Faits :
A.
A.a. A._, né en 1973, a obtenu une licence en droit en 1998 auprès de l'Université de Genève. Il a effectué un stage d'avocat dans le canton de Genève, de septembre 2002 à fin août 2004, sans obtenir le brevet d'avocat au terme de celui-ci. Il a terminé le stage d'avocat entrepris, auprès de différentes études, dans le canton de Vaud de septembre 2011 à juin 2012, puis du 28 avril 2014 au 12 septembre 2016.
Le 11 août 2016, A._ s'est inscrit aux examens d'avocat pour la session d'octobre 2016 (session IV/2016), qui devait débuter le 26 octobre 2016, inscription qu'il a retirée le 4 octobre 2016 au motif que "le délai pour préparer l'examen correctement [était] trop court"; il a sollicité le report de son inscription à la session I/2017. Dans un courrier du 12 octobre 2016, la Présidente de la commission d'examens du canton de Vaud (ci-après: la Commission d'examens) a accepté le retrait de l'inscription; l'intéressé était invité à confirmer son inscription à la session I/2017, dès l'ouverture des inscriptions à la session concernée.
A._ ne s'est finalement pas inscrit à la session d'examens I/2017. Il a sollicité, le 31 août 2017, son inscription pour celle du mois de novembre 2017 (session IV/2017). Comme il n'a pas complété sa demande par les documents nécessaires requis par la Commission d'examen, celle-ci l'a informé qu'elle considérait qu'il renonçait à ladite session.
Le 24 novembre 2017, A._ a requis son inscription à la session de février 2018 (session I/2018). Le 6 décembre 2017, le vice-président du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a informé l'intéressé que pour s'inscrire à celle-ci, il devait produire l'attestation de la Chambre du stage relative aux cours de formation. Selon l'attestation de février 2018 de la Faculté de Droit de l'Université de Lausanne, A._ a suivi régulièrement le cours de "Droit et éthique de la formation d'avocat" durant le semestre d'automne 2017-2018 et a réussi l'examen final relatif à cette formation avec la note de 5.25. Le 29 mars 2018, la Chambre du stage a validé 22 crédits obtenus par l'intéressé dans le cadre de la Conférence du stage et de formations continues.
Le 3 avril 2018, A._ s'est inscrit à la session de juin 2018 (session II/2018). Le 6 juin 2018, soit la veille du début des examens, l'intéressé a informé la Commission d'examens du retrait de son inscription. A l'appui de ce retrait, il a fait valoir qu'il avait été empêché de se préparer correctement en raison du fait qu'il était partie à une procédure pénale dans le canton de Berne où le séquestre conservatoire d'un bien important avait été ordonné. Dans le cadre de cette procédure, il avait été amené à rédiger une plainte pénale avec l'assistance de son conseil pour le 10 avril 2018, et à remettre au procureur en charge du dossier, pour le 4 juin 2018, un chargé de pièces de plus de 150 pages, dont la préparation avait pris plusieurs mois. Par lettre du 22 juin 2018, la Commission d'examens a pris acte du retrait de l'inscription; celui-ci ayant été effectué avant le début des examens, la moitié de la taxe d'inscription était due.
Le 31 octobre 2018, A._ a requis son inscription à la session de février 2019 (session I/2019), tout en sollicitant la restitution du délai de deux ans dès la fin du stage pour se présenter aux examens. A l'appui de cette demande, il invoquait des circonstances personnelles graves, à savoir le décès de sa soeur en octobre 2016, des problèmes d'apnées du sommeil, attestés par un certificat médical du 26 octobre 2018, qui n'avaient pu être diagnostiqués qu'en octobre 2018, ainsi que le temps qu'il avait dû consacrer à la procédure pénale dont l'enjeu principal était "un objet ayant potentiellement une valeur très importante" qui lui avait été soustrait.
A.b. Par décision du 30 novembre 2019, la Cour administrative du Tribunal cantonal a refusé l'inscription de A._ aux examens d'avocat, au motif que le délai de deux ans de l'art. 32 al. 3 de la loi vaudoise du 9 juin 2015 sur la profession d'avocat (ci-après: LPAv ou la loi vaudoise sur la profession d'avocat; RS/VD 177.11) pour se présenter aux examens à l'issue du stage était échu et que les circonstances invoquées ne suffisaient pas à retenir l'existence d'un cas de force majeure qui l'aurait empêché de se présenter aux examens durant deux ans; il avait bénéficié de six sessions pendant cette période, si l'on ne tenait pas compte des deux sessions dont il s'était retiré.
B.
Par arrêt du 11 mars 2019, le Tribunal cantonal, Cour de droit administratif et public, a rejeté le recours de A._ à l'encontre de la décision du 30 novembre 2019. Il a en substance jugé que l'impossibilité de prolonger le délai de deux ans pour se présenter aux examens du brevet d'avocat ne violait pas la liberté économique; en outre, les conditions pour la restitution de ce délai n'étaient pas remplies.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, subsidiairement par celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt du 11 mars 2019 du Tribunal cantonal en ce sens qu'il est autorisé à se présenter à la prochaine session d'examens d'avocat dont l'inscription sera encore ouverte suivant le jugement définitif et exécutoire; subsidiairement, de réformer ledit arrêt en ce sens qu'il est autorisé à se présenter aux examens du brevet d'avocat d'ici au 22 décembre 2019, ce délai étant toutefois prolongé d'autant qu'aura duré la procédure judiciaire, et étant précisé qu'il n'est plus qu'au bénéfice de deux tentatives en application de l'art. 35 al. 2 LPAv; plus subsidiairement, de réformer ledit arrêt en ce sens que le dossier est renvoyé à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Chambre des avocats du Tribunal cantonal et le Tribunal cantonal se réfèrent à l'arrêt attaqué.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public, déposé en temps utile (art. 100 LTF) et en la forme prévue (art. 42 LTF) à l'encontre d'un arrêt final (art. 90 LTF) rendu, dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), par l'intéressé qui a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF), est recevable.
La voie du recours en matière de droit public étant ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire, également formé par le recourant, est irrecevable (art. 113 LTF a contrario).
2.
Selon le recourant, les faits de l'arrêt attaqué auraient été constatés de manière inexacte. Il fait référence à l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2016, de la loi vaudoise sur la profession d'avocat et aux conséquences que cela aurait eu sur les cours à suivre avant de se présenter aux examens du brevet d'avocat. Il mentionne aussi des éléments relatifs à son état de santé qui n'auraient pas été repris dans l'arrêt attaqué.
Dans son argumentation, le recourant ne démontre pas que la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause, contrairement aux exigences en la matière (cf. art. 97 al. 1 LTF; ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1 p. 253; 140 III 264 consid. 2.3 p. 266). Partant, le Tribunal fédéral statuera sur la base des faits retenus dans l'arrêt entrepris (art. 105 al. 1 LTF).
3.
Le recourant se plaint d'une violation de la liberté économique (art. 27 Cst.). Il soutient que l'art. 32 al. 3 LPAv, en tant que cette disposition prévoit un délai de deux ans, dès la fin du stage, pour se présenter aux examens d'avocat sans instaurer une prolongation possible de celui-ci pour justes motifs, constitue une restriction inadmissible à cette liberté; aucun intérêt public ne justifierait cette impossibilité qui serait, en outre, disproportionnée. L'intérêt privé du candidat qui est empêché, indépendamment de sa volonté, de se présenter pour la première fois aux examens dans le délai de deux ans devrait l'emporter sur l'intérêt public en cause. De plus, il serait, de la sorte, impossible de tenir compte des cas exceptionnels résultant de situations particulières. Les avocats-stagiaires vaudois seraient, en outre, discriminés par rapport aux stagiaires des autres cantons romands qui pourraient obtenir un délai supplémentaire dans une situation identique à celle du recourant.
3.1. Aux termes de l'art. 27 Cst., la liberté économique est garantie (al. 1). Elle comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (al. 2). Cette liberté protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (ATF 143 II 598 consid. 5.1 p. 612; 142 II 369 consid. 6.2 p. 386; 141 V 557 consid. 7.1 p. 568). Des restrictions à la liberté économique sont admissibles, mais elles doivent reposer sur une base légale, être justifiées par un intérêt public prépondérant et respecter le principe de proportionnalité (cf. art. 36 al. 1 à 3 Cst.).
Les restrictions graves à une liberté nécessitent une réglementation expresse dans une loi au sens formel (art. 36 al. 1 Cst.; ATF 143 I 310 consid. 3.3.1 p. 314; 139 I 280 consid. 5.1 p. 284 et les références citées). Savoir si une restriction à un droit fondamental est grave s'apprécie en fonction de critères objectifs (ATF 139 I 280 consid. 5.2 p. 285 s.). Lorsque la restriction d'un droit fondamental est grave, le Tribunal fédéral examine librement la question de l'existence d'une base légale cantonale suffisante (cf. ATF 142 I 121 consid. 3.3 p. 125) et sous l'angle restreint de l'arbitraire dans le cas contraire (cf. ATF 125 I 417 consid. 4c p. 423; 124 I 25 consid. 4a p. 32). Le tribunal de céans vérifie librement si un intérêt public justifie la restriction en cause et si celle-ci est conforme au principe de la proportionnalité (ATF 142 I 162 consid. 3.2.2 p. 165; 134 I 153 consid. 4.2.1 et 4.2.2. p. 157 s.).
3.2. Selon l'art. 32 al. 3 LPAv, le candidat dispose d'un délai de deux ans dès la fin de son stage pour se présenter aux examens d'avocat; en cas d'échec, il dispose d'un délai de dix-huit mois depuis la communication dudit échec pour se représenter.
3.3. De façon générale, l'admissibilité des exigences que les cantons sont à même de poser dans le cadre de la formation à la profession d'avocat (cf. art. 3 al. 1 LLCA) peut être examinée à l'aune de la liberté économique (Bohnet/Othenin-Girard/Schweizer, in: Commentaire romand, Loi sur les avocats, 2010, n° 9 ad art. 3 LLCA).
La question de savoir si, plus particulièrement, le délai instauré par l'art. 32 al. 3 LPAv, respectivement le refus d'inscrire le recourant aux examens d'avocat au motif que le délai de deux ans depuis la fin de son stage était échu, constitue une atteinte à sa liberté économique peut rester ouverte, le grief relatif à la violation de la liberté économique devant de toute façon être rejeté.
3.4. Il a déjà été jugé dans l'arrêt 2C_32/2015 du 28 mai 2015 (consid. 5.3) que l'instauration d'un délai dans lequel les candidats au brevet d'avocat doivent se présenter aux examens poursuit un but d'intérêt public (art. 36 al. 2 Cst.) : il est dans l'intérêt du justiciable que les avocats-stagiaires s'efforcent de se présenter à leurs examens dans les meilleurs délais suivant l'achèvement de leur stage, afin d'éviter de perdre le contact avec la vie judiciaire; sans ce délai, ceux-ci risqueraient de perdre l'expérience acquise pendant le stage. Un tel délai constitue une mesure de police qui a donc pour but de protéger le public en s'assurant que les avocats disposent des qualifications nécessaires pour assurer la représentation des justiciables.
3.5. Il reste à examiner si l'impossibilité de prolonger le délai de deux ans pour justes motifs respecte le principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.). Comme déjà relevé dans l'arrêt 2C_32/2015 susmentionné, il est indéniable que les examens du brevet d'avocat exigent une préparation d'une certaine durée. Les modalités du stage d'avocat et la forme des examens variant fortement d'un canton à l'autre, la durée de la préparation nécessaire diffère également suivant le canton. En pratique, si dans les cantons de Genève, Fribourg et Valais le temps de préparation est de trois à six mois, dans le canton de Vaud, les stagiaires se présentent en général très rapidement après la fin de leur stage, à savoir dans le mois voire les deux mois qui suivent, étant précisé que le maître de stage paie un mois de révision (cf., quant à la durée du contrat de stage, art. 8 al. 5 et 6 de l'arrêté vaudois du 22 juin 2016 établissant un contrat-type de travail pour les avocats stagiaires [ACTT-av-stag; RS/VD 222.57.1]). Dès lors, le délai de deux ans laisse en principe le temps aux candidats de se retourner en cas de problèmes graves survenant durant la préparation. Il leur incombe de ne pas attendre la fin de ce délai pour se présenter pour la première fois aux examens, précisément pour anticiper d'éventuelles circonstances qui les empêcheraient d'étudier correctement ou de passer les examens le moment venu.
Le recourant invoque l'arrêt 2C_32/2015 susmentionné, relatif au brevet d'avocat genevois, où il a été jugé que le délai de trois ans depuis la fin du stage pour se préparer aux examens (l'art. 33B de la loi genevoise du 26 avril 2002 sur la profession d'avocat [LPAv; RS/GE E 6 10] prévoit un délai d'une durée maximale de cinq ans dès la prestation de serment pour réussir l'examen final, ce qui laisse trois ans de préparation au terme des deux ans de stage) n'apparaissait pas comme disproportionné, ce d'autant moins qu'une prolongation de délai était prévue par la loi topique. Il faut, toutefois, relever que la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61) réserve aux cantons la compétence de définir les conditions de formation et les exigences personnelles que doit remplir le candidat au brevet d'avocat (cf. art. 3 al. 1 LLCA; ATF 141 II 280 consid. 5.2.1 p. 285; 134 II 328 consid. 5.1 p. 332 s.), l'art. 7 al. 1 let. b de cette loi ne prévoyant que la durée minimum du stage, à savoir un an. Ainsi, les cantons conservent une grande marge de manoeuvre en la matière, notamment pour fixer un délai comme celui en cause. Le fait que le canton de Genève soit plus souple en la matière et laisse une année de plus aux candidats pour se présenter aux examens, de même qu'il prévoit une prolongation de ce délai pour justes motifs, ne fait pas pour autant apparaître le délai vaudois de deux ans sans prolongation possible comme étant disproportionné. En outre, contrairement à ce qu'affirme le recourant, aucun élément ne permet d'affirmer que dans un autre canton, sa situation remplirait la condition de justes motifs et qu'un délai supplémentaire lui aurait été octroyé.
Comme le relève l'intéressé, la loi vaudoise topique est stricte en ne prévoyant pas une prolongation possible du délai prévu pour justes motifs. Cette impossibilité pourrait être qualifiée de disproportionnée si le délai institué était particulièrement court au vu du temps de préparation nécessaire pour les examens. Tel n'est pas le cas d'un délai de deux ans, alors que la période de préparation dans ce canton est en pratique d'un ou deux mois. Ce délai laisse du temps pour parer à des imprévus, ce d'autant plus qu'il reste la possibilité d'une éventuelle restitution du délai (cf. infra consid. 7). Le recourant cite des lois d'autres cantons qui octroient des délais plus longs, ainsi que la faculté d'obtenir un délai supplémentaire pour justes motifs. Le principe de l'égalité ne s'oppose cependant pas à ce genre de disparité entre les cantons, ce d'autant plus que, comme susmentionné, les modalités du stage d'avocat et celles des examens varient fortement d'un canton à l'autre; ainsi, le fait que dans un autre canton, le recourant aurait pu s'inscrire aux examens plus de deux après la fin de son stage ne saurait être constitutif d'une violation du principe d'égalité.
Au regard de ce qui précède, l'absence de prolongation possible du délai de deux ans à partir de la fin du stage pour se présenter aux examens d'avocat prévu à l'art. 32 al. 3 LPAv respecte le principe de proportionnalité et celui d'égalité.
4.
Dans le grief traitant de la liberté économique, le recourant présente une argumentation relative à la volonté du législateur et prétend que l'art. 32 al. 3 LPAv a été introduit surtout dans l'intérêt des avocats stagiaires; il en conclut que la loi contient une lacune, puisqu'un délai de deux ans qui n'est pas prolongeable durcirait l'accès à la profession d'avocat.
De la sorte, le recourant remet en cause l'application de l'art. 32 al. 3 LPAv. Il devait donc faire valoir que l'application de cette dispositions cantonale consacrait une violation d'une norme de droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, à savoir l'art. 9 Cst. garantissant la protection contre l'arbitraire. Les griefs de violation des droits fondamentaux sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF) : la partie recourante doit indiquer le principe constitutionnel qui n'aurait pas été respecté et expliquer de manière claire et précise en quoi ce principe aurait été violé (ATF 143 II 283 consid. 1.2.2 p. 286; 142 II 369 consid. 2.1 p. 272). Or, en l'espèce, le recours ne contient pas un début de motivation en ce sens; il ne mentionne même pas l'application arbitraire du droit cantonal à cet égard, de sorte qu'il ne sera pas entré en matière.
5.
Invoquant le principe de la bonne foi, le recourant prétend que la Commission d'examens, en prenant acte, le 22 juin 2018, de son retrait de la session de juin 2108 sans l'avertir que le délai de deux ans arrivait à échéance, lui aurait donné l'assurance qu'il pourrait s'inscrire à nouveau à une session ultérieure.
5.1. Le principe de la bonne foi, selon lequel les organes de l'Etat et les particuliers doivent agir de manière conforme aux règles de la bonne foi, est explicitement consacré par l'art. 5 al. 3 Cst. L'art. 9 Cst. peut également être invoqué à cet égard (cf. ATF 138 I 49 consid. 8.3.1 p. 53; 136 I 254 consid. 5.2 p. 261). Il découle de ce principe que l'administration et les administrés doivent se comporter réciproquement de manière loyale, que l'administration doit s'abstenir de tout comportement propre à tromper l'administré et que celle-là ne saurait tirer aucun avantage des conséquences d'une incorrection ou insuffisance de sa part. A certaines conditions, le citoyen peut ainsi exiger de l'autorité qu'elle se conforme aux promesses ou assurances qu'elle lui a faites et ne trompe pas la confiance qu'il a légitimement placée dans celles-ci (ATF 143 V 95 consid. 3.6.2 p. 103; 137 II 182 consid. 3.6.2 p. 193).
5.2. Le délai en cause figure dans la loi vaudoise sur la profession d'avocat, texte publié au receuil officiel dudit canton qui est opposable au recourant, compte tenu du principe fondamental qui gouverne les rapports entre les administrés et l'administration selon lequel "nul n'est censé ignorer la loi". Celui-ci se devait donc de le connaître, ce d'autant plus pour un candidat au brevet d'avocat. En outre, la lettre du 22 juin 2018 de la Commission d'examen ne contient aucune promesse quant à une inscription au-delà du délai de deux ans. Le seul fait que cette autorité n'ait pas attiré l'attention de l'intéressé sur l'échéance de ce délai, ce qui aurait été bienvenu mais qui ne constitue pas une obligation (cf. arrêt 2C_951/2014 du 16 avril 2015 consid. 3), ne peut être interprété comme une telle promesse. En conséquence, on ne peut considérer que les éléments susmentionnés constitue une violation du principe de la bonne foi.
6.
Le grief ayant trait au formalisme excessif (sur cette notion, cf. ATF 142 IV 299 consid. 1.3.2 p. 304; 142 V 152 consid. 4.2 p. 158; 135 I 6 consid. 2.1 p. 9) doit également être rejeté: dès lors que le délai fixé par la loi vaudoise sur la profession d'avocat n'est pas une simple prescription d'ordre mais un délai impératif, sa stricte application ne relève pas d'un formalisme excessif.
Le recourant souligne que si sa lettre du 6 juin 2018, par laquelle il retirait son inscription à la session de juin de cette même année, avait été considérée non pas comme un retrait d'inscription mais comme un retrait de l'examen, celui-ci aurait constitué un échec, ce qui aurait fait courir un délai supplémentaire pour se présenter aux examens. On ne saurait toutefois voir d'arbitraire dans le fait que la Commission d'examen a jugé que la lettre en cause, qui était datée de la veille du début des examens, et dans laquelle le recourant mentionnait précisément retirer son inscription, représentait un tel retrait et non un retrait de l'examen; cela même si, dans ce second cas, un nouveau délai de 18 mois pour se présenter à nouveau aux examens (art. 32 al. 3 LPAv) aurait effectivement commencé à courir.
7.
Finalement, le recourant se plaint d'une application arbitraire de l'art. 22 de la loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA-VD; RS/VD 173.36). Il estime que le délai légal en cause doit lui être restitué. Il met en avant un certificat médical qui mentionnerait une incapacité totale de passer des examens.
7.1. Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat. En outre, il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (ATF 144 I 113 consid. 7.1 p. 124; 142 II 369 consid. 4.3 p. 380 et les arrêts cités).
7.2. D'après l'art. 22 al. 1 LPAv, le délai peut être restitué lorsque la partie ou son mandataire établit qu'il a été empêché, sans faute de sa part, d'agir dans le délai fixé.
Selon la jurisprudence rendue par le Tribunal fédéral, sur laquelle se fonde la pratique vaudoise, l'empêchement non fautif correspond non seulement à l'impossibilité objective ou au cas de force majeure; cette notion englobe aussi l'impossibilité subjective due à des circonstances personnelles ou à une erreur excusables (cf. arrêts 2C_319/2009 du 26 janvier 2010 consid. 4.1, non publié in ATF 136 II 241; 2C_735/2012 du 25 mars 2013 consid. 1.4.1). De manière générale, est non fautive toute circonstance qui aurait empêché un plaideur consciencieux d'agir dans le délai fixé. La maladie ou l'accident peuvent, à titre d'exemples, être considérés comme un empêchement non fautif et, par conséquent, permettre une restitution d'un délai, s'ils mettent la partie recourante ou son représentant légal objectivement ou subjectivement dans l'impossibilité d'agir par soi-même ou de charger une tierce personne d'agir en son nom dans le délai (cf. ATF 119 II 86 consid. 2 p. 87, confirmé in arrêt 9C_209/2012 du 26 juin 2012 consid. 3.1; arrêt 8C_15/2012 du 30 avril 2012 consid. 1).
7.3. Le Tribunal cantonal a admis le caractère sévère de la pathologie du recourant qui souffre d'apnées du sommeil. Le certificat médical produit mentionne une consultation du 4 janvier 2017 en raison d'une somnolence diurne excessive et un "diagnostic final" posé le 29 août 2018 avec instauration d'un traitement symptomatique début octobre 2018. Il est ici souligné que, contrairement à ce que mentionne l'intéressé, le certificat médical produit ne fait pas état d'une incapacité totale de passer des examens, mais d'une capacité réduite. Les juges précédents ont néanmoins constaté que, durant cette période, le recourant s'était inscrit à des sessions d'examens et en a déduit, sans arbitraire, que celui-ci s'estimait apte à se présenter à ceux-ci. On ajoutera que l'intéressé a, à de deux reprises, annulé son inscription aux examens et qu'à ces occasions il n'a jamais mentionné ses problèmes de santé pour justifier ses retraits. De plus, celui-ci a, toujours durant la période concernée, suivi la formation complémentaire requise dans le cadre du stage d'avocat et a passé l'examen y relatif. En outre, il ressort de l'arrêt attaqué que, quand bien même les problèmes de santé de l'intéressé durent depuis longtemps, il a pu poursuivre des activités professionnelles entre ses différentes périodes de stage, notamment dans le domaine de l'art et du conseil juridique. En conclusion, il est certain que les apnées du sommeil représentent un handicap dans la préparation d'examens et qu'elles ont certainement pour conséquence des journées où le travail abattu est moindre par rapport à une personne ne présentant pas une telle déficience. Ainsi, si des candidats au brevet d'avocat en pleine possession de leurs moyens sont à même de se présenter aux examens, dans le canton de Vaud, un à deux mois après la fin de leur stage, il est probable que le recourant ait eu besoin de plus de temps. Cela étant, il avait deux ans à disposition. Il n'est donc pas insoutenable de considérer que le problème de santé dont souffre l'intéressé ne l'empêchait pas de passer ses examens durant ce laps de temps. Compte tenu de ces éléments, en concluant à l'absence d'un juste motif permettant la restitution du délai, les juges cantonaux n'ont pas appliqué l'art. 22 al. 1 LPA-VD de façon arbitraire.
8.
Au regard de ce qui précède, le recours est rejeté.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, à la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 27 juin 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon