Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer hat im Rahmen eines mittlerweile vom Strafgericht Basel-Stadt beurteilten Strafverfahrens seinerseits Anzeige gegen mehrere Personen, unter anderem Polizeibeamte und den fallführenden Staatsanwalt, gestellt. Die Anzeigen sind erfasst und bei der Kriminalpolizei respektive beim Ersten Staatsanwalt hängig.
1.1. Mit Eingabe vom 15. Mai 2018 gelangte der Beschwerdeführer an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und machte sinngemäss Rechtsverzögerung respektive -verweigerung im Hinblick auf die von ihm gestellten Anzeigen geltend.
Die Verfahrensleitung des Appellationsgerichts verfügte am 28. Juni 2018 die Abschreibung des Verfahrens infolge Rückzugs der Beschwerde. Der Beschwerdeführer habe mit Eingabe vom 27. Juni 2018 ausdrücklich erklärt, kein Interesse mehr an einer Strafverfolgung gegen die Polizeibeamten und den fallführenden Staatsanwalt zu haben, womit er seine Beschwerde in Bezug auf das Prozessthema des vorliegenden Verfahrens zurückgezogen habe. Die übrigen (nicht die allfällige Rechtsverweigerung betreffenden) Ausführungen seien unverständlich und blieben unbeachtlich, falls der Beschwerdeführer sein Anliegen bis zum 9. Juli 2018 nicht in einer verständlichen Form nochmals darlege.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragte mit Eingabe vom 9. Juli 2018 (Poststempel) an das Appellationsgericht, das Beschwerdeverfahren wegen Amtsmissbrauch durch die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sei fortzuführen. Seine Eingabe vom 27. Juni 2018, in der er sein Desinteresse an der Strafverfolgung der Polizeibeamten und des Staatsanwalts erklärt hat, entspreche nicht seinem Willen und sei aus den Akten zu entfernen. Das Appellationsgericht verfügte am 11. Juli 2018, das Beschwerdeverfahren BES.2018.101 werde definitiv zufolge Rückzuges abgeschrieben, da der Beschwerdeführer nicht dargelegt habe, dass seine Rückzugserklärung an einem Willensmangel leide.
Das Appellationsgericht verfügte am 13. Juli 2018, dass die vom Beschwerdeführer beantragte Fristverlängerung infolge Verfahrensabschreibung nicht in Betracht komme. Das Akteneinsichtsgesuch sei ebenfalls abzulehnen, da der Beschwerdeführer von den Aktenstücken des Beschwerdeverfahrens vollumfänglich Kenntnis habe. Im Beschwerdeverfahren BES.2018.101 werde keine weitere Korrespondenz mehr geführt.
2.
Mit Eingabe vom 10. September 2018 (Poststempel) gelangt der Beschwerdeführer ans Bundesgericht und beantragt zusammengefasst, die Verfügungen des Appellationsgerichts vom 11. und 13. Juli 2018 seien aufzuheben. Die Vorinstanz sei anzuweisen die Fortsetzung des Rechtsmittelverfahrens zu verfügen und ihm Akteneinsicht zu gewähren.
3.
3.1. Die beiden Beschwerden betreffen dasselbe kantonale Beschwerdeverfahren, stehen im engen sachlichen Zusammenhang und beruhen auf der gleichen tatsächlichen und rechtlichen Grundlage, weshalb es sich rechtfertigt, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem Entscheid zu behandeln.
3.2. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei kann in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116).
Die Beschwerde in Strafsachen ist zulässig gegen verfahrensabschliessende Entscheide letzter kantonaler Instanzen (Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Der Instanzenzug muss nicht nur prozessual durchlaufen, sondern auch materiell erschöpft sein. Verfahrensrechtliche Einwendungen, die im kantonalen Verfahren hätten geltend gemacht werden können, können nach dem Grundsatz der materiellen Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs vor Bundesgericht nicht mehr vorgebracht werden (BGE 143 IV 397 E. 3.4.2; 143 V 66 E. 4.3; je mit Hinweisen).
3.3. Auf die Beschwerden ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wendet sich in erster Linie gegen das Urteil des Strafgerichts und die von diesem gegen ihn ausgesprochene Landesverweisung. Auf die hiergegen vorgebrachten Ausführungen und Rügen, die den Grossteil seiner Beschwerde darstellen, ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer verkennt, dass Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ausschliesslich die Verfügungen des Appellationsgerichts vom 11. und 13. Juli 2018 (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG) bilden. Soweit er das erstinstanzliche Urteil des Strafgerichts als rechtsfehlerhaft erachtet, hat der Beschwerdeführer das Rechtsmittel der Berufung zu ergreifen.
Die Vorbringen in Bezug auf die Verfügungen der Vorinstanz genügen nicht den gesetzlichen Begründungsanforderungen. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwieweit die Vorinstanz gegen das Recht Art. 95 BGG verstossen soll. Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist ausschliesslich die Frage zu behandeln, ob die Vorinstanz zu Unrecht einen Rückzug der Beschwerde angenommen hat. Was er hiergegen vorbringt, ist widersprüchlich und nicht geeignet, eine Rechtsverletzung darzutun. Soweit er erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren geltend macht, die Rückzugserklärung sei mangels fehlender Unterschrift nicht wirksam, ist auf die Rüge mangels Ausschöpfung des Instanzenzugs nicht einzutreten (vgl. vorstehend E. 3.2). Zudem setzt er sich damit in Widerspruch zu seinem Verhalten und seiner Argumentation im kantonalen Beschwerdeverfahren, indem er explizit darum ersucht hat, seine Rückzugserklärung als unbeachtlich zu behandeln, da er aufgrund der drohenden Landesverweisung "unter Druck stehe" und sich "in einer existentiellen Gefahr" befinde. Damit bringt er selbst zum Ausdruck, dass er von einem gültigen Rückzug der Beschwerde ausgeht. Dass er den Rückzug der Rechtsverweigerungsbeschwerde nach der vom Strafgericht ausgesprochenen Landesverweisung prozesstaktisch nicht mehr für sinnvoll erachtet, ändert an der Wirksamkeit des zuvor ausgesprochenen Rückzugs nichts. Zudem verkennt der Beschwerdeführer, dass die Beendigung des Beschwerdeverfahrens wegen Rechtsverweigerung die Staatsanwaltschaft nicht entbindet, die hängigen Strafanzeigen prozesskonform zu bearbeiten und zu erledigen (vgl. Art. 2 Abs. 2 StPO).
4.
Auf die Beschwerden ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Dem Beschwerdeführer sind angesichts seiner finanziellen Situation reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_889/2018 und 6B_890/2018 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten in Höhe von Fr. 500.- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, der Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held