Erwägungen:
1.
1.1. A._ studierte in seinem Heimatstaat Iran Rechtswissenschaften und erwarb dort einen Universitätsabschluss. Im September 2014 wurde er von der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Bern zum Masterstudiengang zugelassen, verbunden mit der Auflage, die Leistungsnachweise "Öffentliches Recht II und III" und "Privatrecht II und III" der Bachelorstufe nachzuholen. Beide Prüfungen seien vor dem Masterabschluss mit einem Notendurchschnitt von mindestens 4.0 abzulegen; die Nichterfüllung dieser Auflage habe den Studienausschluss zur Folge. Am 15. Juni 2017 wiederholte A._ nach einem erfolglosen Versuch die Prüfung im Öffentlichen Recht und erzielte dabei die Note 3.5. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. Das Bundesgericht ist letztinstanzlich auf eine von A._ in Sachen Benotung Klausur Öffentliches Recht erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit Urteil vom 19. August 2019 nicht eingetreten (Verfahren 2D_31/2019).
Am 13. Juni 2019 legte A._ nach einem ersten Misserfolg die Privatrechtsprüfung zum zweiten Mal ab. Mit Verfügung vom 23. Juli 2019 setzte die Universität Bern die Note auf 4.0 fest. Angesichts dessen, dass A._ damit den für einen Leistungsnachweis der Bachelorstufe erforderliche Notendurchschnitt nicht erreichte, schloss ihn die Universität Bern mit Verfügung vom 23. Juli 2019 vom weiteren Studium aus. Mit Entscheid vom 30. Januar 2020 trat die Rekurskommission der Universität Bern auf die von A._ erhobene Beschwerde gegen die Notenverfügung vom 23. Juli 2019 nicht ein und wies sie die Beschwerde gegen die Ausschlussverfügung vom 23. Juli 2019 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies mit Urteil vom 19. August 2020 die von A._ gegen den Entscheid vom 30. Januar 2020 erhobene Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Ebenso wies es sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
1.2. A._ gelangt mit subsidärer Verfassungsbeschwerde vom 23. September 2020 an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. August 2020, Dispositivziffer 1, sei derart aufzuheben, dass auf die Beschwerde gegen die Notenverfügung einzutreten sei, eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren beantragt der Beschwerdeführer, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. August 2020, Dispositivziffer 2, sei derart aufzuheben, dass ihm (für das vorinstanzliche Verfahren) die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sei. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren ist der angefochtene vorinstanzliche Entscheid (BGE 136 II 457 E. 4.2 S. 462). Im Verfahren der nachträglichen Verwaltungverfahrensrechtspflege richtet sich der Streitgegenstand nach den Beschwerdeanträgen und der angefochtenen Verfügung, welche den äusseren Rahmen des Streitgegenstandes begrenzt. Streitgegenstand kann somit grundsätzlich nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war oder hätte sein sollen und was gemäss der Dispositionsmaxime (Art. 107 Abs. 1 BGG) zwischen den Parteien noch strittig ist (BGE 136 II 457 E. 4.2 S. 463, 165 E. 5 S. 174; 133 II 35 E. 2 S. 38). Er kann vor Bundesgericht eingeschränkt ("minus"), nicht aber ausgeweitet ("plus") oder geändert ("aliud") werden (BGE 136 V 362 E. 3.4.2 S. 365; 131 II 200 E. 3.2 S. 203; Urteile 2C_258/2011 vom 30. August 2012 E. 1.2.2; 2C_25/2011/2C_58/2011 vom 3. Juli 2012 E. 1.4.1, nicht publ. in: BGE 138 II 465). Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, der Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens sei der Ausschluss des Beschwerdeführers aus dem Studium und hinsichtlich der Prüfungsbewertung Privatrecht die Frage, ob die Rekurskommission zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten sei; ausserhalb des Streitgegenstandes liege der Antrag auf Änderung der Note im Fach Öffentliches Recht. Selbst bei einer grosszügigen Auslegung des im bundesgerichtlichen Verfahren gestellten Rechtsbegehrens nach Treu und Glauben unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung liegt somit auch im bundesgerichtlichen Verfahren nur der Ausschluss des Beschwerdeführers aus dem Studium und hinsichtlich der Prüfungsnoten nur die Frage im Streit, ob auf die Beschwerde gegen die Prüfungsverfügung vom 23. Juli 2020 betreffend Noten Privatrecht einzutreten gewesen wäre.
2.2. Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung, nicht aber gegen andere Entscheide im Zusammenhang mit Prüfungen wie insbesondere solche organisatorischer Natur (BGE 136 I 229 E. 1 S. 231). In der Sache selbst geht es um den Ausschluss des Beschwerdeführers vom Studium als Folge ungenügender Prüfungsleistungen, was unter den Ausschlussgrund fällt (Urteil 2C_769/2019 vom 27. Juli 2020, E. 1.2.1, zur Publ. bestimmt). Letztlich kann angesichts des Ausgangs offen bleiben, welche Beschwerde zulässig ist.
2.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein; die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nicht von Amtes wegen, sondern nur soweit diese klar, sachbezogen und falls möglich belegt dargetan werden (Art. 106 Abs. 2 und Art. 117 BGG; "qualifizierte Rügepflicht"; vgl. BGE 137 II 305 E. 3.3 S. 310 mit Hinweisen).
2.3.1. Die Rekurskommission ist auf den Rekurs gegen die Notenverfügung im Privatrecht nicht eingetreten, da der Beschwerdeführer nur Unangemessenheit der Note gerügt habe, was kein zulässiger Rügegrund sei. Das Verwaltungsgericht hat diesen Nichteintretensentscheid geschützt mit der Argumentation, der Beschwerdeführer habe mit keinem Wort dargelegt, inwiefern es unzutreffend sein soll, dass er im unterinstanzlichen Verfahren einen unzulässigen Beschwerdegrund erhoben habe. Vor Bundesgericht führt der Beschwerdeführer aus, er habe im "Rekurs" vom 20. Februar 2020 (an das Verwaltungsgericht) klar ausgedrückt, dass eine offensichtliche Manipulation vorliege. Damit legt er aber nicht dar, dass er entgegen der Annahme des Verwaltungsgerichts im Rekurs an die Rekurskommission etwas anderes als Unangemessenheit gerügt habe. Er setzt sich daher nicht mit der entscheidwesentlichen Argumentation der Vorinstanz auseinander.
2.3.2. Im angefochtenen Urteil hat die Vorinstanz erwogen, die (im Zusammenhang mit dem Ausschluss aus dem Studium) erhobene Mutmassung, die Prüfungsnoten seien manipuliert worden, entbehre jeglicher Grundlage, weshalb sich Weiterungen dazu erübrigen würden. Mit dem blossen Hinweis darauf, seine Begründungen seien nicht berücksichtigt worden, kommt der Beschwerdeführer der für eine Rüge der formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) oder einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) aufgestellten qualifizierten Anforderungen an die Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG) offensichtlich nicht nach. Dafür hätte er aufzeigen müssen, welche Argumente er in das vorinstanzliche Verfahren eingebracht hat, die von der Vorinstanz in Erfüllung der verfassungsrechtlichen Minimalvorgaben für die Entscheidbegründung seiner Ansicht nach hätten berücksichtigt werden müssen. Angesichts dessen, dass die Vorinstanz in Erfüllung ihrer aus dem Verfassungsrecht fliessenden Begründungspflicht so oder anders nicht gehalten gewesen war, sich mit jedem Vorbringen des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen (BGE 142 III 433 E. 4.3.2 S. 436), kann bei so knappen Begründungen jeweils offensichtlich nicht beurteilt werden, ob eine Verletzung von Art. 29 BV vorliegt oder nicht.
2.4. Des Weiteren begründet der Beschwerdeführer seine dem Bundesgericht eingereichte Beschwerdeschrift mit Verletzungen von Art. 8 Abs. 1 BV (Rechtsgleichheitsgebot) und der Verletzung von Treu und Glauben (Art. 9, Art. 5 Abs. 3 BV). Sicher ist es der beschwerdeführenden Partei überlassen, welche rechtlichen Argumente - neue, bisherige, wieder aufgenommene - sie zur Stützung ihrer Anträge vorbringen will (Urteile 2C_941/2012, 2C_942/2012 vom 9. November 2013 E. 1.8.3; 2C_446/2007 vom 22. Januar 2008 E. 2.3). Aufgrund der grundsätzlichen Verbindlichkeit des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts (Art. 105 Abs. 1 BGG) und des Novenverbots (Art. 99 Abs. 1 BGG) im bundesgerichtlichen Verfahren können neue rechtliche Argumente jedoch nur entgegen genommen werden, sofern der Beschwerdeführer diese auf das vorinstanzlich festgestellte Tatsachenfundament zu stützen oder die erforderlichen rechtserheblichen Tatsachen zulässigerweise noch in das bundesgerichtliche Verfahren einzubringen vermag (BGE 142 I 155 E. 4.4.3 S. 156, E. 4.4.6 S. 158; Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 3.2, nicht publ. in BGE 145 II 322; JOHANNA DORMANN, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 12 f. zu Art. 106 BGG). Für die geltend gemachten Rügen einer Ungleichbehandlung im Vergleich mit anderen Studierenden oder einer treuwidrigen Behandlung fehlen jegliche Sachverhaltsgrundlagen, weshalb diese Rügen nicht entgegen genommen werden können.
2.5. Auch hinsichtlich der geltend gemacht Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV begnügt sich der Beschwerdeführer damit zu erwähnen, entgegen der Ansicht der Vorinstanz sei seine Beschwerde nicht aussichtslos, und geht mit keinem Wort auf die vorinstanzliche Begründung ein. Auch in diesem Punkt enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung.
2.6. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
3.
Dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann schon angesichts der Aussichtslosigkeit des bundesrechtlichen Rechtsmittels nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Eingabe vom 23. September 2020 wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall-Mannhart