Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 29. Oktober 2020 Strafanzeige gegen die Staatsanwältin B._ wegen Amtsmissbrauchs, fahrlässiger Körperverletzung sowie fahrlässig versuchter Tötung. Er warf ihr vor, der von ihr am 23. Juli 2020 ausgestellte Strafbefehl habe ihn in einen psychischen und körperlichen unkontrollierten Zustand versetzt, was ihn zu einer Selbstverletzung des linken Armes und zu einem Suizidversuch gezwungen habe. Sie habe es unterlassen, ein ärztliches oder psychiatrisches Attest einzuholen. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich ersuchte mit Verfügung vom 27. November 2020 das Obergericht des Kantons Zürich, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 23. April 2021 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Die Angezeigte hätte sich klarerweise nicht strafbar gemacht.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 21. Mai 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die III. Strafkammer legte in ihrer Begründung dar, weshalb die vom Beschwerdeführer angezeigten Straftatbestände nicht gegeben seien. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli