Sachverhalt:
A.
A.a. C._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von A._ (geb. 2007).
A.b. Mit Unterhaltsvertrag vom 23. Oktober 2007 verpflichtete sich der Vater (zuzüglich der noch zu beantragenden Kinderzulagen) zu monatlichen Unterhaltsleistungen an die Tochter von Fr. 900.-- bis zum vollendeten 6. Altersjahr, von Fr. 950.-- zwischen dem 7. und 12. Altersjahr und von Fr. 1'000.-- ab dem 13. Altersjahr bis zur Volljährigkeit. Abgemacht wurde ferner, dass die Unterhaltsbeiträge als bezahlt zu gelten hätten, solange der Kindsvater mit der Kindsmutter und der gemeinsamen Tochter zusammenlebt und im Rahmen dieses Zusammenlebens angemessene Beiträge an den gemeinsamen Unterhalt leistet. Am 25. Oktober 2007 genehmigte die Vormundschaftsbehörde der Gemeinde U._ den Unterhaltsvertrag.
A.c. Mit Eingabe vom 1. Juli 2019 gelangte A._, vertreten durch ihre Mutter, an das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost. Sie beantragte, den Unterhalt vorsorglich auf Fr. 3'659.-- (davon Fr. 2'717.-- als Betreuungsunterhalt) festzusetzen. Zudem verlangte sie einen Prozesskostenvorschuss für das Hauptverfahren von Fr. 5'000.-- und für das vorsorgliche Massnahmeverfahren einen solchen von Fr. 4'000.-- und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege. Gleichzeitig reichte sie bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Gelterkinden-Sissach ein später wieder zurückgezogenes Schlichtungsgesuch betreffend Abänderung des Kindesunterhalts gemäss Art. 286 Abs. 2 ZGB ein.
A.d. Mit Verfügung vom 30. August 2019 hiess der Gerichtspräsident des Zivilkreisgerichts das Gesuch von A._ teilweise gut. In Abänderung des Unterhaltsvertrags vom 23. Oktober 2007 verpflichtete er den Vater, der Tochter mit Wirkung per Auflösung des gemeinsamen Haushalts vorsorglich einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'840.-- zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen zu bezahlen (davon Fr. 190.-- als Betreuungsunterhalt). Die Anträge der Tochter auf Leistung von Prozesskostenvorschüssen und Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege wies der Gerichtspräsident ab. Er auferlegte der Tochter vorläufig die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- und schlug die Parteikosten wett, vorbehältlich einer abweichenden Kostenverteilung durch Urteil im allfälligen Hauptsacheverfahren, durch Vereinbarung der Parteien oder durch eine sonstige gerichtliche Verfügung.
A.e. Gegen diesen Entscheid reichte A._ Berufung beim Kantonsgericht Basel-Landschaft ein. Dabei stellte sie den Antrag, ihren Vater ab 1. Juli 2019 zu monatlichen Unterhaltsleistungen von Fr. 3'500.-- (davon Fr. 2'371.-- als Betreuungsunterhalt) zu verpflichten, zuzüglich allfällig bezogener Kinder- und Ausbildungszulagen. Ferner erneuerte sie ihre Anträge auf Ausrichtung von Prozesskostenvorschüssen für das Verfahren in der Hauptsache und das Massnahmeverfahren vor erster Instanz. Die Kindseltern seien weiter zu verpflichten, ihr auch für das Berufungsverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu bezahlen. Schliesslich sei ihr für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege samt Verbeiständung zu gewähren.
A.f. Mit Entscheid vom 3. Dezember 2019 (eröffnet am 20. Januar 2020) verpflichtete das Kantonsgericht den Vater, seiner Tochter für das Berufungsverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 4'000.-- auszurichten. Im Übrigen wies es die Berufung ab.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. Februar 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Kindseltern zu verpflichten, ihr für das Verfahren vor dem Bundesgericht einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Zudem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. In der Hauptsache beantragt sie die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts und stellt sie die folgenden Anträge:
"1. Der [Vater] hat der [Beschwerdeführerin] mit Wirkung ab 01.12.2019 vorsorglich einen monatlichen und monatlich im Voraus zu bezahlenden Unterhaltsbeitrag von CHF 3'500.00 (davon CHF 2'371.00 Betreuungsunterhalt) zzgl. allfällig bezogene Kinder- und Ausbildungszulagen zu bezahlen (Dispo.-Ziff. 1).
2. Der [Vater] wird verpflichtet, der [Beschwerdeführerin] für das Verfahren in der Hauptsache einen Prozesskostenvorschuss von CHF 5'000.00 zu bezahlen (Disp.-Ziff. 3).
3. Eventualiter: Der [Beschwerdeführerin] wird für das Verfahren in der Hauptsache die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt, unter Verbeiständung durch Rechtsanwalt Julian Burkhalter, Aarau (Dispo.-Ziff. 3).
4. Der [Vater] wird verpflichtet, der [Beschwerdeführerin] für das vorinstanzliche Verfahren einen Prozesskostenvorschuss von CHF 4'000.00 zu bezahlen (Disp.-Ziff. 4).
5. Eventualiter: Der [Beschwerdeführerin] wird für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt, unter Verbeiständung durch Rechtsanwalt Julian Burkhalter, Aarau (Dispo. Ziff. 4).
6. Die Gerichtskosten sowie die Parteikosten aus dem Verfahren vor Bezirksgericht werden dem [Vater] auferlegt. Eventualiter: Die Kosten werden zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Staatskasse genommen."
Im Weiteren verlangt die Beschwerdeführerin, dass die Entscheidgebühr des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- C._ aufer legt wird. Zudem verlangt sie für dieses Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.--.
Im Rahmen eines Eventualbegehrens verlangt die Beschwerdeführerin die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht, subeventualiter an das Kantonsgericht.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten und zur Frage der Prozesskostenvorschüsse Vernehmlassungen eingeholt. Die Vorinstanz verweist in ihrer Vernehmlassung vom 3. Juni 2020 auf den angefochtenen Entscheid. Auf die Vernehmlassung von C._ (Beschwerdegegner) vom 2. Juni 2020 wird soweit nötig im Sachzusammenhang eingegangen. Auch er stellt für das Verfahren vor dem Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (BGE 144 V 97 E. 1; 144 II 184 E. 1).
2.
2.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) vorsorglich über den vom Beschwerdegegner an seine minderjährige Tochter zu bezahlenden Unterhalt, deren Gesuch über die Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses in diesem Verfahren wie auch im Unterhaltsprozess und über die unentgeltliche Rechtspflege entschieden hat.
2.2. Rechtsprechungsgemäss handelt es sich beim Entscheid, den Unterhalt für Kinder unverheirateter Eltern vorläufig für die Dauer des Verfahrens festzulegen, um einen Endentscheid nach Art. 90 BGG, gegen den die Beschwerde ohne weitere Voraussetzungen zulässig ist (BGE 137 III 586 E. 1.2; kürzlich etwa Urteil 5A_446/2019 vom 5. März 2020 E. 1; kritisch: ZOGG, "Vorsorgliche" Unterhaltszahlungen im Familienrecht, in: FamPra.ch 2018 S. 47 ff., 96 ff.). Anders sieht es aus, soweit vorläufig für die Dauer des Verfahrens über die Abänderung eines solchen Unterhaltsanspruchs entschieden wird. In diesem Fall geht das Bundesgericht von einem Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG aus (vgl. Urteile 5A_674/2019 vom 27. April 2020 E. 1.2; 5A_615/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 1.2; vgl. zur Begründung für diese Differenzierung Urteil 5A_732/2012 vom 4. Dezember 2012 E. 3.2). Als Zwischenentscheide zu qualifizieren sind auch Entscheide betreffend die Prozesskostenvorschüsse und die unentgeltliche Rechtspflege (vgl. Urteile 5A_217/2018 vom 7. Juni 2018 E. 1.1; 5A_565/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 1.2).
2.3. Gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide im Sinne von Art. 93 BGG ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; BGE 137 III 324 E. 1.1). Ein solcher setzt voraus, dass der Nachteil auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte, was von der beschwerdeführenden Person darzutun ist (BGE 142 III 798 E. 2.2). Ausschlaggebend ist also, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt; rein tatsächliche Nachteile reichen in der Regel nicht (BGE 137 III 380 E. 1.2.1 mit Hinweisen). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt grundsätzlich keinen rechtlichen Nachteil im beschriebenen Sinne dar (BGE 138 III 333 E. 1.3.1; 137 III 637 E. 1.2). Eine Ausnahme ist dort am Platz, wo die beschwerdeführende Person nachweist, dass sie bei Weitergeltung der Massnahme ernsthaften finanziellen Schwierigkeiten ausgesetzt wäre oder im Falle eines Obsiegens in der Hauptsache die Rückerstattung der geleisteten Geldbeträge nicht werde erwirken können (BGE 138 III 333 E. 1.3; Urteile 5D_1/2017 vom 15. März 2017 E. 1.1; 5A_661/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 1.2). Gleiches gilt, wenn wie im vorliegenden Fall die Unterhaltsgläubigerin als Beschwerdeführerin auftritt und höhere Unterhaltsbeiträge fordert, als ihr im abzuändernden Unterhaltsurteil bzw. Unterhaltstitel zugesprochen worden sind.
2.4. Vorliegend macht die Beschwerdeführerin geltend, dass das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost, bei welchem die Unterhaltsklage hängig sei, bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege keinen Kostenvorschuss einverlangt habe. Mit Verfügung vom 5. Februar 2020 habe das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft dieses Gesuch abgewiesen. Zur Begründung habe das Gericht ausgeführt, dass es ihr, der Beschwerdeführerin, mit dem von ihr derzeit erzielbaren Überschuss gemäss dem Entscheid vom 3. Dezember 2019 ohne weiteres möglich und zumutbar sei, genügend Rückstellungen zu bilden, um die mutmasslichen Prozesskosten des Hauptsacheverfahrens zu tragen. Genau dies sei aber nicht der Fall. Mit den vom Beschwerdegegner geleisteten Zahlungen sei es ihr, der Beschwerdeführerin, nicht möglich, einen Überschuss zu erzielen. Im Gegenteil sei ihr Bar- und Betreuungsunterhalt damit nicht gedeckt. Sie könne daher ihre Prozesskosten im Hauptsacheverfahren nicht bezahlen. Werde der Beschwerdegegner nicht zu einem Prozesskostenvorschuss verpflichtet und der Beschwerdeführerin auch die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt, bleibe ihr der Zugang zum Gericht verwehrt.
2.5. Mit diesen Ausführungen gelingt der Beschwerdeführerin der Nachweis eines nicht wiedergutmachenden Nachteils nur insofern, als sie sich dagegen zur Wehr setzt, dass die Vorinstanz ihr keinen Prozesskostenvorschuss für das anstehende Hauptsacheverfahren zugesprochen hat und ihr so der Zugang zum Gericht verwehrt wird (vgl. Urteil 5A_217/2018 vom 7. Juni 2018 E. 1.3). Im Übrigen aber fehlt der Nachweis eines nicht wiedergutzumachenden Nachteils. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin einen vorläufigen Unterhalt von Fr. 3'500.-- verlangt. Ebenso wenig tut sie einen solchen Nachteil dar, soweit sie sich dagegen zur Wehr setzt, dass ihr für das abgeschlossene erstinstanzliche Massnahmeverfahren kein Prozesskostenvorschuss und keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden ist. Der Beschwerdeführerin bleibt es unbenommen, diese Entscheide und die ihr in diesem Zusammenhang vorläufig auferlegte Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- zusammen mit dem späteren Endentscheid in der Hauptsache anzufechten (Art. 93 Abs. 3 BGG; kürzlich betreffend unentgeltlich Rechtspflege etwa Urteil 5A_988/2019 vom 3. Juni 2020 E. 3.1).
2.6. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass und sind erfüllt. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem in der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1). Bei dieser geht es um den einem minderjährigen Kind geschuldeten Unterhalt und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach Art. 72 Abs. 1 BGG. Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 und 4; Urteil 5A_955/2017 vom 3. Mai 2018 E. 1). Die Beschwerdeführerin, die im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren durch ihre Mutter (im Folgenden: Kindsmutter) vertreten wird, ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und sie hat diese auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich damit als das zutreffende Rechtsmittel; die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG) ist unzulässig.
3.
Nicht einzutreten ist auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses durch die Kindseltern für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht ist zur Behandlung dieses Gesuchs (funktionell) nicht zuständig (vgl. Urteil 5A_239/2017 vom 14. September 2017 E. 3.2 mit Hinweisen).
4.
Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG; vgl. BGE 137 III 193 E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 140 III 264 E. 2.3). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach Art. 9 BV geltend gemacht, reicht es dabei nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 136 I 49 E. 1.4.1; 134 II 244 E. 2.2).
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts (dazu BGE 142 II 433 E. 4.4). Das Kantonsgericht habe festgehalten, der Beschwerdegegner habe A._ noch vor ihrer Geburt 2019 als Tochter anerkannt. Tatsächlich sei sie aber 2007 geboren. Das von der Vorinstanz genannte Datum der Anerkennung liege nicht vor ihrer Geburt, sondern deutlich später. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, was die Beschwerdeführerin aus ihrem Vorbringen ableiten möchte. Jedenfalls aber ist die Verwandtschaft zwischen den Parteien unbestritten. Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Die Vorinstanz trat auf den Antrag der Beschwerdeführerin um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 5'000.-- für das Hauptsacheverfahren in Sachen Kindesunterhalt nicht ein, weil dieses noch nicht rechtshängig sei und für ein nicht eingeleitetes Verfahren kein Prozesskostenvorschuss verlangt werden könne.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt vorab eine willkürliche Anwendung der Art. 296 und 297 ZPO, was sie bereits vor Kantonsgericht geltend gemacht habe. Trotz Geltung des strengen Untersuchungs- und des Offizialgrundsatzes habe die Erstinstanz ohne Durchführung einer Verhandlung und ohne mit den Eltern gesprochen zu haben über das streitbetroffene Gesuch entscheiden. Das Kantonsgericht habe dieses Vorgehen geschützt. Dies sei sinnwidrig und widersprüchlich und damit willkürlich.
Mit diesen pauschalen Ausführungen stellt die Beschwerdeführerin ihr Verständnis der Rechtslage jenem der Vorinstanz gegenüber und bezeichnet Letzteres als willkürlich. Eine hinreichende Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen - nach Ansicht des Kantonsgericht liegt es im gerichtlichen Ermessen, ob im vorliegenden Summarverfahren eine Verhandlung durchzuführen ist - findet nicht statt. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 4).
5.3. Weiter sieht die Beschwerdeführerin sich in ihrem Recht auf Replik als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt. Sowohl das Bezirksgericht - dies habe sie im vorinstanzlichen Verfahren gerügt - als auch das Kantonsgericht hätten ihr keine effektive Möglichkeit eingeräumt, sich zu Stellungnahmen der Gegenpartei zu äussern. Das Bezirksgericht habe ihr eine Eingabe des Beschwerdegegners vom 8. August 2019 zwar zugestellt, dann aber vor Ablauf der zehntägigen Replikfrist entschieden. Dies sei zwar auch vom Kantonsgericht so festgestellt worden. Die Vorinstanz habe eine Gehörsverletzung dann aber dennoch zu Unrecht verneint. Das Kantonsgericht seinerseits habe sodann das Beweisverfahren mit Verfügung vom 28. Oktober 2019 geschlossen und es am 4. November 2019 abgelehnt, ihr Frist zur Stellungnahme zu einer beschwerdegegnerischen Eingabe zu setzen. Unter diesen Umständen könne das Kantonsgericht ihr nun nicht vorwerfen, die Einreichung einer Replik unterlassen zu haben.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist grundsätzlich formeller Natur, sodass seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (BGE 142 II 218 E. 2.8.1). Dennoch stellt die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck dar. Insbesondere kann trotz Vorliegens einer Gehörsverletzung von einer Aufhebung des angefochtenen Entscheids abgesehen werden, wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern das verfassungskonform durchgeführte Verfahren zu einem anderen Ergebnis geführt hätte (BGE 143 IV 380 E. 1.4.1). Entsprechend wird für eine erfolgreiche Rüge der Gehörsverletzung grundsätzlich vorausgesetzt, dass in der Begründung des Rechtsmittels auf die Erheblichkeit der angeblichen Verfassungsverletzung eingegangen wird (ausführlich: Urteil 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2.3 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. weiter statt vieler: Urteile 5A_962/2019 vom 3. Februar 2020 E. 3.1; 5A_733/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 3.3). Die Beschwerdeführerin macht zwar Verletzungen des Replikrechts geltend, äussert sich jedoch mit keinem Wort dazu, inwieweit weitere Stellungnahmen ihrerseits geeignet gewesen wären, einen Einfluss auf das Ergebnis des Entscheids auszuüben. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
5.4.
5.4.1. Die Beschwerdeführerin hält sodann die Begründung des Kantonsgerichts für die Abweisung ihres Gesuchs um einen Prozesskostenvorschuss im Hauptsacheverfahren für nicht genügend. Eine sachgerechte Anfechtung sei so gar nicht möglich (Art. 29 Abs. 2 BV). Die Vorinstanz verkenne, dass man gestützt auf Art. 303 ZPO sehr wohl für einen künftigen Hauptprozess einen Vorschuss einklagen könne. Es entspreche der gängigen Praxis im Kanton Basel-Landschaft, dass man bei der Anwendung von Art. 303 ZPO den Parteien eine Prosequierungsfrist für die Hautpsache ansetze. Wäre es anders, hätte auf das vorsorgliche Verfahren gar nicht erst eingetreten werden dürfen (mangels hängigem Prozess in der Hauptsache).
Der Beschwerdegegner teilt die Rechtsauffassung der Vorinstanz und verwirft jene der Beschwerdeführerin. Er wirft Letzterer vor, ein Massnahmeverfahren angestrengt zu haben, statt eine Unterhaltsklage, verknüpft mit vorsorglichen Massnahmen.
5.4.2. Die Beschwerdeführerin verkennt vorab die Bedeutung der gerichtlichen Begründungspflicht: Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliesst die Pflicht, einen Entscheid so abzufassen, dass die betroffene Person ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Daher müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf welche sich sein Entscheid stützt. Um den Vorgaben von Art. 29 Abs. 2 BV zu genügen, muss die Begründung so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (zum Ganzen: BGE 145 III 324 E. 6.1; 143 III 65 E. 5.2; je mit Hinweisen). Der Anspruch auf rechtliches Gehör erfordert nicht, dass sich das Gericht ausdrücklich mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Argument auseinandersetzt; vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (BGE 141 III 28 E. 3.2.4; 141 IV 249 E. 1.3.1). Ist eine Partei mit dem Entscheid nicht einverstanden, so beschlägt dies nicht das rechtliche Gehör, sondern die Rechtsanwendung (BGE 145 III 324 E. 6.1).
Das angefochtene Urteil gibt ausreichend Aufschluss darüber, weshalb die Vorinstanz das Gesuch der Beschwerdeführerin um einen Prozesskostenvorschuss für das Hauptsacheverfahren nicht behandelte. Die vorliegende Beschwerde belegt denn auch, dass die Beschwerdeführerin den angefochtenen Entscheid verstanden hat und diesen sachgerecht anfechten konnte. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt nicht vor.
5.4.3. In der Sache macht die Beschwerdeführerin im Ergebnis eine willkürliche Rechtsanwendung geltend, indem ihr zum jetzigen Zeitpunkt mangels Hängigkeit des Hauptsacheverfahrens für dieses kein Prozesskostenvorschuss zugesprochen worden ist. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 140 III 167 E. 2.1).
Das Bundesgericht hat sich bisher nicht vertieft zur Frage geäussert, ob ein Prozesskostenvorschuss bereits vor Hängigkeit des Verfahrens, dessen Finanzierung er dienen soll, verlangt werden kann (vgl. immerhin Urteil 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 7.2). Das von der Beschwerdeführerin insoweit angerufene Urteil 5A_217/2018 vom 7. Juni 2018 ist nicht einschlägig: Es besagt nichts weiter dazu, in welchem Zeitpunkt ein entsprechendes Gesuch gestellt werden kann (E. 1.1). Ausserdem war in jenem Fall das Hauptsacheverfahren im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bereits hängig (Bst. B), womit keine mit dem vorliegenden Fall vergleichbare Sachlage gegeben war. Damit lässt sich die geltend gemachte Willkür von vornherein nicht damit begründen, dass das Kantonsgericht unzulässig von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abgewichen wäre (vgl. dazu BGE 117 III 76 E. 7c; 112 II 318 E. 2a; Urteile 5A_678/2018 vom 19. Juni 2019 E. 4.1.5, in: FamPra.ch 2019 S. 1227; 5A_890/2013 vom 22. Mai 2014 E. 4.5, nicht publ. in: BGE 140 III 337, aber in: FamPra.ch 2014 S. 1030). Die von der Vorinstanz vertretene Lösung, wonach vorsorgliche Massnahmen nach Art. 303 ZPO - eine solche ist hier betroffen (Urteil 5A_217/2018 vom 7. Juni 2018 E. 1.1) - erst ab Rechtshängigkeit des Hauptsacheverfahrens verlangt werden können (vgl. E. 5.1 hiervor), wird sodann auch in der Lehre vertreten (vgl. JEANDIN, in: Commentaire Romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 3 zu Art. 303 ZPO; VAN DE GRAAF, in: Kurzkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu Art. 303 ZPO; vgl. auch MORET/STECK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 23 zu Art. 303 ZPO; a.A. SCHWEIGHAUSER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 6 zu Art. 303 ZPO; SPYCHER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 4 zu Art. 303 ZPO). Unter diesen Umständen kann der angefochtene Entscheid jedenfalls nicht als geradezu unhaltbar bezeichnet werden (vgl. BGE 127 III 232 E. 3a; 122 III 439 E. 3b; 104 II 249 E. 3b; Urteil 5A_954/2014 vom 4. Juni 2015 E. 4.2).
6.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde zuletzt insoweit, als die Beschwerdeführerin die Neuverlegung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens beantragt: Sie legt zwar dar, weshalb diese Kosten ihrer Ansicht nach anders zu verlegen gewesen wären, macht aber nicht geltend, der Vorinstanz wäre in diesem Zusammenhang eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen, wie dies notwendig wäre (vgl. vorne E. 4).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf diese einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten grundsätzlich der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat diese den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren im Prinzip zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren jedoch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da der Beschwerdegegner keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege allerdings gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft (BGE 109 Ia 5 E. 5). Nicht gegenstandslos wird es hingegen hinsichtlich der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands: Zwar wird dem obsiegenden Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin ist indessen nicht anzunehmen, dass er die ihm zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können. Deshalb ist auch die Anwältin des Beschwerdegegners aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (BGE 122 I 322 E. 3d). Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, falls sie dazu später in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: BGE 143 III 113).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Julian Burkhalter als Rechtsbeistand beigegeben.
3.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Advokatin Tessa von Salis als Rechtsbeiständin beigegeben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokatin Tessa von Salis wird aus dieser mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Julian Burkhalter wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber