Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer stellte am 18. Oktober 2018 ein Gesuch um Erlass der Verfahrenskosten, die ihm mit Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 16. August 2016 auferlegt wurden. Die Präsidentin der Beschwerdekammer des Obergerichts wies das Gesuch mit Verfügung vom 4. Dezember 2018 ab. Zur Begründung führte sie aus, der nachträgliche Erlass oder die Stundung von Verfahrenskosten könne ausgeschlossen werden, wenn die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abgelehnt worden sei. Die Einreichung zum Vornherein aussichtsloser Rechtsmittel könne nicht nachträglich durch einen Erlass der Verfahrenskosten honoriert werden.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren ist ausschliesslich die Abweisung des Kostenerlassgesuchs vom 4. Dezember 2018. Soweit die Vorbringen des Beschwerdeführers (z.B. zur Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft oder zur Höhe der verlangten Sicherheitsleistung in einem Verfahren vor Obergericht etc.) ausserhalb des Streitgegenstandes liegen, kann auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten werden.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Entgegen seiner Behauptungen setzt sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander. Er bezeichnet in seiner Beschwerde vor Bundesgericht weder eine bundes- oder kantonalrechtliche Norm, welche die Vorinstanz bei der Beurteilung des Erlassgesuchs verletzt haben könnte, noch zeigt er eine willkürliche oder ermessensfehlerhafte Rechtsanwendung durch diese auf. Der Behauptung, seine Gewinnchancen seien in dieser Rechtssache zu 200 % gegeben, genügt nicht. Ebenso wenig genügt die wahllose Aufzählung angeblicher verletzter Rechte. Nicht Gegenstand des Verfahrens ist die Forderung auf Genugtuung und Schadenersatz. Aus der Beschwerde ergibt sich mithin nicht, inwiefern die Vorinstanz mit der Abweisung des Kostenerlassgesuchs das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt haben könnte. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Die Kosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 1C_513/2018 vom 9. Oktober 2018 E. 7).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill