Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 24. Mai 2019 machte A._ (Beschwerdeführer) gegen die B._ AG (Beschwerdegegnerin) ein Verfahren betreffend Organisationsmängel nach Art. 731b OR am Handelsgericht des Kantons Zürich anhängig. Gleichzeitig stellte er Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen ohne Anhörung der Gegenpartei.
Mit Verfügung vom 27. Mai 2019 wurde das Dringlichkeitsbegehren des Beschwerdeführers abgewiesen. Zugleich wurde ihm Frist zur Verbesserung der Klage angesetzt, unter Androhung des Nichteintretens bei erneuter Mangelhaftigkeit. Am 8. Juni 2019 ging das verbesserte Gesuch am Handelsgericht ein.
Mit Verfügung vom 19. Juni 2019 beurteilte das Handelsgericht die Rechtsschrift als mangelhaft im Sinne von Art. 132 Abs. 2 ZPO und trat auf die Klage nicht ein.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur ordentlichen Durchführung des Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Vorinstanz setzte dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 27. Mai 2019 gestützt auf Art. 132 ZPO Frist zur Verbesserung der Klage an. Dabei wurde er darauf hingewiesen, inwiefern die ursprüngliche Rechtsschrift mangelhaft war und welche Anforderungen an eine gehörig verfasste Rechtsschrift im vorliegenden Verfahren gesetzt werden.
Die Vorinstanz kam im angefochtenen Entscheid zusammengefasst zum Schluss, dass der Beschwerdeführer auch mit seinem verbesserten Gesuch den Anforderungen nicht entspreche, die an eine gehörige Eingabe in einem Verfahren betreffend Organisationsmängel vorausgesetzt würden. Die Eingabe sei unverändert sehr weitschweifig und ausserordentlich schwerfällig geschrieben. Der Beschwerdeführer komme nicht auf den Punkt, sodass weitgehend unverständlich bleibe, was er mit seiner Klage überhaupt erreichen wolle. Dies resultiere auch daraus, dass er gerade nicht einen bestehenden formellen Organisationsmangel bei der Beschwerdegegnerin behoben haben möchte und unklar bleibe, ob er mit der vorliegenden Klage überhaupt ein geeignetes Mittel für seine Ziele gewählt habe. Daran vermöge auch die Tatsache nichts zu ändern, dass in isolierten Bereichen relativ knapp und klarer begründet werde. Die Rechtsschrift sei als Ganzes zu beurteilen. Insgesamt sei die Rechtsschrift auch in ihrer verbesserten Fassung vom 8. Juni 2019 nach wie vor sehr weitschweifig und damit ungenügend im Sinne von Art. 132 Abs. 2 ZPO. Androhungsgemäss sei deshalb auf die Klage nicht einzutreten.
4.
4.1. Dagegen rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 132 Abs. 2 ZPO und seines Anspruches auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV. Er wirft der Vorinstanz eine willkürliche Tatsachenfeststellung, überspitzten Formalismus und eine "eigentliche Rechtsverweigerung" vor.
Sein verbessertes Gesuch sei nicht weitschweifig. Er halte sich immer an die Regeln der deutschen Sprache. Ob die Eingabe sprachlich gefalle oder als schwerfällig empfunden werde, sei rechtlich bedeutungslos. Der Geschmack über sprachlichen Stil könne bekanntlich verschieden sein. Sein verbessertes Gesuch umfasse 23 Seiten, wobei bloss 16.5 Seiten "an eigentlicher Begründung des Gesuchs" verbleibe. Die Begründung des Gesuchs sei somit "offensichtlich in keiner Weise lang und enthalte auch keine unnötigen Wiederholungen". Die Ausführungen seien nirgends weitschweifig, sondern vielmehr durchaus knapp gehalten und konzentriert formuliert. Dies bestätige auch der Blick in die Fachliteratur und die Rechtsprechung zur Weitschweifigkeit nach Art. 132 Abs. 2 ZPO, welche ganz andere Ausmasse und Proportionen zeige.
4.2. Die Vorinstanz qualifizierte die Eingabe des Beschwerdeführers als ungenügend im Sinne von Art. 132 Abs. 2 ZPO. Vor Bundesgericht wäre es am Beschwerdeführer gewesen, an diesen Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen und hinreichend darzulegen, dass die Vorinstanz Art. 132 Abs. 2 ZPO verletzt hätte, als sie seine verbesserte Eingabe als mangelhaft im Sinne der genannten Bestimmung beurteilte. Diesen Anforderungen kommt der Beschwerdeführer aber offensichtlich nicht rechtsgenüglich nach, wenn er einzig unter Berufung auf die sprachliche Korrektheit und die Seitenzahl seines Gesuchs behauptet, dass seine Ausführungen "knapp gehalten", "konzentriert formuliert" und "nirgends weitschweifig" seien. Eine sachbezogene Auseinandersetzung mit den Erwägungen der Vorinstanz, die namentlich auch die erforderliche Klarheit vermisste, ist in diesen blossen Gegenbehauptungen nicht zu erblicken. Insoweit genügt die Eingabe des Beschwerdeführers den Begründungsanforderungen vor Bundesgericht offensichtlich nicht.
4.3. Im Weiteren beklagt der Beschwerdeführer eine Verletzung der "Offizialmaxime" und beanstandet, dass der Entscheid der Vorinstanz "Fundamente des Zivilprozesses", "Anforderungen des Zivilprozessrechts auf Durchführung eines kontradiktorischen Verfahrens" und die "Nichtigkeit von Insichgeschäften" nicht beachte. Er legt vor Bundesgericht aber bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge dar, ohne indessen auf die Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern diese seine Rechte verletzt haben soll, als sie sein Gesuch als ungenügend im Sinne von Art. 132 Abs. 2 ZPO qualifizierte.
5.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger