Erwägungen:
1.
Die Parteien sind die verheirateten Eltern zweier minderjähriger Kinder. Seit Dezember 2020 leben sie getrennt und mit Urteil vom 10. März 2021 regelte das Bezirksgericht Zürich das Getrenntleben. Dabei übertrug es unter anderem die Obhut über die Kinder mit wechselnder Betreuung an beide Ehegatten.
Mit Urteil vom 2. Juni 2021 wies das Obergericht des Kantons Zürich die von der Beschwerdeführerin gegen diese Obhuts- und Betreuungsregelung eingereichte Berufung ab, soweit es darauf eintrat.
Die Beschwerdeführerin gelangt hiergegen mit Beschwerde vom 7. Juli 2021 ans Bundesgericht und beantragt zusammengefasst die Zuteilung der Obhut über die Kinder an sich selbst sowie die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Vater und den Kindern. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen.
Nach Anhörung der weiteren Verfahrensbeteiligten hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung die von der Beschwerdeführerin ausserdem gestellten Gesuche um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde und Erlass vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.
Mit Schreiben vom 28. Februar 2022 zieht die Beschwerdeführerin die Beschwerde vom 7. Juli 2021 vollumfänglich zurück und ersucht um Abschreibung des Beschwerdeverfahrens. Auf die Ausrichtung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner sei mangels Aufwands zu verzichten, eventuell sei die Entschädigung angemessen zu reduzieren.
2.
Der vor dem Richter erklärte Abstand einer Partei beendet den Rechtsstreit (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 73 Abs. 1 BZP [SR 273]). Der Instruktionsrichter entscheidet nach Art. 32 Abs. 2 BGG als Einzelrichter über die Abschreibung von Verfahren zufolge Rückzugs. Entsprechend ist das Beschwerdeverfahren durch den Instruktionsrichter als durch Rückzug de r Beschwerde erledigt abzuschreiben (statt vieler: Verfügen 5A_555/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 1; 5A_671/2020 vom 8. März 2021 E. 5).
Der Abstand gilt hinsichtlich der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens als Unterliegen (SEILER, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 35 zu Art. 66 BGG). Demzufolge sind die Gerichtskosten - sie werden aufgrund des geringen entstandenen Aufwands reduziert - der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat diese den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Anders als sie meint, sind diesem im Zusammenhang mit dem Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen entschädigungspflichtige Kosten angefallen (vgl. vorne E. 1).
Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1.
Das Verfahren 5A_560/2021 wird als durch Rückzug der Beschwerde erledigt abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Schöbi
Der Gerichtsschreiber: Sieber