Erwägungen:
1.
Die Beschwerdegegnerin kündigte am 1. Juli 2020 den mit der Beschwerdeführerin am 25. September 2018 abgeschlossenen Mietvertrag über eine 3.5-Zimmer-Wohnung in U._ wegen fortwährender Beschwerden seitens der Nachbarn mit Wirkung auf den 31. Oktober 2020. Die Beschwerdeführerin focht die Kündigung als missbräuchlich an. Mit Entscheid vom 11. Februar 2021 wies das Regionalgericht Berner Jura-Seeland die Klage der Beschwerdeführerin ab.
Mit Entscheid vom 6. September 2021 wies das Obergericht des Kantons Bern eine von der Beschwerdeführerin gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 11. Februar 2021 erhobene Berufung ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 10. Oktober 2021 erklärte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 6. September 2021 Beschwerde zu erheben. Mit Eingabe vom 27. Oktober 2021 beantragte sie zudem die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 143 II 283 E. 1.2.3; 140 III 115 E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 143 IV 40 E. 3.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90).
2.3. Die Beschwerdeführerin setzt sich in ihrer Beschwerdeeingabe vom 10. Oktober 2021 nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 6. September 2021 auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid Bundesrecht verletzt hätte. Vielmehr unterbreitet sie dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen ihre Sicht der Dinge und weicht dabei in unzulässiger Weise vom vorinstanzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt ab. Die Eingabe vom 10. Oktober 2021 erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch um Befreiung von diesen Kosten im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos wird. Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann