Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1981 geborene A._ war ab 1. November 2009 als Pflegefachfrau bei der Klinik B._ AG zu einem Pensum von circa 70 % angestellt. Mit Schreiben vom 8. August 2011 löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 30. November 2011 auf. Am 19. Oktober 2011 meldete sich A._ wegen einer Erschöpfungsdepression und eines Burnouts zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Mit unangefochten gebliebener Verfügung vom 12. Juni 2012 verneinte die IV-Stelle Luzern einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und auf eine Invalidenrente mangels eines invalidenversicherungsrechtlich relevanten Gesundheitsschadens.
A.b. Auf das Neuanmeldegesuch vom 18. Juni 2012 trat die IV-Stelle ein. Sie gewährte verschiedene berufliche Eingliederungsmassnahmen. Vom 12. Januar bis 10. April 2015 absolvierte die Versicherte beim Hilfswerk C._ ein Belastbarkeitstraining (Abschlussbericht vom 21. Mai 2015). Anschliessend war sie vom 11. Mai bis 9. August 2015 beim Zentrum D._ zur "Beruflichen Abklärung Büro" arbeitstätig (Abschlussbericht vom 18. August 2015). Danach war sie ab 5. Oktober bis Ende Dezember 2015 in einer Akupunkturpraxis und vom 4. April bis 30. Juni 2016 in einer dermatologischen Arztpraxis als Assistentin tätig (Berichte Jobcoaching der Gemeinschaft E._ vom 7. Januar und 23. Juni 2016). Sodann befand sich die Versicherte ab 2011 mehrere Male in stationärer und ambulanter psychiatrischer Behandlung, zuletzt in der Psychiatrischen Klinik des Spitals F._ (Austrittsbericht vom 9. November 2018). Gemäss Protokolleintrag der Berufsberatung der IV-Stelle vom 2. August 2016 konnte die Versicherte bei einer geschätzten Leistung von 20 % nicht in die Privatwirtschaft eingegliedert werden. Es könnten keine weiterführenden beruflichen Massnahmen angeboten und die medizinischen Grundlagen müssten überprüft werden. Die IV-Stelle holte unter anderem das Gutachten des Dr. med. G._, Spezialarzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 1. Oktober 2019 ein. Der Sachverständige gelangte zum Schluss, die Explorandin leide an einer kombinierten Persönlichkeitsstörung (ICD-10 F61.0) mit narzisstischen, histrionischen, ängstlichen/selbstunsicher-vermeidenden und hypochondrischen Anteilen sowie mit gegenwärtig remittierter depressiver Störung (F32.4/F33.4). Sie sei im angestammten Beruf als Pflegefachfrau seit dem Jahre 2011 mit Unterbrüchen (Aufenthalte in Kliniken) stets zu 80 % leistungsfähig gewesen, wobei die verminderte Belastbarkeit auf den Defiziten in den Bereichen Durchhalte- und Selbstbehauptungsfähigkeit beruhe. In einer diesen Einschränkungen besser angepassten Erwerbstätigkeit sei die Explorandin uneingeschränkt arbeitsfähig. In der von der Versicherten eingeholten, ins Vorbescheidverfahren eingebrachten Stellungnahme vom 16. April 2020 hielt der behandelnde Dr. med. H._, Arzt für Neurologie, Psychiatrie und Psychotherapie, fest, die Expertise des Dr. med. G._ sei nicht lege artis erstellt worden und daher nicht beweiskräftig. Mit Verfügung vom 13. Mai 2020 eröffnete die IV-Stelle der Versicherten, sie habe keinen Anspruch auf eine Invalidenrente. Die diagnostizierte Persönlichkeitsstörung habe nur geringen Einfluss auf die Tätigkeit als Krankenschwester (Leistungsfähigkeit von 80 % bei voller Präsenz). Die für einen Rentenanspruch erforderliche einjährige Wartezeit mit einer durchschnittlichen Arbeitsunfähigkeit von 40 % sei nicht gegeben.
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 14. Dezember 2020 ab, soweit darauf einzutreten war.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sei ihr mindestens eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Zudem sei festzustellen, dass der Gutachter Dr. med. G._ den Neutralitätsanforderungen gemäss Art. 44 ATSG nicht genüge. Ihr seien sämtliche medizinischen Berichtskosten des Dr. med. H._ von der IV-Stelle zu erstatten. Ferner wird um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie die Ablehnung eines Rentenanspruchs durch die IV-Stelle bestätigt hat.
Die Vorinstanz hat die zur Beurteilung dieser Frage zu beachtenden Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Richtig sind auch ihre Erwägungen zum Beweiswert medizinischer Unterlagen. Darauf wird verwiesen Zu ergänzen ist, dass den im Rahmen des Verwaltungsverfahrens eingeholten Gutachten von externen Spezialärzten, welche aufgrund eingehender Beobachtungen und Untersuchungen sowie nach Einsicht in die Akten Bericht erstatten und bei der Erörterung der Befunde zu schlüssigen Ergebnissen gelangen, bei der Beweiswürdigung volle Beweiskraft zuzuerkennen ist, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE 125 V 351 E. 3b/bb).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin bringt zunächst vor, das kantonale Gericht habe Art. 44 Satz 1 in Verbindung mit Art. 42 ATSG verletzt, weil es ihr nicht die Gelegenheit eingeräumt habe, nachzuweisen, dass der psychiatrische Gutachter Dr. med. G._ nicht neutral gewesen sei (mit Hinweis auf BGE 144 I 170). Sie mache nachträglich einen Ausstandsgrund im Sinne von Art. 44 Satz 2 ATSG geltend. Die IV-Stelle habe darüber Auskunft zu geben, in wie vielen Fällen Dr. med. G._ Expertisen abgeliefert habe, dies mit statistischer Übersicht und mit dem Recht auf Einsicht in dessen anonymisierte medizinische Beurteilungen der Arbeitsfähigkeit. Generell sei zu sagen, dass Dr. med. G._ stets nach demselben Muster verfahre. Er erfasse zwar teilweise die schwerwiegenden psychischen Leiden und deren Auswirkungen richtig, komme indessen bei der Beurteilung des Grades der Arbeitsfähigkeit immer zu einem Ergebnis, das einen Anspruch auf Invalidenrente ausschliesse. Damit agiere der Sachverständige ergebnisorientiert und daher nicht unabhängig.
3.2. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, die Beschwerdeführerin sei sinngemäss der Ansicht, aufgrund des Minimalstandards gemäss Art. 1 des Bundesgesetzes über das Öffentlichkeitsprinzip der Verwaltung (BGÖ; SR 152.3) habe sie einen rechtlichen Anspruch auf Herausgabe der geforderten statistischen Resultate. Indessen habe der Bundesgesetzgeber die IV-Stellen nicht einheitlich dem BGÖ unterstellen wollen, weshalb gemäss BGE 144 I 170 E. 5.4 (unveröffentlicht) insoweit das kantonale Recht massgebend sei. Im Kanton Luzern bestehe kein Öffentlichkeitsprinzip der Verwaltung, was das Kantonsgericht Luzern mehrere Male bestätigt habe. Damit sei der Editionsantrag abzuweisen. Darin sei keine Beweisvereitelung oder Rechtsverweigerung zu erblicken. Schliesslich substanziiere die Beschwerdeführerin nicht, inwieweit Dr. med. G._ die erhobenen medizinischen Befunde ergebnisorientiert beurteilt habe. Damit sei ein schutzwürdiges Feststellungsinteresse, das nicht mit einem Leistungs- oder Gestaltungsentscheid gewahrt werden könne, nicht begründet (unter anderem mit Hinweis auf BGE 126 II 300 E. 2c). Mit der Beurteilung des Begehrens um Aufhebung der Verfügung vom 13. Mai 2020 würden die Interessen der Beschwerdeführerin vollumfänglich gewahrt. Daher sei auf den Antrag, es sei festzustellen, dass Dr. med. G._ kein unabhängiger psychiatrischer Gutachter sei, nicht einzutreten. Vielmehr sei zu prüfen, ob dessen Expertise dazu dienen könne, die Arbeitsfähigkeit zu beurteilen.
3.3. Den vorinstanzlichen Erwägungen ist im Ergebnis beizupflichten. Ihnen ist lediglich anzufügen, dass die Beschwerdeführerin nicht ansatzweise darlegt, weshalb die Praxis gemäss BGE 144 I 170 bundesrechtswidrig und daher abgeändert werden sollte (vgl. zu den Voraussetzungen einer Praxisänderung BGE 133 V 37 E. 5.3.3. mit Hinweisen). Ihr Hinweis, Art. 8 BV (Rechtsgleichheit) werde verletzt, weil die versicherten Personen je nach Kanton Anspruch auf ein Einsichtsrecht in die Verwaltungsakten der jeweiligen IV-Stellen hätten und daher ungleich behandelt würden, trifft den entscheidenden Punkt nicht. Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, hat sich der Bundesgesetzgeber für die beanstandete Lösung entschieden, die das Bundesgericht gemäss Art. 190 BV nicht in Frage stellen darf. Insgesamt ist die Vorinstanz zu Recht auf das in der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wiederholte Feststellungsbegehren der Beschwerdeführerin nicht eingetreten. Insoweit ist die Beschwerde abzuweisen.
Dem ist am Rande anzufügen, dass die Beschwerdeführerin sinngemäss eine Herausgabepflicht der verlangten Daten zur Expertentätigkeit des Dr. med. G._ gestützt auf Art. 44 ATSG herzuleiten scheint. Eine ausreichende (bundes-) gesetzliche Grundlage für das anvisierte Ziel lässt sich dieser Bestimmung jedoch nicht entnehmen. Daran ändert nichts, dass zufolge der vom Bundesgesetzgeber mit der Schaffung des BGÖ in Kauf genommenen unterschiedlichen Ausgestaltung des jeweiligen kantonalen Rechts die versicherten Personen unter Umständen nicht gleichgestellt sein mögen.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat nach einlässlicher Darstellung der medizinischen Unterlagen erkannt, zur Beurteilung des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit sei auf das in allen Teilen beweiskräftige psychiatrische Gutachten des Dr. med. G._ abzustellen. Er lege in Übereinstimmung mit dem Austrittsbericht des Spitals F._ vom 9. November 2018 dar, dass keine depressive, sondern eine Persönlichkeitsstörung vorliege. Es könne entgegen der Auffassung des Dr. med. H._ nicht gesagt werden, die Symptomatik sei erst im 30. Lebensjahr aufgetreten und die Diagnostik daher nicht überzeuge. Die Beschwerdeführerin habe gegenüber Dr. med. G._ erwähnt, sie sei ein übervorsichtiges und schüchternes Kind gewesen, das leicht kränkbar gewesen sei. Gemäss Austrittsbericht der Tagesklinik I._ vom 17. Juli 2014 sei sie sehr stolz darauf, dass sie die Ausbildung zur Krankenschwester auf Druck der Mutter nicht abgebrochen und erfolgreich abgeschlossen habe. Eine erste stationäre psychosomatische Behandlung habe sie 2001/2002 wegen einer Essstörung nach einem Schwangerschaftsabbruch beansprucht. All diese Hinweise seien in Zusammenhang mit der ängstlich-vermeidenden und unsicheren Persönlichkeitsstruktur zu sehen. Daher sei die Schlussfolgerung des Dr. med. G._, die geltend gemachten depressiven Symptome seien Ausdruck der diagnostizierten Persönlichkeitsstörung, nachvollziehbar.
Weiter hat das kantonale Gericht erwogen, Dr. med. G._ habe plausibel begründet, weshalb die Beschwerdeführerin retrospektiv betrachtet für die Zeit ab Mai 2011 in der angestammten Tätigkeit bei ganztägiger Anwesenheit zu 80 % arbeitsfähig gewesen sei. Die hiezu in Widerspruch stehenden echtzeitlichen Einschätzungen seien unter anderem wegen jeweils fehlender objektivierbarer psychopathologischer Befunde nicht nachvollziehbar. Sie stützten sich fast vollständig auf die Selbsteinschätzung der Beschwerdeführerin. Soweit Dr. med. H._ in der Stellungnahme vom 16. April 2020 eine anderslautende Auffassung vertrete, könne dieser kein Beweiswert zuerkannt werden. Zunächst habe auch er eine Arbeitsfähigkeit von 80 % für vertretbar gehalten (Bericht vom 24. Juli 2013). Später, nach den Behandlungen in den Kliniken J._, Tagesklinik der Psychiatrie, sowie K._, habe er sich ausser Stande gesehen, vom Schreibtisch aus die Arbeitsfähigkeit einzuschätzen. Immerhin habe er eine geeignete berufliche Wiedereingliederung als stabilitätsfördernd angesehen (Bericht vom 29. Juni 2015). Nachdem verschiedene Wiedereingliederungsversuche erfolglos geblieben seien, habe er vorgeschlagen, der Beschwerdeführerin für die Dauer von zwei Jahren eine Rente zuzusprechen, damit für diese Zeit der Druck herausgenommen werde, um sich persönlich und beruflich neu orientieren zu können (Bericht vom 22. August 2016). Im Bericht vom 12. Juli 2017 habe Dr. med. H._ die Frage aufgeworfen, ob in der Innerschweiz für die berufliche Reintegration der Beschwerdeführerin überhaupt geeignete Möglichkeiten bestünden. Diese Äusserungen zeigten, dass Dr. med. H._ auch krankheitsfremde Faktoren (Migration, Abstinenz vom Arbeitsmarkt, Lage des Arbeitsmarktes, persönliche Berufswünsche) berücksichtige, die zwar die Motivation der Beschwerdeführerin beeinträchtigen könnten, sich in den Arbeitsmarkt einzugliedern, die in die medizinisch-theoretische Einschätzung der Arbeitsfähigkeit jedoch nicht einfliessen dürften, wie Dr. med. G._ zutreffend festgehalten habe.
Weiter hat das kantonale Gericht erkannt, die Auskünfte der Fachleute, welche die beruflichen Eingliederungsmassnahmen durchgeführt hätten, sprächen ebenfalls nicht gegen die von Dr. med. G._ retrospektiv ab Mai 2011 eingeschätzte Arbeitsfähigkeit. Aus den jeweiligen Abschlussberichten gehe hervor, dass sie sich darum bemüht hätten, der Beschwerdeführerin diejenigen Voraussetzungen zu bieten, die sie selber für eine Eingliederung in den Arbeitsmarkt als optimal betrachtet habe. Mit dem Umstand, dass diese die jeweils vereinbarten Ziele in Bezug auf die Arbeitsleistung nicht habe erreichen können, habe sich Dr. med. G._ ebenfalls auseinandergesetzt. Zu der sich stellenden Frage, inwieweit die Entwicklung des Gesundheitszustands mit den Eingliederungsschwierigkeiten (subjektive geäusserte Beschwerden wie Schlafstörungen, innere Unruhe, Lärmempfindlichkeit, Reizüberflutung, Konzentrationsstörungen, Erschöpfung) in Zusammenhang stehe, seien die Auskünfte der an den beruflichen Eingliederungsmassnahmen beteiligten Fachpersonen aus psychiatrischer Sicht zu wenig präzise. Sie beruhten im Wesentlichen auf den Angaben der Beschwerdeführerin.
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt im Wesentlichen vor, Dr. med. G._ habe den psychologischen Test gemäss der Montgomery and Asberg Depression Rating Scale (MADRS) zwar durchgeführt, dessen Ergebnisse indessen falsch festgehalten und willkürlich bewertet. Das kantonale Gericht sei auf diesen Einwand in Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht eingegangen. Dr. med. G._ habe die einzelnen Positionen zur Beurteilung des Schweregrades der depressiven Störung ohne Berücksichtigung der anderslautenden, namentlich während mehrerer stationärer Aufenthalte erhobenen klinischen Befunde bewertet. Aus den medizinischen Akten ergebe sich, dass sie seit Jahren an Traurigkeit, Schlafstörungen, Appetitverlust und Beeinträchtigung der Konzentrationsfähigkeit leide und deswegen immer wieder erheblich in der Arbeitsfähigkeit eingeschränkt gewesen sei. Der psychiatrische Experte habe bei der Bewertung des MADRS-Tests sowohl die medizinische Anamnese wie auch die Angaben der Beschwerdeführerin anlässlich des Untersuchungsgesprächs übergangen. Daher sei seine retrospektive Beurteilung der Arbeitsfähigkeit entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht aussagekräftig.
4.3. Diesen Vorbringen kann nicht beigepflichtet werden. Bei dem testpsychologischen Verfahren nach der MADRS handelt es sich, wie Dr. med. G._ mit Hinweisen auf die medizinische Literatur festgehalten hat, um ein allgemein anerkanntes Fremdbeurteilungsverfahren zur psychometrischen Einschätzung depressiver Symptome. Damit allein könne eine depressive Episode gemäss ICD-10 F32/F33 nicht begründet werden. Die Vorinstanz ist daher auf die geltend gemachte Selbsteinschätzung der Beschwerdeführerin, sie sei aufgrund der Traurigkeit, der Schlaflosigkeit, des Appetitverlusts und der Konzentrationsschwierigkeiten schwerwiegend eingeschränkt gewesen, zu Recht nicht näher eingegangen. Dem ist zur Verdeutlichung anzufügen, dass Dr. med. H._ in der von der Beschwerdeführerin eingeholten Stellungnahme vom 16. April 2020 festgehalten hat, aus psychometrischen Tests ergäben sich in der Regel keine objektiven Daten, da sie in vielen Bereichen auf Selbstauskünften oder auf Einschätzungen des Untersuchers beruhten. Insoweit sei der Test nur in sich selber wirklich konsistent. Dessen Ergebnis diene allenfalls unterstützend bei der Beurteilung der gesamten klinisch erhobenen Befunde, weshalb es im Rahmen einer psychiatrischen Begutachtung allenfalls einen Randfaktor darstellen könne. Keinesfalls dürfe sich die Gesamtbeurteilung in den wesentlichen Aspekten darauf stützen. Der ins Zentrum gestellten Argumentation der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz hätte näher auf die testpsychologische Beurteilung des Dr. med. G._ (MADRS) eingehen sollen, ist damit der Boden entzogen. Eine offensichtlich unrichtige oder willkürliche Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts ist nicht ersichtlich. Die Beschwerde ist damit auch in diesem Punkt bezüglich der beanstandeten Sachverhaltsfeststellung abzuweisen.
4.4.
4.4.1. Abschliessend hat das kantonale Gericht erkannt, die Prüfung der Standardindikatoren gemäss BGE 141 V 281 E. 4.1.3 führe aus rechtlicher Sicht zu keinem vom Gutachten des Dr. med. G._ abweichenden Ergebnis. Das Krankheitsgeschehen könne nicht als besonders schwerwiegend bezeichnet werden. Abgesehen von der Persönlichkeitsstörung bestehe keine andere psychische oder körperliche Erkrankung. Dr. med. G._ sei zum Schluss gelangt, dass die Beschwerdeführerin allfällige Defizite zu bewältigen vermöge. Sie sei zwar mehrfach ambulant und stationär in psychiatrischen Kliniken behandelt worden, indessen habe sich jeweils der Gesundheitszustand deutlich gebessert. So habe der zweite Aufenthalt in der Klinik F._ zu einer weitgehenden Genesung der rezidivierenden depressiven Störung geführt. Diese Erfolge sprächen gegen einen therapeutisch nicht mehr behandelbaren chronischen Gesundheitszustand. In diesem Zusammenhang sei nachvollziehbar, wenn Dr. med. G._ den Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin insgesamt als stets stabil geblieben bezeichnet habe. Ressourcenhemmend sei zwar zu berücksichtigen, dass die beruflichen Eingliederungsmassnahmen erfolglos geblieben seien. Indessen falle das hohe Aktivitätsniveau der Beschwerdeführerin auf. Nach ihren Angaben sei sie sportlich aktiv, sie gehe laufen und besuche zwei- bis dreimal pro Woche ein Fitness-Studio oder gehe im See schwimmen. Sie kaufe die Lebensmittel ein, koche für sich etwas Schönes und besorge den Haushalt auch im Übrigen ohne Hilfe. Sie treffe sich mit dem ehemaligen Freund sowie mit Verwandten im Ausland. Das kantonale Gericht ist zum Schluss gelangt, dass gestützt auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. G._ vom 1. Oktober 2019 die Standardindikatoren gemäss BGE 141 V 281 zuverlässig beurteilt werden könnten. Aus rechtlicher Sicht sei keine dauernde Arbeitsunfähigkeit von mindestens 40 % auszumachen.
4.4.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie bleibe meistens den ganzen Tag zu Hause, sie könne sich nur selten aufraffen, etwas zu unternehmen oder mit anderen Personen in Kontakt zu treten. Sie sei sehr geräuschempfindlich, weshalb sie es meide, zu Hauptverkehrszeiten aus dem Haus zu gehen. Sie müsse Reizüberflutung vermeiden. Sie leide an Versagensängsten und starker Hoffnungslosigkeit, was sich in den echtzeitlichen Arztberichten widerspiegle. Die Behauptung des kantonalen Gerichts, sie verfüge über genügend Ressourcen, entspreche nicht den Tatsachen.
4.4.3. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin stützen sich auf keine Aktenstücke, welche die der vorinstanzlichen Beurteilung der Standardindikatoren zugrunde zu legenden tatsächlichen Umstände in Frage stellen könnten. Sie benennt denn auch als Beweis einzig, sie sei als Auskunftsperson anzuhören. Das Urteil des kantonalen Gerichts ist daher auch in diesem Punkt zu bestätigen.
5.
5.1. Zu prüfen ist schliesslich das Rechtsbegehren, die IV-Stelle habe der Beschwerdeführerin sämtliche Berichtkosten des Dr. med. H._ zu erstatten.
5.2. Das kantonale Gericht hat dazu erwogen, gemäss Art. 45 Abs. 1 ATSG übernehme der Versicherungsträger die Kosten der Abklärung, soweit er die Massnahmen angeordnet habe. Habe er keine Massnahmen angeordnet, so übernehme er deren Kosten dennoch, wenn die Massnahmen für die Beurteilung des Anspruchs unerlässlich gewesen seien oder Bestandteil nachträglich zugesprochener Leistungen gebildet hätten. Der Bericht des Dr. med. H._ vom 16. April 2020 sei für die gerichtliche Beurteilung nicht notwendig gewesen, wie die vorstehenden Erwägungen zeigten. Das Gericht habe die Streitsache aufgrund des von der IV-Stelle eingeholten psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. G._ vom 1. Oktober 2019 ohne den zusätzlichen Bericht beurteilen können. Die Voraussetzungen für die Übernahme der Kosten durch die Verwaltung seien damit nicht erfüllt (mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur).
5.3. Was die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf BGE 139 V 496 E. 4.4 vorbringt, ist nicht stichhaltig. Das Bundesgericht hat in diesem Urteil Kriterien zur Beurteilung der Frage aufgestellt, ob die Kosten eines im kantonalen Verfahren angeordneten Gerichtsgutachtens zu Lasten der Verwaltung gehen. Der zitierte BGE ist offensichtlich hier nicht einschlägig. Im Übrigen kann dazu auf die zutreffenden vorinstanzlichen Ausführungen verwiesen werden. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt abzuweisen.
6.
Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist stattzugeben, da die Bedürftigkeit aktenkundig, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Verbeiständung durch einen Anwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1-3 BGG). Sie wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen; danach hat sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Marco Unternährer wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. August 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Grunder