Sachverhalt:
A.
A.a. A._ führt in U._ (AR), einen Landwirtschaftsbetrieb. Er wurde mehrfach wegen Verstössen gegen das Tierschutzgesetz strafrechtlich verurteilt und am 20. Februar 2012 verfügte das Veterinäramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden gegen ihn ein zeitlich unbeschränktes Halteverbot für Nutztiere mit Ausnahme der Pferdehaltung. Dieses Tierhalteverbot wurde mit Urteil des Bundesgerichts 2C_958/2014 vom 31. März 2015 letztinstanzlich bestätigt.
A.b. Mit Schreiben vom 9. Februar 2017 stellte das Veterinäramt fest, dass A._ weiterhin Nutztiere halte, und teilte ihm und seiner Ehefrau B._ mit, sie müssten ab dem 20. Februar 2017 mit der Durchführung der rechtskräftig angedrohten Vollstreckungshandlungen rechnen. Am 17. Februar 2017 liess B._ dem Veterinäramt mitteilen, sie habe den gesamten Tierbestand gemäss Kaufvertrag vom 6. Februar 2017 an G._ verkauft. In der Folge führte das Veterinäramt am 20. Februar 2017, 24. Februar 2017 und 10. April 2017 unangemeldete Kontrollen auf dem Betrieb von A._ durch. Zudem wurde G._ am 10. März 2017 durch den Kantonstierarzt C._ befragt und am 10. April 2017 aufgefordert, Belege für die Entschädigung für geschlachtete oder verkaufte Nutztiere einzureichen.
Anlässlich der Befragung von G._ gab dessen Rechtsvertreter, der gleichzeitig die Interessen von A._ vertritt, ein Ausstandsbegehren gegen den Kantonstierarzt zu Protokoll. Mit Schreiben vom 1. Mai 2017 hielt der Rechtsvertreter am Ausstandsbegehren fest, liess sich zum Protokoll der Befragung vom 10. März 2017 vernehmen und wies auf mehrere Verfahrensmängel hin.
Am 9. Juni 2017 gewährte das Veterinäramt A._ das rechtliche Gehör zum Entwurf einer Vollstreckungsverfügung. Darin kam es zum Schluss, dass keine Ausstandsgründe vorliegen würden, weshalb auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten werde.
Mit Entscheid vom 14. August 2017 erliess das Veterinäramt eine Vollstreckungsverfügung. Gestützt darauf wurde am 1. September 2017 auf dem Betrieb in U._ die Ersatzvornahme durchgeführt.
A.c. Mit Eingabe an das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 19. Juli 2017 stellte A._ ein Ausstandsbegehren gegen das Veterinäramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden, namentlich C._ (Kantonstierarzt), D._, E._ und F._.
Das Departement Gesundheit und Soziales wies das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 6. Juli 2017 ab.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden mit Urteil vom 18. Januar 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 3. Mai 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 18. Januar 2018 sei aufzuheben. Es sei die Ausstandspflicht der von ihm genannten vier Mitarbeitenden des Veterinäramts des Kantons Appenzell festzustellen und diese seien zu verpflichten, in den Ausstand zu treten. Eventualiter sei festzustellen, dass für den Kantonstierarzt C._ für das Verwaltungsverfahren eine Ausstandspflicht gelte und dieser sei zu verpflichten, in den Ausstand zu treten. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden und das Departement für Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden verzichten auf Vernehmlassung. D._, E._ und F._ teilen mit, dass sie ausschliesslich auf Weisung des Kantonstierarztes gehandelt und kein persönliches Interesse am Ausgang des vorliegenden Verfahrens hätten. Sie verzichten auf eine materielle Stellungnahme. C._ beantragt in seiner ausführlichen Vernehmlassung die vollumfängliche Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ hält an seinen Anträgen fest und verzichtet auf eine weitergehende Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Zwischenentscheid über den Ausstand von Mitgliedern des Veterinäramts des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Dieser kann gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden.
1.2. Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer u.a. ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt das aktuelle Interesse im Verlaufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 142 I 135 E. 1.3.1 S. 143; 139 I 206 E. 1.1 S. 208; 137 I 296 E. 4.2 S. 299). Ausnahmsweise tritt das Bundesgericht unter Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses auf eine Beschwerde ein, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 142 I 135 E. 1.3.1 S. 143; 139 I 206 E. 1.1 S. 208). Auch in Fällen, in denen durch die EMRK geschützte Ansprüche zur Diskussion stehen, tritt das Bundesgericht ausnahmsweise im Hinblick auf einen wirksamen Rechtsschutz auf die Beschwerde ein, obwohl kein aktuelles praktisches Interesse mehr besteht (vgl. BGE 142 I 135 E. 1.3.1 S. 143; 139 I 206 E. 1.2.1 S. 208 f.; 137 I 296 E. 4.3 S. 299 f.).
1.2.1. Vorliegend ist kein aktuelles praktisches Interesse des Beschwerdeführers an der Feststellung der Befangenheit der mit der Vollstreckung des rechtskräftigen Tierhalteverbots betrauten Personen ersichtlich. Er weist diesbezüglich darauf hin, seine Beschwerde sei von der Vorinstanz abgewiesen worden, äussert sich aber nicht weiter zum Erfordernis des schutzwürdigen Interesses an der Aufhebung oder Änderung dieses vorinstanzlichen Entscheids. Bereits die Vorinstanz erwog, das Vorliegen eines aktuellen Rechtsschutzinteresses sei fraglich, nachdem das Veterinäramt zwischenzeitlich eine Vollstreckungsverfügung gegen den Beschwerdeführer erlassen habe. Tatsächlich sind die in der Beschwerde bezeichneten Personen nach Erlass dieser Verfügung und Durchführung der Ersatzvornahme nicht mehr mit der Sache betraut. Das Interesse des Beschwerdeführers an der Feststellung der Befangenheit ist damit nur noch rein formeller Natur.
1.2.2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II (SR 0.103.2). Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass sich die in den genannten Bestimmungen enthaltenen Verfahrensgarantien grundsätzlich - abgesehen von Art. 29 Abs. 1 BV - auf gerichtliche Verfahren beziehen. Sodann gelten Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II nur für Streitigkeiten über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen und für strafrechtliche Anklagen, wobei der Anwendungsbereich diesbezüglich weit gefasst ist und die Begriffe vom EGMR autonom ausgelegt werden (vgl. hierzu MEYER-LADEWIG/HARRENDORF/KÖNIG, in: Meyer-Ladewig et al. [Hrsg.], EMRK, Handkommentar, 4. Aufl. 2017, N. 4 ff. zu Art. 6 EMRK). Vollstreckungsverfahren, denen ein ordentliches gerichtliches Verfahren vorausgegangen ist, fallen zudem grundsätzlich nicht in den Anwendungsbereich von Art. 6 EMRK (vgl. BGE 141 I 97 E. 5.2 S. 98 ff.). Für das vorliegende nichtgerichtliche Verfahren kommt Art. 6 EMRK nicht zur Anwendung (vgl. BGE 140 I 326 E. 5.2 S. 329).
1.2.3. Da sich die Frage der Ausstandsproblematik im Rahmen von Vollstreckungsverfahren unter ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen könnte, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall in der Regel oft nicht möglich sein dürfte und ein Interesse an der Beantwortung von diesbezüglichen Fragen besteht, kann vorliegend ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses verzichtet werden. Auf die form- und fristgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, der Kantonstierarzt sowie drei weitere Mitarbeitende des Veterinäramts seien ihm gegenüber befangen und hätten im Verfahren betreffend Vollstreckung des Tierhalteverbots in Ausstand treten müssen.
2.1. Er bringt vor, der vorinstanzliche Entscheid verletze Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II. Er macht hingegen nicht geltend, das Obergericht habe die kantonalen Regeln über den Ausstand gemäss Art. 8 des Gesetzes des Kantons Appenzell Ausserrhoden über die Verwaltungsrechtspflege vom 9. September 2002 (VRPG/AR; bGS 143.1) unrichtig bzw. willkürlich angewendet. Die Beschwerde ist daher ausschliesslich im Lichte der verfassungsmässigen Bestimmungen über den Ausstand und die Ablehnung von Richtern zu beurteilen (vgl. E. 1.3 hiervor).
2.2. Da es sich beim strittigen Verfahren nicht um ein gerichtliches Verfahren handelt und weder eine zivilrechtliche Streitigkeit noch eine strafrechtliche Anklage vorliegt, sind Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II für die Frage der Befangenheit nicht einschlägig (vgl. E. 1.2.2 hiervor).
2.3. Während Art. 30 Abs. 1 BV für gerichtliche Verfahren einen Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht garantiert, gelten vor Verwaltungsinstanzen gemäss Art. 29 BV weniger weitreichende Verfahrensgarantien. Gewährleistet sind insbesondere der Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung und Beurteilung innert angemessener Frist, der Anspruch auf rechtliches Gehör und der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (Art. 29 BV; vgl. BGE 126 II 377 E. 8 d/bb S. 396). Der dem gerichtlichen Verfahren vorangehende verwaltungsinterne Rechtsschutz muss bezüglich Unabhängigkeit und Unparteilichkeit nicht den gleichen Garantien genügen wie ein Gericht. Der Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung gemäss Art. 29 Abs. 1 BV umfasst nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung indes auch das Gebot der Unbefangenheit als Teilgehalt des Anspruchs auf ein faires Verfahren (BGE 140 I 326 E. 5.2 S. 329; Urteil 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 3.1.1). Auch in Verfahren vor nichtgerichtlichen Behörden - wie hier dem Veterinäramt - besteht folglich insofern ein Anspruch auf Unparteilichkeit der Verwaltungsbehörde, als am Entscheid kein befangenes Behördenmitglied mitwirken darf. In Analogie zu Art. 30 Abs. 1 BV verpflichtet Art. 29 Abs. 1 BV eine Amtsperson zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (vgl. BGE 139 I 121 E. 5.1 S. 125; Urteil 2C_142/2018 vom 3. August 2018 E. 3.2).
Darauf kann sich eine betroffene Person grundsätzlich auch im Rahmen eines Vollstreckungsverfahrens berufen. Allerdings gilt zu beachten, dass die Vollstreckung einer rechtskräftigen Verfügung in der Regel keine Rechte und Pflichten begründet, sondern darauf abzielt, den rechtskräftig angeordneten Zustand herzustellen. Der Inhalt der rechtskräftigen Verfügung ist nicht Gegenstand des Vollstreckungsverfahrens. Folgerichtig können sich auch Ausstandsgründe nicht auf eine vorgefasste Meinung hinsichtlich der rechtskräftigen Feststellungen und Anordnungen beziehen. Aus dem Umstand, dass eine Behörde bzw. eine Amtsperson am vorangegangenen Verwaltungs- und einem allfälligen Rechtsmittelverfahren beteiligt war und diesbezüglich materiell bereits Stellung bezogen hat, ergibt sich mithin keine Befangenheit im Vollstreckungsverfahren. Die Gründe für die Annahme von Befangenheit können sich nur aus dem Vollstreckungsverfahren selbst ergeben, beispielsweise soweit bezüglich Art oder Zeitpunkt einer Ersatzvornahme ein Ermessensspielraum besteht. Soweit der vollziehenden Amtsperson keinerlei Ermessensspielraum zusteht, können ihr auch keine Ausstandsgründe entgegengehalten werden (vgl. BENJAMIN SCHINDLER, Die Befangenheit in der Verwaltung, 2002, S. 84 f.).
3.
Nach der Rechtsprechung haben nichtrichterliche Amtspersonen im Wesentlichen nur dann in den Ausstand zu treten, wenn sie an der zu behandelnden Sache ein persönliches Interesse haben, zu einem früheren Zeitpunkt gegenüber der Partei ihre persönliche Geringschätzung oder Abneigung zum Ausdruck gebracht haben oder wenn ihnen Verfahrens- oder Ermessensfehler unterlaufen sind, die nach ihrer Natur oder wegen ihrer aussergewöhnlichen Häufung besonders schwer wiegen und auf eine gravierende Verletzung ihrer Amtspflichten gegenüber dem Betroffenen hinauslaufen (vgl. Urteile 2C_238/2018 vom 28. Mai 2018 E. 4.2; 2C_433/2011 vom 1. Juni 2012 E. 2.3.1, je mit Hinweisen).
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Kantonstierarzt sei voreingenommen gewesen und habe sich bereits während des Vollstreckungsverfahrens eine Meinung über dessen Ausgang gebildet. Er verweist diesbezüglich auf den Kontrollbericht des Veterinäramts vom 20. Februar 2017 und das Protokoll der Befragung von G._ vom 10. März 2017. Der Kantonstierarzt habe im Kontrollbericht festgehalten, dass er das Tierhalteverbot weiterhin als nicht umgesetzt erachte. Dies deute auf eine abschliessende Meinungsbildung und eine damit verbundene Vorwegnahme des Verfahrensausgangs hin. Die Vorinstanz verharmlose dies, wenn sie die Äusserung als eine etwas direkt formulierte erste provisorische Einschätzung qualifiziere. Die Befragung von G._ enthalte zahlreiche Suggestivfragen und Wertungen, welche die Voreingenommenheit ebenfalls belegen würden. Dabei handle es sich entgegen der vorinstanzlichen Ansicht nicht bloss um unglücklich formulierte Äusserungen.
Mit den diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers, die er bereits im Verfahren vor der Vorinstanz in gleicher Weise vortrug, setzte sich das angefochtene Urteil eingehend auseinander. Soweit sich die Beschwerde nicht in rein appellatorischer Kritik am vorinstanzlichen Entscheid erschöpft, setzt sie den dortigen Erwägungen nichts Wesentliches entgegen. In Übereinstimmung mit dem Obergericht ist festzuhalten, dass in der Äusserung des Kantonstierarztes, er erachte das Tierhalteverbot weiterhin als nicht umgesetzt, keine abschliessende Meinungsbildung zu erblicken ist, zumal sie im Hinblick auf weiterführende Abklärungen erfolgte, die eben gerade bezweckten, diesen Verdacht zu überprüfen. Dass der Kantonstierarzt damit die erforderliche professionelle Distanz hätte vermissen lassen, ist nicht ersichtlich. Die an G._ gerichteten Fragen können nicht als suggestiv bezeichnet werden: sie verleiteten den Befragten nicht zu einer Antwort mit vorbestimmtem Inhalt, sondern legten die vorhandenen Zweifel hinsichtlich des Kaufvertrags offen und gewährten ihm die Möglichkeit, dazu Stellung zu nehmen. Die Art der Fragestellung lässt auch nicht den Schluss zu, die Meinungsbildung habe bereits stattgefunden. Vielmehr dienten die Fragen offensichtlich der Abklärung eines bestehenden Verdachts. Schliesslich ist - wenngleich im Rahmen einer Befragung zweifellos unangebracht - auch die Aussage, die Angaben von G._ würden "als mehr oder weniger wahr" zur Kenntnis genommen, nicht geeignet, den Kantonstierarzt als dem Beschwerdeführer gegenüber befangen und dem Ausgang des Verfahrens nicht mehr grundsätzlich offen erscheinen zu lassen.
3.2. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, D._ und E._ hätten sich in den Kontrollberichten vom 24. Februar 2017 und 10. April 2017 wertend geäussert. Ihre Aussagen würden zeigen, dass auch sie voreingenommen gewesen seien und sich bereits während des Verfahrens eine Meinung über dessen Ausgang gebildet hätten. Seine Vorbringen hierzu beschränken sich auf eine rein appellatorische Kritik des angefochtenen Entscheids. Eine Auseinandersetzung mit der vorinstanzlichen Argumentation, wonach die Bemerkungen zur Kleidung angesichts der Abklärungen zur Mitarbeit von Familienmitgliedern auf dem Hof eine gewisse Berechtigung hatten, erfolgt nicht. Es ist darauf nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1.3 hiervor).
3.3. Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, der Kantonstierarzt habe mehrere besonders schwere Verfahrensfehler begangen. Die Befragung von G._ habe dessen Verfahrensrechte verletzt. Da es sich beim Tierschutzgesetz nicht um ein rein verwaltungsrechtliches Gesetz handle, hätten bei der Befragung die strafprozessualen Vorschriften, insbesondere eine Belehrung über die Verfahrensrechte einer Auskunftsperson, beachtet werden müssen. Auch die Durchsuchung der Betriebsräume des Beschwerdeführers ohne schriftliche Anordnung stelle einen besonders schweren Verfahrensfehler dar.
Die Verletzung von Verfahrensvorschriften lässt nicht per se auf eine Befangenheit des Behördenmitglieds schliessen. Verfahrensfehler sind deshalb nicht im Rahmen eines Ausstandsverfahrens, sondern auf dem ordentlichen Rechtsmittelweg zu beanstanden. Verfahrensfehler, die angesichts ihrer Natur oder wegen einer aussergewöhnlichen Häufung besonders schwer wiegen, können aber eine Verletzung der Amtspflichten gegenüber dem Betroffenen darstellen (vgl. E. 3 hiervor). Angesichts der grundsätzlich verwaltungsrechtlichen Natur des strittigen Verfahrens und des Umstands, dass Art. 39 des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) den mit dem Vollzug des TSchG beauftragten Behörden ein Zutrittsrecht zu Räumen und Einrichtungen gewährt und hierfür keine schriftliche Anordnung verlangt, handelt es sich bei den gerügten Verfahrensfehlern - wenn es sich denn um solche handelt - nicht um klare Pflichtverletzungen. Es kann daher zum Vornherein nicht von einer derartigen Schwere ausgegangen werden, welche eine dem beanstandeten Verhalten zugrundeliegende Befangenheit vermuten lassen würde. Eine weitergehende Prüfung dieser vorgebrachten Verfahrensfehler ist daher nicht angezeigt. In den gerügten Vorgehensweisen liegt kein Ausstandsgrund.
Dasselbe gilt auch für die vorgebrachten Verfahrensfehler der weiteren Mitarbeitenden des Veterinäramts, welche sich ebenfalls auf Art. 39 TSchG und einen ohne Aushändigung einer schriftlichen Verfügung erfolgten Rundgang mit "Blick in den Stallbereich" beziehen.
3.4. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, der Kantonstierarzt habe ein persönliches Interesse am Ausgang des Verfahrens gehabt. Er habe ein offensichtlich überdurchschnittliches Engagement für die Schliessung des Betriebs gezeigt. Der absolut unverhältnismässige Einsatz staatlicher Mittel könne nicht mit einem öffentlichen Interesse an der Vollstreckung von Tierhalteverboten gerechtfertigt werden. Die Ersatzvornahme und die Medienkonferenz seien auf ausdrücklichen Wunsch des Veterinäramts erfolgt, vermutlich auf Geheiss des Kantonstierarztes. Grund dafür sei dessen persönliches Interesse am Verfahren gewesen. An der Medienkonferenz habe er denn auch eingeräumt, im Laufe des Verfahrens teilweise emotionsgeladen nach Hause gegangen zu sein.
Der Beschwerdeführer wiederholt auch in diesem Punkt weitgehend appellatorisch seine Vorbringen vor der Vorinstanz. Es rechtfertigt sich indes, darauf hinzuweisen, dass die Dauer zwischen der rechtskräftigen Anordnung des Tierhalteverbots vom 31. März 2015 und der Eröffnung eines Vollstreckungsverfahrens im Februar 2017 nicht auf ein übermässiges Engagement zur Schliessung des Hofes hindeutet. In dieser Zeit hätte der Beschwerdeführer hinreichend Gelegenheit gehabt, die notwendigen Schritte zur Einhaltung des Tierhalteverbots vorzunehmen. Dass die Vollstreckung eines Tierhalteverbots dem Schutz der betroffenen Tiere und damit einem öffentlichen Interesse dient, ist nicht in Abrede zu stellen. Dem Kantonstierarzt als Vertreter des Veterinäramts oblag es, die Vollstreckung des Verbots sicherzustellen. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, sind weder in der Anordnung einer Medienkonferenz - notabene in einer Zeit erhöhten medialen Interesses an der Durchsetzung von tierschutzrechtlichen Massnahmen aufgrund des Falles "Hefenhofen" (vgl. hierzu auch Urteile 2C_1005/2016 und 2C_108/2017 vom 14. März 2018) - noch im Einräumen einer zeitweisen Frustration des Kantonstierarztes angesichts der langen Verfahrensdauer ausreichende Gründe für die Annahme der Befangenheit zu erblicken. Es gelingt dem Beschwerdeführer nicht, ein persönliches Interesse des Kantonstierarztes darzutun.
3.5. Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid, der das Vorliegen eines Ausstandsgrundes verneinte, nicht zu beanstanden.
4.
Die Beschwerde erweist sich aufgrund dieser Erwägungen als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zu entrichten (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub