Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1970) hielt sich am Freitag, 28. August 2020 in Chur/GR auf, wo es zu einem Streit mit zwei Mitarbeitenden der Securitrans AG kam. Diese avisierten um ca. 16.00 Uhr die dortige Stadtpolizei, die mit einer Zweierpatrouille ausrückte und den alkoholisierten (Atemalkoholkonzentration von 1,42 mg pro Liter bzw. 2,84 Promille) A._ festnahm, da dieser lauthals geschrien, Passanten angepöbelt, den Polizisten gedroht habe und der Aufforderung, sich auszuweisen, nicht nachgekommen sei. Aufgrund des Zustands und Verhaltens (Fremd- oder Selbstgefährdung) ordnete der Pikettoffizier zwecks Beurteilung der Hafterstehungsfähigkeit die amtsärztliche Begutachung sowie den Polizeigewahrsam an. A._ wurde tags darauf um 07.55 Uhr aus dem Gewahrsam entlassen. Mit Schreiben vom 17. September 2020 bzw. Verfügung vom 11./ 12. November 2020 stellte die Stadtpolizei A._ für die erbrachten Dienstleistungen Rechnung über Fr. 574.80.
1.2. Am 2. November 2020 erhob A._ Beschwerde an den Stadtrat von Chur, wobei er um Aufhebung der angefochtenen Verfügung ersuchte. Der Stadtrat wies die Beschwerde mit Entscheid vom 9./22. Februar 2021 ab.
1.3. Die ans Verwaltungsgericht erhobene Beschwerde führte zur Abweisung (einzelrichterlicher Entscheid A 21 16 vom 10. Juni 2021). Das Verwaltungsgericht erwog, Streitgegenstand sei einzig die Frage, ob die Gemeinde Chur/GR gestützt auf das Störer- bzw. Verursacherprinzip berechtigt sei, die Einsatzkosten auf A._ zu überwälzen. Massgebend hierfür seien das örtliche Polizeigesetz vom 24. Februar 2008 (PG; RB 411), insbesondere dessen Art. 2 Abs. 2 (Aufgaben) und Art. 45 Abs. 1 (Verursacherprinzip).
Nach Art. 1 des örtlichen Reglements vom 27. September 2016 über die Berechnungsansätze für die Kosten der Dienstleistungen der Stadtpolizei (RB 416) sei eine Einsatzkostenpauschale von Fr. 80.-- zu erheben. Hinzu komme die Zellenbelegung (Fr. 150.--; Art. 5), der Atemlufttest (Fr. 20.--; Art. 3) und die tatsächlichen Kosten der amtsärztlichen Beurteilung (Fr. 324.80; Art. 5). Insgesamt ergebe sich der Betrag von Fr. 574.80. Damit frage sich, ob die Versetzung in den Polizeigewahrsam rechtens gewesen sei. Gemäss Art. 11 des örtlichen Polizeigesetzes in Verbindung mit Art. 15 Abs. 1 des Polizeigesetzes [des Kantons Graubünden] vom 20. Oktober 2004 (PolG/GR; BR 613.000) könne die Stadtpolizei renitente oder sonstwie unberechenbare Personen vorübergehend in Polizeigewahrsam nehmen, sofern dies zum Schutz dieser oder einer anderen Person gegen die (akute oder latente) Gefahr von Leib, Leben oder die psychische Unversehrtheit sowie zur Verhinderung oder Beseitigung einer erheblichen Gefährdung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung erforderlich sei.
Die gesetzlichen Voraussetzungen seien mit Blick auf den Sachverhalt erfüllt. A._ sei nachweislich stark alkoholisiert (Atemalkoholkonzentration von rund 2,84 Promille) und seine Berechenbarkeit sei massiv eingeschränkt gewesen. Die amtsärztliche Begutachtung und der vorübergehende Polizeigewahrsam seien gerechtfertigt gewesen und durch den Beschwerdeverursacher hervorgerufen worden. Die sachverhaltliche Darstellung durch die Polizeiorgane sei nicht zu bezweifeln.
1.4. Mit Eingabe vom 13. August 2021 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, es sei festzustellen, dass "die Rechnung mittels Polizeigewalt erwirkt worden ist und auf erheblichen Körperübergriffen des städtischen Personals basiert". Weiter sei festzustellen, dass "die Rechtsmittelbelehrung nicht den gängigen Normen einer höheren Amtsstelle entspricht". Es seien alle Verfahrensakten beizuziehen und dem Beschwerdeführer Akteneinsicht zu gewähren. Wegen der "ganzen unverhältnismässigen Polizeiaktion mit Körperschädigung" sei ihm eine "Genugtuung im Umfang von total Fr. 5'000.--" zuzusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben den Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Dieser kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 143 V 19 E. 1.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 146 IV 88 E. 1.3.2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 147 I 194 E. 3.4; 147 II 44 E. 1.; 147 V 156 E. 7.2.3). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid ist nicht zu hören und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (BGE 146 IV 88 E. 1.3.1).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer scheint anzuerkennen, dass er sich am fraglichen Tag um ca. 16.00 Uhr in stark alkoholisiertem Zustand befunden hat. Seine Beanstandungen zielen darauf ab, dass er von der Zweierpatrouille der Stadtpolizei unprofessionell behandelt (u.a. ungenügende Leibesvisitation) und mehrfach in den Rücken geschlagen worden sei (was das Universitätsspital Zürich bestätigt habe). Die beiden Mitarbeiter der Securitrans AG seien nicht befugt gewesen, die Vorlage seiner Identitätskarte zu verlangen, und in Anwesenheit der Polizeibeamten sei es ihm aufgrund der gefesselten Hände unmöglich gewesen, in den Rucksack zu greifen. Dass jemand nach drei Faustschlägen ins Rückenmark "verbalaggressiv" werde, sei "wohl nicht erstaunlich". Zur Häufigkeit der Kontrolle in der Zelle, aber auch zu anderen Sachumständen seien die Einträge gefälscht worden.
2.2.2. Der Beschwerdeführer setzt den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz seine eigene Sichtweise entgegen, ohne in irgendeiner Weise aufzuzeigen, dass und weshalb er dadurch - und durch die Auslegung und Anwendung des kantonalen oder kommunalen Rechts - in seinen verfassungsmässigen Individualrechten verletzt worden sei. Seine appellatorischen Vorbringen bleiben an der Oberfläche und zielen darauf ab, in recht allgemeiner Weise das Verhalten der polizeilichen Organe zu kritisieren. Dies reicht nicht aus, um die Versetzung in Polizeigewahrsam als verfassungsrechtlich unhaltbar darzustellen. Selbst unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2C_543/2021 vom 27. Juli 2021 E. 2.3.5), unterbleibt jede auch nur beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage, was aber unerlässlich wäre, damit das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid inhaltlich prüfen könnte.
2.2.3. Ein etwaiger Anspruch auf Genugtuung wäre vor den hierfür zuständigen kantonalen Instanzen vorzutragen. Eine Akteneinsicht im bundesgerichtlichen Verfahren ist nicht erforderlich, zumal kein substantiiertes Gesuch vorliegt. Inwiefern die Rechtsmittelbelehrung des angefochtenen Entscheids verfassungsrechtlich unhaltbar sein könnte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 42 Abs. 2 BGG). Auf die Eingabe ist nicht einzutreten, was durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten zu geschehen hat (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Das im bundesgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung (Art. 29 Abs. 3 BV bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erweist sich mit Blick auf die in der Hauptsache gestellten Anträge von vornherein als aussichtslos (BGE 142 III 138 E. 5.1). Es ist abzuweisen, was ebenfalls einzelrichterlich geschehen kann (Art. 64 Abs. 3 BGG). Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Dem Kanton Graubünden, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher