Erwägungen:
1.
Am 3. Oktober 2021 ersuchte der Beschwerdeführer gegenüber der Beschwerdegegnerin um Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4 für Fr. 3'000.-- nebst Zins und Kosten. Mit Urteil vom 5. Oktober 2021 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 13. Oktober 2021 Beschwerde. Mit Beschluss und Urteil vom 21. Januar 2022 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren und die Beschwerde ab.
Dagegen hat der Beschwerdeführer mit einer auf den 31. Januar 2022 datierten Eingabe (Postaufgabe unbekannt; Eingang beim Bundesgericht am 8. Februar 2022) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Der Beschwerdeführer hat für die Beschwerde ein Couvert des Bundesgerichts aus einem früheren Verfahren verwendet und dieses dem Bundesgericht retour geschickt. Dieses Vorgehen ist missbräuchlich. Zudem kann auf diese Weise das Datum der Postaufgabe nicht eruiert werden. Das Risiko des mangelnden Nachweises der Rechtzeitigkeit der Beschwerde trägt der Beschwerdeführer. Vorliegend ist die Beschwerde allerdings noch vor Ablauf der Beschwerdefrist beim Bundesgericht eingetroffen.
3.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
4.
Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer setze sich - abgesehen von aufgrund des Novenverbots nicht zu berücksichtigenden Vorbringen - mit dem angefochtenen Entscheid nicht auseinander. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren hat das Obergericht infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen.
Vor Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer mit diesen Erwägungen nicht in genügender Weise auseinander und er legt nicht hinreichend dar, inwiefern gegen verfassungsmässige Rechte verstossen worden sein soll. Der abstrakte Vorwurf der Willkür und der Befangenheit sowie die Behauptung, "alles" sei nicht aussichtslos gewesen, genügen dazu nicht. Ebenso wenig genügt die unbelegte Behauptung, das Obergericht könne das Novenverbot nicht anwenden, da alle Beweise seit dem ersten Tag vorgelegt worden seien. Die Beschwerde stimmt im Übrigen weitgehend wörtlich mit der im Verfahren 5A_129/2022 (betreffend ein Aufsichtsverfahren nach Art. 17 ff. SchKG) behandelten überein. Sie bezieht sich damit teilweise gar nicht auf das vorliegende Rechtsöffnungsverfahren. Zudem ergibt sich, dass der Beschwerdeführer seine Vorbringen und Rügen zumindest teilweise standardmässig und ohne Bezug auf den konkreten angefochtenen Entscheid vorzubringen scheint, soweit die entsprechenden Beschwerdeverfahren in Zusammenhang mit seinem früheren Mietverhältnis stehen.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg