Faits :
A.
A._, né en 1973, et B._, née en 1981, sont les parents (non mariés) de l'enfant C._, née en 2018.
Le 25 mars 2019, l'enfant, représentée par sa mère, a ouvert action en entretien à l'encontre du père. Les parties ont comparu le 20 mai 2019 à une audience de conciliation, à l'issue de laquelle une autorisation de procéder a été délivrée à chaque partie.
Par mémoire du 14 août 2019, l'action au fond a été introduite auprès de la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère, tendant à l'attribution de la garde exclusive en faveur de la mère, à la fixation d'un droit de visite progressif en faveur du père et au paiement d'une contribution à l'entretien de l'enfant.
B.
Par acte du 26 novembre 2019, complété le lendemain, le père a requis la récusation de ladite Présidente en raison de sa " partialité manifeste intervenue dans le cadre de ce dossier à plusieurs reprises ".
Par décision du 24 avril 2020, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère a rejeté la requête de récusation. Statuant le 5 octobre 2021, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a confirmé cette décision.
C.
Par acte expédié le 26 novembre 2021, le requérant forme un recours en matière civile, " doublé " d'un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral; à titre principal, il conclut en bref à la récusation de la Présidente visée par la requête, à son remplacement par un nouveau magistrat, à l'octroi d'un délai supplémentaire pour déposer sa réponse dans le cadre de la cause " n° 10 2019 1044" et à l'annulation de divers actes de procédure. En outre, il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des observations n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 23 décembre 2021, l'effet suspensif a été attribué au recours.
Considérant en droit :
1.
Comme l'a exposé la Cour de céans lors du recours portant sur le refus de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale (arrêt 5A_591/2020 du 17 novembre 2020), la voie de recours à l'encontre d'une décision incidente - en l'occurrence, le rejet d'une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF) - est déterminée par le litige principal, à savoir, dans le cas présent, une affaire civile non pécuniaire dans son ensemble (consid. 1). Le recourant souligne d'ailleurs lui-même que la valeur litigieuse serait de toute façon amplement atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF, en relation avec l'art. 51 al. 1 let. c LTF). Comme le recours en matière civile est (en principe) recevable, le recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (art. 113 LTF); pour le même motif, il n'y a pas lieu de s'interroger sur l'existence d'une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF.
Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité sont remplies: le recours a été déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); le recourant, qui a pris part à la procédure devant la cour cantonale et possède un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt attaqué, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le recourant se plaint d'emblée d'un établissement manifestement inexact des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF, relevant que la décision attaquée retient elle-même que plusieurs faits n'ont " effectivement pas été constatés par le Président ".
2.2. En vertu de l'art. 97 al. 1 LTF, la partie recourante n'est admise à critiquer les constatations de fait que si, en particulier, les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 147 I 73 consid. 2.2). Encore faut-il toutefois que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause; il incombe dès lors à la partie recourante de rendre vraisemblable que la décision attaquée aurait été différente si les faits avaient été établis de manière conforme au droit (ATF 134 V 53 consid. 3.4).
En l'occurrence, le recourant se borne à reproduire (longuement) les faits qu'il a allégués, mais que les magistrats précédents n'auraient pas constatés dans les considérants 4.2 et 5.2.6 de leur arrêt; il termine ce rappel en affirmant de manière péremptoire que la " correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause, car des faits pertinents ont été omis et/ou établis de manière partielle et incomplète ", lesdits " faits pertinents " permettant de " rendre vraisemblable la partialité de la Présidente ". Une motivation aussi indigente ne répond pas à l'exigence posée à l'art. 106 al. 2 LTF (parmi d'autres: ATF 142 III 364 consid. 2.4 et la jurisprudence citée), de sorte que le recours est irrecevable dans cette mesure.
3.
3.1. Invoquant pêle-mêle les art. 5 al. 3 et 9 Cst. ainsi que l'art. 52 CPC, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir " gravement violé le principe de la bonne foi à plusieurs titres ".
3.2. Dans la mesure où il fixe une règle de comportement du juge dans le procès civil, le principe de la bonne foi découle de l'art. 9 Cst., qui garantit au justiciable le droit d'être traité par les organes de l'État sans arbitraire et conformément aux règles de la bonne foi (ATF 102 Ia 574 consid. 6; cf. FF 2006 p. 6888 ad art. 50 P-CPC).
En l'occurrence, le recourant reproduit textuellement divers extraits de l'arrêt attaqué, qu'il agrémente de ses propres commentaires. Or, une telle façon de procéder, manifestement appellatoire, est inadmissible au regard de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 146 IV 114 consid. 2.1).
Au demeurant, l'intéressé perd de vue qu'il n'appartient pas à l'autorité saisie d'une requête de récusation d'examiner la conduite du procès à la manière d'une juridiction d'appel (ATF 116 Ia 135 consid. 3a, avec la jurisprudence citée). Par conséquent, en tant qu'elles s'adressent aux magistrats précédents, les critiques relatives à l'absence de relations personnelles avec sa fille depuis plusieurs mois ( ch. 1.3.1), à l'absence de décision urgente de la Présidente " sans entendre les parties " pour rétablir le droit de visite ( ch. 1.3.2), au défaut de motivation au sujet de l'octroi d'une " troisième prolongation de délai ", un délai de grâce de trois jours étant insuffisant ( ch. 1.3.6), et la " validation " de la pratique de la Présidente qui consiste " à laisser un enfant et son père sans contact pendant plusieurs mois et sans motif justifié " ( ch. 1.3.7) sont dénuées de pertinence quant l'appréciation du comportement de la Présidente au regard de l'art. 47 al. 1 let. f CPC; c'est donc dans ce contexte - où elles sont par ailleurs reprises - qu'il y a lieu de connaître de ces griefs ( cf. infra, consid. 5.3).
Il faut concéder au recourant que le motif tiré de l'absence de " recours " contre l'ordonnance de mesures superprovisionnelles que la Présidente a rendue le 5 juin 2019 est erroné, une pareille décision n'étant - sous réserve de situations non réalisées ici (ATF 140 III 289 consid. 1.1 et les arrêts cités) - pas susceptible de recours ( ibidem, avec les arrêts cités; arrêt 5A_14/2021 du 13 janvier 2021 consid. 2). Cette erreur est toutefois sans conséquence, la juridiction cantonale s'étant uniquement exprimée à titre superfétatoire. En toute hypothèse, ce motif ne saurait être imputé à la Présidente aux fins d'établir sa prévention.
3.3. Vu le sort du recours, il n'y a pas lieu de rechercher si - comme le soutient le recourant -, " l'art. 47 al. 2 let. b CPC doit être déclaré non conforme au droit ", en l'occurrence à l'art. 205 CPC, sauf à relever que les prémisses de ce raisonnement - la confidentialité des pourparlers de la conciliation - sont fausses. En matière de cumul des fonctions, le Tribunal fédéral exige que l'issue du procès ne soit pas prédéterminée, mais demeure, au contraire, indécise quant à la constatation des faits et à la résolution des questions juridiques (ATF 131 I 113 consid. 3.4; arrêt 5A_148/2021 du 20 avril 2021 consid. 3.2.4 et les citations). Cette considération est également pertinente pour les hypothèses visées par l'art. 47 al. 2 CPC - norme inspirée essentiellement de la jurisprudence du Tribunal fédéral (ATF 131 I 24 consid. 1.3) -, qui se borne à poser une règle générale dont la vérification dépend des circonstances du cas particulier ( cf. RÜETSCHI, in : Berner Kommentar, ZPO, vol. I, 2012, n° 22 ad art. 47 CPC [au sujet de la procédure de conciliation]); aussi bien la loi précise-t-elle que la participation à la procédure de conciliation ne constitue pas " à elle seule " un motif de récusation. Dans cette optique, le Tribunal fédéral a ainsi retenu que l'union personnelle entre le juge de la mainlevée d'opposition et le juge de l'action en libération de dette pouvait, contrairement au principe général ( cf. art. 47 al. 2 let. c CPC; ATF 120 Ia 82), violer le droit à un juge impartial lorsque le juge de la mainlevée s'est livré à une appréciation juridique complète sur la base des mêmes documents produits à l'appui de la demande en libération de dette (arrêt 1P.509/2005 du 30 septembre 2005, in : RSPC 1/2006 n° 144 p. 2, obs. TREZZINI).
4.
4.1. Le recourant se plaint en outre d'une violation de son " droit d'être entendu " en relation avec le refus de la Présidente de lui accorder une troisième prolongation de délai, refus qui n'était pas motivé.
4.2. Le recourant - dont l'argumentation est, au demeurant, largement appellatoire - perd derechef de vue l'objet de la décision attaquée. La question n'est pas de savoir si la magistrate de première instance a ou non violé son " droit d'être entendu ", mais bien si le refus de prolonger le délai trahit une prévention à son égard; c'est dans ce contexte qu'il y a donc lieu de connaître de ce moyen ( cf. infra, consid. 5.3). Au reste, on ne voit pas pourquoi il aurait été " impossible de faire recours " contre ladite décision, voie de droit à laquelle se réfère pourtant le recourant lui-même (art. 319 let. b ch. 2 CPC; TAPPY, in : Commentaire romand, CPC, 2e éd., 2019, n° 18 ad art. 144 CPC), et dans laquelle peut être soulevée la violation du droit à une décision motivée (art. 53 al. 1 CPC; parmi d'autres: HALDY, op. cit., n ° 14 ad art. 53 CPC).
5.
5.1. Le recourant se prévaut encore du " devoir d'impartialité en relation avec les art. 47 et ss CPC "; il mentionne spécifiquement l'art. 47 al. 1 let. f CPC, qui impose au magistrat de se récuser lorsqu'il pourrait être prévenu de " toute autre manière ", en particulier en raison d'un rapport d'amitié ou d'inimitié avec une partie ou son représentant.
5.2. La cour cantonale a correctement rappelé les principes applicables en l'espèce, de sorte qu'on peut y renvoyer. La question de savoir si la loi exige la " vraisemblance qualifiée " du motif de récusation - comme elle l'admet à la suite d'une partie de la doctrine ( cf. COLOMBINI, in : Petit commentaire CPC, 2021, n° 8 ad art. 49 CPC et les références) - peut rester indécise, aucune prévention n'étant établie dans le cas présent, quel que soit le degré de preuve requis.
5.3.
5.3.1. Le recourant soutient que le refus de lui accorder une troisième prolongation du délai pour déposer sa réponse à l'action en entretien, mais uniquement un " délai de grâce " de trois jours, sans motiver cette décision ni prendre en compte l'importance de rédiger une telle écriture, dénote une " idée prédéterminée de la situation juridique ".
Cette argumentation confine à la témérité. Comme l'a retenu l'autorité précédente, la façon de procéder de la Présidente est non seulement correcte d'un point de vue juridique ( cf. COLOMBINI, Code de procédure civile, 2018, nos 2.4.1 et 2.6.2 [2ème prolongation] ad art. 144 CPC et la jurisprudence citée), mais de surcroît exempte de tout comportement objectivement propre à mettre en doute son impartialité.
5.3.2. En tant qu'elle vise l'attitude " gravement partiale " manifestée par la Présidente dans ses décisions des 28 mai et 5 juin 2019, la requête de récusation, présentée le 26 novembre 2019, est largement tardive, comme l'ont admis à titre superfétatoire les juges cantonaux (COLOMBINI, Code de procédure civile, op, cit., n° 2.4 ad art. 49 CPC et les arrêts cités). L'argument du recourant selon lequel il n'aurait " manifestement pas été opportun " de récuser cette magistrate les 29 mai ou 5 juin 2019 est pour le moins audacieux; il n'appartient pas à la partie de choisir le moment le plus " opportun " pour dénoncer la partialité du tribunal, sous peine de lui permettre de garder en réserve ce moyen en cas d'issue défavorable (COLOMBINI, ibid., n° 2.1 et les citations). En toute hypothèse, on ne discerne aucune violation du droit par l'autorité cantonale. Cela étant, il est superflu d'examiner les critiques que le recourant soulève à l'encontre des autres motifs relatifs à ces décisions (ATF 135 III 608 consid. 4.6 et les arrêts cités).
5.3.3. La décision de la Présidente du 12 juillet 2019 n'est pas propre non plus à établir - même au degré de la simple vraisemblance - une quelconque prévention en faveur de la mère. Aucun élément objectif ne permet d'affirmer que l'attribution de la garde à la mère serait dictée par un parti pris plutôt que par les circonstances de l'espèce, qui touchent à une enfant en bas âge dont l'attributaire semble s'être occupée seule depuis sa naissance (ATF 117 II 353 consid. 4a). Dans cette optique, la communication, lors de l'audience du 2 septembre 2019, d'un tableau relatif à la méthode de calcul des contributions d'entretien dans lequel le recourant apparaît comme le " parent non gardien " n'est que le reflet de cette situation juridique, sans être " regrettable " comme l'affirment les juges précédents. Le rappel " à son devoir légal d'entretien " signifié au recourant, sans un rappel correspondant à la mère quant à son devoir de favoriser les relations personnelles entre l'enfant et son père, n'est pas révélateur de partialité; au contraire, il est opportunément destiné à expliquer à l'intéressé que son obligation alimentaire est indépendante du droit aux relations personnelles ( cf. ATF 120 II 177 consid. 3a et les citations), d'autant que - comme l'a souligné la Présidente - l'enfant a besoin de ces prestations " pour ses propres besoins vitaux ". On ne voit pas en quoi cette magistrate aurait " favorisé une nouvelle fois " la mère en affirmant qu'il importait peu de savoir lequel des deux parents avait financé les affaires personnelles et les meubles de l'enfant. L'autorité cantonale a retenu à juste titre que la question pertinente n'était pas la propriété de ces biens, mais leur emplacement en fonction de l'intérêt de l'enfant; quoi qu'en dise de manière hardie le recourant, on ne peut dès lors parler d'une invocation " à géométrie variable " des intérêts de l'enfant.
L'application du " taux de 100 % " prévu par les tabelles zurichoises, au lieu du " taux de 80 % " usuellement appliqué par les tribunaux du canton de Fribourg concerne le calcul des contributions d'entretien; il s'agit là, tout au plus, d'une erreur juridique de la Présidente, qui pouvait, en tant que telle, être redressée par la voie de l'appel; la voie de la récusation est a priori étrangère à cette problématique ( cf. supra, consid. 3.2).
Enfin, s'agissant des propos que la pédiatre a tenus " en défaveur de la mère ", la cour cantonale expose que le recourant a passé totalement sous silence les entretiens téléphoniques que l'intervenante du Service de l'enfance et de la jeunesse (SEJ) avait eus avec le médecin de famille de C._ et la thérapeute de sa mère, qui " n'émettent aucune inquiétude par rapport à la mère et à l'enfant "; il a en outre occulté les conclusions du rapport, dont il se prévaut lui-même, qui préconisent l'attribution de la garde à la mère et un droit de visite élargi au père. Or, le mémoire de recours ne comporte pas de critique valablement motivée à l'encontre de ces constatations (art. 106 al. 2 LTF; ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les arrêts cités).
6.
Enfin, le recourant dénonce une violation du " principe de l'interdiction de l'arbitraire ", car l'arrêt attaqué enfreint gravement plusieurs normes, en particulier " l'impartialité du Tribunal, le principe de la bonne foi et le droit d'être entendu ".
Cette argumentation, par ailleurs toute générale, se borne à reformuler sous l'angle de l'art. 9 Cst. des critiques déjà adressées à la juridiction cantonale, sans qu'on discerne en quoi elles auraient une portée propre par rapport aux griefs soulevés ci-dessus (consid. 3 - 5). Le recours est dès lors irrecevable à cet égard (art. 106 al. 2 LTF).
7.
Vu ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable et le recours en matière civile (inutilement prolixe et redondant) rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant manifestement dépourvues de chances de succès, il convient de rejeter sa requête d'assistance judiciaire et de mettre à sa charge les frais de la procédure fédérale (art. 64 al. 1 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
1.1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
1.2. Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg et au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère.
Lausanne, le 4 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Braconi