Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) arbeitete als Schreiner bei der C._ GmbH. Diese hatte bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) eine kollektive Krankenzusatzversicherung abgeschlossen. Die C._ GmbH meldete am 10. Juli 2018 der Beschwerdegegnerin eine Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers ab 14. Juni 2018 von vorerst 100 % und in der Folge von 70 % wegen neurologischer Probleme in den Armen. Mit Schreiben vom 18. September 2018 teilte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer mit, dass sie der C._ GmbH nach Abzug der Wartefrist Krankentaggeldleistungen bis 23. Juli 2018 ausrichten und die Versicherungsleistungen per 24. Juli 2018 einstellen werde. Am 20. September 2018 sprach die Beschwerdegegnerin der C._ GmbH für den Beschwerdeführer Taggeldleistungen für eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % vom 28. bis 29. Juni 2018 und für eine solche von 70 % vom 30. Juni bis 23. Juli 2018 zu. In der Folge liess die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer neurologisch untersuchen und sprach der C._ GmbH Taggeldleistungen für den Beschwerdeführer für eine Arbeitsunfähigkeit von 70 % vom 24. Juli bis 3. Oktober 2018 und für eine solche von 60 % vom 4. bis 31. Oktober 2018 zu. Mit Schreiben vom 28. Juni 2019 teilte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer mit, dass ab 1. November 2018 von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit auszugehen sei, weshalb die Krankentaggeldleistungen auf diesen Zeitpunkt eingestellt würden. Daran hielt sie am 29. November 2019 fest.
B.
Am 29. Mai 2020 klagte der Beschwerdeführer beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm für die Zeit vom 1. November 2018 bis 31. August 2019 für eine Arbeitsunfähigkeit von 60 % und vom 1. September 2019 bis 31. März 2020 für eine solche von 50 % Krankentaggeldleistungen von insgesamt Fr. 39'943.31 nebst Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 4. Januar 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm Taggeldleistungen von Fr. 39'943.31 nebst Zins zu bezahlen.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an, während das Sozialversicherungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil hat eine Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung zum Gegenstand. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung (KVAG; SR 832.12) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 ff. BGG in Betracht kommt (BGE 138 III 2 E. 1.1; 133 III 439 E. 2.1).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (Art. 90 BGG). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat nach § 2 Abs. 2 lit. b des Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer/ZH; LS 212.81) als einzige kantonale Instanz im Sinne von Art. 7 ZPO und Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG entschieden. Die Beschwerde ist daher streitwertunabhängig zulässig (Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG; BGE 138 III 2 E. 1.2.2, 799 E. 1.1). Die Klage des Beschwerdeführers wurde abgewiesen (Art. 76 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten, unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. E. 2 hiernach).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. dazu BGE 133 III 545 E. 2.2; 133 II 249 E. 1.4.1). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (BGE 143 IV 241 E. 2.3.1; 140 III 115 E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (vgl. BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1).
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung. Er rügt insbesondere, dass die Vorinstanz bei der Beurteilung seiner Gesundheit auf das Privatgutachten von Dr. med. D._ abstellte und nicht der Einschätzung der behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ folgte.
3.1. Die Vorinstanz erwog, es liege am Beschwerdeführer, mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu beweisen, dass er vom 1. November 2018 bis 31. August 2019 zu 60 % arbeitsunfähig gewesen sei und vom 1. September 2019 bis 31. März 2020 zu 50 %.
Sie kam zum Schluss, dass die vom Beschwerdeführer als Beweismittel bezeichneten Einschätzungen von Dr. med. E._ und der Ärzte der Universitätsklinik X._ im fraglichen Zeitraum keine Arbeitsunfähigkeit beweisen. Vielmehr lasse das Privatgutachten von Dr. med. D._ erhebliche Zweifel an der Arbeitsunfähigkeit aufkommen.
Der Beweis des Beschwerdeführers für eine Arbeitsunfähigkeit und einen Taggeldanspruch vom 1. November 2018 bis 31. März 2020 sei gescheitert, weshalb die Klage abzuweisen sei.
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz prüfte die Einschätzungen von Dr. med. E._ und Dr. med. F._. Sodann würdigte sie das Privatgutachten von Dr. med. D._ sowie diverse Berichte der Ärzte der Universitätsklinik X._ vom 25. März 2019, vom 5. August 2019, vom 1. Oktober 2019, vom 15. Januar 2020 und vom 18. Februar 2020.
3.2.2. Dabei stellte die Vorinstanz fest, dass Dr. med. E._, Dr. med. F._ und die Ärzte der Universitätsklinik X._ Mühe bekundeten, die Leiden des Beschwerdeführers zu qualifizieren. Sie verwies darauf, dass die Ärzte der Universitätsklinik X._ anfänglich vermuteten, der Beschwerdeführer leide unter einer beidseitigen Epicondylitis humeri radialis. Am 5. August 2019 hätten sie jedoch festgestellt, dass weder eine Magnetresonanztomographie (MRT) noch ein Röntgenbild Hinweise auf eine Epicondylitis humeri radialis ergebe. Deshalb vermuteten die behandelnden Ärzte nunmehr ein Supinatortunnelsyndrom. Am 1. Oktober 2019 stellten die behandelnden Ärzte die Verdachtsdiagnose einer Epicondylitis humeri radialis und die Differentialdiagnose eines Supinatortunnelsyndroms und hielten fest, die genaue Diagnose sei weiterhin unklar. Am 15. Januar 2020 und am 18. Februar 2020 diagnostizierten sie erneut eine beidseitige Epicondylitis humeri radialis.
Dem stellte die Vorinstanz das Privatgutachten von Dr. med. D._ gegenüber, wonach die Ursache für die Schmerzen des Beschwerdeführers ungeklärt sei. Am ehesten handle es sich um funktionelle Beschwerden.
Die Vorinstanz fasste zusammen, Dr. med. E._ habe dem Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % vom 14. bis 29. Juni 2018 bescheinigt, eine solche von 70 % vom 30. Juni bis 23. Juli 2018 sowie vom 15. September bis 3. Oktober 2018, eine solche von 60 % vom 4. Oktober 2018 bis 31. Oktober 2019 und eine solche von 50 % vom 1. bis 30. November 2019. Anschliessend hätten die Ärzte der Universitätsklinik X._ dem Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit vom 1. Dezember 2019 bis 30. April 2020 attestiert. Hingegen sei Dr. med. D._ in seinem Privatgutachten davon ausgegangen, dass die Ursache der Schmerzen in den Händen und Unterarmen unklar sei und dass die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers dadurch nicht beeinträchtigt werde.
3.2.3. Die Vorinstanz legte dar, dass Dr. med. D._ als Facharzt für Neurologie über eine einschlägige Weiterbildung verfügt, um die umstrittene Gesundheitsbeeinträchtigung zu beurteilen. Gemäss seinem Privatgutachten hätten die Untersuchungen keinen Hinweis auf eine Erkrankung ergeben. Er verneine namentlich eine Erkrankung des peripheren oder zentral-neurologischen Nervensystems, ein Karpaltunnelsyndrom, eine Nervenschädigung, eine Pathologie im Bereich der Muskeln und eine rheumatologische Erkrankung. Gemäss Privatgutachten seien die geltend gemachten Beschwerden in somatischer Hinsicht nicht zu erklären. Die Beschwerden besserten sich nicht, auch wenn nichtsteroidale Antirheumatika, Physiotherapie oder eine Arbeitsentlastung verordnet worden seien. Zudem fehlten Hinweise auf einen Kraftverlust, eine Muskelschwäche oder einen Muskelschwund. Kraft und Sensorik seien vollständig erhalten. An den Gelenken sei weder eine Schwellung noch eine andere Pathologie zu erkennen. Daraus habe Dr. med. D._ geschlossen, dass der Beschwerdeführer in seiner Arbeitsfähigkeit nicht eingeschränkt sei. Der Beschwerdeführer habe gegenüber Dr. med. D._ ausgesagt, eine körperlich leichtere Arbeit würde in Bezug auf die Schmerzen nichts verändern. Darin erblickte die Vorinstanz "eine nicht unerhebliche Krankheitsüberzeugung".
Die Vorinstanz erwog weiter, die Tätigkeit des Beschwerdeführers bei der C._ GmbH habe zwei Arbeitsbereiche umfasst. Einerseits sei es darum gegangen, Bretter von 5 bis 20 kg in eine Maschine einzuführen; anderseits habe der Beschwerdeführer die Maschinen kontrolliert und gelegentlich Farbe aus Kanistern von 15 bis 20 kg eingefüllt. Daraus schloss die Vorinstanz, dass die angestammte Tätigkeit des Beschwerdeführers körperlich höchstens mittelschwer sei. Es erscheine daher nachvollziehbar, wenn Dr. med. D._ im Privatgutachten zur Beurteilung gelange, dass die Arbeitsfähigkeit spätestens ab 1. November 2018 nicht mehr eingeschränkt sei.
3.3. Die Vorinstanz begründete ihr Urteil ausführlich und sorgfältig. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, verfängt nicht.
3.3.1. Das Bundesgericht hat in seinem Leitentscheid BGE 130 III 321 E. 3.1 mit Bezug auf den Versicherungsvertrag seine Rechtsprechung zum Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls wie folgt zusammengefasst und präzisiert:
Gemäss Art. 8 ZGB hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet. Diese Grundregel kann durch abweichende gesetzliche Beweislastvorschriften verdrängt werden und ist im Einzelfall zu konkretisieren (ausführlich: BGE 128 III 271 E. 2a/aa mit Hinweisen). Sie gilt auch im Bereich des Versicherungsvertrags (NEBEL, im zit. VVG-Kommentar, N. 4 und N. 9 zu Art. 100 VVG, mit Nachweisen).
Nach der erwähnten Grundregel hat der Anspruchsberechtigte - in der Regel der Versicherungsnehmer, der versicherte Dritte oder der Begünstigte - die Tatsachen zur "Begründung des Versicherungsanspruches" (Marginalie zu Art. 39 des Bundesgesetzes über den Versicherungsvertrag vom 2. April 1908 [SR 221.229.1, VVG]) zu beweisen, also namentlich das Bestehen eines Versicherungsvertrags, den Eintritt des Versicherungsfalls und den Umfang des Anspruchs. Den Versicherer trifft die Beweislast für Tatsachen, die ihn zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglichen Leistung berechtigen oder die den Versicherungsvertrag gegenüber dem Anspruchsberechtigten unverbindlich machen. Anspruchsberechtigter und Versicherer haben im Streit um vertragliche Leistungen je ihr eigenes Beweisthema und hierfür je den Hauptbeweis zu erbringen. Dies trifft auch dann zu, wenn sich beide Beweisthemen im gleichen Verfahren gegenüberstehen.
Der Beweis gilt als erbracht, wenn das Gericht nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit einer Sachbehauptung überzeugt ist. Absolute Gewissheit kann dabei nicht verlangt werden. Es genügt, wenn das Gericht am Vorliegen der behaupteten Tatsache keine ernsthaften Zweifel mehr hat oder allenfalls verbleibende Zweifel als leicht erscheinen. Ausnahmen von diesem Regelbeweismass, in denen eine überwiegende Wahrscheinlichkeit als ausreichend betrachtet wird, ergeben sich einerseits aus dem Gesetz selbst und sind andererseits durch Rechtsprechung und Lehre herausgearbeitet worden. Den Ausnahmen liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Rechtsdurchsetzung nicht an Beweisschwierigkeiten scheitern darf, die typischerweise bei bestimmten Sachverhalten auftreten (vgl. BGE 128 III 271 E. 2b/aa S. 275). Die Beweiserleichterung setzt demnach eine "Beweisnot" voraus. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist, insbesondere wenn die von der beweisbelasteten Partei behaupteten Tatsachen nur mittelbar durch Indizien bewiesen werden können. Eine Beweisnot liegt aber nicht schon darin begründet, dass eine Tatsache, die ihrer Natur nach ohne weiteres dem unmittelbaren Beweis zugänglich wäre, nicht bewiesen werden kann, weil der beweisbelasteten Partei die Beweismittel fehlen. Blosse Beweisschwierigkeiten im konkreten Einzelfall können nicht zu einer Beweiserleichterung führen.
Im Zusammenhang mit dem Eintritt des Versicherungsfalls geht die Rechtsprechung davon aus, dass namentlich bei der Diebstahlversicherung in der Regel eine Beweisnot gegeben ist, so dass sich die Herabsetzung des Beweismasses rechtfertigt (Art. 40 VVG; BGE 130 III 321 E. 3.1). Dies gilt hingegen nicht für eine behauptete Arbeitsunfähigkeit, welche ohne weiteres mit einem entsprechenden Zeugnis bewiesen werden kann. Diesbezüglich gilt das ordentliche Beweismass der vollen Überzeugung.
3.3.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die vom Privatgutachten der Beschwerdegegnerin abweichenden Arztzeugnisse seines behandelnden Arztes, Dr. med. E._, nicht für überzeugend hielt und den Beweis der Arbeitsunfähigkeit damit als nicht erbracht erachtete. Die Vorinstanz wies darauf hin, dass die Arztzeugnisse keine nachvollziehbare Begründung für die angegebene Arbeitsunfähigkeit enthielten. Zusätzlich berücksichtigte sie, dass Dr. med. E._ nur über einen Weiterbildungstitel als praktischer Arzt verfügt. Sie hielt überzeugend fest, dass es ihm an einer fachärztlichen Weiterbildung im Bereich Neurologie fehlt. Er überwies den Beschwerdeführer denn auch wegen unklarer Symptome zu einer neurologischen Untersuchung.
3.3.3. Es ist auch nichts dagegen einzuwenden, dass die Vorinstanz nicht auf die Beurteilung der behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ abstellte. Die Vorinstanz weist darauf hin, dass die behandelnden Ärzte anfänglich ein Röntgenbild und eine MRT für erforderlich hielten, um ihre Verdachtsdiagnose einer Epicondylitis humeri radialis zu verifizieren. Allerdings ergaben weder die MRT noch das Röntgenbild Hinweise darauf. Nachdem die behandelnden Ärzte in der Folge auch ein Supinatortunnelsyndrom und ein Kompartmentsyndrom ausschlossen, diagnostizierten sie abermals eine Epicondylitis humeri radialis. Es ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz darauf verweist, dass sich dafür keine nachvollziehbare Begründung findet.
Die Vorinstanz durfte somit auch die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit durch die behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ anzweifeln. Sie wies darauf hin, dass die behandelnden Ärzte dem Beschwerdeführer am 15. Januar 2020 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % attestierten, obwohl er seit dem 1. September 2019 im Umfang von 50 % an seinem bisherigen Arbeitsplatz arbeitete. Die Vorinstanz hielt weiter fest, dass die behandelnden Ärzte nicht berücksichtigten, dass die Arbeit des Beschwerdeführers bei der C._ GmbH zwei verschiedene Arbeitsbereiche umfasst. Gemäss Vorinstanz attestierten die behandelnden Ärzte dem Beschwerdeführer im Widerspruch zur Beurteilung vom 15. Januar 2020 im späteren Bericht vom 18. Februar 2020 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom 1. Dezember 2019 bis 30. April 2020. Die Vorinstanz legte überzeugend dar, dass sich dieser Beurteilung nicht entnehmen lässt, in welcher Weise der Beschwerdeführer bei der Ausübung seiner bisherigen Tätigkeit in funktioneller Hinsicht beeinträchtigt sein sollte. In der Tat fehlt eine nachvollziehbare Begründung.
3.3.4. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, aus der Klageantwort ergebe sich, dass die Beschwerdegegnerin den ersten Bericht der behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ vom 5. August 2019 ihrem beratenden Arzt Dr. med. D._ vorlegte. Dieser habe angegeben, der Bericht liefere keine neuen Erkenntnisse, sondern bestätige seine Befunde. Der Beschwerdeführer bemängelt, dass Dr. med. D._ die weiteren Berichte vom 1. Oktober 2019, 15. Januar 2020 und 18. Februar 2020 nicht erhalten habe.
Zwar trifft es zu, dass nach der Untersuchung des Beschwerdeführers durch Dr. med. D._ weitere Untersuchungen durch die behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ stattfanden. Doch Dr. med. D._ konnte sich zur Einschätzung der behandelnden Ärzte insofern äussern, als ihm der Bericht vom 5. August 2019 vorgelegt wurde. Er nahm am 4. September 2019 dazu Stellung und erklärte, dass die behandelnden Ärzte die gleichen Befunde erhoben hätten wie er. Die Beschwerdegegnerin weist zutreffend darauf hin, dass sich aus den weiteren Berichten der behandelnden Ärzte keine neuen Befunde ergaben. Vielmehr wurden nur Verdachtsdiagnosen gestellt, die später verworfen wurden. Die weiteren Berichte der behandelnden Ärzte enthielten somit keine zusätzlichen Informationen, die Dr. med. D._ hätten vorgelegt werden müssen.
3.3.5. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich, dass Dr. med. D._ von funktionellen Beschwerden ausgehe, ohne dass es Belege dafür gebe. Zudem habe die Vorinstanz allfällige Defizite der Berichte der behandelnden Ärzte berücksichtigt, die Ungereimtheiten des Privatgutachtens von Dr. med. D._ aber ohne weitere Begründung ausgeblendet. Mit dieser appellatorischen Kritik am angefochtenen Entscheid belegt der Beschwerdeführer freilich keine Willkür in der Beweiswürdigung. Wie oben dargelegt, begründete die Vorinstanz eingehend und gewissenhaft, weshalb die Untersuchungsberichte der behandelnden Ärzte der Universitätsklinik X._ nicht nachvollziehbar darlegen, dass beim Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit vorliegt, geschweige denn worin die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit konkret liegen soll.
3.3.6. Zusammengefasst legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb die Vorinstanz nicht auf das Privatgutachten von Dr. med. D._ hätte abstellen dürfen. Sein Vorbringen erschöpft sich weitgehend in einer appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil.
Die Vorinstanz legte überzeugend dar, weshalb sie dem Privatgutachten von Dr. med. D._ folgte. Die Einschätzungen der behandelnden Ärzte wies sie ebenso überzeugend als unschlüssig aus.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat sich durch ihren Rechtsdienst vernehmen lassen. Praxisgemäss ist daher keine Parteientschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Matt