Faits :
A.
A.A._, ressortissant turc né en 1964, est entré en Suisse le 3 septembre 1996. À la suite de l'acceptation de sa demande d'asile, il a obtenu une autorisation de séjour. Son épouse, B.A._, née en 1970, ainsi que sa fille C.A._, née en 1995, l'ont rejoint en 1998. Les époux A._ ont eu un second enfant, D.A._, né en Suisse en juin 2001. Le 1er juillet 2005 A.A._ a renoncé à son statut de réfugié.
A.A._ et sa famille ont obtenu une autorisation d'établissement le 26 novembre 2001. Le 23 août 2016 le contrôle des habitants de Neuchâtel a enregistré de manière rétroactive le départ de C.A._ au 17 février 2016 pour la Turquie.
Le 28 décembre 2016 le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après : Service cantonal) a constaté que l'autorisation d'établissement de A.A._ ainsi que celle de sa femme et de leur fils avaient pris fin au motif qu'ils avaient résidé hors de Suisse pendant plus de six mois, subsidiairement que leur centre d'intérêt se trouvait en Turquie.
La famille A._ a recouru contre la décision du Service cantonal du 28 décembre 2016 auprès du Département de l'économie et de l'action sociale (ci-après : Département). Ce dernier a confirmé la décision du Service cantonal s'agissant de A.A._, retenant que même s'il n'était pas avéré que celui-ci était demeuré hors de Suisse durant six mois, il avait déplacé son centre d'intérêt en Turquie. Admettant le recours de son fils D.A._ au motif que celui-ci n'avait pas quitté la Suisse pendant une durée excédant six mois, il a ordonné la restitution de l'autorisation d'établissement à ce dernier. À la suite du décès de B.A._, survenu le 9 septembre 2017, le Département a classé le dossier la concernant.
B.
Par arrêt du 9 janvier 2020, le Tribunal cantonal de la république et du canton de Neuchâtel (ci-après: Tribunal cantonal) a confirmé la décision de caducité de l'autorisation d'établissement rendue par le Service cantonal. A.A._ ayant conclu subsidiairement à l'octroi d'une autorisation de séjour ou d'établissement au motif que l'état de santé de son fils s'était aggravé, le Tribunal cantonal a transmis ces demandes au Service cantonal pour examen.
C.
Le 12 février 2020, A.A._ a déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 9 janvier 2020. Il conclut, sous suite de dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au maintien voire au renouvellement de son autorisation d'établissement, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants. Pour le surplus, il requiert d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours. Le Service cantonal a déclaré n'avoir pas de remarques particulières à formuler sur le recours. L'Office fédéral des migrations n'a pas déposé d'observations dans le délai imparti à cet effet.
Par ordonnance du 13 février 2020, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif requise dans le recours.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43).
1.1. Titulaire d'une autorisation d'établissement qui déploierait encore ses effets sans la procédure litigieuse visant à faire constater son extinction, le recourant peut se prévaloir d'un droit à cette autorisation, de sorte que son recours échappe au motif d'irrecevabilité figurant à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (arrêts 2C_147/2010 du 22 juin 2010 consid. 2.1 et 2C_100/2009 du 19 octobre 2009 consid. 1.1).
1.2. Pour le surplus, en tant qu'il s'en prend à l'arrêt du Tribunal cantonal du 9 janvier 2020, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il convient d'entrer en matière.
1.3. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2.
Le recourant formule des griefs sous les titres "constatation manifestement inexacte des faits" et "violation de la maxime inquisitoire".
2.1. Dans la mesure où il reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré comme probable qu'il ait exercé son métier de médecin dans son pays d'origine, son grief est mal fondé. En effet, le fait que les billets d'avion pour ses voyages en Turquie aient été peu onéreux ne remet pas en cause l'hypothèse qu'il ait exercé une activité lucrative dans ce pays voire qu'il ait financé les billets grâce à celle-ci.
2.2. En outre, la critique selon laquelle il incombait à l'instance précédente d'apporter les preuves de son activité professionnelle à l'étranger, tombe à faux. Si le principe de la maxime inquisitoire oblige les autorités compétentes à prendre en considération d'office l'ensemble des pièces pertinentes qui ont été versées au dossier, elle ne dispense pas pour autant la partie requérante de collaborer à l'établissement des faits (arrêts 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 5.1.1 et 2C_207/2017 du 2 novembre 2017 consid. 3.1). Il incombe à celle-ci de renseigner le juge sur les faits de la cause, spécialement lorsqu'il s'agit d'élucider des faits qu'elle est le mieux à même de connaître (ATF 140 I 285 consid. 6.3.1 p. 298 s). Dès lors que le recourant n'a donné aucune explication précise ni concernant les motifs de ses nombreux voyages en Turquie et de ses retours en Suisse ni sur ses revenus, alors qu'il n'avait pas de travail en Suisse, il ne saurait faire grief à l'autorité précédente d'avoir manqué à son devoir d'investigation.
2.3. Enfin, en ce qui concerne le reproche fait à l'autorité précédente d'avoir considéré qu'il avait déplacé son centre d'intérêt à l'étranger et qu'il avait dès lors quitté durablement la Suisse, il ne s'agit là pas d'un grief relatif à une appréciation erronée des faits, mais bien d'une question de droit que le Tribunal fédéral revoit librement (cf. arrêt 2C_487/2010 du 9 novembre 2010 consid. 3). Ce grief sera donc traité sous cet angle ci-après.
2.4. Pour le surplus, dans la mesure où le recourant oppose sa propre version des faits à celle du Tribunal cantonal et complète librement l'état de fait retenu dans l'arrêt entrepris, sans invoquer l'arbitraire, ni démontrer en quoi les faits retenus par l'instance précédente auraient été établis de manière insoutenable ou en violation du droit, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte.
3.
Comme la question relative à l'octroi d'une nouvelle autorisation de séjour ou d'établissement sort de l'objet du litige, il sied d'examiner exclusivement si le Tribunal cantonal a considéré à juste titre que l'autorisation d'établissement du recourant s'était éteinte.
3.1. Selon l'art. 61 al. 1 lit. a LEtr l'autorisation d'établissement prend notamment fin lorsque l'étranger annonce son départ de Suisse. Si un étranger quitte la Suisse sans annoncer son départ, l'autorisation d'établissement prend automatiquement fin après six mois de séjour à l'étranger (Art. 61 al. 2 1ère phrase LEtr). Avec cette disposition, qui reprend l'ancien droit (art. 9 al. 3 lit. c LSEE [RO 1 121]) (cf. arrêt 2C_81/2011 du 1er septembre 2011 cons. 2.2), le législateur a utilisé deux critères formels, soit l'annonce du départ et le séjour de six mois à l'étranger. Par conséquent, le déplacement du centre d'intérêt hors de Suisse à lui seul, si le séjour à l'étranger n'a pas atteint six mois, ne suffit pas pour entraîner la perte de l'autorisation d'établissement (ATF 145 II 322 cons. 2.3 p. 325).
3.2. Quant à la question de savoir si le séjour de six mois à l'étranger doit avoir lieu consécutivement ou si cette exigence peut également être remplie par un séjour fragmenté, le Tribunal fédéral a considéré dans son arrêt de principe ATF 120 Ib 369 cons. 2c p. 372 que seul un séjour ininterrompu de six mois à l'étranger entraîne la perte de l'autorisation d'établissement au sens de l'article 61 al. 2 1ère phrase LEtr. Toutefois, cette règle ne s'applique pas lorsque ce retour ne s'effectue pas conformément à l'esprit de la loi. Ceci est notamment le cas lorsqu'un étranger déplace son domicile ou le centre de ses intérêts à l'étranger et ne revient en Suisse avant l'échéance de ce délai non pas durablement, mais uniquement pour des séjours d'affaires ou de visite, sans passer six mois à l'étranger sans interruption (ATF 120 Ib 369 E. 2c p. 372). Dans ce cas, l'exigence d'une présence physique minimale en Suisse requise par le législateur (art. 62 al. 2 phrase 1 LEtr) pour le maintien de l'autorisation n'est pas remplie, même si l'étranger a encore un logement en Suisse (ATF 120 Ib 369 cons. 2c p. 372). En conformité avec la jurisprudence du Tribunal fédéral, le Conseil fédéral a en l'occurrence précisé à l'art. 79 al. 1 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'admission, le séjour et l'emploi (OASA; RS 142.201) que le séjour de six mois à l'étranger (au sens de l'art. 61 al. 2 1ère phrase LEtr) n'est pas interrompu en cas de séjour temporaire en Suisse à des fins de visite, de tourisme ou d'affaires (ATF 145 II 322 cons. 2.3 p. 325). Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a, en outre, admis qu'à défaut d'indices démontrant qu'un étranger ne garde son emploi et son appartement en Suisse dans le seul but de maintenir une apparence de présence physique minimale sur le territoire suisse, son autorisation de séjour reste valide, et ceci nonobstant le fait que lui et sa famille aient transféré leur domicile à l'étranger (ATF 145 II 322 cons. 3.2 p. 327).
3.3. Le Tribunal cantonal a retenu que le recourant avait dans la période du 17 octobre 2013 au 7 novembre 2014 passé la majeure partie de son temps à l'étranger et que son séjour à l'étranger n'avait été entrecoupé que de quelques séjours de courte durée en Suisse n'excédant jamais 23 jours. Les juges cantonaux ont en outre considéré qu'il apparaissait comme vraisemblable que le recourant avait exercé son métier de médecin dans son pays d'origine, compte tenu du fait qu'il n'avait jamais remis en cause cet élément retenu tant par le Service cantonal que le Département et qu'il n'avait jamais contesté les décisions des services d'aide sociale lui refusant un droit à des prestations pour ce motif. Au surplus, le recourant ne réalisant aucun revenu en Suisse, le Tribunal cantonal ne s'explique pas comment il aurait pu assurer sa subsistance et financer ses nombreux voyages autrement que par une activité lucrative exercée en Turquie.
Examinant plus particulièrement la situation du logement familial, les juges cantonaux ont relevé que le recourant et sa famille avaient été formellement expulsés de leur appartement avec effet au 1er août 2015. Ils ont, en outre, constaté que l'accès à celui-ci leur avait été retiré bien avant l'échéance de leur bail, mais qu'ils ne s'en étaient rendu compte que lors de leur retour en juin 2015. Par ailleurs, ils ont relevé que si toute la famille avait bien été hébergée par des proches et des amis, les documents produits n'attestaient une présence en Suisse que pour de très courtes périodes pendant le mois d'avril ou mai, en juin, en août et en octobre 2015. Enfin, le Tribunal cantonal a constaté que le fils du recourant avait été déscolarisé pendant l'année scolaire 2015-2016.
Se basant sur ces éléments, le Tribunal cantonal a admis que le recourant avait quitté de manière durable la Suisse et qu'il n'y avait plus son centre d'intérêt. Partant, il a confirmé la décision constatant la caducité de l'autorisation d'établissement rendue par le Service cantonal.
3.4. Dès lors que le recourant n'a jamais fourni d'explication plausible quant à la manière dont il avait assuré sa subsistance et financé ses nombreux voyages et qu'il n'a pas contesté les décisions des services d'aide sociale lui refusant un droit à des prestations, on ne saurait qualifier d'arbitraire l'appréciation du Tribunal cantonal selon laquelle le but de ses fréquents voyages en Turquie était probablement l'exercice d'une activité lucrative. C'est à juste titre qu'il a en outre retenu que la déscolarisation du fils du recourant pendant une année scolaire et la situation locative précaire en Suisse étaient autant d'indices que la famille du recourant n'y avait plus son centre d'intérêt.
3.5. A ce titre, il y a lieu de préciser qu'aussi longtemps que les membres de la famille du recourant, en l'occurrence sa femme et son fils mineur, vivaient en Suisse, les retours du recourant sur le sol helvétique interrompaient régulièrement la période de six mois. Ceci n'était, cependant, plus le cas depuis que sa femme et son fils l'avaient rejoint en Turquie. Or, il ressort de la décision du Service cantonal que le recourant et son épouse avaient quitté la Suisse entre décembre 2014 et août 2016. Le Département a, d'autre part, constaté que le fils avait quitté la Suisse pour la Turquie le 24 novembre 2015 et que, pendant la période subséquente, sa présence sur le territoire helvétique n'était établie que pendant la période du 16 février au 22 février 2016 et du 26 mai au 10 juin 2016. Il a, en outre, relevé, que ce n'est qu'à partir du 22 août 2016 que le fils du recourant avait à nouveau séjourné de manière prolongée en Suisse.
3.6. Dès lors que le recourant n'a jamais remis en cause ces constats, ses retours en Suisse entre le 24 novembre 2015 et le 22 août 2016, soit deux semaines en février 2016 et quelques jours en mai 2016, n'étaient plus justifiés par des motifs familiaux. Il s'ensuit que ceux-ci doivent être considérés comme des séjours temporaires au sens de la jurisprudence et que l'autorisation d'établissement s'est éteinte au plus tard le 24 mai 2016, soit six mois après le départ de Suisse du fils du recourant.
3.7. Le fait que le recourant ait gardé son domicile (formel) en Suisse depuis 1996 n'est, en effet, pas de nature à remettre en cause cette conclusion. N'ayant plus ni attaches familiales ni travail en Suisse et ayant quitté la Suisse de manière prolongée, le centre d'intérêt du recourant s'était clairement déplacé à l'étranger et les séjours temporaires en Suisse n'étaient plus susceptibles d'interrompre le délai de six mois. Le fait que le recourant ait entrepris toutes les démarches utiles pour pouvoir exercer une activité professionnelle en Suisse aussi longtemps que son état de santé le permettait ou encore qu'il ait gardé ses comptes bancaires en Suisse n'y changent rien. Qu'il ait, en outre, eu à coeur d'éduquer son fils dans la langue française ou encore que sa famille ait déposé une demande de naturalisation en 2014 constituent, certes, une preuve de son attachement à son pays d'accueil, mais ne suffisent pas à établir qu'ils avaient continué à séjourner de manière durable en Suisse. Enfin, l'affirmation que ses proches, affaiblis dans leur santé, se soient toujours tournés vers des professionnels suisses de la santé et que toute la famille n'ait eu de cesse d'entreprendre des démarches pour s'intégrer au marché du travail suisse ne sont pas davantage des éléments susceptibles de corroborer le maintien de son centre d'intérêt en Suisse.
3.8. Dans ces circonstances, il y a lieu de rejeter le recours.
3.9. Le recourant a sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Cette demande peut être admise, au vu de la situation économique de l'intéressé et du fait que la cause n'était pas d'emblée dépourvue de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Il y a partant lieu de désigner Me Hélène Ecoutin-Dupuy en qualité d'avocate d'office et de fixer ses honoraires, qui seront pris en charge par la caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 2 LTF). Il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 64 al. 1 LTF) ni alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Me Hélène Ecoutin-Dupuy est désignée comme avocate d'office de la recourante et une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et de l'action sociale et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'au Secrétariat aux migrations,
Lausanne, le 21 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le juge présidant : La Greffière :
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