Fatti:
A.
A.a. A._ è stata assunta dalla B._ SA nel 2002 e dal 31 marzo 2014 ne era la direttrice con uno stipendio mensile lordo di fr. 13'000.--, oltre alla tredicesima mensilità e a provvigioni. Il contratto di lavoro prevedeva un divieto di concorrenza di due anni nel territorio dei Cantoni Ticino e Grigioni e, in caso di una sua violazione, una pena convenzionale pari a un anno di salario.
Il consiglio di amministrazione della predetta società era composto fino all'estate 2017 dalle seguenti persone con diritto di firma collettiva a due: C._, presidente, D._ e E._, membri. I primi due avevano ciascuno una partecipazione al capitale azionario del 40 %, mentre il terzo ha rassegnato le proprie dimissioni nel luglio 2017. Quest'ultimo è stato sostituito da F._, azionista con il 20 % delle azioni, eletta nell'assemblea generale del 22 giugno 2017, quale membro senza diritto di firma.
Dopo l'assemblea generale è stato convocato un incontro con i dipendenti in cui era presente anche il presidente del consiglio di amministrazione e durante il quale la direttrice si è espressa in termini offensivi sui due rimanenti azionisti. Il giorno seguente quest'ultima ha inviato un e-mail ai collaboratori, in cui ha ribadito l'intenzione di trasferirsi con loro presso una creanda società concorrente.
Il 3 ottobre 2017 la B._ SA ha licenziato A._ con effetto immediato, rimproverandole gravi violazioni del suo dovere di fedeltà. La direttrice ha immediatamente riconsegnato le chiavi e ha abbandonato il posto di lavoro. Due giorni più tardi si è opposta al licenziamento.
A.b. Con petizione 1° febbraio 2018 A._ ha convenuto in giudizio innanzi al Pretore del distretto di Lugano la B._ SA, chiedendone la condanna al pagamento di fr. 68'687.25, quale salario e tredicesima per il periodo ordinario di disdetta, e di fr. 52'273.05, quale indennità per licenziamento in tronco ingiustificato. La convenuta si è opposta alla petizione e ha postulato in via riconvenzionale la condanna dell'attrice al versamento di complessivi fr. 164'297.85 (fr. 156'000.-- a titolo di pena convenzionale per la violazione del divieto di concorrenza, fr. 6'600.-- quale risarcimento danni per l'impiego illegale di alcuni dipendenti e fr. 1'697.85 di salario versatole in eccesso), oltre interessi, con il rigetto dell'opposizione interposta al relativo precetto esecutivo. Con giudizio 15 marzo 2019 il Pretore ha respinto la petizione e accolto la domanda riconvenzionale limitatamente a fr. 76'755, oltre interessi, rigettando in tale misura l'opposizione fatta al precetto esecutivo. Il giudice di prime cure ha integralmente accordato quanto chiesto a titolo di risarcimento danni e salario versato in eccesso, mentre ha abbassato la pena convenzionale a fr. 68'457.--, perché ha ritenuto che la durata del divieto di concorrenza va limitata a un anno e ha ridotto in applicazione dell'art. 163 cpv. 3 CO la pena convenzionale a 5 mesi di salario.
B.
La II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, con sentenza 8 aprile 2020, respinto l'appello presentato da A._. La Corte cantonale ha ritenuto che nella riunione del 22 giugno 2017 la direttrice ha violato il suo obbligo di fedeltà, perché ha utilizzato termini offensivi nei confronti di F._ e D._, ha generato un clima di tensione paventando dei licenziamenti e ha annunciato la creazione di una società concorrente. I Giudici cantonali hanno poi rilevato una carente motivazione dell'appello con riferimento alle censure dirette contro la tempestività della disdetta, la quale è stata nondimeno riconosciuta, atteso che D._ è venuto a conoscenza dei fatti all'inizio di settembre e che il presidente del consiglio di amministrazione si trovava in vacanza in Croazia in quel periodo ed è rientrato in Svizzera solo all'inizio di ottobre. Hanno pure considerato insufficientemente motivate le critiche rivolte contro il divieto di concorrenza, osservando in particolare che l'appellante non ha nemmeno contestato la quantificazione della pena convenzionale.
C.
Con ricorso in materia civile del 28 maggio 2020 A._ postula, in riforma della sentenza impugnata, di accogliere la propria petizione integralmente e l'azione riconvenzionale limitatamente a fr. 6'600.--. Secondo la lavoratrice la Corte cantonale avrebbe commesso due errori manifesti nell'accertamento dei fatti, perché avrebbe indicato che le contestate gravi violazioni del dovere di fedeltà sono state apprese solo pochi giorni prima del licenziamento e perché ha considerato che vi fossero stati dei comportamenti contrari agli interessi della datrice di lavoro. La ricorrente lamenta poi una violazione dell'art. 337 CO sia perché la B._ SA non avrebbe reagito immediatamente, ma sarebbe rimasta inattiva per un mese dalla conoscenza dei fatti posti a fondamento del licenziamento, sia perché non sarebbero dati i gravi motivi richiesti da questa norma, poiché ella si era limitata a seguire le direttive del presidente del consiglio di amministrazione. Si duole infine, con riferimento al divieto di concorrenza, di una lesione degli art. 27 Cost. e 27 CC e afferma che lo stesso non sarebbe applicabile, poiché il rapporto contrattuale è stato rescisso dalla datrice di lavoro senza che i presupposti per una disdetta straordinaria fossero adempiuti (art. 340c cpv. 2 CO). Conferma quindi le pretese avanzate con la petizione.
Con scritto 17 giugno 2020 la Corte di appello ha comunicato la sua rinuncia a presentare osservazioni, mentre la B._ SA non si è determinata.
Diritto:
1.
Il ricorso in materia civile è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF), è tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) ed è volto contro una sentenza finale (art. 90 LTF) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 LTF) in una causa civile (art. 72 cpv. 1 LTF) concernente una controversia in materia di diritto del lavoro con un valore litigioso che supera la soglia fissata dall'art. 74 cpv. 1 lett. a LTF.
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (DTF 143 I 1 consid. 1.4; 140 III 86 consid. 2; 134 III 102 consid. 1.1). Per soddisfare l'obbligo di motivazione, il ricorrente deve discutere le considerazioni della decisione impugnata e indicare con chiarezza in che consiste la violazione del diritto (DTF 140 III 86 consid. 2).
Il Tribunale federale fonda invece il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti di fatto svolti dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF), che sono vincolanti. Può scostarsene o completarli solo se sono stati effettuati in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF).
Il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - arbitrario (art. 9 Cost.) - il ricorrente deve motivare la censura conformemente alle esigenze rigorose poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF. Deve indicare chiaramente i diritti costituzionali che si pretendono violati e precisare in cosa consiste la violazione. Non basta opporre il proprio punto di vista alle conclusioni del giudizio impugnato; il Tribunale federale non esamina le critiche di carattere appellatorio (DTF 145 I 26 consid. 1.3, con rinvii). Siccome il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere), chi invoca l'arbitrio deve dimostrare che la sentenza impugnata ignora il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, omette senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 144 III 264 consid. 6.2.3 pag. 273; 140 III 264 consid. 2.3, con rinvii).
3.
3.1. Giusta l'art. 337 cpv. 1 CO il datore di lavoro e il lavoratore possono in ogni tempo recedere immediatamente dal rapporto di lavoro per cause gravi. È considerata causa grave, in particolare, ogni circostanza che non permetta per ragioni di buona fede di esigere da chi dà la disdetta che abbia a continuare nel contratto (art. 337 cpv. 2 CO).
3.1.1. Secondo la giurisprudenza la risoluzione immediata del rapporto di lavoro dev'essere ammessa in maniera restrittiva (DTF 137 III 303 consid. 2.1.1). Solo una mancanza particolarmente grave può giustificare tale misura. Per mancanza del dipendente si intende in generale la violazione di un obbligo sgorgante dal contratto di lavoro, ma anche altri eventi possono entrare in linea di conto. Tale mancanza dev'essere oggettivamente idonea a distruggere il rapporto di fiducia essenziale nel contratto di lavoro o, almeno, a intaccarlo così profondamente da escludere che possa essere pretesa la continuazione della relazione contrattuale e avere effettivamente provocato tale conseguenza (DTF 142 III 579 consid. 4.2). Il giudice decide in base al suo libero apprezzamento se esiste una causa grave (art. 337 cpv. 3 CO) e applica le regole del diritto e dell'equità (art. 4 CC); a tale scopo prenderà in considerazione tutti gli elementi del caso specifico, in particolare la posizione e la responsabilità del lavoratore, il tipo e la durata del rapporto contrattuale, nonché la natura e l'importanza dell'incidente invocato (DTF 137 III 303 consid. 2.1.1). Il Tribunale federale rivede con riserbo la decisione dell'ultima istanza cantonale e interviene unicamente quando essa si sia scostata senza motivo dai principi sviluppati da dottrina e giurisprudenza, se ha preso in considerazione fattori che non avrebbero dovuto giocare alcun ruolo oppure se, al contrario, abbia omesso di considerare fattori rilevanti, o infine, quando il giudizio impugnato conduca ad un esito manifestamente iniquo o ingiusto (DTF 142 III 612 consid. 4.5; 137 III 303 consid. 2.1.1).
3.1.2. Se esiste una causa grave, la disdetta con effetto immediato dev'essere data senza tardare, sotto pena di decadenza. Se tarda ad agire, la parte interessata dà l'impressione di aver rinunciato alla disdetta immediata o di potersi arrangiare con la continuazione del rapporto di lavoro fino alla scadenza ordinaria del contratto (DTF 138 I 113 consid. 6.3.1, con rinvii). Le circostanze del caso concreto determinano il lasso di tempo entro il quale si può ragionevolmente attendere da una parte che essa prenda la decisione di risolvere immediatamente il contratto. In maniera generale la giurisprudenza considera sufficiente un termine di due a tre giorni lavorativi per riflettere e assumere informazioni giuridiche. Un termine supplementare è ammissibile se è giustificato da esigenze pratiche della vita quotidiana ed economica; la giurisprudenza ha già stabilito che è possibile ammettere una prolungazione di qualche giorno quando la decisione dev'essere presa da un organo pluricefalo di una persona giuridica o quando dev'essere sentito il rappresentante del lavoratore (DTF 138 I 113 consid. 6.3.2).
3.2.
3.2.1. Nel valutare l'esistenza di un grave motivo la Corte cantonale ha tra l'altro ricordato che il ruolo dirigenziale della lavoratrice giustifica una maggiore severità. Ha poi ritenuto, come già il Pretore, che nell'incontro del 22 giugno 2017 con il personale la direttrice aveva violato il suo obbligo di fedeltà, proferendo gravi insulti nei confronti di due azionisti e generando tensione fra i dipendenti, proponendo loro di licenziarsi mediante delle lettere di disdetta da lei stessa allestite e portate alla riunione e di operare in una nuova società concorrente. L'apprensione e le incertezze suscitate da quell'incontro, hanno soggiunto i giudici cantonali, hanno continuato a pesare sui dipendenti.
3.2.2. Con riferimento alla tempestività della disdetta del 3 ottobre 2017, la sentenza impugnata indica che il Pretore l'aveva ammessa, perché quanto accaduto alla riunione del 22 giugno 2017 e l'e-mail del giorno seguente erano stati segnalati ad D._ solo in settembre, quando il presidente del consiglio di amministrazione, che è rientrato in Svizzera unicamente all'inizio del mese di ottobre 2017, si trovava in vacanza in Croazia. I Giudici d'appello hanno ritenuto irricevibili, per carente motivazione, le censure dirette contro la durata dell'assenza di C._ e il momento in cui D._ e F._ sono venuti a conoscenza dei fatti incriminati e hanno pure rimproverato alla lavoratrice di non avere spiegato come gli ultimi due amministratori menzionati avrebbero potuto licenziarla, senza disporre dei necessari poteri di firma, od organizzare una riunione del consiglio di amministrazione senza la presenza del suo presidente, a cui giusta l'art. 715 CO spettava convocare tale organo della società.
3.3.
3.3.1. La ricorrente lamenta "arbitrio nella considerazione di comportamenti contrari agli interessi" della datrice di lavoro e contesta di non avere svolto regolarmente la sua funzione di direttrice. Asserisce che numerosi testi hanno dichiarato che, dopo la nota riunione, non si era più parlato di una nuova società. Nega poi che fossero dati motivi gravi idonei a giustificare il licenziamento e di avere incitato il personale ad abbandonare l'opponente. Afferma di essere stata coinvolta suo malgrado in una lite fra azionisti, di essersi limitata a seguire le direttive del presidente del consiglio di amministrazione - che rappresentava la datrice di lavoro - e di essersi già scusata per aver utilizzato termini irrispettosi, "dovuti alla forte pressione degli eventi imprevisti".
3.3.2. Pure per quanto riguarda la tempestività della disdetta, la ricorrente ritiene che la sentenza impugnata sia arbitraria, perché questa riporta che le - contestate - violazioni contrattuali erano state apprese pochi giorni prima del licenziamento. Asserisce che invece, dopo essere venuti a conoscenza dell'incontro con il personale e del seguente e-mail, i due membri del consiglio di amministrazione sono rimasti del tutto inattivi per un mese e ne deduce "una mancanza assoluta di reazione" incompatibile con l'art. 337 CO. Sostiene che essi avrebbero dovuto chiedere al presidente del consiglio di amministrazione, che sarebbe stato perfettamente reperibile, di indire al più presto una riunione e adire il giudice in caso di rifiuto.
3.4.
3.4.1. In concreto occorre innanzi tutto rilevare che, con riferimento all'esistenza di un motivo grave per il licenziamento, la ricorrente tenta invano di minimizzare il suo ruolo e quanto accaduto alla riunione del 22 giugno 2017 con una critica appellatoria dell'accertamento dei fatti effettuato dalla Corte cantonale. Ella pare pure in parte fraintendere la sentenza impugnata laddove lamenta arbitrio con riferimento al modo in cui esplicava la sua funzione di direttrice. La Corte cantonale ha infatti da un lato indicato che quanto successo dopo la riunione nulla toglieva alla gravità del suo comportamento e dall'altro ha considerato, basandosi sulle deposizioni di tre testi, che la tensione e l'insicurezza continuavano a sussistere fra i dipendenti.
Ora a prescindere che, per validamente censurare l'accertamento dei fatti della Corte cantonale, non basta elencare una serie di estratti di deposizioni testimoniali (v. sulle esigenze di motivazione di una siffatta critica sopra consid. 2 cpv. 3), il dovere di fedeltà verso il presidente del consiglio di amministrazione non imponeva alla ricorrente di esternare insulti verso altri azionisti e di proporre il trasferimento del personale a una società concorrente da creare. Ma anche volendo considerare, come suggerito nel ricorso, tale evento come un incidente isolato, la ricorrente non può essere seguita quando ritiene che, limitandosi a semplicemente non dare un seguito concreto a quanto espresso (per altro pure in un successivo e-mail), ella abbia espletato correttamente la sua funzione dirigenziale. Dopo tale episodio, ella avrebbe piuttosto dovuto rassicurare i collaboratori per quanto concerne la continuazione dell'attività aziendale.
3.4.2. Anche quando rimprovera alla Corte cantonale "arbitrio nella valutazione temporale", perché questa avrebbe indicato nei fatti che il consiglio di amministrazione aveva appreso solo pochi giorni prima le gravi violazioni del dovere di fedeltà, la ricorrente travisa la sentenza impugnata. Nel contestato passaggio l'autorità inferiore si era limitata a menzionare quanto invocato dalla datrice di lavoro nella lettera di licenziamento. D'altronde, come chiaramente emerge dal riassunto esposto sopra al consid. 3.2.2, la Corte di appello era consapevole che fra la conoscenza della menzionata riunione con il successivo e-mail e il licenziamento era trascorso un mese.
Per il resto l'argomentazione ricorsuale si rivela in larga misura inammissibile perché non solo ignora le considerazioni di ordine procedurale della Corte cantonale sull'insufficiente motivazione dell'appello, ma è pure fondata su fatti non accertati nella sentenza impugnata, quali la reperibilità del presidente del consiglio di amministrazione e il contenuto dell'ordine del giorno. Con riferimento a quest'ultimo può tuttavia essere rilevato che, contrariamente a quanto affermato nel ricorso, nel doc. 14 viene testualmente menzionata come trattanda n. 4 la "Costituzione CdA e composizione direzione". In conclusione, dagli accertamenti di fatto contenuti nella sentenza impugnata e vincolanti per il Tribunale federale risultano ostacoli pratici che non fanno apparire contrarie al diritto federale le considerazioni delle precedenti istanze sulla tempestività del licenziamento della direttrice, atteso che la riunione del consiglio di amministrazione in cui è stata decisa questa misura si svolta nel secondo giorno lavorativo del mese in cui il presidente di tale organo era rientrato in Svizzera e la relativa decisione è stata immediatamente comunicata all'interessata.
4.
4.1. Dopo aver ricordato che il Pretore aveva ridotto la durata della clausola di divieto di concorrenza a un anno, la Corte cantonale ha ritenuto irricevibili, in ragione della carente motivazione dell'appello, sia la contestazione della validità della clausola in quanto limitativa della libertà economica sia la lamentela concernente la sua durata superiore a 6 mesi. L'autorità inferiore ha nondimeno indicato che la validità della clausola non dipende dall'esistenza di una retribuzione e che in ogni caso la direttrice percepiva un salario considerevole.
4.2. Secondo la ricorrente il divieto di concorrenza viola gli art. 27 Cost. (libertà economica) e 27 CC e dovrebbe essere ridotto a 6 mesi, atteso che si tratta unicamente di tutelare la clientela dell'opponente e ogni impegno superiore a tale periodo lederebbe quest'ultima norma. Il principio della proporzionalità imporrebbe poi di tenere conto del fatto che ella ha concentrato tutta la sua esperienza lavorativa sul lavoro interinale, si è trasferita dall'Italia in Svizzera, acquistando un'abitazione e caricandosi dei conseguenti impegni finanziari, e che la contestata clausola non prevede alcuna compensazione finanziaria.
4.3. La summenzionata critica ricorsuale non si confronta con la sentenza impugnata che ha dichiarato irricevibile l'appello - a causa della sua carente motivazione - con riferimento alla durata del divieto di concorrenza e si rivela pertanto inammissibile (supra, consid. 2 cpv. 1). A titolo abbondanziale si può aggiungere che, tenuto conto del ruolo di direttrice ricoperto dalla ricorrente, la riduzione a un anno del divieto di concorrenza rimane nei limiti del potere di apprezzamento conferito dall'art. 4 CC ai giudici cantonali (cfr. DTF 145 III 365 consid. 3; 96 II 139 consid. 3a).
5.
Da quanto precede discende che il ricorso si palesa, nella misura in cui si rivela ammissibile, infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF), non si giustifica invece assegnare ripetibili all'opponente che, non essendosi determinata sul ricorso, non è incorsa in spese per la procedura innanzi al Tribunale federale.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.