Erwägungen:
1.
Im November 2018 klagte der Beschwerdeführer beim Regionalgericht Bern-Mittelland gegen den Beschwerdegegner im Wesentlichen auf Zahlung einer Entschädigung von Fr. 25'000.--. Das Regionalgericht wies die Klage mit Entscheid vom 27. September 2019 ab und verurteilte den Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 6'505.10 zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 16. Juli 2020 wies das Obergericht des Kantons Bern eine vom Beschwerdeführer gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 27. September 2019 erhobene Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'020.-- zugunsten des Beschwerdegegners für das Rechtsmittelverfahren. Mit Urteil 4A_397/2020 vom 16. September 2020 trat das Bundesgericht auf eine vom Beschwerdeführer gegen den obergerichtlichen Entscheid erhobene Beschwerde nicht ein. Weil dem Beschwerdegegner im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden war, wurde ihm für das Beschwerdeverfahren keine Parteientschädigung zugesprochen.
Am 19. Juni 2019 klagte der Beschwerdeführer beim Regionalgericht erneut gegen den Beschwerdegegner auf Zahlung von Fr. 18'000.--. Mit Entscheid vom 13. März 2020 wies das Regionalgericht die Klage ab und verurteilte den Beschwerdeführer zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 3'540.-- an den Beschwerdegegner.
Eine vom Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 23. Juli 2020 ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte ihm für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'770.--. Mit Urteil 4A_407/2020 vom 16. September 2020 trat das Bundesgericht auf eine vom Beschwerdeführer gegen den obergerichtlichen Entscheid erhobene Beschwerde nicht ein. Weil dem Beschwerdegegner auch in diesem Verfahren kein Aufwand entstanden war, wurde ihm wiederum keine Parteientschädigung zugesprochen.
Am 26. Januar 2021 stellte der Beschwerdegegner dem Beschwerdeführer Rechnung für die zugesprochenen Parteientschädigungen von insgesamt Fr. 13'835.10. In der Folge gelangte der Beschwerdeführer erneut an das Regionalgericht und beantragte sinngemäss, es sei festzustellen, dass er die Parteientschädigungen von Fr. 13'835.10 nicht schulde. Mit Entscheid vom 11. Februar 2022 trat das Regionalgericht auf die negative Feststellungsklage nicht ein und auferlegte die Prozesskosten dem Beschwerdeführer. Eine vom Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 9. März 2022 ab.
Mit Eingabe vom 17. März 2022 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 9. März 2022 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (BGE 133 III 393 E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. Art. 117 BGG).
3.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 17. März 2022 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 9. März 2022 auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass ein Urteil, mit dem das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintritt, den angefochtenen Entscheid nicht etwa ersetzt, wie der Beschwerdeführer fälschlicherweise annimmt (BGE 147 III 238 E. 3.2.2). Die beiden Nichteintretensentscheide 4A_397/2020 und 4A_407/2020 vom 16. September 2020, in denen das Bundesgericht mangels Aufwands des Beschwerdegegners jeweils auf die Zusprechung einer Parteientschädigung für das bundesgerichtlichen Verfahren verzichtete, änderten demnach nichts an den im kantonalen Verfahren auferlegten Parteientschädigungen.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner steht keine Parteientschädigung zu, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann