Erwägungen:
1.
Mit unbegründetem Urteil vom 31. Januar 2020 erteilte das Bezirksgericht Bülach dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Rafzerfeld definitive Rechtsöffnung für Fr. 310.-- nebst Zins und Kosten.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 13. März 2020 Beschwerde. Mit Beschluss vom 1. April 2020 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde mangels Anfechtungsobjekt bzw. mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein. Ein unbegründetes Urteil könne nicht angefochten werden. Nicht Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens seien die verlangte Löschung der Betreibung und die beantragte Aufhebung des Pfändungsverfahrens.
Am 13. Mai 2020 hat der Beschwerdeführer gegen diesen Beschluss (sowie zwei weitere Entscheide, dazu Verfahren 5D_86/2020 und 5D_87/2020) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Auf die verlangte Vereinigung des vorliegenden mit den beiden weiteren Verfahren ist zu verzichten. Es sind nicht in allen drei Verfahren dieselben Parteien beteiligt und es stellen sich teilweise unterschiedliche Fragen.
Der Beschwerdeführer ersucht um eine öffentliche Verhandlung. Vor Bundesgericht besteht kein Anspruch auf eine Parteiverhandlung (Art. 57 BGG) oder eine mündliche Beratung (Art. 58 BGG). Der vorliegende Entscheid kann ohne weiteres anhand der vorliegenden Unterlagen (Beschwerde samt Beilagen) gefällt werden. Auf den Beizug weiterer Akten ist zu verzichten.
3.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 142 III 364 E. 2.4 S. 368).
Nicht einzutreten ist auf Anträge, die über die umstrittene Rechtsöffnung hinausgehen (Genugtuung; Rückzahlung verschiedener Beträge etc.).
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, gestützt auf das bezirksgerichtliche Dispositiv sei bereits die Pfändung vollzogen und ein Verlustschein ausgestellt worden. Ohnehin gehe es in diesem Rechtsöffnungsverfahren nur darum, ihn in haltlose Verfahren zu verwickeln. Bei alldem legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwieweit das Obergericht mit seinem Nichteintretensentscheid gegen verfassungsmässige Rechte verstossen haben soll. Im Übrigen erschöpft sich die weitschweifige Beschwerde in einer teilweise schwer verständlichen Schilderung des Sachverhalts und in zahlreichen Vorwürfen gegen verschiedene Personen und Behörden (es lägen Verbrechen gegen die Menschlichkeit vor; er werde in die Schuldknechtschaft getrieben; die Rechtsöffnung erfolge aus allerniedrigsten Motiven, die Steuerschulden seien konstruiert etc.), wobei er dies alles offenbar auf das als ungerecht empfundene Urteil 4C.139/2001 vom 13. August 2001 zurückführt. Eine genügende Verfassungsrüge liegt nicht vor.
Die Beschwerde ist offensichtlich mangelhaft begründet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg