Sachverhalt:
A.
A._, U._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) mit Sitz in V._ rechtsschutzversichert. Der Versicherungsvertrag enthält eine Schiedsklausel.
Am 16. Februar 2015 wurde die Klägerin Opfer eines Auffahrunfalls. Sie musste wegen eines aus einer Haltestelle herausfahrenden Linienbusses anhalten, worauf auch der nachfolgende Personenwagen anhielt. Der Lenker eines Kleinlastwagens fuhr auf den hinter der Klägerin stehenden Personenwagen auf, wodurch dieser in das Fahrzeug der Klägerin geschoben wurde.
Die Klägerin war in der Folge nicht einverstanden mit dem Angebot zur Regelung des Schadenfalls durch die Haftpflichtversicherung des Unfallverursachers. Sie wollte rechtlich gegen diese und gegen den Unfallverursacher vorgehen. Die Beklagte, bei der die Klägerin rechtsschutzversichert ist, hielt einen Prozess für aussichtslos, weil sie die Gewinnaussichten für beträchtlich geringer als die Wahrscheinlichkeit des Unterliegens ansah.
B.
In der Folge leitete die Klägerin ein Schiedsverfahren gegen die Beklagte ein mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die Einleitung eines Haftpflichtprozesses gegen den Unfallverursacher und dessen Motorfahrzeughaftpflichtversicherung aus dem Unfallereignis vom 16. Februar 2015 nicht als aussichtslos einzustufen sei. Zudem sei die Beklagte "zu verpflichten und anzuweisen, für die Durchführung eines Klageverfahrens gegen den Unfallverursacher und dessen Motorfahrzeughaftpflichtversicherung ihre Versicherungsleistungen gemäss Leistungsversprechen der Verkehrsrechtsschutzpolice Nr. xxx [an die Klägerin] zu erbringen".
Nachdem sich die Parteien über die Person des Schiedsrichters nicht hatten einigen können, ernannte das Kantonsgericht St. Gallen am 26. Februar 2020 einen Einzelschiedsrichter.
Mit Schiedsspruch vom 8. Oktober 2020 wies der Einzelschiedsrichter die Schiedsklage ab. Er erwog, die Klägerin hätte in einem Zivilprozess aufgrund einer realistischen Beurteilung nicht damit rechnen können, mit ihrem Standpunkt durchzudringen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsspruch des Einzelschiedsrichters vom 8. Oktober 2020 aufzuheben und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten und anzuweisen, Kostengutsprache für die Durchführung eines erstinstanzlichen Klageverfahrens gegen den Unfallverursacher und dessen Motorfahrzeughaftpflichtversicherung aus dem Unfallereignis vom 16. Februar 2015 zu erbringen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 143 III 140 E. 1 S. 143; 141 III 395 E. 2.1 S. 397).
1.1. Angefochten ist ein Schiedsspruch über eine Streitigkeit zwischen Parteien, die im Zeitpunkt des Abschlusses der Schiedsvereinbarung ihren Wohnsitz bzw. Sitz in der Schweiz hatten. Weder in der Schiedsvereinbarung noch später haben die Parteien vereinbart, dass die Bestimmungen über die internationale Schiedsgerichtsbarkeit (Art. 176 ff. IPRG [SR 291]) Anwendung finden sollen (vgl. Art. 353 Abs. 2 ZPO). Es gelten somit die Regeln über die interne Schiedsgerichtsbarkeit gemäss dem 3. Teil der Schweizerischen Zivilprozessordnung (Art. 353 ff. ZPO).
Von der durch Art. 390 Abs. 1 ZPO eingeräumten Möglichkeit, als Rechtsmittelinstanz ein kantonales Gericht zu bezeichnen, wurde kein Gebrauch gemacht. Der ergangene Schiedsspruch unterliegt somit der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 389 Abs. 1 ZPO und Art. 77 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2. Die Beschwerdegründe gegen einen Schiedsspruch sind im Vergleich zu denjenigen gegen ein staatliches Urteil eingeschränkt; für der ZPO unterstehende Schiedsentscheide sind sie in Art. 393 ZPO abschliessend aufgezählt. Das Bundesgericht prüft zudem nur die Beschwerdegründe, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (Art. 77 Abs. 3 BGG). Diese Anforderung entspricht der nach Art. 106 Abs. 2 BGG für die Verletzung von Grundrechten vorgesehenen Rügepflicht (BGE 134 III 186 E. 5 S. 187). Die beschwerdeführende Partei muss die einzelnen Beschwerdegründe, die nach ihrem Dafürhalten erfüllt sind, benennen; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, danach zu forschen, welcher Beschwerdegrund nach Art. 393 ZPO mit den einzelnen erhobenen Rügen geltend gemacht werden soll, wenn dies von der beschwerdeführenden Partei im Zusammenhang mit diesen nicht präzisiert wird. Sodann ist im Detail aufzuzeigen, warum die angerufenen Beschwerdegründe erfüllt sind, wobei die Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen des Schiedsgerichts anzusetzen hat (Urteile 4A_35/2020 vom 15. Mai 2020 E. 1.3; 4A_224/2019 vom 11. November 2019 E. 1.2; 4A_338/2018 vom 28. November 2018 E. 1.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt, zu dem namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen, der Inhalt einer Zeugenaussage, einer Expertise oder die Feststellungen anlässlich eines Augenscheins gehören (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (vgl. Art. 77 Abs. 2 BGG, der die Anwendbarkeit von Art. 97 BGG sowie Art. 105 Abs. 2 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von Art. 393 ZPO vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden. Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen des Schiedsgerichts beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im schiedsgerichtlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (Urteil 4A_35/2020 vom 15. Mai 2020 E. 1.4 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 140 III 86 E. 2 S. 90 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft dem Einzelschiedsrichter eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor (Art. 393 lit. e ZPO).
2.1. Gemäss Art. 393 lit. e ZPO kann gegen den Schiedsspruch vorgebracht werden, er sei im Ergebnis willkürlich, weil er auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen oder auf einer offensichtlichen Verletzung des Rechts oder der Billigkeit beruht. Die Umschreibung des Willkürtatbestandes in Art. 393 lit. e ZPO stimmt mit dem Begriff der Willkür überein, den das Bundesgericht zu Art. 9 BV entwickelt hat (BGE 131 I 45 E. 3.4 S. 48). Willkürlich ist ein Entscheid danach nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141 III 564 E. 4.1 S. 566; 140 III 16 E. 2.1 S. 18 f.; 129 I 8 E. 2.1 S. 9).
Die Tatbestände, hinsichtlich derer Willkür im genannten Sinne geltend gemacht werden kann, sind jedoch eingeschränkt. Eine Einschränkung der Willkürrüge betrifft Tatsachenfeststellungen. Es kann einzig offensichtliche Aktenwidrigkeit vorgebracht werden; diese ist nicht mit willkürlicher Beweiswürdigung gleichzusetzen. Offensichtlich aktenwidrige tatsächliche Feststellungen im Sinne von Art. 393 lit. e ZPO trifft das Schiedsgericht dann, wenn es sich infolge Versehens mit den Akten in Widerspruch gesetzt hat, sei es, dass es Aktenstellen übersehen oder ihnen einen anderen als den wirklichen Inhalt beigemessen hat, sei es, dass es irrig davon ausgegangen ist, eine Tatsache sei aktenmässig belegt, während die Akten in Wirklichkeit darüber keinen Aufschluss geben. Aktenwidrigkeit liegt nur vor, wenn das Schiedsgericht bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht; das Ergebnis und die Art und Weise der Beweiswürdigung sowie die darin liegenden Wertungen sind nicht Gegenstand der Willkürrüge, sondern einzig Tatsachenfeststellungen, die von keiner weiteren Würdigung abhängen, weil sie mit den Akten unvereinbar sind (BGE 131 I 45 E. 3.6 und 3.7 S. 49 f.; Urteile 4A_35/2020 vom 15. Mai 2020 E. 3.1; 4A_338/2018 vom 28. November 2018 E. 2; 4A_356/2017 vom 3. Januar 2018 E. 3.1).
2.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, mit ihrer Kritik an der Sachverhaltsdarstellung des angefochtenen Schiedsspruchs sei nachgewiesen, dass der Einzelschiedsrichter bei seiner Beurteilung "aktenwidrig und willkürlich von einem falschen Typ und Gewicht des unfallverursachenden LKW, einer zu tiefen Geschwindigkeit desselben sowie - wegen Nichtbeachtung der sehr kurzen Bremsspur, des Stillstandes der beiden vorderen Fahrzeuge und der Tatsache, dass der Fahrer des BMW (mittleres Fahrzeug) nicht auf der Bremse stand - von einer zu tiefen Auffahrgeschwindigkeit ausgegangen [sei]." Sie wirft dem Einzelschiedsrichter zwar mitunter Aktenwidrigkeit vor, verkennt mit ihren Ausführungen jedoch die Tragweite von Art. 393 lit. e ZPO, zumal Aktenwidrigkeit im Sinne dieser Bestimmung nur vorliegt, wenn das Schiedsgericht bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht, während das Ergebnis und die Art und Weise der Beweisführung nicht Gegenstand der Willkürrüge sind. Abgesehen davon, dass der Einzelschiedsrichter die Behauptung der Beschwerdeführerin als verspätet erachtete, wonach es sich beim unfallversursachenden Fahrzeug um einen Lastwagen (über 3.5 t Leergewicht) und nicht um einen Kleinlastwagen (unter 3.5 t Leergewicht) gehandelt habe, hat er sich mit dem Einwand in einer Eventualbegründung im Einzelnen auseinandergesetzt und diesen aufgrund einer Würdigung der eingereichten Beweismittel und weiterer Dokumente verworfen. Indem sie sich vor Bundesgericht auf den Standpunkt stellt, die Typenbezeichnung LKW 7C15 sei massgebend für die Klassifizierung des Fahrzeugs, wobei die Ziffer 7 für einen Lastwagen von 7.5 Tonnen stehe, übt sie unzulässige Kritik an der Beweiswürdigung des Einzelschiedsrichters. Ausserdem sind die vor Bundesgericht neu angebotenen Beweismittel in Form der zur Edition beantragten Kopie des Fahrzeugausweises, des Fahrtenschreibers und der Frachtpapiere der entsprechenden Fahrt im Beschwerdeverfahren unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Entgegen den Vorbringen in der Beschwerdeschrift ist daher auf die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Schiedsentscheid abzustellen, nach der es sich beim unfallverursachenden Fahrzeug um einen "Klein-LKW" handelte. Der weitere Einwand der Beschwerdeführerin, die Unfallanalyse der C._ sei basierend auf einem viel zu leichten Fahrzeugtyp erfolgt und deshalb wertlos, stösst damit ins Leere. Auch mit ihrer Kritik am medizinischen Gutachten von Prof. Dr. med. D._ und ihren Ausführungen zur Kopfhaltung im Kollisionszeitpunkt sowie den nach dem Unfallereignis aufgetretenen Beschwerden vermag die Beschwerdeführerin keine Aktenwidrigkeit des Einzelschiedsrichters aufzuzeigen.
Die Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung ist offensichtlich unbegründet.
3.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann