Faits :
A.
A.a. A._ travaillait comme maçon pour B._, entreprise de bâtiments, et était assuré auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA) contre le risque d'accidents. Le 31 octobre 2013, il a glissé et est tombé sur un talus d'une hauteur d'environ un mètre avec réception sur son épaule gauche. Le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a retenu dans son rapport médical du 28 novembre 2013 une rupture transfixiante du tendon du sous-scapulaire, une lésion partielle intra-articulaire du tendon du sus-épineux ainsi qu'une luxation antérieure du long chef du biceps (ci-après: LCB) de l'épaule gauche. La CNA a pris en charge le cas. Le 20 janvier 2014, A._ a subi une intervention chirurgicale à l'épaule gauche, consistant en une arthroscopie, une suture du tendon du sous-scapulaire, une ténodèse du LCB ainsi qu'une mobilisation sous anesthésie. Le 2 juin 2014, il a repris son activité de maçon à 100 % avec un rendement limité à 50 %. En raison de la persistance des douleurs, l'assuré a séjourné à la Clinique romande de réadaptation (ci-après: CRR) du 31 mars au 5 mai 2015. A la suite de ce séjour, la situation médicale a été considérée comme stabilisée et les limitations fonctionnelles ont été fixées comme suit: pas d'activités nécessitant le maintien des membres supérieurs au-delà du plan des épaules et pas de port de charges supérieures à 10-15 kg.
Ensuite d'un examen médical du 18 août 2016, le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que, sur le plan médical, la situation pouvait être considérée comme stabilisée. Sur le plan professionnel, la mise en valeur d'une capacité de travail dans l'activité de maçon n'était plus exigible. En revanche, l'assuré avait une pleine capacité de travail dans une activité adaptée n'exigeant pas de sollicitation du membre supérieur gauche (côté non dominant) au-dessus de l'horizontale ni le port répété de charges de plus de 15 kg. Ce médecin a par ailleurs fixé le taux de l'atteinte à l'intégrité de l'assuré à 10 %.
A.b. L'office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), auquel A._ s'était annoncé le 11 février 2015, lui a octroyé un reclassement professionnel. Entre le 1er août et le 31 octobre 2016, l'assuré a effectué un stage en tant que chauffeur-livreur auprès de l'entreprise E._ Sàrl. Ce stage a abouti à un contrat de travail de durée indéterminée pour un taux de 50 % dès le 1er novembre 2016. L'assuré a été licencié de cet emploi au 31 mai 2018.
A.c. Une imagerie par résonance magnétique (IRM) du 20 mars 2018 a mis en évidence une tendinopathie de la coiffe des rotateurs. La doctoresse F._, médecin praticien et médecin d'arrondissement de la CNA, a nié toute aggravation objective de l'état de santé de l'assuré depuis l'examen médical final du 18 août 2016 et a confirmé que la capacité de travail restait entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites lors de cet examen.
A.d. Par décision du 27 décembre 2018, confirmée sur opposition le 13 juin 2019, la CNA a accordé à l'assuré une rente d'invalidité de 15 % à partir du 1er mai 2017 et une indemnité pour atteinte à l'intégrité sur la base d'un taux de 10 %.
A.e. Par décision du 18 avril 2019, l'office AI a nié le droit à une rente d'invalidité de l'assuré en retenant un degré d'invalidité de 20 %.
B.
B.a. A._ a déféré la décision sur opposition de la CNA du 13 juin 2019 (cf. let A.d supra) à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Celle-ci a rejeté le recours par arrêt du 20 août 2020.
B.b. Par arrêt du même jour, cette même juridiction a également rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision de l'office AI du 19 avril 2019 (cf. let. A.e supra).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre l'arrêt rendu en matière d'assurance-accidents. Il conclut à sa réforme en ce sens qu'une expertise orthopédique permettant de déterminer sa capacité résiduelle de travail soit mise en oeuvre; subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
La CNA conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
D.
Par arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral a rejeté le recours dirigé contre l'arrêt rendu le 20 août 2020 en matière d'assurance-invalidité (affaire 8C_616/2020; cf. let. B.b supra).
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si le Tribunal cantonal a violé le droit fédéral en confirmant la décision sur opposition du 13 juin 2019, par laquelle l'intimée a alloué au recourant une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 15 % et une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %. Est litigieuse en particulier la question de savoir si la cour cantonale aurait dû procéder à des investigations supplémentaires concernant l'état de santé du recourant, voire sa capacité résiduelle de travail.
2.2. Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
3.
3.1. L'arrêt attaqué expose correctement les dispositions légales régissant le droit aux prestations de l'assurance-accidents, notamment à une rente d'invalidité (art. 18 al. 1, art. 19 al. 1 LAA), ainsi que la jurisprudence en matière d'appréciation de rapports médicaux (ATF 134 V 231 consid. 5.1; 125 V 351 consid. 3a) et d'appréciation anticipée des preuves (ATF 144 II 427 consid. 3.1.3; 130 II 425 consid. 2.1 et les références). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. On rappellera cependant que le juge ne peut pas écarter un rapport médical au seul motif qu'il est établi par le médecin interne d'un assureur social, respectivement par le médecin traitant (ou l'expert privé) de la personne assurée, sans examiner autrement sa valeur probante. Lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes même minimes quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation, la cause ne saurait être tranchée en se fondant sur l'un ou sur l'autre de ces avis et il y a lieu de mettre en oeuvre une expertise par un médecin indépendant selon la procédure de l'art. 44 LPGA ou une expertise judiciaire (ATF 139 V 225 consid. 5.2; 135 V 465 consid. 4.7).
4.
4.1. Les juges cantonaux ont exposé qu'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée avait été retenue une première fois après un séjour à la CRR par les docteurs G._, spécialiste en médecine physique et réadaptation FMH, et H._, médecin-assistant. Dans leur rapport du 20 mai 2015, ces médecins avaient notamment retenu que les limitations fonctionnelles du recourant consistaient en l'impossibilité d'exercer des activités nécessitant le maintien des membres supérieurs au-delà du plan des épaules ainsi que le port répété de charges supérieures à 10-15 kilos. Cette position avait été confirmée respectivement par le docteur D._ à l'occasion de l'examen médical final réalisé le 18 août 2016, par la doctoresse F._ le 5 juillet 2018 et finalement par la doctoresse I._, spécialiste en chirurgie générale et traumatologie et médecin au sein de la Division de médecine des assurances de l'intimée, dans son appréciation du 22 janvier 2020.
La cour cantonale a considéré que les conclusions de ce rapport d'évaluation réalisé par les médecins de la CRR pouvaient être suivies. Il abordait de manière circonstanciée les différents points litigieux du cas d'espèce et se fondait sur un examen complet de la situation médicale du recourant, prenant notamment en compte les plaintes de l'intéressé concernant les douleurs ressenties au niveau du membre supérieur gauche. Le recourant s'était soumis à une évaluation de ses capacités fonctionnelles. Le score réalisé de 100 points traduisait l'appréciation de l'intéressé de pouvoir réaliser des activités à un niveau d'effort sédentaire ou essentiellement assis. Des tests de charges avaient également été effectués afin de déterminer avec précision l'étendue des limitations fonctionnelles du recourant. Les conclusions qui en résultaient étaient claires, détaillées et emportaient la conviction. Ainsi, et dans la mesure où l'épaule gauche n'était pas l'épaule dominante, une capacité de travail entière dans une activité adaptée apparaissait pleinement envisageable. Par ailleurs, l'examen final réalisé par le docteur D._ apparaissait également convaincant, dans la mesure où il se fondait sur l'entier du dossier, prenait en compte les plaintes de l'assuré et protocolait de manière chiffrée les capacités résiduelles de l'épaule gauche du recourant.
Les juges cantonaux ont estimé que même si le rapport de la CRR datait de 2015, les éléments développés dans les avis médicaux présentés par le recourant (des docteurs J._ du 3 juillet 2018, K._ et L._ du 4 février 2019 et M._ du 4 septembre 2019) n'étaient pas propres à mettre en doute les conclusions des médecins de la CRR et ne laissaient pas entrevoir une évolution significative de l'état de santé du recourant. Au surplus, les premiers juges ont observé que les conclusions des médecins de la CRR s'inscrivaient dans la continuité des constatations du docteur C._. Par conséquent, la situation médicale apparaissait claire dès le début de l'instruction, aucun élément ne laissant présumer une péjoration significative de l'état de santé du recourant. Les conclusions des médecins de la CRR conservaient ainsi toute leur pertinence.
4.2. Les juges cantonaux ont également écarté les arguments du recourant relatifs à son licenciement respectivement à son engagement comme chauffeur-livreur à 50 %. Ils ont constaté que la résiliation du contrat de travail n'avait pas été motivée par les limitations fonctionnelles du recourant, mais que l'employeur avait indiqué le motif de la résiliation, soit des raisons économiques liées à la perte d'une tournée journalière, et qu'il n'y avait aucune raison d'en douter. De plus, le recourant avait été engagé à 50 % non pas en raison d'une capacité de travail limitée, mais parce que ce poste avait été proposé à taux partiel. Par rapport à l'incapacité de travail de 50 % intervenue pendant les derniers mois de son engagement, l'intimée avait relevé à juste titre que l'activité de chauffeur-livreur n'était pas parfaitement adaptée aux limitations fonctionnelles du recourant, dans la mesure où elle comprenait le port de charges relativement importantes.
4.3. Les premiers juges ont ainsi conclu que l'intimée avait été fondée à retenir une incapacité de travail totale du recourant dans son activité habituelle et une capacité de travail entière dans une activité adaptée. Par une appréciation anticipée de preuves, ils sont en outre arrivés à la conclusion que le dossier était complet et leur permettait de statuer, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de donner suite aux réquisitions du recourant tendant à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise médicale.
5.
5.1. Le recourant soutient que la situation aurait évolué depuis 2015 et que plusieurs éléments figurant au dossier démontreraient qu'il ne serait plus en mesure de travailler à 100 %. La cour cantonale aurait constaté les faits d'une manière erronée, et même arbitraire, en écartant sans justification des éléments médicaux déterminants et en tirant des conclusions insoutenables des éléments recueillis. Elle aurait en outre ignoré la jurisprudence relative à la valeur probante d'une appréciation d'un médecin interne d'un assureur social (cf. ATF 134 V 465 consid. 4.7 et supra, consid. 3.2) en refusant de mettre en oeuvre une expertise judiciaire.
5.2. Les arguments avancés par le recourant ne sont pas pertinents, pour les motifs exposés ci-après.
5.2.1. Le docteur J._ atteste dans son rapport du 3 juillet 2018 un arrêt de travail de 50 % sur 100 % sur la seule base des plaintes du recourant. Or les juges cantonaux ont relevé à juste titre que ce praticien ne distinguait pas les implications concrètes de la symptomatologie douloureuse sur la capacité de travail et n'indiquait pas de nouvelles limitations fonctionnelles. Ils ont rajouté que ce rapport était valablement remis en cause par l'appréciation du 5 juillet 2018 de la doctoresse F._, médecin praticien et médecin d'arrondissement de la CNA. Contrairement à ce que soutient le recourant, les premiers juges n'ont pas accordé une pleine valeur probante à cette appréciation. Cependant, ils pouvaient, sans s'exposer à la critique, en retenir la constatation essentielle que les amplitudes en flexion et abduction étaient meilleures que lors de l'examen réalisé par le docteur D._ (en 2016), laissant ainsi entrevoir une aggravation uniquement subjective et non objective de la situation médicale, la doctoresse F._ ayant en outre observé que l'activité de chauffeur-livreur n'était pas habituellement une activité parfaitement adaptée. En procédant ainsi, les juges cantonaux n'ont rien fait d'autre que d'apprécier librement les preuves médicales (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a).
5.2.2. La cour cantonale a ensuite retenu que le rapport du 4 février 2019 établi par les docteurs K._ et L._ se contentait de relater la persistance de la symptomatologie douloureuse à l'épaule gauche et que ces médecins s'abstenaient de se prononcer sur la capacité de travail du recourant, en confirmant au surplus les limitations fonctionnelles à l'épaule gauche. En effet, ces deux médecins admettent une capacité de travail résiduelle si aucune force n'est utilisée au niveau du bras gauche, mais ils déclarent ne pas pouvoir se prononcer sur le taux de cette capacité et proposent d'adresser la question au médecin-conseil de la CRR si besoin est. Le recourant ne peut donc pas être suivi quand il prétend qu'ils partageraient l'avis du docteur J._ par rapport à la capacité de travail réduite à 50 %.
5.2.3. Concernant le rapport du docteur M._ du 4 septembre 2019, le recourant fait référence aux critères de l'ATF 125 V 351 relatifs à la valeur probante des rapports médicaux. Il soutient qu'en l'espèce, ce rapport comporte une brève anamnèse indiquant le nombre de fois où ce praticien avait vu le recourant, explique également les plaintes de ce dernier, pose plusieurs diagnostics reconnus (amyotrophie importante du muscle sous-scapulaire avec une infiltration graisseuse avancée grade II à III avec ancres métalliques, déchirure intra-substance du tendon du muscle supra-épineux, bursite sous-acromio-deltoïdienne) et discute du contexte médical. Ce serait donc arbitrairement que le tribunal cantonal a écarté ce rapport, d'autant plus qu'il s'agissait à nouveau de se déterminer sur la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise. Ce rapport ne précise cependant pas quelles seraient les limitations empêchant le recourant de travailler à plus de 50 % dans une activité adaptée, comme la Cour cantonale l'a relevé à juste titre. Il ne contient pas d'éléments propres à mettre en doute les conclusions des médecins de la CRR et de l'assurance. Le fait que la doctoresse I._ ne confirme pas certains des diagnostics posés par le docteur M._ ne change rien à ce résultat.
5.2.4. Par rapport à son engagement comme chauffeur-livreur et la résiliation subséquente de ce contrat de travail, le recourant se contente de répéter ses allégations avancées en procédure cantonale, sans critiquer l'arrêt cantonal ni démontrer en quoi les constatations de la cour cantonale seraient erronées, de sorte qu'il suffit de renvoyer aux considérations pertinentes de l'arrêt attaqué (cf. supra consid. 4.2).
5.2.5. Il s'ensuit que les premiers juges pouvaient retenir sans violer le droit fédéral qu'ils étaient suffisamment renseignés sur la base des pièces figurant au dossier et renoncer à mettre en oeuvre des mesures complémentaires d'instruction.
6.
Il résulte de ce qui précède que l'arrêt attaqué n'est pas critiquable et que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 15 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Betschart