Faits :
A.
A._ travaille pour l'entreprise U._ Sàrl, qui effectue des travaux en rapport avec les façades extérieures et intérieures des bâtiments. Il exerce la fonction de président des gérants de la société, avec signature individuelle. Son salaire en 2015 s'élevait à 156'000 fr.
Le fils de A._ détient les parts sociales de la Sàrl depuis juin 2012.
U._ Sàrl avait assuré la perte de gain consécutive à la maladie de ses employés auprès de la B._ SA (ci-après: l'assureur).
Le 14 septembre 2015, A._ (ci-après: l'assuré) s'est plaint de dysphonie avec quelques périodes d'aphonie de courte durée dans le cadre d'un tabagisme chronique. Une laryngite subaiguë a été diagnostiquée. Le 3 novembre 2015, il a subi une laryngoscopie, une bronchoscopie et une oesophagoscopie sous anesthésie totale. La laryngoscopie indirecte a montré une laryngite chronique avec des zones leucoplasiques. Cette opération a été suivie d'une période de repos vocal.
Le Dr L._, spécialiste FMH en ORL et chirurgie cervico-faciale, a attesté d'une incapacité de travail totale du 14 septembre au 29 novembre 2015.
Parallèlement, l'assuré était suivi par le Dr M._, médecin généraliste consulté à l'époque à sept reprises, soit le 14 septembre 2015, les 2, 9 et 17 novembre 2015, les 8 et 26 décembre 2015, ainsi que le 26 février 2016. En date du 17 novembre 2015, ce praticien a établi un certificat médical dans lequel il atteste d'une incapacité de travail totale à partir du 14 septembre 2015 pour une durée indéterminée. Dans un second certificat médical daté du 26 janvier 2016, il fait état d'une incapacité de travail à 100% du 14 septembre 2015 au 31 janvier 2016 puis de 80% dès le 1 er février 2016. Le 2 février 2016, le même médecin a décrit à l'attention de l'assureur l'état de santé de l'assuré comme un "épuisement psycho-physique, début de dépression, décompensation, crise d'hyperglycémie, respiratoire (détresse) ". Par courrier du 17 janvier 2018, le Dr M._ précisera que l'incapacité de travail était de 80% jusqu'au 15 mars 2016, puis de 50% jusqu'au 31 mars 2016.
En date du 15 avril 2016, l'assuré a également vu le Dr N._, médecin psychiatre, lequel a diagnostiqué un épisode dépressif moyen.
L'assuré a annoncé la survenance de son cas de maladie par déclaration datée du 18 novembre 2015 et reçue par l'assureur le 26 novembre 2015.
Lors de l'entretien téléphonique qui s'en est suivi, le 30 novembre 2015, l'interlocuteur de A._ auprès de l'assureur a relevé que l'assuré semblait en pleine forme "au téléphone en tout cas" et qu'il ne semblait souffrir d'aucun problème d'élocution. Lors d'un second entretien téléphonique en date du 21 janvier 2016, l'assuré a fait savoir que, depuis septembre 2015, il n'avait plus travaillé bien qu'il fût directeur et n'eût pas à se déplacer sur les chantiers; parfois, sa gorge se coinçait et il ne pouvait plus parler. Le gestionnaire de sinistre qui s'entretenait avec lui a fait remarquer qu'il s'exprimait parfaitement bien, ce à quoi l'assuré a rétorqué qu'il n'était pas médecin.
A la suite de ces contacts, l'assureur a mandaté un détective privé afin de surveiller l'assuré. Cette mesure est intervenue pendant six jours, entre le 1 eret le 25 février 2016. En résumé, il apparaît que l'assuré s'est rendu à l'entreprise le matin et l'après-midi - son heure d'arrivée au bureau se situant entre 8 h 30 et 10 h 45 le matin -, qu'il y a retrouvé des personnes et notamment consulté des plans et qu'il s'est rendu sur des chantiers ainsi que chez des fournisseurs. A de nombreuses reprises, il a été vu en train de téléphoner.
Le 9 mars 2016, un inspecteur de sinistres de l'assureur s'est entretenu avec l'assuré. Ce dernier a refusé que cet entretien soit enregistré. Selon le procès-verbal dressé par l'assureur que l'assuré a refusé de signer, l'assuré avait initialement conçu des craintes quant à la découverte d'une tumeur et malgré la biopsie qui s'était révélée négative, il n'avait pas été en mesure de se calmer et sa tension était restée très élevée; il a par ailleurs décrit ses activités quotidiennes en déclarant qu'il restait à la maison et regardait la télévision; il ne se rendait pas à son travail et ne s'occupait plus du tout des affaires de la société; avant son arrêt de travail, ses activités au sein de l'entreprise consistaient principalement à chercher des chantiers, contacter des clients et diriger les employés. Confronté aux résultats de la surveillance, l'assuré a reconnu avoir un peu menti, s'être rendu à son bureau pour voir les employés, les fournisseurs et les clients afin d'aider son fils qui avait beaucoup de travail; finalement, il a expliqué qu'au bureau, il ne savait rien faire et qu'il s'y était rendu sans rien y faire, sinon donner un coup de main à son fils. A l'issue de cet entretien, l'assureur a avisé l'assuré qu'il entendait faire application de l'art. 40 LCA.
Par courrier du 29 mars 2016, l'assureur a refusé d'entrer en matière sur le sinistre annoncé et a résilié immédiatement la police d'assurance en cause sur la base de la disposition légale précitée.
B.
Le 14 juillet 2017, A._ a saisi la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura d'une demande tendant au versement par B._ SA de 57'524 fr.40 avec intérêts, capital représentant les indemnités journalières dues pour la période du 29 septembre 2015 au 31 mars 2016.
Par arrêt du 29 mars 2018, la cour cantonale a rejeté la demande. Les motifs de cette décision seront détaillés dans les considérants en droit.
C.
A._ interjette un recours en matière civile, reprenant principalement les conclusions de sa demande.
Par ordonnance présidentielle du 18 juin 2018, la demande d'effet suspensif déposée par le recourant a été rejetée.
La cour cantonale et l'intimée n'ont pas été invitées à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF) rendue par le tribunal cantonal statuant comme instance cantonale unique (art. 75 al. 2 let. a LTF; art. 7 CPC; art. 4 al. 2 LiCPC [RSJU 271.1]) dans un litige portant sur une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, soit en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; ATF 138 III 2 consid. 1.1 p. 3; 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s.). Le recours est ouvert sans égard à une valeur litigieuse minimale (art. 74 al. 2 let. b LTF), au demeurant atteinte en l'occurrence (art. 74 al. 1 let. b LTF). Il est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires et a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF); il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF; art. 45 al. 1 LTF) et dans la forme (art. 42 LTF) prévue par la loi. Le recours est en principe recevable, sous réserve de l'examen des griefs particuliers.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 89; 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 1.4; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 141 III 86 consid. 2; 140 III 115 consid. 2; 137 III 580 consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 139 I 22 consid. 2.3; 137 III 580 consid. 1.3; 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1 p. 253; 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales. Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 140 III 26 consid. 2.3 p. 265; 137 III 226 consid. 4.2; 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1).
3.
Le litige porte sur l'obligation de l'assureur de verser les indemnités journalières consécutives à la maladie de l'assuré. Invoquant une prétention frauduleuse au sens de l'art. 40 LCA, l'intimée a refusé de prester et s'est départie du contrat d'assurance, considérant que le recourant avait tenté de la berner par des déclarations inexactes et d'obtenir de la sorte des prestations indues.
3.1. La cour cantonale a donné raison à l'assureur en distinguant deux périodes. Certes, l'assuré avait été empêché de travailler du 14 septembre au 29 novembre 2015, ensuite d'une aphonie et d'une laryngite subaiguë ayant nécessité une opération suivie d'une période de repos vocal, comme certifié par le Dr L._. Tel n'avait toutefois plus été le cas ultérieurement, contrairement à ce que l'assuré avait déclaré en particulier lors de l'entrevue du 9 mars 2016 avec l'assureur et à ce que le Dr M._ avait indiqué. Les certificats médicaux établis par ce dernier n'étaient pas suffisamment convaincants, d'autant qu'aucun autre praticien - et en particulier aucun psychiatre - n'avait confirmé la rémanence d'une incapacité de travail dont le motif serait lié à des causes essentiellement psychiques. Enfin, le diagnostic du Dr M._ était contredit par les activités et l'attitude générale visibles sur les vidéos établies lors de la surveillance et dans le rapport d'activité du détective privé mandaté par l'assureur; le recourant y apparaissait actif, vif, souriant, attentif, sans fatigue apparente, se déplaçant fréquemment, y compris sur les chantiers, souvent au téléphone et en discussion avec des tiers, parfois avec des plans en mains, ceci à plusieurs moments différents de la journée. Même si l'assuré eût été fondé à réclamer des indemnités journalières pour la première période, le fait de les avoir sollicitées pour la seconde alors qu'il était rétabli autorisait l'intimée à se départir du contrat et à refuser ses prestations.
3.2. Le recourant considère que l'intimée n'était pas fondée à résilier le contrat d'assurance et à refuser ses prestations; celles-ci étaient dues en raison d'une incapacité de travail bien réelle, laquelle avait perduré jusqu'au 31 mars 2016 et était dûment attestée par des certificats médicaux, n'en déplaise à l'assureur. Ses arguments sont de trois ordres: en premier lieu, l'intimée qui entendait mettre un terme à ses prestations aurait dû solliciter un examen de l'assuré par un second médecin ou son médecin-conseil, comme elle s'en était réservé le droit dans le contrat d'assurance; en deuxième lieu, le recourant avait réclamé la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire, qui avait été refusée en violation de l'art. 8 CC et de son droit à la preuve; en dernier lieu, il eût nécessairement fallu soumettre le "matériel d'observation" du détective privé à un médecin pour éviter qu'il n'en soit fait une évaluation superficielle et hâtive; la cour cantonale ne pouvait s'en dispenser au motif qu'elle disposait déjà de certificats médicaux au dossier, si c'était pour s'en écarter, comme elle l'a fait s'agissant de ceux établis par le Dr M._.
3.2.1. Il ne résulte pas de l'arrêt cantonal que l'assureur se soit réservé le droit de solliciter un examen de l'assuré par un second médecin ou son médecin conseil, comme le recourant le soutient. Celui-ci n'indique pas si et à quel endroit de sa demande il aurait allégué ce fait, de sorte que, à supposer qu'il eût été soulevé, le grief d'arbitraire serait irrecevable. Ce fait ne pouvant être retenu, les déductions que le recourant en tire ne sauraient être suivies. Le grief est dès lors mal fondé.
3.2.2.
3.2.2.1. Selon l'art. 8 CC, chaque partie doit, si la loi ne prescrit le contraire, prouver les faits qu'elle allègue pour en déduire son droit. En l'absence de disposition spéciale contraire, l'art. 8 CC répartit le fardeau de la preuve et détermine quelle partie doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24). Cette disposition confère également un droit à la preuve (comme d'ailleurs à la contre-preuve; ATF 126 III 315 consid. 4a p. 317), à la condition qu'il s'agisse d'établir un fait pertinent (cf. art. 150 al. 1 CPC), qui n'est pas déjà prouvé, par un moyen de preuve adéquat, proposé régulièrement et en temps utile (cf. art. 152 al. 1 CPC; ATF 143 III 297 consid. 9.3.2 p. 332; 133 III 295 consid. 7.1 p. 299; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24 s. et les arrêts cités). Le droit à la preuve n'accorde pas le droit à des mesures probatoires déterminées (ATF 127 III 519 consid. 2a p. 522), ni ne dicte au juge comment forger sa conviction (ATF 128 III 22 consid. 2d p. 25). Il ne permet pas de remettre en question l'appréciation des preuves effectuée par le juge (ATF 130 III 591 consid. 5.4 p. 602), ni de critiquer son appréciation quant à l'aptitude d'un moyen de preuve à démontrer un fait pertinent (ATF 122 III 219 consid. 3c p. 223). Il n'exclut pas l'appréciation anticipée des preuves (ATF 143 III 297 consid. 9.3.2 p. 332; 138 III 374 consid. 4.3.2 p. 376).
3.2.2.2. En l'espèce, la cour cantonale a jugé qu'une expertise ne permettrait pas d'établir quel était l'état de santé de l'assuré plusieurs années plus tôt, alors que l'incapacité alléguée était essentiellement imputable à des troubles psychiques. Ce faisant, elle a écarté la requête du recourant tendant à la mise en oeuvre d'une expertise à la suite d'une appréciation anticipée des preuves. Comme l'art. 8 CC ne régit pas cette question, le grief tiré d'une violation de cette disposition tombe à faux.
3.2.3. Le recourant critique finalement l'appréciation des preuves à laquelle la cour cantonale s'est livrée.
3.2.3.1. L'autorité précédente a jugé que la surveillance par le détective privé mandaté par l'assureur était licite, ce que le recourant ne remet pas en cause. Elle a ensuite rappelé que les résultats de cette surveillance devaient en principe faire l'objet d'une évaluation médicale, tout en estimant que cette exigence était superflue dans le cas présent, puisque des certificats médicaux - ceux du Dr M._ - figuraient déjà au dossier. Elle a poursuivi son raisonnement en expliquant les raisons pour lesquelles elle tenait ces certificats médicaux pour insuffisamment probants et en a conclu que l'assuré avait affirmé fallacieusement qu'après le 29 novembre 2015, il était toujours en incapacité de travail, totale jusqu'au 31 janvier 2016, puis partielle. Les motifs invoqués à cet égard dans l'arrêt attaqué sont multiples: tout d'abord, le Dr M._ n'avait préconisé aucun arrêt de travail après la consultation du 14 septembre 2015; c'est uniquement le 17 novembre 2015 qu'il avait attesté, avec effet rétroactif, d'une incapacité de travail ayant débuté plus de deux mois auparavant et d'une durée indéterminée; la nature de la maladie n'avait pas été précisée initialement; c'est le 2 février 2016 seulement qu'il l'avait décrite en ces termes: "épuisement psycho-physique, début de dépression, décompensation, crise d'hyperglycémie, respiratoire, (détresse) "; le Dr M._ n'était pas psychiatre mais généraliste; aucune thérapie ciblée n'avait été mise en oeuvre (mis à part la prescription de Cipralex, Temesta, Glivazide 30 Voscort 40/5/12.5); le praticien avait constaté une incapacité de travail de 80% dès le 1 er février 2016, alors qu'il n'avait pas revu son patient entre le 26 décembre 2015 et le 26 février 2016; aucun certificat médical attestant de l'incapacité de travail alléguée pour mars 2016 n'avait été produit, hormis le courrier du Dr M._ du 17 janvier 2018 adressé au mandataire de l'assuré après l'introduction de la demande, faisant état d'une dépression qualifiée désormais de majeure; au surplus, le médecin prénommé certifiait dans ledit courrier que l'assuré avait consulté le Dr N._, psychiatre, à plusieurs reprises en urgence, puis en suivi régulier et qu'il continuait à se rendre chez celui-ci, alors qu'auditionné à ce sujet, l'assuré avait tout d'abord déclaré ne pas connaître le Dr N._, avant de préciser qu'il n'avait pu le consulter qu'une seule fois; or, cette unique consultation était intervenue le 15 avril 2016, soit postérieurement à la fin de l'incapacité de travail alléguée.
3.2.3.2. En droit des assurances sociales, la jurisprudence a dégagé le principe selon lequel un rapport de surveillance ne constitue pas, à lui seul, un fondement sûr pour constater les faits relatifs à l'état de santé ou la capacité de travail de la personne assurée. Il peut tout au plus fournir des points de repère ou entraîner certaines présomptions. Seule l'évaluation par un médecin du matériel d'observation peut apporter une connaissance certaine des faits pertinents (ATF 137 I 327 consid. 7.1 p. 337; arrêts 8C_779/2012 du 25 juin 2013 consid. 2.3; 8C_434/2011 du 8 décembre 2011 consid. 4.2). Cette exigence d'une appréciation médicale sur le résultat de l'observation permet d'éviter une évaluation superficielle et hâtive de la documentation fournie par le détective privé (arrêt 8C_779/2012 précité consid. 2.3; MARGIT MOSER-SZELESS, La surveillance comme moyen de preuve en assurance sociale, in RSAS 57/2013 p. 129 ss, plus spécialement p. 152). L'évaluation du médecin est faite sur la base du résultat des mesures de surveillance, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner dans tous les cas une expertise médicale. En effet, il appartient à l'assureur social ou au juge d'apprécier la portée du produit d'une surveillance en fonction du principe de la libre appréciation des preuves (arrêt 8C_779/2012 précité consid. 2.3; MOSER-SZELESS, op. cit., p. 153). Dans un arrêt récent, tout en se référant à l'ATF 137 I 327, le Tribunal fédéral a encore souligné que le matériel d'observation ne constituait en principe pas une base suffisante pour mettre fin définitivement à des prestations; il faut au surplus une évaluation médicale de l'état de santé et une appréciation de la capacité de travail (cf. arrêt 9C_483/2018 du 21 novembre 2018 consid. 4.1.2).
3.2.3.3. Si l'on s'en tient rigoureusement à ce principe, les résultats de la surveillance dont l'assuré a fait l'objet, du 1 er au 25 février 2016, auraient dû être soumis à un médecin. La tâche de celui-ci eût été d'évaluer si les activités de l'assuré, visibles sur les prises de vue ou rapportées par le détective privé, étaient cohérentes par rapport au degré d'incapacité de travail allégué. Pour ce faire, faute pour lui d'avoir reçu l'assuré en consultation à l'époque des faits, il n'aurait eu d'autre choix que de se fonder sur les documents médicaux remontant à la période litigieuse. En l'occurrence, il s'agirait exclusivement des certificats médicaux établis par le Dr M._. Or, celui-ci a posé un diagnostic à ce point vague qu'il n'est pas possible d'en tirer des déductions concrètes, s'agissant des activités que l'assuré pouvait ou non déployer. Il décrit en effet la maladie prétendue en ces termes: "épuisement psycho-physique, début de dépression, décompensation, crise d'hyperglycémie, respiratoire (détresse) ". On peut en déduire à peu près tout et n'importe quoi. Dans ces conditions, on ne voit guère comment un médecin aurait pu a posteriori apprécier, sur la base des prises de vue et du rapport du détective privé, si l'assuré avait franchi ou non les limitations qu'une telle affection lui imposait censément.
Certes, on pourrait argumenter que l'assureur aurait dû mandater un médecin afin de procéder à cette évaluation à l'époque des faits, soit en mars 2016. Ledit médecin aurait, le cas échéant, pu recevoir l'assuré en consultation pour établir lui-même un diagnostic. En principe, l'état de santé d'une personne n'évolue pas si vite qu'il ne subsiste pas le temps nécessaire pour procéder à une telle démarche. L'assuré fait toutefois exception à la règle puisque, de son propre aveu, il était totalement rétabli à la fin mars 2016. Dans ces conditions, on ne saurait exiger davantage de l'assureur. Ce d'autant que l'assuré s'est dispensé, à l'époque, de fournir un certificat médical attestant son incapacité de travail pour le mois en question. Il a attendu près de deux ans, soit le 17 janvier 2018, pour produire un document émanant du même Dr M._, dont il ressort qu'il aurait été incapable de travailler à 80% jusqu'au 15 mars 2016, puis à 50% jusqu'au 31 mars 2016. Dans le présent contexte, un tel procédé ne va pas de soi.
Il s'ensuit que c'est à juste titre que la cour cantonale a apprécié les preuves à disposition en les confrontant les unes aux autres, sans soumettre les résultats de la surveillance à une nouvelle évaluation médicale. Ce grief du recourant est également mal fondé.
Au surplus, l'appréciation des premiers juges n'apparaît pas arbitraire. Certes, le recourant affirme notamment que rien ne l'empêchait de se rendre au bureau pour gérer les affaires courantes en février 2016, puisqu'il disposait alors d'une capacité de travail de 20%, qu'il a reçu non pas des relations d'affaires, mais des amis, dans une salle située dans ses bureaux, où se trouvaient un canapé et une télévision et que, s'il a été vu en train de téléphoner, c'était à des amis ainsi qu'à sa mère; de plus, il arrivait au bureau entre 8 h 30 et 10 h 45, horaires qui n'étaient pas ceux d'une personne travaillant à plein temps. Le recourant échoue toutefois à démontrer que ces éléments sont manifestement avérés, au vu de telle ou telle preuve régulièrement offerte. La cour cantonale a expliqué pour quels motifs elle n'avait pas tenu certains témoignages pour déterminants et cette appréciation ne prête pas le flanc à la critique.
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours ne peut être que rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant prendra à sa charge les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 11 juin 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann