Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 26. Mai 2021 erteilte das Regionalgericht Emmental-Oberaargau der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Emmental, die definitive Rechtsöffnung für Fr. 35'000.-- nebst Zins.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 10. Juni 2021 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Verfügung vom 15. Juni 2021 wies das Obergericht den Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit ab.
Gegen diese Verfügung hat der Beschwerdeführer am 14. Juli 2021 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Beim Entscheid über den Aufschub der Vollstreckbarkeit, d.h. über die aufschiebende Wirkung geht es um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 137 III 475 E. 2 S. 477; 134 II 192 E. 1.5 S. 196 f.). Demnach kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Der Beschwerdeführer erhebt jedoch keine Verfassungsrügen, sondern macht bloss geltend, die Begründung der Verfügung sei nicht nachvollziehbar und ihm drohe aufgrund der Pfändung eine existenzbedrohende Situation.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg