Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 20. Oktober 2015 ambulant in der Klinik für Angiologie, vom 10. bis 28. Dezember 2015 ambulant in der Klinik für Kardiologie und vom 2. bis 12. Januar 2016 stationär in der Klinik für Rheumatologie jeweils am Universitätsspital Zürich behandelt.
A.a. Die stationäre Behandlung stand im Zusammenhang mit einem im Sommer 2015 erlittenen Unfall, bei dem unter anderem der Rücken von A._ geprellt wurde. Zur Untersuchung und Behandlung der Rückenschmerzen war ein stationärer Aufenthalt im Universitätsspital Zürich ab dem 11. Januar 2016 geplant gewesen. Nach Angaben von A._ bestätigte ihm sein Zusatzversicherer, dass der Spitalaufenthalt (privat) versichert sei und die Kosten übernommen würden. Da A._ unter grossen Schmerzen litt, begab er sich bereits am 2. Januar 2016 in die Notfallaufnahme des Universitätsspitals Zürich. Im Rahmen des Eintritts ins Spital gab er gestützt auf die von seinem Zusatzversicherer erteilte Kostengutsprache "privat" an. In der Folge kam A._ vom 2. bis 12. Januar 2016 in den Genuss einer stationären Behandlung auf der privaten Abteilung des Spitals. Im Nachgang an die stationäre Behandlung übernahm sein Krankenversicherer die Kosten der Grundversicherung. Sein Zusatzversicherer hingegen lehnte eine Kostengutsprache für die private Behandlung zunächst mit der Begründung ab, die erbrachten Leistungen des Universitätsspitals Zürich seien gemäss den Allgemeinen Vertragsbedingungen von der Zusatzversicherung ausgenommen. Alsdann stellte er sich auf den Standpunkt, er übernehme nur kassenpflichtige Behandlungen, die wirksam, zweckmässig und wirtschaftlich seien, was vorliegend nicht der Fall sei.
A.b. Am 27. Januar 2016 stellte die Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich A._ eine Rechnung in der Höhe von Fr. 631.10 für die erste (ambulante) Behandlung, am 12. Februar 2016 eine solche in der Höhe von Fr. 992.-- für die zweite (ambulante) Behandlung und am 26. Februar 2016 eine letzte Rechnung im Betrag von Fr. 16'030.-- für die dritte (stationäre) Behandlung zu. Nachdem A._ trotz mehrfacher Ermahnung die Rechnungen nicht beglichen hatte, leitete die Direktion Finanzen am 28. April 2017 die Betreibung für den ausstehenden Betrag von insgesamt Fr. 17'653.10 nebst Zins zu 5 % seit dem 23. April 2016 sowie den Mahnspesen in der Höhe von Fr. 20.-- ein. A._ erhob dagegen am 10. Mai 2017 Teilrechtsvorschlag in Bezug auf die Rechnung vom 26. Februar 2016.
B.
Mit Verfügung vom 8. September 2017 verpflichtete die Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich A._, den Betrag von Fr. 17'653.10 nebst Zins zu 5 % seit dem 23. April 2016 zu bezahlen. Sie beseitigte den Teilrechtsvorschlag vom 10. Mai 2017 für die stationären Behandlungskosten von Fr. 16'030.-- zuzüglich der Betreibungskosten von Fr. 103.30 und der Mahnspesen von Fr. 20.--. Den gegen die Verfügung vom 8. September 2017 erhobenen Rekurs wies die Spitaldirektion des Universitätsspitals Zürich mit Beschluss vom 17. Oktober 2018 ab.
Die gegen den Beschluss vom 17. Oktober 2018 erhobene Beschwerde von A._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 24. Februar 2020 teilweise gut, soweit es die Mahnspesen von Fr. 20.-- betraf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab und beseitigte den Teilrechtsvorschlag vom 10. Mai 2017 im Umfang von Fr. 16'030.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 23. April 2016 und den Betreibungskosten von Fr. 103.30.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 19. Mai 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils vom 24. Februar 2020, des Beschlusses vom 17. Oktober 2018 sowie der Verfügung vom 8. September 2017. Der Teilrechtsvorschlag vom 10. Mai 2017 über Fr. 16'030.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 23. April 2016 sei aufrechtzuerhalten und es sei festzustellen, dass das Universitätsspital Zürich die Betreibungskosten sowie die am 26. Februar 2016 in Rechnung gestellten Spitalgebühren selbst zu tragen habe. Eventualiter sei das Urteil vom 24. Februar 2020 aufzuheben und zur Neubeurteilung nach Durchführung einer Gerichtsverhandlung sowie von Beweisabnahmen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 17. Juli 2020 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Während das Universitätsspital Zürich die Abweisung der Beschwerde beantragt, verlangt die Vorinstanz die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (vgl. BGE 146 II 276 E. 1 S. 279; 141 II 113 E. 1 S. 116).
1.1. Die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), da der Streitgegenstand nach dem massgebenden kantonalen Recht als öffentlich-rechtlich gilt (vgl. E. 3.3 hiernach; BGE 122 II 101 E. 2 S. 103 ff.). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (Art. 83 BGG). Der Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Soweit mit dem Rechtsmittel die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils vom 24. Februar 2020 verlangt wird, richtet es sich gegen das kantonal letztinstanzliche (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), verfahrensabschliessende (Art. 90 BGG) Urteil eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG). Nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bilden hingegen der diesem vorangehende Beschluss vom 17. Oktober 2018 sowie die Verfügung vom 8. September 2017, deren Aufhebung der Beschwerdeführer ebenfalls beantragt. Diese wurden durch das vorinstanzliche Urteil ersetzt und gelten inhaltlich als mitangefochten (Devolutiveffekt; vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144; Urteil 2C_907/2018 vom 2. April 2019 E. 1). Insoweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Beschlusses vom 17. Oktober 2018 und der Verfügung vom 8. September 2017 verlangt, ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
1.3. Ferner beantragt der Beschwerdeführer die Feststellung, dass das Universitätsspital Zürich die Betreibungskosten sowie die am 26. Februar 2016 in Rechnung gestellten Spitalgebühren selbst zu tragen habe. Feststellungsbegehren sind im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungsbegehren gewahrt werden kann (vgl. BGE 126 II 300 E. 2c S. 303; Urteil 2C_131/2019 vom 27. August 2019 E. 1.1). Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt, da im Rahmen des ebenfalls gestellten Leistungsbegehrens darüber befunden werden kann, ob der Teilrechtsvorschlag vom 10. Mai 2017 im Umfang von Fr. 16'030.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 23. April 2016 und den Betreibungskosten zu beseitigen ist. Auf das Feststellungsbegehren ist daher nicht einzutreten.
1.4. Im Übrigen liegen zulässige Rechtsbegehren vor. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demzufolge einzutreten, soweit sie sich gegen das vorinstanzliche Urteil vom 24. Februar 2020 richtet.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. BGE 142 I 135 E. 1.5 S. 144; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286; 139 I 229 E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach Art. 106 Abs. 2 BGG verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. BGE 143 I 1 E. 1.4 S. 5; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - namentlich das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372; 138 I 143 E. 2 S. 149 f.). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, da keine Gerichtsverhandlung durchgeführt worden sei.
3.1. Er bringt vor, auch wenn die Spitalgebühr formal eine öffentlich-rechtliche Geldforderung darstelle, greife sie erheblich in die zivilrechtliche Stellung der betroffenen Person ein, da es sich um eine leistungsabhängige und nicht rein tarifabhängige Forderung handle. Die Spitalgebühr komme daher eher einer privatrechtlichen Vereinbarung gleich als einer Gebührenerhebung. Es sei ihm beim Eintritt in das Spital unmöglich gewesen, den künftigen Umfang der Leistungen vorherzusehen. Aufgrund dieser Unvorhersehbarkeit unterscheide sich die Forderung nicht von einer zivilrechtlichen Forderung im Sinne einer auftragsrechtlich erbrachten Leistung. Zufolge Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK hätte die Vorinstanz deshalb eine Gerichtsverhandlung durchführen müssen.
3.2. Nach Auffassung der Vorinstanz liegt keine zivilrechtliche Streitigkeit im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor, da die umstrittene Forderung das Entgelt für die erbrachten Leistungen in einem öffentlich-rechtlichen Spital betreffe. Es liege damit eine öffentlich-rechtliche Geldforderung vor, die eine rein öffentlich-rechtliche Streitigkeit darstelle. Der Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei nicht eröffnet und die Akten würden eine hinreichende Entscheidungsgrundlage für die zu prüfenden Fragen darstellen, weshalb keine mündliche Verhandlung durchzuführen sei (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils).
3.3. Die Rechtsnatur von Forderungen zwischen einem öffentlich-rechtlichen Spital und den Patientinnen und Patienten bestimmt sich nach ständiger Rechtsprechung in erster Linie nach dem kantonalen und kommunalen öffentlichen Recht (vgl. BGE 122 III 101 E. 2 S. 103; Urteile 2C_336/2011 vom 29. September 2011 E. 3.2; 9C_152/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 2.4; 4P.188/2002 vom 5. November 2002 E. 3.3; vgl. auch Urteil 2P.248/2002 vom 28. Januar 2003 E. 2.2).
3.3.1. Gestützt auf das Gesetz des Kantons Zürich vom 19. September 2005 über das Universitätsspital Zürich (USZG ZH; LS 813.15) besteht unter dem Namen "Universitätsspital Zürich" eine Anstalt des kantonalen öffentlichen Rechts mit eigener Rechtspersönlichkeit und Sitz in Zürich (vgl. § 1 USZG ZH; vgl. auch Urteil 2C_94/2019 vom 1. Oktober 2019 E. 2.2). Gemäss § 16 Abs. 1 des Spitalplanungs- und -finanzierungsgesetzes des Kantons Zürich vom 2. Mai 2011 (SPFG ZH; LS 813.20) sind die Leistungen der vom Kanton und den Gemeinden betriebenen öffentlich-rechtlichen Spitäler gebührenpflichtig. Für Zusatzleistungen können über den Vollkosten liegende Taxen erhoben werden. Ergänzend kann ein ärztliches Zusatzhonorar verrechnet werden. Die Taxen und die ärztlichen Zusatzhonorare werden nach marktwirtschaftlichen Grundsätzen festgelegt (vgl. § 16 Abs. 2 SPFG ZH). Die Taxordnung des Universitätsspitals Zürich vom 25. März 2009 (TO USZ ZH; LS 813.155) bestimmt sodann, dass es für seine Leistungen Gebühren und für Zusatzleistungen zugunsten von Privatpatienten Zusatztaxen erhebt (vgl. § 8 TO USZ ZH i.V.m. § 14 TO USZ ZH und § 16 TO USZ ZH). Die Taxen werden in erster Linie von der Patientin oder dem Patienten geschuldet (vgl. § 25 lit. a TO USZ ZH).
3.3.2. Die in der zu beurteilenden Angelegenheit umstrittene Forderung betrifft das Entgelt für eine medizinische Behandlung des Beschwerdeführers in einem öffentlich-rechtlichen Spital des Kantons Zürich. Bei den in der Taxordnung des Universitätsspitals Zürich geregelten Gebühren und Zusatztaxen handelt es sich gemäss kantonalem Recht um eine verwaltungsrechtlich begründete Kausalabgabe in der Form einer Benutzungsgebühr als Entgelt für die Nutzung einer öffentlich-rechtlichen Anstalt (vgl. Urteil 2C_336/2011 vom 29. September 2011 E. 3.2; vgl. auch Urteile 2C_94/2019 vom 1. Oktober 2019 E. 2.2; 9C_152/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 2.4). Folglich liegt der Rechnung vom 26. Februar 2016 eine kantonale, öffentlich-rechtliche Forderung zugrunde. Daran vermag auch das Vorbringen des Beschwerdeführers nichts zu ändern, wonach es ihm beim Eintritt in das Spital aufgrund der Taxordnung unmöglich gewesen sei, die Höhe der Geldforderung abzuschätzen. Eine allfällige Unvorhersehbarkeit der Forderungshöhe steht der Qualifikation als Benutzungsgebühr nicht entgegen, zumal sich die Bemessung der Gebühren- und Zusatztaxenhöhe am (marktwirtschaftlichen) Wert der Leistung zu orientieren (vgl. § 16 Abs. 2 SPFG ZH) und das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip einzuhalten ist (vgl. BGE 143 I 227 E. 4.2.3 S. 234; 123 I 254 E. 2b/aa S. 255 f.).
3.4. Obwohl es sich nach dem Dargelegten vorliegend um eine öffentlich-rechtliche Forderung handelt, ist damit noch nichts darüber gesagt, ob der Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK eröffnet ist.
3.4.1. Gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person unter anderem Anspruch darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen (civil rights) von einem Gericht öffentlich verhandelt wird. Der Begriff "civil rights" bezieht sich nach der Rechtsprechung nicht nur auf zivilrechtliche Streitigkeiten im engeren Sinn, sondern betrifft auch Verwaltungsakte einer hoheitlich handelnden Behörde, sofern diese massgeblich in Rechte und Verpflichtungen privatrechtlicher Natur eingreifen (vgl. BGE 144 I 340 E. 3.3.4 S. 347 f.; 137 I 371 E. 1.3.1 S. 374 f.; 134 I 140 E. 5.2 S. 147; Urteil 1C_461/2017 vom 27. Juni 2018 E. 3.2 f., nicht publ. in: BGE 144 I 170).
3.4.2. Vorbehältlich des abgaberechtlichen Strafrechts sind abgaberechtliche Verpflichtungen grundsätzlich vom Anwendungsbereich von Art. 6 EMRK ausgenommen. Von dieser Ausnahme betroffen sind indes in erster Linie abgaberechtliche Verpflichtungen im steuerrechtlichen Sinne, zumal der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) in diesem Zusammenhang von "obligations fiscales", "procédure fiscale" oder "matière fiscale" spricht (Urteile des EGMR Chambaz gegen Schweiz vom 5. Juli 2012 [Nr. 11663/04] § 38; Ferrazzini gegen Italien vom 12. Juli 2001 [Nr. 44759/98] §§ 25 ff.; Bendenoun gegen Frankreich vom 24. Februar 1994 [Nr. 12547/86] §§ 44 ff.; vgl. BGE 144 I 340 E. 3.3.5 S. 348; 140 I 68 E. 9.2 S. 74; 132 I 140 E. 2.1 S. 146; Urteil 2C_214/2014 vom 7. August 2014 E. 3.6.2). Demgegenüber hat der EGMR beispielsweise öffentlich-rechtliche Erschliessungsbeiträge als zivilrechtliche Verpflichtung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK betrachtet (vgl. Urteil des EGMR Stork gegen Deutschland vom 13. Juli 2006 [Nr. 38033/02] §§ 28 f.).
3.4.3. Die vorliegende Angelegenheit hat keine abgaberechtliche Verpflichtung im Sinne des Steuerrechts zum Gegenstand. Es liegt nach Massgabe des kantonalen öffentlichen Rechts zwar eine Kausalabgabe vor (vgl. E. 3.3 hiervor). Die zu beurteilende öffentlich-rechtliche Forderung ist indes mit einer privatrechtlichen Forderung für eine Behandlung in einem privatrechtlich organisierten Spital vergleichbar und fällt unter den autonom auszulegenden Anwendungsbereich von Art. 6 EMRK. Es ist offenkundig, dass das Universitätsspital Zürich massgeblich in Rechte und Verpflichtungen privatrechtlicher Natur eingreift, indem es für seine (medizinischen) Leistungen vom Beschwerdeführer einen Betrag von Fr. 16'030.-- fordert. Es liegt folglich eine zivilrechtliche Verpflichtung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor.
3.5. Infolge Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK verbleibt zu prüfen, ob der Beschwerdeführer einen Anspruch auf eine öffentliche und mündliche Verhandlung hat.
3.5.1. Gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten mit Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Nach ständiger Rechtsprechung gilt die Pflicht zur Durchführung einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung indes nicht absolut. Die Rechtsprechung des EGMR und des Bundesgerichts lässt ein Absehen von einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung zu, wenn die Angelegenheit ohne Weiteres aufgrund der Akten sowie der schriftlichen Parteivorbringen beurteilt werden kann, wenn sich keine Tatfragen - insbesondere keine Fragen der Beweiswürdigung -, sondern reine Rechts- oder Zulässigkeitsfragen mit geringer Tragweite stellen oder wenn der Streitgegenstand komplexe technische Fragen betrifft. Hingegen ist eine öffentliche und mündliche Verhandlung notwendig, wenn die Überprüfung der vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung erforderlich ist, wenn die Beurteilung der Angelegenheit vom persönlichen Eindruck abhängt oder wenn das Gericht weitergehende Abklärungen zu gewissen Punkten treffen muss. Ob eine öffentliche und mündliche Verhandlung durchzuführen ist, beurteilt sich anhand der konkreten Umstände des Einzelfalls (vgl. Urteil des EGMR Ramos Nunes de Carvalho e Sá gegen Portugal vom 6. November 2018 [Nr. 55391/13, Nr. 57728/13 und Nr. 74041/13] §§ 190 ff.; BGE 144 III 442 E. 2.6 S. 447; 136 I 279 E. 1 S. 281; 124 I 322 E. 4a S. 324; Urteile 2E_1/2018 vom 25. Oktober 2019 E. 2.2.2; 8C_136/2018 vom 20. November 2018 E. 4.2; 2C_608/2017 vom 24. August 2018 E. 4.4.1; 1C_461/2017 vom 27. Juni 2018 E. 3.4, nicht publ. in: BGE 144 I 170; 5A_208/2011 vom 24. Juni 2011 E. 5.2; 8C_141/2009 vom 2. Juli 2009 E. 5.3.2; vgl. auch BGE 141 I 97 E. 5.1 S. 98 ff.).
3.5.2. Die Voraussetzungen, um von einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung abzusehen, sind vorliegend nicht erfüllt. Der Beschwerdeführer hat im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren, in welchem die Vorinstanz als erste gerichtliche Instanz an die Vorgaben von Art. 6 Ziff. 1 EMRK gebunden ist, einen Antrag auf Durchführung einer "Gerichtsverhandlung zur Anhörung des Beschwerdeführers und der ihn behandelnden Ärzte" gestellt. Er hat im Weiteren entscheidrelevante Sachverhaltselemente beanstandet und in diesem Zusammenhang vorgebracht, er habe beim notfallmässigen Eintritt in das Universitätsspital Zürich am 2. Januar 2016 unter einer grossen Schmerzbelastung gestanden (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG). Vor Bundesgericht legt der Beschwerdeführer erneut dar, dass mit seiner Anhörung und den Aussagen der beantragten Zeugen belegt werden könnte, dass er beim Eintritt in das Universitätsspital Zürich nicht habe erkennen können, ein Kostenrisiko im geforderten Umfang zu tragen.
3.5.3. Aus dem soeben Dargelegten wird ersichtlich, dass die zu beurteilende Angelegenheit nicht rechtsgenüglich aufgrund der Akten sowie der schriftlichen Parteivorbringen gelöst werden kann und sich insbesondere nicht bloss reine Rechtsfragen, sondern auch Fragen der Beweiswürdigung stellen. Die Vorinstanz als einzige richterliche Behörde und letzte kantonale Instanz ist verpflichtet, den Sachverhalt frei zu prüfen und das massgebende Recht von Amtes wegen anzuwenden (vgl. Art. 110 BGG). Unter diesen Umständen ist es unzureichend, für die Sachverhaltsermittlung lediglich auf die Verfügung der Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich vom 8. September 2017, auf den Beschluss der Spitaldirektion des Universitätsspitals Zürich vom 17. Oktober 2018 und auf die Akten aus diesen verwaltungsinternen Verfahren abzustellen. Eine öffentliche und mündliche Verhandlung ist insbesondere dann notwendig, wenn - wie vorliegend - die Überprüfung oder neue Ermittlung des Sachverhalts erforderlich ist und die Beurteilung der Angelegenheit vom persönlichen Eindruck abhängen kann. Indem die Vorinstanz auf die Durchführung einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung verzichtet, verletzt sie Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
4.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als begründet, weshalb sie gutzuheissen ist, soweit darauf eingetreten wird. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Februar 2020 ist aufzuheben. Die Angelegenheit ist zur Durchführung einer Gerichtsverhandlung und zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend hat das Universitätsspital Zürich die Gerichtskosten zu tragen, da die Beurteilung der vorliegende Angelegenheit in ihrem Vermögensinteresse liegt (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Das Universitätsspital Zürich hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Februar 2020 wird aufgehoben.
2.
Die Angelegenheit wird zur Durchführung einer Gerichtsverhandlung und zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Universitätsspital Zürich auferlegt.
4.
Das Universitätsspital Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger