Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1975) ist serbische Staatsangehörige. Sie heiratete am 25. September 2017 einen in der Schweiz aufenthaltsberechtigten deutschen Staatsangehörigen (geb. 1960) und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zum Verbleib bei ihrem Ehemann. Nachdem das Migrationsamt des Kantons Solothurn im Jahr 2018 Abklärungen im Hinblick auf eine allfällige Scheinehe vorgenommen hatte, widerrief es namens des Departements des Innern am 29. August 2019 die Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies sie aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 28. November 2019 ab.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 3. Februar 2020 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Migrationsamt sei anzuweisen, ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihr die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
Die Beschwerdeführerin leitet in vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch aus dem Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (FZA; SR 0.142.112.681) ab. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Abs. 2 und Art. 90 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt daneben kein Raum; darauf ist nicht einzutreten (Art. 113 BGG e contrario).
3.
Die Beschwerdeführerin kann sich als Ehegattin eines deutschen, in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Staatsangehörigen grundsätzlich auf die Bestimmungen des FZA berufen. Der Aufenthaltsanspruch steht allerdings unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs und fällt dahin, wenn der Wille zur Ehegemeinschaft fehlt. Die vom originär anwesenheitsberechtigten EU-Bürger abgeleitete Bewilligung des Drittstaatsangehörigen kann in diesem Fall mangels Fortdauerns der Bewilligungsvoraussetzungen gestützt auf Art. 23 Abs. 1 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die Einführung des freien Personenverkehrs (VEP; SR 142.203) i.V.m. Art. 62 Abs. 1 lit. d AIG (SR 142.20) widerrufen oder nicht (mehr) verlängert werden (BGE 139 II 393 E. 2.1 S. 395).
4.
Streitig ist, ob die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann tatsächlich beabsichtigen, eine eheliche Gemeinschaft zu führen. Die Beschwerdeführerin macht eine Gehörsverletzung geltend, weil ihr Ehemann nicht persönlich angehört worden sei.
4.1. Dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) lässt sich nicht eine allgemeine Pflicht der Behörde zur Abnahme aller angebotenen Beweise entnehmen. Die Abweisung eines Beweisantrags erweist sich als zulässig, wenn die Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde sich ihre Meinung aufgrund zuvor erhobener Beweise bereits bilden konnte und sie ohne Willkür in vorweggenommener, antizipierter Beweiswürdigung annehmen darf, die gewonnene Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht erschüttert (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236).
4.2. Die Vorinstanz hat sich eingehend mit den polizeilichen Wohnungskontrollen vom Februar und November 2018 auseinandergesetzt (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils). Sie hat erwogen, dass die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann an beiden Wohnorten keine tatsächliche Wohngemeinschaft geführt hätten. Auch wenn die Abwesenheit der Beschwerdeführerin bei der ersten Kontrolle berufsbedingt erklärt werden könne, sei nicht erklärbar, weshalb keine Effekten von ihr in der Wohnung gewesen seien. Es sei unglaubwürdig, dass sie ihre gesamten Utensilien in eine fremde Wohnung mitnehme, in der sie sich angeblich nur während ihres Arbeitseinsatzes aufhalte. Was die weiteren Wohnungskontrollen betreffe, so könne die monatelange Landesabwesenheit des Ehemannes nicht mit dem Tod seiner Mutter und Schwester sowie seines Gesundheitszustands erklärt werden. Namentlich hätte die Beschwerdeführerin mittels Attesten nachweisen können, weshalb ihr Ehemann nicht auch in der Schweiz behandelt werden könne. Zusammen mit den übrigen Indizien - keine Aufenthaltsbewilligung ohne Heirat; sehr kurze Dauer der Bekanntschaft (Kennenlernen am 19. September 2016; Reisepass zum Zwecke der Eheschliessung am 21. September 2016; angeblicher Zusammenzug am 26. Oktober 2016; Gesuch zur Vorbereitung der Heirat am 27. Oktober 2016); Altersunterschied - erscheine eine Ausländerrechtsehe als nachgewiesen (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Bei dieser klaren Sachlage sei es nicht zu beanstanden, wenn die Migrationsbehörde in antizipierter Beweiswürdigung den Antrag auf Anhörung des Ehemannes abgewiesen habe (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
4.3. Was die Beschwerdeführerin gegen diese Erwägungen vorbringt, überzeugt nicht.
4.3.1. Es ist nicht ersichtlich, inwieweit eine Befragung des Ehemannes Aufschluss darüber geben könnte, weshalb er sich seit rund eineinhalb Jahren zur medizinischen Behandlung in Deutschland aufhält. Dabei wird nicht bestritten, dass der Ehemann gesundheitliche Probleme hat und medizinisch behandelt werden muss. Fraglich ist, weshalb er sich nicht in der Schweiz in der Nähe der Beschwerdeführerin behandeln lässt. Die angebliche Transportunfähigkeit des Ehemannes weist die Beschwerdeführerin nicht mit ärztlichen Attesten nach. Ihre Ausführungen, wonach das Einholen dieser Atteste in Deutschland "ungleich schwieriger als in der Schweiz" sei, ist als Schutzbehauptung zu werten. Selbst wenn der Ehemann seine eigene Transportunfähigkeit bestätigen würde, käme dieser Aussage kein relevanter Beweiswert zu.
4.3.2. Auch unabhängig von den Umständen seiner Landesabwesenheit sind von einer Befragung des Ehemannes keine neuen Erkenntnisse zu erwarten. Selbst wenn der Ehemann bestätigen würde, dass die Ehe trotz seines Auslandaufenthaltes gelebt werde und er in die Schweiz zur Beschwerdeführerin zurückkehren wolle, würde dies die zahlreichen übrigen Indizien, die die Vorinstanz zum Nachweis einer Ausländerrechtsehe angeführt hat, nicht ernsthaft infrage stellen. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Indizien nicht auseinander. Sie erklärt namentlich weder, weshalb bereits zwei Tage nach dem Kennenlernen Vorbereitungen für die Heirat eingeleitet worden sind, noch weshalb bei der ersten Wohnungskontrolle keine Effekte von ihr in der angeblichen ehelichen Wohnung vorgefunden worden sind. Vor diesem Hintergrund spielt es keine Rolle, dass sich der Ehemann in der Schweiz nicht abgemeldet hat und hier offenbar noch krankenversichert ist bzw. Steuern bezahlt, weil alleine daraus nicht auf eine eheliche Gemeinschaft geschlossen werden kann.
4.4. Zusammenfassend durften die Vorinstanzen angesichts der zahlreichen Indizien, die auf eine Ausländerrechtsehe hindeuten, ohne Gehörsverletzung von einer Befragung des Ehemannes absehen.
4.5. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren abzuweisen (Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG).
5.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger