Erwägungen:
1.
A._ (geb. 1981) ist türkischer Staatsangehöriger. Das Amt für Migration des Kantons Luzern widerrief am 4. August 2020 seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern am 20. Oktober 2020 unter Abweisung eines Fristwiederherstellungsgesuchs wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist nicht ein. Diesen Entscheid bestätigte das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 6. September 2021. Dagegen erhob A._ am 15. Oktober 2021 Beschwerde beim Bundesgericht und beantragte sinngemäss, ihm sei der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten.
2.
Dem Beschwerdeführer ist mit Verfügung vom 18. Oktober 2021 Frist bis 2. November 2021 angesetzt worden, um das vorinstanzliche Urteil nachzureichen. Nachdem die Luzerner Behörden das Urteil des Kantonsgerichts dem Bundesgericht unaufgefordert eingereicht haben, ist die entsprechende Verfügung gegenstandslos geworden.
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe.
3.2. Angefochten ist ein Urteil, mit dem ein Nichteintretensentscheid wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist bestätigt wurde. Der Streitgegenstand vor Bundesgericht beschränkt sich deshalb auf die Frage, ob die Rechtsmittelfrist im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement eingehalten bzw. das Gesuch um Fristwiederherstellung zu Recht abgewiesen wurde. Hierzu lässt sich der Beschwerde nichts entnehmen, obwohl bereits die Vorinstanz auf den eingeschränkten Streitgegenstand hingewiesen hat (vgl. E. 1.3 des angefochtenen Urteils). Anstatt sich mit den Erwägungen des Kantonsgerichts zur Fristwiederherstellung auseinanderzusetzen, äussert sich der Beschwerdeführer ausschliesslich zur materiellen Rechtslage. Die Beschwerde enthält deshalb offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger