Faits :
A.
A.a. Par contrat de travail du 26 mars 2004, A._ (ci-après : l'employée) a été engagée en qualité de directrice des ressources humaines à partir du 1er mai 2004 par B._ Sàrl (ci-après : l'employeuse), société avec siège à La Chaux-de-Fonds active notamment dans le développement, la production et la commercialisation de produits horlogers. Le salaire mensuel brut de l'employée était de 9'100 fr. au début de la relation contractuelle et, en dernier lieu, de 12'300 fr. De durée indéterminée, le contrat prévoyait un délai de résiliation de trois mois pour la fin d'un mois.
Le 28 janvier 2008, l'employée a été victime d'un accident sur son lieu de travail. Une fois son état stabilisé, sa capacité de travail résiduelle a été de 70% et une rente d'invalidité mensuelle de 2'520 fr. lui a été octroyée par la SUVA pour son incapacité de 30%.
A.b. Par courrier non daté et rédigé sur un papier ne comportant pas l'en-tête de la société employeuse (mais, en pied de page, une adresse dans la région de Nice, le lien précis avec l'entreprise n'étant toutefois pas établi), L._, vice-président exécutif de la société employeuse, a pris, au nom de N._ - alors associé gérant disposant de la signature individuelle (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF; PL défenderesse no 4 dans laquelle figure un extrait du registre du commerce) -, l'engagement que l'employée percevrait son salaire jusqu'à sa retraite (soit jusqu'au 31 mai 2015), même en cas d'incapacité de travail liée à son accident. La validité (ou la portée) de ce document est litigieuse.
Il résulte d'un avenant au contrat, daté du 25 juin 2009, que le délai de résiliation était dorénavant de six mois pour la fin d'un mois. Ce document, qui devait être signé par O._ et P._ (comme représentants de l'employeuse), ainsi que par l'employée, ne porte que la signature de O._. La validité de ce document est litigieuse.
A.c. Par courrier du 26 mars 2014, l'employeuse a résilié le contrat de travail de son employée pour le 30 juin 2014, en application du délai de résiliation (de trois mois) prévu dans le contrat du 26 mars 2004.
Par courrier du 18 juin 2014, l'employée s'est opposée au congé et elle a requis sa motivation.
L'employée a présenté une incapacité de travail totale sur plusieurs périodes entre avril et septembre 2014.
B.
Par demande du 20 juillet 2015 déposée devant le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz, la Caisse cantonale valaisanne de chômage a conclu à ce que la société employeuse soit condamnée à lui verser le montant de 51'187 fr.50, intérêts en sus. Elle explique avoir versé ce montant à l'employée à titre d'indemnités de chômage pour la période du 2 septembre 2014 au 31 mai 2015 et relève être subrogée dans les droits de l'employée à l'encontre de la société employeuse.
Par demande du 1er septembre 2015 déposée devant la même autorité, l'employée a soutenu que son contrat de travail avait pris fin le 31 mai 2015 et elle a pris onze conclusions principales en paiement contre l'employeuse. Elle a notamment conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser 110'700 fr. (salaire mensuel brut du 1er septembre 2014 au 31 mai 2015, dont à déduire les cotisations sociales usuelles, intérêts en sus), 25'785 fr. (bonus 2013, dont à déduire les cotisations sociales usuelles, intérêts en sus) et à ce que l'employeuse soit condamnée à lui remettre un certificat de travail. Dans une argumentation subsidiaire, elle s'est fondée sur le délai de résiliation de six mois figurant dans l'avenant du 25 juin 2009 et a pris six conclusions (subsidiaires). Elle a notamment conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser 36'900 fr. (salaire mensuel brut du 1er septembre 2014 au 30 novembre 2014, dont à déduire les cotisations sociales usuelles, intérêts en sus) et 79'950 fr. (indemnité pour résiliation abusive du contrat de travail au sens de l'art. 336a al. 2 CO, intérêts en sus).
Par réponse du 18 janvier 2016, la défenderesse a conclu au rejet de la demande de l'employée et à celle de la Caisse cantonale valaisanne de chômage et, reconventionnellement, à ce que l'employée soit condamnée à lui verser le montant de 2'520 fr., intérêts en sus.
Par jugement du 18 octobre 2017, le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz a considéré que le délai de résiliation (trois mois) prévu dans le contrat de travail du 26 mars 2004 était toujours applicable et que, vu les périodes d'incapacité de travail de l'employée (ignorées par l'employeuse), la relation contractuelle avait pris fin le 31 août 2014. Elle a condamné la défenderesse à verser à l'employée la somme de 3'832 fr. brut (bonus pour 2013), sous déduction des charges légales et conventionnelles (intérêts en sus), le montant de 47'437 fr.50 net (indemnité pour résiliation abusive), intérêts en sus, et elle a ordonné à la défenderesse de remettre à la demanderesse un certificat de travail. Elle a rejeté la demande pour le surplus, rejeté la demande de la Caisse cantonale valaisanne de chômage et, sur demande reconventionnelle, condamné l'employée à payer à l'employeuse la somme de 2'520 fr., intérêts en sus.
Par arrêt du 19 février 2018, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté l'appel formé par la défenderesse, admis très partiellement l'appel interjeté par la demanderesse et réformé le jugement entrepris en ce sens qu'elle a porté à 4'388 fr. le montant mis à la charge de la défenderesse au titre de bonus 2013 (sous déduction des charges légales et conventionnelles, intérêts en sus), le dispositif du jugement du tribunal de première instance étant confirmé pour le surplus.
C.
L'employée exerce un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal du 19 février 2018. Elle conclut à son annulation partielle et à ce que l'employeuse soit condamnée à lui verser la somme de 100'700 fr. au titre de salaire mensuel brut du 1er septembre 2014 au 31 mai 2015 (les cotisations sociales devant être déduites), intérêts en sus, et à ce que les autres postes admis par l'autorité précédente soient confirmés. Subsidiairement, elle conclut à ce que l'employeuse soit condamnée à lui verser 36'900 fr. (les cotisations sociales devant être déduites), intérêts en sus, et à la confirmation des autres postes déjà admis par l'instance précédente. Très subsidiairement, elle conclut à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. La recourante invoque une violation des art. 32 ss CO, un établissement arbitraire des faits (art. 9 Cst.), une transgression de l'art. 317 al. 1 CPC et de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.).
L'intimée conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué.
Chacune des parties principales a encore déposé des observations.
La Caisse cantonale valaisanne de chômage n'a pas communiqué d'observations.
Considérant en droit :
1.
1.1. Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur appels de la défenderesse et de la demanderesse par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une affaire relevant du contrat de travail (art. 72 al. 1 LTF), dont la valeur litigieuse excède 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF), le recours en matière civile, formé en temps utile (art. 100 al. 1 et 45 al. 1 LTF), est recevable au regard de ces dispositions.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 137 II 353 consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2; 136 III 552 consid. 4.2). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références).
1.3. Sous réserve de la violation des droits constitutionnels (art. 106 al. 2 LTF), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal ou, cas échéant, à l'état de fait qu'il aura rectifié. Il n'est toutefois lié ni par les motifs invoqués par les parties, ni par l'argumentation juridique retenue par l'autorité cantonale; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité).
2.
A la suite des premiers juges, la cour cantonale retient que le contrat de travail a pris fin le 31 août 2014, et non le 31 mai 2015 comme l'employée le revendiquait en tirant argument de la lettre non datée signée par le vice-président exécutif (L._). Elle observe que ce dernier ne disposait ni de la signature individuelle (cf. art. 814 CO) ni des pouvoirs nécessaires à la représentation conventionnelle de la société (cf. art. 32 ss CO), que le document du 15 février 2017 (organigramme de l'entreprise qui, selon l'employée qui en a requis la production dans la procédure cantonale, permettrait de démontrer l'existence des pouvoirs de représentation du vice-président exécutif) a été invoqué tardivement par l'employée, que cette pièce ne permettrait quoi qu'il en soit pas d'établir que le gérant (N._) aurait octroyé expressément des pouvoirs de représentation en faveur du vice-président exécutif et que l'employée n'est pas parvenue à démontrer que de tels pouvoirs auraient été octroyés par actes concluants. Selon l'autorité précédente, aucun indice (quant à l'attitude du gérant) ne permet de conclure à une procuration externe apparente (en faveur du vice-président exécutif) (art. 33 al. 3 CO).
S'agissant de la motivation subsidiaire de l'employée, la cour cantonale réfute la validité de l'avenant prolongeant le délai de résiliation à six mois. Selon elle, l'employée ne pouvait pas considérer, au moment de conclure l'avenant, que son contenu lui était favorable puisqu'elle se croyait au bénéfice d'un engagement encore plus avantageux (contrat prenant fin le 31 mai 2015), lui assurant de rester à son poste jusqu'à la retraite; on ne saurait dès lors déduire du silence de l'employée une acceptation de l'avenant.
3.
A titre principal, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir refusé d'admettre que son contrat se terminait le 31 mai 2015. Selon elle, l'engagement pris par le vice-président exécutif (L._) quant à cette échéance était parfaitement valable: celui-ci était légitimé à agir " à la place " du gérant (N._), de sorte que, par ce mode de représentation, il a engagé la société employeuse.
3.1. Peuvent signer un contrat de travail ou une modification de ce contrat avec un employé, les organes (sociaux) exécutifs qui disposent du pouvoir de représentation, ainsi que toutes les personnes qui peuvent valablement représenter la Sàrl dans les actes juridiques avec des tiers (cf. ATF 141 III 80 consid. 1.3 p. 82).
3.1.1. Sont en premier lieu légitimés à représenter la société chacun des gérants individuellement (art. 814 al. 1 CO), à moins que les statuts ne prévoient un autre mode de représentation (art. 814 al. 2 CO et 776a al. 2 ch. 7 CO). Si les statuts adoptés par les fondateurs (lors de la constitution de la société) ne le prévoient pas, l'assemblée des associés peut décider de les modifier et limiter le pouvoir de représentation à certains des gérants (délégation du pouvoir à certains d'entre eux, voire à un seul) (art. 804 al. 2 ch. 1 CO), de l'étendre à des tiers (cf. infra consid. 3.2.2) ou de prévoir une signature collective plutôt que des pouvoirs individuels.
3.1.1.1. En cas de représentation collective, la signature d'un seul représentant ne lie pas, en principe (sur la ratification ultérieure, cf. infra consid. 3.2), la société.
Le gérant qui dispose de la signature collective et qui appose sa seule signature peut toutefois également engager la société s'il possède un autre pouvoir de représentation. Le cumul des pouvoirs est en effet admis et la société peut ainsi conférer à l'un de ses organes (un gérant) qui ne dispose " que " de la signature collective (à deux, à trois, etc.) un pouvoir de représentation civile qui l'autorise à conclure, seul au nom de la société, un contrat déterminé avec une tierce partie (arrêt 4A_271/2009 du 3 août 2009 consid. 2.3 et l'arrêt cité; FORSTMOSER/MEIER-HAYOZ/NOBEL, Schweizerisches Aktienrecht, 1996, § 30 n. 90; ZEN-RUFFINEN/BAUEN, Le conseil d'administration, 2017, n. 676 p. 260).
3.1.1.2. Le gérant, à qui la loi (art. 814 al. 1 CO), les statuts (tels qu'adoptés par les fondateurs ou modifiés ultérieurement par l'assemblée des associés, cf. art. 814 al. 2 CO et 804 al. 2 ch. 1 CO) ou l'assemblée des associés (lorsqu'une base statutaire permet à celle-ci d'aménager la représentation en adoptant un règlement), confère le pouvoir de représentation, peut, à certaines conditions, attribuer à son tour ce pouvoir (ou une partie de celui-ci) à une tierce personne. Il n'est pas nécessaire de déterminer si, techniquement, cette dernière attribution constitue une " délégation " ou une " sous-délégation " ( Subdelegation) - ce qui impliquerait un examen approfondi du mécanisme légal prévoyant par défaut l'attribution du pouvoir de représentation individuelle à chaque gérant (art. 814 al. 1 et 2 CO). En l'espèce, il suffit de noter qu'une délégation ne serait possible que si les statuts le prévoyaient et qu'une sous-délégation présupposerait que le gérant dispose (en sus du pouvoir de représentation) de la compétence correspondante (compétence de la compétence; Kompetenzkompetenz), étant précisé que celle-ci peut figurer dans le règlement d'organisation de la société (ROLF WATTER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht, 5e éd. 2016, no 30 ad art. 718 CO; cf. ELIAS BISCHOF, Die Gewähr für eine einwandfreie Geschäftstätigkeit, SSFM no 121, 2016 p. 23 s.). A défaut d'une base statutaire ou réglementaire, le gérant est tenu d'exercer son pouvoir de représentation ad personam (en droit de la société anonyme, pour la sous-délégation, cf. FURRER/MÜLLER-CHEN, Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 3e éd. 2018, n. 77 p. 254; FELIX HORBER, Die Kompetenzdelegation beim Verwaltungsrat der AG und ihre Auswirkungen auf die aktienrechtliche Verantwortlichkeit, 1986, p. 101 s.).
3.1.2. Sont légitimés en second lieu les directeurs, qui sont nommés par l'assemblée des associés (art. 804 al. 3 1ère phrase CO). Les statuts peuvent toutefois déléguer leur nomination aux gérants (art. 804 al. 3 2ème phrase et 776a al. 1 ch. 13 CO), ou même à un seul gérant (cf. art. 809 al. 4 CO qui sous-entend la possibilité d'un gérant unique); il appartient alors à ce gérant de nommer le tiers à la fonction de directeur (fonction qui implique que des pouvoirs de gestion aient également été conférés à l'intéressé), qui est nommé comme tel (le pouvoir de représentation du directeur résultant alors de la loi).
Les considérations qui précèdent (cf. consid. 3.1.1), portant sur la représentation collective et la sous-délégation, peuvent être reprises mutatis mutandis pour le directeur.
3.1.3. Les organes exécutifs (gérants et directeurs), qui expriment directement la volonté de la société (cf. ATF 141 III 80 consid. 1.3 p. 82), doivent être inscrits au registre du commerce (art. 814 al. 6 CO) et signer en ajoutant leur signature personnelle à la raison sociale (art. 814 al. 5 CO). L'absence d'inscription au registre du commerce n'exclut toutefois pas l'existence des pouvoirs des organes concernés, si le tiers (qui allègue avoir cru à l'existence de pouvoirs) était de bonne foi (entre autres auteurs, cf. ROLF DITESHEIM, La représentation de la société anonyme, 2001, p. 287 s.; sur l'art. 33 al. 3 CO, cf. infra consid. 3.2). Si le représentant ne respecte pas le mode de signature prévu par la loi, la déclaration d'agir au nom d'autrui peut être, sauf exceptions qui n'entrent ici pas en ligne de compte, orale ou même tacite (DITESHEIM, op. cit., p. 82 s.).
3.1.4. Sans avoir la qualité d'organes, peuvent aussi représenter la société à responsabilité limitée, en vertu de leurs pouvoirs de représentation, les représentants commerciaux ou les représentants civils (cf. ATF 141 III 80 consid. 1.3 p. 82; entre autres auteurs, cf. PETER JUNG, in Gesellschaftsrecht, Furrer et al. [éd.], 2016, n. 37 p. 235; CLAIRE HUGUENIN, Obligationenrecht, Allgemeiner und Besonderer Teil, 2e éd. 2014, n. 1050 p. 309).
3.1.4.1. La représentation commerciale est celle des fondés de procuration (art. 458 ss CO) et des autres mandataires commerciaux (art. 462 ss CO). Elle ne concerne les voyageurs de commerce (art. 347 ss CO) qu'à la condition que ceux-ci disposent du pouvoir de conclure (art. 348b al. 2 CO). Le fondé de procuration et le mandataire commercial sont techniquement des représentants (commerciaux) régis par les dispositions sur la représentation commerciale (art. 458 ss et 462 ss CO) qui complètent les dispositions sur la représentation civile ou y dérogent (art. 32 ss CO) (JUNG, op. cit., n. 39 p. 236). Ils disposent tous deux d'une procuration générale, établie par le chef de l'entreprise, qui présuppose une relation représentant-représenté régulière et durable; contrairement au représentant civil, ils ne peuvent voir leurs pouvoirs restreints à une opération juridique spécifique et déterminée (ATF 141 III 159 consid. 3.3; TERCIER/BIERI/CARRON, Les contrats spéciaux, 5e éd. 2016, n. 5448 p. 801).
3.1.4.2. La représentation civile est régie par les art. 32 ss CO (cf. arrêt 4A_141/2018 du 4 septembre 2018 consid. 5.2). Est représentant au sens de ces règles générales, celui qui reçoit des pouvoirs de représentation pour s'occuper d'une affaire bien déterminée et limitée dans le temps (cf. consid. 3.2; DITESHEIM, op. cit., p. 82; cf. FORSTMOSER/MEIER-HAYOZ/NOBEL, op. cit., § 30 n. 88).
3.2. En vertu de l'art. 32 al. 1 CO, pour que les représentants (organes exécutifs ou représentants commerciaux et civils) engagent valablement la société à responsabilité limitée (cf. arrêt 4A_473/2011 du 22 décembre 2011 consid. 1.1), il faut que les deux conditions soient remplies : le représentant doit agir au nom du représenté ("fait au nom d'une autre personne") et en vertu de l'autorisation qui lui a été donnée par le représenté (" autorisé "), à savoir en vertu d'une procuration.
Si la seconde condition n'est pas réalisée - alors que la première l'est - il faut se demander si le défaut de représentation a été réparé ultérieurement (art. 38 al. 1 CO) ou si la représentation sans pouvoirs au sens de l'art. 33 al. 3 CO (à savoir la question de la procuration externe apparente) peut être admise (arrêt 4A_473/2016 du 16 février 2017 consid. 3.1.2 et les arrêts cités).
4.
Il n'est pas contesté que le gérant N._ (organe de la société) disposait de la signature individuelle. L'employée n'a en particulier pas allégué que les statuts prévoiraient un aménagement différent du pouvoir de représentation des gérants (cf. art. 814 al. 2 CO). Cela étant, c'est en vertu de la loi que le gérant dispose du pouvoir de représentation individuelle (art. 814 al. 1 CO).
Il n'est pas non plus contesté que le vice-président exécutif L._ ne s'est vu conférer " que " la signature collective à deux, ce qui ressort d'ailleurs de l'extrait du registre du commerce figurant au dossier (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF).
S'agissant de la lettre non datée litigieuse, les magistrats précédents retiennent qu'aucune représentation de la société employeuse n'est évoquée et que " le nom même de la société [fait] défaut ". Ils observent que, dans ce document, le vice-président exécutif " prétend agir au nom [du gérant] ".
Dans l'arrêt attaqué, les magistrats traitent de divers modes de représentation, sans toutefois les distinguer de manière explicite. Il convient de les différencier pour procéder à la subsomption.
4.1. L._ n'était pas gérant, mais " vice-président exécutif ". Cette fonction n'est pas qualifiée juridiquement et elle n'a pas fait l'objet d'une discussion dans l'arrêt cantonal. Il suffit toutefois ici de rappeler que le " vice-président exécutif " disposait de la signature collective à deux. Force est donc de constater que le document litigieux, signé par le seul vice-président exécutif, était impropre à engager la société (ce que la recourante ne discute d'ailleurs pas), la société n'ayant jamais ratifié ultérieurement l'acte défectueux.
Selon le régime légal, le gérant N._ dispose du pouvoir de représenter seul la société. Toutefois, pour qu'il puisse nommer des directeurs, des fondés de procuration et des mandataires commerciaux, les statuts doivent nécessairement lui conférer cette compétence. L'existence d'une telle clause statutaire n'est pas alléguée et le gérant n'était dès lors pas légitimé à conférer au vice-président exécutif le statut de directeur, de fondé de procuration ou de mandataire commercial, de sorte que le vice-président exécutif ne pouvait pas engager la société en cette qualité. La recourante n'a jamais prétendu non plus que le vice-président exécutif serait fondé de procuration ou mandataire commercial.
Dans son argumentation centrale, la recourante soutient que le vice-président exécutif agissait " à la place du gérant " (soit comme véritable " remplaçant " du gérant disposant de la signature individuelle), ce qui aurait automatiquement pour effet de lier la société. Cette formulation évoque une délégation ou une sous -délégation, par le gérant, de son propre pouvoir de représentation (cf. supra consid. 3.1.1.2). Pour trancher la question, il suffit d'observer qu'aucune constatation cantonale n'indique que les statuts autoriseraient une délégation et qu'aucun élément ou indice ne permet d'affirmer que le gérant se serait vu octroyer la compétence de procéder à une sous-délégation (compétence de la compétence). La recourante n'allègue rien à ce sujet, ni pour la première hypothèse ni pour la seconde. En l'absence de toute délégation, le vice-président exécutif ne pouvait valablement engager la société en agissant " à la place " du gérant. L'argumentation fournie par la recourante à cet égard ne peut donc être suivie.
4.2. Il reste à examiner si le vice-président exécutif pouvait se prévaloir d'une représentation civile.
L'employée se réfère, par ses nombreux renvois aux art. 32 ss CO, à la représentation civile. Il est toutefois superflu d'examiner chaque pan de son argumentation. Force est en effet de constater que la recourante ne prétend pas que le vice-président exécutif aurait reçu un pouvoir civil spécial limité à la signature du courrier litigieux. Elle fait au contraire état d'une représentation régulière et durable en révélant expressément l'existence d'une " pratique récurrente " qui " s'était installée " au sein de l'entreprise. Pour dissiper toute équivoque, elle revient sur la signature du courrier non daté pour confirmer qu'il " n'était donc pas un acte isolé ". De l'aveu même de la recourante, la relation entre le gérant et le vice-président exécutif était (prétendument) régulière et durable, ce qui exclut l'existence d'une représentation civile portant spécifiquement sur la conclusion du courrier litigieux non daté.
Lorsqu'elle allègue que les pouvoirs de représentation du vice-président exécutif ont été " formellement mis par écrit sur le document [organigramme] dont la production [lui] a été refusée (...) en première instance ", la recourante se limite à prétendre que le pouvoir de représentation aurait été attribué sous la forme écrite (et non seulement par actes concluants), sans toutefois expliquer en quoi ce constat, qui porte sur la forme de la délégation, impliquerait de tirer une conclusion contraire à celle qui vient d'être concédée en lien avec la question de la représentation civile (de même d'ailleurs qu'en rapport avec la question de la sous-délégation).
En ce sens, il est inutile d'examiner le moyen tiré de l'arbitraire dans la constatation des faits (art. 9 Cst.) que la recourante soulève pour tenter de convaincre, toujours sur la base du même document, que le vice-président exécutif pouvait valablement représenter le gérant.
Pour le même motif, la pièce évoquée par la recourante était impropre à établir un élément de fait pertinent pour la résolution du litige et la cour cantonale n'a pas violé le droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) de l'employée en ne lui accordant pas le droit de produire cette pièce.
Enfin, c'est en vain que la recourante revient à la charge en tirant argument de la procuration externe apparente de l'art. 33 al. 3 CO. Cette dernière disposition est invoquée dans le même contexte, à savoir pour démontrer l'existence d'une (prétendue) représentation régulière et durable. Cette argumentation est dès lors impropre à manifester la réalité de la procuration externe apparente portant (spécifiquement) sur la conclusion du courrier litigieux non daté.
4.3. En conclusion, le vice-président exécutif ne pouvait pas engager la société en apposant sa seule signature sur la lettre non datée (qui prévoyait de fixer au 31 mai 2015 le terme du contrat de travail conclu entre les parties à la procédure). C'est donc en vain que l'employée se prévaut de cette lettre pour faire valoir sa prétention et sa critique se révèle infondée.
5.
Il reste à examiner la motivation subsidiaire présentée par la recourante qui repose sur l'existence d'un avenant prolongeant le délai de résiliation de la relation contractuelle entre les parties.
5.1. La cour cantonale refuse d'admettre la prolongation du délai de résiliation figurant dans le contrat de travail initial du 26 mars 2004 au motif que l'avenant, paraphé par un seul des représentants de l'employeuse, n'a pas été signé par l'employée et qu'on ne saurait y voir une acceptation (tacite ou par actes concluants) : la cour cantonale rappelle qu'au moment de la conclusion de l'avenant, l'employée se croyait au bénéfice d'un engagement encore plus avantageux (contrat de durée déterminée jusqu'au 31 mai 2015), que la modification figurant dans l'avenant ne lui était donc pas favorable et qu'il est exclu d'inférer une acceptation du silence de l'employée.
La recourante considère que ce raisonnement est arbitraire au motif que la cour cantonale ne saurait, dans un premier temps, nier la validité du contrat à durée déterminée (engagement jusqu'au jour de la retraite) et, ensuite, tirer argument du fait que l'employée se sentait liée par cet engagement, pour nier la validité de l'avenant (portant sur le délai de résiliation).
5.2. Il n'y a pas lieu d'examiner de manière approfondie sa critique, puisqu'il résulte de toute façon des constatations cantonales que la société employeuse, de son côté, ne s'est pas valablement engagée par la signature d'un seul de ses représentants.
Selon les constatations cantonales, l'avenant du 25 juin 2009, prévoyant un délai de résiliation de six mois, n'a en effet été signé, du côté de l'employeuse, que par O._, la signature de P._ faisant, elle, défaut. Il résulte du dossier cantonal que les deux représentants ne disposaient pas de la signature individuelle, mais de la signature collective à deux (complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF; jugement du Tribunal régional p. 10; PL défenderesse no 4 dans laquelle figure un extrait du registre du commerce). Il ressort également de l'arrêt entrepris que le contrat de travail du 26 mars 2014 ne pouvait être modifié que si l'avenant contenant la modification respectait la forme écrite et était signé par les parties. Cela étant, la signature de P._ faisant défaut, l'avenant ne peut être considéré comme valable.
Le fait que les parties puissent renoncer par accord mutuel (et sans respecter de forme particulière) à la clause instaurant la forme écrite pour les modifications contractuelles ultérieures (cf. ATF 125 III 263 consid. 4c p. 268) n'y change rien puisqu'il ne résulte pas de l'arrêt cantonal que les parties auraient renoncé par actes concluants à l'exigence de la forme écrite.
Le grief est dès lors infondé.
6.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais et dépens sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à la Caisse intimée qui, invitée à se déterminer, n'a pas déposé d'observations.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Il n'est pas alloué de dépens à la Caisse cantonale valaisanne de chômage.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Caisse cantonale valaisanne de chômage et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 21 février 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget