Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 3. Januar 2018 erteilte das Bezirksgericht Winterthur dem Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Winterthur-Stadt definitive Rechtsöffnung für Fr. 9'360.-- nebst Kosten und Entschädigung.
Gegen dieses Urteil erhob die Beschwerdeführerin am 12. Januar 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 14. März 2018 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Beschluss hat die Beschwerdeführerin am 13. April 2018 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des tiefen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (Art. 116 BGG). Diese ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Das Obergericht hat zunächst die Erwägungen des Bezirksgerichts Winterthur wiedergegeben. Demnach ergebe sich der in Betreibung gesetzte Betrag aus dem als Rechtsöffnungstitel eingereichten und mit Rechtskraftbescheinigung versehenen Urteil des Bezirksgerichts Bellinzona vom 13. Juni 2012. Es handle sich um die vorgeschossenen Beiträge für die Fremdplatzierung von B._ und C._ in ein Erziehungsheim. Das Urteil des Bezirksgerichts Bellinzona könne im Rechtsöffnungsverfahren nicht mehr überprüft werden.
Das Obergericht hat erwogen, die Beschwerdeführerin wiederhole im obergerichtlichen Verfahren im Wesentlichen bloss ihre bereits vor Bezirksgericht vorgebrachten Argumente (die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann seien mit der Fremdplatzierung ihrer beiden Kinder nie einverstanden gewesen, die Vormundschaftsbehörde U._ habe eine mögliche und der Heimplatzierung vorzuziehende Platzierung der Kinder bei ihrer Schwester nicht genügend überprüft, es seien daher unnötige Kosten entstanden, sie hätten sich gegen die von der Vormundschaftsbehörde angeordneten Massnahmen immer gewehrt, etc.). Damit fehle eine Auseinandersetzung mit den Erwägungen des Bezirksgerichts und die Beschwerdeführerin genüge ihrer Begründungspflicht nicht. Ausserdem hat das Obergericht neu eingereichte Unterlagen und neue Vorbringen als unzulässig erachtet (Art. 326 Abs. 1 ZPO). Dies betreffe insbesondere die neue Behauptung, sie (d.h. wohl die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann) hätten gegen das Urteil des Bezirksgerichts Bellinzona vom 13. Juni 2012 Einsprache erhoben. Abgesehen davon, dass dieses Urteil eine Rechtskraftbescheinigung aufweise, könnte die Beschwerdeführerin mit den vorgelegten Unterlagen ohnehin nicht belegen, dass sie rechtzeitig ein Rechtsmittel ergriffen habe.
4.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander. Stattdessen wiederholt sie ihre Einwände gegen das Vorgehen der Vormundschaftsbehörde U._ und schildert die damaligen Vorgänge aus ihrer eigenen Sicht. Wie ihr jedoch bereits das Bezirksgericht Winterthur erläutert hat, kann darauf bzw. auf das als Rechtsöffnungstitel dienende Urteil des Bezirksgerichts Bellinzona im Rahmen eines Rechtsöffnungsverfahrens nicht zurückgekommen werden. Dies betrifft insbesondere auch die Frage, ob die nunmehr in Betreibung gesetzte Summe zu Recht festgelegt wurde oder ob diese Kosten bei einem anderen Vorgehen der Vormundschaftsbehörden hätten vermieden werden können. Dass das als Rechtsöffnungstitel dienende Urteil nichtig wäre, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Da das als Rechtsöffnungstitel dienende Urteil im Rechtsöffnungsverfahren nicht mehr überprüft werden kann, ist auch nicht ersichtlich, weshalb das Obergericht von Amtes wegen die Akten aus Bellinzona hätte anfordern sollen. Auch für das Bundesgericht besteht kein Anlass, diese beizuziehen. Dass in diesem Zusammenhang verfassungsmässige Rechte verletzt worden wären, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Nebst der Gutheissung ihrer Beschwerde mit den entsprechenden Kostenfolgen verlangt die Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung bzw. Genugtuung für B._ und C._. Diese sind nicht Partei des Rechtsöffnungsverfahrens und das Begehren geht über den Gegenstand dieses Verfahrens hinaus. Zudem ist nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin Anträge für ihre - nach eigenen Angaben inzwischen volljährigen - Kinder stellen dürfte.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten.
5.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg