Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1968; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1964; Beschwerdeführer) sind die verheirateten Eltern des Sohns C.A._ (geb. 2004). Am 1. Dezember 2015 haben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt aufgehoben.
A.b. Mit Eheschutzentscheid vom 26. Januar 2017 verpflichtete das Bezirksgericht Bremgarten A.A._ zur Zahlung von Unterhalt für den Sohn von Fr. 2'280.-- im Monat ab dem 1. August 2016 (zzgl. Kinderzulagen) und von Ehegattenunterhalt von monatlich Fr. 25.-- vom 1. August 2016 bis zum 31. März 2017, Fr. 80.-- vom 1. April bis zum 31. November 2017 und von Fr. 1'020.-- ab dem 1. Dezember 2017.
A.c. Am 13. April 2018 klagte A.A._ beim Bezirksgericht auf Scheidung der Ehe und mit Eingabe vom 23. April 2018 beantragte er die Anpassung des Eheschutzentscheides dahingehend, dass der von ihm zu bezahlende Kindesunterhalt ab dem 1. Mai 2018 auf Fr. 282.-- im Monat festzusetzen und festzustellen sei, dass er ab diesem Zeitpunkt keinen Ehegattenunterhalt mehr schulde.
Mit Entscheid vom 22. Februar 2019 passte das Bezirksgericht den Eheschutzentscheid dahingehend an, dass es die Pflicht von A.A._ zur Leistung von Unterhalt für seinen Sohn auf monatlich Fr. 963.-- vom 1. Mai bis 31. Oktober 2018, Fr. 645.-- vom 1. November 2018 bis 31. März 2019 und Fr. 590.-- ab dem 1. April 2019 festlegte. Ausserdem stellte das Bezirksgericht fest, dass A.A._ ab dem 1. Mai 2018 nicht mehr zur Bezahlung von Ehegattenunterhalt in der Lage sei.
B.
Mit Entscheid vom 16. September 2019 (eröffnet am 8. Oktober 2019) hiess das Obergericht des Kantons Aargau die hiergegen von B.A._ eingereichte Berufung gut, hob das Urteil des Bezirksgerichts auf und wies die Klage auf Abänderung des Eheschutzentscheids ab.
C.
A.A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. November 2019 (Postaufgabe) an das Bundesgericht und stellt in der Sache die folgenden Anträge:
"1. Es sei der Entscheid [...] des Obergerichts [...] aufzuheben und die Berufung [von B.A._] sei vollumfänglich und kostenfällig abzuweisen.
2. Der Entscheid vom 22. Februar 2019 des [...] Bezirksgerichts [...] sei zu bestätigen.
3. Eventualiter sei die Streitsache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Aufschiebende Wirkung: Es sei der vorliegenden Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
5. Es sei [A.A._] die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, und es sei [Rechtsanwältin Andrea Meier] als dessen unentgeltliche Vertreterin einzusetzen."
Mit Verfügung vom 8. November 2019 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Das Obergericht hat am 13. März 2020 Bemerkungen eingereicht und mit Beschwerdeantwort vom 20. März 2020 beantragt die Beschwerdegegnerin die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem ersucht auch sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Am 21. April 2020 hat A.A._ an seinen bisherigen Anträgen festgehalten. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) in Abänderung eines Eheschutzentscheids vorsorglich für die Dauer des Scheidungsverfahrens über den Kindes- und Ehegattenunterhalt entschieden hat (Art. 276 ZPO; vgl. BGE 134 III 426 E. 2.2). Hierbei handelt es sich um eine zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur, wobei der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 2 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG), welche er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des gesamten angefochtenen Entscheids (vorne Bst. C) und damit auch der Gutheissung der Begehren der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren (Dispositivziffern 4 und 5 des angefochtenen Entscheids). Die vor Bundesgericht gestellten Anträge sind indes im Lichte der Begründung auszulegen (BGE 137 III 617 E. 6.2; 137 II 313 E. 1.3). In dieser äussert der Beschwerdeführer sich nicht zur unentgeltlichen Rechtspflege, womit sich fragen mag, ob er den angefochtenen Entscheid insoweit überhaupt anficht. Jedenfalls kann auf die Beschwerde diesbezüglich nicht eingetreten werden. Nicht nur fehlt es an einer hinreichenden Begründung (vgl. sogleich E. 1.4). Soweit die dem Beschwerdeführer gewährte unentgeltliche Rechtspflege betroffen ist, erleidet dieser ausserdem auch keinen Nachteil und hat er kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Mangels Parteistellung im entsprechenden Verfahren (vgl. BGE 139 III 334 E. 4.2 S. 343) ist es dem Beschwerdeführer sodann verwehrt, die Gutheissung des Gesuchs der Beschwerdegegnerin anzufechten.
1.3. Dreht sich der Streit vor Bundesgericht - wie hier - um Geld, sind die Begehren (Art. 42 Abs. 1 BGG) grundsätzlich zu beziffern (BGE 143 III 111 E. 1.2; 134 III 235 E. 2). Der Beschwerdeführer kommt zwar dieser Pflicht nicht nach (vgl. vorne Bst. C). Er beantragt jedoch die Festsetzung der strittigen Unterhaltspflicht entsprechend dem erstinstanzlichen Erkenntnis, womit (unter Rückgriff auf den angefochtenen Entscheid) ermittelt werden kann, was er im Einzelnen erreichen möchte. Dies reicht aus (vgl. BGE 137 III 617 E. 6.2) und die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
1.4. Massnahmeentscheide, die gestützt auf Art. 276 ZPO ergehen, unterstehen Art. 98 BGG (Urteil 5A_451/2019 vom 28. Januar 2019 E. 2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. BGE 137 III 193 E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1; vgl. dazu hinten E. 3.2). Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 140 III 264 E. 2.3 S. 266).
2.
2.1. Anlass zur Beschwerde gibt die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um Anpassung des Eheschutzentscheids vom 26. Januar 2017 (vgl. vorne Bst. A.b und A.c). Hintergrund dieses Gesuchs war unbestritten der Folgende: Die Unterhaltsleistungen gemäss Eheschutzentscheid wurden unter Berücksichtigung des damaligen Erwerbseinkommens des Beschwerdeführers von Fr. 7'571.-- im Monat festgelegt. Das entsprechende Arbeitsverhältnis löste die Arbeitgeberin indes auf den 31. März 2018 auf. Ende Februar 2018 verliess der Beschwerdeführer die Schweiz und zog in die Bundesrepublik Deutschland. Dort erzielt er nur noch ein tieferes Einkommen von - gemäss eigenen Angaben - EUR 1'560.-- im Monat. Vor Bundesgericht strittig ist, ob diese Einkommensreduktion zu berücksichtigen oder ob dem Beschwerdeführer weiterhin ein Einkommen in der früheren Höhe anzurechnen ist. Dem Beschwerdeführer wird nicht vorgeworfen, dass er mit Schädigungsabsicht und damit rechtsmissbräuchlich gehandelt hat (zum Vorgehen bei Vorliegen einer derartigen Absicht vgl. BGE 143 III 233).
2.2.
2.2.1. Massnahmen, die das Eheschutzgericht angeordnet hat, dauern nach Einleitung des Scheidungsverfahrens weiter (vgl. Art. 276 Abs. 2 ZPO). Ändern sich die Verhältnisse, so passt das Gericht sie an oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist. Die Bestimmungen über die Änderung der Verhältnisse bei Scheidung gelten sinngmäss (Art. 276 Abs. 1 ZPO i.V.m. Art. 179 Abs. 1 ZGB). Die Abänderung einer Massnahmen setzt voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist (BGE 143 III 617 E. 3.1), die in dem anzupassenden Urteil nicht bereits berücksichtigt worden ist (BGE 138 III 289 E. 11.1.1; 131 III 189 E. 2.7.4).
2.2.2. Bei der Bemessung eines Unterhaltsbeitrags ist grundsätzlich vom tatsächlich erzielten Einkommen der Parteien auszugehen. Soweit dieses Einkommen allerdings nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann ihnen nach der für alle Matrimonialsachen geltenden Rechtsprechung ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erzielen zumutbar und möglich ist. Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (BGE 143 III 233 E. 3.2; 137 III 118 E. 2.3). Dabei ist das Gericht gehalten, z.B. auf der Basis von Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik oder anderer Quellen (allgemeinverbindliche Gesamtarbeitsverträge; MÜLHAUSER, Das Lohnbuch 2010, Mindestlöhne sowie orts- und berufsübliche Löhne in der Schweiz, Zürich 2010) konkret festzustellen, welche Tätigkeiten bzw. welche Stellen beim angenommenen Lohn tatsächlich möglich und der verpflichteten Person zumutbar sind (BGE 137 III 118 E. 3.2).
Im Verhältnis zu unmündigen Kindern, wie es hier betroffen ist, sind nach der Rechtsprechungbesonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen. Dies gilt insbesondere in engen wirtschaftlichen Verhältnissen (BGE 137 III 118 E. 3.1; Urteil 5A_98/2016 vom 25. Juni 2018 E. 3.4, in: FamPra.ch 2018 S. 1101). Die Eltern müssen sich daher in beruflicher und unter Umständen auch örtlicher Hinsicht so ausrichten, dass sie ihre Arbeitskapazität maximal ausschöpfen können. Nach der Rechtsprechung kann insbesondere ein (an sich zulässiger) Wegzug ins Ausland unbeachtlich bleiben, wenn eine weitere Arbeitstätigkeit in der Schweiz zumutbar wäre. Dem unterhaltspflichtigen Elternteil steht es insofern nicht frei, nach Belieben ganz oder teilweise auf ein bei zumutbarer Anstrengung erzielbares Einkommen zu verzichten, um sich andere persönliche oder berufliche Wünsche zu erfüllen. Dass solche Wünsche der Unterhaltspflicht hintanzustehen haben, ergibt sich zwangsläufig aus dem Wesen des hypothetischen Einkommens. Dessen Anrechnung bedeutet auch keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, sofern die Erzielung eines entsprechenden Einkommens - nebst der tatsächlichen Möglichkeit, die sich anhand von Faktoren wie Alter, Gesundheit, Ausbildung, Berufserfahrung, Arbeitsmarktlage, Erziehungspflichten, usw. bestimmt - zumutbar im vorgenannten Sinne ist (vgl. Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 5.3.1; 5A_513/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2013 S. 236).
Ist dem Beschwerdeführer nach Massgabe dieser Grundsätze ein hypothetisches Einkommen in der Höhe seines früher erzielten Verdienstes anzurechnen, ist damit auch das Vorliegen einer wesentlichen Änderung der Verhältnisse im Sinne von Art. 276 Abs. 1 ZPO i.V.m. Art. 179 Abs. 1 ZGB zu verneinen.
2.2.3. Steht fest, dass der unterhaltspflichtigen Partei, die ins Ausland gezogen ist, im Rahmen der Berechnung des Kindesunterhalts nach Massgabe des Ausgeführten ein hypothetisches Einkommen anzurechnen ist, besteht kein Anlass, hinsichtlich des Ehegattenunterhalts von anderen Grundlagen auszugehen, zumal die verschiedenen Unterhaltsarten mit Bezug auf die Leistungskraft der Ehegatten ein Ganzes bilden, dessen einzelnen Teile nicht vollständig unabhängig voneinander festgesetzt werden können (vgl. BGE 128 III 411 E. 3.2.2; 118 II 93 E. 1a S. 95).
3.
3.1. Die Vorinstanz hält fest, im Abänderungsprozess obliege es dem Unterhaltsschuldner, die tatbeständlichen Voraussetzungen glaubhaft zu machen, aus denen auf die Abänderbarkeit des rechtskräftigen (Unterhalts-) Urteils bzw. auf den Untergang des Unterhaltsanspruchs geschlossen werden müsse. Der Beschwerdeführer vermöge nicht glaubhaft zu machen, dass ihm eine weitere Arbeitstätigkeit in der Schweiz und die Erzielung eines Einkommens wie dem bisherigen nicht möglich oder zumutbar sei. Entsprechend bleibe die im Abänderungsverfahren geltend gemachte Einkommensverminderung unbeachtlich.
Im Einzelnen führt das Obergericht aus, der Beschwerdeführer mache zwar geltend, er sei nach Deutschland zu seiner Lebenspartnerin gezogen, mit der er vor 30 Jahren verheiratet gewesen sei. Daraus ergebe sich aber nicht, dass diese neue Partnerschaft der zentrale oder überhaupt der Grund für den Wegzug aus der Schweiz gewesen sei. Der Beschwerdeführer habe insgesamt keine Beziehungsqualität dargetan, welche eine Rückkehr als unzumutbar erscheinen liesse. Solches sei auch nicht ersichtlich. Weiter erscheine die Behauptung, in der Schweiz (ausserhalb des Arbeitsplatzes) über keine sozialen Kontakte zu verfügen, angesichts des insgesamt elf Jahre dauernden Aufenthalts des Beschwerdeführers im Land nicht glaubhaft.
Sodann seien keine Bemühungen des Beschwerdeführers ersichtlich, in der Schweiz eine neue Anstellung zu finden. Auf solche habe er nach eigenen Angaben aufgrund seines Alters und der Kündigung verzichtet. Allerdings sei nicht nachvollziehbar, weshalb eine ausdrücklich aus wirtschaftlichen Gründen ausgesprochene Kündigung zu besonderen Problemen bei der Stellensuche führen sollte. Auch habe der Beschwerdeführer ein hervorragendes Arbeitszeugnis erhalten. Zuletzt könne aus verschiedenen statistischen Angaben geschlossen werden, dass auch Personen über 50 Jahre in der Schweiz einen grundsätzlich guten Zugang zum Arbeitsmarkt hätten. Bei dem Hinweis, eine Stellensuche in der Schweiz wäre ohnehin zum Scheitern verurteilt gewesen, handle es sich um eine blosse Lageeinschätzung des Beschwerdeführers ohne objektive Grundlage. Unbelegt geblieben sei weiter die Behauptung, der Beschwerdeführer habe keine neue Anstellung mit einem Gehalt wie dem früheren finden können, weil er keine Ausbildung als Techniker habe und er bei der bisherigen Arbeitgeberin lediglich aufgrund einer internen Ausbildung habe als Prüftechniker bei Schlauchleitungen arbeiten können. Für die Befürchtung, in der Schweiz nicht wieder eine neue Stelle bzw. eine solche zu den früheren Bedingungen zu finden, habe der Beschwerdeführer damit keine Gründe genannt, welche sich aus konkreten persönlichen Erfahrungen oder gescheiterten Stellenbemühungen ergeben hätten. Auch die statistischen Angaben liessen nicht den Schluss zu, diese Befürchtungen seien begründet.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt vorab die Verletzung verschiedener Grundrechte, da er vom Obergericht faktisch gezwungen werde, in die Schweiz zurückzukehren und hier einer Erwerbstätigkeit nachzugehen.
Dem Beschwerdeführer ist entgegenzuhalten, dass Gegenstand des vorliegenden Verfahrens seine familienrechtlichen Unterhaltspflichten sind (vgl. vorne E. 1.1). Grundrechte entfalten ihre Schutzwirkung grundsätzlich nur im Verhältnis zwischen Bürger und Staat und haben keine unmittelbare Drittwirkung in der Beziehung zwischen Privatpersonen (BGE 143 I 217 E. 5.2; 137 III 59 E. 4.1; Urteil 5A_384/2018 vom 21. September 2018 E. 3, nicht publiziert in: BGE 144 III 481 [auch zum Folgenden]). Die sich aus ihnen ergebenden Wertungen sind nach der zitierten Rechtsprechung zwar bei der Auslegung der Vorschriften des Zivilrechts zu berücksichtigen. Wie dargelegt (vorne E. 2.2.2) beinhaltet die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen in der vorliegenden Konstellation grundsätzlich indes keinen Wertungswiderspruch zu den verfassungsmässigen Rechten der betroffenen Person. Der Beschwerdeführer beruft sich insoweit damit vergeblich auf die Verfassung und die Beschwerde erweist sich insoweit von vornherein als unbegründet.
3.3.
3.3.1. Weiter macht der Beschwerdeführer verschiedentlich Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (Art. 9 BV) und eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 296 Abs. 1 ZPO) geltend, weil das Obergericht sowohl hinsichtlich der Zumutbarkeit der Rückkehr in die Schweiz als auch der Möglichkeit, ein Einkommen in der bisherigen Höhe zu erzielen, verschiedene Umstände, auf die er hingewiesen habe, ausser Acht gelassen oder nicht hinreichend berücksichtigt habe. So seine deutsche Staatsangehörigkeit, sein heutiges Zusammenleben mit der neuen Lebenspartnerin, den Umstand, dass er erst mit 43 Jahren in die Schweiz gekommen und den grössten Teil seines Lebens in Deutschland verbracht habe, und die Tatsache, dass er in der Schweiz über kein Beziehungsnetz verfüge und er keine Kontakte zum Sohn habe. Sodann habe das Obergericht einzig auf statistische Werte abgestellt und mit keinem Wort erwähnt, was für eine Anstellung er hätte finden und welches Einkommen er hätte erzielen können. In diesem Zusammenhang habe die Vorinstanz insbesondere nicht (genügend) berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer bereits 54 Jahre alt sei und seine frühere Tätigkeit nur aufgrund einer firmeninternen Ausbildung habe ausüben können, indes nicht über eine entsprechende "offizielle Ausbildung" verfüge.
Die Beschwerdegegnerin verweist darauf, dass der Beschwerdeführer in der Schweiz keinerlei Arbeitsbemühungen an den Tag gelegt und sich auch nicht um eine Arbeitslosenentschädigung bemüht habe. Im vorinstanzlichen Verfahren seien sämtliche Vorbringen des Beschwerdeführers berücksichtigt worden und das Obergericht habe sein Urteil detailliert begründet ohne in Willkür zu verfallen. Auch der Untersuchungsgrundsatz sei nicht verletzt, da es bei dessen Geltung nach wie vor den Parteien obliege, dem Gericht die nötigen Tatbestandselemente und die vorhandenen Beweismittel zu nennen. Es sei aber nicht die Beschwerdegegnerin, welche das Vorliegen eines Abänderungsgrunds zu beweisen habe.
3.3.2. Die Vorinstanz auferlegt es dem Beschwerdeführer, die (tatsächlichen) Voraussetzungen darzulegen, aus denen sich der Untergang bzw. die (betragsmässige) Reduktion des Unterhaltsanspruchs der Beschwerdegegnerin ergebe (vorne E. 3.1). Damit verkennt sie die Tragweite des in Kinderbelangen, wie sie hier in Frage stehen, unabhängig von der Art des Verfahrens (vgl. bereits zu aArt. 145 Abs. 1 ZGB Urteil 5C.269/2006 vom 6. März 2007 E. 2.2.3) nach Art. 296 Abs. 1 ZPO geltenden (uneingeschränkten) Untersuchungsgrundsatzes, wonach das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht: Zwar ändert der Untersuchungsgrundsatz nichts daran, dass im Falle der Beweislosigkeit das Gericht gemäss Art. 8 ZGB nach Beweislastgesichtspunkten entscheidet (Urteile 5A_244/2018 vom 26. August 2019 E. 3.5.3, nicht publiziert in: BGE 145 III 393; 5A_96/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.4, in: FamPra.ch 2016 S. 1059). Entsprechend hätte der Beschwerdeführer als die eine Anpassung der Unterhaltsbeiträge fordernde Partei die Folgen einer Beweislosigkeit zu tragen (vgl. Urteile 5A_681/2018 vom 1. Mai 2019 E. 5.2.3; 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.1.2). Aus dem Untersuchungsgrundsatz folgt aber die Pflicht des Gerichts, von sich aus alle tatsächlichen Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und diese unabhängig von den Anträgen der Parteien zu erheben. Das Gericht hat alle rechtserheblichen Umstände zu berücksichtigen, die sich im Laufe des Verfahrens ergeben, auch wenn die Parteien nicht ausdrücklich darauf Bezug nehmen. Die Untersuchungsmaxime gilt dabei nicht nur zugunsten des Kindes, sondern für alle Verfahrensbeteiligten, namentlich auch für die unterhaltspflichtige Person (BGE 144 III 349 E. 4.2.1; 130 I 180 E. 3.2; 128 III 411 E. 3.2.1; Urteil 5A_242/2019 vom 27. September 2019 E. 3.2.1). Unbesehen darum, dass die Parteien auch im Anwendungsbereich von Art. 296 Abs. 1 ZPO eine Mitwirkungspflicht trifft (BGE 130 I 180 E. 3.2; Urteil 5A_400/2018 vom 28. August 2018 E. 4.3.1), durfte das Obergericht damit dem Beschwerdeführer nicht eine eigentliche Beweisführungslast auferlegen (MAZAN/STECK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 13 zu Art. 296 ZPO; zum Begriff der Beweisführungslast vgl. WALTER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 176 zu Art. 8 ZGB), wie es dies im Ergebnis getan hat.
3.3.3. In der Folge hat die Vorinstanz sich im Wesentlichen darauf beschränkt, dem Beschwerdeführer vorzuwerfen, sowohl hinsichtlich der Zumutbarkeit als auch der Möglichkeit einer Anstellung in der Schweiz die notwendigen Behauptungen nicht aufgestellt bzw. die entsprechenden Beweismittel nicht beigebracht zu haben. Ausserdem hat sie sich auf generelle (statistische) Angaben zur Arbeitsmarktlage von über 50-jährigen Arbeitnehmenden abgestützt. Eigene Abklärungen zu den entscheidwesentlichen Umständen des Einzelfalls hat das Obergericht entgegen der es nach Art. 296 Abs. 1 ZPO treffenden Pflichten nicht getroffen (vgl. E. 3.1 hiervor), und zwar auch nicht angesichts der Tatsache, dass der Beschwerdeführer das Gericht auf verschiedene relevante Umstände aufmerksam gemacht und die Beschwerdegegnerin sich eigenem Vernehmen nach nicht vertieft zu den Erwerbsmöglichkeiten des Ehemanns geäussert oder dessen Vorbringen hinreichend klar bestritten hat (vgl. E. 3.3.1 hiervor). So hat die Vorinstanz insbesondere weder die persönlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers (vgl. beispielsweise Urteil 5A_662/2013 vom 24. Juni 2016 E. 3.3, in: FamPra.ch 2014 S. 1110) noch die konkreten Möglichkeiten der Aufnahme einer bestimmten Erwerbstätigkeit in der Schweiz abgeklärt (vgl. dazu vorne E. 2.2.2). Entsprechend hat sie sich auch nicht zur Frage geäussert, welche Vorbringen von den Parteien aufgrund der sie treffenden Mitwirkungspflicht gegebenenfalls hätten erwartet werden können und weshalb sie insoweit ein Vorwurf treffen sollte.
3.3.4. Unter diesen Umständen hat das Obergericht es unterlassen, den für die Rechtsanwendung notwendigen Sachverhalt festzustellen. Es fehlt an einer Sachverhaltsbasis, welche das Urteil zu stützen vermag. Darin liegt eine willkürliche Anwendung von Bundesrecht. Dabei ist der angefochtene Entscheid mit Blick darauf, dass dem Beschwerdeführer ein wesentlich höheres als das derzeit tatsächlich erzielte Einkommen angerechnet wird, auch im Ergebnis nicht haltbar (vgl. BGE 143 I 321 E. 6.1). Der Beschwerdeführer macht auch zurecht eine Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend. Unter diesen Umständen braucht auf die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht mehr eingegangen zu werden.
4.
4.1. Nach dem Ausgeführten erweist die Beschwerde sich als begründet und ist sie gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird. Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben und die Sache ist, da es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, die tatsächlichen Grundlagen zu vervollständigen und gestützt auf diese neu über die Anpassung der Unterhaltsbeiträge zu befinden, entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers an das Obergericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Dieses wird auch erneut über die Verlegung der Prozesskosten des kantonalen Verfahrens zu entscheiden haben, weshalb auch die Ziffern 2 und 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben sind.
4.2. Die Rückweisung zum erneuten Entscheid gilt, selbst wenn der Ausgang des Verfahrens offen ist, im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen der betreffenden Partei. Unerheblich bleibt, ob eine Rückweisung beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wurde (BGE 141 V 281 E 11.1; Urteil 5A_902/2018 vom 14. August 2019 E. 5). Auf die Beschwerde konnte sodann in untergeordneten Punkten zwar nicht eingetreten werden, eine Kostenausscheidung rechtfertigt sich deswegen aber nicht. Unter diesen Umständen gilt der Beschwerdeführer als vollständig obsiegend, weshalb die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen sind (Art. 66 Abs. 1) und diese dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da der Beschwerdeführer keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege allerdings gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft (BGE 109 Ia 5 E. 5). Nicht gegenstandslos wird es hingegen hinsichtlich der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands: Zwar wird dem obsiegenden Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin ist indessen nicht anzunehmen, dass er die ihm zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können. Deshalb ist auch die Anwältin des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (BGE 122 I 322 E. 3d). Beide Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: BGE 143 III 113).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Soweit auf sie eingetreten wird, wird die Beschwerde gutgeheissen und die Ziffern 1-3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Aargau vom 16. September 2019 werden aufgehoben. Die Sache wird zum erneuten Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Rechtsanwältin Andrea Meier als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwältin Fabienne Brunner als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Andrea Meier wird aus dieser mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
5.
Rechtsanwältin Fabienne Brunner wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber