Erwägungen:
1.
Der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt trat mit Präsidialentscheid vom 22. November 2018 auf die Abstimmungsbeschwerde von A._ betreffend kantonale Volksabstimmung vom 25. November 2018 nicht ein. Dagegen erhob A._ am 26. November 2018 Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Mit Verfügung vom 29. November 2018 setzte der Verfahrensleiter des Appellationsgerichts A._ eine Frist bis zum 27. Dezember 2018 zur Leistung eines Kostenvorschusses, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Mit Verfügung vom 25. Januar 2019 stellte der Präsident des Appellationsgerichts fest, dass innert Frist der Kostenvorschuss nicht geleistet wurde und schrieb das Verfahren als erledigt ab.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 28. Februar 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung des Appellationsgerichts auseinander. Mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen vermag er nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts bzw. dessen Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos, weshalb dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (Art. 64Abs. 1 BGG). Indessen kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli