Faits :
A.
A.a. X._ est née en 1983 à Guibouo, en République de Côte d'Ivoire, Etat dont elle est ressortissante. Elle est la cousine de A._ qui est née en 1986 à Kamsar, en République de Guinée, et qui jouit de la nationalité de ce pays. Cette cousine est mariée à B._, qui est né en 1976 à Conakry, en République de Guinée, et qui jouit de la nationalité canadienne. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2011, et D._, né en 2014. Les deux enfants sont ressortissants canadiens.
A._ a été engagée depuis le 1er avril 2015 en qualité de responsable de la gestion de la production par E._ SA, à Ouagadougou. B._ travaille, pour sa part, en qualité de directeur général pour la société de diffusion de chaînes de télévision F._ SA, à Conakry, en République de Guinée.
A.b. En juin 2015, alors que A._ vivait au Burkina Faso avec ses deux enfants et X._ (B._, dès lors que son emploi l'obligeait à vivre en Guinée, n'habitait pas avec eux en permanence), une tumeur au cerveau a été diagnostiquée chez l'enfant C._. Bénéficiant de l'assurance médicale internationale de E._, celui-ci a pu être admis au CHUV, à Lausanne. Un permis de séjour L pour traitement médical lui a été délivré à cet effet le 13 juillet 2015. Dans un premier temps, il était prévu que C._ retourne se faire soigner en Afrique une fois le diagnostic précis posé, mais dès lors qu'aucun pays proche du Burkina Faso ne pouvait prodiguer les soins nécessaires au traitement de sa maladie, il est resté en Suisse. Il a subi une opération et a reçu des traitements de chimiothérapie et de radiothérapie de septembre 2015 à octobre 2016. Par la suite, il a bénéficié de soins de physiothérapie et d'ergothérapie pour récupérer des effets secondaires dus à la maladie.
Depuis l'arrivée de l'enfant C._ en Suisse, dès lors que sa mère a continué à travailler au Burkina Faso et son père en Guinée, sa garde a été assurée à tour de rôle par sa mère, son père ou des membres de la famille (grand-mère ou belle-soeur), lesquels ont été mis successivement au bénéfice de visas pour touristes. Ces personnes ont logé avec l'enfant C._ dans un appartement de deux pièces sis à Lausanne, dont la société G._ SA a pris en charge les frais de location, comme elle a pris en charge ceux de subsistance de l'enfant C._ et des personnes qui se sont occupées de lui en alternance. Les dépenses relatives aux soins médicaux de l'enfant C._ ont, elles, été prises en charge par l'assurance médicale internationale de E._. Pendant cette période, le petit frère de C._, D._, est resté au Burkina Faso avec X._ et sa mère (lorsque celle-ci n'était pas au chevet de C._).
A.c. Il était initialement prévu que C._ retourne au Burkina Faso fin décembre 2016, mais sa mère a appris, avant ledit retour, qu'elle serait transférée auprès de E._ Suisse dès le printemps 2017. Les médecins ont estimé préférable que l'enfant reste en Suisse en attendant le transfert de sa mère, afin d'assurer une continuité médicale et scolaire. X._, qui était restée au Burkina Faso avec D._, a alors requis, par l'entremise de l'Ambassade de Suisse à Abidjan, un visa pour se rendre en Suisse, afin de s'occuper de C._ pendant les trois mois précédant l'arrivée de sa mère en Suisse.
X._ est venue en Suisse le 3 février 2017 au bénéfice d'un visa pour visite familiale d'une durée de 89 jours. Quant à A._ et son fils D._, ils sont arrivés en Suisse le 26 février 2017 au bénéfice d'autorisations de séjour. C._ a aussi été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial.
B.
B.a. Le 31 mars 2017, X._, conjointement avec les époux A.B._, a requis du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) d'être mise au bénéfice d'un permis de séjour, afin de pouvoir rester en Suisse pour s'occuper de C._ et de son frère jusqu'à la fin du traitement médical du premier nommé, soit pendant trois ans. Ils ont expliqué que le traitement de l'enfant consistait en un contrôle des tumeurs tous les trois mois, une séance de physiothérapie et une séance d'ergothérapie une fois par semaine, ainsi qu'une injection hormonale toutes les trois semaines. A._ et B._ ont fait valoir qu'ils travaillaient les deux à plein temps (elle en Suisse et lui en Guinée), que leurs deux revenus étaient nécessaires pour subvenir aux besoins financiers de la famille et que la présence de X._ était indispensable pour s'occuper de leur fils malade et de son frère.
Par décision du 1er mai 2017, le Service cantonal a refusé de délivrer une autorisation de séjour à X._ et prononcé son renvoi de Suisse.
B.b. En date du 1er juin 2017, X._ a interjeté recours contre la décision précitée auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
Alors que la procédure de recours devant le Tribunal cantonal était pendante, il a été constaté, à la suite d'un IRM effectué le 8 décembre 2017, que le résidu tumoral qui subsistait chez C._ avait progressé et qu'il nécessitait la reprise d'un traitement de chimiothérapie. La durée probable de ce traitement, qui dépendait des bilans, était d'environ 70 semaines. Il devait en principe se dérouler en ambulatoire de façon hebdomadaire, étant précisé que C._ était susceptible de devoir se rendre en urgence à l'hôpital en fonction des symptômes qu'il présentait. Par ailleurs, l'enfant devait continuer de suivre des séances de physiothérapie et d'ergothérapie régulières ainsi qu'un traitement freinateur d'une puberté précoce, traitement qui nécessitait des injections régulières administrées, toutes les trois semaines, par les médecins du Service d'endocrinologie pédiatrique.
B.c. Par arrêt du 8 mars 2018, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de X._ et confirmé la décision de refus d'octroi de permis de séjour prononcée par le Service cantonal.
C.
X._ (ci-après: la recourante) a déposé auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public, ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire, contre l'arrêt du Tribunal cantonal précité dont elle conclut à l'annulation. Elle demande, à titre principal, l'octroi d'un permis de séjour pour elle-même pour une durée d'un an renouvelable (permis B), sous réserve d'approbation par le Secrétariat d'Etat aux migrations (SEM), et, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour que celui-ci statue à nouveau dans le sens des considérants.
Le Président de la Cour de céans a admis le demande d'effet suspensif formée par la recourante.
Alors que le Tribunal cantonal et le Service cantonal ont renoncé à se déterminer sur le recours déposé, le SEM a proposé son rejet. La recourante a, quant à elle, déposé des ultimes observations. Le 16 août 2018, elle a, sur requête, informé le Tribunal fédéral que les traitements de chimiothérapie et endocrinologique de C._ étaient toujours en cours, le nouveau traitement, entamé en début d'année et d'une durée de 70 semaines, en étant presque à sa moitié.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 139 V 42 consid. 1 p. 44; 136 II 470 consid. 1 p. 472).
1.1. En l'occurrence, la recourante a déposé simultanément, dans un même acte, un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire, afin de contester le refus du Service cantonal, confirmé par le Tribunal cantonal, de lui octroyer un permis de séjour lui permettant de s'occuper de l'enfant C._ et de son frère jusqu'à la fin du traitement médical de celui-là.
1.2. Que l'on envisage la recevabilité sous l'angle du recours en matière de droit public ou du recours constitutionnel subsidiaire, l'intérêt du recourant doit être actuel (cf. ATF 137 I 296 consid. 4.2 p. 299 en lien avec l'art. 89 LTF; arrêt 2D_42/2016 du 3 octobre 2017 consid. 1.2 en lien avec l'art. 115 LTF). En l'occurrence, dès lors que les traitements de chimiothérapie et endocrinologique de C._ sont encore en cours, l'intérêt à la procédure demeure actuel.
1.3. La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que contre des décisions des autorités cantonales de dernière instance qui ne peuvent faire l'objet d'aucun recours selon les art. 72 à 89 LTF (art. 113 LTF a contrario). Or, d'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Cela signifie a contrario que cette voie de recours est ouverte si l'intéressé peut se prévaloir d'un droit à l'autorisation sollicitée.
1.4. Dans son mémoire, la recourante prétend disposer d'un droit à une autorisation de séjour en application des art. 13 al. 1 Cst. et 8 CEDH.
Selon la jurisprudence, un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH, respectivement 13 al. 1 Cst., pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. L'art. 8 CEDH vise en premier lieu la famille dite nucléaire, c'est-à-dire la communauté formée par les parents et leurs enfants mineurs (ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146; 127 II 60 consid. 1d/aa p. 64 s.). Le Tribunal fédéral admet aussi qu'un étranger puisse, exceptionnellement et à des conditions restrictives, déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 8 par. 1 CEDH, s'il existe un rapport de dépendance particulier entre lui et un proche parent au bénéfice d'un droit de présence assuré en Suisse (nationalité suisse ou autorisation d'établissement), par exemple en raison d'une maladie ou d'un handicap (ATF 129 II 11 consid. 2 p. 14; 120 Ib 257 consid. 1d p. 260 s.; 2C_369/2015 du 22 novembre 2015 consid. 4). Lorsque ce n'est pas l'étranger, mais la personne au bénéfice d'un droit de présence assuré en Suisse qui est dépendante, le Tribunal fédéral a jugé que l'étranger pouvait également faire valoir un droit lui ouvrant la voie du recours en matière de droit public en application de l'art. 8 CEDH. Dans un tel cas de figure, pour que cette voie de recours soit ouverte, l'étranger doit démontrer, de manière soutenable, qu'il existe un lien de dépendance particulier entre lui et la personne atteinte d'une maladie ou d'un handicap important et que cet état soit attesté (cf. arrêts 2D_10/2018 du 16 mai 2018 consid. 4.1; 2C_369/2015 du 22 novembre 2015 consid. 1.1; 2C_253/2010 du 18 juillet 2011 consid. 1.5). Le point de savoir si le lien de dépendance permet effectivement de fonder une autorisation de séjour sous l'angle de l'art. 8 CEDH est une question de fond et non de recevabilité (ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références citées).
1.5. En l'occurrence, la recourante réclame l'octroi d'un permis de séjour afin de s'occuper de C._ qui, selon elle, a besoin de sa présence et de son aide pour pouvoir surmonter les difficultés inhérentes au traitement de sa grave maladie. Il s'avère toutefois qu'elle n'appartient pas à la famille nucléaire de cet enfant. Ne constituant qu'une cousine de la mère de ce dernier, elle ne peut par ailleurs pas être qualifiée de "proche parente" au sens de la jurisprudence exposée ci-dessus, de sorte qu'elle ne peut se prévaloir de l'éventuel rapport de dépendance particulier qui existerait entre elle et C._. Partant, elle ne peut invoquer aucun droit de séjour fondé sur les art. 13 al.1 Cst. et 8 CEDH qui protègent le droit au respect de la vie familiale, étant du reste précisé que la Convention relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107), que la recourante invoque également dans son recours, ne permet pas non plus de fonder une prétention directe à l'octroi d'une autorisation de séjour (ATF 139 I 315 consid. 2.4 s. p. 320 s.). Enfin, la recourante ne peut rien tirer de l'art. 11 Cst. qui protège les enfants et les jeunes s'agissant de son propre statut.
1.6. La recourante invoque en outre le droit à la vie et le droit à l'intégrité physique et psychique qui sont consacrés par les art. 10 Cst. et 2 CEDH. Dans son mémoire, elle n'explique cependant pas en quoi elle jouirait d'un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour découlant de ces droits fondamentaux, étant précisé que le permis de séjour de C._ n'est pas remis en question en l'espèce. Ainsi, sous cet angle non plus, elle n'invoque pas de manière suffisamment plausible l'existence d'un droit potentiel à une autorisation pour que son recours soit considéré comme recevable (cf. ATF 137 I 305 consid. 2.5 p. 315 s.).
1.7. Enfin, aux termes de l'art. 83 let. c ch. 5 LTF, le recours en matière de droit public est également irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une dérogation aux conditions d'admission. Or, parmi de telles décisions figurent celles relatives à l'octroi - respectivement le refus - d'autorisations de séjour au titre de "cas individuels d'une extrême gravité" au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, disposition dont la formulation potestative ("il est possible") ne confère aucun droit (cf. notamment arrêt 2C_1025/2017 du 22 mai 2018 consid. 7).
1.8. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public est irrecevable.
1.9. Il reste à examiner si la recourante peut en l'espèce déposer un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF), recours dont la recevabilité dépend de l'existence d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF).
En l'occurrence, comme déjà dit, la recourante ne peut se prévaloir d'aucune norme du droit fédéral ou du droit international lui accordant un droit à une autorisation de séjour. Quoi qu'elle en dise dans son mémoire, elle n'a en particulier aucun droit à une autorisation de séjour pour cas de rigueur en application de l'art 30 al. 1 let. b LEtr et ne jouit, en application de cette disposition, d'aucun intérêt juridique protégé (cf. supra consid. 1.7).
Comme elle ne peut pas se prévaloir de manière indépendante de la violation de l'interdiction de l'arbitraire, elle n'a pas non plus sous cet angle une position juridique protégée qui lui conférerait la qualité pour agir au fond (cf. ATF 133 I 185). Il y a enfin lieu de relever que la recourante ne se plaint pas non plus d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, de sorte qu'elle n'invoque aucun droit constitutionnel de nature procédurale qui lui ouvrirait la voie du recours constitutionnel subsidiaire sous cet angle-là (cf. ATF 133 I 185 consid. 6. p. 198 s.; 129 I 217 consid. 1.4 p. 222).
Il résulte de ce qui précède que le recours constitutionnel subsidiaire est également irrecevable.
2.
Si, sous l'angle juridique, aucun recours au Tribunal fédéral n'est ouvert à l'encontre de l'arrêt attaqué, la cause est humainement très particulière. Il convient de relever que, lorsque le Service de la population a rendu sa décision initiale et refusé l'application de l'art. 30 LEtr, l'état de l'enfant semblait stabilisé et il n'était pas encore question de la reprise d'une chimiothérapie suivie. Compte tenu de l'évolution de l'état de santé de C._, on peut se demander si l'éventualité de l'octroi d'une autorisation de séjour au titre de cas individuel d'extrême gravité au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, limitée à la durée des traitements, ne devrait pas être réexaminée par le Service cantonal, étant précisé que, même si l'intérêt de l'enfant que la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (RSD.107) commande de prendre en considération ne permet pas à lui seul de conférer un droit de séjour, il doit néanmoins en être tenu compte dans l'évaluation d'un cas individuel d'extrême gravité (cf. p. ex. arrêt 2A.76/2007 du 12 juin 2007 consid. 5.1).
3.
Le recours en matière de droit public ainsi que le recours constitutionnel subsidiaire déposés par la recourante sont irrecevables. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 5 octobre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat