Faits :
A.
A._, née en 1960, travaillait comme nettoyeuse et concierge auprès de deux sociétés ainsi que secrétaire dans l'entreprise de son mari. Victime d'une chute le 20 décembre 2010, elle a subi des contusions au dos et au poignet. Invoquant de fortes douleurs permanentes et une mobilité réduite, elle a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) le 8 novembre 2011.
Selon les renseignements médicaux recueillis par l'administration, consécutivement à son accident, l'assurée a essentiellement présenté des douleurs lombaires et sacro-iliaques (cf. p. ex. rapport du docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique, du 30 juin 2011), constantes malgré deux opérations en septembre 2013 et en avril 2015 (rapports des docteurs C._ et D._, spécialistes en neurochirurgie, des respectivement 10 septembre 2013 et 1er juin 2015). Vu la constance de la symptomatologie douloureuse, l'intéressée a fait l'objet de diverses mesures d'investigation médicale, dont une expertise réalisée par le Bureau d'Expertises Médicales (BEM). Les experts ont fait état d'une spondylarthrose étagée, sans radiculopathie déficitaire ni myélopathie, et d'un trouble anxieux dépressif mixte. L'exercice de l'activité de femme de ménage n'était plus exigible alors que celle de secrétaire le restait à hauteur de 100 % puis de 75 % à partir de septembre 2015 (rapport des docteurs E._, spécialiste en rhumatologie, et F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 26 avril 2016). La doctoresse G._ du Service médical régional de l'administration (SMR) a nié l'incapacité de travail retenue par les experts à cause de l'existence de facteurs d'exclusion et conclu à une capacité totale de travail dans une activité adaptée depuis le jour de l'accident sauf durant trois mois après les deux opérations (rapport du 15 juin 2016). Se basant en particulier sur ces conclusions, l'administration a rejeté la demande de A._ (décision du 20 février 2018).
B.
Saisi d'un recours de l'assurée, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, l'a rejeté (jugement du 17 février 2020).
C.
Par la voie d'un recours en matière de droit public, l'intéressée requiert l'annulation du jugement cantonal. En substance, elle conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement, au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour complément d'instruction et nouveau jugement et, plus subsidiairement encore, au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il détermine son droit à une rente limitée dans le temps depuis le 1er juin 2011. Elle dépose un courriel envoyé à son conseil le 24 avril 2020 par le docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, attestant l'existence d'une dépression totalement incapacitante.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le courriel du docteur H._ du 24 avril 2020, déposé avec le recours, a été rédigé produit après le prononcé du jugement attaqué le 17 février 2020. Il s'agit dès lors d'un moyen de preuve nouveau ("vrai novum") qui n'est pas recevable devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 143 V 19 consid. 1.2 p. 22). Il n'y a donc pas lieu de le prendre en compte dans la présente procédure.
3.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité, plus particulièrement, compte tenu des motifs du recours sur l'appréciation de son état de santé psychique et les répercussions de celui-ci sur sa capacité de travail.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du cas, notamment celles relatives à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 LPGA), à son évaluation (art. 16 LPGA et art. 28a LAI), à la valeur probante des rapports médicaux (ATF 125 V 351 consid. 3 p. 252 ss; voir aussi ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232 s.) et à l'appréciation du caractère invalidant des troubles somatoformes douloureux (ATF 141 V 281). Il suffit d'y renvoyer.
4.
Le tribunal cantonal a confirmé la décision administrative litigieuse. Pour ce faire, il a expliqué les raisons pour lesquelles le rapport d'expertise du BEM, sur lequel reposait ladite décision, était selon lui probant et convaincant. Il a singulièrement relevé que l'expression démonstrative et exagérée de sa symptomatologie douloureuse par l'assurée, telle que décrite par les experts, ne trouvait aucune justification objective dans les résultats de leurs examens cliniques et avait déjà été remarquée par les experts B._ (rapport du 30 juin 2011) et I._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 29 septembre 2014), par les médecins examinateurs du SMR J._, spécialiste en rhumatologie, et K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 11 novembre 2013), ainsi que par les médecins traitants L._, spécialiste en maladies rhumatismales (rapport du 19 mai 2011), et C._ (rapport du 25 mars 2013). Il a en outre constaté que ces signes d'exagération des symptômes avaient été interprétés comme motifs excluant une atteinte à la santé justifiant un droit à des prestations par la doctoresse G._ du SMR (rapport du 15 juin 2016). Il a encore expliqué que les conclusions des docteurs J._ et K._ quant à l'incapacité totale de travail de la recourante n'étaient pas incompatibles avec celles des docteurs E._ et F._, puisqu'ils s'étaient prononcés à un moment où l'état de santé n'était pas encore stabilisé après le status post-opératoire récent. Il a conclu qu'il n'existait aucun élément objectivement vérifiable qui permettait de s'écarter des conclusions des médecins du BEM. La juridiction cantonale a par ailleurs examiné si les avis des docteurs M._, médecin praticien (rapport du 6 février 2017), et H._ (rapports des 7 août 2017 et 20 août 2018), établis après l'expertise du BEM, étaient susceptibles de remettre en question les conclusions de celle-ci. Se référant à une appréciation de ces avis par la doctoresse N._ du SMR (rapport du 10 octobre 2017), elle a considéré que tel n'était pas le cas.
5.
5.1.
5.1.1. L'assurée conteste d'abord les conclusions du rapport d'expertise du BEM sur le plan psychiatrique. Elle soutient que le docteur F._ n'avait pas pu se faire une idée précise des troubles dont elle souffrait à l'occasion d'un unique entretien ayant duré deux heures et demie. Elle relève en outre que de nombreux autres médecins ont retenu une incapacité totale de travail. Elle souligne en particulier les avis des docteurs M._ et H._ qui attestaient l'existence d'une dépression sévère totalement incapacitante depuis le mois de juillet 2016.
5.1.2. Cette argumentation n'est pas fondée. On rappellera que le rôle d'un expert consiste à mettre ses compétences et ses connaissances au service de l'administration ou des tribunaux, à porter un regard neutre sur un cas particulier, à fournir des informations médicales pertinentes et fiables et à en tirer des conclusions objectives dans un laps de temps relativement bref en se fondant pour ce faire non seulement sur ses propres observations mais aussi sur l'analyse des pièces disponibles (cf. arrêt 9C_95/2012 du 1er juin 2012 consid. 3.2.1 et les références). Or le docteur F._ a procédé à une telle analyse en l'occurrence. Il avait connaissance de l'intégralité du dossier médical. Il a procédé à l'examen psychiatrique de la recourante et a effectué ses propres observations. Il a discuté de manière circonstanciée les diagnostics retenus ou seulement évoqués par ses confrères antérieurement. Il a enfin tiré ses propres conclusions. Les éléments qui ont guidé ses réflexions ne se limitent donc pas à un seul entretien de deux heures et demie avec l'assurée.
En se contentant par ailleurs de faire allusion à d'autres médecins dont les conclusions relatives à sa capacité de travail contredisaient celles des médecins du BEM, la recourante développe une argumentation appellatoire mais ne critique pas le jugement entrepris. Elle tend à substituer sa propre appréciation à celles des premiers juges sans démontrer en quoi leurs explications à cet égard seraient arbitraires. On relèvera enfin que le tribunal cantonal a expliqué de manière convaincante les raisons pour lesquelles il considérait que les avis des docteurs M._ et H._ n'étaient pas susceptibles d'en remettre en question les conclusions. Ces médecins n'avaient en effet pas mentionné d'éléments objectivement constatables dont les experts du BEM n'auraient pas tenu compte. Le seul fait que, dans ses rapports successifs, le docteur H._ a qualifié l'épisode dépressif dont souffrait sa patiente de moyen puis de sévère ne suffit pas pour démontrer que la juridiction cantonale a fait preuve d'arbitraire en se fondant sur l'avis de la doctoresse N._ pour écarter l'éventualité d'un trouble purement dépressif et incapacitant. Ce type d'argumentation procède également d'une argumentation appellatoire. De plus, contrairement à ce que voudrait la recourante, on ne saurait déduire une aggravation du trouble psychique du rapport du docteur H._ du 7 août 2017 dans la mesure où celui-ci atteste l'existence de l'atteinte à la santé depuis 2014 et où il fait état des mêmes symptômes que l'expert psychiatre du BEM (p. ex. baisse de l'énergie).
5.2.
5.2.1. L'assurée reproche ensuite aux premiers juges de ne pas avoir retenu le diagnostic de syndrome somatoforme douloureux. Elle soutient que le docteur F._ n'a pas pris en compte les différents indicateurs développés par la jurisprudence applicable en matière d'appréciation du caractère invalidant des troubles psychiques, ce qui l'aurait conduit à exclure ledit diagnostic. Elle conteste en outre le fait que l'on puisse lui opposer des motifs d'exclusion dès lors que les experts n'avaient pas procédé à leur analyse et que la doctoresse G._ avait précisé que tous les motifs d'exclusion n'étaient pas remplis.
5.2.2. Cette argumentation n'est pas fondée. En effet, les experts ont expressément exclu l'existence d'un syndrome douloureux somatoforme persistant en en expliquant les raisons. Ils ont par ailleurs retenu un trouble anxieux et dépressif mixte, dont ils ont examiné les répercussions sur la capacité de travail à l'aune des indicateurs jurisprudentiels (cf. expertise du 26 avril 2016 p. 56 s. et 61 s.).
En outre, s'il appartient aux médecins de poser un diagnostic ou d'exclure son existence, il revient aux organes chargés de l'application du droit (soit à l'administration ou au tribunal en cas de litige) de procéder à l'appréciation définitive de la capacité de travail de l'intéressé au regard des indicateurs développés par la jurisprudence (ATF 140 V 193 consid. 3.2 p. 195 s.; arrêt 9C_618/2019 du 16 mars 2020 consid. 7.1 in: SVR 2020 IV n° 48 p. 63). Se fondant sur l'avis de la doctoresse G._ du 15 juin 2016, le tribunal cantonal a effectivement procédé à une telle appréciation. Conformément à la jurisprudence qui considère que l'organe chargé de l'application du droit doit avant de procéder à l'examen des indicateurs proprement dits analyser si les troubles psychiques diagnostiqués conduisent à la constatation d'une atteinte à la santé importante et pertinente en matière d'assurance-invalidité, c'est-à-dire qui résiste aux motifs d'exclusion tels qu'une exagération ou d'autres manifestations d'un profit secondaire tiré de la maladie (cf. ATF 141 V 281 consid. 2.2 p. 287 s.), il a établi de manière circonstanciée l'existence de tels motifs qui le dispensaient de poursuivre plus avant son analyse. Dans ce contexte, c'est en vain que la recourante se réfère à l'avis du docteur H._ du 7 août 2017 puisque celui-ci n'a pas diagnostiqué de trouble somatoforme douloureux mais a mis en évidence des symptômes inhérents au diagnostic d'épisode dépressif moyen avec syndrome somatique. Le fait que la doctoresse G._ a par ailleurs indiqué que tous les motifs d'exclusion n'étaient pas présents ne change rien au fait qu'elle a déduit des motifs constatés l'absence d'incapacité de travail sur le plan psychique. Cette conclusion, reprise par les premiers juges, n'est pas directement critiquée par la recourante.
5.3. Dans la mesure où l'assurée échoue à démontrer que le tribunal cantonal a violé le droit en constatant que l'assuré disposait depuis décembre 2010 d'une capacité de travail dans une activité adaptée suffisante pour exclure le droit à des prestations, il n'y a pas lieu d'examiner sa conclusion tendant à l'octroi d'une rente limitée dans le temps. Entièrement mal fondé, le recours doit être rejeté.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton