Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die nicht verheirateten Eltern von C._ (geb. 2010). Die Mutter lebt zusammen mit dem Sohn in U._, der Vater in V._.
B.
B.a. Mit Beschluss vom 26. Januar 2016 setzte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Zürich (im Folgenden: KESB) für den Vater ein begleitetes Besuchsrecht an einem Wochenende im Monat im Umfang von je drei Stunden am Samstag und am Sonntag fest und errichtete für C._ eine Besuchsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB.
B.b. Gestützt auf die Empfehlung eines von der KESB in Auftrag gegebenen kinderpsychiatrischen Gutachtens vom 28. Oktober 2016 reduzierte die KESB die Besuche mit Beschluss vom 13. Juni 2017 auf einen Besuch von 11⁄2 Stunden alle vier Monate in einem psychotherapeutischen Setting in Anwesenheit einer geeigneten Drittperson. Gleichzeitig wurde der Auftrag der Beistandsperson angepasst und die Mutter angewiesen, für den Umgang mit ihren Ängsten eine psychologische Beratung durch Fachpersonen in Anspruch zu nehmen.
B.c. Mit Beschluss vom 11. Oktober 2018 bezeichnete die KESB Dr. med. D._, Psychiater und Psychologe, als geeignete Begleitperson für die Besuche und hob die der Mutter erteilte Weisung als erfüllt auf. Dr. med. D._ war bereits behandelnder Arzt und Therapeut von C._.
B.d. Mit Beschluss vom 4. Oktober 2019 ordnete die KESB an, die dem Vater eingeräumten Besuche seien neu durch die "E._" statt durch Dr. med. D._ durchzuführen. Bei der "E._" handelt es sich um die F._ GmbH, mithin um eine juristische Person. Der Sitz der Gesellschaft befindet sich in W._ (ZH). Der Mutter wurde zudem die Weisung erteilt, mit der "E._" zusammenzuarbeiten, unter Androhung der Bestrafung im Unterlassungsfall. Weiter wurde der Mutter die Weisung erteilt, alles vorzukehren, um C._ positiv auf die Besuche beim Vater einzustimmen.
B.e. Mit Urteil vom 4. Juni 2020 wies der Bezirksrat Zürich die Beschwerde der Mutter gegen den Entscheid der KESB ab. Die gegen den Beschluss des Bezirksrats gerichtete Beschwerde der Mutter wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 21. September 2020 ab. Es bestätigte den Zirkulationsbeschluss der KESB vom 4. Oktober 2019 (Bst. B.d).
C.
Mit Beschwerde vom 23. Oktober 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben. Eventualiter sei die Sache "im Sinne der gutzuheissenden Rügen" an das Obergericht zurückzuweisen. Aufzuheben sei auch der Zirkulationsbeschluss der KESB vom 4. Oktober 2019.
Mit Verfügung vom 13. November 2020 entschied der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung, der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Vom Bundesgericht dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, erklärte B._ (Beschwerdegegner), auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 13. Juli 2021). Im gleichen Sinn äusserte sich das Obergericht (Erklärung vom 24. Juni 2021). Die KESB Zürich beantragt mit Schreiben vom 1. Juli 2021 die Abweisung der Beschwerde. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über die Abänderung der Regelung des persönlichen Verkehrs (Besuchsrecht) entschieden hat (Art. 75 und Art. 90 BGG). Ausgehend davon, dass die Eltern nie miteinander verheiratet waren, handelt es sich dabei um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, die sie auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG). Soweit sich die Beschwerdeführerin zusätzlich gegen den Zirkulationsbeschluss der KESB vom 4. Oktober 2019 (s. Sachverhalt Bst. B.d) wehrt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.3. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG), weshalb grundsätzlich ein ebensolcher Antrag zu stellen ist. Ein rein kassatorisches Rechtsbegehren ist zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (BGE 137 II 313 E. 1.3; 133 III 489 E. 3.1) oder eine belastende Anordnung in Streit steht, mit deren Aufhebung die Belastung beseitigt wird (Urteile 5A_262/2019 vom 30. September 2019 E. 1.2; 2C_122/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1.1). Wie die Beschwerdebegründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann (BGE 136 V 131 E. 1.2), erkennen lässt, möchte die Beschwerdeführerin mit ihrem kassatorischen Rechtsbegehren erreichen, dass weiterhin Dr. med. D._ die Besuche von C._ und seinem Vater begleitet. Darauf ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 142 I 99 E. 1.7.1; 140 III 86 E. 2). Das Bundesgericht kann die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen. Ebenso kann es den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von derjenigen der Vorinstanz abweicht (BGE 144 III 462 E. 3.2.3; 143 V 19 E. 2.3; 142 III 782 E. 3; 141 V 234 E. 1; 140 III 86 E. 2; 136 III 247 E. 4).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. einer Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (BGE 141 IV 317 E. 5.4; 140 III 264 E. 2.3). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, womit die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen ebenfalls der qualifizierten Begründungspflicht unterliegt (Urteil 5A_438/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 1.3; vgl. auch BGE 144 V 50 E. 4.1).
3.
Umstritten ist zunächst, ob C._ zum Wechsel in der Besuchsbegleitung im Verfahren vor dem Bezirksrat hätte angehört werden müssen.
3.1. Die Vorinstanz erwägt, die KESB sei sich bewusst gewesen, dass nicht nur die Beschwerdeführerin, sondern auch C._ den Kontakt zu seinem Vater ablehnt. Der Einwand der Mutter, der Bezirksrat übersehe die herausragende Bedeutung des Kindeswillens für die Regelung des Besuchsrechts, und ihre Forderung nach einer Kindesanhörung zur Ermittlung des Kindeswillens würden daher an der Sache vorbeigehen. Die Vorinstanz gehe nicht von einem anderen Kindeswillen aus als die Mutter. Es sei daher unklar, was sich die Beschwerdeführerin von einer weiteren Kindesanhörung verspreche. Da C._ seinen Vater seit mehreren Jahren nicht mehr gesehen habe und daher aus eigener Anschauung nichts Neues über den Kontakt zu seinem Vater mitteilen könnte, sei nicht ersichtlich, was eine Kindesanhörung zur Entscheidfindung beitragen könnte. Der Entscheid des Bezirksrats, auf eine Anhörung von C._ zu verzichten, nachdem dieser von der KESB angehört worden sei und diese sich von der Kindesanhörung keine neuen Erkenntnisse erhofft habe, sei daher nicht zu beanstanden.
3.2. Die Beschwerdeführerin räumt ein, dass C._ am 27. September 2019 durch die KESB angehört worden sei. Damals sei er zu Dr. med. D._ und seinem Vater befragt worden. Zu einer Besuchsbegleitung durch Mitarbeiter der E._ und seinen diesbezüglichen Ängsten sei er hingegen nicht befragt worden und habe er sich bisher nicht äussern können. Indem sie sich dem Entscheid des Bezirksrats anschliesse, auf eine (nochmalige) Anhörung von C._ zu verzichten, schenke die Vorinstanz dem persönlichkeitsrechtlichen Aspekt der Kindesanhörung nicht die nötige Beachtung und verletze so Art. 314a ZGB, Art. 298 ZPO und Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) sowie Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
3.3.
3.3.1. Nach Art. 314a Abs. 1 ZGB wird das Kind durch die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum andern der Sachverhaltsfeststellung. Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinne eines Beweismittels zu verstehen, weshalb die Eltern sie aufgrund ihrer Parteistellung als Beweismittel beantragen können (ausführlich dazu BGE 131 III 553 E. 1.1). Die Anhörung findet jedoch grundsätzlich unabhängig von Anträgen, das heisst von Amtes wegen statt. Soweit entsprechende Anträge vorhanden sind, besteht unter Vorbehalt der vom Gesetz genannten wichtigen Gründe umso mehr eine Verpflichtung, die Anhörung durchzuführen. Das bedeutet nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass das Gericht auf eine Kindesanhörung nicht gestützt auf eine antizipierte Beweiswürdigung verzichten darf. Damit würde das Anliegen des Gesetzgebers unterlaufen, die Stellung des Kindes im Prozess zu stärken. Denn faktisch könnte die Kindesanhörung mit einer antizipierten Beweiswürdigung fast durchwegs ausgehebelt werden, ist doch gerade bei kleineren Kindern zu erwarten, dass sie sich zu beiden Eltern hingezogen fühlen, oft in einem Loyalitätskonflikt stehen und in aller Regel zu beiden Elternteilen Kontakt pflegen möchten (BGE 146 III 203 E. 3.3.2 mit Hinweisen).
Diese Überlegungen gelten freilich nicht für jede Ausprägung der antizipierten Beweiswürdigung. Sie treten dort in den Hintergrund, wo das Gericht zum Schluss kommt, dass eine Anhörung des Kindes bei der gegebenen Ausgangslage überhaupt keinen Erkenntniswert hätte, allfällige Ergebnisse aus der Kindesanhörung mit Blick auf die Feststellung der konkret rechtserheblichen Tatsachen also von vornherein objektiv untauglich bzw. irrelevant sind (sog. unechte antizipierte Beweiswürdigung). Daran ändert auch der erwähnte persönlichkeitsrechtliche Aspekt nichts, welcher der Kindesanhörung eignet, denn auch er zwingt das Gericht nicht zur Durchführung einer Anhörung, die angesichts eines fehlenden Erkenntniswertes einer reinen Formsache gleichkäme. Eine antizipierte Beweiswürdigung im eigentlichen Sinn liegt nur vor, wenn das Gericht an sich taugliche Beweise, die gegen ein vorweggenommenes Beweisergebnis angerufen werden, mit der Begründung nicht abnimmt, dass es seine Überzeugung schon gewonnen habe und sich davon auch durch den fraglichen Beweis nicht werde abbringen lassen. Soweit das Gericht also nicht davon überzeugt ist, dass die Kindesanhörung keinen Erkenntniswert haben wird, muss es mithin selbst bei erheblichen Zweifeln darüber, ob dieses Beweismittel "etwas bringen wird", eine Anhörung durchführen (BGE a.a.O. mit Hinweisen).
Dass die Anhörung kein Selbstzweck ist, gilt auch mit Blick auf die Frage, wie oft eine Kindesanhörung im selben Verfahren stattfinden soll. Nach der Rechtsprechung ist von wiederholten Anhörungen abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde. Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren, und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich des Instanzenzugs. Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist. Schliesslich ist nach der Rechtsprechung vor dem oberen kantonalen Gericht keine erneute Anhörung erforderlich, wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten Anhörung nicht wesentlich verändert haben (BGE a.a.O. mit weiteren Hinweisen).
3.3.2. Gestützt auf das Gesagte kann der Vorinstanz keine Bundesrechtsverletzung vorgeworfen werden. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die persönlichkeitsrechtliche Relevanz der Kindesanhörung verkannt zu haben, ist sie daran zu erinnern, dass die Kindesanhörung ein höchstpersönliches Recht des urteilsfähigen Kindes ist. Die Beschwerdeführerin ist daher nicht befugt, im eigenen Namen vor Bundesgericht dieses Recht geltend zu machen (Urteil 5A_796/2019 vom 18. März 2020 E. 2.3 mit Hinweisen). Im Übrigen hat die Vorinstanz in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung festgestellt, dass von einer erneuten Kindesanhörung keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind. Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, dass diese Einschätzung willkürlich ist. Daran ändert auch nichts, dass die KESB einen neuen, dem Kind nicht vertrauten neuen Besuchsbegleiter einsetzen wollte. Dass das Kind zum Wechsel der Begleitperson bzw. zur Mandatierung von E._ nicht angehört wurde, ist umso weniger zu beanstanden, als sich der angefochtene Entscheid mit Bezug auf die Einsetzung der E._ ohnehin als bundesrechtswidrig erweist und aufzuheben ist (s. unten E. 4.3.2). Schliesslich begründet die Beschwerdeführerin auch nicht, dass sich aus Art. 12 KRK sowie Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 EMRK weitergehende Verpflichtungen in Sachen Kindesanhörung ergeben als aus dem Gesetz. Eine nähere Auseinandersetzung mit diesen Bestimmungen erübrigt sich daher.
4.
In der Sache ist umstritten, ob die Voraussetzungen für eine Auswechslung der Besuchsbegleitung erfüllt sind.
4.1. Die Vorinstanz stellt klar, dass Gegenstand des vorliegenden Verfahrens einzig die Person des Besuchsbegleiters sei. Die grundsätzliche Berechtigung von Besuchen könne im laufenden Verfahren nicht mehr überprüft werden; die entsprechenden Einwände der Beschwerdeführerin würden an der Sache vorbeigehen. Gleiches gelte für die Behauptung der Beschwerdeführerin, Dr. med. D._ rechne bei einer Umsetzung der Besuche gegen den Willen von C._ mit einer Retraumatisierung, für die sie weder einen Beleg noch eine nähere Begründung liefere. Weiter sei der Kindeswille vor dem Hintergrund des Kindeswohls zu würdigen. Dies könne dazu führen, dass sich das Gericht bzw. die Behörde aus Gründen des Kindeswohls auch einmal über den Willen des Kindes hinwegsetzen müsse.
In der Folge erinnert die Vorinstanz daran, dass bereits anfänglich Vorbehalte gegen die Ernennung von Dr. med. D._ als Besuchsbegleiter bestanden hätten. So habe die damalige Beiständin im Rechenschaftsbericht vom 18. Dezember 2017 davor gewarnt, dass trotz des professionellen Verhaltens von Dr. med. D._ ein Rollenkonflikt entstehen könnte. Nach Ansicht der Beiständin habe es sich als Leerlauf erwiesen, zuerst die fachliche Meinung von Dr. med. D._ einzuholen. Trotz konkreter Fragen an Dr. med. D._ liege ihr, der Beiständin, bis heute keine konkrete, fachliche Begründung vor, wieso mit den begleiteten Besuchen nicht gestartet werden könne. Anscheinend wolle Dr. med. D._ den Vater zuerst in Einzelgesprächen kennenlernen. Indem alles von Dr. med. D._s Einschätzung resp. seinen Anliegen, den Vater zuerst in die Therapie von C._ einzubeziehen, abhängig gemacht werde, hätten sowohl die Mutter als auch Dr. med. D._ eine Machtposition inne, die ihnen nicht zustehe. Die Beiständin erinnere daran, dass im Gutachten vom 28. Oktober 2016 die Zumutbarkeit solcher Treffen fundiert abgeklärt worden sei.
Wie der Verlaufsbericht der Beiständin vom 27. März 2019 zeige, hätten sich diese Vorbehalte bestätigt: So habe die Beiständin C._ nur in der Praxis von Dr. med. D._ treffen können, worauf Dr. med. D._ einen erneuten Termin nach rund fünf Monaten vorschlug. Zwischen C._ und seinem Vater hätten keine Treffen stattgefunden. Dr. med. D._ habe gesagt, dass er C._ etwa alle drei Monate fragen könne, ob er den Vater sehen möchte, und dass er ihn gegebenenfalls nach drei Monaten erneut fragen würde. Gegenüber der KESB berichte Dr. med. D._ in einem "ärztlichen Attest" vom 27. Mai 2019, dass C._ weiterhin "in inzwischen grösseren Abständen zu spieltherapeutischen Sitzungen" zu ihm komme und weiterhin klar äussere, dass er seinen Vater nicht sehen möchte. Gleichzeitig habe sich der Vater trotz einer ausdrücklichen Einladung zu weiteren Besprechungen nicht bei ihm gemeldet. Zu einem früheren Zeitpunkt habe sich Dr. med. D._ gegenüber der KESB dahingehend geäussert, dass ein Kontakt zwischen C._ und seinem Vater in seiner Praxis stattfinden könne, wenn der Vater zu einem Gespräch vorbei komme und ihm, Dr. med. D._, bei diesem Gespräch mit dem Vater "nichts Aussergewöhnliches auffalle." Die Berichte der Beiständinnen sowie die Äusserungen von Dr. med. D._ würden den Eindruck erwecken, dass dieser die Durchführung von Treffen zwischen C._ und dem Vater von seinem persönlichen Eindruck vom Beschwerdegegner abhängig mache. Damit verkenne Dr. med. D._ seine Rolle als Besuchsbegleiter.
Die Vorinstanz betont, es sei nicht die Aufgabe von Dr. med. D._, über die Durchführung der Besuche zu entscheiden. Dies habe vielmehr die KESB im rechtskräftigen Entscheid vom 13. Juni 2017 bereits getan. Damals habe die KESB den Vater für berechtigt erklärt, seinen Sohn C._ alle vier Monate für die Dauer von 11⁄2 Stunden in Begleitung zu treffen. Mit dem kinderpsychatrischen Gutachten stützte sich die KESB dabei auf eine Fachmeinung. Dieser Entscheid sei für den Besuchsbegleiter verbindlich. Sollte er im Rahmen seiner Tätigkeit zum Schluss gekommen sein, dieser Entscheid sei nicht (mehr) richtig, so hätte es an ihm gelegen, die KESB darauf hinzuweisen und eine Änderung zu erwirken.
Nach Auffassung der Vorinstanz ist es unerheblich, was der Grund dafür ist, dass es zu keiner weiteren Besprechung zwischen Dr. med. D._ und dem Vater gekommen sei. So oder so habe es nicht im Belieben von Dr. med. D._ gestanden, die Durchführung der Besuche von regelmässigen Einzelgesprächen mit dem Vater abhängig zu machen. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, der Vater verhalte sich wie ein Prüfling, der nur dann zum Examen antrete, wenn man ihm unabhängig von seiner Leistung den Erfolg garantiere, wende sich gegen Dr. med. D._, dem in diesem Bild eine Kompetenz zugesprochen werde, die ihm als Besuchsbegleiter nicht zukomme.
Im Übrigen stehe die fachliche Eignung von Dr. med. D._ ausser Frage. Die gewissenhafte Erfüllung seiner Aufgabe als behandelnder Arzt von C._, zu der ihn sein Arzteid verpflichte, komme ihm aber in die Quere und mache ihn als Besuchsbegleiter ungeeignet. Damit bewahrheite sich die Befürchtung der früheren Beiständin, dass trotz des professionellen Verhaltens von Dr. med. D._ ein Rollenkonflikt entstehen konnte. Diese Schwierigkeit räume heute Dr. med. D._ zumindest ansatzweise selbst ein, was sein Eingeständnis zeige, dass es ihm nicht gelungen sei, mit dem Vater eine therapeutische Allianz aufzubauen. Er sehe auch keine Möglichkeit, die verhärteten Fronten im Dreieck Vater, Mutter und Sohn aufzuweichen.
Weiter geht die Vorinstanz auf den Vorwurf der Mutter ein, wonach die Kontakte mit dem Vater das Wohl des Kindes gefährdeten. Die Vorinstanz betont nochmals, dass es im laufenden Verfahren einzig um die Frage geht, ob Dr. med. D._ als Besuchsbegleiter zu ersetzen sei, und nicht um das Besuchsrecht an sich. Im Übrigen kann die Vorinstanz im Verhalten des Vaters zumindest so lange keine Kindeswohlgefährdung erkennen, als die Besuche begleitet und in einem therapeutischen Setting erfolgen.
4.2. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz mit ihrem Entscheid dem Kindeswohl nicht Rechnung getragen und damit die Art. 273, 274 und 307 ff. ZGB sowie Art. 11 BV verletzt. Entgegen dem angefochtenen Entscheid rechtfertige sich eine Abänderung des Beschlusses der KESB vom 11. Oktober 2018 nicht. Die massgebenden Verhältnisse hätten sich nicht geändert. Die Besuchsregelung im Beschluss der KESB vom 4. Oktober 2019 liege nicht im Kindeswohl. Bei der Festsetzung der Modalitäten des Besuchsrechts gehe es nicht darum, einen Interessenausgleich zwischen den Eltern zu finden, sondern den elterlichen Kontakt mit dem Kind im Interesse des Kindes zu regeln. Als oberste Richtschnur gelte immer das Kindeswohl, das anhand der gegebenen Umstände zu beurteilen sei; allfällige Interessen der Eltern hätten zurückzustehen. Dies gelte ganz besonders für die Bestellung bzw. den Wechsel des Besuchsbegleiters.
Die Beschwerdeführerin erinnert daran, dass die Besuchsrechtsregelung im Beschluss der KESB vom 11. Oktober 2018 das Ergebnis langjähriger intensiver Überprüfung gewesen sei und den zuvor erwähnten Grundsätzen der Besuchsrechtsausgestaltung folge. Die KESB habe die Einsetzung von Dr. med. D._ als Besuchsbegleiter in ihrem Beschuss fundiert begründet. Wörtlich habe sie zum damaligen Zeitpunkt festgehalten: "Umso wichtiger erscheint es, dass C._ bei diesen Begegnungen mit dem Vater - insbesondere auch nach dem langen Kontaktunterbruch - eine Vertrauensperson an der Seite hat, bei welcher er sich wohl und sicher fühlt. Sein Therapeut stellt für C._ offensichtlich eine solche Vertrauensperson dar, unabhängig davon, dass er von seiner Mutter als Begleitperson vorgeschlagen worden ist. Es hat sich gezeigt, dass er sehr gerne zu Herrn Dr. med. D._ geht." Mit ihrem damaligen Entscheid sei die KESB auch dem von ihr in Auftrag gegebenen Gutachten gefolgt, wonach C._ als Besuchsbegleiter/Besuchsbegleiterin eine Person brauche, der er vertraue, damit er die Übergänge zwischen den Eltern angstfreier erleben könne. Laut der KESB habe Dr. med. D._ diesem Profil entsprochen, wobei schon damals klar gewesen sei, dass der Beschwerdegegner Dr. med. D._ als Begleitperson ablehnte. Dieser Umstand sei im vorliegenden Fall weniger stark zu gewichten.
Die Abänderung der durch Beschluss der KESB vom 11. Oktober 2018 getroffenen Besuchsrechtsreglung sei nur zulässig, wenn durch dessen Beibehaltung das Kindeswohl gefährdet wäre. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz sei dies vorliegend nicht der Fall: Zutreffend halte die Vorinstanz fest, dass die fachliche Eignung von Dr. med. D._ ausser Frage stehe. Die Vorinstanz gehe jedoch fehl, wenn sie Dr. med. D._ heute als ungeeignet ansehe. Entgegen der Vorinstanz habe Dr. med. D._ seine durch die Beschlüsse der KESB vom 13. Juni 2017 und 11. Oktober 2018 übertragenen Aufgaben erfüllt. Gemäss diesen Beschlüssen - basierend auf dem psychiatrischen Gutachten - sollte der eingesetzte Besuchsbegleiter die Besuche "enger" und "aktiv" begleiten und jeweils mit dem Beschwerdegegner und dem Kind C._ einzeln "vor- und nachbereiten".
Die Beschwerdeführerin insistiert, dass der Beschwerdegegner zur Vorbereitung der Besuche eingeladen worden, jedoch unbestrittenermassen nie mehr erschienen sei. Der Termin vom 3. Dezember 2018 habe nicht den beschlussmässigen Kriterien eines Vorbereitungsgesprächs entsprochen. Die Vorinstanz gehe deshalb fehl, wenn sie meine, dass es unerheblich sei, weshalb es zu keiner weiteren Besprechung zwischen Dr. med. D._ und dem Vater gekommen sei, weil jener die Durchführung der Besuche nicht von solchen regelmässigen Einzelgesprächen mit dem Vater hätte abhängig machen dürfen. Das Gegenteil treffe zu: Dr. med. D._ habe keine Besuchskontakte ohne vorgängige Vorbereitungsgespräche erlauben dürfen. Dr. med. D._ habe zu keinem Zeitpunkt beschlussgemässe Besuchstermine des Beschwerdegegners mit C._ verweigert oder ausgeschlossen.
Weiter wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, zu Unrecht von einem "Rollenkonflikt" zwischen Dr. med. D._s Beruf als Arzt und der Funktion als eingesetztem Besuchsbegleiter auszugehen. Die in der Standesordnung der FMH festgelegten Grundsätze zur Ausübung ärztlicher Tätigkeiten stünden nicht im Widerspruch zu den Aufgaben eines Besuchsbegleiters. Die Ansicht der Vorinstanz, wonach der Arzt ausschliesslich dem Willen seines Patienten respektive der Kindesmutter verpflichtet sei, finde in der Standesordnung keine Grundlage. Richtig sei vielmehr, dass der Arzt einzig der Gesundheit und dem Wohlergehen seines Patienten, somit der gedeihlichen Entwicklung von C._ verpflichtet sei.
Alsdann reklamiert die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz im Ergebnis das nicht kindgerechte Verhalten des Vaters bei früheren Besuchen in Abrede stelle bzw. es verharmlose. So werde aus dem Protokoll der KESB zitiert, wonach die Gutachterinnen eine eigene oder erweiterte Suizidalität des Beschwerdegegners verneinen würden. Nicht zitiert werde aber, was das Gutachten im folgenden Satz festgehalten habe: "Da wir Konfliktneigungen des Vaters sehen, die das Kind und die gemeinsame Beziehung belasten, empfehlen wir eine erwachsenenpsychologische Beurteilung, falls wieder unbegleitete Kontakte geprüft werden." Die Vorinstanz lasse auch unerwähnt, dass der Beschwerdegegner sich laut eigenen Angaben bis heute in psychiatrisch-psychologischer Behandlung in einem Umfang von durchschnittlich dreizehn Terminen pro Monat befinde. Mit dem Austausch der Besuchsbegleitung sei das Vertrauen von C._ in die handelnden Personen nachhaltig gebrochen. Dr. med. D._ hingegen habe während seines stetigen Beziehungsaufbaus seit Juni 2016 das Vertrauen von C._ gewonnen. Er dränge C._ auch nicht zu unbegleiteten Besuchen. Die Vorinstanz negiere, dass der Beschwerdegegner in all seinen Anträgen seit Kenntnis des Gutachtens, zuletzt am 20. September 2019, unbegleitete Besuche einfordere und somit anhaltend das "Vertrauen" des Kindes breche.
Die Beschwerdeführerin kommt zum Schluss, Dr. med. D._ sei als Psychiater und Psychotherapeut fachlich befähigt, die Besuche im Rahmen eines psychotherapeutischen Settings durchzuführen. Demgegenüber verfügten die Mitarbeiter und Mitarbeiterinnen von "E._" über einen sozialpädagogischen oder sozialen FH Ausbildungshintergrund. Die Vorinstanz blende aus, dass bei der "E._" keine Psychiater und/oder Psychotherapeuten zur Verfügung stünden. Die fachliche Eingung für diesen besonderen Fall müsse deshalb verneint werden. Durch das Urteil der Vorinstanz werde eine Retraumatisierung von C._ in Kauf genommen. Dies sei nicht vereinbar mit einer am Kindeswohl orientierten Ausgestaltung der begleiteten Besuchskontakte.
4.3.
4.3.1. Erfordern es die Verhältnisse, so ernennt die Kindesschutzbehörde dem Kind einen Beistand, der die Eltern in ihrer Sorge um das Kind mit Rat und Tat unterstützt (Art. 308 Abs. 1 ZGB). Nach Absatz 2 der zitierten Vorschrift kann die Behörde dem Beistand besondere Befugnisse übertragen, namentlich die Überwachung des persönlichen Verkehrs. Wie jeder Beistand muss auch der Beistand, der als Besuchsbegleiter eingesetzt wird, seiner Aufgabe gewachsen sein; andernfalls hat ihn die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde zu entlassen (Art. 423 Abs. 1 Ziff. 1 i.V.m. Art. 314 Abs. 1 ZGB). Genau dies hat die KESB Zürich getan, nachdem sie feststellen musste, dass es Dr. med. D._ nicht gelungen war, Besuche zwischen dem Beschwerdegegner und seinem Sohn zu organisieren. Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Entlassung von Dr. med. D._ bestätigt hat. Dies gilt auch dann, wenn die Beschwerdeführerin Dr. med. D._ weiterhin als geeigneten Besuchsrechtsbeistand betrachtet und sie dem Beschwerdegegner die Schuld dafür gibt, dass es bisher zu keinen Besuchen zwischen ihm und seinem Sohn im Beisein von Dr. med. D._ gekommen ist. Ihre diesbezügliche Kritik am vorinstanzlichen Urteil ist appellatorischer Natur. Namentlich ignoriert die Beschwerdeführerin, dass Dr. med. D._ sich in der Zwischenzeit selbst nicht mehr als für die Aufgabe geeignet erachtet bzw. nicht gewillt ist, den behördlichen Vorgaben zu entsprechen.
4.3.2. Als begründet erweist sich die Beschwerde hingegen insoweit, als sich die Beschwerdeführerin dagegen zur Wehr setzt, dass zur neuen Besuchsbegleitung die "E._" bestimmt worden ist. Als Beistand oder Beiständin kann die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde nur eine natürliche Person einsetzen, die für die vorgesehenen Aufgaben persönlich und fachlich geeignet ist, die dafür erforderliche Zeit einsetzen kann und die Aufgaben selbst wahrnimmt (Art. 400 Abs. 1 Satz 1 ZGB; BGE 140 III 1 E. 4.2; Urteil 5A_310/2016 vom 3. März 2017 E. 5.1; Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7001, S. 7049 Ziff. 2.2.5). Dies gilt auch für den Besuchsrechtsbeistand (Art. 314 Abs. 1 ZGB). Zulässig ist dabei die Ermächtigung des Beistands, eine Drittperson mit der Überwachung der Übergabe des Kindes an den besuchsrechtsberechtigten Elternteil und den Verlauf der Besuche zu beauftragen; Lehre und Praxis anerkennen ferner, dass der Beistand konkrete Aufgabenbereiche, die nicht unmittelbar der Betreuung des Kinds dienen, wie die Zuführung des Kindes an den Besuchsberechtigen und die Anwesenheit bei der Übergabe und gegebenenfalls während des Besuches, an geeignete Drittpersonen delegieren darf. Die Delegation erfolgt dabei unter der Verantwortlichkeit des behördlich ernannten Beistands. Dem Dritten kommt damit gleichsam die Funktion einer Hilfsperson des Beistands zu; es geht dabei nicht um die Übertragung hoheitlicher Aufgaben, sondern um Hilfestellung bei deren Vollzug (Urteil 5C.146/2004 vom 1. September 2004 E. 4.2 mit Hinweisen).
Das angefochtene Urteil missachtet diese Vorgaben. Es schweigt sich darüber aus, welche natürliche Person die Aufgabe als Besuchsbeistand oder Besuchsbeiständin konkret wahrnimmt. Zwar spricht das angefochtene Urteil vom "neuen Besuchsbegleiter" und verweist dabei auf act. 250 der Akten der KESB Zürich. Dabei handelt es sich um eine Aktennotiz, die G._, Mitglied der KESB Zürich, im Anschluss an ein Telefonat mit Dr. H._, Geschäftsleiter E._, am 12. Juni 2019 geführt hat. Mit diesem Schriftstück ist nun aber nicht belegt, dass die KESB Zürich Dr. H._ als neuen Besuchsbeistand eingesetzt hätte. Es kommt hinzu, dass Dr. H._ im Gespräch mit G._ darauf hinwies, dass sie zu zweit arbeiteten, ohne zu sagen, wer diese zweite Person wäre bzw. wie die Arbeit aufgeteilt würde. Im Ergebnis ist damit die Einsetzung eines neuen Besuchsbeistands oder neuen Besuchsbeiständin gescheitert. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet; der angefochtene Entscheid ist diesbezüglich aufzuheben. Entsprechend erübrigt es sich zu prüfen, ob die Kritik der Beschwerdeführerin an der nötigen Qualifikation der Mitarbeiter der E._ berechtigt ist.
5.
Um unnötige Weiterungen des Falls zu vermeiden, prüft das Bundesgericht bereits an dieser Stelle schliesslich die Kritik der Beschwerdeführerin an der ihr auferlegten strafbewehrten Weisung (s. Sachverhalt Bst. B.d).
5.1. Die Vorinstanz verweist auf Dr. H._, der von einem forcierten Vorgehen abrate, weil ein solches nicht sinnvoll sei und den Konflikt oder die Abwehr eher noch verschärfen würde. Damit sei jedoch das Kind gemeint, das nicht unter Druck gesetzt werden soll, um seine gegenwärtige Ablehnung von Kontakten nicht zu verfestigen. Zur Strafandrohung an die Adresse der Mutter äussere sich diese Fachperson hingegen nicht, und es sei auch nicht ersichtlich, dass eine Strafandrohung gegen die Mutter schädlich sei. Falls die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis, wonach eine Strafandrohung kontraproduktiv sei, sagen wolle, dass sie die erteilte Weisung trotz Strafandrohung nicht einhalten werde, zeige dies bloss, dass sich an den Gründen, welche die KESB zu dieser Anordnung veranlassten, nichts geändert habe und dass die Beschwerdeführerin nicht freiwillig mit einer neuen Besuchsbegleitung zusammenarbeiten würde, was nicht gegen, sondern vielmehr für eine Strafandrohung spreche.
5.2. Die Beschwerdeführerin moniert, dass die Voraussetzungen für eine strafbewehrte Weisung fehlen würden (Art. 307 Abs. 3 ZGB i.V.m. Art. 292 StGB). Zudem erweise sich die Strafandrohung als unverhältnismässig und willkürlich. Sie, die Beschwerdeführerin, habe im gesamten nun sechsjährigen Verfahren jeden festgesetzten Termin wahrgenommen und C._ zu allen Terminen gebracht. Darüber hinaus wäre eine solche Weisung mit Strafandrohung kontraproduktiv, worauf auch Herr H._ hingewiesen habe. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz würden sich seine Aussagen auf sie, die Beschwerdeführerin, und nicht auf C._ beziehen. Gleichlautend hätten sich auch die Gutachterinnen geäussert. Die Erteilung einer Weisung mit Strafandrohung quasi auf Vorrat ohne jegliche fundierte Hinweise auf eine mögliche Nichtbefolgung der Weisung sei nicht vertretbar.
5.3. Nach Art. 307 Abs. 3 ZGB kann die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde den Eltern Weisungen für die Pflege, Erziehung oder Ausbildung erteilen. Das Gesetz schweigt sich über die Vollstreckung einer solchen Weisung aus. Im Vordergrund steht dabei die Möglichkeit, die Weisung mit der Androhung einer Bestrafung nach Art. 292 StGB zu verknüpfen, falls sie nicht beachtet wird. Soweit sich die Beschwerdeführerin an der Strafandrohung stört, begnügt sie sich, dem angefochtenen Entscheid ihre eigene Sichtweise gegenüberzustellen, ohne sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen. Weshalb allein ihr kooperatives und pflichtbewusstes Verhalten in der Vergangenheit eine Strafandrohung als unverhältnismässig oder willkürlich erscheinen lasse, ist ihrem Schriftsatz nicht zu entnehmen. Im Übrigen hat gegebenenfalls der allein zuständige Strafrichter und nicht die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde über eine Bestrafung nach Massgabe von Art. 292 StGB zu entscheiden.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde teilweise als begründet. Das angefochtene Urteil ist daher aufzugeben und die Sache zu neuem Entscheid an die KESB zurückzuweisen, damit diese eine oder mehrere natürliche Personen als Besuchsbegleiter oder als Besuchsbegleiterin bestimmt. Bei diesem Ausgang des Verfahrens teilen sich die Eltern die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG) und tragen sie ihre jeweiligen Parteikosten selbst (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 21. September 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn