Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1959 geborene A._ ist gelernte Heizungszeichnerin. Seit 12. Februar 2001 war sie bei der B._ AG als Verkaufssachbearbeiterin angestellt. Am 13. Mai 2005 stürzte sie beim Händespülen rückwärts in die Badewanne. Seither klagte sie über Nackenbeschwerden. Am 11. November 2005 wurde sie im Spital C._ an der rechten Schulter operiert. Die Arbeitgeberin kündigte das Arbeitsverhältnis auf den 31. Juli 2006. Am 3. November 2006 meldete sich die Versicherte wegen Halswirbelsäulen-, Rücken-, Schulter- und Knieschmerzen sowie Schlafstörungen und Depressionen bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Seit 14. September 2011 arbeitete sie zu 50 % als Allrounderin in der Schule D._. Die IV-Stelle sprach ihr mit Verfügungen vom 6. November 2011 ab 1. November 2006 bis 31. März 2007 sowie ab 1. März 2008 bis 31. August 2008 eine ganze Invalidenrente und ab 1. September 2008 eine halbe Invalidenrente zu.
A.b. Im Januar 2013 eröffnete die IV-Stelle eine Rentenüberprüfung gestützt auf die Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket). Mit Verfügung vom 28. August 2013 hob sie die Invalidenrente auf Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats auf. Am 18. November 2014 wurde die Versicherte in der Schulthess Klinik, Zürich, am linken Fuss operiert. Ihre Beschwerde gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 28. August 2013 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich teilweise gut und wies die Sache zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens und anschliessenden Neuverfügung über den weiteren Rentenanspruch der Versicherten an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 29. Juni 2015).
A.c. Die IV-Stelle holte ein polydisziplinäres Gutachten der medexperts AG, St. Gallen, vom 18. Juli 2016 ein. Mit Verfügung vom 9. November 2017 hob sie die Invalidenrente auf Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats auf.
B.
In Gutheissung der hiergegen geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Verfügung der IV-Stelle auf und stellte fest, die Versicherte habe weiterhin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (Entscheid vom 13. August 2019).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihre Verfügung vom 9. November 2017 zu bestätigen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
Die Vorinstanz macht geltend, sie habe die Wiedererwägung der ursprünglichen Rentenverfügung der IV-Stelle vom 6. Januar 2011 mit dem in Rechtskraft erwachsenem Rückweisungsentscheid vom 29. Juni 2015 abgelehnt, weshalb darauf nicht mehr zurückgekommen werden könne. Die Versicherte schliesst auf Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell auf deren Abweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mir Verfügung vom 21. Januar 2020 erteilte die Instruktionsrichterin der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 153 E. 1.1 S. 154).
2.
2.1. Das kantonale Gericht erwog im Wesentlichen, aufgrund der medizinischen Aktenlage sei bei der Beschwerdegegnerin eine revisionsrechtlich (Art. 17 Abs. 1 ATSG) erhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes bzw. Steigerung der Arbeitsfähigkeit nicht ersichtlich. Somit liesse sich die Rentenaufhebung nur mit der substituierten Begründung der zweifellosen Unrichtigkeit der Rentenverfügung vom 6. Januar 2011 rechtfertigen. Eine qualifizierte Unrichtigkeit sei jedoch entgegen der IV-Stelle aufgrund der Feststellungen im Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Juni 2015 zu verneinen.
2.2. Die IV-Stelle bestreitet das Fehlen der Revisionsvoraussetzungen nach Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht. Sie rügt aber eine Verletzung von Art. 53 Abs. 2 ATSG. Die Vorinstanz gehe offenbar davon aus, mit ihrem Entscheid vom 29. Juni 2015 liege in Bezug auf den Wiedererwägungsgrund der zweifellosen Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenzusprache ein rechtskräftiger Entscheid vor. Dies sei jedoch nicht der Fall. Das Dispositiv dieses Entscheides habe lediglich auf Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens und anschliessenden Neuverfügung über den Rentenanspruch gelautet. Ein Verweis auf die Erwägungen finde sich nicht. Auch sei die Feststellung, es könne nicht ohne Weiteres von einer zweifellosen Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenzusprache ausgegangen werden, nicht Teil des Dispositivs. Dem vorinstanzlichen Entscheid vom 29. Juni 2015 komme daher in Bezug auf das Vorliegen eines Wiedererwägungsgrundes keine Bindungswirkung zu und die entsprechende Frage sei frei zu prüfen.
2.3. Das kantonale Gericht bringt vor, nach § 26 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer) werde dem neuen Entscheid die rechtliche Beurteilung zugrunde gelegt, mit dem die Rückweisung begründet worden sei. Dies habe zur Folge, dass über die Frage der Wiedererwägung nicht mehr befunden werden könne. Die IV-Stelle wäre gehalten gewesen, den kantonalen Rückweisungsentscheid vom 29. Juni 2015 anzufechten.
2.4. Die Beschwerdegegnerin beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde. Denn der vorinstanzliche Entscheid vom 29. Juni 2015 sei hinsichtlich der Verneinung der zweifellosen Unrichtigkeit der Verfügung der IV-Stelle vom 6. Januar 2011 materiell in Rechtskraft erwachsen.
3.
3.1. Der kantonale Entscheid vom 29. Juni 2015 ist in formelle Rechtskraft erwachsen. Streitig und zu prüfen ist, ob er hinsichtlich der Verneinung der zweifellosen Unrichtigkeit der rentenzusprechenden Verfügung der IV-Stelle vom 6. Januar 2011 auch materiell rechtskräftig ist.
3.2. Rechtsprechungsgemäss bestimmt das Bundesrecht über die materielle Rechtskraft eines Entscheids, soweit - wie hier - der zu beurteilende Anspruch auf Bundesrecht beruht (BGE 144 I 11 E. 4.2 S. 14). Nicht stichhaltig ist somit die Berufung des kantonalen Gerichts auf § 26 Abs. 2 GSVGer.
3.3.
3.3.1. Materielle Rechtskraft bedeutet Massgeblichkeit eines formell rechtskräftigen Urteils in jedem späteren Verfahren unter denselben Parteien (BGE 139 III 126 E. 3.1 S. 128 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 142 III E. 2 S. 212). Nach der Rechtsprechung erwächst der Entscheid nur in jener Form in Rechtskraft, wie er im Urteilsdispositiv zum Ausdruck kommt, doch ergibt sich dessen Tragweite vielfach erst aus einem Beizug der Urteilserwägungen, namentlich im Falle einer Klageabweisung. Nicht zur Urteilsformel gehören die tatsächlichen Feststellungen und die rechtlichen Erwägungen des Entscheids. Sie haben in einer anderen Streitsache keine bindende Wirkung. Gleiches gilt für Feststellungen zu präjudiziellen Rechtsverhältnissen oder sonstigen Vorfragen sowie für weitere Rechtsfolgen, die sich aus dem Inhalt des Urteils mit logischer Notwendigkeit ergeben. Sie sind bloss Glieder des Subsumtionsschlusses, die für sich allein nicht in materielle Rechtskraft erwachsen (BGE 121 III 474 E. 4a S. 478; vgl. auch BGE 141 III 257 E. 3.2 S. 259; 139 III 126 E. 3.1 S. 128; 123 III 16 E. 2a S. 18 f.; Urteil 8C_630/2015 vom 17. März 2016 E. 3.2.1).
3.3.2. Zu verweisen ist sodann auf die - noch unter der Herrschaft des Ende 2006 aufgehobenen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) ergangene - Rechtsprechung gemäss BGE 113 V 159. Danach ist die Anfechtung der Motive eines Rückweisungsentscheides, auf die im Dispositiv verwiesen wird, zulässig (vgl. auch BGE 126 V 5 E. 2c S. 10; 125 V 413 E. 2c S. 416, je mit Hinweisen). An der Verbindlichkeit des auf die Erwägungen verweisenden kantonalen Rückweisungsentscheides für die Verwaltung im Falle der Nichtanfechtung hat sich mit dem Inkrafttreten des BGG am 1. Januar 2007 nichts geändert. Die Verbindlichkeit des auf seine Motive verweisenden Rückweisungsentscheides für die Verwaltung bedeutet umgekehrt auch unter der Herrschaft des BGG, dass die Erwägungen eines Rückweisungsentscheides, dessen Dispositiv nicht auf die Motive verweist, für die Verwaltung nicht verbindlich sind (Urteil 8C_630/2015 vom 17. März 2016 E. 3.2.2; vgl. auch Urteil 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 1.3, nicht publ. in: BGE 137 I 327, aber in: SVR 2012 IV Nr. 26 S. 107).
4.
4.1. Das Dispositiv des kantonalen Entscheides vom 29. Juni 2015 lautet: "In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird die angefochtene Verfügung vom 28. August 2013 aufgehoben und die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit diese ein polydisziplinäres Gutachten einhole und hernach über den weiteren Rentenanspruch der Beschwerdeführerin neu verfüge". In den Erwägungen wird sodann im Wesentlichen festgehalten, aufgrund der Aktenlage sei nicht klar ersichtlich, ob die ursprüngliche Rentenzusprache tatsächlich aufgrund eines pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne nachweisbare organische Grundlage beruht habe. Dies rühre vom Versäumnis der IV-Stelle her, die Versicherte seinerzeit umfassend, mithin polydisziplinär, begutachten zu lassen. Die Aktenlage lasse somit keinen Entscheid zu, ob die Grundvoraussetzung einer Revision im Sinne der Schlussbestimmungen zur 6. IVG-Revision überhaupt gegeben sei. Aus demselben Grund könne auch nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass die ursprüngliche Rentenzusprache unrichtig im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG gewesen sei. Nicht ohne Weiteres teilen lasse sich aufgrund der Aktenlage auch der Schluss der IV-Stelle, bei der Versicherten bestehe nach wie vor ein pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Beschwerdebild ohne nachweisbare organische Grundlage. Denn es sei nicht erkennbar, ob und bejahendenfalls in welchem Umfang die dokumentierten körperlichen Beeinträchtigungen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit hätten. Die Sache sei somit nicht spruchreif.
4.2. Die vorinstanzliche Verneinung der Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenzusprache vom 6. November 2011 im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG ist weder durch Verweis auf die Erwägungen noch durch ausdrückliche Erwähnung Teil des Dispositivs (vgl. auch Urteil 8C_630/2015 vom 17. März 2016 E. 3.2.3).
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz bringen im Wesentlichen vor, eine Rückweisung zu weiteren medizinischen Abklärungen wäre nicht statthaft bzw. hinfällig gewesen, wenn die ursprüngliche Rentenzusprache zweifellos unrichtig gewesen wäre. Es hätte die Abweisung der Beschwerde mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung erfolgen müssen. Da der Rückweisungsentscheid vom 29. Juni 2015 aber unangefochten in Rechtskraft erwachsen sei, könne auf diesen (dem Dispositiv zwingend inhärenten) Punkt nicht mehr zurückgekommen werden. Diese Einwände sind nicht stichhaltig. Eine Rückweisung zu medizinischen Abklärungen hätte nämlich auch bei Bejahung der zweifellosen Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenzusprache erfolgen müssen, da diesfalls der Rentenanspruch für die Zukunft ("ex nunc et pro futuro") in all seinen Teilen neu zu prüfen ist (BGE 144 I 103 E. 4.4.1 S. 109; SVR 2019 UV Nr. 1 S. 41, 8C_525/2017 E. 7.3; Urteil 8C_235/2019 vom 20. Januar 2020 E. 3.2). Es kann somit nicht gesagt werden, die Tragweite des Dispositivs ergebe sich nur unter Einbezug der Verneinung der zweifellosen Unrichtigkeit der Rentenzusprache vom 6. Januar 2011 (vgl. auch Urteil 8C_630/2015 vom 17. März 2016 E. 3.2.3).
In diesem strittigen Punkt ist der kantonale Entscheid vom 29. Juni 2015 somit nicht in materielle Rechtskraft erwachsen, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
5.
5.1. Nach dem Gesagten ist zu prüfen, ob die am 6. November 2011 verfügte Zusprache einer halben Invalidenrente ab 1. September 2008 zweifellos unrichtig im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG war (hierzu vgl. BGE 141 V 405 E. 5.2 S. 414). Aus Rechtsschutzgründen (kein Verlust der ersten und einzigen gerichtlichen Instanz mit freier Beweiswürdigung) ist die Sache zur entsprechenden Anhandnahme an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. auch Urteil 9C_309/2017 vom 13. Juli 2017 E. 3.3.2). Auf die diesbezüglichen materiellen Vorbringen der Parteien ist daher nicht einzugehen.
5.2.
5.2.1. Zudem steht folgende ergänzende Begründung der Vorinstanz im Raum: Die Versicherte sei bei Erlass der rentenaufhebenden Verfügung vom 9. November 2017 älter als 55 Jahre gewesen. Die IV-Stelle sei davon ausgegangen, sie sei nunmehr in der angestammten Tätigkeit zu 80 % arbeitsfähig. Es sei aber nicht ersichtlich, dass sie die Zumutbarkeit der Selbsteingliederung der Versicherten geprüft, diese verlangt oder ihr diesbezüglich Hilfe angeboten habe. Auch unter diesem Gesichtspunkt sei die Rentenaufhebung nicht rechtens (vgl. Urteil 8C_235/2019 vom 20. Januar 2020 E. 3.2.1 zur Prüfung (vorgängiger) befähigender beruflicher Massnahmen, wenn die (revisions- oder wiedererwägungsweise) Herabsetzung oder Aufhebung der Invalidenrente eine versicherte Person betrifft, die das 55. Altersjahr zurückgelegt oder die Rente seit mehr als 15 Jahren bezogen hat).
5.2.2. Die IV-Stelle rügt, Eingliederungsmassnahmen seien nicht zu prüfen gewesen, da bei der Versicherten keine erhebliche invaliditätsbedingte arbeitsmarktliche Desintegration bestehe. Sie beruft sich auf das Urteil 8C_394/2017 vom 8. August 2017 E. 4.3.
Falls die wiedererwägungsweise Neubeurteilung ergibt, dass die Beschwerdegegnerin für die Zukunft keinen oder einen geringeren Rentenanspruch hat, wird die Vorinstanz zu diesen Einwänden der IV-Stelle Stellung zu nehmen haben. Wenn sie den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Eingliederungsmassnahmen weiterhin bejaht, hat sie die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese solche Massnahmen durchführe und anschliessend über die Aufhebung des Rentenanspruchs neu verfüge (vgl. auch Urteil 8C_235/2019 vom 20. Januar 2020 E. 3.2.3).
6.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 141 V 281 E. 11.1 S. 312).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. August 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar