Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) und C._ sind Gesellschafter und (bis anhin: einzelzeichnungsberechtigte) Geschäftsführer der B._ GmbH (Beschwerdegegnerin). Zwischen ihnen bestehen Meinungsdifferenzen.
Auf Gesuch von C._ entzog das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 27. September 2019 die Einzelzeichnungsberechtigung von A._ (neu: Kollektivunterschrift zu zweien). Seither ist einzig C._ einzelunterschriftsberechtigt.
B.
Am 9. Januar 2020 reichte A._ beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt ein gegen die B._ GmbH gerichtetes Gesuch im summarischen Verfahren ein. Er verlangte unter anderem die Ernennung eines Sachwalters. Zur Begründung berief er sich auf Mängel in der Organisation der Gesellschaft (Art. 731b OR).
Mit Entscheid vom 14. April 2020 wies das Zivilgericht das Gesuch ab.
A._ focht diesen Entscheid mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Dieses wies die Berufung mit Entscheid vom 11. Juni 2020 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 11. Juni 2020 sei aufzuheben und es sei ein Sachwalter für die B._ GmbH zu ernennen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, soweit sie sich auf den vorinstanzlichen Entscheid über die Entschädigungsfolgen ("Parteientschädigung zu Gunsten der Beschwerdegegnerin") beziehe.
Mit Präsidialverfügung vom 14. Juli 2020 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG.
1.2. Da kein arbeits- oder mietrechtlicher Fall vorliegt, ist die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt.
1.2.1. Die Vorinstanz setzte den Streitwert entsprechend dem Stammkapital der Beschwerdegegnerin auf Fr. 20'000.-- fest.
In der Tat besteht in der Rechtsprechung - auch in der kantonalen Gerichtspraxis - eine Tendenz, den Streitwert in Organisationsmängelverfahren nach dem nominellen Gesellschaftskapital zu bemessen (siehe Urteile 4A_499/2019 vom 25. März 2020 E. 1.3; 4A_142/2016 vom 25. November 2016 E. 1.2.2; 4A_630/2011 vom 7. März 2012 E. 1, nicht publiziert in: BGE 138 III 166; 4A_234/2011 vom 8. August 2011; 4A_315/2010 vom 19. August 2010 E. 2; 4A_278/2010 vom 8. Juli 2010 E. 6; 4A_106/2010 vom 22. Juni 2010 E. 6, nicht publiziert in: BGE 136 III 369).
In anderen Entscheiden hat das Bundesgericht auf die wirtschaftlichen Auswirkungen der möglichen Massnahmen nach Art. 731b OR abgestellt (Urteil 4A_215/2015 vom 2. Oktober 2015 E. 1.1; siehe auch Urteile 4A_161/2013 vom 28. Juni 2013 E. 1.1; 4A_4/2013 vom 13. Mai 2013 E. 1.1; 4A_425/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 1.2, nicht publiziert in: BGE 138 III 90; 4A_578/2010 vom 11. April 2011 E. 1.1. nicht publ. in: BGE 137 III 217; so auch FLORIAN ZIHLER, Aufforderung des Handelsregisteramts zur Behebung von Mängeln in der gesetzlich zwingend vorgeschriebenen Organisation [Art. 154 HRegV], REPRAX 2/2011 S. 48 f.). In der Lehre ist vorgeschlagen worden, auch andere Kriterien - wie die Bilanzsumme oder den Umsatz der Gesellschaft - bei der Streitwertberechnung zu berücksichtigen (vgl. MÜLLER/MÜLLER, Organisationsmängel in der Praxis, AJP 1/2016 S. 52; MARCEL SCHÖNBÄCHLER, Die Organisationsklage nach Art. 731b OR, 2013, S. 415 f.; vgl. auch Urteil 4A_142/2016 vom 25. November 2016 E. 1.2.2).
1.2.2. Wie es sich damit verhält, kann dahingestellt bleiben. Denn: Soll ein höherer als der im kantonalen Entscheid angegebene Streitwert massgebend sein, obläge es der beschwerdeführenden Partei, zum Erreichen des Mindeststreitwerts nähere Angaben zu machen, die dem Bundesgericht eine Festsetzung des Streitwerts nach Ermessen gestatten würden (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 51 Abs. 2 BGG; BGE 136 III 60 E. 1.1.1 S. 62; Urteil 4A_273/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1.2.2, nicht publiziert in: BGE 138 III 620). Derartiges ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Der Beschwerdeführer geht im Gegenteil selbst (sowohl vor Bundesgericht als auch schon im kantonalen Verfahren) von einem Streitwert von Fr. 20'000.-- aus.
1.3. Folglich erreicht der Streitwert die Grenze von Fr. 30'000.-- nicht. Unter diesen Umständen wäre die Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde. In der Beschwerde ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt sein soll (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
1.3.1. Bei Mängeln in der Organisation einer Gesellschaft mit beschränkter Haftung sind die Vorschriften des Aktienrechts entsprechend anwendbar (Art. 819 OR). Gemäss Art. 731b Abs. 1 OR greift das Organisationsmängelverfahren insbesondere dann, wenn der Gesellschaft eines der vorgeschriebenen Organe fehlt (Ziff. 1) oder wenn ein vorgeschriebenes Organ der Gesellschaft nicht richtig zusammengesetzt ist (Ziff. 2).
1.3.2. Die Vorinstanz ging davon aus, dass unter Umständen auch Interessenkollisionen von Organwaltern zur Funktionsunfähigkeit eines Organs und damit zu einem Organisationsmangel im Sinne von Art. 731b OR führen können. Indes - so erwog die Vorinstanz - habe der Beschwerdeführer nicht glaubhaft gemacht, dass C._ (als einzige Geschäftsführerin mit Einzelunterschrift) die Angelegenheiten der Gesellschaft nicht mehr unabhängig wahrnehme und vertrete. Eine Kollision ihrer Interessen und jener der Beschwerdegegnerin sei nicht auszumachen. Ein Organisationsmangel liege folglich nicht vor.
1.3.3. Unter dem Titel "Die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung" legt der Beschwerdeführer ausführlich und ohne Rücksicht auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (vgl. Art. 105 Abs. 1 OR) seine Sicht der Vorgänge rund um die Beschwerdegegnerin und die weiteren am Streit (mittelbar) beteiligten Gesellschaften dar, unter Hinweis auf verschiedene Grafiken, "Beweise" und "Belege". Er beanstandet die Beurteilung der Vorinstanz, wonach kein zur Funktionsunfähigkeit der Gesellschaft führender Interessenkonflikt vorliege, und schliesst seine Ausführungen wie folgt:
"Darf ein Gericht im Rahmen eines Verfahrens nach Art. 731b OR selbst entscheiden, was im Interesse einer Gesellschaft ist und damit seinen eigenen Willen und seine eigene Meinung an die Stelle des Willens und der Meinung der Gesellschaft stellen?"
Der Beschwerdeführer meint, die von ihm formulierte Frage sei von grundsätzlicher Bedeutung, weil die vorinstanzliche Rechtsanwendung "zu einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte" führe, weil "dadurch das Institut des Sachwalters abgeschafft" werde und weil das Appellationsgericht "mit keinem einzigen Wort" begründe, "was die rechtliche Grundlage dieser Rechtsprechung" sei.
1.3.4. Damit vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. In der Sache beanstandet er eine unrichtige Anwendung von Art. 731b OR auf den vorliegenden Sachverhalt. Daran ändert nichts, dass er seine Kritik in Form einer Frage zum Ausdruck bringt. Dagegen unterlässt er es, hinreichend auf Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG und die zu dieser Bestimmung entwickelten Voraussetzungen Bezug zu nehmen. Weder macht er geltend, dass hinsichtlich der von ihm aufgeworfenen "Frage" eine erhebliche Rechtsunsicherheit bestehe, noch tut er dar, inwiefern sie höchstrichterlicher Klärung bedürfte (siehe BGE 144 III 164 E. 1 S. 165; 141 III 159 E. 1.2; 139 III 209 E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Die Beschwerde lässt Hinweise auf Rechtsprechung oder Doktrin vermissen und es wird namentlich auch nicht ausgeführt, inwiefern eine Rechtsfrage geklärt werden soll, die über die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Fall hinausgeht. Die Ausführungen genügen den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG nicht.
1.4. Die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht zulässig. Es ist nicht darauf einzutreten.
2.
Folglich stünde die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen. Eine solche erhebt der Beschwerdeführer zwar nicht ausdrücklich, jedoch macht er Verfassungsverletzungen geltend.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer erblickt im angefochtenen Entscheid eine Verletzung der "Meinungsfreiheit".
Er wendet sich dagegen, dass die Vorinstanz in Anwendung von Art. 731b OR das Vorliegen eines Interessenkonflikts verneinte und zum Ergebnis gelangte, die unabhängige Wahrnehmung der Gesellschaftsinteressen sei weiterhin gewährleistet. Der Beschwerdeführer verweist auf Art. 16 Abs. 2 BV und meint, es sei "dem Staat" verboten, der Beschwerdegegnerin "die Meinung aufzudrängen". Es liege allein an der Beschwerdegegnerin, darüber zu entscheiden, was "in ihrem Interesse" sei. Damit kritisiert der Beschwerdeführer unter dem Vorwand der Verfassungsverletzung eine unrichtige Handhabung von Gesetzesrecht. Darauf ist nicht einzutreten.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV).
Dabei verkennt er die in diesem Zusammenhang geltenden Begründungsanforderungen: Es genügt nicht, die Rechtslage aus eigener Sicht zu schildern, um anschliessend zu beklagen, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie anders entschieden habe. So argumentiert aber der Beschwerdeführer, wenn er zunächst (auch hier) ohne nachvollziehbare Begründung vorbringt, Art. 731b OR verbiete es dem Gericht, über das Gesellschaftsinteresse zu entscheiden, und anschliessend ein "Fehlverhalten" der Vorinstanz bemängelt, weil sie dies verkannt habe. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht schon zur Frage geäussert, wann ein sich zu einem Organisationsmangel verdichtender Interessenkonflikt vorliegt (Urteil 4A_717/2014 vom 29. Juni 2015 E. 2.3 und 2.5.2; siehe auch Urteil 4A_522/2011 vom 13. Januar 2012 E. 2.3), und dabei insbesondere darauf abgestellt, ob die Interessen der Gesellschaft und jene der Organwalter gleich- oder gegenläufig sind. Der angefochtene Entscheid erweist sich vor diesem Hintergrund jedenfalls nicht als unhaltbar.
2.4. Sollte der Beschwerdeführer mit der Kritik, die Vorinstanz habe "die rechtliche Grundlage" ihrer Rechtsprechung "mit keinem einzigen Wort" begründet, eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) rügen wollen, wäre dieser Vorwurf angesichts der ausführlichen rechtlichen Erläuterungen des Appellationsgerichts (siehe Erwägungen 2.3.2 und 2.3.3 des angefochtenen Entscheids) offensichtlich unbegründet.
2.5. Die Vorinstanz hat keine verfassungsmässigen Rechte verletzt.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle