Erwägungen:
1.
C._ und der Beschwerdeführer sind die unverheirateten Eltern des Beschwerdegegners (geb. 2015). Am 6. September 2019 klagte der Beschwerdegegner gegen den Beschwerdeführer. Das Bezirksgericht Horgen wies mit Urteil vom 23. Oktober 2020 den Antrag des Beschwerdeführers ab, wonach festzustellen sei, dass er nicht der Vater des Beschwerdegegners sei. Es beliess die elterliche Sorge bei den Eltern gemeinsam, stellte den Beschwerdegegner unter die alleinige Obhut der Mutter, genehmigte eine Teilvereinbarung bezüglich Obhut und Betreuung und verpflichtete den Beschwerdeführer zu Unterhaltszahlungen.
Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer am 6. November 2020 (Poststempel) Berufung. Mit Urteil vom 10. Dezember 2020 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung, ab, soweit es darauf eintrat, und es bestätigte das bezirksgerichtliche Urteil.
Gegen dieses Urteil hat der Beschwerdeführer am 15. Dezember 2020 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Am 17. Dezember 2020 hat er die Beschwerde ergänzt.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.; 140 III 115 E. 2 S. 116). Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die unrichtige Feststellung des Sachverhalts kann nur unter den Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG gerügt werden (vgl. BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18; 140 III 264 E. 2.3 S. 266).
3.
Hinsichtlich der Vaterschaftsanfechtung hat das Obergericht erwogen, die Behauptung des Beschwerdeführers, er habe den Beschwerdegegner nur wegen diverser Drohungen der Behörden in Horgen anerkannt, sei nicht ansatzweise substantiiert. Er vermöge nicht aufzuzeigen, inwiefern dem Bezirksgericht ein Fehler unterlaufen sein soll, als es davon ausging, er habe die Verwirkungsfrist gemäss Art. 260c Abs. 1 ZGB verpasst. Hinsichtlich des Besuchsrechts ist das Obergericht auf die Berufung mangels Rechtsschutzinteresses nicht eingetreten, da dem Beschwerdeführer das beantragte Besuchsrecht gemäss der genehmigten Teilvereinbarung bereits zustehe. Mangels hinreichender Begründung ist das Obergericht auf die Einwände gegen die Festlegung der Kindesunterhaltsbeiträge nicht eingetreten. Im Sinne einer Eventualbegründung ist es auf die beanstandeten Bedarfspositionen eingegangen und hat den Standpunkt des Beschwerdeführers verworfen.
4.
Der Beschwerdeführer geht auf diese Erwägungen nicht ein, sondern stellt bloss - soweit verständlich - seinen Standpunkt dar, etwa indem er wiederholt, die Mutter weigere sich, die Hälfte des DNA-Tests zu bezahlen, oder indem er die Unterhaltsberechnung kritisiert. Hinsichtlich seiner Bedarfspositionen setzt er sich nicht damit auseinander, dass seine Berufung den Begründungsanforderungen nicht genügte. Ausserdem wirft er der Kindsmutter vor, dass er wegen ihr die Stelle verloren habe. Er belegt dies nicht, das Obergericht hat nichts Entsprechendes festgestellt und eine Sachverhaltsrüge fehlt. Gegebenenfalls hat der Beschwerdeführer wegen erheblicher Veränderung der Verhältnisse um Abänderung der Unterhaltsregelung zu ersuchen. Schliesslich äussert er sich zur unentgeltlichen Rechtspflege. Er macht aber nicht geltend, vor Obergericht ein entsprechendes Gesuch gestellt zu haben, das übergangen worden wäre.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Soweit der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen zur unentgeltlichen Rechtspflege ein entsprechendes Gesuch für das bundesgerichtliche Verfahren stellen möchte, ist es abzuweisen. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg