Sachverhalt:
A.
A.a. Im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens betreffend den Widerruf ihrer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA liess A._ (geboren 1992) beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Eingabe vom 19. August 2019 um unentgeltliche Rechtspflege und Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ersuchen.
Mit Schreiben vom 20. August 2019 setzte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau dem Rechtsvertreter von A._ eine Frist bis zum 2. September 2019, um das Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ausgefüllt und mit allen notwendigen sowie aktuellen Belegen einzureichen. Dabei kündigte es an, bei unbenutztem Fristablauf aufgrund der Akten zu entscheiden.
Am 5. September 2019 erklärte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gegenüber dem Rechtsvertreter von A._, die angesetzte Frist sei unbenutzt abgelaufen. Bei verspäteter Einreichung oder Nichteinreichung des Formulars betreffend die unentgeltliche Rechtspflege sei das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abzuweisen. Das Verwaltungsgericht räumte dem Rechtsvertreter Gelegenheit ein, sich dazu zu äussern.
Der Rechtsvertreter von A._ stellte mit Schreiben vom 6. September 2019 ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung des mit Beilagen versehenen Formulars betreffend die unentgeltliche Rechtspflege.
A.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies mit Zwischenentscheid vom 23. Oktober 2019 sowohl das Gesuch um Fristwiederherstellung als auch das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab. Zudem setzte es A._ eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses, und zwar unter Androhung, dass im Säumnisfall nicht auf die bei ihr erhobene Beschwerde eingetreten werde.
B.
Mit als Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 25. November 2019 beantragt A._ beim Bundesgericht, der Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 23. Oktober 2019 sei aufzuheben und die Sache sei zur Beurteilung des Gesuches um unentgeltliche Prozessführung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das Verfahren vor Bundesgericht sei die unentgeltliche Prozessführung sowie "der Beizug eines Offizialanwaltes" zu bewilligen.
Das Bundesgericht wies mit Präsidialverfügung vom 27. November 2019 ein von A._ gestelltes Gesuch um Sistierung des Verfahrens ab und erteilte der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung.
Das Migrationsamt des Kantons Thurgau verzichtet auf Vernehmlassung. Das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.
Mit Eingabe vom 11. März 2020 hält die Beschwerdeführerin unter Einreichung einer Honorarnote ihres Rechtsvertreters an ihrer Beschwerde fest.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 139 III 133 E. 1 S. 133).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), mit welchem vor Erlass des Sachentscheids unter Abweisung eines Fristwiederherstellungsgesuches die unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Verbeiständung für ein kantonales Rechtsmittelverfahren verweigert wurden. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (dazu sogleich E. 1.2). Der Rechtsweg folgt jenem der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382). In der Hauptsache geht es um den Widerruf einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA und steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Abs. 2 und Art. 90 BGG; vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332; Urteile 2C_1020/2019 vom 31. März 2020 E. 1.2; 2C_345/2019 vom 8. Juli 2019 E. 1.1 und 1.2).
1.2. Angefochten ist ein Zwischenentscheid, mit dem das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege sowie Verbeiständung abgewiesen und ihr unter Androhung des Nichteintretens im Säumnisfall eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses angesetzt worden ist. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG liegt unter diesen Umständen ohne Weiteres vor (vgl. BGE 126 I 207 E. 2a S. 210; Urteil 5A_764/2016 vom 17. Juli 2017 E. 1.2.2).
1.3. Da auch die weiteren Prozessvoraussetzungen erfüllt sind, ist die vorliegende Eingabe der Beschwerdeführerin vom 25. November 2019 - ungeachtet ihrer Bezeichnung - als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen und auf dieses Rechtsmittel einzutreten.
Weil die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, ist auf die vorliegende Eingabe unter dem Titel Verfassungsbeschwerde aufgrund deren subsidiären Charakters (Art. 113 BGG) nicht einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil im Regelfall den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116). Unter den gleichen Voraussetzungen kann die beschwerdeführende Partei die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz beanstanden, wenn eine Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; zur qualifizierten Rügepflicht siehe sogleich E. 2.2).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (Art. 9 BV), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der Beschwerdeführerin übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 136 III 552 E. 4.2 S. 560).
2.2. Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substantiiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
Im Folgenden nicht zu berücksichtigen ist mit Blick auf das Dargelegte insbesondere die Behauptung der Beschwerdeführerin, sie hätte infolge einer strittigen Vaterschaft betreffend ihren Sohn während mehr als einem Jahr Sozialleistungen bezogen, was zur Anhäufung von Schulden geführt habe. Diese Gegebenheiten wurden im angefochtenen Zwischenentscheid nicht festgestellt und es ist nicht dargetan, dass die Beschwerdeführerin sie bereits bei der Vorinstanz prozesskonform geltend gemacht hätte. Einzig als erstellt zu erachten ist in diesem Zusammenhang die von der Vorinstanz im kantonalen Verfahren festgehaltene Tatsache, dass in dem bei ihr angefochtenen Entscheid eine Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin thematisiert wurde.
3.
3.1. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren richtet sich in erster Linie nach § 81 des Gesetzes des Kantons Thurgau über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Februar 1981 (VRG/TG; RB 170.1). Weil die Beschwerdeführerin nicht vorbringt, dass das kantonale Recht über die Garantie von Art. 29 Abs. 3 BV hinausgeht, ist ihre Rüge, ihr sei zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert worden (vgl. dazu näher hinten E. 6), ausschliesslich unter dem Gesichtspunkt des verfassungsrechtlichen Anspruchs zu prüfen.
3.2. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (Art. 29 Abs. 3 BV). Bedürftig ist eine Partei, welche die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt; dabei sind nebst den Einkommens- auch die Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen. Es obliegt der um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchenden Partei, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen (BGE 135 I 221 E. 5.1 S. 223 f.; 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.).
Es liegt im weiten Ermessen des Gerichts, welche Unterlagen es zum Nachweis der Mittellosigkeit als relevant qualifiziert und von der Gesuchstellerin einverlangt (Urteil 2C_906/2019 vom 10. Dezember 2019 E. 3.4.1).
3.3. Die Vorinstanz gibt die einschlägige kantonalrechtlichen Regelung und die Praxis zur Fristwiederherstellung zutreffend wieder. Danach kann eine versäumte Frist auf begründetes Gesuch wiederhergestellt werden, wenn den Säumigen oder den Vertreter kein Verschulden trifft, und ist ein Fristwiederherstellungsgesuch innert 14 Tagen seit Wegfall des Grundes einzureichen, welcher die Einhaltung der Frist verhindert hat (§ 26 VRG/TG). Die Wiederherstellung ist praxisgemäss nur bei klarer Schuldlosigkeit der Gesuchstellerin und ihres Vertreters zu gewähren (Urteile 2C_795/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 4.6.1; 2C_1096/2013 vom 19. Juli 2014 E. 4.1; 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4; 1C_294/2010 vom 28. Oktober 2010 E. 3; 2C_401/2007 vom 21. Januar 2008 E. 3.3).
4.
Die Beschwerdeführerin erhob mit Eingabe vom 19. August 2019 Beschwerde bei der Vorinstanz und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Schreiben vom 20. August 2019 wurde sie (bzw. ihr Rechtsvertreter) aufgefordert, das Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege samt Beilagen bis am 2. September 2019 einzureichen. Nachdem der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin nach Ablauf dieser Frist ein Fristwiederherstellungsgesuch gestellt hatte, wies die Vorinstanz dieses Gesuch mangels Fristwiederherstellungsgrundes und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Nachweises der Mittellosigkeit ab.
5.
Zu klären ist vorab, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie das Fristwiederherstellungsgesuch abgewiesen hat.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht vor dem Bundesgericht - anders als noch im vorinstanzlichen Verfahren - selbst nicht mehr geltend, sie bzw. ihr Rechtsvertreter sei unverschuldeterweise davon abgehalten worden, innert der angesetzten Frist das ausgefüllte Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege mit Beilagen versehen einzureichen. Ein ohne Verschulden eingetretener Fristwiederherstellungsgrund ist - wie die Vorinstanz zutreffend ausführt (E. 4.3 des angefochtenen Urteils) - nicht auszumachen. Deshalb ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz dem Fristwiederherstellungsgesuch nicht stattgegeben hat.
5.2. Die Beschwerdeführerin bringt zwar sinngemäss vor, die Abweisung ihres Fristwiederherstellungsgesuches verstosse gegen den Verhältnismässigkeitsgrundsatz, weil zum einen kein wesentliches öffentliches Interesse (namentlich an der Rechtssicherheit) bestehe, welche es rechtfertigte, ihr die Säumnis entgegenzuhalten, zum anderen nur von einem leichten Verschulden an der Nichteinhaltung der Frist auszugehen sei und die Säumnis zudem zu keiner Verfahrensverzögerung geführt habe. Ein Verstoss gegen den Verhältnismässigkeitsgrundsatz ist aber nicht gegeben:
Das in Art. 5 Abs. 2 BV als allgemeiner Verfassungsgrundsatz verankerte Verhältnismässigkeitsgebot kann im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bei der Anwendung kantonalen Rechts (ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte) nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots überprüft werden (vgl. BGE 135 V 172 E. 7.3.2 S. 182; 134 I 153 E. 4.2.2 und 4.3 S. 158; Urteile 8C_299/2016 vom 24. Oktober 2016 E. 5.4; 2C_741/2009 vom 26. April 2010 E. 3.1; 2C_212/2007 vom 11. Dezember 2007 E. 3.1).
Unter diesem beschränkten Blickwinkel der Willkür erscheint es nicht als unverhältnismässig, der Beschwerdeführerin die Fristsäumnis entgegenzuhalten. Ein unter Berufung auf § 26 VRG/TG begründeter Ausschluss der Fristwiederherstellung (bzw. der Ausschluss einer Nachfrist bei Nichteinreichung des ausgefüllten, mit Beilagen versehenen Formulares betreffend die unentgeltliche Rechtspflege) mag zwar in einem Fall wie dem vorliegenden als hart empfunden werden. Es bestehen jedoch vertretbare, sachliche Gründe für einen derartigen Ausschluss, liegt doch ein solcher im Interesse einer effizienten, auf Beschleunigung ausgerichteten Verfahrensführung (ob die Frist nur knapp verpasst ist oder nicht und ob eine Fristwiederherstellung das Verfahren tatsächlich verzögert hätte, kann nicht entscheidend sein. Denn es liesse sich in diesem Kontext keine klare Grenze ziehen, zumal bei einem längeren Versäumnis argumentiert werden könnte, erfahrungsgemäss hätte das Gericht die Eingabe nicht sofort an die Hand genommen, weshalb insgesamt keine Verzögerung eingetreten sei [vgl. Urteil 5A_890/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 6]). Das Verhältnismässigkeitsprinzip gebietet es - jedenfalls bei einer wie vorliegend auf Willkür beschränkten Überprüfung - nicht, gestützt auf (oder abweichend von) § 26 VRG/TG trotz verschuldeter Säumnis allein deshalb eine Fristwiederherstellung zu gewähren, weil der ohne Fristwiederherstellung eintretende Rechtsverlust für den Betroffenen als gewichtig erscheint. Eine derartige Betrachtungsweise würde nämlich nicht zuletzt mit den Geboten der Rechtsgleichheit und der Rechtssicherheit in Konflikt geraten (vgl. zum Ganzen Urteil 2C_703/2009 / 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.4.2).
5.3. Es ist nach dem Gesagten nicht ersichtlich, weshalb die Vorinstanz das Fristwiederherstellungsgesuch hätte gutheissen müssen. Entgegen der Beschwerdeführerin lässt sich im Übrigen aus dem Umstand, dass die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege von Amtes wegen zu prüfen sind und der diesbezügliche Sachverhalt (nach § 12 Abs. 1 VRG/TG) grundsätzlich von Amtes wegen zu ermitteln ist, nicht ableiten, dass im Zusammenhang mit einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege von vornherein gar keine Fristen hätten angesetzt werden dürfen. Dies gilt schon deshalb, weil die Untersuchungspflicht im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege durch die Mitwirkungspflicht der betroffenen Person eingeschränkt ist (vgl. Urteile 5A_374/2019 vom 22. November 2019 E. 2.3; 4A_274/2016 vom 19. Oktober 2016 E. 2.3).
5.4. Die Vorinstanz hat aufgrund der (bundesrechtskonformen) Abweisung des Fristwiederherstellungsgesuches folgerichtig das mit diesem Gesuch (verspätet) nachgereichte, ausgefüllte sowie mit Beilagen versehene Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege nicht berücksichtigt.
6.
Zu klären ist sodann, ob es bundesrechtskonform ist, dass die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit der Begründung, es fehle am Nachweis der Mittellosigkeit, abgewiesen hat.
6.1. Zur Prüfung der Bedürftigkeit sind sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches zu würdigen (BGE 108 Ia 108 E. 5b S. 109 mit Hinweisen). Massgebend ist die gesamte wirtschaftliche Situation zur Zeit der Gesuchstellung (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181; 119 Ia 11 E. 3a, 5 S. 12 f.; 118 Ia 369 E. 4 S. 370 f.). Entscheidend ist, ob die gesuchstellende Partei mit dem ihr verbleibenden Überschuss in der Lage ist, die anfallenden Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse innert absehbarer Zeit zu leisten (BGE 141 III 369 E. 4.1 S. 372).
6.2.
6.2.1. Im angefochtenen Entscheid erklärte die Vorinstanz, ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sei abzuweisen, wenn die gesuchstellende Person ihrer Obliegenheit, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit möglich zu belegen, nicht nachkomme. Die Beschwerdeführerin habe innert der ihr angesetzten zehntägigen Frist weder das ausgefüllte Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege noch Belege zu ihren finanziellen Verhältnissen eingereicht. Die Argumentation der Beschwerdeführerin, aus dem bei der Vorinstanz angefochtenen Entscheid gehe hervor, dass sie Sozialhilfe beziehe, überzeuge nicht, zumal in der Beschwerdeschrift eine Mutterschaftsentschädigung sowie eine voraussichtliche Alimentenbevorschussung erwähnt seien. Es fehle an aktuellen Angaben und Belegen, um die finanzielle Lage der Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitpunkt der Gesuchsstellung zu beurteilen.
Vor dem Bundesgericht behauptet die Beschwerdeführerin, es sei im Zeitpunkt der Einreichung ihrer Beschwerde bei der Vorinstanz "amtlich festgestellt" gewesen, dass sie bedürftig sei. Die Vorinstanz habe ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung daher zu Unrecht abgewiesen.
6.2.2. Es kann hier offen bleiben, ob die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung allein schon deshalb, weil die Beschwerdeführerin das Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege nicht innert der angesetzten Frist mit Beilagen versehen eingereicht hat, ohne Weiteres hätte abweisen dürfen. Denn zum einen hat die Vorinstanz - anders als in der Beschwerde suggeriert wird - entsprechend ihrer ursprünglichen Androhung vom 20. August 2019 aufgrund der Akten entschieden und dabei die Voraussetzung der Mittellosigkeit der Beschwerdeführerin als nicht gegeben erachtet. Zum anderen ist, wie im Folgenden ersichtlich wird, nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz im Rahmen ihres gestützt auf die Akten getroffenen Entscheids das Vorliegen hinreichend aktueller Belege für die Glaubhaftmachung der Mittellosigkeit der Beschwerdeführerin verneint hat:
Die Vorinstanz hat in für das Bundesgericht grundsätzlich bindender Weise (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG) festgestellt, dass es (bei Ausklammerung des verspätet nachgereichten Formulars und der zugehörigen Beilagen) an Belegen für die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung fehlt. Diese Feststellung wurde seitens der Beschwerdeführerin nicht in einer der qualifizierten Rügepflicht (E. 2.2) genügenden Weise bestritten. Zwar wird in der Beschwerde behauptet, den im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Aktenstücken Nr. 7-17 und dem bei der Vorinstanz angefochtenen Entscheid sei zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin Sozialhilfe empfange und ihre Aufenthaltsbewilligung deshalb widerrufen worden sei. Damit legt die Beschwerdeführerin aber nicht ansatzweise dar, dass sie im vorinstanzlichen Verfahren auf prozesskonforme Weise geltend gemacht hätte (vgl. E. 2.2 hiervor) und aus den genannten Dokumenten ersichtlich ist, dass sie (auch noch) im Zeitpunkt der Einreichung ihres Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung von der Sozialhilfe abhängig und damit mittellos war. Nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin vor diesem Hintergrund, soweit sie behauptet, es sei unstrittig, dass sie im Zeitpunkt des Gesuches Sozialhilfe bezogen habe und mittellos gewesen sei.
Das Gesagte gilt umso mehr, als nach den Angaben im angefochtenen Entscheid in der Beschwerde an die Vorinstanz von einer Mutterschaftsentschädigung die Rede war und nicht ersichtlich ist, dass es sich hierbei (wie die Beschwerdeführerin vor dem Bundesgericht geltend macht) um eine erst in Zukunft allenfalls zu erwartende Leistung handelte. Aufgrund des Hinweises auf die Mutterschaftsentschädigung konnte die Vorinstanz, ohne damit in Willkür zu verfallen, davon ausgehen, dass allein aufgrund der Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Erlasses des im vorinstanzlichen Verfahren angefochtenen Entscheids nicht ohne Weiteres auf die Mittellosigkeit im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu schliessen ist. Dies gilt ohne Rücksicht auf den Umstand, dass sich der Hinweis auf die Mutterschaftsentschädigung nicht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, sondern auf die Hauptsache bezog (vgl. Beschwerde, S. 7 f.).
Die Beschwerdeführerin macht zwar geltend, die Vorinstanz widerspreche sich selbst, wenn sie die unentgeltliche Prozessführung von einem nachträglich eingeholten Formular und damit von einem nach dem Zeitpunkt der Gesuchseinreichung erfolgenden Vorgang abhängig mache. Diesbezüglich ist ihr aber entgegenzuhalten, dass die Vorinstanz mit dem Formular (und den Beilagen dazu) nichts anderes gefordert hat, als dass die Beschwerdeführerin nachträglich Angaben und Belege über ihre finanziellen Verhältnisse im massgebenden Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches liefert. Weshalb dies widersprüchlich sein soll, ist nicht ersichtlich.
Als zutreffend erscheint freilich das Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach eine voraussichtliche Alimentenbevorschussung nicht in die Beurteilung einbezogen werden dürfte. Denn selbst wenn massgebend ist, ob die Prozess- und Anwaltskosten in absehbarer Zeit geleistet werden können, ist allein auf die im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bestehende Einkommens- und Vermögenssituation abzustellen (vgl. E. 6.1 hiervor).
Es ist aber nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung selbst bei einer nicht zulässigen Heranziehung einer noch ungewissen Alimentenbevorschussung im Ergebnis unhaltbar und damit willkürlich sein sollte.
6.3. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Nachweises (bzw. Glaubhaftmachung) der Mittellosigkeit im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung abgewiesen hat.
An diesem Schluss nichts ändern kann der Hinweis der Beschwerdeführerin auf den in TVR 2004 Nr. 14 veröffentlichten Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau. Aus diesem Entscheid lässt sich schon deshalb nichts zugunsten der Beschwerdeführerin ableiten, weil der Gesuchsteller im betreffenden Fall - anders als die Beschwerdeführerin - das Formular zur unentgeltlichen Rechtspflege (wenn auch ohne hinreichende Beilagen) fristgerecht ausgefüllt und eingereicht hatte. Der angerufene frühere Entscheid aus dem Kanton Thurgau bezog sich damit auf einen rechtswesentlich anders gelagerten Sachverhalt.
Die weiteren Ausführungen der Beschwerdeführerin, wonach der angefochtene Zwischenentscheid Art. 8 BV, Art. 9 BV, Art. 29 Abs. 1-3 BV, Art. 13 BV, Art. 8 EMRK und Art. 2 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (SR 0.142.112.681) verletze, basieren auf der Annahme, dass die Sozialhilfeabhängigkeit resp. die Mittellosigkeit der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als erstellt gelten kann. Da dies - wie gesehen - nicht zutrifft, ist auf die entsprechenden Rügen nicht weiter einzugehen.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass der Beschwerde, obschon die Vorinstanz die voraussichtliche Alimentenbevorschussung nicht hätte mit einbeziehen dürfen (vgl. E. 6.2.2 hiervor), von Anfang an kein Erfolg beschieden sein konnte und sie somit aussichtslos war. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin ist mit einer Herabsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (vgl. Art. 65 Abs. 2 BGG).
Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König