Sachverhalt:
A.
A.a. Die am 27. April 1959 geborene A._ ist indische Staatsangehörige und reiste im Jahr 1992 in die Schweiz ein, wo sie bis zu ihrer Arbeitsunfähigkeit im Jahr 2009 arbeitete, zuletzt teilzeitlich als Haushaltshilfe/Raumpflegerin bei der B._ AG. Seit Februar 2002 ist sie mit einem Schweizer verheiratet. Am 12. Februar 2010 meldete sie sich bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der gesundheitlichen und beruflich-erwerblichen Verhältnisse sowie Vornahme einer Haushaltsabklärung in der Wohnung in X._ (D) kündigte die IV-Stelle Basel-Stadt vorbescheidweise die Ausrichtung einer halben Rente mit Wirkung ab 1. August 2010 an. Nachdem A._ dagegen Einwände erhoben hatte, nahmen die IV-Organe eine erneute Überprüfung vor. Sie gelangten gestützt darauf zum Ergebnis, dass mangels Wohnsitzes in der Schweiz die gesetzlichen Voraussetzungen für die Ausrichtung der Invalidenrente nicht erfüllt seien. Mit Verfügung vom 28. Juni 2012 bestätigte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (IVSTA) die Ablehnung des Leistungsbegehrens. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 25. August 2014 ab. Das daraufhin angerufene Bundesgericht hiess die Beschwerde mit Urteil 8C_713/2014 teilweise gut und wies die Sache zur korrekten Feststellung des Sachverhalts und zu neuer Verfügung an die IVSTA zurück.
A.b. Die IVSTA tätigte in der Folge Abklärungen bei der Stadtverwaltung X._ (D), beim Finanzamt Y._ (D) sowie bei der Gemeindeverwaltung Z._ (CH). Gestützt auf die Auskünfte dieser Behörden kündigte sie A._ erneut die Abweisung ihres Leistungsbegehrens an (Vorbescheid vom 14. November 2016), da sie in der Schweiz keinen Wohnsitz habe. Daran hielt sie mit Verfügung vom 21. Juli 2017 fest.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht wies die hiergegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 21. August 2018 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IVSTA zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente nach den gesetzlichen Bestimmungen zu leisten. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Die IVSTA schliesst unter Verweis auf die Ausführungen der IV-Stelle Basel-Stadt auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt ebenfalls, die Beschwerde sei abzuweisen.
Mit Eingabe vom 8. April 2019 lässt A._ zu den Vernehmlassungen Stellung nehmen.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Weder das Replikrecht (vgl. Art. 29 Abs. 1 und 2 BV resp. Art. 6 Ziff. 1 EMRK; BGE 139 I 189 E. 3.2 S. 191 f.; 138 I 154 E. 2.3.3 S. 157) noch ein gerichtlich (hier nicht) angeordneter zweiter Schriftenwechsel (vgl. Art. 102 Abs. 3 BGG) oder das Recht auf Akteneinsicht (vgl. Art. 29 Abs. 2 BV; BGE 132 V 387 E. 3 S. 388) gewährt einen Anspruch darauf, ausserhalb der Beschwerdefrist Aspekte vorzutragen, die bereits mit der Beschwerde hätten vorgebracht werden können (Urteile 9C_478/2017 vom 5. März 2018 E. 2; 8C_478/2016 vom 7. Oktober 2016 E. 2; vgl. auch Art. 47 Abs. 1 BGG). Eine ergänzende Beschwerdeschrift bleibt einzig im Rahmen der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen vorbehalten (vgl. Art. 43 BGG). Der angefochtene Entscheid wurde dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 24. August 2018 zugestellt. Die Beschwerde vom 24. September 2018 wurde fristgerecht eingereicht (Art. 48 Abs. 1 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin am 3. Oktober 2018 selber eine Beschwerdeergänzung nachreichte, erfolgte diese hingegen nach Ablauf der 30-tägigen Rechtsmittelfrist, weshalb sie nicht berücksichtigt werden kann (vgl. Urteil 9C_382/2017 vom 18. August 2017 E. 1 mit Hinweis).
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht prüft nach Art. 106 Abs. 1 BGG frei, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich der von der Schweiz abgeschlossenen internationalen Verträge (Urteil 9C_728/2011 vom 26. April 2012 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 138 V 258). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 144 V 388 E. 2 S. 394 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung; in diese greift das Bundesgericht auf Beschwerde hin nur bei Willkür ein, insbesondere wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (Art. 106 Abs. 2 BGG) klar und detailliert aufzuzeigen (vgl. zum Ganzen BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53).
3.
Streitig ist, ob die Vorinstanz zu Recht in Bestätigung der Verfügung der IVSTA vom 21. Juli 2017 einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Eidgenössischen Invalidenversicherung wegen Nichterfüllens der versicherungsmässigen Voraussetzungen verneinte. Zu prüfen ist dabei zunächst, ob die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz im massgeblichen Zeitraum in der Schweiz hatte. Bei fehlendem Wohnsitz in der Schweiz stellt sich weiter die Frage, ob die Beschwerdeführerin aus dem Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) und den einschlägigen gemeinschaftsrechtlichen Verordnungen Leistungen der Invalidenversicherung verlangen kann.
4.
Das Bundesverwaltungsgericht kam nach einlässlicher Würdigung der Beweise, einschliesslich der Ergebnisse der von der Beschwerdegegnerin im Nachgang zum Urteil des Bundesgerichts 8C_713/2014 vom 4. Mai 2015 getätigten Abklärungen sowie der von der Beschwerdeführerin im Verwaltungsverfahren neu eingereichten Unterlagen, zum Schluss, dass die IVSTA zu Recht davon ausgegangen sei, der Lebensmittelpunkt der Beschwerdeführerin befinde sich seit 2003 in Deutschland. Der zentrale Lebensmittelpunkt habe sich in den relevanten Jahren nicht von Deutschland zurück in die Schweiz verlagert. Von einer Befragung des Ehemannes könne angesichts der Aktenlage abgesehen werden. Die Vorinstanz berücksichtigte namentlich, dass die Beschwerdeführerin in Deutschland mietfrei in einer 3.5-Zimmerwohnung wohnte, sie über eine Grenzgängerbewilligung in der Schweiz verfügte und sie im Jahre 2009 in Z._ (CH) lediglich ein Zimmer mietete (in Untermiete). Dies spreche für das Vorliegen eines Wochenaufenthaltes in der Schweiz, was im Einklang stehe mit den Angaben in der IV-Anmeldung vom 12. Februar 2010, worin als gesetzlicher Wohnsitz die Anschrift in Deutschland und als aktueller Aufenthaltsort die Anschrift in der Schweiz genannt worden seien. Ausserdem sei die Beschwerdeführerin in der Schweiz nie steuerpflichtig gewesen. Der behauptete Lebensmittelpunkt in der Schweiz lasse sich sodann nicht vereinbaren mit den konkreten Angaben der Beschwerdeführerin anlässlich der Haushaltsabklärung zur Pflege der ehelichen Gemeinschaft in Deutschland und der damit verbundenen konkret geschilderten Aufgabenteilung mit ihrem Ehemann in der ehelichen Wohnung. Weiter hielt die Vorinstanz fest, der Ehemann der Beschwerdeführerin sei einzig von April 2011 bis November 2013 nicht in Deutschland gemeldet gewesen. Die möglichen Hinweise auf einen dauerhaften Wohnsitz des Ehemannes in den USA gemäss Urteil des Bundesgerichts 8C_713/2014 vom 4. Mai 2015 hätten durch die zusätzlich eingereichten Dokumente der Beschwerdeführerin aber nicht erhärtet werden können. Zwar hätten die Abklärungen ergeben, dass sich der Ehemann am 11. April 2011 nach unbekannt (USA) abgemeldet und am 20. November 2013 wieder in X._ (D) angemeldet habe. Ob er aber zwischenzeitlich ausserhalb von Deutschland einen neuen Wohnsitz begründet habe, lasse sich aus den eingereichten Bestätigungen nicht entnehmen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht im Zusammenhang mit der Wohnsitzfrage einzig geltend, gemäss Abklärungen der Beschwerdegegnerin habe sich ihr Ehemann per 11. April 2011 von seinem Wohnsitz in Deutschland abgemeldet und als nachfolgende Adresse die USA genannt. Seither bestehe demnach kein Anknüpfungspunkt mehr zu Deutschland. Wie das Bundesgericht im Urteil 8C_713/2014 vom 4. Mai 2015 E. 3.6 festgehalten habe, würde es den Standpunkt der Beschwerdeführerin stützen, dass sich der Mittelpunkt ihrer Lebensbeziehungen effektiv in der Schweiz befunden habe, falls sich ihr Ehemann dauernd in den USA aufhalte. Demnach habe die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, wenn sie dessen ungeachtet zum Schluss gelangt sei, der zivilrechtliche Wohnsitz der Beschwerdeführerin liege in der Schweiz (recte: Deutschland). In ihrer Replik bringt sie zudem vor, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass sie in der Schweiz bei ihrer Schwiegermutter gewohnt habe.
5.2. Mit diesen Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin keine Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen. Wenn das Bundesverwaltungsgericht nach eingehender Beweiswürdigung zum Schluss gelangte, die Beschwerdeführerin habe ihren Wohnsitz seit 2003 in Deutschland, so ist dies nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz legte ausführlich dar, weshalb sie aufgrund der gesamten Umstände - und nicht allein unter Verweis auf den Wohnsitz des Ehemannes in Deutschland - auf einen Wohnsitz der Beschwerdeführerin in Deutschland schloss. Die dieser Beurteilung zugrunde liegenden Sachverhaltsfeststellungen werden von der Beschwerdeführerin nicht entscheidend in Frage gestellt. Soweit die Beschwerdeführerin etwa geltend macht, ihr Ehemann habe sich per 11. April 2011 von seinem Wohnsitz in Deutschland abgemeldet und als nachfolgende Adresse die USA genannt, weshalb seither kein Anknüpfungspunkt mehr zu Deutschland bestehe, lässt sie eine Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen vermissen. Die Vorinstanz hielt unter anderem fest, dass die Angaben der Beschwerdeführerin, wonach ihr Ehemann immer unterwegs sein soll, mit Blick auf die anlässlich der Haushaltsabklärung geschilderte Aufgabenteilung in der ehelichen Wohnung nicht überzeugen würden. Ausserdem hätten sich die Hinweise auf einen dauerhaften Wohnsitz des Ehemannes in den USA durch die zusätzlich eingereichten Dokumente nicht erhärtet. Insgesamt vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, inwiefern der Schluss der Vorinstanz auf einen Lebensmittelpunkt der Beschwerdeführerin in Deutschland im Ergebnis offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig sein soll.
5.3. Gemäss Art. 6 Abs. 2 IVG (in der seit 31. Dezember 2003 gültigen Fassung) sind ausländische Staatsangehörige, vorbehältlich Art. 9 Abs. 3 IVG, nur anspruchsberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz haben und sofern sie bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines vollen Jahres Beiträge geleistet oder sich ununterbrochen während zehn Jahren in der Schweiz aufgehalten haben. Für im Ausland wohnhafte Angehörige dieser Personen werden keine Leistungen gewährt. Da die Beschwerdeführerin nach dem Gesagten im massgebenden Zeitraum nicht Wohnsitz in der Schweiz hatte, erfüllt sie die versicherungsmässigen Voraussetzungen gemäss Art. 6 Abs. 2 IVG nicht.
6.
Wie bereits im Verfahren 8C_713/2014 rügt die Beschwerdeführerin die Schlussfolgerung der Vorinstanz, wonach das FZA und die Verordnungen, auf welche darin verwiesen wird und damit insbesondere das darin statuierte Diskriminierungsverbot, auf sie nicht anwendbar seien, als völkerrechtswidrig. Ihr Ehemann sei schweizerischer Staatsbürger und habe gemäss Feststellungen der Vorinstanz im Zeitpunkt des allfälligen Rentenbeginns in Deutschland Wohnsitz gehabt. In ihrer Eigenschaft als Familienangehörige könne sie sich daher auf das FZA berufen. Die Rechtsprechung gemäss BGE 139 V 393 finde auf den vorliegenden Sachverhalt Anwendung.
6.1. Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin aus dem Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Republik Indien über soziale Sicherheit (in Kraft seit 29. Januar 2011; SR 0.831.109.423.1) nichts zu ihren Gunsten ableiten kann (vgl. Urteil 8C_713/2014 vom 4. Mai 2015 E. 2.2).
6.2. Zu prüfen bleibt aber, ob die Beschwerdeführerin aus dem FZA und den einschlägigen Verordnungen einen Leistungsanspruch ableiten kann.
6.3.
6.3.1. Gemäss Art. 2 FZA dürfen die Staatsangehörigen einer Vertragspartei, die sich rechtmässig im Hoheitsgebiet einer anderen Vertragspartei aufhalten, bei der Anwendung dieses Abkommens gemäss den Anhängen I, II und III nicht aufgrund ihrer Staatsangehörigkeit diskriminiert werden. Nach Art. 8 FZA regeln die Vertragsparteien die Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit gemäss Anhang II (der Bestandteil des Abkommens bildet). Gemäss Art. 1 i.V.m. Abschnitt A Anhang II FZA (in der bis 31. März 2012 geltenden Fassung) wandten die Vertragsparteien untereinander insbesondere die Verordnungen (EWG) Nr. 1408/71 des Rates vom 14. Juni 1971 zur Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbstständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (AS 2004 121; nachfolgend Verordnung Nr. 1408/71), und (EWG) Nr. 574/72 des Rates vom 21. März 1972 über die Durchführung der Verordnung Nr. 1408/71 (AS 2005 3909) oder gleichwertige Vorschriften an. Mit Wirkung per 1. April 2012 (für die Schweiz) sind diese beiden Rechtsakte durch die Verordnungen (EG) Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.1; nachfolgend: Verordnung Nr. 883/2004) sowie (EG) Nr. 987/2009 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. September 2009 zur Festlegung der Modalitäten für die Durchführung der Verordnung Nr. 883/2004 über die Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.11) abgelöst worden (Art. 1 i.V.m. Abschnitt A Anhang II FZA; BGE 144 V 127 E. 4.1 S. 129 mit Hinweisen).
6.3.2. Das Abkommen und insbesondere die Verordnung Nr. 1408/71 gilt in persönlicher Hinsicht für Arbeitnehmer und Selbstständige sowie für Studierende, für welche die Rechtsvorschriften eines oder mehrerer Mitgliedstaaten gelten oder galten, soweit sie Staatsangehörige eines Mitgliedstaates sind oder als Staatenlose oder Flüchtlinge im Gebiet eines Mitgliedstaates wohnen, sowie für deren Familienangehörige und Hinterbliebene (Art. 2 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71). Dabei ist unerheblich, ob die Familienangehörigen selber auch Staatsangehörige eines Mitgliedstaates sind (BGE 139 V 393 E. 4.1 S. 396; Urteil 9C_277/2007 vom 12. Februar 2008 E. 4.1 mit Hinweisen). Personen, die im Gebiet eines Mitgliedstaates wohnen und für die diese Verordnung gilt, haben die gleichen Rechte und Pflichten aufgrund der Rechtsvorschriften eines Mitgliedstaates wie die Staatsangehörigen dieses Staates, soweit besondere Bestimmungen dieser Verordnung nichts anderes vorsehen (Art. 3 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71). Die Verordnung Nr. 883/2004 ihrerseits gilt für Staatsangehörige eines Mitgliedstaates, Staatenlose und Flüchtlinge mit Wohnort in einem Mitgliedstaat, für die die Rechtsvorschriften eines oder mehrerer Mitgliedstaaten gelten oder galten, sowie für ihre Familienangehörigen und Hinterbliebenen (Art. 2 Abs. 1 Verordnung Nr. 883/2004). Auch unter dieser Bestimmung ist unerheblich, ob die Familienangehörigen selber auch Staatsangehörige eines Mitgliedstaates sind (BGE 143 V 81 E. 8.2.2 S. 88). Sofern in dieser Verordnung nichts anderes bestimmt ist, haben Personen, für die diese Verordnung gilt, die gleichen Rechte und Pflichten aufgrund der Rechtsvorschriften eines Mitgliedstaates wie die Staatsangehörigen dieses Staates (Art. 4 Verordnung Nr. 883/2004).
6.3.3. Für die Schweiz im Rahmen des FZA unerheblich ist sodann die Verordnung Nr. 859/2003 des Rates vom 14. Mai 2003 zur Ausdehnung der Bestimmungen der Verordnung Nr. 1408/71 und der Verordnung Nr. 574/72 auf Drittstaatsangehörige (ABl. L 124 vom 20. Mai 2003 S. 1-3; vgl. dazu BGE 136 V 244 E. 6.4 S. 251; SVR 2011 BVG Nr. 12 S. 44, 9C_693/2009 E. 2.1).
6.4. Sofern die Voraussetzungen des persönlichen und des sachlichen Geltungsbereichs der jeweiligen Verordnung erfüllt sind, hat somit die Beschwerdeführerin unter den gleichen Voraussetzungen wie eine Schweizer Bürgerin Anspruch auf die anbegehrte Leistung, selbst wenn sie die vom Gesetz für ausländische Staatsangehörige vorgesehenen Voraussetzungen nicht erfüllt (vgl. Art. 80a IVG; BGE 131 V 390 E. 5.2 S. 397 ff. und E. 7.2 S. 401 mit Hinweisen; Urteil 9C_277/2007 vom 12. Februar 2008 E. 4).
6.5. In intertemporalrechtlicher Hinsicht ist zu berücksichtigen, dass im hier zu beurteilenden Fall ein allfälliger Rentenanspruch (frühestens) am 1. August 2010 (vgl. Art. 29 Abs. 1 IVG) und damit vor Inkrafttreten der Verordnung Nr. 883/2004 für die Schweiz am 1. April 2012 entstanden ist. Der Sachverhalt ist deshalb bis zum 31. März 2012 im Lichte der Verordnung Nr. 1408/71 und ab 1. April 2012 im Lichte der Verordnung Nr. 883/2004 zu beurteilen (vgl. BGE 144 V 210 E. 4.3 S. 213 f.; 142 V 112 mit Hinweis auf ARNO BOKELOH, Die Übergangsregelungen in den Verordnungen Nr. 883/04 und 987/09, ZESAR 2011 S. 18-23). Wie sich aus dem Folgenden ergibt, ist die Änderung vorliegend nicht von Bedeutung.
7.
7.1. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz war der Ehemann der Beschwerdeführerin einzig von April 2011 bis November 2013 nicht in Deutschland gemeldet. Es sei aber nicht belegt, dass er in dieser Zeit ausserhalb Deutschlands (neuen) Wohnsitz begründet hätte. Insbesondere hätten die möglichen Hinweise auf einen dauerhaften Wohnsitz in den USA durch die eingereichten Dokumente der Beschwerdeführerin nicht erhärtet werden können. In tatsächlicher Hinsicht ist im Weiteren davon auszugehen, dass der Ehemann einst in der Schweiz lebte, mittlerweile aber seit Jahren in Deutschland wohnt (gemäss Auskunft des Finanzamtes Y._ zogen die Eheleute 2005 von der Schweiz nach Deutschland; gemäss Auskunft der Stadt X._ wohnt der Ehemann bereits seit 1986 in X._) und als selbstständiger Pianist resp. als Musiklehrer in verschiedenen Ländern tätig ist. Aus den Akten ergibt sich etwa, dass er in den Jahren 2010 bis 2015 in Frankreich, Italien und in den USA Seminare und Tagungen leitete sowie Musik unterrichtete. Unbestritten ist des Weiteren, dass er Schweizer Staatsangehöriger ist. Vor diesem Hintergrund ist dem BSV darin beizupflichten, dass der Ehemann der Beschwerdeführerin sein Recht auf Freizügigkeit basierend auf dem FZA ausgeübt hat und folglich ein grenzüberschreitender Sachverhalt gegeben ist (vgl. dazu BGE 143 V 354 E. 4 S. 357 mit Hinweisen). Etwas anderes macht auch die IVSTA nicht geltend.
7.2. Damit steht fest, dass die Beschwerdeführerin als Ehefrau eines in Deutschland wohnhaften Schweizers, der im EU-Raum einer selbstständigen Erwerbstätigkeit nachgeht, als Familienangehörige im Sinne von Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 resp. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 883/2004 zu qualifizieren ist.
8.
8.1. Nach Ansicht des BSV können Familienangehörige gemäss Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 resp. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 883/2004 lediglich abgeleitete Ansprüche geltend machen. Der hier streitige Leistungsanspruch aufgrund einer Invalidität ergebe sich ausschliesslich aufgrund der Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin. Dabei handle es sich um einen eigenen Anspruch der Beschwerdeführerin und nicht um einen abgeleiteten Anspruch aufgrund ihrer Eigenschaft als Familienangehörige eines Schweizers. Folglich könne sich die Beschwerdeführerin nicht auf die genannten Verordnungen berufen.
8.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, wohl könne sie nur abgeleitete Rechte beanspruchen und komme nicht selber in den persönlichen Anwendungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 resp. Nr. 883/2004. Vorliegend bestehe aber gerade ein (von ihrem Ehemann) abgeleitetes Recht, weshalb sie Anspruch auf Leistungsexport habe.
8.3. Das Bundesgericht hat sich in der Vergangenheit wiederholt zur Unterscheidung von abgeleiteten und eigenen Rechten geäussert.
8.3.1. Das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht hat sich in BGE 132 V 184 mit der Frage auseinandergesetzt, ob die Verordnung Nr. 1408/71 im Falle eines Kindes in materieller und persönlicher Sicht anwendbar ist. Es befasste sich dabei auch mit der Rechtsprechung des EuGH. Dieser habe in einer ersten Zeit die Mitglieder der Familie vom Grundsatz der Gleichbehandlung ausgeschlossen, wobei er sich auf die Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Rechten gestützt habe (vgl. E. 5.2.2 mit Verweis auf den Entscheid EuGH vom 23. November 1976, Kermaschek, 40-76, Slg. 1976 1669, Punkt 7). In einem späteren Entscheid habe der Gerichtshof die Anwendbarkeit der Rechtsprechung Kermaschek auf jene Leistungen eingeschränkt, welche aufgrund ihrer besonderen Natur ausschliesslich dem Arbeiter geschuldet seien (Entscheid des EuGH vom 30. April 1996, Cabanis-Issarte, C-308/93, Slg. 1996, I-2097, Punkt 34). Das Eidgenössische Versicherungsgericht konnte im zu beurteilenden Fall letztlich die Frage nach der Tragweite dieser Cabanis-Issarte-Rechtsprechung offenlassen.
8.3.2. In BGE 133 V 320 stand der Anspruch auf medizinische Massnahmen eines an angeborener Epilepsie (Geburtsgebrechen Nr. 387 GgV Anhang) leidenden, mit seinen Eltern in der Schweiz wohnenden Kindes niederländischer Staatsangehörigkeit zur Diskussion. Das Bundesgericht legte die Rechtsprechung des EuGH ausführlich dar. Es wies darauf hin, dass der EuGH die Kermaschek-Rechtsprechung im Entscheid vom 30. April 1996 in der Rechtssache C-308/93, Cabanis-Issarte, Slg. 1996, I-2097, auf Ansprüche beschränkt habe, die nach dem nationalen Recht nur Arbeitnehmern, die Staatsangehörige eines Mitgliedstaates seien, und nicht deren Familienangehörigen gewährt würden, wie namentlich die Arbeitslosenleistungen. Demgegenüber sei das Altersversorgungssystem der (nie erwerbstätig gewesenen) Witwe eines Wanderarbeitnehmers dem Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 unterstellt worden, weil die Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Rechten für den hinterbliebenen Ehegatten zu einem Ausschluss vom Schutz durch das grundlegende Gebot der Gleichbehandlung führen würde (vgl. E. 5.2.3). In der Folge habe der EuGH einerseits die Weitergeltung der Rechtsprechung Kermaschek (welche zwischen abgeleiteten und eigenen Ansprüchen differenziert) für die Arbeitslosenentschädigung bestätigt. Andererseits habe er festgehalten, dass (im Sinne der Rechtsprechung Cabanis-Issarte) in Bezug auf Familienleistungen (Art. 4 Abs. 1 lit. h sowie Art. 72 ff. der Verordnung Nr. 1408/71) die Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Ansprüchen nicht anwendbar sei (E. 5.2.4 mit Hinweis auf die einschlägige Rechtsprechung des EuGH). In Bezug auf die anderen Leistungen gemäss Art. 4 der Verordnung Nr. 1408/71, die weder Arbeitslosenentschädigungen noch Familienleistungen sind, habe sich der EuGH bis zum 21. Juni 1999, soweit ersichtlich, nicht ausdrücklich zur Frage geäussert, ob darauf die Kermaschek- oder die Cabanis-Issarte-Rechtsprechung anwendbar sei. Das Bundesgericht befasste sich sodann mit der schweizerischen (vgl. E. 5.3) und der gemeinschaftsrechtlichen Lehre (vgl. E. 5.4). Es kam zum Schluss, dass das an einem Geburtsgebrechen leidende Kind als Familienangehöriger eines niederländischen Erwerbstätigen in Bezug auf die Leistungen bei Geburtsgebrechen ungeachtet der Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Ansprüchen in den persönlichen Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 falle und sich damit grundsätzlich auf das Verbot einer nach Staatsangehörigkeit unterschiedlichen Behandlung berufen könne.
8.3.3. Im mit Urteil 9C_277/2007 vom 12. Februar 2008 entschiedenen Fall stellte sich die Frage, ob sich ein von italienischen Staatsangehörigen adoptiertes indisches Kind als Familienangehöriger auf das FZA und die Verordnung Nr. 1408/71 berufen kann, um medizinische Massnahmen der Invalidenversicherung beanspruchen zu können. Das Bundesgericht bejahte dies und stellte klar, dass die Beschwerdegegnerin seit der Adoption Tochter italienischer Staatsangehöriger sei und demnach ab diesem Zeitpunkt - unabhängig von ihrer eigenen Staatsangehörigkeit - in den persönlichen Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 falle. Dies habe hinsichtlich der anbegehrten medizinischen Massnahmen ungeachtet der Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Rechten zu gelten (E. 4.1 mit Hinweis auf BGE 133 V 320 E. 5.1-5.5 S. 324 ff.).
8.3.4. In BGE 139 V 393 ging es um einen peruanischen Staatsangehörigen, der mit einer britischen Staatsangehörigen verheiratet war und mit seiner Ehefrau nach mehreren Jahren Wohnsitz und Erwerbstätigkeit in der Schweiz den Wohnsitz nach Grossbritannien verlegt hatte. Das Bundesgericht entschied, dieser Drittstaatsangehörige habe in seiner Eigenschaft als Familienangehöriger gestützt auf das FZA weiterhin Anspruch auf seine AHV-Altersrente. Dabei hat sich das Bundesgericht erneut mit der Entwicklung der Rechtsprechung des EuGH auseinandergesetzt. Danach gelte die Beschränkung der Rechtsstellung Familienangehöriger auf abgeleitete Rechte nur mehr für Fälle, in denen sich ein Familienangehöriger auf Bestimmungen der Verordnung Nr. 1408/71 berufe, die (wie die Art. 67-71 über Leistungen bei Arbeitslosigkeit) ausschliesslich für den Arbeitnehmer, nicht aber für dessen Familienangehörige geschaffen seien. Das Bundesgericht hielt fest, der EuGH habe aus dem Entscheid Cabanis-Issarte ein allgemeines Prinzip abgeleitet. Er habe ausserdem erwogen, dass es negative Auswirkungen auf die Freizügigkeit der Arbeitnehmer hätte, wenn sich der Gatte eines Arbeitnehmers zum Erhalt bestimmter, von der Gesetzgebung des letzten Beschäftigungsstaats vorgesehenen Leistungen, nicht auf den Gleichbehandlungsgrundsatz berufen könnte. Die Gemeinschaftsbestimmungen über die Koordinierung der nationalen sozialversicherungsrechtlichen Vorschriften würden sich in diesen Rahmen einfügen. Denn gemäss dem EuGH verstiesse es gegen Sinn und Zweck dieser Bestimmungen, dem Ehegatten eines Wanderarbeitnehmers für die Festsetzung von Leistungen bei Alter den Schutz durch das Diskriminierungsverbot zu versagen, wenn er auf diese Leistungen bei Gleichbehandlung mit den Inländern Anspruch gehabt hätte, falls er im Aufnahmestaat geblieben wäre (vgl. E. 5.2.2 mit Hinweisen).
8.3.5. In BGE 141 V 521 führte das Bundesgericht dagegen aus, der aus Guatemala stammende Beschwerdeführer könne sich hinsichtlich des Anspruchs auf Familienzulagen für seine in Bulgarien lebenden Kinder nicht auf die Regelung für Familienangehörige berufen. Da seine Ehefrau und seine Kinder, die bulgarische und damit EU-Staatsangehörige seien und weiterhin in Bulgarien leben würden, von ihrem Freizügigkeitsrecht keinen Gebrauch gemacht hatten, fehlte es bereits an einem grenzüberschreitenden Sachverhalt (vgl. E. 4.3.4). Der Beschwerdeführer konnte deshalb auch nicht als Familienmitglied qualifiziert werden (vgl. STÉPHANIE PERRENOUD, La couverture maladie et maternité en cas de détachement de travailleurs, SZS 2017 S. 261, Fn. 21).
8.3.6. Mit BGE 143 V 81 bestätigte das Bundesgericht wiederum, dass die Unterscheidung zwischen eigenen Rechten des Familienangehörigen und abgeleiteten Rechten mit Blick auf die europäische Rechtsprechung im zu beurteilenden Fall keine Rolle spiele. Der EuGH habe im Sinne eines allgemeinen Grundsatzes festgehalten, dass die Familienangehörigen eines Wanderarbeitnehmers Anspruch auf Gleichbehandlung in Bezug auf alle Leistungen hätten, die ihrer Natur nach nicht ausschliesslich dem Arbeitnehmer geschuldet seien, wie zum Beispiel die Arbeitslosenentschädigungen (E. 8.2.2 mit Verweis auf BGE 139 V 393 E. 5.2.2 S. 397). Die in der Schweiz wohnhafte Nicht-EU-Staatsbürgerin, die mit einem Schweizer Bürger mit doppelter Staatsbürgerschaft, davon eine EU-Staatsbürgerschaft, verheiratet sei, habe deshalb grundsätzlich einen eigenen Anspruch auf Ergänzungsleistungen (vgl. E. 7.2), den sie als Familienangehörige eines Staatsangehörigen eines Mitgliedstaats geltend machen könne. Das Bundesgericht verneinte schliesslich aber das Vorliegen eines grenzüberschreitenden Sachverhalts, da der blosse Besitz der italienischen Staatsangehörigkeit des Ehemannes der Beschwerdeführerin für sich allein nicht genüge, um die Anwendung des FZA geltend zu machen. Der grenzüberschreitende Sachverhalt sei nämlich nur gegeben, falls das eigene Recht auf Personenfreizügigkeit auf dem Gebiet eines Mitgliedstaats ausgeübt werde (vgl. E. 8.3.3.2). Dies war gerade nicht der Fall, da der Arbeitnehmer in der Schweiz geboren wurde und nie in einem Mitgliedstaat der EU gewohnt oder gearbeitet hatte.
8.3.7. Schliesslich hatte das Bundesgericht im jüngst ergangenen Urteil 9C_624/2018 vom 15. April 2019 zu entscheiden, ob eine Nicht-EU-Staatsangehörige (Bolivianerin) aufgrund ihrer Eigenschaft als Ehegattin eines (verstorbenen) Portugiesen, der in der Schweiz gearbeitet und damit von seiner Freizügigkeit Gebrauch gemacht hatte, Anspruch auf Ergänzungsleistungen hatte, ohne zuvor eine Karenzfrist von zehn Jahren (vgl. Art. 5 Abs. 1 ELG) bestehen zu müssen. Es bestätigte, dass die Ehegattin als Familienangehörige eines EU-Staatsangehörigen in den persönlichen Geltungsbereich der Verordnung Nr. 883/2004 falle (vgl. E. 6.2 mit Verweis auf die einschlägige Rechtsprechung des Bundesgerichts und des EuGH). Weiter hielt es fest, dass es sich beim Anspruch auf Ergänzungsleistungen um einen eigenen - und nicht um einen abgeleiteten - Anspruch der Hinterbliebenen handle (vgl. E. 7.2.2) und dass diese sich auch in diesem Zusammenhang direkt auf das Prinzip der Gleichbehandlung berufen könne. Das Gericht kam zum Schluss, dass die in Art. 5 Abs. 1 ELG festgehaltene Karenzfrist einer hinterbliebenen Ehegattin eines EU-Staatsangehörigen, der von seinem Recht auf Freizügigkeit Gebrauch gemacht hatte, nicht entgegengehalten werden könne.
8.4. Aus der dargelegten Rechtsprechung des Bundesgerichts, welche die einschlägige Rechtsprechung des EuGH berücksichtigt (vgl. Art. 16 Abs. 2 FZA), ergibt sich somit, dass sich Familienangehörige eines Staatsangehörigen eines Mitgliedstaats direkt auf den Grundsatz der Gleichbehandlung berufen können (Art. 3 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 resp. Art. 4 der Verordnung Nr. 883/2004 und zwar in Bezug auf sämtliche Leistungen, die ihrer Natur nach nicht ausschliesslich dem Arbeitnehmer geschuldet sind (vgl. auch BETTINA KAHIL-WOLFF, La coordination européenne des systèmes nationaux de sécurité sociale, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 202 Rz. 36 mit Verweis auf BGE 139 V 393). Soweit das BSV weiterhin auf die Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Rechten der Familienangehörigen beharrt, kann ihm nach dem Gesagten nicht gefolgt werden, zumal es sich mit der angeführten Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht auseinandersetzt.
9.
9.1. Bei der im Raum stehenden Invalidenrente handelt es sich - gleich wie bei der in BGE 139 V 393 beurteilten Altersrente - nicht um eine Leistung, die ausschliesslich dem Arbeitnehmer geschuldet ist. Die Beschwerdeführerin kann sich somit direkt auf den Grundsatz der Gleichbehandlung berufen. Die vorliegende Konstellation ist denn auch durchaus vergleichbar mit derjenigen, die dem BGE 139 V 393 zugrunde lag (vgl. E. 8.3.4 hiervor). Entscheidend ist, dass die Beschwerdeführerin Anspruch auf eine Invalidenrente der Eidgenössischen Invalidenversicherung hätte, wenn sie in der Schweiz wohnen würde. Allein aufgrund ihrer Wohnsitznahme in Deutschland wurden ihr die Rentenzahlungen verwehrt. Entgegen der Ansicht des BSV kann nicht gesagt werden, der Ehemann der Beschwerdeführerin sei nicht in seiner Freizügigkeit eingeschränkt, wenn die Invalidenrente seiner Ehefrau nicht exportiert würde. Gelangt die Invalidenrente nur bei einem Wohnsitz der Beschwerdeführerin in der Schweiz zur Auszahlung und ist davon auszugehen, dass die Eheleute zusammenleben, so ist nicht nur die Beschwerdeführerin selber, sondern - zumindest mittelbar - auch ihr Ehemann in seiner Freizügigkeit eingeschränkt. Das Recht auf Freizügigkeit umfasst im Übrigen nicht bloss die Rückkehr in das Heimatland, sondern den freien Personenverkehr im ganzen EU- resp. Vertragsgebiet. Soweit das Bundesverwaltungsgericht erwog, eine Leistungspflicht des schweizerischen Versicherungsträgers aufgrund des FZA bestehe nicht, da im interessierenden Zeitraum weder die Beschwerdeführerin noch ihr Ehemann in der Schweiz gelebt resp. ihren zentralen Lebensmittelpunkt gehabt hätten und einer Erwerbstätigkeit nachgegangen seien, kann ihm nach dem Gesagten nicht gefolgt werden.
9.2. Ferner mag zwar zutreffen, dass - wie das BSV ausführt - jeder Staat grundsätzlich selbst aufgrund der eigenen Gesetzgebung über die Anspruchsberechtigten, die Höhe der Leistungen und die Voraussetzungen für deren Erhalt entscheiden kann. Zu beachten ist aber, dass die Schweiz als Vertragsstaat (vgl. E. 6.2 hiervor) an das FZA und seine Anhänge gebunden ist. Damit hat sie sich auch an den Grundsatz der Gleichbehandlung zu halten.
9.3. Entgegen dem BSV steht das Abkommen zwischen der Schweiz und der Republik Indien (vgl. E. 6.1 hiervor), das keinen Export einer schweizerischen Rente ins Ausland vorsieht, dem Anspruch der Beschwerdeführerin auf Gleichbehandlung gestützt auf das FZA und den einschlägigen Verordnungen nicht entgegen.
9.4. Kann sich die Beschwerdeführerin als Familienangehörige eines in Deutschland wohnhaften Schweizers ungeachtet ihrer eigenen Nationalität auf das Prinzip der Gleichbehandlung berufen, so ist schliesslich auch nicht massgebend, dass die Schweiz die Verordnungen Nr. 859/2003 und Nr. 1231/2010 betreffend Ausdehnung des Geltungsbereichs der Verordnungen Nr. 1408/71 und Nr. 883/2004 innerhalb der EU auf ausländische Arbeitnehmer mit Wohnsitz in einem EU-Staat nicht übernommen hat.
10.
10.1. Zusammenfassend erfüllt die Beschwerdeführerin als Ehefrau eines in Deutschland wohnhaften Schweizers die Voraussetzungen des persönlichen Geltungsbereichs der Verordnung Nr. 1408/71. Dass auch der sachliche Geltungsbereich erfüllt ist, ist unbestritten. Ebenso liegt ein grenzüberschreitender Sachverhalt vor. Folglich hat die Beschwerdeführerin unter den gleichen Voraussetzungen wie eine Schweizer Bürgerin Anspruch auf eine Invalidenrente. Dies gilt in intertemporalrechtlicher Hinsicht auch über den 31. März 2012 hinaus, zumal der persönliche Geltungsbereich der Verordnung Nr. 883/2004 nicht enger gefasst ist als derjenige der Verordnung Nr. 1408/71.
10.2. Im Übrigen kann sich die Beschwerdeführerin auch auf das in Art. 10 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 verankerte Prinzip der Aufhebung der Wohnortsklauseln berufen. Danach dürfen die Geldleistungen bei Invalidität, Alter oder für die Hinterbliebenen, die Renten bei Arbeitsunfällen oder Berufskrankheiten und die Sterbegelder, auf die nach den Rechtsvorschriften eines oder mehrerer Mitgliedstaaten Anspruch erhoben worden ist, unter Vorbehalt anderslautender Bestimmungen in der Verordnung nicht deshalb gekürzt, geändert, zum Ruhen gebracht, entzogen oder beschlagnahmt werden, weil der Berechtigte im Gebiet eines anderen Mitgliedstaats als des Staates wohnt, in dessen Gebiet der zur Zahlung verpflichtete Träger seinen Sitz hat. Diese Bestimmung entspricht im Wesentlichen Art. 7 der Verordnung Nr. 883/2004 (BGE 142 V 2 E. 6.1.2 S. 7). Die Aufhebung der Wohnortsklauseln bedeutet nicht nur, dass eine Person ihr Recht auf eine Leistung behält, nachdem sie sich in einem anderen Mitgliedsstaat niedergelassen hat. Es impliziert auch, dass ihr ein Leistungsanspruch nicht allein deshalb verwehrt werden darf, weil sie nicht auf dem Gebiet der leistungsausrichtenden Institution wohnt (vgl. BGE 142 V 2 E. 6.1.2 mit Verweis auf die einschlägige Rechtsprechung des EuGH). Dies gilt für alle Berechtigten, mithin für alle von der Verordnung erfassten Personen (vgl. BETTINA KAHIL-WOLFF, La coordination européenne des systèmes nationaux de sécurité sociale, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 210 Rz. 50 mit Verweis auf den Entscheid Cabanis-Issarte) und damit auch für die Beschwerdeführerin als Ehegattin eines Schweizers (vgl. BGE 139 V 393 E. 6 S. 398).
10.3. Demnach ist die Beschwerde begründet. Die Sache wird an die IVSTA zurückgewiesen, damit sie die übrigen Leistungsvoraussetzungen prüfe und über den Rentenanspruch neu entscheide. In diesem Sinne ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen.
11.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat diese der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung zu leisten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. August 2018 und die Verfügung der IV-Stelle für Versicherte im Ausland vom 21. Juli 2017 werden aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Verfügung an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Mai 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest