Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Nach einer Strafanzeige des Beschwerdeführers stellte die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis das Verfahren wegen falscher Anschuldigung und Urkundenfälschung mit Verfügung vom 20. Mai 2019 ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 2. April 2020 ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen und dem Beschwerdeführer wurden Verfahrenskosten von Fr. 900.-- auferlegt.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
In einer Beschwerde an das Bundesgericht ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwieweit dieser nach Meinung der Beschwerde führenden Partei gegen das Recht verstossen soll (Art. 42 Abs. 2 BGG). Für die Rüge der Verletzung von Grundrechten bestehen qualifizierte Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich nur berechtigt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung allfälliger, ihr durch die Straftat entstandener Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; BGE 141 IV 1 E. 1.1).
3.
Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwieweit der angefochtene Beschluss, mit dem die Vorinstanz die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft schützt, gegen Bundesrecht verstossen soll. Darüber hinaus äussert sich der Beschwerdeführer auch nicht zu seiner Legitimation als Privatkläger. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht. Dies ist im Übrigen auch der Fall, soweit der Beschwerdeführer darin beanstandet, es seien ihm trotz seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege Verfahrenskosten von Fr. 900.-- auferlegt worden. Er legt vor Bundesgericht nicht dar, dass und weshalb er aufgrund seines Gesuchs und des nicht vorweggenommenen Kostenentscheids von einer Kostenfreiheit des kantonalen Beschwerdeverfahrens hätte ausgehen dürfen. Er bringt auch nichts vor, was die vorinstanzliche Einschätzung der Aussichtslosigkeit seines Rechtsmittels in Frage stellen könnte, und vermag auch nicht zu sagen, inwiefern von willkürlichen Gebühren und einer Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben gesprochen werden könnte. Aus Art. 29 Abs. 3 BV ergibt sich zwar ein Anspruch von finanziell bedürftigen Rechtsuchenden auf Befreiung der Kostenvorschussobliegenheit, nicht aber auf definitive Befreiung selbst verursachter Verfahrenskosten.
4.
Auf die Beschwerde ist mangels einer rechtsgenügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Von einer Kostenauflage kann ausnahmsweise abgesehen werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill