Sachverhalt:
A.
A._, B._ und C._ reisten aus Serbien in die Schweiz, zu Zahnarzt Dr. D._ bzw. zur U._ GmbH, um dort gemäss eigenen Angaben an einem Kurs teilzunehmen. Im Rahmen einer polizeilichen Aktion wurden sie anlässlich dieses Kurses am 20. August 2019 vorläufig festgenommen, durch das kantonale Migrationsamt aus der Schweiz weggewiesen und in Ausschaffungshaft versetzt. Sie verliessen die Schweiz anschliessend in Richtung Serbien. Mit Strafbefehlen der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen vom 28. Februar 2020 bzw. 3. März 2020 wurden sie wegen rechtswidriger Einreise, rechtswidrigen Aufenthalts, Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung sowie (teilweise) Übertretung des Gesundheitsgesetzes verurteilt.
Die genannte Aktion erfolgte als koordinierter Einsatz unter der Leitung der Staatsanwaltschaft, zusammen mit dem Amt für Wirtschaft, dem Gesundheitsdepartement und der Kantonspolizei des Kantons St. Gallen. Sie diente der Klärung des Verdachts, wonach bei der U._ GmbH regelmässig Patientinnen und Patienten durch ausländische Personen ohne ausländerrechtliche bzw. ohne gesundheitsgesetzliche Bewilligung behandelt würden.
B.
In der Folge erstatteten A._, B._ und C._ im August 2020 Strafanzeige gegen Staatsanwalt E._ wegen Freiheitsberaubung, Amtsmissbrauchs und Verletzung der Wirtschaftsfreiheit. Ausserdem verlangten sie Akteneinsicht. Aufgrund dieser Anzeigen eröffnete die Anklagekammer des Kantons St. Gallen Ermächtigungsverfahren. In deren Rahmen liess sich die Leitende Staatsanwältin Dr. F._ zur Sache vernehmen, beantragte die Nichterteilung der Ermächtigung und reichte verschiedene Akten ein. Darauf erhoben A._, B._ und C._ im Rahmen ihrer Stellungnahme an die Anklagekammer auch gegen die Leitende Staatsanwältin Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs. Das Ermächtigungsverfahren wurde infolgedessen auf diese ausgeweitet.
Mit Entscheid vom 22. Oktober 2020 vereinte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen die drei Verfahren und verweigerte die Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen Staatsanwalt E._ und die Leitende Staatsanwältin Dr. F._.
C.
Gegen diesen Entscheid gelangen A._, B._ und C._ mit Eingabe vom 12. Januar 2021 an das Bundesgericht und beantragen die Aufhebung des Entscheids der Anklagekammer. Die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen den Staatsanwalt und die Leitende Staatsanwältin sei zu erteilen. Eventualiter sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben und das Verfahren zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen verzichtet unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegner beantragen im Rahmen ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme an ihren Rechtsbegehren vollumfänglich fest, worüber die anderen Verfahrensbeteiligten in Kenntnis gesetzt wurden.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid betreffend die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (BGE 137 IV 269 E. 1.3.1). Die Beschwerdegegner gehören nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund gemäss Art. 83 lit. e BGG nicht zur Anwendung gelangt (vgl. BGE 137 IV 269 E. 1.3.2).
1.2. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen. Der Kanton St. Gallen hat von seiner gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO]; sGS 962.1; vgl. Urteil 1C_420/2020 vom 16. November 2020 E. 1.2). Die hier angezeigten Beschwerdegegner fallen in den Anwendungsbereich des Ermächtigungserfordernisses.
1.3. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Anklagekammer die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die angezeigten Personen verweigert. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist somit ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.4. Der Straftatbestand des Amtsmissbrauchs gemäss Art. 312 StGB schützt sowohl den Staat als auch den betroffenen Bürger (Urteil 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 1.2 mit Hinweis), weshalb die Beschwerdeführer insoweit ein schutzwürdiges Interesse an einer allfälligen Strafverfolgung haben. Da sie zudem am kantonalen Verfahren erfolglos teilgenommen haben und ihre Strafanzeige nicht mehr weiter behandelt werden kann, sind sie zur Erhebung der Beschwerde berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Nachdem die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen ebenfalls erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.6. Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Unzulässig ist das Nachreichen von Beweismitteln, die ohne Weiteres schon im kantonalen Verfahren hätten vorgebracht werden können und sollen. Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), können nicht durch den vorinstanzlichen Entscheid veranlasst worden sein und sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (BGE 139 III 120 E. 3.1.2; 133 IV 342 E. 2.1). Das Bundesgericht untersucht somit nur, ob der angefochtene Entscheid im Zeitpunkt seines Ergehens rechtmässig war. Seitherige rechtserhebliche Veränderungen des Sachverhalts können vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden (vgl. Urteile 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020 E. 1.3; 1B_246/2018 vom 12. Juni 2018 E. 1.2; 1C_347/2017 vom 23. März 2018 E. 1.3 mit Hinweis).
Mit ihrer Stellungnahme an das Bundesgericht reichen die Beschwerdeführer zahlreiche neue Unterlagen ein, ohne aufzuzeigen, inwiefern erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben habe (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal diese Dokumente nicht der Beschwerde, sondern erst der Stellungnahme beigelegt waren. Die von den Beschwerdeführern neu eingereichten Unterlagen sind daher im vorliegenden Verfahren unbeachtlich.
2.
2.1.
2.1.1. Die Beschwerdeführer rügen in formeller Hinsicht, die Begründung des angefochtenen Entscheids sei "äusserst knapp" ausgefallen, womit sie in ihrem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt worden seien. Die Vorinstanz hätte darlegen müssen, warum ihre substanziierten Vorbringen die Voraussetzungen für eine Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung nicht hinreichend glaubhaft hätten erscheinen lassen.
2.1.2. Die Rechtsprechung leitet aus Art. 29 Abs. 2 BV die Verpflichtung der Behörde ab, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 143 III 65 E. 5.2; 142 II 49 E. 9.2; 137 II 226 E. 3.2; 136 I 229 E. 5.2).
2.1.3. Dem angefochtenen Entscheid der Vorinstanz ist ohne Weiteres zu entnehmen, auf welche Überlegungen diese ihren Entscheid gestützt hat. Mit Blick auf die Beschwerde ist denn auch nicht ersichtlich, dass sich die Beschwerdeführer über die Tragweite des Entscheids nicht hätten Rechenschaft geben und diesen sachgerecht anfechten können. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist daher insofern zu verneinen.
2.2.
2.2.1. Ebenfalls unter dem Titel der Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) beanstanden die Beschwerdeführer, die Vorinstanz sei auf ihre Beweisanträge "so gut wie gar nicht" eingegangen. Einerseits hätten sie um die Edition des Protokolls der Einvernahme der Hauptbelastungszeugin und der Akten des gegen diese Zeugin geführten Strafverfahrens (Strafanzeige) und andererseits um Einsicht in alle relevanten Akten betreffend die polizeiliche Aktion ersucht. Angesichts der Schwere dieser Gehörsverletzungen sei eine Heilung ausgeschlossen.
2.2.2. Wie sich aus den Vorakten ergibt, haben die Beschwerdeführer der Vorinstanz sowohl das Protokoll der Einvernahme als auch die Strafanzeige im Lauf des Verfahrens selber noch nachgereicht. Für die Vorinstanz bestand damit kein Grund mehr, diese Dokumente zu edieren oder sich zu den entsprechenden Beweisanträgen der Beschwerdeführer zu äussern, zumal die Beschwerdeführer selber nicht darlegen, inwiefern zusätzlich die gesamten Strafakten des gegen die Zeugin geführten Verfahrens hätten beigezogen werden müssen. Es erübrigt sich daher, auf dieses Vorbringen einzugehen.
2.2.3. Was die im vorinstanzlichen Verfahren beantragte Akteneinsicht betrifft, ist den Vorakten Folgendes zu entnehmen: In ihren gegen den Beschwerdegegner bei der Vorinstanz eingereichten Strafanzeigen hielten die Beschwerdeführer fest, ihnen sei bis anhin - trotz eines entsprechenden Antrags - keine Einsicht in die Strafakten gewährt worden; insbesondere hätten sie keine Einsicht in die angebliche schriftliche Aussage der Mitarbeitenden der Schweizer Botschaft in Belgrad erhalten. Daher beantragten sie im Rahmen des Ermächtigungsverfahrens vor der Anklagekammer die vollständige Akteneinsicht, auch betreffend das Verfahren vor dem Kreisgericht. Die Staatsanwaltschaft hielt im Rahmen ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz daraufhin fest, dass seitens der Beschwerdeführer in den sie betreffenden Verfahren nie ein Gesuch um Akteneinsicht gestellt worden sei. In der Folge führten die Beschwerdeführer in ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz aus, sie hätten in alle ihre Verfahren betreffenden Akten Einsicht nehmen wollen, worauf sich das im Rahmen der Strafanzeige gestellte Akteneinsichtsgesuch bezogen habe. Sie würden nochmals um vollständige Akteneinsicht ersuchen; insbesondere hinsichtlich der Aussagen und Beweismittel, die - wohl im Jahr 2018 - zur Einleitung des Strafverfahrens geführt hätten. Offenbar betreffe dieses Strafverfahren auch sie. In den Unterlagen, welche die Staatsanwaltschaft zusammen mit ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz eingereicht habe, würden diejenigen Dokumente fehlen, welche die ersten Ansätze bzw. die Ursachen der späteren Taten des Beschwerdegegners gegen sie enthalten könnten. Schliesslich beantragten die Beschwerdeführer fortwährende Akteneinsicht im Ermächtigungsverfahren.
2.2.4. Die Vorinstanz hielt in diesem Zusammenhang fest, dass die nun geltend gemachten Akteneinsichtsrechte in die Strafverfahren auf anderem Weg zu erlangen seien.
2.2.5. Die Akteneinsicht bei hängigen Strafverfahren und das diesbezügliche Vorgehen sind in den Art. 101 und 102 StPO geregelt. Demnach können die Parteien spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise durch die Staatsanwaltschaft die Akten des Strafverfahrens einsehen, unter Vorbehalt von Art. 108 StPO (Art. 101 Abs. 1 StPO). Gemäss Art. 102 Abs. 1 StPO entscheidet die Verfahrensleitung über die Akteneinsicht. Sie trifft die erforderlichen Massnahmen, um Missbräuche und Verzögerungen zu verhindern und berechtigte Geheimhaltungsinteressen zu schützen.
2.2.6. Im Zeitpunkt der Einreichung der Strafanzeige bzw. des Akteneinsichtsgesuchs im August 2020 waren die die Beschwerdeführer betreffenden (Einsprache-) Verfahren beim Kreisgericht See-Gaster, Einzelrichter der 1. Abteilung, hängig. Gemäss Art. 61 lit. d StPO liegt die Verfahrensleitung im Gerichtsverfahren bei Einzelgerichten bei der Richterin oder beim Richter. Insofern ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz erwog, die nun geltend gemachten Akteneinsichtsrechte seien auf anderem Weg zu erlangen. Dass die Beschwerdeführer in die Akten des Ermächtigungsverfahrens nicht Einsicht erhalten hätten, machen sie weder geltend noch ist dies ersichtlich. Vielmehr bestätigen sie in ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz, die sie betreffenden Unterlagen, welche die Beschwerdegegner eingereicht hatten, erhalten zu haben. Insofern ist auch in dieser Hinsicht eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör zu verneinen.
3.
In materieller Hinsicht machen die Beschwerdeführer geltend, der Staatsanwalt (Beschwerdegegner) habe sich mehrere kritische Handlungen zuschulden kommen lassen, die in ihrer Gesamtheit eine Strafbarkeit gemäss Art. 312 StGB nicht unwahrscheinlich erscheinen liessen. Dasselbe gelte für die Leitende Staatsanwältin (Beschwerdegegnerin), die mutmasslich bewusst ihre Aufsichtsfunktion verletzt habe.
3.1.
3.1.1. Im Ermächtigungsverfahren dürfen, ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (BGE 137 IV 269 E. 2.4). Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn die Anklagekammer vorher ihre Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der Staatsanwaltschaft (BGE 137 IV 269 E. 2.3; Urteil 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2).
3.1.2. Rechtsprechungsgemäss ist für die Erteilung der Ermächtigung ein Mindestmass an Hinweisen auf strafrechtlich relevantes Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Vielmehr muss eine Kompetenzüberschreitung oder eine gemessen an den Amtspflichten missbräuchliche Vorgehensweise oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheinen und es müssen genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen. Der Entscheid über die Ermächtigung zur Strafuntersuchung ist demjenigen über die Anhandnahme eines Strafverfahrens bzw. über die Einstellung eines eröffneten Strafverfahrens vorangestellt. Es ist daher zwangsläufig, dass die Ermächtigung bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden muss, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist. Im Zweifel ist nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" die Ermächtigung zu erteilen (vgl. Urteile 1C_420/2020 vom 16. November 2020 E. 2; 1C_188/2019 vom 17. September 2019 E. 3; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2; 1C_427/2017 vom 15. Dezember 2017 E. 2; 1C_97/ 2015 vom 1. September 2015 E. 2; zum Grundsatz "in dubio pro duriore" vgl. auch BGE 143 IV 241).
3.1.3. Gemäss Art. 312 StGB machen sich Mitglieder einer Behörde oder Beamte strafbar, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen. Rechtsprechungsgemäss ist der hinsichtlich der Tathandlung sehr allgemein umschriebene Straftatbestand einschränkend dahin auszulegen, dass nur derjenige die Amtsgewalt missbraucht, welcher die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, d.h. kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo es nicht geschehen dürfte. Amtsmissbrauch ist der zweckentfremdete Einsatz staatlicher Macht (BGE 127 IV 209 E. 1a/aa und 1b; Urteil 1C_120/2020 vom 30. November 2020 E. 2.3). Gemäss Literatur sind Fälle der vorsätzlichen Rechtsbeugung in Form der Entscheidung einer Rechtssache durch einen Amtsträger zum Nachteil einer Partei unter Missachtung des Rechts gegebenenfalls als Amtsmissbrauch zu qualifizieren (vgl. STEFAN HEIMGARTNER, in: NIGGLI/ WIPRÄCHTIGER [Hrsg.], Basler Kommentar Strafrecht II, 3. Aufl. 2013, N. 17 zu Art. 312 StGB mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat sich dazu noch nicht (abschliessend) geäussert (vgl. Urteile 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 3; 1C_453/2015 vom 23. Oktober 2015 E. 3.2.2).
Strafbar ist der Amtsmissbrauch im Sinne von Art. 312 StGB nur bei vorsätzlicher Tatbegehung (vgl. Art. 12 Abs. 1 StGB). Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt bzw. wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (Art. 12 Abs. 2 StGB). Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus. Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (Urteile 1C_422/2019 vom 1. September 2020 E. 4.2; 6B_1169/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.2. Dem vorinstanzlichen Entscheid ist zu entnehmen, anlässlich der durch die Staatsanwaltschaft geleiteten polizeilichen Aktion seien die Beschwerdeführer angehalten und wegen Verdachts der rechtswidrigen Einreise, des rechtswidrigen Aufenthalts, der Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung und die Beschwerdeführer 1 und 3 zudem wegen Verdachts der Übertretung des Gesundheitsgesetzes vorläufig festgenommen worden. Nach rund einem Tag Haft habe das Migrationsamt Wegweisungsverfügungen erlassen und bis zu deren Vollzug die Ausschaffungshaft angeordnet. Die Beschwerdeführer opponierten mit ihren Strafanzeigen in erster Linie gegen die strafprozessualen und migrationsrechtlichen (Zwangs-) Massnahmen, die gegen sie ergriffen worden seien. Dagegen bestünden aber je eigene Rechtsmittel. Die Beschwerdegegner hätten unter Verweis auf Gerichtsentscheide der Anklagekammer und des kantonalen Zwangsmassnahmenrichters dargelegt, dass sich die fragliche Aktion auf einen hinreichenden Anfangsverdacht gestützt habe. Mithin dürfte die vorläufige Festnahme der Beschwerdeführer in Art. 217 StPO eine rechtliche Grundlage finden, worauf an dieser Stelle aber nicht näher einzugehen sei. Jedenfalls seien keine Hinweise auf einen möglichen Amtsmissbrauch oder eine Freiheitsberaubung durch die Beschwerdegegner zu erkennen. Die Anordnung der Ausschaffungshaft sowie der Erlass der Wegweisungsverfügung seien zuständigkeitshalber ohnehin durch das Migrationsamt erfolgt, womit eine mögliche diesbezügliche Strafbarkeit der Beschwerdegegner von vornherein ausscheide. Insgesamt ergäben sich aus dem zur Anzeige gebrachten Sachverhalt nicht ansatzweise Hinweise auf ein mögliches strafbares Verhalten der Beschwerdegegner. Entsprechend sei mangels Anfangsverdachts keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen die Beschwerdegegner zu erteilen.
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten rechtmässig an einer medizinischen Schulung teilgenommen und nicht gearbeitet, was sich mit den Aussagen aller anlässlich der Aktion festgenommenen Kursbesucher decke. Diese zahlreichen sie entlastenden Aussagen habe der Beschwerdegegner gegenüber der Migrationsbehörde mutmasslich unterschlagen und dadurch mutmasslich unrechtmässige migrationsrechtliche Massnahmen gegen sie erwirkt. Zudem hätten sich wesentliche Belastungszeugen im Nachhinein als "vollkommen unglaubwürdig" erwiesen und hätten sie - was dem Beschwerdegegner aufgrund beschlagnahmter Aktenstücke bekannt sei - für den Kursbesuch bezahlt und durch die Nichtteilnahme erhebliche berufliche bzw. finanzielle Nachteile erlitten. Trotzdem habe der Beschwerdegegner Strafbefehle gegen sie erlassen und halte an diesen fest. Dies lasse den Verdacht aufkommen, dass er mutmasslich bewusst unrechtmässige Strafbefehle gegen sie erlassen habe und diese aufrecht halte, um noch "Erfolge" aus der gescheiterten Aktion vorweisen zu können. Schliesslich hätten sich die die Aktion durchführenden Personen sowie die Hauptbelastungszeugin gegenüber den von der Aktion betroffenen Personen strafbar gemacht, was Gegenstand verschiedener Verfahren sei und habe die Hauptbelastungszeugin erst nach ihrer fristlosen Entlassung belastende Aussagen zum Nachteil der U._ GmbH getätigt. Mit Blick auf die erheblichen Zweifel an ihrer Strafbarkeit hätte sich der Beschwerdegegner darum bemühen müssen, dass die gegen sie erlassenen unrechtmässigen Strafbefehle aufgehoben würden, indem auch sämtliche sie entlastenden Momente berücksichtigt würden. Dies habe er aber mutmasslich bewusst unterlassen. Insgesamt habe der Beschwerdegegner damit unrechtmässige migrationsrechtliche Massnahmen gegen sie erwirkt und für sie nachteilige Strafbefehle erlassen und halte an diesen fest, wobei an den strafbaren Handlungen erhebliche Zweifel bestünden. Damit sei glaubhaft gemacht, dass der Beschwerdegegner ihnen gegenüber mehrfach kritische (Amts-) Handlungen begangen habe, die in ihrer Gesamtheit den Straftatbestand gemäss Art. 312 StGB als erfüllt erscheinen lassen könnten, was die Vorinstanz übersehen habe und wodurch sie in Willkür verfallen sei.
3.3.2. Mit diesen Vorbringen vermögen die Beschwerdeführer keine genügenden Anhaltspunkte für ein im Sinne von Art. 312 StGB strafrechtlich relevantes Verhalten des Beschwerdegegners darzutun, zumal sie ihre gegen diesen erhobenen Vorwürfe nicht ansatzweise belegen: Sie führen in erster Linie die gegen sie erlassenen Haft- und Strafbefehle sowie die von ihnen verfassten Strafanzeigen und ihre Stellungnahme an die Vorinstanz an. Darüber hinaus verweisen sie auf den Entscheid des Kreisgerichts See-Gaster vom 8. Dezember 2020, der jedoch erst nach dem vorliegend angefochtenen Entscheid erlassen wurde, womit es sich um ein vor Bundesgericht unzulässiges echtes Novum handelt, das unbeachtlich ist (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG; oben E. 1.6).
Unabhängig davon, ob die dem Beschwerdegegner seitens der Beschwerdeführer vorgeworfenen Handlungen (in ihrer Gesamtheit) überhaupt den Tatbestand des Amtsmissbrauchs gemäss Art. 312 StGB erfüllen könnten, lässt sich aus den gegen die Beschwerdeführer ergangenen Haftbefehlen nicht ableiten, der Beschwerdegegner hätte der Migrationsbehörde (bewusst) Informationen unterschlagen. In ihrer Stellungnahme halten die Beschwerdegegner zudem fest, Mitarbeitende des Migrationsamts seien am 20. August 2019 persönlich vor Ort gewesen und die migrationsrechtlichen (Zwangs-) Massnahmen seien gestützt auf die Akten der Kantonspolizei St. Gallen erfolgt. Ebenso wenig liefern die Strafbefehle selber oder die - nach Auffassung der Beschwerdeführer sie entlastenden, widersprüchlichen oder nicht aussagekräftigen - Aussagen anderer einvernommener Personen einen Hinweis dafür, dass der Beschwerdegegner Beweismittel (bewusst) zu Ungunsten der Beschwerdeführer (nicht) gewürdigt hätte. Dies gilt erst recht, soweit die Beschwerdeführer ihre Vorbringen auf Vorgänge stützen, die sich erst nach Erlass der Strafbefehle zugetragen haben, wobei aus der Beschwerde nicht hervorgeht, inwiefern der Beschwerdegegner in rechtswidriger Weise an den Strafbefehlen festhalte. Abgesehen davon, dass auch die Strafanzeige gegen die Zeugin erst nach Erlass der Strafbefehle erhoben wurde, vermag diese Anzeige wegen Veruntreuung und Urkundenfälschung nicht den Nachweis dafür zu erbringen, dass diese Zeugin "vollkommen unglaubwürdig" sein soll. Dies gilt auch insoweit, als die Beschwerdeführer mit dem offenbar gegen ein Mitglied des kantonalen Gesundheitsdepartements laufenden Strafverfahren wegen mehrfacher Verletzung des Amtsgeheimnisses belegen wollen, dass im Rahmen dieser Aktion noch weitere strafbare Handlungen vorgefallen sein sollen. Überdies führen die Beschwerdegegner in ihrer Stellungnahme aus, im Zusammenhang mit der betroffenen polizeilichen Aktion seien keine Ermächtigungen zur Eröffnung von Strafverfahren gegen Behördenmitglieder erteilt worden. Selbst wenn diese Personen entsprechend verurteilt würden, würde dies allein noch nicht nahelegen, dass der Beschwerdegegner seine Amtsgewalt im oben genannten Sinn (vgl. E. 3.1.3) missbraucht hätte.
Es fehlt damit an konkreten Anhaltspunkten, wonach der Beschwerdegegner nicht im Glauben gehandelt hätte, seine Machtbefugnisse pflichtgemäss auszuüben, oder wonach er eine Vorteilsverschaffungs- oder Nachteilszufügungsabsicht gehabt hätte. Die Willkürrüge der Beschwerdeführer stösst damit ins Leere. Soweit die Strafanzeigen der Beschwerdeführer sodann darauf zurückzuführen sind, dass diese die gegen sie erlassenen Strafbefehle nicht akzeptieren wollen, sind sie auf die dafür vorgesehenen Rechtsmittel zu verweisen.
3.4.
3.4.1. Betreffend die Leitende Staatsanwältin (Beschwerdegegnerin) bringen die Beschwerdeführer vor, diese habe im vorinstanzlichen Verfahren diverse Unterlagen, welche die angezeigten Handlungen des Beschwerdegegners wohl belegt hätten, mutmasslich bewusst nicht eingereicht. Konkret handle es sich um entlastende Aussagen der Hauptbelastungszeugin. Damit habe die Beschwerdegegnerin vermutlich bewusst ihre Aufsichtsfunktion verletzt, weshalb ein Amtsmissbrauch gemäss Art. 312 StGB nicht unwahrscheinlich sei. Indem die Vorinstanz übersehen habe, dass dieser Vorwurf minimal glaubhaft gemacht sei, sei sie in Willkür verfallen.
3.4.2. Die Beschwerdegegner erhielten im vorinstanzlichen Verfahren die Gelegenheit zur Stellungnahme und Einreichung allfälliger Akten, wobei sie darauf hingewiesen wurden, nicht zur Mitwirkung verpflichtet zu sein. Jedoch fand seitens Vorinstanz keine Edition der Strafakten statt. Inwiefern sich die Beschwerdegegnerin im Sinne von Art. 312 StGB schuldig gemacht haben könnte, indem sie nicht trotzdem alle Strafakten einreichte, ist nicht ersichtlich. Abgesehen davon erschliesst sich nach den obigen Ausführungen (E. 3.3.2) nicht, inwiefern eine nach Ansicht der Beschwerdeführer diese entlastende Einvernahme einen Hinweis auf ein gemäss Art. 312 StGB strafbares Verhalten des Beschwerdegegners hätte liefern sollen. Soweit sich die Beschwerdeführer zudem auf das Willkürverbot berufen, kann ihnen daher nicht gefolgt werden.
4.
Die Beschwerde erweist sich demnach als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die unterliegenden Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (Art. 66 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck