Considérant en fait et en droit :
1.
A._, ressortissante française née en 1964, est entrée en Suisse le 28 janvier 2000, date de son mariage avec un ressortissant italien. Un enfant est né de cette union le 20 février 2000. Le 31 août 2007, le couple s'est séparé. Le divorce a été prononcé par jugement du 22 septembre 2010.
A son arrivée en Suisse, A._ avait été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE par regroupement familial en raison de son mariage, laquelle a été régulièrement prolongée. En décembre 2013, A._ a requis une autorisation d'établissement UE/AELE. Le 5 février 2014, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après : le Service cantonal) a refusé cette demande, mais a prolongé l'autorisation de séjour UE/AELE de A._ jusqu'au 30 octobre 2018, tout en l'invitant à mettre tout en oeuvre pour stabiliser de manière durable sa situation financière et professionnelle. Par courrier du 13 juillet 2016, le Service cantonal a adressé un sérieux avertissement à A._.
2.
Par décision du 23 mai 2017, le Service cantonal a estimé que l'autorisation de séjour UE/AELE de A._ avait pris fin (séjour hors de Suisse pendant six mois), subsidiairement a révoqué cette autorisation. Contre cette décision, l'intéressée a formé un recours auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après : le Conseil d'Etat), qui l'a rejeté par décision du 21 novembre 2018. Par arrêt du 29 juillet 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après : le Tribunal cantonal) a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours de A._ contre ce prononcé. Les précédents juges ont en substance retenu que la recourante n'avait pas quitté la Suisse, mais que la dépendance à l'aide sociale de l'intéressée justifiait la révocation de son autorisation de séjour.
3.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 29 juillet 2019 et de prolonger son autorisation de séjour. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire complète et l'effet suspensif.
Par ordonnance présidentielle du 11 septembre 2019, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal a transmis le dossier de la cause. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
4.
4.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'occurrence, en sa qualité de ressortissante française, la recourante peut, en principe et à première vue, prétendre à un titre de séjour en Suisse en vertu de l'ALCP (RS 0.142.112.681; cf. ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179 et les références citées). Cela suffit pour que son recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, la question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relevant du fond (cf. ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références citées). Le recours ne tombe en outre sous le coup d'aucune autre clause d'irrecevabilité figurant à l'art. 83 LTF. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte. Le recours constitutionnel subsidiaire formé en parallèle est par conséquent irrecevable (art. 113 LTF a contrario).
4.2. Les autres conditions de recevabilité sont au surplus réunies (cf. art. 42, 46 al. 1 let. c, 82 let. a, 86 al. 1 let. d et al. 2, 89 al. 1, 90 et 100 al. 1 LTF), si bien qu'il convient d'entrer en matière.
5.
5.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358; 139 II 373 consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. art. 106 al. 2 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288).
5.2. En tant que la recourante allègue dans son mémoire des faits qui ne résultent pas de l'arrêt attaqué ou sont en contradiction avec ceux y figurant, sans invoquer, ni a fortiori démontrer, l'arbitraire ou le caractère manifestement exact des constatations de l'autorité précédente, les éléments qu'elle avance ne peuvent pas être pris en considération. Le Tribunal fédéral statuera donc sur la base des faits retenus dans l'arrêt entrepris.
6.
Dénonçant une violation de son droit d'être entendue, la recourante se plaint de ne pas avoir été informée de la volonté du Service cantonal de révoquer son autorisation de séjour et de ne pas avoir pu s'exprimer avant le prononcé de la décision du 23 mai 2017.
Le grief doit d'emblée être écarté. En effet, en raison de l'effet dévolutif du recours devant le Tribunal cantonal et de l'exigence d'épuisement des instances (cf. art. 86 al. 1 let. d et 2 LTF), le Tribunal fédéral n'examine pas les griefs dirigés contre la décision de l'autorité administrative (cf. arrêts 2C_643/2014 du 13 décembre 2014 consid. 1.1; 2C_449/2013 du 21 février 2014 consid. 1.3). Par ailleurs, la recourante ne fait pas valoir, et cela ne résulte pas de la décision entreprise, qu'elle aurait invoqué une violation de son droit d'être entendue devant l'instance précédente. Or, s'agissant de la violation d'une garantie de procédure que la recourante aurait pu faire valoir devant le Tribunal cantonal, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière (cf. ATF 142 I 155 consid. 4.4.6 p. 158 s.).
7.
Le litige porte sur la question de savoir si la révocation, respectivement le non-renouvellement, de l'autorisation de séjour UE/AELE de la recourante est conforme au droit.
La recourante est ressortissante d'un Etat membre de l'Union européenne. Le Tribunal cantonal a toutefois expliqué de manière correcte et convaincante pour quels motifs elle ne pouvait plus bénéficier d'un droit de séjour fondé sur l'ALCP, que cela soit au titre du regroupement familial (art. 3 annexe I ALCP), du statut de travailleuse au sens de l'ALCP (cf. art. 6 annexe I ALCP; ATF 144 II 121 consid. 3.1 p. 124; 141 II 1 consid. 2.2.1 p. 4), du droit de demeurer en Suisse après la fin de l'activité économique (cf. art. 4 annexe I ALCP; ATF 144 II 121 consid. 3.2 p. 125; 141 II 1 consid. 4.1 et 4.2 p. 11 ss) ou du droit de séjour sans activité économique, qui est subsidiaire et suppose des moyens financiers suffisants que la recourante, à l'aide sociale, n'a pas (cf. art. 24 par. 1 let. a annexe I ALCP; ATF 135 II 265 consid. 3.7 p. 272 s.). Il peut donc être renvoyé à l'arrêt entrepris sur ce point (cf. art. 109 al. 3 LTF).
Dès lors que la recourante ne peut plus prétendre à un droit de séjour fondé sur l'ALCP, la révocation, respectivement le non-renouvellement, de son autorisation de séjour UE/AELE doit être examinée uniquement à l'aune des dispositions de la LEI (cf. art. 2 al. 2 LEI [RS 142.20; avant le 1 er janvier 2019: LEtr]; cf. arrêt 2C_837/2017 du 15 juin 2018 consid. 5.2). La recourante ne le conteste au reste pas.
8.
8.1. Ainsi que l'a retenu le Tribunal cantonal, la révocation d'une autorisation de séjour est régie par l'art. 62 LEI. Lorsque l'autorité précédente a statué le 29 juillet 2019, la question qui se posait n'était toutefois plus celle de la révocation de l'autorisation de séjour, mais celle de son renouvellement, car le titre de séjour de la recourante était échu depuis le 30 octobre 2018 (cf. arrêt 2C_1178/2012 du 4 juin 2013 consid. 1.2). A l'instar de l'autorité précédente, la Cour de céans examinera toutefois la présente cause sous l'angle de la révocation du titre de séjour, étant relevé que si la révocation de l'autorisation est justifiée, le refus de la renouveler l'est a fortiori.
8.2. Le Tribunal cantonal a retenu que le motif de révocation de l'art. 62 al. 1 let. e LEI, selon lequel l'autorité compétente peut révoquer une autorisation de séjour lorsque l'étranger ou une personne dont il a la charge dépend de l'aide sociale, était réalisé.
8.2.1. Le Tribunal cantonal a correctement exposé la jurisprudence relative à l'art. 62 al. 1 let. e LEI (cf., parmi d'autres, arrêt 2C_95/2019 du 13 mai 2019 consid. 3.4.1 et les arrêts cités), de sorte qu'il peut être renvoyé à l'arrêt entrepris sur ce point (art. 109 al. 3 LTF).
8.2.2. L'instance précédente a constaté que la recourante avait émargé à l'aide sociale partiellement entre avril 2013 et fin novembre 2016, entièrement entre décembre 2016 et mars 2018, puis à nouveau partiellement à partir d'avril 2018. Sa dette sociale s'élevait, au 5 octobre 2018, à près de 70'000 fr. Pour les précédents juges, ce constat était suffisant pour retenir le motif de révocation de l'art. 62 al. 1 let. e LEI.
Il est vrai que, à la différence de l'art. 63 al. 1 let. c LEI qui concerne les autorisations d'établissement, l'art. 62 al. 1 let. e LEI ne prévoit pas que la personne dépende "durablement et dans une large mesure" de l'aide sociale (arrêt 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 6.2 et les références). Il n'empêche que la révocation de l'autorisation de séjour en raison de la dépendance à l'aide sociale n'entre en considération que lorsqu'une personne a reçu des aides financières élevées et qu'on ne peut s'attendre à ce qu'elle puisse pourvoir à son entretien dans le futur (cf. arrêt 2C_1041/2018 du 21 mars 2019 consid. 4.2 et 4.3). Cette précision ne change toutefois pas en l'occurrence le résultat auquel est parvenu le Tribunal cantonal. En effet, la recourante, âgée de 55 ans au moment de l'arrêt entrepris, n'a, selon les faits retenus, pratiquement jamais travaillé en Suisse, n'a plus occupé d'emploi depuis fin 2013 et n'a pas fourni de réels efforts en vue d'en retrouver un. A titre d'exemple, elle ne s'est notamment pas présentée à l'examen pratique pour l'obtention du certificat d'auxiliaire de santé et n'a pas cherché à suivre une autre formation pour augmenter ses chances sur le marché de l'emploi. Dans ces conditions, et ainsi que l'a du reste relevé l'autorité précédente dans le cadre du contrôle de la proportionnalité de la mesure, on ne voit pas que la recourante soit en mesure de pourvoir à son entretien dans le futur. La recourante fait certes valoir une prise en charge future par son fils, mais cette allégation s'écarte de l'arrêt querellé et ne peut donc être prise en compte (cf. supra consid. 5). Il ne fait par ailleurs aucun doute que les montants reçus sont élevés.
8.2.3. Ainsi, le Tribunal cantonal n'a pas violé l'art. 62 al. 1 let. e LEI en retenant que le motif de révocation prévu par cette disposition était réalisé.
9.
La recourante se plaint d'une violation du principe de proportionnalité (art. 96 LEI).
9.1. Le Tribunal cantonal a correctement exposé les critères à prendre en considération dans le cadre de la pesée des intérêts (cf. ATF 139 I 31 consid. 2.3.3. p. 34 ss), de sorte qu'il est renvoyé à l'arrêt entrepris sur ce point (art. 109 al. 3 LTF). Il a en outre procédé à un examen circonstancié de la situation d'espèce, en prenant en compte l'ensemble des éléments pertinents. Il n'a pas manqué de relever que la recourante séjourne en Suisse depuis 2000 et que son fils y vit également. Il a toutefois contrebalancé la durée de ce séjour avec l'absence d'intégration de la recourante. Il a noté à cet égard que la recourante n'avait travaillé en Suisse de manière rémunérée qu'entre mars et novembre 2013, qu'elle n'avait effectué que deux courts stages auprès d'un home et d'une fondation, qu'elle ne s'était pas présentée à l'examen pratique pour l'obtention du certificat d'auxiliaire de santé, qu'elle avait émargé à l'aide sociale dans la mesure indiquée ci-avant (cf. supra consid. 8.2), qu'elle avait accumulé, au 6 septembre 2018, des poursuites à concurrence de 19'792 fr. 85 et des actes de défaut de biens pour une somme de 38'405 fr. 35, qu'elle avait été condamnée, le 16 août 2016, à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'à une amende de 200 fr., pour lésions corporelles simples et injures, et qu'elle n'avait fourni aucun élément permettant de penser qu'elle serait investie dans la vie associative et culturelle de son canton ou de sa commune. Enfin, il a souligné que le fils de la recourante était majeur et que rien n'indiquait un lien de dépendance particulier à l'égard de sa mère.
9.2. Eu égard à l'ensemble de ces éléments, c'est en vain que la recourante se prévaut de la durée de son séjour en Suisse. Le fait que, sous l'ancien droit, la dépendance à l'aide sociale n'était pas un motif de révocation pour les titulaires d'une autorisation d'établissement qui séjournaient en Suisse légalement depuis plus de 15 ans (cf. l'ancien art. 63 al. 2 LEtr, RO 2007 5437) ne lui est d'aucun secours. Du point de vue du motif de révocation, la loi distingue en fonction du type de titre de séjour en cause et la recourante ne disposait que d'une autorisation de séjour. Du point de vue de la proportionnalité de la mesure, l'absence complète d'intégration de la recourante relativise fortement le nombre d'années passées en Suisse. Il s'agit aussi de ne pas perdre de vue que la recourante a été sérieusement avertie en 2016 par les autorités administratives qu'elle devait améliorer sa situation financière, au risque de perdre son droit de séjour en Suisse. Son fils était déjà adolescent et autonome, de sorte que la recourante pouvait investir plus de temps et d'énergie à trouver un emploi, ce qu'elle n'a pas fait. Compte tenu du manque d'efforts fournis, la recourante est malvenue d'indiquer que les autorités ne désirent pas "investir le moindre franc pour faciliter sa réintégration sur le marché du travail".
Sur le plan de la réintégration en France, le Tribunal cantonal a noté qu'un retour exigerait des efforts, mais qu'une réintégration n'était pas insurmontable, car la recourante avait vécu toute son enfance et une grande partie de sa vie d'adulte (jusqu'à 36 ans) dans ce pays, maîtrisait la langue et disposait encore d'un réseau familial (sa mère, ses deux frères et trois soeurs). Il a également relevé que la recourante pourrait continuer à entretenir des contacts réguliers avec son fils depuis ce pays limitrophe de la Suisse. Ces considérations sont convaincantes et il peut y être intégralement renvoyé (art. 109 al. 3 LTF).
9.3. En définitive, le résultat de la pesée des intérêts opérée par le Tribunal cantonal ne prête pas le flanc à la critique, l'intérêt public à l'éloignement de la recourante primant sur son intérêt privé à demeurer en Suisse. Le grief tiré de la violation du principe de la proportionnalité est rejeté.
10.
La recourante invoque l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie familiale.
10.1. Elle reproche tout d'abord au Tribunal cantonal d'avoir appliqué la jurisprudence relative aux relations entre parents et enfants majeurs, en soulignant qu'au moment du retrait de l'autorisation, en mai 2017, son fils était encore mineur.
Le Tribunal cantonal disposant d'un plein pouvoir d'examen en fait et en droit (cf. art. 79 al. 2 et 3 de même que 17 al. 1 par renvoi des art. 80 al. 1 let. d et 56 al. 1 de la loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives [RS/VS 172.6]), on ne peut lui reprocher de s'être fondé sur l'âge du fils de la recourante au moment où il a statué.
Par ailleurs, la recourante cite à tort la jurisprudence relative au moment déterminant à prendre en considération s'agissant de l'âge de l'enfant en cas de regroupement familial (cf. ATF 145 I 227 consid. 3.1 p. 230 s.), puisque celle-ci concerne le moment que le Tribunal fédéral doit prendre en compte pour déterminer s'il existe un droit potentiel à une autorisation de séjour déduit de l'art. 8 CEDH.
10.2. La recourante estime qu'en tout état la relation qu'elle entretient avec son fils relève de la notion de vie familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH.
Le Tribunal cantonal a correctement exposé la jurisprudence applicable aux relations entre parents et jeunes adultes (cf. ATF 144 II 1 consid. 6.1 p. 12). Comme rien dans l'arrêt entrepris n'indique un lien de dépendance particulier entre la mère et le fils, c'est par ailleurs à juste titre que le Tribunal cantonal a retenu que la relation ne relevait pas de l'art. 8 CEDH. Le grief est rejeté.
10.3. Pour le surplus, on ajoutera que la recourante pourrait, sur le principe, se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH sous l'angle de la vie privée, dès lors que son séjour en Suisse a duré plus de dix ans (cf. ATF 144 I 266 consid. 3.9 p. 278 s.). Cela ne modifierait toutefois pas ce qui précède, étant relevé que le droit à la vie privée peut être restreint aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH et que la pesée globale des intérêts requise par cette disposition est analogue à celle imposée par l'art 96 LEI (cf. arrêt 2C_806/2018 du 20 mars 2019 consid. 6.1), de sorte qu'il suffit de renvoyer à l'examen de la proportionnalité présenté ci-avant (cf. supra consid. 9).
11.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public, selon la procédure simplifiée prévue à l'art. 109 al. 2 let. a LTF et sur la base d'une motivation sommaire (art. 109 al. 3 LTF). Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF). Succombant, la recourante doit supporter les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrations, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 27 septembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber