Erwägungen:
1.
1.1. Am 18. Februar 2019 verfügte das Appenzeller Veterinäramt ein Teiltierhalte- und Zuchtverbot gegenüber A._. Auf den dagegen erhobenen Rekurs trat das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden am 23. April 2019 wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist nicht ein. Das daraufhin angerufene Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden trat auf die Beschwerde am 27. September 2019 nicht ein, weil der Kostenvorschuss verspätet geleistet worden war. Einem Fristwiederherstellungsgesuch gab es nicht statt.
1.2. Mit Beschwerde vom 2. November 2019 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Appenzeller Behörden seien anzuweisen, ihren Rekurs materiell zu behandeln. Zudem seien die Behörden zu büssen bzw. es sei ihr Schadenersatz zuzusprechen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, hat die beschwerdeführende Partei darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368; 138 I 97 E. 4.1.4 S. 100).
2.2. Streitgegenstand vor Bundesgericht ist ausschliesslich, ob das Obergericht auf die Beschwerde zu Recht nicht eingetreten ist. Soweit sich die Beschwerdeführerin sachbezogen äussert, bestreitet sie nicht, dass sie den Kostenvorschuss verspätet geleistet hat. Sie bringt vor, sie sei wegen ihres schweren Augenleidens nicht in der Lage gewesen, den Vorschuss fristgerecht zu bezahlen. Ob damit die gegenteiligen Ausführungen der Vorinstanz (vgl. E. 1.5.3 des angefochtenen Entscheids) infrage gestellt werden, kann offengelassen werden. Denn das Obergericht hat zusätzlich erwogen, dass die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin entgegen Art. 6 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 9. September 2002 (VRPG/AR; bGS 143.1) kein schriftliches und begründetes Fristwiederherstellungsgesuch innert fünf Tagen seit Wegfall des Hinderungsgrundes eingereicht habe (vgl. E. 1.5.2 des angefochtenen Entscheids). Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Sie bestreitet namentlich die vorinstanzliche Feststellung nicht, wonach sie erst am 7. August 2019 und damit über einen Monat nach Wegfall des Hinderungsgrundes um Fristwiederherstellung ersucht habe. Die Beschwerde enthält deshalb offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger