Erwägungen:
1.
1.1. Rechtsanwalt B._ ersuchte am 30. Oktober 2019 die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern um Entbindung vom Berufsgeheimnis, soweit dies zur Durchsetzung der offenen Honorarforderungen gegenüber A._ einerseits und zur Abwehr dessen ungerechtfertigten Betreibungs-, Schlichtungs- und allenfalls Gerichtsverfahren andererseits notwendig sei. Die Aufsichtsbehörde entsprach dem Gesuch am 13. Januar 2020. Auf die dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Kantonsgericht Luzern am 4. Juni 2020 nicht ein.
1.2. Mit Beschwerde vom "30.08.20" (Eingang am 3. August 2020) wandte sich A._ an das Bundesgericht und beanstandete die Kosten- und Entschädigungsfolgen des Entscheids des Kantonsgerichts. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe.
2.2. Das Kantonsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe kein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde, weil er nicht grundsätzlich gegen die Entbindung vom Berufsgeheimnis opponiere (vgl. E. 5 des angefochtenen Entscheids). Selbst wenn das Rechtsschutzinteresse bejaht würde, könnte auf die Beschwerde nicht eingetreten werden, weil sich der Beschwerdeführer in keiner Weise mit den Ausführungen der Aufsichtsbehörde auseinandersetze (vgl. E. 6 des angefochtenen Entscheids). Schliesslich sei der Entscheid der Aufsichtsbehörde auch materiell nicht zu beanstanden (vgl. E. 7 des angefochtenen Entscheids).
2.3. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht einmal ansatzweise auseinander, obwohl ihn bereits das Kantonsgericht auf das Erfordernis einer substanziierten Beschwerdebegründung hingewiesen hat (vgl. E. 6.1 des angefochtenen Entscheids), das auch im bundesgerichtlichen Verfahren gilt (vgl. vorne E. 2.1). Der Beschwerdeführer beschränkt sich stattdessen auf die Feststellung, die Entbindung vom Berufsgeheimnis sei nicht erforderlich, weil der Rechtsanwalt im hängigen Verfahren vor dem Bezirksgericht Luzern Widerklage "auch ohne die Entbindung" erheben könne. Dieses Argument hat das Kantonsgericht mit einlässlicher Begründung verworfen (vgl. E. 5.2.2 des angefochtenen Entscheids), ohne dass der Beschwerdeführer näher darauf eingeht. Vor diesem Hintergrund ist nicht ersichtlich, inwieweit die vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen neu verlegt werden müssten.
2.4. Zusammenfassend mangelt es der Beschwerde offensichtlich an einer hinreichenden Begründung, auch unter Berücksichtigung, dass der Beschwerdeführer eine Laienbeschwerde eingereicht hat und die formellen Hürden daher praxisgemäss niedriger anzusetzen sind (Urteil 2C_289/2020 vom 20. April 2020 E. 3.2). Darauf ist im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, und dem Bundesamt für Justiz BJ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger