Faits :
A.
Par arrêt du 27 août 2019, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel interjeté par A.A._ contre l'ordonnance de mesures provisionnelles rendue le 24 mai 2019 par le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte dans la cause qui oppose le recourant à B.A._. Elle a réformé d'office les chiffres I et II de dite ordonnance en ce sens qu'elle a dit que A.A._ contribuerait à l'entretien de ses deux enfants par le régulier versement d'une pension mensuelle, allocations familiales non comprises et dues en sus, payable d'avance le premier de chaque mois en mains de leur mère, dès et y compris le 1 er mai 2019, de 1'241 fr. pour chacun d'eux. Elle a confirmé l'ordonnance pour le surplus.
B.
Par acte du 3 octobre 2019, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, tendant à la réduction des contributions d'entretien auxquelles il a été condamné. Il a également sollicité l'octroi de l'effet suspensif à son recours ainsi que le prononcé de mesures provisionnelles dans le sens de ses conclusions au fond. Au préalable, il a encore requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Par ordonnance du 4 octobre 2019, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a provisoirement accordé l'effet suspensif au recourant, en ce sens qu'il a été renoncé à exiger une avance de frais.
Par ordonnance présidentielle du 17 octobre 2019, faisant suite à un double échange d'écritures des parties, la requête de mesures provisionnelles a été rejetée et celle d'effet suspensif partiellement admise en tant qu'elle portait sur les contributions d'entretien dues jusqu'au 30 septembre 2019.
C.
Par courrier des 12 et 16 décembre 2019 ainsi que du 6 janvier 2020, le conseil de A.A._ a sollicité la suspension de la procédure de recours pendante devant le Tribunal fédéral au motif qu'il avait déposé le 5 décembre 2019 une requête de mesures provisionnelles devant le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte tendant à la modification du montant des contributions d'entretien dues à ses enfants, ce avec effet rétroactif au 1er mai 2019, et, partant, susceptible de rendre son recours en matière civile sans objet.
Invitées à se déterminer, l'intimée s'est opposée à la requête de suspension le 6 janvier 2020.
Le recourant s'est déterminé sur cette écriture par courrier du 7 janvier 2020.
Par ordonnance présidentielle du 10 janvier 2020, l'instruction de la procédure de recours pendante devant le Tribunal de céans a été suspendue jusqu'à droit connu sur la requête de mesures provisionnelles déposée le 5 décembre 2019 par A.A._.
Par pli du 4 mars 2020, le Tribunal d'arrondissement de La Côte a informé le Tribunal de céans qu'une convention avait été passée entre les parties et ratifiée par le Président dudit tribunal séance tenante dans laquelle elles s'étaient entendues sur le montant des contributions d'entretien dues pour chaque enfant dès le 1 er avril 2020 et s'étaient donné quittance pour solde de tout compte au 31 mars 2020 en relation avec les contributions d'entretien et les frais et dépens judiciaires à ce jour, sous réserve d'un montant forfaitaire global de 600 fr., les parties renonçant en outre à tout dépens, y compris pour la présente procédure fédérale.
D.
Par ordonnance présidentielle du 10 mars 2020, les parties ont été invitées à se déterminer quant au sort de la présente procédure, singulièrement quant à sa perte d'objet une fois l'ordonnance de mesures provisionnelles ratifiant l'accord des parties entrée en force.
Par déterminations du 10 mars 2020, A.A._ a déclaré retirer son recours en matière civile, soulignant que les parties avaient " renoncé à tout dépens de troisième instance ". Le recourant a confirmé le retrait de son recours par courrier du 20 mars 2020.
L'intimée ne s'est pas prononcée dans le délai imparti.
Considérant en droit :
1.
Il convient de prendre acte du retrait du recours et de rayer la cause 5A_787/2020 du rôle (art. 73 PCF par renvoi de l'art. 71 LTF; art. 32 al. 2 LTF).
2.
En règle générale, celui qui retire un recours doit être considéré comme une partie succombante, astreinte au paiement des frais de justice encourus jusque-là (ordonnances 5A_740/2019 du 4 octobre 2019; 5A_452/2019 du 10 juillet 2019; 5A_139/2019 du 25 juin 2019; 5A_194/2019 du 25 mars 2019; 1C_356/2018 du 12 février 2019; 5A_100/2019 du 13 mars 2019; 2C_786/2017 du 4 octobre 2018; 1C_36/2018 du 5 juin 2018). Sur le principe, les frais judiciaires incombent ainsi au recourant (art. 66 al. 1 LTF).
Néanmoins, les frais de procédure peuvent être réduits, voire remis, lorsque le recours est réglé par un désistement sans avoir causé un travail considérable au tribunal (art. 66 al. 2 LTF). En l'espèce, le retrait est intervenu cinq mois après son dépôt, alors que la Cour de céans avait déjà rendu une ordonnance de mesures provisionnelles et d'effet suspensif, ainsi qu'une ordonnance de suspension, puis de reprise de la cause. Dans les présentes circonstances, des frais judiciaires réduits, à hauteur de 1'000 fr., devraient être perçus (art. 66 al. 1 LTF).
En revanche, la question de l'allocation de dépens à l'intimée ne se pose pas, eu égard, d'une part, à la convention des parties ratifiée par le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte pour valoir ordonnance de mesures provisionnelles, et, d'autre part, à la renonciation de l'intimée à se déterminer sur ce point (art. 68 al. 2 LTF).
3.
Se pose ainsi la question de l'octroi de l'assistance judiciaire au recourant qui l'a sollicitée dans son recours et réitérée dans son retrait du recours.
La cour statue à trois juges sur la demande d'assistance judiciaire (art. 64 al. 3 LTF). A teneur de l'art. 64 LTF, le tribunal peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne jouisse pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec (al. 1).
S'agissant de la condition matérielle relative aux chances de succès du recours, il faut retenir que la cause est devenue sans objet par suite de retrait pur et simple du recours par le recourant, lequel fait valoir que le montant des pensions alimentaires convenues par les parties correspond exactement aux conclusions prises au pied de son recours en matière civile au Tribunal fédéral. Le recourant se limite cependant à mentionner le montant des contributions d'entretien, sans évoquer les conditions de l'accord transactionnel, ni les chances de succès intrinsèques de ses griefs devant le Tribunal fédéral. Or, il convient de constater que le recourant entendait, au fond, remettre en cause un arrêt cantonal rejetant son appel et réformant d'office le jugement de première instance par l'augmentation du montant des contributions d'entretien, soit défendre une position déjà écartée par deux instances cantonales. Par ailleurs, sa requête de mesures provisionnelles a été rejetée par la cour de céans et celle d'effet suspensif seulement partiellement admise. Enfin, l'examen prima facie du recours démontre que celui-ci se borne à une critique largement appellatoire de l'arrêt querellé, sa critique de l'établissement des faits - autant que motivée à suffisance de droit (art. 106 al. 2 LTF) - ne paraissant clairement pas de nature à remettre valablement en cause les constatations de fait de la cour cantonale. Un pronostic sommaire sur l'issue probable de la procédure conduit à considérer, également au vu des circonstances précitées, que la démarche du recourant eût d'emblée été vaine. Il s'ensuit qu'il y a lieu de rejeter la demande d'assistance judiciaire, faute de chances de succès du recours (art. 64 al. 1 LTF), sans qu'il n'y ait lieu de se prononcer sur la condition formelle de l'indigence.
Par conséquent, le recourant, à titre de partie réputée succomber, supportera les frais judiciaires réduits, arrêtés à 1'000 fr. (cf. supra consid. 2; art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal ordonne :
1.
La cause 5A_787/2019 est rayée du rôle par suite de retrait du recours.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
La présente ordonnance est communiquée aux parties, à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Tribunal d'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 8 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Escher
La Greffière : Gauron-Carlin