Sachverhalt:
A.
Der Stadtrat St. Gallen beschloss am 20. Januar 2015 das Strassenprojekt "Falkensteinweg, Fuss- und Radwegverbindung Hubertusstrasse bis Grütlistrasse" mit zugehörigem Teilstrassenplan. Das Projekt sieht vor, die bestehende Fusswegverbindung über die Grundstücke Nrn. F1547, F3356 und F3357 zwischen diesen beiden Strassen dem Gemeingebrauch als Weg zweiter Klasse zu widmen und baulich anzupassen. Die A._ AG ist Eigentümerin der überbauten Parzelle F1547. Sie hat für das Vorhaben am südöstlichen Parzellenrand ca. 127 m2 Boden dauernd und ca. 66 m2 vorübergehend abzutreten. Gegen das Projekt reichte die A._ AG während der öffentlichen Auflage Einsprache ein und beantragte den Verzicht auf das Projekt. Der Stadtrat wies die Einsprache mit Entscheid vom 8. Dezember 2015 ab.
B.
Den Einspracheentscheid focht die A._ AG mit Rekurs beim Baudepartement des Kantons St. Gallen an. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 8. Juni 2018 ab.
Gegen den Rekursentscheid erhob die A._ AG am 26. Juni 2018 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Am 23. April 2019 genehmigte das Baudepartement den Teilstrassenplan zum Falkensteinweg. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 9. August 2019 ab.
C.
Die A._ AG führt am 16. September 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Feststellung, dass der Stadtratsbeschluss vom 8. Dezember 2015 rechtswidrig und die damit verbundene Enteignung nicht zulässig seien. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die erste Instanz, subeventualiter an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Direktion Planung und Bau der Stadt St. Gallen ersucht namens des Stadtrats um Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Baudepartement hat sich nicht vernehmen lassen.
D.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat mit Verfügung vom 9. Oktober 2019 das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gutgeheissen.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über ein Strassenprojekt betreffend einen Fuss- und Radweg und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde (Art. 82 lit. a BGG). Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist als Eigentümerin eines Grundstücks, das beim angefochtenen Projekt in Anspruch genommen werden soll, durch den Entscheid der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung bzw. Änderung (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts, gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das kantonale Gesetzesrecht stellt, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen (vgl. Art. 95 BGG), keinen Beschwerdegrund dar. Das Bundesgericht prüft das fragliche kantonale Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (vgl. BGE 146 I 11 E. 3.1.3 S. 14; 142 II 369 E. 2.1 S. 372). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.3. Zusätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids ersucht die Beschwerdeführerin um Feststellung, dass der Stadtratsbeschluss rechtswidrig und die Enteignung nicht zulässig seien. Diesem Feststellungsbegehren kommt gegenüber dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids keine selbstständige Bedeutung zu. Zudem ist ein unterinstanzlicher Entscheid durch den Verwaltungsgerichtsentscheid ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt im bundesgerichtlichen Verfahren inhaltlich als mitangefochten (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Zunächst ist den Sachverhalts- und Verfahrensrügen nachzugehen. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV (vgl. zum Begriff der Willkür BGE 144 II 281 E. 3.6.2 S. 287 mit Hinweisen) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV vor. Der Gehörsanspruch umfasst als Mitwirkungsrecht all jene Befugnisse, die einem Betroffenen beim Erlass eines Entscheids einzuräumen sind, damit er seinen Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (vgl. dazu BGE 144 I 11 E. 5.3 S. 17; 144 II 427 E. 3.1 S. 434; je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung leitet aus Art. 29 Abs. 2 BV auch die Pflicht der Behörden ab, die Entscheidbegründung so abzufassen, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann (vgl. BGE 142 I 135 E. 2.1 S. 145; 142 II 49 E. 9.2 S. 65; je mit Hinweisen).
2.2. Nach der Vorinstanz ist das öffentliche Interesse an der umstrittenen Wegverbindung gegeben, weil sie die bestehenden Verbindungen für den Langsamverkehr an der wichtigen Achse in Richtung Osten (im Norden Scheidwegstrasse und im Süden Verzweigung Rehetobelstrasse/Grütlistrasse) im Sinne einer mittleren Variante ergänze. Mit der zusätzlichen Verbindung werde auf diesem Abschnitt eine parallel verlaufende Alternative für den Langsamverkehr geschaffen, welche für diesen (vorab hinsichtlich des Verkehrsaufkommens) bessere Bedingungen als die vorerwähnten Verbindungen biete. Diese Gegebenheiten würden für sich allein für das öffentliche Interesse an der Wegerstellung ausreichen. Daneben erfülle der geplante Weg die Funktion eines zusätzlichen Zugangs zu öffentlichen Einrichtungen an der Grütlistrasse; es seien dies ein Kindergarten und das Paul-Grüninger-Stadion. Die Unterbrechung der Ost-West-Achse durch die Lage des Stadions ändere daran nichts. Die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Frage, ob sich durch den geplanten Weg eine Verkürzung der Strecke zum Stadion ergebe, müsse nicht weiter diskutiert werden. Mit Bezug auf den Kindergarten komme dem fraglichen Weg eine Erschliessungsfunktion zu. Im Übrigen sei ein öffentliches Interesse auch dann zu bejahen, wenn dieser Weg für die rechtliche Sicherung des Zugangs zu den überbauten Nachbarliegenschaften F3356 und F3357 nicht erforderlich sei.
2.3. Im angefochtenen Entscheid wird die Behauptung der Beschwerdeführerin wiedergegeben, wonach der Weg zum genannten Stadion über die umstrittene Wegverbindung rund 330 m lang und damit etwa fünf Meter länger als entlang der Rehetobel- und der Grütlistrasse sei. Vor Bundesgericht macht die Beschwerdeführerin geltend, dieser Streckenunterschied habe eine zentrale Bedeutung. Wenn das Projekt keine kürzere und bessere Erschliessung des Stadions sichere, habe es insoweit keinen Nutzen. Das angefochtene Urteil lässt keinen anderen Schluss zu, als dass die Vorinstanz dem umstrittenen Verbindungsstück einen Nutzen als Zugang zum Stadion auch für den Fall zugebilligt hat, dass es in dieser Hinsicht nicht zu einer Abkürzung führt. Entgegen der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz die Relevanz der fraglichen Wegverbindung zum Stadion für die Öffentlichkeit nicht verneint. Den Vorteil hat die Vorinstanz vielmehr darin erblickt, dass die Wegführung insoweit nicht entlang einer Strasse verläuft. Darauf geht die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht substanziiert ein. Sie nimmt auch keinen Bezug auf Erfahrungswerte zu allgemein akzeptierten Umwegfaktoren. Unter diesen Umständen hat die Vorinstanz weder den Sachverhalt mangelhaft erstellt noch Gehörsansprüche der Beschwerdeführerin verletzt, wenn sie den Distanzen und ihren Unterschieden bei den angesprochenen Wegvarianten nicht näher nachgegangen ist.
2.4. Weiter hat die Vorinstanz die Funktion des umstrittenen Wegs als zusätzlichen Zugang zum Kindergarten ebensowenig in offensichtlich unhaltbarer Weise bejaht noch ist sie dabei in einen Widerspruch im Vergleich zur Wegverbindung zum erwähnten Stadion verfallen. Dieser Kindergarten und das Stadion liegen an der Grütlistrasse, in welche der geplante Weg mündet. Es ist in beiden Fällen nachvollziehbar, dass dieser Weg als zusätzliche Verbindung bzw. als Zugang dafür angesehen wird. Dabei ist zu beachten, dass die Vorinstanz einen Augenschein am Ort durchgeführt hat. Auch ohne Einholung von Frequenzmessungen zum Langsamverkehr im Gebiet oder von vergleichbaren Abklärungen war es vertretbar, wenn sie dem Weg einen relevanten praktischen Nutzen für die Allgemeinheit zugebilligt hat.
2.5. Ausserdem bedurfte es weder einer eingehenden Begründung noch war es willkürlich, sondern entspricht vielmehr einer Erfahrungstatsache, wenn die Vorinstanz ein Trottoir bzw. einen öffentlichen Weg nahe bei einem Wohnhaus im städtischen Umfeld als üblich betrachtet hat.
2.6. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, wird im angefochtenen Entscheid dargelegt, von welchem Sachverhalt die Vorinstanz ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat. Zwar wird die Bedeutung des umstrittenen Wegs für den Zugang zum Kindergarten, zum Stadion und zu den Parzellen F3356 und F3357 teilweise in unterschiedlichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids erörtert. Daraus geht aber genügend hervor, dass die Vorinstanz - entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin - die gebotene Gesamtbetrachtung vorgenommen und diese schlüssig begründet hat. Auch in dieser Hinsicht hat die Vorinstanz bei der Entscheidbegründung dem Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin Genüge getan.
2.7. Demzufolge erweisen sich die Sachverhalts- und Verfahrensrügen als unbegründet.
3.
In der Sache wendet sich die Beschwerdeführerin gegen die Notwendigkeit und Verhältnismässigkeit des Strassenprojekts und die damit verbundene Enteignung.
3.1. Das Vorhaben greift in die Eigentumsrechte Privater ein. Dieser Eingriff bedarf einer gesetzlichen Grundlage und muss durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und verhältnismässig sein (Art. 26 i.V.m. Art. 36 BV). Von der Beschwerdeführerin wird vor Bundesgericht nicht in Frage gestellt, dass das kantonale Strassengesetz vom 12. Juni 1988 (StrG; sGS 732.1) dafür eine ausreichende gesetzliche Grundlage enthält. Nach der Vorinstanz ist ein Weg zweiter Klasse - wie vorliegend - den Vorschriften für Gemeindestrassen unterstellt; deren Bau fällt in den Zuständigkeitsbereich der politischen Gemeinde (vgl. Art. 8, 9 und 38 StrG). Weiter hat die Vorinstanz erwogen, das geplante Verbindungsstück führe zu einer Trennung von Motorfahrzeug- und Langsamverkehr und erhöhe die Verkehrssicherheit und den Schutz der schwächeren Verkehrsteilnehmer, insbesondere von Fussgängern und Radfahrern. Indem das Projekt den Langsamverkehr fördere, diene es dem Schutz des Menschen und seiner natürlichen Umwelt. Damit stützt sich die Vorinstanz insbesondere auf Art. 32 lit. b und lit. d i.V.m. Art. 33 lit. a bis c StrG. Gemäss Art. 32 StrG werden Strassen gebaut, wenn u.a. die Verkehrssicherheit (lit. b) und der Schutz der schwächeren Verkehrsteilnehmer (lit. d) dies erfordern. Nach Art. 33 StrG sind beim Strassenbau u.a. der Schutz des Menschen und seiner natürlichen Umwelt (lit. a), die Verkehrssicherheit (lit. b) und der Schutz der schwächeren Verkehrsteilnehmer (lit. c) zu beachten.
3.2. Das Vorliegen eines öffentlichen Interesses und die Verhältnismässigkeit prüft das Bundesgericht bei der Beschränkung von Grundrechten frei. Es auferlegt sich jedoch Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser überblicken (vgl. BGE 142 I 76 E. 3.3 S. 80 mit Hinweisen).
3.3. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass das umstrittene Verbindungsstück verkehrsplanerisch begründet und deswegen notwendig ist. Bei der Anwendung der kantonalen Strassengesetzgebung hat die Vorinstanz zu Recht dem Planungsgrundsatz von Art. 3 Abs. 3 lit. c RPG (SR 700) zum Siedlungsgebiet Rechnung getragen, wonach Rad- und Fusswege zu erhalten und zu schaffen sind (siehe auch Art. 88 BV). Mit Blick darauf durfte die Vorinstanz unter Würdigung der örtlichen Verhältnisse ein öffentliches Interesse an der Strecke bejahen, weil sie zu einem vielfältigen und genügend dichten Wegnetz im Siedlungsgebiet beiträgt. Der damit ermöglichte zusätzliche Zugang zu nahe gelegenen öffentlichen Einrichtungen wie Stadion und Kindergarten konkretisiert den praktischen Nutzen. Die Beschwerdeführerin geht fehl, wenn sie ein öffentliches Interesse in Abrede stellt. Im Übrigen erfordert die Kombination von Fuss- und Radweg eine Verbreiterung und örtliche Anpassung des bestehenden Gehwegs. Wie im unterinstanzlichen Rekursentscheid steht, bewegt sich die vorgesehene Wegbreite an der unteren Grenze, entspricht indessen den Anforderungen an eine verkehrssichere Verbindung für die Benutzerschaft. Auch in dieser Hinsicht ist ein zureichendes öffentliches Interesse gegeben.
3.4. Das Gebot der Verhältnismässigkeit gemäss Art. 36 Abs. 3 BV verlangt, dass eine behördliche Massnahme für das Erreichen des im öffentlichen Interesse liegenden Ziels geeignet und erforderlich ist und sich für die Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung als zumutbar erweist (vgl. BGE 146 I 70 E. 6.4 S. 80 mit Hinweisen). Dass im vorliegenden Fall der Eingriff in das Eigentumsrecht der Beschwerdeführerin zur Erreichung des angestrebten Ziels geeignet und erforderlich ist, ergibt sich aus den vorstehenden Ausführungen. Das öffentliche Interesse an der Realisierung des umstrittenen Verbindungsstücks im Sinne eines Netzbestandteils für den Langsamverkehr überwiegt auch das entgegengesetzte private Interesse. Für diesen Zweck ist es sachlich gerechtfertigt, die dafür benötigten Grünflächen am Rand von Parzellen mitten im Siedlungsgebiet in Anspruch zu nehmen. Die in Art. 33 lit. a StrG verankerte Pflicht zur Berücksichtigung der Umwelt lässt sich mit der diesbezüglichen Interessenabwägung vereinbaren. Zum Flächenbedarf äussert sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht konkret; darauf muss nicht näher eingegangen werden. Ferner hat die Vorinstanz nicht verkannt, dass der fragliche Weg relativ nahe an einem der bestehenden Mehrfamilienhäuser auf dem betroffenen Grundstück vorbeiführt. Wie dargelegt (vgl. oben E. 2.5), ist eine Wegführung im Nahbereich von Wohnhäusern im städtischen Umfeld verbreitet; dazu gehört auch eine gebotene Beleuchtung. Die Vorinstanz durfte die Zumutbarkeit dieses öffentlichen Wegs für die betroffene Wohnliegenschaft bejahen. Insgesamt halten das Projekt samt Teilstrassenplan und der damit verbundene Eingriff in das Eigentum der Beschwerdeführerin vor dem Gebot der Verhältnismässigkeit stand.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Politischen Gemeinde St. Gallen, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet