Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1972; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1966, Beschwerdeführer) heirateten 2004. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 2005). Im Sommer 2007 trennten sich die Eheleute und am 27. Januar 2012 klagte B.A._ beim Bezirksgericht Andelfingen auf Scheidung der Ehe. Mit Urteil vom 5. Februar 2016 schied das Bezirksgericht die Ehe und regelte die Nebenfolgen. Die Tochter beliess es unter der gemeinsamen elterlichen Sorge, wobei es dem Vater die Obhut zuteilte und der Mutter ein Besuchsrecht einräumte. Beide Elternteile haben gegen dieses Urteil soweit die Nebenfolgen der Scheidung betreffend Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich eingereicht, welches die Verfahren vereinigte (Verfahrensnummer LC160023).
B.
Am 12. Mai 2016 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirke Winterthur und Andelfindgen (KESB) den Eltern superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht über die Tochter und brachte diese im Kantonsspital U._ unter. Am 27. Mai 2016 bestätigte die KESB den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und platzierte C.A._ vorsorglich in einer Pflegefamilie. Ausserdem ordnete sie für C.A._ eine Erziehungsbeistandschaft an; dies neben einer bereits während des Scheidungsverfahrens errichteten Besuchsrechtsbeistandschaft. Die von A.A._ und der damaligen Kindesvertreterin gegen diesen Entscheid erhobenen Beschwerden wies der Bezirksrat Winterthur mit Entscheid vom 7. Juli 2016 ab, soweit er darauf eintrat. Hiergegen beschwerte sich A.A._ beim Obergericht (Verfahrensnummer PQ160049). Soweit die Kostenfolge betreffend erhob auch B.A._ Beschwerde (Verfahrensnummer PQ160048). Das Obergericht wies mit Urteil vom 5. Oktober 2016 die Beschwerde von A.A._ ab. Jene von B.A._ hiess es mit Urteil vom 3. November 2017 teilweise gut und es verlegte die Kosten des Verfahrens vor dem Bezirksrat neu.
C.
C.a. Im Scheidungsverfahren ordnete das Obergericht am 27. Mai 2016 für C.A._ eine Vertretung nach Art. 299 ZPO an. Am 10. April 2017 verfügte es auf Antrag der Beiständin superprovisorisch die Unterbringung von C.A._ im Kinder- und Jugendheim D._ in U._ (nachfolgend: Kinderheim). Mit Beschluss vom 2. Mai 2017 bestätigte es die Unterbringung als vorsorgliche Massnahme und mit Beschluss vom 3. Mai 2017 trat es auf einen Antrag von A.A._ um Aufhebung der superprovisorischen Unterbringung nicht ein. Mit Eingaben vom 6. und vom 15. Mai 2017 ersuchte der Kindsvater um Aufhebung des Beschlusses vom 2. Mai 2017 bzw. um Wiederaufnahme des Verfahrens betreffend eine "allfällige Um- oder Fremdplatzierung" von C.A._. Ausserdem beantragte er eine Anhörung der Tochter durch das Institut E._.
C.b. Am 24. Mai 2017 ordnete das Obergericht die Einholung eines "aktualisierten Gutachtens unter Einbezug einer erwachsenenpsychiatrischen Fachperson" "zur Prüfung der Erziehungsfähigkeit der Eltern in Bezug auf die Regelung der elterlichen Sorge, Obhut, den persönlichen Verkehr und allfälliger Kindesschutzmassnahmen" an. Hierdurch sollte ein früheres Gutachten vom 31. August 2015 ergänzt werden. Als Gutachter sah das Obergericht zwei Fachpersonen der Klinik für Kinder- und Jugendpsychiatrie und Psychotherapie (KJPP) vor. Hinsichtlich der erwachsenenpsychiatrischen Fragestellungen ordnete es die Unterstützung der Gutachter durch eine Medizinerin der Klinik für Psychiatrie, Psychotherapie und Psychosomatik (KPPP) an. Den Verfahrensbeteiligten setzte es Frist, um sich zum Gutachtensauftrag und den vorgesehenen Fragen zu äussern.
C.c. Am 30. Mai 2017 beantragte A.A._ dem Obergericht, es sei die Tochter unverzüglich aus dem Kinderheim zu entlassen und sie sei unter Wiederherstellung des Aufenthaltsbestimmungsrechts in seine Obhut zu geben. Mit Beschluss vom 1. Juni 2017 wies das Obergericht die Anträge auf Wiederaufnahme des Verfahrens über eine allfällige Um- oder Fremdplatzierung von C.A._ bzw. um Wiederherstellung des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Eltern sowie um Anhörung des Kindes durch das Institut E._ ab. In der Begründung bezog sich das Obergericht ausdrücklich auf die Eingaben von A.A._ vom 2., 6., 15. und 30. Mai 2017.
C.d. Am 6. und am 9. Juni 2017 äusserten sich B.A._ und die Kindesvertreterin zu den in Aussicht genommenen Gutachtensfragen. Mit Eingabe vom 15. Juni 2017 beantragte A.A._, es sei der Beschluss vom 24. Mai 2015 aufzuheben, von einer psychiatrischen Begutachtung der Eltern abzusehen und die Tochter durch das Institut E._ anzuhören. Mit Beschluss vom 22. Juni 2017 (eröffnet am 28. Juni 2017) bestätigte das Obergericht die Anordnung des Gutachtens sowie die in Aussicht genommenen Fachpersonen. Die von den Parteien beantragten Ergänzungsfragen unterbreitete es den Fachpersonen in leicht modifizierter Form zur Beantwortung. Den schriftlichen Auftrag an die Gutachter erteilte das Gericht am 23. Juni 2017.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Juli 2017 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er stellt in der Sache die folgenden Anträge:
"1. Es sei der [Beschluss vom 22. Juni 2017] aufzuheben und zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Es sei C.A._ vom Institut E._ für das Kind anzuhören.
3. Es sei von einer erwachsenenpsychiatrischen Begutachtung der Eltern, insbesondere des Beschwerdeführers, abzusehen, bzw. die Vorinstanz sei anzuweisen, von einer erwachsenenpsychiatrischen Begutachtung abzusehen.
4. Es sei die Vorinstanz anzuweisen, unverzüglich über die Entlassung von C.A._ aus dem Kinderheim [...] zu entscheiden.
5. Es sei der vorliegenden Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
6. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihm in der Person von RA lic.iur. Eva Nill [...] ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen."
Am 28. Juli 2017 verzichtete das Obergericht darauf, sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern. Mit Eingaben vom 17. August 2017 haben B.A._ sowie C.A._ die Gesuchsabweisung beantragt. Ausserdem ersuchen sie je um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 18. August 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde abgewiesen.
Am 22. Dezember 2017 verzichtet das Obergericht auch auf eine Vernehmlassung in der Sache und am 19. Januar 2018 beantragt B.A._, es sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. C.A._ hat sich nicht mehr vernehmen lassen. Die eingegangenen Stellungnahmen sind A.A._ zur Kenntnisnahme zugestellt worden.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten der kantonalen Verfahren eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid des Obergerichts über die Begutachtung des Beschwerdeführers und dessen Tochter. Diesen hat das Obergericht zwar als letzte kantonale Instanz getroffen, nicht jedoch auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz (vgl. Art. 75 BGG). Dies schadet allerdings nicht, da das Gericht mit einem Beschwerdeverfahren befasst war und den Entscheid in diesem Rahmen gefasst hat (BGE 138 III 41 E. 1.1; 137 III 424 E. 2.2). Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der rechtsprechungsgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; vgl. Urteile 5A_940/2014 vom 30. März 2015 E. 1; 5A_211/2014 vom 14. Juli 2014 E. 1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1). Dort geht es um die Regelung der Nebenfolgen einer Scheidung (u.a. ehelicher Unterhalt und Kinderbelange) und damit insgesamt eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (vgl. Urteile 5A_49/2017 vom 18. Juli 2017 E. 1.1; 5A_72/2016 vom 2. November 2016 E. 1). Die Beschwerde in Zivilsachen steht damit auch gegen den Zwischenentscheid offen. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und hat er diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Einzutreten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen auch, soweit der Beschwerdeführer eine Rechtsverzögerung geltend macht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6; Art. 75, 94 und 100 Abs. 7 BGG). Insofern wirft er dem Obergericht vor, noch nicht über sein Gesuch vom 30. Mai 2017 um Entlassung der Tochter aus dem Kinderheim entschieden zu haben. Da sich diesbezüglich ebenfalls Fragen im Zusammenhang mit der elterlichen Sorge bzw. der Obhut über die Tochter stellen, rechtfertigt es sich, diese Rüge in demselben Verfahren zu behandeln wie die ansonsten strittige Anordnung des Gutachtens (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP [SR 273]).
1.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Beschwerde die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2; 115 E. 2).
2.
Der Beschwerdeführer ist vorab mit der Anordnung des Gutachtens und insbesondere der psychiatrischen Begutachtung der Eltern nicht einverstanden.
2.1. Die Beschwerdegegnerin wendet ein, dass diese Frage bereits rechtskräftig entschieden sei, da der Beschwerdeführer den Beschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2017 nicht angefochten hat. Es könne dem Beschwerdeführer nicht möglich sein, heute noch Rügen vorzubringen, welche er gegen jenen Beschluss vorzubringen unterlassen habe. Zwar trifft zu, dass das Gericht in diesem Beschluss die hier strittige Begutachtung bereits angeordnet und auch die Gutachter festgelegt hat (vgl. vorne Bst. C.b). Indessen hat das Obergericht im Beschluss vom 22. Juni 2017 festgehalten, zuvor den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt zu haben. Es hat deshalb unter Berücksichtigung von dessen zwischenzeitlicher Stellungnahme nochmals neu über die Anordnung des Gutachtens und die Person der Gutachter entscheiden. Unter diesen Umständen erwächst dem Beschwerdeführer kein Nachteil daraus, dass er den Beschluss vom 24. Mai 2017 nicht angefochten hat.
2.2. Hinsichtlich der Begutachtung der Parteien führte das Obergericht aus, das Verhalten der Eltern sei auffällig. Insbesondere sei die Fremdplatzierung des Kindes wesentlich durch eine Suiziddrohung des Vaters ausgelöst worden. Unter diesen Umständen sei die Begutachtung auch der Eltern angezeigt. Der Beschwerdeführer sieht die Begutachtung der Parteien als unnötig an. Die Eltern hätten sich in keiner Weise auffällig verhalten und auch von einem "psychopathologischen Verhalten" seinerseits könne keine Rede sein. Das Obergericht lege nicht dar, weshalb sich eine Begutachtung aufgrund des Verhaltens der Eltern aufdränge. Mit diesen Vorbringen setzt der Beschwerdeführer sich nicht ausreichend mit den Ausführungen des Obergerichts auseinander. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen nicht und auf sie ist insoweit nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 2 BGG; vorne E. 1.3).
2.3. Mit Blick auf die Begutachtung der Eltern nichts für sich ableiten kann der Beschwerdeführer sodann aus der (allgemeinen) Feststellung des Obergerichts, "mangelnde Kooperation" sei auch auf Seiten der Behörden oder Beistände möglich. Zwar mag menschliches Verhalten und damit auch das Verhalten der Eltern immer in gewissem Mass durch das Verhalten der Mitmenschen bzw. von Drittpersonen beeinflusst werden. Das ändert aber nichts daran, dass vorliegend allein das Verhalten der Parteien in Frage steht und dass dieses auch ohne gleichzeitige Begutachtung etwa der Beistände von C.A._ beurteilt werden kann, wie der Beschwerdeführer sie beantragt. Das vorinstanzliche Erkenntnis ist in diesem Punkt auch nicht widersprüchlich.
2.4. Der Beschwerdeführer bringt gegen die Begutachtung sodann in pauschaler Art und Weise vor, es werde das frühere Gutachten nicht ergänzt, sondern wiederholt. Auch könne ein kinderpsychiatrisches Gutachten nicht mit einem Gutachten über Erwachsene "ergänzt" werden. Mit seinen Einwänden vermag der Beschwerdeführer die angeordnete Begutachtung nicht als unnötig oder ungeeignet darzustellen: Das erste Gutachten über C.A._ datiert unstrittig vom 31. August 2015. Wenn das Obergericht in dieser Situation eine aktuelle Begutachtung veranlasst, ist dies mit Blick darauf, dass sich die Verhältnisse bei Kindern schnell ändern können (vgl. BGE 133 III 553 E. 5; Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 2.3), nicht zu beanstanden. Sodann ist nicht zweifelhaft, dass mit Blick auf die vorliegend zur Diskussion stehenden Kinderbelange die Erziehungsfähigkeit der Eltern eine Rolle spielt.
2.5. Es ist sodann hinreichend klar, welche Anordnung das Obergericht im Beschluss vom 22. Juni 2017 getroffen hat. Es bleibt daher von vornherein unbehelflich, wenn der Beschwerdeführer formalistisch vorbringt, es werde einzig der Beschluss vom 24. Mai 2017 bestätigt, was gar nicht möglich sei, weil dieser wegen der vorgefallenen Gehörsverletzung - diese ist nicht bestritten - ungültig sei. Ausserdem ist dem Beschwerdeführer entgegenzuhalten, dass das Obergericht nicht den Beschluss vom 24. Mai 2017 bestätigte, sondern "die Anordnung des Gutachtens" gemäss diesem Beschluss und die "Person der in Aussicht genommenen Fachperson".
2.6. Die Beschwerde erweist sich hinsichtlich der Anordnung der Begutachtung des Kindes und der Eltern als unbegründet. Entsprechend besteht kein Anlass dazu, die Vorinstanz anzuweisen, von der Begutachtung abzusehen.
3.
Der Beschwerdeführer ist weiter mit den ernannten Fachpersonen nicht einverstanden.
3.1. Diesbezüglich macht er geltend, die Fachpersonen seien nicht unabhängig, da das Gericht sich bei der Erstellung des Fragenkatalogs von ihnen massgeblich habe beeinflussen lassen. Dies verletzte ausserdem Art. 185 Abs. 1 ZPO.
3.1.1. Aus den vom Beschwerdeführer zitierten Aktenstellen ergibt sich, dass das Gericht sich bei der Ausarbeitung der den Parteien am 24. Mai 2017 zur Stellungnahme unterbreiteten Fragen massgeblich durch eine der als Gutachter in Aussicht genommenen Fachpersonen hat beeinflussen lassen bzw. es die von dieser vorgelegten Fragen übernommen hat.
3.1.2. Wird ein Gutachten angeordnet, instruiert das Gericht die sachverständige Person und stellt ihr die abzuklärenden Fragen schriftlich oder mündlich in der Verhandlung (Art. 185 Abs. 1 ZPO). Neben den Ermahnungen und Hinweisen nach Art. 184 ZPO geht es bei der Instruktion vor allem um die Erläuterung der im Gutachten durch die sachverständige Person zu beantwortenden Fragen (Urteil 4A_333/2015 vom 27. Januar 2016 E. 7.2.4.2). Die Ausarbeitung der Fragen liegt damit vorab im Aufgabenbereich des Gerichts und nicht in jenem der sachverständigen Person. Bei komplexen Fragestellungen, namentlich im medizinischen Bereich, kann aber bereits die zutreffende und vollständige Formulierung der Expertenfragen Sachkunde erfordern, an der es dem Gericht mangelt. Diesfalls ist es nicht zu beanstanden, wenn das Gericht sich das Fachwissen der sachverständigen Person bereits bei der Vorbereitung des Gutachtens zu Nutze macht (vgl. ANNETTE DOLGE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 1 zu Art. 185 ZPO; SVEN RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 3 zu Art. 185 ZPO; THOMAS WEIBEL, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 5 zu Art. 185 ZPO; HEINRICH ANDREAS MÜLLER, in: Brunner et al. [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2016, N. 21 zu Art. 185 ZPO). Vorliegend hat das Gericht sich bei der Formulierung der zu beantwortenden Fragen zwar eingehend von einer der in Aussicht genommenen Gutachterinnen beraten lassen. Allerdings ist nicht ersichtlich oder geltend gemacht, dass es über die nötigen medizinischen Fachkenntnisse verfügen würde, um die Fragen selbst genügend präzise stellen zu können. Unter diesen Umständen ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn das Obergericht sich bereits bei der Ausarbeitung der Expertenfragen durch eine der Fachpersonen hat unterstützen lassen.
3.1.3. Hierin liegt denn auch kein Grund, der betroffenen Fachperson mangelnde Unabhängigkeit vorzuwerfen (vgl. Art. 183 Abs. 2 i.V.m. Art. 47 ZPO; BGE 140 I 326 E. 5.1; 140 III 221 E. 4.1). Eine Voreingenommenheit ergibt sich von vornherein auch nicht daraus, dass es nach der - bestrittenen - Darstellung des Beschwerdeführers die Gutachterin gewesen sein soll, welche den Einbezug von "erwachsenenpsychiatrischem Sachverstand" anregte. Allein daraus, dass die Fachperson es zur Beurteilung des Kindes als notwendig ansieht, auch die Eltern abklären zu lassen, lässt sich nicht schliessen, dass diese bereits der festen Ansicht sei, mindestens ein Elternteil sei "in psychiatrischer Sicht auffällig". Ganz im Gegenteil ist nachvollziehbar, dass die Fachperson zur (umfassenden) Abklärung der Kinderbelange auch das unmittelbare soziale Umfeld des Kindes, namentlich die Eltern, in den Blick nimmt.
3.2. Der Beschwerdeführer erachtet die vorgeschlagenen Fachpersonen sodann als nicht qualifiziert. Dr. med. F._ sei ein anerkannter Spezialist bei Autismus, med. pract. G._ befasse sich vorab mit Sexualkunde. Weder Autismus noch sexuelle Aspekte stünden indes im Vordergrund. Selbst wenn die Fachpersonen auf ihrem Gebiet qualifiziert seien, könnten sie die vorliegende Problematik nicht beurteilen. Auch bei Zutreffen der Ausführungen des Beschwerdeführers ist nicht ersichtlich, weshalb die vorgesehenen Fachpersonen allein deshalb für die Durchführung der Begutachtung nicht kompetent sein sollten, weil sie auch in anderen Fachgebieten über (gegebenenfalls vertiefte) Kenntnisse verfügen. Dies hat die Vorinstanz richtig erkannt. Der Beschwerdeführer führt denn auch nicht aus, weshalb den Gutachtern die Fähigkeit abgehen sollte, das Gutachten zu erstellen. Die Beschwerde vermag daher keinen Rechtsfehler aufzuzeigen.
3.3. Der Beschwerdeführer möchte die Tochter durch das Institut E._ anhören lassen (vgl. vorne Bst. C.a). Die Feststellung der Vorinstanz, wonach sich das Institut nur zur Abklärung von Kindern in der frühen Kindheit eigne, treffe nicht zu. Wie dargelegt ist es nicht zu beanstanden, dass das Kind erneut begutachtet wird (vorne E. 2). Weshalb (zusätzlich) eine hiervon unabhängige Anhörung notwendig sein sollte, ist nicht ersichtlich und auch nicht geltend gemacht. Die Begutachtung kann sodann durch die vorgesehenen Fachpersonen erfolgen. Hieran würde auch nichts ändern, wenn eine Abklärung durch das vom Beschwerdeführer gewünschte Institut ebenfalls möglich wäre. Auch insoweit ist der Vorinstanz keine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen und die beantragte Anhörung des Kindes durch das Institut E._ erübrigt sich.
3.4. Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde auch hinsichtlich der Person der Gutachter als unbegründet.
4.
Im Zusammenhang mit den Expertenfragen macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend.
4.1. Vor der (definitiven; vgl. dazu vorne E. 2.1) Anordnung der hier strittigen Begutachtung gab das Obergericht den Verfahrensbeteiligten Gelegenheit, sich zu den in Aussicht genommenen Expertenfragen zu äussern. Die Beschwerdegegnerin und die Kindesvertreterin haben von dieser Möglichkeit mit Eingaben vom 6. und 9. Juni 2017 Gebrauch gemacht (vorne Bst. C.b und C.d). Dem Beschwerdeführer wurden diese Eingaben zusammen mit dem angefochtenen Beschluss vom 22. Juni 2017, in dem das Obergericht über die Begutachtung entschieden hat, zur Kenntnis gebracht (vgl. angefochtener Beschluss, E. 1.4 sowie Dispositivziffer 4, 2. Lemma). Der Beschwerdeführer rügt, er habe nicht die Möglichkeit gehabt, vor dem Entscheid über das Gutachten von diesen Eingaben Kenntnis zu nehmen und sich zu ihnen zu äussern.
4.2. Gemäss Art. 185 Abs. 2 ZPO gibt das Gericht den Parteien Gelegenheit, sich zu den Expertenfragen zu äussern und Änderungs- oder Ergänzungsanträge zu stellen. Die Bestimmung räumt der jeweiligen Gegenpartei aber keinen Anspruch auf Stellungnahme zu den gestellten Änderungs- oder Ergänzungsanträgen ein (vgl. allgemein dazu DOLGE, a.a.O., N. 2 zu Art. 185 ZPO; RÜETSCHI, a.a.O., N. 8 zu Art. 185 ZPO). Solches ergibt sich auch nicht aus dem wie im gesamten Zivilverfahren so auch bei der Erstellung eines Gutachtens zu beachtenden Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; Art. 53 Abs. 1 ZPO) : Aus dem Gehörsanspruch ergibt sich zwar das Recht der Parteien, von allen dem Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu zu äussern (BGE 142 III 48 E. 4.1.1 mit zahlreichen Hinweisen [auch zum Folgenden]). Dieses Recht ist aber gewahrt, wenn die Parteien vor Erlass des Urteils in der Sache Gelegenheit haben, sich zu den Eingaben der jeweiligen Gegenpartei vernehmen zu lassen. Die Äusserung zu den nach Art. 185 Abs. 2 ZPO eingereichten Änderungs- und Ergänzungsanträgen kann damit auch noch nach Erteilung des Gutachtensauftrags erfolgen, etwa im Rahmen der Äusserungsmöglichkeit nach Art. 187 Abs. 4 ZPO.
4.3. Der Beschwerdeführer hatte zwar keine Gelegenheit, von Erteilung des Gutachtensauftrags von den Eingaben der weiteren Verfahrensbeteiligten Kenntnis zu nehmen und sich zu diesen zu äussern. Solange ihm das Obergerichts vor Erlass des Entscheids in der Sache hierzu aber noch Gelegenheit gibt - dies ist nach wie vor möglich - ist dies jedoch weder mit Blick auf die ZPO noch den verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör zu beanstanden. Die Beschwerde erweist sich damit auch insoweit als unbegründet.
5.
Zuletzt wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht Rechtsverzögerung vor, weil es noch nicht über seinen Antrag vom 30. Mai 2017 entschieden habe, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über die Tochter wieder herzustellen und diese aus dem Kinderheim in seine Obhut zu entlassen.
Gemäss Art. 29 Abs. 1 BV hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist (sog. Verbot der Rechtsverzögerung; BGE 135 I 265 E. 4.4; 130 I 312 E. 5.1). Wie auch der Beschwerdeführer zugesteht, hat das Obergericht mit Beschluss vom 1. Juni 2017 den Antrag auf Wiederaufnahme des Verfahrens über eine allfällige Um- oder Fremdplatzierung der Tochter sowie um Wiederherstellung des Aufenthaltsbestimmungsrechts abgewiesen. Dabei hat es sich auf die verschiedenen Eingaben des Beschwerdeführers in dieser Sache bezogen, darunter ausdrücklich auf jene vom 30. Mai 2017 (vgl. vorne Bst. C.a und C.c). Damit hat die Vorinstanz sämtliche Anträge im Zusammenhang mit der Fremdplatzierung des Kindes bzw. deren Aufhebung behandelt. Eine Rechtsverzögerung kann ihr nicht vorgeworfen werden. Hieran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer inhaltlich mit dem Entscheid des Gerichts nicht einverstanden und der Ansicht ist, dieses habe sich nicht genügend mit seinen Vorbringen auseinandergesetzt. Der Vorwurf der Rechtsverzögerung erweist sich als unbegründet.
6.
6.1. Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde insgesamt als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Verfahrenskosten (inkl. die Kosten des Verfahrens um aufschiebende Wirkung) dem vollständig unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat dieser die Parteikosten der Beschwerdeführerin (Art. 68 Abs. 1 BGG) sowie die Kosten der Kindesvertreterin zu tragen (vgl. dazu Urteil 5A_529/2014 vom 18. Februar 2015 E. 8.3; vgl. auch Urteile 5A_202/2015 vom 26. November 2015 E. 4, nicht publiziert in: BGE 142 III 1; 5A_527/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 5).
Die Verfahrensbeteiligten ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die diesbezüglichen Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) sind erfüllt. Alle Beteiligten sind aktenkundig mittellos und ihre Eingaben können nicht als geradezu aussichtslos beurteilt werden. Ausserdem erscheint eine anwaltliche Vertretung zur Wahrung ihrer Rechte als notwendig. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege rechtfertigt sich auch insoweit, als den Beteiligten eine Entschädigung zugesprochen wurde: Angesichts der Mittellosigkeit der Beteiligten ist nicht anzunehmen, dass die zugesprochenen Entschädigungen erhältlich sind. Deshalb sind die Rechtsvertreter auch insoweit direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (vgl. Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publiziert in: BGE 143 III 113). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin ist jedoch insoweit gegenstandslos geworden, als ihr keine Verfahrenskosten auferlegt wurden (vgl. BGE 109 Ia 5 E. 5). Damit sind die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden sind, und die Gerichtskosten sowie die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsvertreter und der Kindesvertreterin auf die Gerichtskasse zu nehmen. Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie später dazu in der Lage sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwältin Eva Nill, als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwalt Beat Wieduwilt, als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
4.
Das Gesuch von C.A._ um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
6.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- und die Kindesvertreterin mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen. Rechtsanwalt Wieduwilt wird aus dieser mit Fr. 2'000.-- und die Kindesvertreterin mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
7.
Rechtsanwältin Nill wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
8.
Dieses Urteil wird den Parteien, C.A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber