Erwägungen:
1.
Die Beschwerdegegnerin ersuchte am 4. August 2017 beim Richteramt Bucheggberg-Wasseramt um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung gegenüber dem Beschwerdeführer für die Gemeindesteuern 2015 von Fr. 50.-- nebst Zins zu 3 % seit 15. Juni 2017 und für Fr. 2.15 Verzugszins bis 14. Juni 2017 sowie die Betreibungskosten von Fr. 20.30 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes der Region Solothurn). Der Amtsgerichtspräsident wies das Rechtsöffnungsbegehren mit Urteil vom 31. Oktober 2017 ab.
Gegen dieses Urteil erhob die Beschwerdegegnerin am 13. November 2017 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Sie verlangte die Rechtsöffnung für Fr. 52.15 nebst Zins zu 3 % seit 15. Juni 2017. Mit Urteil vom 12. Januar 2018 hiess das Obergericht die Beschwerde teilweise gut und erteilte die definitive Rechtsöffnung für Fr. 51.75. Im Übrigen wies es das Rechtsöffnungsgesuch ab.
Am 8. Februar 2018 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer gegen dieses Urteil Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Aufgrund des tiefen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (Art. 116 BGG). Diese ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe selber eine definitive Veranlagung 2015 vom 28. Februar 2017 mit einem Steuerbetrag von Fr. 50.-- und einem Verzugszins von Fr. 1.75 eingereicht. Diese sei ihm unbestrittenermassen zugestellt worden. Sie sei ausdrücklich als definitive Veranlagung gekennzeichnet und enthalte eine Rechtsmittelbelehrung. Die Beschwerdegegnerin habe demgegenüber eine definitive Veranlagung 2015 vom 28. Februar 2017 für einen Gesamtbetrag von Fr. 52.15 mit undatierter Rechtskraftbescheinigung eingereicht. Offensichtlich sei diese Veranlagung für das Anbringen der Rechtskraftbescheinigung für das Rechtsöffnungsverfahren neu ausgedruckt worden. Dabei habe das Computersystem automatisch den aktuellen Verzugszins aufaddiert. Dass diese neue Veranlagung mit dem höheren Gesamtbetrag dem Beschwerdeführer zugestellt worden sei, sei weder erstellt noch behauptet. Sie stelle daher auch keinen Rechtsöffnungstitel dar. Anders liege es bei der vom Beschwerdeführer selber eingereichten Veranlagung. Für den sich daraus ergebenden Gesamtbetrag von 51.75 liege ein Rechtsöffnungstitel vor. An der Zustellung und Rechtskraft dieser Veranlagung bestünden keine Zweifel, zumal der Beschwerdeführer nicht behaupte, er habe sie angefochten.
Das Obergericht hat sodann den vom Beschwerdeführer erhobenen Einwand der Tilgung verworfen. Der Beschwerdeführer habe die definitiven Veranlagungen der Gemeindesteuern 2013, 2014 und 2015 sowie drei Bankbelege (vom 31. März 2015, vom 31. Mai 2016 und vom 31. Mai 2017) vorgelegt, die Zahlungen an die Beschwerdegegnerin auswiesen. Die Zahlungsbelege seien jeweils auf die Rückseite der Veranlagungen kopiert und so einander zugeordnet. Für die Gemeindesteuer 2015 von Fr. 51.75 werde nur ein Zahlungsbeleg über Fr. 50.-- vorgelegt. In den Vorjahren habe er die Steuern hingegen einschliesslich Verzugszinsen gezahlt. Der Beschwerdeführer erkläre nicht, weshalb er für das Steuerjahr 2015 anders als in den Vorjahren nur den Steuerbetrag ohne die aufgerechneten Verzugszinse bezahlt habe. Dass die erwähnte Zahlung sich auf die Gemeindesteuern 2015 beziehe, werde sodann lediglich durch den Aufdruck auf der Rückseite der Steuerveranlagung behauptet. Dies reiche für den Beweis nicht, dass damit die in Betreibung gesetzte Steuer 2015 bezahlt worden sei. Diese Zahlung könnte auch eine andere Forderung der Beschwerdegegnerin betreffen (z.B. Vorbezug der Gemeindesteuer für das Jahr 2017).
4.
Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, die Beschwerdegegnerin hätte beweisen müssen, dass er richtige Einzahlungsunterlagen erhalten habe. Automatische Abläufe könnten fehlerbehaftet sein. Soweit sich seine Einwände auf die behauptete Tilgung beziehen, übergeht er die vorinstanzliche Erwägung, dass er die Tilgung von Fr. 51.75 für das Steuerjahr 2015 hätte beweisen müssen (Art. 81 Abs.1 SchKG) und nicht die Beschwerdegegnerin das Fehlen der Tilgung. Sofern er das Bestehen einer Steuerschuld allgemein bestreiten möchte, so übergeht er, dass er vor Obergericht die Steuerveranlagung ausdrücklich nicht bestritten hat. Der Vorwurf, das obergerichtliche Urteil baue rein auf Hypothesen auf, stellt keine genügende Verfassungsrüge dar. Dies gilt insbesondere auch für die unbelegt bleibende Behauptung, er zahle seit Jahren keinen Vorbezug.
Der Beschwerdeführer rügt ausserdem Verfahrensfehler: In der Verfügung des Richteramts vom 11. August 2017 sei festgehalten worden, die Frist könne nicht erstreckt werden, sie sei dann mit Verfügung vom 5. September 2017 aber dennoch erstreckt worden. Abgesehen davon, dass das erstinstanzliche Urteil nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist (Art. 114 i.V.m. Art. 75 BGG), unterliegt der Beschwerdeführer hier einem Irrtum: Mit der Verfügung vom 11. August 2017 wurde der Beschwerdegegnerin Frist angesetzt zur Leistung eines Kostenvorschusses. Mit Verfügung vom 5. September 2017 wurde diesbezüglich eine Nachfrist angesetzt. Der Hinweis in der Verfügung vom 11. August 2017, wonach die Frist nicht erstreckt werden könne, bezieht sich nicht auf die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Der Hinweis steht unter der Rechtsmittelbelehrung der Verfügung und bezieht sich auf die dort angegebene Frist zur Beschwerde an das Obergericht (vgl. Art. 144 Abs. 1 ZPO). Die auf die angebliche Fristversäumnis gestützten Rügen (fehlende Rechtsgleichheit, Willkür) gehen demnach fehl. Inwieweit in diesem Zusammenhang verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen, ist weder dargetan noch ersichtlich.
Im Übrigen erhebt der Beschwerdeführer allgemeine Vorwürfe gegen die Beschwerdegegnerin (Begehen von Straftaten, seit Jahren willkürliche Verfahrensführung etc.) ohne konkreten Bezug zum vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren. Soweit er sich über den Kommunikationsstil der Beschwerdegegnerin beklagt, so handelt es sich dabei nicht um ein Anliegen, das im Rahmen eines Rechtsöffnungsverfahrens behandelt werden kann. Keine Willkür kann er dartun mit dem Vorwurf der "Überreaktion" oder der "überzogenen Verfahrensauslösung", auch wenn es nur um einen geringen Steuerbetrag geht.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg