Erwägungen:
1.
1.1. A._ legte im Juni 2019 die Berufsprüfung für Finanzplaner ab. Mit Verfügung vom 28. Juni 2019 teilte ihm die Interessengemeinschaft Ausbildung im Finanzbereich IAF mit, dass er die Prüfung nicht bestanden habe. Diesen Entscheid bestätigte das Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation am 11. September 2020. Eine dagegen erhobene Beschwerde ist vor Bundesverwaltungsgericht hängig. Nachdem das Gericht den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 23. September 2020 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- aufgefordert hatte, stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesverwaltungsgericht wies das Gesuch mit Verfügung vom 11. Februar 2021 ab, weil die Beschwerde aussichtslos sei. In der Folge stellte A._ am 26. März 2021 ein Wiedererwägungsgesuch; das Bundesverwaltungsgericht wies es mit Verfügung vom 21. April 2021 ab, soweit es darauf eintrat, und setzte Frist bis 21. Mai 2021 zur Leistung des Kostenvorschusses.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 21. Mai 2021 beantragte A._ dem Bundesgericht, die Verfügung vom 21. April 2021 sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter sei ihm auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Bundesgericht forderte A._ mit Schreiben vom 26. Mai 2021 auf, seinen Wohnsitz anzugeben (Art. 39 Abs. 1 BGG). Daraufhin teilte A._ dem Bundesgericht mit, dass er keinen festen Wohnsitz habe. Weitere Instruktionsmassnahmen wurden nicht verfügt.
2.
Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen. Ob hier eine Ausnahme im Sinne des Urteils 2C_769/2019 vom 27. Juli 2020 vorliegt, kann mit Blick auf das Folgende offen bleiben.
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe.
3.2.
3.2.1. Streitgegenstand vor Bundesgericht ist die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. April 2021, mit der dem Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung vom 11. Februar 2021 betreffend Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege keine Folge gegeben wurde. Die Verfügung vom 11. Februar 2021 wurde nicht selbständig angefochten; sie kann deshalb erst mit dem Endentscheid zusammen beim Bundesgericht angefochten werden, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG). Demzufolge ist im vorliegenden Verfahren nicht zu prüfen, ob der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat, sondern ob die Vorinstanz sein Wiedererwägungsgesuch zu Recht abgewiesen hat.
3.2.2. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Voraussetzungen dargelegt, unter denen Anspruch auf Behandlung eines Wiedererwägungsgesuchs besteht (BGE 136 II 177 E. 2.1), und erwogen, dass der Beschwerdeführer im Gesuch weder eine wesentliche Änderung der Umstände geltend mache noch neue erhebliche Tatsachen oder Beweismittel vorbringe, die er nicht früher habe geltend machen können. Er rüge lediglich, die in der Verfügung vom 11. Februar 2021 vorgenommene Würdigung sei unzutreffend, und begründe dies erneut mit Verletzungen des Rechtsgleichheitsgebots. Dabei sei dem Beschwerdeführer bereits in der Verfügung vom 11. Februar 2021 dargelegt worden, weshalb diese Rügen offensichtlich unbegründet seien. Soweit der Beschwerdeführer neue Rügen betreffend das Rechtsgleichheitsgebot vorbringe, lege er nicht dar, weshalb er diese Rügen vor Erlass der Verfügung vom 11. Februar 2021 nicht habe vorbringen können. Das Wiedererwägungsgesuch sei deshalb abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei.
3.2.3. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Soweit er eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV rügt und ausführlich darlegt, weshalb seine Beschwerde nicht aussichtslos sei, verkennt er, dass sich der Streitgegenstand vor Bundesgericht auf das Wiedererwägungsverfahren beschränkt (vgl. vorne E. 3.2.1). Zu den Voraussetzungen der Wiedererwägung lässt sich der Beschwerde aber nichts entnehmen. Namentlich bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass sich die Verhältnisse zwischen der Verfügung vom 11. Februar 2021 und seinem Wiedererwägungsgesuch vom 26. März 2021 nicht wesentlich verändert haben und er auch keine neuen erheblichen Tatsachen oder Beweismittel vorgebracht hat, die er zuvor nicht hatte vorbringen können. Vielmehr führt er selber aus, dass er mit dem Wiedererwägungsgesuch seine Beschwerde "ergänzt" habe (vgl. Beschwerde vom 21. Mai 2021, letzte Seite). Folglich ist nicht ersichtlich, inwieweit für die Vorinstanz Anlass hätte bestehen können, die Verfügung vom 11. Februar 2021 in Wiedererwägung zu ziehen.
3.3. Zusammenfassend mangelt es der Beschwerde offensichtlich an einer hinreichenden Begründung. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Es rechtfertigt sich, von einer Kostenauflage abzusehen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten (dem Beschwerdeführer mittels amtlicher Publikation) und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger