Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1961; nachfolgend: die Steuerpflichtige) unterbreitete der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt sinngemäss ein Revisionsgesuch. Die Steuerrekurskommission trat mit einzelrichterlichem Entscheid STRK.2020.87 vom 17. März 2021 auf das Gesuch nicht ein, wogegen die Steuerpflichtige an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt gelangte.
1.2. In ihrer Eingabe an das Appellationsgericht ersuchte die Steuerpflichtige auch um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Präsidialverfügung VD.2021.54 vom 3. Juni 2021 wies das Appellationsgericht das Gesuch ab. Die Begründung ging im Wesentlichen dahin, dass ein Revisionsgesuch innerhalb von 90 Tagen seit Entdeckung des Revisionsgrundes zu erheben sei, wobei die um Revision ersuchende Person aufzuzeigen habe, in welchem Zeitpunkt sie vom Revisionsgrund erfahren habe. Die Steuerpflichtige wolle die Tatsache, dass der Vorname der Grossmutter im Familienbüchlein vom 29. September 1998 unzutreffend verzeichnet worden sei, erst anlässlich des Todesfalles ihrer Mutter vom 7. Juni 2020 erfahren haben. Im Rekurs an die Steuerrekurskommission habe sie den massgebenden Zeitpunkt aber nicht genannt, weshalb es im dortigen Verfahren zutreffend zum Nichteintreten gekommen sei. Das im appellationsgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege sei daher zufolge Aussichtslosigkeit der Hauptsache abzuweisen, zumal die Steuerpflichtige auch ihre prozessuale Bedürftigkeit nicht nachgewiesen habe.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juni 2021 (Poststempel) ersuchte die Steuerpflichtige das Bundesgericht sinngemäss, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen. Mit einzelrichterlichem Urteil 2C_473/2021 vom 2. Juli 2021 trat das Bundesgericht im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht ein. Es erkannte, streitig und zu prüfen könne nur sein, ob die Vorinstanz verfassungsrechtlich haltbar geschlossen habe, dass die Steuerpflichtige den Zeitpunkt, in welchem sie die für eine Revision erforderlichen Kenntnis erlangt haben will, nicht aufgezeigt habe, weshalb die Hauptsache sich als aussichtslos erweise (zumal die Prozessarmut nicht nachgewiesen sei). Dabei handle es sich um eine Frage des kantonalen Rechts, was eine Auseinandersetzung unter dem Gesichtspunkt des Verfassungsrechts, insbesondere des allgemeinen Willkürverbots (Art. 9 BV) erfordere. Auch unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliege, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden, unterbleibe jede zumindest beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage. Den gesetzlichen Anforderungen genüge dies nicht (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.4. Die Steuerpflichtige unterbreitet dem Bundesgericht mit Eingabe vom 18. Juli 2021 (Poststempel: 19. Juli 2021) eine "Beschwerde gegen den Kostenentscheid (Art. 110 ZPO) ". In ihrem über weite Strecken nicht ganz einfach verständlichen Schriftstück scheint sie sinngemäss um die Revision des Urteils 2C_473/2021 vom 2. Juli 2021 zu ersuchen.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 1 BGG), abgesehen.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Eine Beschwerde gegen ein bundesgerichtliches Urteil sieht das Gesetz nicht vor. Das Bundesgericht kann auf eines seiner Urteile nur zurückkommen, soweit ein gesetzlicher Revisionsgrund gegeben ist. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund (Art. 121 ff. BGG) zu bezeichnen und aufzuzeigen, inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 2F_4/2021 vom 12. Februar 2021 E. 2.3.1). Zudem ist im Revisionsgesuch darzutun, inwiefern das Dispositiv des revisionsbetroffenen Urteils abzuändern sei (Urteil 4F_16/2018 vom 31. August 2018 E. 1.1). Die Revision darf aber nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder in Frage zu stellen oder gesetzliche Vorschriften über die Rechtsmittelfristen zu umgehen (BGE 143 II 1 E. 5.1; 136 II 177 E. 2.1; 130 IV 72 E. 2.2; Urteil 2C_339/2017 vom 24. Mai 2018 E. 2.1).
2.2. Die gesetzlichen Revisionsgründe unterliegen einem numerus clausus. Weitere Aufhebungs- oder Abänderungsgründe sind unzulässig (Urteil 2C_164/2020 vom 6. Oktober 2020 E. 2.3.3 [zum insofern gleichartigen Art. 51 ff. StHG]). Im vorliegenden Bereich liessen sich Art. 121 BGG ("Verletzung von Verfahrensvorschriften") anrufen oder könnten unechte Noven vorgebracht werden (Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG), die sich auf den Streitgegenstand des revisionsbetroffenen Urteils zu beziehen hätten.
2.3.
2.3.1. Die Steuerpflichtige hätte damit einen der genannten Revisionsgründe (vorne E. 2.2) zu bezeichnen und aufzuzeigen, inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (vorne E. 2.1). Die Steuerpflichtige beschränkt sich in ihrer Eingabe aber hauptsächlich darauf, ihre tatsächlichen Vorbringen zu wiederholen, die sie bereits im Verfahren 2C_473/2021 vorgebracht hatte. Insbesondere macht sie erneut geltend, dass sie vom massgebenden Sachumstand, also dem fehlerhaften Familienbüchlein, erst nach dem Tod ihrer Mutter erfahren habe. Diese Argumentation hat das Bundesgericht bereits berücksichtigt (revisionsbetroffenes Urteil E. 2.2) und dabei festgehalten, dass die Steuerpflichtige die im bundesgerichtlichen Verfahren unerlässliche Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage habe vermissen lassen. Aus diesem Grund war auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.3.2. In Bezug auf diese im Verfahren 2C_473/2021 entscheidende rechtliche Erwägung bringt die Steuerpflichtige im vorliegenden Verfahren weder Einwände vor noch bezeichnet sie überhaupt einen Revisionsgrund. Das sinngemäss gestellte Revisionsgesuch enthält offenkundig keine hinreichende Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Praxisgemäss hat dies dazu zu führen, dass auf das Gesuch nicht einzutreten ist.
2.4. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Im vorliegenden Verfahren stellt die Steuerpflichtige kein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden der Gesuchsstellerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher