Erwägungen:
1.
B.A._ reichte am 8. Juli 2016 eine Strafanzeige gegen ihren Ehemann A.A._ wegen Drohung ein. Dieser soll sich gegenüber B._ mehrfach geäussert haben, er wolle sich eine Waffe kaufen, um damit seine Familie auszulöschen. B._ brachte dies B.A._ am 6. Juli 2016 zur Kenntnis.
2.
Am 3. Januar 2017 reichte A.A._ gegen B._ und B.A._ (separates Verfahren) eine Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung ein. Am 13. Februar 2018 erliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eine Nichtanhandnahmeverfügung. Das Appellationsgericht Basel-Stadt hiess mit Entscheid vom 17. April 2018 eine Beschwerde von A.A._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung gut und wies die Sache zu weiteren Ermittlungen zurück. Mit Verfügung vom 21. August 2019 wies die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt einen Beweisantrag von A.A._ ab und stellte mit Verfügung vom 26. August 2019 das Strafverfahren gegen B._ ein, da kein Tatverdacht erhärtet sei, der eine Anklage rechtfertigen würde.
A.A._ erhob am 9. September 2019 Beschwerde gegen die beiden Verfügungen der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt vom 21. und 26. August 2019. Das Appellationsgericht Basel-Stadt forderte A.A._ mit Verfügung vom 11. September 2019 auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten, worauf dieser am 28. Oktober 2019 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchte. Mit Verfügung vom 20. Januar 2020 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und forderte A.A._ nochmals auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.- zu leisten, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte das Appellationsgericht zusammenfassend aus, es sei im Entscheid vom 17. April 2018 zum Schluss gekommen, dass noch eine Konfrontationseinvernahme und Abklärungen bei Dr. C._ zur fraglichen Kontaktnahme des Beschuldigten durchzuführen seien. Die Konfrontationseinvernahme habe nun zu keiner Erhärtung des Vorwurfs der falschen Anschuldigung geführt. Bezüglich der Entbindungserklärung für Dr. C._ habe sich der Beschwerdeführer zuerst geweigert, diese zu unterzeichnen. Schliesslich wollte er bloss einer Entbindung von der Schweigepflicht bezüglich Fragen zustimmen, die er selber stelle. Die Strafuntersuchung werde jedoch nicht vom Strafanzeiger geführt, weshalb er mit seinem Verhalten faktisch einen wichtigen Beweis vorenthalte. Unter diesen Umständen müsse die Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung als aussichtslos bezeichnet werden.
3.
A.A._ führt mit Eingabe vom 21. Februar 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 20. Januar 2020. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen, liess sich jedoch die kantonalen Akten zustellen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass die Konfrontationseinvernahme korrekt durchgeführt worden sei. So sei ihm und seinem Rechtsvertreter untersagt worden, dem Beschuldigten Fragen zu dessen Tatverhalten bzw. Widersprüchen zu einer früheren Einvernahme zu stellen. Der Beschwerdeführer macht indessen nicht geltend, und solches geht auch nicht aus den von ihm eingereichten Protokollauszügen der Konfrontationseinvernahme hervor, dass er oder sein Rechtsvertreter überhaupt keine Fragen stellen konnten. Welche Fragen die Staatsanwaltschaft nicht zugelassen haben sollte, legt er jedoch nicht konkret und im Einzelnen dar. Somit ist auch nicht ersichtlich, inwiefern der Schluss des Appellationsgerichts, aus der Konfrontationseinvername habe sich keine Erhärtung des Vorwurfs der falschen Anschuldigung ergeben, rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll.
4.2. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, dass ihm das Einvernahmeprotokoll vor dem Erlass der Einstellungsverfügung nicht zugestellt worden sei. Er macht indessen nicht geltend, dass er einen solchen Antrag gestellt hätte. Inwiefern die Staatsanwaltschaft von Gesetzes wegen verpflichtet gewesen wäre, ihm automatisch eine Kopie des Protokolls zuzustellen, legt er nicht dar. Solches ist auch nicht ersichtlich, zumal er anlässlich der Einvernahme das Protokoll durchlesen konnte und auch Gelegenheit zur Berichtigung erhielt.
4.3. Schliesslich vermag er auch nicht aufzuzeigen, inwiefern die kantonalen Behörden rechtlich verpflichtet gewesen wären, die von ihm als Anzeiger vorgeschlagene Entbindungserklärung zu akzeptieren.
4.4. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer mit seiner Beanstandung der Verfahrensführung der kantonalen Behörden nicht aufzuzeigen, inwiefern das Appellationsgericht in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise das Gesuch um unentgeltliche Rechtspfelge abgewiesen haben sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli