Faits :
A.
A.a. A._ a occupé diverses fonctions au service de la Ville de Genève (ci-après: la Ville), en dernier lieu celle de responsable du groupe "infrastructure et systèmes" au sein de la direction de B._ dès 2014.
Le 23 janvier 2017, la Ville a informé le prénommé que le Conseil administratif avait décidé de supprimer son poste avec effet immédiat pour des raisons de réorganisation interne. Son dossier serait proposé en mobilité à l'ensemble des services de la Ville jusqu'au 23 mars 2017. Le Conseil administratif l'informait en outre que, faute de solution d'ici au 23 mars 2017, il entendait résilier les rapports de service. A._ a été aussitôt libéré de son obligation de travailler afin qu'il puisse consacrer toute son énergie à la recherche d'un nouvel emploi.
A.b. Du 24 janvier 2017 au 14 avril 2019, A._ a été en incapacité de travail totale. Il a retrouvé une pleine capacité de travail dès le 15 avril 2019.
A.c. Le 28 juin 2017, la Ville a informé A._ de son intention de le licencier à la suite de la suppression de son poste. Les démarches entreprises au sein de l'administration communale n'avaient en effet pas permis de lui trouver un nouveau poste, malgré la prolongation du délai initialement fixé au 23 mars 2017 à cet effet. Le 31 juillet 2017, A._ a contesté la position de la Ville.
Le 26 juillet 2018, A._ a rencontré deux membres de la direction des ressources humaines. Elles l'ont informé que le versement de son indemnité pour incapacité de travail arriverait à échéance le 31 janvier 2019, conformément au statut du personnel de la Ville du 29 juin 2010 (LC 21 151; ci-après: le statut). Dès le 1er février 2019, son traitement dépendrait de sa capacité de travail effective. La Ville a confirmé ces indications par courrier du même jour.
Le 13 février 2019, le Conseil administratif a résilié les rapports de service de A._ en raison de la suppression de son poste, avec effet au 31 août 2019. Il a rappelé que A._ était libéré de son obligation de travailler. Le prénommé a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice (procédure A/1126/2019).
A.d. Le 29 mars 2019, en réponse à la demande de A._ que son traitement lui soit versé, la Ville a expliqué que l'indemnité pour incapacité de travail était arrivée à son terme le 31 janvier 2019. Dès le 1er février 2019, son traitement était versé en fonction de son taux de capacité de travail effectif. Le 2 avril 2019, A._ a contesté cette position, estimant que la Ville devait assumer son salaire jusqu'au 31 août 2019 dès lors qu'elle l'avait libéré de son obligation de travailler. Le lendemain, A._ a mis la Ville en demeure de lui verser ses arriérés de salaires pour les mois de février et mars 2019 d'ici au 8 avril 2019.
Par courrier du 10 avril 2019, la Ville a informé A._ qu'elle ne pouvait pas donner suite à sa demande. Le 16 avril 2019, elle lui a communiqué que son traitement lui serait versé à raison de 100 % dès le 15 avril 2019, puisqu'il avait recouvré sa pleine capacité de travail à ce moment-là.
B.
Le 13 mai 2019, A._ a recouru contre le courrier du 10 avril 2019 auprès de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Il concluait à son annulation et à la condamnation de la Ville au versement de son salaire du 1er février au 14 avril 2019. La Ville a conclu à l'irrecevabilité du recours et, à titre subsidiaire, à son rejet. A._ a persisté dans ses conclusions. Par arrêt du 3 septembre 2019, la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours de A._, dans la mesure où il était recevable.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre cet arrêt dont il demande l'annulation. Il conclut à ce que la Ville de Genève soit condamnée à lui verser son salaire du 1er février au 31 mars 2019. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision.
La Ville conclut au rejet du recours. L'autorité précédente n'a formulé aucune observation. Le recourant a répliqué.
Considérant en droit :
1.
1.1. La décision attaquée a été rendue en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur le paiement du salaire pour les mois de février et mars 2019, il s'agit d'une contestation pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse dépasse le seuil de 15'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF), dès lors que le traitement du recourant pour les mois de février et mars 2019 avoisinerait 30'000 fr.
1.2. Pour le surplus, interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable. Dans la mesure où le recourant entend également former un recours constitutionnel, celui-ci n'est pas recevable en raison de son caractère subsidiaire (art. 113 LTF).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant de manière précise (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 142 III 364 consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
2.2. Sauf exceptions, la violation du droit cantonal ou communal ne peut pas être invoquée en tant que telle devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF). Il est cependant possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels (ATF 140 III 385 consid. 2.3 p. 387; 138 V 67 consid. 2.2 p. 69). Le Tribunal fédéral examine de tels moyens uniquement s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 142 V 577 consid. 3.2 p. 579 et la référence). Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - y compris préférable - paraît possible. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 144 I 113 consid. 7.1 p. 124).
3.
3.1. L'art. 42 du statut prévoit que les membres du personnel de la Ville ont droit à un traitement versé en principe chaque mois avec remise d'un décompte; le droit au traitement prend naissance le jour de l'entrée en fonction et s'éteint le jour de la cessation des rapports de service (al. 1). Ce traitement comprend un traitement de base auquel s'ajoutent, le cas échéant, les suppléments, indemnités et allocations prévus par le statut (al. 2). Selon l'art. 57 du statut, en cas d'incapacité de travail pour cause de maladie ou d'accident attestée par un certificat médical, l'employé ou l'employée reçoit une indemnité égale à son dernier traitement avant la survenance de l'incapacité (al. 1). Cette indemnité est versée pendant vingt-quatre mois dans une période de 900 jours consécutifs (al. 2).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a reconnu qu'un employé libéré de son obligation de travailler et en bonne santé touche son salaire pendant le délai de congé alors qu'un employé malade et qui a dépassé les durées prévues par l'art. 57 al. 2 du statut au jour du prononcé de la résiliation des rapports de service n'y a pas droit. Un employé malade ne bénéficie ainsi dans cette situation pas des mêmes prestations qu'un employé qui ne l'est pas. Selon les juges cantonaux, cette distinction est voulue par le statut. En effet, le droit au traitement naît avec l'entrée en fonction et s'éteint le jour de la cessation des rapports (art. 42 al. 1 du statut). Pour les employés malades, le statut ne prévoit pas le versement d'un traitement, mais celui d'une indemnité. L'arrêt cantonal note que les droits et les obligations des employés malades et en bonne santé diffèrent sur divers points, comme la protection contre le licenciement en temps inopportun, l'obligation de présenter un certificat médical ou la réduction du droit aux vacances. En ce qui concerne la libération de l'obligation de travailler, les juges cantonaux ont relevé que l'employeur peut rappeler un employé en bonne santé pour accomplir une mission particulière. Cela ne serait pas envisageable pour un employé malade dès lors qu'il n'est pas en mesure d'accomplir ses tâches et que son employeur doit lui accorder une attention particulière en raison de sa situation de faiblesse. Sur la base de ces éléments, la cour cantonale a conclu que le refus de verser au recourant un traitement pendant le délai de congé alors qu'il était libéré de son obligation de travailler, car il était malade et avait épuisé les périodes prévues à l'art. 57 al. 2 du statut, n'était pas arbitraire et ne violait pas l'égalité de traitement. Cette solution reposait sur une base statutaire claire, était justifiée par des motifs professionnels et sociaux, et opérait une distinction entre deux situations objectivement différentes. La Ville pouvait par conséquent refuser de verser au recourant un traitement pour la période sous revue.
4.
Selon le recourant, l'instance cantonale aurait arbitrairement retenu qu'il avait été libéré de son obligation de travailler du fait de sa maladie (art. 105 al. 2 LTF). Dans sa partie en fait, l'arrêt cantonal expose cependant que le recourant a été libéré de son obligation de travailler afin qu'il puisse mobiliser toute son énergie dans la recherche d'un nouvel emploi (p. 2, consid. 2). Dans sa partie en droit, l'arrêt cantonal n'établit pas non plus de lien entre la maladie du recourant et sa libération de l'obligation de travailler (p. 10, consid. 9). En effet, on comprend que l'arrêt valide simplement la solution qui consiste à refuser au recourant le versement d'un traitement pendant le délai de congé alors qu'il est libéré de son obligation de travailler, "du fait de", à savoir compte tenu de, sa maladie et de l'épuisement de la période prévue par l'art. 57 al. 2 du statut. Le grief doit être rejeté.
5.
5.1. Le recourant allègue ensuite que la juridiction cantonale serait tombée dans l'arbitraire (art. 9 Cst.) en limitant son contrôle à la période du 13 février au 31 mars 2019 et en excluant la période du 1er au 12 février 2019. Cette approche serait insoutenable, car les conclusions du recourant ne se limitaient pas à son traitement pendant le délai de résiliation mais visaient la période du 1er février au 14 avril 2019.
5.2. En procédure contentieuse, l'objet du litige ("Streitgegenstand") est défini par trois éléments: l'objet du recours ("Anfechtungsobjekt"), les conclusions du recours et, accessoirement, les motifs de celui-ci. La décision attaquée délimite l'objet du litige (arrêts 2C_612/2007 du 7 avril 2008 consid. 4.1; 1A.202/1991 du 3 juin 1998, RDAF 1999 I 254, consid. 4b/cc; Benoît Bovay, Procédure administrative, 2e éd., Berne 2015, p. 554; cf. ég. Christoph Auer, Streitgegenstand und Rügeprinzip im Spannungsfeld der verwaltungsrechtlichen Prozessmaximen, Berne 1997, p. 52 ss). En cas d'incertitude, le tribunal peut ainsi s'appuyer sur l'ensemble de l'écriture pour déterminer les prétentions du recourant (cf. Ulrich Meyer/Isabel von Zwehl, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in: Mélanges en l'honneur de Pierre Moor, Berne 2005, p. 435 ss, p. 440 n° 10). Il ne saurait en revanche modifier sur cette base des conclusions claires.
5.3. En l'espèce, les juges cantonaux ont relevé que le recourant concluait au versement de son traitement du 1er février au 14 avril 2019, soit une période qui excédait celle sur laquelle la Ville s'était prononcée. Ils ont premièrement exclu de leur examen la période du 1er au 14 avril 2019, car la décision de la Ville se prononce uniquement sur les salaires des mois de février et de mars 2019. Le recourant ne conteste pas ce procédé. Les juges cantonaux ont ensuite écarté la période du 1er au 12 février 2019 dès lors que le recourant critiquait la décision litigieuse en ce qu'elle le privait d'un salaire "pendant le délai de résiliation". Or le Conseil administratif l'avait licencié le 13 février 2019 et le délai de résiliation débutait ce jour-là. Ce faisant, la cour cantonale a restreint l'objet du recours sur la base de la motivation produite par le recourant. Celui-ci avait cependant déposé des conclusions claires et datées qui ne donnaient pas lieu à interprétation. Dès lors qu'elle doit appliquer le droit d'office, l'instance cantonale ne pouvait pas se fonder sur les arguments invoqués par le recourant dans son écriture pour limiter l'objet du litige ("Streitgegenstand") et refuser d'entrer en matière sur des conclusions qui s'inscrivaient dans le champ de la décision ("Anfechtungsobjekt"). La cour cantonale est ainsi tombée dans l'arbitraire en refusant d'entrer en matière sur le recours en ce qu'il portait sur la période du 1er au 12 février 2019.
5.4. Il convient ainsi d'examiner sur le fond le droit au traitement du recourant pour la période du 1er au 12 février 2019. Le recourant ne conteste pas que la période de protection a expiré le 31 janvier 2019. Il estime cependant qu'il demeurait un fonctionnaire au service de la Ville même au-delà de ce moment et qu'il conservait par conséquent son droit au salaire. Ce raisonnement tombe à faux: l'existence de rapports de travail ne garantit pas un droit au salaire en toute situation. En cas de maladie, l'art. 57 du statut prévoit ainsi le versement d'une indemnité pour une durée limitée. Au-delà, l'employé en incapacité de travail ne peut pas prétendre au versement d'un salaire ou d'une indemnité pour cause de maladie. Le recours doit ainsi être rejeté sur ce point.
6.
6.1. Le recourant se plaint en outre d'une application arbitraire de l'art. 57 du statut. Selon lui, cette disposition ne réglerait pas le cas d'un fonctionnaire libéré de son obligation de travailler avant de tomber malade. La continuation de la maladie du recourant au-delà de la période de protection ne serait en outre pas pertinente, dès lors qu'il avait été libéré de son obligation de travailler avant la survenance de son incapacité et uniquement en raison de la suppression de son poste. Par ailleurs, l'intimée n'aurait jamais manifesté l'intention de demander au recourant de retourner travailler entre la fin de son arrêt maladie et l'échéance du délai de résiliation.
6.2. Comme exposé, la cour cantonale a relevé que les employés malades recevaient une indemnité et non un traitement. L'art. 57 du statut en réglait les conditions et la durée. A l'issue de la période de protection et en cas de libération de l'obligation de travailler durant le délai de congé, il n'était en outre pas envisageable de rappeler un employé malade. Les juges cantonaux ont déduit de ces éléments qu'il n'était pas arbitraire de refuser de verser un traitement au recourant pendant le délai de congé, car il était malade et avait épuisé la période de protection applicable.
Cette interprétation de l'art. 57 du statut n'apparaît arbitraire ni dans son raisonnement ni dans son résultat. Contrairement à ce qu'affirme le recourant, la continuation de sa maladie au-delà de la période de protection constitue un élément décisif dans ce contexte. Il ressort du jugement cantonal que le recourant avait d'ailleurs été informé le 26 juillet 2018 oralement et par écrit que le versement de son indemnité pour incapacité de travail arriverait à échéance le 31 janvier 2019 et que son traitement dépendrait ensuite de sa capacité de travail effective. Le recourant a ainsi à nouveau touché son traitement à raison de 100 % dès le 15 avril 2019, moment où il a recouvré sa pleine capacité de travail. L'allégation selon laquelle l'intimée n'aurait jamais manifesté l'intention de demander au recourant de retourner travailler entre la fin de son arrêt maladie et l'échéance du délai de résiliation ne joue aucun rôle en l'espèce puisque la procédure porte sur une période durant laquelle le recourant se trouvait en incapacité de travail totale. Le grief doit donc être rejeté.
7.
7.1. Le recourant invoque en dernier lieu une violation de l'égalité de traitement (art. 8 Cst.). Il considère que la situation d'une personne libérée de son obligation de travailler qui tombe ensuite malade et ce jusqu'au-delà de la période de protection serait objectivement la même que celle d'une personne libérée de son obligation de travailler qui ne tombe pas malade. Il y aurait ainsi discrimination entre le fonctionnaire malade libéré de son obligation de travailler et celui en bonne santé libéré de son obligation de travailler.
7.2. Une décision viole le principe de l'égalité consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente. Il faut que le traitement différent ou semblable injustifié se rapporte à une situation de fait importante (ATF 142 V 316 consid. 6.1.1 p. 323; 141 I 153 consid. 5.1 p. 157 et la référence). Les situations comparées ne doivent pas nécessairement être identiques en tous points mais leur similitude doit être établie en ce qui concerne les éléments de fait pertinents pour la décision à prendre (ATF 130 I 65 consid. 3.6 p. 70). Le Tribunal fédéral a ainsi jugé que le principe de l'égalité de traitement n'est pas violé lorsque, en vertu du droit cantonal, le droit au salaire en cas de maladie cesse à l'issue de rapports de travail de durée déterminée alors qu'il perdure en cas de rapports de travail de durée indéterminée (arrêt 8C_263/2011 du 31 octobre 2011 consid. 8.3).
7.3. La situation du recourant diffère de celle d'un fonctionnaire bien portant libéré de son obligation de travailler. L'état de santé constitue en effet un motif objectif déterminant dans la vie professionnelle, qui justifie d'établir des distinctions entre les travailleurs malades et ceux en bonne santé. Comme souligné dans l'arrêt cantonal, un employé malade n'est pas en mesure d'accomplir les prestations de travail et ne pourrait ainsi pas être rappelé en cas de besoin. De plus, sa situation de faiblesse impose à l'employeur une attention particulière. Ainsi, le recourant a bénéficié de la période de protection de vingt-quatre mois prévue par l'art. 57 du statut, pendant laquelle il a touché une indemnité pour incapacité de travail. Il convient de relever que cette période s'est étendue bien au-delà de ce qu'auraient duré les rapports de service d'une personne en bonne santé dans les mêmes circonstances. Somme toute, le recourant a ainsi bénéficié d'un traitement plus favorable que celui d'un fonctionnaire bien portant et libéré de son obligation de travailler. Cette distinction se justifie par un motif raisonnable, celui de l'état de santé du travailleur. Le principe de l'égalité de traitement est respecté et le grief doit être rejeté.
8.
Il ressort de qui précède que le jugement attaqué n'est pas critiquable et que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 17 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin