Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de responsable marketing stratégique au service de la société B._ SA à partir du 20 août 2012. Le 14 mai 2013 il a conclu une convention de "partenaire d'exécution certifié et de marketing" avec la société C._, sise à l'étranger. Par lettre du 21 juin 2013 la société B._ SA a résilié les rapports de travail avec effet au 31 décembre suivant et a libéré l'employé de son obligation de travailler à compter du 1 er août 2013 afin de lui faciliter la recherche d'un emploi. L'intéressé a requis l'allocation d'indemnités de chômage à partir du 1 er janvier 2014 en indiquant rechercher un emploi à plein temps.
Au mois de décembre 2013 la société (en formation) D._ Sàrl, agissant par E._, épouse de l'assuré, a établi un business plan à l'intention du Bureau du développement économique du canton du Jura (ci-après: BDE) en vue d'obtenir une contribution financière pour la création d'un poste d'encadrement. A._ et E._ y sont mentionnés en tant que fondateurs de la société en formation. Leur objectif est de devenir le prestataire incontournable dans le développement du neuromarketing en partenariat avec la société C._. Pour ce faire, il était notamment prévu d'engager l'assuré en qualité de "coach/consultant/formateur marketing" dès le mois d'avril 2014, une fois obtenue sa certification de la société C._. Le 10 janvier 2014 l'assuré a informé le BDE que la société en cours de formation porterait le nom de F._ Sàrl (ci-après: F._). La société, dont le but est notamment le conseil en neuromarketing et en tous genres, a été inscrite au registre du commerce en 2014. E._ est associée et gérante, avec signature individuelle. Elle détient la totalité du capital social de 20'000 fr.
Au cours d'entretiens de suivi avec l'Office régional de placement du Jura (ORP), les 18 février et 20 mars 2014, A._ a indiqué qu'il continuait à développer son propre projet d'activité d'indépendant dans le domaine du neuromarketing. A cet effet, il était en contact avec la société G._ SA, laquelle est active dans le conseil en création d'entreprise. Il a sollicité le soutien de l'assurance-chômage en vue d'entreprendre son activité indépendante sous la raison "A._ Consulting". Le 30 juin 2014 il a été certifié par la société C._ en tant que "Delivery Partner". Par décision du 3 juillet 2014, le Service de l'économie et de l'emploi du canton du Jura (SEE) a mis l'assuré au bénéfice d'une mesure de soutien à l'activité indépendante sous la forme de 88 indemnités journalières durant la phase d'élaboration de son projet, entre le 1er septembre et le 31 décembre 2014.
En réponse à une demande de l'assuré tendant à la prolongation de cette mesure au-delà du 31 décembre 2014, le SEE a indiqué, le 11 décembre 2014, qu'aucune prolongation n'était possible mais qu'il pourrait continuer à percevoir l'indemnité de chômage dès le 1er janvier 2015 à la condition qu'il abandonne définitivement son projet et se consacre exclusivement à la recherche d'un emploi. Le 1er janvier 2015 l'intéressé a informé le SEE qu'il souhaitait bénéficier de l'indemnité de chômage et reprendre ses recherches d'emploi. Lors d'un entretien de suivi avec l'ORP le 20 février 2015, il a indiqué avoir eu des contacts avec F._, société pour laquelle il travaillait sans rémunération afin de trouver des clients, mais qu'il ne serait engagé que si le volume des affaires augmentait. La Caisse publique de chômage de la République et canton du Jura a alors soumis le dossier au SEE pour qu'il examine l'aptitude au placement de l'intéressé. Celui-ci a obtenu son affiliation à partir du 1er avril 2015 en tant que personne de condition indépendante auprès de la Caisse de compensation du canton du Jura. Le 30 avril 2015 il a passé avec F._ un contrat de travail aux termes duquel il était engagé à plein temps, à partir du 4 mai suivant pour une durée indéterminée, en qualité de Chief neuromarketing Officer.
Par décision du 21 août 2015, le SEE a constaté l'inaptitude au placement de l'assuré à partir du 1er janvier 2014. Saisi d'une opposition, il l'a partiellement admise en ce sens qu'il a reconnu l'aptitude au placement pour la période du 1er janvier au 31 mai 2014 et a constaté l'inaptitude à compter du 1er juin suivant (décision du 13 janvier 2017).
B.
Par jugement du 20 février 2018, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 13 janvier 2017.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à ce que son aptitude au placement soit reconnue pour la période du 1er juin 2014 au 3 mai 2015 et que le dossier soit renvoyé à la cour cantonale pour décision sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de frais. La cour cantonale en propose le rejet dans la mesure où il est recevable. De son côté le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire. En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
3.
Le litige porte sur l'aptitude au placement du recourant à partir du 1er juin 2014.
4.
4.1. L'assuré n'a droit à l'indemnité de chômage que s'il est apte au placement (art. 8 al. 1 let. f LACI [RS 837.0]). Est réputé apte à être placé le chômeur qui est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration et qui est en mesure et en droit de le faire (art. 15 al. 1 LACI). L'aptitude au placement comprend ainsi deux éléments: la capacité de travail d'une part, c'est-à-dire la faculté de fournir un travail - plus précisément d'exercer une activité lucrative salariée - sans que l'assuré en soit empêché pour des causes inhérentes à sa personne, et d'autre part la disposition à accepter un travail convenable au sens de l'art. 16 LACI, ce qui implique non seulement la volonté de prendre un tel travail s'il se présente, mais aussi une disponibilité suffisante quant au temps que l'assuré peut consacrer à un emploi et quant au nombre des employeurs potentiels (ATF 125 V 51 consid. 6a p. 58; 123 V 214 consid. 3 p. 216; DTA 2004 n°18 p. 186 [C 101/03] consid. 2.2). Est notamment réputé inapte au placement l'assuré qui n'a pas l'intention ou qui n'est pas à même d'exercer une activité salariée, parce qu'il a entrepris - ou envisage d'entreprendre - une activité lucrative indépendante, cela pour autant qu'il ne puisse plus être placé comme salarié ou qu'il ne désire pas ou ne puisse pas offrir à un employeur toute la disponibilité normalement exigible. L'aptitude au placement doit par ailleurs être admise avec beaucoup de retenue lorsque, en raison de l'existence d'autres obligations ou de circonstances personnelles particulières, un assuré désire seulement exercer une activité lucrative à des heures déterminées de la journée ou de la semaine. Un chômeur doit être en effet considéré comme inapte au placement lorsqu'une trop grande limitation dans le choix des postes de travail rend très incertaine la possibilité de trouver un emploi (ATF 112 V 326 consid. 1a p. 327 et les références; DTA 2003 n° 14 p. 128 [C 234/01] consid. 2.1).
4.2. Selon la jurisprudence, l'assuré qui exerce une activité indépendante pendant son chômage n'est apte au placement que s'il peut exercer cette activité indépendante en dehors de l'horaire de travail normal. L'assuré, qui après avoir perdu son travail, exerce une activité indépendante à titre principal n'est pas apte au placement. Il en va autrement, lorsque selon les circonstances, l'activité indépendante est peu importante et qu'elle peut être exercée en dehors du temps de travail ordinaire (DTA 2009 p. 339 [8C_79/2009] consid. 4.1; arrêt 8C_721/2009 du 27 avril 2010 consid. 3).
5.
5.1. En l'occurrence, la juridiction cantonale a constaté que le recourant était, avec son épouse, l'un des fondateurs de la société F._ et qu'il avait été prévu, lors de la phase d'élaboration du projet, qu'il gérerait les activités de neuromarketing après l'obtention de sa certification par la société C._. En outre la création de cette société et la prise d'une activité indépendante étaient des objectifs visés par l'intéressé avant même qu'il demande des prestations de l'assurance-chômage. L'activité de l'assuré en relation avec F._ n'a donc pas été entreprise en réaction au chômage. Aussi la juridiction précédente a-t-elle considéré qu'en raison du rôle central qu'il jouait dans cette société, l'intéressé y occupait une position comparable à celle d'un employeur.
Par ailleurs, elle a considéré le recourant inapte au placement en raison de la poursuite de son activité indépendante au sein de F._. Elle a retenu à cet égard que l'assuré n'avait jamais cessé son activité de prospection du marché en faveur de cette société, activité qui était la même que celle qu'il avait menée dans le cadre du projet subventionné par la mesure de soutien à l'activité indépendante. Parmi les autres circonstances concrètes établissant l'inaptitude au placement, les pre1miers juges ont notamment mentionné le siège de la société F._ au domicile des époux A._ et E._, le rôle de conseil du recourant et sa formation en neuromarketing indispensables au développement économique et organisationnel de la société, les nombreux liens entre l'activité indépendante développée sous la raison "A._ Consulting" et l'activité au sein de F._ (mêmes locaux, même type d'opérations, mêmes buts sociaux, clientèle semblable, même aire géographique de prospection, etc.), ainsi que le fait que l'intéressé avait été l'interlocuteur du BDE dans le cadre de la demande de contribution financière. En outre la cour cantonale a constaté que l'assuré avait violé ses obligations de renseigner l'autorité et de collaborer, motif pris qu'après avoir fait allusion à un éventuel engagement par une agence de marketing sise dans le canton du Jura, il avait indiqué le 20 février 2015 seulement qu'il s'agissait de la société F._.
En conclusion, la juridiction précédente est d'avis que dans la mesure où le recourant n'avait pas coupé tous ses liens avec F._ à la fin du mois de mai 2014, sa position était comparable à celle d'un employeur, de sorte qu'il n'avait pas droit à une indemnité de chômage dès le 1er juin suivant, indépendamment de son aptitude au placement éventuelle. Au demeurant celle-ci était totalement incontrôlable postérieurement au 31 mai 2014, dès lors que l'intéressé n'a pas rendu vraisemblable qu'il aurait été disposé à prendre un autre emploi que celui qu'il occupait au sein de F._.
5.2. Le recourant conteste le point de vue de la cour cantonale selon lequel sa position était comparable à celle d'un employeur au sein de F._. Il fait valoir notamment que son épouse, elle-même experte en marketing, dirige seule la société, laquelle a pour vocation les missions de marketing, la traduction, la localisation, l'internationalisation et le soutien stratégique en marketing aux entreprises, soit les domaines de prédilection de l'intéressée. En outre l'extrait du registre du commerce établit que celle-ci est la fondatrice unique de la société. Le recourant allègue par ailleurs qu'il n'a pas conclu de contrat de travail avec F._ dans la période du 1er janvier 2014 au 31 janvier 2015, qu'il n'a perçu aucune rémunération ni effectué des prospections pour le compte de cette société.
5.3. En l'occurrence, pour établir ses constatations, la cour cantonale s'est fondée sur le business plan destiné au BDE, dans lequel le recourant est décrit comme l'un des fondateurs de F._, appelé en outre à gérer les activités de neuromarketing au sein de la société dès l'obtention de la certification de la société C._. Par ailleurs elle s'est référée à un courriel adressé le 11 décembre 2014 au BDE dans lequel l'intéressé requiert des renseignements au sujet, d'une part, des formalités à remplir afin que F._ puisse bénéficier d'une imposition restreinte en tant qu'entreprise innovante dans le domaine du neuromarketing et, d'autre part, des modalités de versement de la subvention accordée à la société pour l'engagement rapproché d'un cadre. Cela étant, les simples dénégations du recourant ne sont pas de nature à démontrer en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable. L'argumentation de l'intéressé tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. En outre l'inscription au registre du commerce de E._ en tant qu'associée et gérante, avec signature individuelle, et détentrice de la totalité du capital social ne suffit pas pour nier l'importance du rôle joué par son conjoint dans la société. En effet, lorsqu'il s'agit de déterminer quelle est la possibilité effective d'un dirigeant ou de son conjoint occupé dans l'entreprise d'influencer le processus de décision de celle-ci, il convient de prendre en compte les rapports internes existant dans l'entreprise et d'établir l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes (DTA 1996/1997 n° 41 p. 224 [C 42/97] consid. 1b et 2; SVR 1997 ALV n° 101 p. 309 [C 102/96] consid. 5c). Or, l'ensemble des faits constatés par la cour cantonale établissent à satisfaction de droit le pouvoir du recourant d'influencer les décisions de F._. A cet égard il suffit de relever que les activités exercées par le recourant dans le cadre de son projet d'activité d'indépendant dans le domaine du neuromarketing sous la raison "A._ Consulting" sont liées à celles de F._ sur les plans économique et organisationnel (mêmes locaux, même genre d'opérations, mêmes buts sociaux, clientèle semblable et même aire géographique de prospection). En outre l'activité exercée dans le cadre de la mesure de soutien à l'activité indépendante a permis à l'intéressé de développer F._ dès lors qu'aux dires de celui-ci, son épouse n'a pas étendu son activité indépendante et qu'elle recherche une activité salariée (entretien du 5 mars 2015 avec une collaboratrice du Service des arts et métiers et du travail de la République et canton du Jura). Par ailleurs, comme le relève la juridiction précédente, il n'est absolument pas vraisemblable que le recourant ait eu l'intention, par son projet d'activité indépendante, de faire directement concurrence à la société fondée par lui et son épouse.
Vu ce qui précède, il y a lieu d'admettre qu'en raison du rôle qu'il jouait dans la société F._, le recourant y occupait une position comparable à celle d'un indépendant. En outre, sur la base de faits constatés dans le jugement attaqué, il y a lieu d'admettre, avec les premiers juges, que sa disponibilité sur le marché de l'emploi à partir du mois de juin 2014 n'était pas contrôlable et qu'au surplus il était peu vraisemblable, voire totalement exclu, que l'intéressé eût été disposé à prendre un emploi en dehors de la société F._ s'il en avait eu l'occasion, ce qui le rendait inapte au placement.
6.
6.1. Aux termes de l'art. 71a al. 1 LACI, l'assurance peut soutenir l'assuré qui projette d'entreprendre une activité indépendante durable par le versement de 90 indemnités journalières au plus durant la phase d'élaboration du projet. Pendant la phase d'élaboration du projet, l'assuré est libéré des obligations fixées à l'art. 17 LACI (devoirs de l'assuré et prescriptions de contrôle) et n'est pas tenu d'être apte au placement (art. 71b al. 3 LACI). Selon la jurisprudence, le maintien du droit à l'indemnité de chômage après la fin de la phase d'élaboration du projet qui a fait l'objet d'une mesure de soutien à l'activité indépendante est subordonné à la condition d'une cessation définitive de l'activité indépendante, même en cas de disponibilité avérée pour prendre un emploi (arrêt 8C_191/2008 du 9 octobre 2008 consid. 3.3).
6.2. La cour cantonale a retenu que le recourant avait violé son obligation de renseigner l'autorité et de collaborer, motif pris qu'avant le début du chômage déjà, il consacrait toute son activité indépendante au développement de F._. S'il avait dûment renseigné le SEE en temps voulu, l'intéressé aurait pu bénéficier de la mesure de soutien à l'activité indépendante en vue de développer cette société dès la fin du mois de janvier 2014, moment de l'inscription au registre du commerce, jusqu'à la fin du mois de mai suivant au plus tard. Aussi, dans la mesure où il a poursuivi son activité indépendante ultérieurement, les premiers juges ont nié l'aptitude au placement à partir du 1er juin 2014.
6.3. Par un moyen subsidiaire, le recourant soutient que l'inaptitude au placement ne peut être constatée qu'à compter du 1er août 2014 au plus tôt. Il fait valoir que, même s'il avait immédiatement informé le SEE de ses projets le 1er janvier 2014, date à partir de laquelle il a requis une indemnité de chômage, la mesure de soutien à l'activité indépendante n'aurait pas pu débuter dès la fin du mois de janvier 2014, dès lors qu'une autorité administrative a besoin de plusieurs semaines, voire plusieurs mois pour rendre une décision. C'est pourquoi un délai de sept mois au moins devait courir entre la demande tendant à la mesure de soutien et la fin de celle-ci, de sorte que l'aptitude au placement ne pouvait être niée avant le 31 juillet 2014.
6.4. Le point de vue du recourant est mal fondé. Comme le souligne l'intimé dans sa réponse au recours, la durée du traitement de la demande de soutien à l'activité indépendante n'aurait pas eu d'influence sur le début de la mesure en question, du moment que rien ne s'opposait à ce que l'intimé fixe le début de la mesure de manière rétroactive en fonction de l'avancement effectif du projet. En l'occurrence, si elle avait été correctement renseignée par le recourant, le SEE aurait fixé le début de la phase d'élaboration de l'activité indépendante au plus tard en 2014, soit à la date de l'inscription de F._ au registre du commerce, démarche qui marque - parmi d'autres critères - la fin de la phase de planification (DTA 2004 n° 22 p. 199 [C 160/02]). Etant donné que l'intéressé n'a pas cessé ses activités pour la société après le 31 mai 2014, soit à l'échéance de la période d'indemnisation prévue à l'art. 71a al. 1 LACI, la cour cantonale était fondée à confirmer l'inaptitude au placement de l'intéressé à compter du 1er juin suivant.
6.5. Vu ce qui précède le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 14 novembre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd