Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1967) ist serbische Staatsangehörige. Sie heiratete am 26. Mai 2013 einen hier niederlassungsberechtigten österreichischen Staatsbürger. Am 2. Juni 2013 reiste sie in die Schweiz ein, wo ihr eine bis zum 1. Juni 2018 gültige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zum Verbleib bei ihrem Gatten erteilt wurde. Das Ehepaar hob am 7. Oktober 2014 die häusliche Gemeinschaft auf; am 17. September 2015 wurde die Ehe geschieden.
B.
Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (heute: Amt für Bevölkerungsdienste/Migrationsdienst) widerrief am 17. Januar 2017 die Aufenthaltsbewilligung von A._ und hielt sie an, die Schweiz zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass A._ zwar psychisch Opfer ehelicher Gewalt geworden sei, diese aber nicht genügend schwerwiege, um einen nachehelichen Härtefall begründen zu können.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 5. Juni 2020 aufzuheben und von der Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung und ihrer Wegweisung abzusehen; eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die kantonalen ausländerrechtlichen Akten und die Unterlagen der Staatsanwaltschaft Bern, Region U._, bezüglich des Strafverfahrens gegen den ehemaligen Gatten von A._ eingeholt. Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Am 5. August 2020 ersuchte A._ darum, ihrer Beschwerde aufschiebende Wirkung beizulegen, was der Abteilungspräsident am 10. August 2020 getan hat. Am 2. Oktober 2020 hielt A._ an ihren Anträgen und Ausführungen fest.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin macht in vertretbarer Weise geltend, im Rahmen eines nachehelichen Härtefalls einen Anspruch auf die Erteilung einer Bewilligung zu haben (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG; heute: AIG). Sie kann sich jedoch nicht in vertretbarer Weise auf den Schutz ihres Privatlebens (BGE 144 I 266 ff.; Anwesenheit von rund 7 Jahren) oder die Integrationsklausel (Art. 50 Abs. 1 lit. a AIG) berufen. Ob die kantonalen Behörden ihre Bewilligung zu Recht widerrufen bzw. nicht verlängert haben, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332; Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), ist - unter Vorbehalt der nachstehenden Erwägung - auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Ob und wieweit die kantonalen Behörden der Beschwerdeführerin wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls eine Bewilligung hätten erteilen dürfen oder müssen (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG [allgemeiner Härtefall]; E. 5 des angefochtenen Entscheids), kann das Bundesgericht nicht überprüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchs bewilligungen beschränkt (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG und Art. 96 AuG; vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.1 S. 348). Unzulässig ist die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten deshalb, soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, ihre Situation sei zu Unrecht nicht als allgemeiner Härtefall behandelt worden (Art. 30 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 33 AuG). Bei der Erteilung der damit verbundenen Bewilligung handelt es sich um einen kantonalen Ermessensentscheid (vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 1 f. zu Art. 83 BGG); ein Anspruch auf Aufenthalt lässt sich weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten (vgl. BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; 134 I 153 E. 4; 133 I 185 E. 6.2). Diesbezüglich wären (im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen in verfahrensrechtlichen Punkten zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkäme und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen könnte ("Star"-Praxis; BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; 123 I 25 E. 1 S. 26 f.; 137 II 305 E. 2 und 4). Die Beschwerdeführerin erhebt keine entsprechenden Rügen.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Argumente, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 142 I 135 E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 136 II 304 E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (BGE 142 I 135 E. 1.6 S. 144 f.; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2.
2.2.1. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen eine unhaltbare Schlussfolgerung gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 f.; Urteil 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4).
2.2.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung teilweise appellatorisch, d.h. sie wiederholt ihre Sicht der Dinge und stellt diese jener der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt in diesem Zusammenhang eine rein appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu Art. 42 BGG). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden nur jene Rügen, welche die Beschwerdeführerin rechtsgenügend begründet.
2.3. Nach Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG sind die kantonalen Behörden von Bundesrechts wegen gehalten, die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art darzulegen, auf die sie ihren Entscheid stützen. Genügt der angefochtene Entscheid dieser Vorgabe nicht, kann das Bundesgericht die Sache zur Verbesserung zurückweisen oder den entsprechenden Hoheitsakt aufheben (Art. 112 Abs. 3 BGG).
3.
3.1. Vor Bundesgericht ist nur noch strittig, ob die Beschwerdeführerin in einem Mass Opfer ehelicher Gewalt geworden ist, welches ihr erlaubt, sich auf einen nachehelichen Härtefall zu berufen und aus Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG einen Anspruch auf eine entsprechende Bewilligung abzuleiten. Entscheidend ist dabei, ob wichtige persönliche Gründe ihren weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen; solche können namentlich vorliegen, wenn sie Opfer ehelicher Gewalt geworden ist bzw. ihre soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (vgl. Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG).
3.2.
3.2.1. Art. 50 Abs. 2 AuG erfasst grundsätzlich jede Form ehelicher bzw. häuslicher Gewalt - sei sie physischer oder psychischer Natur. Häusliche Gewalt bedeutet systematische Misshandlung mit dem Ziel, Macht und Kontrolle auszuüben, indessen nicht eine einmalige Tätlichkeit oder eine verbale Beschimpfung im Verlauf eines eskalierenden Streits. Nicht jede unglückliche, belastende und nicht den eigenen Vorstellungen entsprechende Entwicklung einer Beziehung rechtfertigt bereits die Annahme, es liege ein nachehelicher Härtefall vor (vgl. BGE 138 II 229 E. 3.2.2 S. 233 f.; Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 2.2 mit Hinweisen). Die anhaltende, erniedrigende Behandlung muss derart schwerwiegen, dass von der betroffenen Person bei Berücksichtigung sämtlicher Umstände vernünftigerweise nicht erwartet werden kann, dass sie einzig aus bewilligungsrechtlichen Gründen die Ehe aufrecht erhält und in einer ihre Menschenwürde und Persönlichkeit verneinenden Beziehung verharrt (BGE 138 II 229 E. 3.2.2 S. 234; Urteil 2C_922/2019 vom 26. Februar 2020 E. 3.1). Die häusliche Gewalt physischer oder psychischer Natur muss von einer gewissen Dauer, Konstanz und Intensität sein (BGE 138 II 229 E. 3.2.1 S. 233; Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 2.2.1).
3.2.2. Die ausländische Person, welche geltend macht, Opfer ehelicher oder häuslicher Gewalt geworden zu sein, trifft bei den Feststellungen des Sachverhalts eine weitreichende Mitwirkungspflicht (vgl. hierzu 138 II 229 E. 3.2.3; 124 II 361 E. 2b S. 365). Sie muss die eheliche Gewalt bzw. häusliche Oppression und deren Schwere in geeigneter Weise glaubhaft machen (Arztberichte oder psychiatrische Gutachten, Polizeirapporte, Berichte/Einschätzungen von Fachstellen [Frauenhäuser, Opferhilfe usw.], Aussagen von Angehörigen oder Nachbarn usw.). Erst in diesem Fall trifft die Bewilligungs- bzw. die Beschwerdeinstanz im Rahmen der Untersuchungsmaxime eine eigenständige Abklärungspflicht. Allgemein gehaltene Behauptungen oder Hinweise auf punktuelle Spannungen genügen hierzu nicht; wird häusliche Gewalt in Form psychischer Oppression behauptet, muss vielmehr die Systematik der Misshandlung bzw. deren zeitliches Andauern und die daraus entstehende subjektive Belastung objektiv nachvollziehbar konkretisiert und beweismässig unterlegt werden. Dasselbe gilt, soweit damit verbunden gerügt wird, bei einer Rückkehr in die Heimat erweise sich die soziale Wiedereingliederung als stark gefährdet. Auch hier genügen allgemeine Hinweise nicht; die befürchtete Beeinträchtigung muss im Einzelfall aufgrund der konkreten Umstände glaubhafterscheinen (vgl. BGE 138 II 229 E. 3.2.3 S. 235 und 142 I 152 E. 6.2 S. 153 f.).
4.
Dies war hier der Fall; die Vorinstanz hätte gestützt auf die verschiedenen von der Beschwerdeführerin hinreichend glaubhaft gemachten Indizien für das Vorliegen ehelicher Gewalt den Sachverhalt im Rahmen der Untersuchungsmaxime von Amtes wegen vertiefen und auf einer breiteren Grundlage prüfen müssen.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass sie durch das Verhalten ihres Gatten mehr und mehr eingeschüchtert worden sei; sie sei durch diesen "fremdbestimmt" worden und habe "stets in grosser Angst und unter massivem psychischem Druck" gelebt. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin dies hinreichend glaubhaft gemacht: Es ist unbestritten und durch den Gatten im Strafverfahren - das am 29. April 2016 eingestellt worden ist, da die Beschwerdeführerin keinen Antrag gestellt hatte, dieses fortzusetzen - zugestanden, dass er die Beschwerdeführerin überwacht, beobachtet, ihr Handy überprüft und sie am Arbeitsplatz aufgesucht hat. Auf die Frage: "Trifft es zu, dass Sie ihre Frau überwacht haben (nachgegangen, Natel überprüft, am Arbeitsplatz aufgesucht) "?, antwortete er: "Das habe ich". Er habe sie überwacht, da er den Verdacht gehabt habe, sie könnte "fremdgehen". Einmal sei er im Gebäude ihrer Arbeitgeberin gewesen, um sie zu beobachten. Bezüglich des Vorwurfs, er habe gegen ihren Willen Videoaufnahmen von ihr gemacht, hat er im Strafverfahren von seinem Aussageverweigerungsrecht Gebrauch gemacht. In diesem hätte zwar auf die entsprechende Anschuldigung nicht abgestellt werden dürfen; im Verwaltungsverfahren kann hierin jedoch ein Indiz dafür gesehen werden, dass er die Aufnahmen tatsächlich gemacht hat. Der ehemalige Gatte räumte zudem ein, Tonaufnahmen durch einen Detektiven veranlasst zu haben, womit zugestanden ist, dass nicht nur er, sondern auch ein Dritter, der allenfalls hätte befragt werden können (bzw. müssen), für ihn die Beschwerdeführerin überwacht hat.
4.2. Die Beschwerdeführerin hat glaubhaft dargelegt, dass ihr ehemaliger Gatte - krankhaft - eifersüchtig gewesen ist. Die Vorinstanz räumt ein, dass dieser von seiner Eifersucht getrieben zu "inakzeptablen" Methoden der Überwachung gegriffen habe. Nach der Darstellung der Beschwerdeführerin ist ihr ehemaliger Gatte wiederholt an ihrem Arbeitsort erschienen, um sie zu kontrollieren; dabei habe er dort einer Arbeitskollegin und Freundin gesagt, dass er eine Pistole im Auto habe, die er ihr zeigen könne. Das Verwaltungsgericht hätte von Amtes wegen abklären müssen, ob und inwiefern sich das entsprechende Vorkommnis erstellen liess, war es doch geeignet, die Aussagen der Beschwerdeführerin zu objektivieren. Hieran ändert - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin diesbezüglich keine schriftliche Erklärung ihrer Kollegin zu den Akten gegeben hat. Das Verwaltungsgericht hätte die Beschwerdeführerin zumindest auffordern müssen, eine entsprechende Bestätigung (noch) nachzureichen, wollte sie dieses Vorkommnis - willkürfrei - nicht weiter berücksichtigen.
4.3. Entgegen der Annahme der Vorinstanz - welche die Darlegungen der Beschwerdeführerin als teilweise unglaubwürdig wertete - bestand bezüglich der Pistole, deren Besitz der Exgatte bestritten hat, aussagetechnisch ein Glaubhaftigkeitsindiz: Die Beschwerdeführerin umschrieb konsistent die Umstände des Einsatzes der Waffe durch ihren Exgatten - aber nicht zu ihren Gunsten: Sie erklärte beispielsweise, ihr früherer Ehemann habe ihr gesagt, er habe eine Pistole; sie verneinte indessen, dass er sie damit unmittelbar bedroht habe. Nach Aussagen der Beschwerdeführerin soll ihr früherer Gatte auf ihr Verlangen die Pistole in die Aare geworfen haben; auch diesbezüglich hätte die Aussage der Beschwerdeführerin im Rahmen einer Anhörung durch die Vorinstanz vertieft werden können und müssen.
4.4.
4.4.1. Das Verwaltungsgericht hat sodann die medizinischen Akten geprüft. Sie hat die in den Jahren 2013 und 2014 erstellten Berichte dahin gewürdigt, selbst wenn die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Beschwerden stress- und durch das damalige Zusammenleben bedingt wären, liesse dies nicht den Schluss auf eheliche Gewalt seitens des Exmannes zu. Ein solcher Zusammenhang sei weder ersichtlich noch werde er rechtsgenüglich belegt (E. 4.4.1 des angefochtenen Urteils). Ferner hat die Vorinstanz festgestellt, die Beschwerdeführerin habe sich im Oktober 2016 in psychiatrische Behandlung begeben. Sie würdigte die vom behandelnden Psychiater erstellten Berichte vom 25. September 2018, 8. Dezember 2018 und 14. Februar 2019 und kam zum Ergebnis, selbst wenn die psychischen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführerin in der behaupteten Form bestünden, verblieben doch begründete Zweifel, dass sie in einem Zusammenhang mit der geltend gemachten ehelichen Gewalt stünden (E. 4.4.2 des angefochtenen Urteils).
4.4.2. Die rein appellatorischen Ausführungen der Beschwerdeführerin vermögen mit Bezug auf die ärztlichen Berichte nicht aufzuzeigen, inwiefern diese vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich, d.h. offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig wäre (vgl. vorne E. 2.2.1). Hingegen hat die Vorinstanz selber aus ihrer Würdigung nicht etwa die Konsequenz gezogen, die eheliche Gewalt sei nicht dargelegt, sondern bloss, es bestünden diesbezüglich begründete Zweifel. Nachdem die Beschwerdeführerin das Vorliegen ehelicher Gewalt glaubhaft gemacht hatte (vorne E. 4.1-4.3), traf die Bewilligungs- bzw. Vorinstanz im Rahmen der Untersuchungsmaxime eine eigene Abklärungspflicht (vorne E. 3.2.2). Die Vorinstanz durfte sich daher nicht mit einem Beweisergebnis begnügen, wonach begründete Zweifel an der ehelichen Gewalt bestehen, sondern hatte nötigenfalls weitere Abklärungen zu treffen, um das Vorliegen ehelicher Gewalt entweder bejahen oder verneinen zu können.
4.5. Auch wenn die Beschwerdeführerin - wie die Vorinstanz festgestellt hat - teilzeitlich einer Erwerbstätigkeit nachgegangen ist und Ferien in Serbien verbringen bzw. sich dort in Pflege begeben konnte, spricht dies nicht notwendigerweise gegen das Bestehen einer andauernden relevanten psychischen Oppression in der Schweiz, die von der Beschwerdeführerin im Hinblick auf ihr Anwesenheitsrecht nicht hingenommen werden müsste. Die Vorinstanz gibt zwar die Aussagen der Beschwerdeführerin wieder und verwirft diese; sie legt indessen nicht dar, welchen Sachverhalt sie schliesslich aus welchem Grund als erstellt erachtet und ihrem Entscheid zugrunde gelegt hat (vgl. Art. 112 BGG: vorstehende E. 2.3).
5.
5.1. Die verschiedenen Indizien machen als Gesamtes eine erheblich traumatisierende Situation glaubhaft. Die Vorinstanz durfte unter diesen Umständen die Darstellung der Beschwerdeführerin nicht ohne weitere Abklärungen als nicht erstellt bezeichnen. Gestützt auf den von der Vorinstanz lückenhaft und unvollständig festgestellten entscheidrelevanten Sachverhalt konnte eine unter Art. 50 Abs. 1 lit. b AIG relevante psychische Oppression nicht einfach verneint werden. Die Sache ist deshalb zur Ergänzung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird bezüglich der Vorkommnisse am Arbeitsplatz die Kollegin bzw. die Freundin der Beschwerdeführerin anzuhören und im Übrigen die Beschwerdeführerin selber zu befragen und gestützt hierauf den von ihr als relevant erachteten Sachverhalt festzustellen haben. Die Beschwerde ist damit im Eventualantrag begründet; sie ist demnach gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird; der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an dieses zurückzuweisen.
5.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten geschuldet (vgl. Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Bern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren jedoch angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 5. Juni 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Bern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar