Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1968) ist Staatsangehöriger von Nordmazedonien. Er kam am 23. September 2001 in die Schweiz und durchlief hier erfolglos ein Asylverfahren. Seine von ihm geschiedene Frau und die vier gemeinsamen Kinder (B._ [geb. 1989], Emine [geb. 1991]; Mejla [geb. 1993] und Leonora [geb. 2002]) wurden vorläufig aufgenommen. A._ verliess am 30. April 2005 die Schweiz. Er kam am 8. Juli 2005 hierher zurück und heiratete am 30. August 2005 eine niederlassungsberechtigte Staatsangehörige von Bosnien/Herzegowina, worauf ihm am 20. Oktober 2005 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin erteilt wurde. Die Ehe ist nach wiederholter Aufgabe des gemeinsamen Haushalts am 1. Februar 2010 geschieden worden. Das Migrationsamt des Kantons Aargau (heute: Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau) erteilte A._ in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung (Art. 50 AIG; bis zum 1. Januar 2019: AuG), welche es letztmals bis zum 31. Oktober 2017 verlängerte.
B.
B.a. A._ erlitt am 3. Mai 2009 einen Verkehrsunfall; vom 10. Februar 2010 bis in den Dezember 2017 bezog er insgesamt Sozialhilfeleistungen im Umfang von Fr. 149'000.--. Während seiner Anwesenheit in der Schweiz wurde er zwischen Dezember 2001 und Januar 2015 wiederholt straffällig: insgesamt wurde er zu Freiheitsstrafen von 66 Tagen, Geldstrafen von 214 Tagessätzen und Bussen von Fr. 2'650.-- verurteilt. Es bestehen zudem sieben nicht getilgte Verlustscheine im Umfang von rund Fr. 50'000.-- gegen ihn.
B.b. Das Migrations- und Integrationsamt des Kantons Aargau sah gestützt hierauf am 22. November 2017 davon ab, die Bewilligung von A._ zu verlängern, und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Einspracheentscheid des Rechtsdienstes des Amtes für Migration und Integration vom 15. März 2018 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. Mai 2019). Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass A._ in erheblichem Mass Sozialhilfegelder bezogen habe und eine künftige weitere Abhängigkeit realistischerweise nicht auszuschliessen sei; im Übrigen habe er wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. Mai 2019 "und die unrechtmässig und widerrechtlich verfügte Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung" aufzuheben und "rückgängig zu machen". Seine Aufenthaltsbewilligung sei "ordnungskonform" zu verlängern; eventuell sei er zu verwarnen. Gegebenenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen. Der angefochtene Entscheid sei unverhältnismässig; ein Teil der bezogenen Sozialhilfeleistungen stünden im Zusammenhang mit seinem Autounfall. Die Strafen beträfen im Wesentlichen untergeordnete Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz. Er arbeite gegenwärtig zu 50 % in fester Anstellung, was es ihm ermögliche "am Existenzminimum zu leben, mithin bis auf weiteres nicht fürsorgeabhängig zu werden". In verfahrensrechtlicher Hinsicht macht er geltend, dass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Einspracheverfahren zu Unrecht wegen Aussichtslosigkeit der Begehren abgewiesen worden sei. Das Verwaltungsgericht habe den Kostenentscheid seiner Vorinstanz in unzulässigerweise geschützt.
Das Departement Volkswirtschaft und Inneres (Amt für Migration und Integration) und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 13. Juni 2019 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der Beschwerdeführer, der sich seit rund 18 Jahren in der Schweiz aufhält (davon deren 4 im Asylverfahren), kann sich in vertretbarer Weise auf den Schutz seines Anspruchs auf Privatleben berufen (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) : Das Bundesgericht hat in BGE 144 I 266 ff. (dort E. 3.8 und 3.9) erwogen, dass nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von zehn Jahren regelmässig davon auszugehen sei, dass die sozialen Bindungen zur Schweiz sich derart entwickelt hätten, dass besondere Gründe erforderlich erschienen, um den Aufenthalt einer ausländischen Person zu beenden (siehe auch das Urteil 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 5.1). Ob die Bewilligung des Beschwerdeführers zu Recht nicht verlängert wurde, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen; Urteil 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 1.2).
1.2. Kein Bewilligungsanspruch besteht gestützt auf die Beziehung zu seiner geschiedenen Gattin, da die Ehe - nach zahlreichen Krisen - am 1. Februar 2010 geschieden worden ist (Urteil 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 1.1). Seine Bewilligung beruhte in der Folge zwar auf Art. 50 AIG, doch beruft er sich nicht hierauf; er macht nicht geltend, diese Bestimmung sei verletzt worden (vgl. nachstehende E. 2.1). Auch gestützt auf das Verhältnis zu den Kindern kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten: Art. 8 EMRK und Art. 13 BV schützen in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Nachkommen. Die Kinder des Beschwerdeführers sind inzwischen alle volljährig bzw. stehen kurz vor der Volljährigkeit, ohne dass ein über die üblichen familiären Beziehungen bzw. emotionalen Bindungen hinausgehendes, besonderes Abhängigkeitsverhältnis bestünde (BGE 144 II 1 E. 6.1 S. 12 f.; Urteil 2C_269/2018 vom 23. April 2019 E. 4.3, je mit zahlreichen weiteren Hinweisen). Zwar ist der Beschwerdeführer gesundheitlich angeschlagen, er wendet aber nicht ein (vgl. nachstehende E. 2.1), für seine Pflege von den Familienangehörigen abhängig zu sein.
1.3. Da ein Bewilligungsanspruch gestützt auf den Schutz des Privatlebens (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) - zumindest implizit - in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (vgl. E. 1.1) und die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Rügen, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 142 I 135 E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 136 II 304 E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG); es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (BGE 142 I 135 E. 1.6 S. 144 f.; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein soll, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von Art. 9 BV, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt liess oder es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 f.; Urteile 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4 und 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2).
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet das angefochtene Urteil weitgehend appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese derjenigen der Vorinstanz in einer Weise gegenüber, wie er dies in einem Rechtsmittelverfahren mit voller Prüfungskognition tun könnte; er legt nur punktuell dar, inwiefern das Verwaltungsgericht die Beweise in Verletzung von Art. 9 BV (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich fehlerhaft festgestellt hätte. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt eine rein appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu Art. 42 BGG). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden nur die Rügen, die der Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet hat (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Der Beschwerdeführer macht vorweg geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Zu Unrecht:
3.1. Im angefochtenen Entscheid wurde der Umstand berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer nach einer Anstellung ab Februar 2018 bei der F._ GmbH gearbeitet hat; seit dem 19. Oktober 2018 ist er zu 50 % bei der G._ GmbH als Vorarbeiter, Maler und Chauffeur tätig; der Vertrag bei der F._ GmbH sah eine Arbeit als Maler auf Abruf vor und durfte deshalb willkürfrei als "prekär" beurteilt werden. Das Verwaltungsgericht hält ausdrücklich fest, dass der Beschwerdeführer seit Februar 2018 nicht mehr beim Sozialdienst U._ registriert und folglich seit diesem Zeitpunkt auch nicht mehr fürsorgeabhängig ist; auch insofern wurde der Sachverhalt weder falsch noch unvollständig festgestellt.
3.2. Das Verwaltungsgericht hat anerkannt, dass der Beschwerdeführer heute einer unbefristeten Arbeit nachgeht. Sie durfte bei der Einschätzung des künftigen Risikos einer erneuten Sozialhilfeabhängigkeit im Rahmen der Beweiswürdigung - ohne Verletzung von Art. 9 BV (Willkür) - nicht nur auf die derzeitige Beschäftigung des Beschwerdeführers abstellen, sondern auch sein bisheriges Verhalten auf dem Arbeitsmarkt und den Umfang seiner bisherigen Fürsorgeabhängigkeit berücksichtigen. Die Feststellung, wonach nicht mit genügender Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden könne, dass er in Zukunft dauerhaft in der Lage sein werde, für seinen Lebensunterhalt aufkommen zu können, ist trotz des Umstands, dass der Beschwerdeführer derzeit arbeitet, - wie zu zeigen sein wird (vgl. nachstehende E. 4.3.3) - nicht offensichtlich unhaltbar.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer kritisiert, dass die Vorinstanz irrtümlich davon ausgegangen sei, dass er nur 6 Monate gearbeitet habe, bezieht sich diese Frist auf die zeitlich unbeschränkte Anstellung bei der G._ GmbH; das Verwaltungsgericht hat aber nicht verkannt, dass er bereits zuvor eine andere Arbeitsstelle gefunden hatte. Dem vorliegenden Urteil ist im Folgenden somit der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.
4.1. Gemäss Art. 33 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20) ist die Aufenthaltsbewilligung befristet und kann verlängert werden, wenn keine Widerrufsgründe nach Art. 62 AIG vorliegen. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers erfolgte gestützt auf den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG. Da der Beschwerdeführer sein Gesuch um Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2019 gestellt hat, ist auf dieses grundsätzlich noch die altrechtliche Regelung anwendbar; diese unterscheidet sich in den umstrittenen Punkten indessen nicht von der neuen Regelung, weshalb die Frage des anwendbaren Rechts letztlich dahingestellt bleiben kann (vgl. Art. 126 Abs. 1 AIG; die Urteile 2C_212/2019 vom 12. September 2019 E. 4.1 und 2C_167/2018 vom 9. August 2018 E. 2 mit Hinweisen). Die zuständige Behörde kann unter anderem die Aufenthaltsbewilligung widerrufen bzw. nicht verlängern, wenn die Ausländerin oder der Ausländer oder eine Person, für die sie oder er zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist. Dabei geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Es muss auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung bei der ausländischen Person abgestellt werden; erforderlich ist eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit. Es ist neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen auch die wahrscheinliche künftige finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin in die Beurteilung miteinzubeziehen.
4.2.
4.2.1. Eine auf Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG gestützte Nichtverlängerung der Bewilligung fällt grundsätzlich in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft längerfristig selbständig für ihren Lebensunterhalt wird aufkommen können (BGE 139 I 330 E. 4.1 u. 4.2; 122 II 1 E. 3c S. 8 f.; Urteile 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.1 und 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5). Liegt der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit vor, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme auch verhältnismässig erscheint (Urteil 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.1 mit Hinweisen). Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind für die Beurteilung, ob dies der Fall ist, namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihrer Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen; zu beachten ist zudem die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Bindungen sowohl im Gast- wie im Heimatstaat (vgl. das Urteil 2C_1040/2017 vom 21. Dezember 2018 E. 4.2 mit Hinweisen).
4.2.2. Ob der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG gegeben ist, wird objektiv - ohne Rücksicht auf das Verschulden - beurteilt. Massgeblich ist die Höhe der ausgerichteten Beträge und die prognostische Beurteilung, ob - wenn der Betroffene während des ausländerrechtlichen Verfahrens wieder eine Stelle gefunden hat - mit einer damit verbundenen dauerhaften Ablösung von der Sozialhilfe gerechnet werden kann. Die Abhängigkeit von der Sozialhilfe muss verschuldet und von einem gewissen Gewicht sein; Sozialhilfebezüge infolge einer unverschuldeten Notlage oder Arbeitslosigkeit erfüllen die Voraussetzungen von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG nicht (MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, Rz. 14 zu Art. 62 AIG).
4.3.
4.3.1. Der Beschwerdeführer war knapp sieben Jahre von der Sozialhilfe abhängig; zuvor bezog er Arbeitslosengelder. Zwar erlitt er am 3. Mai 2009 einen Autounfall, dieser mag ihn anfangs in seiner Erwerbsfähigkeit beeinträchtigt haben, indessen nicht über die ganzen sieben Jahre hinweg. Der Beschwerdeführer bezog vom 1. Februar 2010 bis in den Dezember 2017 von der Sozialhilfe rund Fr. 149'000.--, was als erheblich zu gelten hat, auch wenn davon ausgegangen würde, dass der Bezug eines Teils der Gelder im Hinblick auf seinen Unfall und seine anschliessende gesundheitliche Situation nicht als selbstverschuldet gelten kann. Der Beschwerdeführer geht davon aus, dass die Unterstützungsleistungen - bereinigt - "nur" Fr. 104'000.-- betrügen; auch diese Summe ist jedoch noch beachtlich. Das Bundesgericht hat eine Sozialhilfeleistung von Fr. 109'500.-- über sieben Jahre als "erheblich" bezeichnet, sodass auch bei der vom Beschwerdeführer als nicht auf seinen Unfall bzw. seine gesundheitlichen Probleme zurückzuführenden Anteil der Fürsorgeleistungen von einem erheblichen Bezug auszugehen ist (Urteile 2C_358/2011 vom 28. November 2011 E. 4.1 und 2C_268/2011 vom 22. Juli 2011 E. 6.2.3 mit Hinweis auf BGE 123 II 529 E. 4 S. 533).
4.3.2. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau kam am 30. Oktober 2013 zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer eine leichte bis mittelschwere Arbeit zugemutet werden könne. Insgesamt sei ihm die erlernte Tätigkeit als Maler indessen nicht mehr zumutbar; leichte oder mittelschwere Arbeiten könne er aber ganztags ausüben. Es sei von einem Invaliditätsgrad von 10 % auszugehen, was zu keinem Rentenbezug berechtige. Trotz voller Arbeitsfähigkeit (ausgeschlossen sind schwere Arbeiten mit repetitivem Heben und Tragen von Lasten über 25 kg) ging der Beschwerdeführer lange Zeit keiner Erwerbstätigkeit nach; zum Zeitpunkt seines Unfalls war er bereits seit 18 Monaten arbeitslos. Erst mit der Androhung des Widerrufs seiner Bewilligung begann er, sich wiederum aktiv um eine Arbeitsstelle zu bemühen. Auch während seiner selbständigen Erwerbstätigkeit (H._-Kaffee) von 2014 bis 2016 musste er - etwas reduziert - von der öffentlichen Hand unterstützt werden, was sich zu seinen Gunsten im Gesamtbetrag niedergeschlagen hat. Die entsprechende Tätigkeit kann im Hinblick auf seine zu dieser Zeit fortdauernden Sozialhilfeabhängigkeit nicht als nachhaltig gelten. Ohne sie hätte der Beschwerdeführer noch stärker unterstützt werden müssen. Ziel der Sozialhilfe ist es nicht, eine unrentable selbständige Erwerbstätigkeit ergänzend zu finanzieren. Bis zur Einleitung und des Drucks des Widerrufsverfahrens gelang es dem Beschwerdeführer nicht, in der Schweiz eine gefestigte und langfristige Arbeitsstelle zu finden, die es ihm erlaubt hätte, finanziell auf eigenen Füssen zu stehen. Bereits in der Zeit vor dem Autounfall ging er keiner regelmässigen Tätigkeit nach, welche es ihm ermöglicht hätte, für sich selber zu sorgen. Der Beschwerdeführer weist zwar darauf hin, dass er monatlich Fr. 200.-- an die Sozialhilfe zurückzahle; es geht dabei jedoch nicht um freiwillige Leistungen, sondern um Rückforderungen der Sozialhilfebehörde im Zusammenhang mit zu Unrecht bezogenen Leistungen (Verschweigen von zwei Darlehen).
4.3.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, inzwischen zwei Arbeitsplätze in seinem angestammten Beruf als Maler gefunden zu haben (F._ GmbH und G._ GmbH), ist gestützt auf die ärztlichen Befunde nicht auszuschliessen, dass er die letzte Stelle als Vorarbeiter, Maler und Chauffeur aus gesundheitlichen Gründen allenfalls wieder wird aufgeben müssen; die Ärzte und das Versicherungsgericht sind davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer "leichte bis mittelschwere Arbeiten" ganztags ausüben könne, hingegen nicht (mehr) seine Arbeit als Maler. Die entsprechende Arbeitsstelle kann somit noch nicht als auf längere Zeit gesichert gelten. Der Verdienst des Beschwerdeführers liegt nach wie vor - wie er selber zugesteht - am Existenzminimum, womit in Betracht kommt, dass er mangels der Möglichkeit, Reserven zu bilden, in absehbarer Zeit wieder fürsorgeabhängig werden könnte, zumal er - trotz seines langen Aufenthalts - die deutsche Sprache immer noch nicht beherrscht. Der Beschwerdeführer erfüllt den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG.
4.3.4. Es kann unter diesen Umständen dahingestellt bleiben, ob er auch den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. c AIG erfüllen würde, da er wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen oder diese gefährdet hat. Immerhin ist der Beschwerdeführer in der Schweiz straffällig geworden; dabei ging es nicht nur - wie er geltend macht - um untergeordnete SVG-Delikte. Der Beschwerdeführer musste wiederholt wegen Alkohols am Steuer verurteilt werden; er gefährdete dabei mit seinem unverbesserlichen Verhalten Leib und Leben der anderen Verkehrsteilnehmer. Der Beschwerdeführer wurde zwischen Dezember 2001 und Januar 2015 in insgesamt zehn Fällen strafrechtlich verurteilt und dabei insgesamt mit Freiheitsstrafen von 66 Tagen, Geldstrafen von 214 Tagessätzen und Bussen von Fr. 2'650.00 bestraft. Sein verpöntes Verhalten umfassten neben SVG-Delikten auch das Inumlaufsetzen falschen Geldes und eine einfache Körperverletzung. Erschwerend fällt ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer jeweils auch während laufender Bewährungsfristen straffällig wurde und er sich durch die Verurteilungen offensichtlich nicht von weiteren Straftaten hat abhalten lassen. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen der Tatsache, dass der Beschwerdeführer inzwischen wieder über seinen Führerausweis verfügt, keine besondere Bedeutung beigemessen hat, ist dies nicht offensichtlich unhaltbar. Ein Strafverfahren ist noch hängig (Veruntreuung, Sachentziehung, Betrug, Irreführung der Rechtspflege); es gilt diesbezüglich jedoch die Unschuldsvermutung. Die entsprechenden strafrechtlich relevanten Vorkommnisse dürfen in der Gesamtabwägung hinsichtlich der Verhältnismässigkeit der Nichterneuerung der Bewilligung und des Wegweisungsentscheids mitberücksichtigt werden, selbst wenn sie für sich allein den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. c AIG nicht erfüllen sollten, wie der Beschwerdeführer geltend macht.
5.
5.1. Auch die detaillierte Interessenabwägung der Vorinstanz im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung ist - entgegen der appellatorischen Kritik des Beschwerdeführers (vgl. vorstehende E. 2.3) - nicht zu beanstanden: Die Feststellung, dass der Beschwerdeführer mit Blick auf seine lange Aufenthaltsdauer in kultureller, sozialer, beruflicher und wirtschaftlicher Hinsicht insgesamt eher mangelhaft integriert sei, verletzt weder Art. 9 BV (Willkür; Beweiswürdigung) noch Art. 96 Abs. 1 AuG. Zwar leben seine volljährigen Kinder in der Schweiz, doch unterhält er nur punktuelle Beziehungen zu ihnen und es besteht kein Abhängigkeitsverhältnis, das über eine normale Eltern-Kind-Beziehung hinausginge. Der Beschwerdeführer leidet unter gesundheitlichen Beschwerden, doch durfte das Verwaltungsgericht im Rahmen der Beweiswürdigung willkürfrei annehmen, dass diese auch in Nordmazedonien adäquat behandelt werden könnten. Es ist nicht davon auszugehen, dass sich sein Gesundheitszustand im Falle des Vollzugs der Wegweisung erheblich verschlechtern würde. Dies wird vom Beschwerdeführer denn auch weder behauptet, noch belegt.
5.2. Der Beschwerdeführer kritisiert, dass die kantonalen Behörden ihn nicht vorerst verwarnt und ihm jeweils die Bewilligung ohne Weiteres verlängert hätten, ohne ihn zu ermahnen. Den Behörden seien die Gründe bekannt gewesen, die heute dazu führten, dass seine Bewilligung nicht mehr verlängert werde. Das entsprechende Vorgehen widerspreche dem Grundsatz von Treu und Glauben. Tatsächlich wäre es angemessen gewesen, wenn die kantonalen Behörden den Beschwerdeführer erst verwarnt hätten. Umgekehrt musste es diesem aufgrund der gesamten Umstände klar gewesen sein, dass sein Verhalten (Fürsorgeabhängigkeit/Strafbarkeit) auf die Dauer zu einer Reaktion der Behörden führen würde. Er konnte nicht gutgläubig annehmen, seine Lebensweise stelle ausländerrechtlich kein Problem dar. Er durfte das Zuwarten der Behörden vernünftigerweise nicht als Vertrauensgrundlage dafür werten, dass ihm die Bewilligung - trotz Fürsorgeabhängigkeit und Delinquenz - weiterhin anstandslos verlängert würde.
5.3. Der Beschwerdeführer verliess seine Heimat im Alter von 33 Jahren. Er hat wesentliche Lebensabschnitte in Nordmazedonien verbracht; die Vorinstanz durfte deshalb - wiederum willkürfrei - davon ausgehen, dass er mit den dortigen gesellschaftlichen Gepflogenheiten nach wie vor vertraut ist; es bestehen diesbezüglich gute Wiedereingliederungschancen, zumal der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben Albanisch, Mazedonisch und Serbisch spricht. Im Jahr 2001 lebten seine Eltern und eine verheiratete Schwester noch an seinem Herkunftsort. Wie es sich heute damit verhält, hat der Beschwerdeführer - trotz seiner Mitwirkungspflicht - nicht dargelegt; er behauptet lediglich, zu seiner Heimat keine Beziehung mehr zu unterhalten. Aufgrund seiner Sprachkenntnisse und der (beschränkten) beruflichen Erfahrungen ist es ihm möglich, in Nordmazedonien wieder Fuss zu fassen. Die Beziehungen zu seinen (erwachsenen) Kindern kann er von der Heimat aus besuchsweise und über die modernen Kommunikationsmittel pflegen. Da die Kinder volljährig sind oder kurz vor der Volljährigkeit stehen, können sie ihn ihrerseits auch in der gemeinsamen Heimat besuchen. Der Beschwerdeführer räumt im Übrigen ein, dass die Bindungen zu seinen Kindern "nicht sehr stark" seien.
5.4. Das Bundesgericht schliesst sich der Einschätzung der Vorinstanz an, dass bei der Gesamtwürdigung der sich gegenüberstehenden öffentlichen und privaten Interessen das öffentliche Interesse an der Ausreise des Beschwerdeführers dessen "bestenfalls mittleres privates Interesse" an einem weiteren Verbleib überwiegt. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Wegweisung des Beschwerdeführers verletzen weder nationales Recht noch Art. 8 EMRK. Für die Interessenabwägung kann ergänzend auf die detaillierten Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (dort E. 3 S. 18 - 30). Es erübrigt sich, diese hier zu wiederholen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, ihm sei im Einspracheverfahren in verfassungswidriger Weise die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen einer angeblichen Aussichtslosigkeit seiner Begehren verweigert worden; das Verwaltungsgericht habe diese Auffassung in Verletzung von § 22 Abs. 2 der Verfassung vom 25. Juni 1980 des Kantons Aargau (SR 131.227) bestätigt. Diese Bestimmung sehe lediglich vor, dass "wenig Bemittelte [...] Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege" hätten; die Aussichtslosigkeit sei kein Kriterium; der Gesetzgeber dürfe diesen Anspruch nicht inhaltlich bzw. materiell beschränken.
6.2. Die Argumentation überzeugt nicht: Der Verfassungsgeber des Kantons Aargau ging davon aus, dass § 22 Abs. 2 KV/AG gleich zu verstehen sei, wie der Anspruch auf Bundesebene (Art. 29 Abs. 3 BV: Bedürftigkeit und keine Aussichtslosigkeit); zudem bedürfe er der Konkretisierung im Gesetz (KURT EICHENBERGER, Verfassung des Kantons Aargau, Textausgabe mit Kommentar, 1986, N. 3 sowie N. 37 zu § 22 KV/AG).
6.3.
6.3.1. Mit dem Beschwerdeführer ist jedoch davon auszugehen, dass seine Rechtsmittelverfahren - insbesondere im Hinblick auf seine lange Anwesenheit im Land und den für ihn auf dem Spiel stehenden Interessen - nicht als "aussichtslos" qualifiziert werden konnten. Prozessbegehren sind "aussichtslos", wenn die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich die Gewinnaussichten und Verlustgefahren in etwa die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob sich auch eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (vgl. BGE 133 III 614 E. 5 S. 616).
6.3.2. Dies ist hier im Hinblick auf die konkrete Konsequenz der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach annähernd 18 Jahren Anwesenheit im Land der Fall: Das Verwaltungsgericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt, obwohl es davon ausging, dass sein Verfahren (wie jenes seiner Vorinstanz) eigentlich als als aussichtslos zu gelten hätte. Es hat auf rund 35 Seiten dargelegt, warum die bei ihm eingereichte Beschwerde unbegründet und deshalb abzuweisen sei. In dieser Situation konnte das Einspracheverfahren nicht zum vornherein als "aussichtslos" gelten, hatte das Verwaltungsgericht doch zahlreiche Punkte detailliert zu prüfen, wobei es teilweise auch zu anderen Einschätzungen als die Vorinstanz kam (Schuldhaftigkeit bezüglich der Sozialhilfeleistungen, Nichtberücksichtigung der zurückliegenden Verschuldung und deren Höhe etc.). Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen und das angefochtene Urteil insofern aufzuheben; die Vorinstanz wird festzulegen haben, in welchem Umfang die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Einspracheverfahren auszurichten ist.
7.
7.1. Die Beschwerde erweist sich somit als teilweise begründet und ist bezüglich des vom Verwaltungsgericht des Kantons Aargau geschützten negativen Entscheids betreffend das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Einspracheverfahren vor dem Rechtsdienst des Amts für Migration und Integration des Kantons Aargau gutzuheissen; im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
7.2. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren. Da die gesetzlichen Voraussetzungen hierfür gegeben sind (Art. 64 BGG), ist dem Gesuch zu entsprechen, soweit es nicht im Rahmen des Obsiegens des Beschwerdeführers gegenstandslos geworden ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. Mai 2019 insofern aufgehoben, als es die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im Einspracheverfahren vor dem Rechtsdienst des Amts für Migration und Integration schützt. Die Vorinstanz hat über das entsprechende Gesuch neu zu befinden. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist:
2.2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.3. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Patrick Stutz, Baden, als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben und diesem eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse zugesprochen.
3.
Der Kanton Aargau hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers im Rahmen von dessen Obsiegen mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar