Erwägungen:
1.
Mit Verfügungen vom 26. März 2019 verlängerte das Migrationsamt Basel-Stadt die Aufenthaltsbewilligungen von A.A._ und A.B._ nicht und wies sie weg. Mit Eingabe vom 25. April 2019 meldeten A.A._ und A.B._ gegen diese Verfügungen beim Regierungsrat Basel-Stadt Rekurse an und beantragten die Wiederherstellung der Frist für die Anmeldung der Rekurse. Mit Entscheid vom 8. Mai 2019 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement Basel-Stadt die Gesuche von A.A._ und A.B._ um Wiedereinsetzung in den vorigen Stand ab und trat auf ihre Rekurse nicht ein. Nach Überweisung wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 6. Oktober 2019 die von A.A._ und A.B._ dagegen erhobenen Rekurse ab, soweit es darauf eintrat. A.A._ und A.B._ gelangen mit Eingabe vom 14. November 2019 an das Bundesgericht. Es sind weder Schriftenwechsel noch andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) eingereicht und richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG; Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführer legen in ihrer Beschwerde nicht dar, inwiefern ihnen ein Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligungen zukommen sollten, weshalb ihre Eingabe nicht als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegen genommen werden kann (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179 f.; Urteil 2C_1090/2017 vom 27. Februar 2019 E. 1.2.2). Ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen, kann kein in diesem Verfahren getroffener Entscheid mit diesem Rechtsmittel an das Bundesgericht weitergezogen werden. Die Eingabe kann jedoch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV (Verbot des überspitzten Formalismus) entgegengenommen werden (BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; Urteil 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2, 3, 4) und ist, weil offensichtlich unbegründet, mit summarischer Begründung abzuweisen (Art. 109 Abs. 2 lit. a i.V.m. Art. 117 BGG).
2.2. Wird, wie vorliegend, ein letztinstanzlicher Entscheid angefochten, der einen ihm vorausgegangenen Nichteintretensentscheid bestätigt, ist Streitgegenstand grundsätzlich einzig die Eintretensfrage (Urteile 2C_367/2018 vom 30. August 2018 E. 2.1; 2C_806/2009 vom 10. Dezember 2009 E. 2). Das für das verwaltungsinterne Rekursverfahren massgebende Organisationsgesetz des Kantons Basel-Stadt enthält zwar keine Bestimmung über die Wiedereinsetzung, das Verwaltungsgericht wendet jedoch in konstanter Rechtsprechung § 147 Abs. 5 des Steuergesetzes des Kantons Basel-Stadt (StG/BS; Gesetz über die direkten Steuern vom 12. April 2000; SR BS 640.100) analog an, wonach bei Fristversäumnis die Wiederherstellung der Frist verlangt werden kann, wenn die säumige Person von ihrer Einhaltung durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten war (Urteile 2C_1035/2018 vom 10. Januar 2019 E. 2.1; 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2, unter Verweis auf ALEXANDRA SCHWANK, Das verwaltungsinterne Rekursverfahren des Kantons Basel-Stadt, in: Buser [Hrsg.], Neues Handbuch des Staats- und Verwaltungsrechts des Kantons Basel-Stadt, 2008, S. 435 ff., S. 449 f.). Darüber hinaus stellt die Möglichkeit, eine unverschuldet versäumte Frist wiederherzustellen, einen allgemeinen Rechtsgrundsatz dar (BGE 117 Ia 297 E. 3c S. 301 mit Hinweis; vgl. in Bezug auf den Kanton Basel-Stadt die Urteile 2C_1035/2018 vom 10. Januar 2019 E. 2.1; 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2; 2C_1139/2013 vom 18. September 2014 E. 2.2). Die Fristwiederherstellung setzt materiell eine unverschuldete Verhinderung des Beschwerdeführers oder seines Rechtsvertreters voraus, wobei nicht nur objektive, sondern auch subjektive, psychische Hinderungsgründe die Wiederherstellung einer Frist unter Umständen rechtfertigen können (BGE 96 II 262 E. 1a S. 265; Urteile 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2, 2C_319/2009, 2C_321/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1, nicht publ. in: BGE 136 II 241).
2.3. Die Beschwerdeführer haben auch nach eigenen Angaben die Frist von 10 Tagen zur Anmeldung des Rekurses versäumt. Sie machen aber geltend, der Beschwerdeführer 1 sei schwer krank und praktisch blind, die Beschwerdeführerin 2 verstehe kein deutsch und könne deutsche Texte weder lesen noch verstehen. Das sei in einer Gesamtbeurteilung zu berücksichtigen, zumal die zehntätige Frist zur Rekursanmeldung keine eigentliche Rechtsmittelfrist sei. Entgegen ihrer Darstellung in der Beschwerdeschrift handelt es sich bei der Anmeldefrist nicht um eine blosse Ordnungsfrist informativen Charakters, über welche in einer Gesamtbetrachtung der auf dem Spiel stehenden Interessen hinweggesehen werden könnte (oben, E. 2.2). Die Vorinstanz, die im angefochtenen Urteil einen vorausgegangenen Nichteintretensentscheid bestätigt hat, ist offensichtlich nicht in verbotenen überspitzten Formalismus (Art. 29 Abs. 1 BV) verfallen. Ebenso wenig hat sie in willkürlicher oder sonstwie verfassungswidriger Weise einen Fristwiederherstellungsgrund verneint, weshalb die Beschwerde, weil offensichtlich unbegründet, mit summarischer Begründung abgewiesen wird (Art. 109 Abs. 2 lit. a i.V.m. Art. 117 BGG).
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferllegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall