Erwägungen:
1.
Zwischen A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) und der B._ AG (Klägerin) ist am Bezirksgericht Luzern ein Forderungsprozess hängig. In der Duplik vom 10. Dezember 2020 erhob A._ Widerklage.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2021 reichte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein. Am 11. Februar 2021 wies die Einzelrichterin am Bezirksgericht das Gesuch für das Widerklageverfahren ab. Zur Begründung führte sie aus, dass die Widerklage nicht in der Klageantwort, sondern erst in der Duplik und damit verspätet eingegeben worden sei (Art. 224 Abs. 1 ZPO). Die Widerklage sei unzulässig und folglich aussichtslos, weshalb kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bestehe (Art. 117 lit. a ZPO).
Das Kantonsgericht Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 22. März 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
A._ hat mit Eingabe vom 30. März 2021 (Postaufgabe: 31. März 2021) beim Bundesgericht Beschwerde gegen diesen Entscheid erhoben.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Bezirksgericht habe die Zustellungen nicht wirksam vorgenommen, weshalb keinerlei Fristen "in Lauf gesetzt" worden seien. Die Widerklage sei demnach nicht verspätet erhoben worden. Damit geht er an der Begründung des Kantonsgerichts vorbei. Dieses kam nämlich nicht nur zum Schluss, das Bezirksgericht sei in Bezug auf die Zustellungen ordnungsgemäss vorgegangen. Es erkannte darüber hinaus auch, dass dem Beschwerdeführer die Verfügung zur Erstattung einer Klageantwort effektiv zugestellt wurde und dieser eine Antwort einreichte, ohne darin Widerklage zu erheben. Dies ist allein entscheidend. Inwiefern es Recht verletzen sollte, mit Blick auf diese Feststellungen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Widerklageverfahren abzuweisen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen.
4.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht auf sie einzutreten ist.
Ausnahmsweise werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Es kann daher offen bleiben, ob der Beschwerdeführer (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren (sinngemäss) um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
5.
Die im angefochtenen Entscheid vermerkte Adresse des Beschwerdeführers in U._ hat sich im bundesgerichtlichen Verfahren für die Zustellung von Gerichtsurkunden und eingeschriebenen Postsendungen als untauglich erwiesen. Der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht eine Adresse in Deutschland als Absenderadresse angegeben, ohne (und entgegen der Auflage in Art. 39 Abs. 3 Satz 1 BGG) ein Zustellungsdomizil in der Schweiz zu nennen. Ein Schreiben des Bundesgerichts, mit dem der Beschwerdeführer aufgefordert wurde, ein Zustellungsdomizil in der Schweiz zu bezeichnen, konnte diesem in Deutschland nicht zugestellt werden. Entsprechend wird ihm dieses Urteil in Anwendung von Art. 39 Abs. 3 zweiter Satz BGG nicht zugestellt, sondern zu seiner Verfügung bei der Bundesgerichtskanzlei behalten.
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, und der B._ AG schriftlich mitgeteilt.
4.
Ein Exemplar des vorliegenden Urteils wird zur Verfügung des Beschwerdeführers im Beschwerdedossier behalten.
Lausanne, 10. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle