Sachverhalt:
A.
A.a. A._ arbeitet seit 1996 im Spital B._ im Hilfsmittelpool. Am 12. Oktober 2005 erlitt sie einen Autounfall in Spanien. Der zuständige Unfallversicherer (Suva) erbrachte die gesetzlichen Versicherungsleistungen (Heilkosten, Taggelder) bis zum 31. Oktober 2006. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte mit rechtskräftigem Entscheid vom 8. Oktober 2007 die ablehnende Verfügung der Suva zur Ausrichtung weiterer Leistungen. Am 19. Dezember 2006 meldete sich die Versicherte unter anderem mit Hinweis auf eine Depression bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen medizinischer und beruflicher Art sprach diese ihr eine halbe Invalidenrente vom 1. November 2006 bis zum 31. Mai 2007 zu. Danach nahm die Versicherte ihre übliche Tätigkeit wieder in vollem Umfang auf.
A.b. Am 31. Januar 2016 meldete sich A._ erneut wegen einer Depression bei der IV-Stelle zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle führte wiederum Abklärungen durch und holte insbesondere ein psychiatrisches Gutachten bei Dr. med. univ. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, ein. Darauf gestützt verneinte sie nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 14. November 2017 den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 22. Mai 2018 teilweise gut, hob die Verfügung vom 14. November 2017 auf und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten ab August 2016 bis Januar 2017 eine halbe Invalidenrente zu gewähren. Soweit weitergehend wurde die Beschwerde abgewiesen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen, die Angelegenheit sei der IV-Stelle zur Durchführung einer polydisziplinären Begutachtung und zum Neuentscheid zurückzuweisen. Eventuell sei ihr für den Zeitraum August 2016 bis Januar 2017 eine halbe IV-Rente zuzusprechen. Ferner ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin beantragen die Abweisung der Beschwerde, letztere unter Verweis auf ihre Vernehmlassung im kantonalen Verfahren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 141 V 206 E. 1.1 S. 208 mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 141 V 234 E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.
Das kantonale Gericht hat mit Entscheid vom 22. Mai 2018 die Verfügung vom 14. November 2017 aufgehoben und die Beschwerdegegnerin dazu verpflichtet, der Beschwerdeführerin ab August 2016 bis Januar 2017 eine halbe Invalidenrente zu gewähren. Soweit die Beschwerdeführerin das beantragt, was ihr bereits im vorinstanzlichen Verfahren zugesprochen wurde, fehlt es an einem schutzwürdigen Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG), weshalb auf die Beschwerde in dieser Hinsicht nicht einzutreten ist.
Auch wenn die Beschwerdeführerin zur Hauptsache auf Rückweisung der Angelegenheit an die Verwaltung schliesst, ergibt sich doch aus der Beschwerdebegründung - wenigstens implizit - dass sie auf einen Rentenanspruch ab Februar 2017 abzielt. Somit ist noch streitig und zu prüfen, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, als es den Anspruch der Versicherten auf Rentenleistungen ab Februar 2017 ablehnte.
3.
Das kantonale Gericht hat die rechtlichen Grundlagen zum Begriff der Invalidität (Art. 8 ATSG), zum Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung (Art. 28 Abs. 2 IVG), sowie zum Beginn des Rentenanspruchs (Art. 29 Abs. 1 IVG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt in Bezug auf die bundesgerichtlichen Richtlinien für die Beweiswürdigung und den Beweiswert medizinischer Berichte oder Gutachten (BGE 137 V 210 E. 1.3.4 S. 227, 134 V 231 E. 5.1 S. 232, 125 V 351 E. 3b S. 352 f.). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, dass für die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit auf das beweiskräftige Gutachten des Dr. med. univ. C._ vom 9. Februar 2017 abzustellen sei. Einer polydisziplinären Begutachtung, wie dies von der Beschwerdeführerin beantragt wurde, bedürfe es mangels hinreichender Hinweise auf eine neurologische Störung nicht.
4.2. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, ihre psychischen Beschwerden seien auf einen unfallbedingten hirnorganischen Schaden zurückzuführen, so steht dies in Widerspruch mit den medizinischen Akten. Im Bericht vom 4. September 2006 hielt Dr. med. D._, FMH Facharzt für Neurologie, fest, dass die Beschwerdeführerin nur noch selten an Kopfschmerzen leide. Nackenschmerzen und auch sonstige körperliche Beschwerden würden nicht mehr vorliegen. Im Bericht des behandelnden Psychiaters, Dr. med. E._, vom 4. Februar 2007, auf den sich die Beschwerdeführerin beruft, wird lediglich ein Verdacht auf eine "nicht näher bezeichnete organische oder symptomatische psychische Störung" geäussert. Dies vermag indessen den neurologischen Bericht des Dr. med. D._, der nach einer eingehenden klinischen Untersuchung der Patientin gar eine milde traumatische Hirnschädigung ausschloss, nicht in Frage zu stellen. Angesichts dieser Umstände besteht deshalb auch 13 Jahre nach dem beklagten Unfallereignis kein Anlass, weitere neurologische Abklärungen wie namentlich ein MRT des Schädels durchzuführen. Dies umso weniger, als dieselben Beweisanträge bereits im unfallversicherungsrechtlichen Gerichtsverfahren mit Entscheid vom 8. Oktober 2007 rechtskräftig abgelehnt worden sind. Die Vorinstanz verletzte folglich kein Bundesrecht, als sie in antizipierter Beweiswürdigung auf die Anordnung eines polydisziplinären Gutachtens verzichtete (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweis).
4.3. Die Beschwerdeführerin bemängelt zudem, es bestehe eine Ungleichbehandlung bei der Vergabe von mono- beziehungsweise bidisziplinären Gutachten im Gegensatz zu polydisziplinären Gutachten. Mit Blick auf BGE 139 V 349 besticht dieses Argument nicht. In diesem Grundsatzurteil befasste sich das Bundesgericht eingehend mit dieser Thematik und erwog, dass die Beschränkung der Auftragsvergabe nach dem Zufallsprinizip auf Begutachtungen mit drei und mehr Fachdisziplinen nach Art. 72bis IVV rechtmässig sei. Bei mono- und bidisziplinären Gutachten dagegen würden die Aufträge nicht nach diesem System vergeben. Damit sei der Kreis der in Frage kommenden Sachverständigen hier weitaus grösser (z.B. Universitätskliniken, frei praktizierende Ärzte und Gutachter; BGE 137 V 210 E. 3.1.1 S. 242). Alle übrigen rechtsstaatlichen Anforderungen gemäss BGE 137 V 210 seien jedoch auch auf mono- und bidisziplinäre medizinische Begutachtungen sinngemäss anwendbar (BGE 139 V 349, Rubrum, E. 2.2 und 5.4). Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, das Vergabesystem als solches zu kritisieren. Sie legt allerdings nicht dar, inwiefern konkret ihre Verfahrensgarantien bei der Vergabe des Gutachtensauftrags an Dr. med. univ. C._ verletzt worden sein sollen. Dafür bestehen in den Akten auch keine Anhaltspunkte, womit es sein Bewenden hat (vgl. zur Begründungspflicht und zum Rügeprinzip E. 1.1).
4.4. Ferner moniert die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit nicht auf das psychiatrische Gutachten hätte abstellen dürfen. Die Ausführungen des Dr. med. univ. C._ zur Diagnose der posttraumatischen Belastungsstörung seien etwas wirr. Es sei absolut nicht nachvollziehbar, wenn eine Frau, die in ihrer Jugendzeit mehrere sexuelle Übergriffe erlebt habe, von diesen Ereignissen keine psychische Störung "davontrage". Diese pauschalen Einwände sind unbehelflich und vermögen insbesondere keine konkreten Indizien gegen die Zuverlässigkeit des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. univ. C._ zu begründen (vgl. BGE 137 V 210 E. 1.3.4 S. 227). In seinem fundierten Gutachten legte dieser ausführlich und differenziert dar, dass für die vom behandelnden Psychiater gestellte Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung zwar gewisse traumaassoziierte Symptome (sich wiederholende Träume, etwas fraglich dissoziative Zustände, Nachhallerinnerungen) vorliegen würden. Indessen seien nicht alle diagnostischen Kriterien erfüllt. So spreche insbesondere das erstmalige Auftreten dieser Symptome Jahrzehnte nach der Traumatisierung gegen diese Diagnose. Schliesslich vermag der laienhafte Einwand des Rechtsvertreters, der die Persönlichkeitsstörung der Beschwerdeführerin aus der "verpfuschten Jugendzeit" herleiten möchte, auch keine konkreten Indizien gegen die Zuverlässigkeit des Gutachtens, in welchem die genannte Diagnose explizit verneint wurde, zu begründen. Unter Berücksichtigung der gesamten Umstände durfte die Vorinstanz - ohne hierbei in Willkür zu verfallen oder sonstwie Bundesrecht zu verletzen - auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. univ. C._ vom 9. Februar 2017 abstellen.
5.
Gemäss den bundesrechtskonformen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz ist demnach gestützt auf das zuvor genannte Gutachten davon auszugehen, dass die Versicherte infolge der rezidivierenden depressiven Störung (leichte Episode) spätestens ab dem Zeitpunkt der Begutachtung im Januar 2017 in einer angepassten Tätigkeit (mit geringen Ansprüchen an das Durchhaltevermögen, kein Publikumsverkehr) über eine Restarbeitsfähigkeit von 80-90% (Mittelwert: 85%) verfügt. Gegen den von der Vorinstanz vorgenommenen Einkommensvergleich, der einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 31% ergibt, macht die Beschwerdeführerin, wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren, keine Einwände geltend, womit es sein Bewenden hat (vgl. zum Rügeprinzip E. 1.1). Demzufolge hat das kantonale Gericht kein Bundesrecht verletzt hat, als es den Rentenanspruch der Versicherten ab Februar 2017 verneinte. Die Beschwerde der Versicherten ist abzuweisen.
6.
Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführerin sind demnach die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. September 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Elmiger-Necipoglu