Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen Drohung etc. Ihm wird vorgeworfen, seine Ehefrau nach einer zunächst verbalen Auseinandersetzung an den Haaren gerissen, ihr den Laptop weggenommen und ihr gedroht zu haben. Anlässlich der polizeilichen Befragung vom 3. Juni 2019 und am 7. Juni 2019 gegenüber der Staatsanwaltschaft erklärte die Geschädigte ihr Desinteresse an der Weiterführung des Strafverfahrens, weshalb das Verfahren mit Verfügung vom 25. Juni 2019 einstweilen sistiert wurde.
2.
Am 5. Juni 2019 beantragte A._ die Bestellung seines erbetenen Verteidigers als amtlichen Verteidiger. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich wies das Gesuch mit Verfügung vom 25. Juni 2019 ab. Dagegen erhob A._ am 8. Juli 2019 Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 29. August 2019 abwies. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass kein Fall einer notwendigen Verteidigung vorliege. Aufgrund der Tatsache, dass ohne Widerruf der Desinteresseerklärung der Geschädigten das Strafverfahren nach sechs Monaten eingestellt werde (Art. 55a Abs. 3 StGB), erscheine zur Zeit eine Verteidigung nicht geboten. Ausserdem habe A._ mit seiner Beschwerdeschrift aufgezeigt, dass er seine Rechte ohne Hilfe eines Anwalts ausüben könne. Sollte das Strafverfahren wieder aufgenommen werden, stehe es ihm frei, erneut um Anordnung einer amtlichen Verteidigung zu ersuchen.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 27. September 2019 (Postaufgabe 29. September 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte, nicht auseinander. Er vermag mit seinen nicht sachbezogenen Ausführung nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli