Sachverhalt:
A.
Die 1986 geborene A._ ist schweizerische Staatsangehörige und seit dem xx. xxx. 2009 bzw. xx. xxx. 2011 in Israel wohnhaft. Am 25. Oktober 2009 erklärte sie erstmals den Beitritt zur freiwilligen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (AHV/IV). Die Schweizerische Ausgleichskasse SAK bestätigte mit Schreiben vom 16. November 2009 die Aufnahme in die freiwillige Versicherung ab 1. Februar 2009. Im April 2010 meldete sich A._ von der freiwilligen Versicherung ab, da sie wieder obligatorisch versichert sei. Mit Schreiben vom 9. Mai 2010 präzisierte sie, dass sie sich zu Studienzwecken im Ausland befinde. Ihre obligatorische Versicherungsdeckung belegte sie mit einer Bescheinigung der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 30. März 2010 (Anschluss als Nichterwerbstätige seit Januar 2008). Bis 2018 bezahlte sie jeweils den Minimalbetrag für Nichterwerbstätige ein. Mit Schreiben vom 3. Juni 2019 teilte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich mit, da A._ ihren zivilrechtlichen Wohnsitz seit xx. xxx. 2011 in Israel habe, könne sie in der Schweiz keine AHV/IV-Beiträge mehr einbezahlen. Ihr Abrechnungskonto sei deshalb (rückwirkend) per 30. September 2011 aufgehoben worden. Mit elektronischem Kontaktformular gab A._ am 27. Juni 2019 kund, sie sei schon länger bei der freiwilligen Versicherung angemeldet und habe ihre Beiträge immer fristgerecht bezahlt. Sie bitte deshalb darum, ihr Abrechnungskonto weiterhin bestehen zu lassen. Am 20. Mai 2020 liess A._ verlauten, sie habe vor einigen Tagen eine Beitrittserklärung zur AHV/IV postalisch zugestellt; diese Erklärung reichte sie zudem mit E-Mail vom 22. Mai 2020 elektronisch ein. Im fraglichen Formular gab sie an, sie sei erwerbstätig (seit 1. Januar 2015), seit xx. xxx. 2011 in Israel wohnhaft und bis 3. Juni 2019 der AHV/IV angeschlossen gewesen. Die SAK wies das Beitrittsgesuch mit Verfügung vom 3. Juni 2020 ab, da der Beitritt zur freiwilligen Versicherung nicht innert Jahresfrist seit dem Wegfall der Voraussetzungen für die obligatorische Versicherung erklärt worden sei, was sie mit Einspracheentscheid vom 6. August 2020 bestätigte.
B.
Die hiergegen gerichtete Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 14. Mai 2021 gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 6. August 2020 auf und ordnete an, dass A._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2011 der freiwilligen Versicherung angeschlossen werde.
C.
Dagegen führt die SAK Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es seien das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 6. August 2020 zu bestätigen. Eventualiter sei die Versicherte ab 1. Juni 2020 der freiwilligen Versicherung anzuschliessen, subeventualiter rückwirkend fünf Jahre ab Rechtskraft des letztinstanzlichen Urteils.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 V 380 E. 1 mit Hinweis).
1.2. Der SAK als Durchführungsstelle kommt - entgegen dem planwidrig unvollständigen Wortlaut des Art. 201 Abs. 1 AHVV - auch nach dem 1. Januar 2007 die Befugnis zu, als Durchführungsstelle vor dem Bundesgericht Beschwerde gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts zu erheben (vgl. ausführlich SVR 2021 AHV Nr. 10 S. 31, 9C_198/2020 vom 3. Dezember 2020 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen BGE 145 V 57 E. 4).
3.
Die erstmals vor Bundesgericht eingereichte Korrespondenz der SAK mit dem Personenmeldeamt der Stadt Zürich sowie dem Eidgenössischen Departement des Äusseren (EDA) datiert vom Juni 2021. Es handelt sich, da nach dem angefochtenen Urteil entstanden, um unzulässige echte Noven (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 143 V 19 E. 1.2 mit Hinweisen).
4.
4.1. Strittig ist, ob das Bundesverwaltungsgericht Bundesrecht verletzt hat, indem es entschied, dass die Beschwerdegegnerin ab 1. Oktober 2011 der freiwilligen Versicherung anzuschliessen sei.
Die Vorinstanz hat die massgebenden rechtlichen Grundlagen bezüglich des Ausscheidens aus der obligatorischen Versicherung (Art. 1a AHVG) sowie des Beitritts zur freiwilligen Versicherung (Art. 2 Abs. 1 AHVG; Art. 7 Abs. 1 und Art. 8 Abs. 1 der Verordnung über die freiwillige Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [VFV; SR 831.111]) richtig dargelegt, ebenso wie die Rechtsprechung zur Erklärung des Beitritts in die freiwillige Versicherung durch gutgläubige Beitragszahlung (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 12/05 vom 19. Mai 2006 E. 4.2 mit Hinweisen; vgl. ausserdem Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 294/87 vom 28. Dezember 1988 E. 3c und H 148/92 vom 17. Dezember 1992 E. 2b).
4.2. Das Bundesverwaltungsgericht stellte fest, es sei nicht bekannt, wie lange das Studium der (nunmehrigen) Beschwerdegegnerin gedauert habe und ob diese in den Jahren 2010/2011 in die Schweiz zurückgekehrt sei. Fest stehe jedenfalls, dass sie seit xx. xxx. 2011 ihren Wohnsitz ununterbrochen in Israel habe und dort seit mindestens 2015 erwerbstätig sei. Die Vorinstanz erwog sodann, die obligatorische Versicherung habe nicht erst am 3. Juni 2019 geendet (mit der Mitteilung der rückwirkenden Aufhebung des Abrechnungskontos durch die Ausgleichskasse des Kantons Zürich), sondern nach Wegfall der Versicherteneigenschaft nach Art. 1a AHVG per xx. xxx. 2011. Die (heutige) Beschwerdegegnerin sei per Ende September 2011 aus dem Kreis der obligatorisch versicherten Personen ausgeschieden, da sie ab diesem Zeitpunkt weder Wohnsitz noch Erwerbstätigkeit in der Schweiz gehabt habe und auch ein Studium über Ende September hinaus nicht dokumentiert sei. Insofern sei die schriftliche Anmeldung zur freiwilligen Versicherung vom 1. Mai 2020 nicht fristgerecht innerhalb eines Jahres ab dem Zeitpunkt des Ausscheidens aus der obligatorischen Versicherung erfolgt (Art. 8 Abs. 1 VFV). Als juristische Laiin habe die Beschwerdegegnerin indes die Fehlerhaftigkeit der ihr bis 2018 jeweils zugesandten Rechnungen nicht ohne Weiteres erkennen können. Detailwissen zur schweizerischen AHV/IV könne ihr nicht entgegengehalten werden, zumal die Beitragsrechnungen - soweit ersichtlich - keine Erläuterungen enthalten hätten und von Privaten ohne besonderen Anlass keine Nachforschungen über die Richtigkeit behördlichen Handelns verlangt werde. Anlass zur Überprüfung, etwa durch eine Rückfrage bei der Behörde, bestehe einzig dort, wo die Fehlerhaftigkeit der Vertrauensgrundlage (vgl. Art. 9 BV) leicht erkennbar sei, was hier nicht zutreffe. Habe die Beschwerdegegnerin demnach die ihr bis 2018 zugesandten Beitragsrechnungen jeweils gutgläubig bezahlt, wirke dies nach der Rechtsprechung im Ergebnis wie eine rechtzeitige Beitrittserklärung zur freiwilligen Versicherung. Da sie auch die weiteren Beitrittsvoraussetzungen erfülle, könne sie mit Wirkung ab 1. Oktober 2011 antragsgemäss der freiwilligen Versicherung angeschlossen werden.
5.
5.1. Die SAK wendet sich gegen die Anwendung des verfassungsrechtlichen Grundsatzes von Treu und Glauben. Denn das Verhalten der Beschwerdegegnerin habe in keinem Zusammenhang mit einer falschen Auskunft oder einem bestimmten Verhalten der Verwaltung gestanden. Gutgläubigkeit der Versicherten könne bereits deshalb nicht angenommen werden, weil sie bei der Ausgleichskasse des Kantons Zürich als Nichterwerbstätige registriert gewesen sei, während sie mindestens seit dem 1. Januar 2015 in Israel einer Erwerbstätigkeit nachgegangen sei. Damit habe sie offensichtlich ihre Pflicht verletzt, eine für die Versicherungsunterstellung wesentliche Änderung in ihren Lebensverhältnissen, nämlich die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit, mitzuteilen (Art. 31 Abs. 1 ATSG i.V.m. Art. 70bis AHVV). Nachdem sie ihre ursprüngliche Anmeldung zur freiwilligen Versicherung wieder zurückgezogen habe, nach Israel ausgewandert sei und gleichzeitig ein Zürcher Zustelldomizil hinterlegt habe, könne sie nicht als gutgläubig erscheinen. Insbesondere habe sie als ausgebildete Lehrerin nicht darauf vertrauen dürfen, bei der AHV als nichterwerbstätige Studentin versichert zu bleiben.
Ihre Eventualbegehren begründet die Beschwerdeführerin im Wesentlichen damit, dass im Falle eines rückwirkenden Anschlusses die Festsetzungsverwirkung gemäss Art. 24 Abs. 1 ATSG verhindere, dass die SAK Beitragsnachzahlungen über die letzten fünf Jahre hinaus erhebe.
5.2. Die Beschwerdegegnerin macht im Wesentlichen geltend, sie habe sich im Zeitpunkt ihres Umzugs nach Israel für die freiwillige Versicherung angemeldet und sich von dieser einzig wieder abgemeldet, da ihr die Ausgleichskasse des Kantons Zurück mitgeteilt habe, sie bleibe bei ihr versichert. Seither habe sie durchgehend ihre AHV-Beiträge bezahlt und sich nach Erhalt der Mitteilung der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 3. Juni 2019 innert Jahresfrist (erneut) zum Beitritt zur freiwilligen AHV angemeldet. Es sei widersprüchlich und willkürlich, wenn ihr nun ihr Vertrauen in die Angaben der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und der SAK zum Nachteil gereichten. Insbesondere letztere habe es offenbar versäumt, im Jahr 2009 die notwendige Prüfung vorzunehmen. Wäre diese zeitnah erfolgt, hätte sie (die Beschwerdegegnerin) ihren freiwilligen Versicherungsschutz aufrecht erhalten können. So oder anders habe sie unmissverständlich ihren Willen zum Ausdruck gebracht, die AHV trotz Wegzugs nach Israel weiterführen zu wollen, was rechtsprechungsgemäss als gültige Anmeldung gelte. Schliesslich handle es sich bei den von ihr entrichteten Beiträgen um AHV-Beiträge, auch wenn diese von der falschen Ausgleichskasse erhoben worden seien. Diese seien innerhalb der AHV umzubuchen, so dass es sich nicht um rückwirkend festgesetzte Beiträge im Sinne von Art. 24 Abs. 1 ATSG handle.
6.
6.1. Rechtsprechungsgemäss ist - mit der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin - der mit der Fortsetzung vermeintlich geschuldeter Beitragszahlungen unmissverständlich bekundete Wille, die Versicherungsmitgliedschaft bei der AHV beizubehalten, der nach Art. 8 Abs. 1 VFV notwendigen schriftlichen Beitrittserklärung gleichzusetzen (zit. Urteile H 294/87 E. 3c; H 148/92 E. 2b; H 12/05 E. 4.2). Es besteht kein Anlass, hiervon abzuweichen. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ändert daran nichts, dass die hier betroffene Versicherte im Verlauf am ausländischen Wohnsitz eine Erwerbstätigkeit aufgenommen hat, jedoch in der Schweiz als Nichterwerbstätige gemeldet blieb. Eine ähnliche Konstellation lag bereits dem zitierten Urteil H 294/87 zugrunde: Dort war die Versicherte in der Schweiz als Selbständigerwerbende versichert gewesen und entrichtete als solche auch nach ihrem Wegzug weiterhin Beiträge, obwohl sie im Ausland eine unselbständige Erwerbstätigkeit aufnahm.
Die soeben referierte Rechtsprechung gründet nicht - wie die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint - auf dem spezifischen Schutz berechtigten Vertrauens in eine falsche behördliche Auskunft. Vielmehr fliesst sie unabhängig davon aus der verfassungsrechtlich ganz allgemein gehaltenen Wahrung von Treu und Glauben (Art. 9 BV). Es wird diejenige Person vor dem gänzlichen Verlust ihrer Versicherteneigenschaft geschützt, die fälschlich, aber gutgläubig, weiterhin Beiträge an die obligatorische Versicherung leistet, aus der sie aber tatsächlich von Gesetzes wegen ausgeschieden ist. Vorausgesetzt ist, dass sie die Beitragszahlungen gutgläubig fortgesetzt hat und ihr diesbezüglich keine grobe Nachlässigkeit zur Last gelegt werden kann (zit. Urteile H 294/87 E. 3c; H 148/92 E. 2b/bb). Vorliegend hat die Beschwerdegegnerin wohl nachlässig gehandelt, indem sie davon absah, die Beendigung ihrer Ausbildung sowie die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit den involvierten Ausgleichskassen zur Kenntnis zu bringen und sich in diesem Zusammenhang über ihren Versicherungsstatus zu erkundigen. Diese Unterlassung kann ihr jedoch mit Blick auf die konkreten Umstände nicht als grobe Pflichtwidrigkeit angelastet werden: Offenbar führte die Beschwerdegegnerin zunächst die obligatorische Versicherung im Sinne von Art. 1a Abs. 3 lit. b AHVG ("die Versicherung können weiterführen...") freiwillig weiter. Diese Weiterversicherungsmöglichkeit endete mit ihrer Ausbildung im Ausland. Die Beschwerdegegnerin hätte sich alsdann grundsätzlich (erneut) bei der freiwilligen Versicherung (Art. 2 Abs. 1 AHVG) anmelden müssen. Es ist indes nachvollziehbar, dass für sie als Laiin der Unterschied zwischen (freiwilliger) Weiterführung der obligatorischen Versicherung (Art. 1a Abs. 3 AHVG) und freiwilliger Versicherung (Art. 2 Abs. 1 AHVG) nicht ohne Weiteres erkennbar war. Trotz einer gewissen Nachlässigkeit durfte sie demnach in guten Treuen davon ausgehen, auch nach Beendigung ihres Studiums und Aufnahme einer Erwerbstätigkeit freiwillig versichert zu bleiben, zumal sie einen dahingehenden Willen nicht erst in der Folge mit dem Bezahlen der Versicherungsbeiträge zum Ausdruck gebracht hat, sondern bereits mit ihrer ursprünglichen Anmeldung vom 25. Oktober 2009. Auf den Fortbestand ihrer Versicherungsdeckung durfte sie umso mehr vertrauen, als augenscheinlich weder die Ausgleichskasse des Kantons Zürich noch die SAK Nachfragen zur Dauer ihres Studiums im Ausland tätigten (vgl. Art. 43 Abs. 3 ATSG).
6.2. Zu klären bleibt, auf welches Datum der Wechsel in die freiwillige Versicherung zu vollziehen ist.
6.2.1. Die Vorinstanz erkannte auf einen Wechsel in die freiwillige Versicherung mit Wirkung ab 1. Oktober 2011, da ab dem xx. xxx. 2011 kein Wohnsitz und keine Erwerbstätigkeit in der Schweiz mehr bestanden hätten und auch ein Studium über dieses Datum hinaus nicht dokumentiert sei.
6.2.2. Die Beschwerdeführerin verlangt eventualiter mit Blick auf die Festsetzungsverwirkung (Art. 24 Abs. 1 ATSG bzw. Art. 16 Abs. 1 AHVG) einen Anschluss erst ab 1. Juni 2020 bzw. allenfalls fünf Jahre rückwirkend "ab Rechtskraft des letztinstanzlichen Urteils".
6.2.3. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin zunächst als nichterwerbstätige Studentin im Ausland die obligatorische Versicherung in der schweizerischen AHV weitergeführt hatte. Soweit Verwaltung und Vorinstanz von einer Weiterführung der obligatorischen Versicherung noch bis Ende September 2011 ausgingen, hat es dabei sein Bewenden, zumal keine manifesten Hinweise auf offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung oder fehlerhafte Rechtsanwendung bestehen.
Das Bundesverwaltungsgericht stellte fest, über den September 2011 hinaus sei ein Studium nicht dokumentiert. Für die Voraussetzungen der Versicherteneigenschaft ist die Versicherte materiell beweisbelastet (Art. 8 ZGB); sie traf diesbezüglich im Verwaltungsverfahren sowie im vorinstanzlichen Verfahren ausserdem eine Mitwirkungspflicht (Art. 43 Abs. 3 bzw. 61 lit. c ATSG), aufgrund derer es ihr zumutbar gewesen wäre, eine allenfalls längere Studiendauer geltend zu machen. Mithin hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie davon ausging, das Studium der Beschwerdegegnerin sei (spätestens) im September 2011 abgeschlossen gewesen. Folglich waren (spätestens) ab dem 1. Oktober 2011 die Voraussetzungen zur (freiwilligen) Weiterführung der obligatorischen Versicherung gemäss Art. 1a Abs. 3 lit. b AHVG nicht mehr erfüllt und ist die Beschwerdegegnerin demnach in diesem Zeitpunkt von Gesetzes wegen aus der obligatorischen Versicherung ausgeschieden (zit. Urteil H 294/87 E. 3a). Die freiwillige Versicherung beginnt mit dem Ausscheiden aus der obligatorischen Versicherung (Art. 8 Abs. 2 VFV), hier demnach - mit der Vorinstanz - am 1. Oktober 2011.
6.2.4. Daran vermag dem Grundsatz nach - entgegen der Beschwerdeführerin - die Festsetzungsverwirkung (Art. 24 Abs. 1 ATSG i.V.m. Art. 16 Abs. 1 AHVG) nichts zu ändern. Die von der Versicherten für die Zeit ab 1. Oktober 2011 entrichteten Beiträge sind als solche für die freiwillige Versicherung zu werten. Die Ausgleichskasse des Kantons Zürich hat sie der SAK zu überweisen. Die SAK hat diese mit den - nach Vornahme der notwendigen Abklärungen (Art. 43 Abs. 3 ATSG) zu ermittelnden - effektiven Beitragsforderungen zu verrechnen und allfällige Differenzen durch entsprechende Nachforderungen auszugleichen. Im Hinblick auf Art. 16 Abs. 1 AHVG bzw. Art. 24 Abs. 1 ATSG ist darauf hinzuweisen, dass die bereits geleisteten Zahlungen in analoger Anwendung von Art. 87 Abs. 1 und Art. 124 Abs. 2 OR auf die jeweils früher verfallene Schuld anzurechnen sind (zit. Urteil H 294/87 E. 3d mit Hinweis). Der Eintritt der Verwirkung ist bis zur Höhe der bereits von der Ausgleichskasse des Kantons Zürich festgesetzten Beiträge (soweit nicht wiedererwägungsweise aufgehoben, vgl. Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts H 1/06 vom 30. November 2006 E. 2.1 mit Hinweisen) grundsätzlich ausgeschlossen (zit. Urteil H 1/06 E. 2.2).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet.
8.
Der unterliegenden Beschwerdeführerin, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis prozessiert, ohne dass es sich um ihr Vermögensinteresse handelt, sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die obsiegende Beschwerdegegnerin macht keinen Arbeitsaufwand geltend, der den Rahmen dessen überschreitet, was sie üblicher- und zumutbarerweise zur Besorgung ihrer eigenen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat. Sie hat demnach keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. etwa Urteil 9C_231/2021 vom 28. Juli 2021 E. 6 mit Hinweis).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald