Sachverhalt:
A.
A._ (Jahrgang 1984) lebt und wohnt mit ihrem Partner in U._/SG. Sie leidet an einer bipolaren Störung und war mehrfach, unter anderem vom 7. bis 20. Januar 2020, in der Klinik C._ in V._/SG hospitalisiert.
Nach ihrer Entlassung aus der Klinik C._ am 20. Januar 2020 begab sich A._ zu ihrer im Kanton Schwyz wohnhaften Schwester. Während des Aufenthalts im Kanton Schwyz ordnete B._, daselbst frei praktizierender Arzt, am 24. Januar 2020 die fürsorgerische Unterbringung von A._ in der Klinik C._ an. Er verwendete dazu ein vorgedrucktes Formular mit der Rechtsmittelbelehrung, dass gegen diese Anordnung die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zulässig ist.
A._ trat gleichentags in die Klinik C._ ein.
B.
Gegen die ärztlich angeordnete Unterbringung erhob A._ am 24. Januar 2020 bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen Beschwerde mit dem Antrag auf Entlassung aus der Klinik. Die Verwaltungsrekurskommission leitete die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz weiter. Mit Entscheid vom 29. Januar 2020 verneinte das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz seine Zuständigkeit. Es trat auf die Beschwerde nicht ein und wies die Beschwerdesache an die als zuständig erachtete Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen zurück.
C.
Mit Eingabe vom 28. Februar 2020 beantragt A._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, den Entscheid vom 29. Januar 2020 aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zurückzuweisen, eventualiter sie aus der fürsorgerischen Unterbringung zu entlassen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen haben am 4. März 2020 je zur Beschwerde Stellung genommen. In ihrer Replik vom 19. März 2020 hält die Beschwerdeführerin an ihrem Begehren fest und teilt mit, dass sie inzwischen aus der fürsorgerischen Unterbringung entlassen ist.
Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid betrifft die örtliche Zuständigkeit zur gerichtlichen Beurteilung einer ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung (Art. 439 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB) und unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_173/2007 vom 16. Mai 2007 E. 1, nicht publ. in: BGE 133 III 353), so dass sich auf die Ausführungen zu einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (S. 4 f. Rz. 8-11 der Beschwerdeschrift) einzugehen erübrigt (Art. 74 BGG).
1.2. Entschieden hat das Verwaltungsgericht kantonal letztinstanzlich als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 BGG; Urteil 5A_83/2017 vom 23. Februar 2017 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 143 III 189). Da es seine örtliche Zuständigkeit in den Erwägungen verneint hat und auf die Beschwerde nicht eingetreten ist, liegt kein selbstständig anfechtbarer Zwischenentscheid über die Zuständigkeit im Sinn von Art. 92 BGG vor, sondern ein Endentscheid gemäss Art. 90 BGG. Ob der Entscheid allenfalls als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist, weil das Verwaltungsgericht in Anwendung von Art. 439 Abs. 4 ZGB die Sache zugleich an das seines Erachtens zuständige Gericht übermittelt hat, oder ob auch in diesem Fall von einem Endentscheid auszugehen ist, kann offen bleiben, da der Entscheid so oder anders selbstständig anfechtbar ist (BGE 139 V 170 E. 2.2).
1.3. Nach Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (BGE 143 III 578 E. 3.2.2.2). Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf dieses Erfordernis, namentlich wenn die gerügte Rechtsverletzung sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse: BGE 136 III 497 E. 1.1; 140 III 92 E. 1.1).
Die angefochtene ärztliche Unterbringung darf höchstens sechs Wochen betragen (Art. 429 Abs. 1 ZGB) und fällt spätestens nach Ablauf der festgelegten Dauer dahin, sofern nicht ein vollstreckbarer Unterbringungsentscheid der Erwachsenenschutzbehörde vorliegt (Art. 429 Abs. 2 ZGB). Ein Unterbringungsentscheid der Erwachsenenschutzbehörde liegt offenbar nicht vor. Die Beschwerdeführerin führt selber aus, die sechswöchige Frist laufe am 5. März 2020 ab. Gemäss ihrer Replik wurde sie aus der fürsorgerischen Unterbringung entlassen. Mit Blick darauf ist ihr aktuelles Rechtsschutzinteresse weggefallen (BGE 137 I 296 E. 4.2).
Die Beschwerdeführerin macht ein virtuelles Interesse geltend. Die Voraussetzungen dafür sind erfüllt, da die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit wiederholt hospitalisiert wurde, und aufgrund ihrer Erkrankung (Bst. A oben) zu befürchten ist, dass Unterbringungen in Zukunft nötig werden könnten (Urteil 5A_355/2014 vom 2. Juni 2014 E. 1.3; abweichend z.B. Urteil 5A_675/2013 vom 25. Oktober 2013 E. 3).
1.4. Der angefochtene Entscheid lautet auf Nichteintreten, so dass das Bundesgericht selbst im Gutheissungsfall in der Sache nicht entscheiden könnte (BGE 138 III 46 E. 1.2). Es genügt deshalb der blosse Aufhebungsantrag, während sich der materielle Eventualantrag und die Rügen, die ärztliche Unterbringung sei bundesrechtswidrig (S. 7 Rz. 19-21 der Beschwerdeschrift), als unzulässig erweisen.
