Erwägungen:
1.
Am 21. September 2017 kam es in Reinach zwischen dem von A._ gelenkten Personenwagen und einem Fahrrad zu einer Kollision. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sprach A._ mit Strafbefehl vom 30. November 2017 der einfachen Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer Busse von Fr. 400.--.
2.
Das Ressort Administrativmassnahmen der Kantonspolizei Basel-Stadt verfügte am 9. Mai 2018 gegenüber A._ einen Ausweisentzug von einem Monat. Dagegen erhob A._ Rekurs, der vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 8. Mai 2019 abgewiesen wurde. Mit Eingabe vom 20. Mai 2019 meldete A._ beim Departement Rekurs an und begründete diesen mit undatierter Eingabe (Poststempel vom 16. Juni 2019). In der Folge wurde A._ erklärt, dass auf den Rekurs infolge Verspätung nicht eingetreten werden könne. Am 27. Juni 2019 stellte A._ ein Wiederherstellungsgesuch, worauf das Departement die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt überwies. Dieses wies das Wiederherstellungsgesuch mit Urteil vom 3. Dezember 2019 ab und trat auf den Rekurs nicht ein. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, der Rekurrent habe nicht glaubhaft gemacht, dass er unverschuldet abgehalten worden sei, innert Frist zu handeln. Das Wiederherstellungsgesuch sei deshalb abzuweisen. Folglich sei auf den Rekurs mangels rechtzeitiger Einreichung einer Rekursbegründung nicht einzutreten. Im Übrigen wäre der Rekurs im Falle der Wiederherstellung der Frist als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
3.
A._ erhob mit Eingabe vom 20. Januar 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Basel-Stadt. Da das angefochtene Urteil der Beschwerde nicht beilag, forderte ihn das Bundesgericht mit Verfügung vom 21. Januar 2020 auf, das fehlende Urteil nachzureichen. Innert Frist kam A._ dieser Aufforderung nach und reichte am 31. Januar 2020 eine Beschwerdeergänzung ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Alternativbegründungen, so ist für jede einzelne darzutun, weshalb sie Recht verletzt (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368; 133 IV 119 E. 6.3 S. 120 f.). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Hauptbegründung des Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf den Rekurs führte (mangels rechtzeitiger Einreichung einer Rekursbegründung), überhaupt nicht auseinander. Folglich vermag er nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf den Rekurs führte, bzw. das Urteil des Verwaltungsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kantonspolizei Basel-Stadt, Ressort Administrativmassnahmen, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli