Erwägungen:
1.
1.1. A._ bot "Rösslifahrten im U._" an und hielt zu diesem Zweck zwei Wallache der Rasse Noriker - "B._" und "C._". Seit 2015 prüfte der Veterinärdienst mehrfach die Tierhaltungsbedingungen; dabei stellte er Mängel fest, die jeweils behoben wurden. Im Oktober 2019 ging beim Veterinärdienst eine Meldung sein, wonach "B._" kaum noch gehen könne. In der Folge leitete die Staatsanwaltschaft ein Strafverfahren ein und beschlagnahmte die Pferde zur Beweissicherung. Der beigezogene Veterinärdienst stellte fest, dass "B._" kaum noch gehen konnte; beide Pferde waren verdreckt und in der Stallung war praktisch kein Einstreu vorhanden. Die Pferde wurden in eine Tierklinik transportiert, wo festgestellt wurde, dass "B._" massive Schmerzen hatte und selbst eine intensivmedizinische Behandlung und Betreuung kaum erfolgsversprechend sei. Die Klinik empfahl, "B._" sofort einzuschläfern.
1.2. Am 31. Oktober 2019 beschlagnahmte das Amt für Verbraucherschutz und Veterinärwesen des Kantons St. Gallen vorsorglich die beiden Pferde und ordnete - soweit A._ bis 4. November 2019 nicht die intensivmedizinische Behandlung und Betreuung auf seine Kosten verlange - vorsorglich die Euthanasierung von "B._" und die geeignete Unterbringung von "C._" auf Kosten von A._ an. Am 6. November 2019 wurde "B._" eingeschläfert. Am 27. April 2020 ordnete das Amt für Verbraucherschutz und Veterinärwesen gegenüber A._ ein Tierhalteverbot an, verfügte die definitive Beschlagnahme von "C._" und stellte fest, dass "B._" bereits eingeschläfert worden sei.
1.3. Die gegen die vorsorgliche Beschlagnahme der Pferde bzw. die vorsorgliche Euthanasierung von "B._" erhobene Beschwerde wies das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen am 27. Mai 2020 ab. Diesen Entscheid bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 21. Januar 2021.
1.4. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Februar 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Pferde "B._" und "C._" seien unverzüglich herauszugeben, eventualiter sei die Sache zum Neuentscheid zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen die vorsorgliche Beschlagnahme der Pferde bzw. die vorsorgliche Euthanasierung von "B._". Dabei handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme im tierschutzrechtlichen Verfahren und somit um einen Zwischenentscheid. Die Beschwerde ist deshalb nur zulässig, wenn der vorinstanzliche Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; vgl. Urteil 2C_320/2019 vom 12. Juli 2019 E. 1.2). Dieser muss von der beschwerdeführenden Partei in der Beschwerdebegründung dargelegt werden, sofern er nicht offensichtlich ist (BGE 142 V 26 E. 1.2).
2.2. Der Beschwerdeführer begründet den nicht wieder gutzumachenden Nachteil damit, dass sein Pferd "B._" durch den Zwischenentscheid widerrechtlich getötet worden sei und sein Pferd "C._" nach wie vor beschlagnahmt sei. Es komme hinzu, dass der Entscheid die Grundlage bilde, um ihm die Kosten für die Unterbringung der Pferde bzw. Tötung von "B._" aufzuerlegen (vgl. S. 3 Ziff. 8 und S. 12 der Beschwerde).
2.3. Mit diesen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer wohl einen Nachteil auf, der ihm durch den Zwischenentscheid entstanden ist, doch ist nicht ersichtlich, inwieweit dieser Nachteil durch einen günstigen Entscheid im Hauptverfahren nicht behoben werden könnte, sofern er überhaupt noch behebbar ist. Sein Pferd "B._" ist bereits am 6. November 2019 eingeschläfert worden, weshalb es im Verfahren von vornherein nur noch um die Prüfung der Rechtmässigkeit der Euthanasierung gehen kann. Das Pferd "C._" ist zwar nach wie vor beschlagnahmt, doch ist die vorsorgliche Beschlagnahme am 27. April 2020 durch die sofort wirksame definitive Beschlagnahme und das Tierhalteverbot abgelöst worden, sodass die vorsorgliche Beschlagnahme insoweit keine Wirkung mehr hat und die Aufhebung des Zwischenentscheids nicht zu einer Herausgabe des Tieres führen würde (vgl. auch E. 2.3 des angefochtenen Entscheids). Was schliesslich die aufgelaufenen Unterbringungskosten bzw. die Kosten der Euthanasierung betrifft, kann dieser rein monetäre Nachteil durch einen günstigen Endentscheid ohne Weiteres behoben werden (Urteil 2C_836/2017 vom 11. Oktober 2017 E. 3.4). Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG liegen deshalb nicht vor. Bei diesem Ergebnis kann offengelassen werden, inwieweit überhaupt ein Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung des vorsorglichen Massnahmenentscheids besteht, nachdem dieser bereits am 27. April 2020 durch den definitiven Entscheid ersetzt worden ist. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger