Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1975) stammt aus Nordmazedonien. 2003 gelangte er ein erstes Mal als Asylsuchender in die Schweiz; auf sein Asylgesuch trat das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF) nicht ein. 2006 reiste A._ erneut in die Schweiz ein und suchte ein weiteres Mal erfolglos um Asyl nach (vgl. Verfügung des damaligen Bundesamts für Migration [BFM] vom 5. September 2006; auf Beschwerde hin bestätigt). Aufgrund eines Arbeitsunfalls wurde A._ in der Folge mehrmals die Ausreisefrist erstreckt, bis er am 9. Dezember 2011 ein Härtefallgesuch stellte, das mit Entscheid des BFM vom 23. November 2012 auf Empfehlung der Härtefallkommission hin gutgeheissen wurde. A._ erhielt sodann eine zuletzt bis zum 19. November 2018 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Seit dem November 2012 wird A._ von der Sozialhilfe unterstützt (Sozialhilfebezug bis Juni 2020 Fr. 227'339.60). Zudem ist er im Betreibungsregister mit offenen Verlustscheinen von Fr. 3'493.10 sowie einer Betreibung von Fr. 185.50 verzeichnet.
1.2. Am 12. Dezember 2014 machte das Migrationsamt des Kantons Zürich A._ ein erstes Mal auf die möglichen ausländerrechtlichen Folgen eines fortgesetzten Sozialhilfebezugs aufmerksam. Am 9. Oktober 2017 folgte eine ausländerrechtliche Verwarnung. Schliesslich verfügte das kantonale Migrationsamt am 7. Februar 2020 aufgrund des weiterhin anhaltenden Sozialhilfebezugs die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung A._ und ordnete dessen Wegweisung an. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 17. Juni 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Dezember 2020).
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Februar 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 2. Dezember 2020 und die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Prozessual ersucht er darum, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und einen amtlichen Rechtsbeistand in Person seines Rechtsvertreters beizuordnen.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Ob die kantonalen Behörden die Härtefallbewilligung des Beschwerdeführers (Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG) hätten verlängern müssen, kann das Bundesgericht deshalb nicht im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten prüfen (vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.1 S. 348; Urteil 2C_996/2020 vom 28. Dezember 2020 E. 2.2.1 m.H.).
2.2. Auch Art. 8 EMRK ist nicht geeignet, vorliegend einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu begründen. Wie aus den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) hervorgeht, ist der Beschwerdeführer nicht verheiratet und hat auch keine Kinder; zudem pflegt er gemäss diesen Feststellungen auch sonst kaum soziale Kontakte. Nachdem der Beschwerdeführer sich überdies noch keine zehn Jahre rechtmässig in der Schweiz aufhält, (vgl. angefochtenes Urteil, E. 3.4.1), vermittelt ihm der Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) keine Anspruchsgrundlage für eine Verlängerung seines Aufenthalts in der Schweiz (vgl. zur Schwelle von zehn Jahren, bei der das Bundesgericht praxisgemäss davon ausgeht, dass der Anwendungsbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK eröffnet ist, BGE 144 I 266 E. 3.9 S. 277 ff.).
2.3. Zu prüfen bleibt damit einzig, ob die Eingabe des Beschwerdeführers allenfalls als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist. Weil sich ein Aufenthaltsanspruch weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ergeben kann, wären in diesem Zusammenhang ausschliesslich Rügen hinsichtlich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die vom Sachentscheid getrennt beurteilt werden können ("Star"-Praxis; BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; 123 I 25 E. 1 S. 26 f.; 137 II 305 E. 2 und 4; Urteil 2C_996/2020 vom 28. Dezember 2020 E. 2.2.1). Unzulässig sind hingegen Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei, die Vorinstanz sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandergesetzt oder die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt habe; ebenso wenig ist der Vorwurf im Rahmen der Star-Praxis zulässig, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich festgestellt worden (vgl. BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; Urteil 2C_574/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 1.2, je mit Hinweisen). Die hier zu beurteilende Beschwerde begnügt sich in weiten Teilen damit, der Vorinstanz eine unhaltbare Sachverhaltswürdigung vorzuwerfen; sie enthält damit offensichtlich keine Begründung, die eine Prüfung der Angelegenheit unter dem Titel der subsidiären Verfassungsbeschwerde erlauben würde.
2.4. Soweit sich der Beschwerdeführer vorliegend gegen die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zur Wehr setzt, ist nach dem Gesagten auf seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen offensichtlicher Unzulässigkeit nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Zudem fällt ausser Betracht, die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen, weil es insoweit offensichtlich an einer hinreichenden Begründung fehlt (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
3.1. Sodann wendet sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht sinngemäss gegen die angeordnete Wegweisung bzw. den Wegweisungsvollzug. In diesem Zusammenhang ist zum einen zu bemerken, dass sich die Beschwerdeanträge des Beschwerdeführers formal betrachtet nur auf die vorinstanzlich bestätigte Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung beziehen; zum anderen scheint der Beschwerdeführer ausser Acht zu lassen, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Wegweisungsentscheide nicht zur Verfügung steht (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Damit seine Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden könnte, müsste in substanziierter Weise (Art. 106 Abs. 2 BGG) die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG).
3.2. Den vorerwähnten Begründungsanforderungen (vgl. E. 3.1 hiervor) genügt die Eingabe des Beschwerdeführers nicht: Sie erschöpft sich im Wesentlichen darin, den Entscheid der Vorinstanz als unhaltbar zu kritisieren, ohne sich jedoch substanziiert mit der durch einen Länderbericht des Staatssekretariats für Migration gestützten vorinstanzlichen Feststellung auseinanderzusetzen, dass die medizinische Behandlung der psychischen Leiden des Beschwerdeführers in Nordmazedonien gewährleistet ist (vgl. E. 4.2 des angefochtenen Entscheids). Sodann hat die Vorinstanz das Migrationsamt ausdrücklich dazu angehalten, den Vollzug der Wegweisung sorgfältig zu planen, um der medizinischen Situation des Beschwerdeführers Rechnung zu tragen (vgl. angefochtenes Urteil, E. 5). Inwiefern das Vorgehen der kantonalen Instanzen der einschlägigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 3 EMRK zuwiderlaufen würde (vgl. das Urteil 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 4.3 unter Hinweis auf das EGMR-Urteil vom 13. Dezember 2016 Paposhvili gegen Belgien [Nr. 41738/10] § 191), geht aus der Beschwerde in keiner Art und Weise hervor und ist auch nicht ersichtlich.
3.3. Damit enthält die Beschwerde auch hinsichtlich der vorinstanzlich bestätigten Wegweisung offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist auch in dieser Hinsicht nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird mit vorliegendem Urteil gegenstandslos. Den Gesuchen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands kann aufgrund der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind damit dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und amtlichen Verbeiständung werden abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner