Sachverhalt:
A.
C._ (geb. 2013) ist die Tochter von A._ (geb. 1974) und B._ (geb. 1980). Die Eltern waren nie miteinander verheiratet und trennten sich Ende 2015. Seither lebt C._ bei ihrer Mutter, deren neuen Partner und ihren Halbgeschwistern. Am 9. Juni 2016 übertrug die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Basel-Stadt den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge.
B.
B.a. Am 19. Oktober 2016 leitete C._ mit einer Unterhaltsklage gegen A._ vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt ein Verfahren ein. Der Vater stellte Anträge betreffend die übrigen Kinderbelange. Der Prozess wurde aufgeteilt und bezüglich der Obhut und des persönlichen Verkehrs bzw. der Betreuungsanteile ein neues Verfahren eröffnet. Der Unterhaltsstreit ist beim Zivilgericht hängig und war bis zum rechtskräftigen Entscheid über die Obhut und den persönlichen Verkehr bzw. die Betreuungsanteile sistiert.
B.b. Am 25. September 2018 genehmigte das Zivilgericht eine Vereinbarung der Eltern über die vorsorgliche Regelung der Obhut sowie des Besuchs- und Ferienrechts. Mit Entscheid vom 8. November 2018 errichtete es vorsorglich eine Besuchsrechts- und Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. In der Folge ernannte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Leimental (KESB) am 26. Februar 2019 D._, Sozialdienst V._, als Beiständin.
B.c. Mit Entscheid vom 18. September 2019 erkannte das Zivilgericht (unter anderem), dass C._ unter der alternierenden Obhut ihrer Eltern steht und die Betreuungsanteile der Eltern je 50 % betragen. Auch die Schulferien sollte C._ je zur Hälfte bei der Mutter und beim Vater verbringen. Weiter ordnete das Zivilgericht an, die am 8. November 2018 errichtete Beistandschaft (Bst. B.b) fortzuführen. B._ legte Berufung ein, A._ erhob Anschlussberufung. Mit Entscheid vom 6. Mai 2020 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den Antrag der Mutter auf Zuteilung des alleinigen Sorgerechts ab und stellte C._ unter die alleinige Obhut der Mutter. Der Vater sei für die Betreuung jeweils Mittwochmittag bis Montagmorgen alle 14 Tage und die Hälfte der Ferien zuständig. Die Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB wurde mit angepasstem Aufgabenbereich bestätigt. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde des Vaters entschied das Bundesgericht (unter anderem), dass C._ unter der alternierenden Obhut ihrer Eltern steht und sich ihr Wohnsitz am Wohnsitz der Mutter befindet (Urteil 5A_722/2020 vom 13. Juli 2021).
C.
C.a. Bereits am 11. Februar 2020 hatte A._ bei der KESB einen Antrag auf Wechsel der Mandatsperson eingereicht, den er mit Eingabe vom 28. Februar 2020 begründete.
C.b. Mit Bericht vom 25. Februar 2020 ersuchte die Beiständin die KESB um Entlassung aus dem Mandat. Zur Begründung führte sie aus, dass der Vater gemäss seiner Aussage nicht mehr bereit sei, mit ihr weiterzuarbeiten, und sie es für unwahrscheinlich halte, dass er sich auf eine weitere Zusammenarbeit einlassen werde.
C.c. Mit Eingabe vom 13. März 2020 gelangte A._ erneut an die KESB und verlangte, den beantragten Wechsel der Mandatsperson (Bst. C.a) binnen zehn Tagen vorzunehmen. Zwei Wochen später reichte er beim Kantonsgericht Basel-Landschaft eine Beschwerde wegen Rechtsverweigerung/Rechtsverzögerung ein. Mit Urteil vom 7. Mai 2020 wies das Kantonsgericht diese Beschwerde ab.
C.d. Mit Entscheid vom 18. August 2020 wies die KESB den Antrag des Vaters auf Wechsel der Mandatsperson ab und bestätigte D._ in ihrem Amt als Beiständin. A._ erhob Beschwerde beim Kantonsgericht und verlangte, den Entscheid der KESB aufzuheben, die Beiständin D._ abzusetzen und eine neue, geeignete Beiständin einzusetzen. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Urteil datiert vom 20. Januar 2021 und wurde A._ am 24. April 2021 zugestellt.
D.
Mit Beschwerde vom 25. Mai 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben, D._ als Beiständin für C._ abzusetzen und die KESB anzuweisen, eine neue Mandatsperson einzusetzen; eventualiter sei die Sache zwecks Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen die behördliche Weigerung, die mit der Beistandschaft für das Kind C._ betraute Person auszuwechseln. Diese Kindesschutzangelegenheit ohne Streitwert unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das Kantonsgericht ist ein oberes Gericht, das als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 BGG). Der angefochtene Entscheid trifft den verfahrensbeteiligten Beschwerdeführer in seinen schutzwürdigen Interessen (Art. 76 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Entscheid, der die Abweisung des Begehrens um einen Beistandswechsel bestätigt, schliesst das diesbezügliche Verfahren ab (Art. 90 BGG). Die rechtzeitig erhobene (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 BGG) Beschwerde ist zulässig.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und urteilt mit freier Kognition. Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn der Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisiert (BGE 137 III 580 E. 1.3). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2 mit Hinweisen). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (vgl. BGE 140 III 264 E. 2.3; 135 III 127 E. 1.5 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist auch darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (BGE 141 IV 249 E. 1.3.1, 317 E. 5.4; 140 III 264 E. 2.3).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um Wechsel der Beistandsperson. Für die Tochter des Beschwerdeführers besteht eine Besuchs- und Erziehungsbeistandschaft nach Massgabe von Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB (s. Sachverhalt Bst. B). Die Beistandschaft als solche und deren Ausgestaltung sind nicht umstritten. Im Gesetz findet sich für die Beistandschaft nach Art. 308 ZGB keine Regelung betreffend die Entlassung und damit den Wechsel der Beistandsperson. Das Bundesgericht zieht insoweit stillschweigend die analogen Bestimmungen des Erwachsenenschutzrechts bei, wobei es bei deren Anwendung den Zielen und Zwecken des Kindesschutzes Beachtung schenkt, namentlich dem Kindeswohl (Art. 307 Abs. 1 ZGB; Urteil 5A_469/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2 mit Hinweisen). Nach Art. 422 Abs. 1 ZGB hat der Beistand oder die Beiständin frühestens nach vier Jahren Amtsdauer Anspruch auf Entlassung. Vorher kann der Beistand oder die Beiständin die Entlassung aus wichtigen Gründen verlangen (Art. 422 Abs. 2 ZGB). Gemäss Art. 423 Abs. 1 ZGB entlässt die Behörde den Beistand oder die Beiständin, wenn die Eignung für die Aufgaben nicht mehr besteht (Ziffer 1) oder ein anderer wichtiger Grund für die Entlassung vorliegt (Ziffer 2). Bei der Entlassung aus wichtigem Grund stehen die Interessen der betroffenen Person im Vordergrund (BGE 143 III 65 E. 6.1).
Soweit das Gesetz auf den wichtigen Grund verweist, hat die Behörde ihre Entscheidung im konkreten Fall nach Recht und Billigkeit zu treffen (Art. 4 ZGB). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 142 III 336 E. 5.3.2; 132 III 97 E. 1; 131 III 12 E. 4.2).
4.
Der Streit dreht sich zunächst um den Antrag vom 25. Februar 2020, mit dem die Beiständin nach Massgabe von Art. 422 Abs. 2 ZGB vorzeitig um Entlassung aus dem Amt ersucht (s. Sachverhalt Bst. C.b).
4.1. Der Beschwerdeführer wirft den kantonalen Instanzen vorab vor, sie hätten sich mit dem Antrag auf Entlassung nicht auseinandergesetzt und nicht geprüft, ob die Beiständin angesichts ihres Entlassungsgesuchs und dessen Begründung das Ziel der Massnahme überhaupt noch erreichen könne. Indem das Kantonsgericht trotzdem erkläre, die KESB sei auf das Entlassungsgesuch der Beiständin eingegangen, und pauschal anfüge, dass keine Anhaltspunkte für eine fehlende Motivation ersichtlich seien, verletze sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
4.2. Gewiss verlangt der verfassungsmässige Gehörsanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV), dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (BGE 134 I 83 E. 4.1). Allerdings braucht sich die Behörde nicht zu allen Punkten einlässlich zu äussern, noch muss sie jedes einzelne Vorbringen widerlegen (BGE 135 III 670 E. 3.3.1). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt (zum Ganzen BGE 145 III 324 E. 6.1; 134 I 83 E. 4.1; 133 III 439 E. 3.3).
4.3. Eingedenk dieser Vorgaben ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz erklärt, dass Amtsmüdigkeit und Amtsverdruss bei schwierigen Mandaten an sich keine wichtigen Gründe für die Amtsentlassung gemäss Art. 422 Abs. 2 ZGB darstellen und die Entlassung eines amtsmüden Beistands im Hinblick auf die Interessen der betroffenen Person zu beurteilen ist. Im konkreten Fall widerspricht das Kantonsgericht der Ansicht des Beschwerdeführers, wonach der Antrag der Beiständin auf Entlassung aus dem Amt als Anzeichen für ihre Amtsmüdigkeit zu werten sei. Die Beiständin begründe ihr Entlassungsgesuch einzig mit der Schwierigkeit der Kooperation mit dem Beschwerdeführer und der Befürchtung, dass dieser nach seinem Antrag auf einen Beistandswechsel nicht mehr mit ihr zusammenarbeiten wolle. Persönliche Gründe führe die Beiständin nicht an, noch mache sie geltend, dass das Kindeswohl aufgrund der schwierigen Zusammenarbeit gefährdet wäre. Was es mit dieser Beurteilung auf sich hat, ist - unter dem Blickwinkel der Anforderungen an die behördliche Begründungspflicht - keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der korrekten Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung.
4.4. Diesbezüglich, das heisst in der Sache, stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, bereits aus dem Antrag auf Entlassung selbst gehe "notwendigerweise" hervor, dass die Beiständin nur noch beschränkt gewillt und motiviert sei, weiterhin als Beiständin zu amten. In ihrem Bericht vom 25. Februar 2020 erachte die Beiständin es "aufgrund der vorliegenden Umstände" als unwahrscheinlich, ihn, den Beschwerdeführer, "wieder einbinden" zu können. Dadurch lasse sie erkennen, dass sie zukünftig gar nicht mehr an eine erfolgreiche Mandatsführung glaube und "bereits resigniert" habe. Führe die Beiständin ihr Mandat nicht mehr engagiert und werde sie zum Verbleib im Amt gezwungen, so sei die Weiterführung der Beistandschaft durch diese Mandatsperson auch nicht mehr im Wohl und Interesse von C._. Mithin nehme das Kantonsgericht in Kauf, dass für die Verwirklichung der Mandatsaufgabe nicht mehr gesorgt sei, und verletze so Art. 422 Abs. 2 ZGB.
4.5. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, dem angefochtenen Entscheid seine eigene Sicht der Sach- und Rechtslage gegenüberzustellen. Was den Anspruch der Mandatsperson auf vorzeitige Entlassung aus wichtigem Grund (Art. 422 Abs. 2 ZGB) angeht, argumentiert der Beschwerdeführer unter Hinweis auf Lehrmeinungen (DANIEL ROSCH, in: FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N 10 f. zu Art. 422 ZGB; URS VOGEL, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl., 2018, N 21 zu Art. 421-424 ZGB; DERSELBE, in: CHK ZGB, 3. Aufl., 2016, N 2 zu Art. 422-423 ZGB), dass der wichtige Grund im Hinblick auf das Wohl der schutzbedürftigen Person und die Übernahmeverpflichtung weit auszulegen und die Mandatsperson im Zweifel zu entlassen sei. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, schliesst auch das Kantonsgericht Amtsmüdigkeit oder -verdruss als wichtige Gründe im Sinne von Art. 422 Abs. 2 ZGB nicht kategorisch aus. Vielmehr fordert auch es die Berücksichtigung der Interessen der betroffenen Person. Soweit der Beschwerdeführer meint, dass die Vorinstanz der Ausübung ihres Ermessens die falschen Gesichtspunkte zugrunde lege (vgl. E. 3), kann ihm also nicht gefolgt werden.
Vor diesem Hintergrund vermag der Beschwerdeführer auch in sachverhaltlicher Hinsicht nichts auszurichten. Auf die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Beiständin ihr Entlassungsgesuch einzig mit der schwierigen Zusammenarbeit mit ihm begründet, geht er nicht ein. Ebenso wenig liefert er eine Erklärung, weshalb allein der Umstand, dass die Beiständin die (weitere) Kooperation mit ihm als schwierig einstuft, geradezu zwingend zum Schluss führen soll, dass D._ zur Verwirklichung ihrer Mandatsaufgaben nicht (mehr) hinreichend engagiert ist. Insbesondere macht er auch nicht geltend, dass es der Beiständin an der professionellen Distanz fehle, um die Interessen des schutzbefohlenen Kindes und die Herausforderungen im Umgang mit dessen Vater auseinanderzuhalten, bzw. dass die Vorinstanz solcherlei bundesrechtswidrig übersehen hätte. Bloss zu behaupten, aus dem Entlassungsgesuch ergebe sich "notwendigerweise" die fehlende Motivation, genügt nicht. Der Befürchtung des Beschwerdeführers, dass D._ ihre Aufgaben wegen Amtsverdrusses nicht gesetzmässig werde erfüllen können und das Kantonsgericht mit der Abweisung ihres Entlassungsgesuchs die Kindesinteressen in Gefahr bringe, ist damit der Boden entzogen.
5.
Unabhängig von ihrem Entlassungsgesuch ist sodann streitig, ob die Beiständin gestützt auf Art. 423 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB aus einem anderen wichtigen Grund aus ihrem Amt entlassen werden muss.
5.1. Für die Entlassung aus wichtigem Grund im Sinne von Art. 423 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB ist eine Gefährdung der Interessen bzw. des Wohls der betroffenen Person zu verlangen (s. oben E. 3). Der wichtige Grund setzt ein dem Beistand oder der Beiständin zuzuschreibendes Handeln oder Unterlassen voraus, das in schwerwiegender Weise eine Pflichtverletzung im Zusammenhang mit der erwachsenen- bzw. hier kindesschutzrechtlichen Tätigkeit darstellt (Urteil 5A_706/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 4.5 mit Hinweis). Dazu zählen Ursachen wie etwa Amtsmissbrauch, Amtsanmassungen, Persönlichkeitsverletzungen oder Rollenkonflikte (s. YVO BIDERBOST, in: Fachhandbuch Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, Expertenwissen für die Praxis, 2016, Rz. 8.394). Auch ein völliger Vertrauensverlust oder eine unüberwindbar gestörte Beziehung kann ein wichtiger Grund im Gesetzessinne für den Wechsel der Person des Beistandes sein (BGE 143 III 65 E. 6.1). Dabei ist freilich im Auge zu behalten, dass eine behauptete Störung in der Beziehung zum Beistand auch im Zusammenhang mit dem Schwächezustand steht, der letztlich zur Massnahme geführt hat (Urteil 5A_401/2015 vom 7. September 2015 E. 6). Diese Einschränkung gilt sinngemäss auch für die Beziehung zwischen den Eltern und der Person, die mit der Führung einer Besuchsrechts- und Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB betraut ist.
5.2. Im konkreten Fall dreht sich die Auseinandersetzung zunächst um C._s medizinische Betreuung. Die Vorinstanz entnimmt den Verfahrensakten, dass sich der Beschwerdeführer wegen einer aus seiner Sicht kontraindizierten medizinischen Behandlung eines dermatologischen Leidens der Tochter an die Beschwerdegegnerin und die Beiständin wandte. Sie widerspricht seinem Vorwurf, wonach die Beiständin seinen Einwand unberücksichtigt gelassen habe; vielmehr habe die Beiständin die Mutter aufgefordert, mit C._ zu einem Dermatologen zu gehen, was in der Folge auch geschehen sei. Damit habe die Beiständin im Interesse des Kindes interveniert; eine Pflichtverletzung sei nicht auszumachen.
In der Folge äussert sich das Kantonsgericht zum Vorwurf des Beschwerdeführers, dass die Beiständin nicht unparteiisch sei, weil sie im Verfahren vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragt habe, ihm in Bezug auf die medizinischen Belange des Kindes die elterliche Sorge zu entziehen. Den Antrag, die Arztwahl alleine der Beschwerdegegnerin zu übertragen, habe die Beiständin gestellt, um die kontinuierliche ärztliche Behandlung der Tochter sicherzustellen; der Schritt sei erfolgt, nachdem der Beschwerdeführer dem bisherigen Kinderarzt ohne Rücksprache mit der Beschwerdegegnerin und ohne deren Einverständnis die Behandlungserlaubnis entzogen hatte. Inwiefern sich die Beiständin deswegen dem Vorwurf der Parteilichkeit aussetzen soll, sei nicht ersichtlich; ihr Antrag sei im Hinblick auf das zu wahrende Kindeswohl und nicht im Sinne einer Parteiergreifung für den einen oder andern Elternteil erfolgt und habe auch C._s Wohl in keiner Weise gefährdet. Nicht gelten lässt die Vorinstanz schliesslich den weiteren Vorhalt des Beschwerdeführers, wonach die Beiständin gegenüber dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt nicht ausgeführt haben soll, weshalb keine gemeinsamen Gespräche zwischen ihr und den Eltern mehr stattfänden. Inwiefern deshalb eine Parteilichkeit der Beiständin vorliegen soll, sei nicht ersichtlich. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers setze sich die KESB sehr wohl mit der geltend gemachten Parteilichkeit auseinander, weshalb auch die Rüge einer Gehörsverletzung unbegründet sei. Zum Schluss betont die Vorinstanz, dass die Beistandsperson nicht die Aufgabe hat, die Interessen des einen oder andern Elternteils zu wahren, sondern einzig für die Interessen des Kindes eintreten muss. Im Ergebnis könne im Vorgehen der Beiständin kein wichtiger Grund erblickt werden, der einen Beistandswechsel gemäss Art. 423 ZGB rechtfertigen würde.
5.3. Der Beschwerdeführer reklamiert, dass das Kantonsgericht mit seiner Beurteilung Art. 423 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB verletze. Er versäumt es jedoch abermals, auf die entscheidtragenden Erwägungen der Vorinstanz einzugehen. So echauffiert er sich im Zusammenhang mit C._s ärztlicher Betreuung darüber, dass sich die Beiständin um die kontraindizierte Behandlung und um die damit einhergehende Kindeswohlgefährdung wider besseres Wissen "foutiert" und die Fortsetzung der Behandlung durch den betreffenden Kinderarzt als in C._s Interesse gefordert habe. Zu den vorinstanzlichen Erkenntnissen darüber, wie die Beiständin die Beschwerdegegnerin aufgrund seines Hinweises erfolgreich zur Konsultation eines Spezialisten aufforderte und damit im Sinne des Kindeswohls intervenierte, mag er sich hingegen nicht äussern. Auf diese Weise ist im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nichts zu gewinnen.
Mit Bezug auf den Antrag der Beiständin, ihm hinsichtlich medizinischer Belange die elterliche Sorge zu entziehen, führt der Beschwerdeführer im Wesentlichen das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt ins Feld, das diesen Antrag verworfen, für sein Vorgehen Verständnis gezeigt und erklärt habe, es bestünden keine Anhaltspunkte dafür, dass er, der Beschwerdeführer, alle Ärzte ablehne und dadurch das Wohl des Kindes gefährde. Bei alledem übersieht der Beschwerdeführer, dass im vorliegenden Verfahren nicht das fragliche Begehren der Beiständin als solches zur Diskussion steht. Gegenstand der vorinstanzlichen Beurteilung ist vielmehr die Frage, ob sich die Beiständin durch ihr Vorgehen dem Vorwurf fehlender Unparteilichkeit aussetzte. Allein der Umstand, dass das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt von einem teilweisen Entzug der elterlichen Sorge absah, bedeutet entgegen dem Beschwerdeführers freilich nicht, dass die Beiständin mit dem besagten Antrag das Kindeswohl grob nachlässig aus den Augen verloren, für die Beschwerdegegnerin einseitig Partei ergriffen und sich damit einer "gewichtigen Pflichtverletzung" schuldig gemacht hätte, die eine Entlassung aus wichtigem Grund (Art. 423 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB) als unausweichlich erscheinen liesse. Eine andere Erklärung, weshalb das Vorgehen der Beiständin C._s Wohl entgegen der vorinstanzlichen Einschätzung gefährdete, ist in der weitschweifigen Beschwerdeschrift nicht auszumachen. Der vorinstanzlichen Feststellung, wonach er dem bisherigen Kinderarzt hinter dem Rücken der Beschwerdegegnerin die Behandlungserlaubnis für C._ entzogen hatte, hat der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nichts zu entgegnen. Stattdessen unterstellt er der Beiständin pauschal, dass sie ihm jegliche Mitsprache bezüglich C._s ärztlicher Betreuung entziehen wolle; sie stelle C._s Wohl in den Hintergrund, lasse eine Mandatsführung im Kindeswohl vermissen und verfolge nur das Ziel, sich mit der Alleinsorge der Mutter in medizinischen Belangen die Arbeit zu vereinfachen. Darauf ist nicht einzutreten.
Eine weitere Sorgfaltspflichtverletzung erblickt der Beschwerdeführer in der Tatsache, dass die Beiständin ihren Auftrag "nur teilweise" habe erfüllen können. Als die Beschwerdegegnerin erklärt habe, ohne ihr neugeborenes Kind nicht mehr an den gemeinsamen Gesprächen mit ihm teilzunehmen, habe es die Beiständin dabei bewenden lassen und unterstützende Gespräche zwischen den Kindseltern hätten nicht mehr stattgefunden, obwohl er, der Beschwerdeführer, bei der Beiständin mehrmals um solche gebeten habe. In ihrem Bericht vom 3. Dezember 2019 halte die Beiständin tatsachenwidrig fest, dass die Weigerungshaltung der Beschwerdegegnerin ihm, dem Beschwerdeführer, zuzuschreiben sei. In Bezug auf diese Sorgfaltspflichtverletzung lasse das Kantonsgericht einzig verlauten, aus dem Umstand, dass dem fraglichen Bericht keine Erklärung für das Ausbleiben der gemeinsamen Gespräche zu entnehmen sei, sowie aus den Akten ergäben sich keine Hinweise auf eine Parteilichkeit der Beiständin. Für den Beschwerdeführer steht damit fest, dass die Beiständin das eigenmächtige Verhalten der Beschwerdegegnerin schützt, ihn insgesamt als Störenfried abtut und ihm für die aktuelle Lage die Verantwortung zuschiebt. Mit ihrer oberflächlichen Beurteilung verletze die Vorinstanz abermals seinen Gehörsanspruch und verkenne einen wichtigen Grund für die Entlassung der Beiständin. Auch diese Vorbringen scheitern. Dem angefochtenen Entscheid zufolge war im vorinstanzlichen Verfahren gestützt auf die kantonale Beschwerde (einzig) zu prüfen, ob sich die Beiständin dem Vorwurf der Parteilichkeit aussetzte, weil sie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt keine Erklärung für den Abbruch der gemeinsamen Gespräche lieferte. Soweit der Beschwerdeführer nun meint, das Kantonsgericht hätte auch beurteilen müssen, wer die Verantwortung für die Einstellung dieser Gespräche trägt bzw. inwiefern der fragliche Bericht der Beiständin unvollständig oder wahrheitswidrig ist, zeigt er jedenfalls nicht mit hinreichender Deutlichkeit auf, inwiefern er diese Themen schon vor der Vorinstanz ins Verfahren eingeführt hätte. Allein mit dem vagen Hinweis auf "diesbezügliche Vorbringen" verkennt er, dass es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, in den kantonalen Rechtsschriften und sonstigen Eingaben des Beschwerdeführers nach Anhaltspunkten zu forschen, die zur Gutheissung der Beschwerde führen könnten. Damit erübrigen sich weitere Erörterungen zu diesem Themenkreis.
6.
6.1. In prozessualer Hinsicht beklagt sich der Beschwerdeführer über eine Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus (Art. 29 Abs. 1 BV). In seiner kantonalen Beschwerde habe er neben der Absetzung der bisherigen Beiständin beantragt, eine neue geeignete Beiständin einzusetzen. Die Vorinstanz weigere sich, auf das letztere Begehren einzutreten, da die KESB im Falle der Gutheissung der Beschwerde anzuweisen wäre, einen neuen Beistand oder eine neue Beiständin einzusetzen. Der Beschwerdeführer erinnert daran, dass er vor der Vorinstanz nicht anwaltlich vertreten war. Aufgrund seiner Ausführungen sei aber "unzweideutig ersichtlich" gewesen, dass er mit seinem Begehren einen Wechsel der eingesetzten Mandatsperson bezwecken wollte. Indem sie zwischen dem Antrag, eine neue Mandatsperson einzusetzen, und demjenigen, die KESB entsprechend anzuweisen, einen Unterschied mache, stelle die Vorinstanz überhöhte Anforderungen an die Formulierung des Rechtsbegehrens; mit dem Nichteintretensentscheid verfalle sie in überspitzten Formalismus.
6.2. Gewiss dürfen Prozesserklärungen nicht buchstabengetreu ausgelegt werden, ohne zu fragen, welcher Sinn ihnen vernünftigerweise beizumessen sei (BGE 113 Ia 94 E. 2). Wie alle Prozesshandlungen sind auch Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen (BGE 105 II 149 E. 2a), insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (BGE 136 V 131 E. 1.2). Insofern weist der Grundsatz von Treu und Glauben einen engen Bezug zum Verbot des überspitzten Formalismus auf (Urteil 1C_236/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.5), das aus der verfassungsmässigen Garantie eines fairen Verfahrens (Art. 29 Abs. 1 BV) hergeleitet wird (zum Ganzen BGE 135 I 6 E. 2.1; 134 II 244 E. 2.4.2; 125 I 166 E. 3a). Welche Bewandtnis es mit dem besagten Nichteintretensentscheid hat, muss jedoch offenbleiben. Nach dem Gesagten bleibt es dabei, dass kein wichtiger Grund für die Entlassung der bisherigen Beiständin vorliegt, weder gestützt auf Art. 422 Abs. 2 ZGB (E. 4) noch nach Massgabe von Art. 423 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB (E. 5). Damit ist das Begehren des Beschwerdeführers um Einsetzung einer neuen geeigneten Beistandsperson hinfällig - auch dann, wenn es im Sinne des Beschwerdeführers als zulässig gelten müsste. Die Frage, ob die Vorinstanz das Prozessrecht überspitzt formalistisch handhabt bzw. das besagte Begehren treuwidrig auslegt, ist mithin rein theoretischer Natur. Allein an der Klärung von Fragen ohne praktische Relevanz hat der Beschwerdeführer kein im Sinne von Art. 76 BGG schutzwürdiges Interesse (s. Urteil 5A_593/2020 vom 17. Februar 2021 E. 7.2). Mit hypothetischen Fragen befasst sich das Bundesgericht nicht. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
7.
Die Beschwerde ist also unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Leimental und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn