Erwägungen:
1.
1.1. Am 20. Mai 2019 mahnte das Steueramt des Kantons Solothurn (KStA/SO; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige), weil dieser bis dahin die Steuererklärung zur Steuerperiode 2018nicht eingereicht habe. Der Steuerpflichtige will dies am 24. Mai 2019 per A-Post nachgeholt haben. Mit Verfügung vom 29. Juli 2019 auferlegte die Veranlagungsbehörde dem Steuerpflichtigen eine Busse von Fr. 800.--, da dieser die Steuererklärung auch weiterhin nicht vorgelegt habe. Die gegen die Bussenverfügung gerichtete Einsprache und die kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. Mit Urteil 2C_818/2020 vom 7. Oktober 2020 wies das Bundesgericht die gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid gerichtete Beschwerde des Steuerpflichtigen ab.
1.2. Weiterhin betreffend die Steuerperiode 2018erliess die Veranlagungsbehörde am 5. August 2019 die Veranlagungsverfügungen zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn und zur direkten Bundessteuer. Diese ergingen aufgrund pflichtgemässen Ermessens. Der Steuerpflichtige teilte der Veranlagungsbehörde mit Brief vom 2. Dezember 2019 mit, dass er (erst) aufgrund einer Beitragsverfügung seitens der Ausgleichskasse davon erfahren habe, dass die Veranlagungsbehörde allem Anschein nach zur Veranlagung geschritten sei. Die Veranlagungsbehörde antwortete am 4. Dezember 2019 dahingehend, dass zur Steuerperiode 2018 keine Steuererklärung eingegangen sei; gleichzeitig liess sie dem Steuerpflichtigen die Veranlagungsverfügung in Kopie zukommen. Die Zustellung erfolgte am 9. Dezember 2019. Ein Jahr später, am 9. Dezember 2020, äusserte der Steuerpflichtige sich dahingehend, dass ihm lediglich eine Kopie der Veranlagungsverfügung zugestellt worden sei. Entsprechend habe er (noch) nicht Einsprache erheben können. Die Veranlagungsbehörde machte hierauf mit Schreiben vom 11. Dezember 2020 geltend, dass die Veranlagungsverfügungen zur Steuerperiode 2018 nachweislich zugestellt worden seien. Eine erneute Einsprache sei nicht möglich. Auf Einsprache vom 24. Dezember 2020 (Poststempel: 28. Dezember 2020) hin trat die Veranlagungsbehörde mit Verfügung vom 6. Januar 2021 auf die Sache nicht ein. Sie argumentierte, die Veranlagungsverfügungen seien - mit Rechtsmittelbelehrung - dem Steuerpflichtigen unbestritten im Dezember 2019 zugestellt worden. Die Einsprache vom 28. Dezember 2020 sei verspätet erfolgt.
1.3. Was die Steuerperiode 2019betrifft, stellte die Veranlagungsbehörde sich auf den Standpunkt, dass der Steuerpflichtige die Steuererklärung trotz Mahnung vom 25. August 2020 nicht eingereicht habe. Demzufolge schritt die Veranlagungsbehörde mit Verfügungen vom 19. November 2020 wiederum zur Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen. Dagegen erhob der Steuerpflichtige am 21. Dezember 2020 Einsprache. Unter Verweis auf die nachgereichte Jahresrechnung machte er geltend, mit seiner selbständigen Erwerbstätigkeit einen Verlust von Fr. 13'945.-- erlitten zu haben. Er verfüge weder über Einkommen noch über Vermögen ("jeweils Fr. 0.--"). Die Veranlagungsbehörde trat mit Verfügung vom 6. Januar 2021 auf die Einsprache nicht ein. Sie erklärte, der Steuerpflichtige habe zwar Bilanz und Erfolgsrechnung nachgereicht, nicht aber die Steuererklärung. Auf welche Weise der Steuerpflichtige seinen Lebensunterhalt bestritten haben wolle, bleibe auch unklar, weshalb der Nachweis der Unrichtigkeit der nach pflichtgemässem Ermessen ergangenen Veranlagungsverfügung nicht erbracht worden sei.
1.4.
1.4.1. Gegen die Verfügungen vom 6. Januar 2021 zu den Steuerperioden 2018 und 2019 erhob der Steuerpflichtige am 8. Februar 2021 Rekurs und Beschwerde an das Steuergericht des Kantons Solothurn. Dieses wies die beiden Rechtsmittel mit Entscheid SGSTA.2021.6 / BST.2021.6 vom 5. Juli 2021 ab.
1.4.2. Zur Steuerperiode 2018 erwog das Steuergericht, dass die Zustellung der Veranlagungsverfügungen vom 5. August 2019 nicht nachgewiesen sei. Demgegenüber sei die Zustellung vom 4. Dezember 2019 unstreitig erfolgt. Wenn der Steuerpflichtige bemängle, dass ihm lediglich Kopien der (vollständigen) Veranlagungsverfügungen zugekommen seien, so sei dies unschädlich. Die Einsprache vom 28. Dezember 2020 sei offensichtlich verspätet erklärt worden. Gründe, die zur Wiedereinsetzung in den früheren Stand führen könnten, seien weder geltend gemacht worden noch ersichtlich. Insoweit seien die Rechtsmittel unbegründet.
1.4.3. Was die Steuerperiode 2019 betrifft, führte das Steuergericht aus, dass die Vorlage der Jahresrechnung für sich allein nicht genügten, um die offensichtliche Unrichtigkeit der nach pflichtgemässem Ermessen ergangenen Veranlagungsverfügungen darzulegen. Die Vorlage der Steuererklärung nebst den sachdienlichen Belegen ("Kontoauszüge etc.") sei unerlässlich, um aufzuzeigen, dass und auf welche Weise der Steuerpflichtige seinen Lebensunterhalt ohne Einkünfte habe bestreiten können. Diesen Beweis habe der Steuerpflichtige nicht erbracht. Auch insoweit seien die Rechtsmittel unbegründet.
1.5. Mit Eingabe vom 16. September 2021 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Dem Steuerpflichtigen sei eine Nachfrist anzusetzen, um die "erwähnten Fakten" nachzureichen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid im Einzelnen zu beurteilen.
1.6. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel gemäss Art. 102 Abs. 1 BGG, abgesehen.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind gegeben. Die Ansetzung einer Nachfrist zur Beschwerdeergänzung, welche der Steuerpflichtige beantragt, ist von Gesetzes wegen ausgeschlossen. Die gesetzlich bestimmte Beschwerde- und Begründungsfrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) kann nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.2. Der Streitgegenstand kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 143 V 19 E. 1.1).
2.3. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 146 IV 88 E. 1.3.2) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 145 I 239 E. 2).
2.4. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des kantonalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 147 I 194 E. 3.4; 147 II 44 E. 1.2; 147 V 156 E. 7.2.3). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 146 I 62 E. 3; 146 IV 114 E. 2.1).
2.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 147 V 124 E. 1.1). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, namentlich die antizipierte Beweiswürdigung (BGE 146 V 240 E. 8.2). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (BGE 147 IV 73 E. 4.1.2; vorne E. 2.4).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist das Nichteintreten auf die Einsprachen gegen die nach pflichtgemässem Ermessen ergangenen Veranlagungsverfügungen vom 5. August 2019 (Steuerperiode 2018) bzw. vom 19. November 2020 (Steuerperiode 2019). Weitere Aspekte aus dem Bereich der beiden Steuerperioden würden den Streitgegenstand sprengen und sind nicht zu prüfen (vorne E. 2.2). Eine getrennte Prüfung nach direkter Bundessteuer einerseits und den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn erübrigt sich, nachdem dieselben Rechtsfragen zu beantworten sind.
3.2.
3.2.1. Betreffend die Steuerperiode 2018 hat die Vorinstanz festgestellt, dass die Veranlagungsverfügungen vom 5. August 2019 zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn bzw. die direkte Bundessteuer jedenfalls mit Schreiben vom 4. Dezember 2019 an den Steuerpflichtigen versandt worden seien. Die Zustellung dieses Versandes sei unbestritten. Die Veranlagungsbehörde hatte im Einspracheverfahren darüber hinaus dargelegt, dass die Veranlagungsverfügung "ordnungsgemäss mit der vorhandenen Rechtsmittelbelehrung" erfolgt sei (vorne E. 1.2). Dies alles ist für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG), nachdem der Steuerpflichtige insofern keine Beanstandungen vorträgt bzw. keine Kritik erhebt, die den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügen könnte (vorne E. 2.4 und 2.5). Die gesetzlichen Erfordernisse sind dem Steuerpflichtigen aus früheren Verfahren bekannt (Urteile 5D_273/2020 vom 20. Oktober 2020 E. 2; 2C_818/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 2.3; 5D_2/2020 vom 10. September 2020 E. 1.2).
3.2.2. Der Steuerpflichtige hatte nach dem Gesagten um nochmalige bzw. erstmalige Zustellung der Veranlagungsverfügungen ersucht, worauf die Veranlagungsbehörde diesem Ersuchen nachkam. Dabei durfte die Veranlagungsbehörde es mit der Übermittlung der vollständigen Verfügung bewenden lassen. Das allgemein bekannte Einspracherecht geht aus der Rechtsmittelbelehrung hervor (Art. 116 Abs. 1 DBG bzw. Art. 41 Abs. 3 StHG). Einen ausdrücklichen zusätzlichen Hinweis auf die Einsprachemöglichkeit sieht das Gesetz nicht vor. Auch im Normalfall, also beim erstmaligen Versand, muss die steuerpflichtige Person nicht explizit auf die Möglichkeit der Einsprache aufmerksam gemacht werden. Die Rechtsmittelbelehrung muss genügen, um den Steuerpflichtigen in die Lage zu versetzen, rechtzeitig tätig zu werden. Hinzu kommt eine weitere Überlegung: Im Urteil 2C_818/2020 vom 7. Oktober 2020 hatte das Bundesgericht festgehalten, dass zur Steuerperiode 2018 keine Steuererklärung eingereicht worden sei (vorne E. 1.1). Der Steuerpflichtige musste daher davon ausgehen, dass die Veranlagungsbehörde nun zur Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen schreiten werde (bzw. dies bereits getan hat), was seine besondere Aufmerksamkeit erfordert hätte. Für den Umstand, dass er mit seiner Reaktion auf das Schreiben vom 4. Dezember 2019 ein volles Jahr zuwartete, vermochte der Steuerpflichtige keine Begründung zu liefern. Auf sein verspätetes Tätigwerden ist er zu behaften. Dies hatte zum Nichteintreten auf die Einsprachen zu führen.
3.3.
3.3.1. Die Veranlagungsbehörde nahm auch hinsichtlich der Steuerperiode 2019 eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vor, wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich feststellt. Gemäss Art. 132 Abs. 3 Satz 1 DBG bzw. Art. 48 Abs. 2 Satz 1 StHG kann die steuerpflichtige natürliche oder juristische Person eine Veranlagungsverfügung, die vollständig (Ermessensveranlagung i.e.S.) oder teilweise (Ermessenszuschlag) aufgrund pflichtgemässen Ermessens ergangen ist, einzig mit der Begründung anfechten, die Veranlagung sei offensichtlich unrichtig. Der Unrichtigkeitsnachweis ist umfassend anzutreten. Die steuerpflichtige Person kann hierzu entweder weitere Beweismittel nachreichen, wodurch die Untersuchungspflicht der kantonalen Behörden wiederauflebt, oder aber aufzeigen, dass die angefochtene Veranlagungsverfügung offensichtlich übersetzt ist. Das Bundesgericht prüft das Ergebnis einer Aufrechnung, Bewertung oder Schätzung aber nur zurückhaltend, das heisst auf offensichtliche Fehler und Irrtümer hin. Es schreitet daher nur bei groben methodischen oder rechnerischen Fehlern ein, was regelmässig auf den Nachweis der Willkür hinausläuft. Dies alles trifft in gleicher Weise auf das kantonale Beschwerdeverfahren zu (Urteile 2C_153/2021 vom 25. August 2021 E. 4.1; 2C_684/2019 vom 11. November 2020 E. 3.2.3 m.H.).
3.3.2. Die Einsprache [gegen Veranlagungsverfügungen, die nach pflichtgemässem Ermessen ergangen sind] ist zu begründen und muss allfällige Beweismittel nennen (Art. 132 Abs. 3 Satz 2 DBG bzw. Art. 48 Abs. 2 Satz 2 StHG). Um welche Beweismittel es sich handeln muss, lässt das Gesetz offen. Unerlässlich ist jedenfalls, dass die steuerpflichtige Person innerhalb der gesetzlichen Einsprachefrist den Antrag stellt, die von Gesetzes wegen erforderliche Begründung abgibt und die Beweismittel nennt. Die Begründung ergibt sich in aller Regel aus der nachzureichenden Steuererklärung. Die Pflicht zur Einreichung der Steuererklärung besteht im Veranlagungsverfahren (Art. 124 Abs. 2 DBG bzw. Art. 42 Abs. 1 StHG), grundsätzlich aber auch im Verfahren der Einsprache gegen eine Veranlagungsverfügung nach pflichtgemässem Ermessen (BGE 131 II 548 E. 2.3). Denn verfahrensrechtlich soll nicht besser dastehen, wer den Mitwirkungspflichten im Veranlagungsverfahren nicht nachgekommen ist (in diesem Sinne auch Botschaft vom 25. Mai 1983 zu den Bundesgesetzen über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden sowie über die direkte Bundessteuer, BBl 1983 III 1 ff., insb. S. 210 zu Art. 135 E-DBG). Eine Ausnahme besteht, wenn das Nachholen fehlender Elemente oder das Ausfüllen der Steuererklärung unzumutbar ist (Urteil 2C_36/2017 / 2C_37/2017 vom 30. Januar 2017 E. 2.2.4). Sachurteilsvoraussetzung ist und bleibt aber nur die Einsprachebegründung, nicht die eingereichte Steuererklärung. Die Einsprache kann folglich auch auf andere Weise als durch Vorlage der Steuererklärung rechtsgenüglich begründet werden (Urteil 2C_36/2017 / 2C_37/2017 vom 30. Januar 2017 E. 2.2.4).
3.3.3. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass der Steuerpflichtige einzig die Jahresrechnung (umfassend Bilanz und Erfolgsrechnung) zu den Akten gegeben habe, nicht aber die Steuererklärung. In seiner Begründung legte der Steuerpflichtige dar, dass er mit seiner selbständigen Erwerbstätigkeit einen Verlust von Fr. 13'945.-- erlitten habe. Er verfüge weder über Einkommen noch über Vermögen ("jeweils Fr. 0.--"; vorne E. 1.3). Beweisrechtlich einwandfrei erwägt die Vorinstanz, dass sich vor diesem Hintergrund frage, wie der Steuerpflichtige seinen Lebensunterhalt bestreite. Dieser zentrale Punkt bleibt bis vor Bundesgericht unklar. Der zu den Akten gegebene Abschluss vermag bestenfalls den Geschäftsgang des Einzelunternehmens aufzuzeigen, wogegen alles Andere, das für die Veranlagung wesentlich ist, im Dunkeln bleibt. Auch wenn die Einsprache auf andere Weise als durch Vorlage der Steuererklärung begründet werden kann, ist dem Steuerpflichtigen entgegenzuhalten, dass er hierzu keinerlei Mitwirkung hat erkennen lassen. Dementsprechend zielt es am Kern der Sache vorbei, wenn der Steuerpflichtige bemängelt, dass die Veranlagungsbehörde ihrer Untersuchtungspflicht nicht nachgekommen sei. Mit der ausgebliebenen Begründung der Einsprache fehlte es zwangsläufig an einer Sachurteilsvoraussetzung. Die Veranlagungsbehörde ist damit bundesrechtskonform auf die Sache nicht eingetreten, weshalb der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden ist.
3.4. Die Beschwerde erweist sich mithin als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde hinsichtlich der direkten Bundessteuer, Steuerperioden 2018 und 2019, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn, Steuerperioden 2018 und 2019, wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Steuergericht des Kantons Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher