Faits :
A.
A.a. A._, né en 1972, marié et père de deux enfants (nés en 2014 et 2017), a travaillé pour le compte de B._ SA du 11 juin 2009 au 31 janvier 2011. A ce titre, il a été assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès d'Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana), ainsi qu'auprès de la Fondation collective LPP Swiss Life (ci-après: la Caisse de pensions) pour la prévoyance professionnelle.
A.b. A la suite d'un accident survenu le 5 septembre 2009, ayant notamment occasionné une fracture-luxation radio-carpienne du poignet droit, l'assuré a perçu des indemnités journalières de l'assurance-accidents entre le 8 septembre 2009 et le 30 avril 2014 (décision d'Helsana du 21 janvier 2014, et décision sur opposition du 30 avril 2014, confirmée par arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 20 août 2015). Il a par ailleurs été exonéré du paiement des cotisations de la prévoyance professionnelle dès le 5 décembre 2009 (correspondance du 18 janvier 2011). Une rente de l'assurance-invalidité lui a également été octroyée du 1er septembre 2010 au 31 mars 2012 (droit à une rente entière jusqu'au 31 décembre 2011, puis à une demi-rente; décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] du 27 mai 2016). En raison de troubles lombaires ayant nécessité différents examens médicaux dès le 7 mai 2014, l'office AI a ensuite reconnu le droit de l'assuré à une demi-rente d'invalidité dès le 1er mai 2015, assortie de rentes complémentaires pour enfants (décisions des 12 février et 27 mai 2016 et 15 et 27 novembre 2017).
A.c. Au mois de janvier 2018, A._ s'est adressé à la Fondation collective LPP Swiss Life en vue d'obtenir des prestations de la prévoyance professionnelle. La Caisse de pensions a nié toute obligation de prester (correspondance du 8 février 2018). En bref, elle a considéré qu'un droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle ne pouvait pas être reconnu à l'assuré pour les suites de l'accident du 5 septembre 2009 dans la mesure où il avait perçu des indemnités journalières de l'assurance-accidents jusqu'au 30 avril 2014 et où il avait ensuite recouvré une capacité totale de travail. Quant à l'atteinte à la santé apparue en mai 2014, elle était distincte de celle occasionnée par l'accident en 2009 et était survenue à une époque où l'intéressé n'était plus assuré auprès d'elle.
B.
Le 24 juillet 2018, A._ a ouvert action devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Il a principalement conclu à ce que la Fondation collective LPP Swiss Life soit condamnée à lui octroyer une demi-rente d'invalidité du 1er octobre au 31 décembre 2011, puis dès le 1er mai 2015, assortie de rentes complémentaires pour ses enfants dès le 29 avril 2014 et le 1er octobre 2017. Par jugement du 30 août 2019, la juridiction cantonale a rejeté la demande.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement au renvoi du dossier à la juridiction cantonale pour complément d'instruction puis nouvelle décision. Préalablement, il requiert la suspension de la présente cause jusqu'au dépôt des expertises sollicitées dans le cadre d'une procédure civile pendante l'opposant à l'assureur responsabilité civile du "responsable de l'accident" du 5 septembre 2009, la Zurich Compagnie d'Assurances SA. Il a réitéré la demande de suspension le 22 novembre 2019.
Considérant en droit :
1.
1.1. Même si le recourant se limite à prendre des conclusions cassatoires, son recours en matière de droit public, qui se caractérise comme un recours en réforme (art. 107 al. 2 LTF), est recevable. Il ressort en effet, à la lecture du mémoire de recours, qu'il entend obtenir le versement de prestations d'invalidité de la Fondation collective LPP Swiss Life (ATF 137 II 313 consid. 1.3 p. 317 et les références).
1.2. La conclusion préalable du recourant tendant à la suspension du présent procès jusqu'à droit connu dans une procédure de responsabilité civile l'opposant à la Zurich Compagnie d'Assurances SA constitue une requête d'agencement de la procédure, qui doit être examinée préliminairement.
Le juge peut ordonner la suspension pour des raisons d'opportunité, notamment lorsque le jugement d'un autre litige peut influencer l'issue du procès (art. 6 al. 1 PCF, en relation avec l'art. 71 LTF). La suspension ne doit être admise qu'exceptionnellement, en particulier lorsqu'il se justifie d'attendre la décision d'une autre autorité (ATF 130 V 90 consid. 5 p. 94 s.; arrêt 9C_799/2018 du 21 février 2019 consid. 2).
En l'espèce, le litige porte uniquement sur l'obligation de l'institution de prévoyance intimée d'allouer des prestations d'invalidité. Dans la mesure où la résolution de la présente procédure ne dépend pas de l'issue de celle opposant le recourant à l'assureur responsabilité civile du tiers responsable de l'accident dont il a été victime en 2009, la suspension n'est pas opportune. Il n'y a dès lors pas lieu de donner suite à la requête de suspendre l'examen du recours.
2.
2.1. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.2. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_131/2017 du 30 août 2017 consid. 2.2 et les références).
3.
3.1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de la Fondation collective LPP Swiss Life.
3.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs notamment au début et à la fin de l'assurance obligatoire (art. 10 LPP), au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire (art. 23 LPP), et à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (ATF 135 V 13 consid. 2.6 p. 17 s.; 134 V 20 consid. 3.2.1 et 5.3 p. 22 s. et 27 et les références). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. La juridiction cantonale a constaté que le recourant avait travaillé au sein de B._ SA du 11 juin 2009 au 31 janvier 2011, et qu'il avait, à ce titre, été affilié auprès de la Caisse de pensions intimée du 11 juin 2009 au 28 février 2011. Elle a retenu qu'il avait été successivement en incapacité de travailler en raison de deux atteintes à la santé distinctes, d'abord à la suite d'un accident survenu le 5 septembre 2009 ayant entraîné une fracture de son poignet droit, puis de troubles lombaires ayant nécessité différents examens médicaux dès le 7 mai 2014. Les premiers juges ont en outre considéré que seule l'incapacité de travail consécutive à la fracture du poignet droit subie en septembre 2009 était susceptible de fonder une obligation de la Caisse de pensions intimée d'allouer des prestations d'invalidité; une diminution de la capacité de travail imputable à l'atteinte au niveau dorso-lombaire n'était en effet survenue qu'à compter du 7 mai 2014, soit à une époque où le recourant n'était plus assuré auprès de l'intimée. L'instance cantonale a ensuite nié l'obligation de prester de l'intimée en lien avec les suites de l'accident du 5 septembre 2009, pour cause de surindemnisation, dès lors que le recourant avait perçu des indemnités journalières de l'assurance-accidents entre le 8 septembre 2009 et le 30 avril 2014, ainsi qu'une rente de l'assurance-invalidité du 1er septembre 2010 au 31 mars 2012, soit des prestations qui avaient couvert plus de 90 % du gain présumé perdu.
4.2. Le recourant reproche en substance aux premiers juges d'avoir violé l'art. 4 al. 1 et 2 LFLP et constaté les faits de manière incomplète et inexacte pour retenir qu'il n'était pas affilié pour la prévoyance professionnelle auprès de la Fondation collective LPP Swiss Life lors de la survenance de son incapacité de travail à compter du 7 mai 2014.
5.
5.1. En tant que le recourant n'aborde pas la question de la surindemnisation du fait notamment de la perception d'indemnités journalières de l'assurance-accidents entre le 8 septembre 2009 et le 30 avril 2014, il ne fournit pas une argumentation topique, répondant à la motivation retenue par la juridiction cantonale pour nier son droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle en relation avec l'incapacité de travail survenue le 5 septembre 2009, qui permettrait de démontrer que la solution adoptée par les premiers juges contreviendrait au droit fédéral ou reposerait sur une appréciation manifestement inexacte des faits (art. 42 al. 2 LTF). Le recours est dès lors irrecevable pour ce qui est des prétentions de l'assuré quant à une éventuelle obligation de la Fondation collective LPP Swiss Life de prester pour la période antérieure au 1er mai 2014.
5.2. S'agissant ensuite de l'obligation de la Caisse de pensions intimée d'allouer des prestations d'invalidité en lien avec l'incapacité de travail survenue dès le printemps 2014, c'est à bon droit que la juridiction cantonale l'a niée, pour les raisons qui suivent.
5.2.1. D'une part, le recourant ne peut pas être suivi lorsqu'il soutient que son affiliation auprès de la Fondation collective LPP Swiss Life a perduré au-delà du mois de février 2011.
L'art. 10 LPP règle impérativement le début et la fin de l'assurance obligatoire. Cette disposition prévoit que l'obligation d'assurance cesse notamment en cas de dissolution des rapports de travail (art. 10 al. 2 let. b LPP). Or en l'espèce, le recourant ne conteste pas que les relations de travail en vertu desquelles il était affilié auprès de l'intimée ont pris fin le 31 janvier 2011. Il n'allègue du reste pas qu'il eût fait usage d'une éventuelle possibilité offerte par le règlement de prévoyance de la Fondation collective LPP Swiss Life de demeurer affilié comme assuré externe. Les considérations de la juridiction cantonale selon lesquelles la cessation des rapports de travail à la fin du mois de janvier 2011 a entraîné la sortie du recourant de l'institution de prévoyance intimée le 28 février 2011 (art. 10 al. 3 LPP), avec pour conséquence qu'il ne remplissait dès lors plus les conditions de l'affiliation au moment de la survenance de l'incapacité de travailler au mois de mai 2014, doivent donc être confirmées. Quoi qu'en dise l'assuré, le fait qu'une institution de prévoyance ne notifie pas formellement à l'assuré la fin de son affiliation auprès d'elle, qu'elle émette des certificats de prévoyance au-delà de la période d'assurance ou que la prestation de libre passage n'ait pas été transférée à une autre institution de prévoyance (cf. art. 4 al. 1 et 2 LFLP) ne sont pas des circonstances qui permettent de déduire le maintien d'une affiliation.
5.2.2. D'autre part, l'argumentation du recourant, selon laquelle l'incapacité de travail survenue en mai 2014 s'inscrirait dans une relation de causalité adéquate avec l'accident du 5 septembre 2009, ne résiste pas non plus à l'examen. Il ressort en effet des constatations des premiers juges, tirées des décisions entrées en force rendues dans le cadre des procédures relatives à l'assurance-accidents et à l'assurance-invalidité (arrêt cantonal rendu le 20 août 2015 dans le cadre de la procédure relative à l'assurance-accidents, et décisions de l'office AI des 12 février et 27 mai 2016, notamment), que les troubles lombaires dont l'assuré s'est plaint ont nécessité des examens médicaux à la suite d'une chute survenue le 6 mai 2014, et que l'intéressé n'a fait état de tels troubles qu'en février 2014, dans le cadre de son opposition à la décision de l'assureur-accidents, soit plusieurs années après la fracture du poignet subie en septembre 2009. En se limitant à prétendre que les douleurs lombaires seraient présentes depuis l'accident du 5 septembre 2009 en renvoyant à des avis médicaux qui reprennent ses propres plaintes plus de cinq ans plus tard, le recourant n'établit pas le caractère manifestement inexact ou arbitraire des constatations de la juridiction cantonale. La juridiction cantonale a également dûment rappelé les motifs pour lesquels elle avait, dans l'arrêt rendu le 20 août 2015, considéré que l'accident de 2009 n'avait pas entraîné d'atteinte à la santé psychique ayant une incidence sur la capacité de travail. C'est en vain que le recourant invoque l'avis du docteur C._ sans mettre en évidence en quoi le choix des premiers juges de suivre les conclusions du docteur D._ serait arbitraire.
5.3. En conclusion, en considérant que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité n'était pas survenue durant la période d'assurance du recourant auprès de la Fondation collective LPP Swiss Life et, partant, en niant l'obligation de celle-ci de verser des prestations d'invalidité, les premiers juges n'ont ni violé le droit fédéral ni constaté les faits de manière incomplète ou inexacte. Dans la mesure de sa recevabilité (cf. consid. 5.1 supra), le recours est mal fondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La requête de suspension de la procédure est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 décembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud