Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4A_235/2019 vom 22. Juli 2019 trat das Bundesgericht auf eine von A._ (Gesuchsteller) gegen das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Mai 2019 erhobene Beschwerde mangels hinreichender Begründung im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht ein.
Der Gesuchsteller beantragt mit Eingabe vom 12. August 2019 die Revision des Urteils 4A_235/2019 vom 22. Juli 2019.
2.
Die Revision eines Entscheides des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121-123 BGG abschliessend aufgezählten Gründe verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
In einem Revisionsgesuch ist entsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines solchen einfach zu behaupten; vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (so etwa Urteile des Bundesgerichts 4F_8/2019 vom 27. August 2019 E. 2; 4F_19/2014 vom 20. November 2014; 4F_14/2012 vom 11. Oktober 2012).
3.
Der Gesuchsteller legt in seiner Eingabe vom 12. August 2019 nicht im Einzelnen dar, inwiefern das bundesgerichtliche Urteil 4A_235/2019 vom 22. Juli 2019 an einem Mangel nach Art. 121 BGG leiden soll. Er beruft sich mit seinem Hinweis auf Art. 136 lit. c und d des damaligen Bundesrechtspflegegesetzes (OG) zwar sinngemäss auf die Revisionsgründe von Art. 121 lit. c und d BGG, geht in seinem Gesuch jedoch lediglich auf die Erwägungen des handelsgerichtlichen Entscheids vom 16. Mai 2019 ein, indem er die Rügen aus dem Beschwerdeverfahren 4A_235/2019 wiederholt und um zahlreiche weitere Vorbringen ergänzt. Damit zeigt der Gesuchsteller ebenso wenig einen Revisionsgrund auf wie mit dem blossen Vorbringen, er sei entgegen dem Urteil 4A_235/2019 nicht vom festgestellten Sachverhalt abgewichen und habe sich zur Aktiv- und Passivlegitimation geäussert. Auch soweit der Gesuchsteller geltend macht, es sei ein Beweisantrag unbeurteilt geblieben, verweist er einzig auf seine Eingaben im kantonalen Verfahren und das Urteil des Handelsgerichts. Insgesamt zeigt er nicht auf, inwiefern das Bundesgericht im Beschwerdeverfahren einzelne Anträge unbeurteilt gelassen (Art. 121 lit. c BGG) oder in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hätte (Art. 121 lit. d BGG).
Das Revisionsgesuch ist somit nicht rechtsgenügend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Gesuchsgegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem Revisionsverfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann