Erwägungen:
1.
A._ erhob am 27. Dezember 2021 Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen vom 13. Dezember 2021. Mit Verfügung vom 18. Januar 2022 wies der zuständige Einzelrichter Oliver Herrmann ein Gesuch vom A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. Am 1. Februar 2022 stellte A._ gegen den Einzelrichter ein Ausstandsgesuch, welches das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 22. Februar 2022 abwies, soweit es darauf eintrat. Das Obergericht führte zusammenfassend aus, dass sich die abgelehnte Gerichtsperson nicht zur Frage geäussert habe, ob hinreichende Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten vorliegen würden. Sie habe einzig geprüft, ob die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegeben seien. Die Abweisung des Gesuchs sei zufolge Aussichtslosigkeit der Zivilklage erfolgt. Ein Ausstandsgrund liege daher nicht vor.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 20. März 2022 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 22. Februar 2022. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1, 65 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
4.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seinen Ausführungen nicht mit der Begründung des angefochtenen Entscheids auseinander. Er vermag nicht im Einzelnen und verständlich aufzuzeigen, inwiefern das Obergericht in rechtswidriger Weise das Vorliegen eines Ausstandsgrundes verneint haben sollte. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung des Obergerichts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage ist ausnahmsweise zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Oliver Herrmann und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli