Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen einfacher Körperverletzung. Am 14. Dezember 2018 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Dominik Fantoni. Dieser habe ihn im Rahmen einer Einvernahme "aufs schlimmste gedemütigt und beschuldigt" und Beweismittel verschwinden lassen.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2019 teilte A._ mit, dass er Staatsanwalt Fantoni zu Unrecht beschuldigt habe. Er sei fälschlicherweise davon ausgegangen, dass dieser seine Einvernahme durchgeführt habe. Zwischenzeitlich habe er jedoch erfahren, dass dies "Oberstaatsanwalt R. Michel" gewesen sei. Seine Beanstandung richte sich daher gegen "Oberstaatsanwalt R. Michel". Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich schrieb mit Beschluss vom 28. Februar 2019 das Ausstandsverfahren gegen Staatsanwalt Dominik Fantoni als durch Rückzug erledigt ab und trat auf das Ausstandsgesuch gegen Stv. Leitender Staatsanwalt Raphael Michel nicht ein. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass sich das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Michel als verspätet erweise. Ausserdem handle es sich bei ihm nicht mehr um den fallführenden Staatsanwalt, weshalb A._ an der Behandlung des Ausstandsgesuchs kein Rechtsschutzinteresse habe. Auf das Ausstandsgesuch sei daher infolge verspäteter Einreichung sowie fehlenden Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 24. März 2019 (Postaufgabe 31. März 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die III. Strafkammer trat wegen verspäteter Einreichung des Ausstandsbegehrens sowie fehlenden Rechtsschutzinteresses auf das Ausstandsbegehren nicht ein. Mit der Alternativbegründung des fehlenden Rechtsschutzinteresses setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er vermag daher nicht aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer bei der Behandlung seines Ausstandsgesuchs Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli