Faits :
A.
Le 30 novembre 1971, B._ SA (ci-après: la bailleresse) a remis à bail à A._ (ci-après: la locataire) un appartement de quatre pièces et demie dans un immeuble sis rue... à Neuchâtel. Un nouveau bail a été conclu entre les parties le 16 décembre 1977.
Les relations entre les parties se sont dégradées en 2011, année durant laquelle des problèmes d'humidité et de moisissures sont apparus. Alerté par la locataire, le Service de la salubrité et de la prévention incendie (ci-après: SSPI) a constaté la présence de moisissures et de problèmes d'humidité. La bailleresse a alors mandaté la société C._ SA pour effectuer des travaux de réfection des joints de façade, ainsi que le peintre D._ en vue de la remise en état de la chambre nord-est de l'appartement loué, dans laquelle se trouvaient les moisissures.
Au début de l'année 2014, à la suite de l'apparition de nouvelles traces de moisissures, la locataire a fait appel au SSPI, lequel a ordonné à la bailleresse d'effectuer certains travaux.
Dans le courant de l'année 2014, la bailleresse a entrepris la rénovation complète de l'immeuble dans lequel réside la locataire. Au cours des travaux de désamiantage réalisés dans le cadre de la rénovation de l'immeuble, la locataire, respectivement l'un de ses fils, se sont plaints, à plusieurs reprises et auprès de diverses personnes, de manquements liés aux mesures à prendre en matière de désamiantage. L'une de ces interventions a entraîné l'interruption immédiate du chantier prononcée par un inspecteur de l'Office fédéral du travail et la transmission du dossier à la Suva. Les prélèvements effectués dans l'immeuble n'ayant révélé aucune trace d'amiante, les travaux ont pu reprendre.
En date des 6 juin et 14 août 2014, la bailleresse, mentionnant notamment un état d'insalubrité jugé intolérable lié à l'urine de chats, a mis en demeure la locataire de modifier son comportement sous peine de résiliation anticipée de son bail.
Par courrier du 10 décembre 2014, la gérance a avisé la locataire que le réfection de la chambre nord-est de son appartement avait été achevée le 14 novembre 2014 et qu'au vu de l'apparition de nouvelles traces de moisissures, constatées entre le 17 et le 18 novembre 2014, plus aucune mesure de rénovation ou d'entretien ne serait entreprise, étant donné que le défaut résultait d'un manque de soin de la chose louée par la locataire.
La locataire a rétorqué que les travaux n'étaient pas terminés, dès lors qu'il subsistait des trous dans le sol de l'appartement et des prises électriques ouvertes et sous tension.
Par avis du 9 juin 2016, la bailleresse a signifié à la locataire la résiliation ordinaire de son bail pour le 31 mars 2017. Elle a notamment motivé ce congé, par le fait que, de longue date, les relations contractuelles avec la locataire étaient difficiles, rendant finalement le bail insupportable pour elle.
B.
La locataire ayant contesté le congé, le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers, siégeant le 23 juillet 2019, a déclaré ce congé valable et accordé à l'intéressée une unique prolongation de bail de quatre ans, soit jusqu'au 31 mars 2021.
Saisie d'un appel formé par la locataire, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel l'a rejeté par arrêt du 18 juin 2020. En bref, elle a nié l'existence d'un congé-représailles et retenu que le congé, motivé par les relations contractuelles difficiles entre les parties, était fondé et légitime.
C.
Contre cet arrêt, la locataire (ci-après: la recourante) a formé un recours au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif et d'une demande d'assistance judiciaire, dans lequel elle conclut, en substance, au constat de la nullité du congé, respectivement à son annulation.
La bailleresse (ci-après: l'intimée) et l'autorité précédente n'ont pas été invitées à déposer une réponse.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont en principe satisfaites, notamment à raison de la valeur litigieuse.
Devant l'autorité de céans, la recourante produit une pièce nouvelle. Celle-ci n'entre pas dans l'exception de l'art. 99 al. 1 in fine LTF; partant, elle est irrecevable, tout comme les faits nouveaux qu'elle est censée établir. Il ne sera pas davantage tenu compte des griefs invoqués à l'appui de cette pièce.
2.
2.1. Aux termes de l'art. 271 al. 1 CO, la résiliation d'un bail d'habitation ou de locaux commerciaux est annulable lorsqu'elle contrevient aux règles de la bonne foi.
2.2. Selon l'art. 271a al. 1 let. a CO, parmi d'autres cas spécialement énumérés par cette disposition, le congé est annulable lorsqu'il est donné par le bailleur parce que le locataire fait valoir de bonne foi des prétentions fondées sur le bail. Cette disposition vise à permettre au locataire d'exercer librement ses droits sans avoir à craindre un congé en représailles. Il incombe au locataire de prouver qu'il existe un rapport de cause à effet entre la prétention qu'il a élevée et la résiliation. Le bailleur a le droit d'apporter la contre-preuve en démontrant que le congé répond à un autre motif. Le juge constate alors le véritable motif du congé selon l'impression objective qui résulte de toutes les circonstances; le congé-représailles est d'autant plus vraisemblable qu'il survient plus rapidement après que le locataire a élevé une prétention (arrêt 4A_33/2019 du 5 septembre 2019 consid. 4.1.3 et les références).
2.3. La validité d'un congé doit être appréciée en fonction des circonstances présentes au moment de cette manifestation de volonté (ATF 140 III 496 consid. 4.1 p. 497; 138 III 59 consid. 2.1 i.f. p. 62; 109 II 153 consid. 3b p. 156). En élucider le motif relève de la constatation des faits (ATF 136 III 190 consid. 2 p. 192; 115 II 484 consid. 2b p. 486), de sorte que, sous réserve du contrôle restreint prévu par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, ce point échappe à l'examen du Tribunal fédéral. Les déductions opérées ou à opérer sur la base d'indices - tels que des faits postérieurs au congé, propres à en dénoter rétrospectivement le motif (cf. arrêts 4A_155/2013 du 21 octobre 2013 consid. 2.3; 4A_623/2010 du 2 février 2011 consid. 2.4) - relèvent elles aussi de la constatation des faits (ATF 117 II 256 consid. 2b p. 258; 136 III 486 consid. 5 p. 489; 128 III 390 consid. 4.3.3 in fine p. 398).
2.4. Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'invocation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2 p. 234; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9). Il ne suffit pas qu'une appréciation différente puisse être tenue pour également concevable, ou apparaisse même préfé rable (ATF 144 I 170 consid. 7.3; 142 II 369 consid. 4.3; 140 III 167 consid. 2.1).
3.
Dans l'arrêt attaqué, la cour cantonale, se fondant sur différents témoignages, retient que les difficultés rencontrées par l'intimée avec la recourante sont établies et constituent le véritable motif à l'origine du congé. A cet égard, les juges cantonaux constatent que si la recourante a certes élevé des prétentions qui étaient (très) partiellement justifiées par rapport au problème relatif au désamiantage, sa façon de les faire valoir, par l'intermédiaire de ses fils, était excessive et parfois chicanière, au point d'exaspérer de nombreuses personnes. Par ailleurs, les réclamations faites au sujet de la présence de moisissures dans l'appartement de la recourante n'étaient, elles aussi, que tout au plus partiellement fondées, à mesure que l'intéressée n'aérait pas suffisamment son appartement, que le parquet de son logement avait dû être intégralement remplacé à cause de l'urine de chats, celle-ci étant aussi à l'origine d'odeurs persistantes. En outre, la non-exécution des travaux de finition était également imputable, à tout le moins partiellement, à la recourante. La cour cantonale estime qu'on ne saurait retenir que l'intimée a résilié le bail de la recourante en raison du fait que celle-ci avait fait valoir, de bonne foi, des prétentions découlant du bail. La cour cantonale écarte ainsi l'existence d'un congé-représailles, en soulignant que le lien de causalité entre les demandes d'intervention émises par la recourante entre 2011 et 2014 et la résiliation de 2016 n'est pas établi. Elle conclut aussi que la résiliation n'est pas contraire à la bonne foi au sens de l'art. 271 al. 1 CO.
4.
4.1. Dans son mémoire de recours, la recourante, invoquant une série de dispositions légales, se plaint d'un établissement manifestement inexact des faits et d'une appréciation prétendument arbitraire des preuves. Elle dénonce en outre une violation de l'art. 271a al. 1 let. a CO. Elle reproche en particulier à la cour cantonale d'avoir considéré que les prétentions élevées à l'égard de la bailleresse n'étaient que partiellement fondées, d'avoir retenu que certains défauts étaient imputables à la locataire, et d'avoir ainsi jugé, sur la base de faits établis de manière inexacte, que la recourante n'avait pas fait valoir, de bonne foi, des prétentions découlant du bail.
Cet exposé est longuement développé. Néanmoins, le Tribunal fédéral n'y discerne guère sur quels points la recourante reproche réellement aux juges d'appel, sinon par de simples protestations ou dénégations, de s'être livrés à une appréciation insoutenable des preuves disponibles. L'argumentation présentée tend plutôt à substituer une appréciation différente de celle de l'autorité précédente. Le grief d'arbitraire est donc irrecevable faute d'une motivation pertinente.
En tout état de cause, la recourante ne démontre nullement, à satisfaction de droit, l'existence d'un lien de causalité entre les prétentions élevées par elle en 2011 et 2014 et la résiliation signifiée le 9 juin 2016. Aussi, le congé-représailles n'est-il pas établi.
4.2. La recourante dénonce une résiliation abusive du bail au regard de l'art. 271 al. 1 CO.
A cet égard, l'intéressée fait tout d'abord valoir que le motif du congé tiré de la mésentente entre les parties est " faux ", dès lors que, selon elle, les relations étaient normales et la communication sereine depuis décembre 2014. En argumentant de la sorte, la recourante perd de vue que le motif du congé relève de la constatation des faits, de sorte que, sous réserve du contrôle restreint prévu par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, ce point échappe à l'examen du Tribunal fédéral. En l'occurrence, la cour cantonale a constaté que les relations contractuelles avaient été difficiles pendant quatre ans, ce qui représentait une durée importante s'agissant d'un conflit entre bailleur et locataire. En revanche, les juges précédents n'ont jamais retenu que les relations étaient devenues normales et la communication sereine entre les parties depuis décembre 2014. Au final, ils ont estimé que le congé était bel et bien motivé par les relations difficiles entre les parties et qu'un tel motif était légitime. Par sa critique, la recourante ne démontre nullement que cette constatation serait arbitraire. Elle se contente simplement, de façon appellatoire, d'opposer sa propre vision des faits. Sa critique est dès lors irrecevable.
La recourante soutient ensuite que la résiliation, signifiée près de 21 mois après le dernier avertissement du 14 août 2014, est abusive dès lors qu'elle démontrerait que le maintien du bail n'était pas insupportable pour l'intimée. En outre, elle relève que celle-ci n'a pas résilié le bail pour le prochain terme légal, mais pour le suivant, ce qui confirmerait que la poursuite du bail n'était pas insupportable. En raisonnant de la sorte, l'intéressée perd de vue que l'intimée n'a pas procédé à une résiliation extraordinaire fondée sur l'art. 257f CO pour cause de violation du devoir de diligence de la recourante, mais a au contraire résilié le bail de façon ordinaire en raison des relations difficiles entretenues par les parties. Aussi n'est-il pas possible de retenir que l'intimée aurait réagi tardivement à d'éventuels manquements de la recourante. C'est le lieu de préciser que l'intimée a elle-même relevé, dans le courrier accompagnant l'avis de résiliation du bail, que " la gravité de la situation n'impos [ait] pas une résiliation anticipée ". Dans ces circonstances, le congé ne saurait être tenu pour abusif pour cause de tardiveté.
En dernier lieu, la recourante fait valoir que le congé consacre une disproportion manifeste des intérêts en présence. Sur ce point, la cour cantonale a retenu que la recourante est relativement âgée, réside depuis plus de quarante-cinq ans dans l'appartement, connaît des problèmes de santé et ne dispose pas de ressources économiques autres que sa rente AVS et des prestations complémentaires. Elle a toutefois admis que la location de l'objet à un tiers pourrait permettre d'assurer un meilleur soin de la chose louée, dès lors que les moisissures présentes dans l'appartement étaient aussi imputables à la recourante. Les juges cantonaux ont également souligné que la recourante était bien entourée et pouvait compter sur le soutien indéfectible de ses fils, lesquels pourraient l'aider dans ses futures recherches d'appartement et son déménagement. Après avoir rappelé que le seul fait que la résiliation entraîne des conséquences pénibles pour la locataire n'était pas suffisant pour rendre le congé abusif, la cour cantonale a considéré que l'intérêt de l'intimée primait ceux de la recourante.
On ne discerne pas en quoi cette appréciation (art. 4 CC) serait contraire au droit fédéral. Force est de relever que les juges cantonaux n'ont négligé aucune circonstance importante. Les arguments invoqués par la recourante, qui se borne à apprécier différemment les éléments pris en considération par la cour cantonale, ne font nullement apparaître une disproportion manifeste entre les différents intérêts en présence.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
6.
Invoquant l'art. 64 al. 1 LTF, la recourante sollicite sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Comme le recours était voué à l'échec, l'une des deux conditions cumulatives à la réalisation desquelles la disposition citée subordonne l'octroi de l'assistance judiciaire n'est pas remplie en l'espèce. Ladite requête doit, dès lors, être rejetée. Faisant application de la faculté que lui confère l'art. 66 al. 1 in fine LTF, la Cour de céans renoncera néanmoins à la perception de frais à titre exceptionnel, étant donné les circonstances.
L'intimée, qui n'a pas été invitée à déposer une réponse, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Il n'est pas perçu de frais ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal.
Lausanne, le 10 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo