Sachverhalt:
A.
Die 1968 geborene A._ arbeitete zuletzt in einem Pensum von 90 % in einem Secondhandgeschäft der Hilfsorganisation B._. Aufgrund von Schwierigkeiten am Arbeitsplatz wurde das Arbeitsverhältnis durch den Arbeitgeber im März 2016 gekündigt. Parallel zum Konflikt bei der Arbeit entwickelte A._ psychische Beschwerden, weshalb sie sich im November 2016 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug anmeldete. Nachdem die IV-Stelle Basel-Stadt die Akten der Krankentaggeldversicherung und Berichte der behandelnden Ärzte eingeholt hatte, veranlasste sie eine rheumatologisch-psychiatrische Begutachtung durch die Dres. med. C._, Facharzt für Rheumatologie, und D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie. Gestützt auf die gutachterlichen Einschätzungen vom 26. September 2018 und 9. November 2018 sprach die IV-Stelle der Versicherten nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren befristet vom 1. Mai 2017 bis 31. Dezember 2018 eine ganze Rente zu (Verfügung vom 29. Juli 2019).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 10. November 2020 ab, nachdem es gleichentags die Versicherte und den Gutachter Dr. med. D._ befragt hatte.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr ab Mai 2017 über den 31. Dezember 2018 hinaus eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, ein gerichtliches bidisziplinäres Gutachten einzuholen sowie danach neu über die Rentenansprüche ab 1. Januar 2019 zu entscheiden. Ferner ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen, welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat. Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine frei überprüfbare Rechtsfrage (statt vieler: BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 398).
2.
2.1. Strittig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie in Bestätigung der angefochtenen Verfügung einen Rentenanspruch ab 1. Januar 2019 verneinte.
2.2. Das kantonale Gericht hat zutreffend wiedergegeben, unter welchen Voraussetzungen einem Verwaltungsgutachten Beweiswert zukommt (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass grundsätzlich sämtliche psychischen Erkrankungen, namentlich auch depressive Störungen leicht- bis mittelgradiger Natur, einem strukturierten Beweisverfahren nach BGE 141 V 281 zu unterziehen sind (vgl. BGE 143 V 418 sowie BGE 143 V 409). Dabei ist anhand eines Kataloges von (Standard-) Indikatoren, unterteilt in die Kategorien "funktioneller Schweregrad" und "Konsistenz" (Gesichtspunkte des Verhaltens; BGE 141 V 281 E. 4.1.3 S. 297 f.), das unter Berücksichtigung sowohl leistungshindernder äusserer Belastungsfaktoren als auch von Kompensationspotentialen (Ressourcen) tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (BGE 141 V 281 E. 3.6 S. 294; Urteil 9C_520/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 7.1). Der Rechtsanwender trifft die Pflicht, die medizinischen Angaben daraufhin zu prüfen, ob die Ärzte sich an die massgebenden normativen Rahmenbedingungen gehalten haben und die funktionellen Auswirkungen medizinisch im Lichte der normativen Vorgaben widerspruchsfrei und schlüssig nachgewiesen sind (BGE 145 V 361 E. 3.2.2 S. 364).
3.
Zunächst mass das kantonale Gericht dem rheumatologischen Gutachten des Dr. med. C._, welcher keine Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit feststellte, Beweiswert zu. Alsdann setzte es sich mit der psychiatrischen Expertise des Dr. med. D._ auseinander und führte aus, weshalb es dessen diagnostischer Einschätzung folgte. Ebenso befasste sich die Vorinstanz mit dem Einwand der Beschwerdeführerin, dass Dr. med. D._ keine Fremdanamnese erhoben sowie keine testpsychologischen Untersuchungen durchgeführt hatte, und stellte fest, dies würde die Beweiskraft des Gutachtens nicht in Frage stellen. Abschliessend zeigte die Vorinstanz auf, von welchen Überlegungen sich der Gutachter bei der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit leiten liess und erachtete diese Beurteilung als nachvollziehbar.
4.
Die Beschwerdeführerin beanstandet das psychiatrische Teilgutachten des Dr. med. D._ in verschiedener Hinsicht.
4.1. Diesbezüglich ist vorab festzuhalten, dass neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Inwiefern diese Voraussetzungen hinsichtlich andere Fälle betreffende Gutachten des Dr. med. D._ erfüllt sein sollen, legt die Beschwerdeführerin weder dar noch ist dies ersichtlich. Die neuen Vorbringen sind daher nicht zu berücksichtigen und die erstmals vor Bundesgericht gestellten Beweisanträge sind abzuweisen.
4.2. Die Beschwerdeführerin schliesst aus dem von ihr behaupteten fehlerhaften methodischen Vorgehen des Gutachters (vgl. E. 4.3 folgend) auf dessen Befangenheit. Inwiefern dieser Umstand eine Voreingenommenheit des Gutachters in der Sache aufzeigen soll, ist aber nicht erkennbar.
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt, dass Dr. med. D._ keine Fremdanamnese, keine ergänzenden testpsychologischen Abklärungen und keine Rücksprache mit anderen Ärzten genommen hat. Mit diesem Vorbringen befasste sich bereits die Vorinstanz und legte dazu dar, der Gutachter sei durch zahlreiche Berichte der behandelnden Ärzte dokumentiert gewesen. Hinsichtlich der nicht durchgeführten Testverfahren verwies das kantonale Gericht darauf, dass solchen im Rahmen einer psychiatrischen Begutachtung höchstens ergänzende Funktion zukomme, während die klinische Untersuchung mit Anamneseerhebung, Symptomerfassung und Verhaltensbeobachtung entscheidend sei, weshalb das Vorgehen des Gutachters nicht zu beanstanden sei. Die medizinische Expertise beruht somit in diesem Fall, wie die Vorinstanz zutreffend aufzeigte, auf einer hinreichenden Entscheidgrundlage. Inwiefern diese vervollständigt hätte werden müssen - die Beschwerdeführerin macht insbesondere geltend, ihr Sohn wäre zu ihrem Tagesablauf zu befragen gewesen - ist nicht ersichtlich, nachdem der Sachverhalt diesbezüglich anderweitig erhoben wurde. Weder der Untersuchungsgrundsatz noch der Anspruch auf rechtliches Gehör infolge fehlender Beweisabnahme sind verletzt (vgl. BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f.).
4.4. Das kantonale Gericht zeigte auf, weshalb es die diagnostische Einschätzung des Gutachters in psychiatrischer Hinsicht für nachvollziehbar erachtet hat und kam zum Schluss, bei der Beschwerdeführerin bestünden eine rezidivierende depressive Störung mit chronischem Verlauf und gegenwärtig leicht- bis mittelgradiger Episode sowie ein Schmerzsyndrom, das jedoch mangels andauernden schweren und quälenden Schmerzen die Kriterien für eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung nicht erfülle. Das Vorliegen einer posttraumatischen Belastungsstörung wurde verneint. Entgegen der Beschwerdeführerin ist eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz nicht auszumachen, insbesondere ist nicht zu beanstanden, dass der medizinische Experte auf Inkonsistenzen hinwies und invaliditätsfremde Faktoren unabhängig ihrer exakten diagnostischen Einordnung (histrionische Ausgestaltungstendenz, differenzialdiagnostisch bewusstseinsnahe Aggravationstendenz) vom psychopathologischen Befund abgrenzte.
4.5. Die Beschwerdeführerin wirft dem kantonalen Gericht weiter vor, es habe keine Indikatorenprüfung vorgenommen.
4.5.1. Die Vorinstanz legte dar, von welchen Überlegungen sich der Gutachter bei der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit leiten liess und erachtete diese Beurteilung als nachvollziehbar. Sie begründete dies jedoch nicht weiter. Das ist mit den Vorgaben der Rechtsprechung nicht vereinbar, wonach psychische Erkrankungen einem strukturierten Beweisverfahren zu unterziehen sind und der Rechtsanwender zu prüfen hat, ob die medizinischen Angaben diesen Anforderungen genügen (vgl. E. 2.2 hiervor).
4.5.2. Es ist daher zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, in dem sie auf die im Gutachten bescheinigte Arbeitsfähigkeit abstellte.
4.5.2.1. Dr. med. D._ nahm nach der Herleitung der Diagnosen eine medizinische und versicherungsmedizinische Beurteilung vor, in dessen Rahmen er sich zur bisherigen persönlichen, beruflichen und gesundheitlichen Entwicklung der Versicherten einschliesslich der aktuellen psychischen, sozialen und gesundheitlichen Situation, dem bisherigen Verlauf von Behandlung, Rehabilitation, Eingliederung und Heilungschancen, der Konsistenz und Plausibilität der geltend gemachten Beschwerden sowie zu den Fähigkeiten, Ressourcen und Belastungen äusserte. Alsdann legte er dar, dass nach der ersten Hospitalisation in der Klinik E._, d.h. betreffend den hier streitigen Zeitraum grundsätzlich eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 30 % bestanden habe. Es ist festzustellen, dass Dr. med. D._ die massgeblichen Beweisthemen abgehandelt und sich bei seiner gutachterlichen Einschätzung an die massgebenden normativen Rahmenbedingungen gehalten hat.
4.5.2.2. Die Beschwerdeführerin stellt dem eine eigene Indikatorenprüfung gegenüber. Entgegen ihrer Auffassung ist aber nicht von einem "anhaltenden schweren psychischen Status" (Schweregrad der Depression) auszugehen und es bestehen auch keine posttraumatische Belastungsstörung oder anhaltende erhebliche (somatoforme) Schmerzstörung (vgl. E. 4.4 hiervor). Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, dass ein Behandlungs- und Eingliederungserfolg bisher trotz anhaltender intensiver medizinischer Massnahmen nicht erreicht werden konnte. Dies berücksichtigte der Gutachter, stellte aber auch fest, dass die depressiven Beschwerden zurückgegangen sind und unter Einhaltung der Massnahmen noch mit einer weiteren Verbesserung gerechnet werden könne. Ebenso trug er den Aspekten der Persönlichkeit Rechnung. E r erkannte diesbezüglich aber keine schwerwiegenden Psychopathologien. Beim sozialen Kontext beachtete er, dass die Beschwerdeführerin - trotz Kontaktabbruch zu ihren Freundinnen seit Beginn der Depression - mit Blick auf die familiäre Situation sozial gut integriert sei. Dies bestätigt die Beschwerdeführerin, indem sie ausführt, sie sei sozial gut eingebunden und werde von ihrem Ehemann, Sohn und selbst ihrer Mutter unterstützt. Der Gutachter hielt gewisse Aktivitäten und Interessen der Beschwerdeführerin fest, räumte aber zugleich - ohne den Leidensdruck in Abrede zu stellen - ein, dass diesbezüglich eine Beurteilung wegen der histrionischen Ausgestaltungstendenz nur bedingt möglich sei. Anders als in der Beschwerde aufgezeigt, kann daher aus der geltend gemachten Alltagsgestaltung nicht ohne Weiteres auf eine erheblich verminderte Leistungsfähigkeit geschlossen werden. Bei dieser Ausgangslage prüfte der Gutachter zu Recht differenziert und kritisch, inwieweit aus einer objektivierten Betrachtungsweise die Funktionsfähigkeit der Beschwerdeführerin als eingeschränkt zu betrachten ist. Die vom Gutachter attestierte Arbeitsunfähigkeit von 30 % überzeugt folglich mit Blick auf die Standardindikatoren - gewisse Einschränkungen sind plausibel - aus rechtlicher Sicht. Die vorinstanzliche Schlussfolgerung, die gutachterliche Einschätzung sei nachvollziehbar, verletzt daher im Ergebnis kein Bundesrecht.
4.6. Die Vorinstanz stellte ab 1. Januar 2019 einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad fest, dessen Berechnung von der Beschwerdeführerin nicht gerügt wird. Nachdem eine offensichtliche Fehlerhaftigkeit nicht ersichtlich ist, hat es beim vorinstanzlichen Entscheid sein Bewenden. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung, Art. 64 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) kann gewährt werden. Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Daniel Tschopp wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli