Faits :
A.
A.a. La société A._ SA, agissant par son administrateur unique C._, exploite un bureau d'architecture et d'entreprise générale (ci-après: l'entreprise générale ou la défenderesse ou la recourante). Elle a été chargée, en qualité d'entrepreneur général, de la construction du nouveau centre D._. Par contrat d'entreprise daté du 21 octobre 2013, elle a sous-traité la deuxième étape des travaux de maçonnerie à B._ AG, entreprise de construction et de transport (ci-après: la sous-traitante ou la demanderesse ou l'intimée), agissant par l'un de ses administrateurs, avec signature individuelle, E._.
F._, employé de l'entreprise générale, a assumé le suivi et la coordination du chantier, succédant à G._, qui était intervenu comme chef de projet et directeur du chantier au début des travaux. Il était la personne de contact pour la sous-traitante, notamment en raison de sa connaissance de la langue allemande. Il a ainsi agi comme interlocuteur principal de la sous-traitante, a suivi et coordonné les travaux, a négocié les documents précontractuels, en particulier le protocole de négociation de l'offre (avec les éléments financiers importants qu'il contient, le prix retenu ne différant que très peu du prix contractuel) et a confirmé le prix net convenu.
A.b. Le contrat d'entreprise conclu entre l'entreprise générale et la sous-traitante, qui porte la date du 21 octobre 2013, a été signé, pour celle-là, par C._ et, pour celle-ci, par E._. A son art. 3, il précise que l'entreprise générale est chargée de la direction des travaux (DT). Il renvoie à différents documents, ainsi qu'aux Conditions générales de l'entreprise générale (ci-après: les CG). Le coût des travaux est arrêté au montant brut de 910'000 fr. TTC. Le décompte final devait être établi sous forme de métrés et les prix unitaires étaient bloqués jusqu'à la fin du chantier.
Lorsqu'il a signé le contrat le 11 novembre 2013, E._ a apposé, à la fin de l'art. 7, peu avant l'espace destiné aux signatures, l'ajout manuscrit suivant:
" Hr. F._ ist unterschriftberechtigt für den Bauherrn + GU ".
La question de savoir quand C._ a signé le contrat - en premier le 21 octobre 2013 ou en second après l'ajout manuscrit apposé par E._ -, est litigieuse. Les deux exemplaires de ce contrat, dont chacune des parties a produit son exemplaire en procédure, contiennent tous deux cet ajout. L'entreprise générale, qui avait en tout cas reçu un exemplaire du contrat ainsi modifié, n'en a pas contesté le contenu et l'a conservé dans son dossier. Elle l'a produit en procédure.
Selon l'art. 10 des CG, intégrées au contrat d'entreprise, la facture finale est vérifiée par la direction de travaux dans les trois mois suivant sa remise et celle-ci établit dans ce délai son décompte final. Le délai de paiement commence à courir dès signature de ce décompte par l'entrepreneur. Est par ailleurs indiqué: " Attention! La DT [direction des travaux] n'a pas compétence pour approuver ce décompte final; cette compétence est du ressort du maître de l'ouvrage... "
A.c. F._ a signé l'avis de réception de l'ouvrage et a établi et contrôlé les métrés. Le 29 mai 2015, il a soumis à la sous-traitante, sans formuler de réserves, le décompte final qu'elle était invitée à signer, décompte qui indiquait que le solde serait payé dès qu'aurait été apposée sa seule signature, et en a adressé une copie à G._, qui n'a pas réagi. Puis, à la suite de remarques de la sous-traitante, il lui a adressé le décompte final corrigé, arrêté au montant de 767'000 fr., le 10 juin 2015.
Le même 29 mai 2015, F._ a été licencié par son employeur, soit l'entreprise générale, pour fin juillet 2015, ce dont la sous-traitante n'a pas été informée. En procédure, il a déclaré qu'il " ne savait pas très clairement s'il avait le pouvoir de signer ", mais qu'il " avait compris qu'il avait le pouvoir d'engager l'entreprise du fait que le chef de bureau, G._, l'avait chargé de gérer l'ensemble du chantier et de faire les métrés ".
Ce n'est que le 5 janvier 2016 que, pour la première fois, l'entreprise générale a contesté le rôle de F._ et le fait qu'il a signé pour elle certains documents.
La sous-traitante a adressé à l'entreprise générale une facture de 767'600 fr., ce qui, compte tenu d'un acompte de 192'400 fr. versé à titre de garantie, porte le montant total réclamé à 960'000 fr. (767'600 fr. + 192'400 fr.). L'entreprise générale a versé un acompte de 400'000 fr. le 1er février 2016. Le solde de 560'000 fr. est ainsi litigieux.
B.
Après l'échec de la conciliation le 26 octobre 2016, la sous-traitante a déposé sa demande en paiement contre l'entreprise générale devant le Tribunal des districts de Martigny et St-Maurice le 26 janvier 2017, concluant au paiement de 560'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2015 et de 10'000 fr. en capital.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 5 février 2018, le Juge de district a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse le montant de 560'000 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2015 sur le montant de 367'600 fr. et dès le 9 septembre 2015 sur celui de 192'400 fr., et le montant de 10'000 fr. en capital. En substance, il a jugé ne pas pouvoir déterminer si l'administrateur de l'entreprise générale avait apposé sa signature sur le contrat d'entreprise avant ou après l'ajout apporté par l'administrateur de la sous-traitante, de sorte qu'il n'avait pas pu être établi que l'entreprise générale aurait conféré des pouvoirs à son employé par contrat. En revanche, l'entreprise générale a laissé se créer l'apparence d'un pouvoir de représentation de son employé (procuration externe apparente), de sorte que l'art. 33 al. 3 CO est applicable.
Statuant le 7 octobre 2019, la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté l'appel de la défenderesse et confirmé le jugement attaqué. En bref, dans un premier temps, la cour cantonale a estimé que l'argumentation de l'entreprise générale tirée de l'ordre dans lequel les signatures avaient été apposées sur le contrat d'entreprise n'était pas pertinente. Puis, dans un deuxième temps, après avoir exposé le système de la représentation des art. 32 ss CO, elle a considéré qu'il n'avait pas été démontré que l'entreprise générale avait conféré à son employé des pouvoirs de représentation par contrat; elle a aussi exclu que le décompte final ait été ratifié par l'entreprise générale. Dans un troisième temps enfin, elle a admis une représentation externe apparente: elle a considéré que l'employé avait agi comme interlocuteur principal sur le chantier, qu'il avait négocié les documents précontractuels, dont le prix convenu, signé l'avis de réception de l'ouvrage et établi et contrôlé les métrés, de sorte qu'il y avait apparence de pouvoirs, laquelle était encore renforcée par l'absence de réaction à l'ajout manuscrit qui avait été apporté au contrat par la sous-traitante et dont il découlait que l'employé avait la capacité de représenter sans restriction l'entreprise générale. Celle-ci, qui avait reçu le contrat modifié, ne pouvait prétendre en avoir ignoré le contenu. En outre, son administrateur ne saurait, à titre personnel, invoquer le fait qu'il n'a pas eu connaissance de cette clause et se retrancher derrière une éventuelle organisation défaillante de sa société. Quant à la sous-traitante, elle était de bonne foi.
C.
Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 10 octobre 2019, la défenderesse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 11 novembre 2019, concluant à sa réforme en ce sens que la demande de la sous-traitante est rejetée. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de cet arrêt et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Invoquant une constatation manifestement inexacte des faits (art. 97 al. 1 LTF) et la violation des art. 8 CC, 55 al. 1 et 157 CPC, elle soutient qu'elle a signé le contrat en premier lieu, en concluant que la sous-traitante savait qu'il n'y avait pas de manifestations de volontés concordantes à propos de la clause ainsi ajoutée. Ensuite, elle invoque la violation de l'art. 33 al. 3 CO, au motif que la sous-traitante n'était pas de bonne foi, puisqu'elle ne lui a pas signalé l'ajout de la clause manuscrite qu'elle avait introduit, et que l'art. 10 des CG ne lui permettait pas de penser que l'employé pouvait signer.
La recourante a encore déposé de brèves observations, l'intimée se limitant à préciser que celles-ci n'apportent rien.
Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 et 45 al. 1 LTF) par la défenderesse qui a succombé dans ses conclusions libératoires (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) prise sur appel par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une affaire de contrat d'entreprise (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les références). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2 p. 234; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 255; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.).
2.2. Sous réserve de la violation des droits constitutionnels (art. 106 al. 2 LTF), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est toutefois lié ni par les motifs invoqués par les parties, ni par l'argumentation juridique retenue par l'autorité cantonale; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400 et l'arrêt cité).
3.
Il résulte de l'état de fait de l'arrêt attaqué que A._ SA est l'entrepreneur général, qui assume également la direction des travaux, et que B._ AG est la sous-traitante, avec laquelle la première a conclu un contrat d'entreprise. L'entreprise générale se désigne dans le contrat comme maître de l'ouvrage: comme cela résulte du rubrum de l'arrêt attaqué, elle ne peut qu'être la représentante du maître de l'ouvrage, et non celui-ci même.
4.
Outre les personnes visées aux art. 718 al. 1-2 et 721 CO, peuvent valablement représenter la société anonyme (ci-après: la SA), dans la conclusion d'actes juridiques avec des tiers, les personnes qui ont la qualité de représentants civils au sens des art. 32 ss CO (ATF 146 III 37 consid. 5-5.3 p. 41 s.).
La représentation civile est une institution qui permet à une personne - le représentant - d'accomplir un acte juridique avec un cocontractant, qui produit effet pour une autre personne - le représenté. C'est donc la volonté exprimée par le représentant, comme ce qu'il savait ou devait savoir, qui sont déterminants pour la conclusion (et le contenu) du contrat avec le cocontractant (ATF 140 III 86 consid. 4.1 p. 91; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, t. 1, 10e éd., 2014, no 1306 ss et 1444 ss; TERCIER/PICHONNAZ, Le droit des obligations, 6e éd., 2019, no 415).
Le contrat conclu par le représentant au nom du représenté produit effet pour celui-ci, c'est-à-dire l'oblige (ou le lie ou l'engage), à certaines conditions.
4.1. Selon le système des art. 32 ss CO, lorsque le représentant qui conclut le contrat manifeste agir au nom du représenté, le représenté est lié dans trois cas de figure: (1) lorsque le représenté avait conféré les pouvoirs nécessaires au représentant dans leurs rapports internes (procuration interne; art. 32 al. 1 CO); (2) en l'absence de pouvoirs internes conférés au représentant par le représenté, lorsque le tiers pouvait déduire l'existence de tels pouvoirs du comportement du représenté dans leurs rapports externes (procuration apparente; art. 33 al. 3 CO); et (3) en l'absence de pouvoirs internes conférés au représentant par le représenté, lorsque celui-ci a ratifié le contrat (art. 38 al. 1 CO) (ATF 146 III 37 consid. 7.1 p. 45; 131 III 511 consid. 3.1 p. 517; 120 II 197 consid. 2 p. 198 in initio). Ces règles sont aussi applicables lorsque le représenté est une société anonyme (ATF 146 III 37 consid. 5.3 et 7 pp. 42 et 45 s.).
4.1.1. Le représenté est normalement lié - c'est le premier cas de figure, régi par l'art. 32 al. 1 CO - lorsque le représentant a manifesté agir au nom de celui-ci - du représenté - (première condition) et qu'il s'était vu octroyer des pouvoirs de représentation internes par celui-ci (seconde condition). L'art. 32 al. 1 CO protège ainsi essentiellement les intérêts du représenté.
4.1.2. Toutefois - c'est le deuxième cas de figure, régi par l'art. 33 al. 3 CO -, en l'absence de pouvoirs internes du représentant, le tiers cocontractant est protégé exceptionnellement lorsque le représenté a porté (expressément ou tacitement) à sa connaissance une procuration (externe) qui va au-delà des pouvoirs qu'il a effectivement conférés au représentant (procuration interne) et que, se fiant à cette communication, le tiers a cru de bonne foi à l'existence des pouvoirs de celui-ci (arrêt 4A_504/2018 du 10 décembre 2019 consid. 3.3.2, destiné à la publication; ATF 124 III 418 consid. 1c p. 421; 120 II 197 consid. 2b/cc p. 202; arrêt 4C.389/2002 du 21 mars 2003 consid. 4.2.2). Le représenté qui a créé l'apparence d'un rapport de représentation ou laissé s'en créer un doit souffrir, en vertu du principe de la confiance (ou de l'apparence efficace), que le tiers de bonne foi lui impute tous les effets des actes accomplis en son nom (ATF 131 III 511 consid. 3.2.1 p. 518; arrêt 4A_54/2009 du 20 avril 2009 consid. 3.1). Il ne s'agit plus ici de protéger les intérêts du représenté, mais, dans une certaine mesure, ceux du tiers cocontractant et par là la sécurité des transactions (ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2e éd., 1997, p. 383; DE SAUSSURE, L'acte juridique fait sans pouvoirs de représentation, 1945, p. 70). Parallèlement, l'art. 34 al. 3 CO protège le tiers, auquel les pouvoirs du représentant ont été communiqués, en cas de révocation de ces pouvoirs par le représenté.
4.1.3. Enfin - c'est le troisième cas de figure, réglé par l'art. 38 al. 1 CO -, le représenté est lié si, malgré l'absence de pouvoirs internes du représentant, il a ratifié l'acte de celui-ci.
4.2. Dans une première étape, le juge doit donc rechercher si le représentant a manifesté agir au nom du représenté et s'il avait des pouvoirs de représentation internes (art. 32 al. 1 CO). Ce n'est que s'il arrive à la conclusion que le représentant a agi sans pouvoirs de représentation internes que le juge devra, dans une seconde étape, rechercher si le représenté est contractuellement lié, soit en vertu de l'art. 33 al. 3 CO, soit en vertu de l'art. 38 al. 1 CO.
5.
Dans la première étape, la cour cantonale a retenu qu'il n'a pas été démontré que l'entreprise générale avait conféré des pouvoirs à son employé par contrat. La sous-traitante intimée soutient que les deux conditions de l'art. 32 al. 1 CO sont réunies. L'entreprise générale recourante le conteste, invoquant que la sous-traitante intimée ne fait qu'opposer sa propre version des faits.
5.1.
5.1.1. Pour que la première condition de l'art. 32 al. 1 CO soit remplie, il faut que le représentant agisse au nom du représenté (" fait au nom d'une autre personne "). Il doit manifester - expressément ou tacitement (ATF 126 III 59 consid. 1b p. 64) - qu'il n'agit pas en son nom, mais en celui du représenté. L'existence d'un rapport de représentation est normalement établie lorsque telle était l'intention réelle du représenté (qui a voulu que le représentant agisse en son nom), du représentant (qui a voulu agir au nom du représenté) et du tiers (qui a voulu/accepté que le représentant signe l'acte juridique au nom du représenté). Si cette volonté réelle et commune ne peut être établie, l'existence du rapport de représentation doit être retenue si le tiers pouvait l'inférer du comportement du représentant, interprété selon le principe de la confiance (art. 32 al. 2 CO; arrêt 4A_504/2018 précité consid. 3.2.1, destiné à la publication; ATF 120 II 197 consid. 2b/aa p. 200; arrêt 4A_638/2015 du 9 mars 2016 consid. 3.2.2).
5.1.2. Pour que la seconde condition soit réalisée, il faut que le représentant ait agi en ayant eu les pouvoirs internes de le faire (" autorisé "). Il doit avoir agi en vertu de l'autorisation qui lui avait été donnée par le représenté, c'est-à-dire en vertu d'une procuration (interne). C'est en priorité la volonté réelle et commune du représenté et du représentant qui est déterminante; ce n'est que subsidiairement, si la volonté réelle ne peut pas être établie, que l'octroi des pouvoirs doit être examiné selon le principe de la confiance (arrêt 4A_504/2018 précité consid. 3.2.1, destiné à la publication).
L'octroi de pouvoirs par le représenté au représentant peut être soit exprès, soit tacite.
Selon la jurisprudence, l'octroi de pouvoirs internes tacite au sens de l'art. 32 al. 1 CO découle soit d'une tolérance ( Duldung), soit d'une apparence ( Anschein) (ATF 141 III 289 consid. 4.1 p. 290 s.). Il y a tolérance, c'est-à-dire procuration interne par tolérance ( Duldungsbevollmächtigung ou Duldungsvollmacht), lorsque le représenté sait qu'une personne a agi en son nom auprès d'un tiers sans qu'il l'y ait autorisée ( ohne seinen Willen), mais qu'il ne s'est pas opposé à cet acte de représentation non sollicité ( unerbetene Vertretung) (ATF 141 III 289 consid. 4.1 p. 291); ce cas de figure présuppose que le représentant n'avait pas connaissance du fait que le représenté n'avait pas la volonté de lui octroyer des pouvoirs (GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, op. cit., no 1411). Il y a apparence, c'est-à-dire procuration interne apparente ( Anscheinsbevollmächtigung ou Anscheinsvollmacht), lorsque, d'un côté, le représenté ne sait pas qu'une personne a agi comme sa représentante auprès d'un tiers, mais qu'il aurait dû le savoir s'il avait fait preuve de l'attention que les circonstances permettaient d'exiger de lui, et que, de l'autre côté, la représentante pouvait, selon les règles de la bonne foi ( Treu und Glauben; art. 2 al. 1 CC; ATF 143 III 653 consid. 4.3.3 p. 662 in initio), interpréter le comportement du représenté comme valant octroi de pouvoirs (ATF 141 III 289 consid. 4.1 p. 290 s.).
L'étendue des pouvoirs de représentation internes octroyés (art. 32 al. 1 CO) dépend au premier chef de l'acte d'octroi lui-même (art. 33 al. 2 CO), dont le contenu est apprécié, si nécessaire (si la volonté réelle et commune du représenté et du représentant n'a pas pu être établie), sur la base du principe de la confiance (arrêt 4A_504/2018 précité consid. 3.2.1, destiné à la publication).
5.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que l'employé a agi au nom de son employeuse (première condition). En revanche, les parties divergent en ce qui concerne l'octroi de pouvoirs internes (seconde condition).
Selon les constatations de fait de l'arrêt attaqué, les deux exemplaires - produits en procédure - du contrat d'entreprise, rédigé par l'entreprise générale, comprennent en dernière page, à la fin de l'art. 7, peu avant l'espace réservé aux signatures, l'ajout manuscrit suivant, apposé par l'administrateur de la sous-traitante: " Hr. F._ ist unterschriftsberechtigt für den Bauherr + GU. "
Que l'administrateur de l'entreprise générale ait signé ce contrat avant la sous-traitante ou l'inverse importe peu. En effet, contrairement à la conception des parties, l'octroi de pouvoirs internes par le représenté au représentant ne découle pas d'un contrat passé entre le représenté et le tiers, mais d'un acte d'octroi du représenté au représentant. La clause contractuelle ajoutée dans le contrat d'entreprise par l'administrateur de la sous-traitante ne peut être comprise que comme communication externe de pouvoirs (cf. consid. 6.3.1 ci-dessous). Elle n'établit pas que l'entreprise générale aurait donné des pouvoirs internes à son employé au sens de l'art. 32 al. 1 CO, celui-ci ayant même déclaré qu'il " ne savait pas très clairement s'il avait le pouvoir de signer ", mais qu'il " avait compris qu'il avait le pouvoir d'engager l'entreprise du fait que le chef de bureau, G._, l'avait chargé de gérer l'ensemble du chantier et de faire les métrés ".
Il s'ensuit que les critiques de la recourante tirées des art. 97 al. 1 LTF, de l'art. 8 CC et des art. 55 al. 1 et 157 CPC sont sans objet, respectivement infondées.
6.
Dans la seconde étape, en l'absence de pouvoirs internes, la cour cantonale a tout d'abord considéré qu'il n'avait pas été démontré que l'entreprise générale aurait ratifié le décompte final (art. 38 al. 1 CO). Ensuite, elle a admis l'existence d'une procuration externe apparente communiquée par l'entreprise générale à la sous-traitante et la bonne foi de celle-ci, implicitement sur la base de l'art. 33 al. 3 CO. L'entreprise générale recourante se plaint de violation de cette disposition, alors que la sous-traitante intimée soutient, subsidiairement, que l'employé de l'entreprise recourante représentait celle-ci sur la base d'une procuration (externe) apparente et sur la base d'une procuration (externe) par tolérance.
6.1. Aux termes de l'art. 33 al. 3 CO, si les pouvoirs ont été portés par le représenté à la connaissance d'un tiers, leur étendue est déterminée envers celui-ci par les termes de la communication qui lui a été faite. Comme on l'a vu, cette disposition, qui a pour but de protéger le tiers cocontractant et de garantir la sécurité des transactions, ne s'applique qu'exceptionnellement, à savoir aux conditions restrictives qui y sont prévues (cf. consid. 4.1.2 ci-dessus). Elle a son pendant à l'art. 34 al. 3 CO pour le cas où les pouvoirs communiqués sont ensuite restreints ou révoqués par le représenté (CHAPPUIS, in Thévenoz/Werro (édit.), Commentaire romand, CO I, 2e éd., 2012, no 11 ad art. 34 CO).
Pour que la protection de l'art. 33 al. 3 CO entre en jeu, il faut (1) que le représentant ait agi au nom du représenté, sans avoir pour cela de pouvoirs de représentation internes, et (2) que le tiers ait cru de bonne foi à l'existence de pouvoirs internes du représentant parce que le représenté avait porté à sa connaissance des pouvoirs qui vont au-delà des pouvoirs qu'il avait effectivement conférés au représentant à titre interne (ATF 146 III 37 consid. 7.1.2.1 p. 46; 131 III 511 consid. 3.2 p. 518; 124 III 418 consid. 1c p. 421; 120 II 197 consid. 2b/cc p. 202; arrêt 4C.389/2002 du 21 mars 2003 consid. 4.2.2).
6.2. En ce qui concerne la première condition, il peut être renvoyé aux considérants émis ci-dessus en relation avec l'art. 32 al. 1 CO (cf. consid. 5.1.1 ci-dessus) : le représentant doit avoir agi au nom du représenté, mais il doit l'avoir fait en l'absence de pouvoirs internes pour que l'art. 33 al. 3 CO puisse entrer en ligne de compte.
6.3. Pour que la seconde condition soit remplie, il faut, premièrement, qu'il y ait eu communication de pouvoirs par le représenté au tiers (d'où la dénomination de procuration externe, qui n'est pas à proprement parler une procuration, c'est-à-dire un octroi de pouvoirs internes au représentant; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, op. cit., no 1406 s.) et, secondement, que le tiers soit de bonne foi (CHAPPUIS, op. cit., no 19 ad art. 33 CO).
6.3.1. Pour qu'il y ait communication ( Vollmachtskundgabe), le représenté doit avoir porté à la connaissance du tiers une procuration externe qui va au-delà des pouvoirs qu'il a effectivement conférés au représentant (par procuration interne). Il ne s'agit pas d'un acte juridique, mais d'une action analogue à un acte juridique, dont l'effet ne dépend pas de la volonté de son auteur, mais de l'art. 33 al. 3 CO (CHAPPUIS, op. cit., no 20 ad art. 33 CO; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, op. cit., no 1394).
Cette communication peut résulter d'une clause contractuelle ou de conditions générales annexées au contrat (CHAPPUIS, op. cit., no 21 ad art. 33 CO; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, op. cit., no 1394).
La communication peut être tacite: elle peut être déduite du comportement du représenté et, au cas où le tiers ne comprend pas la communication comme le représenté l'entendait, elle sera interprétée conformément au principe de la confiance (GAUCH/SCHLUEP/SCHMID, op. cit., no 1394 d). Conformément à ce principe, il faut que l'attitude du représenté puisse être objectivement comprise comme la communication de pouvoirs au tiers; il n'est pas nécessaire que le représenté ait conscience de faire une communication, pourvu qu'elle lui soit objectivement imputable en raison des circonstances qu'il connaissait ou aurait dû connaître (ATF 120 II 197 consid. 2b/cc p. 202).
Selon la jurisprudence, le tiers peut également être protégé en cas de communication externe tacite des pouvoirs par tolérance ( Duldung) ou en raison d'une apparence ( Anschein) (ATF 120 II 197 consid. 2a p. 198). Il y a tolérance, c'est-à-dire procuration externe par tolérance ( externe Duldungsvollmacht) lorsque le représenté est au courant des actes du représentant, le laisse agir en tant que tel, ne faisant rien pour l'en empêcher, de sorte qu'il adresse ainsi au tiers une communication de pouvoirs (ATF 120 II 197 consid. 2b/bb p. 201; arrêt 4A_313/2010 du 3 septembre 2010 consid. 3.4.2.3). Il y a apparence, c'est-à-dire procuration externe apparente ( externe Anscheinsvollmacht) lorsque le représenté n'avait pas connaissance qu'une personne agissait en son nom, mais qu'ayant porté l'existence de pouvoirs à la connaissance du tiers, il aurait pu et dû le savoir s'il avait fait preuve de l'attention que les circonstances permettaient d'exiger de lui et qu'il aurait dû réagir (art. 3 al. 2 CC; ATF 120 II 197 consid. 2b/bb p. 201; arrêt 4A_313/2010 précité consid. 3.4.2.3).
6.3.2. Est exigée, secondement, la bonne foi du tiers (ATF 131 III 511 consid. 3.2 p. 518; 124 III 418 consid. 1c p. 421; 120 II 197 consid. 2b/cc p. 202; arrêt 4C.389/2002 du 21 mars 2003 consid. 4.2.2).
Le tiers doit avoir cru à l'existence des pouvoirs internes du représentant en se fiant à la communication reçue du représenté. Seule sa bonne foi permet de pallier le défaut des pouvoirs de représentation internes. La bonne foi étant présumée conformément à l'art. 3 al. 1 CC, il appartient au représenté de prouver la mauvaise foi du tiers (preuve du contraire); s'il admet que le tiers est subjectivement de bonne foi, le représenté peut également tenter d'établir, en conformité avec l'art. 3 al. 2 CC, que le tiers ne peut pas se prévaloir de sa bonne foi parce que celle-ci n'est pas compatible avec l'attention que les circonstances permettaient d'exiger de lui (ATF 131 III 511 consid. 3.2.2 p. 519; arrêt 4A_54/2009 précité consid. 3.1). La preuve de la mauvaise foi du tiers relève du fait, alors que la mesure de l'attention exigée par les circonstances au sens de l'art. 3 al. 2 CC est une question de droit, soumise à l'appréciation du juge (art. 4 CC; ATF 143 III 653 consid. 4.3.3. p. 662 in fine).
6.4.
6.4.1. En l'espèce, il résulte des constatations de fait de l'arrêt attaqué que l'administrateur de la sous-traitante a ajouté au contrat d'entreprise, à la fin de l'art. 7, une clause manuscrite. Cette clause figure sur les deux exemplaires du contrat, dont chacune des parties a produit son exemplaire en procédure.
La cour cantonale a constaté que l'entreprise générale - la représentée - n'a pas réagi à cette adjonction manuscrite effectuée par l'administrateur de la sous-traitante - le tiers cocontractant - lorsqu'elle a reçu (en tout cas) un exemplaire du contrat ainsi modifié, qu'elle n'en a pas contesté le contenu et l'a conservé dans son dossier. Elle a aussi retenu que l'entreprise générale ne pouvait prétendre avoir ignoré le contenu de cette clause. Elle a dénié à son administrateur le droit de faire valoir à titre personnel qu'il n'en avait pas eu connaissance et le droit de se retrancher derrière une éventuelle organisation défaillante de sa société.
La recourante ne critique ni ces constatations de fait, ni cette argumentation de la cour cantonale. Elle se limite à objecter que l'art. 10 des CG, qui est, de son point de vue, clair, exigeait la signature de son administrateur. Cette critique est infondée, la recourante méconnaissant que les clauses particulières du contrat d'entreprise priment les conditions générales annexées. De surcroît, on ne voit pas comment elle peut soutenir que son employé assumerait la direction des travaux au sens de l'art. 10 des CG, alors que l'art. 3 du contrat prévoit que c'est elle, l'entrepreneur général, qui assume la direction des travaux.
Il s'ensuit qu'il a été retenu, sans que la recourante formule un quelconque grief d'arbitraire, qu'elle avait bien eu connaissance de cette clause. Conformément au principe de la confiance, il y a donc lieu d'admettre que la sous-traitante - le tiers - pouvait objectivement comprendre le comportement de la représentée, dans les circonstances du cas d'espèce, comme une communication de pouvoirs, laquelle lui était imputable même si, par hypothèse, telle n'avait pas été la volonté intime de son administrateur.
Il est donc superflu d'examiner si, en se basant sur d'autres éléments de fait (l'employé a été l'interlocuteur principal, le négociateur, a signé l'avis de réception de l'ouvrage, a établi et contrôlé les métrés), on pourrait admettre une procuration externe apparente, comme retenu par la cour cantonale, ou une procuration externe par tolérance, comme le soutient l'intimée dans sa réponse. On peut également se dispenser d'examiner les critiques, essentiellement appellatoires, de l'intimée par lesquelles celle-ci entend démontrer que l'administrateur de l'entreprise générale aurait signé le contrat en second lieu, soit après qu'y fut apportée l'adjonction manuscrite.
6.4.2. En ce qui concerne la bonne foi de la sous-traitante, laquelle est présumée, la cour cantonale a retenu que celle-ci était persuadée de l'existence du pouvoir de représentation (sans restriction) de l'employé, notamment en raison de l'absence de réaction à l'adjonction que celle-ci avait insérée dans le contrat. L'entreprise générale défenderesse n'a ni allégué ni prouvé qu'il y aurait eu abus de pouvoirs du représentant. Le licenciement de l'employé n'avait entraîné aucune restriction de ces pouvoirs, qui aurait fait l'objet d'une communication (art. 34 al. 3 CO). La cour cantonale retient donc que l'administrateur de la sous-traitante n'avait pas de doute sur les pouvoirs de représentation du représentant. Quant à l'art. 10 des CG, il ne permettait pas de mettre en cause la bonne foi de la sous-traitante.
Ce faisant, la cour cantonale a retenu en fait l'existence de la bonne foi de la sous-traitante et la recourante ne démontre pas l'arbitraire de cette appréciation, ni même ne le soulève (art. 97 al. 1 LTF et 9 Cst., art. 106 al. 2 LTF), se limitant à invoquer la violation de l'art. 33 al. 3 CO. Ainsi, lorsque la recourante soutient que " l'ajout au contrat d'une clause manuscrite, sans prévenir son cocontractant, questionne d'emblée la bonne foi " de la sous-traitante, elle ne démontre nullement la mauvaise foi de celle-ci. Lorsqu'elle fait valoir que celle-ci ne peut qu'être de mauvaise foi vu l'art. 10 des CG, elle méconnaît que la clause particulière manuscrite ajoutée dans le contrat d'entreprise vaut dans les circonstances de l'espèce communication externe de pouvoirs et, par conséquent, prime une clause des conditions générales qui prévoirait autre chose. Il ne suffit pas, pour démontrer l'arbitraire de la constatation de la bonne foi de la sous-traitante, d'invoquer l'art. 10 des CG et de soutenir que celle-ci " aurait dû être plus attentive ".
6.5. Il s'ensuit que l'entreprise générale est liée par l'ajout manuscrit en vertu de l'art. 33 al. 3 CO. Elle est ainsi obligée par le décompte final qui a été envoyé en son nom par son employé à la sous-traitante et que celle-ci a signé.
7.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais et dépens de son auteur (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 8'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 9'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour Civile I.
Lausanne, le 10 juillet 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Douzals