Faits :
A.
A.a. A._, née en 1961, a travaillé comme vendeuse/gérante en papeterie. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 19 novembre 2003. Considérant qu'elle souffrait d'affections psychiques (troubles dépressif, de la personnalité, ainsi que mentaux et du comportement liés à l'utilisation d'alcool) incapacitantes depuis 2000 au moins, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève lui a alloué une rente entière dès novembre 2002 (décision du 21 décembre 2005). A l'issue d'une première procédure de révision, le droit de l'assurée a été entièrement confirmé (communication du 22 juin 2007).
A.b. L'administration a entrepris une seconde procédure de révision en août 2010. Mandatés par l'office AI, les docteurs C._ et D._, médecins du Service de psychiatrie des Hôpitaux E._, ont fait état de la rémission du trouble dépressif et d'une abstinence à l'alcool autorisant la reprise d'une activité adaptée à mi-temps (rapport du 24 novembre 2011).
Compte tenu du déménagement de l'intéressée, le dossier a été transmis à l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI). Celui-ci a réalisé un examen clinique psychiatrique. Le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie attaché au Service médical régional de l'administration (SMR), n'a observé aucun trait psychopathologique, ni aucune atteinte à la santé limitant la capacité de travail (rapport du 5 novembre 2014). L'office AI a également recueilli l'avis du docteur G._, médecin traitant, spécialiste en rhumatologie. Celui-ci a diagnostiqué des lombalgies chroniques, une tendinite du sus-épineux droit et une coxarthrose. Il a évoqué des troubles psychiques associés qu'il estimait déterminants pour fixer l'incapacité de travail qu'il évaluait (peut-être) à 80% (rapport du 7 février 2015). Ayant envisagé de supprimer la rente versée à A._ et de lui refuser des mesures de réadaptation sur la base des informations récoltées, l'administration a repris l'instruction eu égard aux avis du docteur G._ et des psychiatres traitants du Centre H._ qui faisaient désormais état d'une incapacité totale de travail. Elle a confié une expertise au docteur I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a diagnostiqué une dysthymie accompagnée d'un trouble de la personnalité émotionnellement labile, type borderline, non décompensé autorisant la reprise d'une activité lucrative à 100% avec baisse de rendement de 30% depuis 2014. Il a en outre retenu un trouble douloureux somatoforme persistant ou des facteurs psychologiques ou comportementaux associés à des troubles ou à des maladies classées ailleurs sans répercussion sur la capacité de travail (rapport du 26 avril 2017).
L'office AI a remplacé la rente entière accordée à l'assurée par un quart de rente depuis février 2018 (décision du 5 décembre 2017).
B.
Saisi d'un recours de l'intéressée, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du Valais l'a rejeté (jugement du 2 décembre 2019).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut, principalement, au remplacement de la rente entière par trois quarts de rente dès le 1er février 2018 et, à titre subsidiaire, au renvoi de sa cause à l'administration afin qu'elle prenne une nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office AI et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur la diminution, par voie de révision (art. 17 LPGA), de la rente entière versée à la recourante depuis le 1er novembre 2002 à un quart de rente dès le 1er février 2018. Compte tenu des motifs et des conclusions du recours, il a trait en particulier à la situation médicale de l'assurée et à l'appréciation de son influence sur la capacité de travail, ainsi qu'à la détermination du revenu sans invalidité pris en compte dans l'évaluation du taux d'invalidité.
3.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence nécessaires pour résoudre le cas, singulièrement celles concernant la révision de rentes et autres prestations durables (art. 17 LPGA; ATF 133 V 108 consid. 5 p. 110 ss; 130 V 343 consid. 3.5 p. 349 ss), le rôle des médecins en matière d'évaluation de l'invalidité (ATF 140 V 193 consid. 3.2 p. 195 s.; 125 V 256 consid. 4 p. 261 s.), le principe de la libre appréciation des preuves (ATF 143 V 124 consid. 2.2.2 p. 126 s.; 125 V 351 consid. 3a p. 352) et la valeur probante des rapports médicaux (ATF 125 V 351 consid. 3 p. 352 ss), y compris ceux émanant du SMR (art. 59 al. 2bis LAI; arrêt 9C_542/2011 du 26 janvier 2012 consid. 4.1). Il cite également les principes jurisprudentiels régissant la fixation du revenu sans invalidité (ATF 129 V 222 consid. 4.3.1 p. 224). Il suffit donc d'y renvoyer.
4.
4.1. La recourante reproche essentiellement à la juridiction cantonale - sous l'angle de l'établissement des faits ainsi que de l'appréciation des preuves - d'avoir omis de prendre en compte l'incapacité de travail de 50% attestée sur le plan purement rhumatismal par le docteur G._ dans son certificat du 22 septembre 2017 et de s'être uniquement fondée sur l'expertise mise en oeuvre par le docteur I._ afin de déterminer sa capacité résiduelle de travail.
4.2. Il est vrai que, conformément à ce que soutient l'assurée, le tribunal cantonal n'a nulle part mentionné le passage du certificat du docteur G._ dans lequel celui-ci faisait état d'une capacité résiduelle de travail de 50% du point de vue purement rhumatismal. Contrairement à ce que prétend toutefois la recourante, les premiers juges n'ont pas apprécié sa capacité de travail sans tenir compte des troubles somatiques. Il ressort effectivement du jugement entrepris que, sur le plan somatique, la cour cantonale s'est ralliée à l'avis du docteur J._, spécialiste en médecine interne générale attaché au SMR, du 17 avril 2015. L'autorité précédente a constaté que ce praticien avait reconnu l'existence de limitations fonctionnelles résultant des troubles somatiques diagnostiqués notamment par le docteur G._ et déterminant le choix d'une activité adaptée mais qu'il avait clairement expliqué la raison pour laquelle il ne retenait pas d'incapacité de travail spécifique aux problèmes physiques en plus de l'incapacité de travail découlant des troubles psychiques. Cette raison était que, dans son rapport du 7 février 2015, le docteur G._ avait considéré que l'influence des troubles psychiques diagnostiqués était déterminante pour apprécier la capacité de travail. La juridiction cantonale a en outre relevé que, dans son certificat du 22 septembre 2017, le docteur G._ avait confirmé l'importance prépondérante de la problématique psychique en tant qu'il précisait que la capacité de travail de l'assurée devait être évaluée selon la jurisprudence relative à l'appréciation du caractère invalidant des troubles psychosomatiques et psychiques.
L'appréciation du tribunal cantonal est cependant arbitraire. En effet, dans l'annexe au rapport médical du 7 février 2015, auquel les premiers juges se sont référés pour étayer leur point de vue, le docteur G._ a expressément mentionné que la recourante disposait d'une capacité résiduelle de travail l'autorisant à exercer deux fois une à deux heures par jour une activité adaptée permettant l'alternance des positions et évitant les positions en porte-à-faux ainsi que le port de charges supérieures à deux ou cinq kilos. Ce praticien a également évoqué des capacités limitées sur le plan psychique (concentration, compréhension, adaptation et résistance) qu'il convenait d'évaluer par un examen psychiatrique. Ce faisant, il a clairement démontré qu'il établissait une nette distinction entre la capacité de travail résultant des troubles somatiques et celles découlant des troubles psychiques. Cette conclusion se trouve du reste confirmée dans le certificat du 22 septembre 2017 dès lors que, dans un premiers temps, le docteur G._ a attesté une capacité de travail de 50% (demi-journée) dans une activité adaptée "du point de vue rhumatismal pur" et que, dans un second temps, il a renvoyé à la jurisprudence concernant l'évaluation du caractère invalidant des troubles psychiques en relation avec l'amplification des douleurs pour des raisons psychologiques. La cour cantonale ne pouvait dès lors pas se contenter de se fonder sur le rapport d'expertise psychiatrique du docteur I._ pour apprécier la capacité résiduelle de travail de l'assurée en niant d'emblée toute répercussion sur la capacité de travail des affections somatiques.
4.3. Dans ces circonstances, il convient d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour qu'elle apprécie à nouveau l'état de santé de la recourante sous l'angle somatique en tenant compte de l'ensemble des conclusions du médecin traitant, au besoin après complément d'instruction sur le plan médical.
Compte tenu de l'annulation du jugement cantonal et du renvoi pour nouveau jugement, il n'y a pas lieu d'examiner le grief de la recourante concernant l'évaluation de son taux d'invalidité.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires et les dépens doivent être mis à la charge de l'office intimée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). La demande d'assistance judiciaire de la recourante est dès lors sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, du 2 décembre 2019 est annulé. La cause est renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à l'avocat de la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton