Faits :
A.
A.a. A._, née en 1960, a travaillé à plein temps en tant qu'aide-soignante auprès de l'établissement médico-social (EMS) B._ dès le 1 er janvier 1992. En arrêt de travail depuis le 19 avril 2002, elle a présenté une demande de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) le 20 mars 2003.
Après avoir notamment soumis l'assurée à une expertise rhumatologique (rapport du docteur C._ du 31 mars 2004) dont il ressortait qu'elle pouvait exercer son activité habituelle d'aide-soignante ou une activité adaptée à mi-temps, l'office AI a rejeté la demande de prestations en tant qu'elle portait sur des mesures professionnelles (décision du 19 janvier 2005). Deux jours auparavant, il avait informé l'assurée qu'il envisageait de lui octroyer une demi-rente d'invalidité à partir du 1 er avril 2003. Après avoir pris connaissance des objections formées par A._ le 18 février 2005, selon lesquelles une demi-rente d'invalidité était totalement insuffisante, l'office AI a complété son instruction en ordonnant la réalisation d'une expertise psychiatrique (rapport du 17 juillet 2005). Par décision du 20 avril 2006, confirmée sur opposition le 25 août 2008, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité.
A.b. Saisi d'un recours, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, a annulé la décision sur opposition du 25 août 2008 et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire sur le plan médical, puis nouvelle décision (jugement du 22 avril 2009).
Conformément à ces instructions, l'office AI a soumis l'assurée à un examen rhumatologique, puis psychiatrique. Le 18 août 2009, le docteur D._, spécialiste en médecine interne générale, en rhumatologie et médecin auprès du Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), a diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - des rachialgies diffuses avec notamment des cervicobrachialgies à gauche dans le cadre de troubles statiques et dégénératifs du rachis avec séquelles de maladie de Scheuermann ainsi que de petites hernies discales C3-C4 et C6-C7; la capacité de l'assurée était nulle dans son activité habituelle mais complète dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles depuis le 19 avril 2002. Puis, la doctoresse E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - un épisode dépressif moyen "avec puis sans" syndrome somatique depuis fin 2009; l'assurée pouvait exercer une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles à 50 % de fin 2009 à fin juin 2010, puis à 70 % dès juillet 2010 (rapport du 18 février 2011). Le docteur F._, médecin traitant, a pris position sur les conclusions de l'expertise psychiatrique (avis du 18 avril 2011).
En se fondant sur les avis de son SMR (des 20 février et 19 juin 2012), l'office AI a octroyé à l'assurée un quart de rente d'invalidité dès le 1 er avril 2010 (décision du 7 janvier 2013).
A.c. Par jugement du 7 avril 2014, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a admis le recours formé par A._ contre cette décision et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire (relative au salaire) au sens des considérants.
Après avoir recueilli des informations complémentaires sur la rémunération de l'assurée auprès de son dernier employeur, l'office AI a, par décision du 5 octobre 2016, octroyé à A._ un quart de rente de l'assurance-invalidité du 1 er mars 2010 au 31 mai 2010, trois quarts de rente du 1 er juin au 30 septembre 2010 et une demi-rente dès le 1 er octobre 2010.
B.
L'assurée a déféré la décision du 5 octobre 2016 au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. Statuant le 29 novembre 2017, celui-ci l'a déboutée.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement du 29 novembre 2017 dont elle demande l'annulation. Elle conclut en substance à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité dès le 1 er avril "2013" (recte: 2003), puis d'une rente entière dès le 1 er mars 2010.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2.
Le litige porte en instance fédérale sur le droit de l'assurée à une demi-rente de l'assurance-invalidité dès le 1er avril 2003, ainsi que sur le point de savoir si elle a droit à une rente d'invalidité plus élevée qu'un quart de rente du 1er mars au 31 mai 2010, trois quarts de rente du 1er juin au 30 septembre 2010 et une demi-rente dès le 1er octobre 2010. Le jugement entrepris expose - par renvoi aux considérants de la décision du 7 avril 2014 - de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la notion d'invalidité (art. 8 LPGA et art. 4 LAI), à son évaluation (art. 16 LPGA) et à la valeur probante des rapports et expertises médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. Invoquant la protection de la bonne foi, respectivement un déni de justice, la recourante soutient avoir relevé, tout au long de la procédure ayant duré plus de dix ans, que son degré d'invalidité ne pouvait être inférieur à celui mentionné dans la communication du 17 janvier 2005 (50 %), qui liait l'intimé.
3.2. Pour autant que le grief tiré de la violation de droits constitutionnels puisse être considéré comme suffisamment motivé (consid. 1 supra), il doit être rejeté. Dans sa communication du 17 janvier 2005, l'intimé a certes informé la recourante qu'il comptait lui reconnaître le droit à une demi-rente d'invalidité dès le 1er avril 2003, ce qui impliquait cependant le prononcé d'une décision motivée. En réaction à la critique de la recourante du 18 février 2005, qui sollicitait une rente plus élevée, il a toutefois expliqué à la recourante que son dossier nécessitait un complément d'instruction, de sorte que "la notification de la décision découlant de [son] prononcé du 19 janvier 2005" était suspendue jusqu'à nouvel avis de sa part (courrier du 25 février 2005). A l'aune de ces informations, l'intimé n'a créé aucune expectative au regard du principe de la bonne foi; dès le 25 février 2005, il était en effet clair que le droit aux prestations de la recourante devait faire l'objet d'un nouvel examen et d'une décision formelle. Celle-ci a été rendue le 20 avril 2006, sans toutefois mettre fin à la procédure compte tenu de l'opposition puis du recours de l'assurée.
Quant au déni de justice, il ne suffit pas d'invoquer "se battre" depuis plus de dix ans pour établir la violation de ce droit constitutionnel.
En tant que la recourante semble se plaindre ensuite du fait que des mesures de reclassement d'ordre professionnel n'auraient pas été ordonnées, il lui aurait incombé de contester la décision y relative du 19 janvier 2005.
4.
4.1. Se prévalant de l'arbitraire, la recourante critique ensuite la fixation de ses revenus avec et sans invalidité. A supposer que la décision attaquée contienne des constatations suffisantes, elle soutient que la juridiction cantonale a fixé un revenu d'invalide irréaliste et que ses revenus sans invalidité doivent "indiscutablement être revus à la hausse".
4.2. En tant que la recourante affirme que la juridiction cantonale n'a tout d'abord pas fixé ses revenus d'invalide pour les années 2004 à 2016, ainsi que ses revenus sans invalidité pour les années 2004 à 2006, une lecture attentive du jugement attaqué révèle que les premiers juges ont confirmé pour l'essentiel les montants retenus à ce titre par l'administration (consid. 4a du jugement entrepris). Ces derniers ont uniquement ajouté certaines indemnités en faveur de l'assurée.
Pour le reste, en se limitant à qualifier d'irréalistes les revenus constatés par la juridiction cantonale, sans leur opposer d'élément concret, la recourante ne démontre pas l'inexactitude manifeste des faits retenus. Il n'y a donc pas lieu de s'en écarter (consid. 1 supra).
4.3. L'argumentation de la recourante ne met finalement pas en évidence des circonstances susceptibles d'établir que la juridiction cantonale aurait violé le droit fédéral en opérant un abattement de 15 % et non de 25 % sur le salaire statistique retenu à titre de revenu d'invalide. En particulier, les premiers juges n'ont pas excédé ou abusé de leur pouvoir d'appréciation en retenant comme motifs de réduction l'âge, l'éventuelle perte au niveau de l'ancienneté et les limitations fonctionnelles de la recourante. C'est en vain que la recourante invoque son âge, dûment pris en compte par la juridiction cantonale, ainsi que l'éloignement du marché du travail depuis plus de quinze ans; il ne s'agit pas là d'un facteur d'abattement au sens de la jurisprudence (ATF 126 V 75 consid. 5b/bb p. 80).
5.
Compte tenu de ce qui précède, le recours est mal fondé.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mai 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Meyer
Le Greffier : Bleicker