Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 19. Juni 2019 Strafanzeige gegen Mitarbeitende der Stadtverwaltung Buchs wegen Urkundenfälschung und Amtsmissbrauch. Das Untersuchungsamt Altstätten leitete die Strafanzeige zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter, welche mit Entscheid vom 29. August 2019 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren erteilte. Die Anklagekammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass keinerlei Anhaltspunkte auf ein allfällig strafbares Verhalten erkennbar seien.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 8. Oktober 2019 (Postaufgabe 11. Oktober 2019) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 29. August 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer ersucht um Erstreckung der Beschwerdefrist, damit er selbst oder ein noch zu ernennender unentgeltlicher Rechtsbeistand eine Beschwerdeergänzung einreichen könne. Die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG kann als gesetzlich bestimmte Frist nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch kann somit nicht entsprochen werden.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer legt in seiner Eingabe vom 8. Oktober 2019 nicht dar, inwiefern die Begründung der Anklagekammer, die zur Nichterteilung der Ermächtigung führte, bzw. der Entscheid der Anklagekammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Eingabe genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines Anwalts (Art. 64 BGG) nicht zu entsprechen. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli