Erwägungen:
1.
1.1. Mit Verfügung vom 31. Januar 2018 hielt die Billag AG gegenüber A._ fest, dass dieser seit dem 1. Januar 1998 ohne Unterbruch der Gebührenpflicht für den privaten Radio- und Fernsehempfang unterstanden sei, und verfügte sie über die offenen Forderungen für diesen Zeitraum. Auf die dagegen erhobene Beschwerde vom 20. März 2019 trat das Bundesamt für Kommunikation (BAKOM) mit Verfügung vom 7. April 2020 nicht ein. Die Begründung ging dahin, dass die Beschwerde verspätet ergriffen worden sei.
1.2. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Er beantragte, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben, da das BAKOM zu Unrecht auf seine Beschwerde nicht eingetreten sei. Die Billag AG habe ihm nie eine Verfügung zugestellt und die Zustellfiktion sei unzutreffend angewandt worden. In materieller Hinsicht stellte er den Antrag, das Bundesverwaltungsgericht habe den Sachverhalt zu untersuchen, sich zur Rechtmässigkeit der Forderung zu äussern und alle Forderungen der Billag AG zu "annullieren und eliminieren", da er alle Zahlungen fristgerecht geleistet habe. Ferner ersuchte er um die unentgeltliche Rechtspflege, die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands und für seine Umtriebe eine Aufwands- und Verfahrensentschädigung im Betrag von Fr. 650.--.
1.3. Mit Zwischenverfügung vom 23. Juni 2020 im Verfahren A-2481/2020 gewährte das Bundesverwaltungsgericht A._ das Recht zur unentgeltlichen Prozessführung, wogegen es das Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands abwies. Das Bundesgericht bestätigte dies und wies die Beschwerde von A._ mit Urteil 2C_625/2020 vom 19. August 2020 ab.
1.4. In der Sache selbst hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid A-2481/2020 vom 2. Februar 2021 die Beschwerde gut. Es erkannte, die Eingabe vom 20. März 2019 sei, entgegen der Ansicht des BAKOM, rechtzeitig erfolgt. In Aufhebung der Verfügung vom 7. April 2020 sei die Sache daher zur materiellen Behandlung der Beschwerde an das BAKOM zurückzuweisen. A._ obsiege im Eintretenspunkt. Der Umfang seines Unterliegens sei angesichts dessen, dass auf seine materiellen Anträge nicht einzutreten gewesen und deren Ausgang offen sei, als gering zu betrachten. Daraus erwachsene etwaige Verfahrenskosten seien ihm daher "zu erlassen" und die ihm gewährte unentgeltliche Prozessführung sei als gegenstandslos zu betrachten. Im Entschädigungspunkt mache A._ zwar einen Betrag von Fr. 650.-- geltend. Da er aber nicht anwaltlich vertreten sei, seine weiteren Auslagen nicht belegt seien und diese sich ohnehin in verhältnismässig geringem Rahmen bewegten, falle eine Entschädigung nicht in Betracht (Art. 7 Abs. 4 VGKE).
1.5. Mit Eingabe vom 10. März 2021 (Poststempel: 15. März 2021) erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten "inkl. subsidiärer Verfassungsbeschwerde". Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei hinsichtlich von Ziff. 3 des Dispositivs ("Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen") bzw. "allen entschädigungsrelevanten Punkten" aufzuheben (Antrag 1). Die vorinstanzlichen Akten seien einzuholen und der Sachverhalt zu untersuchen (Antrag 2). Weiter habe das Bundesgericht, auch im Sinne von Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung, die vom Beschwerdeführer in rund 20 Punkten dargelegten Aspekte zu prüfen, zu kommentieren und zu korrigieren (Antrag 3). Alsdann stellt der Beschwerdeführer - nunmehr unter dem Aspekt der subsidiären Verfassungsbeschwerde - Begehren, die eine grosse Zahl von Grundrechten betreffen (Antrag 4). Weitere Begehren enthalten materielle Vorgaben, wie das Bundesgericht zu entscheiden habe (Anträge 5, 6 und 7). Ferner ersucht der Beschwerdeführer um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und "allfällig ein kostenloser Rechtsanwalt"; Antrag 8). Er verlangt, er sei von sämtlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen zu entlasten (Anträge 9 und 10). Für das Verfahren vor Bundesgericht sei ihm eine angemessene Entschädigung zuzusprechen (Antrag 11; sinngemäss auch Anträge 12 und 14). Gegebenenfalls sei ihm Nachfrist zur Verbesserung seiner Laienbeschwerde anzusetzen (Antrag 13).
2.
2.1. Die Angelegenheit fällt in den Sachbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) verbleibt daher kein Raum.
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz hat den angefochtenen Entscheid aufgehoben und die Sache zur materiellen Beurteilung an das BAKOM zurückgewiesen (Ziff. 1 des Dispositivs). Das Bundesverwaltungsgericht ist damit dem Hauptantrag des Beschwerdeführers nachgekommen, der um Aufhebung der angefochtenen Verfügung ersucht hatte, da das BAKOM auf seine Beschwerde zu Unrecht nicht eingetreten sei. Indes hat es dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zugesprochen (Ziff. 3 des Dispositivs). Dem Beschwerdeführer scheint es hauptsächlich darum zu gehen, die Kosten- und Entschädigungsregelung aller vorangehenden Verfahren zu rügen. Darüber hinaus greift in seiner Eingabe zahlreiche Aspekte des materiellen Verfahrens auf, die als solche aber weder im vorinstanzlichen Verfahren zu beurteilen waren noch im vorliegenden Verfahren zu beurteilen sind. Die Vorinstanz hatte einzig die Eintretensfrage zu beurteilen. Der so umrissene Streitgegenstand kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 143 V 19 E. 1.1 S. 22). Auf die materiellen Anträge, die der Beschwerdeführer stellt, ist daher von vornherein nicht einzugehen.
2.2.2. Was den Entschädigungspunkt (Ziff. 3 des Dispositivs) betrifft, so ist zu beachten, dass die Vorinstanz einen Rückweisungsentscheid erlassen hat. Rückweisungsentscheide schliessen das Verfahren nicht ab, weshalb es sich bei ihnen grundsätzlich um einen Zwischenentscheid handelt (BGE 144 IV 321 E. 2.3 S. 328 f.). Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder zu Ausstandsbegehren noch zur Zuständigkeit ergehen (dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde lediglich unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG gegeben. Hierfür ist erforderlich, dass der Rückweisungsentscheid entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG; BGE 146 I 36 E. 2.2 S. 41). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass das Bundesgericht sich mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (BGE 144 III 475 E. 1.2 S. 479). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben (BGE 144 III 253 E. 1.3 S. 254).
2.2.3. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, der einer beschwerdeführenden Person droht, muss rechtlicher Natur sein und darf auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht oder nicht vollständig behoben werden können (BGE 143 III 416 E. 1.3 S. 419). Rein tatsächliche Nachteile reichen grundsätzlich nicht aus (BGE 142 III 798 E. 2.2 S. 800 f.). Die blosse Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens, die sich als natürliche Folge des Verfahrensfortgangs darstellt, stellt einen derartigen tatsächlichen Nachteil dar, der unter dem Aspekt von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ungenügend ist, um einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen (Urteil 2C_663/2016 vom 5. August 2016 E. 2.2.2).
2.2.4. Der Beschwerdeführer kritisiert in seiner 33-seitigen, dicht bedruckten Eingabe die vorinstanzliche Handhabung des Reglements über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (VGKE; SR 173.230.2). Soweit den Streitgegenstand betreffend, beanstandet er die Verweigerung einer Parteientschädigung und insbesondere die Anwendung von Art. 7 Abs. 4 VGKE ("Sind die Kosten verhältnismässig gering, so kann von einer Parteientschädigung abgesehen werden"). Nach ständiger Rechtsprechung begründet aber die Kostenregelung in einem Rückweisungsentscheid keinen nicht wieder gut zu machenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, weil der Kostenentscheid im Anschluss an den aufgrund des Rückweisungsentscheids neu ergehenden Endentscheid in der Sache angefochten werden kann (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 142 II 363 E. 1.1, mit Hinweisen).
2.2.5. Unter dem Aspekt von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist der vorinstanzliche Entscheid mithin nicht selbständig anfechtbar. Nichts Anderes könnte sich - bei hinreichender Begründung, die nicht vorliegt - aus Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ergeben, wird das BAKOM doch kaum ein ausserordentlich aufwändiges Beweisverfahren anzustellen haben. Für eine Nachfrist zur Verbesserung der Beschwerde, um die der Beschwerde ersucht (Antrag 13), besteht keine rechtliche Grundlage (Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.2.6. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach dem Gesagten nicht einzutreten. Dies hat durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter zu geschehen (Art. 32 Abs. 1, Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Damit erübrigt sich eine Beurteilung der Begehren, soweit diese die Sache selbst betreffen (Anträge 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10). Ebenso wenig einzutreten ist, wie bereits dargelegt, auf das Rechtsmittel, soweit dieses in Ergänzung der Einheitsbeschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausgestaltet ist (Antrag 4).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Das im bundesgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung (Art. 29 Abs. 3 BV bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erweist sich mit Blick auf die in der Hauptsache gestellten Anträge als aussichtslos (BGE 142 III 138 E. 5.1 S. 139 f.). Es ist abzuweisen. Aufgrund der aussichtslosen Rechtsbegehren entfällt von vornherein ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (BGE 135 I 1 E. 7.1 S. 2; Antrag 8). Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Auf eine Parteientschädigung besteht mangels Obsiegens kein Anspruch (Art. 68 Abs. 1 BGG; Anträge 11, 12, 14).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung) wird abgewiesen.
3.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, und dem Eidgenössischen Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK), schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher