses douze ans et 2'000 fr. par mois jusqu'à sa majorité ou la fin de sa formation pour autant qu'elle soit achevée dans des délais normaux.
Selon le dernier contrat de travail en date signé par les parties, lequel prenait effet le 1er avril 2013, il était prévu un temps de travail de 40 heures par semaine correspondant à un taux d'activité de 100 %; le salaire brut convenu, 13ème salaire et frais de repas inclus, s'élevait à 6'913 fr. 35 par mois.
A.c. Par courriel du 10 septembre 2014, A._ a écrit à B._ les lignes suivantes:
" Chère B._,
Comme nous avons déjà discuté de vive voix, je t'adresse, cette fois-ci par écrit, la nouvelle proposition de collaboration avec laquelle tu as été d'accord. Il s'agit de passer, pour des raisons économiques à partir du 1er octobre 2014, à un pourcentage de temps de travail de 20 % à la place du taux actuel de 100 %, dans les mêmes conditions spécifiées dans le contrat de travail toujours en cours.
Je t'en pris (sic) par la même occasion de me transmettre dans un délai raisonnable, si tu as des horaires qui t'arrangent mieux dans la nouvelle formule. "
Le même jour, B._ lui a répondu en lui demandant s'il pensait que ce seul courriel était suffisant pour se rendre au chômage.
A.d. Les parties se sont séparées le 13 septembre 2014.
A.e. Le 16 septembre 2014, B._ a déposé une demande d'indemnités de chômage. A la question: " Obtenez-vous encore un revenu d'une activité sal ariée ou indépendante? ", elle a répondu: " oui, occupé comme psychologue-sexologue depuis le 1er octobre 2014 "; puis à la question " Quand déployez-vous cette activité ? ", elle a répondu: " 20 % " au sein du cabinet du Dr A._. Sous la rubrique " Dernier rapport de travail ", elle a indiqué qu'elle avait travaillé en dernier lieu chez le Dr A._, du 1er octobre 2011 au 30 septembre 2014 et que c'était son employeur qui avait résilié le contrat de travail le 1er septembre 2014 pour le 30 septembre 2014.
La Caisse cantonale de chômage a accepté la demande pour la période du 1er octobre au 30 novembre 2014. Elle a ainsi versé à B._ un montant net de 4'173 fr. 20 allocations familiales incluses, à titre d'avance pour octobre et novembre 2014.
A.f. B._ a touché son dernier salaire en septembre 2014.
A.g. Par courriel du 8 octobre 2014, B._ a indiqué à A._ s'être inscrite au chômage, avoir alors appris que le délai légal de congé devait être respecté avant qu'une modification du contrat de travail puisse intervenir. Elle a joint un certificat médical daté du 6 octobre 2014 indiquant qu'elle était incapable de travailler du 1er au 11 octobre 2014 pour cause de maladie. Cet arrêt maladie a été prolongé jusqu'au 22 novembre 2014, sans que B._ informe A._ de ces prolongations.
A.h. Le 10 octobre 2014, B._ s'est adressée par courriel à A._ pour lui dire, notamment, qu'il lui incombait de respecter le délai de congé, ajoutant " j'étais conne de vouloir prendre tout sur moi, partir comme tu as envie du jour au lendemain et être pénalisée par le chômage ". Le 17 octobre suivant, A._ lui a répondu pour lui reprocher d'avoir abandonné son poste de travail et formuler différents reproches, que B._ a contestés le 18 octobre suivant.
A.i. Par courrier du 28 octobre 2014, A._ a résilié le contrat de travail de B._ " avec effet immédiat ", tout en indiquant que le congé déployait ses effets dès le 15 octobre précédent.
B.
B.a. A l'issue d'une procédure de conciliation infructueuse, B._ a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne d'une demande reçue le 10 juillet 2015 tendant à ce que A._ lui verse la somme brute de 27'653 fr. 40 sous déduction des charges sociales usuelles, avec intérêts, au titre de salaire pour les mois d'octobre 2014 à janvier 2015 (I), celle nette de 1'580 fr. 70 avec intérêts à titre d'indemnité de vacances (II), celle nette de 20'740 fr. 05 avec intérêts à titre d'indemnité pour licenciement avec effet immédiat injustifié (III), celle nette de 2'071 fr. 45 avec intérêts au titre de salaires nets non payés pour les mois de janvier 2014 à septembre 2014 (IV) et à ce que A._ lui délivre immédiatement un certificat de travail conforme à l'art. 330a al. 2 CO (V).
Par réponse du 1er décembre 2015, le défendeur a conclu au rejet des conclusions de la demanderesse, leur opposant pour autant que de besoin en compensation sa créance en paiement des participations mensuelles de la demanderesse aux frais du ménage pour les mois de juin à septembre 2014, chiffrée à 10'000 francs.
Le 6 juin 2016, la Caisse cantonale de chômage a déposé une requête en intervention tendant à ce qu'il soit constaté qu'elle était subrogée à la demanderesse dans ses droits à concurrence de 4'173 fr. 20 avec intérêts, représentant les indemnités de chômage et allocations familiales versées pour la période d'octobre à novembre 2014 et à ce que cette somme lui soit versée par le défendeur.
Par jugement du 15 août 2017, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a condamné le défendeur à verser à la demanderesse la somme de 23'480 fr. 20 sous déduction des charges sociales usuelles, avec intérêts, à titre de salaire pour les mois d'octobre 2014 à janvier 2015. Elle a condamné le défendeur à verser à la Caisse cantonale de chômage la somme de 4'173 fr. 20 avec intérêts au titre des indemnités avancées pour les mois d'octobre à novembre 2014. Le Tribunal a également condamné le défendeur à verser à la demanderesse la somme qu'elle réclamait au titre des indemnités de vacances, soit 2'304 fr. 40 sous déduction des charges sociales usuelles, avec intérêts. Il a partiellement fait droit à ses conclusions relatives à l'indemnité pour licenciement avec effet immédiat injustifié, en condamnant le défendeur à verser à la demanderesse une somme de 6'913 fr. 35 avec intérêts à ce titre et a reconnu le défendeur débiteur du solde de salaire demeuré impayé pour les mois de janvier à septembre 2014, soit 2'071 fr. 45. Il a finalement ordonné au défendeur de remettre à la demanderesse le certificat de travail attendu.
En droit, les premiers juges ont retenu que la résiliation immédiate du contrat de travail était injustifiée au sens de l'art. 337 CO. Quand bien même le défendeur n'était pas au courant de la prolongation de l'arrêt maladie de la demanderesse, il devait lui adresser une mise en demeure de reprendre le travail ou l'inviter à lui remettre un certificat médical. Certes, en tardant à remettre les certificats médicaux, la demanderesse avait manqué à son devoir de fidélité. Toutefois, il ne s'agissait pas d'une faute susceptible de justifier un licenciement immédiat sans avertissement préalable. Dans tous les cas, la résiliation immédiate pour justes motifs était tardive. Par ailleurs, le congé était également abusif au sens de l'art. 336 CO en tant qu'il constituait un congé-modification découlant de l'absence d'accord entre les parties quant à la modification du taux d'activité de la demanderesse.
En plus d'être injustifié et abusif, le licenciement immédiat était intervenu durant une période de protection. La résiliation des rapports de travail n'étant possible qu'à compter du 23 novembre 2014, avec effet au 31 janvier 2015, le défendeur devait une indemnité comprenant le salaire durant la période de maladie ainsi que les deux mois de délai de congé, soit d'octobre 2014 à janvier 2015. A cela s'ajoutait l'indemnité pour les 6,6 jours de vacances et le différentiel entre le montant annoncé sur les fiches de salaire et celui effectivement versé, pour les mois de janvier à septembre 2014.
B.b. Le défendeur a interjeté appel. Par arrêt du 11 octobre 2018, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté cet appel et confirmé le jugement.
B.c. Contre cet arrêt, le défendeur a déposé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Par arrêt 4A_624/2018 du 2 septembre 2019, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours, dans la mesure où il tendait au rejet de la conclusion de la demande en délivrance d'un certificat de travail conforme à l'art. 330a al. 2 CO, l'a admis pour le surplus et, l'arrêt attaqué étant annulé, a renvoyé la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. La cour cantonale devait déterminer s'il y avait eu accord des parties sur la réduction du taux d'activité de l'employée, lequel serait passé de 100 à 20 % à compter du 1er octobre 2014 et en tirer les conséquences qui s'imposent s'agissant de l'indemnité due à l'employée sur la base de l'art. 337c al. 3 CO, du salaire auquel elle pouvait prétendre durant la période correspondant à son incapacité de travail pour cause de maladie et au délai de congé consécutif à la résiliation de son contrat, comme de l'indemnisation des jours de vacances qu'elle n'avait pas eu le loisir de prendre avant le terme de son contrat de travail. La cour cantonale était également appelée à déterminer dans quelle mesure la Caisse cantonale de chômage était subrogée à l'employée. S'agissant de la créance de l'employée relative au différentiel entre le salaire annoncé sur les fiches de salaire et celui effectivement perçu de janvier à septembre 2014 - cette période étant antérieure à l'hypothétique accord concernant la réduction du taux d'activité de l'employée - le Tribunal fédéral a considéré qu'il appartenait à l'employée d'apporter la preuve du caractère insaisissable de tout ou partie de son salaire. En faisant supporter à l'employeur l'échec de la preuve corrélative, la cour cantonale avait méconnu les règles sur le fardeau de la preuve. La cause devait dès lors lui être renvoyée afin qu'elle tranche la question de la recevabilité de l'exception de compensation de l'employeur et qu'elle en tire les conséquences s'agissant du solde dû en faveur de l'employée.
B.d. Sur renvoi, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a invité les parties à se déterminer sur l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral. Par arrêt du 11 mai 2020, elle a partiellement admis l'appel de l'employeur et réformé le premier jugement en ce sens que le défendeur doit verser à la demanderesse la somme de 16'592 fr. brut, sous déduction des charges sociales usuelles et de 12'101 fr. 75 net, avec intérêts, à titre de salaires pour les mois d'octobre 2014 à janvier 2015. En sus, le défendeur était redevable de 1'150 fr. 60, sous déduction des charges sociales usuelles, avec intérêts, à titre d'indemnité de vacances. Son raisonnement sera évoqué dans les considérants en droit du présent arrêt.
C.
L'employeur recourt en matière civile au Tribunal fédéral concluant principalement au rejet des conclusions I à IV de la demande et des conclusions de l'intervenante.
La cour cantonale s'est brièvement déterminée en se référant pour l'essentiel à son arrêt. La demanderesse (intimée) a conclu au rejet du recours. La Caisse cantonale de chômage ne s'est pas déterminée. Le recourant et la demanderesse intimée ont répliqué et dupliqué sans se départir de leurs conclusions respectives.
Par ordonnance présidentielle du 19 août 2020, la requête d'effet suspensif dont le recours était assorti a été rejetée.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF) et au délai de recours (art. 100 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). " Manifestement inexactes " signifie ici " arbitraires " (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5 p. 401). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2.2. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 88 s.; 140 III 115 consid. 2 p. 116; 137 III 580 consid. 1.3 p. 584). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine p. 400 s.).
2.3. Le Tribunal fédéral n'est limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 1.4; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400).
3.
S'agissant de la question de savoir si les parties étaient convenues d'une modification du taux d'activité de l'intimée à compter du 1er octobre 2014 (diminution de 100 à 20 %), avec pour corollaire une diminution de son salaire mensuel brut de 6'913 fr. 35 à 1'382 fr. 67, la cour cantonale a tranché négativement au terme du raisonnement suivant.
Le courriel du recourant à l'intimée du 10 septembre 2014 ne démontrait pas l'existence d'un accord entre les parties sur ce point. Le recourant y écrivait qu'il adressait à l'intimée une " nouvelle proposition de collaboration ", terminologie révélatrice du fait qu'il s'agissait d'une offre, que cette offre ne portait pas sur une réduction du taux d'activité mais sur une collaboration et, enfin, qu'une acceptation n'était pas encore intervenue. L'intimée y a répondu de manière interrogative, en demandant au recourant s'il pensait que son courriel était suffisant pour se rendre au chômage. Il ne s'agissait pas d'une acceptation, en tout cas pas de l'acceptation d'une réduction du taux d'activité de 100 à 20 %. Dans la demande que l'intimée avait adressée, le 16 septembre 2014, à la Caisse cantonale de chômage et qui tendait au paiement d'indemnités dès le 1er octobre 2014, elle n'avait pas indiqué que le taux d'activité aurait été réduit d'un commun accord, mais que les rapports de travail avaient été résiliés par l'employeur, oralement et par écrit, le 1er septembre 2014, en précisant qu'elle obtiendrait encore un revenu pour une activité à 20 % au service du recourant dès le 1er octobre 2014. Les indications que le recourant avait fournies dans le formulaire " attestation de l'employeur " allaient dans le même sens en ce qui concerne la résiliation des rapports de travail. La cour cantonale en a déduit que l'intimée n'avait pas consenti à une modification de son contrat de travail, dans le sens d'une réduction de son taux d'activité et de son salaire dès le 1er octobre 2014: c'était bien plutôt le recourant qui avait licencié l'intimée le 1er septembre pour le 30 septembre suivant, en lui offrant de poursuivre leur collaboration à un taux de 20 % dès le 1er octobre 2014.
Ce licenciement intervenu, l'intimée avait accepté l'offre de l'employeur de continuer à travailler pour lui à un taux de 20 %. Telle était la conclusion qui résultait de la manière dont l'intimée avait rempli sa demande d'indemnités auprès de la Caisse cantonale de chômage.
Cela étant, l'intimée ne pouvait pas valablement consentir à ce que ces nouvelles conditions de travail prennent effet avant l'échéance du délai de congé minimal impératif d'un mois pour la fin d'un mois. Courant dès le 1er septembre 2014, ce délai devait initialement expirer le 31 octobre 2014. Compte tenu de l'incapacité de travail pour cause de maladie de l'intimée - du 1er octobre au 22 novembre 2014 - il avait été suspendu, puis prolongé, en vertu des dispositions impératives de l'art. 336c al. 1 let. b et al. 2 et 3 CO, jusqu'au 30 novembre 2014. C'est donc à compter du 1er décembre 2014 que le taux d'activité de l'intimée était passé de 100 à 20 %.
La cour cantonale en a ensuite tiré les conclusions qui s'imposaient s'agissant du montant de l'indemnité pour licenciement immédiat sans juste motif allouée à l'intimée en application de l'art. 337c al. 3 CO (un mois de salaire, soit 6'913 fr. 35), quant à son droit au salaire jusqu'à l'échéance normale du délai de congé de deux mois pour la fin d'un mois en vertu de l'art. 337c al. 1 CO (au taux de 100 % jusqu'au 30 novembre 2014 [2 x 6'913 fr. 35 pour octobre et novembre 2014], puis au taux de 20 % [2 x 1'382 fr. 65 pour décembre 2014 et janvier 2015] soit un total de 16'592 fr. brut), son droit aux vacances (18,33 jours du 1er janvier au 30 novembre 2014 - 15 jours pris durant cette période = 3,33 jours à rémunérer à 100 %, soit 1'150 fr. 60 brut; les 3,33 jours de vacances du 1er décembre 2014 au 31 janvier 2015 n'étant pas indemnisés puisqu'elle pouvait les prendre en nature durant cette période), le tout sous réserve de la subrogation de la Caisse cantonale de chômage.
3.1. Le recourant attaque ce pan de l'arrêt sous plusieurs angles. En premier lieu, il estime que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en omettant de mentionner les discussions préalables intervenues entre les parties. Cela étant, qu'au moment de leur séparation, les parties aient discuté des modalités de la poursuite de leur collaboration, comme il l'a allégué en procédure, ne signifie pas qu'elles soient parvenues à un accord. Cet élément de fait est dès lors indifférent pour l'issue du litige et la cour cantonale pouvait raisonnablement le passer sous silence. Le Tribunal fédéral ne décèle nul arbitraire, nulle violation de la maxime des débats ou du droit d'être entendu du recourant sur ce point.
3.2. Le recourant estime que la cour cantonale a méconnu arbitrairement des éléments de fait déterminants en considérant qu'aucun accord n'était intervenu pour la modification du taux d'activité de l'intimée.
3.2.1. La cour cantonale a recherché quelle avait été la volonté réelle des parties, savoir si elles avaient voulu l'une et l'autre modifier le contrat de travail dans le sens d'une réduction du taux d'activité - et du salaire - de l'intimée. Elle a donc procédé à une interprétation subjective (ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611; 125 III 305 consid. 2b p. 308), fondée non seulement sur la teneur des déclarations de volonté, mais aussi sur le contexte général, soit toutes les circonstances permettant de découvrir la volonté des parties, qu'il s'agisse de déclarations antérieures à la conclusion du contrat, des projets de contrat, de la correspondance échangée ou encore de l'attitude des parties après la conclusion du contrat, établissant quelles étaient à l'époque les conceptions des contractants eux-mêmes (ATF 143 III 157 consid. 1.2.2 p. 159; arrêts 4A_200/2015 du 3 septembre 2015 consid. 4.1.1; 4A_65/2012 du 21 mai 2012 consid. 10.2 et les auteurs cités). Elle est parvenue à la conclusion que l'intimée ne s'était pas déclarée d'accord de réduire son temps de travail, ce qui avait entraîné la résiliation de son contrat de travail par l'employeur. C'est une fois licenciée que l'intimée avait accepté de poursuivre son emploi au taux de 20 %.
3.2.2. Déterminer ce qu'un cocontractant savait et voulait au moment de conclure relève des constatations de fait qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF; ATF 132 III 268 consid. 2.3.2 p. 274; 131 III 606 consid. 4.1 p. 611; 128 III 419 consid. 2.2 p. 422). Il appartient ainsi au recourant de démontrer l'arbitraire des constatations de fait sur lesquelles la cour cantonale a bâti son raisonnement. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
3.2.3. Le recourant ne parvient toutefois pas à apporter cette démonstration. Le passage qu'il tire de la requête de conciliation de l'intimée ne signifie pas que cette dernière a accepté la réduction de son taux d'activité avant d'être licenciée. Les indications qu'elle a données à l'assurance-chômage pas davantage. Quant au contenu du message électronique qu'elle a adressé au recourant le 10 octobre 2014, il n'en ressort pas que c'est elle qui aurait demandé de poursuivre son activité à 20 % comme le recourant l'affirme. Qu'elle ne se soit pas opposée aux nouveaux horaires qu'il lui aurait communiqués quelques jours plus tard et qui correspondraient à un taux de 20 % n'est pas plus parlant. L'on ne peut suivre le recourant lorsqu'il prétend que l'intimée avait fait en sorte de " faire correspondre les vacances prises avec un changement de taux d'activité au 1er octobre 2014 ". Finalement, le recourant souligne que l'intimée a fait inscrire au registre du commerce une société en nom collectif avec sa soeur le 17 octobre 2014. Il est toutefois possible d'y voir la conséquence du congé-modification signifié par l'employeur et non la preuve éclatante de l'accord de l'employée à la réduction de son taux d'activité en septembre précédent, comme le recourant le soutient.
Le grief d'arbitraire dans la constatation des faits est privé de fondement.
3.3. Le recourant estime également que la cour cantonale a violé les art. 1, 6, 18 et 320 CO. Selon ses explications, il aurait envoyé une lettre de confirmation, par quoi il faudrait entendre une déclaration écrite par laquelle il aurait confirmé la conclusion d'un contrat oral, à laquelle l'employée aurait dû réagir si elle avait entendu s'opposer. Or, l'intimée n'aurait exprimé son désaccord qu'un mois après, une fois qu'elle aurait appris qu'elle ne toucherait pas les prestations de l'assurance-chômage qu'elle espérait.
3.3.1. En principe, le silence ne vaut pas acceptation. Cependant, suivant les circonstances et conformément au principe de la confiance, le destinataire qui ne réagit pas à une lettre de confirmation est censé avoir accepté une offre nouvelle si l'auteur, de bonne foi, s'écarte de l'accord oral ou se réfère de bonne foi à un accord qu'il croit parfait (arrêts 4C.29/2003 du 12 mars 2003 consid 4; 4C.303/2001 du 4 mars 2002 consid. 2b et les références, in SJ 2002 I p. 363).
3.3.2. Le courriel du 10 septembre 2014 du recourant a été qualifié par son auteur de " nouvelle proposition de collaboration ". Il ne peut donc s'agir d'une lettre de confirmation d'autant que, compte tenu de sa profession, l'on peut attendre du recourant qu'il fasse la différence entre une proposition, c'est-à-dire une offre, et la confirmation d'un accord oral conclu antérieurement.
Le grief de violation des dispositions légales susmentionnées est privé de fondement.
3.4. Le recourant s'estime victime d'une violation du droit d'être entendu, sous l'angle du droit d'obtenir une décision motivée. La cour cantonale se serait abstenue d'examiner si les parties avaient conclu un accord quant à la modification du contrat. Elle aurait uniquement évoqué la problématique d'un congé-modification.
3.4.1. Le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) impose au juge de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer son droit de recours à bon escient. Le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Le juge n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; il peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 138 IV 81 consid. 2.2 p. 84; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88).
3.4.2. La cour cantonale s'est exprimée sur la question de savoir si un accord quant à la réduction du taux de travail était intervenu en septembre 2014. Elle a observé que le courriel du 10 septembre 2014 était qualifié de proposition, ce qui supposait une acceptation ultérieure, écartant ainsi - certes sans le dire expressément - qu'il puisse s'agir d'une lettre de confirmation. D'autres développements sur la question s'avèrent superflus. Le recourant n'est pas fondé à se plaindre d'une violation du droit d'obtenir une décision motivée.
3.5. Le recourant estime que la cour cantonale a violé l'art. 337c CO, le " droit aux vacances ", ainsi que l'art. 29 LACI, dès lors que la Caisse cantonale de chômage n'était selon lui pas subrogée à concurrence des prestations versées à l'intimée. Cela étant, l'ensemble de ces griefs tient dans le fait que le salaire devrait selon lui être calculé sur la base d'un taux d'activité de 20 % dès le 1er octobre 2014, ce qui n'emporte pas l'adhésion. Ils doivent donc être rejetés.
4.
4.1. Le recourant avait invoqué la compensation entre la somme qu'il devrait à l'intimée au titre du contrat de travail et celle dont celle-ci lui était redevable. Il incombait à la cour cantonale de déterminer à concurrence de quel montant le recourant pouvait exercer la compensation. Le raisonnement des juges cantonaux suit le cheminement suivant:
En première instance, le recourant avait opposé sa créance en paiement de la participation de l'intimée aux frais du ménage pour les mois de juin à septembre 2014, à concurrence de 10'000 francs. En appel, il avait chiffré le montant qui serait dû par l'intimée pour les mois de mai à septembre 2014 à 11'500 francs. Cela étant, le recourant n'avait pas expliqué pour quelle raison il n'aurait pas pu articuler d'emblée devant les premiers juges le montant de 11'500 fr. auquel il prétendait désormais. L'exception de compensation était dès lors irrecevable, dans la mesure où elle portait sur plus de 10'000 francs.
S'agissant de la créance compensante, la cour cantonale a retenu que l'intimée n'avait pas prouvé s'être acquittée de sa participation aux frais du ménage pour les mois de mai à septembre 2014 (2'500 fr. par mois), ce qui fait qu'elle devait un montant de 10'000 fr. à l'appelant pour les mois de mai à août 2014, auxquels il n'y avait pas lieu d'ajouter le montant afférent au mois de septembre (13 jours, 1'083 fr. 35) compte tenu du considérant qui précède.
Enfin, la cour cantonale a déterminé la mesure dans laquelle le recourant pouvait exercer la compensation, compte tenu de l'art. 323b al. 2 1ère phrase CO, lequel prévoit qu'elle n'est possible que dans la mesure où le salaire de l'intimée est saisissable. Selon l'arrêt de renvoi, il appartenait à l'intimée de démontrer que tout ou partie de son salaire était insaisissable. La cour cantonale a constaté qu'aucun élément du dossier n'établissait le minimum vital de l'intimée. Tout au plus était-il établi qu'à compter du 13 septembre 2014, l'intimée s'était constituée un domicile séparé et vivait seule avec l'enfant des parties, de sorte qu'il y avait lieu d'admettre le montant de base mensuel de 1'350 fr. reconnu à tout débiteur monoparental. Aucun autre poste ne pouvait être retenu au titre du minimum vital de l'intimée. En particulier, il n'y avait pas lieu de retenir le montant de base pour l'entretien de l'enfant, à mesure que les parties avaient fait ratifier une convention d'entretien par la Justice de paix et qu'il n'était pas établi que le recourant ne se serait pas acquitté des contributions d'entretien pour son fils. Partant, l'exception de compensation était recevable pour les montants dus à l'intimée dépassant la somme de 1'350 fr. net par mois. Pour les mois de janvier à septembre 2014, le solde de salaire que le recourant devait à l'intimée - de 2'071 fr. 45 au total - pouvait intégralement être éteint par compensation. En revanche, les salaires d'octobre et novembre 2014 ne pouvaient être éteints par compensation que dans la mesure qui laissait à l'intimée 1'350 fr. net par mois, les charges sociales devant être acquittées sur l'entier du salaire.
Le calcul de la cour cantonale de la somme due en faveur de l'intimée a donc pris la forme suivante (présentation modifiée pour plus de clarté) :
Période de janvier à septembre 2014:
Solde de salaire net dû à l'intimée: 2'071 fr. 45
- créance compensante du recourant: 2'071 fr. 45
Solde en faveur de l'intimée: 0
Période d'octobre 2014 à janvier 2015:
Montants bruts
Salaires d'octobre et novembre 2014: 13'826 fr. 70
Salaires de décembre 2014 et janvier 2015: 2'765 fr. 30
Total: 16'592 fr. 00
sous déduction des charges sociales usuelles
et sous déduction de 12'101 fr. 75 représentant les deux postes suivants:
- créance compensante du recourant: 7'928 fr. 55
- créance de la Caisse de chômage nette: 4'173 fr. 20
Le solde de cette équation est à calculer en fonction du montant des charges sociales; c'est dire qu'il n'est pas chiffré dans le jugement cantonal.
4.2. Le recourant attaque ce pan du jugement sous plusieurs angles.
4.2.1. Tout d'abord, il estime que la cour cantonale a violé les règles régissant la compensation (art. 124 CO). Il prétend qu'il était en droit d'invoquer la compensation à tout stade de la procédure, si on le suit bien, les règles de procédure ne pouvant faire échec à l'art. 124 CO et les principes d'économie de procédure comme l'interdiction du formalisme excessif commandant cette solution. Partant, la cour cantonale ne pouvait limiter le montant qu'il était en droit d'opposer en compensation du fait qu'il n'avait articulé devant les premiers juges qu'un montant de 10'000 fr., et non d'emblée celui de 11'500 francs. La cour cantonale aurait dû admettre la compensation à concurrence de 11'083 fr. 35, somme qu'elle avait calculée elle-même.
La problématique soulevée par le recourant a déjà été tranchée par le Tribunal fédéral. Certes, la compensation, qui n'est pas une exception, mais une objection pouvant être retenue d'office si les faits pertinents sont établis, suppose cependant une déclaration soumise à réception; il faut que le débiteur fasse connaître au créancier son intention de l'invoquer; cette déclaration doit faire apparaître clairement et de manière non équivoque la volonté de son auteur (arrêt 4C.132/1995 du 19 juillet 1995 consid. 3). Cette déclaration, si elle n'a pas été signifiée par le défendeur avant le procès, peut être opérée par une affirmation en procédure, pour autant toutefois qu'elle intervienne à un stade permettant encore d'invoquer des faits nouveaux (arrêt 4A_435/2015 du 14 janvier 2016 consid. 2.6; DENIS TAPPY, in Commentaire romand, Code de procédure civile, 2ème éd. 2019, n° 26 ad art. 222 CPC). En appel, cette possibilité existe uniquement aux conditions de l'art. 317 al. 1 CPC.
En l'espèce, le recourant ne prétend pas qu'il se trouve dans l'hypothèse appréhendée par l'art. 317 al. 1 CPC. C'est dès lors à bon droit que la cour cantonale a admis la déclaration de compensation qu'il avait formulée en première instance à concurrence de 10'000 fr., mais a écarté l'autre chiffrée en appel à 11'500 francs.
4.2.2. Ensuite, le recourant fait valoir que le minimum vital de l'intimée aurait été établi de manière arbitraire. Si l'on saisit bien son propos, faute d'allégation et de preuve corrélative de l'intimée, il faudrait retenir que celle-ci ne vivait pas seule, mais en couple puisqu'il suggère que " tout laisse donc à penser qu'elle touchait de quoi couvrir son minimum vital ". Ce serait dès lors un montant de 850 fr. - et non de 1'350 fr. - qui aurait dû être retenu à ce titre. Il soutient également que le juge aurait retenu d'office une application de l'art. 125 ch. 2 ou 323b al. 2 CO, alors que l'intimée n'aurait jamais soutenu que la compensation porterait atteinte à son minimum vital. La cour cantonale aurait dès lors violé l'art. 55 CPC et la maxime de disposition. Il voit également une violation de l'art. 125 CO en ce sens que cette disposition proscrirait la compensation " contre la volonté du créancier ", volonté que l'intimée n'aurait ici pas exprimée.
Ces griefs n'ont aucune portée pratique puisque la créance compensante du recourant a été admise dans sa totalité, à savoir à tout le moins dans la totalité du montant articulé en première instance.
4.2.3. Enfin, le recourant reprend le calcul de la cour cantonale en méconnaissant apparemment que c'est bien l'intégralité de la créance compensante - qu'il avait chiffrée à 10'000 fr. en première instance - qui a été portée en déduction: la cour cantonale a en effet compensé le montant dû au titre du solde de salaires janvier-septembre 2014 (2'071 fr. 45) avec un montant équivalent de la créance compensante, et le solde de celle-ci, soit 7'928 fr. 55, avec les salaires dus à l'intimée pour les mois d'octobre et novembre 2014.
Il est vrai que le calcul de la cour cantonale ne se présente pas de manière à favoriser la compréhension. Cela étant, il faut comprendre que trois éléments sont portés en déduction du montant de 16'592 fr. dû au titre des salaires d'octobre 2014 à janvier 2015: premièrement, les charges sociales usuelles (car il s'agit d'un montant de salaire brut), deuxièmement le solde de la créance compensante (7'928 fr. 55) et finalement le montant dû en faveur de la Caisse cantonale de chômage (en vertu de la subrogation; soit 4'173 fr. 20). Ainsi, ce dernier montant n'est pas destiné à être versé à double.
4.2.4. Il n'y a cependant pas que le solde résultant du considérant 4.1 supra qui soit dû à l'employée. L'employeur lui doit également deux autres montants, à savoir l'indemnité pour vacances non prises (1'150 fr. 60) ainsi que l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié (6'913 fr. 35) qui sont tous deux nets de charges sociales. Ce dernier montant ne fait pas l'objet d'un chiffre topique du dispositif de l'arrêt attaqué. Il est cependant clair qu'il est dû en sus, le chiffre III du jugement de première instance, qui concernait ce montant, n'ayant été ni annulé, ni réformé par la cour cantonale. Ce montant est au demeurant arrêté au terme du considérant 2.3 de l'arrêt attaqué.
5.
Partant, le recours doit être intégralement rejeté. Les frais de procédure fixés à 2'000 fr. sont mis à la charge du recourant. Ce dernier versera des dépens à l'employée intimée.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de procédure, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'employée intimée un montant de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 10 février 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Raetz