Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) und die C._ AG (damalige Vermieterin) schlossen am 18. Juni 2011 einen unbefristeten Mietvertrag betreffend eine 3-Zimmer-Wohnung U._ in V._.
Im Vertragsformular findet sich der Hinweis, dass es sich um einen Mietvertrag über eine mit Bundeshilfe zur Verfügung gestellte Wohnung handelt und die Mietzinsen entsprechend den Lasten- und Mietzinsplänen des Bundes festgelegt sowie angepasst werden. Der Vertrag nennt einen "Nettomietzins Grundverbilligte Miete" in Höhe von Fr. 1'428.--, wovon eine "Zusatzverbilligung (... % des AK, wird vom Kantonalen Wohnungsamt festgesetzt gem. separater Mitteilung/Verfügung) " von Fr. 700.-- in Abzug gebracht wurde. Unter Anrechnung von Fr. 180.-- als Nebenkosten à conto ergab dies einen monatlich zu bezahlenden Betrag von Fr. 908.-- (in der Zwischenzeit zufolge Installation eines Geschirrspülers auf Fr. 938.-- erhöht).
Bereits mit Verfügung vom 15. Juni 2011 hatte das Kantonale Wohnungsamt mitgeteilt, dass A._ gemäss dem Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz vom 4. Oktober 1974 (WEG; SR 843) Anrecht auf eine Zusatzverbilligung in Höhe von monatlich Fr. 700.-- habe. Das Wohnungsamt hatte ferner festgehalten, dass die Zusatzverbilligung von der "Grundverbilligung (festgelegt im Mietzinsplan) " abgezogen werden müsse.
A.b. Am 3. Januar 2019 informierte das Bundesamt für Wohnungswesen die B._ SA (Beschwerdegegnerin), welche in der Zwischenzeit das Eigentum an der Mietliegenschaft erworben hatte, dass die seit dem 1. Juli 1994 gewährte Bundeshilfe nach einer Laufzeit von 25 Jahren per 30. Juni 2019 auslaufen werde und die Zusatzverbilligungen nicht mehr ausgerichtet würden.
Mit Schreiben vom 11. und 13. Juni 2019 orientierte die B._ SA A._, dass die bisherigen Subventionen des Bundes "leider nicht mehr gewährt" würden. Die Eigentümerschaft leiste eine "Anstrengung" ("effort") im Sinne einer Verbilligung des Mietzinses in Höhe von Fr. 238.--; demnach belaufe sich der ab 1. August 2019 zu bezahlende Mietzins auf Fr. 1'370.-- (Nettomietzins von - wie bisher - Fr. 1'428.--, zuzüglich Nebenkosten von Fr. 180.-- abzüglich Fr. 238.--).
A._ bezahlte auch nach dem 1. August 2019 den bisher geschuldeten Betrag von Fr. 938.-- pro Monat.
A.c. Mit Einschreiben vom 9. Oktober 2019 wurde A._ eine Nachfrist zur Bezahlung der Mietzinsausstände in Höhe von Fr. 1'296.-- (dreimal Fr. 432.-- entsprechend der Differenz zwischen dem bisherigen zusatzverbilligten und dem neuen nicht zusatzverbilligten Mietzins für die Monate August, September und Oktober 2019) gesetzt und mit Hinweis auf Art. 257d OR die Kündigung des Mietverhältnisses im Fall der nicht rechtzeitigen Bezahlung des geschuldeten Betrags angedroht.
Am 9. Januar 2020 kündigte die B._ SA das Mietverhältnis unter Verwendung des amtlichen Formulars per 29. Februar 2020, nachdem A._ die Ausstände auch innert Nachfrist nicht beglichen hatte.
B.
A._ focht die Kündigung bei der Schlichtungskommission für Mietverhältnisse des Sense- und Seebezirks an. Anlässlich der Schlichtungsverhandlung wurde keine Einigung erzielt. Am 26. Mai 2020 reichte sie Klage beim Mietgericht des Sense- und Seebezirks ein und beantragte, die Kündigung sei aufzuheben. Ausserdem sei die B._ SA zu verurteilen, ihr für das Schlichtungsverfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 20. November 2020 wies das Mietgericht die Klage ab.
Die dagegen gerichtete Berufung wies das Kantonsgericht Freiburg mit Urteil vom 21. April 2021 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben. Die Kündigung vom 9. Januar 2020 sei aufzuheben und es sei ihr eine Parteientschädigung von Fr. 5'667.85 für das kantonale Verfahren zuzusprechen.
Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin replizierte, worauf die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht hat.
Mit Präsidialverfügung vom 7. Juli 2021 wurde der Beschwerde, wie von der Beschwerdeführerin beantragt, die aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Weiter erreicht der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG in mietrechtlichen Fällen geltenden Mindestbetrag von Fr. 15'000.--.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; 135 III 397 E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90).
3.
Die Beschwerdeführerin ist im Wesentlichen der Auffassung, die Beschwerdegegnerin habe den Mietzins erhöht, ohne das amtliche Formular zu verwenden. Die "Mietzinserhöhung" und damit auch die wegen angeblichen Zahlungsverzugs ausgesprochene Kündigung vom 9. Januar 2020 seien aus diesem Grund nichtig.
4.
4.1. Gemäss Art. 269d OR kann der Vermieter den Mietzins jederzeit auf den nächstmöglichen Kündigungstermin erhöhen. Er muss dem Mieter die Mietzinserhöhung mindestens zehn Tage vor Beginn der Kündigungsfrist auf einem vom Kanton genehmigten Formular mitteilen und begründen (Abs. 1). Dies gilt auch, wenn der Vermieter beabsichtigt, sonstwie den Mietvertrag einseitig zu Lasten des Mieters zu ändern, namentlich seine bisherigen Leistungen zu vermindern oder neue Nebenkosten einzuführen (Abs. 3).
Diese Bestimmung erfasst vom Vermieter gewollte und veranlasste einseitige Vertragsänderungen zu Lasten des Mieters ("modifications unilatérales du contrat par le bailleur"; vgl. BGE 128 III 419 E. 2.4.1). Eine Änderung des Mietzinses, die nicht eine Mietzinserhöhung darstellt, kann formfrei angezeigt werden (siehe BGE 126 III 124 E. 2a S. 127; 124 III 67 E. 3a S. 69; ferner PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 1998, N. 39-47 zu Art. 269d OR; SYLVAIN MARCHAND, in: Droit du bail à loyer et à ferme, Bohnet/Carron/Montini [Hrsg.], 2. Aufl. 2017, N. 5-15 zu Art. 269d OR).
4.2.
4.2.1. Das Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz bezweckt unter anderem die Verbilligung der Wohnkosten, vorab der Mietzinsen (vgl. Art. 1 Abs. 1 WEG). Es sieht vor, dass der Bund durch gezielte Massnahmen den Bau von Wohnungen zu besonders günstigen Mietzinsen unterstützt (Art. 35 Abs. 1 WEG). Art. 35 Abs. 2 WEG ermöglicht - neben der Grundverbilligung (lit. a) - die Zusatzverbilligung I zur Senkung des kostendeckenden Anfangsmietzinses um insgesamt 30 Prozent für Wohnungen für Bevölkerungskreise mit beschränkten Einkommen (lit. b) und die Zusatzverbilligung II zur Senkung des kostendeckenden Anfangsmietzinses um insgesamt 40 Prozent für Wohnungen für Betagte, Invalide und Pflegebedürftige mit Einschluss des für deren Betreuung erforderlichen Personals sowie für Wohnungen von Personen, die in Ausbildung stehen (lit. c). Die mit der Zusatzverbilligung erstellten und erneuerten Wohnungen dürfen nur an Personen vermietet werden, deren Einkommen die vom Bundesrat festzusetzenden Grenzen nicht übersteigen (Art. 42 Abs. 3 WEG).
4.2.2. Das Bundesamt für Wohnungswesen bezahlt die Zusatzverbilligung an die Vermieterschaft aus (vgl. Art. 14 der Verordnung vom 30. November 1981 zum Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz [VWEG; SR 843.1]). Diese senkt in entsprechender Höhe den vom Mieter zu bezahlenden Mietzins (siehe das Merkblatt "Informationen für Mieterinnen und Mieter" des Bundesamts für Wohnungswesen vom Januar 2017, abrufbar unter: https://www.bwo.admin.ch/ bwo/de/home/wohnraumfoerderung/weg.html, Stand: 1. September 2021, S. 3; vgl. auch Art. 27a VWEG).
4.2.3. Die auf Grund des WEG verbilligten Mietzinse unterliegen bis zur vollständigen Tilgung der Bundesvorschüsse und Zinsbeträge, mindestens aber während 25 Jahren, einer amtlichen Mietzinsüberwachung (Art. 45 Abs. 1 Satz 1 WEG). Entsprechend finden die obligationenrechtlichen Bestimmungen über die Anfechtung missbräuchlicher Mietzinse keine Anwendung (Art. 253b Abs. 3 OR).
5.
Zufolge Ablaufs der Laufzeit der Bundeshilfe (vgl. Art. 27 VWEG) unterstand die fragliche Wohnung ab dem 1. Juli 2019 nicht mehr dem Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz, sondern vollumfänglich dem Obligationenrecht. Entsprechend waren die Bestimmungen über die Anfechtung missbräuchlicher Mietzinse anwendbar und Mietzinserhöhungen sowie andere einseitige Vertragsänderungen durch den Vermieter gemäss der Regel von Art. 269d OR auf dem amtlichen Formular mitzuteilen (siehe im Übrigen zur Berechnungsmethode bei Ausscheiden einer Liegenschaft aus der kantonalen Mietzinskontrolle: BGE 146 III 346 E. 3; 142 III 568 E. 1). Darauf hat das Bundesamt für Wohnungswesen in seinem Schreiben vom 3. Januar 2019 denn auch hingewiesen.
Allein, vorliegend steht nicht eine von der Vermieterin bewirkte einseitige Mietzins- oder sonstige Vertragsänderung zur Diskussion, sondern der Wegfall der öffentlich-rechtlichen Zusatzverbilligung. Es geht mit anderen Worten nicht um die Ausübung eines Gestaltungsrechts im Sinne von Art. 269d OR zu Lasten der Mieterin, gegen die sich Letztere zivilrechtlich zur Wehr setzen können muss (siehe zum Zweck der Formularpflicht auch BGE 123 III 70 E. 3b). Entsprechend hält denn auch das im Recht liegende "Informationsblatt betreffend den Übergang von Mietzinsen nach Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz (WEG) zu Mietzinsen nach Obligationenrecht (OR) " des Bundesamts für Wohnungswesen vom 16. Juli 2013 unter Ziffer 6 fest, dass für die betreffende Liegenschaft "spätestens ab dem Zeitpunkt des Übergangs keine Zusatzverbilligung mehr gewährt" werde und die Mieterschaft "künftig den gesamten Mietzinsbetrag (ohne Abzug einer Verbilligung) bezahlen" müsse. Dies ist Folge der bundesrechtlichen Regelung zur Verbilligung der Mietzinse (konkret: des Ablaufs der gesetzlich vorgesehenen Höchstdauer der Beihilfen zur Verbilligung der Mietzinse) und stellt keine von der Vermieterin im Sinne von Art. 269d OR veranlasste Mietzinserhöhung dar (siehe auch BGE 126 III 124 E. 2a S. 127). Dies hat das Kantonsgericht zutreffend erkannt und die Beschwerdeführerin geht fehl, soweit sie sich gegen dessen Rechtsauffassung wendet. Entgegen ihrer Meinung handelt es sich bei der Zusatzverbilligung auch nicht um eine "Zahlungsmodalität", deren Aufhebung eine einseitige Änderung des Mietvertrags im Sinne von Art. 269d Abs. 3 OR bedeutete.
6.
Die Beschwerdeführerin macht unter dem Titel "offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung" geltend, der von den Parteien vereinbarte Nettomietzins betrage gar nicht Fr. 1'428.--, sondern Fr. 728.--. Die Zusatzverbilligung werde für die Wohnung gewährt und nicht für die darin wohnhafte Person. Auch das Kantonale Wohnungsamt sei in seiner Mitteilung vom 15. Juni 2011 davon ausgegangen, dass "der effektiv zu bezahlende Nettomietzins (CHF 708.-- [recte allenfalls: 728.--]) " im Vertrag festgehalten werde. Im Übrigen habe es das Kantonsgericht in diesem Zusammenhang unterlassen, den wirklichen Parteiwillen festzustellen, und überhaupt hätte der Mietvertrag nach dem Vertrauensprinzip ausgelegt werden müssen.
Soweit diese Rügen hinreichend begründet sind (siehe Erwägung 2), gehen sie an der Sache vorbei: Zunächst stellt sich die von den Parteien nicht vertieft thematisierte Frage, inwiefern der bisherige (amtlich überwachte) Mietzins als parteiautonom festgesetzt gelten kann, ist dieser doch nach dem Mietzinsplan zu bemessen (vgl. BGE 129 II 125 E. 5 und Sachverhalt Bst. A.a). Entscheidend ist aber jedenfalls die kantonsgerichtliche Feststellung, der ursprünglich vertraglich vorgesehene (grundverbilligte) Nettomietzins betrage Fr. 1'428.--; einzig aufgrund der (zeitlich befristeten) Zusatzverbilligung habe die Mieterin Fr. 700.-- weniger bezahlen müssen. Dies ergibt sich in der Tat aus dem Vertragstext, der als "Nettomietzins Grundverbilligte Miete" ausdrücklich den Betrag von Fr. 1'428.-- aufführt, wovon Fr. 700.-- unter dem Titel "Zusatzverbilligung" abgezogen werden. Daraus resultierte unter Berücksichtigung der Nebenkosten ein "zahlbar[er]" Betrag von monatlich Fr. 908.--. Aus diesem Grund musste die Beschwerdeführerin - wie die Vorinstanz überzeugend erwog - zumindest davon ausgehen, dass "der monatlich zu bezahlende Betrag nicht dem eigentlichen Mietzins für die Wohnung entspricht". Weder das von der Beschwerdeführerin ins Feld geführte "System des Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetzes" noch die im Recht liegenden Verfügungen und Mitteilungen vermögen diese Beurteilung umzustossen. Die Beschwerdeführerin weist in diesem Zusammenhang keine offensichtlich unrichtigen, mithin willkürlichen, Sachverhaltsfeststellungen aus.
7.
Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht schloss, dass die Beschwerdegegnerin den Mietzins nicht im Sinne von Art. 269d OR erhöht, sondern im Gegenteil einen Nachlass von monatlich Fr. 238.-- gewährt hatte. Der Wegfall der Zusatzverbilligung und der damit verbundene Umstand, dass die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin ab jenem Zeitpunkt einen höheren Betrag zu bezahlen hatte, mussten nicht auf dem amtlichen Formular angezeigt werden.
Entsprechend war die Beschwerdeführerin mit der Zahlung fälliger Mietzinse im Rückstand. Dass die übrigen gesetzlichen Vorgaben des Art. 257d OR (ausserordentliches Kündigungsrecht bei Zahlungsverzug) eingehalten wurden, bestreitet sie nicht. Die Vorinstanz hat die am 9. Januar 2020 per 29. Februar 2020 ausgesprochene, formgültige Kündigung (vgl. Art. 266l OR) zu Recht geschützt.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Freiburg, II. Zivilappellationshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle