Erwägungen:
1.
A._ ist einer von drei Beschuldigten in einem Strafverfahren wegen fahrlässiger Tötung und fahrlässiger schwerer Körperverletzung im Zusammenhang mit einer am 1. März 2014 im U._spital durchgeführten Entbindung, in deren Folge die Patientin verstorben war. A._ war im fraglichen Zeitpunkt Chefarzt der Anästhesie im U._spital.
Am 5. Oktober 2020 ging beim Beschuldigten die Ankündigung der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt über den Abschluss der Untersuchung ein. Dem Beschuldigten wurde eine nicht erstreckbare Frist zur Stellung allfälliger Beweisanträge bis zum 15. Oktober 2020 gesetzt. Die unmittelbar in der Folge beantragten Akten gingen am 12. Oktober 2020 beim Verteidiger des Beschuldigten ein. Mit Schreiben vom 15. Oktober 2020 ersuchte dieser um Fristerstreckung für die Einreichung von Beweisanträgen.
Gleichzeitig stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen den verfahrensleitenden Staatsanwalt. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 17. Februar 2021 gut und wies Staatsanwalt Cabrera an, im Verfahren gegen A._ in den Ausstand zu treten. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erhob gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 17. Februar 2021 mit Eingabe vom 17. März 2021 Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 1B_144/2021).
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt wies am 19. Oktober 2020 das Fristerstreckungsgesuch ab. Dagegen erhob A._ am 26. Oktober 2020 Beschwerde. Am 9. November 2020 ersuchte die Staatsanwaltschaft um Abschreibung der Beschwerde. Den Parteien würde seitens der Staatsanwaltschaft mit separater Verfügung letztmalig Frist bis 5. Dezember 2020 für weitere Parteianträge gewährt. In der Folge ersuchte A._ um einen Entscheid. Trotz gewährter Fristverlängerung bestehe ein Feststellungsinteresse. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess mit Entscheid vom 5. Februar 2021 die Beschwerde teilweise gut und stellte fest, dass die Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör des Beschuldigten verletzt habe, indem sie ihm eine zu kurze Frist ohne Erstreckungsmöglichkeit zur Stellung von Beweisanträgen im Hinblick auf den Abschluss des Untersuchungsverfahrens angesetzt habe.
2.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt mit Eingabe vom 17. März 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 5. Februar 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, der, von hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss Art. 92 BGG abgesehen, nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann. Die Beschwerde gegen den vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheid ist nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 IV 139 E. 4) bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder, was vorliegend von vornherein nicht zutrifft, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
3.1. Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Appellationsgericht habe unter anderem den vorliegend angefochtenen Entscheid dazu verwendet, dem verfahrensleitenden Staatsanwalt Befangenheit vorzuwerfen und den Ausstand zu verfügen. Die Verteidigung habe dies zum Anlass genommen, nach Art. 60 StPO die Wiederholung sämtlicher Untersuchungshandlungen zu fordern, an denen der Staatsanwalt beteiligt war.
3.2. Damit vermag die Beschwerdeführerin keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG aufzuzeigen. Zunächst ist festzuhalten, dass die vorliegend umstrittene Fristansetzung nicht der einzige Verfahrensfehler war, welcher das Appellationsgericht mit Entscheid vom 17. Februar 2021 dem verfahrensleitenden Staatsanwalt vorwarf. Hauptgrund für die Bejahung des Anscheins der Befangenheit bildete ohnehin die Aktennotiz des Staatsanwalts vom 30. September 2020, die gemäss Appellationsgericht "aktenwidrige und herabwürdigende Äusserungen" enthielt. Hinzu kommt, dass die Ausstandsfrage nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist. Die Beschwerdeführerin hat den Ausstandsentscheid des Appellationsgerichts vom 17. Februar 2021 mit Beschwerde vom 17. März 2021 denn auch beim Bundesgericht angefochten (Verfahren 1B_144/2021). Da ein nicht wieder gutzumachender Nachteil weder dargetan noch ersichtlich ist, ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli