Sachverhalt:
A.
A.a. B.B._ (geb. 1980) und A.A._ (geb. 1979) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des Sohnes D.B._ (geb. 2007) und der Tochter C.B._ (geb. 2010). A.A._ ist ausserdem Vater von E.A._ (geb. 2013). Mit Bezug auf D.B._ verfügen die Eltern über das gemeinsame Sorgerecht; er steht in der Obhut des Vaters. Demgegenüber stand C.B._ seit Geburt unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter, in deren Obhut sie lebt. Seit dem 9. Oktober 2013 besteht für C.B._ eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB.
A.b. Die Beziehung zwischen den Eltern war und ist konfliktbeladen.
A.c. Seit Eingang einer Gefährdungsmeldung am 25. Februar 2019 befasst sich die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern (fortan: KESB) mit C.B._. In diesem Rahmen forderte sie namentlich ein Gutachten bei der F._ ein, welches am 2. Dezember 2019 erstattet wurde. Mit Entscheid vom 31. Juli 2020 entschied die KESB, soweit für das vorliegende Verfahren relevant, was folgt:
"1. [verfahrensrechtlicher Antrag]
2. C.B._ [...] wird unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern [...] gestellt.
3. Das Besuchsrecht des Vaters [...] betreffend C.B._ wird in [a]nalogiam zu Art. 273 Abs. 3 ZGB neu wie folgt geregelt:
3.a) Ein erstes begleitetes Treffen im Umfang von zwei Stunden innert drei Wochen ab Entscheiddatum;
3.b) Phase 2: 14-täglicher begleiteter Besuch im Umfang von vier Stunden;
3.c) Phase 3: 14-täglicher unbegleiteter Besuch im Umfang eines Tages;
3.d) Phase 4: ein 14-tägliches Besuchsrecht von Freitagabend 18.00 Uhr bis Sonntagabend 18.00 Uhr
2. Der Zeitpunkt der Phasenübergänge ist von der Beistandsperson zusammen mit der Besuchsbegleitung festzulegen, wobei keine Phase länger als zwei Monate dauert.
3. Die Eltern werden gestützt auf Art. 273 Abs. 2 ZGB i.V.m. [Art.] 292 StGB unter Strafdrohung angewiesen, das Besuchsrecht wahrzunehmen bzw. C.B._ das Besuchsrecht zu gewähren sowie mit der Besuchsbegleitung zusammenzuarbeiten.
4. D.B._ wird gestützt auf Art. 274a Abs. 1 ZGB berechtigt, seine Schwester mindestens einmal monatlich zu treffen (anfänglich begleitet durch G._ und anschliessend alleine).
[ 7. - 9.]
10. B.B._ wird in Bestätigung des Entscheids vom 26.02.2020 und gestützt auf Art. 307 Abs. 3 ZGB angewiesen,
10.a) sich während der Dauer des Besuchsaufbaus zur Verfügung der KESB Bern und der Beistandsperson zu halten;
10.b) während der nächsten 6 Monate nicht mit C.B._ das Land zu verlassen (Ausreisesperre);
10.c) umgehend die Identitätskarte sowie allfällige weitere, auch portugiesische, Ausweispapiere von C.B._ bei der Beistandsperson zu hinterlegen.
[11. - 14.]
15. Einer allfälligen Beschwerde wird gestützt auf Art. 450c ZGB die aufschiebende Wirkung entzogen.
16. [Verzicht auf die Erhebung von Verfahrenskosten]
17. [Eröffnungsformel]"
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid erhob B.B._ am 7. September 2020 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. In der Sache beantragte sie, die Ziffern 1-6, 10 und 15 des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die KESB zurückzuweisen; eventualiter seien die Ziffern 1-6, 10 und 15 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei C.B._ anzuhören, die alleinige elterliche Sorge der Mutter über C.B._ zu bestätigen und das Besuchsrechts des Vaters und des Bruders neu zu regeln.
B.b. Mit Entscheid vom 19. Juli 2021 hielt das Obergericht fest, dass die Dispositiv-Ziffern 7-9, 11-14 und 16 des Entscheids der KESB in Rechtskraft erwachsen seien (Dispositiv-Ziffer 1), die Beschwerde gegen Dispositiv-Ziffer 10 Bst. b (Ausreisesperre) gegenstandslos geworden sei (Dispositiv-Ziffer 2), Dispositiv-Ziffer 10 Bst. c (Hinterlegung der Ausweispapiere von C.B._ bei der Beistandsperson) aufgehoben werde (Dispositiv-Ziffer 3) und die Beschwerde soweit weitergehend abgewiesen werde (Dispositiv-Ziffer 4). Das Obergericht erhob keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 5), verpflichtete aber die Mutter, dem Vater eine Parteientschädigung zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 6). Sodann legte es die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands der Mutter fest (Dispositiv-Ziffer 7).
C.
C.a. B.B._ (Beschwerdeführerin) wendet sich in eigenem Namen sowie für die Tochter C.B._ mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2021 an das Bundesgericht. In der Hauptsache beantragt sie, ihr sei die alleinige elterliche Sorge über C.B._ zu erteilen, von einem Besuchsrecht des Vaters mit C.B._ sei abzusehen und die Kosten- und Entschädigungsfolgen seien neu zu regeln. Eventualiter beantragt sie, den angefochtenen Entscheid in den Ziffern 4 und 6 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht, subeventualiter an die KESB zurückzuweisen. Schliesslich ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Der Beschwerdegegner wie auch die KESB beantragen Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 13. Oktober 2021 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung vollumfänglich ab.
C.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über die elterliche Sorge nicht verheirateter Eltern und andere Kinderbelange entschieden hat. Für diese nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) gilt kein Streitwerterfordernis. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG) und hat diese rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde ist damit grundsätzlich zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführerin führt Beschwerde auch im Namen der Tochter C.B._. In seiner Verfügung vom 10. September 2020 hielt der Instruktionsrichter im vorinstanzlichen Verfahren fest, die Beschwerdeführerin sei aufgrund der potenziellen Interessenkollision von Gesetzes wegen (Art. 306 Abs. 3 ZGB) nicht befugt, für die Tochter zu handeln, weshalb diese als Betroffene und nicht als Beschwerdeführerin behandelt werde. Daran hat sich nichts geändert und die Beschwerdeführerin trägt auch nichts dazu vor, weshalb sie im bundesgerichtlichen Verfahren vertretungsberechtigt sein soll. Soweit im Namen der Tochter erhoben, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Das Rubrum wird entsprechend angepasst.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 142 I 99 E. 1.7.1; 140 III 86 E. 2; je mit Hinweisen). Sie soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen. Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 140 III 115 E. 2 mit Hinweisen).
Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweisen). Wird eine solche Rüge nicht vorgebracht, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten tatsächlich vorliegt (BGE 141 I 36 E. 1.3 in fine mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 mit Hinweis). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 144 V 50 E. 4.1). Auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 141 IV 317 E. 5.4, 249 E. 1.3.1; 140 III 264 E. 2.3; je mit Hinweisen). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt ebenfalls der qualifizierten Begründungspflicht (Urteil 5A_907/2019 vom 27. August 2021 E. 2.2 mit Hinweis).
Die Beschwerdeführerin schildert über mehrere Seiten einen Sachverhalt. Soweit sie damit von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, ohne diesbezüglich Sachverhaltsrügen zu erheben, ist darauf nicht weiter einzugehen.
3.
In der Sache strittig ist die Neuregelung der elterlichen Sorge über C.B._, die bis anhin die Beschwerdeführerin alleine innehatte.
3.1. Abgesehen von hier nicht relevanten Anwendungsfällen (bspw. Art. 12 Abs. 4 SchlT ZGB) regelt die KESB auf Begehren eines Elternteils, des Kindes oder von Amtes wegen die Zuteilung der elterlichen Sorge neu, wenn dies wegen wesentlicher Änderung der Verhältnisse zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (Art. 298d Abs. 1 ZGB). Die Neuregelung des elterlichen Sorgerechts setzt folglich zum einen neue Tatsachen voraus. Zum anderen kommt eine Änderung des Sorgerechts in Betracht, sofern die Beibehaltung der geltenden Regelung das Wohl des Kindes ernsthaft zu gefährden droht. Eine Neuregelung setzt in diesem Sinn voraus, dass die Veränderung der Verhältnisse eine solche gebietet, weil die aktuelle Regelung dem Kind mehr schadet als der mit der Änderung verbundene Verlust an Kontinuität in der Erziehung und den Lebensumständen (Urteile 5A_951/2020 vom 17. Februar 2021 E. 4; 5A_266/2017 vom 29. November 2017 E. 8.3; je mit Hinweisen).
Die kantonale Behörde hat den Entscheid über die Neuregelung des Sorgerechts unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände des Einzelfalls nach pflichtgemässem Ermessen zu treffen (zit. Urteil 5A_266/2017 E. 8.3 sowie Urteil 5A_30/2017 vom 30. Mai 2017 E. 4.2 in fine). Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 142 III 336 E. 5.3.2; 138 III 650 E. 6.6; je mit Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet das Vorliegen veränderter Verhältnisse.
3.2.1. Nach Auffassung des Obergerichts haben sich die Verhältnisse dahingehend verändert bzw. verschlechtert, als die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin in Bezug auf C.B._ nicht mehr als genügend, sondern als stark eingeschränkt eingestuft werden müsse. Es verweist diesbezüglich auf Ziff. 5.4 sowie Ziff. 6 Bst. c, e und g des Gutachtens der F._ vom 2. Dezember 2019. An der Feststellung der eingeschränkten Erziehungsfähigkeit ändere nichts, dass sich die Gutachter im Ergebnis für die Aufrechterhaltung der Obhut bei der Beschwerdeführerin ausgesprochen hätten, denn Grund für diese Empfehlung habe die Befürchtung gebildet, C.B._ würde bei einem Obhutswechsel ihre Energie für den Kampf gegen diesen Entscheid einsetzen, was mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einer massiven Beeinträchtigung ihrer weiteren psychischen Entwicklung führen würde. Um die suboptimale Situation abzufedern, seien denn auch zahlreiche Unterstützungsmassnahmen als zwingend angesehen worden.
3.2.2. Dem hält die Beschwerdeführerin entgegen, beide in der Gefährdungsmeldung vom Februar 2019 geschilderten Gefährdungsmerkmale (Verdacht auf schweren Alkoholmissbrauch mit zeitweiser Kindesvernachlässigung sowie angebliche Vorwürfe der Mutter gegenüber der Tochter, diese sei für ihre Situation verantwortlich) hätten weder im Rahmen der Begutachtung noch ansonsten im Verfahren bestätigt werden können. Im Gutachten vom 2. Dezember 2019 werde ihr eine eingeschränkte Erziehungsfähigkeit attestiert, aber dennoch empfohlen, die alleinige elterliche Sorge sowie die Obhut über C.B._ bei ihr zu belassen. Damit unterscheide sich das aktuelle Gutachten nicht wesentlich von jenem vom 20. November 2014, in welchem ihre Erziehungsfähigkeit als genügend bezeichnet worden sei. Seither habe sich nichts Wesentliches geändert, was auch im Gutachten vom 2. Dezember 2019 insofern bestätigt werde, als darin stehe, Wesentliches aus dem Gutachten von 2014 gelte auch fünf Jahre später. So mache das Obergericht keine weitreichenden Ausführungen über die angeblich wesentliche Veränderung der Verhältnisse, sondern begnüge sich damit, diese Voraussetzung mit der vom Gutachten vom 2. Dezember 2019 attestierten eingeschränkten Erziehungsfähigkeit zu begründen. Wie sich ihre Erziehungsfähigkeit genau verändert haben solle, sei nicht ersichtlich. Der angebliche Verlust der attestierten Fähigkeit bei in weiten Teilen gleichbleibenden Umständen erstaune auch grundsätzlich. Folglich werde klar bestritten, dass eine wesentliche Veränderung der Verhältnisse eingetreten sei. In diesem Punkt weiche das Obergericht ohne nähere Begründung vom Gutachten ab, was gemäss Rechtsprechung nicht zulässig sei. Hier sei das Obergericht in Willkür verfallen.
3.2.3.
3.2.3.1. Mit ihrer Argumentationslinie verkennt die Beschwerdeführerin die Grundsätze der Beschwerdeführung vor Bundesgericht. Das Obergericht geht von einer Verschlechterung ihrer Erziehungsfähigkeit in Bezug auf C.B._ aus, indem diese nicht mehr als genügend, sondern als stark eingeschränkt eingestuft werden müsse. Das sind Tatsachenfeststellungen, welche das Bundesgericht binden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es obläge damit der Beschwerdeführerin, nach Massgabe des Rügeprinzips darzutun, inwiefern diese Feststellungen offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sein sollen (E. 2.2). Diese Anforderungen erfüllen ihre Ausführungen nicht. Im Wesentlichen belässt sie es dabei, diese streitgegenständlichen Feststellungen bloss infrage zu stellen ("Wie genau sich die Erziehungsfähigkeit von Frau B.B._ genau verändert haben soll, ist jedoch nicht ersichtlich"; "Der angebliche Verlust der attestierten Fähigkeit bei in weiten Teilen gleichbleibenden Umständen erstaunt auch grundsätzlich"). Ebenso ungenügend ist die Behauptung, das Obergericht weiche "ohne nähere Begründung vom Gutachten ab". Schliesslich legt die Beschwerdeführerin nicht dar, an welcher Stelle im Gutachten ihre Erziehungsfähigkeit anders beurteilt wird als wovon das Obergericht ausgegangen ist. Auch insofern kommt sie den Begründungsanforderungen nicht nach. Damit bleibt es bei der Feststellung, wonach sich die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin verschlechtert hat.
3.2.3.2. Grundsätzlich anders gelagert ist die Frage, ob sich die Verhältnisse wesentlich verändert haben. Das Obergericht hat die Wesentlichkeit der Veränderung darin gesehen, dass die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin in Bezug auf C.B._ als nicht mehr genügend eingestuft werden könne. Die Beschwerdeführerin trägt nichts vor, was geeignet wäre, die Qualifikation der Veränderung als wesentlich infrage zu stellen. Weshalb die im Gutachten empfohlene Aufrechterhaltung der bisherigen Obhutsregelung daran nichts ändere, hat das Obergericht erklärt. Mit der blossen Bestreitung einer wesentlichen Veränderung der Verhältnisse vermag die Beschwerdeführerin diese Beurteilung nicht infrage zu stellen.
3.3. Umstritten ist sodann, ob die Veränderung der Verhältnisse eine Neuregelung der elterlichen Sorge gebietet.
3.3.1. Nach Auffassung des Obergerichts liegen angesichts des Elternkonflikts keine idealen Voraussetzungen für eine gemeinsame elterliche Sorge vor. Indes könne der Beschwerdeführerin, die über eine stark eingeschränkte Erziehungsfähigkeit verfüge, die alleinige Sorge mit Blick auf das Wohl von C.B._ nicht belassen werden. Um einer längerfristigen Gefährdung von C.B._ entgegenzuwirken, erweise es sich geradezu als notwendig, dass grundlegende Erziehungsfragen durch den gemäss Gutachten über deutlich bessere Erziehungskompetenzen verfügenden Vater mitentschieden würden. Allein der Umstand, dass die Eltern für die Ausübung der gemeinsamen elterlichen Sorge allenfalls auf die Hilfestellung durch eine Fachperson angewiesen seien, schliesse eine solche jedenfalls nicht aus. Immerhin dürfe denn auch festgestellt werden, dass es den Eltern zwischenzeitlich erfreulicherweise gelungen sei, mit Hilfe von Fachpersonen die Kontakte zwischen C.B._ und D.B._ sowie E.A._ (wieder) zuzulassen und entsprechend mitzuwirken.
3.3.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, gemäss der sehr klaren bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei für eine gemeinsame elterliche Sorge ein Mindestmass an Kommunikation zwischen den Elternteilen sowie an Kontakt zwischen Eltern und Kind unabdingbar. Beides sei vorliegend, was auch das Obergericht anerkenne, betreffend den Beschwerdegegner nicht vorhanden. Zwischen ihr und dem Beschwerdegegner liege ein hochstrittiger Elternkonflikt vor und sie könnten kaum miteinander kommunizieren, was das Obergericht nicht verkannt habe und auch bei der Gutachtenserstellung beobachtet worden sei. Die angeblich bessere Erziehungskompetenz des Beschwerdegegners, welche bestritten werde, nütze dem Kindeswohl von C.B._ nichts, wenn sich die Eltern über die Kinderbelange nicht austauschen könnten. Dies finde leider eine Bestätigung beim Bruder von C.B._, D.B._, bei dem die gemeinsame elterliche Sorge von früher her gelte, aufgrund der fehlenden Kommunikation aber in keiner Weise funktioniere. Sodann sei C.B._ bald elf Jahre alt und damit in einem Alter, wo sie das fehlende Einvernehmen der Eltern selbst wahrnehmen könne. Ein neues gemeinsames Sorgerecht führe somit zwangsläufig und unzweifelhaft zu einer massiven Gefährdung ihres Kindeswohls und begünstige oder fördere dieses nicht. Zudem werde vom Gutachten explizit empfohlen, die Obhut und die alleinige elterliche Sorge bei der Beschwerdeführerin zu belassen. Indem das Obergericht trotzdem aktenwidrig und entgegen den Empfehlungen des Gutachtens davon ausgehe, dass eine gemeinsame elterliche Sorge für den Erhalt des Kindeswohls von C.B._ notwendig sei, habe es Art. 298d ZGB verletzt. Zudem habe es den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und sei damit auch in Willkür verfallen (Art. 9 BV i.V.m. Art. 95 Bst. a BGG).
3.3.3.
3.3.3.1. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend ausführt, empfiehlt das Gutachten der F._ vom 2. Dezember 2019 im Rahmen zusammenfassender Bemerkungen die Beibehaltung der alleinigen elterlichen Sorge. Wenn eine Behörde, um sich für die Beurteilung eines bestimmten Sachverhalts Fachkenntnisse zu verschaffen, einen Experten beizieht, unterliegt das Gutachten - wie jedes andere Beweismittel - der freien Beweiswürdigung (BGE 138 III 193 E. 4.3.1; Urteil 5A_488/2021 vom 4. Februar 2022 mit Hinweisen). In Fachfragen darf die Behörde indes nur aus triftigen Gründen von einem Gerichtsgutachten abweichen und muss eine allfällige Abweichung begründen. Hingegen ist die Beantwortung der sich stellenden Rechtsfragen Aufgabe der rechtsanwendenden Behörde (Urteile 5A_373/2018 vom 8. April 2019 E. 3.2.6 mit Hinweisen; 4A_87/2018 vom 27. Juni 2018 E. 4.1). Die im vorerwähnten Sinn bindende Wirkung eines Gutachtens beschlägt von vornherein bloss - aber immerhin - die darin enthaltenen Feststellungen tatsächlicher Art. Mit der Empfehlung, die alleinige elterliche Sorge beizubehalten, äussert sich das Gutachten mithin nicht zu einer Tatfrage, weshalb die rechtsanwendende Behörde nicht daran gebunden ist und ein Abweichen davon keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung zu begründen vermag.
3.3.3.2. Die elterliche Sorge ist das Pflichtrecht der Eltern, die für das minderjährige Kind notwendigen Entscheidungen zu treffen, es zu erziehen sowie es zu vertreten und sein Vermögen zu verwalten (BGE 136 III 353 E. 3.1; Urteil 5A_377/2021 vom 21. Februar 2022 E. 3.1). Vorliegend ist bei der Beschwerdeführerin von einer stark eingeschränkten Erziehungsfähigkeit auszugehen. Mithin mangelt es ihr an der Fähigkeit, allein die elterliche Sorge zum Wohl des Kindes auszuüben (vgl. Art. 296 Abs. 1 ZGB) bzw. allein die mit Blick auf das Wohl des Kindes notwendigen Entscheidungen hinsichtlich seiner Pflege und Erziehung zu treffen (Art. 301 Abs. 1 ZGB). Selbst die Belassung der Tochter in der Obhut der Beschwerdeführerin ist infrage gestellt (vgl. Urteil 5A_730/2020 vom 21. Juni 2021 E. 3.3.1.1). Das Kindeswohl ist, wie dies das Obergericht festgestellt hat, akut gefährdet, wenn die bestehende Regelung der elterlichen Sorge und Obhut aufrechterhalten wird. Die kantonalen Instanzen haben C.B._ trotzdem in der Obhut der Mutter belassen, aber nur, weil die Befürchtung besteht, die Tochter würde bei einem Obhutswechsel ihre Energie für den Kampf gegen diesen Entscheid einsetzen, was mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einer massiven Beeinträchtigung ihrer weiteren psychischen Entwicklung führen würde. Mit anderen Worten hat das Obergericht einen Kompromiss gesucht, der es letztlich gestattet, in einer besonders schwierigen Situation einen Ausgleich zu finden und Massnahmen zu vermeiden, die deutlich stärker in den Alltag der Tochter eingegriffen hätten. Nachdem der Beschwerdegegner als erziehungsfähig einzustufen ist - was die Beschwerdeführerin zwar bestreitet, allerdings ohne im Detail darzulegen, weshalb diese Feststellung offensichtlich unrichtig sein soll (vgl. E. 2.2) -, lag es geradezu auf der Hand, diesen einzubinden und die gemeinsame elterliche Sorge anzuordnen. Der hier zu beurteilende Sachverhalt stellt sich vollständig anders dar als jene Umstände, die den BGE 141 III 472 und 142 III 197 zugrunde lagen, weshalb sich die dort statuierte Rechtsprechung, auf welche sich die Beschwerdeführerin beruft, nicht telle quelle auf den vorliegenden Fall anwenden lässt.
Sachverhaltbasiert hat das Obergericht alsdann zumindest implizit prognostiziert, dass die Eltern in der Zukunft bei der Ausübung der gemeinsamen elterlichen Sorge zu kooperieren in der Lage sein dürften. Wie sich aus dem Umgang mit den drei Kindern C.B._, D.B._ und E.A._ zeigt, sind die Eltern - zwar nicht direkt, aber unter Mitwirkung von Fachpersonen - sehr wohl in der Lage, in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten. Es mag zwar sein, dass eine unmittelbare Kommunikation zwischen den Eltern "unmöglich" oder "absolut undenkbar" ist, wie die Beschwerdeführerin einwendet. Diese Erkenntnis führt indes nicht zu dem von dieser gewünschten Ergebnis, denn der Umstand, dass die Eltern für die gemeinsame Ausübung des Sorgerechts auf Unterstützung durch Fachpersonen angewiesen bleiben dürften, steht der Erteilung des gemeinsamen Sorgerechts nicht entgegen (vgl. zur Obhut: Urteil 5A_629/2019 vom 13. November 2020 E. 4.2 mit Hinweisen). Lediglich der guten Ordnung halber sei noch Folgendes angefügt: Erweist sich die vom Obergericht getroffene Annahme im Nachhinein als falsch, können allenfalls veränderte Tatsachen und damit Abänderungsgründe im Sinn von Art. 298d Abs. 1 ZGB gegeben sein (vgl. BGE 141 III 472 E. 4.3).
Insgesamt ist das Obergericht weder grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen noch hat es Tatsachen berücksichtigt, die im vorliegenden Fall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder Umstände ausser Betracht gelassen, die zwingend hätten beachtet werden müssen (vgl. E. 3.1). Damit hat es das ihm zustehende Ermessen nicht rechtsfehlerhaft ausgeübt und die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
4.
Umstritten ist sodann die Regelung zum persönlichen Verkehr.
4.1. Nach den Feststellungen des Obergerichts hat C.B._ bis Februar 2019 die Besuche bei ihrem Vater wahrgenommen und gibt es mehrere Hinweise dafür, dass zwischen C.B._ und ihrem Vater bis dahin eine gute Beziehung bestanden hat. Der Abbruch der Besuche sei erfolgt, als sich ihr beim Vater lebender Bruder nach einem Vorfall bei der Mutter geweigert habe, seine Besuche weiterhin wahrzunehmen. Mit dem Ausbleiben der Besuche des Bruders bei der Mutter und der Gefährdungsmeldung durch den Beistand hätten sich rasch massive Ängste bei der Mutter entwickelt, welche von dieser auf C.B._ übertragen worden seien. Da zwischen der Mutter und C.B._ eine sehr enge Bindung und eine gegenseitige Abhängigkeit bestehe, sei Letztere zur Überzeugung gelangt, ihrer Mutter beistehen zu müssen. Mit allen ihr zur Verfügung stehenden Mitteln drücke sie daher seither aus, dass sie ihren Lebensmittelpunkt nicht von der Mutter weg zum Vater wechseln wolle. Dass die Verweigerungshaltung von C.B._ gegenüber ihrem Vater als Ausdruck dieser Angst vor einem Obhutswechsel zu verstehen sei, zeige sich auch darin, dass keine objektiven Gründe vorlägen, welche gegen einen weiteren Kontakt mit dem Vater sprächen. So habe C.B._ anlässlich ihrer Anhörung denn auch keine solchen benennen können, obwohl sie hierzu mit ihren 10 Jahren durchaus in der Lage wäre. Vielmehr habe sie sich pauschal von ihm gewünscht, dass er nicht mehr lüge, obwohl sie nicht habe sagen können, wann er zum letzten Mal gelogen habe. Sprächen keine objektiven Gründe gegen ein Besuchsrecht des Vaters, sondern bestünden im Gegenteil triftige Gründe für ein solches - der Vater stelle im Familiensystem von C.B._ aufgrund seiner grundsätzlich guten Erziehungsfähigkeit und seinen Förderungsmöglichkeiten eine unverzichtbare Ressource für C.B._ dar -, erwiese sich ein Abbruch der Kontakte geradezu als dem Kindswohl schädlich. Hinzu komme, dass für die weitere Entwicklung von C.B._ und ihre Identitätsfindung äusserst wichtig sei, dass eine persönliche Auseinandersetzung mit dem Vater stattfinde. Berücksichtige man das Verhalten von C.B._ während der Abklärung und des anschliessenden Besuchsaufbaus sowie ihre Aussagen anlässlich der persönlichen Anhörung und im Brief an den Vater, zeige sich denn auch keine konsequente Ablehnung des Vaters, sondern sei vielmehr eine Ambivalenz spürbar. Nach Auffassung der Gutachter scheine C.B._ damit zu rechnen, nach Abschluss des Gutachtens die vierzehntägig stattfindenden Besuche beim Kindsvater wieder aufnehmen zu können, und habe auch beim ersten Vater-Tochter-Kontakt trotz längerem Kontaktunterbruch gemäss dem Bericht der Besuchsbegleiterin bereits eine kleine Annäherung beobachtet werden können. Auch wenn C.B._ anlässlich ihrer Anhörung immer wieder bewusst erwähnt habe, dass sie ihren Vater nicht brauche und er - im Gegensatz zur Mutter und ihren Geschwistern - nicht wichtig sei für ihr Leben, habe sich doch deutlich gezeigt, dass sie vor allem unter der Situation leide, dem "Gstürm", und nicht in Bezug auf den Vater als Person. So habe sich ihr erster Wunsch denn auch auf diesen bezogen, was - ebenso wie die Aussage im Brief "Und ich glaube das du mich nicht mehr liebst" - zeige, dass sie durchaus noch etwas von ihm möchte. Dies, auch wenn sie sich durch dessen Aushebelung, was insbesondere aus dem Brief deutlich hervorgehe, eine Beruhigung der Situation erhoffe und ein Nachlassen des auf ihr lastenden Druckes. Auch wenn der Wunsch von C.B._ nach Ruhe absolut nachvollziehbar sei und ein Kontaktabbruch zum Vater ihr vielleicht kurzfristig den Druck wegnehmen könnte, würde ein solcher mittel- und längerfristig ihre Entwicklung aus den dargelegten Gründen erheblich gefährden. Es, das Obergericht, gehe daher mit der KESB einig, dass mit Blick auf das Wohl von C.B._ schnellstmöglich ein Kontaktaufbau zum Vater stattzufinden habe und die Phasen maximal zwei Monate dauern sollten. Da die Beziehung zwischen C.B._ und ihrem Vater vor dem Abbruch, welcher nicht etwa durch ein Ereignis zwischen diesen beiden erfolgt sei, gut gewesen sei und von den Besuchen keine Gefahr ausgehe, bestehe kein Grund, C.B._ durch einen zögerlichen Kontaktaufbau das Gefühl zu vermitteln, bei den Vater-Besuchen sei Vorsicht geboten. Ebenso sollte nicht zu lange an einer Begleitung festgehalten werden, zumal dies C.B._ die falsche Botschaft vermitteln könnte, dass sie vor ihrem Vater geschützt werden müsste. Entgegen dem Antrag der Beschwerdeführerin dürfe in der vorliegenden Konstellation nicht darauf verzichtet werden, das Besuchsrecht behördlich anzuordnen. Denn dies könne zur Folge haben, dass C.B._ die Dirigentenrolle zukomme, was mit Blick auf ihr Alter und ihre verzweifelte Lage - sie möchte sich ihrer Mutter gegenüber loyal verhalten und fühle sich für sie verantwortlich - weder gesund noch fair wäre. Daran ändere nichts, dass auch der Vater in seiner Verzweiflung den vordergründigen Wunsch seiner Tochter akzeptiere. Mit dem vorliegenden Entscheid solle vor allem C.B._ und indirekt auch dem Vater gerade der Druck genommen werden, selber über ihr gegenseitiges Besuchsrecht entscheiden zu müssen. Es stehe denn auch gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht im Belieben des Kindes, in Eigenregie zu bestimmen, ob und zu welchen Bedingungen persönliche Kontakte zum nicht betreuenden Elternteil stattfinden sollen. Nach dem Gesagten sei der Entscheid der KESB in Bezug auf die Besuchsrechtsregelung zwischen C.B._ und ihrem Vater zu bestätigen und es sei so rasch als möglich mit dem Kontaktaufbau fortzufahren. Dabei solle an die bereits erreichte Phase angeknüpft werden.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, C.B._ sei absolut nicht bereit, ihren Vater zu treffen und einen regelmässigen Kontakt aufzubauen; sie sei nicht bereit, ihrem Vater gegenüberzutreten. Aus den Akten gehe klar hervor, dass ein erzwungenes Besuchsrecht kontraindiziert sei und nicht dem Kindswohl von C.B._ entspreche. Entsprechend sei klar, dass strikte Besuchsregeln klar dem Kindswohl widersprächen. C.B._ habe zwischenzeitlich eine Psychotherapie begonnen. Entsprechend sei die konkrete Regelung des Besuchsrechts durch die Psychotherapeutin sowie die anderen involvierten Fachpersonen vorzunehmen. Dadurch könne das Besuchsrecht laufend den Interessen und Bedürfnissen von C.B._ angepasst werden, was einiges zielführender sei als strikte Regeln, welche nur durch Zwang und Druckausübung erreicht werden könnten.
4.3. Mit den Erwägungen des Obergerichts, das die Absolutheit der Verweigerungshaltung der Tochter nachvollziehbar infrage stellt, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Was den von C.B._ geäusserten Willen anbelangt, ist dieser eines von mehreren Kriterien beim Entscheid über den persönlichen Verkehr, denn es steht nicht im freien Belieben des Kindes, ob es persönliche Kontakte zum nicht obhutsberechtigten Elternteil pflegt oder nicht. Hingegen ist aber sein Wille mit zunehmendem Alter stärker zu gewichten. Wenn sodann ein urteilsfähiges Kind den Umgang mit einem Elternteil aufgrund eigener Erfahrungen und mit nachvollziehbarer Begründung ablehnt, ist ein gegen den Widerstand erzwungener Besuchskontakt mit dem Zweck des Umgangsrechts in der Regel unvereinbar, weshalb der Kindeswille, sofern er autonom gebildet wurde, letztlich respektiert werden soll (Urteil 5A_647/2020 vom 16. Februar 2021 E. 2.5.1 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2021 S. 478). Vorliegend behauptet die Beschwerdeführerin nicht, C.B._ sei hinsichtlich des Besuchsrechts urteilsfähig; solches wäre auch nicht ersichtlich. Sodann lehnt C.B._ den Umgang mit dem Beschwerdegegner weder aufgrund eigener Erfahrungen noch aus nachvollziehbaren Gründen ab. Ist aber mit dem Obergericht davon auszugehen, dass C.B._ auf der Basis der nunmehr auch für sie geklärten Ausgangslage (kein drohender Obhutswechsel) ihre Abwehrhaltung abbauen und einen regelmässigen Kontakt aufbauen können wird, zielen sämtliche weiteren Einwendungen der Beschwerdeführerin an der Sache vorbei.
5.
Nicht einverstanden ist die Beschwerdeführerin mit der mit einer Strafandrohung nach Art. 292 StGB verbundenen Anweisung, C.B._ das Besuchsrecht zu gewähren sowie mit der Besuchsbegleitung zusammenzuarbeiten.
5.1. Unter Hinweis auf den Entscheid der KESB erwog das Obergericht, die Beschwerdeführerin sei trotz entsprechender Zusicherungen während der Dauer der Begutachtung und anlässlich der Eröffnung des Gutachtens nicht in der Lage gewesen, C.B._ die notwendige Sicherheit und den Zuspruch zu geben, welche sie benötige, um sich auf die Wiederaufnahme des Kontaktrechts mit ihrem Vater einzulassen. Für die verfügte Strafdrohung habe Anlass bestanden, denn die Zuverlässigkeit der Eltern und insbesondere auch der Beschwerdeführerin habe zu wünschen übrig gelassen. Von der Strafdrohung habe die Beschwerdeführerin denn auch nichts zu befürchten, wenn ihre Äusserungen nicht nur vordergründigen Charakter hätten.
5.2. Die Beschwerdeführerin moniert, die effektive Vollstreckung eines Besuchsrechts werde durch den Grundsatz der Verhältnismässigkeit eingeschränkt, welcher gebiete, dass von mehreren geeigneten Massnahmen die jeweils mildeste getroffen werde und namentlich der indirekt ausgeübte Zwang in einem vernünftigen Verhältnis zum Erfüllungsinteresse der Gegenpartei stehe. Eine Strafdrohung erscheine nur dann sinnvoll, wenn feststehe, dass der Widerstand vom obhutsberechtigten Elternteil und nicht vom unbeeinflussten Kind selbst ausgehe. Das Obergericht bemängle nicht, dass sich die Beschwerdeführerin einer Weisung widersetzt resp. die Ausübung des Besuchsrechts willentlich verunmöglicht oder massiv erschwert hätte. Im Gegenteil stehe die Beschwerdeführerin einem Kontakt zwischen Tochter und Vater positiv gegenüber. Es sei selbstredend, dass sie ihre Tochter nicht an den Haaren an Besuchstermine schleifen könne, wenn sich die Tochter in grundsätzlicher Weise wehre, wie dies vorliegend der Fall sei. Weiter habe die Beschwerdeführerin verschiedentlich Hand zur Ausübung des Besuchsrechts geboten, beispielsweise, indem sie sich mit Ideen für das gute Gelingen für die Wiederaufnahme des Besuchsrechts eingesetzt habe. Zu keinem Zeitpunkt habe sie die Ausübung des (behördlich angeordneten) Besuchsrechts behindert und damit gegen Weisungen verstossen. Vor diesem Hintergrund sei eine Strafandrohung nach Art. 292 StGB vorliegend unverhältnismässig und somit unzulässig.
5.3. Nach Art. 273 Abs. 2 ZGB kann die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde den Eltern Weisungen erteilen, wenn sich die Ausübung oder Nichtausübung des persönlichen Verkehrs für das Kind nachteilig auswirkt oder wenn eine Ermahnung oder eine Weisung aus anderen Gründen geboten ist. Das Gesetz schweigt sich über die Vollstreckung einer solchen Weisung aus. Im Vordergrund steht dabei die Möglichkeit, eine Weisung mit der Androhung einer Bestrafung nach Art. 292 StGB zu verknüpfen, falls sie nicht beachtet wird (vgl. Urteil 5A_887/2020 vom 25. August 2021 E. 5.3).
Die Weisung lautet, "C.B._ das Besuchsrecht zu gewähren sowie mit der Besuchsbegleitung zusammenzuarbeiten". Es kann damit von vornherein nicht darum gehen, C.B._ "an den Haaren an Besuchstermine [zu] schleifen". Der Vorwurf lautet vielmehr dahin, die Beschwerdeführerin habe es unterlassen, C.B._ die notwendige Sicherheit und den Zuspruch zu geben, welche diese benötige, um sich auf die Wiederaufnahme des Kontaktrechts mit ihrem Vater einzulassen. Daran ändert nichts, wenn die Beschwerdeführerin meint, sich mit Ideen für das gute Gelingen für die Wiederaufnahme des Besuchsrechts eingesetzt zu haben, denn sie führt nicht einmal ansatzweise aus, inwiefern ihre Ideen der Tochter hätten Sicherheit geben sollen. In der Tat geht es um die grundsätzliche elterliche Pflicht, den Kontakt des Kindes zum anderen Elternteil zu fördern. Namentlich hat die Beschwerdeführerin zu akzeptieren, dass die bisherige Weigerungshaltung der Tochter in der Angst vor einem - nicht zur Debatte stehenden - Obhutswechsel begründet war, dass der Vater keinerlei Gefahr für C.B._ darstellt und er nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen des Obergerichts auch nie selber Gründe für deren Weigerungshaltung gesetzt hat. Die Beschwerdeführerin soll daher mithelfen, bei C.B._ jegliche Ängste vor einem Kontakt zum Vater abzubauen und ihr in diesem Sinn gut zuzureden, namentlich ihr zu erklären, dass der Kontakt mit dem Vater zu positiven Erlebnissen führen werde. Dass sie sich in der Vergangenheit in diesem Sinn bemüht hätte, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Vielmehr scheint sie zu meinen, ihre Aufgabe bestehe darin, sich schützend vor die Tochter zu stellen, sobald diese auch nur den kleinsten Widerstand gegen einen Kontakt zum Vater leistet. Nachdem die Beschwerdeführerin ihre elterliche Rolle verkennt, ist die mit der Anweisung verbundene Strafdrohung verhältnismässig.
6.
Schliesslich wendet sich die Beschwerdeführerin gegen die Kostenregelung.
6.1. Sie sei aufgrund der Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die KESB (diese hatte die Stellungnahme des Beschwerdegegners vom 14. Juli 2020 erst zusammen mit dem Entscheid zugestellt; das Obergericht erachtete die geltend gemachte Gehörsverletzung als im oberinstanzlichen Verfahren geheilt) geradezu gezwungen gewesen, die Beschwerde vom 7. September 2020 einzureichen. Somit sei es absolut unzulässig und willkürlich, wenn das Obergericht die Beschwerdeführerin zur Bezahlung von 100 % der geltend gemachten Parteientschädigung des Beschwerdegegners verurteile, zumal sie nicht "praktisch vollständig unterliegend" sei. Folglich sei der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung an den Beschwerdegegner aufzuerlegen.
6.2. Das Obergericht hat hinsichtlich der Parteientschädigung auf Art. 108 Abs. 3 des bernischen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) abgestellt. Es handelt sich dabei um kantonales Recht. Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 Bst. c-e BGG ist die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann auch hinsichtlich des kantonalen Rechts nur gerügt werden, dessen Anwendung führe zu einer Rechtsverletzung nach Art. 95 Bst. a oder b BGG, namentlich zu einem Verstoss gegen das Willkürverbot oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte (vgl. BGE 142 II 369 E. 2.1; 137 V 143 E. 1.2). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Notwendig ist, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwieweit die angerufenen Rechte verletzt wurden (BGE 142 III 364 E. 2.4; 141 I 36 E. 1.3; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin kommt diesen Begründungsanforderungen nicht ansatzweise nach, so dass darauf nicht eingetreten werden kann.
7.
Gestützt auf die vorstehenden Ausführungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Angesichts der Komplexität der sich hier stellenden Fragen kann die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden. Nachdem sodann von der Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin auszugehen ist, kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung bewilligt werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz leisten muss, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege umfasst die Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten und, wenn ein Anwalt bestellt wird, die Bezahlung einer angemessenen Entschädigung an diesen aus der Gerichtskasse, soweit der Aufwand für die Vertretung - wie hier - nicht aus einer zugesprochenen Parteientschädigung gedeckt werden kann (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG), nicht aber eine Befreiung hinsichtlich der Pflicht der unterlegenen Partei, die Kosten der obsiegenden Partei zu ersetzen (BGE 122 I 322 E. 2c; Urteil 4A_435/2021 vom 14. Februar 2022 E. 4; je mit Hinweis). Dem Beschwerdegegner, der zur Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eingeladen wurde und mit seinem Antrag obsiegt hat, ist daher eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Die KESB, die sich ebenfalls zum Gesuch um aufschiebende Wirkung geäussert hat, handelte in ihrem amtlichen Wirkungskreis, weshalb ihr keine Parteientschädigung zugesprochen wird (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Dominic Nellen als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Dominic Nellen wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller