Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Am 31. Mai 2018 wies die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt seinen Rekurs ab, dessen Streitgegenstand im Erlass einer verfügten Erbschaftssteuer bestand. Mit Eingabe vom 28. Juni 2018, welche er durch eine Drittperson hatte erstellen lassen, machte der Steuerpflichtige geltend, aufgrund eines jüngst erlittenen Handbruchs ausserstande zu sein, die Rechtsmittelfrist zu wahren, weshalb er um Erstreckung der Rechtsmittelfrist ersuche. Am 4. Juli antwortete die Steuerrekurskommission, die Rekursfrist sei nicht erstreckbar und ein Rekurs wäre beim Verwaltungsgericht einzureichen. Mit unveränderter Begründung ersuchte der Steuerpflichtige tags darauf bei der Steuerrekurskommission abermals um Erstreckung der Rechtsmittelfrist. Diese leitete die Schreiben vom 28. Juni und 5. Juli 2018 zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt weiter.
1.2. Mit einzelrichterlichem Entscheid VD.2018.122 vom 19. Juli 2018 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht die Eingaben vom 28. Juni und 5. Juli 2018 sowohl als Fristerstreckungsgesuche wie auch als sinngemäss gestellte Gesuche um Wiedereinsetzung in den früheren Stand ab. Es ordnete an, dass dem Steuerpflichtigen keine Nachfrist zur Verbesserung seiner Eingaben vom 28. Juni 2018 und 5. Juli 2018 angesetzt werde. Auf den Rekurs gegen den Entscheid der Steuerrekurskommission vom 31. Mai 2018 trat es nicht ein.
1.3. Mit Eingabe vom 27. August 2018 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, worin er um Aufhebung des angefochtenen Entscheids ersucht.
1.4. Das präsidierende Mitglied hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen (Art. 32 Abs. 2 BGG [SR 173.110]).
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen unter Vorbehalt des Nachfolgenden vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.2. Die Vorinstanz ist zum Schluss gelangt, der Steuerpflichtige habe zur Erstellung der Eingabe vom 28. Juni 2018 eine Drittperson beigezogen. Er könne folglich nicht unverschuldet davon abgehalten worden sein, innerhalb der Rechtsmittelfrist eine Rekursschrift mit Antrag und Begründung zu erstellen. Eine Fristwiederherstellung falle daher ausser Betracht (angefochtener Entscheid E. 3). Enthalte eine Rekursschrift, wie hier, keinen Antrag und/oder keine Begründung, sei gemäss § 164 Abs. 2 in Verbindung mit § 171 Abs. 2 des Gesetzes [des Kantons Basel-Stadt] vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100) an sich eine Nachfrist anzusetzen. Dies aber nur unter Vorbehalt dessen, dass nicht bewusst eine mangelhafte Rechtsschrift eingereicht werde, um dadurch auf die Erstreckung der Rechtsmittelfrist hinzuwirken. Davon sei aber vorliegend auszugehen, sei der Steuerpflichtige sich doch vollauf bewusst gewesen, dass die Sachurteilsvoraussetzungen hinsichtlich Begründung und Antrag nicht vorlägen (angefochtener Entscheid E. 4). Auf den Rekurs sei nicht einzutreten (angefochtener Entscheid E. 5).
2.3. Der angefochtene Entscheid hat dem Grunde nach die Erbschaftssteuer zum Inhalt und beruht ausschliesslich auf kantonalem Recht. Entsprechend hätte der Steuerpflichtige vor Bundesgericht in detaillierter Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid aufzuzeigen gehabt, dass die Vorinstanz bei Auslegung und/oder Anwendung des massgebenden kantonalen (Verfahrens-) Rechts verfassungsrechtlich unhaltbar - insbesondere willkürlich - zum Schluss gelangt ist, auf die Sache sei nicht einzutreten bzw. sie sei abzuweisen (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286). Selbst wenn berücksichtigt wird, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weshalb praxisgemäss keine allzu hohen formellen Anforderungen zu stellen sind (zuletzt etwa Urteil 2C_627/2018 vom 24. Juli 2018 E. 2.2), entspricht die vorliegende Eingabe diesen Anforderungen klarerweise nicht. Der Steuerpflichtige ruft im Wesentlichen bloss seine gesundheitliche Situation in Erinnerung und leitet daraus die Unmöglichkeit ab, fristgerecht handeln zu können. So ungünstig die Umstände für ihn möglicherweise auch waren, bildet dies lediglich appellatorische Kritik, die von vornherein ungenügend ist, um aufzuzeigen, dass und weshalb der angefochtene Entscheid verfassungsrechtlich unhaltbar sei.
2.4. Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 42 Abs. 2, Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb darauf im vereinfachten Verfahren durch einzelrichterlichen Entscheid des präsidierenden Mitglieds nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die Sachumstände kann von der Kostenerhebung abgesehen werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Donzallaz
Der Gerichtsschreiber: Kocher