Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und Raufhandels. A._ wurde am 27. Mai 2018 festgenommen, am 29. Mai 2018 in Untersuchungshaft versetzt und am 31. Mai 2018 aus der Haft entlassen.
Wegen eines Vorfalls vom 13. Oktober 2018 in U._ eröffnete die Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau ein Strafverfahren gegen A._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und Raufhandels. A._ wurde am 31. Oktober 2018 verhaftet und anschliessend in Untersuchungshaft versetzt.
Am 28. Juni 2019 übernahm die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt das Aargauer Verfahren und vereinigte es mit dem bei ihr hängigen Verfahren. Am 13. November 2019 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch. Am 26. November 2019 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt an, A._ sei aus der Haft zu entlassen, sobald er seinen türkischen Reisepass und seine schweizerische Aufenthaltsgenehmigung bei der Staatsanwaltschaft hinterlegt sowie eine Kaution von Fr. 10'000.-- geleistet habe. Am 3. Dezember 2019 hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde der Staatsanwaltschaft gegen diese Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts gut, hob sie auf und stellte fest, dass gegen A._ bis zum 20. Dezember 2019 Untersuchungshaft angeordnet sei. Sie wurde zwischenzeitlich weiter verlängert. Eine von A._ am 9. Januar 2020 gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_19/2020 vom 27. Januar 2020 ab.
2.
Am 16. Dezember 2019 ersuchte A._ um Bewilligung des vorzeitigen Strafvollzugs. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt wies das Gesuch am 23. Dezember 2019 ab. Dagegen erhob A._ am 27. Dezember 2019 Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 3. Februar 2020 abwies. Zur Begründung führte das Appellationsgericht zusammenfassend aus, der vorzeitige Strafvollzug sei zu verweigern, wenn die Kollusionsgefahr derart hoch sei, dass mit der Gewährung des vorzeitigen Strafvollzugs der Haftzweck und die Ziele des Strafverfahrens gefährdet würden. Vorliegend bestünden ernsthafte Hinweise, dass im Umfeld des Beschwerdeführers bereits Bestrebungen unternommen worden sind, um ihn vom Vorwurf der versuchten Tötung zu entlasten. Es bestehe deshalb ein Interesse, dass der Beschwerdeführer nicht mit Personen aus seinem Umfeld in Kontakt trete, die gezielt und auf seine Initiative hin auf Verfahrensbeteiligte einwirken könnten, die an der Hauptverhandlung auszusagen haben. Im vorzeitigen Strafvollzug könne dies nicht gleich wirksam gewährleistet werden wie in der Untersuchungshaft.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 28. Februar 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt und beantragt die sofortige Versetzung in den vorzeitigen Strafvollzug. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Appellationsgerichts, die zur Verweigerung des vorzeitigen Strafvollzugs führte, nicht rechtsgenüglich auseinander. Er vermag nicht aufzuzeigen, dass das Appellationsgericht mit der Bejahung der Kollusionsgefahr Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. der Entscheid des Appellationsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli