Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1968 geborene, zuletzt als Akkordmetzger tätige, A._ meldete sich im November 2008 unter Verweis auf einen Tennisarm bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle St. Gallen veranlasste eine berufliche Abklärung (Abklärungsbericht der B._ vom 8. März 2010) und gewährte Kostengutsprache für die Umschulung zum Technischen Kaufmann mit eidgenössischem Fachausweis. Nach Wegzug des Versicherten ins Ausland und Abbruch der Umschulung per 31. Juli 2011 holte die neu zuständige IV-Stelle für Versicherte im Ausland ein orthopädisches Gutachten des Dr. med. C._ ein (Bericht vom 17. August 2012). Mit Verfügungen vom 16. Januar 2013 sprach sie A._ für die Zeit vom 1. Juli 2009 bis 31. August 2010 sowie ab 1. Juli 2011 eine halbe Rente zu (Invaliditätsgrad: 56 %).
A.b. Der Versicherte ersuchte zuletzt im März 2015 um revisionsweise Zusprache einer ganzen Invalidenrente. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland verfügte am 26. November 2015, es bestehe weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente. Auf Beschwerde hin hob das Bundesverwaltungsgericht die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurück. Das Bundesgericht trat auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde nicht ein (Urteil 9C_201/2018 vom 5. März 2018).
A.c. In der Folge veranlasste die IV-Stelle für Versicherte im Ausland eine orthopädische Begutachtung bei PD Dr. med. D._, Spital E._ (Expertise vom 20. Dezember 2018). Nach Umzug des Versicherten in den Kanton Bern bestätigte die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 17. Juni 2019 den Anspruch auf eine halbe Rente (Invaliditätsgrad: 57 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern - nach Androhung einer reformatio in peius und Gewährung der Möglichkeit zum Beschwerderückzug - mit Entscheid vom 15. Januar 2020 ab. Es änderte die angefochtene Verfügung vom 17. Juni 2019 dahingehend ab, dass die bisherige halbe Rente mit Wirkung ab dem ersten Tag des zweiten Monats, welcher der Zustellung seines Entscheids folge, auf eine Viertelsrente herabgesetzt werde.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, es seien der vorinstanzliche Entscheid vom 15. Januar 2020 und die Verfügung der IV-Stelle vom 17. Juni 2019 aufzuheben und es sei ihm spätestens mit Wirkung ab März 2016 eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 % zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen und zur Neuverfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die IV-Stelle Bern beantragt die Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Gewährung der aufschiebenden Wirkung derselben. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer nimmt mit Schreiben vom 12. Juni 2020 abschliessend Stellung.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen BGE 145 V 57 E. 4 S. 61 f.).
1.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit resp. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Auch die Bestimmung der beiden für den Einkommensvergleich erforderlichen hypothetischen Vergleichseinkommen stellt sich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter Leidensabzug vorzunehmen sei (Urteil 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008 E. 1.2, nicht publiziert in BGE 134 V 322, aber in SVR 2008 IV Nr. 59 S. 191). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist ausserdem die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 bzw. Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (statt vieler: Urteil 9C_256/2020 vom 10. Juni 2020 E. 1.2 mit Hinweis).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Invalidität (Art. 7 f. ATSG i.V.m. Art. 4 Abs. 1 IVG), den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 IVG), die Beweiswürdigung und den Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (BGE 143 V 124 E. 2.2.2 S. 126; 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352) sowie die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2. Voraussetzung für eine Rentenrevision bildet die Änderung des Invaliditätsgrades einer rentenbeziehenden Person in einer für den Anspruch erheblichen Weise (Art. 17 Abs. 1 ATSG). Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen (etwa: wesentliche Änderung des Gesundheitszustands). Für eine Rentenanpassung genügt nicht bereits irgendeine Veränderung im Sachverhalt. Insbesondere stellt eine hinzugetretene oder weggefallene Diagnose nicht per se einen Revisionsgrund dar, da damit das quantitative Element der (erheblichen) Gesundheitsverbesserung oder -verschlechterung nicht zwingend ausgewiesen ist. Eine weitere Diagnosestellung bedeutet nur dann eine revisionsrechtlich relevante Gesundheitsverschlechterung oder eine weggefallene Diagnose eine verbesserte gesundheitliche Situation, wenn diese veränderten Umstände den Rentenanspruch berühren. Nach dem Gesagten kann nicht nur eine (erhebliche) Gesundheitsverbesserung, sondern grundsätzlich auch eine gesundheitliche Verschlechterung revisionsrechtlich relevant sein und zu einer allseitigen, umfassenden Neubeurteilung des Rentenanspruchs führen. Ob mit dem verschlechterten Gesundheitszustand tatsächlich ein Revisionsgrund im Sinne von Art. 17 Abs. 1 ATSG vorliegt, ist eine Rechtsfrage (Urteil 9C_107/2019 vom 7. August 2019 E. 5.1). Weiter sind, auch bei an sich gleich gebliebenem Gesundheitszustand, veränderte Auswirkungen auf den Erwerbs- oder Aufgabenbereich von Bedeutung. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (zit. BGE 141 V 9 E. 2.3 S. 10 f. und E. 5.2 S. 12 f. mit Hinweisen; vgl. ausserdem etwa Urteil 9C_42/2019 vom 16. August 2019 E. 5.2).
3.
Die Vorinstanz erwog, dem orthopädischen Gutachten der PD Dr. med. D._ vom 20. Dezember 2018 komme Beweiswert zu. Die Gutachterin habe mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit degenerative Veränderungen an der Hals- und Lendenwirbelsäule, einen chronischen Tennisellenbogen rechts, beginnende Kniearthrose beidseits sowie eine nichtentzündliche Sehnenerkrankung mit Sehnenverkalkung der Achillessehnen beidseits diagnostiziert. Nach der Expertise bestehe eine Arbeitsfähigkeit von mindestens 80 %, ganztägig umsetzbar bei erhöhtem Pausenbedarf, für leidensangepasste Tätigkeiten (ausschliesslich leichte, wechselbelastende Tätigkeit ohne Heben und Tragen von Lasten über zwei bis drei Kilogramm körpernah und nicht repetitiv, keine langen Gehstrecken, kein repetitives Treppensteigen/Besteigen von Leitern etc., keine Einnahme von Zwangspositionen der Kniegelenke, keine repetitive Beanspruchung des rechten Ellenbogens, Beachtung rückenökonomischer Grundsätze bezüglich Arbeitsumgebung). Der ursprünglichen Rentenzusprache habe ein orthopädisches Gutachten des Dr. med. C._ zugrunde gelegen, worin ebenfalls bereits degenerative Veränderungen an der Hals- und Lendenwirbelsäule, ein Zustand nach Operation eines Tennisellenbogens sowie eine beidseitige Kniearthrose festgehalten worden seien. Dem damaligen Gutachter zufolge sei eine angepasste Tätigkeit (wechselbelastend und vorwiegend in geschlossenen Räumen, ohne Zwangshaltungen der Wirbelsäule oder ständiges Sitzen, mit nur kurzzeitig möglichem Heben und Tragen schwerer Lasten) in Vollzeit möglich gewesen, wobei aufgrund der eingeschränkten Gebrauchsfähigkeit des rechten Arms eine Leistungsminderung von zehn bis zwanzig Prozent bestanden habe. Gemäss PD Dr. med. D._ liege soweit ersichtlich am rechten Ellenbogen, den Kniegelenken und dem Rücken ein stabiler Zustand vor. Neu seien die seit 2017 aufgetretenen Beschwerden an der Achillessehne sowie eine Plantarfasziitis (Entzündung oder Reizung der Sehnenplatte der Fusssohle) beidseits, die sich in belastungsabhängigen und zeitweilig auch Ruheschmerzen äusserten. Die Arbeitsfähigkeit verändere sich dadurch nicht. Das kantonale Gericht stellte fest, damit sei erstellt, dass sich der Gesundheitszustand verändert habe. Es erwog, nicht ausschlaggebend sei, dass sich die Sachverständige hinsichtlich des revisionsrechtlichen Beweisthemas auf den falschen Referenzzeitpunkt (26. November 2015 statt 16. Januar 2013) bezogen habe. Die eingetretene gesundheitliche Veränderung stelle einen Revisionsgrund dar und führe zu einer freien Prüfung des Rentenanspruchs. Bei einem Valideneinkommen von Fr. 125'633.65 und einem Invalideneinkommen als Technischer Kaufmann von Fr. 67'273.10 (basierend auf der vom Bundesamt für Statistik periodisch herausgegebenen Lohnstrukturerhebung, LSE 2016, Tabelle TA1, Ziffern 10-11, Herstellung von Nahrungsmitteln und Getränken, Männer, Kompetenzniveau 3, angepasst an die betriebsübliche Arbeitszeit, die Lohnentwicklung sowie die Arbeitsfähigkeit von 80 %) resultiere ein Invaliditätsgrad von gerundet 46 %.
4.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, das kantonale Gericht sei zu Unrecht von einem Revisionsgrund ausgegangen. Mangels Rügen ist dies vom Bundesgericht nur zu überprüfen, wenn der Vorinstanz offensichtliche Fehler unterlaufen sind (vorstehend E. 1.1). Das trifft hier nicht zu. Zwar mag fraglich erscheinen, ob bei (fast) unveränderter Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit gemäss gutachterlicher Einschätzung tatsächlich ein Revisionsgrund vorliegt. Dass dies offensichtlich nicht der Fall wäre, lässt sich indes angesichts des veränderten Belastungsprofils (soeben E. 3) nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit sagen. Hinzu kommt, dass hier auch veränderte berufliche Umstände als Revisionsgrund in Frage kommen, zumal der Versicherte nach Feststellung der Vorinstanz mittlerweile eine Tätigkeit als Technischer Kaufmann in einem Fleischverarbeitungsbetrieb aufnehmen konnte.
5.
5.1. Die Vorinstanz legte ihrer Invaliditätsbemessung zunächst das orthopädische Gutachten der PD Dr. med. D._ zugrunde, dem sie eine 80 %ige Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit entnahm (oben E. 3).
Soweit der Beschwerdeführer diesem die Beweiskraft absprechen will, vermag er keine wichtigen Aspekte aufzuzeigen, die von der Expertin unerkannt oder ungewürdigt geblieben wären, sondern setzt deren medizinischer Einschätzung der funktionellen Auswirkungen der objektivierbaren Beschwerden lediglich seine eigene subjektive Wahrnehmung entgegen. Damit dringt er nicht durch.
5.2. Sodann bemängelt der Versicherte, die Vorinstanz habe bei der Festsetzung seines hypothetischen Invalideneinkommens mehrfach Bundesrecht verletzt. So habe sie jedenfalls nicht ohne vorgängige Durchführung eines Mahn- und Bedenkzeitverfahrens (Art. 21 Abs. 4 ATSG) von einer Invalidentätigkeit als Technischer Kaufmann ausgehen dürfen und zu Unrecht keinen Abzug vom Tabellenlohn gewährt.
5.2.1. Der Beschwerdeführer hat den Beruf des Metzgers erlernt und langjährig ausgeübt, zuletzt als selbstständiger Akkordmetzger mit eigener GmbH. Dieser erlernte Beruf bleibt auch nach gesundheitsbedingter Aufgabe Bestandteil der Ausbildung. Angesichts dessen sowie der Erfahrung des Versicherten aus der Selbstständigkeit liegt nahe, dass ihm in der angestammten Branche der Fleischverarbeitung leidensangepasste "komplexe praktische Tätigkeiten welche ein grosses Wissen in einem Spezialgebiet voraussetzen" grundsätzlich offen stehen (vgl. Urteil 9C_210/2011 vom 21. April 2011 E. 3.2.1.2 und E. 3.2.2.2). Dass hiervon in concreto mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auszugehen ist, erhellt nicht nur daraus, dass er nach vorinstanzlicher Feststellung im Entscheidzeitpunkt eine Stelle als Technischer Kaufmann in einem Fleischverarbeitungsbetrieb innehatte, sondern auch aufgrund dessen, dass er bereits in der orthopädischen Begutachtung von verschiedenen Anstellungen als Betriebs- bzw. Produktionsleiter in der Fleischverarbeitung berichtete, die jeweils einzig an verlangten Einsätzen "an der Front" als Metzger gescheitert seien. Der Sachverhalt kann diesbezüglich ergänzt werden (Art. 105 Abs. 2 BGG). Nach dem Gesagten rechtfertigt es sich bereits ohne Berücksichtigung der Umschulung zum Technischen Kaufmann, für die Bemessung des Invalideneinkommens auf eine Tätigkeit in der angestammten Branche der Nahrungs- und Getränkeherstellung im Kompetenzniveau 3 abzustellen.
5.2.2. Angesichts des Verfahrensausgangs (E. 5.4 hernach) kann offen bleiben, ob mit Blick auf die abgebrochene Ausbildung zum Technischen Kaufmann allenfalls gar ein Beizug des (pro Jahr rund Fr. 12'000.- höheren) Tabellenlohnes entsprechend Kompetenzniveau 4 ("Tätigkeiten mit komplexer Problemlösung und Entscheidungsfindung, welche ein grosses Fakten- und theoretisches Wissen in einem Spezialgebiet voraussetzen") in Frage käme, zumal das Bundesgericht so oder anders nicht über die Anträge der Parteien hinausgehen kann (Art. 107 Abs. 1 BGG) und mithin eine vollständige Aufhebung der Rente zum vornherein nicht in Betracht fällt.
5.2.3. Der Beschwerdeführer weist zu Recht darauf hin, dass die Vorinstanz in ihren Ausführungen zum Tabellenlohnabzug vergisst, dass sie nicht mehr - wie noch die IV-Stelle - von einer Hilfsarbeitertätigkeit ausgeht, sondern von einer solchen als Facharbeiter. Indes vermag er nicht aufzuzeigen, inwiefern er aufgrund seines Belastungsprofils (oben E. 3) seine verbleibende Arbeitsfähigkeit im Rahmen einer fachlich (an) leitenden bzw. administrativen Tätigkeit in der Fleischverarbeitung auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichen Erfolg verwerten könnte (BGE 135 V 297 E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen; zuletzt bestätigt in Urteil 8C_132/2020 vom 18. Juni 2020 E. 5.1). Auch eine langjährige Berufsabwesenheit besteht - nach eigenen Angaben des Beschwerdeführers in der Begutachtung - gerade nicht, so dass bei Verbleib in der angestammten Branche von fehlender Erfahrung keine Rede sein kann. Schliesslich kann der Notwendigkeit der Wechselbelastung einerseits mit verschiedenen Hilfsmitteln Rechnung getragen werden; anderseits ist diese bereits bei der Berücksichtigung eines erhöhten Pausenbedarfs eingeflossen.
5.3. Soweit der Versicherte sich auf eine aufgehobene Wegefähigkeit beruft, die zur vollen Erwerbsunfähigkeit führen solle, anerkennt er, dass eine solche im orthopädischen Gutachten - das lediglich lange Gehstrecken als nicht mehr möglich bezeichnet - keine Stütze findet. Auch überdies zeigt er nicht auf, anhand welcher Anhaltspunkte die Vorinstanz Anlass gehabt hätte, hierzu weitere Abklärungen zu treffen. Indem es auf solche verzichtete, hat das kantonale Gericht demnach weder den Sachverhalt offensichtlich unvollständig festgestellt noch seine Untersuchungspflicht (Art. 61 lit. c ATSG) verletzt.
5.4. Damit bleibt es beim Invalideneinkommen von Fr. 67'273.10, was bei einem - letztinstanzlich unbestrittenen - Valideneinkommen von Fr. 125'633.65 zu einem Invaliditätsgrad von gerundet 46 % führt ([Fr. 125'633.65./. Fr. 67'273.10] : Fr. 125'633.65 x 100).
6.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten unbegründet und der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis zu bestätigen.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der AXA Leben AG, Winterthur, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juli 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Oswald