Sachverhalt:
A.
Am 27. September 2019 traf die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich im Zusammenhang mit einer Strafanzeige von B._ gegen A._ eine Nichtanhandnahmeverfügung. Aufgrund einer weiteren Strafanzeige von B._ führt dieselbe Staatsanwaltschaft jedoch eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verleumdung und weiterer mutmasslicher Straftaten. Die Staatsanwaltschaft bestellte A._ am 9. Dezember 2019 Rechtsanwalt C._ als amtlichen Verteidiger im Sinne der notwendigen Verteidigung. In der Folge forderte A._ die Staatsanwaltschaft auf, den amtlichen Verteidiger wieder aus seinem Mandat zu entlassen.
B.
Nachdem es zu keiner solchen Verfügung kam, erhob A._ am 13. März 2020 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich wegen Rechtsverweigerung. Im weiteren Verfahren stellte A._ erfolglose weitere Anträge, denen die Staatsanwaltschaft nicht stattgab. Insofern erhob er beim Obergericht Beschwerde wegen Rechtsverzögerung. Mit Beschluss und Verfügung UV200011 vom 28. Juli 2020 wies das Obergericht die Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 8. August 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid vom 28. Juli 2020 aufzuheben und Rechtsanwalt C._ aus dem Mandat als amtlichen Verteidiger zu entlassen. Zudem macht er nebst einer Parteientschädigung wegen angeblicher Menschenrechtsverletzung eine Entschädigung von Fr. 12'000.-- geltend. Schliesslich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in weiteren Eingaben zur Sache.
D.
A._ reichte dem Bundesgericht in den hängigen Strafverfahren noch verschiedene weitere Beschwerden ein (Verfahren 1B_395/2020, 1B_409/2020, 1B_439/2020, 1B_613/2020). In allen bundesgerichtlichen Verfahren ist er nicht anwaltlich vertreten. Am 3. November 2020 stellte er ein Gesuch um Zustellung sämtlicher Akten der damals hängigen Verfahren zur Einsicht. Nachdem die vom Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingesetzte Instruktionsrichterin den übrigen Verfahrensbeteiligten Gelegenheit gegeben hatte, sich dazu zu äussern, wies sie am 26. November 2020 die verlangte Aktenzustellung ab, erteilte aber Akteneinsicht am Bundesgericht innert einer angesetzten Frist. A._ nahm diese Möglichkeit in der Folge nicht wahr. Hingegen beantragte er mit Eingabe vom 27. November 2020 im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren 1B_413/2020 sowie in den weiteren Verfahren 1B_395/2020, 1B_403/2020, 1B_409/2020 und 1B_439/2020 den Ausstand der Instruktionsrichterin. Mit Urteil 1B_611/2020 vom 4. Dezember 2020 wies das Bundesgericht dieses Ausstandsgesuch ab. Mit einem weiteren Urteil 1F_37/2020 vom 21. Dezember 2020 wies es ebenfalls ein dagegen von A._ eingereichtes Revisionsgesuch ab.
Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid ist ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid in einem Strafverfahren, der für den Beschwerdeführer hinsichtlich der Frage der amtlichen Verteidigung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Die Beschwerde in Strafsachen nach 78 ff. BGG erweist sich insofern als zulässig (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), da der Beschwerdeführer den Entscheid des Obergerichts nur im Streitpunkt der amtlichen Verteidigung anficht.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es ist allerdings weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 139 II 404 E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314). Im Folgenden ist daher auf die Beschwerde nur soweit einzugehen, als der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid zureichend beanstandet.
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Massgebliche Mängel bei den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts sind nicht ersichtlich und werden vom Beschwerdeführer nicht ausreichend dargetan. Soweit er sich auf neue Umstände beruft, sind diese nicht zu berücksichtigen, da sie nicht auf den angefochtenen Entscheid zurückgehen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt einen Verstoss gegen Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK. Das Obergericht habe gegen diese Bestimmung verstossen, weil es in der Weigerung der Staatsanwaltschaft, seinen amtlichen Verteidiger aus dem Mandat zu entlassen, keine Rechtsverweigerung erkannt habe.
4.2. Eine formelle Rechtsverweigerung gemäss Art. 29 Abs. 1 BV liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt bzw. diese nicht behandelt, obschon sie darüber befinden müsste (BGE 135 I 6 E. 2.1 S. 9; 134 I 229 E. 2.3 S. 232; vgl. auch BGE 136 II 177 E. 2.1 S. 181). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, ob die Staatsanwaltschaft förmlich über das Entlassungsgesuch entschieden hat. Allerdings ist aufgrund der Akten leicht erkennbar, dass die Staatsanwaltschaft insofern mit dem Beschwerdeführer nicht übereinstimmt und seinem wiederholt vorgetragenen Anliegen nicht Folge zu leisten gedenkt. Mit dem Entscheid des Obergerichts wurde der Antrag des Beschwerdeführers zumindest vorfrageweise durch die Rechtsmittelinstanz geprüft und abgelehnt. Damit wurde dem Beschwerdeführer das Recht nicht verweigert.
4.3. Zu prüfen bleibt allerdings noch die inhaltliche Bundesrechtmässigkeit des angefochtenen Entscheids. Nicht ohne Grund beanstandet der Beschwerdeführer insofern, dass das Obergericht in E. 2.2 des angefochtenen Entscheids auf ein Urteil des Bundesgerichts 6B_628/ 2018 vom 7. November 2018 E. 3.2 verweist, das es so nicht gibt. Allerdings handelt es sich um einen offenkundigen Verschrieb, denn gemeint ist das Urteil 6B_826/2018 vom 7. November 2018 E. 3.2. Dieser Mangel macht den angefochtenen Entscheid offensichtlich noch nicht bundesrechtswidrig, denn so oder so kommt es auf die Vereinbarkeit des angefochtenen Entscheids mit der einschlägigen Rechtslage an, was nachfolgend zu prüfen ist.
4.4. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ergibt sich weder aus Art. 29 Abs. 3 BV noch aus Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK ein Anspruch auf notwendige Verteidigung. Nach Massgabe der Garantie der Fairness sowie der Aufklärungs- und Fürsorgepflicht (Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 31 Abs. 2 und Art. 32 Abs. 2 BV) kann es jedoch geboten sein, dass die Strafbehörde von Amtes wegen für eine notwendige Verteidigung zu sorgen hat (BGE 143 I 164 E. 2.3 S. 166 ff., mit Hinweisen).
4.5. Art. 130 und 131 StPO regeln die notwendige Verteidigung. Gemäss dem hier einzig massgeblichen Tatbestand von Art. 130 lit. c StPO besteht insbesondere dann ein gesetzlicher Anspruch auf notwendige Verteidigung, wenn die beschuldigte Person wegen ihres körperlichen oder geistigen Zustands oder aus anderen Gründen ihre Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann (Art. 130 lit. c StPO). Die notwendige Verteidigung dient dem Zweck, der beschuldigten Person einen fairen Prozess zu sichern, und garantiert das Prinzip der Waffengleichheit. Liegt ein Fall notwendiger Verteidigung vor, so achtet die Verfahrensleitung darauf, dass unverzüglich eine Verteidigung bestellt wird (Art. 131 Abs. 1 StPO; BGE 145 IV 407 E. 1.3.1 S. 412, mit Hinweisen). Sie hat von Amtes wegen die Voraussetzungen zu prüfen und über die notwendige Verteidigung zu entscheiden. Notwendige Verteidigung im strafprozessualen Sinn bedeutet, dass der Betroffene in Anbetracht der rechtlichen und tatsächlichen Umstände in den verschiedenen Stadien des Strafverfahrens zwingend und ohne entsprechendes Ersuchen vertreten sein muss und dass er darauf auch mit einer persönlichen Verteidigung durch ihn selbst nicht verzichten kann (BGE 143 I 164 E. 2.2 S. 166; 131 I 350 E. 2.1 S. 352 f. mit Hinweisen; vgl. auch das bereits erwähnte Urteil des Bundesgerichts 6B_826/2018 vom 7. November 2018 E. 3.2). Sind die Voraussetzungen der notwendigen Verteidigung bei Einleitung des Verfahrens erfüllt, so ist die Verteidigung nach der ersten Einvernahme durch die Staatsanwaltschaft, jedenfalls aber vor Eröffnung der Untersuchung sicherzustellen (Art. 131 Abs. 2 StPO). In Fällen, in denen die Verteidigung erkennbar notwendig gewesen wäre und bei denen Beweise erhoben wurden, bevor eine Verteidigerin oder ein Verteidiger bestellt worden ist, gilt die Beweiserhebung nur als gültig, wenn die beschuldigte Person auf ihre Wiederholung verzichtet (Art. 131 Abs. 3 StPO). Bei notwendiger Verteidigung ordnet die Verfahrensleitung unter anderem eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung keine Wahlverteidigung bestimmt (Art. 132 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 StPO).
4.6. Die Verfahrensleitung verfügt bei der Beurteilung, ob die beschuldigte Person fähig ist, ihre Verfahrensinteressen zu wahren, über einen Ermessensspielraum. Von Prozessunfähigkeit aufgrund psychischer Leiden ist nur ausnahmsweise gestützt auf entsprechende Indizien auszugehen. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung verlangt dafür aber keine eindeutigen Beweise, sondern lässt ausreichende Anhaltspunkte genügen, was folgerichtig erscheint, wären doch sonst ohne Rechtsvertretung regelmässig umfassende Abklärungen über den Geisteszustand erforderlich, die auch im späteren Strafverfahren Bedeutung erlangen könnten, bevor überhaupt über die notwendige Verteidigung entschieden ist. Verfügt die beschuldigte Person hingegen über eine gesetzliche Vertretung, kommt die notwendige Verteidigung nur in Frage, wenn die Vertretung nicht geeignet oder fähig ist, ihre Interessen im Strafprozess wahrzunehmen (Urteil des Bundesgerichts 1B_245/2020 vom 23. Juli 2020 E. 2.3).
4.7. Es ist gerade ein Charakteristikum der notwendigen Verteidigung, dass sie nicht das Einverständnis des Beschuldigten voraussetzt und unter Umständen sogar gegen dessen Willen beschlossen werden kann. Entscheidend ist einzig, ob der Beschuldigte in der Lage ist, sich selbst ausreichend zu verteidigen. Der Beschwerdeführer behauptet dies zwar, vermag aber die entsprechende Einschätzung der Vorinstanzen nicht zu widerlegen. Dass er im Sommersemester 2020 an einer Fernuniversität eingeschrieben war, reicht dafür nicht aus, lässt sich doch daraus nicht abschliessend ableiten, ob er kompetent ist, sich in einem Strafverfahren selbst zu verteidigen. Im Gegenteil belegen seine unzähligen, teilweise unklaren Eingaben an die verschiedenen beteiligten Instanzen unter Einschluss des Bundesgerichts, dass er nicht fähig ist, eine in sich konsistente Verteidigungsstrategie zu definieren und zu verfolgen. Seine Rechtskenntnisse sind rudimentär und seine rechtliche Argumentation regelmässig nicht zielführend. Zudem verzettelt er sich in einem Kleinkrieg um teilweise untergeordnete prozessuale Fragen, ruft wiederholt nicht einschlägige Rechtsgrundsätze an und vermag sich nur bedingt verständlich auszudrücken. Dass eine persönliche Unverträglichkeit zum ihm zugewiesenen Rechtsanwalt vorliegt, macht er nicht geltend, zumal er nicht dessen Ersetzung, sondern dessen ersatzlose Entlassung aus dem Mandat verlangt. Was der Beschwerdeführer sonst noch an Argumenten vorträgt, ist von vornherein nicht geeignet, eine Bundesrechtswidrigkeit zu belegen. Dass es inzwischen auf Seiten der Staatsanwaltschaft und Oberstaatsanwaltschaft zu Ausstandserklärungen gekommen ist, wie der Beschwerdeführer geltend macht, führt nicht zur Rechtswidrigkeit des hier strittigen Entscheids, der einzig aufgrund der damaligen Ausgangslage zu prüfen ist. Insgesamt ist daher nicht zu beanstanden, wenn dem Beschwerdeführer ein notwendiger Verteidiger zugeordnet und dieser bisher nicht aus seinem Mandat entlassen worden ist.
4.8. Der angefochtene Entscheid verstösst nicht gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte. Damit ist auch den übrigen Anträgen, namentlich demjenigen auf Zusprechung einer Entschädigung wegen Menschenrechtsverletzung, die Grundlage entzogen, zumal dieser Antrag ohnehin nicht im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren behandelt werden könnte.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Allerdings stellt er Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (vgl. Art. 64 BGG). Zwar ist fraglich, ob er seine Bedürftigkeit, trotz einer eingereichten Steuerveranlagung für das Jahr 2019, zureichend belegt hat und ob seine Rechtsbegehren als von vornherein aussichtslos zu beurteilen sind. Immerhin steht es ihm grundsätzlich zu, sich gegen die Anordnung bzw. Weiterführung einer notwendigen Verteidigung zu wehren. Im vorliegenden Verfahren kann daher ausnahmsweise umständehalber von der Erhebung von Kosten abgesehen werden (Art. 66 Abs. 1 BGG), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos abgeschrieben werden kann. Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II (Besondere Untersuchungen) des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie C._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax