Erwägungen:
1.
1.1. Mit Verfügung vom 16. März 2021 gab das Staatssekretariat für Migration dem Gesuch von A._ um Anerkennung der Staatenlosigkeit nicht statt. Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses. Das Gericht wies das Gesuch mit Zwischenverfügung vom 16. Juli 2021 ab und setzte A._ Frist bis 16. August 2021, um einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_618/2021 vom 17. August 2021 nicht ein. Anstatt den Kostenvorschuss zu bezahlen, ersuchte A._ am 16. August 2021 beim Bundesverwaltungsgericht erneut um unentgeltliche Rechtspflege oder um Bewilligung der Ratenzahlung nach. Mit Urteil vom 31. August 2021 wies das Gericht das Gesuch ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
1.2. Mit "staatsrechtlicher Beschwerde" vom 1. Oktober 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, er sei als Staatenloser anzuerkennen. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe. Dem Beschwerdeführer sind diese Anforderungen bereits im Urteil 2C_618/2021 vom 17. August 2021 dargelegt worden.
2.2. Anfechtungsobjekt ist ein Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts. Der Streitgegenstand vor Bundesgericht beschränkt sich daher auf die Frage, ob die Vorinstanz auf das Rechtsmittel zu Recht nicht eingetreten ist. Hierzu lässt sich der Beschwerde nichts entnehmen. Der Beschwerdeführer äussert sich ausschliesslich zur materiellen Rechtslage und erläutert die Situation in der Türkei und weshalb er seiner Ansicht nach als Staatenloser anerkannt werden müsste. Damit enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger