Considérant en fait et en droit :
1.
1.1. A.A._, ressortissante turque née en 1978, est entrée en Suisse le 22 mai 1999. Elle n'a pas quitté le territoire au terme de son visa touristique.
Le 16 août 1999, elle a épousé D._, ressortissant turc né en 1980, titulaire d'une autorisation d'établissement. Le 3 septembre 2001, elle a obtenu, dans le canton de Vaud, une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Le 30 mars 2005, le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne l'a condamnée à une peine de quarante-cinq jours d'emprisonnement avec sursis pendant trois ans pour infraction aux prescriptions de police des étrangers. Il a été retenu que le mariage de D._ et A.A._ avait été conclu uniquement dans le but que la seconde obtienne une autorisation de séjour. A.A._ avait en réalité toujours vécu en Suisse avec E._, son époux coutumier depuis leur mariage religieux célébré en 1993, qui est également de nationalité turque, est entré en Suisse en même temps qu'elle et séjourne de manière illégale dans ce pays depuis lors. Le divorce des époux D._ a été prononcé le 21 juin 2005.
Le 5 février 2008, A.A._ a donné naissance à B.A._, fille de E._.
Par arrêt du 23 juin 2009, le Tribunal administratif fédéral a confirmé la décision du 18 mai 2006 par laquelle l'Office fédéral des migrations (devenu le 1 er janvier 2015 le Secrétariat d'Etat aux migrations) avait refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de A.A._ proposée par le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) et prononcé le renvoi de Suisse de celle-ci.
Par arrêt du 4 décembre 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté une demande de révision de A.A._. Celle-ci n'a pas respecté l'ordre qui lui a été donné de quitter la Suisse au 28 février 2010. Elle s'est adressée en vain au Conseiller d'Etat en charge du Département de l'intérieur du canton de Vaud pour s'opposer à son renvoi.
1.2. Le 21 décembre 2010, A.A._ a épousé F.A._, ressortissant suisse né en 1948. De ce fait, elle a obtenu, le 11 février 2011, une nouvelle autorisation de séjour.
Le 20 février 2011, A.A._ a donné naissance à une fille, C.A._.
Le 2 avril 2015, les époux A._ ont requis en commun le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale. Ils vivaient séparés depuis octobre 2014.
Par jugement définitif et exécutoire dès le 14 septembre 2016, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a admis l'action en désaveu de paternité déposée en juillet 2015 par F.A._ contre A.A._ et sa fille. C.A._, du fait de l'annulation du lien de filiation, a perdu la nationalité suisse.
2.
Le 14 mars 2017, le Service cantonal a informé A.A._ qu'il était favorable à la poursuite de son séjour et de celui de ses enfants en Suisse, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations.
Par décision du 19 septembre 2017, le Secrétariat d'Etat aux migrations a refusé son approbation et a prononcé le renvoi de Suisse de A.A._ et de ses enfants.
Par arrêt du 15 novembre 2019, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par A.A._ pour elle-même et au nom de ses enfants contre cette décision. En substance, il a retenu que A.A._ avait épousé F.A._ uniquement dans le but d'éluder les prescriptions du droit des étrangers; dès lors invoquer un droit à la prolongation de l'autorisation de séjour sur le fondement de cette union relevait de l'abus de droit.
3.
Contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 15 novembre 2019, A.A._ (ci-après: la recourante 1), agissant pour elle-même ainsi que pour ses enfants B.A._ et C.A._ (ci-après: les recourants 2 et 3), forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et, principalement, au renouvellement de son autorisation de séjour ainsi que de celles de ses enfants. Subsidiairement, elle demande à être mise au bénéfice, avec ses enfants, d'une autorisation provisoire de séjour en Suisse, aucun renvoi n'étant prononcé. Elle requiert par ailleurs l'assistance judiciaire et l'effet suspensif.
Par ordonnance présidentielle du 14 janvier 2020, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Le Tribunal administratif fédéral et le Secrétariat d'Etat aux migrations ont transmis au Tribunal fédéral le dossier de la cause. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
4.
4.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
La recourante 1 fait valoir un droit à la prolongation de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 50 al. 1 let. a ou b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20; avant le 1 er janvier 2019, LEtr [RO 2007 5437]). Dès lors que le contenu de l'art. 50 LEI diffère en partie de l'art. 50 LEtr et eu égard aux dispositions transitoires (art. 126 al. 1 LEI), il sera fait référence ci-après à la LEtr. L'art. 50 LEtr confère, à certaines conditions, un droit à la poursuite du séjour notamment au conjoint d'un ressortissant suisse après la dissolution de la famille. Comme il n'est pas d'emblée exclu que les conditions de cette disposition soient remplies en l'espèce, le recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte concernant la recourante 1. Le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités fédérales ont refusé l'application de cette disposition en retenant une situation d'abus de droit relève du fond et non de la recevabilité (arrêt 2C_1055/2015 du 16 juin 2016 consid. 1).
S'agissant des recourants 2 et 3, ils peuvent prétendre à la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH dès lors qu'ils sont mineurs et qu'il n'est à ce stade pas exclu que leur mère obtienne une autorisation de séjour en vertu de l'ancien art. 50 LEtr (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287; arrêt 2C_547/2017 du 12 décembre 2017 consid. 1.2). La voie du recours en matière de droit public est donc également ouverte les concernant, étant toutefois précisé que leur sort dépend de l'issue du recours de leur mère.
4.2. Au surplus, le recours remplit les conditions des art. 42 al. 2 et 82 ss LTF. Il convient donc d'entrer en matière, sous la réserve qui suit.
4.3. La conclusion subsidiaire des recourants tendant à l'octroi d'une admission provisoire est, en vertu de l'art. 83 let. c ch. 3 LTF, irrecevable (cf. ATF 137 II 305 consid. 1.1 p. 307; arrêt 2C_145/2019 du 24 juin 2019 consid. 1.3).
5.
5.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358; 139 II 373 consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. art. 106 al. 2 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288). Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (ATF 141 IV 369 consid. 6.3 p. 375).
5.2. En l'occurrence, les recourants indiquent se référer à l'état de fait retenu dans l'arrêt du Tribunal administratif fédéral, mais y apportent librement une série de "précisions". Dans la mesure où ils n'invoquent pas, ni a fortiori ne démontrent, que les faits auraient été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit par le Tribunal administratif fédéral, la Cour de céans n'a pas à tenir compte des éléments qu'ils avancent. Elle statuera donc uniquement sur la base des faits retenus dans l'arrêt entrepris.
6.
Le litige porte sur le refus d'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations à la poursuite du séjour en Suisse des recourants.
7.
La recourante 1 fait valoir que les conditions de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr sont réalisées.
7.1. Le Tribunal administratif fédéral a correctement exposé le droit applicable, qui prévoit que le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui (art. 42 al. 1 LEtr), que ce droit subsiste après dissolution de la famille lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans et l'intégration est réussie (art. 50 al. 1 let. a LEtr) ou lorsque la poursuite du séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures (art. 50 al. 1 let. b LEtr), mais que ces droits s'éteignent lorsqu'il sont invoqués abusivement, notamment pour éluder les dispositions de la loi sur les étrangers sur l'admission et le séjour ou ses dispositions d'exécution (cf. art. 51 al. 1 let. a et 51 al. 2 let. a LEtr).
7.2. Le Tribunal administratif fédéral a également correctement exposé la jurisprudence relative à la notion de mariage fictif (cf. ATF 139 II 393 consid. 2.1 p. 395; 127 II 49 consid. 4a et 5a p. 55; arrêts 2C_782/2018 du 21 janvier 2019 consid. 3.2; 2C_1055/2015 du 16 juin 2016 consid. 2.2), de sorte qu'il peut être renvoyé à l'arrêt entrepris sur ce point (cf. art. 109 al. 3 LTF).
7.3. En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a constaté que la recourante, qui ne le niait plus, avait conclu un premier mariage de complaisance dans le but de pouvoir demeurer en Suisse, qu'elle avait épousé son second mari, qui était de 30 ans son aîné, dans l'empressement, alors qu'elle était sous le coup d'une décision de renvoi à la suite de la dissolution de cette première union fictive, et que, comme pendant le premier mariage fictif, elle avait fréquenté avant et pendant l'union son époux coutumier, qui était le père de B.A._, ainsi que de l'enfant C.A._ que F.A._ avait désavoué. Il a aussi relevé que la recourante avait quitté le domicile conjugal pour s'installer dans la famille de son époux coutumier, chez qui B.A._ vivait, étant précisé qu'il n'avait jamais été envisagé que l'enfant s'installe avec sa mère et son beau-père.
Ces constatations de fait, qui ne sont pas remises en question, lient le Tribunal fédéral (cf. art. 105 al. 1 LTF; cf. arrêt 2C_177/2013 du 6 juin 2013 consid. 3.5 en lien avec les indices d'un mariage fictif). Elles constituent autant d'indices permettant, selon la jurisprudence, de conclure à l'existence d'un mariage fictif. Eu égard à ces nombreux éléments concordant indiquant une absence de volonté de la part de la recourante de former une véritable union conjugale avec F.A._, le Tribunal administratif fédéral pouvait qualifier, sans violer le droit fédéral, cette union de mariage de complaisance dès l'origine.
Il s'ensuit que, ainsi que l'a retenu à bon droit le Tribunal administratif fédéral, la recourante 1 commet un abus de droit en se prévalant de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Il n'y a partant pas à examiner si les conditions d'application de cette disposition sont réalisées et l'intégration dont la recourante 1 se prévaut n'a pas à être prise en considération.
8.
La recourante se prévaut d'un droit de séjour sur le fondement de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
8.1. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures.
8.2. Le droit conféré par cette disposition est également soumis à la réserve de l'abus de droit, ainsi que cela résulte de l'art. 51 al. 2 let. a LEtr (cf. supra consid. 7.1). L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr vise en effet les cas de rigueur qui surviennent à la suite de la dissolution de la famille, en relation avec l'autorisation de séjour découlant du mariage (ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395; arrêt 2C_92/2018 du 11 juillet 2018 consid. 7.1). L'application de cette disposition ne peut partant pas entrer en considération lorsque, comme en l'espèce, l'union est fictive. La recourante 1 ne peut donc pas prétendre à un droit de séjour sur le fondement de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr et il n'y a pas lieu d'examiner si les conditions d'application de cette disposition sont réunies.
9.
Il découle de ce qui précède que les droits de la recourante 1 découlant du mariage sont éteints (art. 51 al. 2 let. a LEtr). Le refus d'approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour est en outre compatible avec le principe de la proportionnalité vu les circonstances de la cause, en tenant compte de la situation des enfants.
S'agissant des recourants 2 et 3, il n'est pas allégué qu'ils disposeraient d'un droit propre à séjourner en Suisse relevant du droit interne. N'ayant pas de membres de la famille disposant d'un droit de séjour durable dans ce pays, il ne peuvent pas en déduire un de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie familiale. Savoir s'ils pourraient tirer un tel droit de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie privée peut demeurer indécis. En effet, le droit de séjour des recourants 2 et 3 ayant été obtenu à la faveur des abus de droit commis par leur mère, la condition du séjour "légal" nécessaire pour invoquer valablement la protection de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie privée (cf. ATF 144 I 266 consid. 3.9 p. 278) fait de toute façon défaut.
Le droit de séjour des recourants 2 et 3 dépend donc uniquement de celui de leur mère. Partant, ils n'ont, comme elle, pas de droit à la prolongation de leurs autorisations de séjour (cf. arrêt 2C_1036/2012 du 20 mars 2013 consid. 4).
10.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable, en application de la procédure de l'art. 109 al. 2 let. a et 3 LTF. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Succombant, les recourants doivent supporter les frais judiciaires, qui seront mis à la charge de la recourante 1 (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante 1.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, ainsi qu'au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 février 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber