Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene A._ arbeitete zuletzt als Monteur bei der B._ AG. Im Dezember 2014 meldete er sich bei der Invalidenversicherung wegen Beschwerden am rechten Fuss und einer dadurch bedingten Arbeitsunfähigkeit seit dem 24. Februar 2014 zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern holte daraufhin insbesondere einen Bericht vom 22. Dezember 2014 des Hausarztes Dr. med. C._ ein und zog die Akten des Unfallversicherers hinzu. Nach mehrfacher Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) verneinte die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren einen Rentenanspruch (Verfügung vom 4. Januar 2017).
B.
Mit Entscheid vom 3. Dezember 2018 wies das Kantonsgericht Luzern die Sache betreffend den Anspruch auf Arbeitsvermittlung und Umschulung zur Entscheidung an die IV-Stelle zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten, den medizinischen Sachverhalt mittels eines polydisziplinären Gutachtens abzuklären. Eventualiter sei die Angelegenheit an die IV-Stelle zurückzuweisen. In verfahrensmässiger Hinsicht beantragt er eine Verfahrenssistierung, bis das kantonale Gericht über das Revisionsbegehren entschieden habe.
C.b. Mit im unangefochten gebliebenem Entscheid vom 7. November 2019 wies das Kantonsgericht Luzern das Revisionsgesuch ab.
C.c. Mit Eingabe vom 14. Januar 2020 hielt der Beschwerdeführer an seinen gestellten Anträgen fest.
Erwägungen:
1.
Nachdem das Kantonsgericht Luzern mit in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 7. November 2019 eine Revision des Entscheids vom 3. Dezember 2018 abgelehnt hat, ist eine (weitere) Verfahrenssistierung hinfällig.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.), die das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat. Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen geht es bei der Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln um frei überprüfbare Rechtsfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; SVR 2014 IV Nr. 1 S. 1, 9C_228/2013 E. 1.2; 2014 IV Nr. 20 S. 72, 9C_460/2013 E. 1.3).
3.
3.1. Strittig ist, ob die Vorinstanz gegen Bundesrecht verstossen hat, indem sie in Bestätigung der Verfügung vom 4. Januar 2017 einen Rentenspruch verneinte.
3.2. Im angefochtenen Entscheid sind die für die Beurteilung des Rentenanspruchs nach Art. 28 IVG massgeblichen Bestimmungen, insbesondere zur Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG) und zur Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der zu beachtenden Regeln zum Beweiswert eines ärztlichen Berichts oder Gutachtens (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; vgl. auch BGE 135 V 254 E. 3.3 f. S. 257 ff. und SVR 2018 IV Nr. 4 S. 11, 8C_839/2016 E. 3). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Das kantonale Gericht wies das Gesuch des Beschwerdeführers um prozessuale Revision nach Art. 61 lit. i ATSG des hier angefochtenen Entscheids ab (Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 7. November 2019). Es erwog, der Beschwerdeführer hätte bereits im mit Entscheid vom 3. Dezember 2018 abgeschlossenen Verfahren einen Bericht seines Psychiaters Dr. med. D._ beibringen können. Vom Gesuchsteller werde erwartet, dass er sich an der Ermittlung des Sachverhalts beteilige. Auch wenn das Verfahren vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht werde, treffe den Gesuchsteller eine Mitwirkungspflicht.
Aus diesem in Rechtskraft erwachsenen vorinstanzlichen Entscheid ergibt sich für das vorliegende Verfahren, dass ein Bericht des Dr. med. D._ bereits im kantonalen Verfahren hätte beigebracht werden können und müssen. Damit hat nicht erst der angefochtene, kantonale Entscheid Anlass für die Einreichung eines solchen Beweismittels wie den aufgelegten Bericht des Dr. med. D._ vom 19. Februar 2018 gebildet und dieser hat infolge Novencharakters unbeachtlich zu bleiben (Art. 99 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_307/2018 vom 21. Dezember 2018 E. 3).
4.2. Entgegen dem Beschwerdeführer hat die kantonale Instanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie unter Hinweis auf die dem Beschwerdeführer obliegende Mitwirkungspflicht und in (impliziter) antizipierter Beweiswürdigung eine psychisch begründete Arbeitsunfähigkeit verneinte. Dr. med. C._ führte im Bericht vom 22. Dezember 2014 aus, es bestünden keine geistigen und psychischen Einschränkungen. Auch den weiteren Arztberichten sind keine Hinweise zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer an einer psychischen Störung leiden würde (vgl. etwa die Berichte des Orthopäden Dr. med. E._ des Zentrums F._ vom 7. Januar 2016 und 1. Februar 2017). Ebenso wiesen die Angaben des Beschwerdeführers nicht auf einen psychischen Gesundheitsschaden: Gegenüber dem Unfallversicherer führte er am 27. Februar 2015 lediglich aus, dass ihn die Situation mit Schmerzen, anhaltender Arbeitsunfähigkeit, Kündigung des langjährigen Arbeitsverhältnisses und der gesundheitlichen Situation der Ehefrau belaste. Auch am 20. Juni 2016 berichtete der Beschwerdeführer über vergleichbare Umstände. Eine psychologische Behandlung lehnte er jedoch ab. Auch in den gegen den rentenablehnenden Vorbescheid am 28. Oktober 2016 erhobenen Einwänden machte er ausschliesslich somatische Beschwerden geltend. Im kantonalen Beschwerdeverfahren brachte er dann zwar vor, er befinde sich seit längerer Zeit bei Dr. med. D._ in Behandlung, es sei von diesem ein Arztbericht einzuholen und gegebenenfalls weitere Abklärungen vorzunehmen. Diese Vorbringen waren jedoch derart allgemein - es wurden weder konkrete Beschwerden oder Diagnosen genannt noch eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit behauptet -, obwohl eine Substanziierung dem Beschwerdeführer mit Blick die Mitwirkungspflicht (Art. 61 lit. c ATSG) ohne weiteres zumutbar gewesen wäre (vgl. E. 4.1 vorne), dass die Vorinstanz aufgrund der Parteivorbringen und der Akten, die keine Anhaltspunkte für ein invalidisierendes psychisches Leiden enthielten, von weiteren Abklärungen absehen durfte, waren doch bei dieser Ausgangslage von solchen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die verschiedenen gesundheitlichen Probleme hätten mit einem polydisziplinären Gutachten abgeklärt werden müssen, namentlich die nicht unfallkausale aber nach dem Unfall vom 14. Januar 2013 aufgetretene Schmerzproblematik, die Beschwerden an der rechten Hand und die als unfallfremd ausgeklammerten Faktoren betreffend die Fussbeschwerden.
5.2. Die Vorinstanz hielt hierzu fest, die Verwaltung nehme mit Blick auf den Abschlussbericht des Kreisarztes Dr. med. G._, Facharzt für Chirurgie, vom 17. August 2016 und insbesondere der Stellungnahmen des RAD vom 1. Oktober 2014, 22. April 2015, 23. September 2016 und 14. Dezember 2016 an, dass dem Beschwerdeführer ein volles Pensum in einer leidensangepassten Tätigkeit zumutbar sei. Im Nachfolgenden hat das kantonale Gericht aufgezeigt, weshalb auch es betreffend die Fuss- und Schulterbeschwerden auf die kreisärztliche und in Bezug auf die Kopf- und Nackenbeschwerden, welche der Versicherte auf den Unfall vom 14. Januar 2013 zurückführt, auf die regionalärztliche Einschätzung abstellte. Entgegen dem Beschwerdeführer wird in diesen ärztlichen Beurteilungen den gesundheitlich bedingten Beeinträchtigungen hinreichend Rechnung getragen; er nennt keine Aspekte, welche nicht berücksichtigt worden wären. Daran vermag - wie im angefochtenen Entscheid zu Recht dargelegt wurde - nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer sich aufgrund der Schmerzen als arbeitsunfähig erachtet. Soweit er schliesslich vorbringt, die Problematik der rechten Hand hätte weiter abgeklärt werden müssen, ist darauf hinzuweisen, dass er vor Vorinstanz mit Verweis auf den Bericht des Dr. med. H._ vom 22. November 2016 Beschwerden an der linken Hand geltend gemacht hat. Aufgrund des vom Beschwerdeführer genannten Unfalldatums und des Umstands, dass er auf zwei durchgeführte Operationen verweist, ist davon auszugehen, dass er entgegen seiner Bezeichnung in der Beschwerde wiederum Bezug auf die linke Hand nimmt, ansonsten auf dieses Vorbringen aus novenrechtlicher Sicht nicht weiter einzugehen wäre (Art. 99 Abs. 1 BGG). Zu den Beschwerden an der linken Hand erwog die Vorinstanz, dass angesichts der Akten eine dadurch bedingte Arbeitsunfähigkeit nicht ersichtlich sei und auch nicht dargelegt werde. Inwiefern diese Beweiswürdigung gegen Bundesrecht verstossen soll, ist nicht ersichtlich ebensowenig die antizipierte Beweiswürdigung im Hinblick auf die Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit, nachdem Dr. med. H._ aufgrund der Angaben des Beschwerdeführers einzig über Schmerzen an der adominanten Hand bei starker manueller Belastung berichtet hatte und sich aus den Akten keine anderweitigen Hinweise auf eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ergeben (vgl. Bericht des Dr. med. C._ vom 22. Dezember 2014, Angaben des Beschwerdeführers vom 27. Februar 2015 und 20. Juni 2016).
6.
Die Beschwerde ist unbegründet. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli