Erwägungen:
1.
In einer Erbschaftsangelegenheit trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 3. April 2021 auf die von der Gesuchstellerin eingereichte Beschwerde gegen den Massnahmeentscheid und die Verfügung des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 1. Dezember 2020 zufolge abgelaufener Rechtsmittelfrist nicht ein; mit einer Eventualbegründung hielt es fest, dass ohnehin auch mangels eines nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteils auf die Beschwerde nicht einzutreten wäre. Mangels einer hinreichenden Begründung trat das Bundesgericht mit Urteil 5A_414/2021 vom 3. Juni 2021 im vereinfachten Verfahren auf die hiergegen erhobene Beschwerde nicht ein (Besetzung: Bundesrichter Herrmann, Präsident, Gerichtsschreiber Möckli).
Am 14. Juni 2021 ersuchte die Gesuchstellerin um Erläuterung und Berichtigung dieses Urteils. Im Auftrag des Präsidenten legte Gerichtsschreiber Möckli der Gesuchstellerin mit Schreiben vom 15. Juni 2021 die Voraussetzungen für eine Erläuterung oder Berichtigung (Art. 129 Abs. 1 BGG) dar und teilte ihr mit, dass diese Voraussetzungen vorliegend nicht gegeben seien, sondern die Gesuchstellerin vielmehr inhaltlich mit dem Urteil nicht einverstanden sei. Das Urteil sei rechtskräftig und darauf könne nicht zurückgekommen werden.
Mit Eingabe vom 3. September 2021 verlangte die Gesuchstellerin die Revision des bundesgerichtlichen Urteils. Mit Urteil 5F_21/2021 vom 9. September 2021 (Besetzung: Bundesrichter Herrmann, Präsident, Bundesrichter von Werdt und Bovey, Gerichtsschreiber Möckli) wies das Bundesgericht das Revisionsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 6. Oktober 2021 hat die Gesuchstellerin den Ausstand von Bundesrichter Herrmann und Gerichtsschreiber Möckli verlangt. Die Eingabe wurde als Revisionsgesuch gegen das Urteil 5F_21/2021 entgegengenommen. Am 3. Dezember 2021 (Sendedatum) hat die Gesuchstellerin dem Bundesgericht ein an das Zivilgericht Basel-Stadt gerichtetes Schreiben vom 2. Dezember 2021 und weitere Unterlagen zukommen lassen.
2.
Bundesrichter Herrmann und Gerichtsschreiber Möckli sind am vorliegenden Verfahren 5F_24/2021 nicht beteiligt. Das Ablehnungsgesuch ist somit im Hinblick auf das vorliegende Verfahren gegenstandslos.
3.
Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121 bis Art. 123 BGG). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob im konkreten Fall ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Allerdings gelten auch für die Revision die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen. Die Begehren sind demnach zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern einer der in Art. 121 ff. BGG genannten Revisionsgründe bzw. eine entsprechende Rechtsverletzung vorliegen soll. Hingegen kann die Revision nicht dazu dienen, die Rechtslage erneut zu diskutieren und eine Wiedererwägung des strittigen bundesgerichtlichen Entscheides zu verlangen (Urteil 5F_8/2019 vom 13. September 2019 E. 2 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Gesuchstellerin macht geltend, Bundesrichter Herrmann und Gerichtsschreiber Möckli hätten am Verfahren 5F_21/2021 nicht beteiligt sein dürfen. Eine unvoreingenommene Bearbeitung des Revisionsgesuchs sei aufgrund der Wahl des vereinfachten Verfahrens bzw. des Inhalts des Urteil 5A_414/2021 und aufgrund des Schreibens vom 15. Juni 2021 nicht zu erwarten gewesen. Dabei macht sie insbesondere geltend, sie habe bereits am 14. Juni 2021 um Revision ersucht. Mit dem Brief vom 15. Juni 2021 sei eine Revision verweigert bzw. der Entscheid im Verfahren 5F_21/2021 vorweggenommen worden. Das Revisionsgesuch sei in nur vier Werktagen und damit oberflächlich behandelt worden. Von der Zusammensetzung des Spruchkörpers im Urteil 5F_21/2021 habe sie erst mit Zustellung eben dieses Urteils erfahren.
4.2. Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind (Art. 121 lit. a BGG).
Die Umstände, mit denen die Gesuchstellerin die Ablehnung begründet, waren ihr zum Zeitpunkt ihres Revisionsgesuchs vom 3. September 2021 allesamt (mit Ausnahme der Dauer für die Bearbeitung dieses Gesuchs) bekannt. Sie hätten folglich in jenem Revisionsgesuch vorgebracht werden müssen. Das Ablehnungsgesuch ist insofern verspätet.
Im Übrigen lassen die von der Gesuchstellerin genannten Gründe weder einzeln noch im Verbund auf das Vorliegen eines Ausstandsgrunds gemäss Art. 34 BGG schliessen. Gemäss Art. 34 Abs. 2 BGG bildet die Mitwirkung in einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund. Dies betrifft insbesondere das Verhältnis zwischen einem Beschwerde- und dem nachfolgenden Revisionsverfahren (Urteil 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 1.2). Die zusätzlichen Umstände, die von der Gesuchstellerin vorgebracht werden, genügen nicht, um daran etwas zu ändern. Dazu reicht es nicht, dass die Gesuchstellerin das Urteil 5A_414/2021 als fehlerhaft erachtet und insbesondere kritisiert, man habe ihr Weitschweifigkeit vorgeworfen (Urteil 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 1.2). Auch mit dem Hinweis auf das Schreiben vom 15. Juni 2021 kann die Gesuchstellerin nicht glaubhaft machen, dass die Abgelehnten nicht mehr in der Lage gewesen wären, unvoreingenommen ein Revisionsgesuch zu behandeln. Im Schreiben vom 15. Juni 2021 wurde die Gesuchstellerin darüber aufgeklärt, dass die Voraussetzungen für eine Erläuterung oder Berichtigung nicht vorlagen. Das Bundesgericht hat mit diesem Schreiben darauf reagiert, dass die Gesuchstellerin in der Eingabe vom 14. Juni 2021 ausdrücklich Erläuterung und Berichtigung verlangt hat, wobei sie sogar selber auf Art. 29 BGG hingewiesen hat, womit sie offensichtlich Art. 129 BGG meinte. Die Gesuchstellerin belegt nicht, dass sie bereits in der Eingabe vom 14. Juni 2021 um Revision ersucht hätte. Insbesondere sind Erläuterung bzw. Berichtigung (Art. 129 BGG) nicht dasselbe wie eine Revision (Art. 121 ff. BGG). Zwar geht aus dem Schreiben vom 15. Juni 2021 hervor, dass sie sich in der Eingabe vom 14. Juni 2021 inhaltlich mit dem Urteil 5A_414/2021 nicht einverstanden erklärte. Dies stellt jedoch gerade keinen Revisionsgrund dar (vgl. oben E. 3), so dass auch kein Revisionsverfahren zu eröffnen war. Zu einer allfälligen Revision äussert sich das Schreiben vom 15. Juni 2021 nicht. Die Gesuchstellerin kann folglich nicht glaubhaft machen, dass ihr mit dem Schreiben vom 15. Juni 2021 die Behandlung eines Revisionsgesuchs verweigert oder die zukünftige Behandlung eines solchen Gesuchs vorweggenommen worden wäre. Schliesslich kann auch aus der Dauer der Bearbeitung des Revisionsgesuchs vom 3. September 2021 nicht abgeleitet werden, die Abgelehnten hätten das Gesuch nicht unvereingenommen geprüft.
4.3. Die Gesuchstellerin kommentiert ausserdem die einzelnen Erwägungen des Urteils 5F_21/2021. Einen Revisionsgrund im Sinne von Art. 121 ff. BGG macht sie nicht geltend. Sie bringt zwar vor, sie habe entgegen E. 2 dieses Urteils keine Verletzung des Grundsatzes "ne ultra petita" (Art. 121 lit. b BGG) gerügt, sondern die Wahl des vereinfachten Verfahrens. Diese angebliche Verwechslung stellt keinen Revisionsgrund dar, denn eine Rüge ist keine revisionsrelevante Tatsache im Sinne von Art. 121 lit. d BGG (Urteil 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1). Soweit sich die weiteren Ausführungen überhaupt auf das Urteil 5F_21/2021 beziehen, erschöpfen sie sich in blosser allgemeiner Urteilskritik, die nicht Gegenstand eines Revisionsverfahrens sein kann (oben E. 3).
4.4. Ausserdem äussert sich die Gesuchstellerin erneut zum Urteil 5A_414/2021. Das Bundesgericht habe in diesem Urteil Rügen und Rechtstatsachen betreffend Akteneinsicht und Wiederherstellungsgesuch übersehen. Wie bereits gesagt, sind Rügen keine revisionsrelevanten Tatsachen im Sinne von Art. 121 lit. d BGG (oben E. 4.3). Die Akteneinsicht war sodann nicht Verfahrensthema (E. 1 des Urteils 5A_414/2021). Das Urteil 5A_414/2021 ist zudem ein Nichteintretensentscheid. Ein Revisionsgesuch gegen dieses Urteil kann sich demgemäss einzig auf die Sachurteilsvoraussetzungen beziehen, d.h. vorliegend auf die Beurteilung, dass die Beschwerde offensichtlich mangelhaft begründet war (BGE 147 III 238 E. 3.2.2). Inwieweit diesbezüglich ein angebliches Wiederherstellungsgesuch an das Zivilgericht Basel-Stadt vom 14. Dezember 2020 erheblich sein sollte, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt. Sodann erwähnt die Gesuchstellerin eine Beschwerdeschrift vom 28. Mai 2021, die unbehandelt geblieben sein soll. Worauf sie sich damit bezieht, ist unklar. Im Übrigen zielen ihre teilweise schwer verständlichen Vorbringen auf eine blosse Wiedererwägung des Urteils 5A_414/2021 ab, was nicht Gegenstand eines Revisionsverfahrens ist (oben E. 3).
4.5. Das Revisionsgesuch ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Gesuchstellerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg