Sachverhalt:
A.
A.a. Dem 1973 geborenen A._ wurde mit Verfügungen vom 18. März 1998 (letztinstanzlich bestätigt durch das Urteil I 39/02 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 29. August 2002) ab 1993 eine abgestufte Invalidenrente zugesprochen, wobei der Anspruch ab April 1997 verneint wurde.
A.b. Im Oktober 2002 meldete sich der Versicherte erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen - insbesondere der Beteiligung an einer durch die Unfallversicherung veranlassten Begutachtung durch das Zentrum für Medizinische Begutachtung (ZMB, Expertise vom 16. November 2004; ergänzende Stellungnahme vom 24. Februar 2005) - sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügungen vom 27. Juli 2005 und 26. Juni 2006 (bestätigt durch den Einspracheentscheid vom 16. November 2006 und den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 12. September 2007) ab 1. Oktober 2001 eine Viertelsrente zu. Mit Mitteilung vom 2. Juni 2008 wurde diese bestätigt.
A.c. Im Februar 2011 nahm der Versicherte eine neue Tätigkeit als Aussendienst-Mitarbeiter bei der B._ AG auf. Daraufhin stellte die IV-Stelle seine bisherige Viertelsrente mit Verfügung vom 19. Mai 2011 ein.
A.d. Im November 2014 meldete sich der Versicherte unter Verweis auf einen im Juni desselben Jahres erlittenen Unfall erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen - insbesondere einer Begutachtung durch die Medaffairs AG (Expertise vom 31. Juli 2018) - und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch mit Verfügung vom 19. Juni 2019.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 10. Februar 2020 gut, hob die Verfügung vom 19. Juni 2019 auf und sprach dem Versicherten ab 1. Mai 2015 eine Viertelsrente zu.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Verneinung des Rentenanspruchs. Sodann ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Mit Blick auf die Neuanmeldung vom November 2014 hat die Vorinstanz den massgebenden Referenzzeitpunkt für die Frage nach einer wesentlichen Veränderung gemäss - dem analog anwendbaren - Art. 17 Abs. 1 ATSG (vgl. BGE 130 V 71 E. 3.1 S. 73) auf die Verfügungen vom 27. Juli 2005 und 26. Juni 2006 respektive den Einspracheentscheid vom 16. November 2006 festgelegt. Nicht als Vergleichszeitpunkt angesehen werden könne dagegen die Verfügung vom 19. Mai 2011, da die Leistungseinstellung allein auf der Annahme beruht habe, der Beschwerdegegner könne ein rentenausschliessendes Einkommen erzielen und eine medizinische Sachverhaltsabklärung nicht vorgenommen worden sei. Das kantonale Gericht hat festgestellt, dass es sich bei der beweiskräftigen Beurteilung der Medaffairs AG um eine andere Beurteilung des gleichen Sachverhalts im Vergleich zur Expertise der ZMB aus dem Jahre 2004 handle. Es sei deshalb weiterhin von der im ZMB-Gutachten attestierten Restarbeitsfähigkeit von 60 % in leidensangepasster Tätigkeit auszugehen. Gestützt hierauf hat es unter Bejahung der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit den Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. Mai 2015 ermittelt.
2.2. Gemäss dem Antrag und der Begründung der Beschwerde ist einzig strittig und damit zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie die Verfügung vom 19. Mai 2011 nicht als massgebenden Vergleichszeitpunkt für die Frage nach einer Veränderung gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG herangezogen hat. Ist der angefochtene Entscheid diesbezüglich bundesrechtskonform, besteht ab 1. Mai 2015 Anspruch auf eine Viertelsrente, was nicht weiter bestritten wird.
3.
3.1. Zeitlicher Referenzpunkt für die Prüfung einer anspruchserheblichen Änderung bildet die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs (bei Anhaltspunkten für eine Änderung in den erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitszustands) beruht (BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 f.; 133 V 108 E. 5.4 S. 114).
Unter einer Sachverhaltsabklärung im Sinne von BGE 133 V 108 muss eine Abklärung verstanden werden, die - wenn sie inhaltlich zu einem anderen Ergebnis führt - geeignet ist, eine Rentenerhöhung, -herabsetzung oder -aufhebung zu begründen (Urteil 8C_441/2012 vom 25. Juli 2013 E. 6.2). Die letztmalige materielle Beurteilung des Rentenanspruchs hat sodann denjenigen anspruchserheblichen Aspekt zu umfassen, auf dessen (behauptete) Veränderung sich die Neuanmeldung stützt. Waren für die letzte rechtskräftige Verfügung allein erwerbliche Gesichtspunkte wegleitend, dient somit zur Klärung der Frage nach einer anspruchserheblichen gesundheitlich bedingten Änderung des Invaliditätsgrades der nächstfrühere Entscheid mit entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen als Vergleichsbasis (vgl. SVR 2010 IV Nr. 54 S. 167, 9C_899/ 2009 E. 2.1).
3.2. Der Verfügung vom 19. Mai 2011 lagen unbestritten einzig erwerbliche Gesichtspunkte zugrunde. Die Neuanmeldung vom November 2014 stützte sich dagegen - mit dem Hinweis auf den erlittenen Unfall - auf eine Veränderung des Gesundheitszustandes. Mit Blick auf die dargelegte Rechtsprechung hat die Vorinstanz daher kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Verfügung vom 19. Mai 2011 nicht als massgebende Vergleichsbasis herangezogen hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die unterliegende Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist