Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 21. März 2018 erteilte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt dem Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Basel-Stadt provisorische Rechtsöffnung für Fr. 25'000.-- nebst Zins und für Fr. 20'000.-- nebst Zins, abzüglich bestimmter Teilzahlungen.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Appellationsgericht Basel-Stadt. Mit Verfügung vom 15. August 2018 wies das Appellationsgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Dagegen hat die Beschwerdeführerin am 25. September 2018 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben.
2.
Gegen die angefochtene Verfügung ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 BGG). Die angefochtene Verfügung ist ein Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG. Vorliegend ist die Beschwerde demnach nur zulässig, wenn die angefochtene Verfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Ob dies der Fall ist und die Beschwerdeführerin diesbezüglich ihrer Begründungsobliegenheit genügt, kann angesichts der nachfolgenden Erwägungen offen bleiben.
Die Beschwerde muss Begehren und eine Begründung enthalten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Da es beim Entscheid über die aufschiebende Wirkung um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG geht (BGE 137 III 475 E. 2 S. 477; 134 II 192 E. 1.5 S. 196 f.), kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Das Appellationsgericht hat erwogen, der Aufschub der Vollstreckbarkeit (Art. 325 Abs. 2 ZPO) bilde die Ausnahme. Es müssten dafür besondere Gründe vorliegen, die von der Beschwerdeführerin nachzuweisen oder jedenfalls glaubhaft zu machen seien. Sie berufe sich auf "extreme finanzielle Nachteile" und darauf, dass keine kumulative Schuldübernahme, sondern eine formungültige Bürgschaft vorliege. Das Appellationsgericht hat dazu erwogen, der angefochtene Rechtsöffnungsentscheid habe für die Beschwerdeführerin insofern finanzielle Konsequenzen, als der Gläubiger für die Forderung ein Fortsetzungsbegehren stellen könne, was bei ausbleibender Zahlung zu einer Pfändung führen könne. Diese Rechtsfolge sei aber jedem gutheissenden Rechtsöffnungsentscheid inhärent und könne alleine nicht als besonderer Grund gelten, der die Anordnung der aufschiebenden Wirkung rechtfertigen könnte. Darüber hinausgehende besondere Gründe bzw. besondere schwer wieder gutzumachende Nachteile würden von der Beschwerdeführerin nicht substantiiert vorgebracht. Mit dem blossen Hinweis auf "extreme finanzielle Nachteile" würden diese nicht glaubhaft gemacht, geschweige denn nachgewiesen. Namentlich mache die Beschwerdeführerin nicht geltend, dass sie nicht in der Lage sei, die Forderung zu begleichen oder dass bei einer Zahlung im Falle einer Gutheissung ihrer Beschwerde eine Rückforderung nicht möglich sei.
4.
Vor Bundesgericht verweist die Beschwerdeführerin darauf, dass sie vor dem Appellationsgericht um Rechtsstillstand ersucht habe. Dieses Gesuch sei in der angefochtenen Verfügung nicht behandelt worden. Soweit die Beschwerdeführerin damit auf einen Rechtsstillstand gemäss Art. 57 ff. SchKG abzielt, so ist dieser nicht Gegenstand der angefochtenen Verfügung und damit nicht Thema vor Bundesgericht. Sie legt nicht dar, weshalb das Appellationsgericht ein in diesem Sinne verstandenes Gesuch bereits jetzt hätte behandeln müssen. Soweit sie damit allerdings bloss ihr Gesuch um aufschiebende Wirkung laienhaft in andere Worte gefasst hat, so hat das Appellationsgericht den Antrag behandelt und ihre Einwände zielen an der Sache vorbei.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Appellationsgericht habe sich nicht genügend mit ihrer Begründung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung auseinandergesetzt. Soweit sie dieses Gesuch - nebst den behaupteten finanziellen Nachteilen - mit ihrem Standpunkt in der Sache (an Formmangel leidende Bürgschaft) begründet hat, legt sie jedoch nicht dar, weshalb das Appellationsgericht diesen Punkt im Rahmen der Abwägung, ob aufschiebende Wirkung zu gewähren sei, hätte berücksichtigen müssen. Ebenso wenig legt sie dar, dass die vom Appellationsgericht herangezogenen Kriterien willkürlich wären und weshalb die Abweisung ihres Gesuchs im Ergebnis willkürlich sein soll. Die blosse Behauptung, das Gericht habe willkürlich gehandelt, stellt keine genügende Verfassungsrüge dar.
Die Beschwerdeführerin übergeht sodann, dass es an ihr gelegen hätte darzutun, dass die Bezahlung der Forderung sie in finanzielle Schwierigkeiten bringen würde. Die blosse Wiederholung der Behauptung, sie erleide "finanzielle Nachteile", hilft nicht darüber hinweg, dass sie ihr Gesuch vor der Vorinstanz zu wenig begründet hat, ebenso wenig der Hinweis auf nicht näher genannte, dem Appellationsgericht aber angeblich bekannte Akten. Ihr Einwand, das Appellationsgericht masse sich die Beurteilung ihrer finanziellen Situation an, geht demnach an der Sache vorbei. Inwieweit die Verfügung über die aufschiebende Wirkung eine Vorwegnahme der Beurteilung der Hauptsache darstellen soll, erläutert die Beschwerdeführerin schliesslich nicht nachvollziehbar.
Die Beschwerdeführerin legt demnach nicht ansatzweise in einer den Rügeanforderungen (oben E. 2) genügenden Weise dar, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Da die Beschwerde demnach offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, ist auf sie im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg