Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 14. Oktober 2020 erkannte die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) A._ der Drohung schuldig und auferlegte ihm eine bedingte Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 80.-- und eine Busse von Fr. 1'400.--. Zur Begründung legte die Staatsanwaltschaft dar, A._ habe in der Nacht des 4. Januar 2020 nach dem Besuch eines Restaurants in stark alkoholisiertem Zustand aufgrund eines spontanen Beschlusses zusammen mit zwei ebenfalls stark alkoholisierten Bekannten gegenüber vier jungen Männern "aus Spass" einen Raubüberfall vorgetäuscht. Durch das Verhalten von A._ und seinen beiden Bekannten in Angst und Schrecken versetzt, seien die vier jungen Männer davongerannt. In der Folge habe die herbeigerufene Polizei A._ und seine beiden Bekannten festgenommen.
Dagegen erhob A._ am 21. Oktober 2020 Einsprache.
Die Staatsanwaltschaft hielt am Strafbefehl fest und überwies am 7. Dezember 2020 das Verfahren an das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt.
B.
Am 15. Januar 2021 beantragte A._ der Präsidentin des Strafgerichts die Bewilligung der amtlichen Verteidigung.
Mit Verfügung vom 9. Februar 2021 wies die Strafgerichtspräsidentin den Antrag ab.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 21. Mai 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, den Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin aufzuheben und die Strafgerichtspräsidentin anzuweisen, für das Untersuchungsverfahren und das Verfahren vor dem Strafgericht eine notwendige, eventualiter amtliche Verteidigung zu bestimmen und Rechtsanwalt Christoph Vettiger als Verteidiger einzusetzen. Zudem stellt er weitere Anträge.
D.
Die Appellationsgerichtspräsidentin beantragt unter Hinweis auf ihren Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Die Strafgerichtspräsidentin hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach Art. 80 BGG zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Der angefochtene Entscheid stellt einen Zwischenentscheid dar, der dem Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG verursachen kann (BGE 140 IV 202 E. 2.2 mit Hinweis). Die Beschwerde ist daher auch insoweit zulässig.
Gegenstand des Verfahrens ist hier - wie sich auch aus Antrag 1 der Beschwerde an die Vorinstanz ergibt - einzig, ob die Vorinstanz einen Anspruch des Beschwerdeführers auf notwendige bzw. amtliche Verteidigung für das Verfahren vor dem Strafgericht verneinen durfte. Soweit der Beschwerdeführer die Bewilligung der notwendigen bzw. amtlichen Verteidigung auch für das Untersuchungsverfahren verlangt, kann auf die Beschwerde demnach nicht eingetreten werden. Im vorliegenden Verfahren geht es sodann um keine Zuständigkeitsfrage. Soweit der Beschwerdeführer die Zuständigkeit der Behörden des Kantons Basel-Stadt bestreitet, ist er daher ebenfalls nicht zu hören.
2.
2.1. Art. 130 StPO regelt die notwendige Verteidigung. Danach muss die beschuldigte Person verteidigt werden, wenn (a) die Untersuchungshaft einschliesslich einer vorläufigen Festnahme mehr als 10 Tage gedauert hat, (b) ihr eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr, eine freiheitsentziehende Massnahme oder eine Landesverweisung droht, (c) sie wegen ihres körperlichen oder geistigen Zustandes oder aus anderen Gründen ihre Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann und die gesetzliche Vertretung dazu nicht in der Lage ist, (d) die Staatsanwaltschaft vor dem erstinstanzlichen Gericht oder dem Berufungsgericht persönlich auftritt oder (e) ein abgekürztes Verfahren nach Art. 358-362 StPO durchgeführt wird.
Inwiefern hier eine dieser Voraussetzungen erfüllt sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar und ist nicht erkennbar. Soweit er die Bewilligung einer notwendigen Verteidigung verlangt, ist die Beschwerde daher unbehelflich.
2.2. Gemäss Art. 132 StPO ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (Abs. 1 lit. b). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (Abs. 2). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten oder eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen zu erwarten ist (Abs. 3).
Die Vorinstanz erwägt, die Angaben des Beschwerdeführers zur geltend gemachten Bedürftigkeit seien widersprüchlich. Diese sei damit nicht hinreichend dargetan.
Nach der Rechtsprechung obliegt es dem die amtliche Verteidigung beantragenden Beschuldigten, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen und seine finanziellen Verpflichtungen zu belegen. Kommt er dieser Obliegenheit nicht nach, ist der Antrag abzuweisen. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Verhältnisse dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer sie sind (BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.; Urteil 1B_245/2020 vom 23. Juli 2020 E. 3.5; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer brachte vor, er sei arbeitslos und lebe in Deutschland von Sozialleistungen ("Hartz IV"). In seiner staatsanwaltschaftlichen Befragung vom 4. Januar 2020 zur Person gab er dagegen an, er habe unter anderem eine Lehre als Metzger erfolgreich abgeschlossen. Derzeit arbeite er als solcher in der Metzgerei seines Bruders. Er sei Arbeitnehmer mit einem Beschäftigungsgrad von 100 Prozent und verdiene netto ca. Fr. 4'000.-- pro Monat. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, sind die Angaben des Beschwerdeführers zu seinen Einkommensverhältnissen damit widersprüchlich. Weshalb er in seiner Befragung zur Person die Unwahrheit gesagt haben sollte, ist nicht erkennbar. Die Polizei nahm ihn in der Nacht des 4. Januar 2020 um 00.55 Uhr fest. Die Befragung zur Person fand am gleichen Tag zwischen 13.39 und 14.13 Uhr und somit deutlich später statt. Dass er dabei noch erheblich unter Alkoholeinfluss stand, kann ausgeschlossen werden. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen annimmt, der Beschwerdeführer habe seine Bedürftigkeit nicht hinreichend dargetan, hält das vor Bundesrecht stand. Der Beschwerdeführer hätte insoweit nach der dargelegten Rechtsprechung klare Verhältnisse schaffen müssen, was er unterliess. Schon aus diesem Grund fehlt es an den Voraussetzungen der amtlichen Verteidigung nach Art. 132 StPO.
Hinzu kommt Folgendes: Die Staatsanwaltschaft wirft dem Beschwerdeführer keinen ernst gemeinten Raub vor, sondern einen schlechten Scherz in stark alkoholisiertem Zustand. Eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen droht ihm nicht. Damit ist ein Bagatellfall anzunehmen. Auch deshalb besteht nach Art. 132 Abs. 2 f. StPO kein Anspruch auf amtliche Verteidigung.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beantragte vor Vorinstanz, es sei ihm für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren und Rechtsanwalt Christoph Vettiger als sein Rechtsvertreter einzusetzen. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe diesen Antrag nicht behandelt und damit eine Rechtsverweigerung begangen.
3.2. Die Vorinstanz erhob keine Kosten. Der Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege wurde damit gegenstandslos.
Zum Antrag um unentgeltliche Verbeiständung äussert sich die Vorinstanz zwar nicht ausdrücklich. Sie erachtet, wie gesagt, in ihren Erwägungen jedoch die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers als nicht hinreichend dargetan. Damit ist klar, dass er keinen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung hatte. Die Vorinstanz hat den entsprechenden Antrag daher stillschweigend abgelehnt. Das ist nach der Rechtsprechung zulässig (BGE 133 IV 142 E. 2.3 ff.; 114 Ia 332 E. 2 f.). Eine Rechtsverweigerung kann der Vorinstanz daher nicht vorgeworfen werden. Zur Zusprechung einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer trotz dessen Unterliegens hatte die Vorinstanz keinen Grund.
4.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach Art. 64 BGG kann schon deshalb nicht bewilligt werden, weil die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers nicht genügend belegt ist. Die Beschwerde war zudem aussichtslos. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Strafgerichtspräsidentin und der Appellationsgerichtspräsidentin des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Härri