Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beklagter 1, Beschwerdeführer 1) und B._ (Beklagter 2, Beschwerdeführer 2) sind Spezialisten in der Entwicklung von Software, insbesondere im Bereich der Gebäudetechnik. Sie gründeten am 12. September 2001 zusammen mit weiteren Beteiligten die D._ AG mit Sitz in U._. Am 30. April 2004 schloss die D._ AG mit den Beklagten 1 und 2 Arbeitsverträge ab, gültig rückwirkend ab 1. Januar 2004.
Am 15. Januar 2004 erhielt die D._ AG den Zuschlag für Arbeiten in Zusammenhang mit dem Bau des Lötschbergtunnels zu einem Vergabepreis von Fr. 1'606'896.-- (inkl. MwSt.; nachfolgend: Grundauftrag). Den entsprechenden Werkvertrag schloss sie am 15. März 2004 mit der Arbeitsgemeinschaft E._ als Bestellerin, einer einfachen Gesellschaft bestehend aus der F._ AG und der G._ AG, vertreten durch H._. In der Folge erhielt die D._ AG von der E._ zwischen dem 22. Juni 2004 und dem 6. Januar 2007 verschiedene Auftragsnachträge mit einem Gesamtvolumen von Fr. 2'465'488.44 (inkl. MwSt.; nachfolgend: Auftragsnachträge). Insgesamt vergütete die E._ die Leistungen der D._ AG mit Fr. 3'878'859.60 (inkl. MwSt.).
A.b. Am 5. November 2005 gab die D._ AG als Bestellerin (vertreten durch die Beklagten 1 und 2) der damals noch nicht gegründeten I._ AG (Beklagte 3) mit Sitz in V._ (Erwerb der Rechtspersönlichkeit am 14. Dezember 2005) als Unternehmerin im Rahmen eines Werkvertrages einen Teil dieser Auftragsnachträge weiter und zwar in Höhe einer Gesamtvergütung von Fr. 452'102.80 (inkl. MwSt.). Im Zusammenhang mit diesen und weiteren Auftragsnachträgen überwies die D._ AG der Beklagten 3 insgesamt Fr. 1'980'348.10.
A.c. Am 28. Mai 2007 kündigten die Beklagten 1 und 2 das Arbeitsverhältnis mit der D._ AG per 31. Juli 2007.
A.d. Am 16. Dezember 2008 wurde über die D._ AG der Konkurs eröffnet. In der Folge trat die Konkursmasse verschiedene Ansprüche nach Art. 260 SchKG an J._ (Kläger 1), die C._ AG (Klägerin 2, Beschwerdegegnerin), die K._ AG in Liquidation mit Sitz in U._ (damals K._ AG, Klägerin 3) und Rechtsanwalt L._ (Kläger 4) ab. Am 4. Dezember 2014 wurde die D._ AG im Handelsregister des Kantons Schaffhausen gelöscht.
Strittig ist insbesondere, ob die der Beklagten 3 vergüteten Auftragsnachträge tatsächlich durch diese bzw. durch ihre Subunternehmer ausgeführt worden sind oder ob stattdessen die Beklagten 1 und 2 sämtliche Auftragsnachträge selber ausgeführt und demnach als Organe der D._ AG diese durch die Überweisungen an die Beklagte 3 anstelle der Erwirtschaftung entsprechender Einnahmen für die D._ AG geschädigt haben.
Strittig ist ausserdem die Rechtmässigkeit verschiedener Zahlungen an die Beklagten 1 und 2, welche die D._ AG im Zusammenhang mit deren Arbeitsverhältnissen geleistet hat.
B.
B.a. Am 6. Mai 2011 reichten die Kläger 1-4 beim Kantonsgericht Schaffhausen Klage ein gegen die Beklagten 1-3 und die M._ AG (damals N._ AG, Beklagte 4) mit folgenden Anträgen:
1. Die Beklagten 1-3 seien zu verpflichten, den Klägern 1-4 unter solidarischer Haftung eines jeden für den gesamten Betrag Fr. 1'980'348.-- zu bezahlen, zuzüglich Zinsen zu 5 % seit 31. Dezember 2007.
2. Zudem seien die Beklagten 1-2 zu verpflichten, den Klägern 1-4 unter solidarischer Haftung eines jeden für den gesamten Betrag und unter Vorbehalt der Nachklage Fr. 236'278.-- zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2007.
3. Die Beklagte 4 sei zu verpflichten, in die Konkursmasse der D._ AG den Betrag von Fr. 452'102.--, zuzüglich Zinsen zu 5 % seit 31. Dezember 2017, zu bezahlen, wobei diese Forderung nicht zusätzlich, sondern alternativ zu derjenigen gemäss Antrag Ziff. 1 geschuldet ist.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten.
Mit Verfügung vom 8. November 2011 stellte das Kantonsgericht fest, dass der Kläger 1 sowie die Kläger 3 und 4 ihre Forderung an die Klägerin 2 abgetreten hätten, die den Prozess als alleinige Klägerin weiterführe.
Mit Urteil vom 11. Juli 2018 wies das Kantonsgericht die Klagen gegen die Beklagten 3 und 4 ab. Es verpflichtete die Beklagten 1 und 2 unter solidarischer Haftung, der Klägerin (ehemals Klägerin 2) Fr. 2'196'626.35, zuzüglich 5 % Zinsen ab 31. Dezember 2007, zu bezahlen (Disp.-Ziff. 1-3). Es auferlegte die Gerichtsgebühr von Fr. 120'000.-- zu einem Sechstel der Klägerin und zu fünf Sechsteln den Beklagten 1 und 2 unter solidarischer Haftung (Disp.-Ziff. 4) und verpflichtete die Beklagten 1 und 2, die Klägerin im Umfang von fünf Sechsteln der berechtigten Anwaltskosten mit Fr. 125'000.-- zu entschädigen (Disp.-Ziff. 6). Ausserdem wurde die Klägerin verpflichtet, die Beklagten 3 und 4 im Umfang der berechtigten Anwaltskosten mit Fr. 107'440 (Beklagte 3) bzw. Fr. 67'080.65 (Beklagte 4) zu entschädigen (Disp.-Ziff. 5).
B.b. Mit Urteil vom 31. März 2020 hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen die von den Beklagten 1 und 2 eingereichte Berufung teilweise gut und hob die Ziffern 4 und 6 (Kosten und Parteientschädigung) des Urteils des Kantonsgerichts Schaffhausen auf (Disp.-Ziff. 1). Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens von Fr. 108'000.-- auferlegte es unter solidarischer Haftung zu zwei Dritteln (d.h. Fr. 72'000.--) den Beklagten 1 und 2 und zu einem Drittel (d.h. Fr. 36'000.--) der Klägerin (Disp.-Ziff. 2) und verpflichtete die Beklagten 1 und 2 unter solidarischer Haftung, die Klägerin für das erstinstanzliche Verfahren mit Fr. 100'000.-- zu entschädigen (Disp.-Ziff. 3). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 60'000.-- auferlegte es unter solidarischer Haftung den Beklagten 1 und 2 und verpflichtete diese, die Klägerin für das Berufungsverfahren mit Fr. 15'000.-- zu entschädigen (Disp.-Ziff. 5 und 6).
Es stellte fest, die Beklagten 1 und 2 hätten sämtliche Auftragsnachträge selber ausgeführt und diese seien nicht durch die Beklagte 3 bzw. durch deren Subunternehmer - die O._ AG bzw. die indonesische P._ - ausgeführt worden. Liege den Zahlungen der D._ AG an die Beklagte 3 (somit) lediglich ein simuliertes Geschäft zugrunde, so sei hinsichtlich der Veranlassung dieser Zahlungen wie auch dem damit verbundenen Verschleiern der tatsächlichen Ausführung der Auftragsnachträge durch die Beklagten 1 und 2 auf ein pflichtwidriges Handeln im Sinne von Art. 717 Abs. 1 i.V.m. Art. 754 Abs. 1 OR zu schliessen und die Klage über Fr. 1'980'348.-- hinsichtlich der Auftragsnachträge zu schützen.
Ausgewiesen sei sodann eine Forderung über Fr. 97'500.-- wegen zu hoher Lohnzahlung, da der Beklagte 1 seinen Arbeitsvertrag ohne Zustimmung des Gesamtverwaltungsrats abgeändert und nur durch den Beklagten 2 habe gegenzeichnen lassen bzw. der Beklagte 2 den geänderten Arbeitsvertrag unterzeichnet habe sowie ein Anspruch wegen ungerechtfertigter Bonusauszahlung in der Höhe von Fr. 33'778.35. Weiter habe es sich bei den Fahrtkosten über Fr. 85'000.-- um solche für den Arbeitsweg zwischen dem Wohnort der Beklagten 1 und 2 in Deutschland und deren Arbeitsort in der Schweiz gehandelt, dies seien private Kosten, die mangels Vereinbarung mit der D._ AG von den Beklagten 1 und 2 zu tragen seien, weshalb die von ihnen als Spesen abgerechneten Beträge zurückzuerstatten seien. Insgesamt bestehe daher für diese verschiedenen Ansprüche eine Forderung von Fr. 216'278.35.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beklagten 1 und 2 dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts vom 31. März 2020 sei kostenfällig aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten ist.
Die Vorinstanz beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. Beide Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert. Die Beschwerdegegnerin hat mit der Duplik eine Verfügung des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 23. Juli 2020 betreffend die Wiedereintragung der D._ AG ins Handelsregister eingereicht. M it Eingabe vom 4. August 2020 reichte sie sodann die mit der Duplik in Aussicht gestellte Publikation der Wiedereintragung ein. Mit Eingabe vom 13. August 2020 reichten die Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Revisionsgesuch gleichen Datums an das Kantonsgericht Schaffhausen betreffend die Verfügung des Kantonsgerichts vom 23. Juli 2020 ein.
Mit Präsidialverfügung vom 5. August 2020 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung gewährt.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f., 115 E. 2 S. 116). Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116 mit Hinweis).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; 135 III 397 E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
1.2.2. Die Beschwerdeführer legen einleitend einen Überblick über den massgeblichen Sachverhalt dar. Soweit dieser - wie auch ihre Sachverhaltsdarstellung im Rahmen ihrer weiteren Ausführungen - nicht den Feststellungen der Vorinstanz entspricht und keine genügenden Sachverhaltsrügen vorliegen, ist dieser demnach nicht massgeblich.
1.3. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141 III 564 E. 4.1 S. 566; 140 III 16 E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen).
Eine Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 III 226 E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 f. mit Hinweisen).
1.4. Neue Vorbringen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), was näher darzulegen ist (BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123). Beide Parteien haben dem Bundesgericht neue Unterlagen eingereicht betreffend die Wiedereintragung der D._ AG im Handelsregister. Darauf muss nicht weiter eingegangen werden, da der Eintragung der Gesellschaft im Handelsregister keine entscheidende Bedeutung zukommt (vgl. E. 2 hiernach).
1.5. Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein; nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte Ergänzungen sind unzulässig. Die Replik dient einzig dazu, sich zur gegnerischen Stellungnahme zu äussern (BGE 143 II 283 E. 1.2.3 S. 286; Urteil 5A_626/2018 vom 3. April 2019 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 145 III 324).
1.6. Die Beschwerdeführer beantragen eine mündliche Urteilsberatung gemäss Art. 58 Abs. 1 BGG. Das Bundesgericht entscheidet jedoch grundsätzlich auf dem Wege der Aktenzirkulation und nur ausnahmsweise in öffentlicher Sitzung, wobei die Parteien keinen Anspruch auf eine solche haben (vgl. Urteil 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5). Es ist nicht ersichtlich, welche besonderen Gründe vorliegend für eine öffentliche Beratung sprechen würden.
2.
Die Beschwerdeführer bestreiten die Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin. Soweit die Vorinstanz davon ausgehe, vorliegend sei ein mittelbarer Schaden aus Verantwortlichkeit eingeklagt, würden die Abtretungsgläubiger nach Art. 260 SchKG nicht Träger des entsprechenden Anspruchs; lediglich das Prozessführungsrecht sei den Abtretungsgläubigern übertragen worden. Die Konkursmasse bleibe Rechtsträgerin der behaupteten Ansprüche. Werde nun die konkursite Gesellschaft als Trägerin der Vermögensrechte aus dem Handelsregister gelöscht, müsse mit ihr konsequenterweise auch die Aktivlegitimation zur Geltendmachung der entsprechenden Verantwortlichkeitsansprüche untergehen. Falls somit nach der Löschung der Aktiengesellschaft im Handelsregister noch Handlungen für diese vorgenommen oder Verfahren geführt werden sollen, sei gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Urteil 4A_384/2016 vom 1. Februar 2017 E. 2.1 - 2.3) eine Wiedereintragung im Handelsregister erforderlich. Nachdem vorliegend das Konkursverfahren bereits abgeschlossen und die D._ AG während des noch laufenden Verantwortlichkeitsprozesses am 4. Dezember 2014, also vor dem am 11. Juli 2018 ergangenen erstinstanzlichen Urteil aus dem Handelsregister gelöscht worden sei, fehle es der Beschwerdegegnerin an der Prozessführungsbefugnis (formell) sowie an der Aktivlegitimation (materiell). Dies wäre von den kantonalen Gerichten von Amtes wegen zu prüfen gewesen.
Das Bundesgericht hat kürzlich entschieden, dass nach erfolgter Abtretung gemäss Art. 260 SchKG (wie hier) die Löschung der Gesellschaft im Handelsregister keinen Einfluss auf die Aktivlegitimation der Abtretungsgläubiger haben kann und entgegen dem zit. Urteil 4A_384/2016 keine Wiedereintragung notwendig ist, damit die im eigenen Namen klagenden Abtretungsgläubiger die Ansprüche der gelöschten Gesellschaft geltend machen können (Urteil 4A_19/2020 vom 19. August 2020 E. 2, zur Publikation vorgesehen). Damit stossen alle von den Beschwerdeführern im Zusammenhang mit der Aktivlegitimation vorgebrachten Einwände ins Leere.
3.
Die Beschwerdeführer rügen hinsichtlich des angefochtenen Entscheids bzw. des kantonalen Verfahrens verschiedene prozessuale Mängel.
3.1. Die Vorinstanz erwog, aus den Ausführungen der Parteien lasse sich zwar eine Differenzierung ableiten zwischen Auftragsnachträgen, welche die D._ AG selber erledigt und solchen, die sie an die I._ AG weitergegeben habe. Als Grund für die Weitergabe eines Teils der Auftragsnachträge sei von den Parteien indes einzig auf die fehlende Kapazität der Beschwerdeführer hingewiesen worden. Eine Unterscheidung der Aufträge in Nachträge (zum Grundauftrag) und Zusatzaufträge ("Forschungsaufträge" im Hinblick auf den Gotthardtunnel) sei nicht im Ansatz behauptet worden. Vielmehr hätten die Parteien hinsichtlich sämtlicher Aufträge bis zum Abschluss des doppelten Schriftenwechsels einzig festgehalten, diese seien für den Lötschberg tunnel erfolgt, womit die nun von den Beschwerdeführern geltend gemachte Unterscheidung mit Bezug auf Forschungsarbeiten für den Gotthard tunnel den Parteibehauptungen gar widerspreche. Soweit sich im Beweisverfahren aus einzelnen Partei- und Zeugenaussagen eine solche Unterscheidung zwischen Nachtragsaufträgen und Zusatzaufträgen (für Forschung) ergeben habe, könne es sich höchstens um ein sog. überschiessendes Beweisergebnis handeln, das indessen den Parteibehauptungen - wie dargelegt - nicht im Ansatz entnommen werden könne, bzw. diesen sogar widerspreche, womit es keine Berücksichtigung finden könne. Es sei somit nicht von einer Unterscheidung verschiedener Auftragsarten auszugehen.
Die Beschwerdeführer rügen diesbezüglich eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung und eine unzulässige Nichtberücksichtigung des überschiessenden Beweisergebnisses. Mit dem Hauptargument der Vorinstanz, dass ihre Vorbringen widersprüchlich seien, weil sie selber ausgeführt hätten, dass sämtliche Aufträge für das Lötschbergtunnelprojekt erfolgt seien, setzen sie sich aber nicht - jedenfalls nicht rechtsgenüglich - auseinander. Auf den Einwand der Beschwerdeführer, dass überschiessende Beweisergebnisse berücksichtigt werden könnten, wenn sie im Rahmen sog. mitbehaupteter Tatsachen lägen, ist nicht weiter einzugehen, denn es liegt offensichtlich gerade keine mitbehauptete Tatsache vor, sondern - im Gegenteil - eine dem behaupteten Beweisergebnis widersprechende. Mit der Vorinstanz ist somit davon auszugehen, dass nicht unterschiedliche Auftragsarten zu unterscheiden sind und Forschungsarbeiten für den Gotthardtunnel nicht zum hier relevanten Sachverhalt gehören.
3.2.
3.2.1. Nicht zu beanstanden sei - so die Vorinstanz weiter - die erstinstanzliche Feststellung, wonach von den Beschwerdeführern und der I._ AG einzig die tatsächliche Ausführung durch die P._ behauptet worden sei. Mangels weiterer genannter ausführender Personen habe das Kantonsgericht somit lediglich zu prüfen gehabt, ob entweder die Beschwerdeführer oder die P._ die infrage stehenden Auftragsnachträge ausgeführt hätten. Daran ändere nichts, dass die Beschwerdeführer im Berufungsverfahren behauptet hätten, ein Teil der Aufträge sei überhaupt nicht ausgeführt worden, sei doch im erstinstanzlichen Verfahren unbestritten und sogar anerkannt gewesen, dass die Arbeiten tatsächlich abgenommen und ausgeführt worden seien. Die erstmalige Behauptung der Nichtdurchführung der Auftragsnachträge im Berufungsverfahren sei gemäss Art. 317 Abs. 1 ZPO verspätet erfolgt.
3.2.2. Die Beschwerdeführer rügen, die Formulierung der Vorinstanz, wonach " (...) von den Berufungsklägern (Beschwerdeführern) und der I._ AG einzig die tatsächliche Ausführung (der Zusatzaufträge durch die) P._ behauptet worden sei", sei aktenwidrig (Herv. durch die Beschwerdeführer). Sie selber hätten nie behauptet, dass eine P._ Arbeiten ausgeführt habe. Es sei vielmehr die I._ AG gewesen, die Entsprechendes vorgetragen habe. Sie selber hätten nur dargelegt, mangels eigener Kapazität hätten sie mit der I._ AG einen Subunternehmervertrag abgeschlossen und diese auch bezahlt.
Es trifft zu, dass die Vorinstanz die Ausführungen des Kantonsgerichts etwas verkürzt wiedergibt. Dieses stellte fest, die Beschwerdeführer hätten erklärt, sie hätten die I._ AG mit den Zusatzarbeiten beauftragt und die I._ AG ihrerseits habe erklärt, sie habe die O._ AG beauftragt, welche wiederum den Auftrag - gemäss ihrer (diejenige der I._ AG) Empfehlung - an die P._ aus Indonesien weitergegeben habe, welche die Arbeiten schliesslich ausgeführt habe. Das Kantonsgericht seinerseits hat lediglich die Behauptungen der Beschwerdeführer und der I._ AG wiedergegeben. Es ist aber offensichtlich, dass die Vorinstanz nichts anderes feststellen wollte als das Kantonsgericht. Das ergibt sich allein schon daraus, dass sie auf die entsprechende Stelle im erstinstanzlichen Urteil verwies und ausdrücklich erklärte, die erstinstanzliche Feststellung sei nicht zu beanstanden. Von einer Aktenwidrigkeit kann nicht die Rede sein. Eine andere Frage ist, inwieweit dieser Prozesssachverhalt richtig gewürdigt wurde (vgl. E. 3.7 hiernach).
3.2.3. Im gleichen Zusammenhang rügen die Beschwerdeführer, sie seien auch nicht in die Vertragsverhandlungen zwischen der I._ AG und der O._ AG oder weiteren Firmen involviert gewesen, wie dies das Kantonsgericht aktenwidrig angenommen habe. Sie hätten diese Aktenwidrigkeit vor der Vorinstanz gerügt, doch diese sei darauf nicht eingegangen.
Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführer würden "nicht konkret geltend machen", das Kantonsgericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass sie direkt in die Vertragsabschlüsse bezüglich Nachtragsarbeiten involviert gewesen seien und daher über das entsprechende Wissen wie auch über die entsprechenden Unterlagen zur Frage verfügt hätten, wer die Arbeiten tatsächlich ausgeführt habe. Diese Erwägungen erfolgten in Bezug auf die Ausführungen der Beschwerdeführer in der Berufung, sie stünden "ebenso in einer Ferne zu den relevanten Tatsachen" (wie die Beschwerdegegnerin). Entgegen dem, was die Beschwerdegegnerin anzunehmen scheint, bezog sich die vorinstanzliche, prozessuale Feststellung - wonach die Rüge der Beschwerdeführer ungenügend substanziiert sei - auf diese Formulierung, sie stünden ebenso "in der Ferne ". Zur zwei Randziffern zuvor erhobenen Rüge, auf welche sich die Beschwerdeführer vorliegend beziehen, äusserte sich die Vorinstanz nicht. Unabhängig davon gehen die Beschwerdeführer aber zu Unrecht von einer Aktenwidrigkeit des Kantonsgerichts aus, welche von der Vorinstanz übernommen worden wäre. An der von den Beschwerdeführern erwähnten Stelle führte das Kantonsgericht zur Begründung der Beweisnot der Beschwerdegegnerin nämlich - differenzierter - aus, die Beschwerdeführer hätten im Namen der D._ AG mit der I._ AG und diese wiederum mit der O._ AG einen schriftlichen Vertrag über die Nachtragsarbeiten abgeschlossen. Die Beschwerdeführer und die I._ AG seien somit - wenn ihre Behauptungen zuträfen - "direkt in die Vertragsabschlüsse, welche schliesslich zum Vertragsabschluss zwischen O._ AG und P._" geführt hätten, "involviert" gewesen. Mithin hätten ausschliesslich sie (gemeint: und nicht die Beschwerdegegnerin) über das entsprechende Wissen sowie über die Unterlagen zur Frage, wer die Nachtragsarbeiten tatsächlich ausgeführt habe, verfügt. Damit bezog sich das Kantonsgericht - und mit ihm die Vorinstanz - ausdrücklich auf die Behauptungen der Beschwerdeführer selber sowie der I._ AG und fügten sachverhaltsmässig nichts bei. Eine andere Frage ist wiederum, ob sie (unter anderem) daraus zu Recht schlossen, die Beschwerdeführer hätten über das Wissen und die Unterlagen zur Frage verfügt, wer die Arbeiten tatsächlich ausgeführt habe. Das betrifft nicht die Tatsachenfeststellung, sondern die Beweiswürdigung (vgl. E. 3.7 hiernach).
3.3. Im Verfahren vor der Vorinstanz hatten die Beschwerdeführer in zweifacher Hinsicht eine fehlerhafte und unvollständige Beweisverfügung gerügt.
3.3.1. Sie machten geltend, das Kantonsgericht habe die Frage, ob die Beschwerdeführer auch die Nutzniesser der Geldflüsse (an die I._ AG) gewesen seien, zu Unrecht nicht als Beweisthema aufgeführt. Die Vorinstanz erachtete diese Rüge als unbegründet und erwog, eine Festlegung der Person des Nutzniessers sei dem erstinstanzlichen Urteil nicht zu entnehmen und in der Berufungsschrift werde nicht substanziiert dargetan, weshalb eine solche Festlegung hätte erfolgen müssen.
Diesbezüglich bemängeln die Beschwerdeführer lediglich, die Vorinstanz begnüge sich mit der lapidaren Feststellung, eine Festlegung der Person des Nutzniessers sei dem erstinstanzlichen Urteil nicht zu entnehmen. Damit setzen sie sich mit dem Kern der vorinstanzlichen Argumentation nicht auseinander. Wenn die Vorinstanz anschliessend ausführt, in der Berufungsschrift werde nicht substanziiert dargetan, weshalbeine solche Festlegung hätte erfolgen müssen, geht sie (implizit) davon aus, eine solche Beweisabnahme sei - jedenfalls mangels weiterführender Angaben der Beschwerdeführer - nicht entscheidrelevant. Die Beschwerdeführer müssten sich folglich, um den Rügeanforderungen zu genügen (vgl. E. 1 hiervor), hinreichend mit dieser Argumentation im angefochtenen Urteil auseinandersetzen. Das tun sie nicht. Darauf ist somit nicht weiter einzugehen.
3.3.2. Im zweiten gerügten Punkt erachtete die Vorinstanz die Beweisverfügung als unvollständig. Sie verwies vorerst auf die Ausführungen des Kantonsgerichts, wonach die Beschwerdegegnerin den Hauptbeweis zu führen habe für ihre Behauptung, nicht die P._, sondern die Beschwerdeführer hätten als Mitarbeiter der D._ AG die von der E._ der D._ AG mittels Zusatzauftrag in Auftrag gegebenen Nachtragsarbeiten ausgeführt. Weiter habe es später festgestellt, nachdem erstellt sei, dass die P._ die Arbeiten nicht ausgeführt habe, ergebe sich daraus, dass die D._ AG bzw. die Beschwerdeführer, insbesondere der Beschwerdeführer 1, sämtliche Nachtragsarbeiten ausgeführt haben müssten. Aus diesen Ausführungen gehe der nicht ausdrücklich in der Beweisverfügung enthaltene Beweissatz hervor, dass die Beschwerdeführer die mittels Nachträgen in Auftrag gegebenen Arbeiten selber ausgeführt hätten. Insofern sei die Beweisverfügung, wie die Beschwerdeführer zu Recht geltend machen würden, lückenhaft. Ausserdem hätte korrekterweise erwähnt werden müssen, dass der Gegenbeweis neben der I._ AG auch den Beschwerdeführern offenstehe.
3.3.2.1. Aus diesem Mangel könnten die Beschwerdeführer aber - so die Vorinstanz weiter - nichts für sich ableiten.
Rüge eine Partei einen verfahrensrechtlichen Mangel, müsse sie aufzeigen, inwiefern der betreffende Mangel zu einem materiellen Rechtsnachteil geführt habe. Die Beschwerdeführer brächten aber lediglich vor, sie hätten bei einer korrekten Beweisverfügung überprüft, ob und welche Beweismittel sie hätten bezeichnen und einreichen müssen. Die Bezeichnung weiterer Beweismittel erst nach Erhalt der Beweisverfügung wäre aber verspätet gewesen, da der Schriftenwechsel bereits abgeschlossen gewesen sei.
Auch die geltend gemachte Verletzung des rechtlichen Gehörs sei zu verneinen. Der in der Beweisverfügung fehlende Beweissatz - die Behauptung, die Beschwerdeführer hätten die Nachtragsarbeiten selber ausgeführt - sei ein aus den Ausführungen der Parteien bekanntes Beweisthema gewesen. Die Beschwerdeführer hätten sich in ihren Rechtsschriften mehrfach darauf bezogen. Hätten sie aber tatsächlich Gelegenheit gehabt, sich hinreichend zu dieser Thematik zu äussern, könne in der unvollständigen Beweisverfügung keine Verletzung des rechtlichen Gehörs erblickt werden. Selbst wenn eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgelegen hätte, wäre die entsprechende Rüge der Beschwerdeführer als treuwidrig anzusehen. Denn der Inhalt der Beweisverfügung sei ihnen seit März 2016 bekannt gewesen; sie wären nach Treu und Glauben verpflichtet gewesen, diese im erstinstanzlichen Verfahren zu beanstanden.
3.3.2.2. Diesbezüglich berufen sich die Beschwerdeführer einzig auf eine Rückfrage ihrerseits bei der Erstinstanz. Nach Erhalt der Beweisverfügung hätten sie sich beim Gerichtschreiber erkundigt, ob sie aufgrund der Formulierung der Beweisverfügung davon ausgehen könnten, ihre Darstellung werde vom erstinstanzlichen Gericht anerkannt. Nach Treu und Glauben hätten sie sich auf diese Auskunft verlassen können und keinen Anlass gehabt, die Beweisverfügung anzufechten. Nachdem die Vorinstanz ihre Rügen als treuwidrig und verspätet bezeichnet habe, müsse es ihnen auch möglich sein, diese neuen Tatsachen noch vorzubringen.
Damit beanstanden sie die Begründung der Vorinstanz, weshalb keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorliege, nicht - jedenfalls nicht rechtsgenüglich. Auch zur Erwägung, dass kein materieller Nachteil vorliege, äussern sie sich nicht. Mangels genügender Rüge ist somit nicht weiter darauf einzugehen (vgl. E. 1 hiervor).
3.4. Die Vorinstanz erachtete ein von den Beschwerdeführern mit der Berufungsschrift eingereichtes Schreiben von H._ an den Beschwerdeführer 2 vom 6. September 2018 als nicht entscheidrelevant, da sich dieses auf vom Sachverhalt nicht erfasste Forschungsaufträge beziehe. Das Gleiche gelte teilweise für mit Eingabe vom 29. November 2019 eingereichte Beilagen und Ausführungen zum Sachverhalt. Die Beschwerdeführer rügen die Nichtbeachtung dieser Noven. Soweit sie sich dabei aber erneut auf die Unterscheidung zwischen Forschungsaufträgen und Nachträgen zum Grundauftrag stützen, stossen ihre Ausführungen angesichts des vorne (vgl. E. 3.1 hiervor) Dargelegten ins Leere.
Die mit der Eingabe vom 29. November 2019 eingereichten Beilagen und Ausführungen erachtete die Vorinstanz zudem teilweise auch deshalb als nicht relevant, als sie sich auf die nicht entscheidende finanzielle Situation der O._ AG bezögen. Die Beschwerdeführer machen geltend, die eingereichten Jahresabschlüsse 2006 bis 2008 der O._ AG mit Einzelkonten und Revisionsberichten seien sehr wohl insoweit von Bedeutung, als sie den Geldfluss von der O._ AG an die P._ aufzeigen würden. Entsprechendes hat sie aber in der Eingabe vom 29. November 2019 nicht behauptet. Vielmehr hat sie dort einfach pauschal ausgeführt, aus den eingereichten Jahresabschlüssen und Revisionsberichten ergebe sich, dass ein erheblicher Teil der Entschädigungen bei der O._ AG geblieben seien. Wie die Vorinstanz an anderer Stelle zutreffend erwähnt, ist es aber nicht die Aufgabe des Gerichts, die Sachdarstellung aus den Beilagen zusammenzusuchen (Urteil 4A_447/2018 vom 20. März 2019 E. 5.1.2 mit Hinweisen). Sie ging daher zu Recht nicht weiter darauf ein.
3.5. Die Beschwerdeführer erblicken eine Verletzung des Gehörsanspruchs in der erstinstanzlichen Beweisverhandlung, weil Zusatzfragen ihrer Parteivertreter nicht zugelassen worden seien, was sie vor der Vorinstanz gerügt hätten.
An der angegebenen Stelle in der Berufungsschrift hatten sie allerdings nur ausgeführt, "offensichtlich notwendige Ergänzungsfragen" der Rechtsvertreter seien mit Verweis auf die (allerdings fehlerhafte) Beweisverfügung nicht zugelassen worden. Mangels konkreter Begründung ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz nicht weiter darauf einging.
3.6. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe einen Verfahrensfehler begangen und die Bedeutung von Art. 53 OR verkannt, weil sie die Einstellungsverfügung im Strafverfahren gegen die Beschwerdeführer vom 25. Februar 2014 und den diese Verfügung bestätigenden Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern vom 14. Oktober 2014 nicht berücksichtigt habe.
3.6.1. Die Vorinstanz erwog, gemäss Art. 53 OR bestehe keine Bindung des Zivilrichters an die Beurteilung eines Falls durch das Strafgericht. Das Kantonsgericht habe sich mit den strafrechtlichen Entscheiden nicht auseinandergesetzt. Soweit die Parteien auf das Strafverfahren Bezug nähmen, würden sie sich allerdings mit Hinweisen auf dessen Bestehen bzw. dessen Einstellung beschränken. Der bloss pauschale Hinweis darauf genüge nicht. Auch wenn sie ausführten, der Vorwurf der ungetreuen Geschäftsbesorgung und der Veruntreuung habe nicht nachgewiesen werden können bzw. sei vielmehr widerlegt worden, substanziierten sie nicht rechtsgenüglich, welche konkreten Gründe oder Beweismittel aus dem Strafverfahren einen zivilrechtlichen Schadenersatzanspruch ausschliessen würden.
Was die Beschwerdeführer dagegen vorbringen, ist weitgehend appellatorische Kritik. Konkret machen sie nur geltend, "gerade zur zweiten wichtigen Sachverhaltsbehauptung der Beschwerdegegnerin, dass die Beschwerdeführer die Begünstigten der Geldflüsse wären (...), (spreche) die Einstellungsverfügung eine klare Sprache und (entlaste) die Beschwerdeführer vollständig", worauf sie in der Duplik hingewiesen hätten. Darauf muss nicht weiter eingegangen werden, denn weder für das Kantonsgericht noch für die Vorinstanz war entscheidend, ob der Rückfluss der Entschädigungen von der I._ AG an die Beschwerdeführer erwiesen war; sie liessen diese Frage - wie bereits erwähnt - offen. Weitere konkrete Bezugnahmen auf das Strafverfahren behaupten die Beschwerdeführer nicht, namentlich nicht zur im vorliegenden Verfahren vor allem thematisierten Frage, ob nachgewiesen werden könne, dass eine Drittfirma die Arbeiten ausgeführt hat. Die Vorinstanz hat entgegen den Beschwerdeführern auch den Sinn von Art. 53 OR nicht verkannt, wenn sie nicht tel quel die Ergebnisse des Strafverfahrens übernahm.
3.7. Die Vorinstanz legte dar, der Beweis der Ausführung sämtlicher Auftragsnachträge der E._ durch die Beschwerdeführer selber sei mit dem Regelbeweismass erbracht worden. Sie stützte sich dabei in einer ersten Begründung darauf, dass die Beschwerdeführer eine qualifizierte Bestreitungslast getroffen habe. In einer Eventualbegründung erwog sie sodann, der Schluss des Kantonsgerichts, dass die Beschwerdeführer alle Auftragsnachträge selber ausgeführt hätten, wäre auch dann nicht zu beanstanden, wenn den Beschwerdeführern keine qualifizierte Bestreitungslast hätte auferlegt werden können.
3.7.1. Ein qualifiziertes (begründetes) Bestreiten kann verlangt werden bei Sachverhalten, die Gegenstand eigener Handlungen oder Wahrnehmungen der bestreitenden Partei bilden (Urteile 4A_443/2017 vom 30. April 2018 E. 4.3; 4A_614/2014 vom 2. April 2015 E. 6.4.3.3; 4A_709/2011 vom 31. Mai 2012 E. 3.2). Es bedarf eines Informationsgefälles zwischen den Parteien, in dem Sinne dass die an sich behauptungsbelastete Partei den massgebenden Tatsachen ferner steht als die Gegenpartei und dieser ergänzende Angaben zum Geschehensablauf zumutbar sind (vgl. BGE 133 III 43 E. 4.1 S. 53 f.; Urteil 4A_296/2017 vom 30. November 2017 E. 1.4.5 mit Hinweisen; HANS PETER WALTER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 192 zu Art. 8 ZGB; CHRISTOPH HURNI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. 1, 2012, N. 44 zu Art. 55 ZPO; SUTTER-SOMM/SCHRANK, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 27 zu Art. 55 ZPO).
3.7.2. Die Vorinstanz ging zutreffend von diesen Grundsätzen aus. Sie erwog in Übereinstimmung mit dem Kantonsgericht, die Beschwerdeführer und die I._ AG hätten aufgrund ihrer Beweisnähe die - die Zusatzarbeiten tatsächlich ausführenden - Subunternehmer bezeichnen müssen. Das Kantonsgericht habe festgestellt, die I._ AG habe denn auch die P._ angegeben und weder sie noch die Beschwerdeführer hätten eine andere Firma bezeichnet. Es stünden somit ausser der D._ AG bzw. den Beschwerdeführern und der P._ keine anderen Firmen oder Personen im Raum, welche die unbestrittenermassen getätigten Nachtragsarbeiten hätten ausführen können. Nach der Würdigung des Beweisergebnisses sei das Kantonsgericht zum Schluss gekommen, die P._ habe die Nachtragsarbeiten nicht ausgeführt, woraus der Schluss gezogen werden müsse, die D._ AG bzw. die Beschwerdeführer hätten sämtliche Nachtragsarbeiten im Zusammenhang mit dem Lötschbergtunnel ausgeführt. Die Beschwerdeführer hätten sich im Berufungsverfahren nicht substanziiert mit der Begründung der Erstinstanz zu Bejahung der qualifizierten Bestreitungslast auseinandergesetzt. Das Kantonsgericht sei auch zu Recht davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführer als einzige Mitarbeiter der D._ AG sämtliche Auftragsnachträge mit der E._ ausgehandelt bzw. abgeschlossen hätten. Als durch alle Auftragsnachträge in erster Linie Verpflichtete, sei es Aufgabe der Beschwerdeführer gewesen, sicherzustellen und zu kontrollieren, dass die Arbeiten gemäss den vertraglichen Verpflichtungen auch ausgeführt worden seien. Es erscheine daher als lebensfremd, dass die Beschwerdeführer nicht gewusst haben sollten, wie und durch wen die Auftragsnachträge schlussendlich bearbeitet worden seien.
3.7.3. Die Beschwerdeführer wiederholen ihre Argumentation, dass sie nicht in die Vertragsabschlüsse zwischen der I._ AG und deren Subunternehmerinnen einbezogen gewesen seien und daher nicht gewusst hätten, was hinter der O._ AG abgelaufen sei (vgl. E. 3.2.3 hiervor). Mit der eigentlichen Begründung der Vorinstanz setzen sie sich damit nicht auseinander, weshalb bereits die Rügeerfordernisse nicht erfüllt sind (vgl. E. 1 hiervor). Im Übrigen ist die Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Sie hat aufgrund der Umstände geschlossen, die Beschwerdeführer hätten gewusst ("lebensfremd, dass die Beschwerdeführer nicht gewusst haben sollten"), wer die Aufträge letztlich bearbeitet hätte, falls die von ihnen selber abgeschlossenen Verträge tatsächlich von einer Drittfirma erfüllt worden wären. Damit stellte sie also gerade nicht in tatsächlicher Hinsicht darauf ab, dass die Beschwerdeführer in den Abschluss der Verträge mit den Subunternehmern einbezogen wurden. Diese Würdigung ist ohne Weiteres nachvollziehbar und jedenfalls nicht willkürlich.
Die Vorinstanz konnte daher mit dem Kantonsgericht davon ausgehen, die Beschwerdeführer hätten substanziiert angeben müssen, wer denn ausser ihnen die Verträge mit der E._ erfüllt hat. Da sie dies unterliessen und lediglich die Erfüllung durch die P._ (von der I._ AG) behauptet worden war, diese die Verträge aber unbestritten nicht erfüllt hatte, ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanzen von der Auftragsausführung durch die Beschwerdeführer selber ausgingen. Auf die Eventualbegründung der Vorinstanz, wonach der Beweis für die Auftragsausführung durch die Beschwerdeführer selber auch dann erbracht sei, wenn nicht von einer ihnen obliegenden qualifizierten Bestreitungslast ausgegangen werde sowie die diesbezüglichen Rügen der Beschwerdeführer muss nicht mehr eingegangen werden.
4.
Zu prüfen bleibt, inwieweit der Beschwerdegegnerin als Abtretungsgläubigerin Ansprüche aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit (Art. 754 Abs. 1 OR i.V.m. Art. 717 OR) gegen die Beschwerdeführer zustehen, weil diese die Auftragsnachträge selber ausführten.
4.1. In rechtlicher Hinsicht bemängeln die Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz von einer Simulation des Vertrages zwischen der D._ AG und der I._ AG spricht. Im Hinblick auf die geltend gemachten Verantwortlichkeitsansprüche der Beschwerdegegnerin ist diese rechtliche Qualifikation nicht erheblich. Entscheidend ist, dass in tatsächlicher Hinsicht von einer Auftragsausführung durch die Beschwerdeführer selber auszugehen ist und die Entschädigung dafür aber nicht in der D._ AG verblieb. Im Übrigen kann, wenn dieser Sachverhalt bejaht wird, von nicht anderes als von Simulation die Rede sein.
4.2. Die Vorinstanz stellte fest, gehe man von diesem Sachverhalt aus, liege auch ein pflichtwidriges Handeln der Beschwerdeführer im Sinne von Art. 717 Abs. 1 i.V.m. Art. 754 Abs. 1 OR vor.
4.2.1. Die Beschwerdeführer würden sich - so die Vorinstanz weiter - zu Unrecht auf eine die Haftung ausschliessende Einwilligung der D._ AG berufen. Sie würden geltend machen, sie hätten den Verwaltungsrat J._ im Spätherbst 2005 über die Weitergabe der Aufträge informiert und der andere Verwaltungsrat, Rechtsanwalt L._, habe die ersten Zahlungen an die I._ AG auf Weisung von Verwaltungsrat J._ selber ausgelöst. Da dieser die K._ AG beherrscht habe, die neben den Beschwerdeführern die einzige Aktionärin der D._ AG gewesen sei, hätten sie mit dem Einverständnis aller Aktionäre gehandelt. Dem könne nicht gefolgt werden. Zwar bestreite auch die Beschwerdegegnerin nicht, dass J._ gewisse Kenntnisse über die Vereinbarungen mit der I._ AG und die an diese fliessenden Zahlungen gehabt habe und damit einverstanden gewesen sei. Dass er Zahlungen der D._ AG an die I._ AG gebilligt habe, bedeute aber nicht ohne Weiteres, dass er mit der Simulation der Auftragsweitergaben und der tatsächlichen Ausführung der Auftragsnachträge durch die Beschwerdeführer einverstanden gewesen sei. Eine solche konkrete Einwilligung hätten die Beschwerdeführer nicht substanziiert behauptet. Gerade angesichts des gleichzeitig (vorbehaltlos) vertretenen Standpunkts der Beschwerdeführer, sie hätten die Auftragsnachträge nicht selber ausgeführt und es läge kein simuliertes Rechtsgeschäft vor, wäre es widersprüchlich, daraus eine Behauptung der Einwilligung von Verwaltungsrat J._ in die Auftragsausführung durch die Beschwerdeführer selber (und die Vertragssimulation mit der I._ AG) abzuleiten.
Letzterer Hinweis überzeugt. Die Beschwerdeführer gehen denn auch nicht auf diese Widersprüchlichkeit ihrer eigenen Behauptungen ein. Sie wiederholen nur in appellatorischer Kritik, was sie bereits vor der Vorinstanz vorgebracht haben. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 1 hiervor).
4.3. Weiter verwarf die Vorinstanz den Einwand der Beschwerdeführer, die geltend gemacht hatten, in der D._ AG habe es kein Organisationsreglement gegebe.
4.3.1. Die Vorinstanz erwog, soweit die Beschwerdeführer mit dem Verweis auf ein fehlendes Organisationsreglement geltend machen wollten, es liege kein Anspruch aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit vor, bleibe unklar, ob sie sich damit auf den Anspruch im Zusammenhang mit den Auftragsnachträgen oder auf die Ansprüche im Zusammenhang mit den verschiedenen von der D._ AG erhaltenen Zahlungen im Rahmen des Arbeitsverhältnisses beziehen wollten. Soweit die Beschwerdeführer zudem geltend machten, Folge einer unzureichenden Delegation sei, dass der Verwaltungsrat gesamthaft für die betreffenden Handlungen verantwortlich sei, gehe daraus nicht hervor, inwiefern ein allfälliges pflichtwidriges Handeln weiterer Organe der D._ AG die konkret infrage stehende Verantwortlichkeit der Beschwerdeführer ausschliessen sollte. Insbesondere sei weder ersichtlich noch dargetan, dass die Verwaltungsratsmitglieder durch den Verzicht auf ein Organisationsreglement den eingeklagten Schaden adäquat kausal verursacht hätten. Es liege kein hinreichendes Drittverschulden vor, welches angesichts der in Art. 759 Abs. 1 OR festgehaltenen differenzierten Solidarität die Geltendmachung eines Verantwortlichkeitsanspruchs gegenüber den hauptsächlich in die fraglichen Zahlungen involvierten Beschwerdeführern ausschliessen würde.
4.3.2. Die Beschwerdeführer machen unter dem Titel "Fehlende Passivlegitimation" geltend, das fehlende Organisationsreglement schliesse einen Anspruch aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit aus. Die Vorinstanz differenziere auch zu wenig in zeitlicher Hinsicht. Gemäss Handelsregisterauszug habe sich der Verwaltungsrat der D._ AG bis zum 11. Januar 2006 aus den Herren J._, L._ und Q._ zusammengesetzt. Die Beschwerdeführer hätten erst danach im Verwaltungsrat Einsitz genommen. Die Beschwerdeführer seien somit nicht formelle Organe gewesen, als im Dezember 2005 die ersten Zahlungen an die I._ AG vorgenommen worden seien. Obgleich sie als sog. "Direktoren" mit Kollektivunterschrift für die D._ AG im Handelsregister eingetragen gewesen seien, seien sie auch nicht materielle Organe gewesen, weil der Verwaltungsrat nicht ordnungsgemäss mittels eines Organisationsreglements die Geschäftsführung an eine Geschäftsleitung delegiert habe. Denn ein Organisationsreglement sei eine notwendige Voraussetzung für eine Kompetenzdelegation. Die Beschwerdeführer seien vielmehr blosse Hilfspersonen, "welche in subordinierten operativen Führungsfunktionen und abhängiger Stellung" gestützt auf Arbeitsverträge tätig gewesen seien.
4.3.3. Wie die Beschwerdegegnerin zu Recht einwendet, haben sich die Beschwerdeführer vorinstanzlich nicht darauf berufen - jedenfalls nicht rechtsgenüglich -, dass ihnen gar keine Organqualität zukomme und sie daher gestützt auf Art. 754 Abs. 1 OR nicht ins Recht gefasst werden könnten. An der von der Vorinstanz zitierten Stelle (Berufungsschrift S. 25 f.) beziehen sie sich im Gegenteil darauf, unter welchen Voraussetzungen "Organhandlungen" toleriert würden und dass vorliegend Präsident J._ über Jahre (ihre) Organhandlungen toleriert habe. Dass ihnen keine Organqualität zukomme, ist demnach ein neues rechtliches Vorbringen. Damit das Bundesgericht auf eine Rüge eintreten kann, ist aber nicht nur erforderlich, dass der kantonale Instanzenzug formell durchlaufen wurde, sondern auch, dass die Rügen, die dem Bundesgericht unterbreitet werden, soweit möglich schon vor Vorinstanz vorgebracht wurden (sog. materielle Erschöpfung des Instanzenzugs; BGE 143 III 290 E. 1.1 S. 292 f. mit Hinweisen). Damit muss nicht weiter auf dieses Vorbringen eingegangen werden. Auf die Begründung der Vorinstanz zu Art. 759 Abs. 1 OR gehen die Beschwerdeführer nicht ein; dabei hat es somit ebenfalls sein Bewenden.
4.4. Die Vorinstanz äusserte sich nicht weiter zum Schaden und bejahte unter Hinweis auf das Kantonsgericht einen solchen im Betrag von Fr. 1'980'348.-- entsprechend den Zahlungen der D._ AG an die I._ AG.
Soweit die Beschwerdeführer auch unter dem Titel "Fehlender Schaden" lediglich dessen Unfreiwilligkeit mit Hinweis auf eine angebliche Billigung durch die Verwaltungsräte bestreiten, kann auf das oben Ausgeführte verwiesen werden. Auch ihre Hinweise auf das Strafverfahren, mit welchem das Vorliegen eines Delikts widerlegt worden sei, weshalb auch kein Schaden vorliegen könne, ist blosse Wiederholung. Darüber hinaus rügen die Beschwerdeführer einzig, die Beschwerdegegnerin habe den Schaden nicht genügend substanziiert, was sie auch bereits in der Berufung geltend gemacht hätten (dort S. 29 Ziff. 63 2. Absatz und S. 26 f. Ziff. 59 und 60). Letzteres ist jedoch nicht ersichtlich. An den angegebenen Stellen in der Berufungsschrift machten sie nur allgemein geltend, es sei der D._ AG weder ein Schaden entstanden, noch wären die Beschwerdeführer hierfür verantwortlich; sie hätten mit Einverständnis aller Aktionäre gehandelt und keine Pflichtverletzung begangen. Namentlich haben sie an den erwähnten Stellen nicht geltend gemacht, der Schaden sei zu wenig substanziiert oder es hätte ein Schaden für jedes einzelne haftpflichtige Organmitglied gesondert nachgewiesen werden müssen. Eine der zitierten Stellen bezieht sich zudem nur auf die Reisekosten. Es handelt sich somit beim Einwand der mangelnden Substanziierung des Schadens um ein unzulässiges neues Vorbringen.
Die Vorinstanz hat die Forderung über Fr. 1'980'348.-- daher zu Recht geschützt.
5.
Die Vorinstanz erachtete sodann eine Forderung über Fr. 97'500.-- wegen zu hoher Lohnzahlung als ausgewiesen.
5.1. Sie erwog, das Kantonsgericht sei davon ausgegangen, der Beschwerdeführer 1 habe seinen Arbeitsvertrag per 14. März 2006 eigenmächtig und ohne Zustimmung des Gesamtverwaltungsrats abgeändert und nur durch den Beschwerdeführer 2 gegenzeichnen lassen. Mangels Vorliegens eines Organisationsreglements habe keine gültige Delegation der Geschäftsführung bestanden, sodass der jeweilige Gesamtverwaltungsrat für die Geschäftsführung verantwortlich gewesen sei. Aus diesem Grund sei die Lohnerhöhung des Beschwerdeführers 1 durch den Beschwerdeführer 2 pflicht- bzw. sorgfaltswidrig erfolgt. Der D._ AG sei ein Schaden in der Höhe von Fr. 97'500.-- entstanden, für den der Beschwerdeführer 2 hafte. Ebenso bestehe auch eine solidarische Schadenersatzpflicht des Beschwerdeführers 1, da dieser - im Wissen um die fehlende Zustimmung der übrigen Verwaltungsratsmitglieder - den entsprechenden Vertrag unterzeichnet und den erhöhten Lohn bezogen habe. Mit dieser zentralen Argumention des Kantonsgerichts würden sich die Beschwerdeführer in der Berufung nur marginal auseinandersetzen. Sie würden sich lediglich auf Korrespondenz berufen, wonach das Thema Umzug (des Beschwerdeführers 1 von Deutschland in die Schweiz) besprochen worden sei. Die angerufene Korrespondenz belege aber lediglich einen Austausch zwischen den Beschwerdeführern und Verwaltungsrat J._. Damit vermöchten die Beschwerdeführer die Feststellung des Kantonsgerichts, wonach ein Entscheid des Gesamtverwaltungsrats nie behauptet worden sei, nicht in Frage zu stellen. Darüber hinaus lasse sich dem E-Mail-Verkehr auch nicht das Einverständnis von Verwaltungsrat J._ mit der Lohnerhöhung - erst recht nicht in bestimmter Höhe - entnehmen. Dass dieser den Vorschlag eines Umzugs von Deutschland in die Schweiz als "excellent" bezeichnet habe, genüge hierfür nicht.
5.2. Die Beschwerdeführer machen nur geltend, der Beschwerdeführer 2 habe über Einzelzeichnungsberechtigung verfügt und hätte die Gesellschaft damit gültig binden können - auch gegenüber dem Beschwerdeführer 1. Es ist nicht ersichtlich und wird von den Beschwerdeführern auch nicht dargelegt, dass sie diese Begründung bereits vor Vorinstanz vorgebracht haben, weshalb es bereits an der Erschöpfung des materiellen Instanzenzugs (vgl. E. 4.3.3 hiervor) fehlt. Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführer mit dieser Argumentation nur darlegen, über welche Vertretungsmacht der Beschwerdeführer verfügte, nicht jedoch was seine Vertretungsbefugnis war - was er also im internen Verhältnis durfte.
Im Übrigen äussern sich die Beschwerdeführer erneut zur Auslegung des E-Mail-Verkehrs zwischen dem Beschwerdeführer 1 und Verwaltungsrat J._, aus welchem sich dessen Einverständnis mit der Lohnerhöhung ergebe. Damit vermögen sie die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als willkürlich auszuweisen.
6.
Die Beschwerdeführer bestreiten weiter, dass ein Anspruch von Fr. 33'778.35 wegen ungerechtfertigter Bonusauszahlung besteht. Das Kantonsgericht hatte festgestellt - worauf die Vorinstanz verwies -, gemäss den Parteien sei der Entscheid über die Bonuszahlung vor dem 29. September 2006 gefallen, als der Beschwerdeführer 2 noch Verwaltungsratspräsident der D._ AG gewesen sei. Der Beschwerdeführer 2 sei als Verwaltungsratspräsident aber mangels Organisationsreglement nicht berechtigt gewesen, einen Bonus für den Beschwerdeführer 1 zu gewähren. Mit diesen Feststellungen des Kantonsgerichts würden sich die Beschwerdeführer nicht auseinandersetzen. Es fehle damit an einer hinreichend substanziierten Rüge, weshalb nicht darauf einzugehen sei.
Die Beschwerdeführer müssten darlegen, dass sie entgegen der Vorinstanz im Berufungsverfahren substanziiert gerügt haben. Sie verweisen lediglich auf eine Stelle in der Berufungsschrift; es ist aber nicht ersichtlich und sie behaupten auch nicht, dass sie dort die Auffassung des Kantonsgerichts rechtsgenüglich gerügt hätten. Damit ist auch vorliegend nicht weiter auf die Bonuszahlung einzugehen.
7.
Schliesslich anerkannte die Vorinstanz auch die Forderung für ausbezahlte Reisespesen im Betrag von Fr. 85'000.--.
7.1. Sie stellte fest, es sei unbestritten, dass die streitigen Kosten auf Fahrten zwischen den Wohnorten der Beschwerdeführer in Deutschland und ihrem Arbeitsort in der Schweiz gründen würden. Solche Fahrten würden grundsätzlich als Privatfahrten gelten. Sie erwog mit der Erstinstanz sodann, gemäss Vereinbarung zwischen den Beschwerdeführern und der D._ AG seien Spesen grundsätzlich gemäss effektiver Abrechnung zu erstatten gewesen, wobei ein Spesenreglement zu erstellen gewesen wäre. Die Beschwerdeführer würden geltend machen, spezifisch mit Bezug auf ein Firmenfahrzeug habe die D._ AG ihnen ein solches zur Benutzung für Dienstfahrten zur Verfügung stellen müssen und es sei vorgesehen gewesen, dass eine allfällige Nutzung des Firmenwagens für Privatfahrten separat zu regeln gewesen wäre. Die Vorinstanz erwog, ein Spesenreglement sei aber nicht erstellt worden. Soweit sich die Beschwerdeführer in ihrer Berufung auf ein Protokoll einer Verwaltungsratssitzung der D._ AG vom 4. Februar 2004 berufen, sei dies erstmals in der Berufung erfolgt und damit verspätet. Ohnehin würden sich aus dem Protokoll keine Abreden hinsichtlich der konkret zu erstattenden Nutzung der Firmenwagen ergeben, werde darin doch einzig festgehalten, im Arbeitsvertrag solle vermerkt werden, dass der Anspruch auf einen Firmenwagen grundsätzlich bestehe.
Das Kantonsgericht hatte gemäss den Feststellungen der Vorinstanz ausgeführt, für ihre Behauptung, Verwaltungsrat L._ habe die Erstattung der Reisekosten (Arbeitswegkosten) erstattet bzw. genehmigt, seien die Beschwerdeführer beweisbelastet; sie hätten aber keine Beweismittel eingereicht. Auch die Vorinstanz hielt fest, dass die Beschwerdeführer mit der D._ AG eine Regelung dahingehend getroffen hätten, dass Fahrten zwischen dem Wohn- und dem Arbeitsort zu entschädigen gewesen wären, habe das Kantonsgericht nicht festgestellt, womit - entgegen den Beschwerdeführern - die Beschwerdegegnerin keinen (weiteren) Beleg habe nennen müssen, wonach die strittigen Fahrten nicht zu erstatten seien.
Es sei schliesslich unklar - so die Vorinstanz abschliessend -, ob die Beschwerdeführer ihre Rüge, das Kantonsgericht habe zu Unrecht auf ein fehlendes Organisationsreglement abgestellt, auch auf die erstinstanzliche Gutheissung der verschiedenen Ansprüche im Umfang von Fr. 216'278.35 (Lohn- und Bonuszahlungen [vgl. hiervor E. 5 und 6] sowie Fahrtkosten) bezögen. Selbst wenn, wäre die Rüge aber abzuweisen. Denn auch ein langjähriges Dulden des Fehlens eines Organisationsreglements durch alle Aktionäre führe nicht zu einer Legitimation sämtlichen Handelns, das auf unzulässiger Delegation basiere.
7.2. Die Beschwerdeführer anerkennen, dass die Vorinstanz zu Recht vom Inhalt der Arbeitsverträge ausgegangen ist. Sie beanstanden aber, dabei seien die bei Vertragsschluss bestehenden persönlichen Umstände der Beschwerdeführer ausser Acht gelassen worden, namentlich dass sie im Zeitpunkt des Vertragsschlusses weit entfernt vom künftigen Arbeitsort gewohnt hätten. Es sei die Meinung gewesen, dass ihnen aufgrund dieser besonderen Situation die Fahrtkosten zu erstatten seien. Sie stützen sich für ihre Auslegung des Arbeitsvertrages erneut auf das Verwaltungsratsprotokoll vom 4. Februar 2004. Die Vorinstanz hat dieses aber - wie dargelegt - mit einer Doppelbegründung nicht berücksichtigt. Die Beschwerdeführer gehen mit ihrer Rüge nur auf die (subsidiäre) inhaltliche Argumentation der Vorinstanz ein; sie äussern sich aber nicht zu deren prozessualer Feststellung, dass die Berufung auf das entsprechende Verwaltungsratsprotokoll erst in der Berufung und damit verspätet erfolgt sei. Beruht der angefochtene Entscheid aber auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer unter Einhaltung der Begründungsanforderungen nach Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen). Auf die diesbezüglichen Rügen kann somit nicht weiter eingegangen werden.
Erneut wenden die Beschwerdeführer ein, Verwaltungsrat L._ habe von diesen Kosten gewusst, die jeweiligen Zahlungen genehmigt und während der Anstellungsdauer nie interveniert. Er habe nie beanstandet, dass zu hohe Reise- und Fahrzeugkosten abgerechnet würden. Sie monieren, wenn die Vorinstanz die (Rückerstattung der) Reisekosten genehmige, ohne dass die Beschwerdegegnerin einen Beleg vorweise für ihren Anspruch, dann übersehe sie die im Prozess vorliegenden Akten. Damit scheinen sie die von den kantonalen Gerichten zugrunde gelegte Beweislastverteilung zu beanstanden, ohne dies aber rechtsgenüglich zu begründen, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. E. 1 hiervor). Sie legen im Übrigen auch nicht dar, dass sie die bereits vom Kantonsgericht vertretene Begründung der Beweislastverteilung im Berufungsverfahren substanziiert gerügt hätten, sondern berufen sich nur auf Ausführungen in Klageantwort und Duplik, wo sie aber ebenfalls nur allgemeine Ausführungen machten.
8.
Abschliessend kritisieren die Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe hinsichtlich sämtlicher Schadensposten das Verschulden nicht geprüft und sich auch nicht mit der Haftungsvoraussetzung des adäquaten Kausalzusammenhangs auseinandergesetzt.
Ihre Vorbringen erschöpfen sich weitgehend in allgemeinen theoretischen Ausführungen. Mit der Vorinstanz ist das Verschulden ohne Weiteres zu bejahen, wenn - wie gezeigt - davon ausgegangen werden muss, dass die Zahlungen an die I._ AG nicht geschuldet waren, weil die Beschwerdeführer selber die entsprechenden Aufträge im Rahmen der D._ AG ausführten. Auch betreffend der zu hohen Lohnzahlung, der Bonuszahlung und den Reisekosten liegt ein Verschulden vor, zumal bereits leichte Fahrlässigkeit genügt und ein objektivierter Verschuldensmassstab gilt (vgl. BGE 139 III 24 E. 3.5 S. 30; Urteil 4A_74/2012 vom 18. Juni 2012 E. 5; je mit Hinweisen). Die Einwände zum Kausalzusammenhang betreffen sodann erneut im Wesentlichen den Vorwurf, die Verwaltungsräte L._ und J._ hätten die Handlungen gebilligt bzw. "massgeblich beeinflusst", ohne dass dazu substanziierte Rügen vorgebracht werden. Im Übrigen wurde bereits dargelegt, dass die Beschwerdeführer weder eine haftungsausschliessende Einwilligung noch ein (adäquat kausales) Drittverschulden substanziiert vorgebracht haben.
9.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 18'000.-- werden unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross