Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1973) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Nach einem erfolglos durchlaufenen Asylverfahren in der Schweiz und der zwischenzeitlichen Rückkehr in seine Heimat reiste er am 24. November 2000 mit einer Kurzaufenthaltsbewilligung erneut in die Schweiz ein. Am 15. Dezember 2000 heiratete er eine Schweizer Staatsangehörige, woraufhin ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erteilt wurde.
Parallel zur ehelichen Beziehung in der Schweiz nahm A._ in seiner Heimat eine Beziehung mit seiner Landsfrau B._ (geb. 1978) auf. Noch bevor er im Oktober 2005 in der Schweiz erleichtert eingebürgert wurde, zeugte er mit ihr die beiden Kinder C._ (geb. im Februar 2005) und D._ (geb. im Mai 2006), die er im Dezember 2009 förmlich anerkannte. Gegenüber den Schweizer Behörden verschwieg er die aussereheliche Beziehung und die Existenz seiner Kinder zunächst.
A.b. Die Ehe von A._ mit seiner Schweizer Ehegattin wurde am 12. Dezember 2008 geschieden. Nachdem das damalige Bundesamt für Migration (BFM, heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) aufgrund einer Vorsprache A._s auf der Schweizer Vertretung in Pristina von seiner Beziehung zu B._ und der Existenz zweier ausserehelich gezeugter Kinder erfahren hatte, erklärte es die erleichterte Einbürgerung am 1. Oktober 2010 für nichtig. Eine dagegen erhobene Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zog A._ zurück, woraufhin die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung rechtskräftig wurde.
A.c. Am 20. Dezember 2012 erhielt A._ eine Aufenthaltsbewilligung zugesprochen. Ein gutes Jahr später - am 30. Dezember 2013 - ersuchte er für B._ und seine beiden Kinder um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Aufgrund drohender Sozialhilfeabhängigkeit wurde dieses Gesuch vom Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 20. Oktober 2014 abgewiesen. Dieser Entscheid wurde vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt (JSD) mit Entscheid vom 21. Oktober 2015 bestätigt. Nach der Eheschliessung mit B._ stellte A._ ein weiteres Nachzugsgesuch, welches vom kantonalen Migrationsamt mit Verfügung vom 25. August 2017 abgewiesen wurde. Bezüglich der Kinder wurde dieser Entscheid damit begründet, dass die Nachzugsfrist verpasst worden sei.
A.d. A._ erhielt am 9. November 2017 die Niederlassungsbewilligung. B._ wurde in der Folge zum Verbleib bei ihrem Ehemann die Aufenthaltsbewilligung erteilt.
B.
Mit Eingabe vom 21. November 2017 stellte A._ für seine beiden Kinder C._ und D._ein drittes Nachzugsgesuch.
Mit Verfügung vom 18. Dezember 2017 trat das kantonale Migrationsamt auf dieses Gesuch nicht ein. Den dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmitteln war kein Erfolg beschieden (vgl. Entscheid des JSD vom 7. März 2018 und Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 8. August 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 18. September 2018 gelangt A._ an das Bundesgericht. In der Hauptsache beantragt er die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts vom 8. August 2018 und nachfolgend der Verfügung des Migrationsamtes vom 18. Dezember 2017; es sei festzustellen, dass die Verweigerung des Familiennachzuges Art. 8 und 14 EMRK sowie die Art. 2, 3, 9 und 10 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte der Kinder (UN-Kinderrechtskonvention, KRK, SR 0.107) verletze; das Migrationsamt sei anzuweisen, ihm den Familiennachzug mit seinen beiden Kindern C._ und D._ zu bewilligen. Eventualiter sei die Angelegenheit an das Migrationsamt zurückzuweisen, damit dieses auf das Gesuch eintrete.
Das JSD und das Appellationsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das SEM verzichtet auf Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 19. November 2018 repliziert A._; er macht insbesondere auf ein Verfahren vor dem Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) aufmerksam, das rechtlich mit dem vorliegenden Verfahren vergleichbar sei.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann vor Bundesgericht der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts angefochten werden (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG, Art. 82 lit. a BGG). Kein taugliches Anfechtungsobjekt bildet dagegen die erstinstanzliche Verfügung einer kantonalen Verwaltungsbehörde, die aufgrund des Devolutiveffekts durch das spätere Urteil eines kantonalen Verwaltungsgerichts ersetzt wurde (BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144; Urteile 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 E. 1.1; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 1.2). Soweit der Beschwerdeführer den Antrag stellt, die Verfügung des kantonalen Migrationsamts vom 18. Dezember 2017 aufzuheben, ist daher auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
1.2. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe als niederlassungsberechtigter ausländischer Staatsangehöriger Anspruch auf Familiennachzug. Er stützt diesen Anspruch auf Art. 43 Abs. 1 AIG (SR 142.20; bis zum 31.12.2018: AuG) sowie Art. 8 EMRK.
Für das Eintreten genügt, dass ein potentieller Anspruch auf den Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird. Weil der Streitgegenstand im Laufe des Rechtsmittelverfahrens nur noch eingeschränkt, aber nicht ausgeweitet werden kann (BGE 136 V 362 E. 3.4.2 S. 365; 136 II 165 E. 5 S. 174; 133 II 30 E. 2 S. 31 f. m.w.H.), ist allerdings darauf hinzuweisen, dass im vorliegenden Verfahren einzig geprüft werden kann, ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid des kantonalen Migrationsamts zu Recht geschützt hat. Auf die Beschwerde ist damit einzutreten, soweit beantragt wird, die Angelegenheit an das Migrationsamt zurückzuweisen, damit dieses auf das Familiennachzugsgesuch eintrete. Nicht einzutreten ist hingegen auf den Antrag um Bewilligung des Familiennachzugs.
1.3. Das zusätzliche Begehren des Beschwerdeführers, es sei die Verletzung verschiedener Bestimmungen der EMRK und der KRK festzustellen, wäre im bundesgerichtlichen Verfahren nur dann zulässig, wenn an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse bestünde und dieses Interesse nicht ebenso gut mit einem Leistungsbegehren gewahrt werden könnte (BGE 126 II 300 E. 2c S. 303 mit Hinweisen; Urteil 2C_832/2017 vom 17. September 2018 E. 1.4). Diese Voraussetzungen sind hier nicht gegeben: Die geltend gemachten Verletzungen der genannten EMRK- und KRK-Bestimmungen können ohne Weiteres im Rahmen des oben erwähnten Leistungsbegehrens geprüft werden, auf das einzutreten ist (vgl. E. 1.1 hiervor).
1.4. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Legitimation, der Frist und der Form (Art. 89 Abs. 1 BGG, Art. 100 Abs. 1 BGG, Art. 42 BGG) geben nicht zu weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist damit einzutreten, soweit die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Bewilligung des Familiennachzugs beantragt wird.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft dabei - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien - nur die vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu ins Auge springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese ihm nicht formell korrekt unterbreitet werden (vgl. BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten (Art. 106 Abs. 2 BGG). Um den Anforderungen zu genügen, ist konkret darzulegen, welches Grundrecht die Vorinstanz inwiefern missachtet haben soll (BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil im Regelfall den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116). Unter den gleichen Voraussetzungen kann eine beschwerdeführende Partei die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (BGE 137 II 353 E. 5.1 S. 356; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254).
3.
3.1. Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildet die Verfügung des kantonalen Migrationsamts vom 18. Dezember 2017. Diese Verfügung geht auf ein Nachzugsgesuch des Beschwerdeführers vom 21. November 2017 zurück, das dieser für seine Kinder rund zwei Wochen nach Erteilung der Niederlassungsbewilligung gestellt hatte. Zuvor hatte der Beschwerdeführer bereits mehrfach um den Nachzug seiner Kinder ersucht. Diese Gesuche sind allesamt negativ beurteilt worden und die entsprechenden Entscheide der kantonalen Behörden in Rechtskraft erwachsen.
3.2. An sich steht es einem Ausländer frei, nach der abschlägigen Beurteilung eines Familiennachzugsbegehrens ein neues Bewilligungsgesuch einzureichen. Ein solches darf jedoch nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltung ist aufgrund von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war bzw. keine Veranlassung bestand (BGE 136 II 177 E. 2.1 S. 181; Urteile 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.2; 2C_883/2015 vom 5. Februar 2016 E. 3.3).
3.3. Die Vorinstanz verneinte nach einlässlicher Auseinandersetzung mit den Nachzugsvoraussetzungen von Art. 42, Art. 43 und Art. 47 AIG, dass sich die Umstände seit den rechtskräftig beurteilten früheren Nachzugsgesuchen wesentlich verändert hätten. Entsprechend schützte sie den Entscheid des kantonalen Migrationsamts, auf das infrage stehende Nachzugsgesuch nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Auffassung, mit der Erteilung der Niederlassungsbewilligung an ihn sei ein Statuswechsel eingetreten, der als wesentliche Änderung der Umstände anzusehen sei; damit hätten die Fristen von Art. 47 Abs. 1 und 3 AIG neu zu laufen begonnen, was zur Folge habe, dass ein unbedingter Anspruch auf Bewilligung des Nachzugs seiner Kinder bestehe. Entsprechend verletze der Nichteintretensentscheid der kantonalen Behörden Art. 29 Abs. 2 BV.
3.4. Was mit Blick auf die Pflicht zum Eintreten (vgl. E. 3.2 hiervor) als wesentliche Änderung der Umstände zu gelten hat, kann - wie der Beschwerdeführer zutreffend vorbringt - nur mit Blick auf den materiellen Gehalt der Bestimmungen von Art. 43 und 47 AIG geklärt werden. Zu prüfen ist daher nachfolgend, ob mit dem Statuswechsel des Beschwerdeführers von der Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung am 9. November 2017 eine neue Nachzugsfrist zu laufen begonnen hat (vgl. dazu E. 4 hiernach). Wäre dies der Fall, hätte die Statusverbesserung als wesentliche Änderung der Umstände zu gelten.
4.
4.1. Nach Art. 43 Abs. 1 AIG haben ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Der Anspruch auf Familiennachzug muss bei Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten geltend gemacht werden, wobei diese Frist mit der Erteilung der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses zu laufen beginnt (Art. 47 Abs. 3 lit. b AIG). Frühester Beginn des Fristenlaufs ist in jedem Fall der 1. Januar 2008, an dem das AIG in Kraft getreten ist (Art. 126 Abs. 3 AIG; AS 2007 5489).
Weil der Beschwerdeführer bei der Prüfung seiner früheren Nachzugsgesuche nur über die Aufenthaltsbewilligung und nicht über die Niederlassungsbewilligung verfügte, richtete sich die Beurteilung dieser früheren Nachzugsgesuche nicht nach Art. 43 Abs. 1 AIG, sondern nach Art. 44 AIG. Im Unterschied zu Art. 43 Abs. 1 AIG statuiert Art. 44AIG keinen Anspruch auf Familiennachzug (BGE 137 I 284 E. 1.2 S. 287). Vielmehr "kann" den Ehegatten und ledigen Kindern unter 18 Jahren von Personen mit Aufenthaltsbewilligung eine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden, wenn sie mit diesen zusammen wohnen (lit. a), eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden ist (lit. b) und sie nicht auf Sozialhilfe angewiesen sind (lit. c). Hinsichtlich der Fristen gilt die Regelung von Art. 47 AIG.
Damit stellt sich die Frage, ob vorliegend mit dem Statuswechsel von der Aufenthaltsbewilligung zur Niederlassungsbewilligung und der damit verbundenen nachzugsrechtlichen Besserstellung des Beschwerdeführers eine neue Frist zu laufen begonnen hat, womit nach wie vor ein Anspruch auf den Nachzug der Kinder bestünde.
4.2. Die Rechtsprechung lässt es zu, dass ein Ausländer, der - ohne über einen entsprechenden Anspruch zu verfügen - erfolglos ein erstes Mal um Familiennachzug nachgesucht hat, in einer späteren Anspruchssituation ein neues Gesuch stellt; vorausgesetzt ist aber, dass sowohl das erste Gesuch als auch das zweite Gesuch innert Frist (Art. 47 AIG; Art. 73 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [SR 142.201; VZAE]) eingereicht worden sind (BGE 137 II 393 E. 3.3 S. 396 f.; vgl. ferner Urteil 2C_409/2018 vom 23. Januar 2019 E. 3.10 [zur BGE-Publikation vorgesehen]), wobei die Frist für das zweite Gesuch mit dem Statuswechsel zu laufen beginnt.
Mit Blick auf die Frage, ob ein neuerliches Nachzugsgesuch aufgrund von Art. 29 Abs. 2 BV materiell zu prüfen ist (vgl. E. 3.2 hiervor), bildet der Statuswechsel von der Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung mithin im Grundsatz eine wesentliche Änderung der Umstände. Entsprechend sind die Migrationsbehörden verpflichtet, in einer solchen Situation auf ein neues Nachzugsgesuch einzutreten und es einer materiellen Prüfung zuzuführen.
4.3. Die Vorinstanz ist der Auffassung, dass diese Rechtsprechung (vgl. E. 4.2 hiervor) auf den vorliegenden Fall nicht anwendbar sei. Der Grund für die Zulassung eines neuen Familiennachzugsgesuchs nach einem Statuswechsel bestehe nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung primär darin, dass sich eine ausländische Person mit Aufenthaltsbewilligung in der paradoxen Situation befinde, aufgrund der Fristenregelung (Art. 47 AIG) ein Nachzugsgesuch stellen zu müssen, ohne über einen entsprechenden Anspruch zu verfügen (Art. 44 AIG), gleichzeitig aber mit dem Stellen des Nachzugsgesuchs Gefahr laufe, dass auf ein späteres Gesuch in einer allfälligen Anspruchssituation (Art. 43 AIG) nicht mehr eingetreten werde, weil keine wesentliche Änderung der Umstände vorliege. Diese Härte solle durch die Zulassung eines neuen Nachzugsgesuchs vermieden werden.
In der vom Bundesgericht teleologisch vorausgesetzten Dilemmasituation habe sich der Beschwerdeführer nie befunden. Zwischen der Anerkennung seiner Kinder am 24. Dezember 2009 und der Nichtigerklärung seiner erleichterten Einbürgerung am 1. Oktober 2010 habe er nämlich schon einmal einen Anspruch auf den Nachzug seiner Kinder gehabt. Die Möglichkeit zum Nachzug seiner Kinder habe er ungenutzt verstreichen lassen. Seine Auffassung, wonach er aufgrund des (erneuten) Statuswechsels im Jahr 2017 einen (verfassungsrechtlichen) Anspruch habe, dass sein Gesuch materiell geprüft werde, widerspreche dem Sinn und Zweck der bundesgerichtlichen Rechtsprechung.
4.4. Abstrakt stellt sich vorliegend die Frage, ob die oben dargelegte Rechtsprechung, wonach ein Statuswechsel von der Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung unter Umständen eine neue Nachzugsfrist auslösen und zu einem neuen Gesuch berechtigen kann, auch auf Personen anwendbar ist, die zu einem früheren Zeitpunkt bereits einmal über einen Nachzugsanspruch verfügt haben. In diesem Zusammenhang muss zwischen Fällen unterschieden werden, in denen die Nachzugsfrist während der früheren Anspruchssituation bereits abgelaufen war (vgl. E. 4.4.1 hiernach), und solchen, in denen dies nicht der Fall ist (vgl. E. 4.4.2 hiernach).
4.4.1. War die Frist für den Nachzug in der früheren Anspruchssituation bereits abgelaufen, beginnt aufgrund der Statusverbesserung nach dem zwischenzeitlichen Verlust des Nachzugsanspruchs keine neue Frist zu laufen, weil sich die massgeblichen Umstände aufgrund des zweiten Statuswechsels in einem solchen Fall nicht wesentlich geändert haben (vgl. sinngemäss BGE 137 II 393 E. 3.3 S. 396 f.; Urteil 2C_409/2018 vom 23. Januar 2019 E. 3.10 [zur BGE-Publikation vorgesehen]). Ein neuerliches Familiennachzugsgesuch, das einzig mit der Statusverbesserung begründet würde, zöge entsprechend einen Nichteintretensentscheid nach sich (vgl. E. 3.2 hiervor). Anders zu entscheiden hiesse, Personen, die ihren Nachzugsanspruch aus eigenem Verschulden zwischenzeitlich verloren haben, im Vergleich zu anderen anspruchsberechtigten Personen ungerechtfertigterweise zu bevorzugen und ihnen längere Fristen einzuräumen, als gesetzlich vorgesehen (Art. 47 Abs. 1 AIG).
4.4.2. Anders liegt der Fall, wenn die Frist von Art. 47 Abs. 1 AIG im Zeitpunkt der Statusverschlechterung und des damit verbundenen Verlusts des Nachzugsanspruchs (Art. 44 AIG) noch nicht abgelaufen war und in der Folge - immer noch innerhalb der Frist - ein erstes Mal um Familiennachzug ersucht wird (vgl. auch Urteil 2C_160/2016 vom 15. November 2016 E. 2.2). Mit der neuerlichen Statusverbesserung verändert sich die Sachlage in einem solchen Fall in wesentlicher Weise und beginnt mit der Statusverbesserung eine neue Frist zu laufen. Eine solche Lösung ist nur schon deshalb angezeigt, weil sonst die gesetzlich vorgesehene Frist zur Geltendmachung des Nachzugsanspruchs (Art. 47 AIG) für einen Betroffenen gegenüber anderen Anspruchsberechtigten verkürzt würde, ohne dass dafür ein sachlicher Grund bestünde. Kein sachlicher Grund für eine solche Verkürzung bildet namentlich der Umstand, dass der Verlust des Nachzugsanspruchs durch die nachzugswillige Person verschuldet war, denn der Familiennachzug dient der Gewährleistung des Anspruchs auf Achtung des Familienlebens (Art. 13 Abs. 1 BV, Art. 8 EMRK; vgl. auch Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, BBl 2002 3709 ff., S. 3739 sowie 3751 ff.). Entsprechend berührt die Verweigerung des Nachzugs nicht allein die Interessen der in der Schweiz anwesenheitsberechtigten nachziehenden, sondern auch diejenigen seiner im Ausland weilenden Familienangehörigen.
4.5. Vor dem Hintergrund dieser Rechtslage braucht nicht geklärt zu werden, ob die Vorinstanz mit Recht davon ausgegangen ist, dem Beschwerdeführer sei es zwischen der Anerkennung seiner Kinder am 24. Dezember 2009 und der Nichtigkerklärung seiner Einbürgerung am 1. Oktober 2010 rechtlich und faktisch möglich gewesen, den Anspruch auf Nachzug seiner Kinder geltend zu machen. Obschon an dieser Feststellung ernsthafte Zweifel angebracht sind, ist vielmehr entscheidend, dass die Frist für die Geltendmachung des Nachzugsanspruchs (Art. 47 Abs. 1 AIG) zum Zeitpunkt der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung nicht abgelaufen war und der Beschwerdeführer mit dem Nachzugsgesuch vom 30. Dezember 2013 die Frist von Art. 47 Abs. 1 AIG eingehalten hat. Nachdem er zu diesem Zeitpunkt keinen Anspruch auf den Nachzug seiner Kinder besass, löste die Erteilung der Niederlassungsbewilligung am 9. November 2017 eine neue Frist aus (Art. 47 Abs. 1 AIG), die er mit dem Nachzugsgesuch vom 21. November 2017 offensichtlich eingehalten hat.
4.6. Nach dem Gesagten ist die Vorinstanz unzutreffenderweise davon ausgegangen, die mit der Erteilung der Niederlassungsbewilligung am 9. November 2017 verbundene Statusverbesserung des Beschwerdeführers stelle keine wesentliche Änderung der Umstände dar. Indem sie den Nichteintretensentscheid des kantonalen Migrationsamts schützte, verletzte sie Art. 29 Abs. 2 BV.
Schon aus diesem Grund ist die Beschwerde gutzuheissen und die Sache an das Migrationsamt zurückzuweisen, damit dieses materiell über das Familiennachzugsgesuch entscheidet. Keiner Erörterung bedarf daher die vom Beschwerdeführer ebenfalls aufgeworfene Frage, inwiefern der bewilligte Familiennachzug der Ehefrau des Beschwerdeführers eine relevante Veränderung der Sachlage darstellte.
5.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 1.2 und 1.3 hiervor). Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Angelegenheit an das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt zurückzuweisen, damit dieses auf das Familiennachzugsgesuch vom 21. November 2017 eintrete und die Sache materiell entscheide.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz ihrerseits wird über die kantonale Kosten- und Entschädigungsregelung neu zu befinden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 8. August 2018 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen, damit dieses auf das Familiennachzugsgesuch vom 21. November 2017 eintrete und die Sache materiell entscheide.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4.
Die Vorinstanz hat über die Kosten- und Entschädigungsfolgen in den kantonalen Verfahren neu zu befinden.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner