Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 16. März 2021 gewährte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt dem Kanton Basel-Stadt gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Basel-Stadt definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'260.60. Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 29. April 2021 Beschwerde an das Appellationsgericht Basel-Stadt. Mit Verfügung vom 5. Mai 2021 wurde die Beschwerdeführerin zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 200.-- aufgefordert. Am 20. Mai 2021 wurde ihr eine Nachfrist angesetzt. Am 21. Mai 2021 ersuchte die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 27. Mai 2021 wies das Appellationsgericht das Gesuch infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab. Zudem setzte es der Beschwerdeführerin eine nicht erstreckbare Nachfrist von fünf Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses.
Gegen diese Verfügung hat die Beschwerdeführerin am 1. Juli 2021 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. c BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Appellationsgericht habe den Prozessablauf nicht richtig dargestellt. Sie habe das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht während der Nachfrist, sondern während der ersten Frist zur Leistung des Kostenvorschusses eingereicht. Sie behauptet, dadurch einen Nachteil bei der Beschwerdeführung erlitten zu haben, doch legt sie nicht nachvollziehbar dar, welcher Nachteil ihr dadurch für die vorliegende Beschwerde entstanden sein soll. Sodann macht sie geltend, das Appellationsgericht hätte vor der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zuerst die Nachfristsetzung aufheben müssen. Welche verfassungsmässigen Rechte in diesem Zusammenhang verletzt worden sein sollen, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Inwieweit das Vorgehen des Appellationsgerichts auf eine vorgefasste Meinung schliessen lassen soll, erläutert sie nicht hinreichend. Die Beschwerdeführerin vermutet ausserdem, die Abwägung der Prozesschancen sei voreingenommen erfolgt. Diese Ansicht begründet sie nicht näher. Schliesslich macht sie geltend, der Vollstreckbarkeitsstempel auf dem zu vollstreckenden Urteil des Appellationsgerichts vom 12. April 2019 (SB.2016.61) datiere vom 5. Mai 2021, womit das zu vollstreckende Urteil zum Zeitpunkt des Urteils des Zivilgerichts noch nicht als vollstreckbar gegolten habe. Sie belegt dies vor Bundesgericht nicht. Allerdings hat sie dem Bundesgericht ihre Beschwerde an das Appellationsgericht eingereicht. Darin hat sie jedoch Abweichendes behauptet, nämlich dass die Rechtskraftbescheinigung vom 5. März 2021 datiere. So oder anders verwechselt sie allenfalls das Datum der Rechtskraftbescheinigung mit dem Zeitpunkt, in welchem der zu vollstreckende Entscheid vollstreckbar geworden ist. Ihre Ausführungen vor Bundesgericht sind jedenfalls nicht geeignet, um eine Verfassungsverletzung bei der Beurteilung der Prozessaussichten durch das Appellationsgericht aufzuzeigen.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg