Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführerin) wurde seit 2007 wegen Morbus Wegener, einer seltenen Autoimmunerkrankung, die zu Entzündungen der Blutgefässe führt, im Spital B._ (Beschwerdegegner 2) behandelt. Dabei wurden Bronchoskopien (Lungenspiegelungen) durchgeführt. Anlässlich einer solchen, von einem Assistenzarzt vorgenommenen Bronchoskopie kam es am 18. Mai 2010 zu einem beidseitigen Pneumothorax (Kollaps beider Lungenflügel), in dessen Nachgang die Beschwerdeführerin eine schwere Hirnschädigung erlitt. Seit 1. Juli 2011 bzw. 18. Mai 2012 bezieht sie eine volle Invalidenrente der Invalidenversicherung und der beruflichen Vorsorge. Das Spital zahlte ihr ohne Anerkennung einer Rechtspflicht Fr. 10'000.--.
B.
Am 1. Dezember 2014 klagte die Beschwerdeführerin nach erfolglosem Schlichtungsversuch beim Zivilgericht Basel-Stadt und beantragte, der Kanton Basel-Stadt (Beschwerdegegner 1) und der Beschwerdegegner 2 seien zu verpflichten, ihr unter Vorbehalt einer Mehrforderung Fr. 84'585.-- nebst Zins zu bezahlen. Das Zivilgericht wies die Klage am 16. Januar 2020 ab. Dagegen führte die Beschwerdeführerin Berufung beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Sie beantragte, es sei die volle Haftung der Beschwerdegegner 1 und 2 festzustellen und diese seien zur Zahlung von Fr. 84'285.-- nebst Zins zu verurteilen, dies unter dem Vorbehalt der Mehrforderung; eventualiter sei die volle Haftung der Beschwerdegegner 1 und 2 festzustellen und die Sache zur Festlegung der Forderungshöhe an das Zivilgericht zurückzuweisen.
Am 16. März 2021 wies das Appellationsgericht die Berufung ab. Es auferlegte der Beschwerdeführerin die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- und verpflichtete sie, den Beschwerdegegnern 1 und 2 für das Berufungsverfahren insgesamt Fr. 9'100.-- (zuzügl. 7.7% MWST) Parteientschädigung zu bezahlen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin, der Entscheid der Erstinstanz vom 16. Januar 2020 und derjenige der Vorinstanz vom 23. März 2021 (recte: 16. März 2021) seien aufzuheben. Es sei die volle Haftung der Beschwerdegegner 1 und 2 festzustellen und diese seien zur Zahlung von Fr. 84'285.-- nebst Zins zu 5% seit 22. Januar 2011 (mittlerer Verfall) zu verurteilen (Teilklage, Mehrforderung vorbehalten); eventualiter sei die volle Haftung der Beschwerdegegner 1 und 2 festzustellen und der Fall zur Festlegung des Schadensquantitativs an die erste Instanz, allenfalls an die Vorinstanz zurückzuweisen; unter Kostenfolge.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 BGG). Gegenstand des angefochtenen Entscheids bilden Schadenersatzansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach kantonalem öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kommt dagegen die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG; BGE 139 III 252 E. 1.5; 135 III 329 E. 1). Soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil der Erstinstanz richtet, ist sie hingegen unzulässig.
Der Streitwert von Fr. 30'000.-- wird überschritten (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeführerin ist im kantonalen Verfahren unterlegen (Art. 76 Abs. 1 BGG) und daher zur Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid legitimiert. D ie Beschwerde erging fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 BGG). Darauf ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (unten E. 2) einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin eine Verurteilung der Beschwerdegegner 1 und 2 zur Zahlung von Fr. 84'285.-- nebst Zins zu 5% seit 22. Januar 2011 verlangt.
1.2.
1.2.1. Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, es sei die volle Haftung der Beschwerdegegner 1 und 2 aus dem Schadensereignis festzustellen, liegt ein Feststellungsbegehren resp. eine Feststellungsklage (Art. 88 ZPO) vor. Diese setzt ein Feststellungsinteresse voraus (BGE 119 II 368 E. 2a). Ein solches fehlt in der Regel, wenn dem Rechtsinhaber eine Leistungs- oder Gestaltungsklage zur Verfügung steht, die sofort eingereicht werden kann und die es ihm erlauben würde, direkt die Beachtung seines Rechts oder die Erfüllung der Forderung zu erwirken (BGE 135 III 378 E. 2.2; vgl. auch Urteil 4A_508/2016 vom 16. Juni 2017 E. 3.1, nicht publ. in BGE 143 III 348). In diesem Sinne ist die Feststellungsklage im Verhältnis zu einer Leistungs- oder Gestaltungsklage subsidiär (BGE 135 III 378 E. 2.2). Die Ausnahmen vom Grundsatz der Subsidiarität der Feststellungsklage müssen restriktiv ausgelegt werden, ansonsten eine Ungewissheit über den einzuschlagenden Rechtsweg geschaffen würde. Nur ganz aussergewöhnliche Umstände können ein genügendes Interesse begründen, materiell auf die Feststellungsklage einzutreten (BGE 135 III 378 E. 2.4). In der bisherigen Rechtsprechung bejahte das Bundesgericht ein selbstständiges Feststellungsinteresse etwa dann, wenn es darum ging, nicht nur die fällige Leistung zu erhalten, sondern die Gültigkeit des ihr zugrunde liegenden Rechtsverhältnisses auch für dessen künftige Abwicklung feststellen zu lassen (BGE 97 II 371 E. 2; 84 II 685 E. 2). Ebenso wurde ein selbstständiges Feststellungsinteresse angenommen, wenn für längere Zeit nicht auf Leistung oder nicht auf vollen Schadenersatz geklagt werden kann (BGE 123 III 49 E. 1a; 118 II 254 E. 1c; 114 II 253 E. 2a; 99 II 172 E. 2). Das schutzwürdige Interesse an der Feststellung ist vom Kläger darzutun (vgl. Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO) und, soweit es den Sachverhalt betrifft, von ihm nachzuweisen (BGE 123 III 49 E. 1a). Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist es vom Beschwerdeführer hinreichend zu begründen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. zum Ganzen: Urteil 4A_279/2020 vom 23. Februar 2021 E. 2.1 mit Hinweisen).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin begründet das Feststellungsinteresse nicht gesondert. Ihren Ausführungen ist lediglich zu entnehmen, dass die kantonalen Instanzen das Verfahren auf die Frage der grundsätzlichen Haftung beschränkt und diese jeweils abgelehnt haben. Demgegenüber ist nicht ersichtlich oder dargetan, dass die Parteien nur in der grundsätzlichen Frage des Bestehens einer Verpflichtung uneinig wären, aber die Erfüllung der Leistung resp. deren betragsmässiger Umfang auf blosse Feststellung hin zweifelsfrei gesichert wäre. Auf das Feststellungsbegehren ist demnach nicht einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. dazu BGE 133 III 545 E. 2.2; 133 II 249 E. 1.4.1). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 140 III 115 E. 2; 133 II 396 E. 3.2 mit Hinweisen).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2; 138 I 171 E. 1.4; Urteil 4A_197/2020 vom 10. Dezember 20202 E. 2.3). Erfüllt eine Beschwerde diese Anforderungen nicht, ist darauf nicht einzutreten.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (vgl. BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1).
3.
Die Beschwerdeführerin macht ärztliche Behandlungsfehler geltend. Ausserdem habe sie nicht gültig in den Eingriff eingewilligt. Ferner habe die Vorinstanz ihr rechtliches Gehör resp. die Begründungspflicht verletzt.
3.1.
3.1.1. Die Beschwerdeführerin wurde im Spital B._ und somit in einem öffentlichen Spital behandelt. Mit der Behandlung in einem öffentlichen Spital wird eine öffentliche Aufgabe wahrgenommen. Somit sind die Kantone nach Art. 61 Abs. 1 OR befugt, aber nicht verpflichtet, die Haftung für die Tätigkeit der in einem öffentlichen Spital beschäftigten Ärzte dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht zu unterstellen (vgl. BGE 139 III 252 E. 1.3; 133 III 462 E. 2.1; 122 III 101 E. 2a/aa). Die Vorinstanz stützte ihren Entscheid auf das kantonale Gesetz über die Haftung des Staates und seines Personals vom 17. November 1999 (Haftungsgesetz, HG [SG 161.100]), das aufgrund des in Art. 61 Abs. 1 OR enthaltenen fakultativen Vorbehalts zugunsten des kantonalen öffentlichen Rechts erlassen wurde. Demnach besteht eine Kausalhaftung, die sich nach dem Zivil-, insbesondere dem Obligationenrecht richtet, soweit das Haftungsgesetz oder ein anderes Gesetz davon nicht abweichen (§ 2 Abs. 1 HG). Wie die Vorinstanz feststellte, muss der Geschädigte den Schaden, die Widerrechtlichkeit des Verhaltens des Personals und den natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Verhalten des Personals und dem Schaden beweisen. Die Geltung dieser Haftungsordnung ist unumstritten.
3.1.2. Das Bundesgericht prüft die Anwendung des kantonalen Rechts durch die kantonale Behörde lediglich auf Willkür (Art. 9 BV; BGE 135 III 513 E. 4.3). Das gilt gemäss ständiger Praxis auch für Arzthaftungsprozesse nach kantonalem öffentlichen Recht, in denen Schadenersatz- oder Genugtuungsforderungen wegen fehlerhafter Behandlung in öffentlichen Spitälern streitig sind (BGE 139 III 252 E. 1.4; 133 III 462 E. 4.4.1 und 4.4.3 in fine). Eine solche Prüfung setzt entsprechende Rügen voraus, in denen klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (oben Erwägung 2.1). Rügt die beschwerdeführende Partei eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht, hat sie danach die Rechtsnorm, die qualifiziert unrichtig angewandt bzw. nicht angewandt worden sein soll, zu bezeichnen und anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (vgl. BGE 140 III 167 E. 2.1; 134 II 349 E. 3; 132 I 13 E. 5.1; 110 Ia 1 E. 2a; Urteil 4A_453/2014 vom 23. Februar 2015 E. 3.1).
3.1.3. Nach dem - als ergänzendes kantonales Recht anwendbaren - Art. 398 Abs. 2 OR haftet der Arzt für getreue und sorgfältige Ausführung des ihm übertragenen Geschäfts. Die Verletzung seiner Sorgfaltspflicht - gemeinhin "Kunstfehler" genannt - stellt eine Nicht- oder Schlechterfüllung seiner Auftragspflicht dar (BGE 133 III 121 E. 3.1).
Ein sorgfaltswidriges oder widerrechtliches ärztliches Verhalten kann namentlich darin liegen, dass bei der Behandlung in einem Spital gegen die objektiv gebotene Sorgfalt der ärztlichen Kunst verstossen wird (BGE 123 II 577 E. 4d/ee; 120 Ib 411 E. 4a, 115 Ib 175 E. 2a). Die Anforderungen an die ärztliche Sorgfaltspflicht lassen sich nicht abschliessend festlegen; sie richten sich vielmehr nach den Umständen des Einzelfalls, namentlich nach der Art des Eingriffs oder der Behandlung, den damit verbundenen Risiken, dem Ermessensspielraum, den Mitteln und der Zeit, die dem Arzt im einzelnen Fall zur Verfügung stehen, sowie nach dessen Ausbildung und Leistungsfähigkeit. Allgemein lässt sich immerhin sagen, dass seine Haftung sich nicht auf grobe Verstösse gegen Regeln der ärztlichen Kunst beschränkt. Der Arzt hat seine Patienten stets fachgerecht zu behandeln, zum Schutze ihres Lebens oder ihrer Gesundheit insbesondere die nach den Umständen gebotene und zumutbare Sorgfalt zu beachten, grundsätzlich folglich für jede Pflichtverletzung einzustehen (BGE 133 III 121 E. 3.1; 130 IV 7 E. 3.3; 120 Ib 411 E. 4, 115 Ib 175 E. 2b; je mit Hinweisen).
Der Begriff der Pflichtverletzung darf aber nicht so verstanden werden, dass darunter jede Massnahme oder Unterlassung fällt, welche bei nachträglicher Betrachtung den Schaden bewirkt oder vermieden hätte. Eine Pflichtverletzung ist nur dort gegeben, wo eine Diagnose, eine Therapie oder ein sonstiges ärztliches Vorgehen nach dem allgemeinen fachlichen Wissensstand nicht mehr als vertretbar erscheint und damit ausserhalb der objektivierten ärztlichen Kunst steht (BGE 130 IV 7 E. 3.3; 120 Ib 411 E. 4; Urteil 4A_432/2020 vom 16. Dezember 2020 E. 6.2 mit Hinweisen).
3.1.4. Als Beauftragter schuldet der Arzt dem Patienten nicht die Wiederherstellung der Gesundheit, sondern lediglich eine darauf ausgerichtete Behandlung nach den Regeln der ärztlichen Kunst (BGE 133 III 121 E. 3.1). Das Bundesgericht hat in BGE 120 II 248 E. 2c ausgeführt, eine durch die Behandlung verursachte neue gesundheitliche Beeinträchtigung sei indessen vom blossen Ausbleiben des Behandlungserfolgs zu unterscheiden. Zwar könne ein solches Ergebnis nicht an sich schon als Vertragsverletzung qualifiziert werden, da medizinische Behandlungen und Eingriffe in einem gewissen Mass mit Risiken verbunden seien, die auch bei Anwendung aller notwendigen Sorgfalt nicht vermeidbar seien. Soweit die Möglichkeit negativer Auswirkungen der Behandlung aber erkennbar sei, müsse der Arzt alle Vorkehren treffen, um deren Eintritt zu verhindern. Deren Eintritt begründe dann eine tatsächliche Vermutung, dass nicht alle gebotenen Vorkehren getroffen worden seien und somit eine objektive Sorgfaltspflichtverletzung vorliege. In einem späteren Urteil (4C.53/2000 vom 13. Juni 2000 E. 2b) schränkte das Bundesgericht die in BGE 120 II 248 formulierte Rechtsprechung allerdings ein. Es erwog, diese sei nicht dahingehend zu verstehen, dass bei jeglicher Verschlechterung des Gesundheitszustandes während einer ärztlichen Behandlung eine natürliche Vermutung für eine Sorgfaltswidrigkeit spreche. Vielmehr habe das Bundesgericht die Tragweite des Entscheides ausdrücklich auf die in Frage stehende konkrete Art der Injektion beschränkt und ausgeführt, die natürliche Vermutung dürfe selbst auf Infektionsfälle, die mit einer anders gearteten ärztlichen Behandlung zusammenhängen, nicht ohne weiteres übertragen werden (vgl. BGE 120 II 248 E. 2c). In der Lehre wurde der Entscheid dahingehend interpretiert, dass die darin entwickelten Grundsätze nicht für Nachteile aus anderen medizinischen Behandlungen gelten. In BGE 133 III 121 E. 3.1 und E. 3.4 (Verletzung eines Nervs durch einen Wundhaken) und im Urteil 4A_137/2015 vom 19. August 2015 E. 6.3.1 (nicht publ. in: BGE 141 III 363) liess das Bundesgericht offen, ob die Geschädigte von einer solchen Tatsachenvermutung profitieren könnte. In jedem Fall dient die Vermutung der Beweiserleichterung, hat aber keine Umkehr der Beweislast zur Folge (BGE 120 II 248 E. 2c mit Hinweis). Es obliegt stets dem Geschädigten, eine Verletzung der Sorgfaltspflicht zu beweisen (BGE 133 III 121 E. 3.4; Urteil 4A_216/2016 vom 26. September 2016 E. 3.3).
Der Beweis gilt als erbracht, wenn das Gericht nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit einer Sachbehauptung überzeugt ist (BGE 140 III 610 E. 4.1). Absolute Gewissheit kann dabei nicht verlangt werden. Es genügt, wenn das Gericht am Vorliegen der behaupteten Tatsache keine ernsthaften Zweifel mehr hat oder allenfalls verbleibende Zweifel als leicht erscheinen (vgl. BGE 130 III 321 E. 3.2; 128 III 271 E. 2b/aa; Urteil 4A_87/2019 vom 2. September 2019 E. 4.2.2). Ausnahmen von diesem Regelbeweismass, in denen eine überwiegende Wahrscheinlichkeit als ausreichend betrachtet wird, ergeben sich einerseits aus dem Gesetz und sind andererseits durch Rechtsprechung und Lehre herausgearbeitet worden. Den Ausnahmen liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Rechtsdurchsetzung nicht an Beweisschwierigkeiten scheitern darf, die typischerweise bei bestimmten Sachverhalten auftreten (vgl. BGE 128 III 271 E. 2b/aa). Die Beweiserleichterung setzt demnach eine "Beweisnot" voraus. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist, insbesondere wenn die von der beweisbelasteten Partei behaupteten Tatsachen nur mittelbar durch Indizien bewiesen werden können. Eine Beweisnot liegt aber nicht schon darin begründet, dass eine Tatsache, die ihrer Natur nach ohne weiteres dem unmittelbaren Beweis zugänglich wäre, nicht bewiesen werden kann, weil der beweisbelasteten Partei die Beweismittel fehlen. Blosse Beweisschwierigkeiten im konkreten Einzelfall können nicht zu einer Beweiserleichterung führen (vgl. zu publ. Urteil 4A_117/2021 vom 31. August 2021 E. 3.3.1).
3.1.5. Gemäss Lehre und Rechtsprechung gehört zu den vertraglichen Pflichten des Arztes ausserdem eine Aufklärungspflicht. Es obliegt dem Arzt zu beweisen, dass er den Patienten ausreichend aufgeklärt und dass dieser in den Eingriff eingewilligt hat (BGE 133 III 121 E. 4.1.2 f. mit Hinweisen; Urteil 4A_137/2015 vom 19. August 2015 E. 4 und E. 8.1, nicht publ. in BGE 141 III 363).
3.1.6. Nach Art. 55 Abs. 1 ZPO haben unter der Geltung des Verhandlungsgrundsatzes die Parteien dem Gericht die Tatsachen darzulegen, auf die sie ihre Begehren stützen, und die Beweismittel anzugeben. Eine Tatsachenbehauptung hat nicht alle Einzelheiten zu enthalten. Es genügt, wenn die Tatsachen, die unter die das Begehren stützenden Normen zu subsumieren sind, in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet werden (BGE 136 III 322 E. 3.4.2). Ein solchermassen vollständiger Tatsachenvortrag wird als schlüssig bezeichnet, da er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt (vgl. BGE 127 III 365 E. 2b). Die Behauptungs- und Substanziierungslast zwingt die damit belastete Partei nicht, sämtliche möglichen Einwände der Gegenpartei vorweg zu entkräften. Nur soweit der Prozessgegner den schlüssigen Tatsachenvortrag der behauptungsbelasteten Partei bestreitet, greift eine über die Behauptungslast hinausgehende Substanziierungslast. Die Vorbringen sind diesfalls nicht nur in den Grundzügen, sondern in Einzeltatsachen zergliedert so umfassend und klar darzulegen, dass darüber Beweis abgenommen oder dagegen der Gegenbeweis angetreten werden kann (BGE 144 III 519 E. 5.2.1.1; 127 III 365 E. 2b; zum Ganzen: Urteil 4A_542/2020 vom 3. März 2021 E. 4.3; je mit Hinweisen).
Das Berufungsverfahren ist als eigenständiges Verfahren ausgestaltet. Es dient nicht der Vervollständigung des vorinstanzlichen Verfahrens, sondern der Überprüfung und Korrektur des erstinstanzlichen Entscheides im Lichte konkret dagegen vorgebrachter Beanstandungen (BGE 142 III 413 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Entsprechend ist die Berufung nach Art. 311 Abs. 1 ZPO begründet einzureichen. Der Berufungskläger muss aufzeigen, inwiefern er den angefochtenen Entscheid als fehlerhaft erachtet. Um dieser Pflicht nachzukommen genügt es nicht, wenn er auf seine Vorbringen vor der ersten Instanz verweist oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Art und Weise kritisiert. Vielmehr muss der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnen, die er beanstandet, sich mit ihnen argumentativ auseinandersetzen und die Aktenstücke nennen, auf denen seine Kritik beruht. Die Begründung muss hinreichend explizit sein, dass sie von der Berufungsinstanz einfach nachvollzogen werden kann (BGE 138 III 374 E. 4.3.1; Urteil 4A_580/2015 vom 11. April 2016 E. 2.2, nicht publ. in: BGE 142 III 271; zum Ganzen: Urteil 4A_72/2021 vom 28. September 2021 E. 7.3.2 mit Hinweisen).
3.1.7. Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der Beteiligten tatsächlich hört, prüft und bei der Entscheidfindung berücksichtigt. Ausserdem hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen, wobei sie wenigstens kurz die wesentlichen Überlegungen nennen muss, von denen sie sich hat leiten lassen (BGE 142 I 135 E. 2.1; 136 I 229 E. 5.2; je mit Hinweisen). Der Anspruch auf rechtliches Gehör beinhaltet das Recht der betroffenen Partei, in einem Verfahren, das in ihre Rechtsstellung eingreift, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (BGE 134 I 140 E. 5.3; 131 I 153 E. 3; 124 I 241 E. 2; je mit Hinweisen). Das Recht auf Beweis ist in Art. 152 ZPO gesetzlich vorgesehen und wird auch aus Art. 8 ZGB abgeleitet (Urteil 4A_43/2020 vom 16. Juli 2020 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz führte zunächst zum Einwand der ungenügenden Aufklärung und fehlenden Einwilligung aus, die Beschwerdeführerin habe nicht aufgezeigt, dass und an welcher Stelle sie diesen Einwand erstinstanzlich vorgebracht hätte. Zudem habe sie zum Beleg, dass der behandelnde Assistenzarzt gegen anerkannte Regeln der Pneumologie verstossen habe, integral auf die Gutachten von PD Dr. C._ und Dr. D._ verwiesen. Damit sei sie ihrer Pflicht zur Begründung der Berufung nicht nachgekommen, sodass auf ihre Kritik aus prozessualen Gründen nicht eingetreten werden könne. Daher sei die Feststellung des Zivilgerichts, wonach die Beschwerdeführerin vor der Bronchoskopie hinreichend aufgeklärt worden sei und gültig in den Eingriff eingewilligt habe, nicht in Frage zu stellen. Im Übrigen sei nicht ersichtlich, inwiefern die erstinstanzlichen Erwägungen auf unzutreffenden Tatsachen beruhen oder rechtsfehlerhaft sein sollten.
3.2.2. Sodann äusserte sich die Vorinstanz zu den Anforderungen an den Beweis von Behandlungsfehlern. Sie führte aus, die Beschwerdeführerin könne nicht von der in BGE 120 II 248 beschriebenen Tatsachenvermutung zugunsten einer objektiven Sorgfaltspflichtverletzung profitieren. Im Unterschied zum Sachverhalt, der jenem Urteil zugrunde lag, habe vorliegend keine besonders ernstzunehmende Gefahr einer Schädigung bestanden. Gemäss dem eingeholten Gutachten sei bei der hier streitigen Behandlung, einer Bronchoskopie, das Risiko der eingetretenen Schädigung, einem doppelten Pneumothorax, nur theoretisch denkbar gewesen. Es fehle mithin an einer Schadensneigung, die wenig Raum für alternative Ursachen lassen würde. Zudem seien vorliegend keine gravierenden Versäumnisse des behandelnden Arztes erkennbar, die mit dem BGE 120 II 248 zugrunde liegenden Fall vergleichbar wären. Eine Übertragung der in BGE 120 II 248 beschriebenen Grundsätze auf den vorliegenden Sachverhalt falle somit ausser Betracht und die tatsächliche Vermutung einer Sorgfaltspflichtverletzung sei abzulehnen. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liege auch keine Beweisnot vor, welche dazu führen müsste, dass ausnahmsweise vom Regelbeweismass des vollen Beweises abzuweichen wäre. Unbesehen der Bewusstlosigkeit der Beschwerdeführerin während des Eingriffs könnten die von ihr behaupteten Tatsachen unmittelbar bewiesen werden. Ihr wäre es durchaus möglich gewesen, die These eines Barotraumas, das zu einer Luftembolie geführt habe, unmittelbar zu beweisen, wenn diese These zutreffend wäre.
3.2.3. Schliesslich verneinte die Vorinstanz unter Verweis auf das Erstgericht Behandlungsfehler resp. Sorgfaltspflichtverletzungen des behandelnden Assistenzarztes und des Spitals im Rahmen der Bronchoskopie, wobei vorinstanzlich noch vier Vorwürfe strittig waren.
3.2.3.1. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringe, der Assistenzarzt habe ein Bronchoskop mit zu grossem Durchmesser verwendet, könne ihr nicht gefolgt werden, so die Vorinstanz. Gemäss dem Gutachten liege es im Ermessen des Untersuchers, ein Bronchoskop seiner Wahl zu verwenden. Der Einsatz des Modells EB-1970-K sei vertretbar, so der Experte. Zudem habe der Assistenzarzt glaubhaft ausgeführt, dass er mit dem verwendeten Bronchoskop die Stenose problemlos habe passieren können. Zwar habe er, gemäss Vorinstanz, möglicherweise im Rückblick einen falschen Ermessensentscheid getroffen und hätte, wie seine Vorgesetzten bei vorangegangenen Bronchoskopien, ein ultradünnes Bronchoskop verwenden sollen. Dass ein anderer Ermessensentscheid retrospektiv möglicherweise besser gewesen wäre, begründe indes angesichts des vertretbaren Vorgehens keine Sorgfaltspflichtverletzung.
3.2.3.2. Keine Sorgfaltspflichtverletzung sei auch hinsichtlich des Vorwurfs der Beschwerdeführerin, wonach der Assistenzarzt zu Unrecht die Inspektion über die Stenose hinaus vorgenommen habe, erstellt, so die Vorinstanz. Die Beschwerdeführerin setze sich mit der schlüssigen Argumentation des Erstgerichts nicht auseinander, entkräfte diese nicht und komme damit ihrer Begründungspflicht nicht nach. Gemäss zutreffender Auffassung des Erstgerichts sei die Stenose auch bei früheren Untersuchungen wiederholt und ohne Probleme passiert worden. Dieses Vorgehen sei zudem zufolge eines fachkundigen Zeugen (Prof. E._) in der pneumologischen Abteilung des Spitals üblich, da man schauen müsse, wie es hinter der Stenose ausschaue, ob es zum Beispiel Eiter gebe. Soweit der deutsche Gutachter (PD Dr. C._) die Inspektion über die Stenose hinaus als nicht indiziert beurteilt habe, sei dessen Auffassung zudem zu relativieren. Bei der Ausführung von Bronchoskopien bestünden zwischen Deutschland und der Schweiz erhebliche Unterschiede. Namentlich würden in Deutschland aus Kostengründen fast nur starre Bronchoskopien durchgeführt. Gemäss dem Schweizer Gutachter (Dr. D._) hätten, jedenfalls bis Mai 2010, keine Publikationen oder Richtlinien bestanden, welche die Dauer der Inspektion jenseits einer subglottischen Stenose vorgeschrieben hätten. Es liege daher im Ermessen des Untersuchers, die Dauer der Untersuchung auf ein Minimum zu reduzieren. Daraus sei mit der Erstinstanz zu schliessen, dass in der Schweiz bei flexiblen Bronchoskopien selbst enge Stenosen regelmässig passiert würden. Dies, zumal es keine Richtlinien darüber gebe, wann und wie lange eine Stenose passiert werden dürfe. Auch wenn das Vorgehen gemäss dem deutschen Gutachter nicht unbedingt indiziert gewesen sein möge, begründe dies keine Sorgfaltspflichtverletzung, sondern habe im Ermessen des behandelnden Arztes gelegen, so die Vorinstanz. Wiederum liege wohl ein dem Arzt nicht vorwerfbarer Rückschaufehler vor. Es sei denn auch unbestritten, dass eine flexible Bronchoskopie ohne Gewebeentnahme einen üblicherweise völlig komplikationslosen und ungefährlichen Eingriff darstelle, womit die Beschwerdeführerin keinem erhöhten Risiko für einen (doppelseitigen) Pneumothorax ausgesetzt worden sei. Dass es beim Passieren der Stenose hierzu kommen könnte, sei nicht vorhersehbar gewesen.
3.2.3.3. Soweit die Beschwerdeführerin ferner kritisierte, der behandelnde Assistenzarzt habe nach Abfall der Sauerstoffsättigung unter 74% pflichtwidrig unter Druck Sauerstoff zugeführt, hielt ihr die Vorinstanz die ihrer Auffassung nach zutreffende Beurteilung des Erstgerichts entgegen. Demnach sei gemäss Gutachter bei einem Abfall der peripher gemessenen Sauerstoffsättigung die Erhöhung des Sauerstoffangebots durchaus geboten gewesen. Wenngleich dies üblicherweise über eine Nasensonde erfolge, sei auch die Applikation des Sauerstoffs direkt über den Arbeitskanal des Bronchoskops, wie es vorliegend erfolgte, nicht unüblich. Gemäss Feststellung des Gutachters stelle dieses Vorgehen keine Sorgfaltspflichtverletzung dar, was die Beschwerdeführerin anerkannt habe. Sie führe aber aus, da das weitere Vorgehen nach Abbruch der Bronchoskopie nicht dokumentiert sei, sei davon auszugehen, dass der Assistenzarzt weiterhin Luft in die zusammengefallenen Lungen gepresst und so unter anderem das massive Hautemphysem ausgelöst habe. Wiederum bezeichne die Beschwerdeführerin weder die erstinstanzliche Erwägung, die sie kritisieren möchte, noch belege sie ihre Sicht der Dinge mit den erforderlichen Beweisen. Auch insoweit genüge die Berufung der Begründungspflicht nicht.
3.2.3.4. Hinsichtlich des weiteren Vorwurfs, der Assistenzarzt habe den Reanimations-Alarm zu spät ausgelöst, folgte die Vorinstanz ebenfalls der Auffassung des Erstgerichts. Dieses hatte erwogen, die Beklagten sowie der fachkundige Zeuge (Prof. E._) hätten dargelegt, dass bei Bronchoskopien vorübergehende Abfälle der peripher gemessenen Sauerstoffsättigung nicht ungewöhnlich oder beunruhigend und vorliegend nicht von einem Pneumothorax verursacht worden seien. Der behandelnde Assistenzarzt habe mithin von keiner schweren Komplikation ausgehen müssen. Gemäss Gutachten sei zudem ein Abfall der peripher gemessenen Sauerstoffsättigung auf nicht unter 74% während weniger Minuten, wie er in casu mittels Pulsoxymeter-Ausdruck dokumentiert sei, nicht geeignet, eine Hirnschädigung zu verursachen. Damit sei erstellt, dass die Beschwerdeführerin während der Bronchoskopie und der Einlage der Bülau-Drainagen keinen länger dauernden Abfall der Sauerstoffsättigung erlitten habe. Das Herbeirufen des REA-Teams trotz vorhandenen Kreislaufs sei unter diesen Umständen als Vorsichtsmassnahme zu werten. Das REA-Team habe denn auch gar nicht eingreifen müssen, da die Beschwerdeführerin immer ausreichend Blutdruck gehabt habe.
Die Vorinstanz bemängelte wiederum, dass die Beschwerdeführerin ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen sei und sich mit den Erwägungen des Erstgerichts nicht hinreichend auseinandergesetzt habe. Namentlich belege sie ihre Auffassung nicht, wonach die Sauerstoffsättigung bis auf die Messgrenze von 60% gefallen sei. Zudem finde diese Ansicht im Gutachten und den weiteren ärztlichen Stellungnahmen keine Stütze. Ohnehin hätte die Beschwerdeführerin diese Rüge bereits vor Zivilgericht vorbringen können und müssen, zumal nicht ersichtlich sei, weshalb sie die angebliche Irreführung durch die leicht verkleinerten (d.h. unvollständigen) und versetzten Sauerstoffsättigungs- und Pulskurven bei zumutbarer Sorgfalt nicht erstinstanzlich hätte thematisieren können. Die in der Berufung aufgestellten Tatsachenbehauptungen stellten daher unzulässige Noven dar und könnten nicht berücksichtigt werden.
3.2.4. Die Vorinstanz verneinte schliesslich eine Verletzung der Dokumentationspflicht, wobei sie die dagegen erhobenen Einwände der Beschwerdeführerin als ungenügend begründet und beweismässig nicht belegt beurteilte. Vorliegend sei dem Gutachten zu entnehmen, dass das Einlegen der Bülau-Drainagen zwar nicht gut dokumentiert worden, die Dauer der Einlage der Drainagen aber angemessen gewesen sei. Ferner sei insoweit keine Sorgfaltspflichtverletzung erfolgt. Die Aufzeichnungen des Assistenzarztes seien demnach detailliert genug gewesen, damit der Experte diese Frage habe beantworten können. Die korrekte Lage der Drainagen ergebe sich zudem aus den CT-Aufnahmen. Hingegen sei aus medizinischen und beweistechnischen Gründen irrelevant, ob zuerst die linke oder die rechte Drainage angelegt worden sei. Auch die exakte Dauer für das Einlegen der Drainagen sei nicht entscheidend, da die Sauerstoffsättigung zu keinem Zeitpunkt unter 74% gesunken sei. Die Beschwerdeführerin könne somit auf dem knappen Bericht nichts für sich ableiten.
3.3. Was die Beschwerdeführerin vorbringt, begründet, soweit ihre Rügen nachvollziehbar sind, weder Willkür in der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung noch sonst eine Verletzung von Bundesrecht.
3.3.1. Zunächst bestreitet die Beschwerdeführerin erneut, gültig in die Bronchoskopie eingewilligt zu haben. Aufgrund ihrer diesbezüglichen Ausführungen in der Beschwerde ist indes nicht nachvollziehbar, dass und an welcher Stelle sie diesen Einwand - entgegen der Feststellung der Vorinstanz (oben E. 3.2.1) - bereits erstinstanzlich vorgebracht haben soll. Die Beschwerdeführerin führt soweit ersichtlich einzig aus, es habe sich um eine nur vom Fachmediziner zu beantwortende Feststellung zum Sachverhalt gehandelt. Entgegen ihrer Auffassung leuchtet nicht ein, weshalb es ihr unmöglich gewesen sein soll, die ihrer Ansicht nach fehlende oder ungenügende Einwilligung in die Bronchoskopie schon erstinstanzlich geltend zu machen und mit Aktenverweisen zu belegen. Ebenso genügt es nicht, darauf zu verweisen, dass anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung im Parteivortrag thematisiert worden sei, die Sauerstoffzufuhr sei ungenügend dokumentiert. Es ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz in überspitzten Formalismus verfallen wäre oder das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt hätte. Auf ihren in diesem Zusammenhang erhobenen Einwand, wonach lediglich ein kurzer Aufenthalt mit dem Stethoskop hinter der Stenose zulässig gewesen sei, ist nachfolgend im Rahmen der behaupteten Behandlungsfehler einzugehen.
3.3.2. Mit Bezug auf die Anforderungen an das Beweismass rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz gehe von einem falschen Sachverhalt aus. Die vom Bundesgericht in BGE 120 II 248 für die Beweiserleichterung verlangte besondere Schadensneigung bei einer Bronchoskopie sei nicht, wie die Vorinstanz annehme, diejenige eines Pneumothorax, sondern diejenige der während des Eingriffs erfolgten Sauerstoffuntersättigung und des dadurch bewirkten Hirnschadens. Die Vorinstanz habe es unterlassen, die Anwendbarkeit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auf die eingetretene Sauerstoffuntersättigung zu prüfen. Ausserdem liege ein eigentlicher Beweisnotstand vor hinsichtlich der Frage, ob für die Hirnschädigung eine Sauerstoffuntersättigung oder eine Luftembolie verantwortlich sei, wobei bei der Beschwerdeführerin beide Muster der Hirnschädigung nachweisbar seien. Auch unter diesem Gesichtspunkt müsse sie von einer Beweiserleichterung profitieren können.
Der Beschwerdeführerin kann nicht gefolgt werden. Entgegen ihrer Auffassung hat die Vorinstanz die Problematik der Sauerstoffuntersättigung geprüft. Sie hat diesbezüglich unter dem Aspekt eines Pneumothorax eine besondere Schadensneigung nachvollziehbar verneint und eine Luftembolie als Ursache der Sauerstoffuntersättigung als nicht erwiesen erachtet. So führte sie aus, es wäre der Beschwerdeführerin möglich gewesen, die These eines Barotraumas, das zu einer Luftembolie geführt habe, unmittelbar zu beweisen, wenn diese These zutreffend wäre. Dem ist zuzustimmen. Die Vorinstanz ging daher zu Recht auch von keiner Beweisnot aus, die zur Beweiserleichterung zugunsten der Beschwerdeführerin führen müsste. Sie verletzt weder die Regeln über das anwendbare Beweismass, noch verfällt sie in Willkür. Dies namentlich nicht, indem sie die vom Gutachter PD Dr. C._ postulierte Embolie unter Abstellen auf weitere fachärztliche Einschätzungen ablehnt. Auch ändert am Fehlen einer eigentlichen Beweisnot nichts, dass die Beschwerdeführerin geltend macht, es kämen sowohl eine Ischämie als auch eine Embolie als Ursache für die Hirnschädigung in Frage und die Ursache habe nicht zweifelsfrei nachgewiesen werden können. Es liegen keine Beweisschwierigkeiten vor, die ein Abweichen vom üblichen Beweismass rechtfertigen würden.
3.3.3. Mit Bezug auf die geltend gemachten Behandlungsfehler bringt die Beschwerdeführerin nichts vor, was die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen oder die Anwendung kantonalen Haftungsrechts als willkürlich erscheinen liesse. Soweit ihr die Vorinstanz eine ungenügende Begründung der Berufung und Auseinandersetzung mit dem erstinstanzlichen Entscheid vorhielt (oben E. 3.2.3.2 - 3.2.3.4), zeigt die Beschwerdeführerin zudem nicht auf, dass und weshalb diese Auffassung unzutreffend wäre. Auf ihre diesbezüglichen Vorbringen in der Sache ist daher grundsätzlich nicht einzugehen. Im Übrigen belegen sie keine Willkür, wie nachfolgend dennoch kurz zu zeigen ist. Nicht zu beanstanden ist schliesslich, dass die Vorinstanz die Rüge der unvollständigen bzw. falschen Pulsoxymeter-Aufzeichnung im Berufungsverfahren als verspätet beurteilte. Wie sie zutreffend erwog, ist nicht ersichtlich, weshalb es der Beschwerdeführerin unmöglich oder unzumutbar gewesen sein soll, diesen Einwand bereits vor erster Instanz zu erheben.
Soweit die Beschwerdeführerin wiederum rügt, der behandelnde Assistenzarzt habe ein zu grosses Bronchoskop verwendet, vermag sie sodann keinen Behandlungsfehler darzutun. Die Vorinstanz begründete schlüssig, dass es gemäss Gutachten im Ermessen des Untersuchers lag, ein Bronchoskop seiner Wahl zu verwenden und dass der Einsatz des in casu benutzten Modells vertretbar war. Unter diesen Umständen verneinte die Vorinstanz einen Behandlungsfehler aufgrund des verwendeten Bronchoskops ohne Willkür, auch wenn sie anerkennt, dass die Wahl retrospektiv wohl schlecht war. Die Beschwerdeführerin rügt denn auch lediglich, das Bronchoskop mit grösserem Durchmesser sei die falsche Wahl gewesen. Entgegen ihrer Auffassung genügt dies jedoch nach dem Gesagten zum Nachweis eines Behandlungsfehlers nicht.
Gleiches gilt für die Inspektion hinter der Stenose, was die Vorinstanz ebenfalls schlüssig begründet. Darauf kann verwiesen werden. Auch insoweit anerkannte die Vorinstanz in schlüssiger Auseinandersetzung mit der Auffassung des deutschen Experten (PD Dr. C._), dass das Vorgehen des behandelnden Arztes im Nachhinein wohl falsch war, aber aufgrund des ihm zukommenden Ermessens nicht als Sorgfaltspflichtverletzung zu qualifizieren ist. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin ausführte, mit richtiger und rascher Reaktion, sprich dem sofortigen Abbruch der Bronchoskopie - wobei die Beschwerdeführerin wohl das Verhalten nach Abfall der Sauerstoffsättigung meint - hätte der Arzt die Komplikation verhindern können.
Ebenso war zufolge des Gutachters die Erhöhung des Sauerstoffangebots bei Abfall der peripher gemessenen Sauerstoffsättigung geboten. Dies, entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung, auch direkt über den Arbeitskanal des Bronchoskops, wie die Vorinstanz schlüssig erwog. Dass darin gemäss Feststellung der Gutachter keine Sorgfaltspflichtverletzung lag, hatte die Beschwerdeführerin im Übrigen anerkannt (vgl. oben E. 3.2.3.3). Nicht nachvollziehbar ist ihr Einwand, wonach keine Sauerstoffgabe über den Arbeitskanal des Bronchoskops hinter der Stenose hätte erfolgen dürfen, sodass darin eine gutachterlich attestierte Sorgfaltspflichtverletzung liege. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, äusserte sich der Experte Dr. D._ an der von der Beschwerdeführerin genannten Textstelle zum Fehlen von Richtlinien über die Dauer der Inspektion jenseits einer Stenose und zum diesbezüglichen Ermessen des Untersuchers. Im Übrigen kommt die Beschwerdeführerin insoweit ihrer Begründungspflicht nicht nach. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in den kantonalen Akten nach nicht näher genannten Aktenstellen zu forschen.
Soweit die Beschwerdeführerin rügt, der behandelnde Assistenzarzt habe den doppelten Pneumothorax nicht erkannt, scheint sie zudem zu verkennen, dass die Vorinstanz willkürfrei annahm, die vorübergehenden Abfälle der peripher gemessenen Sauerstoffsättigung seien nicht von einem Pneumothorax verursacht worden (oben E. 3.2.3.4). Auch ein verspätetes Auslösen des Reanimations-Alarms durch den Assistenzarzt verneinte die Vorinstanz schlüssig. Wenn die Beschwerdeführerin unter Verweis auf ihre eigene Interpretation der Pulsoxymeter-Aufzeichnungen rügt, es sei von einem längeren Abfall der Sauerstoffsättigung unter 74% auszugehen, entfernt sie sich vom für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhalt, ohne Willkür darzutun. Im Übrigen beurteilte die Vorinstanz dieses Vorbringen, wie bereits ausgeführt, zu Recht als verspätet. Darauf ist nicht einzugehen. Unter diesen Umständen besteht für das Bundesgericht kein Anlass, ein Gutachten über die Pulsoxymeterkurve einzuholen. Zur vorinstanzlich erhobenen Rüge der ungenügenden Dokumentation äussert sich die Beschwerdeführerin nicht. Auch darauf ist nicht einzugehen.
3.4. Nach dem Gesagten verfiel die Vorinstanz nicht in Willkür, indem sie einen oder mehrere Behandlungsfehler des Beschwerdegegners 2 oder des behandelnden Assistenzarztes im Rahmen der Bronchoskopie vom 18. Mai 2010 verneinte. Auf die Ausführungen zur Kausalität braucht unter diesen Umständen nicht eingegangen zu werden.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen und die Beschwerdegegner zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und 2; Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 4A_547/2019 vom 9. Juli 2020 E. 5).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren gesamthaft mit Fr. 5'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Matt