Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1970) und B._ (geb. 1971) sind die seit 2002 verheirateten, getrennt lebenden Eltern der Kinder C._ (geb. 2007) und D._ (geb. 2010). Auf Gesuch der Ehefrau hin regelte das Kreisgericht St. Gallen das Getrenntleben (Entscheid vom 10. August 2017). Das Kantonsgericht St. Gallen hiess eine vom Ehemann dagegen erhobene Berufung teilweise gut und regelte das Getrenntleben neu, wobei es namentlich die alternierende Obhut über C._ und D._ im Grundsatz bestätigte und den Betreuungsanteil des Vaters ausdehnte (Entscheid vom 19. April 2018).
A.b. Am xx.xx.2018 brachte die Ehefrau Zwillinge zur Welt, deren biologischer Vater E._, der Lebenspartner der Ehefrau, ist. Mit Entscheid vom 5. September 2019 hob das Kreisgericht die beiden Kindesverhältnisse zum Ehemann als rechtlichem Vater rückwirkend auf. Das Kantonsgericht trat in der Hauptsache auf die vom Ehemann dagegen erhobene Berufung nicht ein und wies das Rechtsmittel mit Bezug auf die angefochtene Kostenregelung ab (Entscheid vom 25. Januar 2021). Das Bundesgericht trat auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (Urteil 5A_183/2021 vom 9. März 2021).
A.c. Am 23. Mai 2019 stellte die Ehefrau ein Massnahmenbegehren, letztlich mit dem Zweck, die ihr zustehenden Pensionskassenansprüche zu sichern. Das Bezirksgericht ordnete die anbegehrte Kontosperre im Umfang von Fr. 270'000.-- an (Entscheid vom 11. Oktober 2019). Das Kantonsgericht hiess das vom Ehemann ergriffene Rechtsmittel teilweise gut (Entscheid vom 18. Januar 2021). Das Bundesgericht wies die Beschwerde des Ehemanns ab, soweit darauf einzutreten war (Urteil 5A_158/2021 vom 19. Mai 2021).
A.d. Am 1. August 2018 ersuchte die Ehefrau das Kreisgericht um Abänderung des Eheschutzentscheids vom 19. April 2018. Sodann reichte sie am 17. September 2018 die Scheidungsklage sowie ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen bzw. eine Ergänzung des Gesuchs um Abänderung der Eheschutzmassnahmen ein. Das Kreisgericht vereinigte die beiden Verfahren und entschied darüber am 7. Februar 2019. Unter anderem stellte es die Kinder C._ und D._ mit Wirkung ab 11. März 2019 unter die alleinige Obhut der Mutter, räumte dem Vater ein Besuchsrecht ein und regelte die Unterhaltsbeiträge.
A.e. Das Kreisgericht eröffnete seinen Entscheid zunächst lediglich im Dispositiv. Mit Eingabe vom 15. Februar 2019 beantragte der Ehemann bei diesem, die Vollstreckbarkeit des Entscheids sei unverzüglich aufzuheben. Das Kreisgericht wies das Begehren mit Entscheid vom 22. Februar 2019 ab.
B.
B.a. Der Ehemann wandte sich am 7. März 2019 mit Berufung gegen diesen Entscheid an das Kantonsgericht (kant. Verfahren FS.2019.6-EZE2). Bereits am 8. März 2019 ordnete der zuständige Richter des Kantonsgerichts im Rahmen einer dringlichen Massnahme an, in Bezug auf die Obhut über D._ und C._ gelte bis zum Ende der Frühjahrsferien 2019 die Regelung gemäss Entscheid des Kantonsgerichts vom 19. April 2018 und danach diejenige gemäss Entscheid des Kreisgerichts vom 7. Februar 2019. Er bestätigte diese Anordnung mit Schreiben vom 18. bzw. 23. April 2019 in dem Sinn, dass die Kinder ab 23. April 2019 unter der Woche von der Mutter und an den Wochenenden von Freitag, 18.00 Uhr bis Montagmorgen, 08.00 Uhr bzw. Schulbeginn abwechselnd vom Vater bzw. der Mutter betreut würden sowie jederzeit das Recht hätten, den Vater auch unter der Woche zu besuchen.
B.b. Am 18. März 2019 gelangte der Ehemann gegen den nunmehr schriftlich begründeten Massnahmenentscheid vom 7. Februar 2019 an das Kantonsgericht (kant. Verfahren FS.2019.7-EZE2).
B.c. Im Verlauf des Berufungsverfahrens ersuchte die Ehefrau darum, den Aufenthaltsort der Kinder von U._ nach V._ verlegen zu dürfen.
B.d. In seinem Entscheid vom 18. Januar 2021 vereinigte das Kantonsgericht die beiden Verfahren und schrieb das Verfahren FS.2019.6-EZE2 aufgrund des Entscheids in der Hauptsache als gegenstandslos ab (Dispositiv-Ziff. 1). In der Sache änderte es die Anordnungen des Kreisgerichts teilweise ab (Dispositiv-Ziff. 2 und 3).
Der Übersichtlichkeit wegen gibt das Bundesgericht die unverändert geltenden Anordnungen des Kreisgerichts und die oberinstanzlichen Regelungen zusammengesetzt wieder. Für die Zwecke der vorliegenden Beschwerde ist daher von folgendem Dispositiv auszugehen:
"1. Die Kinder F._ und G._, beide geb. 2018, werden unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter gestellt. Sie leben in der Obhut der Mutter. Dem Ehemann steht kein Kontaktrecht zu. Er hat keine Unterhaltspflicht gegenüber F._ und G._.
2. Die Kinder C._, geb. 2007, und D._, geb. 2010, werden per 23. April 2019 in die Obhut der Mutter gegeben. Die Kinder haben ihren Wohnsitz bei der Mutter. Diese ist ermächtigt, mit den Kindern nach V._ umzuziehen.
Bis und mit 22. April 2019 gilt die Regelung gemäss Ziff. 2.b des Kantonsgerichtsentscheids vom 19. April 2018.
3.-7. [aufgehoben]
8. Die Rechte und Pflichten aus dem Mietvertrag (inkl. Garage) der ehemaligen Familienwohnung an der yyy-Strasse, U._,, werden auf den Ehemann übertragen.
9. Die Mutter erhält die Schweizer, der Vater die Deutschen Reisedokumente von D._ und C._ zum Gebrauch.
10. a) Der Ehemann wird verpflichtet, der Ehefrau innert 30 Tagen vollständig Auskunft über seine in- und ausländischen Vermögenswerte per 21. Februar 2017 (Stichtag Gütertrennung) zu erteilen und ihr insbesondere innert gleicher Frist folgende Unterlagen zukommen zu lassen:
- Saldobestätigungen sämtlicher Wertschriften und Bank-/Postkonti per 21. Februar 2017
- Saldobestätigungen bzw. Bestätigung über den Rückkaufswert aller Guthaben aus Säule 3a und 3b bei Banken oder Versicherungen per 21. Februar 2017
b) Der Ehemann wird verpflichtet, der Ehefrau innert 30 Tagen Belege zum Stand sämtlicher während der Ehe angesparten Guthaben aus beruflicher Vorsorge im In- und Ausland per 17. September 2018 (Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens) zukommen zu lassen (Pensionskassenguthaben, Freizügigkeitsguthaben u.a.).
Der Ehemann wird verpflichtet, der Ehefrau innert 30 Tagen Belege zu allen während der Ehe ausbezahlten Guthaben aus beruflicher Vorsorge im In- und Ausland zukommen zu lassen.
11. [Abweisung der übrigen Anträge der Ehegatten]
12. [Kostenregelung des erstinstanzlichen Verfahrens]
13. Dem Vater und den Kindern C._ und D._ wird ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende von Freitag, 18.00 Uhr, bis Montagmorgen, 08.00 Uhr resp. Schulbeginn, eingeräumt. Ab dem Umzug nach V._ dauert das Besuchsrecht bis Sonntag, 18.00 Uhr.
Zudem sind der Vater und die Kinder berechtigt, die Hälfte der Schulferien miteinander zu verbringen. Ab dem Umzug nach V._ hat der Vater das Recht, mit den Kindern sieben Wochen der Schulferien zu verbringen. [Es folgt eine Regelung für die Feiertage.]
14. a) Die für die Kinder C._ und D._ angeordnete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB wird beibehalten.
b) Die angeordnete Erziehungsberatung wird aufgehoben.
d) Die Beiständin soll die Eltern bei der Regelung des persönlichen Verkehrs mit den Kindern und der notwendigen Kommunikation in Kinderbelangen unterstützen und begleiten. Sie soll mit den Eltern jährlich eine Regelung für die Ferien erarbeiten.
Die Beiständin hat den Auftrag, bei den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensten (KJPD) St. Gallen die Notwendigkeit einer psychotherapeutischen Begleitung von C._ und D._ (Gruppen- oder Einzeltherapie) abzuklären und, falls erforderlich, diese zu organisieren. Bei Uneinigkeit der Eltern entscheidet die Beiständin über den Therapeuten oder die Therapeutin. Die elterliche Sorge wird in diesem Sinne eingeschränkt.
15. Bis und mit 31. Dezember 2018 gilt die Regelung gemäss Ziff. 4 des Kantonsgerichtsentscheids vom 19. April 2018.
Die Ehefrau/Mutter bezahlt dem Ehemann/Vater monatlich und im Voraus folgende Unterhaltsbeiträge:
Ab 1. Januar 2019 bis 22. April 2019
a. bezahlt die Ehefrau/Mutter dem Ehemann/Vater monatlich und im Voraus für C._ und D._ einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 1'400.00, davon einen Betreuungsunterhalt von Fr. 705.00, und für den Ehemann persönlich Fr. 1'280.00.
b. Die Mutter trägt zudem die Kosten der Krankenkasse der Kinder, der Fremdbetreuung und der Vorsorge H._ der Kinder. Im Gegenzug behält sie die Kinderzulagen.
c. Die Kosten für sportliche Aktivitäten tragen zu 3/5 der Vater und zu 2/5 die Mutter.
Ab 23. April 2019 bis 31. August 2019
a. bezahlt die Ehefrau dem Ehemann monatlich und im Voraus einen persönlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'615.00.
b. Die Mutter trägt zudem die Kosten der Kinder. Der Vater ist verpflichtet, der Mutter allfällige Kinderzulagen weiterzuleiten.
16. Ab 1. September 2019 bis 31. Januar 2021 trägt die Mutter die Kosten der Kinder weiterhin allein. Der Vater ist verpflichtet, der Mutter allfällige Kinderzulagen weiterzuleiten.
Ab 1. Februar 2021 bezahlt der Vater der Mutter für C._ und D._ monatlich und im Voraus einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 800.00, zuzüglich einer allfälligen Kinderzulage.
17. Die Ziff. 5 des Eheschutzentscheids des Kreisgerichtes St. Gallen vom 10. August 2017 wird aufgehoben. Die Ziff. 2 des Kantonsgerichtsentscheids vom 19. April 2018 wird auf den 23. April 2019 aufgehoben. Die Ziff. 4 des Kantonsgerichtsentscheids vom 19. April 2018 wird rückwirkend ab 1. Januar 2019 aufgehoben. Im Übrigen bleiben die Entscheide unverändert."
Ansonsten hat das Kantonsgericht was folgt entschieden:
"4. Im Übrigen werden die Begehren von A._, soweit darauf einzutreten ist und sie nicht gegenstandslos sind, abgewiesen.
5. Das Gesuch von A._ um Verpflichtung von B._ zur Leistung von Prozesskostenvorschüssen wird abgewiesen.
6. Das Gesuch von A._ um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und, soweit darauf einzutreten ist, das Gesuch um Erlass der ihm bisher auferlegten Gerichtskosten werden abgewiesen.
7. Die Gerichtskosten der Berufungsverfahren von Fr. 14'985.75 (Entscheidgebühr Fr. 6'000.00; Entschädigung Rechtsanwältin I._ Fr. 215.40; Entschädigung Rechtsanwältin J._ Fr. 8'770.35) haben A._ und B._ je zur Hälfte zu bezahlen.
8. Ihre Parteikosten tragen A._ und B._ selber."
C.
C.a. Mit elektronischer Beschwerde vom 25. Februar 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt folgende Begehren: [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 1] sei von einer Aufhebung des Verfahrens FS.2019.6-EZE2 (Ablehnung der Kreisrichterin N._) abzusehen (Rechtsbegehren 1.1); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.2] seien die Kinder C._ und D._ rückwirkend per 23. April 2019 in die alleinige Obhut des Vaters zu geben und es sei ihr Wohnsitz zu ihm zu legen; eventuell sei die Regelung des Kantonsgerichts vom 19. April 2018 (geteilte Obhut) wiederherzustellen und B._ (Beschwerdegegnerin) sei der Wegzug nach V._ zu verbieten (Rechtsbegehren 1.2); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.13] habe die Besuchsrechtsregelung des angefochtenen Entscheids für die Mutter zu gelten; eventualiter, für den Fall, dass die Kinder in die Obhut der Mutter gegeben werden und diese nach V._ ziehen, sei er zu berechtigen, zwölf Wochen Ferien mit den Kindern zu verbringen, und die Feiertagsregelung sei beizubehalten (Rechtsbegehren 1.3); [die Dispositiv-Ziff. 2.14.a, b und d Absatz 1 Satzteil 1] seien zu bestätigen (Rechtsbegehren 1.4); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.14.d Absatz 1 Satzteil 2] sei er anstelle der Beiständin zu ermächtigen, die psychotherapeutische Begleitung abzuklären und zu beauftragen; eventuell sei die Beiständin zu ermächtigen, die psychotherapeutische Begleitung abzuklären und zu beauftragen (Rechtsbegehren 1.1 [ recte : 1.5]); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.15] seien die Unterhaltsbeiträge ab 1. Februar 2021 festzusetzen für den Fall, dass die Kinder in die alleinige Obhut des Vaters gestellt werden; eventualiter für den Fall, dass die Kinder in die geteilte Obhut gegeben werden; sub-eventualiter für den Fall, dass die Kinder unter die Obhut der Mutter gestellt werden und diese nach V._ ziehen (Rechtsbegehren 1.6); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.16 und 17] habe er keinen Unterhaltsbeitrag zu leisten, die Mutter habe die Kosten der Kinder ab 1. September 2019 bis 31. Januar 2021 selber zu tragen und Ziff. 4 des Kantonsgerichtsentscheids vom 19. April 2018 sei beizubehalten (Rechtsbegehren 1.7); [in Abänderung der Dispositiv-Ziff. 2.9] erhalte die Mutter die Schweizer ID-Ausweise und der Vater die Schweizer Pässe wie auch die deutschen Ausweisdokumente der Kinder (Rechtsbegehren 1.8); die Dispositiv-Ziff. 3 sei betreffend die erstinstanzlichen Dispositiv-Ziff. 1 (elterliche Sorge und Obhut über F._ und G._), 8 (Zuteilung der ehemaligen Familienwohnung) und 9.b (deutsche Reisepässe) zu bestätigen (Rechtsbegehren 1.9). Alle anderen Dispositiv-Ziffern seien "gesamthaft und im Einzelnen abzuändern, soweit sie nicht ausdrücklich anerkannt werden oder mit den Ausführungen des Beschwerdeführers übereinstimmen" und in Abänderung [der Dispositiv-Ziff. 3 mit Bezug auf die erstinstanzliche] Dispositiv-Ziff. 11 [ recte : 12] seien die Gerichtskosten zur Gänze der Ehefrau aufzuerlegen, unter Anrechnung ihres Kostenvorschusses (Rechtsbegehren 1.10). Ferner sei das Gesuch um Leistung von Prozesskostenvorschüssen im Umfang der noch nicht von der Ehefrau getragenen Prozesskosten gutzuheissen; eventualiter sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen; die oberinstanzlichen Gerichtskosten seien der Ehefrau aufzuerlegen; die Ehefrau sei zu verpflichten, dem Ehemann für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteikostenentschädigung in der Höhe der Gerichtskosten zu bezahlen (Rechtsbegehren 1.12 [ recte : 1.11]).
C.b. Ausserdem führt der Beschwerdeführer aus, das Kantonsgericht habe die folgenden Anträge "grundrechtsverletzend stossend missachtet":
"1. Es sei festzustellen, das Abänderungsverfahren aufgrund fehlender Voraussetzungen (ordre Public widriges/widerrechtliches Handeln/ Schrankenverletzungen berechtigen nicht zu Vorteilen aus Abänderung) abzuweisen.
2. Es sei der Abklärungsbericht der Berichterstatterin K._, vom 18.01.2019 wegen grober Verletzung gegen die Regeln der Kunst aus dem Recht zu nehmen und festzustellen, dass dieser unverwertbar ist.
2.1. Es sei die Kinderbefragung [von C._] durch den Kantonsrichter für unverwertbar zu erklären.
Es sei der Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 7. Februar 2019 [...] samt Begründung vom 8. März 2019 wegen Nichtigkeit, hilfsweise wegen grober Mangelhaftigkeit aufzuheben.
2.2. Es sei unter Bindung an die Rechtsmeinung des [Beschwerdeführers] das Verfahren und die Abänderungsentscheidung vor dem Kreisgericht, hilfsweise durch das Kantonsgericht durch einen neuen, unabhängigen und unparteiischen Richter zu wiederholen und von Anfang an eine qualifizierte Person mit der Kindervertretung zu betrauen, sowie ein kinderpsychologisches Gutachten anzufertigen.
2.3. Die [Beschwerdegegnerin habe] unter Androhung der Ungehorsamsstrafe nach Art. 292 StGB jegliche Instrumentalisierung und/oder Beeinflussung der [Kinder] gegen das rechtskräftige Eheschutzurteil vom 19.04.2018 zu unterlassen. Sollte sie dies nicht befolgen, sei die Besuchsbeiständin befugt, das Besuchsrecht der [Beschwerdegegnerin] gegenüber den [Kindern] ganz oder teilweise aufzuheben.
2.4. Die [Beschwerdegegnerin] sei unter Androhung der Ungehorsamsstrafe nach Art. 292 StGB angehalten, sich an rechtskräftige Entscheidungen zu halten und darüber hinaus sich an Art. 274 ZGB zu halten und alles zu unterlassen, was die Beziehungen zwischen dem [Beschwerdeführer und seinen Kindern] beeinflusst.
3. Es sei zu Gunsten des [Beschwerdeführers] die alleinige Obhut und das alleinige Sorgerecht unter Einbezug eines angemessenen Besuchsrechts zugunsten der [Beschwerdegegnerin] der [Tochter D._] und dem [Sohn C._] anzuordnen. In diesem Zusammenhang sei der Wohnsitz der Kinder bei dem [Beschwerdeführer] zu begründen.
18.1. Eventualiter sei in Bezug auf Ziffer 2.a des Rechtsbegehren, die alternierende Obhut zu 60 % Vater und 40 % Mutter [...] wie bereits gelebt zu bestätigen. In diesem Zusammenhang sei der Wohnsitz der Kinder bei dem [Beschwerdeführer] zu bestätigen.
18.2. Die Wochenenden, Ferien und hohen Feiertage bleiben unverändert paritätisch zwischen den Eltern verteilt.
4. Sub-Eventualiter sei in Bezug auf die Ziffern 2. (alleinige Obhut der Mutter), 3. (Wochenend- und Ferienbesuchsrecht des Vaters), 5. (Unterhaltsbeiträge der Mutter), 6. (Unterhaltsbeiträge des Vaters), 7. (Aufhebung Urteilswirkungen des Kreis- und Kantonsgerichts)., 9. (Zuhalten von Pässen), 10. (Einseitige Auskünfte nur vom Ehemann) des unbegründeten Entscheids vom 07.02.2019, Ermächtigung die aufschiebende Wirkung der Berufung zu erteilen. So, dass bis auf Weiteres auch nach dem 10.03.2019 die Regelungen gemäss Ziffer 2. a-c sowie 4. Absatz 2 a-c des rechtskräftigen Entscheids des Kantonsgerichts vom 19.04.2018 gelten.
5. Sub-Sub-Eventualiter sei im Urteil festzustellen, dass der Vater alles dafür getan hat, seine Kinder zu sehen, dies aber aufgrund des Verhaltens der Mutter nicht via Obhut sicherzustellen war."
Ferner beantragt der Beschwerdeführer die Edition diverser Unterlagen (Ziff. I/B der Beschwerde), stellt eine Vielzahl von prozessualen Anträgen (Ziff. I/C der Beschwerde), beantragt, dass der Kostenvorschuss und die Kosten des Verfahrens der Beschwerdegegnerin überbunden werden bzw. ihm eventuell die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werde (Ziff. I/D der Beschwerde), und stellt diverse Anträge auf Erlass vorsorglicher Verfügungen (Ziff. I/E der Beschwerde).
C.c. Der Präsident der urteilenden Abteilung hat die zahlreichen Begehren um vorsorgliche Massnahmen ohne Einholung von Vernehmlassungen mit Verfügung vom 1. März 2021 und das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Bezug auf die Obhutszuteilung, Wohnsitzregelung und Ermächtigung zur Verlegung des Aufenthaltsorts der Kinder nach Einholung von Vernehmlassungen am 19. März 2021 abgewiesen. Sodann wies der Instruktionsrichter das Gesuch vom 19. Mai 2021 bzw. 25. Mai 2021 um Anordnung von insgesamt neun vorsorglichen Massnahmen am 27. Mai 2021 ab.
C.d. Am 19. März 2021 hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht elektronisch und per Post eine "nachträgliche" Eingabe mit Beilagen eingereicht. Ferner liess er dem Bundesgericht am 26. Dezember 2021 eine weitere Eingabe samt Beilagen zukommen.
C.e. In der Sache hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen im Scheidungsverfahren ergangener kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), mit welchem das Kantonsgericht die Regelung des Getrenntlebens abgeändert hat. Es handelt sich um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Waren vor der Vorinstanz mehrere Begehren streitig, von denen - wie vorliegend mit der Frage der Obhutszuteilung und der Regelung des Besuchsrechts - eines oder mehrere nicht vermögensrechtlicher Natur sind, und sind dieselben Begehren - wie hier - auch noch vor Bundesgericht streitig, behandelt dieses die Sache insgesamt als nicht vermögensrechtlich (BGE 137 III 380 E. 1.1 mit Hinweis), d.h. es prüft nicht, ob die vermögensrechtlichen Begehren das massgebliche Streitwerterfordernis erfüllen.
An einer Bestätigung dessen, was die Vorinstanz des Bundesgerichts entschieden hat, besteht kein schutzwürdiges Interesse (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG), sodass auf die diesbezüglichen Begehren 1.4 und 1.9 nicht einzutreten ist (Urteil 5A_119/2021 vom 14. September 2021 E. 1.3 mit Hinweis). Sodann sind Feststellungsbegehren im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungs- oder Gestaltungsbegehren gewahrt werden kann (Art. 76 Abs. 1 BGG; BGE 141 II 113 E. 1.7; 135 III 378 E. 2.2; je mit Hinweisen). Das Feststellungsinteresse ist von der beschwerdeführenden Partei zu begründen und nachzuweisen (Art. 42 Abs. 2 BGG; Urteile 5A_1032/2019 vom 9. Juni 2020 E. 1.2; 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 1.2). Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu diesem Interesse. Daher ist auf seine Feststellungsbegehren nicht einzutreten.
Ansonsten ist der Beschwerdeführer gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und er hat die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeschrift ist mit einer gültigen qualifizierten elektronischen Signatur versehen (Art. 42 Abs. 4 BGG) und wurde über eine anerkannte Plattform übermittelt (Art. 42 Abs. 4 Bst. b BGG i.V.m. Art. 3 Abs. 1 des Reglements des Bundesgerichts vom 20. Februar 2017 über den elektronischen Rechtsverkehr mit Parteien und Vorinstanzen [ReRBGer; SR 173.110.29]). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben und wird die vom Beschwerdeführer als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichnete Eingabe als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen.
1.2. Der Beschwerdeführer erhebt seine Beschwerde auch im Namen der Kinder D._ und C._. Im vorinstanzlichen Verfahren wurde den Kindern indes eine Kindesvertreterin beigestellt, so dass diese selbständig ein Rechtsmittel hätten ergreifen können, was sie aber nicht getan haben. Aus diesen Gründen gilt im vorliegenden Verfahren einzig A._ als Beschwerdeführer; soweit dieser die Beschwerde auch im Namen der Kinder erhoben hat und die Verletzung von Rechten geltend macht, die allein ihnen zustehen (wie die Verletzung des rechtlichen Gehörs der Kinder [Ziff. III/C/5 S. 47 der Beschwerde]), ist darauf nicht einzutreten.
1.3. im bundesgerichtlichen Verfahren ist allein der Entscheid der letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelinstanz entschieden hat, Anfechtungsobjekt (hier: das Kantonsgericht; Art. 75 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.2 mit Hinweis). Dieser ersetzt den Entscheid des Kreisgerichts (Devolutiveffekt; BGE 134 II 142 E. 1.4 mit Hinweis). Soweit der Beschwerdeführer mehrfach den erstinstanzlichen Entscheid kritisiert, ist die Beschwerde unzulässig (Urteil 5A_276/2021 vom 29. September 2021 E. 1.2) und auf die diesbezüglichen Ausführungen wird nicht eingetreten.
Die durch den Instruktionsrichter des Kantonsgerichts angeordneten Massnahmen werden durch den nunmehr gefällten Entscheid in der Hauptsache ersetzt, so dass die dagegen gerichtete Kritik (Ziff. III/C/5.4 S. 50 der Beschwerde) gegenstandslos ist.
1.4. Massnahmenentscheide, die gestützt auf Art. 276 ZPO ergehen, unterstehen Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1; Urteil 5A_365/2019 vom 14. Dezember 2020 E. 2.1 mit Hinweis).
1.4.1. Demnach kann vorliegend nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) hin (Urteil 5A_367/2020 vom 19. Oktober 2020 mit Hinweis).
1.4.1.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141 I 70 E. 2.2 mit Hinweisen). Zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (BGE 143 I 321 E. 6.1 mit Hinweisen).
1.4.1.2. Auch in Verfahren nach Art. 98 BGG hat das Bundesgericht seinem Entscheid den Sachverhalt zugrunde zu legen, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte, namentlich das Willkürverbot (Art. 9 BV), verletzt hat. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (zum Ganzen: BGE 133 III 585 E. 4.1 mit Hinweisen).
Willkür in der Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3). Vorausgesetzt ist zudem, dass die angefochtene Tatsachenermittlung den Entscheid im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung als willkürlich erscheinen lässt (BGE 129 I 8 E. 2.1 mit Hinweisen).
In Ziff. III/A der Beschwerde schildert der Beschwerdeführer einen teilweise von den vorinstanzlichen Feststellungen abweichenden Sachverhalt, ohne allerdings eine Willkürrüge zu erheben. Diese Ausführungen bleiben unbeachtlich.
1.4.1.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweisen). Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerde mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (BGE 140 III 115 E. 2, 86 E. 2). Soweit die beschwerdeführende Partei bloss ihre Ausführungen wiederholt, die sie schon vor Vorinstanz vorgebracht hat, ohne darzutun, weshalb die gegenteiligen Erwägungen der Vorinstanz verfassungswidrig sein sollen, ist sie nicht zu hören (vgl. Urteil 4A_71/2018 vom 18. September 2018 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 145 III 8). Wird eine solche Rüge nicht vorgebracht, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten tatsächlich vorliegt (BGE 141 I 36 E. 1.3 in fine mit Hinweis).
1.4.2. Die ohne Beizug eines Anwalts verfasste Beschwerdeschrift ist nicht in allen Teilen einfach verständlich; namentlich sieht der Beschwerdeführer, der über kein "juristisches Hintergrundwissen" verfügt, wie er selber ausführt, teilweise Zusammenhänge, wo juristisch gesehen offensichtlich keine bestehen.
1.4.2.1. Von vornherein kommt der Beschwerdeführer seiner Rügepflicht nicht nach, wenn er sich darauf beschränkt, Gesetzesbestimmungen - sei es aus der Bundesverfassung (BV), der EMRK, dem UNO-Pakt II, dem Gleichstellungsgesetz (GlG [SR 151.1]) oder dem Bundesgerichtsgesetz (BGG) - anzuführen oder solche einfach aneinanderzureihen (s. bspw. Ziff. III/C/1.1, 1.1.1 und 1.1.2 S. 24-26, Ziff. III/C/1.2 und 1.3 S. 27 f., Ziff. III/C/2 S. 31, Ziff. III/C/2.2.1 S. 34 f., Ziff. III/C/2.2.3 S. 35 f. und Ziff. III/C/4 S. 47 der Beschwerde), ohne zu erklären, inwiefern die fraglichen Bestimmungen als Grundlage für seine Argumentation dienlich sein könnten. Dasselbe gilt für jene Passagen, in welchen er eine verfassungsrechtliche Frage aufwirft, ohne eine Verletzung zu behaupten geschweige denn detailliert darzutun, denn darin ist keine Begründung zu erkennen und das Bundesgericht prüft Verfassungsverletzungen nicht von Amtes wegen, sondern nur auf Rüge hin (E. 1.4.1.3). Ebenso unbeachtlich sind jene Rügen, mit denen der Beschwerdeführer einfache Gesetzesverletzungen (z.B. die Verletzung der Fragepflicht nach Art. 56 ZPO; Ziff. III/C/3.1.3 [ recte : 3.2.3] S. 45, Ziff. III/C/5.3 S. 48 und Ziff. III/C/5.7 S. 52 der Beschwerde) geltend macht.
1.4.2.2. Nicht einzutreten ist sodann auf die Beschwerde, soweit sich der Beschwerdeführer auf Verfassungsbestimmungen mit materiellem Gehalt beruft, denn die Verfassung entfaltet ihre Schutzwirkung grundsätzlich nur im Verhältnis zwischen Bürger und Staat. Sie haben keine unmittelbare Drittwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen, weshalb sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde, die sich gegen einen Entscheid in einer Streitigkeit zwischen Privaten richtet, grundsätzlich nicht darauf berufen kann (vgl. BGE 143 I 217 E. 5.2; 137 III 59 E. 4.1), sondern sich mit der Anwendbarkeit der hier massgeblichen Bestimmungen des ZGB befassen muss. Damit ist auf die Rügen der Verletzung von Art. 8 BV (Rechtsgleichheitsgebot; Ziff. III/C/3.1.2 [ recte : 3.2.2] S. 44 der Beschwerde), Art. 12 BV (Recht auf Hilfe in Notlagen; Ziff. III/C/6.1 S. 53 der Beschwerde) und Art. 26 BV (Eigentumsgarantie; Ziff. III/C/6.2 S. 53 der Beschwerde) und des - ohnehin nicht anwendbaren - Art. 1 des ersten Zusatzprotokolls zur EMRK vom 20. März 1952 (Ziff. III/C/3.2 S. 44 der Beschwerde) nicht einzutreten.
1.4.2.3. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf den Vorwurf, das Kantonsgericht habe gewisse seiner Anträge nicht behandelt (Sachverhalt Bst. C.b), denn der Beschwerdeführer begründet ihn an keiner Stelle.
1.4.2.4. Den Begründungsanforderungen genügt schliesslich nicht, wenn der Beschwerdeführer eine Erwägung des Kantonsgerichts wiedergibt und diese pauschal als "Rechtsverweigerung und krass ungerecht" (Ziff. III/C/1.1.1 S. 25 der Beschwerde), "unhaltbar, da aktenwidrig, krass rechtswidrig grundrechtsverletzend und äusserst ungerecht" bezeichnet (bspw. Ziff. III/C/9.2 S. 72 der Beschwerde). Darauf ist nicht einzutreten.
1.4.3. Es wird daher in der Folge nur insoweit auf die Beschwerde eingegangen, als die Ausführungen des Beschwerdeführers einen ersichtlichen Bezug zur Begründung des angefochtenen Entscheids aufweisen.
1.5. Beim Entscheid über die Regelung des Getrenntlebens, namentlich die Festlegung der Betreuungsverhältnisse und der Unterhaltsbeiträge, ist der Sachrichter in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (Art. 4 ZGB; BGE 142 III 612 E. 4.5 mit Hinweisen). Im Eheschutz- bzw. vorsorglichen Massnahmenverfahren bleibt der Willkürmassstab entscheidend (E. 1.4.1). Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz den Ermessensspielraum über- oder unterschritten oder das Ermessen missbraucht hat und damit zu einem offensichtlich unbilligen, in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken widersprechenden Ergebnis gelangt ist (BGE 143 III 140 E. 4.1.3 mit Hinweis). Missbrauch liegt namentlich dann vor, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen (BGE 142 III 617 E. 3.2.5, 612 E. 4.5; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht hebt einen Ermessensentscheid allerdings nur dann auf, wenn sich der Ermessensentscheid auch im Ergebnis als offensichtlich unbillig oder als in stossender Weise ungerecht erweist (BGE 143 III 140 E. 4.1.3 mit Hinweis).
1.6. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (BGE 143 I 344 E. 3 mit Hinweisen). Unzulässige Noven bleiben unbeachtlich.
1.6.1. Der Beschwerdeführer hat seiner Beschwerde einen Ausdruck eines E-Mails von Kantonsrichter Ch. Schöbi vom 18. August 2020, eine Kopie eines Artikels zum Thema "Empathie liegt (auch) in den Genen" vom 12. März 2018 und eine Kopie betreffend eine Barauszahlung einer Austrittsleistung datiert vom 9. Januar 2013 (Ziff. III/C/9.1.2 S. 72 der Beschwerde) beigelegt. Es ist weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern erst der angefochtene Entscheid zum Vorbringen dieser Beweismittel Anlass geben soll; sie bleiben unbeachtlich.
Gegebenenfalls zulässige neue Tatsachen und Beweismittel sind der Beschwerde beizulegen, die binnen der gesetzlichen und nicht erstreckbaren Beschwerdefrist einzureichen ist. Nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte Ergänzungen der Beschwerde bleiben unbeachtlich (Urteile 4A_251/2020 vom 29. September 2020 E. 1.5; 5A_323/2019 vom 24. April 2020 E. 1.4). Die Eingaben vom 19. März 2021 und 26. Dezember 2021 (vgl. Sachverhalt Bst. C.d) erfolgten nach Ablauf der Beschwerdefrist, so dass diese wie auch die dazugehörigen Beilagen für das vorliegende Verfahren unbeachtlich bleiben.
1.6.2. Nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstandene (sog. echte) Noven sind vor Bundesgericht unzulässig (BGE 139 III 120 E. 3.1.2 mit Hinweis). Der der Beschwerde beigelegte E-Mail-Austausch, den der Beschwerdeführer mit der Klassenlehrerin von C._ am 15. Februar 2021 geführt hat (Ziff. III/C/9.1.1 S. 71 der Beschwerde), das Dokument "Informationen zu Auszahlungen" von der Internetseite L._ (ausgedruckt am 25. Februar 2021) wie auch das Dokument "Abgeschlossene Buchungen" von der Internetseite M._ (ausgedruckt am 25. Februar 2021) sind allesamt nach dem angefochtenen Entscheid entstanden. Sie bleiben ebenfalls unbeachtet.
1.7. Der Beschwerdeführer beantragt die Edition diverser Unterlagen (Embrionenspendeverträge, Leihmutterverträge, Fortpflanzungsmedizinverträge, Kindes- und Partnerschaftsverträge zwischen der Beschwerdegegnerin und ihrem Lebenspartner, O._-Daten und Aufstellungen betreffend die Kanzlei der Beschwerdegegnerin, Unterlagen zu Verdienstausfallversicherungen). Soweit es ihm darum geht, die sich aus den zu edierenden Unterlagen ergebenden Tatsachen im bundesgerichtlichen Verfahren berücksichtigt zu wissen, liefe dies auf eine - unzulässige (E. 1.6 oben) - Berücksichtigung von unechten Noven hinaus, zumal weder dargetan noch einsichtig ist, inwiefern erst der angefochtene Entscheid zu deren Vorbringen Anlass gegeben hat.
Dasselbe gilt hinsichtlich der vom Beschwerdeführer zum Beweis verstellten Zeugen (Ziff. III/C/9.2 S. 72 der Beschwerde); die Anträge werden abgewiesen.
1.8. Das Begehren um Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit den kantonsgerichtlichen Verfahren FS.2019.23-EZE2 (Kontosperre) und FE.2019.23-EZE2 (Anfechtung der Vaterschaftsvermutung) (Ziff. I/C/7.7 der Beschwerde) ist angesichts der in den jeweiligen Sachen ergangenen Urteile des Bundesgerichts 5A_183/2021 vom 21. März 2021 (Anfechtung der Vaterschaftsvermutung) und 5A_158/2021 vom 19. Mai 2021 (Kontosperre) gegenstandslos.
1.9. Mit den erwähnten Vorbehalten kann auf die Beschwerde eingetreten werden. Zunächst sind die behaupteten Verletzungen von Verfahrensgarantien zu prüfen (nachfolgend E. 2). Alsdann geht es um die Obhuts- bzw. Betreuungsregelung und damit im Zusammenhang stehend um die Genehmigung des Wegzugs der Kinder nach V._ (nachfolgend E. 3). Daran anschliessend folgt die Beurteilung der Unterhaltsbeiträge (nachfolgend E. 4-6), des Auskunftsrechts (nachfolgend E. 7) und der vorinstanzlichen Kostenregelung (nachfolgend E. 8). Unter dem Gesichtspunkt der richterlichen Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV; BGE 145 III 324 E. 6.1; 143 III 65 E. 5.2; je mit Hinweisen) setzt sich das Bundesgericht indes nur mit jenen Einwendungen des Beschwerdeführers auseinander, die zumindest ansatzweise geeignet sind, den angefochtenen Entscheid zu Fall zu bringen. Auf alle anderen Vorbringen wird nicht eingegangen.
2.
Der Beschwerdeführer macht in mehrfacher Hinsicht Verletzungen von Verfahrensgarantien (Art. 29 und Art. 30 BV) geltend.
2.1. Er beantragt, "von einer Aufhebung des Verfahrens FS.2019.6-EZE2 (Ablehnung der Kreisrichterin N._) " sei abzusehen (Rechtsbegehren 1.1). Das fragliche Verfahren hat das Kantonsgericht eröffnet, nachdem sich der Beschwerdeführer am 7. März 2019 mit Berufung gegen den Entscheid vom 22. Februar 2019 betreffend die verweigerte Erteilung der aufschiebenden Wirkung an das Kantonsgericht gewandt hatte (Sachverhalt Bst. B.a). Offensichtlich unterliegt der Beschwerdeführer einem Irrtum, wenn er meint, damit sei die Frage der Ablehnung der Kreisrichterin N._ betroffen. Weshalb das Verfahren FS.2019.6-EZE2 mit der Ausfällung des Rechtsmittelentscheids in der Hauptsache nicht gegenstandslos geworden sein soll, erläutert der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht einsichtig. Auf das entsprechende Begehren ist mangels Begründung nicht einzutreten (E. 1.4.1.3).
Das Kantonsgericht hat sich denn auch in dem Umfang, in welchem die behauptete Befangenheit der Kreisrichterin im Berufungsverfahren zu prüfen war (vgl. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 5A_625/2019 vom 22. Juli 2020), mit den Vorwürfen befasst und diese verworfen (E. III/1/c/cc/eee S. 25 ff. des angefochtenen Entscheids). Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer indes nicht auseinander; auch sind der Beschwerdeschrift keine unmittelbar an die Adresse von Kreisrichterin N._ gerichtete, im Zusammenhang mit dem Verfahren FS.2019.6-EZE2 stehende Vorwürfe zu entnehmen.
2.2. Sodann ist der Beschwerdeführer der Meinung, dass "der Anschein von Unbefangenheit und Unparteilichkeit im Instanzenverfahren nicht erfüllt war und insofern Art. 6 und Art. 8 EMRK verletzt wurde" (Ziff. I/C/7.8 S. 8 bzw. Ziff. III/C/5.5 S. 50 und Ziff. III/C/5.7 S. 52 der Beschwerde).
2.2.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren entschieden wird. Die Garantie des unparteiischen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Sie wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 142 III 732 E. 4.2.2 mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinn werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (BGE 140 III 221 E. 4.1 mit Hinweisen). Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (BGE 142 III 521 E. 3.1.1 mit Hinweis).
2.2.2. Der Beschwerdeführer macht hauptsächlich geltend, die Beschwerdegegnerin sei in U._ als Fachanwältin P._ tätig, mit den "Organen der Rechtspflege in St. Gallen" gut bekannt, während er "als Nichtanwalt" vom "Clubgeschäft" wie ausgeschlossen gewesen sei. Die Beschwerdegegnerin sei wie eine Freundin und er wie ein Fremdkörper behandelt worden. Dieses parteiische Verhalten komme auch dadurch zum Ausdruck, dass er daran gehindert worden sei, seine wesentlichen Punkte ungestört vorzutragen, und dass die beantragte Vertagung der Verhandlung verweigert worden sei (Ziff. III/C/5.5 S. 50 ff. der Beschwerde). Ausserdem sei er der Beschwerdegegnerin als Laie gegenübergestanden und habe es das Kantonsgericht unterlassen, ihm im Verfahren einen fairen Ausgleich zu verschaffen (Ziff. III/C/5.6 S. 52 der Beschwerde).
2.2.3. Was der Beschwerdeführer zur Begründung vorträgt, entspricht (wohl) seinem subjektiven Empfinden. Die geltend gemachten Umstände lassen den Vorwurf der Voreingenommenheit nicht in objektiver Weise begründet erscheinen. Soweit er behauptet, daran gehindert worden zu sein, seine wesentlichen Punkte ungestört vorzutragen, bleiben seine Ausführungen unspezifiziert (In welchem Stadium des Verfahrens konnte er was nicht vortragen? Worin bestand die Behinderung?). Die angeblich verweigerte Vertagung der Verhandlung betrifft das erstinstanzliche Verfahren, welches nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sein kann (E. 1.3). Soweit der Beschwerdeführer sich sodann auf die Waffengleichheit beruft, ist ihm entgegenzuhalten, dass ihm die Möglichkeit offenstand, sich seinerseits anwaltlich vertreten zu lassen.
2.2.4. Worin die Verletzung des in diesem Kontext ebenfalls angerufenen Art. 8 EMRK liegen könnte, erklärt der Beschwerdeführer nicht und ist nicht einsichtig; darauf ist nicht weiter einzugehen.
2.3. Weiter wirft der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vor, keine mündliche Verhandlung durchgeführt zu haben, nachdem die Beschwerdegegnerin ihren Antrag auf Bewilligung des Wegzugs der Kinder nach V._ gestellt hatte (Ziff. III/C/5.3 S. 48 der Beschwerde).
2.3.1. Das Kantonsgericht hielt in tatsächlicher Hinsicht fest, der Antrag der Mutter habe einerseits zu weiteren Abklärungen, namentlich der Anhörung der Kinder am 10. Juni 2020, und Eingaben bzw. Stellungnahmen geführt. Die Kindesvertreterin habe ihre Stellungnahme am 29. September 2020 erstattet, wozu sich sowohl der Beschwerdeführer als auch die Beschwerdegegnerin geäussert hätten (E. I/7 S. 6 f. des angefochtenen Entscheids). In rechtlicher Hinsicht erwog das Kantonsgericht, eine Verhandlung sei im Berufungsverfahren zwar nicht ausgeschlossen. Nachdem eine solche bereits vor Vorinstanz stattgefunden habe, die Parteien ausführlichst Gelegenheit zur Stellungnahme gehabt hätten, eine Instruktionsverhandlung ergebnislos geblieben sei und für eine Verhandlung weder unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs ein Bedarf erkennbar noch bei Durchführung einer solchen in materieller Hinsicht ein zusätzlicher Erkenntnisgewinn zu erwarten sei, sei auf die Durchführung einer Verhandlung zu verzichten (E. II/5 S. 11 f. des angefochtenen Entscheids).
2.3.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, er habe mehrfach die Durchführung einer mündlichen Verhandlung beantragt. Eine solche habe nicht stattgefunden. Die rund sechs Monate vor dem Wegzugsantrag gescheiterte Instruktionsverhandlung stelle keinen substanziierten Grund dar, um von einer mündlichen Hauptverhandlung über den neuen Antrag abzusehen. Seit der Instruktionsverhandlung habe sich der Streitgegenstand zufolge neuer Anträge und Beweismittel derart verändert, dass eine mündliche Verhandlung aus Gründen des rechtlichen Gehörs zwingend erforderlich gewesen sei. Alleine im Berufungsverfahren seien 203 Aktenstücke angefallen. Die Verweigerung der Verhandlung sei im vorliegenden Fall unverhältnismässig. Ausserdem hätte an der beantragten mündlichen Verhandlung im Hinblick auf die vorgeschriebene eingeschränkte Untersuchungsmaxime die Aufklärungs- und Fragepflicht des Gerichts optimal ausgeübt werden können und hätte der Richter die Parteien in einem geordneten Rahmen kennengelernt. Hätte eine mündliche Verhandlung stattgefunden, wäre ersichtlich geworden, dass ein Wegzug der Kinder keinerlei Sinn mache, da die Beschwerdegegnerin ihre Kanzlei als Quelle des Familieneinkommens in U._ aufrechterhalte und die Kinder in V._ nicht beide Eltern hätten. Es hätte eine Lösung gefunden werden können, um die Kinder mit ihren beiden Eltern zu verbinden. Der angefochtene Entscheid und die gerügte Verfahrensführung hätten ohne hinreichende Gründe das Gebot der mündlichen Verhandlung verletzt. Damit seien Art. 29 Abs. 2 BV wie auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
2.3.3. Der Beschwerdeführer beanstandet die unterlassene Durchführung einer Verhandlung unter dem Gesichtspunkt des Äusserungsrechts.
2.3.3.1. Das Äusserungsrecht begründet den Anspruch einer Partei, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zu äussern, und zwar zu allem, was in den Akten liegt und damit Grundlage des Entscheides sein könnte, d.h. sowohl zu allen Tat- als auch zu allen Rechtsfragen. Das Äusserungsrecht begründet aber keinen abstrakten Anspruch der Partei, sich persönlich äussern zu dürfen. Ebenso wenig begründet das Äusserungsrecht einen abstrakten Anspruch der Partei, sich mündlich zu äussern; es genügt, wenn die Partei schriftlich Stellung nehmen kann (BGE 142 I 188 E. 3.2.2). Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass er keine Möglichkeit gehabt habe, sich zu allem, was in den Akten liegt, äussern zu können. Insofern erweist sich sein Einwand als unbegründet.
2.3.4. Ein Anspruch der Partei, persönlich und/oder mündlich angehört zu werden, kann sich allerdings unter besonderen Voraussetzungen und als Ausfluss des Anspruchs auf ein faires Verfahren ergeben. Auf diesem gründet die Pflicht des Gerichts, die Partei persönlich und mündlich anzuhören, wenn es unter den gegebenen Umständen entscheidend ist, dass das Gericht einen persönlichen Eindruck über die Partei gewinnen kann. Weil der Anspruch, persönlich angehört zu werden, nur unter bestimmten Bedingungen besteht, obliegt es der Partei, die sich darauf beruft, darzulegen, inwiefern es unter den gegebenen Umständen entscheidend ist, dass das Gericht einen persönlichen Eindruck als solchen über die Partei gewinnen kann (BGE 142 I 188 E. 3.3 und E. 3.3.1). Der Beschwerdeführer zeigt dem Bundesgericht nicht auf, inwiefern es gerade in seinem Fall notwendig gewesen wäre, vom Kantonsgericht persönlich angehört werden. Dass das Gericht die Parteien "kennenlernt", ist unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nicht erforderlich, ebenso wenig wie die Möglichkeit, "eine Lösung" zu finden. Sodann erfordern weder die Untersuchungsmaxime noch die Fragepflicht die Durchführung einer mündlichen Verhandlung. Schliesslich ist nicht einsichtig, weshalb der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen sein soll, dem Kantonsgericht schriftlich darzutun, "dass ein Wegzug der Kinder keinerlei Sinn mache, da die Beschwerdegegnerin ihre Kanzlei als Quelle des Familieneinkommens in U._ aufrechterhalte und die Kinder in V._ nicht beide Eltern hätten". Die Rüge der Verletzung des Äusserungsrechts ist unbegründet.
3.
Das Kantonsgericht prüfte die Obhutszuteilung zunächst unter dem Aspekt der veränderten Verhältnisse (dazu E. 3.1) und regelte, nachdem es diese Frage bejahte und dem Begehren der Beschwerdegegnerin um Verlegung des Aufenthaltsorts der Kinder nach V._ stattgab, die Betreuungsverhältnisse neu, indem es die Kinder C._ und D._ per 23. April 2019 unter die alleinige Obhut der Mutter stellte (dazu E. 3.2).
3.1.
3.1.1. Ändern sich die Verhältnisse, so passt das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen an oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist. Die Bestimmungen über die Änderung der Verhältnisse bei Scheidung gelten sinngemäss (Art. 179 Abs. 1 ZGB). Eine Abänderung von Eheschutzmassnahmen setzt voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist. Ein Abänderungsgrund liegt auch dann vor, wenn die tatsächlichen Feststellungen, die dem Massnahmenentscheid zugrunde lagen, sich nachträglich als unrichtig erweisen oder nicht wie vorhergesehen verwirklichen. Schliesslich kann ein Ehegatte die Änderung verlangen, wenn sich der ursprüngliche Entscheid als nicht gerechtfertigt erweist, weil dem Massnahmengericht wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren (BGE 143 III 617 E. 3.1 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer in der Abänderung des Entscheids vom 19. April 2018 (Sachverhalt Bst. A.a) eine Verletzung des Grundsatzes der res iudicata (Ziff. III/C/3.2 S. 44 der Beschwerde) zu erkennen meint, liegt er falsch, denn Art. 179 ZGB setzt eine Veränderung der Verhältnisse voraus, so dass auf der Basis eines neuen Tatsachenfundaments entschieden wird, das vom Grundsatz der abgeurteilten Sache nicht erfasst wird (vgl. BGE 142 III 210 E. 2; 139 III 126 E. 3.2.3).
3.1.2. Ausgehend vom Eheschutzentscheid des Kreisgerichts vom 10. August 2017 und des Kantonsgerichts vom 19. April 2018, mit welchen die Kinder unter die alternierende Obhut der Eltern gestellt wurden, stellte das Kantonsgericht eine erhebliche und dauernde Veränderung der Verhältnisse fest (E. III/1/c/dd S. 32 f. des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer argumentiert, die Abänderungsvoraussetzungen lägen nicht vor (Ziff. III/C/1 S. 24-31 und Ziff. III/C/3.2 S. 43 der Beschwerde). Nachdem er aber selber eine Abänderung der Obhuts- bzw. Betreuungsregelung verlangt, erweist sich seine Argumentationslinie - was ihm bereits das Kantonsgericht vorgeworfen hat - als widersprüchlich. Diese Haltung verdient keinen Rechtsschutz (Art. 2 Abs. 2 ZGB). Soweit der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht behauptet, die Beschwerdegegnerin habe die veränderten Verhältnisse rechtsmissbräuchlich herbeigeführt, weshalb nicht darauf abgestellt werden könne, kann auf die zutreffenden Erwägungen des Kantonsgerichts verwiesen werden, welches diesen Einwand als unerheblich bezeichnet hat (E. III/1/c/cc/bbb S. 21 des angefochtenen Entscheids). Mit den diesbezüglichen Erwägungen des Kantonsgerichts setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, so dass auf seine in diesem Zusammenhang stehenden Rügen, namentlich den Vorwurf der Verletzung seines Anspruchs auf Beweis mit Bezug auf die vor Kantonsgericht gestellten Editionsbegehren (vgl. Ziff. III/C/1.1.1 S. 25 der Beschwerde), nicht näher einzugehen ist (E. 1.4.1.3).
3.2. Angesichts der besonderen Umstände beurteilte das Kantonsgericht die Frage der Obhutszuteilung unter Mitberücksichtigung des Gesuchs der Beschwerdegegnerin, den Aufenthaltsort der Kinder nach V._ verlegen zu dürfen.
3.2.1. Üben die Eltern die elterliche Sorge gemeinsam aus und will ein Elternteil den Aufenthaltsort des Kindes wechseln, so bedarf dies der Zustimmung des andern Elternteils oder der Entscheidung des Gerichts oder der Kindesschutzbehörde, wenn der neue Aufenthaltsort im Ausland liegt oder der Wechsel des Aufenthaltsortes erhebliche Auswirkungen auf die Ausübung der elterlichen Sorge und den persönlichen Verkehr durch den andern Elternteil hat (Art. 301a Abs. 2 ZGB). Diese Bestimmung geht von der Niederlassungsfreiheit der Eltern aus; ihnen wird zugestanden, frei und autonom zu entscheiden, wo sich ihr Wohnsitz befinden soll (ausführlich BGE 142 III 481 E. 2.4-2.6; sodann BGE 144 III 10 E. 6; 142 III 502 E. 2.5). Das bedeutet mit Bezug auf die Zustimmung bzw. Genehmigung der Verlegung des Aufenthaltsortes des Kindes, dass - von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen (vgl. Urteil 5A_397/2018 vom 16. August 2018 E. 4.3.2) - nicht nach den Wegzugsmotiven des Elternteils zu forschen und auch nicht zu prüfen ist, welche Gesamtsituation für das Kind theoretisch am besten wäre, sondern dass die Tatsache des Wegzuges eines Elternteils hinzunehmen und unter der Hypothese des Wegzuges bzw. ausgehend vom bereits erfolgten Wegzug zu fragen ist, in welchem Haushalt und damit unter wessen Obhut das Kind zukünftig leben soll (BGE 142 III 502 E. 2.5, 481 E. 2.6). Für die Frage der Genehmigung der Verlegung des Aufenthaltsortes des Kindes sind im Wesentlichen die gleichen Kriterien massgeblich, wie sie auch für die Obhutszuteilung gelten.
Das Wohl des Kindes hat für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab ist deren Erziehungsfähigkeit zu klären. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem andern in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (Urteil 5A_262/2019 vom 30. September 2019 E. 6.1 mit Hinweisen; vgl. BGE 142 III 617 E. 3.2.3, 612 E. 4.3; 136 I 178 E. 5.3). Wesentlich sein kann ferner der Grundsatz, Geschwister nach Möglichkeit nicht zu trennen. Ist aber bei Geschwistern, zum Beispiel aufgrund eines Altersunterschiedes, von unterschiedlichen Bedürfnissen und insbesondere von verschiedenen emotionalen Bindungen und Wünschen auszugehen, steht einer Trennung der Kinder nichts entgegen (Urteile 5A_236/2016 vom 15. Januar 2018 E. 4.1; 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.1 und E. 3.6). Die Möglichkeit der Eltern, die Kinder persönlich zu betreuen, spielt hauptsächlich dann eine Rolle, wenn spezifische Bedürfnisse der Kinder eine persönliche Betreuung notwendig erscheinen lassen oder wenn ein Elternteil auch in den Randzeiten (morgens, abends und an den Wochenenden) nicht bzw. kaum zur Verfügung stünde; ansonsten ist von der Gleichwertigkeit von Eigen- und Fremdbetreuung auszugehen (Urteile 5A_707/2019 vom 18. August 2020 E. 3.1.1; 5A_241/2018, 5A_297/2018 vom 18. März 2019 E. 5.1; vgl. BGE 144 III 481 E. 4.6.3 und E. 4.7). Je nach Alter ist auch den Äusserungen der Kinder bzw. ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen (vgl. BGE 142 III 481 E. 2.7; Urteil 5A_397/2018 vom 16. August 2018 E. 4.3.3). Während bei älteren Kindern zunehmend die Wohn- und Schulumgebung sowie der sich ausbildende Freundeskreis wichtig werden, sind kleinere Kinder noch stärker personenorientiert (BGE 142 III 481 E. 2.7). Entsprechend können im Zusammenhang mit dem wichtigen Kriterium der Stabilität und Kontinuität die Beurteilungsfelder ja nach Lebensalter des Kindes variieren.
3.2.2. Das Kantonsgericht ging von folgenden Erkenntnissen aus: die Kinder hätten eine gute Bindung zu beiden Eltern; sie litten aber unter dem unvermindert andauernden Elternkonflikt; sie wünschten kein Hin und Her, sondern eine klare Lösung mit einer mütterlichen Obhut selbst bei einem Wohnortswechsel nach V._; die Erziehungsfähigkeit beider Elternteile einschliesslich der Bindungstoleranz sei gegeben; dem Vater fehle teilweise das Einfühlungsvermögen für die Bedürfnisse der Kinder, namentlich auch in Bezug auf ihr Bedürfnis, nicht in den Elternkonflikt hineingezogen zu werden; mit Ausnahme des Aspekts der Bindungstoleranz, bezüglich welcher aufgrund der Entwicklung im Berufungsverfahren wohl von vergleichbaren Verhältnissen der Parteien auszugehen sei, und des Kriteriums der örtlichen Stabilität, welches neu für eine Obhutszuteilung an den Vater sprechen könnte, dem aber der noch deutlicher geäusserte Wunsch der Kinder, mit und bei der Mutter zu leben, gegenüberstehe, bestätigten sich mithin die Feststellungen im Entscheid des Kreisgerichts zum Abänderungstatbestand und zur Anpassung im Sinn der Alleinobhut der Mutter.
3.2.3. Nach Auffassung des Beschwerdeführers haben die Kinder eine gute Bindung zu beiden Eltern (Ziff. III/C/3.1.2 S. 39 der Beschwerde). Er hält sich - zu Recht - für erziehungsfähig (Ziff. III/C/3.1.4 [ recte : 3.2.4] S. 46 der Beschwerde) und spricht der Beschwerdegegnerin diese Eigenschaft nicht ab. Schliesslich widerspricht er mit Bezug auf die Bindungstoleranz der vorinstanzlichen Feststellung nicht, beide Elternteile wollten die Beziehung der Kinder zum jeweils anderen immerhin nicht verhindern, wenn sie diese auch nicht gerade förderten. Insofern sind diese Zuteilungskriterien neutral.
Umstritten sind letztlich die Kriterien der Möglichkeit, die Kinder persönlich zu betreuen (dazu E. 3.2.4), des Kindeswillens (dazu E. 3.2.5) und der Stabilität der Verhältnisse (dazu E. 3.2.6).
3.2.4. Der Beschwerdeführer führt aus, die Beschwerdegegnerin wolle zwar ihr Pensum auf Teilzeit reduzieren, sie müsse aber noch auf zwei Kleinkinder aufpassen. Daher müsse in Frage gestellt werden, ob sie genügend Zeit für die persönliche Betreuung der Kinder aufwenden könne, zumal diese bei ihr bereits fremdbetreut würden. Er, der Vater, habe sich hingegen bereits in der Vergangenheit um die Kinder gekümmert und habe auch die Kapazität, auf die Kinder einzugehen. Es sei also eher eine Möglichkeit der Betreuung des Vaters gegeben (Ziff. III/C/3.1.2 S. 38 f. der Beschwerde). Entgegen der implizierten Meinung des Beschwerdeführers kommt es hauptsächlich auf die Möglichkeit an, die Kinder an Randzeiten persönlich betreuen zu können. Dass dies der Beschwerdegegnerin nicht möglich sein soll, behauptet er nicht. Damit zielen seine Einwendungen an der Sache vorbei.
3.2.5. Der Beschwerdeführer rügt, das Kantonsgericht habe den Kindeswillen nicht bzw. ungenügend abgeklärt, weshalb nicht darauf habe abgestellt werden dürfen.
3.2.5.1. Er beanstandet, das Kantonsgericht habe eine kinderpsychologische Begutachtung der Kinder unterlassen (Ziff. III/C/2.2.1 S. 35 und Ziff. III/C/5.1 S. 47 der Beschwerde).
3.2.5.1.1. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich indes nicht, dass er einen entsprechenden Antrag gestellt hätte. Vielmehr ist es dem Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren augenscheinlich um eine kinderpsychologische Behandlung der Kinder gegangen (E. III/10/d S. 54 des angefochtenen Entscheids). Es kann offenbleiben, ob er bereits "seit 2017" ein Gutachten verlangt, wie er behauptet (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 41 der Beschwerde), denn entscheidend ist, dass er im vorinstanzlichen Verfahren keinen diesbezüglichen Antrag gestellt hat.
3.2.5.1.2. Dennoch hat das Kantonsgericht sich mit der Frage befasst, ob die Kinder zu begutachten seien. Es erwog, es lägen keine Anhaltspunkte vor für eine Beeinflussung der Kinder, welche die Massgeblichkeit ihres Willens, nicht weiter in den Konflikt einbezogen zu werden, und des daraus gezogenen Schlusses, sich für ein Leben mit und bei der Mutter zu entscheiden, in relevanter Weise einschränken würde. Es bestünden auch keine Hinweise für eine Beeinträchtigung der Erziehungsfähigkeit der Eltern, welche eine gutachterliche Abklärung erforderlich machen würde. Die Rechtfertigung einer Begutachtung hätte vor allem im Umstand gelegen, abzuklären, wie die Kinder im Zusammenhang mit dem absehbaren Entscheid, eines Tages von U._ wegzuziehen, unterstützt werden könnten, sei es doch anlässlich der ersten Anhörungen recht deutlich zum Ausdruck gekommen, dass ihnen dieser Entscheid nicht leicht fallen würde. Allerdings habe die Entwicklung während des Verfahrens diese Ausgangslage verändert, indem der Entscheid bzw. seine Realisierung jetzt anstehe, weshalb sich auch im Hinblick auf einen baldigen Abschluss des Berufungsverfahrens eine weitere Verzögerung durch Einholung eines Gutachtens nicht mehr rechtfertige. Aus diesen Gründen sei auf die angedachte Begutachtung zu verzichten (E. III/1/c/cc/jjj S. 32 des angefochtenen Entscheids).
Der Beschwerdeführer erhebt zwar eine Willkürrüge im Zusammenhang mit der Frage, ob die Beschwerdegegnerin den Kindeswillen beeinflusse (Ziff. III/C/2.2.2 S. 35 der Beschwerde). Er beschränkt sich indes darauf, auf seine Eingaben vom 3. April 2019 und 9. Juli 2020 zu verweisen; mit den Erwägungen des Kantonsgerichts setzt er sich nicht auseinander. Darauf ist nicht einzutreten (E. 1.4.1.3). An anderer Stelle führt er aus, es habe durchaus Indizien gegeben, welche für eine Beeinflussung der Kinder sprächen, und es lägen Anzeichen für eine seelische Belastung vor allem bei C._ vor (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 42 der Beschwerde). Dabei beruft er sich auf Tatsachen, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben; sie sind neu und daher unbeachtlich (E. 1.6). Schliesslich führt er aus, es könne "von einer massgeblichen Beeinflussung der Kinder durch die Ehefrau ausgegangen werden". C._ habe zum Beispiel in der Kinderbefragung gesagt, er würde gern zur Beschwerdegegnerin. Im Nachhinein sei herausgekommen, dass ihm dies von seiner Mutter eingeredet worden sei (Ziff. III/C/3.2 S. 44 der Beschwerde). Auf diese appellatorisch vorgetragenen Einwendungen ist nicht einzutreten; namentlich lässt sich dem angefochtenen Entscheid nirgends entnehmen, wer wem wann was eingeredet haben soll. Offensichtlich unrichtig ist sodann die Behauptung, das Kantonsgericht habe "im Ergebnis offengelassen, ob die beiden Kinder ihre Entscheidung aufgrund der Beeinflussung durch die Ehefrau getroffen haben" (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 42 der Beschwerde). Damit vermag der Beschwerdeführer die Feststellung des Kantonsgerichts, es lägen keine Anhaltspunkte vor für eine Beeinflussung der Kinder, nicht als willkürlich auszuweisen. Bei diesem Ergebnis zielt der Einwand des Beschwerdeführers, ein kinderpsychiatrisches Gutachten hätte "mehr Klarheit bezüglich des Kindeswillens gegeben" (Ziff. III/C/2.1.4 [ recte : 2.1.3] S. 34 der Beschwerde) bzw. "Licht in die Thematik des Kinderwillens" (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 42 der Beschwerde) gebracht, ins Leere, denn das Kantonsgericht ist willkürfrei zur Erkenntnis gelangt, die Kinder hätten ihre Meinung ohne Beeinflussung durch die Beschwerdegegnerin gebildet, sodass unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten kein Bedarf bestand, mehr "Klarheit bezüglich des Kindeswillens" zu schaffen. Dasselbe gilt für den Einwand, bei "einer solchen komplexen Lage wie im vorliegenden Fall" wäre ein kinderpsychologisches Gutachten "nicht nur angemessen, sondern gemessen an den verfassungsrechtlichen Schutzpflichten auch zwingend erforderlich gewesen" (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 42 der Beschwerde). Ebenso falsch liegt der Beschwerdeführer, soweit er meint, im Urteil 5A_312/2019 vom 17. Oktober 2019 habe das Bundesgericht vorgeschrieben, dass Kinder mittels psychologischen Gutachtens untersucht werden müssten, sobald - wie vorliegend - ein Antrag auf alternierende Obhut zu beurteilen sei (Ziff. III/C/3.1.5 [ recte : 3.1.6] S. 41 der Beschwerde); im verwiesenen Entscheid kommen weder das Wort "Gutachten" noch das Wort "kinderpsychologisch" vor.
3.2.6. Der Beschwerdeführer meint, das Kriterium der Stabilität der Verhältnisse hätte zu einer Zuteilung der Obhut über die Kinder an ihn führen müssen. Das Kantonsgericht seinerseits erwog, das Kriterium der örtlichen Stabilität spreche neu, d.h. wegen des beabsichtigten Wegzugs nach V._, für eine Obhutszuteilung an den Vater. Es hat dieses Kriterium indes dem - willkürfrei festgestellten (E. 3.2.5) - Wunsch der Kinder, mit und bei der Mutter zu leben, gegenübergestellt und letzteren höher gewichtet. Inwiefern das Kantonsgericht sein Ermessen willkürlich ausgeübt haben soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Das Kantonsgericht ist weder von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen noch hat es Tatsachen berücksichtigt, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen, die zwingend hätten beachtet werden müssen (vgl. E. 1.5). Von Willkür in der Ermessensausübung kann keine Rede sein.
3.3. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer die Zuteilung der Kinder C._ und D._ in die alleinige Obhut der Mutter wie auch die Bewilligung, deren Aufenthaltsort nach V._ zu verlegen, nicht als willkürlich auszuweisen. Damit wird seinem - ohnehin unzulässigen (vgl. E. 1.4.2.2) - Einwand, der Entscheid verletze den Grundsatz der Rechtsgleichheit auf massivste Weise (Ziff. III/C/3.1.2 [ recte : 3.2.2] S. 44 der Beschwerde), die Grundlage entzogen, denn er basiert auf sachlichen Gründen, weshalb von vornherein keine verfassungsrechtlich relevante Ungleichbehandlung im Spiel steht. Sodann braucht bei diesem Ergebnis nicht näher auf die Frage des Wohnsitzes der Kinder eingegangen zu werden. Wieso dieser im Fall der Genehmigung des Wegzugs nach V._ nicht dort sein soll, erläutert der Beschwerdeführer nicht.
3.4. Soweit der Beschwerdeführer befürchtet, die Beschwerdegegnerin wolle in Tat und Wahrheit mit ihrem neuen Lebenspartner und den Kindern nach Kanada auswandern, und diesbezüglich eine Gehörsrüge erhebt (Ziff. III/C/2.2.3 S. 35 der Beschwerde), sind seine Befürchtungen unbegründet. Vorliegend ging es um einen Wegzug nach V._. Wollte die Beschwerdegegnerin den Aufenthaltsort der Kinder tatsächlich nach Kanada verlegen, müsste sie ein neuerliches Gesuch stellen (vgl. Art. 301a Abs. 2 Bst. a ZGB). Mangels Relevanz für das vorliegende Verfahren bleiben die Einwendungen des Beschwerdeführers unbeachtlich.
4.
Für den nun eingetretenen Fall, dass die Kinder in die alleinige Obhut der Mutter gegeben werden und sie nach V._ ziehen, beantragt der Beschwerdeführer, er sei für berechtigt zu erklären, zwölf Wochen Ferien pro Jahr mit den Kindern verbringen zu dürfen (Rechtsbegehren 1.3). In seiner Beschwerde begründet er diesen Antrag nicht weiter und zeigt auch nicht auf, inwiefern die angefochtene Ferienregelung (die Hälfte der Schulferien bzw. ab dem Umzug nach V._ sieben Wochen Ferien; vgl. Dispositiv-Ziff. 13 Abs. 2) offensichtlich unhaltbar sein soll. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
Dasselbe Schicksal ereilt die Anträge, er sei - anstelle der Beiständin (vgl. Dispositiv-Ziff. 14/d) - zu ermächtigen, die psychotherapeutische Begleitung der Kinder abzuklären und zu beauftragen (Rechtsbegehren 1.5), bzw. die Beschwerdegegnerin solle - anstelle des Schweizer Passes der Kinder (Dispositiv-Ziff. 9) - die Schweizer Identitätsausweise erhalten, während ihm die Schweizer Pässe der Kinder auszuhändigen seien und er deren Deutsche Ausweisdokumente behalte (Rechtsbegehren 1.8). Auch dazu findet sich in der Beschwerde keine Begründung.
5.
Auf der Basis des vorstehend Ausgeführten geht es mit Bezug auf die gesprochenen Unterhaltsbeiträge zunächst um den Antrag auf Zuspruch eines Ehegattenunterhaltsbeitrags von Fr. 3'100.-- (Rechtsbegehren 1.6).
5.1. Das Kantonsgericht ist auf die Berufung, soweit es um Ehegattenunterhalt ab 23. April 2019 geht, mangels Bezifferung nicht eingetreten. Es erwog, der Beschwerdeführer habe in seiner Berufung bezifferte Begehren gestellt für den Fall, dass ihm die Alleinobhut zugewiesen oder die alternierende Obhut im bisherigen Umfang beibehalten werde. Für den Fall aber, dass es bei der vom Kreisgericht angeordneten Alleinobhut der Mutter bleibe, habe er überhaupt kein Begehren gestellt, geschweige denn ein beziffertes. Auch aus der Begründung ergebe sich keine Bezifferung. Bezifferte Anträge habe der Beschwerdeführer erstmals in der Eingabe vom 24. August 2020 formuliert, und zwar in dem Sinn, dass er darin unter dem Titel "vorsorglicher Massnahmen und definitiv zu entscheiden" beantrage, in Abänderung der superprovisorischen Verfügung vom 13. September 2019 - darin hatte der Instruktionsrichter des Kantonsgerichts der Berufung in Bezug auf Ziff. 6 des erstinstanzlichen Urteils betreffend die Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Leistung von Kindesunterhalt aufschiebende Wirkung erteilt - und in Wiederherstellung des Entscheids des Kantonsgerichts vom 19. April 2018 sei die Beschwerdegegnerin rückwirkend auf den Tag der Einreichung des Abänderungsbegehrens zur Zahlung eines persönlichen Unterhalts von mindestens Fr. 12'528.-- pro Monat zu verpflichten (E. III/4/b S. 39 f. des angefochtenen Entscheids). Eine unterlassene Bezifferung könne nicht einfach zu einem späteren Zeitpunkt nachgeholt werden (E. III/4/c/aa S. 40 und E. III/4/c/cc S. 41 des angefochtenen Entscheids). Auf die Berufung könne, soweit die Alleinobhut der Mutter mit Wirkung ab 23. April 2019 bestätigt werde und davon die Unterhaltsregelung betroffen sei, mangels eines bezifferten Antrags nicht eingetreten werden, und zwar selbst dann nicht, wenn man auf das erst am 3. Dezember 2020 gestellte Eventualbegehren abstellen wollte, wonach die Beschwerdegegnerin für den Fall der Bewilligung des Umzugs nach V._ zu einem vom Gericht zu bestimmenden angemessenen persönlichen nachehelichen Unterhalt zu verpflichten sei (E. III/4/c/cc S. 41 des angefochtenen Entscheids).
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet, kein beziffertes Begehren gestellt zu haben; er habe im Rechtsbegehren 3.d geltend gemacht, dass der Betrag für ihn von Fr. 3'100.-- pro Monat unverändert bleiben solle.
5.2.1.1. Das in der Berufung gestellte Rechtsbegehren 3.d lautet wie folgt:
"In Bezug auf Ziff. 2.a des Rechtsbegehrens sei die Berufungsgegnerin (Bg) zu verpflichten, dem Berufungsführer (Bf), für die alleinige 100 % Obhut an den Kinderunterhalt für die Bf zu 2. [C._] und zu 3 [D._] von je CHF 3'067.- zu bezahlen. Der Unterhaltsbeitrag von CHF 3'100.00/Monat für den Vater persönlich bleibt unverändert."
Alsdann beantragte der Beschwerdeführer, für den Fall einer alternierenden Obhut sei festzustellen, dass der bereits gesprochene Unterhalt durch Urteil vom 19. April 2018 zu belassen sei.
5.2.1.2. Grundsätzlich sind Parteien verpflichtet, auch Anträge zu stellen, die für den Fall gelten sollen, dass das eigene Hauptbegehren nicht durchdringen sollte (sog. Eventualbegehren; vgl. BGE 140 III 231 E. 3.5). Auf Geldzahlung gerichtete Anträge sind zu beziffern (BGE 137 III 617 E. 4.3 mit Hinweisen). Wie sich aus den oben wiedergegebenen Berufungsbegehren ergibt, hat der Beschwerdeführer einen Hauptantrag (Alleinzuteilung der Obhut an ihn) und einen Eventualantrag (Beibehaltung der alternierenden Obhut) gestellt und für diese beiden Varianten jeweils rechtsgenügend formulierte reformatorische Begehren hinsichtlich der Unterhaltsbeiträge gestellt. Für den Fall, dass das Kantonsgericht den erstinstanzlichen Entscheid, mit welchem die Kinder in die alleinige Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt wurden, bestätigen sollte, hat der Beschwerdegegner überhaupt keinen und damit auch keinen bezifferten Antrag gestellt. Dem Kantonsgericht gereicht es nicht zum Vorwurf, den Satz "Der Unterhaltsbeitrag von CHF 3'100.00/Monat für den Vater persönlich bleibt unverändert" implizit als allein mit dem Hauptantrag verbunden betrachtet zu haben. Die Behauptung des Beschwerdeführers, er habe auch für den Fall, dass die Kinder unter die alleinige Obhut der Mutter gestellt würden, einen bezifferten Antrag gestellt, trifft nicht zu.
5.2.2. Sodann vertritt er - zumindest sinngemäss - den Standpunkt, der geltend gemachte Betrag ergebe sich ohne Weiteres aus der Begründung der Berufung.
5.2.2.1. In der Tat stehen die Anforderungen an ein ausreichendes Rechtsbegehren unter dem Vorbehalt des überspitzten Formalismus. Daraus folgt, dass Rechtsbegehren im Licht der Begründung auszulegen sind; ergibt sich aus der Begründung, was der Berufungskläger in der Sache verlangt, ist dies zu beurteilen (vgl. BGE 137 III 617 E. 6.2 mit Hinweisen; Urteile 5A_466/2016 vom 12. April 2017 E. 4.2; 5A_304/2015 vom 23. November 2015 E. 10.4).
5.2.2.2. Der Beschwerdeführer vermag indes auf keine Stelle seiner Berufungsbegründung zu verweisen, aus welcher sich solches ergeben könnte. Vor Bundesgericht macht er in allgemeiner Weise geltend, es sei ja offensichtlich, dass er über kein eigenes Einkommen verfügt habe, weshalb er auf einen Unterhaltsbeitrag angewiesen sei. Mit derlei Argumenten lässt sich keine Willkür begründen.
5.2.3. Ferner bezeichnet der Beschwerdeführer das Vorgehen des Kantonsgerichts als überspitzt formalistisch.
5.2.3.1. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (BGE 135 I 6 E. 2.1 mit Hinweisen). Prozessuale Formen sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens und die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge stellt daher überspitzten Formalismus dar, sondern nur jene, die durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (BGE 134 II 244 E. 2.4.2 mit Hinweisen; 125 I 166 E. 3a).
5.2.3.2. Die Pflicht, (bezifferte) Anträge zu stellen, soll einerseits unter dem Gesichtspunkt der Wahrung des rechtlichen Gehörs die Gegenpartei darüber informieren, gegen was sie sich verteidigen muss. Im Anwendungsbereich des Dispositionsgrundsatzes, wozu auch der Ehegattenunterhalt gehört, muss dem Gericht sodann klar sein, was Streitgegenstand bildet, woraus sich auch die materielle Rechtskraft des Entscheids ergibt (Urteile 5A_390/2017 vom 23. Mai 2018 E. 2.3.1; 4A_686/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.3.1 mit Hinweisen). Darin liegt die prozessuale Formstrenge begründet; sie stellt keinen Selbstzweck dar. Überhaupt verhindert die Vorgabe, Rechtsbegehren im Licht der Begründung auszulegen (E. 5.2.2.1), einen überspitzt formalistischen Entscheid. Nachdem feststeht, dass sich der Betrag, den der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren als Ehegattenunterhalt fordert, auch nicht aus der Berufungsbegründung hat ableiten lassen, erweist sich der Vorwurf des überspitzten Formalismus als unbegründet.
5.2.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, nachdem er sich gegen die Abänderung des Entscheids vom 19. April 2018 zur Wehr gesetzt habe, sei ihm als weder rechtskundigem noch anwaltlich vertretenem Laien nicht bewusst gewesen, dass er erneut einen Antrag auf Zuspruch von Unterhaltsbeiträgen, die ihm mit dem abzuändernden Entscheid zugesprochen wurden, habe stellen müssen. Er sei denn auch nicht vom Kantonsgericht darauf aufmerksam gemacht worden, dass er die Unterhaltsbeiträge erneut einfordern müsse.
Mit dieser Argumentation setzt sich der Beschwerdeführer in Widerspruch zum eigenen Verhalten. Er hat offensichtlich sehr wohl gewusst, dass er für den Fall der Gutheissung seines Hauptantrages einen Antrag auf Zuspruch von Ehegattenunterhalt stellen musste. Das wusste er auch mit Bezug auf seinen Eventualantrag, die alternierende Obhut beizubehalten. Beim dritten Szenario (Alleinzuteilung der Obhut an die Mutter) wäre der Beschwerdeführer von sämtlichen Betreuungsaufgaben befreit worden und er hätte keinerlei häusliche Pflichten gehabt, die ihn von der Aufnahme einer Erwerbstätigkeit abgehalten hätten. Mithin wusste der Beschwerdeführer sehr wohl, zumindest hat er aber wissen müssen, dass die Forderung nach Ehegattenunterhalt einer besonderen Begründung bedurfte und er diesbezüglich einen Antrag stellen musste.
Ausserdem sind folgende Umstände relevant: Der Beschwerdeführer führt seit Jahren auf multiplen Ebenen Gerichtsverfahren, ohne sich anwaltlich vertreten zu lassen. Weshalb er, akademisch gebildet (lic. oec. HSG) und seinen Ausführungen zufolge gegenwärtig ein Studium der Jurisprudenz verfolgend, auf eine anwaltliche Vertretung verzichtet, erläutert er nicht und ist, nachdem er sich selber als rechtsunkundig bezeichnet, nicht nachvollziehbar. Bei dieser Ausgangslage hat er als prozesserfahren zu gelten. Prozesserfahrene Personen können das Entgegenkommen, welches die Gerichte prozessunerfahrenen Laien - im Rahmen des Möglichen - zukommen lassen, nicht für sich beanspruchen (Urteil 5A_964/2019 vom 15. Januar 2020 E. 3.1.4 mit Hinweis). Im Anwendungsbereich des Dispositionsgrundsatzes, wozu wie bereits ausgeführt auch der Ehegattenunterhalt gehört, sind dem Gericht diesbezüglich enge Grenzen gesetzt. Namentlich darf es eine Partei nicht darauf aufmerksam machen, zu welchen Themen man auch noch Begehren stellen könnte. Dem Kantonsgericht kann keine Verfassungsverletzung unterstellt werden aufgrund seines Verzichts, den Beschwerdeführer darauf hinzuweisen, dass er auch noch für den Fall der Bestätigung der alleinigen Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin einen (bezifferten) Antrag auf Ehegattenunterhalt stellen könnte bzw. müsste.
5.2.5. In E. III/4/c/dd des angefochtenen Entscheids erwog das Kantonsgericht, das Nichteintreten auf die Berufung hinsichtlich des Zeitraums 1. Januar 2019 bis 22. April 2019 habe zur Folge, dass die Beschwerdegegnerin grundsätzlich Anspruch auf Rückerstattung allfälliger in dieser Zeit zu viel geleisteter Unterhaltsbeiträge habe. Dagegen wendet der Beschwerdeführer ein, eine Rückerstattungspflicht käme einer unzulässigen Einschränkung der Eigentumsgarantie nach Art. 1 des ersten Zusatzprotokolls zur EMRK bei und würde in das absolut geschützte Existenzminimum eingreifen. Ausserdem habe die Beschwerdegegnerin nie einen Antrag auf Rückerstattung zu viel bezahlter Unterhaltsbeiträge gestellt. Für den Fall, dass ihm, dem Beschwerdeführer, kein persönlicher Unterhalt zugesprochen werde, sei die Möglichkeit einer Rückforderung zu viel bezahlter Beiträge zu untersagen (Ziff. III/C/6.9 S. 63 f. der Beschwerde).
Die vorerwähnte Erwägung hat keinen Eingang in das Dispositiv des angefochtenen Entscheids gefunden; eine Verpflichtung des Beschwerdeführers wird damit nicht begründet. Mithin mangelt es ihm für die Beurteilung seines Einwands an einem schutzwürdigen Interesse (Art. 76 Abs. 1 BGG); darauf ist nicht einzutreten.
6.
Streitig ist sodann die Verpflichtung des Beschwerdeführers, ab 1. Februar 2021 Kindesunterhalt in der Höhe von Fr. 800.-- pro Kind (zzgl. Kinderzulagen) leisten zu müssen (vgl. Rechtsbegehren 1.7).
6.1. Grundsätzlich sorgen beide Elternteile, ein jeder nach seinen Kräften, für den in Form von Pflege, Erziehung und Geld zu erbringenden Unterhalt (Art. 276 Abs. 1 und 2 ZGB). Dies gilt an sich auch für den gesamten Geldunterhalt, dessen Umfang sich nach Art. 285 Abs. 1 und 2 ZGB bemisst. Soweit die Elternteile getrennt leben und deshalb auch getrennte Haushaltskassen führen, wird praktisch relevant, wer an wen welchen Geldbetrag zu entrichten hat. Im Streitfall hat das Gericht dies im Unterhaltstitel festzulegen. Dabei gelten folgende Grundsätze: Steht das Kind unter der alleinigen Obhut des einen Elternteils, indem es in dessen Haushalt lebt und den anderen Elternteil nur im Rahmen des Besuchs- und Ferienrechts sieht, so leistet der obhutsberechtigte Elternteil seinen Unterhaltsbeitrag bereits vollständig in natura, indem er dem Kind Pflege und Erziehung erweist (sog. Naturalunterhalt). Diesfalls fällt der Geldunterhalt vor dem Hintergrund der Gleichwertigkeit von Geld- und Naturalunterhalt vom Grundsatz her vollständig dem anderen Elternteil anheim, wobei in bestimmten Konstellationen ein Abweichen vom Grundsatz geboten ist (zum Ganzen: BGE 147 III 265 E. 5.5).
6.2. Das Kantonsgericht hielt zunächst fest, die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit sei dem Beschwerdeführer zuzumuten, und zwar - angesichts der Entwicklung im Berufungsverfahren, wonach die alternierende oder gar die Alleinobhut des Beschwerdeführers nicht mehr ernsthaft in Frage stehe - ab 1. Februar 2021. Um anhand des Lohnrechners dessen finanzielle Leistungsfähigkeit zu bestimmen, sei angesichts der besonderen Umstände das Kriterium Berufserfahrung zu vernachlässigen und von einer Einstufung "ohne Kaderfunktion" auszugehen. So resultiere beim aktuellen Alter 50 ein vorsichtig geschätzter Bruttolohn von Fr. 10'060.-- bzw. ein Nettoeinkommen von Fr. 8'550.--. Gestehe man dem Beschwerdeführer sodann mit Rücksicht darauf, dass er während der Ehe im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin keine berufliche Karriere habe machen können, die Möglichkeit einer Weiterbildung zu und veranschlage man den entsprechenden zeitlichen Aufwand mit einem Viertel, dann sei sein Erwerbseinkommen mit Fr. 6'400.-- anzunehmen. Hinzu käme der vom Kreisgericht mit Fr. 1'300.-- veranschlagte Vermögensertrag aus der Vermietung der Wohnung in W._. Demgemäss sei beim Beschwerdeführer mit einem Einkommen von Fr. 7'700.-- zu rechnen. Diesem Einkommen stehe ein nicht substanziiert bestrittener, vom Kreisgericht mit Fr. 5'420.-- berechneter Bedarf gegenüber. Es verbleibe ihm mithin für die Bezahlung von Unterhalt ein Betrag von Fr. 2'280.--, mit dem er den Bedarf der Kinder, welchen das Kreisgericht mit Fr. 1'135.-- (C._) bzw. Fr. 925.-- (D._) ermittelt habe, decken könnte. Allerdings würde eine entsprechende Verpflichtung dazu führen, dass die Beschwerdegegnerin mit dem vom Kreisgericht angenommenen Freibetrag von Fr. 4'500.-- selbst dann, wenn man von ihr erwarte, dass sie ihn zur Deckung des "gebührenden Unterhalts" der Kinder verwende, immer noch deutlich mehr zur freien Verfügung hätte als der Beschwerdeführer, dem nur noch Fr. 220.-- verbleiben würden. Das Kantonsgericht reduzierte in der Folge den Unterhaltsbeitrag der Kinder auf je Fr. 800.-- (E. III/4/d/cc S. 45-47 des angefochtenen Entscheids).
6.3. Der Beschwerdeführer erhebt zahlreiche Rügen:
6.3.1. Zunächst hält er dem Kantonsgericht vor, seinen Berechnungen ein zu tiefes Einkommen seitens der Beschwerdegegnerin zugrunde gelegt zu haben (Ziff. III/C/6.3 S. 54 ff. der Beschwerde). Wie vorstehend in E. 6.1 ausgeführt, hat der Beschwerdeführer für den Barunterhalt der Kinder aufzukommen, nachdem die Beschwerdegegnerin ihren Unterhaltsbeitrag bereits vollständig in natura leistet, indem sie den Kindern Pflege und Erziehung erweist (sog. Naturalunterhalt). Freilich kann und muss von diesem Grundsatz abgewichen werden, wenn die Leistungsfähigkeit des hauptbetreuenden Elternteils signifikant höher ist als jene des nicht betreuenden Elternteils. Das Kantonsgericht hat von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht und den Beschwerdeführer zur Leistung von reduzierten Unterhaltsbeiträgen verpflichtet. Inwiefern die kantonsgerichtliche Regelung unter Willkürgesichtspunkten anders aussehen müsste, wenn seitens der Beschwerdegegnerin von einem höheren Einkommen auszugehen wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
6.3.2. Sodann wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens (Ziff. III/C/6.4 S. 56 ff. der Beschwerde).
6.3.2.1. Er habe ein Studium mit Vollzeitpensum begonnen und ohnehin Anstrengungen unternommen, um eine selbständige Erwerbstätigkeit aufnehmen zu können. Unter diesen Umständen habe er nicht damit rechnen müssen, dass ihm das Kantonsgericht ein hypothetisches Einkommen anrechnen würde. Ausserdem handle es sich um eine vollständig neue und überraschende Argumentation, zu der er keine Stellung habe nehmen können. Insofern habe das Kantonsgericht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Ebenso lasse das Kantonsgericht seinen Einwand unberücksichtigt, der Aufbau einer selbständigen Erwerbstätigkeit habe sich zufolge der Corona-Pandemie als schwierig erwiesen und er verfüge aktuell über ein volatiles Einkommen von Fr. 500.-- pro Monat, was wiederum eine Gehörsverletzung darstelle. Ausserdem reiche das Einkommen der Beschwerdegegnerin aus, um die wirtschaftliche Existenz der Familie zu sichern. Das Kantonsgericht habe das Arbeitspensum in willkürlicher Weise festgesetzt und sein Einkommen sei auf Fr. 0.-- festzulegen.
6.3.2.2.
6.3.2.2.1. Angesichts der im Abänderungsbegehren vom 1. August 2018 gestellten Begehren stand die Pflicht zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit seit jenem Zeitpunkt im Raum. Sodann hatte ihm das Kreisgericht sechs Monate eingeräumt, um eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Von einer neuen und überraschenden Argumentation im Berufungsverfahren kann keine Rede sein; der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör wurde nicht verletzt.
6.3.2.2.2. Im Unterhaltsrecht besteht allgemein die Pflicht, die vorhandene Arbeitskapazität umfassend auszuschöpfen. Sie gilt in besonderer Weise für den Kindesunterhalt. Es besteht diesbezüglich eine besondere Anstrengungspflicht, welche namentlich auch die Freiheit der persönlichen Lebensgestaltung und der Realisierung beruflicher Wunschvorstellungen einschränken kann. Dabei findet die Anstrengungspflicht ihre Grenze selbstverständlich an konkreten Realitäten. Es dürfen keine unzumutbaren hypothetische Einkommen angenommen werden (zum Ganzen: BGE 147 III 265 E. 7.4). Aus den genannten Gründen kann sich der Beschwerdeführer, der bereits über ein abgeschlossenes Hochschulstudium verfügt, nicht auf seine beruflichen Wünsche zurückziehen, um seinen Unterhaltspflichten zu entgehen. Das Studium generiert überhaupt kein Einkommen und seine selbständige Erwerbstätigkeit mit Fr. 500.-- deutlich zu wenig. Ebenso musste sich das Kantonsgericht nicht spezifisch mit seinen Ausführungen rund um den Aufbau einer selbständigen Erwerbstätigkeit befassen. Mit seinen Einwendungen vermag der Beschwerdeführer weder eine Gehörsverletzung noch Willkür darzutun.
6.3.3. Ferner rügt der Beschwerdeführer eine gehörsverletzende Missachtung der Beweise zu den Bemühungen zur Wiedervermietung der Wohnung in W._ (Ziff. III/C/6.10 S. 64 f. der Beschwerde).
6.3.3.1. Das Kantonsgericht hat dem Beschwerdeführer einen hypothetischen Vermögensertrag von Fr. 1'300.-- aufgerechnet. Der Mieter der Wohnung in W._ habe zwar gekündigt, der Beschwerdeführer belege aber keine Bemühungen um eine Wiedervermietung.
6.3.3.2.
6.3.3.2.1. Der Beschwerdeführer wendet (wiederum) ein, die Anrechnung eines hypothetischen Vermögensertrags sei für ihn überraschend gekommen, weshalb sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sei. Die Frage des Vermögensertrags war bereits in erster Instanz thematisiert worden. Genau aus diesem Grund hat der Beschwerdeführer das Gericht über die Kündigung des Mietvertrags in Kenntnis gesetzt. Von einer Überraschung im Berufungsverfahren und damit von einer Gehörsverletzung kann keine Rede sein.
6.3.3.2.2. Sodann führt der Beschwerdeführer aus, er habe dem Kantonsgericht dargelegt, dass sich eine Wiedermietung wegen der ungünstigen Marktlage, da im Kreis Bezirk X._ sehr viel günstige neue Wohnungen erstellt worden seien, äusserst schwierig darstelle. Mit Eingabe vom 14. Dezember 2020 habe er ausserdem mitgeteilt, dass er aufgrund der besonderen Pandemiesituation keine Mieteinnahmen mit der mütterlichen Ferienwohnung generieren könne. Ob dies zutrifft, kann offenbleiben; auf den Vorwurf, er habe keine Bemühungen um eine Wiedervermietung belegt, geht der Beschwerdeführer hingegen nicht ein.
6.3.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine willkürlich kurze Frist zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit geltend (Ziff. III/C/6.6 S. 58 f. der Beschwerde).
6.3.4.1. Er führt aus, die Begründung des Kantonsgerichts sei unsubstanziiert. Bis zur letzten Eingabe sei er davon ausgegangen, die Kinder würden bei ihm in U._ bleiben. Darum geht es aber nicht. Mit der vorsorglichen Massnahme vom 8. März 2019 platzierte der Instruktionsrichter die Kinder bei der Mutter, wo sie seither auch geblieben sind. Mit anderen Worten hatte der Beschwerdeführer ab diesem Zeitpunkt während der üblichen Arbeitszeit keine Betreuungsaufgaben wahrzunehmen, die ihn von einer ausserhäuslichen Erwerbstätigkeit hätten abhalten können.
6.3.4.2. Steht fest, dass mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushaltes nicht mehr ernsthaft gerechnet werden kann, hat das Eheschutzgericht im Rahmen von Art. 163 ZGB die für den nachehelichen Unterhalt geltenden Kriterien (Art. 125 ZGB) miteinzubeziehen und aufgrund der neuen Lebensverhältnisse zu prüfen, ob und in welchem Umfang vom Ehegatten, der bisher den gemeinsamen Haushalt geführt hat, davon aber nach dessen Aufhebung entlastet ist, erwartet werden kann, dass er seine Arbeitskraft anderweitig einsetze und eine Erwerbstätigkeit aufnehme oder ausdehne (vgl. BGE 138 III 97 E. 2.2; 137 III 385 E. 3.1). Dabei ist, wie bereits ausgeführt, von einer Anstrengungspflicht auszugehen, denn nach Art. 125 Abs. 1 ZGB gilt das Primat der Eigenversorgung und damit eine Obliegenheit zur (Wieder-) Eingliederung in den Erwerbsprozess bzw. zur Ausdehnung einer bestehenden Tätigkeit (BGE 147 III 308 E. 5.2, 249 E. 3.4.4; je mit Hinweisen).
6.3.4.3. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers war bereits der Entscheid des Kreisgerichts vom 7. Februar 2019, mit welchem die Kinder in die alleinige Obhut der Mutter gestellt wurden, Anlass genug für den Beschwerdeführer, um sich wieder in den Erwerbsprozess einzugliedern. Von einer willkürlich kurzen Frist zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit kann keine Rede sein.
6.3.5. Bei diesem Ergebnis erweist sich die Verpflichtung des Beschwerdeführers, mit monatlich je Fr. 800.-- an den Unterhalt der beiden Kinder beizutragen, als verfassungskonform.
7.
Mit Bezug auf die Frage der Auskunftserteilung (Rechtsbegehren 1.10 i.V.m. Ziff. III/C/7 S. 66 f. der Beschwerde) erwog das Kantonsgericht, der Beschwerdeführer begründe keinen Anspruch nach Art. 170 Abs. 1 ZGB, sondern mache sein prozessuales Recht auf Mitwirkung der Beschwerdegegnerin nach Art. 160 ZPO geltend, bezüglich dessen aber, nachdem die erstinstanzliche Bedarfsrechnung im Berufungsverfahren nicht mehr in Frage stehe, offenbleiben könne, ob das Kreisgericht es verletzt habe. Diese Abweisung umfasse im Übrigen auch den Antrag auf Herausgabe der Kindes- und Partnerschaftsverträge zwischen der Beschwerdegegnerin und ihrem Lebenspartner, soweit der Beschwerdeführer diesen Antrag mit der Abklärung der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin begründe bzw. begründen wolle: diese bilde im Berufungsverfahren kein Thema (E. III/8/b S. 50 des angefochtenen Entscheids).
Der Beschwerdeführer befasst sich zwar mit den in E. III/8/a des angefochtenen Entscheids zusammengefasst wiedergegebenen Erwägungen des Kreisgerichts, nicht aber mit jenen des Kantonsgerichts. Namentlich widerspricht er weder der Qualifikation seiner Editionsanträge als solche nach Art. 160 ZPO, noch der Beurteilung, wonach er damit Tatsachen in Erfahrung bringen wolle, die im Berufungsverfahren kein Thema (mehr) gewesen seien. Mangels einer hinreichenden Begründung ist darauf nicht einzugehen.
8.
Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer, die Gerichtskosten des kantonalen Verfahrens seien zur Gänze der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Rechtsbegehren 1.10), das Gesuch um Leistung von Prozesskostenvorschüssen, eventuell das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sei gutzuheissen und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteikostenentschädigung in der Höhe der Gerichtskosten zu bezahlen (Rechtsbegehren 1.12 [ recte : 1.11]). Soweit der Beschwerdeführer diese Anträge überhaupt begründet, begnügt er sich mit appellatorischen Ausführungen ohne jeden Bezug zum angefochtenen Entscheid (Ziff. III/C/8.1 bis 8.4 S. 67 der Beschwerde). Das gilt insbesondere hinsichtlich des Eventualantrags auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Ziff. III/C/8.5 S. 68 der Beschwerde). Darauf ist nicht einzutreten.
Sodann kritisiert der Beschwerdeführer über mehrere Seiten die Kostennote der Kindesvertreterin (Ziff. III/C/8.6 S. 68 ff. der Beschwerde). Einen Antrag auf Senkung der Gerichtskosten stellt er aber nicht. Selbst wenn sich die Kritik als begründet erweisen sollte, würde sich die Stellung des Beschwerdeführers nicht verändern. Folglich hat er kein schutzwürdiges Interesse (Art. 76 Abs. 1 BGG) an der Beurteilung seiner Kritik.
Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer "fürsorglich" um Prozesskostenerlass (Ziff. III/C/8.7 S. 71 der Beschwerde). Eine Begründung, weshalb ihm die Prozesskosten erlassen werden sollen, trägt er indes nicht vor. Darauf ist nicht einzutreten.
9.
Zusammengefasst ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und hat entsprechend die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG); eine rechtliche Grundlage für die Überbindung dieser Kosten auf die Beschwerdegegnerin gibt es nicht. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos, sodass das eventualiter gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG), soweit dieses zufolge Leistung des einverlangten Kostenvorschusses nicht gegenstandslos geworden ist. Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht des Kantons St. Gallen sowie C._ und D._ mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller