Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (Beschwerdeführer) wurde mit Urteil des Gemeindegerichts Zagreb vom 5. Februar 2002 verpflichtet, seiner heute volljährigen Tochter B.A._ (geb. 1991, Beschwerdegegnerin) rückwirkend ab 1. Juni 1999 und bis auf Weiteres einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- (bzw. den Gegenwert in kroatischer Währung) zu bezahlen. Auf seine Berufung hin reduzierte das Gespanschaftsgericht Zagreb den Unterhaltsbeitrag mit Urteil vom 30. Januar 2007 auf Fr. 800.-- (bzw. den Gegenwert in kroatischer Währung). Dieses Urteil erwuchs am 4. April 2007 in Rechtskraft.
A.b. Die Beschwerdegegnerin setzte gestützt darauf einen Betrag von Fr. 37'600.-- (47 Monate x Fr. 800.--) nebst Zins in Betreibung für die von März 2005 bis und mit Januar 2009 geschuldeten Unterhaltsbeiträge (Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes U._ vom 14. September 2012). Mit Urteil vom 3. Januar 2013 erteilte ihr das Gerichtspräsidium Baden hierfür definitive Rechtsöffnung. Gegen den Rechtsöffnungsentscheid wehrte sich der Beschwerdeführer erfolglos vor dem Obergericht des Kantons Aargau und vor Bundesgericht (Urteil 5A_316/2013 vom 1. Mai 2013).
B.
B.a. Am 24. Juni 2013 reichte der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Baden eine negative Feststellungsklage nach Art. 85a SchKG ein mit dem sinngemässen Begehren, es sei festzustellen, dass er der Beklagten nichts (mehr) schulde. Sinngemäss forderte er zudem die vorläufige Einstellung der Betreibung nach Art. 85a Abs. 2 SchKG.
B.b. Das Bezirksgericht holte ein Gutachten sowie ein Ergänzungsgutachten des Schweizerischen Institutes für Rechtsvergleichung zum kroatischen (Verjährungs-) Recht ein, die am 9. November 2016 und 19. Juli 2017 erstattet wurden.
B.c. Mit Urteil vom 3. April 2019 hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut. Soweit nachfolgend relevant, hielt es fest, die Forderung von Fr. 37'600.-- bestehe nur im Umfang von Fr. 28'400.80, resp. sei nur in diesem Umfang durchsetzbar. Für die Differenz von Fr. 9'199.20 hob es die Betreibung auf. Die Gerichtskosten auferlegte das Bezirksgericht zu 3⁄4 dem Beschwerdeführer, zu 1⁄4 der Beschwerdegegnerin, und es verpflichtete den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 11'344.80 zu bezahlen.
B.d. Das Obergericht des Kantons Aargau nahm die vom Beschwerdeführer am 27. Mai 2019 dagegen erhobene "Beschwerde" als Berufung entgegen und wies diese mit Urteil vom 10. März 2020 ab. Das Obergericht auferlegte ihm die Verfahrenskosten.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 25. April 2020 (Datum der Postaufgabe) gelangt der Beschwerdeführer an das Bundesgericht.
C.b. Am 14. Mai 2020 und am 9. Juni 2020 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert Beschwerdeergänzungen und weitere Belege ein.
C.c. Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin in einer Schuldbetreibungssache entschieden hat (Art. 90, Art. 75, Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Der Streitwert beträgt nach den Feststellungen der Vorinstanz Fr. 28'400.80 und erreicht den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2. Ist die Streitwertgrenze nicht erreicht, bleibt zu prüfen, ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellt und die Beschwerde in Zivilsachen aus diesem Grund zulässig ist. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 141 III 159 E. 1.2; 137 III 580 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.3. Der Beschwerdeführer zeigt aber keine Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung auf. Auf die Eingabe vom 25. April 2020 ist daher nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen hätte erheben wollen. Die Eingabe könnte gegebenenfalls als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden (Art. 113 ff. BGG).
1.4. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Eingaben des Beschwerdeführers vom 14. Mai 2020 und vom 9. Juni 2020 inkl. den damit vorgelegten Dokumenten (Sachverhalt lit. C.b), da diese nach Ablauf der Beschwerdefrist erfolgten.
2.
2.1. Neben den Rechtsbegehren muss die Beschwerde eine Begründung enthalten. In dieser ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 85, 115 E. 2 S. 116).
Der Beschwerdeführer ist nicht deutscher Muttersprache und gelangt ohne anwaltliche Vertretung an das Bundesgericht. Die Beschwerde enthält denn auch keine eigentlichen Rechtsbegehren und ist über weite Strecken schwer verständlich. Wie weit aus der Beschwerdebegründung Rechtsbegehren abgeleitet werden könnten, kann angesichts der nachfolgenden Erwägungen offen bleiben.
2.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i. V. m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234; 134 I 83 E. 3.2 S. 88). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er die Lage aus seiner eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2.2.1. Der Beschwerdeführer bringt sinngemäss vor, der Entscheid des Amtsgerichts Zagreb vom 5. Februar 2002 sei "ungesetzlich", weil ihm dannzumal die Vorladung für eine Gerichtsverhandlung nicht persönlich zugestellt worden sei. Ebenso sei ein zweites gerichtliches Dokument nicht ihm selbst zugestellt worden. Damit seien Bestimmungen des Verfahrensgesetzes der Republik Kroatien verletzt worden, was gegen den Schweizer ordre public verstosse. Weiter hätten die Vorinstanzen das Verjährungsrecht "fehlerhaft" angewendet. Die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Forderungen seien nämlich verjährt. Das habe er auch nicht zu spät geltend gemacht, wie dies die Vorinstanz zu Unrecht behauptet habe. Schliesslich seien von ihm geleistete Zahlungen nicht angerechnet worden.
2.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 BGG). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was der Beschwerdeführer mit einer den genannten Anforderungen genügenden Begründung geltend zu machen hat (Art. 117 i. V. m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 445 mit Hinweis; vgl. E. 2.2 hiervor).
Die Ausführungen des Beschwerdeführers weichen zwar in diversen Punkten vom im angefochtenen Urteil wiedergegebenen Sachverhalt ab. Er macht aber weder eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung geltend noch zeigt er auf, dass er vor den Vorinstanzen rechtsgenüglich Beweise zu den behaupteten Tatsachen vorgelegt hätte, welche die Vorinstanzen ignoriert hätten. Seine Darstellungen bleiben somit rein appellatorischer Natur. Darauf ist nicht einzutreten. Das Bundesgericht hat mithin vom von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt auszugehen.
2.2.3. In rechtlicher Hinsicht zeigt der Beschwerdeführer sodann nicht auf, inwiefern seine verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sein sollen. Zwar kritisiert er im Zusammenhang mit der (behaupteten) nicht gehörigen Zustellung, sein rechtliches Gehör sei verletzt worden. Er begründet den Vorwurf aber nicht in der erforderlichen Weise. Weder führt er aus, inwiefern sein Gehör konkret verletzt worden sein soll. Noch setzt er sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinander, in denen die Vorinstanz den Vorwurf der nicht gehörigen Zustellung aufgegriffen und detailliert begründet hat, weshalb - weder nach dem anwendbaren kroatischen, noch nach schweizerischem Recht - eine schwerwiegende Verletzung der Verfahrensrechte des Beschwerdeführers vorgelegen habe. Die Vorinstanz zeigte unter anderem auf, dass die Zustellung an eine andere Person als den Beschwerdeführer zulässig sein konnte. Weiter hielt sie fest, dass der Beschwerdeführer sich trotz der behaupteten nicht gehörigen Zustellungen auf das Verfahren eingelassen und daran mitgewirkt hat, welches zum Urteil des Amtsgerichts Zagreb vom 5. Februar 2002 geführt hatte. Schliesslich unterstrich die Vorinstanz, dass er gegen dieses erste strittige Urteil Beschwerde erheben und vor der Beschwerdeinstanz seinen Standpunkt vorbringen konnte, was schliesslich zum Urteil des Gespanschaftsgerichts Zagreb vom 30. Januar 2007 führte. In diesem zweiten Urteil wurde der Unterhaltsbeitrag auf Fr. 800.-- pro Monat reduziert (vgl. Sachverhalt lit. A.a). Die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge stützen sich nun aber auf dieses zweite Urteil (vgl. Sachverhalt lit. A.b). Zusammengefasst kommt der Beschwerdeführer in Bezug auf die behauptete Gehörsverletzung seiner Rüge- und Begründungspflicht nicht nach.
2.3. Weitere Verfassungsrügen erhebt der Beschwerdeführer nicht. Mangels rechtsgenüglicher Verfassungsrügen kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens muss der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufkommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin wurde nicht zur Vernehmlassung eingeladen. Entsprechend ist ihr keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann