Sachverhalt:
A.
X._ wurde im Nachlass von B._, dem am 31. Juli 2006 verstorbenen Vater von A._, als Willensvollstrecker eingesetzt. Im Nachgang zur Nachlassabwicklung erstattete der Ehemann von A._ am 15. März 2007 Strafanzeige gegen X._ wegen Betrug, Wucher etc. Er warf X._ vor, ein übersetztes Willensvollstreckerhonorar bezogen zu haben. Die Staatsanwaltschaft stellte das Verfahren ein. Der vom Anzeigeerstatter erhobene Rekurs wurde abgewiesen. Das Bundesgericht trat auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (Urteil 6B_684/2008 vom 21. Oktober 2008). Die Einstellung erwuchs in Rechtskraft.
Am 21. November 2008 erstattete der Ehemann von A._ erneut Strafanzeige gegen X._ wegen eines Vermögensdelikts und Urkundenfälschung. X._ habe als Willensvollstrecker im bereits erwähnten Nachlass einen zu hohen Stundenaufwand in Rechnung gestellt und sich damit strafbar gemacht. Mit Beschluss vom 20. August 2009 trat die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt auf die Strafanzeige vom 21. November 2008 nicht ein. Eine vom Anzeigeerstatter dagegen erhobene Einsprache wies der Erste Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt am 31. August 2009 ab. Den vom Anzeigeerstatter am 4. September 2009 dagegen erhobenen Rekurs hiess das Strafgericht Basel-Stadt am 15. März 2011 zwar teilweise gut. Es stellte das Strafverfahren jedoch (gestützt auf eine vom Einspracheentscheid abweichende Begründung) ein und bestätigte insofern die erstinstanzliche Verfügung.
Am 8. Februar 2016 verlangte A._ bei der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt die Wiederaufnahme der beiden Strafverfahren. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 22. April 2016 ab.
B.
A._ erhob Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. April 2016. Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies die Beschwerde am 7. Juni 2017 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 7. Juni 2017 sei aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, das Strafverfahren gegen X._ wiederaufzunehmen.
Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn sie bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat (vgl. Art. 119 Abs. 2 lit. b StPO), werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (Art. 320 Abs. 3 Satz 1 StPO). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 6B_1358/2016 vom 1. Juni 2017 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 143 IV 241).
1.2. Zur Legitimation führt die Beschwerdeführerin aus, sie habe bereits im Wiederaufnahmegesuch ihren Willen bekundet, sich als Straf- und Zivilklägerin am Verfahren beteiligen zu wollen. Der Beschwerdegegner habe für seine Tätigkeit als Willensvollstrecker ein übersetztes Honorar bezogen und sich in diesem Zusammenhang strafbar gemacht. Ihr Zivilanspruch betrage ein Zehntel der Differenz zwischen dem bezogenen Honorar und dem nach Art. 517 Abs. 3 ZGB festzulegenden (angemessenen) Honorar. Die Forderung belaufe sich auf mindestens Fr. 2'161.50. Die Beschwerdeführerin legt der Beschwerde eine Erbteilungsvereinbarung bei. Darin bestätigen sämtliche Erben, dass die Erbschaft sowie allfällige Ansprüche gegen den Willensvollstrecker geteilt wurden. In der Vereinbarung wird ferner ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Beschwerdeführerin berechtigt ist, gegen den Willensvollstrecker unabhängig von den übrigen Erbinnen Ansprüche aus dem Willensvollstreckermandat geltend zu machen.
Das Willensvollstreckerhonorar stellt einen zivilrechtlichen Anspruch dar (siehe Urteil 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 1). Die Beschwerdeführerin könnte sich somit auf einen Zivilanspruch berufen, indem sie geltend macht, dass die Entschädigung das Resultat einer Straftat sei. Die Beschwerdeführerin äussert sich aber kaum zur möglichen Straftat. Die Frage der Beschwerdelegitimation kann letztlich offenbleiben, da die Beschwerde aus den folgenden Gründen ohnehin abzuweisen ist.
2.
2.1. Am 1. Januar 2011 trat die Eidgenössische Strafprozessordnung in Kraft. Eine vor dem 1. Januar 2011 verfügte Einstellung eines Strafverfahrens kann unabhängig von den Bedingungen nach bisherigem Verfahrensrecht unter den Voraussetzungen von Art. 323 StPO wieder aufgenommen werden (BGE 141 IV 93 E. 2.3; Urteil 6B_512/2012 vom 30. April 2013 E. 1.2). Gleiches gilt, wenn das Verfahren durch eine Nichtanhandnahme beendet wurde (vgl. Art. 310 Abs. 2 i.V.m. Art. 323 StPO; BGE 141 IV 194 E. 2.3; NIKLAUS SCHMID/DANIEL JOSITSCH, Praxiskommentar StPO, 3. Aufl. 2018, N. 8 zu Art. 310 StPO).
2.2. Gemäss Art. 323 Abs. 1 StPO verfügt die Staatsanwaltschaft die Wiederaufnahme eines durch Einstellungsverfügung rechtskräftig beendeten Verfahrens, wenn ihr neue Beweismittel oder Tatsachen bekannt werden, die für eine strafrechtliche Verantwortlichkeit der beschuldigten Person sprechen (lit. a) und die sich nicht aus den früheren Akten ergeben (lit. b). Diese beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (BGE 141 IV 194 E. 2.3 mit Hinweis).
Die Wiederaufnahmegründe entsprechen weitgehend jenen, die nach Art. 410 Abs. 1 lit. a StPO eine Revision begründen. Die Wiederaufnahme eines eingestellten Verfahrens ist jedoch an geringere Voraussetzungen geknüpft als die Revision eines rechtskräftigen Urteils gemäss Art. 410 ff. StPO (BGE 141 IV 194 E. 2.3 mit Hinweisen). Gleichwohl stimmt der Begriff der neuen Beweismittel oder Tatsachen von Art. 323 Abs. 1 StPO mit demjenigen von Art. 410 Abs. 1 lit. a StPO überein (BGE 141 IV 93 E. 2.3). Es kann diesbezüglich auf die bisher ergangene Rechtsprechung verwiesen werden (z.B. BGE 141 IV 194 E. 2.3 mit Hinweisen). Ob eine Tatsache oder ein Beweismittel geeignet ist, die tatsächlichen Grundlagen des Urteils zu erschüttern, dessen Wiederaufnahme verlangt wird, ist eine Tatfrage. Rechtsfrage ist hingegen, ob die letzte kantonale Instanz von den richtigen Begriffen der "neuen Tatsache", des "neuen Beweismittels" und deren "Erheblichkeit" ausgegangen ist (vgl. BGE 130 IV 72 E. 1).
2.3. Die Beschwerdeführerin reicht zur Begründung des Wiederaufnahmegesuchs neun Schreiben zwischen dem Beschwerdegegner und der Bank C._ aus den Jahren 2003/2004 sowie Kontounterlagen der Bank C._ und Schreiben des Beschwerdegegners an die Erben aus dem Jahr 2004 ein. Diese Dokumente seien bisher nicht Bestandteil der Akten gewesen. Die neuen Dokumente würden belegen, dass der Beschwerdegegner als Willensvollstrecker nach dem 1. Oktober 2004 keine oder zumindest keine grösseren Aufwendungen mehr getätigt habe. Dennoch habe er sich für angeblich nach dem 1. Oktober 2004 angefallene Aufwendungen ein Honorar ausbezahlen lassen. Damit habe er sich strafbar gemacht. Die Vorinstanz habe die Wiederaufnahme des Strafverfahrens zu Unrecht verweigert und verletze damit Art. 323 StPO. Wenn die neu eingereichten Dokumente der Rekurskammer bereits im Zeitpunkt ihrer früheren Entscheide vorgelegen hätten, hätte sie bereits damals zu einem anderen Schluss gelangen müssen. Der Unterschied zur damaligen Situation liege darin, dass bisher nicht bekannt gewesen sei, dass ein Teil des Zeitaufwands auf einer Schätzung beruhe. Es sei zudem auch nicht beweisbar gewesen, dass am 1. Oktober 2004 die Bemühungen in Zusammenhang mit der Nachlassverwaltung mehrheitlich abgeschlossen gewesen seien und dass es offensichtlich unnötig gewesen sei, eine "Zeitaufwandreserve" einzuberechnen.
2.4. Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid in erster Linie auf die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 22. April 2016. Sie erwägt, der Beschwerdegegner habe seiner Honorarrechnung drei Elemente zugrundegelegt. Es seien dies der erfasste Zeitaufwand bis 1. Oktober 2004, der geschätzte Zeitaufwand nach dem 1. Oktober 2004 sowie ein Interessenwertzuschlag. Bereits im Rekurskammerentscheid des Strafgerichts vom 15. März 2011 sei zu beurteilen gewesen, ob der Umfang des geltend gemachten Zeitaufwandes durch ein strafrechtlich relevantes Verhalten festgelegt worden sei. Namentlich sei es um den Zuschlag eines geschätzten zukünftigen Zeitaufwandes zusätzlich zum effektiv bis zum Zeitpunkt der Rechnungsstellung erfassten Zeitaufwandes gegangen. Die Rekurskammer sei zum Schluss gekommen, dass die Schätzung aufgrund der vom Beschwerdegegner genannten ausstehenden Tätigkeiten korrekt erscheine. Schon damals sei der Auszug der elektronischen Zeiterfassung der Anwaltskanzlei des Beschwerdegegners vorgelegen und schon damals habe sich nicht beweisen lassen, dass der Beschwerdegegner und seine Mitarbeiter die zusätzlich verrechneten Stunden auch tatsächlich geleistet hatten. Dies habe die Rekurskammer jedoch nicht davon abgehalten, das Verfahren gestützt auf die Angaben des Beschwerdegegners bezüglich der Üblichkeit einer "Zeitaufwandreserve" und ihrer Notwendigkeit einzustellen. Sämtliche strafrechtlich relevanten Fragen seien bereits in den früheren Rechtsmittelverfahren beurteilt worden, wobei der Anzeigeerstatter dort im Wesentlichen dieselben Einwendungen vorgebracht habe wie nun die Beschwerdeführerin. Bezüglich der mutmasslich zu viel verrechneten Stunden habe sich die Beweislage im Verhältnis zum Zeitpunkt des Nichteintretensbeschlusses der Staatsanwaltschaft vom 20. August 2009 und des Entscheids der Rekurskammer vom 15. März 2011 durch die eingereichten Unterlagen nicht wesentlich verändert. Die Staatsanwaltschaft habe die Wiederaufnahme zu Recht verweigert.
2.5. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör respektive der Begründungspflicht, denn die Vorinstanz gehe auf ihre Einwendungen nicht ein und setze sich mit den neuen Beweismitteln nicht auseinander. Die Rüge ist unbegründet. Die Vorinstanz musste sich nicht mit jedem einzelnen Vorbringen auseinandersetzen. Vielmehr konnte sie sich auf die für ihren Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 143 III 65 E. 5.2; 139 IV 179 E. 2.2; 138 IV 81 E. 2.2; je mit Hinweisen). Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, auf welche Überlegungen die Vorinstanz ihren Entscheid im Wesentlichen stützt (vgl. dazu E. 2.4). Die Vorinstanz geht auf die geltend gemachten Einwendungen respektive die eingereichten Unterlagen ein und legt dar, weshalb sie zum Schluss gelangt, diese würden an der Beweislage nichts ändern und somit nicht für eine Verantwortlichkeit des Beschwerdegegners sprechen. Nach dem Gesagten ist weder ersichtlich noch dargelegt, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid nicht sachgerecht angefochten werden konnte und eine Gehörsverletzung ist zu verneinen.
2.6. Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche "Sachverhaltsfeststellung". Mit ihren Ausführungen wendet sie sich allerdings gegen die Darstellung des Verfahrensablaufs, welchen die Vorinstanz unter dem Titel "Sachverhalt" abhandelt. Die diesbezüglichen Vorbringen, wie etwa, die Vorinstanz hätte an dieser Stelle erwähnen müssen, dass zwischen den Erbinnen und dem Willensvollstrecker ein besonderes Vertrauensverhältnis bestanden habe, sind gänzlich ungeeignet, eine Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen. Im Übrigen ist die vorinstanzliche Darstellung des Verfahrensganges weder unvollständig noch, wie von der Beschwerdeführerin behauptet, offensichtlich unrichtig.
2.7. Die Beschwerdeführerin wendet ferner ein, es sei nie von einer "Zeitaufwandreserve" die Rede gewesen. Dieser Einwand erweist sich ebenfalls als unzutreffend. Gemäss Vorinstanz hielt die Rekurskammer bereits in ihrem Entscheid vom 15. März 2011 fest, dass eine "Zeitaufwandreserve" einberechnet worden sei. Die Beschwerdeführerin verweist selber auf die entsprechenden Passagen des Entscheids. Ihre diesbezüglichen Einwendungen hätte sie daher bereits im Rekursverfahren geltend machen müssen.
2.8. Die Beschwerdeführerin macht eine Vielzahl weiterer Einwendungen geltend. So beanstandet sie die Erwägungen der Vorinstanz bezüglich der Höhe des Willensvollstreckerhonorars. Die Vorinstanz erwägt, der effektive Zeitaufwand wäre nur zu prüfen, wenn es Anhaltspunkte dafür gäbe, dass das Gesamthonorar mit der effektiven Gesamtleistung in einem Missverhältnis stünde. Ein solches Missverhältnis liege nicht vor. Dass kein gesamthaftes Missverhältnis bestehe, sei bereits in den Entscheiden des Strafgerichts und der Aufsichtskommission festgestellt worden. Daran würden die eingereichten Dokumente nichts ändern. Selbst wenn der effektive Zeitaufwand geringer gewesen wäre als der geschätzte, würde dies am Gesamtbetrag wenig ändern, da der Zeitaufwand bloss einer der Paramenter für die Honorarberechnung sei. Die Vorinstanz führt darüber hinaus eine Kontrollrechnung durch. Der Beschwerdeführerin ist insofern zuzustimmen, als dass nicht nachvollziehbar ist, weshalb die Vorinstanz in erster Linie den Tatbestand des Wuchers prüft. Einerseits beanzeigte der Ehemann der Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner nicht nur wegen Wucher, sondern auch wegen weiterer Vermögensdelikte; darauf geht die Vorinstanz nur am Rande ein. Andererseits hatte die Vorinstanz nicht die Strafbarkeit des Beschwerdegegners an sich zu prüfen, sondern einzig, ob die Voraussetzungen von Art. 323 StPO gegeben sind. Am Resultat ändert dies allerdings nichts. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, immer wieder zu behaupten, nach dem 1. Oktober 2004 sei kein oder kein wesentlicher Aufwand mehr angefallen, womit sich die Sachverhaltsfeststellung im Rekurskammerentscheid vom 15. März 2011 als falsch und die Reserveposition als überflüssig erweise. Eine Bundesrechtsverletzung vermag sie damit nicht aufzuzeigen. Selbst wenn in der Honorarabrechnung aufgrund der einberechneten "Zeitaufwandreserve" mehr Stunden ausgewiesen worden wären als anschliessend tatsächlich geleistet wurden, ist weder ersichtlich noch konkret dargetan, welcher der beanzeigten Straftatbestände sich mit den neu eingereichten Dokumente beweisen liesse. Ein angeblich übersetztes Honorar könnte die Beschwerdeführerin allenfalls auf dem Zivilweg zurückfordern. Die Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht, wenn sie die Erheblichkeit der eingereichten Dokumente verneint.
Hinzu kommt, dass sämtliche Erbinnen dem Beschwerdegegner die Décharge erteilt und die Richtigbefundsanzeigen genehmigt haben. Die Beschwerdeführerin konsultierte vor der Déchargeerteilung einen Anwalt. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, sie könne nicht auf ihrer Décharge-Erklärung behaftet werden, da damals nicht alle Dokumente vorgelegen hätten, sie vom von ihr konsultierten Anwalt falsch beraten worden und einem Willensmangel unterlegen sei, kann ihr nicht gefolgt werden. Wenn die Beschwerdeführerin selber behauptet, sie habe im Zeitpunkt der Entlastung des Willensvollstreckers nur sehr wenige Informationen bezüglich der Berechnung des Honorars gehabt ("eigentlich lediglich einen Einzeiler"), so kann sie sich nicht nachträglich auf einen Willensmangel und die Verletzung der Rechenschaftspflicht durch den Beschwerdegegner berufen. Vielmehr hätte sie das Willensvollstreckerhonorar bereits wesentlich früher überprüfen und anfechten können. Einen durch die angebliche Fehlberatung des damaligen Anwalts verursachten Willensmangel würde überdies in erster Linie das Verhältnis zwischen diesem und der Beschwerdeführerin betreffen.
Schliesslich hält die Vorinstanz im Sinne einer Eventualerwägung fest, dass der Beschwerdegegner, wäre es ihm darum gegangen, ein höheres Honorar zu generieren, den Interessenwertzuschlag geringfügig hätte anheben können. Es sei nicht ersichtlich, weshalb er stattdessen das ihm vorgeworfene Vorgehen hätte wählen sollen. Für ein Strafverfahren wegen allfälliger Vermögensdelikten fehle es an konkreten Verdachtsmomenten. Diese Erwägungen sind nicht zu beanstanden und was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, ist nicht stichhaltig. Insbesondere sind ihre Ausführungen zur Unzulässigkeit des Interessenwertzuschlags unbeachtlich. Die Frage der Zulässigkeit des Interessenwertzuschlags wurde abschliessend beurteilt. Gleiches gilt für die Rügen der Beschwerdeführerin bezüglich der Berechnungsmethode bzw. der Angemessenheit des Willensvollstreckerhonorars. Dass die Vorinstanz unter den genannten Umständen keine weiteren Ausführungen gemacht oder Sachverhaltsabklärungen vorgenommen hat, verletzt Art. 6 und Art. 7 StPO nicht. Die Verweigerung der Wiederaufnahme der Strafverfahren ist bundesrechtskonform.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da er im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung aufgefordert wurde und ihm somit keine Umtriebe entstanden sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär