Sachverhalt:
A.
A.a. Mit eigenhändig aufgesetztem Vorsorgeauftrag vom 29. Juni 2020 setzte D.A._ (geb. 1931) ihren Sohn B.A._ als Vorsorgebeauftragten und ihren Sohn A.A._ als Ersatzvorsorgebeauftragten ein.
A.b. Am 15. Juli 2020 ersuchten die zuständige Sozialarbeiterin und die zuständige Ärztin des E._-Spitals die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt (Erwachsenenschutzbehörde) um Validierung dieses Vorsorgeauftrags.
A.c. Am 13. Oktober 2020 suchte A.A._ mit seiner Mutter eine Notarin auf. Dort wurde ein notariell beurkundeter Vorsorgeauftrag errichtet, mit welchem D.A._ sämtliche bisher errichteten Vorsorgeaufträge widerrief und A.A._ als ersten sowie B.A._ als zweiten Vorsorgebeauftragten einsetzte. Weiter wurde darin festgelegt, dass sie allfällige Betreuung zu Hause erhalten und nicht in einem Pflegeheim wie dem Pflegeheim F._ untergebracht werden wolle. Gleichzeitig wurde bei der Notarin ein Kündigungsschreiben von D.A._ bezüglich ihres Aufenthalts im Pflegeheim F._ verfasst. A.A._ reichte diesen Vorsorgeauftrag in der Folge der Erwachsenenschutzbehörde ein.
A.d. Nach Abklärungen beim Pflegeheim F._ teilte die Erwachsenenschutzbehörde B.A._ und A.A._ mit, dass die Urteilsfähigkeit ihrer Mutter im Zeitpunkt der Errichtung des zweiten Vorsorgeauftrags in Frage gestellt werde. Mit handschriftlichem Schreiben vom 18. Oktober 2020 teilte D.A._ der Erwachsenenschutzbehörde mit, dass es ihr im Pflegeheim F._ gefalle. Gleichzeitig unternahm A.A._ Vorbereitungen für eine Rückkehr seiner Mutter in die von ihr früher bewohnte Wohnung und kündigte mit Schreiben vom 28. Oktober 2020 den Aufenthaltsvertrag seiner Mutter per 30. November 2020. B.A._ erstattete am 13. November 2020 der Erwachsenenschutzbehörde eine Gefährdungsmeldung, wonach A.A._ am 15. November 2020 beabsichtige, D.A._ aus dem Pflegeheim F._ zurück in ihre ehemalige Wohnung zu bringen. Gleichentags teilte die Erwachsenenschutzbehörde den Söhnen wie auch dem Pflegeheim F._ mit, dass D.A._ für die Behörde in Bezug auf ihre Wohnsituation als urteilsunfähig gelte, weshalb alle Söhne mit einer Rückkehr in die ehemalige Wohnung einverstanden sein müssten. Noch am gleichen Tag wurde der Erwachsenenschutzbehörde mitgeteilt, dass A.A._ seine Mutter bereits abgeholt habe.
A.e. Nach weiteren Abklärungen und Stellungnahmen der Familienmitglieder erklärte die Erwachsenenschutzbehörde mit Entscheid vom 9. Dezember 2020 unter anderem den von D.A._ erstellten Vorsorgeauftrag vom 29. Juni 2020 mit der Einsetzung von B.A._ als Vorsorgebeauftragten für wirksam. Gleichzeitig wurde festgestellt, dass der Vorsorgeauftrag vom 13. Oktober 2020 nicht rechtsgültig erstellt worden ist. Einer allfälligen Beschwerde gegen den Entscheid wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
B.
B.a. Gegen den Entzug der aufschiebenden Wirkung erhob A.A._ mit Eingabe vom 11. Dezember 2020 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht Beschwerde. Mit Eingabe vom 8. Januar 2021 erhob er schliesslich Beschwerde in der Hauptsache.
B.b. Mit Entscheid vom 6. Juli 2021 wies das Appellationsgericht die Beschwerde vom 8. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Die Beschwerde vom 11. Dezember 2020 schrieb es zufolge Gegenstandslosigkeit ebenso ab wie ein in der Zwischenzeit (erneut) gestelltes Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung für die Beschwerde vom 8. Januar 2021.
C.
C.a. Gegen diesen Entscheid gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 14. September 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt sowohl die Aufhebung des angefochten Entscheids als auch des Entscheids der Erwachsenenschutzbehörde; der Vorsorgeauftrag vom 13. Oktober 2020 sei zu validieren und er als Vorsorgebeauftragter von D.A._ einzusetzen. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, subeventualiter an die Erwachsenenschutzbehörde zurückzuweisen. Im Übrigen stellt er einen Antrag um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und behält sich ein Nachklagerecht für Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen vor.
C.b. Mit Verfügung vom 15. September 2021 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
C.c. Der Beschwerdeführer reichte am 14. Oktober 2021 und am 3. November 2021 Noveneingaben ein. In der Noveneingabe vom 3. November 2021 stellte er erneut ein Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
C.d. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete die Gültigkeit eines Vorsorgeauftrages (Art. 360 ff. ZGB). Angefochten ist damit ein öffentlich-rechtlicher Endentscheid (Art. 90 BGG) ohne Streitwert, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden (Art. 75 BGG). Da der Beschwerdeführer (mindestens auch) eigene schutzwürdige Interessen geltend macht, ist er nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde legitimiert (vgl. Urteil 5A_542/2019 vom 30. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) eingereichte Beschwerde ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer formuliert ein reformatorisches Begehren, was grundsätzlich zulässig, ja erforderlich ist. Indes hat die Vorinstanz das vor Bundesgericht gestellte Begehren um Validierung des öffentlich beurkundeten Vorsorgeauftrags vom 13. Oktober 2020 und Einsetzung des Beschwerdeführers als Vorsorgebeauftragten als unzulässige Änderung seiner Rechtsbegehren qualifiziert und ist darauf nicht eingetreten. Daher kann das Bundesgericht lediglich prüfen, ob die Vorinstanz zu Unrecht nicht auf dieses Rechtsbegehren eingetreten ist und müsste der Beschwerdeführer dem Bundesgericht entsprechend darlegen, inwiefern das Nichteintreten auf diesen Antrag bundesrechtswidrig sein soll.
Der Beschwerdeführer äussert sich mit keinem Wort zum Nichteintreten der Vorinstanz. Damit kann das Bundesgericht auf diesen Antrag nicht weiter eingehen und es bleibt lediglich der (vorliegend zulässige) kassatorische Antrag des Beschwerdeführers auf Rückweisung an die Vorinstanz bzw. die Erwachsenenschutzbehörde zu prüfen.
1.3. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist ausschliesslich der angefochtene Entscheid der Vorinstanz, welcher den Entscheid der Erwachsenenschutzbehörde ersetzt. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Entscheids der Erwachsenenschutzbehörde verlangt bzw. diesen mehrfach kritisiert, ist die Beschwerde unzulässig (Urteil 5A_578/2021 vom 24. Februar 2022 E. 1.5 mit Hinweisen) und darauf nicht weiter einzugehen.
1.4. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (BGE 143 II 283 E. 1.2.2). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht wird. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.5.
1.5.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 mit Hinweis). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (BGE 146 V 240 E. 8.2). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur soweit zulässig, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), was in der Beschwerde näher auszuführen ist (BGE 143 V 19 E. 1.2). Echte Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich ausgeschlossen (BGE 143 V 19 E. 1.2 mit Hinweisen).
1.5.2. Der Beschwerdeführer schildert den Sachverhalt über elf Seiten aus seiner Sicht, erhebt aber keine Willkürrügen in Bezug auf die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, sondern begnügt sich damit, diese verschiedentlich in appellatorischer Weise als "aktenwidrig" zu bezeichnen. Soweit der geschilderte Sachverhalt von den Feststellungen der Vorinstanz abweicht, sind die Ausführungen daher unbeachtlich.
1.5.3. Die vom Beschwerdeführer mit "Noveneingaben" neu eingereichten Dokumente sind ebenfalls unbeachtlich. Entgegen seinen Ausführungen sind diese echten Noven im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr zu berücksichtigen. Dies gilt auch für die in diesen Noveneingaben nach Ablauf der Beschwerdefrist und damit verspätet erfolgten Äusserungen zur Sache.
2.
Der Beschwerdeführer rügt an verschiedenen Stellen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), was grundsätzlich zuerst zu prüfen ist.
2.1. Zum einen rügt der Beschwerdeführer, ihm sei das Replikrecht verwehrt worden.
2.1.1. Am 28. Juni 2021 bzw. am 2. Juli 2021 hätten der Beschwerdegegner sowie der älteste Bruder noch je eine Eingabe eingereicht. Diese seien dem Beschwerdeführer aber erst am 9. Juli 2021 zusammen mit dem angefochtenen Entscheid weitergeleitet worden.
2.1.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör in seinem Teilgehalt des Replikrechts ist formeller Natur, womit seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (BGE 143 IV 380 E. 1.4.1), wenn eine Heilung in oberer Instanz ausser Betracht fällt (zu den Voraussetzungen: BGE 142 II 218 E. 2.8.1). Die Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach der Gehörsanspruch formeller Natur ist, darf indes nicht darüber hinwegtäuschen, dass auch die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck darstellt. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (BGE 143 IV 380 E. 1.4.1). Andernfalls besteht die Gefahr, dass die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz allein wegen der festgestellten Gehörsverletzung zu einem Leerlauf und einer unnötigen Verzögerung führt. Es wird deshalb für eine erfolgreiche Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs grundsätzlich vorausgesetzt, dass die beschwerdeführende Partei in der Begründung des Rechtsmittels angibt, welche Vorbringen sie in das kantonale Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können (BGE 143 IV 380 E. 1.4.1; Urteil 4A_241/2020 vom 9. September 2020 E. 3.6 mit Hinweisen).
2.1.3. Diesen Begründungsanforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht. Er begnügt sich damit, die erst mit dem angefochtenen Entscheid erfolgte Zustellung der beiden Eingaben zu kritisieren. Auf die Rüge der Verletzung des Replikrechts ist daher nicht weiter einzugehen.
2.2.
2.2.1. Sodann rügt der Beschwerdeführer, der MMS-Test von August 2020, auf den sich beide Vorinstanzen stützen, sei nicht in den Akten und er habe dazu daher keine Stellung nehmen können.
2.2.2. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (BGE 141 III 210 E. 5.2). Im angefochtenen Entscheid wird nirgends thematisiert, ob der Test von August 2020 in den Akten vorhanden ist oder nicht bzw. der Beschwerdeführer Entsprechendes gerügt hätte. Obwohl er selbst in seiner Beschwerde ausführt, bereits die Erwachsenenschutzbehörde hätte sich auf diesen Test abgestützt, behauptet er nicht, bereits im kantonalen Verfahren vorgetragen zu haben, dieser befände sich nicht in den Akten und er habe daher keine Stellung nehmen können. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in den kantonalen Akten nach einer passenden Aktenstelle zu forschen, die belegt, dass der Beschwerdeführer diese formelle Rüge bereits vor Vorinstanz vorgebracht hat. Eine weitere Auseinandersetzung mit dieser Rüge erübrigt sich.
2.3.
2.3.1. Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung der Begründungspflicht, indem die Vorinstanz seine Stellungnahme zur Aktennotiz des Hausarztes nicht beachtet habe. Da die Vorinstanz selbst von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Erwachsenenschutzbehörde ausgegangen und ihm diese Aktennotiz im dortigen Verfahren nicht zugestellt worden sei, hätte die Vorinstanz seine Stellungnahme beachten müssen. Nur so hätte die Verletzung des rechtlichen Gehörs geheilt werden können.
2.3.2. Die Begründungspflicht erfordert nicht, dass sich ein Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (BGE 146 II 335 E. 5.1). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Entscheid.
2.4. Sodann ist die Rüge des Beschwerdeführers, sein Teilnahmerecht an der Befragung der Betroffenen sowie sein Recht, Ergänzungsfragen zu stellen, seien verletzt worden, zu prüfen.
2.4.1. Der Beschwerdeführer führt dazu aus, der Instruktionsrichter der Vorinstanz habe seine Mutter am 15. März 2021 zusammen mit einer Protokollführerin im Pflegeheim besucht und ihr während einer Viertelstunde Fragen zum Sachverhalt gestellt. Darüber sei ein Gesprächsprotokoll erstellt worden, welches den Parteien im vorinstanzlichen Verfahren zur Kenntnisnahme zugestellt worden sei. Diese seien erst mit einer Verfügung vom gleichen Tag (15. März 2021) über den Besuch informiert worden und hätten daher kein Teilnahmerecht oder die Möglichkeit gehabt, Ergänzungsfragen zu stellen. Auch seien weitere Beweisabnahmevorschriften der ZPO nicht beachtet worden und habe er sich keinen persönlichen Eindruck von der Betroffenen verschaffen können. Damit sei auch das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers gemäss Art. 29 Abs. 2 BV verletzt worden.
2.4.2. Das Prozessrecht ist im Bereich des Erwachsenenschutzes - unter Vorbehalt der in Art. 450 bis 450e ZGB festgehaltenen bundesrechtlichen Minimalvorschriften - kantonales Recht (Art. 450f ZGB). Die Verletzung kantonalen Rechts überprüft das Bundesgericht nur im Zusammenhang mit Verfassungsrügen. Dies gilt auch dann, wenn ein Kanton im Bereich des Erwachsenenschutzes die Bestimmungen der ZPO für anwendbar erklärt oder diese aufgrund des Verweises in Art. 450f ZGB zur Anwendung gelangen, soweit das kantonale Recht keine Regelung enthält; in diesem Fall stellen sie subsidiäres kantonales Recht dar (BGE 140 III 385 E. 2.3; Urteil 5A_51/2021 vom 21. Januar 2021 E. 3).
Auf die Rügen des Beschwerdeführers ist damit nur insoweit einzugehen, als er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend macht.
2.4.3. Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (BGE 143 V 71 E. 4.1 mit Hinweisen).
2.4.4. Wie sich aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt und im Übrigen auch aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt, wurde die Anhörung der Betroffenen mit Verfügung angeordnet und erhielt der Beschwerdeführer die Gelegenheit, zum Gesprächsprotokoll Stellung zu nehmen. Von dieser Gelegenheit hat er aber offenbar keinen Gebrauch gemacht. Die angebliche Verletzung des rechtlichen Gehörs hat der Beschwerdeführer erst viel später in der Eingabe vom 4. Juni 2021 gerügt (obwohl er bereits am 14. Mai 2021 eine Replik eingereicht hatte). Der sich aus dem rechtlichen Gehör ergebende verfassungsmässige Anspruch auf Mitwirkung am Beweisverfahren beschränkt sich, wie erläutert, darauf, entweder an der Erhebung der Beweise mitzuwirken oder sich mindestens zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (E. 2.4.3). Der verfassungsmässig garantierte Minimalanspruch besteht also darin, sich zum Beweisergebnis zu äussern. Vor diesem Hintergrund kann der Vorinstanz, die dem Beschwerdeführer die Möglichkeit einräumte, zum Gesprächsprotokoll Stellung zu nehmen, keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden, sieht der Beschwerdeführer dieses doch ohnehin vornehmlich darin, dass ihm das Recht auf Teilnahme und die Stellung von Ergänzungsfragen an der Befragung der Betroffenen verweigert worden ist.
2.4.5. Raum für die (sinngemässe) Anwendung der ZPO im Bereich des Erwachsenenschutzrechts besteht im Übrigen nur, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen oder auf die ZPO verweisen (Art. 450f ZGB). Gemäss § 19 Abs. 1 des Kindes- und Erwachsenenschutzgesetzes (KESG, SG 212.400) richtet sich das Verfahren vor den gerichtlichen Beschwerdeinstanzen nach dem Gesetz über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege (VRPG, SG 270.100). In § 25 Abs. 1 VRPG ist wiederum festgehalten, der Präsident erlasse die nötigen Beweisverfügungen. Soweit sich der Beschwerdeführer daher auf Art. 154 ZPO bezieht, bleibt dafür nach dem Gesagten kein Raum. Eine verfassungswidrige, insbesondere willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts rügt der Beschwerdeführer nicht.
3.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz zudem eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts bzw. willkürliche Beweiswürdigung in Bezug auf die Feststellung der Urteilsunfähigkeit der Betroffenen im Oktober 2020 vor.
3.1. Die in diesem Zusammenhang vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen drehen sich zunächst um den von ihm eingereichten MMS-Test der Betroffenen (durchgeführt bei einem Arzt) vom 17. November 2020. Dabei beschränkt er sich in erster Linie darauf, den Sachverhalt aus seiner Sicht darzustellen und der Vorinstanz in appellatorischer Art und Weise vorzuwerfen, sie habe die von ihm eingereichten Beweismittel (insb. den MMS-Test vom 17. November 2020 sowie die Einschätzung einer weiteren Ärztin, wonach bei Kurzzeitgedächtnisstörungen Testfragen nicht eingeübt werden könnten) zu Unrecht nicht gewürdigt bzw. zu Unrecht höhere Anforderungen an diese gestellt und einzig auf die beiden MMS-Tests des Pflegeheims abgestellt. Er setzt sich dabei nicht mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, wonach der Arzt sich gar nicht zur Urteilsfähigkeit der Betroffenen in Bezug auf den Vorsorgeauftrag geäussert hat. Auch gelingt es ihm nicht, die von der Vorinstanz vorgenommene Beweiswürdigung - dass nämlich erhebliche Zweifel an der Verlässlichkeit der von diesem Arzt durchgeführten Testung bestehen, da der Beschwerdeführer von einem weiteren Arzt dabei beobachtet wurde, wie dieser die Betroffene auf eine allfällige Testung habe vorbereiten wollen - als willkürlich auszuweisen. Mit den Erwägungen der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer selbst geltend mache, die vaskuläre Demenz seiner Mutter verschlechtere sich nicht und es könnten daher aus dem Besuch des Instruktionsrichters bei der Betroffenen am 15. März 2021 und der dort deutlich gewordenen Urteilsunfähigkeit auch für den Oktober 2020 Rückschlüsse gezogen werden, setzt sich der Beschwerdeführer nicht (substanziiert) auseinander. Die Rüge, die Vorinstanz sei auf den bereits am 10. Juli 2020 erfolgten MMS-Test sodann "mit keinem Wort" eingegangen, ist schlicht falsch. Schliesslich hat die Vorinstanz die Urteilsunfähigkeit der Betroffenen nicht nur - wie dies der Beschwerdeführer mehrfach geltend macht - gestützt auf die beiden MMS-Tests des Pflegeheims vom August und Oktober 2020 und den Besuch des Instruktionsrichters bei der Betroffenen angenommen. Eine Beurteilung der Urteilsfähigkeit ausschliesslich gestützt auf einen MMS-Test wäre, auch vor dem Hintergrund der Relativität der Urteilsfähigkeit, unzulässig (siehe auch Richtlinie der Schweizerischen Akademie der Medizinischen Wissenschaften SAMW, Urteilsfähigkeit in der medizinischen Praxis, 2019, S. 25, wonach es sich beim MMS-Test lediglich um ein Screening für Demenz und nicht um ein Instrument zur Evaluation der Urteilsfähigkeit handle). Die Vorinstanz hat jedoch insbesondere auch die innert kurzer Zeit erfolgten, sich widersprechenden Äusserungen der Betroffenen gegenüber ihren Söhnen in die Beurteilung einbezogen und erwogen, diese habe vor dem 13. Oktober 2020 in allen Dokumenten die Sorge für sich dem Beschwerdegegner und bloss im Falle seiner Verhinderung dem Beschwerdeführer übertragen. Bei ändernden Anordnungen seien höhere Anforderungen an die Urteilsfähigkeit zu stellen. Diese Ausführungen, mit denen sich der Beschwerdeführer nicht auseinandersetzt, sind nicht zu beanstanden. Eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz ist nicht auszumachen.
3.2. In Bezug auf die Rüge des Beschwerdeführers, wegen der Nichtbefragung der beurkundenden Notarin sei sein Recht auf Beweis verletzt worden, ist daran zu erinnern, dass die ZPO im Bereich des Erwachsenenschutzes kantonales Recht ist und nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Ohnehin hat die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung auf die Befragung der Notarin verzichtet, weshalb nur Willkür gerügt werden kann. Dies tut der Beschwerdeführer nicht, womit auf diese Rüge nicht weiter einzugehen ist. Ebenfalls keine Willkürrüge erhebt der Beschwerdeführer wenn er ausführt, die Notizen bezüglich eines Telefonats der Notarin mit der Erwachsenenschutzbehörde seien unter Verletzung sämtlicher Beweisvorschriften in die Verfahrensakten gelangt und soweit er verschiedentlich sinngemäss rügt, weitere von ihm beantragten Beweise seien nicht abgenommen worden.
3.3. Strittig ist weiter, ob mit der Beurkundung des Vorsorgeauftrags vom 13. Oktober 2020 auch die Urteilsfähigkeit der Betroffenen beurkundet wurde und diese an der erhöhten Beweiskraft gemäss Art. 9 ZGB teilnimmt.
3.3.1. Die Vorinstanz führt aus, die Notarin habe auf der von der Betroffenen unterzeichneten Kündigung ihres Aufenthalts im Pflegeheim vom 13. Oktober 2020 deren Unterschrift beglaubigt und bestätigt, dass diese sich "nach ihrer Wahrnehmung im Zustand der Verfügungsfähigkeit befunden" habe. Mit der öffentlichen Urkunde über die Errichtung des Vorsorgeauftrags habe die Notarin keine Feststellungen über die Handlungs- und Urteilsfähigkeit der vorsorgenden Person getroffen, zumal die Ermittlungspflicht der Urkundsperson insofern eine eingeschränkte sei, als sie die Urteilsfähigkeit einer Person grundsätzlich vermuten dürfe, sie zu einer umfassenden Prüfung fachlich gar nicht kompetent sei und deshalb bloss erkennbare Anhaltspunkte für deren Fehlen nicht ignorieren dürfe. Die Beurkundung könne von der Notarin nur verweigert werden, wenn die vor ihr erscheinende Person "offensichtlich" handlungsunfähig sei, also an ihrer Urteilsunfähigkeit keine Zweifel bestünden. Aus der sich aus dem basellandschaftlichen Notariatsgesetz ergebenden Pflicht der Notarin, die Urteilsfähigkeit bei der Beurkundung von Willenserklärungen zu prüfen und bei Zweifeln die Beurkundung zu verweigern, könne nicht geschlossen werden, die Notarin habe eine öffentliche Urkunde über die Urteilsfähigkeit der Betroffenen errichtet.
3.3.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen im Wesentlichen ein, die verstärkte Beweiskraft nach Art. 9 ZGB erstrecke sich (gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts) auch auf die Urteilsfähigkeit der Erklärenden. Die Notarin sei gemäss kantonalem Recht zur vorgängigen Prüfung der Urteilsfähigkeit verpflichtet gewesen. Hätte sie Zweifel gehabt, hätte sie die Beurkundung von Gesetzes wegen und im Rahmen ihrer Amtspflicht verweigern müssen. Da sie dies jedoch nicht getan habe, hätten bei ihr nachweislich keine Zweifel bezüglich der Urteilsfähigkeit der Betroffenen bestanden.
3.3.3. Die erhöhte Beweiskraft gemäss Art. 9 Abs. 1 ZGB gilt nur für die im Register oder in der Urkunde bezeugten Tatsachen und nur für Tatsachen, um derentwillen das Gesetz öffentliche Register oder die Errichtung einer öffentlichen Urkunde vorsieht (BGE 124 III 5 E. 1c). So gilt beim öffentlichen Testament für die Erklärung der Zeugen, der Erblasser habe sich nach ihrer Wahrnehmung im Zustand der Verfügungsfähigkeit befunden, keine Richtigkeitsvermutung, sondern diese stellt nur ein Indiz für die Urteilsfähigkeit dar. Der Richter ist weder an die Bestätigung der Testierfähigkeit durch die Zeugen noch an die Erklärungen des Urkundsbeamten gebunden (BGE 124 III 5 E. 1c; 117 II 231 E. 2b und E. 3b/bb). Gleiches gilt auch für die vorliegende Konstellation, in der der Notar kantonalrechtlich zur Prüfung der Urteilsfähigkeit verpflichtet ist. Selbst wenn dieser eine entsprechende Feststellung in der öffentlichen Urkunde anbringt, kommt jener die erhöhte Beweiskraft im Sinne von Art. 9 ZGB nicht zu (STEPHAN WOLF, in: Berner Kommentar, Einleitung und Personenrecht, 2012, N. 51 zu Art. 9 ZGB; vgl. auch WOLF/SETZ, Handlungsfähigkeit, insbesondere Urteilsfähigkeit, sowie ihre Prüfung durch den Notar, in: Das neue Erwachsenenschutzrecht, Institut für Notariatsrecht und Notarielle Praxis 2012, S. 51 und 63). Die vorinstanzlichen Ausführungen sind daher nicht zu beanstanden.
4.
Insgesamt gelingt es dem Beschwerdeführer nach dem Gesagten nicht, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs aufzuzeigen oder den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt bzw. die Beweiswürdigung als willkürlich auszuweisen. Dass die Vorinstanz gestützt auf den festgestellten Sachverhalt das Recht falsch angewendet hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Damit wird das mit Noveneingabe vom 3. November 2021 erneut gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist mangels entschädigungspflichtigem Aufwand keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt, C.A._, D.A._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Lang