Faits :
A.
A.a. A._, née en 1955, travaillait en temps qu'aide de maison au service des nettoyages de l'Institut B._. Le 13 juin 1996, elle a été victime d'un accident de la circulation, à la suite duquel elle a souffert de troubles au niveau de l'épaule droite ayant nécessité notamment une arthroscopie le 16 novembre 1996. L'assureur-accidents, la Caisse Vaudoise, a pris en charge le cas.
De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 83 % à compter du 1 er novembre 1997 (projet de décision du 30 avril 2002 et décision du 13 décembre 2002). Le droit à une rente entière de l'assurance-invalidité a été maintenu à l'issue de plusieurs procédures de révision (communications des 21 septembre 2005, 8 mars 2011 et 31 juillet 2013).
Par décision du 9 octobre 2007, Helsana Accidents SA (laquelle a succédé à la Caisse Vaudoise; ci-après: Helsana) a alloué à A._ une rente complémentaire LAA, fondée sur un taux d'invalidité de 83 %, à compter du 1 er janvier 2001.
A.b. Dans le contexte d'une procédure de révision initiée en juin 2012, Helsana a confié une expertise orthopédique au docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, puis une expertise psychiatrique au docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Sur la base des conclusions de ces médecins, elle a supprimé le droit de l'assurée à la rente d'invalidité avec effet au 1 er juin 2015 (décision du 26 mai 2015, confirmée sur opposition le 31 juillet 2015).
L'Office AI a lui aussi supprimé le droit à la rente entière d'invalidité, avec effet au 1 er octobre 2013 (décision du 9 septembre 2015).
Par jugements du 27 mars 2017, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour des assurances sociales) a rejeté les recours formés par l'assurée contre les décisions de suppression de rente d'invalidité d'Helsana et de l'Office AI. Saisi de deux recours en matière de droit public contre ces jugements, le Tribunal fédéral les a annulés et a renvoyé les causes à la juridiction cantonale pour qu'elle rende de nouvelles décisions après avoir mis en oeuvre une expertise judiciaire (arrêts 8C_339/2017 et 8C_340/2017 du 1 er février 2018).
B.
La Cour des assurances sociales a confié la mise en oeuvre de l'expertise judiciaire au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Dans son rapport du 3 décembre 2018, l'expert a posé les diagnostics d'érosion de la face profonde au niveau de la jonction entre le tendon du sus-épineux et du sous-épineux, de status post arthroscopie de l'épaule droite, de lésion partielle articulaire et interstitielle du tendon du sus-épineux et de raideur articulaire de l'épaule droite. Par jugement du 22 novembre 2019, la Cour des assurances sociales a admis partiellement le recours de l'assurée contre la décision sur opposition d'Helsana du 31 juillet 2015, qu'elle a réformée dans le sens d'une réduction au 1 er juin 2015 de la rente d'invalidité LAA sur la base d'un taux d'invalidité de 29 %.
C.
Helsana forme un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision du 31 juillet 2015, subsidiairement à son annulation et à la mise en oeuvre d'une instruction complémentaire par la cour cantonale et, plus subsidiairement, à sa réforme en ce sens que la réduction de la rente d'invalidité se fonde sur un taux d'invalidité de 21 %.
L'intimée conclut au rejet du recours et demande le bénéfice de l'assistance judiciaire. La Cour des assurances sociales et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur la révision de la rente d'invalidité LAA allouée à l'intimée depuis le 1 er janvier 2001.
2.2. Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, comme c'est le cas en l'espèce, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3.
Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels en matière de révision au sens de l'art. 17 LPGA (RS 830.1; ATF 141 V 9 consid. 2.3 p. 10 s.; 133 V 545 consid. 6.1 p. 546 s.), ainsi que sur la méthode générale de la comparaison des revenus pour évaluer le taux d'invalidité (art. 16 LPGA; ATF 139 V 592 consid. 2.3 p. 593 s.; 137 V 334 consid. 3.1.1 p. 337), l'abattement sur le revenu d'invalide (ATF 129 V 472 consid. 4.2.3 p. 481 s.; 126 V 75) et le moment où il convient de se placer pour déterminer les revenus avec et sans invalidité (ATF 129 V 222 consid. 4.1 p. 223); il suffit d'y renvoyer.
4.
Se fondant sur le rapport d'expertise judiciaire du docteur E._, auquel ils ont reconnu une pleine valeur probante, les juges cantonaux ont retenu que l'état de santé de l'intimée s'était amélioré de manière notable, lui permettant de mettre à profit une capacité de travail entière dans une activité n'impliquant pas de mouvement du bras droit au-dessus des épaules, ni de port de charge répété, de vibration ou de contrecoup au niveau du membre supérieur droit. Ils en ont déduit, comme l'expert, que l'activité habituelle de femme de chambre n'apparaissait pas compatible avec ces limitations.
Procédant ensuite à une évaluation du taux d'invalidité, la cour cantonale a retenu un revenu sans invalidité de 68'330 fr., correspondant au salaire perçu par l'intimée en 1997 adapté à l'évolution des salaires nominaux jusqu'en 2015. En ce qui concerne le revenu d'invalide, elle s'est référée aux données statistiques résultant de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) 2014, singulièrement au salaire médian réalisé par les femmes dans des activités simples et répétitives. Elle obtenait, après adaptation de ce montant à la durée hebdomadaire de travail en 2015 (41,7 heures) et à l'évolution des salaires nominaux entre 2014 et 2015 (+ 0,8 %), puis en procédant à un abattement de 10 %, un revenu d'invalide de 48'607 fr. 35. Il en résultait un taux d'invalidité arrondi de 29 %, ce qui justifiait de réformer la décision entreprise dans le sens d'un passage de la rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 83 % à une rente fondée sur un taux de 29 % à compter du 1 er juin 2015.
5.
5.1. Invoquant une violation de son droit d'être entendue, la recourante reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas répondu à ses critiques dirigées contre le rapport d'expertise du docteur E._, qu'elle réitère ensuite, en substance, en déniant toute valeur probante audit rapport.
5.2.
5.2.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée, qu'il puisse le cas échéant l'attaquer en connaissance de cause et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (ATF 138 I 232 consid. 5.1 p. 238 et les arrêts cités). Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 142 III 433 consid. 4.3.2 p. 436 et les arrêts cités).
5.2.2. En l'espèce, les juges cantonaux ont considéré que les conclusions de l'expertise judiciaire résultaient d'une analyse complète de la situation médicale, que le rapport contenait une anamnèse détaillée, prenait dûment en considération les plaintes de l'assurée et décrivait les constatations cliniques. Le rapport d'expertise contenait en outre les diagnostics actuels et une appréciation circonstanciée du cas, et répondait aux questions posées. Au sujet de la capacité de travail de l'intimée dans son activité habituelle, la cour cantonale a relevé en particulier que l'activité de femme de chambre était lourde et qu'elle n'apparaissait pas compatible avec les limitations retenues par l'expert, contrairement à ce que soutenait la recourante. En effet, certains mouvements inhérents au métier d'employée de maison impliquaient un nettoyage en hauteur et le port de charges importantes; en outre, le fait que l'intimée demeurait en mesure d'effectuer les travaux au sol ne permettait pas de retenir une capacité de travail partielle dans cette activité.
Dans cette mesure, les premiers juges ont rejeté les griefs de la recourante tendant à écarter les conclusions de l'expertise judiciaire. Même si leur motivation ne répond pas à chacune des critiques formulées par la recourante à l'encontre du rapport d'expertise (en particulier s'agissant des limitations fonctionnelles retenues), celle-ci a été en mesure d'en saisir la portée et d'attaquer le jugement en connaissance de cause. Le moyen tiré de la violation de son droit d'être entendue se révèle ainsi mal fondé. Pour le surplus, il conviendra d'examiner l'argumentation de la recourante en tant qu'elle porte sur le résultat de l'appréciation des preuves.
5.3.
5.3.1. En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impérieux des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut notamment constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (ATF 125 V 351 consid. 3b/aa p. 352 s. et les références).
5.3.2. En l'espèce, on ne voit pas dans les critiques soulevées par la recourante de motifs impérieux de s'écarter des conclusions de l'expertise judiciaire. En effet, bien que l'expert ait reconnu une autolimitation lors de l'examen, il n'en reste pas moins qu'il a également mis en évidence une légère amyotrophie des loges sus- et sous-épineuses et qu'il a fondé son diagnostic de raideur de l'articulation gléno-humérale notamment sur les résultats d'une IRM de l'épaule droite du 19 juin 2017. Aussi n'apparaît-il pas que seuls des éléments non organiques et subjectifs justifieraient les limitations retenues, comme le soutient la recourante. On ne saurait non plus reprocher à l'expert d'avoir considéré que l'activité habituelle de l'intimée n'était pas adaptée sans même connaître les tâches que celle-ci accomplissait au service de son ancien employeur. En effet, le docteur E._ a établi son expertise en se fondant notamment sur le dossier médical de l'intimée. L'on y trouve en particulier une description des tâches habituelles de l'intimée au sein de l'Institut B._ dans un rapport d'expertise du docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur ainsi qu'en chirurgie de la main, du 21 décembre 1998 (cité dans le rapport d'expertise judiciaire). Au demeurant, on ne saurait d'emblée retenir qu'une activité d'employée de maison est adaptée à une assurée qui ne peut pas utiliser son membre supérieur droit au-dessus des épaules ni porter des charges de manière répétitive. Enfin, le fait que le docteur E._ n'a pas été en mesure de se prononcer clairement sur l'importance de la raideur en raison de l'autolimitation de l'intimée ne permet pas de mettre en cause son appréciation et de dénier toute valeur probante à son rapport d'expertise. Au contraire, il a pris en considération à juste titre l'amplitude articulaire correspondant à celle qu'il a obtenue en distrayant l'intimée, laquelle se recoupait d'ailleurs avec les images ressortant du rapport d'observation du 15 octobre 2013. Il s'ensuit que les premiers juges étaient en droit de se fonder sur l'expertise judiciaire pour admettre que l'intimée présentait une capacité de travail entière uniquement dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles retenues par l'expert. Il n'y a donc pas lieu d'ordonner une nouvelle expertise comme le demande la recourante.
6.
6.1. La recourante conteste l'abattement opéré par les premiers juges sur le revenu d'invalidité, en leur reprochant un abus de leur pouvoir d'appréciation. Selon elle, les juges cantonaux auraient arbitrairement tenu compte des limitations fonctionnelles de l'assurée comme critère d'abattement, alors qu'elles avaient déjà été prises en considération dans l'évaluation de la capacité résiduelle de travail. Il n'y aurait en outre pas lieu de tenir compte des circonstances liées au handicap au regard du large éventail d'activités simples et répétitives accessibles à l'intimée.
6.2. Le grief est mal fondé. En effet, l'abattement de 10 % opéré par les premiers juges sur le salaire statistique n'est pas lié au handicap de l'intimée, mais se fonde sur les circonstances personnelles et professionnelles susceptibles d'influer ses perspectives salariales. La juridiction cantonale a d'ailleurs relevé que les limitations fonctionnelles n'étaient pas particulièrement contraignantes et que les activités visées par l'ESS recouvraient suffisamment d'activités variées et non qualifiées.
7.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté.
8.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF), de sorte que sa requête d'assistance judiciaire est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella