Faits :
A.
A._, né en 1967 et père de sept enfants, a travaillé en dernier lieu en tant qu'aide de cuisine pour le compte de l'EMS B._, avant d'être licencié le 18 novembre 2010. A la suite d'une incapacité de travail médicalement attestée depuis le 22 novembre 2010, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité en mai 2011.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a fait verser au dossier celui de l'assureur perte de gain, qui contenait notamment une expertise du docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 3 juin 2011). Il a également sollicité des renseignements auprès des médecins traitants de l'assuré, puis mandaté le docteur C._ pour une expertise (rapport du 29 avril 2014). L'expert a retenu les diagnostics d'épisode dépressif modéré, sans syndrome somatique (F32.10), et de trouble de la personnalité, sans précision (F60.9); il a conclu à une capacité de travail entière dans une activité adaptée dès le 1er juillet 2011, en précisant que la mise en valeur de cette capacité nécessitait des mesures de réadaptation professionnelle. L'administration a accordé à l'assuré une mesure d'orientation professionnelle du 10 novembre 2014 au 10 mai 2015 (communication du 18 novembre 2014), qui a été interrompue le 10 mars 2015, à la suite d'un malaise de l'assuré. Après avoir recueilli les avis des médecins traitants et les avoir soumis à son Service médical régional (SMR), l'office AI a requis un complément d'expertise auprès du docteur C._ (rapport du 1er juin 2016). L'expert a confirmé les diagnostics qu'il avait précédemment posés et fait état d'une capacité de travail dans une activité adaptée de 50 % dans un premier temps dans le cadre de mesures de réadaptation professionnelle. L'office AI a mis en place une mesure d'orientation professionnelle du 9 janvier au 9 avril 2017 (communication du 9 décembre 2016), qui a été interrompue le 26 février 2017, à la suite de malaises de l'assuré. Après avoir soumis les nouvelles pièces médicales recueillies à son SMR, l'administration a nié le droit de l'assuré à une rente d'invalidité (taux d'invalidité de 17 %) et à des mesures de réadaptation (décision du 30 janvier 2018).
B.
Le 12 mars 2018, A._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, d'un recours contre cette décision. Il a par la suite notamment produit un rapport du docteur D._, spéciali ste en psychiatrie et psychothérapie, du 22 août 2018, ainsi que des certificats médicaux établis par la doctoresse E._, médecin interne au Centre Ambulatoire de Psychiatrie et Psychothérapie F._ de l'Hôpital G._, faisant état d'une incapacité totale de travail depuis le 1er janvier 2018. L'office AI a pour sa part produit un avis de son SMR du 18 septembre 2018 relatif au rapport du docteur D._. Par jugement du 17 juin 2020, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale "pour statuer dans le sens des considérants", et subsidiairement, à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité.
Le 23 novembre 2020, l'assuré a déposé des observations, à la suite de l'ordonnance du 27 octobre 2020, par laquelle le Tribunal fédéral a rejeté sa demande d'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Il ne sera pas tenu compte de l'écriture du recourant du 23 novembre 2020, celle-ci ayant été transmise après l'échéance du délai de recours (art. 100 al. 1 LTF), sans qu'un échange d'écritures n'ait été ordonné, et visant à compléter la motivation du recours (cf. ATF 134 II 244 consid. 2.4.2 p. 247). Dans la mesure où ses remarques concerneraient l'ordonnance du 27 octobre 2020, le recourant ne présente par ailleurs aucun argument susceptible de justifier une reconsidération du refus de l'assistance judiciaire.
3.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (ATF 141 I 70 consid. 2.2 p. 72; 140 I 201 consid. 6.1 p. 205). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (ATF 141 I 49 consid. 3.4 p. 53).
4.
Compte tenu des motifs et conclusions du recours, le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité à la suite de la demande de prestations qu'il a déposée au mois de mai 2011.
Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI) et à son évaluation (art. 16 LPGA et art. 28a LAI), en particulier s'agissant du caractère invalidant de troubles psychiques (ATF 143 V 409 consid. 4.5 p. 415 ss; 143 V 418 consid. 6 et 7 p. 426 ss; 141 V 281). Il rappelle également les règles applicables à la valeur probante des rapports médicaux (ATF 135 V 465 consid. 4.4 p. 469 s.; 134 V 231 consid. 5.1 p. 232; 125 V 351 consid. 3 p. 352) et à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
5.
En se fondant sur les rapports d'expertise du docteur C._ des 29 avril 2014 et 1er juin 2016, la juridiction cantonale a constaté que le recourant souffrait d'un épisode dépressif modéré, sans syndrome somatique (F32.10), et d'un trouble de la personnalité, sans précision (F60.9). Après avoir procédé à l'examen de ces diagnostics à l'aune des indicateurs développés par la jurisprudence (ATF 141 V 281), elle est parvenue à la conclusion qu'ils revêtaient un degré de gravité fonctionnel insuffisant pour justifier une incapacité de travail. Partant, elle a nié le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-invalidité, confirmant ainsi la décision rendue par l'office intimé le 30 janvier 2018.
6.
6.1. Dans un premier moyen, le recourant remet en cause l'impartialité et l'indépendance de l'expert C._ et s'en prend au refus des premiers juges d'ordonner une contre-expertise. Il y voit une violation de son droit d'être entendu.
6.2. Contrairement à ce que soutient l'assuré, le fait que l'expert C._ a effectué une expertise pour le compte de l'assureur perte de gain en 2011, avant d'être mandaté par l'office intimé pour réaliser deux autres expertises en 2014 puis 2016, n'est pas en tant que tel une circonstance propre à faire naître un doute quant à son indépendance et à son impartialité. Selon la jurisprudence, en l'absence d'élément objectif qui permettrait d'admettre que l'expert aurait pris position au sujet de certaines questions de manière telle qu'il ne semble aujourd'hui plus exempt de préjugés, le fait que l'expert a déjà eu à se prononcer au cours d'une procédure dans laquelle une des parties était impliquée, notamment sur mandat d'un assureur perte de gain, n'exclut en effet pas sa nomination en qualité d'expert (ATF 132 V 93 consid. 7.2.2 p. 110; arrêt 9C_689/2012 du 6 juin 2013, consid. 2.2 et 4.2).
En se limitant à affirmer que l'expert C._ "n'entenda[i]t manifestement pas se déjuger face à ses précédents rapports", le recourant ne fait pas état d'élément objectif permettant d'admettre un préjugé de la part du médecin et que l'issue de la cause était prédéterminée quant à la constatation des faits et à la résolution des questions juridiques au moment où le médecin a rendu son premier rapport en 2011, puis ses deux expertises en 2014 et 2016, comme l'ont dûment expliqué les premiers juges. C'est en vain que l'assuré allègue dans ce contexte qu'il aurait été mis sous pression pour ne pas s'opposer à la désignation du même expert, cette affirmation n'étant nullement étayée. Partant, le refus de la juridiction cantonale de donner suite à la demande de contre-expertise du recourant en raison de la prétendue partialité de l'expert n'est pas constitutif d'une violation de son droit d'être entendu. Le recours est mal fondé sur ce point.
7.
7.1. Le recourant critique ensuite l'appréciation des preuves et l'établissement des faits de la juridiction de première instance. Il lui reproche de s'être fondée sur les conclusions de l'expert C._, sans prendre en considération les avis contraires de ses médecins traitants, qui auraient pourtant tous attesté d'une incapacité de travail totale. Le recourant affirme, en se référant notamment à un rapport du docteur D._ du 12 juin 2013, que ni la juridiction cantonale, ni l'expert C._ n'auraient tenu compte du fait qu'il présentait un syndrome de stress post-traumatique en lien avec d'anciens traumatismes provoqués par son enrôlement de force dans l'armée de son pays d'origine, avant son arrivée en Suisse en 1990, qui avaient resurgi vingt ans plus tard au moment de son licenciement en 2011.
7.2. Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint (consid. 3 supra), il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité judiciaire de première instance serait manifestement inexacte voire incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure.
7.3. Contrairement à ce que soutient l'assuré, ni le docteur C._, ni, à sa suite, la juridiction cantonale, n'ont occulté son passé en relation avec l'enrôlement dans l'armée de son pays d'origine, la Somalie, en relation avec le diagnostic d'état de stress traumatique ou syndrome de stress post-traumatique et de changement de personnalité secondaire posés par le docteur D._.
Dans son rapport du 29 avril 2014, le médecin a en effet indiqué que s'il était indéniable que le recourant avait vécu des traumatismes psychiques majeurs en lien avec sa participation au conflit armé dans son pays d'origine, et qu'il avait bénéficié d'une prise en charge ponctuelle à ce titre à son arrivée en Suisse en 1990, la problématique psychiatrique dès 2011 était liée aux suites du licenciement: l'assuré restait fixé sur le conflit qui l'opposait à son ex-employeur, alors que l'évocation des événements traumatiques dans son pays ne ravivait pas de réaction anxieuse particulière de sa part. Dans son évaluation ultérieure du 1er juin 2016, le docteur C._ a encore précisé qu'il ne retenait pas la possibilité d'une réactivation des symptômes d'un état de stress post-traumatique antérieur, alors qu'il s'était entretenu avec le docteur D._. Lors de leur appréciation des pièces médicales, les premiers juges ont mis en évidence de manière convaincante les raisons pour lesquels ils suivaient les conclusions de l'expert. Ils ont considéré qu'il ressortait des constatations de l'expert que des éléments objectifs - en relation, par exemple avec l'absence de réactivation du syndrome neurovégétatif d'angoisse chez le recourant - permettant d'étayer le diagnostic en question faisaient défaut. Ils ont également expliqué les raisons pour lesquelles l'avis du docteur D._ n'apparaissait pas convaincant, ce médecin n'ayant pas mis en évidence des comportements liés aux symptômes spécifiques de l'état de stress post-traumatique, en particulier les symptômes dits d'intrusion et d'évitement, puisqu'il avait avant tout fait état des plaintes subjectives relatées par l'assuré, sans confronter celles-ci à ses propres constatations cliniques objectives. Cette appréciation n'apparaît nullement arbitraire, compte tenu également des critères médicaux pour poser un tel diagnostic (cf. arrêt 9C_636/2013 du 25 février 2014 consid. 4.3.2).
Quoi qu'en dise ensuite le recourant, en se référant notamment aux rapports du docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 23 août 2011, et de la doctoresse I._, spécialiste en médecine interne générale et en psychiatrie et psychothérapie, du 31 janvier 2011, ces médecins n'ont pas attesté que le traumatisme de guerre vécu dans son pays d'origine est à l'origine d'une affection le rendant totalement incapable de travailler. Le premier médecin a fait état d'une péjoration de l'état psychique dans le contexte du licenciement du recourant, tout comme le second, qui a expliqué que l'état dépressif moyen à sévère retenu était "en lien avec un licenciement [vécu] comme abusif et injuste". Contrairement à ce qu'affirme encore l'assuré, les conclusions du docteur C._ ne sont pas non plus contredites par l'avis de la doctoresse J._, spécialiste en médecine interne générale, et médecin au SMR; dans son rapport du 2 novembre 2012, le médecin a retenu le diagnostic d'épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique, dans le contexte de la séparation survenue entre le recourant et son épouse, sans faire mention des traumatismes vécus par l'intéressé dans son pays d'origine.
En définitive, en ce qu'il se limite à opposer les avis de ses médecins traitants à l'appréciation de l'expert C._, en se référant au suivi médical successif de leur part, le recourant ne fait pas état d'éléments cliniques ou diagnostiques concrets et objectifs susceptibles de mettre en cause les conclusions suivies par les premiers juges, ni de motifs susceptibles d'établir le caractère arbitraire de l'appréciation qu'ils en ont faite.
7.4. Le recourant ne peut pas davantage être suivi lorsqu'il reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas entendu le docteur C._ afin de le confronter aux "nombreuses contradictions figurant dans ses expertises" et obtenir des explications quant aux raisons pour lesquelles il aurait écarté des éléments essentiels du dossier sans justification, et quant à l'absence de motivation de ses conclusions. L'assuré ne donne aucun exemple concret pour étayer ses allégations, de simples affirmations comme celle selon laquelle "l'expert n'a manifestement pas entendu les déclarations de l'expertisé et a d'emblée jugé celles-ci peu crédibles" ne suffisant pas. On ne voit par ailleurs pas en quoi le fait que l'expert C._ a indiqué que les plaintes subjectives de l'assuré étaient plus importantes que ses propres constatations objectives aurait nécessité son audition. Le médecin s'en est tenu à son rôle d'expert en distinguant entre les éléments subjectifs basés sur les plaintes exprimées et ses propres constatations médicales pour évaluer la capacité de travail de l'assuré (sur ce point, voir ATF 146 V 9 consid. 4.2.2 p. 13).
L'affirmation de l'assuré selon laquelle le docteur C._ aurait "écarté" et occulté "l'ensemble des documents de nature médicale", n'est pas davantage fondée. Comme l'a dûment constaté la juridiction de première instance, le docteur C._ a pris connaissance des avis des médecins traitants du recourant, avant de les apprécier et de discuter les diagnostics retenus, notamment celui d'état post-traumatique (consid. 7.3 supra). C'est également en vain que le recourant critique la durée de l'expertise ("une demi-douzaine d'heures au maximum"), dans la mesure où il ne s'agit pas en soi d'un critère de la valeur probante d'un rapport médical; cette critique ne saurait remettre en question la valeur du travail du docteur C._, dont le rôle consistait à porter un jugement sur l'état de santé du recourant dans un délai relativement bref (à ce sujet, voir arrêts 9C_843/2019 du 3 septembre 2020 consid. 4; 9C_157/2016 du 4 août 2016 consid. 4.1 et les références).
En conséquence, le refus de la juridiction cantonale de donner suite à la demande d'audition de l'expert n'est pas constitutif d'une violation de son droit d'être entendu, ni ne relève d'une appréciation anticipée arbitraire des preuves (sur ce point voir ATF 140 I 285 consid. 6.3.1 p. 299). Le recours est mal fondé sur ce point également.
8.
Le recourant s'en prend encore à la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle il aurait été en mesure de s'occuper de ses enfants, alors qu'il avait dû les envoyer étudier en Angleterre puisqu'il n'arrivait pas à en prendre soin. Toutefois, en se référant à différentes attestations d'études à l'étranger de certains de ses enfants, le recourant n'établit pas les motifs pour lesquels ceux-ci ont suivi leurs études en Angleterre. Au demeurant, dans le cadre de ses constatations sur le contexte social de l'assuré au fil des années - en relation avec l'analyse des atteintes psychiatriques selon la grille d'évaluation normative et structurée prévue par l'ATF 141 V 281 -, la juridiction cantonale a dûment pris en considération l'aide apportée au recourant par sa fratrie. Les constatations relatives aux ressources personnelles du recourant dans ce cadre n'apparaissent dès lors pas manifestement inexactes (consid. 1 supra).
Finalement, en tant que le recourant semble reprocher à l'expert C._, voire à la juridiction cantonale, d'avoir retenu une "dangerosité" de sa part, ce terme a été évoqué par le médecin, puis par les premiers juges, en relation avec le caractère irritable de l'assuré, en lien avec la structure de sa personnalité ("avec une fragilité psychique et une forte irritabilité"). Le recourant ne saurait en tirer une incohérence dans l'appréciation qu'a faite la juridiction cantonale de sa capacité résiduelle de travail.
9.
Il résulte de ce qui précède que le recours est en tous points mal fondé.
10.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Meyer
La Greffière : Perrenoud