Sachverhalt:
A.
A.a. Im Rahmen eines Scheidungsverfahrens vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt (Zivilgericht) reichte Advokat Dr. C._ (Vertreter des Ehemannes) anlässlich des Einigungsverfahrens am 23. Februar 2016 beim Zivilgericht ein Schreiben vom 3. Februar 2016 an Fürsprecher A._ (Vertreter der Ehefrau) ein. Dieses Schreiben enthielt einen Vergleichsvorschlag an die Gegenseite. Nachdem das Einigungsverfahren ergebnislos verlaufen war, reichte Fürsprecher A._ im anschliessenden Schriftenwechsel mit Klageantwort vom 13. Juli 2016 einen "Auszug" aus demselben Schreiben ein. In dieser als "Auszug aus Schreiben Advokat Dr. C._/A._ vom 03.02.2016" bezeichneten Antwortbeilage waren verschiedene Teile des genannten Schreibens abgedeckt.
A.b. Mit Anzeige vom 29. Mai 2018 wandte sich Advokat Dr. C._ (Anzeiger) an die Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Basel-Stadt (Aufsichtskommission) und machte eine Verletzung der Berufsregeln und eine Irreführung des Zivilgerichts geltend. Die Aufsichtskommission eröffnete schliesslich gegen Fürsprecher A._ ein Disziplinarverfahren.
B.
Mit Entscheid vom 26. Februar 2019 sprach die Aufsichtskommission gegenüber Fürsprecher A._ eine Verwarnung wegen Verletzung der Berufsregeln gestützt auf Art. 12 lit. a i.V.m. Art. 17 Abs. 1 lit. a BGFA (Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte; SR 935.61) aus und auferlegte ihm eine Verfahrensgebühr von Fr. 1'000.--. Sie warf Fürsprecher A._ einen Verstoss gegen die Berufsregeln betreffend Vertraulichkeit von Vergleichsvorschlägen und durch Irreführung des Zivilgerichts aufgrund der teilweisen Abdeckung desselben Vergleichsvorschlages (anlässlich dessen Einreichung beim Zivilgericht) vor. Der dagegen eingereichte Rekurs blieb gemäss Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 23. April 2020 erfolglos.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 12. Juni 2020 beantragt Fürsprecher A._ (Beschwerdeführer) die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils.
Während die Vorinstanz mit Vernehmlassung vom 3. Juli 2020 die Abweisung der Beschwerde beantragt, hat die Aufsichtskommission auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 5. Oktober 2020 repliziert.
Erwägungen:
1.
Gegen letztinstanzliche kantonale Endentscheide bezüglich Verletzung von Berufsregeln und Disziplinaraufsicht (Anwältinnen und Anwälte) steht, da es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts handelt, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Der im vorinstanzlichen Verfahren unterlegene Beschwerdeführer ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG), weshalb auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde einzutreten ist (Art. 100 Abs. 1, Art. 42 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 142 I 135 E. 1.5). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2; 136 II 304 E. 2.5).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 135 E. 1.6). Offensichtlich unrichtig bedeutet in diesem Zusammenhang willkürlich (BGE 137 I 58 E. 4.1.2). Eine Sachverhaltsrüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der (vorinstanzlichen) Sachverhaltsfeststellung geht das Gericht nicht ein (BGE 140 III 264 E. 2.3; 139 II 404 E. 10.1; 137 I 58 E. 4.1).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine teilweise unvollständige und aktenwidrige, damit willkürliche, vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, indem die Vorinstanz die Korrespondenz im Scheidungsverfahren, welche für die geltend gemachte, angebliche Pflichtverletzung wesentlich sei, nicht berücksichtigt habe.
3.2. Dem vorinstanzlichen Urteil, welches zudem diesbezüglich ausdrücklich auf den Entscheid der Aufsichtskommission verweist (vgl. E. 3.3.2.2 angefochtenes Urteil), lässt sich jedoch die Feststellung entnehmen, wonach der Anzeiger das Schreiben bzw. den Vergleichsvorschlag vom 3. Februar 2016 mit Eingabe vom 23. Februar 2016 ungekürzt beim Zivilgericht eingereicht hatte. Letzteres lag damit, wie die Vorinstanz festhält, zum Zeitpunkt, als der Beschwerdeführer eine teilweise abgedeckte Version mit der Klageantwort einreichte (13. Juli 2016), bereits in vollständiger Fassung bei den Akten des Zivilgerichts. Ebenso ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer als Klageantwortbeilage 18 einen Auszug aus dem Schreiben vom 3. Februar 2016 einreichte (E. 3.2 vorinstanzliches Urteil).
3.3. Damit ist, wie sich nachfolgend zeigen wird, der entscheidwesentliche Teil des Sachverhalts vorinstanzlich festgestellt worden, weshalb sich die Sachverhaltsrüge vorliegend als unberechtigt erweist.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine rechtswidrige Anwendung von Art. 12 lit. a BGFA. Er bestreitet nicht, dass unter anwaltlich vertretenen Parteien zirkulierende Vergleichsvorschläge grundsätzlich als vertraulich gelten und demzufolge ein entsprechendes, von der Gegenseite vorgelegtes Dokument vom Empfänger nicht gegenüber dem Gericht offen gelegt werden darf. Er ist jedoch der Ansicht, der Anzeiger habe, indem er den Vergleichsvorschlag bereits vor ihm dem Zivilgericht zugestellt habe, die Vertraulichkeit aufgehoben. Ausserdem habe das Zivilgericht ihm mit Verfügung vom 1. März 2016 den Vergleichsvorschlag zugestellt und die Vertraulichkeit damit nochmals aufgehoben. Folglich liege kein Verstoss gegen die Art. 6 und 26 der Standesregeln des Schweizerischen Anwaltsverbandes (SAV), welche von der Vorinstanz zur Auslegung und Präzisierung von Art. 12 lit. a BGFA herangezogen worden seien, vor.
4.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, gemäss den einschlägigen Bestimmungen der schweizerischen Standesregeln des SAV unterliege der Inhalt von Vergleichsgesprächen unter den Parteianwälten automatisch der Vertraulichkeit. Ein Vergleichsvorschlag der anwaltlich vertretenen Gegenpartei dürfe deshalb nur mit ausdrücklicher Zustimmung derselben vom Anwalt der anderen Partei an das Gericht weitergeleitet werden. Auch eine bloss auszugsweise Offenlegung sei ohne eine solche Zustimmung nicht zulässig. Letztere sei vorliegend nicht nachgewiesen, weshalb ein Verstoss gegen Art. 6 i.V.m. Art. 26 der genannten Standesregeln und damit gegen die Pflicht der sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung im Sinne von Art. 12 lit. a BGFA gegeben sei.
4.3. Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufsregeln der Anwältinnen und Anwälte, welche ihren Beruf insbesondere "sorgfältig und gewissenhaft" auszuüben haben (Art. 12 lit. a BGFA). Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst nicht nur die Beziehung zur eigenen Klientschaft, sondern auch das Verhalten gegenüber der Gegenseite und Behörden. Eine Verletzung von Art. 12 lit. a BGFA liegt praxisgemäss nur vor, wenn eine qualifizierte Norm- bzw. Sorgfaltswidrigkeit gegeben ist; erforderlich ist somit ein bedeutsamer Verstoss gegen die Berufspflichten (BGE 144 II 473 E. 4.1 mit Hinweisen; Urteile 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.2; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 5.1).
4.4. Die schweizerischen Standesregeln des SAV, welche am 1. Juli 2005 in Kraft getreten sind (SSR), können zur Präzisierung und Auslegung der Berufsregeln des BGFA herangezogen werden (BGE 144 II 473 E. 4.4; 140 III 6 E. 3.1). Art. 6 SSR hält fest, dass Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte das Gericht nur mit ausdrücklicher Zustimmung der Gegenpartei über deren Vorschläge zur Beilegung der Streitsache informieren. Laut Art. 26 SSR müssen Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte, die Kolleginnen und Kollegen eine Mitteilung senden, welche vertraulich sein soll, diesen Willen in der Mitteilung klar zum Ausdruck bringen. Als vertraulich bezeichnete Dokumente und Gesprächsinhalte dürfen keinen Eingang in gerichtliche Verfahren finden.
4.5. In BGE 144 II 473 E. 4.6.1 kam das Bundesgericht zum Schluss, dass bei zwischen Rechtsanwälten mündlich oder schriftlich geführten Vergleichsgesprächen die Tatsache, dass überhaupt Vergleichsgespräche geführt werden und deren Inhalt automatisch, d.h. auch ohne einen entsprechenden, ausdrücklichen Vorbehalt, als vertraulich gelten. Ein vom Gegenanwalt gesandter, schriftlicher Vergleichsvorschlag ist demnach automatisch vertraulich und darf nicht ohne dessen ausdrückliche Zustimmung vom anderen Anwalt beim Gericht eingereicht werden. Andernfalls liegt eine Verletzung von Art. 12 lit. a BGFA vor. Diese Verhaltenspflicht widerspiegelt das öffentliche Interesse, eine gütliche Einigung über Rechtsstreitigkeiten zu fördern. Die Parteien müssen sich dazu bzw. bei der Suche nach einer aussergerichtlichen, vergleichsweisen Lösung frei äussern können (BGE 144 II 473 E. 4.5; 140 III 6 E. 3.1). Jedenfalls würden aussergerichtliche Vergleichsverhandlungen erheblich erschwert wenn nicht verunmöglicht, wenn eine Partei bzw. ihr Rechtsvertreter damit rechnen müsste, dass ein Vergleichsvorschlag anschliessend vom Anwalt der Gegenseite an das Gericht weitergeleitet wird (vgl. WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2. Aufl. 2017 [FELLMANN, Anwaltsrecht], Rz. 238).
4.6. Allerdings fragt es sich, ob dieses öffentliche Interesse noch geschützt werden muss, wenn der Anzeiger seinen schriftlichen Vergleichsvorschlag vom 3. Februar 2016 am 23. Februar 2016 tel quel bzw. ungekürzt zwecks Einigungsverhandlung (Art. 291 ZPO) dem Zivilgericht übermittelt und letzteres anschliessend denselben mit Verfügung vom 1. März 2016 dem Beschwerdeführer zugestellt hat (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.7. Ein Schlichtungsverfahren findet im Scheidungsverfahren nicht statt (Art. 198 lit. c ZPO). Aufgrund der Lehre ist die Natur der Einigungsverhandlung vage. Gemäss Thomas SUTTER-SOMM/MILAN LAZIC ist letztere der Sache nach eine Instruktionsverhandlung (SUTTER-SOMM/ LAZIC, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger (Hrsg.), 3. Aufl. 2016, N. 5a zu Art. 291 ZPO). Von einem mindestens teilweisen Instruktionscharakter geht auch DANIEL BÄHLER aus, wenn er festhält, das Gericht solle in formloser Atmosphäre die Scheidungsklage mit den Parteien erörtern und den Sachverhalt zu klären versuchen (BÄHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Spühler/Tenchio/Infanger, 3. Aufl. 2017, N. 2 zu Art. 291 ZPO). DENIS TAPPY betont dagegen die Schlichtungsfunktion der Einigungsverhandlung und möchte deshalb Art. 205 ZPO (Vertraulichkeit des Schlichtungsverfahrens) analog angewendet wissen (TAPPY, in: Commentaire Romand, Code de procédure civile, Bohnet/Haldy/Jeandin/Schweizer/Tappy [Hrsg.], 2. Aufl. 2019 [Commentaire Romand CPC], N. 15 zu Art. 291 ZPO); dies hätte zur Folge, dass ein Rechtsanwalt gemäss Art. 12 lit. a BGFA gehalten wäre, dem Gericht anlässlich einer Einigungsverhandlung (im Sinne von Art. 291 ZPO) vorgelegte Vergleichsvorschläge anschliessend vertraulich zu behandeln (vgl. FRANÇOIS BOHNET, in: Commentaire Romand CPC, N. 2 zu Art. 205 ZPO, der diese Ansicht allerdings nur im Kontext von Art. 205 ZPO, d. h. wenn der Vergleichsvorschlag im Schlichtungsverfahren gemäss Art. 202 ff. ZPO vorgelegt wird, vertritt). ANNETTE SPYCHER ist der Auffassung, die Einigungsverhandlung weise vom Charakter her Parallelen zu einer Sühneverhandlung und zu einer Instruktionsverhandlung auf, formell sei sie weder das eine noch das andere (SPYCHER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Band II, 2012, N. 12 zu Art. 291 ZPO).
4.8. Die Vorinstanz führt aus, der Beschwerdeführer hätte doch auf das "bereits in den Prozessakten befindliche Dokument verweisen können", statt eine "verstümmelte Fassung" einzureichen (E. 3.3.2.2 angefochtenes Urteil). Ob daraus abzuleiten ist, sie bestätige selbst, dass keine zu schützende Vertraulichkeit mehr bestanden habe, und der Beschwerdeführer spätestens mit dem Empfang des Vergleichsvorschlages mittels Verfügung des Zivilgerichts (vom 1. März 2016) von der Verpflichtung, den (durch den Anzeiger zu den Akten des Verfahrens gereichten) Vergleichsvorschlag vertraulich zu behandeln, befreit gewesen sei, kann offen bleiben. Gleiches gilt für die Frage, ob die Einigungsverhandlung aufgrund der verschiedenen Funktionen, welche sie erfüllt, überhaupt einem bestimmten Verfahrenstyp zugewiesen werden soll und kann. Jedenfalls kann angesichts der vielschichtigen, noch nicht höchstrichterlich geklärten und in der Lehre umstrittenen Natur der Einigungsverhandlung (E. 4.7) dem Beschwerdeführer nicht eine Verletzung der Vertraulichkeit im Sinne einer qualifizierten Norm- bzw. Sorgfaltswidrigkeit (E. 4.3) und damit ein Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA vorgeworfen werden, für welche zu einer Disziplinierung zu schreiten wäre.
4.9. Das vorinstanzliche Urteil verletzt demnach in Bezug den vorgeworfenen Verstoss gegen die Berufsregeln bezüglich Vertraulichkeit (Art. 12 lit. a BGFA) Bundesrecht, weshalb sich die entsprechende Rüge als berechtigt erweist.
5.
5.1. Im Weiteren rügt der Beschwerdeführer, dass auch der Umstand, wonach er den genannten Vergleichsvorschlag bzw. das entsprechende Dokument bei seiner Einreichung mit der Klageantwort am 13. Juli 2016 teilweise abgedeckt habe, keinen Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA darstelle. Er habe damit keine Kaschierung vorgenommen und die entsprechende Beilage 18 der Klageantwort als "Auszug" eingereicht, was auch die Vorinstanz festgestellt habe. Die Abdeckungen hätten sich nicht auf die Restschuld von Fr. 700'000.-- bezogen und es sei beidseits unbestritten gewesen, dass der Ehemann von der ursprünglichen Schuld von Fr. 1.5 Mio. einen Betrag von Fr. 800'000.-- beglichen habe. Das Zivilgericht sei in der Folge zum Schluss gekommen, dass der Ehemann eine weitergehende Tilgung dieser Schuld nicht habe nachweisen können.
5.2. Die Vorinstanz hat diesbezüglich im Wesentlichen erwogen, der Beschwerdeführer habe mit der Abdeckung der Einleitung (des Schreibens vom 3. Februar 2016) vertuscht, dass es sich bei den nachfolgenden Ausführungen nur um unpräjudizielle Erklärungen im Rahmen von Vergleichsverhandlungen gehandelt habe. Er habe das entsprechende Schreiben durch die Abdeckungen in eine unbedingte Schuldanerkennung des Ehemannes über Fr. 700'000.-- "umfunktioniert" und das Zivilgericht damit in die Irre geführt. Letzteres sei denn auch zum Schluss gekommen, dass eine Schuldanerkennung des Ehemannes über Fr. 700'000.-- vorliege. Dadurch habe der Beschwerdeführer in schwerwiegender Weise gegen Art. 12 lit. a BGFA verstossen.
5.3. Der Anwalt hat primär die Interessen seines Klienten zu vertreten und ist im Gegensatz zum Richter nicht der objektiven Wahrheits- und Rechtsfindung verpflichtet. Er ist nicht Gehilfe des Richters, sondern Verfechter von Parteiinteressen (BGE 138 IV 161 E. 2.5.4; 106 Ia 100 E. 6.b; Urteile 6B_247/2019 vom 22. Juni 2020 E. 2.1.1; 6B_76/2020 vom 10. März 2020 E. 3.1; FELLLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 264; BRUNNER/HENN/KRIESI, Anwaltsrecht, 2015, S. 107 [BRUNNER/HENN/KRIESI, Anwaltsrecht]). Allerdings kommt dem Anwalt aufgrund seiner Befugnisse und Pflichten auch eine besonderen Stellung in der Rechtspflege zu. Er hat deshalb gleichzeitig die Regeln, welche den geordneten Gang der Rechtspflege gewährleisten sollen, einzuhalten (BGE 144 II 473 E. 4.3; 106 Ia 100 E. 6.b). Zwar verfügt der Anwalt zur Verteidigung der Klienteninteressen hinsichtlich der Festlegung der Strategie und der Wahl der Mittel über einen grossen Handlungsspielraum (BGE 144 II 473 E. 4.3; 106 Ia 100 E. 6.a; Urteil 2C_243/2020 vom 25. Juni 2020 E. 3.5.1; vgl. auch BGE 130 II 270 E. 3.2.2). Dieser ist jedoch nicht uferlos, sondern der Anwalt hat alles zu unterlassen, was die Vertrauenswürdigkeit der Anwaltschaft - gerade auch im Verhältnis zu den Justizbehörden - in Frage stellt, und sich in diesem Sinne umsichtig zu verhalten (BGE 144 II 473 E. 4.3 mit Hinweisen; Urteil 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.3 mit Hinweisen; im Verhältnis zur Gegenpartei vgl. BGE 131 IV 154 E. 1.3.2 und Urteil 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.3).
5.4. Bei der Wahl der Mittel ist der Anwalt auf gesetzeskonforme Mittel beschränkt. Art. 12 lit. a BGFA gebietet, dass er sich bei der Vertretung der Parteiinteressen innerhalb der Rechtsordnung bewegt, andernfalls die Sorgfaltspflicht verletzt ist (BGE 144 II 473 E. 5.1; FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 262; BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, Rz. 1234). In diesem Sinne ist es dem Anwalt unter anderem untersagt, zu Beweiszwecken Urkunden zu fälschen (BRUNNER/HENN/KRIESI, Anwaltsrecht, S. 107; MICHEL VALTICOS, in: Valticos/Reiser/Chappuis [Hrsg.], Commentaire Romand, Loi sur les avocats, 2010, N. 37 zu Art. 12 BGFA). Darüber hinaus ist es - auch unterhalb einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit - nicht mit der Verpflichtung zur sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung vereinbar, wenn der Anwalt "positiv störend" in die Wahrheitsfindung eingreift, d.h. bewusst durch aktives Handeln das Gericht in die Irre führt. Umgekehrt ist er jedoch nicht gehalten, falsche Annahmen des Gerichts richtig zu stellen, wenn dies dem Klienteninteresse dient, oder auf für den Klienten ungünstige Sachverhaltselemente hinzuweisen (FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 265; BRUNNER/HEINI/KRIESI, Anwaltsrecht, S. 108 f.; a. A. KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, Rz. 1526 ff., 1571 ff., 1605 ff., welcher aufsichtsrechtlich nur ein unter anderen Rechtstiteln rechts- oder sittenwidriges Vorgehen des Anwalts als sanktionswürdig erachtet und ein allgemeines Irreführungsverbot zurückweist, wobei auch SCHILLER Behauptungen des Anwalts wider besseres Wissen kritisch betrachtet).
5.5. Vorliegend wurde die vom Beschwerdeführer ins Recht gelegte Antwortbeilage 18 in der Klageantwort zwar als "Auszug aus Schreiben Advokat Dr. C._/A._ vom 03.02.2016" bezeichnet. Die Einleitung des Schreibens, in welcher festgehalten wurde, dass die nachfolgenden Ausführungen Teil eines Vergleichsvorschlages bilden, wurde jedoch abgedeckt, womit die nicht abgedeckte Passage aus dem Zusammenhang gerissen wurde. Dies bedeutet nicht, dass jede Abdeckung unzulässig ist. Vorliegend entstand jedoch beim Leser aufgrund der Ausblendung des Kontextes der Eindruck, der Betrag von Fr. 700'000.-- sei als Schuld anerkannt worden. Ein solches Vorgehen ist aufsichtsrechtlich unzulässig, denn der Beschwerdeführer hat durch aktives Handeln störend in die Wahrheitsfindung eingegriffen. Ob das Zivilgericht aufgrund der genannten Antwortbeilage letztlich tatsächlich getäuscht wurde, hat die Vorinstanz nicht festgestellt. Dies kann jedoch bei der Beurteilung der Verletzung der Berufspflichten, jedenfalls in vorliegender Konstellation, keine Rolle spielen.
5.6. Damit erweist sich die zweite Rüge des Beschwerdeführers als unberechtigt bzw. das angefochtene Urteil in diesem Punkt als bundesrechtskonform.
6.
6.1. Auch wenn der Beschwerdeführer mit einer Rüge durchgedrungen ist, ist dessen Antrag und damit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen. Bereits der dem Anwalt vorzuwerfende, störende Eingriff in die Wahrheitsfindung rechtfertigt die Aussprechung einer Verwarnung (Art. 17 Abs. 1 lit. a BGFA).
6.2. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren ist dagegen nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Quinto