Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Kopenhagen führte gegen C._ (alias B._) ein Strafverfahren wegen Betrug. Auf Rechtshilfeersuchen der dänischen Behörden wurden in der Schweiz zwei Konten gesperrt, das eine lautend auf die D._ Ltd., das andere lautend auf die E._ Ltd.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 19. April 2017, ergänzt am 2. Februar 2018, ersuchten die dänischen Behörden die Schweiz um Herausgabe der beschlagnahmten Vermögenswerte (EUR 7'988'000.-- und EUR 91'000.--). Sie führten aus, C._ sei mittlerweile wegen besonders schweren Betrugs verurteilt worden und er sowie die D._ Ltd. seien zur Zahlung von je EUR 9'367'932.60 an die geschädigte Holding F._ verpflichtet worden. Der Einwand C._s, er sei der eineiige Zwillingsbruder der Person, gegen welche die Staatsanwaltschaft Klage erhoben habe, sei nicht gehört worden. Der Einziehungsentscheid sei mit dem Berufungsurteil des Landgerichts Ost vom 15. März 2017 bestätigt worden und in Rechtskraft erwachsen.
Mit Eintretens- und Schlussverfügung vom 2. April 2019 entsprach die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz dem Rechtshilfeersuchen. Auf eine von A. (unter dem Namen) B._ dagegen gerichtete Beschwerde trat das Bundesstrafgericht mit Entscheid vom 15. Mai 2019 nicht ein. Es hielt fest, von der Rechtshilfemassnahme seien die Konteninhaber, mithin die D._ Ltd. und die E._ Ltd., direkt betroffen, nicht aber der Beschwerdeführer. Ihm fehle die Beschwerdelegitimation (Art. 80h lit. b IRSG [SR 351.1]).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 31. Mai 2019 beantragt A._ im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheids des Bundesstrafgerichts und die Herausgabe der beschlagnahmten Vermögenswerte an die D._ Ltd. und die E._ Ltd.
2.
Gemäss Art. 84 Abs. 1 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt. Dies ist vorliegend nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer selbst führt aus, das Bundesstrafgericht habe richtigerweise festgestellt, dass er weder direkt noch indirekt an den Vermögenswerten bzw. den beiden genannten Gesellschaften berechtigt sei. Damit ist jedoch nicht erkennbar, inwiefern er persönlich und direkt von der Rechtshilfemassnahme betroffen sein sollte (Art. 80h IRSG).
3.
Auf die Beschwerde ist aus diesem Grund nicht einzutreten.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Vorbringen nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold