Sachverhalt:
A.
A.a. Am 13. Oktober 2016 verstarb C.B._ (nachfolgend: Erblasser) im Alter von neunzig Jahren an seinem letzten Wohnsitz in U._, Einwohnergemeinde V._ (nachfolgend EG V._). Der Erblasser galt als eine der weltweit reichsten Personen. Er hinterliess seine Ehefrau D.B._, einen adoptierten Sohn und je zwei Töchter aus zwei verschiedenen früheren Ehen. B.B._ (Jahrgang 1956) ist eine dieser Töchter. Sie liegt in einem Erbstreit mit der Witwe und weiteren Beteiligten. In der Gerichtsregion Oberland des Kantons Bern sind diesbezüglich mehrere Verfahren hängig.
A.b. C.B._ errichtete am 21. Februar 2014 eine notariell beurkundete letztwillige Verfügung, in der er seine Ehefrau als Erbin für die ganze Erbschaft einsetzte. Den Kindern überliess er, soweit nicht anderweitig abgefunden, Vermächtnisse von je 20 Millionen Dollar. A._, Rechtsanwalt und Notar in U._, wurde zum Willensvollstrecker ernannt. Am 10. August 2016 wurde die letztwillige Verfügung mit der Einsetzung eines Ersatzwillensvollstreckers ergänzt.
A.c. Mit Schreiben vom 15. November 2016 eröffnete die EG V._ (Fachleiter E._) der Alleinerbin und den pflichtteilsgeschützten virtuellen Erben die letztwilligen Verfügungen (Bst. A.b) mittels Zustellung beglaubigter Kopien. A._ ist als Willensvollstrecker vermerkt. Laut Verteiler wurde er mit einer "vollständigen Kopie" bedient.
B.
B.a. Am 23. November 2016 wandte sich B.B._ (über ihre Anwälte) an A._. Sie führte aus, sie habe Kenntnis von seiner Einsetzung als Willensvollstrecker, und forderte gestützt auf Art. 607 Abs. 3 und Art. 610 Abs. 2 ZGB die Herausgabe sämtlicher Informationen, die in irgendeiner Art relevant für die Erbteilung sein könnten. Weiter wurde A._ gebeten, sich einen Überblick über die Vermögenssituation des Erblassers und seiner Frau zu verschaffen, dafür zu sorgen, dass keine Vermögenswerte abhanden kämen, und B.B._ über das Nachlassverfahren auf dem Laufenden zu halten.
B.b. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2016 antwortete A._ (über seinen Anwalt), dass er "in seiner Eigenschaft als Willensvollstrecker nicht der richtige Adressat Ihres [sc. B.B._s] Anliegens" sei, er im Übrigen aber seinen Pflichten als Willensvollstrecker vollumfänglich nachkommen werde.
B.c. Am 8. Dezember 2016 und am 20. März 2017 wandte sich B.B._ erneut (direkt) an A._. Sie forderte ihn auf, ihr die verlangten Informationen zukommen zu lassen. In einem Antwortschreiben vom 31. März 2017 verwies A._s Anwalt im Wesentlichen auf das Schreiben vom 2. Dezember 2016 (Bst. B.b).
B.d. Eine weitere Nachfrage von B.B._ datiert vom 6. April 2017. In seiner Antwort vom 8. Mai 2017 liess A._ ausrichten, dass bislang keine amtliche Mitteilung im Sinne von Art. 517 Abs. 2 ZGB zugegangen sei und sich folglich eine weitere Stellungnahme erübrige.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 19. Mai 2017 reichte B.B._ beim Regierungsstatthalteramt Obersimmental-Saanen eine Aufsichtsbeschwerde ein. Sie beantragte, A._ anzuweisen, seinen Pflichten als Willensvollstrecker nachzukommen und insbesondere die erforderlichen Handlungen für die Verwaltung von C.B._s Nachlass vorzunehmen (Ziffer 1). Weiter verlangte sie, A._ unter Strafandrohung anzuweisen, ihr umfassend Auskunft über sämtliche ihm bekannten und für die Zusammensetzung des Nachlasses und die Erbteilung möglicherweise relevanten Informationen zu erteilen und die entsprechenden Unterlagen offenzulegen. Das Begehren Ziffer 2 nennt exemplarisch eine Reihe von Sachverhalten, auf die sich der behauptete Auskunftsanspruch bezieht (Bankkonti, lebzeitige Vermögenstransfers, Eigentumsverhältnisse an Grundstücken, usw.). Laut Ziffer 3 der Anträge sollte A._ beim Notar F._ eine Kopie des Ehevertrag des Erblassers aus dem Jahr 2011 erhältlich machen und ihr zukommen lassen.
C.b. In einem Schreiben vom 13. September 2017 wies B.B._ A._ auf die fehlende Sicherung von Nachlassgegenständen hin. Sie warf ihm eine Sorgfaltspflichtverletzung vor, wies ihn darauf hin, dass er für allfällige daraus resultierende Schäden voll haftbar sei, und forderte ihn auf, bis zum 22. September 2017 zu erklären, ob er nun als Willensvollstrecker amte oder nicht.
C.c. Am 27. April 2018 erliess das Regierungsstatthalteramt eine Verfügung. Es wies die EG V._ an, A._ binnen 10 Tagen "eine (ausdrückliche) Mitteilung im Sinne von Art. 517 Abs. 2 ZGB per Einschreiben zuzustellen". Im Dispositiv wurde umschrieben, welche Elemente diese Mitteilung enthalten muss. Nachdem er die entsprechende Mitteilung erhalten hatte, erklärte A._ am 7. Mai 2018 auf dem ihm zugestellten Formular, dass er das Mandat als Willensvollstrecker annehme. In der Folge stellte die EG V._ am 14. Juni 2018 das Willensvollstreckerzeugnis aus.
C.d. Mit Verfügung vom 28. Juni 2018 wies das Regierungsstatthalteramt Obersimmental-Saanen A._ an, B.B._ Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker zu geben, seinen Pflichten als Willensvollstrecker nachzukommen und die erforderlichen Handlungen für die Verwaltung des Nachlasses des Erblassers vorzunehmen (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter wurde A._ angewiesen, B.B._ Auskunft über die ihm bekannten und für die Zusammensetzung des Nachlasses und der Erbteilung relevanten Informationen zu erteilen und die erforderlichen Unterlagen offenzulegen (Dispositiv-Ziffer 2). In den Dispositiv-Ziffern 3 bis 11 wies das Regierungsstatthalteramt A._ überdies an, über zahlreiche spezifische Sachverhalte Auskunft zu erteilen und Unterlagen vorzulegen. Soweit weitergehend wurde die Beschwerde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 12).
D.
D.a. A._ erhob darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern und beantragte, die Verfügung des Regierungsstatthalteramts aufzuheben.
D.b. Das Obergericht hiess die Beschwerde teilweise gut und hob die Dispositiv-Ziffern 3 bis 11 der Verfügung vom 28. Juni 2018 auf, soweit A._ angewiesen wird, konkrete Auskünfte zu erteilen und die entsprechenden Unterlagen offenzulegen. Stattdessen wies das Obergericht A._ an, entweder die entsprechenden Auskünfte zu erteilen und Unterlagen vorzulegen oder gegenüber B.B._ zu begründen, weshalb er dazu nicht bereit sei. Soweit weitergehend, wurde die Beschwerde abgewiesen (Entscheid vom 12. Oktober 2018).
E.
Mit Beschwerde vom 14. November 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den Entscheid des Obergerichts insoweit aufzuheben, als er, der Beschwerdeführer, "gemäss Ziffer 2 i.V. mit Dispositivziffer Nr. 1 der Verfügung des Regierungsstatthalteramts" angewiesen wird, binnen 30 Tagen seit Rechtskraft der Verfügung Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker seit dem 8. Dezember 2016 zu geben. Ausserdem ersuchte er darum, seinem Gesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung entsprach dem Begehren mit Verfügung vom 6. Dezember 2018. Das Bundesgericht hat sich im Übrigen die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (BGE 144 V 97 E. 1 S. 99; 144 II 184 E. 1 S. 186).
1.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz aus dem Gebiet der Aufsicht über die Willensvollstrecker (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 5, 75, 90 und 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Soweit eine Aufsichtsbeschwerde gegen den Willensvollstrecker durch dessen Handeln in vermögensrechtlichen Angelegenheiten veranlasst ist, kommt der Streitigkeit vermögensrechtliche Natur zu. Der Zweck des Aufsichtsverfahrens ist diesfalls überwiegend wirtschaftlich, da eine Änderung in der Nachlassverwaltung angestrebt wird (Urteil 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Hier wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die behördliche Anweisung, Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker zu geben. Er bestreitet, seit dem 8. Dezember 2016 rechenschafts- und auskunftspflichtig zu sein (s. Sachverhalt Bst. C.d und E). Der Auftrag des Willensvollstreckers hat zum Inhalt, den Willen des Erblassers zu vertreten (Art. 518 Abs. 2 ZGB), beschlägt also eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Dasselbe gilt auch für Streitigkeiten darüber, wann die fragliche Person diesen Auftrag angenommen hat und von welchem Zeitpunkt an sie Rechenschaft über die Handlungen schuldet, die sie zur Erfüllung des Auftrags vorgenommen oder unterlassen hat. Dem angefochtenen Entscheid zufolge überschreitet der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG massgeblichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Darauf ist abzustellen, zumal dem Bundesgericht keine Anhaltspunkte vorliegen, die es rechtfertigen würden, von der vorinstanzlichen Angabe des Streitwerts abzuweichen.
1.3. Der Beschwerdeführer ist mit einem gegen ihn gerichteten Aufsichtsverfahren konfrontiert. Er ist mit den Begehren, die er zur Abwehr des aufsichtsrechtlichen Vorgehens der Beschwerdegegnerin gestellt hat, im kantonalen Verfahren nicht restlos durchgedrungen und hat ein schutzwürdiges Interesse an der Klärung der Frage, in welchem Umfang (in zeitlicher Hinsicht) er der Beschwerdegegnerin Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker zu geben hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist auch unter dem Gesichtspunkt von Art. 76 BGG zulässig.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann eine Beschwerde daher auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (BGE 136 III 247 E. 4 S. 252). Demgegenüber ist das Bundesgericht grundsätzlich an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 97 Abs. 1 BGG). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Zum Sachverhalt zählt auch der Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.).
3.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob der Beschwerdeführer seinen Auftrag als Willensvollstrecker mit Wirkung am 8. Dezember 2016 angenommen hat.
3.1. Das Obergericht erinnert an Art. 517 Abs. 2 ZGB, wonach der Auftrag als Willensvollstrecker den vom Erblasser bezeichneten Personen von Amtes wegen mitzuteilen ist und diese sich binnen 14 Tagen, von dieser Mitteilung an gerechnet, über die Annahme des Auftrages zu erklären haben, wobei ihr Stillschweigen als Annahme gilt. Die Behörde habe somit zwar den Auftrag mitzuteilen; von einer ausdrücklichen Fristansetzung als Voraussetzung für den Beginn des Fristenlaufs sei im Gesetz jedoch nicht die Rede. Unter Hinweis auf die Rechtsprechung bei fehlerhaften Rechtsmittelbelehrungen folgert der angefochtene Entscheid, dass ein Adressat einer behördlichen Mitteilung, der die gesetzlichen Bestimmungen kennt, sich nicht darauf berufen könne, dass die Frist in der Mitteilung nicht ausdrücklich angesetzt wurde. Massstab sei "grobe Unsorgfalt"; dem Beschwerdeführer sei aber nicht bloss grobe Unsorgfalt, sondern widersprüchliches Verhalten "zur Last zu legen".
Die Vorinstanz stellt fest, dass die EG V._ dem Beschwerdeführer keine ausdrückliche Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB habe zukommen lassen. Sie habe ihm jedoch als hierfür ebenfalls zuständige Behörde gemäss Art. 557 f. ZGB die letztwillige Verfügung eröffnet und ihm damit alle Elemente, die den notwendigen Inhalt der Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB bilden, mitgeteilt. Dass die Mitteilung der letztwilligen Verfügung wie bei allen anderen Beteiligten durch Zustellung einer Kopie erfolgt sei, tue nichts zur Sache. Nach der Praxis der EG V._ sei eine zusätzliche Mitteilung gemäss Art. 517 ZGB nicht vorgesehen und auch nicht erfolgt. Das Obergericht führt weiter aus, auch wenn das ZGB die Mitteilung der letztwilligen Verfügung (Art. 558 ZGB) von der Mitteilung des Willensvollstreckerauftrags (Art. 517 Abs. 2ZGB) unterscheide, sei nicht ersichtlich, weshalb die zweite Mitteilung nicht in der ersten enthalten sein kann, wenn diese alle notwendigen Elemente enthält. Das Obergericht verweist auf Art. 6 Abs. 1 Bst. h des bernischen Gesetzes betreffend die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches vom 28. Mai 1911 (EG ZGB; BSG 211.1). Dort werde im Zusammenhang mit den Zuständigkeiten der Gemeinde Art. 517 ZGB unter die Eröffnung letztwilliger Verfügung subsumiert. Die Auffassung, dass die Testamentseröffnung eine Voraussetzung zur Mitteilung des Willensvollstreckermandats sei, widerspreche der Lehre.
Bezogen auf den konkreten Fall zieht das Obergericht in Erwägung, dass dem Beschwerdeführer als seit 1984 in der Gemeinde V._ tätigem Notar die Praxis der Gemeinde wie auch die 14-Tage-Regel "zweifellos bekannt" gewesen sei. Die Praxis stehe im Einklang mit dem Merkblatt für Gemeinden der Geschäftsleitung der Regierungsstatthalterinnen und Regierungsstatthalter bezüglich Massnahmen bei Todesfällen vom 22. Januar 2014 (aktualisiert am 25. Januar 2017). Dort sei unter dem Titel "Willensvollstreckerin, Willensvollstrecker" erwähnt, dass die Gemeinde die betreffende Person umgehend über die Einsetzung als Willensvollstrecker zu informieren und ihr das Testament zu eröffnen hat. Daraus könne der Beschwerdeführer nicht ableiten, dass die Testamentseröffnung und die Information kumulativ, also in zwei Akten, zu erfolgen hätten. Die Vorinstanz fügt hinzu, dass die Einsetzung als Willensvollstrecker den Beschwerdeführer nicht aus heiterem Himmel getroffen habe. Bei einem zu erwartenden Milliardennachlass dürften Vorsondierungen die Regel sein; der verurkundende Notar habe bei der Einlieferung des Testaments auf eine Absprache mit dem Beschwerdeführer sowie darauf hingewiesen, dass die notariellen Ausfertigungen vom Beschwerdeführer aufbewahrt würden. Dem Beschwerdeführer habe auch bewusst sein müssen, dass ein solcher Nachlass nicht einfach liegen gelassen werden kann, sondern die Willensvollstreckung möglichst rasch greifen sollte. Weiter konstatiert das Obergericht, dass der Beschwerdeführer kurz nach der Testamentseröffnung telefonischen Kontakt mit der Gemeinde gehabt und sich dabei nicht ablehnend zur Übernahme des Mandats geäussert habe. Von der Beschwerdegegnerin am 23. November 2016 zur Erteilung von Informationen in seiner Eigenschaft als Willensvollstrecker aufgefordert, habe er nicht etwa erklärt, dass ihm noch keine amtliche Mitteilung zugekommen sei. Vielmehr habe er durch seinen Anwalt am 2. Dezember 2016 ausführen lassen, dass er "in seiner Eigenschaft als Willensvollstrecker" nicht der richtige Adressat für das Anliegen sei, "seinen Pflichten als Willensvollstrecker [aber] vollumfänglich nachkommen" werde (s. Sachverhalt Bst. B.a und B.b). Letzteres habe er auf zweimalige Nachfrage der Beschwerdegegnerin hin bekräftigt (s. Sachverhalt Bst. B.c). Erst in seinem Schreiben vom 8. Mai 2017 habe er sich neu auf den Standpunkt gestellt, dass ihm keine amtliche Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB zugegangen sei (vgl. Sachverhalt Bst. B.d).
Gestützt auf diese Feststellungen kommt das Obergericht zum Schluss, die übrigen Beteiligten hätten unter den gegebenen Umständen nach Treu und Glauben davon ausgehen können, dass der Beschwerdeführer das Willensvollstreckermandat angenommen hat, umso mehr, als auch das Tätigwerden als Willensvollstrecker in Kenntnis der Ernennung als faktische Annahme anzusehen sei. Darauf sei der Beschwerdeführer zu behaften, und es sei davon auszugehen, dass er das Mandat somit spätestens am 8. Dezember 2016 stillschweigend angenommen hat. An dieser Beurteilung ändert laut Vorinstanz auch der Umstand nichts, dass das Regierungsstatthalteramt die Gemeinde später dazu aufforderte, dem Beschwerdeführer eine ausdrückliche amtliche Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB zuzustellen. Das Obergericht erinnert daran, dass in der Annahme des Mandats die Ausübung eines Gestaltungsrechts liege; sei diese erfolgt, gebe es kein Zurück mehr. Den Vorwurf des Beschwerdeführers, dass sich das Regierungsstatthalteramt widersprüchlich verhalten habe, lässt es nicht gelten. Mit seiner Anweisung an die Gemeinde habe das Regierungsstatthalteramt angesichts des seltsamen Verhaltens des Beschwerdeführers vielmehr und legitimerweise dafür sorgen wollen, dass im Falle einer Bestätigung der Mandatsannahme wenigstens für die Zukunft Klarheit herrsche und die Verwaltung des Nachlasses endlich an die Hand genommen werde.
3.2. Der Beschwerdeführer hält den angefochtenen Entscheid für bundesrechtswidrig. Die Vorinstanz verkenne, dass eine stillschweigende Annahme zwingend das gesetzliche Mitteilungs- und Annahmeverfahren voraussetze. Nur wenn die in Art. 517 Abs. 2 ZGB vorgegebene Frist von 14 Tagen gesetzt werde, könne der Willensvollstrecker das Mandat stillschweigend annehmen. Der Beschwerdeführer bestreitet, je eine amtliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB erhalten zu haben. Entsprechend habe er das Mandat nicht durch Stillschweigen annehmen können. Ebenso wenig sei die amtliche Mitteilung durch die Verfügung vom 15. November 2016 betreffend die Testamentseröffnung (s. Sachverhalt Bst.) ersetzt worden. Die Eröffnung des Testaments (Art. 557 ff. ZGB) sei vielmehr Voraussetzung für die amtliche Mitteilung (Art. 517 Abs. 2 ZGB); die Zustellung einer Kopie der Eröffnungsverfügung an den Willensvollstrecker enthalte nicht "automatisch" auch die amtliche Mitteilung. Diese dürfe nur dann mit der Testamentseröffnung verbunden werden, wenn ihr Zweck, nämlich die Bestellung des Willensvollstreckers zu klären und die Betreuung der Nachlassangelegenheiten sicherzustellen, dadurch nicht vereitelt wird. Der Beschwerdeführer insistiert, dass die amtliche Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB als solche erkennbar sein müsse, ansonsten eine Mandatsannahme durch Stillschweigen nicht in Frage komme. Das Schreiben vom 15. November 2016 habe nur als Testamentseröffnungsverfügung erkannt werden können. Er, der Beschwerdeführer, sei nicht Adressat dieser Verfügung gewesen und habe sie nur als Kopie zugestellt erhalten. Eine solche Verfügung könne offensichtlich keine amtliche, fristauslösende Mitteilung im Sinne von Art. 517 Abs. 2 ZGB enthalten.
Der Beschwerdeführer bestreitet, sich seltsam verhalten zu haben. Er habe stets beteuert, noch nicht Willensvollstrecker zu sein, und sich angesichts der Höhe des Nachlasses gegen den Vorwurf wehren müssen, das Mandat schon per 8. Dezember 2016 angenommen zu haben. Der Zeitpunkt der Annahme sei aus haftpflichtrechtlicher Sicht zentral. Art. 517 Abs. 2 ZGB wolle auch für den Willensvollstrecker Rechtssicherheit schaffen; das gesetzliche Verfahren sei nicht irgendeine untergeordnete Formalität, sondern eine bundesrechtliche Vorschrift zum Schutz sämtlicher Beteiligter. Wurde ein Fehler begangen, so sei dieser im Verhalten der EG V._ zu suchen, die circa eineinhalb Jahre Zeit gehabt hätte, um die amtliche Mitteilung zuzustellen.
Weiter verwahrt sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzlichen Erwägungen zur (angeblichen) Praxis der EG V._, wonach eine Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB zusätzlich zur Testamentseröffnung nicht vorgesehen sei. Eine solche Praxis sei weder von der Gemeinde noch von der Beschwerdegegnerin je nachgewiesen oder aktenkundig dokumentiert worden. Die Vorinstanz begnüge sich mit der Parteibehauptung der Beschwerdegegnerin und ermittle den Sachverhalt willkürlich. Dazu komme, dass die von der EG V._ angeblich praktizierte Vorgehensweise die amtliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB nicht ersetzen bzw. die erwähnten Anforderungen an eine Mandatsannahme durch Stillschweigen nicht erfüllen könne. Daran ändere der vorinstanzliche Hinweis auf das Merkblatt der Geschäftsleitung der Regierungsstatthalterinnen und Regierungsstatthalter betreffend Massnahmen in Todesfällen nichts. Im Gegenteil erhelle aus diesem Merkblatt, dass die Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB und die Eröffnung des Testaments kumulativ zu erfolgen haben. Im Übrigen bestreitet der Beschwerdeführer, je Willensvollstrecker in einem Nachlass gewesen zu sein, in welchem die EG V._ oder sonst eine bernische Gemeinde für die amtliche Mitteilung gemäss Art. 517 Abs. 2 ZGB zuständig gewesen wäre. Anstatt den Sachverhalt genau abzuklären, erhebe das Obergericht ihm gegenüber falsche Unterstellungen.
Schliesslich kritisiert der Beschwerdeführer die vorinstanzliche "Eventualbegründung", wonach er gegenüber der Beschwerdegegnerin ausdrücklich bestätigt habe, Willensvollstrecker zu sein. Selbst die Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin würden bestätigen, dass er nie eineeindeutige und unbedingte Gestaltungserklärung abgegeben habe, hätten sie mit Schreiben vom 13. September 2017 doch eine Erklärung gefordert, ob er nun als Willensvollstrecker amte oder nicht (s. Sachverhalt Bst.). Abgesehen davon müsse die Annahme des Mandats gegenüber der Behörde erklärt werden, weshalb eine gegenüber Dritten erklärte Annahme "so oder so unwirksam" wäre. Offensichtlich falsch ist laut dem Beschwerdeführer auch die "implizite und widersprüchliche Behauptung" der Vorinstanz, dass er das Mandat durch Tätigwerden faktisch angenommen habe. Nicht nur fehle es dafür in den amtlichen Akten an jeglicher Grundlage. Unter den Parteien sei unbestritten, dass er, der Beschwerdeführer, bis zum 7. Mai 2018 gerade untätig geblieben sei, was die Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 13. September 2017 ausdrücklich gerügt habe. Der Beschwerdeführererinnert daran, dass die EG V._ offenbar ein Willensvollstreckerzeugnis in Vorbereitung hatte, dieses jedoch nicht ausstellte, weil sie richtigerweise davon ausging, dass er das Willensvollstreckermandat bis am 7. Mai 2018 noch nicht angenommen hatte.
3.3. Wie das Obergericht zutreffend ausführt, ist die behördliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB für die Ernennung als Willensvollstrecker nicht konstitutiv. Die (deklaratorische) amtliche Mitteilung setzt lediglich das gesetzliche Annahmeverfahren in Gang (Urteil 5A_701/2016 vom 6. April 2017 E. 4.1). Rechtsgültig ernannt wird der Willensvollstrecker vom Erblasser durch letztwillige Verfügung (Art. 517 Abs. 1 ZGB). Der Bezeichnete ist - unter dem Vorbehalt der Gültigkeit des Testaments - von der Eröffnung des Erbgangs (Art. 537 Abs. 1 ZGB) an Willensvollstrecker. Er kann als solcher handeln, auch wenn ihm der für seine Tätigkeit aus praktischen Gründen nützliche Legitimationsausweis noch fehlt. Erlangt der Willensvollstrecker auf andere Weise schon vor der amtlichen Mitteilung Kenntnis von seiner Berufung, so kann er die Annahme des Amtes bereits vorweg erklären, selbständig mit der Wahrnehmung seiner Aufgaben beginnen und um Ausstellung eines Willensvollstreckerzeugnisses ersuchen; eine (nachträgliche) amtliche Mitteilung ist in diesem Fall nicht erforderlich (MARTIN KARRER/NEDIM PETER VOGT/DANIEL LEU, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 5. Aufl. 2015, N 14 zu Art. 517 ZGB; BERNHARD CHRIST/MARK EICHNER, in: Abt/Weibel [Hrsg.], Praxiskommentar Erbrecht, 3. Aufl. 2015, N 17 zu Art. 517 ZGB; GRÉGOIRE PILLER, in: Commentaire romand, Code civil II, 2016, N 26 zu Art. 517 ZGB; HANS RAINER KÜNZLE, in: Berner Kommentar, 2011, N 26 zu Art. 517-518 ZGB; CAROLINE SCHULER-BUCHE, L'exécuteur testamentaire, l'administrateur officiel et le liquidateur officiel: étude et comparaison, 2003, S. 60; BENNO STUDER, Beginn, Abwicklung und Beendigung des Willensvollstreckeramtes, in: Druey/Breitschmid [Hrsg.], Willensvollstreckung, St. Galler Studien zum Privat-, Handels- und Wirtschaftsrecht, Bd. 62, 2001, S. 72).
Ist dem Zweck der behördlichen Mitteilung, den Willensvollstrecker über seine Berufung zu informieren, auf andere Weise Genüge getan, so kann die Mitteilung nach dem Gesagten entfallen. Entsprechend unterstellt das Bundesrecht die Mitteilung keiner Form; der Willensvollstrecker kann schriftlich oder mündlich informiert werden. Auch hinsichtlich des Inhalts der Mitteilung enthält das Bundesrecht keine Vorschriften. Nach herrschender Auffassung muss die Mitteilung zumindest den vollständigen, wörtlichen Teil der letztwilligen Verfügung enthalten, der sich auf die Ernennung bezieht. Damit sich der Bezeichnete über die ihn erwartende Aufgabe ins Bild setzen kann, soll ihm die Behörde nach verbreiteter Lehrmeinung den vollständigen Wortlaut der Verfügung (en) von Todes wegen bekanntgeben (KARRER/VOGT/LEU, a.a.O., N 12 zu Art. 517 ZGB; PILLER, a.a.O., N 27 zu Art. 517 ZGB; KÜNZLE, a.a.O., N 28 zu Art. 517 ZGB; SCHULER-BUCHE, a.a.O., S. 16). Die Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB ist unabhängig von der Eröffnung der letztwilligen Verfügung an die Erben (Art. 557 f. ZGB). Sie soll so früh wie möglich erfolgen, das heisst sobald die Behörde Kenntnis von der Bezeichnung des Willensvollstreckers hat, gegebenenfalls schon vor der Testamentseröffnung (CHRIST/EICHNER, a.a.O., N 15 zu Art. 517 ZGB; PILLER, a.a.O., N 28 zu Art. 517 ZGB; ausführlich KÜNZLE, a.a.O., N 26 zu Art. 517 ZGB). Die Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB und die Eröffnung des Testaments dürfen nur dann miteinander verbunden werden, wenn dadurch der Zweck der Mitteilung, nämlich die Bestellung des Willensvollstreckers möglichst bald zu klären und damit die Betreuung der Nachlassangelegenheiten sicherzustellen, nicht vereitelt wird (CHRIST/EICHNER, a.a.O.)
Die behördliche Mitteilung löst die 14-tägige Frist aus, nach deren Ablauf das Mandat als angenommen gilt, wenn es nicht abgelehnt wurde. Erklärt sich die bezeichnete Person vor Ablauf dieser Frist gegenüber der zuständigen kantonalen Behörde über die Annahme des Auftrages, so ist diese Erklärung an keine Form gebunden (Urteil 5A_701/2016 vom 6. April 2017 E. 4.1); sie kann mündlich oder schriftlich oder auch dadurch erfolgen, dass der Willensvollstrecker in Kenntnis seiner Ernennung schon vor der amtlichen Mitteilung oder vor einer förmlichen Annahmeerklärung mit der Erfüllung seiner Aufgaben beginnt (PILLER, a.a.O. N 39 zu Art. 517 ZGB; KÜNZLE, a.a.O., N 30 zu Art. 517-518 ZGB; KARRER/VOGT/LEU, a.a.O., N 21 zu Art. 517 ZGB; SCHULER-BUCHE, a.a.O., S. 60; FRITZ WILLENEGGER, La nature juridique de l'exécution testamentaire d'après le Code Civil Suisse, 1928, S. 94). Will die bezeichnete Person das Mandat annehmen, so braucht sie bis zum Ablauf der in Art. 517 Abs. 2 ZGB statuierten Frist keine (ausdrückliche) Erklärung abzugeben; sie kann sich mit Stillschweigen begnügen, denn ihr Stillschweigen gilt nach dem Willen des Gesetzgebers als Annahme (Urteil 5A_701/2016 vom 6. April 2017 E. 4.1 mit Hinweisen). Wie dem Empfänger eines Antrags zum Abschluss eines Vertrages im Sinne von Art. 6 OR schreibt das Gesetz in Art. 517 Abs. 2 ZGB auch der als Willensvollstrecker bezeichneten Person, die das Mandat nicht annehmen will, eine ausdrückliche Ablehnung vor (a.a.O., E. 4.2 mit Hinweisen). Nach verbreiteter Meinung im Schrifttum kann der Willensvollstrecker die Annahme seines Mandats schon erklären, bevor er die amtliche Mitteilung entgegen nimmt (KARRER/VOGT/LEU, a.a.O., N 15 zu Art. 517 ZGB), ja sogar schon vor der Testamentseröffnung (KÜNZLE, a.a.O., N 31 zu Art. 517-518 ZGB), wenn er bereits Kenntnis von der Aufgabe hat, mit der ihn der Erblasser betrauen wollte (PILLER, a.a.O. N 38 zu Art. 517 ZGB). Mit der (so verstandenen) Annahme beginnt die Willensvollstreckung, tritt der Willensvollstrecker also in seine Rechte und Pflichten ein, einschliesslich der Verantwortlichkeit (KARRER/VOGT/LEU, N 21 zu Art. 517 ZGB; Christ/Eichner, a.a.O., N 23 zu Art. 517 ZGB; HANSJÜRG BRACHER, Der Willensvollstrecker, insbesondere im zürcherischen Zivilprozessrecht, 1966, S. 154; PILLER, a.a.O., N 39 zu Art. 517 ZGB; PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, 2. Aufl. 2015, S. 593; WILLENEGGER, a.a.O., S. 93).
3.4. Bezogen auf den konkreten Fall ergibt sich aus den vorigen Erwägungen, was folgt: Zunächst täuscht sich der Beschwerdeführer, wenn er darauf pocht, dass die Eröffnung des Testaments (Art. 557 f. ZGB) eine Voraussetzung für die amtliche Mitteilung (Art. 517 Abs. 2 ZGB) sei, und den kantonalen Instanzen vorwirft, die amtliche Mitteilung durch die Testamentseröffnung "ersetzt" zu haben. Dass die Testamentseröffnung die behördliche Mitteilung ersetzt hätte, ist dem angefochtenen Entscheid gar nicht zu entnehmen. Das Obergericht weist vielmehr darauf hin, dass die Verfügung der EG V._ vom 15. November 2016 alle Elemente enthalte, die für eine Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB erforderlich sind. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, setzt die stillschweigende Annahme des Auftrags nach Art. 517 Abs. 2 ZGB nicht voraus, dass die Behörde dem zur Willensvollstreckung Berufenen eine förmliche Verfügung eröffnet, die speziell als solche bezeichnet und eigens an ihn adressiert ist. Wie das Obergericht zutreffend bemerkt, schreibt das Gesetz insbesondere auch nicht vor, dass die Frist von 14 Tagen dem Berufenen ausdrücklich "gesetzt" werden muss. Art. 517 Abs. 2 ZGB besagt lediglich, dass der Auftrag als angenommen gilt, falls er vom Berufenen nicht binnen 14 Tagen, von dieser Mitteilung an gerechnet, abgelehnt wird. Mithin kommt es einzig darauf an, dass die Behörde den Willensvollstrecker - ohne an eine bestimmte Form gebunden zu sein - über seine Berufung informiert und dass dieser von der in Art. 517 Abs. 2 ZGB enthaltenen Vorschrift über die Annahme des Auftrags Kenntnis hat bzw. unter den gegebenen Umständen haben muss.
Der Beschwerdeführer beteuert an verschiedenen Stellen seines Schriftsatzes, dass er nie eine amtliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB erhalten habe und das Schreiben vom 15. November 2016 nur als Testamentseröffnung habe erkennen können, zumal es nicht an ihn adressiert gewesen und ihm nur in Kopie zugestellt worden sei. Allein damit vermag er nichts auszurichten. Wie der aktenkundigen öffentlichen letztwilligen Verfügung vom 21. Februar 2014 (s. Sachverhalt Bst. A.b) ohne Weiteres zu entnehmen ist, errichtete der Erblasser dieses Testament, in welchem er (unter anderem) den Beschwerdeführer zum Willensvollstrecker bestellte, in den Büroräumlichkeiten des Beschwerdeführers in U._ "in the presence of all participants", das heisst in Anwesenheit aller Teilnehmer. Wenig überraschend stellt das Obergericht - vom Beschwerdeführer unwidersprochen - denn auch fest, dass der verurkundende Notar bei der Einlieferung des Testaments auf eine Absprache mit dem Beschwerdeführer hingewiesen habe. Trotz alledem ist natürlich nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdeführer im Februar 2014 noch keine Ahnung von seiner Berufung als Willensvollstrecker hatte. Dass er aber (spätestens) mit dem Erhalt der amtlichen Verfügung betreffend die Testamentseröffnung vom 15. November 2016 tatsächlich von seiner Einsetzung als Willensvollstrecker und vom weiteren Inhalt des öffentlichen Testaments erfuhr, stellt der Beschwerdeführer - bei all seinem Beharren auf einer förmlichen, an ihn adressierten behördlichen Mitteilung - nicht in Abrede. Ebenso wenig bestreitet er die vorinstanzliche Erwägung, wonach ihm als seit 1984 tätigem Notar die 14-Tage-Regel bekannt gewesen sei. Auch dass ihm die EG V._ im Schreiben vom 15. November 2016 keine 14-tägige Frist ansetzte, steht der Wirksamkeit der behördlichen Mitteilung im Sinne von Art. 517 Abs. 2 ZGB nicht entgegen. Gestützt auf diese Elemente kam das Obergericht zutreffend zum Schluss, dass in der Verfügung vom 15. November 2016 vom erforderlichen Inhalt her auch die Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB enthalten war, der Auftrag als Willensvollstrecker dem Beschwerdeführer also bundesrechtskonform mitgeteilt wurde und auch die 14-tägige Frist mit Erhalt der Verfügung vom 15. November 2016 zu laufen begann. Angesichts dessen kann offenbleiben, was es mit der angeblichen Praxis der EG V._ auf sich hat und ob der Beschwerdeführer davon Kenntnis hatte, noch kommt es darauf an, ob der Beschwerdeführer schon einmal Willensvollstrecker in einem Nachlass war, in welchem eine bernische Gemeinde für die amtliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB zuständig gewesen wäre.
Nach dem Gesagten bleibt nur noch zu prüfen, ob sich der Beschwerdeführer binnen 14 Tagen, von der Mitteilung an gerechnet, über die Annahme des Auftrages erklärt hat. Laut der Verfügung des Regierungsstatthalteramts (s. Sachverhalt Bst. C.d), auf die der angefochtene Entscheid verweist, erhielt der Beschwerdeführer die Verfügung vom 15. November 2016 spätestens am 24. November 2016, so dass die 14-tägige Frist am 8. Dezember 2016 ablief. Mit Bezug auf diese Eckdaten findet sich in der Beschwerde kein Widerspruch. Auch mit der Feststellung des Obergerichts, dass der Beschwerdeführer vor Ablauf dieser Frist keine Ablehnung des Mandats kundgetan habe, muss es sein Bewenden haben. Der vorinstanzlichen Erkenntnis, wonach er kurz nach der Testamentseröffnung telefonischen Kontakt mit der EG V._ gehabt und sich dabei nicht ablehnend zur Übernahme des Mandats geäussert habe, hat der Beschwerdeführer nichts Substantielles entgegen zu setzen. Er begnügt sich mit der vagen Behauptung, dass er stets beteuert habe, noch nicht Willensvollstrecker zu sein. Soweit er damit seine verschiedenen Reaktionen auf die Anfragen der Beschwerdegegnerin (s. Sachverhalt Bst. B) anspricht, vermag er nichts auszurichten, weist er doch selbst - zutreffend - darauf hin, dass sich der Willensvollstrecker nicht gegenüber Dritten, sondern gegenüber der Behörde über die Annahme des Mandats erklären muss. Im Übrigen weist das Obergericht darauf hin, dass der Beschwerdeführer gegenüber der Beschwerdegegnerin seine Eigenschaft als Willensvollstrecker bestätigt und erst mit Schreiben vom 8. Mai 2017 geltend gemacht habe, keine amtliche Mitteilung nach Art. 517 Abs. 2 ZGB erhalten zu haben. Auch darauf geht der Beschwerdeführer nicht ein.
Entgegen der Lesart des Beschwerdeführers unterstellt der angefochtene Entscheid dem Beschwerdeführer nicht, seinen Auftrag durch Tätigwerden als Willensvollstrecker faktisch angenommen zu haben. Mit ihrem Hinweis auf die Literaturstelle zur Mandatsannahme durch konkludentes Handeln will die Vorinstanz offensichtlich ihre vertrauenstheoretischen Überlegungen untermauern, wonach die "übrigen Beteiligten" angesichts des Verhaltens des Beschwerdeführers nach Treu und Glauben von einer Annahme des Auftrags ausgehen konnten. Unbehelflich ist auch der weitere Einwand des Beschwerdeführers, die EG V._ sei ebenfalls davon ausgegangen, dass er den Auftrag bis am 7. Mai 2018 noch nicht angenommen habe, ansonsten sie mit der Ausstellung des Willensvollstreckerzeugnisses nicht zugewartet hätte. Abgesehen davon, dass im hiesigen Verfahren nicht eine allfällige Einschätzung der Rechtslage durch die EG V._, sondern der obergerichtliche Entscheid zur Beurteilung steht, übersieht der Beschwerdeführer, dass die fragliche Bescheinigung - wie die diesbezügliche Mitteilung (E. 3.3) - nur deklaratorischen Charakter hat und dem Willensvollstrecker als Beweis für die Ernennung und Annahme seiner Funktion dient (Urteile 5A_635/2015 vom 21. Juni 2016 E. 2.1; 5A_257/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 1.4). Hatte der Beschwerdeführer seinen Auftrag durch Stillschweigen mit Wirkung ab 8. Dezember 2016 angenommen, so konnte der Umstand, dass die EG V._ mit der Ausstellung des Zeugnisses zuwartete, dieser Annahme nicht im Wege stehen. Das Gesagte gilt sinngemäss für das Argument, wonach auch das Regierungsstatthalteramt zum Schluss gekommen sei, dass noch keine amtliche Mitteilung erfolgt war, andernfalls es die EG V._ nicht angewiesen hätte, ihm, dem Beschwerdeführer, eine amtliche Mitteilung zukommen zu lassen (vgl. Sachverhalt Bst. C.c). Gegenstand der Beschwerde ist allein der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer unterstellt, hält die Vorinstanz auch nicht fest, dass er sein Mandat erst gestützt auf die Verfügung des Regierungsstatthalteramts vom 27. April 2018 "für die Zukunft" angenommen habe. Vielmehr betont sie, dass es sich bei der Annahme des Mandats um die Ausübung eines Gestaltungsrechts handle, weshalb es "kein Zurück" mehr gebe, wenn die Annahme erfolgt sei. Damit stellt der angefochtene Entscheid zutreffend klar, dass der besagten Verfügung vom 27. April 2018 für die (bereits per 8. Dezember 2016 erfolgte) Annahme keine Bedeutung mehr zukommt.
3.5. Nach alledem steht fest, dass die Beschwerde unbegründet ist, soweit sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Erkenntnis wehrt, dass er sein Mandat als Willensvollstrecker im Nachlass von C.B._ mit Wirkung per 8. Dezember 2016 durch Stillschweigen angenommen hat. Es bleibt somit dabei, dass der Beschwerdeführer über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker seit dem 8. Dezember 2016 Aufschluss zu geben hat. Die erstinstanzliche Verfügung räumte dem Beschwerdeführer hierzu eine Frist von dreissig Tagen "seit Rechtskraft dieser Verfügung" ein. Die aufschiebende Wirkung, die der Beschwerde an das Bundesgericht gestützt auf Art. 103 Abs. 3 BGG zuerkannt wurde (s. Sachverhalt Bst. E), hemmte den Eintritt der (formellen) Rechtskraft grundsätzlich nicht (FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. I, 2. Aufl. 2016, S. 384). Die ursprüngliche Frist ist mithin bereits verstrichen. Das Bundesgericht räumt dem Beschwerdeführer deshalb eine neue Frist von dreissig Tagen ein.
4.
4.1. Für den - nun eingetretenen - Fall, dass es hinsichtlich des Zeitpunkts der Mandatsannahme mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden hat (E. 3), beteuert der Beschwerdeführer, "keine Pflichten verletzt" zu haben. Ein Willensvollstrecker könne nur dann Pflichten verletzen, wenn er wisse, dass er Willensvollstrecker ist; dieses Wissen habe ihm vor dem 7. Mai 2018 offensichtlich gefehlt. Die unhaltbare Erwägung des Obergerichts, wonach ihm nicht bloss grobe Unsorgfalt, sondern auch widersprüchliches Verhalten zur Last zu legen sei, fusse auf der falschen Ansicht, dass er mit der Praxis der EG V._ betreffend die amtliche Mitteilung vertraut gewesen sei. Der Beschwerdeführer tadelt den Vorwurf, den Grundsatz von Treu und Glauben missachtet zu haben, als "höchst stossend"; die Vorinstanz habe sich noch nicht einmal die Mühe genommen, sich bei ihm zu erkundigen, ob ihre aus der Luft gegriffene Behauptung betreffend seine Kenntnis der Praxis der EG V._ zutrifft.
4.2. All diese Vorwürfe laufen ins Leere. Ob der Beschwerdeführer in der Zeit vor dem 7. Mai 2018 irgendwelche Pflichten verletzt hat, die ihm aus seinem Auftrag als Willensvollstrecker erwachsen, ist nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids und deshalb heute auch nicht Thema vor Bundesgericht. Im Streit um die behördliche Anweisung an den Beschwerdeführer, Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker Aufschluss zu geben (s. Sachverhalt Bst. C.d), dreht sich der vorliegende Prozess um die (Vor-) Frage, in welchem Zeitpunkt der Beschwerdeführer sein Mandat angenommen hat. Soweit die Vorinstanz das Verhalten des Beschwerdeführers als unsorgfältig oder widersprüchlich beurteilt, steht auch diese Einschätzung im Zusammenhang mit der Frage, wann der Auftrag angenommen wurde. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, ist der angefochtene Entscheid diesbezüglich nicht zu beanstanden. Insbesondere kommt es für den Ausgang der Auseinandersetzung auch nicht darauf an, ob dem Beschwerdeführer eine angebliche Praxis der EG V._ hätte vertraut sein müssen (E. 3.4).
Unbegründet ist schliesslich die Befürchtung des Beschwerdeführers, dass es sich nicht mit der Rechtssicherheit vertrage, wenn die Vorinstanz irgendein von der Gemeinde versandtes Dokument im Nachhinein als amtliche Mitteilung qualifiziere, und dass zahlreiche Willensvollstrecker das Mandat unbewusst durch Stillschweigen annehmen würden, sollte der angefochtene Entscheid geschützt werden. Wie die vorinstanzlichen Feststellungen zeigen, handelte es sich im konkreten Fall, den allein es hier zu beurteilen gilt, nicht um irgendein Dokument, sondern um die amtliche Testamentseröffnung, die den Beschwerdeführer an prominenter Stelle als Willensvollstrecker nennt und die dem Beschwerdeführer auch zugestellt wurde. Vom Beschwerdeführer, der als Jurist auch das Anwalts- und das Notariatspatent erlangt hat, konnte erwartet werden, dass er - im Wissen um die gesetzliche Frist nach Art. 517 Abs. 2 ZGB - rechtzeitig auf das Schreiben vom 15. November 2016 reagierte und sich der zuständigen Behörde gegenüber unmissverständlich erklärte, falls er mit der Willensvollstreckung nichts zu tun haben wollte.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, verbunden mit der erwähnten Ansetzung einer neuen Frist. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die sich lediglich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu vernehmen hatte, mit ihrem dort gestellten Begehren aber nicht durchdrang, ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
1.2. Der Beschwerdeführer wird angewiesen, der Beschwerdegegnerin im Sinne der Erwägungen binnen 30 Tagen seit Eröffnung dieses Urteils Aufschluss über seine bisherige Tätigkeit als Willensvollstrecker zu geben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsstatthalteramt Obersimmental-Saanen und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn