Sachverhalt:
A.
A.a. Am 29. September 2014 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt (KESB) für B._ (Verbeiständete) eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung nach Art. 394 Abs. 2 i.V.m. Art. 395 ZGB und setzte C._ als Beistand ein. Im Jahr 2017 ersuchte A._ (Beschwerdeführer), der Sohn der Verbeiständeten, erfolglos um Entlassung des Beistands aus dem Amt (vgl. Urteil 5A_687/2019 vom 26. Mai 2020).
A.b. Mit Eingabe vom 8. November 2019 stellte A._ bei der KESB ein Gesuch um Errichtung einer Ersatzbeistandschaft mit dem Auftrag, Ansprüche von B._ und der D._ AG gegen den Beistand aus Aktienverkäufen im Jahr 2014 abzuklären. Die KESB nahm die Eingabe als Beschwerde nach Art. 419 ZGB sowie als Gefährdungsmeldung entgegen und wies mit Entscheid vom 17. Januar 2020 sämtliche Begehren ab. Ausserdem stellte sie fest, dass das Gesuch über weite Strecken mutwillig und treuwidrig sei und auferlegte A._ sämtliche Kosten.
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel Stadt wies die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde mit Urteil vom 14. Oktober 2020 (eröffnet am 7. Januar 2021) ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde vom 8. Februar 2021 ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts und die Errichtung einer Ersatzbeistandschaft für B._ mit der Aufgabe, mögliche Ansprüche der D._ AG gegen ihren Verwaltungsrat aus Aktiengeschäften im Dezember 2014 abzuklären. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Die Kosten der kantonalen Verfahren seien entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens neu zu verlegen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 168 E. 1).
Fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 BGG) angefochten ist der Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über eine Erwachsenenschutzmassnahme (Anordnung einer Ersatzbeistandschaft nach Art. 403 Abs. 1 ZGB) und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht nach Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG ohne Streitwert entschieden hat (vgl. Urteil 5A_203/2018 vom 7. August 2018 E. 1.2, in: RtiD 2019 I S. 499). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel.
2.
2.1. Auf die Beschwerde kann nur eingetreten werden, wenn der Beschwerdeführer zu deren Einreichung legitimiert ist. Die Beschwerdeberechtigung beurteilt sich im Verfahren vor Bundesgericht auch im Bereich des Erwachsenenschutzes allein nach Art. 76 Abs. 1 BGG (Urteile 5A_542/2019 vom 30. Juli 2019 E. 3.1; 5A_18/2019 vom 6. Juni 2019 E. 3.1). Demnach ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b).
2.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, womit die erste Voraussetzung von Art. 76 Abs. 1 BGG erfüllt ist. Der Umstand allein, dass er am kantonalen Verfahren als Partei aufgetreten ist, verschafft ihm aber noch kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG (Urteile 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2). Hierzu ist vielmehr vorausgesetzt, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und einen praktischen Nutzen an der Gutheissung der Beschwerde hat, der es ihm ermöglicht, einen mit dem angefochtenen Entscheid verbundenen Nachteil wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderweitiger Natur zu vermeiden (BGE 143 III 578 E. 3.2.2.2). Das vom Beschwerdeführer verfolgte Interesse muss sein eigenes sein. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können nicht die Interessen Dritter geltend gemacht werden (Urteil 5A_686/2020 vom 28. Oktober 2020 E. 2.1).
2.3. Mit Blick auf die von der Vorinstanz geäusserten Zweifel an seiner Beschwerdeberechtigung im obergerichtlichen Verfahren (vgl. dazu E. 2.5 hiernach) äussert der Beschwerdeführer sich ausführlich zu seinen Beweggründen für den Antrag auf Errichtung einer Ersatzbeistandschaft und zur Beschreitung des Rechtsmittelwegs (zu seiner diesbezüglichen Begründungspflicht vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; Urteil 5A_18/2019 vom 6. Juni 2019 E. 3.2). Aus diesen Ausführungen erhellt, dass es dem Beschwerdeführer in erster Linie um die Wahrung der Interessen seiner Mutter geht. Namentlich führt er aus:
"In der Gesamtbetrachtung der Argumentation muss nun leider festgestellt werden, dass die Interessen der Verbeiständeten im vorliegenden Verfahren in den Hintergrund zu rücken scheinen und zu wenig Beachtung finden im Streit um eine angebliche Mutwilligkeit in einer verfahrenen Situation. Vorliegend muss dennoch eine nüchterne Beurteilung der Interessen der Verbeiständeten im Vordergrund stehen, [...]."
Der Beschwerdeführer erachtet die Überlegung des Appellationsgerichts, er habe vornehmlich aus eigenem Interesse gehandelt, gar als willkürlich (Art. 9 BV). Es gehe ihm nicht um eine Abklärung der eigenen Haftung, sondern um "eine Prüfung zu Gunsten seiner Mutter". Der Beschwerdeführer macht insoweit damit kein eigenes schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung geltend, womit sich hieraus keine Berechtigung zur Beschwerde in Zivilsachen ableiten lässt.
2.4. Weitergehend verweist der Beschwerdeführer darauf, dass seine Interessen mit jenen der Mutter teilweise deckungsgleich seien. Er, der Beschwerdeführer, sei Nacherbe der Verbeiständeten und ein durch den Beistand allenfalls verursachter Schaden schlage sich nicht nur in deren Vermögen nieder, sondern zu einem späteren Zeitpunkt auch in seinem eigenen. Ihm komme als Erbe eine Anwartschaft und damit eine rechtlich geschützte Position zu. Das Bundesgericht hat bereits in dem ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden Urteil 5A_687/2019 vom 26. Mai 2020 ausgeführt, dass die Beschwerdelegitimation nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG sich mit der Stellung als Erbe der betroffenen Person nicht begründen lässt (E. 2.5). Hierauf kann zur Vermeidung unnötiger Weiterungen verwiesen werden. An den dortigen Ausführungen ändert nichts, dass der Beschwerdeführer sich nicht auf seine Stellung als gesetzlicher Erbe (Art. 457 Abs. 1 ZGB) beruft, sondern sich als Nacherbe (Art. 488 Abs. 1 ZGB) bezeichnet. Nicht einschlägig ist das weiter vom Beschwerdeführer angerufene Urteil 5A_954/2013 vom 11. August 2014, wo der Wechsel der Beiständin einer minderjährigen Person durch deren Mutter und damit die gesetzliche Vertreterin (vgl. Art. 296 Abs. 2 und Art. 304 Abs. 1 ZGB) angefochten wurde (Bst. A.a, A.b, B.d und E. 1). Auch mit dem Hinweis auf die Stellung des Beschwerdeführers als Erbe der Verbeiständeten lässt sich dessen Beschwerdeberechtigung damit nicht begründen.
2.5. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass die Vorinstanz seine Beschwerdelegitimation im kantonalen Beschwerdeverfahren zu Unrecht nicht bejaht, sondern offen gelassen habe. Zwar gilt allgemein, dass eine Person im Streit um ihre Legitimation zur Anrufung einer Vorinstanz zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert ist, wobei sich das bundesgerichtliche Verfahren aber auf die Frage der Beschwerdeberechtigung beschränkt (BGE 135 II 145 E. 3.2; 131 II 497 E. 1 und 2; Urteil 5A_739/2019 vom 27. Januar 2020 E. 1.2.1). Wie der Beschwerdeführer aber richtig erkennt, hat die Vorinstanz seine Beschwerdeberechtigung zwar in Zweifel gezogen, sich letztlich aber inhaltlich mit der Streitsache befasst und einen begründeten Sachentscheid gefällt (vgl. vorne Bst. B). In dieser Situation besteht rechtsprechungsgemäss kein schutzwürdiges Interesse daran, dass das Bundesgericht sich mit den Eintretensvoraussetzungen im vorinstanzlichen Verfahren auseinandersetzt (Urteil 5A_353/2019 vom 13. Dezember 2019 E. 2.1 mit Hinweisen). Eine (auf die Eintretensfrage beschränkte) Berechtigung des Beschwerdeführers zur Beschwerde in Zivilsachen ergibt sich folglich auch nicht aus diesen Umständen.
2.6. Zusammenfassend ist der Beschwerdeführer nicht nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt. Hieran ändert sich im Übrigen auch mit Blick auf die von der KESB getroffenen Feststellung nichts, das Gesuch des Beschwerdeführers sei mutwillig und treuwidrig (vorne Bst. A.b) : Diese Einschätzung wird zwar von der Vorinstanz geteilt und vom Beschwerdeführer beanstandet. Letzterer begründet aber nicht, weshalb er allein deswegen ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung hätte und solches springt auch nicht geradezu in die Augen (vgl. vorne E. 2.2 und 2.3).
3.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigung ist keine zu sprechen, da den Verfahrensbeteiligten mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden sind und der Kanton Basel-Stadt ohnehin keinen Anspruch auf Entschädigung hat (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt, B._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber