Erwägungen:
1.
1.1. Die Regionale Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland verfügte am 30. Oktober 2018, eine vom Beschwerdeführer im Zusammenhang mit einem gegen ihn geführten Strafverfahren erhobene Strafanzeige gegen seinen amtlichen Verteidiger und die im erstinstanzlichen Verfahren zuständige Verfahrensleitung (Beschwerdegegnerin 2) nicht an die Hand zu nehmen. Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess die Vorinstanz am 15. Februar 2019 in Bezug auf die gegen die Beschwerdegegnerin 2 erhobenen Vorwürfe (Urkundenfälschung im Amt) gut und wies die Sache zur Behandlung an die Staatsanwaltschaft zurück. Gleichzeitig wies sie die Beschwerde hinsichtlich der gegen den amtlichen Verteidiger erhobenen Vorwürfe ab.
Auf die gegen die teilweise Abweisung seiner kantonalen Beschwerde erhobene Beschwerde in Strafsachen trat das Bundesgericht mit Urteil vom 12. April 2019 nicht ein (Verfahren 6B_397/2019).
1.2. Mit Verfügung vom 28. Februar 2019 nahm die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren gegen die Beschwerdegegnerin 2 erneut nicht an die Hand. Die hiergegen erhobene Beschwerde wies die Vorinstanz am 4. Juli 2019 kostenfällig ab.
Der Beschwerdeführer gelangt an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss, der Beschluss der Vorinstanz sei aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer Strafuntersuchung an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei kann in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (BGE 140 III 115 E. 2).
2.2. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat im bundesgerichtlichen Verfahren ihre Beschwerdelegitimation darzulegen. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation der Privatklägerschaft strenge Anforderungen (BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen).
Unbekümmert der fehlenden Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können (sog. "Star-Praxis"; BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Soweit der Beschwerdeführer sich (auch) gegen die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung gegen seinen ehemaligen amtlichen Verteidiger wendet, ist er nicht zu hören. Das Verfahren wurde mit Urteil des Bundesgerichts vom 12. April 2019 (Verfahren 6B_397/2019) rechtskräftig abgeschlossen und bildet nicht mehr Gegenstand des angefochtenen Entscheids.
3.2. Auch soweit sich die Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid richtet, ist auf sie nicht einzutreten. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwieweit der angefochtene Beschluss gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen soll. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen des angefochtenen Beschlusses nicht (substanziert) auseinander, sondern beschränkt sich darauf, seine im kantonalen Verfahren vorgetragenen Sach- und Rechtsstandpunkte zu wiederholen.
Zudem äussert sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe nicht zu seiner Legitimation als Privatkläger, die vorliegend nicht gegeben ist. Der Beschwerdeführer kann gegen die Beschwerdegegnerin 2 aus dem zur Anzeige gebrachten Sachverhalt, dass diese das Hauptverhandlungsprotokoll im gegen ihn geführten Strafverfahren verfälscht habe, keine Zivilforderungen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geltend machen. Für allfällige strafbare Handlungen der Beschwerdegegnerin 2 in ihrer Funktion als Gerichtspräsidentin des Regionalgerichts Berner Jura-Seeland haftet der Kanton Bern (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 3 Abs. 1 des Personalgesetzes des Kantons Bern vom 16.09.2004 [PG; BSG 153.01]). Die verantwortlichen Personen können von Dritten nicht belangt werden (Art. 102 Abs. 2 PG/BE), weshalb allfällige Ansprüche gegen die Beschwerdegegnerin 2 öffentlich-rechtlicher Natur sind. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftung, können jedoch nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden (BGE 131 I 455 E. 1.2.4 S. 461; Urteil 6B_514/2017 vom 18. Mai 2017 E. 2).
3.3. Eine Verletzung ihm zustehender Verfahrensrechte im vorliegenden Verfahren macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Die von ihm gerügten fehlerhaften Prozesshandlungen, namentlich allfällig "unterdrückte Beweismittel", betreffen nicht das vorliegende Strafverfahren gegen die Beschwerdegegnerin 2, sondern das gegen ihn selbst geführte Strafverfahren.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen. Dem Beschwerdeführer sind reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 500.- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held