1.5. Mit den erwähnten Vorbehalten ist die - im Weiteren rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene - Beschwerde zulässig. Sie wird auch nicht durch die in Kompetenzkonflikten vorgesehene Klage an das Bundesgericht ausgeschlossen, können doch Parteien des Klageverfahrens nur die beteiligten Kantone sein, nicht hingegen Privatpersonen (BGE 141 III 84 E. 5.2; Urteil 5E_1/2017 vom 31. August 2017 E. 5; Urteil 5A_396/2008 vom 27. Juni 2008, 2. dass).
2.
2.1. Das Verwaltungsgericht hat auf seine ständige Rechtsprechung verwiesen, wonach es für von einer fürsorgerischen Unterbringung betroffene Personen, die ihren Wohnsitz im Kanton Schwyz haben oder die sich - ohne einen festen Wohnsitz aufzuweisen - im Kanton Schwyz aufhalten, regelmässig als Beschwerdeinstanz zuständig ist. Es hat angenommen, im konkreten Fall verhalte es sich so, dass die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz im Kanton St. Gallen aufweise und im Kanton St. Gallen fürsorgerisch untergebracht sei, wo sie sich nach der Aktenlage bereits mehrfach aufgehalten habe und gemäss Bericht der gleichen Einrichtung erst vor kurzem (am 20. Januar 2020) ausgetreten sei. All diese Aspekte sprächen grundsätzlich für eine Zuständigkeit der St. Galler Gerichtsinstanz. Als Anknüpfungspunkt für eine Zuständigkeit des Schwyzer Verwaltungsgerichts könne einzig der Umstand dienen, dass die fürsorgerische Unterbringung von einem Schwyzer Arzt angeordnet worden sei, doch handle es sich dabei um ein aleatorisches Element, abhängig vom jeweiligen Aufenthaltsort, wo der Schwächezustand der betroffenen Person zufällig manifest geworden sei (E. 1.4.1-1.4.3 S. 3 f.).
Für die Zuständigkeit der Beschwerdeinstanz am Ort der zwangsweisen Unterbringung, so hat das Verwaltungsgericht weiter ausgeführt, spreche, dass im Beschwerdeverfahren gegen eine zwangsweise fürsorgerische Unterbringung nicht die Fragestellung im Vordergrund stehe, ob im Einweisungszeitpunkt die Voraussetzungen für eine solche Massnahme gegeben gewesen seien, sondern ob im Beurteilungszeitpunkt nach einer Anhörung der betroffenen Person eine Fortsetzung des stationären Aufenthalts bzw. eine Entlassung aus der Einrichtung geboten sei. Dies gelte namentlich auch dann, wenn die Beschwerdeinstanz am Ort der Einrichtung sich kurz zuvor mit der gleichen Beschwerdeführerin (mit Wohnsitz im Kanton der Einrichtung) bereits zu befassen gehabt habe und bei der Klinikentlassung am 20. Januar 2020 involviert gewesen sei. In einer solchen Konstellation erscheine es nach Massgabe des Grundsatzes der perpetuatio fori geboten, dass weiterhin die gleiche St. Galler Gerichtsinstanz für die Beschwerdeführerin mit Wohnsitz im Kanton St. Gallen zuständig sei. Im Übrigen sei für eine allfällige Fortsetzung der Unterbringung nach Art. 429 Abs. 2 in fine ZGB ohnehin die entsprechende St. Galler Erwachsenenschutzbehörde zuständig (E. 1.4.4 S. 4).
Schliesslich hat das Verwaltungsgericht zu bedenken gegeben, die Beschwerdeführerin hätte statt im Kanton St. Gallen auch im Kanton Genf ihren Wohnsitz haben und untergebracht werden können mit der Folge, dass das Schwyzer Verwaltungsgericht eine Patientin in einer Genfer Einrichtung in deutscher Amtssprache (unter Beizug eines Dolmetschers) anhören und alsdann in einem deutsch verfassten Beschwerdeentscheid über die Entlassung aus einer Genfer Einrichtung befinden müsste. Dass der Bundesgesetzgeber eine solche Lösung bei ärztlicher fürsorgerischer Unterbringung beabsichtigt hätte, könne nicht ernsthaft geltend gemacht werden. Vielmehr sprächen - jedenfalls im konkreten Fall- die gewichtigeren (oben dargelegten) Gründe dafür, dass erneut die St. Galler Verwaltungsrekurskommission für die Beschwerdeführerin mit Wohnsitz im Kanton St. Gallen und aktueller Hospitalisation in einer St. Galler Einrichtung zuständig sei, die bei ihr eingereichte Beschwerde zu behandeln und zu entscheiden. Anzufügen sei, dass ein Meinungsaustausch mit der erwähnten Rekurskommission zu keiner Einigung geführt habe, weshalb ein gerichtlicher Entscheid über die Zuständigkeitsfrage unerlässlich sei (E. 1.4.5-1.4.7 S. 4 f. des angefochtenen Entscheids).
2.2. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, nach der Lehre dränge sich die Zuständigkeit am Ort der verfügenden Behörde auf und auch nach der Botschaft zum neuen Erwachsenenschutzrecht solle die ärztliche Einweisung entsprechend Art. 5 EMRK direkt bei einem vom Kanton bezeichneten Gericht angefochten werden können. Die Amtshandlung eines kantonalen Amtsarztes dürfe aus rechtsstaatlichen Überlegungen nur innerhalb des jeweiligen kantonalen Justizsystems überprüft werden. Zu entscheiden sei über die von einem Schwyzer Amtsarzt ausgestellte Verfügung, so dass kein Fall von einer perpetuatio fori vorliege. Die Verhältnisse im Beurteilungszeitpunkt könne das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ausserdem genauso gut zur Beurteilung heranziehen, wie das die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen tun könne. Zur Wahrung der verfassungsmässigen Rechtsstaatlichkeit und des Föderalismus sei es unabdingbar, dass die kantonalen Beschwerdeinstanzen die Verfügungen ihrer Amtsärzte überprüften. Eine direkte oder indirekte Delegation der Überprüfungsbefugnisse an eine ausserkantonale Behörde (wie den Wohnsitzkanton der betroffenen Person oder den Kanton am Sitz der Institution) sei rechtlich unzulässig. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz hätte daher auf die Beschwerde eintreten müssen (S. 5 f. Rz. 12-18 der Beschwerdeschrift).
2.3. In ihrer Stellungnahme verweist die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen darauf, dass die Kantone keine Zuständigkeiten von ausserkantonalen Gerichten begründen könnten, da ein Kanton gegenüber einem anderen Kanton nicht hoheitlich handeln könne. Aus demselben rechtsstaatlichen Grund sei es auch nicht möglich, dass sie eine ausserkantonale Verfügung beurteile. Aufgrund der negativen Zuständigkeitskonflikte seien die Beschwerdeführer die Leidtragenden, zumal die Ordnungsfrist nach Art. 450e Abs. 5 ZGB regelmässig nicht eingehalten werden könne, selbst wenn die behandelnde Klinik in solchen Konstellationen umgehend einen st. gallischen Amtsarzt aufbiete, der die fürsorgerische Unterbringung nochmals überprüfe.
2.4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz betont in seiner Stellungnahme, der einweisende Arzt sei kein Amtsarzt des Kantons Schwyz, sondern ein in der Schweiz zur selbstständigen Berufsausübung zugelassener Arzt, der nach kantonalem Recht bei Gefahr im Verzug befugt sei, die fürsorgerische Unterbringung anzuordnen. Aus einer Funktion "Amtsarzt", die durchaus eine eigenständige Zuständigkeitsordnung begründen könnte, vermöge die Beschwerdeführerin deshalb nichts abzuleiten. Habe vorliegend aber ein gewöhnlicher Hausarzt die fürsorgerische Unterbringung angeordnet, sprächen die Umstände des konkreten Falls, namentlich der Grundsatz der perpetuatio fori, für die im angefochtenen Entscheid befürwortete pragmatische Lösung der Zuständigkeitsfrage.
2.5. In ihrer Replik wendet die Beschwerdeführerin ein, es habe keinerlei Bedeutung, ob der die fürsorgerische Unterbringung anordnende Arzt formell Amtsarzt oder bloss Hausarzt gewesen sei, übten doch die von den Kantonen für zuständig bezeichneten Ärzte staatliche bzw. eben kantonale Amtsbefugnisse aus. Insofern könne der Argumentation des Verwaltungsgerichts, es sei kein Amtsarzt tätig geworden, weshalb die Zuständigkeit der Schwyzer Behörde nicht gegeben sei, offensichtlich nicht gefolgt werden. Auch der vorgeschlagenen pragmatischen Lösung könne nicht gefolgt werden, da sich die konkreten Umstände immer wieder anders präsentierten. Eine Anknüpfung daran sei zwangsläufig vage, schaffe keinerlei Rechtssicherheit und stehe einem wirksamen Rechtsschutz der betroffenen Person entgegen. Es könne offensichtlich nicht angehen, dass die meist juristisch kaum bewanderte und regelmässig gesundheitlich stark angeschlagene betroffene Person selber ausfindig machen müsse, wer aufgrund der aktuellen Umstände gerade für die Beurteilung ihrer Beschwerde zuständig sei. Vielmehr dürfe sie die auf den von den Ärzten verwendeten kantonalen Formularen klar vermerkte Rechtsmittelinstanz als zuständig betrachten. Insgesamt sei zu folgern, dass stets die Justizbehörden desjenigen Kantons für die Überprüfung einer ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung zuständig seien, auf deren Gebiet diese ausgesprochen worden sei.
3.
3.1. Der Vorentwurf der Expertenkommission für die Gesamtrevision des Vormundschaftsrechts (Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches betreffend Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht) sah in Art. 443 vor, dass die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde ein interdisziplinär zusammengesetztes Fachgericht sein soll und dass die örtliche Zuständigkeit sowie das Verfahren nicht mehr im revidierten ZGB geregelt werden, sondern sich nach einem neu zu schaffenden Bundesgesetz zu richten haben. Vor diesem Hintergrund wurde ein Bericht mit Vorentwurf für ein Bundesgesetz über das Verfahren vor den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden ausgearbeitet und darin unter anderem vorgeschlagen, dass für Beschwerden gegen die ärztliche Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung und gegen Entscheide einer Einrichtung die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde am Ort der Einrichtung zuständig ist (Art. 8 des Vorentwurfs und S. 3 des Berichts; www.bj.admin.ch/bj/de/home/gesellschaft/gesetzgebung/archiv/vormundschaft.html, letztmals besucht am 28. Juli 2020).
3.2. Der bundesrätliche Entwurf sah kein Fachgericht als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vor und überliess es den Kantonen, ob sie eine Verwaltungsbehörde oder ein Gericht als Fachbehörde einsetzen. In Anbetracht dessen beschloss der Bundesrat, auf das spezielle Verfahrensgesetz zu verzichten, die darin enthaltenen wesentlichen Verfahrensgrundsätze jedoch für den Kindes- und Erwachsenenschutz im Sinn eines bundesrechtlich vereinheitlichten gesamtschweizerischen Standards im Zivilgesetzbuch zu verankern (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7001 S. 7022 Ziff. 1.3.10). Der Entwurf beschränkte sich somit auf eine punktuelle und rudimentäre Regelung des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens in Bereichen, in denen eine Verwirklichung des materiellen Rechts dringend eine einheitliche bundesrechtliche Regelung erfordert. Für weite Teile des Verfahrens blieb damit das kantonale Recht vorbehalten. Dieses hatte aber die minimalen bundesrechtlichen Vorgaben und das übergeordnete Recht (Bundesverfassung, EMRK) und die dazu ergangene bundesgerichtliche Rechtsprechung zu beachten (Botschaft, a.a.O., S. 7088 zu Art. 450f des Entwurfs). Dem Entwurf wurde in den Räten diskussionslos zugestimmt (AB 2007 S 841 und 2008 N 1541).
3.3. Der angesprochene Vorrang des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV) steht der Annahme oder der Anwendung kantonaler Regeln entgegen, die Vorschriften des Bundesrechts vereiteln oder deren Sinn und Geist, namentlich durch ihren Zweck oder mit den dabei angewendeten Mitteln, widersprechen oder in Bereiche eingreifen, die der Bundesgesetzgeber abschliessend geregelt hat (BGE 145 I 183 E. 5.1.1). Zum gleichen Ergebnis führt die Anwendung von Art. 6 Abs. 1 ZGB. Nach dieser Vorschrift werden die Kantone in ihren öffentlich-rechtlichen Befugnissen durch das Bundeszivilrecht nicht beschränkt. Sie überschreiten jedoch ihre Befugnisse, wenn sie dort legiferieren, wo der Bundesgesetzgeber ein Gebiet selber abschliessend geregelt hat, wenn die von ihnen erlassenen Bestimmungen nicht durch ein schutzwürdiges öffentliches Interesse gedeckt sind und wenn sie dem Sinn und Geist des Bundeszivilrechts widersprechen oder dessen Anwendung vereiteln (BGE 138 III 49 E. 4.4.2). Erweist sich der Vorwurf als begründet, hebt das Bundesgericht nicht die beanstandete kantonale Vorschrift, sondern lediglich den gestützt auf sie ergangenen Anwendungsakt auf (sog. inzidente oder konkrete Normenkontrolle: BGE 133 I 1 E. 5.1).
4.
4.1. Für die Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung und die Entlassung aus der Einrichtung ist gemäss Art. 428 Abs. 1 ZGB die Erwachsenenschutzbehörde zuständig. Ihre Zuständigkeit richtet sich nach Art. 442 ZGB. Zuständig ist die Erwachsenenschutzbehörde am Wohnsitz der betroffenen Person und bei Gefahr im Verzug auch am Ort, wo sich die betroffene Person aufhält (LAURA AMEY/RACHEL CHRISTINAT, Le placement à des fins d'assistance, in: Olivier Guillod et al. [Hrsg.], Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, S. 327 Rz. 126; OLIVIER GUILLOD, in: Andrea Büchler et al. [Hrsg.], FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N. 3 zu Art. 428 ZGB; PAUL-HENRI STEINAUER/ CHRISTIANA FOUNTOULAKIS, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, S. 599 Rz. 1369; HEINZ HAUSHEER/ THOMAS GEISER/REGINA E. AEBI-MÜLLER, Das neue Erwachsenenschutzrecht, 2. Aufl. 2014, S. 85 Rz. 2.183 i.V.m. S. 21 f. Rz. 1.67-1.71; DANIEL ROSCH, in: Daniel Rosch et al. [Hrsg.], Erwachsenenschutzrecht, Einführung und Kommentar zu Art. 360 ff. ZGB und VBVV, 2. Aufl. 2015, N. 1 zu Art. 428 ZGB; DIANA WIDER, in: Daniel Rosch et al. [Hrsg.], Erwachsenenschutzrecht, Einführung und Kommentar zu Art. 360 ff. ZGB und VBVV, 2. Aufl. 2015, N. 1 zu Art. 442 ZGB; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, Articles 360-456 CC, 2016, S. 589 Rz. 1212; CHRISTOPH HÄFELI, Grundriss zum Kindes- und Erwachsenenschutz, 2. Aufl. 2016, S. 267 Rz. 27.04; BEAT BLOCH/ DANIEL STECK, in: Christiana Fountoulakis et al. [Hrsg.], Fachhandbuch Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, 2016, S. 412 Rz. 9.219; THOMAS GEISER/MARIO ETZENSBERGER, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 4 zu Art. 428 ZGB).
4.2. Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde auf dem Gebiet der fürsorgerischen Unterbringung sind mit der Beschwerde gemäss Art. 450 ff. ZGB anfechtbar (HERMANN SCHMID, Erwachsenenschutz, Kommentar, 2010, N. 7 vor Art. 450 und N. 1 zu Art. 450e ZGB; PATRICK FASSBIND, Erwachsenenschutz, 2012, S. 135 und S. 351; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, a.a.O., S. 614 Rz. 1403; HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, a.a.O., S. 88 Rz. 2.193; ROSCH, a.a.O., N. 4 zu Art. 439 ZGB; DANIEL STECK, in: Daniel Rosch et al. [Hrsg.], Erwachsenenschutzrecht, Einführung und Kommentar zu Art. 360 ff. ZGB und VBVV, 2. Aufl. 2015, N. 8a zu Art. 450 ZGB; MEIER, a.a.O., S. 591 Rz. 1219; HÄFELI, a.a.O., S. 282 Rz. 28.26; BLOCH/STECK, a.a.O., S. 418 Rz. 9.235; LORENZ DROESE/DANIEL STECK, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 19 zu Art. 450 ZGB).
4.3. Die Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz richtet sich danach, welche Behörde gehandelt bzw. zu handeln unterlassen hat (HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, a.a.O., S. 22 Rz. 1.72; FRANÇOIS BOHNET, Autorités et procédure en matière de protection de l'adulte, in: Olivier Guillod et al. [Hrsg.], Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, S. 52 Rz. 46; MEIER, a.a.O., S. 80 Rz. 163; für eine analoge Anwendung der Wohnsitzzuständigkeit gemäss Art. 442 Abs. 1 ZGB: SCHMID, a.a.O., N. 12 zu Art. 442 und N. 13 zu Art. 450 ZGB; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, a.a.O., S. 617 Rz. 1409b; für den Ort der Einrichtung, soweit das kantonale Recht den Gerichtsstand vorsieht: WIDER, a.a.O., N. 13 zu Art. 442 ZGB). Wurde die fürsorgerische Unterbringung oder Massnahme durch die Erwachsenenschutzbehörde am Aufenthaltsort angeordnet, ist die Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz am Entscheidort begründet (FASSBIND, a.a.O., S. 104 bei/in Fn. 126; URS VOGEL, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 8 zu Art. 442 ZGB).
5.
5.1. Nach Art. 429 Abs. 1 ZGB können die Kantone Ärzte und Ärztinnen bezeichnen, die neben der Erwachsenenschutzbehörde eine fürsorgerische Unterbringung anordnen dürfen. Die örtliche Zuständigkeit der Ärzte und Ärztinnen richtet sich nach kantonalem Recht (SCHMID, a.a.O., N. 11 zu Art. 442 ZGB; AMEY/CHRISTINAT, a.a.O., S. 329 Rz. 130; FASSBIND, a.a.O., S. 104; WIDER, a.a.O., N. 12a zu Art. 442 ZGB; MEIER, a.a.O., S. 83 Rz. 170 und S. 589 Rz. 1214; BLOCH/STECK, a.a.O., S. 412 Rz. 9.220; GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 10 zu Art. 429/430 ZGB).
5.2. Bei ärztlich angeordneter Unterbringung kann die betroffene oder eine ihr nahestehende Person das zuständige Gericht anrufen (Art. 439 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB). Es besteht somit ein anderer Rechtsweg als gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde (E. 4.2 oben), doch richtet sich das Verfahren sinngemäss nach den Art. 450 ff. ZGB (SCHMID, a.a.O., N. 2 zu Art. 439 und N. 1 zu Art. 450e ZGB; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, a.a.O., S. 614 Rz. 1403; STECK, a.a.O., N. 3a zu Art. 450e ZGB; GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 4 zu Art. 439 ZGB).
5.3. Was die interkantonale örtliche Zuständigkeit des Gerichts für die Beurteilung ärztlich angeordneter Unterbringung angeht, sind die Meinungen im Schrifttum geteilt:
5.3.1. Gericht am Ort der Einweisung bzw. Entscheidungsort, d.h. am Ort, wo die Unterbringung angeordnet wurde (FASSBIND, a.a.O., S. 105 bei/in Fn. 129 und S. 350; ROSCH, a.a.O., N. 8 zu Art. 439 ZGB; MEIER, a.a.O., S. 82 Rz. 167; GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 27 zu Art. 439 ZGB; für die gleichen Regeln wie bei Beschwerden gegen die Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde: HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, a.a.O., S. 88 Rz. 2.194; beschränkt auf Dringlichkeitsfälle: CHRISTOF BERNHART, Handbuch der fürsorgerischen Unterbringung, 2011, S. 315 Rz. 831; alternativ am Wohnsitz der betroffenen Person: BLOCH/STECK, a.a.O., S. 419 Rz. 9.237).
5.3.2. Gericht am Wohnsitz der betroffenen Person (STEINAUER/ FOUNTOULAKIS, a.a.O., S. 618 Rz. 1409b; PETER BREITSCHMID/ISABEL MATT/ SILVIA PFANNKUCHEN-HEEB, in: Peter Breitschmid/Alexandra Jungo [Hrsg.], Handkommentar zum Schweizerischen Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 6 zur Art. 439 ZGB; alternativ am Sitz der einweisenden Behörde: BLOCH/STECK, a.a.O., S. 419 Rz. 9.237; mit Ausnahme von Dringlichkeitsfällen: BERNHART, a.a.O., S. 315 Rz. 831).
5.3.3. Gericht am Ort der Einrichtung (SCHMID, a.a.O., N. 8 zu Art. 439 ZGB; BEAT REICHLIN, in: Christiana Fountoulakis et al. [Hrsg.], Fachhandbuch Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, 2016, S. 630 Rz. 16.36; AMEY/CHRISTINAT, a.a.O., S. 366 Rz. 159, sobald sich die betroffene Person tatsächlich in der Einrichtung befindet; GUILLOD, a.a.O., N. 13 zu Art. 439 ZGB, der die Lösung als vertretbar bezeichnet; WIDER, a.a.O., N. 13 zu Art. 442 ZGB, und HÄFELI, a.a.O., S. 302 Rz. 31.09, je soweit es das kantonale Recht vorsieht).
6.
6.1. Der Kanton Schwyz sieht in § 26 Abs. 1 des Einführungsgesetzes vom 14. September 1978 zum schweizerischen Zivilgesetzbuch (EG ZGB; SRSZ 210.100) die örtliche Zuständigkeit der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde am zivilrechtlichen Wohnsitz der betroffenen Person vor. Befugt, die fürsorgerische Unterbringung anzuordnen, ist laut § 34 EG ZGB die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (Abs. 1) und nebst der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde auch jeder in der Schweiz zur selbstständigen Berufsausübung zugelassene Arzt, wenn Gefahr im Verzug liegt (Abs. 2).
Gemäss § 2b Abs. 1 EG ZGB beurteilt das Verwaltungsgericht (a) Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (Art. 450 ZGB) und (b) Beschwerden gegen die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung, gegen die Zurückbehaltung in einer Einrichtung und die Abweisung von Entlassungsgesuchen, gegen die Behandlung einer psychischen Störung ohne Zustimmung sowie gegen Massnahmen zur Einschränkung der Bewegungsfreiheit (Art. 439 ZGB).
In seiner Praxis beansprucht das Verwaltungsgericht seine Zuständigkeit als Beschwerdeinstanz für die von einer fürsorgerischen Unterbringung betroffene Person mit Wohnsitz oder, falls ein fester Wohnsitz fehlt, mit Aufenthalt im Kanton Schwyz. Dabei spielt es keine Rolle, durch wen bzw. in welchem Kanton die fürsorgerische Unterbringung angeordnet worden ist (z.B. Zuständigkeit für eine Person mit Wohnsitz im Kanton Schwyz, die in Flims von einem Bündner Arzt in die Psychiatrische Klinik in Chur eingewiesen wird). Gemäss dieser Praxis richtet sich die örtliche Zuständigkeit für das Anfechten einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung interkantonal nach dem Wohnsitz des Betroffenen, selbst wenn die fürsorgerische Freiheitsentziehung bei Gefahr von einer Stelle am Aufenthaltsort des Betroffenen angeordnet worden ist (VGE 821/04 vom 13. Februar 2004 E. 1, in: Entscheide der Gerichts- und Verwaltungsbehörden des Kantons Schwyz, EGV-SZ 2004 S. 102).
6.2. Ein Teil der Lehre nimmt an, das Gericht am Ort der Einrichtung sei für die Beurteilung einer ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung interkantonal zuständig (E. 5.3.3 oben). Eine entsprechende Vorschrift kannte das frühere zürcherische Recht (§ 5a ZPO, OS 53, 163: "Das Gesuch um gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung ist beim Gericht am Ort der Anstalt einzureichen."). Im Verfahren der abstrakten Normenkontrolle hat das Bundesgericht festgehalten, die Zuständigkeitsvorschrift verletze weder den Grundsatz der derogatorischen Kraft des Bundesrechts noch die Garantie des verfassungsmässigen Gerichts noch die Rechtsgleichheit (BGE 122 I 18 E. 2b). Der Vorentwurf für ein Bundesgesetz über das Verfahren vor den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden hat eine gleichlautende Vorschrift enthalten (E. 3.1 oben: Zuständigkeit am Ort der Einrichtung).
Fraglos hätte eine Zuständigkeit am Ort der Einrichtung interkantonal Klarheit geschaffen und sich auf gute Gründe stützen können (so bereits BGE 122 I 18 E. 2b/aa). Sie ist indessen nicht Gesetz geworden. Vorgesehen sind Zuständigkeiten am Ort der Einrichtung lediglich in Art. 429 Abs. 3 ZGB, wonach die Einrichtung über die Entlassung aus der ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung entscheidet, und in Art. 385 Abs. 1 ZGB, wonach die betroffene oder eine ihr nahestehende Person gegen eine Massnahme zur Einschränkung der Bewegungsfreiheit jederzeit schriftlich die Erwachsenenschutzbehörde am Sitz der Einrichtung anrufen kann. Beide Bestimmungen, deren analoge Anwendung befürwortet wird, betreffen von der ärztlichen Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung verschiedene Tatbestände, so dass hinreichende sachliche Gemeinsamkeiten fehlen und eine Analogie - vor allem auch mit Blick auf die Entstehungsgeschichte (E. 3.2 oben) - den Rahmen des Zulässigen sprengt (BGE 141 III 43 E. 2.5.1). Insbesondere die Beurteilungsgrundlagen sind im Zeitpunkt der ärztlichen Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung wesentlich andere als im Zeitpunkt, wo während des Aufenthalts in der Einrichtung über Massnahmen oder über die Entlassung zu entscheiden ist. Unter Hinweis auf Art. 385 Abs. 1 ZGB befürwortet die Botschaft eine örtliche Zuständigkeit des Gerichts am Ort der Errichtung denn auch nur für die Fälle von Art. 439 Abs. 1 Ziff. 2-5 ZGB (Botschaft, a.a.O., S. 7072), hingegen nicht für den zu beurteilenden Fall von Art. 439 Abs. 1 Ziff. 1ZGB ("bei ärztlich angeordneter Unterbringung").
Aus den dargelegten Gründen ist eine interkantonale Zuständigkeit für die gerichtliche Beurteilung der ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung am Ort der Einrichtung zu verneinen.
6.3.
6.3.1. Das bisherige Recht sah in Art. 397b ZGB vor, dass für den Entscheid über die fürsorgerische Freiheitsentziehung eine vormundschaftliche Behörde am Wohnsitz oder, wenn Gefahr im Verzuge liegt, eine vormundschaftliche Behörde am Aufenthaltsort der betroffenen Person zuständig ist (Abs. 1) und dass die Kantone diese Zuständigkeit für Fälle, in denen Gefahr im Verzuge liegt oder die Person psychisch krank ist, ausserdem geeigneten Stellen einräumen können (Abs. 2). Nach Art. 397c ZGB hatten die vormundschaftliche Behörde am Aufenthaltsort und die anderen vom kantonalen Recht bezeichneten Stellen die vormundschaftliche Behörde am Wohnsitz von getroffenen Entscheiden oder weiteren als notwendig erachteten vormundschaftlichen Massnahmen zu benachrichtigen (AS 1980 I 31). Das bisherige Recht hat die Befugnis, neben der vormundschaftlichen Behörde andere geeignete Stellen für die fürsorgerische Freiheitsentziehung als zuständig zu bezeichnen, somit eng begrenzt. Auch in diesen Fällen von Dringlichkeit oder psychischer Erkrankung blieben die vormundschaftlichen Behörden zuständig. Insoweit bestand eine kumulative Zuständigkeit (BGE 134 III 289 E. 2.2), aber keine rechtlich gleichwertige Zuständigkeit, sondern ein Vorrang der vormundschaftlichen Behörde am Wohnsitz der betroffenen Person als Regel gegenüber der Zuständigkeit anderer geeigneter Stellen als Ausnahme (vgl. zum Kindesschutz: BGE 129 I 419 E. 2.3). Es mag sich deshalb gerechtfertigt haben, die Zuständigkeit für das Anfechten der fürsorgerischen Freiheitsentziehung interkantonal ausschliesslich nach dem Wohnsitz der betroffenen Person zu bestimmen, selbst wenn die Freiheitsentziehung am Aufenthaltsort der betroffenen Person angeordnet worden war (EUGEN SPIRIG, Zürcher Kommentar, 1995, N. 125 zu Art. 397e ZGB; differenziert: THOMAS GEISER, Basler Kommentar, 4. Aufl. 2010, N. 9 zu Art. 397d ZGB, und ALEXANDER IMHOF, Der formelle Rechtsschutz, insbesondere die gerichtliche Beurteilung, bei der fürsorgerischen Freiheitsentziehung, 1999, S. 160: Zuständigkeit am Wohnsitz der betroffenen Person und am Ort der verfügenden Behörde oder Stelle bei Dringlichkeit).
6.3.2. Das geltende Recht geht neu von rechtlich gleichwertigen (konkurrierenden kumulativen) Zuständigkeiten aus (SCHMID, a.a.O., N. 3 zu Art. 429 ZGB; GUILLOD, a.a.O., N. 6 zu Art. 429 ZGB; ROSCH, a.a.O., N. 1 zu Art. 429/430 ZGB; MEIER, a.a.O., S. 592 Rz. 1222; REICHLIN, a.a.O., S. 628 Rz. 16.31; BREITSCHMID/MATT/PFANNKUCHEN-HEEB, a.a.O., N. 1 zu Art. 429 ZGB). Für die Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung ist die Erwachsenenschutzbehörde zuständig (Art. 428 Abs. 1 ZGB), doch können die Kantone - anders als bisher - voraussetzungslos Ärzte und Ärztinnen bezeichnen, die neben ("outre"; "in aggiunta") der Erwachsenenschutzbehörde eine Unterbringung anordnen dürfen (Art. 429 Abs. 1 ZGB). Von Bundesrechts wegen stehen die Zuständigkeiten somit nicht mehr in einem Verhältnis von Regel und Ausnahme. Der Vorrang der Erwachsenenschutzbehörde gegenüber der vom kantonalen Recht bezeichneten Arztperson ist, was die Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung angeht, entfallen. Insoweit rechtfertigt es sich auch nicht mehr, die interkantonale Zuständigkeit für die gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Unterbringung ausschliesslich an den Wohnsitz der betroffenen Person zu knüpfen (E. 5.3.2 oben).
6.3.3. Interkantonal ist die fürsorgerische Unterbringung aus den dargelegten Gründen im Kanton gerichtlich zu beurteilen, auf dessen Hoheitsgebiet sie angeordnet wurde (E. 5.3.1 oben). Hat hier ein im Kanton Schwyz praktizierender Arzt eine fürsorgerische Unterbringung angeordnet, ist das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz für Beschwerden gegen die ärztliche Anordnung zuständig, unabhängig vom Ort, an dem die fürsorgerische Unterbringung vollzogen wird oder die betroffene Person ihren Wohnsitz hat.
6.4. Der gegenteilige Standpunkt des Verwaltungsgerichts überzeugt nicht. Die vorgeschlagene einzelfallbezogene Beurteilung widerspricht einer einfachen und klaren Regelung der Zuständigkeiten für den Fall negativer Kompetenzkonflikte, wie sie sich aus dem Gesetz ergibt (vgl. zum Kindesschutz: BGE 129 I 419 E. 2.3). Entgegen der Ansicht des Verwaltungsgerichts verrichtet die vom kantonalen Recht für die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung als zuständig bezeichnete Arztperson eine hoheitliche Tätigkeit, mag sie auch frei praktizieren (BGE 118 II 254 E. 1b; Urteil 5P.371/2003 vom 17. November 2003 E. 3). Nicht gefolgt werden kann sodann der faktischen Gleichstellung von Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung und Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung. Vielmehr ist eine Person nicht nur zu entlassen, wenn sich ihr Zustand gebessert hat, sondern auch, wenn sich herausstellt, dass die Einweisung nie gerechtfertigt war (GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 44 a.E. zu Art. 426 ZGB). Aus diesem Grund ist auch die Anordnung selbstständiges Anfechtungsobjekt und von der Entlassung zu unterscheiden. Schliesslich sollte gegenüber Personen, die an psychischen Krankheiten leiden, nicht von einer "perpetuatio fori" die Rede sein. Jedes sie betreffende Verfahren beginnt mit der Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung und endet mit der Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung, und jede erneute Anordnung der fürsorgerischen Unterbringung ist nach rechtsstaatlichen Grundsätzen zu prüfen. Die betroffene Person muss sich gegen jede neu angeordnete fürsorgerische Unterbringung zur Wehr setzen können.
6.5. Insgesamt ist die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz als Beschwerdeinstanz gegenüber der ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung (Art. 439 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB) gegeben und die Beschwerde gutzuheissen. Obwohl die Beschwerdeführerin inzwischen längst aus der fürsorgerischen Unterbringung entlassen ist, kann nicht ausgeschlossen werden, dass das Verwaltungsgericht mit Blick auf allfällige Ansprüche aus Verantwortlichkeit (Art. 454 ZGB) ebenfalls ein virtuelles Interesse der Beschwerdeführerin annehmen und deren Beschwerde materiell beurteilen wird (E. 1.3 oben). Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben und die Sache an das Verwaltungsgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
7.
Bei diesem Verfahrensausgang obsiegt die Beschwerdeführerin mit ihrem Hauptantrag. Der Kanton Schwyz hat keine Gerichtskosten zu bezahlen (Art. 66 Abs. 4 BGG), der Beschwerdeführerin aber eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG; BGE 139 III 471 E. 3.2). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz, Kammer IV, vom 29. Januar 2020 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Schwyz hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, B._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer IV, und der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten