Sachverhalt:
A.
Der serbische Staatsangehörige B.A._ und dessen Ehefrau C.A._ verfügen über eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz. Im 1998 wurden der Sohn D.A._ und im 2001 der Sohn A.A._ in der Schweiz geboren. Die Söhne erhielten ebenfalls die Niederlassungsbewilligung. Nachdem sich im Jahr 2013 aufgrund von Abklärungen des Amts für Migration des Kantons Luzern herausgestellt hatte, dass die beiden Söhne ihre Schulzeit in Serbien absolvierten und sie dort bei ihrem Onkel lebten, sie andererseits jeweils nur die Ferien bei den Eltern in der Schweiz verbrachten, erklärte das Amt für Migration die Niederlassungsbewilligungen von D.A._ und A.A._ mit Verfügung vom 18. Juni 2013 als erloschen. Eine dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wurde vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 10. Dezember 2013 abgewiesen. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
B.
Am 17. Dezember 2013 reichten die Eltern von D.A._ und A.A._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für die beiden Söhne im Rahmen des Familiennachzugs ein. Mit Verfügung vom 6. Juni 2014 lehnte das Amt für Migration dieses Gesuch ab. Auf eine hiergegen erhobene Verwaltungsbeschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement mit Entscheid vom 12. September 2014 nicht ein. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
C.
Am 10. April 2018 stellte A.A._, handelnd durch seine Eltern, ein erneutes Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs. Dieses wurde vom Amt für Migration mit Verfügung vom 27. März 2019 abermals abgelehnt. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Beschwerdeentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 29. August 2019 sowie Urteil des Kantonsgerichts vom 3. Dezember 2020).
D.
A.A._ gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Februar 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil der Vorinstanz vom 3. Dezember 2020 sei aufzuheben und ihm sei die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen und ihm eine Aufenthaltsberechtigung für die Dauer des weiteren Verfahrens zu erteilen.
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Amt für Migration, das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Staatssekretariat für Migration haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG, Art. 90 BGG). Indessen ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen nur zulässig, wenn das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf die Bewilligung einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potentiell ein solcher Anspruch besteht (BGE 136 II 177 E. 1.1, 497 E. 3.3).
1.2. Der Beschwerdeführer, als zur Zeit der Gesuchseinreichung minderjähriger Sohn von in der Schweiz niedergelassenen Personen, macht in vertretbarer Weise einen potentiellen Bewilligungsanspruch geltend (Art. 43 Abs. 1 und Art. 47 AIG [SR 142.20; bis 31. Dezember 2018 AuG]), so dass insoweit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung. Da der Beschwerdeführer als Adressat des angefochtenen Entscheids gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Erhebung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert ist und die Beschwerde frist- und formgerecht eingereicht wurde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG), ist darauf einzutreten.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 139 II 404 E. 3). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2; 136 II 304 E. 2.5).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 BGG). Gemäss Art. 97 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts und damit auch die Beweiswürdigung gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist (Art. 9 BV) oder auf einer Rechtsverletzung beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (BGE 137 I 58 E. 4.1.2). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG); rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. BGE 145 II 322 E. 1.4; 139 II 404 E. 10.1 mit Hinweisen). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (BGE 140 I 114 E. 3.3.4).
1.5. Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges oder entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer bringt vorab vor, dass die Vorinstanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt habe, indem sie wesentliche Beweise nicht abgenommen bzw. nicht habe abnehmen lassen und seine formellen Rügen gegenüber den unteren Instanzen (Amt für Migration; Justiz- und Sicherheitsdepartement) abgewiesen habe, wobei er insbesondere den Verzicht auf seine persönliche Anhörung beanstandet. Zudem bringt er eine stattliche Anzahl weiterer Normen vor, welche die Vorinstanz im Zusammenhang mit der Gehörsverletzung ebenfalls missachtet habe. Neben verschiedenen kantonalen Verfahrensbestimmungen nennt er u.a. Art. 9 BV (Willkürverbot), Art. 13 EMRK (Anspruch auf eine wirksame Beschwerde) sowie Art. 12 KRK (Gebot der Anhörung des Kindes). Jedoch substantiiert der Beschwerdeführer diese Rügen grösstenteils nicht weiter und das Bundesgericht geht im Folgenden nur soweit darauf ein, als sie den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet sind (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.1. Unter Art. 29 Abs. 2 BV fällt das Recht der betroffenen Person, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel (BGE 127 I 54 E. 2b). Es handelt sich um ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht (vgl. BGE 138 V 125 E. 2.1; 134 I 140 E. 5.3; 127 I 54 E. 2b; 126 I 97 E. 2b) im Sinne einer verfassungsmässigen Mindestgarantie (BGE 129 II 497 E. 2.2 mit Hinweisen; zum ganzen Urteil 2C_104/2013 / 2C_105/2013 vom 27. September 2013 E. 1).
2.2. Nach der bundesgerichtlichen Praxis zur Begründungspflicht im Rahmen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV) ist es nicht erforderlich, dass die Behörde sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Sie muss wenigstens kurz die Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. BGE 141 IV 249 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Der Gehörsanspruch umfasst namentlich auch das Recht der betroffenen Person, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der angebotenen rechtserheblichen Beweismittel (vgl. BGE 133 I 270 E. 3.1). Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV schliesst jedoch kein grundsätzliches Recht auf mündliche Anhörung ein (BGE 134 I 140 E. 5.3; 130 II 425 E. 2.1; vgl. zum Ganzen Urteil 2C_909/2019 vom 7. April 2020 E. 3.2). Dem Anspruch auf rechtliches Gehör lässt sich keine allgemeine Pflicht der Behörde zur Abnahme aller angebotenen Beweise und zur Würdigung sämtlicher Argumente entnehmen. Die Abweisung eines Beweisantrags erweist sich namentlich als zulässig, falls die Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde sich ihre Meinung aufgrund zuvor erhobener Beweise bereits bilden konnte und sie ohne Willkür in vorweggenommener, antizipierter Beweiswürdigung annehmen darf, die gewonnene Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht erschüttert (BGE 144 II 427 E. 3.1.3; 141 I 60 E. 3.3; 136 I 229 E. 5.3).
Die Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen stellen Tatfragen dar (BGE 133 V 477 E. 6.1 E. 3.2; 132 V 393 E. 3.3; Urteil 2C_353/2013 vom 23. Oktober 2013 E. 3.3). Solche sind unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür zu prüfen (vorne E. 1.4).
2.3. Eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs kann ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinne einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (vgl. zum Ganzen: BGE 137 I 195 E. 2.3.2; BGE 136 V 117 E. 4.2.2.2; BGE 133 I 201 E. 2.2).
2.4. Nach dem soeben Gesagten hat das Verwaltungsgericht - wie auch die anderen Vorinstanzen - auf eine mündliche Anhörung verzichten dürfen, wenn der Beschwerdeführer seinen Standpunkt wirksam zur Geltung bringen konnte, die Vorinstanz aufgrund der schriftlichen Eingaben des Beschwerdeführers ihre Überzeugung gebildet hat und diese durch die Erkenntnisse der mündlichen Anhörung nicht geändert würde (vgl. Urteil 2C_163/2020 vom 14. Mai 2020 E. 3.5).
2.4.1. Der Beschwerdeführer ist vor dem Hintergrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur mündlichen Anhörung der Meinung, dass er seinen Standpunkt gar nicht erst habe wirksam zur Geltung bringen können, weil sowohl das Amt für Migration als auch das Justiz- und Sicherheitsdepartement verschiedene seiner Beweisanträge zu ergänzenden Berichten, Abklärungen und Zeugenbefragungen zu seiner gesundheitlichen Situation (Schwere der Depression), sowie zur Unmöglichkeit einer adäquaten Betreuung und Unterstützung in der Heimat in unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung abgewiesen hätten. Dies obschon hinreichend klare und bedeutsame Beweise bestanden hätten, welche seine Standpunkte zumindest hätten stützen und als glaubwürdig erscheinen lassen können. Eine solche Ausübung einer antizipierten Beweiswürdigung sei verfassungsrechtlich nicht haltbar.
2.4.2. Dieses Vorgehen sei durch die Vorinstanz fälschlicherweise geschützt worden und diese habe zudem selber ebenfalls verschiedene seiner Beweisanträge abgelehnt. Gestützt auf diese mangelhafte Abklärung des Sachverhalts hätten sämtliche Vorinstanzen auf eine persönliche Anhörung verzichtet, obschon eine solche geboten gewesen wäre. Bestünden nämlich Zweifel am Vorliegen wichtiger Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AIG, müsse eine mündliche Anhörung zwingend erfolgen. Nur so könne die betroffene Person sämtliche Aspekte einbringen und habe die Behörde die Möglichkeit, kritische Fragen zu stellen und sich ein persönliches Bild zu machen.
2.4.3. Weil der Anspruch, persönlich angehört zu werden, nicht generell besteht (vorne E. 2.2), obliegt es der Partei, die sich darauf beruft, darzulegen, inwiefern es unter den gegebenen Umständen entscheidend ist, dass das Gericht einen persönlichen Eindruck als solchen über die Partei gewinnen kann (BGE 142 I 188 E. 3.3).
Im vorliegenden Verfahren konnten der Beschwerdeführer und seine Eltern ihre Sicht der Dinge betreffend das Vorliegen wichtiger familiärer Gründe für einen Familiennachzug gemäss Art. 47 Abs. 4 AIG mittels ihres Rechtsvertreters ohne Weiteres umfassend in das Verfahren einbringen. Der Beschwerdeführer hat von diesen Möglichkeiten ausführlich Gebrauch gemacht, wie dies neben den umfangreichen Rechtsschriften auch die zahlreichen persönlich verfassten Schreiben, eidesstattliche Erklärungen von Familienangehörigen und Arztzeugnisse belegen. Insbesondere sein Gesundheitszustand ist gestützt auf die Arztberichte vom 26. Dezember 2018 und 22. Juli 2019 gut dokumentiert. Inwiefern er im Rahmen einer mündlichen Anhörung genauere Angaben als die ärztlichen Fachberichte hätte machen können, ist nicht ersichtlich und es werden auch keine solchen Gründe substanziiert vorgebracht. Im Weiteren haben sowohl sein Onkel als auch sein Bruder schriftliche Stellungnahmen über ihre Möglichkeiten zur Unterstützung des Beschwerdeführers in seiner Heimat eingereicht und seine persönliche Situation in der Heimat ist ausgiebig dokumentiert. Ebenso konnten die Eltern ihre Betreuungsmöglichkeiten in der Schweiz ausführlich darlegen. Vor diesem Hintergrund ist es nur schwer vorstellbar, dass die Anhörung des Beschwerdeführers durch die Vorinstanz bzw. durch eine der beiden unteren Instanzen zusätzliche neue Erkenntnisse gebracht und einen entscheidenden Einfluss auf den Verfahrensausgang gehabt hätte (vgl. Urteil 2C_909/2019 vom 7. April 2020 E. 3.4.4). Insgesamt begnügt sich der Beschwerdeführer weitgehend damit, eine persönliche Schilderung seiner Lebensumstände einzufordern. Dadurch ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern eine mündliche Befragung notwendig wäre und welche neuen Erkenntnisse gegenüber den schriftlichen Ausführungen gewonnen werden könnte.
2.4.4. Zusammenfassend ist nach dem Dargelegten festzuhalten, dass weder die Vorinstanz noch die vorgelagerten Behörden eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen haben, indem sie im Hinblick auf die Beurteilung des Gesundheitszustands des Beschwerdeführers sowie seiner gut dokumentierten Gesamtsituation auf eine persönliche Anhörung verzichtet haben. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich in dieser Hinsicht als unbegründet.
Sowohl bei der vorinstanzlichen Feststellung des Sachverhalts als auch bei der Wahrung des persönlichkeitsbezogenen Mitwirkungsrechts der Beschwerdeführer sind keine formellen Mängel und auch keine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung zu erkennen.
2.5. Eine persönliche Anhörung des Beschwerdeführers durch die Vorinstanz ist auch gestützt auf Art. 12 Abs. 2 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) nicht zwingend angezeigt. Wie soeben gesehen, konnte der Beschwerdeführer seine Interessen, die vorliegend mit denjenigen der Eltern übereinstimmen, hinreichend in das Verfahren einbringen (BGE 147 I 149 E. 3.2 f.; Urteil 2C_356/2014 vom 27. August 2014 E. 4.1). Unter diesen Umständen muss auch nicht beantwortet werden, ob sich der Beschwerdeführer nach seiner Volljährigkeit überhaupt noch auf diese Konvention berufen kann.
2.6. Die zahlreichen weiteren Rügen des Beschwerdeführers betreffend der Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör stehen im Zusammenhang mit der durch die Vorinstanz, dem Amt für Migration und der Justiz- und Sicherheitsdirektion vorgenommenen antizipierten Beweiswürdigung. Diese sollen verschiedene seiner Beweisanträge nicht berücksichtigt bzw. deren Ablehnung nicht ausreichend begründet haben. Die Vorinstanz habe ebenfalls Gehörsverletzungen begangen, indem sie die Vorgehensweise der vorgelagerten Behörden pauschal schützte oder auf seine Rügen gar nicht erst eingegangen sei, womit sich der angefochtene Entscheid diesbezüglich auch als mangelhaft begründet erweise.
2.6.1. Diesen Rügen des Beschwerdeführers ist einerseits gemeinsam, dass sie kaum ausreichend substantiiert sind. Dazu müsste die Beschwerdeschrift selbst die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind. Rügen werden durch das Bundesgericht nur insofern geprüft, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht, begründet und soweit möglich belegt worden sind (BGE 133 III 545 E. 2.2; NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2. Aufl. 2015, N. 15 zu Art. 106 BGG). Der Beschwerdeführer begnügt sich mit der allgemeinen Erwähnung der Verletzung des rechtlichen Gehörs in Zusammenhang mit pauschalen Verweisen auf verschiedene Ziffern in seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde an die Vorinstanz, welche teilweise wiederum auf die Verwaltungsbeschwerde vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement weiterverweisen. Er unterlässt es jedoch, die Rügen in nachvollziehbarer Weise zu umschreiben, welche die Vorinstanz angeblich nicht gehört habe, und auszuführen, weshalb die anbegehrten Beweismassnahmen zu hören gewesen wären.
Andererseits stehen die Beanstandungen - soweit ersichtlich - in Zusammenhang mit der antizipierten Beweiswürdigung betreffend des Verzichts auf die persönliche Anhörung des Beschwerdeführers, welche wie soeben gesehen (vorne E. 2.6), in zulässiger Weise erfolgte. Sämtliche Vorinstanzen haben die notwendigen Beweise abgenommen und es wurde dem Beschwerdeführer durchwegs zugestanden, seine Sicht der Dinge in umfassender Weise in das Verfahren einzubringen. Dadurch wurde sein Anspruch auf rechtliches Gehör gewahrt; dass die verschiedenen Vorinstanzen dabei nicht die selben Schlüsse gezogen haben wie er, vermag wiederum keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung zu belegen (vorne E. 1.5).
2.6.2. Im Weiteren trifft der Vorwurf des Beschwerdeführers nicht zu, die Vorinstanz 2 habe keine Verhältnismässigkeitsprüfung gemäss Art. 8 EMRK vorgenommen, sondern nur Art. 47 Abs. 1 AIG berücksichtigt und seine diesbezügliche Rüge sei durch die Vorinstanz einfach ignoriert worden. Der Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements behandelt auch die Voraussetzungen von Art. 8 EMRK und darüber hinaus wäre ein diesbezüglicher Mangel durch die Vorinstanz geheilt worden (vorne E. 2.4), welche ebenfalls eine umfassende Interessenabwägung vorgenommen hat - auch wenn sie nicht zu Gunsten des Beschwerdeführers ausgefallen ist.
2.6.3. Ebenso unzutreffend ist schliesslich der Vorwurf, dass die Vorinstanz fälschlicherweise davon ausgegangen sei, der Beschwerdeführer könne durch seinen Bruder betreut werden. Vielmehr hat sie im angefochtenen Entscheid festgehalten, der Bruder könne den Beschwerdeführer unterstützen, in welcher Art auch immer (zur notwendigen Betreuung des Beschwerdeführers siehe hinten E. 3.5).
2.7. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich insgesamt als unbegründet. Ob die Vorinstanz die entsprechenden Interessen und Sachverhaltsumstände zutreffend gewertet hat, ist keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern bildet Thema der rechtlichen Beurteilung.
3.
3.1. Ein Anspruch auf Familiennachzug gestützt auf Art. 8 EMRK besteht vorliegend nicht, da der Beschwerdeführer inzwischen volljährig ist (vgl. BGE 145 I 227) und kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis geltend gemacht wird. Ein solches ist gemäss bundesgerichtlicher Praxis nicht leichthin anzunehmen und kann sich aus Betreuungs- oder Pflegebedürfnissen bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten ergeben. Allein das Vorliegen eines Pflege- und Betreuungsbedürfnisses genügt nicht; erforderlich ist zusätzlich, dass die betreffende Pflege- und Betreuungsleistung unabdingbar von den in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Angehörigen erbracht werden muss (vgl. Urteil 2C_757/2019 vom 21. April 2020 E. 2.2.1 mit Hinweisen).
Den Behörden kann auch keine Rechtsverzögerung vorgeworfen werden, die ausnahmsweise trotz inzwischen eingetretener Volljährigkeit die Berufung auf Art. 8 EMRK zuliesse (vgl. Urteil 2C_325/2019 vom 3. Februar 2020 E. 2.2).
3.2. Ein grundsätzlicher Anspruch auf Familiennachzug ergibt sich hingegen aus Art. 43 AIG: Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben unter den in Art. 43 Abs. 1-3 AIG genannten Voraussetzungen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Für die Altersgrenze von 18 Jahren ist der Zeitpunkt der Gesuchseinreichung massgebend (BGE 136 II 497 E. 3). Hier wurde das Gesuch am 10. April 2018 eingereicht, also zu einem Zeitpunkt, als der Beschwerdeführer noch nicht 18-jährig war. Ein Anspruch nach Art. 43 AIG kommt somit in Betracht (vgl. Urteil 2C_347/2020 vom 5. August 2020 E. 3.2).
3.3. Hinsichtlich der Fristen gelten die Regelungen von Art. 47 AIG. Unbestritten ist vorliegend, dass die fünfjährige Nachzugsfrist von Art. 47 Abs. 1 AIG zum Zeitpunkt des für den Beschwerdeführer gestellten Familiennachzugsgesuchs bereits abgelaufen war. Bei einem Familiennachzug ausserhalb der in Art. 47 Abs. 1 AIG angegebenen Fristen müssen wichtige familiäre Gründe bestehen, damit dem Gesuch entsprochen werden kann (Art. 47 Abs. 4 AIG). Solche liegen vor, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei nicht ausschliesslich auf das Kindswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall (Urteile 2C_909/2019 vom 7. April 2020 E. 4.1 und 4.2; 2C_943/2018 vom 22. Januar 2020 E. 3.2; 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2.1).
Dabei ist dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, welche die Integration der Kinder erleichtern will, indem diese durch einen frühzeitigen Nachzug unter anderem auch eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen sollen. Zudem geht es darum, Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbsfähigen Alters gestellt werden und bei denen die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (Botschaft zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer vom 8. März 2002, BBl 2002 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AIG (bzw. Art. 75 VZAE) praxisgemäss jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird (Urteile 2C_943/2018 vom 22. Januar 2020 E. 3.2; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.1).
3.4. Das Bundesgericht geht mit seiner Praxis davon aus, dass eine Familie, die freiwillig jahrelang getrennt gelebt hat, dadurch ihr beschränktes Interesse an einem ortsgebundenen (gemeinsamen) Familienleben zum Ausdruck bringt. In einer solchen Konstellation, in der die familiären Beziehungen während Jahren über die Grenzen hinweg besuchsweise und über die modernen Kommunikationsmittel gelebt werden, überwiegt regelmässig das der ratio legis von Art. 47 Abs. 4 AIG zugrunde liegende legitime Interesse an der Einwanderungsbeschränkung, solange nicht objektive, nachvollziehbare Gründe, welche von den Betroffenen zu bezeichnen und zu rechtfertigen sind, etwas anderes nahelegen (Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2.2; 2C_348/2016 vom 17. März 2017 E. 2.3; 2C_914/2014 vom 18. Mai 2015 E. 4.1).
3.5. Gemäss verbindlicher Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz wohnte der Beschwerdeführer seit seiner Einschulung bei seinem Onkel in Serbien, bis sich dieser krankheitsbedingt ab Ende 2017 nicht weiter um ihn kümmern konnte. Seither lebt der Beschwerdeführer alleine und erkrankte Anfang 2018 an einer aus dieser Betreuungssituation resultierenden Depression.
Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei aufgrund seines Charakters, der Psyche und weiterer Umstände nicht oder noch nicht in der Lage, auf eigenen Füssen zu stehen. Durch den Wegfall des Onkels sei er zwischen Stuhl und Bank gefallen. Sein Bruder lebe mittlerweile ein eigenes Leben und sei nicht bereit, ihn aufzunehmen und zu unterstützen. Insgesamt bestünden aufgrund seiner unklaren und nicht gesicherten Betreuungssituation in der Heimat sowie seines schlechten Gesundheitszustands wichtige familiäre Gründe, welche seinen Nachzug auch ausserhalb der Fristen gemäss Art. 47 Abs. 1 AIG rechtfertigen würden.
3.5.1. Ein solch wichtiger familiärer Grund liegt beispielsweise vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle Alternative in der Heimat gefunden werden kann. Für den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland bestehen gemäss Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm in der Schweiz drohen (vgl. BGE 137 I 284 E. 2.2 und E. 2.3.1 i.f.; Urteile 2C_555/2019 vom 12. November 2019 E. 6.1; 2C_550/2018 vom 21. Dezember 2018 E. 2.2). Es obliegt im Rahmen ihrer Mitwirkungspflichten der nachzugswilligen Person, die entsprechenden Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (vgl. Art. 90 AIG; Urteil 2C_917/2019 vom 25. März 2020 E. 5.1.2 mit Hinweisen).
3.5.2. Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit dem Familiennachzug bereits früher festgehalten, dass mit zunehmenden Alter der Kinder die gebotene Betreuungsintensität abnimmt (ausführlich dazu Urteil 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.3.2 und 5.3.3). Der Beschwerdeführer war im Zeitpunkt der Gesuchstellung noch neun Monate vom Mündigkeitsalter entfernt. Bei dieser Sachlage erschöpft sich das Kindeswohl darin, dass die Eltern dem Kind mit Rat und Tat zur Seite stehen, wenn es erforderlich ist. Diese Unterstützung kann problemlos aus dem Ausland oder durch Besuche gewährleistet werden. Eine Betreuung im Sinn von Überwachung ist in diesem Alter nicht mehr nötig (vgl. Urteil 2C_146/2017 vom 25. Januar 2018 E. 4.4.3). Wie die Vorinstanz in verbindlicher Weise festgestellt hat (vorne E. 1.4), ist die diagnostizierte Depression des Beschwerdeführers wiederum nicht dergestalt, dass er sein Leben gar nicht mehr selber meistern könnte: Trotz seiner gesundheitlichen Probleme war es ihm möglich seine Schul- wie auch erste Berufsbildung als Automechaniker im Jahr 2018 erfolgreich und mit gutem Zeugnis abzuschliessen. Ebenso besuchte er vom 1. Februar 2017 bis am 1. April 2018 an einer Sprachschule eine wöchentliche, vierstündige Vorlesung zur Verbesserung seiner Deutschkenntnisse und schloss diese am 10. Mai 2018 erfolgreich mit dem A2-Zertifikat ab.
3.5.3. Es liegen keine Hinweise vor, dass der Beschwerdeführer seine persönlichen Angelegenheiten nur noch mit intensiver Unterstützung Dritter bzw. seiner Eltern bewältigen könnte, auch wenn sich seine gesundheitliche Situation verschlechtert hat. Es bestehen in dieser Hinsicht keine wichtigen familiären Gründe gemäss Art. 47 Abs. 4 AIG, welche einen Nachzug in die Schweiz gebieten würden. Seine Situation präsentiert sich ähnlich wie bei vielen anderen Jugendlichen, die an der Schwelle zum Erwachsenenleben stehen und mit Orientierungslosigkeiten zu kämpfen haben. Auch wenn seine Eltern nicht dauernd vor Ort sein können, ist es ihnen trotzdem möglich, ihrem Sohn mit dem notwendigen Rat und Tat beiseite zu stehen; sei dies mittels moderner Kommunikationsmittel oder auch einem temporären Aufenthalt in der Heimat selbst. So war es einem Elternteil beispielsweise möglich, den Beschwerdeführer bei einem der Arzttermine zu begleiten. Mittels der bestehenden Betreuungssituation ist er ebenfalls in der Lage, die vorhandenen medizinischen Betreuungsangebote in Serbien in Anspruch zu nehmen.
3.5.4. Darüber hinaus wurde die Trennung von den Eltern im Kindesalter bewusst herbeigeführt, um den Beschwerdeführer in seinem Heimatland und nicht in der Schweiz zu sozialisieren. Seit Beginn seiner Schulzeit verbringt der Beschwerdeführer einen Grossteil seiner Zeit in Serbien und ist dementsprechend zum grossen Teil in seiner Heimat sozialisiert worden. Mit Blick auf das Kindswohl wäre der Beschwerdeführer bei seiner Integration - trotz seiner behaupteten regelmässigen Aufenthalte in der Schweiz während seinen Schulferien - aufgrund seiner nicht übermässigen Kenntnisse der deutschen Sprache (2. von 6 möglichen Stufen) mit gewissen Problemen konfrontiert. Ohnehin steht aufgrund seines Alters (mittlerweile ist er bereits 20 Jahre alt) nicht mehr die Zusammenführung der (Teil-) Familie im Vordergrund.
Insgesamt sind die bestehenden Betreuungsmöglichkeiten in Serbien angesichts des Alters des Beschwerdeführers zur Wahrung des Kindswohls ausreichend. Jedenfalls sind keine Gründe ersichtlich, weshalb das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz gewahrt werden könnte (vgl. Art. 75 VZAE).
3.6. Der weitere Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe sich nicht ausreichend mit Art. 8 EMRK auseinandergesetzt, läuft ins Leere. Einerseits kann er sich nur sehr beschränkt auf den Schutz des Familienlebens berufen (vorne E. 3.1) und andererseits hat die Vorinstanz die massgebliche bundesgerichtliche Praxis zu Art. 47 Abs. 4 AIG, welche die relevanten Aspekte von Art. 8 EMRK mitberücksichtigt, in zutreffender Weise wiedergegeben und angewendet.
Aus den allgemeinen Ausführungen des Beschwerdeführers zu den rechtlichen Grundlagen des Kindswohls gestützt auf die UN-Kinderrechtskonvention ergeben sich keine Aspekte, die nicht bereits in der aktuellen bundesgerichtlichen Rechtsprechung Berücksichtigung finden. Die Vorinstanz hat diese in zutreffender Weise wiedergegeben.
3.7. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Verweigerung des Familiennachzugs durch die Vorinstanz rechtmässig ist.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mösching