Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1991) ist Staatsangehörige von Nigeria. Sie reiste am 21. Juni 2008 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Am 2. September 2008 kam ihr erster Sohn A.B._ zur Welt, wobei der leibliche Vater nicht bekannt ist, und am 8. Mai 2014 ihr zweiter Sohn A.C._, dessen Vater - ein nigerianischer Staatsangehöriger - unbekannten Aufenthalts ist. Am 4. Juni 2010 wurde das Asylgesuch abgewiesen und die Wegweisung angeordnet, bestätigt vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 16. August 2010. Drei dagegen gerichtete Wiedererwägungsgesuche blieben erfolglos. Weiter lehnten das Migrationsamt des Kantons Zürich bzw. der Vorsteher der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 24. Januar 2014 bzw. 31. Januar 2017 je ein Härtefallgesuch ab. Am 22. November 2017 wurden A.A._ und ihre Söhne nach Nigeria zurückgeführt.
Am 4. Mai 2018 ersuchte A.B._ um eine Einreisebewilligung wegen widerrechtlich verletzter Identität gemäss Art. 8 Abs. 2 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtekonvention KRK; SR 0.107). Sowohl das Migrationsamt des Kantons Zürich wie auch das Staatssekretariat für Migration (SEM) verneinten ihre Zuständigkeit. Den Nichteintretensentscheid des SEM bestätigte das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 5. September 2019.
Am 5. Juli 2019 beantragte die Zürcher Beratungsstelle für Asylsuchende dem Migrationsamt des Kantons Zürich die Erteilung von Einreisebewilligungen für A.B._ und A.C._ zum Verbleib als Pflegekinder in der Schweiz. Am 13. August 2019 stellte auch der heutige Rechtsvertreter von A.B._ ein Gesuch um Bewilligung des Aufenthalts der Kinder in der Schweiz. Mit Verfügung vom 8. November 2019 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich beide Gesuche ab. Während des Verfahrens blieb auch ein viertes asylrechtliches Wiedererwägungsgesuch erfolglos.
1.2. Die gegen die Verfügung des Migrationsamts vom 8. November 2019 erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 12. Februar 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. November 2020; vgl. dazu auch Urteil 2C_291/2020 vom 16. September 2020).
1.3. A.B._ gelangt mit Beschwerde vom 19. Januar 2021 an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss, unter Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. November 2020 sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen und sei eventualiter die Angelegenheit zu weiterer Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Verbeiständung.
Das Bundesgericht holte die Akten ein, verzichtete aber auf die Durchführung eines Schriftenwechsels.
Mit Schreiben vom 28. Februar 2021 übermittelte A.B._ dem Bundesgericht die Kopie einer Eingabe an das UN-Hochkommissariat für Menschenrechte und ersuchte um eine Empfangsbestätigung für das A.A._ sowie ihre Kinder betreffende und mit Urteil des Bundesgerichts vom 7. Februar 2020 abgeschlossene Verfahren 5A_709/2019. Eine Kopie der Eingabe wurde mit Verweis auf das Dossier 5A_709/2019 an die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts weitergeleitet.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert begründet werden (BGE 144 V 50 E. 4.2).
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen unzulässig, wenn weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch darauf einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
3.2.
3.2.1. Der in der Schweiz über keine Familienangehörigen verfügende Beschwerdeführer beruft sich für eine Behandlung seiner Beschwerde insbesondere auf Art. 8 EMRK bzw. das Recht auf Achtung des Privatlebens (vgl. Beschwerde, S. 8).
Liegt nach einer längeren bewilligten Aufenthaltsdauer, die zwar zehn Jahre noch nicht erreicht hat, eine besonders ausgeprägte Integration vor (nebst engen sozialen Beziehungen namentlich auch in sprachlicher, beruflicher und wirtschaftlicher Hinsicht), kann es nach der Rechtsprechung unter gewissen Umständen den Anspruch auf Achtung des Privatlebens von Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) verletzen, wenn eine Bewilligung nicht erneuert wird (BGE 144 I 266 E. 3.9). Aus dem Recht auf Achtung des Privatlebens lässt sich aber schon deshalb kein Aufenthaltsanspruch des Beschwerdeführers ableiten, weil er sich hierzulande ohne Bewilligung aufgehalten hat. Im Übrigen ist er bereits im Alter von neun Jahren ausgereist. Deshalb kann von vornherein nicht von einer nach der Rechtsprechung zu Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) anspruchsbegründenden gefestigten Beziehung zur Schweiz die Rede sein, auch wenn der Beschwerdeführer in der Schweiz geboren wurde und er zum Zeitpunkt der Ausreise aufgrund der Einschulung sowie Fremdplatzierung schon in einem gewissen Mass sozialisiert gewesen sein mag (vgl. auch Urteil 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.2.2). Dies hat die Vorinstanz zutreffend erkannt (E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer setzt dem einzig entgegen, seine Integration sei "angesichts seines Heimaufenthalts und der Ambivalenz der Beziehung zur Mutter" hinreichend, um ein Aufenthaltsrecht nach Art. 8 EMRK zu begründen. Weder legt er in hinreichender Weise dar, dass die für die Verneinung eines Aufenthaltsanspruches nach Art. 8 EMRK ausschlaggebenden Sachverhaltselemente von der Vorinstanz offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich (vgl. Art. 9 BV) festgestellt wurden, noch setzt er sich sonstwie sachbezogen mit den als zutreffend erscheinenden Ausführungen der Vorinstanz zu Art. 8 EMRK auseinander. Es kann unter diesen Umständen nicht die Rede davon sein, dass er in vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf das Recht auf Achtung des Privatlebens geltend macht.
3.2.2. Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, es stehe ihm aufgrund verschiedener Bestimmungen der KRK ein Aufenthaltsanspruch zu, insbesondere weil seine Identität im Sinne von Art. 8 KRK widerrechtlich verletzt worden sei. Aus diesem völkerrechtlichen Vertrag lässt sich aber praxisgemäss kein unmittelbarer Aufenthaltsanspruch ableiten (BGE 143 I 21 E. 5.5.2; Urteile 2C_140/2020 vom 15. April 2020 E. 4.5; 2C_650/2017 vom 9. Januar 2018 E. 5.3; 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3). Die Vorinstanz hat zutreffend ausgeführt, dass die entsprechende Praxis auch in Bezug auf Art. 8 KRK gilt (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer setzt sich mit den entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz nicht sachbezogen auseinander. Stattdessen wiederholt er diesbezüglich lediglich seine bereits vor der Vorinstanz vorgebrachten Ausführungen. Auch damit macht er nicht in vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch geltend.
3.3. Weil der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung hat bzw. einen solchen nicht in vertretbarer Weise geltend macht (vgl. Urteil 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 1, nicht publ. in: BGE 138 II 229), erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b sowie Art. 108 Abs. 2 BGG; Urteil 2C_16/2013 vom 12. Februar 2013 E. 2.3).
4.
4.1. Ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig, steht unter bestimmten Voraussetzungen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 113 ff. BGG). Mit dieser kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei die Beschwerdeberechtigung ein rechtlich geschütztes Interesse des Beschwerdeführers an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils erfordert (Art. 115 Abs. 1 lit. b BGG). Da der Beschwerdeführer bezüglich Bewilligungserteilung keinen Rechtsanspruch aus Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) oder der KRK ableiten kann, fehlt es vorliegend an einem rechtlich geschützten Interesse, und zwar selbst dann, wenn der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend machen wollte (BGE 133 I 185 E. 6.2, 6.3 und 7; Urteil 2C_819/2018 vom 13. Februar 2020 E. 1.3).
4.2. Der Beschwerdeführer rügt sodann in Bezug auf den angefochtenen Entscheid auch keine Verfahrensfehler, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommen und die das Bundesgericht im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde losgelöst von der Sache selber prüfen könnte (sog. "Star"-Praxis; BGE 137 II 305 E. 1.1 und 2; Urteil 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1). Demzufolge kann die vorliegende Beschwerde offensichtlich auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden.
Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht, vor seiner Ausschaffung sei er nicht in einer dem Gehörsanspruch von Art. 29 Abs. 2 BV genügenden Weise angehört worden (vgl. Beschwerde, S. 2), kann sodann schon deshalb auf seine Eingabe nicht eingetreten werden, weil das betreffende Ausschaffungsverfahren keinen Gegenstand des angefochtenen Urteils bildete oder hätte bilden müssen (vgl. zum Streitgegenstand im Rechtsmittelverfahren BGE 136 V 362 E. 3.4.2; 136 II 165 E. 5; 133 II 30 E. 2 mit Hinweisen).
4.3. Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Mit Blick darauf, dass kein Rechtsanspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung in vertretbarer Weise geltend gemacht wurde, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Daher kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Bei der Festsetzung der Höhe wird dem Umstand Rechnung getragen, dass das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht vorweg beurteilt hat, was es dem Beschwerdeführer ermöglicht hätte, seine Eingabe noch zurückzuziehen (vgl. Urteil 2C_555/2020 vom 21. Oktober 2020 E. 5).
Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Beusch
Der Gerichtsschreiber: König