Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Obwalden nahm mit Verfügung vom 3. Februar 2020 die Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen die Beschwerdegegnerin 2 nicht an die Hand. Dagegen gelangt der Beschwerdeführer mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, die Nichtanhandnahmeverfügung vom 3. Februar 2020 sei aufzuheben und es sei ein unvorbelasteter ausserordentlicher Staatsanwalt einzusetzen. "Eine Verweisung der Ermittlungen an das Obergericht Obwalden sei nicht zuzulassen".
2.
Die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (Art. 80 Abs. 1 StPO). Gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung können die Parteien innert 10 Tagen Beschwerde bei der kantonalen Beschwerdeinstanz führen (Art. 310 Abs. 2 i.V.m. Art. 322 Abs. 2 StPO). Die vorliegende Beschwerde an das Bundesgericht ist mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs folglich nicht zulässig. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Die Sache ist gestützt auf Art. 30 Abs. 2 BGG zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Obwalden weiterzuleiten.
3.
Auf die Erhebung von Kosten kann ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Eingabe des Beschwerdeführers wird zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Obwalden weitergeleitet.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden (unter Beilage der Beschwerde inkl. Beilagen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld