Faits :
A.
A._, titulaire d'une rente de l'assurance-invalidité puis de l'assurance-vieillesse et survivants, bénéficie de prestations complémentaires depuis le 1er février 1996. Lors d'une révision périodique, le Service genevois des prestations complémentaires (SPC) a découvert dans la base de données de l'Office cantonal de la population et des migrations (OCPM) que le fils de l'assurée était domicilié à la même adresse qu'elle depuis le 1er juin 2015. Dès lors, tenant compte d'un loyer diminué de moitié, il a recalculé le droit aux prestations à partir du 1er décembre 2017 et requis de l'intéressée la restitution de 13'380 fr. versés à tort du 1er juin 2015 au 30 novembre 2017 (décision du 10 novembre 2017). Par demande du 2 février 2018, A._ a notamment sollicité la reconsidération de la décision du 10 novembre 2017 et le réexamen de son droit à partir du 1er décembre 2017. Elle a fait voir qu'elle ignorait la domiciliation de son fils à son adresse et que celui-ci n'avait que brièvement séjourné auprès d'elle pour lui apporter son soutien pendant une période de maladie. Le SPC a refusé d'entrer en matière sur la demande de reconsidération (décision du 10 avril 2018) ainsi que de remettre l'obligation de restituer et de réexaminer le droit aux prestations (décisions du 12 juillet 2018). Durant la procédure d'opposition, l'assurée a produit un échange de courriers avec l'OCPM concernant la fin de la domiciliation de son fils. Au terme de cette procédure, le SPC a partiellement admis la demande de réexamen du droit aux prestations dans le sens où il ne tiendrait plus compte d'une cohabitation de la mère et du fils dès le 1er août 2018 (décision sur opposition du 10 janvier 2019). Par décision du même jour, le SPC a confirmé le refus de remettre l'obligation de restituer.
B.
A._ a déféré les deux décisions sur opposition à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Elle a été auditionnée le 20 juin 2019 et a déposé des photocopies du passeport de son fils.
Statuant par un seul arrêt du 24 juin 2020, le tribunal cantonal a rejeté les recours.
C.
Agissant par la voie d'un recours en matière de droit public, l'assurée requiert l'annulation de l'arrêt cantonal ainsi que des décisions du 10 janvier 2019. En ce qui concerne le droit aux prestations du 1er décembre 2017 au 31 juillet 2018 (procédure enregistrée sous le numéro de cause 9C_606/2020), elle conclut au renvoi de la cause au SPC afin qu'il fixe à 2875 fr. par mois les prestations complémentaires pour cette période. Elle sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le SPC conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. L'intéressée s'est exprimée sur la réponse du SPC.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à des prestations complémentaires pour la période courant du 1er décembre 2017 au 31 juillet 2018, singulièrement sur le point de savoir si la juridiction cantonale étaient fondée à nier ce droit au motif qu'un loyer partagé devait être pris en compte pour la période en question.
3.
L'acte attaqué cite les normes indispensables à la résolution du litige, plus particulièrement celles concernant la détermination des dépenses reconnues, notamment du loyer (art. 10 al. 1 let. b LPC dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2020; art. 16c OPC-AVS/AI), et le devoir d'informer (art. 24 OPC-AVS/AI). Il expose également les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la maxime inquisitoire (art. 43 et 61 let. c LPGA), au devoir des parties de collaborer à l'établissement des faits (ATF 125 V 193 consid. 2), au fardeau de la preuve (ATF 124 V 372 consid. 3; 117 V 261 consid. 3b), au degré de vraisemblance auquel les faits doivent être établis en matière d'assurances sociales (ATF 126 V 253 consid. 5b) et à l'appréciation anticipée des preuves (ATF 140 I 285 consid. 6.3.1). Il suffit d'y renvoyer.
4.
Le tribunal cantonal a entériné le rejet de la demande de réexamen du droit aux prestations complémentaires pour la période du 1er décembre 2017 au 31 juillet 2018. Il a relevé que les données communiquées par l'OCPM - se fondant sur les indications du fils de l'assurée et attestant la domiciliation de ce dernier au domicile de sa mère entre les mois de juin 2015 et juillet 2018 - avaient créé une présomption qui justifiait de prendre en compte un loyer réduit de moitié dans le calcul du droit aux prestations. Il a en substance considéré que les explications et les documents fournis par la recourante au cours de la procédure, dont les photocopies du passeport (périmé en novembre 2017) qui avait appartenu à son fils, n'avaient pas permis de renverser la présomption de cohabitation au cours de la période encore litigieuse céans.
5.
L'assurée conteste avoir cohabité avec son fils à quelque moment que ce soit depuis le 1er juin 2015. Elle explique que celui-ci était retourné vivre à l'étranger en 2011 et que, depuis cette époque, il n'était revenu en Suisse qu'épisodiquement pour de brefs séjours pendant lesquels il logeait principalement chez son amie. Elle admet que son fils s'était domicilié chez elle, pour son courrier, mais soutient en particulier que les photocopies du passeport déposées en première instance démontrent l'absence de cohabitation. Elle fait aussi grief aux premiers juges de s'être livrés à des investigations sur Facebook pour déterminer le domicile de son fils, sans lui avoir donné la possibilité de se prononcer sur le procédé. Elle reproche également aux autorités précédentes d'avoir contrevenu à la maxime inquisitoire en refusant un transport sur place afin de vérifier que son fils ne possédait pas d'affaires dans son appartement ou que ce logement était impropre à une cohabitation, ainsi qu'elle l'avait proposé à plusieurs reprises. Dès lors que son fils n'avait pas habité chez elle, elle soutient que les prestations complémentaires dues pour la période du 1er décembre 2017 au 31 juillet 2018 doivent être recalculées en tenant compte de l'entier de son loyer.
6.
6.1. Les conclusions des premiers juges reposent sur les données de l'OCPM attestant la domiciliation du fils à l'adresse de sa mère entre le 1er juin 2015 et le 31 juillet 2018. Ces données se fondent elles-mêmes sur les déclarations de la recourante et de son fils. Elles ne constituent en soi pas une preuve de la cohabitation effective de la mère et du fils au cours de la période considérée mais un indice (cf. arrêt du Tribunal fédéral des assurances P 23/91 du 23 novembre 1991 consid. 3c) qui peut être infirmé en rapportant la preuve contraire selon les règles qui s'appliquent dans le domaine des assurances sociales. Les allégations de l'assurée à cet égard (selon lesquelles son fils vivrait à l'étranger depuis 2011 et ne reviendrait en Suisse qu'épisodiquement pour de brefs séjours pendant lesquels il logerait principalement chez des amis) ne rendent toutefois pas hautement vraisemblable l'absence de cohabitation déterminante du point de vue du droit aux prestations complémentaires. Elles ne reposent effectivement sur aucun document probant ainsi que l'a constaté la juridiction cantonale. La lettre du fils (du 12 août 2018) indiquant à l'OCPM qu'il avait séjourné chez sa mère en 2015 mais ne plus y résider depuis fin 2015 ne contient que des allégations. Or celles-ci sont d'une part en contradiction avec les déclarations faites par la recourante lors de son audition du 20 juin 2019 (selon lesquelles son fils n'avait jamais habité chez elle) et, d'autre part, ne peuvent pas être corroborées par des photocopies d'un passeport qui était arrivé à expiration le 8 novembre 2017, soit antérieurement à la période litigieuse.
Dans ces circonstances, il n'était pas arbitraire de la part du tribunal cantonal de retenir une cohabitation déterminante au regard du droit aux prestations complémentaires justifiant de tenir compte d'un loyer partagé dans le calcul des prestations complémentaires portant sur la période encore litigieuse.
6.2. On ajoutera finalement que l'invocation d'une violation de son droit d'être entendue (en relation avec l'arbitraire) du fait que la juridiction cantonale s'était livrée à des investigations sur Facebook pour déterminer le domicile de son fils, ou de la maxime inquisitoire, en lien avec le fait que tant les premiers juges que le service intimé n'avaient pas donné suite à son offre de transport sur place, n'est d'aucune utilité à la recourante. Peu importe en l'occurrence la pertinence des données reprises sur Facebook dans la mesure où les autres éléments disponibles suffisaient déjà pour emporter la conviction des juges cantonaux. Peu importe également que les autorités compétentes n'aient pas procédé à une enquête au domicile de l'assurée pour vérifier notamment si la taille de l'appartement était propre à une cohabitation dès lors que, dans ses déclarations à l'OCPM, le fils de la recourante a admis y avoir résidé. De surcroît, un juge peut renoncer à l'administration de certaines preuves offertes, notamment lorsqu'elles ne sont pas décisives pour la solution du litige (cf. ATF 104 I 285 consid. 6.3.1).
6.3. Entièrement mal fondé, le recours doit donc être rejeté.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont à la charge de l'assurée (art. 66 al. 1 LTF). Elle a toutefois déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. Les honoraires de son avocat sont fixés à 1800 fr. dans cette procédure, pour tenir compte du fait qu'elle a déposé un seul mémoire de recours qui a été enregistré sous deux numéros de causes séparés en instance fédérale (cf. art. 8 et 10 du Règlement sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral [RS 173.110.210.3]). La recourante est par ailleurs rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF). Le service intimé n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Me Philippe Pasquier est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 1800 fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Stadelmann
Le Greffier : Cretton