Sachverhalt:
A.
A.A._ (Mutter und Beschwerdeführerin) und B._ (Vater und Beschwerdegegner) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C.A._ (geb. August 2005). Die Mutter hatte ab der Geburt das alleinige Sorgerecht.
B.
B.a. Die Kindseltern trennten sich im Oktober 2009. Seither bestand kein Kontakt mehr zwischen dem Beschwerdegegner und der Tochter. Zwischen den resp. betreffend die Eltern kam es zu diversen Verfahren (u.A. Handgreiflichkeiten beider Parteien, Betrugsverfahren gegen die Beschwerdeführerin). Im Jahr 2011 versuchte der Beschwerdegegner erfolglos, die Vaterschaft anzufechten. Am 11. Dezember 2012 erstattete der Beschwerdegegner eine Gefährdungsmeldung bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug (KESB).
B.b. Mit Entscheid vom 26. November 2013 ordnete die KESB eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB an und beauftragte den Beistand, einen Informationsaustausch und Kontaktaufbau zwischen Kind und Vater zu gestalten.
B.c. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde der Beschwerdeführerin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Urteil vom 26. Januar 2015 ab.
C.
C.a. Am 24. Juni 2015 beantragte der Beschwerdegegner bei der KESB die gemeinsame elterliche Sorge über C.A._.
C.b. Die KESB setzte am 12. Juli 2016 Rechtsanwältin Corinne Seeholzer als Kindesvertreterin gemäss Art. 314a bis ZGB ein.
C.c. Am 21. Dezember 2016 reichte der Leiter der Schule von C.A._ eine Gefährdungsmeldung ein wegen auffälligen Verhaltens des Mädchens, das auf körperliche und psychische Gewaltanwendung deuten könne.
C.d. Am 23. Dezember 2016 erklärte sich die Beschwerdeführerin in einer E-Mail an den Beschwerdegegner mit einem gemeinsamen Sorgerecht einverstanden, wenn die Tochter ab 1. Januar 2017 bei ihm wohnen könne. Der Beschwerdegegner gab am 24. Dezember 2016 sein Einverständnis kund. Als die KESB die Parteien am 26. Dezember 2016 informierte, sie könnten die Erklärung über die elterliche Sorge unterzeichnen kommen, widerrief die Beschwerdeführerin ihr Angebot.
C.e. Am 28. März 2017 gab die KESB eine Abklärung "kompetenzorientierte Familienarbeit" in Auftrag und errichtete zu diesem Zweck eine Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB. Der Schlussbericht der Abklärung der Stiftung D._ datiert vom 27. Juni 2017.
C.f. In seinem Bericht vom 18. September 2017 beantragte Beistand E._, es sei eine Fremdplatzierung von C.A._ und die Aufhebung der Beistandschaft zu prüfen. Eventualiter seien ein Erziehungsgutachten oder ein rechtspsychologischer Fachbericht anzuordnen.
C.g. Mit Entscheid vom 18. September 2018 teilte die KESB den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge gemäss Art. 298b Abs. 2 ZGB zu. Sodann hob die KESB die für die Abklärung errichtete Beistandschaft (vgl. lit. C.e) und die Besuchsrechtsbeistandschaft (lit. B.b) auf; per Rechtskraft des Entscheids wurde auch die Kindesvertretung aufgehoben. Um die Eltern in ihrer gemeinsamen elterlichen Sorge zu unterstützen, wurde eine neue Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet, womit erneut E._ beauftragt wurde. Er sollte auch für die Organisation eines Jugendcoachings und eines Case Managements besorgt sein.
D.
D.a. Die Beschwerdeführerin erhob am 29. Oktober 2018 beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid der KESB. Sie wehrte sich gegen die gemeinsame elterliche Sorge und die neue Beistandschaft.
D.b. Der Kindsvater bestätigte in seiner Vernehmlassung, dass er das gemeinsame Sorgerecht wolle. Der Beistand verzichtete auf eine Stellungnahme.
D.c. Die Kindesvertreterin beantragte am 28. Dezember 2018 die Abweisung der Beschwerde. Sowohl eine gemeinsame elterliche Sorge als auch ein Jugendcoaching erachte sie - die Kindesvertreterin - als notwendig. Es folgten weitere Eingaben sämtlicher am Verfahren Beteiligter (ausser dem Kind selbst).
D.d. Mit Urteil vom 5. Dezember 2019 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
E.
E.a. Hiergegen gelangt die Beschwerdeführerin mit Beschwerde in Zivilsachen vom 31. Januar 2020 an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Ihr sei die alleinige Sorge über die Tochter zu belassen und es sei keine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB zu errichten. Mit der Beschwerde reichte die Beschwerdeführerin ein Schreiben von C.A._ vom 23. Januar 2020 ein, in welchem diese sinngemäss schreibt, sie sei im Verfahren ignoriert worden und sie wolle kein gemeinsames Sorgerecht.
E.b. Das Verwaltungsgericht beantragt mit Eingabe vom 11. Februar 2020 die Abweisung der Beschwerde.
E.c. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Vernehmlassung auch die Abweisung der Beschwerde und er ersuchte darum, die KESB, die bisherige Kindesvertreterin und der Beistand des Kindes seien ebenfalls zur Stellungnahme einzuladen. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zur Kenntnis zugestellt.
E.d. Mit Schreiben vom 24. Februar 2020 wandte sich Rechtsanwältin Corinne Seeholzer direkt an das Bundesgericht, worauf ihr resp. C.A._ Frist gesetzt wurde zur Beantwortung der Beschwerde und der Vernehmlassung des Vaters.
E.e. Die Beschwerdeführerin replizierte mit Eingabe vom 5. März 2020.
E.f. Am 16. März 2020 äusserte sich der Beschwerdegegner ein weiteres Mal und unterbreitete dem Bundesgericht Noven.
E.g. Mit Eingabe vom 8. April 2020 teilte die Kindesvertreterin mit, aufgrund der allgemeinen Situation (Covid19) sei es nicht möglich, ungestört mit dem Kind Rücksprache zu nehmen. Dem Schreiben lässt sich kein formeller Antrag entnehmen. Die Kindesvertreterin verweist auf ihre vorinstanzlichen Ausführungen.
E.h. Die Beschwerdeführerin nahm mit Eingabe vom 16. April 2020 noch einmal Stellung. Diese Stellungnahme wurde dem Beschwerdegegner und dem Kind (an die Adresse von Rechtsanwältin Corinne Seeholzer) zur Kenntnis zugestellt.
E.i. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), der insbesondere die elterliche Sorge für ein Kind, eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache, regelt. Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis. Sie ist grundsätzlich zulässig. Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer vom angefochtenen Entscheid abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 141 III 426 E. 2.4 mit Hinweisen). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 143 V 208 E. 2 mit Hinweis); es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 143 V 19 E. 2.3 mit Hinweis). Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 mit Hinweis). Erfüllt eine Beschwerde diese Anforderungen nicht, ist darauf nicht einzutreten.
2.2. Sodann ist das Bundesgericht grundsätzlich an den festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Entsprechende Feststellungen können nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 140 III 115 E. 2; 137 III 226 E. 4.2; je mit Hinweisen). Es gilt insoweit ein strenges Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG), d.h. das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substantiierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinwei sen).
2.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen darf die Beschwerde führerin keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorbringen, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). Diese Voraussetzung ist von vornherein nicht erfüllt, soweit eine Tatsache sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema be zieht, jedoch erst nach dem Zeitpunkt eingetreten ist, in welchem sie im vorinstanzlichen Verfahren letztmals hätte berücksichtigt werden können. Solch "echte" Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig. Gleiches gilt auch für Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid erstellt wurden (BGE 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229; 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.).
Die vom Beschwerdegegner in der Eingabe vom 16. März 2020 und von der Beschwerdeführerin in der Eingabe vom 16. April 2020 eingebrachten Noven (vgl. Sachverhalt lit. E.f und lit. E.h) sind daher von vornherein unbeachtlich, soweit sie nach dem 5. Dezember 2019 datieren. Soweit es sich um unechte Noven (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364 f.; 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.) handelt, wird sodann nicht dargetan, inwiefern die Voraussetzung fürein nachträgliche s Vor bringen erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395), womit diese ebenfalls nicht zu berücksichtigen sind.
3.
3.1. Umstritten ist, ob die Vorinstanz auf eine Anhörung von C.A._ im Beschwerdeverfahren verzichten durfte.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt, das Anhörungsrecht der Tochter sei verletzt worden. Die Tochter selbst führt im Brief vom 23. Januar 2020 aus (sinngemäss zusammengefasst), sie sei überrascht und enttäuscht vom Gericht und von der Kinderanwältin. Sie sei im Verfahren übergangen und ihre Meinung ignoriert worden. Sie sei weder nach ihrer Lebenssituation noch nach ihrer Meinung gefragt worden. Das Urteil gehe von veralteten Tatsachen aus, die nichts mit ihrem Leben zu tun hätten. Seit September 2019 studiere sie in einem Internat in Deutschland. Sie werde wie eine Ware behandelt. Sie wolle nicht, dass ein Fremder (der Beschwerdegegner) über sie entscheide.
3.3. Das Kind ist von der Regelung des Sorgerechts direkt betroffen. Es ist im Streit der Eltern um die gemeinsame Sorge zwar nicht Partei. Es verfügt aber über eine besondere prozessuale Stellung, die es ihm erlaubt, sich in den Prozess einzubringen (vgl. Urteil 5A_721/2018 vom 6. Juni 2019 E. 2.4.1 zur Stellung des Kindes im Eheschutzverfahren; mit Hinweis auf Samuel Zogg, Das Kind im familienrechtlichen Zivilprozess, FamPra.ch 2017, S. 404 ff., insbes. S. 435 ff.). Entsprechend ist das Kind im Prozess anzuhören (Art. 314a Abs. 1 ZGB, Art. 298 ZPO) und sind ihm Entscheide zu eröffnen, wenn es das 14. Altersjahr vollendet hat (Art. 301 Bst. b ZPO).
3.3.1. Die Kindesanhörung wird für das Verfahren vor der Kindesschutzbehörde in Art. 314a ZGB und für Verfahren, in welchen die schweizerische Zivilprozessordnung anwendbar ist, in Art. 298 Abs. 1 ZPO geregelt. Art. 314a ZGB und Art. 298 Abs. 1 ZPO konkretisieren die Ansprüche aus Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 12 KRK (Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes, Kinderrechtskonvention; SR 0.107). Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum anderen der Sachverhaltsfeststellung. In seinem Leitentscheid ist das Bundesgericht davon ausgegangen, dass die Anhörung im Sinn einer Richtlinie ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich ist, wobei es nicht ausgeschlossen ist, je nach den konkreten Umständen auch ein etwas jüngeres Kind anzuhören, etwa wenn bei Geschwistern das jüngere Kind kurz vor dem genannten Schwellenalter steht (BGE 131 III 553 E. 1.2.3). Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinn eines Beweismittels zu verlangen (BGE 131 III 553 E. 1.1).
3.3.2. Unabhängig von der Anspruchsgrundlage des Anhörungsrechts kann eine mehrmalige Anhörung dort unterbleiben, wo sie einzig um der Anhörung willen stattfände, namentlich wenn sie für das Kind eine unnötige Belastung bedeuten würde, wie etwa bei akuten Loyalitätskonflikten, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären (BGE 133 III 553 E. 4; zuletzt Urteil 5A_951/2018 vom 6. Februar 2019 E. 2.1; ferner 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115). Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren (Urteil 5A_299/2011 vom 8. August 2011 E. 5.2, in: FamPra.ch 2011 S. 1026 [Kindesschutz, Besuchsrecht]), und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich Instanzenzug (vgl. Urteile 5A_160/2011 vom 29. März 2011 E. 5.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 740 [Besuchsrecht]; 5A_352/2009 vom 8. September 2009 E. 2.4 [Ehescheidung]). Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist (BGE 133 III 553 E. 4; Urteile 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115; 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.2.2, in: FamPra.ch.ch 2013 S. 1045; 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2012 S. 1171; alle mit weiteren Hinweisen). Schliesslich kann einer Kindesanhörung auch nicht unter Hinweis auf eine vorweggenommene (antizipierte) Beweiswürdigung aus dem Weg gegangen werden, es sei denn, die Beweiswürdigung beschlage Tatsachen, die objektiv untauglich bzw. irrelevant für den zu treffenden Entscheid sind (sog. unechte vorweggenommene Beweiswürdigung; Urteil 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 3.3 [zur Publikation vorgesehen]).
3.3.3. Dreht sich der elterliche Streit um die elterliche Sorge, geht die Rechtsprechung davon aus, dass ein zwölfjähriges Kind (d.h. ab dem 13. Altersjahr) im Regelfall mit Bezug auf diese Frage urteilsfähig ist (vgl. Urteil 5A_354/2015 vom 3. August 2015 E. 3.1; mit Hinweis auf Urteil 5C.293/2005 vom 6. April 2006 E. 4.2, in: FamPra.ch 2006 S. 760).
3.3.4. Das urteilsfähige Kind hat Anspruch darauf, dass es persönlich zu allen sein Leben betreffenden Aspekten des Streits angehört wird (vgl. Urteil 5A_354/2015 vom 3. August 2015 E. 3.2: Frage des Inhalts der Kindesanhörung).
3.4. Vorliegend wurde C.A._ im erstinstanzlichen Verfahren von der KESB für eine "Anhörung" vorgeladen. Die Vorinstanz begründet den Verzicht C.A._ anzuhören mit dieser Anhörung.
3.4.1. C.A._ wurde am 17. August 2005 geboren. Ihre Anhörung vor der KESB fand am 25. April 2018 statt. Sie stand mithin im 13. Altersjahr. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, dass sie zufolge ihrer Entwicklung o.ä. nicht urteilsfähig sein sollte, so dass von einem Regelfall (vorstehend E. 3.3.3) auszugehen ist. Damit hat sie als urteilsfähig zu gelten, und sie war namentlich zur Frage der elterlichen Sorge zu befragen.
3.4.2. Die Anhörung soll alters- und kindgerecht und im Rahmen eines natürlichen Gesprächs erfolgen (Christophe A. Herzig, Das Kind in den familienrechtlichen Verfahren, Diss. 2012, S. 158). Es soll ein Vertrauensverhältnis geschaffen werden, das ein offenes Gespräch zwischen anhörender Person und Kind erlaubt (Gisela Kilde, in: Paul Eitel/ Alexandra Zeiter (Hrsg.), Kaleidoskop des Familien- und Erbrechts/ Liber amicarum für Alexandra Rumo-Jungo, 2014, Anhörung des Kindes in familienrechtlichen Verfahren, S. 205 ff., insb. S. 215). In der Lehre wird auch das Stellen offener Fragen verlangt, damit das Kind grösstmöglichen Freiraum bei der Formulierung seiner Antworten hat (Christophe A. Herzig, a.a.O., S. 158).
3.4.3. Vorliegend zeigt das Protokoll der Anhörung vom 25. April 2018, dass C.A._ in keiner Weise nach ihrer Meinung zur Ausgestaltung der elterlichen Sorge gefragt wurde. Genau genommen wurde ihr überhaupt keine Frage gestellt, sondern sie wurde vor die Tatsache gestellt, dass die KESB die gemeinsame elterliche Sorge anordnen werde. Das den Fall führende Behördenmitglied wird im Protokoll wie folgt zitiert: "C.A._ die KESB wird die gemeinsame elterliche Sorge verfügen." Die Jugendliche hielt dem entgegen: "Dies obwohl sie den Vater seit vielen Jahren nicht mehr gesehen habe?" Darauf hin wurde nicht bei C.A._ nachgefragt, was sie davon halte oder z.B. was für sie dafür oder dagegen sprechen könnte oder welche Gefühle das in ihr auslöse. Das den Fall führende Behördenmitglied bekräftigte vielmehr, dass und weshalb die KESB die elterliche Sorge installieren werde. Schliesslich schob die Kindervertreterin nach, es spreche nichts gegen die Zuteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge.
Eine Anhörung von C.A._ im erforderlichen Sinne fand nicht statt. Sie hatte keinen Raum, ihren Gedanken und Gefühlen Ausdruck zu geben.
3.4.4. Die fehlende Anhörung zur Frage der elterlichen Sorge konnte dabei auch nicht durch die Wortäusserung der Kindesvertreterin ersetzt werden. Wird dem Kind - wie vorliegend - eine Vertretung bestellt, obliegt der Vertretung des Kindes, den Willen des Kindes gegenüber der Behörde zum Ausdruck zu bringen (vgl. Urteil 5A_400/2015 vom 25. Februar 2016 E. 2.3, nicht publ. in BGE 142 III 197). Indessen ist die stellvertretende Willensäusserung nur zulässig, wenn das Kind nicht in der Lage ist, sich eine eigene Meinung zu bilden (Urteil 5A_744/2013 vom 31. Januar 2014 E. 3.3: "si l'audition directe de l'enfant n'est pas indiquée au vu de sa capacité à se former sa propre opinion"; in: FamPra.ch 2014 438). Die Anhörung der Vertretensperson ersetzt die Anhörung des Kindes nicht (Schweighauser, a.a.O., N. 17 zu Art. 298 ZPO).
3.4.5. Das Gericht, das entscheidet, ohne das urteilsfähige Kind zu allen sein Leben betreffenden Aspekten des Streits angehört zu haben, stellt den Sachverhalt willkürlich fest (vgl. Urteil 5A_354/2015 vom 3. August 2015 E. 3.2.2; in: FamPra.ch 2015 S.1004).
Mangels rechtsgenüglicher Anhörung des Kindes hat die KESB mithin vorliegend den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Dasselbe gilt für das Verwaltungsgericht, das die Anhörung trotz eines entsprechenden Antrags der Mutter (vgl. hierzu E. 4 S. 26 des angefochtenen Entscheids) nicht nachgeholt hat. Die Vorinstanz hat zudem auch dem geschilderten persönlichkeitsrechtlichen Aspekt der Kindesanhörung (vorstehend E. 3.3.1) nicht die nötige Beachtung geschenkt und damit Bundesrecht verletzt.
3.5. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer Anhörung von C.A._ und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, über die weiteren Anträge und Rügen der Beschwerdeführerin zu befinden. Der Beschwerdegegner hat für die Gerichtskosten einschliesslich der Kosten für das Verfahren betreffend aufschiebender Wirkung aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zudem muss er die Beschwerdeführerin entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Kindesvertreterin ist keine Entschädigung geschuldet; deren Vernehmlassung im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren beschränkt sich im Wesentlichen auf einen zum vornherein unbeachtlichen Verweis auf ihre Ausführungen vor der Vorinstanz.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, vom 5. Dezember 2019 wird aufgehoben und die Sache wird zur Durchführung einer Anhörung von C.A._ und zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, C.A._, Rechtsanwältin Corinne Seeholzer, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann