Erwägungen:
1.
1.1. A._ rekurriert vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt gegen einen Entscheid der Baurekurskommission vom 24. März 2021 (Verfahren VD.2021.109). Im Rahmen dieses Verfahrens ersuchte er um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Das Appellationsgericht wies das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mit prozessleitender Verfügung vom 28. Mai 2021 ab, verzichtete aber einstweilen auf die Erhebung eines Kostenvorschusses. Ein erneutes Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Beigabe eines Rechtsvertreters wies das Appellationsgericht mit Verfügung vom 9. August 2021 ab. Dabei verzichtete es weiterhin auf die Erhebung eines Kostenvorschusses. Zur Begründung für die Abweisung des Gesuchs führte es aus, die Ehefrau von A._ habe gemeinsam mit diesem Rekurs eingelegt und verfüge über Vermögenswerte in der Höhe von rund Fr. 300'000.--. Somit seien die Rekurrenten imstande, die Verfahrenskosten zu tragen. Weil das Vermögen indes nicht liquide sei, werde auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtet.
Mit Eingabe vom 12. August 2021 gelangte A._ an das Appellationsgericht und machte geltend, seine Ehefrau habe gar keinen Rekurs erhoben und die Verfügung vom 9. August 2021 sei entsprechend zu berichtigen bzw. zu ändern. Auf dieses Gesuch trat das Appellationsgericht mit Verfügung vom 19. August 2021 wegen offensichtlicher Aktenwidrigkeit nicht ein, wobei es auf die Eingaben von A._ und dessen Ehefrau vom 21. und 28. Mai 2021 verwies.
Mit Verfügung vom 25. August 2021 leitete das Appellationsgericht ein Schreiben von A._ vom 20. August 2021 an die übrigen Verfahrensbeteiligten weiter. Es wies ihn dabei darauf hin, dass dem Rekurs grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung zukomme.
A._ und seine Ehefrau teilten dem Appellationsgericht mit Eingaben vom 24. und 25. August 2021 mit, die Ehefrau nehme vom Verfahren als Rekurrentin Abstand. Das gleichzeitig eingereichte Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung wies das Appellationsgericht mit Verfügung vom 26. August 2021 ab. Zur Begründung führte es aus, die Ehefrau von A._ treffe eine eherechtliche Unterstützungspflicht. Die vermögende Ehefrau aus dem Verfahren ausscheiden zu lassen, um einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zu begründen, sei zudem rechtsmissbräuchlich.
Auf eine weitere Eingabe von A._ vom 30. August 2021, mit der er erneut um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchte, trat das Appellationsgericht mit Verfügung vom 2. September 2021 nicht ein.
1.2. Gegen die Verfügungen des Appellationsgerichts vom 9., 19., 25. und 26. August sowie vom 2. September 2021 gelangt A._ mit Beschwerde vom 8. September 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung der angefochtenen Verfügungen und die Gewährung der kostenlosen Prozessführung sowie die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im kantonalen sowie im bundesgerichtlichen Verfahren.
Das Appellationsgericht und die Baurekurskommission schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. A._ lässt sich dazu mit Eingaben vom 2. und 27. November 2021 vernehmen, wobei er sein Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im bundesgerichtlichen Verfahren hauptsächlich damit begründet, er sei der deutschen Sprache nicht mächtig und rechtsunkundig.
2.
2.1. Die fristgerecht erhobene Beschwerde (vgl. Art. 100 Abs. 1 BGG) richtet sich gegen prozessleitende Verfügungen einer letzten kantonalen Gerichtsinstanz (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). In der Hauptsache ist eine baurechtliche Frage umstritten, die das Bundesgericht im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beurteilen kann (vgl. Art. 34 Abs. 1 RPG [SR 700]; Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG). Gegen Zwischenverfügungen in diesem Rechtsstreit steht daher ebenfalls die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung (vgl. BGE 143 II 425 E. 1.3; 138 II 501 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist als Partei des vorinstanzlichen Verfahrens unmittelbarer Adressat der angefochtenen Verfügungen und grundsätzlich zur Beschwerde berechtigt (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG). Unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 106 Abs. 2 BGG) und der Voraussetzungen für die Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden (vgl. Art. 93 BGG; dazu sogleich E. 2.2) ist auf das Rechtsmittel einzutreten.
2.2. Die angefochtenen Verfügungen vom 9., 19., 25. und 26. August sowie vom 2. September 2021 bringen das vorinstanzliche Verfahren weder ganz noch teilweise zum Abschluss (vgl. Art. 90 und Art. 91 BGG). Zudem betreffen sie nicht die Zuständigkeit und auch keine Ausstandsbegehren (vgl. Art. 92 BGG). Vielmehr handelt es sich um Zwischenentscheide im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG, gegen die eine Beschwerde nur zulässig ist, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Da Letzteres hier ausgeschlossen ist, sind die angefochtenen Verfügungen vor dem Bundesgericht nur unter der Voraussetzung von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG anfechtbar.
2.2.1. Die Vorinstanz traf mit Verfügung vom 25. August 2021 verschiedene prozessleitende Anordnungen. Unter anderem leitete sie Eingaben des Beschwerdeführers, der Baurekurskommission sowie der Beigeladenen an die jeweils anderen Verfahrensparteien weiter. Inwieweit die Verfügung vom 25. August 2021 die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt, ist weder dargetan noch ersichtlich. In Bezug auf diese Verfügung ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.2.2. Mit den Verfügungen vom 9., 19. und 26. August sowie vom 2. September 2021 wies die Vorinstanz verschiedene Anträge des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung ab, soweit sie darauf eintrat. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, verbunden mit der Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses unter Androhung des Nichteintretens im Säumnisfall, stellt einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG dar, sofern die gesuchstellende Person geltend macht, sie sei mittellos (vgl. BGE 142 III 798 E. 2.3.1 und E. 2.3.5; Urteile 2C_ 489/2021 vom 27. September 2021 E. 1.1; 1C_434/2020 vom 20. Oktober 2020 E. 1.1). In der Regel ebenfalls einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirkt die Abweisung eines Gesuchs um Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters (vgl. BGE 129 I 129 E. 1.1; Urteile 5A_734/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 1 [nicht publ. in: BGE 142 III 36]; 1B_162/2020 vom 21. Oktober 2020 E. 2.1; 1C_547/2018 vom 9. November 2018 E. 2). Im vorliegenden Fall begründet die Verweigerung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters einen solchen Nachteil. Hingegen ist fraglich, ob dies auch in Bezug auf die Kostentragung zutrifft, da die Vorinstanz einstweilen auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtet hat. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, kann diese Frage dahingestellt bleiben, da sich die Beschwerde ohnehin als offensichtlich unbegründet erweist, sodass sie im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG mit summarischer Begründung abzuweisen ist, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3.
3.1. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach Art. 29 Abs. 3 BV Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Begehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
3.2. Die Vorinstanz hat den Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtspflege unter anderem mangels Mittellosigkeit verneint. Gemäss der Vorinstanz verfügt die Ehefrau des Beschwerdeführers über Vermögenswerte in der Höhe von rund Fr. 300'000.--. Zwar behaupte der Beschwerdeführer, er lebe von seiner Frau getrennt und habe keinen Zugriff auf diese Vermögenswerte. Aufgrund der eherechtlichen Unterstützungspflicht bestimme sich die Leistungsfähigkeit im Hinblick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege jedoch aufgrund der Mittel beider Ehegatten insgesamt. Weil über die Vermögenswerte kurzfristig nicht verfügt werden könne, sei einstweilen aber auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten.
Der Beschwerdeführer bringt im bundesgerichtlichen Verfahren vor, seine "Ex-Frau" sei nicht verpflichtet, ihm Unterhalt zu zahlen. Ihr Vermögen bestehe aus Immobilien in Italien, die jedoch sehr alt und unbewohnbar seien. Sie habe diese Immobilien im Zeitpunkt der Trennung von ihm erhalten. Demgegenüber legt die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht dar, Belege zur angeblichen Trennung des Beschwerdeführers von seiner Ehefrau seien zu keinem Zeitpunkt eingereicht worden. In den Schreiben der Ehefrau im vorinstanzlichen Verfahren erwähne diese zudem die gleiche Anschrift wie der Beschwerdeführer. Allfällige Anordnungen über das Getrenntleben wären demnach aufgrund der Wiederaufnahme des Zusammenlebens dahingefallen (vgl. Art. 179 Abs. 2 ZGB).
3.3. Der Beschwerdeführer vermag die vorinstanzlichen Feststellungen zum Vermögen seiner Ehefrau nicht als offensichtlich unrichtig auszuweisen (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Seine Behauptung, wonach es sich um alte und unbewohnbare Immobilien handelt, bleibt oberflächlich und unbelegt. Sie widerspricht auch der von ihm im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Steuerveranlagung vom 14. Februar 2019, wonach private Liegenschaften mit einem Steuerwert von Fr. 300'000.-- vorhanden sind. Daran ändert nichts, dass er mit Eingabe vom 27. November 2021 ein Foto von Gebäuden oder Gebäudeteilen in schlechtem Zustand einreicht. Dass es sich dabei um die in der Steuerveranlagung enthaltenen Liegenschaften handelt, ist durch nichts belegt. Ein schlechter Gebäudezustand schliesst zudem nicht aus, dass ein Grundstück von erheblichem Wert ist. Mit der Vorinstanz ist daher davon auszugehen, dass jedenfalls die Ehefrau über ein Vermögen von Fr. 300'000.-- verfügt.
3.3.1. Zu prüfen bleibt, ob das Vermögen der Ehefrau die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers unter dem Blickwinkel von Art. 29 Abs. 3 BV ausschliesst. Als Ausfluss der ehelichen Unterhaltspflicht nach Art. 163 ZGB und der ehelichen Beistandspflicht nach Art. 159 Abs. 3 ZGB ist der eine Ehegatte gehalten, dem anderen in Rechtsstreitigkeiten durch die Leistung von Prozesskostenvorschüssen beizustehen (vgl. BGE 142 III 36 E. 2.3 S. 39; Urteile 9C_432/2010 vom 8. Juli 2010 E. 5; 4A_423/2012 vom 10. September 2012 E. 2.2; 8C_1008/ 2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.3.2). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ist gegenüber den eherechtlichen Ansprüchen auf Bevorschussung von Prozesskosten subsidiär. Soweit eine Prozesskostenvorschusspflicht besteht, geht diese dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor (vgl. BGE 142 III 36 E. 2.3 S. 39; 119 Ia 11 E. 3a; 119 Ia 134 E. 4). Den Nachweis über die fehlende eheliche Unterstützungspflicht hat der Beschwerdeführer zu erbringen (vgl. BGE 125 IV 161 E. 4a; Urteile 1B_389/2015 vom 7. Januar 2016 E. 5.4; 1D_2/ 2010 vom 15. Juni 2010 E. 2.3).
3.3.2. Aus den angefochtenen Verfügungen ergibt sich nicht, dass der Beschwerdeführer von seiner Ehefrau tatsächlich geschieden ist oder getrennt lebt (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG). Auch im bundesgerichtlichen Verfahren erbringt der Beschwerdeführer keinen Nachweis der angeblichen Trennung oder Scheidung, obwohl er entsprechende Umstände unter Vorbehalt von Art. 99 Abs. 1 BGG mit Belegen ohne Weiteres dokumentieren könnte. Wie die Vorinstanz sodann zutreffend darlegt, wohnt die Ehefrau des Beschwerdeführers an derselben Adresse, was der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren bestätigt. Zudem ergibt sich aus den kantonalen Akten, dass der Beschwerdeführer jedenfalls noch für die Steuerperiode 2017 gemeinsam mit der Ehefrau veranlagt wurde. Bei dieser Ausgangslage ist davon auszugehen, dass die Ehefrau weiterhin eine eherechtliche Unterstützungspflicht trifft, die dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht.
3.3.3. Nach Massgabe von Art. 29 Abs. 3 BV gilt der Beschwerdeführer somit nicht als mittellos. Die Vorinstanz hat den Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung zu Recht verneint. Zwar ist das Vermögen der Ehefrau, das die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers ausschliesst, in Immobilien gebunden und somit nicht ohne Weiteres verfügbar. Diesem Umstand hat die Vorinstanz im Hinblick auf die Prozesskosten jedoch Rechnung getragen, indem sie auf die Erhebung eines Kostenvorschusses einstweilen verzichtet hat.
3.4. Die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer ebenfalls verweigert. Ist eine Partei wie hier nicht mittellos, aber illiquid, kann es zwar angezeigt sein, ihr einstweilen für die Dauer des Verfahrens einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen und sie je nach Ausgang des Verfahrens mit dem Urteil in der Sache zur Rückzahlung der Vertretungskosten an den Staat zu verpflichten (vgl. zur Rückzahlungspflicht allgemein BGE 142 III 131 E. 4.1). Zusätzlich vorausgesetzt ist aber in jedem Fall, dass die gestellten Begehren nicht aussichtslos sind und die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters zur Wahrung ihrer Rechte sachlich geboten ist (vgl. Art. 29 Abs. 3 BV). Letzteres trifft zu, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen (vgl. BGE 128 I 225 E. 2.5.2; Urteil 1C_97/2015 vom 1. September 2015 E. 5.2). Hierzu führt der Beschwerdeführer aus, er sei mit dem schweizerischen Recht und der deutschen Sprache nicht vertraut. Seine zahlreichen Eingaben im vorinstanzlichen und im bundesgerichtlichen Verfahren zeigen jedoch, dass er durchaus in der Lage ist, seine Anliegen einzubringen und auf die ihn störenden Punkte beim geplanten Bauprojekt hinzuweisen. Entscheidend ist aber, dass er jedenfalls nicht rechtsgenüglich geltend macht, vom umstrittenen Bauprojekt in schwerwiegender Weise betroffen zu sein. Derartiges ist auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat den Anspruch auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zu Recht verneint.
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist im Sinne der vorstehenden Erwägungen ebenfalls abzuweisen (vgl. Art. 64 BGG). Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur