Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A._ und B._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) erhoben gegen einen Entscheid des Steuerrekursgerichts des Kantons Zürich vom 12. Februar 2021 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich und direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2016 und 2017) Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 27. April 2021 in den Verfahren SB.2021.00043 / SB.2021.00044 trat dieses auf die Eingabe nicht ein. Das Verwaltungsgericht begründete dies damit, dass die Beschwerde - trotz angesetzter Nachfrist zur Verbesserung - den formellen Anforderungen nicht genüge. Gemäss amtlichem Hinweis unterhalb der Rechtsmittelbelehrung erfolgte der Versand der Verfügung am 18. Mai 2021. Aus der elektronischen Sendungsverfolgung "Track & Trace" der Post CH AG geht sodann hervor, dass die Sendung den Steuerpflichtigen am 26. Mai 2021 um 16.29 Uhr zugestellt wurde.
1.2. Mit eingeschriebener Briefpost vom 26. Juni 2021, 16.22 Uhr (Poststempel), erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und die Veranlagung sei entsprechend ihren Steuererklärungen vorzunehmen.
1.3. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen - insbesondere einem Schriftenwechsel - abgesehen.
2.
2.1. An das Bundesgericht gerichtete fristgebundene Eingaben müssen spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (Art. 48 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt im vorliegenden Fall der üblichen 30-tägigen Frist, gerechnet ab der vollständigen Eröffnung des Entscheids (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.2. Gemäss der vom Bundesgericht beigezogenen elektronischen Sendungsverfolgung "Track&Trace" wurde die angefochtene Verfügung den Steuerpflichtigen am Mittwoch, 26. Mai 2021 um 16.29 Uhr am Postschalter zugestellt. Die 30-tägige Frist begann am Donnerstag, 27. Mai 2021 zu laufen und verstrich am Freitag, 25. Juni 2021. Wie das amtliche Wertzeichen auf der Eingabe an das Bundesgericht belegt, erfolgte die Aufgabe am Samstag, 26. Juni 2021 um 16.22 Uhr. Zu diesem Zeitpunkt war die gesetzliche Frist allerdings bereits abgelaufen, weshalb die verspätete Postaufgabe zu keiner Fristwahrung mehr führen konnte.
2.3. Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unzulässig, weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
2.4. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese haben die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen (Art. 66 Abs. 5 BGG). Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2016 und 2017, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2016 und 2017, wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher