Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wurde mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 12. Februar 2019 wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand zu einer bedingten Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu Fr. 90.--, einer Busse von Fr. 2'200.-- sowie zu den Verfahrenskosten von total Fr. 2'987.90 verurteilt. Am 8. April 2019 ersuchte er um Erlass der Verfahrenskosten von Fr. 2'987.90. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 9. Mai 2019 ab. Die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 27. Juni 2019 ab.
Dagegen gelangt der Beschwerdeführer mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Forderungen aus Verfahrenskosten können von den Strafbehörden gestundet oder unter Berücksichtigung der wirtschaftlichen Verhältnisse der kostenpflichtigen Person herabgesetzt oder erlassen werden (Art. 425 StPO). Art. 425 StPO ist als Kann-Bestimmung konzipiert. Die Strafbehörden verfügen bei der Frage, ob Verfahrenkosten zu stunden oder zu erlassen sind, daher über einen grossen Ermessens- und Beurteilungsspielraum, in welchen das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift. Das Bundesrecht belässt die konkrete Ausgestaltung der Voraussetzungen von Stundung oder Erlass zudem weitgehend der kantonalen Ausführungsgesetzgebung. Diese Rechtslage hat zur Folge, dass das Bundesgericht eine Stundung oder den Erlass von Verfahrenskosten lediglich unter Willkürgesichtspunkten prüft (Urteil 6B_754/2019 vom 20. August 2019 E. 2 mit Hinweisen).
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Beschwerde in Strafsachen in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Verletzung des Willkürverbots) gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 500 E. 1.1 S. 503; 143 I 377 E. 1.2 S. 380).
3.
Die Vorinstanz erwägt, bei monatlichen Einkünften des Beschwerdeführers von Fr. 4'800.-- sei von einem Überschuss auszugehen, der es diesem ermögliche, die Verfahrenskosten (in Raten) zu bezahlen. Erlassgesuche würden praxisgemäss nicht bewilligt, wenn die zu erlassende Forderung mit anderen Forderungen (vorliegend den monatlichen Darlehensrückzahlungen von Fr. 736.50) konkurrieren würden, da nicht der Staat einseitig auf Forderungen verzichten solle.
4.
Der Beschwerdeführer legt nicht ansatzweise dar, dass und weshalb sich vorliegend aus der kantonalen Ausführungsgesetzgebung zu Art. 425 StPO ein Anspruch auf Erlass der Verfahrenskosten ergibt und die vorinstanzliche Würdigung daher willkürlich sein soll. Er beschränkt sich vor Bundesgericht darauf, seine hohen monatlichen Auslagen seinem jährlichen Einkommen von netto Fr. 57'600.-- gegenüberzustellen. Mit der Begründung der Vorinstanz, wonach der Staat nicht gegenüber anderen Gläubigern zurückzustehen hat, setzt er sich zu Unrecht nicht auseinander. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit dem angefochtenen Entscheid gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen haben könnte. Seine Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein sinngemässes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld