Faits :
A.
Le 23 avril 2008, B._ a reconnu, de manière anticipée, être le père de l'enfant C._, né en 2008.
Le 25 septembre 2008, les parents ont passé une convention, ratifiée le 5 novembre suivant par la Chambre pupillaire de Monthey (ci- après : la chambre pupillaire), qui prévoyait l'autorité parentale conjointe et, en cas de séparation, l'attribution du droit de garde à la mère, A._, sous réserve d'un droit de visite en faveur du père, l'autorité parentale conjointe étant maintenue.
B.
Le 1 er avril 2009, la chambre pupillaire, approuvant une nouvelle convention, a indiqué que les parents de l'enfant avaient " souhaité que l'autorité parentale soit uniquement attribuée à la mère ".
Le couple s'est séparé en août 2010.
Par avenant du 2 février 2011, la chambre pupillaire a complété la décision du 1 er avril 2009, en spécifiant que " l'autorité parentale sur l'enfant " était attribuée à la mère.
Dans l'intervalle, soit le 20 octobre 2010, à la suite d'un courrier du pédiatre de C._, elle avait demandé à l'Office cantonal pour la protection de l'enfant (ci-après : OPE) d'effectuer une enquête sur " l'environnement de l'enfant ". Au terme de cette évaluation, l'instauration d'une mesure de curatelle de gestion des relations personnelles et un élargissement du droit de visite du père ont été proposés.
Le 7 septembre 2011, la chambre pupillaire a ordonné une curatelle au sens de l'art. 308 al. 2 CC, l'OPE étant chargé d'assurer le mandat de curateur éducatif, mesure qu'elle a toutefois levée le 9 mai 2012.
C.
Par écriture du 5 novembre 2013, B._ a demandé que le droit de garde soit retiré à la mère et confié à l'OPE. Dans sa réponse, A._ a conclu principalement à la suspension du droit de visite du prénommé.
Le 4 juillet 2014, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte de la Commune de Monthey (ci-après : l'APEA) a instauré une curatelle de surveillance des relations personnelles (art. 308 al. 2 CC), l'OPE étant chargé du suivi de cette mesure.
D.
Le 28 novembre 2014, B._ a requis l'institution de l'autorité parentale conjointe. A._ s'y est opposée, motif pris que " l'entente minimale nécessaire entre les parents [était] loin d'être atteinte ".
Le 4 février 2015, l'APEA a désigné un curateur chargé de représenter l'enfant " dans le conflit opposant ses parents, plus particulièrement sur les questions de l'attribution de l'autorité parentale et des relations personnelles [...], et de sauvegarder au mieux ses intérêts ". Elle a aussi enjoint les parties de " procéder à une médiation, [...] avec pour objectifs de restaurer le lien de confiance entre eux et faciliter l'organisation du droit de visite ".
Par décision du 18 mai 2016, l'APEA a notamment institué l'autorité parentale conjointe, tout en réservant à la mère le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (ch. 1). Elle a en outre ordonné la mise en oeuvre d'une expertise pédopsychiatrique (ch. 7) visant, d'une part, à évaluer les compétences parentales des parents, la nature des liens mère-fils et père-fils et leur incidence sur le développement de l'enfant et la façon dont ces liens pourraient être cadrés au besoin, afin de favoriser le bien-être et le bon développement de ce dernier et, d'autre part, à déterminer comment favoriser les relations père-fils ainsi que la reprise des droits de visite et à vérifier si l'enfant ne fait pas l'objet d'une manipulation par sa mère, visant à fausser sa vision de la situation, plus particulièrement vis-à-vis de son père, ou si lui-même ne manipule pas ses parents (ch. 7). Elle a par ailleurs privé d'effet suspensif un éventuel recours (ch. 11).
Le 20 juin 2016, A._ a interjeté un recours portant sur les chiffres 1 et 7 de cette décision.
Le 16 janvier 2017, elle a sollicité, en application de l'art. 51 CPC, l'annulation pure et simple de tous les actes liés à la procédure auxquels avait participé le Président de l'APEA, motif pris que B._ serait son " ami " sur Facebook.
Statuant le 14 juillet 2017, le Juge unique de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté la requête du 16 janvier 2017 fondée sur l'art. 51 al. 1 CPC ainsi que le recours du 20 juin 2016 dans la mesure où il n'était pas sans objet, sous suite de frais et dépens.
E.
Par écriture du 14 septembre 2017, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut au maintien de l'attribution en sa faveur de l'autorité parentale et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité de protection pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle demande en outre que sa requête de récusation soit admise et que, partant, les décisions de l'APEA du 18 mai 2016 et du Tribunal cantonal du 14 juillet 2017 soient annulées et que la cause soit renvoyée à l'autorité de première instance pour nouvelle décision.
Des réponses n'ont pas été requises.
F.
La IIe Cour de droit civil a mis en oeuvre une procédure de coordination de la jurisprudence en application de l'art. 23 al. 2 LTF s'agissant de la portée, en matière de récusation, d'un lien d'amitié sur le réseau social Facebook (cf. infra, consid. 4.7).
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) sur l'autorité parentale sur un enfant né hors mariage ainsi que sur une demande de récusation, soit une décision prise en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; arrêts 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 1; 5A_34/2017 du 4 mai 2017 consid. 1; 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 1; 5A_455/2016 du 12 avril 2017 consid. 1). Comme les questions soumises au Tribunal fédéral sont de nature non pécuniaire, le recours est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5A_304/2016 du 13 juin 2016 consid. 1). Déposé par ailleurs en temps utile compte tenu des féries d'été (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), le recours est en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 140 III 86 consid. 2; 137 III 580 consid. 1.3; 135 III 397 consid. 1.4). L'art. 42 al. 2 LTF exige par ailleurs que le recourant discute les motifs de la décision entreprise et indique précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 140 III 86 précité). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 139 I 229 consid. 2.2; 137 II 305 consid. 3.3; 135 III 232 consid. 1.2, 397 consid. 1.4 in fine), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF 141 I 36 consid. 1.3; 135 III 232 précité; 133 II 249 consid. 1.4.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 140 III 115 consid. 2; 137 I 58 consid. 4.1.2), ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF) doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra, consid. 2.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les références). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsque le juge s'est manifestement mépris sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée, ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les références).
2.3. Lorsque le juge cantonal dispose d'un pouvoir d'appréciation (art. 4 CC), le Tribunal fédéral ne revoit en principe qu'avec réserve sa décision prise en équité. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une inéquité choquante (ATF 135 III 121 consid. 2; 133 III 201 consid. 5.4).
3.
3.1. La recourante demande que l'état de fait soit complété selon " l'art. 105 al. 2 LTF ", en ce sens que " le père a refusé la médiation décidée par l'autorité de première instance le 4 février 2015". A titre de motivation, elle affirme que la décision de première instance mentionnait un rapport du 30 juillet 2015 dont il découlait " que le médiateur mandaté pour restaurer le lien de confiance entre les deux parents et faciliter l'organisation du droit de visite " n'avait " pas pu atteindre l'objectif visé car la mère seule était présente ", le père n'ayant pas " répondu à ses invitations " " malgré les arrangements de planning [...] consentis pour favoriser une rencontre ".
3.2. Une telle critique tombe à faux. Le fait allégué ressort en substance de la décision du Juge unique, qui rapporte les explications de l'intervenante en protection de l'enfant selon lesquelles " la situation était bloquée parce que le papa se battait pour son droit de visite, tout en refusant les propositions faites (médiation, suivi thérapeutique familial, reprise progressive du droit de visite [...]) " et qui fait état du constat du médiateur dans son résumé des griefs de la recourante.
Autre est la question de savoir si, s'agissant de l'autorité parentale conjointe, l'autorité cantonale a correctement tenu compte de cet élément dans son appréciation de la situation (cf. infra, consid. 5).
4.
La recourante s'en prend au rejet de sa requête du 16 janvier 2017 qui tendait à l'annulation des actes du président de l'autorité de protection. A son avis, le fait que ce dernier était " ami sur Facebook " avec le père de l'enfant fondait une apparence de prévention qui aurait dû conduire le président à sa récusation et, partant, justifiait que la décision du 16 mai 2016 de l'APEA soit annulée. Elle se réfère pour l'essentiel aux principes déduits de l'art. 30 Cst. et invoque le motif de récusation prévu à l'art. 47 al. 1 let. f CPC.
4.1. Le Juge unique a fondé sa décision sur les art. 51 al. 1 CPC - " applicable par analogie en vertu des art. 314 al. 1 et 450f CC " - et 47 al. 1 let. f CPC. Il a retenu que la manière dont le président de l'APEA était devenu " ami " avec le père de l'enfant sur le réseau social Facebook n'était pas établie. Le premier avait déclaré n'avoir pas su qu'il s'agissait de ce justiciable et avoir pensé par erreur qu'il répondait à l'invitation de l'un de ses anciens employés du domaine de la sécurité également prénommé B._. Le second avait quant à lui spécifié n'entretenir aucun lien d'amitié ou d'inimitié avec le président, ne l'avoir connu que dans le cadre de la procédure judiciaire et n'avoir jamais demandé à devenir son " ami " sur Facebook, ne s'être rendu compte de sa présence dans la liste de ses contacts qu'en décembre 2016 et l'avoir rapidement supprimé de cette liste.
L'autorité cantonale a considéré que les explications données par les intéressés étaient crédibles. Elle ne voyait pas pour quel motif le président de l'APEA aurait menti en déclarant qu'il pensait répondre à la requête d'un ancien employé prénommé B._. Il ne ressortait par ailleurs d'aucune pièce au dossier que les personnes concernées auraient entretenu un quelconque lien d'amitié. Dans sa requête, la mère avait elle-même admis qu'il n'existait aucun motif particulier permettant de penser que le président et le père de l'enfant auraient été liés pour des raisons professionnelles ou associatives.
De plus, la demande de contact n'avait été acceptée qu'en juillet 2016, soit cinq mois après la dernière séance de l'APEA et deux mois après la notification de la décision entreprise. Il n'existait aucun acte au dossier établissant l'existence entre les intéressés, avant ou au moment du prononcé attaqué, de liens d'amitié constituant un motif de récusation au sens de l'art. 47 al. 1 let. f CPC. La mère ne l'avait par ailleurs jamais prétendu.
4.2. En matière de protection de l'enfant, les dispositions relatives à la procédure devant l'autorité de protection de l'adulte sont applicables par analogie (art. 314 al. 1 CC). En tant qu'il ne contient pas de règles particulières, ce qui est le cas pour la récusation (arrêt 5A_485/2015 du 2 octobre 2015 consid. 2.3.1 et les références), le droit fédéral attribue aux cantons la compétence de régir la procédure dans ce domaine. Si les cantons n'en disposent pas autrement, les normes de la procédure civile s'appliquent par analogie (art. 450f CC); celles-ci étant applicables à titre de droit cantonal supplétif (cf. ATF 140 III 167 consid. 2.3 [art. 122 al. 2 CPC]; arrêts 5A_485/2015 du 2 octobre 2015 consid. 2.3.1; 5A_254/2014 du 5 septembre 2014 consid. 2.1 et les exemples donnés), le Tribunal fédéral ne peut intervenir que si l'autorité précédente a versé dans l'arbitraire ou enfreint d'autres droits constitutionnels, et autant qu'un tel grief a été invoqué et régulièrement motivé (cf. supra, consid. 2.1; ATF 139 III 225 consid. 2.3; 138 I 232 consid. 2.4 et les arrêts cités).
Selon l'art. 117 al. 1 de la loi valaisanne d'application du code civil suisse du 24 mars 1998 (LACC/VS; RS/VS 211.1), devant l'autorité de protection de l'enfant, la procédure est régie par les articles 443 ss CC, applicables par analogie; sous réserve d'exceptions qui n'entrent pas en considération dans le cas présent, les dispositions du code de procédure civile s'appliquent par analogie (art. 118 LACC/VS). En conséquence, l'autorité cantonale a appliqué les règles du CPC sur la récusation à titre de droit cantonal supplétif.
En l'espèce, la recourante ne se plaint toutefois pas de la violation arbitraire des art. 51 al. 1 et 47 al. 1 let. f CPC, mais des principes découlant de l'art. 30 al. 1 Cst., dont la Cour de céans peut revoir librement l'application.
4.3. La garantie d'un juge indépendant et impartial telle qu'elle résulte des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure (en l'occurrence l'art. 47 CPC), de demander la récusation d'un magistrat dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation uniquement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de la part du juge ne peut être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat; cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en considération, les impressions purement individuelles n'étant pas décisives (parmi plusieurs : ATF 142 III 732 consid. 4.2.2; 142 III 521 consid. 3.1.1; 140 III 221 consid. 4.1; 139 III 120 consid. 3.2.1, 433 consid. 2.1.2; 139 I 121 consid. 5.1; 138 I 1 consid. 2.2; 138 IV 142 consid. 2.1).
De jurisprudence constante, des liens d'amitié ou une inimitié peuvent créer une apparence objective de partialité à condition qu'ils soient d'une certaine intensité (ATF 139 I 121 consid. 5.1 et les références; 138 I 1 consid. 2.4). En revanche, des rapports de voisinage, des études ou des obligations militaires communes ou des contacts réguliers dans un cadre professionnel ne suffisent en principe pas (arrêt 9C_366/2013 du 2 décembre 2013 consid. 5.2.1 et les références). Plus généralement, pour être à même de trancher un différend avec impartialité, un juge ne doit pas se trouver dans la sphère d'influence des parties (ATF 139 I 121 consid. 5.1; arrêts 5A_283/2014 du 3 septembre 2014 consid. 4; 5A_756/2008 du 9 septembre 2009 consid. 2.1 et les références).
4.4. La recourante conteste la pertinence, dans le cas particulier, de la jurisprudence publiée aux ATF 138 I 1 consid. 2.4, selon laquelle une relation d'amitié ou d'inimitié entre un juge et un avocat ne peut constituer un motif de récusation que s'il existe un lien qui, par son intensité et sa qualité, est de nature à faire craindre objectivement que le juge soit influencé dans la conduite de la procédure et dans sa décision. Elle soutient que de telles exigences ne peuvent être posées lorsqu'il s'agit, comme en l'espèce, d'une relation entre un juge et une partie, lesquels " n'ont a priori pas de formation similaire et que très peu de chances d'avoir été collègues ".
Sous peine de compromettre le fonctionnement normal des tribunaux (cf. arrêt 2P.133/1997 du 17 décembre 1997 consid. 5b), on ne saurait la suivre dans cette argumentation qui tendrait à admettre que le moindre lien entre un juge et une partie suffirait à fonder une apparence de prévention et conduire à la récusation du magistrat concerné. Certes, une relation personnelle avec une partie est moins courante et pourrait susciter plus rapidement des doutes quant à l'impartialité du juge (dans ce sens : STEPHAN WULLSCHLEGER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), 3 e éd., 2016, n o 31 ad art. 47 CPC). Il n'en demeure pas moins que le lien doit, par son intensité et sa qualité, être de nature à faire craindre objectivement qu'il influence le juge dans la conduite de la procédure et dans sa décision (cf. ATF 139 I 121 consid. 5.1; 138 I 1 consid. 2.4; 136 II 383 consid. 4.3; 117 Ia 170 consid. 3b; 116 Ia 135 consid. 3c; arrêts 5A_756/2008 du 9 septembre 2009 consid. 2.1 et les références; 1B_199/2012 du 13 juillet 2012 consid. 5.1 et les citations; 5A_109/2012 du 3 mai 2012 consid. 3.2.2). Les juges ne peuvent en effet être soustraits à toute réalité sociale; ils sont intégrés à la société et y participent, nouant inévitablement des contacts affectifs, familiaux, commerciaux et culturels. L'aptitude des juges, même laïcs, à se prononcer de manière impartiale et indépendante ne saurait être mise en doute par principe; ils sont en mesure de se placer constamment au-dessus des parties et de forger leur propre opinion au sujet de la cause déférée au tribunal (arrêt 1P.314/2001 du 2 juillet 2001 consid. 2d). Elle ne fait défaut que lorsqu'ils se trouvent dans la sphère d'influence des parties (cf. arrêt 5A_756/2008 du 9 septembre 2009 consid. 2.1 et les références).
S'agissant plus particulièrement des liens d'amitié, ils doivent impliquer une certaine proximité allant au-delà du simple fait de se connaître (Bekanntschaft) ou de se tutoyer (Duzverhältnis) (sur la notion d'amitié dans le CPC : DAVID RÜETSCHI, in Berner Kommentar, 2012, n o 52 ad art. 47 CPC; MARC WEBER, in Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3 e éd., 2017, n o 35 ad art. 47 CPC).
Au demeurant, l'argument de la recourante selon lequel le principe posé dans la jurisprudence publiée aux ATF 138 I 1 consid. 2.4 ne vaudrait pas lorsqu'il s'agit d'une relation d'amitié entre un juge et une partie parce que ces derniers " n'ont a priori pas de formation similaireet que très peu de chances d'avoir été collègues " tombe complètement à faux dans le cas présent. En Valais, l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte est en effet une autorité communale, indépendante de l'administration (art. 13 LACC/VS), composée de membres choisis en veillant à l'exigence de l'interdisciplinarité (art. 440 CC), mais qui ne sont pas forcément au bénéfice d'un titre universitaire en droit, cette condition n'étant requise que pour le greffier qui assiste obligatoirement cette autorité (art. 14 al. 3 LACC/VS). Contrairement à ce que prétend la recourante, il n'est donc pas exclu qu'un membre de l'autorité de protection et une partie puissent avoir suivi la même formation professionnelle, avoir été collègues à un certain stade de leur carrière ou pratiquer les mêmes loisirs, autant de circonstances banales qui ne font pas naître en elle-mêmes une apparence de prévention (cf. ATF 138 I 1 consid. 2.4).
4.5. La présente cause est particulière en ce sens que la relation d'amitié dont se prévaut la recourante consiste dans le fait que le président de l'autorité de protection était " ami sur Facebook " avec le père de l'enfant.
Le terme d' " ami " employé pour désigner les personnes qui acceptent d'entrer en contact sur Facebook ne renvoie pas à des relations d'amitié au sens traditionnel tel que l'entend la jurisprudence susmentionnée. Il ne suppose pas forcément un sentiment réciproque d'affection et de sympathie ou une connaissance intime qui implique une certaine proximité allant au-delà du simple fait de connaître quelqu'un ou de le tutoyer (cf. les auteurs cités supra, consid. 4.4; cf. également : arrêt du Tribunal cantonal neuchâtelois du 29 mars 2016 in RJN 2016 p. 76, consid. 5b, qui considère que l'amitié sur Facebook s'entend dans un sens bien plus large). Il atteste uniquement de l'existence de contacts entre des personnes qui partagent les mêmes centres d'intérêt. S'il peut désigner des proches avec qui l'on entretient régulièrement des relations dans la vie réelle, il peut aussi viser des personnes avec lesquelles les relations sont plus détachées et que l'on qualifierait de simples connaissances dans la vie réelle, voire des individus avec lesquels on ne partage qu'un intérêt commun pour un domaine particulier et uniquement sur le réseau social. Le cercle des personnes visées est ainsi beaucoup plus large que celui induit par une amitié au sens traditionnel du terme (cf. LORENZ LANGER, Staatliche Nutzung von Social Media-Plattformen, in PJA 2014 p. 946, spéc. p. 948, note 15). Des études récentes admettent par ailleurs que les listes d'amis dépassant le nombre de 150 comprennent des connaissances avec lesquelles l'individu n'entretient en fait aucun contact ou des personnes inconnues (cf. R. I. M. DUNBAR, Do online social media cut through the constraints that limit the size of offline social network ? publié in Royal Society Open Science [DOI : 10.1098/rsos 150292]; cf. YASMINA SALMANDJEE-LECOMTE, Facebook mode d'emploi, 3 e éd., p. 9). En l'absence d'autres éléments, le seul fait d'être " ami " sur Facebook ne saurait donc suffire à démontrer le lien d'amitié propre à fonder une apparence de prévention tel que l'entend la jurisprudence. Il ne peut être qu'un indice parmi d'autres qui, ensemble, peuvent justifier la récusation.
Contrairement à ce qu'affirme la recourante, en Suisse, plusieurs commentateurs des dispositions sur la récusation vont dans ce sens (s'agissant de l'art. 56 CPP : JEAN-MARC VERNIORY, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, no 28 ad art. 56 CPP; ANDREAS J. KELLER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2e éd., 2014 no 27 ad art. 56 CPP; pour l'art. 10 PA : STEPHAN BREITENMOSER/MARION SPORI FEDAIL, in Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz (VwVG), 2 e éd., 2016, note 142 ad art. 10 PA; pour les art. 10 et 11 LP : FRANÇOIS CHAIX, Récusation et actes interdits (art. 10 et 11 LP), in JdT 2016 II 54 p. 54 ss, spéc., p. 66, note 61; pour une jurisprudence cantonale : Entscheide vom 9. März 2017 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, DG. 2017.9).
La tendance est la même en Allemagne (UWE GROHMANN/NANCY GROHMANN, Die aktuelle Rechtsprechung zur Befangenheit des Richters, in Deutsche Richterzeitung, 2017, p. 60 ss, spéc. p. 61 et les notes 7 et 8; ANTONIA ROJAHN/CHRISTOPH JERGER, Richterliche Unparteilichkeit und Unabhängigkeit im Zeitalter sozialer Netzwerke, in Neue juristische Wochenschrift, 17/2014, p. 1147 ss, spéc. p. 1149 et p. 1150) et en France (arrêt no 1 du 5 janvier 2017 [16-12.394] de la Cour de cassation, Deuxième Chambre civile). Quant à la " décision du Conseil supérieur de la justice " dont la recourante prétend qu'elle aurait " déclaré fondée la plainte d'un homme dont l'avocat de son ex-femme était ami sur Facebook avec le Juge de la cause ", elle a été rendue en Belgique et ne mentionnait le fait que les intéressés étaient amis sur Facebook que comme élément supplémentaire justifiant la récusation, l'amitié ayant ainsi été, " de surcroît ", rendue publique.
4.6. En l'espèce, la recourante prétend qu'en dehors du fait que le président de l'autorité de protection et le père de l'enfant étaient " amis " sur Facebook, le Juge unique aurait dû admettre que ceux-là se connaissaient aussi à titre privé depuis une date indéterminée. Elle lui reproche d'avoir jugé crédibles les explications des intéressés, alors qu'elles divergeaient sur la manière dont ils étaient devenus amis sur le réseau social, et d'avoir retenu, en l'absence de tout " élément solide " que la demande de contact sur le réseau social n'avait été acceptée qu'en juillet 2016.
Ce dernier argument frise la témérité. Une capture d'écran mentionnant expressément ce fait a été produite par l'APEA à l'appui de sa lettre du 25 janvier 2017 adressée au Juge unique et dont copie a été adressée au conseil de la recourante (cf. dossier cantonal C1 2016 147, annexes 3, pièces n os 56, 57 et 58). Pour le reste, les explications des intéressés sur la manière dont ils sont entrés en contact sur Facebook peuvent certes apparaître contradictoires, l'un disant avoir répondu par erreur à une invitation d'un ex-collègue, l'autre affirmant n'avoir jamais demandé à être ami sur le réseau social avec le magistrat concerné. C'est toutefois à juste titre que l'autorité cantonale n'en a tiré aucune conséquence sur la crédibilité de leurs déclarations quant à l'existence d'un lien d'amitié entre eux, en particulier sur la véracité des dires du président selon lesquels il a cru par erreur entrer en contact avec un ancien collègue répondant au même prénom de B._. On ne saurait en effet reprocher au président de l'APEA et au père de l'enfant - lesquels, de l'aveu même de la recourante, comptent environ 200 amis - de ne pas s'être souvenus exactement de la procédure suivie pour entrer en contact sur le réseau social.
Hormis ces deux griefs, la recourante ne se livre à aucune critique motivée (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra, consid. 2.2) des constatations de l'autorité cantonale selon lesquelles les pièces du dossier n'établissent pas que les intéressés auraient entretenu un quelconque lien d'amitié et la mère a, dans sa requête, admis qu'il n'existait aucun motif particulier permettant de penser qu'ils auraient été liés pour des raisons professionnelles ou associatives, que ce soit avant ou au moment du prononcé attaqué. Elle en reste à des généralités sur le devoir de prudence que devrait observer " le Président d'une autorité décisionnaire " dans sa gestion de ses amis Facebook.
En l'absence d'autres circonstances objectives que le lien d'amitié sur le réseau social Facebook, l'autorité cantonale a considéré à bon droit que les conditions permettant de retenir l'existence d'une apparence de prévention n'étaient pas remplies en l'espèce.
4.7. En date du 7 mai 2018, les Cours réunies, rendant leur décision par voie de circulation dans le cadre de la procédure de l'art. 23 al. 2 LTF, ont accepté à l'unanimité cette interprétation juridique.
5.
Selon la recourante, l'instauration de l'autorité parentale conjointe serait contraire à l'intérêt de l'enfant et, partant, violerait l'art. 298b al. 2 CC.
5.1. L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1 er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; ATF 142 III 1 consid. 3.3, 56 consid. 3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (ATF 141 III 472 consid. 4.3 et 4.7; 142 III 1 consid. 2.1).
5.2. En l'espèce, la recourante soutient en substance qu'au vu du conflit parental important, de l'attitude du père, des avis négatifs émis par le pédiatre et la psychiatre de l'enfant quant à l'instauration de l'autorité parentale conjointe et de l'absence de perspectives d'amélioration des relations entre les parents, le Juge unique aurait dû rejeter la demande du père tendant à l'instauration de l'autorité parentale conjointe.
Lorsqu'elle reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir suivi - " sans réelle justification et sur la base d'une appréciation [...] présomptueuse " - les conclusions des médecins de l'enfant sur la question de l'autorité parentale conjointe, elle oublie, d'une part, que leur avis n'a pas été recueilli à titre d'expertise (cf. art. 183 ss CPC) mais à titre de témoignage-expertise (cf. art. 175 CPC) et, d'autre part, qu'il appartient au juge de trancher cette question juridique sur la base des faits retenus sans arbitraire.
A cet égard, le Juge unique a constaté que, si les médecins ont relevé une " absence de dialogue entre les parents " ainsi qu'une " blessure narcissique encore présente suite à la rupture ", " des pressions familiales des deux côtés " et un " manque de participation du père dans les démarches concrètes d'apaisement du conflit " rendant prématurée une autorité parentale conjointe, leurs craintes devaient être accueillies avec réserve et circonspection et étaient exagérées. Il s'est fondé sur le fait que ces praticiens n'avaient pratiquement jamais eu de contact avec le père de l'enfant et n'avaient fait principalement que retranscrire les prises de position de la mère, laquelle n'était par ailleurs pas étrangère à la situation de tension existante. Il a aussi relevé que l'on pouvait compter sur une amélioration des relations entre les parties dès que la procédure judiciaire serait finie.
La recourante laisse intacte cette appréciation des preuves. Elle se contente d'opposer avoir " de la peine à comprendre en quoi le fait que les médecins n'auraient rencontré le père de l'enfant qu'à de rares occasions permettrait d'évincer leur avis ", alors que ce sont des " spécialistes, externes à la famille et au litige, qui ne se connaissent pas entre eux, qui ont pour mandat de se préoccuper du bien de l'enfant " et ont " une longue expérience " avec ce dernier, trouver " osé " de lui reprocher son comportement alors que, contrairement à l'intimé, elle s'est présentée à la médiation et ne pas croire, vu l'attitude du père, à une amélioration de la situation une fois la procédure finie. Or, ce faisant, elle se limite à substituer, de manière purement appellatoire, sa propre appréciation à celle retenue par la cour cantonale (cf. supra, consid. 2.2; ATF 140 III 264 consid. 2.3; 139 II 404 consid. 10.1; 137 II 353 consid. 5.1).
Pour le surplus, le Juge unique n'a pas méconnu que le conflit parental était important. Il a relevé que le père était réticent à suivre les recommandations des spécialistes pour renouer des contacts stables et durables avec la mère et l'enfant, s'enfermait dans une dialectique de confrontation et dans un rôle de victime et avait refusé de participer à la médiation ordonnée par l'APEA. Quant à la mère, elle ne respectait pas toutes les décisions prises par l'APEA et ne cherchait manifestement pas à favoriser activement les relations entre le père et son enfant. L'autorité cantonale a toutefois aussi constaté - sans que la recourante ne soulève un quelconque grief motivé à cet égard (cf. supra, consid. 2.2) - que la communication entre les parents n'était pas totalement rompue. Elle a aussi compté sur une amélioration des relations, une fois la procédure achevée, pronostic que la recourante critique en vain. Il est en effet constant que le conflit s'est cristallisé autour de l'exercice du droit de visite et l'on peut objectivement penser qu'il s'apaisera lorsque cette question sera réglée. Il ressort de fait de l'arrêt entrepris que, même s'il ne s'est pas présenté à la médiation dont le but était de restaurer le lien de confiance et de faciliter l'organisation des relations personnelles, le père a cherché à maintenir les contacts avec son fils et s'est déjà montré capable de dialogue avec la mère lors d'une discussion en aparté au terme de la séance du 10 décembre 2015 qui a eu lieu chez le curateur de l'enfant. En se prévalant, dans son écriture, de sa propre collaboration à la médiation et de son évolution quant à la place à laisser au père, la recourante démontre, de son côté, sa volonté de faire des efforts pour améliorer la situation. Ainsi que l'a souligné l'autorité cantonale, les parents ont d'ailleurs le devoir d'adopter un comportement coopératif, de faire les efforts de communication que l'on peut raisonnablement attendre d'eux et de tenir l'enfant à l'écart du conflit parental (ATF 142 III 1 consid. 3.4; arrêts 5A_840/2016 du 30 janvier 2017 consid. 3.3.2 in fine; 5A_81/2016 du 2 mai 2016 consid. 5).
La recourante ne remet par ailleurs pas en cause, en tant que telles et de manière circonstanciée (cf. supra, consid. 2.2), les constatations du Juge unique selon lesquelles elle n'a apporté aucun élément concret permettant de conclure que l'autorité parentale conjointe exercerait une influence négative sur C._ et risquerait un élargissement du différend entre les parents avec atteinte au bien de l'enfant ou encore que le maintien de l'autorité parentale exclusive permettrait un apaisement de la situation.
En définitive, le Juge unique n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation (cf. supra, consid. 2.3) en considérant que les critères permettant exceptionnellement de refuser l'instauration de l'autorité parentale conjointe n'étaient pas réunis en l'espèce.
6.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à répondre (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au curateur de C._, à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte de Monthey.
Lausanne, le 14 mai 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Jordan