Erwägungen:
1.
1.1. Der 1994 geborene A._, von Sri Lanka, reiste am 18. Juni 2015 ohne Identitätspapiere in die Schweiz ein und ersuchte hier um Asyl. Das Staatssekretariat für Migration SEM lehnte das Asylgesuch am 7. Juli 2017 ab und verfügte die Wegweisung aus der Schweiz. Die dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 11. Januar 2018 abgewiesen. Weitere von A._ gestellte Asylgesuche wurden sowohl vom SEM als auch vom Bundesverwaltungsgericht abschlägig beantwortet, letztmals vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 30. April 2021.
1.2. Am 23. Juni 2021 stellte A._ beim Migrationsamt des Kantons St. Gallen ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen gestützt auf Art. 14 Abs. 2 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31). Mit Verfügung vom 22. Oktober 2021 trat das Migrationsamt auf das Gesuch nicht ein. Es begründete seinen Entscheid im Wesentlichen damit, dass dem Gesuchsteller in diesem Verfahren keine Parteistellung zukomme. Auf die dagegen erhobenen Rechtsmittel traten das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen am 7. Januar 2022 und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, am 11. März 2022 nicht ein.
1.3. A._ gelangt mit Eingabe vom 13. April 2022 an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss, es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen zu erteilen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind weitere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt oder Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen betreffen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 und Ziff. 5 BGG) sowie - unter dem gleichen Vorbehalt - gegen Bewilligungsentscheide auf dem Gebiet des Asyls, die von einer kantonalen Vorinstanz ausgehen (Art. 83 lit. d Ziff. 2 BGG). Die Unzulässigkeit gilt aufgrund der Einheit des Verfahrens auch in Bezug auf Nichteintretensentscheide bzw. Rechtsmittelentscheide, mit denen solche Entscheide bestätigt werden (BGE 145 II 168 E. 3; 138 II 501 E. 1.1).
2.2. Nach Art. 14 Abs. 2 AsylG kann der Kanton mit Zustimmung des SEM einer ihm zugewiesenen Person eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn (a) diese sich seit Einreichen des Asylgesuchs mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, (b) ihr Aufenthaltsort den Behörden immer bekannt war und (c) wegen der fortgeschrittenen Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt und (d) keine Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AIG (SR 142.20). Will der Kanton hiervon Gebrauch machen, meldet er dies unverzüglich dem SEM (Art. 14 Abs. 3 AsylG). Der betroffenen Person kommt nur beim Zustimmungsverfahren des SEM Parteistellung zu (Art. 14 Abs. 4 AsylG). Das Bundesgericht hat diese Regelung im Lichte der verfassungsrechtlichen Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) kritisiert; mangels einer unmittelbaren Verfassungsgerichtsbarkeit ist die entsprechende gesetzgeberische Vorgabe bis zu einer allfälligen Anpassung gestützt auf Art. 190 BV jedoch hinzunehmen (BGE 137 I 128 E. 4.3).
2.3. Ungeachtet von Art. 14 Abs. 2 AsylG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Erteilung einer kantonalen Härtefallbewilligung im Rahmen von Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG ausgeschlossen, zumal diese Bestimmung keinen Rechtsanspruch einräumt, sondern die Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen betrifft, die unter den Ausnahmetatbestand von Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG fallen (vgl. E. 2.1 hiervor; vgl. Urteile 2C_564/2021 vom 3. Mai 2022 E. 1.1; 2C_580/2021 vom 4. Oktober 2021 E. 1.1).
Ein anderweitiger potenzieller Bewilligungsanspruch wird nicht in vertretbarer Weise geltend gemacht (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1; 136 II 177 E. 1.1; zur Begründungspflicht hinsichtlich der Eintrittsvoraussetzungen vgl. BGE 134 II 45 E. 2.2.3; 133 II 249 E. 1.1; Urteil 2C_682/2021 vom 3. November 2021 E. 1.1). Insbesondere kann der Beschwerdeführer aus seiner Anwesenheitsdauer in der Schweiz keinen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Schutz des Privatlebens) ableiten, da er sich noch keine zehn Jahre hier aufhält und nichts darauf hinweist, dass er als besonders integriert zu gelten habe (vgl. hierzu BGE 144 I 266 E. 3.5 und 3.9).
Folglich ist das Rechtsmittel als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig.
2.4. Auf die Eingabe kann auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) eingetreten werden, da der Beschwerdeführer keine Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte erhebt, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt ("Star"-Praxis; vgl. BGE 141 IV 1 E. 1.1; 137 II 305 E. 2).
2.5. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig. Es ist darauf mit Entscheid der Abteilungspräsidentin als Einzelrichterin im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Angesichts der konkreten Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov