Faits :
A.
A.a. B._ (ci-après: le client, le demandeur ou l'intimé) est client de A._ (ci-après: la banque, la défenderesse ou la recourante) depuis 1997. Au cours des années, il a ouvert plusieurs comptes auprès de la banque. Il bénéficie du système e-banking C._-net, qui lui permet d'avoir une vue d'ensemble de ses finances partout et en tout temps.
A.b. Jusqu'en novembre 2016, le client n'avait jamais effectué d'opérations financières avec la banque.
En novembre 2016, le directeur d'une société de conseils en placements, avec lequel le client était en contact depuis plusieurs années, a conseillé à celui-ci d'acheter 100 options D._. Ce directeur a précisé que le conseil donné avait pour but de " limiter le risque en cas de perte ". Le client a décidé de suivre ce conseil en procédant à l'achat d'options auprès de deux banques, dont la banque défenderesse.
A.c. Ayant préalablement pris rendez-vous, le client s'est rendu à la banque le 10 novembre 2016 et a été reçu par une employée de celle-ci. Il a ouvert un compte de dépôt en vue de la transmission d'un ordre de bourse pour l'achat d'options liées au titre D._ et un compte xxx, qui était lié au premier et libellé en francs suisses. Il a versé 20'000 fr. sur ce compte-là.
Le client a indiqué à l'employée être très pressé et souhaiter que l'opération se fasse immédiatement.
L'employée de la banque a complété la formule interne " ordre de bourse " sur la base d'un document yyy présenté par le client. Le contenu de l'ordre de bourse est contradictoire: en effet, il est indiqué, sur la première ligne, " 1 contrat de 100 calls " et, sur la deuxième et la troisième lignes, " acheter - 100 - call strike 160.- actions D._ [...] ". Sur la quatrième ligne figure l'échéance de décembre 2016 et la limite à 1.57. Cet ordre a été signé par le client. Il ressort d'une brochure remise au client par la banque que " strike " signifie prix d'exercice; autrement dit, le prix d'achat d'actions D._ était fixé à 160 fr.
Le client a également signé un document de décharge indiquant " 1 contrat - 100 - call strike 160 fr. ".
Il a également signé le document intitulé " mandat pour options et futures conclus sur yyy ou d'autres marchés organisés ".
L'employée de la banque, qui ne pouvait passer l'ordre de bourse elle-même, a pris contact, à deux reprises, avec des collègues de la salle des marchés. Lors de ces appels téléphoniques, le client entendait ce que disait l'employée, mais pas ce que les collègues de la salle des marchés répondaient à celle-ci. La retranscription de ces appels comprend plusieurs pages.
A.d. Sur la base de cet ordre et des discussions avec la salle des marchés, la banque a acheté, pour le compte du client, un call pour le prix de 157 fr., représentant 100 options D._, autrement dit un contrat de type call lui permettant d'acheter 100 actions D._ au prix de 160 fr. d'ici au mois de décembre 2016.
La banque a débité le compte du client du montant de 277 fr. 20 (montant brut de 157 fr., commissions de la banque de 120 fr. et taxes yyy de 0 fr. 20). Le solde se trouvant sur le compte, soit 19'722 fr. 80, a été bloqué à titre de garantie jusqu'à l'échéance du call.
A.e. À la fin de l'entretien du 10 novembre 2016, le client a requis de l'employée une confirmation de l'ordre de bourse qui venait d'être passé. L'employée lui a répondu qu'il recevrait une confirmation par écrit dans les jours suivants.
Comme il n'avait toujours pas reçu de confirmation, le client s'en est enquis auprès de l'employée, qui lui a affirmé que la confirmation lui avait été envoyée. Elle lui a aussi répondu qu'il pouvait consulter l'ordre sur C._-net.
Entre le 10 novembre 2016 et le 25 novembre 2016, le client s'est connecté plus de 70 fois à C._-net.
A.f. Les 24 et 25 novembre 2016, à la suite de discussions quant à une éventuelle offre publique d'achat de E._ sur D._, l'action D._ a connu sa plus forte hausse depuis plus de 16 ans.
Le 25 novembre 2016, n'ayant toujours pas reçu de confirmation, le client a téléphoné à l'employée de la banque. C'est à ce moment qu'il a réalisé que l'achat effectué n'avait porté que sur un call, et non sur 100 calls.
A.g. La banque a finalement vendu le call au prix de 5'679 fr. 80, dont elle a crédité le compte du client après déduction des frais.
B.
B.a. Par requête de conciliation du 16 février 2017, le client a ouvert action en paiement contre la banque. La conciliation n'ayant pas abouti, il a déposé sa demande en justice devant la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud le 8 mai 2017, concluant à ce que la banque soit condamnée à lui payer le montant de 558'657 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 16 décembre 2016.
La banque a conclu au rejet de la demande. Les parties ont, respectivement, répliqué et dupliqué.
La Chambre a entendu le client, une représentante de la banque et trois témoins.
Par jugement du 28 mai 2019, la Chambre patrimoniale cantonale a condamné la banque à verser au demandeur le montant de 552'602 fr. 55 avec intérêts à 5 % l'an dès le 16 décembre 2016. En bref, elle a constaté, sur la base des discussions enregistrées, que le client avait bien communiqué son intention d'acheter 100 calls. Par ailleurs, si l'employée avait eu un doute à cet égard, elle aurait dû requérir des éclaircissements avant de passer l'ordre. La Chambre en a déduit un " accord contractuel " sur l'achat de cent calls, qui n'a pas été respecté par la banque. De plus, l'employée avait fourni au client des informations contradictoires, notamment quant au fait qu'il allait recevoir une confirmation de son ordre. La Chambre a considéré que le client ne pouvait se voir reprocher une faute concomitante puisqu'il avait réagi dès qu'il avait constaté l'erreur de la banque. Quant à la banque, sa faute réalisait les conditions de l'art. 100 al. 2 CO. Elle devait donc répondre du dommage causé au client.
B.b. Statuant le 20 novembre 2020, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel de la banque et a confirmé le jugement attaqué. Elle a laissé ouverte la question de savoir si les parties s'étaient liées par un contrat de commission au sens des art. 425 ss CO ou par un contrat de mandat simple au sens des art. 394 ss CO, dès lors que, dans les deux cas, les règles du mandat, soit les art. 394 ss CO, sont applicables.
N'examinant que les griefs soulevés par la banque, la cour cantonale a, tout d'abord, recherché quel était le " contenu de l'accord passé le 10 novembre 2016 entre les parties ". Estimant ne rien pouvoir déduire de l'ordre de bourse signé par le client, puisqu'il est contradictoire, elle a conclu, sur la base de l'ensemble des discussions entre le client, l'employée de la banque et les employés de la salle des marchés, que le client " souhaitait spéculer et acheter des produits dérivés pour les revendre avant l'échéance, sans intention d'acheter les produits sous-jacent [sic] ", qu'il voulait investir une somme de l'ordre de 17'000 fr., mais n'avait investi que 157 fr. (hors frais), ce qui n'était donc pas conforme à sa volonté, qu'il avait versé 20'000 fr. sur son compte pour cet achat d'options et, donc, qu'il voulait bien acheter 100 calls. Elle a relevé que la banque ne pouvait pas interpréter les déclarations du client " dans le sens qui lui paraissait correspondre à un risque mesuré, dès lors qu'elle n'a[vait] pas manifesté un refus de procéder dans le sens requis par [le client] au motif qu'il n'avait pas la couverture nécessaire et qu'elle n'a[vait] pas non plus estimé, au vu de ses réponses, que celui-ci n'était pas suffisamment initié à la bourse pour passer la transaction souhaitée ".
Puis, traitant un deuxième grief, la cour cantonale a constaté qu'il ne ressort pas des conversations téléphoniques avec la salle des marchés que " [l'employée] aurait indiqué [au client] qu'un montant de 157 fr. plus frais allait être débité de son compte à la suite de l'exécution de la transaction litigieuse ". Elle a retenu que l'employée avait certes indiqué ce nombre à son collègue de la salle des marchés, mais que le client n'entendait pas ce qui se disait entre les employés, car il " discutait sur une autre ligne avec [l'employée] ". Elle en a conclu qu'on ne saurait retenir que le client aurait dû réagir à l'annonce du montant de la prime de 157 fr. qui serait débitée de son compte pour exécuter la transaction litigieuse.
C.
Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 25 novembre 2020, la banque a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 8 janvier 2021, concluant à sa réforme, en substance, en ce sens que la demande du client est rejetée. La banque recourante se plaint notamment d'établissement arbitraire des faits, ainsi que de violation des art. 150 et 222 CPC sur plusieurs points de fait (quant au fait que le client aurait discuté par téléphone avec l'employée de la banque et quant au fait qu'il aurait manifesté la volonté d'acheter 100 calls sans intention d'acquérir les sous-jacents).
Le client conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt de la cour d'appel.
Les parties ont chacune déposé de brèves observations.
La cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1, art. 46 al. 1 let. c et art. 45 al. 1 LTF) par la partie défenderesse, qui a succombé dans ses conclusions libératoires (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur appel par le tribunal supérieur du canton de Vaud (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 140 III 115 consid. 2; 137 I 58 consid. 4.1.2; 137 II 353 consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2; 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1). Il ne suffit pas qu'une appréciation différente puisse être tenue pour également concevable, ou apparaisse même préférable (ATF 144 I 170 consid. 7.3 et les arrêts cités).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les arrêts cités). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 et les références citées). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 130 I 258 consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (ATF 140 III 115 consid. 2, 86 consid. 2). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4).
3.
Avant toute chose, il s'impose de préciser que les options call (ou calls) sont des options d'achat. Ce sont des contrats qui créent un cadre contractuel avec des obligations propres à chacun des cocontractants. Les options call donnent le droit, mais non l'obligation, d'acquérir, à un prix d'exercice déterminé ( strike), un sous-jacent, comme ici des actions D._, à une certaine date (date de maturité; call à l'européenne) (sur la différence avec le call à l'américaine, cf. arrêts 4A_432/2019 du 13 décembre 2019 consid. 3.3.3; 5A_715/2016 du 31 mars 2017 consid. 5.2.2 et la référence citée). Il arrive fréquemment que les investisseurs ne fassent pas usage du droit d'acheter le sous-jacent, mais vendent l'option call avant la date de maturité, pour en réaliser la plus-value.
En l'espèce, une option call, c'est-à-dire un contrat, permet d'acheter à l'échéance 100 actions D._, ce qui, à un strike de 160 fr., représente un prix de 16'000 fr.; 100 options call permettent donc d'acheter 10'000 actions, ce qui, à un strike de 160 fr., coûterait 1'600'000 fr.
4.
Les parties divergent sur le point de savoir si le client a donné l'ordre d'acheter 100 calls, ce qui représente 100 fois 100 options, ou s'il a donné l'ordre d'acheter un call, ce qui représente 100 options.
4.1.
4.1.1. Lorsque la banque et le client sont liés par une relation bancaire de simple compte/dépôt bancaire ( blosse Konto-/Depot-Beziehung; execution only), la banque ne peut effectuer une opération d'achat ou de vente déterminée sur le compte du client que sur instructions ou avec l'accord de celui-ci (arrêt 4A_354/2020 du 5 juillet 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités; sur cette relation en général, cf. arrêt 4A_54/2017 du 29 janvier 2018 consid. 5.1.4 et 5.2 et les arrêts cités).
La responsabilité de la banque est soumise à l'art. 398 al. 1 CO, qui renvoie à l'art. 321e al. 1 CO. Elle est donc subordonnée aux quatre conditions suivantes, conformément au régime général de l'art. 97 CO (arrêts 4A_354/2020 précité consid. 3.2; 4A_556/2019 du 29 septembre 2020 consid. 4.3 et les arrêts cités) : (1) une violation des obligations qui lui incombent en vertu du contrat, notamment la violation de ses obligations de diligence et de fidélité (art. 398 al. 2 CO; ATF 134 III 534 consid. 3.2.2; 127 III 357 consid. 1); (2) un dommage; (3) un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation du contrat et le dommage; et (4) une faute. Le mandant supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungslast) et le fardeau de la preuve ( Beweislast) des trois premières conditions, conformément à l'art. 8 CC. Il incombe en revanche au mandataire de prouver qu'aucune faute ne lui est imputable (" à moins qu'il ne prouve... ") (arrêts 4A_72/2020 précité consid. 5.3; 4A_556/2019 précité consid. 4.3 et les arrêts cités).
4.1.2. Les parties ne remettent pas en cause l'application des art. 394 ss CO.
4.2. Savoir si la banque a violé son devoir de diligence (première condition) présuppose de déterminer le contenu des instructions que lui a données le client.
4.2.1. Les instructions, autrement dit les ordres, notamment d'achat ou de vente d'instruments financiers, sont des manifestations de volonté unilatérales du client (le mandant), sujettes à réception par la banque (la mandataire) (arrêts 4A_111/2019 du 23 juillet 2019 consid. 3.3; 4A_352/2018 du 25 février 2019 consid. 3.4; 4A_59/2009 du 7 septembre 2009 consid. 5.3.2; 4C.383/2006 du 27 février 2007 consid. 3.3). Il n'y a pas lieu d'examiner ici la question de savoir si les instructions sont contraignantes pour la banque (cf. arrêt 4A_111/2019 précité et les arrêts cités) ou si la banque ne serait liée qu'après les avoir acceptées (FRANZ WERRO, in Commentaire romand, 3e éd. 2021, no 4 ad art. 397 CO; TERCIER/BIERI/CARRON, Les contrats spéciaux, 5e éd. 2016, p. 635 n. 4457), dès lors qu'aucun grief n'est soulevé à cet égard.
4.2.2. Les manifestations de volonté unilatérales, qu'elles soient ou non sujettes à réception, doivent être interprétées conformément aux principes généraux en matière d'interprétation des manifestations de volonté (cf. arrêt 4A_643/2020 du 22 octobre 2021 consid. 4 et les arrêts et références cités), applicables par analogie (ATF 115 II 323 consid. 2b; arrêt 4A_544/2012 du 28 janvier 2013 consid. 4.2; STEPHAN HARTMANN, Zürcher Kommentar, 4e éd. 2014, no 67 ad art. 18 CO; à propos de la résiliation, acte formateur, cf. les arrêts 4A_193/2018 du 27 juillet 2018 consid. 4.1.2; 4A_343/2017 du 1er mai 2018 consid. 2.1; 4A_347/2017 du 21 décembre 2017 consid. 5.2.1).
En vertu de l'art. 18 al. 1 CO, applicable par analogie, le juge doit donc rechercher, dans un premier temps, la volonté subjective des parties, soit, d'un côté, la volonté de celui qui fait la déclaration et, de l'autre, la compréhension de cette volonté par celui qui l'a réceptionnée, la volonté subjective ayant la priorité sur la volonté objective en vertu de cette disposition (ATF 144 III 93 consid. 5.2.1; arrêts 4A_643/2020 précité consid. 4.2; 4A_193/2018 précité consid. 4.1.2). Si le destinataire de la manifestation de volonté l'a effectivement comprise ainsi que le voulait son auteur, la déclaration vaut dans le sens que lui ont donné les deux parties (volonté réelle).
Si le juge ne parvient pas à déterminer cette volonté réelle - parce que les preuves font défaut ou ne sont pas concluantes - ou s'il constate que le destinataire de la manifestation de volonté ne l'a pas comprise ainsi que le voulait son auteur, autrement dit que le sens compris ne correspond pas au sens voulu - ce qui ne ressort pas déjà du simple fait que le destinataire l'affirme en procédure, mais doit résulter de l'administration des preuves -, il doit rechercher, dans un second temps, le sens objectif que le destinataire pouvait et devait raisonnablement donner de bonne foi à la déclaration de volonté de l'auteur selon le principe de la confiance (art. 1 al. 1 CO en relation avec l'art. 2 al. 1 CC; ATF 144 III 93 consid. 5.2.3 et les arrêts cités; arrêt 4A_643/2020 du 22 octobre 2021 consid. 4 et les références citées).
4.2.3. La cour cantonale s'est contentée de constater ce que souhaitait le client, sans se préoccuper de rechercher comment la banque avait compris ce qu'il avait déclaré. Ce faisant, elle a violé le droit fédéral, soit les règles de l'art. 18 CO, ce que la recourante lui reproche.
4.2.4. Il s'impose donc de déterminer, en premier lieu, sur la base des constatations de fait de l'arrêt attaqué, si et comment les déclarations du client ont été comprises par la banque, soit de procéder à l'interprétation de la volonté subjective.
Force est de constater, tout d'abord, que le client a signé un ordre de bourse, que la cour cantonale elle-même qualifie de contradictoire, dont on ne peut déduire s'il voulait acheter un call ou 100 calls. Ensuite, après avoir hésité sur ce qu'il voulait vraiment tout au long du premier entretien téléphonique de l'employée avec son collègue de la salle des marchés, le client a finalement répondu, à la question de savoir s'il voulait faire valoir son " droit d'acheter les actions à 160 parce que le but final c'est quand même de spéculer sur l'action ", qu'il voulait " spéculer sur l'action ", ce qui a amené l'employée à constater que " c'est faux comme on est en train de faire le truc ". C'est à la suite de cette déclaration du client que l'employée a compris qu'il voulait acheter un call (un contrat). Cela lui a été confirmé ensuite par le client: lorsqu'elle lui a indiqué " vous investissez 155 fr. aujourd'hui " et que, si l'action dépasse les 160 fr., " c'est là que vous allez faire valoir votre droit à acheter les actions pour les 16'000 francs plus le prix du droit plus les frais ", le client a acquiescé. Dans sa réponse au présent recours, le client intimé reconnaît d'ailleurs qu'il " parlait bien du nombre d'options call, même s'il a, dans la confusion, parlé d'actions " et admet que " [f]orce est de constater, en lisant l'ensemble de la retranscription, qu'il s'agit ici encore d'une incompréhension entre [lui] et [l'employée] ". On ne peut que déduire de ces faits, admis et reconnus par l'intimé, qu'il a bien parlé d'achat futur des actions D._ pour 16'000 fr. et que c'est ce qu'a compris l'employée. La simple affirmation du client intimé, selon laquelle l'incompréhension entre lui et l'employée serait " imputable à la banque ", ne suffit pas à renverser l'appréciation du sens déclaré et du sens compris. Il en va de même lorsqu'il soutient que " même s'il a, dans la confusion, parlé d'actions ", il fallait comprendre qu'il parlait du " nombre d'options call " et que la " confusion [...] est le fait de la [banque], par ses auxiliaires, et est entièrement imputable à la banque ".
Lors du second entretien téléphonique de l'employée avec la salle des marchés, le client a entendu l'employée dire qu'il voulait acheter un contrat sur des calls strike D._, confirmé qu'" on reste toujours avec 1 [contrat] " et entendu qu'il se verrait débiter 157 fr. plus frais. C'est de manière contradictoire et arbitraire, comme la recourante lui en fait grief, que la cour cantonale a motivé sa thèse d'un accord sur 100 calls en retenant que le client ne pouvait pas entendre ce que l'employée disait puisqu'il était sur une autre ligne téléphonique: en effet, elle avait constaté elle-même que le client entendait bien ce que l'employée disait au téléphone puisqu'il était en sa présence, mais qu'il n'entendait pas ce que les collègues de la salle des marchés répondaient au téléphone à celle-ci. Dans sa réponse, le client intimé admet d'ailleurs lui-même qu'il se trouvait dans la même pièce que l'employée pendant que celle-ci discutait par téléphone avec les employés de la salle des marchés. L'argument de la cour cantonale est donc impropre à inverser l'appréciation des faits qui précède.
En résumé, comme il l'admet lui-même, après de longs éclaircissements, le client a bien parlé d'achat futur des actions D._ pour 16'000 fr. et il a entendu qu'il se verrait débiter 157 fr. plus frais. Au vu de cette appréciation, il est superflu de discuter l'hypothèse que l'intimé échafaude, à savoir qu'il n'entendait qu'une partie de l'échange, à savoir les paroles confuses de l'employée, qu'il serait " nécessaire de remettre cette phrase dans son contexte et de souligner qu'il s'agit là d'une des dernières phrases prononcées par [l'employée] " et qu'il aurait pu penser qu'il s'agissait là de 157 fr. de frais.
Un client qui veut passer une opération de bourse complexe doit avoir conscience de l'objet et de la portée de celle-ci et pouvoir donner des instructions claires et précises à la banque. Or, l'une et l'autre font défaut en l'espèce.
4.2.5. Le sens compris par la banque correspondant au sens déclaré par le client, la volonté réelle est établie. Il est donc exclu de procéder à une interprétation selon le principe de la confiance.
Alors que le client a confirmé, à la fin des échanges téléphoniques avec la salle des marchés, vouloir acheter les actions, on ne saurait reprocher à l'employée de la banque de n'avoir pas sollicité de plus amples éclaircissements.
Contrairement à ce que soutient l'intimé, qui estime que la banque doit répondre du dommage en cas d'erreur dans l'exécution de l'ordre, il ne faut pas confondre cette situation, qui intervient au moment de l'exécution, avec un ordre qui, comme en l'espèce, est correctement exécuté conformément au contenu qui a été déclaré par le client et correctement interprété et compris par la banque.
5.
Au vu de ce qui précède, il n'y a pas lieu d'examiner les autres griefs de la recourante, en particulier la question de savoir si la banque aurait pu ou non refuser de procéder à l'achat de 100 calls au motif que le client n'avait pas la couverture financière nécessaire et qu'il ne comprenait pas suffisamment le domaine de la bourse pour passer une telle transaction.
Le recours doit donc être admis et l'arrêt attaqué réformé, en ce sens que la demande du client est rejetée, frais judiciaires et dépens à la charge de celui-ci (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). La cause doit être renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais judiciaires et les dépens des instances cantonales.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé et réformé, en ce sens que la demande du client contre la banque est rejetée.
2.
Les frais judiciaires de la procédure fédérale, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens.
4.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais judiciaires et les dépens des instances cantonales.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals