Sachverhalt:
A.
Der Einwohnerrat der Stadt Aarau beschloss am 25. August 2014 ein Reglement über das Taxiwesen (Taxireglement, TR; SRS 9.6-1). Das Taxireglement ordnet das Halten und Führen von Taxis auf dem Gebiet der Stadt Aarau (§ 1 Abs. 1 TR) und unterstellt Taxibetriebe einer Bewilligung des Stadtrats (§ 3 Abs. 1 TR). Gemäss § 4 TR wird zwischen zwei Arten von Betriebsbewilligungen unterschieden. Die Betriebsbewilligung A berechtigt zum Anbieten von Taxifahrten ab einem öffentlichen, von der Stadt Aarau zugeteilten Standplatz (§ 4 Abs. 1 lit. a i.V.m. § 8 Abs. 1 TR). Die Maximalzahl der möglichen Betriebsbewilligungen A legt der Stadtrat von Aarau nach der Anzahl der zur Verfügung stehenden öffentlichen Taxistandplätze und den Bedürfnissen des Publikums fest (§ 10 Abs. 1 TR). Er vergibt sie nach öffentlicher Ausschreibung auf eine Dauer von höchstens vier Jahren (§ 9 Abs. 1 TR). Die Betriebsbewilligung B berechtigt demgegenüber zum Anbieten von Taxifahrten ab privaten Standplätzen in Aarau (§ 4 Abs. 1 lit. b i.V.m. § 13 TR). Für Betriebsbewilligungen B sieht das Taxireglement keine zahlenmässigen Beschränkungen vor.
B.
Mit Beschluss vom 20. April 2015 legte der Stadtrat von Aarau die maximale Anzahl von Betriebsbewilligungen A am Bahnhof SBB auf 13 fest. Die Ausschreibung der Betriebsbewilligungen für die Periode von 2016 bis 2019 erfolgte im Amtsblatt vom 24. April 2015. Das Gesuch von A._ um Erteilung einer Betriebsbewilligung A lehnte der Stadtrat mit Beschluss vom 7. September 2015 ab. Massgebend für diese Beurteilung waren zwei Einträge von A._ im automatisierten Administrativmassnahmen-Register (ADMAS-Register) aus den Jahren 2005 und 2008, die einen Entzug des Führerausweises zum Gegenstand hatten.
A._ reichte gegen den Beschluss des Stadtrats beim Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau (DVI) eine Beschwerde ein. Das DVI wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 4. Oktober 2016 ab.
Gegen den Entscheid des DVI beschwerte sich A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, das seine Beschwerde mit Urteil vom 14. Juni 2017 abwies, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde vom 25. August 2017 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt festzustellen, "dass die Vorinstanz zu Unrecht das Fehlen der Bewilligungsvoraussetzungen für eine Taxibewilligung A beim Beschwerdeführer angenommen hat" (Rechtsbegehren Ziff. 1). Weiter verlangt er die Sache "aufgrund der Feststellung gemäss Ziff. 1 vorstehend der Vorinstanz, bzw. an den Stadtrat Aarau zurückzuweisen, mit dem Auftrag eine rechtmässige, neue Vergabe der Taxistandplätze vorzunehmen" (Rechtsbegehren Ziff. 2).
Der Stadtrat von Aarau beantragt die Abweisung der Beschwerde soweit darauf einzutreten ist. Das DVI und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. A._ hat von der Gelegenheit zur (freiwilligen) Stellungnahme zur Vernehmlassung keinen Gebrauch gemacht.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (Art. 95 BGG; BGE 141 II 113 E. 1 S. 116).
1.1. Die Beschwerde betrifft den verfahrensabschliessenden, kantonal letztinstanzlichen Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der ordentlichen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 BGG greift nicht. Namentlich liegt kein Entscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen vor (Art. 83 lit f BGG). Das gilt auch dann, wenn die Erteilung von Betriebsbewilligungen A im Sinne von § 4 Abs. 1 lit. a TR bundesrechtlich nicht als Bewilligung zum gesteigerten Gemeingebrauch, sondern als Vergabe einer Konzession gemäss Art. 2 Abs. 7 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02) zu qualifizieren wäre (vgl. BGE 143 II 598 E. 4.2 S. 607 ff.; 143 II 120 E. 2.2 S. 122 f.).
1.2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Während der Beschwerdeführer die Voraussetzungen nach Art. 89 Abs. 1 lit. a und lit. b BGG ohne Weiteres erfüllt, bedarf das schutzwürdige Interesse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG mit Blick auf seine Anträge im bundesgerichtlichen Verfahren der näheren Betrachtung.
1.2.1. Mit Ziff. 1 seiner Rechtsbegehren stellt der Beschwerdeführer einen Feststellungsantrag. Im Verhältnis zu Leistungs- oder Gestaltungsbegehren kommt Feststellungsbegehren subsidiärer Charakter zu. Sie sind nur zulässig, wenn ein gleichwertiger rechtsgestaltender Entscheid ausgeschlossen ist und setzen ein schutzwürdiges rechtliches oder tatsächliches Interesse an der beantragen Feststellung voraus, das aktuell und praktisch ist (vgl. BGE 137 II 199 E. 6.5 S. 218 f.; Urteile 1C_273/2012 vom 7. November 2012 E. 2.2.2 [nicht publ. in: BGE 139 I 2]; 2C_517/2009 vom 12. November 2010 E. 1.3 [nicht publ. in: BGE 137 II 136]). Ein solches Feststellungsinteresse ist in Bezug auf Ziff. 1 der Rechtsbegehren weder ersichtlich noch dargetan, sodass darauf nicht einzutreten ist.
1.2.2. Mit Ziff. 2 seiner Rechtsbegehren verlangt der Beschwerdeführer sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz bzw. an die Stadt Aarau. Da der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich reformatorischer Charakter zukommt, darf sich die beschwerdeführende Partei nicht ohne Weiteres darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen; sie muss vielmehr einen Antrag in der Sache stellen. Ein Antrag auf Rückweisung ist hingegen zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht in der Lage wäre, reformatorisch zu entscheiden (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489; Urteil 2C_853 / 2C_934/2014 vom 29. September 2015 E. 1.3 [nicht publ. in: BGE 142 II 80]). Letzteres ist hier der Fall: Der Stadtrat von Aarau ist zur Auffassung gelangt, dass der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für eine Betriebsbewilligung A nicht erfüllt. Sollte sich dies im vorliegenden Verfahren als unzutreffend erweisen, hat nicht das Bundesgericht anstelle des Stadtrats erstmals die Auswahl vorzunehmen, wem aus dem um den Beschwerdeführer erweiterten Kreis geeigneter Bewerber die zahlenmässig beschränkten Betriebsbewilligungen A zu erteilen sind (vgl. auch angefochtenes Urteil, E. 2.2). Bei dieser prozessualen Ausgangslage ist der Rückweisungsantrag zulässig. Mit ihm wahrt der Beschwerdeführer zudem seine Chancen auf die Zuteilung einer Betriebsbewilligung A, sodass ein schutzwürdiges Interesse (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG) an der Beurteilung der Beschwerde besteht.
1.3. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 41 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 100 Abs. 1 i.V.m Art. 44 Abs. 1, Art. 45 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) eingereichte Beschwerde ist unter dem Vorbehalt des soeben Dargelegten einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a, lit. b und lit. c BGG). Die Anwendung des übrigen kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht mit Ausnahme der hier nicht einschlägigen Fälle von Art. 95 lit. d und lit. e BGG nicht als solche, sondern nur auf ihre Vereinbarkeit mit übergeordnetem Recht hin (vgl. BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372 mit Hinweisen).
2.2. Im bundesgerichtlichen Verfahren gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch behandelt das Bundesgericht im Rahmen der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht offensichtlich sind (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 2C_582/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1 [nicht publ. in: BGE 143 II 425]). Nicht von Amtes wegen, sondern nur auf präzise vorgebrachte und begründete Rügen hin prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht (qualifizierte Rügepflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_582/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1 [nicht publ. in: BGE 143 II 425]).
2.3. Für das Urteil des Bundesgerichts massgebend ist der Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Von Amtes wegen oder auf ausreichend begründete Rüge hin (vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; Urteil 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.2 [nicht publ. in: BGE 143 II 87]) korrigiert das Bundesgericht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Die Behebung des Mangels erfolgt, sofern er für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.4 S. 313 f.; Urteil 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.2 [nicht publ. in: BGE 143 II 87]).
3.
Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Bestimmungen der Verordnung vom 18. Oktober 2000 über das automatisierte Administrativmassnahmen-Register (ADMAS-Register-Verordnung; SR 741.55) geltend. Er führt sinngemäss aus, es widerspreche dem Zweck der erwähnten Verordnung, wenn der Stadtrat auf die im ADMAS-Register vorhandenen Einträge abstelle, um den guten Leumund der Bewerber für eine Betriebsbewilligung im Sinne von § 5 Abs. 1 lit. b TR zu prüfen. Weiter rügt er einen Verstoss gegen § 8 des Gesetzes des Kantons Aargau vom 24. Oktober 2006 über die Information der Öffentlichkeit, den Datenschutz und das Archivwesen (IDAG, SAR 150.700).
3.1. Das ADMAS-Register dient nach Art. 104b Abs. 2 SVG der Erteilung von Lernfahr-, Führer- und Fahrlehrerausweisen, der Durchführung von Administrativ- und Strafverfahren gegen Fahrzeugführer sowie der Erstellung der Statistik der Administrativmassnahmen. Die ADMAS-Register-Verordnung bestimmt näher Gegenstand und Zweck sowie die zur Datenbearbeitung und -abfrage berechtigten Behörden (vgl. Art. 1, Art. 2 sowie Art. 4 und Art. 5 ADMAS-Register-Verordnung). Gestützt auf Art. 104b Abs. 3 SVG nennt Art. 7 der ADMAS-Register-Verordnung die im Register einzutragenden Massnahmen. Dazu zählen namentlich die Verweigerung und der Entzug von Führerausweisen, Fahrverbote, Verwarnungen, die Anordnung einer medizinischen oder verkehrspsychologischen Untersuchung, aber auch die Aufhebung oder Änderung solcher Massnahmen (vgl. Art. 7 ADMAS-Register-Verordnung). Verweigerungen, Entzüge und Aberkennungen von Führerausweisen sowie Fahrverbote werden zehn Jahre nach ihrem Ablauf oder ihrer Aufhebung aus dem ADMAS-Register entfernt, andere Massnahmen fünf Jahre nach Eintreten der Rechtskraft (Art. 104b Abs. 6 lit. b SVG i.V.m. Art. 10 Abs. 1 ADMAS-Register-Verordnung). Die Entfernung von registrierten Massnahmen wird gehemmt, wenn eine neue Massnahme eingetragen wird; in diesem Fall werden alle Massnahmen erst nach Ablauf aller Verweilfristen entfernt (Art. 10 Abs. 3 ADMAS-Register-Verordnung). Das Auskunfts- und Berichtigungsrecht betroffener Personen regeln die Art. 13 ff. der ADMAS-Register-Verordnung. Namentlich hat gestützt auf Art. 13 Abs. 1 ADMAS-Register-Verordnung jede Person das Recht, bei der Entzugsbehörde ihres Wohnorts über ihre eigenen Daten Auskunft zu verlangen.
3.2. Die Erteilung einer Bewilligung für den Taxibetrieb in der Stadt Aarau setzt nach dem Taxireglement unter anderem voraus, dass der Bewerber handlungsfähig ist und über einen guten Leumund verfügt (§ 5 Abs. 1 lit. b TR). Verlangt wird zudem die persönliche und betriebliche Eignung zur Gewährleistung eines einwandfreien Taxibetriebs (§ 5 Abs. 1 lit. c TR). Dem Gesuch um Betriebsbewilligung hat der Bewerber insbesondere einen aktuellen Auszug aus dem ADMAS-Register beizulegen (§ 5 Abs. 2 lit. d TR). Diese Regelung verstösst entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht gegen die Bestimmungen der ADMAS-Register-Verordnung. Der Kreis der zur Datenbearbeitung nach Art. 4 und Art. 5 ADMAS-Register-Verordnung berechtigten Behörden wird mit § 5 Abs. 2 lit. d TR nicht bundesrechtswidrig erweitert. Die Stadt Aarau greift nicht direkt auf das ADMAS-Register zu, sondern verlangt den entsprechenden Registerauszug im Hinblick auf die Prüfung der Bewilligungsvoraussetzungen vom Gesuchsteller selbst. Eine derartige Beschaffung von personenbezogenen Daten, die gestützt auf das Einsichtsrecht der betroffenen Person den Bearbeitungsrahmen des ADMAS-Registers bereits zuvor verlassen haben, schliesst die ADMAS-Register-Verordnung nicht aus.
3.3. Hinzu kommt, dass die Verpflichtung zur Einreichung eines entsprechenden Registerauszugs mit § 5 Abs. 2 lit. d TR auf einer ausdrücklichen Rechtsgrundlage beruht und für den Gesuchsteller ohne Weiteres ersichtlich ist, dass die entsprechenden Informationen zur Prüfung der Bewilligungsvoraussetzungen nach § 5 Abs. 1 TR verwendet werden. Weiter kann nicht ernsthaft behauptet werden, die Beschaffung von Daten über verhängte strassenverkehrsrechtliche Administrativmassnahmen verfolge im Hinblick auf die Erteilung einer Taxibetriebsbewilligung keinen vernünftigen Zweck oder stehe in keinem angemessenen Verhältnis zum legitimen Ziel, den guten Leumund sowie die persönliche und betriebliche Eignung zur Gewährleistung eines einwandfreien Taxidienstes abzuklären (vgl. dazu auch E. 4 hiernach). Der Umstand allein, dass die Einreichung des Registerauszugs mit Nachteilen für die betroffene Person verbunden sein kann macht dessen Einforderung jedenfalls noch nicht unzulässig (vgl. BGE 138 I 331 E. 7.4.1 S. 343 f.; Urteil 2C_171/2016 vom 25. August 2016 E. 4). Damit ist eine Verletzung von § 8 IDAG, der die Grundsätze der Datenbearbeitung für öffentliche Organe des Kantons Aargau regelt und dessen Anwendung das Bundesgericht mangels anderer erhobener Rügen nur unter dem Blickwinkel des Willkürverbots im Sinne von Art. 9 BV prüft (vgl. E. 2.1 hiervor), nicht dargetan.
4.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit gemäss Art. 27 BV. Er macht geltend, es sei unverhältnismässig, ihm gestützt auf die beiden Einträge im ADMAS-Register den Zugang zu einer Betriebsbewilligung A zu verwehren.
4.1. Nach Art. 27 Abs. 1 BV ist die Wirtschaftsfreiheit gewährleistet. Sie umfasst insbesondere die freie Wahl des Berufes sowie den freien Zugang zu einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit und deren freie Ausübung (Art. 27 Abs. 2 BV). Selbständigen Taxiunternehmern erkennt das Bundesgericht das Recht zu, sich auch dann auf die Wirtschaftsfreiheit zu berufen, wenn mit der Ausübung ihres Berufs ein gesteigerter Gemeingebrauch des öffentlichen Bodens verbunden ist (vgl. BGE 143 II 598 E. 5 S. 612 ff.; Urteile 2C_829/2015 vom 15. Januar 2016 E. 4.3; 2C_564/2009 vom 26. Februar 2010 E. 6.1 mit Hinweisen). Weitergehend als das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot im Sinne von Art. 8 Abs. 1 BV garantiert die Wirtschaftsfreiheit nach Art. 27 BV sodann einen Anspruch auf Gleichbehandlung direkter Konkurrenten (vgl. BGE 143 II 598 E. 5.1 S. 612 f.; 125 II 129 E. 10b S. 149). Dieser verlangt nicht nach einer absoluten Gleichbehandlung aller Marktteilnehmer. Unterscheidungen sind indes nur zulässig, sofern sie auf objektiven Kriterien beruhen und wettbewerbsneutral ausgestaltet sind, das heisst nicht zum Zweck haben, einzelne Konkurrenten oder Konkurrentengruppen gegenüber anderen zu bevorzugen oder zu benachteiligen (vgl. BGE 143 II 598 E. 5.1 S. 612; 136 I 1 E. 5.5.2 S. 16; 125 I 431 E. 4b/aa S. 435 f.).
Einschränkungen der Wirtschaftsfreiheit sind unter den in Art. 36 BV genannten Voraussetzungen zulässig. Sie bedürfen einer gesetzlichen Grundlage, wobei schwerwiegende Einschränkungen im Gesetz selbst vorgesehen sein müssen (Abs. 1). Eingriffe in Grundrechte müssen weiter durch ein öffentliches Interesse oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt sein (Abs. 2) und dem Gebot der Verhältnismässigkeit entsprechen (Abs. 3). Zudem dürfen sie den Kern der Grundrechte nicht antasten (Abs. 4). Der Beschwerdeführer macht jedenfalls nicht rechtsgenüglich geltend, dass die Voraussetzungen von Art. 36 Abs. 1 und Abs. 2 BV nicht erfüllt seien oder dass die Nichtzulassung zum Verfahren auf Erteilung einer Betriebsbewilligung A in den Kerngehalt der Wirtschaftsfreiheit eingreife (Art. 36 Abs. 4 BV; vgl. E. 2.1 hiervor). Er rügt aber einen Verstoss gegen das Gebot der Verhältnismässigkeit im Sinne von Art. 36 Abs. 3 BV. Dieses verlangt, dass Eingriffe in den grundrechtlich geschützten Bereich zur Erreichung des angestrebten Zwecks geeignet, erforderlich und zumutbar sind (vgl. BGE 142 I 49 E. 9.1 S. 69 mit Hinweisen).
4.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers stellt seine Nichtzulassung zum Verfahren auf Erteilung einer Betriebsbewilligung A eine geeignete Massnahme dar, um den im öffentlichen Interesse liegenden Zweck des Taxireglements der Stadt Aarau zu erreichen.
4.2.1. Aus dem Taxireglement und der Vernehmlassung des Stadtrats im bundesgerichtlichen Verfahren ergibt sich, dass der kommunale Gesetzgeber grossen Wert darauf legt, dass die auf öffentlichen Taxistandplätzen angebotenen Dienstleistungen hohen Qualitätsanforderungen genügen und den qualifiziertesten Bewerbern vorbehalten bleiben sollen. Aus bundesrechtlicher Sicht ist dagegen nichts einzuwenden, da die auf öffentlichem Grund stationierten Taxifahrzeuge und ihre Betreiber einen wichtigen Beitrag zur Verkehrsinfrastruktur eines Gemeinwesens leisten und als Ergänzung zu den vorhandenen Bahn- und Busverbindungen in ihrer Funktion den öffentlichen Verkehrsmitteln nahe kommen. Im vorliegenden Fall gilt dies umso mehr, als es um die Zuteilung von öffentlichen Standplätzen beim wichtigen Verkehrsknotenpunkt des SBB-Bahnhofs geht. Wer ein Taxi beansprucht, das auf einem solchen offiziellen Standplatz wartet, geht davon aus, dass er eine Dienstleistung beansprucht, die behördlich kontrollierten Anforderungen entspricht und in die er ein gewisses Vertrauen setzen darf (vgl. Urteil 2C_564/2009 vom 26. Februar 2010 E. 8.1).
4.2.2. Die Erteilung einer Betriebsbewilligung A setzt nach § 5 Abs. 1 lit. b TR einen guten Leumund voraus. Unter Vorbehalt besonderer Härtefälle im Sinne von § 3 Abs. 2 TR erlischt die Bewilligung, wenn diese Voraussetzung nicht mehr erfüllt ist (§ 6 Abs. 1 TR). Nach der Praxis des Stadtrats fehlt es an der Voraussetzung eines guten Leumunds im Sinne von § 5 Abs. 1 lit. b TR für eine Betriebsbewilligung A, wenn eine Person mit einer schwerer wiegenden Massnahme als einer Verwarnung im ADMAS-Register eingetragen ist. Eintragungen im ADMAS-Register geben Auskunft über den automobilistischen Leumund der betroffenen Person (vgl. E. 3.1 hiervor). Sie lassen eine zuverlässige Einschätzung über den Grad regelkonformen Verhaltens einer Person im Strassenverkehr zu. Die konsequente Einhaltung strassenverkehrsrechtlicher Vorschriften stellt ihrerseits ein zentrales Element der vom kommunalen Gesetzgeber angestrebten hohen Qualität von Taxidienstleistern mit einer Betriebsbewilligung A dar. Das Abstellen auf Einträge im ADMAS-Register ist folglich ein geeignetes Mittel um sicherzustellen, dass die Betriebsbewilligungen A nur an Personen erteilt werden, die jederzeit Gewähr für eine einwandfreie Erbringung von qualitativ hochstehenden Taxidienstleistungen ab öffentlichen Standplätzen der Stadt Aarau bieten.
4.2.3. Dass der Beschwerdeführer in seiner Funktion als Betriebsinhaber über einen guten Leumund im Sinne von § 5 Abs. 1 lit. b TR verfügen muss (vgl. § 2 Abs. 1, § 3 Abs. 1 und § 5 Abs. 3 TR), ändert daran nichts. Zum einen behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass er als Betriebsinhaber nicht zugleich auch als Fahrer von der Betriebsbewilligung A Gebrauch machen würde. Die Eignung der Massnahme würde aber selbst dann nicht entfallen, wenn der Beschwerdeführer die Bewilligung als Betriebs- und Bewilligungsinhaber durch andere Personen für sich ausüben liesse. Als Betriebsinhaber muss er Gewähr dafür bieten, dass seine Mitarbeitenden die Taxidienstleistungen gleichermassen in hoher und strassenverkehrsrechtlich einwandfreier Qualität erbringen. Dieses Ziel lässt sich mit dem Erfordernis, dass der Betriebsinhaber selber über einen guten Leumund im Sinne von § 5 Abs. 1 lit. b TR verfügen muss, erreichen. Die im Taxireglement ausdrücklich vorgesehene Voraussetzung des guten Leumunds von Betriebsinhabern erweist sich als geeignet im Sinne von Art. 36 Abs. 3 BV.
4.3. Der Beschwerdeführer bestreitet sodann die Erforderlichkeit und Zumutbarkeit der Massnahme. Er macht unter diesem Titel geltend, dass bereits das Strassenverkehrsamt seine Eignung zum Transport von Personen prüfe und mit der Erteilung der Fahrerlaubnis bestätige. Weiter würden die Einträge im ADMAS-Register auf weit zurückliegenden Verfehlungen beruhen. Das öffentliche Interesse, ihm die Zuteilung eines offiziellen Taxistandplatzes zu verweigern, sei derart gering, dass es sein hohes privates Interesse am wirtschaftlichen Fortkommen nicht zu überwiegen vermöge.
4.3.1. Unter dem Gesichtspunkt der Erforderlichkeit ist die Stadt Aarau, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers, nicht darauf beschränkt, allein seine strassenverkehrsrechtliche Zulassung zum berufsmässigen Personentransport zu prüfen. Setzt sie sich zum Ziel, eine hohe Qualität von Dienstleistungen ab öffentlichen Taxistandplätzen zu gewährleisten, bleibt es ihr zu diesem Zweck unbenommen, weitere Anforderungen zu stellen. Der Beizug von Einträgen im ADMAS-Register erweist sich in diesem Zusammenhang als zulässiges Mittel, auch wenn die den Einträgen zugrunde liegenden Vorfälle bereits einige Jahre zurückliegen. Dabei erscheint massgeblich, dass der Beschwerdeführer mit zwei Führerausweisentzügen sanktioniert werden musste, die aus strassenverkehrsrechtlicher Perspektive nicht als geringfügige Administrativsanktionen bezeichnet werden können. In zeitlicher Hinsicht stellt die Stadt Aarau zudem auf Einträge ab, die im ADMAS-Register weiterhin eingetragen sind. Sie macht sich damit den Rahmen zu eigen, der für die zeitliche Relevanz strassenverkehrsrechtlicher Massnahmen auf Bundesebene definiert wurde (vgl. Art. 10 ADMAS-Register-Verordnung; E. 3.1 hiervor), was unter dem Aspekt der Erforderlichkeit nicht zu beanstanden ist.
4.3.2. Dem Beschwerdeführer wird die Ausübung des Taxigewerbes in der Stadt Aarau mit dem angefochtenen Entscheid keineswegs komplett verweigert. Nach den Ausführungen der Stadt Aarau im bundesgerichtlichen Verfahren stehen Verzeichnungen im ADMAS-Register der Erteilung einer Betriebsbewilligung B nicht von vornherein entgegen. Damit wirkt sich der Ausschluss von öffentlichen Standplätzen für den Beschwerdeführer zwar als Nachteil aus. Dieser steht aber in keinem Missverhältnis zwischen den sich widerstreitenden öffentlichen und privaten Interessen. Die Nichtzulassung zum Verfahren auf Zuteilung eines öffentlichen Standplatzes erweist sich vor diesem Hintergrund als zumutbar.
4.4. Der Beschwerdeführer rügt darüber hinaus eine Verletzung seines Anspruchs auf Gleichbehandlung der Gewerbegenossen. Auch darin kann ihm nicht gefolgt werden. Es mag zutreffen, dass strafrechtliche Verurteilungen teilweise weniger lange im Strafregisterauszug ersichtlich sind als Einträge über strassenverkehrsrechtliche Massnahmen im ADMAS-Register. Eine unzulässige Benachteiligung bestimmter Gruppen von Konkurrenten ergibt sich aber nicht bereits daraus, dass die Stadt Aarau zur Beurteilung des guten Leumunds im Sinne von § 5 Abs. 1 lit. b TR auf beide Register abstellt. Indem sie strassenverkehrsrechtliche Administrativmassnahmen berücksichtigt, die unter Umständen länger zurückliegen als nicht mehr im Auszug erscheinende strafrechtliche Verurteilungen, nimmt sie im Hinblick auf die Erbringung von Taxidienstleistungen ab öffentlichem Grund eine objektive Gewichtung von Zulassungskriterien vor, die keine unstatthafte Ungleichbehandlung der Gewerbegenossen nach sich zieht.
4.5. Die weiteren Rügen des Beschwerdeführers, wonach das Vorgehen der Stadt Aarau den Grundsatz von Treu und Glauben und das Willkürverbot im Sinne von Art. 9 BV verletzt, sind ebenfalls unbegründet. Mit seinen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche Dispositionen er im Vertrauen auf konkrete Zusicherungen der Stadt Aarau getroffen haben will, die er ohne Nachteil nicht wieder rückgängig machen könnte (vgl. BGE 137 II 182 E. 3.6.2 S. 193). Alsdann vermag der Beschwerdeführer keine im Ergebnis offensichtlich unhaltbare und damit willkürliche Rechtsanwendung darzutun (vgl. BGE 142 II 369 E. 4.3 S. 380), soweit er Spekulationen darüber anstellt, ob andere Bewerber zum Verfahren auf Zuteilung einer Betriebsbewilligung A zugelassen wurden, die wegen eines Vergehens strafrechtlich verurteilt wurden, nachdem ihm gegenüber strassenverkehrsrechtliche Administrativmassnahmen verhängt wurden (vgl. auch E. 4.4 hiervor).
5.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in allen Teilen unbegründet und abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann