Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 5. August 2019 erteilte das Zivilgericht Basel-Stadt dem Kanton Basel-Stadt gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Basel-Stadt definitive Rechtsöffnung für Fr. 300.--. Am 21. August 2019 ersuchte die Beschwerdeführerin um schriftliche Begründung des Rechtsöffnungsentscheids. Der schriftlich begründete Entscheid wurde der Beschwerdeführerin am 8. Oktober 2019 zugestellt. Am 9. Oktober 2019 teilte die Beschwerdeführerin mit, der schriftlich begründete Entscheid sei ihr noch nicht zugestellt worden. Sie bat um Aushändigung desselben und Wiederherstellung der Frist zur Einreichung von Rechtsmitteln. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2019 wurde der Beschwerdeführerin mitgeteilt, dass ihr Schreiben aufgrund der am 8. Oktober 2019 erfolgten Zustellung als gegenstandslos erachtet werde. Am 21. Oktober 2019 teilte die Beschwerdeführerin dem Zivilgericht mit, dass es sich beim Antrag um Entscheidbegründung um die gleichzeitige Anfechtung dieses Entscheids handeln müsse. Sie ersuchte um Weiterleitung der Eingabe an das Appellationsgericht. Mit Verfügung vom 29. Oktober 2019 teilte das Zivilgericht der Beschwerdeführerin mit, der Antrag auf Ausfertigung einer schriftlichen Begründung könne nicht als gleichzeitige Beschwerdeerhebung gedeutet werden. Beim Zivilgericht sei keine Beschwerde eingegangen, so dass es nichts weiterzuleiten gebe. Am 14. November 2019 ersuchte die Beschwerdeführerin das Zivilgericht um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung bzw. Begründung einer Beschwerde gegen den Entscheid vom 5. August 2019. Mit Entscheid vom 18. November 2019 wies das Zivilgericht das Wiederherstellungsgesuch ab.
Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin am 25. November 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Mit Verfügung vom 21. Januar 2020 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab. Es setzte ihr eine nicht erstreckbare Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an. Zudem wies es darauf hin, dass weitere Meldungen über Ortsabwesenheiten der Geschäftsführerin der Beschwerdeführerin mit einer Dauer von mehr als zwei Wochen die Zustellung von Gerichtsakten in diesem Zeitraum nicht verhindern könnten. Die Beschwerdeführerin habe organisatorisch sicherzustellen, dass bei Abwesenheiten ihrer Geschäftsführerin von mehr als zwei Wochen bei laufenden Gerichtsverfahren die Entgegennahme von Gerichtspost gewährleistet sei.
Am 16. März 2020 hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Am 3. April 2020 (Postaufgabe) hat sie eine weitere Eingabe eingereicht. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Das Appellationsgericht hat die angefochtene Verfügung am 23. Januar 2020 erstmals versandt. Die Beschwerdeführerin hat die am 24. Januar 2020 zur Abholung gemeldete Sendung nicht abgeholt. Am 6. Februar 2020 hat das Appellationsgericht die Verfügung nochmals per Einschreiben versandt. Die Beschwerdeführerin hat die Sendung am 13. Februar 2020 entgegengenommen. Für die Fristwahrung beruft sie sich auf dieses Datum. Da die Beschwerdeführerin mit einer Zustellung rechnen musste, gilt diese grundsätzlich am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt (Art. 138 Abs. 3 lit. a ZPO, Art. 44 Abs. 2 BGG). Die Beschwerde ist damit grundsätzlich verspätet. Ob die Beschwerdeführerin aufgrund des Vertrauensschutzes davon ausgehen durfte, die zweite Zustellung löse die Beschwerdefrist aus, zumal im Begleitschreiben des Appellationsgerichts kein Vorbehalt hinsichtlich des Fristenlaufs angebracht wurde (Urteil 4A_53/2019 vom 14. Mai 2019 E. 4.4), kann angesichts des Folgenden (E. 3 und 4) offenbleiben. Selbst wenn von der Massgeblichkeit der Zustellung vom 13. Februar 2020 ausgegangen wird, ist jedenfalls die zweite Eingabe der Beschwerdeführerin vom 3. April 2020 verspätet, soweit sie damit ihre Beschwerde ergänzen will.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde sodann insoweit, als die Beschwerdeführerin Anträge stellt, die über den Gegenstand der angefochtenen Verfügung (unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren vor Appellationsgericht; Hinweis bezüglich Ortsabwesenheiten) hinausgehen.
3.
Was den Hinweis des Appellationsgerichts angeht, wonach die Beschwerdeführerin ihre Erreichbarkeit für gerichtliche Sendungen gewährleisten müsse, so kann offenbleiben, ob darin überhaupt eine anfechtbare Anordnung gesehen werden kann. Jedenfalls würde es sich bloss um einen Zwischenentscheid handeln, der einzig unter der Voraussetzung anfechtbar ist, dass er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin legt keinen solchen Nachteil dar. Ein solcher liegt jedenfalls nicht in ihrer - unbelegten - Behauptung, die Geschäftsführerin werde in ihrer Bewegungsfreiheit und der Ausübung familiärer Kontakte eingeschränkt. Sie scheint in diesem Zusammenhang zudem zu verkennen, dass von ihr nicht die Bestellung einer anwaltlichen Vertretung verlangt wird. Es ist ihr überlassen, auf welche Weise sie die Möglichkeit zum Empfang von gerichtlichen Sendungen sicherstellt.
4.
Das Appellationsgericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, da die Beschwerdeführerin nicht geltend gemacht habe, dass im Verfahren, welches zum angefochtenen Entscheid geführt habe, ihr einziges Aktivum im Streit gelegen habe. Dafür lägen auch keine Anzeichen vor. Zudem habe das Zivilgericht zu Recht darauf hingewiesen, dass das ausdrücklich so formulierte Gesuch um Ausfertigung einer schriftlichen Begründung nicht als Rechtsmittel gegen den schriftlich begründeten Entscheid angesehen werden könne. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Umstände (angebliche Flut von gerichtlichen Sendungen bei der Rückkehr ihrer Geschäftsführerin) stellten kaum einen Säumnisgrund im Sinne von Art. 148 Abs. 1 ZPO dar.
Vor Bundesgericht macht die Beschwerdeführerin geltend, es liege das einzige Aktivum im Streit. Dabei handelt es sich bloss um eine unbelegte Sachverhaltsbehauptung. Zudem behauptet sie nicht, Entsprechendes bereits vor Appellationsgericht behauptet und belegt zu haben. Ausserdem schildert sie den Prozessablauf aus eigener Sicht. Dies ist nicht geeignet, die vorinstanzliche Beurteilung zu entkräften, wonach kaum ein entschuldbarer Säumnisgrund vorliege. Die Beschwerdeführerin macht schliesslich geltend, aufgrund von Art. 119 Abs. 6 ZPO dürfe kein Kostenvorschuss verlangt werden, denn die Rechtsöffnung betreffe Gerichtskosten, wobei ihr in dem mit der Rechtsöffnung zu vollstreckenden Entscheid seinerzeit die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden sei (Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 11. September 2018). Dem von ihr beigelegten Entscheid vom 11. September 2018 lässt sich jedoch nicht entnehmen, dass die unentgeltliche Rechtspflege je Thema jenes Verfahrens war. Im Übrigen verkennt sie den Inhalt von Art. 119 Abs. 6 ZPO. Diese Norm garantiert einzig die Kostenlosigkeit des Gesuchsverfahrens selber (hier also des Gesuchsverfahrens vor Appellationsgericht), nicht aber einmal des Beschwerdeverfahrens gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege (BGE 137 III 470 E. 6 S. 471 ff.), geschweige denn weiterer Verfahren, die bloss indirekt mit früheren Kostenauflagen bzw. früheren Verweigerungen der unentgeltlichen Rechtspflege zusammenhängen. Die Beschwerdeführerin kann damit insgesamt nicht dartun, inwiefern das Appellationsgericht Recht verletzt haben soll, womit die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht genügt (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.; 140 III 115 E. 2 S. 116). Die Beschwerdeführerin ersucht darum, weitere Eingaben einreichen zu dürfen, falls die Begründung ihrer Beschwerde nicht genüge. Mängel in der Begründung können jedoch nicht verbessert werden (BGE 134 II 244 E. 2.4.2 S. 247).
5.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG). Das am 3. April 2020 gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine Entschädigung an die Beschwerdeführerin fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg