Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1957 geborene A._, Staatsangehöriger der Vereinigten Staaten von Amerika (USA), reiste im Jahr 2002 in die Schweiz ein, wo er in der Folge als Sprachlehrer für verschiedene Arbeitgeber sowie als Selbstständigerwerbender tätig war. Unter Hinweis auf eine psychische Beeinträchtigung meldete er sich am 20. Dezember 2012 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 13. Februar 2014 lehnte die IV-Stelle des Kantons Zürich sein Leistungsgesuch mit der Begründung ab, A._ sei bereits in den USA arbeitsunfähig gewesen und mit dem Gesundheitsschaden in die Schweiz eingereist, weshalb er die versicherungsmässigen Voraussetzungen nicht erfülle. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
A.b. Mit Eingabe vom 29. Dezember 2014 ersuchte A._ die IV-Stelle darum, ihm gestützt auf Art. 53 ATSG rückwirkend per 1. Juli 2013 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Die Verwaltung holte in der Folge bei der Medizinischen Abklärungsstelle ZVMB GmbH (MEDAS Bern) ein polydisziplinäres Gutachten ein (Expertise vom 9. Mai 2016). Mit Verfügung vom 16. Juni 2017 hob sie diejenige vom 13. Februar 2014 wiedererwägungsweise auf, wies aber das Leistungsbegehren mangels rentenbegründenden Invaliditätsgrades erneut ab.
B.
B.a. Die hiergegen geführte Beschwerde, mit welcher A._ ein Privatgutachten der Dr. med. B._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 6. Juli 2017 auflegte, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 10. Januar 2019 ab. Mit Urteil 8C_111/2019 vom 14. Juni 2019 hiess das Bundesgericht die von A._ dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut. Es hob den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B.b. Nachdem das Sozialversicherungsgericht den Parteien Gelegenheit, gegeben hatte, sich zur inzwischen ergangenen Rechtsprechungsänderung in Bezug auf primäre Abhängigkeitssyndrome (BGE 145 V 215) zu äussern, wies es die Beschwerde des A._ mit Entscheid vom 24. September 2020 erneut ab. Auch seinen Antrag, die Kosten des Privatgutachtens in der Höhe von Fr. 8250.- (zzgl. MWSt) der IV-Stelle zu überbinden, beschied es abschlägig.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm mit Wirkung ab 1. Dezember 2013 eine ganze Invalidenrente, eventualiter eine geringere Rente, auszurichten und ihm die Kosten des Privatgutachtens vom 6. Juli 2017 in Höhe von Fr. 8250.- (zzgl. MWSt) zu erstatten.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann willkürlich (vgl. dazu BGE 140 III 16 E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 144 I 28 E. 2.4 S. 31 mit Hinweisen).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist zur Hauptsache, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie einen Rentenanspruch verneinte.
2.2. Das kantonale Gericht legte die rechtlichen Grundlagen betreffend Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG), Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG), Voraussetzung des Rentenanspruchs (Art. 28 IVG) sowie Ermittlung des Invaliditätsgrades nach der Methode des Einkommensvergleichs (Art. 16 ATSG) zutreffend dar. Richtig sind auch die Ausführungen zum Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE 143 V 124 E. 2.2.2 S. 126 f.; 137 V 210 E. 6.2.2 S. 269; 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3 S. 352 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. In Nachachtung des Rückweisungsurteils des Bundesgerichts 8C_111/2019 vom 14. Juni 2019 nahm das kantonale Gericht eine materielle Prüfung des Rentenanspruchs des Beschwerdeführers vor. Nach Würdigung der relevanten Akten stellte es fest, in rein somatischer Hinsicht hätten beide Parteien das MEDAS-Gutachten vom 9. Mai 2016 nicht substanziiert in Zweifel gezogen. Gestützt auf die beweiskräftigen Teilexpertisen bestehe aus neurologischer Sicht keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Aus orthopädischer Sicht sei hingegen aufgrund der progredienten degenerativen Veränderungen der Lendenwirbelsäule (LWS) von einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 30 % auszugehen. In psychischer Hinsicht stellte die Vorinstanz fest, dass weder das Privatgutachten der Dr. med. B._ vom 6. Juli 2017 noch der Bericht der Institution C._ vom 10. Oktober 2016 das psychiatrische MEDAS-Teilgutachten des Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, in Frage zu stellen vermöchten. Dieser habe dem Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % in der angestammten Tätigkeit als Sprachlehrer und eine solche von 10 % in einer angepassten Tätigkeit attestiert, was auch im Lichte der Standardindikatoren (BGE 141 V 281) überzeuge. Ausgehend von einer gesamthaft betrachteten Arbeitsfähigkeit von 70 % für angepasste Tätigkeiten ermittelte die Vorinstanz schliesslich einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 8 %, wobei sie offen liess, ob ein leidensbedingter Abzug zu gewähren sei, da auch der Maximalabzug nichts am Ergebnis ändern würde.
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet die Beweiskraft des psychiatrischen Teilgutachtens des Dr. med. D._ und rügt eine willkürliche Beweiswürdigung der Vorinstanz (Art. 9 BV), eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 61 lit. c ATSG) sowie des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Im Weiteren macht er eine willkürliche Bemessung des Valideneinkommens geltend. Schliesslich bringt er vor, eine allfällige Restarbeitsfähigkeit wäre altersbedingt nicht verwertbar.
4.
4.1. Die bundesgerichtliche Überprüfung der vorinstanzlichen Beweiswürdigung hat sich darauf zu beschränken, ob mit Blick auf die vorgebrachten Rügen die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid offensichtlich unrichtig ist oder eine Rechtsverletzung, namentlich hinsichtlich der Regeln über den Beweiswert von ärztlichen Berichten, vorliegt. Zu beachten ist hier, dass praxisgemäss auf ein nach Art. 44 ATSG eingeholtes Gutachten abzustellen ist, wenn nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470). Ein Parteigutachten besitzt demgegenüber nicht den gleichen Rang wie ein vom Gericht oder vom Versicherungsträger nach dem vorgegebenen Verfahrensrecht eingeholtes Gutachten. Es verpflichtet indessen das Gericht, den von der Rechtsprechung aufgestellten Richtlinien für die Beweiswürdigung folgend, zu prüfen, ob es in rechtserheblichen Fragen die Auffassung und Schlussfolgerungen des vom Gericht oder vom Versicherungsträger förmlich bestellten Gutachters derart zu erschüttern vermag, dass davon abzuweichen ist (vgl. BGE 125 V 351 E. 3c S. 354; Urteile 9C_6/2020 vom 19. Mai 2020 E. 3.2.2; 8C_725/2017 vom 4. Mai 2018 E. 3.4).
4.2. Bei der Beweiswürdigung ist zu beachten, dass die psychiatrische Exploration von der Natur der Sache her nicht ermessensfrei erfolgen kann. Sie eröffnet dem begutachtenden Psychiater daher praktisch immer einen gewissen Spielraum, innerhalb dessen verschiedene medizinisch-psychiatrische Interpretationen möglich, zulässig und zu respektieren sind, sofern der Experte lege artis vorgegangen ist (Urteile 8C_107/2020 vom 17. April 2020 E. 4.1.3; 8C_629/2017 vom 29. Dezember 2017 E. 4.3; je mit Hinweisen). Dem kantonalen Versicherungsgericht steht zudem als Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu (vgl. BGE 120 Ia 31 E. 4b S. 40; Urteil 8C_738/2020 vom 18. Dezember 2019 E. 2.2). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (BGE 132 III 209 E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246 mit Hinweis; Urteil 9C_156/2015 vom 1. Juli 2015 E. 1.2).
5.
5.1. Im Rahmen ihrer Beweiswürdigung stellte die Vorinstanz mit Verweis auf die Angaben im Privatgutachten der Dr. med. B._ fest, es hätten sich grundsätzlich keine schwerwiegenden Befunde objektivieren lassen, weshalb ihre Beurteilung einer Arbeitsfähigkeit von höchstens zwei Mal 1,5 Stunden pro Woche kritisch zu hinterfragen sei. Insgesamt seien auch keine erheblichen Differenzen zum von Dr. med. D._ erhobenen psychopathologischen Befund erkennbar. Desgleichen würden sich die von den beiden Gutachtern erstellten Fähigkeitsprofile nicht grundlegend voneinander unterscheiden. Soweit divergierende Einschätzungen vorlägen, wie etwa in Bezug auf die Beeinträchtigung der Durchhaltefähigkeit oder der Fähigkeit zur Planung und Strukturierung, sei dies hauptsächlich als andere Beurteilung des gleichen medizinischen Sachverhalts zu werten. Konkrete Indizien, die gegen die Zuverlässigkeit des MEDAS-Teilgutachtens sprächen, liessen sich daraus nicht ableiten. Die deutlich abweichende Diagnosestellung sei sodann nicht ausschlaggebend, da nicht die diagnostische Einordnung eines Gesundheitsschadens entscheidend sei, sondern dessen konkreten Auswirkungen auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit. Davon abgesehen habe Dr. med. D._ überzeugend dargelegt, weshalb er weder von einer posttraumatischen Belastungsstörung (PTBS) noch von einer Persönlichkeitsstörung ausgehe. Einerseits habe er auf die ICD-10-Kriterien verwiesen, welche er bei gezielter Befragung mangels Schilderung einer Flashback-Symptomatik und ausgeprägter Verdrängungsmechanismen als nicht erfüllt erachtet habe. Andererseits habe er angemerkt, dass für eine spezifische Persönlichkeitsstörung stärkere persönliche und soziale Beeinträchtigungen in der Vergangenheit hätten bestanden haben müssen.
5.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, lässt die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als willkürlich erscheinen.
5.2.1. Es mag zwar zutreffen, dass die Gutachten der Dres. med. D._ und B._ in Bezug auf den erhobenen psychopathologischen Befund teilweise voneinander abweichen. Daraus vermag der Beschwerdeführer indessen nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Zum einen genügt es nicht, die von den Experten abweichend erhobenen Befunde aufzuführen, um die vorinstanzliche Feststellung, die Differenz zwischen den erhobenen Befunden sei nicht erheblich, als offensichtlich unrichtig darzutun (vgl. E. 1.2 hiervor). Zum anderen liegen zwischen den jeweiligen Untersuchungen des Administrativgutachters und der Privatgutachterin mehr als zwei Jahre, wobei die Exploration durch Dr. med. B._ (27. Juni und 6. Juli 2017) kurz nach der leistungsablehnenden Verfügung der IV-Stelle vom 16. Juni 2017 erfolgte. Allein aufgrund einzelner Abweichungen in Bezug auf den psychopathologischen Befund lässt sich die Teilexpertise des Dr. med. D._ somit nicht in Frage stellen, zumal die psychiatrische Exploration von der Natur der Sache her nicht ermessensfrei erfolgen kann (vgl. E. 4.2 hiervor).
5.2.2. Sodann wurden im MEDAS-Gutachten die Folgen des Opiat- und Schmerzmittelkonsums hinreichend berücksichtigt. Dr. med. D._ führte unter den Diagnosen mit Relevanz für die Arbeitsfähigkeit ein leichtes kognitives Defizit bei sonstigen näher bezeichneten psychischen Störungen aufgrund einer Funktionsstörung des Gehirns resp. einer körperlichen Krankheit (Behandlung mit Opioiden; ICD-10 F06.8) auf und bestätigte die vom neuropsychologischen Gutachter lic. phil. E._ festgestellte Leistungsminderung von 20 % in der angestammten Tätigkeit (resp. von 10 % für angepasste Tätigkeiten) infolge verlängerter Vor- und Nachbearbeitungszeiten sowie etwas verlängerter Pausen. Inwiefern sich aufgrund der Opiatabhängigkeit weitergehende Einschränkungen ergeben sollen, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
5.2.3. Ein Widerspruch zwischen dem von Dr. med. D._ empfohlenen Konzentrations- und Aufmerksamkeitstraining und der festgestellten leichten kognitiven Störung oder zwischen der diagnostizierten Albtraumstörung und der gutachterlichen Feststellung, ein Wiedererleben eines früheren Traumas der Kindheit (Intrusionen und Flashbacks) sei nicht eruierbar, ist ebenfalls nicht erkennbar. Dass nicht von einem Vollbild einer PTBS auszugehen sei und lediglich eine eher leichte kognitive Leistungsminderung bestehe, bestätigte im Übrigen auch Dr. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Institution C._, in seiner Stellungnahme vom 10. Oktober 2016.
5.2.4. Schliesslich trifft es nicht zu, dass Dr. med. D._ den Längsschnitt ausgeblendet habe. Vielmehr erfolgte seine Beurteilung auch unter Berücksichtigung der Anamnese und der Aktenlage. Dabei zeigte er auch nachvollziehbar auf, weshalb er die von den behandelnden Ärzten diagnostizierte Persönlichkeitsstörung nicht bestätigen konnte. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers kann somit nicht gesagt werden, es bestünden zahlreiche ungeklärte offenkundige Widersprüche oder fachliche Mängel in den Ausführungen im psychiatrischen Teilgutachten des Dr. med. D._ oder im neuropsychologischen Teilgutachten des lic. phil. E._.
5.3. Indem die Vorinstanz dem MEDAS-Gutachten insgesamt resp. dem psychiatrischen und neuropsychologischen Teilgutachten im Besonderen Beweiskraft beimass, verletzte sie demnach nicht Bundesrecht. Ebenso wenig ist sie in Willkür verfallen, indem sie zum Schluss gelangte, das Privatgutachten der Dr. med. B._ vermöge die Beurteilung des Dr. med. D._ nicht derart zu erschüttern, dass davon abzuweichen wäre (vgl. E. 4.2 hiervor) und sie von weiteren Beweiserhebungen in Form eines Gerichtsgutachtens in antizipierter Beweiswürdigung absah. Die Beschwerdeargumentation verkennt insbesondere, dass die medizinische Folgenabschätzung an sich eine hohe Variabilität aufweist und gerade im psychiatrischen Bereich unausweichlich Ermessenszüge trägt (BGE 145 V 361 E. 4.1.2 S. 365 mit Hinweisen; Urteil 9C_6/2020 vom 19. Mai 2020 E. 5.3).
6.
6.1. Das kantonale Gericht kam nach Würdigung der gutachterlichen Angaben im Lichte der Standardindikatoren zum Schluss, dass die vom psychiatrischen Gutachter unter Berücksichtigung der Ergebnisse der neuropsychologischen Untersuchung bescheinigte Leistungseinschränkung von 20 % (angestammte Tätigkeit als Sprachlehrer) resp. 10 % (angepasste Tätigkeit) nachvollziehbar sei. Inwiefern es damit Bundesrecht verletzt haben soll, ist nicht erkennbar. Soweit der Beschwerdeführer seine eigene, gestützt auf die Angaben im Privatgutachten der Dr. med. B._ ergangene Indikatorenprüfung vorträgt, ist darauf nicht weiter einzugehen, da die Vorinstanz ihrer Beurteilung nach dem Gesagten zu Recht das psychiatrische Teilgutachten des Dr. med. D._ zu Grunde legte.
6.2. Ferner ist nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht unter Berücksichtigung der somatischen und psychischen Leiden des Beschwerdeführers von einer Arbeitsfähigkeit von 60 % in der angestammten Tätigkeit und von einer solchen von 70 % in einer leidensangepassten Tätigkeit ausging (vgl. E. 3.1 hiervor).
7.
7.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Vorinstanz habe es in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes unterlassen, zu prüfen, ob ihm die Verwertung der Restarbeitsfähigkeit überhaupt zumutbar sei. Dies sei aufgrund seines fortgeschrittenen Alters zu verneinen.
7.2. Die Rechtsprechung anerkennt, dass das (vorgerückte) Alter zusammen mit weiteren persönlichen und beruflichen Gegebenheiten dazu führen kann, dass die einer versicherten Person verbliebene Resterwerbsfähigkeit auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht mehr nachgefragt wird. Massgebend sind die Umstände des konkreten Falles, etwa die Art und Beschaffenheit des Gesundheitsschadens und seiner Folgen, der absehbare Umstellungs- und Einarbeitungsaufwand und in diesem Zusammenhang auch Persönlichkeitsstruktur, vorhandene Begabungen und Fertigkeiten, Ausbildung, beruflicher Werdegang oder Anwendbarkeit von Berufserfahrung aus dem angestammten Bereich (BGE 138 V 457 E. 3.1 S. 460). Für den Zeitpunkt, in welchem die Frage nach der Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit bei vorgerücktem Alter beantwortet wird, ist auf das Feststehen der medizinischen Zumutbarkeit einer (Teil-) Erwerbstätigkeit abzustellen (BGE 138 V 457 E. 3.3 S. 462; Urteil 9C_469/2016 vom 22. Dezember 2016 E. 3.2; vgl. dazu: MARCO WEISS, Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit aufgrund vorgerückten Alters - Rechtsprechungstendenzen, SZS 2018 S. 630).
7.3. Im hier zu beurteilenden Fall stand die medizinische Zumutbarkeit einer (Teil-) Erwerbsfähigkeit mit der Erstattung der MEDAS-Expertise am 6. Mai 2016 - und nicht wie der Beschwerdeführer vorbringt erst mit der ergänzenden Stellungnahme vom 28. Februar 2017 - fest. Die Nachfrage bei der Gutachterstelle durch die IV-Stelle erfolgte einzig deshalb, weil die Verwaltung die Arbeitsfähigkeit von 60 % in der angestammten Tätigkeit für ungenügend begründet hielt. Die Zumutbarkeit einer Erwerbstätigkeit stand aber schon vorher fest. Im massgebenden Zeitpunkt war der Beschwerdeführer 59 Jahre und 3 Monate alt. Bis zum Erreichen des AHV-Pensionsalters verblieb ihm somit eine Aktivitätsdauer von mehr als fünf Jahren.
7.4. Gemäss gutachterlicher Einschätzung kann der Beschwerdeführer aufgrund seines Skelettleidens keine Lasten über 5 kg heben und tragen. Vermieden werden sollten auch Arbeiten, bei denen der Beschwerdeführer ausschliesslich gehen, stehen oder sitzen kann oder wo er monotone Zwangshaltungen des Oberkörpers einnehmen muss. Das Gehen auf unebenem Boden, das Besteigen von Gerüsten und häufiges Treppensteigen ist ebenfalls nicht zumutbar. Das gleiche gilt für Arbeiten in gebückter, kniender und hockender Position. In einer Tätigkeit, die diesem negativen Leistungsprofil Rechnung trägt, besteht eine Arbeitsfähigkeit von 70 %. Aufgrund dieses Belastungsprofils kann nicht gesagt werden, dass die zumutbare Tätigkeit in nur so eingeschränkter Form möglich ist, dass sie der ausgeglichene Arbeitsmarkt praktisch nicht kennt oder sie nur unter nicht realistischem Entgegenkommen eines durchschnittlichen Arbeitgebers möglich wäre und das Finden einer entsprechenden Stelle daher von vornherein als ausgeschlossen erscheint (vgl. Urteil 8C_143/2019 vom 21. August 2019 E. 5.2 mit Hinweisen). Auch wenn der Beschwerdeführer letztmals 2003 handwerklich gearbeitet hat, ist aufgrund der in der Schweiz zunächst ausgeübten Tätigkeiten von einer gewissen Umstellungsfähigkeit auszugehen. Etwas anderes ergibt sich denn auch nicht aus dem MEDAS-Gutachten. Bei einer verbleibenden Aktivitätsdauer von mehr als fünf Jahren, einer vergleichsweise hohen Arbeitsfähigkeit und im Lichte der relativ hohen Hürden, welche das Bundesgericht für die Unverwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit älterer Menschen errichtet hat, hat das kantonale Gericht kein Bundesrecht verletzt, wenn es einen IV-rechtlich relevanten mangelnden Zugang des Beschwerdeführers zum Arbeitsmarkt - mangels gegenteiliger beschwerdeweisen Vorbringen implizit - verneint hat (vgl. Urteil 8C_892/2017 vom 23. August 2018 E. 5).
8.
Umstritten ist schliesslich der von der Vorinstanz durchgeführte Einkommensvergleich, insbesondere die Ermittlung des Valideneinkommens.
8.1. Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des frühest möglichen Rentenbeginns überwiegend wahrscheinlich als gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da es der Erfahrung entspricht, dass die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (BGE 139 V 28 E. 3.3.2 S. 30).
8.2. Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer sei seit 2005 bei verschiedenen Arbeitgebern als Sprachlehrer angestellt gewesen und übe diese Tätigkeit nach wie vor für wenige Stunden pro Woche aus. Es bestünden keine Anhaltspunkte dafür, dass er ihr im Gesundheitsfall nicht in einem Vollzeitpensum nachgehen würde. Aus dem Individuellen Konto (IK) ergebe sich, dass der Beschwerdeführer als Sprachlehrer ein maximales jährliches Bruttoeinkommen von Fr. 34'846.- erzielt habe. Es bestünden keine eindeutigen Angaben zum dabei absolvierten Arbeitspensum. Der Beschwerdeführer habe einerseits mehrfach betont, in den Jahren 2005 und 2006 (nahezu) in einem Vollzeitpensum erwerbstätig gewesen zu sein und danach krankheitsbedingt das Pensum deutlich reduziert zu haben. Andererseits habe er wiederholt ausgeführt, zwischen 60 und 100 % resp. erheblich über einem 60 %-Pensum gearbeitet zu haben. Bei dieser Ausgangslage rechtfertige es sich, für das Jahr 2006 vom Mittelwert eines 80 %-Pensums auszugehen. Unter Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung betrage das Valideneinkommen demnach per Dezember 2013 (Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns; vgl. Art. 28 Abs. 1 i.V.m. Art. 29 Abs. 1 IVG) Fr. 47'666.70 (Fr. 34'846.- / 80 x 100 / 2014 x 2204).
8.3. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Bemessung des Valideneinkommens. Die Vorinstanz habe den Grundsatz verletzt, wonach das Valideneinkommen so genau wie möglich zu ermitteln sei. Das Einkommen sei deshalb ausgehend von den im Jahr 2006 effektiv geleisteten Stunden zu berechnen und nicht anhand eines Durchschnittswertes im "luftleeren Raum". Mit Verweis auf die Lohnbescheinigungen der beiden Arbeitgeber des Jahres 2006 macht der Beschwerdeführer geltend, er habe insgesamt 730 Arbeitsstunden geleistet, was pro Monat 60,83 Stunden entspreche. An Privatschulen würden normalerweise 40 ganze Stunden pro Woche gearbeitet, was pro Monat 174 Stunden ergebe. Sein im Jahr 2006 erzielter Bruttolohn von Fr. 34'846.- entspreche demnach einem Arbeitsumfang von bloss 34,96 % (60,83 / 174 x 100). Folglich sei von einem Valideneinkommen von Fr. 109'077.10 (Fr. 34'846.- / 34,96 x 100 / 2014 x 2204) auszugehen.
8.4. Damit dringt der Beschwerdeführer nicht durch. Wie er selber vorbringt, war er im Jahr 2006 für zwei Arbeitgeber tätig. Der Unterricht fand aber nicht in den Räumlichkeiten der Arbeitgeber statt, sondern in denjenigen der jeweiligen Kunden (in-company). Gemäss eigenen Angaben des Beschwerdeführers setzt sich die Arbeitszeit bei einer solchen In-company-Schulung aus der Unterrichtszeit, aus der Vorbereitungszeit, welche in etwa dem Umfang der Unterrichtsstunden entspreche, sowie der Reisezeit zu den jeweiligen Kunden zusammen. Die maximale wöchentliche Arbeitszeit bei einer Lehrtätigkeit in einer Sprachschule betrage auf Vollzeitbasis etwa 38 Stunden pro Woche, wohingegen bei Schulungen in den Betrieben der Kunden (in-company) aufgrund der zusätzlichen Reisezeiten die maximale wöchentliche Arbeitszeit bei etwa 24 Stunden liege. Die Vorinstanz ging bei der Ermittlung des Valideneinkommens - implizit - davon aus, dass der Beschwerdeführer ohne Gesundheitsschaden die bisher ausgeübte Tätigkeit als Sprachlehrer in den Räumlichkeiten der Kunden (in-company) weiterhin ausgeübt hätte. Wenn der Beschwerdeführer demgegenüber seiner Berechnung eine Tätigkeit in einer Privatschule mit einer wöchentlichen Arbeitszeit von 40 ganzen Stunden zu Grunde legt, so unterstellt er einen anderen Sachverhalt, ohne aber auch nur ansatzweise darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung des hypothetischen Geschehensablaufs offensichtlich unrichtig (vgl. E. 1.1 hiervor) sein soll. Wenn die Vorinstanz im Übrigen aufgrund der Angaben des Beschwerdeführers gegenüber der IV-Stelle und den Gutachtern, wonach er in den Jahren 2005 und 2006 60-100 % resp. nahezu 100 %, jedenfalls aber deutlich über 60 %, gearbeitet habe, von einem zuletzt ausgeübten durchschnittlichen 80 %-Pensum ausging und das dabei erzielte Einkommen - aufgrund der im Gesundheitsfall ausgeübten Vollzeiterwerbstätigkeit - auf 100 % hochrechnete, so ist sie auch damit nicht in Willkür verfallen. Jedenfalls legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar, dass er im Gesundheitsfall deutlich mehr gearbeitet hätte als er dies im Jahr 2006 effektiv getan tat.
8.5. Der Vorinstanz folgend ist somit von einem Valideneinkommen von Fr. 47'666.70 auszugehen. Die Gegenüberstellung mit dem Invalideneinkommen von Fr. 43'975.55 ergibt einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad, woran auch der vom Beschwerdeführer geltend gemachte leidensbedingte Abzug von 15 % nichts zu ändern vermöchte, wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten unbegründet und abzuweisen.
9.
Wie dargelegt, hat das kantonale Gericht nicht gegen Bundesrecht verstossen, indem es der von der IV-Stelle eingeholten MEDAS-Expertise Beweiswert zumass. Entsprechend hat es dem Privatgutachten der Dr. med. B._ zu Recht eine massgebende Bedeutung und damit einen Anspruch auf dessen Kostenvergütung verneint. Inwiefern unter diesen Umständen die vorinstanzlichen Erwägungen zur verweigerten Vergütung des Parteigutachtens oder einer Parteientschädigung gegen Bundesrecht verstossen sollen, legt der Beschwerdeführer denn auch nicht dar.
10.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Januar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest