Faits :
A.
A.a. Le 12 septembre 2019, le Dr B._ a été nommé en qualité d'expert dans une procédure portant sur la fixation d'une contribution d'entretien et des droits parentaux (en particulier le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant C._ [née en 2012] et les modalités des relations parents-enfant) opposant A._ et D._. Le 12 juin 2020, l'expert a déposé un rapport de sept pages, ainsi qu'une liste des opérations effectuées dans le cadre de sa mission.
A.b. Par prononcé du 28 septembre 2020, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a arrêté à 1'000 fr. le montant des honoraires dus à l'expert (I) et statué sans frais ni dépens (II). Elle a retenu, en bref, que la rémunération réclamée par l'expert - à savoir 7'816 fr. 25 - correspondait à 2'405 minutes de travail, au tarif horaire de 195 fr., et était largement supérieure au devis de 4'800 fr. fourni par l'intéressé le 10 octobre 2019.
B.
Le 28 octobre 2020, l'expert a recouru contre cette décision, concluant à ce que sa rémunération soit fixée à 7'816 fr. 25.
Par réponses séparées du 17 décembre 2020, les parents ont conclu au rejet du recours; le père a requis en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
Par arrêt du 4 janvier 2021, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a admis le recours (I), annulé le prononcé attaqué et renvoyé la cause au premier juge pour nouvelle décision dans le sens des considérants (II), rejeté la requête d'assistance judiciaire du père intimé (III) et statué sur les frais et dépens (IV-VII).
C.
Par mémoire mis à la poste le 11 mars 2021, le père forme un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, concluant à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa requête d'assistance judiciaire est admise; il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à répondre, la juridiction précédente se réfère aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit :
1.
1.1. Devant la juridiction précédente, seul était litigieux le montant des honoraires de l'expert; partant, il s'agit d'une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse est inférieure au seuil légal de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF est ouvert en l'espèce, le recourant n'alléguant pas que la présente cause soulèverait une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF, en relation avec l'art. 42 al. 2 LTF).
1.2. En l'espèce, le refus de l'assistance judiciaire ne participe pas du caractère incident de la décision de renvoi sur le fond ( cf. ATF 145 III 42 consid. 2.1 et les arrêts cités). L'autorité précédente a mis un terme à la procédure en ce qui concerne l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance de recours cantonale; cette question constitue l'unique objet du présent recours, de sorte que cette décision apparaît matériellement finale au sens de l'art. 90 LTF ( cf. ATF 139 V 600 consid. 2.2).
1.3. Pour le surplus, le recours a été interjeté à temps (art. 100 al. 1 et 117 LTF) à l'encontre d'une décision émanant d'une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 et 114 LTF). Le recourant, dont la requête d'assistance judiciaire a été rejetée par la juridiction précédente, a un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 LTF).
2.
2.1. En l'espèce, l'autorité précédente constate que, par décisions du 1er septembre 2020, le premier juge a invité l'expert à se déterminer sur la contestation de ses honoraires par le père intimé, respectivement ordonné une deuxième expertise à cause du caractère " inutilisable " du premier rapport. La décision ordonnant une nouvelle expertise ne lui a cependant pas été signifiée, de sorte que son droit d'être entendu a été violé, puisque le premier juge l'a ainsi privé de la possibilité de prendre position sur l'appréciation négative de son activité, liée à des motifs précis, figurant dans la décision en cause. Ce constat impose d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause au premier juge pour qu'il se prononce à nouveau sur les honoraires de l'expert, après lui avoir communiqué la décision incriminée et donné la possibilité de prendre formellement position sur son contenu. Dans ces conditions, la requête d'assistance judiciaire du père pour la procédure de recours doit être rejetée; en effet, la conclusion tendant au rejet du recours était dénuée de chances de succès (art. 117 let. b CPC), " compte tenu du caractère manifeste de la violation du droit d'être entendu du recourant ".
2.2. En substance, le recourant soutient qu'une telle argumentation est constitutive d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et enfreint son droit à l'assistance judiciaire découlant de l'art. 29 al. 3 Cst., dont les garanties sont concrétisées à l'art. 117 CPC. Il ne conteste pas - avec raison (ATF 139 III 475 consid. 2.3) - que le bénéfice de l'assistance judiciaire puisse être refusé à la partie intimée lorsqu'elle a conclu au rejet du recours (cantonal) alors que le jugement de première instance souffrait d'un vice manifeste, mais affirme que cette situation n'était pas réalisée dans le cas présent. Ces critiques s'avèrent fondées.
2.3. Comme l'observe le recourant, l'affirmation selon laquelle l'absence de communication de la décision ordonnant une deuxième expertise a " empêché [l'expert] de se déterminer sur l'appréciation négative de son travail " n'est pas soutenable. Par courrier du 1er septembre 2020, le premier juge a avisé l'expert que sa note d'honoraires était contestée par le " père de l'enfant ", " selon courrier dont vous trouverez copie en annexe ", à savoir une lettre du 19 août 2020 dans laquelle l'avocate du père a exposé de façon détaillée ses griefs à l'encontre de l'expertise litigieuse. Le 15 septembre 2020, l'expert a expressément pris position sur les critiques contenues dans le " pli du 19 août 2020/hb ". Il apparaît dès lors que l'expert était parfaitement au courant des reproches qui lui étaient adressés et sur lesquels il a pu s'expliquer avant que le premier juge ne statue le 28 septembre 2020. En outre, la prétendue violation du droit d'être entendu a été relevée d' office par l'autorité précédente, en sorte que le refus de l'assistance judiciaire revient à sanctionner le recourant pour n'avoir pas conclu à l'admission du recours cantonal en raison de la violation d'une garantie de procédure commise au préjudice d'une autre partie au procès.
3.
En conclusion, le présent recours doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué annulé aux chiffres III, IV et V de son dispositif. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle se prononce sur la nécessité d'un conseil juridique (art. 118 al. 1 let. c CPC), condition (cumulative) que le Tribunal fédéral ne saurait examiner lui-même sans frustrer le recourant d'un degré de juridiction.
Vu l'issue de la procédure, les dépens sont mis à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 142 III 110 consid. 3.3 et les arrêts cités), à l'exclusion des frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Cela étant, la requête d'assistance judiciaire est sans objet (arrêt 5A_640/2021 du 13 octobre 2021 consid. 5 et les arrêts cités).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, les chiffres III à V du dispositif de l'arrêt attaqué sont annulés et l'affaire est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'État de Vaud.
5.
Le présent arrêt est communiqué au recourant et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 février 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Braconi