Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) stand ab Sommer 2004 längere Zeit mit der B._ Bank AG (Beschwerdegegnerin) im Gespräch betreffend die Finanzierung von künftigem Wohneigentum. Bis Herbst 2010 wurde er dabei seitens der B._ Bank AG von C._ beraten.
Im Mai beziehungsweise Juni 2010 konkretisierte sich der Kauf einer Wohnung per 1. November 2011, und A._ besprach mit C._ die konkrete Finanzierung mittels Hypotheken sowie die künftige Hypotherkarzinsentwicklung im Hinblick auf den günstigsten Zeitpunkt eines definitiven Vertragsabschlusses. Im Hinblick auf die kalkulatorische Tragbarkeit verlangte die B._ Bank AG zusätzlich die Verpfändung des Pensionskassenguthabens beziehungsweise - da A._ dies vermeiden wollte - weitere Eigenmittel oder den Miteinbezug des Einkommens der Partnerin von A._. Am 6. August 2010 wurde, neben der Verpfändung des Pensionskassenguthabens, Gesamtbetrag, Stückelung, Art, Laufzeit und Amortisation der drei zu gewährenden Hypotheken besprochen.
Im Oktober 2010 übernahm D._ die Betreuung von A._, wobei wiederum die Entwicklung des Hypothekarzinssatzes thematisiert wurde und A._ seine Vorstellung über das Hypothekentotal, die Stückelung sowie Art und Laufzeit der Hypotheken wiederholte. Im November und Dezember 2010 sowie im April 2011 kam es zu weiteren Telefonaten, an denen die aktuellen Zinssätze besprochen wurden.
Am Morgen des 6. Mai 2011 kam es erneut zu einem Telefonat betreffend gefallene Zinsen. Nach den Darstellungen der B._ Bank AG hat D._ dabei den Kläger wiederum auf die weiteren Konditionen für die Hypothekengewährung hingewiesen, darunter auch auf die Verpfändung des Pensionskassenguthabens. Am Nachmittag habe A._ die B._ Bank AG zurückgerufen, mit E._, dem Stellvertreter des abwesenden D._, gesprochen und seine mündliche Zusage für die erste Hypothek über Fr. 330'000.-- zum besprochenen Zins gegeben. E._ leitete am gleichen Nachmittag die Refinanzierung dieser Hypothek ein.
Am 13. Mai 2011 kam es zu einem weiteren Telefongespräch zwischen A._ und D._, an dem A._ - wiederum nach den Darstellungen der B._ Bank AG - dem definitiven Vertragsabschluss auch über eine zweite und dritte Hypothek über je Fr. 100'000.-- zugestimmt habe. D._ leitete gleichentags die Refinanzierung auch dieser beiden Hypotheken ein.
Nach Zustellung der schriftlichen Vertragsunterlagen zu allen drei Hypothekardarlehensverträgen zwecks Unterzeichnung protestierte A._ am 15. Juni 2011 telefonisch und machte geltend, er sei mit der Verpfändung des Pensionskassenguthabens nicht einverstanden und könne die Verträge nicht unterzeichnen. Er bestritt mit Brief vom 1. Juli 2011 sowie telefonisch beziehungsweise mündlich, je verbindliche Hypothekardarlehensverträge mit der B._ Bank AG eingegangen zu sein.
Die B._ Bank AG machte in der Folge die Refinanzierung der drei Hypotheken rückgängig, woraus ihr ein Zinsschaden von Fr. 44'975.33 entstand. Für diesen Schaden machte sie sich aus bei ihr deponierten Vermögenswerten von A._ bezahlt.
B.
Am 12. November 2012 reichte A._ beim Bezirksgericht Zürich eine Klage ein, mit der er verlangte, die B._ Bank AG sei zu verurteilen, ihm Fr. 44'975.33 nebst Zins zu 5 % seit dem 29. September 2011 zu bezahlen und die Kosten des Schlichtungsverfahrens in Höhe von Fr. 480.-- zu ersetzen.
Mit Urteil vom 3. Oktober 2016 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Dagegen erhob A._ Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Klage mit Urteil vom 19. Juni 2017 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, seine Klagebegehren seien gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die B._ Bank AG begehrt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. A._ replizierte, worauf die B._ Bank AG eine Duplik eingereicht hat.
Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Weiter übersteigt der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; 135 III 397 E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90).
Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141 III 564 E. 4.1; 140 III 16 E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (BGE 141 III 564 E. 4.1; 135 II 356 E. 4.2.1; 129 I 8 E. 2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 136 III 552 E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 134 II 244 E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 f.; 116 Ia 85 E. 2b).
3.
Der Beschwerdeführer rügt Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung.
3.1. Im schweizerischen Vertragsrecht gilt bei Fragen des Konsenses und der Auslegung der Grundsatz des Primats des subjektiv übereinstimmend Gewollten vor dem objektiv Erklärten, subjektiv aber unterschiedlich Verstandenen (BGE 123 III 35 E. 2b S. 39). Im Konsens- wie im Auslegungsstreit hat das Sachgericht vorab zu prüfen, ob sich die Parteien tatsächlich übereinstimmend geäussert, verstanden und in diesem Verständnis geeinigt haben (subjektive Auslegung). Ist dies zu bejahen, liegt ein tatsächlicher Konsens vor (BGE 132 III 626 E. 3.1).
3.2. Die Vorinstanz stellte dem Sinn nach fest, dass sich die Parteien am 6. und 13. Mai 2011 telefonisch über den Abschluss der Hypothekardarlehensverträge betreffend die erste, zweite und dritte Hypothek tatsächlich geeinigt hätten. Sie legte diesem Schluss unter anderem folgende Feststellungen zugrunde: Am 6. Mai 2011 sei nie von einer blossen Offerte die Rede gewesen. Das monatelange "Lavieren" des Kläger belege, dass es ihm um die Fixierung des bestmöglichen Zinssatzes gegangen sei; eine blosse Offerte hätte unter diesen Umständen wenig Sinn ergeben. E._ habe den Beschwerdeführer ausdrücklich darauf hingewiesen, "dass er jetzt am Telefon einen bindenden Vertrag eingehe". Dem Beschwerdeführer sei der verbindliche Vertragsabschluss am 9. Mai 2011 von D._ bestätigt worden, ohne dass er dagegen protestiert habe. In seiner Spontanreaktion vom 15. Juni 2011 habe er sich einzig über die Verpfändung des Pensionskassenguthabens beschwert, einen verbindlichen Vertragsabschluss indes nicht in Frage gestellt.
Für ihre Beweiswürdigung stützte sich die Vorinstanz im Wesentlichen auf die Zeugenaussagen von D._ und E._. Deren Aussagen stufte sie als kohärent und glaubwürdig ein. Sie berücksichtigte auch, dass deren Aussagen mit den nachträglichen Zusammenfassungen von D._ über Daten und Gegenstand der stattgefundenen Klientenkontakte ("_-Aufzeichnungen") übereinstimmten. Hingegen kam sie zum Schluss, der Parteiaussage des Beschwerdeführers komme zufolge verminderter inhaltlicher Glaubhaftigkeit und eingeschränkter prozessualer Glaubwürdigkeit wegen Selbstbefangenheit keine massgebliche Bedeutung zu. Auffällig seien namentlich sein selektives Erinnerungsvermögen und Widersprüchlichkeiten in seinen Aussagen.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz als willkürlich. Er begründet diesen Vorwurf aber nicht rechtsgenüged. Vielmehr beharrt er in appellatorischen Darlegungen auf dem Standpunkt, der Beschwerdegegnerin sei der Nachweis eines mündlichen Vertragsabschlusses nicht gelungen. Er setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur Beweiswürdigung nicht auseinander und legt namentlich nicht dar, welche Beweismittel inwiefern offensichtlich unhaltbar gewichtet worden sein sollen. Mit seiner Kritik zeigt der Beschwerdeführer keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung auf. Dabei kann dahingestellt bleiben, ob es sich bei den _-Aufzeichnungen um reine Parteibehauptungen handelt, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht, denn auch solche mögen allenfalls zusammen mit - durch Beweismittel nachgewiesenen - Indizien den Beweis zu erbringen (BGE 141 III 433 E. 2.6 S. 438). Jedenfalls begründet der Beschwerdeführer nicht, inwiefern im Ergebnis Willkür vorliegen soll.
3.4. Somit ist vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und der Beschwerdeführer kann nicht gehört werden, soweit er seine Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe Art. 1 Abs. 1 OR verletzt.
4.1. Die Vorinstanz erwog, zu den Essentialia eines Darlehensvertrags gehöre die Verpflichtung des Darleiehers zur Übertragung des Eigentums an einer Summe Geld und des Borgers zur Rückerstattung der erhaltenen Summe. Werde zusätzlich ein Zins vereinbart, erweitere sich die vertragliche Leistungspflicht aufseiten des Borgers. Über diese Punkte seien am 6. und 13. Mai 2011 mündlich Einigungen erzielt worden, sodass die Verträge zu diesen Zeitpunkten zustandegekommen seien. Konkret hätte ein Konsens bestanden über die Art und Gesamthöhe der Hypotheken, die Stückelung in drei Hypotheken, deren ungefähre Laufzeit und Betrag, die Amortisation, die Grundpfandsicherung, die Verpfändung des Pensionskassenguthabens und die laufzeitbezogene Zinshöhe. Diese mündlich abgeschlossenen Verträge seien auch nicht durch die nachträgliche Bekanntgabe von Nebenabreden und Vollzugdetails dahingefallen. Sicherheitsleistungen gehörten nicht zu den Essentialia eines Darlehensvertrags. Würden solche vereinbart, liege diesbezüglich eine separate Vertragsabrede vor, die zum Darlehensvertrag hinzutrete.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz sei fälschlicherweise von einem "klassischen einfachen Darlehensvertrag" ausgegangen. Es gehe aber um einen Hypothekarvertrag, bei dem "das gesamte Vertragswerk" wesentlich sei und sich die Parteien folglich auch über dieses hätten einigen müssen. Andernfalls könne eine Bank dem Kunden auch nach Vertragsabschluss weitere Vertragsklauseln "unterjubeln", was "klar gegen den Konsumentenschutz" verstosse und "Ordre Public widrig" sei. Ohnehin sei die Verpfändung seines Pensionskassenguthabens für beide Parteien von zentraler Bedeutung gewesen, sodass diese zu den wesentlichen Punkten gehöre. Er sei aber mit der Verpfändung des Pensionskassenguthabens nicht einverstanden gewesen, sodass das Zustandekommen eines Vertrags auch aus diesem Grund ausscheide.
4.3. Das Zustandekommen eines Vertrags setzt nach Art. 2 Abs. 1 OR die Einigung über sämtliche wesentlichen Vertragspunkte voraus (BGE 127 III 248 E. 3d S. 254; Urteile 4A_642/2015 vom 29. Juli 2016 E. 3.2; 4A_152/2013 vom 20. September 2013 E. 2.3). Wer objektiv unwesentliche Punkte als Bedingung seines Vertragswillens ansieht, muss das deutlich zu erkennen geben (BGE 118 II 32 E. 3d S. 34 mit Hinweisen). Soweit es an einer Absprache über weitere Nebenpunkte fehlt, hindert dies das Zustandekommen des Vertrags nicht (siehe BGE 103 II 190 E. 2; Urteile 4C.246/2003 vom 30. Januar 2004 E. 6; 4C.265/1994 vom 20. Januar 1995 E. 2a). Damit ist nicht gesagt, dass sich die Vertragsparteien nachträglich die nicht geregelten Nebenpunkte einseitig aufzwingen könnten, wie dies der Beschwerdeführer befürchtet.
Zunächst kann offen bleiben, ob die Vereinbarung der (über die Grundpfandsicherung hinausgehenden) Sicherheiten vorliegend zu den (objektiv oder subjektiv) wesentlichen Punkten gehörte, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz stand nämlich ein Verzicht auf die Verpfändung des Pensionskassenguthabens am 6. Mai 2011 nicht mehr zur Diskussion, sodass darüber eine Einigung erzielt wurde.
Abgesehen davon legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist dem angefochtenen Urteil nicht zu entnehmen, welche Punkte der schriftlichen Vertragsunterlagen objektiv oder subjektiv wesentlich im Sinne von Art. 2 Abs. 1 OR sein sollen, die nicht bereits Gegenstand der Einigungen vom 6. beziehungsweise 13. Mai 2011 bildeten.
Schliesslich genügt der pauschale Einwand, die Beschwerdegegnerin verstosse mit ihrem Vorgehen "auch klar gegen den Konsumentenschutz", den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren (Erwägung 2.1) nicht, zumal jedenfalls das Bundesgesetz über den Konsumkredit (KKG; SR 221.214.1) nicht Anwendung findet (siehe Art. 7 Abs. 1 lit. a und e KKG).
5.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung von Art. 16 Abs. 1 OR.
5.1. Die Vorinstanz führte aus, die Hypothekardarlehensverträge seien am 6. und 13. Mai 2011 mündlich abgeschlossen worden. Der Beschwerdeführer könne sich nicht auf einen einseitigen Irrtum oder ein Missverständnis über eine übliche oder nach seinem Allgemeinverständnis vorbehaltene Schriftform für das Zustandekommen der Verträge berufen.
5.2. Der Beschwerdeführer meint, er hätte stets davon ausgehen dürfen, dass er vor der Unterzeichnung des "gesamten schriftlichen Vertragswerkes" vertraglich nicht gebunden sei. Dies werde auch dadurch bestätigt, dass ihm das Vertragspaket "explizit zur rechtsgültigen Unterzeichnung" zugestellt worden sei. Wenn die Verträge bereits mündlich abgeschlossen worden wären, hätte es keines schriftlichen Vertrags mehr bedurft, den er hätte unterzeichnen müssen. Komme der Vertrag - so der Beschwerdeführer weiter - bereits vor der Unterzeichnung der "schriftlichen Vertragsdokumente" zustande, hätte ihn die Beschwerdegegnerin über "einen solch ungewöhnlichen Vorgang genau aufklären müssen". Ausserdem gelte die Versendung von Vertragsdoppeln zur Unterzeichnung als konkludenter Formvorbehalt.
5.3. Der Abschluss eines Darlehensvertrags bedarf nach der Regel von Art. 11 Abs. 1 OR grundsätzlich keiner besonderen Form (Urteil 5P.35/2002 vom 6. Juni 2002 E. 3.2; siehe etwa auch BGE 113 II 402 E. 2c S. 406; Dürr/Kaufmann, Der neue Register-Schuldbrief und weitere Änderungen des Grundpfandrechts, 2012, S. 11; Higi, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2003, N. 40 zu Art. 312 OR; Schärer/ Maurenbrecher, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 4 zu Art. 312 OR; Tercier/Bieri/Carron, Les contrats spéciaux, 5. Aufl. 2016, S. 338 Rz. 2515; Weber, Berner Kommentar, 2013, N. 22 zu Art. 312 OR; Zobl, Zur Verbriefung von Hypothekarforderungen, in: Festschrift für Jean Nicolas Druey, 2002, S. 294). Ist jedoch für einen Vertrag, der vom Gesetz an keine Form gebunden ist, die Anwendung einer solchen vorbehalten worden, so wird vermutet, dass die Parteien vor Erfüllung der Form nicht verpflichtet sein wollen (Art. 16 Abs. 1 OR). Diese Vermutung kann durch den Nachweis widerlegt werden, dass die Parteien ihren übereinstimmenden Abschlusswillen zwar nicht in der vereinbarten Form, in Wirklichkeit aber doch erklärt haben (Urteil 4C.79/2005 vom 19. August 2005 E. 2, nicht publ. in: BGE 131 III 640; siehe auch BGE 125 III 263 E. 4c S. 268; Urteil 4A_619/2016 vom 15. März 2017 E. 7.3.1.2).
Formvorbehalte können durch konkludentes Verhalten, etwa die Zustellung von unterzeichneten Vertragsdoppeln, vereinbart werden (BGE 139 III 160 E. 2.6 S. 163; 105 II 75 E. 1 S. 79; Urteile 4A_309/2016 vom 31. August 2016 E. 2.2; 4A_223/2010 vom 12. Juli 2010 E. 2.1.1). Ist die schriftliche Form erst nach Einigung über den Vertragsinhalt verabredet worden, kommt die Vermutung von Art. 16 Abs. 1 OR nicht zur Anwendung; die schriftliche Form dient dann allenfalls der Beweissicherung (siehe BGE 105 II 75 E. 1 S. 78; Urteil 5A_17/2014 vom 15. Mai 2014 E. 5.2.1). Die Lehre stimmt darin überein, dass eine spätere Formabrede immerhin ein Indiz gegen die Annahme bilden kann, die Parteien hätten sich schon mit der Einigung über den Vertragsinhalt binden wollen (Gauch/Schluep/Schmid/ Emmenegger, Schweizerisches Obligationenrecht Allgemeiner Teil, 10. Aufl. 2014, S. 127 Rz. 601; Kramer/Schmidlin, Berner Kommentar, 1986, N. 14 zu Art. 16 OR; Schwenzer, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 4 zu Art. 16 OR). Der Beweis für den vertraglichen Formvorbehalt obliegt jener Partei, die sich auf die Unwirksamkeit des mündlich Vereinbarten beruft (Urteile 4A_309/2016 vom 31. August 2016 E. 2.2; 4A_663/2012 vom 6. März 2013 E. 5.2.1; 4C.92/2002 vom 19. August 2002 E. 2.2).
5.4. Es lag damit am Beschwerdeführer, die Abrede eines Schriftformvorbehalts im Sinne von Art. 16 Abs. 1 OR zu beweisen. Es erscheint fraglich, ob ihm dies gelang, zumal die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer die Vertragsdokumente erst nach dem 6. beziehungsweise 13. Mai 2011 zustellte. Die Vorinstanz stellte aber ohnehin verbindlich fest, dass die Parteien am 6. und 13. Mai 2011 ihren übereinstimmenden Abschlusswillen telefonisch erklärt haben (siehe Erwägung 3). Damit wäre die Vermutung von Art. 16 Abs. 1 OR jedenfalls widerlegt worden. Der Rüge, diese Bestimmung sei verletzt, ist daher die Grundlage entzogen.
Auch der Vorwurf, die Beschwerdegegnerin hätte den Beschwerdeführer über den bevorstehenden mündlichen Vertragsabschluss "genau aufklären müssen", geht ins Leere, hat die Beschwerdegegnerin doch gemäss den Feststellungen der Vorinstanz genau dies getan: D._ informierte den Beschwerdeführer am 8. April 2011 darüber, dass der Vertrag auch mündlich abgeschlossen werden könne, womit der Beschwerdeführer einverstanden war, und E._ wies unmittelbar vor dem mündlichen Vertragsabschluss darauf hin, dass der Beschwerdeführer "jetzt am Telefon einen bindenden Vertrag eingehe". Damit kann offen bleiben, ob im vorliegenden Fall tatsächlich eine solche Aufklärungspflicht bestand, was die Beschwerdegegnerin bestreitet.
6.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer verschiedentlich eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Soweit er diesen Vorwurf im Kern damit begründet, dass die Vorinstanz seiner Rechtsauffassung nicht folgte, stellt dies von Vornherein keine Gehörsverletzung dar (siehe etwa Urteil 4A_349/2013 vom 4. Oktober 2013 E. 4.2). Im Übrigen setzte sich die Vorinstanz mit seinen Vorbringen auseinander. Sie erwog sinngemäss, da der Beweis eines mündlichen Vertragsabschlusses ohnehin erbracht sei, erübrige es sich, auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zum vertraglich vereinbarten Schriftformerfordernis weiter einzugehen (siehe dazu Erwägung 5.4). Mit dem Argument, der Beschwerdeführer habe den Inhalt der schriftlichen Vertragsunterlagen nicht gekannt, setzte sie sich ebenfalls auseinander, kam aber zum Ergebnis, dass die Einigung über die wesentlichen Vertragspunkte bereits vorher erfolgt sei.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz