Faits :
A.
A.a. A._, né en 1986, est au bénéfice de prestations du revenu d'insertion et fait l'objet depuis le 29 juillet 2013 d'un suivi professionnel assuré par l'Unité commune ORP (Office régional de placement) -CSR (Centre social régional) de la ville de B._ (ci-après: l'Unité ORP-CSR). Le 25 juillet 2019, il a été assigné à un entretien préalable auprès de OSEO Vaud en vue d'exercer une activité d'assistant administratif auprès de la Fondation C._, dans le cadre d'un programme d'emploi temporaire (PET). Ensuite de deux entretiens, le premier avec un collaborateur de OSEO Vaud, le second avec un collaborateur de la Fondation C._, sa candidature n'a pas été retenue. Au cours d'un entretien avec sa conseillère ORP le 13 septembre 2019, sa participation à une mesure de coaching auprès de Connexion-Ressources, en lieu et place d'un PET, a été évoquée. Dans ce cadre, l'intéressé s'est rendu à un entretien préalable le 24 septembre 2019.
A.b. Par acte du 13 octobre 2019, complété le 16 octobre 2019, A._ a adressé au Service de l'emploi (SDE) du canton de Vaud un "recours contre la décision du 13 septembre 2019 de l'Unité ORP-CSR", en concluant notamment à "l'annulation de la nouvelle mesure ressource-connexion", à "l'annulation de la suspension de la recherche des postes PET", ainsi qu'à "la consultation illimitée des pièces". Par avis du 23 octobre 2019, le SDE lui a fait savoir qu'aucune décision n'avait été rendue à son égard le 13 octobre 2019 et qu'il n'était pas compétent pour se prononcer sur les aspects de son suivi auprès de l'Unité ORP-CSR.
B.
B.a. Le 26 novembre 2019, A._ a adressé à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud un "recours contre les décisions du SDE et de l'Unité ORP-CSR", en concluant en particulier à l'annulation de la "décision du SDE du 23 octobre 2019" et de la "décision de l'Unité ORP-CSR du 13 septembre 2019".
Le 11 décembre 2019, le SDE a transmis à la cour cantonale une copie de sa décision du 10 décembre 2019 déclarant le recours du 13 octobre 2019 irrecevable. Invité à indiquer si et dans quelle mesure il maintenait son recours du 26 novembre 2019, ensuite de la décision précitée du 10 décembre 2019, A._ a, par acte intitulé "recours contre la décision du SDE du 10 décembre 2019", maintenu ses conclusions, en y ajoutant celles tendant à l'annulation de la décision susdite du 10 décembre 2019, à l'annulation de la "mesure ressource-connexion" et de la "suspension de la recherche des postes PET", ainsi qu'à la "consultation illimitée des pièces".
B.b. Par jugement du 10 mars 2020, la juridiction cantonale a rejeté le recours de A._, dans la mesure où il était recevable, et a confirmé la décision du 10 décembre 2019.
C.
A._ interjette un recours au Tribunal fédéral contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens que les "décisions" du SDE des 23 octobre 2019 et 10 décembre 2019 et de l'Unité ORP-CSR du 13 septembre 2019 soient annulées, de même que la "mesure ressource-connexion" et la "suspension de la recherche des postes PET". Il conclut en outre à la "consultation illimitée des pièces" ainsi qu'à l'octroi de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
D.
Par ordonnance du 24 juin 2020, le Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 145 V 188 consid. 2 p. 190) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF); à défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (ATF 145 V 188 consid. 2 précité; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322).
2.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut pas invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application viole le droit fédéral, en particulier l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 142 V 577 consid. 3.2 p. 579 et la référence).
3.
3.1. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions applicables au cas d'espèce, en particulier celles de la loi cantonale du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA-VD; RS/VD 173.36) et de la loi cantonale du 5 juillet 2005 sur l'emploi (LEmp; RS/VD 822.11), ainsi que celles concernant les mesures relatives au marché du travail (art. 59 ss LACI [RS 837.0]). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. Les juges cantonaux ont tout d'abord estimé que seule la décision de l'intimé du 10 décembre 2019 déclarant le recours du 13 octobre 2019 irrecevable faisait l'objet du litige porté devant eux. Ils ont ensuite relevé que le recours formé auprès de l'intimé contre la prétendue décision prise lors de l'entretien de conseil du 13 septembre 2019 apparaissait irrecevable car prématuré, dès lors qu'aucun acte écrit constitutif d'une décision n'avait été adressé au recourant ensuite de cet entretien et que celui-ci ne s'était pas plaint d'un déni de justice. En outre, le fait que sa candidature pour un PET n'avait pas été retenue par la Fondation C._ ne découlait pas d'une décision de l'Unité ORP-CSR et aucune sanction n'avait été prise à son encontre de ce chef. Sa critique portant sur le fait que sa conseillère ORP aurait décidé de renoncer, en l'état, à lui faire suivre un autre PET était infondée; il ne pouvait en effet se prévaloir d'aucun droit à bénéficier d'une mesure relative au marché du travail et sa conseillère n'avait pas à rendre une décision formelle à ce propos. Par ailleurs, à supposer qu'il ait été assigné à suivre une mesure de coaching auprès de Connexion-Ressources - ce qui n'apparaissait pas être le cas -, il ne pouvait pas se prévaloir d'un intérêt digne de protection à contester cette assignation. Les premiers juges ont encore constaté que le recourant avait en tout temps la possibilité de consulter son dossier auprès de l'Unité ORP-CSR et qu'il ne soutenait pas avoir essuyé un refus d'accès de la part de cet organisme. Enfin, ses conclusions en constatation de la fausseté des critiques des collaborateurs de OSEO Vaud et de la Fondation C._ à son encontre étaient irrecevables.
4.
4.1. Dans un grief d'ordre formel, le recourant reproche à l'autorité précédente de ne pas avoir retenu qu'au cours d'un entretien, sa conseillère ORP lui avait refusé l'accès à un courriel de OSEO Vaud relatif aux motifs du rejet de sa candidature au PET auprès de la Fondation C._. Or contrairement à ce qu'il soutient, il ne ressort pas du procès-verbal de l'entretien du 13 septembre 2019 ni de celui du 25 juillet 2019 mentionné dans le recours qu'il aurait adressé une telle requête à sa conseillère. En revanche, il a bien eu accès à un courriel de OSEO Vaud concernant sa candidature qu'il a lui-même produit à l'appui de son recours du 13 octobre 2019 auprès de l'intimé. Pour le surplus, il ne conteste pas ne pas avoir formulé auprès de l'intimé une demande d'accès à son dossier à laquelle il n'aurait pas été fait droit, comme constaté par les premiers juges. Son grief tombe ainsi à faux.
4.2. Le recourant reproche en outre aux juges cantonaux d'avoir exclu les prétendues décisions des 13 septembre 2019 et 23 octobre 2019 de l'objet du litige. Ceux-ci ont déterminé l'objet du litige en se fondant sur la législation cantonale, à savoir la LPA-VD. Bien qu'il se plaigne notamment d'un déni de justice et d'une violation du droit fédéral, le recourant n'explique pas, conformément aux exigences de motivation qualifiée de l'art. 106 al. 2 LTF, en quoi l'application des normes de procédure cantonale violerait l'interdiction de l'arbitraire ou d'autres droits constitutionnels (cf. consid. 2.2 supra), de sorte que son grief n'est pas admissible.
4.3. A travers de nombreux griefs, le recourant se plaint également d'une constatation incomplète et erronée des faits. Il n'explique toutefois pas en quoi celle-ci serait arbitraire ou résulterait d'une violation du droit, ni en quoi la correction d'un éventuel vice serait de nature à influer sur le sort de la cause. Il n'y a donc pas lieu de tenir compte d'un état de fait qui divergerait de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. consid. 2.1 supra).
4.4. Pour le reste, dès lors que le jugement attaqué se fonde en partie sur des lois cantonales, l'admissibilité des autres griefs du recourant est sujette à caution au vu des exigences accrues de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. consid. 2.2 supra). Cette question peut toutefois demeurer indécise, la motivation de l'autorité précédente échappant à la critique.
4.4.1. S'agissant tout d'abord du PET envisagé auprès de la Fondation C._, qui constitue une mesure d'emploi selon l'art. 64a LACI, le rejet de la candidature du recourant n'est pas imputable à l'Unité ORP-CSR, dont le rôle s'est limité à l'assigner à un entretien avec OSEO Vaud. La non-réalisation du PET n'a logiquement fait l'objet d'aucune décision administrative attaquable et aucune sanction n'a été prononcée à l'encontre du recourant de ce fait, de sorte que la voie d'un recours auprès de l'intimé n'était pas ouverte. Par conséquent, les raisons à l'origine de l'échec de sa candidature et les critiques émises à son endroit par OSEO Vaud et la Fondation C._ - largement abordées dans son recours - n'ont pas à être examinées. Il n'était pas non plus légitimé à contester auprès de l'intimé sa non-assignation à un autre PET, dès lors qu'il n'a soumis à l'autorité compétente aucune demande concrète tendant à l'accomplissement d'une autre mesure de marché du travail déterminée qui aurait donné lieu à une décision attaquable (cf. art. 59c LACI).
4.4.2. Enfin, il ne ressort pas des faits constatés en procédure judiciaire cantonale qu'une décision au sens de l'art. 3 LPA-VD concernant une mesure de coaching aurait été rendue par l'Unité ORP-CSR en marge de l'entretien du 13 septembre 2019; à teneur du procès-verbal, le recourant et sa conseillère se sont mis d'accord pour mettre en place auprès de Connexion-Ressources un entretien préalable en vue d'une telle mesure, qui a eu lieu le 24 septembre 2019, et ladite mesure n'a pas été imposée par voie de décision au recourant. En tout état de cause, celui-ci admet que la mesure a été interrompue à sa demande, de sorte qu'il n'a plus d'intérêt actuel à recourir sur ce point.
5.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable (cf. consid. 4.4.2 in fine supra).
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office régional de placement.
Lucerne, le 14 octobre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Heine
Le Greffier : Ourny