Erwägungen:
1.
Auf Gesuch der Beschwerdegegnerin vom 24. Februar 2021 hin verpflichtete das Regionalgericht Bern-Mittelland mit Entscheid vom 20. April 2021 im Verfahren auf Rechtsschutz in klaren Fällen den Beschwerdeführer, das Grundstück U._-Gbbl. xxx, einschliesslich der dazugehörigen Liegenschaft, innert zehn Tagen ab Erhalt des Entscheides zu räumen und unter Rückgabe sämtlicher Schlüssel zu verlassen. Für den Widerhandlungsfall ordnete das Regionalgericht die zwangsweise Räumung an.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 5. Mai 2021 Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Entscheid vom 27. Mai 2021 wies das Obergericht die Berufung ab. Es wiederholte die Räumungsordnung unter Ansetzung einer neuen Frist von zehn Tagen ab Erhalt dieses Entscheids.
Gegen den Entscheid des Obergerichts hat der Beschwerdeführer am 7. Juli 2021 Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Das Obergericht hat den Streitwert mit weniger als Fr. 30'000.-- angegeben und in der Rechtsmittelbelehrung in der Folge auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde verwiesen. Der Beschwerdeführer macht hingegen geltend, der Streitwert liege über Fr. 15'000.--, womit die Beschwerde in Zivilsachen zulässig sei. Vorliegend geht es jedoch nicht um einen Anwendungsfall von Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG und insbesondere nicht um eine mietrechtliche Streitigkeit. Die Ausweisung wurde vielmehr gestützt auf das von der Beschwerdegegnerin an einer Zwangsversteigerung erworbene Eigentum am Grundstück angeordnet; ein Mietvertrag liegt unbestrittenermassen nicht vor. Für die Beschwerde in Zivilsachen muss der Streitwert somit mindestens Fr. 30'000.-- betragen (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Dass diese Schwelle überschritten wäre, behauptet auch der Beschwerdeführer nicht.
Die Beschwerde ist demnach - wie eventualiter verlangt - als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 BGG). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
3.
Das Regionalgericht hat erwogen, die Beschwerdegegnerin habe mit dem Steigerungszuschlag vom 9. November 2020 gestützt auf Art. 656 Abs. 2 ZGB das Eigentum am betroffenen Grundstück erworben. Als Eigentümerin sei sie legitimiert, die Ausweisung des Beschwerdeführers zu verlangen, nachdem sie ihn mehrfach zur freiwilligen Rückgabe aufgefordert habe. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sei der Eigentumsübergang nicht von einer Eintragung im Grundbuch abhängig. Ohnehin sei die Beschwerdegegnerin seit dem 25. November 2020 als Eigentümerin im Grundbuch eingetragen. Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer bringe nichts vor, was den Entscheid des Regionalgerichts als unzutreffend erscheinen liesse. Selbst wenn der Grundbucheintrag massgebend wäre, ergebe sich aus dem Grundbuchauszug, dass die Beschwerdegegnerin seit dem 25. November 2020 Alleineigentümerin des fraglichen Grundstücks sei, woran die Weigerung des Beschwerdeführers, diese Tatsache anzuerkennen, nichts ändere.
Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer geltend, die Beschwerdegegnerin sei nicht als Eigentümerin des fraglichen Grundstücks im Grundbuch eingetragen. Sie sei deshalb nicht aktivlegitimiert, die Räumung des Grundstücks zu verlangen. Bei alldem legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern das Obergericht verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll. Insbesondere liegt in der blossen Bestreitung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts bezüglich des Grundbucheintrags der Beschwerdegegnerin keine genügende Rüge (vgl. Art. 118 BGG).
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg