Erwägungen:
1.
Mit Schlichtungsgesuch vom 9. Dezember 2020 gelangte die Beschwerdeführerin an das Friedensrichteramt Hinwil und beantragte, es sei die Verfahrensbeteiligte gestützt auf einen Reiseversicherungsvertrag zur Zahlung von Fr. 2'000.-- zu verurteilen.
Mit Urteil vom 11. Januar 2021 verpflichtete das Friedensrichteramt die Verfahrensbeteiligte zur Zahlung von Fr.1'000.--.
Die Beschwerdeführerin erhob gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 22. Februar 2021 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde mit dem Antrag, die Verfahrensbeteiligte sei zur Zahlung von Fr. 4'760.-- zu verurteilen. In der Folge stellte sie zudem ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren.
Mit Beschluss vom 5. Mai 2021 wies da Obergericht des Kantons Zürich das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab und setzte der Beschwerdeführerin Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses an.
Mit Eingabe vom 28. Mai 2021 erklärte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Mai 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (BGE 133 III 393 E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. Art. 117 BGG).
3.
Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 28. Mai 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Sie setzt sich nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Mai 2021 auseinander und zeigt auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre, sondern unterbreitet dem Bundesgericht einen Sachverhalt, der von dem vorinstanzlich verbindlich festgestellten abweicht, ohne rechtsgenügend zu begründen, inwiefern dies nach Art. 118 Abs. 2 BGG zulässig sein soll. Zudem führt sie zwar Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung ins Feld, erhebt jedoch auch in dieser Hinsicht keine hinreichend begründeten Rügen.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das sinngemäss gestellte Gesuch der Beschwerdeführerin um Befreiung von diesen Kosten im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren gegenstandslos wird. Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann