Faits :
A.
A._ a une formation d'orthophoniste. Le 17 mars 2017, elle a informé l'Office de l'enseignement spécialisé de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: l'Office de l'enseignement spécialisé) qu'elle souhaitait reprendre son activité, qu'elle avait dû suspendre en 2008, en qualité d'indépendante; elle désirait savoir si la reconnaissance obtenue en 2002, qui lui permettait de facturer ses prestations audit office, était toujours valable.
En date du 6 avril 2017, l'Office de l'enseignement spécialisé a signalé à A._ qu'elle ne figurait plus, depuis 2008, sur la liste des logopédistes reconnus si bien qu'il ne lui rembourserait pas ses prestations. L'intéressée a alors, par courrier du 23 mai 2017, requis que la reconnaissance de sa qualification soit "réactivée", afin qu'elle puisse pratiquer à charge dudit office; elle sollicitait une décision susceptible de recours en cas de réponse négative. L'Office de l'enseignement spécialisé n'ayant pas donné suite à cette lettre, après en avoir accusé réception, A._ l'a relancé le 28 août 2017. Dans un courrier du 2 octobre 2017, celui-ci a confirmé sa position précédente.
Le 25 septembre 2018, A._, par le biais de son mandataire, a requis de la cheffe du Département de l'éducation et de la famille de la République et canton de Genève (ci-après: le Département de l'éducation) qu'elle donne à l'Office de l'enseignement spécialisé les instructions nécessaires pour que ses prestations soient remboursées au moment de sa reprise d'activité, puisqu'elle était au bénéfice d'une reconnaissance. Ce courrier ayant été transmis audit office, cette autorité y a répondu, le 23 octobre 2018, en se référant à sa prise de position du 6 avril 2017 et a considéré que la requête n'amenait aucun élément nouveau permettant de la réexaminer.
Le Département de l'éducation a, par décision du 11 juin 2019, rejeté le recours de A._ à l'encontre du prononcé du 23 octobre 2018: au regard de son contenu, le document du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé constituait une décision, malgré l'absence d'indications relatives à la voie de droit par laquelle elle pouvait être attaquée; cet élément ne justifiait pas le temps mis par la recourante à la contester, à savoir près d'une année; les conditions de la reconsidération n'étaient, en outre, pas remplies.
B.
Par arrêt du 29 octobre 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a également rejeté le recours de A._. Elle a jugé que le courrier du 2 octobre 2017 devait être qualifié de décision administrative; l'intéressée aurait dû s'informer des moyens de l'attaquer et d'agir en temps utile, ce à quoi elle n'avait pas procédé; il était abusif d'attendre presque une année pour contester une décision dont le contenu et la portée ne pouvaient échapper à sa destinataire.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision du 11 juin 2019 du Département de l'éducation spécialisé et de lui reconnaître le droit d'exercer en qualité d'orthophoniste indépendante habilitée à facturer ses prestations à charge de l'Etat, subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour une nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Département de la justice, de la sécurité et de la culture de la République et canton de Neuchâtel, chargé par le Département de l'éducation de répondre au recours, et le Tribunal cantonal concluent au rejet de celui-ci.
A._ s'est encore prononcée par écriture du 20 mars 2020.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public, déposé en temps utile (art. 100 LTF) et en la forme prévue (art. 42 LTF) à l'encontre d'un arrêt final (art. 90 LTF) rendu, dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), par l'intéressée qui a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF), est recevable.
1.2. Néanmoins, l'arrêt entrepris confirmant une décision du Département de l'éducation déclarant le recours de l'intéressée comme étant tardif, seule la question de la recevabilité peut être portée devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 138 III 46 consid. 1.2 p. 48 [arrêt d'irrecevabilité]; arrêt 2C_656/2017 du 23 janvier 2018 consid. 1.3 [conclusions irrecevables]). Partant, la conclusion sur le fond de la recourante, tendant à ce que son droit d'exercer en qualité d'orthophoniste indépendante habilitée à facturer ses prestations à charge de l'Etat lui soit reconnu, est irrecevable.
De plus, en tant que la recourante demande l'annulation de la décision du 11 juin 2019 du Département de l'éducation, sa conclusion est irrecevable, compte tenu de l'effet dévolutif complet du recours auprès de la dernière instance cantonale (ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il ne revoit le droit cantonal, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce (cf. art. 95 LTF), que sous l'angle de la violation des droits fondamentaux - en particulier l'arbitraire -. Les griefs de violation de ces droits sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (ATF 142 II 369 consid. 2.1 p. 272; 141 I 36 consid. 1.3 p. 41).
Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (ATF 141 I 172 consid. 4.3.1 p. 177 et les références citées). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 141 I 49 consid. 3.4 p. 53 et les références citées).
3.
Le litige porte d'une part sur la qualité de décision du document du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé et d'autre part sur le point de savoir si le courrier de l'intéressée du 25 septembre 2018 auprès du Département de l'éducation, considéré comme un recours, était tardif.
3.1. Selon le Tribunal cantonal, bien que le courrier du 2 octobre 2017 ne comportait ni le mot "décision" ni le verbe "décider" pas plus que l'indication de la voie de recours, il constituait une décision administrative. En effet, il en résultait clairement l'absence d'un droit, pour la recourante, d'exercer sa profession d'orthophoniste à charge de l'Etat. Il incombait à celle-ci de s'informer des moyens d'attaquer la décision et, après avoir obtenu les renseignements nécessaires, d'agir en temps utile, les difficultés de santé rencontrées par sa fille ne changeant rien à ce constat. De plus, le courrier du 2 octobre 2017 faisait suite à la lettre du 23 mai 2017 de l'intéressée dans laquelle celle-ci priait l'Office de l'enseignement spécialisé de rendre une décision susceptible de recours. Il était abusif de contester près d'une année après l'avoir reçue une décision qui n'indiquait pas les voies de droit, mais dont le contenu et la portée ne pouvaient pas échapper à la recourante.
3.2. Sous le titre "Du refus d'entrer en matière sur le recours", la recourante mentionne le principe de la bonne foi, l'arbitraire d'une décision, ainsi que le droit d'accès au juge, puis elle développe une argumentation unique relative à ces trois principes respectivement droit constitutionnels.
Elle dénonce le fait que le Tribunal cantonal a considéré son recours comme tardif, bien que le courrier du 2 octobre 2017 ne comportait ni le mot "décision" ni le verbe "décider", ni l'indication de la voie de droit par laquelle il fallait procéder. Elle considère que lui reprocher, dans ces circonstances, d'avoir tardé à prendre des renseignements nécessaires pour éclaircir la situation quant à ces éléments viole les art. 5 al. 3 et 9 Cst. en relation avec l'art. 4 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/NE 152.130).
3.3. L'art. 3 al. 1 LPJA prévoit:
"Est considérée comme une décision au sens de la présente loi toute mesure prise par les autorités dans des cas d'espèce, fondée sur le droit public fédéral, cantonal ou communal, ayant pour objet:
a) de créer, de modifier ou d'annuler des droits ou des obligations;
b) de constater l'existence, l'inexistence ou l'étendue de droits ou d'obligations;
c) de rejeter ou de déclarer irrecevables les demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits ou des obligations."
La teneur de l'art. 3 LPJA est similaire à celle de l'art. 5 al. 1 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; RS 172.021). Selon la jurisprudence y relative, pour déterminer s'il y a ou non décision, il y a lieu de considérer les caractéristiques matérielles de l'acte. Un acte peut ainsi être qualifié de décision (matérielle), si, par son contenu, il en a le caractère, même s'il n'est pas intitulé comme tel et ne présente pas certains éléments formels typiques d'une décision, telle l'indication des voies de droit (arrêts 1C_471/2019 du 11 février 2020 consid. 3.1; 2D_42/2018 du 11 mars 2019 consid. 3.3).
Selon l'art. 4 al. 1 LPJA, la décision n'acquiert force exécutoire qu'entre autres à la condition d'être rendue en la forme écrite et comporter le mot "décision" ou le verbe "décider" (let. a) et d'indiquer l'autorité auprès de laquelle un recours peut être déposé, la forme du recours et le délai pour son dépôt (let. c).
4.
Il convient d'examiner en premier lieu le grief portant sur l'application arbitraire de l'art. 4 al. 1 let. a LPJA.
4.1. En l'espèce, en date du 6 avril 2017, l'Office de l'enseignement spécialisé a communiqué à la recourante qu'elle ne figurait plus, depuis 2008, sur la liste des logopédistes reconnus si bien que celle-ci ne pouvait plus lui facturer ses prestations. L'intéressée a alors, par lettre du 23 mai 2017, requis que la reconnaissance de sa qualification soit "réactivée", afin que ledit office prenne en charge ses prestations; elle sollicitait une décision susceptible de recours en cas de réponse négative. Celui-ci lui a ainsi fait parvenir un courrier du 2 octobre 2017: il y citait les dispositions applicables relatives à la reconnaissance des prestataires en orthophonie; puis, tout en faisant référence à son courrier du 6 avril 2017, il a confirmé que l'intéressée ne figurait plus sur la liste des orthophonistes habilités à facturer des prestations et a précisé qu'il n'était pas prévu d'octroyer des reconnaissances supplémentaires dans le canton.
La lettre du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé ne contenait effectivement pas le terme "décision" ou "décider" pas plus que les indications usuelles quant à la voie de droit et le délai de recours. Malgré cela, les juges précédents ont estimé qu'elle pouvait être qualifiée de décision. Ils ont fait leur l'opinion doctrinale citée (ROBERT SCHAER, Juridiction administrative neuchâteloise, 1995, ad art. 4 al. 1 let. a LPJA, p. 37) selon laquelle l'obligation de faire figurer dans l'acte les termes susmentionnés prévue dans le droit de procédure neuchâtelois ne devait pas être considérée comme une règle de droit impératif; l'absence de cette indication pouvait conduire à la restitution du délai de recours, qui se justifiait lorsque le destinataire avait pu être trompé sur le caractère décisionnel au regard du contenu de l'acte dans son ensemble; un éventuel doute sur la portée de la décision ne pouvait être invoqué si les circonstances et le comportement du destinataire démontraient que celui-ci en avait compris le sens exact. Considérer, comme l'a fait l'instance précédente, qu'au regard du contexte de l'affaire et de ses différents courriers la recourante n'avait pas pu être induite en erreur quant au caractère décisionnel du courrier du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé n'a rien d'insoutenable, dès lors que ce courrier faisait suite à la lettre du 23 mai 2017 de la recourante qui requérait dudit office de rendre une décision susceptible de recours. Cet élément démontre, outre que l'intéressée avait des connaissances procédurales de base, qu'elle devait s'attendre à recevoir une décision formelle. De plus, le contenu dudit courrier, qui commence par citer les directives d'application de la convention qui réglemente la rémunération des traitements logopédiques ordonnés par l'Office de l'enseignement spécialisé et confiés à des logopédistes du canton, établit clairement l'inexistence d'un droit de l'intéressée à cet égard (cf. art. 3 al. 1 let. b LPJA), ce qui ressortait d'ailleurs déjà du courrier du 6 avril 2017. Il règle donc dans ce cadre la situation juridique de celle-ci, ce que l'intéressée a bien compris puisqu'elle a requis près d'une année plus tard, c'est-à-dire le 25 septembre 2018, de la cheffe du Département de l'éducation qu'elle donne audit office les instructions nécessaires pour que ses prestations soient remboursées au moment de sa reprise d'activité. Ainsi, considérer que le courrier du 2 octobre 2017 dudit office possède la qualité de décision au sens des art. 3 al. 1 let. b et 4 al. 1 let. a LPJA ne peut être qualifié d'arbitraire, indépendamment du vice formel l'affectant. Au demeurant, on peut relever que la qualité de décision du courrier en cause n'avait pas échappé à la recourante, puisqu'elle a fait parvenir son courrier du 25 septembre 2018 à la cheffe du Département de l'éducation et non pas à l'Office de l'enseignement spécialisé. Il convient de rappeler que le fait qu'une autre solution soit également concevable n'est pas suffisant pour retenir l'arbitraire (cf. consid. 2). Ainsi, le grief relatif à l'application arbitraire de l'art. 4 al. 1 let. a LPJA est rejeté.
4.2. La recourante, dans son argumentation unique pour tous les griefs, ne démontre pas en quoi l'absence de la mention " décision " à l'aune du principe de la bonne foi aboutirait à un résultat différent. Partant, le grief y relatif tombe à faux quant à l'art. 4 al. 1 let a LPJA.
5.
Contrairement à l'art. 4 al. 1 let. a LPJA qui contient des exigences de forme particulières que la décision doit revêtir et dont la recourante se prévaut, l'art. 4 al. 1 let. c PLPJA ne fait que prescrire l'indication usuelle quant à la voie de droit, à savoir l'autorité auprès de laquelle un recours peut être déposé, ainsi que la forme du recours et le délai pour son dépôt. Dès lors que l'intéressée n'indique pas que la procédure administrative cantonale lui offrirait des garanties supérieures aux art. 5 al. 3 et 9 Cst., à la différence de ce qui est le cas pour l'art. 4 al. 1 let. a LPJA, le grief ne sera examiné qu'à la lumière de ces dispositions.
5.1. Aux termes de l'art. 5 al. 3 Cst., les organes de l'Etat et les particuliers doivent agir de manière conforme aux règles de la bonne foi. Ce principe impose des devoirs à l'autorité dans la conduite d'une procédure (ATF 123 II 231 consid. 8b p. 238). Ainsi, le destinataire d'un prononcé administratif ou judiciaire déficient n'a pas à subir les conséquences d'un acte imputable aux seules autorités. Ce principe veut également que l'absence d'indication ou l'indication erronée des moyens de droit à l'encontre d'une décision ne peut entraîner de préjudice pour le destinataire concerné. En particulier, celui-ci n'a pas à être restreint dans l'une des multiples modalités de son droit d'être entendu en conséquence d'un vice de forme de la décision. Cette règle est toutefois limitée par le principe de la bonne foi auquel l'administré est lui aussi tenu (ATF 138 I 49 consid. 8.3.2 p. 53). Il n'est en effet pas contesté qu'une partie qui connaît ou doit connaître l'existence d'un prononcé la concernant mais qui n'entreprend aucune démarche pour en obtenir la communication agit de manière contraire à la bonne foi. Elle doit en effet faire preuve de diligence (ATF 129 II 193 consid. 1 p. 197; 119 IV 330 consid. 1c p. 332 ss) et est tenue de se renseigner sur l'existence et le contenu de la décision dès qu'elle peut en soupçonner le prononcé à défaut de quoi elle risque de se voir opposer l'irrecevabilité de son recours pour cause de tardiveté (arrêts 2C_708/2015 du 7 mars 2016 consid. 3.3 et les arrêts cités).
Selon la jurisprudence, les particuliers ne peuvent penser qu'une décision administrative peut être attaquée à tout moment devant un juge (arrêts 2C_962/2012 du 21 mars 2013 consid. 3.2, 9C_85/2011 du 17 janvier 2012 consid. 6.2, SVR 2012 IV n° 39 p. 147 et résumé in RtiD 2012 II 403). Ainsi, le destinataire d'un acte ne mentionnant pas de voie de droit ne peut simplement l'ignorer; il est au contraire tenu de l'attaquer dans le délai ordinaire pour recourir ou alors de se renseigner, dans un délai raisonnable, sur la voie de recours lorsque le caractère de décision de l'acte est reconnaissable et qu'il entend la contester (ATF 129 II 125 consid. 3.3 p. 134; 119 IV 330 consid. 1c p. 334). Pour définir cette période, le délai ordinaire de recours de 30 jours peut servir de référence (cf. arrêt 2C_962/2012 et 9C_85/2011 précités, 9C_741/2012 du 12 décembre 2012 consid. 2 in fine).
5.2. La décision litigieuse ne comportait effectivement pas d'indications relatives aux éléments susmentionnés. Dans un tel cas, l'intéressée devait se renseigner à ce sujet dans un délai raisonnable. Comme susmentionné, on peut prendre comme référence le délai ordinaire de 30 jours. Or, en l'espèce, la recourante a attendu le 25 septembre 2018 pour contacter le Département de l'éducation, c'est-à-dire presqu'une année. Ce laps de temps va largement au-delà de ce qui peut être considéré comme raisonnable. Ainsi, la recourante a manqué de manière significative à son devoir de diligence. En effet, tout justiciable, même sans connaissance juridique particulière (alors que la recourante a démontré en avoir certaines, puisqu'elle avait requis une décision attaquable de la part de l'Office de l'enseignement spécialisé), sait que s'il entend contester une décision, il doit se manifester dans un certain délai, en général de trente jours. Si la recourante estimait, comme elle le prétend, que le courrier du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé ne constituait pas une décision (bien qu'elle en avait sollicité une), il lui appartenait alors de réitérer sa requête ou de recourir pour déni de justice. Si l'on devait considérer la lettre du 25 septembre 2018 comme une nouvelle demande de décision, dans le présent contexte, celle-ci devrait également être jugée comme tardive, la recourante ne pouvant pas non plus attendre près d'une année pour ce faire (cf. à cet égard ATF 134 V 145 consid. 5.3.1 p. 151 et l'auteur cité). Certes, l'intéressée vivait une année difficile sur le plan personnel mais cela ne saurait pour autant justifier un tel délai pour réagir à la décision du 2 octobre 2017. Compte tenu de sa situation familiale, elle aurait pu faire appel à un avocat plus rapidement qu'elle ne l'a fait. Dans ce contexte, le grief relatif à la violation du principe de la bonne foi est rejeté.
6.
L'intéressée se plaint également du fait que le droit d'accès au juge (art. 29a Cst.) n'aurait pas été effectif, en tant que ni le Département de l'éducation ni le Tribunal cantonal n'a traité le fond de la cause.
Comme constaté ci-dessus, la recourante n'a pas attaqué la décision du 2 octobre 2017 de l'Office de l'enseignement spécialisé dans un délai raisonnable. Partant, les instances susmentionnées n'avaient pas à se prononcer sur le fond de la cause. Le grief relatif à l'art. 29a Cst. est donc rejeté.
7.
La recourante estime encore que "c'est de manière arbitraire" que le Tribunal cantonal est arrivé à la conclusion que les conditions d'une reconsidération n'étaient pas réunies. Elle cite à cet égard l'art. 6 al. 1 let. a et d LPJA. Selon elle, l'argumentation juridique présentée par son avocat dans son courrier du 23 octobre 2018 au Département de l'éducation, argumentation qui n'avait pas été envisagée par l'Office de l'enseignement spécialisé, représente un fait nouveau. En outre, ledit office aurait commis une erreur en omettant de constater qu'aucune base légale ne prévoyait de retirer le droit d'exercer à charge de l'Etat aux personnes auxquelles ce droit a une fois été reconnu.
7.1. Selon l'art. 6 al. 1 LPJA, l'autorité qui a pris la décision peut la reconsidérer ou la réviser, d'office ou sur requête, notamment lorsque des faits nouveaux se sont produits ou ont été découverts (let. a) ou une erreur, dont la correction revêt une importance appréciable, a été commise par l'administration (let. d).
7.2. Les juges précédents ont estimé que développer une nouvelle argumentation juridique quant à l'objet litigieux ne constituait pas un fait nouveau. Il va sans dire que cette application de l'art. 6 al. 1 let. a LPJA ne relève en aucun cas de l'arbitraire. A juger le contraire, la reconsidération serait ouverte à l'encontre de toutes les décisions administratives, puisqu'il suffirait de l'attaquer sous un angle qui n'aurait pas été évoqué auparavant. Il est plus que soutenable de juger que tel ne peut avoir été la volonté du législateur cantonal.
Quant à l'art. 6 al. 1 let. d LPJA, le Tribunal cantonal a conclu que la motivation du grief y relatif n'était pas suffisante; cette autorité n'est donc pas entrée en matière sur celui-ci. Par conséquent, le moyen relatif une application arbitraire de cette disposition tombe à faux.
8.
Au regard de ces éléments, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Office de l'enseignement spécialisé, au Département de l'éducation et de la famille DEF, ainsi qu'au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 15 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon