Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte gegen A._ eine Strafuntersuchung. Am 30. November 2016 wurde er in Untersuchungshaft gesetzt. Nachdem er am 16. September 2020 in Sicherheitshaft versetzt worden war, wurde ihm am 7. April 2021 der vorzeitige Strafvollzug bewilligt. Mit Urteil vom 21. Juni 2021 verurteilte ihn das Bezirksgericht Zürich wegen mehrfachen Menschenhandels, mehrfacher Förderung der Prostitution, einfacher Körperverletzung, gewerbsmässigen Betruges, mehrfacher Urkundenfälschung und weiterer Delikte (namentlich Konkursdelikten sowie Verstössen gegen das SVG und das BetmG) zu einer Freiheitsstrafe von achteinhalb Jahren; zugleich wurde eine ambulante Behandlung psychischer Störungen angeordnet. Dagegen meldete er Berufung an, ebenso die Staatsanwaltschaft. Das Verfahren ist noch nicht abgeschlossen.
Anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Bezirksgericht vom 19./20. Mai 2021 hatte A._ um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ersucht. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 21. Juni 2021 ab.
Gegen die letztgenannte Verfügung erhob A._ am 29. Juni 2021 Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich wies das Rechtsmittel mit Beschluss vom 21. Juli 2021 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 30. August 2021 beantragt A._ im Wesentlichen, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst sei - eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen - aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Haftentscheid des Obergerichts. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach den Art. 78 ff. BGG gegeben. Der Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Haftentlassung ist zulässig (BGE 132 I 21 E. 1). Der Beschwerdeführer ist durch die Verweigerung der Haftentlassung in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit zur Beschwerde befugt (Art. 81 Abs. 1 BGG). Er macht die Verletzung von Bundesrecht geltend, was zulässig ist (Art. 95 lit. a BGG). Es ist allerdings seine Sache darzulegen, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 127 E. 1.6; 134 II 244 E. 2.1 und 2.2; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer befindet sich im vorzeitigen Strafvollzug. Dies hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (BGE 143 IV 160 E. 2.3; 139 IV 191 E. 4.1 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) gegen strafprozessuale Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. Art. 98 BGG gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (BGE 143 IV 316 E. 3.3; 140 IV 57 E. 2.2; 138 IV 186 E. 1.2). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 316 E. 3.3; 135 I 71 E. 2.5).
2.3. Nach Art. 221 StPO sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
Das Obergericht bejahte den dringenden Tatverdacht. Zudem ging es von Fluchtgefahr aus. Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Hingegen ist er der Auffassung, es gebe keine Fluchtgefahr.
3.
Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte. Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen. Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch zu verbüssenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (Art. 51 StGB), kontinuierlich verringert (zum Ganzen: BGE 145 IV 503 E. 2.2; 143 IV 160 E. 4.3; je mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz führte aus, der Beschwerdeführer sei zu einer Freiheitsstrafe von achteinhalb Jahren verurteilt worden und habe bis zur entsprechenden erstinstanzlichen Verurteilung rund viereinhalb Jahre anrechenbare Haft verbüsst. Damit habe die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nicht in erheblicher Weise aufgrund der anrechenbaren Haftdauer abgenommen. Die Möglichkeit der bedingten Entlassung nach zwei Dritteln der Strafe (d.h. per 26. Juli 2022) sei vorliegend nicht zugunsten des Beschwerdeführers zu berücksichtigen. Denn es erscheine nicht als sehr wahrscheinlich, dass eine solche Entlassung erfolgen werde. Zwar habe sich der Beschwerdeführer gemäss Führungsberichten in der Haft korrekt verhalten. Doch sei er einschlägig vorbestraft und bestehe bei ihm gemäss einem aktenkundigen psychiatrischen Gutachten eine dissoziale und narzisstische Persönlichkeitsstörung sowie eine Psychopathie. Aufgrund der Persönlichkeitsmerkmale des Beschwerdeführers sei die Rückfallgefahr gemäss diesem Gutachten sehr hoch (in Bezug auf Delikte mit Betrugscharakter) oder deutlich (hinsichtlich des Menschenhandels sowie der Förderung der Prostitution) oder hoch (betreffend Verstösse gegen das SVG und das BetmG).
Nach Auffassung der Vorinstanz würde auch eine Berücksichtigung einer (hypothetischen) bedingten Entlassung am 26. Juli 2022 nicht gegen Fluchtgefahr sprechen. Zu berücksichtigen sei, dass zweitinstanzlich aufgrund der von der Staatsanwaltschaft anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung geforderten unbedingten Freiheitsstrafe von 14 Jahren eine deutlich längere als die ausgefällte Strafe drohe. Der Beschwerdeführer habe damit trotz der bisherigen langen Haftdauer einen erheblichen Anreiz zu fliehen. Weiter besitze er neben der schweizerischen auch die bosnische Staatsangehörigkeit und habe er sich nachweislich mehrmals in Bosnien sowie Ungarn aufgehalten. Er verfüge über bosnische und ungarische Sprachkenntnisse sowie ein Beziehungsnetz zu mehreren ungarischen Staatsangehörigen. In der Schweiz habe er hingegen keine gefestigte Wohn- und Lebenssituation. Gleiches gelte für seine angebliche zukünftige, aus Ungarn stammende Ehefrau, welche dort offenbar über ein intaktes Umfeld verfüge und aktuell mit den gemeinsamen Kindern in X._/Deutschland wohne. Die gemeinsamen Kinder seien sodann ungarischer Muttersprache und mit den Gepflogenheiten in Ungarn vertraut. Die geplante Heirat und der beabsichtigte Familiennachzug könnten keine stabile Wohn- und finanzielle Situation begründen. In Bezug auf die Heirat müsse berücksichtigt werden, dass es sich bei der angeblichen zukünftigen Ehefrau des Beschwerdeführers um eines der Opfer der von ihm begangenen Förderung der Prostitution handle und er sich in der Vergangenheit wiederholt täuschender Machenschaften bedient habe. Seine finanzielle Lage sei im Übrigen prekär. Unter diesen Vorzeichen sei zu befürchten, dass er sich dem Vollzug der Freiheitsstrafe durch Flucht entziehen würde.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt im Wesentlichen vor, er könne sich berechtigte Hoffnungen auf eine bedingte Entlassung per 26. Juli 2022 machen. Er habe sich nämlich ausweislich der ausschliesslich positiven Führungsberichte während 4,75 resp. 4,5 Jahren vorbildlich verhalten. Gemäss dem mit der Beschwerde an das Bundesgericht eingereichten Vollzugsplan habe er konkrete Vorstellungen betreffend seine künftig deliktsfreie Lebensführung entwickelt und sei als Termin für die bedingte Entlassung der 26. Juli 2022 vermerkt. Das von der Vorinstanz behauptete länderübergreifende Beziehungsnetz des Beschwerdeführers bestehe tatsächlich gar nicht. Während der ganzen Haftzeit resp. seit mindestens vier Jahren habe er denn auch nie Briefe nach Ungarn oder Bosnien versandt und sei er auch nicht von Personen aus diesen Ländern kontaktiert worden. Besuche seien nur seitens enger, in der Schweiz lebender Familienangehöriger erfolgt. Die Vorinstanz habe ihm zu Unrecht sinngemäss vorgeworfen, mittels täuschender Machenschaften eine stabile Wohn- und finanzielle Situation vorzuspiegeln. Weiter verfüge seine künftige Ehefrau entgegen der Vorinstanz über kein intaktes Umfeld in Ungarn. Auch treffe es nicht zu, dass die gemeinsamen Kinder ungarischer Muttersprache oder mit den ungarischen Gepflogenheiten vertraut seien. Die Kindsmutter und die Kinder würden sodann nunmehr bei der Schwiegermutter des Beschwerdeführers in Y._/ZH wohnen und seien dort am 18. August 2021 eingeschult worden. Die Kindsmutter habe ferner zwischenzeitlich in der Schweiz eine Arbeitsstelle angetreten.
5.
5.1. Vorab ist festzuhalten, dass der folgenden Würdigung grundsätzlich ausschliesslich der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt zugrunde zu legen ist. Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nämlich nicht darzutun, dass die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (vgl. vorne E. 2.2). Dies gilt insbesondere, soweit er mit der blossen Beteuerung, keine ausserfamiliären Kontakte gepflegt zu haben, sein Beziehungsnetz zu ungarischen Staatsangehörigen bestreitet.
5.2. Selbst wenn allein auf die erstinstanzliche Verurteilung (Freiheitsstrafe von achteinhalb Jahren) und nicht auf das von der Staatsanwaltschaft im erstinstanzlichen Verfahren verlangte, in der Beschwerde als jenseits der Vernunft bezeichnete Strafmass von 14 Jahren Freiheitsstrafe abgestellt würde, hätte der Beschwerdeführer - auch unter Berücksichtigung der bereits erstandenen Haft - noch mit einem mehrjährigen Freiheitsentzug zu rechnen. Dies ist als gewichtiges Fluchtindiz einzustufen (vgl. Urteil 1B_544/2017 vom 16. Mai 2018 E. 3.4 mit Hinweis). Daran ändert nichts, dass er sich im Rechtsmittelverfahren eine wesentliche Reduktion der ausgefällten Strafe erhofft.
Die Möglichkeit einer bedingten Entlassung nach Verbüssung von zwei Dritteln der Freiheitsstrafe (vgl. Art. 86 Abs. 1 StGB) ist im Haftprüfungsverfahren grundsätzlich nicht zu berücksichtigen, es sei denn, es gebe konkrete Anhaltspunkte für eine in hohem Masse wahrscheinliche bedingte Entlassung (vgl. BGE 143 IV 160 E. 4.2 mit Hinweisen). Solche liegen hier indessen nicht vor: Für eine bedingte Entlassung nach Verbüssung von zwei Dritteln der Strafe müsste zu erwarten sein, der Täter werde in Freiheit keine Verbrechen oder Vergehen mehr begehen (Art. 86 Abs. 1 StGB; vgl. zur vorzunehmenden Prognose über das künftige Verhalten BGE 133 IV 201 E. 2.2; Urteil 6B_557/2021 vom 18. August 2021 E. 2.2.1). Dies ist aber vorliegend selbst unter Berücksichtigung des Wohlverhaltens in der Haft nicht der Fall, wie die Vorinstanz zutreffend unter Verweisung auf die einschlägige Vorbestrafung und die attestierte (mindestens deutliche) Rückfallgefahr aufzeigte.
Nebst dem zu erwartenden mehrjährigen Freiheitsentzug für Fluchtgefahr sprechen sodann die nebst der schweizerischen Staatsangehörigkeit gegebene bosnische Staatsangehörigkeit des Beschwerdeführers, dessen mehrmalige Aufenthalte in Bosnien und in Ungarn sowie seine bosnischen und ungarischen Sprachkenntnisse. Zu seinen Ungunsten zu berücksichtigen ist auch sein Beziehungsnetz zu ungarischen Staatsangehörigen.
Ferner fällt die wirtschaftliche Situation des Beschwerdeführers ins Gewicht. Er hat nach eigenen Angaben "sicher" Schulden in der Höhe von Fr. 300'000.--. Diese hohe Schuldenlast stellt unabhängig davon, inwieweit sie vor der Inhaftierung bereits bestand, einen Anreiz dar, sich nicht nur der Strafjustiz, sondern auch den Gläubigern zu entziehen.
Die Höhe der ausgefällten bzw. zu erwartenden Strafe, die Verbundenheit mit Bosnien und Ungarn sowie die schlechte wirtschaftliche Lage des Beschwerdeführers sprechen insgesamt deutlich für Fluchtgefahr. Demgegenüber nicht entscheidend ins Gewicht fallen die geltend gemachte geplante Heirat mit einem seiner Opfer, der Nachzug der künftigen Ehefrau sowie der gemeinsamen Kinder in die Schweiz und die Einschulung dieser Kinder in Y._/ZH. Dies gilt selbst dann, wenn diese Familienangehörigen in Ungarn über kein Beziehungsnetz verfügen und die Kinder weder ungarischer Muttersprache noch mit den ungarischen Gepflogenheiten vertraut sein sollten.
Die Fluchtgefahr muss unter diesen Voraussetzungen bejaht werden, und es ist nicht ersichtlich, inwiefern sie mit Ersatzmassnahmen - auch in der vom Beschwerdeführer eventualiter vorgeschlagenen Kombination (Anordnungen betreffend den Aufenhaltsort, Ausweis- und Schriftensperre, Meldepflicht und Electronic Monitoring) - gebannt werden könnte.
6.
Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da sich die Beschwerde als zum Vornherein aussichtslos erweist, ist dieses Gesuch abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Im vorliegenden Fall kann angesichts der ungünstigen finanziellen Situation und längeren Inhaftierung des Beschwerdeführers auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König