Faits :
A.
A.a. A._, née en 1967, a déposé une première demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 18 novembre 2013, arguant souffrir de lombalgies chroniques. L'office AI a pris en charge les frais relatifs à un reclassement professionnel dans le domaine de l'horlogerie. L'assurée a débuté un emploi comme opératrice en horlogerie le 1er juin 2015. A ce titre, elle a été affiliée pour la prévoyance professionnelle à la FCT (Fondation Collective Trianon). Le salaire obtenu dans la nouvelle activité excluant le droit à une rente, l'administration a rejeté la demande de prestations (décision du 9 mars 2016).
A.b. L'intéressée s'est derechef annoncée à l'office AI le 11 décembre 2017 en raison d'une pathologie psychiatrique. L'administration a recueilli l'avis des médecins traitants. Le docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a fait état d'un épisode dépressif sévère ayant engendré une incapacité de travail de 100 % du 8 novembre 2017 au 23 janvier 2018, puis de 80 % jusqu'au 11 février 2018, de 70 % jusqu'au 30 avril 2018 et de nouveau de 100 % par la suite (rapport du 16 mai 2018). Le docteur C._, spécialiste en cardiologie et en médecine interne générale, n'a pas diagnostiqué de trouble somatique influençant la capacité de travail (rapport du 30 mai 2018). A._ a été licenciée pour le 31 mai 2018. Se fondant sur l'appréciation des avis des médecins traitants par le docteur D._, médecin de son Service médical régional (SMR; rapport du 3 décembre 2018), l'office AI a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 2018 (décision du 26 juillet 2019). La décision a été notifiée à l'institution de prévoyance de l'intéressée.
B.
Saisie d'un recours de la FCT, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté (jugement du 27 avril 2020).
C.
L'institution de prévoyance forme un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal, principalement, ou à l'administration, subsidiairement, pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
L'office AI conclut au rejet du recours. A._ ne s'est pas prononcée sur le recours mais a produit un nouveau certificat médical du docteur B._. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le certificat médical du docteur B._ du 15 juillet 2020, déposé à titre de réponse au recours, a été rédigé et produit après le prononcé du jugement attaqué le 27 avril 2020. Il s'agit dès lors d'un moyen de preuve nouveau ("vrai novum") qui n'est pas recevable devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 143 V 19 consid. 1.2 p. 22). Il n'y a donc pas lieu de le prendre en compte dans la présente procédure.
3.
Le litige porte sur le droit de l'assurée à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle demande de prestations (cf. art. 17 al. 1 LPGA, applicable par analogie, en lien avec l'art. 87 al. 2 et 3 RAI; voir aussi ATF 134 V 131 consid. 3 p. 132 s.; 133 V 108 consid. 5 p. 110 ss; 130 V 343 consid. 3.5 p. 349 ss; 130 V 71), plus particulièrement sur l'appréciation de sa capacité de travail et l'évaluation de l'invalidité qui en découle.
4.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du litige, en particulier celles concernant l'appréciation du caractère invalidant des troubles psychiques (ATF 141 V 281; 143 V 409; 418), le rôle des médecins (ATF 125 V 256 consid. 4 p. 261 s.; voir aussi ATF 140 V 193 consid. 3.2 p. 195 s.), le principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA) ainsi que la valeur probante des rapports médicaux (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232 s.; 125 V 351 consid. 3 p. 352 ss; voir aussi ATF 143 V 124 consid. 2.2.2 p. 126 s.). Il suffit d'y renvoyer.
5.
Le tribunal cantonal a constaté que la décision administrative litigieuse reposait sur le rapport du docteur D._ du 3 décembre 2018, qui s'était lui-même fondé sur le rapport du docteur B._ du 16 mai précédent. Il a relevé que le psychiatre traitant avait répondu à dix-huit questions de l'office AI et avait régulièrement communiqué à l'assureur perte de gain en cas de maladie ses observations quant à l'absence d'évolution de la situation de l'assurée. Il a considéré que ces informations étaient suffisantes pour permettre au SMR ainsi qu'à l'administration d'apprécier le cas à l'aune des indicateurs développés dans l'ATF 141 V 281 sans qu'il ne soit nécessaire de procéder à une expertise. Il a encore constaté que le dossier ne contenait aucun avis contraire à celui du docteur B._, dont les observations étaient en outre confirmées par celles d'un inspecteur de l'assureur perte de gain en cas de maladie. Il a ajouté que la procédure de révision fixée deux ans après le prononcé de la décision du 26 juillet 2019 devrait permettre à l'office AI de déterminer si l'affection retenue n'était qu'une réaction à une situation de harcèlement professionnel comme le prétendait la FCT.
6.
6.1. Pour l'essentiel, l'institution de prévoyance recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir arbitrairement apprécié les preuves et d'avoir violé son devoir d'instruction. Elle soutient en substance que les documents médicaux disponibles (particulièrement l'avis du psychiatre traitant du 16 mai 2018) sont lacunaires dans la mesure notamment où ils ne fournissent aucune indication sur le suivi thérapeutique ou le traitement médicamenteux instaurés. Elle fait valoir à ce sujet que le docteur B._ mentionnait originellement l'existence d'un syndrome d'apnées du sommeil, en plus d'un épisode dépressif sévère, et relève qu'il n'est pas possible d'établir sur la base du dossier constitué à laquelle de ces deux pathologies des symptômes tels qu'une fatigue importante doivent être attribués ni s'il existe un traitement susceptible d'y remédier. Elle prétend également que la dépression dont souffre l'assurée, réactionnelle à l'ambiance de travail et à son licenciement, n'est pas durable et, partant, n'est pas forcément invalidante. Elle souligne encore que, dans son rapport du 3 décembre 2018, le docteur D._ se contente de reprendre les diagnostics, les limitations fonctionnelles et les périodes d'incapacité de travail attestés par le psychiatre traitant sans prendre position sur l'appréciation de celui-ci. Elle considère que, dans ces circonstances, l'avis du SMR est sujet à caution, que les documents disponibles ne permettent pas de mettre en oeuvre la procédure probatoire structurée prévue par l'ATF 141 V 281 et qu'une expertise aurait dû être ordonnée.
6.2. Dans le domaine du droit de l'assurance-invalidité, le point de départ pour évaluer les troubles psychiques (cf. ATF 141 V 281; 143 V 409; 143 V 418; 145 V 215) est l'ensemble des constatations médicales effectuées par les médecins psychiatres (ATF 141 V 281 consid. 2.1 p. 285). Ces médecins - qu'ils exercent leur activité en qualité d'experts ou non - doivent motiver leurs diagnostics et décrire l'incidence de ceux-ci sur la capacité de travail de l'intéressé de telle manière que les organes chargés de l'application du droit (soit l'administration ou le juge en cas de litige) soient en mesure d'apprécier définitivement cette capacité (ATF 140 V 193 consid. 3.2 p. 195 s.) à l'aune des indicateurs développés dans l'ATF 141 V 281 (ATF 145 V 361 consid. 4.3 p. 367).
Si le diagnostic d'épisode dépressif sévère posé en l'occurrence par le docteur B._ selon un système de classification médicale reconnu peut certes, en soi, suggérer un certain degré de gravité susceptible d'occasionner des limitations dans les fonctions de la vie courante (cf. ATF 141 V 281 consid. 2.1.2 p. 286 s.), d'autres éléments semblent toutefois infirmer cette conclusion. Ainsi, comme le soutient l'institution de prévoyance recourante, la dépression dont souffre l'assurée au moment de la rédaction de son rapport par le psychiatre traitant est liée à l'annonce de son licenciement dans un contexte de harcèlement professionnel de la part de ses collègues et d'un manque de soutien de la part de ses supérieurs ainsi que des ressources humaines de son entreprise. De surcroît, le docteur B._ a retenu un épisode dépressif et non un trouble dépressif récurrent. Dans de telles circonstances, le rapport du psychiatre traitant ne suffit pas pour démontrer d'emblée que la gravité du diagnostic retenu ne serait pas liée seulement au contexte professionnel, auquel cas elle pourrait peut-être s'amender à court ou moyen terme, mais altère durablement les fonctions de la vie courante. Les organes chargés de l'application du droit ne pouvaient ainsi se dispenser d'analyser les ressources dont disposait l'assurée au moyen de la grille d'évaluation normative et structurée développée par la jurisprudence.
Les premiers juges ont considéré d'une manière générale que les informations fournies par le docteur B._ permettaient à l'office AI d'effectuer une appréciation prenant en compte les indicateurs jurisprudentiels. Ils n'ont toutefois eux-mêmes procédé à aucune constatation précise à cet égard ni à aucun examen particulier. Ils se sont contentés de dresser la liste des indicateurs pertinents d'une part et de faire état des observations du psychiatre traitant d'autre part sans même tenter d'en faire le rapprochement. Un tel rapprochement ne ressort pas davantage de la décision administrative litigieuse ou de l'avis du docteur D._ sur lequel repose cette décision. On relèvera en outre que les indications succinctes communiquées par le docteur B._ dans son rapport du 16 mai 2018 ne permettent pas d'effectuer l'examen en question. Ces indications apparaissent émaner pour l'essentiel des déclarations de l'assurée sans qu'on ne discerne une évaluation objective et motivée des limitations fonctionnelles effectives qui justifieraient une incapacité totale de travail.
Compte tenu de ce qui précède, il convient d'annuler le jugement entrepris ainsi que la décision administrative litigieuse et de renvoyer la cause à l'administration pour complément d'instruction et nouvelle décision.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office AI (art. 66 al. 1 LTF). L'institution de prévoyance recourante n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 27 avril 2020 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 26 juillet 2019 sont annulés. La cause est renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'office AI.
3.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à A._, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton