Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 17. September 1978) ist algerischer Staatsangehöriger. Er reiste am 26. Juni 2003 in die Schweiz ein. Nach Abweisung seines Asylgesuchs am 2. Dezember 2003 und der Wegweisung aus der Schweiz hielt er sich illegal im Land auf. Am 16. Dezember 2009 heiratete er die schweizerische Staatsangehörige B._. Gestützt auf diese Ehe erhielt A._ eine Aufenthaltsbewilligung. Am 21. Mai 2011 und 19. Dezember 2012 kamen die gemeinsamen Kinder C._ und D._ zur Welt. Im Jahr 2013 wurde die Ehe gerichtlich getrennt und am 12. September 2016 geschieden. Als nachehelicher Härtefall wurde die Aufenthaltsbewilligung von A._ ab September 2013 mit Zustimmung des Staatssekretariats für Migration (SEM; damals Bundesamt für Migration) mehrmals verlängert, zuletzt bis am 22. Januar 2016.
A._ trat seit seiner Einreise im Jahr 2003 mehrmals strafrechtlich in Erscheinung. In der Zeit von 2005 bis 2017 wurde er insgesamt 14 Mal verurteilt. Die Schuldsprüche betreffen Delikte gegen das Vermögen, die Ausländer- und Betäubungsmittelgesetzgebung sowie die körperliche Integrität. Neben Geld- wurden regelmässig auch Freiheitsstrafen verhängt. Namentlich verurteilte ihn das Regionalgericht Bern-Mittelland am 20. Oktober 2015 wegen versuchter schwerer Körperverletzung und eines Betäubungsmitteldelikts unter anderem zu einer teilbedingten Freiheitsstrafe von 28 Monaten. In der Vergangenheit musste A._ (mit seiner Familie) mehrfach vom Sozialdienst unterstützt werden. Von Anfang Dezember 2011 bis Ende Dezember 2016 bezog er insgesamt Fr. 101'494.75 an Sozialhilfe; seit April 2017 ist er nicht mehr auf Unterstützung angewiesen.
1.2. Die Einwohnergemeinde Bern verfügte am 13. Juni 2017 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Dagegen erhob A._ erfolglos Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (POM; Entscheid vom 21. September 2017). Eine Beschwerde gegen den Entscheid der POM wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 1. Mai 2018 ab, wobei es die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit verweigerte.
1.3. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhebt A._ mit Eingabe vom 6. Juni 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege unter Bestellung von Rechtsanwalt Dominic Nellen als amtlicher Rechtsbeistand.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Mit Präsidialverfügung vom 8. Juni 2018 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.
2.
2.1. Die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig, soweit sie sich gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung richtet, da der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise einen Anspruch auf erneute Erteilung der Bewilligung geltend macht und in schutzwürdigen Interessen betroffen zur Beschwerde berechtigt ist (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG; BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332; 136 II 497 E. 3.3 S. 500 f.). Gegen die Wegweisung, die ebenfalls Gegenstand des angefochtenen Urteils bildet, steht dem Beschwerdeführer hingegen nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Unter Beachtung der qualifizierten Begründungspflicht im Sinne von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG erhebt er allerdings keine verfassungsbezogenen Rügen, die nicht bereits im Rahmen der ordentlichen Beschwerde zu behandeln wären (vgl. BGE 137 II 305 E. 1.1 S. 307; Urteil 2C_200/2017 vom 14. Juli 2017 E. 1.2.2). Unter diesem Vorbehalt ist auf das Rechtsmittel einzutreten. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, erweist sich die Beschwerde indes als offensichtlich unbegründet (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG), sodass sie im vereinfachten Verfahren unter Verweisung auf den angefochtenen Entscheid zu behandeln ist.
2.2. Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG. Soweit seine diesbezüglichen Ausführungen den qualifizierten Begründungsanforderungen für Sachverhaltsrügen überhaupt genügen (vgl. BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.) oder sie nicht ohnehin Rechtsfragen betreffen (vgl. dazu unten E. 2.3), erweisen sie sich nicht als stichhaltig. So legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar, inwiefern sich das Verwaltungsgericht bei seiner Prognose über das künftige Wohlverhalten des Beschwerdeführers auf falsche Tatsachen gestützt haben soll. Keine Abweichungen von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen drängen sich auch mit Blick auf seinen Integrationsgrad auf; die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers decken sich in den entscheiderheblichen Elementen mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts. In Bezug auf die Unterhaltszahlungen an die Kinder bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass er den vollen Betrag gemäss der gerichtlich genehmigten Vereinbarung über die Scheidungsfolgen nur unregelmässig bezahlt. Darüber hinausgehende Naturalleistungen, die bei der Beurteilung der wirtschaftlichen Verbundenheit ebenfalls von Bedeutung sein können (vgl. Urteile 2C_821/2016 vom 2. Februar 2018 E. 5.2.2 [zur Publikation vorgesehen]; 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 4.6.1), weist der Beschwerdeführer nicht hinreichend nach. Mit Blick auf seine Beziehungen zum Heimatland stellt der Beschwerdeführer die Feststellungen des Verwaltungsgerichts sodann nicht in Abrede. Ob diese vom Verwaltungsgericht in zulässiger Weise einer angeblich "negativen Wertung" unterzogen wurden, stellt keine Sachverhalts-, sondern eine Rechtsfrage dar. Damit erweisen sich sämtliche Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers als unbegründet.
2.3. Die anwendbaren Bestimmungen und die dazu ergangene Rechtsprechung im Hinblick auf die Aufenthaltsbeendigung eines Elternteils, dessen Kinder in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen und deren faktische Obhut zum überwiegenden Teil beim in der Schweiz verbleibenden Elternteil liegt, hat das Verwaltungsgericht zutreffend dargelegt. Auf die entsprechenden Ausführungen kann an dieser Stelle verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG; vgl. angefochtenes Urteil, E. 2-5). Was der Beschwerdeführer gegen die Erwägungen des Verwaltungsgerichts vorbringt, vermag nicht zu überzeugen.
2.3.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Art. 50 Abs. 1 lit. a und lit. b sowie Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20) geltend. Aufgrund der Verurteilung des Beschwerdeführers vom 20. Oktober 2015 zu einer teilbedingten Freiheitsstrafe von 28 Monaten steht allerdings fest, dass er einen Grund im Sinne von Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG für das Erlöschen der Ansprüche auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 50 Abs. 1 AuG gesetzt hat (vgl. BGE 139 I 31 E. 2.1 S. 32; Urteil 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.1; je mit Hinweisen). Insoweit geht die Rüge einer Verletzung der genannten Bestimmungen offensichtlich fehl. Ob die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung gerechtfertigt ist, entscheidet sich aufgrund einer Verhältnismässigkeitsprüfung. Dies ergibt sich aus Art. 5 Abs. 2 BV sowie Art. 96 AuG und zudem aus Art. 36 Abs. 3 BV sowie Art. 8 Ziff. 2 EMRK, soweit sich der Beschwerdeführer auf das Recht auf Familienleben (Art. 13 Abs. 1 BV; Art. 8 Ziff. 1 EMRK) und Bestimmungen des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) beruft (vgl. BGE 143 I 21 E. 5.5.2 S. 30).
2.3.2. In diesem Rahmen durfte das Verwaltungsgericht davon ausgehen, dass weiterhin das nicht unerhebliche Risiko einer erneuten Straffälligkeit besteht. Seine wirtschaftlichen Verhältnisse, auf die der Beschwerdeführer die begangenen Vermögensdelikte zurückführt, haben sich ungeachtet seiner Ablösung von der Sozialhilfe nicht entscheidend verändert, zumal er im Rahmen seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren weiterhin von einem monatlichen Fehlbetrag von rund Fr. 350.-- ausgeht. Hinzu kommt, dass die deliktsfreie Zeit seit September 2016 bis zum angefochtenen Urteil noch nicht lange andauerte und in die dreijährige Probezeit der Verurteilung vom 20. Oktober 2015 fällt, was sein Wohlverhalten relativiert. Ferner bleibt zu beachten, dass bei schweren Straftaten zum Schutz der Öffentlichkeit ausländerrechtlich selbst ein geringes Restrisiko weiterer Beeinträchtigungen der dadurch gefährdeten Rechtsgüter (Gesundheit, Leib und Leben, etc.) nicht in Kauf genommen werden muss (BGE 139 I 31 E. 2.3.2 S. 34; Urteil 2C_26/2017 vom 25. April 2017 E. 3.3.3). Aufgrund der weiteren rechtserheblichen Elemente, die im angefochtenen Urteil zutreffend gewürdigt wurden (vgl. angefochtenes Urteil, E. 3 und E. 5.1 [Art. 109 Abs. 3 BGG]), ist mit der Vorinstanz von einem erheblichen öffentlichen Interesse an einer Aufenthaltsbeendigung auszugehen.
2.3.3. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz sodann zutreffend zum Schluss gelangt, dass seine Integration in die hiesigen Verhältnisse insgesamt nicht gelungen ist (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4.2 [Art. 109 Abs. 3 BGG]). Neben seiner wiederholten und in Teilen schweren Delinquenz fällt in wirtschaftlicher Hinsicht ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer mit der Familie bereits mehrfach und in erheblichem Umfang von der Sozialhilfe unterstützt werden musste. Angesichts der weiterhin knappen Verhältnisse und der bis heute nur unregelmässig geleisteten Unterhaltszahlungen bestehen sachlich begründete Zweifel, ob die Ablösung von der Sozialhilfe längerfristig Bestand hat. Dass den Beschwerdeführer an der Sozialhilfeabhängigkeit kein Verschulden traf (vgl. Urteil 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 3.1 mit Hinweisen), ist weder dargetan noch ersichtlich. Die Vorinstanz liess sodann nicht unberücksichtigt, dass der Beschwerdeführer die deutsche Sprache beherrscht (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4.2.2), was die Abhängigkeit von der Sozialhilfe in der Vergangenheit aber gleichwohl nicht verhinderte. Eine besondere Verbundenheit zur hiesigen Bevölkerung ist neben den Kontakten zu seiner früheren Ehefrau und den Kindern im Übrigen nicht erstellt. Im Weiteren hat die Vorinstanz die Integrationsmöglichkeiten des Beschwerdeführers in der Heimat zu Recht als intakt bezeichnet, nachdem er erst im Alter von 24 Jahren in die Schweiz eingereist ist, die heimatliche Sprache beherrscht, mit der dortigen Kultur vertraut ist und in Algerien weiterhin über Verwandte verfügt, die er in der Vergangenheit mehrmals besuchte (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4.3.1).
2.3.4. Anders als der Beschwerdeführer geltend macht, hat das Verwaltungsgericht auch die Folgen einer Aufenthaltsbeendigung auf die Beziehung zu seinen Kindern zutreffend gewürdigt (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4.3.2-4.3.7 [Art. 109 Abs. 3 BGG]). Dass eine Rückkehr des Beschwerdeführers in die Heimat nicht nur unerhebliche familiäre Nachteile zur Folge hat und eine gewisse Härte nach sich zieht, ist nicht in Abrede zu stellen. Bereits aufgrund der bestehenden zivilrechtlichen Betreuungssituation kann der Beschwerdeführer die Beziehung zu den Kindern allerdings nur beschränkt leben. Die Kinder stehen unter der alleinigen Obhut der Mutter und deren Betreuung durch den Vater an einem Wochenendtag pro Woche erfordert seine Anwesenheit in der Schweiz nicht zwingend, zumal eine wirtschaftlich besonders enge Eltern-Kind-Beziehung nicht existiert. Ein häufiger Austausch mit den Kindern kann jedenfalls über moderne Kommunikationsmittel aufrecht erhalten werden und auch die Wahrnehmung persönlicher Kontakte im Rahmen von Ferienbesuchen erscheint nicht ausgeschlossen, selbst wenn sich die finanziellen Verhältnisse bei einer Rückkehr des Beschwerdeführers in seine Heimat nicht verbessern.
2.3.5. Soweit der Beschwerdeführer mit Blick auf die Beziehung zu seinen Kindern verschiedene Bestimmungen der Kinderrechtskonvention anruft, verschaffen ihm diese keine eigenständigen Bewilligungsansprüche. Dem Kindesinteresse ist vielmehr im Rahmen der Interessenabwägung gemäss Art. 13 Abs. 1 i.V.m. Art. 36 Abs. 3 BV bzw. Art. 8 Ziff. 2 EMRK Rechnung zu tragen (vgl. BGE 143 I 21 E. 5.5.2 S. 30 mit Hinweisen), was die Vorinstanz berücksichtigt hat. Dabei durfte sie dem Umstand durchaus Bedeutung beimessen, dass das SEM die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 18. September 2013 nur unter der Auflage klaglosen Verhaltens erteilte und der Beschwerdeführer danach gleichwohl weiter delinquierte, sodass er die Beeinträchtigung seiner familiären Beziehung letztlich bewusst in Kauf nahm.
2.3.6. Das Verwaltungsgericht ist demnach zutreffend davon ausgegangen, dass überwiegende öffentliche Interessen einer Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung entgegenstehen und sich die damit verbundene Aufenthaltsbeendigung als verhältnismässig erweist.
2.4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da das Rechtsmittel als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden muss (Art. 64 Abs. 1 BGG). Nach dem Unterliegerprinzip trägt der Beschwerdeführer die umständehalber reduzierten Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Fellmann