Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1984) ist slowenischer Staatsangehöriger. Er reiste am 1. August 2011 in die Schweiz ein und erhielt im Kanton St. Gallen die Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Am 23. Oktober 2011 folgten ihm seine ukrainische Ehefrau B._ (geb. 1985) und der gemeinsame Sohn C._ (geb. 2010) in die Schweiz; im Familiennachzug erhielten auch sie die Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Im Jahr 2013 kam der zweite Sohn D._ zur Welt.
A.b. Am 14.Juli 2014 erhielten A._ und seine Familienangehörigen Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA. Per 31. Juli 2014 kündigte die Arbeitgeberin A._s das seit dem 15. März 2014 bestehende Arbeitsverhältnis. A._ ging in der Folge keiner unselbständigen Erwerbstätigkeit mehr nach.
A.c. Am 11. September 2014 erlitt A._ einen Motorradunfall. In der Folge musste die Familie von September 2014 bis Oktober 2017 von der Sozialhilfe unterstützt werden. Die Unfallversicherung leistete am 18. Mai 2017 rückwirkend von 14. September 2014 bis 31. März 2016 Taggelder.
A.d. Ab dem dem 1. Januar 2018 wohnte A._ mit seiner Familie in U._/TG. Per 1. Februar 2018 musste die Familie erneut sozialhilferechtlich unterstützt werden. Im Jahr 2018 wurden A._ und B._ Eltern ihrer Tochter E._.
A.e. Mit Entscheid vom 26. August 2019 lehnte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen ein (zweites) IV-Rentengesuch A._s vom 10. März 2015 aufgrund einer zumutbaren (adaptierten) Arbeitsfähigkeit von 80 % ab.
A.f. Am 14. August 2019 liess A._ das Einzelunternehmen F._ ins Handelsregister eintragen.
B.
Ein Gesuch A._s um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA und der Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA seiner Familienangehörigen vom 1. Juni 2019 wurde mit Entscheid des Migrationsamts des Kantons Thurgau vom 3. September 2019 abgewiesen. Dieser Entscheid wurde vom Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 10. August 2020 bestätigt. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (nachfolgend: das Verwaltungsgericht) schloss sich der Sichtweise seiner Vorinstanzen an (vgl. Urteil vom 12. Mai 2021).
C.
Am 12. August 2021 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er ersucht im Wesentlichen um Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 12. Mai 2021, allerdings nur hinsichtlich seiner eigenen Aufenthaltsbewilligung und nicht auch derjenigen seiner Frau und Kinder; ihm sei die Aufenthaltsbewilligung zuzusprechen. Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde ersucht er ferner darum, von der angeordneten Wegweisung Abstand zu nehmen.
Prozessual stellt A._ den Antrag, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person seines Rechtsvertreters.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht vorliegend in gerade noch vertretbarer Weise geltend, aufgrund von Art. 4 Anhang I FZA, Art. 12 Anhang I FZA bzw. Art. 8 EMRK Anspruch auf die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu haben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist bezüglich der Frage der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung grundsätzlich einzutreten (vgl. jedoch E. 1.2 hiernach).
1.2. Wenn der Beschwerdeführer zur Begründung seiner Beschwerde verschiedentlich den Verhältnismässigkeitsgrundsatz und das Willkürverbot anruft, macht er zumindest sinngemäss geltend, die kantonalen Behörden hätten ihm eine Härtefallbewilligung erteilen müssen (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG). Bei der Erteilung einer solchen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid im Rahmen von Art. 96 AIG (vgl. Urteil 2C_136/2017 vom 20. November 2017 E. 1.4.1, m.w.H.). Da sich ein Anspruch auf Aufenthalt weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten lässt, steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen entsprechende kantonal letztinstanzliche richterliche Entscheide in der Sache nicht offen (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; vgl. BGE 137 II 305 E. 2). Auch über den Weg der subsidiären Verfassungsbeschwerde können solche Entscheide materiell keiner Überprüfung durch das Bundesgericht zugeführt werden (BGE 133 I 185 E. 6.1). Insoweit ist weder auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten noch auf die parallel erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten.
1.3. Auch gegen die vorinstanzlich bestätigte Wegweisung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten für sich genommen nicht zur Verfügung (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Soweit die vorliegende Beschwerde sich hinsichtlich der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers allerdings als begründet erweisen würde (vgl. den entsprechenden Beschwerdeantrag, Bst. C hiervor), hätte dies auch die Aufhebung der vorinstanzlich bestätigten Wegweisungsanordnung zur Folge. Sollte sich der Bewilligungswiderruf umgekehrt als rechtmässig erweisen, wäre zwar theoretisch denkbar, den Aspekt der Wegweisung im Rahmen der vom Beschwerdeführer parallel erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde zu prüfen. Allerdings bringt der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang nicht hinreichend substanziiert vor, dass er in besonderen verfassungsmässigen Rechten verletzt wäre (Art. 116 BGG). Namentlich die behauptete Verletzung von Art. 3 EMRK ist nicht einmal im Ansatz nachvollziehbar dargetan; dass eine unmenschliche oder erniedrigende Behandlung darin liegen könnte, dass er für das schleppende Verhalten der Motorfahrzeug-Haftpflichtversicherung bestraft würde (S. 16 der Beschwerde), ist nicht nachvollziehbar. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist vor diesem Hintergrund nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet punktuell den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt. Diesbezüglich ist allerdings darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht an die Feststellungen seiner Vorinstanzen im Prinzip gebunden ist (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann nur dann abweichende Feststellungen treffen, wenn der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt als offensichtlich unrichtig erscheint oder anderweitig auf einer Rechtsverletzung beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2). Die Rüge, wonach die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt haben soll, bedarf besonderer Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Eingabe des Beschwerdeführers an das Bundesgericht lassen sich keine Sachverhaltsrügen entnehmen, die diesen Anforderungen gerecht würden. Der Beurteilung des vorliegenden Falls ist vor diesem Hintergrund der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt zugrundezulegen.
3.
3.1. In erster Linie begründet der Beschwerdeführer einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung mit Art. 12 Anhang I FZA.
3.1.1. Die Vorinstanz verneinte einen aus Art. 12 Anhang I FZA abgeleiteten Anspruch mit der Begründung, es sei dem Beschwerdeführer nicht gelungen, eine existenzsichernde Tätigkeit nachzuweisen. Der Beschwerdeführer lege nicht glaubhaft dar, dass er mit seiner Einzelfirma F._ ein regelmässiges, einigermassen konstantes monatliches Einkommen generiere; insbesondere habe er keine ordnungsgemäss geführte Buchhaltung, sondern nur rudimentäre Aufschriebe über einen keineswegs existenzsichernden Gewinn von Fr. 9'048.44 für das Jahr 2019 vorgelegt. Auch habe er es dabei bewenden belassen, für das Jahr 2020 Quittungen im Betrag von Fr. 10'300.-- sowie Privatkontoauszüge mit diversen Zahlungseingängen im Zusammenhang mit Internetverkäufen im Betrag von total Fr. 3'643.50 einzureichen. Die eingereichten Belege reichten für die Annahme einer auch nur ansatzweise existenzsichernden selbständigen Erwerbstätigkeit nicht aus. Daran vermöchten auch die Corona-Pandemie samt Lockdown und die an den Beschwerdeführer ausbezahlte Erwerbsersatzentschädigung von Fr. 2'250.-- nichts zu ändern. Die angespannte finanzielle Situation des Betriebs des Beschwerdeführers habe sich seit dem 14. August 2019 nicht verbessert. Auch wenn der Sozialhilfebezug am 31. August 2019 beendet worden sei, bestehe die akute Gefahr, dass der Beschwerdeführer und seine Familie - sollte sie in die Schweiz zurückkommen - in absehbarer Zeit wieder auf Sozialhilfe angewiesen seien. Diese Gefahr werde durch allfällige Versicherungsleistungen betreffend das Unfallereignis vom 11. September 2014 nicht entscheidend beeinflusst. Ebenso wenig hätten die Einkünfte, die die Frau des Beschwerdeführers ab dem 1. März 2021 erzielt habe, etwas daran geändert (E. 3.3.4 des angefochtenen Urteils).
3.1.2. Was der Beschwerdeführer gegen die Würdigung der Vorinstanz vorbringt, überzeugt nicht. Namentlich kann ihm nicht gefolgt werden, wenn er den schleppenden Geschäftsgang seiner Unternehmung damit begründet, dass er nach wie vor an den Folgen des 2014 erlittenen Unfalls leide. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 2 hiervor) festgestellt hat (vgl. E. 3.2.4 des angefochtenen Urteils), ist der Beschwerdeführer nämlich zumindest zu 80 % adaptiert arbeitsfähig. Auch die Corona-Pandemie vermag an der vorinstanzlichen Beurteilung nichts zu ändern, denn schon vor dem Eintritt der Pandemie hat der Beschwerdeführer aus der mit seiner Einzelfirma betriebenen Brockenstube kein existenzsicherndes Einkommen generieren können. Wenn der Beschwerdeführer im Übrigen im vorliegenden Verfahren ausführt, dass er aufgrund von Betreibungen der Krankenversicherung seiner Kinder einen kürzlich bezogenen Geschäftsraum schon wieder habe aufgeben müssen (vgl. S. 13 der Beschwerde), relativiert er gleich selbst, dass er zukünftig aus der Brockenstube ein existenzsicherndes Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit erzielen kann. Im Lichte der - auch von der Vorinstanz zitierten - Rechtsprechung des Bundesgerichts (vgl. statt vieler Urteil 2C_430/2020 vom 13. Juli 2020 E. 4 und 5) ist deshalb nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung aus Art. 12 Anhang I FZA verneint hat.
3.2. In der Beschwerde wird sinngemäss geltend gemacht, der Beschwerdeführer besitze auch aufgrund des Verbleiberechts gemäss Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. Art. 2 Abs. 1 lit. b Satz 1 der Verordnung (EWG) Nr. 1251/70 einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
Der Einwand verfängt nicht: Die Vorinstanz hat in E. 3.2.3 des angefochtenen Urteils unter Hinweis auf die publizierte Rechtsprechung des Bundesgerichts zutreffend erwogen, dass dem Beschwerdeführer schon deshalb kein Verbleiberecht zukomme, weil er seine Beschäftigung im Lohnverhältnis bei der G._ GmbH nicht aufgrund der von ihm geltend gemachten Arbeitsunfähigkeit aufgegeben habe (vgl. BGE 141 II 1 E. 4.3.2); ebenso zutreffend ist die Eventualbegründung, dass die feststehende (leidensadaptierte) Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers von 80 % (vgl. auch E. 3.1.2 hiervor) ihm eine berufliche Tätigkeit ermöglichen würde, die einer qualitativ und quantitativ echten und tatsächlichen wirtschaftlichen Tätigkeit gleichkommt, was einem Verbleiberecht im Sinne von Art. 4 Anhang I FZA ebenfalls entgegensteht (vgl. BGE 147 II 35 E. 4). Die vorstehend wiedergegebenen Erwägungen der Vorinstanz vermag der Beschwerdeführer mit seiner weitgehend appellatorischen Eingabe an das Bundesgericht nicht zu widerlegen.
3.3. Einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung kann der Beschwerdeführer auch nicht aus dem Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK, Art. 13 Abs. 1 BV) ableiten.
3.3.1. Was den Anspruch auf Achtung des Privatlebens angeht, ist zu konstatieren, dass sich der Beschwerdeführer bis zur Eröffnung des nun vor Bundesgericht gelangten Verfahrens keine zehn Jahre ordentlich in der Schweiz aufgehalten hat (vgl. dazu Urteil 2C_638/2018 vom 15. Juli 2019 E. 3.2). Schon deshalb kann die bundesgerichtliche Rechtsprechung (vgl. BGE 144 I 266 E. 3.9), wonach eine aufenthaltsbeendende Massnahme den Anspruch auf Achtung des Privatlebens im Sinne einer Leitlinie nach zehnjährigem rechtmässigem Aufenthalt in der Schweiz zumindest tangiert, vorliegend nicht zum Tragen kommen. Im Übrigen kann auch die Integration des Beschwerdeführers angesichts des langjährigen Sozialhilfebezugs, seiner wiederholten Straffälligkeit und seiner geringfügigen sozialen Verwurzelung (vgl. dazu E. 4.2 des angefochtenen Urteils) kaum als gelungen bezeichnet werden; selbst wenn sich der Beschwerdeführer zehn Jahre ordentlich in der Schweiz aufgehalten hätte, wäre vor diesem Hintergrund nicht davon auszugehen, dass der Anwendungsbereich des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens vorliegend eröffnet wäre (vgl. Urteil 2C_358/ 2021 vom 9. August 2021 E. 3.3.4).
3.3.2. Nachdem die Ehefrau und die Kinder des Beschwerdeführers sich in der Zwischenzeit aus der Schweiz abgemeldet haben und nunmehr offenbar in V._ leben (vgl. S. 9 und E. 1.1 des angefochtenen Urteils), ist auch nicht ersichtlich, was der Beschwerdeführer aus dem Recht auf Achtung des Familienlebens ableiten will. Diesbezüglich ist zudem darauf hinzuweisen, dass das frühere Anwesenheitsrecht der Ehefrau und der Kinder des Beschwerdeführers vom Freizügigkeitsrecht des Beschwerdeführers abgeleitet war; nachdem das FZA dem Beschwerdeführer kein Aufenthaltsrecht mehr gewährt (vgl. E. 3.1 und 3.2 hiervor), wäre - unter der Annahme, dass sich die Familienangehörigen überhaupt noch in der Schweiz aufhielten - auch ihr Anwesenheitsrecht dahingefallen.
3.3.3. Aufgrund vorstehender Ausführungen ist der Anwendungsbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK weder unter dem Aspekt des Privatlebens, noch unter demjenigen des Familienlebens eröffnet. Die von Art. 8 Ziff. 2 EMRK geforderte Verhältnismässigkeitsprüfung erübrigt sich vor diesem Hintergrund.
3.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Beschwerdeführer weder aus Art. 4 und Art. 12 Anhang I FZA noch aus Art. 8 EMRK einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ableiten kann. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist (vgl. E. 1.2 und E. 1.3 hiervor).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 3.4 hiervor) wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf das ausführlich und nachvollziehbar begründete Urteil der Vorinstanz sowie die bundesgerichtliche Rechtsprechung erweist sich die Beschwerde als aussichtslos; den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung kann deshalb nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG). Das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, ist mit vorliegendem Urteil gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und amtlichen Verbeiständung werden abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner