Faits :
A.
A._, née en 1965, a été engagée le 12 mars 2001 en qualité d'aide familiale au service de l'organisation d'aide à domicile R._, selon un horaire de travail variable (entre 9 et 12 heures hebdomadaires). A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès de AXA Assurances SA (ci-après: AXA).
Le 20 octobre 2003, A._ a été victime d'un accident de la circulation. Elle s'était mise en ordre de présélection avec sa voiture au centre de la chaussée pour obliquer à gauche à hauteur d'une intersection lorsque le conducteur d'une voiture circulant dans la même direction, remarquant tardivement le véhicule à l'arrêt et malgré une manoeuvre d'évitement, l'a percutée à l'arrière droit; sous l'effet du choc, la voiture de A._ a été projetée sur la voie descendante inverse au moment où arrivait une autre voiture dont l'avant a heurté l'avant droit du véhicule de la prénommée (rapport de police du 22 octobre 2003). AXA a pris en charge le cas.
Souffrant de céphalées et de vertiges, l'assurée a été transportée à l'hôpital B._ dans le service de chirurgie où l'on a constaté une bosse fronto-pariétale, mais pas de fractures ni de signes de pneumothorax, et posé le diagnostic de traumatisme d'accélération et décélération (rapport du 12 novembre 2003). En raison de la persistance d'une sensation de tangage intense et d'une paresthésie de l'hémiface droite, A._ a été transférée du 30 octobre au 2 décembre 2003 au service d'oto-rhino-laryngologie (ORL), où les docteurs C._ et D._ ont diagnostiqué une contusion sévère du labyrinthe droit et une contusion moyenne du labyrinthe gauche à l'issue d'un bilan oto-neurologique mettant en évidence un déficit vestibulaire (rapport du 8 décembre 2003). Par la suite, l'assurée a été suivie par le docteur E._, neurologue, pour ses céphalées et cervicalgies, et par la doctoresse F._, ORL, pour ses problèmes vestibulaires. Cette dernière a prescrit une physiothérapie vestibulaire intensive qui a lentement amélioré la symptomatologie au point de permettre une reprise du travail à partir du 20 septembre 2004. Selon la doctoresse F._, il était néanmoins à craindre un dommage permanent sous la forme d'une récidive des vertiges (rapport du 5 janvier 2005). A partir du mois de décembre 2006, l'assurée a présenté une aggravation des sensations vertigineuses. Après un traitement sous la forme d'une rééducation vestibulaire, son état s'est à nouveau stabilisé avec une rémission partielle.
Le 7 mars 2006, AXA a confié une expertise au docteur G._, neurologue. Ce médecin a posé, entre autres diagnostics, ceux de discret syndrome cervical séquellaire, de céphalées cervicogéniques, de séquelles de contusion labyrinthique bilatérale ainsi que de polyneuropathie aux membres inférieurs préexistante à l'accident. Les facteurs traumatiques, à savoir les séquelles oto-neurologiques, les céphalées et les douleurs cervicales, entraînaient une incapacité de travail de 30 %. Au total, l'intégrité pour atteinte à l'intégrité s'élevait à 40 %.
Le 5 août 2011, AXA a mandaté le Centre d'expertise médicale (CEMed) pour une nouvelle expertise. Dans leur rapport du 15 février 2012, les experts H._, neurologue, et I._, spécialiste en médecine interne, ont retenu des cervico-céphalalgies et des sensations vertigineuses actuellement sans substrat organique et sans relation de causalité probable avec l'accident. Selon le consilium du docteur J._, oto-neurologue, il n'y avait aucune lésion organique vestibulaire séquellaire de l'accident; l'assurée présentait un trouble multisensoriel de l'équilibre d'origine mixte compatible avec la polyneuropathie et une séquelle de contusion labyrinthique.
Sur cette base, AXA a mis un terme au versement de l'indemnité journalière au 1er juin 2004 et nié tout droit aux prestations à partir du 21 octobre 2006, renonçant à réclamer ce qu'elle avait déjà versé (décision du 3 mai 2012, confirmée sur opposition le 26 juillet 2012).
B.
B.a. L'assurée a déféré la décision sur opposition du 26 juillet 2012 à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois en produisant une expertise privée des docteurs K._ et L._, du service de neurologie de l'hôpital M._, du 29 juin 2012, complétée le 29 août suivant. En résumé, ces médecins ont fait état de vertiges séquellaires d'une contusion labyrinthique sans anomalie objective et de céphalées post-traumatiques entraînant une incapacité de travail de 15 %, respectivement une atteinte à l'intégrité d'un taux équivalent.
Statuant le 22 mai 2013, le tribunal cantonal a admis le recours, a annulé les décisions de AXA et a renvoyé la cause à l'assureur-accidents pour complément d'instruction sous la forme d'une surexpertise.
B.b. A la suite de ce jugement, AXA a mandaté trois spécialistes pour examiner l'assurée, soit les docteurs N._, neurologue, O._, oto-neurologue, et P._, rhumatologue. Chacun de ces médecins s'est prononcé et a rendu son rapport indépendamment des autres. Il n'y a pas eu de discussion interdisciplinaire.
Par décision du 9 avril 2015, confirmée sur opposition le 28 juillet suivant, AXA a confirmé l'arrêt des prestations au 21 octobre 2004.
B.c. L'assurée a recouru contre cette dernière décision à la Cour des assurances du Tribunal cantonal vaudois, en produisant une prise de position du 14 octobre 2015 des docteurs Q._ et K._, du département des neurosciences cliniques de l'hôpital M._.
Par jugement du 18 juillet 2018, la cour cantonale a rejeté le recours et a confirmé la décision sur opposition du 28 juillet 2015.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, principalement, à l'octroi d'une rente LAA fondée sur une incapacité de gain de 30 % dès le 21 octobre 2004 et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 30 %, ainsi qu'au maintien de la prise en charge des frais de traitement liés à l'accident du 20 octobre 2003. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'instance précédente pour complément d'instruction sur le plan médical et nouvelle décision.
AXA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Il s'agit de déterminer si AXA était fondée à mettre fin à ses prestations d'assurance au 20 octobre 2004, singulièrement s'il existe un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre les troubles de l'assurée subsistant après cette date et l'accident du 20 octobre 2003.
A cet égard, la cour cantonale a exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas (art. 6 al. 1, art. 18 al. 1 et art. 24 al. 1 LAA; notions de causalité naturelle et adéquate), de sorte qu'il suffit de renvoyer au jugement entrepris. On rappellera que sont considérés comme objectivables les résultats de l'investigation (médicale) susceptibles d'être confirmés en cas de répétition de l'examen, lorsqu'ils sont indépendants de la personne de l'examinateur ainsi que des indications données par le patient. On ne peut ainsi parler de lésions traumatiques objectivables d'un point de vue organique que lorsque les résultats obtenus sont confirmés par des investigations réalisées au moyen d'appareils diagnostiques ou d'imagerie et que les méthodes utilisées sont reconnues scientifiquement (ATF 138 V 248 consid. 5.1 p. 251; SVR 2012 UV n° 5 p. 17; arrêt 8C_816/2012 du 4 septembre 2013 consid. 6 et les références).
3.
Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédé-ral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF). Aussi, lorsque sont en jeu des prestations en espèces et en nature comme c'est le cas ici, le Tribunal fédéral dispose-t-il d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (arrêt 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 2.2 et les arrêts cités, in SVR 2018 UV n° 39 p. 141).
4.
4.1. Dans son rapport du 28 février 2014, le docteur N._ s'est prononcé sur la symptomatologie vertigineuse et sur les céphalées. Il a relevé qu'une contusion de l'oreille interne était une complication connue des traumatismes cranio-cérébraux même mineurs et que le tableau clinique dans les suites immédiates de l'accident, attribué à une atteinte vestibulaire bilatérale, était cohérent et documenté par des examens appropriés. Une persistance des symptômes durant huit mois était plausible. En revanche, le status actuel ne mettait pas en évidence une anomalie compatible avec une atteinte vestibulaire résiduelle, mais une ataxie statique (une instabilité à la marche) liée à une neuropathie des membres inférieurs. En effet, l'examen électrophysiologique était compatible avec une polyneuropathie et les examens neuro-otologiques réalisés par le docteur J._ en 2011 étaient normaux, ce qui permettait d'exclure une atteinte vestibulaire périphérique. Quant aux céphalées, elle n'avaient pas de caractère spécifique. Selon les documents médicaux initiaux, l'assurée avait subi un traumatisme crânien mineur ou un traumatisme cranio-cérébral léger sans perte de connaissance. Dans ce contexte, on ne pouvait pas retenir des céphalées post-traumatiques durables et le diagnostic le plus probable était celui de céphalées de tension. Le status quo sine était atteint depuis le 20 octobre 2004. A la question de savoir s'il y avait une incapacité de travail, le docteur N._ a répondu qu'une diminution de rendement de 25 % pouvait être reconnue pour l'instabilité due à la neuropathie.
4.2. De son côté, le docteur O._, qui a rendu son rapport le 1er avril 2014, a procédé à un nouveau bilan oto-neurologique complet de l'assurée. Il a constaté un nystagmus vers la droite au head shaking et à la stimulation vibratoire mastoïdienne, ainsi qu'une hyporéflexie bilatérale à l'examen calorique et à l'examen pendulaire. Pour lui, il y avait cohérence entre les examens vestibulaires réalisés en 2003, 2006, 2011 et ceux qu'il avait lui-même effectués. Commentant les résultats obtenus par le docteur J._, le docteur O._ a indiqué qu'il retrouvait des réponses à la limite inférieure de la norme aux épreuves caloriques et pendulaires. Il a déclaré que ces examens attestaient d'une brusque modification de la fonction vestibulaire chez l'assurée, ce qui permettait d'expliquer les symptômes de tangage présents dès l'accident, et montraient que le processus de compensation ne s'était jamais complètement rétabli, d'où la persistance des symptômes d'instabilité. L'expert a posé le diagnostic de déficit vestibulaire bilatéral sous-compensé probablement depuis l'accident, et a souligné qu'un tel déficit consécutif à un traumatisme crânien était bien documenté dans la littérature médicale, citant une étude rapportant des cas cliniques similaires avec une brève discussion des différentes hypothèses physiopathologiques avancées (GUYOT/THIELEN/LIARD/KOS, Isolated vestibular areflexia after blunt head trauma, in Annals of Otology, Rhinology & Laryngology, June 2001, vol. 110, n° 6, p. 562 ss). Le docteur O._ a donc affirmé que sur le plan oto-neurologique, la causalité naturelle était vraisemblable et qu'il pouvait exclure les autres causes possibles d'un tel déficit au vu de l'IRM cérébrale qui était normale. En ce qui concerne l'influence de la neuropathie, il a déclaré qu'elle pouvait jouer un rôle mais qu'en l'occurrence, il estimait que le déficit vestibulaire agissait entièrement dans les limitations fonctionnelles observées, consistant en une instabilité limitant les déplacements et les mouvements de la tête. Il a retenu, à ce titre, une incapacité de travail de 20 % avec une diminution de rendement de 25 % dans l'activité habituelle d'aide familiale. Il a fixé l'atteinte à l'intégrité à 10 % compte tenu d'une atteinte objectivable légère du système de l'équilibre (6 points). Pour rendre ses conclusions, le docteur O._ a indiqué s'être appuyé sur l'anamnèse, les examens ORL et vestibulaire cliniques, les épreuves instrumentales comprenant un audiogramme tonal, l'étude des potentiels évoqués myogéniques vestibulaires cervicaux (cVEMP), une électronystagmographie (ENG) et un Video Head Impulse Test (VHIT).
4.3. Quant au docteur P._, rhumatologue, il a fait état, dans son rapport du 19 mai 2014, de cervicalgies mécaniques sur troubles dégénératifs modérés (cervicarthrose) et de status post distorsion cervicale simple de degré II selon la Québec Task Force. Au vu de l'examen clinique et des clichés d'imagerie à sa disposition, il a conclu que l'assurée ne présentait aucune limitation fonctionnelle consécutive à l'accident du 20 octobre 2003 sur le plan rhumatologique. Les manifestations cliniques en lien avec la distorsion cervicale s'étaient épuisées après trois ans d'évolution. Par ailleurs, l'événement accidentel n'avait pas aggravé la cervicarthrose préexistante. Il n'y avait pas d'atteinte à l'intégrité et la capacité de travail était complète.
5.
La cour cantonale a considéré qu'aucun des troubles résiduels de l'assurée ne découlait d'une atteinte organique objectivable. En effet, une contusion labyrinthique n'était pas une atteinte durable à la santé. Par ailleurs, l'imagerie médicale n'avait pas documenté de substrat objectivable pouvant expliquer la permanence du déficit vestibulaire, comme cela ressortait de l'expertise du docteur N._. Ce même expert n'avait pas non plus retenu de céphalées post-traumatiques. Enfin, les examens radiologiques n'avaient mis en évidence aucune lésion traumatique au niveau cranio-cérébral ou au niveau de la colonne cervicale, mais des atteintes de nature dégénérative. La cour cantonale a estimé pour le surplus que les rapports établis par les docteurs N._, O._ et P._ remplissaient toutes les exigences auxquelles la jurisprudence soumet la valeur probante d'un rapport médical et que l'absence de consilium entre les trois experts ne diminuait pas la force probante de leurs expertises, ces derniers n'ayant retenu aucune incapacité de travail (voir le consid. 5ff du jugement attaqué). Elle en a conclu que les troubles n'étaient plus en relation de causalité naturelle avec l'accident, ajoutant qu'il n'était au demeurant pas nécessaire d'examiner plus avant la "querelle médicale" à ce sujet, dès lors que le caractère adéquat des troubles pouvait de toute façon être nié. Pour cet examen, la cour cantonale a fait application de la jurisprudence en matière de traumatisme du type coup du lapin ou de traumatisme cranio-cérébral, considérant que l'assurée avait présenté certains symptômes typiques d'un tel traumatisme (cervicalgies, céphalées et vertiges) sans qu'une atteinte psychique indépendante reléguant ce tableau clinique à l'arrière-plan fût diagnostiquée. Après avoir classé l'accident du 20 octobre 2003 dans la catégorie des accidents de gravité moyenne, la cour cantonale n'a admis la réalisation d'aucun des critères déterminants consacrés par la jurisprudence topique pour faire admettre l'existence d'une relation de causalité adéquate.
6.
6.1. On constate d'emblée que la cour cantonale a fait abstraction de l'expertise du docteur O._, ce qui ne trouve aucune justification. En effet, cet expert a conclu au caractère durablement sous-compensé du déficit vestibulaire bilatéral constaté chez la recourante dans les suites immédiates de l'accident, ce qui contredit l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle les effets délétères d'une contusion labyrinthique ne peuvent qu'être passagers. Par ailleurs, le docteur O._ a fondé ses conclusions sur des méthodes d'examens ORL spécifiques et pris appui sur des cas cliniques similaires décrits dans la littérature médicale spécialisée après un choc à la tête. Cela tendrait également à remettre en cause le point de vue du docteur N._ sur la base duquel la cour cantonale a retenu qu'il s'agissait de plaintes non objectivées pour lesquelles aucune explication médicale satisfaisante n'avait pu être trouvée.
6.2. En tout état de cause, la cour cantonale ne pouvait pas faire l'économie de lever la divergence entre ces deux experts en assimilant le cas de la recourante aux tableaux cliniques sans preuve d'un déficit organique. En effet, si la jurisprudence a développé pour ces atteintes des règles particulières en matière de causalité adéquate (cf. ATF 138 V 248 consid. 4 p. 250 s.; 134 V 109 consid. 10 p. 126 s. et les arrêts cités), c'est parce qu'il est plus difficile d'apprécier juridiquement si l'accident revêt une importance déterminante dans la survenance du résultat. Or il y a lieu d'admettre que le déficit vestibulaire sous-compensé retenu par le docteur O._ constitue une atteinte à la santé objectivée sur le plan médical. En effet, ce diagnostic a été posé sur la base d'observations cliniques reproductibles et issues d'appareils diagnostiques spécialisés propres au domaine ORL dont le caractère scientifiquement reconnu n'est pas douteux (voir LEIF ERIK WALTHER, Moderne Schwindeldiagnostik, in: Laryngo-Rhino-Otol, 2017, p. 183 ss, plus particulièrement la page 202; cf. également NILS GUINAND, Déficit vestibulaire bilatéral: impact sur la qualité de vie, thèse de doctorat: Univ. Genève, 2015, no. Méd. 10755, p. 10). On peut également relever qu'aucun médecin n'a remis en cause les signes cliniques d'un tel déficit immédiatement après l'accident nonobstant l'absence, sur l'imagerie, d'une prise de contraste au niveau des structures cochléo-vestibulaires et des conduits auditifs internes de l'assurée (voir le compte-rendu de l'IRM cérébrale du 12 décembre 2003), et que les docteurs Q._, K._ et G._ sont aussi d'avis qu'un déficit vestibulaire résiduel consécutif à un traumatisme à la tête n'est pas incompatible avec la normalité de l'imagerie. Référence est faite ici à la prise de position des médecins de l'hôpital M._ du 7 octobre 2014 et à la page 21 de l'expertise du docteur G._, où celui-ci fait état de dysfonctionnements du système vestibulaire de l'oreille interne à caractère plutôt microscopique susceptibles cependant d'être confirmés par des épreuves vestibulaires instrumentales. Ainsi, compte tenu du caractère objectivable d'une telle atteinte, la question de la causalité adéquate coïnciderait avec celle de la causalité naturelle.
6.3. Cela étant, on se trouve en présence d'une divergence de vues inconciliable entre le docteur N._, pour lequel il n'y a pas d'atteinte vestibulaire résiduelle mais une ataxie statique liée à une neuropathie des membres inférieurs, et le docteur O._, qui, au contraire, retient le diagnostic de déficit vestibulaire bilatéral sous-compensé depuis l'accident et réfute que la polyneuropathie puisse jouer un rôle prépondérant dans les symptômes d'instabilité. Dans la mesure où cette contradiction tient principalement à l'absence de concertation entre les deux experts et qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder à une instruction complémentaire, il convient de renvoyer la cause à la cour cantonale pour ce faire. En revanche, on peut s'en tenir aux considérations convaincantes des experts N._ et P._, qui ont confirmé les conclusions du rapport d'expertise du CEMed pour les céphalées et les sensations de tension cervicale décrites par la recourante.
6.4. En ce qui concerne le complément d'instruction, on précisera à l'intention de la cour cantonale qu'il lui est loisible d'interpeller les docteurs O._ et N._ et de les inviter à se prononcer, par une prise de position consensuelle, sur le diagnostic à retenir s'agissant des symptômes d'instabilité dont la recourante est affectée ainsi que sur l'existence ou non d'un lien de causalité naturelle entre ces symptômes et l'accident assuré (en cas de réponse positive, ces experts devraient également se déterminer sur la capacité de travail et sur le taux d'atteinte à l'intégrité de la recourante à raison du diagnostic retenu). Le cas échéant, un nouvel expert spécialisé en la matière sera mandaté pour répondre à ces questions. Après quoi la cour cantonale rendra un nouveau jugement sur le droit aux prestations de l'assurée (rente, prise en charge du traitement médical et indemnité pour atteinte à l'intégrité).
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires seront mis à charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, la recourante a droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 18 juillet 2018 est annulé. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dé-pens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 janvier 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl