Erwägungen:
1.
Am 7. März 2022 wurde gegen die Nichteintretensverfügung des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. Februar 2022 Beschwerde erhoben.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hat die Beschwerde unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist konkret auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen und im Einzelnen zu zeigen, welche Vorschriften von der Vorinstanz weshalb verletzt worden sind (BGE 134 V 53 E. 3.3 und 133 IV 286 E. 1.4). Rein appellatorische Kritik genügt nicht (vgl. BGE 144 V 50 E. 4.2; 137 V 57 E. 1.3 und 136 I 65 E. 1.3.1).
3.
Das kantonale Gericht ist in der hier angefochtenen Verfügung mit der Begründung auf die bei ihm erhobene Beschwerde nicht eingetreten, sie erfülle die gesetzlichen Mindestanforderungen gemäss Art. 61 lit. b ATSG nicht, und dieser Mangel sei vom Beschwerdeführer auch innert der unter Androhung der Säumnisfolgen angesetzten Frist nicht verbessert worden.
4.
Nach der Rechtsprechung weist eine Beschwerdeschrift, die sich bei Nichteintretensentscheiden lediglich mit der materiellen Seite des Falles auseinandersetzt, keine sachbezogene Begründung auf und stellt damit keine rechtsgenügliche Beschwerde dar (vgl. BGE 123 V 335 E. 1b f. mit Hinweisen; Urteil 9C_428/2021 vom 1. September 2021).
5.
Der Beschwerdeführer legt in keiner Weise dar, weshalb das kantonale Gericht auf seine Beschwerde hätte eintreten sollen. Er befasst sich vielmehr ausschliesslich materiell mit der Sache. Damit fehlt es offensichtlich an einer hinreichend sachbezogen begründeten Beschwerde, was zu einem Nichteintreten im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG führt.
6.
Soweit der Beschwerdeführer unter Berufung auf Art. 41 BGG um Bereitstellung eines Vertreters oder Anwalts für dieses Verfahren ersucht, wurde er bereits in den kürzlich von ihm geführten Prozessen (Urteile 8C_676/2019 und 8C_677/2019 vom 21. Oktober 2019) auf die Möglichkeiten des (selbstständigen) Beizugs eines Rechtsvertreters hingewiesen.
7.
In Anwendung von Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) und dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz