Sachverhalt:
A.
Der 1970 geborene A._ arbeitete vom 8. September 2005 bis zur Kündigung per 30. April 2011 als Verkäufer in einem Tankstellenshop. In dieser Eigenschaft war er bei der Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) berufsvorsorgeversichert. Im August 2011 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt sprach ihm mit Verfügung vom 19. Juni 2013 eine Viertelsrente ab dem 1. April 2012 zu (Invaliditätsgrad 47 %). Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach A._ eine halbe Rente zu (Invaliditätsgrad 55 %).
Die Allianz teilte A._ mit zwei Schreiben vom 4. November 2014 und vom 19. Januar 2015 mit, er könne seine Teilzeittätigkeit trotz gesundheitlicher Beeinträchtigungen im bisherigen Umfang weiterführen. Es bestehe deshalb kein Anspruch auf Leistungen der beruflichen Vorsorge.
B.
Die am 14. April 2016 eingereichte Klage gegen die Allianz wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 24. Oktober 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es seien ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids rückwirkend ab dem 1. April 2012 die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen im Rahmen einer Viertelsrente von jährlich Fr. 3'000.- zuzüglich Zins zu 5 % ab Fälligkeit jeder Teilforderung zuzusprechen.
Während die Allianz und das kantonale Gericht je auf Abweisung der Beschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was von der ein Novum einbringenden Partei darzulegen ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (vgl. statt vieler Urteil 8C_482/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 2).
2.
2.1. Streitig ist der Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge.
2.2. Das kantonale Gericht hat die massgebenden Bestimmungen über den Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge und deren Umfang (Art. 23 lit. a und Art. 24 Abs. 1 BVG) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz verneinte in Ermangelung eines rentenbegründenden Invaliditätsgrades einen Anspruch auf Leistungen nach Art. 23 BVG. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, die Beschwerdegeg-nerin sei an das im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren ermittelte Valideneinkommen in der Höhe von Fr. 77'108.55 nicht gebunden. Der Beschwerdeführer habe bereits im Zeitpunkt, der damals als Beginn der Arbeitsunfähigkeit festgelegt worden sei, einen viel tieferen Lohn von Fr. 40'000.- erzielt. Für die Differenz zwischen dem ermittelten Valideneinkommen und dem gemeldeten Jahresverdienst sei er somit berufsvorsorgerechtlich nicht versichert gewesen. Selbst bei teilerwerbstätigen Versicherten bestehe kein Anspruch auf Leistungen der beruflichen Vorsorge, wenn und jedenfalls solange die versicherte Person im bisherigen Umfang weiterarbeiten könne oder könnte. Das Risiko Invalidität verwirkliche sich diesfalls in dem berufsvorsorgerechtlich nicht versicherten Anteil.
4.
4.1.
4.1.1. Die Beschwerdegegnerin definiert den Invaliditätsgrad in ihrem Vorsorgereglement (vgl. Ziff. 2.6 des Vorsorgereglements Teil 2) nicht weiter als im BVG bzw. in der Invalidenversicherung (Art. 23 BVG bzw. Art. 8 ATSG). Betreffend den letztgenannten Anspruch liegt sodann mit dem Entscheid vom 16. Dezember 2013 eine rechtskräftige gerichtliche Beurteilung aus einem Verfahren vor, zu dem die Beschwerdegegnerin als betroffene Vorsorgeeinrichtung beigeladen war. Durch die Beiladung wird die Rechtskraft auf sie ausgedehnt. Für eine nachträgliche Überprüfung unter dem Blickwinkel der Unhaltbarkeit (vgl. zur Bindungswirkung von Vorsorgeeinrichtungen an IV-Verfügungen BGE 133 V 67 E. 4.3.2 S. 69; 130 V 270 E. 3.1 S. 273) besteht kein Raum. Der Anfechtungs- und Streitgegenstand - der Anspruch des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin auf eine Invalidenrente nach BVG - wird jedoch nicht erweitert (BGE 130 V 501 E. 1.2 S. 502 f.; Urteil 9C_198/2017 vom 29. August 2017 E. 3.2.1 und 3.2.2).
4.1.2. Aus dem Entscheid vom 16. Dezember 2013 ergeben sich folgende Eckwerte: Keine Arbeitsunfähigkeit vor April 2011 und Invaliditätsgrad in der Höhe von 55 %; unter Annahme eines vollen Valideneinkommens - für einen Versicherten ohne Ausbildung gemäss Art. 26 Abs. 1 IVV - in der Höhe von Fr. 77'108.55 und eines Invalideneinkommens in der Höhe von Fr. 34'739.-. Dass im Entscheid vom 16. Dezember 2013 auch die Einschätzung des behandelnden Psychiaters Erwähnung fand, wonach eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % bereits ab Oktober 2009 bestanden habe, ändert nichts. Das kantonale Gericht nahm auf die erwähnte Einschätzung allein in Zusammenhang mit der Ermittlung des (im vorliegenden Verfahren ohnehin unstreitigen) Invalideneinkommens Bezug, stützte sich in der Hauptsache aber auf die psychiatrische Expertise des Dr. med. B._ vom 14. Januar 2013, wonach ab April 2011 in der angestammten Tätigkeit noch eine um 20-50 % reduzierte Leistung erwartet werden könne. Es wurde denn auch von keiner Seite - vor allem vom Versicherten nicht - ein früherer Rentenanspruch geltend gemacht, obwohl dies aufgrund des Anmeldezeitpunkts möglich gewesen wäre (vgl. Sachverhalt lit. A.). Damit steht gleichzeitig fest, dass hier kein Anwendungsfall von Art. 23 lit. c BVG (Frühinvalidität), sondern der "normale" Tatbestand von lit. a vorliegt (vgl. dazu auch BASILE CARDINAUX, Psychische Erkrankungen in der beruflichen Vorsorge, in: Psyche und Sozialversicherung, Luzerner Beiträge zur Rechtswissenschaft [LBR], 2014, S. 70).
4.2. Der Beschwerdeführer hatte in seiner Klage vom 14. April 2016 vorgebracht, sein Beschäftigungsgrad habe vor Eintritt der Arbeitsunfähigkeit 80 % betragen. Daran hielt er in seiner Beschwerde ans Bundesgericht fest. Auch die Beschwerdegegnerin ging (Klageantwort vom 29. Juni 2016 sowie Replik vom 5. September 2016) und geht - im Grundsatz - nach wie vor (Vernehmlassung vom 15. März 2017) von einer Teilzeittätigkeit vor Eintritt der Arbeitsunfähigkeit aus, stellt jedoch den Umfang in Frage. Die Vorinstanz hat dazu, anders als die Beschwerdegegnerin glauben zu machen versucht, keine Feststellungen getroffen. Der Vorsorgeeinrichtung ist insoweit zuzustimmen, dass den Angaben (Beschäftigungsgrad 80 %) auf dem Vorsorgeausweis per 1. Januar 2011 reiner Informationscharakter zukommt (Urteil 9C_871/2011 vom 7. Mai 2012 E. 4.2) und nicht als direkter Beweis - aber immerhin als Indiz - zu dienen vermögen. Auf jeden Fall gaben beide ehemaligen Arbeitgeber (vgl. Sachverhalt lit. A) als betriebsübliche Arbeitszeit 41 Stunden pro Woche an, wobei aus den Lohnabrechnungen für das Jahr 2011 (Januar bis April) erhellt, dass der Beschwerdeführer im Durchschnitt 138,9 Stunden pro Monat resp. durchschnittlich 34,7 Stunden pro Woche (138,9 : 4) arbeitete, was das behauptete Pensum untermauert (41 x 0,8 = 32,8 Stunden); insbesondere auch wenn von einer 42-Stunden-Woche ausgegangen wird, wofür die Beschwerdegegnerin plädiert (42 x 0,8 = 33,6 Stunden). Dass der Beschwerdeführer in den einzelnen Monaten in zeitlicher Hinsicht sehr unterschiedlich tätig war (im Januar 118 Stunden, im Februar 131 Stunden, im März 137,75 Stunden, im April 169 Stunden) ist im Rahmen der konkreten Beschäftigung an einer Tankstelle mit Shop, die rund ums Jahr von morgens früh bis abends spät geöffnet ist, nicht aussergewöhnlich. So oder anders: Aus prozessrechtlichen Gründen verbietet sich an dieser Stelle eine abschliessende Beurteilung. Bei den Lohnblättern betreffend die Monate Januar bis April 2011 handelt es sich um unzulässige Noven, da sie ohne weitere Begründung erst vor Bundesgericht aufgelegt wurden. Sie haben daher im vorliegenden Verfahren unbeachtlich zu bleiben (vgl. E. 1.2 vorne).
5.
5.1. Ein Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ist nur gegeben, sofern eine entsprechende Versicherungsdeckung vorhanden ist. Deren Umfang bemisst sich nach dem Beschäftigungsgrad bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, unter Berücksichtigung einer allfälligen vorbestandenen gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit (BGE 141 V 127 E. 5.3.2 S. 134 f.). Die Höhe der konkreten Salarierung spielt diesbezüglich keine Rolle (MARKUS MOSER, Teilzeitarbeitsbedingte Anwendungsprobleme im Leistungsbereich der beruflichen Vorsorge, in: AJP 2001 S. 1182). Versah die versicherte Person ein Teilzeitpensum, besteht kein Anspruch auf Leistungen, wenn und jedenfalls solange sie trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung im bisherigen Umfang weiterarbeiten kann oder könnte; das Risiko Invalidität hat sich lediglich in dem berufsvorsorgerechtlich nicht versicherten Anteil einer Vollzeitbeschäftigung (100 % - Beschäftigungsgrad) verwirklicht (BGE 141 V 127 E. 5.3.2 S. 135 mit weiteren Hinweisen). Demgemäss lässt sich nicht in jedem Fall folgern, eine Leistung sei bei Eintritt eines Versicherungsfalles nicht geschuldet, wenn der Lohn unverändert weiter fliesst (vgl. BGE 129 V 132 E. 4.3.1 S. 141 f.).
5.2. Hat die Invalidenversicherung (IV) die Invalidität einer teilzeitlich erwerbstätigen Person mittels der gemischten Methode berechnet (im Bereich der Erwerbstätigkeit nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs und im Haushaltsbereich nach der spezifischen Methode des Betätigungsvergleichs), sind die Vorsorgeeinrichtungen grundsätzlich an denjenigen Invaliditätsgrad gebunden, den die IV für den erwerblichen Teil ermittelt hat (so bereits BGE 120 V 106 E. 4b S. 110). Denn die IV-Stelle prüft (e) immer, auf welche Grundlagen (Vollzeitbeschäftigung oder Teilzeitbeschäftigung) sich die ärztlichen Angaben zur Arbeits (un) fähigkeit beziehen. Eine auf eine Vollzeitbeschäftigung bezogene 50%ige Arbeitsfähigkeit gestattet beispielsweise eine Teilzeitbeschäftigung von 50 %. Soweit vor Eintritt des Gesundheitsschadens eine Erwerbstätigkeit in diesem Umfang ausgeübt wurde und diese weiter ausgeübt würde, kann sich daraus keine erhebliche Einschränkung bzw. Invalidität ergeben (Rz. 3102 des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH], Stand 1. Januar 2017).
5.3. Davon zu unterscheiden ist derjenige Sachverhalt, bei dem das von der IV-Stelle festgesetzte (hypothetische) erwerbliche Arbeitspensum nicht mit demjenigen übereinstimmt, das die versicherte Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, ausübte. Dieser Sachverhalt liegt dem vorliegenden Fall (vgl. E. 4.1.2 vorne) wie auch dem Urteil 9C_403/2015 vom 23. September 2015 zugrunde. Dort ermittelte die IV-Stelle den Invaliditätsgrad bezogen auf ein Vollzeitpensum (IV-Grad von 50 % [bei verbleibender 50%iger Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit]), während sich die berufsvorsorgerechtliche Deckung resp. das Arbeitspensum bei Eintritt des Gesundheitsschadens auf 75 % belief. Gemäss Bundesgericht ist auch diesfalls nicht die Invalidität im Rahmen einer Vollzeit- resp. Mehrzeitbeschäftigung relevant, sondern die Invalidität im zeitlichen Rahmen der Erwerbstätigkeit, die im massgebenden Zeitpunkt nach Art. 23 lit. a BVG ausgeübt wurde (Urteil 9C_403/2015 E. 5.2). Entsprechend setzte es den Invaliditätsgrad bezogen auf ein Arbeitspensum von 75 % fest, was 33 % (25 : 75 x 100) ergab (a.a.O., E. 5.3).
6.
6.1. Das Urteil 9C_403/2015 erfuhr in zwei Punkten Kritik. Zum einen sei mit ihm insoweit eine (neue) Unklarheit geschaffen worden, als sich nunmehr die Frage stelle, ob hinsichtlich der Einschränkung in der "vorsorgerechtlichen" Tätigkeit vom Invaliditätsgrad gemäss IV oder der attestierten Arbeitsunfähigkeit auszugehen sei (MARC HÜRZELER, Teilinvalidität - Teilzeitarbeit: Neue Lösungen, neue Herausforderungen?, in: BVG-Tagungsband 2016, Aktuelle Fragen der beruflichen Vorsorge, 2017, S. 13). Zum andern führe der Schluss, dass auf das bisher effektiv ausgeübte Pensum abzustellen und die Invaliditätsbemessung nicht wie in der Unfallversicherung auf der Grundlage einer (hypothetischen) Vollzeiterwerbstätigkeit zu errechnen ist, zu unvermeidbaren Wirrnissen, insbesondere bei der Überentschädigungsberechnung oder wenn sich später die Invalidität erhöhe (UELI KIESER, Bestimmung des Invaliditätsgrads bei teilzeitlich tätigen Personen, die teilinvalid werden, in der beruflichen Vorsorge, in: AJP 2016 S. 530; MARC HÜRZELER, a.a.O., S. 15 und 19).
6.2. Wie dem - ebenfalls mit heutigem Datum ergangenen - Urteil 9C_426/2017 entnommen werden kann, war letzterer Punkt (Vergleich der noch möglichen Tätigkeit mit einer 100%igen Tätigkeit oder dem bisher effektiv ausgeübten Pensum) in der Vergangenheit wiederholt Thema. Die Auffassung des Bundesgerichts hat sich bis dato mangels neuer erheblicher Gesichtspunkte nicht geändert. Es gilt weiterhin, dass sich der vorsorgerechtlich relevante Invaliditätsgrad aufgrund eines Valideneinkommens entsprechend dem Grad der Teilerwerbstätigkeit - und nicht im Verhältnis zu einer (hypothetischen) Vollzeiterwerbstätigkeit - bemisst.
Anzufügen ist, dass das neue Modell der gemischten Methode (vgl. Art. 27bis Abs. 2 bis 4 IVV, in Kraft seit 1. Januar 2018) wohl insoweit eine Änderung mit sich bringt, als das Teilzeit-Valideneinkommen nunmehr auf eine (hypothetische) Vollerwerbstätigkeit hochgerechnet wird (Abs. 3 lit. a). Es ändert indessen nichts daran, dass die berufliche Vorsorge abweichend von Invaliden- und Unfallversicherung konzeptioniert ist. Abgesehen davon, dass die berufliche Vorsorge nur den erwerblichen Bereich umfasst, ist sie - gerade hinsichtlich nachträglicher Pensen- und (regelmässig) damit einhergehenden Lohnänderungen - weit individualistischer ausgestaltet (vgl. Art. 11 BVV 2 sowie Art. 79b BVG und Art. 20 FZG). Sich nicht deckende Invaliditätsgrade und entsprechend unterschiedliche Entwicklungen finden sich auch zwischen der Invaliden- und Unfallversicherung. Im Übrigen sind rechnerische Anpassungen vom Aufwand her vertretbar.
6.3.
6.3.1. Hat die Invalidenversicherung den Invaliditätsgrad bezogen auf ein Vollzeitpensum ermittelt, bieten sich mehrere Möglichkeiten der "Umrechnung" an, womit der erste Kritikpunkt in den Vordergrund rückt. Dazu ist festzuhalten, dass nicht die Wahl des Faktors (Berücksichtigung des [erwerblichen] Invaliditätsgrades gemäss IV oder der Arbeitsunfähigkeit) entscheidend ist. Massgebend ist, dass die in den vorsorgerechtlich versicherten Anteil fallende Grösse dem zeitlichen Moment des ausgeübten Pensums Rechnung trägt: Erzielt eine zu 80 % erwerbstätige Person mit diesem Teilzeitpensum ein jährliches Einkommen von Fr. 80'000.- und ist sie in der bisherigen Tätigkeit noch im Umfange von 40 % arbeitsfähig (verdient also noch Fr. 40'000.-), resultiert nach dem (bis Ende 2017 gültigen) Modell der gemischten Methode ein erwerblicher Invaliditätsgrad von 50 % (die Geldrelation beinhaltet bereits die Zeitrelation). Basiert die IV-Berechnung auf einer (hypothetischen) Vollzeittätigkeit (jährliches Einkommen also Fr. 100'000.-) ergibt sich ein Invaliditätsgrad von 60 %. Davon fallen 20 % in den vorsorglich nicht versicherten und 40 % in den vorsorglich versicherten Anteil (vgl. E. 5.1 vorne). Bezogen auf das effektiv ausgeübte Teilzeitpensum von 80 % (die Zeitrelation ist in der Geldrelation nicht einkalkuliert) ergibt dies einen Invaliditätsgrad von 50 % (40 : 80 x 100). Zu keinem anderen Ergebnis führt das Abstellen auf die verbliebene Arbeitsfähigkeit. (Lediglich) 40 % der Arbeitsunfähigkeit fallen in den versicherten Anteil, was in Bezug auf das 80 %-Pensum einen Invaliditätsgrad von 50 % gibt (40 : 80 x 100). Dass mit dem Urteil 9C_403/2015 (vgl. E. 5.3 vorne) eine Berechnungsgrundlage eingeführt wurde, die verschiedene Resultate zur Folge hat, kann daher nicht gesagt werden. Ebenso wenig kann davon gesprochen werden, dass mit dem Urteil 9C_403/2015 eine Invaliditätsbemessung eingeführt wurde, in der der Teilzeitfaktor doppelt durchschlägt.
6.3.2. Weniger kompliziert und nachvollziehbarer ist und bleibt, wenn die Vorsorgeeinrichtung das von der Invalidenversicherung festgesetzte Valideneinkommen, an das sie grundsätzlich gebunden ist, auf das ausgeübte Teilzeitpensum herunterrechnet und gestützt darauf (sowie auf die übrigen grundsätzlich bindenden Parameter) eine neuerliche Einkommensvergleichsrechnung durchführt. Mit diesem klaren und einfachen Berechnungsvorgang werden gleichzeitig sämtliche Fälle abgedeckt, nämlich nicht nur diejenigen, in denen die versicherte Person weiterhin in ihrem bisherigen Beruf tätig sein (vgl. E. 5.3 und E. 6.3.1 vorne), sondern auch diejenigen, in denen sie nurmehr einer angepassten Tätigkeit nachgehen kann (mithin die Geldrelation nicht auf einer beruflich kongruenten Basis beruht). Schliesslich wird damit auch dem neuen Modell der gemischten Methode (vgl. E. 6.2 vorne) Genüge getan.
6.3.3. Nichts anderes ergibt sich, wenn die teilerwerbstätige versicherte Person über keinen Aufgabenbereich verfügt und auch keine anderweitige (bezahlte resp. versicherte) Beschäftigung ausübt. In diesem Fall entspricht ihre invalidenversicherungsrechtliche Situation derjenigen Konstellation, wie sie sich in BGE 131 V 51 bzw. BGE 142 V 290 findet: Einerseits geht sie einem reduzierten Arbeitspensum nach, anderseits weist sie im Umfange der Reduktion freie Zeit auf. Dabei bleibt das Pensum, das Freizeit darstellt, im Rahmen der anwendbaren Einkommensvergleichsmethode ohne Bedeutung (BGE 131 V 51 E. 5.1.2 S. 53). Mit anderen Worten legt die IV das Valideneinkommen von vornherein nach Massgabe der ausgeübten Teilzeitbeschäftigung fest. Konsequenterweise steht diesfalls einer Bindungswirkung grundsätzlich nichts entgegen. Dem invalidenversicherungsrechtlichen Spezifika der Gewichtung kommt berufsvorsorgerechtlich seit jeher zu Recht keine Rolle zu (vgl. dazu BGE 120 V 106 E. 4a S. 109 in Verbindung mit E. 4d S. 111). Denn die Aufteilung zwischen versichertem und nicht versichertem Teil (im Rahmen der gemischten Methode: Aufgabenbereich) differiert in den beiden Sozialversicherungszweigen erheblich (vgl. E. 5.2 vorne).
Basiert die Invaliditätsberechnung der Invalidenversicherung trotzdem auf einer (hypothetischen) Vollzeitbeschäftigung, ist gleichermassen wie in E. 6.3.2 beschrieben vorzugehen.
7.
In concreto bedeutet dies, dass das (hypothetische) Valideneinkommen in der Höhe von Fr. 77'108.55, dessen Ermittlung res iudicata darstellt (vgl. E. 4.1.1 vorne), auf das von der Vorinstanz noch festzusetzende Arbeitspensum (vgl. E. 4.2 vorne) herunterzurechnen und der Invaliditätsgrad bezogen darauf, unter Heranziehung des ebenfalls rechtskräftig festgesetzten Invalideneinkommens von Fr. 34'739.-, neu zu bemessen ist. Die Sache ist in diesem Sinne zur neuen Entscheidung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
8.
Rechtsprechungsgemäss gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_436/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 3.8 mit Hinweis auf BGE 137 V 210 E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'800.- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. März 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner