Sachverhalt:
A.
Dr. A._ besitzt seit dem 23. Juli 2004 eine für den ganzen Kanton St. Gallen gültige Bewilligung zur selbständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Am 9. September 2014 reichte Frau B._ eine Aufsichtsanzeige gegen Dr. A._ ein. Aufgrund der von Dr. A._ eingesetzten Implantate habe sie Probleme mit der Prothese, könne nicht mehr beissen und essen und habe Schwierigkeiten beim Sprechen. Das Gesundheitsdepartement beauftragte Dr. C._ zur Erstellung eines Gutachtens, um abzuklären, ob Dr. A._ die Patientin korrekt behandelt habe. Dr. C._ kam darin zum Schluss, dass Dr. A._ Grundlegendes in der lmplantologie ausser Acht gelassen, eine nicht tarifkonforme Rechnung gestellt und die paradontale Situation nicht dokumentiert habe. In der Folge eröffnete das Gesundheitsdepartement am 23. August 2016 ein Disziplinarverfahren gegen Dr. A._. Mit Verfügung vom 8. Mai 2017 sprach es gegenüber Dr. A._ einen Verweis aus, da er die Berufspflicht der sorgfältigen Berufsausübung verletzt und gegen das Medizinalberufegesetz verstossen habe.
B.
Dr. A._ reichte am 22. Mai 2017 mit Ergänzung vom 26. Juli 2017 Beschwerde gegen die Verfügung des Gesundheitsdepartements beim Verwaltungsgericht ein mit dem Antrag, die Verfügung des Gesundheitsdepartements aufzuheben und auf eine Disziplinarmassnahme zu verzichten. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 22. Januar 2019 ab.
C.
Vor Bundesgericht beantragt Dr. A._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 22. Januar 2019 des Kantons St. Gallen aufzuheben, eventuell an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Er rügt im Wesentlichen die unrichtige Sachverhaltsfeststellung, die willkürliche Würdigung des medizinischen Gutachtens und die unrichtige Anwendung des Medizinalberufegesetzes vom 23. Juni 2006 (MedBG; SR 811.11).
D.
Das Bundesgericht hat bei der Vorinstanz die Akten eingeholt. Auf eine Vernehmlassung wurde verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb es der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerdeerhebung legitimiert. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 f.). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372).
1.3. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig. Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_634/2018 vom 5. Februar 2019 E. 2.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53; 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (vgl. BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53). Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung über einen erheblichen Ermessensspielraum verfügt (BGE 144 V 50 E. 4.1 S. 53; BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375). In Bezug auf Sachverhaltsrügen gilt eine qualifizierte Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.
2.1. Nach Art. 40 MedBG haben die Personen, die einen universitären Medizinalberuf privatwirtschaftlich in eigener fachlicher Verantwortung ausüben, verschiedene Berufspflichten einzuhalten. U.a. sind sie verpflichtet, ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft auszuüben, und sich an die Grenzen der Kompetenzen zu halten, die sie im Rahmen der Aus-, Weiter- und Fortbildung erworben haben (Art. 40 lit. a MedBG). Nach Art. 43 MedBG kann die Aufsichtsbehörde u.a. bei Verletzung der Berufspflichten Disziplinarmassnahmen anordnen.
2.2. Das Departement hat nach Eingang der Aufsichtsanzeige ein Gutachten in Auftrag gegeben. Das Gutachten kam zum Schluss, dass der Beschwerdeführer bei der implantologischen Planung aus unerklärlichen Gründen von der diagnostischen Schiene abgewichen sei, die Implantate trotz den Grundregeln der lmplantologie zu nahe beieinander inseriert worden seien, was zu prothetischen Konsequenzen geführt habe. Die prothetische Versorgung hätte nicht in dieser Form fertiggestellt werden dürfen und gemäss den Qualitätsleitlinien der Schweizerische Zahnärzte Gesellschaft (SSO-Qualitätsleitlinien) als C eingestuft werden müssen. Das Gutachten hält zusammenfassend fest, dass die Positionierung der Implantate 23 und 24 trotz vorhandener Unterlagen und angemessener aufwendiger Planung nicht lege artis erfolgt sei und die Grundprinzipien der oralen lmplantologie schwerwiegend verletzt worden seien. Zudem seien einzelne Positionen der Rechnung nicht tarifkonform. Die Krankheitsgeschichte erfülle die Anforderungen der SSO-Qualitätsleitlinien ebenfalls nicht vollständig, da nicht dokumentiert sei, weshalb die geplanten lmplantatpositionen nicht umgesetzt worden seien. Ebenfalls fehle die Einschätzung der paradontalen Risikofaktoren.
Im Rahmen des rechtlichen Gehörs hat der Beschwerdeführer am 10. Februar 2015 zum Bericht des Gutachters Stellung genommen. Dabei hat er bestätigt, dass die vom Gutachten aufgeführten Punkte nie strittig gewesen seien. Es sei unbestritten, dass die implantologische und prothetische Arbeit einer Nachbesserung und teilweise einer Neuplanung bedürfe. Das Problem sei die mangelhafte Compliance der Patientin. Der Kantonszahnarzt hat den Bericht des Gutachters als sehr gut verfasst eingestuft und festgehalten, dass darin eindeutig fachliche Mängel des Behandlers aufgezeigt worden seien. Auch dem Schreiben des Nachbehandlers ist zu entnehmen, dass beide Implantate 23 und 24 axial sehr stark buccal geneigt seien und diese massgebend Schuld am ungenügenden Halt der Prothese hätten. Dem Gutachter wurden die aufgelaufenen Akten mit den Stellungnahmen des Beschwerdeführers und des Nachbehandlers zur nochmaligen Prüfung zugestellt. Nach Durchsicht hielt er im Schreiben vom 6. Januar 2016 an der Schlussfolgerung in seinem Gutachten fest und wies darauf hin, dass auch der Nachbehandler seine Einschätzung bestätigt habe. Die Implantate seien nicht nach den prothetischen und biologischen Richtlinien gesetzt worden.
2.3. Mit Gutachten von Sachverständigen wird gestützt auf deren besondere Sachkenntnis, welche in der Regel den Behörden fehlt, Bericht über die Sachverhaltsprüfung und -würdigung erstattet (BGE 132 II 257 E. 4.4.1 S. 269; siehe auch CAVELTI/VÖGELI, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen, 2. Aufl. 2003, Rz. 975). Dem Sachverständigen sind bloss Sach- und keine Rechtsfragen zu unterbreiten; die Beantwortung Letzterer obliegt zwingend dem Gericht (BGE 132 II 257 E. 4.4.1 S. 269). Auch in Fachfragen darf das Gericht nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen, was angesichts des fehlenden Wissens naheliegend ist, und muss Abweichungen begründen. Ein Abweichen ist zulässig, wenn die Glaubwürdigkeit des Gutachtens durch die Umstände ernsthaft erschüttert ist. Bestehen Zweifel an der Richtigkeit des Gutachtens und wird dennoch keine ergänzende Abklärung angeordnet, kann sich dies als rechtswidrig erweisen (vgl. BGE 130 I 337 E. 5.4.2 S. 345 f.).
2.4.
2.4.1. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, dass das Gutachten nicht dem Standard für medizinische Gutachten entspreche. Der von ihm angerufene Standard für medizinische Gutachten betrifft vor allem das sozialversicherungsrechtliche medizinische Gutachten. Für die Beantwortung der Frage, ob der Beschwerdeführer die zahnärztliche Behandlung korrekt durchgeführt hat, ist dieser Standard zu modifizieren (vgl. Urteil 2C_504/2014 vom 13. Januar 2015 E. 5.2 i.f). Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, ist auch nicht von Bedeutung, wie das Sachverständigengutachten konkret benannt wird (vgl. auch AUER/BINDER, Kommentar VwVG [Hrsg. Auer/Müller/Schindler], 2. Aufl. 2019, N. 59 zu Art. 12). Entscheidend ist der Inhalt. Dieser muss die streitigen Belange so umfassend beurteilen, dass sich die Frage beantworten lässt, ob das Handeln des Beschwerdeführers den gesetzlichen Anforderungen entsprach. Dieser Inhalt unterliegt der freien Beweiswürdigung, welche nicht willkürlich sein darf (vgl. dazu E. 2.4.3 f.).
2.4.2. Der Beschwerdeführer vertritt sodann die Auffassung, dass vom Gutachten abzuweichen sei, weil die Aussagen des Kantonszahnarztes und des Nachbehandlers nicht richtig wiedergegeben worden seien. Ob dies zutrifft kann letztlich offenbleiben. Jedenfalls haben der Kantonszahnarzt und der Nachbehandler die Auffassung des Gutachters geteilt und keinen Zweifel an der Richtigkeit des Gutachtens aufkommen lassen.
2.4.3. Das Gutachten beantwortet die gestellten Fragen schlüssig und einleuchtend, wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat. Der Gutachter hat die Patientin, welche die Aufsichtsanzeige verfasst hat, untersucht. Das Resultat wurde ebenfalls in das Gutachten aufgenommen. Die Röntgenbilder der Patientin sind ausgewertet, und der Gutachter hat klar aufgezeigt, wo die Fehler liegen, was im Übrigen auch der Beschwerdeführer in einer ersten Stellungnahme zugestanden hatte. Dass nach einer Überarbeitung der SSO-Qualitätsleitlinien diese keine Qualitätsstufen A, B, C mehr kennen, ändert nichts daran, dass die Behandlung nicht lege artis erfolgt ist. Auch die neuen Qualitätsleitlinien, welche für die Beurteilungskriterien orale lmplantologie massgebend sind (SSO-Leitlinien Ziff. 3 Einleitung), verlangen bei der chirurgischen Behandlung, dass der klinische Nachweis erbracht werden soll, dass das erwartete therapeutische Ziel erreicht wurde (Vergleich Planung mit erreichtem Resultat; SSO-Leitlinien Ziff. 2.3 Hinweise für die Beurteilung). Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, ist dem Bericht des Gutachters auch nichts anderes zu entnehmen. Es wird klar festgehalten, dass das angestrebte Behandlungsziel nicht erreicht worden ist und aus biologischen und prothetischen Gründen deshalb zwingend korrigiert werden muss. Zusammenfassend ergibt sich: Das Gutachten hat sich mit dem medizinischen Sachverhalt einlässlich und umfassend auseinandergesetzt, hat die Beschwerden der Patientin und die Vorakten berücksichtigt, den nachbehandelnden Arzt konsultiert, das Behandlungsergebnis gewürdigt und nachvollziehbar begründet, dass der Beschwerdeführer eine qualitativ mangelhafte Behandlung durchgeführt und damit die Grundprinzipien der oralen lmplantologie verletzt hat.
2.4.4. Angesichts dieses Umstands hat für die Vorinstanz auch kein Anlass bestanden, vom Gutachten abzuweichen. Insofern hat sie den gutachterlich erstellten Sachverhalt willkürfrei gewürdigt.
2.5. Hat der Beschwerdeführer die von ihm vorgenommene Zahnarztbehandlung nicht lege artis durchgeführt, hat er seinen Beruf nicht sorgfältig und gewissenhaft im Sinne von Art. 40 lit. a MedBG ausgeübt.
3.
3.1. Sind die Berufspflichten verletzt, so kann die Aufsichtsbehörde nach Art. 43 Abs. 1 MedBG folgende Disziplinarmassnahmen anordnen: (a.) Verwarnung; (b.) Verweis; (c.) Busse bis zu 20 000 Franken; (d.) Verbot der privatwirtschaftlichen Berufsausübung in eigener fachlicher Verantwortung für längstens sechs Jahre (befristetes Verbot); (e.) definitives Verbot der privatwirtschaftlichen Berufsausübung in eigener fachlicher Verantwortung für das ganze oder einen Teil des Tätigkeitsspektrums. Mit den Disziplinarmassnahmen nach Art. 43 MedBG sollen Verfehlungen im Zusammenhang mit der selbständigen beruflichen Tätigkeit primär retrospektiv sanktioniert werden. Dabei sollen die Massnahmen die fehlbare Person auch vor erneuten Verfehlungen abhalten. Schliesslich wirken die Massnahmen vertrauenserhaltend, indem sie das für die Aufrechterhaltung des Gesundheitswesens nötige Vertrauen der Bevölkerung in die Berufsausübung gewährleisten sollen (Urteil 2C_504/2014 vom 13. Januar 2015 E. 3.3; TOMAS POLEDNA, in: Medizinalberufegesetz [MedBG], Kommentar, 2009, N. 8 f. zu Art. 43 MedBG).
Die Bemessung der Massnahme im konkreten Fall richtet sich nach der Schwere des Verstosses u.a. gegen eine Verletzung der Berufspflichten unter Berücksichtigung der Zahl der Verstösse, dem Mass des Verschuldens sowie dem beruflichen Vorleben der Medizinalperson (vgl. POLEDNA, a.a.O., N. 14 zu Art. 43 MedBG). Zu berücksichtigen ist sodann das Verhältnismässigkeitsprinzip.
3.2. Die Vorinstanz hat das Verhalten des Beschwerdeführers zu Recht als nicht leicht eingestuft. Insofern kommt die mildeste Massnahme nicht in Betracht (vgl. POLEDNA, a.a.O., N. 20 zu Art. 43). Auch wenn es sich hier um eine erstmalige Verfehlung handelt, sind - wie das Gutachten ausgeführt hat - die Grundprinzipien der oralen Implantologie schwer verletzt worden. Zudem wurden einzelne Positionen der Rechnung nicht tarifkonform abgerechnet und die Krankheitsgeschichte nicht nach den Anforderungen der SSO-Qualitätsleitlinien verfasst. Die Vorinstanz hat zudem zugunsten des Beschwerdeführers berücksichtigt, dass dieser in seiner beruflichen Arbeit mit Ausnahme der vorliegenden strittigen Angelegenheit bislang korrekt gearbeitet hat. Insofern hat sie zu Recht die zweitmildeste Massnahme, den Verweis, verfügt.
3.3. Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, dass die Disziplinarmassnahmen nur dann zur Anwendung kommen würden, wenn die Verfehlung über ihre Auswirkungen im Einzelfall hinaus geeignet ist, das Vertrauen in die Kompetenz und Integrität der betroffenen Medizinalperson zu beeinträchtigen. Dies wird von der Vorinstanz aber gar nicht in Abrede gestellt. Angesichts der aufgeführten Verfehlungen ist es nicht von der Hand zu weisen, dass das Vertrauen in die Kompetenz und Integrität des Beschwerdeführers beeinträchtigt wird. Die Massnahme ist - wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat - geeignet, notwendig und unbestrittenermassen zumutbar, damit der Beschwerdeführer von erneuten Verfehlungen abgehalten wird. Insofern geht es entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers im vorliegenden Verfahren nicht darum, die Qualität der Erfüllung des einzelnen Auftrags sicherzustellen, sondern dieser bildet nur Anlass für Massnahmen. Dass am einzelnen Auftrag angeknüpft werden kann, legen auch die in Art. 43 MedBG abgestuften Disziplinarmassnahmen nahe (dazu POLEDNA, a.a.O. N. 17 zu Art. 43).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind keine geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Eidgenössischen Departement des Innern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Errass