Erwägungen:
1.
Mit Klage vom 15. Juni 2015 beantragte A._ (Beschwerdeführerin) beim Zivilgericht Basel-Stadt, die B._ AG (Beschwerdegegnerin) sei zu verurteilen, ihr Fr. 645'601.-- nebst Zins zu bezahlen und ihr ein Arbeitszeugnis auszustellen. Mit Eingaben vom 6. und 11. Mai 2020 sowie vom 20. Juni 2020 stellte A._ Ausstandsgesuche gegen die verfahrensleitende Zivilgerichtspräsidentin Eva Senn sowie die Gerichtsschreiberin Eva Bachofner. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2020 wies das Zivilgericht die Ausstandsbegehren ab.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 10. März 2021 ab.
A._ hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 23. April 2021 erklärt, diesen Entscheid mit Beschwerde anzufechten, und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Sie stellte ferner die Anträge, das Verfahren sei wegen Befangenheit der Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung nicht von der I. zivilrechtlichen Abteilung durchzuführen und mit den administrativen Arbeiten seien wegen Überschreitung ihrer amtlichen Kompetenzen nicht Frau Priska Grandjean und Herr Beat Andres zu betrauen.
Mit Präsidialverfügung vom 29. April 2021 trat die Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung auf diese Anträge nicht ein, da keine tauglichen Ausstandsgründe geltend gemacht wurden. In der gleichen Verfügung wies sie das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab, unter Hinweis auf die Aussichtslosigkeit der Beschwerde.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
3.
Die Beschwerdeführerin verfehlt diese Begründungsanforderungen. Sie legt einlässlich ihre Interpretation der Verfahrensgeschichte dar und beklagt wiederholt ein "tendenziöses" Vorgehen von Zivilgerichtspräsidentin Eva Senn sowie von Gerichtsschreiberin Eva Bachofner. Diese hätten mit "besonders krassen Rechtsverletzungen" Partei für die Gegenseite ergriffen und nutzten das Verfahren, um sie (die Beschwerdeführerin) mit "rufschädigenden falschen Aussagen" zu "diffamieren", um so "die Voraussetzungen für die Abweisung der Klage zu schaffen". Sie erblickt im angefochtenen Entscheid einen "Rechtsmissbrauch" und nennt verschiedene Gesetzes-, Verfassungs- und Konventionsbestimmungen, die verletzt sein sollen.
Das Appellationsgericht erwog, dass erstens die Behauptungen zu den angeblichen Rechtsverletzungen der abgelehnten Gerichtspersonen der Grundlage entbehrten und diese zweitens ohnehin nicht derart schwer wögen, dass sie eine "schwere Amtspflichtverletzung" bedeuteten und damit einen Ausstandsgrund bildeten. Inwiefern sich diese Begründung nicht mit den verfassungs- und zivilprozessualen Regeln über den Ausstand (Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 47 ff. ZPO) vertragen sollte, tut die Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar dar.
4.
Soweit der Beschwerde immerhin der Vorwurf entnommen werden kann, die Vorinstanz habe in Verletzung von Art. 326 Abs. 1 ZPO auf Tatsachen ("Noven") abgestellt, welche von der Erstinstanz nicht festgestellt worden seien, ist was folgt zu bemerken:
Diese Rüge bezieht sich auf die erstinstanzliche Zustellung einer Verfügung vom 3. Juli 2020 im Ausstandsverfahren. Die Beschwerdeführerin beklagte im kantonalen Verfahren, ihr sei diese Verfügung vom Zivilgericht nicht - beziehungsweise verspätet und erst auf Nachfrage - zugestellt worden. Das Appellationsgericht stützte sich auf gerichtsinterne Akten des Zivilgerichts (von der Beschwerdeführerin als unzulässige "Noven" qualifiziert) und kam zum Schluss, dass diese Verfügung beiden Parteien aufgrund eines administrativen Versehens zunächst nicht zugestellt worden sei. Da auch die Beschwerdegegnerin die Verfügung anfänglich nicht erhalten habe, liege keine Benachteiligung der Beschwerdeführerin vor.
Jedenfalls aber sei diese Verfügung im Ausstandsverfahren ergangen, welches nicht von den abgelehnten Personen (Eva Senn und Eva Bachofner), sondern von anderen Gerichtsmitgliedern instruiert worden sei. Folglich wären - so schliesst das Appellationsgericht - die behaupteten Unregelmässigkeiten von vornherein nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit der abgelehnten Gerichtspersonen zu begründen. Auf diese - hier zusammengefasst wiedergegebene - Begründung kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 Satz 2 BGG). Die Kritik der Beschwerdeführerin ist nicht rechtserheblich.
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle