Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 2001) ist ein in Thailand wohnhafter Schweizerbürger. Nachdem er dort das Gymnasium besucht hatte, stellte er am 10. April 2019 ein Gesuch um Ausbildungsbeiträge für das Ausbildungsjahr 2019/2020 für sein Bachelorstudium "Computer Science" am College of Engineering an der University of U._ in den Vereinigten Staaten, das er im August 2019 begann. Das Amt für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich wies das Gesuch am 25. Juli 2019 und die Einsprache am 31. Oktober 2019 ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wiesen die Bildungsdirektion des Kantons Zürich am 12. April 2021 und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 26. Oktober 2021 ab.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Dezember 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, seinem Gesuch sei stattzugeben und die Höhe des Stipendiums auf Fr. 8'700.-- zu veranschlagen. Weiter ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide betreffend Subventionen, auf die kein Anspruch besteht (Art. 83 lit. k BGG), wobei auch Stipendien als Subventionen gelten (Urteil 2C_698/2020 vom 3. November 2020 E. 1.2.1). Ob auf die beantragten Ausbildungsbeiträge nach kantonalem Recht ein Rechtsanspruch besteht und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, kann mit Blick auf das Folgende offenbleiben.
3.
3.1. Das angefochtene Urteil stützt sich auf kantonales Recht ab. Dieses kann vom Bundesgericht nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten überprüft werden (BGE 141 I 105 E. 3.3.1), wobei eine qualifizierte Rügepflicht besteht (Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 142 II 369 E. 2.1). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 141 IV 369 E. 6.3).
3.2. Das Verwaltungsgericht hat die Beitragsvoraussetzungen dargelegt und erwogen, sowohl unter früherem wie auch unter neuem Recht stelle die Ausrichtung von Stipendien für Ausbildungen an Hochschulen von Drittstaaten die Ausnahme dar. Namentlich müsse im Wohnsitzstaat kein geeignetes Angebot zur Verfügung stehen (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils). In der Folge hat es den Begriff des "geeigneten Angebots" konkretisiert und ausgeführt, dass es nicht darum gehe, aus den weltweiten Studienangeboten das optimale auszuwählen; das Angebot müsse lediglich angemessen und geeignet sein, Studierende auf eine berufliche Tätigkeit vorzubereiten. Es genüge, wenn an einer Hochschule im Wohnsitzstaat ein Studiengang angeboten werde, der zum gewünschten Abschluss führe. Nicht massgebend sei dagegen, ob jegliche Kombination von Haupt- und Nebenfächern im Wohnsitzstaat angeboten werde (vgl. E. 5 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer absolviere an der University of U._ ein Bachelorprogramm in "Computer Science", wobei er Musik als Nebenfach belege. In Thailand bestehe ein Bachelorprogramm "Computer Science & IT", welches auf Englisch angeboten werde. Es sei dem Beschwerdeführer somit möglich, in seinem Wohnsitzstaat zum gewünschten Abschluss zu gelangen, wobei es nicht ins Gewicht falle, dass er in Thailand nicht Musik als Nebenfach nehmen könne (vgl. E. 6 f. des angefochtenen Urteils).
3.3. Mit diesen Erwägungen setzt sich die Beschwerde nicht auseinander.
3.3.1. In Bezug auf die behauptete Gehörsverletzung bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanzen hätten sich nicht mit seinen Argumenten und Beweismitteln auseinandergesetzt. Er führt aber nicht näher aus, welche Argumente oder Beweismittel seiner Ansicht nach nicht (genügend) berücksichtigt worden seien. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, ist dem Anspruch auf rechtliches Gehör genüge getan, wenn aus der Begründung ersichtlich ist, aus welchen Überlegungen die Entscheidinstanz zu ihrem Entscheid gelangt ist (vgl. E. 8 des angefochtenen Urteils). Es ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE 146 II 335 E. 5.1). Diesen Anforderungen wird das angefochtene Urteil ohne Weiteres gerecht. Dass der Rekursentscheid entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen ungenügend begründet gewesen sein soll, bringt der Beschwerdeführer nicht substanziiert vor.
3.3.2. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine willkürliche Anwendung von § 2 des Bildungsgesetzes des Kantons Zürich vom 1. Juli 2002 (BiG/ZH; LS 410.1), wonach das Bildungswesen dem Menschen eine Bildung nach Massgabe seiner Anlagen, Eignungen und Interessen vermittelt, sowie von § 16 der (alten) Stipendienverordnung des Kantons Zürich vom 15. September 2004 (LS 416.1). Er begründet dies damit, dass ihm de facto das Recht zur freien Studienwahl abgesprochen werde bzw. ihm keine Ausbildung unterstützt werde, die seinen Neigungen entspreche. In seinem Wohnsitzstaat Thailand stehe kein geeignetes Angebot zur Verfügung. Mit diesen pauschalen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer offensichtlich nicht mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander, wonach kein Anspruch bestehe, aus dem weltweiten Studienangebot den optimalen Studiengang auszuwählen, sondern es genüge, wenn der gewünschte Abschluss im Wohnsitzstaat zur Verfügung stehe. Er bestreitet sodann weder substanziiert, dass in Thailand ein Bachelorprogramm "Computer Science & IT" auf Englisch absolviert werden könne, noch bringt er detailliert vor, inwieweit sich das in Thailand nicht angebotene Nebenfach Musik negativ auf seinen Abschluss auswirke. Eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht ist damit offensichtlich nicht dargetan.
3.3.3. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Grundsatzes der Rechtsgleichheit rügt (Art. 8 Abs. 1 BV), stellt er ausdrücklich klar, dass er nicht behaupte, andere Gesuchsteller seien bevorzugt behandelt worden. Die Verweigerung der freien Studienwahl verletze die Rechtsgleichheit prinzipiell; es gehe um die Gleichbehandlung von allen Schweizer Bürgern weltweit. Er legt aber nicht dar, auf Grund welcher Rechtsnorm ein grundsätzlicher Anspruch von Schweizer Bürgern bestehen soll, weltweit mit staatlicher Unterstützung einen Studiengang ihrer Wahl zu absolvieren. Deshalb kann von einer Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots offensichtlich keine Rede sein.
3.3.4. Schliesslich stellt der Beschwerdeführer den Antrag, die Vorinstanz habe ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Verwaltungsgericht ist von der Mittellosigkeit des Beschwerdeführers ausgegangen und hat ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung gewährt. Mangels Antrag und Vertretung durch einen Rechtsbeistand hat es die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verweigert. Sodann hat es ihm die rückwirkende unentgeltliche Prozessführung für das Rekursverfahren verweigert, weil er dort keinen Antrag gestellt habe (vgl. E. 9.3 des angefochtenen Urteils). Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Es ist unklar, was er mit seinem Antrag erreichen will (unentgeltliche Prozessführung für das Rekursverfahren oder Beigabe eines Rechtsbeistands). Darauf ist nicht näher einzugehen.
3.4. Zusammenfassend genügt die Beschwerde der Begründungspflicht (vgl. vorne E. 3.1) offensichtlich nicht. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger