Sachverhalt:
A.
Der 1969 geborene A._ arbeitete bei der B._ AG und war dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch unfallversichert. Am 5. September 2013 erlitt er einen Motorradunfall. Im Bericht des Spitals C._ vom 6. September 2013 wurden eine mehrfragmentäre intraartikuläre Radiusfraktur links mit Absprengung des Proc. styloideus ulnae, eine Rippenkontusion und eine Kontusion Dig. I Fuss links diagnostiziert. In der Folge wurde der Versicherte mehrfach an der linken Hand operiert, zuletzt am 14. Februar 2018. Die Suva kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Mit Schreiben vom 4. Juni 2020 stellte sie das Taggeld per 31. Juli 2020 ein. Für die weiterhin notwendigen Schmerzmedikamente werde sie nach Fallabschluss bis auf Weiteres aufkommen. Mit Verfügung vom 12. Juni 2020 verneinte die Suva den Rentenanspruch und sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung von 30 % zu. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. März 2021 fest.
B.
Die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 7. Dezember 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Urteils seien ihm eine Invalidenrente aufgrund eines mindestens 20%igen Invaliditätsgrades und eine Integritätsentschädigung bei einer mindestens 40%igen Integritätseinbusse zuzusprechen. Es seien ihm weiterhin "Heilkosten (Analgetika, Medikamente und Hausarztbesuche etc.) auszurichten". Die Suva habe ihm die zusätzlichen Abklärungskosten durch den Neurologen Dr. med. D._ zu erstatten. Es sei ihm Gelegenheit zu geben, die entsprechende Rechnung nachzureichen. Es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 145 V 57 E. 4.2, 135 II 384 E. 2.2.1). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob der vorinstanzlich bestätigte Fallabschluss per 31. Juli 2020 mit Verneinung eines Rentenanspruchs sowie Zusprache von weiterhin notwendigen Schmerzmedikamenten und einer Integritätsentschädigung von 30 % bundesrechtskonform ist.
2.2. Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG), die Invalidität (Art. 8 ATSG) sowie die Voraussetzungen der Ansprüche auf eine Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG) und auf eine Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1, Art. 25 Abs. 1 UVG; Art. 36 Abs. 1 UVV) richtig dargelegt. Gleiches gilt betreffend die Invaliditätsbemessung nach dem Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG), den im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 146 V 271 E. 4.4) und den Beweiswert ärztlicher Berichte (BGE 139 V 225 E. 5.2, 134 V 231 E. 5.1). Darauf wird verwiesen.
3.
In medizinischer Hinsicht erwog die Vorinstanz im Wesentlichen, der Beschwerdeführer sei vom 18. November bis 19. Dezember 2019 in der Klinik E._ hospitalisiert gewesen. Die dortigen Arztpersonen hätten im Austrittsbericht vom 20. Dezember 2019 nachvollziehbar aufgezeigt, dass die neuropathischen Schmerzen des N. radialis - die von Dr. med. D._ im Bericht vom 16. Mai 2019 als problematisch bezeichnet worden seien - im Vergleich zu den nozizeptiven Schmerzen nicht im Vordergrund gestanden hätten. Sodann gehe aus diesem Bericht hervor, dass für eine Kausalgie keine Anhaltspunkte bestanden hätten. Die von Dr. med. D._ am 16. Mai 2019 gestellte Verdachtsdiagnose eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) Typ II habe in der Klinik E._ somit nicht bestätigt werden können. Auch der Neurologe Dr. med. F._ habe im Bericht vom 27. Mai 2019 keine entsprechende Verdachtsdiagnose angeführt. Der Kreisarzt Dr. med. G._, Facharzt für Chirurgie, Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, der den Beschwerdeführer mehrmals untersucht habe, habe ebenfalls kein CRPS erwähnt. Ein CRPS sei somit nicht erstellt, weshalb diesbezüglich kein Anlass für weitere neurologische Abklärungen bestehe. Hinsichtlich der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers könne den Einschätzungen der Klinik E._ vom 20. Dezember 2019 und des Dr. med. G._ vom 29. Mai 2020 gefolgt werden. Laut dem vom Letzteren erstellten präzisen Zumutbarkeitsprofil seien rein unfallbezogen schwere Tätigkeiten mit der linken Hand nicht mehr, leichte Tätigkeiten dagegen, voll zumutbar. An dieser Beurteilung bestünden keine auch nur geringen Zweifel, weshalb darauf abzustellen sei. Den Integritätsschaden habe Dr. med. G._ anhand der Suva-Tabellen 1.2 (Integritätsschäden bei Funktionsstörungen an den oberen Extremitäten) und 5.2 (Integritätsschäden bei Arthrosen) auf 30 % geschätzt, was als angemessen erscheine. Der Beschwerdeführer lege nicht dar, inwiefern diese Einschätzung falsch wäre. Es fänden sich auch keine Arztberichte, die den Anspruch auf eine höhere Integritätsentschädigung begründeten.
4.
4.1. Den Berichten der Arztpersonen der Suva, wozu auch diejenigen der Klinik E._ gehören, kommt der Beweiswert versicherungsinterner ärztlicher Feststellungen zu. Es ist deshalb zu prüfen, ob bereits geringe Zweifel an ihrer Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit bestehen (BGE 145 V 97 E. 8.5; Urteil 8C_542/2021 vom 26. Januar 2022 E. 5).
4.2. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, der Neurologe Dr. med. D._ habe im Bericht vom 16. Mai 2019 ein CRPS Typ II (Kausalgie) N. Radialis links diagnostiziert. Dieser schlüssige und ausführlich begründete Bericht sei zumindest geeignet, geringe Zweifel an der Einschätzung des Kreisarztes Dr. med. G._ zu wecken. Die Vorinstanz habe ausgeführt, Dr. med. F._ habe im Bericht vom 27. Mai 2019 eine Neuropathie des Ramus superficialis des N. radialis links bei chronisch neuropathischen Schmerzen sowie Gefühlsstörungen im Versorgungsgebiet der Nerven diagnostiziert. Weiter habe sie die Einschätzung des Dr. med. F._ ähnlich zu derjenigen des Dr. med. D._ bezeichnet. Vor diesem Hintergrund sei die Ansicht der Vorinstanz, diese beiden Berichte weckten keine auch nur geringen Zweifel an den Einschätzungen des Dr. med. G._ und der Klinik E._, unverständlich. Dr. med. G._ sei nicht Neurologe und habe damit gar nicht die Kompetenz, die Diagnose eines CRPS Typ II zu beurteilen. Dr. med. F._ habe eine ähnliche Diagnose wie Dr. med. D._ gestellt. Darauf sei die Vorinstanz jedoch nicht eingegangen. Es müsse auch davon ausgegangen werden, dass Dr. med. F._ das CRPS Typ II bestätigt hätte bzw. näher darauf eingegangen wäre, wenn ihm der Bericht des Dr. med. D._ vorgelegen hätte. Entgegen der Vorinstanz sei der Beschwerdeführer in der Klinik E._ nicht von mehreren Fachärzten untersucht worden. Deren Austrittsbericht vom 20. Dezember 2019 sei vom Assistenzarzt H._, Neurologische Rehabilitation, und von der Neurologin Dr. med. I._, Stv. Med. Leiterin Neurologische Rehabilitation, visiert worden. Von der Letzteren sei er aber nicht untersucht worden. Weder die Arztpersonen der Klinik E._ noch Dr. med. G._ hätten sich mit der Diagnose CRPS Typ II auseinandergesetzt. Es liege keine medizinische Begründung vor, weshalb diese Diagnose nicht gestellt werden könne. Sie führe aber zu einer relevanten abweichenden Arbeitsunfähigkeitsbeurteilung. Sofern die Vorinstanz die von Dr. med. D._ gestellte Diagnose CRPS Typ II bezweifelt hätte, hätte sie ein Gutachten einholen müssen. Sie habe den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers sowie den Untersuchungsgrundsatz verletzt und den Sachverhalt offensichtlich unrichtig ermittelt. Zudem seien die Verfahrensfairness und die Waffengleichheit (Art. 6 EMRK) untergraben worden.
5.
Unbehelflich ist der Einwand des Beschwerdeführers, die Vorinstanz sei auf gewisse seiner Vorbringen nicht eingegangen. Denn ein Gericht muss sich in seinem Entscheid nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 143 III 65 E. 5.2; Urteil 8C_689/2021 vom 3. Februar 2022 E. 5.2). Diesen Anforderungen genügt das angefochtene Urteil, weshalb sich die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs als unbegründet erweist.
6.
6.1.
6.1.1. Vorab ist festzuhalten, dass das CRPS eine Sammelbezeichnung für Krankheitsbilder ist, welche die Extremitäten betreffen. Es entwickelt sich nach einem schädigenden Ereignis und führt beim Betroffenen zu anhaltenden Schmerzen mit Störungen des vegetativen Nervensystems, der Sensibilität und der Motorik. Das CRPS ist eine neurologisch-orthopädisch-traumatologische Erkrankung und ein organischer bzw. körperlicher Gesundheitsschaden (Urteil 8C_123/2018 vom 18. September 2018 E. 4.1.2 mit Hinweisen). Entgegen dem Beschwerdeführer kann somit nicht gesagt werden, Dr. med. G._ sei als Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates nicht kompetent, die Diagnose eines CRPS Typ II zu beurteilen.
6.1.2. Unbestritten ist die vorinstanzliche Feststellung, dass der Neurologe Dr. med. F._ im Bericht vom 27. Mai 2019 aufgrund der Untersuchung des Beschwerdeführers vom 17. Mai 2019 kein CRPS diagnostizierte. Unbehelflich ist der Einwand, Dr. med. F._ habe den Bericht des Dr. med. D._ vom 16. Mai 2019 nicht gekannt, der diese Diagnose gestellt habe. Denn hätte Dr. med. F._ ein CRPS festgestellt, hätte er dies zweifellos unabhängig vom Bericht des Dr. med. D._ angegeben.
6.1.3. In der Klinik E._ war der Beschwerdeführer vom 18. November bis 19. Dezember 2019 hospitalisiert. Dort wurde er eingehend klinisch-neurologisch untersucht und therapeutisch betreut. Zudem wurde ein Röntgenbild des Handgelenks links vom 12. Dezember 2019 veranlasst und ein handchirurgisches Konsilium des PD Dr. med. J._, Stv. Klinikdirektor Plastische und Handchirurgie, Spital K._, vom 16. Dezember 2019 eingeholt. Im Austrittsbericht der Klinik E._ vom 20. Dezember 2019 wurden die Vorakten, die vom Beschwerdeführer geklagten Beschwerden und die früher erstellten bildgebenden Befunde berücksichtigt. Den mitwirkenden Arztpersonen waren insbesondere auch die Berichte des Dr. med. D._ vom 16. Mai 2019 und des Dr. med. F._ vom 27. Mai 2019 bekannt. Damit erfüllt der Austrittsbericht vom 20. Dezember 2019 die Anforderungen an eine schlüssige medizinische Beurteilungsgrundlage (hierzu vgl. BGE 134 V 231 E. 5.1). Dieser Bericht wird nicht durch den vom Beschwerdeführer vorgebrachten Umstand entkräftet, er sei nur vom Assistenzarzt H._ untersucht worden, nicht aber von Dr. med. I._, die den Bericht bloss visiert habe.
6.1.4. Dr. med. G._ erstellte den Bericht vom 29. Mai 2020 ebenfalls in Kenntnis der wesentlichen Vorakten und erhob eine ausführliche Anamnese. Zudem nahm er eine eingehende klinische Untersuchung des Beschwerdeführers vor und berücksichtigte die von ihm geklagten Beschwerden sowie die früher erstellten bildgebenden Befunde. Auch Dr. med. G._ waren die Berichte des Dr. med. D._ vom 16. Mai 2019 und des Dr. med. F._ vom 27. Mai 2019 bekannt. Damit ist auch sein Bericht voll beweiswertig.
6.2.
6.2.1. Nach dem Gesagten kann gestützt auf die Berichte des Dr. med. F._ vom 27. Mai 2019, der Klinik E._ vom 20. Dezember 2019 und des Dr. med. G._ vom 29. Mai 2020 ein CRPS an der linken Hand des Beschwerdeführers nicht bejaht werden.
6.2.2. Für dieses Ergebnis spricht auch Folgendes: Die Bejahung eines CRPS setzt praxisgemäss nicht voraus, dass die Diagnose von den Ärzten bereits innerhalb von sechs bis acht Monaten nach dem schädigenden Ereignis gestellt worden sein muss, um sie als unfallbedingt anzusehen. Entscheidend ist, dass anhand echtzeitlich erhobener medizinischer Befunde der Schluss gezogen werden kann, die betroffene Person habe innerhalb der Latenzzeit von sechs bis acht Wochen nach dem Unfall zumindest teilweise an den für ein CRPS typischen Symptomen gelitten (Urteil 8C_123/2018 vom 18. September 2018 E. 4.1.2 mit Hinweisen). Vorliegend ist nicht erstellt und wird vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet, dass dies nach dem Unfall vom 5. September 2013 oder zumindest nach der letzten Operation des linken Handgelenks vom 14. Februar 2018 zugetroffen hätte.
6.2.3. Insgesamt bestehen hinsichtlich der Verneinung eines CRPS keine auch nur geringen Zweifel an der Einschätzung der Klinik E._ und des Dr. med. G._ (vgl. E. 4.1 hiervor).
7.
7.1. Bezüglich der Arbeitsfähigkeit kam Dr. med. G._ im Bericht vom 29. Mai 2020 zum Schluss, leidensangepasste Tätigkeiten seien dem Beschwerdeführer zu 100 % zumutbar, wobei mit der linken Hand kein Heben und Tragen von Gegenständen möglich sei, die schwerer als 5 bis 6 kg seien.
7.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, gemäss dem Bericht des Dr. med. D._ vom 16. Mai 2019 sei hinsichtlich des Zumutbarkeitsprofils die Gewichtslimite von 5 kg zu hoch angesetzt und würde einen neuropathischen Schmerz verursachen. Er erleide bei kleinsten Bewegungen massivste Schmerzen. Dr. med. D._ habe klar festgehalten, dass das Zumutbarkeitsprofil aus neurologischer Sicht überdacht werden müsse. Damit sei das gesamte Zumutbarkeitsprofil angesprochen und nicht die als zu hoch erwähnte Gewichtslimite.
Diese Einwände sind unbeheflich. Denn Dr. med. D._ ging bei seiner Einschätzung - wie gesagt - zu Unrecht vom Vorliegen eines CRPS Typ II an der linken Hand aus, das aber nicht gegeben ist. Dass die Gewichtslimite im Zumutbarkeitsprofil anderweitig zu entkräften wäre, ist nicht ersichtlich.
8.
Die Vorinstanz bestätigte auch den von Dr. med. G._ auf 30 % festgesetzten Integritätsschaden (vgl. E. 3 hiervor). Hiergegen bringt der Beschwerdeführer ebenfalls keine substanziierten Einwände vor. Er verlangt im Wesentlichen die Berücksichtigung eines CRPS Typ II, womit er gemäss den vorstehenden Erwägungen nicht durchzudringen vermag.
9.
Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten sind, durfte die Vorinstanz davon absehen. Dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen die Ansprüche auf freie Beweiswürdigung sowie Beweisabnahme (Art. 61 lit. c ATSG) und auch nicht gegen den Grundsatz der Waffengleichheit (Art. 6 Ziff. 1 EMRK), den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) oder das Gebot eines fairen Verfahrens nach Art. 9 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 144 V 361 E. 6.5; Urteil 8C_728/2020 vom 23. Juni 2021 E. 5).
10.
Im Rahmen des Einkommensvergleichs errechnete die Vorinstanz einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von gerundet 8 %. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer keine substanziierten Einwände vor. Weiterungen hierzu erübrigen sich somit.
11.
Da der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf eine Invalidenrente hat, besteht - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - auch kein solcher auf Heilbehandlung nach Festsetzung der Rente gemäss Art. 21 UVG.
12.
Der Beschwerdeführer verlangt die Erstattung der Abklärungskosten des Dr. med. D._. Unter dem Titel Parteientschädigung sind auch die notwendigen Kosten privat eingeholter Berichte bzw. Gutachten zu vergüten, soweit diese für die Entscheidfindung unerlässlich waren (Art. 45 Abs. 1 ATSG; BGE 115 V 62 E. 5c; Urteil 8C_19/2021 vom 27. April 2021 E. 8 mit Hinweisen). Der Bericht des Dr. med. D._ vom 16. Mai 2019 war für die Beurteilung jedoch nicht erforderlich, weshalb die Vorinstanz zu Recht von einer entsprechenden Kostenüberbindung an die Suva absah.
13.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 BGG). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Marco Unternährer wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Jancar