Erwägungen:
1.
Am Obergericht des Kantons Zürich ist zwischen den Parteien ein Berufungsverfahren betreffend die Abänderung eines Scheidungsurteils hängig. Mit Eingabe vom 30. April 2021 beantragte der Beschwerdeführer, es sei im Sinne einer vorsorglichen Beweiserhebung ein Gutachten hinsichtlich der beantragten Neuregelung der Obhut und des Besuchsrechts einzuholen. Mit Beschluss vom 25. Mai 2021 wies das Obergericht den Antrag auf vorsorgliche Beweisführung ab.
Gegen diesen Beschluss hat der Beschwerdeführer am 5. Juli 2021 (handschriftliche Angabe auf dem Couvert mit Hinweis auf den angeblichen Zeugen C._, U._) oder am 8. Juli 2021 (Poststempel) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Der Beschwerdeführer hat den angefochtenen Beschluss am 4. Juni 2021 entgegengenommen. Ob die Beschwerde tatsächlich innerhalb der dreissigtägigen Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) der Post übergeben wurde, kann offenbleiben. Die vorsorgliche Beweisführung gemäss Art. 158 ZPO stellt nämlich eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG dar (BGE 138 III 555 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Demgemäss kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Der Beschwerdeführer erhebt jedoch keine Verfassungsrügen.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg