Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer ist der Bruder des am 25. März 2010 verstorbenen B._, gegen welchen ab Frühling 2006 ein Strafverfahren wegen Vergewaltigung, mehrfacher einfacher Körperverletzung sowie versuchter Nötigung geführt wurde. Mit Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt vom 11. Oktober 2007 wurde B._ der mehrfachen einfachen Körperverletzung, der mehrfachen Tätlichkeit und der versuchten Nötigung schuldig erklärt, von der Anklage der mehrfachen Vergewaltigung jedoch freigesprochen. Dieses Urteil wurde vom Appellationsgericht Basel-Stadt am 27. Mai 2009 bestätigt und erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Mit Eingabe vom 11. März 2017 erstattete der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen die fallführende Staatsanwältin im Verfahren seines Bruders wegen falscher Anschuldigung und Amtsmissbrauchs. Der Erste Staatsanwalt nahm die Strafuntersuchung am 9. Juni 2017 nicht an die Hand. Auf eine dagegen gerichtete Beschwerde trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 20. Oktober 2017 mangels Beschwerdelegitimation nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich am 20. Dezember 2017 mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Nichtanhandnahmeverfügung sei aufzuheben, die (Offizial-) Delikte gegen die fallführende Staatsanwältin seien zu überprüfen und das Verfahren sei wegen Befangenheit und Weigerung der Überprüfung von (Offizial-) Delikten der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt an einen andern Kanton zu übergeben.
2.
Anfechtungsobjekt ist ausschliesslich der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts vom 20. Oktober 2017 (Art. 80 Abs. 1 BGG). Streitgegenstand bildet die Frage, ob dem Beschwerdeführer die Rechtsmittellegitimation im kantonalen Beschwerdeverfahren zu Unrecht abgesprochen worden ist. Soweit sich dieser vor Bundesgericht nicht damit befasst, ist er mit seinen Ausführungen von vornherein nicht zu hören.
3.
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwieweit dieser gegen das Recht verstossen soll, wobei für die Rüge der Verletzung von Grundrechten qualifizierte Rügeanforderungen bestehen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Nach Art. 382 Abs. 1 StPO kann jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat, ein Rechtsmittel nach der StPO ergreifen. Die Beschwerdebefugnis verlangt eine direkte persönliche Betroffenheit der rechtsuchenden Person in den eigenen rechtlich geschützten Interessen (Urteil 6B_942/2016 vom 7. September 2017 E. 2.3).
4.
Das Appellationsgericht erwägt, der Beschwerdeführer sei nicht direkt in seinen eigenen Interessen betroffen, da die beanzeigten Rechtspflegedelikte nicht in einem Verfahren gegen ihn selber, sondern im Zusammenhang mit einem Strafverfahren gegen seinen verstorbenen Bruder begangen worden sein sollen. Damit bleibe zu prüfen, ob der Beschwerdeführer allenfalls als Angehöriger bzw. Hinterbliebener beschwerdelegitimiert sei. Eine solche Legitimation zur Anfechtung der Nichtanhandnahmeverfügung könnte dann bejaht werden, wenn die Beschwerde direkte Auswirkungen auf die Vermögenssituation des Verstorbenen und damit auf dessen Erben hätte. Solche Auswirkungen habe der Beschwerdeführer indessen weder dargetan noch seien solche ersichtlich, so dass auf die Beschwerde unter diesem Aspekt nicht eingetreten werden könne. Der Beschwerdeführer verkenne überdies, dass sich das vorliegende Beschwerdeverfahren gegen die Nichtanhandnahmeverfügung richte und kein Rechtsmittel gegen die rechtskräftige Verurteilung des verstorbenen Bruders darstelle. Das vorliegende Beschwerdeverfahren sei daher von vornherein nicht geeignet, eine Änderung im Straf- und/oder Schuldpunkt im Verfahren gegen den verstorbenen Bruder herbeizuführen. Auf die Beschwerde sei daher mangels Legitimation auch unter diesem Gesichtspunkt nicht einzutreten.
5.
Was daran gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könne, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen des Appellationsgerichts nicht auseinander. Stattdessen behauptet er, das Appellationsgericht versuche mit juristischen Winkelzügen bzw. mit einem juristischen Ablenkungsmanöver die Aufdeckung eines Justizskandals zu verhindern und ihm das Recht auf Kritik am Justizverfahren abzusprechen. Er sei jedoch zur Nennung von (Offizial-) Delikten befugt, habe als Bruder ein umfassendes Klagerecht und sei selber Geschädigter, zumal er einige tausend Franken in die Unterstützung des Bruders und in die Verfahren zu dessen Rehabilitierung beigesteuert habe. Damit zeigt der Beschwerdeführer indessen nicht auf, dass und inwiefern der Nichteintretensentscheid des Appellationsgerichts bundesrechtswidrig sein könnte. Er verkennt zudem namentlich, dass die Legitimation des Anzeigeerstatters im kantonalen Beschwerdeverfahren gegen einen Nichtanhandnahmeentscheid voraussetzt, dass auch jener durch die angezeigten Straftaten in seinen Rechten unmittelbar verletzt wurde. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen nicht. Dies ist auch der Fall, soweit der Beschwerdeführer Befangenheit geltend macht. Mit den Hinweisen, der erste Staatsanwalt und das Appellationsgericht hätten mit ihren Stellungnahmen nicht unerwartet ihre Befangenheit gezeigt und der Fall sei innerhalb der Basler Behörden so brisant, dass nur eine ausserkantonale Stelle ein unbefangenes Urteil abgeben könne, lässt sich Befangenheit nicht im Ansatz dartun. Damit ist auf die Beschwerde mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
6.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill