Sachverhalt:
A.
A.a. A.B._ (geb. 2015) ist die Tochter von A._ (Vater) und B.B._ (Mutter). Die Kindseltern sind nicht miteinander verheiratet. Mit Unterhaltsvertrag vom 17. März 2016 verpflichtete sich der Vater zur Bezahlung monatlicher Unterhaltsbeiträge von Fr. 480.--. Eine Genehmigung des Unterhaltsvertrags liegt nicht vor.
A.b. Am 16. Juli 2019 reichte A.B._ beim Richteramt Olten-Gösgen gegen den Vater eine Unterhaltsklage ein. Gleichzeitig stellte sie das Gesuch, den Vater zu verpflichten, ihr vorläufig für die Dauer des Verfahrens monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'900.-- zu bezahlen. Der a.o. Amtsgerichtsstatthalter verpflichtete hierauf mit Verfügung vom 9. Oktober 2019 den Vater, der Tochter - allenfalls in Abänderung des Unterhaltsvertrages vom 17. März 2016 - vorsorglich an den Unterhalt monatlich vorauszahlbare Beiträge in Höhe von Fr. 1'090.-- zu bezahlen.
A.c. Gegen diese Verfügung erhob A._ am 10. Februar 2020 frist- und formgerecht Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn. Das Obergericht wies diese mit Urteil vom 21. Februar 2020 (eröffnet am 25. Februar 2020) ab (Dispositiv Ziff. 1). Es wies auch das Gesuch von A._ um Gewährung der vollumfänglichen unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren ab (Dispositiv Ziff. 2) und auferlegte ihm die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 1000.-- (Dispositiv Ziff. 3) sowie eine Parteientschädigung für A.B._ (Dispositiv Ziff. 4).
B.
Mit zwei Beschwerden in Zivilsachen vom 26. März 2020 - eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerden - wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht.
B.a. Mit der ersten Beschwerde (5A_242/2020) verlangt er die Aufhebung des Urteils vom 21. Februar 2020 und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz, damit diese den Unterhalt nach Gewährung des rechtlichen Gehörs wie folgt festsetze: 1. Phase: Ab Klageeinreichung bis 31. März 2020 Barunterhalt Fr. 225.--/Betreuungsunterhalt Fr. 225.--. 2. Phase: Ab 1. April 2020 bis 31. Juli 2021: Barunterhalt Fr. 0.--/Betreuungsunterhalt Fr. 0.-- (Manko Fr. 600.--). 3. Phase: Ab. 1. August 2021: Barunterhalt Fr. 107.-- (Manko Fr. 400.--) /Betreuungsunterhalt Fr. 0.-- (Manko Fr. 0.--). Eventualiter verlangt er die Festsetzung der gleichen Unterhaltsbeiträge durch das Bundesgericht. Weiter verlangt der Beschwerdeführer, dass A.B._ (Beschwerdegegnerin) die Kosten- und Entschädigungsfolgen des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens sowie der beiden vorinstanzlichen Verfahren zu tragen hat. Eventualiter gingen die Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Vorinstanz.
Weiter stellt der Beschwerdeführer einen Antrag auf aufschiebende Wirkung und ersucht darum, A.B._ sei zu verpflichten, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Eventuell ersucht er für dieses Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
B.b. Mit der zweiten Beschwerde (5A_243/2020) verlangt der Beschwerdeführer die Aufhebung der Dispositiv Ziff. 2 und 3 des Urteils vom 21. Februar 2020. Dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Rechtspflege sowie die Bestellung von Rechtsanwältin Gabriela Tschümperlin als unentgeltliche Rechtsvertreterin zu gewähren und diese mit Fr. 2'460.15 zu entschädigen. Eventualiter verlangt der Beschwerdeführer die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neubeurteilung.
Der Beschwerdeführer verlangt, die Kosten des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens der Vorinstanz aufzuerlegen. Weiter stellt er für das Verfahren vor dem Bundesgericht den Antrag, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm für das Verfahren vor dem Bundesgericht einen Prozess- und Anwaltskostenvorschuss in Höhe von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
Eventualiter sei dem Beschwerdeführer auch für dieses Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
C.
Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanz eingeholt und im Übrigen diese und die Beschwerdegegnerin im Verfahren 5A_242/2020 zur Vernehmlassung eingeladen, beschränkt auf die Frage der aufschiebenden Wirkung und des rechtlichen Gehörs (Replikrecht). Die Beschwerdeführerin hat sich mit Eingabe vom 26. Mai 2020 geäussert. Sie widersprach dem Antrag des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und verneinte eine Verletzung des Replikrechts. Die Vorinstanz teilte dem Bundesgericht am 27. Mai 2020 mit, auf eine Stellungnahme und einen Antrag zu verzichten. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (BGE 144 V 97 E. 1; 144 II 184 E. 1).
1.2. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) vorsorglich über den vom Beschwerdeführer an seine minderjährige Tochter zu bezahlenden Unterhalt sowie über die unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren entschieden hat. Dabei geht es in der Hauptsache um einen vermögensrechtlichen Zivilstreit nach Art. 72 Abs. 1 BGG. Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 Bst. a und 4 sowie Art. 52 BGG; zum Ganzen Urteil 5A_955/2017 vom 3. Mai 2018 E. 1). Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und er hat diese auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 BGG). Unbedenklich ist, dass die Vorinstanz über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (BGE 143 II 140 E. 1.2).
1.3. Rechtsprechungsgemäss handelt es sich beim Entscheid, den Kindesunterhalt vorläufig für die Dauer des Verfahrens festzulegen, um einen Entscheid nach Art. 90 BGG, gegen den die Beschwerde ohne weitere Voraussetzungen zulässig ist (BGE 137 III 586 E. 1.2; kürzlich etwa Urteil 5A_446/2019 vom 5. März 2020 E. 1; kritisch: ZOGG, "Vorsorgliche" Unterhaltszahlungen im Familienrecht, in: FamPra.ch 2018 S. 47 ff., 96 ff.). Anders sieht es aus, soweit vorläufig für die Dauer des Verfahrens über die Abänderung eines Unterhaltsanspruchs entschieden wird. In diesem Fall geht das Bundesgericht von einem Zwischenentscheid aus, der vor Bundesgericht nur dann unmittelbar angefochten werden kann, wenn dem Kind ein nicht wiedergutzumachender Nachteil droht (Art. 93 BGG; Urteile 5A_674/2019 vom 27. April 2020 E. 1.2; 5A_615/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 1.2; vgl. zur Begründung dieser Differenzierung: Urteil 5A_732/2012 vom 4. Dezember 2012 E. 3.2). Im vorliegenden Fall liegt zwar eine Unterhaltsvereinbarung vor; es fehlt aber am Nachweis, dass diese je behördlich genehmigt worden ist. Auszugehen ist deshalb von einer erstmaligen gerichtlichen Festlegung des Unterhalts eines minderjährigen Kindes und damit von einem Endentscheid.
1.4. Der Beschwerdeführer hat zwei gegen den gleichen Entscheid gerichtete Beschwerden eingereicht. Während sich die eine Beschwerde gegen den von der Vorinstanz festgesetzten Unterhalt richtet (Verfahren 5A_242/2020; s. Sachverhalt Bst. B.a), richtet sich die andere Beschwerde gegen die ihm verweigerte unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren (Verfahren 5A_243/2020; s. Sachverhalt Bst. B.b). Dabei hat der Beschwerdeführer übersehen, dass der Entscheid über die ihm verweigerte unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich zusammen mit dem Entscheid anfechtbar ist (vgl. Urteil 5A_726/2017 vom 23. Mai 2018 E. 1.1). Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren 5A_242/2020 und 5A_243/2020 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP [SR 273]).
1.5. Nicht einzutreten ist auf die in beiden Beschwerden gestellten Gesuche um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 5'000.-- bzw. Fr. 3'000.--. Das Bundesgericht ist zur Behandlung dieser Gesuche (funktionell) nicht zuständig (vgl. Urteile 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 3.3.1; 5A_239/2017 vom 14. September 2017 E. 3.2 mit Hinweisen).
2.
Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG; vgl. BGE 137 III 193 E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 140 III 264 E. 2.3).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, namentlich des Replikrechts (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 EMRK), und macht zur Begründung das Folgende geltend: Die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin, die dem Obergericht am 18. Februar 2020 zugestellt worden sei, habe mehrere falsche und zudem nicht bewiesene Behauptungen enthalten. Darauf habe er reagieren wollen, aber nicht mehr können, weil das Obergericht sein Urteil bereits am 21. Februar 2020, mithin vor Ablauf von zehn Tagen, fällte. Dieses Urteil sei ihm am 25. Februar 2020 zugestellt worden.
3.2.
3.2.1. Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern (BGE 133 I 98 E. 2.1, 100 E. 4.5). Dieses Äusserungsrecht steht einer Prozesspartei unabhängig davon zu, ob die eingereichte Eingabe neue Tatsachen oder rechtliche Argumente enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen. Es ist Sache der Parteien und nicht des Gerichts zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (BGE 138 I 484 E. 2.1; 137 I 195 E. 2.3; 133 I 100 E. 4.3; 132 I 42 E. 3.3.2). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie sich darüber schlüssig werden kann, ob sie sich dazu äussern will (BGE 137 I 195 E. 2.3.1 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist der Prozesspartei die konkrete Möglichkeit zur Replik einzuräumen (BGE 133 I 100 E. 4.3-4.6 mit Hinweisen; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 135 III 289). Hierzu genügt es grundsätzlich, den Parteien die Eingabe zur Information zuzustellen (BGE 138 I 484 E. 2.4; 138 III 252 E. 2.2; s. auch Urteil 5A_825/2012 vom 17. April 2013 E. 3.3).
Soll die Partei ihr Replikrecht effektiv wahrnehmen können, muss ihr das Gericht ausreichend Zeit für eine Stellungnahme lassen. Allerdings muss das Gericht mit der Entscheidfällung auch nur so lange zuwarten, bis es annehmen darf, dass der Adressat auf eine weitere Eingabe verzichtet habe (Urteile 4A_215/2014 vom 18. September 2014 E. 2.1; 4D_27/2014 vom 26. August 2014 E. 4.2.1; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Welche Wartezeit ausreichend ist, hängt vom Einzelfall ab. Die Rechtsprechung bejaht in aller Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht "nur wenige Tage" nach der Mitteilung entscheidet (BGE 137 I 195 E. 2.6; Urteile 5D_112/2013 vom 15. August 2013 E. 2.2.3; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Als begründet erachtete das Bundesgericht die Gehörsrüge zum Beispiel in einem Fall, wo das kantonale Verwaltungsgericht die Beschwerdeantwort und die Vernehmlassung der Gemeinde am 8. November 2005 zur Kenntnisnahme zustellte und am 16. November 2005 sein Urteil fällte (Urteil 1P.798/2005 vom 8. Februar 2006 E. 2.3). Auch eine kürzere Zeitdauer wurde in der Praxis verschiedentlich als unzureichend erachtet (Urteile 2C_794/2008 vom 14. April 2009 E. 3.5 [sieben Tage seit Zustellung sind unzureichend]; 2C_560/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.4 f., in: StR 2013 S. 405 [vier Werktage seit Zustellung sind unzureichend]; 1B_459/2012 vom 16. November 2012 E. 2.4 [vier Tage sind unzureichend]; 1B_407/2012 vom 21. September 2012 E. 3.2 [vier Tage bzw. ein Tag seit Zustellung ist unzureichend]; 1B_25/2010 vom 17. Februar 2010 E. 2.2 [zwei Tage sind unzureichend]). In einer allgemeineren Formulierung hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach zwanzig Tagen schon von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (Urteile 9C_159/2014 vom 7. April 2014 E. 3; 9C_193/2013 vom 22. Juli 2013 E. 2.1.2; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4; 1B_407/2012 vom 21. September 2012 E. 2.2; 6B_629/2010 vom 25. November 2010 E. 3.3.2 mit weiteren Hinweisen).
3.2.2. Dem vorinstanzlichen Urteil lässt sich nicht entnehmen, wann der Beschwerdeführer Kenntnis von der Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin erhalten hat. Aus den Akten ergibt sich immerhin, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 18. Februar 2020 die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin vom 17. Februar 2020 zur Kenntnis brachte und die Parteivertreter gleichzeitig die Gelegenheit erhielten, bis zum 28. Februar 2020 ihre Honorarnote für das obergerichtliche Verfahren sowie eine allfällige Honorarvereinbarung einzureichen. Mit Blick auf das bereits am 21. Februar 2020 gefällte Urteil standen dem Beschwerdeführer damit höchstens drei Tage für eine Replik zur Verfügung. Das genügt nicht. Die Vorinstanz hat damit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Daran ändert nichts, dass es im konkreten Fall um einen Massnahmeentscheid geht, der rasch zu fällen war und nur während der Dauer des Hauptsacheverfahrens Bestand hat: Das Verfahren vor der Vorinstanz hat mit dem angefochtenen Urteil - anders als wenn diese über die aufschiebende Wirkung eines Rechtsmittels oder deren Entzug entschieden hätte - seinen Abschluss gefunden; es liegt ein Endentscheid vor (E. 1.2). Das Verfahren findet seine Fortsetzung vor der ersten Instanz. In dieser Konstellation kommt es nicht in Frage, auf das Replikrecht zu verzichten, wie es im Zusammenhang mit dem Erlass vorsorglicher Massnahmen sonst möglich wäre (BGE 139 I 189 E. 3.3).
Andere Gründe, auf das Replikrecht zu verzichten bzw. sich mit einer so kurzen Frist zu begnügen, werden von der Beschwerdegegnerin und der Vorinstanz nicht genannt und sind auch nicht ersichtlich. Namentlich taugt der Hinweis der Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht zur Begründung des Vorgehens des Obergerichts nicht, wonach ihre Berufungsantwort nichts enthielt, was Anlass für eine Stellungnahme hätte sein können.
Die Möglichkeit einer Heilung des Mangels im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren scheidet aus. Die Sache ist daher zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang erübrigt es sich, dass sich das Bundesgericht zu den weiteren Vorwürfen des Beschwerdeführers äussert. Dies gilt auch für seinen Vorwurf, ihm sei von der Vorinstanz zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden: Das Obergericht wird in seinem neuen Entscheid ebenfalls neu über die Kosten des Berufungsverfahrens und damit auch über dieses Gesuch zu entscheiden haben.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ist mit Blick auf den vorliegenden Endentscheid als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG) und muss sie den Beschwerdeführer entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist als gegenstandslos geworden abzuschreiben (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_242/2020 und 5A_243/2020 werden vereinigt.
2.
Das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. Februar 2020 wird aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid unter Wahrung des rechtlichen Gehörs (Replikrecht) an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
4.
Auf die Gesuche des Beschwerdeführers um Ausrichtung von Prozesskostenvorschüssen für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird nicht eingetreten.
5.
Die Gesuche des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
6.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
7.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
8.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber