Erwägungen:
1.
A._ stellte am 21. Oktober 2019 ein Begnadigungsgesuch, welches sich offenbar gegen den Vollzug einer Ersatzfreiheitsstrafe von drei Tagen richtete. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich bestätigte ihm am 24. Oktober 2019 den Eingang des Begnadigungsgesuchs und teilte ihm ausserdem u.a. mit, dass keine Begnadigungsgründe gegeben seien. Sofern er an seinem Gesuch festhalten wolle, würde ein kostenpflichtiges Verfahren eröffnet und es müsste aufgrund der offensichtlichen Aussichtslosigkeit des Gesuchs ein Kostenvorschuss verlangt werden. A._ teilte der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich mit Schreiben vom 31. Oktober 2019 mit, dass er an seinem Begnadigungsgesuch festhalte. In der Folge forderte die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich A._ mit Verfügung vom 7. November 2019 auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu leisten, ansonsten auf das Begnadigungsgesuch nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte die Direktion u.a. aus, zusätzlich zu den im Schreiben vom 24. Oktober 2019 aufgeführten Gründen, die gegen eine Begnadigung sprechen würden, komme vorliegend hinzu, dass die dreitägige Freiheitsstrafe aufgrund einer Beschwerde gar nicht vollziehbar sei. Eine Begnadigung sei deshalb gar nicht möglich. Das Gesuch erweise sich als trölerisch, weshalb es sich rechtfertige, den Gesuchsteller zur Sicherstellung der Verfahrenskosten anzuhalten.
2.
A._ erhob mit Eingabe vom 20. Dezember 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - soweit verständlich - gegen die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich vom 7. November 2019. Nachdem das Verfahren zuerst unter der Verfahrensnummer 6B_1458/2019 bei der Strafrechtlichen Abteilung hängig war, wurde es ab 13. Januar 2020 von der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung unter der Verfahrensnummer 1C_683/2019 weitergeführt.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seinen weitschweifigen und nicht sachbezogenen Ausführungen überhaupt nicht mit der Begründung der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich auseinander. Er vermag nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern die Sicherstellung der Verfahrenskosten in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise erfolgt sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich, Generalsekretariat, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli