Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1973) alias B._ stammt aus Algerien. Er ersuchte am 21. Januar 2019 erfolglos in der Schweiz um Asyl. A._ ist während seines Aufenthalts in der Schweiz straffällig geworden (Diebstahl, Sachbeschädigung usw.). Er wurde vom Strafgericht Basel-Stadt gestützt auf Art. 66a bis StGB in diesem Zusammenhang für 3 Jahre des Landes verwiesen. Nach Entlassung von A._ aus dem Strafvollzug nahm das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt ihn bis zum 1. Januar 2020 in Ausschaffungshaft; der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht Basel-Stadt bestätigte diese am 2. Oktober 2019. Am 13. Dezember 2019 verlängerte das Migrationsamt die Administrativhaft um weitere 3 Monate bis zum 1. April 2020. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht Basel-Stadt genehmigte die entsprechende Verlängerung am 20. Dezember 2019.
1.2. Der Beschwerdeführer ist hiergegen mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, den Haftentscheid zu überprüfen und ihn frei zulassen. Mit Schreiben vom 10. Januar 2020 wurde A._ darauf hingewiesen, dass seine Eingabe den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde an das Bundesgericht nicht genügen dürfte, er aber bis zum Ablauf der Beschwerdefrist noch Zeit habe, seine Eingabe zu verbessern. Es stehe ihm auch frei, sich diesbezüglich fachkundig beraten zu lassen. Am 20. Januar 2020 ging beim Bundesgericht ein weiteres Schreiben von A._ ein. Er beantragt darin wiederum, sein Dossier zu überprüfen: Algerien werde ihm keinen Laissez-passer ausstellen, da er nicht in seine Heimat zurückkehren wolle.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt den gesetzlichen Vorgaben nicht: Der Beschwerdeführer stellt in seiner Eingabe lediglich seine Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich mit deren Begründung auseinanderzusetzen. Seine Vorbringen erschöpfen sich in unzulässiger appellatorischer Kritik. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung durch die Vorinstanz Art. 9 BV (Willkürverbot) verletzen würden; es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern der Einzelrichter mit seinem Entscheid Bundesrecht verletzt hätte: Er ist auf die Frage eingegangen, ob der Beschwerdeführer nach Irland verbracht werden kann oder nicht; das Staatssekretariat für Migration (SEM) steht seinerseits mit den algerischen Behörden in Kontakt. Nachdem ein Rückführungsabkommen mit Algerien besteht, kann nicht gesagt werden, dass eine Ausschaffung des Beschwerdeführers in seine Heimat ausgeschlossen wäre. Er kann das Verfahren beschleunigen und die administrative Festhaltung verkürzen, wenn er mit den Behörden bei der Papierbeschaffung kooperiert.
3.
Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG) und keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Beteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar