Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Sachbeschädigung und weiteren Delikten. Weil die Staatsanwaltschaft von einer Sachbeschädigung von über Fr. 10'000.--, Diebstahl bzw. Sachentziehung sowie weiteren Delikten ausging, wurde für die polizeiliche Einvernahme Rechtsanwalt B._ als Anwalt der ersten Stunde für die Angeschuldigte aufgeboten. Anlässlich der Einvernahme erklärte sie, sie sei damit einverstanden, dass Rechtsanwalt B._ ihre Rechte im Verfahren vertrete. Am Ende der Einvernahme beantragte Rechtsanwalt B._ seine Einsetzung als amtlicher Verteidiger von A._.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich bestellte mit Verfügung vom 25. November 2020 Rechtsanwalt B._ als amtlichen Verteidiger von A._. Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 5. März 2021 ab.
2.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich bestellte mit Verfügung vom 7. April 2021 Rechtsanwalt B._ für ein weiteres bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat gegen A._ geführtes Verfahren betreffend Beschimpfung etc. als amtlichen Verteidiger. Dagegen erhob A._ mit Eingaben vom 14. und 18. April 2021 Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 4. Juni 2021 abwies. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass die Oberstaatsanwaltschaft zu Recht Rechtsanwalt B._ auch zum amtlichen Verteidiger betreffend die Untersuchung zu den neuen Vorwürfen ernannt habe. Es bleibe A._ jedoch unbenommen, eine eigene Wahlverteidigung zu ernennen.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 23. August 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. Juni 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung der Beschwerde führte, nur teilweise - wenn überhaupt - auseinander. Sie vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern diese Begründung oder der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli