Faits :
A.
Le 18 avril 2010, A._, ressortissant serbe né en 1951, a épousé, dans son pays d'origine, une compatriote née en 1959 et titulaire d'une autorisation de séjour en Suisse. Le 20 octobre 2010, A._ est entré en Suisse, où il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, régulièrement renouvelée. En février 2015, une autorisation d'établissement a été délivrée à son épouse. Le 10 mai 2016, le divorce des époux, sans enfant commun, a été prononcé. Le couple a fait ménage commun jusqu'à cette date.
B.
Le 28 juin 2017, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé A._ qu'il révoquait son autorisation de séjour, mais qu'il était toutefois favorable à la poursuite de son séjour en Suisse. Il a réservé l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat). Par décision du 26 janvier 2018, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation et a ordonné le renvoi de Suisse de A._. Celui-ci a interjeté un recours contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral, qui l'a rejeté par arrêt du 22 mai 2019.
C.
Contre l'arrêt du 22 mai 2019, A._ forme un "recours" au Tribunal fédéral. Il requiert l'effet suspensif et conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, ainsi qu'à la prolongation de son autorisation de séjour.
Par ordonnance du 28 juin 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position sur le recours. Le Secrétariat d'Etat conclut à son rejet.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recourant n'a pas qualifié son recours au Tribunal fédéral. Cette imprécision ne saurait lui nuire, pour autant que l'acte remplisse les exigences légales de la voie de droit qui est ouverte (cf. ATF 138 I 367 consid. 1.1 p. 370).
1.2. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF).
Le recourant, divorcé d'une personne titulaire d'une autorisation d'établissement, se prévaut d'un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'ancien art. 50 al. 1 let. a de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RO 2007 5437), intitulée, depuis le 1er janvier 2019, loi fédérale sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20). Cette disposition, dont la teneur est partiellement différente de l'actuel art. 50 al. 1 let. a LEI, mais qui reste applicable au présent litige (cf. art. 126 al. 1 LEI), fonde, à certaines conditions, un droit à l'octroi d'une autorisation de séjour. Dès lors qu'il n'est pas d'emblée exclu que ces conditions soient remplies en l'espèce, le recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si les conditions posées par la loi sont effectivement réunies relève de l'examen au fond (cf. ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332). La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
1.3. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF), par le recourant qui a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Il est donc recevable en tant que recours en matière de droit public.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (cf. ATF 142 III 364 consid. 2.4 p. 368 et les arrêts cités).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358; 139 II 373 consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. art. 106 al. 2 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, les éléments de fait en lien avec l'intégration du recourant en Suisse exposés dans le recours qui ne résultent pas déjà de l'arrêt entrepris ne seront pas pris en considération, dès lors qu'il n'est pas allégué, ni a fortiori démontré que le Tribunal administratif fédéral aurait établi les faits de manière arbitraire ou manifestement inexacte. En outre, il ne sera pas tenu compte des pièces produites à l'appui du recours qui ne figureraient pas déjà au dossier.
3.
Dans un grief qu'il convient de traiter en premier lieu (cf. ATF 144 I 11 consid. 5.3 p. 17; 142 II 218 consid. 2.8.1 p. 226), le recourant dénonce une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir refusé son audition orale, alors qu'il aurait pu démontrer par ce biais ses connaissances de la langue française et son intégration.
3.1. Garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend, notamment, le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (cf. ATF 143 III 65 consid. 3.2 p. 67; 142 II 218 consid. 2.3 p. 222). Le droit de faire administrer des preuves n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 140 I 285 consid. 6.3.1 p. 299). Il y a arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. ATF 144 II 281 consid. 3.6.2 p. 287; 142 II 355 consid. 6 p. 358).
3.2. En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a indiqué qu'il n'était pas nécessaire de procéder à l'audition du recourant pour évaluer ses connaissances en français, car il résultait de l'audition du 25 avril 2017 par la police que celles-ci étaient modestes et une éventuelle amélioration depuis cette date n'était pas décisive compte tenu de la période déterminante en l'espèce pour l'examen du niveau d'intégration, à savoir entre 2010 et 2017.
Le recourant ne remet pas en cause, sous l'angle de l'arbitraire, l'appréciation anticipée des preuves qui précède, de sorte que son grief ne remplit pas les exigences de motivation applicables (cf. art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1). Quoi qu'il en soit, on relèvera que, dans la mesure où il n'est pas contesté que le recourant a pu s'exprimer par écrit tout au long de la procédure et, dans ce contexte, notamment faire valoir ses compétences linguistiques, on ne peut reprocher au Tribunal administratif fédéral d'être tombé dans l'arbitraire en renonçant à l'audition sollicitée, étant rappelé que le droit d'être entendu ne confère pas de droit à être entendu oralement (cf. ATF 140 I 68 consid. 9.6.1 p. 76). Le Tribunal administratif fédéral ayant refusé par une appréciation anticipée des preuves dénuée d'arbitraire la mesure d'instruction sollicitée, il n'a pas violé le droit d'être entendu du recourant en rejetant sa demande d'audition.
4.
Le présent litige porte sur le droit à la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant après la dissolution de son union avec une personne titulaire d'une autorisation d'établissement, tel qu'il est prévu à l'ancien art. 50 LEtr (actuel art. 50 LEI).
Au terme de son arrêt, le Tribunal administratif fédéral a conclu que le Secrétariat d'Etat n'avait " ni excédé, ni abusé de son pouvoir d'appréciation en retenant que le recourant ne remplissait pas les conditions de l'art. 50 LEtr et en refusant ainsi de donner son approbation au renouvellement de son autorisation de séjour " (consid. 11 p. 15 arrêt entrepris). La Cour de céans relève qu'il ressort de ce considérant que le Tribunal administratif fédéral a limité son contrôle de la décision querellée à l'excès du pouvoir d'appréciation du Secrétariat d'Etat. Or, le Tribunal administratif fédéral dispose d'un plein pouvoir d'examen en fait et en droit (cf. art. 49 let. a et b de la loi fédérale sur la procédure administrative du 20 décembre 1968 [PA; RS 172.021], applicable par le renvoi de l'art. 37 de la loi sur le Tribunal administratif fédéral du 17 juin 2005 [LTAF; RS 173.32]). Il se doit ainsi d'examiner librement les faits et d'appliquer librement et d'office le droit déterminant. Cette exigence découle au reste également de l'art. 29a Cst., qui garantit pour tous les litiges l'accès à au moins un tribunal qui peut contrôler exhaustivement les questions de fait et de droit (cf. ATF 137 I 235 consid. 2.5 p. 239 et 2.5.2 p. 241). Savoir si un titre de séjour doit être octroyé en vertu de l'ancien art. 50 al. 1 LEtr est une question de droit. Partant, une limitation du contrôle à l'excès ou à l'abus du pouvoir d'appréciation du Secrétariat d'Etat méconnaît les règles qui précèdent.
Toutefois, en l'occurrence, le considérant cité semble relever avant tout d'une formulation malheureuse. En effet, il résulte des autres considérants de l'arrêt entrepris que le Tribunal administratif fédéral a examiné librement les conditions de l'ancien art. 50 LEtr. Par ailleurs, même si l'instance précédente avait effectivement restreint son contrôle, cela ne conduirait à la réforme de l'arrêt entrepris que si cela avait eu une incidence concrète sur le résultat de l'arrêt attaqué (cf. arrêt 2C_44/2017 du 28 juillet 2017 consid. 3). Dans tous les cas, il s'agit ainsi de vérifier si la confirmation par le Tribunal administratif fédéral du refus du Secrétariat d'Etat d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour en faveur du recourantest conforme au droit fédéral, question que le Tribunal fédéral revoit d'office et librement (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF).
5.
Le recourant se plaint de la violation de l'ancien art. 50 al. 1 let. a LEtr. Il fait valoir que les conditions de cette disposition sont réunies.
5.1. Selon l'ancien art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Ces deux conditions sont cumulatives (ATF 140 II 289 consid. 3.8 p. 298; 136 II 113 consid. 3.3.3 p. 119).
En l'occurrence, selon l'arrêt entrepris, le recourant et son ex-épouse, mariés le 18 avril 2010 en Serbie, ont fait ménage commun en Suisse entre le 20 octobre 2010 et le 10 mai 2016, date à laquelle le divorce a été prononcé. S'il faut admettre avec le Tribunal administratif fédéral que la décision du couple de se séparer est certainement antérieure à la date du divorce, rien dans l'arrêt entrepris n'indique pour autant que l'union conjugale aurait duré moins de trois ans. La première condition de l'ancien art. 50 al. 1 let. a LEtr est partant réalisée.
5.2. Le principe de l'intégration doit permettre aux étrangers dont le séjour est légal et durable de participer à la vie économique, sociale et culturelle de la Suisse (ancien art. 4 al. 2 LEtr; art. 4 al. 2 LEI). D'après l'art. 77 al. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2018 (RO 2007 5497), un étranger s'est bien intégré, au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, notamment lorsqu'il respecte l'ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale (let. a) et qu'il manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile (let. b). Selon l'art. 4 de l'ancienne ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'intégration des étrangers (aOIE; RO 2007 5551), remplacée au 1er janvier 2019 par l'ordonnance du même nom du 15 août 2018 (RS 142.205), la contribution des étrangers à l'intégration se manifeste notamment par le respect de l'ordre juridique et des valeurs de la Constitution fédérale (let. a), par l'apprentissage de la langue nationale parlée sur le lieu de domicile (let. b), par la connaissance du mode de vie suisse (let. c) et par la volonté de participer à la vie économique et d'acquérir une formation (let. d). L'adverbe "notamment", qui est employé tant à l'ancien art. 77 al. 4 OASA qu'à l'art. 4 aOIE, illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions et met aussi en exergue le fait que la notion "d'intégration réussie" doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances (arrêts 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.1; 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.2 et les arrêts cités). Dans l'examen de ces critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue (cf. arrêt 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.1 et les arrêts cités).
5.3. Selon la jurisprudence, il n'y a pas d'intégration réussie lorsque l'étranger n'exerce pas d'activité lucrative qui lui permette de couvrir ses besoins et qu'il dépend des prestations sociales pendant une période relativement longue. Le fait pour une personne de ne pas avoir commis d'infractions pénales et de pourvoir à son revenu sans recourir à l'aide sociale ne permet pas à lui seul de retenir une intégration réussie. Des périodes d'inactivité de durée raisonnable n'impliquent pas forcément une absence d'intégration professionnelle. Il n'est pas non plus indispensable que l'étranger fasse montre d'une carrière professionnelle exemplaire. L'essentiel en la matière est que l'étranger subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas de manière disproportionnée (arrêts 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.2 et les arrêts cités; 2C_925/2015 du 27 mars 2017 consid. 6.4.4; 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2). Lorsqu'il s'agit d'examiner l'étendue de l'intégration professionnelle d'un étranger, il y a lieu de se fonder sur la situation effective, à savoir sur la présence ou non de l'intéressé sur le marché du travail (cf. arrêts 2C_925/2015 du 27 mars 2017 consid. 6.4.4; 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2). Ainsi, la jurisprudence considère notamment que le point de savoir si un étranger a été durablement empêché de travailler pour des motifs de santé n'entre pas en ligne de compte pour juger de son niveau d'intégration professionnelle à proprement parler, mais peut expliquer qu'il ait émargé à l'aide sociale pendant une période (arrêts 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2; 2C_861/2015 du 11 février 2016 consid. 5.2 et 5.6.2).
5.4. En l'occurrence, sur le plan professionnel, il résulte de l'arrêt entrepris que le recourant a travaillé en Suisse à temps complet entre octobre 2010 et septembre 2012 en tant qu'employé de garage. Après son licenciement et jusqu'à sa retraite, le recourant n'a pas retrouvé d'emploi fixe. Il a effectué une mission temporaire entre avril et juillet 2013.
Ainsi, depuis son arrivée en Suisse en octobre 2010 et jusqu'à ses 65 ans (âge ouvrant le droit à une rente de vieillesse pour un homme, cf. art. 21 al. 1 let. a LAVS) en août 2016, le recourant n'a travaillé que deux ans et quatre mois. On ne peut considérer dans ces conditions que l'intégration professionnelle est réussie. Sans les minimiser, les difficultés à retrouver un emploi à l'approche de l'âge de la retraite ne conduisent pas à une appréciation différente sous l'angle de l'intégration professionnelle, dès lors que, selon la jurisprudence, le critère déterminant est la présence effective sur le marché du travail.
5.5. Sur le plan économique, l'arrêt entrepris retient que le recourant réalisait un revenu mensuel de 3'600 fr. lorsqu'il avait un emploi fixe, puis qu'il a touché les indemnités de chômage jusqu'au 20 mars 2015, date à laquelle son droit a pris fin. Il a dépendu de l'aide sociale depuis la séparation d'avec son épouse en mai 2016. Il n'est pas fait état de dettes autres ou de poursuites.
Sur le vu de ces indications, il faut admettre que le recourant a fait preuve d'une certaine intégration sur le plan économique pendant les premières années de son séjour en Suisse. Cela ne suffit cependant pas à retenir une intégration économique réussie au vu de la dépendance du recourant à l'aide sociale depuis mai 2016, qui apparaît durable. En effet, le fait que le recourant soit au bénéfice d'une rente AVS, ce qu'il souligne dans son recours, ne permet en l'espèce pas de conclure à une plus grande autonomie financière, dès lors que la rente s'élève à un montant mensuel de 280 fr. (cf. art. 105 al. 2 LTF), ce qui n'est de loin pas suffisant pour subvenir à ses besoins. Quant à la circonstance que le recourant pourrait percevoir des prestations complémentaires à l'AVS en 2020, elle n'a pas à être prise en compte, dès lors que pour déterminer si l'intégration est réussie, il y a lieu de se référer essentiellement à la situation de la personne concernée durant la vie commune des époux, en prenant éventuellement en considération l'évolution de la situation jusqu'à l'échéance de la dernière autorisation de séjour délivrée au titre du regroupement familial (cf. arrêts 2C_160/2018 du 29 octobre 2018 consid. 2.2; 2C_175/2015 du 30 octobre 2015 consid. 3), soit en l'espèce juin 2017. Au demeurant, les prestations complémentaires à l'AVS, si elles ne relèvent pas de la notion d'aide sociale au sens strict (ATF 141 II 401 consid. 5.1 p. 404; 135 II 265 consid. 3.7 p. 272; arrêt 2C_13/2019 du 31 octobre 2019 consid. 3) n'en demeurent pas moins des aides de l'Etat. Pour cette raison, dans les cas où, comme en l'espèce, ces prestations s'insèrent dans la continuité de celles versées antérieurement au titre de l'aide sociale, la jurisprudence retient que le recours aux prestations complémentaires AVS peut plaider en défaveur de la poursuite du séjour en Suisse (cf., dans le cadre de la révocation d'une autorisation d'établissement, arrêt 2C_98/2018 du 7 novembre 2018 consid. 4.4).
5.6. S'agissant de l'intégration sociale, l'arrêt entrepris retient que l'intéressé a tissé des liens avec son entourage, attestés par des lettres de soutien, et s'est engagé pour une association culturelle de son pays d'origine. Ces éléments positifs sont à relativiser dans la mesure où, selon l'arrêt entrepris, le recourant a noué essentiellement des contacts avec sa communauté d'origine.
5.7. Sur le plan des connaissances en français, les précédents juges ont retenu qu'elles étaient modestes compte tenu de la durée du séjour en Suisse. Ils ont souligné dans ce contexte que le recourant avait indiqué avoir besoin d'un interprète pour répondre aux questions de la police. Or, selon la jurisprudence, lors de l'examen de l'intégration au sens des anciens art. 50 al. 1 let. a LEtr et 77 OASA, le recours à un interprète dans des situations officielles ne permet pas de tirer une conclusion négative quant à l'intégration sur le plan des connaissances linguistiques (cf. arrêt 2C_861/2015 du 11 février 2016 consid. 5.3). Dans la mesure où le recourant, qui se contente d'indiquer qu'il aurait dû être entendu à ce sujet (cf. supra consid. 3), ne démontre pas que la conclusion du Tribunal administratif fédéral selon laquelle ses connaissances en français seraient modestes est arbitraire, il n'y a toutefois pas lieu de s'écarter de ce constat (cf. art. 105 al. 1 LTF; cf. supra consid. 2.2).
5.8. Sur le vu de l'ensemble des circonstances qui précèdent et compte tenu en particulier du manque d'intégration professionnelle du recourant et de sa dépendance durable à l'aide sociale, les précédents juges n'ont pas violé le droit fédéral en retenant que la condition de l'intégration réussie de l'ancien art. 50 al. 1 let. a LEtr n'était pas réalisée. Le grief du recourant est rejeté.
6.
Le Tribunal administratif fédéral a également examiné dans son arrêt si la poursuite du séjour du recourant en Suisse s'imposait pour des raisons personnelles majeures (cf. art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI, dont la teneur est la même que l'ancien art. 50 al. 1 let. b et 2 LEtr). Il a estimé que tel n'était pas le cas, en relevant que la réintégration dans le pays d'origine ne semblait pas fortement compromise (sur ce cas de raisons personnes majeures, cf. ATF 139 II 393 consid. 6 p. 403; 138 II 229 consid. 3.1 p. 232) et qu'aucun autre cas de raisons personnelles majeures n'était réalisé.
Le recourant ne critique à juste titre pas cette conclusion. En effet, il résulte de l'arrêt entrepris que le recourant, venu en Suisse à l'âge de 59 ans, a passé la majeure partie de sa vie dans son pays d'origine, où il s'est en outre rendu régulièrement ces dernières années. Le recourant ne peut en outre être suivi lorsqu'il allègue ne disposer d'aucune attache familiale dans son pays d'origine, dès lors que, selon l'arrêt attaqué, il a un fils issu d'une précédente union dans ce pays. Il apparaît ainsi qu'il pourra se réintégrer sans rencontrer de difficultés insurmontables.
7.
En dernier lieu, le recourant souligne qu'il séjourne en Suisse depuis plus de neuf ans.
Le recourant a obtenu une autorisation de séjour en octobre 2010 et celle-ci a été révoquée en juin 2017. La durée du séjour légal est donc inférieure à dix ans. Or, selon la jurisprudence, dans une telle configuration, le refus de prolonger ou la révocation de l'autorisation de rester en Suisse ne porte atteinte au droit au respect de la vie privée tel que consacré à l'art. 8 par. 1 CEDH que si la personne étrangère fait preuve d'une forte intégration en Suisse (ATF 144 I 266; arrêts 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 7.1; 2C_733/2019 du 3 septembre 2019 consid. 3.2), ce qui n'est pas le cas en l'occurrence (cf. supra consid. 5.8). Le recourant, qui n'invoque du reste pas l'art. 8 par. 1 CEDH, ne peut donc rien déduire de la durée de son séjour.
8.
En définitive, comme le recourant ne remplit pas les conditions de l'ancien art. 50 LEtr et ne peut pas se prévaloir de l'art. 8 CEDH, le refus d'approuver la prolongation de son autorisation de séjour après la dissolution de son union est conforme au droit. Cela conduit au rejet du recours.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, et au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 novembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber