Erwägungen:
1.
Am 17. Mai 2017 erteilte das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau A._ die Bewilligung zur selbstständigen Ausübung des Berufs als Pflegefachmann im Kanton Thurgau in einem Pensum von 10 %. A._ betreibt die Einzelunternehmung B._. Das Amt für Gesundheit des Kantons Thurgau wies am 29. August 2017 darauf hin, dass die Einzelunternehmung in ihrer Homepage unter anderem pflegerische Leistungen anbiete, wofür eine gesundheitspolizeiliche Bewilligung erforderlich wäre; entweder müsse ein entsprechender Antrag gestellt oder bis zum 15. September 2017 eine Bestätigung vorgelegt werden, dass keine Pflegeleistungen gemäss dem Bundesgesetz vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) erbracht würden; pflegerische Leistungen seien bis zur erteilten Bewilligung einzustellen. Nach mehrfachem Schriftenwechsel über die Natur der von der Einzelunternehmung erbrachten Dienstleistungen stellte das Amt für Gesundheit mit aufsichtsrechtlicher Beanstandung vom 5. Oktober 2017 fest, dass auch die mittlerweile angepasste Homepage nach wie vor viele ganz klare und eindeutige Hinweise enthalte, dass Betreuende oder hauswirtschaftliche Mitarbeitende pflegerische Tätigkeiten ausführten; die Unternehmung entspreche mit ihrem Auftritt den einschägigen gesundheitsrechtlichen Vorgaben nicht; es werde darum gegen A._ ein aufsichtsrechtliches Administrativverfahren eröffnet. Am 8. Oktober 2017 ersuchte dieser das Amt für Gesundheit, seine Bewiligung als freiberuflicher Pflegefachmann zurückzunehmen, da er unter diesen Umständen im Kanton Thurgau keine Pflegeleistungen erbringen könne. Dem Schreiben beigelegt war sein Bewilligungsdokument, versehen mit der handschriftlichen Eintragung "Hiermit gebe ich die Bewilligung zurück".
Mit Entscheid vom 2. November 2017 hob das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau die an A._ erteilte Bewilligung zur selbstständigen Ausübung des Berufs als Pflegefachmann zu einem Beschäftigungsgrad von 10 % auf. Sodann hielt das Departement mit einem weiteren Entscheid vom 21. Februar 2018 fest, dass A._ gegen §§ 21 und 24 des thurgauischen Gesetzes vom 3. Dezember 2014 über das Gesundheitswesen (GG) verstossen habe. Es sprach einen aufsichtsrechtlichen Verweis aus und wies das Amt für Gesundheit an, der zuständigen Staatsanwaltschaft ihren Entscheid im Sinne einer Strafanzeige zu übermitteln.
Gegen beide Departementsentscheid gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses fällte am 19. September 2018 zwei Entscheide. Mit Entscheid VG.2017.173/E wies es die Beschwerde betreffend Aufhebung der Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung ab. Mit Entscheid VG.2018.18/E hiess es die Beschwerde betreffend aufsichtsrechtliche Massnahme teilweise insofern gut, als es einen Verstoss gegen § 24 GG verneinte und auf einen Verstoss bloss gegen § 21 GG erkannte; im Übrigen wies es die Beschwerde ab, unter Anpassung der vorinstanzlichen Kostenregelung.
Mit einer Eingabe vom 9. Oktober 2018 hat A._ gegen beide Entscheide des Verwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Mit Schreiben vom 15. Oktober 2018 wurde er auf die gesetzlichen Anforderungen, denen Rechtsschriften zu genügen haben (namentlich Begründungspflicht), denen die bisherige Eingabe nicht genügen dürfte, hingewiesen, und es wurde die Möglichkeit erwähnt, dass die Beschwerde innert der noch offenen Beschwerdefrist entsprechend verbessert werden könne. Weitere Eingaben des Beschwerdeführers datieren vom 24. Oktober 2018 (nebst Kopie einer E-Mail an die Zeitung Blick vom 23. Oktober 2018 nochmals Exemplar der Rechtsschrift vom 9. Oktober 2018) und vom 30. Oktober 2018 (Beschwerdeergänzung).
2.
Angefochten sind zwei Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau, und es wurden entsprechend die zwei Verfahren 2C_913/2018 und 2C_914/2018 eröffnet. Sie können angesichts der Identität der Verfahrensbeteiligten, des für beide angefochtenen Entscheide zu einem erheblichen Teil je gleichen massgeblichen Sachverhalts und des Umstands, dass der Beschwerdeführer denn auch nur eine Rechtsschrift verfasst hat, in sinngemässer Anwendung (vgl. Art. 71 BGG) von Art. 24 Abs. 2 BZP vereinigt werden.
3.
3.1. Dem Beschwerdeführer wurde bereits im Schreiben vom 15. Oktober 2018 erläutert, welchen formellen Anforderungen Rechtsschriften, namentlich hinsichtlich der Beschwerdebegründung, zu genügen haben. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen oder Rechtsgrundsätze die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht (vorliegend auf kantonalem Verfahrensrecht), kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG besonderer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 I 36 E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
3.2. Die angefochtenen Entscheide sind in Anwendung kantonalen Rechts ergangen (der Entscheid VG.2017.173/E namentlich gestützt auf § 13 Ziff. 3 in Verbindung mit den §§ 9 Abs. 2 und 33 GG, der Entscheid VG.2018.18/E gestützt auf die §§ 24 und 21 GG, unter Berücksichtigung von bundesrechtlichen Verordnungsbestimmungen zum KVG). Dies schliesst zwar nicht aus, dass die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden kann, soweit die Anwendung des kantonalen Rechts unmittelbar zu einer entsprechenden Rechtsverletzung führen kann. Voraussetzung ist angesichts von Art. 42 Abs. 2 BGG indessen, dass wenigstens in den Grundzügen dargetan wird, welche bundesrechtliche Norm in welcher Weise verletzt worden sei. Dies tut der Beschwerdeführer auch nicht ansatzweise. Namentlich wird aus den Darlegungen in der Beschwerdeergänzung vom 30. Oktober 2018 nicht klar, inwiefern die beiden angefochtenen Entscheide des Verwaltungsgerichts einen Verstoss gegen das Bundesgesetz vom 6. Oktober 1995 über Kartelle und andere Wettbewerbsbeschränkungen (Kartellgesetz, KG; SR 251) durch das Amt für Gesundheit des Kantons Thurgau rechtsverletzend schützen würde bzw. welche Normen das Kartellgesetzes durch die Handhabung des kantonalen Rechts durch das Verwaltungsgericht missachtet worden sein könnten. Inwiefern sodann bei der Anwendung des kantonalen Rechts in anderer Weise gegen schweizerisches Recht, namentlich gegen verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verstossen soll (s. vorstehend E. 3.1 am Ende), lässt sich seinen Eingaben nicht entnehmen.
Die Beschwerde enthält offensichtlich in keinerlei Hinsicht eine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Damit kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer überhaupt ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde hat, was Voraussetzung für seine Beschwerdeberechtigung wäre (Art. 89 Abs. 1 BGG), nachdem er am 23. Oktober 2018 der Redaktion der Zeitung "Blick" mitgeteilt hat, die Existenz als Kleinbetrieb im Dienste für ältere Menschen werde aufgegeben.
3.3. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.4. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_913/2018 und 2C_914/2018 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- (für die vereinigten Verfahren insgesamt) werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller