Faits :
A.
A._, né en 1983, s'est inscrit au chômage le 29 septembre 2016.
Par décision du 13 janvier 2017, l'Office régional de placement de Vevey (ci-après: l'ORP) a prononcé une suspension du droit à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, motif pris que l'assuré n'avait pas remis la preuve de ses recherches d'emploi pour le mois de décembre 2016 dans le délai prévu à cet effet. Le 23 février suivant, le Service de l'emploi du canton de Vaud (ci-après: SDE) a écarté l'opposition de A._ et confirmé la décision du 13 janvier 2017. Cette décision n'a pas été contestée.
Par décision du 20 juillet 2017, l'ORP a suspendu le droit de A._ à l'indemnité de chômage pour une durée de dix jours au motif qu'il n'avait pas remis en temps utile la preuve de ses recherches d'emploi pour le mois de juin 2017 et qu'il s'agissait d'un deuxième manquement. Le 22 juillet 2017, A._ s'est opposé à cette décision, en exposant avoir remis le formulaire de recherches d'emploi dans la matinée du 27 juin 2017 à une personne de l'accueil de l'ORP. Il a joint à son écriture une copie du document en question. Par décision sur opposition du 1er septembre 2017, le SDE a rejeté l'opposition.
B.
Saisie d'un recours de A._ contre cette dernière décision, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois l'a partiellement admis en ce sens qu'elle a réduit la suspension du droit à l'indemnité de chômage à cinq jours, la décision du 1er septembre 2017 étant réformée dans ce sens (jugement du 25 septembre 2018).
C.
Le SDE interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation.
L'intimé, la juridiction cantonale, ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Selon l'art. 26 al. 2 OACI (RS 837.02), dans sa teneur en vigueur dès le 1 er avril 2011 (RO 2011 1179), l'assuré doit remettre la preuve de ses recherches d'emploi pour chaque période de contrôle au plus tard le cinq du mois suivant ou le premier jour ouvrable qui suit cette date. A l'expiration de ce délai, et en l'absence d'excuse valable, les recherches d'emploi ne sont plus prises en considération.
Dans un arrêt publié aux ATF 139 V 164, le Tribunal fédéral a admis la conformité à la loi du nouvel article 26 al. 2 OACI (qui ne prévoit plus l'octroi d'un délai de grâce comme dans son ancienne version). Il a jugé que la loi n'impose pas de délai supplémentaire et que, sauf excuse valable, une suspension du droit à l'indemnité peut être prononcée si les preuves ne sont pas fournies dans le délai de l'art. 26 al. 2 OACI; peu importe qu'elles soient produites ultérieurement, par exemple dans une procédure d'opposition (cf. aussi arrêt 8C_425/2014 du 12 août 2014 consid. 3).
2.2. Dans le domaine des assurances sociales, la procédure est régie par le principe inquisitoire, selon lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par l'autorité (cf. art. 43 LPGA [RS 830.1]). Cette règle n'est toutefois pas absolue. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Cela comporte en partie l'obligation d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi la partie concernée s'expose à devoir supporter les conséquences de l'absence de preuve. Malgré les pertes de documents pouvant se produire dans toute administration, la jurisprudence a presque toujours indiqué que les assurés supportaient les conséquences de l'absence de preuve en ce qui concerne et la remise de la liste des recherches d'emploi (cf. arrêt C 294/99 du 14 décembre 1999 consid. 2a, in DTA 2000 n° 25 p. 122; cf. aussi les arrêts 8C_239/2018 du 12 février 2019 consid. 3.2; 8C_460/2013 du 16 avril 2014 consid. 3; 8C_591/2012 du 29 juillet 2013 consid. 4) et la date effective de la remise (arrêt C 3/07 du 3 janvier 2008 consid. 3.2). Le fait que des allégations relatives à la remise des justificatifs de recherches d'emploi (ou relatives à la date de celle-ci) soient plausibles ne suffit pas à démontrer une remise effective des justificatifs (ou une remise à temps). Une preuve fondée sur des éléments matériels est nécessaire (BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, n° 32 ad art. 17, p. 206).
3.
3.1. Le premier juge a considéré à juste titre que l'assuré n'avait pas apporté la preuve qu'il avait remis la liste de ses recherches d'emploi en temps utile et que, par conséquent, l'administration était fondée à prononcer une sanction. S'écartant du barème du SECO, la cour cantonale en a réduit la durée à cinq jours.
3.2. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation. Selon lui, la juridiction précédente a réduit la durée de la suspension du droit à l'indemnité en se fondant sur des considérations qui manquent de pertinence et sont étrangères au but visé par les art. 17 al. 1 LACI et 26 al. 2 OACI.
4.
4.1. Selon l'art. 30 al. 3 LACI, la durée de la suspension du droit à l'indemnité de chômage est proportionnelle à la gravité de la faute. En vertu de l'art. 45 al. 3 OACI, elle est de 1 à 15 jours en cas de faute légère. En tant qu'autorité de surveillance, le SECO a adopté un barème (indicatif) à l'intention des organes d'exécution. Un tel barème constitue un instrument précieux pour ces organes d'exécution lors de la fixation de la sanction et contribue à une application plus égalitaire dans les différents cantons. Cela ne dispense cependant pas les autorités décisionnelles d'apprécier le comportement de l'assuré compte tenu de toutes les circonstances - tant objectives que subjectives - du cas concret, notamment des circonstances personnelles, en particulier celles qui ont trait au comportement de l'intéressé au regard de ses devoirs généraux d'assuré qui fait valoir son droit à des prestations (cf. arrêt 8C_601/2012 du 26 février 2013 consid. 4.1, non publié in ATF 139 V 164 et les références).
4.2. La quotité de la suspension du droit à l'indemnité de chômage dans un cas concret constitue une question relevant du pouvoir d'appréciation, qui est soumise à l'examen du juge de dernière instance uniquement si la juridiction cantonale a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit, soit si elle a commis un excès positif ("Ermessensüberschreitung") ou négatif ("Ermessensunterschreitung") de son pouvoir d'appréciation ou a abusé ("Ermessensmissbrauch") de celui-ci. Il y a abus du pouvoir d'appréciation lorsque l'autorité, tout en restant dans les limites du pouvoir d'appréciation qui est le sien, se fonde sur des considérations qui manquent de pertinence et sont étrangères au but visé par les dispositions légales applicables, ou viole des principes généraux du droit tels que l'interdiction de l'arbitraire et de l'inégalité de traitement, le principe de la bonne foi et le principe de la proportionnalité (ATF 137 V 71 consid. 5.1 p. 73; arrêt 8C_601/2012 cité consid. 4.2).
4.3. Contrairement au pouvoir d'examen du Tribunal fédéral, celui de l'autorité judiciaire de première instance n'est en revanche pas limité dans ce contexte à la violation du droit (y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation), mais s'étend également à l'opportunité de la décision administrative ("Angemessenheitskontrolle"). En ce qui concerne l'opportunité de la décision en cause, l'examen du tribunal porte sur le point de savoir si une autre solution que celle que l'autorité, dans un cas concret, a adoptée dans le cadre de son pouvoir d'appréciation et en respectant les principes généraux du droit, n'aurait pas été plus judicieuse quant à son résultat. Le juge des assurances sociales ne peut, sans motif pertinent, substituer sa propre appréciation à celle de l'administration. Il doit s'appuyer sur des circonstances de nature à faire apparaître sa propre appréciation comme la mieux appropriée (ATF 137 V 71 consid. 5.2 p. 73; cf. aussi, parmi d'autres, arrêt 8C_767/2017 du 31 octobre 2018 consid. 4.3).
5.
En l'espèce, la juridiction cantonale a motivé la réduction de la quotité de la suspension du droit à l'indemnité par le fait que les recherches d'emploi effectuées par l'intimé pour le mois de juin 2017 (au nombre de neuf) étaient de qualité et de quantité manifestement suffisantes. Il apparaissait également disproportionné de sanctionner l'assuré durant dix jours alors que celui avait démontré sa motivation à retrouver rapidement du travail; il avait notamment entrepris une formation linguistique afin d'améliorer son profil. Ces motifs ne constituent cependant pas des critères d'évaluation pertinents de la gravité de la faute pour fixer la durée de la suspension du droit à l'indemnité (pour des cas comparables, voir arrêts cités 8C_767/2017, 8C_425/2014, 8C_601/2012 et 8C_194/2013 du 26 septembre 2013). Au demeurant, en fixant à dix jours la suspension du droit à l'indemnité de chômage, l'administration a infligé la sanction minimale prévue par le barème du SECO pour les administrés n'ayant pas effectué de recherches pendant la période de contrôle ou ayant remis leurs recherches d'emploi trop tard, pour la seconde fois. Or, par rapport à d'autres situations, les circonstances du cas d'espèce ne présentent pas de singularités qui justifieraient de s'en écarter, ces barèmes tendant précisément à garantir une égalité de traitement entre les administrés. Partant, on doit admettre qu'en réduisant la suspension à cinq jours, la juridiction cantonale a substitué sa propre appréciation à celle de l'administration sans motif pertinent (cf. consid. 4.3). Le recours se révèle dès lors bien fondé.
6.
L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 25 septembre 2018 est annulé et la décision sur opposition 1 er septembre 2017 du Service de l'emploi est confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 300 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) et à la Caisse cantonale de chômage.
Lucerne, le 20 mars 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris