Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 15. Oktober 2021 Strafanzeige gegen die St. Galler Stadtpräsidentin sowie Mitarbeitende der B._ AG. Er machte geltend, dass er am 14. Oktober 2021 den Jahrmarkt in St. Gallen habe besuchen wollen. Er habe festgestellt, dass man ohne Covid-Zertifikat nicht reinkomme. Die Stadtpräsidentin habe sich des Amtsmissbrauchs strafbar gemacht, da sie die Verantwortung dafür trage, dass der Jahrmarkt unter diesen einschränkenden Massnahmen durchgeführt wurde. Das Untersuchungsamt St. Gallen ersuchte mit Schreiben vom 5. November 2021 die Anklagekammer des Kantons St. Gallen um Durchführung des Ermächtigungsverfahrens bezüglich der Stadtpräsidentin. Die Anklagekammer erteilte mit Entscheid vom 8. Januar 2022 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen die Stadtpräsidentin. Sie führte zur Begründung zusammenfassend aus, es sei nicht ersichtlich, dass die Stadtpräsidentin in die Organisation und Durchführung des Jahrmarktes involviert gewesen wäre oder dass sie diesbezügliche Bewilligungen (unter der Bedingung einer Covid-Zertifikatspflicht) erteilt hätte. Entsprechend trage sie auch keine Verantwortung für die einschränkenden Massnahmen am Jahrmarkt. Somit sei in diesem Zusammenhang auch kein strafrechtlich relevantes Verhalten der Stadtpräsidentin ersichtlich. Hinsichtlich der Mitarbeitenden der B._ AG sei die Anklagekammer im Ermächtigungsverfahren nicht zuständig; die Staatsanwaltschaft habe über das weitere Vorgehen zu befinden.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 30. Januar 2022 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1, 65 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die Anklagekammer führte aus, dass der Schweizerische Marktverband, Sektion Ostschweiz, beim kantonalen Gesundheitsdepartement ein Bewilligungsgesuch samt zwei Schutzkonzepte eingereicht habe. Das Schutzkonzept bezüglich Kilbiareal habe dabei eine Zertifikatspflicht enthalten. Das Gesundheitsdepartement habe das Gesuch gutgeheissen u.a. unter der Bedingung/Auflage, dass die beiden Schutzkonzepte verbindlicher Bestandteil der Bewilligung sei. Die Anklagekammer kam zum Schluss, dass die Stadtpräsidentin keine Verantwortung für die einschränkenden Massnahmen am Jahrmarkt trug und daher ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Stadtpräsidentin nicht ersichtlich sei. Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, dass die Anklagekammer damit Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht im Einzelnen und konkret, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Ausnahmsweise ist auf eine Kostenauflage zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli