Faits :
A.
Par jugement du 17 mai 2019, le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois a déclaré A._ coupable de voies de fait qualifiées et de lésions corporelles simples qualifiées et l'a condamné à une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'à une amende de 210 fr., la peine privative de liberté de substitution en cas de non-paiement fautif de l'amende étant de sept jours. Il a mis à la charge de A._ les frais de la cause et dit que le remboursement des indemnités d'office lui serait demandé lorsque sa situation financière le permettrait.
B.
Par jugement du 11 septembre 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis l'appel formé par A._ et réformé le jugement attaqué en ce sens que A._ doit supporter la moitié des frais de première instance et devra rembourser la moitié des indemnités de défense d'office lorsque sa situation financière le permettra. Pour le surplus, elle a confirmé le jugement attaqué.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. A C._, à la fin 2013 (ces faits étant prescrits), puis le 14 avril 2016 et le 3 novembre 2017, A._ s'est montré violent physiquement avec sa concubine B._, avec laquelle il faisait alors ménage commun pour une durée indéterminée. La vie commune des partenaires a pris fin à la suite de l'expulsion de A._ du logement consécutive à l'intervention de la police au domicile des partenaires, le 3 novembre 2017.
B.b. Le 14 avril 2016, une dispute avec insultes mutuelles a éclaté entre les partenaires dans leur logement. A._ a saisi sa compagne au cou avec les deux mains et a entrepris de serrer. B._ s'est débattue et a pu se dégager de l'emprise de son concubin. A._ lui a alors asséné un coup de poing au visage. Selon un certificat délivré le 15 avril 2016 par le Dr D._, qui exerçait alors comme médecin généraliste, à E._, B._ présentait des traces de strangulation avec dermabrasions au cou et un hématome oculaire gauche.
B.c. Le 3 novembre 2017, une dispute a éclaté entre A._ et sa compagne dans leur logement. Tous deux se sont bousculés mutuellement. B._ est tombée au sol. Alors qu'elle quittait les lieux, A._ l'a retenue par la ceinture et elle est tombée sur les fesses dans les escaliers. B._ a eu un peu mal à la cheville sur le moment. Elle n'a pas boité. Elle n'a pas davantage consulté de médecin par la suite.
B.d. B._ a déposé une plainte pénale le 4 novembre 2017. Elle a révoqué son accord initial à la suspension de la procédure d'une durée de six mois (art. 55a CP), à savoir jusqu'au 22 juin 2018, par courrier du même jour.
C.
Contre ce dernier jugement cantonal, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré des infractions de lésions corporelles simples qualifiées et de voies de fait qualifiées en lien avec les événements situés en fin d'année 2013, courant 2015 et le 14 avril 2016, que la révocation du mandat de défenseur d'office de l'avocat Matthieu Genillod, selon la décision incidente du 15 août 2019, est annulée, que les frais de justice de première instance sont laissés à la charge de l'Etat à concurrence de 11'916 fr. 95, seul le solde étant mis à sa charge et que les frais de justice de deuxième instance sont intégralement laissés à la charge de l'Etat. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur les griefs portant sur la violation du droit d'être entendu (déni de justice) et la révocation du mandat de défenseur d'office en appel, le ministère public y a renoncé, alors que la cour cantonale a déposé une réponse, qui a été transmise au recourant. Celui-ci a présenté une réplique, qui a été communiquée aux parties à titre de renseignement.
Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu et d'avoir commis un déni de justice formel. Il expose que la cour cantonale n'a pas traité le grief, selon lequel le jugement de première instance aurait dû formellement prononcer son acquittement s'agissant des faits survenus en 2013 et 2015. Dans sa réponse, la cour cantonale fait valoir que le recourant n'a pas d'intérêt juridique à l'annulation ou à la modification du dispositif; en outre, elle soutient que, sur le fond, l'arrêt cité par le recourant et publié aux ATF 142 IV 378 n'est pas applicable et que le dispositif ne saurait mentionner l'acquittement du recourant pour les faits commis en 2013 et 2015.
1.1. Conformément à l'art. 81 al. 1 let. b LTF, le recourant doit avoir un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée pour déposer un recours en matière pénale. En l'espèce, le recourant a un intérêt juridique à ce que le dispositif constate qu'il a été acquitté pour certaines infractions (cf. ATF 142 IV 378), même si cet acquittement peut être déduit des considérants du jugement attaqué. En effet, seul le dispositif déploie des effets juridiques et revêt l'autorité de chose jugée (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n° 31 ad art. 112 LTF; arrêt 6B_1189/2017 du 23 mai 2018 consid. 1.3). Le grief soulevé par le recourant est donc recevable.
1.2.
1.2.1. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (ATF 142 II 154 consid. 4.2 p. 157; 135 I 6 consid. 2.1 p. 9).
1.2.2. Au chiffre 28 de sa déclaration d'appel, le recourant s'est prévalu de la jurisprudence publiée aux ATF 142 IV 378. Il reprochait au juge de première instance de ne pas avoir prononcé son acquittement s'agissant des faits reprochés en 2013 et 2015, exposant que ceux-ci ne formaient pas une unité avec les faits pour lesquels il avait été condamné. Quoique formulé de manière succincte, le grief soulevé était suffisamment motivé. La cour cantonale n'en a néanmoins pas examiné le bien-fondé. Elle l'admet du reste dans sa réponse, mais considère que l'arrêt publié aux ATF 142 IV 378 était inapplicable, essentiellement pour des " raisons pratiques ". En omettant de traiter le grief soulevé par le recourant dans la déclaration d'appel, la cour cantonale a commis un déni de justice formel. Le recours doit donc être admis sur ce point, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle complète son jugement à cet égard. Il lui appartiendra notamment d'appliquer l'arrêt publié aux ATF 142 IV 378, même si cela va à l'encontre de la pratique vaudoise.
2.
Dénonçant la violation de son droit d'être entendu, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir rejeté sa réquisition tendant à la production des décisions pénales, disciplinaires et administratives rendues à l'encontre du Dr D._.
2.1. Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment celui de produire ou de faire administrer des preuves, à condition qu'elles soient pertinentes et de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 143 V 71 consid. 4.1 p. 72; 142 II 218 consid. 2.3 p. 222; 140 I 285 consid. 6.3.1 p. 229 et les références citées). Il n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de se forger une conviction et que, procédant de manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion. Le refus d'instruire ne viole ainsi le droit d'être entendu des parties que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a procédé, est entachée d'arbitraire (ATF 144 II 427 consid. 3.1.3 p. 435; 141 I 60 consid. 3.3 p. 64; 136 I 229 consid. 5.3 p. 236).
Selon l'art. 389 al. 1 CPP, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. L'art. 389 al. 3 CPP règle les preuves complémentaires. Ainsi, la juridiction de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours. Le droit d'être entendu, consacré par l'art. 107 CPP, garantit aux parties le droit de déposer des propositions relatives aux moyens de preuves (al. 1 let. e). Conformément à l'art. 139 al. 2 CPP, il n'y a pas lieu d'administrer des preuves sur des faits non pertinents, notoires, connus de l'autorité ou déjà suffisamment prouvés. Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêts 6B_884/2019 du 30 octobre 2019 consid. 2.1; 6B_974/2019 du 25 octobre 2019 consid. 2.1).
2.2. La cour cantonale a forgé sa conviction que le recourant s'est rendu coupable de lésions corporelles simples le 14 avril 2016 sur l'intimée, en se fondant, notamment, sur un certificat médical du 15 avril 2016 du Dr D._. Ce certificat mentionnait que l'intimée avait été soignée dans son cabinet le 15 avril 2016 et qu'elle présentait des traces de strangulation avec dermabrasions au cou et un hématome oculaire gauche. La cour cantonale n'a pas méconnu que le praticien avait fait l'objet de procédures pour des pratiques blâmables, en particulier pour l'établissement de certificats de complaisance. Elle a toutefois considéré qu'en l'espèce, le certificat médical du Dr D._ ne constituait pas un certificat de complaisance, puisque l'ex-secrétaire médicale du médecin avait confirmé que la consultation avait bien eu lieu sans rendez-vous et que l'intimée présentait des traces de coups visibles (cf. jugement attaqué p. 13, 16).
Le recourant se plaint du refus de la production en mains du médecin cantonal de toutes les décisions pénales, disciplinaires et administratives rendues à l'encontre de Dr D._. Il tente d'établir que le médecin en question a adopté des pratiques blâmables, parmi lesquelles l'établissement de certificats de complaisance, mais ne démontre pas que l'appréciation anticipée de la preuve à laquelle s'est livrée la cour cantonale serait arbitraire. Comme on le verra au considérant 3.5, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que le certificat médical n'était pas un certificat de complaisance et qu'il établissait, parmi d'autres éléments, que le recourant avait frappé l'intimée le 14 avril 2016. Dans la mesure de sa recevabilité, le grief soulevé doit être rejeté.
3.
Le recourant dénonce la violation de la présomption d'innocence.
3.1. La présomption d'innocence, garantie par les art. 10 CPP, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe " in dubio pro reo ", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large.
En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu (ATF 145 IV 154 consid. 1.1 p. 155 s. et les références citées).
Comme règle d'appréciation des preuves, la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe " in dubio pro reo ", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (ATF 145 IV 154 consid. 1.1 p. 155 s. et les références citées).
3.2. La cour cantonale a considéré que les déclarations de l'intimée étaient conformes à la vérité; sa déposition était plausible, son ton était mesuré et la description des faits était précise et cohérente (jugement attaqué p. 15, consid. 3.4). En outre, la cour cantonale a noté que les déclarations de l'intimée étaient confirmées par le certificat médical du Dr D._ et le témoignage de l'assistante médicale du médecin en question. Enfin, elle a observé que les déclarations des parties étaient convergentes sur certains points (jugement attaqué p. 15 ss).
3.3. Le recourant fait valoir que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant que les déclarations de l'intimée étaient cohérentes et précises. En particulier, il fait valoir que l'intimée n'a pas évoqué l'altercation du 14 avril 2016, lorsqu'elle s'est rendue le 17 avril 2016 au poste de police de C._ et qu'elle a également omis de relater ces faits lors de son audition par la police Riviera de C._ le 3 novembre 2017.
La cour cantonale n'a pas méconnu ces omissions. S'agissant de l'audition du 17 avril 2016, elle a expliqué que l'intimée était venue au poste pour y demander assistance et qu'elle avait surtout fait état de son conflit avec sa belle-famille au sujet de sa fille. L'intimée avait alors juste " demandé conseil en cas de conflit avec son ami qui pourrait être violent avec elle " (journal du poste, pièce 24/1). Ce n'est qu'après l'expulsion du recourant, intervenue après le 3 novembre 2017, qu'elle a relaté en détail ce qu'elle avait enduré (jugement attaqué p. 16). En ce qui concerne son audition par la police Riviera de C._ le 3 novembre 2017 dès 22 heures, la cour cantonale a observé que l'intimée avait dénoncé d'autres actes de violence domestique, le cas échéant plus marquants, qui s'étaient produits en 2013 et 2015. Elle a considéré que l'oubli ou la confusion pouvait s'expliquer par la fatigue et la tension occasionnées par une journée émotionnellement éprouvante (jugement attaqué p. 16). Les explications de la cour cantonale sont convaincantes. Les omissions reprochées par le recourant ne sauraient suffire à mettre en doute les déclarations de l'intimée relatives à l'altercation du 14 avril 2016, confirmées au demeurant par d'autres éléments du dossier (certificat médical, témoignage de l'assistante médicale). Les griefs soulevés sont infondés.
3.4. Le recourant se plaint d'arbitraire, au motif que la cour cantonale aurait retenu des points de convergence dans les versions des parties. Il fait valoir qu'il n'a aucun souvenir de l'intégralité des faits qui se sont produits le 14 avril 2016 et qu'il n'émet qu'une hypothèse lorsqu'il tient pour possible d'avoir saisi (et non " empoigné ") son amie. Faisant référence à la pièce 23/3 (appel à son " assureur-maladie "), il soutient que cette hypothèse se référerait à une altercation survenue le 25 février 2016.
La cour cantonale a retenu que les parties s'accordaient à indiquer que l'intimée avait tenté d'empêcher le recourant de quitter l'appartement, que ce soit en faisant barrage de son corps ou en l'agrippant (PV aud. 2, lignes 55-66 et 159-160). Elle a ajouté que le recourant avait lui même déclaré " tenir pour possible qu'il avait empoigné sa partenaire pour se défaire de son étreinte" (PV aud. 2, lignes 161-162) (jugement attaqué p. 15). Le recourant soutient qu'il se référait à une dispute intervenue le 25 février 2016 et non à celle du 14 avril 2016. Les faits auxquels le recourant se référait exactement ne sont en définitive pas déterminants. Dans tous les cas, il a admis qu'ils avaient eu en 2016 des disputes plus violentes, durant lesquelles son amie refusait de le laisser partir et où il la bousculait en la poussant avec les mains (pièce 4, p. 6; jugement attaqué p. 15). Ces déclarations renforcent la crédibilité de la version de l'intimée. La cour cantonale n'a donc pas versé dans l'arbitraire ni renversé le fardeau de la preuve en retenant que les déclarations des parties convergeaient sur certains points. Le grief soulevé est ainsi infondé.
3.5. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu que la secrétaire médicale avait constaté des dermabrasions au cou (alors qu'elle aurait décrit des " bleus ") et un hématome à l'oeil gauche (alors qu'elle ne se souvenait pas s'il y avait une marque sous l'oeil). Il met en doute les déclarations du témoin qui est la cousine par alliance de l'intimée. Il fait également le grief à l'intimée d'avoir abordé les témoins et de s'être entretenue avec eux sur l'affaire, nuisant ainsi à la recherche de la vérité.
La cour cantonale a retenu que " les marques d'étranglement sous la forme de dermabrasions au cou, ainsi qu'un hématome à l'oeil gauche, ont été constatés par la secrétaire médicale et par le médecin " (jugement attaqué p. 15 s.). Selon le certificat médical, les blessures constatées consistent en " traces de strangulation avec dermabrasion au cou " et " hématome oculaire gauche " (jugement attaqué p. 12). Le témoin a déclaré qu'elle se souvenait de marques sur le cou, un peu comme des bleus; elle a ajouté: " Je ne peux pas vous répondre avec exactitude si c'était des hématomes ou des griffures, mais plutôt des hématomes " (jugement de première instance p. 9).
La cour de céans ne voit pas de contradiction entre le certificat médical et les déclarations du témoin: des traces de strangulation apparaissent bien comme des marques, un peu comme des bleus. La cour cantonale n'a pour le surplus pas méconnu les liens de parenté entre le témoin et l'intimée, mais a considéré que cela n'enlevait rien à sa crédibilité. Lorsque le recourant accuse l'intimée d'avoir manipulé le témoin, son argumentation est purement appellatoire. Enfin, le fait que le témoin ne se souvient plus d'avoir vu un hématome ne rend pas arbitraire la constatation de la cour cantonale, selon laquelle le certificat du Dr D._ n'était pas un certificat de complaisance. Les griefs soulevés sont donc infondés.
3.6. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant que l'intimée avait renoncé à s'ouvrir des faits du 14 avril 2016 en raison de la relation avec l'enfant commun des parties et qu'elle avait pu dissimuler sous son maquillage les traces qu'elle avait prétendument au cou et au visage. Il fait valoir que l'intimée a fait allusion à la police de violences domestiques, de sorte que l'on ne saurait soutenir qu'elle voulait couvrir et épargner son compagnon et ainsi préserver la relation à son enfant en n'évoquant pas les faits du 14 avril 2016. Il mentionne également que la cour cantonale a qualifié ces traces comme " visibles par tout un chacun ", de sorte que la dissimulation de ces traces devait impliquer un recours inhabituel à du maquillage, qui plus est à 02h35 du matin.
La cour cantonale a retenu que lorsque l'intimée s'est rendue le 17 avril 2016, à savoir trois jours après les faits, au poste de police pour y demander assistance, selon la mention au journal du poste, elle a surtout fait état de son conflit avec sa belle-famille au sujet de sa fille; le journal ajoute qu'elle " a demandé conseil en cas de conflit avec son ami qui pourrait être violent avec elle " (pièce 24/1). La cour cantonale a expliqué le silence de l'intimée quant aux faits survenus le 14 avril 2016, " par sa relation à son enfant ". Elle a également noté qu'il était vraisemblable que le policier qui l'avait reçue le 17 avril 2016 n'avait pas remarqué les traces qu'elle portait au cou et au visage, notamment du fait qu'elle les avait dissimulées sous du maquillage (jugement attaqué p. 16).
Le raisonnement de la cour cantonale n'a rien d'arbitraire. La seule évocation de violence conjugale possible dans le futur ne constituait pas une plainte pénale et n'entraînait dès lors pas la mise en oeuvre de mesures d'investigation de la part de la police; dans ces conditions, l'intimée n'avait pas à craindre d'éventuelles représailles de son compagnon et/ou de sa belle famille. Il n'est pas non plus arbitraire de retenir qu'un policier n'a pas vu les traces de coup plusieurs jours après l'altercation, car elles étaient cachées par du maquillage, alors qu'elles étaient visibles par tout un chacun, juste après l'altercation, l'intimée n'étant alors pas maquillée (puisqu'elle allait chez le médecin). Les griefs soulevés sont infondés.
4.
Le recourant conteste la décision incidente du 15 août 2019 révoquant le mandat de son défenseur d'office.
4.1. Le recourant attaque ici la décision du 15 août 2019 prononçant la révocation du mandat de son défenseur d'office et arrêtant l'indemnité de défense d'office à 926 fr. pour la période courant jusqu'au 12 août 2019. Cette décision qui révoque l'assistance judiciaire est une décision incidente (cf. ATF 139 V 600 consid. 2.2 p. 602). Elle n'était en l'occurrence pas susceptible de causer un préjudice irréparable au recourant (cf. ATF 139 V 600 consid. 2.3 p. 603). En effet, la procédure d'appel était terminée lors de sa notification le 17 septembre 2019 et le mandataire du recourant avait déjà fait son travail. Le recourant ne courait plus le risque de ne pas pouvoir faire valoir ses droits en raison du refus de l'assistance judiciaire; il ne s'agit plus que de la question de savoir qui réglera les honoraires de son avocat. C'est donc à juste titre que, conformément à l'art. 93 al. 3 LTF, le recourant conteste la décision révoquant son défenseur d'office dans le recours dirigé contre la décision finale.
4.2. Le recourant conteste que les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire ne soient plus réalisées pour la procédure d'appel.
4.2.1. La défense d'office débute avec la désignation du défenseur d'office et subsiste aussi longtemps que les motifs ayant donné lieu à sa désignation perdurent, au plus tard jusqu'à la fin de la procédure devant les instances cantonales, y compris des procédures de recours (VIKTOR LIEBER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2e éd., 2014, n° 1 ad art. 134 CPP). S'il apparaît en cours de procédure que les conditions d'une défense d'office ne sont plus remplies, la direction de la procédure révoque le mandat du défenseur désigné (art. 134 al. 1 CPP).
4.2.2. En dehors des cas de défense obligatoire (art. 130 CPP), l'art. 132 al. 1 let. b CPP soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance.
S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (art. 132 al. 2 CPP). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois, d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende ou d'un travail d'intérêt général de plus de 480 heures (art. 132 al. 3 CPP). Pour savoir si l'affaire présente des difficultés de fait ou de droit (art. 132 al. 2 in fine CPP), il faut tenir compte, selon la jurisprudence, des circonstances concrètes, de la complexité des questions de fait et de droit, des particularités que présentent les règles de procédure applicables, des connaissances juridiques du requérant ou de son représentant, du fait que la partie adverse est assistée d'un avocat et de la portée qu'a pour le requérant la décision à prendre, avec une certaine réserve lorsque sont en cause principalement ses intérêts financiers (arrêts 6B_243/2017 du 21 septembre 2017 consid. 2.2; 6B_661/2011 du 7 février 2012 consid. 4.2.3).
Si les deux conditions mentionnées à l'art. 132 al. 2 CPP doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe " notamment "; cf. ATF 143 I 164 consid. 3.4 p. 173 s. et les références citées), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention (arrêts 1B_170/2016 du 12 juillet 2016 consid. 3.1; 1B_234/2013 du 20 août 2013 consid. 5.1; 1B_477/2011 du 4 janvier 2012 consid. 2.2).
4.2.3. Par ordonnance du 18 juillet 2018, le ministère public a considéré que le prévenu s'exposait à une peine qui n'était pas de peu de gravité et a accordé au recourant un défenseur d'office. Le 17 mai 2019, le tribunal de première instance a condamné le recourant pour un épisode de lésions corporelles simples qualifiées (14 avril 2016) et un épisode de voies de fait (3 novembre 2016), abandonnant l'accusation pour les faits survenus en 2013 et 2015; il a prononcé une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'une amende de 210 francs. Le recourant ne contestait en appel que les faits relatifs aux lésions corporelles simples et les frais.
L'objet de la procédure d'appel s'est ainsi considérablement réduit par rapport à celui de la procédure de première instance, puisque seule une peine pécuniaire de 80 jours-amende était en jeu. L'affaire était ainsi de peu de gravité (cf. art. 132 al. 3 CPP). En outre, elle ne présentait pas, sur le plan du droit ou des faits, des difficultés que le recourant ne pouvait pas surmonter seul. C'est en vain que le recourant fait valoir que la cause ne saurait être considérée comme suffisamment simple pour lui refuser le droit à un défenseur d'office, puisque l'appel a été admis sur la question de la répartition des frais. La réduction des frais ne se fondait en effet que sur l'acquittement partiel du recourant. Or, celui-ci était parfaitement à même de se prévaloir seul de cette conséquence logique d'une libération sans qu'un avocat d'office ne l'exprime pour lui. Enfin, comme la cour cantonale avait révoqué le défenseur d'office de la partie plaignante, le défenseur d'office du recourant n'était plus nécessaire pour garantir l'égalité des armes (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1). En conséquence, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral, en considérant que le motif à l'origine de la défense d'office avait disparu.
4.3. Le recourant se plaint du fait que la décision de révocation du mandat de son défenseur d'office ne lui a été notifiée qu'après l'audience d'appel. Il soutient que cette révocation ne pouvait pas intervenir avec un effet rétroactif.
Dans sa décision du 15 août 2019, la cour cantonale a révoqué le mandat d'office pour la procédure d'appel avec effet immédiat et a accordé une indemnité de conseil d'office pour les opérations jusqu'au 12 août 2019. Cette décision a été notifiée au défenseur d'office le 17 septembre 2019, à savoir après les débats de deuxième instance.
En principe, une décision ne déploie ses effets juridiques en vue desquels elle a été rendue seulement avec sa notification. Le destinataire de la décision ne peut en effet être tenu par une décision que s'il en a connaissance (cf. DUBEY/ZUFFEREY, Droit administratif général, 2014, n° 977, p. 346). Dans la mesure où la décision de révocation n'a été notifiée au défenseur d'office que le 17 septembre 2019, elle déploie ses effets juridiques dès cette date et non déjà dès le 12 août 2019. La révocation ne prenant effet que le 17 septembre 2019, la défense d'office doit donc couvrir les opérations jusqu'à l'audience d'appel (préparation de l'audience d'appel et audience d'appel). Dans la mesure où le jugement attaqué refuse d'indemniser les opérations effectuées entre le 12 août 2019 et l'audience d'appel, le recours doit être admis, le jugement attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement sur ce point.
4.4.
4.4.1. Dans sa réponse, la cour cantonale relève que le recourant s'est présenté à l'audience, assisté d'un avocat de choix, F._. Pour la cour cantonale, il aurait ainsi renoncé par actes concluants aux services de son défenseur d'office, Matthieu Genillod, pour lui préférer un défenseur de choix en application de l'art. 129 al. 1 CPP; dans ces conditions, il ne saurait se plaindre de n'avoir eu connaissance de la révocation du mandat de défenseur d'office qu'après l'audience d'appel. Dans sa réplique, le recourant conteste avoir fait appel à un avocat de choix. Il expose que son défenseur d'office avait chargé un collaborateur de son étude de défendre ses intérêts lors des débats d'appel. Lors de l'audience, celui-ci avait été informé que le mandat de défenseur d'office avait été révoqué selon une décision qui avait été envoyée peu avant l'audience d'appel. A la suite de cette communication orale, il avait pris une conclusion en versement d'une indemnité selon l'art. 429 al. 1 let. a CPP. Selon le recourant, le remplaçant de son défenseur d'office ne pouvait, à l'audience d'appel et sitôt après avoir eu connaissance oralement de la révocation du mandat, mettre fin au contrat de mandat, sauf à résilier en temps manifestement inopportun et engager sa responsabilité.
4.4.2. Contrairement à ce que soutient la cour cantonale, le prévenu ne saurait mettre fin au mandat de son défenseur d'office par actes concluants. Le prévenu est certes libre, à n'importe quel stade de la procédure, de charger de sa défense un défenseur de choix, mais doit le faire moyennant procuration ou déclaration consignée au procès-verbal (art. 129 al. 2 CPP; arrêts 1B_394/2014 du 27 janvier 2015 consid. 2.2.2 et 2.2.3; 1B_392/2017 du 14 décembre 2017 consid. 2.1; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd., 2019, n° 14a ad art. 134 CPP). En outre, la direction de la procédure doit révoquer le mandat du défenseur d'office (HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., 2e éd., 2019, n° 6 ad art. 134 CPP). En l'espèce, le jugement attaqué ne mentionne aucun de ces éléments qui permettraient de conclure au remplacement du défenseur d'office par un avocat de choix. Dans le cadre du renvoi (cf. consid. 4.3), la cour cantonale devra compléter, le cas échéant, le jugement attaqué sur ces points.
5.
Le recours doit être partiellement admis (cf. consid. 1 et 4). Pour le surplus, il doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe partiellement, supportera une partie des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il peut prétendre à des dépens réduits, à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 LTF). La demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant est sans objet dans la mesure où ce dernier a droit à des dépens; elle doit être rejetée pour le reste, dès lors que le recours était dénué de chances de succès s'agissant des aspects sur lesquels le recourant a succombé (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires mis à la charge de l'intéressé seront cependant fixés en tenant compte de sa situation économique, laquelle n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 LTF).
L'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer, ne saurait prétendre à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 800 fr., est mise à la charge du recourant.
4.
Le canton de Vaud versera au conseil du recourant une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 juillet 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin