Sachverhalt:
A.
A.A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist Erbin von B.A._. Dieser investierte in den Jahren vor 1980 in beträchtlichem Umfang in diverse Immobilien-Anlagefonds, namentlich in den "Schweizerischen Liegenschaften-Anlagefonds "D._" und den Fonds "E._". Als Fondsleitung dieser beiden Fonds agierte die C._ SA (Beklagte, Beschwerdegegnerin; nunmehr in Liquidation). Im Jahr 1990 gab B.A._ zwei grössere Bestände an Anteilscheinen der Anlagefonds D._ und E._ an die Beklagte zurück, nachdem er vergeblich moniert hatte, diese habe die Anteilscheine zu tief bewertet und durch die Ausgabe neuer Anteilscheine an Dritte das Anlagevermögen verwässert.
B.
Am 14. Oktober 1991 klagte B.A._ beim Zivilgericht Basel-Stadt gegen die Beklagte auf Auskunftserteilung und Zahlung von mindestens Fr. 600'000.--. Im Jahr 1994 verstarb B.A._ und die Klägerin trat in den Prozess ein. Sie beantragte mit geändertem Rechtsbegehren im Wesentlichen, die Beklagte sei kostenfällig zu verpflichten, ihr Fr. 420'803.-- nebst Zins zu bezahlen. Zusätzlich verlangte sie Ersatz für den noch zu bestimmenden Verwässerungsschaden. Ferner habe die Beklagte ihr Fr. 91'133.75 nebst Zins zu bezahlen als Ersatz für die Kosten der Bestimmung der Preise der fraglichen Anteilscheine.
Die Beklagte trug auf Abweisung der Klage an und verlangte widerklageweise Fr. 29'264.60 nebst Zins.
Am 25. Juni 2014 wies das Zivilgericht die Klage ab. Die Widerklage hiess es gut. Es verpflichtete die Klägerin, der Beklagten Fr. 29'264.60 nebst Zins zu bezahlen. Die dagegen gerichtete Berufung der Klägerin wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 16. September 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit dem Urteil 4A_633/2016 vom 6. September 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Honorarrechnung vom 10. Oktober 2017 forderte die Beklagte von der Klägerin die Bezahlung der Parteientschädigungen für sämtliche Verfahren.
Nachdem die Parteien sich über die Höhe der Parteientschädigung nicht einigen konnten, ersuchte die Beklagte am 28. September 2018 das Zivilgericht, die Parteientschädigung für das zivilgerichtliche Verfahren, für das die Höhe der Parteientschädigung im Entscheid vom 25. Juni 2014 offengelassen worden war, auf Fr. 244'616.10 festzusetzen.
Mit Entscheid vom 19. Februar 2020 bezifferte das Zivilgericht die Parteientschädigung für das zivilgerichtliche Verfahren einschliesslich Auslagen auf Fr. 205'421.90.
Die dagegen gerichtete Beschwerde der Klägerin wies das Appellationsgericht am 9. Dezember 2020 ab.
D.
Die Klägerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 9. Dezember 2020 sei aufzuheben. Die Parteientschädigung der Beklagten sei mit höchstens Fr. 131'701.90 inklusive Auslagen zu beziffern. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Ihrem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gab das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 23. Februar 2021 statt, soweit die vom Appellationsgericht bestätigte Parteientschädigung den Betrag von Fr. 131'701.90 einschliesslich Auslagen übersteigt. Obwohl in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, beantragte die Beschwerdegegnerin in ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht nur, diese nicht zu gewähren, sondern auch, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Klägerin hat unaufgefordert repliziert. Das Appellationsgericht hatte bereits mit seinem Verzicht auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung auf Vernehmlassung in der Hauptsache verzichtet und gestützt auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde beantragt.
Erwägungen:
1.
Hat eine Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Kosten des kantonalen Verfahrens zum Gegenstand und ging es schon im vorinstanzlichen Verfahren allein um die Kosten, bestimmt sich der Streitwert für die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen nach dem Betrag, in dem die Kosten vor der Vorinstanz strittig waren (Urteil 4D_65/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 2.1 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 143 III 46 E. 1). Da der Betrag der vor Vorinstanz umstrittenen Parteientschädigung Fr. 30'000.-- übersteigt, ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (BGE 143 IV 241 E. 2.3.1; 140 III 115 E. 2, 264 E. 2.3). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht wurden (BGE 140 III 86 E. 2 mit Hinweisen). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE 140 III 16 E. 1.3.1; BGE 133 II 249 E. 1.4.3).
2.2. Mit der Beschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Der Begriff des Bundesrechts umfasst die von den Bundesorganen erlassenen Rechtsnormen aller Erlassstufen, insbesondere die Bundesverfassung, die Bundesgesetze sowie die verschiedenen Arten von Verordnungen (BGE 133 I 201 E. 1). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nicht, wenn man von den Ausnahmen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG absieht. Zulässig ist aber die Rüge, die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts verletze Bundesrecht, namentlich das Willkürverbot (Art. 9 BV) oder andere verfassungsmässige Rechte (BGE 133 III 462 E. 2.3 mit Hinweis). Für derartige Rügen der Verletzung eines Grundrechts gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2; 138 I 171 E. 1.4; 136 I 49 E. 1.4.1 mit Hinweisen).
Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, wenn sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheids als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich nur dann, wenn der Entscheid auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (BGE 141 III 564 E. 4.1; 140III 16 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Im rechtskräftig abgeschlossenen Hauptverfahren wies das Zivilgericht die Klage der Beschwerdeführerin ab und hiess die Widerklage der Beschwerdegegnerin gut. Dementsprechend auferlegte es die Kosten im Grundsatz der Beschwerdeführerin. Im Einklang mit dem anwendbaren basel-städtischen Zivilprozessrecht bezifferte es die Höhe der Parteientschädigung nicht. Dieses Urteil wurde vom Appellationsgericht und anschliessend vom Bundesgericht bestätigt.
Für Verfahren, die bei Inkrafttreten der eidgenössischen Zivilprozessordnung rechtshängig waren, galt das bisherige Verfahrensrecht bis zum Abschluss vor der betroffenen Instanz (Art. 404 Abs. 1 ZPO). Der Vater der Beschwerdeführerin leitete das Hauptverfahren am 14. Oktober 1991 mit Klage beim Zivilgericht ein, weshalb sich dieses Verfahren nach dem kantonalen Zivilprozessrecht richtete. Nach diesem Recht waren auch die Kostenfolgen des nunmehr rechtskräftigen Urteils des Zivilgerichts vom 25. Juni 2014 zu beurteilen (BGE 138 I 1 E. 2.1; Urteil 4A_180/2014 vom 20. August 2014 E. 2). Denn das Appellationsgericht bestätigte am 16. September 2016 das Urteil des Zivilgerichts im Sinne von Art. 318 Abs. 1 lit. a ZPO und traf nicht etwa einen neuen Entscheid gemäss Art. 318 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 318 Abs. 3 ZPO (vgl. dazu Urteil 4A_17/2013 vom 13. Mai 2013 E. 4.1).
3.2. Die Bezifferung der Parteientschädigung erfolgte erst im Tarifierungsentscheid der Erstinstanz vom 19. Februar 2020. Die dagegen gerichtete Beschwerde wies die Vorinstanz im angefochtenen Urteil vom 9. Dezember 2020 ab.
Die Zuständigkeit zur anschliessenden Bezifferung der Parteientschädigung richtet sich nach dem Gesetz betreffend Wahl und Organisation der Gerichte sowie der Arbeitsverhältnisse des Gerichtspersonals und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt vom 27. Juni 1895 (Gerichtsorganisationsgesetz, aGOG/BS; SG 154.100). Gemäss dessen § 41 entscheidet ein Ausschuss jeder Kammer, bestehend aus dem Gerichtspräsidenten und zwei Mitgliedern der Kammer, endgültig über Moderation oder Tarifierung von Anwaltsrechnungen in Angelegenheiten, die vor der betreffenden Kammer verhandelt worden sind.
Die Höhe der Parteientschädigung richtet sich nach der altrechtlichen Honorarordnung für die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Basel-Stadt vom 15. Dezember 2004 (aHO/BS; SG 291.400). Diese wurde zwar auf den 1. Januar 2011 aufgehoben und durch die Honorarordnung für die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Basel-Stadt vom 29. Dezember 2010 (HO/BS; SG 291.400) abgelöst. Letztere gilt aber gemäss den Übergangsbestimmungen in deren § 17 nur für diejenigen Prozesse, die nach den am 1. Januar 2011 neu in Kraft tretenden Bundesverfahrensordnungen abzuwickeln sind. Für die nach den bisherigen kantonalen Verfahrensordnungen durchzuführenden Prozesse gilt weiterhin die Honorarordnung für die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Basel-Stadt vom 15. Dezember 2004.
4.
Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die Parteientschädigung sei inklusive Auslagen mit höchstens Fr. 131'701.90 zu veranschlagen.
4.1. Gemäss § 4 Abs. 1 lit. b Ziff. 13 aHO/BS beträgt das Grundhonorar Fr. 28'600.-- bis Fr. 48'000.--, wenn der Streitwert über Fr. 500'000.-- bis Fr. 1'000'000.-- liegt. Innerhalb dieses Rahmens richtet sich die Bemessung des Honorars nach folgenden Grundsätzen: Umfang der Bemühungen; Wichtigkeit und Bedeutung der Sache für die Auftraggeberin; sowie Schwierigkeit in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht (§ 2 aHO/BS).
Auf dem Grundhonorar können diverse Zuschläge berechnet werden, die in § 5 Abs. 1 aHO/BS aufgelistet sind. Gemäss § 5 Abs. 2 aHO/BS dürfen diese Zuschläge insgesamt 280 % des Grundhonorars nicht übersteigen.
4.2. Nach Art. 319 ZPO konnte die Vorinstanz die Rechtsanwendung frei prüfen (Art. 320 lit. a ZPO), während ihre Kognition in tatsächlicher Hinsicht auf die Prüfung einer offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhaltes eingeschränkt war (Art. 320 lit. b ZPO).
Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Erstinstanz habe die massgebenden Bemessungskriterien gemäss § 2 aHO/BS korrekt angewandt und das Grundhonorar richtigerweise am oberen Ende des Rahmens mit Fr. 48'000.-- veranschlagt. Willkür in Bezug auf die tatsächlichen Grundlagen, auf der die Bemessung fusste (beispielsweise in Bezug auf die Bedeutung der Streitsache für die Parteien), sei nicht dargetan.
Unbestritten waren nach dem angefochtenen Entscheid der Zuschlag von 280 % auf dem Grundhonorar, die Auslagen und dass keine Mehrwertsteuer zuzusprechen war. So resultierte eine Parteientschädigung von Fr. 182'400.-- als Summe aus dem Grundhonorar von Fr. 48'000.-- und dem Zuschlag von Fr. 134'400.--. Addiert man dazu die Auslagen von Fr. 23'021.90, ergibt sich die zugesprochene Summe von Fr. 205'421.90.
4.3. Die Rügen der Beschwerdeführerin sind unbegründet.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe sich nicht mit ihrem Argument befasst, dass die Beschwerdegegnerin im Hauptsacheverfahren eine tiefere Parteientschädigung als angemessen gehalten habe. Dass die Beschwerdegegnerin im späteren Tarifierungsverfahren eine höhere Parteientschädigung verlange, sei ihr nicht zu verübeln. Stossend sei aber, wenn das für die Tarifierung angerufene Gericht die ursprüngliche Bezifferung unberücksichtigt lasse.
Die Vorinstanz musste sich nicht bei den Ausführungen der Beschwerdegegnerin im rechtskräftig abgeschlossenen Hauptverfahren aufhalten. Sie wies überzeugend darauf hin, dass sich die Erstinstanz mit dem Umfang der Bemühungen befasst und das Hauptverfahren als aussergewöhnlich aufwendig qualifiziert habe. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz von einer hinreichenden Substanziierung des Verfahrensumfangs ausging und erwog, die Beschwerdegegnerin habe dargelegt, dass das Hauptverfahren fast 23 Jahre gedauert habe; dass die Beschwerdeführerin 269 Eingaben mit insgesamt 1'281 Seiten verfasst habe und die Beschwerdegegnerin 132 Eingaben mit insgesamt 808 Seiten; dass das Zivilgericht 98 Verfügungen erlassen, fünf Zeugen befragt, eine Expertise eingeholt, zwei Rekursentscheide und ein Haupturteil gefällt habe. Die Beschwerdeführerin habe diese Darlegungen der Beschwerdegegnerin nur pauschal bestritten.
Auch was die Bedeutung der Streitigkeit für die Parteien anbelangt, überzeugt das angefochtene Urteil. Die Vorinstanz erwog, die Erstinstanz habe zu Recht eine für die Parteien hohe Wichtigkeit und Bedeutung der Sache angenommen. Die Beschwerdeführerin erkläre selbst, dass das wirtschaftliche und ideelle Interesse der Beschwerdegegnerin gross gewesen sei. Die Behauptung, ihr eigenes Interesse sei "vergleichsweise bescheiden", sei dagegen unbegründet und unbelegt geblieben.
Es ist auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die erstinstanzliche Einschätzung schützte, wonach das Hauptverfahren insbesondere wegen der umstrittenen Bewertungsmethoden eine hohe Komplexität aufwies. Die Beschwerdeführerin hatte im kantonalen Verfahren vorgebracht, sie habe die Unterbewertung auf einfache Weise nachgewiesen. Dem setzte die Vorinstanz entgegen, das Zivilgericht, das Appellationsgericht und das Bundesgericht seien dem angeblich einfachen Nachweis der Unterbewertung nicht gefolgt, und zwar in sehr umfangreichen Entscheiden. Das Urteil des Zivilgerichts vom 25. Juni 2014 umfasse 57 Seiten, das Urteil des Appellationsgericht vom 16. September 2016 39 Seiten und das abschliessende Urteil des Bundesgerichts 4A_633/2016 vom 6. September 2017 21 Seiten.
Von Willkür kann keine Rede sein.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe das Unrechtsmass gemäss § 172 ZPO/BS ausser Acht gelassen. Die ausserordentlichen Prozesskosten seien der unterliegenden Partei nach dem Mass aufzuerlegen, in welchem sie im Unrecht erscheine. Die Beschwerdeführerin habe bereits in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz gerügt, das geringe Unrechtsmass ihres Unterliegens im Hauptsacheverfahren sei bei der Bezifferung der Parteientschädigung nicht berücksichtigt worden.
Die Beschwerdeführerin scheint zu übersehen, dass im Tarifierungsverfahren nur über die Höhe der Parteientschädigung zu befinden ist. Ob eine Entschädigung ganz oder teilweise geschuldet ist, prüfte das Zivilgericht bereits in seinem rechtskräftigen Urteil vom 25. Juni 2014. Allfällige Einwendungen gegen die Kostenverteilung hätte die Beschwerdeführerin in den entsprechenden Rechtsmittelverfahren geltend machen müssen. Hingegen konnte sie im Tarifierungsverfahren nur noch vorbringen, die Höhe der Entschädigung entspreche nicht dem massgebenden kantonalrechtlichen Tarif (Staehelin/Sutter, Zivilprozessrecht, 1992, S. 188 § 15 Rz. 8).
Wie bereits die Vorinstanz erwog, sind unnötige Prozesskosten und eine unnötige Vergrösserung des Aufwands durch die obsiegende Partei nicht bei der Höhe der Parteientschädigung zu berücksichtigen, sondern bei der Kostenverteilung (vgl. Art. 108 ZPO sowie für die ZPO/BS: Bruno Haberthür, Praxis zur Basler Zivilprozessordnung mit Erläuterungen, Band II, Basel 1964, S. 718 ff. sowie S. 707 ff.). Diese kann im Tarifierungsverfahren nicht mehr überprüft werden.
Gemäss § 172 ZPO/BS konnte der unterliegenden Partei eine Parteientschädigung auferlegt werden "je nach dem Mass, in welchem sie im Unrecht erscheint". Diese Bestimmung weist den gleichen Gehalt auf wie Art. 106 ZPO, wonach die Prozesskosten "der unterliegenden Partei" auferlegt werden. Das alte basel-städtische "Mass, in welchem sie im Unrecht erscheint" entspricht dem modernen Mass, in welchem sie unterliegt. Ebenso wie Art. 106 ZPO folgt § 172 ZPO/BS dem Grundsatz, dass die Prozesskosten nach dem Ausgang der Hauptsache verlegt werden (Staehelin/Sutter, a.a.O., S. 188 § 15 Rz. 9).
Nach dem Gesagten zielt die Beschwerdeführerin an der Sache vorbei, wenn sie der Vorinstanz vorwirft, sie hätte § 172 ZPO/BS willkürlich angewendet. Denn diese Norm betrifft die Kostenverteilung im rechtskräftigen Urteil des Zivilgerichts vom 25. Juni 2014. Im nachgelagerten Tarifierungsverfahren hat § 172 ZPO/BS keine Bedeutung.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das Verfahren vor Bundesgericht zu ersetzen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Da die Beschwerdegegnerin nur zur Stellungnahme zum Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung eingeladen wurde, steht ihr nur eine reduzierte Parteientschädigung zu.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak