Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
Con petizione 10 marzo 2020 A._ ha chiesto, segnatamente, di condannare la Società svizzera di radiotelevisione, succursale RSI Radiotelevisione svizzera di lingua italiana, a pagarle la somma di fr. 162'000.-- (oltre accessori) a titolo di risarcimento dei danni risultanti dalla messa in onda di un servizio che la riguardava.
1.1. Il Pretore del Distretto di Lugano, mediante decisione 30 giugno 2020, ha respinto l'istanza di gratuito patrocinio di A._ per assenza di probabilità di esito favorevole della causa e, in accoglimento di un'istanza della controparte, le ha ordinato di prestare una cauzione per spese ripetibili di fr. 9'700.--.
Con sentenza 8 gennaio 2021 la III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto il reclamo presentato da A._ sia nella misura in cui era rivolto contro la decisione di diniego del gratuito patrocinio sia nella misura in cui era rivolto contro la decisione di prestazione di una cauzione. Con sentenza 5A_135/2021 del 9 marzo 2021 il Tribunale federale ha dichiarato inammissibile il ricorso introdotto contro tale sentenza.
1.2. Il Pretore del Distretto di Lugano, con decisione 30 giugno 2021, ha respinto l'istanza presentata da A._ di revisione della predetta decisione 30 giugno 2020 e ha dichiarato inammissibile la sua petizione 10 marzo 2020 per mancato pagamento della cauzione per spese ripetibili.
Mediante sentenza 18 gennaio 2022 la III Camera civile del Tribunale d'appello ha respinto il reclamo 15 luglio 2021 di A._ contro la decisione di reiezione della domanda di revisione, ritenendo che il Pretore aveva a ragione stabilito che non erano realizzati né i presupposti dell'art. 328 cpv. 1 lett. a CPC (dato che il fatto allegato da A._, ossia la decisione di allontanamento pronunciata nei suoi confronti il 21 dicembre 2020, era comunque sorto dopo la decisione 30 giugno 2020) né quelli dell'art. 328 cpv. 1 lett. b CPC (atteso che la decisione di diniego del gratuito patrocinio non risultava influenzata da un crimine o un delitto, ma era dovuta agli errori procedurali commessi da A._). L'autorità cantonale ha anche respinto l'appello 15 luglio 2021 di A._ avverso la decisione di inammissibilità della petizione in quanto abusivo, atteso che ella tentava di rimettere in discussione la decisione di rifiuto del gratuito patrocinio, già definitiva.
2.
Con ricorso 23 febbraio 2022 A._ ha impugnato la sentenza cantonale del 18 gennaio 2022 dinanzi al Tribunale federale, chiedendo in sostanza di annullarla, di rinviare la causa all'autorità cantonale "per nuova decisione in composizione collegiale composta da tre giudici", di concederle l'esenzione dalla cauzione per spese ripetibili e di far proseguire la causa civile in materia risarcitoria (statuendo anche sulle istanze cautelari del 10 marzo 2020 e 27 aprile 2020). Ella ha pure chiesto di conferire effetto sospensivo al suo rimedio e di essere posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria.
Non sono state chieste determinazioni, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.
3.
3.1. L'atto ricorsuale al Tribunale federale deve contenere i motivi (art. 42 cpv. 1 LTF). Nei motivi il ricorrente deve spiegare in modo conciso, confrontandosi con i considerandi della sentenza impugnata (DTF 143 II 283 consid. 1.2.2; 140 III 86 consid. 2; 134 II 244 consid. 2.1), perché quest'ultima leda il diritto (art. 42 cpv. 2 LTF). Per le violazioni di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale le esigenze di motivazione sono più severe: il ricorrente deve indicare i diritti ritenuti lesi e spiegare, con un'argomentazione puntuale e precisa attinente alla sentenza impugnata, in cosa consista la violazione (art. 106 cpv. 2 LTF; DTF 143 II 283 consid. 1.2.2; 134 II 244 consid. 2.2). Il ricorso deve trarre spunto dalla motivazione della decisione impugnata: il ricorrente non può limitarsi a riproporre i punti di vista già difesi nella procedura cantonale, bensì deve sviluppare la propria critica partendo dai considerandi dell'autorità precedente (DTF 140 III 115 consid. 2).
Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene o completarlo solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Se rimprovera all'autorità inferiore un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - ossia arbitrario (DTF 140 III 115 consid. 2) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'art. 106 cpv. 2 LTF.
3.2. Con il suo inutilmente prolisso (63 pagine) e ripetitivo gravame, la ricorrente lamenta un arbitrario accertamento dei fatti e la violazione di numerosi disposti di legge, segnatamente degli art. 8 CC, 52, 53, 55, 229 e 328 CPC, 5, 7, 8, 9, 29, 29a e 30 Cost., 6, 8, 14 e 17 CEDU. Qui di seguito saranno unicamente vagliati gli argomenti che appaiono formulati in maniera sufficientemente chiara.
Atteso che l'autorità cantonale si è limitata a confermare il giudizio di reiezione della domanda di revisione in relazione al gratuito patrocinio e il giudizio di inammissibilità della petizione pronunciati dal Pretore il 30 giugno 2021, il Tribunale federale non può discutere il merito della causa risarcitoria. Nella misura in cui la ricorrente si dilunga in argomentazioni concernenti questioni di diritto sostanziale, le sue critiche risultano pertanto di primo acchito inammissibili.
3.2.1. La ricorrente ritiene innanzitutto che la sentenza impugnata, emanata a giudice unico dal Presidente della III Camera civile del Tribunale d'appello, avrebbe invece dovuto essere decisa in una composizione collegiale a tre giudici conformemente all'art. 48 lett. c) della legge ticinese del 10 maggio 2006 sull'organizzazione giudiziaria (LOG; RL 177.100). Con l'eccezione dei casi previsti all'art. 95 lett. c, d ed e LTF, innanzi al Tribunale federale non può tuttavia essere fatta valere la violazione del diritto cantonale; la parte ricorrente può unicamente prevalersi che l'errata applicazione del diritto cantonale da parte dell'autorità precedente viola il diritto federale, in particolare il divieto dell'arbitrio sancito dall'art. 9 Cost. oppure altri diritti costituzionali (DTF 140 III 385 consid. 2.3). La ricorrente accenna a una violazione degli art. 9 e 30 cpv. 1 Cost., senza tuttavia prevalersi di una motivazione specifica nel senso dell'art. 106 cpv. 2 LTF. La sua critica risulta così inammissibile.
A dire della ricorrente, inoltre, il Presidente della III Camera civile del Tribunale d'appello non godrebbe nella presente vertenza di adeguate garanzie di imparzialità e indipendenza ai sensi dell'art. 30 cpv. 1 Cost., poiché membro della Commissione per l'avvocatura che sarebbe "collegata con le segnalazioni che vedono coinvolta la [ricorrente] nei decreti d'accusa emessi dalla Procura di Lugano di cui è oggetto il servizio radiotelevisivo della RSI". Tale superficiale argomentazione è però del tutto inadatta a dimostrare che il Presidente avrebbe dovuto ricusarsi. La buona fede imponeva del resto alla ricorrente di ricusare tale magistrato senza indugio, rendendo verosimili i relativi fatti (v. art. 49 CPC), senza attendere l'esito a lei sfavorevole del gravame (v. DTF 141 III 210 consid. 5.2; 140 I 240 consid. 2.4; 140 I 271 consid. 8.4.3). Il fatto che ella "si aspettava l'ordinaria composizione collegiale composta da tre giudici e non una composizione monocratica" nulla cambia. Anche questa censura si appalesa quindi inammissibile.
3.2.2. Per quanto concerne l'accertamento dei fatti operato dall'autorità cantonale, la ricorrente si limita a ricostruire "minuziosamente lo svolgimento dei fatti che hanno dato origine al [...] contenzioso", senza però preoccuparsi di sostanziare l'arbitrio. La censura disattende pertanto le rigorose esigenze di motivazione imposte dall'art. 106 cpv. 2 LTF.
3.2.3. In diritto, la ricorrente ritiene che la sua istanza di revisione della decisione 30 giugno 2020 avrebbe dovuto essere accolta. L'autorità cantonale non avrebbe considerato che la prova da lei appresa ai sensi dell'art. 328 cpv. 1 lett. a CPC (ossia la misura di allontanamento del 21 dicembre 2020) "seppur preannunciata nella petizione 10 marzo 2020, non poteva chiaramente essere allegata nella precedente procedura, stante che tale misura è sorta durante l'iter processuale ricorsuale avverso la sentenza del 30 giugno 2020". Per quanto concerne il motivo di revisione dell'art. 328 cpv. 1 lett. b CPC, la ricorrente ritiene che l'istanza cantonale non avrebbe tenuto conto del fatto che i suoi asseriti errori procedurali (alla base del rifiuto del diniego del gratuito patrocinio) avrebbero comunque potuto essere sanati in sede di udienza dibattimentale e sostiene di aver offerto le prove delle infrazioni commesse sia dal giornalista che ha realizzato il servizio all'origine della lesione della sua personalità sia dal legale della qui opponente per uso illecito di un mezzo di prova.
Queste critiche, generiche e astruse, non sono all'evidenza idonee a dimostrare che l'autorità cantonale avrebbe dovuto ritenere fondati i motivi di revisione dell'art. 328 cpv. 1 lett. a e b CPC. La ricorrente non sembra aver compreso né tali motivi di revisione né l'argomentazione sviluppata nella sentenza impugnata. Nella misura in cui è ammissibile, la censura è infondata.
3.2.4. Sempre in diritto, la ricorrente considera che il rifiuto del gratuito patrocinio costituirebbe "un chiaro tentativo da parte dello Stato del Canton Ticino di privare la ricorrente, sprovvista di mezzi necessari, ad accedere al sistema giudiziario in maniera gratuita (...) al fine di vedersi riconosciuto un risarcimento dei danni realmente e concretamente patito in seguito alle condotte illecite poste in essere dalla convenuta". A suo dire, la decisione di inammissibilità della petizione, confermata dall'autorità cantonale, rappresenterebbe quindi un diniego di giustizia formale poiché le impedisce di proseguire l'azione risarcitoria in sede giudiziaria (e nemmeno si pronuncia sulle istanze di adozione di provvedimenti cautelari, del 10 marzo 2020 e del 27 aprile 2020, presentate nel quadro di tale azione).
La suesposta critica appare in larga misura rivolta contro le decisioni pretorili del 30 giugno 2020 e 30 giugno 2021 e non contro la sentenza dell'ultima istanza cantonale del 18 gennaio 2022 (unica qui impugnabile, v. art. 75 cpv. 1 LTF). La ricorrente dimentica così di confrontarsi con la - pertinente - argomentazione sviluppata da tale autorità cantonale, secondo cui ella non può più rimettere in discussione la decisione pretorile 30 giugno 2020 di diniego del gratuito patrocinio, ormai cresciuta in giudicato.
Occorre poi sottolineare quanto segue. Un'autorità commette un diniego formale di giustizia proibito dall'art. 29 cpv. 1 Cost. se, contrariamente a quanto avrebbe dovuto fare, non entra nel merito di una vertenza che le è stata sottoposta nei termini e nelle forme previsti dalla legge (DTF 142 II 154 consid. 4.2; 135 I 6 consid. 2.1; 134 I 229 consid. 2.3). Conformemente all'art. 29a Cost., ognuno ha diritto, nelle controversie giuridiche, al giudizio da parte di un'autorità giudiziaria, la quale deve potere vagliare la causa con pieno potere cognitivo (DTF 144 I 181 consid. 5.3.2.1). La garanzia dell'art. 29a Cost. sussiste tuttavia unicamente entro i limiti dell'ordinamento procedurale vigente e non impedisce di per sé di fare dipendere l'entrata nel merito di un rimedio giuridico dall'adempimento delle abituali condizioni di ammissibilità (DTF 143 I 344 consid. 8.2; 143 I 227 consid. 5.1; 137 II 409 consid. 4.2), come - in concreto - il versamento di una cauzione per spese ripetibili (v. art. 101 cpv. 3 CPC). La decisione dell'autorità cantonale di confermare l'irricevibilità della petizione non viola pertanto né l'art. 29 né l'art. 29a Cost.
Quanto al rimprovero mosso all'autorità cantonale di non essersi pronunciata sulla mancata evasione, da parte del Pretore, delle istanze cautelari del 10 marzo 2020 e del 27 aprile 2020, esso appare irricevibile già per il fatto che la ricorrente non si premura di indicare con precisione dove, nel suo rimedio cantonale, si sarebbe prevalsa di tale censura.
Nella misura in cui è ammissibile, la censura è infondata.
4.
Da quanto precede risulta che il ricorso va respinto nella misura della sua ammissibilità. Con l'evasione del ricorso, la domanda di conferire effetto sospensivo allo stesso diventa priva d'oggetto.
La domanda di assistenza giudiziaria (con designazione di un avvocato) per la procedura federale va respinta, indipendentemente dalla pretesa indigenza della ricorrente, facendo difetto sin dall'inizio il requisito delle possibilità di esito favorevole dell'impugnativa (art. 64 cpv. 1 LTF). Le spese giudiziarie sono pertanto poste a suo carico (art. 66 cpv. 1 LTF). Non si giustifica assegnare spese ripetibili (art. 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 2'500.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.