Erwägungen:
1.
A._ reichte am 5. Juni 2018 Strafanzeige gegen zwei Polizisten der Stadt St. Gallen ein. Er machte geltend, die beiden Polizisten hätten ihn verletzt. Hintergrund des beanstandeten Vorfalls vom 4. Juni 2018 war ein Interventionsbegehren einer Bank, weil sich der Anzeiger dort auffällig verhalten hatte, nachdem ein Check des Anzeigers nicht akzeptiert worden sei. Der Anzeiger habe sich renitent verhalten und ein mitgebrachtes Horn als Trompete verwendet, was zur polizeilichen Anhaltung führte. Nach seiner Entlassung machte der Anzeiger Schmerzen aufgrund von Polizeigewalt geltend.
2.
Das Untersuchungsamt St. Gallen leitete die Strafanzeige an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter, welche mit Entscheid vom 16. August 2018 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren erteilte. Zur Begründung machte die Anklagekammer zusammenfassend geltend, dass keine hinreichenden Anhaltspunkte für ein möglicherweise strafbares Verhalten der Angezeigten ersichtlich seien.
3.
A._ erhob mit Eingabe vom 21. September 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 16. August 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen, liess sich jedoch die kantonalen Akten zustellen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung der Anklagekammer auseinander, die zur Verweigerung der Ermächtigung verführte. Er vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, inwiefern die Anklagekammer in rechtswidriger Weise das Vorliegen von hinreichenden Anhaltspunkten für ein möglicherweise strafbares Verhalten verneint haben sollte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht ansatzweise, inwiefern die Begründung Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsamt St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli