Faits :
A.
A._ (1997) et B._ (1995) sont les parents non mariés de C._, née le 14 mai 2014. Lorsque ses parents se sont séparés, l'enfant est resté chez sa mère. Par convention du 17 juillet 2015, les parents ont convenu d'un droit de visite en faveur du père à raison d'un à deux jours toutes les cinq semaines, en présence de la mère et au domicile de celle-ci.
B.
Par demande du 13 juillet 2015, le père a requis du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de protection) l'instauration de l'autorité parentale conjointe.
Le Service de protection des mineurs (SPMi) a rendu un premier rapport le 26 novembre 2015.
B.a. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 10 février 2016, confirmée par décision de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) du 21 avril 2016, le Tribunal de protection a accordé à B._ un droit de visite sur C._, à exercer au Point Rencontre à raison de deux heures toutes les trois semaines. Il a aussi prononcé une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles ainsi qu'un suivi de guidance parentale en faveur de l'enfant.
Une expertise familiale a été ordonnée par décision du 26 février 2016. Le rapport d'expertise a été rendu le 10 octobre 2016.
Le SPMi a rendu un rapport le 17 novembre 2016.
Une audience s'est tenue le 30 novembre 2016.
B.b. Par ordonnance du 22 février 2017, le Tribunal de protection a attribué l'autorité parentale sur C._ conjointement à ses deux parents et fixé le droit de visite du père, qui devait s'exercer selon les modalités suivantes, assorties en l'état d'un " temps de battement " de 15 minutes avant et après les visites:
" - 2h toutes les deux semaines au sein du Point Rencontre;
- puis, après trois visites à quinzaine à l'intérieur du Point Rencontre, une journée à quinzaine avec passage de l'enfant par le Point Rencontre selon des horaires qui seront fixés d'entente avec cette institution et les curatrices;
- et enfin, après trois visites d'une journée avec sortie, un week-end sur deux, du samedi au dimanche, avec passage de l'enfant au Point Rencontre, ainsi que durant les vacances scolaires, à raison d'une semaine en été 2017, puis de la moitié des petites vacances et de deux semaines non-consécutives en été 2018 et enfin, une fois que la mineure sera scolarisée, durant la moitié des vacances scolaires ".
Le Tribunal de protection a en outre maintenu la curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles, ordonné la mise en place d'un suivi de guidance parentale en faveur de l'enfant et de ses parents et un suivi de l'enfant par le Service éducatif itinérant, invité les curatrices à veiller à la mise en place rapide et effective de ces suivis et à interpeller sans délai le Tribunal de protection si l'intérêt de l'enfant commande l'instauration d'autres mesures de protection, le cas échéant avec limitation correspondante de l'autorité parentale ou adaptation des modalités de visite père-enfant. Il a demandé aux parents d'effectuer avec sérieux et régularité une thérapie de séparation auprès d'une consultation spécialisée, à tout le moins dès l'issue de la procédure pénale xxxxx, donné acte au père de ce qu'il a entrepris un suivi thérapeutique individuel et sérieux, et invité la mère à mettre en place un suivi thérapeutique individuel sérieux et régulier. La totalité des bonifications pour tâches éducatives a été attribuée à la mère. Pour le surplus, le Tribunal de protection a arrêté et réparti les frais judiciaires de première instance.
B.c. Par arrêt du 4 août 2017, la Cour de justice a très partiellement admis le recours interjeté par la mère contre cette ordonnance. Elle l'a réformée s'agissant de la question des frais et dépens et l'a confirmée pour le surplus.
C.
Par mémoire du 17 août 2017, A._ exerce un " recours " au Tribunal fédéral, sollicitant l'annulation de l'arrêt entrepris et sa réforme, en ce sens que l'autorité parentale exclusive sur C._ est maintenue en sa faveur, que la garde de fait lui est octroyée et que le droit de visite du père sur l'enfant s'exerce à raison de deux heures toutes les trois semaines au Point Rencontre, la situation devant être réévaluée " après 6 mois à compter de la reddition du jugement du Tribunal de céans, notamment s'agissant de l'instauration de journées, week-ends ou de vacances ". Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité " inférieure " pour nouvelle décision. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à se déterminer, l'intimé a conclu principalement à ce que le recours soit déclaré sans objet en ce qui concerne le droit de visite et rejeté pour le surplus. Subsidiairement, il a conclu au rejet du recours. Plus subsidiairement, il a demandé que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision, dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral. Il a en outre sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Pour sa part, la cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
La recourante a requis que l'effet suspensif soit octroyé à son recours, y compris à titre superprovisionnel. Par ordonnances présidentielles des 18 août et 6 septembre 2017, ces requêtes ont été rejetées.
Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt entrepris a pour objet l'attribution de l'autorité parentale ainsi que la fixation du droit aux relations personnelles du père sur un enfant né hors mariage. Il s'agit d'une décision finale (art. 90 LTF), de nature non pécuniaire, prise en matière de droit civil (art. 72 al. 1 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF) par une partie ayant succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (art. 76 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. L'intimé fait valoir que les conclusions de la recourante relatives aux modalités d'exercice du droit aux relations personnelles sur l'enfant sont devenues sans objet compte tenu de l'écoulement du temps. Il explique qu'en raison des ordonnances présidentielles des 18 août et 6 septembre 2017 par lesquelles l'effet suspensif a été refusé, le droit de visite a été exercé conformément aux modalités progressives prévues par le Tribunal de protection, de sorte que désormais, les conclusions tendant au maintien, dans un premier temps, du droit de visite surveillé, puis à une réévaluation de la situation, n'auraient plus lieu d'être. A cet égard, il produit un calendrier des visites établi par le Service de protection des mineurs (SPMi) pour les mois d'octobre 2017 à août 2018, pièce dont il affirme qu'elle est recevable, puisqu'elle est destinée à démontrer que certaines conclusions sont devenues sans objet. La question du caractère recevable de ce document peut rester ouverte, dès lors que quoi qu'il en soit, l'intimé ne peut être suivi. En effet, la recourante demande que le droit aux relations personnelles du père s'exerce à raison de deux heures, toutes les trois semaines, au Point Rencontre, la situation devant être réévaluée 6 mois après la reddition " du jugement du Tribunal de céans ", notamment s'agissant de l'instauration de journées, week-ends ou vacances. Autrement dit, et indépendamment de la manière dont se sont déroulées les visites durant la procédure fédérale, la recourante conclut à ce qu'un droit aux relations personnelles restreint et surveillé soit maintenu, respectivement, s'il a concrètement été élargi durant la procédure fédérale, à ce qu'il soit réduit à deux heures toutes les trois semaines au Point Rencontre, à tout le moins pour les six mois après que le présent arrêt soit rendu, la situation devant ensuite être réévaluée. Les conclusions de la recourante ne sont donc pas sans objet.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 140 III 86 consid. 2; 135 III 397 consid. 1.4). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (ATF 142 II 369 consid. 2.1; 141 I 36 consid. 1.3 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.3).
2.3. Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés (art. 99 al. 1 LTF); il n'y a exception à cette règle que lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (ATF 133 III 393 consid. 3). Il en découle que les pièces nouvelles produites par la recourante, sans qu'elle n'expose pour quels motifs elles seraient admissibles, sont irrecevables. De même, il ne saurait être tenu compte des faits nouveaux évoqués par la recourante, qui ne ressortiraient pas de l'arrêt querellé sans qu'elle ne soulève de grief précis quant au caractère arbitraire de leur omission.
3.
La recourante fait grief à la Cour de justice d'avoir violé le droit fédéral en attribuant l'autorité parentale sur C._ conjointement à ses deux parents. Elle estime que la décision entreprise contrevient à l'art. 298d al. 1 CC, en lien avec l'art. 12 al. 4 Tit. fin. CC, dès lors qu'aucun motif sérieux ne permettait de justifier une modification de l'attribution de l'autorité parentale, ce que la cour cantonale n'aurait pas manqué de constater si elle s'était penchée sur la question. De manière contraire au droit, la Cour de justice se serait contentée d'analyser le cas d'espèce sous l'angle de l'art. 298b CC. Or, comme le père avait demandé l'autorité parentale conjointe le 23 juillet 2015 - à savoir plus d'un an après le 1er juillet 2014, date d'entrée en vigueur du nouveau droit -, l'autorité ne pouvait pas modifier ce régime en l'absence de faits nouveaux, vu la teneur de l'art. 12 al. 4 Tit. fin. CC. Pour le surplus, la recourante explique pour quels motifs il aurait fallu maintenir l'autorité parentale exclusive en sa faveur, ajoutant que la garde exclusive doit également lui être confiée.
3.1.
3.1.1. L'art. 12 al. 4 Tit. fin. CC dispose que si l'autorité parentale n'appartient qu'à l'un des parents lors de l'entrée en vigueur de la modification du 21 juin 2013 (RO 2014 357), l'autre parent peut, dans le délai d'une année à compter de l'entrée en vigueur du nouveau droit - soit jusqu'au 30 juin 2015 -, s'adresser à l'autorité compétente pour lui demander de prononcer l'autorité parentale conjointe. L'art. 298b CC est applicable par analogie. Au-delà de ce délai et faute d'accord du parent titulaire de l'autorité parentale (art. 298a CC), le parent concerné devra se fonder sur des faits nouveaux importants au sens de l'art. 298d al. 1 CC pour requérir l'autorité parentale conjointe (arrêts 5A_266/2017 du 29 novembre 2017 consid. 8.1; 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 4.1 et les références).
3.1.2. En application de l'art. 298d al. 1 CC, en vigueur depuis le 1er juillet 2014 (RO 2014 357), l'autorité de protection modifie l'attribution de l'autorité parentale, à la requête de l'un des parents, de l'enfant, ou encore d'office, lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (art. 298d al. 1 CC).
La modification de l'attribution de l'autorité parentale ou de l'une de ses composantes est subordonnée à deux conditions, soit, d'une part, des faits nouveaux et, d'autre part, que la modification intervienne pour le bien de l'enfant. Même si l'instauration d'une autorité parentale conjointe en lieu et place d'une autorité parentale exclusive ne devrait pas dépendre de critères d'appréciation trop stricts, le parent privé jusque-là de l'autorité parentale qui agit en ce sens après l'échéance du délai d'une année de l'art. 12 al. 4 Tit. fin. CC doit établir l'existence de faits nouveaux et importants qui commandent pour le bien de l'enfant qu'il soit renoncé au maintien d'une autorité parentale exclusive (arrêts 5A_46/2017 du 19 juin 2017 consid. 4.2.1; 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 4.2).
Savoir si une modification essentielle est survenue doit s'apprécier en fonction de toutes les circonstances du cas d'espèce et relève du pouvoir d'appréciation de l'autorité de protection (arrêts 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 4.1 et les références). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière. Il n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent aucun rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels (ATF 138 III 49 consid. 4.4.5; 137 III 303 consid. 2.1.1).
3.2. En l'espèce, la requête du père tendant à l'instauration de l'autorité parentale conjointe a été introduite après l'échéance du délai fixé par l'art. 12 al. 4 Tit. fin. CC (cf. supra consid. 3.1.1), de sorte qu'une modification de l'attribution de l'autorité parentale supposait que des faits nouveaux et importants, au sens de l'art. 298d al. 1 CC, commandent pour le bien de l'enfant qu'il soit renoncé au maintien d'une autorité parentale exclusive. Or, la Cour de justice a analysé la question de la modification de l'attribution de l'autorité parentale sans qu'il ne ressorte de l'arrêt attaqué qu'elle ait au préalable examiné si de telles circonstances étaient réalisées, contrevenant ainsi au droit fédéral. Le recours sera donc admis sur ce point et la cause renvoyée à la juridiction précédente, afin qu'elle examine si l'on se trouve en présence d'une modification essentielle des circonstances, au sens de l'art. 298d al. 1 CC (cf. supra consid. 3.1.2), justifiant d'entrer en matière sur la requête du père. C'est seulement dans l'affirmative qu'elle devra examiner, dans une seconde étape, s'il y a lieu de modifier l'attribution de l'autorité parentale.
3.3. En tant que la recourante expose que la garde de l'enfant doit être maintenue exclusivement en sa faveur, on relèvera que c'est précisément ce qu'a prévu, en l'état, le Tribunal de protection, et que cette question n'était plus litigieuse devant l'autorité de recours.
4.
En ce qui concerne le droit aux relations personnelles, la recourante soulève les griefs de violation des art. 273 al. 1 CC et 3 al. 1 de la Convention relative aux droits de l'enfant (CDE).
4.1. En substance, la recourante soutient que la décision entreprise s'écarte, " sans motivation ", de ce que les experts ont préconisé, ceci pour le seul motif qu'en audience, l'expert a indiqué que des nuits pourraient déjà être réintroduites à brève échéance. Selon elle, l'intimé vit à Paris avec ses parents et dispose de ressources financières limitées. Par conséquent, il n'aurait pas la possibilité d'emmener sa fille à l'hôtel, pas plus qu'il n'aurait d'ami à Genève susceptible de le loger lorsqu'il la reçoit. Il n'aurait donc pas d'autre choix que d'emmener sa fille avec lui à Paris pour passer la nuit à son domicile, ce qui représenterait un trajet de minimum trois heures, soit une durée considérable pour une enfant de trois ans, a fortiori vu les capacités parentales insuffisantes du père. La recourante rappelle en outre que les experts ont recommandé l'introduction de " deux journées " à quinzaine, et non d'un week-end, nuit comprise. Il incombait au Tribunal d'analyser les modalités d'exercice du droit de visite indiquées par les circonstances pour le bien de l'enfant, ce qu'il n'aurait pas fait, ne s'étant notamment pas soucié du point de savoir où l'enfant passerait ses nuits durant l'exercice du droit de visite. La recourante expose que les experts ont recommandé un droit de visite s'exerçant en milieu surveillé afin de ne pas laisser le père " seul dans la nature avec sa fille ", celui-ci ne disposant pas des capacités parentales nécessaires pour prendre en charge sa fille sans accompagnement.
4.2. L'art. 273 al. 1 CC prévoit que le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Autrefois considéré comme un droit naturel des parents, le droit aux relations personnelles de l'art. 273 al. 1 CC est désormais conçu comme un droit-devoir réciproque qui sert en premier lieu les intérêts de l'enfant (ATF 131 III 209 consid. 5; arrêt 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1 et les références). A cet égard, il est unanimement reconnu que le rapport de l'enfant avec ses deux parents est essentiel et qu'il peut jouer un rôle décisif dans le processus de recherche d'identité de l'enfant (ATF 127 III 295 consid. 4a; 123 III 445 consid. 3c; arrêt 5A_586/2012 du 12 décembre 2012 consid. 4.2).
Le droit aux relations personnelles n'est pas absolu. Si les relations personnelles compromettent le développement de l'enfant, si les père et mère qui les entretiennent violent leurs obligations, s'ils ne se sont pas souciés sérieusement de l'enfant ou s'il existe d'autres justes motifs, le droit d'entretenir ces relations peut leur être retiré ou refusé (art. 274 al. 2 CC). Il importe en outre que cette menace ne puisse être écartée par d'autres mesures appropriées. Cette règle découle du principe de la proportionnalité auquel sont soumis le refus ou le retrait de relations personnelles avec l'enfant en tant que mesures de protection. Le retrait de tout droit à des relations personnelles constitue l'ultima ratio et ne peut être ordonné, dans l'intérêt de l'enfant, que si les effets négatifs des relations personnelles ne peuvent être maintenus dans des limites supportables pour l'enfant (ATF 120 II 229 consid. 3b/aa; arrêts 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1 et les références). Si, en revanche, le préjudice engendré pour l'enfant par les relations personnelles peut être limité par la mise en oeuvre d'un droit de visite surveillé ou accompagné, le droit de la personnalité du parent non détenteur de l'autorité parentale, le principe de la proportionnalité, mais également le sens et le but des relations personnelles, interdisent la suppression complète du droit auxdites relations (ATF 122 III 404 consid. 3c; arrêts 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1 et les références). L'une des modalités particulières à laquelle il est envisageable de subordonner l'exercice du droit aux relations personnelles, par une application conjointe des art. 273 al. 2 et 274 al. 2 CC, peut ainsi consister en l'organisation des visites, avec ou sans curatelle de surveillance, dans un lieu protégé spécifique, tel un Point Rencontre ou une autre institution analogue (arrêts 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1).
L'établissement d'un droit de visite surveillé nécessite des indices concrets de mise en danger du bien de l'enfant; il ne suffit pas que ce dernier risque abstraitement de subir une mauvaise influence pour qu'un tel droit de visite soit instauré (arrêt 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1 et les références). Il convient dès lors de faire preuve d'une certaine retenue lors du choix de cette mesure (arrêts 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_401/2014 du 18 août 2014 consid. 3.2.2; 5A_699/2007 du 26 février 2008 consid. 2.1). Le droit de visite surveillé tend à mettre efficacement l'enfant hors de danger, à désamorcer des situations de crise, à réduire les craintes et à contribuer à l'amélioration des relations avec l'enfant et entre les parents. Il constitue en principe une solution provisoire et ne peut donc être ordonné que pour une durée limitée. Il convient toutefois de réserver les cas où il apparaît d'emblée que les visites ne pourront pas, dans un proche avenir, être effectuées sans accompagnement (arrêts 5A_568/2017 du 21 novembre 2017 consid. 5.1; 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_728/2015 du 25 août 2016 consid. 2.2 et les références).
L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit. Le Tribunal fédéral s'impose toutefois une certaine retenue. Le juge du fait qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant évolue, dispose d'un large pouvoir d'appréciation en vertu de l'art. 4 CC. Le Tribunal fédéral n'intervient que si le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels pour la décision sur le droit de visite ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (ATF 131 III 209 consid. 3; 120 II 229 consid. 4a).
4.3. Il ressort de l'arrêt entrepris que l'expert judiciaire a proposé de prévoir un droit de visite progressif à raison de deux heures toutes les deux semaines au Point Rencontre, avec introduction de visites libres de temps à autre jusqu'à un élargissement, après un laps de temps relativement rapide, à deux journées toutes les deux semaines. Aucune précaution particulière ne paraissait nécessaire à l'expert pour assurer la sécurité de l'enfant. Pour sa part, le SPMi, dans son rapport du 17 novembre 2016, avait préconisé un droit de visite à raison de deux heures toutes les trois semaines au Point Rencontre puis, après six mois, après préavis du service notamment, à raison d'une journée toutes les trois semaines en dehors du Point Rencontre, les vacances ne devant être envisagées qu'après coup.
Selon la Cour de justice, c'était à tort que la mère reprochait au Tribunal de protection de s'être écarté des préavis de l'expert et du SPMi. En effet, le Tribunal de protection avait précisément suivi ces préavis dans les grandes lignes, en prévoyant un droit de visite progressif, moyennant l'instauration d'une curatelle de surveillance et d'organisation et le passage de l'enfant par le Point Rencontre comme préconisé par l'expert et par le SPMi. Certes, le Tribunal de protection avait considéré que la progression de la mise sur pied du droit de visite devait être plus rapide que ce que proposaient l'expert et le SPMi, en permettant rapidement que l'enfant passe certaines vacances scolaires chez son père. La Cour de justice a toutefois considéré que, ce faisant, le Tribunal de protection avait fait un usage mesuré de son large pouvoir d'appréciation en retenant, comme les experts, qu'il n'y avait aucun motif d'avoir des craintes quant à la prise en charge de l'enfant par le père, l'expert ayant relevé qu'aucune mesure particulière ne devait être prise à l'égard de celui-ci quant à sa capacité à assumer l'enfant pendant les périodes où celle-ci se trouvait chez lui, de sorte que l'intérêt de l'enfant était sauvegardé. L'autorité cantonale a encore relevé que le Tribunal de protection avait mis sur pied de nombreuses cautèles, notamment en instaurant diverses curatelles en faveur de l'enfant, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de considérer que l'intérêt de celle-ci soit prétérité par une reprise rapide des relations personnelles. Pour le surplus, elle a considéré que l'intérêt de l'enfant commandait qu'elle ait des relations avec ses deux parents.
4.4. En tant que l'autorité cantonale a prévu un droit aux relations personnelles devant s'exercer de manière progressive, au départ de manière surveillée et, à terme, de manière libre, avec passage de l'enfant au Point Rencontre, on ne saurait lui reprocher un abus de son pouvoir d'appréciation. Si la recourante prétend que, ce faisant, la juridiction précédente s'est écartée sans raison de l'avis des experts en élargissant trop rapidement les modalités du droit aux relations personnelles, il faut relever qu'en principe, le droit de visite exercé de manière surveillée constitue une solution provisoire et ne peut donc être ordonné que pour une durée limitée (cf. supra consid. 4.2). En l'absence de circonstances particulières, la solution préconisée par la cour cantonale est en soi conforme au droit fédéral, étant au surplus relevé que de l'avis même des experts, aucune précaution particulière ne paraissait nécessaire pour assurer la sécurité de l'enfant et que par ailleurs, plusieurs mesures ont été mises en place, de sorte qu'il n'y a pas lieu de craindre que l'intérêt de l'enfant soit menacé. A cela s'ajoute que la critique par laquelle la mère remet en cause les capacités parentales du père n'est pas de nature à démontrer le caractère arbitraire des faits retenus à ce propos: en tant qu'elle prétend que l'expert a préconisé un droit de visite en Point Rencontre au motif qu'il ne fallait pas que le père soit " seul dans la nature avec sa fille ", elle n'indique même pas à quelle page du rapport d'expertise - qui en comporte 60 -, respectivement à quel passage de son audition - qui comporte 5 pages - elle se réfère, de sorte que son grief est insuffisamment motivé (cf. supra consid. 2.2). Quoi qu'il en soit, il ressort de l'arrêt querellé que, si l'expertise du 10 octobre 2016 indiquait que les compétences parentales du père étaient limitées par une dépression (arrêt entrepris, p. 5), l'expert avait expliqué, lors de l'audience du 30 novembre 2016 du Tribunal de protection, ne pas avoir de crainte par rapport à la manière dont il protégerait son enfant lorsqu'il en assurerait la prise en charge. Les affects dépressifs, voire la dépression dont il souffrait ne justifiaient pas la prise de précautions particulières le concernant, si ce n'est l'intervention du Point Rencontre de manière à l'assister dans sa relation avec sa fille et de rassurer la mère (arrêt entrepris, p. 6). En définitive, il n'apparaît pas arbitraire de retenir que le père dispose de compétences parentales suffisantes pour prendre en charge sa fille lors de l'exercice de son droit aux relations personnelles, partant, de prévoir un élargissement progressif de ce droit exercé au départ de manière surveillée, puis de manière libre.
Cela étant, force est de relever que l'arrêt entrepris ne précise pas clairement où se trouve le domicile du père. Il ressort seulement de l'état de fait que celui-ci, qui est de nationalité française, a exposé dans sa demande du 13 juillet 2015 être " rentré dans son pays dès avril 2015 " (arrêt entrepris, let. C.b p. 3). L'ordonnance du Tribunal de protection du 22 février 2017 retient qu'à l'appui de ses conclusions, le père a rappelé " qu'il vivait à Paris et qu'il avait peu de moyens financiers. Les trajets Genève-Paris étant coûteux et dans l'intérêt d'une bonne et forte relation avec sa fille, il a sollicité qu'un droit de visite durant les vacances lui soit rapidement fixé. De la sorte, il pourrait notamment emmener la mineure chez lui à Paris, ou en vacances, en présence souvent de ses parents qui étaient également très attachés à l'enfant ". Or, il apparaît indispensable d'établir où le père est domicilié, pour pouvoir déterminer si les modalités du droit aux relations personnelles du père fixées par la cour cantonale correspondent à l'intérêt de l'enfant - notamment au regard de son jeune âge -, en particulier à partir du moment où ce droit ne s'exercerait plus au Point Rencontre. Le lieu de domicile du père -, singulièrement la distance entre celui-là et le domicile de la mère -, constitue un élément de fait propre à fonder la décision, notamment parce qu'il a une influence sur la durée du déplacement par hypothèse imposé à l'enfant lorsque celui-ci se rend chez son père. Il n'apparaît pas clairement que la cour cantonale en a tenu compte. On relèvera à cet égard que selon la jurisprudence, l'exercice des relations personnelles peut être adapté à un éloignement géographique important, en réduisant la fréquence des contacts mais en en allongeant si possible la durée (ATF 136 III 353 consid. 3.3; arrêt 5A_488/2017 du 8 novembre 2017 consid. 4.2).
Vu ce qui précède, la cause doit être renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction sur ce point et nouvelle décision. Ces considérations scellent le sort du litige, sans qu'il n'y ait lieu d'examiner le grief tiré de la violation de l'art. 3 CDE, disposition dont on ne discerne au demeurant pas en quoi elle aurait une portée particulière en l'espèce.
5.
En conclusion, le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour instruction et nouvelle décision en ce qui concerne la modification de l'attribution de l'autorité parentale (cf. supra consid. 3) ainsi que les modalités du droit aux relations personnelles (cf. supra consid. 4). Compte tenu de l'issue du recours, les frais judiciaires sont mis pour 3⁄4 à la charge de l'intimé et pour 1⁄4 à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Les demandes d'assistance judiciaire respectives des parties sont admises, compte tenu de leurs ressources restreintes (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 4 LTF). En principe, l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense pas la partie qui en bénéficie de verser des dépens à celle qui l'emporte (ATF 122 I 322 consid. 2c, avec la jurisprudence citée). En l'espèce, vu l'indigence des deux parties, on ne saurait toutefois exiger de la recourante, qui a obtenu gain de cause dans une plus grande proportion que l'intimé, qu'elle recherche préalablement (en vain) l'intimé avant de s'adresser à la Caisse du Tribunal de céans, de sorte qu'il est justifié de prévoir d'emblée la rétribution des avocats des parties. Celles-ci sont toutefois rendues attentives au fait qu'elles devront rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elles retrouvent ultérieurement une situation financière leur permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Yves Bonard lui est désigné comme avocat d'office.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Marie Berger lui est désignée comme avocate d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr. et provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral, sont mis pour 500 fr. à la charge de la recourante et pour 1'500 fr. à la charge de l'intimé.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat d'office de la recourante une indemnité de 1'800 fr. à titre d'honoraires.
6.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocate d'office de l'intimé une indemnité de 1'800 fr. à titre d'honoraires.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 février 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo