Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1966 geborene A._ arbeitete seit 26. Oktober 1998 als Lichtpauserin bei der B._ AG. Am 8. Dezember 2008 meldete sie sich bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Diese verneinte mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 24. August 2009 einen Rentenanspruch mangels durchgehender Arbeitsunfähigkeit der Versicherten von mindestens einem Jahr.
A.b. Am 30. Mai 2013 meldete sich A._ bei der IV-Stelle erneut zum Leistungsbezug an. Diese zog u.a. ein polydisziplinäres Gutachten der Swiss Medical Assessment- and Business-Centers (SMAB), Bern, vom 24. September 2015 bei. Mit wiederum rechtskräftig gewordener Verfügung vom 15. März 2017 sprach die IV-Stelle der Versicherten ab 1. Dezember 2013 eine halbe, ab 1. Mai 2014 eine ganze und ab 1. September 2014 abermals eine halbe Invalidenrente zu.
A.c. Am 15. Mai 2018 ersuchte A._ die IV-Stelle um eine Rentenrevision. Die Verwaltung holte darauf u.a. ein Gutachten des Psychiaters PD Dr. med. C._ und des Rheumatologen sowie Internisten Dr. med. D._ vom 27. Juni/1. Juli 2019 ein. Mit Verfügung vom 4. November 2019 verneinte sie den Anspruch auf eine Rentenerhöhung, da sich der Gesundheitszustand der Versicherten nicht länger andauernd verändert habe.
B.
In Gutheissung der Beschwerde von A._ hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Verfügung der IV-Stelle auf. Es sprach ihr ab 1. Oktober 2019 eine Dreiviertelsrente zu (Entscheid vom 8. April 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei der Versicherten weiterhin eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur erneuten Abklärung, namentlich zu einer Rückfrage an den psychiatrische Sachverständigen oder zu erneuter Begutachtung, an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Beschwerdeabweisung und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, wozu sich die IV-Stelle unter Bekräftigung ihrer Beschwerdeanträge nochmals vernehmen lässt.
D.
Auf Antrag der IV-Stelle erkennt der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu (Verfügung vom 6. Oktober 2020).
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Als Rechtsfrage gilt, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG beachtet wurden. Gleiches gilt für die Frage, ob den medizinischen Gutachten und Arztberichten im Lichte der rechtsprechungsgemässen Anforderungen Beweiswert zukommt (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils BGE 141 V 585). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der Indikatoren nach BGE 141 V 281 auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (BGE 141 V 281 E. 7 S. 308).
2.
Das kantonale Gericht hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Voraussetzungen des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 2 IVG), die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG; BGE 141 V 9 E. 2.3 S. 11, 134 V 131 E. 3 S. 132, 133 V 108, 130 V 343 E. 3.5 S. 349) und den Beweiswert von Arztberichten (E 1. hiervor; BGE 140 V 193 E. 3.1 f. S. 194 f., 125 V 351 E. 3a S. 352 f.) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Beizupflichten ist der Vorinstanz insbesondere, dass es praxisgemäss nicht allein in der Zuständigkeit der mit dem konkreten Einzelfall (gutachterlich) befassten Arztpersonen liegt, abschliessend und für die rechtsanwendende Stelle (Verwaltung, Gericht) verbindlich zu entscheiden, ob das medizinisch festgestellte Leiden zu einer (andauernden oder vorübergehenden) Arbeitsunfähigkeit (bestimmter Höhe und Ausprägung) führt (BGE 140 V 193 E. 3.1 S. 194 f.; vgl. auch BGE 145 V 361). Daher ist es im Grundsatz zulässig, einer medizinischen Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit die rechtliche Massgeblichkeit abzusprechen, ohne dass das Gutachten seinen Beweiswert verliert (BGE 144 V 50 E. 4.3 S. 53 f.; Urteil 9C_765/2019 vom 11. Mai 2020 E. 2; vgl. auch BGE 146 V 361 E. 4.1.1 und 4.2.1 S. 365).
3.
Streitig ist, ob die vorinstanzliche Zusprache einer Dreiviertelsrente anstatt einer halben Invalidenrente ab 1. Oktober 2019 vor Bundesrecht standhält.
Die Vorinstanz mass den Gutachten des PD Dr. med. C._ und des Dr. med. D._ vom 27. Juni/1. Juli 2019 in grundsätzlicher Hinsicht Beweiskraft zu. Gestützt darauf gelangte sie zum Schluss, dass sich der Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin seit der leistungszusprechenden Verfügung der IV-Stelle vom 15. März 2017 zwar nicht rheumatologisch, jedoch psychiatrisch erheblich verändert habe, dies namentlich mit einer Verminderung der Arbeitsfähigkeit von 60 % auf 50 %. Hingegen sei die Gesamtbeurteilung der Arbeitsfähigkeit gemäss dem Konsensgutachten vom 1. Juli 2019 nicht schlüssig und nicht nachvollziehbar. So führe Dr. med. C._ (richtig: Dr. med. D._) aus, die Beschwerdegegnerin sei rheumatologischerseits bezogen auf ein Ganztagespensum zu 50 % arbeitsfähig. Der Psychiater PD Dr. med. C._ spreche hingegen von qualitativen Funktionseinbussen in Höhe von 50 %. Die Kombination dieser - zwei verschiedene Bezugsebenen tangierenden - Beeinträchtigungen sei mit der Feststellung der Gutachter, die psychische Seite sei durch die rheumatologische konsumiert, nicht angemessen gewürdigt worden. Dies auch mit Blick darauf, dass der behandelnde Arzt Dr. med. E._ im Bericht vom 12. Mai 2018 mit einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit deutlich über der gutachterlichen Einschätzung gelegen habe. Es sei augenscheinlich, dass bei Vorliegen qualitativer Einbussen im Umfang von 50 % bei einer maximalen Präsenzzeit von 50 % nicht eine 50%ige Gesamtarbeitsfähigkeit bestehen könne. Insbesondere dann nicht, wenn gemäss PD Dr. med. C._ die Durchhaltefähigkeit derart beeinträchtigt sei, dass die Beschwerdegegnerin schnell ermüde und erschöpfe und immer wieder Pausen einlegen müsse. Auch führten Beeinträchtigungen in der Flexibilität und Umstellfähigkeit, der Fähigkeit, sich an Regeln anzupassen und Aufgaben zu planen und zu strukturieren, ohne Weiteres zu einer Verminderung des Rendements. Somit müsste die Arbeitsunfähigkeit sachlogisch höher als mit 50 % bewertet werden. Dem insofern sehr knapp ausgefallenen Konsensgutachten lasse sich auch nicht entnehmen, weshalb sich die Einschränkungen nicht in irgendeiner Weise additiv auswirkten. Die Arbeitsunfähigkeit sei somit durch das Gericht zu beurteilen. Ausgangspunkt hierfür bilde die 50%ige Arbeitsunfähigkeit im rheumatologischen Bereich im Sinne einer zumutbaren Präsenzzeit von 50 %. In Kombination mit der 50%igen qualitativen Einschränkung aus psychischen Gründen ergäbe sich theoretisch arithmetisch eine maximale Einschränkung von 75 %. Angesichts der von PD Dr. med. C._ festgestellten mittelgradigen qualitativen Beeinträchtigungen würde die Annahme des maximalen Werts von 75 % aber über das Ziel hinausschiessen. Vielmehr sei die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin auf gesamthaft 60 % festzulegen.
4.
4.1. Der Zweck polydisziplinärer Gutachten besteht darin, alle relevanten gesundheitlichen Beeinträchtigungen zu erfassen und die sich daraus je einzeln ergebenden Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit in ein Gesamtergebnis zu bringen. Der abschliessenden, gesamthaften Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit kommt damit dann grosses Gewicht zu, wenn sie auf der Grundlage einer Konsensdiskussion der an der Begutachtung mitwirkenden Fachärzte erfolgt (BGE 143 V 124 E. 2.2.4 S. 128; 137 V 210 E. 1.2.4 S. 224).
Häufig besteht kein Anlass, unter verschiedenen medizinischen Titeln ausgewiesene Teilarbeitsunfähigkeiten zu kumulieren, da der Umfang der grössten Teileinschränkung auch die weiteren Entlastungserfordernisse abdeckt. Selbst wenn sich beispielsweise neben einer aus psychiatrischer Sicht eingeschränkten Arbeitsfähigkeit zusätzlich noch eine somatisch begründbare "quantitative" Arbeitsunfähigkeit isoliert darstellen liesse, könnte daraus nicht ohne weiteres auf eine Erhöhung der insgesamt, aus sämtlichen Beschwerden resultierenden Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden. Eine einfache Addition verschiedener Teilarbeitsunfähigkeiten kann je nach den konkreten Fallmerkmalen ein zu hohes oder zu niedriges Ergebnis zeitigen (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.1; Urteile 8C_793/2017 vom 8. Mai 2018 E. 5.3 und 9C_345/2017 vom 30. August 2017 E. 3.3.1). Ob sich die einzelnen aus mehreren Behinderungen resultierenden Einschränkungsgrade summieren und in welchem Masse, betrifft eine spezifisch medizinische Problematik und Einschätzung, von der das Gericht grundsätzlich nicht abrückt (Urteil 9C_461/2019 vom 22. November 2019 E. 4.2 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Das kantonale Gericht hat eingehend dargelegt, weshalb sich aufgrund des (ansonsten voll beweiskräftigen) bidisziplinären Gutachtens des PD Dr. med. C._ und des Dr. med. D._ vom 27. Juni/1. Juli 2019 die rechtsrelevante Frage nach einer Überschneidung oder Kumulation der einzelnen ausgewiesenen Teilarbeitsunfähigkeiten nicht hinreichend beantworten lässt (vgl. E. 3 hiervor). In diesem Punkt ist der Vorinstanz beizupflichten.
Dieser Auffassung ist selbst die IV-Stelle. Sie wendet nämlich ein, das psychiatrische Gutachten des PD Dr. med. C._ sei dahingehend unklar und widersprüchlich, als es einerseits qualitative Funktionseinbussen von 50 % und andererseits eine Arbeitsfähigkeit in einem 50%igen Pensum bescheinige. Dass qualitative Einschränkungen von 50 % dazu führen sollten, die Beschwerdegegnerin sei in zeitlicher Hinsicht in einem 50%igen Pensum arbeitsfähig, leuchte nicht ein. Der Ausdruck "eine qualitative Einschränkung von 50 %" lege an sich eine zumutbare vollzeitliche Präsenz mit einem Leistungsvermögen von 50 % nahe. Angesichts dieses Widerspruchs lasse sich die für die Beurteilung der Gesamtarbeitsfähigkeit wichtige Frage, ob und inwieweit das Leistungsvermögen während der zumutbaren Arbeitszeit aus psychischen Gründen zusätzlich erheblich verringert werde, nicht schlüssig beantworten. Insofern komme dem psychiatrischen Gutachten kein Beweiswert zu. Indem die Vorinstanz vom Beweiswert dieses Gutachtens ausgegangen sei, habe sie die Regeln zum Beweiswert von Arztberichten und den Untersuchungsgrundsatz verletzt. In dieser Hinsicht wäre eine Rückfrage an den psychiatrischen Gutachter angezeigt gewesen.
4.3.
4.3.1. Indem die Vorinstanz in Abweichung vom Gutachten des PD Dr. med. C._ und des Dr. med. D._ die Gesamtarbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin von 50 % auf 60 % erhöhte, hat sie nicht mehr eine zulässige freie Beweiswürdigung vorgenommen (vgl. Art. 61 lit. c ATSG). Vielmehr hat sie das Gutachten bezüglich einer spezifisch medizinischen Frage korrigiert, was unter den gegebenen Umständen bundesrechtswidrig ist (vgl. E. 4.1 hiervor) und sich insbesondere auch nicht mit der Befugnis des Rechtsanwenders zur rechtlichen Überprüfung der Folgenabschätzung (vgl. E. 2 hiervor) rechtfertigen lässt.
Dementsprechend vermag die Beschwerdegegnerin mit Blick auf den hier zu klärenden medizinischen Sachverhalt mit ihrem unter Hinweis auf BGE 145 V 361 verfochtenen Argument nicht durchzudringen, die Vorinstanz habe eine zulässige juristische Beurteilung vorgenommen. Unbehelflich ist auch ihr Einwand, mit Dr. med. F._ habe vorinstanzlich ein praktizierender Arzt im Richtergremium mitgewirkt. Die Mitwirkung solcher Fachpersonen innerhalb gerichtlicher Spruchkörper wirft in verschiedener Hinsicht Fragen auf, dies insbesondere mit Blick auf die gebotene Unabhängigkeit sowohl der Richter als auch der Sachverständigen (vgl. BGE 138 II 77 E. 5.2 S. 86; 137 III 289 E. 4.4 S. 292 mit Hinweisen). Auch nach der Rechtsprechung des EGMR ist es ausgeschlossen, dass ein Mitglied der gerichtlichen Instanz gleichzeitig als Sachverständiger amtet und als solcher die fallspezifischen Aspekte beurteilt (Urteil des EGMR D. N. gegen Schweiz vom 29. März 2001, Recueil CourEDH 2001-III S. 21 § 53). Mit anderen Worten vermag ein Fachrichter den Beizug eines unabhängigen Gutachters nicht zu ersetzen (BGE 140 III 105 E. 2.7 S. 108; 137 II 289 E. 4.4 S. 292; Urteil 8C_376/2019 vom 6. November 2019 E. 5.1 mit weiteren Hinweisen).
4.3.2. Nach dem Gesagten bedarf es ergänzender Feststellungen zum Sachverhalt. Dies hat entgegen dem beschwerdeweise gestellten Antrag nicht im vorliegenden Verfahren durch das Bundesgericht zu erfolgen, sondern es ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie in Nachachtung des Untersuchungsgrundsatzes die erforderlichen Abklärungen vornimmt (Art. 61 lit. c ATSG; BGE 144 V 427 E. 3.2 S. 429). Sie hat den Gutachtern PD Dr. med. C._ und Dr. med. D._ die entsprechenden Ergänzungsfragen zu stellen. Gestützt darauf wird die Vorinstanz über die Beschwerde erneut zu entscheiden haben.
5.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 141 V 281 E. 11.1 S. 312). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihr gewährt werden (Art. 64 BGG). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 8. April 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Advokat Dr. Axel Delvoigt wird als ihr unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Oktober 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar