Sachverhalt:
A.
Im Kanton Bern werden die Aufgabenbereiche Lehrergehälter, Sozialhilfe, Ergänzungsleistungen, öffentlicher Verkehr, Familienzulagen für Nichterwerbstätige und die Lastenverschiebungen aufgrund einer neuen Aufgabenteilung durch den Kanton und die Gemeinden gemäss dem Gesetz des Kantons Bern vom 27. November 2000 über den Finanz- und Lastenausgleich (FILAG/BE; BSG 631.1) in Form eines Lastenausgleichs finanziert.
A.a. Am 1. Januar 2013 trat das neue Gesetz des Kantons Bern vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz (KESG/BE; BSG 213.316) in Kraft. Dieses sah eine neue Aufgabenteilung im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes vor. Während zuvor die Gemeinden für die Erfüllung der gesetzlichen Aufgaben in diesem Bereich zuständig gewesen waren, nahmen seither die kantonalen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden (KESB) diese Aufgaben wahr. Die kommunalen Behörden und Dienste erfüllten zwar weiterhin damit verbundene Aufgaben, erhielten vom Kanton für ihre Leistungen aber Abgeltungen. Der Kanton war im Gegenzug berechtigt, den mit diesen Abgeltungen verbundenen Aufwand zulasten der Gemeinden in den Lastenausgleich einzubringen.
A.b. Mit Urteil vom 2. Dezember 2016 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde der Einwohnergemeinde Köniz betreffend die Abgeltung der Leistungen der Gemeinden im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes teilweise gut. Es wies die zuständige Fachbehörde des Kantons an, die Pauschalentschädigung an die Gemeinden derart festzulegen, dass nicht nur die Personalkosten, sondern die gesamten Aufwendungen - mithin auch der Infrastruktur- und Sachaufwand - im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes abgegolten werden.
B.
Mit den separaten Verfügungen vom 31. Mai 2018 legte die Finanzverwaltung des Kantons Bern die Gemeindeanteile des Lastenausgleichs pro Gemeinde für das Jahr 2018 fest. Dabei wurden den Gemeinden erstmals Kosten im Umfang von insgesamt Fr. 5.9 Mio. unter dem Titel "Erhöhung der Fallpauschalen des Kantons für Leistungen der Gemeinden an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden" angelastet.
B.a. Gegen die Verfügung vom 31. Mai 2018 erhob die Einwohnergemeinde Biel (nachfolgend: Stadt Biel), deren Anteil im Lastenausgleich die Finanzverwaltung von Fr. 9'861'671.-- auf Fr. 10'172'035.-- erhöht hatte, Beschwerde bei der Finanzdirektion des Kantons Bern. Dabei beanstandete die Stadt Biel die Erhöhung ihres Anteils im Lastenausgleich um Fr. 310'364.--. Die Finanzdirektion wies die Beschwerde mit Entscheid vom 19. Oktober 2018 ab. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Dezember 2016 sei eine neue Aufgabenteilung zwischen dem Kanton und den Gemeinden einhergegangen, weshalb eine Anrechnung zulässig sei.
B.b. Gegen den Entscheid vom 19. Oktober 2018 gelangte die Stadt Biel an das Verwaltungsgericht. Sie beantragte, der von ihr zu tragende Gemeindeanteil im Lastenausgleich sei um Fr. 310'364.-- zu reduzieren und auf Fr. 9'861'671.-- festzusetzen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 30. September 2020 ab. Im Gegensatz zur Finanzdirektion erwog das Verwaltungsgericht im Wesentlichen, die Kosten von insgesamt Fr. 5.9 Mio., wovon Fr. 310'364.-- auf die Stadt Biel entfielen, seien bei der ursprünglichen Berechnung des Ausgleichsbetrags zu Unrecht ausgeklammert worden, weshalb sie im Lastenausgleich nachträglich angerechnet werden dürften.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. November 2020 gelangt die Stadt Biel an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 30. September 2020. Es sei der Gemeindeanteil der Stadt Biel im Lastenausgleich auf Fr. 9'861'671.-- festzusetzen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während die Vorinstanz die Abweisung der Beschwerde beantragt, hat sich der Kanton Bern, handelnd durch seine Finanzdirektion, nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin repliziert mit Eingabe vom 18. Januar 2021.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (vgl. BGE 146 II 276 E. 1; 141 II 113 E. 1).
1.1. Die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), verfahrensabschliessende (Art. 90 BGG) Urteil eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (Art. 83 BGG).
1.2. Ein Gemeinwesen ist gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde legitimiert, wenn und soweit es darlegt, dass es in hoheitlichen Befugnissen berührt ist und zentrale öffentliche Interessen auf dem Spiel stehen (vgl. BGE 140 I 90 E. 1.2.2; 138 I 143 E. 1.3.1; 135 II 156 E. 3.1).
1.2.1. In der vorliegenden Angelegenheit ist die (nachträgliche) Anpassung des Lastenausgleichs zwischen dem Kanton Bern und der Beschwerdeführerin umstritten. Eine Betroffenheit der Gemeinden gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG wird in der Regel im Bereich der Sozialhilfe (vgl. BGE 140 V 328 E. 6) sowie beim interkommunalen Finanzausgleich und ähnlichen Regelungen (vgl. BGE 135 I 43 E. 1.3; 135 II 156 E. 3.3; Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020 E. 1, nicht publ. in: BGE 147 I 173) anerkannt. Gleiches gilt auch, wenn die streitigen finanziellen Leistungen eine beträchtliche Höhe erreichen und die Beantwortung der Streitfrage eine über den Einzelfall hinausgehende präjudizielle Wirkung für die öffentliche Aufgabenerfüllung mit insgesamt wesentlicher finanzieller Belastung hat, nicht aber dann, wenn es bloss um eine einzelfallbezogene Beurteilung ohne Grundsatzfragen geht (vgl. BGE 141 II 161 E. 2.3; 140 I 90 E. 1.2.6).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin macht in vertretbarer Weise geltend, dass der streitige Gemeindeanteil im Lastenausgleich mit einer jährlich wiederkehrenden, gleichbleibenden Mehrbelastung von Fr. 310'364.-- eine beträchtliche Höhe erreiche. Ausserdem hat der Kanton Bern die durch das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Dezember 2016 entstandenen Mehrkosten von Fr. 5.9 Mio. im Lastenausgleich anteilsmässig seinen Gemeinden angerechnet. Vom Ausgang der vorliegenden Angelegenheit sind indirekt sämtliche Gemeinden des Kantons Bern betroffen, zumal die Finanzverwaltung im Schreiben vom 29. Mai 2019 den Gemeinden zugesichert hat, im Falle der Gutheissung der Beschwerde die zu viel angelasteten Beträge rückzuerstatten. Die Beantwortung der Streitfrage hat folglich eine über den Einzelfall hinausgehende präjudizielle Wirkung mit einer insgesamt wesentlichen finanziellen Bedeutung.
1.3. Die Beschwerdeführerin ist damit zur Beschwerde gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG legitimiert. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und lit. c BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. BGE 142 I 135 E. 1.5; 133 II 249 E. 1.4.1). Der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten sowie von kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 143 II 283 E. 1.2.2; 139 I 229 E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach Art. 106 Abs. 2 BGG verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. BGE 143 I 1 E. 1.4; 133 II 249 E. 1.4.2). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird - ausserhalb der Fälle von Art. 95 lit. c und lit. d BGG - vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wurde (vgl. BGE 142 II 369 E. 2.1; 138 I 143 E. 2). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
3.
Mit dem lnkrafttreten des Gesetzes des Kantons Bern vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz am 1. Januar 2013 ist eine neue Aufgabenteilung zwischen dem Kanton und den Gemeinden einhergegangen, die zu einer Lastenverschiebung geführt hat (vgl. Bst. A.a hiervor).
3.1. Während früher die Gemeinden des Kantons Bern für die Erfüllung der gesetzlichen Aufgaben in diesem Bereich zuständig gewesen sind, nehmen seither die kantonalen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden diese Aufgaben wahr (vgl. Art. 3 Abs. 1 KESG/BE). Die kommunalen Behörden erfüllen zwar weiterhin damit verbundene Aufgaben, erhalten vom Kanton für ihre Leistungen aber Abgeltungen (vgl. Art. 22 Abs. 3 KESG/BE). Der Kanton ist im Gegenzug berechtigt, den mit diesen Abgeltungen verbundenen Aufwand zulasten der Gemeinden in den Lastenausgleich einzubringen (vgl. Art. 82 Abs. 1 KESG/BE). Die Verfahrensbeteiligten sind sich einig, dass die entsprechenden vom Kanton zu tragenden Lasten im Umfang des ursprünglich festgelegten Ausgleichsbetrags lastenausgleichsberechtigt gewesen sind (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils).
3.2. Ausserdem ist unbestritten, dass dem Kanton Bern durch die Umsetzung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 2. Dezember 2016 Mehrkosten im Umfang von Fr. 5.9 Mio. entstanden sind (vgl. Bst. A.b hiervor) : Der Regierungsrat des Kantons Bern hat bei der Berechnung der Abgeltungspauschalen, die den Gemeinden für ihre auf Anordnung der kantonalen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden erbrachten Leistungen auszurichten sind, ursprünglich nur die Personalkosten berücksichtigt. Das Verwaltungsgericht hat auf Beschwerde einer Gemeinde hin entschieden, der Kanton sei gestützt auf Art. 22 Abs. 3 und Abs. 4 KESG/BE verpflichtet, den Gemeinden deren gesamten Aufwendungen im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes zu erstatten (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils mit Hinweis auf das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern 100.2015.160 vom 2. Dezember 2016 E. 3 f.). Daraufhin hat der Regierungsrat die vom Kanton entrichteten Abgeltungspauschalen in Art. 7 Abs. 1 der Verordnung des Kantons Bern vom 19. September 2012 über die Zusammenarbeit der kommunalen Dienste mit den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden und die Abgeltung der den Gemeinden anfallenden Aufwendungen (ZAV/BE; BSG 213.318) mit Wirkung ab dem 1. Januar 2018 erhöht. Die ihm dadurch entstehenden Mehrkosten von Fr. 5.9 Mio. hat er gestützt auf die von ihm in Art. T2-1 ZAV/BE eingefügte Übergangsbestimmung im Lastenausgleich des Jahres 2018 angerechnet (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Davon entfallen Fr. 310'364.-- auf die Beschwerdeführerin. Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen die auf Art. T2-1 ZAV/BE gestützte Anrechnung (vgl. E. 4 hiernach).
3.3. Der am 18. Oktober 2017 durch den Regierungsrat beschlossene und am 1. Januar 2018 in Kraft getretene Art. T2-1 ZAV/BE sieht vor, dass die Lastenverschiebung zwischen dem Kanton und den Gemeinden von Fr. 5.9 Mio. als Folge der Erhöhung der Fallpauschalen ab dem Zeitpunkt dieser Verordnungsänderung dem Lastenausgleich gemäss Art. 29b FILAG/BE angerechnet wird.
3.3.1. Art. 29b FILAG/BE bestimmt unter dem Titel "Lastenverschiebungen aufgrund einer neuen Aufgabenteilung", dass Lastenverschiebungen aufgrund einer neuen Aufgabenteilung zwischen Kanton und Gemeinden in Form eines Lastenausgleichs gegenseitig verrechnet werden. Ein Saldo zugunsten des Kantons wird durch Gemeindeanteile ausgeglichen. Ein Saldo zugunsten der Gemeinden wird durch Zuschüsse des Kantons ausgeglichen (Abs. 1). Der Regierungsrat kann die massgebende Summe der Gemeinden gemäss Absatz 1 periodisch an die teuerungsbedingte Kostenentwicklung anpassen (Abs. 4).
3.3.2. Der Ausgleich der Lastenverschiebungen aufgrund der Wirkungen des Gesetzes des Kantons Bern vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz erfolgt gemäss Art. 29b FILAG/BE (vgl. Art. 82 Abs. 1 KESG). Laut Art. 82 Abs. 2 KESG/BE sind die Lastenverschiebungen gemäss Voranschlag des Jahres des Inkrafttretens dieses Gesetzes massgebend. Der Regierungsrat legt nach Anhörung der Interessenverbände der Gemeinden den massgebenden Betrag kantonal letztinstanzlich bis Mitte des dem Inkrafttreten dieses Gesetzes vorangehenden Jahres fest. Der Regierungsrat kann gestützt auf Art. 82 Abs. 3 KESG/BE kantonal letztinstanzlich nach Anhörung der Interessenverbände der Gemeinden innerhalb von drei Jahren seit dem Inkrafttreten dieses Gesetzes den massgebenden Betrag erhöhen oder senken und damit allfällige Differenzen korrigieren, die sich zwischen Voranschlag und Rechnung des Jahres des Inkrafttretens dieses Gesetzes ergeben haben.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV und des Grundsatzes der Gesetzmässigkeit im Sinne von Art. 5 Abs. 1 BV sowie von Art. 69 der Verfassung des Kantons Bern vom 6. Juni 1993 (KV/BE; SR 131.212)].
4.1. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin gibt es im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes lediglich drei Möglichkeiten, um die Beträge im Lastenausgleich anzupassen. Die erste Möglichkeit betreffe die Lastenverschiebungen aufgrund einer neuen Aufgabenteilung gemäss Art. 29b Abs. 1 FILAG/BE. Eine solche sei unbestrittenermassen mit der neuen Aufgabenteilung im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes per 1. Januar 2013 gestützt auf Art. 82 Abs. 1 KESG/BE vorgenommen worden. Die zweite Variante sei in Art. 82 Abs. 3 KESG/BE vorgesehen. Gemäss dieser Bestimmung könne innerhalb von drei Jahren seit dem Inkrafttreten des Gesetzes des Kantons Bern vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz der massgebende Betrag erhöht oder gesenkt werden. Damit könnten allfällige Differenzen korrigiert werden, die sich zwischen Voranschlag und Rechnung des Jahres des Inkrafttretens dieses Gesetzes ergeben hätten. Nach Ablauf dieser drei Jahre stehe bloss noch die dritte Möglichkeit offen: Art. 29b Abs. 4 FILAG/BE erlaube eine Anpassung der Beträge an die teuerungsbedingte Kostenentwicklung.
Die durch das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Dezember 2016 entstandenen Mehrkosten von Fr. 5.9 Mio., so die Beschwerdeführerin weiter, seien von keiner dieser drei kantonalgesetzlich geregelten Möglichkeiten gedeckt. Indem die Vorinstanz den Betrag von Fr. 5.9 Mio. gestützt auf Art. T2-1 ZAV/BE im Lastenausgleich zur Anrechnung zulasse, verletze sie das Willkürverbot. Es stünde nur dem kantonalen Gesetzgeber offen, Art. 82 KESG/BE zu ändern, um die Dreijahresfrist von Art. 82 Abs. 3 KESG/BE anzupassen, oder die formell-gesetzliche Grundlage zu schaffen, um die Mehrkosten des Kantons von Fr. 5.9 Mio. im Lastenausgleich ausserordentlich anzurechnen. Es bestehe aber keine formell-gesetzliche Grundlage, damit der Regierungsrat auf Verordnungsstufe eine (nachträgliche) Anrechnung im Lastenausgleich einführen könne.
4.2. Die Vorinstanz erwägt, Art. 82 Abs. 2 und Abs. 3 KESG/BE regle, wie der dem Lastenausgleich zuzuführende Ausgleichsbetrag in betraglicher und in zeitlicher Hinsicht zu bestimmen sei. Ausgehend vom Voranschlag des Jahres des lnkrafttretens könne der Regierungsrat innerhalb von drei Jahren nach lnkrafttreten Anpassungen vornehmen, um Differenzen zwischen dem Voranschlag und den tatsächlichen Kosten auszugleichen. Nach Ablauf dieser Frist könne der Betrag nur noch an die Teuerung angepasst werden. Nachträgliche Kostenentwicklungen, die nicht teuerungsbedingt seien und zu einer Differenz zwischen dem Ausgleichsbetrag und den tatsächlichen Auslagen führten, müssten daher im Bereich des Kindes- und Erwachsenenschutzes vom Kanton getragen werden und seien nicht ausgleichsberechtigt, was unbestritten sei. lnsofern handle es sich bei einer neuen Aufgabenteilung um einen statischen Lastenausgleich. Dies bedeute, dass einmal erfolgte Lastenverschiebungen - unter Vorbehalt der zeitlich limitierten Korrekturmöglichkeit und der Teuerung - unverändert blieben und allfällige anderweitige Kostenentwicklungen nicht berücksichtigt würden (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Jedoch seien die vorliegend zur Diskussion stehenden Kosten bei der ursprünglichen Berechnung des Ausgleichsbetrags zu Unrecht ausgeklammert worden. Dass ein Teil der aus einer neuen Aufgabenteilung resultierenden Lasten nicht sofort, sondern erst Jahre später gestützt auf ein Gerichtsurteil auf das zuständige Gemeinwesen übergehe, werde von der zeitlichen und betraglichen Fixierung des Ausgleichsbetrags gemäss Art. 82 KESG/BE in Verbindung mit Art. 29b FILAG/BE nicht erfasst. Art. T2-1 ZAV/BE stehe nicht im Widerspruch zu den kantonalgesetzlichen Bestimmungen (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt - neben Art. 5 Abs. 1 BV und Art. 9 BV - eine Verletzung von Art. 69 Abs. 1 und Abs. 2 KV/BE. Diese kantonale Verfassungsnorm regelt die Delegation von Befugnissen an den Grossen Rat und den Regierungsrat im Lichte des Grundsatzes der Gewaltenteilung.
4.3.1. Der durch sämtliche Kantonsverfassungen garantierte Grundsatz der Gewaltenteilung stellt ein kantonales verfassungsmässiges Individualrecht im Sinne von Art. 95 lit. c BGG dar. Der Inhalt der Gewaltenteilung ergibt sich in erster Linie aus dem kantonalen Recht. Für den Bereich der Rechtsetzung bedeutet der Grundsatz, dass generell-abstrakte Normen vom zuständigen Organ in der dafür vorgesehenen Form zu erlassen sind. Das Bundesgericht prüft die Auslegung der einschlägigen kantonalen Verfassungsbestimmungen frei, jene des kantonalen Gesetzesrechts im Grundsatz lediglich mit eingeschränkter Kognition (vgl. E. 2 hiervor; BGE 142 I 26 E. 3.3; 138 I 196 E. 4.1; 131 I 291 E. 2.1; 127 I 60 E. 2a; 126 I 180 E. 2a/aa).
4.3.2. In der vorliegenden Angelegenheit ist umstritten, ob Art. T2-1 ZAV/BE im Widerspruch mit Art. 82 KESG/BE sowie Art. 29b FILAG/BE steht. Soweit der Grundsatz der Gewaltenteilung gemäss Art. 69 KV/BE betroffen ist, wird dieser Grundsatz vorliegend auf der Gesetzesstufe konkretisiert. Zu prüfen ist demzufolge, ob eine kantonale Verordnung mit dem übergeordneten kantonalen Gesetzesrecht vereinbar ist. Eine solche Prüfung nimmt das Bundesgericht bloss mit eingeschränkter Kognition vor (vgl. E. 2 hiervor; BGE 142 I 26 E. 3.3). Nicht erforderlich, da nicht umstritten, ist eine Auslegung von Art. 69 KV/BE (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.3.3. Zu prüfen sind nach dem soeben Gesagten nur die Rügen einer Verletzung des Willkürverbots und eines Verstosses gegen Art. 5 Abs. 1 BV. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. BGE 144 I 113 E. 7.1; 142 II 369 E. 4.3). Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Grundsatzes der Gesetzmässigkeit von Art. 5 Abs. 1 BV vorbringt, handelt es sich nicht um ein verfassungsmässiges Recht, sondern um einen Verfassungsgrundsatz. Der Gesetzmässigkeitsgrundsatz kann zwar im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten direkt und unabhängig von einem Grundrecht angerufen werden. Bei der Anwendung des kantonalen Rechts und ausserhalb der Einschränkung von Grundrechten prüft das Bundesgericht die Beachtung des Grundsatzes der Gesetzmässigkeit indes nur unter dem Blickwinkel des Willkürverbots (vgl. BGE 140 I 381 E. 4.4; 135 I 43 E. 1.3; Urteile 2C_578/2018 vom 4. Februar 2019 E. 4.1; 2C_741/2009 vom 26. April 2010 E. 3.1).
4.4. Nach dem Dargelegten ist vorliegend zu prüfen, ob der Kanton Bern im Lastenausgleich des Jahres 2018 willkürfrei eine Anrechnung im Umfang von Fr. 310'364.-- zulasten der Beschwerdeführerin vornehmen durfte.
4.4.1. Die Vorinstanz erwägt, es habe im Grossen Rat Einigkeit darüber bestanden, dass der Kanton, wenn er neu für die Finanzierung des Kindes- und Erwachsenenschutzes aufzukommen habe, im Gegenzug berechtigt sein müsste, den mit der Abgeltung der Tätigkeit der Gemeinden verbundenen Aufwand im Lastenausgleich zu kompensieren (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils). Dieser gesetzgeberische Wille finde seinen Niederschlag in Art. 82 Abs. 1 KESG/BE, wonach der Ausgleich der Lastenverschiebungen aufgrund der Wirkungen des Gesetzes des Kantons Bern vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz gemäss Art. 29b FILAG/BE erfolgt (vgl. E. 3.3.1 hiervor). Gleichzeitig anerkennt die Vorinstanz, dass der kantonale Gesetzgeber den dem Lastenausgleich anrechenbaren Ausgleichsbetrag in betraglicher (Art. 82 Abs. 2 KESG/BE) und zeitlicher (Art. 82 Abs. 3 KESG/BE) Hinsicht beschränkt habe. Nach Ablauf von drei Jahren ermögliche Art. 29b FILAG/BE bloss noch eine Anpassung an die Teuerung (vgl. E. 3.3.2 hiervor; E. 5.1 des angefochtenen Urteils). In der vorliegenden Angelegenheit ist nicht die Höhe des zu berücksichtigenden Betrags im Lastenausgleich umstritten. Zu überprüfen ist, ob die verfügte Anrechnung in zeitlicher Hinsicht mit dem Willkürverbot vereinbar ist.
4.4.2. Nach Auffassung der Vorinstanz besteht der Sinn und Zweck der zeitlichen Beschränkung von Art. 82 Abs. 3 KESG/BE darin, die laufenden Änderungen bei den dem Lastenausgleich zugrunde liegenden Umständen nach einer Frist von drei Jahren nicht mehr zu berücksichtigen. Damit sollten jährlich wiederkehrende Diskussionen zwischen dem Kanton und den Gemeinden über die Berechnung des Lastenausgleichs verhindert werden. Insofern bestehe ein statischer Ausgleich, da die künftige Kostenentwicklung - unter Vorbehalt der Teuerung (vgl. Art. 29b FILAG/BE) - grundsätzlich ausser Acht gelassen werde (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Vorliegend stünden jedoch keine solchen nachträglichen Änderungen bei den dem Lastenausgleich zugrunde liegenden Kosten zur Diskussion, weshalb Art. 82 Abs. 3 KESG/BE der Anrechnung im Lastenausgleich nicht entgegenstehe (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
4.4.3. Diese vorinstanzliche Würdigung ist mit dem Willkürverbot vereinbar. Die Anrechnung erfolgt nicht aufgrund einer nachträglichen Änderung der massgebenden Umstände ( ex nunc). Sie ist Ausfluss einer ursprünglich rechtsfehlerhaften Berechnung auf der Basis der damaligen Umstände. Diese Berechnung wurde durch das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 2. Dezember 2016 korrigiert (vgl. Bst. A.b hiervor). Insofern handelt es sich um eine Anpassung des Lastenausgleichs ex tunc. Wie die Vorinstanz verfassungskonform erwägt, entspricht es unbestrittenermassen dem Willen des kantonalen Gesetzgebers, den mit der Abgeltung der Tätigkeit der Gemeinden verbundenen Aufwand im Lastenausgleich zugunsten des Kantons Bern zu kompensieren (vgl. Art. 82 Abs. 1 KESG/BE). Die vorinstanzliche Erwägung, wonach der kantonale Gesetzgeber nicht habe voraussehen können und müssen, dass die Berechnung des Ausgleichsbetrags auf der Basis der ursprünglichen Umstände erst Jahre später gestützt auf ein Gerichtsurteil angepasst werden müsse, ist nicht als willkürlich zu beanstanden. Die Vorinstanz durfte in haltbarer Weise zum Schluss gelangen, dass Art. 82 Abs. 3 KESG/BE lediglich die Berücksichtigung von nachträglichen Änderungen der massgebenden Umstände verhindere. Die vorliegend umstrittene Anrechnung basiert indes auf Fehlern, die bei der Berechnung des Lastenausgleichs gestützt auf die ursprünglichen Umstände entstanden sind. Die vorinstanzliche Auffassung, dieser Fall sei nicht von der zeitlichen Beschränkung gemäss Art. 82 Abs. 3 KESG/BE erfasst, ist mit dem Willkürverbot vereinbar.
4.4.4. Dem von der Beschwerdeführerin geäusserten Bedenken, der Regierungsrat könnte bei einer Abweisung der bundesgerichtlichen Beschwerde in Zukunft gestützt auf eine Verordnungsänderung den Lastenausgleich nach Belieben anpassen, ist nicht zu folgen. Den vorliegend zu beurteilenden Betrag von Fr. 310'364.-- darf der Regierungsrat nur deshalb in haltbarer Weise anrechnen, da sich die Berechnung auf der Basis der ursprünglichen Umstände aufgrund eines Gerichtsurteils (rückwirkend) verändert hat. Der Regierungsrat selbst hat indes keinen Einfluss auf die ursprünglich massgebenden Umstände. Mit Blick auf die nachträgliche Änderung der massgebenden Umstände erwägt selbst die Vorinstanz, dass eine allfällige dynamische Kostenentwicklung aufgrund von Art. 82 Abs. 3 KESG/BE nicht berücksichtigt werden könne (vgl. E. 5.1 i.f. des angefochtenen Urteils). Der Regierungsrat kann entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin den Lastenausgleich folglich nicht nach Belieben anpassen.
4.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die vorinstanzliche Auffassung, wonach Art. T2-1 ZAV/BE nicht im Widerspruch mit Art. 82 KESG/BE und Art. 29b FILAG/BE stehe, weder Art. 5 Abs. 1 BV noch Art. 9 BV verletzt.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten, da sie in ihrem Vermögensinteresse handelt (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG; vgl. E. 1.2.2 hiervor). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger