Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 10. Januar 2003 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1972 geborenen A._ ab 1. Januar 2002 eine ganze Invalidenrente zu. Revisionsweise teilte ihr die IV-Stelle am 11. Januar 2005, 10. Juli 2008 und 9. Januar 2013 mit, sie habe unverändert Anspruch auf die bisherige Invalidenrente.
A.b. Im August 2015 leitete die IV-Stelle ein weiteres Revisionsverfahren ein. Sie holte diverse Arztberichte und ein Gutachten der Psychiaterin med. pract. B._ vom 20. Juli 2016 ein. Weiter gab die IV-Stelle ein polydisziplinäres Gutachten der Medas Zentralschweiz vom 9. November 2017 in Auftrag. Mit Verfügung vom 10. Juli 2018 stellte die IV-Stelle die Invalidenrente auf Ende des folgenden Monats nach Verfügungszustellung ein.
B.
Die Beschwerde der A._ wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. November 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Als Rechtsfrage gilt, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG beachtet wurden. Gleiches gilt für die Frage, ob den medizinischen Gutachten und Arztberichten im Lichte der rechtsprechungsgemässen Anforderungen Beweiswert zukommt (BGE 134 V 231 E. 5.1). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils BGE 141 V 585). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der Indikatoren nach BGE 141 V 281 auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (BGE 141 V 281 E. 7).
2.
Streitig ist, ob die vorinstanzlich bestätigte Rentenaufhebung vor Bundesrecht standhält.
2.1. Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG; Art. 88a Abs. 1 IVV; BGE 141 V 9 E. 2.3, 133 V 108, 130 V 343 E. 3.5.3), einschliesslich der massgeblichen zeitlichen Vergleichsbasis (BGE 133 V 108; Urteile 8C_196/2020 vom 8. Juli 2020 E. 3.2.1 und 9C_418/2010 vom 29. August 2011 E. 3.1), und die Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 16 ATSG) richtig dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Beurteilung der Invalidität bei psychischen Erkrankungen (BGE 143 V 409 und 418, 141 V 281), des massgebenden Beweisgrads der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 146 V 51 E. 5.1) und des Beweiswerts ärztlicher Berichte (E. 1 hiervor; BGE 125 V 351 E. 3a). Darauf wird verwiesen.
2.2. Zu ergänzen ist, dass es Zweck interdisziplinärer Gutachten ist, alle relevanten gesundheitlichen Beeinträchtigungen zu erfassen und die sich daraus je einzeln ergebenden Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit in ein Gesamtergebnis zu fassen (BGE 137 V 210 E. 1.2.4; SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.1). Dasselbe gilt mit Blick auf die mitunter schwierige Abgrenzung der im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG versicherten Zustände von invaliditätsfremden Faktoren. Der abschliessenden, gesamthaften Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit kommt damit dann grosses Gewicht zu, wenn sie auf der Grundlage einer Konsensdiskussion der an der Begutachtung mitwirkenden Fachärzte erfolgt (Urteil 9C_425/2013 vom 16. September 2013 E. 4.3.1). Eine solche zusammenfassende Beurteilung auf der Grundlage einer Konsensdiskussion der einzelnen Gutachter oder unter Leitung eines fallführenden Arztes zur Zusammenführung und Darlegung der Ergebnisse aus den einzelnen Fachrichtungen ist ideal, aber nicht zwingend (Urteile 9C_889/2015 vom 15. Januar 2016 E. 2.2, 9C_556/2012 vom 25. Februar 2013 E. 4, 8C_323/2007 E. 4.3.2 mit Hinweisen). Das Abstellen auf ein polydisziplinäres Gutachten ist daher nicht bereits deshalb bundesrechtswidrig, weil keine abschliessende Konsensdiskussion stattgefunden hat. Die Frage, ob ein Gutachten beweiskräftig ist oder nicht, beurteilt sich, wie dargelegt, im konkreten Einzelfall danach, ob sich gestützt auf die Expertise die rechtsrelevanten Fragen beantworten lassen oder nicht. Mit anderen Worten verletzt das Abstellen auf ein polydisziplinäres Gutachten Art. 43 Abs. 1 ATSG nicht allein schon deshalb, weil einem Teilgutachten der Beweiswert abgesprochen wird. Dies hat auch umgekehrt zu gelten, wenn sich die Schlussfolgerungen im Hauptgutachten, das nicht in einer interdisziplinären Konsensbesprechung der beteiligten Fachärzte entstand, nicht nachvollziehen und sich nicht mit den Teilgutachten vereinbaren lassen, die Beurteilungen in allen Teilgutachten jedoch als schlüssig zu bezeichnen sind. Eine Beweiswürdigung, welche überzeugenden Teilkonsilien vollen Beweiswert zuerkennt, kann somit nicht allein deshalb als bundesrechtswidrig bezeichnet werden, weil einem weiteren Teil des Gutachtens die Beweiskraft fehlt (BGE 143 V 124 E. 2.2.4).
2.3. Der Beweiswert eines zwecks Rentenrevision erstellten Gutachtens hängt wesentlich davon ab, ob es sich ausreichend auf das Beweisthema - erhebliche Änderung (en) des Sachverhalts - bezieht. Einer für sich allein betrachtet vollständigen, nachvollziehbaren und schlüssigen medizinischen Beurteilung, die im Hinblick auf eine erstmalige Beurteilung der Rentenberechtigung beweisend wäre, mangelt es daher in der Regel am rechtlich erforderlichen Beweiswert, wenn sich die (von einer früheren abweichende) ärztliche Einschätzung nicht hinreichend darüber ausspricht, inwiefern eine effektive Veränderung des Gesundheitszustandes stattgefunden hat. Vorbehalten bleiben Sachlagen, in denen es evident ist, dass die gesundheitlichen Verhältnisse sich verändert haben (Urteile 8C_703/2020 vom 4. März 2021 E. 5.2.1.1 und 9C_137/2017 vom 8. November 2017 E. 3.1).
3.
Die Vorinstanz nahm die Mitteilung vom 9. Januar 2013 als zeitlichen Ausgangspunkt für die revisionsrechtliche Beurteilung. Weiter erwog sie im Wesentlichen, die Rentenzusprache vom 10. Januar 2003 habe auf einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen basiert, was am 9. Januar 2013 revisionsweise bestätigt worden sei. Die Feststellung der Psychiaterin med. pract. B._ im Gutachten vom 20. Juli 2016, die Beschwerdeführerin sei in der angestammten Tätigkeit und in anderen (adaptierten) Tätigkeiten voll arbeitsfähig, sei schlüssig und nachvollziehbar. Das interdisziplinäre Medas-Gutachten vom 9. November 2017 überzeuge in somatischer Hinsicht, wonach die Beschwerdeführerin in leidensangepassten Tätigkeiten zu 70 % arbeitsfähig sei. Nicht überzeugend sei es hinsichtlich der Feststellung, dass sie psychischerseits nur zu 30 % arbeitsfähig sei. Die IV-Stelle sei in der strittigen Verfügung vom 10. Juli 2018 somatischerseits von der im Medas-Gutachten festgestellten 70%igen und psychischerseits von der durch med. pract. B._ angegebenen 100%igen Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Zwischen ihr und den Medas-Gutachtern habe zwar keine Konsensbeurteilung stattgefunden. Es sei aber davon auszugehen, dass zwischen den somatischen Beeinträchtigungen und der psychischen Situation keine Wechselwirkung bestanden habe, die zu einer höheren als der somatischen Arbeitsunfähigkeit geführt hätte. Der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der IV-Stelle habe am 9. Juli 2018 bestätigt, interdisziplinär sei von einer 70%igen Arbeitsfähigkeit auszugehen. Somit habe sich der psychische Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin anhaltend verbessert und sie sei bei Verfügungserlass am 10. Juli 2018 in adaptierten Tätigkeiten zu 70 % arbeitsfähig gewesen. Im Vergleich zur Situation bei Abschluss des Revisionsverfahrens am 9. Januar 2013 liege somit eine relevante Veränderung nach Art. 17 Abs. 1 ATSG vor.
Was den Zeitpunkt der Veränderung anbelangt, habe med. pract. B._ im Gutachten vom 20. Juli 2016 dargelegt, die Beschwerdeführerin habe vermutlich schon lange (März 2008?), überwiegend wahrscheinlich spätestens seit April 2012 und mit Sicherheit seit der aktuellen Untersuchung im Juli 2016 eine Arbeitsunfähigkeit von 0 % ausgewiesen. Die Gutachterin habe dies damit begründet, dass eine früher bestehende depressive Störung spätestens seit April 2012 remittiert sei. Gleichzeitig habe sie aber ausgeführt, dass auf die Berichte der behandelnden Psychiaterin med. pract. C._ nicht abgestellt werden könne, wobei sie u.a. denjenigen vom 16. April 2012 genannt habe. Dem habe med. pract. B._ Rechnung getragen, indem sie ihre Arbeitsfähigkeitsschätzung für die Zeit zwischen April 2012 und ihrer Untersuchung vom Juni (richtig: Juli) 2016 nur als überwiegend wahrscheinlich und danach als mit Sicherheit richtig bezeichnet habe. Erfahrungsgemäss erreichten Abklärungen medizinischer Sachverhalte in Fällen wie hier höchstens den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Was med. pract. B._ als "sicher" bezeichnet habe, sei also überwiegend wahrscheinlich. Das bedeute, dass das, was sie als "überwiegend wahrscheinlich" taxiert habe, dieses Beweismass nicht erreiche. Nach der Einschätzung der med. pract. B._ sei die vollständige Remission der Depression und damit die vollständige Arbeitsfähigkeit vor Juni (richtig: Juli) 2016 also nicht überwiegend wahrscheinlich, sondern nur wahrscheinlich. Da eine erneute Untersuchung der Beschwerdeführerin keinen Aufschluss über ihren Gesundheitszustand zwischen April 2012 und Mai (richtig: Juni) 2016 liefern könne und von einer Befragung der med. pract. C._ die erforderliche Erkenntnis nicht erwartet werden könne, sei davon auszugehen, dass die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin vor Juni (richtig: Juli) 2016 objektiv nicht ermittelt werden könne. Die materielle Beweislosigkeit führe dazu, dass erst für die Zeit ab der Begutachtung durch Dr. med. B._ eine 100%ige Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht überwiegend wahrscheinlich erstellt sei. Dies zwinge dazu, von einer "nach" dem 9. Januar 2013 eingetretenen Verbesserung der Arbeitsfähigkeit auszugehen. Die IV-Stelle habe somit zu Recht Art. 17 Abs. 1 ATSG angewendet. Wäre die revisionsrechtlich relevante Sachverhaltsänderung nachweislich "vor" dem 9. Januar 2013 eingetreten, hätte die laufende Invalidenrente nur revisionsweise aufgehoben werden können, wenn die am 9. Januar 2013 ergangene verbindliche Mitteilung vorher wiedererwägungsweise (Art. 53 Abs. 2 ATSG) aufgehoben worden wäre. Das heisse, dass die Beschwerde mangels einer revisionsrechtlich relevanten Veränderung des Invaliditätsgrades vollumfänglich hätte gutgeheissen werden müssen. Der Einkommensvergleich ergebe einen Invaliditätsgrad von höchstens 37 %, weshalb die IV-Stelle die Invalidenrente zu Recht per 31. August 2018 aufgehoben habe.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat in Bezug auf die Würdigung des psychiatrischen Teilgutachtens der Medas keine offensichtlich unrichtigen Tatsachenfeststellungen getroffen und auch sonst kein Bundesrecht verletzt, indem sie diesem Teilgutachten den Beweiswert abgesprochen hat. Entscheidend in diesem Zusammenhang ist jedoch nicht ihre Kritik betreffend die von der Medas gestellte Diagnose einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41), sondern diejenige an der Beurteilung des funktionellen Leistungsvermögens (vgl. 9C_345/2019 vom 25. September 2019 E. 4.2.1 mit Hinweis) ohne Ausscheidung der psychosozialen Faktoren und der im Übrigen recht spärlichen Befassung mit den Standardindikatoren, dies alles bei einer doch hohen attestierten Arbeitsunfähigkeit von 70 %.
4.2. Auf der anderen Seite ist das vorinstanzliche Vorgehen unter den hier gegebenen Umständen - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - auch insofern nicht zu beanstanden, als das kantonale Gericht das monodisziplinäre Gutachten der med. pract. B._ vom 20. Juli 2016 beigezogen hat, ohne dass es dabei zu einer neuerlichen interdisziplinären Würdigung seitens der beteiligten Gutachter gekommen wäre. Eine solche umfassende interdisziplinäre Würdigung aus ärztlicher Sicht wäre sicher wünschbar und häufig geboten, aber nicht in jedem Fall zwingend (vgl. E. 2.2 hiervor). So hatte im vorliegenden Fall auch die Gutachterin med. pract. B._ die Schmerzsymptomatik nicht einfach übergangen, sondern - gestützt auf die subjektiven Angaben der Beschwerdeführerin - explizit eine lokale Begrenzung auf die obere Wirbelsäule/Schulterregion festgehalten. Die Gutachterin verglich dies bezüglich Lokalisation mit den Angaben der behandelnden Dr. med. D._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, im Bericht vom 2. November 2015, woraus sich eine Ausweitung der Schmerzproblematik nicht erheben liess. Daher sei eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung gemäss ICD-10 zwar eher zu verneinen, aber nicht ganz auszuschliessen; hier brauche es für eine gesicherte Diagnose eine rheumatologische Begutachtung. Anders gewendet: Die Annahme einer Schmerzstörung war nicht überwiegend wahrscheinlich erstellt. Und wenn hier das kantonale Gericht die Annahme von zusätzlich leistungsmindernden Wechselwirkungen zwischen somatischer Beeinträchtigung und psychischer Verfassung ausschloss, ist das nicht offensichtlich unrichtig oder Ergebnis einer bundesrechtswidrigen Beweiswürdigung, zumal dies unter Einbezug der RAD-Beurteilung vom 9. Juli 2018 geschah, die eine Arbeitsfähigkeit von 70 % aus interdisziplinärer Sicht bestätigte.
4.3. Besonders augenfällig sind jedoch die vorinstanzlichen Ausführungen zu Beweismass und -last. Das kantonale Gericht hält eine materielle Beweislosigkeit in Bezug auf die Verbesserung des Gesundheitszustands fest, um daraus zu folgern, dass erst für den Zeitpunkt der Begutachtung durch med. pract. B._ im Juli 2016 und damit nach dem Vergleichszeitpunkt (Mitteilung vom 9. Januar 2013) von einer solchen auszugehen sei. Das ist ungeachtet der vorinstanzlichen Erörterungen bezüglich des Beweismasses in sich widersprüchlich und damit in tatsächlicher Hinsicht offensichtlich unrichtig, weil es nicht erstellt und (namentlich aufgrund der Ausführungen im Gutachten der med. pract. B._ selbst) auch aus dem Umstand nicht ableitbar ist, dass im Juli 2016 keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestand.
Trotz dieses Mangels, mit dem bei festgestellter Beweislosigkeit in der Konsequenz auch eine Verletzung der bundesrechtlichen Beweislastregel einher ginge (vgl. für den Revisionsfall Urteil 9C_495/2014 vom 17. September 2014 E. 3.2 a.E.), kann von Weiterungen abgesehen werden. Denn zum einen bestehen hinreichend Anhaltspunkte dafür, dass bei der Beschwerdeführerin nach dem 9. Januar 2013 eine Arbeitsunfähigkeit in rheumatologischer Hinsicht dazu gekommen ist (vgl. S. 14 des rheumatologischen Teilgutachtens der Medas Zentralschweiz mit Hinweisen auf die Berichte der Dr. med. D._ vom 23. November 2016 und 4. Mai 2017). Das wäre rechtsprechungsgemäss bereits als Revisionsgrund beachtlich und demnach Anlass für eine umfassende Neubeurteilung auf der Grundlage eines richtig und vollständig festgestellten Sachverhalts, ohne Bindung an frühere Beurteilungen (vgl. BGE 141 V 9). Zum andern und vor allem kann entgegen der Vorinstanz im vorliegenden Fall von Bundesrechts wegen nicht der 9. Januar 2013 als massgeblicher Vergleichszeitpunkt angenommen werden, sondern ist in dieser Hinsicht auf die ursprüngliche Rentenzusprache gemäss Verfügung vom 10. Januar 2003 abzustellen. Dass der Mitteilung vom 9. Januar 2013 eine umfassende Abklärung voraus gegangen wäre (vgl. E. 2.1 oben), trifft mit Blick auf den medizinischen Sachverhalt nicht zu, zumal damals lediglich ein Bericht der behandelnden Psychiaterin vom 29. November 2012 eingeholt wurde, was angesichts der gewichtigen diagnostischen Differenzen nicht genügen konnte und auch durch die Billigung seitens des RAD nicht aufgewogen wird. Die Beschwerdeführerin selbst scheint denn auch in dieser Hinsicht nichts Gegenteiliges anzunehmen, wie aus ihren einleitenden Vorbringen zum Sachverhalt abzuleiten ist. Weil es bezüglich des durchgeführten Einkommensvergleichs (einschliesslich des Abzugs vom Tabellenlohn) keiner weiteren Ausführungen bedarf, kann damit der angefochtene Entscheid im Ergebnis bestätigt werden.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Nadeshna Ley wird als unentgeltliche Anwältin bestellt
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juni 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar