Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht trat am 8. Juni 2021 auf eine Beschwerde von A._ gegen eine Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts, Abteilung II, vom 21. April 2021 mangels hinreichender Begründung (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) nicht ein (Urteil 2C_441/2021). Dieses Urteil wurde A._ mittels amtlicher Publikation eröffnet.
1.2. Mit Eingabe vom 2. März 2022 reicht A._ "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten", "Verfassungsbeschwerde" sowie "Beschwerde und Revision wegen systematischer Missachtung [seiner] Verfahrensrechte nach EMRK" beim Bundesgericht ein. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung. Der Begründung lässt sich entnehmen, dass sich die Eingabe unter anderem gegen das Urteil 2C_441/2021 vom 8. Juni 2021 richtet.
Die Eingabe ist daher als Revisionsgesuch zu behandeln, soweit darin das Urteil 2C_441/2021 beanstandet wird.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.
2.
2.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Gegen Urteile des Bundesgerichts steht kein ordentliches Rechtsmittel und somit auch keine Beschwerde zur Verfügung (vgl. Urteil 2F_14/2018 vom 9. August 2018 E. 2). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den Art. 121 ff. BGG abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG namentlich einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund zu nennen und aufzuzeigen, weshalb das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leidet; fehlt eine entsprechende Begründung, wird auf das Gesuch nicht eingetreten (vgl. Urteile 2F_37/2021 vom 11. Januar 2022 E. 3; 2F_35/2021 vom 9. Dezember 2021 E. 2.1; 2F_30/2021 vom 12. November 2021 E. 2). Der Revisionsgrund hat sich auf den Gegenstand des zu revidierenden Urteils zu beziehen; handelt es sich dabei um einen Nichteintretensentscheid, muss der Revisionsgrund die Nichteintretensmotive beschlagen (vgl. Urteil 6F_33/2020 vom 6. Januar 2021 E. 2). Das Revisionsgesuch ist unter Beachtung der gesetzlichen Fristen gemäss Art. 124 BGG einzureichen.
2.2. Das hier zu revidierende Urteil 2C_441/2021 ist am 8. Juni 2021 ergangen und wurde dem heutigen Gesuchsteller, der weder einen Wohnsitz noch eine Zustelladresse oder eine zulässige elektronische Zustelladresse angegeben hatte, gestützt auf Art. 39 Abs. 3 BGG und Art. 11 BZP (SR 273) i.V.m. Art. 71 BGG durch amtliche Publikation eröffnet. Das Urteilsdispositiv wurde am 15. Juni 2021 im Bundesblatt publiziert (BBl 2021 1313). Der Erscheinungstag des Bundesblattes gilt als Tag der Zustellung (vgl. Art. 11 Abs. 3 Satz 2 BZP).
Soweit der Gesuchsteller dem Bundesgericht vorwirft, es habe ihm das Urteil nicht per E-Mail eröffnet, ist Folgendes festzuhalten: Gemäss Art. 39 Abs. 2 BGG können die Parteien eine elektronische Zustelladresse mit ihrem öffentlichen kryptografischen Schlüssel angeben und ihr Einverständnis mit der elektronischen Eröffnung erklären. Die Angabe einer gewöhnlichen E-Mail-Adresse genügt nicht (vgl. Urteile 2C_769/2020 vom 1. Oktober 2020 E. 2 und 4; 2D_18/2009 vom 22. Juni 2009 E. 2.2).
Vorliegend wies die Kanzlei der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung den heutigen Gesuchsteller mit Schreiben vom 26. Mai 2021 darauf hin, dass seine Rechtsschrift keine Wohnadresse enthalte bzw. dass für den Fall, dass eine elektronische Zustellung gewünscht werde, eine gültige elektronische Zustelladresse gemäss Art. 39 Abs. 2 BGG anzugeben sei, und räumte ihm eine Frist ein, um den Mangel zu beheben. Dieser Aufforderung kam der Gesuchsteller nicht nach.
Es kann somit festgehalten werden, dass das Urteil 2C_441/2021 dem Gesuchsteller - entgegen seinen Behauptungen - rechtswirksam durch Publikation im Bundesblatt eröffnet wurde. Es gilt als zugestellt am 15. Juni 2021.
2.3. Zur Begründung seines Revisionsgesuchs führt der Gesuchsteller aus, der damalige Abteilungspräsident, der am Urteil 2C_441/2021 als Einzelrichter mitgewirkt hatte, sei befangen gewesen. Damit beruft er sich sinngemäss auf den Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden kann, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind (vgl. Urteil 2F_3/2021 vom 25. Mai 2021 E. 3.1).
Revisionsgesuche wegen Verletzung der Ausstandsvorschriften sind innert 30 Tagen nach der Entdeckung des Ausstandsgrunds (vgl. Art. 34 BGG) geltend zu machen (Art. 124 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer legt weder substanziiert dar, inwiefern der Revisionsgrund gemäss Art. 121 Abs. 1 lit. a BGG vorliegen soll noch zeigt er auf, dass er das Revisionsgesuch wegen angeblicher Befangenheit des damaligen Abteilungspräsidenten innerhalb von 30 Tagen nach Entdeckung der angeblichen Ausstandsgründe eingereicht habe (vgl. E. 2.1 hiervor).
2.4. Im Übrigen erschöpft sich die Eingabe des Gesuchstellers in appellatorischer Kritik am zu revidierenden Urteil bzw. an den diesem vorausgegangenen Entscheiden sowie an Richterpersonen des Bundesgerichts und des Bundesverwaltungsgerichts. Sollte er damit einen der Revisionsgründe gemäss Art. 121 lit. b-d BGG anrufen wollen, ist - abgesehen von der fehlenden sachbezogenen Begründung - festzuhalten, dass Revisionsgesuche wegen Verletzung anderer Verfahrensvorschriften innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids einzureichen sind (Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG), womit das Revisionsgesuch verspätet wäre. Der Gesuchsteller ist zudem darauf hinzuweisen, dass eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung, wie von ihm behauptet, nicht der Revision unterliegt (BGE 122 II 17 E. 3; Urteile 1F_6/2021 vom 1. März 2021 E. 2.2; 1F_23/2020 vom 17. September 2020 E. 3.1).
Soweit der Gesuchsteller schliesslich verschiedene Verletzungen der EMRK geltend macht, ist festzuhalten, dass der Revisionsgrund von Art. 122 BGG nicht zur Rüge der Verletzung der EMRK offen steht, sondern nur in Betracht kommt, wenn der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte in einem endgültigen Urteil eine derartige Verletzung festgestellt hat (Art. 122 lit. a BGG), was vorliegend nicht der Fall ist (vgl. Urteile 6F_9/2021 vom 8. Juni 2021 E. 4; 2F_2/2020 vom 13. Mai 2020 E. 2.2).
2.5. Bei dieser Sachlage ist auf das Revisionsgesuch mangels rechtsgenügender Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) bzw. fristgerechter Geltendmachung eines Revisionsgrundes (Art. 124 BGG) ohne Schriftenwechsel oder sonstige Instruktionsmassnahmen (Art. 127 BGG) nicht einzutreten.
3.
Es rechtfertigt sich, von einer Kostenauflage abzusehen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov