Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ halten eine qualifizierte Beteiligung von 51 % am Stammkapital der in Deutschland domizilierten B._ GmbH. In der Steuererklärung 2012 deklarierten die Steuerpflichtigen einen Dividendenertrag von Fr. 1'230'936.-- aus dieser Beteiligung.
B.
Mit Rückerstattungsverfügung vom 31. Oktober 2018 liess die Steuerverwaltung des Kantons Zug eine pauschale Steueranrechnung für die deutsche Quellensteuer von insgesamt Fr. 125'898.-- (Bund: Fr. 61'547.--; Kanton: Fr. 64'351.--) zu. Nachdem die Steuerverwaltung die Einsprache in geringfügigem Umfang gutgeheissen, weitestgehend jedoch abgewiesen hatte, hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Abgaberechtliche Kammer, die Beschwerde der Steuerpflichtigen mit Urteil vom 28. Januar 2020 gut und setzte den Betrag der anrechenbaren ausländischen Steuern auf Fr. 143'513.08 fest.
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 19. März 2020 beantragt die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV), der Entscheid A 2019 3 des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Abgaberechtliche Kammer, vom 28. Januar 2020 sei aufzuheben und die pauschale Steueranrechnung 2012 für Herrn A.A._ und Frau B.A._ sei für den Anteil für die Kantons- und Gemeindesteuern auf Fr. 64'351.-- und für den Anteil der direkten Bundessteuer auf Fr. 61'563.-- festzusetzen.
A.A._ und B.A._ und das Verwaltungsgericht des Kantons Zug beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Steuerverwaltung des Kantons Zug beantragt die Gutheissung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und der Betrag der pauschalen Steueranrechnung bei der direkten Bundessteuer sei auf Fr. 61'563.-- festzusetzen.
C.b. Die Positionen der Vorinstanz und der Beschwerdegegner einerseits und der ESTV und der Steuerverwaltung Zug andererseits lassen sich tabellarisch wie folgt darstellen:
Einspracheentscheid der StV/ZG vom 12. Dezember 2019 / Beschwerde der ESTV vom 19. März 2020 Urteil des VGer/ZG vom 28. Januar 2020 Bund Kanton und Gemeinde Bund Kanton und Gemeinde Ausländische Sockelsteuer Dividende brutto 1'230'936 1'230'936 1'230'936 Ausländischer Sockel (15%) 184'690 184'690 184'690 Aufteilung Sockel (1/3 / 2/3) 61'563 123'127 Total Sockelsteuer 184'690 184'690 Maximalbetrag Dividende brutto 1'230'936 1'230'936 Dividende nach Teilbesteuerung (60% / 50%) 738'891 615'797 738'891 615'797 Anteilige Schuldzinsen 44'889 44'889 44'889 44'889 Sonstige Unkosten 4'437 4'437 4'437 4'437 Nettoertrag Total 689'565 566'471 689'565 566'471 Steuersatz 11.48% 11.36% 11.48% 11.36% Maximalbetrag gesondert 79'162 64'351 79'162 64'351 Maximalbetrag gesamt 143'513 143'513 Anrechnung 61'563+64'351= 125'914 143'513 Inländische Steuerbelastung 17'599 0 Nicht entlastete Sockelsteuer 41'177 41'177
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereicht. Die Vorinstanz hat in ihrer Funktion als kantonale Rekurskommission im Sinne von Art. 54 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 13. Oktober 1965 über die Verrechnungssteuer (VStG; SR 642.21) entschieden (vgl. Art. 18 der Verordnung vom 22. August 1967 über die Anrechnung ausländischer Quellensteuern [StAV; SR 672.201]). Gegen ihren Entscheid steht folglich die Beschwerde an das Bundesgericht offen (Art. 56 des Bundesgesetzes vom 13. Oktober 1965 über die Verrechnungssteuer [VStG; SR 642.21] i.V.m. Art. 86 Abs. 2 BGG; vgl. Urteil 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 1.3.3, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875). Entgegen der Meinung der Beschwerdegegner enthält die Beschwerde eine ausreichende Begründung und genügt den formellen Anforderungen von Art. 42 BGG.
1.2. Die ESTV ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 18 StAV, Art. 56 VStG und Art. 66 Abs. 3 der Verordnung vom 19. Dezember 1966 über die Verrechnungssteuer [VStV; SR 642.211]; vgl. Urteile 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 1.3.5, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875; 2A.559/2006 vom 2. August 2007 E. 1.2, in: StR 62/2007 S. 910). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Als natürliche Personen mit Wohnsitz im Kanton Zug, die im Steuerjahr 2012 eine Beteiligung von mindestens 10 Prozent des Grund- oder Stammkapitals einer Kapitalgesellschaft in ihrem Privatvermögen hielten, unterlagen die Beschwerdegegner für Erträge aus dieser Beteiligung auf Bundesebene im Umfang von 60 Prozent und auf Kantons- und Gemeindeebene im Umfang von 50 Prozent der Einkommenssteuer (Art. 20 Abs. 1bis des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] i.d.F. vom 23. März 2007, in Kraft ab dem 1. Januar 2009 [AS 2008 2893, S. 2895]; § 19 Abs. 2 des Steuergesetzes des Kantons Zug vom 25. Mai 2000 [StG/ZG; BGS 632.1] i.d.F. vom 25. August 2011, in Kraft ab dem 1. Januar 2012 [GS 31, 289, S. 290], basierend auf Art. 7 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Diese teilweise Freistellung qualifizierter Beteiligungserträge von der Einkommenssteuer galt im relevanten Steuerjahr unbestrittenermassen nicht nur für Beteiligungen an inländischen, sondern gleichermassen auch für Beteiligungen an ausländischen Kapitalgesellschaften (vgl. dazu BGE 136 I 49 E. 5.5 S. 61 f.).
2.2. Dividenden, Zinsen und Lizenzgebühren aus ausländischer Quelle unterliegen oft einer Besteuerung im Quellenstaat. In ihren Doppelbesteuerungsabkommen (DBA) verpflichtet sich die Schweiz regelmässig, in der Schweiz ansässigen Empfängern solcher Kapitalerträgnisse eine Entlastung für die Quellensteuer zu gewähren, mit welcher der andere Vertragsstaat das Kapitalerträgnis abkommensgemäss belasten darf (sog. Sockel- oder Residualsteuer; vgl. zum Ganzen BGE 145 II 339 E. 4.3 S. 346; 142 II 446 E. 2.1 und 2.2 S. 448 f.; Urteil 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 2.2, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875).
2.3. Die Modalitäten der Entlastung für die ausländische Sockelsteuer sind im innerstaatlichen Recht in der StAV (Titel bis zum 31. Dezember 2019: Verordnung vom 22. August 1967 über die pauschale Steueranrechnung [PStAV]) geregelt, die der Bundesrat gestützt auf Art. 2 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1951 über die Durchführung von zwischenstaatlichen Abkommen des Bundes zur Vermeidung der Doppelbesteuerung (DBAG; SR 672.2; Titel bis zum 31. Januar 2013: Bundesbeschluss vom 22. Juni 1951 über die Durchführung von zwischenstaatlichen Abkommen des Bundes zur Vermeidung der Doppelbesteuerung) erlassen hat. Diese Verordnung hat per 1. Januar 2020 zahlreiche Änderungen erfahren, die hier allerdings noch nicht einschlägig sind (vgl. Übergangsbestimmung zur Änderung der StAV vom 13. November 2019). Die Beschwerde ist auf Basis der Fassung der PStAV zu beurteilen, die im Steuerjahr 2012 in Kraft stand.
2.4. Nach Art. 1 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 2 Abs. 1 PStAV können in der Schweiz ansässige natürliche und juristische Personen für die in Übereinstimmung mit einem DBA in einem Vertragsstaat erhobene begrenzte Steuer beantragen, dass ihnen auf den aus diesem Vertragsstaat stammenden Erträgnissen eine pauschale Steueranrechnung gewährt wird (vgl. BGE 145 II 339 E. 3.2 S. 344; Urteil 2A.559/2006 vom 2. August 2007 E. 2.2). Die Entlastung erfolgt für die von Bund, Kantonen und Gemeinden erhobenen Steuern gesamthaft und wird in einem einheitlichen Betrag vergütet, der entweder ausbezahlt oder mit den Steuern des Bundes, des Kantons oder der Gemeinde verrechnet wird (Art. 8 Abs. 1 i.V.m. Art. 19 Abs. 1 PStAV).
2.5. Die pauschale Steueranrechnung wird nur gewährt, wenn die quellensteuerbelasteten Erträgnisse den Einkommens- oder Gewinnsteuern des Bundes, der Kantone und der Gemeinden unterliegen (Art. 3 Abs. 1 PStAV). Unterliegen Erträgnisse entweder nur der Einkommenssteuer des Bundes oder nur den Einkommenssteuern der Kantone und der Gemeinden, so kann die pauschale Steueranrechnung nur für einen Teil der in einem Vertragsstaat von diesen Erträgnissen erhobenen Steuer beansprucht werden (Art. 3 Abs. 2 PStAV). Nach der sogenannten Drittelslösung reduziert sich der Anspruch des Steuerpflichtigen auf Anrechnung ausländischer Sockelsteuern pauschal um zwei Drittel, wenn die quellensteuerbelasteten Erträgnisse nur der Einkommens- bzw. Gewinnsteuer des Bundes unterliegen (Art. 3 Abs. 2 i.V.m. Art. 12 Abs. 2 PStAV), und pauschal um ein Drittel, wenn sie nur den Einkommens- bzw. Gewinnsteuern der Kantone und der Gemeinden unterliegen (Art. 3 Abs. 2 i.V.m. Art. 12 Abs. 1 PStAV). Kleinere Ungenauigkeiten, die sich aus der Drittelslösung ergeben, weil die Kantons- und Gemeindesteuern nicht genau doppelt so hoch ausfallen wie die direkte Bundessteuer, liegen in der Natur eines Systems der pauschalen Ermässigung und sind deshalb hinzunehmen (Urteil 2C_306/2017 vom 3. Juli 2019 E. 5.2, nicht publ. in: BGE 145 II 339, aber in: StE 2019 A 42 Nr. 7, StR 74/2019 S. 726).
Die pauschale Herabsetzung der Entlastung findet ihre systematische Rechtfertigung in der pauschalen Lastenverteilung unter den steuererhebenden Gemeinwesen, wonach der Bund ein Drittel, Kanton und Gemeinden zwei Drittel der Anrechnungsbeträge zu tragen haben, sofern sie die betreffenden Erträgnisse tatsächlich besteuern (Art. 20 PStAV; vgl. BGE 145 II 339 E. 3.2 S. 344 f. mit Hinweisen). Hintergrund dieser Regelung waren gewisse Hindernisse föderaler und erhebungstechnischer Natur, die nach Ansicht des Verordnungsgebers eine effektive Anrechnung ausländischer Sockelsteuern an die in der Schweiz erhobenen Steuern verunmöglichten (vgl. BGE 145 II 339 E. 3.3 S. 344 f. mit Hinweisen). Diese Hindernisse konnten mittlerweile überwunden werden: Art. 20 Abs. 1 StAV (i.d.F. vom 13. November 2019) verteilt die Lasten für Erträge, die nach dem 31. Dezember 2019 fällig werden, nicht mehr pauschal nach Dritteln zwischen Bund einerseits und Kantonen und Gemeinden andererseits, sondern nach Massgabe der effektiven Steuersätze der Gemeinwesen. Konsequenterweise wurde denn auch die Bestimmung über die pauschale Herabsetzung des Anrechnungsbetrags per 1. Januar 2020 aufgehoben (vgl. Art. 12 StAV).
2.6. Die pauschale Steueranrechnung wird der Höhe nach nicht nur durch den Betrag der von DBA-Staaten erhobenen Sockelsteuern, sondern auch durch die Summe der auf diese Erträgnisse entfallenden schweizerischen Steuern (Maximalbetrag) begrenzt (Art. 8 Abs. 2 PStAV; vgl. Urteil 2C_609/2019 vom 13. Juli 2020 E. 5.2). Die Funktion des Maximalbetrags liegt demnach in der Durchsetzung des Systems der gewöhnlichen Anrechnung ("ordinary tax credit"), unter Ausschluss der Anrechnung ausländischer Sockelsteuern, welche die schweizerische Steuer überschiessen und zulasten des schweizerischen Steueraufkommens aus übrigen Einkünften gehen würden (kein sog. "full tax credit"; vgl. Urteile 2C_609/2019 vom 13. Juli 2020 E. 3.3, 5.2 und 5.3; 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 2.3.3, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875). Insoweit ist das System der pauschalen Steueranrechnung kompatibel mit den völkerrechtlichen Verpflichtungen der Schweiz aus dem Abkommen vom 11. August 1971 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Bundesrepublik Deutschland zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiete der Steuern vom Einkommen und vom Vermögen (DBA CH-DE; SR 0.672.913.62) und anderen DBA. Denn die Schweiz hat sich in Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 DBA CH-DE nicht dazu verpflichtet, Entlastung für deutsche Quellensteuern auch insoweit zu gewähren, als diese die vor der Entlastung ermittelte schweizerische Steuer auf der Dividende übersteigt (keine Verpflichtung zur Gewährung von "excess tax credits"; Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 lit. a DBA CH-DE, der insoweit auch für die Methode der pauschalen Ermässigung nach lit. b gilt; vgl. BGE 145 II 339 E. 4.9 S. 353).
2.7. Der Maximalbetrag wird bei natürlichen Personen ermittelt, indem die Steuersätze des Bundes, des Wohnsitzkantons und der Wohnsitzgemeinde zusammengerechnet und mit der Summe der Erträgnisse aus den DBA-Staaten multipliziert werden, soweit diese - nach Abzug der zurechenbaren Aufwendungen (Art. 11 PStAV), aber einschliesslich der ausländischen Sockelsteuern - in der Schweiz der Einkommenssteuer unterliegen (Art. 9 Abs. 1 und 4 PStAV; vgl. Urteile 2C_609/2019 vom 13. Juli 2020 E. 5.2; 2C_573/2016 / 2C_574/2016 vom 22. Mai 2017 E. 3.1.3, in: StE 2017 A 42 Nr. 6). Die Zusammenrechnung der Steuersätze führt indessen nur zum richtigen Resultat, solange die Erträgnisse auf Bundesebene einerseits und auf Kantons- und Gemeindeebene andererseits im gleichen Umfang steuerbar sind, mithin also die Steuersätze der verschiedenen Gemeinwesen dieselben Steuerfaktoren erfassen. Nehmen die steuererhebenden Gemeinwesen qualifizierte Beteiligungserträge in unterschiedlichem Ausmass von der Besteuerung aus, können die Steuersätze nicht zusammengerechnet, sondern muss der Maximalbetrag gesondert berechnet und anschliessend zusammengezählt werden (vgl. Art. 5 Abs. 4 Satz 2 PStAV).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat den Maximalbetrag für Bund einerseits und Kantone und Gemeinden andererseits gesondert berechnet und anschliessend zusammengezählt. Daraus resultierte der gesamthafte Maximalbetrag von Fr. 143'513.08, der die Entlastung für die deutsche Sockelsteuer von Fr. 184'690.-- begrenzte (vgl. oben Sachverhalt C.b; Ziff. F des angefochtenen Urteils, unter Verweisung auf S. 4 des Einspracheentscheids der Steuerverwaltung).
3.2. Die ESTV hält diese Berechnung für unzutreffend. Der Maximalbetrag für den Bund einerseits und den Kanton und die Gemeinde andererseits sei nämlich in dem Sinne getrennt zu ermitteln, dass er der Höhe nach einerseits jeweils auf die nach Art. 9 ff. PStAV ermittelte Steuer des betreffenden Gemeinwesens, andererseits aber auch auf ein Drittel der ausländischen Sockelsteuer (Bund) bzw. auf zwei Drittel der ausländischen Sockelsteuer (Kanton und Gemeinde) begrenzt sei. Falle die Steuer des Bundes tiefer aus als ein Drittel der ausländischen Sockelsteuer oder falle die Steuer von Kanton und Gemeinde tiefer aus als zwei Drittel der ausländischen Sockelsteuer, sei jeweils nur dieser tiefere Betrag anrechenbar. Diesen Kürzungsmechanismus bezeichnet die ESTV als "Herabsetzung des Maximalbetrags", wofür sie sich auf Art. 5 Abs. 4 PStAV beruft.
4.
4.1. Nach Art. 5 Abs. 4 Satz 1 PStAV gelten Dividenden und diesen gleichgestellte Erträge, die nur einer Teilbesteuerung unterliegen, als nicht besteuert. Nach der Rechtsprechung steht diese Bestimmung allerdings in unlösbarem Widerspruch zu Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 DBA CH-DE, soweit sie den Ausschluss der Anrechnung der ausländischen Sockelsteuer zur Folge hat. Sie ist insoweit nicht anzuwenden (Urteil 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 3.3.6 und 3.4, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875).
4.2. Die ESTV stellt diese Rechtsprechung zu Recht nicht infrage. Sie verweist aber auf Art. 5 Abs. 4 Satz 4 PStAV, der die Herabsetzungsregelung von Art. 12 PStAV und die Lastenverteilungsregelung von Art. 20 PStAV für sinngemäss anwendbar erklärt. Wie sich die sinngemässe Anwendung dieser Regelungen in Bezug auf teilbesteuerte Dividenden genau auszuwirken hat, erläutert Art. 5 Abs. 4 Satz 4 PStAV nicht.
4.2.1. In ihrer Praxis versteht die ESTV die Verweisung offenbar so, dass sich die Steuerpflichtigen die Aufteilung der ausländischen Sockelsteuern nach der Drittelslösung gefallen lassen müssen, wenn Kanton und Gemeinde die qualifizierten Beteiligungserträge in einem anderen Umfang als der Bund oder sogar voll besteuern (vgl. Bericht der ESTV vom 26. Mai 2008 betreffend Anhörung zu vorgesehenen Änderungen von Verordnungen im Bereich der Stempelabgaben, der Verrechnungssteuer und der pauschalen Steueranrechnung, Ziff. 2.3.2.2; nachfolgend: ESTV-Bericht 2008).
4.2.2. Neben der Interpretation der ESTV könnte die Verweisung in Art. 5 Abs. 4 Satz 4 PStAV auch bedeuten, dass für die Berechnung des Maximalbetrags lediglich die Bundes-, Kantons- und Gemeindesteuern zu berücksichtigen sind, die effektiv erhoben werden (Art. 12 Abs. 1 Satz 2 und Abs. 2 Satz 2 PStAV analog). Der tiefere Wert aus dem (gesamten) Maximalbetrag und dem Betrag der ausländischen Sockelsteuer wäre dann gemäss der Drittelslösung zu einem Drittel vom Bund und zu zwei Dritteln von Kanton und Gemeinde zu tragen (Art. 20 Abs. 1 PStAV). Schliesslich könnte die Verweisung auf Art. 12 PStAV auch so verstanden werden, dass sie (nur) die Modalitäten der Kürzung der Sockelsteuer infolge Teilbesteuerung betrifft, die Art. 5 Abs. 4 Satz 1 PStAV anordnet (vgl. in diese Richtung Robert Waldburger, Aus der Rechtsprechung im Jahr 2014, FStR 2015 S. 350). Da eine solche Kürzung aber nach der Rechtsprechung völkerrechtswidrig wäre (vgl. oben E. 4.1), wäre folglich auch Art. 5 Abs. 4 Satz 4 PStAV nicht anzuwenden.
4.3. Angesichts des unklaren Wortlauts von Art. 5 Abs. 4 Satz 4 PStAV bietet es sich an, diese Bestimmung in einer Art und Weise auszulegen, die konform mit dem DBA CH-DE ist, nach welchem die Schweiz Entlastung für deutsche Sockelsteuern gewähren muss (vgl. zur völkerrechtskonformen Auslegung BGE 142 I 135 E. 4.1 S. 150; 141 II 436 E. 4.1 S. 441). Schliesslich hätte die Verordnungsbestimmung im Konfliktfall ohnehin hinter die Normen des DBA CH-DE zurückzutreten (Urteil 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 3.3.6, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875).
4.3.1. Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Fällen von Art. 10 Abs. 2 lit. a und b und Abs. 3 DBA CH-DE verpflichtet das DBA CH-DE Deutschland als Quellenstaat, die Quellensteuer auf Dividenden von deutschen Kapitalgesellschaften an in der Schweiz ansässige Personen auf einen Sockel von 15 Prozent des Bruttobetrags der Dividenden zu beschränken. Die Schweiz als Ansässigkeitsstaat ist demgegenüber verpflichtet, für die deutsche Sockelsteuer auf Dividenden Entlastung zu gewähren, um die Doppelbesteuerung zu vermeiden (Art. 24 Abs. 2 Ingress und Ziff. 2 DBA CH-DE).
4.3.2. Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 lit. b DBA CH-DE erlaubt der Schweiz, die Entlastung für die deutsche Quellensteuer in der Form einer "pauschalen Ermässigung der schweizerischen Steuer" zu gewähren. Diese Wendung, die auch in zahlreichen anderen DBA enthalten ist, verbietet der Schweiz nach einem kürzlich ergangenen Leiturteil des Bundesgerichts nicht, die Ermässigung anteilsmässig zu kürzen, wenn Kanton und Gemeinde aufgrund des sogenannten Holdingstatus (Art. 28 Abs. 2 StHG i.d.F. bis zum 31. Dezember 2019) auf die Besteuerung sockelsteuerbelasteter ausländischer Einkünfte (konkret: Lizenzgebühren) ganz verzichten (BGE 145 II 339 E. 4 S. 346 ff.). Das Bundesgericht begründete die Zulässigkeit dieser Kürzung bei Nichtbesteuerung durch ein Gemeinwesen unter anderem mit dem Umstand, dass die Schweiz ihre DBA-Partnerstaaten jeweils im Abkommenstext über ihre föderale Struktur der Schweiz unterrichtet und den Methodenartikel der DBA um eine Methode der pauschalen Ermässigung ergänzt habe, (BGE 145 II 339 E. 4.6 und 4.7.1 S. 349 ff.).
4.3.3. Die vorliegende Konstellation unterscheidet sich von jener, die das Bundesgericht in BGE 145 II 339 zu beurteilen hatte. Aufgrund der Erwähnung der Kantone und Gemeinden (sowie Bezirke, Kreise und Gemeindeverbände) in Art. 2 Abs. 3 Ziff. 2 DBA CH-DE und der Möglichkeit einer bloss pauschalen Ermässigung gemäss Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 lit. b DBA CH-DE hat Deutschland zwar allenfalls damit zu rechnen, dass gewisse dieser schweizerischen Gemeinwesen auf eine Besteuerung einer sockelsteuerbelasteten Einkunft ganz verzichten könnten. Die Privilegierung qualifizierter Beteiligungserträge im Teileinkünfte- oder im Teilsatzverfahren zwecks Milderung der wirtschaftlichen Doppelbelastung auf Gesellschafts- und Anteilseignerstufe stellt jedoch keine Nichtbesteuerung dar (Urteil 2C_750/2013 / 2C_796/2013 vom 9. Oktober 2014 E. 3.3.5, in: StE 2015 A 42 Nr. 4, StR 69/2014 S. 875). Dementsprechend braucht Deutschland auch nicht zu antizipieren, dass der Bund und die Kantone gewisse Dividenden in unterschiedlichem Umfang von der Besteuerung ausnehmen und aus dieser unterschiedlichen Behandlung eine systematische Kürzung der zu entlastenden deutschen Sockelsteuer resultieren könnte, worauf die "Herabsetzung des Maximalbetrags" im Sinne der ESTV (vgl. oben E. 3.2) letztlich hinausliefe (vgl. tabellarische Darstellung oben Sachverhalt C.b). Dies gilt umso mehr, als das DBA CH-DE einschliesslich Art. 24 Abs. 2 Ziff. 2 DBA CH-DE lange vor der Einführung der privilegierten Besteuerung qualifizierter Beteiligungserträge auf Bundesebene per 1. Januar 2009 (vgl. Art. 19 Abs. 1bis DBG i.d.F. vom 23. März 2007; AS 2008 2893, S. 2895) und im Kanton Zug (1. Januar 2007; vgl. § 35 Abs. 4 StG/ZG i.d.F. vom 30. März 2006; GS 28, 859, S. 862) abgeschlossen worden war. Entgegen den Ausführungen der ESTV geht es überdies nicht an, Deutschland vorzuhalten, es habe die Praxis der ESTV bezüglich der Kürzung der Entlastung in diesen Konstellationen stillschweigend akzeptiert, weil Art. 5 Abs. 4 PStAV - dessen Wortlaut ohnehin unklar ist (vgl. oben E. 4.2) - und der ESTV-Bericht 2008 öffentlich zugänglich gewesen seien.
4.4. Unter Berücksichtigung der völkerrechtlichen Verpflichtungen der Schweiz (vgl. oben E. 4.3) ist Art. 5 Abs. 4 PStAV nach dem Gesagten so zu verstehen, dass einem unterschiedlichen Ausmass der Privilegierung von qualifizierten Beteiligungserträgen auf Bundesebene und Kantons- und Gemeindeebene abschliessend Rechnung getragen wird, indem der Maximalbetrag gesondert ermittelt und anschliessend zusammengerechnet wird (vgl. oben E. 2.7). Dabei sind die Steuern von Bund einerseits und Kanton und Gemeinde andererseits in dem Umfang zu berücksichtigen, in welchem sie infolge der Privilegierung qualifizierter Beteiligungserträge erhoben werden (vgl. Art. 5 Abs. 4 Satz 4 i.V.m. Art. 12 Abs. 1 Satz 2 und Abs. 2 Satz 2 PStAV analog). Hingegen erfolgt keine zusätzliche Herabsetzung analog Art. 12 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 2 Satz 1 PStAV, wenn der Bund einerseits und der Kanton und die Gemeinde andererseits eine Dividende in unterschiedlichem Ausmass von der Besteuerung ausnehmen. Die Vorinstanz hat den Anrechnungsbetrag im Sinne dieses Auslegungsergebnisses bestimmt (vgl. E. 3.1). Ihr Urteil verletzt demnach weder Bundes- noch Völkerrecht.
4.5. Die ESTV thematisiert in ihrer Beschwerde ferner die Verteilung der Lasten zwischen Bund, Kanton und Gemeinde (Art. 20 PStAV). Diese Frage betrifft jedoch nur das Verhältnis zwischen diesen Gemeinwesen und ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Darauf ist nicht näher einzugehen.
5.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen. Die ESTV unterliegt und trägt die Kosten des Verfahrens, da sie Vermögensinteressen verfolgt (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Sie schuldet den Beschwerdegegnern eine angemessene Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Eidgenössischen Steuerverwaltung auferlegt.
3.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat den Beschwerdegegnern eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Steuerverwaltung des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Abgaberechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Seiler