Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) bezweckt die Realisierung von Bauvorhaben. Sie erstellte am Strasse X._ in U._ zwölf zusammengebaute Reiheneinfamilienhäuser und eine Tiefgarage. A._ (Beschwerdeführer) erwarb ab Plan eines der Einfamilienhäuser sowie einen Miteigentumsanteil an der Tiefgarage.
Die 25 Miteigentümer kamen nach der Eigentumsübertragung zum Schluss, dass die Tiefgarage Konstruktionsfehler aufweise. Sie zogen daher die C._ GmbH bei, welche in ihrem Bericht vom 24. August 2015 die von ihr festgestellten Mängel auflistete. Die Kosten der Mängelbehebung bezifferte sie auf insgesamt Fr. 77'553.65.
B.
Am 11. April 2016 reichte A._ zusammen mit den anderen 24 Miteigentümern Klage beim Bezirksgericht Winterthur ein und begehrte für seinen Teil, die B._ AG sei zu verpflichten, ihm "einen noch zu beziffernden Betrag (mindestens Fr. 11'489.40 für 4/27 Miteigentumsanteile) nebst Zins" zu bezahlen. Eventualiter sei ihm der Betrag von Fr. 11'489.40 zu bezahlen. Am 29. August 2016 erstattete die B._ AG die Klageantwort. Mit Schreiben vom 3. Februar 2017 beantragte der klägerische Anwalt Georg Weber "namens der Kläger, auch wegen des geringen Streitwertes, auf ein gerichtliches Gutachten zu verzichten und den Gutachter der Kläger, D._ von der C._ AG, als Zeugen vorzuladen. [...]."
Mit Urteil vom 24. Mai 2017 wies das Bezirksgericht die Klage ab. Es interpretierte die erwähnte Erklärung der Kläger als definitiven Verzicht auf die beantragte gerichtliche Expertise und begründete ihren Entscheid folglich in acht der neun geltend gemachten Schadensposten zumindest als Eventualbegründung mit dem Fehlen von Beweismitteln. Die Zeugenaussage von Fachleuten, die von einer Partei beigezogen worden seien, gelte als Parteigutachten und sei als Beweismittel untauglich. Somit liege Beweislosigkeit vor.
Einzig A._ zog das Urteil mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich weiter. Er beantragte, das Urteil des Bezirksgerichts sei aufzuheben und seine erstinstanzlichen Rechtsbegehren seien gutzuheissen. Subeventualiter begehrte er, das angefochtene vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Urteil vom 21. Februar 2018 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte das vorinstanzliche Urteil, soweit dieses A._ betrifft.
C.
A._ verlangt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde was folgt:
"1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 21. Februar 2018 (Geschäfts-Nr. NP170024-O/U) sei aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen;
2. Unter Kosten und Entschädigungsfolgen (zzgl. MwSt.) zulasten der Beschwerdegegnerin"
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Die Beschwerde in Zivilsachen ist aufgrund des Streitwertes von weniger als Fr. 30'000.-- (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG) nicht zulässig (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb die vom Beschwerdeführer erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen steht. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, unter Vorbehalt einer Art. 42 Abs. 1 und 2 genügenden Beschwerdeschrift (siehe Erwägungen 1.2 und 2).
1.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 107 Abs. 2 BGG), muss die beschwerdeführende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen; ein Antrag auf Rückweisung an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder ein Aufhebungsantrag genügt in der Regel nicht. Ein Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht bei Gutheissung nicht selbst in der Sache entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz fehlen (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 135; 134 III 379 E. 1.3 S. 383; 133 III 489 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Dies ist etwa bei der Rüge formeller Mängel der Fall, wenn die Vorinstanz zu Unrecht von einer fehlenden Substanziierung ausgegangen ist und entsprechend beantragte Beweismittel nicht abgenommen hat (Urteil 4A_284/2017 vom 22. Januar 2018 E. 1).
Der Beschwerdeführer beantragt lediglich die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung an die Vorinstanz zur Neubeurteilung in der Sache. Indessen macht er mit der Beschwerde geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf die Einholung eines gerichtlichen Gutachtens verzichtet. Sollte sich diese Rüge als begründet erweisen, wäre die Sache voraussichtlich an die Vorinstanz zur Ergänzung des Beweisverfahrens und neuer Beurteilung in der Sache zurückzuweisen. Unter diesen Umständen genügt der Antrag des Beschwerdeführers.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG (in Verbindung mit Art. 117 BGG) ausdrücklich vorgebracht sowie klar und detailliert begründet wird (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 138 I 171 E. 1.4; 135 III 127 E. 1.6; 134 V 138 E. 2.1; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (BGE 134 II 349 E. 3 S. 352; 133 I 1 E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141III 564 E. 4.1; 140 III 16 E. 2.1; 139 III 334 E. 3.2.5 S. 339). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (BGE 140 III 16 E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Interpretation des Schreibens vom 3. Februar 2018 durch das Bezirks- und Obergericht als bedingungslosen Verzicht der Kläger auf ein gerichtliches Gutachten sei willkürlich. Zudem hält er das Vorgehen der Vorinstanzen für überspitzt formalistisch.
3.2. Wie alle Prozesshandlungen sind Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung. Dabei ist nicht einfach die allenfalls unrichtige Bezeichnung oder Ausdrucksweise massgebend (siehe Urteile 4A_66/2016 vom 22. August 2016 E. 4.1.2; 4A_383/2015 vom 7. Januar 2016 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz führte aus, das Bezirksgericht sei zu Recht von einem definitiven Verzicht auf eine gerichtliche Expertise ausgegangen. In jenen Punkten, zu denen einzig ein gerichtliches Gutachten beantragt gewesen sei (d.h. zu den Schadensursachen und den Behebungskosten), könne nach Aktenschluss ohnehin nicht der bisherige Beweisantrag durch einen neuen ersetzt werden. Weiter seien die Ausführungen des Beschwerdeführers klar aktenwidrig, sein Anwalt habe mit der Eingabe vom 3. Februar 2017 der Vorinstanz zwar den Antrag gestellt, auf ein gerichtliches Gutachten zu verzichten, allerdings nur unter der Voraussetzung, dass stattdessen D._ als Gutachter zu bestellen sei. Aus den Darlegungen des Anwaltes der Kläger vom 3. Februar 2017 sei nicht hervorgegangen, dass D._ zum Gutachter hätte bestellt werden sollen. Vielmehr sei dort unter Hinweis auf den geringen Streitwert verlangt worden, dass kein Gutachten einzuholen sei, sondern D._ als Zeuge vorzuladen sei, was notabene im Zusammenhang mit den geltend gemachten Mängeln bereits vor Aktenschluss beantragt gewesen sei. Mit seiner Stellungnahme habe der Anwalt der Kläger für seine Mandaten mithin bedingungslos auf den Gutachtensbeweis verzichtet und am Antrag festgehalten, es sei D._ als Zeuge zu vernehmen. Damit sei der neue Antrag darauf hinausgelaufen, dass einerseits - aus Kostengründen - auf das gerichtliche Gutachten zu verzichten sei, und anderseits der Autor des Privatgutachtens der Kläger als Zeuge zu vernehmen sei. Wo ein gerichtliches Gutachten erforderlich sei, könne ein solches Vorgehen nach dem Gesagten aber nicht beweisbildend sein. Durch ihre Erklärung vom 3. Februar 2017 - so der Schluss der Vorinstanz - hätten die Kläger ihren früheren Antrag auf Einholung eines gerichtlichen Gutachtens zurückgezogen.
3.4. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern diese vorinstanzliche Auslegung des Schreibens vom 3. Februar 2017 geradezu willkürlich ist. Er missachtet die oben dargelegten Begründungsanforderungen (siehe Erwägung 2), indem er dem angefochtenen Urteil lediglich sein eigenes Verständnis des Schreibens gegenüberstellt und dasjenige der Vorinstanz als "überspitzt formalistisch und willkürlich" bezeichnet. Um Willkür zu beweisen, müsste die Auslegung des Schreibens offensichtlich unhaltbar sein oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen. Ein solcher Verstoss wird nicht aufgezeigt und ist auch nicht erkennbar. Vielmehr ist die vorinstanzliche Auslegung durchaus schlüssig und jedenfalls nicht unhaltbar.
Unter diesen Umständen ist es aber auch nicht überspitzt formalistisch, wenn die Klage gestützt auf Art. 8 ZGB abgewiesen wird, zumal der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, dass er den Beweis durch andere Beweismittel erbracht hat.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz