Erwägungen:
1.
A._ (Beschwerdeführer) begehrte am 12. Dezember 2018vor dem Einzelgericht am Arbeitsgericht Bülach, seine ehemalige Arbeitgeberin, die B._ AG (Beschwerdegegnerin), sei zu verpflichten, ihm ein berichtigtes Zwischenzeugnis auszustellen. Mit Verfügung vom 14. Juni 2019 trat das Einzelgericht am Arbeitsgericht Bülach auf die Klage nicht ein, da A._ nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses und mit Erhalt eines Schlusszeugnisses kein schutzwürdiges Interesse mehr an einer Berichtigung des Zwischenzeugnisses habe.
Soweit das Obergericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde eintrat, wies es diese ab. Der Beschwerdeführer führt hiergegen Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
2.
In arbeitsrechtlichen Fällen ist in vermögensrechtlichen Angelegenheiten die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 15'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG). Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, so ist die Beschwerde unter anderem dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Der Beschwerdeführer stellt sich primär auf den Standpunkt, der Streitgegenstand sei nicht vermögensrechtlicher Natur. Dieser Ansicht kann nicht gefolgt werden. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung handelt es sich beim Streit um Ausstellung oder Berichtigung eines Arbeitszeugnisses um eine vermögensrechtliche Angelegenheit (BGE 116 II 379 E. 2b; 4A_2/2019 vom 12. Juni 2019 E. 6). Der Beschwerdeführer widerspricht sich denn auch insoweit selbst, als er zufolge Streitwerts von unter Fr. 10'000.-- vor Vorinstanz eine Beschwerde und nicht eine Berufung erhob (vgl. Art. 308 Abs. 2 i.V.m. Art. 319 lit. a ZPO). Zu Recht behauptet er immerhin nicht, dass die Vorinstanz Art. 91 Abs. 2 ZPO verletzt hätte, indem sie den Streitwert mit Fr. 5'000.-- bezifferte. Mangels erreichten Streitwerts von Fr. 15'000.-- ist die Beschwerde in Zivilsachen deshalb nur zulässig, soweit sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellt (vgl. zu den Anforderungen BGE 144 III 164 E. 1; 141 III 159 E. 1.2 S. 161; 139 III 209 E. 1.2 S. 210).
Entgegen der Annahme des Beschwerdeführers hat das Bundesgericht die Rechtsfrage, ob die soziale Untersuchungsmaxime gemäss Art. 247 Abs. 2 ZPO auch für das zweitinstanzliche Verfahren gelte, indessen bereits beantwortet. Art. 247 Abs. 2 ZPO gilt nur für das erstinstanzliche Verfahren; es entbindet den Rechtsmittelkläger nicht davon, seine Berufungs- oder Beschwerdeschrift gehörig zu begründen (vgl. Art. 311 Abs. 1 bzw. Art. 321 Abs. 1 ZPO), was insbesondere bedeutet, dass er sich mit den einschlägigen Erwägungen der ersten Instanz auseinanderzusetzen hat und sich nicht darauf beschränken darf, seine vorgetragene Auffassung vor Rechtsmittelinstanz schlicht zu wiederholen (vgl. BGE 141 III 569 E. 2.3.3 mit zahlreichen Hinweisen). Im Übrigen ist weder ersichtlich noch dargetan, dass sich eine erneute Überprüfung dieser Rechtsfrage aufdrängt. Da weder der notwendige Streitwert erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG), noch sich eine Rechtsfrage grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten.
3.
Der Beschwerdeführer erhebt zudem eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Damit kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei eine qualifizierte Rügepflicht gilt. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG ausdrücklich vorgebracht sowie klar und detailliert begründet wird (BGE 140 V 136 E. 1.1; 138 I 171 E. 1.4; 136 I 332 E. 2.1; 4A_129/2019 vom 27. Mai 2019 E. 1.3).
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Verbot des überspitzten Formalismus sei missachtet und sein rechtliches Gehör verletzt worden (Art. 29 Abs. 1 BV). Denn die Vorinstanz habe das Tonprotokoll der erstinstanzlichen Gerichtsverhandlung nicht antragsgemäss beschafft, Beweismittel nicht abgenommen, den Sachverhalt unvollständig festgestellt und ihm verweigert, zur Frage der Nichtigkeit der Kündigung Stellung zu nehmen. Der Beschwerdeführer wirft damit zwar der Vorinstanz vor, seinen verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör mehrfach verletzt zu haben; er verkennt indessen, dass seine Kritik nicht zu hören ist, weil er die strengen Anforderungen der qualifizierten Rügepflicht nicht erfüllt. So beschränkt er sich darauf, seine vorinstanzliche Rechtsauffassung zu bekräftigen, ohne sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinanderzusetzen, geschweige denn nachvollziehbar darzutun, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (Art. 116 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Zufolge rechtsungenüglicher Rüge kann auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden.
4.
Die Beschwerde in Zivilsachen sowie die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sind offensichtlich unzulässig bzw. nicht hinreichend begründet, weshalb gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG im vereinfachten Verfahren nicht auf sie einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen sowie die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug