Erwägungen:
1.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 6. August 2018 die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch von A._ betreffend Führerausweisentzug ab. Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 24. September 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2.
Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG).
Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. August 2018 ist dem Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 22. August 2018 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist begann somit am 23. August 2018 zu laufen (Art. 44 Abs. 1 BGG) und endete am Freitag, den 21. September 2018. Die Eingabe vom 24. September 2018, welche am gleichen Tag der Post übergeben wurde, ist somit nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist und damit verspätet aufgegeben worden. Auf die Beschwerde ist demnach wegen verspäteter Einreichung nicht einzutreten. Der genannte Mangel ist offensichtlich, weshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG über die Beschwerde entschieden werden kann.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst ist das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos geworden.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, Bereich Administrativmassnahmen, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli