Sachverhalt:
A.
Im Zusammenhang mit der Beendigung des Arbeitsverhältnisses von A._ brachte eine Mitarbeiterin seines Arbeitgebers im "Fragebogen zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses" zuhanden des Amtes für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich schriftliche Äusserungen an. Deswegen erstattete A._ Strafanzeige gegen die betreffende Mitarbeiterin aufgrund des Verdachts auf Ehrverletzungsdelikte. Nachdem die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland die Strafuntersuchung mit Verfügung vom 26. Juni 2019 eingestellt hatte, erhob A._ Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung.
B.
In der Folge eröffnete das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, ein Beschwerdeverfahren mit A._ als Beschwerdeführer und der fraglichen Mitarbeiterin sowie der Staatsanwaltschaft als Beschwerdegegner. Gegen die Mitglieder der mit Verfügung vom 10. Juli 2019 angekündigten Gerichtsbesetzung im Beschwerdeverfahren reichte A._ ein Ausstandsbegehren beim Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, ein. Mit Beschluss vom 9. Dezember 2019 trat das Obergericht auf das Ausstandsbegehren gegen den Oberrichter B._ und die Oberrichterinnen C._ und D._ nicht ein. Die Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 800.-- festgesetzt, die Kosten A._ auferlegt.
C.
Dagegen erhebt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, dass der Beschluss des Obergerichts aufzuheben und der Ausstand von Oberrichter B._, Oberrichterin C._ und Oberrichterin D._ für die Bearbeitung seiner Beschwerde vom 7. Juli 2019 gegen die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 26. Juni 2019 anzuordnen sei. Die ihm auferlegte Gerichtsgebühr von Fr. 800.-- sei aufzuheben, die Vollstreckung des angefochtenen Entscheids aufzuschieben.
Oberrichter B._ sowie Oberrichterinnen C._ und D._ verzichten je mit einem Schreiben vom 23. Januar 2020 und unter Verweis auf ihre jeweilige Vernehmlassung vom 27. August 2019 an die Vorinstanz auf weitere Bemerkungen. Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet mit Schreiben vom 17. Januar 2020 auf eine Stellungnahme.
D.
Mit Verfügung vom 3. Februar 2020 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig anfechtbaren Zwischenentscheid über den Ausstand in einem Strafverfahren, gegen den grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen steht (Art. 78 ff. i.V.m. Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, diese seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 145 IV 154 E. 1.1 S. 155 f.; 143 I 310 E. 2.2 S. 313; je mit Hinweisen).
1.3. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176; 135 III 127 E. 1.6 S. 130; 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f.).
2.
Die Beschwerdebegründung ist weitgehend appellatorischer Natur. Soweit der Beschwerdeführer insbesondere geltend macht, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen seien falsch, legt er nicht in genügendem Masse dar, dass sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich erhoben worden seien. Offensichtliche Sachverhaltsfehler sind auch nicht ersichtlich. Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz erweisen sich damit als für das Bundesgericht verbindlich (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer nennt überdies keine Bestimmungen des Bundesgesetzesrechts, die verletzt worden sein sollten. Teilweise rechtsgenüglich gerügt wird einzig ein Verstoss gegen Art. 56 StPO.
3.
3.1. Die Vorinstanz kommt zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer die Ausstandsbegehren verspätet eingereicht habe, weshalb auf seine Beschwerde nicht einzutreten sei.
3.2. Der Beschwerdeführer macht dagegen sinngemäss geltend, dass seine Eingabe fristgerecht ergangen sei, da er als Laie darüber nicht im Bilde gewesen sei, dass er ein Ausstandsbegehren nach Kenntnisnahme eines Ausstandsgrundes ohne Verzug zu stellen hatte und ihn die nötigen Abklärungen Zeit kosteten. Weiter macht er geltend, dass es ihm innert nützlicher Frist nicht gelungen sei, einen Rechtsbeistand zu finden.
3.3. Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen (Art. 58 Abs. 1 StPO). Nach der Praxis des Bundesgerichts sind Ausstandsgründe in der Regel innert etwa einer Woche geltend zu machen; ein Zuwarten während mehrerer Wochen ist hingegen nicht zulässig (Urteil 1B_149/2019 vom 3. September 2019 E. 2.3 mit Hinweisen).
Soweit erst eine Kumulation mehrerer Vorfälle Anlass zur Besorgnis wegen Befangenheit gibt, ist bei der Beurteilung der Rechtzeitigkeit dem Umstand Rechnung zu tragen, dass der Gesuchsteller nicht vorschnell reagieren kann und gegebenenfalls zunächst zuwarten muss, um das Risiko zu vermeiden, dass sein Gesuch als unbegründet abgewiesen wird. Es muss daher zulässig sein, in Verbindung mit neu entdeckten Umständen auch bereits früher bekannte Tatsachen geltend zu machen, wenn erst eine Gesamtwürdigung zur Bejahung eines Ausstandsgrundes führt, während die isolierte Geltendmachung der früheren Tatsachen die Stellung eines solchen Begehrens nicht hätte rechtfertigen können. Begründen mehrere Vorkommnisse erst zusammen den Ausstandsgrund, so ist der Zeitpunkt zur Geltendmachung dann gekommen, wenn nach Auffassung des Gesuchstellers der "letzte Tropfen das Fass zum Überlaufen" gebracht hat (Urteil des Bundesgerichts 1B_357/2013 vom 24. Januar 2014 E. 5.3.1 mit Hinweisen).
3.4. Die vom Beschwerdeführer genannten Befangenheitsgründe sind sehr allgemein gehalten, beziehen sich kaum auf den betroffenen Fall und sind daher auch nicht an konkreten Vorfällen festzumachen, welche sich ihrerseits fristauslösend hätten auswirken können. Allgemein sind die Ausführungen zur grossen wirtschaftlichen Bedeutung seines ehemaligen Arbeitgebers, wobei keine mit Bezug auf den betreffenden Fall und die betreffenden drei Oberrichter relevanten Vorkommnisse genannt werden. Konkrete, fallbezogene Vorkommnisse, die eine Befangenheit begründen könnten und über die bereits bekannten Mitgliedschaften und Funktionen einzelner Oberrichter in politischen Parteien hinausgingen, sind ebenfalls nicht ersichtlich. Die Allgemeinheit und die fehlende Fallbezogenheit der geltend gemachten Befangenheitsgründe bringen es daher mit sich, dass sie bereits bekannt waren, als die voraussichtliche Zusammensetzung des Spruchkörpers dem Beschwerdeführer mitgeteilt wurde. Wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, begann damit die Frist für allfällige Ausstandsbegehren mit der Zustellung der Verfügung über die voraussichtliche Zusammensetzung des Spruchkörpers am 12. Juli 2019 zu laufen. Die Ausstandsbegehren reichte der Beschwerdeführer erst am 11. August 2019 und damit vier Wochen später ein. Im Lichte der klaren gesetzlichen Regelung in Art. 58 Abs. 1 StPO und der vorgenannten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (E. 3.3) erfolgte die Eingabe verspätet. Daran ändert auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts, dass er Laie sei und verschiedene Umstände seine Nachforschungen verzögert hätten. Selbst die Berücksichtigung der konkreten Umstände kann angesichts der Allgemeinheit und der fehlenden Fallbezogenheit der vorgebrachten Befangenheitsgründe einen derart grosszügigen Massstab nicht rechtfertigen, nach welchem die Frist noch als erfüllt zu gelten hätte. Im Übrigen würde die Allgemeinheit und die fehlende Fallbezogenheit der vorgebrachten Befangenheitsgründe ohnehin dazu führen, dass die Beschwerde auch in der Sache abzuweisen wäre. Die Vorinstanz ist demnach zu Recht zum Schluss gekommen, dass die Eingabe verspätet ist.
4.
Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe die Höhe der Gerichtsgebühr nicht begründet und zudem willkürlich festgelegt. Die Vorinstanz hat eine Gebühr von Fr. 800.-- erhoben. Diese bewegt sich damit am unteren Rand des Gebührenrahmens, der in § 3 Abs. 2 der Gebührenverordnung des Verwaltungsgerichts (des Kantons Zürich) vom 3. Juli 2018 (GebV VGr; LS 175.252) für Verfahren ohne bestimmbaren Streitwert vorgesehen ist. Für solche Fälle muss der Kostenentscheid nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht begründet werden (vgl. das Urteil 1C_156/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 8.1; BGE 111 Ia 1 E. 2a S. 1; je mit Hinweisen). Inwiefern die Gebühr willkürlich sei, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf.
5.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Bisaz