Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn nahm am 27. August 2018 eine Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen (unbekannte) Mitarbeiter der Arbeitslosenkasse und/oder des regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) nicht an die Hand. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies die Vorinstanz am 22. November 2018 ab.
Im Mai 2019 gelangte der Beschwerdeführer in derselben Sache unter Verweis auf seiner Auffassung nach falsche Abrechnungen erneut an die Staatsanwaltschaft und in der Folge an die Beschwerdegegnerin. Diese teilte dem Beschwerdeführer mit, das Strafverfahren sei rechtskräftig abgeschlossen und für die Staatsanwaltschaft bestehe kein weiterer Handlungsbedarf. Dem Beschwerdeführer stehe die Möglichkeit einer Rechtsverweigerungsbeschwerde offen. Die daraufhin vom Beschwerdeführer erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde wies die Vorinstanz am 15. Januar 2020 mit der Begründung ab, neue Beweismittel oder Tatsachen, die für eine strafrechtliche Verantwortung der vom Beschwerdeführer beschuldigten Personen sprechen würden, lägen nicht vor, weshalb der Staatsanwaltschaft keine Rechtsverweigerung vorgeworfen werden könne, wenn sie aufgrund der erneuten Meldung des Beschwerdeführers "kein neues Strafverfahren" eröffne.
2.
Mit Beschluss vom 29. Januar 2020 trat die Vorinstanz auf ein "Wiedererwägungsgesuch" des Beschwerdeführers nicht ein, da die StPO eine solche Möglichkeit bei verfahrensabschliessenden Entscheiden nicht vorsehe. Auf den in Rechtskraft erwachsenen Beschluss vom 15. Januar 2020, mit dem die Rechtsverweigerungsbeschwerde abgewiesen wurde, könne nicht zurückgekommen werden. Die Vorinstanz erhob für den Beschluss vom 29. Januar 2020 keine Gerichtskosten.
Der Beschwerdeführer gelangt an das Bundesgericht und beantragt zusammengefasst, der Beschluss der Vorinstanz sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin anzuweisen, das Strafverfahren wiederaufzunehmen.
3.
Der Beschwerdeführer ist vorliegend zur Beschwerde in Strafsachen nicht legitimiert. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich nur berechtigt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung allfälliger, ihr durch die Straftat entstandener Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; BGE 141 IV 1 E. 1.1). Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche gegen Mitarbeiter der kantonalen Arbeitslosenkasse und/oder des RAV beurteilen sich nach dem Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons Solothurn (BGS 124.21) und sind damit öffentlich-rechtlicher Natur (vgl. §§ 1 und 2 Abs. 1 VerantwortlichkeitsG/SO; BGE 141 IV 1 E. 1.1; Urteil 6B_175/2019 vom 9. August 2019 E. 1.1). Die geschädigte Person kann Beamte nicht unmittelbar belangen (§ 2 Abs. 2 VerantwortlichkeitsG/SO).
Damit kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer an der Aufhebung des Nichteintretensbeschlusses ohne Kostenfolge, der einer (erneuten) materiellen Prüfung der Rechtssache nicht entgegensteht, ein rechtlich geschütztes Interesse hat. Der Vorinstanz ist insoweit in Erinnerung zu rufen, dass nach gefestigter Rechtsprechung die unrichtige Bezeichnung eines Rechtsmittels unschädlich ist (BGE 138 I 367 E. 1.1 S. 370; Urteil 6B_171/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 1). Zwar sieht die StPO keine "Wiederwägung" verfahrensabschliessender Entscheide vor, jedoch ist es den Strafbehörden in den engen Grenzen von Art. 323 Abs. 1 und Art. 410 ff. StPO möglich, auf rechtskräftige verfahrensabschliessende Entscheide zurückzukommen. Ob die gesetzlichen Voraussetzungen hierfür erfüllt sind, hat im Falle einer Wiederaufnahme ausschliesslich die Staatsanwaltschaft zu beurteilen (vgl. Art. 323 Abs. 1 StPO; siehe auch: Art. 2 Abs. 2 StPO). Entscheidet diese über ein Gesuch um Wiederaufnahme eines rechtskräftig eingestellten Verfahrens nicht innert angemessener Zeit mittels eines anfechtbaren Entscheids, kann die Beschwerdeinstanz im Rahmen einer daraufhin erhobenen Rechtsverweigerungsbeschwerde mangels Zuständigkeit nicht (auch) über eine allfällige Wiederaufnahme entscheiden.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Es rechtfertigt sich vorliegend, auf eine Kostenauflage ausnahmsweise zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held