Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) wurde am 7. Dezember 2012 vom Richteramt Solothurn-Lebern wegen vorsätzlicher Tötung, Angriffs, bandenmässigen Diebstahls und weiterer Straftaten zu einer Freiheitsstrafe von 16 Jahren und 3 Monaten verurteilt und verwahrt. Auf seine Berufung hin hob das Obergericht des Kantons Solothurn die Verwahrung am 8. Mai 2014 auf und ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme in einer geschlossenen Einrichtung gemäss Art. 59 Abs. 3 StGB an.
Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 9. Januar 2018 in der Justizvollzugsanstalt Solothurn (JVA/SO; vgl. Urteil 6B_976/2018 vom 18. Oktober 2018 mit Hinweisen).
1.2. Das Departement des Innern beantragte beim Richteramt Solothurn-Lebern am 4. März 2019 die Verlängerung der stationären Massnahme nach Art. 59 StGB um 5 Jahre. In diesem Verfahren liess der Verteidiger am 18. Juli 2019 beantragen, es seien ihm die paginierten vollständigen Vollzugsakten zuzustellen; eventualiter seien sämtliche Akten in einem Verzeichnis zu erfassen und hiernach zuzustellen.
Der Amtsgerichtspräsident wies den Antrag am 19. Juli 2019 ab. Der Verteidiger erhob Beschwerde.
Die Beschwerdekammer des Obergerichts wies mit Beschluss vom 21. August 2019 die Beschwerde (Dispositiv Ziff. 1) und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ab (Ziff. 2), auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten von Fr. 800.-- (Ziff. 3) und richtete keine Entschädigung aus (Ziff. 4).
1.3. Nach einer vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten nicht fristauslösenden Urteilsanzeige entschied das Amtsgericht Solothurn-Lebern in einem Nachentscheid vom 6. September 2019, die vom Obergericht am 8. Mai 2014 angeordnete stationäre therapeutische Massnahme (oben E. 1.1), beginnend ab 8. Mai 2019, um 5 Jahre zu verlängern.
1.4. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Strafsachen:
1. Prozessualiter: Ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
2. Hauptbegehren: In Gutheissung der Beschwerde den vorinstanzlichen Beschluss vom 21. August 2019 aufzuheben und neu zu fassen:
"1. Es seien die Akten durch die in der Hauptsache zuständige Instanz zu paginieren und/oder in einem Verzeichnis zu erfassen und hiernach dem amtlichen Vertreter des Beschwerdeführers zuzustellen (Disp. Ziff. 1).
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird zufolge Obsiegens hinfällig (Disp. Ziff. 2).
3. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens gehen zu Lasten des Kantons Solothurn (Disp. Ziff. 3).
4. Dem Rechtsanwalt des Beschwerdeführers wird eine Parteientschädigung von CHF 1'550.45 ausgerichtet (Disp. Ziff. 4)."
Eventualiterbegehren: (sinngemäss) Aufhebung und: "1. Unverändert. 2. Gutheissung des Gesuchs und Entschädigung mit CHF 1'550.45. 3. Kosten einstweilen auf die Staatskasse. 4. Unverändert."
Subeventualiterbegehren: (sinngemäss) 4. Aufhebung und Rückweisung zu neuer Entscheidung. 5. Alles unter Kosten und Entschädigungsfolgen.
Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen über alle Instanzen.
2.
Die Beschwerdeberechtigung richtet sich nach Art. 78 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG.
Beschwerdegegenstand ist ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG. In diesem Falle ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid a) einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann oder b) die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Die Eventualität b) scheidet aus. Die Eventualität a) setzt einen Nachteil voraus, der selbst bei einem günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 133 IV 288 E. 3.1 S. 291). Zwischenentscheide sind nur ausnahmsweise anfechtbar (BGE 139 IV 113 E. 1 S. 115).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, da die Massnahme noch nicht rechtskräftig verlängert worden sei und das Verfahren andauere, habe er immer noch Anspruch auf vollständige und paginierte Akten (Art. 13 i.V.m. Art. 6 EMRK sowie Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Ungeachtet einer fehlenden Legitimation in der Sache könne er sich auf die "Star-Praxis" stützen. Die Vorinstanz gehe auf seine Argumente nicht ein und begründe nicht, warum Art. 100 Abs. 2 StPO nicht verletzt sei. Sie verletze sein Gehörsrecht und ihre Aktenführungspflicht im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
3.2. Die Vorinstanz führt aus, bei der Einleitung des erstinstanzlichen Verfahrens seien 5 Bundesordner an Vollzugsakten beigelegt worden. Die seither eingegangenen Akten seien fortlaufend mit einem Journaleintrag erfasst und im Verfahrensordner systematisch abgelegt worden. Damit sei die Verfahrensleitung ihrer Verpflichtung zur Aktenführung nachgekommen. Es handle sich auch lediglich um einen Verfahrensordner, in dem man sich rasch zurechtfinde. Dem Beschwerdeführer sei zuzustimmen, dass eine Paginierung der Vollzugsakten, gerade in umfangreichen Fällen wie dem vorliegenden, sinnvoll sein könne.
"Wie der Amtsgerichtspräsident aber zu Recht festhält, sind die Aktenstücke aufgrund der Aktenordnung rasch auffindbar und es ist keine Durchforstung der gesamten Akten notwendig, um daraus zitieren oder auf gewisse Aktenstücke verweisen zu können. So betrifft jeder der fünf Ordner einen bestimmten Zeitraum, jeder Ordner enthält ein Inhaltsverzeichnis und die Aktenstücke sind entsprechend systematisch abgelegt. Es ist auch ohne Weiteres ersichtlich, wer welche Dokumente verfasst hat" (Beschluss S. 3).
3.3. Die StPO ist anwendbar, da das Verfahren auf Verlängerung der Massnahme (Art. 59 Abs. 4 StPO) durch die Art. 363 ff. StPO geregelt ist. Gemäss Art. 100 Abs. 2 StPO sorgt die Verfahrensleitung für die systematische Ablage der Akten und für deren fortlaufende Erfassung in einem Verzeichnis; in einfachen Fällen kann sie von einem Verzeichnis absehen.
3.3.1. Die Aktenführungspflicht der Behörde ist das Gegenstück zu dem aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessenden Akteneinsichts- und Beweisführungsrecht der Partei (HAUSER/SCHWERI/HARTMANN, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl. 2005, S. 257, Rz. 14a).
Das Bundesrecht schreibt in Art. 100 Abs. 2 StPO "die systematische Ablage der Akten und [...] deren fortlaufende Erfassung in einem Verzeichnis" vor (zum Vorentwurf zur StPO, SCHMID/JOSITSCH, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2017, S. 217, Rz. 576). Das Dossier muss systematisch geordnet sein; zu einer geordneten Anlage gehört ein Verzeichnis, welches einen raschen Überblick über den Inhalt des Dossiers ermöglicht und zur Kontrolle der vorhandenen Dokumente unerlässlich ist ( Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1085 1161).
Nach der Literatur setzt die "fortlaufende Erfassung in einem Verzeichnis" (Art. 100 Abs. 2 StPO) die Nummerierung der Akten voraus, wobei die StPO den Kantonen ein flexibles System erlaubt; die kantonalen und lokalen Gepflogenheiten unter altem Recht können aber nur Bestand haben, soweit sie die Mindestanforderungen der StPO erfüllen (MARKUS SCHMUTZ, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, NN. 26 und 27 zu Art. 100 StPO). MOREILLON/PAREIN-REYMOND (CPP, Code de procédure pénale, 2. Aufl. 2016, N. 6 zu Art. 100 StPO) vertreten (unter Berufung auf GÉRARD PIQUEREZ) die Ansicht, ganz allgemein seien alle Dossiers prinzipiell paginiert ("De manière générale, tous les dossiers sont en principe paginés et toutes les pièces inventoriées au fur et à mesure de leur établissement ou de leur réception").
Der Beschwerdeführer weist auf die detaillierten Weisungen der Oberstaatsanwaltschaften von Zürich (WOSTA) und Bern (Aktenführung und Aktenordnung) hin (Beschwerde S. 14 f.). Weiter lässt sich die Walliser Direktive erwähnen, nach welcher die Dossiers fortlaufend zu paginieren sind, spätestens beim Verlassen der Kanzlei (JO PITTELOUD, Code de procédure pénale suisse [CPP], 2012, S. 150, Rz. 235).
3.3.2. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung greift in "die kantonalen und lokalen Gepflogenheiten" (SCHMUTZ, a.a.O.) nur sehr zurückhaltend ein. Bereits in der früheren Rechtsprechung prüfte es ergebnisorientiert, ob der Verstoss gegen die Aktenführungspflicht eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs in einem Ausmasse darstellt, das die Aufhebung des angefochtenen Urteils rechtfertigen würde (BGE 115 Ia 97 E. 5b S. 100).
In gleicher Diktion hielt es in neueren Entscheiden fest, der Beschwerdeführer erblicke eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (sowie von Art. 100 Abs. 2 StPO) darin, dass die vorinstanzlichen Akten mangelhaft geführt, insbesondere nicht nummeriert worden seien und ein Aktenverzeichnis fehle. Er lege jedoch nicht dar, inwiefern er dadurch von einer wirksamen Verteidigung abgehalten worden sein sollte (Urteil 6B_510/2016 vom 13. Juli 2017 E. 6). Das Bundesgericht geht dabei davon aus, das Gesetz schreibe nicht vor, nach welchem Ordnungsmuster die Akten geführt werden müssten, solange es zweckmässig erscheine und der verfahrensrechtlichen Funktion der Akten gerecht werde. Diese sollten es unter anderem der beschuldigten Person erlauben, ihre Verfahrensrechte effizient wahrzunehmen. Es sei aber nicht erkennbar, dass die Beschwerdeführer ihre Verteidigungsrechte aufgrund einer allenfalls suboptimalen Aktenführung nicht effizient hätten wahrnehmen können, oder inwiefern die verfahrensrechtliche Funktion der Akten in anderer Weise eingeschränkt worden sein sollte. Eine Verletzung der Aktenführungspflicht nach Art. 100 Abs. 2 StPO und damit des rechtlichen Gehörs sei zu verneinen (Urteil 6B_493/2014 vom 17. November 2015 E. 3.1.2, 3.1.4). In einem anderen Fall führte es aus, anhand der ungeordneten und nicht systematisch abgelegten Akten, die weder paginiert noch in einem Verzeichnis erfasst seien, sei nicht ersichtlich, wann, von wem und weshalb die Verfahren getrennt worden seien (Urteil 6B_411/2015 vom 9. September 2015 E. 4.3). Diese Tatsache sowie fehlende Aktenverzeichnisse in einem weiteren Fall führten nicht zur Gutheissung der Beschwerde, da der Beschwerdeführer nicht darlegte, inwiefern er seine Verteidigungsrechte aufgrund der Aktenführung nicht wirksam hätte wahrnehmen können (Urteil 6B_892/2017 vom 3. April 2019 E. 1.3).
Soweit trotz "suboptimaler" Aktenführung das rechtliche Gehör, die Verteidigungsrechte und die Verfahrensfairness gewährleistet erscheinen, greift das Bundesgericht somit regelmässig nicht ein (vgl. Urteil 1B_334/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 4.3). Genau diese Gewährleistungen aber bestreitet der Beschwerdeführer in casu.
3.3.3. Die beim Bundesgericht vorinstanzlich eingereichten kantonalen Akten erreichen einen Umfang von rund 16 kg. Die Akten bestehen aus den erwähnten fünf Bundesordnern, einem gelben Ordner ("Verfahrensordner") und der "einfachen" (Art. 100 Abs. 2 StPO) vorinstanzlichen Gerichtsakte des Beschwerdeverfahrens.
Die fünf Bundesordner und der gelbe Verfahrensordner verfügen über Griffregister, auf deren Vorblatt die Sachablagen mit einem Oberbegriff bezeichnet sind (beispielsweise in Ordner 1: 1 Urteil/Verfahrensakten/Strafregisterauszüge, 2 Intake/Triage, 3 Vollzugsaufträge/Ripol-Ausschreibungen, 4 Gutachen/ KOFAKO Beurteilungen, 5 Führungs- und Therapieberichte, 6 Vollzugsöffnungen, etc., 12 Interne Akten/Diverses). Diese Erfassung der Akten in den Ordnern wird von der Vorinstanz als "Inhaltsverzeichnis" bezeichnet. Auf dem Rücken der Ordner sind die Zeiträume der darin abgelegten Akten eingetragen. Die Akten erscheinen chronologisch geordnet. Sie sind nicht durchlaufend paginiert. Was tatsächlich in den Ordern zu welchem Zeitpunkt abgelegt ist, ergibt sich einzig über das Sichten der einzelnen Aktenblätter. Die in dieser Weise zusammengestellten Akten lassen sich nur über eine "Durchforstung" (oben 3.2) der Dossiers erschliessen.
3.3.4. Eine nicht chronologisch aufdatierte systematische Erfassung und Paginierung der Aktenbestände bildet für die Verteidigung und die befassten Behörden eine Erschwernis der Sachbearbeitung, welche die Beurteilung auf zureichender Tatsachenbasis gefährden kann. Es gehört zu den elementaren Grundsätzen des Strafprozessrechtes, dass sämtliche im Rahmen des Verfahrens vorgenommenen Erhebungen (objektiv) aktenkundig gemacht werden (BGE 115 Ia 97 E. 4c S. 99). Das heisst zugleich, dass Akten in einer geeigneten Weise zu erstellen sind, dass sich damit befasste Personen ohne weiteres (subjektiv) aktenkundig machen können. Nach der Botschaft (a.a.O.) soll das Verzeichnis einen raschen Überblick ermöglichen und der unerlässlichen Kontrolle dienen, insbesondere wenn die Akten zur Einsichtnahme ausgehändigt werden. Diese Rechtslage beachtet die Vorinstanz nicht, indem sie den Antrag abweist, die Akten zu paginieren und ein Verzeichnis zu erstellen. Die Dossiers, gerade auch die Vollzugsakten, haben transparent strukturiert und paginiert aufbereitet zu sein, so dass sie unmittelbar erschliessbar sind. Das "Inhaltsverzeichnis" (oben E. 3.2, 3.3.3) der fünf Bundesordner und der soge nannte "Journaleintrag" (oben E. 3.2) des gelben Ordners genügen den gesetzlichen Anforderungen an den Rechtsbegriff der "fortlaufenden Erfassung in einem Verzeichnis" nicht; nur in einfachen Fällen lässt sich von diesem Verzeichnis absehen (Art. 100 Abs. 2 StPO). Der Beschluss ist wegen formeller Rechtsverweigerung aufzuheben.
4.
Das Bundesgericht nimmt die Befugnis, die kantonalen Verfahrenskosten im Sinne von Art. 67 BGG anders zu verteilen, nur zurückhaltend wahr (Urteil 6B_1326/2018 vom 16. Oktober 2019 E. 2.5). Die Sache ist auch in dieser Hinsicht an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 214 E. 5.2.1 S. 220).
Auf eine Vernehmlassung kann angesichts des rein prozessualen Verfahrensgegenstandes verzichtet werden (vgl. Urteil 6B_693/2018 vom 1. November 2018 E. 4), insbesondere in Beachtung des Beschleunigungsgebots hinsichtlich des laufenden massnahmenrechtlichen Nachverfahrens.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, der Beschluss ist aufzuheben und die Sache antragsgemäss zu einer Art. 100 Abs. 2 StPO genügenden Aktenführung und Verlegung der kantonalen Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit der Gutheissung der Beschwerde ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden. Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Solothurn ist zu einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer zu verpflichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Diese ist bei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege praxisgemäss in analoger Anwendung von Art. 64 Abs. 2 BGG dem Anwalt zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. August 2019 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben
3.
Der Kanton Solothurn wird verpflichtet, Rechtsanwalt Julian Burkhalter mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw