Sachverhalt:
A.
Auf Ausschreibung hin bewarb sich A._ (PD Dr.) um eine Professorenstelle an der der Universität Bern. Dabei zählte sie gemäss Mitteilung der seitens der Fakultät bestellten Wahlkommission vom 6. Oktober 2014 zu einem Kreis von sechs Kandidatinnen und Kandidaten, die für die Stelle in Frage kamen, weshalb sie am 21. November 2014 einen Probevortrag halten konnte. Mit einer E-Mail vom 27. November 2014 teilte ihr der Vorsitzende der Wahlkommission mit, dass sie nicht zu den Bewerberinnen und Bewerbern gehöre, die der Universitätsleitung zur Anstellung vorgeschlagen würden ("shortlist").
Dagegen wandte sich A._ beschwerdeweise an die Rekurskommission der Universität Bern, die einem Antrag um vorläufige Sistierung des Anstellungsverfahrens nicht stattgab (Verfügung vom 27. Februar 2015).
Die von A._ in der Folge gestellten Gesuche um Erlass einer anfechtbaren Verfügung wies das Generalsekretariat der Universität Bern am 21. April 2015 mit der Begründung ab, dass die abgewiesenen Stellenbewerber keine Möglichkeit hätten, ihre Nichtberücksichtigung mit einem Rechtsmittel anzufechten. Am 27. April 2015 schloss die Universität Bern mit dem ausgewählten Kandidaten den Arbeitsvertrag ab.
B.
Am 7. Mai 2015 erhob A._ Rechtsverweigerungsbeschwerde bei der Erziehungsdirektion des Kantons Bern. Diese trat am 5. Juni 2015 auf das ebenfalls gestellte Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen (unter anderem die Anweisung, keinen Anstellungsvertrag abzuschliessen bzw. diesen aufzulösen) nicht ein. Am 26. April 2016 wies sie die Beschwerde ab, dies im Wesentlichen mit der Begründung, dass abgewiesene Stellenbewerber keinen Anspruch auf Erlass einer anfechtbaren Verfügung hätten.
Zuvor war die Rekurskommission der Universität Bern auf die bei ihr hängige Beschwerde gegen die E-Mailmitteilung vom 27. November 2014 mangels Anfechtungsobjekts nicht eingetreten.
C.
Sowohl gegen den Nichteintretensentscheid der universitären Rekurskommission als auch gegen die Abweisung ihrer Rechtsverweigerungsbeschwerde durch die Erziehungsdirektion reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern je getrennt Beschwerde ein. Im Verfahren betreffend die Rechtsverweigerung erneuerte sie ihr Begehren auf Erlass einer anfechtbaren, begründeten Verfügung über ihre "Berücksichtigung/Nichtberücksichtigung". Eventualiter beantragte sie den Erlass einer Feststellungsverfügung "auf Begründung/Nichtbegründung des Arbeitsverhältnisses".
Diese Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 8. August 2017 teilweise gut, indem es erkannte, dass der Streitgegenstand auch die Frage einer allfälligen Anstellungsdiskriminierung nach Gleichstellungsgesetz umfasse. Insoweit hob es den Entscheid der Erziehungsdirektion auf und wies die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es auf sie eintrat. Das Verfahren gegen den Nichteintretensentscheid der universitären Rekurskommission hatte es zuvor sistiert.
D.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und dabei Folgendes beantragen: In Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Universität Bern anzuweisen, ihr eine anfechtbare Verfügung über ihre Nichtberücksichtigung im Anstellungsverfahren betreffend Professorenstelle zu eröffnen. Eventuell habe ihr die Universität eine Feststellungsverfügung über die Rechtmässigkeit oder Widerrechtlichkeit des Ablaufs dieses Anstellungsverfahrens zu eröffnen.
Verwaltungsgericht und Universität Bern schliessen vernehmlassend je auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 139 V 42 E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.1. Ausser Frage steht, dass der angefochtene Gerichtsentscheid von einer letzten kantonalen Instanz erlassen worden und nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar ist (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Ihm liegt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts zugrunde (Art. 82 lit. a BGG). Ein Ausschlussgrund (Art. 83 BGG) besteht sodann nicht. Insbesondere ist der auf dem Gebiet öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse zu beachtende Ausnahmetatbestand des Art. 83 lit. g BGG nicht gegeben. Zwar geht es hier um ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis im - weit zu verstehenden - Sinn dieser Bestimmung (vgl. Thomas Häberli, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 168 zu Art. 83 BGG; Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 2 mit Hinweis). Der Streit gründet nicht in einer Nichtwiederwahl (vgl. Urteile 8C_199/2014 vom 5. September 2014 E. 1 sowie 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 2), sondern in einer Nichtanstellung in eine entgeltlich auszuübende Funktion. Dies ändert nichts daran, dass auch diesfalls von einer vermögensrechtlichen Streitsache auszugehen ist (vgl. Häberli, a.a.O., N. 173 zu Art. 83 BGG). Dabei wird die nach Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG zu beachtende Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- mit den durch die Nichtanstellung entgangenen Entschädigungen erreicht (vgl. Urteile 8C_559/2015 vom 9. Dezember 2015 E. 1 sowie 8C_199/2014 vom 5. September 2014 E. 1).
1.2. Im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens drang die Beschwerdeführerin teilweise durch, nämlich hinsichtlich des nach dem Bundesgesetz über die Gleichstellung von Frau und Mann (Gleichstellungsgesetz; GlG; SR 151.1) bestehenden Anspruchs auf Verfügungserlass. In diesem Punkt fällte das kantonale Gericht einen Rückweisungs-, mithin einen Zwischenentscheid, womit nun die Erziehungsdirektion über das Vorliegen einer Geschlechterdiskriminierung und - gegebenenfalls - über allfällige Entschädigungsfolgen zu befinden haben wird (Art. 5 Abs. 2 und Art. 13 Abs. 2 GlG). Diese Thematik liegt im vorliegenden Verfahren nicht im Streit; dafür die Frage, ob ausserhalb des spezifischen Anwendungsbereichs des GlG ein Anspruch auf Erlass einer anfechtbaren Verfügung besteht, was die Vorinstanz verneinte, soweit sie sich ihrer überhaupt annahm. Namentlich wenn in Betracht gezogen wird, dass die Beschwerdeführerin mit ihrem Hauptbegehren dem Sinne nach eine Wiederaufnahme des Bewerbungsverfahrens anstrebt, spricht dies auf Anhieb eher für einen Teilentscheid. Denn die Rückweisung zielt auf ein unabhängiges Verfahren ab, das andere Rechtsfolgen nach sich zieht. Allerdings ist fraglich, ob sich dies sowie die Gleichstellungsthematik in allen Teilen je völlig unabhängig voneinander beurteilen lässt (vgl. BGE 135 III 212 E. 1.2 S. 216 f.). Wie es sich im Einzelnen damit verhält, kann mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen und den Ausgang des Beschwerdeverfahrens letztlich offen gelassen werden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die hier erhobenen Rügen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte von Bund und Kanton sind zulässig (Art. 95 lit. a und c BGG).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob das Verwaltungsgericht eine Rechtsverletzung im Sinne des Art. 95 BGG begangen hat, soweit es bezüglich der Nichtanstellung der Beschwerdeführerin bzw. ihrer Nichtaufnahme in die "shortlist" den Anspruch auf Erlass einer Verfügung bzw. ein schutzwürdiges Interesse an der gerichtlichen Klärung dieser Frage verneinte. Vor Bundesgericht wird nicht eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verwaltungs- und Verfahrensrechts geltend gemacht, sondern eine Verletzung der Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV. Danach hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Bund und Kantone können durch Gesetz die richterliche Beurteilung in Ausnahmefällen ausschliessen. Angerufen wird in der Beschwerde sodann auch Art. 26 Abs. 2 der Berner Kantonsverfassung (KV-BE; BSG 101.1). Laut dieser Bestimmung haben die Parteien in allen Verfahren ein Recht auf Anhörung, auf Akteneinsicht, auf einen begründeten Entscheid innert angemessener Frist sowie auf eine Rechtsmittelbelehrung.
4.
4.1. Die rechtlichen Grundlagen für das Verfahren der Anstellung ordentlicher oder ausserordentlicher Professoren an der Universität Bern finden sich im angefochtenen Gerichtsentscheid einlässlich dargestellt. Es sind dies im Wesentlichen das Universitätsgesetz (UniG; BSG 436.11) mit ergänzender Anwendbarkeit der Personalgesetzgebung (Art. 18 Abs. 1 UniG), mithin insbesondere des kantonalen Personalgesetzes (PG; BSG 153.01). Demgemäss amtet die Universitätsleitung als Anstellungsbehörde (Art. 39 Abs. 1 lit. h UniG). Ihr wird in der regierungsrätlichen Verordnung zum UniG (vgl. Art. 81 Abs. 2 lit. d UniG), der so genannten Universitätsverordnung, die Verantwortung für das Verfahren auferlegt (Art. 61 Abs. 1 UniV; BSG 436.111.1).
4.2. Gemäss Universitätsverordnung und dem von der Universitätsleitung am 18. Dezember 2012 erlassenen Anstellungsreglement verläuft die Anstellung in zwei Phasen: In einer ersten Strukturphase werden allgemeine Fragen geklärt (Schaffung, Veränderung, Aufhebung einer Professur etc.); die personenbezogene Auswahl erfolgt danach im Rahmen einer zweiten, so genannten Anstellungsphase. Die Anstellung selbst geschieht in Form eines durch die Universitätsleitung abgeschlossen öffentlich-rechtlichen Vertrages. Dieser kommt in Abstimmung mit der Fakultät auf deren Antrag, nach Abschluss der Anstellungsverhandlungen zustande, wobei dem Antrag in der Regel ein Vorschlag mit den drei bestgeeigneten Kandidatinnen und Kandidaten beiliegt (Art. 63 Abs. 1 bis 3 UniV). Die Vorbereitung obliegt einer fakultären Wahlkommission, die das Verfahren vertraulich behandelt; zudem holt die Fakultät vor ihrem Entscheid mindestens zwei auswärtige Gutachten zu den Leistungen der Kandidatinnen und Kandidaten ein.
5.
5.1. Die erst seit dem 1. Januar 2007 in Kraft stehende (AS 2006 1059) Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV (vgl. E. 3 hiervor) zählt zu den Verfahrensgrundrechten. Dazu gehört gleichermassen Art. 29 BV, dessen Abs. 1 als Teilgehalt das Verbot der formellen Rechtsverweigerung umfasst. Im engeren Sinne liegt eine solche vor, wenn es eine Behörde ausdrücklich ablehnt, eine Entscheidung zu treffen, obwohl sie dazu verpflichtet wäre (BGE 124 V 130 E. 4 S. 133 mit Hinweisen; 107 Ib 160 E. 3b S. 164; Urteil 8C_1012/2010 vom 31. März 2011 E. 3.1; Rhinow/Schefer/Uebersax, Schweizerisches Verfassungsrecht, 3. Aufl. 2016, § 30, Rz. 3033 ff.; Kiener/Kälin, Grundrechte, 2. Aufl. 2013, § 40, S. 490; vgl. ferner BGE 134 I 229 E. 2.3 S. 232). Die Rechtsverweigerungsbeschwerde zielt im Fall ihrer Begründetheit auf die Beseitigung des rechtswidrigen Zustandes ab, der in der Weigerung, eine Verfügung zu erlassen, besteht. Dadurch soll der Zugang zum Rechtsschutz mittels Erlasses einer Verfügung erst ermöglicht werden (Urteil 9C_502/2008 vom 23. Juli 2008 E. 3.2).
5.2. Die Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV ihrerseits vermittelt einen individualrechtlichen Anspruch auf gerichtlichen Rechtsschutz, mithin auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde mit voller Sachverhalts- und Rechtskontrolle, und zwar unter der Voraussetzung, dass eine Rechtsstreitigkeit vorliegt. Das Bundesgericht legt den Begriff der Rechtsstreitigkeit dahin aus, dass die Streitigkeit im Zusammenhang mit einer individuellen, schützenswerten Rechtsposition stehen muss (BGE 140 II 315 E. 4.4 S. 326; 139 II 185 E. 12.4 S. 218; 137 II 409 E. 4.2 S. 411; 136 I 323 E. 4.3 S. 328 f.; Urteil 1C_517/2016 vom 12. April 2017 E. 4.1). Dies entspricht der herrschenden Lehre. Diese betont, Art. 29a BV sei als verfassungsmässiges Recht ein Individualrecht; vor diesem Hintergrund umfasse die Rechtsweggarantie nur Streitigkeiten im Zusammenhang mit einer individuellen Rechtsbeziehung (Häfelin/Haller/Keller/Thurnherr, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 9. Aufl. 2016, Rz. 845a S. 251; BERNHARD Waldmann, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, Art. 29a N. 10); daran fehle es beispielsweise beim Streit um die Schliessung einer Poststelle, auch wenn sich viele dadurch betroffen fühlten und gewisse rechtliche Vorgaben bestünden (GIOVANNI Biaggini, Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft und Auszüge aus der EMRK, den UNO-Pakten sowie dem BGG, 2. Aufl. 2017, Art. 29a Rz. 6). Es müsse sich um Streitigkeiten über Rechte und Pflichten von natürlichen oder juristischen Personen handeln (Esther Tophinke, Bedeutung der Rechtsweggarantie für die Anpassung der kantonalen Gesetzgebung, ZBl 2006 S. 88 ff., insbes. S. 92). Eine Rechtsstreitigkeit liege vor, wenn ein Sachverhalt vom Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrecht erfasst werde oder dies in plausibler und nachvollziehbarer Weise von einer Partei behauptet werde (Andreas Kley, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, Art. 29a N. 9; vgl. auch Rhinow/Schefer/Uebersax, a.a.O., § 28 Rz. 2839 mit Hinweis auf das "zugehörgie Rechtsprechungsrecht"). Der konkrete Akt müsse - zumindest indirekt - geeignet sein, den Gesuchsteller in eigenen Rechten zu berühren (Markus Müller, Rechtsschutz gegen Verwaltungsrealakte, in: Pierre Tschannen, Neue Bundesrechtspflege, Bern 2007, S. 338 ff., S. 352 ff. mit Beispielen); dies setze eine minimale Intensität voraus, wobei die Schwelle nicht zu hoch, aber auch nicht so tief angesetzt werden dürfe, dass es zu einer Beschwerdeflut kommen könne (a.a.O., S. 354). Kölz/Häner/Bertschi (Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, Rz. 181) betonen, dass es nicht darum gehe, auf die Rechtsweggarantie die Theorie vom subjektiven öffentlichen Recht anzuwenden, d.h. nicht verlangt werden könne, dass sich der Gesuchsteller auf eine Norm berufe, die gerade seinem Schutz dienen solle; es genüge, wenn in der Sache individuelle Rechte oder Pflichten des Privaten betroffen seien (ähnlich Waldmann, a.a.O., N. 10). Müller/Schefer (Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 914 oben) halten ein tatsächliches Interesse für erforderlich, das "in einem gewissen Näheverhältnis zum Recht steht", wobei im Einzelfall zu konkretisieren sei, wie eng dieses Verhältnis sein müsse (vgl. zum Ganzen BGE 143 I 336 E. 4.1 S. 338 f.).
5.3.
5.3.1. Der von Art. 29a BV garantierte Rechtsweg besteht nur im Rahmen der jeweils geltenden Verfahrensordnung und verbietet es nicht, das Eintreten auf ein Rechtsmittel von den üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen (BGE 137 II 409 E. 4.2 S. 411 mit Hinweis; Urteil 2C_871/2015 vom 11. Februar 2016 E. 2.5.3 mit Hinweisen). In der Lehre wird dafür gehalten, dass übermässig strenge Verfahrensbestimmungen mit der Rechtsweggarantie nicht vereinbar seien (Rhinow/Schefer/Uebersax, a.a.O., § 28 Rz. 2836; Müller/ Schefer, a.a.O., S. 915 f.).
5.3.2. Wie bei der Beschwerde in der Sache ist zur Rechtsverweigerungsbeschwerde nur befugt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (BGE 104 Ib 307 E. 2c S. 314; 128 II 34 E. 1b S. 36; Urteil 9C_53/2017 vom 18. August 2017 E. 2.3). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein (BGE 123 II 285 E. 4 S. 286). Fehlte das schutzwürdige Interesse schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 139 I 206 E. 1.1 S. 208; 137 I 23 E. 1.3 S. 24). Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation der beschwerdeführenden Partei durch den Ausgang des Verfahrens unmittelbar beeinflusst werden kann (BGE 141 II 14 E. 4.4 S. 29 f.; 133 II 409 E. 1.3 S. 413; je mit Hinweisen). Als schutzwürdiges Interesse, das einen praktischen Nutzen einbringt, kann nicht jedes irgendwie geartete Interesse bzw. jede entfernte Möglichkeit gelten, dass ein anderer Verfahrensausgang dereinst noch irgendwo eine Rolle spielen könnte. Vielmehr ist erforderlich, dass die tatsächliche oder rechtliche Situation der beschwerdeführenden Partei durch den Ausgang des Verfahrens mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit beeinflusst werden könnte (Urteil 1C_200/2017 vom 10. Juli 2017 E. 2.2).
5.3.3. Das Bundesgericht hat ebenfalls schon erkannt, der mit Art. 29a BV garantierte Anspruch auf effektiven gerichtlichen Rechtsschutz werde verletzt, wenn das anwendbare Verfahrensrecht den Zugang durch ungerechtfertigte Sachurteilsvoraussetzungen versperre (vgl. E. 5.3.1 hiervor). Das könne unter Umständen auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Interesses zutreffen (Urteil 2C_780/2008 vom 15. Juni 2009 E. 2.3 unter Berufung auf Müller/Schefer, a.a.O., S. 914 ff.; vgl. ferner Urteil 2C_598/2010 vom 11. März 2011 E. 2.3).
Insbesondere in Zusammenhang mit der Verletzung von EMRK-Garantien verzichtet das Bundesgericht im Hinblick auf einen wirksamen Rechtsschutz seinerseits auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses (vgl. BGE 137 I 296 E. 4.3 S. 299; Urteil 1C_539/2013 vom 18. März 2014 E. 2.2). Einen ausnahmsweisen Verzicht in diesem Sinne nimmt es allgemein auch dann an, wenn sich die aufgeworfenen grundsätzlichen Fragen jeweils unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnten, ohne dass im Einzelfall rechtzeitig eine höchstrichterliche Prüfung stattfinden könnte (BGE 138 II 42 E. 1.3 S. 45 mit Hinweis). Eine derartige nachträgliche Überprüfung einer gegenstandslos gewordenen Anordnung hat sich auf die in Zukunft mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erneut stellenden Streitfragen zu beschränken; die Rechtsmittelinstanz beurteilt, unter Ausserachtlassen der zufälligen Modalitäten des obsolet gewordenen Falles, die streitigen Grundsatzfragen, wobei sich der Klärungsbedarf aber aufgrund der individuellen, potenziell wiederholbaren Situation des Beschwerdeführers bestimmt (BGE 131 II 670 E. 1.2 S. 674 mit Hinweisen).
5.3.4. Nach ständiger Praxis besteht kein Anspruch auf Behandlung einer gegenstandslos gewordenen Beschwerde, wenn den geltend gemachten Ansprüchen auf eine andere Art Rechnung getragen werden kann, z.B. auf dem Wege eines Entschädigungs- oder Staatshaftungsverfahrens, in dem sich die Widerrechtlichkeit des haftungsbegründenden Aktes noch thematisieren lässt (BGE 136 III 497 E. 2.4 S. 501; 129 I 139 E. 3 S. 142 f.; 125 I 394 E. 4 und 5 S. 396 ff.; 118 Ia 488 E. 1c S. 491; 110 Ia 140 E. 2a S. 141 f.). Vorbehalten bleiben anderslautende spezialgesetzliche Vorschriften wie z.B. im Submissionsrecht (Art. 9 Abs. 3 des Bundesgesetzes über den Binnenmarkt [BGBM] bzw. Art. 32 Abs. 2 des Bundesgesetzes über das öffentliche Beschaffungswesen [BöB]). Generell gilt zwar im Staatshaftungsrecht der Grundsatz der Einmaligkeit des Rechtsschutzes, wonach die Rechtmässigkeit rechtskräftiger Entscheide im Verantwortlichkeitsprozess nicht in Frage gestellt werden kann (im Bund: Art. 12 VG; für das kantonale Recht s. Urteile 2C_960/2013 vom 28. Oktober 2014 E. 3.3.2; 2C_158/2010 vom 18. August 2010 E. 2.4). Die Anwendung dieses Grundsatzes setzt aber voraus, dass der Betroffene überhaupt die Möglichkeit hatte, den betreffenden Entscheid anzufechten, hiervon jedoch keinen oder erfolglos Gebrauch gemacht hat; ist jedoch ein Rechtsmittel nicht geeignet, zu einer Korrektur des umstrittenen Aktes, sondern bloss noch zur Feststellung von dessen Rechtswidrigkeit zu führen, bleibt die Überprüfung dieses Aktes im Staatshaftungsverfahren zulässig, auch wenn von der entsprechenden Beschwerdemöglichkeit kein Gebrauch gemacht worden ist (BGE 129 I 139 E. 3.1 S. 142; 126 I 144 E. 2 S. 147 f.; 100 Ib 8 E. 2b S. 11; Urteil 2E_2/2013 vom 30. Oktober 2014 E. 5.3.2). Das gilt namentlich auch dann, wenn das Rechtsmittel gegen die Verfügung mangels eines aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses nicht (mehr) möglich ist (BGE 126 I 144 E. 2a S. 147 f.; Urteile 2A.288/2006 vom 28. August 2006 E. 1.4.1; 2A.64/2003 vom 27. Mai 2003 E. 2.2.3). Mit anderen Worten verleiht die Vorbereitung eines Verantwortlichkeitsverfahrens einem Rechtsuchenden dem Grundsatz nach keine Befugnis für die Anfechtung einer Verfügung, wenn ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse entfallen ist; das Feststellungsbegehren, mit dem die ursprüngliche Verfügung angefochten wird, ist somit subsidiär zum Leistungsbegehren im Haftungsverfahren (Urteil 1A.253/2005 vom 17. Februar 2006 E. 2.1.2 und 2.5, ZBl 107/2006 S. 504). Dieses Konzept genügt auch den Anforderungen von Art. 6 und 13 EMRK (BGE 126 I 144 E. 3 S. 150 ff.; zit. Urteil 1A.253/2005 vom 17. Februar 2006 E. 2.6.1; vgl. zum Ganzen: Urteil 2C_871/2015 vom 11. Februar 2016 E. 2.5.5).
6.
6.1. Die Frage, ob ein abgewiesener Stellenbewerber eine anfechtbare Verfügung beanspruchen kann, wird in Praxis und Schrifttum seit geraumer Zeit erörtert. Im Bereich des hier nicht betroffenen Bundespersonalrechts hatte sich das Bundesverwaltungsgericht in einem Grundsatzurteil (A-2757/2009) vom 12. Oktober 2010 eingehend damit befasst und einen entsprechenden Anspruch nach Darlegung der verschiedenen Teilaspekte und des Standes der Rechtslehre bejaht (BVGE 2010/53). Das Bundesverwaltungsgericht sah dabei im Umstand keinen Hinderungsgrund, dass die Arbeitsverhältnisse im Bereich des Bundespersonalrechts seit dem 1. Januar 2002 mittels öffentlich-rechtlichen Vertrags begründet werden (vgl. Art. 8 Abs. 1 BPG; Art. 25 Abs. 1 BPV), worauf das VwVG mangels hoheitlichen Handelns nicht anwendbar ist. Zugleich erinnerte es daran, dass ein von zwei Parteien geschlossener Vertrag durch einen Dritten ("res inter alios acta") nicht bestritten werden könne. Richtungsweisend für seine Entscheidung waren hingegen die Entwicklung der Gesetzgebung im Bereich des Vergaberechts (Art. 26 ff. BöB) und des Gleichstellungsgesetzes (Art. 3 Abs. 2, Art. 5 Abs. 1, 2, 3, Art. 8 und Art. 13 Abs. 1 und 2 GlG) sowie insbesondere die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV), deren Geltung im Bereich des Bundespersonalrechts weder sachgesetzlich noch durch Art. 3 lit. b VwVG aufgehoben werde (vgl. auch Art. 33 lit. a VGG). Dies und der Umstand, dass eine Anstellung nicht nur öffentliche Interessen des Arbeitgebers, sondern ebenso die privaten Interessen des abgewiesenen Bewerbers berührt, veranlassten das Gericht schliesslich dazu, diesem ein schutzwürdiges Interesse zuzugestehen. Dem habe die Behörde wenigstens auf Verlangen mit einer auf Nicht-Anstellung lautenden Feststellungsverfügung (Art. 5 Abs. 1 lit. b und Art. 25 Abs. 1 und 2 VwVG) Rechnung zu tragen.
Im Schrifttum wurde dieser Entscheid begrüsst (vgl. die Besprechungen von Tobias Jaag, AJP 2011 S. 421 f. sowie von Peter Helbling, in Jahrbuch 2011 Verwaltungsorganisationsrecht - Staatshaftungsrecht - öffentliches Dienstrecht, S. 155 ff.; vgl. ferner Hänni/Meier, Der Rechtsschutz im öffentlichen Personalrecht, in: Brennpunkte im Verwaltungsprozess, Zürich 2013, S. 153 f. und Daniela Thurnherr, Verfahrensgrundrechte und Verwaltungshandeln, Zürich 2013, § 10 Rz. 728). Dem damit im Bereich des Bundespersonalrechts eröffneten gerichtlichen Rechtsweg schob der Gesetzgeber freilich einen Riegel: So hält der am 1. Juli 2013 in Kraft getretene Art. 34 Abs. 3 BPG nunmehr unmissverständlich fest, dass abgewiesene Stellenbewerberinnen und Stellenbewerber keinen Anspruch auf den Erlass einer anfechtbaren Verfügung haben (AS 2013 1493; BBl 2011 6703; vgl. Urteil 8C_199/2014 vom 5. September 2014 E. 5; Peter Hänni, Personalrecht des Bundes, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Organisationsrecht, 3. Aufl. 2017, S. 16 Fn. 85 mit weiteren Hinweisen; vgl. ferner Urs Bürgi/Gudrun Bürgi-Schneider, in Bürgi/ Bürgi-Schneider [Hrsg.], Handbuch öffentliches Personalrecht, Zürich 2017, § 8 Rz. 255; ausdrücklich zustimmend: René Wiederkehr/Stefan Eggenschwiler, Die allgemeine Beschwerdebefugnis Dritter, Bern 2018, Rz. 253). Damit schuf der Bundesgesetzgeber für seinen Zuständigkeitsbereich die in Art. 29a (Satz 2) BV vorbehaltene gesetzliche Grundlage für einen Ausschluss der gerichtlichen Überprüfung einer Nichtanstellung.
6.2.
6.2.1. Das Bundesgericht seinerseits hatte sich in den Urteilen 8C_353/2013 vom 28. August 2013 und 8C_199/2014 vom 5. September 2014 mit der Anfechtung eines regierungsrätlichen Wahlbeschlusses betreffend die Bestellung der Verwaltungskommission der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (Amtsdauer 2012 bis 2016) zu befassen. Die Vorinstanz war auf die von zwei zur Wiederwahl stehenden übergangenen Bewerbern erhobene Beschwerde gestützt auf das kantonale Verwaltungsrechtspflegegesetz nicht eingetreten. Darin erblickte das Bundesgericht im ersten der genannten Urteile eine Verletzung der Rechtsweggarantie, die sich auch durch die eng auszulegende Ausnahmeregelung des Art. 86 Abs. 3 BGG, wonach es bei Entscheiden vorwiegend politischen Charakters keiner gerichtlichen Vorinstanz bedarf, nicht abwenden lasse. Zwar verfüge der Regierungsrat als Wahlbehörde über ein weites Ermessen, womit eine inhaltliche Korrektur durch das Gericht nur ausnahmsweise erfolgen dürfte. Prüfbar seien aber jedenfalls der korrekte Verfahrensablauf und dabei namentlich die Einhaltung des Fairnessgebotes, einschliesslich des Anspruchs auf rechtliches Gehör (E. 6.3.1).
6.2.2.
6.2.2.1. Auf die bundesgerichtliche Rückweisung hin trat das St. Galler Verwaltungsgericht auf die Beschwerde ein und wies diese ab, dies indes mit der Feststellung, dass die Verfahrensrechte der Beschwerdeführer verletzt worden seien. Diese wandten sich erneut an das Bundesgericht mit dem Begehren, der regierungsrätliche Wahlbeschluss sei aufzuheben; eventuell sei anzuordnen, dass sie für die Amtsdauer 2012 bis 2016 wiedergewählt würden. Das Bundesgericht prüfte und verneinte im zweitgenannten Urteil 8C_199/2014 die geltend gemachte Verletzung kantonaler Ausstandsvorschriften. Auf die Rüge hin, durch die mangelnde schriftliche Eröffnung und Begründung einer Verfügung bezüglich Nichtwahl habe der Regierungsrat den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, hielt es fest, es könne offen bleiben, ob abgewiesene Bewerber Anspruch auf eine anfechtbare Verfügung hätten (E. 5 mit Hinweis auf Art. 34 Abs. 3 BPG). Soweit die Beschwerdeführer auf die Aufhebung des Wahlbeschlusses abzielten, erinnerte das Bundesgericht zunächst (vgl. E. 6.1) an die vorinstanzlichen Erwägungen, wonach Gegenstand des Verfahrens einzig die Nichtwiederwahl der Beschwerdeführer bilden könne. Ein praktikables Verfahren zur Begründung eines öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisses setze voraus, dass auf Wahlbeschlüsse nicht zurückgekommen werden könne. Andernfalls liessen sich Stellen nur unter Berücksichtigung der Dauer allfälliger Rechtsmittelverfahren oder unter dem Vorbehalt der Rechtskraft des Wahlbeschlusses besetzen. Eine solche Ungewissheit widerspräche dem öffentlichen Interesse an der Funktion der zu wählenden Gremien. Die Verletzung von Verfahrensrechten könne nicht die Wahl der betroffenen Personen zur Folge haben.
6.2.2.2. Das Bundesgericht wandte sich im nämlichen Urteil hernach der Frage zu (vgl. E. 6.2), ob ein Wahlbeschluss in diesem Sinne in jedem Fall und unter allen Umständen rechtsbeständig sei. So wäre etwa möglich, dass sich eine Wahlbehörde nicht an die mit der Ausschreibung verbundenen Wahlvoraussetzungen halte oder sich von unsachlichen Kriterien leiten lasse; denkbar wären auch Interessenkollisionen oder andere Wahlausschlussgründe von gewählten Mitgliedern. Daraus könnte sich ergeben, dass einzelne Personen oder ein Gremium als Ganzes die gesetzlichen Aufgaben nicht oder nur unzureichend wahrzunehmen vermöchten, was dem Gebot einer rechtsstaatlich konstituierten und funktionierenden Verwaltung widerspräche. Eine solche Wahl verletzte daher nicht nur die Verfahrensrechte von einzelnen Bewerbern, sondern sie verstiesse als solche gegen wichtige öffentliche Interessen. Diesfalls entspräche es allenfalls dem Gemeinwohl, einen entsprechenden Beschluss auf Beschwerde hin oder von Amtes wegen aufzuheben. Die Aufhebung eines solchen Wahlbeschlusses hätte aber nicht etwa zur Folge, dass die nicht berücksichtigten Konkurrenten automatisch an die Stelle der gewählten Mitglieder eines Gremiums treten könnten. Vielmehr wäre das Wahlverfahren ganz oder teilweise zu wiederholen.
6.2.2.3. Im konkreten Fall sah sich das Bundesgericht (vgl. E. 6.3) mangels entsprechender Vorbringen nicht zur Überprüfung veranlasst, ob ein die Funktionsfähigkeit der Verwaltung tangierender Wahlbeschluss vorliege. Darüber hinaus erwog es, dass selbst bei einer schweren Verletzung von Verfahrensrechten keine Grundlage für die Aufhebung des Wahlbeschlusses bestünde. In einem Wahlverfahren gehe es nicht darum, Rechtsansprüche von Kandidaten zu beurteilen. Zwar hätten die Kandidaten Anspruch auf ein rechtskonformes Verfahren. Dies besage aber nicht, dass sie gewählt oder wiedergewählt werden müssten, wenn sie die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllten (vgl. BGE 123 I 41 E. 5c/bb S. 43 f.; 112 Ia 174 E. 3c S. 178; Urteil 1P.133/2006 vom 10. März 2006 E. 1.2). Vielmehr habe die zuständige Wahlbehörde das Recht und die Pflicht, eine Auswahl aus dem Kreis der Kandidierenden zu treffen. Bei einer Vielzahl von Bewerbungen könnten notgedrungen nicht alle berücksichtigt werden. Die Wahlbehörde verfüge bei ihrem Entscheid über ein weites Ermessen (in dieser Sache ergangenes Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 6.3.1; vgl. auch BGE 138 I 321). Das gute Funktionieren des von ihr ernannten Gremiums falle denn auch in ihren Verantwortungsbereich und liege in ihrem Interesse. Zu Recht habe die Vorinstanz in diesem Zusammenhang weiter darauf hingewiesen, dass nach der Personalgesetzgebung des Kantons St. Gallen ein Anstellungsverhältnis selbst dann nicht weiter bestehe, wenn es durch eine missbräuchliche Kündigung aufgelöst werde. Auch in diesem Fall entstünden für die Betroffenen höchstens Entschädigungsansprüche. Fehle es an einem Rechtsanspruch auf Weiterbeschäftigung selbst bei einer unrechtmässigen Kündigung, sei ein solcher bei einer Erneuerungswahl erst recht auszuschliessen. Eine bundesrechtliche oder kantonale verfassungsrechtliche Grundlage, welche etwas anderes gebieten würde, sei nicht ersichtlich und werde nicht geltend gemacht.
7.
7.1. Im vorliegenden Fall hielt das Verwaltungsgericht fest, dass das kantonale Recht - anders als der Bund - keine eigene Regelung zum Rechtsschutz abgewiesener Stellenbewerber kenne. Nach bernischem Personalgesetz (Art. 108 Abs. 1 PG) gelte für den Rechtsweg, vorbehältlich abweichender personalgesetzlicher Bestimmung, das Verwaltungsrechtspflegegesetz (VRPG; BSG 155.21). Dessen Verfügungsbegriff setze die typischen materiellen Strukturmerkmale voraus, wobei sich die Praxis in erster Linie an der Umschreibung in Art. 5 VwVG und der dazu ergangenen Rechtsprechung orientiere. Ob der negative Ausgang des Stellenbewerbungsverfahrens demgemäss eine Verfügung bzw. eine verfügungsfähige Angelegenheit darstelle, habe das Verwaltungsgericht bislang nicht entschieden und könne auch im vorliegenden Verfahren dahin stehen.
7.2.
7.2.1. Aufgrund des Umstandes, dass der Anstellungsvertrag zwischen der Universität und dem Nachfolger bereits am 27. April 2015 zustande kam, stellte das Verwaltungsgericht die Frage nach dem schutzwürdigen Interesse an einer "Gestaltungsverfügung". Denn nur unter der Voraussetzung, dass die Anstellung rückgängig gemacht und das Anstellungsverfahren wiederholt werden könne, erhielte die übergangene Mitbewerberin eine neue Chance, angestellt zu werden, was das kantonale Gericht mit Entscheiden des Aargauer Regierungsrates (ZBl 1993 S. 15 E. 2) und des Walliser Kantonsgerichts (ZWR 1985 S. 28 E. 3.3) untermauerte.
7.2.2. Des Weiteren orientierte sich die Vorinstanz an den soeben (vgl. E. 6.2.2) wiedergegebenen bundesgerichtlichen Erwägungen im Urteil 8C_199/2014 vom 5. September 2014. Der öffentlich-rechtliche Anstellungsvertrag schaffe eine gegenseitige Vertrauensbasis. Vorbehältlich besonderer Vorkommnisse dürften die Vertragsparteien davon ausgehen, dass der Vertrag, so wie abgeschlossen, tatsächlich eingehalten werde und Bestand habe (vgl. Urteil 1C_168/2008 vom 21. April 2009, in ZBl 2010 S. 56 E. 5.2). Allfällige Mängel des Anstellungsverfahrens bedeuteten mithin auch nach den allgemeinen Grundsätzen noch nicht ohne Weiteres, dass der Vertrag anfechtbar, widerrufbar oder gar nichtig sei (vgl. Tschannen/Zimmerli/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 35 Rz. 5 ff.).
Die Beschwerdeführerin rüge zwar verschiedene Unregelmässigkeiten und "willkürliche Entscheidungen", insbesondere was die Beurteilung ihres wissenschaftlichen Leistungsausweises angehe. Sie mache jedoch nicht geltend, dass diese behaupteten Fehler zur Ernennung eines Bewerbers geführt hätten, der die gesetzlichen Vorgaben nicht erfülle. Ebenso wenig lege sie dar, weshalb der Anstellungsentscheid wichtigen öffentlichen Interessen widersprechen solle. Unter diesen Umständen sei von der "Beständigkeit des Anstellungsentscheides" auszugehen. Die mit dem Hauptbegehren beantragte Korrektur und die Wiederholung des Anstellungsverfahrens könne sie folglich nicht mehr erwirken. Daran vermöge weder die Rechtsweggarantie gemäss Art. 29a BV noch diejenige nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK etwas zu ändern, da diese Bestimmungen ihrerseits keine materiellrechtlichen Positionen vermittelten. Desgleichen falle der gestützt auf Art. 25a VwVG bestehende Beseitigungsanspruch gegen realfaktisches Verwaltungshandeln ausser Betracht. Denn abgesehen davon, dass diese bundesrechtliche Bestimmung im kantonalen Verfahren nicht anwendbar sei, würde der Beseitigungsanspruch aufgrund der Rechtsbeständigkeit des "Anstellungsentscheides" ohnehin ins Leere zielen.
8.
8.1. Wie gesehen verwendete das kantonale Gericht in Bezug auf den Hauptantrag der Beschwerdeführerin den Begriff "Gestaltungsverfügung". Auf diese Weise brachte es zum Ausdruck, dass damit - im Gegensatz zu einer blossen Feststellungsverfügung - noch auf das Ergebnis des Berufungsverfahrens positiv eingewirkt, mithin eine Korrektur des Wahlergebnisses erreicht werden könnte. Konkret zielt denn auch die Beschwerdeführerin darauf ab, ihr Ausscheiden aus dem Berufungsverfahren abzuwenden und in einem Folgeschritt letztlich ihre Anstellung zu erwirken, was unter den hier gegebenen Umständen die Auflösung des Anstellungsverhältnisses mit dem bereits gewählten Nachfolger erfordern würde. Dabei bestehen zusätzliche verfahrensrechtliche Erschwernisse in zweierlei Hinsicht: Zum einen steht am Ursprung des vorliegenden Rechtsstreits nicht ein "Wahlakt", der als solches ("uno actu") sowohl die Nichtberücksichtigung der Beschwerdeführerin als auch die Anstellung des Nachfolgers umfasste. Das Verfahrens verlief vielmehr gestaffelt ab, so dass im Zeitpunkt des Ausscheidens der Beschwerdeführerin nebst ihr noch weitere verbleibende Kandidaten Aussicht auf die zu besetzende Stelle haben konnten. Zum andern kommt dazu, dass die Anstellung des Nachfolgers nicht in Form oder Gestalt eines Wahlaktes bzw. einer ("mitwirkungsbedürftigen") Verfügung zustande kam (Tschannen/ Zimmerli/Müller, a.a.O., § 28 Rz. 72; FRITZ Gygi, Verwaltungsrecht - Eine Einführung, Bern 1986, S. 127), sondern in derjenigen eines öffentlich-rechtlichen Vertrags. Ob und vor allem wie hier für nichtberücksichtigte Dritte eine Rechtsschutzmöglichkeit bestehen kann, liegt nach aktuellem Diskussionsstand nicht in allen Teilen klar zutage, zumal dort, wo der Vertrag mit dem Nachfolger bereits geschlossen ist (vgl. aus der jüngeren Lehre: Thurnherr, a.a.O., § 10 Rz. 715 ff.; zur Situation vor Vertragsschluss: vgl. a.a.O., § 10 Rz. 711 ff.; zur so genannten Zweistufentheorie und anderen Lösungsansätzen vgl. a.a.O., § 3 Rz. 101 ff.; ferner Tschannen/Zimmerli/Müller, a.a.O., § 34 Rz. 5 f.; Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, § 18 Rz. 1372, § 19 Rz. 1401 ff.; Bernhard Rütsche, Staatliche Leistungsaufträge und Rechtsschutz, ZBJV 152/2016 S. 102 f. sowie Urteil 2C_314/2013 vom 19. März 2014 E. 1.1.2).
8.2. Ob die vom Bundesgericht im Urteil 8C_199/2014 vom 5. September 2014 in Zusammenhang mit einer im Rahmen ein und desselben Aktes ("uno actu") erfolgten Wahl/Nicht-Wahl angestellten Überlegungen (vgl. E. 6.2.2 hiervor) im vorliegenden Fall wirklich zielführend sind, scheint mit Blick auf die soeben geschilderten Umstände fraglich, kann aber offen bleiben. Ebenso mag die Frage dahin stehen, ob die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt ihres Ausscheidens aus dem Bewerbungsverfahren Anspruch auf eine anfechtbare Verfügung gehabt hätte. Denn auch unter Berücksichtigung von Art. 29a BV kann der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, wenn sie bei der gegebenen spezifischen Sachlage ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung der betreffenden Frage verneint hat. Die Annahme, dass die Beschwerdeführerin einen Anspruch auf Anstellung hätte, fällt ausser Betracht und wird von ihrer Seite auch gar nicht behauptet. Hinzu kommt, dass am 27. April 2015, als der Vertrag mit dem Nachfolger zustande kam, keine Anordnung im Raum stand, die diesen Vertragsschluss nicht zugelassen hätte. Ein praktischer Nutzen in Form eines noch erlangbaren Zugangs zur betreffenden Stelle stand damit im Zeitpunkt der vorinstanzlichen Beurteilung nicht mehr in Aussicht und hatte bereits in demjenigen der Beschwerdeerhebung an die Vorinstanz nicht mehr bestanden. Dabei hat sich das kantonale Gericht mit Blick auf die erwogene Möglichkeit einer weitergehenden Intervention immerhin mit der Frage befasst, ob der Vertrag mit dem Nachfolger allenfalls noch aufgehoben werden könnte. Einen ausreichenden Grund dafür hat es in den allenfalls bestehenden Verfahrensmängeln jedoch nicht gesehen, nachdem darüber hinaus nichts vorgebracht war, was gegen die "Wählbarkeit" des Nachfolgers oder auf die Unvereinbarkeit des "Anstellungsentscheides" mit öffentlichen Interessen hätte schliessen lassen. Dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang den Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig festgestellt hätte, wird von der Beschwerdeführerin nicht geltend gemacht. Ebenso wenig ist eine willkürliche Anwendung kantonalen (Verfahrens-) Rechts hinreichend dargetan. Davon abgesehen trifft nicht zu, dass die Vorinstanz im vorliegenden Fall aufgrund der Rechtsweggarantie zu einer weiteren Prüfung bzw. zu weitergehenden Anordnungen gehalten gewesen wäre. Insbesondere kann in den Verfahrensgrundrechten der abgewiesenen Bewerber keine Grundlage dafür erblickt werden, um bei der gegebenen Konstellation in vertragliche Rechtsverhältnisse mit Dritten eingreifen zu können. Derlei gebietet weder Art. 29a BV noch Art. 26 KV-BE, über dessen konkreten Gehalt, insbesondere im Vergleich zu Art. 29 BV, sich die Beschwerde nicht weiter auslässt. Selbst mit Blick darauf, dass das Anstellungsverhältnis mit dem Nachfolger aus sachlich vertretbaren Gründen kündbar sein mag, sind in dieser Hinsicht nicht nur dessen Vertrauen in den Fortbestand des betreffenden Verhältnisses und die Rechtssicherheit zu berücksichtigen, sondern vor allem auch die öffentlichen Interessen an einem beförderlichen Ablauf des Berufungsverfahrens (vgl. Urteil 8C_199/2014 vom 5. September 2014 E. 6.1). Dies alles ist insgesamt höher zu gewichten als das private Interesse der Beschwerdeführerin an der Erlangung der Stelle bzw. der Wiederholung des Anstellungsverfahrens.
8.3. Einzuräumen ist, dass der Rechtsschutz in einem "Verteilungsverfahren" (vgl. zum Begriff: Kiener/Rütsche/Kuhn, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, 3. Teil § 3 Rz. 998 ff.; Thurnherr, a.a.O., § 10 Rz. 722 ff.) für abgewiesene Bewerber wie im vorliegenden Fall dann als unwirksam empfunden werden mag, wenn diese aufgrund des gegebenen Verfahrensgangs keine Chance auf Zugang zur betreffenden Stelle mehr erwirken können (vgl. die bereits von FRITZ Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 159 sowie PIERRE Moor, Droit administratif, Vol. III, Bern 1992, S. 214 ff. geäusserte Kritik an der bislang herrschenden Sicht, wonach die Wahlverfügung irreversibel sei). Dies zeigt sich akzentuiert in jenen Fällen, wo - wie vorliegend - die angebotenen verfügbaren Stellen besonders knapp sind, was sich fast zwangsläufig umgekehrt proportional auf die fachlichen und menschlichen Anforderungen an deren Inhaber (und die Bewerbenden) auswirkt. So gesehen ist in diesem Zusammenhang gewiss von einer starken Betroffenheit in faktischen Interessen auszugehen. Rechtlich geschützte Positionen stehen dabei immerhin in der Weise im Blickpunkt, als es im Wesentlichen um rechtsgleiche Behandlung, einschliesslich pflichtgemässer ("rechtlich gebundener") Ermessensausübung, und um die Einhaltung der einschlägigen verfahrensrechtlichen Vorgaben geht (vgl. bereits Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 6.3.1 a.E.). Wie hiervor gezeigt (E. 6.2.2.1), gilt es dabei freilich auch öffentliche Interessen zu beachten, insbesondere im Hinblick auf die Gewährleistung rascher Abläufe und deren Planbarkeit (vgl. nebst dem schon zitierten Urteil 8C_199/2014 vom 5. September 2014 bereits ANDRÉ Grisel, Traité de droit administratif, Vol. I, Neuchâtel 1984, S. 475). In erster Linie scheint daher der Gesetzgeber zur Schaffung einer sachgerechten Verfahrensordnung berufen, die den verschiedenen Interessenlagen angemessen Rechnung trägt (vgl. Helbling, a.a.O., S. 161). Als Orientierungshilfe mag ihm dabei die schon erwähnte Zweistufentheorie dienen (vgl. auch Jaag, a.a.O., S. 422 sowie Thurnherr, a.a.O., § 3 Rz. 101 ff.). Dabei folgt allerdings aus Art. 29a BV jedenfalls keine zwingende Verpflichtung, diese Ordnung in einer Weise auszugestalten, dass sie dem abgewiesenen Bewerber im Falle erfolgreicher Beschwerdeführung unmittelbar den Zugang zur betreffenden Stelle verschaffen könnte. Derlei wäre mit dem zu respektierenden Ermessen des anstellenden Organs nicht zu vereinbaren und im Übrigen insoweit überschiessend, als kein eigentlicher Anspruch auf die Erlangung der Stelle besteht.
9.
9.1.
9.1.1. Ausgehend vom Eventualbegehren der Beschwerdeführerin prüfte das kantonale Gericht sodann die Frage, ob ihr ein Anspruch auf Erlass einer Feststellungsverfügung zustehe. Dabei erkannte es immerhin insoweit auf eine Rechtsverweigerung, als die Beschwerdeführerin eine Anstellungsdiskriminierung nach Art. 3 GlG geltend gemacht hatte. Denn dafür sieht Art. 5 Abs. 2 GlG eine Entschädigung vor, die gemäss Art. 13 Abs. 2 GlG direkt mit Beschwerde gegen die abweisende Verfügung verlangt werden kann (vgl. Urteile 8C_821/2016 vom 26. Januar 2018 E. 4 sowie 2P.277/2004 vom 19. Januar 2006 E. 1.3).
Darüber hinaus verneinte die Vorinstanz ein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung. Zum einen bestehe keine spezialgesetzliche Grundlage dafür, zum andern fehle es mit Blick auf die allgemeinen verfahrensrechtlichen Grundsätze an einem individuellen oder öffentlichen Feststellungsinteresse. Diesbezüglich orientierte sich die Vorinstanz an der Praxis (vgl. E. 5.3.3 hiervor), wonach ein Bedürfnis nach Klärung der Rechtslage bzw. ein Rechtsschutzinteresse auch dann bestehen kann, wenn es als solches nicht mehr aktuell ist. Ob es dabei um Fragen grundsätzlicher Art im Zuge potenziell wiederholbarer Situationen gehe oder um die mögliche Verletzung von EMRK-Ansprüchen bzw. die Gewährleistung eines wirksamen Rechtsschutzes: So oder so brauche es stets ein schutzwüdiges Interesse, sei es aus Sicht des Betroffenen, sei es aus Sicht der Allgemeinheit.
9.1.2. Was die individuellen Interessen im Einzelnen anbelangt, liess das kantonale Gericht blosse Gerechtigkeitsüberlegungen oder die Steigerung der Akzeptanz durch Klärung der Rechtslage nicht gelten. Die von der Beschwerdeführerin angestrebte Wiederherstellung ihres beruflichen Rufes beleuchtete es sodann aus Sicht von Art. 28 ZGB sowie von Art. 8 Ziff. 1 EMRK, dies in Zusammenhang mit Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Diesbezüglich habe die Rechtsprechung ein schutzwürdiges Feststellungsinteresse an der Klärung der Frage bejaht, ob sich eine Person gesetzwidrig verhalten habe (BGE 136 II 304 E. 2.3.1 S. 312 f.; BVGE 2012/33 E. 1.2). In einer damit vergleichbaren Situation befinde sich die Beschwerdeführerin nicht. Jede Bewerbung um eine Stelle berge das Risiko in sich, abgewiesen zu werden, und die Beschwerdeführerin zeige nicht auf, weshalb bei ihr anderes gelten solle. Insbesondere leuchte nicht ein, inwiefern die Bewertung ihrer wissenschaftlichen Leistung eine Bedeutung über das konkrete Anstellungsverfahren hinaus entfalte. In dieser Hinsicht lasse sich der Fall auch nicht mit einer Prüfungsbewertung vergleichen, zumal nicht dargetan oder ersichtlich sei, inwieweit der weitere berufliche Werdegang der Beschwerdeführerin gefährdet sein könnte. Damit lasse sich - mangels einer ernsthaften Streitigkeit im Sinne dieser Bestimmung - auch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK nichts ableiten. Soweit der Beschwerdeführerin durch das Vorgehen der Universität infolge Persönlichkeitsverletzung oder aus anderen (auch ausserhalb der Geschlechterdiskriminierung liegenden) Gründen, ein Schaden erwachsen sei, stehe ihr die Möglichkeit offen, dies im Rahmen eines eigenen Verantwortlichkeitsprozesses zu verfolgen. Gegenüber einem solchen Leistungsbegehren sei dasjenige auf Feststellung der Rechtswidrigkeit gemäss kantonaler Rechtsprechung subsidiär.
9.1.3. Hinsichtlich des öffentlichen Interesses an der Feststellung der Rechtslage erwog das kantonale Gericht, ein solches lasse sich nicht damit begründen, aus verfahrensrechtlichen Gründen bestehe allgemein eine Pflicht zum Verfügungserlass, um den Rechtsweg zu öffnen. Rein abstrakte Rechtsfragen ohne konkrete Rechtsfolgen seien von den Behörden nicht zu behandeln (statt vieler: BGE 137 II 199 E. 6.5 S. 218 f.). Es frage sich vielmehr, ob die Beschwerdeführerin eine Feststellung darüber erwirken könne, ob ihre Verfahrensrechte im Anstellungsverfahren verletzt worden seien. Ob dies mit Blick auf die Grundsätzlichkeit der Fragestellung ein öffentliches Feststellungsinteresse begründe, sei aufgrund der individuellen, potenziell wiederholbaren Situation der beschwerdeführenden Person zu bestimmen. Insofern sei zu berücksichtigen, dass das der Streitsache zugrunde liegende Anstellungsverfahren mit der Ernennung des Nachfolgers beendet worden sei. Eine allfällige Feststellung der Verletzung von Verfahrensrechten der Beschwerdeführerin würde mit Blick auf ein neues Anstellungsverfahren keine Wirkungen zeitigen. Selbst wenn in absehbarer Zeit an der Universität Bern wieder eine für sie in Frage kommende Professur zu besetzen wäre, würde sich die Ausgangslage anders präsentieren: Die Besetzung einer Professur verlange nach einem neuen Strukturentscheid und in der Regel nach einer neuen Ausschreibung. Zudem bestelle die Fakultät eine neu zusammengesetzte Wahlkommission, die den Anstellungsantrag vorbereite. In einem künftigen Verfahren wäre somit die Eignung der Beschwerdeführerin mitsamt ihrem wissenschaftlichen Leistungsausweis für die zu besetzende Stelle neu abzuklären, ohne dass auf die Erkenntnisse des streitbetroffenen Verfahrens abgestellt werden müsste. Gemäss Anstellungsreglement behandle die fakultäre Wahlkommission die Verfahren vertraulich, und es gelte das Wahlgeheimnis. Würde sich die Beschwerdeführerin nochmals für eine Professur an der Universität Bern oder andernorts bewerben, hätte sie sich einer völlig neuen Ausgangslage zu stellen. Damit sei keine Fragestellung von grundsätzlicher Bedeutung aufgeworfen, an deren Beantwortung ein öffentliches Feststellungsinteresse bestehe.
9.2.
9.2.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich auch gegen die dergestalt begründete Verneinung eines Feststellungsinteresses. Eine einlässliche Befassung mit den vorinstanzlichen Erwägungen findet in diesem Zusammenhang jedoch nicht statt. Weder zeigt sie auf, inwiefern sich aus der BV oder EMRK etwas anderes ergeben könnte, noch führt sie aus, inwiefern die Vorinstanz entsprechenden Vorgaben zuwider gehandelt haben könnte. Vielmehr begnügt sie sich mit der Darlegung ihrer eigenen Sicht der Rechtslage, ohne dass sie sich mit den fundierten Ausführungen im angefochtenen Gerichtsentscheid näher befassen würde. Damit vermag die Beschwerdeführerin in diesem Punkt schon den Begründungsanforderungen kaum zu genügen. Denn Art. 42 Abs. 2 BGG verlangt, dass in der Beschwerde die vorinstanzlichen Entscheidgründe erörtert werden und genau angegeben wird, worin eine Rechtsverletzung bestehen könnte; zudem erkennt das Bundesgericht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG nur dann auf eine Verletzung von Grundrechten, wenn eine entsprechende Rüge erhoben und ausreichend begründet wird (vgl. BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 367 f.; vgl. auch BGE 142 I 99 E. 1.7.1 S. 101; je mit Hinweisen).
9.2.2. Dies gilt zunächst in Bezug auf die vorinstanzliche Beurteilung der individuellen Interessenlage der Beschwerdeführerin. In dieser Hinsicht fällt zwar auf, dass sich das kantonale Gericht schwergewichtig am Persönlichkeitsschutz orientierte, wie er insbesondere auch als Teilgehalt in Art. 8 Ziff. 1 EMRK verbrieft ist. Inwiefern darüber hinaus eine von derart konkreten individualrechtlichen Positionen losgelöste gerichtliche Prüfung erfolgen sollte, wird im angefochtenen Gerichtsentscheid nicht vertieft. Angesprochen sind damit das Interesse der Beschwerdeführerin an der Einhaltung der verfahrensrechtlichen Vorgaben (einschliesslich der Regeln über Ausstand und Befangenheit), des allgemeinen Rechtsgleichheitsgebotes (Art. 8 Abs. 1 BV) und Diskriminierungsverbotes (Art. 8 Abs. 2 BV), des Willkürverbots sowie des Gebots von Treu und Glauben (Art. 9 BV), einschliesslich der Gebote von Transparenz und Fairness. Gerade diese Aspekte sind es ja, die in Zusammenhang mit dem Rechtsschutz für abgewiesene Stellenbewerber, namentlich im Hinblick auf Art. 29a BV hervorgehoben werden (vgl. zum Teil bereits Urteil 8C_353/2013 vom 28. August 2013 E. 6.3; Jaag, a.a.O., S. 422 sowie Helbling, a.a.O., S. 159, 161). Eine Bezugnahme hierauf findet jedoch in der Beschwerde im Kontext mit der beantragten Feststellungsverfügung nicht statt. Davon abgesehen verwies die Vorinstanz explizit auf den durch das Staatshaftungsrecht vermittelten Rechtsschutz, wozu das Feststellungsbegehren bezüglich des ursprünglichen Aktes auch nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung subsidiär ist (vgl. E. 5.3.4 mit Hinweisen; vgl. ferner Urteil 2C_596/2010 vom 11. März 2011 E. 3.2). Der haftungsrechtliche Rechtsschutz verläuft im Kanton Bern grundsätzlich über den Weg der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege und vermag unter Umständen auch Ausgleich für immaterielle Unbill zu verschaffen (vgl. Jürg Wichtermann, Staatshaftungsrecht, in: Müller/Feller [Hrsg.], Bernisches Verwaltungsrecht, 2. Aufl. 2013, S. 125 Rz. 60, S. 136 ff.). Auch damit befasst sich die Beschwerde in keiner Weise. Insbesondere wird nicht aufgezeigt, dass dieser Rechtsschutz nicht gleichwertig sein könnte (betreffend Nachweis der Widerrechtlichkeit vgl. Urteil 1A.253/2005 vom 17. Februar 2006 E. 2.6.3) bzw. weshalb er den aus der Rechtsweggarantie fliessenden Vorgaben nicht genügen würde.
9.2.3. Die Verletzung der Verfahrensrechte thematisierte das kantonale Gericht in Zusammenhang mit dem allgemeinen öffentlichen Interesse. Soweit es dabei einen Konnex zu der individuellen, potenziell wiederholbaren Situation der beschwerdeführenden Person verlangte, wird in der Beschwerde nicht aufgezeigt, inwiefern die vorinstanzlichen Erwägungen Bundesrecht, insbesondere der Rechtsweggarantie zuwider laufen könnten. Insbesondere der in der Beschwerde enthaltene Hinweis auf das Urteil 1P.624/2000 vom 9. Januar 2001 vermag hier nicht zu genügen. Dass die Beschwerdeführerin in einem allfälligen künftigen Bewerbungsverfahren von einer personell anders besetzten fakultären Wahlkommission nach analoger Verfahrensweise wiederum gleich beurteilt würde, liegt keineswegs auf der Hand.
10.
Damit dringt die Beschwerdeführerin auch vor Bundesgericht nicht durch, weshalb ihre Beschwerde - soweit darauf einzutreten ist - abgewiesen wird. Bei diesem Verfahrensausgang hat sie die Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und der Erziehungsdirektion des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. März 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch