Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 27. Oktober 2020 erhob die Verfahrensbeteiligte beim Bezirksgericht Uster eine Forderungsklage mit einem Streitwert von Fr. 2'961.35 gegen die Beschwerdeführerin. Mit Eingabe vom 14. Februar 2021 ersuchte die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung. Mit Verfügung vom 15. Februar 2021 setzte ihr das Bezirksgericht Frist an, um hinsichtlich ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu belegen. Am 4. März 2021 gewährte das Bezirksgericht der Beschwerdeführerin eine letztmalige Fristerstreckung bis am 12. März 2021. Die entsprechende Verfügung wurde der Beschwerdeführerin wegen eines Postrückbehaltungsauftrags erst am 1. April 2021 zugestellt. Mit Entscheid vom 30. März 2021 hiess das Bezirksgericht die Klage der Verfahrensbeteiligten gut und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Mit Verfügung vom 20. April 2021 wies das Bezirksgericht ein von der Beschwerdeführerin gestelltes Gesuch um Wiederherstellung der mit Verfügung vom 4. März 2021 bis am 12. März 2021 erstreckten Frist zur Einreichung von Belegen zu ihren Einkommens- und Vermögensverhältnissen ab. Eine von der Beschwerdeführerin gegen die bezirksgerichtliche Verfügung vom 20. April 2021 erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Entscheid vom 1. Juni 2021 ab. Mit Beschluss vom 11. Juni 2021 trat das Obergericht zudem auf die gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege erhobene Beschwerde nicht ein. Mit Urteil vom 24. August 2021 trat das Bundesgericht auf die von der Beschwerdeführerin gegen die beiden erwähnten Entscheide des Obergerichts erhobenen Beschwerden nicht ein (Verfahren 4D_45/2021 und 4D_47/2021).
Mit Entscheid vom 1. Juli 2021 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine von der Beschwerdeführerin gegen das Urteil des Bezirksgerichts Uster vom 30. März 2021 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat; gleichzeitig wies es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Geschäftsnummer PP210034-O/U).
Mit Eingabe vom 13. September 2021 erklärte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich mit der Geschäftsnummer PP210034-O/U vom 30. März 2021 (gemeint: 1. Juli 2021) mit Beschwerde anfechten zu wollen. Gleichzeitig ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
3.
Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 13. September 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Sie zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Juli 2021 auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre. Sie erwähnt zwar Art. 29, Art. 29a, Art. 30-32 und Art. 35 BV, begründet jedoch nicht hinreichend, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmungen verletzt haben soll.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten stehen keine Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann