Sachverhalt:
A.
A._ war Statthalter des Bezirks X._. B._ arbeitete beim dortigen Statthalteramt als juristische Sekretärin. Am 16. und 23. Juli 2015 suchte B._ den Ombudsmann des Kantons Zürich zu Besprechungen auf. Dabei erhob sie Vorwürfe gegen A._. Sie gab an, sie habe Grund zur Annahme, dass dieser Dritte begünstigt habe, indem er Übertretungsstrafverfahren, die namentlich mit ihm befreundete oder bekannte Personen betroffen hätten, habe verjähren lassen. Im Weiteren bestünden Hinweise auf Amtsdelikte.
Am 24. Juli 2015 erstattete der Ombudsmann Strafanzeige gegen A._ wegen Begünstigung, eventuell Amtsdelikten. In der Folge ersuchte die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich das Obergericht um die Ermächtigung zur Strafverfolgung von A._. Am 31. August 2015 erteilte das Obergericht die Ermächtigung. Darauf eröffnete die Staatsanwaltschaft ein Strafverfahren gegen A._. Mit Verfügung vom 10. März 2017 stellte sie dieses ein.
B.
Am 12. November 2017 erstattete A._ Strafanzeige gegen B._ wegen falscher Anschuldigung (Art. 303 StGB) und Amtsmissbrauchs (Art. 312 StGB). Er machte geltend, B._ habe ihn wider besseres Wissen der Begünstigung beschuldigt. Überdies habe sie unbefugt in Daten ihr nicht zugeteilter Geschäfte Einsicht genommen, was einen Amtsmissbrauch darstelle.
Mit Verfügung vom 4. Dezember 2017 übermittelte die Staatsanwaltschaft I die Akten dem Obergericht zum Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._. Die Staatsanwaltschaft beantragte, die Ermächtigung nicht zu erteilen.
Am 21. März 2018 lehnte das Obergericht (III. Strafkammer) die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ ab. Es kam zum Schluss, es bestünden keine konkreten Anhaltspunkte für einen Anfangsverdacht, dass B._ A._ wider besseres Wissen der Begünstigung bezichtigt und damit den Tatbestand der falschen Anschuldigung erfüllt habe. An einem Anfangsverdacht fehle es ebenso in Bezug auf den Vorwurf des Amtsmissbrauchs.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts vom 21. März 2018 aufzuheben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ wegen falscher Anschuldigung zu erteilen. Eventuell sei das Obergericht anzuweisen, die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ wegen falscher Anschuldigung zu erteilen.
D.
Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft I und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich haben auf Vernehmlassung verzichtet. B._ hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. A._ hat dazu keine Stellung genommen.
Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 82 lit. a BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (BGE 137 IV 269 E. 1.3.1 S. 272). Die Beschwerdegegnerin gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an. Der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. e BGG kommt daher nicht zur Anwendung (BGE 137 IV 269 E. 1.3.2 S. 272 f.). Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Der vorinstanzliche Beschluss stellt einen nach Art. 90 BGG anfechtbaren Endentscheid dar (Urteil 1C_112/2018 vom 8. November 2018 E. 1 mit Hinweis). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Nach der Rechtsprechung können die Kantone auch eine richterliche Behörde als Ermächtigungsbehörde einsetzen (BGE 137 IV 269 E. 2.2 S. 276).
Gemäss § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) entscheidet das Obergericht über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Beamten gemäss Art. 110 Abs. 3 StGB wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen. Vorbehalten bleibt die Zuständigkeit des Kantonsrates. Letztere ist hier nicht gegeben (§ 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 des Kantons Zürich [LS 171.1]). Mit § 148 GOG/ZH sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden. Das Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat (BGE 137 IV 269 E. 2.3 S. 277).
Da es sich bei der Beschwerdegegnerin um kein Mitglied der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden handelt, dürfen im Ermächtigungsverfahren keine politischen, sondern einzig strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (BGE 137 IV 269 E. 2.4 S. 277 f.). Für die Erteilung der Ermächtigung müssen minimale Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten vorliegen. Nicht jeder Fehler eines Beamten begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Hierfür bedarf es vielmehr genügender Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten (Urteil 1C_112/2018 vom 8. November 2018 E. 2 mit Hinweis).
3.
Der Beschwerdeführer beantragt einzig die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung der Beschwerdegegnerin wegen falscher Anschuldigung gemäss Art. 303 StGB. Soweit die Vorinstanz die Ermächtigung zur Strafverfolgung wegen Amtsmissbrauchs nach Art. 312 StGB abgelehnt hat, ficht er ihren Entscheid nicht an. Das Bundesgericht hat sich deshalb hierzu nicht zu äussern.
4.
4.1. Gemäss Art. 303 Ziff. 1 Abs. 1 StGB wird wegen falscher Anschuldigung bestraft, wer einen Nichtschuldigen wider besseres Wissen bei der Behörde eines Verbrechens oder eines Vergehens beschuldigt, in der Absicht, eine Strafverfolgung gegen ihn herbeizuführen.
Der Tatbestand schützt in erster Linie die Zuverlässigkeit der Rechtspflege. Die Tathandlung führt zu einem unnützen Einsatz öffentlicher Mittel. Daneben handelt es sich bei der falschen Anschuldigung aber auch um ein Delikt gegen die Person. Geschützt werden danach die Persönlichkeitsrechte zu Unrecht Angeschuldigter mit Bezug auf deren Ehre, Freiheit, Privatsphäre, Vermögen usw. (BGE 136 IV 170 E. 2.1 S. 175 f. mit Hinweis).
Die Tathandlung richtet sich gegen eine in Bezug auf die behauptete Straftat nichtschuldige Person. Nicht schuldig ist die Person, welche die strafbare Handlung nicht begangen hat. Als solche gilt auch diejenige, deren Nichtschuld - vorbehältlich einer Wiederaufnahme des Verfahrens - durch Freispruch oder Einstellungsbeschluss verbindlich festgestellt worden ist (BGE 136 IV 170 E. 2.1 S. 176 mit Hinweisen). Die Beschuldigung muss bei einer Behörde erfolgen. Dabei muss es sich nicht um eine Strafbehörde handeln. Die Beschuldigung kann auch gegenüber einer anderen Amtsstelle erfolgen, von der erwartet wird, dass sie die Beschuldigung an die in Frage kommende Strafbehörde weiterleitet (BGE 95 IV 17). Der subjektive Tatbestand erfordert Vorsatz und in Bezug auf die Unwahrheit der Beschuldigung Handeln wider besseres Wissen. Das Bewusstsein, die Behauptung könnte möglicherweise falsch sein, genügt mithin nicht. Der Täter muss vielmehr sicher darum wissen, dass die Anschuldigung unwahr ist. Eventualvorsatz scheidet insoweit aus (BGE 136 IV 170 E. 2.1 S. 176 f. mit Hinweisen). Der Täter muss sodann in der Absicht handeln, eine Strafverfolgung herbeizuführen. Insoweit genügt Eventualabsicht (BGE 80 IV 117 S. 121).
Aus dem Umstand, dass das aufgrund einer Strafanzeige eröffnete Strafverfahren eingestellt wurde, lässt sich nicht ableiten, die Strafanzeige sei wider besseres Wissen erhoben worden. Wer zu Unrecht beschuldigt wird, darf nicht im Umkehrschluss unbesehen eine Strafklage wegen falscher Anschuldigung einreichen (BGE 136 IV 170 E. 2.2 S. 177; TRECHSEL/PIETH, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 8 zu Art. 303 StGB). An die Erfüllung des Tatbestands sind hohe Anforderungen zu stellen (DELNON/RÜDY, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 4. Aufl. 2019, N. 43 zu Art. 303 StGB). Das Erfordernis der Beschuldigung wider besseres Wissen will es im kriminalpolitischen Interesse der Aufdeckung von Straftaten jedermann ermöglichen, eine von ihm eines Delikts verdächtige Person auch dann bedenkenlos anzuzeigen, wenn er nicht mit Bestimmtheit von ihrer Täterschaft weiss (DONATSCH UND ANDERE, Strafrecht IV, Delikte gegen die Allgemeinheit, 5. Aufl. 2017, S. 466).
4.2. Die Staatsanwaltschaft hat das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 10. März 2017 eingestellt. Diese erwuchs in Rechtskraft. Gemäss Art. 320 Abs. 4 StPO kommt eine rechtskräftige Einstellungsverfügung einem freisprechenden Endentscheid gleich. Die Beschwerdegegnerin beschuldigte somit einen Nichtschuldigen. Sie bezichtigte ihn der Begünstigung und damit eines Vergehens (Art. 305 Abs. 1 i.V.m. Art. 10 Abs. 3 StGB). Die Vorwürfe gegen den Beschwerdeführer erhob sie beim Ombudsmann des Kantons Zürich und somit bei einer Behörde (vgl. §§ 87 Abs. 1 und 88 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 des Kantons Zürich; LS 175.2). Wie sich aus den Aussagen der Beschwerdegegnerin ergibt, rechnete sie dabei zumindest mit der Möglichkeit, dass der Ombudsmann Strafanzeige einreichen und der Beschwerdeführer damit der Strafverfolgung ausgesetzt sein wird. Insoweit bejaht die Vorinstanz daher zu recht konkrete Anhaltspunkte für die Erfüllung des Tatbestands der falschen Anschuldigung.
Die Vorinstanz schliesst ein Handeln der Beschwerdegegnerin wider besseres Wissen dagegen aus. Der Beschwerdeführer wendet ein, damit verletze die Vorinstanz Bundesrecht.
4.3. Die Vorinstanz legt eingehend dar, weshalb sie ein Handeln wider besseres Wissen verneint. Eine mangelhafte Begründung und damit eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) kann ihr nicht vorgeworfen werden. Sie musste sich nicht mit jedem tatsächlichen und rechtlichen Einwand auseinandersetzen. Wenn sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränkt hat, ist das nicht zu beanstanden (BGE 143 III 65 E. 5.2 S. 70 f.; 139 IV 179 E. 2.2 S. 183; je mit Hinweisen).
4.4. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe den Sachverhalt im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG offensichtlich unrichtig bzw. unvollständig festgestellt, ist die Beschwerde jedenfalls unbegründet. Offensichtlich unrichtig bzw. unvollständig bedeutet willkürlich. Willkürlich ist die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, wenn sie schlechthin unhaltbar ist (BGE 143 IV 241 E. 2.3.1 S. 244 mit Hinweisen). Das trifft hier nicht zu. Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf die massgeblichen Akten und gibt diese zutreffend wieder. Willkür ist zu verneinen.
4.5. Nach Angaben der Beschwerdegegnerin war der Ausgangspunkt für ihren Verdacht der Begünstigung eine Begebenheit, die sich ereignete, als die Beschwerdegegnerin noch nicht beim Statthalteramt arbeitete. Ihr Ehemann, der Staatsanwalt sei, sei von einer Jassrunde nach Hause gekommen und habe gesagt, der Ehemann von C._ habe den Beschwerdeführer darauf angesprochen, dass gegen diese eine Busse verhängt worden sei. Das Gespräch sei in der Folge auf das Einspracheverfahren gekommen und der Beschwerdeführer habe zum Ehemann von C._ gesagt, er schaue dann schon. Als die Beschwerdegegnerin später auf dem Statthalteramt gearbeitet habe, habe sie sehen wollen, was mit dem Fall von C._ geschehen sei. Dabei habe sie festgestellt, dass der Fall auf der Pendenzenliste des Beschwerdeführers gestanden sei.
Dem von der Beschwerdegegnerin erstellten Ausdruck aus dem Geschäftsverwaltungssystem JURIS des Statthalteramtes lässt sich entnehmen, dass das Statthalteramt mit Strafverfügung vom 16. November 2006 gegen C._ eine Busse aussprach, C._ dagegen am 22. November 2006 Einsprache erhob und der Fall am 16. Februar 2010 mit der Bemerkung "SIOK" (Sistierung ohne Kostenfolge) erledigt wurde. Gemäss Art. 109 StGB verjährt die Strafverfolgung einer Übertretung in drei Jahren. Im Zeitpunkt der Erledigung war die C._ vorgeworfene Übertretung also verjährt. Oben links auf dem Ausdruck aus JURIS steht der Kürzel des Beschwerdeführers ("AL"), ebenso hinter der Bemerkung "Einsprache gegen Strafverfügung". Unter diesen Umständen ist nachvollziehbar, dass die Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer gewissermassen einen "Anfangsverdacht" wegen Begünstigung hatte. Sie suchte dann in JURIS nach weiteren verdächtigen Fällen und reichte dem Ombudsmann einen Ordner mit 65 Fällen ein, welche in den Ausdrucken aus JURIS links oben alle den Kürzel des Beschwerdeführers enthalten. Aus diesen Fällen ergeben sich ernstliche Anhaltspunkte dafür, dass das Statthalteramt in zahlreichen Übertretungsstrafverfahren lange untätig blieb und diese verjähren liess. Die Vorinstanz legt das (E. 8.3 S. 19 ff.) im Einzelnen dar, worauf verwiesen werden kann (Art. 109 Abs. 3 BGG). Die Beschwerdegegnerin stützte ihre Beschuldigung des Beschwerdeführers demnach auf konkrete Verdachtsmomente.
Zwar stellte die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer ein. Sie tat dies jedoch, weil die Untersuchungsakten in grossen Teilen nicht mehr vorhanden waren und ohne diese der Beweis für Begünstigungen nicht zu erbringen war. Die Aussage des Beschwerdeführers, wonach Übertretungsstraffälle teilweise aus für ihn nicht erklärbaren Gründen in Bauakten in Verstoss geraten seien, liess sich nach Ansicht der Staatsanwaltschaft sodann nicht widerlegen. Die Staatsanwaltschaft stellte aber das Verjährenlassen zahlreicher Übertretungsstrafsachen fest und spricht in verschiedenem Zusammenhang von einem Organisationsversagen, insbesondere einer mangelhaften Kontrolle der Pendenzen. Die Staatsanwaltschaft legt sodann dar, Mitarbeiter des Statthalteramtes hätten als Zeugen ausgesagt, es sei immer wieder gemunkelt worden, der Beschwerdeführer habe Fälle verjähren lassen. Die Mitarbeiter hätten angegeben, jeweils von anderen Mitarbeitern davon gehört zu haben. Das Gerücht habe sich hartnäckig gehalten.
Die Beschwerdegegnerin entlastet zudem der Umstand, dass sie zur zweiten Besprechung beim Ombudsmann vom 23. Juli 2015 eine weitere juristische Sekretärin des Statthalteramtes begleitete. Nach der Gesprächszusammenfassung des Ombudsmanns und seiner Strafanzeige je vom 24. Juli 2015 warf auch diese dem Beschwerdeführer vor, er habe Übertretungsstraffälle verjähren lassen. Dass sich die Beschwerdegegnerin und die weitere juristische Sekretärin abgesprochen hätten, den Beschwerdeführer wider besseres Wissen zu belasten, macht er nicht geltend.
Würdigt man dies gesamthaft, bestehen keine hinreichenden Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer wider besseres Wissen beschuldigte.
4.6. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, mit denen er das Gegenteil dartun will, überzeugen nicht.
Wie er einräumt, kam es vor, dass er Mitarbeitern des Statthalteramtes Empfehlungen bzw. Anweisungen gab, wie die ihnen zugeteilten Fälle zu erledigen seien. Verhält es sich so, ist nicht ersichtlich, weshalb die Beschwerdegegnerin den Vorwurf, der Beschwerdeführer habe Mitarbeiter angestiftet, Dritte begünstigende Verfügungen zu erlassen, wider besseres Wissen erhoben haben sollte. Die Annahme der Beschuldigung wider besseres Wissen wäre in Betracht gekommen, wenn der Beschwerdeführer den Mitarbeitern nachweislich nie Empfehlungen bzw. Anweisungen für die Erledigung der Fälle gegeben und die Beschwerdegegnerin das gewusst hätte.
Wie sich aus der Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 10. März 2017 (E. 2.3.1 S. 4 f.) ergibt, bestehen im Zusammenhang mit der Frage der Verjährung bestimmter Begünstigungen Unklarheiten. Dies spricht dagegen, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer, wie er vorbringt, insoweit bewusst verjährter Begünstigungen bezichtigte. Das kann umso weniger angenommen werden, als gemäss Art. 97 Abs. 1 lit. c i.V.m. Art. 305 Abs. 1 StGB die Strafverfolgung einer Begünstigung in 10 Jahren verjährt. Dass bei Annahme dieser Verjährungsfrist, die im Zeitpunkt der Beschuldigungen der Beschwerdegegnerin galt, bestimmte Begünstigungen bereits verjährt gewesen seien, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Zwar wurde Art. 97 Abs. 1 lit. c StGB per 1. Januar 2014 geändert und verjährte vorher die Strafverfolgung einer Begünstigung in 7 Jahren. Es kann jedoch nicht gesagt werden, dass dies der Beschwerdegegnerin bei ihren Beschuldigungen bewusst sein musste, zumal sie beim Statthalteramt mit Übertretungen befasst war und insoweit die Verjährung in Art. 109 StGB geregelt ist, der nicht geändert wurde. Genügende Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer bewusst verjährter Begünstigungen beschuldigte, bestehen demnach nicht.
Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Beschwerdegegnerin habe ihn wider besseres Wissen beschuldigt, eine Mitarbeiterin angewiesen zu haben, das Verfahren in einem Fall, in dem die Einsprache gegen die Strafverfügung verspätet erhoben worden sei, einzustellen, ist die Beschwerde ebenfalls unbegründet. Die Beschwerdegegnerin hatte unter den gegebenen Umständen Grund zum Verdacht, die Einsprache gegen die Strafverfügung sei verspätet gewesen. Die Vorinstanz legt das zutreffend dar (angefochtener Entscheid E. 9.13 lit. c S. 29 f.). Darauf kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG). Ernstliche Hinweise für die Beschuldigung des Beschwerdeführers wider besseres Wissen fehlen auch insoweit.
Die Beschwerdegegnerin stiess mit einem Suchschlüssel in JURIS auf 600 Fälle, die auf der Pendenzenliste des Beschwerdeführers standen. Dies brachte sie den Behörden zur Kenntnis. Inwiefern sie damit den Beschwerdeführer wider besseres Wissen der Begünstigung beschuldigt haben sollte, ist nicht erkennbar. Selbst wenn sie angenommen haben sollte, dass auf der Pendenzenliste über die 65 von ihr angezeigten Fälle hinaus noch weitere zu finden sein könnten, bei denen sich der Beschwerdeführer der Begünstigung schuldig gemacht haben könnte, ist unter den gegebenen Umständen (oben E. 4.5) davon auszugehen, dass sie eine Täterschaft des Beschwerdeführers zumindest als möglich erachtete und sie diesen somit nicht wider besseres Wissen eines strafbaren Verhaltens bezichtigte.
4.7. Wenn die Vorinstanz hinreichende Anhaltspunkte für ein Handeln der Beschwerdegegnerin wider besseres Wissen und damit für die Erfüllung des Tatbestands der falschen Anschuldigung verneint hat, hält das demnach im Lichte der dargelegten Rechtsprechung (oben E. 4.1) vor Bundesrecht stand.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Er hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri