Erwägungen:
1.
1.1. A._ steht in einer Auseinandersetzung mit der B._ AG (Psychiatriezentrum in C._/ZH) im Zusammenhang mit einer ihm angeblich verweigerten Behandlung. Am 24. September 2020 wandte er sich an die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich; er verlangte von dieser unter anderem die "Aufklärung des Falles und Mitteilung, wenn Sie das nicht tun wollen". Die Gesundheitsdirektion informierte ihn am 2. Oktober 2020 per E-Mail, dass für das ambulante Psychiatriezentrum der B._ AG in C._/ZH, welche als private Aktiengesellschaft konstituiert sei, keine generelle Aufnahmepflicht bestehe.
1.2. A._ gelangte hiergegen am 5. Oktober 2020 mit mehreren Anträgen an das Generalsekretariat der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich. Dieses informierte ihn mit Schreiben vom 14. Oktober 2020, dass die Direktion nicht die vorgesetzte Behörde der B._ AG in C._/ZH sei; sie nehme lediglich die gesundheitspolizeiliche Aufsicht über diese Institution wahr; es bestehe für sie derzeit kein Anlass tätig zu werden. Sollte A._ an seiner Eingabe im Sinne eines Rekurses festhalten wollen, hätte er diesen direkt der Rekursabteilung des Regierungsrats zuzustellen oder ihr - der Gesundheitsdirektion - mitzuteilen, dass sie das Schreiben vom 5. Oktober 2020 als Rekurs behandeln und an die zuständige Behörde weiterleiten solle. Am 17. Oktober 2020 ersuchte A._ darum, die Eingabe an die "Rekursinstanz des Regierungsrats Zürich" zu übermitteln.
1.3. Am 29. Oktober 2020 teilte der Chef der Rekursabteilung des Regierungsrats A._ mit, dass seine Eingabe vom 5. Oktober 2020 eingegangen sei; es werde demnächst ein "Beschwerdeverfahren" eröffnet. Am 4. November 2020 nahm die Rekursabteilung vom Eingang der Beschwerde "Vormerk"; gleichzeitig gab sie der Gesundheitsdirektion und der B._ AG Gelegenheit zur Stellungnahme. A._ gelangte am 9. November 2020 an die Rekursabteilung des Regierungsrats und kritisierte deren Art der Instruktion; zudem verlangte er den Ausstand des Chefs der Rekursabteilung. A._ beanstandete, dass seine Eingabe "lediglich" als Aufsichtsbeschwerde und nicht als Rekurs bzw. formelles Rechtsmittel entgegengenommen und "die Sache als Aufsichtsbeschwerde abgetan" worden sei.
1.4. Am 16. November 2020 gelangte A._ mit einer als "Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen das Nichtbehandeln des Ausstandsgesuchs vom 09.11.2020 und die rechtsmissbräuchliche und tatsachenwidrige Behandlung eines Rekurses als Aufsichtsbeschwerde vom 9.11.2020 [...]" bezeichnetem Schreiben an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte diesem unter anderem die Behandlung des Ausstandsgesuchs gegen den Chef der Rekursabteilung, die "Wiederherstellung der am 3. November 2020 abgelaufenen Rekursfrist" betreffend die E-Mail der Gesundheitsdirektion vom 2. Oktober 2020 und die Eröffnung und Durchführung eines "ordentlichen streitigen kostenpflichtigen Rekursverfahrens gegen die verweigerte Behandlung" und den "verweigerten Erlass einer anfechtbaren Verfügung der B._ AG in C._/ZH am 23./24.09.2020". Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (Einzelrichter) wies die Beschwerde am 25. November 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
1.5. A._ stellt vor Bundesgericht mit Eingabe vom 15. Dezember 2020 zahlreiche (Feststellungs-) Begehren; er ersucht auch um die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. November 2020. Es wurden für das bundesgerichtliche Verfahren dessen Akten eingeholt.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung, die Sachverhaltsfeststellung und die Anwendung des kantonalen Rechts offensichtlich unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und qualifiziert begründet werden (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen). Soweit die vorliegende Eingabe diesen Anforderungen nicht genügt und über den durch den angefochtenen Entscheid definierten Verfahrensgegenstand hinaus geht, ist darauf nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Über die Eingabe des Beschwerdeführers hat für das Verwaltungsgericht ein Einzelrichter entschieden, da die Beschwerde sich als offensichtlich unzulässig bzw. unbegründet erweise und kein Fall von grundsätzlicher Bedeutung vorliege. Der Beschwerdeführer beanstandet dies, legt aber nicht dar, inwiefern das kantonale Recht diesbezüglich offensichtlich falsch ausgelegt oder angewendet worden sein soll. Es fehlt in diesem Punkt an einer hinreichenden verfassungsbezogenen (Willkür-) Rüge. Der Entscheid des Einzelrichters kann nicht - wie der Beschwerdeführer dies tut - einfach als nichtig bezeichnet werden.
3.2.
3.2.1. Das Verwaltungsgericht ist davon ausgegangen, dass es sich bei der prozessleitenden Verfügung der Rekursabteilung des Regierungsrats vom 4. November 2020 um einen Zwischenentscheid gehandelt habe, der keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirke, weshalb darauf nicht eingetreten werden könne. Die Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerde bezüglich des Ausstandsgesuchs sei abzuweisen, da zwischen diesem und der Beschwerde an das Verwaltungsgericht nur gerade eine Woche liege.
3.2.2. Die entsprechenden Begründungen sind - entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - nicht zu beanstanden: Das Verfahren bei der Rekursabteilung des Regierungsrats ist - soweit ersichtlich - noch hängig. Es wird in diesem zu beurteilen sein, ob Anlass dazu besteht, dem Ausstandsgesuch gegen den Chef der Rekursabteilung zu entsprechen oder nicht. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, kann im Hinblick auf den Zeitablauf (1 Woche) nicht gesagt werden, dass die Rekursabteilung die Behandlung des Ausstandsgesuchs übermässig verzögert hätte; es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass hierüber nicht zeitgerecht entschieden wird.
3.2.3. Der Einwand des Beschwerdeführers, es könne von ihm nicht erwartet werden, dass er für die Behandlung des Ausstandsgesuchs bzw. der Fristwiederherstellung zuerst an die Gesundheitsdirektion oder an die Rekursabteilung des Regierungsrats gelange, ist unberechtigt: Es sind die jeweiligen kantonalen Zuständigkeiten und Verfahren einzuhalten, bevor an das Verwaltungs- oder das Bundesgericht gelangt werden kann. Es liegt hierin keine Verletzung von Verfahrensrechten und insbesondere keine formelle Rechtsverweigerung (Art. 29 BV).
3.2.4. Die Frage, ob die Eingabe des Beschwerdeführers zu Unrecht als Aufsichtsbeschwerde statt als formelles Rechtsmittel entgegengenommen wurde, bildet Gegenstand des kantonalen Rekursverfahrens. Der Regierungsrat wird hierüber und über die diesbezügliche Eingabe des Beschwerdeführers vom 5. Oktober 2020 erst noch zu befinden haben. Gegen seinen Entscheid wird der Beschwerdeführer - bei Erfüllen der Prozessvoraussetzungen - an das Verwaltungsgericht gelangen können.
3.2.5. Mit dem Zwischenentscheid ist - entgegen seiner Kritik - kein nicht wieder gutzumachender Nachteil verbunden (vgl. BGE 144 III 475 E. 1.2 S. 479 mit weiteren Hinweisen) : Die Vorinstanz kann im Endentscheid zugunsten des Beschwerdeführers entscheiden und davon ausgehen, dass zu Unrecht "bloss" ein Aufsichtsverfahren eingeleitet worden ist. Sie war - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - nicht von Verfassungs wegen gehalten, die Frage getrennt von der Sache selber vorweg zu prüfen. Rein tatsächliche Nachteile wie eine Verfahrensverlängerung oder -verteuerung begründen noch keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Da der angefochtene Entscheid diesbezüglich auch vor Bundesgericht einen Zwischenentscheid bildet, kann auf die Eingabe des Beschwerdeführers diesbezüglich nicht eingetreten werden (Art. 93 Abs. 1 BGG). Hinsichtlich des Ausstandsgesuchs besteht noch keine anfechtbare Verfügung, womit das Verwaltungsgericht die potentielle Rechtmässigkeit eines diesbezüglich für den Beschwerdeführer allenfalls negativ ausfallenden Entscheids noch nicht beurteilen konnte und musste.
3.2.6. Das vom Beschwerdeführer gestellte Fristwiederherstellungsgesuch betreffend seine E-Mail vom 2. Oktober 2020 erübrigte sich, nachdem er am 5. Oktober 2020 an die Gesundheitsdirektion gelangt war und seinen "Rekurs" damit rechtzeitig eingereicht hat.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig bzw. unbegründet; sie ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Zur Begründung kann ergänzend auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.2. Der Beschwerdeführer hat die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar