Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (ATF 143 IV 241 consid. 2.3.1 p. 244; 142 II 355 consid. 6 p. 358). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (art. 106 al. 2 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 145 V 188 consid. 2 p. 190; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 141 IV 369 consid. 6.3 p. 375; 139 II 404 consid. 10.1 p. 445). En outre, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.
3.1. Le litige porte sur le point de savoir si la recourante peut prétendre à l'octroi d'une indemnité de chômage dès le 1 er janvier 2019, comme elle le soutient, ou seulement dès le 10 janvier 2019, comme statué par le SDE et confirmé par la cour cantonale.
3.2. L'art. 8 al. 1 LACI (RS 837.0) énumère aux lettres a à g sept conditions du droit à l'indemnité de chômage. Ces conditions sont cumulatives (ATF 124 V 218 consid. 2 p. 218). Le droit à l'indemnité de chômage suppose en particulier que l'assuré soit sans emploi ou partiellement sans emploi (let. a) et qu'il satisfasse aux exigences du contrôle (let. g). Aux termes de l'art. 10 al. 3 LACI, celui qui cherche du travail n'est réputé sans emploi ou partiellement sans emploi que s'il s'est annoncé à l'office du travail de son lieu de domicile aux fins d'être placé. Dans ce sens, il est tenu, en vue de son placement, de se présenter à l'office du travail de son domicile aussitôt que possible, mais au plus tard le premier jour pour lequel il prétend à une indemnité de chômage (art. 17 al. 2, première phrase, LACI).
3.3. L'art. 27 LPGA (RS 830.1) prévoit que dans les limites de leur domaine de compétence, les assureurs et les organes d'exécution des diverses assurances sociales sont tenus de renseigner les personnes intéressées sur leurs droits et obligations (al. 1) et que chacun a le droit d'être conseillé, en principe gratuitement, sur ses droits et obligations (al. 2, première phrase). Selon l'art. 19a OACI (RS 837.02), les organes d'exécution mentionnés à l'art. 76 al. 1 let. a à d LACI renseignent les assurés sur leurs droits et obligations, notamment sur la procédure d'inscription et leur obligation de prévenir et d'abréger le chômage (al. 1); les autorités cantonales et les ORP renseignent les assurés sur leurs droits et obligations entrant dans les domaines d'activité spécifiques ([art. 85 et 85b LACI] al. 3).
Le défaut de renseignement ou un renseignement insuffisant dans une situation où une obligation de renseigner est prévue par la loi, ou lorsque les circonstances concrètes du cas particulier auraient commandé une information de l'assureur, est assimilé à une déclaration erronée qui peut, sous certaines conditions, obliger l'autorité (ou l'assureur) à consentir à un administré un avantage auquel il n'aurait pas pu prétendre, en vertu du principe de la protection de la bonne foi découlant de l'art. 9 Cst. (ATF 143 V 341 consid. 5.2.1 p. 346; 131 V 472 consid. 5 p. 480; arrêt 8C_127/2019 du 5 août 2019 consid. 4.3). L'existence d'un renseignement erroné doit être prouvée ou au moins rendue hautement vraisemblable par celui qui se prévaut du principe de la bonne foi, l'absence de preuve étant défavorable à celui qui veut déduire un droit de l'état de fait non prouvé (arrêt 8C_419/2016 du 23 décembre 2016 consid. 3.2 et la référence citée).
3.4. Plus généralement, il convient de rappeler que le juge des assurances sociales fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible; la vraisemblance prépondérante suppose que, d'un point de vue objectif, des motifs importants plaident pour l'exactitude d'une allégation, sans que d'autres possibilités revêtent une importance significative ou entrent raisonnablement en considération (ATF 144 V 427 consid. 3.2 p. 429; 139 V 176 consid. 5.3 p. 186; 138 V 218 consid. 6 p. 221 s.).
4.
En l'espèce, la Cour des assurances sociales a retenu en bref que la seule production, par la recourante, d'une copie du courriel du 21 novembre 2018 ne suffisait pas à prouver - au degré de la vraisemblance prépondérante - sa réception par l'ORP, pas plus que la réponse qu'elle aurait reçue en retour, étant précisé que l'intimé soutenait n'avoir pas trouvé trace au dossier du prétendu échange de courriers électroniques. La cour cantonale a encore souligné qu'au demeurant, si l'ORP avait effectivement répondu à la recourante en l'invitant à se présenter "rapidement", celle-ci n'était pas légitimée à en conclure qu'elle pouvait attendre jusqu'au 10 janvier 2019 pour s'annoncer. L'ORP était ainsi fondé à partir du principe que l'intéressée aurait donné suite à son invitation bien avant les féries de fin d'année, de sorte qu'il n'avait pas à la renseigner plus particulièrement sur celles-ci. Au reste, les bureaux de l'ORP étaient à nouveau ouverts dès le 3 janvier 2019.
5.
5.1. Dans un premier grief, la recourante requiert du Tribunal fédéral qu'il rectifie ou complète les constatations de l'autorité précédente, conformément à l'art. 105 al. 2 LTF. A ce titre, elle reproche à la juridiction cantonale de n'avoir aucunement fait allusion, dans sa décision, à sa situation professionnelle (travail à temps plein, études universitaires en emploi et compensation de trois jours de cours par mois sur les weekends) et privée (jumeaux d'un an et demi à charge et problèmes de santé établis par certificat médical) prévalant à la fin de l'année 2018.
5.2. La recourante se contente toutefois de mettre en exergue des éléments de fait que le juge cantonal aurait omis de mentionner dans son jugement du 4 octobre 2019, sans expliquer en quoi le juge, en établissant les faits, aurait versé dans l'arbitraire ou agi en violation du droit. Elle ne précise pas non plus en quoi la correction d'un éventuel vice serait de nature à influer sur le sort de la cause. Sur ces questions, le recours ne contient aucune motivation. Il n'y a donc pas lieu de tenir compte d'un état de fait qui divergerait de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. consid. 2 supra). En tout état de cause, on ne voit pas que la cour cantonale aurait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit; les éléments de faits allégués par la recourante ne sont pas déterminants pour l'issue du litige (cf. consid. 6.4 infra). Au reste, les facteurs d'ordre privé évoqués (jeunes enfants à charge et problèmes de santé) n'ont pas été invoqués par-devant la juridiction cantonale, de sorte que le Tribunal fédéral ne saurait en tenir compte dans le présent arrêt (art. 99 al. 1 LTF).
6.
6.1. Dans un second grief, la recourante se plaint d'une violation par l'ORP de l'obligation de renseigner (art. 27 LPGA et 19a OACI). Elle soutient, en substance, que l'envoi de son courriel du 21 novembre 2018 et sa réception par l'ORP seraient hautement vraisemblables. Or la réponse donnée par l'ORP - ou l'absence de réponse - ne répondrait pas aux conditions posées par la loi et la jurisprudence en matière d'obligation de renseigner. Par ailleurs, il appartiendrait à l'ORP de fournir la preuve qu'une réponse appropriée a été fournie à sa demande de renseignement du 21 novembre 2018.
6.2. A titre liminaire, il sied de relever que la recourante soutient encore que la cour cantonale aurait retenu à tort que la "preuve" - et non la "haute vraisemblance" - de la réception par l'ORP du courrier électronique du 21 novembre 2018 devait être apportée par l'assurée. Au vu de l'ensemble de l'argumentation de la juridiction cantonale, il est toutefois patent que celle-ci s'est référée au critère de la vraisemblance prépondérante (cf. consid. 3.4 supra) et qu'elle l'a appliqué pour établir les faits. Le grief de la recourante tombe ainsi à faux.
6.3.
6.3.1. Dans le domaine des assurances sociales, la procédure est régie par le principe inquisitoire, selon lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par l'autorité (art. 43 LPGA). Cette règle n'est toutefois pas absolue. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Cela comporte en partie l'obligation d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi la partie concernée s'expose à devoir supporter les conséquences de l'absence de preuve (ATF 145 V 90 consid. 3.2 p. 92). En droit de l'assurance-chômage et à titre d'exemple, en matière de remise de la liste des recherches d'emploi, le Tribunal fédéral a presque toujours retenu que malgré les pertes de documents pouvant se produire dans toute administration, les assurés supportaient les conséquences de l'absence de preuve en ce qui concerne la remise de ladite liste (cf. ATF 145 V 90 consid. 3.2 précité).
En ce qui concerne les courriers électroniques, compte tenu du manque de fiabilité du trafic électronique en général, et en particulier des difficultés liées à la preuve de l'arrivée d'un message électronique dans la sphère de contrôle du destinataire, l'expéditeur d'un courriel est invité à requérir du destinataire une confirmation de réception de son envoi (y compris des pièces annexées au courriel), et de réagir en l'absence de cette dernière en déposant son pli auprès de la Poste ou en réessayant de l'envoyer par voie électronique. Il appartient en effet à l'expéditeur de prendre certaines précautions, sans quoi il devra assumer le risque - conformément aux règles sur la répartition du fardeau de la preuve - que son courriel ne parvienne pas à l'autorité compétente (ATF 145 V 90 précité consid. 6.2.2 p. 95).
6.3.2. En l'espèce, il ne ressort pas des constatations de la cour cantonale que la recourante aurait requis de l'ORP une confirmation de réception de son courriel du 21 novembre 2018, ni qu'elle aurait produit une réponse à sa requête ou une relance adressée à l'office. Elle n'allègue pas non plus avoir tenté de contacter l'ORP par un autre moyen, tel que par pli postal, par téléphone ou en se rendant sur place. Par ailleurs, ni l'intimé ni l'ORP n'ont reconnu que ce dernier a reçu le courrier électronique litigieux ou toute autre demande de renseignement de la part de la recourante. Par conséquent, celle-ci doit supporter l'absence de preuve de la réception de son courriel du 21 novembre 2018.
Dans ces conditions, l'existence d'un défaut de renseignement - assimilable à un renseignement erroné - de la part de l'ORP ne peut être établie. La recourante ne peut donc pas prétendre à l'octroi d'un avantage sous la forme de l'allocation d'une indemnité de chômage à compter du 1 er janvier 2019 plutôt qu'à la date de son inscription effective à l'ORP le 10 janvier 2019.
6.3.3. Au demeurant, même en admettant que l'ORP aurait demandé à la recourante de se présenter "rapidement" à l'ORP, cette dernière devait en toute bonne foi en inférer qu'il était nécessaire de s'exécuter au moins avant la fin de l'année 2018, étant entendu qu'elle disposait encore de 30 jours avant la fermeture de l'office durant les fêtes. Au vu de ce laps de temps, on ne saurait reprocher à l'ORP de ne pas avoir informé l'assurée du principe et des détails de la fermeture de ses bureaux en fin d'année. En tout état de cause, rien n'empêchait la recourante de requérir un complément d'information si, comme elle le soutient, la réponse de l'ORP n'était pas suffisamment claire à ses yeux. Quant au fait d'avoir été très occupée durant cette période, il ne saurait fonder la prétention à une indemnité de chômage à compter d'une date antérieure à l'inscription, d'autant moins que la recourante a donné son congé le 1 er juin 2018 (selon les termes de son courriel du 21 novembre 2018). En outre, ses obligations de tout ordre - notamment professionnelles et liées à sa formation - ne l'ont pas empêchée de prendre des jours de vacances, comme cela ressort de ses propres déclarations (cf. son mémoire de recours, ch. 4 p. 4). Enfin, il s'impose de rappeler qu'un assuré ne peut pas se prévaloir de sa méconnaissance du droit (ATF 136 V 331 consid. 4.1 p. 335; 126 V 308 consid. 2b p. 313), en l'occurrence l'art. 17 al. 2, première phrase, LACI.
7.
Au vu de ce qui précède, le jugement attaqué échappe à la critique en tant qu'il retient que l'intimé était fondé à fixer au 10 janvier 2019 (date de l'inscription effective au chômage) le début du droit à l'octroi d'une indemnité de chômage.
8.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 8 mai 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny