Erwägungen:
1.
Am 15. November 2017 wurde eine von der Kommunikationsbeauftragten des Bistums St. Gallen verfasste und durch das Bischöfliche Ordinariat St. Gallen unterzeichnete E-Mail an ca. 500 Personen im Umfeld des Bistums St. Gallen versandt. In jener E-Mail stand zusammengefasst im Wesentlichen, dass A._ "Behauptungen, Halbwahrheiten und Unwahrheiten" verbreite und seine Äusserungen mittlerweile "verleumderischen Charakter" angenommen hätten. Am 19. Januar 2018 erstattete A._ deswegen Strafanzeige "gegen das Bistum St. Gallen wegen übler Nachrede bzw. Verleumdung". Das Untersuchungsamt St. Gallen stellte das Verfahren gegen die Kommunikationsbeauftragte des Bistums St. Gallen mit Verfügung vom 8. Juni 2018 ein. Dagegen erhob A._ am 18. Juni 2018 Beschwerde. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 30. August 2018 gut, hob die Einstellungsverfügung auf und erteilte die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen die Kommunikationsbeauftragte.
Am 9. Februar 2019 erstattete A._ eine weitere Strafanzeige gegen verschiedene Mitarbeitende und Behördenmitglieder des Bistums St. Gallen sowie gegen verschiedene Mitarbeitende und Behördenmitglieder des Katholischen Konfessionsteils des Kantons St. Gallen wegen unterlassener Nothilfe, Nötigung und Amtsmissbrauchs. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 2. April 2019 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 28. Mai 2019 nicht ein (Verfahren 1C_271/2019).
2.
A._ stellte am 21. Februar 2019 ein Gesuch um "Unentgeltliche Verbeiständung der Privatklägerschaft". Das Untersuchungsamt St. Gallen wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 27. Februar 2019 ab. Dagegen erhob A._ am 11. März 2019 Beschwerde. Die Anklagekammer hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 8. Mai 2019 teilweise gut, hob die Verfügung des Untersuchungsamtes St. Gallen vom 27. Februar 2019 bezüglich unentgeltlicher Prozessführung auf und bewilligte die unentgeltliche Prozessführung mit Wirkung ab 21. Februar 2019. Im Übrigen wies die Anklagekammer die Beschwerde ab. Die Anklagekammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sei wohl in Bezug auf beide Strafanzeigen gestellt worden. Da in Bezug auf die zweite Strafanzeige keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens erteilt worden sei, müsse das Gesuch nur noch in Bezug auf die erste Strafanzeige (Ehrverletzungsdelikt) geprüft werden. Insoweit sei es möglich, dass der Beschwerdeführer einen Genugtuungsanspruch haben könnte. Im jetzigen Verfahrensstadium könne auch nicht ausgeschlossen werden, dass es sich allenfalls um eine schwere Persönlichkeitsverletzung handeln könnte. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung seien gegeben. Da es sich jedoch nicht um einen komplexen und schwierigen Fall handle, erscheine ein unentgeltlicher Rechtsbeistand als nicht notwendig.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 11. Juni 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, welcher den Antrag stellt, der Entscheid der Anklagekammer sei infolge Gegenstandslosigkeit aufzuheben, vermag mit seinen nur schwer verständlichen Ausführungen nicht aufzuzeigen, dass die Anklagekammer bei der Behandlung seiner Beschwerde Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Er legt nicht nachvollziehbar dar, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli