Sachverhalt:
A.
Die aus Mazedonien stammende A._ (geb. 1980) heiratete am 25. März 2002 den in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsmann D.B._ (geb. 1981). A._ zog am 6. April 2002 zu ihrem Gatten und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei diesem. Aus der Beziehung gingen zwei Söhne hervor (B.B._ [geb. 23. April 2003] und C.B._ [geb. 13. Februar 2006]); beide verfügen, wie ihr Vater, über eine Niederlassungsbewilligung.
Am 25. Juni 2007 und 17. August 2011 ersuchte A._ erfolglos darum, ihr ebenfalls eine Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn lehnte dies ab und ging davon aus, dass A._ zuerst ihre ungesicherte finanzielle Situation (Sozialhilfe und Schulden) zu bereinigen habe. Der Abschluss einer Integrationsvereinbarung zu diesem Zweck scheiterte, worauf das Migrationsamt A._ am 8. Juli 2013 wiederum ermahnte, ihre finanzielle Situation zu sanieren.
Seit Juni 2013 leben die Ehegatten getrennt. Die elterliche Obhut über die beiden Kinder wurde A._ übertragen; der Vater kam in den Genuss eines üblichen Besuchsrechts an den Wochenenden. Im April 2014 erwirkte D.B._ in der Heimat ein Scheidungsurteil, welches indessen wegen Verfahrensfehlern aufgehoben wurde. Inzwischen hat der getrennt lebende Gatte von A._ beantragt, ihm die alleinige elterliche Sorge über die beiden Söhne zu übertragen; der Entscheid hierüber steht offenbar noch aus.
B.
Am 21. Juli 2017 lehnte das Migrationsamt des Kantons Solothurn das Gesuch ab, die Bewilligung von A._ zu verlängern, und hielt sie an, das Land zu verlassen. Selbst wenn A._ einen Bewilligungsanspruch (vgl. Art. 50 AuG; seit dem 1. Januar 2019: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [AIG]; SR 142.20) hätte - so das Amt -, würde dieser wegen des Widerrufsgrunds der Sozialhilfeabhängigkeit (Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG) entfallen: A._ habe massiv Sozialhilfegelder beansprucht; eine Ablösung von der Fürsorge erscheine gestützt auf ihr bisheriges Verhalten und die verschiedenen erfolglos gebliebenen Ermahnungen als unwahrscheinlich.
Die hiergegen gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde blieb ohne Erfolg: Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hielt am 2. Juli 2018 fest, dass A._ keinen Anspruch auf eine Verlängerung ihrer Bewilligung geltend machen könne, "da sie sich nicht erfolgreich integriert" habe und "kein wichtiger persönlicher Grund für einen weiteren Aufenthalt" bestehe (Art. 50 Abs. 1 lit. a und Art. 50 Abs. 1 lit. b AIG); zudem sei aufgrund des jahrelangen Sozialhilfebezugs die Voraussetzung des entsprechenden Widerrufs- bzw. Nichterneuerungsgrunds erfüllt (Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG [Dahinfallen der Ansprüche aus Art. 43, 48 und 50 AIG]).
C.
A._ und ihre zwei Kinder beantragen vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. Juli 2018 aufzuheben und die zuständigen Behörden des Kantons Solothurn anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung von A._ um mindestens ein Jahr zu verlängern und ihnen den Verbleib im Kanton zu gestatten. A._ und ihre zwei Kinder machen geltend, dass sie inzwischen nicht mehr fürsorgeabhängig seien, nachdem A._ eine weitere Arbeitsstelle gefunden habe. Der Sachverhalt sei willkürlich festgestellt; ihrer langen Anwesenheit sowie der Situation der Söhne sei nicht in angemessener Weise Rechnung getragen worden.
Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen. Am 1. Februar 2019 stellte das Migrationsamt des Kantons Solothurn dem Bundesgericht eine Verfügung vom 31. Januar 2019 zu, worin es auf ein Wiedererwägungsgesuch vom 10. August 2018 bzw. 31. August 2018 nicht eingetreten war.
Das präsidierende Abteilungsmitglied hat am 4. September 2018 der Eingabe aufschiebende Wirkung beigelegt und es am 6. September 2018 abgelehnt, das bundesgerichtliche Verfahren bis zum Entscheid des Migrationsamts des Kantons Solothurn über das neue Gesuch zu sistieren.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführer berufen sich in vertretbarer Weise auf den Schutz ihres Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV); die minderjährigen Kinder sind im Besitz von Niederlassungsbewilligungen und verfügen damit über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht, auf das sich ihre Mutter potentiell berufen kann ("umgekehrter Familiennachzug"). Ein weiterer Bewilligungsanspruch ergibt sich aus Art. 50 AIG, auf den die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe aber nur ganz am Rande und ohne vertiefte Begründung eingehen. Kein Bewilligungsanspruch besteht gestützt auf Art. 43 AIG (Familiennachzug zu einer niedergelassenen Person), da die Ehe seit Juni 2013 getrennt gelebt wird.
1.2. Die Beschwerdeführerin, die sich seit rund 17 Jahren in der Schweiz aufhält, kann sich auch auf den Schutz ihres Privatlebens berufen: Das Bundesgericht hat in BGE 144 I 266 ff. (dort E. 3.8 und 3.9) festgehalten, dass nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von zehn Jahren regelmässig davon ausgegangen werden kann, dass die sozialen Bindungen zur Schweiz derart eng sind, dass besondere Gründe erforderlich erscheinen, um den Aufenthalt einer ausländischen Person zu beenden (siehe auch das Urteil 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 5.1). Dies ist regelmässig der Fall, wenn ein Widerrufsgrund vorliegt. Ob die Bewilligung der Beschwerdeführerin im Rahmen der angerufenen Bewilligungsansprüche zu Recht nicht verlängert wurde, ist praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung und keine solche des Eintretens (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen).
1.3. Die beiden Söhne sind im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht nicht als Parteien zugelassen worden, da sie nicht Adressaten der Verfügung des Migrationsamts vom 21. Juli 2017 gewesen seien. Ob ihre Parteistellung zu Recht verneint wurde, erscheint zweifelhaft (vgl. das Urteil 2C_603/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 3.2) : Die Söhne sind im Rubrum der entsprechenden Verfügung aufgeführt; sie haben ein schutzwürdiges eigenes Interesse daran, dass der Entscheid, die Bewilligung ihrer Mutter nicht zu verlängern, aufgehoben wird, müssten sie doch zwar nicht aus rechtlichen, aber aus tatsächlichen Gründen derzeit im Hinblick auf ihre Minderjährigkeit das Land mit der obhutsberechtigten Mutter verlassen (BGE 143 I 21 E. 5.4 S. 28 f.; 142 III 612 E. 4.1 S. 614; Urteil 2C_332/2018 vom 17. Januar 2019 E. 3.1). Es erübrigt sich indessen, die Problematik weiter zu vertiefen: Die Interessenlage der Mutter deckt sich mit derjenigen ihrer Söhne; im Übrigen handelte sie als sorge- und obhutsberechtigte Person für diese. Trotz Verneinens der Parteistellung berücksichtigte die Vorinstanz bei der Verhältnismässigkeitsprüfung auch die Situation der Kinder. Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich (vgl. nachstehende E. 2) einzutreten (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.4. Nicht Gegenstand des Verfahrens bildet die Verfügung des Migrationsamts vom 31. Januar 2019, womit dieses auf das Wiedererwägungsgesuch vom 10. und 31. August 2018 nicht eingetreten ist. Insofern wurde der kantonale Instanzenzug noch nicht ausgeschöpft (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht zwar von Amtes wegen an; es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 90 AIG und Art. 42 und Art. 106 BGG) - jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu ins Auge springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3); dies ist hier nicht der Fall. Das Bundesgericht ist im Übrigen an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid verfassungsbezogen aufzuzeigen ist (Art. 105 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die Beweiswürdigung (vgl. das Urteil 2C_314/2018 vom 10. Januar 2019 E. 2.2.1 mit Hinweisen).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer beanstanden das angefochtene kantonale Urteil weitgehend appellatorisch, d.h. sie wiederholen ihre Sicht der Dinge und stellen diese derjenigen der Vorinstanz in einer Weise gegenüber, wie sie dies bei einem Gericht mit voller Prüfungskognition tun könnten; sie legen nur punktuell dar, inwiefern das Verwaltungsgericht die Beweise in Verletzung von Art. 9 BV (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich fehlerhaft ermittelt hätte. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt eine rein appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/ Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu Art. 42 BGG).
2.2.2. Von Willkür kann nicht bereits dann die Rede sein, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erschiene oder sogar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, was durch die Beschwerdeführer nicht nur zu behaupten, sondern detailliert auszuführen und - soweit möglich - zu belegen ist. Soweit die Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellung in einzelnen Punkten - hinreichend begründet - als willkürlich beanstanden, werden ihre Einwände im Zusammenhang mit der jeweiligen Rechtsfrage geprüft.
2.3.
2.3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass sie nur wenige Tage nach dem vorinstanzlichen Urteil eine Stelle gefunden habe und heute somit nicht mehr von der Sozialhilfe abhängig sei. Die Arbeit ermögliche ihr einen Verdienst von rund Fr. 3'000.--; im Übrigen erhalte sie über eine Schuldneranweisung, die inzwischen rechtskräftig sei, die vom Richteramt U._ festgesetzten Unterhaltsbeiträge für die beiden Söhne von je Fr. 360.--. Es seien heute keine Unterstützungsleistungen durch die Sozialhilfe mehr erforderlich; diese könnten vielmehr inzwischen in kleinen Etappen zurückbezahlt werden. Die entsprechende Änderung der Ausgangslage sei als Novum im bundesgerichtlichen Verfahren zuzulassen. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn gebe Anlass dazu, diese neuen Tatsachen vor Bundesgericht vorzutragen, da die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen sei, dass eine Loslösung von der Sozialhilfe kaum realistisch erscheine und es als unsicher zu gelten habe, ob der Vater seinen Pflichten den Söhnen gegenüber nachkommen wird.
2.3.2. Aufgrund von Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Urteil eingetreten sind, bleiben vor Bundesgericht in jedem Fall unberücksichtigt (vgl. BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123; 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen). Nur weil die Vorinstanz nicht der rechtlichen Beurteilung der Beschwerdeführerin gefolgt ist, gibt der angefochtene Entscheid noch keinen Anlass, neue Beweismittel zuzulassen. Dazu müsste das kantonale Gericht materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - rechtserheblich würden (vgl. die Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4; 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3 und 2C_1071/2014 vom 28. Mai 2015 E. 1.4 mit Hinweisen). Dies trifft hier nicht zu: Die Beschwerdeführerin hat ihre Arbeitsstelle erst nach dem angefochtenen Urteil gefunden, womit es sich dabei um ein nicht zu berücksichtigendes echtes Novum handelt; dasselbe gilt bezüglich der Schuldneranweisung für die vom offenbar inzwischen wieder in Teilzeit arbeitenden Vater auszurichtenden Unterhaltsbeiträge. Sollte die Beschwerdeführerin hierüber vor Erlass des letztinstanzlichen kantonalen Urteils Kenntnis gehabt haben, wäre es an ihr gewesen, den entsprechenden Umstand noch rechtzeitig in das kantonale Verfahren einzubringen (BGE 136 III 123 E. 4.4.3 S. 129). Noven sind in der Regel nicht vor Bundesgericht geltend zu machen; sie können allenfalls Gegenstand eines neuen Gesuchs oder eines Wiedererwägungsantrags im Kanton bilden (vgl. das Urteil 2C_332/2018 vom 17. Januar 2019 E. 2.3).
3.
Die Vorinstanz hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 43 und Art. 50 AIG sowie zum umgekehrten Familiennachzug von Drittstaatsangehörigen im Rahmen von Art. 8 EMRK zutreffend wiedergegeben; es erübrigt sich, diese im Detail zu wiederholen. Es genügt im Wesentlichen, die Rechtmässigkeit der Subsumption des Sachverhalts durch das Verwaltungsgericht zu prüfen:
3.1.
3.1.1. Nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AIG besteht nach dem Scheitern der Familiengemeinschaft der Bewilligungsanspruch des an sich ausreisepflichtigen Ausländers fort, wenn (kumulativ) die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert und sich der betroffene Ausländer erfolgreich integriert hat. Dies ist praxisgemäss nicht der Fall, wenn er kein Erwerbseinkommen erwirtschaftet, welches seinen Konsum zu decken vermag, oder er während einer substanziellen Zeitdauer Sozialhilfeleistungen bezieht; die ausländische Person hat für eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AIG für sich selber aufzukommen: Sie darf keine nennenswerten Sozialhilfeleistungen beziehen und nicht erheblich verschuldet sein (vgl. das Urteil 2C_175/2015 vom 30. Oktober 2015 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.1.2. Zwar hält sich die Beschwerdeführerin seit mehr als drei Jahren in der Schweiz auf, doch ist sie über Jahre hinweg von der Sozialhilfe abhängig geblieben. Die Beschwerdeführerin ist seit 2006 bis zum vorinstanzlichen Entscheid ununterbrochen auf Sozialhilfeleistungen angewiesen gewesen; sie vermochte bereits früher, als sie noch mit ihrem Gatten zusammen lebte, nicht ohne staatliche Unterstützung für die Familie und sich selber aufzukommen. Nach der Trennung vom Ehemann verblieben ihr rund vier Jahre, um sich losgelöst vom - nach ihrer Erklärung patriarchalisch auftretenden - Gatten zu integrieren; in dieser Zeit bemühte sie sich um eine gewisse Verbesserung ihrer Situation. In deren Folge hatte der Bezug von Sozialleistungen zwar abgenommen, er betrug aber unbestrittenermassen immer noch rund Fr. 900.-- pro Monat.
3.1.3. Entgegen dem Einwand der Beschwerdeführerin, sie habe mangels einer Aufenthaltsbewilligung keine Arbeit finden können, hat das Migrationsamt ihr und potentiellen Arbeitgebern gegenüber jeweils erklärt, dass sie während des hängigen Verfahrens befugt sei, in der Schweiz zu arbeiten. Ihr Vorwurf gegen das Migrationsamt, es habe dazu beigetragen bzw. gar beabsichtigt, sie in der Arbeitslosigkeit zu belassen, ist unberechtigt: In den Akten gibt es keinerlei Hinweis auf ein entsprechendes Vorgehen des Migrationsamts - im Gegenteil versuchten die kantonalen Behörden über Jahre hinweg, ihr bei der Integration zur Seite zu stehen. Das zuständige Amt für Soziale Sicherheit schätzte die Chancen der Beschwerdeführerin auf dem Arbeitsmarkt als "eher schlecht" ein; aufgrund der "schleppenden Mitwirkung" der Beschwerdeführerin könne ihr - so das Amt weiter - keine positive Zukunftsprognose gestellt werden. In Anbetracht dieser Elemente (fortbestehende Sozialhilfeabhängigkeit und wenig Engagement bei der Integration und der Arbeitssuche) durfte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht zum Schluss kommen, dass die Beschwerdeführerin nicht als hinreichend integriert im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AIG gelten kann; sie hat dabei weder den Sachverhalt in offensichtlich unhaltbarer Weise festgestellt, noch die einzelnen Elemente willkürlich gewürdigt (vgl. vorstehende E. 2.2).
3.2.
3.2.1. Nichts anderes ergibt sich unter dem Gesichtspunkt von wichtigen Gründen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AIG) sowie im Zusammenhang mit Art. 8 EMRK (Art. 13 Abs. 1 BV) und dem dem Vater eingeräumten Besuchsrechts zu den beiden Söhnen, die gestützt auf die derzeitige zivilrechtliche Ausgangslage ausländerrechtlich das Land mit ihrer sorge- und obhutsberechtigten Mutter zu verlassen hätten, sollte ihr Verbleib beim Vater oder gestützt auf den Willen der sorgeberechtigten Mutter an einem anderen Ort (bspw. Internat) ausser Betracht fallen (vgl. BGE 139 II 393 E. 4.2.3 S. 400). Das unmündige Kind teilt aus familienrechtlichen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 ZGB; Urteil 2C_31/2007 vom 27. Juli 2007 E. 2.5) grundsätzlich das ausländerrechtliche Schicksal des sorgeberechtigten Elternteils und hat gegebenenfalls mit diesem das Land zu verlassen, wenn jener seinerseits sein Anwesenheitsrecht verloren und kein eigenständiges Aufenthalts- oder Verbleiberecht erworben hat. Das Verfassungs- (Art. 13 Abs. 1 i.V.m. Art. 36 Abs. 3 BV) und das Konventionsrecht (Art. 8 EMRK) gebieten praxisgemäss, die individuellen Anliegen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Beendigung gegeneinander abzuwägen, wenn zumindest eine der beteiligten Personen in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, wie dies hier gestützt auf die Niederlassungsbewilligungen des Vaters und der Söhne der Fall ist (vgl. BGE 144 I 91 E. 4.2 S. 96; 135 I 153 E. 2.2.1 S. 56, 143 E. 2 S. 147 f.; 122 II 1 E. 2 S. 5 f.; 116 Ib 353 E. 3 S. 357 ff.).
3.2.2. Der nicht sorge- bzw. hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel - so oder anders - nur in einem beschränkten Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Verkehr bzw. den damit verbundenen Betreuungsanteilen (Art. 273 Abs. 1 ZGB ["Besuchsrecht"]; BGE 144 I 91 ff.). Hierfür ist nicht erforderlich, dass der betroffene Elternteil sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über eine Anwesenheitsberechtigung verfügt (BGE 144 I 91 E. 5.1 S. 96 f.). Voraussetzung für die Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, um das Recht auf persönlichen Umgang (Besuchsrecht) gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK in der Schweiz leben zu können, ist (1) eine in affektiver und (2) in wirtschaftlicher Hinsicht enge Eltern-Kind-Beziehung, (3) der Umstand, dass diese wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Staat, in welchen die ausländische Person auszureisen hätte, praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte, und (4) sich die ausreisepflichtige Person in der Schweiz bisher weitgehend "tadellos" verhalten hat (BGE 144 I 91 E. 5.2 S. 97 f.). Dabei ist in der Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK auch den Anliegen der Kinder Rechnung zu tragen (BGE 144 I 91 E. 5.2 S. 97 f.).
3.2.3. Der in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigte Vater unterhält unbestrittenermassen eine affektive Beziehung zu seinen beiden Söhnen. Hingegen erscheint fraglich, ob auch in wirtschaftlicher Hinsicht von einer engen Eltern-Kind-Beziehung ausgegangen werden kann: Der Ehegatte der Beschwerdeführerin hat während Jahren die ihm auferlegten Unterhaltszahlungen für die Kinder nicht erbracht. Die Beziehungen zu diesen können vom Vater - unter einer sachgerechten Anpassung des Umfangs des Rechts auf persönlichen Umgang - besuchsweise in der Schweiz oder in Mazedonien gepflegt werden. Es besteht auch die Möglichkeit, die Beziehung dank der modernen Kommunikationsmittel praktisch täglich über die Grenzen hinweg zu leben. Die Distanz zwischen der Schweiz und Mazedonien verunmöglicht nicht, den Kontakt des Vaters mit seinen Kindern zu wahren (vgl. BGE 144 I 91 E. 5.2.3 S. 99). Hinsichtlich des tadellosen Verhaltens ist zu berücksichtigen, dass sowohl die Mutter wie der Vater für die beiden Söhne während Jahren nicht aufkommen konnten und in erheblicher Weise Sozialhilfegelder beziehen mussten (vgl. das Urteil 2C_234/2010 vom 11. Juli 2011 E. 2.4.3 beim umgekehrten Familiennachzug zum Schweizer Kind). Die entsprechenden Ausführungen bezüglich des Vaters gelten für die Mutter in gleicher Weise, sollten die beiden Söhne mit ihrem Vater in der Schweiz verbleiben, wie dieser inzwischen im Zivilverfahren beantragt hat.
4.
4.1. Wenn die Ausländerin oder der Ausländer bzw. eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist, liegt hierin ein Erlöschens- bzw. Widerrufs- oder Nichtverlängerungsgrund für Aufenthaltsbewilligungen, die im Rahmen von Art. 43 (Familiennachzug zu niedergelassener Person) und Art. 50 AIG (Fortbestand der Bewilligung nach Auflösung der Familiengemeinschaft) erteilt werden (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG). Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung einer ausländischen Person wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu verhindern. Ob bei Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung eine weitere Belastung der Sozialhilfe besteht, ist nicht mit Sicherheit feststellbar. Es muss auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung abgestellt werden, wobei das bisherige Verhalten der Betroffenen bei der Prognose mitzuberücksichtigen ist.
4.2. Für die Bejahung des Widerrufsgrunds ist eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalisierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_900/2014 vom 16. Juli 2015 E. 2.2; 2C_673/2011 vom 3. August 2012 E. 4.2.1; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht in die Beurteilung miteinzubeziehen. Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung fällt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt bzw. jenen ihrer Familie wird aufkommen können (BGE 122 II 1 E. 3c S. 8; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3). Allerdings ist auch im Rahmen von Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, wobei vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Dauer der Anwesenheit im Lande von Bedeutung sind (Botschaft zum AuG, BBl 2002 3809 f.; Amtl. Bull. 2004 N 1088 f.).
5.
Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin ist die Auffassung der Vorinstanz nicht bundesrechtswidrig, wonach die Voraussetzungen für eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Zeitpunkt des verwaltungsgerichtlichen Entscheids gegeben waren.
5.1. Die Beschwerdeführerin und ihre Familie werden seit 2006 von der Sozialhilfe unterstützt; dies auch seit sie sich im Juni 2013 von ihrem Gatten getrennt hat. Bis zu diesem Zeitpunkt betrug die der ganzen Familie gewährte Unterstützung etwa Fr. 300'000.--. Nach der Trennung bezog die Beschwerdeführerin bis im Juni 2018 für sich und ihre Söhne noch Sozialhilfeleistungen von insgesamt Fr. 161'503.--. Die Gesamtunterstützung beläuft sich somit auf rund Fr. 460'000.--. Entgegen der Kritik der Beschwerdeführerin ist es nicht zu beanstanden und nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz auf die Gesamtunterstützung, d.h. auch auf jene der Familie vor dem Juni 2013 abgestellt hat. Das Verwaltungsgericht hat den Sozialhilfebezug durch die Familie (mit Ehemann) und der (Rest-) Familie nach dem Juni 2013 klar voneinander getrennt. Nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG erlöscht der Bewilligungsanspruch, wenn Personen, für welche die ausländische Person - hier die Beschwerdeführerin - "zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen" sind; auch die Sozialhilfeleistungen vor dem Juni 2013 waren für die Beurteilung des Falles somit von Bedeutung.
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin wurde wiederholt darauf aufmerksam gemacht, dass sie ihre finanzielle Situation zu verbessern habe; sowohl im Jahr 2007 als auch im Jahr 2011 wurden ihre Gesuche um Erteilung der Niederlassungsbewilligung aus diesem Grund abgewiesen. Es musste ihr somit klar sein, dass sie nunmehr alles ihr Zumutbare vorzukehren hatte, um sich von der Fürsorge zu lösen, andernfalls ihr weiterer Aufenthalt gefährdet erschien. Dies tat sie indessen nicht: Sie kümmerte sich weiterhin um ihre damals 7 und 10 Jahre alten Kinder und bezog für ihren Lebensunterhalt Sozialhilfe. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es einer alleinerziehenden Mutter indessen ausländerrechtlich zumutbar, sich nach dem 3. Altersjahr der Kinder um Arbeit zu bemühen (vgl. das Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4 mit Hinweisen). Dies gilt hier umso mehr, als der Ehemann - ab dem Zeitpunkt seiner Aussteuerung - sich um die Kinder hätte kümmern können.
5.2.2. Zwar hat die Beschwerdeführerin sich um Arbeit bemüht, nachdem ihr im April 2016 mitgeteilt worden war, dass beabsichtigt sei, ihre Aufenthaltsbewilligung nicht mehr zu erneuern. Seit dem 1. Juli 2017 verdiente sie Fr. 9'713.60, welche zur Verrechnung an den Sozialdienst gingen, gleichzeitig bezog sie indessen wiederum Fr. 33'184.-- an Sozialhilfegeldern. Wenn die Vorinstanz gestützt auf diese Elemente annahm, dass zukünftig und längerfristig mutmasslich nicht davon ausgegangen werden könne, dass die Beschwerdeführerin mit ihren Kindern sich von der Sozialhilfe würde lösen können, ist dies vertretbar (vgl. vorstehende E. 2.2.2).
5.2.3. Dasselbe gilt für die Feststellung, dass der Vater der beiden Knaben seinen Verpflichtungen höchst wahrscheinlich nicht werde nachkommen können, da davon auszugehen sei, dass er nur zu 50 % arbeiten werde. Die Beschwerdeführerin ist trotz zahlreicher Mahnungen und Warnungen seit 12 Jahren andauernd auf Sozialhilfeleistungen angewiesen gewesen, was im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids, auf den abzustellen ist, willkürfrei (vgl. vorstehende E. 2.2.2) den Schluss zuliess, dass sie ihren Lebensunterhalt (und den ihrer Kinder) nicht in absehbarer Zeit dauerhaft ohne Sozialhilfeleistungen würde bestreiten können.
5.3. Die Beschwerdeführerin war zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids in der Schweiz ungenügend integriert: Sie lebte im Familienverband und unter Landsleuten. Nach dem ihr zweites Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung abgelehnt worden war, versuchten die kantonalen Behörden sie über eine Integrationsvereinbarung anzuhalten, ihre Deutschkenntnisse zu verbessern und sich eine substanzielle Teilzeiterwerbstätigkeit zu verschaffen. Die Vereinbarung kam indessen wegen des Verhaltens der Beschwerdeführerin nicht zustande: Teilweise verschob sie unter verschiedenen Vorwänden die jeweiligen Treffen oder sie blieb ihnen gar unentschuldigt fern. Die hierauf gestützte Annahme, die Beschwerdeführerin zeige wenig Integrationsbereitschaft, ist nicht willkürlich (vgl. die vorstehende E. 2.2). Erst auf den Druck des Sozialdienstes und der drohenden Wegweisung hin begann die Beschwerdeführerin einen Deutschkurs zu belegen, wobei sie das zweite von fünf Niveaus erreichte (A 2).
5.4. Der Einwand, ihr Ehegatte und sein kulturbedingtes patriarchalisches Verständnis der Familie seien schuld daran, dass sie sich nicht habe integrieren können, überzeugt in dieser allgemeinen Form nicht: Die Beschwerdeführerin hält sich seit rund 17 Jahren in der Schweiz auf; in diesem Zeitrahmen durfte von ihr - allenfalls in Auseinandersetzung mit ihrem Gatten - eine minimale Integration in die hiesigen Verhältnisse erwartet werden. Die Kontakte zum Sozialdienst und zum Migrationsamt hätten es ihr ermöglicht, sich beraten zu lassen, wie sie mit den Vorgaben ihres Ehemanns umgehen und ihre Situation beruflich wie privat verbessern könnte. Die Beschwerdeführerin kann ihre Gleichgültigkeit und ihren Willen, nur für die Kinder dazusein, nicht allein mit dem Verhalten ihres Mannes rechtfertigen - das gilt insbesondere seit der Trennung von diesem im Juni 2013. Spätestens ab diesem Zeitpunkt hätte sie sich, von allfälligen Einschränkungen durch ihren Gatten befreit, hier integrieren und dafür sorgen können, dass ihr Unterhalt nicht weiterhin aus öffentlichen Geldern (mit-) zufinanzieren war. Soweit sie einwendet, sie habe keine Ahnung gehabt, woher die Gelder für den Lebensunterhalt während all der Jahre gekommen seien, erscheint dies unglaubwürdig, zumal ihr sowohl der Sozialdienst wie das Migrationsamt wiederholt dargelegt haben, dass sie sich von den Fürsorgeleistungen lösen müsse.
5.5. Wie sich aus den Betreibungsregisterauszügen vom 5. Januar 2017 und 18. Juli 2017 ergibt, bestehen gegen die Beschwerdeführerin eine offene Betreibung über Fr. 1'632.60 und 15 Verlustscheine in einem Gesamtbetrag von Fr. 18'460.70. Aufgrund der Natur der Forderungen (Versandhäuser usw.) durfte die Vorinstanz willkürfrei (vgl. vorstehende E. 2.2.2) annehmen, dass die Beschwerdeführerin hiervon Kenntnis gehabt hat und sie die Schulden nicht allein und ohne zu wissen, was sie tat, für ihren Gatten eingegangen ist. Gegen ihren Ehemann bestanden während des Zusammenlebens 60 Verlustscheine im Umfang von Fr. 81'157.89. Für einen Teil dieser Schulden haftet die Beschwerdeführerin gemeinsam mit diesem (Steuern, Krankenkasse usw.). Soweit sie geltend macht, sie sei von ihrem Ehemann ausgenutzt und unterdrückt worden, hat sie weder die Systematik der behaupteten Kontroll- und Machtausübung noch deren Intensität oder zeitliches Andauern belegt (Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2). Der nicht weiter glaubhaft gemachte Hinweis auf ein patriarchalisches Rollenverständnis seitens des Ehemanns genügt nicht, um ihre Bewilligung wegen häuslicher Gewalt im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit dessen Abs. 2 (nachehelicher Härtefall) zu erneuern. Mit der Vorinstanz ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin seit der Trennung im Jahr 2013 (und dem Wegfall des angeblichen Drucks durch den Ehemann) genügend Zeit gehabt hätte, ihre Integration intensiver voranzutreiben. Auch insofern ist der Sachverhalt nicht offensichtlich falsch festgestellt und die Beweiswürdigung durch die Vorinstanz in unhaltbarer Weise erfolgt (vgl. vorstehende E. 2.2.2), selbst wenn die Beschwerdeführerin sich in dieser Zeit einige zusätzliche Arbeitsstunden als Putzfrau beschaffen konnte, was zu einer gewissen Reduktion der noch erforderlichen Sozialhilfeleistungen beitrug. Die Beschwerdeführer halten selber fest, dass das Erlernen der deutschen Sprache als Voraussetzung einer Erwerbstätigkeit sowie die berufliche Tätigkeit als solche objektiv betrachtet "während Jahren zweifellos ungenügend" gewesen sind.
6.
6.1. Die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin ist schliesslich auch verhältnismässig: Sie lebte bis zu ihrem 22. Lebensjahr in Mazedonien und hat dort ihre persönlichkeitsprägenden Kinder- und Jugendjahre verbracht; sie ist mit den heimatlichen Sitten, Gepflogenheiten und Lebensumständen vertraut. Die Beschwerdeführerin hielt sich in der Schweiz vor allem unter Landsleuten auf und bemühte sich weder beruflich noch sozial um die von ihr erwartete rasche Integration in die hiesigen Verhältnisse. Es ist nicht offensichtlich unhaltbar (vgl. vorstehende E. 2.2.2), wenn das Verwaltungsgericht deswegen angenommen hat, dass ihr die Rückkehr nach Mazedonien sicher nicht leicht fallen werde, es ihr aber dennoch möglich sei, an frühere Bekanntschaften und familiäre oder schulische/berufliche Bindungen anzuknüpfen und sich in Mazedonien wieder zurechtzufinden.
6.2.
6.2.1. Ihren beiden Söhnen dürfte die Ausreise schwieriger fallen: Sie sind in der Schweiz geboren und haben ihre Schulen hier besucht. Das (ausländische) unmündige Kind teilt - wie bereits dargelegt - in der Regel bereits aus familienrechtlichen Gründen das ausländerrechtliche Schicksal des sorge- und obhutsberechtigten Elternteils (BGE 143 I 21 E. 5.4 S. 28 f.; Urteil 2C_332/2018 vom 17. Januar 2019); es hat gegebenenfalls das Land mit diesem zu verlassen, wenn er hier über keine Anwesenheitsberechtigung mehr verfügt (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 sowie Art. 301a ZGB; BGE 133 III 305 E. 3.3). Die Söhne der Beschwerdeführerin sind 15- bzw. 13-jährig. Ihnen ist es zumutbar, mit ihrer Mutter nach Mazedonien zurückzukehren.
6.2.2. Die mazedonische Kultur wurde den beiden Söhnen durch ihre Eltern vermittelt; in der Familie wurde Albanisch gesprochen, konnte die Beschwerdeführerin sich doch nicht auf Deutsch oder in einer anderen Sprache verständigen. Die hier erworbenen schulischen Kenntnisse werden den Beschwerdeführern 2 und 3 auch in der Heimat nützlich sein. Der Nachteil, dass die beiden nur Albanisch und nicht Mazedonisch schreiben und sprechen, bildet zwar ein Integrationshindernis, doch ist Albanisch in Mazedonien gebietsweise eine offizielle Sprache; sie wird immerhin von rund 25 % der Gesamtbevölkerung gesprochen. Die Söhne befinden sich noch in einem anpassungsfähigen Alter und werden sich sprachlich wie sozial an die Verhältnisse in Mazedonien gewöhnen können, auch wenn sie das Land bisher nur durch ihre Eltern kennengelernt haben sollten.
6.2.3. Die Niederlassungsbewilligungen der Jugendlichen erlöschen spätestens durch ihre Abmeldung ins Ausland und ohne eine solche nach Ablauf von sechs Monaten (vgl. Art. 61 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 AIG). Ein Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Kinder wäre nur möglich, falls sie selber einen Widerrufsgrund gesetzt hätten, was hier nicht der Fall ist, weshalb die kantonalen Behörden deren Bewilligungen zu Recht nicht widerrufen haben (vgl. ZÜND/ARQUINT HILL, Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Uebersax/ Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 8.23 S. 323; Urteile 2C_95/2018 bzw. 2C_96/2018 vom 7. August 2018 E. 7; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 1.2; 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 4.4.1 und 4.4.2; 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3; 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 4). Der Vater der beiden Jugendlichen hat inzwischen beantragt, ihm die alleinige elterliche Sorge zu übertragen, sodass nicht ausgeschlossen werden kann, dass die Kinder möglicherweise beim Vater in der Schweiz verbleiben werden. Dies kann hier indessen nicht berücksichtigt werden: Ausschlaggebend sind die (zivilrechtlich) tatsächlich gelebten Vorgaben zur Zeit des letzten kantonalen richterlichen Entscheids über die Bewilligungsfrage (vgl. Urteile 2C_123/2015 vom 30. September 2015 E. 2.3; 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 2.2 und 3.3). Es besteht in der Regel in diesem Zusammenhang kein Grund, das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren bis zur definitiven Klärung der zivilrechtlichen Nebenfolgen zu sistieren (BGE 143 I 21 E. 5.5.4 S. 31 f.; Urteil 2C_123/2015 vom 30. September 2015 E. 2.7). Eine allfällige Änderung der zivilrechtlichen Ausgangslage ist im Rahmen eines ausländerrechtlichen Wiedererwägungsgesuchs oder eines neuen Bewilligungsgesuchs geltend zu machen. Sollten die Kinder bei ihrem Vater in der Schweiz verbleiben, wäre es der Beschwerdeführerin möglich, bei einer entsprechenden Anpassung des Rechts auf persönlichen Umgang, die familiären Beziehungen besuchsweise und über die klassischen und die modernen Kommunikationsmittel von Mazedonien aus zu pflegen.
6.2.4. Schliesslich verkennen die Beschwerdeführer die Tragweite der Garantien des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (SR 0.107) bzw. von Art. 11 BV (besonderer Schutz von Kindern und Jugendlichen), soweit sie sich für die Beibehaltung der Bewilligung der Beschwerdeführerin direkt auf diese Bestimmungen berufen: Aus den entsprechenden Regelungen ergibt sich kein Anspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Anwesenheitsbefugnis (vgl. das Urteil 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3 mit Hinweisen); den in der Kinderrechtskonvention geregelten Aspekten sowie Art. 11 BV ist jeweils im Rahmen der Auslegung bzw. der Interessenabwägung bei der Anwendung der einschlägigen nationalen Bestimmungen als einem Element unter anderen (Steuerung der Einwanderung, wirtschaftliches Wohl des Landes, Verhinderung von Straftaten usw.) Rechnung zu tragen (BGE 144 II 1 E. 5 S. 11 f. mit Hinweis; Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 1.3.3).
7.
7.1. Das öffentliche Interesse an einer regulierten Zuwanderung und am Schutz des Sozialhilfesystems rechtfertigt vorliegend den Eingriff in den Schutz des Familien- und des Privatlebens im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gestützt auf den durch die Vorinstanz willkürfrei für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt unbegründet und daher abzuweisen. Die Entwicklungen, die seit dem angefochtenen Urteil eingetreten sind, können auf kantonaler Ebene im Rahmen eines neuen Gesuchs bzw. eines Wiedererwägungsgesuchs geltend gemacht werden. Dabei wird im Hinblick auf die lange Anwesenheit der Beschwerdeführerin in der Schweiz und auf die Situation ihrer Söhne die rechtliche Beurteilung allenfalls anders ausfallen können, sollte die Beschwerdeführerin sich inzwischen tatsächlich von der Fürsorge abgelöst haben und kein Anlass bestehen, davon auszugehen, dass dies nur punktuell oder vorübergehend der Fall war oder allenfalls ein anderer Widerrufsgrund zu prüfen wäre. Zu berücksichtigen wäre auch, ob die Beschwerdeführerin, wie sie in ihrer Eingabe an das Bundesgericht geltend macht, inzwischen mit Rückzahlungen begonnen hat oder zumindest über einen Abzahlungsplan verfügt.
7.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die unterliegenden Beschwerdeführer solidarisch kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Sie haben nur beantragt, es sei kein Kostenvorschuss einzuholen, hingegen haben sie kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Verbeiständung gestellt und begründet (Art. 64 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar