Erwägungen:
1.
B._ (Klägerin, Beschwerdeführerin 2) beantragte mit Klage vom 25. Januar 2020 beim Zivilgericht Basel-Stadt, die C._ AG sei zu verpflichten, ihr Fr. 60'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Der Zivilgerichtspräsident hielt mit Verfügung vom 4. Mai 2020 fest, dass Dr. A._ (Beschwerdeführer 1) nicht als Vertreter der Klägerin zugelassen werde.
Die Beschwerdeführer erhoben gegen diese Verfügung mit Eingabe vom 8. Mai 2020 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde und beantragten, der Beschwerdeführer 1 sei als Vertreter der Beschwerdeführerin 2 zuzulassen. Das Appellationsgericht trat mit Entscheid vom 3. Juli 2020 auf die Beschwerde nicht ein.
Die Beschwerdeführer erhoben gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 30. Juli 2020, die sie mit "Beschwerde wegen Behinderung freier Postulation und Rechtsverzögerungs- und -verweigerungsbeschwerde" übertiteln, beim Bundesgericht Beschwerde.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (BGE 140 III 86 E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 140 V 136 E. 1.1; 138 I 171 E. 1.4; 136 I 65 E. 1.3.1; 134 II 244 E. 2.1/2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
Die unrichtige Anwendung kantonalen Rechts als solche bildet nicht Beschwerdegrund. Das Bundesgericht kann nur prüfen, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung auf andere Weise gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. BGE 138 I 227 E. 3.1 S. 227 f.; 137 V 57 E. 1.3 S. 60 f.; 133 II 249 E. 1.2.1 S. 251 f.), was in der Beschwerde ausdrücklich zu rügen ist.
Wie nachfolgend aufzuzeigen ist, genügt die vorliegende Beschwerde diesen Begründungsanforderungen in weiten Teilen nicht.
3.
Die Beschwerdeführer halten den angefochtenen Entscheid für nichtig, weil er nur durch den mitwirkenden Gerichtsschreiber und nicht durch einen Richter bzw. das Gericht unterschrieben ist.
Fehlerhafte Entscheide sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab die funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der verfügenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht (BGE 145 III 436 E. 4; 144 IV 362 E. 1.4.3; 138 II 501 E. 3.1 S. 503).
Nach Art. 238 lit. h ZPO enthält ein Entscheid die Unterschrift des Gerichts. Die Beschwerdeführer beziehen sich auf diese Bestimmung, machen aber zu Recht nicht geltend, diese sei im vorliegenden Fall verletzt. So ist die Organisation der (Zivil-) Gerichte und der Schlichtungsbehörden Sache der Kantone, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt (Art. 3 ZPO). Das kantonale Recht legt in diesem Sinne namentlich fest, wer einen Entscheid zu unterzeichnen hat. Es kann vorsehen, dass nur der Gerichtsschreiber bzw. die Gerichtsschreiberin unterzeichnet. Das Fehlen der Unterschrift eines mitwirkenden Richters macht den Entscheid des Appellationsgerichts somit von Bundesrechts wegen weder nichtig noch anfechtbar (Urteil des Bundesgerichts 4A_184/2017 vom 16. Mai 2017 E. 2 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer machen geltend, eine Kompetenz zur Unterzeichnung der Urteile mit Einzelunterschrift sei (im Kanton Basel-Stadt) gesetzlich nicht stipuliert; mangels gesetzlicher oder reglementarischer Definition seien nur Richter Rechtsträger des Gerichts, ansonsten jede Angestellte Person zeichnen könnte, was uferlos und unkontrollierbar wäre. Sie zitieren dazu die Umschreibung der Aufgaben der Gerichtsschreiber in § 47 des Gesetzes vom 3. Juni 2015 des Kantons Basel-Stadt betreffend die Organisation der Gerichte und der Staatsanwaltschaft (Gerichtsorganisationsgesetz, GOG; SG 154.100) und in § 15 des Organisationsreglements des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. März 2017 (im Folgenden: Organisationsreglement, SG 154.150). Indessen übersehen sie die Bestimmung von § 23 Abs. 2 des Organisationsreglements, die vorsieht, dass in Urteilsform gefasste Entscheide von der Gerichtsschreiberin oder vom Gerichtsschreiber zu unterzeichnen sind, soweit die anwendbare Prozessordnung nichts anderes vorschreibt, und dass deren bzw. dessen Unterzeichnung als Unterschrift des Gerichts im Sinne von Art. 238 ZPO gilt. Weshalb der Gerichtsschreiber gestützt auf diese Bestimmung im vorliegenden Fall nicht berechtigt gewesen sein soll, den angefochtenen Entscheid mit Einzelunterschrift zu unterzeichnen, legen die Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Die Rüge, der angefochtene Entscheid sei nichtig, weil er ohne gesetzliche oder reglementarische Grundlage bloss von einem Gerichtsschreiber unterzeichnet sei, erweist sich damit ohne weiteres als unbegründet.
4.
Die Vorinstanz trat auf die Beschwerde der Beschwerdeführer mit der Begründung nicht ein, es handle sich bei der Verfügung des Zivilgerichtspräsidenten vom 4. Mai 2020 um eine prozessleitende Verfügung, gegen die eine Beschwerde nur zulässig sei, wenn dem Beschwerdeführer 1 oder der von ihm begleiteten oder vertretenen Partei, der Beschwerdeführerin 2, daraus ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil drohe. In einem solchen Fall habe ein Beschwerdeführer substanziiert zu behaupten und zu beweisen, dass ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil droht, soweit dies nicht offenkundig sei. Die Beschwerdeführer hätten indessen keine belegte Behauptung eines nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils aufgestellt.
Die Beschwerdeführer bringen dazu vor, für die Anfechtung prozessleitender Verfügungen würden hohe Hürden aufgestellt; falls die freie Wahl des Vertreters durch ein Gericht verweigert werde, könne man sich fragen, ob dies einen Nachteil generiere, da sich die Partei ja durch eine andere Person oder einen Anwalt vertreten lassen könne; in Extremis würde dies dem Gericht die Kompetenz geben, Anwälte oder Vertreter ohne Prüfung nach eigenem Gutdünken auszuschliessen, mit der Sicherheit, dass solche Entscheide nicht überprüfbar seien; damit werde ein Grundrecht, nämlich die freie Wahl des Vertreters eliminiert und die Beschwerdeführer seien nicht angehört worden.
Mit diesen Behauptungen über die angeblichen Konsequenzen des angefochtenen Entscheids gehen die Beschwerdeführer nicht hinreichend auf die vorstehende Begründung der Vorinstanz ein und legen nicht rechtsgenügend dar, welche Rechte diese inwiefern verletzt haben soll, indem sie auf ihre Beschwerde gestützt darauf nicht eintrat. Die Beschwerde ist insoweit offensichtlich nicht hinreichend begründet, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
Es bleibt damit beim Nichteintreten der Vorinstanz auf die kantonale Beschwerde, und auf die vorliegende Beschwerde ist von vornherein auch nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführer dem Bundesgericht darin ihre Sicht der Dinge in der Sache selbst unterbreiten.
5.
Die Beschwerdeführerin 2 rügt sodann, der angefochtene Entscheid führe zu einer unnötigen, unzulässigen Rechtsverzögerung; es dauere nun ein bis zwei Jahre, bis über die vorliegende Beschwerde entschieden sei, und erst dann gehe der Zivilprozess weiter.
Der Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist wird missachtet, wenn eine Sache über Gebühr verschleppt wird und die Dauer des gesamten Verfahrens nicht mehr angemessen ist (vgl. BGE 144 II 486 E. 3.2; 135 I 265 E. 4.4; 130 I 312 E. 5.1 S. 331 f.). Inwiefern diese Voraussetzungen für die Annahme einer unzulässigen Verzögerung des Verfahrens im vorliegenden Fall erfüllt sein sollen, legt die Beschwerdeführerin 2 nicht einmal im Ansatz dar. Die Beschwerde ist auch insoweit offensichtlich nicht hinreichend begründet (s. zu den diesbezüglichen Begründungsanforderungen BGE 143 III 416 E. 1.4; 138 III 190 E. 6 S. 192). Überdies erweist sich die der Rüge zugrunde gelegte Prämisse, es dauere ein bis zwei Jahre, bis über die vorliegende Beschwerde entschieden werde, mit dem heutigen Entscheid ohnehin als unzutreffend. Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
6.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem Verfahrensausgang entsprechend den Beschwerdeführern aufzuerlegen, unter solidarischer Haftbarkeit (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'0 00.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt und der C._ AG schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer