Faits :
A.
Par décision du 30 avril 2019, confirmée sur opposition le 17 juillet suivant, la caisse de chômage du canton de Berne a nié le droit de A._ aux indemnités de chômage à compter du 1 er janvier 2019 et a requis la restitution des prestations déjà versées pour les mois de janvier et février 2019.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 17 juillet 2019, la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne l'a rejeté par jugement du 30 avril 2020.
C.
Par écritures des 22 mai et 3 juin 2020, A._ forme un recours contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il requiert en outre la gratuité de la procédure.
Considérant en droit :
1.
Aux termes de l'art. 108 al. 1 let. b LTF, le président de la cour décide en procédure simplifiée de ne pas entrer en matière sur les recours dont la motivation est manifestement insuffisante (art. 42 al. 2 LTF). Il peut confier cette tâche à un autre juge (art. 108 al. 2 LTF).
2.
2.1. Selon l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, en exposant en quoi l'acte attaqué est contraire au droit. Pour satisfaire à l'obligation de motiver, la partie recourante doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit, de telle sorte que l'on comprenne clairement, à la lecture de son exposé, quelles règles de droit auraient été, selon elle, transgressées par l'autorité cantonale (ATF 142 I 99 consid. 1.7.1 p. 106 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). A cet égard, la partie recourante ne peut critiquer les faits constatés par l'autorité précédente que s'ils ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
3.
En l'espèce, la juge cantonale ont d'abord relevé que l'assurance-chômage visait à garantir aux assurés une compensation convenable du manque à gagner causé notamment par le chômage (art. 1a al. 1 LACI [RS 837.0]), de sorte que la couverture du minimum vital de la personne concernée ne jouait aucun rôle dans l'examen du droit aux prestations. En ce qui concernait ensuite l'indemnisation du recourant pour les mois de janvier et février 2019, elle a retenu que la caisse de chômage avait calculé le gain assuré indemnisable en fonction d'une employabilité de 46 % (compte tenu d'une "invalidité de 54 %"), ce qui aboutissait à un gain assuré de 3084 fr. et à une indemnité journalière de 113 fr. 70. Au moment des décisions de la caisse de chômage, le degré d'invalidité de 54 % faisait en outre toujours foi, malgré un préavis de l'Office AI du 9 mai 2019, avertissant le recourant que sa demi-rente serait supprimée avec effet au 31 décembre 2018. De surcroît, le recourant avait débuté une activité d'infirmier diplômé à un taux d'occupation de 60 % à partir du 1 er janvier 2019 pour une durée indéterminée et un salaire mensuel brut de 3870 fr, sans en informer les autorités de chômage. Or un tel revenu était largement supérieur tant au gain assuré qu'aux indemnités de chômage versées en janvier et février 2019, dont les montants bruts respectifs étaient de 2353 fr. 95 et de 2541 fr. 30. Le recourant n'avait donc pas subi de perte de gain. En conclusion, face à l'état de surindemnisation alors existant, il incombait à l'intimé de se prononcer, dans le délai d'un an dès la connaissance des faits (art. 25 al. 2 LPGA [RS 830.1]), sur les indemnités de janvier et février à restituer, ce qu'il avait fait. Eu égard aux renseignements lacunaires fournis par le recourant, les conditions posées à une révision procédurale étaient en outre manifestement remplies (art. 53 al. 1 LPGA). Enfin, le montant de la restitution équivalait à juste titre à l'entier des indemnités de chômage versées pour les mois de janvier et février 2019.
4.
4.1. Dans ses écritures, le recourant soutient en substance qu'il devait être indemnisé à 100 % par l'assurance-chômage durant les mois de janvier et février 2019 et qu'il a subi une perte de gain de plus de 30 %, voire 40 %. Il conteste en particulier son taux d'invalidité de 54 %, en se prévalant d'une décision de l'AI du 8 mai 2020 ne lui reconnaissant pas le droit à une rente d'invalidité durant les mois litigieux, et fait valoir que son emploi à 60 % ne lui permettait pas de couvrir son minimum vital et que les manoeuvres de la caisse de chômage lui ont valu un licenciement, pour lequel il demande réparation.
4.2. Cela étant, le recourant se contente de contester les considérations de la juge unique sans toutefois soutenir que celle-ci aurait établi les faits de manière manifestement inexacte ni démontrer en quoi elle aurait mal appliqué le droit. L'exposé du recourant repose en outre sur une preuve nouvelle, postérieure au jugement entrepris, qui ne peut pas être présentée en procédure fédérale à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente, ce qui n'est pas le cas en l'espèce (art. 99 al. 1 LTF). Enfin, en tant qu'elle concerne le licenciement, son argumentation s'écarte de l'objet du litige tel qu'il est circonscrit par la décision attaquée (ATF 139 IV 1 consid. 4.3 in fine p. 10). Il s'ensuit que le recours ne répond manifestement pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, de sorte qu'il doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'art. 108 LTF.
5.
Au vu des circonstances, il convient de renoncer exceptionnellement à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF), ce qui rend sans objet la demande d'assistance judiciaire.
Par ces motifs, le Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 24 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique : Abrecht
La Greffière : Castella