Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen Betrugs etc. Sie wirft ihm u.a. vor, dass er als zeitweilig einziger Verwaltungsrat der B._ AG für diese Firma bei der C._ AG 34 Handy-Abonnemente abschliessen und die dazugehörigen Geräte beziehen wollte, wobei er nicht die Absicht gehabt habe, dafür zu bezahlen. Unabhängig von diesem in Basel-Stadt geführten Verfahren untersucht die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern mutmassliche Betrugshandlungen mit Bezug zur B._ AG. In diesem Verfahren wurde A._ am 15. Mai und am 25. Juni 2018 als Auskunftsperson befragt. Für diese beiden Einvernahmen der Staatsanwaltschaft Luzern ersuchte A._ um amtliche Verteidigung, was die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt am 21. Juni 2018 ablehnte. Am 24. August 2018 hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde von A._ gut und stellte fest, "dass die amtliche Verteidigung im Verfahren VT.2017.3337 auch die Einvernahmen des Beschwerdeführers durch die Strafverfolgungsbehörden des Kantons Luzern vom 16. Mai und vom 25. Juni 2018 umfasst".
2.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt, diesen Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. A._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und ersucht um amtliche Verteidigung für das Beschwerdeverfahren. Die Staatsanwaltschaft hält in ihrer Replik an der Beschwerde fest.
3.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Strafsache, gegen den die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 BGG). Er schliesst das Verfahren indessen nicht ab; es handelt sich mithin um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 IV 139 E. 4) bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die zweite Voraussetzung fällt vorliegend ausser Betracht. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG hat die Beschwerdeführerin darzulegen, dass die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind; bei der Anfechtung von Zwischenentscheiden hat sie die Tatsachen anzuführen, aus denen sich der nicht wieder gutzumachende Nachteil ergeben soll, sofern dies nicht offensichtlich ist (BGE 138 III 46 E. 1.2 S. 47; zum Ganzen: BGE 141 IV 284 E. 2.3 S. 287; 289 E. 1.3 S. 292).
Die Beschwerdeführerin äussert sich zu den Sachurteilsvoraussetzungen nicht und legt nicht dar, inwiefern ihr durch den angefochtenen Entscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht. Das ist auch keineswegs offensichtlich, bewirken doch Zwischenentscheide über Kosten in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil und sind daher erst im Zusammenhang mit dem Endentscheid anfechtbar (vgl. BGE 142 II 363 E. 1). Auf die Beschwerde ist wegen Verletzung der gesetzlichen Begründungspflicht nicht einzutreten, und zwar, weil der Begründungsmangel offensichtlich ist, im vereinfachten Verfahren.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat die Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen, wobei der in Rechnung gestellte Betrag von Fr. 2'682.25 angemessen zu reduzieren ist, weil sich auch der Beschwerdeführer zur einzig entscheiderheblichen Frage, ob die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, nicht äussert (Art. 68 Abs. 1 BGG). Insoweit ist das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Störi