Faits :
A.
A.a. X._, titulaire d'une maturité fédérale et d'un master en biologie, a intégré dès le semestre d'automne 2012 la filière Science et pratique du Sport de l'Université de Neuchâtel, en vue de l'obtention d'une attestation de niveau Bachelor. Après deux échecs en juillet 2016 et juin 2017, X._ s'est présentée une troisième fois à l'examen pratique d'agrès le 7 septembre 2017. Elle a échoué dans les disciplines du saut (note moyenne de 3,375) et des anneaux (3,25). Le 15 septembre 2017, elle s'est vue notifier un nouvel échec dans la branche agrès.
Le 16 octobre 2017, X._ a contesté ce prononcé auprès de la Commission de recours en matière d'examens de l'Université de Neuchâtel (ci-après: la Commission de recours), qui a rejeté le recours par décision du 4 avril 2018. Le recours formé par X._ contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a été rejeté par arrêt du 6 décembre 2018.
A.b. Alors que la cause était pendante devant la Commission de recours, le rectorat de l'Université de Neuchâtel a, par décision du 27 novembre 2017 prononcée à la suite d'une dénonciation pour fraude, renvoyé X._ du cursus suivi. L'étudiante a contesté cette exclusion auprès du Département de l'éducation et de la famille de la République et canton de Neuchâtel. L'issue de cette procédure n'est pas connue.
B.
X._ forme un "recours" contre l'arrêt du 6 décembre 2018 du Tribunal cantonal. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler la décision d'échec du 15 septembre 2017 et, principalement, de lui accorder la note de 4 à l'examen d'agrès, ainsi que, subsidiairement, de lui accorder une nouvelle tentative pour cet examen, devant une commission externe composée d'experts de la Fédération suisse de gymnastique, choisie par ses soins.
Le Service des sports de l'Université de Neuchâtel (ci-après: le Service des sports) ne s'est pas déterminé dans le délai imparti. La Commission de recours, qui renonce à formuler des observations, conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux motifs de son arrêt et conclut au rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. La recourante n'a pas indiqué par quelle voie de recours elle procède auprès du Tribunal fédéral. Toutefois, cette omission ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. ATF 138 I 367 consid. 1.2 p. 302).
La présente cause relève du droit public (art. 82 let. a LTF). En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est toutefois pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. La voie du recours en matière de droit public est exclue lorsque la décision repose sur une appréciation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat (ATF 136 I 229 consid. 1 p. 231). Or, en l'espèce, le recours est dirigé contre une décision confirmant l'échec de la recourante à l'examen d'agrèsensuite d'une évaluation de ses capacités, que la recourante remet en cause. Il tombe donc sous le coup de la clause d'exclusion de l'art. 83 let. t LTF. Seule est donc envisageable la voie du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF a contrario).
1.2. Le recours, dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal cantonal supérieur (art. 114 et 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), a été déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. c, art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF). La recourante a par ailleurs pris part à la procédure devant le Tribunal cantonal (art. 115 let. a LTF). On peut en revanche se demander si elle dispose d'un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF; cf. arrêt 2D_38/2017 du 16 mai 2018 consid. 1.2 en matière d'échec à un examen) et partant de la qualité pour recourir, compte tenu de son renvoi ensuite de fraude intervenu le 27 novembre 2017, qui l'exclut de la formation qu'elle suivait indépendamment de la note obtenue à l'examen d'agrès. La recourante a contesté ce prononcé et l'issue de la procédure n'est pas connue. Dans la mesure où le présent recours est infondé, la question de la qualité pour recourir sous cet angle sera laissée ouverte.
1.3. La conclusion de la recourante tendant à l'annulation de la décision d'échec du 15 septembre 2017 est irrecevable, dès lors que l'arrêt du Tribunal cantonal s'est substitué aux prononcés antérieurs (ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543).
2.
2.1. Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). En vertu de l'art. 106 al. 2 LTF, applicable par renvoi de l'art. 117 LTF, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée, sous peine d'irrecevabilité (ATF 142 II 369 consid. 2.1 p. 372).
2.2. Il est douteux que le présent recours soit conforme à l'exigence de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF, dans la mesure où la recourante se contente d'invoquer des droits et principes constitutionnels sans exposer leur contenu, ni en quoi ils ont été méconnus. La question de la recevabilité des griefs sous l'angle de l'art. 106 al. 2 LTF peut toutefois demeurer indécise, puisqu'ils doivent de toute façon être rejetés.
3.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été retenus en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que le recourant doit invoquer avec précision (art. 106 al. 2 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF).
4.
La recourante dénonce une violation de son droit d'être entendue et un déni de justice.
4.1. Le Tribunal cantonal a admis que le droit d'être entendue de la recourante avait été méconnu, car elle ne s'était pas vue remettre immédiatement les procès-verbaux de son examen du 7 septembre 2017, nonobstant sa demande en ce sens. Il a toutefois relevé que la recourante avait par la suite eu un accès complet à son dossier et a estimé qu'un renvoi pour violation du droit d'être entendu serait en l'espèce une vaine mesure qui irait à l'encontre de l'intérêt de la recourante à voir sa cause tranchée rapidement.
4.2. La recourante répète que son droit d'être entendue a été violé, ce qui a déjà été admis par l'autorité précédente. Elle n'explique en revanche pas en quoi la position du Tribunal cantonal estimant qu'un renvoi aurait rallongé inutilement la procédure, ce qui est une considération pertinente qui justifie de renoncer à un tel renvoi (cf. ATF 142 II 218 consid. 2.8.1 p. 226 s. et les arrêts cités), serait contraire à ses droits constitutionnels. Le grief ne peut donc qu'être rejeté.
5.
La recourante sollicite du Tribunal fédéral une restitution de délai, afin de pouvoir recourir contre son échec à l'examen d'agrès de la session de juillet 2016. Elle fait valoir qu'elle a appris au cours de la présente procédure que le nombre d'étudiants ne devait pas excéder dix personnes par professeur lors des enseignements de gymnastique, alors que le nombre d'élèves s'élevait à trente pour deux enseignants lorsqu'elle avait suivi le cours.
Face à cette demande, il ne peut qu'être indiqué à la recourante, qui agit en personne, qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de se prononcer sur une restitution de délai pour recourir qui n'a pas été formulée devant l'autorité de recours concernée. En tout état, il sera aussi indiqué à l'intéressée qu'à priori sa demande est tardive et que les raisons invoquées ne constituent pas des motifs de restitution de délai selon les règles applicables (en l'occurrence, art. 148 CPC [RS 272] par le renvoi de l'art. 20 al. 1 de la loi du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administrative du canton de Neuchâtel [LPJA/NE; RSNE 152.130]).
6.
La recourante dénonce une violation de l'interdiction de l'arbitraire, du principe de la bonne foi et de celui de la légalité.
6.1. La recourante se plaint tout d'abord de ce qu'on lui a refusé une entrevue et des corrections pratiques à la suite de son échec à l'examen de juin 2017. Elle dit aussi avoir été interdite de participer aux cours dispensés pendant l'année académique 2016/2017.
6.1.1. Le présent litige porte sur le résultat de l'examen d'agrès présenté par la recourante le 7 septembre 2017. Tout ce qui concerne les examens précédents ou le déroulement de l'année académique ayant précédé l'examen litigieux sort de l'objet de la contestation et ne peut donc être examiné par le Tribunal fédéral dans le cadre du présent recours (cf. ATF 142 I 155 consid. 4.4.2 p. 156).
6.1.2. Par ailleurs, en tant que la recourante fait valoir que le refus d'une entrevue à la suite de son échec de juin et l'interdiction de participer aux cours pendant l'année 2016/2017 ont eu une influence sur son échec de septembre 2017, il sera relevé qu'il lui appartenait de dénoncer les situations qu'elle critique au moment où elles se sont produites. Comme elle ne l'a pas fait, elle ne peut rien en déduire dans le cadre de la présente contestation.
6.2. La recourante se plaint de bruit pendant l'examen, qui aurait troublé sa concentration et l'aurait fait échouer. Le Tribunal cantonal aurait versé dans l'arbitraire en ne considérant pas cet argument.
Les précédents juges ont pris en compte cet élément, mais ne lui ont pas donné la portée voulue par la recourante. Ainsi, ils ont considéré que le bruit généré par le rangement du matériel pendant l'examen ne justifiait pas la répétition de l'examen, car un tel bruit n'était pas une circonstance exceptionnelle pendant une épreuve sportive. On ne voit pas en quoi ces considérations, qui tiennent compte du caractère pratique de l'examen présenté, seraient arbitraires. Dès lors qu'il n'apparaît pas insoutenable de considérer qu'un candidat à une épreuve d'agrès doit être capable de réaliser la prestation demandée malgré certains bruits environnants, la critique de la recourante ne peut qu'être rejetée.
7.
La recourante se plaint de partialité et de prévention à son égard de la part du Service des sports et estime que Y._, responsable de la filière, aurait dû se récuser.
7.1. Le Tribunal cantonal a relevé que Y._ n'avait pas procédé à l'évaluation de la recourante, mais était seulement présent dans la salle lors de l'examen.
7.2. La recourante ne nie pas que Y._ n'a pas jugé sa prestation. A la suivre, celui-ci aurait néanmoins influencé la note d'agrès, en discutant avec les experts dans le hangar à matériel, caché de la vue du public. Il aurait en outre nui au déroulement de l'examen en manquant de discrétion (bruit).
7.3. Il n'est pas fait état dans l'arrêt attaqué de discussions entre les experts et Y._ avant, pendant ou après l'examen et la recourante se contente d'alléger ce fait sans démontrer qu'il aurait été arbitrairement ignoré par le Tribunal cantonal. Le Tribunal fédéral ne peut partant pas en tenir compte (cf. supra consid. 3). Par ailleurs, on ne voit pas de quelle manière l'éventuel manque de discrétion de Y._ aurait pu influencer négativement les experts dans leur évaluation des prestations de la recourante. Comme Y._ n'a pas participé, même de manière indirecte, à l'évaluation objet de la présente procédure, la question de sa prévention à l'égard de la recourante et, au final, de la récusation, est sans objet.
8.
La recourante dénonce une violation du principe de l'égalité de traitement et du principe de proportionnalité.
8.1. Une décision ou un arrêté viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'il établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'il omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente (ATF 142 I 195 consid. 6.1 p. 213 et les arrêts cités).
8.2. La recourante fait valoir que le Décanat peut, en vertu de "l'art. 49 al. 3 du règlement de la Faculté des lettres" modifier une note, alors qu'elle n'a pas pu bénéficier de cette pratique, car le Service des sports de l'Université de Neuchâtel ne fait partie d'aucune faculté.
La recourante ne prend pas même la peine de se référer au titre complet du règlement dont elle entend se prévaloir, ce qui rend son grief, qui n'est de toute façon pas motivé à suffisance, difficile à comprendre. Quoi qu'il en soit, on relèvera de manière générale qu'il n'y a pas d'inégalité de traitement du seul fait que chaque filière d'études a ses propres règles concernant les examens et la fixation des notes, puisque chaque filière de formation est différente.
8.3. La recourante estime qu'elle aurait dû pouvoir reprendre la note du saut en trampoline obtenue en juin 2017, ce qui lui aurait permis de réussir ses examens d'agrès en septembre. Elle se plaint également dans ce contexte d'une violation du principe de proportionnalité, considérant que son "droit" de pouvoir reprendre une note d'une session précédente a été "limité de manière disproportionnée".
8.3.1. Le Tribunal cantonal a relevé que le règlement du Service des sports de l'Université de Neuchâtel ne prévoyait pas la possibilité de conserver la note d'une discipline particulière pour la session suivante, de sorte que la recourante ne pouvait pas obtenir de récupérer la note obtenue en juin 2017.
8.3.2. La recourante souligne que le règlement cité par le Tribunal cantonal ne prévoit pas, mais n'interdit pas non plus la reprise d'une note. Cette remarque ne démontre nullement en quoi le Tribunal cantonal aurait méconnu les droits constitutionnels de la recourante en appliquant le règlement d'études et en particulier en quoi le principe d'égalité de traitement et celui de proportionnalité auraient été violés. On peut en revanche relever que la position de la recourante, consistant à requérir pour sa situation un traitement qui n'est pas prévu par le règlement et n'est donc pas accordé à d'autres étudiants dans la même situation, est pour le moins contestable précisément au regard du principe d'égalité de traitement qu'elle invoque.
8.4. Sur le vu de ce qui précède, le grief tiré de la violation du principe de l'égalité de traitement et du principe de proportionnalité est rejeté.
9.
La recourante fait valoir que le Tribunal cantonal est tombé dans l'arbitraire en confirmant les notes obtenues aux sauts.
9.1. Une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 142 II 369 consid. 4.3 p. 380; 141 III 564 consid. 4.1 p. 566).
Le Tribunal fédéral fait preuve d'une retenue particulière lorsqu'il revoit les aspects matériels d'un examen et n'annule le prononcé attaqué que si l'autorité précédente s'est laissée guider par des motifs sans rapport avec l'examen ou d'une autre manière manifestement insoutenable, de telle sorte que celui-ci apparaît arbitraire (cf. ATF 136 I 229 consid. 6.2 p. 238; 131 I 467 consid. 3.1 p. 473; arrêt 2D_38/2017 du 16 mai 2018 consid. 4.1).
9.2. La recourante se plaint de sa note de saut au caisson (3,5) et de saut roulé (3,25). Pour le saut au caisson, elle considère qu'elle a été sanctionnée deux fois pour la même erreur (pli de bras) et que lui retirer 2,5 points pour les phases "envol" et "appui" serait excessif. Il faudrait lui accorder un 4. Pour le saut roulé, elle aurait été jugée selon les critères plus sévères de l'Université de Lausanne; la main posée sur le tapis n'aurait pas dû être sanctionnée de 0,75 points, mais au maximum de 0,5 points. Elle aurait dû ainsi obtenir pour le saut roulé la note de 3,5. La moyenne serait ainsi de 3,75, qui serait arrondie à 4.
9.3. La recourante se livre à une discussion libre de sa note, comme devant l'autorité précédente. Elle ne montre ce faisant nullement en quoi le Tribunal cantonal, qui a examiné en détail chaque point contesté, serait tombé dans l'arbitraire. Par ailleurs, la grille de notation de l'Université de Lausanne à laquelle se réfère la recourante ne résulte pas de l'arrêt entrepris et ne peut donc pas être prise en compte (cf. supra consid. 3). Au demeurant, cette grille ne semble pas servir le propos de la recourante, puisqu'il paraît en résulter qu'une déduction de 0,75 points pour une main posée au sol lors d'un saut roulé est une sanction connue lors d'examens d'agrès. La confirmation de la note de 3,25 pour le saut roulé n'est ainsi en tout cas pas insoutenable. Il s'ensuit que la note moyenne de la recourante (3,625) demeure négative même en envisageant une note de 4 au saut au caisson comme le souhaite l'intéressée.
9.4. Pour le surplus, en tant que la recourante prétend ignorer le barème sur lequel elle a été évaluée, il sera souligné que sa discussion détaillée de chaque critère d'appréciation de ses sauts démontre le contraire et qu'il résulte en outre de l'arrêt entrepris que l'examen d'agrès fait l'objet d'un descriptif illustré et détaillé des exercices à réaliser, avec plusieurs critères d'appréciation, dont la recourante a eu connaissance.
9.5. Ce qui précède conduit au rejet du grief tiré de la violation de l'interdiction de l'arbitraire.
10.
La recourante dénonce le comportement des responsables du Service des sports et demande que l'intégralité des frais de sa formation lui soit restituée. Sur ce point, il ne peut qu'être à nouveau relevé que la présente procédure porte sur la confirmation par le Tribunal cantonal de la note obtenue à l'examen d'agrès à la session de septembre 2017. Les doléances générales de la recourante à l'égard du Service des sports et les conséquences qu'elle entend en tirer sur le plan financier sortent de l'objet du litige et n'ont partant pas à être examinées.
11.
Sur le vu de ce qui précède, le recours, considéré comme un recours constitutionnel subsidiaire, est rejeté dans le mesure où il est recevable. Succombant, la recourante supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Service des sports et à la Commission de recours en matière d'examens de l'Université de Neuchâtel, ainsi qu'au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 6 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber