Erwägungen:
1.
Nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen des bernischen Verwaltungsgerichts (Art. 105 Abs. 2 BGG) gelangte A._ bezüglich der Veranlagung seiner Kantons- und Gemeindesteuer sowie der direkten Bundessteuer der Jahre 2012 und 2013 am 5. Januar 2017 an die Steuerrekurskommission des Kantons Bern (StRK), wobei er gleichzeitig für das Rekurs- und Beschwerdeverfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung eines amtlichen Anwalts ersuchte. Am 25. Januar 2017 focht er auch die Veranlagungen für das Steuerjahr 2014 an. Als er von der Vizepräsidentin der StRK aufgefordert wurde, sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu belegen, verlangte er am 6. März 2017 ihren Ausstand. Mit Zwischenverfügung vom 19. September 2017 wies die StRK dieses Begehren ab. Hiergegen gelangte A._ an das Verwaltungsgericht und verlangte, dass die Vizepräsidentin der StRK - und auch deren Präsident - in den Ausstand zu versetzen sei. Mit gleichzeitig eingereichter Rechtsverweigerungsbeschwerde beantragte er ausserdem die Feststellung, dass die Nichtbeurteilung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung durch die StRK eine Rechtsverweigerung darstelle. Letztere sei anzuweisen, sein Ersuchen zu beurteilen; eventuell sei sie anzuweisen, ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zuzuordnen.
Mit Urteil vom 14. Mai 2018 wies das Verwaltungsgericht (Einzelrichter) die Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 19. September 2017 ab, ebenso das Ablehnungsbegehren gegen den Präsidenten der StRK. Die Rechtsverweigerungsbeschwerde wies es ab, soweit es darauf eintrat und auferlegte dem Beschwerdeführer eine reduzierte Pauschalgebühr von insgesamt Fr. 500.--.
Mit Eingabe vom 18. Juni 2018 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Hauptantrag, den "Rechtsverweigerungsentscheid des Verwaltungsgerichts (...) zurückzuweisen/aufzuheben, sowie das Verwaltungsgericht (...) anzuweisen, (...) einen neuen Entscheid betreffend der Frage zu fällen, ob ein anfechtbarer Zwischenentscheid auf unentgeltlichen Rechtsbeistand im StRK-Verfahren vor einem Endentscheid im StRK-Verfahren zu fällen" sei, "respektive ob ein Zwischenentscheid der StRK zu Unrecht verweigert wurde". Ausdrücklich nicht angefochten wird der Ablehnungsentscheid (Beschwerdeschrift S. 2). Indessen wird um aufschiebende Wirkung und ebenso um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht.
Es sind weder Schriftenwechsel noch andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG) müssen für das Bundesgericht bestimmte Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt haben soll. Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung, das heisst eine zumindest rudimentäre Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids ausschlaggebenden Erwägungen der Vorinstanz, wobei sich die Rügen auf den Verfahrensgegenstand beziehen müssen (vgl. BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung von verfassungsmässsigen Rechten unterliegt zusätzlich einer qualifizierten Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Streitgegenstand kann vor Bundesgericht nicht ausgedehnt (plus) oder geändert (aliud), sondern nur eingeschränkt (minus) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 136 V 362 E. 3.4.2 S. 365). Letzteres hat der Beschwerdeführer hier getan, indem er den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 14. Mai 2018 mit Bezug auf die Ausstandsfragen ausdrücklich nicht anficht (vorne E. 1).
Gegenstand ist hier einzig noch die Frage der Rechtsverweigerung. Der Beschwerdeführer erblickt eine solche darin, dass die StRK vor dem Erlass ihres Endentscheides keinen separat anfechtbaren Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung (sofort nach Einreichung der entsprechenden Gesuche) gefällt hat.
Das Verwaltungsgericht hat dem Beschwerdeführer ab der Erwägung 4.2 seines in dieser Hinsicht angefochtenen Entscheides unter Anwendung der einschlägigen eidgenössischen und kantonalen Normen sowie unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Praxis dazu umfassend aufgezeigt, wann und in welchen Konstellationen es zulässig ist, über ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erst zusammen mit dem Sachentscheid zu befinden. Sodann hat es sorgfältig untersucht, weshalb im Falle des Beschwerdeführers keine Konstellation vorlag, die einen sofortigen Entscheid über das Ersuchen erforderlich gemacht hätte und dass das vom Steuerpflichtigen zunächst geforderte Beibringen von Unterlagen zum gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung weder juristischen Sachverstand erforderte noch mit namhaftem Aufwand verbunden war, weshalb keine Veranlassung bestand, dem Gesuchsteller einen amtlichen Anwalt beizuordnen.
Der Beschwerdeführer macht eingehende Ausführungen zu allgemeinen Fragen, die für die Lösung des konkreten Falles nicht ausschlaggebend sind. Mit den entscheidenden E. 4.2 und 4.3 des verwaltungsgerichtlichen Urteils setzt er sich hingegen nur knapp auseinander. Er führt in dem Zusammenhang insbesondere aus, dass kein Anwalt eine Beschwerde schreiben würde, bevor über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden ist. Das entscheiderhebliche Argument des Verwaltungsgerichts war jedoch, dass in der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege ohnehin der Anwalt seine Arbeit leisten muss, bevor über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird, was auch komplexe Fälle betrifft. Die vom Verwaltungsgericht korrekt erwähnte Ausnahme setzt voraus, dass nach der Beschwerdeerhebung weitere Verfahrensschritte zu unternehmen sind. Dies hat das Verwaltungsgericht im vorliegenden Fall verneint. Insbesondere hat es ausgeführt, dass die Beschwerdeantwort der Steuerverwaltung keine neuen entscheidwesentlichen Vorbringen enthalten habe, so dass eine Replik nicht erforderlich war. Mit dieser entscheidwesentlichen Begründung der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer trotz dem grossen Umfang seiner Beschwerde nicht rechtsgenüglich auseinander.
Der Beschwerdeführer legt somit mit seinen weitgehend an der Sache vorbeigehenden Ausführungen nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht beim Erlass seines Urteils vom 14. Mai 2018 schweizerisches Recht verletzt haben könnte, so dass auf die Beschwerde durch den Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) im vereinfachten Verfahren aufgrund des offensichtlichen Fehlens einer hinreichenden Begründung nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit der Anträge nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der offensichtlich prekären finanziellen Lage des Beschwerdeführers (offenbar arbeitsunfähig und Sozialhilfeempfänger) kann bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Mit dem Entscheid in der Sache wird das ebenfalls gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung hinfällig.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein