Sachverhalt:
A.
Die A._ Ltd. (Auftraggeberin, Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft israelischen Rechts mit Sitz in U._, Israel. Ihre Namenaktien sind an der Schweizer Börse SIX Swiss Exchange kotiert. Sie und die in V._ ansässige Bank B._ AG (Beauftragte, Beschwerdegegnerin) schlossen am 18. Juni 2010 einen als "Mandate Agreement" (nachfolgend: Mandatsvertrag) bezeichneten Vertrag ab. Gemäss dessen Präambel wurde Letztere beauftragt, in ihrem eigenen Namen, auf eigene Rechnung und auf eigenes Risiko mit Geld- und Briefkursen einen geordneten Markt für die Namenaktien der Auftraggeberin an der SIX Swiss Exchange sicherzustellen, um den Eintritt von Handelsunterbrechungen so weit wie möglich zu verhindern (sog. Market Making). Als Vertragsbeginn wurde der 1. Juli 2010 vereinbart. Die Beauftragte sollte gemäss Ziff. 3 des Mandatsvertrags mit Fr. 60'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer pro Jahr entschädigt werden. Diese stellte für ihre Tätigkeiten mehrmals Rechnung, erstmals am 21. November 2018, wobei die Auftraggeberin die geforderten Beträge nie bezahlte. Der Vertrag endete spätestens im Zeitpunkt der mündlichen Kündigung durch die Auftraggeberin am 20. März 2019. Ob die Laufzeit des Vertrags bereits früher endete, entweder wegen (konsensualer) Aufhebung durch die Parteien oder zufolge Widerrufs der Auftraggeberin, ist umstritten.
B.
B.a. Am 31. Dezember 2019 reichte die Beauftragte beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage ein mit dem Begehren, die Auftraggeberin für die Dienste der Beauftragten in der Zeit vom 1. Januar 2015 bis zum 20. März 2019 zur Zahlung von Fr. 252'821.92 zuzüglich 7.7 % MwSt. und Zins zu 5 % ab verschiedenen Daten zu verpflichten.
B.b. Mit Urteil vom 22. April 2021 hiess das Handelsgericht die Klage im Umfang von Fr. 252'821.92 (ohne MwSt.) zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 240'000.-- ab 22. Dezember 2018 sowie auf Fr. 12'821.92 ab 17. August 2019 gut (Ziff. 1 Satz 1). Im Übrigen (Mehrwertsteuer und früherer Beginn der Zinszahlungspflicht) wies es die Klage kostenfällig ab (Ziff. 1 Satz 2).
Es erwog, der Mandatsvertrag habe bis zur mündlichen Kündigung durch die Auftraggeberin am 20. März 2019 bestanden. Er sei vorher weder durch konkludentes Handeln der Parteien aufgehoben noch durch die Auftraggeberin widerrufen worden. Die Beauftragte habe während der Laufzeit des Mandatsvertrags das Market Making ausgeübt. Dass sie ihre vertraglichen Pflichten verletzt hätte, vermöge die Auftraggeberin nicht nachzuweisen. Folglich habe die Beauftragte einen Anspruch auf Vergütung von Fr. 252'821.92. Die Mehrwertsteuer sei nicht geschuldet, da die Beauftragte eine Leistung für eine ausländische Gesellschaft erbracht habe. Auch könne die Auftraggeberin die Bezahlung nicht gestützt auf Art. 82 OR wegen unterlassener Information über die Geschäftsbesorgung während der Laufzeit des Vertrags verweigern.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. Mai 2021 verlangt die Beschwerdeführerin sinngemäss, das Urteil des Handelsgerichts - soweit sie belastend - kostenfällig aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2; 134 II 244 E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2, 86 E. 2).
1.2. Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeführerin über weite Strecken nicht. Sie setzt sich allenfalls ansatzweise mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander und zeigt nicht auf, inwieweit der angefochtene Entscheid rechtsfehlerhaft sein soll. Vielmehr legt sie ein eigenes Verständnis des vorinstanzlichen Entscheids an den Tag und berücksichtigt in ihrer Argumentation die Ausführungen der Vorinstanz lediglich selektiv, wie die Beschwerdegegnerin zu Recht einwendet.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 140 III 264 E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1).
3.
Nicht umstritten ist die internationale und die örtliche Zuständigkeit der Schweizer Gerichte. Diese ergibt sich aus der in Ziff. 8 des Mandatsvertrags enthaltenen Gerichtsstandsklausel. Weiter sind sich die Parteien gemäss Vorinstanz einig, dass schweizerisches Recht anwendbar ist und der Mandatsvertrag als Auftrag im Sinne Art. 394 ff. OR zu qualifizieren ist. Umstritten ist zum Einen die Laufzeit des Vertrags (E. 4 und 5 hiernach); zum Anderen stellt sich die Frage nach allfälligen Vertragsverletzungen seitens der Beschwerdegegnerin (E. 7 hiernach).
4.
Zu prüfen ist zunächst, ob der Mandatsvertrag bereits vor der (unbestrittenen) Kündigung durch die Beschwerdeführerin am 20. März 2019 (Sachverhalt lit. A) durch die Parteien (konsensual) aufgehoben wurde, mit der Folge, dass keine oder bloss eine reduzierte Vergütung geschuldet wäre.
4.1. Die Vorinstanz erwog, entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin sei der Mandatsvertrag nicht unmittelbar nach dessen Abschluss aufgehoben worden. Dies ergebe sich bereits aus dem E-Mail-Verkehr zwischen den Parteien vom 7. Juli 2010. Darin habe sich die Beschwerdeführerin bei der Beschwerdegegnerin nach der Aufnahme der Tätigkeit erkundigt (" [...] Wanted to know if indeed you have begun and to get a bit a feeling from you how it is going. [...] "). Mit E-Mail vom gleichen Tag habe die Beschwerdegegnerin folgendermassen geantwortet: "[...] We have started the Market Making on 01.07.10. We are constantly monitoring the Quotes according to the parameters mentioned in the contract. Up to now the Market Making works well and we did a few trades this week. Just contact me, if new [recte: you] need further details concerning the Market Making. [...]". Keine der Parteien habe in diesen E-Mails den Willen geäussert, den Mandatsvertrag aufzuheben. Im Gegenteil habe sich die Beschwerdeführerin versichern wollen, dass die Beschwerdegegnerin ihre Tätigkeit aufgenommen habe, was diese bestätigt habe.
Auch eine Aufhebung zu einem späteren Zeitpunkt stellte die Vorinstanz nicht fest. Sie erwog, die Beschwerdegegnerin habe nach dem 7. Juli 2010 ihre Aktivitäten fortgesetzt. Sie habe danach zwar keinen Bericht erstattet oder anderweitig Informationen übermittelt. Auch habe sie erst nach mehr als acht Jahren, am 21. November 2018, erstmals Rechnung für ihre Tätigkeiten gestellt. Die Beschwerdeführerin ihrerseits habe weder eine Zahlung geleistet noch sich nach dem Gang des Market Making erkundigt. Angesichts der Bestätigung der Aufnahme der Tätigkeit mit der E-Mail vom 7. Juli 2010 habe die Beschwerdeführerin aus der fehlenden Rechnungsstellung jedoch nicht auf einen Willen der Beschwerdegegnerin zur Aufhebung des Mandatsvertrags schliessen dürfen. Auch für die Beschwerdegegnerin habe kein Anlass bestanden, aus dem Stillschweigen der Beschwerdeführerin einen Aufhebungswillen abzuleiten. Vielmehr habe sie sich aufgrund der gegenseitigen E-Mails vom 7. Juli 2010 darauf verlassen dürfen, die Beschwerdegegnerin würde sich melden, wenn sie weitere Details hätte in Erfahrung bringen wollen.
Die Vorinstanz erwog weiter, soweit die Beschwerdeführerin geltend mache, ohne Information seitens der Beschwerdegegnerin habe sie keine Kenntnis davon haben können, ob und wie lange die Beschwerdegegnerin nach dem 7. Juli 2010 als Market Maker tätig gewesen sei, würden alleine die in Ziff. 2 des Mandatsvertrags geregelte Informationspflicht der Beschwerdegegnerin ("Bank B._ shall inform the Company as required on market events as well as activities related to the scope of the present Agreement") und der E-Mail-Verkehr vom 7. Juli 2010 ausschliessen, dass die Beschwerdeführerin ohne jegliche Erkundigung davon hätte ausgehen dürfen, die Beschwerdegegnerin stelle ihr einen Antrag auf Aufhebung des Mandatsvertrags.
Die Vorinstanz hielt ferner fest, die Beschwerdeführerin habe vorgebracht, die Beschwerdegegnerin hätte die Forderungen aus dem Market Making verbuchen und in ihrer (als börsenkotierte Unternehmung) öffentlich zugänglichen Jahresrechnung ausweisen müssen. Dies sei offensichtlich unterblieben, weshalb sie davon habe ausgehen müssen, die Beschwerdegegnerin stelle ihr spätestens nach der Publikation der zweiten Jahresrechnung im April 2012 eine Offerte auf Vertragsaufhebung. Auch dieses Argument erachtete die Vorinstanz nicht für überzeugend: Die Beschwerdegegnerin habe ausgeführt, aufgrund eines internen Versehens habe sie es während Jahren unterlassen, Rechnung zu stellen. Dass die Forderung unter diesen Umständen keinen Eingang in die Buchführung und die Jahresrechnung gefunden habe, wäre folgerichtig. Die Beschwerdeführerin könnte daraus aber nicht mehr ableiten als aus der unterlassenen Rechnungsstellung an sich, da sie nicht behaupte, das Fehlen entsprechender Buchungen in der Jahresrechnung zur Kenntnis genommen und als konkludenten Antrag verstanden zu haben.
Schliesslich sei, so die Vorinstanz, auch das Vorbringen der Beschwerdeführerin - gemäss Rechtsprechung und Lehre sei das Zuwarten von fünf Jahren mit der Geltendmachung eines Anspruchs unter Kaufleuten ein besonderer Umstand, der als konkludenter Antrag auf Aufhebung zu qualifizieren sei - in dieser Absolutheit unzutreffend. Neben einem passiven Verhalten des Gläubigers müssten zusätzliche besondere Umstände hinzutreten. Vorliegend sei die Situation anders. Die Beschwerdegegnerin habe nämlich ihre vertraglichen Dienste erbracht und habe sich damit gerade nicht passiv verhalten. Damit habe die unterlassene Rechnungsstellung die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin nicht zum Erlöschen gebracht. Die Forderung sei - unter Vorbehalt der Verjährung - durchsetzbar geblieben.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine mehrfache willkürliche Sachverhaltsfeststellung nach Art. 9 BV.
4.2.1. Sie macht geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht festgestellt, dass sie auch in ihrer Duplik weiterhin an ihrer Argumentation in der Klageantwort festhalte, wonach der Mandatsvertrag sogleich bei seinem Inkrafttreten aufgehoben, eventualiter widerrufen worden sei und sie in ihrer Duplik einzig anfüge, der Widerruf sei spätestens per Ende April 2012 erfolgt. Deshalb habe die Vorinstanz die für die Aufhebung sprechenden besonderen Umstände für die Zeitspanne bis Ende April 2012 nicht berücksichtigt.
Diese Rüge verfängt nicht. Die Vorinstanz prüfte, wie von der Beschwerdeführerin in ihrer Klageantwort geltend gemacht, zunächst eine Aufhebung des Mandatsvertrags " unmittelbar nach Abschluss " (E. 2.3.3). Eine solche verneinte sie (E. 2.3.3 erster Absatz in fine). Anschliessend (E. 2.3.3 zweiter Absatz und E. 2.3.4) prüfte sie, ob der Vertrag allenfalls zu einem späteren Zeitpunkt aufgehoben worden war. Sie verwies dazu ausdrücklich auf zwei der von der Beschwerdeführerin in ihrer Duplik vorgebrachten angeblichen "besonderen Umständen" (E. 2.3.4.1 und E. 2.3.4.2), wobei sie auch eine spätere Aufhebung als nicht gegeben erachtete. Die Beschwerdeführerin konkretisiert nicht, welche "besonderen Umstände" die Vorinstanz nicht berücksichtigt haben soll und was deren Berücksichtigung am Ergebnis ändern würde. Da die Vorinstanz sowohl eine unmittelbare Aufhebung als auch eine solche zu einem späteren Zeitpunkt prüfte, kann offenbleiben, ob die Beschwerdeführerin ihren ursprünglichen Standpunkt (unmittelbare Aufhebung) mit der Duplik abändern und für eine Aufhebung per Ende April 2012 argumentieren wollte oder ob es sich bei den Vorbringen in der Duplik lediglich um einen Eventualstandpunkt handelte.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin rügt weiter, aus den Ausführungen der Vorinstanz könne zu Unrecht der Schluss gezogen werden, die Parteien hätten während der von der Beschwerdegegnerin behaupteten Vertragsdauer bis zum 20. März 2019 von der E-Mail-Korrespondenz vom 7. Juli 2010 Kenntnis gehabt und dass sie auch die Klage und die Klageantwort mit Wissen um diese E-Mail-Korrespondenz verfasst hätten. Dies treffe nicht zu. Die Beschwerdegegnerin habe in ihrer Klage bloss ausgeführt, sie habe aufgrund eines internen Versehens während Jahren die Rechnungsstellung unterlassen und es seien ihr während der gesamten Laufzeit des Mandatsvertrags keine Fragen zur Market-Making-Tätigkeit gestellt worden. Daraus habe sie schliessen dürfen, die Beschwerdegegnerin sei selbst von der fehlenden Kommunikation zwischen den Parteien während der gesamten Laufzeit des Vertrags ausgegangen. Erst mit der Replik habe die Beschwerdegegnerin die E-Mail-Korrespondenz eingereicht.
Dieser Einwand geht fehl. Zunächst kann daraus, dass die Beschwerdegegnerin die fragliche E-Mail-Korrespondenz nicht bereits in ihrer Klage eingereicht hat, nicht abgeleitet werden, sie hätte nicht um diese gewusst. Um die Klage zu begründen, war es für die Beschwerdegegnerin nicht notwendig, diese E-Mail-Korrespondenz in der Klageschrift zu erwähnen. Erst nachdem die Beschwerdeführerin in der Klageantwort behauptete, der Vertrag sei sogleich nach seinem Inkrafttreten wieder aufgehoben worden, sah sich die Beschwerdegegnerin veranlasst, diese Behauptung zu bestreiten und als Beweis die fragliche Korrespondenz zu offerieren.
Wenn die Beschwerdeführerin unter Verweis auf E. 2.3.3 ausführt, die Vorinstanz sei davon ausgegangen, den Parteien sei der E-Mail-Verkehr während der gesamten Vertragsdauer bekannt gewesen, ist ihr nicht zu folgen. Der von ihr zitierten Passage ("Angesichts der gegenüber der Beklagten [mit der E-Mail] bestätigten Aufnahme ihrer Tätigkeit durfte die Beklagte aus der fehlenden Rechnungsstellung jedoch weder auf einen Willen der Klägerin, das Mandat aufzuheben, schliessen, noch bestand für die Klägerin Anlass, aus dem Stillschweigen der Beklagten einen Aufhebungswillen abzuleiten") ist nichts Derartiges zu entnehmen. Folglich ist keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung dargelegt.
4.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin des Weiteren beanstandet, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig zugunsten der Beschwerdegegnerin ergänzt, indem sie (in E. 2.3.4.2) angenommen habe, sie, die Beschwerdeführerin, hätte selbst eine Möglichkeit geschildert, die Aktivitäten an der SIX Swiss Exchange abzufragen, ist ihr ebenfalls nicht zu folgen. Da die Vorinstanz dies im Zusammenhang mit der offengelassenen Frage bemerkte, ob die Beschwerdeführerin nicht bereits aufgrund der Kursentwicklung ihrer Aktien ein Tätigsein der Beschwerdegegnerin hätte erkennen können, ist diese Aussage ohne Relevanz für den Ausgang des Verfahrens, was jedoch erforderlich wäre, um eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung zu begründen (E. 2 hiervor).
4.3. Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV.
4.3.1. Sie beanstandet, die Vorinstanz habe in E. 2.3.3 nicht ausgeführt, von welcher angeblich zwischen den Parteien unbestrittenen Konstellation sie ausgehe beziehungsweise sie begründe ihre Schlussfolgerung nicht.
4.3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 53 ZPO) verlangt, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 136 I 184 E. 2.2.1; 134 I 83 E. 4.1 mit Hinweisen). Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (BGE 143 III 65 E. 5.2; 142 III 433 E. 4.3.2; 141 III 28 E. 3.2.4).
4.3.3. Die Beschwerdeführerin scheint mit ihrem Vorbringen der Vorinstanz vorwerfen zu wollen, ihre Begründung sei unklar, weshalb sie diese nicht sachgerecht anfechten könne. Dies verfängt allerdings nicht. Wenn die Vorinstanz in E. 2.3.3 von der "gemäss unbestrittener Parteidarstellung gegebene[n] Konstellation" spricht, meint sie offensichtlich ihre in den dieser Erwägung vorangehenden E. 2.3.1 und E. 2.3.2 getroffenen Feststellungen, namentlich, dass die Parteien unbestrittenermassen einen Mandatsvertrag abgeschlossen haben (E. 2.3.2 in fine), und dass zwischen ihnen am 7. Juli 2010 eine E-Mail-Korrespondenz stattgefunden hat (E. 2.3.1).
4.4. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin die mehrfache Verletzung von Art. 8 ZGB und Art. 152 Abs. 1 ZPO.
4.4.1. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz habe gegen Art. 8 ZGB verstossen, indem sie - ohne Beweis abzunehmen - auf Vorbringen der Beschwerdegegnerin abgestellt habe, die von ihr bestritten worden seien. Die Vorinstanz gehe in E. 2.3.3 und E. 2.3.4.1 unter Heranziehung der E-Mail-Korrespondenz vom 7. Juli 2010 davon aus, dass die in Ziff. 2 des Mandatsvertrags statuierte Informationspflicht der Beschwerdegegnerin zu einer Pflicht zur Nachfrage ihrerseits abgeändert worden sei. Diese Behauptung habe die Beschwerdegegnerin in den Rz. 5-7 der Replik in das Verfahren eingeführt. Sie habe diese jedoch bestritten. Diese, aufgrund der Erwägungen der Vorinstanz, offensichtlich rechtserhebliche Tatsache sei indes unbewiesen geblieben. Trotzdem habe die Vorinstanz auf sie abgestellt.
Dieser Einwand beruht auf einem falschen Verständnis des angefochtenen Entscheids. Die Vorinstanz hielt in E. 2.4.3.3 fest, der Beschwerdegegnerin sei gemäss Ziff. 2 des Mandatsvertrags die Pflicht zugekommen, die Beschwerdeführerin "as required", d.h. - gemäss Vorinstanz - "nach Bedarf" oder "wie erforderlich", über Geschehnisse am Markt oder über Aktivitäten im Zusammenhang mit dem Gegenstand des Mandatsvertrags zu informieren. Mithin bejahte die Vorinstanz eine grundsätzliche Informationspflicht. Dass diese aufgehoben worden wäre, erwog die Vorinstanz - entgegen der Beschwerdeführerin - jedoch an keiner Stelle ihres Entscheids, namentlich nicht in den von der Beschwerdeführerin angeführten E. 2.3.3 und E. 2.3.4.1. Die Vorinstanz prüfte in diesen Erwägungen, ob der Mandatsvertrag aufgehoben wurde. Dazu nahm sie u.a. Bezug auf den E-Mail-Verkehr der Parteien vom 7. Juli 2010, worin die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin einlud, sich bei ihr zu melden, falls sie weitere Informationen zum Market Making wünsche, nachdem sich die Beschwerdeführerin zuvor bei der Beschwerdegegnerin über die Aufnahme der Tätigkeit erkundigt hatte (vgl. E. 4.1 hiervor in initio). Aus dieser Einladung der Beschwerdegegnerin schloss die Vorinstanz jedoch nicht, die Informationspflicht gemäss Ziff. 2 des Mandatsvertrags sei zu einer Nachfragepflicht der Beschwerdeführerin abgeändert worden. Demzufolge baut die Rüge auf einem unzutreffenden Sachverhalt auf, weshalb ihr von vornherein kein Erfolg beschieden ist.
4.4.2. Die Beschwerdeführerin rügt ferner, die Vorinstanz habe eine weitere Verletzung des Rechts auf Beweis gemäss Art. 8 ZGB und zusätzlich eine solche von Art. 152 Abs. 1 ZPO begangen, indem sie einerseits die Frage offengelassen habe, ob die Market-Making-Tätigkeit nach aussen ersichtlich gewesen sei, andererseits jedoch angenommen habe, sie, die Beschwerdeführerin, hätte die Tätigkeit erkennen können. So habe die Vorinstanz in E. 2.3.4.1 die Frage, ob die Market-Making-Tätigkeit für sie ersichtlich gewesen sei, ausdrücklich ungeklärt gelassen. Demgegenüber habe sie in E. 2.3.4.3 ausgeführt, dass die Beschwerdegegnerin ihre vertraglichen Dienste weiterhin erbracht habe. In E. 2.3.3 habe die Vorinstanz erwogen, von einer umgehenden stillschweigenden Aufhebung des Mandatsvertrags könne nicht die Rede sein. Daran anschliessend habe sie ausgeführt, die Beschwerdegegnerin habe in der Folge ihre Aktivitäten fortgesetzt. Nachdem die Frage der Erkennbarkeit des Market Making offensichtlich eine rechtserhebliche bestrittene Tatsache gewesen sei, hätte die Vorinstanz darüber Beweis führen lassen und die offerierten Beweismittel abnehmen müssen.
Diese Rüge verfängt ebenfalls nicht. Gegenstand des Beweises sind rechtserhebliche, streitige Tatsachen (Art. 150 Abs. 1 ZPO). Die Vorinstanz liess die Frage, ob das Market Making für die Beschwerdeführerin erkennbar war, in E. 2.3.4.1 ausdrücklich offen. Dies zeigt, dass sie dies nicht als rechtserheblich erachtete. Aus den von der Beschwerdeführerin zitierten übrigen Passagen aus E. 2.3.3 und E. 2.3.4.3 ergibt sich nicht, dass die Vorinstanz annahm, die Beschwerdeführerin hätte das Market Making erkennen können. Insofern ist in ihrem Vorgehen keine Verletzung des Rechts auf Beweis zu erblicken.
4.4.3. Die Beschwerdeführerin führt sodann ins Feld, die Vorinstanz habe in E. 2.3.4.1 unterstellt, die Entwicklung des Börsenkurses ihrer Namenaktien sei relevant und sie hätte anhand der Kursentwicklung die Market-Making-Tätigkeit nachverfolgen können. Dies, obschon die Vorinstanz die Frage der Erkennbarkeit des Market Making offengelassen habe. Damit sei die Vorinstanz - trotz Bestreitung ihrerseits - den Vorbringen der Beschwerdegegnerin gefolgt, was eine Verletzung von Art. 8 ZGB darstelle.
Soweit vorliegend von Interesse, erwog die Vorinstanz Folgendes: " [...] Es kann dahingestellt bleiben, ob die Beklagte angesichts der einer börsenkotierten Gesellschaft notorisch bekannten Kursentwicklung ihrer Aktien und aufgrund der von ihr selbst dargestellten Möglichkeit, die Aktivitäten an der SIX abzufragen, nicht bereits Anlass hatte, auf ein Tätigsein der Klägerin zu schliessen. [...] ". Daraus könnte zwar abgeleitet werden, die Vorinstanz halte es für möglich, dass die Beschwerdeführerin aus der Kursentwicklung die Market-Making-Tätigkeit der Beschwerdegegnerin hätte erkennen können. Die Beschwerdeführerin legt jedoch nicht dar, und es ist auch nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz an anderer Stelle ihres Entscheids die Erkennbarkeit der Market-Making-Tätigkeit gestützt auf den Kursverlauf zugrunde gelegt hätte.
4.4.4. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich, die Vorinstanz habe die fehlende Rechnungsstellung bei der Beurteilung in der Zeit nach dem 7. Juli 2010 (E-Mail-Korrespondenz) unberücksichtigt gelassen. Aus E. 2.3.4.2 ergebe sich, dass die Vorinstanz einzig die einmalige fehlende Rechnungsstellung für das erste Quartal nach dem Abschluss des Mandatsvertrags, das heisst für Juli bis September 2010, bei der Prüfung der Vertragsaufhebung in Betracht gezogen habe. Damit habe sie das Recht auf Beweis nach Art. 8 ZGB und Art. 152 Abs. 1 ZPO sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 BV verletzt.
Auch diesem Einwand ist kein Erfolg beschieden. In E. 2.3.4.2 setzte sich die Vorinstanz mit der Rüge der Beschwerdeführerin auseinander, die Beschwerdegegnerin habe die Forderung gegen sie nicht verbucht, woraus ersichtlich sei, dass eine solche nicht bestanden habe (E. 4.1 hiervor). Hierzu hielt sie - soweit für den Einwand der Beschwerdeführerin relevant - fest, dass "[d]as allfällige Fehlen entsprechender Buchungen sowohl auf Seiten der Klägerin als auch auf Seiten der Beklagten [...] nichts Zusätzliches zu der bereits festgestellten Konstellation bei[trüge], dass die Klägerin ihre Tätigkeit aufnahm, ohne den Eingang der Vergütung für das erste Quartal (Juli-September 2010) abzuwarten (vgl. oben Ziff. 2.3.3) ". Dieses Zitat zeigt, dass die Frage nach der Relevanz der Rechnungsstellung gar nicht Thema dieser Erwägung war. Mit dieser setzte sich die Vorinstanz bereits vorher in E. 2.3.3 auseinander, auf die sie hier ausdrücklich verwies. An jener Stelle handelt sie die unterlassene Rechnungsstellung während der gesamten behaupteten Laufzeit des Mandatsvertrags ab.
4.4.5. Dem Gesagten zufolge vermag die Beschwerdeführerin mit ihren Rügen gegen die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Mandatsvertrag weder sogleich noch zu einem späteren Zeitpunkt (konkludent) aufgehoben wurde, nicht durchzudringen.
5.
Zu prüfen ist weiter, ob die Beschwerdeführerin den Mandatsvertrag bereits vor der unbestrittenen Kündigung vom 20. März 2019 (einseitig) widerrief.
5.1. Die Vorinstanz verneinte dies. Sie erwog, die Beschwerdeführerin berufe sich eventualiter auf Art. 404 Abs. 1 OR und Ziff. 5 des Mandatsvertrags sowie ihren konkludent per 1. Juli 2010, spätestens per Ende April 2012, zum Ausdruck gebrachten Widerruf des Auftrags. Die Parteien hätten im Mandatsvertrag unter Ziff. 5 ein jederzeitiges Kündigungsrecht vorgesehen, wobei eine mündliche Mitteilung, gefolgt von einer schriftlichen Bestätigung innert zwei Tagen, genügen sollte. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdeführerin behaupte nicht, sie habe den Widerruf gegenüber der Beschwerdegegnerin erklärt. Sie berufe sich einzig auf unterlassene Handlungen ihrerseits, nämlich die Nichtbezahlung der ersten und 33 weiteren Raten, das Nichtverlangen von Bankkontodaten oder Informationen und das Nichterteilen von Weisungen. Aus der blossen Passivität der Beschwerdeführerin habe die Beschwerdegegnerin nicht auf einen Willen zum Widerruf des Mandatsvertrags schliessen müssen.
5.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet auch diese Erwägungen in mehrfacher Hinsicht.
5.2.1. Sie rügt, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Die Vorinstanz habe nicht begründet, weshalb die Beschwerdegegnerin aus ihrer Passivität nicht auf den Willen zum Widerruf des Mandats habe schliessen müssen.
Dieser Einwand geht fehl. Den Erwägungen der Vorinstanz ist zu entnehmen, dass sie diese Schlussfolgerung aufgrund einer Auslegung des Verhaltens der Beschwerdeführerin nach dem Vertrauensprinzip traf. Der Beschwerdeführerin ist es aufgrund dieser Begründung ohne Weiteres möglich, den Entscheid anzufechten, wozu die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Begründungspflicht dienen soll (vgl. E. 4.3.2 hiervor). Insofern liegt keine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV vor.
5.2.2. Die Beschwerdeführerin moniert weiter, es sei aktenwidrig, wenn die Vorinstanz ausführe, sie habe nicht behauptet, den Widerruf gegenüber der Beschwerdegegnerin erklärt zu haben. Sie habe in der Klageantwort ausgeführt, sie habe durch mehrere konkludente Handlungen ihren Willen zum Widerruf unmissverständlich kundgetan.
Die Beschwerdeführerin kann aus dieser Aussage der Vorinstanz nichts zu ihren Gunsten ableiten. Aus den Erwägungen ergibt sich nämlich, dass die Vorinstanz einerseits zwischen (ausdrücklichen) Erklärungen und konkludentem Verhalten unterschied. Die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten unterlassenen Handlungen ordnete sie Letzterem zu und schloss, dass die Beschwerdegegnerin aus der blossen Passivität der Beschwerdeführerin keinen auf den Widerruf des Vertrags gerichteten Willen habe ableiten müssen. Die Vorinstanz verwendete mithin bloss eine andere Terminologie; in der Sache änderte sich dadurch jedoch nichts.
5.2.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet ferner, die Vorinstanz habe sich bei der Prüfung, ob ein konkludenter Widerruf vorgelegen habe, mit den besonderen Umständen, die zum passiven Verhalten hinzugekommen seien und gesamthaft für einen Widerruf sprächen, nicht auseinandergesetzt. Es sei nicht nachvollziehbar, weshalb sie in E. 2.7.3 den 33 nie geleisteten Ratenzahlungen über mehrere Jahre eine Bedeutung beimesse (" stillschweigend vereinbarter Verzicht "; Hervorhebung im Original), jedoch dies im Zusammenhang mit einer konkludenten Widerrufserklärung bedeutungslos sein solle, wenn doch über mehrere Jahre weitere besondere Umstände vorlägen.
Diese Rüge der Nichtberücksichtigung der besonderen Umstände brachte die Beschwerdeführerin bereits bei der Prüfung vor, ob der Mandatsvertrag (konsensual) aufgehoben worden ist (vgl. E. 4.2.1 hiervor). Auch betreffend den (einseitigen) Widerruf ist dieser Rüge kein Erfolg beschieden: In ihrer E. 2.3.5 hielt die Vorinstanz nämlich fest, die Beschwerdeführerin berufe sich "auf ihren konkludent per 1. Juli 2010 (spätestens per Ende April 2012) zum Ausdruck gebrachten Widerruf des Auftrags". Dazu verwies sie sowohl auf die Klageantwort als auch auf die Duplik. Mithin kann der Vorinstanz auch mit Blick auf den Widerruf nicht vorgeworfen werden, sie hätte die Zeitspanne bis Ende April 2012 unbeachtet gelassen.
Der Verweis auf E. 2.7.3 ist unbehelflich. Die Vorinstanz hatte dort die Frage zu beurteilen, ab wann die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin Verzugszins schuldet. Die Vorinstanz hielt dazu unter anderem fest, die Beschwerdegegnerin habe unbestrittenermassen ihre vertragliche Hauptpflicht, das Market Making, während der gesamten Laufzeit des Vertrags erbracht, ohne die gemäss Mandatsvertrag vorschüssig zu bezahlende Vergütung einzufordern. Die Beschwerdegegnerin habe damit ein Verhalten an den Tag gelegt, das nach der allgemeinen Lebenserfahrung und der Verkehrsanschauung den Schluss auf einen Willen zum Verzicht auf ihr Recht auf Vorausvergütung begründet erscheinen lasse. Nur insoweit sei von einem stillschweigend vereinbarten Verzicht auszugehen. Die Vorinstanz schloss aus dem passiven Verhalten der Beschwerdegegnerin (keine Rechnungsstellung), diese verzichte darauf, die Bezahlung vorschüssig zu erhalten. Entgegen der Beschwerdeführerin äusserte sich die Vorinstanz damit nicht zu den nicht geleisteten Ratenzahlungen. Diese waren nicht von Belang, da es ausschliesslich zu beurteilen galt, ob dem Verhalten der Beschwerdegegnerin ein auf den Verzicht der Vorausvergütung gerichteter Wille entnommen werden konnte.
5.2.4. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich, die Vorinstanz sei aufgrund der E-Mail-Korrespondenz vom 7. Juli 2010 (wenn auch fälschlicherweise) von einer Nachfragepflicht ihrerseits statt von einer Informationspflicht der Beschwerdegegnerin ausgegangen. Wenn dem so wäre und die Prüfung, ob eine konkludente Willenserklärung vorliege, zwingend seitens eines objektiven Erklärungsempfängers vorzunehmen wäre, dann sei unverständlich, weshalb die nach dem 7. Juli 2010 unbestritten während Jahren fehlende Nachfrage ihrerseits nicht zu Gunsten des konkludenten Widerrufs des Mandatsvertrags sprechen solle. Dies stelle eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nach Art. 29 Abs. 2 BV dar.
Diese Rüge ist ebenfalls unbehelflich. Sie gründet nämlich auf einem falschen Verständnis des vorinstanzlichen Entscheids. Wie bereits in E. 4.4.1 hiervor erwähnt, ging die Vorinstanz nicht davon aus, dass die Informationspflicht der Beschwerdegegnerin durch eine Nachfragepflicht ersetzt worden sei. Die Beschwerdegegnerin bot der Beschwerdeführerin in ihrer E-Mail vom 7. Juli 2010 lediglich an, ihr auf Nachfrage weitere Auskünfte zu erteilen. Von diesem "Recht", weitere Angaben zu erfragen, ist die Pflicht der Beschwerdegegnerin zu unterscheiden, gemäss Ziff. 2 des Vertragstexts, die Beschwerdeführerin "as required" über Ereignisse am Markt und Aktivitäten im Zusammenhang mit dem Market Making zu informieren. Insofern kann die Beschwerdeführerin aus der fehlenden Nachfrage ihrerseits bei der Beschwerdegegnerin keinen auf Widerruf des Vertrags gerichteten Willen ableiten.
6.
Zusammenfassend ging die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht davon aus, dass der Mandatsvertrag bis zur unbestrittenen Kündigung durch die Beschwerdeführerin am 20. März 2019 Bestand hatte.
7.
Umstritten ist sodann, ob die Beschwerdegegnerin ihre Pflichten unter dem Mandatsvertrag verletzte.
7.1. Soweit die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe in E. 2.2.1 unzutreffend festgehalten, worüber sich die Parteien mit Blick auf den Inhalt des Mandatsvertrags einig gewesen seien, ist ihre Rüge unbehelflich. Die Vorinstanz erwog diesbezüglich ausschliesslich, die Parteien stimmten darin überein, dass sie den Mandatsvertrag abgeschlossen hätten, wann dieser abgeschlossen wurde und dass auf ihn die Vorschriften des Obligationenrechts über den Auftrag anwendbar seien. Die Richtigkeit dieser Feststellungen bestreitet die Beschwerdeführerin nicht. Dass die Parteien über weitere Punkte einig gewesen wären, hielt die Vorinstanz nicht fest. Vielmehr gab sie in E. 2.2.1 lediglich den Inhalt der Präambel des Mandatsvertrags sowie dessen Ziffern 1-4 vom Englischen ins Deutsche übersetzt wieder. Daraus kann nicht abgeleitet werden, die Vorinstanz habe weitere Feststellungen zum unbestrittenen Sachverhalt getätigt, zumal sie explizit auf den Mandatsvertrag (z.B. "act. 3/2 S. 1", "Ziff. 1") und nicht auf Fundstellen in den Rechtsschriften verwies, was sie in ihren übrigen Ausführungen im Urteil stets tat, wenn sie sich auf Aussagen der Parteien abstützte (z.B. "act. 1 S. 5, 10; act 13 S. 7" in E. 2.2.2).
7.2. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin sei der Meinung, die Beschwerdegegnerin habe das Market Making entgegen der vertraglichen und gesetzlichen Verpflichtung nicht persönlich, sondern durch algorithmisches Handeln vorgenommen. Die Beschwerdeführerin werfe der Beschwerdegegnerin damit keine unzulässige Substituierung vor. Vielmehr stütze sie sich auf Ziff. 2.1 des Mandatsvertrags. Dort hätten die Parteien mit C._ und D._ zwei Kontaktpersonen auf Seiten der Beschwerdegegnerin bezeichnet. Eine Pflicht zur persönlichen Ausführung des Auftrags durch diese beiden Personen könne aus dieser Bestimmung indessen nicht abgeleitet werden. Sie seien ausschliesslich Ansprechpersonen für die Beschwerdeführerin gewesen. Im Vertragstext würden keine Personen genannt, die innerhalb der Beschwerdegegnerin das Market Making durchführen sollten. Es verstehe sich auch von selbst, dass in einer arbeitsteilig organisierten Unternehmung die auf den Börsenhandel spezialisierten Mitarbeiter diese Aufgabe wahrnähmen. Inwiefern sie sich dabei technischer Hilfsmittel bedienten, könne offenbleiben, soweit die Mandatsführung mit der vorausgesetzten Sorgfalt erfolge.
7.3. Die Beschwerdeführerin moniert eine mehrfache offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung.
7.3.1. Sie beanstandet zunächst, die Vorinstanz habe aktenwidrig festgestellt, sie habe der Beschwerdegegnerin keine unzulässige Substituierung vorgeworfen. Dies treffe nicht zu. Sie habe der Beschwerdegegnerin den Einsatz eines Algorithmus vorgehalten, der mit dem Einsatz eines Roboters gleichzusetzen sei. Die Beschwerdegegnerin habe den Einsatz des Algorithmus nicht bestritten und damit anerkannt. Die Vorinstanz müsse deshalb davon ausgehen, dass die Beschwerdegegnerin einen Algorithmus eingesetzt habe. Damit liege eine Substituierung vor und die Beschwerdegegnerin habe zu beweisen, dass eine solche in Abweichung von Art. 398 Abs. 3 OR zulässig gewesen sei.
Die Beschwerdeführerin scheint davon auszugehen, die Beschwerdegegnerin habe einen in ein Computerprogramm implementierten Algorithmus verwendet, um das Market Making auszuführen. Als Dritter im Sinne von Art. 398 Abs. 3 OR ist eine andere natürliche oder juristische Person gemeint. Dies ergibt sich etwa daraus, dass der Auftraggeber gemäss Art. 399 Abs. 3 OR Ansprüche, die dem Beauftragten gegen den Dritten zustehen, unmittelbar gegen diesen geltend machen kann. Dies setzt voraus, dass dem Dritten Rechtspersönlichkeit zukommt. Die Verwendung von Hilfsmitteln, wie beispielsweise eines Computers mit entsprechender Software, die das Market Making automatisiert durchführt, stellt keine Substitution dar, da diesen Hilfsmitteln keine Rechtspersönlichkeit zukommt. Insofern hat die Vorinstanz kein Recht verletzt, wenn sie das Vorbringen der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin habe einen Algorithmus eingesetzt, nicht als Vorwurf der unzulässigen Substitution interpretierte.
7.3.2. Die Beschwerdeführerin moniert ferner, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Klage selbst anerkannt habe, C._ und D._ seien für das Market Making zuständig gewesen. Die Vorinstanz halte lediglich mit Verweis auf die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zur Duplik fest, diese habe eine vertragliche Beschränkung auf persönliche Ausführung des Market Making durch die Mitarbeiter C._ und D._ bestritten.
Dieses Argument geht ins Leere. Zwar trifft es zu, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Klage (Rz. 19) ausführte, C._, E._, F._ und D._ seien für die Market-Making-Aktivitäten zuständig gewesen. Diese Behauptung widerspricht jedoch nicht der von der Vorinstanz aus der Stellungnahme zur Duplik zitierten Aussage der Beschwerdegegnerin, wonach eine vertragliche Beschränkung auf persönliche Ausführung des Mandats durch die Mitarbeiter C._ und D._ nicht vereinbart worden sei. Waren C._ und D._ für das Market Making zuständig, bedeutet das nicht ohne Weiteres, dass diese das Market Making persönlich ausführen mussten.
7.3.3. Die Beschwerdeführerin rügt sodann, es sei nicht nachvollziehbar, weshalb die Vorinstanz C._ und D._ lediglich als Kontakt- beziehungsweise Ansprechpersonen bezeichnet und nicht mehr wie in E. 2.2.1 als zuständige Personen. Obwohl C._ und D._ sowohl im Mandatsvertrag als auch von der Beschwerdegegnerin als zuständige Personen für das Market Making bezeichnet worden seien, gehe die Vorinstanz davon aus, diese seien nicht dafür zuständig gewesen. Damit lege die Vorinstanz ihren Erwägungen eine Interpretation zugrunde, die keine der Parteien behauptet habe.
Die Vorinstanz bezog sich ausdrücklich auf den Wortlaut des Mandatsvertrags. In dessen Ziff. 2.1 steht, "Contact persons at Bank B._ [= Beschwerdegegnerin] are [...]". Insofern ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz C._ und D._ als Kontaktpersonen bezeichnete. Daraus, dass die Vorinstanz in E. 2.2.1 mit Blick auf Ziff. 2.1 des Mandatsvertrags von "zuständigen Personen" sprach, vermag die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Wie in E. 7.3.2 hiervor erwähnt, bedeutet Zuständigkeit einerseits nicht zwingend, dass die Leistung vom genannten Mitarbeiter persönlich erbracht werden müsste. Andererseits bezog sich die Passage in E. 2.2.1 auf Ziff. 2.1 des Vertragstexts, die unter dem Titel "2. Coordination" steht. Daraus erhellt, dass die Vorinstanz damit die Zuständigkeit für die Koordination und nicht die Zuständigkeit für die geschuldete Tätigkeit, das Market Making, meinte. Da Zuständigkeit nicht mit einer Pflicht zur persönlichen Ausführung gleichgesetzt werden kann, ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz eine Interpretation vertrat, die keine der Parteien behauptete.
7.4. Die Vorinstanz führte weiter aus, die Beschwerdeführerin moniere, die Beschwerdegegnerin habe unsorgfältig gehandelt. Deshalb entfalle ihr Honoraranspruch.
7.4.1. Wird ein Auftrag nicht sorgfältig ausgeführt, kann dies zu einer Herabsetzung der Vergütung als vertraglicher Gegenleistung im Sinne von Art. 394 Abs. 3 OR führen. Wenn das Ergebnis des unsorgfältigen Beauftragten für den Auftraggeber vollständig unbrauchbar ist, schuldet er diesem gar keine Vergütung (BGE 124 III 423 E. 4a; Urteile 4A_412/2019 vom 27. April 2020 E. 8.3.1; 4A_658/2015 vom 30. März 2016 E. 3.1; 4A_364/2013 vom 5. März 2014 E. 14.1; je mit Hinweisen). Sowohl die Verletzung der Sorgfaltspflicht als auch die (teilweise oder vollständige) Unbrauchbarkeit des Ergebnisses hat der Auftraggeber zu beweisen (zum Ganzen Urteil 4A_353/2020 vom 19. Januar 2021 E. 2.1 m.H.).
7.4.2. Die Vorinstanz erwog, entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin, habe die Beschwerdegegnerin keine Vertragsverletzung begangen, indem die Spanne zwischen Angebot und Nachfrage (nachfolgend: Spread) der Namenaktien der Beschwerdeführerin teilweise den vertraglich vereinbarten Grenzwert überschritten habe. Bereits aus dem Wortlaut des Mandatsvertrags ergebe sich, dass die Beschwerdegegnerin zwar einen "bid-ask spread" von weniger als 5 % anstreben sollte (" shall seek "), jedoch nicht verpflichtet gewesen sei, diesen jederzeit zu garantieren. Überdies mache die Beschwerdeführerin für die Zeit ab 1. Januar 2015, für welche die Beschwerdegegnerin eine Entschädigung geltend mache, keine Überschreitungen des Spreads geltend.
Die Vorinstanz hielt weiter fest, auch eine Verletzung des Mandatsvertrags wegen angeblichen Nichteinhaltens der Mindestauftragsgrösse sei nicht nachgewiesen. Die Beschwerdeführerin substanziiere "beispielhaft" fünf Daten, wovon drei ausserhalb der vorliegend relevanten Zeitspanne (ab 1. Januar 2015) lägen. Sie konkretisiere allerdings nicht, inwiefern diese Transaktionen unter den gegebenen Umständen den vertraglichen Vorgaben widersprochen hätten. Eine Reduktion des Honorars komme aber auch deshalb nicht in Betracht, weil sie nicht darlege, inwiefern durch das angebliche Nichteinhalten der Auftragsgrösse bei einzelnen Transaktionen die Brauchbarkeit der mehrere tausend Transaktionen umfassenden Leistung eingeschränkt gewesen wäre.
Die Vorinstanz verwarf sodann die Rüge der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin habe die Tätigkeit erst am 7. Juli 2010 (statt am 1. Juli 2010) und damit sechs Tage zu spät aufgenommen. Bereits mit Blick auf den Äquivalenzgedanken zwischen der Leistung des Beauftragten und dem Entgelt des Auftraggebers sei nicht angebracht, das Honorar zu reduzieren. Überdies betreffe der Vorwurf eine Zeitspanne, die ausserhalb jenes Zeitraums liege, für den die Beschwerdegegnerin die Vergütung verlange.
Schliesslich verneinte die Vorinstanz die angebliche Verletzung von Ziff. 2 des Mandatsvertrags, indem es die Beschwerdegegnerin unterlassen habe, regelmässig über den Gang des Market Making zu informieren. Entgegen der Beschwerdeführerin ergebe sich aus Ziff. 2 des Mandatsvertrags keine Pflicht zur regelmässigen Berichterstattung. Vielmehr sei die Auskunftserteilung von Marktereignissen abhängig gemacht worden. Die Beschwerdeführerin führe nicht aus, dass und inwiefern konkrete Geschehnisse am Markt oder Aktivitäten im Zusammenhang mit dem Mandat eine Informationspflicht der Beschwerdegegnerin ausgelöst hätten. Hinzu komme, dass sie nicht näher darlege, inwiefern die Mandatsführung aufgrund der unterlassenen Informationen insgesamt als unkorrekt und unbrauchbar zu qualifizieren wäre und entsprechend ihr Honorar gänzlich entfallen sollte.
7.4.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet das Ergebnis der Vorinstanz, wonach keine Unsorgfalt der Beschwerdegegnerin bei der Ausführung des Auftrags nachgewiesen sei.
7.4.3.1. Zunächst bringt sie vor, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Sie habe einerseits festgehalten, aus dem Wortlaut von Ziff. 1 des Mandatsvertrags ergäbe sich, dass die Beschwerdegegnerin einen "bid-ask-spread" von weniger als 5 % anstreben sollte, jedoch nicht verpflichtet gewesen sei, diese Spanne jederzeit zu garantieren. Im folgenden Satz habe die Vorinstanz ausgeführt, selbst wenn in der Zeit zwischen dem 1. Mai 2011 und Januar 2013 grössere Spreads zu verzeichnen gewesen seien, könne dies der Beschwerdegegnerin nicht ohne Weiteres als pflichtwidrige Vertragsausführung angelastet werden. Diese widersprüchliche Schlussfolgerung habe die Vorinstanz nicht begründet, denn sie lasse die weiteren während dieser Zeitspanne vorhandenen Vertragsverletzungen völlig ausser Acht.
Dieser Einwand ist untauglich. Zunächst ist nicht ersichtlich, inwiefern sich die beiden von der Beschwerdeführerin wiedergegebenen Sätze aus E. 2.4.3.2 widersprechen. War die Beschwerdegegnerin nicht verpflichtet, den Spread jederzeit zu garantieren, erhellt daraus ohne Weiteres, dass einzelne Überschreitungen der 5 %-Marke nicht per se eine Vertragsverletzung darstellen. Ersteres begründete die Vorinstanz mit dem Wortlaut von Ziff. 1 des Mandatsvertrags, Letzteres ist eine Folgerung daraus. Inwiefern es dazu einer näheren Begründung bräuchte, legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Nicht nachvollziehbar ist sodann, welche weiteren (ungenannten) Vertragsverletzungen die Vorinstanz ausser Acht gelassen haben soll.
7.4.3.2. Weiter rügt die Beschwerdeführerin in zweifacher Hinsicht eine Verletzung der Beweislastverteilung.
7.4.3.2.1. Erstens halte die Vorinstanz fest, dem Grundsatz nach habe gemäss Ziff. 2.1 des Mandatsvertrags eine Informationspflicht der Beschwerdegegnerin bestanden (vgl. E. 4.4.1 hiervor). Sei unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin nie zu konkreten Geschehnissen am Markt oder Aktivitäten im Zusammenhang mit dem Mandat informiert habe, habe die Beschwerdegegnerin und nicht sie nachzuweisen, dass keine Information erforderlich gewesen sei. Überdies habe sie sogar den Gegenbeweis erbracht, dass die Erforderlichkeit zu informieren, mehrfach bestanden habe. Dies ergebe sich aus der vorinstanzlichen E. 2.4.3.2 sowie Rz. 50 der Duplik.
Dieser Einwand geht fehl. Nach der allgemeinen Beweislastverteilungsregel von Art. 8 ZGB hat grundsätzlich derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Die Beschwerdeführerin erachtete im Unterlassen der Information durch die Beschwerdegegnerin eine Vertragsverletzung. Daraus leitete sie einen Anspruch auf Wegfall des Honorars ab. Folglich oblag es ihr, da vorliegend keine zu Art. 8 ZGB gegenteilige Beweislastverteilungsregel eingreift, die Vertragsverletzung zu beweisen. Dies gelang ihr nach der Vorinstanz nicht. Entgegen ihren Vorbringen erbrachte sie auch nicht den "Gegenbeweis": Weder aus E. 2.4.3.2, vierter Absatz, noch aus Rz. 50 ihrer Duplik ergibt sich Derartiges. Beide Passagen handeln davon, dass die Beschwerdeführerin fünf Daten nennt, an denen die Beschwerdegegnerin angeblich die Mindestauftragsgrösse nicht eingehalten habe. Die Beschwerdeführerin legt vor Bundesgericht nicht dar, inwiefern sich aus diesen beiden Passagen ergeben soll, dass sie den Beweis der Verletzung der Informationspflicht durch die Beschwerdegegnerin erbracht hätte.
7.4.3.2.2. Zweitens beanstandet die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe ihr - trotz unbestrittener Verletzung der Informationspflicht durch die Beschwerdegegnerin - die Beweislast für die Unbrauchbarkeit der Mandatsführung auferlegt. Die Vorinstanz sei gar davon ausgegangen, die Brauchbarkeit des Market Making sei einzig anhand der von der Beschwerdegegnerin eingereichten zwei Beweismittel act. 3/11 und act. 3/15 nachgewiesen, was sie als falsch gerügt habe.
Diese Vorbringen sind in doppelter Hinsicht unzutreffend. Zum Einen ist die Verletzung der Informationspflicht nicht unbestritten, was die Vorinstanz in E. 2.4.3.3 in initio ausdrücklich festhielt. Zum Anderen ging die Vorinstanz nicht davon aus, die Brauchbarkeit des Market Making sei nachgewiesen. Sie hielt primär fest, die Beschwerdeführerin habe die Unbrauchbarkeit der Leistung nicht nachgewiesen. Betreffend die Frage nach dem Unterschreiten der Mindestauftragsgrösse ergänzte die Vorinstanz - im Sinne einer Eventualbegründung -, selbst wenn einige Transaktionen die vereinbarte Mindestauftragsgrösse nicht erreicht hätten, sei nicht ersichtlich, weshalb die gesamte - tausende von Transaktionen umfassende - Mandatsführung nicht zu entschädigen wäre (E. 7.4.2 hiervor). Daraus kann keineswegs abgeleitet werden, die Vorinstanz wäre davon ausgegangen, die Beschwerdegegnerin hätte die Brauchbarkeit der Leistung nachgewiesen. Entscheidend ist indes, dass die Vorinstanz die Beweislast korrekt verteilte. Die Beschwerdeführerin hatte als Auftraggeberin nachzuweisen, dass das Ergebnis der Auftragsbesorgung durch die Beschwerdegegnerin unbrauchbar war (vgl. E. 7.4.1 hiervor). Insofern ist die vorinstanzliche Beweislastverteilung auch in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
7.4.3.3. Ferner rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe die in Ziff. 2 des Mandatsvertrags festgeschriebene Informationspflicht zu Unrecht als blosse Nebenpflicht qualifiziert. Sei die Tätigkeit des Beauftragten für den Auftraggeber nicht erkennbar, habe jener regelmässig über sein Tätigsein zu informieren, da der Auftraggeber ansonsten keine Weisungen erteilen könne und den Auftrag nicht ausdrücklich kündigen könne. Es sei widersprüchlich, wenn die Vorinstanz die vertragsmässige Vornahme des Market Making richtigerweise den Hauptpflichten zuordne, die regelmässige Mitteilung darüber jedoch eine Nebenpflicht sein solle. Hätte die Vorinstanz die Informationspflicht richtigerweise als Hauptpflicht qualifiziert, könnte sie dem Vergütungsanspruch entgegengehalten werden. Da die Informationspflicht unbestrittenermassen verletzt worden sei, hätte die Vorinstanz den Anspruch auf Vergütung gänzlich verneinen müssen.
Entgegen der Beschwerdeführerin erwog die Vorinstanz nicht, dass die Informationspflicht "unbestrittenermassen verletzt" worden sei. Im Gegenteil verneinte sie eine solche Verletzung in E. 2.4.3.3 (dazu E. 7.4.2 hiervor). Die Beschwerdeführerin bringt nicht vor, inwiefern die Vorinstanz zu Unrecht eine Verletzung der Informationspflicht verneint haben soll. Vielmehr rügte sie in diesem Zusammenhang bloss (und zu Unrecht) eine Verletzung der Beweislastverteilung. Ist keine Verletzung der Informationspflicht erstellt, kann die Frage der rechtlichen Qualifikation derselben offenbleiben. Demnach ist auch dieser Rüge kein Erfolg beschieden.
7.4.3.4. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich (ohne nähere Begründung) beanstandet, bei der Prüfung der Unsorgfalt lasse die Vorinstanz die unzulässige Verwendung des Algorithmus ausser Acht, ist ihr ebenfalls nicht zu folgen. Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz in E. 2.4.2 brachte die Beschwerdeführerin den Einwand der angeblich unzulässigen Verwendung eines Algorithmus vor, um eine Verletzung der Pflicht zur persönlichen Auftragsbesorgung zu behaupten. In diesem Kontext befasste sich die Vorinstanz denn auch mit dem Vorbringen (dazu E. 7.2 hiervor). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, weshalb die Vorinstanz die (angebliche) Verwendung eines Algorithmus auch bei der Prüfung, ob die Beschwerdegegnerin den Spread und die Mindestauftragsgrösse teilweise nicht eingehalten (E. 2.4.3.2) und die Informationspflicht verletzt haben soll (E. 2.4.3.3), hätte berücksichtigen müssen beziehungsweise sie Derartiges in ihren Eingaben vorgebracht hätte. Ohnehin war die Verwendung des Algorithmus nicht unzulässig, was der Rüge den Boden entzieht.
8.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel