Sachverhalt:
A.
A._ (2007) besuchte im Schuljahr 2016/2017 die vierte Klasse im Schulhaus D._ in U._. Am 3. Februar 2017 erkrankte eine Mitschülerin an Masern. In der Folge forderte die Kantonsärztin die Eltern von A._ formlos auf, ihre Tochter bis zum 20. Februar 2017 nicht mehr in die Schule zu schicken, da sie nicht gegen Masern geimpft und noch nie an Masern erkrankt sei (7. Februar 2017). A._ blieb krankheitsbedingt vom 7. bis 15. Februar 2017 dem Schulunterricht fern. Am 14. Februar 2017 meldete die X._ ag, W._, dem Kantonsarztamt, dass A._ als eines von vier resp. fünf ungeimpften Kindern ihrer Klasse nicht an Masern erkrankt sei. Am 15. Februar 2017 forderten die Eltern von A._ die Schulgemeinde U._-V._ und das Gesundheitsdepartement auf, eine anfechtbare Verfügung zum befristeten Schulausschluss ihrer Tochter zu erlassen.
B.
Mit Verfügung vom 16. Februar 2017 schloss die Kantonsärztin A._ vom 7. bis 20. Februar 2017 (Winterferien vom 19. bis 26. Februar 2017) vom Besuch des Schulunterrichts aus. Dagegen haben die Eltern von A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen erhoben (27. Februar 2017). Der Präsident des Verwaltungsgerichts forderte in der Folge A._ auf, ihre 57 Seiten umfassende Eingabe auf rund einen Fünftel des bisherigen Umfangs auf das Wesentliche zu kürzen, andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Auf die geänderte Beschwerde (20. März 2017) trat dieser mit Urteil vom 19. Juni 2017 nicht ein. Das Bundesgericht hiess eine dagegen gerichtete Beschwerde teilweise gut, hob die verfahrensleitende Präsidialverfügung des Verwaltungsgerichts in Bezug auf die Verbesserungsvorgaben und den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 19. Juni 2017 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, um in der Sache zu entscheiden (Urteil 2C_676/2017 vom 20. März 2018). Mit Entscheid vom 16. März 2019 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde bzw. verbesserter Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. März 2019 infolge unvollständiger Sachverhaltsa bklärung und der Verletzung von Grundrechten (Art. 8 Abs. 2 und Art. 19 BV; Art. 14 EMRK) aufzuheben und an die Vorinstanz zur materiellen Neubeurteilung zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt ohne Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) hat sich vernehmen lassen.
Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb es der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerdeerhebung legitimiert. Die Beschwerdeführerin verfügt freilich über kein aktuelles Interesse an der Beurteilung ihrer Beschwerde mehr. Das Bundesgericht verzichtet aber ausnahmsweise auf dieses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 137 I 23 E. 1.3.1 S. 25 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind hier gegeben. Auf die frist- und nunmehr formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Streitgegenstand bildet der befristete Ausschluss der Beschwerdeführerin aus der Schule, weil eine Mitschülerin von ihr an Masern erkrankte und sie selbst weder gegen Masern geimpft noch je an Masern erkrankt sei. Unbestritten sind Masern eine übertragbare Krankheit im Sinne des Epidemiengesetzes vom 28. September 2012 (EpG; SR 818.101; vgl dazu auch Botschaft zur Revision des Bundesgesetzes über die Bekämpfung übertragbarer Krankheiten des Menschen [Epidemiengesetz, EpG] vom 3. Dezember 2010 [nachfolgend Botschaft EpG], BBl 2011 311, durchgehend, z.B. S. 324, 392, 427), das sich auf Art. 118 BV stützt. Auch wenn es sich um einen Schulausschluss handelt, ist deshalb nicht kantonales Schulrecht, welches sich an Art. 19 BV zu orientieren hätte, anwendbar, sondern Bundesrecht. Allerdings ist dieses Art. 19 BV-konform auszulegen. Der 1. Abschnitt des 5. Kapitels des Epidemiengesetzes regelt Massnahmen zum Schutz des Menschen vor übertragbaren Krankheiten gegenüber einzelnen Personen.
2.2. Nach Art. 38 Abs. 1 EpG kann einer Person, die krank, krankheitsverdächtig, angesteckt oder ansteckungsverdächtig ist oder Krankheitserreger ausscheidet, die Ausübung bestimmter Tätigkeiten oder ihres Berufs ganz oder teilweise untersagt werden. Daneben sieht der Gesetzgeber mildere (Art. 34 EpG) und auch strengere Massnahmen (Art. 35 und 37 EpG) vor (vgl. ANDREAS ZÜND/CHRISTOPH ERRASS, Pandemie - Justiz - Menschenrechte, ZSR Sondernummer 2020 [Pandemie und Recht], S. 69 ff., 84 mit Hinweisen). Zuständig sind nach Art. 31 Abs. 1 EpG die Kantone. Massnahmen nach Art. 34 ff. EpG dürfen nur angeordnet werden, wenn (a.) weniger einschneidende Massnahmen, um die Verbreitung einer übertragbaren Krankheit zu verhindern, nicht ausreichen oder nicht geeignet sind, und (b.) die Massnahme dazu dient, eine ernsthafte Gefahr für die Gesundheit Dritter abzuwenden (Art. 30 Abs. 1 EpG). Nach Art. 30 Abs. 2 EpG muss die Massnahme erforderlich und zumutbar sein. Schliesslich dürfen die Massnahmen nur so lange dauern, wie es notwendig ist, um die Verbreitung einer übertragbaren Krankheit zu verhindern und um eine ernsthafte Gefahr für die Gesundheit Dritter abzuwenden. Art. 30 und Art. 31 Abs. 4 EpG regeln insoweit das Verhältnismässigkeitsprinzip bei Massnahmen gegenüber einzelnen Personen.
2.3. Wesentliches Anliegen der Regelungen nach Art. 34 ff. EpG ist, dass eine Verbreitung einer übertragbaren Krankheit (in casu: Masern) zum Schutz der Gesundheit der Bevölkerung verhindert werden soll. Diese Massnahmen sind reaktiv, weshalb der Gesetzgeber die Verbreitung der Masern primär präventiv mit einer freiwilligen empfohlenen Impfung nach Art. 20 ff. EpG verhindern will (z.B. zweifache Impfung von Säuglingen im Alter von neun bzw. zwölf Monaten mit einem Impfstoff gegen Masern, Mumps und Röteln [vgl. BAG, Empfehlung zur Prävention von Masern, Mumps und Röteln, März 2019, S. 5 (nachfolgend: Empfehlung)]). Aus diesem Grund informiert das Bundesamt für Gesundheit u.a. die Öffentlichkeit über die Gefahren übertragbarer Krankheiten und über die Möglichkeit zu deren Verhütung und Bekämpfung (Art. 9 Abs. 1 EpG) sowie veröffentlicht es Empfehlungen zu Massnahmen gegen übertragbare Krankheiten und zum Umgang mit Krankheitserregern und passt sie regelmässig dem aktuellen Stand der Wissenschaft an (Art. 9 Abs. 3 EpG). Im Zusammenhang mit Impffragen veröffentlicht sie Impfempfehlungen in Form eines nationalen Impfplans (Art. 20 Abs. 1 EpG). Für den Umgang mit Masern hat das Bundesamt für Gesundheit die bereits erwähnte Empfehlung und die Richtlinien zur Bekämpfung von Masern und Masernausbrüchen (April 2013, Stand März 2019 [nachfolgend: Richtlinie]) verfasst. Empfehlungen sind staatliche Aussagen über die faktische Ratsamkeit bestimmter Verhaltensoptionen (BGE 144 II 233 E. 4.1 S. 236). Sie sind aussenwirksam und hier generell-abstrakt, da sie sich an eine Vielzahl von Personen richten und mehrere Sachverhalte betreffen (BGE 144 II 233 E. 4.1 S. 236; siehe zur Impfempfehlung ausdrücklich PIERRE TSCHANNEN, Systeme des Allgemeinen Verwaltungsrechts, 2008, Rz. 161). Die Richtlinien sind dagegen primär Verwaltungsverordnungen, welche für die richterliche Auslegung nicht bindend sind (BGE 143 II 297 E. 5.3.3 S. 320). Sofern diese eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der gesetzlichen Bestimmungen zulassen, nimmt das Bundesgericht darauf Bezug (BGE 142 V 425 E. 7.2 S. 434; 142 II 182 E. 2.3.3 S. 191).
2.4. Tritt ein Masernfall auf, so werden die Nichtgeimpften bei einer Exposition grundsätzlich vom Zugang zu Einrichtungen oder Tätigkeiten ausgeschlossen (Richtlinie S. 8, 9, 12, 13, 15, 17; Empfehlung S. 39). Allerdings kann von einem Ausschluss abgesehen werden, wenn der potentielle Überträger, d.h. der Nichtgeimpfte, innerhalb von 72 Stunden nach Erstexposition geimpft wird (sogenannte postexpositionelle MMR-Impfung). Dies sehen die Richtlinien und auch die Empfehlung für Expositionen ausserhalb des Haushalts, worunter auch die Schulen fallen, und im Haushalt vor (S. 9, 12, 13, 15, 17; siehe auch Empfehlung S. 39). Auch die in den Richtlinien besonders hervorgehobenen setting-spezifischen Massnahmen in Schulen heben ausdrücklich hervor, dass bei einer raschen Identifizierung der potentiellen Überträger fristgerecht die postexpositionelle Impfung angeboten werden könne (Ziff. 13.2 [S. 17]), was der Kanton St. Gallen in seinem Schreiben vom 7. Februar 2019 auch so kommuniziert hat (Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit der postexpositionellen MMR-Impfung wird eine Weiterverbreitung des Masernvirus unterbunden. Auch die Gabe von Immunglobulin hat, wie sich der Richtlinie und der Empfehlung entnehmen lässt, die gleiche Wirkung. Wenn Personen innerhalb von sechs Tagen nach Erstexposition Immunglobulin erhalten haben, müssen sie nicht ausgeschlossen werden. Dies gilt sowohl für Expositionen ausserhalb des Haushalts als auch im Haushalt (vgl. Richtlinie, S. 8, 9, 13; Empfehlung, S. 39). So ist dies auch in der Informationsschrift "Masernelimination: Informationen für die Schulen" des Bundesamtes für Gesundheit aufgenommen.
2.5. Die Gabe von Immunglobulin wird in der Richtlinie und in der Empfehlung primär für Personen mit einem erhöhten Risiko für Masernkomplikationen, d.h. Kleinkinder unter einem Jahr, schwangere Frauen oder immunsupprimierte Personen, vorgesehen (vgl. Richtlinie, S. 13 f.; Empfehlung, S. 39). Daneben finden sich in der Richtlinie und der Empfehlung allerdings auch Ausnahmefälle, wonach die Gabe von Immunglobuline nicht nur für Personen mit einem erhöhten Komplikationsrisiko vorgesehen sein kann: Zu nennen ist zunächst der Fall, wenn die Frist von 72 Stunden für eine postexpositionelle Impfung abgelaufen ist (Empfehlung, S. 39). Weitere Fälle betreffen Massnahmen im Luftverkehr (Richtlinie, S. 18 f.) oder der Ausschluss aus Gemeinschaftseinrichtungen (Richtlinie, S. 15). Auch in der Vernehmlassung sieht das Bundesamt für Gesundheit die Gabe von Immunglobulin nicht nur für Personen mit einem erhöhten Komplikationsrisiko vor, auch wenn sein Fokus vor allem auf die flächendeckende Impfung gerichtet ist. Insofern ist unter gewissen besonderen Umständen auch die Gabe von Immunglobulin an Personen möglich und zulässig, die nicht ein erhöhtes Komplikationsrisiko aufweisen.
3.
3.1. Strittig ist im vorliegenden Verfahren lediglich die Verhältnismässigkeit der Massnahme (zweiwöchiger Schulausschluss). Die Vorinstanz führt in diesem Zusammenhang aus, es sei nicht erkennbar und werde von der Beschwerdeführerin auch nicht weiter dargetan, inwiefern eine mildere Massnahme zur Verfügung gestanden hätte. Die Beschwerdeführerin macht diesbezüglich aber geltend, dass es durchaus mildere Mittel gäbe, nämlich Immunglobuline (sog. Antikörper [ https://www.pschyrembel.de/Immunglobuline/K0ALV/doc/]), und sie diese mildere Massnahme in ihrer Beschwerde auch erwähnt habe.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht in ihrer Beschwerde vom 20. März 2017 an das Verwaltungsgericht tatsächlich auf S. 16 auf die Masern-Passivimpfung (Immunglobulin-Gabe) unter Hinweis auf einen Artikel von Autoren der Universität Genf und Lausanne (JANDUS/FLATZ/VON ELM, Was bringt die Masern-Passivimpfung nach Exposition?, Mini-Review Cochrane für die Praxis, Praxis 2015; 104 (11) : 587 - 588) als milderes Mittel aufmerksam.
3.3. Die angeordnete epidemienrechtliche Massnahme gegenüber der Beschwerdeführerin ist deren Ausschluss von der Schule. Verhältnismässigere Mittel wäre ein Teilausschluss oder gar kein Ausschluss. Die Gabe von Immunglobulin kann - wie dargelegt - unter besonderen Umständen ein gegenüber dem Schulausschluss verhältnismässigeres Mittel darstellen, da dadurch eine Weiterverbreitung des Masernvirus unterbunden wird. Zwar macht die Beschwerdeführerin in ihrer wenig klaren Rechtsschrift die Gabe von Immunglobulin als mildere Massnahme ihr gegenüber geltend. Bei Lichte betrachtet verlangt sie die Gabe von Immunglobulin allerdings nicht für sich, sondern vertritt sie die Auffassung, dass für sie deren Gabe an nicht impfbare Kinder eine mildere Massnahme darstelle. Sinngemäss müsste sie daher weder sich impfen lassen noch Immunglobulin zu sich nehmen; falls sie erkranken würde, wäre das quasi ihr eigenes Risiko.
3.4. Diese Argumentation ist aus mehreren Gründen rechtlich nicht haltbar: Das Epidemiengesetz nimmt für die Anordnung von Massnahmen Bezug auf Personen, die krank, krankheitsverdächtig, angesteckt oder ansteckungsverdächtig sind (Art. 33 ff. EpG). Das war die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt als sie von der Schule ausgeschlossen wurde unbestrittenermassen. Sie blieb krankheitsbedingt vom 7. bis 15. Februar 2017 dem Schulunterricht fern (siehe oben A.). Die epidemienrechtliche Massnahme richtet sich also an Personen, welche die gesetzlich erlassenen Voraussetzungen erfüllen. Das Verhältnismässigkeitsprinzip nimmt auf diese Massnahmen, die gegen die genannten Personen gerichtet sind, Bezug. Dies ist im vorliegenden Fall die Beschwerdeführerin. Die Massnahme, die gegen die Beschwerdeführerin gerichtet ist, muss somit verhältnismässig sein. Mit dem Verhältnismässigkeitsprinzip können sodann keine Massnahmen gegenüber Dritten geschaffen werden; das Verhältnismässigkeitsprinzip ersetzt keine gesetzliche Grundlage, welche Grundlage für einen Grundrechtseingriff bei Dritten bildet. Dies beabsichtigt die Beschwerdeführerin aber gerade mit ihrem Ansinnen, wenn sie den Staat auffordert, dass die nicht impfbaren Personen mit Immunglobulin versorgt werden. Abgesehen davon funktioniert ihr Verhalten, wonach sie bei einer Erkrankung das Risiko selber trägt, nur deshalb, weil die Bevölkerung aufgrund einer sehr hohen Impfrate geschützt ist.
4.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten unbegründet und abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Errass