Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. xx.xx.xxxx) ist mazedonischer Staatsangehöriger. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern verurteilte ihn mit Urteil vom 2. September 1994 wegen verschiedener Delikte zu einer Strafe von 6 1/2 Jahren Zuchthaus abzüglich 316 Tagen Untersuchungshaft. Weiter sprach es für die Dauer von 10 Jahren eine Landesverweisung aus.
Aus dem am 21. April 1994 vorzeitig angetretenen Strafvollzug gelang A._ am 20. Februar 1995 die Flucht. Der Strafvollzug konnte am 9. Januar 2013 mit Vollzugsende am 11. Februar 2018 fortgesetzt werden.
1.2. Das Amt für Migration des Kantons Luzern (Migrationsamt) wies A._ mit Verfügung vom 31. Januar 2013 aus dem Schengen-Raum weg, weil er die Einreisevoraussetzungen nach Art. 5 AuG (SR 142.20) nicht erfüllte. Dagegen reichte A._ mit Schreiben vom 31. Januar 2013 eine Verwaltungsbeschwerde ein, die das Migrationsamt zuständigkeitshalber an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern weiterleitete (JSD).
Das JSD forderte A._ mit Schreiben vom 1. März 2013 auf, bis 18. März 2013 einen Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 1'500.-- zu leisten oder ein begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen. A._ unterliess beides, sodass das JSD mit Entscheid vom 5. April 2013 androhungsgemäss auf die Verwaltungsbeschwerde nicht eintrat.
Mit Schreiben vom 22. April 2013 ersuchte A._ das JSD, die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses wiederherzustellen. Das JSD wies das Gesuch vom 25. April 2013 ab, ohne das entsprechende Schreiben mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen.
1.3. Mit Eingabe vom 30. November 2017 gelangte A._ an das JSD und beantragte, die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses im Verfahren der Verwaltungsbeschwerde vom 31. Januar 2013 wiederherzustellen. Gleichzeitig ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren und das Verfahren um Fristwiederherstellung. Das JSD leitete die Eingabe zur Behandlung als Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Kantonsgericht des Kantons Luzern weiter. Dieses liess offen, ob die Eingabe angesichts der fehlenden Rechtsmittelbelehrung im Schreiben vom 25. April 2013 rechtzeitig erfolgt war und wies die Beschwerde mit Urteil vom 11. Januar 2018 ab.
1.4. Gegen das Urteil vom 11. Januar 2018 gelangt A._ mit Eingabe vom 8. Februar 2018 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils vom 11. Januar 2018 und sinngemäss die Gutheissung des Gesuchs um Fristwiederherstellung sowie die Rückweisung der Angelegenheit zur materiellen Behandlung an das JSD. Weiter ersucht er (superprovisorisch) um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege.
Das Migrationsamt, das JSD und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung.
Auf die superprovisorische Erteilung der aufschiebenden Wirkung hat der Abteilungspräsident gestützt auf eine vorläufige Einschätzung der Prozessaussichten verzichtet. Gemäss Mitteilung des Migrationsamts wurde A._ am 11. Februar 2018 in seine Heimat zurückgeführt. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde damit gegenstandslos.
2.
2.1. Mit dem angefochtenen Urteil hat das Kantonsgericht als kantonal letztinstanzliches, oberes Gericht (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 [i.V.m. Art. 114] BGG) eine Beschwerde gegen den Entscheid einer Verwaltungsbehörde betreffend die Nichtwiederherstellung einer Frist abgewiesen. Im grundsätzlich form- und fristgerecht eingeleiteten bundesgerichtlichen Verfahren (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 100 Abs. 1 [i.V.m. Art. 117] BGG) ist der Streitgegenstand auf die Frage beschränkt, ob das Kantonsgericht die unterinstanzlich verweigerte Fristwiederherstellung zu Recht geschützt hat. Gemäss dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens (vgl. BGE 143 II 425 E. 1.3 S. 428; 138 II 501 E. 1.1 S. 503) richtet sich die Zulässigkeit des Rechtsmittels nach dem in der Sache betroffenen Rechtsverhältnis. Hier betraf das Ausgangsverfahren die mit Verfügung vom 31. Januar 2013 angeordnete Wegweisung des Beschwerdeführers. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als unzulässig (Art. 83 lit. f Ziff. 4 BGG). Grundsätzlich offen steht hingegen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
2.2. Zur Verfassungsbeschwerde ist nach Art. 115 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Der Beschwerdeführer erfüllt die Voraussetzung einer Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren. Mit der Rüge einer formellen Rechtsverweigerung durch die Vorinstanz macht der Beschwerdeführer zudem die Verletzung von Parteirechten geltend, die ihm nach der Star-Praxis ungeachtet einer fehlenden Legitimation in der Sache ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG vermitteln können (vgl. BGE 135 II 430 E. 3.2 S. 436 f.; 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.; Urteil 2C_147/2017 vom 23. Januar 2018 E. 2.6.1). Ob dieses angesichts der mittlerweile erfolgten Rückführung des Beschwerdeführers in seine Heimat weiterhin aktuell und schutzwürdig ist (vgl. zu diesem Erfordernis im Rahmen der Star-Praxis BGE 131 I 153 E. 1.2 S. 157; 118 Ia 488 E. 2a S. 492; Urteil 2C_203/2014 vom 9. Mai 2015 E. 2.5.2), kann dahingestellt bleiben, da sich die Beschwerde ohnehin als offensichtlich unbegründet erweist und im vereinfachten Verfahren mit summarischer Begründung abzuweisen ist (Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG).
2.3. Der Beschwerdeführer rügt eine formelle Rechtsverweigerung und überspitzten Formalismus. Er macht unter Hinweis auf Art. 62 Abs. 3 BGG und Art. 101 Abs. 3 ZPO geltend, das JSD hätte ihm zur Bezahlung des Kostenvorschusses eine Nachfrist ansetzen müssen, bevor es mit Entscheid vom 5. April 2013 auf die Verwaltungsbeschwerde gegen die Wegweisung nicht eintrat.
2.3.1. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sind die Kantone unter dem Gesichtswinkel des verfassungsmässigen Anspruchs auf gleiche und gerechte Behandlung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV nicht verpflichtet, eine mit Art. 62 Abs. 3 BGG bzw. Art. 101 Abs. 3 ZPO inhaltlich übereinstimmende Vorschrift in das kantonale Verfahrensrecht zu übernehmen (vgl. Urteil 2C_509/2010 vom 4. November 2010 E. 3, mit Hinweisen). Die Nachfristansetzung bei verpasster Frist für die Begleichung des Kostenvorschusses entspricht auch keinem allgemeinen Rechtsgrundsatz, wie sich mit Blick auf Art. 66 Abs. 4 VwVG zeigt, der eine solche Möglichkeit gerade nicht vorsieht (vgl. Urteil 2C_703/2009 vom 21. September 2010 E. 4.4).
2.3.2. Ebenso wenig ergibt sich eine formelle Rechtsverweigerung oder überspitzter Formalismus aus dem Vorgehen des JSD im konkreten Fall. Der Anspruch auf gerichtliche Beurteilung steht unter dem Vorbehalt der üblichen Sachurteilsvoraussetzungen, zu denen auch die rechtzeitige Bezahlung des gerichtlich festgelegten Kostenvorschusses gehört (vgl. Urteil 2C_703/2009 vom 21. September 2010 E. 4.4.2, mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer wurde mit eingeschriebener Postsendung vom 1. März 2013 aufgefordert, einen Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 1'500.-- zu leisten oder ein begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzureichen. Gleichzeitig stellte ihm das JSD für den Säumnisfall in Aussicht, dass auf sein Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Damit war der Beschwerdeführer über die Höhe des Vorschusses, die Zahlungsfrist, die Möglichkeit eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und die Säumnisfolgen ausreichend im Bild. Dass das JSD mangels fristgerechter Prozesshandlung des Beschwerdeführers auf dessen Eingabe nicht eintrat, stellt keine unsachliche Strenge dar (vgl. Urteil 2C_703/2009 vom 21. September 2010 E. 4.4.2, mit Hinweisen).
2.4. Weiter macht der Beschwerdeführer unter dem Titel der gleichen und gerechten Behandlung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV geltend, die kantonalen Instanzen hätten sein Gesuch um Fristwiederherstellung aufgrund geänderter Sachumstände zum Anlass nehmen müssen, das Wegweisungsverfahren neu aufzurollen und die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu prüfen. Allerdings legt der Beschwerdeführer nicht dar, aufgrund welcher neuen Sachverhaltselemente die kantonalen Instanzen dazu verpflichtet gewesen wären, den Wegweisungsentscheid vom 31. Januar 2013 zu überprüfen und gegebenenfalls zu widerrufen. Der blosse Lauf der Zeit und das voraussehbare Ende des Strafvollzugs stellen für sich allein jedenfalls keine geänderten Verhältnisse dar, die eine neue Beurteilung erforderlich gemacht hätten, zumal beide Elemente bereits beim Entscheid über die Wegweisung am 31. Januar 2013 bekannt waren.
2.5. Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, das Verhalten seiner Verwandten, die er mit der Bezahlung des Kostenvorschusses beauftragt hatte, könne ihm nicht zugerechnet werden. In diesem Zusammenhang beruft er sich allein auf das Willkürverbot nach Art. 9 BV. Dabei verkennt er, dass das Willkürverbot für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG vermittelt (vgl. BGE 138 I 305 E. 1.3 S. 308; 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.; Urteil 2C_200/2017 vom 14. Juli 2017 E. 1.2.3). Im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist auf seine diesbezüglichen Vorbringen nicht weiter einzugehen.
3.
Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde in allen Teilen als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Aufgrund der Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abzuweisen ist auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Wegen voraussichtlicher Uneinbringlichkeit kann indes auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann