Sachverhalt:
A.
Mit Klage vom 23. November 2015 stellte A.A._ vor dem Bezirksgericht Luzern in einem Nachverfahren nach Art. 125 ZPO eine Reihe von Forderungsbegehren gegen B.A._ (Verfahrens-Nummer BGL 1A1 15 32). Der Streitwert betrug insgesamt Fr. 370'000.--. Der Kläger ersuchte das Bezirksgericht darum, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwältin F._ als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu ernennen. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies der Präsident der 1. Abteilung des Bezirksgerichts, G._, das Gesuch mit der Begründung ab, A.A._ sei der Bedürftigkeitsnachweis nicht gelungen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 6. Mai 2016 ab. Ohne Erfolg blieb auch eine Beschwerde an das Bundesgericht (Urteil 5A_463/2016 vom 12. August 2016).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 1. April 2016 gelangte A.A._ zusammen mit seiner Rechtsvertreterin F._ an das Kantonsgericht Luzern als Aufsichtsbehörde über die erstinstanzlichen Gerichte mit dem Antrag, ihre vor dem Bezirksgericht Luzern hängige Klage (s. Bst. A) zur weiteren Bearbeitung dem Bezirksgericht Willisau zuzuweisen. In Ziffer 2 ihrer Begehren äusserten die Gesuchsteller den Wunsch, am Bezirksgericht Willisau den dortigen Richter Dr. H._ mit der Verfahrensleitung zu betrauen.
B.b. Mit Schreiben vom 9. Mai 2016 belehrte die Geschäftsleitung des Kantonsgerichts die Gesuchsteller über Natur und Zweck eines aufsichtsrechtlichen Beschwerdeverfahrens und wies sie darauf hin, dass für eine Aufsichtsbeschwerde nur dort Raum bleibt, wo das beanstandete Verhalten nicht in unmittelbarem Konnex mit der Verfahrensführung in einem konkreten Fall steht. Das Kantonsgericht erklärte, die Eingabe als Ausstandsgesuch gegen das (gesamte) Bezirksgericht Luzern entgegenzunehmen, und orientierte die Gegenpartei im Hauptprozess vor dem Bezirksgericht Luzern über das Ausstandsbegehren.
B.c. Mit Eingabe vom 30. Mai 2016 ergänzten A.A._ und F._ ihr Gesuch und hielten am gestellten Antrag fest. Namens des Bezirksgerichts beantragte Bezirksgerichtspräsident G._, das Ausstandsbegehren bzw. das Begehren um Überweisung des Verfahrens an das Bezirksgericht Willisau abzuweisen.
B.d. Mit Entscheid vom 12. August 2016 wies das Kantonsgericht (1. Abteilung) das Gesuch ab.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 22. September 2016 wandten sich F._ und - von dieser vertreten - A.A._ an das Bundesgericht. Die Beschwerdeführenden verlangten, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 12. August 2016 aufzuheben und das Dossier des Bezirksgerichts Luzern Nr. 1A1 15 32 (s. Bst. A) zur weiteren Bearbeitung an das Bezirksgericht Willisau zu überweisen.
C.b. Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 25. November 2016 mangels funktioneller Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein und überwies diese an das Kantonsgericht Luzern zur weiteren Behandlung und Entscheidfindung (5A_697/2016).
C.c. Das Kantonsgericht (4. Abteilung) wies die Beschwerde mit Entscheid vom 28. Juni 2017 in zweiter Instanz ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 500.-- auferlegte es den Beschwerdeführenden solidarisch, wobei die Fr. 500.-- vom Kostenvorschuss entnommen und den Beschwerdeführenden die restlichen Fr. 1'000.-- zurückerstattet würden.
D.
Gegen den Kostenpunkt erheben F._ (Beschwerdeführerin) und - von dieser vertreten - A.A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde an das Bundesgericht. Als Beschwerdegegner wird das Kantonsgericht bezeichnet. Die Kosten seien "dem Staat" (gemeint wohl Kanton Luzern) aufzuerlegen und ihnen sei eine Parteientschädigung auszurichten. Zur Neuregelung der erstinstanzlichen Kosten sei das Verfahren "an diese" zurückzuweisen, soweit das Bundesgericht die Kosten nicht selbst regle. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 143 III 140 E. 1 S. 143 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist binnen Frist der selbständig eröffnete Zwischenentscheid über den Ausstand einer Gerichtsperson (Art. 92 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG), wobei vor Bundesgericht nur noch die Kosten- und Entschädigungsregelung strittig ist. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382). Hier hat das Verfahren in der Hauptsache ein Nachverfahren (Sachverhalt lit. A) zum Gegenstand, mithin eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG vermögensrechtlicher Natur. Der Streitwert bestimmt sich anhand der vor Vorinstanz strittigen Punkte (Urteile 5A_197/2017 vom 21. Juli 2017 E. 1.2; 5A_11/2017 vom 27. April 2017 E. 1.1; BGE 143 III 46 E. 1 S. 47). In der Hauptsache wird der gesetzliche Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- überstiegen (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Das Urteil ist kantonal letztinstanzlich (Art. 75 BGG) und lautet zum Nachteil der Beschwerdeführenden, so dass sich die Beschwerde in Zivilsachen als zulässiges Rechtsmittel erweist.
1.3. In rechtlicher Hinsicht sind im ordentlichen Beschwerdeverfahren alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder das Rechtsmittel mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 143 V 19 E. 2.3 S. 23 f.; 132 II 257 E. 2.5 S. 262; je mit Hinweisen). Dabei ist das Bundesgericht grundsätzlich an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, dieser sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG) oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG. Hierfür wie auch für behauptete Verfassungsverletzungen gilt das Rügeprinzip (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.2, E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.
Das Kantonsgericht hielt im angefochtenen Urteil fest, dass der vom Ausstandsgesuch betroffene Gerichtspräsident des Bezirksgerichts Luzern, G._, am 30. Januar 2017 zum Kantonsrichter gewählt worden sei und sein Amt am 1. Juni 2017 angetreten habe (in einer anderen Abteilung als der in dieser Sache urteilenden). Damit entfalle von vornherein eine weitere Mitwirkung seinerseits am vor Bezirksgericht Luzern hängigen (Haupt-) Zivilprozess. Das Verfahren sei hinfällig geworden. Dass und inwiefern in Bezug auf andere Mitglieder des Bezirksgerichts Ausstandsgründe vorliegen sollten, werde sodann von den Beschwerdeführenden nicht konkret dargetan. Es wies die Beschwerde ab, soweit diese nicht wegen des dahingefallenen aktuellen Rechtsschutzinteresses als erledigt zu erklären sei. Die (reduzierten) Kosten auferlegte das Gericht den Beschwerdeführenden.
3.
Die Beschwerdeführenden kritisieren, die Vorinstanz hätte prüfen müssen, wie der Prozess ohne Eintritt der Gegenstandslosigkeit mutmasslich ausgegangen wäre. Im Falle eines Prozessabschlusses infolge Gegenstandslosigkeit seien die Kosten nämlich nach dem mutmasslichen Prozessausgang zu verlegen resp. nach dem Prinzip der Verursachung. Sie hätten dargelegt, dass es G._ an der nötigen Distanz und Neutralität fehle, er habe - unter anderem - ein Engagement der Rechtsvertreterin falsch berechnet, habe gravierende Fehler gemacht, Dinge "absichtlich falsch interpretiert" und "völlig unsachlich" über Ausführungen hinweggedeutet. Sie unterstellen, die Vorinstanz sei offenbar selbst davon ausgegangen, dass die Beschwerde in Bezug auf den Ausstand von G._ gutgeheissen hätte werden müssen, was sich darin zeige, dass diese den Kostenvorschuss um Fr. 1'000.-- reduziert habe. Entsprechend hätten ihnen keine Kosten auferlegt werden dürfen.
4.
Den Beschwerdeführenden kann nicht gefolgt werden. Erstens kann aus der Höhe des Kostenvorschusses nicht auf die Höhe der Chancen oder gar eine mögliche Gutheissung der Beschwerde geschlossen werden. Zweitens zeigen die Beschwerdeführenden nicht ansatzweise auf, inwiefern sich Gerichtspräsident G._ nicht neutral gezeigt haben soll. Die Beschwerdeführenden belassen es bei unbelegten Behauptungen an der Grenze zur Ehrenrührigkeit. Dass die Einschätzung der finanziellen Situation des Beschwerdeführers durch den Gerichtspräsidenten nicht "dermassen verfehlt" gewesen ist, wie die Beschwerdeführenden glauben machen möchten, belegt das Urteil des Bundesgerichts vom 12. August 2016 (Sachverhalt lit. A), mit welchem die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege bestätigt wurde. Das Ausstandsbegehren gegen Richter G._ hätte mutmasslich auch ohne dessen Wahl an das Kantonsgericht abgewiesen werden müssen.
In Bezug auf die anderen Richter werden keine individuellen Ausstandsgründe aufgezeigt, sondern lediglich an die Funktion von Richter G._ als Abteilungspräsident angeknüpft. Zu behaupten, ein Richter könnte durch den Abteilungspräsidenten in der Entscheidfindung nachteilig beeinflusst werden, reicht nicht aus. Ein Richter hat von Verfassungs wegen unabhängig zu sein. Selbst wenn in Bezug auf Richter G._ ein Ausstandsfall bejaht worden wäre, hätte das - mangels konkreter Anzeichen einer Befangenheit der anderen Richter - nicht zum Ausstand des ganzen Gerichts geführt.
Da die Beschwerde mutmasslich hätte abgewiesen werden müssen, ist die von der Vorinstanz getroffene Kostenregelung nicht zu beanstanden.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen und die Beschwerdeführenden werden kosten-, jedoch nicht entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5, 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführenden unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann