Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. xx. W._ 1948) reiste am 5. Juli 2004 mit seiner Ehefrau und dem gemeinsamen Sohn unter falscher Identität ("B._") und unter Angabe eines falschen Geburtsdatums (yy. Z._ 1948) in die Schweiz ein und suchte hier um Asyl nach. Sein Asylgesuch wurde vom damaligen Bundesamt für Flüchtlinge mit Verfügung vom 14. Oktober 2004 abgewiesen. Gleichzeitig wurde die Wegweisung angeordnet. Dieser Anordnung leisteten A._ und seine Familienangehörigen allerdings keine Folge. Ein zweites Asylgesuch A._s wurde am 9. August 2010 ebenfalls abgewiesen. Daraufhin ersuchten A._, seine Ehefrau und der gemeinsame Sohn beim Migrationsamt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: das kantonale Migrationsamt) um Erteilung einer Härtefallbewilligung; diesem Gesuch entsprach das kantonale Migrationsamt am 7. März 2011. Seither verfügte A._ über eine - zuletzt bis zum 3. März 2019 verlängerte - Aufenthaltsbewilligung. Weil die Bemühungen A._s, unter dem Namen "B._" heimatliche Schriften zu erhalten, erfolglos blieben, stellte ihm das Bundesamt (heute: Staatssekretariat) für Migration einen vom 17. November 2014 bis 16. November 2019 gültigen Pass für eine schriftenlose ausländische Person aus.
1.2. Am 8. August 2018 wurde das kantonale Migrationsamt mittels anonymer Nachricht darüber in Kenntnis gesetzt, dass A._ bis anhin unter falscher Identität in der Schweiz gelebt habe. Er sei im Juli 2004 mit gültigem Touristenvisum über Malta in die Schweiz gelangt und habe dort seinen Reisepass und alle weiteren Dokumente vernichtet. A._ habe den Schweizer Behörden von Anfang an falsche Informationen vermittelt, um an eine Bewilligung zu gelangen. In Wirklichkeit verfüge er über einen gültigen chinesischen Reisepass und eine gültige chinesische Identitätskarte. Sowohl in der Schweiz wie auch in China erhalte er hohe Altersrenten und besitze dort sogar ein Haus.
Bereits kurz zuvor war A._ von der Flughafenpolizei Zürich mit einem gültigen chinesischen Pass lautend auf seinen richtigen Namen aufgegriffen worden. Anlässlich einer darauffolgenden Befragung gab er zu, gegenüber den schweizerischen Behörden falsche Personalien verwendet zu haben und im Juli 2004 mit einem gültigen Touristenvisum über Malta in die Schweiz eingereist zu sein. Das Staatssekretariat für Migration entzog A._ daraufhin mit Verfügung vom 12. Oktober 2018 das im Jahr 2014 ausgestellte schweizerische Ersatzdokument.
Mit Strafbefehl des Untersuchungsamts St. Gallen vom 7. Juli 2020 wurde A._ wegen mehrfacher Täuschung der Behörden nach Art. 118 AIG (SR 142.20) sowie wegen eines Vergehens nach Art. 31 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (ELG; SR 831.30) zu einer bedingten Geldstrafe von 130 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt.
1.3. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs verlängerte das kantonale Migrationsamt die Aufenthaltsbewilligung A._s mit Verfügung vom 13. Juni 2019 nicht mehr; zudem wies es ihn an, die Schweiz spätestens 60 Tage nach Rechtskraft der Verfügung zu verlassen. Die kantonalen Instanzen schützten diesen Entscheid (vgl. Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen vom 28. September 2020; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 23. Februar 2021). Das Verwaltungsgericht erwog zusammengefasst, dass vorliegend der Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. a AIG gegeben sei, weshalb die Aufenthaltsbewilligung nicht mehr zu verlängern sei; die Nichtverlängerung erweise sich als verhältnismässig (Art. 96 Abs. 1 AIG, Art. 8 Abs. 2 EMRK).
1.4. Mit Eingabe vom 4. März 2021 gelangte A._ gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. Februar 2021 an das Bundesgericht, ohne allerdings Anträge zu stellen. Weil seine Beschwerde mit Blick auf Art. 42 Abs. 2 BGG auch in anderer Hinsicht mangelhaft erschien, wies das Bundesgericht ihn mit Schreiben vom 5. März 2021 darauf hin, dass die Rechtsmittelfrist noch laufe und er Gelegenheit habe, seine Eingabe zu verbessern und den gesetzlichen Begründungsanforderungen anzupassen. In der Folge reichte A._ am 12. und 16. März 2021 zwei weitere Eingaben ein.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung hat sachbezogen zu sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids zu beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein soll, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert (Art. 106 Abs. 2 BGG) begründet werden (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen).
2.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 4. März 2021 genügt den vorstehenden Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darin im Wesentlichen darauf, der Vorinstanz seine eigene Sicht der Dinge entgegenzuhalten; so behauptet er - ohne näheren Beleg -, in China keine sozialen Anknüpfungspunkte zu haben, dort kein Haus zu besitzen und auch keine Altersrente zu bekommen. Nachdem der Beschwerdeführer in keiner Weise auf die Aktenlage eingeht, auf welche die Vorinstanz ihren Entscheid abstützte, müssen die entsprechenden Behauptungen durchwegs als appellatorisch qualifiziert werden. Darauf ist nicht einzugehen (BGE 145 I 26 E. 1.3 S. 30). Eigentliche rechtliche Rügen enthält die Eingabe ferner nicht.
2.3. Angesichts der bis zum 13. April 2021 laufenden Beschwerdefrist hat das Bundesgericht den Beschwerdeführer am 5. März 2021 ausdrücklich auf die Mangelhaftigkeit seiner Eingabe vom 4. März 2021 hingewiesen. Daraufhin hat dieser zwei weitere Schreiben an das Bundesgericht gerichtet. In beiden Eingaben beschränkt er sich darauf, den von ihm bereits in der ersten Eingabe vertretenen Standpunkt zu wiederholen. Auch diese beiden Eingaben genügen den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (vgl. E. 2.2 hiervor).
2.4. Die Beschwerde enthält nach dem Gesagten offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); es kann indessen davon abgesehen werden, ihm Kosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner