Faits :
A.
A._, ressortissante serbe née en 1979, est entrée en Suisse en 1999 afin d'y demander l'asile. Sa demande a été rejetée et l'intéressée a été admise provisoirement. Le 7 février 2008, A._ a obtenu une autorisation de séjour. Elle a épousé un compatriote en 2009. Le 13 septembre 2011, A._ a donné naissance à B._, dont le père n'était pas son époux. Elle a divorcé en juin 2012.
En novembre 2013, A._ a été condamnée pour recel à une peine pécuniaire de 30 jours-amende. Elle émarge à l'aide sociale depuis octobre 2010. Le 21 octobre 2014, l'Office cantonal de la population et des migrations de la République et canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) a invité l'intéressée à tout mettre en oeuvre pour ne plus devoir recourir à l'aide sociale. Le 2 mai 2016, cet office a adressé un avertissement écrit à A._ pour l'informer qu'en cas de persistance de dépendance à l'aide sociale, son autorisation de séjour pourrait ne pas être prolongée.
B.
Par décision du 30 août 2019, l'Office cantonal a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de A._ et de son fils B._, celle-ci dépendant de l'aide sociale depuis 2010, pour un montant, à la date de la décision, de 308'579 fr. A._ et son fils ont recouru contre cette décision le 30 septembre 2019 auprès du Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève qui, par jugement du 3 février 2020, a rejeté ce recours. Le 5 mars 2020, A._ et B._ ont contesté ce prononcé auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Celle-ci a rejeté le recours par arrêt du 16 juin 2020.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de dépens, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 16 juin 2020 et de prolonger leurs autorisations de séjour.
La Cour de justice, l'Office cantonal et le Secrétariat d'Etat aux migrations renoncent à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références). En l'occurrence, dans la mesure où la recourante invoque une violation de l'art. 8 CEDH et qu'elle se trouve en Suisse depuis plus de 20 ans, dont environ douze ans au bénéfice d'une autorisation de séjour, cette disposition est potentiellement de nature à lui conférer un droit (cf. ATF 144 I 266 consid. 3.9 p. 278 s.), le recourant, mineur, pouvant pour sa part à tout le moins prétendre à rester avec sa mère en application de l'art. 8 CEDH.
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par les destinataires de l'arrêt attaqué qui ont un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur de dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), est recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Sans toutefois citer de dispositions légales, les recourants estiment leur renvoi de Suisse impossible (cf. art. 83 al. 1 et 2 LEI [RS 142.20]). Or, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent le renvoi (art. 83 let. c ch. 4 LTF), respectivement l'exécution de celui-ci et, partant, l'octroi d'une admission provisoire (art. 83 let. c ch. 3 LTF). Ces points ne peuvent être contestés auprès du Tribunal fédéral qu'au moyen du recours constitutionnel subsidiaire contre une décision cantonale de dernière instance. Dans ce cas, le recours doit néanmoins respecter le devoir accru de motivation (art. 106 al. 2 LTF par renvoi de l'art. 117 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3 p. 310). Dans la mesure où les recourants contestent l'arrêt de la Cour de justice sur ce point, sans expliquer en quoi ils disposent d'un intérêt juridiquement protégé, respectivement sans invoquer la violation d'un quelconque droit fondamental à ce propos, il n'y a pas lieu d'examiner ce grief. Le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent irrecevable.
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF (ATF 142 I 155 consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 141 IV 369 consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
En l'occurrence, les recourants présentent leurs propres vision et appréciation des faits de manière totalement appellatoire, notamment en relation avec la situation professionnelle actuelle de la recourante. Pour se faire, ils se fondent sur de nouveaux moyens de preuve, postérieurs à l'arrêt entrepris, ce qui ne saurait être admis devant le Tribunal fédéral. Dans ces conditions, le grief, à tout le moins implicite, d'établissement inexact des faits ne peut qu'être écarté et le Tribunal fédéral statuera sur la seule base des faits retenus par l'autorité précédente.
3.
La recourante se trouve en Suisse depuis 1999 et est au bénéfice d'une autorisation de séjour depuis 2008. En application de la jurisprudence développée à l'ATF 144 I 266, elle peut par conséquent se prévaloir de l'art. 8 CEDH pour obtenir la prolongation de cette autorisation.
3.1. En effet, dans cet arrêt, après avoir rappelé la position de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: la CourEDH) sur le droit au respect de la vie familiale et le droit au respect de la vie privée, le Tribunal fédéral a précisé et structuré sa jurisprudence relative au droit à une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH. Ce droit dépend fondamentalement de la durée de la résidence en Suisse de l'étranger. Lorsque celui-ci réside légalement depuis plus de dix ans en Suisse, ce qui correspond en droit suisse au délai pour obtenir une autorisation d'établissement ou la naturalisation, il y a lieu de partir de l'idée que les liens sociaux qu'il a développés avec le pays dans lequel il réside sont suffisamment étroits pour que le refus de prolonger ou la révocation de l'autorisation de rester en Suisse ne doivent être prononcés que pour des motifs sérieux. Lorsque la durée de la résidence est inférieure à dix ans mais que l'étranger fait preuve d'une forte intégration en Suisse, le refus de prolonger ou la révocation de l'autorisation de rester en Suisse peut également porter atteinte au droit au respect de la vie privée (ATF 144 I 266 consid. 3 p. 271 ss et les références).
3.2. Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH n'est toutefois pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible selon l'art. 8 par. 2 CEDH, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale ou à la protection des droits et libertés d'autrui. La mise en oeuvre d'une politique restrictive en matière de séjour des étrangers constitue un but légitime au regard de cette disposition conventionnelle (ATF 144 I 266 consid. 3.7 p. 276 et les références). Le refus d'octroyer une autorisation de séjour (ou d'établissement) fondé sur l'art. 8 par. 2 CEDH ne se justifie que si la pesée des intérêts à effectuer dans le cas d'espèce fait apparaître la mesure comme proportionnée aux circonstances (ATF 139 I 145 consid. 2.2 p. 147 s. et les références). Lors de l'examen de la proportionnalité, il y a lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, la durée de son séjour en Suisse, son degré d'intégration, ainsi que le préjudice qu'il aurait à subir avec sa famille du fait de l'expulsion, respectivement du refus d'accorder ou de prolonger une autorisation de séjour (ATF 139 I 145 consid. 2.4 p. 149). Dans la pesée des intérêts, il faut tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (cf. art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses parents (cf. ATF 144 I 91 consid. 5.2 p. 98 et les références). Cela étant, un droit effectif au regroupement familial en faveur des enfants d'un étranger au bénéfice d'un droit de présence assuré en Suisse ne peut découler de l'art. 8 CEDH qu'à condition que les exigences fixées par le droit interne aux art. 43 ss LEtr (à présent LEI) soient respectées (cf. ATF 137 I 284 consid. 2.6 p. 292; arrêt 2C_668/2018 du 28 février 2020 consid. 6.2 et les références, destiné à la publication).
En outre, la LEI énumère à son art. 62 al. 1 les divers motifs de révocation et de refus de prolonger (cf. art. 33 al. 3 LEI) une autorisation de séjour. Ainsi, selon l'art. 62 al. 1 let. e LEI, l'autorité compétente peut notamment révoquer une telle autorisation si l'étranger lui-même ou une personne dont il a la charge dépend de l'aide sociale.
3.3. En l'occurrence, on doit constater que, malgré la durée importante de son séjour en Suisse, la recourante n'est aucunement intégrée dans ce pays. Selon les faits retenus par la Cour de justice, depuis 1999, la recourante n'a travaillé qu'entre 2004 et 2009. Avant et après cette période, elle a émargé à l'aide sociale, si bien qu'en décembre 2019, la dette qu'elle avait à ce titre se montait à près de 320'000 fr. Certes, elle a donné naissance à son enfant en 2011 et a dû s'en occuper, a fortiori en tant que parent célibataire, le père n'ayant aucun contact avec son fils. Il ressort néanmoins de l'arrêt entrepris que cet enfant a été pris en charge dans un jardin d'enfants dès 2014, avant d'intégrer l'école obligatoire. On ne saurait par conséquent admettre, comme le laisse entendre la recourante, que, durant près de dix ans, le fils a empêché sa mère de trouver un emploi rémunéré lui permettant de ne plus dépendre de l'aide sociale. A cela s'ajoute que l'Office cantonal a averti à deux reprises la recourante du risque qu'elle encourait à ne pas subvenir elle-même à ses besoins financiers. Au demeurant, même si les arguments de la recourante pour expliquer l'absence d'obtention d'un emploi, relatifs en particulier à la situation sanitaire mondiale, ne sont fondés sur aucun élément de fait ressortant de l'arrêt entrepris, il convient de lui faire remarquer que ceux-ci frôlent la mauvaise foi, dans la mesure cette situation perdure depuis moins d'une année et qu'elle est depuis au moins dix ans sans emploi. La recourante remplit donc les conditions de l'art. 62 al. 1 let. e LEI (cf. arrêt 2C_984/2018 du 7 avril 2020 consid. 5.3, dans lequel le Tribunal fédéral avait admis l'existence d'un cas de révocation de l'autorisation de séjour pour une dette d'aide sociale bien moins importante; cf. également arrêt 2C_1039/2019 du 6 février 2020 consid. 5.2).
A l'absence d'intégration professionnelle de la recourante s'ajoute l'absence d'intégration sociale. L'autorité précédente a retenu à ce propos que la recourante n'était engagée dans aucune vie associative ou culturelle et qu'elle n'avait pas fait état de liens particuliers en Suisse. Par ailleurs, on ne saurait passer sous silence sa condamnation pénale, certes ancienne, mais qui, ajoutée aux éléments qui précèdent, démontre l'absence totale d'intégration.
3.4. Les recourants désirent sans conteste demeurer en Suisse. On relèvera cependant que la recourante a passé toute son enfance et son adolescence dans son pays d'origine, pays dans lequel elle a encore à tout le moins sa mère, qu'elle a d'ailleurs visitée à plusieurs reprises avec son fils entre 2017 et 2019. Ainsi, même si une réintégration dans le pays d'origine ne sera à l'évidence pas aisée, la recourante pourra donc compter sur le soutient de ses proches. Quant au recourant, force est de constater qu'il ne possède un droit de séjour qu'en raison du droit dont disposait sa mère, la recourante, à résider durablement en Suisse. Ce droit s'étant éteint, il ne peut plus se prévaloir d'un droit à séjourner en Suisse et doit suivre sa mère à l'étranger (cf. arrêt 2C_536/2013 du 30 décembre 2013 consid. 2.3, non publié in ATF 140 II 129), ce même en application de l'art. 8 CEDH (cf. ATF 144 I 266 consid. 3.3 p. 272 et les références). La Cour de justice a ainsi confirmé à bon droit la révocation de l'autorisation de séjour du recourant.
3.5. Dans ces conditions, et en prenant en particulier en compte la dépendance chronique de la recourante à l'aide sociale depuis de très nombreuses années, ainsi que les avertissements reçus à ce propos, on ne peut que confirmer l'appréciation de l'autorité précédente, quant à la proportionnalité de la mesure de refus de prolongation de l'autorisation de séjour. Il ne saurait donc en l'espèce être question de violation de l'art. 8 CEDH.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, les recourants doivent supporter les frais judiciaires, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, à l'Office cantonal de la population et des migrations et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 20 octobre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette