Erwägungen:
1.
1.1. Am 22. Dezember 2020 schrieb die Post CH AG (nachfolgend: die Post/Vergabestelle) auf der Internetplattform SIMAP (Informationssystem über das öffentliche Beschaffungswesen in der Schweiz) einen Lieferauftrag unter dem Projekttitel "Briefeinwurf-2020" im offenen Verfahren aus. Gemäss der Ausschreibung sollten in diesem Rahmen geeignete Anbieter evaluiert werden, welche die Anforderungen der Vergabestelle gemäss detailliertem Anforderungskatalog im Online-Evaluationstool DecisionAdvisor zu bestmöglichen wirtschaftlichen Bedingungen erfüllten.
Es gingen vier Angebote ein, darunter dasjenige der A._ AG, welche seit dem Jahr 2007 die bisherige Leistungserbringerin bzw. Lieferantin der Briefeinwürfe war. Am 9. August 2021 erteilte die Post der B._ AG den Zuschlag zu einem jährlichen Preis von Fr. 633'038.19 (ohne MWSt) bei einer Mindestvertragslaufzeit von 48 Monaten. Die Zuschlagsverfügung wurde am 18. August 2021 auf SIMAP publiziert.
1.2. Dagegen gelangte die A._ AG als im Ausschreibungsverfahren Drittplatzierte mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil vom 20. Dezember 2021 trat das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, auf die Beschwerde nicht ein. Es erachtete die A._ AG unter Berufung auf BGE 141 II 14 als nicht zur Beschwerde legitimiert; Voraussetzung dafür wäre gewesen, dass es im Falle einer Gutheissung der Beschwerde realistischerweise zu einem Zuschlag an sie hätte kommen können, was sie jedoch nicht habe glaubhaft machen können.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 17. Januar 2022 beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. Dezember 2021 sei aufzuheben und die Sache sei zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei die Vorinstanz anzuweisen, ihr vollumfängliche Akteneinsicht in das streitgegenständliche Vergabeverfahren (Submission WTO Brief-einwurf-2020, Projekt-ID: xxxxx) zu gewähren. Schliesslich ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde am 19. Januar 2022 superprovisorisch in dem Sinn entsprochen, dass sämtliche Vollziehungsvorkehrungen untersagt wurden.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung in der Sache und zur aufschiebenden Wirkung. Die Post schliesst auf Nichteintreten auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. auf dessen Abweisung, soweit darauf eingetreten werde.
Mit Verfügung vom 8. Februar 2022 hat die Präsidentin der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
In ihrer Stellungnahme vom 21. Februar 2022 in der Sache schliesst die Post auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Zudem beantragt sie, es sei ihr superprovisorisch und mit sofortiger Wirkung zu erlauben, während der Dauer des hängigen Beschwerdeverfahrens oder bis spätestens 30. September 2022 bei der B._ AG maximal 128 Briefeinwürfe vom Typ 1, maximal 88 Briefeinwürfe vom Typ 2, 51 Stützen/Ständer Typ 1, 51 Stützen/Ständer Typ 2 und 51 Grundplatten (Bodensockel) zu Typ 1 und 2 zu beschaffen.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 83 lit. f BGG - abgesehen von hier nicht massgebenden Ausnahmen - unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 1) und wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert nach Art. 52 Abs. 1 in Verbindung mit Anhang 4 Ziff. 2 des Bundesgesetzes vom 21. Juni 2019 über das öffentliche Beschaffungswesen (BöB; SR 172.056.1) nicht erreicht (Ziff. 2). Die beiden Eintretensvoraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (vgl. BGE 144 II 184 E. 1.2; 143 II 120 E. 2.2; 140 I 285 E. 1.1). Dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegt, hat die Beschwerde führende Partei in der Beschwerdeschrift darzutun, sofern dies nicht gerade auf der Hand liegt (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG; BGE 146 II 276 E. 1.2.1, mit Hinweisen; 139 II 340 E. 4; Urteil 1C_369/2020 vom 29. Dezember 2020 E. 1.1.4).
Stellt sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, entscheiden die Abteilungen in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf die Beschwerde, wenn deren Zulässigkeit nur unter dieser Bedingung zulässig ist (Art. 109 Abs. 1 BGG).
2.2. Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung in Sinne von Art. 83 lit. f Ziff. 1 BGG muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln. Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft. Wenn sich ergibt, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegt, beschränkt sich die bundesgerichtliche Prüfung nicht auf die Beurteilung der Grundsatzfrage (BGE 143 II 425 E. 1.3.2, mit Hinweisen).
2.3. Die Voraussetzung von Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG (Auftragswert; vgl. E. 2.1 hiervor) ist hier unstreitig und offensichtlich erfüllt (vgl. Art. 52 Abs. 1 in Verbindung mit Anhang 4 Ziff. 2 BöB).
Zu prüfen ist, ob eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegt (Art. 83 lit. f Ziff. 1 Halbsatz 1 BGG).
2.4. Die Beschwerdeführerin nennt keine konkrete Rechtsfrage, die es zu beantworten gilt. Sie diskutiert die Eintretensvoraussetzungen von Art. 83 lit. f Ziff. 1 BGG nur am Rande, indem sie im Wesentlichen ausführt, es sei "grundsätzlich relevant, wie die Vorinstanz doppelrelevante Tatsachen im Submissionsbeschwerdeverfahren zu beurteilen [habe]". Dies reicht indessen nicht aus, um in rechtsgenüglicher Weise (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG; vgl. E. 2.1 hiervor) darzutun, dass und inwiefern sich vorliegend eine Rechtsfrage stellt, deren Beantwortung für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (vgl. E. 2.2 hiervor).
Im Übrigen hat sich das Bundesgericht zu den sog. "doppelrelevanten Tatsachen" im Zusammenhang mit der Beschwerdelegitimation im Bereich des öffentlichen Beschaffungswesens in BGE 141 II 14 ff., auf welchen auch die Vorinstanz hinweist, eingehend geäussert. Es hat diesbezüglich festgehalten, dass als unterlegener Anbieter zur Beschwerde vor dem Bundesverwaltungsgericht nur legitimiert ist, wer eine reelle Chance besitzt, den Zuschlag selber zu erhalten. Diese reelle Chance hat der Betroffene nur dann, wenn er die vorgegebenen Eignungskriterien erfüllt. Nach der Theorie der "doppelrelevanten Tatsachen" muss deshalb derjenige, der den Zuschlag an sich beantragt, dem angerufenen Gericht als Legitimationsvoraussetzung glaubhaft machen, dass er selber die Eignungskriterien erfüllen würde (vgl. dort E. 5.1).
Soweit die Beschwerdeführerin darin eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung erblicken sollte, wurde diese vom Bundesgericht bereits beantwortet. Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt nach dem Gesagten keine Grundsatzfrage dar (vgl. E. 2.2 hiervor).
Im Übrigen sind allfällige weitere Fragen von grundsätzlicher Bedeutung gestützt auf die Beschwerdebegründung nicht offensichtlich und werden auch nicht näher erläutert.
2.5. Bei dieser Ausgangslage erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unzulässig. Darauf ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 1 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache fällt das Gesuch um superprovisorische Massnahmen der Beschwerdegegnerin dahin.
2.6. Die Beschwerdeführerin erhebt zugleich eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Diese steht in der vorliegenden Angelegenheit als Rechtsmittel nicht zur Verfügung, da es sich beim Bundesverwaltungsgericht nicht um eine letzte kantonale Instanz handelt (Art. 113 BGG; vgl. Urteil 2C_742/2018 vom 9. September 2019 E. 1.5, mit Hinweisen). Auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist daher nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'250.-- sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov