Sachverhalt:
A.
Am 19. März 2021 wurde das Bundesgesetz vom 25. September 2020 über die gesetzlichen Grundlagen für Verordnungen des Bundesrates zur Bewältigung der Covid-19-Epidemie (Covid-19-Gesetz; SR 818.102) u.a. mit einem Artikel 6a betreffend Impf-, Test- und Genesungsnachweise ergänzt (AS 2021 153). Gestützt darauf hat der Bundesrat die Verordnung vom 4. Juni 2021 über Zertifikate zum Nachweis einer Covid-19-Impfung, einer Covid-19-Genesung oder eines Covid-19-Testergebnisses erlassen (Covid-19-Verordnung Zertifikate; SR 818.102.2) und die Dauer der Gültigkeit des Covid-19-Genesungszertifikates (Art. 18 Abs. 1 in Verbindung mit Anhang 3) gestützt auf das positive Ergebnis einer molekularbiologischen Analyse zuerst auf 180 Tage (ursprüngliche Fassung; AS 2021 325), dann auf 365 Tage (Fassung vom 3. November 2021; AS 2021 653) und schliesslich auf 270 Tage (Fassung vom 19. Januar 2022; AS 2022 21) beschränkt, berechnet ab dem Tag des positiven Testergebnisses.
B.
A._ erkrankte an Covid-19 (positives Testergebnis vom 1. November 2020) und versuchte, am 14. Juli 2021 auf der Internetseite des Kantons Solothurn ein Zertifikat für Genesene zu beantragen. Weil ihre Erkrankung mehr als 180 Tage zurücklag, verweigerte ihr das System die Ausstellung des Zertifikats. In der Folge wandte sie sich an das Departement des Innern des Kantons Solothurn und verlangte eine anfechtbare Verfügung. Das Departement stellte mit Verfügung vom 4. August 2021 fest, dass A._ keinen Anspruch auf Ausstellung eines Covid-19-Genesungszertifikats habe. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 21. Oktober 2021 nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 22. November 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Sache sei zur Entscheidung in der Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens auf Fr. 0.-- bzw. angemessen zu reduzieren.
Das Departement des Innern und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Für die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt daneben kein Raum (Art. 113 BGG); darauf ist nicht einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2; 134 II 244 E. 2.2).
3.
Das Verwaltungsgericht ist auf die Beschwerde nicht eingetreten, weil es sowohl ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Verfügung als auch eine formelle Beschwer verneint hat (vgl. E. 2.1 ff. des angefochtenen Urteils), auf eine unzulässige Erweiterung des Streitgegenstands durch die Beschwerdeführerin geschlossen hat (vgl. E. 3.1 f. des angefochtenen Urteils) und die Beschwerde als nicht hinreichend begründet erachtet hat (vgl. E. 4.1 f. des angefochtenen Urteils). Das vorinstanzliche Urteil stützt sich somit auf mehrere selbständige Begründungen ab, so dass jede Begründung rechtsgenügend (vgl. vorne E. 2) angefochten werden muss (BGE 142 III 364 E. 2.4; 138 I 97 E. 4.1.4). Die Beschwerdeführerin wird diesen Anforderungen gerecht. Sie rügt in Bezug auf das schutzwürdige Interesse bzw. die formelle Beschwer eine Verletzung des Grundsatzes der Einheit des Verfahrens und in Bezug auf die Erweiterung des Streitgegenstands sowie die Beschwerdebegründung einen Verstoss gegen das Verbot des überspitzten Formalismus. Zudem rügt sie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs.
4.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung kann ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen (BGE 144 I 11 E. 5.3). Deshalb ist vorab auf die behauptete Gehörsverletzung einzugehen. Nachdem die Beschwerdeführerin in dieser Hinsicht keine willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts rügt, ist die Gehörsverletzung einzig unter dem Gesichtspunkt von Art. 29 Abs. 2 BV zu prüfen (BGE 144 I 11 E. 5.2).
4.1. Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Daraus ergibt sich u.a., dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich zu hören, prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen hat, woraus die Verpflichtung folgt, die Entscheide zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 143 III 65 E. 5.2; 136 I 229 E. 5.2).
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe verschiedene Vorbringen im Urteil nicht berücksichtigt, namentlich betreffend die Qualifikation der Verfügung des Departements, und verweist dabei hauptsächlich auf ihre Stellungnahme vom 11. September 2021 und ihre E-Mail vom 14. Juli 2021. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich indessen, dass das Verwaltungsgericht diese Stellungnahmen berücksichtigt hat; es verweist mehrfach darauf. Dass es sich nicht ausdrücklich mit sämtlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt hat, stellt wie vorher erwähnt keine Gehörsverletzung dar. Das gilt im Besonderen, weil die Vorinstanz keinen Sachentscheid getroffen hat, sondern aus formellen Gründen auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich ohne Weiteres, aus welchen Überlegungen das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid gefällt hat, und eine sachgerechte Anfechtung vor Bundesgericht war offenkundig möglich. Der Vorinstanz kann folglich keine Verletzung der Begründungspflicht vorgeworfen werden.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, das Verwaltungsgericht sei in überspitzten Formalismus verfallen, indem es davon ausgegangen sei, sie habe im Verfahren vor dem Departement nicht um Ausstellung eines Zertifikats für Genesene ersucht bzw. den Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren unzulässigerweise erweitert.
5.1. Art. 29 Abs. 1 BV verbietet überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung. Dieser liegt unter anderem vor, wenn die Behörde an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und dem Bürger der Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt wird (BGE 120 V 413 E. 4b; vgl. auch BGE 142 I 10 E. 2.4.2; Urteil 1C_236/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.5). Das Verbot des überspitzten Formalismus weist einen engen Bezug zum Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) auf: Rechtsbegehren dürfen nicht buchstabengetreu ausgelegt werden, ohne zu fragen, welcher Sinn ih nen vernünftigerweise beizumessen sei, wobei hierfür auch die Begründung heranzuziehen ist (BGE 113 Ia 94 E. 2; 136 V 131 E. 1.2). Insbesondere auf der untersten Stufe der Rechtsmittelleiter dürfen keine hohen Anforderungen gestellt werden, was erst recht für Eingaben von juristischen Laien gilt. In Zweifelsfällen kann die Behörde zur Nachfrage verpflichtet sein (Urteile 1C_236/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.5; 1C_519/2009 vom 22. September 2010 E. 6).
5.2. Die Beschwerdeführerin wandte sich mit E-Mail vom 14. Juli 2021 an das Departement des Innern und machte geltend, sie könne kein Covid-Zertifikat für Genesene beantragen, weil ihr PCR-Testergebnis länger als 6 Monate her sei. Sie verlange deshalb eine anfechtbare Verfügung, welche statuiere, dass ihr kein Covid-Zertifikat ausgestellt werde. Am 28. Juli 2021 antwortete das Departement, dass der Erlass einer Verfügung ein schutzwürdiges Interesse voraussetze. Nachdem unbestritten sei, dass das positive Testergebnis länger als 6 Monate zurückliege, stelle sich die Frage, welches schutzwürdige Interesse die Beschwerdeführerin habe. Daraufhin erwiderte die Beschwerdeführerin mit E-Mail vom 2. August 2021, dass sie nicht impfwillig sei und sich deshalb für Anlässe und Freizeitveranstaltungen jeweils einem PCR- bzw. Antigenschnelltest unterziehen müsse. Sie habe ein schutzwürdiges Interesse daran, "nicht immer vor einem Anlass einen Termin für die Vornahme eines Tests finden, buchen und diesen wahrnehmen zu müssen". Der Erlass einer anfechtbaren Verfügung scheine der einzige Weg zu sein, die Verordnung des Bundesrats auf seine Rechtmässigkeit hin überprüfen zu können. Sie habe sich an das Departement als kantonale Behörde gewandt, weil die Kantone zuständig für die Bezeichnung der Zertifikatsaussteller und für das automatisierte Verfahren für die Ausstellung von Genesungszertifikaten seien.
5.3. Es trifft zu, dass die E-Mail der Beschwerdeführerin vom 14. Juli 2021 sehr knapp und in Bezug auf ihr Interesse am Erlass einer anfechtbaren Verfügung interpretationsbedürftig war. Das Departement hat zu Recht nachgefragt, was die Beschwerdeführerin damit bezweckt. Ihre E-Mail vom 2. August 2021 kann aber nur so verstanden werden, dass sie die Ausstellung eines Zertifikats für Genesene anstrebt. Sie hat auf ihren Status als Genesene verwiesen, auf die Unmöglichkeit, per Webformular ein Zertifikat beantragen zu können, auf ihr Interesse, sich vor dem Besuch einer zertifikatspflichtigen Veranstaltung nicht mehr um ein Covid-19-Testzertifikat bemühen zu müssen, und auf die Zuständigkeit der Kantone in Bezug auf die Ausstellung von Genesungszertifikaten. Das Departement hat ihr Gesuch offenbar ebenfalls in diesem Sinn verstanden, indem es in der Verfügung vom 4. August 2021 darauf verwiesen hat, dass das Zertifikat auf Gesuch hin zu erteilen sei (Art. 6a Abs. 2 Covid-19-Gesetz), in der Folge die Anforderungen gemäss Covid-19-Verordnung Zertifikate darlegt und festgehalten hat, dass die Beschwerdeführerin diese nicht erfülle. Weiter hat das Departement in seiner Vernehmlassung im vorinstanzlichen Verfahren vom 2. September 2021 darauf hingewiesen, dass Gegenstand seiner Verfügung "lediglich die Ablehnung bezüglich der Ausstellung eines Covid-Zertifikats für Genesene" gewesen sei.
5.4. Gemäss dem Grundsatz, dass im erstinstanzlichen Verwaltungsverfahren keine hohe Anforderungen an die Formulierung von Rechtsbegehren gestellt werden dürfen (vgl. vorne E. 5.1) und unter Berücksichtigung der Begründung in den E-Mails vom 14. Juli 2021 und 2. August 2021 ist das Gesuch der Beschwerdeführerin nach Treu und Glauben so zu verstehen, dass sie die Ausstellung eines Covid-Zertifikats für Genesene verlangt hat. Dabei ist auch zu beachten, dass das Verfahren selbst für eine rechtskundige Person nicht ohne Weiteres klar ersichtlich ist. So sieht Art. 6a Abs. 2 Covid-19-Gesetz zwar vor, dass die Impf-, Test- und Genesungsnachweise auf Gesuch hin zu erteilen sind, und nach Art. 2 Covid-19-Verordnung Zertifikate ist der betreffende Antrag direkt bei einem Aussteller des Covid-19-Zertifikats zu stellen. Das Verfahren zur Ausstellung und namentlich der Rechtsschutz bei Verweigerung des Zertifikats wird in der Verordnung aber nicht näher geregelt. Das gilt namentlich auch für das automatisierte Verfahren für die Ausstellung von Covid-19-Genesungszertifikaten nach Art. 8 Covid-19-Verordnung Zertifikate. Nachdem die Beschwerdeführerin vergeblich ein Zertifikat für Genesene mit dem dafür vorgesehenen Webformular des Kantons beantragt hatte, blieb ihr keine andere Möglichkeit, als sich an die kantonalen Behörden zu wenden und eine anfechtbare Verfügung zu verlangen.
5.5. Bei dieser Sachlage ist das Verwaltungsgericht in überspitzten Formalismus verfallen, wenn es ausführt, das Departement habe dem Feststellungsbegehren der Beschwerdeführerin in der Verfügung vom 4. August 2021 vollumfänglich entsprochen und der Antrag, es sei ihr ein Zertifikat für Genesene auszustellen, sprenge den Streitgegenstand. Die Auffassung der Vorinstanz würde selbst bei einer streng formalen Betrachtungsweise zu einem unnötigen Leerlauf führen. Nachdem das Departement entschieden hat, dass die Beschwerdeführerin "keinen Anspruch auf Ausstellung eines Covid-19-Genesungszertifikats" hat, macht es offensichtlich keinen Sinn, dass sich die Beschwerdeführerin erneut an das Departement wendet und ausdrücklich um Ausstellung eines Covid-19-Genesungszertifikats ersucht.
6.
War somit die Ausstellung eines Covid-19-Genesungszertifikats Streitgegenstand im erstinstanzlichen Verfahren, ist als nächstes zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht die Legitimation der Beschwerdeführerin zu Recht verneint hat.
6.1. Die Legitimation im Verfahren vor Verwaltungsgericht richtet sich nach kantonalem Recht (§ 12 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Solothurn] über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen vom 15. November 1970 [Verwaltungsrechtspflegegesetz; VRG/SO; BGS 124.11]). Die Beschwerdeführerin rügt nicht, dass die Vorinstanz das kantonale Recht falsch angewendet habe. Sie bringt vor, die Vorinstanz verletze den Grundsatz der Einheit des Verfahrens, indem sie die Legitimation für das kantonale Verfahren strenger umschreibe als für das Verfahren vor Bundesgericht.
6.2. Vorab ist darauf hinzuweisen, dass sich der Grundsatz der Einheit des Verfahrens nicht aus Art. 1 Abs. 3 VwVG ergibt, auf den die Beschwerdeführerin mehrfach und auch in Bezug auf andere Rügen verweist. Diese Bestimmung erklärt lediglich Vorschriften des VwVG über die Eröffnung von Verfügungen und über den Entzug der aufschiebenden Wirkung im Verfahren letzter kantonaler Instanzen für anwendbar. Der Grundsatz der Einheit des Verfahrens wird in Art. 111 BGG geregelt. Nachdem es wegen des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG) nicht notwendig ist, dass die beschwerdeführende Partei die angeblich verletzten Rechtsnormen bezeichnet (BGE 142 I 99 E. 1.7.1; 140 III 86 E. 2), schadet die falsch zitierte Gesetzesbestimmung der Beschwerdeführerin nicht.
6.3. Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (Art. 111 Abs. 1 BGG). Daraus ergibt sich, dass die Beschwerdelegitimation im kantonalen Verfahren nicht enger gefasst sein darf als die Legitimation vor Bundesgericht. Folglich ist die Legitimation der Beschwerdeführerin unter dem Gesichtspunkt von Art. 89 Abs. 1 BGG zu beurteilen, was das Bundesgericht - da es um die Anwendung von Bundesrecht geht - frei prüft (BGE 144 I 43 E. 2.1).
6.3.1. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
6.3.2. Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin am Verfahren vor dem Departement des Innern teilgenommen hat. Sie hat das entsprechende Verfahren mit ihrem Gesuch um Erlass einer anfechtbaren Verfügung eingeleitet. Die Voraussetzung von Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG ist damit ohne Weiteres erfüllt.
6.3.3. Ebenso ist die Beschwerdeführerin durch die Verfügung des Departements besonders berührt bzw. stärker als jedermann betroffen. In der Verfügung wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf Ausstellung eines Covid-19-Genesungszertifikats habe; damit wurde ihr sinngemässes Gesuch auf Ausstellung des Zertifikats abgewiesen. Auch die Voraussetzung von Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG ist erfüllt.
6.3.4. Was das schutzwürdige Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids nach Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG betrifft, so kann dieses rechtlicher oder tatsächlicher Natur sein (BGE 146 I 62 E. 2.1; 145 I 26 E. 1.2). Es besteht im praktischen Nutzen, der sich ergibt, wenn der Betroffene mit seinem Anliegen obsiegt und dadurch seine tatsächliche oder rechtliche Situation unmittelbar beeinflusst werden kann (BGE 141 II 14 E. 4.4). Das Rechtsschutzinteresse muss deshalb grundsätzlich aktuell sein (BGE 139 I 206 E. 1.1). Im vorliegenden Fall war das schutzwürdige Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor Verwaltungsgericht sowie im Urteilszeitpunkt offensichtlich gegeben. Personen ohne Covid-19-Zertifikat wurden bis 16. Februar 2022 teilweise vom gesellschaftlichen Leben ausgeschlossen, nachdem der Bundesrat die Zertifikatspflicht im Inland stetig ausgedehnt hatte (vgl. die per 17. Februar 2022 aufgehobene Verordnung vom 23. Juni 2021 über Massnahmen in der besonderen Lage zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie [Covid-19-Verordnung besondere Lage; AS 2021 379] in den Fassungen ab 8. September 2021 [Ausweitung der Verwendung des Covid-19-Zertifikats; AS 2021 542]). Am schutzwürdigen Interesse hat sich auch mit Aufhebung der (bundesrechtlichen) Zertifikatspflicht im Inland nichts geändert. Unabhängig davon, dass einzelne Kantone die Möglichkeit einer Zertifikatspflicht in gewissen Bereichen vorsehen (vgl. etwa § 3 Abs. 1bis der Verordnung vom 22. November 2021 über zusätzliche Massnahmen des Kantons Basel-Stadt zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie [Covid-19-Verordnung zusätzliche Massnahmen; SG 321.331]), kommt das Covid-19-Zertifikat im internationalen Verkehr weiterhin zur Anwendung. Zertifikate werden deshalb gemäss Covid-19-Verordnung Zertifikate nach wie vor ausgestellt. Die Beschwerdeführerin besass im vorinstanzlichen Verfahren und besitzt auch im heutigen Zeitpunkt ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Frage, ob sie aufgrund ihrer Genesung Anspruch auf ein Covid-19-Zertifikat hat. Sie hat ein schutzwürdiges Interesse an der Überprüfung der Verfügung des Departements.
6.4. Zusammenfassend erfüllte die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren die Legitimationsvoraussetzungen nach Art. 89 Abs. 1 BGG. Indem ihr das Verwaltungsgericht sowohl das schutzwürdige Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Verfügung wie auch eine formelle Beschwer abgesprochen hat, hat es Art. 111 Abs. 1 BGG verletzt.
6.5. Anzufügen ist, dass im Vorgehen der Beschwerdeführerin entgegen den Ausführungen des Departements kein Gesuch um eine (unzulässige) abstrakte Normenkontrolle der bundesrätlichen Verordnung gesehen werden kann. Das Departement verweist in seiner Stellungnahme vom 2. September 2021 diesbezüglich mehrfach auf das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts C-5074/2020 vom 25. Mai 2021. Dort forderten die Betroffenen vom Bundesamt für Gesundheit eine Feststellungsverfügung in Bezug auf die Maskenpflicht im öffentlichen Verkehr. Das Bundesverwaltungsgericht erwog, es bestehe kein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung. Dieses Institut dürfe nicht dazu verwendet werden, auf indirektem Weg die abstrakte Normenkontrolle einer bundesrätlichen Verordnung zuzulassen. Die Betroffenen hätten die Möglichkeit, einen konkreten Rechtsanwendungsakt zu erwirken, etwa durch einen Antrag auf Befreiung von der Maskenpflicht bei der zuständigen kantonalen Behörde. Im Gegensatz dazu hat die Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall einen konkreten Rechtsanwendungsakt erwirkt. Wie erwähnt sieht Art. 6a Abs. 2 Covid-19 Gesetz vor, dass die Covid-19-Zertifikate auf Gesuch hin zu erteilen sind. Die Beschwerdeführerin, die nachweislich an Covid-19 erkrankt war, hat zuerst vergeblich versucht, online ein Genesungszertifikat zu beantragen, und danach direkt bei der kantonalen Behörde ein entsprechendes Gesuch gestellt. Nachdem dieses abgewiesen wurde, muss sie die Möglichkeit haben, sich dagegen gerichtlich zur Wehr zu setzen, wobei sie auch eine akzessorische Normenkontrolle der einschlägigen bundesrätlichen Verordnung verlangen kann.
7.
Damit bleibt zu prüfen, ob sich das Urteil des Verwaltungsgerichts mit der Begründung schützen lässt, dass die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde nicht rechtsgenügend begründet hat.
7.1. Die Anforderungen an eine Rechtsmitteleingabe im Verfahren vor Verwaltungsgericht richtet sich nach kantonalem Recht (§ 68 Abs. 1 VRG/SO). Die Vorinstanz hat erwogen, aus der Beschwerdebegründung habe im Einzelnen hervorzugehen, aus welchen Gründen der angefochtene Akt aufzuheben sei. Dies setze voraus, dass sich die beschwerdeführende Partei wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetze (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils). Das Departement habe in seiner Verfügung auf die aktuelle Rechtslage verwiesen, wonach das Genesungszertifikat 180 Tage gültig sei. Damit setze sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander; stattdessen präsentiere sie diverse Auszüge aus wissenschaftlichen Arbeiten. Inwiefern das Departement den Sachverhalt falsch beziehungsweise unrichtig festgestellt oder das Recht unrichtig angewendet habe oder der angefochtene Akt unangemessen sei, lasse sich der Beschwerde nicht entnehmen (vgl. E. 4.2 des angefochtenen Urteils).
7.2. Die Beschwerdeführerin bringt nicht vor, das kantonale Prozessrecht sei willkürlich angewendet worden, sondern rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV wegen überspitztem Formalismus (vgl. zum Begriff vorne E. 5.1). Die Rüge ist begründet. Die Beschwerdeführerin hat in keiner Phase des Verfahrens behauptet, dass sie aufgrund der geltenden Verordnungsbestimmungen Anspruch auf Ausstellung eines Genesungszertifikats habe, sondern sich bereits in der E-Mail vom 2. August 2021 auf den Standpunkt gestellt, die bundesrätliche Verordnung sei nicht rechtmässig. Nachdem das Departement seine Verfügung ausschliesslich unter Hinweis auf die einschlägigen Bestimmungen der Covid-19-Verordnung Zertifikate begründet hat, liegt es auf der Hand, dass die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren weder Sachverhaltsrügen erhoben noch eine falsche Anwendung des Verordnungsrechts beanstandet hat. Sie hat dagegen in ihrer Beschwerde vom 13. August 2021 u.a. geltend gemacht, die zeitliche Befristung des Genesungszertifikats verstosse gegen den Grundsatz der Verhältnismässigkeit sowie gegen Art. 1 Abs. 1 i.V.m. Abs. 2 und Abs. 2bis Covid-19-Gesetz, wobei sie ihre Rügen u.a. mit Hinweisen auf wissenschaftliche Studien untermauert hat. Bei dieser Sachlage stellt die Vorinstanz überspannte Anforderungen an eine Rechtsschrift und versperrt der Beschwerdeführerin den Rechtsweg in unzulässiger Weise, wenn sie die Beschwerde als nicht rechtsgenügend begründet qualifiziert.
8.
Zusammenfassend besass die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren ein aktuelles Rechtsschutzinteresse und ist das Verwaltungsgericht bei den Anforderungen an eine Rechtsschrift in überspitzten Formalismus verfallen. Das angefochtene Urteil ist daher in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
9.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Nachdem die Beschwerdeführerin ohne Rechtsvertretung prozessiert hat, hat sie keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 21. Oktober 2021 aufgehoben. Die Sache wird zum Neuentscheid im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Businger