Faits :
A.
A._, ressortissant britannique né en 1982, est père d'un garçon né en 2012 d'une relation avec une ressortissante suisse. Cet enfant a la nationalité suisse. A._, qui bénéficie de l'autorité parentale conjointe sur son fils, est entré en Suisse le 1 er septembre 2012 et, y exerçant alors une activité lucrative, a obtenu une autorisation de séjour UE/AELE.
Dès le 9 juillet 2013, l'intéressé s'est trouvé en incapacité totale de travailler. Du 8 au 16 octobre 2013, il a été hospitalisé en raison d'une cellulite disséquante du cuir chevelu et d'une thalassémie alpha de stade 2. Depuis lors, il est régulièrement suivi pour cette atteinte. Il a obtenu une rente entière de l'assurance-invalidité (AI) pour la période allant du 1 er juillet 2014 au 31 octobre 2016. Son contrat de travail a été résilié par courrier du 28 octobre 2013, avec effet au 30 novembre 2013. A._ émarge à l'aide sociale.
B.
Par décision du 31 octobre 2016, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a révoqué l'autorisation de séjour UE/AELE de A._, mais s'est déclaré favorable à la poursuite de son séjour en Suisse en raison des motifs importants qui l'exigeaient, c'est-à-dire sa situation médicale et la présence de son fils dans ce pays. Il a de ce fait transmis le dossier au Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat) pour qu'il donne son approbation à l'octroi de cette autorisation de séjour. Par décision du 30 mars 2017, le Secrétariat d'Etat a refusé d'approuver l'octroi de l'autorisation de séjour proposée par le Service de la population. Sur recours de A._ du 3 mai 2017, le Tribunal administratif fédéral, par arrêt du 12 septembre 2018, a confirmé la décision précitée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'assistance judiciaire et l'effet suspensif, d'annuler la décision du Secrétariat d'Etat du 30 mars 2017 et de lui accorder une autorisation de séjour; subsidiairement de renvoyer la cause au Secrétariat d'Etat pour qu'il procède à une instruction complémentaire. Il se plaint d'établissement inexact de faits et de violation du droit fédéral et international.
Par ordonnance du 8 octobre 2018, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références). En l'occurrence, en sa qualité de ressortissant britannique, le recourant peut en principe prétendre à un titre de séjour en Suisse, en vertu de l'ALCP (RS 0.142.112.681; cf. ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179 et les références). Père d'un enfant de nationalité suisse, il invoque en outre de manière soutenable une violation de l'art. 8 CEDH (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3 p. 145 s.). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, ni d'aucune autre clause d'irrecevabilité figurant à l'art. 83 LTF. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), est recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Dans la mesure où le recourant demande l'annulation de la décision du Secrétariat d'Etat du 30 mars 2017, sa conclusion est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal administratif fédéral (ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543). Les conclusions devant être interprétées à la lumière des motifs du recours (cf. ATF 137 II 313 consid. 1.3 p. 317), on comprend toutefois que c'est l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral que le recourant entend demander.
2.
Dans un premier grief, le recourant se plaint d'établissement inexact des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF (ATF 142 I 155 consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; ATF 137 III 226 consid. 4.2 p. 234). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
2.2. Le recourant est d'avis que le Tribunal administratif fédéral n'a à tort pas tenu compte du fait qu'il a travaillé dans son pays d'origine avant sa venue en Suisse et que cette autorité ne pouvait statuer sans s'appuyer sur une expertise pédopsychiatrique de son fils. Outre que pour motiver son grief il se fonde sur des faits qui n'ont pas été retenus et dont il n'y a par conséquent pas lieu de prendre en compte, le recourant n'explique aucunement en quoi ces éléments de fait auraient une quelconque incidence sur l'issue de la cause. Par conséquent, son grief d'établissement inexact des faits ne peut qu'être écarté.
3.
A juste titre, le recourant ne fait pas valoir de violation de l'ALCP. Bien qu'il soit ressortissant britannique et puisse en principe prétendre à une autorisation de séjour fondée sur cet accord, il se trouve toutefois en Suisse sans activité lucrative et émarge à l'aide sociale. Il ne peut par conséquent prétendre ni à l'application de l'art. 6 annexe I ALCP, ni à celle de l'art. 24 annexe I ALCP pour obtenir un titre de séjour. Il convient en outre de préciser que, selon les faits qui ressortent de l'arrêt entrepris, le recourant est certes en incapacité de travailler. Cette incapacité est cependant intervenue moins de deux ans après son entrée en Suisse et n'est pas consécutive à un accident du travail ou une maladie professionnelle, ce qui exclut l'application de l'art. 2 du règlement (CEE) n° 1251/70 de la Commission européenne relatif au droit des travailleurs de demeurer sur le territoire d'un Etat membre après y avoir occupé un emploi, en relation avec l'art. 4 annexe I ALCP.
4.
En définitive, seule se pose la question du droit au respect de la vie familiale du recourant au sens de l'art. 8 CEDH, en raison de sa relation avec son fils, ressortissant suisse.
4.1. L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé: la Convention ne garantit pas le droit d'une personne d'entrer ou de résider dans un Etat dont elle n'est pas ressortissante ou de n'en être pas expulsée. Les Etats contractants ont en effet le droit de contrôler, en vertu d'un principe de droit international bien établi, l'entrée, le séjour et l'éloignement des non-nationaux. Toutefois le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition. Il n'y a cependant pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des personnes concernées qu'elles réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour. En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 144 I 91 consid. 4.2 p. 96 et les références).
4.2. Dans un arrêt récent (ATF 144 I 91), le Tribunal fédéral a rappelé la jurisprudence relative à l'application de l'art. 8 CEDH pour le parent étranger qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde d'un enfant mineur disposant d'un droit durable de résider en Suisse. Il a en outre rappelé que cette jurisprudence s'appliquait également lorsque les parents sont titulaires de l'autorité parentale conjointe, ce qui est généralement la règle depuis l'entrée en vigueur des modifications du Code civil le 1 er juillet 2014 [cf. RO 2014 357]; cf. ATF 142 III 56 consid. 3 p. 62 s.), mais que seul l'un des deux a la garde de l'enfant (cf. ATF 143 I 21 consid. 5.5.4 p. 32). Le parent qui n'a pas la garde ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec son enfant que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, il soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours brefs, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée ou par le biais de moyens de communication modernes. Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (ATF 144 I 91 consid. 5.1 p. 96 s. et les références).
Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral (ATF 144 I 91 consid. 5.2 p. 97 et les références), un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence 1) de relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et 2) d'un point de vue économique, 3) de l'impossibilité pratique à maintenir la relation en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent et 4) d'un comportement irréprochable. Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale. Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents, étant précisé que, sous l'angle du droit des étrangers, cet élément n'est pas prépondérant par rapport aux autres et que l'art. 3 CDE ne saurait fonder une prétention directe à l'octroi ou au maintien d'une autorisation (ATF 144 I 91 consid. 5.2 p. 98 et les références).
4.3.
4.3.1. On ne saurait parler de comportement irréprochable lorsqu'il existe, à l'encontre de l'étranger, des motifs d'éloignement, en particulier si l'on peut lui reprocher un comportement répréhensible sur le plan pénal ou en regard de la législation sur les étrangers, étant entendu qu'en droit des étrangers, le respect de l'ordre et de la sécurité publics ne se recoupent pas nécessairement avec la violation de dispositions pénales, de sorte que l'appréciation émise par l'autorité de police des étrangers peut s'avérer plus rigoureuse que celle de l'autorité pénale. La jurisprudence a toutefois relativisé cette condition dans des situations spécifiques. Ainsi, lorsque l'éloignement du parent étranger qui a la garde exclusive et l'autorité parentale remettrait en cause le séjour de l'enfant de nationalité suisse en Suisse, la jurisprudence n'exige plus du parent qui entend se prévaloir de l'art. 8 CEDH un comportement irréprochable et seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant à pouvoir grandir en Suisse. Par ailleurs, en présence d'une atteinte de peu d'importance à l'ordre public et d'un lien affectif et économique particulièrement fort avec l'enfant, la contrariété à l'ordre public ne constitue plus une condition indépendante rédhibitoire de refus de prolongation de l'autorisation de séjour, mais un élément parmi d'autres à prendre en compte dans la pesée globale des intérêts (ATF 144 I 91 consid. 5.2.4 p. 100 et les références).
4.3.2. La possibilité d'exercer le droit de visite depuis le pays d'origine, pour éviter qu'il ne s'agisse que d'une possibilité théorique, doit être examinée concrètement et notamment tenir compte de l'âge des intéressés, des moyens financiers, des techniques de communication et des types de transport à disposition ainsi que de la distance entre les lieux de résidence: l'impossibilité pratique à maintenir la relation sera tenue pour réalisée si le pays de l'étranger qui bénéficie d'un droit de visite est très éloigné de la Suisse (144 I 91 consid. 5.2.3 p. 99 et les références).
5.
En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a considéré que, s'il existait un lien affectif et économique suffisant au sens de la jurisprudence précitée, il n'en allait pas de même du comportement irréprochable. Il a en outre estimé qu'il n'était pas impossible pour le recourant de maintenir une relation avec son enfant en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent. L'autorité précédente a donc admis une ingérence dans le droit à la vie familiale du recourant.
5.1. Il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant, qui est arrivé en Suisse le 1 er septembre 2012, a l'autorité parentale conjointe sur son fils, né le 1 er mai 2012 et de nationalité suisse. Il exerce son droit de visite à raison de trois week-ends par mois, la mère de l'enfant ayant de plus indiqué que l'intéressé voyait son fils régulièrement et qu'il maintenait avec celui-ci une relation très étroite et fusionnelle. Le Tribunal administratif fédéral a d'ailleurs constaté que la déclaration signée par le recourant et la mère de l'enfant, validée par le juge compétent, fait état d'une garde parentale partagée. Le recourant ne verse aucune contribution d'entretien en faveur de son enfant, dès lors qu'il n'exerce aucune activité lucrative et dépend de l'aide sociale, mais a déclaré à l'autorité précédente dépenser environ 150 fr. par mois dans le cadre de l'exercice de son droit de visite. Le recourant, qui a perçu une (faible) rente entière de l'AI durant un peu plus de deux ans, prend des antibiotiques tous les jours en raison de sa "maladie chronique et douloureuse". Il affirme toutefois chercher du travail à 50%. Finalement, le Tribunal administratif fédéral a encore constaté que le recourant disposait d'un casier judiciaire vierge. Au 8 mai 2018, celui-ci avait accumulé un montant de 42'333 fr. 45 d'actes de défaut de biens. Pour les années 2017 et les quatre premiers mois de l'année 2018, sa dette d'aide sociale s'élevait à 25'348 fr. 60.
5.2. En l'occurrence, à l'instar de l'autorité précédente, on doit admettre l'existence de liens affectifs et économiques suffisants entre le recourant et son fils. Dans la mesure où le recourant exerce une garde alternée sur son enfant, ces conditions sont en effet remplies aussi bien sous l'angle affectif (cf. ATF 144 I 91 consid. 5.2.1 p. 98 et les références), que sous l'angle économique, étant rappelé que des prestations en nature sont suffisantes dans un tel cas de figure (cf. ATF 144 I 91 consid. 5.2.2 p. 99).
Le Tribunal administratif fédéral a en revanche jugé que le recourant pouvait exercer son droit de visite depuis son pays d'origine, en raison des divers moyens de transport à disposition, adéquats et bon marché, et d'Internet qui permet d'entretenir des contacts réguliers. Il a en outre nié l'existence d'un comportement irréprochable de la part du recourant, qui présente un important montant d'actes de défaut de biens. On ne saurait suivre l'autorité précédente. En effet, on relèvera en tout premier lieu que le recourant, qui vit en Suisse depuis un peu plus de six ans, n'a jamais fait l'objet de condamnations pénales. Comme on l'a vu, il entretient des contacts étroits et très réguliers avec son fils, tant d'un point de vue affectif que d'un point de vue économique. Dans un tel cas de figure, on doit rappeler qu'il faut plus qu'une simple contrariété à l'ordre public pour que la condition du comportement irréprochable soit rédhibitoire. Certes, le recourant émarge à l'aide sociale et fait l'objet d'actes de défaut de biens. Toutefois, il ressort de l'arrêt entrepris que, malgré sa maladie, le recourant cherche une activité lucrative à 50% et, de ce fait, vise à réduire son endettement et à s'affranchir de sa dépendance à l'aide sociale. Si l'on peut regretter cet endettement et encourager le recourant à améliorer sa situation, on ne saurait cependant admettre que le comportement de celui-ci est à ce point contraire à l'ordre public qu'il doive exclure d'emblée tout droit de séjour en Suisse. C'est d'ailleurs d'autant moins le cas que l'enfant a la nationalité suisse et qu'il ne peut être attendu qu'il suive son père au Royaume-Uni. Surtout, et contrairement à l'avis du Tribunal administratif fédéral, il n'est pas exigible du recourant qu'il utilise les divers moyens de transport à disposition entre son pays d'origine et la Suisse pour exercer son droit de visite sur son fils. Certes, il existe un nombre important de liaisons entre les deux pays qui ne sont que peu éloignés. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue la situation financière du recourant, qui n'arrive pas à subvenir seul à ses propres besoins. Cette situation ne permet pas d'exiger de lui qu'il s'acquitte de titres de transport à chaque fois qu'il désire voir son enfant. En outre, né en 2012, il ne saurait être attendu que celui-ci se rende régulièrement au Royaume-Uni pour visiter son père.
5.3. Il s'en suit que la pesée globale des intérêts en présence conduit à reconnaître au recourant un droit de présence en Suisse, afin de garantir son droit à la vie familiale protégé par l'art. 8 CEDH. Le recours est par conséquent admis, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée au Secrétariat d'Etat, afin que celui-ci octroie au recourant une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH. Le recourant est néanmoins rendu attentif au fait qu'une dépendance durable à l'aide sociale peut conduire à la révocation ou le refus de prolongation de son autorisation de séjour (cf. art. 62 al. 1 let. e LEI [RS 142.20]).
6.
Sur le vu de ce qui précède, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La demande d'assistance judiciaire est sans objet. Le recourant a en outre droit à une indemnité de partie, à charge du Secrétariat d'Etat (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt du 12 septembre 2018 du Tribunal administratif fédéral est annulé. La cause est renvoyée au Secrétariat d'Etat pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le Secrétariat d'Etat versera au recourant la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, à la Cour VI du Tribunal administratif fédéral et au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 janvier 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette