Faits :
A.
B._ SA (ci-après: la société), inscrite au Registre du commerce du canton de Genève le 9 mars 2006, a été affiliée en tant qu'employeur à la Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après: la caisse) avec effet du 9 mars 2006 au 31 janvier 2015. A._ y a exercé les fonctions d'administrateur secrétaire avec signature individuelle jusqu'au 17 juin 2014, et C._, celles d'administrateur président avec signature individuelle jusqu'au 14 janvier 2015. Par jugement du 14 janvier 2015, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé la dissolution de la société par suite de faillite. La procédure de faillite a été clôturée le 25 mai 2016 et la société radiée d'office le 30 mai 2016.
Par décision du 13 mai 2016, confirmée sur opposition le 10 août 2017, la caisse a réclamé à A._, à titre de réparation du dommage qu'elle avait subi dans la faillite de B._ SA, la somme de 155'493 fr. 95, représentant les cotisations paritaires demeurées impayées pour la période s'étendant du 1 er janvier 2008 au 31 mai 2014, frais et intérêts moratoires compris. Ce montant correspondait aux sommes dues et exigibles au cours de son mandat d'administrateur. Il en était solidairement responsable aux côtés de C._.
B.
Statuant le 23 avril 2019 sur le recours formé par A._ contre la décision sur opposition du 10 août 2017, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut principalement à son annulation, ainsi qu'à celle de la décision sur opposition du 10 août 2017. A titre subsidiaire, il requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
Considérant en droit :
1.
1.1. La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral connaît des décisions en réparation du dommage au sens de l'art. 52 LAVS (art. 82 let. a LTF et 35 let. a RTF). Cela vaut également lorsque la réparation du dommage comporte - comme en l'espèce - des cotisations impayées aux caisses d'allocations familiales régies par le droit cantonal (arrêt 9C_704/2007 du 17 mars 2008 consid. 1, non publié in ATF 134 I 179).
1.2. Le recours en matière de droit public se caractérise comme un recours en réforme (art. 107 al. 2 LTF), de sorte que le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond. A titre exceptionnel, il est admis que le recourant puisse se limiter à prendre des conclusions cassatoires lorsque le Tribunal fédéral, s'il accueillait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (cf. ATF 137 II 313 consid. 1.3 p. 317; 134 III 379 consid. 1.3 p. 383). Par ailleurs, les conclusions doivent être interprétées selon le principe de la confiance, à la lumière de la motivation du recours. En l'espèce, il ressort du mémoire de recours que le recourant souhaite être libéré de l'obligation de réparer le dommage reconnue par l'intimée à hauteur de 155'493 fr. 95. Le recours est donc recevable.
1.3. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
2.1. En instance fédérale, le litige porte sur la responsabilité du recourant, au sens de l'art. 52 LAVS, dans le préjudice subi par l'intimée en raison du défaut de paiement des cotisations sociales entre le 1 er janvier 2008 et le 31 mai 2014, à hauteur de 155'493 fr. 95. Le recourant ne conteste en tant que tels ni sa qualité d'organe formel de la société durant la période temporelle déterminante, ni les montants des cotisations sociales en souffrance.
2.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels en matière de responsabilité de l'employeur au sens de l'art. 52 LAVS et de responsabilité subsidiaire des organes de l'employeur (ATF 129 V 11; 126 V 237; 123 V 12 consid. 5b p. 15 et les références), en particulier les conditions d'une violation intentionnelle ou par négligence des devoirs incombant aux organes (ATF 121 V 243). Il suffit d'y renvoyer.
On rappellera que dans l'hypothèse où plusieurs personnes sont responsables d'un même dommage au sens de l'art. 52 LAVS, chacun des débiteurs répond solidairement de l'intégralité du dommage envers la caisse de compensation, celle-ci étant libre de rechercher tous les débiteurs, quelques-uns ou un seul d'entre eux, à son choix (ATF 119 V 86 consid. 5a p. 87).
3.
3.1. Le recourant se prévaut d'une violation du droit fédéral (art. 52 LAVS). Il conteste en substance sa responsabilité quant au défaut de paiement des cotisations paritaires, en invoquant essentiellement le fait qu'il avait délégué la gestion effective de la société à C._, administrateur président, et qu'il avait "rempli avec diligence son devoir de surveillance".
3.2. A la suite des premiers juges, on constate que le recourant a été inscrit au Registre du commerce en qualité d'administrateur secrétaire de la société, avec signature individuelle, du 9 mars 2006 au 17 juin 2014. A ce titre, il avait de plein droit la qualité d'organe de la société et devait assumer les tâches prescrites par la loi (art. 716 ss CO). En sa qualité d'administrateur, il lui appartenait, nonobstant le mode de répartition interne des tâches au sein de la société, d'exercer la haute surveillance sur les personnes chargées de la gestion (cura in custodiendo; art. 716a al. 1 ch. 5 CO). Il lui incombait ainsi, entre autres obligations, de se mettre régulièrement au courant de la marche des affaires et de veiller personnellement à ce que les cotisations paritaires afférentes aux salaires versés fussent effectivement acquittées à la caisse de compensation conformément à l'art. 14 al. 1 LAVS. Un administrateur d'une société anonyme ne peut en particulier pas se libérer de cette responsabilité en alléguant qu'il avait délégué cette tâche à un autre administrateur ou employé de la société à qui il faisait confiance, car cela constitue déjà en soi un cas de négligence grave (arrêt 9C_289/2009 du 19 mai 2010 consid. 6.2 et les références; cf. aussi arrêts 9C_722/2015 du 31 mai 2016 consid. 3.3; 9C_926/2009 du 27 avril 2010 consid. 4.4).
3.3. En l'espèce, il ressort des constatations cantonales que le recourant a reconnu n'avoir jamais demandé de renseignements à C._ au sujet du versement des cotisations sociales à la caisse de compensation, et qu'il s'est limité à poser à celui-ci des questions d'ordre général concernant la gestion des affaires de la société (cf. procès-verbaux de comparution personnelle des 7 mai et 19 novembre 2018). Une telle situation est précisément inadmissible au regard de l'obligation d'exercer la haute surveillance qui incombait au recourant. Le fait que C._ lui eût confirmé, pour reprendre les termes du recourant, que "tout allait bien dans la société", ne suffit effectivement pas pour admettre qu'il avait accompli son devoir de surveillance avec diligence. C'est également en vain que le recourant invoque à cet égard notamment les "qualifications de l'administrateur délégataire", qui, en l'espèce, "était un architecte de profession avec beaucoup d'expérience dans ce domaine". Quoi qu'en dise l'intéressé, en effet, en vertu de son obligation de surveillance, il ne pouvait se contenter de se fier aux "confirmations de la bonne marche des affaires reçues de C._", sans en vérifier l'exactitude, quand bien même, selon lui, il "n'avait aucune raison d['en] douter". Il lui incombait, à l'inverse, de s'assurer que les cotisations sociales avaient bien été acquittées, par exemple, en consultant les pièces comptables pertinentes (correspondances avec la caisse de compensation et relevés de salaires, notamment). Cette démarche aurait permis au recourant de constater que les acomptes de cotisations n'étaient qu'irrégulièrement, voire pas acquittés, avec pour conséquence qu'il eût pu prendre les mesures qui s'imposaient afin de régulariser la situation, et que sa passivité s'inscrit dès lors dans un rapport de causalité naturelle et adéquate avec le dommage subi par la caisse intimée.
3.4. En définitive, en exerçant un mandat d'administrateur sans prendre les mesures lui permettant de s'assurer que la société s'acquittait effectivement des cotisations sociales, le recourant a méconnu l'une des attributions intransmissibles et inaliénables que lui conférait l'art. 716a al. 1 CO et violé ainsi son obligation de surveillance (cura in custodiendo), ce qui relève d'une négligence qui doit être qualifiée de grave sous l'angle de l'art. 52 LAVS (consid. 3.2 supra). Les conclusions des premiers juges, selon lesquelles la carence du recourant engage sa responsabilité dans le préjudice subi par la caisse de compensation, doivent donc être confirmées. Le recours est mal fondé.
4.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 septembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud