Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 2. Mai 2021 Strafanzeige u.a. gegen B._, Staatsanwältin bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, wegen Betrugs, Amtsmissbrauchs, "Willkür", "Fahrlässigkeit", "Vergehen gegen den Datenschutz" sowie weiterer Rechtsverstösse. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich überwies die Sache mit Verfügung vom 18. Mai 2021 an das Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung.
2.
Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 24. August 2021 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht und wies das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass kein Anfangsverdacht für ein strafbares Verhalten bestehe. Das Gesuch auf Ermächtigungserteilung sei offensichtlich aussichtslos. Zudem sei der Anzeiger durchaus in der Lage, seine Rechte selbst zu wahren, weshalb das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes abzuweisen sei.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 6. Oktober 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der III. Strafkammer nicht rechtsgenüglich auseinander und vermag nicht aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer mit ihrem Beschluss Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht im Einzelnen und konkret, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen kann ausnahmsweise auf eine Kostenauflage verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Im Übrigen ist festzuhalten, dass eine Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung beim Bundesgericht einzureichen ist (Art. 100 Abs. 1 BGG). Als gesetzliche Frist ist die Beschwerdefrist nicht erstreckbar (Art. 47 BGG). Die vorliegende Beschwerde ist am letzten Tag der Beschwerdefrist eingereicht worden. Einem allfälligen unentgeltlichen Rechtsbeistand hätte somit keine Nachfrist zur Einreichung einer verbesserten Beschwerdeschrift gewährt werden können.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli