Faits :
A.
A.a. A._ SA et B._ SA exploitent des établissements hospitaliers privés en Suisse, dont respectivement la Clinique C._ à U._ et la B._ à V._. Ces deux cliniques figurent sur la liste cantonale valaisanne des hôpitaux admis à pratiquer à la charge de l'assurance-maladie obligatoire et se sont vu attribuer des mandats de prestations dans le cadre desquels des volumes d'activités ont été fixés en fonction des prestations et des secteurs d'activités.
Le 30 août 2017, en raison du dépassement des volumes d'activités arrêtés, le Conseil d'Etat du canton du Valais a décidé notamment de limiter la participation financière cantonale pour les cas 2015, 2016 et 2017 excédant le volume de rémunération reconnu; il a par ailleurs chargé le Département de la santé, des affaires sociales et de la culture (ci-après: le Département) des modalités d'application de sa décision à l'égard notamment de la Clinique C._ et de la B._. Le 18 septembre suivant, le Département a indiqué à la Clinique C._ qu'entre autres limitations, des montants de 71'780 fr. et de 15'074 fr. 35 lui seront déduits pour l'année 2015 en lien avec le volume total de rémunération ainsi que le respect des mandats de prestations, en application de la décision du Conseil d'Etat du 30 août 2017 qu'il lui transmettait en copie. Par mémoire daté du 19 octobre 2017, la Clinique C._ SA (par la suite A._ SA) a recouru à la fois devant le Tribunal cantonal valaisan et le Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 1er juin 2018, ce dernier n'est pas entré en matière sur le recours du 19 octobre 2017 après un échange de vues avec le Tribunal cantonal valaisan, Cour de droit public. Celui-ci a statué le 15 mars 2019 et rejeté le recours.
A.b. Le 29 juillet 2019, le Département a indiqué à la B._ qu'en application de la décision du Conseil d'Etat valaisan du 30 août 2017 et en raison d'un dépassement du volume d'activités dans le domaine de l'appareil locomoteur en 2016, une limitation du financement lui serait appliquée pour 63 cas, de sorte qu'un montant de 226'729 fr. ne lui serait pas accordé pour l'année 2016 et déduit d'un prochain acompte. Le même jour et de la même manière, il a fixé à 417'553 fr. le montant qui ne serait pas accordé à la Clinique C._ en raison d'un dépassement de 496 cas dans le domaine de l'appareil locomoteur en 2016.
B.
Saisi de recours, datés du 13 septembre 2019 et formés par A._ SA et B._ SA, contre le prononcé du 29 juillet 2019 les concernant respectivement, le Tribunal cantonal valaisan, Cour de droit public, les a transmis au Conseil d'Etat valaisan comme objet de sa compétence, par décision incidente du 17 septembre 2019. Après que A._ SA et B._ SA ont demandé la reconsidération de cette décision, le Tribunal cantonal a confirmé son prononcé et transmis les recours au gouvernement valaisan comme objet de sa compétence (décision incidente du 8 novembre 2019).
C.
A._ SA et B._ SA interjettent chacune un recours en matière de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel subsidiaire, contre la décision du 8 novembre 2019. Chacune en demande principalement la réforme en ce sens que la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais est compétente pour connaître de son recours contre la décision du 29 juillet 2019 du Département "et doit traiter ledit recours". Subsidiairement, elles demandent toutes deux l'annulation de cette décision et son renvoi au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants à intervenir.
Le Conseil d'Etat du canton du Valais, se référant à la prise de position similaire du Département de la santé, des affaires sociales et de la culture du canton du Valais, s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral sur la question de la compétence pour statuer sur les recours du 13 septembre 2019.
Considérant en droit :
1.
Les deux recours ont pour objet la même décision. Ils ont trait au même complexe de faits et portent sur une question juridique commune. Il y a dès lors lieu de joindre les causes et de les traiter dans un seul arrêt (art. 24 al. 2 PCF en corrélation avec l'art. 71 LTF).
2.
2.1. Selon l'art. 90 LTF, le recours est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. En vertu de l'art. 92 al. 1 LTF, les décisions préjudicielles et incidentes qui ont été notifiées séparément et qui portent sur la compétence peuvent faire l'objet d'un recours, en vertu de l'art. 92 al. 1 LTF; elles ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (art. 92 al. 2 LTF). Est susceptible de recours toute décision qui se rapporte à la compétence à raison du lieu ou de la matière mais également à la compétence fonctionnelle, qui concerne la répartition des instances de recours sur plusieurs organes pour un seul et même litige (ATF 138 III 558 consid. 1.3 p. 559).
Par sa décision, selon laquelle la voie du recours de droit administratif devant le Tribunal cantonal n'est pas ouverte et les recours des deux sociétés sont transmis au Conseil d'Etat valaisan comme objet de sa compétence, la juridiction cantonale a nié sa propre compétence pour statuer sur le litige. Le refus de compétence constitue en principe une décision finale au sens de l'art. 90 LTF (ATF 135 V 153 consid. 1.3 p. 156 et les références; arrêt 9C_1000/2009 du 6 janvier 2010 consid. 1.2 et les références, in SVR 2010 IV n° 40 p. 126; Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 10 ad art. 92 LTF; Felix Uhlmann, in Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 3e éd. 2018, n° 6 ad art. 92 LTF). Le point de savoir si une décision doit néanmoins être qualifiée de décision incidente au sens de l'art. 92 al. 1 LTF lorsque, comme en l'espèce, le tribunal saisi renvoie en même temps la cause à l'autorité compétente respectivement à l'organe administratif ou si la qualification de décision finale vaut aussi dans ce cas (cf. arrêt 8C_846/2011 du 19 avril 2012 consid. 2.2.1 et les références) peut demeurer ouvert, puisque la décision est en tous les cas susceptible d'un recours immédiat.
2.2. C'est le lieu de préciser que l'exception selon l'art. 83 let. k LTF ("décisions en matière de subventions auxquelles la législation ne donne pas droit") mentionnée par les recourantes n'entre pas en considération en l'occurrence, comme elles le soutiennent du reste.
Sur le fond, le litige porte sur la part de la rémunération des prestations hospitalières dues par l'Etat du Valais au sens de l'art. 49a LAMal. De manière générale, la rémunération en cause est liée à des prestations qui ont en principe été fournies par les établissements hospitaliers concernés, de sorte qu'elle semble à première vue allouée en fonction d'une contre-prestation économique concrète (sur la différence entre subventionnement et échange de prestations, ATF 141 II 182 consid. consid. 3.5 p. 189; cf. aussi FLORENCE AUBRY GIRARDIN, Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 117 ad art. 83). La qualification de subvention n'apparaît dès lors pas évidente, sans qu'elle doive être examinée plus avant. Au regard des conditions de l'art. 83 let. k LTF, il suffit de constater que dans le cadre de la rémunération prévue par le droit fédéral (art. 49a LAMal), la législation cantonale comprend des dispositions sur le "Financement LAMal" des prestations hospitalières qui définissent de manière suffisamment concrète les conditions auxquelles la participation financière cantonale est allouée, voire réduite (art. 12 et 13 de la loi du canton du Valais du 13 mars 2014 sur les établissements et institutions sanitaires [LEIS; RSVS 800.10] en relation avec les art. 11 ss et 21 s. de l'ordonnance valaisanne du 1er octobre 2014 sur la planification et le financement hospitaliers [RSVS 810.20]). En tout état de cause, il y aurait dès lors lieu de retenir un droit aux contributions en question, si bien que les conditions d'application de l'exception en cause ne seraient pas réalisées.
2.3. Comme la voie du recours en matière de droit public est ouverte, celle du recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (art. 113 LTF a contrario), de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le recours interjeté à ce titre par chacune des sociétés.
3.
3.1. Compte tenu des motifs et conclusions des recours, est seule litigieuse la question de savoir si la juridiction cantonale a violé le droit cantonal de procédure administrative en niant sa compétence pour traiter des écritures du 13 septembre 2019. Les recourantes se plaignent d'une application arbitraire de l'art. 73a al. 1 de la loi cantonale du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RSVS 172.6) et de violations du droit à la protection de la bonne foi et du principe de la bonne foi, ainsi que du droit à l'égalité de traitement.
3.2. Au vu des griefs soulevés, il convient de rappeler que le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire (ATF 137 V 143 consid. 1.2 p. 145). Il ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (ATF 139 I 57 consid. 5.2 p. 61). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible; en outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 140 III 167 consid. 2.1 p. 168).
Une exigence de motivation accrue prévaut en matière de violation des droits constitutionnels tels que la prohibition de l'arbitraire. Selon le principe d'allégation, la partie recourante doit expliquer de façon circonstanciée en quoi consiste la violation, respectivement où réside l'arbitraire (art. 106 al. 2 LTF; ATF 140 II 141 consid. 1.1 p. 144 s.).
4.
4.1. Selon l'art. 73a al. 1 LPJA, "lorsque, dans une affaire sujette à recours auprès du Tribunal cantonal, le Conseil d'Etat a prescrit à l'autorité inférieure, en dehors d'une procédure de recours pour déni de justice (art. 34) ou de renvoi (art. 60 al. 1), de prendre une décision ou lui a donné des instructions sur son contenu, il doit transmettre directement au Tribunal cantonal le recours qui lui est adressé. Dans ce cas, ce dernier examine le grief d'inopportunité si le Conseil d'Etat avait pu le faire".
4.2. De l'avis des premiers juges, la norme cantonale n'est pas applicable parce qu'une décision antérieure du Conseil d'Etat, à l'instar de celle du 30 août 2017, qui lie à la fois le Département et une série d'administrés ne peut être assimilée à des "instructions".
A cet égard, les recourantes soutiennent que l'interprétation de la juridiction cantonale de la notion d'instructions est à la fois erronée et insoutenable parce qu'elle repose sur un critère non pertinent.
4.3. L'art. 73a al. 1 LPJA présente des similitudes avec l'art. 47 al. 2 PA qui prévoit le recours "omisso medio" ("Sprungbeschwerde"; arrêt K 162/95 du 19 décembre 1996 consid. 1c non publié in ATF 122 V 405). A certaines conditions, celui-ci permet à la troisième instance de traiter d'une décision de première instance qui a été prise en application d'instructions précises et qui ne laisse pas de liberté d'appréciation de la part de l'autorité de deuxième instance ayant prescrit à l'autorité inférieure de prendre une décision (BENOÎT BOVEY, Procédure administrative, 2e éd. 2015, p. 119 s.; RHINOW/KOLLER/KISS/THURNHERR/BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 3e éd. 2014, n. 1340 p. 382 s.). Il doit s'agir d'instructions concrètes et concernant un cas individuel de la part de l'autorité de recours qui est compétente du point de vue fonctionnel (arrêt K 106/00 du 5 avril 2001 consid. 2d; cf. aussi arrêt du Tribunal administratif fédéral A-488/2009 du 4 mars 2009 consid. 1.2, BVGE 2009/30).
En l'occurrence, dans sa séance du 30 août 2017 ("Extrait du procès-verbal des séances du Conseil d'Etat", séance du 30 août 2017), le gouvernement valaisan a décidé de reconnaître à 80 % de la part cantonale (54 %) les cas 2015 ne relevant pas du mandat de prestations de la Clinique C._, de la B._ et de l'Hôpital D._. Il a par ailleurs fixé les limitations de la participation financière cantonale pour les cas 2015, 2016 et 2017 excédant le volume de rémunération reconnu, en application de l'art. 13 LEIS. Il a ensuite chargé le Département des modalités d'application de sa décision. Or le fait que le Conseil d'Etat a déterminé la limitation de la rémunération cantonale pour les cas excédentaires relatifs aux années 2015 à 2017 ne permet pas d'assimiler son prononcé à des "instructions sur [le] contenu" de la décision à rendre par le Département au sens de l'art. 73a al. 1 LPJA. L'application de la limitation ainsi déterminée supposait qu'un certain nombre de facteurs et d'éléments concrets fussent établis par le Département de manière détaillée pour chacune des cliniques et des périodes à prendre en considération. A ce stade, il n'était pas possible de prévoir quelle décision l'autorité administrative allait rendre précisément dans chaque cas concret. Pour ce motif déjà, le grief tiré d'une (non-) application arbitraire de l'art. 73a LPJA doit être rejeté.
5.
5.1. En ce qui concerne l'argumentation des recourantes fondée sur les art. 5 et 9 Cst., on rappellera qu'en vertu du principe de la bonne foi, l'autorité doit éviter des comportements contradictoires. L'interdiction de comportements contradictoires ne concerne toutefois que la même autorité, agissant à l'égard des mêmes justiciables, dans la même affaire ou à l'occasion d'affaires identiques (ATF 111 V 81 consid. 6 p. 87). Elle ne signifie par ailleurs pas qu'une autorité qui a rendu une décision contredisant les dispositions légales applicables soit en principe liée à celle-ci et ne puisse pas corriger son erreur à la prochaine occasion (ATF 100 Ia 386 consid. 2c p. 390 s.; arrêt 2A.62/1997 du 3 mai 1999 consid. 2b/aa, in RDAF 2000 II 217), respectivement adopter une position conforme au droit, à l'occasion d'une nouvelle demande (de régularisation; arrêt 1C_237/2018 du 29 janvier 2019 consid. 2.5.2). De plus, il n'est pas interdit à l'autorité de changer sa pratique pour des motifs pertinents, certaines conditions devant alors être respectées (sur celles-ci, ATF 133 V 96 consid. 4.4.6 p. 103).
5.2. Indépendamment du fait que le jugement cantonal du 15 mars 2019 ne concernait que l'une des recourantes, l'autre ne pouvant dès lors se prévaloir dans ce contexte que d'une violation du principe de l'égalité de traitement, on constate que la motivation de la décision entreprise n'a trait ni à la reconnaissance, par la juridiction cantonale, d'une éventuelle erreur de sa part, ni à un changement de sa pratique. Les premiers juges ont considéré que "le recours jugé dans [l']arrêt [du 15 mars 2019] était (recte concernait/était dirigé contre) une décision non juridictionnelle du Conseil d'Etat, datée du 30 août 2017 et communiquée simultanément à une lettre du 18 septembre 2017 du DSSC qui se bornait à arrêter 'un Volume total de rémunération et activité hors mandat - année 2015' ", en appliquant à l'exercice 2015 des règles fixées par le Conseil d'Etat, le 30 août 2017, pour les années 2015 à 2017. Selon eux, la décision du 18 septembre 2017 du Département n'avait en somme pas de portée indépendante de celle du gouvernement cantonal du 30 août 2017. Il en allait autrement en l'espèce, les décisions du 29 juillet 2019 du Département n'étant pas attaquées "conjointement à une décision du Conseil d'Etat qui serait analogue à celle que celui-ci avait prise le 30 août 2017".
5.3. Ce raisonnement ne saurait être entièrement suivi. Comme le relèvent à juste titre les recourantes, les décisions du Département du 29 juillet 2019 ne diffèrent de celle du 18 septembre 2017 - rendue à l'égard de la Clinique C._ SA (aujourd'hui A._ SA) - que dans la mesure où elles concernent non plus l'année 2015 mais les années 2016 et 2017. Dans toutes les trois, le Département a indiqué fixer les montants en cause en se référant à la limitation de la participation financière du canton en application des dispositions légales en vigueur (art. 13 LEIS) ainsi que de la décision du Conseil d'Etat du 30 août 2017. Alors que dans sa première décision, il a arrêté le montant à déduire pour 2015, il a, dans les secondes, déterminé le "Montant non retenu selon DCE du 30.08.2017 (réduction de 25 %) " pour l'année 2016, en précisant que pour l'année 2017, les volumes d'activité décidés par le canton avaient été respectés. Les trois décisions ont donc été rendues en application de la même décision du 30 août 2017, conformément à la délégation du Conseil d'Etat au Département selon laquelle il l'a chargé des modalités d'application de sa décision. Aussi, dans la mesure où l'on pourrait comprendre les considérations de la juridiction cantonale en ce sens que la décision du Département du 18 septembre 2017 n'aurait pas de portée indépendante de celle du Conseil d'Etat du 30 août 2017 alors que celles du 29 juillet 2019 auraient une portée indépendante, elles apparaissent pour le moins ambigües. A l'origine, dans les deux situations, l'objet de la contestation dans son ensemble, soit les rapports juridiques à propos desquels le Conseil d'Etat puis le Département se sont prononcés étaient identiques: il s'agissait de déterminer la rémunération de la part du canton du Valais pour les cas excédant les volumes d'activité arrêtés pour les années et les établissements hospitaliers respectifs concernés.
Cela dit, dans son recours du 19 octobre 2017, A._ SA (soit alors Clinique C._ SA) a conclu principalement à l'annulation de la décision du 30 août 2017 du Conseil d'Etat en tant qu'elle portait sur les cas 2015 excédant le volume de rémunération reconnu, ainsi que sur les cas 2016 et 2017 excédant ce volume. Elle a également conclu à ce qu'il soit constaté que le canton du Valais lui devait un montant de 71'780 fr. (montant fixé par le Département le 18 septembre 2017). L'objet attaqué était donc à la fois la décision du Conseil d'Etat du 30 août 2017 et la décision du Département du 18 septembre suivant. En revanche, dans leur recours du 13 septembre 2019 dirigé contre la décision du Département du 29 juillet 2019 les concernant respectivement, les recourantes ont conclu à l'annulation et la réforme de celle-ci. Le recours de A._ SA a pour but de démontrer que "la décision de l'intimé [soit le Département] de limiter la participation financière sur 107 cas" a été prise en violation du droit cantonal (recours du 13 septembre 2019, "III. Moyens", p. 9) et la société demande "l'intégralité de la participation financière cantonale de 54 % pour 873 cas". De son côté, par son recours, B._ SA entend démontrer que "la décision de l'intimé de limiter la participation financière sur 63 cas" viole le droit cantonal (recours du 13 septembre 2019, "III. Moyens", p. 9) et elle requiert "l'intégralité de la participation financière cantonale de 54 % pour 514 cas". Au regard de ces conclusions, l'objet attaqué devant la juridiction cantonale est bien la décision respective du Département du 29 juillet 2019, et non celle du Conseil d'Etat du 30 août 2017 (dont l'annulation ou la réforme n'est pas évoquée, ni partant requise). Les premiers juges étaient dès lors en droit de considérer que l'objet du litige qui leur était soumis par les recours du 13 septembre 2019 différait de celui porté devant eux par les recours du 19 octobre 2017. On ne saurait voir dans leur refus d'entrer en matière sur ces derniers pour défaut de compétence une violation des art. 5 et 9 Cst. ou du principe de l'égalité de traitement, étant précisé que les recourantes ne critiquent pas l'application des autres dispositions de la LPJA citées dans la décision entreprise.
6.
Il suit de ce qui précède que les recours sont mal fondés.
7.
Vu l'issue de la procédure, les recourantes supporteront les frais judiciaires solidairement entre elles (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 9C_822/2019 et 9C_823/2019 sont jointes.
2.
Les recours constitutionnels subsidiaires sont irrecevables.
3.
Les recours en matière de droit public sont rejetés.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge des recourantes solidairement entre elles.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton