Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._ arbeitete seit Juli 2012 als Mitarbeiterin Gastronomie bei der Genossenschaft B._ in einem Pensum von 35 Stunden pro Woche. Nachdem bei ihr im Juli 2014 Gebärmutterhalskrebs diagnostiziert worden war, meldete sie sich im Februar 2015 (Eingang) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte daraufhin von den behandelnden Ärzten der Versicherten Berichte ein und zog die vom Krankentaggeldversicherer in Auftrag gegebenen Gutachten der Dres. med. C._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin, vom 26. Mai 2015, und D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. Mai 2015 sowie 16. Dezember 2015 bei. Zudem unterstützte die IV-Stelle A._ bei der beruflichen Reintegration mit persönlichem Support am Arbeitsplatz (Job-Coaching) von Februar 2016 bis Dezember 2016. Dieses endete mit einer ab 1. März 2017 vereinbarten Arbeitszeit von 10 Stunden pro Woche beim bisherigen Arbeitgeber. In der Folge liess die Verwaltung A._ in neurologischer und psychiatrischer Hinsicht durch Dr. med. E._, Facharzt für Neurologie sowie Psychiatrie und Psychotherapie, begutachten (Expertise vom 6. Juni 2017). Daraufhin stellte die IV-Stelle der Versicherten vorbescheidsweise in Aussicht, dass sie keinen Rentenanspruch habe. Dagegen erhob die Versicherte Einsprache. Die IV-Stelle nahm wegen des am 8. September 2017 operativ behandelten Dünndarmverschlusses Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; Stellungnahme vom 1. Februar 2018) und hielt anschliessend daran fest, dass kein Rentenanspruch bestehe (Verfügung vom 19. April 2018).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich teilweise gut. Es hob die angefochtene Verfügung auf und sprach der Versicherten vom 1. August 2015 bis 31. Januar 2016 eine ganze Rente und vom 1. Januar 2017 bis 31. März 2017 eine Viertelsrente zu. Es auferlegte die Verfahrenskosten den Parteien je zur Hälfte und verpflichtete die IV-Stelle zur Bezahlung einer reduzierten Parteientschädigung von Fr. 1494.15 an den unentgeltlichen Vertreter der Versicherten. Zudem entschädigte es diesen mit Fr. 1494.10 aus der Gerichtskasse (Entscheid vom 26. August 2019).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr ab 1. August 2015 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter sei die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Die vorinstanzlichen Gerichtskosten seien der IV-Stelle aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihrem unentgeltlichen Vertreter eine Prozessentschädigung von Fr. 3936.- zu bezahlen. Zudem ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin fordert eine höhere Entschädigung für ihren unentgeltlichen Vertreter für das kantonale Gerichtsverfahren. Bei der unentgeltlichen Verbeiständung handelt es sich um ein öffentlich-rechtliches Verhältnis zwischen Staat und Rechtsbeistand (BGE 132 V 200 E. 5.1.4 S. 205), das einen Honoraranspruch des Rechtsbeistands gegenüber dem Staat begründet. Steht dieser Anspruch demnach dem amtlichen Rechtsbeistand selber zu und nicht der verbeiständeten Partei, kann - mangels Parteistellung des Rechtsvertreters in diesem Verfahren - die Höhe der zustehenden Entschädigung hier nicht beurteilt werden (Urteil 8C_57/2014 vom 14. April 2014 E. 4). Soweit der Rechtsvertreter die vorinstanzliche Festsetzung seiner amtlichen Entschädigung als unentgeltlicher Rechtsbeistand für das kantonale Verfahren hätte anfechten und ein höheres Honorar durchsetzen wollen, hätte er in eigenem Namen an das Bundesgericht gelangen müssen. Auf die Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Streitig ist der Rentenanspruch, insbesondere ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie auf das Gutachten des Dr. med. E._ vom 6. Juni 2017 abstellte.
3.1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG), die Invalidität (Art. 8 ATSG i.V.m. Art. 4 Abs. 1 IVG), den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 IVG) sowie betreffend die Beweiswürdigung und den Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352) zutreffend dargelegt. Korrekt sind auch die Ausführungen zur Beurteilung der Invalidität bei psychischen Leiden anhand der sog. Standardindikatoren (BGE 141 V 281; 143 V 409 und 418). Darauf wird verwiesen.
3.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit sowie bei der konkreten Beweiswürdigung handelt es sich um für das Bundesgericht grundsätzlich verbindliche Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Frei überprüfbare Rechtsfragen sind hingegen die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten. Gleiches gilt für die Frage, ob und in welchem Umfang die Feststellungen in einem medizinischen Gutachten anhand der rechtserheblichen Indikatoren auf eine Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (vgl. BGE 141 V 281 E. 7 S. 308 f.).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat der neurologisch-psychiatrischen Expertise des Dr. med. E._ vom 6. Juni 2017 Beweiswert zuerkannt. Dessen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit sei in Berücksichtigung der wesentlichen Belastungen und Ressourcen erfolgt. Der Gutachter habe sich somit an den Standardindikatoren orientiert, womit die massgebenden normativen Rahmenbedingungen eingehalten seien. Die funktionellen Auswirkungen der medizinisch festgestellten gesundheitlichen Anspruchsgrundlage liessen sich anhand der Standardindikatoren schlüssig und widerspruchsfrei nachweisen. In Bezug auf die Operation vom 8. September 2017 verwies das kantonale Gericht auf die Stellungnahme der RAD-Ärztin vom 1. Februar 2018.
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt dagegen zunächst vor, die Vorinstanz und der Gutachter hätten den Sachverhalt in Bezug auf die berufliche Integration mittels Arbeitsplatz-Support unvollständig erhoben und gewürdigt. Weiter macht sie unvollständige Sachverhaltsfeststellungen zur Fatigue geltend, welche somatisch bedingt sei und deren Auswirkungen nicht anhand der zu den Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze hätte geprüft werden dürfen. Entgegen dem Gutachten liege betreffend die Bauchschmerzen keine Symptomausweitung und Aggravation vor, sondern - wie später die Operation gezeigt habe - seien diese somatisch. Die gutachterlichen Abklärungen hierzu seien ungenügend. Zudem sei die durchgeführte Indikatorenprüfung nicht überzeugend.
5.
5.1. Es trifft zu, dass die Vorinstanz auf die mit einem Arbeitsplatz-Support unterstützte berufliche Wiedereingliederung der Beschwerdeführerin nicht eingegangen ist. Im Gutachten des Dr. med. E._ vom 6. Juni 2017, auf das im angefochtenen Entscheid abgestützt wird, wurde darauf jedoch im Aktenauszug sowie bei der Berufs- und Arbeitsanamnese Bezug genommen. Zudem setzte sich Dr. med. E._ damit auseinander, inwiefern die daraus resultierende berufliche Reintegration mit zwei Stunden pro Tag für ihn aus medizinischer Sicht nachvollziehbar ist. Insbesondere hat er dazu ausgeführt, dass im Januar 2017 für ihn aus unerklärlichen Gründen das Pensum von vier auf zwei Stunden reduziert worden sei. Diese Angaben erscheinen vom medizinischen Blickwinkel nachvollziehbar, denn wie dem Verlaufsprotokoll über das Job Coaching zu entnehmen ist (Eintrag vom 5. Dezember 2016), muss die Pensumsreduktion in erster Linie auf die Bedürfnisse des Arbeitgebers und nicht die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin zurückgeführt werden. Nachdem sich der Gutachter mit der beruflichen Eingliederung befasst hat, ist entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht darauf nicht nochmals einging. Darin ist keine unvollständige Sachverhaltsfeststellung zu erblicken.
5.2. Aus dem gleichen Grund ist der Sachverhalt auch bezüglich der Fatigue ausreichend erhoben. Der Gutachter hat sich mit der von der Beschwerdeführerin geschilderten Symptomatik eingehend befasst und diese - anders als in den Vorakten - diagnostisch auch eingeordnet. Er beurteilte die beklagte chronische Müdigkeit als ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit und er konnte diese in psychiatrischer Hinsicht auch nicht weiter objektivieren. Dies leuchtet ein, nachdem die Beschwerdeführerin während der drei Stunden dauernden Begutachtung keine Ermüdungszeichen zeigte. Dieser Umstand erklärt aller Wahrscheinlichkeit nach auch, weshalb in den Vorakten die Diagnose von den anderen Gutachtern und behandelnden Ärzten erst gar nicht gestellt worden ist. Der Gutachter hat somit die massgebenden Befunde, auch wenn diesen mittelbar eine somatische Ursache zugrunde liegen sollte, umfassend festgestellt. Aufgrund dessen war er in der Lage, eine dadurch bedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit einzuschätzen. Die Vorinstanz hat daher das Leistungsvermögen der Beschwerdeführerin weder aufgrund von unvollständigen Sachverhaltsfeststellungen beurteilt noch erweist sich deren Einschätzung sonstwie bundesrechtswidrig. Nachdem gemäss dem Gutachten bei der Beschwerdeführerin bereits auf der medizinischen Befundebene keine funktionelle Leistungsminderung besteht, muss nicht weiter geprüft werden, ob es zulässig wäre, die erwerblichen Auswirkungen des nach der Krebsbehandlung entstandenen chronic fatigue Syndroms anhand eines strukturierten Beweisverfahrens zu plausibilisieren.
5.3. Die Kritik der Beschwerdeführerin zu den Feststellungen des Dr. med. E._ zur Problematik der Bauchschmerzen ist zudem unbegründet. Der Internist Dr. med. C._ legte in seinem Gutachten vom 26. Mai 2015 dar, es fände sich kein korrespondierendes organisches Korrelat. Er wies insbesondere auf Diskrepanzen der vorgetragenen Beschwerden während der Palpation des Abdomens, die kaum toleriert worden sei, und der problemlos durchführbaren Ultraschalluntersuchung hin. Zudem erachtete er die Arbeitsfähigkeit aufgrund dieses Beschwerdekomplexes nicht als wesentlich eingeschränkt. Das passt zu den Angaben des Hausarztes med. pract. F._ im Bericht vom 22. September 2015, wonach die psychische Symptomatik im Vordergrund stehe, und auch zur Einschätzung der Dr. med. G._, Fachärztin für Gynäkologie und Geburtshilfe, im bei der Beschwerdegegnerin eingegangenen Bericht vom 22. Juli 2016, worin diese Ärztin keine Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit festgestellt hat. All diese medizinischen Beurteilungen werden durch den Umstand, dass die Beschwerdeführerin im September 2017 einen Dünndarmverschluss erlitt, nicht in Frage gestellt, denn die RAD-Ärztin sah sich dadurch in ihrer Stellungnahme vom 1. Februar 2018 nicht veranlasst, auf ihre frühere Beurteilung vom 14. Juni 2017 zurückzukommen, wonach auf das Gutachten des Dr. med. E._ abzustellen sei. Vielmehr führte sie zuletzt aus, spätestens ab Januar 2018 könne wieder von der Leistungsfähigkeit im Gutachten ausgegangen werden. Dies ist vor dem Hintergrund schlüssig, dass nach der Operation vom 8. September 2017 die fachärztliche Behandlung bei guter Prognose am 14. November 2017 abgeschlossen wurde, der Beschwerdeführerin von dieser Seite im Bericht vom 16. Januar 2018 eine Arbeitsfähigkeit für die aktuell ausgeübte Tätigkeit von zwei Stunden pro Tag bei der Genossenschaft B._ bescheinigt wurde und in den Akten sich lediglich ein Arbeitsunfähigkeitszeugnis nach dem Klinikaustritt bis zum 15. Oktober 2017 findet.
5.4. Die Vorinstanz hat sodann die vom Gutachter Dr. med. E._ attestierte Arbeitsfähigkeit, welche bereits anhand der Standardindikatoren erfolgt sei, als schlüssig qualifiziert. Die Beschwerdeführerin rügt dies in verschiedener Hinsicht. Aus ihren Ausführungen erschliesst sich jedoch nicht, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt betreffend die Indikatoren willkürlich festgestellt hat, sondern die beschwerdeführerischen Vorbringen erschöpfen sich in einer Wiedergabe der eigenen Sicht der Dinge. Damit zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, weshalb aufgrund der erhobenen Umstände entgegen dem Gutachten eine Arbeitsunfähigkeit von mehr als 20 % vorliegen sollte. Die Vorinstanz kommt zu Recht zum Schluss, dass die andere Einschätzung der behandelnden Psychiaterin Dr. med. G._ keine Zweifel am Gutachten zu begründen vermag, geht jene doch in psychiatrischer Hinsicht von anderen Diagnosen aus, die der Gutachter aber widerlegt hat, und nimmt Dr. med. G._ eine medizinische Gesamtbeurteilung vor, wobei ihr hierfür betreffend die somatischen Diagnosen die fachärztliche Qualifikation fehlt. Deshalb kann entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht auf die Berichte der Dr. med. G._ abgestellt werden.
5.5. Dr. med. E._ stellte in der angestammten Tätigkeit eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 40 % und in einer angepassten Tätigkeit eine Arbeitsfähigkeit von 80 % fest. Eine weitere Steigerung der Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit auf 80 % wäre gemäss dem Gutachter im Zeithorizont von acht Wochen möglich, wenn weitere therapeutische Massnahmen mit Anpassung der Antidepressiva, gegebenenfalls Augmentation oder bei Versagen mit einer Therapie in einer Tagesklinik ergriffen würden. Die Vorinstanz ging gestützt darauf davon aus, ab Juni 2017 habe in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit eine 80%ige Arbeitsfähigkeit bestanden. Diese Sachverhaltsfeststellung rügt die Beschwerdeführerin nicht als willkürlich. Selbst wenn jedoch lediglich in einer angepassten Tätigkeit eine 80%ige Arbeitsfähigkeit angenommen würde, führt dies zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad, könnte die Beschwerdeführerin mit einer adaptierten Arbeit doch gleichviel verdienen wie im angestammten Berufsfeld (vgl. die Lohnangaben ihres Arbeitgebers und die auf die übliche wöchentliche Arbeitszeit bereinigten LSE-Tabellenlöhne). Das kantonale Gericht stellte daher im Ergebnis zu Recht fest, dass basierend auf der gutachterlichen Arbeitsfähigkeitseinschätzung des Dr. med. E._ ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad vorliegt.
6.
Die Beschwerde ist unbegründet. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung) kann jedoch entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ausdrücklich wird jedoch auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Urs P. Keller wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Möckli