Erwägungen:
1.
Die Beschwerdegegnerin betreibt die Beschwerdeführerin für eine Forderung von Fr. 1'251.20 (Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamts Basel-Stadt). Mit Entscheid vom 20. November 2019 erteilte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt der Beschwerdegegnerin gegenüber der Beschwerdeführerin in dieser Betreibung die provisorische Rechtsöffnung und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ab (Verfahren V.2019.743). Das Dispositiv des Entscheids wurde der Beschwerdeführerin an der Verhandlung vom 20. November 2019 übergeben. Am 2. Dezember 2019 ersuchte die Beschwerdeführerin um schriftliche Begründung des Entscheids. Am 9. Dezember 2019 teilte die Beschwerdeführerin dem Zivilgericht für acht verschiedene hängige Verfahren mit, dass sie wegen Ortsabwesenheit ab sofort und bis zum 21. Januar 2020 ihre Post nicht mehr abholen könne. Das Zivilgericht sandte den schriftlich begründeten Entscheid vom 20. November 2019 der Beschwerdeführerin am 8. Januar 2020 per Gerichtsurkunde zu. Die Sendung konnte nicht zugestellt werden. Das Zivilgericht sandte den Entscheid am 22. Januar 2020 nochmals per Gerichtsurkunde zu. Am 5. Februar 2020 beantragte die Beschwerdeführerin Akteneinsicht in acht verschiedene beim Zivilgericht hängige Verfahren. Die Akteneinsicht fand am 20. Februar 2020 statt. Mit Schreiben vom 25. Februar 2020 teilte die Beschwerdeführerin dem Zivilgericht mit, dass auf dem Rechtsöffnungsentscheid ein Vollstreckbarkeitsstempel angebracht worden sei. Am 3. März 2020 meldete sie, dass sie die schriftliche Entscheidbegründung nie erhalten habe. Mit Verfügung vom 5. März 2020 teilte das Zivilgericht mit, dass die per Gerichtsurkunde vorgenommene Zustellung vom 8. Januar 2020 erfolglos gewesen sei und dass der begründete Entscheid am 22. Januar 2020 nochmals per Gerichtsurkunde zugestellt werden sollte, aber bis zum 30. Januar 2020 nicht abgeholt worden sei. Der Entscheid gelte der Beschwerdeführerin per diesem Tag als zugestellt, woran die angebliche Arbeitsunfähigkeit nichts ändere.
Gegen diese Verfügung erhob die Beschwerdeführerin am 21. März 2020 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Verfahren BEZ.2020.12). Sie verlangte, das Zivilgericht zu veranlassen, ihr den schriftlich begründeten Rechtsöffnungsentscheid mit einer intakten Anfechtungsfrist zuzustellen. Mit Entscheid vom 27. Juli 2020 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab.
Mit Eingabe vom 9. Oktober 2020 (Postaufgabe 10. Oktober 2020) ist die Beschwerdeführerin an das Appellationsgericht gelangt, wobei sie sich in erster Linie auf das Parallelverfahren BEZ.2020.13 (dazu Verfahren 5D_269/2020) bezog. Am Rande wendet sie sich auch gegen den Entscheid im Verfahren BEZ.2020.12 und gegen ein weiteres Verfahren. Das Appellationsgericht hat die Eingabe an das Bundesgericht weitergeleitet. Am 29. Oktober 2020 (Postaufgabe) hat die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht eine weitere Eingabe eingereicht, in der sie unter anderem ihre Orts- bzw. Landesabwesenheit bis 20. November 2020 mitgeteilt hat. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Der Entscheid vom 27. Juli 2020 ist der Beschwerdeführerin per Einschreiben zugesandt und am 18. August 2020 zur Abholung gemeldet worden. Aufgrund eines Postrückbehaltungsauftrags hat sie ihn erst am 15. September 2020 entgegengenommen. Eine eingeschriebene Sendung gilt auch in jenen Fällen, in denen der Post ein Rückbehaltungsauftrag erteilt wurde, spätestens am letzten Tag einer Frist von sieben Tagen ab Eingang bei der Poststelle am Ort des Empfängers als zugestellt, soweit der Adressat mit der fraglichen Zustellung hat rechnen müssen (BGE 134 V 49 E. 4 S. 51 f.; 141 II 429 E. 3 S. 431 ff.). Die Beschwerdeführerin hat das kantonale Beschwerdeverfahren angehoben und musste deshalb mit Zustellungen rechnen. Eine auf das Verfahren BEZ.2020.12 bezogene Mitteilung an das Appellationsgericht über ihre Abwesenheit wie im Parallelverfahren BEZ.2020.13 hat sie nicht verfasst. Ihre Mitteilung vom 3. August 2020 bezieht sich einzig auf das Rechtsöffnungsverfahren V.2019.764 (d.h. das appellationsgerichtliche Verfahren BEZ.2020.13). Selbst wenn man davon ausgehen würde, dass das Appellationsgericht die Mitteilung vom 3. August 2020 auch auf das vorliegende Verfahren BEZ.2020.12 hätte beziehen müssen, würde dies nichts an der Geltung der Zustellungsfiktion ändern. Hinsichtlich der fehlenden Vertrauensgrundlage, dass das Appellationsgericht eine solche Mitteilung akzeptieren würde, und hinsichtlich entsprechender Abmahnungen durch das Bundesgericht kann auf das Verfahren 5D_269/2020, E. 2, verwiesen werden. Demnach greift im Hinblick auf den Entscheid vom 27. Juli 2020 die Zustellungsfiktion (Art. 138 Abs. 3 lit. a ZPO; Art. 44 Abs. 2 BGG). Er gilt als am 25. August 2020 zugestellt. Die dreissigtägige Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) endete somit am 24. September 2020. Die Eingabe vom 10. Oktober 2020 ist verspätet. Die weitere Eingabe der Beschwerdeführerin an das Appellationsgericht vom 22. September 2020, die im Verfahren 5D_269/2020 behandelt wird, bezieht sich nicht auf das Verfahren BEZ.2020.12 und fällt demnach im vorliegenden Verfahren ausser Betracht.
3.
Die Beschwerdeführerin äussert sich in ihrer Eingabe vom 10. Oktober 2020 zu einem weiteren Rechtsöffnungsverfahren V.2019.472 bzw. BEZ.2020.40. Wie sie selber ausführt, ist dieses Verfahren am Appellationsgericht noch hängig. Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist demnach noch nicht zulässig (Art. 75 BGG). Das Bundesgericht hat auf die Eröffnung eines weiteren Verfahrens verzichtet.
4.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg