Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 11. November 2014 schloss die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (nachfolgend: die FINMA) ein gegen die Bank B._ AG geführtes Enforcementverfahren zum Devisenhandel in der Schweiz ab. Dabei stellte sie fest, dass Händler des Devisenspothandelsdesks der Bank B._ AG in Zürich wiederholt und über längere Zeit zumindest versucht hätten, Devisenreferenzwerte zu manipulieren; zudem habe die Bank B._ AG wiederholt gegen die Interessen ihrer Kunden verstossen. Treuwidriges Verhalten sei auch im Edelmetallspothandel vorgekommen. Aufgrund dieses Verhaltens von Mitarbeitern und der Verletzung von Organisationsvorschriften (ungenügendes Risikomanagement, ungenügende Kontrollen, ungenügende Compliance im Devisenhandel) habe die Bank B._ AG schwer gegen das aufsichtsrechtliche Gewährserfordernis verstossen.
A.b. Im Gefolge des gegen die Bank B._ AG geführten Enforcementverfahrens prüfte die FINMA im Rahmen weiterer Einzelverfahren die individuelle Vorwerfbarkeit des beanstandeten Marktverhaltens. Eines dieser Verfahren betraf A._, der bei der Bank B._ AG bis im Januar 2014 als Devisenhandelsmitarbeiter beschäftigt war. Mit Verfügung vom 18. Dezember 2015 stellte die FINMA fest, A._ sei für die schwere Aufsichtsrechtsverletzung der Bank B._ AG (mit-) verantwortlich; sie sprach deshalb ein sechsmonatiges Berufsverbot gegen ihn aus und auferlegte ihm Verfahrenskosten von Fr. 30'000.--.
A.c. Eine von A._ gegen die Verfügung vom 18. Dezember 2015 erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil B-642/2016 vom 11. Juni 2018 wegen unvollständiger Sachverhaltsinstruktionen und verschiedener Verletzungen des rechtlichen Gehörs gut; es hob die Verfügung vom 18. Dezember 2015 auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an die FINMA zurück.
B.
Nach Wiederaufnahme des erstinstanzlichen Aufsichtsverfahrens forderte die FINMA A._ auf, seine aktuelle berufliche Tätigkeit anzugeben und mitzuteilen, ob er seit seinem Ausscheiden bei der Bank B._ AG bei einem von der FINMA beaufsichtigten Institut tätig gewesen sei. In seinem Antwortschreiben führte A._ aus, dass seit Sommer 2014 ein faktisches Berufsverbot gegen ihn bestehe; entsprechend sei er seither auch nicht mehr bei einem von der FINMA beaufsichtigten Institut tätig gewesen. In der Folge stellte die FINMA das Enforcementverfahren gegen A._ mit Verfügung vom 1. November 2018 ein und auferlegte ihm Verfahrenskosten von Fr. 7'500.--.
Im Kostenpunkt focht A._ die Verfügung der FINMA vom 1. November 2018 beim Bundesverwaltungsgericht an. Mit Urteil B-6838/2018 vom 13. September 2019 wies das Bundesverwaltungsgericht seine Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 4. Oktober 2019 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Urteils vom 13. September 2019 und die Rückweisung der Angelegenheit an das Bundesverwaltungsgericht.
Die FINMA beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf inhaltliche Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
Das Rechtsmittel des Beschwerdeführers richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) auf dem Gebiet der Finanzmarktaufsicht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 BGG e contrario). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) des dazu legitimierten Beschwerdeführers (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
Art. 15 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht vom 22. Juni 2007 (FINMAG; SR 956.1) sieht unter der Marginalie "Finanzierung" vor, dass die FINMA für Aufsichtsverfahren im Einzelfall und für Dienstleistungen Gebühren erhebt. In Konkretisierung dieser Bestimmung bestimmt Art. 5 Abs. 1 der Verordnung des Bundesrats vom 15. Oktober 2008 über die Erhebung von Gebühren und Abgaben durch die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA-GebV; SR 956.122), dass gebührenpflichtig wird, wer eine Verfügung veranlasst (lit. a), wer ein Aufsichtsverfahren veranlasst, das nicht mit einer Verfügung endet oder das eingestellt wird (lit. b), oder wer eine Dienstleistung der FINMA beansprucht (lit. c). Gemäss Art. 6 FINMA-GebV ergeben sich die weiteren Einzelheiten der Gebührenerhebung für Aufsichtsverfahren - unter dem Vorbehalt besonderer Regelungen der FINMA-GebV - aus der Allgemeinen Gebührenverordnung des Bundesrates vom 8. September 2004 (AllgGebV; SR 172.041.1).
3.
Die Vorinstanz stützte die Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Entrichtung von Kosten für das eingestellte Aufsichtsverfahren auf Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV. Die FINMA-GebV gründet ihrem Ingress zufolge auf Art. 15 und Art. 55 FINMAG sowie Art. 46a des Regierungs- und Verwaltungsorganisationsgesetzes vom 21. März 1997 (RVOG; SR 172.010); die genannten Gesetzesbestimmungen bilden demnach - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - auch die Grundlage für Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV. Strittig ist zunächst, ob Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV (im Zusammenspiel mit Art. 15 Abs. 1 FINMAG und Art. 46a RVOG) eine hinreichende gesetzliche Grundlage für die vom Beschwerdeführer beanstandete Kostenüberwälzung darstellt.
3.1. Nach Art. 164 Abs. 1 BV sind alle wichtigen rechtsetzenden Bestimmungen in der Form des Bundesgesetzes zu erlassen; dazu gehören im Abgaberecht namentlich die grundlegenden Bestimmungen über den Kreis der Abgabepflichtigen sowie den Gegenstand und die Bemessung einer Abgabe (Art. 164 Abs. 1 lit. d BV; vgl. spezifisch für Steuern und Kausalabgaben Art. 127 Abs. 1 BV [und dazu BGE 143 I 227 E. 4.2 S. 232 f.; Urteil 2C_140/2018 vom 5. Juli 2018 E. 3.1]).
Eine Relativierung erfährt diese Regelung im Kausalabgaberecht: Wo das Mass der Abgabe durch überprüfbare verfassungsrechtliche Prinzipien (Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip [vgl. dazu BGE 139 III 334 E. 3.2.3 und 3.2.4 S. 337]) hinreichend begrenzt wird, und nicht allein der Gesetzesvorbehalt diese Schutzfunktion erfüllen kann, darf die Bemessung der Abgabe auf Verordnungsstufe geregelt werden (vgl. BGE 143 I 227 E. 4.2.1 S. 233). Die mögliche Lockerung betrifft indes nur die Vorgaben zur Bemessung, nicht jedoch die Umschreibung des Kreises der Abgabepflichtigen und des Gegenstandes der Abgabe (BGE 134 I 179 E. 6.1 S. 180 f.; 132 I 117 E. 4.2 S. 121; 123 I 248 E. 2 S. 249 f.; Urteil 2C_699/2017 vom 12. Oktober 2018 E. 8.1).
3.2. Soweit die FINMA für die Durchführung eines Aufsichtsverfahrens im Einzelfall Kosten erhebt, handelt es sich dabei - wie bei Gerichtskosten (BGE 143 I 227 E. 4.3.1 S. 234; 141 I 105 E. 3.3.2 S. 108; 132 I 117 E. 4.2 S. 121) - um Verwaltungsgebühren (vgl. RENÉ WIEDERKEHR, Kausalabgaben, 2015, S. 37 ff.) und damit Kausalabgaben (vgl. Urteil 2C_929/2017 vom 23. April 2018 E. 4.2). Art. 15 Abs. 1 FINMAG umreisst sowohl den Kreis der Abgabepflichtigen, wie auch den Gegenstand der Abgabe: Gegenstand der Abgabe bilden "Aufsichtsverfahren im Einzelfall" (Art. 15 Abs. 1 FINMAG), abgabepflichtig sind entsprechend Personen, die von diesen Verfahren betroffen sind. Auch die Grundzüge für die Bemessung der streitgegenständlichen Kausalabgabe sind formellgesetzlich festgelegt, indem Art. 46a Abs. 3 RVOG den Bundesrat (in Wiederholung der ohnehin bestehenden verfassungsrechtlichen Vorgaben) verpflichtet, bei der Regelung der Bemessung das Äquivalenz- und das Kostendeckungsprinzip zu beachten.
3.3. An den Verordnungsgeber delegiert ist nach dem oben Ausgeführten (vgl. E. 3.2 hiervor) im Einklang mit dem Legalitätsprinzip (vgl. E. 3.1 hiervor) einzig die Regelung der Einzelheiten der Gebührenbemessung (vgl. Art. 46a Abs. 3 RVOG). Insoweit stellen die FINMA-GebV und - über den Verweis von Art. 6 FINMA-GebV - die AllGebV gesetzesvertretende Verordnungen dar; im Übrigen - und namentlich mit Blick auf den Kreis der Abgabepflichtigen - handelt es sich um gesetzesvollziehende Bestimmungen (vgl. zur Abgrenzung von gesetzesvertretenden und gesetzesvollziehenden Verordnungen BGE 141 II 169 E. 3.3 S. 172).
Das Bundesgericht kann diese Bestimmungen inzident einer Geltungskontrolle unterziehen (vgl. zum Massstab BGE 143 II 87 E. 4.4 S. 92; 141 II 169 E. 3.4 S. 172 f.). Strittig ist insofern namentlich, ob der Bundesrat als Verordnungsgeber durch die Implementierung des "Veranlasserprinzips" in Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV den gesetzlichen Rahmen eingehalten hat (Art. 164 Abs. 2 BV; BGE 137 II 409 E. 6.4 S. 413; 130 I 26 E. 5.1 S. 43).
3.3.1. Diesbezüglich ist zunächst erneut darauf hinzuweisen, dass neben Art. 46a Abs. 3 RVOG auch Art. 15 Abs. 1 FINMAG die gesetzliche Grundlage für den Erlass von Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV darstellt (vgl. den Ingress zur FINMA-GebV und dazu E. 3 hiervor). Bei der Überprüfung der Gesetzmässigkeit von Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV ist deshalb auch das vom Gesetzgeber für die FINMA vorgesehene Gebührenkonzept zu berücksichtigen.
3.3.2. In der Botschaft zum FINMAG umschrieb der Bundesrat die durch Art. 15 Abs. 1 FINMAG beabsichtigte Gebührenerhebung wie folgt (vgl. BBl 2006 2829 ff., S. 2868) : "Die Formulierung «Aufsichtsverfahren im Einzelfall» ist auch mit Blick auf die Fälle gewählt worden, in denen Untersuchungen ohne Verfügung oder bloss mit einer Einstellungsverfügung beendet werden. Während der Aufwand für die Einstellungsverfügung selbst gering ist, kann der vorhergehende Untersuchungsaufwand gross sein. Die gewählte Formulierung ermöglicht, Gebühren auch für solchen Untersuchungsaufwand zu erheben. Die Kostenauflage dürfte namentlich im Rahmen des Unterliegerprinzips gerechtfertigt sein, wonach die oder der mutmasslich Unterliegende die Verfahrenskosten zu tragen hat [Fussnotenhinweis auf BGE 128 II 247 ff.]."
3.3.3. Die Frage der Gebührenerhebung für "Aufsichtsverfahren im Einzelfall" passierte die parlamentarischen Debatten in der Folge ohne weitere Kommentare seitens der Ratsmitglieder (vgl. AB 2007 N 81 ff.; AB 2007 S 411 f.). Aufgrund der Materialien ist mithin davon auszugehen, dass der Gesetzgeber mit der Regelung von Art. 15 Abs. 1 FINMAG die Gebührenerhebung auch dann zulassen wollte, wenn ein Aufsichtsverfahren mit Einstellungsverfügung endet. Die Regelung von Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV (vgl. dazu auch Eidgenössisches Finanzdepartement, Erläuterungsbericht zur FINMA-GebV vom 6. März 2008, S. 4, abrufbar unter <https://www.admin.ch/ch/d/gg/pc/ documents/1608/Bericht_FINMA_GebV.pdf> [7. Februar 2020]) bewegt sich damit innerhalb des vom Gesetzgeber vorgesehenen Rahmens. Eine Verletzung des Legalitätsprinzips ist auch insoweit nicht ersichtlich.
3.4. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass eine Kostenauflage gestützt auf Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV mit dem Legalitätsprinzip in dem durch BGE 128 II 247 (E. 6) vorgezeichneten Rahmen vereinbar ist. Eine andere - nachfolgend zu erläuternde - Frage ist, ob Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV die Gebührenerhebung in allen Fällen von Einstellungsverfügungen erlaubt. Zu klären ist in diesem Zusammenhang namentlich, wie der in Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV enthaltene Begriff des "Veranlassens" zu verstehen ist.
4.
4.1. Die Kosten der Finanzmarktaufsicht werden durch die Beaufsichtigten getragen; erfasst sind auch Personen, die bewilligungslos tätig werden (vgl. Art. 3 lit. a FINMAG). Sichergestellt wird die Finanzierung der FINMA einerseits durch Gebühren, die für Aufsichtsverfahren im Einzelfall und das Erbringen von Dienstleistungen erhoben werden, anderseits durch eine von den Beaufsichtigten jährlich erhobene Pauschalabgabe, die sog. Aufsichtsabgabe (vgl. Art. 15 FINMAG; Art. 2 bis 4 FINMA-GebV; Botschaft FINMAG, BBl 2006 2829 ff., S. 2844, S. 2867 f.). Aufwand, der den Beaufsichtigten durch ihr Verhalten direkt zugerechnet werden kann, soll von ihnen durch Gebühren selbst getragen werden; nur das verbleibende Defizit und die zu äufnenden Reserven werden durch die Aufsichtsabgabe finanziert (vgl. Eidgenössisches Finanzdepartement, a.a.O., S. 1; HÜNERWADEL/TRANCHET, in: Watter/Bahar [Hrsg.], BSK FINMAG, N. 5 zu Art. 15 FINMAG).
4.2. Gebührenpflichtig ist nach Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV unter anderem, wer ein Aufsichtsverfahren veranlasst, auch wenn dieses später eingestellt wird. Die Materialien zu Art. 15 Abs. 1 FINMAG - der gesetzlichen Grundlage von Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV - verweisen in diesem Zusammenhang auf einen publizierten Entscheid des Bundesgerichts aus dem Jahr 2002 zur Kostenauflage bei Einstellung einer kartellrechtlichen Untersuchung durch die Wettbewerbskommission (vgl. BGE 128 II 247). Rechtsgrundlage für die Kostenauflage bildete damals die Verordnung vom 25. Februar 1998 über die Erhebung von Gebühren im Kartellgesetz (KG-Gebührenverordnung; SR 251.2), die sich - anders als vorliegend Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV - nur auf die (inhaltlich deckungsgleiche) Vorgängerbestimmung von 46a RVOG abstützen konnte (vgl. den damaligen - mittlerweile aufgehobenen - Art. 4 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1974 über Massnahmen zur Verbesserung des Bundeshaushalts [AS 1975 65] und zu dessen Stossrichtung BGE 128 II 247 E. 6.1 S. 257).
4.3. Wenngleich der Handlungsspielraum des Bundesrates bei der konkreten Regelung der Gebührenpflicht für Aufsichtsverfahren der FINMA aufgrund der spezialgesetzlichen Ergänzung von Art. 46a RVOG durch Art. 15 Abs. 1 FINMAG grösser ist, als unter der Kartellrechtsgesetzgebung, die BGE 128 II 247 zugrunde lag (vgl. E. 4.1 hiervor und E. 7.3.1-7.3.4 des angefochtenen Urteils), erlauben Art. 15 Abs. 1 FINMAG und der gesetzeskonform ausgelegte Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV nicht, den Verfahrensaufwand in jedem Fall auf den "Veranlasser" bzw. "Verursacher" eines Aufsichtsverfahrens abzuwälzen. In den Materialien zu Art. 15 Abs. 1 FINMAG wurde ausdrücklich auf BGE 128 II 247 verwiesen (BBl 2006 2829 ff., S. 2868); in jenem Entscheid führte das Bundesgericht aus, dass sich eine Kostenauflage an den "Verursacher" des Verfahrens bei Verfahrenseinstellung (nur) dann rechtfertige, wenn eine summarische Beurteilung zum Zeitpunkt der Einstellung den Schluss zulasse, dass das untersuchte Verhalten voraussichtlich Anlass zu Massnahmen nach Art. 30 KG gegeben hätte (a.a.O., E. 6.1 S. 257 f.; vgl. im Übrigen auch BGE 142 V 551 E. 8.2 S. 568 zur bundesgerichtlichen Herangehensweise bei Gegenstandslosigkeit). Im Lichte dieses Entscheids ist also auch der Begriff des "Veranlassers" gemäss Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV zu interpretieren.
4.4. Eine Kostenauflage bei Einstellung eines Aufsichtsverfahrens durch die FINMA fällt im Lichte von BGE 128 II 247 insbesondere dann in Betracht, wenn eine summarische Prognose zum Zeitpunkt der Einstellung des Verfahrens den Schluss ergibt, dass bei materieller Erledigung voraussichtlich eine Aufsichtssanktion angezeigt gewesen wäre; eine solche Prognose impliziert nämlich, dass die Eröffnung des Verfahrens (vgl. Art. 30 Abs. 1 FINMAG) nicht grundlos erfolgt ist. Darüber hinausgehend erlaubt der gesetzliche Rahmen eine Kostenauflage auch dann, wenn der Beaufsichtigte zu verantworten hat, dass bei der Eröffnung des Aufsichtsverfahrens aus Sicht der FINMA "Anhaltspunkte für Verletzungen aufsichtsrechtlicher Bestimmungen" (Art. 30 Abs. 1 FINMAG) bestanden haben; davon ist namentlich auszugehen, wenn er vor der Eröffnung des Verfahrens seinen Mitwirkungspflichten (vgl. namentlich Art. 29 Abs. 1 FINMAG) nicht nachgekommen ist.
Soweit sich im Aufsichtsverfahren jedoch ergibt, dass keine Aufsichtsrechtsverletzung vorliegt, besteht - unter dem Vorbehalt oben erwähnter Konstellationen - keine Handhabe für eine Kostenüberwälzung. Der Umstand beispielsweise, dass eine Gesellschaft ein neuartiges Geschäftsmodell verfolgt, das wegen seiner Ungewöhnlichkeit zu einer durch Einstellungsverfügung erledigten aufsichtsrechtlichen Prüfung geführt hat, kann für sich genommen nicht dazu führen, dass die durch das Aufsichtsverfahren ohnehin schon stark betroffene Gesellschaft auch noch mit Verfahrenskosten belegt wird (vgl. Urteil 2C_959/2019 vom 4. Mai 2020 E. 5.1). Eine Kostenauflage kommt entgegen der vernehmlassungsweise geäusserten Ansicht der FINMA auch für Voruntersuchungen nicht in Frage: In solchen Voruntersuchungen steht noch nicht einmal fest, ob Anhaltspunkte für eine Aufsichtsrechtsverletzung (vgl. Art. 30 Abs. 1 FINMAG) gegeben sind; angesichts des klaren Gesetzeswortlauts von Art. 15 Abs. 1 FINMAG, der die Gebührenerhebung auf "Aufsichtsverfahren im Einzelfall" (und Dienstleistungen) beschränkt, besteht auch dann kein Raum für die Überwälzung des durch die Voruntersuchung entstandenen Aufwands, wenn im Anschluss an die Voruntersuchung ein Aufsichtsverfahren eröffnet und mit Aufsichtsmassnahme beendet wird.
4.5. Mit Blick auf die obigen Ausführungen zum Begriff des "Veranlassers" gemäss Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV rechtfertigt sich die von der Vorinstanz bestätigte Kostenauflage im Falle des Beschwerdeführers nicht:
4.5.1. Im Urteil B-642/2016 vom 11. Juni 2018 (vgl. Bst. A.c hiervor) erwog das Bundesverwaltungsgericht im Fall des Beschwerdeführers unter Hinweis auf die einschlägige Rechtsprechung des Bundesgerichts (BGE 142 II 243), der aufsichtsrechtliche Tatbestand des Berufsverbots sei erfüllt, wenn eine Person durch ihr individuelles Fehlverhalten kausal und schuldhaft eine schwere Verletzung aufsichtsrechtlicher Bestimmungen durch die Beaufsichtigte bewirkt habe (a.a.O., E. 5.5). Was das Tatbestandsmerkmal der schweren Verletzung aufsichtsrechtlicher Bestimmungen betreffe, sei zu beachten, dass Feststellungen, die im rechtskräftig abgeschlossenen Verfahren gegen die Bank getroffen worden seien (vgl. Bst. A.a hiervor), dem Beschwerdeführer nicht unbesehen vorgehalten werden dürften. Im Aufsichtsverfahren, das gegen den Beschwerdeführer geführt werde, bilde die schwere Verletzung von Aufsichtsrecht vielmehr eigenständiges Tatbestandsmerkmal, das dem Beweis zugänglich sei und zu welchem dem Beschwerdeführer auch das rechtliche Gehör gewährt werden müsse. Indem die FINMA in der Verfügung vom 18. Dezember 2015 insoweit einfach auf die Verfügung betreffend die Bank verwiesen habe und verschiedene Beweisanträge des Beschwerdeführers ohne hinreichende Begründung implizit abgewiesen habe ("Rechtskrafterstreckung"), habe sie den Sachverhalt unvollständig festgestellt und zudem ihre Begründungspflicht verletzt (a.a.O., E. 5.5). Mangelhaft erstellt sei der Sachverhalt auch mit Blick auf die Kausalität des Beitrags des Beschwerdeführers (a.a.O., E. 5.5).
4.5.2. Nach der Rückweisung durch das Bundesverwaltungsgericht hat die FINMA keine weiteren Sachverhaltsinstruktionen vorgenommen, sondern das Verfahren aus Opportunitätsgründen eingestellt. Zum Zeitpunkt der Verfügung der FINMA vom 1. November 2018 waren die Akten damit genauso unvollständig, wie zum Zeitpunkt des Rückweisungsentscheids des Bundesverwaltungsgerichts vom 11. Juni 2018. Eine Prognose, ob bei materieller Erledigung des Verfahrens voraussichtlich eine Aufsichtssanktion angezeigt gewesen wäre (vgl. E. 4.4 hiervor), liess sich bei dieser Aktenlage nicht treffen, zumal namentlich zur Kausalität des Beitrags des Beschwerdeführers keinerlei Anhaltspunkte bestanden, und damit auch eine summarische Prüfung nicht möglich war. Hinzu kommt, dass dem Beschwerdeführer zu dieser Frage auch das rechtliche Gehör nicht gewährt worden ist (vgl. BGE 128 II 247 E. 6.1 S. 257 f.). Die Voraussetzungen für eine Kostenauflage trotz Verfahrenseinstellung (Art. 5 Abs. 1 lit. b FINMA-GebV) waren bei dieser Sachlage nicht gegeben, zumal aus den Akten auch nicht hervorgeht, dass dem Beschwerdeführer eine Verletzung seiner Mitwirkungspflichten vorgeworfen werden könnte.
5.
5.1. Damit ergibt sich zusammengefasst, dass die vorinstanzlich für das Aufsichtsverfahren bestätigte Kostenauflage Bundesrecht verletzt. Die Beschwerde ist deshalb gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben.
5.2. Ausgangsgemäss sind der FINMA die Gerichtskosten aufzuerlegen, zumal die Eidgenossenschaft in der vorliegenden Angelegenheit in ihrer Vermögenssituation betroffen ist (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die FINMA hat den Beschwerdeführer zudem für das Verfahren vor dem Bundesgericht angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Sache ist zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im vorangegangenen Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. September 2019 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der FINMA auferlegt.
3.
Die FINMA hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'074.85 auszurichten.
4.
Zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens wird die Sache an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner