Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1980; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1969; Beschwerdegegner) sind die unverheirateten Eltern von C.A._ (geb. 2006). Seit der Geburt lebt C.A._ mehrheitlich bei der Mutter, die auch alleine sorgeberechtigt ist. Nach Anerkennung des Kindes durch den Vater und Überwindung einiger Unstimmigkeiten schlossen die Eltern am 10. Juli 2006 eine Unterhaltsvereinbarung und am 16. Juli 2008 eine Vereinbarung über das Besuchsrecht.
Am 13. Januar 2015 klagte A.A._ auf Erhöhung der Unterhaltsbeiträge. Die Klage wurde am 11. November 2016 teilweise gutgeheissen. B._ seinerseits erstattete am 10. März 2015 bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirke Winterthur-Andelfingen (KESB) eine Gefährdungsmeldung und bat die Behörde um Prüfung, ob die Obhut der Mutter noch dem Kindeswohl entspreche. Das Kindesschutzverfahren war im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids noch nicht abgeschlossen.
A.b. Am 24. Juni 2015 ersuchte B._ die KESB ausserdem darum, für C.A._ die gemeinsame elterliche Sorge zu verfügen. Am 7. Juli 2016 kam die KESB dem nach und stellte C.A._ unter das gemeinsame Sorgerecht der Eltern. Die Obhut beliess sie bei der Mutter.
Die von A.A._ gegen diesen Entscheid beim Bezirksrat Winterthur erhobene Beschwerde wies dieser mit Urteil vom 16. Dezember 2016 ab.
B.
Am 8. Februar 2017 erhob A.A._ hiergegen Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 16. Mai 2017 (eröffnet am 22. Mai 2017) wies dieses die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Juni 2017 gelangt A.A._ an das Bundesgericht und stellt in der Sache die folgenden Anträge:
"1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, sei aufzuheben.
2. Der Antrag des Beschwerdegegners, C.A._ unter die gemeinsame elterliche Sorge beider Eltern zu stellen, sei abzuweisen.
3. Die Beschwerdeführerin sei für das vorinstanzliche Verfahren angemessen zu entschädigen."
Am 29. September 2017 und am 1. Februar 2018 hat die KESB unaufgefordert Akten zu dem hängigen Kindesschutzverfahren eingereicht. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über die Zuteilung der elterlichen Sorge über C.A._ und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach Art. 72 Abs. 1 BGG entschieden hat. Die Beschwerdeführerin ist als Mutter und bisher alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene (Art. 100 Abs. 1 BGG) Beschwerde in Zivilsachen ist damit einzutreten.
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, also Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (BGE 139 III 120 E. 3.1.2; 133 IV 342 E. 2.1).
Die KESB hat verschiedene Unterlagen eingereicht, darunter ihren Entscheid betreffend die Obhut über C.A._, welche nach dem Urteil des Kantonsgerichts datieren und sich auch auf die Zeit nach diesem Urteil beziehen. Es handelt sich um echte Noven, die nach dem soeben Ausgeführten unbeachtlich bleiben.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). In diesem Bereich kann lediglich gerügt werden, die Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG. Die Behebung des Mangels muss zudem für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 140 III 264 E. 2.3 S. 266).
1.4. Beim Entscheid über die elterliche Sorge ist das Sachgericht verschiedentlich auf sein Ermessen verwiesen (Art. 4 ZGB; vgl. Urteil 5A_34/2017 vom 4. Mai 2017 E. 5.4). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erwiesen haben (BGE 142 III 617 E. 3.2.5; 141 III 97 E. 11.2).
2.
2.1. Strittig ist das Sorgerecht über C.A._. Auf den 1. Juli 2014 ist die Gesetzesnovelle zur elterlichen Sorge (AS 2014 357 ff., 363) in Kraft getreten. Steht in diesem Zeitpunkt die elterliche Sorge nur einem Elternteil zu, so kann sich der andere Elternteil binnen Jahresfrist nach Inkrafttreten mit dem Antrag auf Verfügung der gemeinsamen elterlichen Sorge an die zuständige Behörde wenden. Artikel 298b ZGB findet sinngemäss Anwendung (Art. 12 Abs. 4 SchlT ZGB). Vorliegend hat der nicht sorgeberechtigte Vater am 24. Juni 2015 und damit fristgerecht (vgl. dazu Urteil 5A_266/2017 vom 29. November 2017 E. 8.1) um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge ersucht, womit nach den Kriterien von Art. 298b ZGB über diese zu entscheiden ist.
Sind die Eltern nicht miteinander verheiratet und anerkennt der Vater das Kind oder wird das Kindesverhältnis durch Urteil festgestellt und die gemeinsame elterliche Sorge nicht bereits im Zeitpunkt des Urteils verfügt, so kommt die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande (Art. 298a Abs. 1 ZGB). Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung über die gemeinsame elterliche Sorge abzugeben, so kann der andere Elternteil die Kindesschutzbehörde am Wohnsitz des Kindes anrufen (Art. 298b Abs. 1 ZGB). Die Kindesschutzbehörde verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige elterliche Sorge dem Vater zu übertragen ist (Art. 298b Abs. 2 ZGB).
2.2. Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung derselben bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme. In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht Kriterien aufgestellt, die erfüllt sein müssen, um ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen Sorgerechts zu rechtfertigen. Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein. Dabei muss sich der Konflikt oder die Kommunikationsunfähigkeit auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen; ein Konflikt oder eine Kommunikationsunfähigkeit hinsichtlich einzelner Fragen genügt nicht und schon gar nicht genügt, wenn sich der Streit ausschliesslich um die Regelung des Sorgerechts dreht. Ausserdem muss sich der Dauerkonflikt und/oder die Kommunikationsunfähigkeit negativ auf das Kindeswohl auswirken. Erforderlich ist daher eine konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist bzw. sein würde. Schliesslich ist die Alleinzuteilung nur dann zulässig, wenn diese geeignet ist, die festgestellte Beeinträchtigung des Kindeswohls zu beseitigen oder zumindest zu lindern (zum Ganzen BGE 141 III 472 E. 4.6 und 4.7; 142 III 1 E. 3.3; 56 E. 3; 197 E. 3.5 und 3.7). Geht es, wie hier, um die auf Art. 298b Abs. 2 ZGB gestützte Anordnung des gemeinsamen Sorgerechts, ist unter diesem Gesichtspunkt nur dann davon abzusehen, wenn eine aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Beeinträchtigung des Kindeswohls in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteil 5A_609/2016 vom 13. Februar 2017 E. 2.2).
3.
3.1. In tatsächlicher Hinsicht stellte das Obergericht insbesondere unter Hinweis auf einen Bericht des Kinder- und Jugendhilfezentrums (kjz) U._ vom 2. Februar 2016 fest, dass C.A._ in der Zeit nach seiner Geburt häufig durch den Vater betreut worden sei. Auch danach hätten bis zur Einschulung des Kindes - mit Ausnahme einer längeren Auslandsabwesenheit von Kind und Mutter - regelmässig Besuchskontakte stattgefunden. Unmittelbar nach der Einschulung habe C.A._ den Vater während einiger Monate allerdings nicht gesehen. Aktuell besuche das Kind den Beschwerdegegner einmal im Monat, wobei sich die Eltern gegenseitig dafür verantwortlich machen würden, dass es nicht zu häufigeren Besuchen kommt. C.A._ habe zu seinem Vater und den zwei Halbgeschwistern - Kinder des Beschwerdegegners aus einer anderen Beziehung - ein gutes Verhältnis. In der Schule zeige C.A._ ein auffälliges Verhalten, weshalb er in die Kleinklasse habe versetzt werden müssen. Auch aus dem Fussballclub sei das Kind ausgeschlossen worden. Mit Gleichaltrigen komme es rasch zu Konflikten. Die Mutter kümmere sich zwar gut um den Sohn, es bestehe aber ein wenig kindsgerechtes Umfeld; Aktivitäten fänden fast ausschliesslich mit anderen Erwachsenen statt. C.A._ werde weiter wegen Einnässens behandelt und er weise motorische Defizite auf. Die familiäre Situation sei für das Kind sehr belastend, wie von verschiedener Seite (Lehrer, Schulpsychologin) bestätigt werde. Das Kind befinde sich in einer begleitenden Therapie, die sich bisher als wirksam erwiesen habe und nach Empfehlung der Fachpersonen fortzusetzen sei. Das Verhältnis zwischen den Eltern ist nach der Feststellung der Vorinstanz erheblich belastet. Insbesondere bestünden erhebliche Kommunikationsschwierigkeiten, die allerdings nicht als chronifiziert bezeichnet werden könnten. Diese Schwierigkeiten hätten erst begonnen, nachdem die Mutter eine Erhöhung des Kindesunterhalts beantragt habe (vgl. vorne Bst. A.a). Zuvor habe der Beschwerdegegner während zehn Jahren die Erziehung des Sohnes nicht kritisiert. Es sei anzunehmen, dass der Streit zwischen den Eltern um die Frage des gemeinsamen Sorgerechts eskaliert sei. Diese Umstände sowie die räumliche Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern würden eine Verständigung erschweren.
Gestützt hierauf erwägt das Obergericht, dass der Sohn zu beiden Elternteilen ein gutes Verhältnis habe und Besuche regelmässig stattfänden. Allfälligen Problemen in diesem Bereich könne mit einer Besuchsrechtsbeistandschaft begegnet werden. Zudem zeigten die eingeleiteten Therapien Wirkung. Für die Mutter sei es zwar einfacher, wenn sie alle Entscheide alleine fällen könnte. Aufgrund der guten Beziehung des Kindes zu beiden Elternteilen sei jedoch zu bezweifeln, dass dies auch dem Kindeswohl entspreche. Mit Blick auf die erheblichen Unstimmigkeiten zwischen den Eltern sei nicht zu erwarten, dass der Streit bei Alleinsorge der Beschwerdeführerin von selbst wieder aufhöre und der Beschwerdegegner diese Zuteilung einfach akzeptiere. Die Eltern müssten im Interesse des Kindeswohls zusammenarbeiten, gegebenenfalls mit Unterstützung eines Beistands. Nachdem indes kein chronifizierter Konflikt vorliege, bestünden keine genügenden Gründe zur Verweigerung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Bei gemeinsamer Sorge sei gar eine Beruhigung des Konfliktes zu erwarten, zumal die hauptsächlich strittige Sorgerechtsfrage damit geklärt werde. Sollte sich der Konflikt wider Erwartens nicht verringern, könne die KESB geeignete (flankierende) Massnahmen ergreifen.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, die Parteien befänden sich in einem starken, tiefgreifenden Konflikt. Kommunikation und Kooperation seien beeinträchtigt. Hieran ändere nichts, dass der Beschwerdegegner sie während längerer Zeit nicht kritisiert habe. Dies sei allein darauf zurückzuführen, dass der Vater sich in dieser Zeit nicht um den Sohn gekümmert und entsprechend keine Kommunikation zwischen den Eltern stattgefunden habe. Sodann sei die Aussage, der Konflikt drehe sich allein um das Sorgerecht, eine reine Mutmassung. Die Beschwerdeführerin führt weiter aus, beim Sohn bestehe ein "ADHS mit dissoziertem Leistungsprofil und mit feinmotorischen Auffälligkeiten". Auch leide er vereinzelt unter Bettnässen. Dies sei behandelbar (z.B. Ergotherapie, Behandlung mittels Neurofeedback, Training der Beckenbodenmuskulatur, Hypnosen). Die Eltern könnten sich aber nicht über die Bedürfnisse des Sohnes einigen. Sie würden sich gegenseitig kritisieren und es käme zu Unterstellungen, sinnlosen Diskussionen und Beschimpfungen. Dem Beschwerdegegner fehle verschiedentlich das Problembewusstsein. Insbesondere habe er dem Sohn gewisse Medikamente nicht verabreicht, weil er dies nicht für nötig erachtet habe. Die Spannungen zwischen den Eltern würden den Sohn nach dessen eigenen Aussagen belasten.
Das Obergericht habe diesen Verhältnissen keine Rechnung getragen. Entgegen seinen Erwägungen wäre es bei gemeinsamer Sorge nicht möglich, dem Kindeswohl entsprechend zu handeln. Namentlich weil der Beschwerdegegner die Probleme des Kindes negiere. Es bestehe daher die Gefahr, dass er Behandlungen blockiere und sein Einverständnis für weitergehende Behandlungen verweigere. Damit sei es nicht mehr möglich, wie bisher rasch und unbürokratisch Entscheide zu treffen. Folglich bestehe die Gefahr, dass der Sohn unter der Uneinigkeit der Eltern zu leiden habe. Das Problem der fehlenden Einigkeit in medizinischen Fragen werde durch den massiven Elternkonflikt, die fehlende Kommunikation und die räumliche Distanz zwischen den Wohnorten akzentuiert. Das Obergericht verkenne, dass die Kombination dieser Problemstellungen entscheidend sei. Unter den gegebenen Umständen würde die gemeinsame Sorge das Kindeswohl erheblich beeinträchtigen. Bei alleinigem Sorgerecht der Mutter verringere sich sodann der Druck auf den Sohn, weil dieser sich dann nicht mehr dauernd in einem Spannungsfeld und einem Loyalitätskonflikt befinden würde.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin weicht in ihrer Argumentation vielfach von den tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts ab. Dies betrifft vorab ihre Darstellung des Elternkonflikts, namentlich mit Blick auf die medizinischen Belange, und die Haltung des Beschwerdegegners zu den (gesundheitlichen) Problemen des Sohnes. In ihren Ausführungen zeigt die Beschwerdeführerin indessen nicht klar und detailliert auf, inwiefern die abweichende Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz geradezu willkürlich sein oder sonst Bundesrecht verletzen sollte. Vielmehr beschränkt sie sich weitgehend darauf, ihre eigene Sicht der Dinge darzulegen. Soweit sie sich überhaupt auf das angefochtene Urteil beziehen, sind ihre Vorbringen weitgehend appellatorisch. Auch der unspezifische Verweis auf das Gutachten des kjz, der sich in der Beschwerde findet, stellt keine rechtsgenügliche Begründung dar. Zudem rügt die Beschwerdeführerin entgegen Art. 106 Abs. 2 BGG nicht explizit eine Verletzung des Willkürverbots oder eine andere Bundesrechtsverletzung. Unter diesen Umständen sind die Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorne E. 1.3).
4.2. Ausgehend von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz und mit Blick auf das dem Sachgericht zukommende Ermessen ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden:
Zwar besteht vorliegend ein nicht unerheblicher Konflikt zwischen den Eltern, der auch deren Kommunikationsfähigkeit beeinträchtigt. Auch haben die Eltern verschiedentlich Behörden und Gerichte in den Streit einbezogen. Zu verweisen ist namentlich auf die vom Beschwerdegegner eingereichte Gefährdungsmeldung (vorne Bst. A.a). Der Konflikt ist allerdings nicht geradezu chronisch. Auch konnte der Vater sein Besuchsrecht ausüben und hat er eine gute Beziehung zu C.A._. Das Kind wird durch den Elternkonflikt zwar belastet. Der Belastung kann jedoch therapeutisch entgegengewirkt werden. Der Elternkonflikt ist damit nicht so stark, dass allein darin ein Grund für die (ausnahmsweise) Beibehaltung des alleinigen Sorgerechts liegen würde (vgl. etwa Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). Ebenfalls nicht gegen das gemeinsame Sorgerecht spricht sodann die von der Beschwerdeführerin angesprochene räumliche Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern in U._ bzw. V._: Nach der Rechtsprechung lässt sich die gemeinsame Sorge angesichts der heutigen Kommunikationskanäle grundsätzlich auch auf Distanz ausüben (vgl. Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4, mit Hinweis auf BGE 142 III 1 E. 3.5). Die zur Diskussion stehende räumliche Distanz ist ohnehin nicht derart erheblich, dass sie für die Ausübung des gemeinsamen Sorgerechts problematisch erscheint. Dafür, dass es bei gemeinsamer Sorge zu einer Blockierung medizinischer Behandlungen bei C.A._ kommen könnte und dessen Wohl dadurch zusätzlich gefährdet würde (vgl. dazu Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4), ergeben sich aus den verbindlichen Feststellungen des Obergerichts sodann keine Anhaltspunkte. Anders als die Beschwerdeführerin meint, steht nach dem Ausgeführten auch nicht eine Kombination verschiedener Problemstellungen (medizinische Fragen, Elternkonflikt, fehlende Kommunikation, räumliche Distanz) der gemeinsamen Sorge entgegen. Vielmehr ergibt sich zwar das Bild zerstrittener Eltern, die mit ihrem Streit auch den Sohn nicht unerheblich belasten. Wie das Obergericht zutreffend erkennt, ist der Elternkonflikt aber nicht chronifiziert und lässt die gemeinsame Sorge auch keine Verschärfung der Situation erwarten. Der vorliegende Fall ist entgegen der Beschwerdeführerin denn auch nicht mit dem im Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 (E. 4) beurteilten Sachverhalt zu vergleichen, wo ein chronifizierten Elternkonflikt mit total blockierter Kommunikation zu beurteilen war, der sich auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckte, in denen gemeinsame Entscheide zu fällen waren. Ausserdem war bei einem der in jenem Fall betroffenen Kinder anders als hier eine auf den Streit zurückzuführende psychische Störung diagnostiziert worden.
4.3. Zusammenfassend hat das Obergericht weder sein Ermessen fehlerhaft ausgeübt noch sonst Bundesrecht verletzt, indem es den Parteien die gemeinsame elterliche Sorge zugesprochen hat.
5.
5.1. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich auch nicht, der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren eine Entschädigung zuzusprechen, wie sie beantragt. Ohnehin hat sie diesen Antrag nicht weiter begründet (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG).
5.2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind der vollständig unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da von ihm keine Vernehmlassung eingeholt wurde, sind beim obsiegenden Beschwerdegegner keine entschädigungspflichtigen Parteikosten angefallen. Parteientschädigung ist daher keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirke Winterthur und Andelfingen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber