Erwägungen:
Mit Beschluss vom 4. Juni 2019 erteilte die Baukommission Küsnacht C._ die Baubewilligung für die Erstellung eines Mehrfamilienhauses. In teilweiser Gutheissung eines dagegen erhobenen Rekurses ergänzte das Baurekursgericht des Kantons Zürich den Beschluss am 21. Januar 2020 mit diversen Auflagen; im Übrigen wies es den Rekurs ab. Die gegen den baurekursgerichtlichen Entscheid erhobenen Beschwerden von C._ bzw. von A._ und B._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 1. Oktober 2020 ab.
Gegen dieses Urteil gelangen A._ und B._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Dezember 2020 an das Bundesgericht und beantragen die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils.
Mit Schreiben an das Bundesgericht vom 26. April 2021 zog B._ seine Beschwerde zurück. Gleichzeitig informierte er das Bundesgericht, dass er die Gerichtskosten für die Abschreibung des Verfahrens tragen und die private Beschwerdegegnerin auf eine Parteientschädigung verzichten würde, was deren Rechtsvertreter mit Schreiben an das Bundesgericht ebenfalls vom 26. April 2021 bestätigte. Am 6. Mai 2021 zog auch A._ seine Beschwerde zurück, wobei die Gerichtskosten für die Abschreibung des Verfahrens entsprechend der Rückzugserklärung von B._ diesem aufzuerlegen seien. Die private Beschwerdegegnerin habe darüber hinaus auf eine Parteientschädigung verzichtet. Nachdem die Rechtsvertreter von A._ und B._ über die eingereichten Beschwerderückzüge informiert worden waren und sie sich innert der ihnen angesetzten Frist nicht vernehmen liessen, ist die Beschwerde im Verfahren nach Art. 32 Abs. 2 BGG als durch Beschwerderückzug erledigt abzuschreiben. Bei diesem Verfahrensausgang werden die unterliegenden Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG), wobei die Kosten vorliegend antragsgemäss B._ aufzuerlegen sind. Die anwaltlich vertretene private Beschwerdegegnerin hat auf eine Parteientschädigung ausdrücklich verzichtet.
Demnach verfügt die Einzelrichterin:
1.
Das Verfahren wird infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden B._ auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird den Parteien, der Baukommission Küsnacht und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Jametti
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck