Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt ein Strafverfahren gegen den Arzt A._ wegen fahrlässiger Tötung und fahrlässiger schwerer Körperverletzung. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2017 wies die Staatsanwaltschaft den Antrag des Beschuldigten auf Entfernung sämtlicher Dokumente betreffend Verfahrens- und Ermittlungshandlungen, die von der Staatsanwaltschaft vor dem 4. Juli 2017 erhoben wurden, ab und ebenso den Antrag auf Fristerstreckung betreffend Einwände gegen den/die Gutachter, Fragekorrekturen und Ergänzungsfragen an den/die Gutachter. Am 16. Oktober 2017 erhob A._ gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft Beschwerde. Er verlangte die Entfernung der Akten, die vor der Eröffnung des Verfahrens gegen ihn erhoben worden sind. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess mit Entscheid vom 9. Mai 2018 die Beschwerde teilweise gut (Teilbereich der Fristerstreckung) und wies die Staatsanwaltschaft an, A._ nach Rechtskraft dieses Entscheids erneut Frist zu setzen, sich im Sinne der Erwägungen zu den Fragen an die sachverständige Person zu äussern. In den weiteren Punkten (Aktenentfernung) wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 12. Juli 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt. Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. A._ hält in seiner Replik an seinen Anträgen fest.
3.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit dem das Appellationsgericht eine Beschwerde gegen eine Nichtentfernung von Akten abwies. Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, der, von hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss Art. 92 BGG abgesehen, nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann. Die Beschwerde gegen den vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheid ist nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 IV 139 E. 4) bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn, was vorliegend von vornherein nicht zutrifft, die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten; dieses soll sich wenn möglich nur einmal mit einer Sache befassen (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34). Gegen einstweilen nicht anfechtbare Zwischenentscheide steht die Beschwerde daher erst im Anschluss an den Endentscheid offen (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht hiezu geltend, es gehe nicht an, dass er sich künftig auch noch gegen ein Gutachten, das sich auf unverwertbare Akten stütze, verteidigen müsse. Er laufe Gefahr, seinen Anspruch auf frühzeitige Entfernung von unverwertbaren Akten zu verlieren. Ein irreversibler Nachteil rechtlicher Natur, der auch durch einen günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden könnte, ergibt sich daraus nicht. Das Bundesgericht verneint denn auch bei Zwischenentscheiden, welche die Verwertung von Beweisen zulassen, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (BGE 141 IV 284 E. 2 S. 286). Weshalb es vorliegend ausnahmsweise angezeigt sein sollte, entgegen dieser Regel gleichwohl auf die Beschwerde einzutreten, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen. Da die Beschwerdevoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG weder dargetan noch ersichtlich sind, ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst ist das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos geworden.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Dezember 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli