Sachverhalt:
A.
Die serbische Staatsangehörige A._ (geb. 1987) heiratete am 29. Januar 2011 C._ (mazedonischer und tschechischer Staatsangehöriger, geb. 1984). Das Paar hat den gemeinsamen Sohn B._ (geb. 2011), welcher neben der serbischen und mazedonischen auch über die tschechische Staatsbürgerschaft verfügt. Im Sommer 2011 reiste die Familie in die Schweiz ein. C._ erhielt eine bis zum 12. Juni 2016 gültige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA, seine Ehefrau und der Sohn eine bis zum 12. Juni 2016 bzw. 12. Juni 2016 gültige (abgeleitete) Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Im April 2014 trennte sich das Ehepaar und C._ reiste alleine nach Italien aus.
B.
Mit Verfügung vom 30. September 2014 widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA von A._ und B._ und wies sie unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Die von den Betroffenen hiergegen erhobenen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg; zuletzt, mit Urteil vom 20. Dezember 2016, wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die gegen den abschlägigen Departementsentscheid vom 19. Oktober 2015 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
In der Zwischenzeit - am 22. September 2016 - war die Ehe geschieden, der Sohn unter das gemeinsame Sorgerecht der Eltern gestellt und die alleinige Obhut der Mutter verfügt worden. Dem Kindsvater C._ - der inzwischen wieder in die Schweiz eingereist war und im Kanton Bern eine neue, bis zum 17. März 2020 gültige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erhalten hatte - wurde ein gerichtsübliches Besuchsrecht zugesprochen und er wurde zu Unterhaltszahlungen verpflichet.
C.
Mit Eingabe vom 6. Februar 2017 führen A._ und B._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Hauptanträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 20. Dezember 2016 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligungen nicht zu widerrufen bzw. zu verlängern.
Das kantonale Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Sicherheits- und Justizdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) lädt das Bundesgericht ein, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 7. Februar 2017 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer machen in vertretbarer Weise einen Bewilligungsanspruch nach FZA (SR 0.142.112.681) sowie Art. 50 AuG (SR 142.20) geltend (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario; BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 142 I 135 E. 1.5 S. 144). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei gelten, wie bei den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96 mit Hinweis).
2.
Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, da die Beschwerdeführerin rechtskräftig von ihrem Ehemann geschieden sei, könne sie als Drittstaatsangehörige aus dem FZA für sich selber keinen Anspruch auf einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz mehr ableiten. Auch dem sechseinhalbjährigen Sohn stehe aus Art. 3 Abs. 6 FZA kein Aufenthaltsrecht zu, da er familienrechtlich unter der alleinigen Obhut der Mutter stehe und erst den Kindergarten besuche, weshalb der entsprechende Unterricht ohne Beeinträchtigung der freizügigkeitsrechtlichen Ansprüche im Herkunftsland seiner Mutter erfolgen könne. Ebenso wenig bestünden Ansprüche aus Art. 50 AuG, da die Ehegemeinschaft in der Schweiz (mit Blick auf Abs. 1 lit. a) weniger als drei Jahre gedauert habe und (mit Blick auf Abs. 1 lit. b) ein weiterer Aufenthalt hier nicht geboten erscheine.
3.
Nach Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA dürfen die Kinder eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei unabhängig davon, ob dieser im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei eine Erwerbstätigkeit ausübt, eine solche ausgeübt hat oder erwerbslos ist, unter den gleichen Bedingungen am allgemeinen Unterricht sowie an der Lehrlings- und Berufsausbildung teilnehmen wie die Staatsangehörigen des Aufnahmestaates. Die Regelung ist Art. 12 der von der Schweiz als "Acquis communautaire" übernommenen Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 des Rates vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (ABl. L 257 vom 19. Oktober 1968 S. 2 ff.) nachgebildet und stimmt mit dieser fast wörtlich überein. Sie verschafft ihnen einen Anspruch auf einen weiteren Aufenthalt, um die Ausbildung abschliessen zu können, wenn ihnen die Rückkehr in die Heimat nicht zugemutet werden kann (Urteil des EuGH vom 15. März 1989 C-389/87 und C-390/87 Echternach und Moritz, Slg. 1989-723 Randnr. 23).
In seiner Rechtsprechung zu Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA (namentlich in BGE 139 II 393 ff., siehe dort) hat das Bundesgericht indessen den Anspruch des Kindes eines Wanderarbeitnehmers aus den Vertragsstaaten, die begonnene Ausbildung abzuschliessen, verneint, wenn die eheliche Beziehung zur drittstaatsangehörigen Mutter im Zeitpunkt der Aufnahme der Ausbildung bereits inhaltslos geworden ist und nur noch formell Bestand hatte. Ferner hat es erwogen, Sinn und Zweck des in Art. 3 Abs. 6 des Anhangs I zum FZA übernommenen selbständigen Anwesenheitsrechts für Kinder von Bürgern aus EU- oder EFTA-Staaten bzw. deren Partnern sei es, über die Teilnahme am allgemeinen Unterricht die Integration in der Aufnahmegesellschaft zu fördern, was voraussetze, dass die Kinder tatsächlich über diesen (bzw. anschliessend während der Lehrlings- und Berufsausbildung) bei (noch) intakter Familiengemeinschaft bereits in nennenswerter Weise begonnen hätten, sich zu integrieren bzw. massgebliche Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie auszubilden. Das sei bei Kleinkindern, die noch in erster Linie auf den familiären Bereich bezogen lebten, nicht der Fall, auch wenn sie in eine Tageskrippe oder allenfalls in den Kindergarten gingen (zit. BGE, E. 4.2.2).
Im vorliegenden Fall haben sich die Eltern des Beschwerdeführers 2 getrennt, noch bevor dieser drei Jahre alt war bzw. seine Ausbildung in Angriff nahm. Die Vorinstanz hat ihm daher zu Recht einen Aufenthaltsanspruch nach Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA abgesprochen.
4.
4.1. Gemäss Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA hat eine Person, welche die Staatsangehörigkeit einer Vertragspartei besitzt und keine Erwerbstätigkeit im Aufenthaltsstaat ausübt ein Anwesenheitsrecht unter der Voraussetzung, dass sie über ausreichende finanzielle Mittel verfügt, so dass sie nicht auf Sozialhilfe angewiesen und sie überdies krankenversichert ist. Diese Regelung ist der Richtlinie 90/364/EWG des Rates vom 28. Juni 1990 über das Aufenthaltsrecht (ABl. L 180 vom 13. Juli 1990 S. 26 f.) nachgebildet. Anforderungen in Bezug auf die Herkunft der ausreichenden finanziellen Mittel ergeben sich weder aus Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA noch aus Art. 1 Abs. 1 der RL 90/364/EWG. Der EuGH hat daher entschieden, dass die Bedingung ausreichender finanzieller Mittel nicht dahin ausgelegt werden könne, dass der Betroffene selber über solche Mittel verfügen müsse (Urteile vom 19. Oktober 2004 C-200/02 i.S. Zhu und Chen, Slg. 2004 I-9925 Randnrn. 30 und 33; vom 23. März 2006 C-408/03 i.S. Kommission gegen Belgien, Slg. 2006 I-2647 Randnrn. 40 und 41); die finanziellen Mittel könnten auch von Familienangehörigen (Urteil Kommission gegen Belgien, a.a.O., Randnr. 42) oder sonstigen Dritten stammen (Urteil Kommission gegen Belgien, a.a.O., Randnrn. 45 ff.). Das Bundesgericht ist dieser Auslegung für die Anwendung von Art. 24 Anhang I FZA beigetreten (vgl. ausführlich BGE 142 II 35).
Dem Urteil Zhu und Chen lag der Aufenthaltsanspruch eines freizügigkeitsberechtigten Kleinkindes zugrunde, das vermittelt über Familienangehörige über ausreichende finanzielle Mittel verfügte. Da ein Kleinkind seinen Aufenthaltsanspruch auf sich allein gestellt nicht wahrnehmen kann, entschied der Gerichtshof, dass unter der Voraussetzung ausreichender finanzieller Mittel auch die sorgeberechtigte drittstaatsangehörige Mutter aufenthaltsberechtigt sei (Urteil Zhu und Chen, a.a.O., Randnrn. 46 f.). Das Bundesgericht schloss sich dieser Rechtsprechung unter dem Gesichtswinkel von Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA nach einigem Zögern (vgl. das Urteil 2C_33/2007 vom 14. März 2008) in nunmehr konstanter Rechtsprechung an (BGE 142 II 35 E. 5.2 S. 44 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Nach übereinstimmender Darstellung im angefochtenen Entscheid (S. 8 / 10) sowie in der Beschwerdeschrift (S. 4 / 5) ist die Beschwerdeführerin weder verschuldet noch hat sie je Sozialhilfe bezogen, sie arbeitet und kommt für ihren Lebensunterhalt bzw. - zusammen mit den Unterhaltsbeiträgen des Kindsvaters - denjenigen ihres Sohnes selber auf. Damit ist nicht ausgeschlossen, dass die beiden Beschwerdeführer nach der Praxis Zhu und Chen (vorne E. 4.1) je für sich einen eigenen freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch geltend machen können. Die Vorinstanz hat zur Frage der ausreichenden finanziellen Mittel, die der Mutter und dem Kind zur Verfügung stehen, jedoch keine tatsächlichen Feststellungen getroffen. Dies hätte sie aber im Rahmen ihrer Verpflichtung zur Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhalts und der Rechtsanwendung von Amtes wegen (vgl. Art. 110 BGG) tun müssen. Indem sie es unterliess, veletzte sie Bundesrecht.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird in ihrem Entscheid auch die inzwischen ergangene Präzisierung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Anwendbarkeit von Art. 50 AuG berücksichtigen für Konstellationen wie der vorliegenden, wo der EU-angehörige Ex-Ehegatte nur eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA und nicht eine Niederlassungsbewilligung besass bzw. nach wie vor besitzt (vgl. Urteil 2C_222/2017 vom 29. November 2017, zur Publikation vorgesehen).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG)
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 20. Dezember 2016 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung und neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführern für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein