Sachverhalt:
A.
Der 1964 geborene A._ meldete sich am 28. März 2012 aufgrund einer Ellenbogenproblematik links sowie am 16. Mai 2014 mit Hinweis auf eine septische Arthritis im rechten Sprunggelenk bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern führte in der Folge Eingliederungsmassnahmen durch. Sie sprach dem Versicherten unter anderem Arbeitsvermittlung zu und erteilte Kostengutsprachen für Integrationsmassnahmen. Am 5. Januar 2016 wurde A._ am rechten oberen Sprunggelenk eine Prothese implantiert. Nach verschiedenen Arbeitsversuchen gab die Verwaltung bei den Dres. med. B._, FMH Innere Medizin und Rheumaerkrankungen, und C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, ein interdisziplinäres Gutachten in Auftrag, welches am 3. Juli 2017 erstattet wurde.
Mit Vorbescheid vom 29. November 2017 teilte die Verwaltung mit, A._ habe vom 14. September 2015 bis 30. Oktober 2017 während beruflicher Eingliederungsmassnahmen durchgehend Taggelder der Invalidenversicherung erhalten. Ein Rentenanspruch sei daher vom 1. Dezember 2014 bis 31. Dezember 2015 und wieder ab dem 1. Oktober 2017 zu prüfen. Die IV-Stelle kündigte im Weiteren an, der Versicherte habe ab 1. Dezember 2014 bis 31. Dezember 2015 Anspruch auf eine befristete ganze Rente. Daran hielt sie mit Verfügung vom 9. März 2018 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 28. August 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ Folgendes:
" 1. Das Urteil vom 28. August 2019 sei aufzuheben und an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.
2. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten ein bundesrechtskonformes interdisziplinäres Gutachten nach der Zufallsauswahl in Auftrag zu geben.
3. Eventuell sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten die Einschränkung in der Erwerbsfähigkeit mittels einer Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) abzuklären.
4. Subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten die Resterwerbsfähigkeit mittels neutralem Gerichtsgutachten gestützt auf die Rechtsprechung des Bundesgerichtes abzuklären.
5. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten beim Invalideneinkommen einen leidensbedingten Abzug von mindestens 15 % vorzunehmen.
6. Eventuell sei dem Beschwerdeführer eine halbe Rente zuzusprechen.
7. Dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der schreibende Anwalt sei als unentgeltlicher Rechtsbeistand einzusetzen.
8. [...]."
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Vorinstanz mass dem Gutachten der Dres. med. B._ und C._ vom 3. Juli 2017 Beweiswert zu und stellte fest, aus somatischen Gründen sei der Beschwerdeführer seit Dezember 2013 in mehr als leicht- bis mittelgradig körperlich belastenden Tätigkeiten nicht mehr arbeitsfähig. Von Dezember 2013 bis und mit Ende der postoperativen Rehabilitationsphase, und damit bis Ende April 2016, habe auch in einer angepassten Tätigkeit eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestanden. Seit Anfang Mai 2016 könne er einer angepassten Verweistätigkeit wieder in einem vollen Pensum nachgehen. Die angepasste Arbeit liege in einem temperierten Raum, beschränke sich auf leicht- bis gelegentlich mittelgradig körperlich belastende Arbeiten und lasse die Möglichkeit zu, zwischen sitzender, stehender und gehender Körperhaltung zu wechseln. Das Einhalten der Rückenergonomie sei wünschenswert. Das vereinzelte Heben von Gewichten bis zehn Kilogramm sei auch derzeit noch zumutbar. Vermieden werden sollten das Gehen auf unebenem Gelände, das Stehen am Ort von mehr als fünfzehn Minuten oder das Zurücklegen von Gehdistanzen über einem Kilometer.
Das Kantonsgericht erkannte im Weiteren, der Beschwerdeführer habe vom 1. Dezember 2014 bis 31. Dezember 2015 Anspruch auf eine ganze Rente. Die vollständige Arbeitsunfähigkeit habe zwar bis Ende April 2016 bestanden. Aufgrund gleichzeitig bezogener Taggelder sei die Rente jedoch bis Ende 2015 zu befristen (vgl. Art. 43 Abs. 2 IVG und Art. 20 ter IVV). Die Taggelder seien dem Versicherten bis am 30. Oktober 2017 ausbezahlt worden, so dass der Rentenanspruch erneut ab 1. November 2017 hätte entstehen können (vgl. Art. 29 Abs. 2 IVG). Auf diesen Zeitpunkt hin sei ein Einkommensvergleich vorzunehmen. Dieser ergebe einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 37 %.
3.
3.1. Der Versicherte rügt, er habe zwar Kenntnis davon erhalten, dass die Begutachtung bei den Dres. med. B._ und C._ stattfinden werde. Er sei jedoch damals nicht anwaltlich vertreten gewesen und habe nicht wissen können, dass die Abklärung mittels Zufallsauswahl hätte vergeben werden müssen. Die IV-Stelle habe nur zwei Ärzte beauftragt, obwohl ihr klar gewesen sei, dass Dr. med. B._ sowohl internistische wie auch rheumatologische Abklärungen durchführen werde.
3.2. Diese Rügen dringen nicht durch. Allein der Umstand, dass Dr. med. B._ Facharzt für Rheumatologie und Innere Medizin ist, führt nicht dazu, dass es sich beim Gutachten der Dres. med. B._ und C._ um eine polydisziplinäre Expertise handelt. Die IV-Stelle hat explizit ein rheumatologisches und psychiatrisches Gutachten in Auftrag gegeben. Ebenfalls wird aus einem bidisziplinären (rheumatologisch-psychiatrischen) Gutachten nicht bereits deshalb ein polydisziplinäres, weil im Rahmen der Befunderhebung etwas zum allgemeininternistischen Zustand festgehalten wurde. Solche Erhebungen vermitteln dem Gutachter lediglich einen Überblick über den Gesundheitszustand des zu Untersuchenden, nehmen aber seine anschliessende fachärztliche Beurteilung nicht vorweg.
3.3. Dem Beschwerdeführer zufolge hätte zusätzlich noch ein orthopädischer Experte beigezogen werden müssen. Hierzu hat die Vorinstanz erkannt, es sei nicht ersichtlich und werde auch nicht dargelegt, dass der rheumatologische sowie der psychiatrische Gutachter fachlich nicht resp. ungenügend qualifiziert sein sollten, dem Leiden des Versicherten Rechnung zu tragen. Diese Feststellungen sind nicht offensichtlich unrichtig und halten im Lichte des Urteils 9C_320/2015 vom 25. August 2015 E. 3.3.3 vor Bundesrecht stand.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht im Weiteren geltend, Prof. Dr. med. D._, Chefarzt Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Spital E._, habe am 10. April 2018 zur Expertise der Dres. med. B._ und C._ vom 3. Juli 2017 Stellung genommen und dargelegt, dass eine vollständige Erwerbsfähigkeit aufgrund der Restbeschwerden kaum realistisch sei. Zu diesem Bericht hätten die Gutachter keine Einschätzung abgegeben. Auch zum neuerlichen Bericht des Prof. Dr. med. D._ vom 15. Oktober 2018 seien die Experten Dres. med. B._ und C._ nicht vernommen worden. Die IV-Stelle sowie das kantonale Gericht seien verpflichtet gewesen, die Einschätzung des behandelnden Arztes nochmals zu überprüfen und hätten diese der Gutachterstelle vorlegen müssen (Untersuchungsgrundsatz). Die Expertise sei nicht rechtskonform erstellt worden. Die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise darauf abgestellt.
4.2. Der Bericht des Prof. Dr. med. D._ vom 15. Oktober 2018 wurde vom Beschwerdeführer im letztinstanzlichen Verfahren aufgelegt. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194 E. 2.2 S. 196), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (BGE 143 V 19 E. 1.2 S. 22 f.). Der Versicherte erläutert nicht, weshalb er diesen Bericht nicht bereits im kantonalen Verfahren präsentiert hat und warum erst der vorinstanzliche Entscheid Anlass für seine Einreichung gegeben haben soll (Art. 42 Abs. 1 BGG; BGE 141 V 234 E. 1 S. 236 mit Hinweisen); er ist daher unzulässig und bleibt unberücksichtigt.
4.3.
4.3.1. Der Umstand, dass die Experten Dres. med. B._ und C._ in ihrem Gutachten vom 3. Juli 2017 keine Stellungnahme zum Bericht des Prof. Dr. med. D._ vom 10. April 2018 haben abgeben können, schmälert den Beweiswert ihrer Expertise nicht entscheidend. Denn das kantonale Gericht hat erkannt, dass die Ausführungen des behandelnden Arztes das rheumatologische Teilgutachten des Dr. med. B._ nicht in Zweifel zu ziehen vermögen. Es ist in E. 5.2.1 ausführlich darauf eingegangen, dass sich Dr. med. B._ in seinem Teilgutachten mit der von Prof. Dr. med. D._ berichteten Fussproblematik überzeugend auseinandergesetzt hat. Den Berichten der behandelnden Ärzte könne gemäss Vorinstanz "keine Erklärung entnommen werden, weshalb trotz dieses alleine auf den rechten Fuss beschränkten Gesundheitsschadens eine angepasste Tätigkeit nicht uneingeschränkt möglich sein sollte". Diese Beweiswürdigung bleibt für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 oben).
4.3.2. So hat die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich: BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375; 135 II 145 E. 8.1 S. 153) festgestellt, dass auch Dr. med. B._ von einem nicht normal funktionsfähigen und belastbaren Fuss ausgegangen sei, habe er dem Versicherten doch für die Zeit nach Mai 2016 (d.h. nach Ende der postoperativen Rehabilitationsphase) in der bisher ausgeübten Tätigkeit als Lagerchef wie auch in jeder anderen mehr als leicht- bis mittelgradig körperlich belastenden Arbeit eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Dr. med. B._ sei sich somit dieses Restschadens bewusst gewesen, habe ihm aber in einer angepassten Tätigkeit weniger Gewicht beigemessen als Prof. Dr. med. D._ dies getan habe.
5.
5.1. Im Weiteren kritisiert der Beschwerdeführer, die Behauptung der Vorinstanz, ab 1. Januar 2016 liege keine rentenmassgebliche Einschränkung mehr vor, sei aktenwidrig und willkürlich, da er sich Anfang Januar 2016 einer Operation (Einsetzen einer Prothese) habe unterziehen müssen. Verfassungsmässige Rechte wie auch EMRK-Rechte seien klarerweise verletzt worden. Auch wenn das Kantonsgericht beiläufig erwähne, dass bis Ende April 2016 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestanden habe, rechtfertige es sich keineswegs, ihm die Frist von drei Monaten im Sinne von Art. 17 Abs. 1 ATSG und Art. 88a Abs. 1 IVV bereits ab Januar 2016 anzurechnen.
5.2. Dass sich der Beschwerdeführer im Januar 2016 einer Operation unterzogen hat und er deshalb bis Ende April 2016 arbeitsunfähig gewesen ist, ist unbestritten. Das Kantonsgericht hat die Befristung der Rente auf den 31. Dezember 2015 nicht mit einer Verbesserung des Gesundheitszustands im Januar 2016, sondern mit den gleichzeitig bezogenen Taggeldern von September 2015 bis Oktober 2017 begründet. Der Versicherte bestreitet die Feststellungen der Vorinstanz betreffend die bezogenen Taggelder (vgl. E. 2 oben) nicht und zeigt nicht auf, dass das Kantonsgericht in dieser Hinsicht Bundesrecht verletzt haben soll, was denn auch nicht ersichtlich ist.
6.
Mit Blick auf das Gesagte durfte das kantonale Gericht dem Gutachten bundesrechtskonform Beweiswert zumessen (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis). Der vorinstanzliche Verzicht auf weitere Abklärungen ist in pflichtgemässer antizipierender Beweiswürdigung (vgl. BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 124 V 90 E. 4b S. 94) und somit ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes oder des rechtlichen Gehörs erfolgt. Damit bleiben die Beweiswürdigung des Kantonsgerichts und die darauf beruhenden Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit für das Bundesgericht verbindlich. Die beantragte Rückweisung zu weiteren Abklärungen erübrigt sich.
7.
7.1. In Bezug auf den Einkommensvergleich ist einzig das Invalideneinkommen von Fr. 67'354.60 bestritten, welches die Vorinstanz auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2014 des Bundesamtes für Statistik ermittelt hat. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei zu Unrecht kein leidensbedingter Abzug vom Tabellenlohn (BGE 126 V 75 E. 5b S. 79 f.) vorgenommen worden. Ob ein (behinderungs- bzw. leidensbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (BGE 137 V 71 E. 5.1 S. 72).
7.2.
7.2.1. Es steht ausser Frage, dass der Beschwerdeführer auf dem in Frage kommenden Arbeitsmarktsegment (Kompetenzniveau 1) gesundheitlich bedingt nicht mehr sämtliche Arbeiten ausführen kann (vgl. E. 2 oben). Das trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen ist jedoch bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln, der durch ein gewisses Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage nach Arbeitskräften gekennzeichnet ist und einen Fächer verschiedenster Tätigkeiten aufweist (Urteil 9C_353/2019 vom 11. Juli 2019 E. 3.3 mit Hinweis auf BGE 138 V 457 E. 3.1 S. 459 f.). Angesichts des umschriebenen Zumutbarkeitsprofils ist noch von einem genügend breiten Spektrum an zumutbaren Verweistätigkeiten auszugehen. Dies gilt insbesondere mit Blick auf die vom Beschwerdeführer abgeschlossenen Berufslehren (Verkäufer und Tierpfleger) sowie auf seine langjährige Berufserfahrung als Filialleiter, Inhaber und Geschäftsleiter, als Kundenberater im Aussendienst sowie als Leiter Lager.
7.2.2. Im Hinblick auf das Merkmal "Alter" ist jeweils unter Berücksichtigung aller konkreten Umstände des Einzelfalls zu prüfen, ob sich ein Abzug vom Tabellenlohn rechtfertigt (vgl. zum Ganzen zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_378/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 7.2.1). Nach dem Gesagten verfügt der 1964 geborene Versicherte über gute berufliche Qualifikationen. Von seiner langjährigen Berufserfahrung kann er auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt profitieren. Es fehlen Hinweise darauf, dass er in seiner Anpassungs- und Umstellungsfähigkeit beeinträchtigt wäre. Dies ist auch mit Blick auf die kürzere Aktivitätsdauer positiv zu werten.
7.3. Die Vorinstanz verletzte folglich kein Bundesrecht, indem sie keinen Abzug vom Tabellenlohn gewährte. Die Beschwerde ist unbegründet.
8.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung) kann jedoch entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ausdrücklich wird jedoch auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Josef Flury wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Februar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber