Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführer erstatteten am 12. Mai 2017 Strafanzeige gegen die Mitglieder des Verwaltungsrats der X._ AG wegen Diebstahls, Veruntreuung und Nötigung sowie gegen Y._, Vorsteherin des Oberamtes Region Solothurn, wegen Amtsmissbrauchs, ungetreuer Amtsführung und Urkundenfälschung im Amt. Die Strafanzeige erfolgte im Zusammenhang mit der vom Richteramt Solothurn-Lebern am 16. Oktober 2015 verfügten zwangsweisen Ausweisung der Beschwerdeführer aus den von ihnen bis am 31. August 2015 gemieteten Räumlichkeiten an der C._strasse in Solothurn und der zwangsweisen Räumung dieser Lokalitäten am 12. Februar 2016. Die Beschwerdeführer warfen den Verwaltungsräten der X._ AG (Eigentümerin der geräumten Liegenschaft) und Y._ vor, sie hätten sich nach der Zwangsräumung nicht um die Lagerung ihrer Möbel und Gegenstände bemüht. Es seien diverse Gegenstände gestohlen resp. veruntreut worden. Y._ habe sich nicht an die Vorgaben des Richteramtes im Ausweisungs- und Vollstreckungsentscheid vom 16. Oktober 2015 gehalten.
Die Staatsanwaltschaft Solothurn nahm das Strafverfahren mit Verfügung vom 9. Januar 2018 nicht an die Hand. Die von den Beschwerdeführern dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn am 21. Juni 2018 ab.
Die Beschwerdeführer gelangen gegen den Entscheid vom 21. Juni 2018 mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht.
2.
Anfechtungsobjekt des bundesgerichtlichen Verfahrens ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid (Art. 80 Abs. 1 BGG). Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde daher, soweit die Beschwerdeführer darin auch dem am Ausweisungs- und Vollstreckungsentscheid vom 16. Oktober 2015 beteiligten Richter eine Verletzung von Amtspflichten vorwerfen, da diese Frage nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet.
3.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Bei den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geht es in erster Linie um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer zeigen in ihrer Beschwerde nicht auf, dass und weshalb ihnen gegen die Mitglieder des Verwaltungsrats der X._ AG Zivilansprüche zustehen könnten bzw. weshalb sich diese entgegen der Auffassung der Vorinstanz strafbar gemacht haben sollen. Sie vertreten in ihrer Beschwerde vielmehr die Auffassung, das Oberamt als rechtsstaatliches Organ und nicht die Familie X._ sei für die Räumung und die "saubere Einstellung und Lagerung" ihres Mobiliars verantwortlich gewesen. Soweit sich die Beschwerde formell auch gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens gegen die Verwaltungsräte der X._ AG richtet, kann darauf daher nicht eingetreten werden.
4.
Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (BGE 131 I 455 E. 1.2.4 S. 461; 128 IV 188 E. 2.2 f. S. 191 f.).
Im Kanton Solothurn haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich mit oder ohne Verschulden zufügt. Der Geschädigte kann Beamte nicht unmittelbar belangen (§ 2 Abs. 1 und 2 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons Solothurn vom 26. Juni 1966 [BGS 124.21]; Urteil 6B_845/2018 vom 19. September 2018 E. 2). Den Beschwerdeführern stehen gegen Y._ daher keine Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zu. Soweit diese geltend machen, die Vorinstanz habe zu Unrecht ein strafbares Verhalten von Y._ verneint, fehlt es ihnen daher an der Beschwerdelegitimation in der Sache.
5.
Die Privatklägerschaft kann mit Beschwerde in Strafsachen ungeachtet der Legitimation in der Sache im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 5; 138 IV 78 E. 1.3 S. 79 f.; 136 IV 29 E. 1.9 S. 40). Für die Anfechtung des Sachverhalts sowie für die Rüge der Verletzung von Grundrechten gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 500 E. 1.1 S. 503).
6.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör, da sie von der Staatsanwaltschaft nie einvernommen und nie zur Sachlage der Ausweisung befragt worden seien. Sie seien von der Staatsanwaltschaft nie vorgeladen worden.
Es entspricht dem Willen des Gesetzgebers, die Parteirechte der Privatklägerschaft im polizeilichen Ermittlungsverfahren einzuschränken. Das Bundesgericht entschied wiederholt, Art. 318 Abs. 1 StPO sei nicht anwendbar, wenn die Staatsanwaltschaft eine Nichtanhandnahme verfüge; die Parteien haben vor dem Erlass einer Nichtanhandnahmeverfügung keinen Anspruch auf rechtliches Gehör (BGE 144 IV 81 E. 2.3.3 S. 86; Urteile 6B_290/2017 vom 27. November 2017 E. 2.4; 6B_276/2017 vom 12. Juli 2017 E. 4; je mit Hinweisen). Im Übrigen geht aus dem angefochtenen Entscheid hervor, dass der Beschwerdeführer zur telefonisch vereinbarten polizeilichen Einvernahme unentschuldigt nicht erschien (angefochtener Entscheid E. 4.1 S. 5). Der Beschwerdeführer widerlegt dies in der Beschwerde nicht. Er beanstandet lediglich, er sei von der Staatsanwaltschaft nie vorgeladen worden. Soweit die Beschwerdeführer eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör rügen, genügt ihre Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
7.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld