Erwägungen:
1.
Das Bezirksgericht Zürich stellte am 11. September 2018 fest, A._ habe den Tatbestand der vorsätzlichen Tötung in nicht selbst verschuldeter Schuldunfähigkeit erfüllt, verurteilte ihn wegen Störung des Totenfriedens zu einer Freiheitsstrafe von 22 Monaten und ordnete eine stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen an. Dieses Strafurteil wurde vom Obergericht des Kantons Zürich am 26. Februar 2020 geschützt. Am 8. Oktober 2020 hiess das Bundesgericht die Beschwerde von A._ gegen dieses Urteil des Obergerichts gut, hob es auf und wies die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ans Obergericht und zur Weiterführung des Vorverfahrens an die Staatsanwaltschaft zurück. Mit Beschluss vom 9. November 2020 hob das Obergericht das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 11. September 2018 auf. Weiter wies es den Antrag der Staatsanwaltschaft auf Anordnung einer Massnahme für eine schuldunfähige Person ab und wies das Verfahren zur Weiterführung des Vorverfahrens an die Staatsanwaltschaft zurück.
A._ widerrief am 4. Februar 2021 seine Zustimmung zum vorzeitigen Strafantritt und ersuchte bei der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich um Entlassung aus der Haft. Das Zwangsmassnahmengericht wies mit Verfügung vom 19. Februar 2021 sowohl das Haftentlassungsgesuch als auch den Antrag der Staatsanwaltschaft auf Anordnung von Untersuchungshaft ab. Es hielt fest, dass der vorzeitige Strafvollzug fortdaure. Der Gesuchsteller könne jederzeit bei der Staatsanwaltschaft ein Gesuch um Aufhebung der Untersuchungshaft stellen. Auf Beschwerde von A._ hin versetzte die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich ihn mit Beschluss vom 22. März 2021 in Untersuchungshaft. In der Folge wurde die Untersuchungshaft mehrmals verlängert.
2.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich erhob am 30. September 2021 Anklage gegen den sich in Untersuchungshaft befindlichen A._ beim Bezirksgericht Zürich. Gleichzeitig beantragte sie beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Zürich die Anordnung der Sicherheitshaft. Das Zwangsmassnahmengericht versetzte den Beschuldigten mit Verfügung vom 1. November 2021 in Sicherheitshaft und bewilligte die Sicherheitshaft vorerst bis 1. Mai 2022, längstens aber bis zum erstinstanzlichen Urteil. Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 8. November 2021 (Postaufgabe 11. November 2021) Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht und mit Eingabe vom 10. November 2021 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil 1B_613/2021 vom 16. November 2021 trat das Bundesgericht mangels Letztinstanzlichkeit auf die Beschwerde nicht ein und übermittelte die Beschwerde der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese wies mit Beschluss vom 24. November 2021 die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Sie führte zusammenfassend aus, dass nach wie vor vom Vorliegen eines dringenden Tatverdachts betreffend eine (zumindest eventual-) vorsätzliche Tötung sowie betreffend Störung des Totenfriedens auszugehen sei. Auch bestehe Wiederholungsgefahr. Geeignete Ersatzmassnahmen seien nicht ersichtlich und die Haft erweise sich als verhältnismässig.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 2. Dezember 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. November 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die III. Strafkammer legte in ihrer Begründung dar, weshalb die Sicherheitshaft, entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers, zulässig sei. Der Beschwerdeführer setzt sich damit nicht auseinander und vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli