Erwägungen:
1.
Der Beschwerdegegner erhob am 7. September 2020 beim Bezirksgericht Appenzell I.Rh. eine Forderungsklage gegen die Beschwerdeführerin, mit der er beantragte, diese sei zu verpflichten, ihm verschiedene Geldbeträge zuzüglich Verzugszins zu bezahlen und ein Arbeitszeugnis gemäss Beilage aus- und zuzustellen. Mit Zwischenentscheid vom 8. Juni 2021 erkannte das Bezirksgericht, dass die vom Beschwerdegegner eingereichte Klagebewilligung gültig sei und auf die Klage eingetreten werde. Eine von der Beschwerdeführerin gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Kantonsgericht Appenzell I.Rh. am 16. November 2021 ab.
Hiergegen erhob die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 17. Dezember 2021 Beschwerde in Zivilsachen, mit dem Antrag, den Entscheid vom 16. November 2021 aufzuheben und die Ungültigkeit der Klagebewilligung festzustellen und somit die Klage des Beschwerdegegners vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Eventualiter sei der Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde im vorliegenden Fall verzichtet.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Endentscheide, worunter solche Entscheide zu verstehen sind, die den Prozess beenden, sei es insgesamt (Art. 90 BGG), sei es hinsichtlich eines Teils der gestellten Begehren, die unabhängig von den anderen beurteilbar sind (Art. 91 lit. a BGG; vgl. BGE 146 III 254 E. 2.1 S. 256), sei es nur für einen Teil der Streitgenossen (Art. 91 lit. b BGG). Ebenfalls zulässig ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, welche die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG). Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die sofortige Beschwerde nur unter den alternativen Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG zulässig (BGE 144 III 475 E. 1 mit Hinweisen).
2.1. Beim angefochtenen Entscheid des Kantonsgerichts handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG, mit dem das vor dem Bezirksgericht hängige Verfahren weder vollständig (Art. 90 BGG) noch teilweise (Art. 91 BGG) abgeschlossen wird (vgl. dazu BGE 141 III 395 E. 2.2; 135 III 212 E. 1.2, 329 E. 1.2; 135 V 141 E. 1.1 mit Hinweis; s. auch BGE 144 III 253 E. 1.3; 143 III 290 E. 1.4).
Ein solcher Zwischenentscheid kann nur direkt mit Beschwerde beim Bundesgericht angefochten werden, wenn er entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen bildet eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (BGE 144 III 475 E. 1.2; 141 III 80 E. 1.2 S. 81; 134 III 188 E. 2.2; 133 III 629 E. 2.1). Diese Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 144 III 475 E. 1.2; 138 III 94 E. 2.2 S. 95; 135 I 261 E. 1.2; 134 III 188 E. 2.2; 133 III 629 E. 2.1; 133 IV 288 E. 3.2). Dementsprechend obliegt es der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (BGE 142 III 798 E. 2.2 S. 801; 141 III 80 E. 1.2 S. 81; 137 III 324 E. 1.1 S. 329; 134 III 426 E. 1.2 in fine; 133 III 629 E. 2.3.1 und 2.4.2).
2.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich für die Zulässigkeit ihrer Beschwerde sinngemäss auf die Bestimmung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG.
2.2.1. Die erste kumulative Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde nach dieser Bestimmung, dass das Bundesgericht, sollte es die Rechtsauffassung der Beschwerdeführerin teilen, einen verfahrensabschliessenden Endentscheid fällen könnte, ist vorliegend erfüllt. Die Beschwerdeführerin beantragt in ihrer Beschwerde u.a., es sei auf die Klage des Beschwerdegegners nicht einzutreten. Käme das Bundesgericht zum Schluss, dass die von diesem bei der Erstinstanz eingereichte Klagebewilligung ungültig ist, wäre diesem Antrag in einem Endentscheid stattzugeben.
2.2.2. Demnach ist die zweite kumulative Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG, dass mit einem Endentscheid ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden könnte, zu prüfen.
Macht der Beschwerdeführer geltend, die Voraussetzung des Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG, dass mit einem Endentscheid ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden könnte, sei erfüllt, ist zu differenzieren: Geht bereits aus dem angefochtenen Urteil oder der Natur der Sache hervor, dass ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erforderlich sein wird, darf auf lange Ausführungen verzichtet werden. Andernfalls hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzutun, welche Tatfragen offen sind und welche weitläufigen Beweiserhebungen in welchem zeit- oder kostenmässigen Umfang erforderlich sind. Zudem hat er unter Aktenhinweisen darzulegen, dass er die betreffenden Beweise im kantonalen Verfahren bereits angerufen oder entsprechende Anträge in Aussicht gestellt hat (BGE 133 IV 288 E. 3.2; 118 II 91 E. 1a S. 92 mit Hinweis; Urteile 4A_288/2021 vom 13. Juli 2021 E. 2.1; 4A_172/2011 vom 28. Juni 2011 E. 2.1).
Das Bundesgericht prüft nach freiem Ermessen, ob die Voraussetzung, dass bei einer Gutheissung der Beschwerde ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden kann, erfüllt ist (vgl. BGE 118 II 91 E. 1a S. 92; Urteile 4A_288/2021 vom 13. Juli 2021 E. 2.1; 4A_48/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1.3.3).
Die Beschwerdeführerin macht geltend, es könnte bei Gutheissung der Beschwerde ein aufwändiges, weitläufiges Beweisverfahren und damit die Entstehung von grossen Kosten verhindert werden. Der Beschwerdegegner wolle ein Arbeitszeugnis gemäss Beilage. Die Beschwerdeführerin habe mit ihm nie über das Arbeitszeugnis reden und so eine einvernehmliche Lösung finden können. Gewisse Punkte und Formulierungen im Zeugnis seien umstritten. Gerade was diese Formulierungen betreffe, wäre eine Schlichtungsverhandlung wertvoll gewesen. Um sich auf die Formulierung einigen zu können, müsse ein aufwändiges Beweisverfahren durchgeführt werden, da diverse Mitarbeiter zum Verhalten befragt werden müssten. Ferner reiche der Beschwerdegegner über 82 Beweismittel ein. Er führe aber auch 46 Zeugen an, die er allesamt für seine Rechtsbegehren befragt haben möchte. Damit könne durchaus von einem aufwändigen Beweisverfahren gesprochen werden, das nicht nötig wäre, wenn die Beschwerdeführerin die Chance hätte, sich mit dem Beschwerdegegner im Rahmen eines Schlichtungsverfahrens an den Tisch zu setzen.
Damit weist die Beschwerdeführerin bloss darauf hin, dass der Beschwerdegegner eine grosse Zahl von Beweismitteln einreiche bzw. eingereicht habe und die Befragung von 46 Zeugen verlange. Dies unter pauschalem Verweis auf die Klageschrift und ohne präzise Aktenhinweise anzubringen und ohne näher darzulegen, welcher Art diese Beweismittel sind (abgesehen von den Zeugen), zu welchen Tatfragen diese Beweismittel und Zeugen angerufen werden (abgesehen von denen betreffend das Verhalten des Beschwerdegegners im Hinblick auf das Arbeitszeugnis) und inwiefern mit deren Abnahme ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten verursacht würde. Damit vermag die Beschwerdeführerin das Vorliegen der zweiten kumulativen Voraussetzung nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG offensichtlich nicht darzutun.
Auch aus der Natur der Sache geht nicht hervor, dass im vorliegenden Prozess ein weitläufiges Beweisverfahren mit einem bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten zu erwarten wäre, der bei einer Gutheissung der vorliegenden Beschwerde erspart werden könnte.
3.
Die Beschwerde erweist sich demnach als offensichtlich unzulässig, weshalb darauf im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht einzutreten ist.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind diesem Ausgang entsprechend der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied :
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Abteilung Zivil- und Strafgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Januar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer