Erwägungen:
1.
Der Präsident der Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies am 27. Februar 2020 ein Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass der diesem mit Urteil vom 8. November 2018 auferlegten Gerichtskosten von Fr. 5'546.40 ab. Der Beschwerdeführer gelangt dagegen mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht.
Das Obergericht beantragt in seiner Vernehmlassung, auf die Beschwerde sei mangels eines rechtlich geschützten Interesses nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer machte von seinem Replikrecht keinen Gebrauch.
2.
Die Vorinstanz stundete ihre Forderung gegenüber dem Beschwerdeführer aus Verfahrenskosten nach Eingang der vorliegenden Beschwerde in Strafsachen mit Verfügung vom 26. März 2020 bis zum 31. Dezember 2021 (vgl. Stellungnahme Vorinstanz S. 2). Ob der Beschwerdeführer angesichts dieser Stundung ein rechtlich geschütztes Interesse an der Behandlung seiner Beschwerde hat, welche sich gegen die Verweigerung des Kostenerlasses richtet, kann mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens offenbleiben.
3.
Forderungen aus Verfahrenskosten können von der Strafbehörde gestundet oder unter Berücksichtigung der wirtschaftlichen Verhältnisse der kostenpflichtigen Person herabgesetzt oder erlassen werden (Art. 425 StPO).
Art. 425 StPO ist als Kann-Bestimmung konzipiert. Die Strafbehörden verfügen bei der Frage, ob Verfahrenskosten zu stunden oder zu erlassen sind, über einen grossen Ermessens- und Beurteilungsspielraum, in welchen das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift. Das Bundesrecht belässt die konkrete Ausgestaltung der Voraussetzungen von Stundung oder Erlass zudem weitgehend der kantonalen Ausführungsgesetzgebung. Diese Rechtslage hat zur Folge, dass das Bundesgericht eine Stundung oder den Erlass von Verfahrenskosten lediglich unter Willkürgesichtspunkten prüft (Urteile 6B_1184/2019 vom 25. Juni 2020 E. 1.1; 6B_886/2019 vom 25. September 2019 E. 2; 6B_754/2019 vom 20. August 2019 E. 2 mit Hinweisen).
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Beschwerde in Strafsachen in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Verletzung des Willkürverbots) gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 500 E. 1.1 S. 503; 143 I 377 E. 1.2 S. 380).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
4.
Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, er sei seit dem 28. August 2019 nicht mehr in stationärer Behandlung, weshalb sich die von der Vorinstanz vorgenommene Kürzung des Grundbedarfs nicht rechtfertige. Darauf ist nicht einzutreten, da der Beschwerdeführer nicht behauptet, er habe die Änderung seiner Verhältnisse bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG). Dieser erwähnte in seiner Eingabe an die Vorinstanz vielmehr eine "Weiterführung der psychiatrischen Behandlung".
Der Beschwerdeführer kritisiert weiter, die Vorinstanz habe die Prämienverbilligung zu Unrecht zu seinem Einkommen addiert, woraus sich ein Fehlbetrag ergeben habe. Der Einwand ist nicht nachvollziehbar, da die Vorinstanz im Gegenzug bei den Auslagen die Krankenkassenprämien vor Abzug der Prämienverbilligung berücksichtigt. Der Beschwerdeführer argumentiert zudem, die Verpflegung in der stationären Behandlung sei nicht durch die obligatorische Krankenversicherung gedeckt, sondern werde ihm separat als "Spitalbedarf" in Rechnung gestellt. Den Spitalbeitrag berücksichtigt die Vorinstanz indes bei den vom Beschwerdeführer zu tragenden monatlichen Krankheitskosten von Fr. 430.--.
Insgesamt geht aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht hervor, dass und weshalb der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll. Die Beschwerde vermag den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht zu genügen. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Die Gerichtsschreiberin:
Jacquemoud-Rossari Unseld