Erwägungen:
1.
Im Revisionsverfahren gegen ein Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 30. Oktober 2017 stellte A._ am 17. Juli 2018 ein Ausstandsgesuch gegen die Instruktionsrichterin Liselotte Henz. Das Appellationsgericht Basel-Stadt stellte mit Verfügung vom 20. Juli 2018 (unterzeichnet von Präsident Christian Hoenen) das Ausstandsgesuch der Appellationsgerichtspräsidentin Liselotte Henz zur Stellungnahme zu. Mit Verfügung vom 31. Juli 2018 (wiederum unterzeichnet von Präsident Christian Hoenen) teilte das Appellationsgericht Basel-Stadt A._ folgendes mit:
"Dem Gesuchsteller wurde bereits mehrfach mitgeteilt, dass die Fallzuteilung durch den jeweiligen Vorsitzenden der Abteilung erfolgt, im vorliegenden Fall durch den Vorsitzenden der Abteilung Strafrecht. Weitere Korrespondenz in dieser Frage wird nicht geführt. Es steht dem Gesuchsteller frei, sich an das Bundesgericht zu wenden, falls er die Voraussetzungen hierzu als gegeben erachtet."
A._ erhob mit Eingabe vom 20. August 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügungen des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 20. und 31. Juli 2018. Das Bundesgericht trat mit Urteil 1B_391/2018 vom 23. August 2018 auf die Beschwerde nicht ein, da die Beschwerdevoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG zur Anfechtung der beiden Zwischenentscheide weder dargetan noch ersichtlich waren und auferlegte dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten von Fr. 500.--.
2.
A._ wandte sich mit Eingabe vom 18. September 2018 ans Bundesgericht und beantragte den Erlass der ihm mit Urteil 1B_391/2018 vom 23. August 2018 auferlegten Gerichtskosten.
Die Aufhebung oder Abänderung eines in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss Art. 121 ff. BGG möglich. Die Eingabe vom 18. September 2018 ist daher als Revisionsgesuch entgegenzunehmen.
3.
Der Gesuchsteller beanstandet, dass im bundesgerichtlichen Urteil 1B_391/2018 der Ausnahmetatbestand gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG als nicht gegeben beurteilt wurde. Bei den entsprechenden Ausführungen des Gesuchstellers handelt es sich um eine blosse Kritik an der rechtlichen Würdigung, welche im Revisionsverfahren nicht zu hören ist. In seinen weiteren Ausführungen beruft sich der Gesuchsteller auf keinen Revisionsgrund (Art. 121 ff. BGG) und zeigt auch nicht auf, inwiefern der bundesgerichtliche Nichteintretensentscheid vom 23. August 2018 bzw. der Kostenpunkt dieses Entscheids an einem solchen leiden sollte. Deshalb ist auf das Revisionsgesuch ohne Schriftenwechsel (Art. 127 BGG) nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli