Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 12. Juli 2018 verpflichtete der Handelsgerichtspräsident St. Gallen in einem Verfahren betreffend Aberkennungsklage die Klägerin A._ GmbH (Beschwerdeführerin), eine Prozesskostenkaution von Fr. 85'700.-- zu leisten. Nachdem die Zahlungsfrist bis 29. Oktober 2018 erstreckt worden war, ersuchte die A._ GmbH am 26. Oktober 2018 um unentgeltliche Rechtspflege beziehungsweise um Befreiung von der Sicherheitsleistung. Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) widersetzte sich dem Gesuch. Mit Entscheid vom 5. Juni 2019 wies der Handelsgerichtspräsident das Gesuch ab, soweit er darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2019 hat die A._ GmbH erklärt, diesen Entscheid mit Beschwerde anzufechten, und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits bestimmen, so hat die beschwerdeführende Partei darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt. Andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen).
3.
Die Vorinstanz prüfte das Gesuch der Beschwerdeführerin eingehend und gelangte zum Schluss, die Beschwerdeführerin habe nicht glaubhaft gemacht, dass die Voraussetzungen für die ausnahmsweise Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung an eine juristische Person (BGE 143 I 328 E. 3 mit Hinweisen) erfüllt seien. Zum einen stehe nicht das einzige Aktivum im Streit, zum anderen blieben die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin unklar.
Die Beschwerdeführerin kritisiert den angefochtenen Entscheid in verschiedener Hinsicht, setzt sich aber nicht hinreichend mit der selbständigen Begründung auseinander, wonach die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin unklar geblieben seien. Insbesondere nimmt sie keinen hinreichenden Bezug auf die vorinstanzliche Feststellung, dass mit Blick auf ihre Ausführungen im Parallelverfahren HG.2016.197-HGK unklar sei, ob der vorliegende Prozess mit der Belastung von fünf vorrangigen und einem nachrangigen Schuldbrief finanziert werden könnte, und weiter, dass die eingereichte Bilanz- und Erfolgsrechnung widersprüchlich erscheine und nicht zur Glaubhaftmachung der behaupteten Mittellosigkeit tauge.
Damit genügt die Begründung den erwähnten Anforderungen offensichtlich nicht, weshalb auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist.
4.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Gerichtskosten sind gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgerichtspräsidenten des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz