Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 17. Oktober 2019 erhob der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Zürich Teilklage gegen die Beschwerdegegnerin mit dem Antrag, diese sei zur Zahlung von Fr. 5'000.-- nebst Zins und Fr. 103.30 Betreibungskosten zu verurteilen; zudem sei in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 3 der Rechtsvorschlag aufzuheben. Mit Entscheid vom 3. Dezember 2020 trat das Bezirksgericht auf die Teilklage nicht ein, soweit der Beschwerdeführer damit Ansprüche aus Immaterialgüterrecht geltend machte, und wies die Teilklage im Übrigen ab.
Der Beschwerdeführer focht den bezirksgerichtlichen Entscheid vom 3. Dezember 2020 beim Obergericht des Kantons Zürich mit Beschwerde an. Mit Beschluss vom 15. Juli 2021 trat das Obergericht auf den Eventualantrag des Beschwerdeführers, wonach die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von EUR 5'000.-- nebst Zins zu verurteilen sei, nicht ein. Mit Urteil vom gleichen Tag wies es die Beschwerde ab.
Mit Eingabe vom 13. August 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. Juli 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Mit Schreiben vom 20. September 2021 bezeichnete der Beschwerdeführer ein Zustelldomizil in der Schweiz.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (BGE 133 III 393 E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. Art. 117 BGG).
3.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 13. August 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. Juli 2021 auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Vielmehr unterbreitet er dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge und weicht dabei in unzulässiger Weise vom vorinstanzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt ab.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann