Faits :
A.
A._ enseignait l'allemand dans un centre professionnel. Invoquant les séquelles totalement incapacitantes d'une spondylarthrite ankylosante, elle a sollicité des prestations de l'assurance-invalidité le 11 novembre 2016.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a requis l'avis des médecins traitants. Considérant toutefois que les informations fournies par ces derniers ne lui permettaient pas de rendre une décision, il a réalisé une expertise pluridisciplinaire. Les experts du Centre Médical Expertises (CEMEDEX S.A.), à Fribourg, ont diagnostiqué une spondylarthrite ankylosante autorisant l'exercice à mi-temps de toute activité adaptée (comprenant l'activité habituelle) si possible l'après-midi en raison d'un "dérouillage" matinal de plusieurs heures. Sur la base des avis des médecins traitants, ils ont en outre évoqué un antécédent de burn-out suivi d'épisodes dépressifs moyens et un trouble de la personnalité ou un trouble anxio-dépressif n'influençant plus la capacité de travail (rapport du 22 janvier 2019).
Se fondant sur une appréciation du dossier médical par le docteur B._, médecin de son Service médical régional (SMR), qui avait entériné les conclusions des experts à l'exception de celle concernant le "dérouillage" matinal (rapport du 25 janvier 2019), l'administration a alloué à l'assurée une demi-rente d'invalidité à partir du 1er août 2017 (décision du 24 mai 2019).
B.
Saisi d'un recours de l'intéressée, qui avait en outre déposé un certificat établi par la doctoresse C._, spécialiste en rhumatologie, le 18 juin 2019, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a rejeté (arrêt du 5 juin 2020).
C.
Agissant par la voie d'un recours en matière de droit public, A._ requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et conclut à l'octroi d'une rente entière d'invalidité.
L'office AI conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
1.2. L'assurée a produit différentes pièces pour la première fois en instance fédérale. Elle se contente d'y faire allusion pour étayer les effets secondaires des médicaments qu'elle prend, ou qu'elle a pris par le passé, ou pour illustrer les difficultés qu'une personne de son âge a à retrouver un emploi. Elle n'expose cependant pas en quoi ces pièces résulteraient de l'arrêt attaqué au sens de l'art. 99 al. 1 LTF. Elle n'explique pas davantage les raisons pour lesquelles elle n'a pas été en mesure de les produire en procédure cantonale. Il n'y a dès lors pas lieu de les prendre en considération dans la présente procédure (cf. ATF 143 V 19 consid. 1.2).
2.
Le litige concerne le droit de la recourante à une rente entière d'invalidité au lieu de la demi-rente qui lui avait été reconnue à partir du 1er août 2017. Il porte en particulier sur l'appréciation de la situation médicale de la recourante, singulièrement sur l'influence des effets secondaires des médicaments, des limitations fonctionnelles et du "dérouillage" matinal sur la capacité de travail, ainsi que sur l'existence sur le marché équilibré du travail d'une activité compatible avec de telles restrictions.
3.
L'arrêt attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du litige, plus particulièrement celles concernant l'état de fait déterminant délimitant le cadre temporel de l'examen du juge (ATF 131 V 242 consid. 2.1), la notion d'invalidité (art. 7 et 8 LPGA en lien avec l'art. 4 al. 1 LAI), le rôle des médecins (ATF 140 V 193 consid. 3.2), le principe de la libre appréciation des preuves et la valeur probante des rapports médicaux (ATF 133 V 450 consid. 11.1.3; 125 V 351 consid. 3; voir aussi ATF 143 V 124 consid. 2.2.2). Il cite aussi la jurisprudence définissant la notion de marché équilibré du travail et le caractère exploitable de la capacité résiduelle de travail sur un tel marché (cf. p. ex. arrêt 9C_326/2018 du 5 octobre 2018 consid. 6.2). Il suffit d'y renvoyer.
4.
Le tribunal cantonal a préalablement expliqué qu'il n'avait pas pris en compte toutes les informations contenues dans le certificat établi le 18 juin 2019 par la doctoresse C._ en raison de l'état de fait déterminant délimitant le cadre temporel de l'examen du juge. Il a par ailleurs considéré que le rapport d'expertise de CEMEDEX S.A. était probant et convaincant, sous réserve de la conclusion relative à l'incapacité de travail matinale, dès lors qu'il était conforme à la jurisprudence en la matière et qu'il n'était pas valablement remis en question par le certificat de la doctoresse C._ ni par d'autres pièces médicales figurant au dossier. Il a aussi expliqué qu'en tant que l'assurée tentait d'établir l'incompatibilité entre sa capacité de travail de 50 % limitée aux après-midi dans le métier d'enseignante en allemand et les tranches horaires matinales durant lesquelles étaient dispensés les enseignements pour lesquels elle était compétente, son raisonnement tombait à faux, dans la mesure où l'office intimé avait écarté le "dérouillage" matinal et avait retenu une capacité de travail de 50 % dans toute activité adaptée à ses connaissances et compétences. Il a enfin considéré que l'âge de l'intéressée et ses limitations fonctionnelles étaient compatibles avec l'exercice d'activités existant en nombre suffisant sur le marché équilibré du travail.
5.
5.1. La recourante reproche substantiellement à la juridiction cantonale d'avoir apprécié sa situation médicale de manière arbitraire et, partant, d'avoir sous-évalué son taux d'invalidité. Concrètement, elle conteste d'abord que les effets secondaires des médicaments, tels que décrits par la doctoresse C._ dans son certificat du 18 juin 2019, soient pour l'essentiel survenus postérieurement à la décision administrative litigieuse. Elle soutient ensuite que les premiers juges ne pouvaient pas exclure le "dérouillage" matinal sur la seule base du rapport du docteur B._ du 25 janvier 2019 alors que les experts et les médecins traitants s'accordaient sur son existence. Elle considère que ces deux éléments - auxquels s'ajoutent encore des limitations fonctionnelles (en particulier l'impossibilité de maintenir la position assise prolongée plus de 15 à 30 minutes) - doivent être pris en considération dans l'appréciation de sa capacité résiduelle de travail et justifient de fixer son taux d'incapacité de travail à 80 % au moins. Elle prétend en outre que, si le réexamen de son taux d'invalidité pour les motifs indiqués ne devait pas être admis, il conviendrait tout de même de retenir une capacité résiduelle de travail de 50 % exploitable uniquement l'après-midi. Elle considère que, dans ces circonstances, il est irréaliste de penser qu'elle puisse retrouver un emploi en tant que professeur d'allemand dans la mesure où cette matière est quasi-exclusivement enseignée le matin selon le plan d'étude neuchâtelois. Elle soutient par ailleurs qu'il n'existe pas d'activité adaptée à sa situation.
5.2. L'argumentation de l'assurée n'est pas fondée. Il n'est d'abord pas utile de déterminer si le tribunal cantonal s'est trompé en déduisant du certificat du 18 juin 2019 de la doctoresse C._ - au demeurant très sommaire - que les "autres phénomènes" évoqués (nausées, troubles de la concentration, palpitations, troubles digestifs, infections) étaient survenus après le prononcé de la décision administrative litigieuse. En effet, de tels phénomènes avaient pour la plupart déjà été annoncés aux médecins de CEMEDEX S.A., qui les avaient jugés crédibles au regard du diagnostic et des traitements entrepris, en avaient relevé d'autres (selles liquides ou diarrhées, souffle systolique, yeux rouges, tachycardie, perte de cheveux, prise de poids) et les avaient intégrés à leur appréciation de la capacité de travail. La juridiction cantonale en a donc tenu compte, quoi que la recourante en dise, dans la mesure où son jugement repose sur les conclusions du rapport d'expertise. En abordant cette question sans apporter d'éléments objectifs qui attesteraient un suivi médical ou un traitement particulier pour remédier à d'éventuels effets sévères de ces phénomènes, la recourante tente vainement de substituer sa propre opinion à celle des premiers juges. Il n'y a par conséquent pas lieu de revenir sur l'évaluation de la capacité résiduelle de travail.
Même s'il peut ensuite sembler douteux de la part du tribunal cantonal d'avoir exclu l'existence d'un "dérouillage" matinal de plusieurs heures au regard des avis dans ce sens des experts et des médecins traitants, cette question peut également rester ouverte. En effet, quelle que soit la réponse à cette question, il n'en demeure pas moins que l'assurée dispose d'une capacité de travail de 50 % d'après les conclusions des médecins de CEMEDEX S.A. Le fait de ne pouvoir travailler que les après-midi n'est pas une circonstance influençant négativement la capacité résiduelle de travail mais uniquement une modalité d'exploitation de cette capacité. Dans son résultat, la constatation du tribunal cantonal n'est pas arbitraire.
On ajoutera enfin que l'âge de la recourante (55 ans) et les limitations fonctionnelles retenues (soulèvement et port de charges supérieures à 10 kg, piétinement prolongé ainsi que positions statiques prohibés), même associés à la possibilité d'exploiter la capacité de travail les après-midi seulement, ne sauraient être considérés comme des circonstances si restrictives au regard de la jurisprudence citée par les premiers juges qu'elles rendent irréaliste la possibilité pour l'assurée d'exploiter sa capacité résiduelle de travail sur le marché équilibré - et non concret - du travail tel que défini par le tribunal cantonal (sur cette notion, cf. p. ex. arrêt 9C_326/2018 du 5 octobre 2018 consid. 6.2 cité dans l'arrêt attaqué).
Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 juin 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton