Sachverhalt:
A.
A._ führt vor dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland verschiedene "zivilrechtliche Auskunfts- und Informationsklagen" im Zusammenhang mit einer Erbstreitigkeit, darunter das hier betroffene Verfahren gegen die C._ AG "präparatorisch zur Einreichung einer Staatshaftungsklage gegen den Kanton Bern".
B.
B.a. In diesem Verfahren stellte A._ am 12. Dezember 2019 ein Ausstandsgesuch gegen den verfahrensleitenden Gerichtspräsidenten B._. Er warf ihm vor, in zwei anderen Auskunftsverfahren gegen eine Versicherung und eine Bank die Klagen gestützt auf Art. 132 Abs. 2 ZPO zurückgewiesen zu haben (was das Obergericht des Kantons Bern auf Beschwerde hin mit Entscheiden ZK 19 209 und ZK 19 256 vom 8. Juli 2019 korrigierte; s. dazu das Urteil 5A_574/2019 vom 11. Oktober 2019). Dadurch sei seine psychische Integrität derart verletzt worden, dass er bei der Schlichtungsverhandlung vom 5. April 2019 in der Erbschaftssache in der Wahrnehmung seiner Rechte stark beeinträchtigt gewesen sei und einen für ihn nachteiligen Vergleich abgeschlossen habe. Am Ausgang des diesbezüglichen Staatshaftungsprozesses habe Gerichtspräsident B._ ein persönliches Interesse, weshalb er auch bei der Beurteilung der hier interessierenden Auskunftsklage (Bst. A.) nicht mehr unbefangen sei.
B.b. Das Regionalgericht Berner Jura-Seeland (Gerichtspräsident D._) wies das Ausstandsgesuch (Entscheid vom 3. Januar 2020) ab. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid am 13. März 2020; das Bundesgericht trat auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (Urteil 5A_267/2020 vom 8. Mai 2020).
C.
Mit Verfügung vom 23. September 2020 setzte Gerichtspräsident B._ im eingangs erwähnten Prozess (Bst. A.) die Hauptverhandlung auf den 19. November 2020 an und stellte die Durchführung von Parteibefragungen in Aussicht.
D.
D.a. Mit Eingabe vom 28. September 2020 stellte A._ erneut den Antrag, Gerichtspräsident B._ für befangen zu erklären und anzuweisen, in den Ausstand zu treten. Der Richter verzichtete auf eine Stellungnahme zum Ausstandsgesuch. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2020 wies das Regionalgericht das Ausstandsgesuch ab und auferlegte A._ die auf Fr. 500.-- bestimmten Gerichtskosten.
D.b. A._ erhob Beschwerde beim Obergericht. Nachdem er seine Beschwerde auf Geheiss des Obergerichts ein erstes Mal verbessert hatte, reichte er am 16. November 2020 eine 7-seitige Ergänzung zur Beschwerde ein. In der Folge hatte er seinen Schriftsatz erneut zu kürzen. Dieser Aufforderung kam A._ mit Eingabe vom 20. November 2021 nach. Gerichtspräsident B._ verzichtete auf eine Stellungnahme.
D.c. Mit Verfügung vom 3. November 2020 setzte Gerichtspräsident B._ in der Hauptsache (Bst. A.) die auf den 19. November 2020 anberaumte Hauptverhandlung (Bst. C.) ab. In einer weiteren Verfügung vom 23. Februar 2021 bestimmte er den 26. April 2021 als neuen Verhandlungstermin; ausserdem entsprach er A._s Gesuch um Dispensation vom persönlichen Erscheinen.
D.d. Im Beschwerdeverfahren betreffend das Ausstandsbegehren (Bst. D.b) wies das Obergericht das Rechtsmittel (soweit vor Bundesgericht noch relevant) kostenfällig ab. Der Entscheid datiert vom 18. März 2021 und wurde A._ am 22. März 2021 zugestellt.
E.
E.a. Mit Beschwerde vom 31. März 2021 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, und hält an seinem Ausstandsgesuch gegen Gerichtspräsident B._ (Beschwerdegegner) fest; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziffern 1-5). Weiter hält der Beschwerdeführer an seinem Begehren fest, den obergerichtlichen Entscheid ZK 19 256 vom 8. Juli 2019 (Bst. B.a) "insofern zu berichtigen oder zu revidieren[,] als festgestellt wird, dass - entgegen der obergerichtlichen Erwägung vom 8. Juli 2019 [...] - dem Beschwerdeführer die tatsachenwidrig zugewiesene Mitverantwortung für die Rechts- und Unterlassungsakte, in Beziehung zum Erlass der Entscheidung der nicht erfolgten Eingabe vom 26. März 2019, nicht zukommt" (Ziffer 7). Sodann seien die Gerichtsgebühren der kantonalen Instanzen dem Kanton Bern aufzuerlegen (Ziffern 8 und 9). In prozessualer Hinsicht ersucht der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und die Anberaumung einer Hauptverhandlung und Durchführung einer Parteibefragung der Klägerschaft im Hauptverfahren für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens zu untersagen (Ziffer 6).
E.b. Am 21. April 2021 (Datum der Postaufgabe) reichte der Beschwerdeführer eine Ergänzung seiner Beschwerde ein. Mit Eingabe vom 22. April 2021 ersuchte er darum, dem Beschwerdegegner superprovisorisch bis zur Beurteilung seines Gesuchs um aufschiebende Wirkung (Bst. E.a) zu verbieten, die Hauptverhandlung vom 26. April 2021 (Bst. D.c) durchzuführen. Er verwies auf die Verfügung vom 21. April 2021, mit welcher der Beschwerdegegner seinen Antrag um Sistierung des Hauptsacheverfahrens (Bst. A.) abwies und am Termin vom 26. April 2021 festhielt. Mit Verfügung vom 23. April 2021 wies das Bundesgericht das Gesuch um die superprovisorische Massnahme ab.
E.c. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid über den Ausstand einer Gerichtsperson in einer vermögensrechtlichen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Der Entscheid ist letzt- und oberinstanzlich (Art. 75 BGG), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (Art. 76 Abs. 1 BGG) und unterliegt der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 92 BGG). Die Beschwerde (einschliesslich der Ergänzung vom 21. April 2021) erfolgte rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG).
2.
2.1. Auch wenn das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen anwendet (Art. 106 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition urteilt, ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; seine Kritik hat an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (BGE 143 II 283 E. 1.2.2; 140 III 115 E. 2). Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 II 283 E. 1.2.2). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (vgl. BGE 140 III 264 E. 2.3; 135 III 127 E. 1.5 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1).
2.2. Die Schriftsätze vermögen den geschilderten Anforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Anstatt sich auf den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens zu konzentrieren und mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen, ergeht sich der Beschwerdeführer in weitschweifigen, wenig kohärenten Erörterungen, in denen er seine eigene Sicht der Sach- oder Rechtslage präsentiert und zahlreiche, angeblich verletzte Gesetzes- und Verfassungsnormen nennt. Im konkreten Zusammenhang wird darauf zurückzukommen sein. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Reklamationen, die sich gegen das vorinstanzliche Resümee des erstinstanzlichen Entscheids richten. Inwiefern das Obergericht die Erkenntnisse des Regionalgerichts bereits im fraglichen Abschnitt wertend beurteilt, tut der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich. Mit pauschalen Vorwürfen, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen würden gegen das Willkürverbot oder gegen andere Normen verstossen, ist nichts gewonnen. Ebenso wenig vermag der Beschwerdeführer etwas auszurichten, wenn er dem Obergericht vorwirft, seine kantonale Beschwerde als weitschweifig und unverständlich zu taxieren und mangels hinreichender Begründung einen Nichteintretensentscheid zu fällen, obwohl seine Eingabe "nach der Lage der Akten... im Sinne der Mindestanforderungen von Art. 132 Abs. 2 ZPO akzeptiert worden" sei. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers musste die Vorinstanz das Rechtsmittel nicht zwingend gutheissen, wenn es der "Einlässlichkeit sowie Verständlichkeit der eingereichten Beschwerde die notwendige Beachtung geschenkt" hätte.
3.
Der Streit dreht sich um diverse Aspekte des Ausstandsverfahrens betreffend den Beschwerdegegner, Gerichtspräsident B._.
3.1.
3.1.1. Nach Art. 49 Abs. 2 ZPO nimmt die betroffene Gerichtsperson zum Ausstandsgesuch Stellung. Hier steht fest, dass eine solche Stellungnahme vor beiden kantonalen Instanzen ausblieb (s. Sachverhalt Bst. D.a und D.b). Die Vorinstanz widerspricht dem Argument des Beschwerdeführers, wonach mangels einer Stellungnahme im erstinstanzlichen Verfahren beweiswürdigend von der Befangenheit des Beschwerdegegners auszugehen sei. Art. 49 Abs. 2 ZPO verschaffe der gesuchstellenden Partei keinen Anspruch darauf, dass die betroffene Gerichtsperson tatsächlich eine Stellungnahme einreicht und sich zum Ausstandsgesuch äussert. Werde keine Stellungnahme eingereicht oder darauf verzichtet, könne nicht gefolgert werden, dass die abgelehnte Gerichtsperson den Ausstandsgrund akzeptiert. Auch der Verzicht auf eine Stellungnahme im Beschwerdeverfahren bedeute nicht, dass die vorgebrachten Ausstandsgründe zutreffen.
3.1.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, einerseits sein Recht zu anerkennen, sich zur Stellungnahme des für befangen gehaltenen Richters zu äussern, und anderseits dem Ausstandsgesuch offensichtliche Unbegründetheit zu unterstellen, weswegen auf die Einholung einer Stellungnahme hätte verzichtet werden dürfen. Das sei widersprüchlich und rechtsmissbräuchlich, da beide kantonalen Instanzen eine Stellungnahme eingefordert, das Ausstandsgesuch bzw. die Beschwerde also offensichtlich nicht für missbräuchlich gehalten hätten. Art. 52 und Art. 53 Abs. 1 ZPO sowie Art. 5 Abs. 3, Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV seien verletzt. Wortreich beklagt er sich, auch unter dem Titel einer Gehörsrüge (Art. 6 EMRK, Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 327 Abs. 5 ZPO), sodann darüber, dass sich das Obergericht nicht auf seinen Vergleich mit der Rechtslage in Deutschland einlasse, wonach mangels einer Stellungnahme zum Ausstandsbegehren von der Befangenheit der betroffenen Gerichtsperson auszugehen sei. Indem es keine "wertende Rechtsvergleichung" vornehme, verfalle das Obergericht in materielle Rechtsverweigerung und missachte die Vorgaben des mit Deutschland gemeinsamen Ordre public. Die unterbliebene bzw. falsche Anwendung von Art. 49 Abs. 2 BV verletze das Willkürverbot (Art. 9 BV) und das Recht auf faire und rechtsgleiche Behandlung (Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 i.V.m. Art. 14 EMRK).
3.1.3. Die Rügen laufen ins Leere. Der angefochtene Entscheid beruht auf der Erkenntnis, dass die gesuchstellende Partei keinen Anspruch auf eine Stellungnahme der abgelehnten Gerichtsperson hat, Art. 49 Abs. 2 ZPO mithin lediglich verlangt, dieser Gerichtsperson Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Inwiefern diese Auffassung der Vorinstanz bundesrechtswidrig sein soll, mag der Beschwerdeführer nicht erklären. Ebenso wenig geben seine umständlichen Ausführungen Aufschluss darüber, weshalb trotz einer fehlenden gesetzlichen Pflicht zur Stellungnahme allein der Verzicht darauf bei der Beurteilung des Ausstandsbegehrens "beweiswürdigend" eine Rolle spielen müsste.
3.2.
3.2.1. Unter Hinweis darauf, dass der Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnis des Ausstandsgrundes verlangt werden muss, erachtet die Vorinstanz das Gesuch vom 28. September 2020 nur als rechtzeitig, soweit der Ausstand mit der Verfügung vom 23. September 2020 begründet werde (s. Sachverhalt Bst. C. und D.a); die übrigen Ausstandsgründe seien zu spät vorgebracht worden. Was die Abschreibungsverfügungen vom 2. Juni 2020 in den beiden anderen Auskunftsverfahren angehe, die mit Entscheiden des Obergerichts vom 15. Oktober 2020 aufgehoben wurden, könne der Beschwerdeführer heute nicht mehr vorbringen, diese zu Unrecht erfolgten Verfügungen würden die Befangenheit des Beschwerdegegners zeigen. Auch die angebliche Vorbefassung gemäss Art. 47 Abs. 1 Bst. b ZPO hätte er nach Erhalt der ersten Verfügung des Beschwerdegegners im Hauptsacheverfahren (s. Sachverhalt Bst. A.) im Oktober 2019 vorbringen müssen. Die weiteren geltend gemachten Ausstandsgründe seien bereits im früheren Ausstandsverfahren (s. Sachverhalt Bst. B.a) beurteilt und verneint worden.
3.2.2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Treu und Glauben und nennt zahlreiche, angeblich verletzte Gesetzes- und Verfassungsnormen. Die Vorinstanz übergehe seine Vorbringen zu den beiden Abschreibungsverfügungen bzw. zu deren Aufhebung durch die kantonale Rechtsmittelinstanz, womit seine in der Bundesverfassung und der EMRK verankerten Ansprüche auf rechtliches Gehör, auf faire und rechtsgleiche Behandlung und auf wirksame Beschwerde verletzt seien. Weiter argumentiert der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die Ziffern 36 und 37 seiner verbesserten kantonalen Beschwerde, dass sich sein Gesuch auf eine ganze Reihe Tatsachen stütze, die den Ausstand des Beschwerdegegners nicht je für sich allein, sondern in ihrer Gesamtheit begründen. Entsprechend habe sie denjenigen Grund zum Anlass für das Ausstandsgesuch nehmen dürfen, der das Fass zum Überlaufen gebracht habe, und sich dabei auch auf die früheren Begebenheiten beziehen dürfen. Soweit das Obergericht auf die rechtskräftig beurteilten Ausstandsgründe hinweise, verkenne es, dass die neu vorgebrachten Gründe die früher abgewiesenen Gesuche in einem neuen Licht erscheinen lassen, weswegen ihm, dem Beschwerdeführer, das Recht auf Wiedererwägung und Berücksichtigung der neu geltend gemachten Tatsachen und Beweise zustehe. Abgesehen davon seien die Ausstandsgründe derart offensichtlich, dass die Pflicht des Beschwerdegegners, von sich aus in den Ausstand zu treten, stärker zu gewichten sei als eine vermeintlich verspätete Geltendmachung.
3.2.3. Hinsichtlich der Vorbringen im Zusammenhang mit den zu Unrecht erfolgten Abschreibungsverfügungen übersieht der Beschwerdeführer, dass sich das Obergericht in einer Eventualerwägung zu diesem Ausstandsgrund äussert und ihn mit der Erklärung verneint, der wiederholte Irrtum des Beschwerdegegners sei noch keine schwere Verletzung der Richterpflichten und es gebe keine Anhaltspunkte dafür, dass sich der Beschwerdegegner beim Erlass der rechtsfehlerhaften Abschreibungsverfügungen von sachfremden Umständen leiten liess und ihm die Distanz und Neutralität fehlt. Soweit der Beschwerdeführer diese Erwägungen (an anderen Stellen seiner 50-seitigen Eingabe) nicht gelten lassen will, versäumt er es, auf den angefochtenen Entscheid einzugehen. Einfach zu behaupten, angesichts der Gutheissung der gegen die Abschreibungsverfügungen erhobenen Beschwerden sei die Voraussetzung der Verletzung einer wesentlichen Amtspflicht erfüllt, genügt nicht.
Im Übrigen kann offenbleiben, ob sich das Ausstandsgesuch vom 28. September 2020 auf eine fortschreitende Anhäufung richterlicher Verhaltensweisen stützt und auch bezüglich der weiter zurück liegenden Ausstandsgründe als rechtzeitig erfolgt gelten muss (vgl. dazu Urteil 5A_749/2015 vom 27. November 2015 E. 5.1 mit Hinweisen). Seinen eigenen Angaben zufolge brachte der Beschwerdeführer diese Argumentation vor der Vorinstanz in den Ziffern 36 und 37 seiner verbesserten Beschwerde vor. Laut Obergericht entsprechen die Ziffern 33 ff. der verbesserten Beschwerde vom 20. November 2020 der Beschwerdeergänzung vom 16. November 2020 (vgl. Sachverhalt Bst. D.b). Die fraglichen Passagen waren im vorinstanzlichen Verfahren unbeachtlich, da sie erst nach Ablauf der Beschwerdefrist erfolgten. Der Beschwerdeführer stellt diese Erkenntnisse des Obergerichts als solche nicht in Frage. In der Folge ist er mit der besagten Argumentation im hiesigen Verfahren mangels materieller Ausschöpfung des Instanzenzuges nicht zu hören (Art. 75 BGG; s. BGE 143 III 290 E. 1.1 und 141 III 188 E. 4.1, je mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Schliesslich äussert sich das Obergericht zur Verfügung vom 23. September 2020, die Anlass zum vorliegenden Ausstandsgesuch gab (s. Sachverhalt Bst. C.). Es verwirft den Vorwurf des Beschwerdeführers, wonach der Beschwerdegegner in dieser Verfügung ohne entsprechenden Antrag der Parteien eine Parteibefragung in Aussicht stellte. Mit der herrschenden Lehre sei davon auszugehen, dass das Gericht eine Partei von Amtes wegen befragen kann. Dies ergebe sich "a maiore ad minus" aus Art. 192 ZPO, wonach die unter härterer Strafandrohung stehende Beweisaussage von Amtes wegen angeordnet werden kann. Ausserdem müsse sich das Gericht im Wege der Parteibefragung von Amtes wegen die Informationen verschaffen können, um von Amtes wegen über die Anordnung einer Beweisaussage entscheiden zu können. Mit dem Erlass der inzwischen aufgehobenen (vgl. Sachverhalt Bst. D.c) Verfügung vom 23. September 2020 habe der Beschwerdegegner seine Aufgabe als Verfahrensleiter wahrgenommen; von einem Ausstandsgrund könne nicht die Rede sein.
3.3.2. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass die Parteibefragung als Beweismassnahme nur dann von Amtes wegen angeordnet werden darf, wenn "beide Parteien dieselbe Tatsachenbehauptung bestätigen oder bestreiten und das Gericht Anhaltspunkte dafür hat, dass die Wahrheit anders liege". Weiter wirft er dem Obergericht vor, sich "grob rechtsfehlerhaft und willkürlich" über die von ihm selbst zitierte Lehrmeinung hinwegzusetzen, gemäss der eine Parteibefragung mindestens einen rechtsgültigen Beweisantrag einer Partei voraussetzt.
3.3.3. Abermals verpasst es der Beschwerdeführer, auf die entscheidtragenden Erwägungen einzugehen, mit denen das Obergericht darlegt, weshalb es hinsichtlich der Frage, ob eine Parteieinvernahme antragsbedürftig ist, der im Schrifttum verbreiteten Mehrheitsmeinung folgt. Dass der angefochtene Entscheid aus der Literatur eine vereinzelte Gegenauffassung erwähnt, tut seiner Nachvollziehbarkeit keinen Abbruch. Die Beschwerde ist auch in dieser Hinsicht unbegründet.
4.
4.1. Streitig ist vor Bundesgericht weiter der Antrag betreffend die Berichtigung des obergerichtlichen Entscheids ZK 19 256 vom 8. Juli 2019 (s. Sachverhalt Bst. B.a und E.a). Das Obergericht stellt klar, dass einzig der Ausstandsentscheid vom 28. Oktober 2020 (s. Sachverhalt Bst. D.a) Anfechtungsobjekt bilde. Das fragliche Begehren betreffe einen früheren rechtskräftigen Entscheid des Obergerichts und liege damit ausserhalb des Streitgegenstands des vorliegenden Verfahrens. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Treu und Glauben (Art. 52 ZPO sowie Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV), des Fairnessgebots (Art. 53 Abs. 1 ZPO, Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK) und der behördlichen Begründungspflicht (Art. 327 Abs. 5 ZPO und Art. 29 Abs. 2 BV). Er argumentiert, das Regionalgericht habe den Streitgegenstand durch die Erwägung gesetzt, wonach ihm laut dem fraglichen Entscheid vom 8. Juli 2019 eine Mitverantwortung für die vom Beschwerdegegner begangenen Verfahrensfehler zukomme. Dagegen habe er sich im vorinstanzlichen Rechtsmittelverfahren zur Wehr setzen und entsprechend den diesbezüglichen "Aberkennungsantrag" stellen dürfen. Die Vorinstanz gehe bundesrechtswidrig davon aus, dass die Rücknahme der Verantwortungszuweisung im Befangenheitsbeschwerdeverfahren keinen Platz habe.
Der Beschwerdeführer irrt. Wie die Vorinstanz zutreffend klarstellt, dient das vorliegende Verfahren nicht dazu, auf Erwägungen zurückzukommen, die in einem anderen, rechtskräftigen Entscheid stehen und vom Beschwerdeführer als unfair empfunden werden. Soweit sich der Beschwerdeführer daran stört, dass die Vorinstanzen Erwägungen aus dem Entscheid ZK 19 256 vom 8. Juli 2019 im vorliegenden Verfahren zur Begründung ihrer Urteilssprüche heranziehen, ist er daran zu erinnern, dass blosse Erwägungen (abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen) kein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids begründen (s. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 5A_574/2019 vom 11. Oktober 2019 E. 2 mit Hinweisen). Damit hat es sein Bewenden.
4.2. Als "grobe Verletzung von Bundesverfahrensrecht" empfindet der Beschwerdeführer auch die vorinstanzliche Weigerung, auf Ziffer 3 seiner kantonalen Beschwerdeanträge einzugehen, mit der er vom Obergericht festzustellen verlangte, dass die am 2. Juni 2020 erlassenen Abschreibungsverfügungen (vgl. E. 3.2.1) "dem Anschein nach eventualvorsätzlich widerrechtlich, arglistig und rechtsmissbräuchlich waren". Laut Obergericht liegt auch dieser Antrag ausserhalb des Streitgegenstands. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht kein Begehren, mit dem er weiterhin auf der erwähnten Feststellung besteht. Mithin bleibt unklar, welches Ziel er mit seinen Beanstandungen verfolgt. Entsprechend erübrigen sich weitere Erörterungen.
5.
Anlass zur Beschwerde gibt auch der vorinstanzliche Entscheid über die erstinstanzlichen Kosten. Das Obergericht hält fest, dass das Ausstandsgesuch entgegen der Beurteilung des Regionalgerichts nicht als mutwillig bezeichnet werden könne, da in gewissem Masse nachvollziehbar sei, dass der Beschwerdeführer nach Erhalt der rechtsfehlerhaften Abschreibungsverfügungen vom 2. Juni 2020 (vgl. E. 3.2.1) erneut ein Ausstandsbegehren gegen den Beschwerdegegner stellte. Dies allein mache die Auferlegung der auf Fr. 500.-- bestimmten erstinstanzlichen Kosten an den Beschwerdeführer jedoch nicht rechtswidrig. Auch wenn das Regionalgericht in Ausstandsverfahren abgesehen von Fällen der Bös- oder Mutwilligkeit praxisgemäss keine Gerichtskosten erhebe, sei das Zwischenverfahren über den Ausstand grundsätzlich kostenpflichtig, weshalb dem Beschwerdeführer die erstinstanzlichen Kosten zu Recht auferlegt worden seien. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, ihm einerseits Verständnis für das Ausstandsbegehren entgegenzubringen und anderseits dem Regionalgericht beizupflichten, dem zufolge er zur Begründung seines Gesuchs keine wesentlichen bzw. neuen Argumente eingebracht habe. Gestützt auf zahlreiche Gesetzes- und Verfassungsnormen argumentiert er, durch Verkennung der Begründetheit des Ausstandsgesuchs habe das Obergericht das Bundes- und Konventionsrecht verletzt. Er behauptet aber nicht, dass der erstinstanzliche Kostenentscheid auch dann nicht rechtens sei, wenn es - wie dies nun zutrifft - in der Sache mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden hat.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde offensichtlich unbegründet und deshalb abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn