Erwägungen:
1.
Das Obergericht des Kantons Bern verurteilte am 26. Januar 2006 A._ wegen Mordes, versuchter Vergewaltigung und Hausfriedensbruchs zu 19 Jahren Zuchthaus und 15 Jahren Landesverweisung.
Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern stellte am 19. Januar 2021 beim Obergericht des Kantons Bern das Gesuch um Revision und Aufhebung des Strafurteils sowie um Rückweisung an das Regionalgericht Bern-Mittelland zur nachträglichen Anordnung der Verwahrung sowie eventualiter einer stationären Massnahme. Das Obergericht hiess das Revisionsgesuch am 18. Mai 2021 gut, hob das Strafurteil betreffend die Nichtanordnung einer Massnahme auf und wies das Verfahren zur Prüfung der nachträglichen Verwahrung, eventualiter einer stationären Massnahme an das Regionalgericht Bern-Mittelland zurück. Dagegen erhob A._ Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 6B_698/2021).
2.
Das Regionalgericht Bern-Mittelland beantragte am 31. Mai 2021 die Anordnung von Sicherheitshaft. Das Kantonale Zwangsmassnahmengericht ordnete mit Entscheid vom 2. Juni 2021 die Sicherheitshaft, befristet bis zum 4. Dezember 2021, an. Der Verurteilte wurde ab dem Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug (Strafende per 5. Juni 2021) direkt in Sicherheitshaft versetzt. Am 11. August 2021 ersuchte A._ das Zwangsmassnahmengericht um Haftentlassung. Dieses trat mit Entscheid vom 12. August 2021 auf das Gesuch nicht ein und leitete es an das Regionalgericht weiter. Mit Verfügung vom 16. August 2021 entsprach das Regionalgericht dem Haftentlassungsgesuch nicht und leitete dieses dem Zwangsmassnahmengericht zum Entscheid weiter. Das Zwangsmassnahmengericht wies das Haftentlassungsgesuch mit Entscheid vom 18. August 2021 ab. Dagegen erhob A._ am 30. August 2021 Beschwerde, welche die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern mit Beschluss vom 15. September 2021 abwies.
3.
A._ erhob mit Eingabe vom 30. September 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern.
4.
Das Bundesgericht hiess mit Urteil 6B_698/2021 vom 1. Oktober 2021 die Beschwerde von A._ gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Mai 2021 gut. Es hob den Beschluss auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurück. Mit Schreiben vom 19. Oktober 2021 teilte die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern dem Bundesgericht mit, dass A._ aufgrund des bundesgerichtlichen Urteils vom 1. Oktober 2021 mit Verfügung des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 14. Oktober 2021 aus der Sicherheitshaft entlassen worden sei. Das Verfahren sei als gegenstandslos geworden abzuschreiben. A._ ersuchte mit Schreiben vom 25. Oktober 2021 ebenfalls um Verfahrensabschreibung infolge Gegenstandslosigkeit unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Kantons Bern.
5.
Mit der am 15. Oktober 2021 erfolgten Entlassung des Beschwerdeführers aus der Sicherheitshaft ist die Beschwerde gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern vom 15. September 2021 gegenstandslos geworden. Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder fällt er mangels rechtlichen Interesses dahin, entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 72 BZP). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen.
Im vorliegenden Fall ist der Beschwerdeführer aufgrund des bundesgerichtlichen Urteils 6B_698/2021 vom 1. Oktober 2021 aus der Sicherheitshaft entlassen worden. Er hat im Verfahren 6B_698/2021 obsiegt und das Bundesgericht hat den obergerichtlichen Beschluss vom 18. Mai 2021 als bundesrechtswidrig aufgehoben. Damit ist auch der Grund für die Sicherheitshaft weggefallen. Bei dieser Sachlage ist der Kanton Bern grundsätzlich kostenpflichtig. Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden. Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Entschädigung ist praxisgemäss in analoger Anwendung von Art. 64 Abs. 2 BGG der Anwältin des Beschwerdeführers auszurichten. Kosten sind bei diesem Ausgang des Verfahrens keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach verfügt der Präsident im Verfahren nach Art. 32 BGG:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1B_499/2021 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern wird verpflichtet, Rechtsanwältin Kathrin Gruber eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- auszurichten.
4.
Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli