Sachverhalt:
A.
Unter dem Namen "Stiftung B._" ist im Handelsregister des Kantons Zürich eine Stiftung im Sinne von Art. 80 ff. ZGB eingetragen. Sie wurde von A.A._, Jahrgang 1924, am xx.xx.1980 errichtet und bezweckt, die abendländischen, insbesondere die schweizerischen Kunst-, Kultur- und Geschichtswerte zu pflegen, die Besinnung auf dieselben sowie ihre Erhaltung zu fördern und dazu beizutragen, diese Werte der Öffentlichkeit zu vermitteln. Über den Stiftungsrat ist in Art. 5 der Stiftungsurkunde Folgendes vorgesehen:
"Die Stiftung wird von einem Stiftungsrat geleitet. Er besteht aus höchstens sieben Mitgliedern, wobei, wenn möglich, mindestens ein Mitglied der Familie des Stifters im Stiftungsrat vertreten sein soll. Die Amtsdauer beträgt ein Jahr. Bei Ersatzwahlen tritt das neue Mitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers ein.
Der Stifter bezeichnet die Mitglieder des Stiftungsrates. Kann er aus gesundheitlichen oder anderen Gründen diese Befugnis nicht mehr ausüben, kommt sie primär seinen Nachkommen (Blutsverwandte in absteigender Linie), subsidiär seinen übrigen gesetzlichen Erben zu. Wenn solche fehlen oder nicht willens sind, diese Aufgabe zu übernehmen, ergänzt sich der Stiftungsrat selbst. Sollte auch dies nicht möglich sein, ernennt die Aufsichtsbehörde die Stiftungsräte.
Der Stiftungsrat... [Organisation]..."
Der erste Stiftungsrat bestand aus dem Stifter A.A._ (Präsident), E._ (Mitglied) und F._ (Mitglied). Die Stiftung untersteht der Aufsicht des Bundes, die von der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht (ESA) wahrgenommen wird. Nachkommen des Stifters sind die Tochter C.A._ und der Sohn D.A._ (im Folgenden: die Nachkommen).
B.
B.a. Im Herbst 2013 unterbreitete der Stiftungsrat der ESA geänderte Stiftungssatzungen (Stiftungsurkunde und Organisationsreglement) zur Vorprüfung. Die Änderungen betrafen unter anderem Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die Mitglieder des Stiftungsrats sollten nicht mehr durch den Stifter bzw. durch dessen Nachkommen ernannt werden, sondern neu die Befugnis erhalten, selber ausgeschiedene Mitglieder zu ersetzen oder zusätzliche Mitglieder zu wählen (Kooptationsrecht). Die ESA machte Änderungs- und Ergänzungsvorschläge. Zur Einführung der Kooptation äusserte sie sich nicht.
B.b. Am 3. Dezember 2013 beantragten die Nachkommen dem Stiftungsrat, gestützt auf Art. 5 der Stiftungsurkunde dem Stiftungsrat beizutreten. Von ihrem Antrag setzten sie die ESA in Kenntnis.
B.c. An seiner Sitzung vom 9. Januar 2014 lehnte der Stiftungsrat die Aufnahme der Nachkommen in den Stiftungsrat ab. Die überarbeiteten Stiftungssatzungen wurden verabschiedet und am 10. Januar 2014 der ESA zur Genehmigung zugestellt.
B.d. Die Nachkommen legten am 13. Januar und am 20. Februar 2014 je Beschwerde ein und beantragten der ESA, die Änderung von Art. 5 der Stiftungsurkunde nicht zu genehmigen. Sie machten geltend, der Stifter und Stiftungsratspräsident sei nicht mehr urteilsfähig. Die Stiftung schloss auf Abweisung der Beschwerden und Genehmigung der neuen Stiftungssatzungen, insbesondere des geänderten Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die ESA gewährte den Beschwerden die aufschiebende Wirkung und sistierte das Verfahren auf Antrag der Parteien zwecks einvernehmlicher Bestimmung des künftigen Stiftungsrats. Eine Einigung konnte jedoch nicht gefunden werden.
B.e. Am 17. Dezember 2014 ernannten die Nachkommen einen Stiftungsrat für die Amtsdauer vom 25. Dezember 2014 bis am 24. Dezember 2015, bestehend aus den beiden Nachkommen und drei weiteren Mitgliedern. Die bisherigen Mitglieder des Stiftungsrats wurden nicht wiedergewählt und die neu gewählten Mitglieder am 5. Januar 2015 im Handelsregister eingetragen. Der Stiftungsrat teilte seine neue Zusammensetzung am 8. Januar 2015 der ESA mit und zog das Gesuch des bisherigen Stiftungsrats um Genehmigung der Änderung der Stiftungssatzungen vom 10. Januar 2014 zurück.
B.f. Mit Verfügung vom 8. Januar 2015 wies die ESA das Handelsregisteramt an, die Änderung vom 5. ds. zu löschen, die bisherigen Stiftungsräte wieder einzutragen und das Handelsregister für alle künftigen Einträge betreffend die Stiftung zu sperren.
B.g. Am 23. Januar 2015 verfügte die ESA, dass das zuvor sistierte Verfahren wieder aufgenommen wird (Ziff. 1), die Anträge des bisherigen Stiftungsrats auf Änderung der Stiftungssatzungen abgewiesen werden (Ziff. 2) und die Beschwerdeverfahren der Nachkommen abgeschrieben werden (Ziff. 3). Sie stellte fest, dass der Gesundheitszustand des Stifters ihm nicht mehr erlaubt, weiterhin das Amt des Stiftungsrats und das Ernennungsrecht des Stiftungsrats persönlich auszuüben, und somit das Recht, den Stiftungsrat zu ernennen, auf die Nachkommen übergeht (Ziff. 4). Die ESA forderte den Stiftungsrat auf, innert Frist ein Geschäftskonzept einzureichen, und behielt weitere aufsichtsrechtliche Massnahmen vor, vor allem zu Beginn der Tätigkeit des neu ernannten Stiftungsrats (Ziff. 5). Sie hob ihre Verfügung vom 8. Januar 2015 auf (Ziff. 6) und ersuchte das Handelsregisteramt, die Mutationen vom 5.ds. wieder aufzuschalten und die entsprechenden Einträge zu veranlassen (Ziff. 7). Die ESA bestätigte damit die Rechtmässigkeit der Wahl des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 durch die Nachkommen des Stifters.
C.
C.a. Gegen die Verfügung der ESA vom 23. Januar 2015 erhoben die Stiftung, handelnd durch den bisherigen Stiftungsrat, und der Stifter, vertreten durch seine Generalbevollmächtigte E._, je Beschwerde. Das angerufene Bundesverwaltungsgericht holte ein Gutachten zur Urteilsfähigkeit des Stifters ein.
C.b. Bis zum rechtskräftigen Entscheid darüber, wem das Recht zur Ernennung des Stiftungsrats zukommt und wer das Amt des Stiftungsrats ausübt, ernannte die ESA mit Verfügung vom 30. Januar 2015 G._ zum Sachwalter der Stiftung mit Einzelunterschrift. Sie entzog den Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats die Zeichnungsberechtigung und ordnete die entsprechenden Änderungen im Handelsregister an.
C.c. Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und wies die Beschwerden ab, soweit darauf eingetreten werden konnte (Urteil vom 4. Oktober 2016).
D.
Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Oktober 2016 gelangten die Stiftung und der Stifter an das Bundesgericht. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte den Beschwerden die aufschiebende Wirkung (Verfügungen 5A_856/2016 und 5A_865/2016 vom 29. November 2016).
E.
Mit Eingaben vom 2. Juni 2017 ersuchten der Stifter und die Stiftung das Bundesverwaltungsgericht je um Revision des Urteils vom 4. Oktober 2016. Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und wies die Revisionsgesuche ab (Urteil vom 16. August 2017).
F.
F.a. Mit Eingabe vom 18. September 2017 beantragt I._ (Beschwerdeführer), Mitglied des bisherigen Stiftungsrats, dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 aufzuheben und entsprechend die Revisionsgesuche des Stifters und der Stiftung gutzuheissen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. In formeller Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer, ihn im vorliegenden Rechtsstreit in Sachen Stiftungsrecht neben dem Stifter und der Stiftung als Beschwerdeführer zuzulassen und seine Beschwerde in das Verfahren einzubeziehen.
F.b. Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden (Verfahren 5A_725/2017). Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 haben vor Bundesgericht auch der Stifter (Verfahren 5A_719/2017) und die Stiftung (5A_734/2017) angefochten.
F.c. Mit Schreiben vom 20. März 2018 fragt der Beschwerdeführer an, ob ihm Akten, die die Parteien der Verfahren 5A_856/2016 und 5A_865/2016 am 9. März 2018 zugestellt erhalten hätten, ebenfalls zugestellt werden könnten.
Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft die Abweisung der Revision gegen ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts über die Stiftungsaufsicht und unterliegt - mit der hier nicht gegebenen Ausnahme der Aufsicht über die Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen - als öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4 BGG).
1.2. Die Stiftungsaufsicht allgemein und auch mit Bezug auf die Stiftungsorganisation hat dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird (vgl. Art. 84 Abs. 2 und Art. 83d Abs. 2 ZGB). Sie ist damit vermögensrechtlicher Natur (Urteile 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 1.1; 5D_99/2012 vom 30. November 2012 E. 1; 5A_484/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; abweichend, aber nicht massgebend: Urteil 5A_676/2015 vom 5. Januar 2016 E. 1). Da das Bundesverwaltungsgericht von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit ausgegangen ist, fehlen im angefochtenen Urteil die Angaben zum Streitwert. Angesichts der strittigen Frage, wer den Stiftungsrat einer Stiftung mit beträchlichem Vermögen bezeichnen darf, wird der Streitwert ermessensweise auf über Fr. 30'000.-- festgesetzt (Art. 51 Abs. 2 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG; zit. Urteil 5A_657/2010 E. 1.1, betreffend Amtsführung des Stiftungsratspräsidenten; vgl. für die Abberufung eines Mitglieds des Stiftungsrats einer Familienstiftung: Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 1.1 und E. 7.3).
1.3. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ist die Beschwerde zulässig (Art. 75 Abs. 1 BGG).
2.
Zur Beschwerde in Zivilsachen ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. b).
2.1. Die Voraussetzungen erfüllt der Stifter (vgl. Urteil 5A.19/1996 vom 28. Januar 1997 E. 1). Desgleichen ist die Stiftung gegen das Revisionsurteil und damit das Urteil, das ihre Organisation betrifft, beschwerdeberechtigt (BGE 110 II 436 E. 2 S. 440; Urteil 5A.23/1999 vom 27. März 2000 E. 1). Die bisherigen Stiftungsratsmitglieder durften dabei im Namen der Stiftung handeln und insbesondere für die Stiftung eine Anwaltsvollmacht rechtswirksam unterzeichnen, obwohl ihnen danach für die Verfahrensdauer die Zeichnungsberechtigung entzogen und der Stiftung ein Sachwalter bestellt wurde (Bst. C.b oben). Denn die Beschwerden gegen die Verfügung der ESA haben vor der Vorinstanz kraft Gesetzes (Art. 37 VGG i.V.m. Art. 55 Abs. 1 VwVG) und vor Bundesgericht auf Anordnung hin (Bst. D oben) aufschiebende Wirkung (vgl. Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 2.2). Die entsprechende Anwaltsvollmacht vom 27. Januar 2014 haben als Mitglieder des bisherigen Stiftungsrats der Beschwerdeführer und E._ unterzeichnet.
2.2. Neben dem Stifter und der Stiftung sieht sich auch der Beschwerdeführer im eigenen Namen als zur Beschwerde berechtigt an. Er führt aus, der Stifter habe ihn 2013 zum Mitglied des bisherigen Stiftungsrats und im Jahr 2012 zu seinem Nachfolger ernannt. Der Stifter sei mittlerweile über 93 Jahre alt. In diesem Alter könne jederzeit das Ableben eintreten, womit die Stellung des Stifters als Beschwerdeführer beendet wäre. Sollte dieser Fall eintreten, könnte er als sein Nachfolger die Weiterführung der Beschwerden im Sinne des Stifters sicherstellen. Als Nachfolger des Stifters stehe er in einem gewissen Sinne in der Verantwortung und Pflicht, den Willen und das Vorgehen des Stifters gegenüber den Gerichten zu bezeugen und zu vertreten (S. 4 f. Ziff. II/1 der Beschwerdeschrift 5A_725/2017).
2.3.
2.3.1. Der Beschwerdeführer hat im eigenen Namen am Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht nicht teilgenommen. Er macht auch nicht geltend, dass das Bundesverwaltungsgericht ihn zu Unrecht am Verfahren nicht hätte teilnehmen lassen. Soweit aufgrund der Akten ersichtlich, hat der Beschwerdeführer am Revisionsverfahren im eigenen Namen gar nicht teilnehmen wollen. Er erfüllt damit die gesetzliche Voraussetzung des Beschwerderechts gemäss Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG nicht.
2.3.2. Eine Intervention zur Unterstützung des Stifters vor Bundesgericht kennt das Bundesgerichtsgesetz nicht (BGE 142 III 40 E. 3.3.1 S. 47 und 271 E. 1.2 S. 275), und der Einbezug eines am Verfahren bisher nicht beteiligten Dritten erst vor Bundesgericht ist im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen ausgeschlossen (BGE 141 III 84 E. 4.5 S. 94 f.; Urteil 5A_246/2017 vom 28. Juni 2017 E. 5.1, nicht veröffentlicht in: BGE 143 III 369). Auch die Voraussetzungen der Rechtsnachfolge aufgrund von Gesamtnachfolge oder besonderer gesetzlicher Bestimmung sind offenkundig nicht erfüllt (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 17 Abs. 3 BZP). Den Angaben des Beschwerdeführers zufolge lebt der Stifter, dessen Rechtsnachfolger der Beschwerdeführer sein will, nach wie vor.
2.3.3. Schliesslich ist zu beachten, dass ein zur Beschwerde berechtigendes Interesse (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG) grundsätzlich nicht in einem besonders tief empfundenen, persönlichen Verantwortungsgefühl für die vom Stifter zu Lebzeiten verfochtene Sache oder in der persönlichen, im näheren Umfeld des Stifters verbrachten Vergangenheit erblickt werden kann, wo eine Stiftung sich - wie hier (Bst. A oben) - nicht auf einzelne Individuen auszurichten und ihre Leistungen nicht zugunsten bestimmter Destinatäre zu erbringen hat (Urteile 5A.16/1988 vom 23. Dezember 1988 E. 6b; 9C_823/2011 vom 23. März 2012 E. 2.1 Abs. 2).
3.
Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde, die der Beschwerdeführer in seinem eigenen Namen erhoben hat, nicht eingetreten werden. Seine Frage, ob ihm Akten aus den Verfahren 5A_856/2016 und 5A_865/2016 zugestellt werden könnten (Bst. F.c oben), ist aus denselben Gründen zu verneinen, zumal er auch in den erwähnten Verfahren persönlich weder als Partei noch als beschwerdeberechtigt gelten kann. Im Übrigen steht es ihm frei, sich als Vollmachtgeber (E. 2.1 oben) beim Rechtsvertreter der Stiftung die entsprechenden Akten zu verschaffen. Entsprechend dem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, sowie dem Eidgenössischen Departement des Innern (Eidgenössische Stiftungsaufsicht) und dem Sachwalter G._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten