Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1965, meldete sich am 20. Mai 2010 unter Hinweis auf Depressionen sowie Herz- und Lungenprobleme bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum Leistungsbezug an. Nachdem er ab 1. August 2011 eine seiner gesundheitlichen Situation angemessene Stelle gefunden hatte, stellte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen am 2. November 2011 fest, dass er rentenausschliessend eingegliedert sei und schloss den Fall ab.
A.b. Am 4. Dezember 2012 meldete sich A._ bei der aufgrund eines Wohnsitzwechsels nunmehr zuständigen IV-Stelle des Kantons Zürich erneut zum Leistungsbezug an. Diese verneinte mit Verfügung vom 12. August 2016 einen Leistungsanspruch, weil das psychische Leiden des Versicherten therapierbar und damit invalidenversicherungsrechtlich nicht relevant sei. Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. September 2017 ab. Dagegen führte der Versicherte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Im Urteil 8C_876/2017 vom 15. Mai 2018 erwog das Bundesgericht, dass gemäss der mit BGE 143 V 409 und 418 geänderten Rechtsprechung sämtliche psychischen Leiden, namentlich auch leichte bis mittelschwere Depressionen einem strukturierten Beweisverfahren gemäss BGE 141 V 281 zu unterziehen seien. Ein solches habe hier noch nicht stattgefunden. Daher hiess es die Beschwerde teilweise gut, hob den Entscheid vom 28. September 2017 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Sozialversicherungsgericht zurück.
B.
Mit Entscheid vom 29. Juni 2018 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde wiederum ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragt, ihm sei in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Verfügung der IV-Stelle vom 12. August 2016 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % mit Wirkung ab 1. Juli 2013 bis 31. Mai 2016 eine ganze Rente zuzusprechen. Sodann sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie den Invaliditätsgrad ab 1. Juni 2016 ermittle und neu verfüge. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers reichte am 8. Februar 2019 eine Honorarnote ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Als Rechtsfrage gilt, ob der in rechtlicher Hinsicht (oder zur Beurteilung der strittigen Ansprüche) massgebliche Sachverhalt vollständig festgestellt wurde. Rechtsfrage ist sodann die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (vgl. BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit sowie bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (Urteil 8C_590/2015 vom 24. November 2015 E. 1, nicht publ. in BGE 141 V 585; BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397). Ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der Indikatoren nach BGE 141 V 281 auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen, ist wiederum eine frei überprüfbare Rechtsfrage (BGE 141 V 281 E. 7 S. 308; Urteil 8C_181/2018 vom 7. August 2018 E. 1).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es einen Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Rente der Invalidenversicherung verneinte.
2.2. Die Vorinstanz legte die massgeblichen Rechtsgrundlagen zutreffend dar, worauf verwiesen werden kann. Dies betrifft sowohl die Grundsätze betreffend den Leistungsanspruch, die Invaliditätsbemessung sowie den Beweiswert ärztlicher Berichte als auch die mit BGE 143 V 209 und 143 V 418 geänderte Rechtsprechung, wonach sämtliche psychischen Erkrankungen, namentlich auch depressive Störungen leicht- bis mittelgradiger Natur, grundsätzlich einem strukturierten Beweisverfahren nach BGE 141 V 281 zu unterziehen seien und eine invalidenversicherungsrechtlich relevante psychische Gesundheitsschädigung nicht mehr allein mit dem Argument der fehlenden Therapierbarkeit auszuschliessen sei. Zutreffend ist auch der Hinweis, dass gemäss früherem Verfahrensstandard eingeholte Gutachten nicht per se ihren Beweiswert verlieren. Vielmehr ist im Rahmen einer gesamthaften Prüfung des Einzelfalls mit seinen spezifischen Gegebenheiten und den erhobenen Rügen entscheidend, ob ein abschliessendes Abstellen auf die vorhandenen Beweisgrundlagen vor Bundesrecht standhält. In sinngemässer Anwendung auf die materiell-beweisrechtlich geänderten Anforderungen ist in jedem einzelnen Fall zu prüfen, ob die beigezogenen administrativen und/oder gerichtlichen Sachverständigengutachten - gegebenenfalls im Kontext mit weiteren fachärztlichen Berichten - eine schlüssige Beurteilung im Lichte der massgebenden Indikatoren erlauben oder nicht. Je nach Abklärungstiefe und -dichte kann zudem unter Umständen eine punktuelle Ergänzung genügen (BGE 141 V 281 E. 8 S. 309).
3.
3.1. Wie die Vorinstanz zutreffend festhielt, sind sich alle involvierten Ärzte darin einig, dass eine depressive Symptomatik die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers einschränke, wobei das Ausmass der Depression im Verlauf phasenweise als schwer, mittelgradig und zuletzt als leicht bis mittelgradig bezeichnet wurde. Zudem attestierten sowohl die behandelnden als auch die begutachtenden Ärzte dem Versicherten aufgrund der depressiven Störung eine mindestens eingeschränkte, wenn nicht gar ganz aufgehobene Arbeitsfähigkeit im angestammten Beruf als Lehrer. Soweit sie sich dazu äusserten, gingen sie auch in angepassten Tätigkeiten nicht von einer vollen Arbeitsfähigkeit aus, sondern legten diese auf 50 % bzw. 60 % fest.
3.2. Angesichts der Diagnose der depressiven Störung und der Anordnung im Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts vom 15. Mai 2018 nahm die Vorinstanz eine Prüfung der Standardindikatoren vor. Diese führte sie zum Ergebnis, dass ein erheblicher funktioneller Schweregrad des Leidens im Verfügungszeitpunkt zu verneinen sei. In Gesamtschau aller Indikatoren sei aus der psychischen Symptomatik aus rechtlicher Sicht und entgegen der Einschätzung der begutachtenden Mediziner nicht auf einen Gesundheitsschaden zu schliessen, der es dem Beschwerdeführer verunmögliche, seine Arbeitsfähigkeit vollzeitig zu verwerten. In antizipierter Beweiswürdigung sei auf weitere Beweismassnahmen zu verzichten. Sodann untersuchte das kantonale Gericht, wie sich die Arbeitsfähigkeit im zeitlichen Verlauf entwickelt hatte, wobei es sich mit Blick auf den frühest möglichen Rentenanspruch (sechs Monate seit Geltendmachung des Leistungsanspruch; Art. 29 Abs. 1 IVG) auf die medizinischen Berichte ab Juni 2013 stützte. Es kam zum Schluss, dass in psychiatrischer Hinsicht zwar unterschiedliche Arbeitsunfähigkeiten bescheinigt worden seien. Allerdings hätten sich die psychischen Verhältnisse im Verlauf ab Mai 2013 bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung nicht derart verändert, dass die Frage der invalidisierenden Wirkung des Gesundheitsschadens im Zeitablauf unterschiedlich zu beurteilen wäre. Insbesondere sei nicht belegt, dass eine allfällige vorübergehende Verschlechterung angehalten hätte.
3.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz im Wesentlichen eine rechtsfehlerhafte Indikatorenprüfung vor. Sie habe den Sachverhalt in willkürlicher Weise unvollständig ermittelt, nicht das gesamte relevante Beweismaterial gewürdigt und damit den Untersuchungsgrundsatz sowie die Beweiswürdigungsregeln verletzt. Aus den medizinischen Akten ergebe sich vielmehr, dass er an einer langjährigen psychischen Krankheit leide, die ihm nach Ablauf des Wartejahres ab 1. Juli 2013 Anspruch auf eine ganze Rente gebe. Gestützt auf das Gutachten der Psychiatrie B._ vom 7. März 2016 sei ab März 2016 von einer 50%igen Arbeitsfähigkeit in Verweisungstätigkeiten auszugehen, während er in der angestammten Tätigkeit als Primarlehrer nicht mehr arbeitsfähig sei. Daher sei die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit sie die Verweisungstätigkeiten konkretisiere und einen Einkommensvergleich vornehme.
4.
4.1.
4.1.1. In der Kategorie "funktioneller Schweregrad" (BGE 141 V 281 E. 4.3.1 S. 298 f.) verwies die Vorinstanz zum Komplex "Gesundheitsschädigung" auf das Gutachten des Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 20. Juli 2015. Daraus gehe hervor, dass der Beschwerdeführer 2009 in ein Burnout geraten und die Hospitalisation in einer psychiatrischen Klinik durch eine Lungenembolie überschattet worden sei. Danach habe er den Arbeitseinsatz wieder steigern können. Seit Sommer 2012 arbeite er nicht mehr als Lehrer, wobei Lebensprobleme (Trennung von der Ehefrau im August 2010, vor allem aber die Überforderung im Beruf) zur prekären psychischen Entwicklung beigetragen hätten. Seit Sommer 2012 sei er nie mehr aus der Depression herausgekommen und es sei immer wieder zu depressiven Episoden gekommen. Dr. med. C._ habe daher eine rezidivierende depressive Störung diagnostiziert, wobei er in der Untersuchung und auch im Durchschnitt den Schweregrad einer mittelgradigen Episode zuordnete. Weiter habe er ausgeführt, der Beschwerdeführer sei nicht suizidal, aber doch phasenweise deutlich verstimmt. Die Konzentration sei gut, er zeige keine Gedächtnisstörungen. Anamnestisch falle auf, dass er in der Stimmungslage schwankend sei, soll es doch gute Tage geben, während derer er aktiv sein könne. Dazwischen seien auch schlechte Phasen, während derer er kaum etwas tue. Der Gutachter wies sodann auf die ungünstigen Lebensumstände hin, insbesondere den Wegzug aus der vertrauten Umgebung, schwierige finanzielle Verhältnisse und Wohnsituation. Das kantonale Gericht schloss aus diesen Ausführungen, dass damit von den befassten Ärzten keine schwere Ausprägung der Störung beschrieben werde. Die Störung stehe zudem in engem Zusammenhang mit belastenden psychosozialen Umständen, folglich stünden invaliditätsfremde Faktoren im Vordergrund des Krankheitsbildes, das dadurch unterhalten werde.
4.1.2. Der vorinstanzlichen Beurteilung kann aus verschiedenen Gründen nicht gefolgt werden: Zwar kann, wie der Beschwerdeführer zu Recht festhält, offen gelassen werden, ob die psychosozialen Faktoren für das Krankheitsgeschehen ursächlich sind (was Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, der ihn im Auftrag der Personalvorsorge untersucht und begutachtet hatte, in seinem Gutachten vom 19. Juni 2013 verneint). Immerhin ist im Zusammenhang mit den Lebensumständen festzuhalten, dass dem Gutachten des Dr. med. C._ (entgegen der Vorinstanz) nicht zu entnehmen ist, die psychische Krankheit würde hauptsächlich wegen der psychosozialen Belastungsfaktoren fortbestehen. Obwohl der Gutachter die krankheitsfremden Umstände mehrfach erwähnt, bewertet er sie nicht als primäre Ursache für das Fortwähren der Erkrankung, vielmehr führen sie ihm zufolge dazu, dass der Versicherte seine Restarbeitsfähigkeit nicht verwertet.
Sodann gilt es zu beachten, dass sowohl Dr. med. C._ als auch der psychiatrische Gutachter der Psychiatrie B._, Dr. med. E._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, von einem schwankenden Verlauf der depressiven Störung sprechen und die Leistungsfähigkeit unterschiedlich beurteilen, je nachdem ob es sich um eine schlechtere oder eine bessere Phase handelt. Nach Dr. med. E._ ist der Beschwerdeführer im Zustand leichter Depression durchaus fähig, Arbeiten ohne grosse Konzentrationsanforderungen zu leisten, während in Zuständen mittelschwerer Depression seine Fähigkeit, sich zu konzentrieren, Ängste zu neutralisieren und mit anderen Menschen zusammenzuarbeiten, deutlich eingeschränkt ist. Zur 100%igen Arbeitsunfähigkeit im Lehrerberuf führt der Experte weiter aus, der Versicherte sei nicht fähig, Spannungen auszuhalten, Herausforderungen zu meistern oder flexibel mit neuen oder sich verändernden Funktionen umzugehen. In einer weniger anforderungsreichen Aufgabe, wo er allein an einem Arbeitsplatz Routinetätigkeiten ausüben könne, sei er jedoch zum jetzigen Zeitpunkt zu 50 % arbeitsfähig. Es sei für ihn schwierig, sich in einer Gruppe zu bewegen, sich gegen andere durchzusetzen oder Konflikte auszutragen. Auch gemäss Dr. med. C._ ist der Versicherte in schlechten Phasen wenig belastbar, und die Funktionen sind dann eingeschränkt (wenig flexibel, wenig durchsetzungsfähig), demgegenüber sei die Belastbarkeit in den besseren Lebensphasen höher. Schliesslich hatte auch Dr. med. D._ im Mini-ICF-APP verschiedene Einschränkungen erhoben, z.B. leichte Einschränkungen bei der Selbstbehauptungsfähigkeit und der Kontaktfähigkeit zu Dritten sowie mittelgradige Einschränkungen beispielsweise bei der Flexibilität und Umstellungsfähigkeit, bei der Planung und Strukturierung von Aufgaben oder bei der Entscheidungs- und Urteilsfähigkeit. Diese inhaltlich weitgehend deckungsgleichen fachärztlichen Feststellungen und Beurteilungen, denen die Vorinstanz keinerlei Rechnung trug, legen es immerhin nahe, dass doch gewisse Einschränkungen der kognitiven Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers bestehen. Daran vermag auch nichts zu ändern, dass die Befunde der neuropsychologischen Testung in der Psychiatrie B._ als nicht ausreichend plausibel bewertet wurden, indem die überaus starke Angabe von verbaler und visuomotorischer Verlangsamung und hoher Fehlerzahl im festgestellten Ausmass nicht mit einer leichten bis mittelschweren Depression zu begründen seien. Denn zum einen erreichten gemäss der neuropsychologischen Gutachterin lic. phil. F._, Fachpsychologin FSP für Psychotherapie und Neuropsychologie, die Werte im Symptomvalidierungsverfahren den Cut-off für den Verdacht bewusster Simulation nicht, so dass am ehesten von einer Symptomausweitung bei allfällig bestehenden kognitiven Symptomen der Depression auszugehen sei. Zum anderen kannte Dr. med. E._ die Testergebnisse und bezog sie in seine Beurteilung mit ein.
4.2.
4.2.1. Zum Indikator "Behandlungserfolg oder -resistenz" legte die Vorinstanz dar, dass sich die depressive Symptomatik nach zwei stationären Aufenthalten (vom 17. Januar bis 9. April 2010 und vom 27. Juli bis 11. Oktober 2012) jeweils zurückgebildet habe. Einen weiteren, vom behandelnden Psychiater Dr. med. G._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, empfohlenen Klinikaufenthalt sowie eine therapeutische Wohnform habe der Beschwerdeführer zunächst abgelehnt. Doch habe er sich vom 9. Juli bis 3. September 2015 in stationärer Behandlung in der Klinik H._ aufgehalten, was in den Untersuchungen in der Psychiatrie B._ vom 28. November und 9. Dezember 2015 sowie 11. Januar 2016 nicht thematisiert worden sei. Auch habe die ambulante psychiatrische Behandlung seit Mai 2014 lediglich einmal alle drei Wochen stattgefunden, was Dr. med. C._ zwar als genügend, aber nicht als gut bezeichnet habe. Zudem habe der Gutachter der Psychiatrie B._ die grosse Herausforderung der Therapie erkannt, weshalb eine solch niedrige Behandlungsfrequenz unzureichend sei. Auf eine Behandlungsresistenz könne unter diesen Umständen nicht geschlossen werden.
4.2.2. Zwar trifft es zu, dass die Krankheit des Beschwerdeführers Therapien grundsätzlich zugänglich ist und sich sein Gesundheitszustand insbesondere dank stationärer Behandlungen jeweils verbesserte, wobei er allerdings seit der Entlassung aus der Klinik I._ im April 2010 nie mehr zu 100 % als Lehrer arbeitete. Dr. med. E._ bewertete im Gutachten vom 7. März 2016 den psychischen Zustand des Exploranden denn auch als seit längerer Zeit stabil. Verbesserungen hätten sich durch die Unterstützung der Mitarbeiterin der Psychiatrischen Spitex sowie der psychiatrisch-psychotherapeutischen Arbeit durch Dr. med. G._ gezeigt. Eine Integration in den Arbeitsprozess sei daher sinnvoll. Allerdings befürwortete der Experte die Aufnahme einer angepassten Arbeitstätigkeit (nach einem Arbeitstraining von ca. drei Monaten) lediglich zu einem Pensum von 50 %. Ausserdem gilt es zu berücksichtigen, dass in der Invalidenversicherung die Therapierbarkeit eines Leidens dem Eintritt einer rentenbegründenden Invalidität nicht absolut entgegensteht, sondern nur, aber immerhin, als Indiz in die gesamthaft vorzunehmende Beweiswürdigung miteinzubeziehen ist (BGE 143 V 409 E. 4.2 S. 412 f. mit Hinweisen).
Sodann sind unter dem Indikator "Behandlungserfolg oder -resistenz" auch allfällige Eingliederungsmassnahmen zu würdigen, lässt doch die (allenfalls fehlende oder unzureichende) Kooperation des Versicherten ebenfalls Rückschlüsse auf den Schweregrad der Gesundheitsschädigung zu (BGE 141 V 281 E. 4.3.1.2 S. 300). Vorliegend nahm der Beschwerdeführer insbesondere vom 28. Oktober bis 22. November 2013 an einer von der IV-Stelle angeordneten Potentialerhebung teil. Diese ergab, dass eine Arbeits- und Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers stark beeinträchtigt respektive zum damaligen Zeitpunkt nicht gegeben sei. Auch diesem Umstand schenkte die Vorinstanz keine Beachtung. Zu berichtigen ist schliesslich die vorinstanzliche Feststellung, dass Dr. med. C._ die Therapiefrequenz als genügend, aber nicht als gut bezeichnet habe. Der Gutachter hielt auf die Frage, ob sich die Beeinträchtigungen durch medizinische Massnahmen vermindern liessen (wenn ja, welche), einzig fest, dass die durchgeführten therapeutischen Massnahmen genügend seien, ohne dies weiter zu erläutern oder andere bzw. zusätzliche Massnahmen zu empfehlen. Aufgrund dieser Ausführungen lässt sich ein aus rechtlicher Sicht beachtlicher Schweregrad der gesundheitlichen Einschränkung jedenfalls nicht ohne Weiteres verneinen.
4.3. Zum Indikator "Komorbidität" hielt die Vorinstanz fest, die im Bericht der Klinik H._ genannten unspezifischen somatischen Diagnosen führten zu keinen Einschränkungen. Weiterungen hierzu erübrigen sich, zumal auch der Beschwerdeführer hierzu nichts Gegenteiliges vorbringt. Die ebenfalls diagnostizierte akzentuierte narzisstische Persönlichkeit mit gehemmten und passiv aggressiven Anteilen (ICD-10 Z73.1) kann nach der Rechtsprechung nicht invalidisierend sein und stellt daher (entgegen seiner Auffassung) keine relevante psychische Komorbidität dar; vielmehr ist sie im Rahmen der Persönlichkeitsdiagnostik zu würdigen (BGE 141 V 281 E. 4.3.1.3 S. 301).
4.4. In Bezug auf den Komplex "Persönlichkeit" verwies die Vorinstanz auf die eben erwähnte akzentuierte narzisstische Persönlichkeit, mass dieser jedoch keine ressourcenhemmende Bedeutung zu. Der Gutachter der Psychiatrie B._ legte zwar dar, dass eine solche Persönlichkeitsakzentuierung die psychotherapeutische Arbeit und die Auseinandersetzung mit der Depression erschwere, weil Menschen mit narzisstischen Persönlichkeitsanteilen rasch gekränkt seien und ihre Fähigkeit, sich mit sich selbst und ihren vermeintlichen Schwächen auseinanderzusetzen, deutlich eingeschränkt sei. Allerdings mass er der Persönlichkeitsakzentuierung keine direkte Auswirkung auf die Arbeits- oder Leistungsfähigkeit zu, so dass die vorinstanzliche Schlussfolgerung sich in diesem Punkt im Ergebnis nicht als willkürlich erweist (vgl. Urteil 8C_154/2018 vom 13. Dezember 2018 E. 5.1.2).
4.5. Betreffend den sozialen Kontext wies die Vorinstanz zutreffend sowohl auf belastende Lebensumstände (prekäre Finanzlage, Wohnsituation und Entfernung von J._) als auch auf ein ressourcenfördendes Netz hin, wobei die Aktivitäten mit den Kindern und der Kontakt mit den Kindern im Vordergrund stünden.
4.6.
4.6.1. Bezüglich der Konsistenz erwähnte die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer gemäss seinen eigenen Angaben während guten Phasen rege und aktiv am Leben teilnehme, indem er Auto fahre, spazieren gehe, im Restaurant die Zeitung lese, mit den Kindern Fussballspiele besuche, regelmässig einmal die Woche selber in einer Männergruppe Fussball spiele, mit dem Freund in den Ausgang gehe und sich intensiv mit seinen Malarbeiten beschäftige. Seine ausserhäuslichen Aktivitäten zeigten damit keine besonderen Auffälligkeiten und eine gleichmässige Einschränkung des Aktivitätsniveaus in allen vergleichbaren Lebensbereichen sei nicht erstellt. Namentlich ergäben sich bei der Pflege von sozialen Kontakten keine Einschränkungen, und der Beschwerdeführer sei in der Verrichtung alltäglicher Dinge wie auch in der Führung des Haushalts grundsätzlich selbstständig.
4.6.2. Die Vorinstanz beschrieb einzig die Aktivitäten, die dem Beschwerdeführer in guten Phasen möglich sind. Hingegen blendete sie aus, dass der Beschwerdeführer auch schlechte Phasen kennt, an denen er gemäss dem Gutachten des Dr. med. C._ bis Mittag im Bett bleibe, dann etwas esse, spazieren gehe und im Haushalt inaktiv sei. Auch Dr. med. E._ sprach von einem schwankenden Zustandsbild. Ebenso setzte sich das kantonale Gericht nicht damit auseinander, dass der Beschwerdeführer seit 2013 für die Bewältigung des Alltags von der psychiatrischen Spitex betreut wird. Insbesondere zu seiner Fähigkeit, ein Motorfahrzeug zu lenken, ist dem neuropsychologischen Gutachten der Psychiatrie B._ zu entnehmen, dass er deutliche Schwierigkeiten beim Autofahren angegeben habe. Daher und angesichts der Testresultate sah sich die Gutachterin veranlasst, eine verkehrsmedizinische Abklärung der Fahreignung zu empfehlen. Im Übrigen ist zu beachten, dass der Beschwerdeführer nach den Einschätzungen der Gutachter lediglich zu 40 oder 50 % arbeitsunfähig ist, was ein bestimmtes Mass an (Freizeit-) Aktivitäten zulässt (Urteile 9C_658/2018 vom 11. Januar 2019 E. 4.4.1; 9C_636/2018 vom 20. Dezember 2018 E. 6.3.1.2). Angesichts dieser weiteren Umstände erscheint zumindest fraglich, ob die von der Vorinstanz angeführte Alltagsaktivitäten auf eine nicht schwere Ausprägung der diagnoserelevanten Befunde und Symptome schliessen lassen.
4.7.
4.7.1. Die Vorinstanz überprüfte schliesslich auch den Aspekt der Inanspruchnahme der therapeutischen Optionen, der auf den tatsächlich vorhandenen Leidensdruck hinweist. Dazu hielt sie unter Verweis auf das Gutachten des Dr. med. C._ fest, der Beschwerdeführer werde mit Antidepressiva und Analgetika versorgt und stehe in einer Frequenz von einmal alle drei Wochen in fachpsychiatrischer Behandlung. Die lediglich spärlichen psychopathologischen Untersuchungsbefunde würden mit der niedrigen Behandlungsfrequenz korrelieren und zumindest im Begutachtungszeitpunkt nicht auf anhaltend hohen Leidensdruck schliessen lassen. Auch die im Anschluss an diese Begutachtung erfolgte stationäre Behandlung ändere daran nichts. Zudem sei im neuropsychologischen Gutachten der Psychiatrie B._ auf eine ungenügende Leistungsbereitschaft und eine Symptomausweitung hingewiesen worden. Ebenso sei dort der Wunsch des Beschwerdeführers zu Tage getreten, in Ruhe gelassen zu werden und mittels Rente versorgt zu werden. Letzteres sei auch anlässlich der Begutachtung durch Dr. med. C._ festgehalten worden.
4.7.2. Der Beschwerdeführer entgegnet dem zu Recht, dass er sich seit August 2012 ununterbrochen in psychiatrischer Behandlung befinde und die Therapieangebote, einschliesslich dreier stationärer Aufenthalte wahrgenommen habe, wobei Dr. med. C._ das Genügen der therapeutischen Massnahmen (s. vorne E. 4.2.2) ebenso wie die Einnahme der Medikamente bestätigt habe. Auch wenn die Therapiefrequenz mit Behandlungen alle drei Wochen nicht besonders hoch ist, lässt sich angesichts der langjährigen Behandlungsdauer, bei genügender Mitarbeit des Beschwerdeführers und guter Medikamentencompliance, ein gewisser Leidensdruck nicht von der Hand weisen. Der Wunsch, in Ruhe gelassen zu werden und eine Rente zu erhalten, vermögen dies zwar ein Stück weit zu relativieren, letztlich aber nicht zu entkräften. Zur Symptomausweitung kann auf das bereits Gesagte verwiesen werden (s. vorne E. 4.1.2).
4.8. Die Indikatorenprüfung der Vorinstanz erweist sich als unvollständig, weil sie, wie sich aus den obigen Ausführungen ergibt, zahlreiche Aspekte nicht berücksichtigt. Deshalb kann auch der vorinstanzlichen Schlussfolgerung nicht gefolgt werden, wonach kein Gesundheitsschaden bestehe, der dem Beschwerdeführer die vollzeitige Verwertung seiner Arbeitsfähigkeit verunmögliche. Allerdings lassen die vorhandenen medizinischen Unterlagen keine zuverlässige Einschätzung der Arbeitsfähigkeit zu. Denn Dr. med. C._ attestierte bei einer im Untersuchungszeitpunkt (30. Juni 2015) mittelgradigen depressiven Episode eine Arbeitsfähigkeit von 50 % in der angestammten Tätigkeit als Lehrer und von 60 % in einer angepassten Tätigkeit. Demgegenüber verneinte Dr. med. E._ im Gutachten vom 7. März 2016 bei einem leicht verbesserten Gesundheitszustand (leichtes bis mittelgradiges depressives Zustandsbild) die Arbeitsfähigkeit als Lehrer und setzte die Arbeitsfähigkeit für angepasste Tätigkeiten auf 50 % fest. Weiter besteht auch Erklärungsbedarf bezüglich des zeitlichen und prozentualen Verlaufs der Erkrankung, des Belastungsprofils allfälliger angepasster Tätigkeiten und möglicher weiterer medizinischer Massnahmen zur Verbesserung des Gesundheitszustands. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein Gerichtsgutachten einholt. Danach wird sie über die Sache neu zu befinden haben. In diesem Umfang ist die Beschwerde begründet und teilweise gutzuheissen.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (BGE 137 V 210 E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten. Diese wird gemäss Honorarnote des Rechtsvertreters auf Fr. 3'781.90 festgesetzt. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Juni 2018 aufgehoben. Die Sache wird zur Einholung eines Gutachtens und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'781.90 zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. April 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Betschart