Faits :
A.
A._, née en 1961, a été victime d'accidents les 29 mai et 29 décembre 2015, ensuite desquels elle a perçu des indemnités journalières de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) qui l'assurait contre le risque d'accident.
Dans son rapport d'examen final du 13 juin 2018, le docteur B._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que l'incapacité de travail de l'assurée dans l'activité d'aide-concierge était complète et définitive. En revanche, une pleine capacité de travail était envisageable dans une activité légère et sédentaire réalisée sous certaines conditions. Par estimation du même jour, ce médecin a évalué le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) à 10 %.
Le 14 juin 2018, la CNA a informé l'assurée que vu la stabilisation de son état de santé, elle mettait un terme au paiement des indemnités journalières et des soins médicaux au 30 juin 2018 et allait examiner son droit à d'autres prestations dès le 1 er juillet 2018.
Par décision du 6 juillet 2018, confirmée sur opposition le 4 septembre 2018, la CNA a refusé d'allouer à l'assurée une rente d'invalidité et lui a octroyé une IPAI d'un montant de 12'600 fr., correspondant à un taux de 10 %.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (ci-après: la Cour des assurances) l'a partiellement admis par jugement du 22 novembre 2019. Elle a réformé la décision précitée en ce sens que la CNA a été condamnée à verser à l'assurée des indemnités journalières du 1 er juillet 2018 au 30 septembre 2018. Elle a rejeté le recours pour le surplus, soit en tant qu'il concluait à l'allocation d'une rente d'invalidité et à l'octroi d'une IPAI fixée sur un taux de 20 %.
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation en tant qu'il reconnaît à A._ l'allocation d'indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2018 et à la confirmation de la décision sur opposition du 4 septembre 2018.
L'intimée conclut au rejet du recours. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en condamnant la recourante à verser à l'intimée des indemnités journalières pour la période du 1 er juillet 2018 au 30 septembre 2018.
S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3.
3.1. L'assuré totalement ou partiellement incapable de travailler à la suite d'un accident a droit à une indemnité journalière (art. 16 al. 1 LAA). Le droit à l'indemnité journalière naît le troisième jour qui suit celui de l'accident (art. 16 al. 2, 1 re phrase, LAA). Il s'éteint dès que l'assuré a recouvré sa pleine capacité de travail, dès qu'une rente est versée ou dès que l'assuré décède (art. 16 al. 2, 2 e phrase, LAA). La notion d'incapacité de travail, à laquelle renvoie l'art. 16 al. 1 LAA comme condition du droit à l'indemnité journalière, est définie à l'art. 6 LPGA (RS 830.1). Est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique (art. 6, 1 re phrase, LPGA). En cas d'incapacité de travail durable dans l'ancienne profession, l'assuré est en revanche tenu, en vertu de son devoir de diminuer le dommage, d'utiliser dans un autre secteur sa capacité fonctionnelle résiduelle (art. 6, 2 e phrase, LPGA; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 3 e éd., Bâle 2016, n. 213 p. 973). A cet égard, la jurisprudence considère qu'un délai doit être imparti à l'intéressé pour rechercher une activité raisonnablement exigible dans une autre profession ou un autre domaine. La durée de ce délai doit être appréciée selon les circonstances du cas particulier; elle est généralement de trois à cinq mois selon la pratique applicable en matière d'assurance-maladie (ATF 129 V 460 consid. 5.2 p. 464; 114 V 281 consid. 5b in fine p. 290). A l'issue de ce délai, le droit à l'indemnité journalière dépend de l'existence d'une éventuelle perte de gain imputable au risque assuré. Celle-ci se détermine par la différence entre le revenu qui pourrait être obtenu sans la survenance de l'éventualité assurée dans la profession exercée jusqu'alors et le revenu qui est obtenu ou pourrait raisonnablement être réalisé dans la nouvelle profession (ATF 114 V 281 consid. 3c in fine p. 286; arrêt 8C_310/2019 du 14 avril 2020 consid. 6.1.2 et la référence citée).
3.2. Si l'assuré est invalide (art. 8 LPGA) à 10 % au moins par suite de l'accident, il a droit à une rente d'invalidité, pour autant que l'accident soit survenu avant l'âge ordinaire de la retraite (art. 18 al. 1 LAA). En vertu de l'art. 19 al. 1 LAA, le droit à la rente prend naissance dès qu'il n'y a plus lieu d'attendre de la continuation du traitement médical une sensible amélioration de l'état de l'assuré et que les éventuelles mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité ont été menées à terme (1 re phrase); le droit au traitement médical et aux indemnités journalières cesse dès la naissance du droit à la rente (2 e phrase). La "naissance du droit à la rente" correspond au moment à partir duquel l'assuré peut potentiellement prétendre à un droit à la rente, indépendamment de l'octroi effectif d'une telle rente (THOMAS FLÜCKIGER, in Basler Kommentar, Unfallversicherungsgesetz, 2019, n° 7 ad art. 19 LAA, avec référence à l'ATF 143 V 148 consid. 5.3.1 p. 156). Il résulte ainsi de l'art. 19 al. 1 LAA que lorsqu'il n'y a plus lieu d'attendre de la continuation du traitement médical une sensible amélioration de l'état de santé de l'assuré, l'assureur doit mettre fin au paiement du traitement médical et des indemnités journalières et examiner le droit à une rente d'invalidité et à une IPAI (ATF 134 V 109 consid. 4.1 p. 114 et les références citées; arrêt 8C_443/2016 du 11 août 2016 consid. 2.2).
4.
4.1. Les juges cantonaux ont retenu que l'état de santé de l'intimée était stabilisé au 13 juin 2018. Considérant que l'activité habituelle de cette dernière n'était plus exigible et qu'un changement de profession s'imposait, ils ont toutefois jugé que la recourante aurait dû impartir à l'intimée un délai convenable pour lui permettre de chercher un nouvel emploi. Estimant qu'un délai de trois mois était raisonnable, ils ont fixé la date de la fin du versement des indemnités journalières au 30 septembre 2018 (et non au 30 juin 2018 comme la recourante), le droit à la rente prenant naissance le 1 er octobre 2018 (non au 1 er juillet 2018).
4.2. La recourante soutient qu'elle n'avait pas à accorder à l'intimée, à compter de la date de stabilisation médicale, un délai convenable pour chercher un emploi adapté pendant lequel l'indemnité journalière aurait dû continuer à lui être allouée avant le passage à une éventuelle rente. Cette pratique ne vaudrait que lorsque les indemnités journalières sont supprimées sur la base de l'art. 6, 2 e phrase, LPGA, mais pas lorsqu'elles prennent fin en application de l'art. 19 al. 1 LAA, comme en l'espèce. Le raisonnement de la cour cantonale consacrerait ainsi une violation de l'art. 19 LAA.
4.3. Cette critique est justifiée. La jurisprudence développée en relation avec l'obligation de diminuer le dommage en cas d'atteinte à la santé (exprimé à l'art. 6, 2 e phrase, LPGA par l'exigibilité d'une activité de substitution en cas d'incapacité de travail durable; cf. consid. 3.1 supra) ne concerne en effet que l'indemnité journalière et n'est pas transposable au domaine des rentes, pour lesquelles le droit prend naissance selon d'autres conditions prévues par les lois spéciales, soit dans l'assurance-accidents l'art. 19 LAA (arrêts 8C_310/2019 précité consid. 6.1.2; 8C_443/2016 précité consid. 2.3; 8C_687/2014 du 9 septembre 2015 consid. 5.1, publié in SVR 2016 UV n° 17 p. 19; MARGIT MOSER-SZELESS, in Commentaire romand, Loi sur la partie générale des assurances sociales [Dupont/Moser-Szeless éd.], 2018, n. 38 ad art. 6 LPGA). Autrement dit, dès lors que l'état de santé de l'assuré est stabilisé - au sens de l'art. 19 al. 1, 1 re phrase, LAA - et qu'il y a en conséquence lieu d'examiner s'il peut prétendre à une rente, l'assureur-accidents n'est pas tenu de lui impartir un délai pour s'adapter aux nouvelles circonstances et de continuer de lui verser les indemnités journalières pendant cette période. Il doit clore le cas et mettre un terme au paiement de l'indemnité journalière. Le versement d'une rente d'invalidité - pour autant que l'assuré y ait droit en vertu de l'art. 18 al. 1 LAA - intervient au moment où prend fin le droit à l'indemnité journalière.
4.4. Sur la base de l'examen final du 13 juin 2018, la recourante a estimé que l'état de santé de l'intimée était stabilisé. Cette dernière ne conteste pas cette appréciation. La recourante était donc fondée à mettre un terme au versement des indemnités journalières au 30 juin 2018 et à examiner si les conditions d'octroi d'une rente d'invalidité dès le 1 er juillet 2018 étaient réunies. C'est ainsi à tort que la juridiction cantonale l'a condamnée à verser des indemnités journalières à l'intimée du 1 er juillet 2018 au 30 septembre 2018. Le recours doit par conséquent être admis.
5.
L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura du 22 novembre 2019 est annulé, en tant qu'il condamne la CNA à verser à A._ des indemnités journalières du 1 er juillet 2018 au 30 septembre 2018. La décision sur opposition de la CNA du 4 septembre 2018 est confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de A._.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny