Faits :
A.
A.a. Du 1er septembre 2005 au 1er mai 2014 (date de son licenciement immédiat), A._ (ci-après: l'employé) a travaillé pour B._ Sàrl (ci-après: l'employeuse), société sise à... ayant notamment pour but de développer, produire et commercialiser des articles d'horlogerie.
L'employé a débuté son activité au sein de la société en qualité de " Vice President of Operations ", puis de " General manager ", puis comme directeur général (CEO). Cette dernière fonction a été confirmée dans un contrat de travail du 24 juin 2011 (avec effet au 1er janvier 2011), pour une durée de cinq ans (soit jusqu'au 31 décembre 2015).
Selon ce contrat, l'employé percevait annuellement un salaire brut de 561'000 fr., avait droit à une voiture d'une valeur de 120'000 fr. qu'il pouvait utiliser pour son usage personnel, ainsi qu'à une indemnité de 42'000 fr. par année (frais de représentation). En cas de pleine réalisation des objectifs annuels définis à l'avance, le contrat prévoyait un bonus maximal (payable au début de l'année suivante) de 250'000 fr. pour 2011, de 275'000 fr. pour 2012, de 300'000 fr. pour 2013, de 325'000 fr. pour 2014, de 350'000 fr. pour 2015 et de 350'000 fr. pour 2016 (dans l'hypothèse d'une continuation du contrat).
A.b. En 2013, la société employeuse a été rachetée par le groupe X._ (devenu par la suite Z._).
Par courrier du 7 avril 2014, la (nouvelle) société employeuse, par l'intermédiaire de U._ (gérant avec signature individuelle), a libéré A._ avec effet immédiat (sans avertissement préalable) de sa fonction de CEO et de son obligation de travailler jusqu'au 30 avril 2014, ses pouvoirs de représentation étant immédiatement révoqués. L'employeuse précisait que le contrat de travail demeurait en vigueur et qu'elle s'acquitterait du salaire de l'employé conformément au contrat (à la condition que celui-ci respecte ses obligations légales et contractuelles).
Le 17 avril 2014, l'employé, par l'intermédiaire de son avocat, a contesté le contenu de la lettre du 7 avril 2014, et il a signalé à son employeuse qu'en le relevant de sa fonction de CEO sans avis préalable et sans que son travail n'ait été remis en question, elle avait violé son obligation de protéger sa personnalité et que sa réputation et sa santé avaient été affectées par cette décision abrupte. L'employé lui a donné un délai au 25 avril 2014 pour respecter ses obligations et lui fournir des informations claires concernant son futur et son droit de travailler conformément à son contrat.
Le 28 avril 2014, la société employeuse n'ayant pas réagi dans le délai, l'employé lui a fixé un nouveau délai au 30 avril 2014.
A.c. Le 1er mai 2014, la société employeuse a licencié son employé avec effet immédiat, invoquant d'importantes violations de son devoir de loyauté et de fidélité, possiblement constitutives d'infractions pénales.
Le 2 mai 2014, l'employé a contesté la résiliation, relevé l'absence de justes motifs et il a requis la motivation écrite du congé.
Entre le 2 mai et le 29 juillet 2014, l'employé a réitéré à de nombreuses reprises sa demande visant à obtenir une motivation écrite de son licenciement, sans succès.
Pour le mois de mai 2014, l'employé a reçu un salaire mensuel brut de 20'245 fr.80 (3'223 fr. de salaire, 16'920 fr.90 à titre de treizième salaire, 18 fr.05 de contribution pour caisse maladie, 30 fr. 70 d'allocations familiales et 53 fr.15 pour sa voiture de service).
B.
B.a. Le 19 novembre 2014, après l'échec de la conciliation, l'employé a saisi le Tribunal civil des Montagnes et du Val-de-Ruz, concluant à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer 2'509'153 fr.05, avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014, ainsi qu'à la délivrance d'un certificat de travail. Il concluait en outre à la constatation du caractère illicite du comportement de la défenderesse à son égard, ainsi qu'à la publication du jugement à rendre.
Le 24 février 2015, la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage (CCNAC) a présenté une requête d'intervention contre la défenderesse et elle a requis la jonction des causes.
Dans sa réponse du 27 février 2015, la défenderesse a pour la première fois évoqué les motifs qui, selon elle, justifiaient le licenciement immédiat. Elle reproche notamment à l'employé d'avoir violé ses obligations contractuelles en s'offrant des voyages d'affaires en première classe, d'avoir " disparu " durant la Foire de Bâle, de n'avoir pas annoncé ses vacances et d'avoir commis plusieurs irrégularités afin d'obtenir un bonus plus conséquent.
Par jugement du 4 juillet 2017, le Tribunal civil a considéré que le licenciement immédiat était injustifié. Il a condamné la défenderesse à payer au demandeur le montant de 902'716 fr.65 brut, dont à déduire 18'720 fr.95 net, avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014, ainsi que le montant de 299'742 fr. (indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO), avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014. Il l'a condamnée à verser à la CCNAC le montant de 18'720 fr.95, avec intérêts à 5% l'an dès le 24 février 2015, à remettre à l'employé un certificat de travail et elle a pris acte du retrait par le demandeur de sa conclusion relative à la publication du jugement.
B.b. Par arrêt du 14 février 2018, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal de Neuchâtel a confirmé le jugement entrepris sur le principe, ainsi que sur le montant de 902'716 fr.65 (brut). Elle a admis partiellement l'appel de la défenderesse s'agissant du montant de l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié (art. 337c al. 3 CO) et a réduit ce montant (299'742 fr.) de moitié (149'871 fr.), sans reprendre la question des intérêts.
C.
C.a. La défenderesse exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 14 février 2018. Elle conclut principalement à sa réforme en ce sens que la demande du 19 novembre 2014 soit intégralement rejetée et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause pour nouvel examen à l'autorité précédente. La recourante invoque en particulier la violation des art. 18, 337 et 337c CO, de l'art. 8 CC, de l'art. 152 CPC, ainsi qu'une constatation inexacte des faits par l'autorité précédente.
L'intimé conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
La recourante a encore déposé des observations.
L'effet suspensif a été conféré au recours par ordonnance présidentielle du 7 mai 2018.
C.b. Le demandeur exerce, contre le même arrêt cantonal, un recours en matière civile. Il conclut à sa réforme en ce sens que la défenderesse soit condamnée à lui verser le montant de 299'742 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014, au titre d'indemnité consécutive au licenciement immédiat injustifié (art. 337c al. 3 CO), l'arrêt cantonal étant confirmé pour le surplus. Il invoque en particulier la violation des art. 337 ss CPC et des art. 312 ss CPC.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
La CCNAC s'est bornée à confirmer les allégués résultant de la procédure cantonale, ainsi que ses conclusions.
Considérant en droit :
1.
1.1. Les recours (causes 4A_173/2018 et 4A_179/2018) étant tous dirigés contre le même arrêt et les questions juridiques qui se posent portant essentiellement sur les mêmes objets, il y a lieu de joindre les deux procédures.
Les recours en matière civile ont été formés en temps utile (art. 100 al. 1 et 45 al. 1 LTF). Dirigés contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur appel de la défenderesse par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une affaire relevant du contrat de travail (art. 72 al. 1 LTF), dont la valeur litigieuse excède 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF), les recours en matière civile sont recevables au regard de ces dispositions.
Il en résulte que le recours constitutionnel subsidiaire formé par la défenderesse est irrecevable (art. 113 LTF).
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 137 II 353 consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2; 136 III 552 consid. 4.2).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.).
1.3. Sous réserve de la violation des droits constitutionnels (art. 106 al. 2 LTF), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal ou, cas échéant, à l'état de fait qu'il aura rectifié. Il n'est toutefois lié ni par les motifs invoqués par les parties, ni par l'argumentation juridique retenue par l'autorité cantonale; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité).
2.
La cour cantonale commence par examiner si la défenderesse a, après avoir eu connaissance des (prétendus) motifs à l'origine du licenciement immédiat, réagi dans un délai raisonnable. Elle relève que la défenderesse prétend avoir disposé de tels motifs dans le courant du mois d'avril 2014. Elle ajoute toutefois d'emblée que le courrier de l'employeuse du 1er mai 2014 ne décrit concrètement et précisément aucun des faits à l'appui de la résiliation avec effet immédiat. Il a fallu attendre encore dix mois - soit la réponse de la défenderesse (le 27 février 2015) - pour que celle-ci communique enfin à son employé les faits précis ayant, selon elle, rompu le rapport de confiance. Dans cet intervalle, la défenderesse s'est employée à rechercher a posteriori des faits susceptibles de justifier le licenciement abrupt de son employé. La cour cantonale observe que cette motivation (centrale) suffit à démontrer que la défenderesse ne disposait d'aucun fait précis permettant d'expliquer sa perte de confiance vis-à-vis de l'employé. La suite de sa motivation - qui vise spécifiquement chacun des motifs évoqués par la défenderesse (cf. paragraphe suivant) - a été fournie " par surabondance de motifs ".
S'agissant des motifs à l'origine du licenciement (notamment des voyages en avion en première classe, de la " disparition " de l'employé durant la foire de Bâle 2014, des vacances imprévues de l'employé, des irrégularités alléguées), la cour cantonale considère qu'aucun d'eux ne permet de justifier le licenciement immédiat. Certains ne sont simplement pas établis, ou ne peuvent pas être qualifiés de justes motifs, d'autres enfin relèvent d'une pratique de l'employé, connue de sa direction, que celle-ci n'a jamais contestée.
Pour procéder au calcul des indemnités (art. 337c al. 1 et 3 CO), la cour cantonale retient que le bonus (en l'occurrence un montant déterminable ayant fait l'objet d'un accord entre les parties) destiné à l'employé chaque année devait être inclus dans son salaire.
S'agissant de l'indemnité fondée sur l'art. 337c al. 3 CO, elle confirme les circonstances prises en compte par les premiers juges et, notamment, que l'employé était au service de la défenderesse depuis près de dix ans au moment du licenciement, qu'il a joué un rôle déterminant au sein de l'entreprise, qu'il s'est largement investi dans son développement, qu'il a été libéré de son obligation de travailler par courrier du 7 avril 2014 sans avertissement préalable alors même qu'il était en vacances, que le demandeur a appris la décision de la défenderesse par les médias, que celle-ci lui a bloqué ses accès électroniques et téléphoniques, que son contrat de travail a ensuite été résilié avec effet immédiat le 1er mai 2014, que la défenderesse n'a jamais motivé de manière précise les motifs du congé, malgré les nombreuses sollicitations du demandeur, que celui-ci a été atteint dans sa santé, qu'il a été incapable de travailler à 100% du 28 avril au 30 mai 2014 et qu'il s'est retrouvé sans salaire, les indemnités de chômage lui ayant été refusées en raison des déclarations de la défenderesse à la CCNAC. La cour cantonale a souligné que le procédé utilisé par la défenderesse pour écarter le demandeur était particulièrement choquant, que le choc qui en a découlé pour lui était - au moins en partie - en lien avec son incapacité de travail consécutive, que le courrier du 1er mai 2014 formulait des accusations très graves contre l'employé et que l'employeuse n'était pas une " partie économiquement faible ", étant donné les salaires exorbitants qu'elle versait. La cour cantonale a toutefois divisé par deux l'indemnité fixée par les premiers juges au (seul) motif que ceux-ci n'avaient pas tenu compte de la situation économique de l'employé qui percevait un revenu devant être qualifié de " très haut revenu " au sens de la jurisprudence et que le licenciement immédiat n'était dès lors pas propre à le mettre économiquement dans la gêne.
Cause 4A_179/2018
3.
Dans son recours en matière civile, la défenderesse revient sur l'intégralité du raisonnement des magistrats précédents. Invoquant de manière générale une constatation arbitraire des faits (art. 9 Cst.) et la violation du droit fédéral, elle soutient que, la résiliation avec effet immédiat reposant sur de justes motifs, aucune indemnité ne devait être versée au demandeur. Elle ajoute que, même si l'on admettait l'absence de justes motifs (et donc l'application de l'art. 337c CO), les bonus versés - qui devraient être qualifiés de gratifications facultatives - n'auraient pas dû être intégrés dans le calcul du dommage (art. 337c al. 1 CO) et qu'aucune indemnité n'aurait dû être allouée en vertu de l'art. 337c al. 3 CO. La recourante reproche également à la cour cantonale d'avoir ignoré les violations contractuelles commises par le demandeur qui lui ont pourtant causé un dommage.
3.1. Dans la partie " Violation du droit " de son recours, la défenderesse fait référence à de nombreuses dispositions légales, en les commentant brièvement, sans toutefois expliquer en quoi ces normes auraient été (directement) violées par la cour cantonale. En réalité, la recourante se plaint exclusivement d'une constatation arbitraire des faits (qui aurait eu une incidence sur l'application du droit) et les griefs tirés de la violation du droit se révèlent pour la plupart sans consistance (cf. aussi acte de recours p. 21 dans lequel la recourante reconnaît que sa " critique porte sur les faits suivants qui conduisent l'instance précédente à violer également des dispositions de lois fédérales ").
S'agissant de la partie de son mémoire portant sur la " Constatation inexacte des faits ", la recourante revient sur plusieurs points de fait établis par la cour cantonale. Même si elle invoque explicitement l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, elle n'expose pas ses griefs en respectant les exigences strictes découlant des art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF. Lorsque la recourante - pour soutenir qu'elle a prouvé les faits constitutifs d'une violation des devoirs de diligence et de loyauté du demandeur - reproche à la cour cantonale de n'avoir pas pris en considération un moyen de preuve ou d'avoir mal compris un fait allégué ou encore d'avoir omis de traiter un fait ou une preuve, elle procède elle-même à une nouvelle appréciation des preuves, mais ne fournit aucune motivation permettant de comprendre en quoi l'appréciation de la cour cantonale serait insoutenable.
C'est en particulier le cas lorsque la défenderesse critique le constat des juges précédents selon lequel l'employeuse n'a présenté à son employé, dans un délai raisonnable, aucun fait qui permettait de justifier la rupture du lien de confiance entre les parties. Elle se borne à renvoyer à la lettre de résiliation du 1er mai 2014, pourtant décrite par la cour cantonale comme ne mentionnant " concrètement et précisément aucun fait reproché [au demandeur] à l'appui de la résiliation avec effet immédiat ". La recourante se borne à répéter, une nouvelle fois et de manière purement appellatoire, que la " motivation a été clairement exposée et de manière suffisante dans la lettre de congé (violation grave des devoirs de loyauté et de fidélité) et discutée ensuite entre les avocats ". Elle fait ainsi référence à la qualification des actes qu'elle reproche à l'employé, sans toutefois démontrer (ni même prétendre) qu'elle aurait également mentionné les faits à l'origine de sa qualification. Elle ne prétend pas non plus qu'elle aurait finalement communiqué ces informations (avant de le faire dans sa réponse du 27 février 2015) à la suite des demandes répétées de l'employé. Enfin, lorsque la recourante soutient avoir informé le demandeur " par téléphone " le 26 juin 2014, elle fait état d'une communication, par ailleurs tardive, qui n'est pas établie par la cour cantonale.
3.2. Même si (par hypothèse) on admettait la recevabilité des critiques de la recourante, elles devraient être déclarées mal fondées.
3.2.1. La recourante conteste le raisonnement des magistrats cantonaux selon lequel elle aurait démontré elle-même l'absence de rupture du lien de confiance, puisqu'elle a proposé à l'employé un poste de consultant le 7 avril 2014 alors même qu'à cette date, elle avait connaissance des prétendus manquements de l'employé. L'employeuse affirme au contraire qu'elle n'a eu connaissance des manquements qu'à la fin du mois d'avril 2014, de sorte qu'elle pouvait légitimement lui proposer ce nouveau poste au début du mois d'avril 2014.
Force est toutefois de constater que, dans une autre partie de son mémoire, la recourante reconnaît elle-même que, déjà au début du mois d'avril 2014, le lien de confiance était durablement affecté. Elle ne saurait, d'un côté, admettre la rupture de ce lien lorsqu'il s'agit de justifier le licenciement immédiat (en particulier pour démontrer que celui-ci aurait été notifié dans un délai raisonnable), puis, d'un autre côté, nier la rupture (durant la même période) pour convaincre qu'elle pouvait encore raisonnablement proposer à l'employé un poste de confiance. Ce raisonnement, qui repose sur une contradiction évidente, ne convainc pas.
3.2.2. C'est en vain que la recourante soutient, en se référant à l'ATF 142 III 579, qu'il est admis d'ajouter des motifs en cours de procédure, après la notification de la résiliation. En réalité, la défenderesse confond deux moments distincts: d'une part, celui du déroulement de l'événement constituant le juste motif; d'autre part, celui de la connaissance de cet événement. Selon la jurisprudence, l'événement en question doit nécessairement se produire avant la résiliation avec effet immédiat, mais la partie qui résilie le contrat peut encore s'en prévaloir ultérieurement si, au moment de donner le congé, elle n'en avait pas connaissance et ne pouvait en avoir connaissance (ATF 142 III 579 consid. 4).
En l'occurrence, la recourante a elle-même admis avoir pris connaissance des (prétendus) manquements de son employé entre début et fin avril 2014 et elle était donc en mesure de les communiquer au demandeur le 1er mai 2014.
3.3. On ne saurait dès lors reprocher à la cour cantonale d'avoir retenu que la défenderesse avait tardé à agir et qu'elle était déchue de son droit de résilier pour justes motifs (art. 337 al. 1 CO).
Cela étant, il n'y a pas lieu d'examiner les arguments que la cour cantonale - qui retient que les motifs soulevés par la recourante ne sont, en soi, pas susceptibles de justifier un licenciement immédiat - évoque " par surabondance de motifs ".
4.
Il reste à examiner les moyens que la recourante soulève à titre subsidiaire (dans l'hypothèse - ici réalisée - d'une résiliation immédiate non justifiée) tendant à supprimer, à tout le moins à réduire, les indemnités dues au titre de l'art. 337c al. 1 et 3 CO.
4.1. La recourante s'attaque dans un premier temps au montant du salaire de l'employé, préalablement fixé par la cour cantonale pour calculer les indemnités prévues à l'art. 337c al. 1 et 3 CO. Selon elle, le bonus serait une gratification facultative (les parties ayant, selon elle, réservé tant le principe que le montant du bonus) et son montant n'aurait pas dû être pris en compte dans le calcul du salaire mensuel de l'employé.
4.1.1. Pour déterminer dans un cas concret si le montant du bonus est un salaire variable ou une gratification, il faut premièrement examiner si, selon la volonté des parties, le bonus est déterminé (ou objectivement déterminable) ou indéterminé (ou objectivement indéterminable) (arrêt 4A_463/2017 du 4 mai 2018 consid. 3.1 et 3.2 et les arrêts cités).
Il est donc erroné de qualifier d'emblée - comme le suggère la recourante - le bonus de gratification, au motif que l'employé dispose d'un " très haut revenu ". Ce dernier critère (ou seuil) ne trouve application que si le bonus est qualifié de gratification facultative; cette qualification appelle l'application du principe de l'accessoriété et, le cas échéant, une requalification (en salaire). C'est à ce stade qu'intervient la notion de " très haut revenu " (seuil équivalant à cinq fois le salaire médian suisse) : la requalification est opérée si l'employé perçoit (durant la période considérée, en principe l'année civile) un revenu effectif inférieur à ce seuil, mais elle est d'emblée exclue si son revenu effectif atteint ou dépasse ce seuil (arrêt 4A_463/2017 déjà cité consid. 3.1.4.2 et 3.2).
4.1.2. Force est de constater que la cour cantonale a recherché la volonté réelle (subjective) des parties en se basant sur leurs déclarations et le texte du contrat, sans jamais se référer à la compréhension qu'en aurait un destinataire de bonne foi, et qu'elle a retenu que les parties étaient convenues d'un salaire (variable), son montant étant objectivement déterminable.
Le fardeau de la preuve, évoqué par la recourante, ne joue ici aucun rôle puisque la cour cantonale est parvenue à se forger une conviction et qu'elle a établi la volonté réelle des parties. Il ne s'agit donc plus de savoir qui a la charge de la preuve et qui en supporte l'échec, mais d'examiner si les preuves ont été appréciées arbitrairement (cf. paragraphe suivant).
La recourante reconnaît que le montant du bonus était objectivement déterminable pour l'année 2011 (année du calcul), mais soutient que cela n'était pas le cas pour les années suivantes (au motif que l'employé n'aurait pas eu connaissance des objectifs arrêtés par l'employeuse), de sorte qu'on ne saurait parler, pour ces années-là, de bonus objectivement déterminable et, partant, de salaire (variable). La défenderesse ne fait toutefois que présenter sa propre version des faits, sans même reprocher explicitement à la cour cantonale d'avoir constaté les faits de manière arbitraire (art. 9 Cst.) et sans fournir une motivation, respectant les exigences strictes des art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF, susceptible de démontrer en quoi l'état de fait dressé par l'autorité précédente serait arbitraire. En particulier, la recourante ne prétend pas que la " faible marge de manoeuvre " dont elle disposait pour formuler les objectifs empêcherait d'emblée, sous peine de tomber dans l'arbitraire, de conclure à l'existence d'un bonus objectivement déterminable. De même, elle n'explique pas en quoi le fait que certaines informations (relatives aux objectifs de l'année) n'auraient pas été communiquées à l'employé démontrerait que la cour cantonale aurait établi les faits de manière arbitraire.
4.2. La recourante revient aussi sur l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié (art. 337c al. 3 CO), arrêtée par la cour cantonale à trois mois de salaire. Elle considère que son montant est " exagéré ", sans toutefois expliquer pour quel motif une réduction serait, selon elle, nécessaire. La critique est sans aucune consistance.
4.3. Dans un dernier moyen, la défenderesse reproche aux juges cantonaux de n'avoir pas traité de son action reconventionnelle portant sur le dommage que l'employé lui a causé.
Il ne résulte toutefois pas de l'arrêt cantonal, ni même du dossier, que la défenderesse aurait pris une conclusion reconventionnelle. Le moyen tombe dès lors à faux.
4.4. En conclusion, le recours en matière civile de la défenderesse doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Cause 4A_173/2018
5.
Dans son recours en matière civile, le demandeur soutient que la cour cantonale a fixé l'indemnité (montant correspondant à trois mois de salaire) au sens de l'art. 337c al. 3 CO en se fondant sur un critère (la situation " économique " de l'employé) étranger à la jurisprudence du Tribunal fédéral et qu'une appréciation correcte des critères déterminants auraient dû la conduire à confirmer le montant retenu par le tribunal de première instance (six mois de salaire). Dans l'hypothèse où l'indemnité prononcée par les juges précédents devrait être confirmée (trois mois de salaire), le demandeur estime avoir le droit de " récupérer " intégralement la différence sur un autre poste, soit d'obtenir une hausse du montant déjà accordé au titre d'indemnité au sens de l'art. 337c al. 1 CO.
5.1. L'art. 337c al. 3 CO prévoit qu'en cas de résiliation immédiate injustifiée, le juge peut allouer au travailleur une indemnité dont il fixera librement le montant, en tenant compte de toutes les circonstances, mais sans dépasser l'équivalent de six mois de salaire.
Cette indemnité, qui s'ajoute aux droits découlant de l'art. 337c al. 1 CO, revêt une double finalité, à la fois réparatrice et punitive, quand bien même elle ne consiste pas en des dommages-intérêts au sens classique, car elle est due même si la victime ne subit ou ne prouve aucun dommage; revêtant un caractère sui generis, elle s'apparente à la peine conventionnelle (ATF 135 III 405 consid. 3.1 p. 407; 120 II 209 consid. 9b p. 214). Sauf cas exceptionnel, elle doit être versée pour tout licenciement immédiat dénué de justes motifs (ATF 133 III 657 consid. 3.2 p. 660 et les arrêts cités).
L'indemnité est fixée d'après la gravité de la faute de l'employeur, la mesure de l'atteinte portée aux droits de la personnalité du travailleur et la manière dont la résiliation a été annoncée; d'autres critères tels que la durée des rapports de travail, l'âge du lésé, sa situation sociale, une éventuelle faute concomitante et les effets économiques du licenciement entrent aussi en considération (arrêt 4A_161/2016 du 13 décembre 2016 consid. 3.1 et les arrêts cités).
En ce qui concerne la faute de l'employeur, il résulte de la casuistique tirée de la jurisprudence en matière de congés de représailles que l'indemnité consécutive à une faute grave se situe le plus souvent entre quatre et six mois de salaire (arrêt 4A_401/2016 du 13 janvier 2017 consid. 6.2.1 et les références citées, publié in SJ 2017 I 297).
Le juge tiendra aussi compte des effets économiques du licenciement, ce qui présuppose de prendre en considération aussi bien la situation économique de l'employeur que celle de l'employé (arrêt 4A_401/2016 déjà cité consid. 6.2.1; cf. ATF 123 III 391 consid. 3b/aa).
En ce qui concerne le comportement des parties (dont le juge tiendra également compte), il s'agira notamment d'observer, s'agissant de l'attitude de l'employeur, si celui-ci a permis à l'employé de s'exprimer sur les motifs ayant conduit au licenciement ou si, ayant connaissance de querelles au sein de l'entreprise, il a pris diverses mesures pour protéger la personnalité de ses employés (4A_401/2016 déjà cité consid. 6.2.1).
Statuant selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale. Il n'intervient que lorsque l'autorité précédente s'est écartée sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'est appuyée sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, a méconnu des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (cf. arrêt 4A_105/2018 du 10 octobre 2018 consid. 3.2.2).
5.2. Force est de constater que la quasi-totalité des circonstances ont été appréciées de la même manière par les deux instances précédentes. En particulier, celles-ci ont jugé que la faute de l'employeuse devait être qualifiée de grave. La cour cantonale a ainsi confirmé l'appréciation du tribunal de première instance en relevant encore que tous les motifs avancés par l'employeuse - dont la position économique était, selon les constatations cantonales, " très forte " - avaient été construits a posteriori pour justifier le congé immédiat déjà notifié.
La cour cantonale s'est toutefois écartée de l'appréciation des premiers juges au seul motif, selon elle déterminant, que l'employé avait un " très haut revenu ". Elle est alors arrivée à la conclusion que l'indemnité fixée par les premiers juges devait être divisée par deux.
5.3. L'élément retenu par la cour cantonale ne saurait toutefois jouer le rôle (décisif) que celle-ci lui attribue en l'espèce.
5.3.1. Premièrement, le critère de la situation économique vise les deux parties et le juge ne saurait d'emblée inférer de la situation financière avantageuse de l'employé la nécessité de réduire (en l'occurrence de moitié) l'indemnité qui lui est due en vertu de l'art. 337c al. 3 CO sans faire la moindre référence à la situation économique de l'employeuse. A cet égard, force est de constater que la cour cantonale a retenu que la situation économique de l'employeuse était " très forte ", ce qui relativise - notamment en raison de la finalité punitive de l'indemnité, apparentée à une peine conventionnelle - l'importance de la situation financière favorable de l'employé.
On ne saurait revenir sur les considérations qui précèdent (et donc reconnaître que la situation financière avantageuse de l'employé - prise isolément - impliquerait d'emblée une réduction de l'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO) en tirant argument de la jurisprudence du Tribunal fédéral relative aux bonus et, en particulier, de la notion de " très hauts revenus " utilisée dans ce cadre. Cette notion a été introduite en lien avec la qualification des bonus pour répondre à un besoin spécifique: il s'agissait de fixer le seuil à partir duquel la requalification (en salaire) de la gratification facultative (absence de tout droit contractuel de l'employé) est exclue; le Tribunal fédéral a retenu que, pour la catégorie des " très hauts revenus " (cinq fois le salaire médian suisse), le critère de l'accessoriété (à l'origine de la requalification) n'est plus déterminant et qu'une restriction de la liberté contractuelle des parties ne peut se justifier par un besoin de protection du travailleur (ATF 141 III 407 consid. 4.3.2 p. 409).
En résumé, la jurisprudence relative aux bonus n'a qu'un effet indirect sur le calcul de l'indemnité pour licenciement injustifié: le montant de cette indemnité est calculé, en fonction des critères posés à l'art. 337c al. 3 CO, en partant du " salaire du travailleur " qui, lui, dépendra de l'éventuelle requalification (intégrale ou partielle) de la gratification facultative dont aurait bénéficié l'employé.
5.3.2. Deuxièmement, la prise en considération des effets économiques du licenciement immédiat pour les deux parties (qui implique de connaître leur situation économique/financière) n'est qu'un critère parmi d'autres que le juge doit apprécier au moment de calculer l'indemnité due en vertu de l'art. 337c al. 3 CO. Ce critère n'est donc à lui seul pas décisif, mais il doit être pris en compte dans le cadre d'une appréciation globale de l'ensemble des circonstances.
5.3.3. Troisièmement, la décision de la cour cantonale - qui considère que la situation financière avantageuse de l'employé est en soi décisive - a pour effet de reléguer au second plan la faute de l'employeuse (pourtant qualifiée de grave), ce qui réduit à néant la finalité punitive de l'indemnité (ou à tout le moins diminue fortement son efficacité) et, partant, se heurte à l'une des deux fonctions essentielles de l'indemnité consacrée à l'art. 337c al. 3 CO (sur la double fonction de l'indemnité, cf. supra consid. 5.1).
5.4. Cela étant, en s'écartant de l'indemnité attribuée par les premiers juges (correspondant à six mois de salaire) au seul motif que l'employé ne serait pas dans la gêne sur le plan financier, la cour cantonale a donné un poids décisif à un critère qui n'avait en l'occurrence (également au regard de la situation économique de l'employeuse) qu'une importance marginale et, partant, elle a excédé le (large) pouvoir d'appréciation dont elle dispose lors de l'application de l'art. 337c al. 3 CO.
5.5. Les arguments soulevés par la défenderesse sont impropres à remettre en question cette conclusion.
5.5.1. La défenderesse revient sur des faits écartés par la cour cantonale (allégations portant sur l'absence d'investissement du demandeur et sur les pertes importantes de l'entreprise) sans toutefois démontrer, en se conformant aux exigences strictes des art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF), en quoi les juges précédents auraient, par leur décision, sombré dans l'arbitraire. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter de l'état de fait dressé par la cour cantonale.
5.5.2. La défenderesse, revenant sur la notion de " très haut revenu ", tente de convaincre que ce critère serait également décisif lorsqu'il s'agit de calculer l'indemnité d'un travailleur (cf. art. 337c al. 3 CO) disposant d'un revenu conséquent. Elle est d'avis que la notion de " salaire moyen suisse ", utilisée par le législateur à l'art. 5 al. 3 de la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes (LEg; RS 151.1), est sous-entendue à l'art. 337c al. 3 CO (" salaire du travailleur ") et elle en infère que le salaire perçu en l'espèce par l'employé, " plus que 10 fois supérieur à un salaire moyen ", implique nécessairement une réduction du montant de l'indemnité.
L'argumentation ne convainc pas. D'une part, comme on l'a vu, la notion de " très haut revenu " a été introduite pour procéder à la qualification des bonus, afin de répondre à un besoin spécifique (définir le seuil à partir duquel la requalification en salaire d' une gratification facultative est exclue). La notion ne joue qu'un rôle indirect (au moment de fixer le salaire du travailleur) dans le calcul de l'indemnité prévue à l'art. 337c al. 3 CO, qui repose sur la prise en compte de toutes les circonstances concrètes. D'autre part, le " salaire du travailleur " auquel fait référence l'art. 337c al. 3 CO correspond au salaire qu'il a effectivement perçu avant le licenciement (cf. arrêt 4A_161/2016 du 13 décembre 2016 consid. 3.3) et non au " salaire moyen suisse " figurant explicitement à l'art. 5 al. 3 LEg. L'utilisation de cette dernière notion par le législateur dans la LEg s'explique par le fait que, dans la plupart des cas de discrimination lors de l'embauche, le salaire n'a pas encore été fixé, ce qui implique de calculer l'indemnité sur la base du salaire qui aurait vraisemblablement été versé et, partant, justifie la prise en compte du " salaire moyen suisse ", qui résulte de données statistiques (Message concernant la loi sur l'égalité du 24 février 1993, FF 1993 I 1163 ch. 31 p. 1214).
5.5.3. Enfin, on ne peut suivre la défenderesse lorsqu'elle prétend que le montant du salaire global perçu par le demandeur sortirait " massivement du cadre envisagé par le législateur " et que le versement d'une indemnité correspondant à six mois de salaire " heurte[rait] le sens de l'équité ". On lui rappellera tout d'abord que le salaire (fixe et/ou variable) pris en compte (comme donnée de base) sous l'angle de l'art. 337c al. 3 CO n'est autre que celui qu'elle a convenu contractuellement avec l'employé. On répétera ensuite que la situation économique des deux parties doit être prise en compte. Or, si l'employé était au bénéfice d'une situation financière favorable, la cour cantonale a également retenu que la situation économique de l'employeuse était " très forte ", ce qui relativise l'importance du seul revenu de l'employé, auquel la défenderesse confère un poids particulier.
5.6. Le moyen soulevé par le demandeur est fondé et il y a lieu d'écarter l'appréciation effectuée par la cour cantonale en violation de l'art. 337c al. 3 CO.
Il n'y a pas lieu de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouvel examen, puisqu'il résulte de l'arrêt attaqué que, exception faite du critère économique (qui vient d'être examiné), la cour cantonale a confirmé l'appréciation effectuée par les premiers juges sur la base des autres critères pris en considération.
Cela étant, le calcul de l'indemnité opéré par les premiers juges peut être confirmé et il y a lieu de condamner l'employeuse à verser au demandeur le montant de 299'742 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014, étant précisé que la question des intérêts n'est ici pas litigieuse.
Vu l'issue de la cause, il n'y a pas lieu d'examiner le deuxième moyen soulevé par le recourant.
6.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours constitutionnel subsidiaire de la défenderesse est irrecevable et que son recours en matière civile est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Les frais (15'000 fr.) et dépens (17'000 fr.) sont mis à la charge de la défenderesse, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Le recours en matière civile du demandeur est admis et le ch. 2 du dispositif de l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la défenderesse est condamnée à verser au demandeur 299'742 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014 au titre d'indemnité pour licenciement injustifié au sens de l'art. 337c al. 3 CO. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la deuxième instance cantonale. L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus.
Les frais (5'500 fr.) et dépens (6'500 fr.) sont mis à la charge de la défenderesse, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Au total, les montants supportés par la défenderesse seront de 20'500 fr. (frais judiciaires) et de 23'500 fr. (dépens).
La CCNAC, agissant comme intervenante (pour sa prétention subrogatoire), n'a pas à payer de frais judiciaires (cf. arrêt 4A_105/2018 du 10 octobre 2018 consid. 6). Comme elle n'est pas représentée par un avocat, il ne lui sera pas alloué de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 4A_173/2018 et 4A_179/2018 sont jointes.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire de la défenderesse est irrecevable, son recours en matière civile rejeté dans la mesure où il est recevable, le recours en matière civile du demandeur admis, et le jugement a donc la teneur suivante:
2.1. La défenderesse est condamnée à payer au demandeur le montant de 902'716 fr.65 brut, dont à déduire 18'720 fr.95 net, avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014.
2.2. La défenderesse est condamnée à payer au demandeur le montant de 299'742 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 3 mai 2014.
2.3. La défenderesse est condamnée à payer à la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage (CCNAC) le montant de 18'720 fr.95 net avec intérêts à 5% l'an dès le 24 février 2015.
2.4. La défenderesse est condamnée à remettre au demandeur un certificat de travail dont le contenu correspondra à l'allégué no 165 de la demande du 19 novembre 2014.
2.5. Les frais de première instance de 20'720 fr. sont mis à la charge de la défenderesse.
2.6. La défenderesse est condamnée à verser au demandeur une indemnité de 60'000 fr. pour ses dépens de première instance.
2.7. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure d'appel.
3.
3.1. Les frais judiciaires, arrêtés à 20'500 fr., sont mis à la charge de la défenderesse.
3.2. La défenderesse versera au demandeur le montant de 23'500 fr. à titre de dépens.
3.3. Il n'est pas alloué de dépens à la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage (CCNAC).
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 29 janvier 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget