Faits :
A.
A.a. A._, né en 1960, a travaillé en qualité de cuisinier, chef de cuisine et tenancier de restaurant. Au mois de mars 1999, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en relation avec des lombalgies chroniques. Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire auprès de la Clinique romande de réadaptation (CRR; rapports des docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, du 8 septembre 2003, C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 5 septembre 2003, et D._, spécialiste en neurologie, du 8 septembre 2003). Les médecins ont conclu à une incapacité totale de travail en raison d'atteintes à la santé psychique. En conséquence, l'administration a reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 1999 (prononcé du 17 décembre 2003 et décisions des 20 janvier et 20 février 2004). Le droit à la rente a été confirmé par communication du 17 janvier 2007.
A.b. Dans le cadre d'une révision du droit à la rente initiée en avril 2012, l'office AI a notamment soumis A._ à une expertise pluridisciplinaire auprès du Centre d'expertise médicale (CEMed) de Nyon. Les experts n'ont retenu aucun diagnostic avec répercussion sur la capacité de travail (rapport des docteurs E._, spécialiste en médecine interne générale et en cardiologie, et F._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et de la doctoresse G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 31 octobre 2013, et complément du docteur F._ du 23 janvier 2015). Par décision du 11 février 2015, l'administration a supprimé le droit de A._ à une rente entière d'invalidité dès le 1 er avril 2015. Saisie d'un recours de l'assuré contre cette décision, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a partiellement admis (jugement du 30 août 2016). Elle a annulé la décision du 11 février 2015 et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire, puis nouvelle décision.
A.c. En exécution du jugement cantonal de renvoi, l'office AI a complété l'instruction sous l'angle médical, en mandatant notamment la CRR pour une nouvelle expertise pluridisciplinaire. Les médecins ont conclu à une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de l'assuré (rapport des docteurs H._, spécialiste en neurologie, I._, spécialiste en rhumatologie, et J._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et de la doctoresse K._, spécialiste en médecine interne générale, du 20 juin 2017, et complément du docteur B._, directeur médical adjoint de la CRR, du 7 juin 2018). Par décisions du 16 août 2018, remplaçant et annulant la décision du 11 février 2015, l'administration a réduit le droit de A._ à une demi-rente d'invalidité depuis le 1 er octobre 2018.
B.
Statuant le 9 juillet 2019 sur les recours formés par A._ contre ces décisions, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, les a admis. Elle a annulé les décisions du 16 août 2018 "en tant qu'elles suppriment le droit du recourant à une rente entière d'invalidité dès le 1 er octobre 2018" (recte: en tant qu'elles diminuent le droit du recourant à une rente entière d'invalidité en la remplaçant par une demi-rente dès le 1 er octobre 2018).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de "la décision [qu'il a] rendue [...] le 16 août 2018". Il sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Il s'oppose par ailleurs à l'attribution de l'effet suspensif et requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (ATF 141 I 70 consid. 2.2 p. 72; 140 I 201 consid. 6.1 p. 205). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (ATF 141 I 49 consid. 3.4 p. 53).
3.
3.1. Le litige a trait à l'étendue du droit de l'intimé à une rente d'invalidité à compter du 1 er octobre 2018. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il porte plus particulièrement sur le point de savoir si une amélioration de l'état de santé psychique de l'assuré justifiant la diminution, par la voie de la révision, de la rente entière d'invalidité versée depuis le 1 er septembre 1999, à une demi-rente, est intervenue depuis son octroi en 2003.
3.2. Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI) et à son évaluation (art. 16 LPGA et art. 28a LAI) - en particulier s'agissant du caractère invalidant de troubles psychiques (ATF 143 V 409 consid. 4.5 p. 415 ss; 143 V 418 consid. 6 et 7 p. 426 ss; 141 V 281) -, à la révision du droit à une rente d'invalidité (art. 17 LPGA; ATF 141 V 9 consid. 2.3 p. 10 et 130 V 343 consid. 3.5 p. 349), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232 et 125 V 351 consid. 3 p. 352) et au principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Pour nier l'existence d'un motif de révision au sens de l'art. 17 al. 1 LPGA, les premiers juges ont analysé l'évolution de l'état de santé de l'intimé, en comparant, à la lumière des pièces médicales au dossier, la situation prévalant lors de l'octroi de la rente entière en 2003 (prononcé du 17 décembre 2003) avec celle existant au moment des décisions litigieuses du 16 août 2018. Ils se sont essentiellement fondés sur les expertises pluridisciplinaires réalisées par la CRR en 2003 (rapports des 5 et 8 septembre 2003) et en 2017 (rapport du 20 juin 2017). La juridiction cantonale est parvenue à la conclusion qu'en 2017, les experts avaient procédé à une nouvelle appréciation du cas sur la base d'autres critères, dans un même contexte de trouble douloureux chronique avec discordance somato-algique.
4.2. L'office recourant reproche en substance à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves et violé le droit fédéral (art. 17 LPGA), en ce qu'elle a nié que l'état de santé de l'intimé s'était modifié dans une mesure justifiant la réduction de son droit à une rente entière d'invalidité à une demi-rente, à compter du 1 er octobre 2018. Si l'office recourant ne conteste pas que l'état de santé somatique de l'intimé s'est détérioré, il reproche en revanche aux premiers juges d'avoir fait preuve d'arbitraire "en s'écartant sans motifs" de l'avis des experts qui, selon lui, auraient en 2017 fait état d'une amélioration de l'état de santé psychique de l'assuré depuis 2003. A cet égard, la juridiction cantonale n'aurait par ailleurs pas inclus dans son appréciation de l'évolution de l'état de santé de l'intimé l'expertise du CEMed de 2013, selon laquelle celui-ci présentait une pleine capacité de travail.
5.
5.1. A titre liminaire, on relèvera que l'argumentation de l'intimé quant à "l'absence de motivation suffisante" du recours sous l'angle des art. 42 al. 2 et 97 al. 1 LTF, est dépourvue de fondement. Il ressort en effet clairement de l'acte de recours que l'office AI se prévaut d'une appréciation arbitraire des preuves et d'une violation du droit fédéral (art. 17 LPGA), et il expose de manière suffisante en quoi les faits auraient été constatés de manière arbitraire et en quoi la correction du vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause au sens de l'art. 97 al. 1 LTF.
5.2.
5.2.1. S'agissant du grief sur le fond, il faut admettre, à la suite de la juridiction cantonale, qu'en 2017, les experts ont procédé à une nouvelle appréciation du cas sur la base d'autres critères. Il ressort des constatations cantonales, qu'en 2003, l'office recourant a reconnu le droit de l'assuré à une rente entière à compter du 1 er septembre 1999, en raison de troubles psychiques. Dans leurs rapports des 5 et 8 septembre 2003, les médecins de la CRR avaient en effet diagnostiqué un trouble somatoforme douloureux persistant (F45.4) et un trouble mixte de la personnalité (F61.0) à traits quérulents (F60.0) et anankastiques (F60.5) totalement incapacitants. Les experts avaient en outre retenu, entre autres diagnostics sans incidence sur la capacité de travail, ceux d'amyotrophie de la cuisse droite d'origine incertaine, d'anomalie de la charnière lombo-sacrée (vertèbre transitionnelle) et de troubles dégénératifs modérés du rachis lombaire.
Pour réduire le droit de l'intimé à une demi-rente d'invalidité depuis le 1 er octobre 2018, l'administration s'est fondée sur l'expertise pluridisciplinaire effectuée par la CRR en 2017, selon laquelle, en raison de troubles somatiques l'intimé présentait une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée. Dans leur rapport du 20 juin 2017, les médecins avaient justifié l'incapacité de travail en raison essentiellement de la bascule du bassin avec troubles statiques à convexité droite, de l'anomalie de transition avec hémi-lombalisation de S1, ainsi que de l'aggravation des troubles des épaules et du poignet droit. Sur le plan psychique, les experts n'avaient retenu aucun diagnostic incapacitant; ils avaient en revanche mentionné, en tant que diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, ceux notamment d'épisode dépressif léger (F32.0) et de syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4).
5.2.2. Si comme leurs confrères en 2003, les experts ont, en 2017, retenu le diagnostic de trouble somatoforme douloureux persistant, ils ont en revanche considéré que ce diagnostic n'était pas incapacitant, et ont exclu la présence d'un trouble de la personnalité, au profit d'un épisode dépressif léger (F32.0) sans incidence sur la capacité de travail. Cela étant, l'expert psychiatre ne met pas en évidence d'éléments concrets d'un changement de l'état de santé sur le plan psychique depuis 2003. Il apprécie la situation uniquement au moment de son examen, sans prendre position par rapport à la situation passée, et conclut à l'absence d'incapacité de travail au terme d'une analyse (rudimentaire) de la gravité de l'atteinte à la santé de l'intimé conformément aux indicateurs définis par la jurisprudence (ATF 141 V 281). Or cette nouvelle jurisprudence ne constitue pas en soi un motif de révision (ATF 141 V 585), pas plus que la seule appréciation différente de la capacité de travail. Le simple fait qu'un diagnostic ne soit plus retenu à la suite d'un examen ultérieur ne saurait non plus justifier, à lui seul, la révision du droit à la rente, dans la mesure où un tel constat ne permet pas d'exclure l'existence d'une appréciation différente d'un état de fait qui, pour l'essentiel, est demeuré inchangé. Un motif de révision ne saurait être admis que si le nouveau diagnostic est corroboré par un changement clairement objectivé de la situation clinique et par l'amélioration, pour ce motif, de la capacité de travail résiduelle, ce qui n'est pas le cas en l'espèce (sur les exigences en matière de preuve pour une évaluation médicale dans le cadre d'une révision, voir arrêts 9C_418/2010 du 29 août 2011 consid. 4.2, in SVR 2012 IV n° 18 p. 81, et 8C_441/2012 du 25 juillet 2013 consid. 6, in SVR 2013 IV n° 44 p. 134).
5.3. Le grief de l'office recourant quant à l'absence de prise en compte, par les premiers juges, de l'expertise du CEMed de 2013, dans leur appréciation de l'évolution de l'état de santé de l'intimé, ne résiste pas non plus à l'examen. Dans son jugement du 30 août 2016, la juridiction cantonale avait en effet nié que cette expertise pût se voir reconnaître une valeur probante, sans que l'office AI ne discute de cet aspect.
5.4. En conclusion, au regard des conclusions émises par les experts en 2017, les considérations des premiers juges, selon lesquelles il n'existe aucun motif de révision au regard de l'art. 17 LPGA ne sont ni manifestement inexactes ni contraires au droit fédéral. Le recours est mal fondé.
6.
Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif déposée par l'office recourant.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, l'office recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), ainsi que les dépens que peut prétendre l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'avocat de l'intimé la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 décembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud