Erwägungen:
1.
1.1. Auf Einsprache von A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) erliess die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern am 4. Juni 2018 einen abschlägigen Einspracheentscheid bezüglich der Rückerstattung von Quellensteuern (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern und direkte Bundessteuer), Steuerperiode 2017. Dagegen gelangte der Steuerpflichtige, vertreten durch seinen Anwalt mit Kanzlei in U._ (DE), am 16. Juni 2018 an das Kantonsgericht des Kantons Luzern. Mit Verfügung vom 22. Juni 2018 forderte dieses den Steuerpflichtigen auf, bis zum 9. Juli 2018 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten, unter Androhung des Nichteintretens für den Fall, dass die Frist versäumt werde. Der Steuerpflichtige kam der Vorschusspflicht nicht nach. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 30. Juli 2018, gemäss amtlichem Aufdruck versandt am 31. Juli 2018, trat das Kantonsgericht, 4. Abteilung, im Verfahren 7W 18 60 androhungsgemäss auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein.
1.2. Am 30. September 2019 gelangte der Steuerpflichtige, der nunmehr Wohnsitz in V._/LU verzeichnet, erneut an das Kantonsgericht des Kantons Luzern. Er machte sinngemäss geltend, er sei bis zum 11. April 2018 als Sicherheitsoffizier für ein ausländisches Kreuzfahrtunternehmen tätig gewesen, weshalb er erst Mitte April 2018 [und daher erst nach dem gesetzlich massgebenden 31. März] die Rückerstattung der Quellensteuern habe beantragen können. Die streitbetroffene Quellensteuer sei ihm zu erstatten. Mit Schreiben vom 7. Oktober 2019 überwies das Kantonsgericht die Angelegenheit zuständigkeitshalber an das Bundesgericht.
1.3. Am 23. Oktober 2019 (Poststempel) ergänzte der Steuerpflichtige durch Eingabe beim Bundesgericht dahingehend, dass er sich erkundigt, wie seine Chancen auf Rückerstattung der Quellensteuern aus der Steuerperiode 2017 stünden. Er gibt bekannt, dass er auch mit einer Teilerstattung einverstanden wäre und dass er darum ersuche, das Verfahren kostenfrei zu halten. Seit dem 1. September 2019 sei er arbeitslos.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen.
2.
2.1. Aus der Eingabe vom 30. September 2019 geht nicht mit restloser Klarheit hervor, ob der Steuerpflichtige die Verfügung vom 30. Juli 2018 anzufechten wünscht oder um Wiedererwägung ersucht. Mangels Antrags und Begründung ist kein klar erkennbarer Beschwerdewille ersichtlich, er kann aber auch nicht gänzlich ausgeschlossen werden. Vor dem Hintergrund der jüngsten Eingabe vom 23. Oktober 2019 erhellt nun aber mit der erforderlichen Deutlichkeit, dass die Absicht des Steuerpflichtigen auf die Wiedererwägung der seinerzeitigen Verfügung der Steuerverwaltung des Kantons Luzern abzielt. So macht er geltend, er wäre auch mit einer teilweisen Erstattung einverstanden, was aufzeigt, dass er mit der Steuerverwaltung in Kontakt zu treten wünscht.
2.2. Dies führt dazu, dass die Sache mangels Zuständigkeit des Bundesgerichts an die Vorinstanz rückzuüberweisen ist, verbunden mit dem Ersuchen, die Eingaben vom 30. September 2019 und 23. Oktober 2019 an die zur Wiedererwägung zuständige Quellensteuerbehörde weiterzuleiten. Das vom Bundesgericht eröffnete Beschwerdeverfahren 2C_846/2019 wird dadurch gegenstandslos. Die Sache kann als erledigt abgeschrieben werden, was einzelrichterlich zu erfolgen hat (Art. 32 Abs. 2 BGG).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Bei Erledigung des Falles durch Abstanderklärung oder Vergleich kann auf die Erhebung von Gerichtskosten ganz oder teilweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 2 BGG). Im vorliegenden Fall ist ein vollumfänglicher Verzicht angebracht. Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Eingaben vom 30. September 2019 und 23. Oktober 2019 werden an das Kantonsgericht des Kantons Luzern rücküberwiesen.
2.
Das Verfahren wird infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher