Faits :
A.
A.a. Le 30 décembre 2015, les autorités russes ont diffusé, via le canal Interpol, une recherche internationale pour arrestation en vue d'extradition à l'encontre de A._ (ci-après aussi : l'intéressé). Celui-ci était recherché par la Fédération de Russie en raison de poursuites pénales pour des faits de fraude à grande échelle et de blanchiment d'argent.
Par note verbale n° xx1 du 18 avril 2016, l'Ambassade de la Fédération de Russie à Berne a formellement requis l'extradition de A._ sur la base du mandat d'arrêt n° yyy émis le 24 juillet 2015 par le Tribunal d'arrondissement de U._. Sur demandes de l'Office fédéral de la justice - Unité extradition (ci-après : OFJ) - des 12 juillet 2016 et 3 janvier 2017, la demande d'extradition a été complétée, une première fois, le 5 septembre 2016 (note verbale n° xx2), puis le 8 novembre 2017 (note verbale n° xx3). Le 16 avril 2018 (note verbale n° xx4), l'Ambassade russe a fourni une partie des garanties diplomatiques requises le 29 janvier 2018 par l'OFJ; faisait en particulier défaut la garantie relative à la possibilité pour l'intéressé de recevoir des visites d'un représentant helvétique en Russie sans annonce préalable et sans surveillance. A la suite de la demande de l'OFJ du 20 avril 2018, l'Ambassade russe a, par courrier électronique du 31 mai 2018, puis par note verbale n° xx5 du 4 juin 2018, fourni mot à mot en langues russe et française, l'intégralité des garanties requises.
L'OFJ a émis, le 20 juin 2018, une ordonnance provisoire d'arrestation à l'encontre de A._. Ce prononcé, ainsi que la documentation extraditionnelle ont été envoyés au Ministère public de la République et canton de Genève afin d'être portés à la connaissance de l'intéressé dans le cadre d'une audition. Lors de celle-ci - le 10 juillet suivant -, l'intéressé s'est opposé à son extradition vers la Russie selon une procédure simplifiée. Le 11 juillet 2018, la défense du précité a sollicité sa mise en liberté et, le 12 suivant, l'OFJ a émis un mandat d'arrêt en vue de l'extradition. Ce même jour, l'OFJ a adressé au mandataire de l'intéressé une convention de mise en liberté assortie de mesures de substitution, laquelle a été signée le jour même. L'intéressé a remis ses documents d'identité et versé un montant de 2'000'000 fr. à titre de caution afin d'être libéré.
Après avoir recueilli les déterminations de A._, l'OFJ a, par décision du 29 novembre 2019, accordé l'extradition, prononcé contre lequel l'intéressé a recouru auprès du Tribunal pénal fédéral (cause RR.2020.4). L'OFJ a également déposé une requête auprès de ce même tribunal, concluant au rejet de l'objection de délit politique soulevée par l'intéressé (cf. art. 55 al. 2 EIMP [RS 351.1]; cause RR.2019.325).
A.b. Par décision du 11 août 2020, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (ci-après : la Cour des plaintes) a joint les causes RR.2020.4 et RR.2019.325. Elle a rejeté l'objection de délit politique (cause RR.2019.325), ainsi que le recours formé par A._ contre la décision du 29 novembre 2019 admettant son extradition (cause RR.2020.4); les garanties diplomatiques demandées à la Fédération de Russie ont été complétées comme suit : (i) la personne extradée a le droit de communiquer avec son avocat ou son défenseur d'office de façon illimitée et sans surveillance; et (ii) la famille de la personne extradée a le droit de lui rendre visite dans sa prison russe.
La Cour des plaintes a écarté l'objection de délit politique et les violations du droit d'être entendu soulevées en lien avec le dossier de l'OFJ. Elle a ensuite retenu que les garanties diplomatiques ordonnées par l'OFJ et complétées dans le sens susmentionné permettaient de garantir le respect des droits de l'intéressé. Elle a également constaté la bonne foi de l'État requérant qui avait complété ses demandes et fourni les assurances demandées, rien ne permettant de douter que l'OFJ n'ait pas effectué correctement ses obligations en particulier de vérification à cet égard. Les Juges de la Cour des plaintes ont considéré que la demande d'extradition, assortie de ses compléments, permettaient de déterminer les faits reprochés et que la condition de la double incrimination était remplie. Ils ont enfin écarté la violation alléguée de l'art. 8 CEDH.
A.c. Le 24 août 2020, A._ a introduit un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 11 août 2020 de la Cour des plaintes (cause 1C_444/2020).
A.d. En date également du 24 août 2020, l'OFJ s'est adressé à l'Ambassade russe, afin d'obtenir les garanties supplémentaires requises par la Cour des plaintes le 11 août 2020. Le Parquet général de la Fédération de Russie, par l'intermédiaire de l'Ambassade, a transmis ces assurances le 16 septembre 2020.
Par décision du 13 octobre 2020, l'OFJ a considéré que les garanties fournies par les autorités russes constituaient un engagement suffisant au regard des conditions fixées par la Cour des plaintes.
A._ a, le 26 octobre 2020, formé recours contre cette décision de l'OFJ auprès de la Cour des plaintes (cause RR.2020.295), laquelle a suspendu cette procédure jusqu'à droit connu dans la cause 1C_444/2020.
A.e. Le 23 décembre 2020, le Tribunal fédéral a admis, dans la mesure où il était recevable, le recours formé par A._ contre l'arrêt du 11 août 2020 de la Cour des plaintes; celui-ci a été annulé s'agissant de la confirmation de l'extradition moyennant l'octroi de garanties diplomatiques et la cause a été renvoyée à la Cour des plaintes pour déterminer si ces assurances étaient suffisantes dans le cas d'espèce eu égard notamment à la situation prévalant dans la Fédération de Russie et aux circonstances particulières du cas d'espèce (cf. ch. 1 du dispositif et en particulier consid. 3.3 ainsi que 5).
B.
B.a. Dans le cadre du renvoi, la Cour des plaintes a invité les parties à se déterminer (cause RR.2021.2). L'OJF a déposé, le 1er février 2021, ses observations, y joignant des avis (i) de l'Unité de protection internationale des droits de l'homme auprès de l'OFJ (ci-après : PIDH) du 11 janvier 2021, (ii) de la Direction du droit international public (ci-après : DDIP) auprès du Département fédéral des affaires étrangères (ci-après : DFAE) du 14 janvier 2021 et (iii) de l'Institut suisse de droit comparé (ci-après : ISDC) du 28 janvier 2021, ainsi qu'un "Aide-mémoire concernant les cas de personnes extradées de Suisse avec des garanties impliquant un monitoring" (ci-après : l'aide-mémoire de l'OFJ et de la DDIP). Le 8 février 2021, A._ s'est également déterminé. Ces écritures ont été communiquées, le 10 suivant, aux parties et celles-ci ont été invitées à se déterminer; l'OFJ y a renoncé le 17 février 2021, tandis que A._ a adressé ses observations le 15 mars 2021, lesquelles ont été transmises pour information à l'OFJ.
B.b. Par arrêt du 8 juin 2021, la Cour des plaintes a joint les causes RR.2020.295 et RR.2021.2 (ch. 1). Elle a rejeté le recours RR.2021.2 formé contre la décision d'extradition du 29 novembre 2019 (ch. 3), prononcé dont le dispositif a été modifié comme suit (ch. 4) : l'OFJ "Accorde l'extradition de [A._] à la Fédération de Russie pour les faits relatifs à la demande d'extradition russe du 18 avril 2016, et complétée le 5 septembre 2016, le 26 septembre 2017 ainsi que le 8 novembre 2017, à la condition que les autorités russes donnent les garanties supplémentaires suivantes :
- La personne extradée a le droit de communiquer avec son avocat ou son défenseur d'office de façon illimitée et sans surveillance.
- La famille de la personne extradée a le droit de lui rendre visite dans sa prison russe.
- Le lieu précis de détention de [A._] doit être indiqué par les autorités russes avant l'extradition de celui-ci, et se situer à tout le moins à l'ouest de l'Oural".
Le recours RR.2020.295 contre la décision sur les conditions soumises à acceptation a été déclaré sans objet vu l'issue du litige (ch. 6 et consid. 6 p. 28 s.).
La Cour des plaintes a écarté la violation du droit d'être entendu soulevée en substance avec l'instruction de la cause (cf. consid. 3.3 p. 9 s.). Elle a ensuite considéré que les circonstances d'espèce permettaient l'extradition du recourant moyennant des garanties diplomatiques de la part de la Fédération de Russie, celles-ci devant être étendues dans la mesure susmentionnée (cf. consid. 5 p. 23 ss).
C.
Par acte du 21 juin 2021, A._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à l'admission de l'objection de délit politique à son extradition, à l'annulation de l'arrêt attaqué, au refus de son extradition à la Fédération de Russie et au constat que le mandat d'arrêt en vue de son extradition est devenu sans objet. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente (présente cause 1C_381/2021).
La Cour des plaintes a renoncé à formuler des observations. Quant à l'OFJ, il a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Il a notamment indiqué avoir reçu le 23 juin 2021 du Parquet général de la Fédération de Russie la communication des garanties formelles additionnelles exigées, à savoir que "la personne extradée a le droit de communiquer avec son avocat ou son défenseur d'office de façon illimitée et sans surveillance", que "la famille de la personne extradée a le droit de lui rendre visite dans la prison russe" et que "le lieu précis de la détention de [A._] serait désigné avant son extradition et se trouverait dans le District fédéral central de la Fédération de Russie"; le document précisait que ce point avait été communiqué pour suites utiles au Service fédéral d'exécution des peines russes. L'OFJ a encore indiqué que les assurances fournies seront analysées dans le cadre de la procédure relative aux conditions soumises à acceptation (cf. art. 80p EIMP). A la suite de la réception de ces écritures, le recourant a déposé, le 9 juillet 2021, des déterminations spontanées, persistant dans ses conclusions.
Les 29 juillet et 3 août 2021, l'OFJ a transmis, en tant que copies, ses échanges, annexes comprises, avec l'avocat du recourant des 28 et 29 juillet 2021. En particulier, y figurent (1) le courrier reçu le 23 juin 2021 de la Fédération de Russie précité, ainsi que (2) la lettre du 16 juillet 2021 précisant - sur demande de l'OFJ vu l'absence de reprise mot pour mot des garanties demandées - qu'en cas d'extradition, il était prévu, "pendant la période de l'enquête préliminaire", de maintenir le recourant "en détention dans l'institution fédéral[e] d'État « Centre de détention provisoire n° 1 de la Direction du Service pénitentiaire fédéral dans la ville de Saint-Pétersbourg et dans la région de Léningrad »", puis en cas de "condamnation à la réclusion - dans l'institution fédéral[e] d'État « Pénitencier n° 5 du Bureau du Service fédéral de l'exécution des peines dans la ville de Saint-Pétersbourg et dans la région de Léningrad »"; dans ce dernier courrier, il est encore mentionné que le Parquet Général de la Fédération de Russie garantissait que les conditions de détention du recourant dans les établissements pénitentiaires précités se conformeraient aux dispositions de la législation russe et de la CEDH. Par courrier du 12 août 2021, le recourant a déposé des déterminations en lien avec ces pièces.
Considérant en droit :
1.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Il en résulte que les pièces ultérieures à l'arrêt attaqué - dont les courriers des 28 et 29 juillet 2021 ainsi que leurs annexes produits par l'OFJ - sont irrecevables. Il n'y a dès lors pas lieu d'examiner les arguments développés en lien avec ces éléments par le recourant dans ses observations du 12 août 2021; les éléments avancés - notamment ceux en lien avec les conditions de détention dans les établissements indiqués par la Fédération de Russie - semblent relever de la procédure d'examen des conditions soumises à acceptation au sens de l'art. 80p EIMP (cf. au demeurant le délai imparti au recourant par l'OFJ dans le courrier du 28 juillet 2021).
2.
2.1. Selon l'art. 84 al. 1 LTF, le recours en matière de droit public est recevable à l'encontre d'un arrêt de la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral, notamment lorsque celui-ci a pour objet une extradition. Il doit toutefois s'agir d'un cas particulièrement important (art. 84 al. 1 in fine LTF). Un cas est particulièrement important notamment lorsqu'il y a des raisons de supposer que la procédure à l'étranger - ou en Suisse (ATF 145 IV 99 consid. 1.3 p. 105 s.) - viole des principes fondamentaux ou comporte d'autres vices graves (art. 84 al. 2 LTF; ATF 145 IV 99 consid. 1 p. 104 ss). Ces motifs d'entrée en matière ne sont toutefois pas exhaustifs et le Tribunal fédéral, qui dispose d'un large pouvoir d'appréciation (ATF 145 IV 99 consid. 1.2 p. 104), peut aussi être appelé à intervenir lorsqu'il s'agit de trancher une question juridique de principe ou lorsque l'instance précédente s'est écartée de la jurisprudence suivie jusque-là (ATF 136 IV 20 consid. 1.2 p. 22; 133 IV 215 consid. 1.2 p. 218; arrêts 1C_486/2020 du 22 septembre 2020 consid. 2; 1C_228/2020 du 12 juin 2020 consid. 2.2).
Dans le domaine de l'extradition, l'existence d'un cas particulièrement important n'est admise qu'exceptionnellement (ATF 134 IV 156 consid. 1.3.4 p. 161). En vertu de l'art. 42 al. 2 LTF, il incombe au recourant de démontrer que les conditions d'entrée en matière posées à l'art. 84 LTF sont réunies (ATF 145 IV 99 consid. 1.5 p. 107). En particulier, il ne suffit pas d'invoquer des violations des droits de procédure; seule une violation importante, suffisamment détaillée et crédible peut conduire, le cas échéant, à considérer que la condition de recevabilité posée à l'art. 84 al. 2 LTF est réalisée (ATF 145 IV 99 consid. 1.4 et 1.5 p. 106 ss).
2.2. A cet égard, le recourant se plaint de graves violations de ses droits dans la procédure suisse. Il soutient en substance à ce propos qu'il appartenait à l'autorité précédente d'effectuer des mesures d'instruction supplémentaires ou de renvoyer formellement la cause à l'OFJ pour ce faire; en se contentant des pièces produites par l'OFJ, la Cour des plaintes aurait notamment violé son droit de participer à l'administration des preuves.
Il y a lieu de relever que, dans un premier temps, le recourant estimait la cause en l'état d'être jugée sur la base du dossier à disposition de la Cour des plaintes, puisqu'il n'envisageait qu'à titre "plus subsidiaire" une éventuelle instruction complémentaire (cf. ad ch. 3.2 p. 9 et 3.2.2 p. 11 de son écriture du 8 février 2021; voir également le ch. 3.1 p. 6 ss de cette même écriture, selon lequel la cause peut être jugée en l'état et sans instruction). Il ne prétend ensuite pas que la Cour des plaintes aurait ordonné des actes d'instruction sur lesquels il n'aurait pas pu se déterminer, lui reprochant au contraire en substance de ne pas en avoir ordonné. Le recourant ne conteste pas non plus avoir pu se déterminer sur les écritures de l'OFJ et les avis déposés par celui-ci au cours de la procédure devant l'instance précédente (cf. en particulier ses déterminations du 15 mars 2021). S'il affirme n'avoir pas été formellement invité à proposer des mesures d'instruction, il n'explique pas pourquoi il n'en a pas fait spontanément dans les écritures qu'il a déposées, notamment à la suite des avis produits par l'OFJ, que ce soit pour obtenir d'autres mesures/rapports et/ou compléter ceux figurant au dossier. Enfin, le recourant ne remet pas en cause la pleine cognition en fait et en droit dont dispose la Cour des plaintes, qui lui permet, le cas échéant, de prendre en compte de nouvelles pièces déposées par les parties et/ou de procéder à une appréciation anticipée des preuves, notamment en estimant être suffisamment renseignée (sur cette notion en lien avec le droit d'être entendu, voir ATF 145 I 73 consid. 7.2.2.1 p. 103; 144 II 427 consid. 3.1.3 p. 435); elle s'est d'ailleurs prononcée sur des griefs similaires soulevés devant elle (cf. consid. 3.3 p. 9 s. de l'arrêt entrepris).
Sur le vu de ces éléments, l'éventuelle violation du droit d'être entendu alléguée - dans la mesure où elle serait avérée et où elle n'aurait pas été réparée au cours de la procédure devant la Cour des plaintes - ne saurait donc constituer en l'occurrence une violation grave des droits de procédure justifiant l'entrée en matière.
2.3. Dans un deuxième moyen, le recourant se prévaut de l'objection de délit politique, ainsi que de violations de la procédure à l'étranger. En lien avec ce dernier motif, il se réfère en particulier à la notification prétendument viciée de la citation à comparaître à une audience de mise en accusation.
Ces deux problématiques avaient déjà été soulevées dans la cause 1C_444/2020 et le Tribunal fédéral a considéré, dans son arrêt du 23 décembre 2020 (cf. consid. 2.2), que ni l'une, ni l'autre ne justifiait l'entrée en matière. Le recourant n'expose pas clairement quels seraient les éléments nouveaux qui permettraient à ce jour, d'avoir une appréciation différente sur ces questions. Faute de motivation, ces problématiques ne permettent pas non plus l'entrée en matière.
2.4. Dans un dernier moyen, le recourant reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas respecté le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi (sur cette notion, voir ci-après consid. 3.1); les circonstances qui ont permis l'entrée en matière dans la cause 1C_444/2020 - défaut d'assurance de bénéficier d'un traitement conforme aux droits de l'homme ou à la CEDH - seraient donc toujours réalisées (cf. consid. 2.3 dudit arrêt).
Dans l'arrêt 1C_444/2020, le Tribunal fédéral a en substance considéré que la Cour des plaintes n'avait pas examiné si les droits fondamentaux du recourant pouvaient, malgré la situation prévalant actuellement dans la Fédération de Russie, être assurés par les mêmes garanties diplomatiques que celles ordonnées en 2007 (cf. ATF 134 IV 156); la cause a dès lors été renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède à cet examen (cf. consid. 3.3 de l'arrêt précité). Le Tribunal fédéral n'a ainsi pas traité de la problématique soulevée au fond. Il s'ensuit que les circonstances particulières qui ont permis l'entrée en matière dans la cause 1C_444/2020 - soit le risque que les assurances diplomatiques demandées, respectivement complétées par la Cour des plaintes dans l'arrêt attaqué, puissent ne pas assurer au recourant un traitement conforme aux droits de l'homme et à la CEDH (cf. en particulier son art. 3 [interdiction de la torture]) - sont encore réalisées eu égard à cette problématique particulière.
2.5. Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière dans les limites susmentionnées.
3.
Le recourant reproche à l'autorité précédente une violation du principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi. Il soutient notamment à ce propos que la Cour des plaintes n'aurait procédé à aucune mesure d'instruction, notamment pas à celles demandées par le Tribunal fédéral dans l'arrêt 1C_444/2020.
3.1. Selon l'art. 107 al. 2 1ère phrase LTF, si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision. Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi découle du droit fédéral non écrit (ATF 143 IV 214 consid. 5.3.3 p. 222 s.). Conformément à ce principe, l'autorité à laquelle la cause est renvoyée par le Tribunal fédéral est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui ou l'ont été sans succès (ATF 143 IV 214 consid. 5.2.1 p. 220). La motivation de l'arrêt de renvoi détermine dans quelle mesure la cour cantonale ou du Tribunal pénal fédéral est liée à la première décision, prononcé de renvoi qui fixe aussi bien le cadre du nouvel état de fait que celui de la nouvelle motivation juridique (cf. ATF 135 III 334 consid. 2 p. 335 s.; arrêt 6B_1231/2020 du 12 mai 2021 consid. 1.3.1 et les arrêts cités).
3.2. Dans l'arrêt 1C_444/2020, le Tribunal fédéral a constaté que, malgré l'aggravation de la situation en matière des droits de l'homme dans la Fédération de Russie (cf. consid. 3.2), la Cour des plaintes s'était "limit[ée] à énumérer les garanties demandées et à les compléter sans expliquer pourquoi, à ce jour et dans le cas d'espèce, celles-ci - dont la teneur et le but [étaient] quasi les mêmes que celles ordonnées il y a presque treize ans [dans l'ATF 134 IV 156] - seraient encore adéquates, notamment afin de prévenir des risques de torture, de peines ou traitements cruels, inhumains ou dégradants"; elle "n'a[vait] pas non plus envisagé, ou écarté, d'autres mesures afin d'assurer un suivi concret des engagements pris (obligation de rapports des autorités diplomatiques suisses à l'OFJ et/ou explications de l'État requérant sur les moyens qu'il met[tait] en oeuvre pour assurer ses engagements [lieux de détention prévus pour le recourant, moyens techniques de communication à disposition avec ses avocats/l'ambassade suisse/sa famille, mesures médicales existants dans le centre pénitentiaire envisagé, etc.]) "; "la Cour des plaintes n'a[vait] pas non plus examiné les critiques - certes générales - existant contre [le] système" des garanties diplomatiques, respectivement pourquoi ces critiques pouvaient être écartées dans le cas d'espèce - eu égard notamment aux critères retenus par la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après : CourEDH) et/ou "par exemple en raison d'un intérêt prépondérant de l'État requérant à s'assurer de future (s) collaboration (s) avec la Suisse et/ou d'une pratique judiciaire internationale similaire vis-à-vis de la Russie", problématique qui "pourrait, le cas échéant, faire l'objet d'un avis de droit de l'Institut [s]uisse de droit comparé" (cf. consid. 3.3). Le Tribunal fédéral a donc uniquement indiqué à titre d'exemples ce qui aurait pu être entrepris par la Cour des plaintes pour démontrer que les garanties ordonnées permettaient, encore au jour de l'arrêt du 11 août 2020 (cause RR.2019.325 + RR.2020.4), de garantir les droits fondamentaux du recourant en cas d'extradition, examen qui n'avait cependant pas été effectué.
La cause a par conséquent été renvoyée à la Cour des plaintes pour qu'elle procède à ce contrôle, en prenant "notamment en compte la situation du recourant [...], l'éventuel intérêt de l'État requérant à se conformer à ses obligations vis-à-vis de la Suisse malgré l'orientation prise par sa Constitution et ses lois vis-à-vis des arrêts de la CourEDH et/ou l'examen de la possibilité de mesures complémentaires afin d'assurer un suivi concret si l'extradition du recourant devait être accordée" (cf. consid. 3.3 in fine).
3.3. La lecture de l'arrêt attaqué du 8 juin 2021 (cause RR.2021.2.325 + RR.202.295) suffit pour retenir que ces éléments ont, cette fois-ci, été pris en considération par la Cour des plaintes (cf. consid. 4.4.2 p. 13 s. et 5.1 p. 24 ss [examen des onze critères de la CourEDH], 5.2.1 et 5.2.2 p. 26 s. [situation personnelle du recourant], 5.1 p. 24 ss, 5.2.3 p. 27, 5.2.4 p. 27 s. et 5.3 p. 28 [examen des garanties diplomatiques eu égard à l'État requérant]). Pour procéder à son appréciation, la Cour des plaintes ne s'est en outre pas limitée au dossier existant, mais a invité les parties à se déterminer; dans ce cadre, l'OFJ a produit différentes pièces, lesquelles ont été soumises au recourant. Le seul fait que ce dernier n'adhère pas aux conclusions de ces avis ou en ait une autre appréciation ne suffit pas pour considérer que d'autres mesures d'instruction devaient nécessairement être entreprises par la Cour des plaintes. Cette conclusion s'impose également eu égard à l'arrêt de renvoi qui n'ordonnait aucun acte d'instruction particulier, ainsi qu'à l'absence de réquisition de preuve de la part du recourant devant l'instance précédente.
La Cour des plaintes a ainsi procédé de manière conforme à ses obligations à l'examen requis par le Tribunal fédéral dans son arrêt de renvoi 1C_444/2020 et, par conséquent, ce premier grief peut être écarté.
4.
Seule est donc encore litigieuse la question de savoir si les garanties diplomatiques requises auprès de la Fédération de Russie à la suite de l'arrêt attaqué suffisent en l'occurrence à assurer la protection du recourant de manière conforme notamment à la CEDH en cas d'extradition.
4.1. Dans la mesure où les assurances demandées ont été modifiées à deux reprises, il y a lieu tout d'abord de rappeler leur teneur à la suite de l'arrêt attaqué :
1. les garanties de procédure reconnues par la CEDH et le Pacte ONU II [RS 0.103.2] seront accordées au recourant;
2. aucun tribunal d'exception ne pourra être saisi des actes délictueux imputés au recourant;
3. la peine de mort ne sera ni requise, ni prononcée, ni appliquée à l'égard du recourant, l'obligation de droit international contractée par la Russie à cet égard rendant imposable au recourant l'art. 6 ch. 2 Pacte ONU II;
4. le recourant ne sera soumis à aucun traitement portant atteinte à son intégrité physique et psychique, sa situation ne pouvant pas être aggravée lors de sa détention avant jugement ou lors de l'exécution de la peine en raison de considérations fondées sur ses opinions ou ses activités politiques, son appartenance à un groupe social déterminé, sa race, sa religion ou sa nationalité;
5. aucun acte commis par le recourant antérieurement à la remise et pour lequel l'extradition n'a pas été consentie ne donnera lieu à la poursuite, à la condamnation ou à la ré-extradition à un État tiers et aucun autre motif à l'extradition n'entraînera une restriction à la liberté individuelle du recourant;
6. les conditions de la détention ne seront pas inhumaines ou dégradantes au sens de l'art. 3 CEDH et l'intégrité physique comme psychique du recourant sera surveillée au sens des art. 7, 10 et 17 du Pacte ONU II;
7. la santé du recourant sera assurée de manière adéquate et l'accès à des soins médicaux suffisants en particulier aux médicaments nécessaires sera garanti;
8. toute personne représentant la Suisse sera autorisée à rendre en tout temps visite au recourant, ceci sans annonce préalable et ces rencontres ne feront l'objet d'aucune mesure de contrôle, même visuel;
9. le recourant pourra s'adresser en tout temps au représentant diplomatique de la Suisse en Russie qui pourra s'enquérir de l'état de la procédure et assister à tous les débats judiciaires; un exemplaire de la décision mettant fin à la procédure lui sera remis;
10. les autorités russes informeront le représentant diplomatique suisse en Russie du lieu de détention du recourant, tout comme d'un éventuel changement subséquent du lieu de sa détention;
11. la personne extradée a le droit de communiquer avec son avocat ou son défenseur d'office de façon illimitée et sans surveillance;
12. la famille de la personne extradée a le droit de lui rendre visite dans sa prison russe;
13. le lieu précis de détention de A._ doit être indiqué par les autorités russes avant l'extradition de celui-ci, et se situer à tout le moins à l'ouest de l'Oural.
4.2. A cet égard, le recourant se plaint en substance d'une constatation manifestement inexacte des faits. Il prétend que l'autorité précédente n'aurait pas pris en compte l'avis émis par la DDIP; il en résulterait en particulier que son appréciation de certains des onze critères émis par la CourEDH serait erronée. Le recourant soutient également que les informations données en lien avec le "monitoring" - soit le contrôle dans l'État requérant du respect des garanties par des agents de l'État requis - ne tiendrait pas compte des particularités du cas d'espèce.
4.3. Le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (ATF 146 IV 88 consid. 1.3.1 p. 91 s.; 145 IV 154 consid. 1.1 p. 155 s.; 143 IV 500 consid. 1.1 p. 503). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 143 IV 241 consid. 2.3.1 p. 244; 142 II 433 consid. 4.4 p. 444; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 143 IV 500 consid. 1.1 p. 503).
4.4. S'agissant des garanties diplomatiques qui peuvent être requises, cette pratique internationale s'est développée afin de parer au danger que la personne poursuivie ne soit exposée, en particulier en cas d'extradition, à des mauvais traitements dans l'État requérant; l'État requis peut ainsi subordonner l'octroi de la coopération à la présentation par l'État requérant de garanties en faveur de la personne en cause. Une fois obtenues, ces garanties mettent en principe l'État requérant à l'abri du reproche d'avoir méconnu le droit international (arrêt 1C_444/2020 du 23 décembre 2020 consid. 3.1.2 et les références citées; a contrario cf. arrêt CourEDH Al-Saadoon et Mufdhi c. Royaume-Uni du 2 mars 2010, requête n° 61498/08, Recueil 2010-II p. 151, § 142-144 et 162).
Selon la CourEDH, lorsque l'État requérant a fourni des garanties diplomatiques quant au respect des droits de l'homme, celles-ci constituent un facteur pertinent dont la cour tient compte. Cependant, les assurances ne sont pas en elles-mêmes suffisantes pour garantir une protection satisfaisante contre le risque de mauvais traitements : il faut vérifier qu'elles prévoient, dans leur application pratique, une garantie suffisante que la personne concernée sera protégée contre le risque de mauvais traitements. En outre, le poids à leur accorder dépend, dans chaque cas, des circonstances prévalant à l'époque considérée (arrêt CourEDH Zarmayev c. Belgique du 27 février 2014, requête n° 35/10, § 92). Pour évaluer la qualité des assurances données et leur fiabilité, la première question qui se pose au moment d'apprécier la manière dont les assurances seront appliquées en pratique et de déterminer le poids qui doit leur être accordé est celle de savoir si la situation générale en matière de droits de l'homme dans l'État d'accueil n'est pas telle qu'il doit être exclu d'accepter quelque assurance que ce soit de sa part; ce n'est cependant que dans de rares cas que la situation générale dans un pays donné implique que l'on ne puisse accorder absolument aucun poids aux assurances qu'il fournit (arrêt CourEDH Othman [Abu Qatada] c. Royaume-Uni du 17 janvier 2012, requête n° 8139/09, Recueil 2012-I p. 249, § 188). Pour apprécier la qualité des assurances données, la CourEDH tient compte des facteurs suivants (arrêt CourEDH Othman [Abu Qatada] précité, § 189; arrêt 1C_444/2020 du 23 décembre 2020 consid. 3.1.2 et les références citées) :
a. communication des termes des assurances;
b. caractère précis ou général et vague des assurances;
c. auteur des assurances ainsi que sa capacité à engager l'État requérant;
d. probabilités que les autorités locales respectent les assurances données par une autorité centrale;
e. caractère légal ou illégal des traitements au sujet desquels les assurances ont été données;
f. garanties émanant ou pas d'un État partie à la CEDH;
g. durée et force des relations bilatérales entre l'État requis et celui requérant, y compris l'attitude passée de ce dernier face à des assurances analogues;
h. possibilité ou pas de vérifier objectivement le respect des assurances données par des mécanismes diplomatiques ou d'autres moyens de contrôle, y compris la possibilité illimitée de rencontrer les avocats de la personne concernée;
i.existence ou pas d'un vrai système de protection contre la torture dans l'État requérant et la volonté de celui-ci de coopérer avec les mécanismes internationaux de contrôle - dont les Organisations non-gouvernementales de défense des droits de l'homme -, d'enquêter sur les allégations de torture et de sanctionner les auteurs de tels actes;
j. antécédent ou pas de mauvais traitement de la personne en cause dans l'État requérant;
k.examen ou pas par les juridictions internes de l'État requis et de l'État contractant de la fiabilité des assurances.
Si l'octroi de garanties correspond à la pratique suivie entre la Suisse et l'État requérant, il n'y a en principe pas de raison de soupçonner ce dernier de ne pas tenir ses engagements, ni de douter qu'il offrirait à la légère des garanties expresses sans être en mesure de les satisfaire. A cela s'ajoute le principe de la bonne foi régissant les relations entre États, qui permet notamment de supposer que les États se conformeront à leurs engagements internationaux (ATF 121 I 181 consid. 2c/aa p. 185; arrêts 1C_444/2020 du 23 décembre 2020 consid. 3.1.2; 1C_209/2014 du 24 avril 2014 consid. 3.2). Les assurances fournies constituent donc en principe un engagement d'État à État qui l'emporte, selon la règle "pacta sunt servanda" sur les prescriptions contraires du droit de l'État requérant; en cas de non-respect, l'État requérant se rend coupable d'une violation du droit international et encourt le risque de se voir refuser une future demande d'entraide; cette pratique inciterait donc en substance les États à respecter les engagements pris et le "monitoring" diplomatique mis en oeuvre par les autorités de l'État requis aurait un effet positif pour la préservation générale des droits de l'homme dans l'État requérant ("effet papillon"; ROY GARRÉ, in Basler Kommentar, Internationales Strafrecht [IRSG, GwÜ], 2015, n° 13 ad art. 37 EIMP). En l'absence de précédents, il n'est cependant pas possible de savoir si un pays est susceptible de respecter les garanties; il y a donc lieu d'examiner la vraisemblance que l'État respectera ces assurances à l'aune de son comportement face à la communauté internationale et à ses engagements sur ce plan (arrêt 1C_444/2020 du 23 décembre 2020 consid. 3.1.2 et la référence citée).
Pour assurer le respect des garanties, il est indispensable de stipuler une obligation de tolérance de la part de l'État requérant qui s'engage à accepter un droit de contrôle ex post de l'État requis, ce qui permet la mise en place d'un "monitoring" (ANTONIN CHARRIÈRE, Extradition et garanties diplomatiques : examen de la pratique suisse, en particulier lorsque l'extradable a été jugé par défaut dans l'État requérant, in AJP/PJA 7/2016 p. 879, ad 4.2.2 p. 888; SCHAFFNER/KÜHLER, in Basler Kommentar, Internationales Strafrecht [IRSG, GwÜ], 2015, nos 17 et 48 ad art. 80p EIMP). AUFIERO précise que celui-ci s'exerce sous la forme de droits octroyés à un représentant suisse ou à une personne désignée par la représentation suisse de parler et de rendre visite sans mesure de surveillance à la personne extradée en tout temps et sans s'annoncer au préalable, d'assister à l'audience de jugement, de se faire remettre la décision judiciaire, d'être informé du lieu de détention, ainsi que, sans délai, d'un changement de celui-ci (GIUSEPPE AUFIERO, Asile-extradition : de la coordination à l'unification, thèse 2018, n° 1179 p. 438; voir également CHARRIÈRE, op. cit., AJP/PJA 7/2016 p. 879, ad 4.2.2 p. 888).
4.5. Dans son arrêt 1C_444/2020, le Tribunal fédéral a également exposé les critiques émises contre ce système par les organismes de défense des droits de l'homme et par la doctrine, pouvant ainsi y être renvoyé (cf. consid. 3.1.5 et les références citées). En substance et à titre principal, il est reproché à ce système d'être utilisé par rapport à des États ne se conformant a priori pas à leurs engagements internationaux en matière de droits de l'homme; en outre, les moyens de contrôle par les États requis des assurances données sont très limités.
4.6. En l'occurrence, on peut effectivement se demander au vu notamment des références citées, si le rappel du contenu de l'avis de la DDIP au considérant 4.6 de l'arrêt entrepris (intitulé "Avis du DDIP") ne concernerait pas le rapport émis par la PIDH.
Cela étant, il ne saurait en être déduit que l'avis de la DDIP aurait été ignoré, notamment de manière arbitraire, puisque l'autorité précédente a expressément suivi l'une des recommandations émises par cet office s'agissant des garanties à demander (lieu de détention à l'ouest de l'Oural), respectivement a expliqué pourquoi, en se référant aux indications de l'OFJ, elle renonçait à ordonner la seconde proposition de la DDIP (nombre minimal de visites par an, à l'improviste et sans surveillance, assurance déjà prévue dans une autre garantie; cf. consid. 5.2.4 p. 27 s. de l'arrêt attaqué). En tout état de cause, la DDIP n'a pas exclu toute extradition du recourant en raison de la péjoration au niveau des droits de l'homme en Russie, mais a relevé au contraire que, dès lors que le recourant n'était ni une personne exposée politiquement, ni un membre d'une communauté victime de persécution politique ou de discrimination, le risque de traitements contraires aux droits de l'homme pouvait être manifestement réduit par des garanties diplomatiques ("Weil es sich aber bei [A._] weder um eine politisch exponierte Person noch um einen Angehörigen einer Bevölkerungsgruppe handelt, die politisch verfolgt oder diskriminiert wird, lässt sich vorliegend das Risiko einer menschenrechtswidrigen Behandlung mittels diplomatischer Garantien Russlands deutlich herabsetzen").
Il s'ensuit qu'indépendamment du contenu du considérant 4.6 de l'arrêt attaqué, l'appréciation de l'autorité précédente - possible extradition du recourant moyennant l'obtention de garanties diplomatiques - n'est pas contraire aux conclusions de la DDIP eu égard au cas d'espèce. Ce résultat paraît d'autant moins arbitraire que la Cour des plaintes a exigé de plus que le lieu de détention soit connu préalablement à l'extradition.
4.7. Dans le cadre de l'examen des onze critères de la CourEDH, l'autorité précédente a retenu ce qui suit (cf. consid. 5.1 p. 24 ss de l'arrêt attaqué) :
- les assurances données, reprenant mot à mot celles requises au jour du jugement entrepris par l'OFJ, étaient précises et détaillées; elles tendaient à protéger l'intégrité tant physique que psychique du recourant (cf. critères i et ii);
- vu l'avis de l'ISDC, la Direction d'extradition suppléant de la direction générale de la coopération juridique internationale auprès du Bureau du Procureur général de la Fédération de Russie était compétente, tant pour formuler les assurances que pour leur contrôle (cf. critère iii);
- au regard de la surveillance de la mise en oeuvre par l'autorité russe précitée, il pouvait être tenu pour probable que les autorités russes se conformeraient aux assurances données dans le cas d'espèce (cf. critère iv);
- les assurances données - par un État partie à la CEDH (cf. critère vi) - avaient pour but d'empêcher tout traitement illicite (cf. critère v);
- au vu de la Convention d'extradition du 17 novembre 1873 (cf. RO 2006 3027), puis de la Convention européenne d'extradition du 13 décembre 1957 (CEExtr; RS 0.353.1), la Fédération de Russie et la Confédération suisse avaient une longue collaboration - certes à apprécier eu égard aux changements politiques intervenus depuis 1873 - à leur actif, sans que la Suisse n'ait eu à déplorer de violations de ses obligations de la part de la Russie dans des circonstances analogues (cf. critère vii);
- la possibilité de vérifier le respect des assurances données faisait expressément partie des garanties supplémentaires demandées à la suite de l'arrêt du 11 août 2020 de la Cour des plaintes, assurances que les autorités russes avaient accepté d'accorder et système qui, au vu des explications de l'OFJ sur les mécanismes diplomatiques existants (voir ci-après consid. 4.9), fonctionnait (cf. critère viii);
- sur le plan de l'existence d'un vrai système de protection contre la torture dans l'État requérant et d'une volonté de coopérer avec les mécanismes internationaux de contrôle, la situation en Russie restait critiquable; la présente procédure afin d'assurer la protection du recourant avait cependant été acceptée par les autorités russes et avait pour but de faire respecter ses droits fondamentaux, ainsi que de mettre en place un système de protection contre la torture dans le cas d'espèce (cf. notamment les garanties nos 1, 3, 4, 6 et 7; critère ix);
- l'État requérant ne présentait pas d'antécédent de mauvais traitement du recourant (cf. critère x); et
- la présente procédure démontrait l'examen par les autorités de l'État requis de la fiabilité des garanties requises et, s'agissant du contrôle par l'État requérant, il pouvait être renvoyé à la surveillance opérée par la Direction d'extradition suppléant de la direction générale de la coopération juridique internationale auprès du Bureau du Procureur général de la Fédération de Russie (par renvoi aux critères iii et iv; cf. critère xi).
4.8. Eu égard à l'avis de la DDIP, cet examen ne prête pas le flanc à la critique.
Comme déjà indiqué, la DDIP n'a pas exclu toute extradition du recourant. Par conséquent, l'évocation par cet office des problèmes existant en Russie en matière des droits de l'homme - situation au demeurant connue tant de l'autorité précédente que du Tribunal fédéral (cf. consid. 7.2.3 à 7.2.9 de l'arrêt de la Cour des plaintes du 11 août 2020 rappelés et confirmés dans l'arrêt 1C_444/2020 du 23 décembre 2020 consid. 3.2) - ne suffit pas pour considérer que les critères iv (respect des garanties par les autorités locales), vii (durée et force des relations entre l'État requérant et l'État requis) et ix (existence d'un système de protection contre la torture et volonté de coopération de l'État requérant) ne seraient pas remplis eu égard à la situation particulière du recourant, pour lequel un mécanisme de contrôle est mis en oeuvre (cf. ci-après consid. 4.9).
4.9. Le recourant prétend que ce mécanisme diplomatique de contrôle ("monitoring") ne serait pas suffisant pour assurer le respect des garanties données (cf. critère viii).
4.9.1. A cet égard, l'autorité précédente a, en sus des éléments relevés ci-dessus (cf. consid. 4.7 ci-dessus), indiqué, en se référant aux observations déposées par l'OFJ le 28 janvier 2021, que le constat d'une éventuelle violation des garanties fournies par l'État requérant était effectué par les autorités suisses auprès de qui la personne extradée était en droit de se plaindre et qu'un "monitoring" avait été en l'occurrence demandé; une seule affaire avec la Russie (2011) avait nécessité l'activation d'un tel système afin de vérifier une plainte de la personne extradée. Au vu de ces éléments, la Cour des plaintes a considéré qu'il existait un réel moyen de vérifier le respect des assurances données (cf. consid. 5.1 p. 25 de l'arrêt attaqué).
4.9.2. Le recourant ne développe aucune argumentation tendant à remettre en cause ces considérations. En particulier, tel n'est pas le cas des critiques soulevées en lien avec l'aide-mémoire de l'OFJ et de la DDIP. On ne saurait tout d'abord considérer que ce document ne donne aucune information sur la mise en oeuvre concrète de ce mécanisme, soit notamment à quelles conditions il serait activé, à quelles fréquences les visites en prison seraient effectuées et quelles démarches seraient entreprises à la suite d'une plainte de la personne extradée (cf. ad ch. 6.1.2 p. 32 du recours). Il en ressort en effet que l'OFJ informe "aussi tôt que possible" l'Ambassade concernée et lui transmet tous les documents nécessaires en vue "des contrôles possibles dès la remise de la personne extradée" (cf. ad II p. 1 de l'aide-mémoire), moment qui fait donc débuter le "monitoring" lorsque celui-ci est requis à titre de garantie, ainsi que tel est le cas en l'occurrence (cf. notamment les garanties nos 8 et 9). Son activation ne dépend donc pas dans le cas d'espèce d'une plainte de la personne extradée ou de la connaissance par les autorités suisses d'une éventuelle violation des obligations de l'État requérant; cette activation intervient ici automatiquement dès la remise du recourant à l'État requérant.
L'aide-mémoire de l'OFJ et de la DDIP énumère aussi certaines des tâches incombant à l'Ambassade, soit de (1) "vérifier, à l'occasion notamment des visites en prison, le respect des garanties données concernant la situation de la personne extradée (conditions de détention, célérité de la procédure pénale, état de santé, accès à un avocat, etc.) ", de (2) "suivre le dossier d'une manière générale (consultation des médias, contacts avec l'avocat de la défense, etc.) " et de (3) "montrer aux autorités étrangères qu'elles sont « surveillées », c'est-à-dire que la Suisse vérifie si les garanties données sont effectivement respectées en pratique" (cf. ad II p. 1 s. de l'aide-mémoire). Il y est aussi fait état des "points à aborder lors des visites de prison" : "conditions de détention en général"; "possibilités, conditions (surveillées ou non?) et fréquences des visites (proches, avocat, Ambassade, etc.) "; "informations sur l'état de santé/accès aux soins médicaux (si oui, semblent-ils adaptés ?) "; "avancement du procès"; "plainte/souhait de la personne extradée"; "autres constatations personnelles du visiteur" (cf. ad III p. 2 de l'aide-mémoire). Il y est encore précisé notamment que l'OFJ est intéressé à obtenir une appréciation globale de l'Ambassade sur les résultats de la visite (cf. ad III p. 2 de l'aide-mémoire) et que cette dernière transmet à l'OFJ toutes les demandes relatives au dossier, une autre organisation pouvant suivant le cas être mise en place (cf. ad IV p. 2 de l'aide-mémoire).
Selon l'OFJ, le but de l'aide-mémoire est de permettre une pratique uniforme de ce mécanisme de surveillance, tout en laissant une certaine flexibilité aux autorités chargées de sa mise en oeuvre eu égard aux circonstances concrètes (cf. ad 4 p. 5 des observations de l'OFJ du 28 janvier 2021). Les indications qui y sont contenues - indépendamment dès lors de leur éventuelle ancienneté - ont par conséquent un caractère général sans que cela ne prête le flanc à la critique; une telle formulation permet aux autorités d'exécution de prendre en compte les spécificités du cas d'espèce nécessairement différentes sur le plan temporel, spatial et/ou personnel; une même solution ne saurait en effet s'appliquer à toutes situations (cf. par exemple, un nombre de visites en prison imposé). Pour ces mêmes motifs, respectivement l'ignorance des raisons pour lesquelles le recourant formulerait une plainte auprès des autorités suisses, un document général ou les garanties diplomatiques demandées en l'occurrence ne peuvent déjà indiquer les suites qui y seraient données. Eu égard aux assurances diplomatiques données par la Fédération de Russie, ainsi qu'au "monitoring" mis en place en sa faveur et assuré par les autorités suisses, le recourant ne saurait pas non plus comparer sa situation à celle qui pourrait prévaloir eu égard à d'autres détenus. Il ne fait pas non plus état d'élément qui permettrait de considérer que, dans son cas, la Fédération de Russie n'entendrait pas se conformer à ses obligations vis-à-vis de la Suisse ou que la première n'aurait aucun intérêt à pouvoir continuer à collaborer avec la seconde à l'avenir.
Quant à la nouvelle garantie demandée - soit la connaissance du lieu de détention du recourant préalablement à son extradition et sa localisation à l'ouest de l'Oural (cf. n° 13) -, elle semble propre à faciliter le "monitoring" qui sera mis en place; cette assurance doit au demeurant encore être vérifiée par le biais de la procédure selon l'art. 80p EIMP. Certes, le défaut d'information sur le lieu exact à ce stade de la procédure ne permet pas de vérifier si les conditions de détention du recourant seront conformes à l'art. 3 CEDH. Cela étant, le respect de cette disposition fait aussi partie des assurances requises (cf. n° 6). Le recourant peut donc, le cas échéant, former une plainte en lien avec ses conditions de détention; celles-ci font au demeurant en tout état de cause l'objet du suivi à effectuer par les autorités suisses au regard du contenu de l'aide-mémoire de l'OFJ et de la DDIP rappelé ci-dessus.
Les autorités suisses - dont l'OFJ ou les représentants de l'Ambassade suisse en Russie - ne manqueront d'ailleurs pas de s'acquitter de leurs obligations en respect des principes évoqués dans l'aide-mémoire et en tenant compte des particularités du cas d'espèce, soit en particulier de la situation générale actuelle de l'État requérant. Dans ce cadre, il leur appartiendra aussi de s'assurer du respect des garanties données en lien avec le déroulement de la procédure judiciaire (cf. en particulier les garanties nos 1, 2, 3 et 4); à cet égard, ainsi que l'a relevé la Cour des plaintes, le recourant - qu'on rappellera banquier - n'est pas un opposant politique, ne se trouvant ainsi pas dans une situation où il était à craindre que les autorités russes violeraient les garanties fournies (cf. consid. 5.2.1 p. 26 de l'arrêt attaqué).
4.10. Au vu des considérations précédentes, la Cour des plaintes n'a pas violé le droit conventionnel, constitutionnel, ainsi que fédéral et/ou l'interdiction de l'arbitraire, en confirmant la décision d'extradition de l'OFJ concernant le recourant moyennant l'obtention des garanties diplomatiques dans la teneur rappelée au considérant 4.1 ci-dessus.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, à l'Office fédéral de la justice - Unité Extraditions - et à la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 1 er septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf