Faits :
A.
A la suite d'une chute survenue le 9 octobre 2003 aux environs de 21 h 30, B._ s'est rendu à la permanence A._ SA où il a été examiné par le Dr M._. Celui-ci a diagnostiqué une "contusion à la hanche gauche", sans effectuer de radiographie. Le patient en est sorti aux alentours de 00 h 30, sans béquilles et après avoir reçu une piqûre antalgique ainsi que des médicaments anti-inflammatoires. Aucun arrêt de travail n'ayant été prescrit, il a repris son activité professionnelle de cuisinier le même jour.
Le 10 octobre 2003 en fin de journée, devant la persistance des douleurs, il s'est rendu aux urgences des Etablissements C._ qui ont diagnostiqué, sur radiographies, une "fracture de type Garden I du col fémoral gauche". Le 11 octobre 2003 à 00 h 35, les Etablissements C._ ont procédé à une première opération lors de laquelle le col du fémur gauche a été stabilisé par triple vissage. Le même jour dans l'après-midi, ils ont effectué une deuxième opération, après avoir constaté que les vis utilisées étaient trop longues. A l'issue d'un contrôle effectué trois mois après, le patient a été autorisé à reprendre son travail.
Au mois d'août 2004, en raison d'une recrudescence des douleurs, le patient a été examiné par les Etablissements C._, lesquels ont diagnostiqué une "nécrose aseptique de la tête fémorale gauche".
Le 4 janvier 2005, il a subi une troisième opération visant à mettre en place une prothèse totale de la hanche gauche.
Le 10 janvier 2005, un examen neurologique a mis en évidence une neurapraxie du nerf sciatique poplité externe gauche.
Confronté à des troubles moteurs du pied gauche et à des douleurs neurogènes, le patient a formé une demande de prestations d'invalidité. Dans le cadre de celle-ci, son état a été jugé stabilisé trois ans après la lésion, une amélioration n'étant plus probable; l'exercice de l'activité de cuisinier lui était devenu impossible, mais il subsistait une capacité résiduelle de 50 % en qualité de réceptionniste. Il a été mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité dès le 1 er avril 2008.
B.
B.a. Le 31 octobre 2012, B._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance du canton de Genève contre la permanence A._ SA et les Etablissements C._. Dans sa demande du 16 avril 2013, il a conclu à ce que les deux parties défenderesses soient condamnées solidairement à lui verser la somme de 990'469 fr. avec intérêts. Il a soutenu que la permanence avait commis une erreur de diagnostic ayant entraîné une prise en charge chirurgicale tardive, à l'origine de la nécrose aseptique de la tête fémorale gauche. Par ailleurs, lors de l'intervention du 4 janvier 2005, les Etablissements C._ avaient commis une faute par un mauvais positionnement de la tête de son péroné qui avait entraîné la compression du nerf sciatique et par conséquent un syndrome de pied tombant.
Mandaté par le Tribunal en qualité d'expert judiciaire, le Prof. E._ médecin-chef du Service de chirurgie orthopédique à l'Hôpital cantonal de..., a délivré un rapport le 22 décembre 2015. Il en ressort que la prise en charge du patient par la permanence n'a pas été faite dans les règles de l'art, le diagnostic posé étant faux, voire ridicule. Quant à savoir si le risque de nécrose était accru en fonction du délai s'écoulant entre la fracture et l'opération, les études cliniques rétrospectives n'étaient pas probantes; il fallait se baser sur l'expérience clinique qui était claire et suivre la recommandation de Ly et Swiontkowski spécifiant que, jusqu'à l'obtention de données fiables, la fracture du col fémoral chez les jeunes patients était à considérer comme urgente. L'attitude générale des orthopédistes en Suisse était de traiter une telle fracture sur une base urgente. Il existait des études sur la vascularité de la tête fémorale et la pression articulaire après fracture du col; elles révélaient clairement que cette vascularité diminuait ou était bloquée lorsque la pression intra-articulaire augmentait; si une décompression du compartiment articulaire était effectuée par aspiration ou capsulotomie, la perfusion de la tête fémorale se normalisait. Ces études, plus fiables que les études cliniques rétrospectives, permettaient de conclure que le délai entre une fracture et une possible décompression jouait un rôle important pour la survie de la tête fémorale et, partant, de l'articulation de la hanche. En conséquence, un diagnostic correct de la fracture de type "Garden I" du col fémoral aurait permis de diminuer ou de pallier le risque de nécrose aseptique de la tête fémorale gauche.
Quant à l'osthéosynthèse par triple vissage et la mise en place d'une prothèse totale de hanche, elles avaient été effectuées dans les règles de l'art. L'atteinte au nerf sciatique faisait partie des risques rares inhérents à la pose d'une prothèse totale de hanche, qui avait en l'occurrence été rendue nécessaire par la nécrose aseptique de la tête fémorale gauche. Il y avait dès lors un lien de causalité entre cette atteinte et l'erreur de diagnostic de la permanence.
A l'audience des débats principaux, l'expert judiciaire a précisé que la fracture était peu déplacée, de sorte qu'il n'y avait probablement pas de lésion vasculaire. L'accident avait provoqué des saignements qui avaient causé une pression dans l'articulation, ce qui avait interrompu la circulation sanguine. Si l'on intervenait dans un intervalle de 6 à 8 heures pour diminuer cette pression, on avait une meilleure chance de sauver la tête fémorale. Il était clair que si l'intervention s'était déroulée tout de suite après la lésion, les risques d'une nécrose auraient été minimisés. Le fait que les Etablissements C._ aient utilisé des vis trop longues n'avait strictement aucune importance et n'avait rien à voir avec la nécrose.
B.b. Par jugement du 10 octobre 2017, le Tribunal de première instance a condamné la permanence à payer au patient les sommes de 384 fr. 40, 1'629 fr. 80 et 37'648 fr. 40, portant intérêts.
B.c. Le patient a appelé de ce jugement. La permanence en a fait de même. Par arrêt du 29 novembre 2018, la Cour de justice du canton de Genève a réformé cette décision en ce sens qu'elle a condamné la permanence à payer au patient les sommes suivantes, intérêts en sus: 10'226 fr.; 10'770 fr.; 10'946 fr.; 12'190 fr.; 13'517 fr.; 14'021 fr.; 14'609 fr. et 239'442 fr. Ses motifs seront évoqués dans les considérants en droit.
C.
La permanence a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle a conclu principalement à ce que le patient soit débouté de l'intégralité de ses conclusions.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt. Le patient a conclu au rejet du recours. Les Etablissements C._ en ont fait autant.
La demande d'effet suspensif présentée par la recourante a été rejetée, par ordonnance présidentielle du 19 mars 2019.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment sous l'angle de la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) et du délai pour recourir (art. 100 al. 1 LTF). Demeure réservé l'examen des griefs particuliers.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 141 III 86 consid. 2; 140 III 115 consid. 2). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF) La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.
Selon les constatations cantonales qui lient l'autorité de céans (art. 105 al. 1 LTF), le patient a chargé le Dr. M._, oeuvrant au sein de la permanence (recourante) en qualité de médecin, d'examiner son état et de prendre les mesures thérapeutiques adéquates. Il s'agit d'un contrat de mandat au sens de l'art. 394 al. 1 CO (ATF 132 III 359 consid. 3.1 p. 362) et la responsabilité de la recourante s'analyse sous l'angle de l'art. 398 al. 1 CO, lequel renvoie aux règles régissant la responsabilité du travailleur dans les rapports de travail (art. 321e CO). Ceci n'est pas remis en question. La Cour de justice a jugé que la permanence avait violé son obligation de diligence en s'abstenant de procéder à un examen clinique correct et en posant un faux diagnostic: elle aurait dû constater une fracture de type "Garden I" du col fémoral gauche, alors qu'elle avait décelé uniquement une "contusion à la hanche gauche". Pour tout traitement, elle avait prescrit une piqûre antalgique et des médicaments anti-inflammatoires, alors qu'elle aurait dû immédiatement diriger le patient vers un chirurgien, la règle étant d'opérer par vissage en urgence, si possible dans les 6 heures consécutives au traumatisme. Elle avait ainsi retardé la prise en charge chirurgicale du patient. En raison de ce retard, la tête fémorale gauche s'était nécrosée, ce qui avait ultérieurement nécessité une nouvelle intervention chirurgicale destinée à la pose d'une prothèse de la hanche. L'atteinte au nerf sciatique s'était produite durant cette opération. Celle-ci avait été effectuée dans les règles de l'art, mais ce risque était inhérent. Il y avait un lien de causalité tant naturelle qu'adéquate entre ce délai et l'atteinte en question. La permanence était dès lors responsable du dommage subi par le patient ensuite de son incapacité de travail et de l'atteinte portée à son avenir économique.
4.
Dans un premier pan de son argumentation, la recourante soutient que le lien de causalité naturelle entre le diagnostic erroné et le dommage a été constaté à tort.
4.1. La recourante prétend que la nécrose de la tête fémorale n'est pas consécutive au retard de prise en charge - dont elle ne conteste pas qu'il lui soit imputable - mais au type de fracture en cause. Elle explique que cette nécrose serait également survenue si la fracture avait été immédiatement diagnostiquée et opérée. En d'autres termes, elle soutient que, si elle avait adopté un comportement conforme au droit, le résultat eût été le même. Ce faisant, elle ne soulève pas une problématique de causalité dépassée, comme elle le prétend. Il s'agirait plutôt d'une objection fondée sur un comportement de substitution licite (sur cette notion, cf. ATF 122 III 229 consid. 5a/aa et les auteurs cités, notamment ERNST A. KRAMER, Die Kausalität im Haftpflichtrecht: Neue Tendenzen in Theorie und Praxis, in: RJB 123/1987, p. 295 s.). Cela étant, la prise en charge et le diagnostic incorrects imputables à la recourante s'analysent comme une omission. Le lien de causalité est dès lors hypothétique puisqu'il s'agit de savoir si la tête fémorale se serait pareillement nécrosée si la recourante avait formulé un diagnostic correct. En définitive, la recourante ne fait dès lors rien d'autre que de contester l'existence du lien de causalité hypothétique.
4.2. La cour cantonale s'est déclarée convaincue de l'existence de ce lien de causalité sur le vu du rapport de l'expert judiciaire. Ce dernier a indiqué que la nécrose de la tête fémorale était liée à un problème de vascularité. La circulation sanguine diminuait ou se retrouvait bloquée si la pression intra-articulaire augmentait par suite d'un saignement dans le compartiment articulaire. Dans ce cas de figure, il fallait effectuer une décompression du compartiment articulaire par aspiration ou capsulotomie, ce qui avait d'ailleurs été le cas lors de la première intervention que le patient avait subie aux Etablissements C._. Plus cette décompression intervenait tard, plus la survie de la tête fémorale était prétéritée. Ainsi, la fracture du col fémoral chez les jeunes patients était à considérer comme urgente. L'expert a conclu qu'"un diagnostic de fracture de type 'Garden I' du col fémoral directement posé par (la recourante) aurait permis de diminuer ou pallier le risque de nécrose aseptique de la tête fémorale gauche". A l'audience de débats principaux, il a ajouté qu'"il était clair que si l'intervention s'était déroulée tout de suite après la lésion, les risques d'une nécrose de la tête fémorale auraient été minimisés".
4.3. La recourante estime que la preuve du lien de causalité naturelle n'a pas été apportée: il eût fallu, selon elle, que l'expert judiciaire puisse totalement exclure le risque de nécrose de la tête fémorale si l'intervention avait eu lieu de suite. Elle laisse ainsi entendre que la cour cantonale s'est contentée d'un degré de preuve qui était inapproprié ou que les conclusions de l'expert judiciaire ont été appréciées de manière incorrecte. Ce grief ne saurait cependant prospérer. La recourante soutient elle-même qu'en matière de causalité hypothétique, la jurisprudence se satisfait du degré de la vraisemblance prépondérante (ATF 132 III 715 consid. 3.2 p. 720; 124 III 155 consid. 3d p. 165). La vraisemblance prépondérante suppose que, d'un point de vue objectif, des motifs importants plaident pour l'exactitude d'une allégation, sans que d'autres possibilités ne revêtent une importance significative ou n'entrent raisonnablement en considération (ATF 133 III 81 consid. 4.2.2 p. 89; 132 III 715 consid. 3.1 p. 720). Or, on peut inférer des explications de l'expert judiciaire qu'il n'existait certes pas d'absolue certitude, mais bel et bien une vraisemblance prépondérante selon laquelle la tête fémorale ne se serait pas nécrosée si l'intervention chirurgicale avait eu lieu sans tarder. La recourante ne convainc pas en proposant une autre lecture. L'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée la cour cantonale n'a rien d'arbitraire.
Contrairement à ce que prétend la recourante, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral n'est pas illimité en cette matière. Certes, le Tribunal fédéral a coutume de préciser qu'il est lié, au sens de l'art. 105 al. 1 LTF, par les constatations concernant la causalité hypothétique lorsqu'elles reposent sur des faits ressortant de l'appréciation des preuves; en revanche, si la causalité hypothétique est déduite exclusivement de l'expérience de la vie, il revoit librement cette question de droit (ATF 132 III 305 consid. 3.5 p. 311; 115 II 440 consid. 5b; arrêts 4A_403/2016 du 18 avril 2017 consid. 3.2, 4A_543/2016 du 1 er novembre 2016 consid. 3.2.3). En l'espèce, l'appréciation des juges cantonaux s'est fondée sur une expertise judiciaire définissant les standards de diligence que l'on pouvait attendre et les conséquences des manquements constatés. Il se justifie ainsi de restreindre à l'arbitraire le pouvoir d'examen de l'autorité de céans. Cela étant, il est entendu que l'examen de la causalité adéquate, dans la mesure où il conserve un objet (cf. arrêt 4A_464/2008 du 22 décembre 2008 consid. 3.3.1), se fait avec un pouvoir d'examen libre (ATF 143 III 242 consid. 3.7 in fine; cf. consid. 5 infra).
4.4. La recourante estime que les conclusions de l'expertise judiciaire ne pourraient être suivies, l'expert s'étant écarté de l'expérience clinique et de la littérature médicale majoritaire pour suivre l'avis isolé de deux auteurs et faire prévaloir des considérations personnelles. On ne saurait davantage la suivre sur ce terrain. La cour cantonale a déjà discuté cet argument qu'elle a écarté pour des motifs que la recourante ne se donne pas la peine de discuter. Son grief, qui ne satisfait pas aux exigences de motivation, est dès lors irrecevable (ATF 134 II 244 consid. 2.1 et 2.3).
4.5. La recourante affirme encore, prétendant citer l'expert judiciaire et le Prof. N._, chef du Département de chirurgie des Etablissements C._, qu'un certain type de fracture favoriserait l'apparition d'une nécrose sans égard au délai de prise en charge. Rien de tel ne ressort toutefois du jugement cantonal. Certes, il y apparaît que le Dr O._, chef de clinique aux Etablissements C._, a déclaré qu'il n'y avait dans la littérature aucune preuve formelle qu'un retard de 24 à 36 heures dans la prise en charge chirurgicale augmentait le risque de nécrose aseptique. Ce risque était à son avis lié au type de fracture et non pas à un délai de prise en charge chirurgicale. Toutefois, ce praticien a confirmé, comme deux autres médecins en sus de l'expert, qu'une prise en charge en urgence était indispensable. Au surplus, il n'y a rien à redire, sous l'angle de l'arbitraire, au fait que la cour cantonale ait accordé la préséance aux constatations de l'expert judiciaire, qui a - selon ses termes - poussé son analyse plus loin pour répondre à la question posée. Ceci scelle le sort d'un autre des griefs de la recourante, qui prétend que la cour cantonale aurait fait fi de l'avis des médecins spécialistes consultés.
5.
Dans un second pan de son argumentation, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir retenu un lien de causalité adéquate entre l'erreur de diagnostic et le dommage. Cette argumentation se scinde elle-même en trois parties.
5.1. Premièrement, la recourante prétend qu'il aurait fallu "prendre en compte l'évolution favorable post-opératoire" de l'intimé, ainsi que "les conséquences de la reprise de son activité lucrative" qu'elle qualifie de "physiquement contraignante". Avant d'apprécier, sous l'angle de la causalité adéquate, l'importance que revêt une cause concomitante, il faut avoir déjà constaté en fait l'existence d'un tel élément ayant concouru à la survenance du dommage. Or, force est d'admettre qu'une telle constatation fait défaut, l'argument étant apparemment nouveau.
La recourante fait ensuite valoir que la lésion du nerf sciatique pendant l'opération de pose de prothèse de la hanche est exceptionnelle et imprévisible, ce qui ne permettrait pas d'admettre que cette opération était, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience générale de la vie, propre à entraîner une telle lésion. Certes, il ressort du jugement cantonal que cette lésion survient dans un nombre très restreint de cas (1 à 2 %). Cela étant, le caractère adéquat d'une cause ne suppose pas que l'effet considéré se produise généralement, ni même qu'il soit courant. Il suffit qu'il s'inscrive dans le champ raisonnable des possibilités objectivement prévisibles (ATF 143 III 242 consid. 3.7 p. 250; 139 V 176 consid. 8.4.2; 96 II 392 consid. 2). Tel est bien le cas ici. Il n'y a dès lors nulle violation du droit dont la recourante serait fondée à se plaindre.
5.2. La recourante soutient également que la troisième opération chirurgicale, lors de laquelle le nerf sciatique de l'intimé a été endommagé, a interrompu le lien de causalité adéquate. Certes, une telle interruption peut se concevoir en présence d'un événement extraordinaire ou exceptionnel auquel on ne pouvait s'attendre (force naturelle, fait du lésé ou d'un tiers) qui revêt une importance telle qu'il s'impose comme la cause la plus immédiate du dommage et relègue à l'arrière-plan les autres facteurs ayant contribué à le provoquer - y compris le fait imputable à la partie recherchée. Toutefois, il n'y a ici nulle faute des Etablissements C._ susceptible d'intervenir à ce titre, ni intervention d'un élément naturel en tant que tel. De l'avis de l'expert, il s'agit d'un risque inhérent à l'opération, qui entre dans le champ du possible, mais se produit rarement, de l'aveu même de la recourante; or, l'opération comportant ce risque a été provoquée par la nécrose elle-même imputable au mauvais diagnostic de la recourante. Ce grief doit pareillement être rejeté.
6.
Finalement, la recourante se plaint d'une violation de l'art. 106 CPC. La cour cantonale a confirmé que cette partie défenderesse était redevable de l'intégralité des frais judiciaires de première instance, vu la nature du litige, le fait que le demandeur avait obtenu gain de cause sur le principe de ses conclusions et (grâce à l'appel) sur une part importante de leur montant. Elle s'est fondée en cela sur l'art. 107 al. 1 let. a CPC, qui lui laissait une latitude appréciable à cet égard. Contrairement à ce que la recourante infère, il n'apparaît pas qu'elle en ait abusé en la circonstance. Il importe peu que la présente affaire n'implique pas de compagnie d'assurance, comme dans le précédent cité par la cour cantonale. Quant aux dépens, la cour cantonale s'est dispensée de traiter la critique de la recourante dans la mesure où elle n'était pas développée. La recourante ne fait pas valoir qu'il aurait dû en être autrement.
La recourante ne formule aucun autre grief contre l'arrêt attaqué, de sorte que la cour de céans n'a pas à en rediscuter les autres aspects (cf. consid. 2.1 supra).
7.
Partant, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. En conséquence, la recourante supportera les frais de procédure fixés à 6'500 fr. et versera à chacune de ses deux adverses parties une indemnité de 7'500 fr. à titre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de procédure, fixés à 6'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à B._ et aux Etablissements C._ une indemnité de 7'500 fr. chacun à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 18 février 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Kiss
La greffière: Monti