Erwägungen:
1.
Die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn setzte mit Verfügung vom 20. April 2020 den Beginn der Dauer des Führerausweisentzugs gegenüber A._ auf den 1. Mai 2020 mit Wirkung bis am 31. Oktober 2020 fest. Dagegen erhob A._ am 30. April 2020 Beschwerde, auf welche das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 5. Mai 2020 nicht eintrat. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, dass es ihm versagt sei, diese Vollstreckungsverfügung inhaltlich zu überprüfen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 4. Juni 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts auseinander, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde führten. Er vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. dessen Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli