Faits :
A.
Le 14 novembre 2009, X._, ressortissante de la République démocratique du Congo née le 12 août 1974, a épousé, dans son pays d'origine, un ressortissant suisse. Elle est entrée en Suisse le 6 mars 2011 et a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. L'époux a quitté le domicile conjugal le 1er octobre 2013, à la suite d'une décision de mesures protectrices de l'union conjugale prononcée le 11 septembre 2013. Aucun enfant n'est issu de cette union.
B.
Par décision du 17 janvier 2014, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de X._ et prononcé son renvoi de Suisse. Par décision du 19 juin 2015, le Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département) a admis le recours interjeté par l'intéressée contre ce prononcé et renvoyé la cause au Service cantonal pour complément d'instruction et nouvelle décision.
Le 3 mai 2016, le Service cantonal s'est déclaré favorable à la prolongation de l'autorisation de séjour de X._, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat). Par décision du 4 janvier 2017, celui-ci a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour en faveur de l'intéressée et a prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 19 mars 2018, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de X._ contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 19 mars 2018, l'annulation de la décision du Secrétariat d'Etat du 4 janvier 2017, ainsi que la prolongation de son autorisation de séjour et, subsidiairement, le renvoi de la cause au Secrétariat d'Etat pour nouvelle décision au sens des considérants.
Par ordonnance du 1er mai 2018, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif. Le 2 mai 2018, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à demander une avance de frais et informé l'intéressée qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. La recourante a déposé des observations finales.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références). En l'occurrence, du moment que la recourante vit séparée d'un ressortissant suisse, l'art. 50 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20, nouveau titre dès le 1er janvier 2019 [RO 2017 6521]) est potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, le présent recours est recevable, sous la réserve qui suit.
1.3. La conclusion tendant à l'annulation de la décision du Secrétariat d'Etat du 4 janvier 2017 est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal administratif fédéral, l'arrêt de cette autorité se substituant aux prononcés antérieurs (cf. ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543).
2.
2.1. En vertu de l'art. 40 LEI, les autorisations prévues aux art. 32 à 35 et 37 à 39 LEI sont octroyées par les cantons. Les compétences de la Confédération sont réservées notamment en matière de procédure d'approbation (art. 99 LEI). La loi ne règle pas elle-même la procédure d'approbation, mais autorise, en vertu de l'art. 99 LEI, le Conseil fédéral à déterminer "les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités cantonales du marché du travail sont soumises à l'approbation du Secrétariat d'Etat", qui peut refuser son approbation ou limiter la portée de la décision cantonale. L'art. 85 al. 3 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) prévoit que "l'autorité cantonale compétente en matière d'étranger (art. 88 al. 1 OASA) peut soumettre pour approbation une décision au Secrétariat d'Etat afin qu'il vérifie si les conditions prévues par le droit fédéral sont remplies".
La jurisprudence a précisé que lorsqu'un titre de séjour a été octroyé sur recours par une autorité cantonale (en principe judiciaire) et que cette décision peut être portée jusqu'au Tribunal fédéral au moyen d'un recours en matière de droit public, c'est cette voie de droit qui doit être utilisée par le Secrétariat d'Etat et non pas la procédure d'approbation (cf. art. 89 al. 2 et 111 LTF; ATF 141 II 169 consid. 4.4.3 p. 177; arrêts 2C_739/2016 du 31 janvier 2017 consid. 4.1.1; 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.1 et les arrêts cités). Cette jurisprudence ne s'applique pas lorsque la décision de l'autorité de recours consiste en un renvoi à l'autorité administrative cantonale et que ce renvoi ne traite pas matériellement de la nouvelle décision que le service cantonal compétent doit rendre (cf. arrêt 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.2).
2.2. En l'occurrence, par décision du 19 juin 2015 rendue sur recours de l'intéressée contre le refus du Service cantonal de prolonger son autorisation de séjour, le Département a renvoyé la cause à ce service pour complément d'instruction et nouvelle décision. Il résulte de la décision du 19 juin 2015 que le Département n'a pas tranché de questions matérielles, ne s'est pas prononcé sur le fond et n'a pas imposé de résultat au Service cantonal. Cette décision n'était par conséquent pas attaquable par le Secrétariat d'Etat devant le Tribunal fédéral par le biais du recours en matière de droit public (cf. art. 93 al. 1 let. a LTF; cf. arrêts 8C_122/2014 du 18 août 2014 consid. 3.2; 2C_151/2013 du 24 mai 2014 consid. 1.2.3) et la jurisprudence susmentionnée ne s'applique pas. Le Service cantonal pouvait donc, comme il l'a fait le 3 mai 2016, soumettre le dossier au Secrétariat d'Etat pour approbation en application de l'art. 85 al. 3 OASA (cf. arrêt 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.2).
3.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF; ATF 142 I 135 consid. 1.6 p. 144 s.).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 141 IV 369 consid. 6.3 p. 375; 140 III 264 consid. 2.3 p. 266).
4.
La recourante se plaint de la violation de l'art. 50 LEI et d'arbitraire (art. 9 Cst.). Elle reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir nié l'existence de raisons personnelles majeures. Dès lors que l'union conjugale a duré moins de trois ans, la recourante ne se prévaut à juste titre pas de l'art. 50 al. 1 let. a LEI, mais uniquement de l'art. 50 al. 1 let. b et 2 LEI.
4.1. L'art. 50 al. 1 let. b et 2 LEI permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. Cette disposition vise à régler les situations qui échappent à l'art. 50 al. 1 let. a LEI, soit parce que le séjour en Suisse durant l'union conjugale n'a pas duré trois ans, soit parce que l'intégration n'est pas suffisamment accomplie, ou encore parce que ces deux aspects font défaut mais que - eu égard à l'ensemble des circonstances - l'étranger se trouve dans un cas de rigueur après la dissolution de la famille (cf. ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395; 137 II 345 consid. 3.2.1 p. 348 s.). A cet égard, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive et non l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive. Il s'agit par conséquent uniquement de décider du contenu de la notion juridique indéterminée "raisons personnelles majeures" et de l'appliquer au cas d'espèce, en gardant à l'esprit que l'art. 50 al. 1 let. b LEI confère un droit à la poursuite du séjour en Suisse (cf. ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395 et les arrêts cités). La loi a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives. Parmi celles-ci figurent notamment les violences conjugales et/ou la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine (cf. art. 50 al. 2 LEI; ATF 138 II 393 consid. 3 p. 394 ss et les arrêts cités).
S'agissant de la violence conjugale, la personne admise dans le cadre du regroupement familial doit établir qu'on ne peut plus exiger d'elle qu'elle poursuive l'union conjugale, parce que cette situation risque de la perturber gravement. La violence conjugale doit par conséquent revêtir une certaine intensité (ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395). La notion de violence conjugale inclut également la violence psychologique. A l'instar de violences physiques, seuls des actes de violence psychique d'une intensité particulière peuvent justifier l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEI (ATF 138 II 229 consid. 3 p. 232 ss; arrêt 2C_1085/2017 du 22 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités). Le fait d'exercer des contraintes psychiques d'une certaine constance et intensité peut fonder un cas de rigueur après dissolution de la communauté conjugale, au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI. Par exemple, une attaque verbale à l'occasion d'une dispute ne suffit pas (cf. ATF 138 II 229 consid. 3.2 p. 233; RDAF 2013 I p. 533). De même, une simple gifle ou le fait pour un époux étranger d'avoir été enfermé une fois dehors par son épouse ne suffisent pas (cf. ATF 138 II 229 consid. 3.2.1 p. 232; 136 II 1 consid. 5.4 p. 5; arrêt 2C_1085/2017 du 22 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités). En revanche, le Tribunal fédéral a considéré qu'un acte de violence isolé, mais particulièrement grave, pouvait à lui seul conduire à admettre l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI (cf. arrêt 2C_1085/2017 du 22 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités).
4.2. Se référant à un rapport du Bureau fédéral de l'égalité entre femmes et hommes relatif à la violence domestique, le Tribunal fédéral a souligné que les formes de violence domestique et de contrôle subies dans le cadre des relations intimes ne sont pas faciles à classer dans des catégories déterminées, raison pour laquelle les investigations doivent prendre en compte les actes commis, l'expérience de violence vécue par la victime, ainsi que la mise en danger de sa personnalité et les répercussions sur celle-ci (santé, restrictions dans sa vie quotidienne). La jurisprudence a considéré que c'est en ce sens qu'il faut comprendre la notion de violence conjugale d'une certaine intensité ("effets et retombées") au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI (arrêt 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 3.2 non publié aux ATF 142 I 152; cf. aussi arrêts 2C_649/2015 du 1er avril 2016 consid. 4.2; 2C_1125/2015 du 18 janvier 2016 consid. 4).
4.3. La personne étrangère qui se prétend victime de violences conjugales sous l'angle de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI est soumise à un devoir de coopération accru (cf. art. 90 LEI; ATF 138 II 229 consid. 3.2.3 p. 235; arrêt 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 3.2 non publié aux ATF 142 I 152). Elle doit rendre vraisemblable, par des moyens appropriés (rapports médicaux ou expertises psychiatriques, rapports de police, rapports/avis de services spécialisés [foyers pour femmes, centres d'aide aux victimes, etc..], témoignages crédibles de proches ou de voisins, etc.), la violence conjugale, respectivement l'oppression domestique alléguée (cf. arrêt 2C_68/2017 du 29 novembre 2017 consid. 5.4.1). Lorsque des contraintes psychiques sont invoquées, il incombe à la personne d'illustrer de façon concrète et objective, ainsi que d'établir par preuves le caractère systématique de la maltraitance, respectivement sa durée, ainsi que les pressions subjectives qui en résultent. Des affirmations d'ordre général ou des indices faisant état de tensions ponctuelles sont insuffisants (ATF 138 II 229 consid. 3.2.3 p. 235; arrêts 2C_1085/2017 du 22 mai 2018 consid. 3.2; 2C_68/2017 du 29 novembre 2017 consid. 5.4.1; 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 3.2 non publié aux ATF 142 I 152).
4.4. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a exposé dans son arrêt que le couple de la recourante avait rapidement rencontré des tensions, d'après l'intéressée en raison du constat de son infertilité en novembre 2011, d'après son mari parce qu'ils n'avaient rien en commun. Selon le Tribunal administratif fédéral, le couple n'arrivait ainsi plus à s'entendre après dix mois de vie commune et, pour faire pression sur son épouse, afin notamment de s'en séparer à moindre frais, l'époux de la recourante avait eu recours à "des stratagèmes plus ou moins douteux". Celui-ci avait ainsi initialement déposé une demande en annulation de mariage plutôt qu'en divorce, qu'il avait ensuite retirée lorsqu'il avait constaté que cette démarche pourrait avoir des conséquences financières négatives pour lui. Les précédents juges ont en outre relevé qu'il résultait d'un rapport du centre LAVI (loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions; RS 312.5) du canton de Neuchâtel (ci-après: le centre LAVI) et d'une lettre de ce centre du 23 août 2012 que l'époux de la recourante ne lui donnait que 11 francs par mois, qu'il ne lui fournissait aucune nourriture, qu'il avait pris la carte pour le lave-linge en lui enjoignant de faire la lessive à la main et qu'il avait supprimé les connexions TV, téléphone et internet, la privant ainsi de contact avec l'extérieur. Le Tribunal administratif fédéral a également noté qu'il résultait d'un courriel de l'assistante sociale du Centre neuchâtelois de psychiatrie du 3 octobre 2013 que le mari de la recourante avait emporté presque tout le mobilier lorsqu'il avait quitté le domicile conjugal, laissant à la recourante un matelas à même le sol.
4.5. Après avoir constaté ces faits, le Tribunal administratif fédéral a relevé que la recourante avait fourni à l'appui de ses allégations de violences conjugales d'ordre psychologique, physique et économique plusieurs documents (attestation du centre LAVI datée du 9 octobre 2015, ainsi qu'un journal établi par le centre sur la base des rencontres avec la recourante, certificats du Centre neuchâtelois de psychiatrie, datés des 20 avril 2012, 15 février 2013, 6 novembre 2013 et 15 avril [ recte: 24 mars] 2016, rapport de l'assistante sociale de ce centre, certificat médical du Dr Y._ du 16 novembre 2011). Sur la base de ces pièces, le Tribunal administratif fédéral a considéré que la recourante avait effectivement dû faire face à "des situations difficiles, voire intolérables" et que "l'existence d'une pression psychique à [son] encontre devait être admise" (consid. 4.6.2). Il a toutefois estimé que l'on ne saurait considérer que "les mauvais traitements dont a[vait] été victime l'intéressée de la part de son époux, même s'ils [étaient] à réprouver, constitu[aient] une situation de rigueur ou [avaient] été d'une intensité et d'une constance telles qu'elles justifieraient l'application de l'art. 50 al. 1 let. b" (consid. 4.7).
Pour parvenir à cette conclusion, le Tribunal administratif fédéral a souligné que le contenu des documents produits ne permettait pas de retenir qu'il y avait eu des maltraitances systématiques avec pour but de la part du mari de la recourante d'exercer pouvoir et contrôle sur celle-ci. Il a ensuite noté que si les attestations délivrées par le Centre LAVI et le Centre neuchâtelois de psychiatrie faisaient état de plusieurs formes de violences subies par l'intéressée (physiques, économiques, sexuelles et psychologiques), ces affirmations reposaient uniquement sur les déclarations de l'intéressée et n'étaient étayées par aucun autre document susceptible de les objectiver. Il a enfin relevé que la recourante n'avait jamais quitté le domicile conjugal, ne s'était jamais plainte à la police de maltraitance, ne s'était jamais rendue aux urgences pour se faire soigner à la suite d'une altercation avec son époux et n'avait pas déposé de plainte pénale ou de demande au civil en dommages-intérêts.
4.6. C'est à raison que la recourante conteste le raisonnement qui précède.
4.6.1. Tout d'abord, les arguments du Tribunal administratif fédéral tendent à remettre en cause la véracité du récit de la recourante; ils ne renseignent en revanche aucunement sur l'intensité et la constance des violences subies, qui étaient pourtant les seuls points litigieux puisque les précédents juges ont explicitement admis que la recourante avait été victime de violences et qu'il résulte en outre de l'arrêt entrepris que le Secrétariat d'Etat lui-même n'a pas spécifiquement nié l'existence de mauvais traitements. En d'autres termes, le raisonnement du Tribunal administratif fédéral, qui met en doute le récit de la recourante tout en reconnaissant dans le même temps que celle-ci a été victime de violences, est contradictoire. Pour ce motif déjà, on ne voit pas qu'il puisse être confirmé.
4.6.2. L'appréciation du Tribunal administratif fédéral est en outre insoutenable (art. 9 Cst.).
Le Tribunal administratif fédéral a relativisé les situations vécues par la recourante en indiquant qu'il n'était pas établi que le but de l'époux était d'exercer pouvoir et contrôle. L'intention de l'auteur des violences est toutefois une question étrangère à celle, objective, de savoir s'il y a eu des violences conjugales et si celles-ci ont atteint une intensité particulière.
Le Tribunal administratif fédéral a ensuite relevé que la parole de la recourante n'était pas étayée par des éléments objectifs. On ne voit cependant pas qu'il puisse en aller autrement s'agissant de la descriptions d'actes commis dans l'intimité du couple. En outre, en l'espèce, les précédents juges ont relevé que l'assistante sociale du Centre neuchâtelois de psychiatrie avait constaté le dénuement dans lequel l'époux de la recourante l'avait laissée après son départ du domicile conjugal et qu'un rapport de celle-ci évoquait la présence d'affiches dans l'appartement traitant la recourante de sorcière. Des constats objectifs viennent ainsi en l'occurrence étayer les dires de la recourante s'agissant de la violence psychique et économique alléguée. Par ailleurs, rien dans l'arrêt entrepris n'indique que les spécialistes du Centre LAVI ou du Centre neuchâtelois de psychiatrie qui ont suivi la recourante aient émis des doutes quant à la crédibilité de celle-ci. Au contraire, il résulte des décisions citées dans l'arrêt entrepris que le Centre LAVI a reconnu à la recourante le statut de victime, cette notion étant définie par la loi comme "toute personne qui a subi, du fait d'une infraction, une atteinte directe à son intégrité physique, psychique ou sexuelle" (art. 1 al. 1 LAVI), ce qui tend à démontrer que les services spécialisés ont cru au récit de la recourante.
Le Tribunal administratif fédéral a enfin considéré que la recourante n'avait pas entrepris certaines démarches. Il ne saurait cependant être question de nier des violences conjugales au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEI ou de les minimiser au motif que ce n'est pas la victime qui a quitté le foyer conjugal ou qu'il n'y a pas eu de scènes de violence physique nécessitant une intervention médicale d'urgence, sauf à méconnaître le contrôle qui peut être exercé par l'auteur de la violence sur sa victime (cf. supra consid. 4.3) et, de manière générale, la notion de violence conjugale ou domestique, qui ne se résume pas aux coups physiques (cf. supra consid. 4.1). On ne saurait non plus nier la violence conjugale ou la minimiser au motif qu'il n'y a pas eu de plainte pénale ou d'action civile. Il sera rappelé à cet égard que la preuve de la violence domestique peut être apportée par divers moyens, qui ne sont pas limités par la loi (cf. ATF 142 I 152 consid. 6.2 p. 153 s.) et qu'en l'occurrence la recourante a produit à l'appui de ses allégations des rapports du centre LAVI et du Centre neuchâtelois de psychiatrie, soit le type de documents que la jurisprudence mentionne au titre des moyens de preuve appropriés (cf. supra consid. 4.3).
4.7. En définitive, la conclusion du Tribunal administratif fédéral ne peut être confirmée. Compte tenu des faits établis dans l'arrêt querellé, il y a non seulement lieu d'admettre, ainsi que l'a fait l'autorité précédente, que la recourante a été victime de mauvais traitements de la part de son mari, mais en outre que les traitements infligés ont atteint une intensité particulière justifiant l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEI.
A cet égard, outre les éléments déjà relevés par le Tribunal administratif fédéral au sujet de l'attitude du mari de la recourante pour se débarrasser d'elle, ainsi qu'au sujet du dénuement et de l'isolement dans lesquels la recourante a vécu pendant la relation et après que son époux a quitté le domicile conjugal (cf. supra consid. 4.4), on soulignera que la recourante a eu pas moins de 13 entretiens au Centre LAVI entre avril 2012 et septembre 2013, qu'il résulte des certificats du Centre neuchâtelois de psychiatrie que la recourante est régulièrement suivie par ce centre depuis le 30 mars 2012, à la suite d'un épisode dépressif prolongé et initié par un trouble de l'adaptation, et qu'il est fait état, notamment dans le certificat du 24 mars 2016, de maltraitances psychiques et physiques (rabaissements, dévalorisations, insultes, contraintes sexuelles), qui ont aggravé et prolongé l'état dépressif. Au vu de la combinaison des formes de violence (psychique, physique et économique) et de leur durée (de fin 2011 jusqu'au départ du mari de la recourante du domicile conjugal en octobre 2013), l'intensité et le caractère systématique des violences conjugales subies doivent en l'espèce être admis.
4.8. Il suit de ce qui précède que le grief tiré de la violation de l'art. 50 al. 1 let. b et 2 LEI doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée au Secrétariat d'Etat pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour à la recourante.
La cause sera par ailleurs renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure devant lui (art. 68 al. 5 LTF).
5.
Bien qu'il succombe, le Secrétariat d'Etat, qui ne défend pas d'intérêt patrimonial, ne peut se voir imposer les frais de justice (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La recourante, qui obtient gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, a droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF), à la charge de la Confédération (Département fédéral de justice et police, Secrétariat d'Etat aux migrations). La demande d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 19 mars 2018 est annulé.
2.
La cause est renvoyée au Secrétariat d'Etat aux migrations pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour à la recourante.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure devant lui.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Une indemnité de 2'500 fr., à payer au mandataire de la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de la Confédération (Département fédéral de justice et police, Secrétariat d'Etat aux migrations).
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, ainsi qu'au Service des migrations du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 21 janvier 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber