Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1974) leidet an einer chronischen paranoiden Schizophrenie mit Residuum. Sein Zustand hat seit 2006 mehrfach zu fürsorgerischen Unterbringungen geführt.
A.a.a. Anfang Juni 2019 entfachte sich nachts, während A._ unter Alkolhol- und Drogeneinfluss schlief, ein Brand in der Küche seiner Wohnung. Daraufhin wurde er am 9. Juni 2019 in die Klinik B._ AG eingewiesen, auf Beschwerde hin allerdings am 18. Juni 2019 wieder entlassen.
A.a.b. Im Rahmen einer vom Familiengericht Baden als Erwachsenenschutzbehörde angeordneten ambulanten Massnahme erhielt A._ während mehreren Jahren in der Klinik B._ AG eine Depotmedikation mit dem Neuroleptikum Haldol decanoas (intramuskuläre Injektion). Er musste wiederholt zur Verabreichung der Depotspritze polizeilich in die Klinik gebracht werden, zuletzt am 13. August 2019. Am 14. August 2019 kam es zu einer weiteren Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung. A._ entwich jedoch am 17. August 2019 aus der Klinik.
A.b. Am 10. September 2019 trat A._ freiwillig in die Klinik B._ AG ein. Am 11. September 2019 ordnete die Klinik B._ AG die Zurückbehaltung und am 13. September 2019 Dr. med. C._ eine fürsorgerische Unterbringung in der Klinik B._ AG an. Mit Entscheid vom 20. September 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die gegen diesen Unterbringungsentscheid erhobene Beschwerde ab.
A.c. Am 2. Oktober 2019 übertrug das Familiengericht die Entlassungszuständigkeit der Klinik B._ AG und hielt fest, dass die nächste periodische Überprüfung der fürsorgerischen Unterbringung spätestens per 11. März 2020 erfolgen werde.
A.d. Am 31. Januar 2020 stellte A._ ein Entlassungsgesuch, welches die Klinik B._ AG gleichentags abwies. Dagegen erhob der Betroffene am 10. Februar 2020 beim Verwaltungsgericht Aargau Beschwerde. Dieses führte am 18. Februar 2020 in der Klinik eine Verhandlung durch und wies die Beschwerde gleichentags ab. Das Urteil wurde den Beteiligten mit einer Kurzbegründung im Dispositv eröffnet (WBE.2020.49). Am 12. März 2020 ersuchte A._ um Ausfertigung einer vollständigen schriftlichen Begründung. Diese wurde ihm am 21. März 2020 zugestellt.
B.
B.a. Mit Entscheid vom 4. März 2020 bestätigte das Familiengericht im Rahmen der ersten periodischen Überprüfung (vgl. Bst. A.c) die fürsorgerische Unterbringung; es setzte die nächste Überprüfung per 11. April 2020 fest. Mit Entscheid vom 11. März 2020 berichtigte das Familiengericht seinen Entscheid vom 4. März 2020 dahingehend, dass die nächste periodische Überprüfung spätestens per 11. Juni 2020 erfolgen solle.
B.b. Am 18. März 2020 erhob A._ gegen den Entscheid des Familiengerichts vom 4. bzw. 11. März 2020 beim Verwaltungsgericht Beschwerde. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 1. April 2020 ab (WBE.2020.98). Dagegen hat A._ am 19. Mai 2020 beim Bundesgericht Beschwerde geführt (Verfahren 5A_386/2020).
C.
Mit Eingabe vom 19. Mai 2020 führt A._ Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 18. Februar 2020 (WBE.2020.49). Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die unverzügliche Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über ein Rechtsmittel entschieden hat (Art. 75 BGG). Der angefochtene Entscheid bestätigt die fürsorgerische Unterbringung des Beschwerdeführers. Das ist ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Damit steht die Beschwerde in Zivilsachen offen.
1.2. Die vollständige Ausfertigung des angefochtenen Urteils wurde dem Beschwerdeführer am 21. März 2020 zugestellt. Unter Berücksichtigung der Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG i.V.m. Art. 1 Abs. 1 der Verordnung über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus (SR 173.110.4) ist die Beschwerdefrist gewahrt.
1.3. Mit seinem Entscheid vom 4. bzw. 11. März 2020 setzte das Familiengericht die am 13. September 2019 (Sachverhalt Bst. A.b) angeordnete fürsorgerische Unterbringung fort. Dieser Entscheid und folglich auch jener des Verwaltungsgerichts vom 1. April 2020 im Verfahren WBE.2020.89 ersetzen die Entscheide, die im Zusammenhang mit dem Entlassungsgesuch vom 31. Januar 2020 (Sachverhalt Bst. A.d) stehen. Der Beschwerdeführer hat kein geschütztes Interesse an der Überprüfung des im Verfahren WBE.2020.49 ergangenen Urteils vom 18. Februar 2020 durch das Bundesgericht. Da dieses Interesse bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung weggefallen war, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (BGE 136 III 497 E. 2.1 mit Hinweis).
2.
Bei diesem Ergebnis unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kosten- (Art. 66 Abs. 1 BGG), nicht aber entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 3 BGG). Angesichts der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. In diesem Umfang wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos. Soweit weitergehend, kann sie nicht gewährt werden, denn die Beschwerde war, wie die vorstehenden Ausführungen aufzeigen, von Anfang an aussichtslos (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Klinik B._ AG und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller