Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1978 geborene A._, diplomierte Kauffrau mit kaufmännischer Berufsmaturität, bezog vom 30. Mai bis zum 15. Oktober 2003 und vom 1. Oktober 2004 bis zum 22. Mai 2005 Taggelder der Arbeitslosenversicherung, wodurch sie bei der Schweizerischen Sozialpartner-Stiftung für die Auffangeinrichtung gemäss Artikel 60 BVG (Stiftung Auffangeinrichtung BVG; nachfolgend: Auffangeinrichtung) versichert war. Vom 1. November 2005 bis zum 31. Dezember 2013 war sie - zunächst zu 60 %, ab 1. August 2007 zu 80 % - als Sekretärin beim Kanton Zug angestellt und deswegen bei der Zuger Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert.
A.b. A._ meldete sich im Oktober 2006 unter Hinweis auf ein Aufmerksamkeitsdefizit-Syndrom (ADHS) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 31. Januar 2008, die auch der Pensionskasse zugestellt wurde, verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch (Invaliditätsgrad 0 %). Im Juli 2012 ersuchte A._ erneut um Invalidenleistungen. Im Vorbescheidverfahren stellte die Pensionskasse den Antrag, die Verfügung vom 31. Januar 2008 sei wiedererwägungsweise aufzuheben und der Eintritt der massgebenden Arbeitsunfähigkeit auf Februar 2005 zu legen. Mit Verfügung vom 9. Januar 2014 sprach die IV-Stelle der Versicherten eine halbe Rente ab 1. Januar 2013 zu (Invaliditätsgrad 50 %). Zudem lehnte sie es ab, die Verfügung vom 31. Januar 2008 in Wiedererwägung zu ziehen, da sie die "seit längerem bestehende Einschränkung von 20 %" anerkannt und "in die Durchschnittsberechnung einbezogen" habe.
A.c. Die Pensionskasse und die Auffangeinrichtung verneinten ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die Arbeitsunfähigkeit, die später zur Invalidität geführt habe, sei nicht während des jeweiligen Versicherungsverhältnisses eingetreten (Schreiben vom 26. Februar 2014 resp. 1. September 2014).
B.
Mit Klage vom 15. Dezember 2015 beantragte A._ eine Invalidenrente der Pensionskasse ab dem 9. Oktober 2008, eventualiter der Auffangeinrichtung ab dem 1. Februar 2005, nebst Zins. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug hiess die Klage mit Entscheid vom 30. Mai 2017 insoweit gut, als es die Pensionskasse verpflichtete, A._ eine halbe Invalidenrente ab 1. Januar 2013 (zuzüglich 5 % Verzugszins seit Klageeinreichung) zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Die Pensionskasse beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 30. Mai 2017 sei aufzuheben und die Klage vom 15. Dezember 2015 abzuweisen.
A._ und die Auffangeinrichtung schliessen auf Abweisung der Beschwerde. A._ lässt ferner um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1.
2.1.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; BGE 135 V 13 E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier - Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (BGE 136 V 65 E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.1; Urteil 9C_142/2016 vom 9. November 2016 E. 3.1 mit Hinweis).
2.1.2. Ebenfalls korrekt führte die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (BGE 134 V 20 E. 3.2 und 3.2.1 S. 22).
Zu ergänzen ist, dass eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes dann anzunehmen ist, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist; eine Arbeitsfähigkeit von 80 % genügt nicht (Urteil 9C_147/2017 vom 20. Februar 2018 E. 4.4 und 4.5, zur Publikation vorgesehen). Eine Reduktion des Arbeitspensums aus gesundheitlichen Gründen ist ein bedeutender Anhaltspunkt für das Vorliegen einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit, auch wenn sie allein in der Regel nicht für den Nachweis einer funktionellen Leistungseinbusse genügt (SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.2; Urteil 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.3).
2.1.3. Den soeben dargelegten Grundsätzen (E. 2.1.1 und 2.1.2) kommt insbesondere die Funktion zu, die Leistungspflicht einer oder mehrerer Vorsorgeeinrichtungen sachgerecht abzugrenzen (BGE 130 V 270 E. 4.1 S. 275; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 3.4).
2.2. Ein Entscheid der IV-Stelle ist für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (BGE 133 V 67 E. 4.3.2 S. 69; 130 V 270 E. 3.1 S. 273 f.; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.3).
3.
Das kantonale Gericht hat ausdrücklich offengelassen, ob die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin bereits vor ihrer Anstellung beim Kanton Zug am 1. November 2005 wesentlich beeinträchtigt war. Es hat festgestellt, die Beschwerdegegnerin habe vom 1. August 2007 bis zum Herbst 2008 in ihrem Pensum von 80 % eine uneingeschränkte Arbeitsleistung erbracht und weder dem Arbeitgeber noch den behandelnden Ärzten seien (echtzeitlich) Indizien für eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aufgefallen. Weiter hat es erwogen, die mindestens 80 prozentige Arbeitsfähigkeit im genannten Zeitraum habe den zeitlichen Konnex zu einer allfällig vorbestehenden Arbeitsunfähigkeit unterbrochen. Am 9. Februar 2012 sei die mindestens 40 prozentige Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt habe, eingetreten. Der vorsorgerechtliche Leistungsbeginn sei aber mit dem invalidenversicherungsrechtlichen zu koordinieren. Folglich hat es die Pensionskasse verpflichtet, ab 1. Januar 2013 eine halbe Invalidenrente auszurichten.
Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die erhebliche Arbeitsunfähigkeit bereits vor Begründung des Versicherungsverhältnisses mit der Pensionskasse (1. November 2005) eintrat und seither ohne wesentlichen Unterbruch andauerte.
4.
4.1. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen (E. 3) offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert geltend gemacht. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1). Indessen reichen sie für eine abschliessende Beurteilung des umstrittenen Anspruchs nicht aus.
4.2. Anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint, genügt für die Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs zwischen einer vorbestehenden Arbeitsunfähigkeit von 20 % (oder mehr) und der später eingetretenen Invalidität nicht allein der Umstand, dass die Arbeitsfähigkeit zwischenzeitlich - zwar vorübergehend, aber während längerer Zeit - mindestens 80 % betrug. Notwendig ist eine Arbeitsfähigkeit von über 80 %, wobei angepasste Tätigkeiten zu berücksichtigen sind (E. 2.1.2 Abs. 2).
4.3. Die entscheidenden Fragen nach dem Zeitpunkt des Eintritts und dem Verlauf der Arbeitsunfähigkeit, insbesondere mit Blick auf den Grenzwert von 20 %, waren für die Beurteilungen des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung nicht entscheidend, weshalb die Verfügungen vom 31. Januar 2008 und 9. Januar 2014 - soweit sie überhaupt entsprechende Feststellungen enthalten - diesbezüglich keine Bindungswirkung entfalten (E. 2.2; vgl. auch Urteile 9C_464/2015 vom 31. Mai 2016 E. 2.4.2; 9C_896/2015 vom 16. Dezember 2016 E. 4.2).
Der angefochtene Entscheid enthält für den Zeitraum bis zum 9. Februar 2012 keine Feststellungen zu den ausschlaggebenden Punkten.
4.4. Das kantonale Gericht wird die notwendigen Feststellungen zu treffen und anschliessend erneut über die Leistungspflicht der Pensionskasse, eventualiter der Auffangeinrichtung, zu entscheiden haben.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 30. Mai 2017 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Christian Haag wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdegegnerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'400.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Sozialpartner-Stiftung für die Auffangeinrichtung gemäss Artikel 60 BVG, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Mai 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann