Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 12. März 2018 / 7. Juni 2019 sprach das Bezirksgericht Kreuzlingen A._ der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Anstiftung zum Raub, der mehrfachen versuchten qualifizierten Erpressung, der versuchten Erpressung, der qualifizierten Förderung der rechtswidrigen Ein- und Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts (Menschenschleuserei), der Nötigung, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, der Sachbeschädigung sowie der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 14 Jahren. Sowohl A._ als auch die Staatsanwaltschaft erhoben Berufung beim Obergericht gegen das Urteil.
B.
B.a. A._ wird seit dem 7. Mai 2019 von Rechtsanwalt C._ als amtlichem Verteidiger vertreten. Am 21. April 2020 teilte A._ dem Präsidium des Obergerichts des Kantons Thurgau mit, er akzeptiere Rechtsanwalt C._ nicht mehr als seinen Rechtsvertreter. Am 4. Mai 2020 informierte A._ das Obergerichtspräsidium sodann, dass er das "Mandatsverhältnis" mit Rechtsanwalt C._ gekündigt habe und ab sofort durch Rechtsanwalt D._ vertreten werde. Mit Eingabe vom 13. Mai 2020 zeigte Rechtsanwalt D._ dem Obergericht an, dass A._ ihn mandatiert habe.
B.b. Am 18. Mai 2020 teilte das Obergerichtspräsidium Rechtsanwalt D._ mit, dass er einstweilen als Wahlverteidiger von A._, zusätzlich zu dessen amtlichem Verteidiger, Rechtsanwalt C._, geführt werde und informierte Rechtsanwalt C._ darüber.
Ebenfalls am 18. Mai 2020 lehnte das Obergerichtspräsidium das Gesuch von A._ um Entlassung von Rechtsanwalt C._ als amtlichem Verteidiger ab, nahm aber Kenntnis davon, dass A._ Rechtsanwalt D._ zu seinem erbetenen Verteidiger bestimmt habe.
B.c. Am 5. bzw. am 16. Juni 2020 fanden je ein Telefongespräch zwischen Rechtsanwalt D._ als erbetenem Verteidiger und dem zuständigen Staatsanwalt B._ statt. Thema dieser Gespräche war ein allfälliger Rückzug der Berufung sowohl des Beschuldigten wie auch der Staatsanwaltschaft. Der amtliche Verteidiger C._ wurde über die Telefonate von keiner Seite informiert.
B.d. Mit Schreiben vom 15. Juni 2020 teilte die Verfahrensleitung des Berufungsgerichts Rechtsanwalt D._ mit, sie habe festgestellt, dass er in dieser Angelegenheit bereits in anderer Weise, namentlich als Staatsanwalt des Untersuchungsamtes St. Gallen, befasst gewesen sei. Den Akten zufolge habe er A._ im Jahr 2011 verhaftet. Damit liege aus Sicht des Obergerichtspräsidiums eine unzulässige Interessenkollision vor. Rechtsanwalt D._ nahm am 16. Juni 2020 dazu Stellung und teilte mit, er werde das Mandat noch diese Woche niederlegen.
B.e. Am 18. Juni 2020 teilte Rechtsanwalt C._ dem Obergericht mit, dass eine Befangenheit von Staatsanwalt B._ vorliegen würde, falls dieser tatsächlich mit Rechtsanwalt D._ verhandelt habe. Am 19. Juni 2020 legte Rechtsanwalt D._ sein Mandat nieder.
B.f. Am 30. Juni 2020 forderte das Obergerichtspräsidium den Staatsanwalt B._ unter anderem auf, darzulegen, wann welche persönlichen und/oder telefonischen Kontakte mit welchen Personen im Hinblick auf einen allfälligen Rückzug der Berufung stattgefunden haben. Staatsanwalt B._ kam dieser Aufforderung nicht nach.
B.g. Mit Eingabe vom 14. September 2020 beantragte C._, Staatsanwalt B._ sei umgehend in den Ausstand zu versetzen. Am 28. September 2020 reichte Staatsanwalt B._ dem Obergericht die verlangten Informationen (Aktennotizen und Korrespondenzen) ein, nachdem dieses ihn erneut dazu aufgefordert hatte.
B.h. Mit Entscheid vom 5. November 2020 hiess das Obergericht des Kantons Thurgau das Ausstandsbegehren gut.
C.
Dagegen erhob die Generalstaatsanwaltschaft Thurgau Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch des Beschwerdegegners sei abzuweisen.
Staatsanwalt B._ beantragt die Gutheissung der Beschwerde. Das Obergericht und Rechtsanwalt C._ beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten wird. Rechtsanwalt C._ stellt für seinen Mandanten ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und um Bestellung von sich selbst als unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 BGG). Dieser betrifft ein Ausstandsbegehren, weshalb die Beschwerde gemäss Art. 92 BGG zulässig ist. Das Obergericht hat als letzte und einzige Instanz entschieden (Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 StPO).
1.2. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Zwar wird in der nicht abschliessenden Aufzählung in Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG unter anderem die Staatsanwaltschaft genannt (Ziff. 3). Diese Bestimmung verleiht jedoch nicht selbst das rechtlich geschützte Interesse, welches sie voraussetzt (BGE 139 IV 121 E. 4.2 S. 123 f. mit Hinweisen und Beispielen).
Das rechtlich geschützte Interesse der Staatsanwaltschaft an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids leitet sich aus dem staatlichen Strafanspruch ab, den sie zu vertreten hat. Sie ist somit beschwerdebefugt, wenn es um die Durchsetzung des Strafanspruchs als solchem oder um damit zusammenhängende - das heisst, sich auf diesen auswirkende - materiell- und prozessrechtliche Belange geht (BGE 134 IV 36 E. 1.4 S. 39 ff.; Urteil 1B_526/2020 vom 29. Januar 2020 E. 1). Das rechtlich geschützte Interesse der Staatsanwaltschaft kann nicht pauschal bejaht werden und muss im Einzelfall durch diese dargelegt werden, sofern es nicht offensichtlich gegeben ist (Art. 42 Abs. 1 BGG; BGE 141 IV 289 E. 1.3 S. 292 mit Hinweisen).
Vorliegend ist das rechtlich geschützte Interesse der Staatsanwaltschaft an einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zwar nicht offensichtlich. Sie führt jedoch in überzeugender Weise aus, dass sich die vorliegende Beschwerde auf das Verfahren im "Straffall X._" beziehe, das über 30 Sachverhaltskomplexe und insgesamt 16 Beschuldigte betreffe. Da der ausserordentlich aufwendige Berufungsprozess im März 2021 beginnen soll, hätte der Ausstand weitreichende Konsequenzen. Leichtfertige Ausstandsentscheide in derart komplexen Verfahren würden die Justiz als Ganzes schwächen und eine effektive Strafverfolgung in der Schweiz verhindern.
Die Beschwerdeführerin hat mit diesen Ausführungen hinreichend dargelegt, dass sie über ein rechtlich geschütztes Interesse verfügt.
1.3. Auf die fristgerechte Beschwerde der Generalstaatsanwaltschaft ist somit einzutreten.
2.
2.1. Es geht vorliegend um den allfälligen Ausstand des Staatsanwalts B._, insbesondere aufgrund dessen Kontakte mit dem Wahlverteidiger D._. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts vor (Art. 105 Abs. 2, Art. 97 Abs. 1 BGG). Diese Kritik ist indes unbegründet, denn die für die Beurteilung des vorliegenden Rechtsstreits relevanten Sachumstände sind nicht strittig:
Zunächst wird von keiner Seite bestritten, dass Rechtsanwalt C._ amtlicher Verteidiger des Beschuldigten ist und dies auch in der ganzen hier interessierenden Zeitperiode war. Weiter wird nicht bestritten, dass Rechtsanwalt D._ zeitweilig - zwischen dem 18. Mai und dem 19. Juni 2020 - als Wahlverteidiger des Beschuldigten fungierte. Dazu wurde er durch das Obergerichtspräsidium mit Schreiben vom 18. Mai 2020 zugelassen. Das Obergerichtspräsidium informierte ihn sodann mit Schreiben vom 15. Juni 2020, dass aus seiner Sicht betreffend Verteidigung des Beschuldigten eine unzulässige Interessenkollision bestehe und ersuchte ihn, innert Frist von 10 Tagen zur Sache Stellung zu nehmen. Am 19. Juni 2020 legte der Wahlverteidiger sein Mandat nieder. In diesem Zusammenhang hat der Wahlverteidiger von Anfang an offen kommuniziert, dass er als ehemaliger Staatsanwalt eines Nachbarkantons den Beschuldigten im Jahr 2011 verhaftet hatte, dies aber seiner Meinung nach keinen Interessenkonflikt darstelle.
Weiter ist nicht bestritten, dass der Beschuldigte schon vor Mandatierung des Wahlverteidigers versucht hatte, die Berufung zurückzuziehen und diesbezüglich den Staatsanwalt kontaktiert hatte. Die Positionen der beiden Verteidiger sind sodann nicht strittig: während der amtliche Verteidiger die Berufung nicht zurückziehen, sondern im Berufungsverfahren einen Freispruch erwirken wollte, setzte sich der Wahlverteidiger für einen Berufungsrückzug ein.
Die zwei telefonischen Kontakte zwischen dem Wahlverteidiger und dem Staatsanwalt am 5. bzw. am 16. Juni, deren Thema der allfällige Rückzug der Beschwerden war, werden ebenfalls von keiner Seite bestritten. Fest steht schliesslich, dass weder der Staatsanwalt noch der Wahlverteidiger den amtlichen Verteidiger darüber in Kenntnis gesetzt haben.
2.2. Aufgrund dieser Ausgangslage hat das Obergericht entschieden, der Staatsanwalt sei befangen.
Dies ergebe sich aus den zwei Telefonaten zwischen dem Staatsanwalt und dem Wahlverteidiger vom 5. und am 16. Juni 2020. Der Beschuldigte sei zu diesen Zeitpunkten einerseits durch den amtlichen Verteidiger und andererseits durch den Wahlverteidiger vertreten gewesen. Bei dieser Ausgangslage hätte es dem Staatsanwalt bewusst sein müssen, dass er aufgrund seiner Funktion den einen Parteivertreter zumindest hätte informieren müssen, wenn er einseitig mit dem anderen verkehre.
Der Staatsanwalt habe spätestens anlässlich des ersten Telefonats mit dem Wahlverteidiger vom 5. Juni 2020 erfahren, dass dieser den Beschuldigten als ehemaliger Staatsanwalt des Nachbarkantons in derselben Angelegenheit einst verhaftet habe. Dieser Interessenkonflikt sei offensichtlich und es ändere nichts daran, dass der Wahlverteidiger erklärt habe, er würde den Beschuldigten einzig betreffend den Rückzug der Berufung vertreten. Der Staatsanwalt hätte wissen müssen, dass es rechtlich unmöglich sei, nur "ein bisschen" Verteidiger zu sein, zumal das ganze Verfahren mit dem Berufungsrückzug beendet gewesen wäre. Ausserdem habe der Staatsanwalt nicht nur zugehört, sondern sich auch aktiv an den Rückzugsverhandlungen beteiligt. Obwohl er gewusst habe, dass C._ der amtliche Verteidiger gewesen sei, habe er diesen weder nach dem ersten Telefonat noch in den darauf folgenden Tagen informiert. Dies habe der Staatsanwalt nicht getan, weil er gewusst habe, dass sich der amtliche Verteidiger gegen einen gegenseitigen Rückzug der Berufungen stellen würde. Während der Rückzug zur Folge gehabt hätte, dass es für den Beschuldigten beim erstinstanzlichen Schuldspruch und bei einer Freiheitsstrafe von 14 Jahren geblieben wäre, habe der amtliche Verteidiger mit der Berufung beantragt, der Beschuldigte sei von Schuld und Strafe vollumfänglich freizusprechen.
Der Wahlverteidiger habe den Staatsanwalt am 16. Juni 2020 erneut kontaktiert, nachdem er vom Schreiben des Obergerichtspräsidiums vom 15. Juni 2020 Kenntnis genommen habe. Der Wahlverteidiger habe dem Staatsanwalt mitgeteilt, dass er zwar das Strafmandat niedergelegt habe, er jedoch den Beschuldigten weiterhin im Scheidungsverfahren vertrete und dem Staatsanwalt so signalisiert, dass er allenfalls noch über dieses Mandat den Rückzug der Berufung zu bewirken versuchen würde. Der Staatsanwalt habe dabei offenbar mitgewirkt und den amtlichen Verteidiger wiederum nicht darüber informiert. Der Staatsanwalt hätte auch gar nicht mehr mit dem Wahlverteidiger verhandeln dürfen, da dieser ja sein Mandat niedergelegt habe.
Insgesamt erwecke das Verhalten des Staatsanwalts zumindest den Anschein der Befangenheit. Es bleibe nachzutragen, dass auch die anfängliche Weigerung des Staatsanwalts, die einschlägige Korrespondenz und Aktennotizen herauszugeben, den Anschein seiner Befangenheit wecke.
2.3. Die Beschwerdeführerin hält dagegen, der Beschuldigte könne sich gemäss Art. 127 Abs. 2 StPO durch zwei oder mehrere Rechtsbeistände vertreten lassen, wobei dieser eine Hauptvertretung zu bestimmen habe, wenn sich durch die Mehrfachvertretung das Verfahren ungebührlich verzögere. Dies sei vorliegend nicht geschehen. Es gebe daher keine Gründe, wieso sich der Staatsanwalt vorliegend nur mit beiden oder keinem der Verteidiger hätte unterhalten dürfen. Es müsse zulässig sein, mit einem der Vertreter Gespräche zu führen, zumal keine Zusagen abgegeben worden seien. Es könne nicht die Aufgabe des Staatsanwaltes sein, sich beim Kontakt mit dem einen Vertreter immer zu vergewissern, dass auch der andere darüber Bescheid wisse.
Zudem liegt nach Ansicht der Beschwerdeführerin kein materieller resp. konkreter Interessenkonflikt vor. Der Beschuldigte habe bereits vor der Mandatierung des Wahlverteidigers seine Berufung zurückziehen wollen und habe dies dem Staatsanwalt auch mitgeteilt. Er habe den Wahlverteidiger einzig für diesen Berufungsrückzug mandatiert. Ein allfälliger Interessenkonflikt sei grundsätzlich ein Problem von Rechtsanwalt D._ selbst; eine sorgfältige Berufsausübung hätte vorausgesetzt, dass dieser seinen Berufskollegen über die Verhandlungen informiert. Schliesslich sei Rechtsanwalt D._ von der Verfahrensleitung des Obergerichts als Wahlverteidiger akzeptiert worden.
Als Partei sei die Staatsanwaltschaft nach Erhebung der Anklage auch nicht zuständig, einen Anwalt mit allfälligem Interessenkonflikt aus dem Verfahren zu weisen. Diese Zuständigkeit liege bei der Verfahrensleitung oder allenfalls bei der Disziplinarbehörde.
Betreffend Herausgabe der Korrespondenz zwischen dem Staatsanwalt und dem Wahlverteidiger ist die Beschwerdeführerin der Ansicht, der Staatsanwalt stehe als Partei im Berufungsverfahren nicht unter der Pflicht, die Korrespondenz zu dokumentieren und somit auch nicht, diese herauszugeben; die Aufforderung zur Herausgabe der Korrespondenz des Obergerichts habe im Übrigen keine rechtliche Grundlage enthalten. Trotzdem habe der Staatsanwalt diese herausgegeben, gerade weil er nichts zu verstecken habe.
Insgesamt erwecke der Staatsanwalt also nicht den Anschein der Befangenheit. Er sei bei den beiden Telefonaten von einer legitimen Verteidigung durch den Wahlverteidiger ausgegangen. Dies sei zulässig gewesen, da ein allfälliger Interessenkonflikt nicht klar erkennbar gewesen sei. Dies bestätige das Schreiben des Obergerichts vom 17. Juni 2020, in welchem das Obergerichtspräsidium Kenntnis davon genommen habe, dass der Wahlverteidiger sein Mandat noch in derselben Woche niederlege. Wenn es sich um einen offensichtlichen Interessenkonflikt gehandelt hätte, hätte die Verfahrensleitung eine Verteidigung durch Rechtsanwalt D._ sofort untersagen müssen. Dieser sei ausserdem kein ehemaliger Berufskollege: der Staatsanwalt habe ihn noch nie getroffen und habe bis auf die zwei Telefonate auch nie mit ihm Kontakt gehabt. Der Staatsanwalt habe zudem nicht aktiv agiert bei den Kontakten und es könne auch nicht von Verhandlungen "auf Biegen und Brechen" gesprochen werden, zumal die Kontakte immer vom Beschuldigten und dem Wahlverteidiger ausgegangen seien.
3.
3.1. Gemäss Art. 56 lit. f StPO tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte.
Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art. 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem bzw. einer unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter bzw. Richterin ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters bzw. der Richterin zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters oder der Richterin begründet sein. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter bzw. die Richterin tatsächlich befangen ist (BGE 141 IV 178 E. 3.2.1 S. 179 mit Hinweisen).
3.2. Die Frage der Befangenheit der Staatsanwaltschaft ist entsprechend seiner sich wandelnden Funktion und Stellung im Rahmen des Strafverfahrens unterschiedlich zu beurteilen. Dabei ist in erster Linie zwischen dem Vorverfahren und dem gerichtlichen Verfahren zu unterscheiden. Im Vorverfahren gewährleistet die Staatsanwaltschaft eine gesetzmässige und geordnete Durchführung des Verfahrens (Art. 62 Abs. 1 StPO). Sie untersucht die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (Art. 6 Abs. 2 StPO). Nach Erhebung der Anklage wird sie dagegen wie die beschuldigte Person und die Privatklägerschaft zur Partei (Art. 104 Abs. 1 lit. c StPO). In diesem Verfahrensstadium ist die Staatsanwaltschaft definitionsgemäss nicht mehr zur Unparteilichkeit verpflichtet und hat sie grundsätzlich die Anklage zu vertreten (Art. 16 Abs. 2 StPO). Entsprechend kann sich die angeklagte Person nicht über eine parteiische Haltung der Staatsanwaltschaft in den Verhandlungen beschweren (BGE 141 IV 178 E. 3.2.2 S. 180 mit Hinweis). Allerdings bleibt die Staatsanwaltschaft auch als Prozesspartei der Objektivität verpflichtet. Sie darf somit keine Verurteilung um jeden Preis anstreben. Vielmehr hat sie für eine gerechte Anwendung des Strafgesetzes einzutreten. Auch als Partei darf sie daher nicht bewusst wesentliche Punkte weglassen oder wissentlich unwahre Tatsachen vorbringen (Urteil 1B_559/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.3; Urteil 1B_139/2018 vom 26. November 2018 E. 4.3; je mit Hinweisen). Der Unterschied zwischen Vorverfahren und Gerichtsverfahren ist insofern gradueller, nicht kategorischer Natur (Urteil 1B_559/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.3).
3.3. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (BGE 143 IV 69 E. 3.2 S. 74 f.; 141 IV 178 E. 3.2.3 S. 180; 138 IV 142 E. 2.3 S. 146; 125 I 119 E. 3e S. 124; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158; Urteil 1B_266/2020 vom 22. Dezember 2020 E. 3.2 je mit Hinweisen).
4.
4.1. Wird eine beschuldigte Person von mehreren Anwältinnen oder Anwälten vertreten, erfordern die in Art. 3 StPO statuierten Fairnessgrundsätze grundsätzlich, dass die Rechtsvertreterinnen bzw. -vertreter über dieselben Informationen seitens der Staatsanwaltschaft verfügen. Man kann sich fragen, inwieweit sich daraus eine Pflicht der Staatsanwaltschaft ergibt, die amtliche Verteidigung über Gespräche betreffend einen allfälligen (gegenseitigen) Rückzug der Berufung zu unterrichten, die sie mit der Wahlverteidigung führt, selbst wenn diese letztlich keine Ergebnisse zeitigen.
Eine solche staatsanwaltliche Informationspflicht wäre im hier zu beurteilenden Fall wohl jedenfalls dann zu bejahen, wenn offensichtlich gewesen wäre, dass der gewillkürte Vertreter aus anwaltsrechtlichen Gründen nicht befugt war, den Beschuldigten im Strafverfahren zu vertreten. Davon kann im vorliegenden Fall indes nicht ohne Weiteres ausgegangen werden, hat die Verfahrensleitung Rechtsanwalt D._ doch zunächst als Wahlverteidiger akzeptiert. In der Zeit zwischen dem 18. Mai 2020 und dem 19. Juni 2020 wurde der Beschuldigte durch zwei Verteidiger vertreten, wobei keiner der beiden gemäss Art. 127 Abs. 2 StPO als Hauptvertretung bezeichnet worden war.
4.2. Es liegt bei dieser Ausgangslage nicht auf der Hand, den Staatsanwalt als verpflichtet zu erachten, den amtlichen Verteidiger von Amtes wegen über seine Gespräche mit dem Wahlverteidiger zu informieren, auch wenn dies aus Gründen der Transparenz und der Fairness wünschbar erschiene. Die Vorinstanz nennt denn auch keine gesetzliche Bestimmung, gegen die Staatsanwalt B._ verstossen haben soll. Zu dessen Gunsten ist zudem zu beachten, dass im Zeitpunkt der problematischen Gespräche bereits ein erstinstanzliches Urteil vorlag, die Staatsanwaltschaft im damaligen Zeitpunkt daher grundsätzlich die Position einer Verfahrenspartei inne hatte und nicht mehr im gleichen Masse zur Unparteilichkeit verpflichtet war, wie dies noch im Vorverfahren zutraf (vgl. oben E. 3.2). Hinzu kommt, dass Staatsanwalt B._ vom Beschuldigten mit Blick auf einen allfälligen Rückzug der Berufung bereits kontaktiert worden war, bevor dieser seinen Wahlverteidiger mandatiert hatte. Staatsanwalt B._ durfte deshalb davon ausgehen, der Wahlverteidiger handle im Einverständnis mit seinem Mandanten, auch wenn ihm der Widerstand des amtlichen Verteidigers gegen einen Rückzug des Rechtsmittels bekannt war. Die Uneinigkeit zwischen dem Beschuldigten und seinem amtlichen Verteidiger betreffend eine weitere Verzögerung des Verfahrens durch die Berufung war denn auch der Grund, wieso der Beschuldigte ein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung gestellt hatte.
Es kann im vorliegenden Zusammenhang auch nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, Rechtsanwalt D._ habe entgegen den Interessen seines Mandanten, des Beschuldigten, gehandelt. Wie erwähnt, hatte dieser schon früher einen Rückzug der Berufung thematisiert. Die Gespräche zwischen Wahlverteidiger und Staatsanwaltschaft betrafen sodann stets einen beidseitigen Rückzug des Rechtsmittels. Damit hätte der Beschuldigte zwar die Chance verloren, eine mildere Bestrafung oder gar einen Freispruch zu erwirken; zugleich wäre aber auch das Risiko einer Verurteilung zu einer noch längeren Freiheitsstrafe sowie einer - von der Staatsanwaltschaft angestrebten - Verwahrung entfallen.
Wie es sich damit verhält, kann indes offen gelassen werden: eine allfällige Verletzung von Amtspflichten des Staatsanwaltes kann aus den oben angeführten Gründen jedenfalls nicht als derart schwerwiegend bezeichnet werden, dass sie bei objektiver Betrachtungsweise den Anschein erwecken müsste, der Staatsanwalt könne den in diesem Verfahrensstadium herabgesetzten Anforderungen an seine Unbefangenheit nicht mehr genügen.
4.3. Dies trifft auch auf die anfängliche Weigerung des Staatsanwaltes zu, die Korrespondenz zwischen ihm und dem Wahlverteidiger herauszugeben: es handelt sich, wenn überhaupt, nicht um eine schwere Amtspflichtverletzung. Die Beschwerdeführerin wendet diesbezüglich zu Recht ein, dass die Staatsanwaltschaft nicht verpflichtet ist, die informellen Verhandlungen über ein abgekürztes Verfahren inhaltlich zu dokumentieren oder zumindest nicht im Detail (vgl. BSK-GREINER/JAGGI, Art. 358 StPO N. 65). Vor diesem Hintergrund erscheint eine Pflicht, den Inhalt der Verhandlungen über einen allfälligen koordinierten Rückzug der Berufungen zu dokumentieren, zumindest nicht offensichtlich, zumal sich diese Rückzugsverhandlungen in einem Verfahrensstadium abspielten, in welchem die Staatsanwaltschaft die Verfahrensleitung nicht mehr inne hat und nur noch Partei ist. Ein allfälliger Anschein der Befangenheit, der durch die anfängliche Weigerung des Staatsanwalts, die Dokumente herauszugeben, hätte erweckt werden können - wie dies die Vorinstanz ausführt -, hätte sich ausserdem durch die nachträgliche Herausgabe der Dokumente als irrtümlich erwiesen. Im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids war aufgrund der vorhandenen Dokumente ersichtlich, dass der Staatsanwalt keine Informationen verbergen wollte.
4.4.
Zusammengefasst ist festzuhalten, dass der Staatsanwalt entgegen des Urteils der Vorinstanz keinen Anschein der Befangenheit erweckt. Sie hat somit Bundesrecht verletzt, indem sie die Voraussetzungen von Art. 56 lit. f StPO als erfüllt ansah und einen Ausstandsgrund bejahte. Die Beschwerde ist gutzuheissen.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdegegner an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung, welches gutzuheissen ist, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es werden daher keine Gerichtskosten erhoben und der Rechtsvertreter des Beschwerdegegners ist aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Zwischenentscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 5. November 2020 wird aufgehoben. Das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt B._ wird somit abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwalt C._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt C._ wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, B._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni