Sachverhalt:
A.
A._, Staatsangehöriger von Schweden mit Wohnsitz in U._ (Kläger, Gesuchsteller) stellte sich auf den Standpunkt, er habe gegenüber der B._ GmbH (Beklagte, Gesuchsgegnerin) mit Sitz in V._ mehrere Forderungen aus einem fristlos gekündigten Arbeitsverhältnis.
Im Rahmen des vom Kläger eingeleiteten Verfahrens wiesen das Arbeitsgericht des Bezirksgerichts Horgen und das Obergericht des Kantons Zürich seine Klage respektive seine Berufung jeweils mangels Passivlegitimation ab.
Mit Urteil 4A_142/2018 vom 16. Mai 2018 wies das Bundesgericht die vom Kläger eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Das Bundesgericht auferlegte ihm ausserdem die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- (Dispositiv-Ziffer 2) und verpflichtete ihn, die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen (Dispositiv-Ziffer 3).
B.
Mit Revisionsgesuch vom 8. Juni 2018 macht der Kläger geltend, das Bundesgericht habe im Verfahren 4A_142/2018 eine in den Akten liegende erhebliche Tatsache aus Versehen nicht berücksichtigt, womit das Urteil insoweit zu revidieren sei. Namentlich habe das Bundesgericht ihn zu einer Parteientschädigung verpflichtet, obwohl der Gesuchsgegnerin mangels Durchführung einer Vernehmlassung kein Aufwand entstanden sei. Deshalb sei das Urteil 4A_142/2018 insoweit aufzuheben und es sei festzustellen, dass der Gesuchsgegnerin keine Parteientschädigung aus diesem Verfahren zustehe.
Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtete auf Vernehmlassung. Die Gesuchsgegnerin beantragte, auf das Revisionsgesuch sei nicht einzutreten, eventualiter sei dieses abzuweisen.
C.
Mit Verfügung vom 9. Juli 2018 wurde dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1.
Die Revision eines Entscheids des Bundesgericht kann unter anderem verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. d BGG).
2.
Im Verfahren 4A_142/2018 wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Das Bundesgericht verpflichtete den Gesuchsteller dennoch, die der Gesuchsgegnerin vermeintlich erwachsenen Parteikosten im Sinne von Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG zu ersetzen. Entgegen dem von der Gesuchsgegnerin vertretenen Standpunkt spricht das Bundesgericht jedoch in ständiger Praxis der obsiegenden Partei keine Parteientschädigung zu, wenn diese keine Beschwerdeantwort einreichte. Indem das Bundesgericht der Gesuchsgegnerin trotz fehlender Beschwerdeantwort eine Parteientschädigung zusprach, hat es eine in den Akten liegende erhebliche Tatsache aus Versehen nicht berücksichtigt (Art. 121 lit. d BGG).
3.
Das Revisionsgesuch ist gutzuheissen, die Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Bundesgerichts 4A_142/2018 vom 16. Mai 2018 ist aufzuheben und im Sinne der Erwägungen neu zu fassen.
Da aus der Antwort auf das Revisionsgesuch ergeht, dass sich die Gesuchsgegnerin mit dem zu korrigierenden Entscheid des Bundesgerichts 4A_142/2018 identifiziert, wird sie als unterliegende Partei für das Revisionsverfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat dem Gesuchsteller die - angesichts des geringen Aufwands zum Verfassen des Revisionsgesuchs - reduzierten Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird gutgeheissen und die Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Bundesgerichts 4A_142/2018 vom 16. Mai 2018 wird aufgehoben.
2.
Die Dispositiv-Ziffer 3 im Verfahren 4A_142/2018 wird neu wie folgt gefasst:
"3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen."
3.
Die Gerichtskosten für das Revisionsverfahren von Fr. 1'000.-- werden der Gesuchsgegnerin auferlegt.
4.
Die Gesuchsgegnerin hat den Gesuchsteller für das Revisionsverfahren mit insgesamt Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug