Faits :
A.
Le 13 novembre 2019, le Ministère public jurassien a rendu une ordonnance de non-entrée en matière sur la plainte pénale déposée par A._ contre B._ pour abus de confiance. En substance, ce dernier reproche à son ex-compagne d'avoir, à l'époque où ils vivaient en concubinage, passé à son nom sur Internet plusieurs commandes dont les factures n'ont pas été réglées, lui causant des poursuites pour un montant de 37'906 fr. 20.
B.
Par décision du 14 janvier 2020, la Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours interjeté par A._ contre l'ordonnance du ministère public.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre la décision de la Chambre pénale des recours. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision de la Chambre pénale des recours et au renvoi de la cause à cette autorité pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire.
D.
Invités à se déterminer sur le recours, le ministère public et la cour cantonale se sont référés aux considérants de la décision attaquée et ont conclu au rejet du recours. L'intimée a également conclu au rejet du recours ainsi que de la demande d'assistance judiciaire du recourant, en sollicitant pour elle-même le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
1.1. Conformément à l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO (ATF 141 IV 1 consid. 1.1 p. 4).
1.2. S'agissant de sa qualité pour recourir, le recourant indique qu'il a, en instance cantonale, chiffré son préjudice à 37'906 fr. 20 et qu'il entend en sus réclamer une indemnité pour tort moral de 2'000 francs. Bien qu'il ne montre pas qu'il remplirait les conditions pour prétendre à une indemnité pour tort moral il y a lieu d'admettre qu'il dispose, eu égard au dommage allégué en lien avec les commandes auxquelles il prétend n'avoir pas consenti, de la qualité pour recourir en matière pénale au Tribunal fédéral.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir fait une application erronée du principe " in dubio pro duriore " ainsi que d'avoir violé l'art. 310 CPP.
2.1. Conformément à l'art. 310 al. 1 let. a CPP, le ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis. Cette disposition doit être appliquée dans le respect de l'adage " in dubio pro duriore ". Celui-ci découle du principe de la légalité (voir ATF 138 IV 86 consid. 4.2 p. 91) et signifie qu'en principe un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions de la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation et le Tribunal fédéral n'intervient qu'avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave. En effet, en cas de doute s'agissant de la situation factuelle ou juridique, ce n'est pas à l'autorité d'instruction ou d'accusation mais au juge matériellement compétent qu'il appartient de trancher (ATF 143 IV 241 consid. 2.2.1 p. 243; 138 IV 86 consid. 4.1.2 p. 91 et les références citées).
2.2. La cour cantonale a admis que les faits dénoncés seraient susceptibles de réaliser les éléments constitutifs de l'escroquerie au sens de l'art. 146 CP. Elle a en revanche estimé que les charges étaient manifestement insuffisantes et qu'aucun acte d'enquête ne paraissait pouvoir amener des éléments utiles à la poursuite pénale. Elle a notamment considéré que les moyens de preuve proposés par le recourant ne permettraient pas d'établir les circonstances de fait déterminantes.
2.3. Le recourant soutient que certains moyens de preuve devraient encore être mis en oeuvre. Il requiert notamment que des renseignements soient pris auprès des offices des poursuites compétents afin de déterminer si c'est son ex-compagne qui a signé les commandements de payer relatifs aux commandes litigieuses. Il fait valoir que comme elle a déclaré lors de son audition du 26 mars 2019 " concernant les poursuites, il était au courant car celles-ci étaient à son nom et c'est lui qui signait les papiers ", une telle preuve permettrait d'établir qu'elle a menti dans le cadre de la présente cause.
Même si la preuve sollicitée n'est pas de nature à établir de manière formelle les faits dénoncés par le recourant, elle est susceptible d'apporter un éclairage important pour l'appréciation des déclarations des deux protagonistes, justifiant le cas échéant une réaudition ou une confrontation entre eux. Elle pourrait par ailleurs être administrée sans grande difficulté.
Dans ces circonstances, la cour cantonale ne pouvait pas, sans violer le droit fédéral, admettre qu'aucun moyen de preuve ne pouvait amener d'élément utile à l'établissement des faits dénoncés. Le recours doit dès lors être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau.
3.
Le recourant qui obtient gain de cause peut prétendre à des dépens à la charge du canton du Jura, ce qui rend sans objet sa demande d'assistance judiciaire.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimée doit être admise au vu de sa situation financière et une indemnité appropriée doit être accordée à son conseil, à charge de la caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, la décision attaquée est annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton du Jura versera au mandataire du recourant une indemnité de 3000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est admise pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Me Cédric Baume est désigné comme avocat d'office de l'intimée et une indemnité de 1'000 fr., supportée par la caisse du Tribunal fédéral, lui est allouée à titre d'honoraires.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre pénale des recours.
Lausanne, le 14 septembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Paquier-Boinay