Erwägungen:
1.
Im Verfahren 5A_317/2021 ist das Bundesgericht mit Urteil vom 1. Juni 2021 im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf eine Beschwerde von A._ (fortan: Gesuchsteller) nicht eingetreten. Am 10. Juni 2021 ist der Beschwerdeführer mit Dienstaufsichtsbeschwerde und Revisionsgesuch an das Bundesgericht gelangt.
2.
Eine Aufsichtsbeschwerde an das Bundesgericht gegen ein Urteil desselben gibt es nicht. Die Eingabe ist einzig als Revisionsgesuch zu behandeln.
Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121 bis Art. 123 BGG). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob im konkreten Fall ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Allerdings gelten auch für die Revision die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen. Die Begehren sind demnach zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern einer der in Art. 121 ff. BGG genannten Revisionsgründe bzw. eine entsprechende Rechtsverletzung vorliegen soll. Hingegen kann die Revision nicht dazu dienen, die Rechtslage erneut zu diskutieren und eine Wiedererwägung des strittigen bundesgerichtlichen Entscheides zu verlangen (Urteil 5F_8/2019 vom 13. September 2019 E. 2 mit Hinweisen).
3.
Der Gesuchsteller beruft sich nicht ausdrücklich auf einen der gesetzlich vorgesehenen Revisionsgründe. Soweit er mit seinem Hinweis auf eine Kopie (Teilabweisung eines Fortsetzungsbegehrens in einer anderen Betreibung) sinngemäss geltend machen möchte, das Bundesgericht habe in den Akten liegende Tatsachen übersehen (Art. 121 lit. d BGG), ist nicht dargetan, inwieweit dieses Dokument - soweit es denn tatsächlich in den Akten gelegen haben sollte - für den Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens 5A_317/2021 hätte relevant sein können, denn das Bundesgericht ist auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten. Insgesamt zielt der Gesuchsteller bloss auf eine Wiedererwägung des bundesgerichtlichen Urteils ab, was unzulässig ist.
Auf das Revisionsgesuch ist nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Gesuchsteller die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Im Revisionsgesuch stellt er - anders als im vorangegangenen Verfahren - kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg