Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die miteinander verheirateten Eltern des Sohns C._ (geb. 2016). Mit Urteil des Einzelgerichts im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach vom 28. Februar 2018 (berichtigt am 9. März 2018 und am 4. Mai 2018) wurde die Obhut für C._ der Mutter zugeteilt, dem Vater ein Besuchsrecht zugesprochen und dieser seit dem 1. Dezember 2016 für die Dauer des Getrenntlebens zur Zahlung von Unterhalt von Fr. 5'160.-- im Monat (davon Fr. 3'022.-- Barbedarf, Fr. 2'138.-- Überschussbeteiligung und Fr. 0.-- Betreuungsunterhalt) an seinen Sohn verpflichtet. Zudem verpflichtete das Bezirksgericht A._ dazu, die Hälfte der ausserordentlichen Kosten von C._ (mehr als Fr. 500.-- pro Ausgabenposition; z.B. Zahnarztkosten, Schullager etc.) zu bezahlen. Ferner wurde A._ verurteilt, an B._ persönlich monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 4'275.-- rückwirkend seit dem 1. September 2016 zu bezahlen.
A.b. Gegen dieses Urteil wandte sich A._ mittels Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 27. November 2018 (eröffnet am 29. November 2018) verpflichtete dieses A._ zu folgenden Unterhaltsleistungen an seinen Sohn (Dispositiv-Ziff. 1) :
"a) vom 01.12.2016 bis 28.02.2018: Fr. 5'160.-- (davon Fr. 3'022.-- Barbedarf, Fr. 2'139.-- Überschussbeteiligung und Fr. 0.-- Betreuungsunterhalt)
b) vom 01.03.2018 bis 31.03.2018: Fr. 3'487.-- (davon Fr. 3'022.-- Barbedarf, Fr. 465.-- Überschussbeteiligung und Fr. 0.-- Betreuungsunterhalt)
c) vom 01.04.2018 bis 30.06.2018: Fr. 3'753.-- (davon Fr. 3'022.-- Barbedarf, Fr. 731.-- Überschussbeteiligung und Fr. 0.-- Betreuungsunterhalt)
d) ab 01.07.2018 für die weitere Dauer des Getrenntlebens: Fr. 3'648.-- (da von Fr. 3'022.-- Barbedarf, Fr. 626.-- Überschussbeteiligung und Fr. 0.-- Betreuungsunterhalt)."
Den Unterhalt, den A._ seiner Frau schuldet, setzte das Obergericht wie folgt fest (Dispoisitiv-Ziff. 2) :
"a) vom 01.09.2016 bis 28.02.2018: Fr. 4'275.--
b) vom 01.03.2018 bis 31.03.2018: Fr. 931.--
c) vom 01.04.2018 bis 30.06.2018: Fr. 1'463.--
d) ab 01.07.2018 für die weitere Dauer des Getrenntlebens: Fr. 1'252.--"
B.
Mit Beschwerde vom 27. Dezember 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung der Ziffern 1 a) und 2 a) des vorinstanzlichen Urteils. Für die Zeit vom 1. Dezember 2016 bis zum 28. Februar 2018 sei der Kindesunterhalt auf monatlich Fr. 3'487.88 und der Unterhalt an B._ (Beschwerdegegnerin) auf Fr. 931.-- festzusetzen. Eventualiter seien die Ziffern 1 a) und 2 a) aufzuheben und die Sache im Sinn der Erwägungen zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über den Kindesunterhalt sowie den ehelichen Unterhalt während des Getrenntlebens der Parteien entschieden hat. Strittig ist damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG), wobei der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG) ist einzutreten.
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor dem Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich nicht zu beachten (BGE 139 III 120 E. 3.1.2; 133 IV 342 E. 2.1). Davon betroffen ist die Tatsache, dass der Beschwerdeführer am 5. Dezember 2018 eine stationäre Behandlung in einer Klinik in Deutschland angetreten hat.
2.
2.1. Eheschutzentscheide unterstehen Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5), weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll (BGE 141 I 36 E. 1.3). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 140 III 264 E. 2.3).
2.2. Verfassungsmässiges Recht ist auch das Willkürverbot (Art. 9 BV). Die Rechtsanwendung ist dann willkürlich, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (BGE 144 I 113 E. 7.1; 142 V 513 E. 4.2; 141 III 564 E. 4.1; 140 III 167 E. 2.1).
3.
Umstritten ist, welches Einkommen dem Beschwerdeführer in der Zeit vom 1. Dezember 2016 bis zum 28. Februar 2018 angerechnet werden kann.
3.1. Die Vorinstanz erwägt, dass der Beschwerdeführer in dieser Zeit neben seiner vollen Anstellung als Oberarzt beim Kantonsspital U._ (Nettoeinkommen: Fr. 12'200.--/Monat) in Deutschland als Notarzt einer Nebenerwerbstätigkeit nachging und damit einen monatlichen Verdienst von Fr. 8'370.-- erzielte. Die Nebenerwerbstätigkeit habe er über mehrere Jahre freiwillig und regelmässig ausgeübt. Die effektiv erzielten Einkünfte seien ihm daher zuzurechnen.
3.2. Der Beschwerdeführer sieht in der Anrechnung des Zusatzverdienstes eine Verletzung von Art. 9 und 10 BV. Anders als es die Vorinstanz darstelle, sei ihm das Erzielen eines solchen Nebenerwerbseinkommens nicht zumutbar gewesen. Er habe bereits am Kantonsspital U._ 52 Stunden pro Woche bzw. 10.4 Stunden pro Tag gearbeitet. Zusammen mit den Arbeitsstunden als Notarzt ergäben sich 65 Arbeitsstunden pro Woche bzw. 13. Stunden pro Tag. Anlässlich des erstinstanzlichen Verfahrens sei er ermahnt worden, nicht mehr als 100 % zu arbeiten. Tatsächlich habe er sich durch die chronische Überarbeitung massiv an der eigenen Gesundheit geschädigt, weshalb er seine Tätigkeit als Notarzt auch anfangs März 2018 habe aufgeben müssen. Wie ein Asbestopfer habe er sich langsam aber stetig vergiftet. Die Auswirkungen dieses schädigenden Verhaltens seien seit der Krankschreibung vom 11. Juni 2018 ans Licht getreten und seine Gesundheit habe sich seither massiv verschlechtert. Die körperliche und geistige Unversehrtheit als höchstes Rechtsgut könne durch eine zeitliche Versetzung von Ursache und Wirkung nichts an ihrer Schutzbedürftigkeit einbüssen. Das angefochtene Urteil ignoriere, dass bereits die Erwirtschaftung des Zusatzeinkommens zur Verletzung seiner psychischen und physischen Unversehrtheit geführt habe. Die Vorinstanz wäre deshalb gehalten gewesen, bereits sein gesundheitsschädigendes Verhalten während der Ausübung des Zusatzverdienstes als unzumutbar zu qualifizieren.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz sinngemäss eine qualifiziert falsche und damit willkürliche Anwendung von Art. 163 Abs. 1 ZGB vor. Danach sorgen die Ehegatten gemeinsam, ein jeder nach seinen Kräften, für den gebührenden Unterhalt der Familie. Der Vorwurf der Willkür (E. 2.2) erfolgt zu Unrecht. Im vorliegenden Fall geht es darum, ob das vom Beschwerdeführer in der Zeit vom 1. Dezember 2016 bis 28. Februar 2018 tatsächlich erzielte Einkommen berücksichtigt werden kann (vgl. Urteil 5A_722/2007 vom 7. April 2008 E. 6.2). Dass die Vorinstanz dies getan hat, ist nicht zu beanstanden. Daran ändert auch nichts, dass die Nebenerwerbstätigkeit dem Beschwerdeführer gesundheitlich geschadet hat. Der Standpunkt der Vorinstanz ist weder offensichtlich unhaltbar noch widerspricht er dem Gerechtigkeitsgedanken. Der Vergleich mit der Asbest-Problematik ist unbehelflich. Nicht zu entscheiden ist, wie die Sache zu beurteilen wäre, wenn das Einkommen aus der freiwilligen Nebenerwerbstätigkeit der Bildung einer Sparquote gedient hätte (BGE 140 III 485 E. 3). Eine solche wird vom Beschwerdeführer weder behauptet, geschweige denn nachgewiesen oder auch nur glaubhaft gemacht.
3.3.2. Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus eine Verletzung von Art. 10 BV (Recht auf Leben und auf persönliche Freiheit) geltend macht, übersieht er, dass Grundrechte ihre Schutzwirkung grundsätzlich nur im Verhältnis zwischen Bürger und Staat entfalten und keine unmittelbare Horizontalwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen haben. Indessen sind bei der Auslegung zivilrechtlicher Vorschriften die besonderen Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus den Grundrechten ergeben (BGE 143 I 217 E. 5.2; 137 III 59 E. 4.1). Dies setzt freilich voraus, dass sich der Beschwerdeführer konkret mit den betroffenen zivilrechtlichen Normen auseinandersetzt und sich nicht einfach abstrakt auf Grundrechte beruft (Urteil 5A_408/2018 vom 28. November 2018 E. 3.2 mit Hinweisen). Dies unterlässt der Beschwerdeführer, weshalb auf den Vorwurf nicht einzutreten ist (E. 2.1).
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde, ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber