Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 2002; Beschwerdegegner) ist der Sohn von A.A._ und C._. Die Kindseltern waren und sind nicht miteinander verheiratet. Sie sind gemeinsam sorgeberechtigt. Seit August 2017 lebt der Sohn bei seinem Vater.
A.b. Im August 2017 führten die Kindseltern mit der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Kreis U._ (KESB) separate Gespräche betreffend die elterliche Sorge, Obhut und Kindesunterhalt. Die KESB versuchte alsdann im September 2017, zwischen den Eltern auf schriftlichem Weg zu vermitteln. Mangels Rückmeldung innert angesetzter Frist teilte die KESB den Eltern mit Schreiben vom 10. Oktober 2017 das Scheitern einer einvernehmlichen Regelung mit. Es erklärte überdies, unter Beilage des Schreibens könne beim zuständigen Bezirksgericht eine Unterhaltsklage eingereicht werden.
A.c. Da innert angesetzter Frist keine Klage erhoben wurde, setzte die KESB das Verfahren bezüglich elterlicher Sorge, Obhut und Besuchsrecht fort und stellte den Sohn mit Entscheid vom 8. März 2018 unter Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge unter die Obhut des Vaters.
A.d. Des Weiteren fand am 18. April 2018 infolge Einreichung eines Schlichtungsbegehrens betreffend Kindesunterhalt seitens des Vaters vor dem Friedensrichteramt V._ eine Schlichtungsverhandlung statt. Eine Klagebewilligung wurde nicht ausgestellt.
A.e. Die KESB stellte dem Vater am 17. Mai 2018 auf entsprechende Nachfrage hin ein mit "Bestätigung Scheitern Einigungsverhandlung Unterhalt / Klagelegitimation" betiteltes Schreiben aus.
A.f. Am 8. Juni 2018 klagte B.A._, handelnd durch seinen Vater, beim Bezirksgericht Bülach gegen die Mutter auf Neufestsetzung des Unterhalts. Er legte dabei das vorstehend genannte Schreiben der KESB vom 17. Mai 2018 (vgl. Ziff. A.e) bei. Nach einmaligem Schriftenwechsel forderte das Bezirksgericht B.A._ zur Stellungnahme auf, namentlich beschränkt auf die Frage der Gültigkeit der Klagebewilligung bzw. Fristwahrung durch Klageeinleitung. Die in der Folge eingetroffene Eingabe wurde A.A._ zur Kenntnisnahme mitgeteilt, woraufhin diese unaufgefordert Stellung nahm. Mit Verfügung vom 30. November 2018 stellte das Gericht diesbezüglich fest, dass die Voraussetzungen nach Art. 198 lit. b bis ZPO erfüllt sind und die Unterhaltsklage vom 8. Juni 2018 rechtzeitig erfolgte.
B.
Dagegen erhob A.A._ am 22. Januar 2019 beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung. Soweit vor Bundesgericht relevant, beantragte sie die Feststellung, dass die Voraussetzungen von Art. 198 lit. b bis ZPO nicht erfüllt sind bzw. dass die Unterhaltsklage vom 8. Juni 2018 verspätet erfolgt und auf die Klage nicht einzutreten sei. B.A._ beantragte demgegenüber die vollumfängliche Abweisung. Das Obergericht wies die Berufung mit Urteil vom 17. April 2019 ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil hinsichtlich der angefochtenen Punkte.
C.
C.a. Hierauf wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) mit Beschwerde vom 3. Juni 2019 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils bzw. das Nichteintreten auf die Unterhaltsklage mangels Erfüllung der Voraussetzungen nach Art. 198 lit. b bis ZPO, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zwecks Sachverhaltsergänzung und neuer Entscheidung.
C.b. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung in der Sache verzichtet. Der Beschwerdegegner hat mit Eingabe vom 27. September 2019 aufforderungsgemäss Stellung genommen. Er beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sei diese vollumfänglich abzuweisen. Die Beschwerdeführerin antwortete darauf mit Eingabe vom 1. Oktober 2019, wobei sie erneut um Gutheissung der Beschwerde ersuchte. Am 8. Oktober 2019 erklärte der Beschwerdegegner, auf eine Stellungnahme zur letzten Eingabe der Beschwerdeführerin zu verzichten.
C.c. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Ob eine Beschwerde zulässig ist, überprüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 145 V 57 E. 1 S. 59; 141 III 395 E. 2.1 S. 397).
1.2. Angefochten ist ein Entscheid der Vorinstanz, mit welchem diese den Zwischenentscheid des Bezirksgerichts Bülach vom 30. November 2018 geschützt hat. Danach sind die Voraussetzungen von Art. 198 lit. bbis ZPO (Ausnahme vom Schlichtungsobligatorium bei Klagen betreffend Kindesunterhalt) erfüllt und die Unterhaltsklage vom 8. Juni 2018 rechtzeitig erfolgt. Das erstinstanzliche Verfahren betreffend Neufestsetzung des Kindesunterhalts ist mithin nicht abgeschlossen, weshalb auch der angefochtene Entscheid als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist. Dieser kann nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder Art. 93 BGG angefochten werden.
1.3. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit ist die Beschwerde gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig. Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (Art. 92 Abs. 2 BGG). Erfasst werden Entscheide, welche sich auf die örtliche, sachliche oder auch auf die funktionelle Zuständigkeit beziehen (BGE 133 IV 288 E. 2.1 S. 290). Die funktionelle Zuständigkeit betrifft die Aufteilung der Rechtspflegeinstanzen in ein und demselben Rechtsstreit auf verschiedene Organe; der Zuständigkeitsbegriff umfasst insofern alle bundesrechtlichen Verfahrensbestimmungen, welche die Zulässigkeit eines Rechtsweges oder die Zuständigkeit eines Rechtspflegeorgans zum Gegenstand haben (BGE 138 III 558 E. 1.3 S. 559; 123 III 67 E. 1a S. 68 f.). Der Entscheid, auf eine Klage mangels Erforderlichkeit eines vorgängigen Schlichtungsverfahrens einzutreten, ist ein nach Art. 92 Abs. 1 BGG anfechtbarer Zwischenentscheid über die funktionelle Zuständigkeit (BGE 138 III 558 E. 1.3 S. 559).
1.4. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382; BGE 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache geht es um eine Streitigkeit betreffend Kindesunterhalt, mithin eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur, wobei der Streitwert erfüllt ist (Art. 72 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeführerin ist legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG) und hat die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen steht damit offen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner wirft der Beschwerdeführerin vor, unzulässigerweise neue Tatsachen vorzutragen, was letztere bestreitet. Die Frage, ob die Beschwerdeführerin unzulässige Noven vorbringt, kann offen gelassen werden. Wie sich zeigen wird, haben diese Ausführungen keinen Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 5.3).
3.
In der Hauptsache dreht sich der Streit um die Frage, ob das Schlichtungsverfahren vorliegend infolge Erfüllung der Voraussetzungen nach Art. 198 lit. bbis ZPO entfällt bzw. ob die Unterhaltsklage gültig erhoben wurde.
3.1. Die Vorinstanz erwog, aufgrund der ratio legis von Art. 198 lit. bbis ZPO müsse in Übereinstimmung mit den erstinstanzlichen Überlegungen angenommen werden, ein einmaliger Schlichtungsversuch der Kindesschutzbehörde berechtige nicht zeitlich unbegrenzt zur direkten Klageeinleitung vor Gericht. So liege nach einem gewissen Zeitablauf oder nach erheblicher Veränderung der Verhältnisse in einem erneuten Schlichtungsversuch keine unnötige Doppelspurigkeit, zumal sich die Streitsache verändert haben könnte. Ob dabei von einer Frist von drei oder sechs Monaten auszugehen ist, oder ob im Einzelfall sogar eine noch längere Frist gewährt werden dürfe, könne aufgrund der besonderen Konstellation im gegebenen Fall offen gelassen werden. Es sei nämlich zu berücksichtigen, dass sich vorliegend innerhalb weniger Monate bereits zwei Behörden - die KESB und das Friedensrichteramt - mit der Streitsache befasst und den Kindseltern Gelegenheit zur einvernehmlichen Regelung eingeräumt haben. Die genauen Umstände betreffend Beendigung des Schlichtungsverfahrens vor dem Friedensrichteramt seien im erstinstanzlichen Verfahren ungeklärt geblieben, könnten jedoch offen gelassen werden. Vor diesem Hintergrund sei es nicht zu beanstanden, dass die KESB auf Ersuchen des Rechtsvertreters des Vaters am 17. Mai 2018 ohne weitere Vermittlungsversuche erneut eine "Klagelegitimation" ausgestellt habe. Die Vorinstanz dürfe zur Bejahung der Voraussetzungen nach Art. 198 lit. bbis ZPO bzw. hinsichtlich der Rechtzeitigkeit der Klageeinleitung ohne Weiteres auf das Schreiben vom 17. Mai 2018 abstellen. Anders zu entscheiden sei weder mit der Ausgestaltung des Vermittlungsverfahrens vor der Kindesschutzbehörde - als gesetzlich weitgehend nicht geregeltes, informelles Verfahren - noch mit der ratio legis von Art. 198 lit. bbis ZPO vereinbar.
3.2. Gemäss Art. 198 lit. bbis ZPO entfällt das Schlichtungsverfahren bei Klagen über den Unterhalt des Kindes und weitere Kinderbelange, wenn vor der Klage ein Elternteil die Kindesschutzbehörde angerufen hat (Art. 298b und 298d ZGB). Dieser Ausnahmetatbestand vom Schlichtungsobligatorium wurde erst im Zuge der Revision des Kindesunterhaltsrechts eingeführt. Gesetzgeberischer Gedanke hinter dieser Bestimmung war die Vermeidung von Leerläufen in Fällen, in denen bereits bei der Kindesschutzbehörde erfolglos eine Einigung gesucht wurde (AB 2014 S 1126; AB 2015 N 86 f.).
3.3.
3.3.1. Der Wortlaut von Art. 198 lit. bbis ZPO lässt offen, welche Anforderungen erfüllt sein müssen, um von einer gehörigen Verfahrenseinleitung im Sinne dieser Bestimmung auszugehen. In der Lehre wird vorgebracht, dass nach der ratio legis von Art. 198 lit. bbis ZPO, welche in der Vermeidung von Doppelspurigkeiten liegt (vgl. E. 3.2), ein minimales vermittelndes Element zu verlangen ist, das wenigstens darin bestehen muss, dass der andere Elternteil (vergeblich) zur Teilnahme an einem Vermittlungsversuch aufgefordert wurde (EVA SENN, Verfahrensrechtliche Streiflichter zu den Revisionen der elterlichen Sorge und des Kindesunterhaltsrechts, FamPra.ch 2017 S. 992; SAMUEL ZOGG, Selbständige Unterhaltsklagen mit Annexentscheid über die weiteren Kinderbelange - verfahrensrechtliche Fragen, FamPra.ch 2019 S. 9; vgl. auch JONAS SCHWEIGHAUSER/DIEGO STOLL, Neues Kindesunterhaltsrecht - Bilanz nach einem Jahr, FamPra.ch 2018 S. 646 f.). Sodann muss das Vermittlungsverfahren erfolglos abgeschlossen worden sein (ZOGG, a.a.O., S. 10).
3.3.2. Die Gesetzesbestimmung enthält bezüglich des Nachweises der Anrufung der Kindesschutzbehörde keine formellen Anforderungen. In gewissen Kantonen lassen die Kindesschutzbehörden nach erfolglosen Vermittlungsversuchen den Parteien schriftliche Bestätigungen zukommen. Im Kanton Zürich stellt die gerichtsübergreifende Arbeitsgruppe zum neuen Unterhaltsrecht in ihrem Leitfaden den Kindesschutzbehörden ein entsprechendes Musterschreiben zur Verfügung (abrufbar unter http://www.gerichte-zh.ch). Mangels gesetzlicher Formvorschriften kann der Nachweis auch in anderer Form erbracht werden (vgl. ZOGG, a.a.O., S. 10; SENN, a.a.O., S. 993).
3.3.3. Hinsichtlich der Wirkungsdauer eines Vermittlungsverfahrens vor der Kindesschutzbehörde äussert sich das Gesetz ebenfalls nicht. Im Lichte des Gesetzeszwecks besehen, kann ein solches Verfahren vor der Kindesschutzbehörde keine unbeschränkte Wirkung haben. Je weiter der Vermittlungsversuch vor der Kindesschutzbehörde zurückliegt, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Verhältnisse verändert haben und ein erneuter Schlichtungsversuch sinnvoll sein kann bzw. kein Leerlauf darstellen würde. In der Lehre wird in Analogie zu Art. 209 Abs. 3 ZPO eine Frist von drei Monaten ab formellem Abschluss des Vermittlungsverfahrens postuliert (ZOGG, a.a.O., S. 11; so auch SCHWEIGHAUSER/STOLL, a.a.O., Fn. 239). In Anlehnung an die Praxis des Kantons Basel-Stadt wird überdies eine Frist von sechs Monaten genannt (SENN, a.a.O., S. 994).
4.
Umstritten ist in erster Linie, ob die Vorinstanz für die Bejahung der Rechtzeitigkeit der Klageeinleitung auf das Schreiben der KESB vom 17. Mai 2018 abstellen durfte.
4.1.
4.1.1. Vorab ist festzuhalten, dass sich die Parteien darin einig sind, dass im August/September 2017 Vermittlungsbemühungen seitens der KESB stattgefunden haben, welche erfolglos geblieben sind. Unbestritten ist weiter, dass die KESB im Nachgang mit Schreiben vom 10. Oktober 2017 den Parteien das Scheitern der erwähnten Vermittlungsbemühungen bestätigte.
4.1.2. Es ist weiter unbestritten, dass das Schreiben vom 10. Oktober 2017 vor Gericht als Beleg für die Erfüllung des Ausnahmetatbestands von Art. 198 lit. bbis ZPO hätte dienen können. In Übereinstimmung mit den zitierten Lehrmeinungen (E. 3.3.3) ist indes davon auszugehen, dass ein Einigungsverfahren vor der Kindesschutzbehörde bzw. ein solches Bestätigungsschreiben lediglich eine zeitlich limitierte Geltungswirkung haben kann. Sinn und Zweck von Art. 198 lit. bbis ZPO ist es, Schlichtungsverfahren in Fällen auszuschliessen, in denen bereits ein Einigungsversuch stattgefunden hat, weshalb erneute Vermittlungsbemühungen zwecklos wären. Ein möglicher Leerlauf kann dabei freilich nur bejaht werden, wenn der Zeitpunkt des letzten Vermittlungsversuchs nicht zu weit in der Vergangenheit liegt. Vorliegend vergingen knapp acht Monate zwischen der Ausstellung des besagten Schreibens (10. Oktober 2017) und der Einleitung der Klage (8. Juni 2018). Bei isolierter Betrachtung dieser Vorgänge und ohne Festlegung einer exakten "Frist", wäre die Klage wenigstens im vorliegenden Fall verspätet erfolgt.
4.2. Daran ändert das Schreiben der KESB vom 17. Mai 2018 nichts. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend geltend macht, lässt sich diesem Schreiben nicht entnehmen, dass sich dieses auf neue Vermittlungsbemühungen der KESB bezieht. Derartiges macht der Beschwerdegegner auch nicht geltend. Ein Schreiben der KESB, das inhaltlich die Durchführung eines knapp acht Monate zuvor stattgefundenen Einigungsverfahrens bestätigt, kann für sich selbst betrachtet keine Wirkung entfalten; die Vorinstanz durfte nicht gestützt darauf die Gültigkeit der Unterhaltsklage bejahen. Wie sich allerdings in der nachstehenden Erwägung zeigen wird, hat diese Schlussfolgerung im Ergebnis keine Auswirkungen.
5.
Die Vorinstanz hat nicht ausschliesslich auf die Vermittlungsbemühungen der KESB abgestellt. Sie hat vielmehr auch berücksichtigt, dass sich innerhalb weniger Monate nicht nur die KESB, sondern auch das Friedensrichteramt mit der Streitsache befasst und den Kindseltern Gelegenheit zur einvernehmlichen Regelung eingeräumt hat (E. 3.1).
5.1. Im Kanton Zürich sind die Friedensrichterinnen und Friedensrichter die Schlichtungsbehörden gemäss ZPO (§ 52 und § 57 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG/ZH; LS 211.1]) und damit nicht primär für Kindesschutzangelegenheiten zuständig.
5.2. Die Beschwerdeführerin bezeichnet die vorinstanzliche Feststellung als "offensichtlich unrichtig", denn sie gründe auf der irrigen Annahme, es hätten anlässlich der Schlichtungsverhandlung vor dem Friedensrichteramt tatsächlich Einigungsgespräche stattgefunden. Richtig sei, dass die Eltern am 18. April 2018 zu einer Verhandlung vorgeladen wurden und erschienen sind. Gelegenheit zur einvernehmlichen Regelung habe nicht bestanden. Im Übrigen, so die Beschwerdeführerin weiter, sei es aber "im Grunde genommen" unerheblich, ob anlässlich der Schlichtungsverhandlung vor dem Friedensrichteramt tatsächlich ein Vermittlungsversuch stattgefunden habe, da es für die Beurteilung der Zulässigkeit der Klageeinleitung nicht darauf ankomme. Im Anwendungsbereich von Art. 198 lit. bbis ZPO seien "echte" Vermittlungsbemühungen einer Behörde gefordert, nicht bloss die theoretische Möglichkeit dazu. Die Friedensrichterin habe keine Vermittlungsbemühungen im Sinne von Art. 198 lit. bbis ZPO vorgenommen und dies nicht aufgrund der Weigerung der Beschwerdeführerin, sondern aufgrund des falschen prozessualen Vorgehens des Kindsvaters und des entsprechenden Hinweises der Friedensrichterin. Konkrete Vermittlungsbemühungen würden vom Beschwerdegegner bis heute nicht behauptet, weshalb die Vorinstanz nicht von solchen, den Anforderungen von Art. 198 lit. bbis ZPO genügenden Vermittlungsbemühungen hätte ausgehen dürfen. Überhaupt müsse der Vermittlungsversuch gemäss dieser Bestimmung vor der Kindesschutzbehörde und nicht vor "irgendeiner Behörde" stattgefunden haben. Für die Beurteilung der Rechtzeitigkeit der Klageeinleitung sei demzufolge einzig das Schreiben der KESB vom 10. Oktober 2017 relevant.
5.3. Mit der Lehre ist davon auszugehen, dass nach der ratio legis von Art. 198 lit. bbis ZPO ein minimales vermittelndes Element verlangt wird, aber auch genügt (vgl. E. 3.3.1). Im vorliegenden Fall wurden die Eltern für den 18. April 2018 zu einer Schlichtungsverhandlung vorgeladen, und sie sind dort erschienen. In diesem Rahmen hätten die Parteien bei entsprechender Bereitschaft unter Beisein der Friedensrichterin verhandeln können. Mit anderen Worten lag eine Gelegenheit, sich einvernehmlich zu einigen und damit ein "minimales vermittelndes Element" im Sinne von Art. 198 lit. bbis ZPO vor, ungeachtet dessen, dass besagte Verhandlung in Abweichung vom Gesetzeswortlaut nicht vor der Kindesschutzbehörde (vgl. E. 3.2), sondern vor der Schlichtungsbehörde (E. 5.-5.1) erfolgte. Ob anlässlich der Schlichtungsverhandlung tatsächlich Einigungsgespräche geführt worden sind oder nicht, worüber die Parteien unterschiedliche Behauptungen aufstellen, ist im vorliegenden Kontext ohne Belang. Damit braucht nicht auf die diesbezüglichen Sachverhaltsrügen der Beschwerdeführerin eingegangen zu werden. Im Lichte der ratio legis im Sinne der gewissermassen erleichterten Voraussetzungen für die Einleitung einer Unterhaltsklage durfte die Vorinstanz das Schlichtungsverfahren vom 18. April 2018 mitberücksichtigen und ohne Bundesrecht zu verletzen daraus ableiten, es hätten zeitnah und genügend Gelegenheiten für eine gütliche Einigung gegeben. Das alleinige Abstellen auf das Schreiben vom 10. Oktober 2017 und die analoge Anwendung der Dreimonatsfrist nach Art. 209 Abs. 3 ZPO würde dagegen aufgrund der besonderen Umstände des Falls und mangels gesetzlicher Fristbestimmung im Widerspruch zum Verbot des überspitzten Formalismus (vgl. Art. 29 Abs. 1 BV) stehen (vgl. statt vieler: BGE 142 IV 299 E. 1.3.2 S. 304 f.). Im konkreten Fall konnte die Unterhaltsklage daher gestützt auf Art. 198 lit. bbis ZPO ohne Klagebewilligung gültig anhängig gemacht werden.
5.4. Lediglich der guten Ordnung halber sei darauf hingewiesen, dass die angebliche Begründung der Friedensrichterin, wonach es dem Kindsvater betreffend Kindesunterhalt an der Aktivlegitimation fehle, im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung steht. Danach wird dem Inhaber der elterlichen Sorge gestützt auf Art. 318 ZGB die Befugnis zuerkannt, die Rechte des minderjährigen Kindes in vermögensrechtlichen Angelegenheiten (insbesondere betreffend Unterhaltsbeiträge) in eigenem Namen auszuüben und vor Gericht selber geltend zu machen, indem der Sorgerechtsinhaber persönlich als Partei, d.h. als sog. Prozessstandschafter handelt (BGE 142 III 78 E. 3.2 S. 80 f.; 136 III 365 E. 2 S. 367 f.; je mit Hinweisen).
6.
6.1. Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG), und sie hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
6.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege der Beschwerdeführerin ist gutzuheissen, da die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden kann und die Prozessarmut der Beschwerdeführerin aktenkundig ist. Die Gerichtskosten werden folglich einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen. Der Beschwerdeführerin ist ihr Anwalt als unentgeltlicher Rechtsvertreter beizuordnen (Art. 64 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Es wird Rechtsanwalt Christian Habegger, Winterthur, als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Christian Habegger, Winterthur, wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'200.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller