Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1996) ist kosovarische Staatsangehörige. Sie heiratete am 12. Mai 2017 in der Schweiz einen niederlassungsberechtigten serbischen Staatsbürger und erhielt gestützt hierauf eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei diesem. Der eheliche Haushalt wurde am 27. August 2018 gerichtlich aufgehoben und die Ehe am 26. November 2020 geschieden.
1.2. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (heute: Amt für Bevölkerungsdienste, Migrationsdienst) lehnte es am 17. Mai 2019 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern, und wies sie weg. Die hiergegen gerichteten Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 25. Februar 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 23. August 2021). Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass A._ weder die von ihr behauptete eheliche Gewalt (psychischer Natur) noch eine starke Gefährdung ihrer sozialen Wiedereingliederung in der Heimat habe glaubhaft machen können.
1.3. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; gegebenenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder die Sicherheitsdirektion zurückzuweisen. A._ macht geltend, das Verwaltungsgericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es weder sie noch ihren Arbeitgeber angehört habe; das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass sie die häusliche Gewalt und die schwierige Wiedereingliederung bei einer allfälligen Rückkehr in den Kosovo nicht hinreichend belegt habe. Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. A._ hat am 8. November 2021 an ihren Anträgen und Ausführungen festgehalten. Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 27. September 2021 aufschiebende Wirkung bei.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin macht in vertretbarer Weise geltend, im Rahmen eines nachehelichen Härtefalls einen Anspruch auf die Erteilung der beantragten Bewilligung zu haben (Art. 50 Abs. 1 lit. b AIG). Ob die kantonalen Behörden ihr diese verweigern durften, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332; Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 1).
2.2. Da auch alle übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 BGG), ist - unter folgendem Vorbehalt - auf die Beschwerde einzutreten: In Bezug auf die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - und insbesondere von Art. 9 BV (Willkür) - gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 136 II 304 E. 2.5 S. 314; Urteil 2C_585/2020 vom 22. März 2021 E. 2.1). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss detailliert aufgezeigt werden (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.). Ob sich die Beschwerdeschrift diesbezüglich in allen Punkten als hinreichend substanziiert erweist, kann dahingestellt bleiben, da die Beschwerde im Verfahren nach Art. 109 BGG unter ergänzendem Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid (Art. 109 Abs. 3 BGG) abzuweisen ist.
3.
3.1. Art. 50 Abs. 2 AIG erfasst grundsätzlich jede Form ehelicher bzw. häuslicher Gewalt - sei sie physischer oder psychischer Natur. Häusliche Gewalt bedeutet systematische Misshandlung mit dem Ziel, Macht und Kontrolle auszuüben, indessen nicht eine einmalige Tätlichkeit oder eine verbale Beschimpfung im Verlauf eines eskalierenden Streits. Nicht jede unglückliche, belastende und nicht den eigenen Vorstellungen entsprechende Entwicklung einer Beziehung rechtfertigt bereits die Annahme, es liege ein nachehelicher Härtefall vor (vgl. BGE 138 II 229 E. 3.2.2 S. 233 f.; Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 2.2.1 mit Hinweisen). Die anhaltende erniedrigende Behandlung muss derart schwerwiegen, dass von der betroffenen Person bei Berücksichtigung sämtlicher Umstände vernünftigerweise nicht erwartet werden kann, dass sie einzig aus bewilligungsrechtlichen Gründen die Ehe aufrechterhält und in einer ihre Menschenwürde und Persönlichkeit verneinenden Beziehung verharrt (BGE 138 II 229 E. 3.2.2 S. 234; Urteil 2C_922/2019 vom 26. Februar 2020 E. 3.1). Die häusliche Gewalt physischer oder psychischer Natur muss von einer gewissen Dauer, Konstanz und Intensität sein (BGE 138 II 229 E. 3.2.1 S. 233; Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 2.2.1).
3.2. Die ausländische Person, welche geltend macht, Opfer ehelicher oder häuslicher Gewalt geworden zu sein, trifft bei der Feststellung des Sachverhalts eine weitreichende Mitwirkungspflicht (vgl. hierzu 138 II 229 E. 3.2.3 S. 235; 124 II 361 E. 2b S. 365). Sie muss die eheliche Gewalt bzw. häusliche Oppression und deren Schwere in geeigneter Weise glaubhaft machen (Arztberichte oder psychiatrische Gutachten, Polizeirapporte, Berichte/Einschätzungen von Fachstellen [Frauenhäuser, Opferhilfe usw.], Aussagen von Angehörigen oder Nachbarn usw.). Erst in diesem Fall trifft die Bewilligungs- bzw. die Beschwerdeinstanz im Rahmen der Untersuchungsmaxime eine eigenständige Abklärungspflicht. Allgemein gehaltene Behauptungen oder Hinweise auf punktuelle Spannungen genügen hierzu nicht; wird häusliche Gewalt in Form psychischer Oppression behauptet, muss vielmehr die Systematik der Misshandlung bzw. deren zeitliches Andauern und die daraus entstehende subjektive Belastung objektiv nachvollziehbar konkretisiert und beweismässig unterlegt werden. Dasselbe gilt, soweit damit verbunden - wie hier - gerügt wird, bei einer Rückkehr in die Heimat erweise sich die soziale Wiedereingliederung als stark gefährdet. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es zulässig, dass das Sachgericht relativ einfach beibringbare minimale Sachbeweise verlangt und voraussetzt, dass der Standpunkt des Betroffenen einigermassen glaubhaft erscheint, bevor es im Rahmen der Untersuchungsmaxime Zeugen, Auskunftspersonen oder die betroffene Person befragt (Urteil 2C_682/2021 vom 3. November 2021 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.3. Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vor (Art. 29 BV), wenn das Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Erkenntnisse auch durch weitere Erhebungen nicht mehr entscheidwesentlich beeinflusst werden (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_785/2015 vom 29. März 2016 E. 3.1). Von Willkür kann nicht bereits dann die Rede sein, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erschiene oder sogar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweismittel übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. die Urteile 2C_1072/2018 vom 1. Juli 2019 E. 3.3; 2C_136/2017 vom 20. November 2017 E. 2.2.2; BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführerin gelingt es nicht, die Beweiswürdigung der Vorinstanz im Rahmen dieser Vorgaben infrage zu stellen:
4.1. Die Vorinstanz durfte, ohne Art. 9 BV (Willkür) zu verletzen, davon ausgehen, der Umstand, dass die Initiative für die Trennung von ihrem Gatten ausging und die Beschwerdeführerin noch längere Zeit an der Ehe festgehalten hat, deute darauf hin, dass die Weiterführung der Ehe ihr nach eigener Einschätzung offenbar zumutbar erschien (Vernehmlassung an Amt für Migration und Personenstand vom 26. Oktober 2018) und die behauptete psychische Unterdrückung bzw. erniedrigende Behandlung nicht die Schwelle der häuslichen Gewalt im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AIG erreicht hat. Die Beschwerdeführerin erklärt selber, durch den Scheidungs- bzw. Trennungswunsch ihres Gatten überrascht worden zu sein, was dagegen spricht, dass sie sich in der Ehe in relevanter Weise einer unzumutbaren psychischen Oppression ausgesetzt sah.
4.2. Der nicht weiter belegte Einwand, sie sei psychisch, finanziell und ausländerrechtlich von ihrem Gatten abhängig gewesen, und durch diesen ausgenutzt worden, ändert hieran nichts. Dass der Ehemann den Lohn für ihre Mitarbeit in seinem Betrieb nicht oder verspätet ausbezahlt hat, reicht nicht aus, um ihre Behauptungen, ausgenutzt worden zu sein, als glaubhaft und eine andere Würdigung als willkürlich erscheinen zu lassen; auch die Beschwerdeführerin hatte ein Interesse daran, dazu beizutragen, dass der Betrieb ihres Gatten erfolgreich wirtschaftete. Hinsichtlich der behaupteten verbalen Erniedrigungen machte die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren keine Angaben über deren Wortlaut und Häufigkeit. Zudem konnte sie - unbestrittenermassen - Deutschkurse besuchen, was wiederum dagegen spricht, dass ihr Gatte sie - trotz einer allenfalls teilweise auch patriarchalisch gelebten Beziehung und der von der Beschwerdeführerin empfundenen Enttäuschung über das Scheitern ihrer Ehe - andauernd relevant in ihrer Persönlichkeit verletzt hat.
4.3. Entgegen der Kritik der Beschwerdeführerin können auch psychische Beeinträchtigungen zeitgerecht glaubhaft gemacht werden (zu den Beweismitteln: Art. 77 Abs. 6 VZAE [SR 142.201]); der Einwand der Beschwerdeführerin, dass sie während langer Zeit nicht den Mut gehabt habe, sich in Behandlung zu begeben, und die Überwindung zur Aufarbeitung ihrer Vergangenheit erst nach einem gewissen zeitlichen Abstand geschafft habe, lässt die Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht als willkürlich erscheinen. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass sie - abgesehen von drei Arztbesuchen bei einer Allgemeinpraktikerin, die nach der Trennung vom 27. August 2018 erfolgt sind (7. und 11. März und 25. April 2019) und bei denen eine "Anpassungsstörung auf psychosoziale Belastung mit depressiver Reaktion" diagnostiziert wurde - weiter behandelt werden musste; allein die Einnahme eines Antidepressivums belegt keine häusliche Gewalt; etwas anderes ergibt sich im vorliegenden Zusammenhang auch nicht aus dem Arztzeugnis vom 6. Juni 2019. Dass die Beschwerdeführerin die Trennung von ihrem Gatten und die unsicheren Zukunftsaussichten verständlicherweise belasten, spricht noch nicht für das Vorliegen eines nachehelichen Härtefalls. Die Ehe hat sich im Resultat lediglich anders entwickelt, als von ihr erhofft (vgl. E. 3.1).
4.4. Das Verwaltungsgericht durfte willkürfrei in antizipierter Beweiswürdigung davon ausgehen, dass gestützt auf die Akten und die Vorbringen weder die Beschwerdeführerin noch ihr Arbeitgeber angehört werden mussten: Im Verwaltungsverfahren besteht grundsätzlich kein verfassungsmässiger Anspruch auf eine mündliche Anhörung (vgl. BGE 140 I 68 E. 9.6.1 S. 76 mit weiteren Hinweisen; Urteil 2C_1013/2020 vom 11. März 2021 E. 3.2). Es wäre an der Beschwerdeführerin gewesen, die Relevanz der behaupteten psychischen Oppression durch ihren Gatten so zu belegen, dass die Vorinstanz, ihren Einwendungen weiter hätte nachgehen müssen. Die Annahme der Vorinstanz, dass ihr dies nicht gelungen sei und ihr heutiger Arbeitgeber nichts Wesentliches zur Sachverhaltsfeststellung hätte beitragen können, ist mit Art. 29 Abs. 2 BV vereinbar (vgl. E. 3.3).
5.
5.1. Das angefochtene Urteil verletzt schliesslich auch kein Bundesrecht, soweit das Verwaltungsgericht davon ausgegangen ist, dass die soziale Wiedereingliederung der Beschwerdeführerin in der Heimat zwar nicht einfach sein wird, jedoch nicht als stark gefährdet im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AIG gelten kann: Die Beschwerdeführerin hält sich erst seit dem 12. Mai 2017 in der Schweiz auf; die Ehe ihrerseits wurde hier kaum länger als ein Jahr (bis zum 27. August 2018) gelebt. Die Beschwerdeführerin ist mit den heimatlichen Verhältnissen nach wie vor vertraut. Nach Abschluss der obligatorischen Schulzeit hat sie im Kosovo während dreier Jahre eine medizinische Mittelschule besucht und die Ausbildung zur Krankenpflegerin abgeschlossen. Gestützt hierauf und die in der Schweiz gesammelten Berufserfahrungen in der Gastrobranche kann ihr ein beruflicher Wiedereinstieg in der Heimat zugemutet werden, auch wenn sie gegebenenfalls - wie sie geltend macht - wegen der Heirat eines serbischen Bürgers bzw. ihrer Scheidung (möglicherweise vorübergehend) nicht auf die Unterstützung ihrer Eltern zählen kann. Es darf von ihr erwartet werden, dass sie sich nötigenfalls ein neues Beziehungsnetz aufbaut. Dass sie zu gewissen Gästen im Restaurant, in dem sie zurzeit arbeitet, Kontakte pflegt und diese ihre Ausreise bedauern würden, stellt keinen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AIG dar.
5.2. Die von ihr geltend gemachte mögliche Diskriminierung und Ächtung als geschiedene Frau in einem patriarchalischen Gesellschaftssystem genügt für sich allein nicht, um ihre soziale Wiedereingliederung als erheblich gefährdet erscheinen zu lassen; es kommt gerichtsnotorisch auch im Kosovo zu Trennungen und Scheidungen, selbst wenn die Scheidungsrate allenfalls geringer sein mag als in anderen Ländern (Urteile 2C_693/2021 vom 25. Oktober 2021 E. 3.2.2 und 2C_339/2018 vom 16. November 2018 E. 9.2 [je zu Nordmazedonien]; 2C_1072/2018 vom 1. Juli 2019 E. 4.3 [zum Kosovo] und 2C_213/2020 vom 10. Juni 2020 E. 4.3 [zur Türkei]). Es ist im Übrigen unwahrscheinlich, dass ein breiteres Publikum in der Heimat von ihrer gescheiterten Ehe Kenntnis erhält (vgl. das Urteil 2C_788/2018 vom 31. Januar 2019 E. 4.2.3).
5.3. Der blosse Umstand, dass die Sicherheits-, Wirtschafts- und gesundheitliche Versorgungslage in der Schweiz allenfalls besser sind als im Heimatland, genügt praxisgemäss nicht, um vom Vorliegen eines nachehelichen Härtefalls im Sinne von Art. 50 AuG ausgehen zu können; dies gilt auch, wenn die betroffene Person - wie hier - in der Schweiz integriert erscheint, eine Landessprache mehr oder weniger korrekt beherrscht, eine Arbeitsstelle hat, für ihren Lebensunterhalt selber aufzukommen vermag und hier auch nicht straffällig geworden ist (vgl. die Urteile 2C_335/2020 vom 18. August 2020 E. 4.1; 2C_293/2017 vom 30. Mai 2017 E. 3.4; 2C_837/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 4.3.2; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.3). Die Rückkehr in Lebensverhältnisse, die im Herkunftsland allgemein üblich sind, stellt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keinen wichtigen persönlichen Grund dar, welcher einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz gebietet (Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG; vgl. die Urteile 2C_293/2017 vom 30. Mai 2017 E. 3.4; 2C_837/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 4.3.2 und 2C_672/2015 vom 14. März 2016 E. 2.2).
6.
6.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist deshalb abzuweisen. Es besteht keine Veranlassung, die Sache im Sinne des Eventualantrags an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar