Sachverhalt:
A.
Der 1969 geborene italienische Staatsangehörige A._ arbeitete als Bauarbeiter in der Schweiz seit seiner Einreise am 23. April 2019 bis zu seiner Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung am 19. November 2019. Zu diesem Zweck war er im Besitze einer Kurzaufenthaltsbewilligung L EU/EFTA für die ganze Schweiz, zuletzt befristet bis zum 13. April 2021. Sein letzter Einsatz für das Unternehmen "B._ AG" endete am 14. November 2019 mit Zusicherung einer erneuten Anstellung im Frühjahr 2020. A._ wurde von der Arbeitslosenversicherung per 6. April 2020 abgemeldet, nachdem er (in der Schweiz) wieder bei der gleichen Arbeitgeberin erwerbstätig geworden war. Mit Verfügung vom 13. Mai 2020 verneinte die Dienststelle für Industrie, Handel und Arbeit (DIHA) des Kantons Wallis einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung von A._, da er als echter Grenzgänger nicht anspruchsberechtigt sei. Daran hielt die DIHA mit Einspracheentscheid vom 30. November 2020 fest.
B.
Die dagegen geführte Beschwerde hiess das Kantonsgericht Wallis mit Urteil vom 25. Mai 2021 in dem Sinne gut, als es in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 30. November 2020 feststellte, dass A._ die Anspruchsvoraussetzung des Wohnsitzes in der Schweiz erfülle. Es wies die Sache zur Prüfung der übrigen Anspruchsvoraussetzungen an die DIHA zurück.
C.
Die DIHA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Anspruchsvoraussetzung des Wohnens in der Schweiz nicht erfüllt sei. Weiter sei festzustellen, dass Arbeitslosenkasse und DIHA ihrer Beratungs- und Auskunftspflicht in gehöriger Weise nachgekommen seien.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die DIHA lässt sich dazu am 22. Juli 2021 vernehmen und reicht nach Abschluss des Schriftenwechsels am 24. August 2021 weitere Unterlagen ein. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2. Nach der Rechtsprechung liegt bei einem Rückweisungsentscheid, welcher - wie vorliegend - der Verwaltung Vorgaben für den Erlass einer ihres Erachtens rechtswidrigen Verfügung macht, für diese ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG vor (BGE 133 V 477 E. 5.2; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.2, nicht publ. in: BGE 134 V 392). Auf die Beschwerde der DIHA ist demnach einzutreten.
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 30. November 2020 die Anspruchsvoraussetzung des Wohnens in der Schweiz als gegeben erachtete.
2.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 145 V 57 E. 4.2 mit Hinweis). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
Vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Art. 95, Art. 106 Abs. 1 BGG) ist, welche Kriterien für die Bezeichnung des Ortes des gewöhnlichen Aufenthalts massgebend sind. Die konkreten Umstände, die demnach zur Begründung des Wohnorts heranzuziehen sind, betreffen eine Tatfrage; diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz binden das Bundesgericht demnach grundsätzlich (vgl. ARV 2016 S. 227 E. 3.2.1).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, es gelange Schweizer Recht zur Anwendung, da der Beschwerdegegner zuletzt beim Unternehmen "B._ AG" angestellt gewesen sei. Für die Erfüllung der Anspruchsvoraussetzung des Wohnens in der Schweiz genüge ein tatsächlicher oder gewöhnlicher Aufenthalt in der Schweiz mit der Absicht, diesen während einer gewissen Zeit aufrechtzuerhalten und hier in diesem Zeitraum auch den Schwerpunkt der Lebensbeziehungen zu haben. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) habe anlässlich des ersten Beratungsgesprächs am 16. Januar 2020 eine Wohnsitzabklärung vorgenommen. In zwei bei den Akten liegenden, vom Beschwerdegegner unterzeichneten Formularen vom 16. Januar 2020 sei die Frage nach dem Aufenthalt während der Wochenenden jedoch unterschiedlich beantwortet worden. Einmal sei die regelmässige Rückkehr nach Italien und einmal das Verbleiben im Oberwallis festgehalten worden, wobei die handschriftlichen Bemerkungen auf den beiden Formularen stark voneinander abweichen würden. Im RAV-Gesprächsprotokoll vom 16. Januar 2020 sei zudem vermerkt worden "die Wohnsitzbestätigung wurde von C._ übersetzt". Es sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass dem Beschwerdegegner die vorliegende Problematik bei der Anmeldung zur Arbeitsvermittlung bewusst gewesen sei. Das zur Geltendmachung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung in Italien notwendige Formular "PD U1" sei zudem nicht bei den Akten bzw. der Nachweis sei nicht erbracht, dass ihm dieses ausgehändigt worden sei. Die Organe der Arbeitslosenversicherung hätten ihre Beratungspflicht verletzt durch den fehlenden Hinweis darauf, dass sich der Beschwerdegegner bei zweifelhaftem Wohnsitz in der Schweiz gleichzeitig in Italien zum Leistungsbezug hätte anmelden sollen. Dieser habe nach Treu und Glauben von der Erfüllung der Voraussetzungen für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung in der Schweiz ausgehen dürfen.
Die Vorinstanz erkannte weiter, aufgrund der gesamten Umstände sei anzunehmen, dass der Beschwerdegegner im fraglichen Zeitraum Wohnsitz in der Schweiz gehabt habe. Er sei in einer engen Verbindung zur hiesigen Arbeitswelt gestanden und es sei offensichtlich seine Absicht gewesen, weiterhin in der Schweiz zu arbeiten. Folglich bejahte die Vorinstanz seinen gewöhnlichen Aufenthalt und damit seinen Wohnsitz in der Schweiz.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, der Beschwerdegegner habe mit dem Unternehmen "B._ AG" einen Rahmenarbeitsvertrag abgeschlossen und sei für diese nur 5,3 Monate lang arbeitstätig und somit in keinem stabilen Arbeitsverhältnis gewesen. Je nach Ort des konkreten temporären Arbeitseinsatzes habe er in verschiedenen, von der Arbeitgeberin zur Verfügung gestellten möblierten Unterkünften gewohnt. Diese Wohnform sei geeignet, um kurzfristig wieder nach Italien reisen zu können. Sein Hauptwohnsitz und seine Familie (Ehefrau mit drei Kindern), zu der er regelmässig heimgereist sei, befänden sich gemäss Wohnsitzbestätigung vom 18. Juli 2019 in E._, Italien, wo er auch krankenversichert sei. Es sei dabei unerheblich, ob er echter oder unechter Grenzgänger sei, da sich so oder anders der Leistungsanspruch nach dem Recht des Wohnsitzstaates richte.
Als offensichtlich unrichtig rügt die Beschwerdeführerin überdies die Feststellung der Vorinstanz, dass die Organe der Arbeitslosenversicherung, namentlich sie selbst, das RAV oder die Arbeitslosenkasse ihre Aufklärungs- und Beratungspflicht verletzt hätten. Der Beschwerdegegner habe bei der Anmeldung zur Arbeitsvermittlung gewusst, dass sich der Schwerpunkt seiner Lebensbeziehungen und damit sein Wohnsitz in Italien befinde, trotz bestehender Adresse in D._. Der zuständige Träger sei rückwirkend leistungspflichtig, weshalb der Beschwerdegegner auch nicht dahingehend hätte beraten werden müssen, sich sowohl in der Schweiz als auch in Italien arbeitslos zu melden.
4.
4.1. Es liegt ein länderübergreifender Sachverhalt vor, der auf der Grundlage von Art. 8 FZA (SR 0.142.112.681) und Art. 1 Abs. 1 Anhang II FZA in Verbindung mit Art. 11 ff. der Verordnung [EG] Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.1; nachfolgend: VO Nr. 883/2004) und den diese konkretisierenden Vorgaben der Verordnung (EG) Nr. 987/2009 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. September 2009 zur Festlegung der Modalitäten für die Durchführung der VO Nr. 883/2004 (SR 0.831.109.268.11; nachfolgend: VO Nr. 987/2009) zu beurteilen ist. Die entsprechenden Bestimmungen finden in der Arbeitslosenversicherung durch den Verweis in Art. 121 Abs. 1 lit. a AVIG Anwendung.
4.2. Laut Art. 65 Abs. 2 VO Nr. 883/2004 muss sich eine vollarbeitslose Person, die während ihrer letzten Beschäftigung oder selbstständigen Erwerbstätigkeit in einem anderen als dem zuständigen Mitgliedstaat gewohnt hat und weiterhin in diesem Mitgliedstaat wohnt oder in ihn zurückkehrt, der Arbeitsverwaltung des Wohnmitgliedstaats zur Verfügung stellen. Unbeschadet des Artikels 64 kann sich eine vollarbeitslose Person zusätzlich der Arbeitsverwaltung des Mitgliedstaats zur Verfügung stellen, in dem sie zuletzt eine Beschäftigung oder eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausgeübt hat.
Ein Arbeitsloser, der kein Grenzgänger ist und nicht in seinen Wohnmitgliedstaat zurückkehrt, muss sich der Arbeitsverwaltung des Mitgliedstaats zur Verfügung stellen, dessen Rechtsvorschriften zuletzt für ihn gegolten haben (Art. 65 Abs. 2 Satz 3 VO Nr. 883/2004).
4.3. Unter Vorbehalt der gemeinschafts- bzw. abkommensrechtlichen Vorgaben ist es Sache des innerstaatlichen Rechts, die Anspruchsvoraussetzungen festzulegen (vgl. BGE 141 V 246 E. 2.2 mit Hinweisen). Nach schweizerischem Recht wird gemäss Art. 8 AVIG für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung unter anderem nach dessen Abs. 1 lit. c vorausgesetzt, dass der Versicherte in der Schweiz wohnt. Dies ist Ausdruck des im Arbeitslosenversicherungsrecht geltenden Verbots des Leistungsexports und des grundlegenden Prinzips der persönlichen Verfügbarkeit (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, S. 2319 Rz. 180). Der innerstaatliche Begriff des Wohnens stimmt vom Wortlaut her mit dem gemeinschaftsrechtlichen nach Art. 1 lit. j VO Nr. 883/2004 überein, der darunter den Ort des gewöhnlichen Aufenthalts einer Person versteht (NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2319 f. Rz. 182). Dieser befindet sich an demjenigen Ort, an dem eine Person den Mittelpunkt ihrer Lebensführung hat. Seine nähere Bestimmung kann von subjektiven oder objektiven Umständen abhängen, das heisst vom Willen der betreffenden Person oder von den äusserlichen Lebensumständen, die notfalls auch gegen den erklärten Willen ins Feld geführt werden können. Das Gemeinschaftsrecht lässt die Frage, wie der Wohnort zu bestimmen ist, weitgehend offen und überantwortet die nähere Definition dem jeweiligen nationalen Recht (vgl. zum Ganzen: BGE 138 V 533 E. 4.2 mit Hinweisen; ARV 2016 S. 227, 8C_60/2016 E. 2.4.2).
Für die Erfüllung der Anspruchsvoraussetzung des Wohnens nach Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG genügt somit ein tatsächlicher oder "gewöhnlicher" Aufenthalt in der Schweiz mit der Absicht, diesen Aufenthalt während einer gewissen Zeit aufrechtzuerhalten und hier in dieser Zeit auch den Schwerpunkt der Lebensbeziehungen zu haben (BGE 115 V 448 E. 1b i.f. S. 449; SVR 1996 AlV Nr. 77 S. 235, C 1/96 E. 3a; Urteil 8C_658/2012 vom 15. Februar 2013 E. 3 mit Hinweisen). Entscheidend dafür sind - in Anlehnung an die Rechtsprechung zum Wohnsitz nach Art. 23 ZGB (Urteil 5A_663/2009 vom 1. März 2010 E. 2.2.2) und in Relativierung des soeben zu Art. 1 lit. j VO Nr. 883/2004 Gesagten - objektive Kriterien, während der innere Wille der betreffenden Person nicht ausschlaggebend ist (BGE 138 V 533 E. 4.2 mit Hinweisen; ARV 2016 S. 227 E. 2, 8C_60/2016; vgl. ferner BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, N. 11 zu Art. 8). Keinesfalls genügt es für die Bejahung eines gewöhnlichen Aufenthalts, wenn sich der Bezug zur Schweiz auf die regelmässige Rückkehr zwecks Erfüllung der Kontrollvorschriften beschränkt (SVR 2006 ALV Nr. 24 S. 82, C 290/03 E. 6.3).
5.
5.1. Wie die Vorinstanz willkürfrei feststellte, vermietete das Unternehmen "B._ AG" dem Beschwerdegegner (im Sinne von Wohngelegenheiten) jeweils Zimmer in Wohngemeinschaften nahe den jeweiligen Baustellen, auf denen er eingesetzt worden war. Mit Blick auf die widersprüchlichen Angaben im Rahmen der Wohnsitzabklärung durch die Verwaltung erachtete es die Vorinstanz nicht als überwiegend wahrscheinlich, dass der Beschwerdegegner mindestens einmal wöchentlich während der hier zu beurteilenden Beschäftigung in der Schweiz zu seiner Familie zurückkehrte, die eineinhalb Stunden Autofahrt oder drei Stunden Zugfahrt entfernt in E._ wohnte, an welcher Adresse der Beschwerdegegner auch einwohnerrechtlich angemeldet blieb. Er kehrte aber, wenn auch nicht wöchentlich, so doch in den Ferien - und damit zumindest gelegentlich - an seinen Wohnort in Italien zurück. Zum hiesigen Arbeitsmarkt blieb insofern eine enge Verbindung, als er sich mehrmals wöchentlich bei potentiellen Arbeitgebern im Oberwallis persönlich um Arbeit bemühte, wobei er sich auch auf Vollzeitanstellungen bewarb und ab März 2020 wieder über einen Arbeitsvertrag beim Unternehmen "B._ AG" verfügte.
Ob die Vorinstanz hieraus ohne Bundesrecht zu verletzen schliessen durfte, dass der Beschwerdegegner grösstenteils in der Schweiz lebte und hier seinen Lebensmittelpunkt hatte, braucht indessen nicht abschliessend geklärt zu werden, wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt.
5.2. Unbestritten ist, dass der Beschwerdegegner durch die fehlende tägliche oder mindestens wöchentliche Pendelbewegung von Italien nach der Schweiz nicht als echter Grenzgänger gilt. Da er aber nach den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen zumindest gelegentlich an seinen Wohnsitz in Italien zurückkehrte, ist er, wenn auch allenfalls nicht als in der Schweiz wohnend, so doch jedenfalls als unechter Grenzgänger zu qualifizieren (SUSANNE DERN, in Schreiber/ Wunder/Dern, VO (EG) Nr. 883/2004, 2012, S. 306 N. 2 f. zu Art. 65).
5.3. Wie bereits dargelegt (vorstehende E. 4.2), haben unechte Grenzgänger gemäss Art. 65 Abs. 2 Satz 3 VO Nr. 883/2004 bei Vollarbeitslosigkeit Anspruch auf Leistungen des letzten Tätigkeitsstaates, sofern sie nicht in ihren Wohnmitgliedstaat zurückkehren und sich in diesem Staat der Arbeitsvermittlung zur Verfügung stellen (vgl. SUSANNE DERN, a.a.O., S. 311 N. 19 f. zu Art. 65; MAXIMILIAN FUCHS, in : NomosKommentar, Europäisches Sozialrecht, 7. Aufl., 2018, N. 8 und 15 zu Art. 65 VO [EG] Nr. 883/2004). Unechte Grenzgänger, die in der Schweiz beschäftigt waren und ihren Wohnort im Ausland haben, können somit gestützt auf das in Art. 65 VO Nr. 883/2004 festgehaltene Wahlrecht ihren Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung in der Schweiz geltend machen. Bei Ausübung dieses Wahlrechts wird gemäss Kreisschreiben des SECO über die Auswirkungen der Verordnungen [EG] Nr. 883/2004 und 987/2009 auf die Arbeitslosenversicherung [KS ALE 883], Ziff. A88f. lediglich vorausgesetzt, dass sich die betreffende Person im Staat, in dem sie die Leistungen beansprucht, der öffentlichen Arbeitsvermittlung zur Verfügung stellt. Zuständig sind diejenigen Durchführungsstellen (RAV, Arbeitslosenkasse), in deren Tätigkeitsgebiet der vormalige Aufenthaltsort der betreffenden Person lag. Um in der Schweiz als letzter Beschäftigungsstaat Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung erheben zu können, muss der unechte Grenzgänger seinen Wohnort demnach gerade nicht aufgeben und in die Schweiz übersiedeln (vgl. KS ALE 883 Ziff. A24f., A29 u. A90). Durch den Bezug von Arbeitslosenentschädigung in der Schweiz verliert er seinen Status als unechter Grenzgänger nicht (vgl. KS ALE 883 Ziff. D25 u. 26), ansonsten fände Art. 65 VO Nr. 883/2004 durch das Zusammenfallen von Wohn- und Beschäftigungsort keine Anwendung und das eigentliche Wahlrecht würde ausgehebelt (SUSANNE DERN, a.a.O., S. 306 N. 1. zu Art. 65 und KS ALE 883 Ziff. A90).
5.4. Die Beschwerdeführerin übersieht somit bei ihrer Argumentation, dass das Erfordernis des Wohnens in der Schweiz nach Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG für unechte Grenzgänger entfällt, die in der Schweiz Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung erheben. Der Beschwerdegegner stellte sich uneingeschränkt der Arbeitsvermittlung in der Schweiz zur Verfügung, weilte hier mehrmals wöchentlich zur Stellensuche und hielt die enge Beziehung zum schweizerischen Arbeitsmarkt dementsprechend aufrecht. Durch die bereits bei der Anmeldung in Aussicht stehende erneute Beschäftigung bei der gleichen Arbeitgeberin im Frühjahr 2020 in der Schweiz machte er deutlich, dass er weiterhin unter den gleichen Bedingungen in der Schweiz tätig sein wollte und insofern auf eine Rückkehr in seinen Wohnstaat verzichtete (vgl. Urteile 8C_186/2017 vom 1. September 2017 E. 7.7 [Zusammenfassung in: RtiD 2018 I S. 281] mit Hinweis auf ARV 2016 S. 227, E. 4.2.3, 8C_60/2016, in welchen Fällen die versicherte Person in ihren Wohnstaat zurückkehrte und diese daher kein Wahlrecht besass).
Fehl geht somit die Auffassung der Beschwerdeführerin unter Hinweis auf Art. 65 Abs. 2 Satz 3 VO Nr. 883/2004 und das soeben zitierte Urteil 8C_186/2017, dass es unerheblich sei, ob es sich um einen echten Grenzgänger (Tages- und Wochenpendler) oder um einen unechten Grenzgänger (keine wöchentliche, aber gelegentliche Rückkehr in den Wohnstaat) handle, da sich bei beiden der Leistungsanspruch nach dem Recht des Wohnstaates richte. Dabei übersieht sie das soeben skizzierte Wahlrecht des unechten Grenzgängers. Hinsichtlich seines Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung nach Schweizer Recht ist es daher vorliegend unerheblich, ob der Beschwerdegegner in der Schweiz seinen Lebensmittelpunkt hatte und damit seinen gewöhnlichen Aufenthalt.
5.5. Damit bedarf es keiner abschliessenden Beurteilung, ob die Organe der Arbeitslosenversicherung ihre Auskunfts- und Beratungspflicht nach Art. 27 ATSG verletzt haben. Anzumerken bleibt, dass sich aus den vorinstanzlichen Feststellungen hierzu zumindest nicht ergibt, dass der Beschwerdegegner auf ein Wahlrecht als unechter Grenzgänger aufmerksam gemacht worden wäre, was die Beschwerdeführerin ebenso wenig behauptet. Der ausgehändigte Leitfaden des SECO "Arbeitslosigkeit", den die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang anruft, hält in Bezug auf einen Grenzgänger lediglich fest, dass dieser in der Regel im Wohnstaat nach den dort gültigen Vorschriften Arbeitslosenentschädigung bezieht. Hieraus ergibt sich in diesem Punkt nichts zugunsten der Beschwerdeführerin. Die von ihr nach Abschluss des Schriftenwechsels eingereichten Dokumente (Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 2. August 2021 [S1 21 99] und Einspracheentscheid (Nr. 385/2020) der DIHA vom 10. März 2021), jeweils verschiedene Versicherte betreffend, vermögen am Ergebnis ebenfalls nichts zu ändern. Selbst wenn es sich dabei zufolge allgemeiner Zugänglichkeit nicht um unzulässige Noven handeln sollte (Art. 99 Abs. 1 BGG; Urteile 9C_647/2018 vom 1. Februar 2019 E. 2; 1C_183/2017 vom 31. Oktober 2017 E. 2; 1C_323/2008 vom 27. März 2009 E. 2.3), lässt sich daraus aber nichts für den hier zu beurteilenden Fall ableiten. Zum einen wurde der eingereichte Einspracheentscheid von der Beschwerdeführerin selbst verfasst, darin die Einsprache als gegenstandslos abgeschrieben und die Frage des Wohnsitzes in der Schweiz offen gelassen, da der dortige Versicherte ohnehin die für einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung vorausgesetzte Beitragszeit nicht erfüllte. Zum andern kann hier, wie dargelegt, ebenfalls unbeantwortet bleiben, ob der Beschwerdegegner Wohnsitz in der Schweiz hatte. Deshalb lässt sich von vornherein nichts zugunsten der Beschwerdeführerin aus dem Umstand ableiten, dass die Vorinstanz im Urteil vom 2. August 2021, in einem (zumindest auf den ersten Blick) ähnlich gelagerten Fall, die Anspruchsvoraussetzung des Wohnens in der Schweiz nach Art. Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG verneinte. Somit hat es beim vorinstanzlichen Urteil sein Bewenden.
6.
Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 62 BGG), doch sind der unterliegenden, in ihrem amtlichen Wirkungskreis und nicht in eigenen Vermögensinteressen handelnden DIHA keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG; BGE 133 V 640 E. 4 mit Hinweisen). Der Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Januar 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Die Gerichtsschreiberin: Polla