Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1981) ist Staatsbürger von Chile. Er kam 21. August 2009 in die Schweiz, um als Stipendiat an der Musik-Akademie der Stadt Basel zu studieren. Vom 8. August 2011 bis zum 24. August 2015 (Trennung im November 2014) war er mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet. Aus der Beziehung sind zwei Kinder hervorgegangen (geb. 2011 und 2014).
1.2. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn verlängerte am 23. Dezember 2015 die Aufenthaltsbewilligung von A._ unter den Bedingungen, dass er sich weiterhin um eine Erwerbstätigkeit bemühe, seinen Lebensunterhalt künftig ohne Sozialhilfe bestreite, keine Schulden anhäufe und nicht straffällig werde. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) stimmte der Bewilligungsverlängerung zu, machte A._ indessen darauf aufmerksam, dass er sich von der Sozialhilfe ablösen und zum Unterhalt seiner beiden Kinder beitragen müsse.
1.3. A._ wurde vom 1. Oktober 2015 bis zum 31. Januar 2020 von der Sozialhilfebehörde als Einzelperson mit Fr. 111'864.20 unterstützt; zuvor war bereits die Familie auf entsprechende Leistungen angewiesen. Im Zeitraum von 2011 bis 2020 generierte A._ insgesamt ein Erwerbseinkommen von Fr. 7'300.--. Per 29. Februar 2020 verzichtete er auf eine weitere Unterstützung durch die Sozialhilfebehörden.
1.4. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn sah am 5. August 2020 davon ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern; es hielt ihn gleichzeitig an, das Land zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 12. April 2021 ab.
1.5. A._ beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 12. April 2021 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Es wurden keine Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
2.1. In Bezug auf Verletzungen von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2; 136 II 304 E. 2.5). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (BGE 134 II 244 E. 2.2; 130 I 258 E. 1.3). Der Beschwerdeführer beanstandet das angefochtene Urteil appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich aber in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sach- und verfassungsbezogen auseinanderzusetzen. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt dies nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], BSK BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu Art. 42 BGG).
2.2.
2.2.1. Das Verwaltungsgericht ist - gestützt auf die einschlägige bundesgerichtliche Rechtsprechung (Art. 62 Abs. 1 lit. e AIG; Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 3 u. 4) - davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer sich zwar von der Sozialhilfe abgemeldet habe, mit Blick darauf, dass er aber über keine Arbeitsstelle verfüge und seinen Lebensunterhalt durch Zahlungen Dritter bestreite, die Gefahr fortbestehe, dass er - trotz seiner anderslautenden Beteuerungen - künftig wieder auf Leistungen der Sozialhilfe angewiesen sein könnte. Trotz der Bedingung, dass eine weitere Bewilligungsverlängerung nur erfolge, wenn der Beschwerdeführer sich um Arbeit auch ausserhalb seines Tätigkeitsgebiets als Musiker und Dirigent bemühe, habe er keine entsprechenden Anstrengungen unternommen; ein Arbeitsversuch im Detailhandel habe bereits nach zwei Stunden abgebrochen werden müssen, da der Beschwerdeführer sich nicht als leistungsbereit gezeigt habe.
2.2.2. Der Beschwerdeführer lebe zwar - so die Begründung weiter - die Beziehungen zu seinen Kindern, doch sei er nie finanziell für sie aufgekommen; kurz nach der Geburt der ersten Tochter habe er eine mehrjährige Ausbildung in England angetreten, womit er freiwillig in Kauf genommen habe, die Beziehungen zu den Kindern affektiv nicht täglich und eng pflegen zu können. Er habe für diese nie die Verantwortung für Übernachtungen oder gemeinsame Mahlzeiten übernommen. Die Trennung von seinen Kindern sei verhältnismässig, nachdem der Beschwerdeführer "im Wissen um die Konsequenzen über Jahre keine Erwerbstätigkeit ausgeübt" und "somit die Wegweisung und Trennung von seinen Kindern billigend in Kauf genommen" habe. Der Beschwerdeführer sei erst mit 28 Jahren in die Schweiz gekommen und es sei ihm zuzumuten, in die Heimat zurückzukehren.
2.3. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt oder die Beweise in Verletzung von Art. 9 BV gewürdigt hätte; er begründet auch nicht, inwiefern das Verwaltungsgericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen eine unhaltbare Schlussfolgerung gezogen hätte (vgl. BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 f.). Er macht geltend, die Beziehung mit seinen Kindern hier leben zu wollen; er setzt sich indessen nicht mit der Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK im angefochtenen Entscheid auseinander: Er geht - entgegen seiner Begründungspflicht - auf die diesbezüglichen Überlegungen der Vorinstanz nicht weiter ein; insbesondere legt er nicht dar, weshalb deren Annahme offensichtlich unhaltbar wäre, er könne die Beziehungen zu seinen Kindern aufgrund der (gelockerten) Bindungen auch besuchsweise und über die digitalen Kanäle wahrnehmen.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist mangels rechtsgenügender Begründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch den Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Eingabe abzuweisen (Art. 64 BGG). Es rechtfertigt sich, dennoch keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar