Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1980) war bezüglich der Gemeindesteuer des Kantons Solothurn, Steuerperiode 2015, an das Steuergericht des Kantons Solothurn gelangt. Mit Entscheid SGGEM.2018.2 wies dieses den Rekurs ab und auferlegte es dem Steuerpflichtigen die Kosten des steuergerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.--. Der Entscheid trat unangefochten in Rechtskraft. Der Steuerpflichtige ersuchte zu einem späteren Zeitpunkt um Revision des Entscheids. Das Steuergericht schrieb das Revisionsverfahren mit Entscheid SGREV.2018.3 vom 18. Februar 2019 als erledigt ab. In der Folge unterbreitete der Steuerpflichtige dem Steuergericht ein auf die Gerichtskosten des seinerzeitigen Rekursverfahrens beschränktes Erlassgesuch. Das Steuerrekursgericht wies das Gesuch, u.a. aufgrund fehlender Opfersymmetrie (§ 9 Abs. 2 der Steuerverordnung Nr. 11 [des Kantons Solothurn] vom 13. Mai 1986 [StV/SO Nr. 11; BGS 614.159.11]), mit Entscheid SGDIV.2019.11 vom 6. Januar 2020 ab. Gemäss elektronischer Sendungsverfolgung "Track&Trace" der Schweizerischen Post wurde der Entscheid dem Steuerpflichtigen am 22. Januar 2020 zugestellt.
1.2. Mit Eingabe vom 7. Februar 2020 unterbreitete der Steuerpflichtige dem Bundesgericht eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Darin schilderte er in allgemeiner Weise seine Einwände, ohne sich detailliert mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen. Das Bundesgericht erläuterte dem Steuerpflichtigen mit Schreiben vom 10. Februar 2020 die gesetzlichen Voraussetzungen an eine für das Bundesgericht bestimmte Rechtsschrift (Art. 42 BGG [SR 173.110]) und machte ihn insbesondere darauf aufmerksam, dass bei Anfechtung eines Erlassentscheids lediglich die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte gerügt werden könne (Art. 116 BGG). Da die Beschwerdefrist noch einige Tage lief, lud das Bundesgericht den Steuerpflichtigen ein, seine Eingabe bis zum Ablauf der gesetzlichen Frist zu verbessern und den gesetzlichen Begründungsanforderungen anzupassen. Eine Verlängerung der gesetzlichen Beschwerdefrist sei hingegen, so das Bundesgericht, ausgeschlossen.
1.3. Der Steuerpflichtige ergänzte seine Beschwerdeschrift mit Nachtrag vom 21. Februar 2020 und brachte diesen am Montag, 24. Februar 2020, um 18.15 Uhr zur Post, wie die Frankatur bezeugt.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere dem Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 1 BGG), abgesehen.
2.
2.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben einen Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Darin ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 bzw. - u.a. in Erlassfällen - Art. 116 und 117 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 145 V 304 E. 1.1 S. 305 f.). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid ist nicht zu hören (BGE 145 I 121 E. 2.1 S. 133) und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (BGE 145 V 161 E. 5.2 S. 167).
2.2. Die erste Eingabe des Steuerpflichtigen vom 7. Februar 2020 erfolgte zwar fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG), die Vorbringen beschränkten sich aber hauptsächlich auf die nicht näher belegten Rügen, die Vorinstanz habe wesentliche Sachumstände unberücksichtigt gelassen und daraus "falsche Rechtsfolgen" gezogen. Die missliche finanzielle Lage sei, so der Steuerpflichtige, auch auf das Fehlverhalten verschiedener kantonaler Behörden und der Einwohnergemeinde zurückzuführen. Ein Erlass käme "insbesondere dem Kanton und der Einwohnergemeinde" zugute. Weiter ist die Rede von einer Morddrohung, wobei unklar bleibt, wer wen mit dem Tod bedroht haben soll. Die Eingabe ans Bundesgericht endet damit, dass er, der Steuerpflichtige, "im Rahmen [seiner] Möglichkeiten die übrigen Nachweise so rasch als möglich nachreichen" werde, wozu er um Gewährung einer längeren Frist ersuche.
2.3. Mit diesen pauschalen und knappen Bemerkungen genügt die Eingabe vom 7. Februar 2020 den gesetzlichen Anforderungen (Art. 83 lit. m in Verbindung mit Art. 113 ff. und insbesondere Art. 116 BGG) in keiner Weise. Selbst unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2C_927/2019 vom 10. Februar 2020 E. 2.3.2), lässt der Steuerpflichtige jede Auseinandersetzung mit der zentralen Verfassungsfrage aus. So vermag er insbesondere nicht aufzuzeigen, dass und inwiefern die Vorinstanz mit ihren Überlegungen zur Opfersymmetrie gegen verfassungsmässige Individualrechte verstossen haben könnte (vorne E. 1.1).
2.4. Mit Blick darauf, dass der angefochtene Entscheid am Mittwoch, 22. Januar 2020, in den Machtbereich des Steuerpflichtigen gelangt war (auch dazu vorne E. 1.1), begann die 30-tägige Rechtsmittelfrist am Donnerstag, 23. Januar 2020, zu laufen, worauf sie am Freitag, 21. Februar 2020, verstrich. Der Steuerpflichtige brachte die Beschwerdeergänzung am Montag, 24. Februar 2020, zur Post (wiederum vorne E. 1.1). Zu diesem Zeitpunkt war die gesetzliche, nicht erstreckbare Beschwerdefrist (Art. 47 Abs. 1 BGG) indes bereits verstrichen (Art. 48 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 100 Abs. 1 BGG). Die ergänzenden Darlegungen sind daher von vornherein nicht zu hören.
2.5. Zudem würde auch diese Eingabe den Anforderungen nicht genügen. Insbesondere wird auch hier nicht dargelegt, inwiefern das für die Vorinstanz entscheiderhebliche Argument der Opfersymmetrie auf einer willkürlichen Gesetzesanwendung beruhen soll.
2.6. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird. Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher