Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 3. März 2020 erteilte das Regionalgericht Berner Jura-Seeland dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Seeland, Dienststelle Seeland, die definitive Rechtsöffnung für Fr. 400.-- nebst Zins und Gebühren.
Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer am 8. Mai 2020 Beschwerde bei Obergericht des Kantons Bern. Mit Entscheid vom 28. Mai 2020 trat das Obergericht auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht ein.
Gegen diesen Entscheid hat der Beschwerdeführer am 5. Juni 2020 (Postaufgabe) subsidiäre Beschwerde und "normale Beschwerde" an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Der Beschwerdeführer verlangt ein unabhängiges, unbefangenes Gericht. Ein konkretes Ausstandsgesuch gegen einzelne Gerichtspersonen des Bundesgerichts stellt er nicht.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, aufgrund einer Änderung des BGG vom 4. November 2015 falle die subsidiäre Beschwerde weg und es sei nur die normale Beschwerde (gemeint wohl: Beschwerde in Zivilsachen) zulässig. Worauf der Beschwerdeführer abzielt, erschliesst sich nicht. Vielmehr ist aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig. Die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
4.
Der Beschwerdeführer wendet sich hauptsächlich - soweit nachvollziehbar - gegen die geltend gemachte Forderung und erhebt Vorwürfe gegen den Beschwerdegegner (Amtsmissbrauch, Prozessbetrug etc.). Verfassungsrügen erhebt er keine. Eine eigentliche Auseinandersetzung damit, dass er seine kantonale Beschwerde ungenügend begründet hat, fehlt. Dazu genügt es nicht zu behaupten, er habe seine Vorwürfe in seiner Beschwerde an das Obergericht ausdrücklich festgehalten und bewiesen, und es sei fraglich, ob diese Richter lesen könnten. Was den Bestand der zu vollstreckenden Forderung angeht, hat ihm bereits das Regionalgericht erläutert, dass sich das Rechtsöffnungsgericht damit nicht befasst. Darauf ist der Beschwerdeführer gemäss den obergerichtlichen Erwägungen in seiner kantonalen Beschwerde nicht eingegangen. Dass dies unzutreffend wäre, legt er vor Bundesgericht nicht dar.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich mangelhaft begründet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg