Erwägungen:
1.
Der aus Mazedonien stammende A._ reichte bei der Bürgergemeinde Balsthal für sich und seine drei Kinder B._, C._ und D._ ein Gesuch um Einbürgerung ein. Mit Verfügung vom 31. Dezember 2018 teilte die Bürgergemeinde Balsthal A._ mit, dass der Bürgerrat am 6. November 2018 das Einbürgerungsgesuch abgelehnt habe. Dagegen erhob A._ für sich und seine drei Kinder Beschwerde. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn hiess mit Entscheid vom 16. Juli 2019 die Beschwerde gut, hob den Beschluss des Bürgerrates der Bürgergemeinde Balsthal auf und sicherte A._ sowie seinen Kindern das Bürgerrecht der Bürgergemeinde Balsthal zu. Die Bürgergemeinde Balsthal erhob dagegen am 22. August 2019 Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 9. Dezember 2019 guthiess und den Entscheid des Volkswirtschaftsdepartements vom 16. Juli 2019 aufhob. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, dass die in ihrer Gesamtheit von August 2015 bis September 2017 von A._ auf seinem Facebook-Profil geposteten Bilder geeignet seien, daraus im Rahmen einer zulässigen Interpretation einen Widerspruch in der Haltung zu den hiesigen gesellschaftlichen Grundwerten abzuleiten. Die Bürgergemeinde Balsthal durfte daher aufgrund ihrer Autonomie ohne Ermessensüberschreitung annehmen, dass A._ zurzeit als nicht integriert anzusehen sei. Die Einbürgerung sei zu Recht verweigert worden. Die minderjährigen Kinder seien in das Gesuch ihres Vaters einbezogen und hätten keinen selbstständigen Anspruch auf Einbürgerung.
2.
A._ und seine drei Kinder B._, C._ und D._ führen mit Eingabe vom 8. Januar 2020 subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 9. Dezember 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 82 BGG gemäss Art. 83 lit. b BGG ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit steht grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG offen. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach Art. 116 BGG die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Das Verwaltungsgericht legte dar, weshalb die von A._ auf Facebook geposteten Bilder durchaus von einer ungenügenden Integration zeugen können. Damit setzen sich die Beschwerdeführer nicht im Einzelnen und substanziiert auseinander und vermögen mit der Darstellung ihrer Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht dabei verfassungswidrig vorgegangen sein sollte. Aus ihrer Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts, die zur Gutheissung der Beschwerde der Bürgergemeinde Balsthal führte, bzw. das Urteil des Verwaltungsgerichts selbst verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Gericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Bürgergemeinde Balsthal, dem Volkswirtschaftsdepartement Zivilstand und Bürgerrecht und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli