Sachverhalt:
A.
Nachdem ein erstes Leistungsbegehren abgewiesen worden war, bezog der 1964 geborene A._ eine halbe Invalidenrente seit dem 1. November 2002 resp. eine ganze Rente seit dem 1. Januar 2004 (Invaliditätsgrad 100 %). Im August 2012 leitete die IV-Stelle Obwalden (erneut) ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen - insbesondere Einholung des bidisziplinären Gutachtens der Dres. med. B._ und C._ (Fachärzte für Rheumatologie resp. für Psychiatrie und Psychotherapie) vom 26. Mai 2014 - und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von nunmehr 20 %. Mit Verfügung vom 3. Februar 2017 hob sie die bisherige ganze Invalidenrente auf Ende März 2017 auf. Nach Eingang weiterer medizinischer Unterlagen (insbesondere betreffend eine am 31. Januar 2017 in stationärer Behandlung durchgeführte Operation) hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 8. Februar 2017 jene vom 3. Februar 2017 wiedererwägungsweise auf; gleichzeitig bestätigte sie den weiterhin bestehenden Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
In der Folge traf die IV-Stelle umgehend weitere Abklärungen; dabei veranlasste sie u.a. den Bericht der Beruflichen Abklärungsstelle Zentralschweiz (BEFAS) vom 4. Mai 2018. Am 28. Februar 2019 verlangte sie - unter Hinweis auf die Schadenminderungspflicht und die Möglichkeit der Renteneinstellung - von A._ eine schriftliche Rückmeldung bis zum 31. März 2019, ob er zu beruflichen Massnahmen bereit sei. Nach Durchführung eines weiteren Vorbescheidverfahrens hob sie die Invalidenrente mit Verfügung vom 21. August 2019 revisionsweise auf Ende September 2019 auf (Invaliditätsgrad 15 %). Gleichzeitig entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden mit Entscheid vom 12. August 2020 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten Folgendes beantragen:
"1. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden vom 12.08.2020 sei aufzuheben und es sei richterlich festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin bis zum ordentlichen Abschluss des Revisionsverfahrens dem Beschwerdeführer die IV Rente weiterhin auszurichten habe.
2. Eventualiter: Die Verfügung der IV-Stelle Obwalden vom 21.08.2019 sei aufzuheben und dem Beschwerdeführer sei mindestens eine Viertels IV Rente auszurichten.
3. Subeventualiter: Die Verfügung der IV-Stelle Obwalden vom 21.08.2009 10 sei aufzuheben und dem Beschwerdeführer seien Eingliederungsmassnahmen zuzusprechen mit gleichzeitiger weiterer Ausrichtung der Invalidenrente temporär.
4. Die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer sämtliche zusätzlichen medizinischen Abklärungskosten, welche durch Dr. D._ entstanden sind, zurückzuerstatten.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin."
Die IV-Stelle Obwalden und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei). Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
1.1. Trotz der Formulierung von Antrag Ziff. 1 als Feststellungsantrag stellt der Beschwerdeführer damit sinngemäss ein (zulässiges) Leistungsbegehren. Der Antrag Ziff. 3 zielt auf den Rentenanspruch. Damit wird kein selbstständiger Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen geltend gemacht (vgl. nachfolgende E. 4.6); ein solcher war denn auch nicht Gegenstand der Verfügung vom 21. August 2019 und des angefochtenen Entscheids (vgl. BGE 131 V 164 E. 2.1 S. 164; 125 V 413 E. 1 S. 414 f.).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (BGE 143 V 19 E. 1.2 S. 22 f.).
Die neu eingereichte Stellungnahme des Dr. med. D._ (Facharzt für Rheumatologie und Allgemeine Innere Medizin) vom 3. September 2020 ist als echtes Novum von vornherein unzulässig. Gleiches gilt für die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Im angefochtenen Entscheid werden die Grundlagen für den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 IVG und Art. 7 f. ATSG [SR 830.1]) zutreffend dargelegt; darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist Folgendes:
2.2. Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (Art. 17 Abs. 1 ATSG). Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes revidierbar. Weiter sind, auch bei an sich gleich gebliebenem Gesundheitszustand, veränderte Auswirkungen auf den Erwerbs- oder Aufgabenbereich von Bedeutung. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (BGE 141 V 9 E. 2.3 S. 10 f. mit Hinweisen). Weder eine im Vergleich zu früheren ärztlichen Einschätzungen ungleich attestierte Arbeitsunfähigkeit noch eine unterschiedliche diagnostische Einordnung des geltend gemachten Leidens genügt somit per se, um auf einen verbesserten oder verschlechterten Gesundheitszustand zu schliessen; notwendig ist in diesem Zusammenhang vielmehr eine veränderte Befundlage (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.2; Urteil 9C_346/2019 vom 6. September 2019 E. 2.1.1 mit weiteren Hinweisen). Liegt in diesem Sinne ein Revisionsgrund vor, ist - in einem zweiten Schritt - der Rentenanspruch in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend ("allseitig") zu prüfen, wobei keine Bindung an frühere Beurteilungen besteht (BGE 141 V 9 E. 2.3 S. 11; Urteil 9C_626/2019 vom 26. November 2019 E. 2).
2.3. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (BGE 140 V 193 E. 3.2 S. 145; 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis).
Geht es um psychische Erkrankungen wie eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, ein damit vergleichbares psychosomatisches Leiden (vgl. BGE 140 V 8 E. 2.2.1.3 S. 13 f.) oder depressive Störungen leicht- bis mittelgradiger Natur (BGE 143 V 409 und 418), sind für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit systematisierte Indikatoren (Beweisthemen, Indizien) beachtlich, die - unter Berücksichtigung leistungshindernder äusserer Belastungsfaktoren einerseits und Kompensationspotentialen (Ressourcen) anderseits - erlauben, das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (BGE 141 V 281 E. 2 S. 285 ff., E. 3.4-3.6 und 4.1 S. 291 ff.).
2.4. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich grundsätzlich um Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Anforderungen an die Beweiskraft ärztlicher Berichte und Gutachten Rechtsfragen (Urteile 8C_673/2016 vom 10. Januar 2017 E. 3.2 und 9C_899/2017 vom 9. Mai 2018 E. 2.1). Gleiches gilt für die Frage, ob und in welchem Umfang die Feststellungen in einem medizinischen Gutachten anhand der rechtserheblichen Indikatoren auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (BGE 141 V 281 E. 7 S. 308 f.; Urteil 9C_504/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 1.2).
3.
Die Vorinstanz hat gestützt auf das bidisziplinäre Gutachten der Dres. med. B._ und C._ vom 26. Mai 2014, den Bericht der BEFAS vom 4. Mai 2018 und die Stellungnahmen des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit für angepasste Tätigkeiten festgestellt. Einen Anspruch auf vorgängige Eingliederungsmassnahmen hat sie verneint, weil der Versicherte sich offenkundig weigere, an solchen teilzunehmen. Folglich hat sie die rentenaufhebende Verfügung vom 21. August 2019 bestätigt.
4.
4.1. Die IV-Stelle war in der angefochtenen Verfügung mit Blick auf Art. 17 Abs. 1 ATSG (vgl. vorangehende E. 2.2) und unter Verweis auf das bidisziplinäre Gutachten der Dres. med. B._ und C._ davon ausgegangen, dass sich der Gesundheitszustand des Versicherten verbessert habe und die Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht nicht mehr eingeschränkt sei. Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren bestreitet der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für eine revisionsweise Rentenaufhebung. Die Vorinstanz hat sich dazu mit keinem Wort geäussert.
4.2. Als Vergleichsbasis für die Beurteilung der Frage, ob bis zum Abschluss des aktuellen Verwaltungsverfahrens eine anspruchserhebliche Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten ist, dient die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs beruht. Dabei braucht es sich nicht um eine formelle Verfügung (Art. 49 ATSG) zu handeln (BGE 133 V 108 E. 5.4 S. 114; Urteile 9C_23/2019 vom 10. Mai 2019 E. 4.2.2; 9C_800/2016 vom 9. Mai 2017 E. 4.2.2).
Einer neuen ärztlichen Einschätzung, die sich nicht hinreichend darüber ausspricht, inwiefern im Vergleich zur früheren Beurteilung eine effektive Veränderung des Gesundheitszustands eingetreten ist, kommt für die Belange der Rentenrevision - unter Vorbehalt evidenter Sachlagen - kein genügender Beweiswert zu (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.2; Urteil 8C_845/2018 vom 17. Mai 2019 E. 2.2). Die objektive Beweislast für das Vorliegen eines Revisionsgrundes liegt bei der IV-Stelle (Urteil 9C_561/2018 vom 8. Februar 2019 E. 3 mit Hinweis auf Art. 8 ZGB; BGE 138 V 218 E. 6 S. 222).
4.3. Die Verwaltung erkannte im Umstand, dass der Versicherte sich Ende Januar 2017 einer Operation unterzogen hatte, eine (vorübergehend; vgl. dazu Art. 88a IVV [SR 831.201]) fehlende Arbeitsfähigkeit. Daraus schloss sie zutreffend, dass die Voraussetzungen für eine Rentenrevision nach Art. 17 ATSG bei Erlass der Verfügung vom 3. Februar 2017 nicht erfüllt waren, weshalb sie diese wiedererwägungsweise (vgl. Art. 53 Abs. 2 ATSG) aufhob. Auch wenn sie mit der Verfügung vom 8. Februar 2017 den weiterhin bestehenden Anspruch auf eine ganze Invalidenrente bestätigte, beendete sie damit nicht das 2012 eingeleitete Revisionsverfahren, vielmehr nahm sie dieses umgehend wieder auf und führte es weiter (vgl. zur Auslegung von Verfügungen BGE 141 V 255 E. 1.2 S. 257; 132 V 74 E. 2 S. 76; Urteil 9C_777/2019 vom 24. November 2020 E. 5.2.1).
Somit ist im Hinblick auf Art. 17 ATSG der Sachverhalt im Zeitpunkt der verfügten Rentenaufhebung mit jenem bei Zusprache der ganzen Invalidenrente zu vergleichen. Entscheidend ist, ob sich daraus eine Verbesserung des Gesundheitszustandes und damit der Arbeitsfähigkeit in dem Mass ergibt, dass sich dadurch der Invaliditätsgrad von 100 % auf weniger als 70 % reduziert hätte (vgl. vorangehende E. 2.2).
4.4.
4.4.1. Die Zusprache der ganzen Invalidenrente ab dem 1. Januar 2004 beruhte auf dem polydisziplinären Gutachten der MEDAS Zentralschweiz vom 21. Februar 2003 und den Berichten des Dr. med. E._ vom 5. Februar 2004, des Dr. med. F._ vom 6. April 2004 sowie des Dr. med. G._ (Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie) und der lic. phil. H._ vom 21. September 2004, wobei die IV-Stelle infolge Verschlechterung des psychischen Gesundheitszustandes auf eine Rentenerhöhung erkannte. Dr. med. C._ setzte sich in seinem Teilgutachten vom 26. Mai 2014 mit den Einschätzungen des MEDAS-Psychiaters und des Dr. med. G._ auseinander. Er konnte aber keine erhebliche Veränderung der dokumentierten Befundlage darlegen; vielmehr kritisierte er die früheren ärztlichen Einschätzungen. Aus dem blossen Umstand, dass der Versicherte keine Psychotherapie mehr wahrnehme und "seit etwa 2007" keine depressive Episode mehr nachweisbar sei, ist eine revisionsrechtlich relevante Sachverhaltsveränderung (vgl. vorangehende E. 4.3 in fine) nicht nachvollziehbar dargelegt. Auch aus den psychiatrischen Ausführungen im BEFAS-Bericht vom 4. Mai 2018 ist keine solche ersichtlich.
4.4.2. Sowohl Dr. med. C._ als auch der BEFAS-Psychiater diagnostizierten eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10: F54.41). Ihre Ausführungen und Einschätzungen überzeugen aber nicht hinsichtlich der in diesem Zusammenhang attestierten uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit, zumal der Zeitpunkt der verfügten Rentenaufhebung massgeblich ist. Dr. med. C._ verneinte eine Einschränkung unter Hinweis auf die "Förster-Kriterien", wobei die diesbezügliche Rechtsprechung von BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f. mit dem als BGE 141 V 281 publizierten Urteil 9C_492/2014 vom 3. Juni 2015 überholt wurde. Insbesondere wird aber weder in seinem Gutachten noch im BEFAS-Bericht einleuchtend dargelegt, inwieweit hinsichtlich "diskrepanter" Angaben des Beschwerdeführers (blosse) Verdeutlichung oder (einen gewissen Schweregrad des Schmerzleidens ausschliessende) Aggravation vorlag. Zu berücksichtigen ist dabei insbesondere, dass sich der Versicherte am 25. August 2015, am 31. Januar 2017 sowie am 12. Dezember 2019 (welcher Zeitpunkt einem Rückschluss auf den massgeblichen Prüfungszeitraum nicht per se entgegensteht) operativen Eingriffen unterzog, was bezüglich Schmerzen auf einen gewissen Leidensdruck schliessen lässt. Zudem begab sich der Versicherte in - auch Psychotherapie beinhaltende - schmerzmedizinische Behandlung; im diesbezüglichen Bericht des Spital s I._ vom 31. August 2019 wurde neben der Schmerzproblematik eine mittelgradig ausgeprägte depressive Symptomatik festgestellt und lediglich "zu Beginn" für zwei bis drei Stunden täglich die Teilnahme an einem beruflichen Integrationsprogramm für zumutbar erachtet. Zwar trifft zu, dass eine psychiatrische (fachärztliche) Behandlung nicht aktenkundig ist. Indessen entbehrt der vorinstanzliche Schluss, dass deswegen keine mittelgradig depressive Symptomatik vorliegen könne, einer Grundlage, weshalb er unhaltbar ist (vgl. vorangehende E. 1.3). Auch mit Blick auf weitere Indikatoren wie z.B. persönliche Ressourcen, sozialer Kontext oder gleichmässig eingeschränktes Aktivitätenniveau (vgl. den Überblick in BGE 141 V 281 E. 4.1.3 S. 297 f.) begründen die Angaben der psychiatrischen Experten nicht die Annahme einer uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit.
Was die somatischen Aspekte anbelangt, so wurde im Bericht des Spital s I._ vom 7. November 2019 die Indikation für eine operative Versorgung bei progredienter segmentaler Degeneration C5/6 und C6/7 und passendem radikulärem Reizmuster bejaht. In diesem Sinn fällt eine Verschlechterung im Vergleich zum Zustand bei der BEFAS-Untersuchung in Betracht. Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers zu Beschwerden im Rücken-, Becken- und Fussbereich erschöpfen sich in appellatorischer Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswü rdigung, worauf nicht weiter einzugehen ist.
4.5. Nach dem Gesagten genügen das Gutachten der Dres. med. B._ und C._ und der BEFAS-Bericht den Anforderungen an die Beweiskraft (vgl. vorangehende E. 2.3 und 4.2) weder hinsichtlich des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit im Zeitpunkt der verfügten Rentenaufhebung (vgl. E. 4.4.2) noch in Bezug auf eine Sachverhaltsveränderung im Sinne von Art. 17 ATSG (vgl. E. 4.4.1). Gleiches gilt für die Stellungnahmen des RAD (vgl. Art. 59 Abs. 2bis IVG und Art. 49 Abs. 1 IVV). An der darauf beruhenden vorinstanzlichen Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit kann nicht festgehalten werden (vgl. vorangehende E. 1.3). Die aktenkundigen anderen medizinischen Unterlagen lassen indessen auch keine zuverlässige Sachverhaltsfeststellung zu. Die IV-Stelle wird weitere Abklärungen zu treffen und erneut über die Rentenaufhebung zu verfügen haben.
4.6.
4.6.1. Sodann versucht der Beschwerdeführer unter Berufung auf rechtsmissbräuchliches Verhalten der IV-Stelle und Eingliederungsmassnahmen die sofortige Weiterausrichtung der Rente zu erwirken. Daraus lässt sich jedoch nichts zu seinen Gunsten ableiten, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
4.6.2. In der Invalidenversicherung erfolgt die Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente in der Regel auf das Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats (Art. 88 bis Abs. 2 lit. a IVV). Massgeblich ist jene Verwaltungsverfügung, mit welcher die Herabsetzung oder Aufhebung erstmals verfügt wurde. Muss infolge eines Rückweisungsentscheides eine neue Verfügung erlassen werden, kann damit die ursprüngliche Rentenherabsetzung resp. -aufhebung (samt Wirkungszeitpunkt) rückwirkend bestätigt werden (BGE 129 V 370; 106 V 18; SVR 2011 IV Nr. 33 S. 96, 8C_451/2010 E. 3 und 4.4; Urteile 9C_792/2018 vom 25. Januar 2019 E. 2.2; 9C_567/2017 vom 21. November 2017 E. 2.2.3). Vorbehalten bleibt der Fall, dass die IV-Stelle mit dem Erlass der angefochtenen (ersten) Revisionsverfügung, ohne formell hinreichende Abklärung der Revisionsvoraussetzungen, rechtsmissbräuchlich einen möglichst frühen Revisionszeitpunkt provozierte (vgl. BGE 129 V 370 E. 3.2 S. 372 und E. 4.3 S. 376; Urteil 9C_567/2017 vom 21. November 2017 E. 2.2.1 mit Hinweis).
Auch wenn in concreto weitere Abklärungen angezeigt sind (vgl. vorangehende E. 4.5), kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nur schon angesichts der Dauer des Revisionsverfahrens, aber auch hinsichtlich der erfolgten Untersuchungen nicht gesagt werden, die Verwaltung habe missbräuchlich einen möglichst frühen Revisionszeitpunkt provoziert.
4.6.3. Nach der Aufforderung, seine Bereitschaft zu beruflichen Massnahmen zu erklären (vgl. Sachverhalt lit. A), ersuchte der Versicherte unter Hinweis auf ausstehende medizinische Berichte um Fristerstreckung, was die IV-Stelle in der angefochtenen Verfügung vom 21. August 2019 ablehnte. Indessen hätte er im Verwaltungsverfahren ohne Weiteres ein (grundsätzliches) Interesse an einer solchen Massnahme bekunden können, was er aber auch nicht ansatzweise (beispielsweise unter Vorbehalt der medizinischen Zumutbarkeit) machte. Die vorinstanzliche Feststellung, dass sich der Beschwerdeführer offensichtlich geweigert habe, an Wiedereingliederungsmassnahmen teilzunehmen, bleibt unbestritten und für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1.3). Damit ist (zumindest im Zeitpunkt der verfügten Rentenaufhebung) von fehlendem Eingliederungswillen auszugehen. In dieser Situation war die vorgängige Durchführung von (grundsätzlich angezeigten) Eingliederungsmassnahmen keine Voraussetzung für die Rentenaufhebung.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Dementsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese umfasst (a) die Anwaltskosten und (b) die allfälligen weiteren Kosten, die durch den Rechtsstreit verursacht werden (Art. 1 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3; nachfolgend: Entschädigungsreglement]). Mit Antrag Ziff. 4 verlangt der Beschwerdeführer laut Beschwerdebegründung die Entschädigung der Kosten für die in diesem Verfahren eingereichte ärztliche Stellungnahme. Diese ist unzulässig (vgl. vorangehende E. 1.2), weshalb diesbezüglich ein (zusätzlicher) Anspruch im Sinne von Art. 1 lit. b Entschädigungsreglement von vornherein ausscheidet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden vom 12. August 2020 und die Verfügung der IV-Stelle Obwalden vom 21. August 2019 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Obwalden zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann