Sachverhalt:
A.
Die 1983 geborene A._ ist seit Oktober 2012 bei der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn als Selbständigerwerbende angeschlossen. Diese sprach ihr am 3. Juli 2015 für die Zeit vom 16. Juni bis zum 21. September 2015 eine Mutterschaftsentschädigung von Fr. 4'907.90 zu; mit Verfügungen vom 14. Oktober 2015 und 3. Mai 2017 forderte sie Fr. 1'001.60 und Fr. 2'012.35 zu viel ausgerichteter Entschädigung zurück. Die gegen die letztgenannte Verfügung erhobene Einsprache wies die Ausgleichskasse nach angedrohter reformatio in peius ab und erhöhte den Rückforderungsbetrag auf Fr. 2'722.60 (Einspracheentscheid vom 17. August 2017). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn ab (Entscheid vom 9. Juli 2018). Das daraufhin angerufene Bundesgericht hiess die Beschwerde wegen einer Gehörsverletzung gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück. Gleichzeitig verpflichtete es die Ausgleichskasse, A._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'200.- zu entschädigen (Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019).
B.
Mit Entscheid vom 13. Juni 2019 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde der A._ in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid vom 17. August 2017 aufhob und feststellte, die Versicherte habe für die Zeit vom 16. Juni bis zum 1. September 2015 Anspruch auf eine Mutterschaftsentschädigung im Betrag von Fr. 3'828.60; für diesen Zeitraum habe sie Fr. 77.70 zu viel bezogener Mutterschaftsentschädigung zurückzuerstatten (Dispositiv-Ziffer 1). Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 2) und sprach weder eine Parteientschädigung zu noch erhob es Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, es sei die Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids vom 13. Juni 2019 aufzuheben und ihr eine Entschädigung von Fr. 3'420.- (zuzüglich Mehrwertsteuer) für die verursachten Drittkosten auszuzahlen. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn sei zudem anzuweisen, im Urteil die Parteientschädigung gemäss Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019 von Fr. 1'200.- explizit auszuweisen.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 1 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 141 V 234 E. 1 S. 236).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht keine Parteientschädigung zugesprochen hat.
Das kantonale Gericht erwog unter Hinweis auf BGE 118 V 139 E. 2a S. 140, ein Anspruch auf eine Parteientschädigung bestehe - anders als im Verfahren vor Bundesgericht - nicht. So liege hier keine anwaltlich oder fachlich besonders qualifizierte Vertretung vor.
3.
3.1. Das Verfahren vor den kantonalen Versicherungsgerichten richtet sich in den Schranken von Art. 61 ATSG nach kantonalem Recht (Urteil 8C_533/2016 vom 18. Oktober 2016 E. 6.1.1 mit Hinweis). Nach Art. 61 lit. g ATSG hat die obsiegende Beschwerde führende Person im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht Anspruch auf Ersatz der Parteikosten; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen (ebenso § 7 Abs. 3 der solothurnischen Verordnung des Kantonsrates über das Verfahren vor dem Versicherungsgericht und über die Organisation und das Verfahren der Schiedsgerichte in den Sozialversicherungen vom 22. September 1987 [BGS 125.922]). Ob und unter welchen Bedingungen eine obsiegende Partei beim kantonalen Gericht Anspruch auf Parteikosten hat, ist Sache des Bundesrechts und hängt einerseits vom Ausgang der Streitigkeit und andererseits vom Anspruchsberechtigten ab; eine berufsmässige Vertretung durch einen Anwalt wird dabei nicht vorausgesetzt (vgl. Urteil 8C_546/2018 vom 9. Oktober 2018 E. 5.1 mit Hinweisen; BGE 135 V 473 E. 3.1 S. 477; vgl. auch UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N 196 zu Art. 61 ATSG). Insoweit eine kantonale Gesetzgebung im Widerspruch dazu eine solche Einschränkung vorsehen sollte, verletzte dies Bundesrecht. Mit Blick darauf hat die Vorinstanz - einzig unter Hinweis auf die zu aArt. 85 Abs. 2 lit. f AHVG ergangene Rechtsprechung (bzw. auf BGE 118 V 139 E. 2a S. 140) - zu Recht erwogen, ein Anspruch auf Parteientschädigung bestehe (neben einer anwaltlichen) auch bei einer (besonders) qualifizierten Vertretung.
Nicht gefolgt werden kann dem kantonalen Gericht insoweit, als es - anders als das Bundesgericht explizit im Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019 (zur Verbindlichkeit von Rückweisungsentscheiden vgl. BGE 135 III 334 E. 2 S. 335; ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2011, N. 18 zu Art. 107) - eine qualifizierte Vertretung und damit den Anspruch auf eine Parteientschädigung verneinte. Die Sache ist an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren unter Berücksichtigung der diesbezüglichen Ausführungen im Urteil 9C_527/2018 neu festsetze.
3.2. Nicht näher einzugehen ist auf den Antrag, die Vorinstanz sei anzuweisen, die im bundesgerichtlichen Verfahren zugesprochene Parteientschädigung explizit auszuweisen. Der Anspruch darauf geht direkt aus dem Rückweisungsurteil hervor und bedarf keiner zusätzlichen Erwähnung im kantonalen Entscheid.
4.
Die Beschwerde ist offensichtlich begründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. b BGG erledigt wird. Auf einen Schriftenwechsel wird angesichts des Verfahrensausgangs, der auf unverrückbaren Tatsachen und klarer Rechtslage beruht (vgl. E. 3.1 hievor), verzichtet. Die Einholung einer Vernehmlassung käme einem formalistischen Leerlauf gleich und würde nur weitere Kosten verursachen (Art. 102 Abs. 1 BGG; vgl. auch Urteile 9C_285/2017 vom 15. Mai 2017 E. 4 und 9C_230/2014 vom 18. Dezember 2014 E. 4).
5.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der durch einen Treuhänder qualifiziert vertretenen Beschwerdeführerin eine reduzierte, mit Blick auf den eingeschränkten Streitgegenstand angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 13. Juni 2019 (soweit die Parteientschädigung betreffend) aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Parteientschädigung neu befinde.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner