Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 21. Januar 2021 ermächtigte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Luzern die Beschwerdegegnerin 1, die Parteientschädigung aus dem Verfahren 5V 19 80 betreffend B.A._ in Höhe von Fr. 3'000.-- auf einem Bankkonto des Bezirksgerichts Luzern zu hinterlegen. Auf die von B.A._ widerklageweise beantragte Leistungsklage auf Überweisung des Betrags von Fr. 3'000.-- an ihn trat die Einzelrichterin nicht ein.
Mit Entscheid vom 15. März 2021 wies das Kantonsgericht Luzern eine von B.A._ gegen den einzelrichterlichen Entscheid vom 21. Januar 2021 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte ihm die Kosten für das Rechtsmittelverfahren.
Mit Eingabe vom 3. Mai 2021 erklärte A.A._ (Beschwerdeführer), der B.A._ im kantonalen Verfahren vertreten hatte, dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 15. März 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen. Am 4. Juni 2021 beantragte der Beschwerdeführer, es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zu gewähren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (BGE 133 III 393 E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. Art. 117 BGG).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerde in eigenem Namen eingereicht, wozu er auch als damaliger Vertreter von B.A._ nach Art. 115 BGG nicht berechtigt ist, zumal nicht erkennbar ist, inwiefern der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids haben soll (lit. b).
Auf die Beschwerde kann damit in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht eingetreten werden.
3.2. Zudem ist darauf hinzuweisen, dass die Eingaben des Beschwerdeführers die genannten Begründungsanforderungen ohnehin offensichtlich nicht erfüllen würden. Er setzt sich nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Kantonsgerichts Luzern vom 15. März 2021 auseinander und zeigt auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre. Er wirft der Vorinstanz in allgemeiner Weise Voreingenommenheit vor, begründet jedoch nicht konkret, inwiefern ihr eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV vorzuwerfen wäre. Zudem erwähnt er das Willkürverbot (Art. 9 BV), zeigt jedoch nicht hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmung verletzt haben soll.
Auf die Beschwerde wäre somit auch mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von diesen Kosten im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos wird. Den Beschwerdegegnerinnen steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann