Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 20. September 2021 erteilte das Richteramt Olten-Gösgen dem Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Olten-Gösgen definitive Rechtsöffnung für Fr. 25'000.--.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 28. September 2021 Beschwerde. Mit Urteil vom 4. Oktober 2021 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat und auferlegte der Beschwerdeführerin die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 400.--.
Gegen dieses Urteil hat die Beschwerdeführerin am 3. November 2021 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2021 wurde der Beschwerde im Sinne der Erwägungen die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1; 142 III 364 E. 2.4).
3.
Vor Obergericht kritisierte die Beschwerdeführerin das als Rechtsöffnungstitel vorgelegte Urteil des Bezirksgerichts Höfe vom 23. April 2020, mit welchem sie als unterlegene Partei u.a. zur Bezahlung der Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 25'000.-- verpflichtet wurde. Das Obergericht hat erwogen, dass dieses Urteil in Rechtskraft erwachsen sei, einen definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinne von Art. 80 Abs. 1 SchKG darstelle und die Beschwerdeführerin verkenne, dass dieses Urteil im Rechtsöffnungsverfahren inhaltlich nicht überprüft werden könne. Ferner nehme die Beschwerdeführerin in der Beschwerdeschrift auf die Begründung des angefochtenen Rechtsöffnungsentscheids keinen Bezug. Die Beschwerde erweise sich als offensichtlich unbegründet und sei abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden könne.
In ihrer Eingabe an das Bundesgericht geht die Beschwerdeführerin nicht in nachvollziehbarer Weise auf die obergerichtlichen Erwägungen ein und sie zeigt erst recht nicht anhand der Erwägungen des Obergerichts auf, inwiefern das Obergericht mit der Bestätigung der Rechtsöffnung gegen verfassungsmässige Rechte verstossen haben soll. Soweit sie die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren beanstandet, legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die obergerichtliche Beurteilung, ihre Beschwerde sei von vornherein aussichtslos gewesen, unzutreffend sein soll. Dass ihrem Verwaltungsratspräsidenten in einem früheren Verfahren vor Bundesgericht bereits einmal die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde, ist für die Frage der Prozessaussichten des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens offenkundig ohne Relevanz. Da die Verfassungsbeschwerde insgesamt keine hinreichend begründeten Rügen enthält, kann auf sie nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss