Faits :
A.
A.a. A._ est né en 1950. Il a successivement travaillé pour le compte de l'entreprise B._, de l'entreprise C._ et de l'entreprise D._. A ce titre, il était affilié pour la prévoyance professionnelle à la Fondation de prévoyance des sociétés du Groupe K._, elle-même liée par contrat d'assurance-vie collective à l'ELVIA Vie, Société Suisse d'assurances sur la Vie (aujourd'hui: l'Allianz Suisse, Société d'Assurances sur la Vie SA). La fondation est entrée en liquidation en juin 2009 puis a été radiée du Registre du commerce. Le 19 décembre 2013, le Tribunal fédéral a ordonné à l'Office du registre du commerce de Genève de réinscrire la Fondation de prévoyance des sociétés du Groupe K._, en liquidation (arrêt 4C_412/2013 du 19 décembre 2013).
A.b. A._ a sollicité de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI), pour la première fois le 10 février 1999, qu'il lui octroie des prestations en raison d'une incapacité de travail ayant débuté le 12 septembre 1996.
Les rapports de travail ont été dissous pour le 31 mai 1999. A cette occasion, le 27 avril 1999, l'employeur s'est offert de poursuivre le versement des primes (part "employeur"), pour éviter une diminution de la couverture dans le domaine de la prévoyance, jusqu'à ce que l'intéressé reprenne un emploi ou que les organes de l'assurance-invalidité saisis tranchent sa requête de prestations, pour autant que celui-ci acceptât d'assumer la part "employé". A._ y a consenti.
L'office AI a instruit la cause et, à l'issue de la procédure, dénié à l'intéressé le droit à des prestations au motif que les affections constatées ne présentaient pas un caractère invalidant (décision du 21 janvier 2002). Le refus de prester a été confirmé sur recours de A._, d'abord par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales; jugement du 26 octobre 2004) puis par le Tribunal fédéral (arrêt I 86/05 du 29 août 2006).
Saisi d'une seconde demande de prestations, l'office AI a de nouveau procédé à des investigations médicales et rejeté les prétentions de l'intéressé (décision du 18 août 2008).
Une demande de révision de l'arrêt I 86/05 du 29 août 2006 se fondant sur de nouveaux éléments médicaux a été rejetée (arrêt 9F_4/2009 du 29 septembre 2009).
La décision administrative du 18 août 2008 a été annulée par l'autorité judiciaire cantonale et le cas renvoyé à l'office AI afin qu'il en complète l'instruction, puis prenne une nouvelle décision (jugement du 24 février 2010). Sur la base des conclusions d'une nouvelle expertise, les organes de l'assurance-invalidité saisis ont admis une détérioration de la situation médicale dont la survenance a été fixée en janvier 2004 et alloué à A._ une rente entière d'invalidité dès le 1er janvier 2005 (décision du 18 octobre 2011).
B.
A._ a saisi la Chambre des assurances sociales de la Cour genevoise de justice d'une demande en paiement dirigée contre l'institution de prévoyance par acte du 5 décembre 2014. Il concluait à la condamnation de cette institution à lui octroyer depuis le 1er janvier 2008 une rente d'invalidité de 17'551 fr. par mois (ou de 18'246 fr.) avec intérêt à 5 % sur chaque mensualité dès le dernier jour du mois correspondant, d'une part, ainsi qu'à verser sur son compte LPP 40'508 fr. 65 par an, y compris les intérêts légaux et conventionnels, depuis le 1er janvier 2008, d'autre part.
La juridiction cantonale a rejeté la demande en paiement (jugement du 29 mai 2017).
C.
A._ a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public. Il requiert l'annulation du jugement cantonal et reprend, principalement, les mêmes conclusions qu'auparavant. Il conclut à titre subsidiaire au renvoi de la cause à l'instance précédente dans le sens des considérants.
L'institution de prévoyance a conclu au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à s'exprimer.
Les parties ont toutes deux présenté des observations complémentaires.
Considérant en droit :
1.
Un délai de recours est considéré comme respecté lorsque l'acte a été remis, au plus tard, le dernier jour du délai à minuit dans une boîte aux lettres (ATF 109 Ia 183 consid. 3a p. 184; arrêt 9C_791/2015 du 1er septembre 2016). Si le sceau postal fait foi de la date d'expédition, cette présomption est réfragable. Une partie peut effectivement prouver par tous les moyens utiles, en particulier par témoins, que le pli a bien été déposé en temps utile dans une boîte postale alors même qu'il n'aurait été oblitéré que le lendemain (ATF 124 V 372 consid. 3b p. 375; 115 Ia 8 consid. 3a p. 11 et les références). Le recours est par conséquent recevable dans la mesure où, comme l'a demandé la fondation intimée, le recourant a établi par témoignage inscrit au dos de l'enveloppe ayant contenu le recours avoir déposé son écriture dans le délai légal, en l'espèce le lundi 3 juillet 2017 à 23 h 25, dans une boite postale.
2.
Le Tribunal fédéral ne procède en principe pas à un double échange d'écritures (cf. art. 102 al. 3 LTF). Il communique toutefois la réponse à la partie recourante en lui impartissant un bref délai pour transmettre d'éventuelles observations. L'éventuelle réplique étant aussi communiquée à la partie intimée, celle-ci peut alors réagir de la même façon et dupliquer (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 48 ad art. 102 LTF). Le droit à la réplique implique le droit de prendre position sur l'écriture de la partie adverse (ATF 139 II 489 consid. 3.3 p. 496; 139 I 189 consid. 3.2 p. 191 et les références), mais non celui d'énoncer de nouveaux griefs qui auraient déjà pu être soulevés dans l'acte de recours (arrêt 8C_478/2016 du 7 octobre 2016 consid. 2.1). Il sera dès lors tenu compte de toutes les écritures - dans la mesure où les parties auront procédé conformément à ces principes - quoi qu'en dise la fondation intimée.
3.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
4.
Le litige s'inscrit en l'occurrence dans le contexte du droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Il porte particulièrement sur le point de savoir si l'intéressé était assuré par l'institution de prévoyance intimée au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (art. 23 let. a LPP).
5.
5.1. Concernant d'abord la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité, le recourant fait expressément grief au tribunal cantonal d'avoir violé les art. 23 et 26 LPP, ainsi que l'art. 9 al. 2 du règlement de la fondation intimée (édition 2000). Selon le premier paragraphe de cette disposition, "la rente annuelle d'invalidité est payable à l'assuré qui peut prétendre à une rente de l'Assurance Invalidité fédérale (AI) ". Selon le quatrième paragraphe, première phrase, "le droit à une rente d'invalidité [...] prend naissance en même temps que le droit à une rente de l'Assurance Invalidité fédérale".
5.2.
5.2.1. Les premiers juges ont cité de manière complète les dispositions légales et réglementaires ainsi que la jurisprudence relatives au droit à des prestations d'invalidité et à la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité autant dans le domaine de la prévoyance professionnelle obligatoire que sur-obligatoire en lien avec la condition de la connexité matérielle et temporelle (art. 23 LPP; ATF 138 V 409; 136 V 65; 134 V 20; 130 V 275), ainsi qu'à l'appréciation des preuves et à la valeur probante de divers rapports médicaux (ATF 134 V 231; 125 V 351; 131 I 153).
Ne se considérant pas liés par les appréciations de l'office AI dans ses décisions - en particulier en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail, dès lors que la fondation intimée (qui n'avait pas été invitée à participer aux procédures administratives) n'était pas non plus liée par ces appréciations - mais toutefois tenus de suivre les jugements des autorités judiciaires qui s'étaient prononcées sur le cas, les premiers juges ont procédé à leur propre appréciation des preuves sous l'angle de la prévoyance obligatoire et de la prévoyance sur-obligatoire. Ils ont finalement retenu, comme les organes de l'assurance-invalidité précédemment, que l'intéressé souffrait avant tout d'un épisode dépressif dans le contexte d'un trouble somatoforme douloureux persistant incapacitant depuis le début de l'année 2004, ce qui lui avait donné droit à une rente de l'assurance-invalidité depuis le 1er janvier 2005.
5.2.2. L'intéressé est d'accord avec la juridiction cantonale, en tant que celle-ci admettait l'autonomie de l'institution de prévoyance intimée par rapport aux organes de l'assurance-invalidité dans la détermination du début de l'incapacité de travail et l'obligation y relative pour les autorités impliquées de la prévoyance professionnelle de réaliser une appréciation indépendante des documents médicaux. Il conteste par contre que la force ou l'autorité de chose jugée des décisions rendues précédemment par le tribunal cantonal, puis par le Tribunal fédéral en matière d'assurance-invalidité puisse faire obstacle à cette obligation de procéder à une nouvelle évaluation de la situation; il estime que ces deux éléments sont contradictoires et que le second exclut le premier. Il effectue sa propre appréciation des preuves dont il infère que les divers troubles à l'origine de l'invalidité reconnue par l'office AI engendraient déjà une incapacité totale de travail en 1996/1997 ou, au plus tard, au début de l'année 1999.
5.3.
5.3.1. L'argumentation du recourant n'est pas fondée. On relèvera que selon la jurisprudence correctement exposée par les premiers juges, l'institution de prévoyance qui reprend explicitement ou par renvoi la définition de l'invalidité de l'assurance-invalidité est en principe liée, non seulement par l'estimation de l'invalidité des organes de l'assurance-invalidité, mais aussi par la détermination du moment à partir duquel la capacité de travail de l'assuré s'est péjorée de manière sensible et durable à moins cependant que ces éléments apparaissent d'emblée insoutenables (cf., à cet égard, ATF 138 V 409 consid. 3.1 p. 414 s.; 123 V 269 consid. 2a p. 270 s.).
Or, en l'occurrence, il ressort du règlement de la fondation intimée (art. 9 al. 2 en relation avec l'art. 8 al. 2) que celle-ci renvoie à l'assurance-invalidité fédérale (pour ce qui concerne le paiement d'une rente d'invalidité et la naissance du droit à une telle rente) et ne précise nulle part ailleurs les notions y relatives. L'institution de prévoyance intimée est donc en principe liée par les considérations de l'office AI. Cependant, comme le tribunal cantonal l'a mentionné, la fondation intimée n'a pas participé aux diverses procédures de l'assurance-invalidité. Une telle circonstance suffit à délier les institutions de prévoyance et les autorités judiciaires de leur obligation de suivre les conclusions des organes de l'assurance-invalidité pour autant que lesdites institutions ne s'accommodent pas du résultat de la procédure à laquelle elles n'ont pas été conviées à participer (cf. ATF 130 V 270 consid. 3.1 p. 273 s.). Or la fondation intimée s'est distanciée de la décision de l'assurance-invalidité au motif qu'elle lui paraissait insoutenable. Les premiers juges pouvaient donc légitimement procéder à une nouvelle appréciation des preuves.
5.3.2. Dans sa nouvelle appréciation des aspects déterminants quant à la survenance de l'incapacité de travail et de l'invalidité, la juridiction cantonale a analysé les pièces médicales dont disposait l'office AI au moment de rendre sa décision du 21 janvier 2002. Elle a constaté que le trouble somatoforme douloureux évoqué par certains médecins (docteurs E._ et F._) avait été nié par un autre (docteur G._) et considéré qu'elle était tenue de suivre son jugement et les arrêts du Tribunal fédéral antérieurs qui avaient privilégié les conclusions du second médecin au détriment de celles des premiers. Elle en a déduit l'absence d'atteinte à la santé au moment de la première décision de l'assurance-invalidité. Elle a également examiné les pièces médicales rassemblées au cours de la procédure d'instruction de la nouvelle demande de prestations (établies par les docteurs H._ et I._), y compris les rapports d'expertise (du docteur J._ et de la Policlinique médicale universitaire de Lausanne). Elle en a inféré l'existence d'un épisode dépressif sévère dont elle a fait remonter les effets incapacitants au mois de janvier 2004, à l'instar de ce qu'avait retenu l'office AI dans sa décision du 11 juin 2011 (recte: 18 octobre 2011). Elle a écarté les conclusions des experts à ce dernier égard dans la mesure où ils avaient procédé à une appréciation différente d'un même état de fait.
Le recourant se fonde essentiellement sur le rapport d'expertise privée du docteur J._ pour contester les conclusions du tribunal cantonal et affirmer l'existence d'une incapacité totale de travail dès 1999 déjà. Il nie la valeur probante du rapport d'expertise du docteur G._, sur lequel reposait la décision initiale de l'office AI, et affirme la valeur probante supérieure du rapport du docteur J._. Ce faisant, il ne démontre pas en quoi l'appréciation des premiers juges serait manifestement insoutenable. En effet, dans son arrêt 9F_4/2009, le Tribunal fédéral avait déjà relevé que le docteur J._ basait ses conclusions sur des observations et des éléments largement postérieurs aux éléments retenus pour nier l'existence d'une incapacité de travail avant janvier 2004 et qu'il avait procédé à une appréciation personnelle et différente de renseignements médicaux connus et dûment appréciés au moment de la procédure initiale. On ne peut donc reprocher à la juridiction cantonale d'avoir réaliser une appréciation arbitraire des preuves ou, à tout le moins, d'avoir abouti à un résultat arbitraire.
5.4. Il découle de ce qui précède que, conformément à la conclusion à laquelle ont abouti les premiers juges et compte tenu du renvoi du règlement de l'institution de prévoyance intimée à l'assurance-invalidité fédérale, le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité remonte au mois de janvier 2004 et le droit éventuel à une rente de la prévoyance professionnelle au 1er janvier 2005.
6.
6.1. S'agissant ensuite de la fin des rapports d'assurance, le recourant fait en substance grief à l'autorité judiciaire cantonale d'avoir méconnu la portée de l'accord qu'il avait conclu avec son employeur le 27 avril 1999.
6.2.
6.2.1. La juridiction cantonale a exposé les normes et la jurisprudence relatives au système de prévoyance professionnelle obligatoire et sur-obligatoire et à l'organisation des institutions de prévoyance (cf. art. 67 LPP; voir aussi ATF 115 V 96), ainsi qu'à l'interprétation des contrats de prévoyance (cf. ATF 132 V 286; 129 V 145) et à la dissolution des rapports d'assurance (cf. 47 LPP; voir aussi ATF 131 V 27; 121 V 277).
Elle a constaté qu'au moment de la dissolution des rapports de travail, l'intéressé et son employeur avaient conclu un accord selon lequel le second proposait "pour éviter une diminution de [la] couverture dans le domaine de la prévoyance professionnelle [...] de continuer à verser les primes (part 'employé') sur la base [du] salaire assuré actuellement et ce, jusqu'à ce que [le second retrouve] un nouvel emploi ou jusqu'à une décision de l'AI sur [son] cas, dans la mesure, naturellement, où [celui-ci acceptait] de prendre à [sa] charge la part 'employé'". Elle a analysé la portée de cet accord dans le domaine de la prévoyance obligatoire et dans celui de la prévoyance sur-obligatoire. Elle en a déduit que la couverture d'assurance avait pris fin le 30 juin 1999 en matière de prévoyance obligatoire, soit trente jours après la fin des rapports de travail dans la mesure où aucun accord dérogatoire n'était possible en ce domaine, et le 21 janvier 2002 en matière de prévoyance sur-obligatoire dès lors que le texte de l'accord, interprété à la lumière des circonstances, permettait de conclure que la fin des rapports de prévoyance avait été envisagée pour le jour où une décision de l'assurance-invalidité serait prise et non pour celui où celle-ci entrerait en force de chose décidée.
6.2.2. Le recourant conteste substantiellement les dates auxquelles les premiers juges ont fixé la fin des rapports de prévoyance. Il soutient en premier lieu que ceux-ci ne disposaient pas de la bonne édition du règlement de prévoyance pour pouvoir juger la validité de l'accord en matière de prévoyance obligatoire puisque seule celle de l'an 2000 et non de l'année 1999 avait été fournie par l'intimée. Il prétend en outre que cette validité ne pouvait être remise en question dès lors que la prolongation du contrat d'assurance n'engendrait aucun risque pour la communauté d'assuré, que l'accord en question avait été signé, pour l'employeur, par un membre du Conseil de fondation de l'institution de prévoyance intimée et que ledit accord avait été entériné par le réassureur. Il considère enfin que l'interprétation dudit accord à la lumière des circonstances de son cas aurait dû conduire le tribunal cantonal à admettre la prolongation des rapports de prévoyance jusqu'à ce que la décision de l'assurance-invalidité soit devenue définitive et exécutoire, soit jusqu'à ce que le Tribunal fédéral ait rendu son arrêt I 86/05 le 29 août 2006.
6.3. L'argumentation du recourant est mal fondée. En effet, comme l'a correctement indiqué la juridiction cantonale, lorsqu'il faut interpréter une convention contractuelle particulière en matière de prévoyance professionnelle (cf. ATF 129 V 145 consid. 3.1 p. 147 s.), il convient d'appliquer les règles générales sur l'interprétation des contrats. Il y a lieu de rechercher, tout d'abord, la réelle et commune intention des parties (art. 18 al. 1 CO). Lorsque cette intention ne peut être établie, il faut tenter de découvrir la volonté présumée des parties en interprétant leurs déclarations selon le sens que le destinataire de celles-ci pouvait et devait raisonnablement leur donner selon les règles de la bonne foi (principe de la confiance). L'interprétation en application de ce principe, dite objective ou normative, consiste à établir le sens que chacune des parties pouvait et devait raisonnablement prêter aux déclarations de volonté de l'autre. Pour ce faire, il convient de partir du texte du contrat avant de l'examiner dans son contexte; dans ce dernier cas, toutes les circonstances ayant précédé ou accompagné sa conclusion doivent être prises en considération, à l'exclusion des événements postérieurs (ATF 132 V 286 consid. 3.2.1 p. 292 s. et les références). Il peut également être tenu compte du mode d'interprétation spécifique aux conditions générales, notamment de la règle de la clause ambiguë ( in dubio contra stipulatorem; cf. ATF 138 V 176 consid. 6 p. 181 et les références).
En application des principes énoncés, il convient en l'occurrence d'abord de déterminer quelle était l'intention réelle et commune des "parties" lorsqu'ils ont convenu de prolonger le contrat d'assurance "jusqu'à une décision de l'AI sur [le] cas". Si le sens de la convention sur ce point peut de prime abord paraître clair, il faut toutefois constater que l'interprétation qu'en fait l'intéressé et celle qu'en ont fait les premiers juges divergent et que les résultats auxquels ceux-ci aboutissent sont différents. La recherche de la volonté présumée des "parties" en partant du texte de l'accord puis en l'analysant dans son contexte permet cependant de départager ces points de vue contraires. En effet, dans la mesure où le recourant s'est contenté de donner son accord à la proposition faite par son employeur, il s'agit selon les principes rappelés ci-dessus de s'attacher uniquement à déterminer la portée que le destinataire pouvait donner à la déclaration acceptée. Or, cette déclaration a été exprimée simplement. Elle est exempte de toute notion juridique relative en particulier à la force de chose décidée ou au caractère définitif et exécutoire d'une décision administrative. Comme l'intéressé se qualifie lui-même de "béotien de la prévoyance professionnelle", ce par quoi il faut en l'espèce entendre une personne ignorante des notions juridiques y relatives, on peut et on doit raisonnablement en déduire selon les règles de la bonne foi qu'il ne pouvait comprendre la proposition de son employeur que comme une proposition de prolonger le contrat d'assurance jusqu'au moment où les organes de l'assurance-invalidité rendraient leur décision dans la procédure en cours, débutée avant la fin des rapports de travail, soit le 21 janvier 2002 au plus tard.
6.4. On ajoutera que, nonobstant le fait que le versement des cotisations postérieurement à la conclusion de l'accord du 27 avril 1999 est une circonstance dont il ne faut pas tenir compte pour interpréter la portée dudit accord selon la jurisprudence citée, on doit encore se demander à l'instar de ce qu'a fait la juridiction cantonale si cette circonstance peut être comprise comme une reconduction tacite de l'accord en question comme le prétend le recourant.
A cet égard, il n'a pas lieu de s'écarter des considérations convaincantes des premiers juges. On ne saurait effectivement retenir une prolongation tacite de l'accord. A supposer qu'un tel accord soit possible nonobstant l'absence de disposition réglementaire le permettant (cf. art. 47 LPP sur le maintien des rapports de prévoyance), il nécessite une convention expresse entre les parties et doit revêtir la forme écrite (cf. ATF 131 V 27 consid. 2.1 p. 28 s.: 118 V 229 consid. 6c/cc p. 236 s.). Or une telle convention fait défaut en l'espèce.
7.
Compte tenu de ce qui précède (cf. consid. 5.4 et consid. 6.3), il apparaît que le recourant n'était plus assuré par la fondation intimée que l'on se place au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité ou au moment de la survenance de l'invalidité. Il n'a pas droit aux prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Le résultat auquel est parvenu le tribunal cantonal n'est donc pas critiquable.
Il n'est dès lors pas nécessaire de trancher le point de savoir s'il est possible de prolonger par convention les rapports de prévoyance en matière de prévoyance obligatoire ou si la juridiction cantonale pouvait valablement statuer sans disposer de l'édition 1999 du règlement de prévoyance.
Entièrement mal fondé, le recours doit être rejeté.
8.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). En sa qualité d'organisation chargée de tâches de droit public, la fondation intimée ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 3 LTF; voir aussi ATF 128 V 124 consid. 5b p. 133).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 mars 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Meyer
Le Greffier : Cretton