Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1938 geborene A._, emeritierter Professor für Mathematik, Vater von vier Kindern (geb. 1971, 1976, 2001 und 2005), meldete sich im Februar 2011 zum Bezug einer Altersrente der AHV an. Mit Einspracheentscheid vom 2. September 2011 sprach ihm die Schweizerische Ausgleichskasse (SAK) eine ordentliche Altersrente mit Wirkung ab 1. Februar 2006 zu. Mit Urteil vom 16. Dezember 2013 hob das Bundesverwaltungsgericht diesen Entscheid auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zum Erlass einer neuen Verfügung an die SAK zurück.
A.b. Mit Einspracheentscheid vom 6. März 2015 setzte die SAK die Altersrente neu fest. Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 14. September 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Diesen Entscheid hob das Bundesgericht mit Urteil 9C_726/2016 vom 17. August 2017 aus formellen Gründen (Verletzung des rechtlichen Gehörs) auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück.
A.c. Mit Urteil vom 18. Oktober 2017 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 6. März 2015 erneut ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 9C_865/2017 vom 4. Juni 2018 teilweise gut, indem es das Urteil vom 18. Oktober 2017 aufhob und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Bundesverwaltungsgericht zurückwies. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B.
Mit Urteil vom 9. Dezember 2020 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 6. März 2015 wiederum ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es seien ihm für die Jahre 2002 und 2003 Erziehungsgutschriften anzurechnen, da er und sein Sohn seit dessen Geburt 2001 bis Ende 2003 Wohnsitz in Zürich gehabt hätten; es sei die SAK zu verpflichten, die Rente neu zu berechnen unter Berücksichtigung des Versicherungsbeginns am 1. Januar 1958 und unter Anrechnung eines zusätzlichen Einkommens von Fr. 4800.- für das Jahr 1966.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann willkürlich (vgl. dazu BGE 140 III 16 E. 2.1 mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 144 I 28 E. 2.4 mit Hinweisen).
2.
Soweit der Beschwerdeführer beantragt, ihm sei für das Jahr 1966 ein zusätzliches Einkommen von Fr. 4800.- anzurechnen, begründet er diesen Antrag mit keinem Wort. Auf dieses Rechtsbegehren ist folglich nicht einzutreten (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Damit kann offen bleiben, ob sich das vorinstanzliche Urteil überhaupt mit dieser Frage hätte auseinandersetzen dürfen (vgl. E. 3 nachfolgend).
3.
3.1. Im Falle eines Rückweisungsentscheids hat die mit der Neubeurteilung befasste kantonale Instanz - resp. hier das Bundesverwaltungsgericht - die rechtliche Beurteilung, mit der die Rückweisung begründet wird, ihrer Entscheidung zugrunde zu legen. Wegen dieser Bindung der Gerichte ist es diesen wie auch den Parteien, abgesehen von allenfalls zulässigen Noven, verwehrt, der Beurteilung des Rechtsstreits einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zu unterstellen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid ausdrücklich abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden sind (BGE 135 III 334 E. 2 und E. 2.1 mit Hinweisen; Urteil 9C_742/2016 vom 11. Oktober 2017 E. 7.2).
3.2. Mit Urteil 9C_865/2017 vom 4. Juni 2018 hat das Bundesgericht die Sache an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen, um bei der Prüfung des Anspruchs auf Erziehungsgutschriften für die Jahre 2002 und 2003 die Frage zu klären, ob der Beschwerdeführer im massgebenden Zeitraum Wohnsitz in der Schweiz hatte. Soweit der Beschwerdeführer nun vorbringt, das Bundesverwaltungsgericht habe sich in seinem Urteil vom 9. Dezember 2020 zu Unrecht nicht mit der Frage des Versicherungsbeginns befasst, ist festzuhalten, dass dieser Punkt nicht Gegenstand des Verfahrens 9C_865/2017 war; insbesondere wurde in der damaligen Beschwerde ans Bundesgericht diesbezüglich nichts vorgetragen. Mit Blick auf die soeben dargelegte Rechtsprechung (vgl. E. 3.1) verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, als sie sich zur Frage des Versicherungsbeginns materiell nicht äusserte; folglich hat sich auch das Bundesgericht damit nicht auseinanderzusetzen.
4.
Streitgegenstand bildet die AHV-Altersrente des Beschwerdeführers ab 1. Februar 2006. Zu prüfen ist, ob bei der Berechnung der Rente für die Jahre 2002 und 2003 Erziehungsgutschriften nach Art. 29quater lit. b und Art. 29sexies AHVG für den 2001 geborenen Sohn anzurechnen sind (vgl. Urteil 9C_865/2017 vom 4. Juni 2018 E. 2).
4.1. Das Bundesverwaltungsgericht gelangte zum Ergebnis, die gesamthafte Würdigung sämtlicher Indizien ergebe, dass der Beschwerdeführer und seine Familie in den Jahren 2002 und 2003 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in Wuppertal (Deutschland) Wohnsitz gehabt hätten. Der Antrag des Beschwerdeführers auf zusätzliche Berücksichtigung von Erziehungsgutschriften für die Jahre 2002 und 2003 sei demnach mangels Wohnsitzes resp. Unterstellung unter die schweizerische Versicherung abzuweisen.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung vor, der angefochtene Entscheid habe sich mit den von ihm mit Eingaben vom 30. Juni und 1. Juli 2020 eingereichten Bankbelegen nicht auseinandergesetzt. Aus diesen ergebe sich "klipp und klar", dass er zusammen mit seiner Ehefrau und dem Sohn vom 1. April 2001 bis 2003 durchgehend in Zürich gelebt habe.
Dieser Einwand ist nicht stichhaltig, hat doch das Bundesverwaltungsgericht die erwähnten Dokumente in die Beweiswürdigung miteinbezogen. Es erwog, die ins Recht gelegten Bankkonto-Auszüge über die mit EC-Karten in den Jahren 2001 und 2002 mehrheitlich in der Region Zürich getätigten Einkäufe seien zwar als Indizien für einen Aufenthalt zu beachten. Diesen komme indes bei der Gesamtwürdigung der vorliegenden Beweismittel kein entscheidendes Gewicht zu, zumal sie keinen unmittelbaren Bezug auf den (für Dritte erkennbaren und kundgegebenen) Mittelpunkt der Lebensinteressen hätten (vorinstanzliche Erwägung 3.4.8). Inwiefern diese Würdigung offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig - und damit der bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich (E. 1) - sein sollte, wird beschwerdeweise nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich.
4.3. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzte, als sie - mangels Wohnsitzes in der Schweiz während des massgebenden Zeitraums - bei der Berechnung der AHV-Altersrente für die Jahre 2002 und 2003 keine Erziehungsgutschriften berücksichtigte. Die Beschwerde ist somit unbegründet.
5.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger