Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) wohnt in B._/SO und hat vor dem Steuergericht des Kantons Solothurn das Beschwerdeverfahren SGSTA.2021.8 / BST.2021.8 in Sachen Staats- und Gemeindesteuern das Kantons Solothurn sowie direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2015 (Verrechnungserklärung), angestrengt (dazu schon das Urteil 2C_456/2021 vom 2. Juni 2021 betreffend das damalige Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege; Nichteintreten mangels hinreichender Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
1.2. Mit weiterem Beschluss vom 27. Oktober 2021 kam das Steuergericht des Kantons Solothurn zum Schluss, dass die vom Steuerpflichtigen erhobenen Ausstandsbegehren gegen vier Mitglieder des Gerichts abzuweisen seien, soweit darauf einzutreten sei. Der geltend gemachte Ausstandsgrund sei nicht nachgewiesen und der angeblich krasse Fehler nicht glaubhaft gemacht. Ebenso wenig habe der Steuerpflichtige darzulegen vermocht, dass die Richter sich von vorgefassten Meinungen hätten leiten lassen. Über die Kosten des Beschlusses werde im Rahmen der Hauptsache zu entscheiden sein. Mit "Berufung" vom 11. November 2021 wandte der Steuerpflichtige sich an das Bundesgericht und beantragte, die streitbetroffenen Gerichtspersonen seien in den Ausstand zu versetzen. Diese seien befangen und nicht in der Lage, "gewissenhaft zu ermitteln, weil jahrelang und jedes Mal vorsätzlich falsch/unglaubwürdig/willkürlich/diskriminierend" entschieden worden sei, "um organisierte Kriminalität zu veträuschen [vertuschen?] und fort[zu]setzen". Auch auf diese Eingabe war mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Urteil 2C_920/2021 vom 7. Dezember 2021).
1.3. Mit Eingabe vom 21. Januar 2022 (Postaufgabe: 24. Januar 2022) lässt der Steuerpflichtige dem Bundesgericht eine weitere "Berufung" zukommen. Er stützt sich nunmehr auf Art. 310 ZPO; er rügt einerseits die unrichtige Rechtsanwendung und anderseits die unrichtige Feststellung des Sachverhalts. Zudem lehnt er das "Bundesgericht Lausanne" in seiner Gesamtheit ab, da dieses befangen und nicht in der Lage sei, "gewissenhaft zu ermitteln".
1.4. Die Instruktionsrichterin (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere einem Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 1 BGG), abgesehen.
2.
2.1. Formelle Rügen - wie namentlich Gehörsrügen oder die Rüge der Befangenheit - können ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen, weshalb sie vorab zu behandeln sind (Urteile 2C_551/2021 vom 24. Januar 2022 E. 2.1; 2C_788/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 3.1; 2C_196/2017 vom 21. Februar 2019 E. 3, nicht publ. in: BGE 145 II 49).
2.2. Der Steuerpflichtige lehnt das "Bundesgericht Lausanne" in globo ab, wobei unklar bleibt, ob er das Bundesgericht in seiner Gesamtheit oder lediglich die fünf in Lausanne beheimateten Abteilungen als befangen erachtet. Dies ist freilich von keiner weiteren Bedeutung: Ein Ausstandsgesuch ist nach dem Wortlaut des Gesetzes (Art. 34 Abs. 1 und Art. 36 Abs. 1 BGG) zwar gegen einzelne Mitglieder des Bundesgerichts möglich, nicht aber - abgesehen von Ausnahmen - gegen das Bundesgericht in seiner Gesamtheit (BGE 105 Ib 301 E. 1a [zur analogen Regelung im früheren Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG; AS 60 271] und seitherige ständige Praxis; zuletzt etwa Verfügung vom 8. Juli 2020 im Verfahren 2E_4/2019, zitiert im Urteil 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021, Sachverhalt lit. E; 5A_528/2020 vom 3. Juli 2020 E. 3; 4A_613/2017 vom 28. September 2018 E. 5).
2.3. Ein Ausstandsbegehren kann folglich nicht institutionell, d.h. gegen ein Gericht oder eine Abteilung in globo gestellt werden. Vielmehr sind, damit auf die Sache eingetreten werden kann, substanziiert vorgetragene Ausstandsgründe in Bezug auf konkrete Gerichtspersonen vorzutragen. Daran fehlt es im vorliegenden Fall. Der Steuerpflichtige äussert sich lediglich dahingehend, dass das "Bundesgericht Lausanne" befangen und nicht in der Lage sei, "gewissenhaft zu ermitteln". Was er damit genau meint, bleibt ebenso unklar, wie es klar ist, dass das Gesuch ausschliesslich institutionell begründet ist, was nach dem Gesagten unzulässig ist. Auf das Ausstandsgesuch ist mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
3.
3.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Eine ordentliche Beschwerde gegen ein bundesgerichtliches Urteil sieht das Gesetz nicht vor. Das Bundesgericht kann auf eines seiner Urteile nur zurückkommen, soweit ein gesetzlicher Revisionsgrund gegeben ist. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund (Art. 121 ff. BGG) zu bezeichnen und aufzuzeigen, inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Zudem ist im Revisionsgesuch darzutun, inwieweit das Dispositiv des revisionsbetroffenen Urteils abzuändern sei. Die Revision darf keinesfalls dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder in Frage zu stellen oder gesetzliche Vorschriften über die Rechtsmittelfristen zu umgehen (BGE 143 II 1 E. 5.1; 136 II 177 E. 2.1; 130 IV 72 E. 2.2; zum Ganzen etwa Urteil 2F_22/2021 vom 27. Juli 2021 E. 2.1).
3.2. Die gesetzlichen Revisionsgründe unterliegen einem Numerus clausus (insbesondere zu den abgaberechtlichen Revisionsgründen: BGE 142 II 433 E. 3.1). Weitere Aufhebungs- oder Abänderungsgründe als die im Gesetz genannten sind ausgeschlossen und können weder von der steuerpflichtigen Person noch von der öffentlichen Hand angerufen werden. Liegt kein Revisionsgrund vor, hat es bei der Rechtskraft des revisionsbetroffenen Urteils zu bleiben (zum Ganzen: Urteil 2F_36/2021 vom 11. Januar 2022 E. 2.1).
3.3. Der Steuerpflichtige hätte damit einen der gesetzlichen Revisionsgründe zu bezeichnen und detailliert aufzuzeigen, dass und inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll. Zudem hätte er sich konkret zum Dispositiv zu äussern, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (vorne E. 3.1). Der Steuerpflichtige beschränkt sich in seiner Eingabe allerdings auf blosse Werturteile ("Scheinverfahren 2C_920/2021", "jahrelang vorsätzlich falsch geurteilt" und dergleichen), ohne auch nur mit einem Wort auszuführen, dass und inwiefern ein tauglicher Revisionsgrund erfüllt sein könnte. Er nutzt seine Eingabe offenkundig, um den Unmut über die wiederholt zu seinen Ungunsten ausgefallenen Urteile zum Ausdruck zu bringen. Abgesehen davon, dass dies offenkundig unter den Schutz keines Revisionsgrundes fällt, fehlt selbst eine appellatorische Kritik. Die kurzen, in keiner Weise zielführenden Erörterungen des Steuerpflichtigen genügen vor dem Hintergrund von Art. 42 BGG nicht, um dem Bundesgericht ein Eintreten auf die Sache zu ermöglichen.
3.4. Das zumindest sinngemäss gestellte Revisionsgesuch (als "Berufung" bezeichnete Eingabe) enthält mithin keine hinreichende Begründung. Dies hat dazu zu führen, dass auch im Revisionspunkt auf das Gesuch nicht einzutreten ist.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Kocher