Considérant en fait et en droit :
1.
Dès le 1er mai 2012, X._ a travaillé à Genève au service de la banque Z._ SA. L'employeuse a résilié le contrat de travail le 18 juin 2013.
X._ a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève. Ce tribunal lui a donné gain de cause par jugement du 24 juillet 2017. La défenderesse était condamnée à verser divers montants au total de 3'325'898 fr.40 en capital, avec suite d'intérêts; elle devait en outre transférer un portefeuille de valeurs mobilières correspondant à un avoir de 64'572 fr., et remettre un certificat de travail dont le jugement spécifiait la teneur.
La Chambre des prud'hommes de la Cour de justice a statué le 13 juillet 2018 sur l'appel de la défenderesse. Elle a accueilli cet appel et rejeté entièrement l'action.
Le demandeur n'a sollicité l'assistance judiciaire dans aucune de ces deux instances.
2.
Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de confirmer le jugement prudhommal en ce qui concerne les prestations en argent, avec intérêts, et le certificat de travail.
Invité à verser une avance de frais au montant de 20'000 fr., le demandeur a sollicité une prolongation du délai imparti. Il a versé l'avance dans le délai prolongé.
Invitée à déposer sa réponse au recours, la défenderesse a présenté une demande de sûretés en garantie des dépens. L'ordonnance concernant la réponse au recours a été en conséquence rapportée. Le demandeur a pris position sur la demande de sûretés. Il a allégué que ses ressources ne lui permettent pas de pourvoir aux frais du procès et qu'il a emprunté le montant de l'avance déjà exigée par le Tribunal fédéral; pour le surplus, il déclarait s'en rapporter à justice. Par ordonnance du 7 décembre 2018, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a astreint le demandeur à verser des sûretés en garantie des dépens auxquels la défenderesse pourra éventuellement prétendre; le montant de ces sûretés est fixé à 22'000 francs.
3.
Dans le délai imparti pour ce versement, le demandeur a introduit une demande d'assistance judiciaire limitée à la dispense des sûretés en garantie des dépens.
Par ordonnance (« information ») du 18 janvier 2019, la Présidente de la Cour a provisoirement renoncé à exiger le versement des sûretés.
La défenderesse a présenté ses observations concernant la demande d'assistance judiciaire; elle tient l'indigence alléguée par le demandeur pour « discutable ».
Le demandeur a été informé de ces observations; il n'a pas déposé d'écriture supplémentaire.
4.
Selon l'art. 64 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. L'assistance judiciaire comporte la dispense d'assumer les frais judiciaires et la dispense de verser des sûretés en garantie des dépens.
5.
Selon une opinion doctrinale, la partie qui présente une demande d'assistance judiciaire à la seule fin d'être dispensée de verser des sûretés en garantie des dépens doit accomplir cette démarche déjà lorsqu'elle est invitée à prendre position sur la demande de sûretés introduite par l'adverse partie, et elle n'est plus recevable à solliciter l'assistance judiciaire après que le juge instructeur, le cas échéant, a accueilli cette demande et ordonné le versement des sûretés (Thomas Geiser, in Commentaire bâlois, 3e éd., n° 26 ad art. 64 LTF). Cette opinion est certes soutenable du point de vue de la diligence et de la célérité à attendre des parties à la cause. Elle n'a cependant aucun fondement dans la loi; une demande d'assistance judiciaire est en principe recevable, au contraire, aussi longtemps qu'une avance de frais ou des sûretés pourront être ou sont encore exigées. Il est notamment admis qu'une pareille demande soit présentée seulement après que la partie requérante a été invitée à verser une avance de frais, afin d'obtenir la dispense de cette avance. Il s'impose donc, en l'espèce, d'entrer en matière sur la demande d'assistance judiciaire.
Le demandeur ayant agi dans le délai imparti conformément à l'art. 62 al. 3, 1re phrase LTF, il n'est pas nécessaire d'examiner si une demande d'assistance judiciaire peut être utilement présentée, encore, dans le délai supplémentaire prévu par l'art. 62 al. 3, 2e phrase LTF.
6.
Un plaideur manque de ressources suffisantes, aux termes de l'art. 64 al. 1 LTF, lorsqu'au regard de sa situation économique globale, y compris sa fortune, il n'est pas en mesure d'assumer les frais du procès sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (ATF 144 III 531 consid. 4.1 p. 537 i.m.; 135 I 221 consid. 5.1 p. 223; 128 I 225 consid. 2.5.1 p. 232). La part des ressources excédant ce qui est nécessaire à la couverture des besoins personnels doit être comparée aux frais de procès à assumer. L'assistance judiciaire n'est pas accordée lorsque la part disponible permet de couvrir ces frais en une année au plus, pour les procès relativement simples, et en deux ans pour les autres (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 224). En l'espèce, les frais de procès se limitent aux sûretés en garantie des dépens, d'ores et déjà arrêtées au montant de 22'000 francs.
7.
Selon les allégations du demandeur et les justificatifs produits à l'appui de la demande d'assistance judiciaire, ce plaideur est actuellement établi à l'Ile Maurice où il vit avec son épouse. Au mois de janvier 2019, un emploi salarié de gérant de restaurant lui procurait un revenu mensuel correspondant à 1'800 francs. Ses perspectives de conserver cet emploi étaient toutefois compromises car l'autorisation officielle d'exercer une activité lucrative lui avait été récemment refusée. Le couple ne percevait aucun autre revenu. Le demandeur a fourni certains renseignements et justificatifs sur les charges courantes du ménage. Il admet que le coût de la vie est nettement moins élevé à l'Ile Maurice qu'en Suisse; c'est d'ailleurs ce qui l'a déterminé à quitter notre pays.
Selon les mêmes allégations et justificatifs, la fortune du demandeur et de son épouse se compose de la maison qu'ils habitent, dont ils sont propriétaires, d'avoirs bancaires dont le total correspond à 27'000 fr., d'une automobile estimée à 21'750 fr. et d'un motocycle estimé à 12'170 francs. La valeur estimative de l'immeuble se situe entre 750'000 et 840'000 francs. La banque refuse d'ouvrir un crédit garanti par ce bien au motif que les époux n'ont pas de revenu suffisamment stable.
Selon les observations de la défenderesse datées du 17 juin 2019, le demandeur continue de se dire gérant de restaurant sur le réseau professionnel en ligne Linkedin, de sorte que le refus de l'autorisation officielle ne semble pas l'entraver dans cette activité lucrative. D'après le site internet de U._, une société mauricienne d'investissement, le demandeur est actif dans cette entreprise à titre de responsable de la distribution ( head of global distribution). La banque dont le demandeur a sollicité l'ouverture d'un crédit hypothécaire n'était apparemment pas informée du salaire alors perçu par son client, ce qui conduit la défenderesse à soupçonner l'existence de relations d'affaires entre le demandeur et d'autres banques, passées sous silence dans la demande d'assistance judiciaire et ses annexes. Les taxations fiscales mauriciennes ne mentionnent pas non plus ce salaire, de sorte que, selon la défenderesse, leur force probante est également sujette à caution. D'après une information présente dans l'un de ses mémoires du demandeur au Tribunal des prud'hommes, ce plaideur a prélevé son capital de prévoyance professionnelle lors de son départ de Suisse pour financer l'achat d'une maison à l'Ile Maurice; toutefois, à l'appui de la demande d'assistance judiciaire, il n'a fourni aucun renseignement ni justificatif concernant le montant et l'affectation de ce capital, et on ne saurait donc exclure que ledit capital soit encore partiellement disponible.
8.
Informé de ces observations, le demandeur ne les a en aucune manière démenties ni contredites. Au regard de l'ensemble des éléments ainsi soumis à l'appréciation du Tribunal fédéral, la situation pécuniaire du demandeur se révèle douteuse. Le manque de ressources suffisant à permettre le versement des sûretés au montant de 22'000 francs, manque déterminant à teneur de l'art. 64 al. 1 LTF, n'apparaît pas établi à satisfaction de droit; cela conduit au rejet de la demande d'assistance judiciaire et à la confirmation de l'ordonnance du 7 décembre 2018 concernant les sûretés en garantie des dépens.
Par ces motifs, vu l'art. 64 al. 3 LTF, le Tribunal fédéral ordonne :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
L'ordonnance du 7 décembre 2018 concernant le versement de sûretés en garantie des dépens est confirmée; un nouveau délai sera imparti au demandeur pour le versement de ces sûretés.
3.
La présente ordonnance est communiquée aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 22 juillet 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin