Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn Beschwerde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies mit Verfügung vom 15. Januar 2021 sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und forderte ihn auf, bis zum 3. Februar 2021 eine Sicherheitsleistung zu erbringen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer zusammenfassend aus, eine adhäsionsweise erhobene Zivilklage erweise sich als aussichtslos, weshalb keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden könne.
2.
Mit Eingabe vom 24. Januar 2021 (Postaufgabe 25. Januar 2021) führt A._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
4.
Der Beschwerdeführer setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung der Beschwerdekammer auseinander, die zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Ausnahmsweise ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Präsident der Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli