Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Eingabe vom 15. März 2021 Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Soweit sich dies der Eingabe entnehmen lässt, hat A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 11. März 2021 eine Beschwerde gegen einen Regierungsratsbeschluss vom 9. März 2021 in Sachen Teilnahme an Regierungsratssitzungen eingereicht und dabei um aufschiebende Wirkung ersucht. Ein solcher Entscheid sei jedoch nicht ergangen.
2.
Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Bei Verfassungsrügen wie der geltend gemachten Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Die Rüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
3.
Soweit verständlich, beanstandet der Beschwerdeführer, dass das Verwaltungsgericht nicht bereits am 12. März 2021 über das vom ihm gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung entschieden hat. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, ob das Verwaltungsgericht die auf den 11. März 2021 datierte Beschwerdeschrift bereits am 12. März 2021 erhalten hat. Selbst wenn dies zutreffen sollte, ist nicht ersichtlich, weshalb das Verwaltungsgericht noch am gleichen Tag über das gestellte Gesuch hätte befinden müssen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb das Verwaltungsgericht gesetzlich verpflichtet sein sollte, innert Stunden nach Erhalt der Beschwerde bereits einen Entscheid über die beantragte vorsorgliche Massnahme zu treffen. Aus der Beschwerde ergibt sich somit nicht, inwiefern das Verwaltungsgericht den Anspruch auf eine Beurteilung innert angemessener Frist im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV verletzt haben sollte. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist.
4.
Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ein ausnahmsweiser Verzicht auf die Kostenauflage entfällt, da die Beschwerde als rechtsmissbräuchlich erscheint.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli