Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 3. April 2019 erteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, definitive Rechtsöffnung für Fr. 928.-- nebst Zins.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Verfügung vom 15. April 2019 wies das Obergericht den Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit ab. Zur Begründung führte es aus, die Aktenlage rechtfertige den Aufschub der Vollstreckbarkeit nicht, da diese Ausnahmeregelung nur in begründeten Fällen zum Tragen komme, im Beschwerdeverfahren das Novenverbot gelte und im Rechtsöffnungsverfahren der Bestand der Forderung nicht überprüft werde.
Am 15. Mai 2019 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer gegen diese Verfügung Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des tiefen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. c BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Gegenstand der vorliegenden Beschwerde kann einzig der verweigerte Aufschub der Vollstreckbarkeit sein. Hingegen hat das Obergericht über die Rechtsöffnung als solche noch nicht entschieden. Der Beschwerdeführer verlangt die Einstellung des Verfahrens, die Löschung der Betreibung, einen Betreibungsstopp und die Obhut über seinen Sohn. Dies geht über den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens hinaus, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
Im Übrigen legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb das Obergericht gegen verfassungsmässige Rechte verstossen haben soll. Er schildert zwar seine persönliche und familiäre Situation und geht auch auf seine finanziellen Verhältnisse ein. Diese Ausführungen scheinen eher allgemein gegen die Rechtsöffnung bzw. das Rechtsöffnungsverfahren gerichtet zu sein und nicht spezifisch gegen die Verweigerung des Aufschubs der Vollstreckbarkeit. Über die Rechtsöffnung hat das Obergericht jedoch - wie gesagt - noch gar nicht entschieden. So oder anders legt der Beschwerdeführer jedenfalls nicht anhand von präzisen Hinweisen auf die kantonalen Akten dar, dass er vor Obergericht Umstände dargetan hätte, die unter dem Gesichtspunkt verfassungsmässiger Rechte zur Gewährung des Vollstreckungsaufschubs hätten führen müssen. Es liegt nicht am Bundesgericht, in seinen Unterlagen, die er dem Obergericht eingereicht hat, danach zu suchen. Entgegen seinem Antrag kann deshalb auch auf den Beizug der Akten verzichtet werden.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg