Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führte eine Strafuntersuchung gegen A._. Dieser wurde am 3. Oktober 2021 verhaftet und vom Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 5. Oktober 2021 für zwölf Wochen bis zum 28. Dezember 2021 in Untersuchungshaft versetzt. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2021 reduzierte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Dauer der Untersuchungshaft um sechs Wochen und bestätigte diese lediglich bis zum 16. November 2021. Mit Verfügung vom 19. November 2021 verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft um vier Wochen bis zum 14. Dezember 2021. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ erneut an das Appellationsgericht. Mit Entscheid vom 20. Dezember 2021 wies das Gericht seine Beschwerde ab.
B.
Bereits vor diesem Entscheid des Appellationsgerichts hatte das Zwangsmassnahmengericht mit Verfügung vom 17. Dezember 2021 die Untersuchungshaft um weitere vier Wochen bis zum 14. Januar 2022 verlängert. Am 7. Januar 2022 erhob die Staatsanwaltschaft beim Strafgericht des Kantons Basel-Stadt Anklage gegen A._ wegen räuberischen Diebstahls in Mittäterschaft (eventualiter Angriffs) und Sachbeschädigung in Mittäterschaft sowie mehrfacher rechtswidriger Einreise und rechtswidrigen Aufenthalts. Sie wirft ihm im Wesentlichen vor, er habe zusammen mit dem Mitbeschuldigten B._ und unbekannten Kollegen am 3. Oktober 2021 in den frühen Morgenstunden C._ das Portemonnaie gestohlen und in der Folge Gewalt gegen diesen angewandt, wobei dessen Jacke beschädigt worden sei. C._ habe beim Vorfall zudem leichte Verletzungen erlitten. Mit Verfügung vom 13. Januar 2022 ordnete das Zwangsmassnahmengericht Sicherheitshaft bis zum 1. April 2022 an.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 24. Januar 2022 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Appellationsgerichts vom 20. Dezember 2021 aufzuheben und ihn umgehend aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei er unter Auflage einer Meldepflicht aus der Haft zu entlassen, subeventualiter unter Anordnung einer Eingrenzung auf das Gebiet der Kantone Basel-Stadt und Basel-Landschaft (gegebenenfalls unter Ausstattung mit einer elektronischen Fussfessel).
Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zu äussern. A._ hat sich nicht mehr vernehmen lassen.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Verlängerung von Untersuchungshaft. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG offen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und befindet sich weiterhin in strafprozessualer Haft. Zwar handelt es sich dabei nicht mehr um Untersuchungshaft, sondern um Sicherheitshaft. Auch ist nicht die mit dem angefochtenen Entscheid bestätigte Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 19. November 2021 formelle Haftgrundlage, sondern die Verfügung dieses Gerichts vom 13. Januar 2022. Der Beschwerdeführer hat mit Blick auf das Beschleunigungsgebot (Art. 5 Abs. 2 StPO, Art. 31 Abs. 4 BV, Art. 5 Ziff. 4 EMRK) und aus Gründen der Prozessökonomie jedoch ein rechtlich geschütztes Interesse gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG an der Beurteilung seines Rechtsmittels, soweit es um Fragen geht, die auch für die Rechtmässigkeit der aktuellen Haft massgeblich sind (vgl. BGE 139 I 206 E. 1.2; Urteile 1B_378/ 2018 vom 21. September 2018 E. 1.1; 1B_83/2018 vom 9. März 2018 E. 1.2 mit Hinweisen). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist im Grundsatz einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person geltend macht und begründet, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 144 V 388 E. 2). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 I 1 E. 1.4; 142 I 99 E. 1.7.2; 139 I 229 E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu BGE 137 I 58 E. 4.1.2), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht. Erforderlich ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 16 E. 1.3.1; 264 E. 2.3). Im Haftverfahren prüft das Bundesgericht sodann ausnahmsweise rechtserhebliche Noven (Urteile 1B_517/2019 vom 11. November 2019 E. 1.3; 1B_83/2018 vom 9. März 2018 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss Art. 221 Abs. 1 StPO sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist (allgemeiner Haftgrund) und Fluchtgefahr, Kollusionsgefahr oder Wiederholungsgefahr besteht (besonderer Haftgrund). Anstelle der Haft sind eine oder mehrere mildere Massnahmen anzuordnen, wenn diese den gleichen Zweck erfüllen (Art. 237 Abs. 1 StPO). Auch sonst muss die Haft verhältnismässig sein (Art. 197 Abs. 1 lit. c und d, Art. 212 Abs. 3 StPO).
3.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid den allgemeinen Haftgrund bejaht und hinsichtlich des besonderen Haftgrunds auf ihren Entscheid vom 28. Oktober 2021 verwiesen (vgl. vorne Sachverhalt Bst. A), in dem sie Kollusionsgefahr und "knapp" auch Fluchtgefahr bejaht hat. Sie hat die Haftverlängerung zudem als verhältnismässig beurteilt.
Der Beschwerdeführer bestreitet im Wesentlichen den allgemeinen Haftgrund. Ausserdem rügt er eine Verletzung des Beschleunigungsgebots, welche (ebenfalls) eine Haftentlassung als geboten erscheinen lasse. Eventualiter bringt er vor, es sei gegebenenfalls eine Ersatzmassnahme anzuordnen; Haft sei jedoch absolut unverhältnismässig. Diese Vorbringen sind nachfolgend näher zu prüfen. Nicht weiter einzugehen ist hingegen namentlich auf den besonderen Haftgrund. Der Beschwerdeführer äussert sich dazu nicht und macht insbesondere nicht geltend, es bestehe keine Fluchtgefahr.
4.
4.1. Bei der Überprüfung des dringenden Tatverdachts im Sinne von Art. 221 Abs. 1 StPO ist keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Zu prüfen ist vielmehr, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für ein Verbrechen oder Vergehen und eine Beteiligung der beschuldigten Person an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das untersuchte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte. Zur Frage des dringenden Tatverdachts ist weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen noch dem erkennenden Strafgericht vorzugreifen. Zu Beginn der Strafuntersuchung sind die Anforderungen an den dringenden Tatverdacht geringer als in späteren Stadien. Im Laufe des Strafverfahrens ist ein immer strengerer Massstab an die Erheblichkeit und Konkretheit des Tatverdachts zu stellen. Nach Durchführung der in Betracht kommenden Untersuchungshandlungen muss eine Verurteilung als wahrscheinlich erscheinen (zum Ganzen: BGE 143 IV 316 E. 3.1 f. mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz hat im Entscheid vom 28. Oktober 2021 einlässlich geprüft, ob ein dringender Tatverdacht bestehe, dass sich der Beschwerdeführer als Mittäter am mutmasslichen räuberischen Diebstahl (eventualiter Angriff) zum Nachteil von C._ (Privatkläger) beteiligt hat. Sie hat die Frage bejaht und sich dabei im Wesentlichen auf die Aussagen zweier Auskunftspersonen gestützt, die den Beschwerdeführer sowie den Mitbeschuldigten B._ zum Tatzeitpunkt als Teil der "angreifenden" Gruppe am Tatort gesehen und später wiedererkannt hätten. Die eine Auskunftsperson (D._) habe den Beschwerdeführer zudem in einer Fotowahlkonfrontation als möglichen Beteiligten identifiziert.
Im Rahmen ihrer Ausführungen zur Verhältnismässigkeit der Untersuchungshaft hat die Vorinstanz im erwähnten Entscheid weiter ausgeführt, es könnten innert kürzerer Zeit Fortschritte bei der Überprüfung des Tatverdachts erzielt werden. Dazu müsste einerseits eine Konfrontation des Beschwerdeführers mit dem Privatkläger erfolgen. Andererseits wäre das beim Beschwerdeführer gefundene Geld auf DNA-Spuren zu untersuchen. Ferner wäre eine Fotowahlkonfrontation mit der einen Auskunftsperson (E._) durchzuführen. Sollte sich der Tatverdacht aufgrund der noch vorzunehmenden Ermittlungen nicht weiter verdichten, sei die Haft unverzüglich aufzuheben.
4.3. Im angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz vorgebracht, in der Zwischenzeit habe sich der Tatverdacht gegen den Beschwerdeführer verdichtet. Am 8. Dezember 2021 sei eine Fotowahlkonfrontation mit E._ (nunmehr als Zeuge) durchgeführt worden. Zwischen diesem, dem Beschwerdeführer und dem erwähnten Mitbeschuldigten habe zudem eine Konfrontationseinvernahme stattgefunden. Eine solche Einvernahme sei am gleichen Tag auch zwischen den beiden Letztgenannten und dem Privatkläger durchgeführt worden. Zwar habe der Zeuge keine der Personen, mit denen er konfrontiert worden sei, wiedererkennen können. Der Privatkläger habe den Sachverhalt jedoch nochmals genau wiedergegeben. Er habe den Beschwerdeführer im Rahmen der Konfrontationseinvernahme als einen der Tatbeteiligten bezeichnet, ja sogar als diejenige Person aus der (Täter-) Gruppe, die ihm das Portemonnaie aus der Hosentasche entwendet habe, wobei er erklärt habe, er sei sich zu 95% sicher. Weiter habe er ausgeführt, er sei anschliessend mindestens vom Beschwerdeführer und vom erwähnten Mitbeschuldigten - den er gemäss seiner Einschätzung mit 100%-iger Sicherheit erkannt habe - gewalttätig angegangen worden. Er sei geschlagen worden und man habe versucht, ihn zu Boden zu drücken. Der Privatkläger habe dabei auch seine Verletzungen geschildert. Aus seinen Aussagen ergebe sich eine Erhärtung des Tatverdachts gegen den Beschwerdeführer. Eine abschliessende Würdigung der Aussagen - auch hinsichtlich der Körpergrösse der Täter - sei nicht von ihr vorzunehmen. Dies sei vielmehr dem in der Sache entscheidenden Gericht vorbehalten.
4.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Tatverdacht habe sich entgegen der Ansicht der Vorinstanz nicht erhärtet, obschon die Untersuchung im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids bereits zu Ende gewesen sei. Damit dürfe seine Haft nicht aufrechterhalten werden. Zur Begründung legt er ausführlich dar, dass ihn ausschliesslich noch die Aussagen des Privatklägers belasteten. Die Auswertung der beiden Mobiltelefone sowie die Fotowahlkonfrontation und die Konfrontationseinvernahme mit dem genannten Zeugen hätten keine Verdichtung des Tatverdachts ergeben, sondern diesen geschwächt. Dasselbe gelte für den Umstand, dass das bei ihm gefundene Bargeld nicht untersucht worden sei, mithin als Beweismittel offenbar nicht mehr als tauglich erschienen sei. Da bislang keine Konfrontationseinvernahme mit D._ stattgefunden habe, sei insoweit ferner eine Verdichtung des Tatverdachts ausgeblieben. Sodann erläutert der Beschwerdeführer einlässlich, wieso die Aussagen des Privatklägers unglaubhaft seien und ihn nicht ernsthaft zu belasten vermöchten. Selbst wenn sie glaubhaft wären, sei weiter undenkbar, dass sie zu seiner Verurteilung durch das Sachgericht führen würden.
4.5. Zwar trifft es zu, dass die Aussagen des Privatklägers an der Konfrontationseinvernahme vom 8. Dezember 2021 Fragen aufwerfen. Insbesondere ist der Beschwerdeführer, der danach die Person gewesen sein soll, die das Portemonnaie entwendet hat, relativ gross, während der Privatkläger diese Person in der Befragung unmittelbar nach dem Vorfall vom 3. Oktober 2021 als klein beschrieben hat. Auch erkannte der Privatkläger den Beschwerdeführer an der Fotowahlkonfrontation vom 3. Oktober 2021 nicht (auch nicht als ähnlich). Dies ändert indessen nichts daran, dass er ihn an der Konfrontationseinvernahme klar belastet hat. Seine Aussagen können dabei nicht ohne Weiteres als unglaubhaft bewertet werden. Wie sie im Zusammenhang mit seinen sonstigen Vorbringen zum Vorfall sowie den weiteren Beweisergebnissen zu beurteilen sind, setzt vielmehr - wie gerade die einlässlichen Ausführungen des Beschwerdeführers zeigen - eine Beweiswürdigung voraus, die über das hinausgeht, was im Rahmen des Haftprüfungsverfahrens verlangt und sinnvoll ist.
Die Vorinstanz durfte demnach auf die betreffenden Aussagen des Privatklägers abstellen und deren abschliessende Würdigung dem urteilenden Sachgericht überlassen, ohne Bundesrecht zu verletzen. Da der Privatkläger den Beschwerdeführer mit diesen Aussagen anders als noch an der Befragung unmittelbar nach dem Vorfall klar belastet hat, ist ferner ihre Beurteilung, der im Entscheid vom 28. Oktober 2021 bejahte anfängliche Tatverdacht habe sich verdichtet, bundesrechtlich nicht zu beanstanden, auch wenn sich der Tatverdacht in anderer Hinsicht nicht erhärtet oder gar abgeschwächt haben mag. Ebenso wenig verletzt Bundesrecht, dass die Vorinstanz angesichts der erwähnten Aussagen und der damit erfolgten Verdichtung des Tatverdachts weiterhin von einem dringenden Tatverdacht ausgegangen ist und den allgemeinen Haftgrund bejaht hat. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt demnach als unbegründet.
5.
5.1. Gemäss Art. 31 Abs. 3 BV und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haft die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt (vgl. Art. 212 Abs. 3 StPO). Das Gericht darf dabei die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe zur im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (BGE 143 IV 168 E. 5.1 mit Hinweisen). Strafprozessuale Haft kann die bundesrechtskonforme Dauer im Weiteren auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird (vgl. Art. 31 Abs. 3-4 BV und Art. 5 Abs. 2 StPO). Eine Haftentlassung kommt allerdings nur bei besonders schwer wiegenden bzw. häufigen Versäumnissen in Frage, die erkennen lassen, dass die verantwortlichen Strafbehörden nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen Rechnung zu tragen. Die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, ist aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen (BGE 137 IV 92 E. 3.1 mit Hinweisen).
5.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Staatsanwaltschaft habe in den ersten zwei Monaten seiner Untersuchungshaft lediglich zwei Mobiltelefone ausgewertet. Sie habe zudem trotz klarer Anweisungen des Zwangsmassnahmengerichts und der Vorinstanz nur nach mehrfacher Intervention seines Verteidigers innert der bis zum 14. Dezember 2021 verlängerten Untersuchungshaft zwei der drei geforderten Konfrontationseinvernahmen durchgeführt. Die dritte Konfrontationseinvernahme - jene mit der einzigen Person, die ihn in der Fotowahlkonfrontation erkannt habe (D._) und damit eine wesentliche Untersuchungshandlung - sowie sämtliche Untersuchungshandlungen mit dem Bargeld seien bislang ausgeblieben. Damit liege eine Verletzung des Beschleunigungsgebots vor, die (ebenfalls) seine Entlassung aus der Haft als geboten erscheinen lasse.
5.3. Zwar trifft es zu, dass mit der Auswertung von zwei Mobiltelefonen in den ersten zwei Monaten der Untersuchungshaft nur wenige Untersuchungshandlungen erfolgten. Weitere Abklärungen unterblieben zudem trotz der erwähnten Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid vom 28. Oktober 2021 (vgl. vorne E. 4.2). Die Staatsanwaltschaft führte in der Folge aber nach einer Haftdauer von etwas mehr als zwei Monaten am 8. Dezember 2021 die Fotowahlkonfrontation und die Konfrontationseinvernahme mit dem Zeugen E._ sowie die Konfrontationseinvernahme mit dem Privatkläger durch, mithin - wie auch der Beschwerdeführer festhält - innert der mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 19. November 2021 bis zum 14. Dezember 2021 verlängerten Untersuchungshaft. Sie kam damit der Aufforderung des Zwangsmassnahmengerichts in dieser Verfügung nach, auch wenn es wohl einer Intervention durch den Verteidiger des Beschwerdeführers bedurfte. Die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts legt dabei nahe, dass die erwähnten Konfrontationseinvernahmen jedenfalls teilweise deshalb nicht früher erfolgten, weil sich die Auswertung des einen Mobiltelefons in die Länge zog.
Die von der Staatsanwaltschaft grundsätzlich beabsichtigte Konfrontationseinvernahme mit D._, die weder in der genannten Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts noch im vorinstanzlichen Entscheid vom 28. Oktober 2021 verlangt wurde, scheiterte offenbar daran, dass diesem eine Teilnahme terminlich nicht möglich war. Die Staatsanwaltschaft erhob darauf innert der mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 17. Dezember 2021 bis Mitte Januar 2022 verlängerten Untersuchungshaft Anklage beim Strafgericht, ohne diese Einvernahme durchzuführen, und überliess eine allfällige Befragung von D._ dem Strafgericht. Dieser hatte zu einem früheren Zeitpunkt der zuständigen Staatsanwältin versichert, er werde einer Vorladung des Gerichts Folge leisten. Eine Untersuchung des beim Beschwerdeführer gefundenen Bargeldes erachtete die Staatsanwaltschaft sodann soweit ersichtlich nicht als sachdienlich.
Unter diesen Umständen ist eine Verletzung des Beschleunigungsgebots, welche eine Haftentlassung des Beschwerdeführers als geboten erscheinen liesse, zu verneinen. Schwere oder wiederholte Versäumnisse der Staatsanwaltschaft sind nicht ersichtlich; diese hat zudem die Untersuchung ohne weiteres Zuwarten abgeschlossen und Anklage erhoben. Die Beschwerde erweist sich demnach auch in diesem Punkt als unbegründet.
6.
Soweit der Beschwerdeführer eventualiter vorbringt, es sei gegebenenfalls eine Ersatzmassnahme anzuordnen, Haft sei jedoch absolut unverhältnismässig, führt er dies nicht weiter aus. Er legt nicht dar, inwiefern die Beurteilung der Vorinstanz, die eine drohende Überhaft verneint und - unter Verweis auf ihren Entscheid vom 28. Oktober 2021 - die Verhältnismässigkeit der Haftverlängerung auch sonst bejaht hat, massgebliches Recht verletzen würde. Ebenso wenig erläutert er, inwiefern die Voraussetzungen für die Anordnung von Ersatzmassnahmen gemäss Art. 237 StPO erfüllt und die von ihm eventualiter und subeventualiter beantragten Ersatzmassnahmen (vgl. dazu vorne Sachverhalt Bst. C) geeignet wären, der von der Vorinstanz (u.a.) bejahten und von ihm nicht bestrittenen Fluchtgefahr zu begegnen. Die vorinstanzliche Beurteilung der Verhältnismässigkeit weist auch keine offensichtlichen rechtlichen Mängel auf (vgl. vorne E. 2.1).
Damit ist auf das erwähnte Vorbringen des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen und kann der Beschwerde auch insoweit nicht stattgegeben werden. Mit Blick auf die vom Zwangsmassnahmengericht und von der Vorinstanz bereits mehrfach angemahnte beförderliche Durchführung des Strafverfahrens sowie das vorstehend zu den Aussagen des Privatklägers an der Konfrontationseinvernahme vom 8. Dezember 2021 Ausgeführte ist jedoch festzuhalten, dass eine möglichst rasche Durchführung der Hauptverhandlung vor dem Strafgericht geboten ist.
7.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen daran nichts zu ändern, soweit sie überhaupt berücksichtigt werden können.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Voraussetzungen für deren Gewährung erfüllt scheinen (Art. 64 BGG), ist dem Gesuch stattzugeben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Advokat Andreas Noll wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsidentin, sowie dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt (zur Kenntnisnahme) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur