Sachverhalt:
A.
A.a. A._ betrieb die B._ AG mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes St. Gallen vom 13. Oktober 2016 für eine Forderung von Fr. 1,1 Mio. nebst Zins zu 5 % seit dem 16. September 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 413.30. Als Forderungsurkunde bzw. Grund der Forderung wurde angegeben: "Anspruch aus Agenturvertrag Missbräuchliche Kündigung und Schadenersatz". Die B._ AG erhob Rechtsvorschlag.
Mit Zahlungsbefehl Nr. yyy des Betreibungsamtes St. Gallen vom 16. November 2016 betrieb A._ die B._ AG für eine Forderung von Fr. 113'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 15. November 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 203.30. Als Forderungsurkunde bzw. Grund der Forderung wurde angegeben: "Forderung aus B._ AG gekündigten Bauverträgen gem. Schreiben vom 07.11.2016". Die B._ AG erhob Rechtsvorschlag.
A.b. Mit zwei separaten Klagen vom 25. Oktober 2016 und 22. Dezember 2016 ersuchte die B._ AG beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen um Feststellung, dass sie nicht Schuldnerin der in Betreibung (Betreibung Nr. xxx) gesetzten Forderung von Fr. 1,1 Mio. zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. September 2016 bzw. der in Betreibung (Betreibung Nr. yyy) gesetzten Forderung von Fr. 113'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 15. November 2016 sei. Das Handelsgericht vereinigte die beiden Klagen und setzte A._ Frist zur Erstattung einer Klageantwort. Am 6. Februar 2017 reichte A._ ein Gesuch um Leistung einer Parteikostensicherheit von Fr. 70'000.-- ein und beantragte die Erhöhung des Gerichtskostenvorschusses. Mit Verfügung vom 16. Februar 2017 wurde A._ die Frist zur Einreichung der Klageantwort abgenommen und die B._ AG aufgefordert, sich zum Gesuch um Leistung einer Parteikostensicherheit zu äussern. Am 13. März 2017 zog die B._ AG die beiden Klagen zurück. Das Handelsgericht schrieb die Verfahren daraufhin mit Verfügung vom 31. Mai 2017 ab.
A.c. Am 21. Juli 2017 stellte A._ beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen ein Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen mit dem Antrag, die B._ AG zu verurteilen, ihm Fr. 1,1 Mio. und Fr. 113'000.-- zu bezahlen, jeweils zuzüglich Zins. Zudem verlangte er, in den zwei Betreibungen sei jeweils der Rechtsvorschlag zu beseitigen und die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Das Handelsgericht trat mit Entscheid vom 1. Dezember 2017 auf das Gesuch nicht ein. Das Bundesgericht wies eine dagegen gerichtete Beschwerde von A._ ab (Urteil 4A_24/2018 vom 15. Juni 2018).
A.d. Mit Klage vom 25. September 2018 beantragte A._ beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen im ordentlichen Verfahren, die B._ AG sei zu verpflichten, ihm Fr. 1,1 Mio. und Fr. 113'000.-- zu bezahlen, jeweils zuzüglich Zins. Zudem sei der Rechtsvorschlag in den beiden Betreibungen zu beseitigen und es sei die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Dieses Verfahren ist offenbar noch hängig.
B.
Am 11. Juni 2019 gelangte A._ an das Bezirksgericht Lenzburg und beantragte, die Rechtsvorschläge in den Betreibungen Nrn. xxx und yyy des Betreibungsamtes St. Gallen zu beseitigen und ihm im Betrag von Fr. 1,1 Mio. zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. September 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 413.30 nebst 5 % Zins seit 13. Oktober 2016 bzw. im Betrag von Fr. 113'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. September 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 203.30 nebst 5 % Zins seit 16. November 2016 die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Die B._ AG beantragte am 12. August 2019, auf die beiden Rechtsöffnungsbegehren sei nicht einzutreten, eventuell seien sie abzuweisen.
Mit Entscheid vom 4. November 2019 trat das Bezirksgericht Lenzburg auf das Rechtsöffnungsgesuch nicht ein.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 18. November 2019 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. Er verlangte dessen Aufhebung und hielt an seinen Anträgen in der Sache fest.
Die B._ AG beantragte am 16. Dezember 2019, die Beschwerde und eventuell das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen.
Mit Entscheid vom 16. März 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
D.
Gegen diesen Entscheid hat A._ (Beschwerdeführer) am 19. Mai 2020 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die Rechtsvorschläge in den Betreibungen Nrn. xxx und yyy des Betreibungsamtes St. Gallen seien zu beseitigen und ihm im Betrag von Fr. 1,1 Mio. zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. September 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 413.30 nebst 5 % Zins seit 13. Oktober 2016 bzw. im Betrag von Fr. 113'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. September 2016 sowie für die Betreibungskosten von Fr. 203.30 nebst 5 % Zins seit 16. November 2016 die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Nach Einholung von Stellungnahmen hat das Bundesgericht der Beschwerde mit Verfügung vom 9. Juni 2020 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht hat am 18. Januar 2021 auf Vernehmlassung verzichtet. Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt mit Beschwerdeantwort vom 8. Februar 2021 die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich am 19. Februar 2021 nochmals vernehmen lassen. Daraufhin hat die Beschwerdegegnerin am 8. März 2021 eine weitere Eingabe eingereicht.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich als zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG i.V.m. der damals in Kraft stehenden Verordnung vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19] [AS 2020 849]).
2.
2.1. Die Beschwerdegegnerin bestreitet die Zulässigkeit des Rechtsöffnungsverfahrens, da vor dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen bereits ein Verfahren mit identischem Streitgegenstand hängig sei (vgl. oben lit. A.d). Die anderweitige Rechtshängigkeit schliesse das vorliegende Rechtsöffnungsverfahren aus (Art. 59 Abs. 2 lit. d ZPO).
Diese Auffassung vertrat auch das Bezirksgericht Lenzburg und es ist unter anderem aus diesem Grund auf das Rechtsöffnungsgesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten. Das Obergericht hat diese Auffassung zu Recht abgelehnt.
2.2. Das SchKG sieht mehrere Wege vor, die zur Beseitigung des Rechtsvorschlags führen können: Einerseits die sog. Anerkennungsklage nach Art. 79 SchKG, andererseits die definitive und die provisorische Rechtsöffnung (Art. 80 ff. SchKG). Entgegen einem verbreiteten Sprachgebrauch ist die "Beseitigung des Rechtsvorschlags" kein Synonym zu "Rechtsöffnung". Ersteres ist vielmehr ein Oberbegriff und Letzteres ist ein Unterfall dieses Oberbegriffs, d.h. eine der Formen, in denen die Beseitigung des Rechtsvorschlags erfolgen kann (vgl. die Marginalien von Art. 79 ff. SchKG).
Das vom Beschwerdeführer am Handelsgericht angehobene Verfahren hat eine sog. Anerkennungsklage im Sinne von Art. 79 SchKG zum Gegenstand. Die Anerkennungsklage ist eine materiellrechtliche Klage wie etwa auch die Aberkennungsklage nach Art. 83 Abs. 2 SchKG (BGE 133 III 645 E. 5.2 S. 652; 119 III 63 E. 4b S. 67). Mit der Anerkennungsklage soll geklärt werden, ob die eingeklagte Forderung materiellrechtlich existiert und die beklagte Partei zu ihrer Erfüllung verpflichtet ist. Ist dies der Fall, wird sie zur entsprechenden Leistung verurteilt. Das Urteil im Anerkennungsverfahren entfaltet materielle Rechtskraft. Im Vergleich zu Klagen, die ausserhalb des betreibungsrechtlichen Kontexts stehen, weist sie als Besonderheit allerdings ein vollstreckungsrechtliches Element auf, nämlich den Umstand, dass mit ihr zusätzlich zur materiellen Rechtsfolge die Beseitigung des Rechtsvorschlags angestrebt wird (Art. 79 SchKG).
Das Verfahren auf (provisorische oder definitive) Rechtsöffnung ist demgegenüber ein reines Vollstreckungsverfahren bzw. ein rein betreibungsrechtliches Verfahren. Geurteilt wird nicht über den materiellrechtlichen Bestand einer Forderung, sondern einzig darüber, ob die Betreibung fortgesetzt werden kann (BGE 136 III 566 E. 3.3 S. 569; 133 III 645 E. 5.3 S. 653; 120 Ia 82 E. 6c S. 85). Zu diesem Zweck befindet das Gericht darüber, ob ein für die Rechtsöffnung genügender Titel (Art. 80 bzw. Art. 82 Abs. 1 SchKG) vorliegt (BGE 136 III 583 E. 2.3 S. 586 f. mit Hinweisen). Das Rechtsöffnungsurteil entfaltet keine materielle Rechtskraft für den Forderungsprozess (BGE 136 III 566 E. 3.3 S. 569; 136 III 583 E. 2.3 S. 586 f.; Urteil 5A_467/2015 vom 25. August 2016 E. 4.3).
Im Anerkennungs- und im Rechtsöffnungsverfahren stehen damit nicht die gleichen Fragen zur Diskussion; das Prozessthema unterscheidet sich (BGE 136 III 583 E. 2.3 S. 586 f.; 133 III 645 E. 5.3 S. 653; 120 Ia 82 E. 6c S. 85). In ähnlicher Weise, wie das Ergebnis des Rechtsöffnungsverfahrens keine Rechtskraft für den Forderungsprozess schafft, so hindert die Hängigkeit einer Anerkennungsklage die Einleitung oder Weiterführung eines Rechtsöffnungsverfahrens nicht (BGE 136 III 583 E. 2.3 S. 586; Urteil 5A_400/2009 vom 12. November 2009 E. 1).
2.3. Am Gesagten ändern die Vorbringen der Beschwerdegegnerin nichts und sie bilden auch keinen Anlass, auf die dargestellte, konstante Rechtsprechung zurückzukommen. Die Beschwerdegegnerin bringt einerseits vor, der Beschwerdeführer stütze seinen Anspruch in beiden Verfahren auf den Rückzug der negativen Feststellungsklagen, woraus sie ableitet, der Klage und dem Gesuch liege derselbe Lebenssachverhalt zugrunde. An der Unterschiedlichkeit der Prozessthemen ändert jedoch nichts, wenn den beiden Verfahren dasselbe Forderungsverhältnis zwischen den Parteien zugrunde liegt (BGE 120 Ia 82 E. 6c S. 85). Selbst wenn man davon sprechen mag, dass insofern derselbe Lebenssachverhalt vorliegt, so ist er doch in den beiden Prozessen unter einer unterschiedlichen Optik zu betrachten, ähnlich wie es sich etwa im Verhältnis zwischen einem Hauptprozess und dem dazugehörenden Verfahren auf vorsorgliche Massnahmen verhält. Andererseits beruft sich die Beschwerdegegnerin auf die angebliche Identität der Anträge in den beiden Verfahren. Selbst nach ihren eigenen Behauptungen liegt jedoch ein deutlicher Unterschied vor, denn im Verfahren vor Handelsgericht klagt der Beschwerdeführer in erster Linie darauf, sie zur Bezahlung der strittigen Beträge zu verpflichten. Weitgehend deckungsgleich ist nach ihrer Darstellung einzig der Antrag auf Beseitigung des Rechtsvorschlags und auf definitive Rechtsöffnung, der in beiden Verfahren gestellt wird. Dies ist jedoch nicht massgeblich. Das Ziel der beiden Verfahren stimmt zwar zumindest teilweise überein, nämlich dahingehend, dass mit beiden die Beseitigung des Rechtsvorschlags in einer konkreten Betreibung angestrebt wird. In der Folge gleichen sich in diesem Punkt zwangsläufig auch die Anträge. Dieses gemeinsame Ziel soll jedoch auf unterschiedlichen Wegen erreicht werden, im einen Fall gestützt auf eine vorgängige, umfassende materiellrechtliche Prüfung, im andern gestützt auf eine blosse Prüfung der vorgelegten Titel. Wie dargelegt, schliessen diese Wege einander aufgrund ihrer unterschiedlichen Ausgestaltung und Tragweite nicht aus, sondern können parallel beschritten werden.
3.
Im Mittelpunkt des vorliegenden Verfahrens steht die Frage, ob der Rückzug einer negativen Feststellungsklage zu einem Titel führt, gestützt auf den die definitive Rechtsöffnung erteilt werden kann für diejenige Forderung, die Gegenstand der zurückgezogenen negativen Feststellungsklage bildete. Das Obergericht hat dies verneint.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe bei der Beurteilung dieser Frage sein rechtliches Gehör (Art. 53 ZPO, Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt. Es sei auf seine Ausführungen zur Fortführungslast gemäss Art. 65 ZPO kaum eingegangen, sondern es habe pauschal auf Aufsätze verwiesen.
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 145 III 324 E. 6.1 S. 326; 142 II 49 E. 9.2 S. 65; 137 II 266 E. 3.2 S. 270; 136 I 229 E. 5.2 S. 236).
Das Obergericht hat unter Hinweis auf die Lehre dargelegt, dass einem Klagerückzug Rechtskraftwirkung nur in dem beschränkten Sinne zukomme, dass eine identische Klage künftig ausgeschlossen sei (Art. 65 ZPO), nicht aber, dass das Gegenteil der mit der Klage aufgestellten Behauptung verbindlich gelte (vgl. unten E. 3.4). Das Obergericht hat damit dargelegt, wie es Art. 65 ZPO versteht. Unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs genügt diese Begründung. Der Beschwerdeführer war denn auch ohne Weiteres in der Lage, den obergerichtlichen Entscheid sachgerecht anzufechten.
3.2. Ausgangspunkt der Beurteilung, ob ein definitiver Rechtsöffnungstitel vorliegt, bildet Art. 80 SchKG. Nach Art. 80 Abs. 1 SchKG kann der Gläubiger beim Richter die Aufhebung des Rechtsvorschlags (definitive Rechtsöffnung) verlangen, wenn die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid beruht. Gerichtlichen Entscheiden gleichgestellt sind gerichtliche Vergleiche und gerichtliche Schuldanerkennungen (Art. 80 Abs. 2 Ziff. 1 SchKG). Unter gerichtlichen Schuldanerkennungen (reconnaissances passées en justice, riconoscimenti di debito giudiziali) werden Klageanerkennungen (insbesondere im Sinne von Art. 241 Abs. 2 ZPO) verstanden (DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N. 26 ff. zu Art. 80 SchKG; STÉPHANE ABBET, in: La mainlevée de l'opposition, Commentaire des articles 79 à 84 LP, 2017, N. 104 zu Art. 80 SchKG). Der Klagerückzug ist im Katalog der den gerichtlichen Entscheiden gleichgestellten und deshalb als Titel für eine definitive Rechtsöffnung in Betracht fallenden Objekte nicht erwähnt (Art. 80 Abs. 2 SchKG). Dies ist nachvollziehbar, weil es im Normalfall, nämlich beim Rückzug einer Leistungsklage, in der Sache nichts zu vollstrecken gibt. Vollstreckbar sind diesfalls bloss allfällige Prozesskosten, die das Gericht nach dem Klagerückzug im Abschreibungsbeschluss verlegt hat (Art. 241 Abs. 3 i.V.m. Art. 106 Abs. 1 ZPO). Diesbezüglich ist jedoch der Abschreibungsbeschluss als gerichtlicher Entscheid selber Rechtsöffnungstitel (Art. 80 Abs. 1 SchKG). An den Spezialfall des Rückzugs einer negativen Feststellungsklage scheint in Art. 80 SchKG damit nicht oder wenigstens nicht in erster Linie gedacht zu sein. In der Lehre zu Art. 80 SchKG wird das Problem nur vereinzelt aufgegriffen (so insbesondere von ABBET, a.a.O., N. 108 zu Art. 80 SchKG, der den Rückzug einer Aberkennungsklage und einer Klage nach Art. 85a SchKG in dem Masse als definitiven Rechtsöffnungstitel gelten lässt wie es auch das abweisende Urteil wäre; ferner PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 1999, N. 38 zu Art. 80 SchKG, der neben dem "passé-expédient" ein "désistement" zusammen mit einem Abschreibungsentscheid als Titel genügen lässt, unter Hinweis auf BGE 74 I 132 E. 2 S. 134; 87 I 61 E. 3b S. 67 [vgl. auch E. 5b S. 72 f.]; 88 I 159 E. 2 S. 163 f., wobei es in keinem dieser Fälle um die Vollstreckung eines Klagerückzugs gestützt auf Art. 80 Abs. 2 SchKG ging).
3.3. Der Klagerückzug ist in Art. 241 Abs. 2 ZPO, Art. 208 Abs. 2 ZPO sowie in Art. 63 und Art. 65 ZPO geregelt.
Gemäss Art. 241 Abs. 2 ZPO hat ein Vergleich, eine Klageanerkennung oder ein Klagerückzug die Wirkung eines rechtskräftigen Entscheides ("...un désistement d'action a les effets d'une décision entrée en force"; "...e la desistenza hanno l'effetto di una decisione passata in giudicato"). Art. 208 Abs. 2 ZPO sieht Analoges für den Vergleich, die Klageanerkennung und den vorbehaltlosen Klagerückzug während des Schlichtungsverfahrens vor. Art. 241 Abs. 2 ZPO kann als Fiktion aufgefasst werden, d.h. als unwiderlegbare gesetzliche Gleichsetzung zweier unterschiedlicher Dinge, nämlich einer prozessualen Handlung der Parteien mit einem gerichtlichen Entscheid, und zwar in Bezug auf die Wirkungen, die dieser prozessualen Handlung zugeschrieben werden. Der auf den Klagerückzug folgende Abschreibungsbeschluss (Art. 241 Abs. 3 ZPO) ist demgegenüber deklaratorischer Natur, beurkundet die Prozesserledigung aber im Hinblick auf die Vollstreckung (BGE 139 III 133 E. 1.2 S. 133 f.). Näheres zum Klagerückzug findet sich ausserdem im vierten Titel der Allgemeinen Bestimmungen der ZPO (Art. 62 ff. ZPO). Art. 63 ZPO betrifft die Aufrechterhaltung der Rechtshängigkeit bei Rückzug der Klage mangels Zuständigkeit oder falscher Verfahrensart. Art. 65 ZPO regelt gemäss seiner Marginalie die Folgen des Klagerückzuges ("Conséquence du désistement d'action"; "Effetti della desistenza"). Art. 65 ZPO steht damit in engem Zusammenhang mit Art. 241 Abs. 2 ZPO, welcher diese Folgen ebenfalls regelt. In der französischsprachigen Lehre wird - abweichend vom Gesetzeswortlaut - der Rückzug nach Art. 65 ZPO als "désistement d'instance" bezeichnet und damit begrifflich vom "désistement d'action" nach Art. 241 Abs. 2 ZPO unterschieden (Urteil 4A_374/2014 vom 26. Februar 2015 E. 4.3.2.2 mit Hinweisen). Nach Art. 65 ZPO kann, wer eine Klage beim zum Entscheid zuständigen Gericht zurückzieht, gegen die gleiche Partei über den gleichen Streitgegenstand keinen zweiten Prozess mehr führen, sofern das Gericht die Klage der beklagten Partei bereits zugestellt hat und diese dem Rückzug nicht zustimmt. Mit der Zustellung der Klageschrift an den Beklagten tritt damit die sog. Fortführungslast ein, d.h. eine Bindung des Klägers an den von ihm angehobenen Prozess mit der Folge, dass der Rückzug der Klage für ihn nach diesem Zeitpunkt negative Konsequenzen hat (BGE 141 III 376 E. 3.3.2 S. 379).
3.4. In der Sache der Parteien hat das Bundesgericht bereits festgehalten, dass aus dem Wortlaut von Art. 241 Abs. 2 ZPO und Art. 65 ZPO nicht ohne Weiteres folgt, welche Rechtsfolge der Rückzug einer negativen Feststellungsklage hinsichtlich einer später erhobenen Leistungsklage hat (Urteil 4A_24/2018 vom 15. Juni 2018 E. 3.4). An diese Diskussion, die in erster Linie im Zusammenhang mit der Frage geführt wird, inwieweit dem Klagerückzug materielle Rechtskraft zukommt, knüpfen vorliegend sowohl das Obergericht wie auch der Beschwerdeführer für die Frage an, ob der Klagerückzug einen vollstreckbaren Inhalt hervorbringt. Der Streit darüber, inwieweit der Klagerückzug, insbesondere der Rückzug einer negativen Feststellungsklage, inhaltlich einem rechtskräftigen Entscheid gleichgestellt werden kann, gründet dabei in zwei verschiedenen Auffassungen über das gegenseitige Verhältnis von Art. 241 Abs. 2 ZPO und Art. 65 ZPO.
Eine mögliche Auffassung über das gegenseitige Verhältnis der beiden Normen geht im Ergebnis dahin, Art. 65 ZPO stelle eine lex specialis zu Art. 241 Abs. 2 ZPO dar und gehe der letztgenannten Norm im Hinblick auf den Klagerückzug vor bzw. Art. 241 Abs. 2 ZPO sei für den Klagerückzug einschränkend auszulegen. Diese Auffassung wird von denjenigen Autoren vertreten, die auf den Rückzug einer Klage und insbesondere einer negativen Feststellungsklage einzig die in Art. 65 ZPO erwähnte Ausschlusswirkung (negative Rechtskraftwirkung; ne bis in idem; Einmaligkeits- oder Sperrwirkung; dazu BGE 142 III 210 E. 2.1 S. 212 mit Hinweisen) anwenden wollen, d.h. die einzige Wirkung des Klagerückzugs darin sehen, dass dem seinerzeitigen Kläger eine erneute Klage in derselben Sache versagt wird. Positive Rechtskraftwirkung (Präjudizialitäts- oder Bindungswirkung; dazu BGE 142 III 210 E. 2 S. 212 mit Hinweisen) kommt dem Klagerückzug nach dieser Auffassung nicht zu (in diesem Sinne PAUL OBERHAMMER, in: Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 1. Aufl. 2010, N. 29 f. zu Art. 241 ZPO; STEPHEN V. BERTI, Einführung in die schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, Rz. 490; DERS., in: Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu Art. 65 ZPO; NAEGELI/RICHERS, in: Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 35 zu Art. 241 ZPO; PASCAL LEUMANN LIEBSTER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 18 zu Art. 241 ZPO; LORENZ DROESE, SZZP 2018 S. 349 ff.; DERS., Res iudicata ius facit, 2015, S. 160 Fn. 847, S. 321 ff.). Nach dieser Auffassung bestimmt Art. 65 ZPO die Wirkungen des Klagerückzugs inhaltlich. Das Obergericht hat sich dieser Auffassung im angefochtenen Entscheid angeschlossen. Auch wenn die Vertreter dieser Auffassung es in der Regel nicht ausdrücklich sagen, liegt auf der Hand, dass bei dieser Lesart der Klagerückzug keinen definitiven Rechtsöffnungstitel darstellen kann, da mit dem Klagerückzug keine verbindlichen inhaltlichen Wirkungen verbunden sind.
Alternativ kann das gegenseitige Verhältnis der beiden Normen so verstanden werden, dass Art. 241 Abs. 2 ZPO dem Klagerückzug umfassende Rechtskraftwirkung (d.h. auch die positive Rechtskraftwirkung) zuspricht und Art. 65 ZPO eine Spezialnorm einzig dahingehend ist, als darin der Zeitpunkt geregelt wird, bis zu welchem - wenigstens ohne Zustimmung der Gegenpartei - die Klage noch ohne solche Rechtskraftwirkung zurückgezogen werden kann (in diesem Sinne und spezifisch zur negativen Feststellungsklage NICOLAS GUT, Die prozessrechtlichen Wirkungen des eine negative Feststellungsklage abweisenden Urteils, in: Das Zivilrecht und seine Durchsetzung, Festschrift für Professor Thomas Sutter-Somm, 2016, S. 166 f.; HEINZMANN/BASTONS BULLETTI, Bemerkungen zu Urteil 4A_24/2018 vom 15.6.2018, ZPO Online vom 23. August 2018; ISABELLE CHABLOZ, in: Petit Commentaire, CPC Code de procédure civile, 2021, N. 8 zu Art. 65 ZPO). Mit anderen Worten bestimmt Art. 65 ZPO inhaltlich die Wirkungen des Klagerückzugs nicht, sondern regelt einzig den Zeitpunkt, ab dem diese Wirkungen greifen. Der Rückzug einer negativen Feststellungsklage wäre damit von Gesetzes wegen mit denselben Wirkungen versehen wie sie der Abweisung der negativen Feststellungsklage zukommen. Wenn die Abweisung einer negativen Feststellungsklage zu einem vollstreckbaren Inhalt führen würde, dann wäre Entsprechendes für den Rückzug einer negativen Feststellungsklage zumindest denkbar. Der Beschwerdeführer geht von dieser Konzeption des Klagerückzugs aus. Er verweist auf BGE 134 III 656, wonach das eine Aberkennungsklage abweisende Urteil einen definitiven Rechtsöffnungstitel darstellt. Für die allgemeine negative Feststellungsklage, die sich auf einen Zahlungsbefehl beziehe, müsse dasselbe gelten, und gestützt auf Art. 241 Abs. 2 ZPO auch für den Rückzug einer solchen negativen Feststellungsklage.
3.5. Feststellungsurteile enthalten keinen Leistungsbefehl und sind in der Folge nicht vollstreckbar (MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 211). Feststellungsurteile stellen somit keinen Titel für die definitive Rechtsöffnung dar (DANIEL STAEHELIN, a.a.O., N. 6 zu Art. 80 SchKG; ABBET, a.a.O., N. 14 zu Art. 80 SchKG). Das gilt grundsätzlich auch für die Abweisung einer negativen Feststellungsklage (GUT, a.a.O., S. 162; ABBET, a.a.O., N. 14 zu Art. 80 SchKG; MICHEL HEINZMANN, in: Petit Commentaire, CPC Code de procédure civile, 2021, N. 25 zu Art. 88 ZPO). Das Bundesgericht hat für das abweisende Aberkennungsurteil - d.h. eine Sonderform eines negativen Feststellungsurteils - jedoch eine Ausnahme zugelassen und entschieden, dass ein solches Urteil einen definitiven Rechtsöffnungstitel darstellen kann. Zur Begründung hat es ausgeführt, zwar handle es sich um ein Feststellungs- und nicht um ein Leistungsurteil, doch ergänze es lediglich ein bereits mit der Betreibung gestelltes Leistungsbegehren des Gläubigers mit der Feststellung, dass die geltend gemachte Forderung besteht und fällig ist (BGE 134 III 656 E. 5.3.1 und 5.4 S. 659 f.; 127 III 232; ablehnend NICOLAS JEANDIN, Mainlevée sommaire de l'opposition: développements récents et perspectives, SJ 2009 II S. 279; STAEHELIN, a.a.O., N. 62 zu Art. 83 SchKG, und DERS., in: Ergänzungsband zur 2. Aufl., 2017, ad N. 62 zu Art. 83 SchKG). Neben der Aberkennungsklage (Art. 83 Abs. 2 SchKG) sind auch allgemeine negative Feststellungsklagen (im Sinne von Art. 88 ZPO) im Umfeld einer Betreibung in weitem Umfang zulässig (BGE 141 III 68). In der Lehre wird denn auch teilweise gefordert, abweisende allgemeine negative Feststellungsurteile ebenfalls als definitive Rechtsöffnungstitel zuzulassen und die Rechtsprechung von BGE 134 III 656 in diesem Sinne weiterzuentwickeln (TARKAN GÖKSU, Negative Feststellungsklage: ausgewählte Aspekte und neuere Entwicklungen, ZZZ 2008/2009 S. 190 f.; DANIEL FÜLLEMANN, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 27 zu Art. 88 ZPO; HEINZMANN/BASTONS BULLETTI, Bemerkungen zu Urteil 4A_24/2018 vom 15.6.2018, a.a.O.; FRANÇOIS BOHNET, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 74 zu Art. 88 ZPO; HEINZMANN, a.a.O., N. 26 zu Art. 88 ZPO). Andere Stimmen in der Lehre lehnen eine solche Erstreckung ab (PETER STÜCHELI, Die Rechtsöffnung, 2000, S. 222; PAUL OBERHAMMER, in: Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 30 zu Art. 88 ZPO; GUT, a.a.O., S. 162; ABBET, a.a.O., N. 14 zu Art. 80 SchKG).
3.6. BGE 134 III 656 weicht in vollstreckungsrechtlicher Hinsicht die scharfe Trennung zwischen Feststellungs- und Leistungsurteilen auf. Ausnahmsweise wird eine Form eines abweisenden negativen Feststellungsurteils, nämlich ein abweisendes Aberkennungsurteil, als definitiver Rechtsöffnungstitel zugelassen, obschon ein gerichtliches Leistungsbegehren des Gläubigers und in der Folge eine Verurteilung zur Zahlung im Urteil fehlt. Als Ersatz für das gerichtliche Leistungsbegehren im Aberkennungsprozess (in Form einer Widerklage) wird das Leistungsbegehren des Gläubigers im Zahlungsbefehl gesehen. Dabei hat sich das Bundesgericht mit dem Zahlungsbefehl als Leistungsbegehren vor dem Hintergrund begnügt, dass tatsächlich ein abweisendes Aberkennungsurteil ergangen ist, d.h. das Gericht die Angelegenheit inhaltlich geprüft hat.
Die vorliegend zu beurteilende Situation unterscheidet sich von diesem Ausnahmefall. Zwar liegen zwei Zahlungsbefehle vor, auf die sich die negativen Feststellungsklagen der Beschwerdegegnerin bezogen haben. Wie gesagt, stellt ein Zahlungsbefehl jedoch kein gerichtliches Leistungsbegehren dar. Vielmehr verkörpert er bloss die Behauptung des Gläubigers, eine Forderung gegen den Schuldner innezuhaben, verbunden mit der Aufforderung an den Schuldner, diese Forderung zu begleichen. Ein ernsthafter Rechtsverfolgungswille muss damit nicht verbunden sein, insbesondere keine Absicht, die angebliche Forderung je gerichtlich geltend machen zu wollen. Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer im Rahmen des Feststellungsprozesses vor Gericht keinen materiellen Rechtsschutzantrag gestellt, und zwar noch nicht einmal in der Form einer Klageantwort. Das mit der negativen Feststellungsklage befasste Gericht hat die Klage infolge Rückzugs sodann nicht materiell beurteilt. BGE 134 III 656 kann jedoch entnommen werden, dass das Leistungsbegehren im Zahlungsbefehl nur dann einen Ersatz für ein gerichtliches Leistungsbegehren darstellt, wenn das Gericht die Sache materiell geprüft hat. Diese materielle Prüfung ist wesentlich, da sie einerseits zumindest eine Klageantwort und damit eine gerichtliche Stellungnahme des Gläubigers zur strittigen Angelegenheit voraussetzt (auch wenn der blosse Antrag auf Abweisung der negativen Feststellungsklage noch keiner Widerklage auf Leistung des fraglichen Betrags gleichkommt) und andererseits dadurch der dem Rechtsöffnungsrichter zugemutete Aufwand bei der Prüfung, ob ein definitiver Rechtsöffnungstitel vorliegt, eingegrenzt wird (vgl. JEANDIN, a.a.O., S. 279 zur an BGE 134 III 656 in dieser Hinsicht geäusserten Kritik). Käme der Rückzug einer negativen Feststellungsklage als definitiver Rechtsöffnungstitel in Betracht, würde dieses Mass überschritten, da nebst den Zahlungsbefehlen und dem Abschreibungsbeschluss gegebenenfalls auch die Klageschrift selber, die Rückzugserklärung und allenfalls weitere Dokumente beigezogen werden müssten, um die genaue Tragweite des Rückzugs bzw. der zurückgezogenen Klage beurteilen zu können. BGE 134 III 656 führt bereits zu einer Privilegierung des Gläubigers, indem ihm die definitive Rechtsöffnung gestattet wird, obschon er keine Widerklage erhoben hat und obschon er es verpasst hat, nach Obsiegen im Aberkennungsprozess rechtzeitig die Fortsetzung der Betreibung zu verlangen. Es besteht kein Grund, ihn über dieses Mass hinaus weiter zu privilegieren und ihm die entsprechenden Vorteile selbst dann zu verschaffen, wenn es sowohl an gerichtlichen Leistungsbegehren seinerseits fehlt wie auch an einer gerichtlichen Beurteilung, weil der Schuldner seine negative Feststellungsklage zurückgezogen hat.
Der Rückzug einer negativen Feststellungsklage stellt somit keinen definitiven Rechtsöffnungstitel dar. Der Wortlaut von Art. 80 Abs. 2 Ziff. 1 SchKG, welcher den Klagerückzug nicht erwähnt, erweist sich insofern als zutreffend. Wie es sich mit dem Verhältnis von Art. 65 ZPO zu Art. 241 Abs. 2 ZPO verhält, kann angesichts dieses Ergebnisses offenbleiben. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 15'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 18'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg