Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Schreiben vom 14. und 24. Juli 2019 Strafanzeige gegen zwei Angestellte der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich wegen Körperverletzung, Nötigung, Freiheitsberaubung und Verleumdung. Er warf den Angezeigten vor, ihn und andere Patienten zwangsmediziert und ihn genötigt zu haben, diese Medikamente freiwillig zu nehmen, ansonsten er nicht aus der Massnahme entlassen werde. Ausserdem sei er zweimal unrechtmässig in seiner Zelle von anderen Personen isoliert und zwangsmediziert worden. Eine Angestellte habe zudem wahrheitswidrig behauptet, er hätte ihr gedroht und vor ihrem Gesicht Schlagbewegungen ausgeführt.
2.
Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland überwies die Akten mit Verfügung vom 2. September 2019 an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung. Mit Beschluss vom 6. Februar 2020 erteilte die III. Strafkammer der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass nicht ansatzweise von einem Anfangsverdacht auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten ausgegangen werden könne.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 12. Februar 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die III. Strafkammer legte ausführlich dar, weshalb sie im Verhalten der Angezeigten keine Hinweise auf ein strafbares Verhalten sah. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander und vermag nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer, die zur Nichterteilung der Ermächtigung führte, bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli