Erwägungen:
1.
A._ gelangte am 4. Oktober 2019 mit einer Eingabe an das Bundesgericht, worin sie um eine "Fristerstreckung zur vollumfänglichen Formulierung" ihrer Beschwerde ersuchte. Da der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) vom 21. August 2019 betreffend "Beiträge an die Kosten der ausserfamiliären Unterbringung eines Kindes" der Eingabe nicht beilag, wurde A._ aufgefordert, das Urteil nachzureichen. Aus einem Versehen teilte die II. zivilrechtliche Abteilung, an die der angefochtene Entscheid überstellt worden war, A._ am 24. Oktober 2019 mit, dass mangels einer Beschwerdeschrift kein Verfahren eröffnet werde. Nachdem die Beschwerdeschrift und der angefochtene Entscheid bei der zuständigen II. öffentlich-rechtlichen Abteilung zusammengeführt werden konnten, wurde das vorliegende Verfahren eröffnet.
2.
2.1 Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in dieser ist in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzt. Die vorliegende Beschwerdeschrift enthält keine rechtsgenügende Begründung, wovon auch die Beschwerdeführerin selber ausgeht, ersuchte sie doch in ihrem Schreiben vom 4. Oktober 2019 (Eingang am 7. Oktober 2019) darum, ihr die Frist zur Begründung ihrer Eingabe zu verlängern. Dies ist indessen nicht möglich, da die Beschwerdefrist (vgl. Art. 100 Abs. 1 BGG) als gesetzlich bestimmte Frist nicht erstreckt werden kann (Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.2 Die Beschwerdeführerin hat den angefochtenen Entscheid vom 21. August 2019 am 5. September 2019 in Empfang genommen, wobei die Beschwerdefrist am 7. Oktober 2019 ablief (Berücksichtigung von Art. 45 Abs. 1 BGG). Eine fristgerechte Nachbesserung ihrer Eingabe vom 4. Oktober 2019 war unter diesem Umständen nicht mehr möglich. Mangels einer rechtzeitig eingereichten sachbezogenen Begründung, ist auf die Beschwerde deshalb mit Entscheid des Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Es kann davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar