Erwägungen:
1.
A._ erstattete "Strafantrag und Zivilklage" beim Untersuchungsamt St. Gallen gegen verschiedene Mitarbeitende und Behördenmitglieder des Bistums St. Gallen und des Katholischen Konfessionsteils des Kantons St. Gallen wegen unterlassener Nothilfe, Nötigung und Amtsmissbrauchs. A._ war jahrelang in kirchlichen Diensten tätig. Am 13. August 1994 erhielt er die Institutio als Pastoralassistent im Kanton St. Gallen. A._ wurde im Juni 2013 als Religionslehrer und Pastoralassistent bei der Kirchgemeinde U._ mit einem Pensum von 70% befristet auf zwei Jahre angestellt. Im März 2014 ersuchte der Kirchenverwaltungsratspräsident der Gemeinde U._ den Bischof, den Schutz der Missio von A._ per 31. Juli 2014 aufzuheben, damit man das Arbeitsverhältnis mit A._ kündigen könne. Mit Schreiben vom 31. März 2014 antwortete der Bischof, dass er die Missio in diesem konkreten Fall nicht schützen werde. In der Folge wurde das Arbeitsverhältnis aufgelöst. Mit Dekret vom 15. Dezember 2015 sistierte der Bischof die Institutio als Pastoralassistent für fünf Jahre. Nach Beendigung des Anstellungsverhältnisses in U._ gelang es A._ nicht mehr, eine neue Stelle zu finden. Gemäss Anzeige hätte dies zu einer Notlage geführt. In diesem Zusammenhang wirft A._ den Angezeigten vor, sie hätten die gebotene Nothilfe unterlassen. Auch würden die Angezeigten die Tatbestände der Nötigung und des Amtsmissbrauchs erfüllen.
Das Untersuchungsamt St. Gallen leitete die Akten am 1. März 2019 an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens weiter. Die Anklagekammer erteilte mit Entscheid vom 2. April 2019 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, es seien keine hinreichend konkreten Anhaltspunkte auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten ersichtlich. Vielmehr handle es sich im Kern um eine arbeits- bzw. kirchenrechtliche Angelegenheit.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 17. Mai 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer übt hauptsächlich appellatorische Kritik und vermag mit seinen Ausführungen nicht konkret aufzuzeigen, inwiefern die Verweigerung der Ermächtigung Recht im Sinne von Art. 42 BGG verletzen sollte. Soweit er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend macht, legt er nicht nachvollziehbar dar, welche "Fakten", die Anhaltspunkte auf ein allfällig strafbares Verhalten erbringen könnten, die Anklagekammer übergangen haben sollte. Mit der Gehörsrüge beanstandet er vielmehr den Umstand, dass die Anklagekammer die ihm vom Beschwerdeführer unterbreiteten Fragen im Kern als arbeits- und kirchenrechtliche Angelegenheit beurteilte, wofür sie sich als nicht zuständig erklärte. Inwiefern diese Auffassung verfassungswidrig seine sollte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Anklagekammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise das Vorliegen von hinreichend konkreten Anhaltspunkten auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten verneint haben sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli