Faits :
A.
A.a. Invoquant les séquelles de divers troubles somatiques influençant sa capacité de travail en qualité de collaborateur de production au sein de l'entreprise B._ depuis le 19 mai 2010, A._, né en 1967, a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 28 mars 2011.
A l'issue de la procédure d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de l'assuré à des prestations (décision du 31 janvier 2013). Sa décision reposait sur une expertise du Centre d'Expertise Médicale (CEMed) de Nyon, qui faisait notamment état d'une périarthrite de la hanche sur tendinite musculaire, de rachialgies, de paresthésies des mains et d'un trouble somatoforme douloureux sans incidence sur la capacité de travail dans l'activité habituelle (rapport du 24 septembre 2012). Sur recours de l'intéressé, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, a considéré que la production durant la procédure d'un nouvel avis médical, mentionnant notamment la découverte d'une ostéoporose et d'une ostéopénie, justifiait d'annuler la décision administrative et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour qu'elle en complète l'instruction et rende une nouvelle décision (arrêt du 25 novembre 2013).
Le complément d'instruction mis en oeuvre ayant permis d'exclure une influence de l'ostéoporose sur la capacité de travail ou une atteinte neurologique, l'office AI a de nouveau rejeté la demande de prestations (décision du 9 février 2015). Saisi d'un recours de A._, étayé en cours d'instance par l'avis du docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (qui retenait une capacité totale de travail avec une diminution de rendement de 25 % dans une activité adaptée sur la base de troubles similaires à ceux évoqués auparavant; rapport du 10 juin 2015), la juridiction cantonale l'a rejeté et a confirmé la décision attaquée (arrêt du 30 juin 2016).
A.b. A._ a déposé une nouvelle demande de prestations le 29 juin 2016, sur laquelle l'office AI n'est pas entré en matière (décision du 8 septembre 2017).
A.c. Se basant sur un rapport établi par le docteur D._, médecin de la Clinique de rhumatologie de l'Hôpital E._, le 23 octobre 2017, A._ a annoncé une détérioration de sa situation le 19 août 2019. Il a en outre produit d'autres renseignements fournis par le docteur D._ (rapport du 13 mars 2018), ainsi que par les docteurs F._, médecin du Service de génétique médicale de l'Hôpital G._ (rapport du 19 septembre 2019) et H._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 30 septembre 2019). Le premier évoquait notamment des contractures musculaires para-rachidiennes et une lyse isthmique L5 et les seconds un syndrome d'Ehlers-Danlos. Reconnaissant que le syndrome d'Ehlers-Danlos était inconnu auparavant mais considérant que les limitations fonctionnelles en résultant avaient déjà été prises en compte, l'office AI a refusé d'entrer en matière (décision du 10 octobre 2019).
B.
Sur recours de A._, la cour cantonale a confirmé la décision du 10 octobre 2019 (arrêt du 14 janvier 2021).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande l'annulation de l'arrêt du 14 janvier 2021 et de la décision du 10 octobre 2019 et conclut au renvoi de la cause à l'administration pour qu'elle entre en matière sur sa dernière demande, l'instruise et rende une nouvelle décision. Par ailleurs, il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure fédérale.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est en l'occurrence litigieux le point de savoir si la juridiction cantonale était en droit de confirmer le refus de l'office intimé d'entrer en matière sur la nouvelle demande de prestations déposée par le recourant le 19 août 2019. Il s'agit singulièrement de déterminer si celui-ci a rendu plausible une aggravation de son état de santé susceptible d'influencer ses droits.
3.
L'arrêt attaqué expose les normes (dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2021 [modification de la LAI du 19 juin 2020; RO 2021 705], déterminante en l'espèce) et la jurisprudence indispensables à la résolution du cas. Il s'agit notamment de celles relatives à la révision de rentes d'invalidité applicables, par analogie, à l'examen matériel de nouvelles demandes de prestations, ainsi qu'à l'obligation des assurés de rendre plausible une modification significative de leur situation (art. 87 al. 2 et 3 RAI; ATF 133 V 108 consid. 5.2 et 5.4; 130 V 71 consid. 3; 130 V 64 consid. 2 et 5.2.3). Il suffit d'y renvoyer.
4.
La cour cantonale a considéré que l'assuré n'avait pas rendu plausible une modification notable de son invalidité susceptible d'influencer ses droits. A cet égard, elle a notamment constaté que la description du tableau clinique et des limitations fonctionnelles faite par le docteur D._ était similaire voire identique à celle donnée par les médecins qui s'étaient exprimés antérieurement. Elle a aussi considéré que les conclusions du médecin prénommé se fondaient sur les plaintes du recourant et étaient peu et mal motivées. Le tribunal cantonal a en outre relevé que l'avis du docteur F._, qui expliquait la symptomatologie douloureuse de l'assuré par l'existence d'un syndrome d'Ehlers-Danlos, était essentiellement constitué d'une description générale dudit syndrome et ne reposait que sur les déclarations du recourant dès lors qu'il avait été renoncé à la réalisation d'une analyse génétique objective. Il a encore écarté l'avis de la doctoresse H._ au motif qu'elle ne faisait que reprendre à son compte les conclusions du docteur F._.
5.
L'assuré conteste d'abord ne pas avoir rendu plausible une péjoration notable de son état de santé. Il fait en substance valoir que le docteur D._ a objectivé des contractures musculaires, corroborées par les constatations de la doctoresse H._, qui n'avaient pas été mises en évidence auparavant et qui se répercutaient sur sa capacité de travail. Il reproche aussi aux premiers juges d'avoir apprécié arbitrairement l'étendue de ses limitations fonctionnelles. Il soutient en substance que celles décrites par le docteur D._ sont bien plus importantes que celles décrites par les autres médecins, en particulier par les docteurs I._, médecin traitant et spécialiste en rhumatologie, et C._ ou les médecins du CEMed, et démontrent ainsi une aggravation significative de sa situation médicale. Il conteste enfin l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle le docteur D._ se serait pour l'essentiel fondé sur ses plaintes (subjectives). Il soutient en substance que, si ses plaintes ont bien été prises en compte, ses contractures musculaires ont été mises en évidence par des examens cliniques complets, dont l'exposé des résultats justifie pleinement les conclusions.
6.
6.1. Contrairement à ce que soutient d'abord le recourant, les contractures musculaires ne constituent pas une atteinte à la santé qui n'avait jamais été mise en évidence antérieurement. En effet, la doctoresse I._ qui avait suivi l'assuré durant une longue période depuis l'apparition de la symptomatologie douloureuse, évoquait déjà ce trouble dans un rapport du 23 mars 2011. De surcroît, dans ses rapports, le docteur D._ n'indique nullement qu'il s'agit d'une nouvelle affection. Au contraire, il ressort explicitement des rapports de ce médecin que les contractures musculaires sont depuis l'origine de la symptomatologie douloureuse le résultat de crises "débutant toujours de la même façon avec une crispation para-vertébrale qui va en s'aggravant et devient une véritable contracture musculaire [...]" (avis du 13 mars 2018). Il est dès lors à l'évidence erroné de prétendre que le trouble en cause était ignoré ou n'avait pas été pris en compte par les nombreux médecins qui s'étaient exprimés sur le cas. En effet, dans la mesure où même si ceux-ci n'évoquaient pas de manière expresse lesdites contractures musculaires, toutes leurs investigations avaient tendu non seulement à déterminer l'origine des crises (dont les contractures musculaires étaient un élément) mais également d'en apprécier l'incidence sur la capacité de travail.
6.2. Le fait que les contractures musculaires ont été mises en évidence par le docteur D._ au terme d'examens cliniques complets n'est par conséquent d'aucune utilité à l'assuré. L'existence de contractures n'est effectivement contestée ni par l'office AI ni par la juridiction cantonale. Ces contractures n'ont en fait jamais été abordées séparément dans la mesure où, ainsi qu'indiqué (cf. consid. 6.1 supra), elles participent des crises douloureuses dont tous les médecins consultés au cours de la procédure se sont attachés à déterminer l'étiologie et l'influence sur la capacité de travail. L'aggravation de la symptomatologie douloureuse attestée par le docteur D._ ne repose par conséquent pas sur l'objectivation d'une nouvelle pathologie mais essentiellement sur les plaintes du recourant, comme l'a relevé le tribunal cantonal en se référant à la réponse à la question n° 2 du rapport du 23 octobre 2017, ainsi que sur l'attitude de l'assuré lors de l'examen clinique. On notera à cet égard que le besoin de changer plusieurs fois de positions durant l'examen et les difficultés à mobiliser le rachis (volontaires ou non) se retrouvent presque à l'identique dans le rapport d'expertise du CEMed du 24 septembre 2012. Le fait que le docteur D._ déclare sur la base de ces éléments qu'il "[lui] est difficile d'imaginer que [l'assuré] puisse réaliser une activité professionnelle" constitue donc une appréciation différente d'une même situation médicale, comme l'a retenu la juridiction cantonale.
6.3. S'agissant des limitations fonctionnelles décrites par le docteur D._, elles sont donc uniquement déduites de la situation telle que rapportée par le recourant. Faute de reposer sur des éléments objectifs dument constaté du point de vue médical, elles ne sont ainsi pas susceptibles de rendre plausible une modification notable de son état de santé.
7.
Entièrement mal fondé, le recours doit être rejeté.
8.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (art. 66 al. 1 LTF). Il a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que la condition de l'indigence est remplie eu égard aux pièces déposées à l'appui de sa requête et que ses conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et M e Jean-Michel Duc est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton