Erwägungen:
1.
1.1. Am 20. Mai 2019 mahnte das Steueramt des Kantons Solothurn (KStA/SO; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige), weil dieser bis dahin die Steuererklärung zur Steuerperiode 2018 nicht eingereicht hatte. Der Steuerpflichtige will dies am 24. Mai 2019 per A-Post nachgeholt haben. Mit Verfügung vom 29. Juli 2019 auferlegte die Veranlagungsbehörde dem Steuerpflichtigen eine Busse von Fr. 800.--, weil dieser die Steuererklärung auch weiterhin nicht vorgelegt habe. Die gegen die Bussenverfügung gerichtete Einsprache blieb erfolglos (Einspracheentscheid vom 5. November 2019).
1.2.
1.2.1. Am 9. Dezember 2019 gelangte der Steuerpflichtige an das Steuergericht des Kantons Solothurn, wobei er um Aufhebung des Einspracheentscheids und um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) ersuchte. Das Steuergericht liess dem Steuerpflichtigen das amtliche Formular zur unentgeltlichen Rechtspflege zukommen. Am 28. Januar 2020 retournierte der Steuerpflichtige das Formular. Daraus ergab sich, dass er im Jahr 2018 ein Einkommen von Fr. 14'660.-- und im Jahr 2019 ein solches von Fr. 4'500.-- erzielt habe. Weiter gab der Steuerpflichtige an, über kein Vermögen zu verfügen und von der Familie unterstützt worden zu sein.
1.2.2. Das Steuergericht verfügte am 20. Februar 2020, der Steuerpflichtige habe bis zum 5. März 2020 seine aktuellen Vermögensverhältnisse zu belegen. Dieser reagierte mit Eingabe vom 9. März 2020, wobei er erklärte, er sei mehrere Tage krank gewesen, was aus einem Arztzeugnis vom 20. Februar 2020 hervorgehe. Entsprechend ersuche er um Wiederherstellung der Frist. Das Steuergericht wies mit Beschluss vom 16. März 2020 sowohl das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand als auch jenes um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ab.
1.2.3. In der Sache selbst gelangte das Steuergericht mit Entscheid SGDIV.2019.13 vom 10. August 2020 zur Abweisung von Rekurs und Beschwerde. Es erwog, die Mahnung vom 20. Mai 2019 sei dem Steuerpflichtigen nachweislich zugekommen. Hingegen sei diesem der Nachweis darüber misslungen, dass er die Steuererklärung am 24. Mai 2019 nachgereicht habe. Dass die Veranlagungsbehörde eine Busse ausgesprochen habe, sei dem Grundsatz nach nicht zu beanstanden. Auch die Höhe von Fr. 800.-- sei nicht zu bemängeln, da dem Steuerpflichtige offenbar schon mehrere Ordnungsbussen aufzuerlegen gewesen seien und daher ein Rückfall vorliege. Die Busse von Fr. 800.-- bewege sich im unteren Bereich des gesetzlichen Bussenrahmens.
1.3. Mit Eingabe vom 29. September 2020 (Poststempel: 30. September 2020) erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) zu erteilen, da er einerseits über keine finanziellen Mittel verfüge und andererseits ein sehr komplexer Sachverhalt zu beurteilen sei. Eine vertiefende Begründung werde er nachreichen.
1.4. Der Abteilungspräs nident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, namentlich von einem Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 1 BGG), abgesehen.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs.1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind gegeben. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 146 IV 88 E. 1.3.2 S. 92) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 145 I 239 E. 2 S. 241).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 146 I 62 E. 3 S. 65).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 146 IV 114 E. 2.1 S. 118). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 146 I 83 E. 1.3 S. 86). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (zum Ganzen: BGE 146 IV 88 E. 1.3.1 S. 91 f.). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (BGE 146 III 73 E. 5.2.2 S. 80; vorne E. 2.3).
3.
3.1. Wer einer Pflicht, die ihm nach den Vorschriften dieses Gesetzes oder nach einer aufgrund dieses Gesetzes getroffenen Anordnung obliegt, trotz Mahnung vorsätzlich oder fahrlässig nicht nachkommt, insbesondere die Steuererklärung oder die dazu verlangten Beilagen nicht einreicht, wird mit Busse bestraft (Art. 174 Abs. 1 lit. a DBG bzw. Art. 55StHG, hier in Verbindung mit § 188 Abs. 1 lit. b des Gesetzes [des Kantons Solothurn] vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/SO; BGS 614.11). Die Busse beträgt bis zu Fr. 1'000.--, in schweren Fällen oder bei Rückfall bis zu Fr. 10'000.-- (Art. 174 Abs. 2 DBG bzw. Art. 55 StHG in Verbindung mit § 188 Abs. 2 StG/SO). Die beiden bundesrechtlichen Normen stehen in Idealkonkurrenz (BGE 143 IV 130 E. 3.1 S. 134) und sind übereinstimmend auszulegen (BGE 143 IV 130 E. 2.1 S. 133). Die beiden Steuerarten können daher gemeinsam behandelt werden, zumal die Vorinstanz eine Gesamtbusse ausgesprochen hat, ohne zwischen den beiden Steuerarten näher zu differenzieren.
3.2. Grundvoraussetzung für das Ausfällen einer Ordnungsbusse im Sinne von Art. 174 Abs. 1 lit. a DBG bzw. Art. 55 StHG ist das Nichteinreichen der Steuererklärung. Auch vor Bundesgericht beruft der Steuerpflichtige sich darauf, dass er am 24. Mai 2019, also kurz nach Eintreffen der Mahnung vom 20. Mai 2019, seiner Pflicht nachgekommen sei. Er will die Steuererklärung mit A-Post spediert haben, was einer Verfolgung des postalischen Weges von vornherein entgegensteht. Für das Einreichen der Steuererklärung liegt die Beweisführungs- und Beweislast bei der steuerpflichtigen Person (Art. 8 ZGB per analogiam; BGE 146 II 6 E. 4.2 S. 10). Mit Blick darauf, dass die Veranlagungsbehörde eine Mahnung ausgesprochen hatte, wäre es angezeigt gewesen, die Steuererklärung auf nachvollziehbare Weise zu versenden. Dies hat der Steuerpflichtige unterlassen, worauf er sich behaften lassen muss. Die Vorinstanz durfte verfassungsrechtlich haltbar davon ausgehen, dass der Steuerpflichtige der Steuererklärungspflicht nicht nachgekommen sei. Wenn sie in der Folge von der Zulässigkeit der Ordnungsbusse ausging, geschah dies bundesrechtskonform. Zur Höhe der Busse lässt sich der Eingabe keine Rüge entnehmen.
3.3. Anders, als der Steuerpflichtige dies sieht, waren im kantonalen Verfahren keineswegs komplexe Fragestellungen zu beantworten. Die Beiordnung eines amtlichen Anwalts war daher nicht geboten. Was die Prozesskosten betrifft, wies die Vorinstanz das Gesuch ab, weil der Steuerpflichtige seiner Mitwirkungspflicht innert Frist nicht nachgekommen sei und er hierfür keinen Entschuldigungsgrund habe vorlegen können. Dem setzt der Steuerpflichtige im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich den Hinweis auf das Arztzeugnis vom 20. Februar 2020 entgegen, ohne darzulegen, dass seine Krankheit ihn am Einreichen der Unterlagen gehindert hätte.
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, was im vereinfachten Verfahren geschehen kann (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG).
4.
4.1. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Das im bundesgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 29 Abs. 3 BV bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erweist sich mit Blick auf die in der Hauptsache gestellten Anträge als aussichtslos (BGE 142 III 138 E. 5.1 S. 139 f.). Es ist abzuweisen. Damit entfällt von vornherein ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung. Eine Verlängerung der gesetzlichen Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) zur Nachreichung einer Begründung ist ohnehin ausgeschlossen. Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) wird abgewiesen.
3.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher