Faits :
A.
A._, né en 1963, a travaillé en dernier lieu comme plâtrier. Il a subi une fracture intra-articulaire de la base du 5e métacarpien de la main droite le 1 er novembre 2015, qui a nécessité des interventions médicales les 1er mars 2016 (ostéotomie du 5 e métacarpien) et 25 mai 2016 (ablation du matériel d'ostéotomie et ténolyse du tendon extérieur propre du 5 e doigt). Le cas a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Après avoir repris son activité de plâtrier à 50 % du 4 juillet au 29 septembre 2016, l'assuré a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 8 mars 2017.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis du docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur et en chirurgie de la main (du 15 mars 2017), puis fait verser à son dossier celui de la CNA, qui contenait notamment le rapport des médecins de la Clinique C._ où l'assuré a séjourné du 30 mai au 21 juin 2017. Dans ce rapport du 5 juillet 2017, précédé d'un consilium psychiatrique du 2 juillet 2017, les docteurs D._, chef de clinique, et E._, médecin-assistant, ont indiqué que la situation était stabilisée du point de vue médical et des aptitudes fonctionnelles; aucune limitation fonctionnelle ne pouvait être clairement retenue au vu des nombreuses autolimitations de l'assuré.
L'assuré s'est soumis à une nouvelle intervention chirurgicale le 4 septembre 2017 (résection de l'os pisiforme au poignet droit), puis a suivi un stage d'orientation professionnelle auprès des Etablissements publics pour l'intégration (EPI) du 2 au 28 janvier 2018 (rapport du 8 février 2018). L'office AI a encore versé à son dossier notamment l'avis des docteurs B._ (du 2 mars 2018) et F._, spécialiste en chirurgie orthopédique, traumatologie de l'appareil locomoteur et médecin d'arrondissement de la CNA (du 4 avril 2018). Dans un avis du 25 février 2019, les docteurs G._ et H._, tous deux médecins auprès du Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), ont diagnostiqué - avec effet sur la capacité de travail - des séquelles d'une fracture complexe du 5e métacarpien compliquée d'une arthrose piso-triquétrale traitée par exérèse du pisiforme. Selon les médecins, l'assuré ne pouvait plus exercer son activité habituelle de plâtrier depuis le 2 novembre 2015; dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites, il disposait en revanche d'une capacité de travail entière. Par décision du 7 mai 2019, l'office AI a octroyé à l'assuré une rente entière de l'assurance-invalidité du 1 er septembre 2017 au 28 février 2018.
B.
L'assuré a déféré cette décision à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève, puis déposé l'avis des docteurs I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 25 juillet 2019), et J._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (des 28 mai et 14 août 2019). L'office AI a produit la prise de position du docteur K._, médecin auprès de son SMR (du 19 septembre 2019), ainsi qu'une décision sur opposition rendue par la CNA le 8 novembre 2019. Le 29 juin 2020, la Cour de justice a informé l'assuré qu'elle envisageait de réformer à son détriment la décision attaquée et lui a offert la possibilité de déposer ses observations ou de retirer son recours. L'assuré a maintenu son recours le 23 juillet 2020. Statuant le 24 août 2020, la Cour de justice a rejeté le recours et réformé la décision du 7 mai 2019 en ce sens que A._ n'a pas droit à une rente d'invalidité entière du 1er septembre 2017 au 28 février 2018.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il demande l'annulation. Il conclut pour l'essentiel au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et nouvelle décision au sens des considérants. A l'appui de son recours, il produit une décision sur opposition de la CNA du 30 septembre 2019 en relation avec une chute survenue le 3 novembre 2018.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
1.2. Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette exception, dont il appartient aux parties de démontrer que les conditions sont remplies (ATF 143 V 19 consid. 1.2 et la référence), vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée (arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3, non publié in ATF 142 III 617, et les références). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (ATF 144 V 35 consid. 5.2.4; 143 V 19 consid. 1.2 et les références) ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités précédentes (ATF 143 V 19 consid. 1.2; 136 III 123 consid. 4.4.3).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité à partir du 1 er septembre 2017, soit six mois après le dépôt de sa demande de prestations (cf. art. 29 al. 1 LAI). L'arrêt attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI), à son évaluation (art. 16 LPGA et art. 28a LAI) et à la valeur probante des rapports médicaux (ATF 134 V 231 consid. 5.1; 125 V 351 consid. 3). Il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a retenu que le recourant ne pouvait plus exercer son activité habituelle de plâtrier à la suite de l'accident survenu le 1 er novembre 2015 (fracture du 5 e métacarpien de la main droite, compliquée d'une arthrose piso-triquétrale). Elle a constaté qu'il pouvait en revanche exercer une activité adaptée à 100 % du 1 er mars 2017 au 3 septembre 2017, puis dès le 12 décembre 2017. Si le docteur J._ mentionnait certes une chute survenue le 4 novembre 2018, les premiers juges ont relevé que le médecin n'indiquait cependant pas que les atteintes à la santé consécutives à cette chute étaient incapacitantes. Du reste, aucun médecin n'avait certifié une incapacité de travail en lien avec cette chute. Sur le plan psychique, les premiers juges ont retenu que la doctoresse I._ rapportait essentiellement les indications subjectives de l'assuré dans son avis du 25 juillet 2019, sans préciser si les plaintes étaient justifiées d'un point de vue objectif. Le dossier ne comprenait de plus aucun arrêt de travail pour des motifs psychiatriques pour la période antérieure au 9 mai 2019. Au contraire, la psychiatre de la Clinique C._ avait diagnostiqué un trouble de l'adaptation avec réaction dépressive brève, ayant suivi le licenciement de l'assuré, sans impact sur la capacité de travail. Dans ces conditions, les premiers juges ont considéré que l'expertise requise par le recourant était inutile.
4.
4.1. Dans un grief qu'il convient d'examiner en premier, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu (art. 29 Cst.), sous l'angle du droit à la réplique. Il fait valoir que la Cour de justice a gardé la cause à juger sans lui permettre de se prononcer préalablement sur l'écriture de l'office intimé et les conclusions du médecin du SMR du 19 septembre 2019. Ce faisant, il aurait été empêché de produire la décision sur opposition de la CNA du 30 septembre 2019.
4.2. Le droit de répliquer vise le droit conféré à la partie de se déterminer sur toute prise de position versée au dossier, quelle que soit sa dénomination procédurale (réponse, réplique, prise de position, etc.; ATF 142 III 48 consid. 4.1.1 et les références citées); même si le juge renonce à ordonner un nouvel échange d'écritures, il doit néanmoins transmettre cette prise de position ou toute pièce nouvelle versée au dossier aux autres parties. En revanche, le droit de répliquer n'impose pas à l'autorité judiciaire l'obligation de fixer un délai à la partie pour déposer d'éventuelles observations. Elle doit seulement lui laisser un laps de temps suffisant, entre la remise des documents et le prononcé de sa décision, pour qu'elle ait la possibilité de déposer des observations si elle l'estime nécessaire (ATF 146 III 97 consid. 3.4.1 et les références).
4.3. En l'occurrence, le 10 octobre 2019, la Cour de justice a transmis au recourant la prise de position de l'office AI du 19 septembre 2019, accompagnée de l'avis du médecin du SMR du même jour. Elle l'a informé à cette occasion que la cause était gardée à juger. En procédure genevoise, cette expression signifie que l'autorité précédente considère que l'instruction est close (arrêt 8C_897/2011 du 22 novembre 2012 consid. 5.3). Aussi, s'il considérait qu'il était nécessaire de s'exprimer sur la prise de position de l'office AI ou sur son annexe, le recourant devait réagir et requérir sans retard l'autorisation de se déterminer, soit adresser sa réplique à l'autorité précédente (cf. ATF 138 I 484 consid. 2.2; arrêt 2D_50/2012 du 1 er avril 2013 consid. 3.2 et la référence). Dans la mesure où l'arrêt cantonal a été rendu le 24 août 2020, le recourant a en tout état de cause disposé d'un temps suffisant pour requérir la réouverture de la procédure probatoire s'il en avait eu l'intention. Le grief de la violation du droit à la réplique est par conséquent mal fondé.
De même, dans ces circonstances, le recourant aurait été en mesure de transmettre à la juridiction cantonale la décision sur opposition de la CNA du 30 septembre 2019. La production de cette décision devant le Tribunal fédéral ne satisfait donc pas aux conditions de l'art. 99 al. 1 LTF (supra consid. 1.2). Il n'y a pas lieu de prendre en considération cette pièce nouvelle.
5.
5.1. Invoquant une violation du principe inquisitoire, consécutive à une appréciation arbitraire des preuves, le recourant fait valoir pour l'essentiel que la juridiction cantonale a omis de manière arbitraire de requérir une expertise médicale qui prendrait en compte la globalité de ses atteintes à la santé, y compris sur un plan psychique, et qui déterminerait leurs conséquences sur sa capacité de travail. Il soutient que les différents avis médicaux versés au dossier sont incohérents, contradictoires, lacunaires et qu'ils ont été modifiés selon l'avancement de son cas. Les pièces versées au dossier ne permettraient dès lors aucunement de retenir une capacité de travail exploitable sur le marché du travail, ce d'autant moins que ses atteintes à la santé sur un plan psychique n'auraient pas été instruites par l'assurance-invalidité (en dépit d'un suivi psychiatrique débuté en octobre 2016) et que les EPI ont conclu que ses capacités étaient actuellement trop faibles et aléatoires pour imaginer une reprise dans le circuit économique ordinaire. Le fait que son psychiatre n'a jamais été interrogé par l'assurance-invalidité constituerait également une violation crasse du principe inquisitoire.
5.2. S'agissant tout d'abord des critiques du recourant portant sur les lacunes de l'instruction concernant ses limitations fonctionnelles sur le plan psychique, elles sont mal fondées. Les médecins de la Clinique C._ ont procédé à une évaluation de l'état de santé somatique et psychique de l'assuré. Au terme de celle-ci, la doctoresse L._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué - sans répercussion sur la capacité de travail - un trouble de l'adaptation avec réaction dépressive brève (consilium psychiatrique du 2 juillet 2017). Elle a rendu ses conclusions en indiquant de plus que l'assuré consultait une psychiatre une fois par mois depuis novembre 2016, à la suite du licenciement qu'il avait mal vécu. Or le recourant ne prétend nullement que son état de santé sur le plan psychique se serait dégradé entre son séjour à la Clinique C._ et la décision de l'office AI du 7 mai 2019. Dans son avis du 25 juillet 2019, la doctoresse I._ a d'ailleurs fait état d'une péjoration de l'état de santé psychique du recourant à compter uniquement du 9 mai 2019, soit après l'état de fait déterminant pour le juge sous l'angle temporel (à ce sujet, cf. ATF 144 V 210 consid. 4.3.1; 132 V 215 consid. 3.1.1).
A l'inverse de ce que soutient le recourant, la simple circonstance qu'il faisait l'objet d'un suivi psychologique n'était pas suffisant pour justifier que les premiers juges ordonnent une expertise psychiatrique selon la grille d'évaluation normative et structurée définie à l'ATF 141 V 281. De plus, une telle évaluation est superflue lorsque, comme en l'espèce, l'incapacité de travail peut être niée de manière convaincante sur la base de rapports probants établis par des médecins spécialistes (ATF 143 V 409; arrêt 9C_101/2019 du 12 juillet 2019 consid. 4.3).
5.3. Le recourant admet ensuite que le docteur B._ a confirmé sa capacité de travail entière dans une activité adaptée dès le 1 er mars 2017 (avis du 15 mars 2017). Si le recourant indique certes à raison que le chirurgien s'exprimait par rapport aux conséquences de ses atteintes à la santé à la main droite sur sa capacité de travail, il ne met cependant aucunement en évidence quelle autre atteinte à la santé sur le plan somatique aurait été susceptible de réduire sa capacité de travail dans une activité adaptée de façon déterminante et pour la période concernée.
S'agissant ensuite de la chute survenue le 4 novembre 2018, le recourant ne discute pas les conclusions du médecin du SMR, suivies par la juridiction cantonale, selon lesquelles les contusions mentionnées par le docteur J._ n'entraînaient pas d'incapacité de travail durable (avis du 19 septembre 2019). Dans ces circonstances, la juridiction cantonale a retenu sans arbitraire que le recourant n'a pas produit un avis médical attestant d'une incapacité de travail déterminante. Il importe dès lors peu que la CNA a versé des indemnités journalières début 2018 car l'appréciation de cet assureur ne lie pas les organes de l'assurance-invalidité (ATF 133 V 549).
5.4. C'est finalement en vain que le recourant se réfère aux conclusions du maître de réadaptation des EPI, selon lesquelles il semblait illusoire d'espérer un reclassement dans le circuit économique normal (rapport du 8 février 2018). D'une part, les observations faites au cours du stage d'orientation professionnelle ne permettent pas de conclure au caractère irréaliste de la reprise d'une activité professionnelle adaptée aux limitations fonctionnelles décrites par les médecins du SMR. Au contraire, le maître de réadaptation a expressément donné une liste exemplative d'activités adaptées. D'autre part, c'est la tâche du médecin de porter un jugement sur l'état de santé et d'indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler (ATF 140 V 193 consid. 3.2; 125 V 256 consid. 4 et les arrêts cités). C'est pourquoi les appréciations des médecins l'emportent sur les constatations qui peuvent être faites à l'occasion d'un stage d'observation professionnelle et qui sont susceptibles d'être influencées par des éléments subjectifs liés au comportement de la personne concernée pendant le stage (arrêt 8C_713/2019 du 12 août 2020 consid. 5.2 et la référence).
6.
Mal fondé, le recours est rejeté.
Vu l'issue de la procédure, le recourant doit supporter les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Bleicker