Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 28. September 2016 hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt eine Beschwerde von A._ (Beschwerdeführerin 1) teilweise gut und erteilte dem Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin 1 definitive Rechtsöffnung für Fr. 19'950.-- nebst 5 % Zins seit 16. Februar 2016 und für aufgelaufenen Zins von Fr. 4'378.10. Dagegen erhob die Beschwerdeführerin 1 erfolglos Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht (Urteil 5D_174/2016 vom 22. Dezember 2016).
Am 27. September 2017 (Postaufgabe) beantragte die Beschwerdeführerin 1 sinngemäss die Revision des Entscheids des Appellationsgerichts vom 28. September 2016. Es folgten sieben weitere Eingaben der Beschwerdeführerin 1 in dieser Sache bis 14. Januar 2018. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2017 teilte das Appellationsgericht mit, dass es das vorliegende zivilrechtliche Revisionsverfahren separat von zwei verwaltungsrechtlichen führe, die ebenfalls vom Revisionsgesuch erfasst seien. Mit Entscheid vom 24. Januar 2018 trat das Appellationsgericht auf das Ausstandsbegehren gegen Appellationsrichter C._ und auf das Revisionsgesuch nicht ein.
Gegen diesen Entscheid haben die Beschwerdeführerin 1 und ihr Ehemann, der die Eingabe mitunterzeichnet hat und sich ebenfalls als Beschwerdeführer bezeichnet (Beschwerdeführer 2), am 28. Februar 2018 (Postaufgabe) "Verfassungsbeschwerde in Zivilsachen" an das Bundesgericht erhoben. Am 3. März 2018 (Postaufgabe) haben sie nach Akteneinsicht vom Vortag eine Kopie des angefochtenen Entscheids eingereicht.
2.
Aufgrund des geringen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG).
Der Beschwerdeführer 2 ist nicht Partei des Rechtsöffnungs- bzw. des Revisionsverfahrens und er hat kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Abänderung des angefochtenen Entscheids (Art. 115 BGG). Das Verfahren betrifft einzig seine Ehefrau. Er ist demnach zur Beschwerdeführung nicht berechtigt. Im Übrigen wurde ihm bereits erläutert, dass er vor Bundesgericht seine Ehefrau auch nicht vertreten darf (Urteil 5D_174/2016 vom 22. Dezember 2016 E. 1.2).
In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (Art. 116 BGG). Diese ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Die Beschwerdeführerin 1 führt in der Beschwerde aus, der angefochtene Entscheid sei ihr am 26. Januar 2018 gesendet worden. Sie hätten die Annahme jedoch am 29. Januar 2018 verweigert. Die Beschwerde werde demnach ohne Kopie dieses Entscheids und ungeachtet des Ausgangs des appellationsgerichtlichen Verfahrens und in Unkenntnis des Inhalts des angefochtenen Entscheids erhoben.
Diese Art der Beschwerdeführung ist rechtsmissbräuchlich und verdient keinen Rechtsschutz. Zudem fehlt bei dieser Ausgangslage naturgemäss jegliche Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids. Daran ändert die nachträgliche Zusendung einer Kopie des angefochtenen Entscheids nach Akteneinsicht am 2. März 2018 nichts. Auf die weitschweifige und schwer verständliche Beschwerde braucht deshalb nicht weiter eingegangen zu werden. Dies gilt aufgrund der Missbräuchlichkeit der Beschwerdeführung auch für die formellen Einwände gegen das kantonale Verfahren (z.B. betreffend Akteneinsicht).
Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unzulässig, sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung und sie ist rechtsmissbräuchlich. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a bis c BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg