Faits :
A.
Par jugement du 13 février 2018, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de première instance), statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a notamment condamné A.E._ à verser à B.E._, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, la somme de 750 fr. au titre de contribution à l'entretien de l'enfant C.E._, 2'400 fr. au titre de contribution à l'entretien de l'enfant D.E._, et 1'800 fr. au titre de contribution à l'entretien de l'épouse.
Par acte du 26 février 2018, A.E._ a formé appel de ce jugement, contestant notamment sa condamnation à verser les contributions d'entretien précitées. Bien qu'il n'ait pris aucune conclusion à cet égard, il a abordé la question de l'effet suspensif de son appel dans le corps de son texte. Se prononçant sur ce point, B.E._ a conclu au rejet de la " requête " alors que le curateur des enfants s'en est rapporté à justice.
B.
Par arrêt du 28 mars 2018, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté la requête de A.E._ tendant à suspendre le caractère exécutoire du jugement du Tribunal de première instance.
C.
Par acte du 3 mai 2018, A.E._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Sur le fond, il conclut principalement à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens que son appel est mis au bénéfice de " l'effet suspensif afin de suspendre le caractère exécutoire du jugement [...] du Tribunal de première instance " à hauteur de 2'950 fr., lui-même " s'étant engagé à verser une somme de 2'000 fr. par mois à titre de contributions à l'entretien des mineures C.E._ et D.E._ "; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours, l'intimée s'y est opposée, alors que le curateur des enfants et l'autorité précédente s'en sont remis à justice.
D.
Par ordonnance du 30 mai 2018, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours dont il est saisi (ATF 143 III 140 consid. 1 et les références).
1.1. La décision entreprise, qui refuse de suspendre l'exécution d'une ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale, est une décision incidente rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), susceptible de recours au Tribunal fédéral bien qu'émanant d'une autorité cantonale de dernière instance n'ayant pas statué sur recours, mais en qualité d'instance cantonale unique (ATF 143 III 140 consid. 1.2; 137 III 475 consid. 1 et la référence). Le recours contre une décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (ATF 137 III 380 consid. 1.1). Dès lors que seules des questions relatives aux contributions d'entretien et à des aspects patrimoniaux en lien avec le domicile conjugal sont encore litigieuses devant l'autorité précédente, l'affaire est de nature pécuniaire; la valeur litigieuse (art. 51 al. 1 let. c et al. 4 LTF) atteint le seuil requis (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile, interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (art. 42 al. 1 LTF), par une partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale (art. 76 LTF), est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Lorsque - comme en l'espèce (ATF 137 III 475 consid. 2; arrêt 5A_265/2018 du 9 juillet 2018 consid. 2.1) -, le recours est soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait que s'il soulève et démontre la violation de droits constitutionnels (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 142 II 369 consid. 2.1; 142 III 364 consid. 2.4). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3). Par ailleurs, le recourant doit développer son argumentation dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (ATF 140 III 115 consid. 2; 133 II 396 consid. 3.2 et les références). Une critique des faits qui ne satisfait pas à ces exigences est irrecevable (ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1; 140 III 264 consid. 2.3 et les références).
En l'occurrence, le recourant se réfère aux faits tels que retenus par l'autorité précédente dans l'arrêt querellé, " à l'exclusion de ceux qui font l'objet de l'appel formé le 26 février 2018"; il invite dès lors le Tribunal fédéral à se référer à son mémoire d'appel. Un tel procédé ne respecte pas les exigences du principe d'allégation précité, en sorte que la Cour de céans s'en tiendra aux faits constatés dans l'arrêt attaqué.
1.3. Hormis les décisions mentionnées à l'art. 92 al. 1 LTF, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
En vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF - l'hypothèse visée par la let. b étant ici exclue d'emblée -, une décision incidente notifiée séparément est susceptible d'un recours en matière civile si elle peut causer un préjudice irréparable, à savoir un préjudice de nature juridique qu'une décision finale, même favorable à la partie recourante, ne ferait pas disparaître entièrement (ATF 143 III 416 consid. 1.3 et les références). De jurisprudence constante, le fait d'être exposé au paiement d'une somme d'argent n'entraîne, en principe, aucun préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, dans la mesure où l'intéressé peut s'acquitter du montant et pourra en obtenir la restitution s'il obtient finalement gain de cause (ATF 138 III 333 consid. 1.3.1 et la référence; arrêt 5A_31/2018 du 10 avril 2018 consid. 4.1). Il n'y a d'exception que si le paiement de la somme litigieuse expose la partie recourante à d'importantes difficultés financières ou si, en cas d'admission du recours, le recouvrement du montant acquitté paraît aléatoire (arrêts 5A_31/2018 précité consid. 4.1; 5A_598/2017 du 5 décembre 2017 consid. 1.2 et les références).
Il appartient au recourant d'alléguer et de démontrer dans quelle mesure il est concrètement menacé d'un préjudice irréparable au sens défini ci-dessus, à moins que - ce qui n'est pas le cas ici - cette condition ne fasse d'emblée aucun doute (ATF 141 III 80 consid. 1.2; 137 III 522 consid. 1.3 et la référence).
1.3.1. Sur la question du préjudice irréparable auquel l'exposerait la décision attaquée, le recourant fait valoir qu'il est en pleine reconversion professionnelle à laquelle il a été contraint, qu'il n'a aucun revenu substantiel " provenant des activités indépendantes qu'il a récemment entreprises " et ne bénéficie en outre d'aucune fortune propre. La seule "expectative financière dont [il] est actuellement le titulaire " consiste en ses expectatives successorales à l'égard de ses parents, lesquels sont actuellement bien portants; il n'est par ailleurs pas question qu'il soit mis au bénéfice d'une importante avance d'hoirie. Ses charges, non contestées, sont de 4'476 fr. 35; en y ajoutant les montants qu'il est disposé à payer à titre de contributions d'entretien en faveur de ses enfants (2'000 fr.), respectivement de paiement des charges hypothécaires (3'115 fr.), il fait face à un déficit mensuel de plus de 9'500 fr. En lui imputant le paiement de contributions d'entretien encore plus élevées pour ses filles et en allouant une contribution à son épouse, son déficit se monterait alors à plus de 12'500 fr.; or, il lui est impossible de faire face à ces charges " ad personam ". Le recourant expose que son minimum vital est clairement entamé, qu'il ne peut compter sur le soutien financier de ses parents et qu'il se dirige " tout droit vers une faillite personnelle qui occasionnerait la perte de son logement, l'impossibilité de maintenir une couverture maladie et de garantir sa subsistance ". Il serait ainsi exposé à de graves difficultés financières totalement insurmontables, " sans compter le risque d'une condamnation pénale qui aurait pour conséquence de rendre encore plus aléatoire toute reconversion professionnelle ".
1.3.2. D'emblée, il convient de relever qu'il ne peut être tenu compte des faits sur lesquels le recourant fonde son argumentation et qui ne seraient pas constatés par l'arrêt querellé (cf. supra consid. 1.2). Il en va ainsi en particulier de la référence à sa reconversion professionnelle contrainte et de la prétendue absence de revenu " substantiel " et de fortune. Partant, le recourant ne remet pas en cause valablement la constatation du juge cantonal selon laquelle il n'apparaît pas que son minimum vital serait entamé, les contributions fixées restant dans le cadre de ce qui constituait le train de vie de la famille antérieurement, étant encore relevé que l'autorité précédente reproche au recourant de se contenter de conjectures et de généralités impropres à démontrer un éventuel dommage. Au demeurant, la situation du recourant demeure floue dès lors qu'il n'explique pas comment, sans revenus ni fortune, il peut proposer de verser des contributions mensuelles de 2'000 fr. pour ses enfants. Il en découle que le recourant ne parvient pas à démontrer que la décision querellée, entraînant le paiement de sommes d'argent, l'exposerait ici exceptionnellement à un préjudice irréparable.
2.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être déclaré irrecevable, aux frais du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Une indemnité de dépens réduite est allouée à l'intimée, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif au présent recours mais n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral, est mise à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 juillet 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg