Erwägungen:
1.
Der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt trat mit Verfügung vom 29. Mai 2018 auf das Ausstandsgesuch von A._ vom 28. Mai 2018 nicht ein. Gegen diese Verfügung führt A._ mit Eingabe vom 19. Juni 2018 (Postaufgabe 20. Juni 2018) Beschwerde in Strafsachen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die Begründung muss dabei in der Beschwerde selbst enthalten sein, Verweise auf andere Rechtsschriften oder die Akten reichen nicht aus (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer auf seine Eingaben an das Appellationsgericht verweist, ist er nicht zu hören.
Mit seinen Ausführungen in der Beschwerde selbst vermag der Beschwerdeführer nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, dass das Appellationsgericht das Ausstandsgesuch in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise abgewiesen hätte. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht nachvollziehbar, inwiefern die beanstandete Verfügung rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
3.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli