Faits :
A.
Par acte d'accusation du 14 janvier 2019 du Ministère public de l'arrondissement de Lausanne, A._, B._, C._ et D._ ont été déférés devant le Tribunal criminel de La Côte (ci-après : le Tribunal criminel) notamment pour brigandage qualifié.
Les débats ont été ouverts le 14 juillet 2020. C._ et D._ ont comparu, assistés de leur mandataire respectif. Quant à A._ et B._, ils ne se sont pas présentés; le second avait déjà été défaillant lors de l'audience de jugement du 7 octobre 2019. A l'ouverture de la séance du 14 juillet 2020, les défenseurs de ces deux prévenus ont déclaré ne pas être en mesure de les représenter.
Procédant par l'intermédiaire de son défenseur d'office, C._ a immédiatement requis le report des débats, précisant qu'en l'absence d'un tel renvoi, elle s'opposerait à la disjonction de la cause de A._, dont c'était le premier défaut. L'avocat du prévenu défaillant B._ a également demandé le renvoi des débats pour les mêmes motifs, s'opposant aussi, en cas de maintien de l'audience, à la disjonction de la cause concernant son client. Le défenseur d'office du prévenu défaillant A._ a déclaré s'opposer à la disjonction de la cause le concernant, précisant que si celle-ci devait être maintenue, il n'assisterait pas à la suite des débats; il a finalement requis le renvoi des débats pour permettre la confrontation des quatre prévenus. Le prévenu D._, par le biais de son défenseur d'office, s'en est remis à justice sur les deux problématiques. La Procureure s'est opposée au renvoi des débats et s'en est remise à justice s'agissant de la disjonction. Tel a également été le cas des deux parties plaignantes.
Statuant sur le siège, le Tribunal criminel a rejeté les requêtes de renvoi des débats et les oppositions à la disjonction de la cause (dispositif ch. I). Il a en substance constaté le second défaut de B._, ce qui permettait le jugement par défaut de ce dernier (art. 366 al. 4 CPP; dispositif ch. II). Ce tribunal a ensuite ordonné la disjonction de la cause relative à A._, lequel serait convoqué pour de nouveaux débats (art. 366 al. 1 CPP; dispositif ch. III). Cette décision a été communiquée par lecture aux comparants vers 11h17 et les mandataires des prévenus C._ et B._ ont immédiatement déclaré faire recours. Il a également été verbalisé que la décision incidente leur serait remise par écrit à la suite de la suspension pour la pause de midi et que l'audience reprendrait à 14h00. Le mandataire de A._ a déclaré se retirer de la suite des débats jusqu'à droit connu sur les éventuels recours.
B.
Par courrier adressé le 14 juillet 2020 par e-fax et par porteur, l'avocat de A._, déclarant agir au nom de celui-ci, a déposé un recours contre la décision incidente du Tribunal criminel, concluant en substance à l'annulation de la disjonction de la cause concernant son client de celles relatives aux autres prévenus.
Ce recours a été déclaré irrecevable par arrêt du 16 juillet 2020 de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois (ch. I). Aucune indemnité n'a été allouée au défenseur d'office (ch. II) et les frais ont été mis à la charge de ce dernier (ch. III).
C.
Par acte du 19 août 2020, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. A titre subsidiaire, il demande l'annulation de la disjonction de la cause le concernant de celle relative aux trois autres prévenus ordonnée par le Tribunal criminel. Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Ministère public et l'autorité précédente ont renoncé à déposer des observations, se référant à la décision attaquée.
Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué - qui déclare irrecevable le recours formé notamment contre la disjonction de la cause du recourant de celles relatives aux trois autres prévenus - a été rendu par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (art. 80 LTF) dans le cadre d'une procédure pénale. Le recours en matière pénale est donc en principe ouvert (art. 78 ss LTF). Le recourant dispose d'un intérêt juridique à l'annulation ou la modification de la décision attaquée qui ne se prononce pas sur les griefs soulevés au fond dans son recours (art. 81 al. 1 LTF). De plus, le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 CPP).
Le prononcé entrepris ne mettant pas un terme à la procédure pénale, il revêt donc un caractère incident et le recours n'est en principe recevable qu'en présence d'un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF). Cela étant, lorsque le recours est formé contre une décision d'irrecevabilité, cette situation équivaut, sous l'angle de la recevabilité, à un déni de justice formel. Le recours sur cette question particulière est donc ouvert indépendamment d'un préjudice irréparable (ATF 143 I 344 consid. 1.2 p. 346). Seule la question de la recevabilité du recours cantonal peut cependant être portée devant le Tribunal fédéral, ce qui exclut l'examen des griefs développés en lien avec le fond.
Il en découle notamment que la conclusion principale tendant au renvoi de la cause à l'autorité précédente est recevable (art. 107 al. 2 LTF) et qu'il n'y a pas lieu d'examiner les arguments soulevés au fond (cf. ad D p. 5 ss du recours).
2.
2.1.
Invoquant une violation de son droit d'être entendu et une constatation manifestement inexacte des faits, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que son mandataire ne disposait d'aucun pouvoir pour le représenter dans le cadre du recours intenté contre la décision incidente du Tribunal criminel. Le recourant soutient à cet égard qu'il n'est jamais demandé à un conseil d'office de produire une procuration pour déposer un recours cantonal; son avocat n'avait de plus pas été interpellé à cet égard, cadre dans lequel il aurait pu produire les échanges intervenus avec son mandant préalablement au dépôt de son recours (cf. les pièces 4 et 5 de son bordereau). Indépendamment de l'obtention de son accord, le recourant prétend aussi que son défenseur doit pouvoir prendre les mesures nécessaires afin de sauvegarder ses droits, ce qui imposait en l'espèce de recourir contre la décision de disjonction et de refus de report des débats.
2.2. La cour cantonale a en substance considéré que, lorsque la procédure par défaut était engagée, "l'art. 367 al. 1 CPP n'instaur[ait] pas de fait un débat contradictoire"; il en découlait que l'avocat du recourant, prévenu défaillant, était uniquement habilité à plaider en faveur de celui-ci, mais non pas à le représenter dans une éventuelle procédure incidente (cf. consid. 2.1 et 2.2 p. 4 s. de l'arrêt attaqué).
Ce raisonnement - peu importe de savoir s'il est correct ou pas - part en tout état de cause de la prémisse erronée que la procédure par défaut a été engagée vis-à-vis du recourant. Tel n'est pas le cas, puisque le Tribunal criminel a considéré à son égard que l'art. 366 al. 1 CPP s'appliquait. Selon cette disposition, si le prévenu dûment cité ne comparaît pas aux débats de première instance, le tribunal fixe de nouveaux débats et cite à nouveau le prévenu ou le fait amener; il recueille les preuves dont l'administration ne souffre aucun délai. A ce stade, une procédure par défaut proprement dite - dont l'exécution est certes mise en oeuvre en application notamment de l'art. 367 CPP - n'entre donc pas encore en considération à l'égard du recourant. Les pouvoirs de représentation de son défenseur ne sauraient donc être limités - dans la mesure au demeurant où tel pourrait être le cas - par l'art. 367 al. 1 CPP, ce qui permet d'écarter la motivation retenue par l'autorité précédente à cet égard.
2.3. La Chambre des recours pénale a également refusé d'indemniser l'avocat du recourant, dès lors que celui-ci avait expressément relevé, dès l'ouverture des débats, qu'il "n'[était] pas en mesure de [...] représenter" son mandant; cela démontrait, du propre aveu de l'avocat, son absence de pouvoirs de représentation (cf. consid 3 p. 5).
Cette appréciation ne saurait toutefois être suivie. Indépendamment du fait de se prononcer sur la question de l'indemnité éventuellement due à l'avocat du recourant dans le cadre de la procédure de recours, il est en effet incontesté que celui-ci agit en l'occurrence en tant que défenseur d'office dans un cas de défense obligatoire (cf. l'ordonnance du 28 janvier 2016). En l'absence de décision formelle révoquant ce mandat (cf. art. 134 CPP; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, in Commentaire romand, Code de procédure pénale, 2e éd. 2019, n° 2 ad art. 134 CPP), la remarque précitée de l'avocat ne saurait donc en principe suffire à retenir l'absence de pouvoirs de représentation pour intenter un recours. Dans la mesure où l'autorité cantonale entendait pourtant aboutir à une telle conclusion, elle devait, sauf à violer le droit d'être entendu, interpeller préalablement le recourant et/ou son mandataire sur cette problématique (ATF 145 IV 99 consid. 3.1 p. 109 s.). Cela semble d'autant plus s'imposer en l'occurrence que la Chambre des recours pénale rappelle dans ses considérants la pratique cantonale à cet égard, à savoir que le mandat d'office ne prend fin qu'à l'épuisement des instances cantonales; l'avocat du recourant ne pouvait dès lors se douter de la nécessité d'établir dans le cas d'espèce ses pouvoirs de représentation dans son recours cantonal. En outre, eu égard aux pièces produites devant le Tribunal fédéral - qui sont dès lors recevables puisqu'elles découlent de la décision attaquée (art. 99 al. 1 LTF; ATF 143 V 19 consid. 1.2 p. 22 s.; 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123) -, il semble acquis que l'avocat a obtenu le consentement de son client le 14 juillet 2020 à 14h31, soit préalablement à l'envoi par e-fax du recours cantonal à 15h02.
2.4. En se référant à une disposition erronée et en s'écartant de sa pratique habituelle sans interpeller préalablement le recourant, respectivement son mandataire, la cour cantonale viole le droit fédéral et le droit d'être entendu en considérant que le mandataire d'office du recourant ne disposait pas des pouvoirs de le représenter dans la procédure cantonale de recours contre la décision incidente rendue par le Tribunal criminel.
3.
Il s'ensuit que le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle examine le recours cantonal formé le 14 juillet 2020 par le recourant.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Le recourant, assisté par un mandataire professionnel, a droit à des dépens à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 LTF). La requête d'assistance judiciaire est par conséquent sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 16 juillet 2020 de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'000 fr., est alloué au mandataire du recourant à la charge du canton de Vaud.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne, à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud et, pour information par le biais de leur mandataire, à B._, à C._, à D._, à E._, à F._, ainsi qu'au Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 18 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf