Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl stellte eine gegen B._ geführte Strafuntersuchung am 27. September 2020 ein. B._ erhob dagegen Beschwerde, welche sich gegen verschiedene Nebenfolgen der Verfahrenseinstellung richtete (Vorgehen bei Löschung des DNA-Profils sowie Kosten, Entschädigung und Genugtuung). Das Obergericht des Kantons Zürich hiess die Beschwerde am 16. September 2021 hinsichtlich einzelner Punkte betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen gut und wies sie im Übrigen ab, soweit es auf sie eintrat. Es verpflichtete sowohl B._ als auch dessen amtlichen Verteidiger, Rechtsanwalt A._, zur Übernahme je eines Drittels der Gerichtsgebühr und setzte die Entschädigung der amtlichen Verteidigung für das Beschwerdeverfahren auf Fr. 1'800.-- fest.
B._ und Rechtsanwalt A._ erheben je in eigenem Namen, aber mit gleicher Rechtsschrift Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beanstanden den obergerichtlichen Entscheid einerseits insoweit, als auf die Anträge betreffend das Vorgehen bei Löschung des DNA-Profils nicht eingetreten und der Antrag um Erhöhung der B._ zugesprochenen Entschädigung abgewiesen wurde. Andererseits verlangen sie, die Gerichtsgebühr für das obergerichtliche Verfahren sei vollumfänglich auf die Staatskasse zu nehmen und das Obergericht habe die Entschädigung der amtlichen Verteidigung für das obergerichtliche Verfahren neu unter Berücksichtigung der eingereichten Honorarnote von Fr. 4'372.20 festzusetzen.
2.
Mit Eingabe vom 18. November 2021 liess B._ durch Rechtsanwalt A._ seine Beschwerde zurückziehen, weshalb das ihn betreffende bundesgerichtliche Verfahren abgeschrieben wurde (Verfahren 6B_1238/2021). Rechtsanwalt A._ erklärte in der gleichen Eingabe, er selber halte "lediglich an der Rüge fest, dass ich nie als Rechtsvertreter einen Antrag auf Zusprechung eines bestimmten Betrages als Entschädigung für meine Bemühungen vor Vorinstanz [...] gestellt habe" (act. 7).
3.
Die Beschwerde an das Bundesgericht hat unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein und die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 142 I 99 E. 1.7.1; 140 III 86 E. 2).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer führt in der dem abgeschriebenen bundesgerichtlichen Verfahren betreffend B._ wie auch in der dem vorliegenden Verfahren zugrundeliegenden Beschwerdeschrift aus, er trete "in Wahrung der prozessualen Sorgfalt" seinerseits als Beschwerdeführer auf. Welche konkreten Punkte er inwiefern und weshalb in eigenem Namen selbständig und/oder zusätzlich zu B._ anficht, begründet er allerdings nicht und lässt sich der Beschwerde nicht leichthin entnehmen. Es erscheint bereits angesichts dessen fraglich, ob die vom Beschwerdeführer in eigenem Namen erhobene Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügt.
4.2. Nachdem der Beschwerdeführer sowohl von der teilweisen Auflage der vorinstanzlichen Gerichtsgebühr als auch von der Festsetzung des ihm als amtlicher Verteidiger für das vorinstanzliche Verfahren zustehenden Honorars persönlich betroffen ist (vgl. zu Letzterem BGE 140 IV 213 E. 1.4) und die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz in der Beschwerde kritisiert werden, kommen (einzig) diese Punkte als möglicher Gegenstand des vorliegenden Verfahrens in Betracht. Der Beschwerde lässt sich dazu entnehmen, der Beschwerdeführer habe im Zusammenhang mit der Entschädigung für seine Bemühungen als amtlicher Verteidiger vor der Vorinstanz aufforderungsgemäss seine Honorarnote eingereicht, jedoch nie einen bezifferten Antrag auf Entschädigung in bestimmter Höhe gestellt oder die Erstattung der vollen Höhe der Aufwendungen verlangt. Es sei daher nicht nachvollziehbar, wie sich die Auferlegung der vorinstanzlichen Gerichtsgebühr (auch) in Bezug auf seine Person rechtfertige. Die Vorinstanz begründe mit keinem Wort, warum er rechtlich zur Kostentragung herangezogen werden dürfe. Mangels Antrags könne er nicht unterliegen, vielmehr habe ein willkürfreier Ermessensentscheid über die Höhe seiner Entschädigung zu ergehen.
Mit diesen Ausführungen scheint der Beschwerdeführer zu übersehen, dass die Vorinstanz ihre Gerichtsgebühr ihm nicht deshalb teilweise auferlegt, weil er zu der ihn persönlich betreffenden Frage der Höhe seiner amtlichen Entschädigung einen Antrag gestellt hätte, dem nicht stattgegeben worden wäre. Vielmehr auferlegte die Vorinstanz die Gerichtsgebühr teilweise auch ihm, weil ein Teil der vorinstanzlichen Rechtsbegehren, d.h. die Anträge betreffend das Vorgehen bei Löschung des DNA-Profils und der Antrag um Erhöhung der B._ zustehenden Entschädigung, offensichtlich aussichtslos gewesen seien und letztgenannter Antrag zudem mit nachgerade treuwidriger Begründung gestellt worden sei. Gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen hätte dem Beschwerdeführer als Rechtsanwalt klar sein müssen, dass auf die fraglichen Rechtsbegehren nicht eingetreten werde bzw. diese abgewiesen würden, hätte er die entsprechenden Prozessaussichten auch nur einigermassen sorgfältig abgeschätzt. Er habe insoweit mit seiner kantonalen Beschwerde unnötige Kosten verursacht, weshalb sich eine teilweise Kostenauflage gestützt auf Art. 417 StPO rechtfertige, wonach bei Säumnis und anderen fehlerhaften Verfahrenshandlungen die Verfahrenskosten ungeachtet des Verfahrensausgangs jener verfahrensbeteiligten Person auferlegt werden könnten, die sie verursacht habe (vgl. angefochtener Entscheid E. V.2 S. 23 ff.). Mit dieser Begründung der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Weshalb die teilweise Kostenauflage unrechtmässig sein soll, lässt sich vor dem Hintergrund seiner im Sinne der Eingabe vom 18. November 2021 aufrechterhaltenen Rüge nicht erschliessen. Solches liesse sich allenfalls höchstens implizit aus den Ausführungen in der Beschwerde folgern, mit denen einerseits das vorinstanzliche Nichteintreten auf die DNA-Anträge kritisiert und andererseits die beantragte Erhöhung der Entschädigung von B._ begründet wird. Die diesbezüglichen, in materieller Hinsicht B._ betreffenden Begehren zog dieser indes zurück und es ergibt sich nicht, dass der Beschwerdeführer an den entsprechenden Rügen in eigenem Namen festgehalten hätte (vgl. act. 7). Sofern sich die aufrechterhaltene Beschwerde des Beschwerdeführers auf die ihn betreffende teilweise Kostenauflage beziehen sollte, vermöchte sie demgemäss den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht zu genügen.
Ob der Beschwerdeführer daneben mit seiner aufrechterhaltenen Beschwerde, wie in der ursprünglichen Beschwerdeschrift beantragt, weiterhin eine Neufestsetzung der ihm für seine Bemühungen als amtlicher Verteidiger im kantonalen Rechtsmittelverfahren ausgerichteten Entschädigung verlangt, geht aus seiner Eingabe vom 18. November 2021 alsdann nicht hinreichend hervor. Unklar bliebe in diesem Zusammenhang auch, ob eine entsprechende Neufestsetzung allein als Folge der weiteren Begehren gefordert würde, welchenfalls zu beachten wäre, dass wegen des Rückzugs der Beschwerde durch B._ die dort gerügten, ihn betreffenden (materiellen) Punkte (Vorgehen bei Löschung des DNA-Profils, Höhe der B._ zuerkannten Entschädigung) nicht mehr zu überprüfen sind und daher auch nicht Grund für eine allfällige Neufestsetzung der amtlichen Entschädigung bilden könnten. Die Begründung der Beschwerde erweist sich ebenso unter diesem Aspekt als unklar und wird den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht gerecht. Soweit die Höhe der im kantonalen Rechtsmittelverfahren der amtlichen Verteidigung zugesprochenen Entschädigung als solche Beschwerdegegenstand bilden sollte, wäre im Weiteren zu beachten, dass nicht das Bundesgericht, sondern das Bundesstrafgericht für eine diesbezügliche Beurteilung zuständig wäre (vgl. Art. 135 Abs. 3 lit. b StPO; BGE 140 IV 213 E. 1.7; vgl. auch Urteil 6B_1124/2020 vom 21. Juni 2021 E. 1.4.3). Nachdem unklar ist, ob der Beschwerdeführer die Honorarfestsetzung als solche anficht, und nachdem es dem Bundesgericht insoweit an der Zuständigkeit fehlt, wird die Beschwerde in Anwendung von Art. 30 Abs. 2 BGG an das Bundesstrafgericht überwiesen zur Prüfung, ob ein entsprechendes Begehren (hinreichend begründet) gestellt ist, und gegebenenfalls zur Beurteilung desselben in der Sache.
5.
Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten mangels tauglicher Begründung sowie fehlender bundesgerichtlicher Zuständigkeit im Verfahren nach Art. 109 BGG nicht einzutreten. Die Sache ist betreffend die Frage der Anfechtung der für das vorinstanzliche Verfahren ausgerichteten amtlichen Entschädigung zuständigkeitshalber an das Bundesstrafgericht zu überweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem verhältnismässig geringen Aufwand ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Sache wird an das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, überwiesen betreffend die Frage der Anfechtung der für das vorinstanzliche Verfahren ausgerichteten amtlichen Entschädigung.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Boller