Sachverhalt:
A.
Die 1962 geborene A._ war von August 1988 bis Ende Juli 2002 als Lehrerin bei B._ angestellt und in dieser Funktion bei der Pensionskasse des Kantons Nidwalden berufsvorsorgeversichert. Zwischen August 2003 und Ende Juli 2007 arbeitete sie als Lehrerin bei der Schule C._ und war dadurch bei der Bernischen Lehrerversicherungskasse (BLVK) für die berufliche Vorsorge versichert. Nach diversen weiteren Arbeitsverhältnissen und Phasen von Arbeitslosigkeit war die Versicherte zuletzt im Rahmen ihrer Erwerbstätigkeit beim Verein D._ vom 1. Januar 2012 bis zum 31. Dezember 2013 wiederum bei der Pensionskasse des Kantons Nidwalden berufsvorsorgeversichert.
Ein erstes, im Dezember 2006 bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung eingereichtes Leistungsbegehren (geltend gemachte Beeinträchtigung: Depression, Burnout) führte mit Verfügung vom 4. Januar 2008 zur Abweisung des Rentenanspruchs (Invaliditätsgrad: 26 %). Im Juli 2013 meldete sich A._ unter Hinweis auf eine bipolare Störung ein zweites Mal bei der IV an. Nach der Gewährung beruflicher Massnahmen (Abschluss per 31. März 2015) wurde ihr mit Verfügung vom 4. August 2016 rückwirkend per 1. April 2015 eine ganze Invalidenrente zugesprochen (Invaliditätsgrad: 70.35 %).
Die beiden Vorsorgeeinrichtungen verneinten derweil beide ihre Leistungspflicht gegenüber der Versicherten. Ab dem 1. März 2017 richtete die Pensionskasse des Kantons Nidwalden jedoch eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 70.35 % im Sinne einer Vorleistung aus. Grundlage hierfür bildete das vom 1. Januar 2012 bis 31. Dezember 2013 bestandene Arbeitsverhältnis der Versicherten mit dem Verein D._.
B.
Am 2. November 2017 erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen die BLVK (Beklagte 1) sowie die Pensionskasse des Kantons Nidwalden (Beklagte 2) und stellte folgende Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte 1 ( eventualiter die Beklagte 2) sei zu verpflichten, der Klägerin aus dem Vorsorgeverhältnis rückwirkend ab 01.10.2011 eine ganze Invalidenrente gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen auszurichten.
2. Die Beklagte 1 ( eventualiter die Beklagte 2) sei zu verpflichten, die Klägerin auf den frühest möglichen Zeitpunkt von der Beitragspflicht zu befreien.
3. Die Beklagte 1 ( eventualiter die Beklagte 2) sei zu verpflichten, der Klägerin auf den Invalidenleistungen einen Verzugszins von 5 % spätestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung zu bezahlen.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zuzüglich der gesetzlichen Mehrwertsteuer) zulasten der Beklagten."
Mit Entscheid vom 11. August 2020 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage insofern gut, als sie die BLVK verurteilte, der Versicherten ab dem 1. April 2015 eine ganze Invalidenrente der beruflichen Vorsorge gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen auszurichten und ihr weiter ab dem 2. November 2017 respektive ab später eingetretenem Verfall einen Verzugszins zu 5 % auf die Differenz zwischen den geschuldeten Rentenbetreffnissen und den durch die Pensionskasse des Kantons Nidwalden für den jeweils identischen Zeitraum bereits erbrachten Invalidenleistungen auszurichten. Im Übrigen wurde die Klage abgewiesen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die BLVK, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die gegen sie gerichtete Klage vollumfänglich abzuweisen.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (BGE 135 II 145 E. 8.1 S. 153). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (BGE 142 II 369 E. 4.3 S. 380; 129 I 8 E. 2.1 S. 9).
1.3. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich um Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Anforderungen an die Beweiskraft ärztlicher Berichte und Gutachten Rechtsfragen (Urteile 9C_899/2017 vom 9. Mai 2018 E. 2.1 und 8C_673/2016 vom 10. Januar 2017 E. 3.2).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat in (freier) Würdigung der Aktenlage sowohl den sachlichen als auch den zeitlichen Konnex zwischen der im August 2006 - damit im Zeitraum des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdeführerin - eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität ab April 2015 bejaht. Gestützt hierauf hat sie auf den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine ganze Invalidenrente der Beschwerdeführerin ab 1. April 2015 geschlossen. Sie hat der Beschwerdegegnerin zu Lasten der Beschwerdeführerin ab 2. November 2017 respektive ab später eingetretenem Verfall einen Verzugszins von 5 % auf die Differenz zwischen den geschuldeten Rentenbetreffnissen und den durch die Pensionskasse des Kantons Nidwalden für den jeweils identischen Zeitraum bereits erbrachten Vorleistungen zugesprochen und schliesslich eine Befreiung von der Beitragspflicht für den Zeitraum vor dem Austritt aus der Pensionskasse respektive dem Anspruch auf eine Invalidenrente der Pensionskasse verneint.
2.2. Bestritten und zu prüfen ist einzig die Unterbrechung der zeitlichen Konnexität zwischen der unbestritten während der Versicherungszeit bei der Beschwerdeführerin eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der später festgestellten Invalidität. Die Beschwerdeführerin rügt diesbezüglich eine unvollständige Erhebung des rechtserheblichen Sachverhalts durch die Vorinstanz. Sollten die Vorbringen ins Leere zielen, ist die Beschwerdeführerin zu Recht zur Ausrichtung einer ganzen Invalidenrente aus der beruflichen Vorsorge (inkl. Verzugszinsen) verpflichtet worden, was nicht weiter strittig ist.
3.
Auf die im angefochtenen Entscheid korrekt dargelegten rechtlichen Grundlagen wird verwiesen.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat für den Zeitraum ab August 2006 Folgendes ausgeführt:
Das (befristete) Arbeitsverhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und der Schule C._ habe am 31. Juli 2007 geendet, wobei die Beschwerdegegnerin ihre Arbeitsleistung zuletzt am 7. Juli 2006 erbracht habe, bevor sie Mitte August 2006 psychisch dekompensiert und vollständig arbeitsunfähig geworden sei. Ab Februar 2007 sei die Beschwerdegegnerin im Rahmen einer bis Ende Juli 2007 befristeten Anstellung zu 40 % als Sachbearbeiterin bei der E._ tätig gewesen. Nach Durchführung beruflicher Eingliederungsmassnahmen durch die IV-Stelle Nidwalden habe sie per 1. September 2007 eine Anstellung als Sachbearbeiterin Treuhand bei der F._ AG zu einem Pensum von 60 % respektive 80 % ab 1. Januar 2008 gefunden. Dieses Arbeitsverhältnis habe am 30. November 2008 geendet. Im Anschluss daran sei die Beschwerdegegnerin vom 1. Januar 2009 bis 30. November 2010 als Leiterin Finanzen/Administration in einem Pensum von 70 % beim Verein G._ angestellt gewesen, wobei die Auflösung des Arbeitsverhältnisses gemäss Arbeitszeugnis in gegenseitigem Einverständnis aufgrund unterschiedlicher strategischer Vorstellungen erfolgt sei und die Beschwerdegegnerin per 31. August 2010 von der Arbeitsleistung freigestellt worden sei. Wegen einer sich bereits im Frühjahr 2010 manifestierenden depressiven Episode habe sich die Beschwerdegegnerin am 2. Dezember 2010 wiederum in stationäre Behandlung im Spital H._ begeben (angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 18 f.).
Im Bericht des Spitals H._, Psychiatrie, vom 3. Januar 2007 sei von einer Rückkehr an den bisherigen Arbeitsplatz abgeraten worden. Für Tätigkeiten auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt unter Berücksichtigung diverser Voraussetzungen (regelmässige Arbeitszeiten, klare strukturelle Vorgaben im Leistungsbereich, unproblematisches Klientel) sei die Beschwerdegegnerin medizinisch-theoretisch als in vollem Umfang leistungsfähig erachtet worden. Gestützt auf die Aktenlage erweise sich diese Einschätzung als zu optimistisch: Anlässlich eines Telefonats mit der IV-Stelle Nidwalden am 13. Februar 2008 - und damit fünf Monate nach Antritt der Anstellung bei der F._ AG - habe die Beschwerdegegnerin mitgeteilt, dass der anfänglich angenommene Lohn als Treuhandsachbearbeiterin von Fr. 62'400.- nicht habe erreicht werden können. Der Arbeitgeber habe ihr gesagt, dass sie nicht die gewünschte Leistung erbringe. Dies stimme mit den Angaben im IK-Auszug überein. Die Einschätzung habe ihren Niederschlag auch im Arbeitszeugnis vom 24. November 2011 gefunden, in welchem die Leistungen zwar wohlwollend, aber nicht überaus positiv beurteilt worden seien. Hinzu komme, dass der Beschwerdegegnerin zunächst nur eine Arbeitsbestätigung vom 23. Januar 2009 und erst auf ihren Wunsch hin zweieinhalb Jahre später ergänzend ein Arbeitszeugnis ausgehändigt worden sei, was bei einer über ein Jahr dauernden Anstellung ein weiteres Indiz dafür darstelle, dass die Leistungen der Beschwerdegegnerin nicht den Erwartungen entsprochen hätten. Während des anschliessenden Arbeitsverhältnisses beim Verein G._ habe im Frühjahr 2010 eine weitere depressive Episode mit vermehrter Müdigkeit und Überforderungs- und Insuffizienzgefühlen (zunächst arbeitsplatzbezogen) sowie Schlafstörungen begonnen. Die depressive Symptomatik sei im Spätsommer respektive Herbst 2010 mit ausgeprägter Antriebsstörung, Verlust an Freude, überwiegender Gefühlsleere, phasenweisen Ängsten und ausgeprägt negativem Selbsterleben exazerbiert. Im Austrittsbericht des Spitals H._, Psychiatrie, vom 18. März 2011 sei diesbezüglich festgehalten worden, der erneuten depressiven Episode seien Konflikte am Arbeitsplatz vorausgegangen. Die Beschwerdegegnerin habe sich bei der Arbeit zum Teil überlastet gefühlt. In letzter Zeit sei es zu häufigen Konflikten mit der Chefetage, aber auch einer Mitarbeiterin gekommen. Man habe ihre Arbeit zunehmend kritisiert. Sie habe auf die von ihr verlangten Anforderungen (Selbständigkeit, Selbstsicherheit, Abgrenzungsfähigkeit) mit ausgeprägten Angst- und Versagenserleben bis hin zur Anzweiflung ihrer Identität reagiert. Im Anschluss an die stationäre respektive tagesklinische Behandlung zwischen dem 2. Dezember 2010 und dem 28. April 2011 habe die Beschwerdegegnerin zunächst nur diverse befristete und tiefprozentige Anstellungen gefunden. Ab dem 1. Januar 2012 habe sie eine Tätigkeit in einem Pensum von 40 % beim Verein D._ bekleidet. Nachdem ab Januar 2013 wiederum eine schwere depressive Episode aufgetreten sei, welche erneut zu einem stationären Klinikaufenthalt geführt habe, habe sich die Beschwerdegegnerin mit der Arbeitgeberin darauf geeinigt, den bis Ende 2013 befristeten Arbeitsvertrag nicht zu verlängern. Im Einweisungszeugnis vom 6. März 2013, adressiert an das Spital H._, Psychiatrie, sei ausgeführt worden, nach langer stabiler und symptomfreier Zeit habe sich Ende 2012 eine erneute depressive Episode mit rascher Progredienz seit etwa drei bis vier Wochen entwickelt. Als Belastungsfaktor bestehe eine Dauerbelastung bei der Arbeitsstelle durch komplexe Aufgabenbereiche und nicht ausreichende Gratifikation. Die ab Mitte August 2013 durchgeführten Frühinterventionsmassnahmen respektive beruflichen Eingliederungsmassnahmen mit dem Ziel, die Beschwerdegegnerin im ersten Arbeitsmarkt in einem Pensum von 60 bis 80 % zu integrieren, hätten nicht zum Erfolg geführt. Per 1. April 2015 sei die Beschwerdegegnerin schliesslich berentet worden (angefochtener Entscheid E. 3.4.2 S. 20 f.).
4.2. Die Beschwerdeführerin - welche vorliegend die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat - macht nicht substanziiert geltend, inwiefern die Beschwerdegegnerin ab der Dekompensation im August 2006 - insbesondere im gerügten Zeitraum zwischen 1. September 2007 und 30. November 2010 - eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % erreicht haben soll.
4.2.1. Vorweg ist festzuhalten, dass vorliegend die Verhältnisse ab dem Austritt aus der psychiatrischen Tagesklinik am Spital H._ per Ende November 2006 interessieren. Damit erübrigen sich Ausführungen zum Zeitraum ab 2003.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich weiter darauf, unter Verweis auf die Auszüge aus dem Individuellen Konto (IK-Auszüge) der Beschwerdegegnerin und deren Lebenslauf (Beschwerdebeilagen 7 und 8) auf eine volle Arbeitsfähigkeit in den Jahren 2007 bis 2010 zu schliessen. Entgegen ihrer Ansicht lassen diese Grundlagen die Feststellungen der Vorinstanz jedoch nicht geradezu offensichtlich unrichtig (E. 1.2) erscheinen: So können aus IK-Auszügen bereits in grundsätzlicher Hinsicht keine Schlüsse betreffend die Leistungsfähigkeit einer Person gezogen werden. Im Übrigen waren die Anhaltspunkte aufgrund der im beigelegten Auszug aufgeführten Höhe der Einkommen nicht konkret genug, um weitere Abklärungen zur Leistungsfähigkeit erforderlich zu machen. Gleiches gilt im Hinblick auf den einzig mittels Lebenslauf gerügten Freiwilligeneinsatz an der Fussball-Europameisterschaft 2008 und den Kurs im Rechnungswesen in den Jahren 2008 und 2009. Auf weitere Abklärungen durfte das kantonale Gericht daher in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 124 V 90 E. 4b S. 94) und ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes verzichten.
4.3.
4.3.1. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin lassen damit weder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (E. 4.1) als offensichtlich unrichtig, als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen, noch zeigen sie sonst wie eine Bundesrechtsverletzung auf. Damit bleiben die Feststellungen für das Bundesgericht verbindlich. Angesichts dieser Gegebenheiten ist darauf zu schliessen, dass die Beschwerdegegnerin ab August 2006 zu keinem Zeitpunkt über 80 % arbeitsfähig war (vgl. E. 1.1).
4.3.2. Damit im Einklang stehen auch die Ausführungen in Erwägung 3.4.3 des angefochtenen Entscheids. Soweit das kantonale Gericht von einer längeren Zeit "in einem höheren Masse" bestandenen Erwerbstätigkeit spricht, beziffert sie die Arbeitsfähigkeit damit - auch implizit - nicht. Vielmehr handelt es sich - wie sich aus der Eingangsbemerkung ohne weiteres ergibt - um die blosse Zusammenfassung des in der vorhergehenden Erwägung Festgestellten.
4.4. Mit Blick auf das Dargelegte verletzt die vorinstanzliche Schlussfolgerung, dass die zeitliche Konnexität nicht unterbrochen worden sei, im Ergebnis kein Bundesrecht. Weiterungen - insbesondere zur Frage, ob die Rechtsprechung zu Schubkrankheiten vorliegend Anwendung findet - erübrigen sich.
5.
Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Pensionskasse des Kantons Nidwalden, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der BVG-Sammelstiftung Swiss Life, Zürich, der Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft, Wallisellen, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, Risikoversicherung für Arbeitslose (ALV), Zürich, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. April 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist