Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 4. Dezember 2019 erteilte das Regionalgericht Emmental-Oberaargau dem Kanton Basel-Stadt gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Oberaargau, definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'040.-- nebst Zins.
Mit Eingabe vom 16. Dezember 2019 gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Bern (Verfahren ZK 19 658). Mit Schreiben vom 24. Dezember 2019 sandte das Obergericht die Eingabe dem Beschwerdeführer unter Hinweis auf Art. 132 Abs. 3 ZPO (betreffend querulatorische und rechtsmissbräuchliche Eingaben) zurück.
Mit Eingabe vom 15. Juni 2020 (Postaufgabe) ist der Beschwerdeführer hinsichtlich der obergerichtlichen Verfahren ZK 19 279 und ZK 19 658 an das Bundesgericht gelangt.
2.
Der Beschwerdeführer verlangt eine Parteiverhandlung. Wie ihm aus anderen Verfahren bekannt ist, besteht auf eine Parteiverhandlung nach Art. 57 BGG vor Bundesgericht kein Anspruch. Der vorliegende Entscheid kann ohne weiteres anhand der Akten gefällt werden.
3.
Der Beschwerdeführer hat den obergerichtlichen Endentscheid im Verfahren ZK 19 279 bereits erfolglos vor Bundesgericht angefochten (Urteil 5D_155/2019 vom 6. August 2019). Wie ihm sodann aus dem Urteil 5D_53/2020 vom 17. März 2020 bekannt ist, kann er jenen Entscheid nach dem Grundsatz der Einmaligkeit des Rechtsschutzes nicht noch einmal vor Bundesgericht anfechten (E. 2). Auf die nunmehr dritte Beschwerde gegen denselben obergerichtlichen Entscheid ist ohne Eröffnung eines separaten Beschwerdeverfahrens nicht einzutreten.
4.
Im Verfahren ZK 19 658 liegt kein vor Bundesgericht anfechtbarer Entscheid des Obergerichts vor. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist als Rechtsverweigerungsbeschwerde zu behandeln (Art. 94 BGG). Aufgrund des geringen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Rechtsverweigerungsbeschwerde in der Form der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) zu behandeln (zum Ganzen Urteil 5D_230/2017 vom 16. November 2017 mit Hinweisen). Es gilt die strenge Rügeobliegenheit gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG.
Die Beschwerde erschöpft sich im Wesentlichen in unzulässigen, über den Verfahrensgegenstand hinausgehenden Anträgen (Löschung einer Betreibung, Einleitung einer Strafuntersuchung, Genugtuung etc.) sowie in weitschweifigen Ausführungen zu Sachverhalten, die keinen erkennbaren Bezug zur Rechtsöffnung im Verfahren ZK 19 658 haben. Mit alldem zeigt der Beschwerdeführer nicht ansatzweise auf, weshalb das Obergericht seine kantonale Beschwerde hätte an die Hand nehmen müssen.
Die Beschwerde ist offensichtlich unzulässig, enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung und ist überdies querulatorisch und rechtsmissbräuchlich. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg