Considérant en fait et en droit :
1.
Par acte du 9 juillet 2020, A._ a formé un recours pour déni de justice au Tribunal fédéral à l'encontre du Tribunal cantonal du canton du Valais; en bref, il expose avoir interjeté le 14 mars 2018 un recours contre une décision de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte de l'Entremont (APEA) du 8 février 2018, sur lequel le Tribunal cantonal n'avait toujours pas statué à la date du dépôt du recours.
Par jugement du 27 juillet 2020, le Juge unique de la Cour civile II du Tribunal cantonal du Valais a, entre autres points, admis le recours de l'intéressé, annulé le chiffre 2 du dispositif de la décision de l'APEA et renvoyé la cause à celle-ci pour reprise de la procédure dans le sens des considérants (1); il a en outre réformé le chiffre 4 du dispositif de cette décision en ce sens que les frais d'enquête sociale (2896 fr.) sont mis par égales parts à la charge des parents (2).
2.
Par ordonnance du 11 août 2020, le Juge présidant la IIe Cour de droit civil a informé les parties que - vu l'arrêt précité - le recours pour déni de justice était devenu sans objet et leur a imparti un délai de 15 jours pour déposer leurs éventuelles observations, y compris quant aux frais et dépens de la procédure fédérale.
Le juge cantonalexpose que le recourant s'est enquis le 25 septembre 2018 de la date de reddition d'une décision, mais ne s'est plus jamais manifesté par la suite, de sorte qu'il n'a pas entrepris tout ce qui était en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence.
Le recourant, quant à lui, conclut à la radiation de la cause du rôle et à la condamnation du canton du Valais aux frais et dépens; il produit une note d'honoraires de 1'548 fr. 30 (débours et TVA compris) pour son activité devant le Tribunal fédéral.
3.
3.1. En l'espèce, la décision prise le 27 juillet 2020 ( supra, consid. 1) a rendu sans objet le présent recours pour retard à statuer (art. 94 LTF; parmi d'autres: ordonnance 5A_143/2019 du 18 avril 2019 consid. 3); il s'ensuit que la cause doit être rayée du rôle, le juge instructeur étant compétent pour en prendre acte (art. 72 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF; art. 32 al. 2 LTF).
3.2. Lorsqu'un recours devient sans objet, le Tribunal fédéral statue sur les frais de la procédure par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (ATF 125 V 373 consid. 2a).
En l'espèce, il s'est écoulé plus de deux ansentre le dépôt du recours cantonal ( i.e. 14 mars 2018) et la décision de la juridiction supérieure ( i.e. 27 juillet 2020); l'APEA a transmis son dossier le 23 mars 2018 et l'a complété le 3 avril suivant; la mère a fait parvenir ses observations le 27 avril 2018; le magistrat précédent a rendu deux ordonnances les 27 septembre 2018 et 15 juillet 2020, celle-ci étant donc postérieure au dépôt du présent recours. Cette durée apparaît excessive compte tenu des questions litigieuses en instance de recours, principalement le droit de visite du recourant; à la lecture du jugement du 27 juillet 2020, cet aspect ne revêtait au demeurant pas une complexité telle à justifier un traitement objectivement aussi lent.
Le reproche adressé au recourant par le magistrat précédent de s'être "désintéressé" de la procédure depuis le 25 septembre 2018 n'est pas fondé. Le recours pour déni de justice constitue précisément un moyen d'inciter l'autorité à faire diligence (ATF 130 I 312 consid. 5.2, avec les citations), comme l'illustre la présente cause. En outre, la procédure au fond n'est pas un procès civil ordinaire, laissé à la libre disposition des parties; elle est régie par les maximes inquisitoire et d'office (art. 446 al. 1 et 3 CC, par renvoi de l'art. 314 al. 1 CC), de sorte que l'autorité de recours ne saurait s'en remettre à la bonne volonté des plaideurs, en particulier des parents, quant à l'avancement de la procédure.
4.
En conclusion, il convient de déclarer le recours sans objet et de rayer la cause du rôle. Vu l'issue de la procédure, les dépens sont mis à la charge du canton du Valais (art. 68 al. 1 et 2 LTF); la note d'honoraires produite par le mandataire du recourant (art. 12 al. 2 du Règlement sur les dépens; RS 173.110.210.3) n'apparaît pas excessive et peut être admise (en chiffres arrondis). En revanche, il n'y a pas lieu de percevoir de frais (art. 66 al. 4 LTF; ordonnance 5A_143/2019 du 18 avril 2019 consid. 3 et les citations).
Par ces motifs, le Juge présidant ordonne :
1.
Le recours est sans objet et la cause est rayée du rôle.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 1'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton du Valais.
4.
La présente ordonnance est communiquée aux parties.
Lausanne, le 10 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présida nt : Le Greffier :
von Werdt Braconi