Erwägungen:
1.
Das Bezirksgericht Zürich erteilte mit Urteilen vom 21. Juni 2018 und 2. August 2018 (beide Male unter der Geschäfts-Nr. EB180850-L/U) der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 10 definitive Rechtsöffnung für Fr. 535.-- nebst Zins zu 5 % seit 24. Januar 2018 sowie Fr. 150.--. Als Rechtsöffnungstitel diente ein Strafurteil des Bezirksgerichts Zürich vom 29. März 2016. Darin waren dem Beschwerdeführer eine Busse von Fr. 150.-- und Verfahrenskosten von Fr. 535.-- auferlegt worden.
Gegen beide Rechtsöffnungsurteile erhob der Beschwerdeführer am 8. August 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er machte sinngemäss deren Nichtigkeit geltend. Mit Verfügung vom 14. August 2018 verlangte das Obergericht vom Beschwerdeführereinen Kostenvorschuss von Fr. 225.--. Am 5. September 2018 setzte es ihm eine Nachfrist an. Gegen beide Verfügungen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an das Bundesgericht (dazu Urteile 5D_146/2018 und 5D_147/2018 vom 18. September 2018 [Besetzung: Bundesrichterin Escher, Gerichtsschreiber Zingg]). Mit Beschluss vom 24. September 2018 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein, da das Bundesgericht den bundesgerichtlichen Beschwerden keine aufschiebende Wirkung erteilt und der Beschwerdeführer den Gerichtskostenvorschuss binnen Frist nicht bezahlt habe.
Gegen diesen Beschluss ist der Beschwerdeführer am 26. September 2018 an das Bundesgericht gelangt. Zugleich hat er auch um Revision der Urteile 5D_146/2018 und 5D_147/2018 vom 18. September 2018 ersucht (dazu Verfahren 5F_18/2018). Es folgten weitere Eingaben vom 5., 8., 11., 16., 18., 21., 22. und 29. Oktober sowie vom 4. und 5. November 2018.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Der Beschwerdeführer hat um Akteneinsicht ersucht. Das Bundesgericht hat ihn am 8. Oktober 2018 über die diesbezüglichen Modalitäten orientiert. Er hat von seinem Recht auf Akteneinsicht jedoch keinen Gebrauch gemacht.
2.
Der Streitwert liegt unter Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Am Rande spricht der Beschwerdeführer von einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung hinsichtlich der Frage der jederzeitigen Beachtlichkeit der Nichtigkeit und der Zulässigkeit eines Kostenvorschusses. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist jedoch nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 141 III 159 E. 1.2 S. 161; 137 III 580 E. 1.1 S. 582 f.; je mit Hinweisen). Solches ist vorliegend nicht ersichtlich. Zudem könnten sich die aufgeworfenen Fragen auch jederzeit in einem Verfahren stellen, in welchem der Streitwert erreicht ist (vgl. BGE 137 III 580 E. 1.1 S. 583). Die Beschwerde in Zivilsachen ist folglich unzulässig und die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG).
In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
Der Beschwerdeführer hält für unklar, welches das Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren ist. Grund dieser Unklarheit ist, dass er offenbar zwei Originalexemplare des Beschlusses des Obergerichts vom 24. September 2018 erhalten hat. Da es sich dabei nicht um zwei Beschlüsse, sondern um zwei Exemplare desselben Beschlusses handelt, ist bloss ein Verfahren vor Bundesgericht zu eröffnen. Wie viele Exemplare dieses Beschlusses der Beschwerdeführer erhalten hat, spielt keine Rolle.
Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind eine vom Betreibungsamt Zürich 10 angekündigte Pfändung und Zirkulationsbeschlüsse des Bezirksgerichts Zürich vom 18. Oktober und 25. Oktober 2018 zur Pfändungsankündigung. Verfügungen der Betreibungsämter oder Urteile unterer Instanzen können vor Bundesgericht nicht angefochten werden, so dass diesbezüglich auch keine weiteren Beschwerdeverfahren zu eröffnen sind (Art. 75 BGG). Daran ändert nichts, dass die Pfändungsankündigung und die Zirkulationsbeschlüsse die Betreibung Nr. xxx betreffen. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist nur die Rechtsöffnung in dieser Betreibung bzw. der entsprechende Nichteintretensentscheid des Obergerichts.
3.
Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand des gesamten Personalbestands der II. zivilrechtlichen Abteilung, da es schwer vorstellbar sei, dass es sich bei Bundesrichterin Escher und Gerichtsschreiber Zingg um Einzeltäter (offensichtlich gemeint: der Urteile 5D_146/2018 und 5D_147/2018) gehandelt habe. Ausstandsbegehren können jedoch nicht institutionell erhoben werden. Vielmehr sind Ausstandsgründe substantiiert in Bezug auf konkrete Gerichtspersonen vorzubringen (Urteil 5A_386/2018 vom 15. Mai 2018 E. 3 mit Hinweisen). Im Übrigen bleibt der implizite Vorwurf, an den beiden genannten Urteilen hätten noch weitere Personen mitgewirkt, gänzlich unsubstantiiert und ist offensichtlich querulatorisch. Soweit der Beschwerdeführer das Ausstandsgesuch gegen Bundesrichterin Escher und Gerichtsschreiber Zingg auf ihre Mitwirkung an den genannten Urteilen stützen will bzw. darauf, dass die Urteile nicht wunschgemäss ausgefallen sind, so ist darauf hinzuweisen, dass sich damit kein Ausstandsgesuch begründen lässt (Art. 34 Abs. 2 BGG; BGE 114 Ia 278 E. 1 S. 278 f.; Urteil 5A_827/2017 vom 15. August 2017 E. 2). Der Beschwerdeführer zeigt schliesslich in seiner Eingabe Bundesrichter von Werdt, Bundesrichterin Escher, Gerichtsschreiber Zingg und "allenfalls weiteres unbekanntes Personal" wegen zahlreicher Delikte an. Sofern er daraus einen Ausstandsgrund herleiten will, ist zweierlei festzuhalten: Zunächst steht nicht fest, dass er tatsächlich solche Anzeigen eingereicht hat. Das Bundesgericht ist zu ihrer Entgegennahme nicht zuständig. Dass er dieselbe Eingabe - wie auf den Adresszeilen angegeben - tatsächlich auch der Bundesanwaltschaft und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich eingereicht hat, ist nicht nachgewiesen. Selbst wenn er solche Anzeigen wegen der amtlichen Tätigkeit dieser Gerichtspersonen eingereicht hätte, könnte daraus sodann kein Ausstandsgrund abgeleitet werden, da ansonsten eine Partei beliebig unliebsame Gerichtspersonen in den Ausstand befördern und dadurch die Justiz lahmlegen könnte (Urteil 5A_393/2017 vom 29. Dezember 2017 E. 2.2).
Der Beschwerdeführer macht damit keine tauglichen Ausstandsgründe geltend und seine Gesuche erweisen sich als rechtsmissbräuchlich und querulatorisch. Darauf ist nicht einzutreten. Dieser Entscheid kann unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen erfolgen (BGE 105Ib 301 E. 1c und d S. 304; Urteile 1B_97/2017 vom 7. Juni 2017 E. 4.3; 5A_605/2013 vom 11. November 2013 E. 3.5; 5A_827/2017 vom 15. August 2018 E. 2).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe seine Ausstandsgesuche nicht behandelt. Art. 30 Abs. 1 BV sei verletzt worden.
Das Obergericht hat zu diesem Thema erwogen, der Beschwerdeführer habe zwar Ausstandsgesuche zufolge eingereichter Strafanzeigen erwähnt. In den vorliegenden Akten seien jedoch keine konkreten Ausstandsgesuche vorhanden. Der Beschwerdeführer gebe selber an, dass Ausstandsverfahren vermeidbar seien. Den mitwirkenden Gerichtspersonen seien auch keine gegen sie hängigen Strafverfahren bekannt, womit kein Grund für einen Ausstand vorliege.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht in einer den Rügeanforderungen genügenden Weise (oben E. 2) mit der Feststellung des Obergerichts auseinander, dass er im laufenden Verfahren keine konkreten Ausstandsgesuche gestellt hat. Er bezieht sich zwar auf seine Eingabe vom 16. September 2018, doch kann der von ihm zitierten Stelle ebenfalls nicht unmissverständlich entnommen werden, dass er damit ein konkretes Ausstandsgesuch gegen die am angefochtenen Beschluss beteiligten Gerichtspersonen stellen wollte. Es liegt an ihm, klare Anträge und dazu gehörige, nachvollziehbare Begründungen zu verfassen. Es liegt nicht an den Gerichten, in seinen weitschweifigen, teilweise schwer verständlichen und in hoher Frequenz eintreffenden Eingaben nach Anträgen zu suchen.
Der Beschwerdeführer zeigt ausserdem in seiner Beschwerde den Spruchkörper des angefochtenen Beschlusses (Oberrichterin Hunziker Schnider, Oberrichter Spahn und Kriech, Gerichtsschreiber Rieke) wegen zahlreicher Delikte an. Das Bundesgericht ist - wie gesagt - zur Entgegennahme der Anzeige nicht zuständig (oben E. 3). Auf diese Weise kann auch nicht nachträglich ein Ausstandsgrund geschaffen werden.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, ihm seien Akten vorenthalten worden. Sein Akteneinsichtsrecht sei gegenüber dem Obergericht durchzusetzen.
Inwiefern ihm das Obergericht keine Akteneinsicht gewährt haben soll, legt der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar dar. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Im Übrigen hätte es ihm freigestanden, die Akten des Rechtsöffnungsverfahrens vor Bundesgericht einzusehen.
5.
5.1. In der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht hätte die Nichtigkeit der angefochtenen Urteile "jederzeit und von Amtes wegen" beachten müssen. Sinngemäss will er damit offenbar ausdrücken, dass kein Kostenvorschuss hätte erhoben werden dürfen oder dass das Obergericht über die geltend gemachte Nichtigkeit hätte entscheiden müssen, obschon kein Kostenvorschuss bezahlt worden ist bzw. obschon die Beschwerde aufgrund der Nichtbezahlung des Vorschusses unzulässig war. Dabei hält er sowohl den Rechtsöffnungstitel, d.h. das zu vollstreckende Strafurteil, wie auch die angefochtenen Rechtsöffnungsurteile des Bezirksgerichts für nichtig.
Der Beschwerdeführer geht fehl. Aus der gebräuchlichen Floskel, die Nichtigkeit sei "jederzeit und von Amtes wegen" zu beachten, kann kein verfassungsmässiges Recht darauf abgeleitet werden, dass die Gerichte auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichten müssten, wenn eine Partei die Nichtigkeit eines Rechtsakts behauptet. Entsprechendes anzunehmen hiesse denn auch, die Kostenvorschusspflicht von Art. 98 ZPO faktisch weitgehend abzuschaffen, da diesfalls die blosse Behauptung der Nichtigkeit genügen würde, damit kein Vorschuss verlangt werden dürfte. Es besteht im Übrigen kein unbedingter verfassungsmässiger Anspruch auf kostenlose Verfahren (vgl. Art. 29 Abs. 3 BV). Es ist zwar je nach spezialgesetzlicher Grundlage durchaus denkbar, dass von einzelnen Rechtsmittelvoraussetzungen abgesehen werden kann, wenn die Nichtigkeit eines Akts vorgebracht wird (vgl. Art. 22 SchKG). Es ist jedoch weder ersichtlich noch genügend dargetan, dass im Rahmen der Beschwerde nach Art. 319 ff. ZPO aufgrund verfassungsmässiger Rechte im Hinblick auf die Kostenvorschusspflicht Besonderes gelten müsste, wenn die Nichtigkeit des angefochtenen Urteils (oder des Rechtsöffnungstitels) geltend gemacht wird. Aus der genannten Floskel kann auch kein verfassungsmässiges Recht darauf abgeleitet werden, dass die Gerichte zumindest die Frage der Nichtigkeit prüfen müssten, obschon ein verlangter Kostenvorschuss nicht bezahlt worden ist. Im Zusammenhang mit der Beschwerde nach Art. 19 SchKG i.V.m. Art. 72 ff. BGG hat das Bundesgericht festgehalten, es könne die Nichtigkeit einer Verfügung nur noch im Rahmen einer bei ihm hängigen und zulässigen Beschwerde in Zivilsachen prüfen, seit es keine Oberaufsicht im Bereich des Schuldbetreibungs- und Konkurswesens mehr ausübe (BGE 135 III 46 E. 4.2 S. 48; Urteil 5A_624/2009 vom 2. Dezember 2009 E. 2.2). Wie dieses Beispiel zeigt, trifft es demnach nicht zu, dass die behauptete Nichtigkeit eines Rechtsakts "jederzeit und von Amtes wegen" ungeachtet der Zulässigkeit des an sich zur Anfechtung vorgesehenen Rechtsmittels vorgebracht werden kann bzw. dass ein entsprechendes Vorbringen ausserhalb eines als zulässig befundenen Rechtsmittels geprüft werden müsste. Dass im Rahmen der Beschwerde nach Art. 319 ff. ZPO aufgrund verfassungsmässiger Rechte Gegenteiliges gelten müsste, ist weder dargetan noch ersichtlich. Ebensowenig ist dargetan, aufgrund welcher anderen gesetzlichen Grundlage das Obergericht die Nichtigkeit trotz Unzulässigkeit der Beschwerde hätte überprüfen müssen.
Das Obergericht durfte unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten demnach zu Recht die inhaltliche Beurteilung (insbesondere hinsichtlich der Nichtigkeit) von der Bezahlung eines Kostenvorschusses abhängig machen und auf die Beschwerde nicht eintreten, nachdem der Vorschuss nicht bezahlt worden war. Es durfte auch offenlassen, ob bzw. welches der beiden angefochtenen Bezirksgerichtsurteile allenfalls nichtig sein könnte. Der Umstand, dass vom Beschwerdeführer ein Kostenvorschuss verlangt wurde, stellt entgegen seiner Ansicht schliesslich auch keine Beeinträchtigung seiner Mitwirkungsrechte am Verfahren dar.
Der Beschwerdeführer sieht ausserdem eine Verletzung von Art. 29 BV darin, dass sich das Obergericht nicht über das Anfechtungsobjekt des Beschwerdeverfahrens geäussert habe. Er wirft schliesslich die Frage auf, ob nichtige Urteile überhaupt mit Beschwerde angefochten werden können. Diese Einwände sind schwer verständlich. Anfechtungsobjekt des obergerichtlichen Verfahrens waren offensichtlich beide Urteile des Bezirksgerichts. Dies ergibt sich aus Rubrum und Erwägungen des obergerichtlichen Beschlusses. Was der Beschwerdeführer durch die Beantwortung der von ihm aufgeworfenen Frage zu erreichen erhofft, ob nichtige Urteile überhaupt anfechtbar seien, ist nicht ersichtlich.
5.2. Der Beschwerdeführer macht ausserdem geltend, es sei willkürlich, mit dem Argument auf die Beschwerde nicht einzutreten, dass das Bundesgericht die aufschiebende Wirkung in den Verfahren 5D_146/2018 und 5D_147/2018 nicht gewährt habe.
Mangels Gewährung der aufschiebenden Wirkung in den Verfahren 5D_146/2018 und 5D_147/2018 liefen die Zahlungs- und die Nachfrist zur Vorschussleistung während der bundesgerichtlichen Verfahren weiter. Die Fristen konnten damit auch ablaufen, bevor das Bundesgericht über die beiden Beschwerden entschieden hat oder bevor die bundesgerichtlichen Urteile den Parteien und dem Obergericht zugestellt worden sind. Es ist nicht ersichtlich, weshalb es unter diesen Voraussetzungen willkürlich sein soll, wenn das Obergericht den Fristablauf und die Nichtbezahlung des Kostenvorschusses feststellt und gestützt darauf einen Nichteintretensentscheid fällt.
5.3. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, es sei widersprüchlich, dass das Obergericht ihm Kosten auferlegt habe, obschon es offenbar selber davon ausgehe, dass mindestens ein Urteil des Bezirksgerichts nichtig sein müsse.
Für die Kostenauflage hat das Obergericht auf das Unterliegerprinzip (Art. 106 Abs. 1 ZPO) abgestellt und die Kosten demgemäss dem Beschwerdeführer auferlegt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist es nicht davon ausgegangen, eines der angefochtenen Urteile sei nichtig, sondern es hat diese Frage offengelassen (vgl. oben E. 5.1). Was unter diesen Umständen an der Kostenauflage verfassungswidrig sein soll, erschliesst sich nicht. Bei dieser Ausgangslage ist auch nicht ersichtlich, inwiefern verfassungsmässige Rechte dadurch verletzt worden sein sollen, dass dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zugesprochen worden ist.
6.
Die Verfassungsbeschwerde ist damit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
7.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Ausrichtung einer Partei- bzw. Umtriebsentschädigung an den nicht vertretenen Beschwerdeführer fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Ausstandsgesuche wird nicht eingetreten.
2.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg