Faits :
A.
AA._ et BA._ exploitent l'alpage du Creux-du-Croue, dans le canton de Vaud. Ils y détiennent un troupeau d'environ 440 moutons, qui sont gardiennés en permanence par un berger. AA._ possède deux chiens de protection des troupeaux de race Montagne des Pyrénées, dont "C._", née le 25 octobre 2015. Les chiens de AA._ ont été élevés et formés par un conseiller spécialisé en chien de protection des troupeaux dans le cadre du programme fédéral de la protection des troupeaux. Au terme de son éducation de base, C._ a passé avec succès l'évaluation de l'aptitude au travail.
Le 3 août 2017, quatre randonneurs se sont engagés sur un chemin de l'alpage en-dessous duquel paissaient les moutons. Certaines bêtes étaient très proches du sentier. Les promeneurs ont rapidement été approchés par les chiens de AA._, qui les ont suivis pendant une dizaine de minutes en aboyant et en adoptant un comportement menaçant. C._ a ensuite pincé un randonneur au mollet et un autre au niveau de la fesse; ce dernier lui a alors fait face et lui a parlé avec une voix forte. Le berger de l'alpage est arrivé peu de temps après sur les lieux et a rappelé les chiens. Le 7 août 2017 est survenu un second incident, à l'occasion duquel les chiens ont couru en direction d'une randonneuse qui traversait l'alpage. Après lui avoir tourné autour en aboyant, l'un des chiens, dont l'identité n'a pas pu être déterminée avec certitude, l'a mordue à une fesse, lui causant une perforation musculaire. La promeneuse a rebroussé chemin très lentement. Elle a déclaré par la suite qu'elle n'avait pas vu de berger, ni de panneau annonçant la présence de chien de protection des troupeaux.
Le 9 août 2017, le Préposé cantonal à la protection des troupeaux du canton de Vaud a évalué la possibilité de soutenir financièrement la pose de clôtures sur l'alpage de AA._ en vue de séparer le troupeau de moutons des chemins de randonnée. Il a constaté que la mise en place d'un tel dispositif n'était pas concevable, eu égard au fait que l'alpage comptait plus de huit kilomètres de sentiers pédestres. Il a, en revanche, recommandé un meilleur balisage des lieux au moyen de panneaux d'information supplémentaires concernant la présence de chiens de protection des troupeaux.
Le 15 septembre 2017, deux conseillers du Service national chargé des chiens de protection des troupeaux, service qui soutient la Confédération et les cantons dans l'application uniforme des dispositions légales en matière de chien de protection des troupeaux, accompagnés par une vétérinaire comportementaliste de la Direction générale de l'agriculture, de la viticulture et des affaires vétérinaires du canton de Vaud (ci-après: la Direction des affaires vétérinaires) et une collaboratrice du Service de prévention des accidents dans l'agriculture (ci-après: le Service de prévention des accidents), se sont également rendus sur l'alpage pour procéder à une expertise concernant les agressions d'août 2017.
Il en est résulté un rapport d'octobre 2017 qui retenait en substance les éléments suivants: les deux chiens remplissaient les exigences prévues par les dispositions de l'Office fédéral de l'environnement se rapportant aux chiens de protection des troupeaux, la socialisation avec leurs détenteurs était intacte et ils étaient détenus et utilisés de façon appropriée et conforme à la loi; ils n'avaient en outre montré aucun comportement d'agression supérieur à la norme, que ce soit lors de l'évaluation de l'aptitude au travail, lors des deux cas d'agressivité du mois d'août 2017 ou lors de la reconstitution des faits du 15 septembre 2017; C._ se montrait plus méfiante envers les personnes étrangères qu'à l'époque de l'évaluation de son aptitude au travail, ce qui pouvait s'expliquer par les expériences négatives qu'elle avait faites avec des touristes (coups de bâtons reçus d'une randonneuse); néanmoins, elle était capable de se calmer très vite seule, si les personnes étrangères avaient un comportement approprié; il n'était pas pour autant exclu que des personnes adoptant un comportement inadapté puissent à nouveau se faire pincer.
La Direction des affaires vétérinaires a ouvert une enquête administrative. Dans ce cadre, la vétérinaire comportementaliste a procédé, le 20 novembre 2017, à une évaluation de C._ menée en partie dans un parc d 'éducation canine qui mentionne:
"Enquête et évaluation pratique:
Pendant la partie administrative, la chienne est très stressée, halète et transpire sous les coussinets. Sur le terrain, elle reste près de sa détentrice dans une position plutôt basse. Elle ne s'éloigne pas et n'explore pas son environnement (signe anxieux). Lors des croisements avec les personnes (personne déguisée, jogger, cycliste, marcheur avec des bâtons), elle s'écarte à chaque fois de la barrière dans une position basse (peur). En croisant un congénère, elle le regarde à peine. La chienne est visiblement stressée dans un environnement inconnu. Elle a de grosses lacunes de socialisation. Elle a été confiée à AA._ et BA._ en janvier 2017 à l'âge de 1 an et 3 mois alors que selon Agridea, les chiens ne sont pas prêts avant l'âge de 2 ans. Les incidents se sont produits juste après qu'une personne a tapé C._ avec un bâton. La situation s'est stabilisée par la venue d'un nouveau berger qui a réussi à avoir un lien fort avec la chienne.
Diagnostic de l'agression:
Agression défensive de groupe
Evaluation de la dangerosité selon la formule de Dehasse:
Risque possible autour des moutons
Buts à atteindre:
Socialisation suffisante envers les personnes
Préavis de mesures:
Continuer et entretenir la socialisation"
Le 27 mars 2018, le Service de prévention des accidents a publié un rapport d'expertise relatif à la gestion des conflits liés aux incidents possibles entre des chiens de protection des troupeaux et des tiers sur l'alpage du D._. Il a souligné la forte fréquentation touristique de l'alpage, ainsi que son accessibilité par des chemins de randonnée pédestre officiels et quelques sentiers non balisés et difficiles à surveiller. Les possibilités de conflits entre ces chiens et des tiers tenaient entre autres éléments au fait que le marquage des chemins pédestres officiels et les informations concernant la présence des chiens de protection des troupeaux étaient insuffisants, voire inexistants, que le parc de nuit des moutons clôturé avec des fils électrifiés se trouvait trop près des chemins pédestres; le mode de conduite du troupeau par le berger pouvait être amélioré pour mieux tenir compte de la présence des randonneurs. Cela étant, il n'était pas raisonnable et guère possible de séparer les moutons des chemins de randonnée au moyen d'un système de clôture; il fallait plutôt chercher à informer et canaliser les touristes le plus tôt possible, afin de réduire les rencontres potentielles entre des chiens de protection des troupeaux et des randonneurs; hormis la pose de panneaux signalant la présence de chiens de protection des troupeaux et de panneaux d'information des visiteurs supplémentaires, il était "impérativement nécessaire" que les offices du tourisme locaux informent de la présence de ces chiens et expliquent la façon dont il faut se comporter en cas de rencontre avec ceux-ci.
Par décision du 22 mai 2018, la Direction des affaires vétérinaires a ordonné que la chienne C._ ne soit jamais laissée seule sans surveillance dans des espaces accessibles au public, précisant qu'une réévaluation de l'animal pourrait être effectuée à la demande du détenteur en vue d'une adaptation de la mesure, au plus tôt à partir du 1er mars 2019 pour lui laisser le temps nécessaire pour développer une socialisation correcte; elle a retiré l'effet suspensif à un éventuel recours. AA._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
Le 8 mai 2019, la chienne de AA._ a fait l'objet d'une réévaluation. La Direction des affaires vétérinaires a alors dressé un bilan de la situation: C._ présentait une dangerosité identique à celle qui avait été constatée lors de la première évaluation; elle a, en revanche, noté une certaine amélioration au niveau de la socialisation et de l'obéissance de l'animal; cette autorité administrative a précisé qu'elle avait ainsi évoqué la possibilité d'adapter la mesure prononcée dans sa décision du 22 mai 2018 et de la remplacer par la mesure suivante: "La chienne C._ doit, soit être sous surveillance active du berger ou des détenteurs, soit se trouver dans un parc clôturé inaccessible au public". Invité à se déterminer, AA._ a indiqué qu'il contestait la nouvelle mesure envisagée.
B.
Par arrêt du 18 octobre 2019, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de AA._ à l'encontre de la décision du 22 mai 2018 de la Direction des affaires vétérinaires. Il a en substance jugé qu'une mesure de police pouvait être appliquée au chien du recourant sans égard à sa qualité de chien de protection des troupeaux; la décision était fondée à juste titre sur l'évaluation réalisée par une vétérinaire comportementaliste de la Direction des affaires vétérinaires, personne la mieux à même de renseigner l'autorité sur le potentiel de dangerosité de l'animal; la mesure respectait le principe de la proportionnalité, dans la mesure où elle était efficace et nécessaire pour garantir la sécurité des randonneurs sur un alpage fortement fréquenté en été et gardé par un chien présentant des lacunes de socialisation.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, AA._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 18 octobre 2019 du Tribunal cantonal et, subsidiairement, de renvoyer la cause audit tribunal pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
Le Vétérinaire cantonal conclut au maintien de la décision litigieuse. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué. L'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires n'a pas déposé d'observations.
AA._ s'est encore prononcé par écriture du 27 janvier 2020.
Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). Le recours, qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF et qui a été déposé par le destinataire de l'arrêt attaqué et détenteur du chien en cause, bénéficiant de ce fait de la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF), a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF). Partant, il est recevable.
2.
L'objet du litige a trait à la mesure prononcée à l'encontre du recourant sur la base "des art. 26 al. 2 et 28 al. 1 LPolC" et imposant à celui-ci de ne jamais laisser sa chienne sans surveillance dans des espaces accessibles au public; une réévaluation de l'animal a été fixée au plus tôt au 1er mars 2019. La proposition de réévaluation du 8 mai 2019 n'est pas entrée en force, le recourant s'y étant opposé. Seule la mesure ordonnée le 22 mai 2018 fait donc l'objet de la présente procédure.
3.
Les griefs relatifs à la violation des droits fondamentaux et du droit cantonal sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (ATF 142 II 369 consid. 2.1 p. 272; 141 I 36 consid. 1.3 p. 41).
Il est possible de faire valoir que l'application des dispositions cantonales consacre une violation d'une norme de droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'art. 9 Cst. garantissant la protection contre l'arbitraire (ATF 143 I 321 consid. 6.1 p. 324).
4.
Le recourant se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits.
4.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir de façon arbitraire (art. 9 Cst.; sur cette notion, cf. ATF 143 IV 241 consid. 2.3.1 p. 244) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Le recourant doit démontrer dans son écriture que ces conditions sont réalisées, en exposant de manière circonstanciée (art. 106 al. 2 LTF; cf. consid. 2) que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable, et que les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées (ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1 p. 253).
Il y a arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358).
4.2. Selon le recourant, l'autorité précédente a retenu de façon inexacte que l'agressivité de la chienne s'était manifestée à deux reprises, alors qu'il n'existe aucun autre cas que celui du 3 août 2017 et que la chronologie des faits ce jour-là montre clairement que la réaction de la chienne s'inscrivait dans le fil d'un seul et même événement.
Il ressort de l'arrêt attaqué que, si l'événement du 7 août 2017 y est mentionné, il n'a pas été retenu dans la subsomption opérée par les juges précédents. En ce qui concerne le 3 août précédent, C._ a pincé un randonneur au mollet et un autre au niveau de la fesse. Considérer qu'il s'agit là d'un seul et même événement ou alors que le chien a fait preuve d'agressivité à deux reprises car il a pincé deux personnes différentes n'a aucune influence sur l'issue du litige: le Tribunal cantonal a pris en considération le déroulement des faits dans leur globalité tels qu'ils se sont produits et aucun autre.
4.3. Les autres éléments présentés par le recourant sous le grief traitant de la constatation manifestement inexacte des faits relèvent en réalité de l'appréciation juridique de ceux-ci et soulèvent en conséquence une question de droit qui sera examinée ci-dessous. Il en va ainsi de la qualification du comportement des randonneurs qui se sont fait pincer: les juges précédents auraient estimé à tort, selon l'intéressé, que les randonneurs se contentaient de traverser le pâturage sans se montrer agressifs, alors que, selon celui-ci, le simple fait de continuer son chemin en ignorant les aboiements reviendrait à faire fi des règles élémentaires de prudence en cas de rencontre avec un chien de protection des troupeaux.
Il en va de même du fait que le Tribunal cantonal a fondé son arrêt essentiellement sur l'évaluation du 20 novembre 2017 de la vétérinaire comportementaliste, reléguant au second plan les rapports d'expertise du 27 mars 2018 du Service de prévention des accidents, respectivement d'octobre 2017 du Service chargé des chiens de protection des troupeaux, qui relevaient des éléments favorables quant au comportement de C._. Les juges précédents en tiennent compte, mais ils n'y ont pas donné le poids juridique souhaité par l'intéressé. La qualification du comportement de C._, à savoir si celui-ci dénote un "comportement d'agression" supérieur à la norme, relève de l'appréciation juridique des faits. Ceux-ci ont été déterminés sans arbitraire par les juges précédents: la chienne a pincé deux promeneurs en date du 3 août 2017.
5.
Les dispositions topiques fédérales et cantonales sont les suivantes:
5.1. Pour prévenir les dégâts aux animaux de rente causés par les grands prédateurs, l'Office fédéral de l'environnement encourage, notamment, l'élevage, l'éducation, la détention et l'emploi de chiens de protection des troupeaux (art. 10ter al. 1 let. a de l'ordonnance fédérale du 29 février 1988 sur la chasse et la protection des mammifères et oiseaux sauvages [ordonnance sur la chasse, OChP; RS 922.01]). Selon l'art. 10quater al. 1 OChP, l'emploi des chiens de protection des troupeaux a pour objectif la surveillance quasi autonome des animaux de rente et la défense contre les animaux intrus; d'après l'al. 2 de cette disposition, l'Office fédéral de l'environnement encourage la protection des troupeaux par des chiens qui: appartiennent à une race appropriée à la protection des troupeaux (let. a), sont élevés, éduqués, détenus et employés correctement pour la protection des troupeaux (let. b), sont principalement employés pour la garde des animaux de rente dont la détention et l'estivage sont encouragés selon l'ordonnance du 23 octobre 2013 sur les paiements directs (let. c); il édicte, après avoir consulté l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires, des directives sur l'aptitude, l'élevage, l'éducation, la détention et l'emploi des chiens de protection des troupeaux subventionnés (al. 3).
A la section "Chiens domestiques", l'art. 69 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 23 avril 2008 sur la protection des animaux (OPAn; RS 455.1) précise que trois catégories de chiens sont distinguées suivant l'utilisation qui en est faite, à savoir les chiens utilitaires (let. a), les chiens de compagnie (let. b) et les chiens de laboratoire (let. c); les chiens de protection des troupeaux sont considérés comme des chiens utilitaires (art. 69 al. 2 let. e OPAn). L'élevage, l'éducation et la manière de traiter les chiens doivent garantir leur socialisation, à savoir le développement de relations avec des congénères et avec l'être humain, et leur adaptation à l'environnement. La socialisation des chiens utilitaires doit être adaptée à l'utilisation qui sera faite de ces chiens (art. 73 al. 1 OPAn).
L'art. 77 OPAn, intitulé "Responsabilité des détenteurs de chiens et des éducateurs canins", prévoit que ces personnes doivent prendre les dispositions nécessaires pour que leurs animaux ne mettent pas en danger des êtres humains ou des animaux; dans le cas des chiens de protection des troupeaux au sens de l'art. 10quater de l'ordonnance fédérale du 29 février 1988 sur la chasse, l'évaluation de la responsabilité doit tenir compte de l'utilisation du chien, à savoir la défense contre les animaux intrus.
Les vétérinaires, les médecins, les responsables de refuges ou de pensions pour animaux, les éducateurs canins et les organes des douanes sont tenus d'annoncer au service cantonal compétent, notamment, les chiens qui présentent un comportement d'agression supérieur à la norme (art. 78 al. 1 let. b OPAn). En ce qui concerne la "Vérification des faits et mesures", après réception de l'annonce, le service cantonal compétent vérifie les faits; il peut s'assurer le concours d'experts à cette fin; s'il apparaît, lors de la vérification des faits, que le chien présente un comportement attirant l'attention, notamment un comportement d'agression supérieur à la norme, le service cantonal compétent ordonne les mesures nécessaires (art. 79 al. 1 et 3 OPAn).
5.2. Selon l'art. 2 al. 1 de la loi vaudoise du 31 octobre 2006 sur la police des chiens (LPolC; RS/VD 133.75), celle-ci s'applique à la prévention des morsures (let. e), ainsi qu'aux mesures prises à l'encontre des chiens dangereux ou potentiellement dangereux et de leurs détenteurs (let. f). L'art. 16 LPolC "Sociabilisation et maîtrise" dispose que le détenteur doit maintenir une sociabilisation suffisante de son chien envers les êtres humains et les autres animaux (al. 1); tout détenteur d'un chien doit être en mesure de le maîtriser à tout moment par un moyen sonore ou par le geste, en particulier en présence de public ou d'animaux; à défaut, le chien doit être tenu en laisse et si nécessaire porter une muselière (al. 2).
L'art. 26 LPolC "Evaluation comportementale" prévoit:
"1 Tout chien suspect d'agressivité fait l'objet d'une évaluation comportementale. Le cas échéant, sur préavis préfectoral, il est séquestré sans délai et mis en fourrière.
2 Le service [vétérinaire] est compétent pour ordonner une évaluation comportementale et pour proposer aux communes les mesures de proximité à prendre à l'encontre du chien ou du détenteur, notamment d'imposer:
a. les cours d'éducation canine;
b. la tenue du chien en laisse;
c. le port de l'applique dentaire;
d. le port de la muselière;
e. la désignation des personnes autorisées à détenir le chien;
f. l'euthanasie, en cas de récidive ou de problèmes graves.
3..."
D'après l'art. 28 LPolC "Mesures d'intervention":
"1 Outre les mesures de proximité prévues à l'article 26, le service prend des mesures d'intervention graduées en fonction de l'ampleur des dispositions agressives du chien ou du manque de capacité de son détenteur à s'en charger, telles que:
a. faire suivre une thérapie comportementale au chien;
b. interdire la détention d'un chien particulier;
c. prononcer une interdiction temporaire ou définitive de détenir un chien;
d. ordonner une stérilisation ou une castration;
e. ordonner l'euthanasie d'un chien ou d'une portée, sous réserve de l'article 120 du code rural et foncier.
f. ordonner la confiscation du chien en vue de son replacement.
2... "
6.
Le recourant estime que l'arrêt attaqué viole le principe de la légalité. Selon lui, la mesure prononcée lui imposant de ne jamais laisser sa chienne sans surveillance dans des espaces accessibles au public ne figure pas dans la liste des sanctions prévues par les art. 26 al. 2 et 28 al. 1 LPolC.
La lecture de ces deux dispositions permet de constater que la mesure en cause n'y est effectivement pas prévue. Cependant, elle permet également de noter que les listes des mesures possibles énumérées à ces dispositions ne sont pas exhaustives. En effet, elles sont introduites par l'adverbe "notamment" à l'art. 26 al. 2 LPolC en ce qui concerne les mesures de proximité et par "telles que" à l'art. 28 al. 1 LPolC relativement aux mesures d'intervention. Au demeurant, il est rappelé que le principe de proportionnalité autorise, le cas échéant, de prendre une mesure qui n'est pas prévue par le législateur, lorsque celle-ci est moins incisive que les mesures légales (cf. ATF 139 II 185 consid. 9.1 p. 196 s.). Partant, le grief relatif à la violation du principe de la légalité est rejeté.
7.
Selon le recourant, la mesure prononcée viole les art. 77 et 79 al. 3 OPAn, ainsi que l'art. 10quater OChP. Celle-ci ferait abstraction du fait que les morsures infligées l'ont été par un chien de protection des troupeaux et non par un chien de compagnie. Le comportement de ces deux types de bêtes ne pourrait pas être jugé à l'aune des mêmes standards.
7.1. De jurisprudence constante, la compétence de la Confédération découlant de l'art. 80 Cst. vise la seule protection de l'animal lui-même et non celle de l'homme, et il appartient aux cantons de prévoir des règles de police sur la détention des animaux destinées à préserver l'ordre et la sécurité publics (ATF 136 I 1 consid. 3 p. 4; 133 I 249 consid. 3.2 p. 254; 133 I 172 consid. 2 p. 174). Certes, les deux aspects sont dans une certaine mesure liés. En particulier, les mesures de protection des animaux peuvent également contribuer à protéger les personnes ou d'autres animaux, notamment contre des attaques, car un animal bien traité présentera normalement moins de risques, y compris du point de vue de son agressivité, que celui qui ne l'aura pas été. Cela ne change en principe rien à la compétence des cantons pour prendre des mesures de police spécifiques à l'encontre d'animaux présentant un danger particulier. En exerçant leur compétence, les cantons ne doivent cependant pas édicter de règles entrant en conflit avec le droit fédéral (ATF 133 I 172 consid. 2 p. 174).
7.2. Le recourant allègue que les art. 26 al. 2 et 28 al. 1 LPolC ne respectent pas le droit fédéral.
7.2.1. L'art. 77 OPAn pose un principe, à savoir celui de la responsabilité des détenteurs de chiens de protection de troupeaux qui ne doivent pas mettre en danger des êtres humains et précise que l'évaluation de cette responsabilité doit tenir compte du rôle de ce type de chien, c'est-à-dire la défense contre les animaux intrus (cf. art. 10quater al. 1 OChP).
Sur délégation du Conseil fédéral (cf. art. 10quater al. 3 OChP), l'Office fédéral de l'environnement, autorité de surveillance, a publié en 2019 un fascicule intitulé "Aide à l'exécution sur la protection des troupeaux" ( www.bafu.admin.ch sous Thèmes, Biodiversité, Publications et études, consulté le 21 avril 2020) qui contient des directives sur l'élevage, l'éducation, la détention et l'emploi des chiens de protection des troupeaux (ci-après: les Directives [Partie II, p. 52 ss]). Il s'agit d'un texte, destiné en premier lieu aux autorités d'exécution, qui concrétise les exigences du droit fédéral de l'environnement (notions juridiques indéterminées, portée et exercice du pouvoir d'appréciation) et favorise ainsi une application uniforme de la législation (Directives, p. 2). Ledit office a également émis un règlement de l'évaluation d'aptitude au travail des chiens de protection des troupeaux officiels (Directives, p. 95 ss).
L'aptitude au travail d'un chien de protection des troupeaux officiel est évaluée sur mandat de l'Office fédéral de l'environnement au terme de sa période d'éducation et avant son emploi. Le but de cette évaluation est d'établir que ce chien est d'un caractère stable (dans les limites des prédispositions spécifiques de sa race), qu'il peut remplir le but de son utilisation de manière instinctive et différenciée et que son emploi dans l'espace public ne constitue aucune menace objective pour autrui. Chez le chien évalué, la défense autonome contre les animaux intrus doit être parfaitement distincte d'un comportement attirant l'attention, notamment d'un comportement d'agression supérieur à la norme (au sens de l'art. 79 OPAn [Règlement, Introduction, p. 95]). L'éducation des chiens de protection des troupeaux officiels a pour but la protection efficace des troupeaux contre les grands prédateurs; un chien de protection des troupeaux efficace doit être fidèle à son troupeau et le défendre efficacement contre les grands prédateurs en coordination avec ses congénères; c'est cette action protectrice qui légitime la détention et l'emploi de ces chiens. Dans les limites de cette action, leur utilisation doit être compatible avec d'autres exigences de la société; ainsi, ces chiens ne doivent représenter aucune menace objective pour la sécurité publique et leur emploi ne doit pas entraver de manière intolérable le droit d'accès à l'espace public ni l'activité touristique; cela suppose toutefois, de la part d'autrui, un comportement correct à l'égard des chiens (Directives, n° 10.2.1, p. 67).
Les Directives précisent les limites de l'éducation de ce type de chiens en ces termes: "Un chien de protection des troupeaux réagit aux provocations: face à une personne dont l'attitude est neutre, un chien de protection des troupeaux est en principe éduqué de telle sorte qu'il se montre certes vigilant (il manifeste généralement sa présence en aboyant et peut essayer de contrôler les déplacements de la personne si elle approche du troupeau), mais ne présente aucun comportement d'agression supérieur à la norme. Si cette personne devient agressive à son égard, on ne peut exclure que le chien adopte le même comportement ou que, par anxiété, il abandonne le lieu de l'agression et donc son troupeau. Parce que les actes de violence à l'encontre des chiens de protection des troupeaux doivent absolument être empêchés, les zones d'emploi des chiens doivent être dissociées physiquement du réseau des chemins pédestres partout où cela se révèle nécessaire. Une information idoine doit garantir le bon comportement d'autrui à l'égard des chiens de protection des troupeaux" (Directives, n° 10.2.4, p. 70). Des panneaux de signalisation des zones où des chiens de protection des troupeaux sont présents, ainsi que des panneaux de canalisation des randonneurs sont utilisés dans le cadre de la gestion des conflits potentiels liés à l'utilisation de ces chiens (Directives, n° 13.2.4, p. 79).
Finalement, il est relevé que le droit fédéral reconnaît aux personnes qui se promènent le droit de circuler sans danger sur les chemins pour piétons et les chemins de randonnée pédestre (art. 6 al. 1 let. b de la loi fédérale du 4 octobre 1985 sur les chemins pour piétons et les chemins de randonnée pédestre [LCPR; RS 704]); cela implique d'une part que les autorités ont un rôle essentiel à jouer dans la prévention des conflits entre les chiens de protection des troupeaux et les utilisateurs des chemins pédestres officiels et, d'autre part, que les touristes coupant à travers champ assument une grande responsabilité individuelle (Directives, n° 13.2.6, p. 80).
7.2.2. L'art. 26 al. 1 LPolC prévoit une évaluation comportementale du chien suspecté d'agressivité. En cela, cette disposition ne fait que concrétiser l'art. 77 OPAn qui pose un principe, à savoir que les êtres humains ne doivent pas être mis en danger en cas d'utilisation de chiens de protection des troupeaux. En outre, le Tribunal fédéral constate que les mesures mentionnées aux art. 26 al. 2 et 28 al. 1 LPolC ne sont que la conséquence logique de l'éventuel constat de la menace que peut représenter un chien. Le principe de ces mesures est d'ailleurs lui-même prévu à l'art. 79 OPAn lorsqu'un animal présente un comportement d'agression supérieure à la norme; au demeurant, cette disposition fédérale confie la compétence d'ordonner la mesure nécessaire, dans un cas d'espèce, aux cantons. Sans ces mesures de protection respectivement d'intervention, la sécurité des personnes ne pourrait pas être assurée. Que le chien faisant l'objet de l'évaluation et de la mesure soit un chien de protection des troupeaux et non un chien de compagnie ne change rien à cette constatation, bien qu'il faille prendre en considération l'utilisation de ces chiens. Il appartient à l'autorité d'exécution de tenir compte de cet élément lorsqu'elle examine l'éventuelle menace que représente un chien et, partant, le degré qui peut en être toléré compte tenu de la fonction de l'animal. Il en va de même lorsque cette autorité choisit la mesure la plus adaptée au chien ayant fait preuve d'un comportement inadéquat. Il résulte de ce qui précède que les art. 26 al. 2 et 28 al. 1 LPolC respectent le droit fédéral topique et le grief est rejeté.
8.
Selon le recourant, la mesure prononcée viole le principe de proportionnalité. Il prétend que celle-ci accorde une importance excessive à la protection du domaine public et qu'elle ne constitue pas la mesure la moins incisive possible. Un chien de protection des troupeaux ne pourrait pas être surveillé en permanence. Le seul moyen pour un détenteur de chien de le maîtriser à tout moment serait de l'avoir en laisse, de l'attacher ou de l'enfermer, mais un chien de protection des troupeaux perdrait toute son utilité dans de telles conditions. La mesure reviendrait à faire supporter par l'éleveur le comportement inapproprié de randonneurs. Il ne serait, en outre, pas possible d'exiger un risque zéro en ce qui concerne l'utilisation des chiens de protection des troupeaux.
8.1. Consacré à l'art. 5 al. 2 Cst., le principe de la proportionnalité commande que la mesure étatique soit nécessaire et apte à atteindre le but prévu et qu'elle soit raisonnable pour la personne concernée (ATF 140 I 257 consid. 6.3.1 p. 267 s.; 140 II 194 consid. 5.8.2 p. 199). Ce principe n'est pas, comme sa désignation l'indique, un droit fondamental mais uniquement un principe constitutionnel. Il peut être invoqué dans le cadre d'un recours en matière de droit public directement et indépendamment d'un droit fondamental (cf. ATF 141 I 1 consid. 5.3.2 p. 7; 140 I 257 consid. 6.3.1 p. 267; 134 I 153 consid. 4.1 p. 156).
Toutefois, lorsque le recourant s'en prévaut en relation avec le droit cantonal et indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, le Tribunal fédéral ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire (cf. ATF 141 I 1 consid. 5.3.2 p. 7 s. et les références citées).
8.2. Le Tribunal cantonal a confirmé la décision du 22 mai 2018 de la Direction des affaires vétérinaires interdisant de laisser C._ seule sans surveillance dans des espaces accessibles au public. Le recourant ne remet pas en cause le fait que l'obligation prononcée est apte à atteindre l'intérêt légitime que représente la sécurité publique. Il prétend en revanche qu'elle n'est pas raisonnable.
Il sied de relever ici que le recourant ne décrit pas concrètement en quoi la mesure litigieuse a un impact sur son travail quotidien, ce qui n'est pas évident pour un profane. Il se contente d'avancer que son chien a eu une réaction normale face à une personne au comportement déplacé et qu'il faut éduquer les promeneurs. Il est donc difficile de juger jusqu'à quel point l'obligation imposée est intrusive, notamment compte tenu du fait que l'alpage est gardienné en permanence par un berger et que l'intéressé détient un second chien.
A le lire, l'intéressé ne préconise pas une mesure moins incisive: il refuse toute mesure. Cela surprend, dès lors que le comportement de sa chienne, qui s'en est prise à deux randonneurs, n'est pour le moins pas irréprochable. On comprend que les chiens de protection des troupeaux sont élevés de façon à défendre un troupeau contre les prédateurs et que cela a un impact sur le comportement de ce type de chien. Il découle également des Directives susmentionnées qu' il existe un certain antagonisme entre le comportement potentiellement offensif d'un chien ayant pour tâche de protéger un troupeau contre les prédateurs et des randonneurs qui se mettraient en danger par ignorance de l'attitude à adopter en cas de rencontre avec un tel chien. Selon l'arrêt attaqué, les promeneurs ont continué leur route, alors que C._ aboyait, puis, celle-ci en a pincé deux; ce n'est qu'après cet épisode que l'un d'entre eux lui a fait face et élevé la voix; de plus, les personnes concernées n'étaient pas au sein du troupeau mais sur un chemin au-dessus de celui-ci. Contrairement à ce que prétend le recourant, cette façon de procéder, à savoir continuer son chemin malgré des aboiements, ne peut justifier la réaction de C._. Il ressort en effet des observations du Vétérinaire cantonal, et cela est primordial, qu'un chien de protection est à même de faire la distinction entre un prédateur et un être humain. Il est donc possible de concilier la détention d'un tel chien et la présence de promeneurs, la bête devant gérer ces deux situations de façon différente. D'ailleurs, selon les faits de l'arrêt attaqué, le second chien du recourant a également approché les randonneurs et les a suivis pendant une dizaine de minutes sans toutefois les attaquer. En conséquence, il n'est pas insoutenable de considérer que le comportement de C._ n'était pas adapté à la situation.
Trois rapports ont été rendus à ce sujet, à savoir un rapport d'octobre 2017 du Service national chargé des chiens de protection des troupeaux, un second du 20 novembre 2017 du vétérinaire comportementaliste de la Direction des affaires vétérinaires, le troisième, du 27 mars 2018, émanant du Service de prévention des accidents. Le Tribunal cantonal a distingué ceux-ci en précisant que leur but n'était pas identique: l'expertise du vétérinaire comportementaliste se concentre sur le comportement social et agressif d'un chien et vise à renseigner l'autorité sur le potentiel de dangerosité de l'animal; l'expertise réalisée par le Service chargé des chiens de protection des troupeaux a pour but de déterminer si un chien peut encore être employé sur l'alpage de son propriétaire en raison notamment d'une socialisation insuffisante; quant à l'expertise du Service de prévention des accidents, elle identifie les mesures à mettre en oeuvre dans une optique de meilleure gestion des potentiels conflits entre l'animal et des tiers. Puis, l'autorité précédente a jugé que les conclusions de la vétérinaire comportementaliste devaient être considérées avec attention car cette personne disposait des compétences requises pour le diagnostic et le traitement des pathologies comportementales. Or, ce rapport conclut que la chienne du recourant a de grosses lacunes de socialisation et qu'elle présente un risque de dangerosité "autour des moutons" et met l'accent sur la nécessité de travailler avec l'animal en vue d'atteindre et d'entretenir une socialisation suffisante envers les personnes. Considérer que cette conclusion doit prédominer sur les constatations du rapport d'octobre 2017 du Service national chargé des chiens de protection des troupeaux, selon lesquelles Flora était capable de se calmer très vite toute seule si les personnes étrangères avaient un comportement approprié et qu'elle ne représentait donc pas un réel danger, ne saurait être qualifié d'arbitraire, compte tenu du fait qu'elle émane de la personne la plus qualifiée pour juger du comportement de la chienne. Cela est d'autant plus vrai qu'il ne faut pas oublier que Flora est un chien imposant, puisqu'elle est de la race Montagne des Pyrénées et qu'un tel animal est plus à même de provoquer des réactions de peur que des chiens de moindre taille et poids. La socialisation revêt donc une importance particulière, étant souligné qu'un potentiel perturbateur qui crée un danger doit faire tout ce qui est en son pouvoir pour en éviter la réalisation. Or, cela passe par la socialisation de la chienne.
A cela s'ajoute le fait que l'alpage sur lequel paissent les moutons est très fréquenté en été. Cet élément ne fait que renforcer la proportionnalité de la mesure, puisqu'il résulte du nombre important de randonneurs autant de conflits potentiels. A cet égard, il ressort de l'arrêt attaqué que le marquage des chemins pédestres officiels et les informations concernant la présence des chiens de protection des troupeaux sont insuffisants, voire inexistants, que le parc de nuit des moutons clôturé avec des fils électrifiés se trouve trop près des chemins pédestres et que le mode de conduite du troupeau par le berger pourrait être amélioré pour mieux tenir compte de la présence des randonneurs; de plus, une expertise du chargé de la protection des troupeaux compétent a confirmé qu'il n'était pas raisonnable et guère possible de séparer les moutons des chemins de randonnée au moyen d'un système de clôture. Dans ces conditions, il faut s'attendre à de nouvelles rencontres entre des promeneurs et la chienne C._. En outre, au regard de l'insuffisance, si ce n'est de l'absence des panneaux d'information, une attitude adaptée de la part de tous les promeneurs lors de ce genre de rencontre est illusoire.
Il est également à relever que la mesure prise prévoyait une nouvelle évaluation de C._ au plutôt en mars 2019. Celle-ci a été réalisée: le risque présenté par la chienne n'avait pas changé, même si la vétérinaire comportementaliste a relevé une amélioration de la socialisation et de l'obéissance de l'animal; si la mesure n'a pas été levée, une adaptation en a été prévue, à savoir que la chienne pourrait être laissée seule dans un parc clôturé inaccessible au public, mais le recourant s'y est opposé.
Au regard de ce qui précède, le Tribunal fédéral ne saurait considérer que les juges précédents ont violé le droit fédéral en imposant que la chienne du recourant soit surveillée en permanence, compte tenu notamment du fait que celle-ci a fait l'objet d'une réévaluation.
9.
Au regard de ce qui précède, le recours est rejeté.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Direction générale de l'agriculture, de la viticulture et des affaires vétérinaires (DGAV) et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires.
Lausanne, le 28 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon