Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 8. März 2021 Strafanzeige gegen Ivo Schwegler wegen Prozessverschleppung bzw. Untätigkeit, angeblich begangen "im Verfahren gg die AHV Ergänzungsleistungen Bern seit Oktober 2020 bis heute". Die Kantonale Staatsanwaltschaft für Besondere Aufgaben setzte mit Schreiben vom 16. März 2021 den Beschuldigten über die eingegangene Anzeige in Kenntnis und teilte ihm mit, dass er zur gegebener Zeit weitere Informationen erhalten werde.
2.
Am 28. Mai 2021 reichte A._ bei der Staatsanwaltschaft eine als "Dienstaufsichtsbeschwerde gg die Amtsstelle die meinen Strafantrag vom 8.3.21 bis heute NICHT verfolgt, - geschweige denn bearbeitet haben" bezeichnete Eingabe ein. Am 2. Juni 2021 überwies die Staatsanwaltschaft die Eingabe zuständigkeitshalber an die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Die Beschwerdekammer in Strafsachen nahm die Eingabe als Beschwerde wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung entgegen und wies diese mit Beschluss vom 9. Juni 2021 ab. Sie führte zusammenfassend aus, dass das Beschleunigungsgebot durch die Untätigkeit der Staatsanwaltschaft nicht verletzt worden sei, weshalb sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet erweise.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 14. Juni 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht verständlich aufzuzeigen, dass die Beschwerdekammer in Strafsachen Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte, als sie eine Verletzung des Beschleunigungsgebots verneinte. Der Beschwerdeführer legt nicht im Einzelnen und nachvollziehbar dar, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer in Strafsachen bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli