Erwägungen:
1.
Mit Schlussverfügung vom 11. Dezember 2018 ordnete die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich die Herausgabe der Vermögenswerte A._s bei der B._ AG (Stamm-Nr....) an die um Rechtshilfe ersuchenden deutschen Behörden an. Die Schlussverfügung wurde A._ am 17. Dezember 2018 an dessen Adresse in der Schweiz zugestellt.
Der in Deutschland tätige Rechtsvertreter von A._ reichte dagegen mit Telefax vom 17. Januar 2019 beim Bundesstrafgericht Beschwerde ein. Das Original der Beschwerdeschrift wurde am 22. Januar 2019 an der Grenze von der schweizerischen Post in Empfang genommen und traf am 23. Januar 2019 beim Bundesstrafgericht ein.
Mit Entscheid vom 29. Januar 2019 trat das Bundesstrafgericht auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die Beschwerdefrist habe am 18. Dezember 2018 zu laufen begonnen und am 16. Januar 2019 geendet. Sowohl die ohnehin nicht fristwahrende Eingabe per Telefax als auch das später nachgereichte Original seien verspätet. Der Entscheid des Bundesstrafgerichts wurde A._ an dessen Adresse in der Schweiz zugestellt.
Mit Eingabe vom 22. Februar 2019 erhebt A._ gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichts Beschwerde. Die Eingabe wurde vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers beim Bundesstrafgericht eingereicht, welches sie mit Schreiben vom 27. Februar 2019 an das Bundesgericht weiterleitete. Im Begleitschreiben weist das Bundesstrafgericht darauf hin, dass der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid innerhalb der Abholfrist bis zum 7. Februar 2019 nicht in Empfang genommen habe und dieser ihm deshalb in der Folge auch per A-Post zugeschickt worden sei.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.
2.
Angesichts der Ausführungen des Bundesstrafgerichts ist fraglich, ob der Beschwerdeführer die zehntägige Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 2 lit. b BGG eingehalten hat. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Frist habe noch nicht zu laufen begonnen, da der vorsitzende Richter am Bundesstrafgericht den Entscheid nicht hinreichend leserlich und damit nicht rechtswirksam unterzeichnet habe. Wie es sich mit all dem verhält, kann offen bleiben, da auf die Beschwerde unabhängig von der Wahrung der Beschwerdefrist nicht einzutreten ist.
3.
Gemäss Art. 84 Abs. 1 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG muss der Beschwerdeführer darlegen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb hier ein besonders bedeutender Fall gegeben sein soll. Das ist auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Die Beschwerde genügt daher den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Da dies offensichtlich ist, ist der Präsident der Abteilung als Einzelrichter zum Entscheid befugt und beschränkt sich dessen Begründung auf eine kurze Angabe des Unzulässigkeitsgrundes (Art. 108 Abs. 1 lit. b und Abs. 3 BGG).
4.
Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold