Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 18. November 2021 reichte A._ bei der Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Zürich (nachfolgend: Aufsichtskommission Zürich) sinngemäss eine Aufsichtsanzeige gegen Rechtsanwalt lic. iur. B._ ein. In seiner Eingabe erhob er insbesondere den Vorwurf, Rechtsanwalt B._ habe ihn ungenügend vertreten. Zudem beantragte er Schadenersatz sowie die Bestellung eines neuen Rechtsvertreters.
Mit Schreiben vom 29. November 2021 teilte ihm die Aufsichtskommission Zürich mit, sie sei der Auffassung, dass die Aufsichtskommission des Kantons Solothurn für die Beurteilung der vorliegenden Verzeigung zuständig sei. Ferner informierte sie ihn, dass sie auf eine Weiterleitung an die zuständige Aufsichtskommission verzichte, da kein hinreichender Verdacht auf eine Berufsregelverletzung vorliege und die Aufsichtskommission keine Kompetenz habe, einen neuen Rechtsanwalt zu bestellen.
Nachdem sich A._ mit Eingabe vom 10. Dezember 2021 ein weiteres Mal an die Aufsichtskommission Zürich gewandt und die Zusprechung von Schadenersatz sowie die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands beantragt hatte, verwies ihn diese mit Brief vom 15. Dezember 2021 auf ihr Schreiben vom 29. November 2021 und machte ihn erneut darauf aufmerksam, dass sie keine Kompetenz habe, einen neuen amtlichen oder unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Zudem informierte die Aufsichtskommission Zürich A._, dass sie seine Eingabe vom 10. Dezember 2021 ohne Weiterleitung ablegen werde.
2.
Gegen die Schreiben der Aufsichtskommission Zürich vom 29. November 2021 und 15. Dezember 2021 gelangt A._ mit einer als Beschwerde bezeichneten Eingabe vom 19. Dezember 2021 an das Bundesgericht. Soweit seine Ausführungen überhaupt verständlich sind, ersucht er sinngemäss um die Eröffnung eines Disziplinarverfahrens durch die Aufsichtskommission des Kantons Zürich bzw. Solothurn gegen Rechtsanwalt B._. Zudem wiederholt er den in seinen Eingaben an die Aufsichtskommission Zürich gestellten Antrag auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
3.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig; es ist darauf durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht einzutreten.
3.1. Das Bundesgericht ist keine allgemeine Aufsichtsbehörde; es kann nur im Rahmen der im Bundesgerichtsgesetz (BGG; SR 173.110) vorgesehenen Verfahren tätig werden.
Das Bundesgericht beurteilt namentlich Beschwerden gegen Entscheide letzter kantonalen Instanzen in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund fallen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Entscheide i.S.v. Art. 82 lit. a BGG sind primär individuell-konkrete Anordnungen, die den Verfügungsbegriff von Art. 5 VwVG (SR 172.021) oder analoger kantonaler Vorschriften erfüllen (vgl. BGE 141 II 233 E. 3.1; 139 II 384 nicht publ. E. 1.3; 135 II 30 E. 1.1).
3.2. Auf dem Gebiet des Anwaltsrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (vgl. Urteil 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 1.1). Die Aufsichtskommission Zürich stellt indessen keine letzte kantonale Instanz dar und ist somit keine zulässige Vorinstanz des Bundesgerichts (Art. 86 BGG). Zudem handelt es sich bei deren Schreiben vom 29. November 2021 und 15. Dezember 2021 um keine Entscheide i.S.v. Art. 82 lit. a BGG (vgl. E. 3.1 hiervor). Damit fehlt es bereits an einem tauglichen Anfechtungsobjekt. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich, die Beschwerdeschrift - wie vom Beschwerdeführer beantragt - in Anwendung von Art. 42 Abs. 6 BGG zur Verbesserung zurückzuweisen.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig; es kann jedoch davon abgesehen werden, eine Gebühr zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov