Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant gambien né en 1982, est arrivé en Suisse dans le courant de l'année 2009. Au bénéfice d'une autorisation de séjour en vue de son mariage, il a rejoint B._, ressortissante suisse, avec laquelle il a eu une fille, C._, née en 2009, qu'il a reconnue. A._ et B._ se sont mariés, en date du 21 décembre 2010. Par la suite, l'intéressé a obtenu une autorisation de séjour pour regroupement familial.
Le 25 avril 2014, la Police de Lausanne est intervenue au domicile des époux, à la suite d'une vive altercation entre ceux-ci. B._ a alors indiqué à la police vouloir divorcer le plus vite possible.
Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 20 juin 2014, l'autorité compétente a autorisé les conjoints à vivre séparés pour une durée indéterminée, a attribué le droit de garde de leur fille à B._ et a accordé à A._ un droit de visite sur sa fille à exercer une fois durant la semaine et un week-end sur deux.
Le 23 juillet 2014, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a condamné A._ à une amende de 200 fr. pour contravention à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (loi sur les stupéfiants, LStup; RS 812.121).
Interrogée par le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) le 25 septembre 2014, B._ a notamment déclaré qu'elle était séparée de son conjoint depuis le 15 mai 2014, compte tenu du comportement violent de celui-ci; son époux voyait sa fille de manière irrégulière et ne s'acquittait d'aucune pension alimentaire, dès lors qu'il était à l'assistance sociale; un départ de Suisse de l'intéressé n'aurait que peu d'effet sur sa fille, celui-ci ne s'en étant longtemps guère occupé, même s'il lui manifestait un certain intérêt depuis leur séparation. Lors de son audition du 13 octobre 2014, A._ a indiqué qu'il était séparé de son épouse depuis le 15 mai 2014, mais qu'il entretenait des relations régulières avec sa fille dans le cadre de son droit de visite; il travaillait sur appel depuis le mois de mars 2014 pour l'entreprise D._, il avait suivi des cours et des stages et espérait obtenir un emploi d'agent de sécurité.
Le 6 janvier 2015, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a condamné A._ à une amende de 500 fr. pour voies de fait qualifiées à l'encontre de son épouse.
A.b. Par décision du 9 janvier 2017, le Service de la population a rejeté la demande de A._ tendant à l'octroi d'une autorisation d'établissement, mais a déclaré être prêt à prolonger l'autorisation de séjour de celui-ci, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations SEM (ci-après: le Secrétariat d'Etat), approbation que cette autorité a refusée le 17 juillet 2017.
B.
Par arrêt du 21 mars 2019, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de A._ à l'encontre de la décision du 17 juillet 2017 du Secrétariat d'Etat. Il a en substance estimé, d'une part, que l'intégration de celui-ci ne pouvait être considérée comme réussie, notamment au regard de l'absence d'emploi stable, de la dépendance depuis quatre ans à l'aide sociale et des deux condamnations infligées à l'intéressé. D'autre part, le droit de visite sur sa fille étant restreint et l'intéressé ne s'acquittant qu'irrégulièrement des pensions alimentaires, la condition d'une relation particulièrement étroite avec l'enfant n'était pas remplie.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, outre l'octroi de l'assistance judiciaire, de réformer "la décision de l'autorité intimée" et de lui octroyer une prolongation de son autorisation de séjour.
Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. A._ s'est encore prononcé par écriture du 12 juillet 2019. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à déposer des observations.
Par ordonnance du 13 mai 2019, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recourant se prévaut notamment de l'art. 50 LEtr (RO 2007 5437; LEI depuis le 1er janvier 2019 [RS 142.20]), selon lequel, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste dans certains cas, et de l'art. 8 CEDH (RS 0.101). Dès lors qu'il n'est pas d'emblée exclu que les conditions posées à un tel droit par ces dispositions soient remplies et que la question de savoir si effectivement elles le sont relève du fond (ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332 et les références citées), il convient d'admettre que le recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
1.2. Au surplus, les conditions de recevabilité sont réunies (cf. art. 42, 82 let. a, 86 al. 1 let. a, 89 al. 1, 90 et 100 al. 1 LTF), si bien qu'il convient d'entrer en matière.
1.3. Toutefois, la conclusion tendant à l'annulation de la décision du 17 juillet 2017 du Secrétariat d'Etat est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal administratif fédéral, l'arrêt de cette autorité se substituant aux prononcés antérieurs (ATF 136 II 539 consid. 1.2 p. 543).
2.
Dans le cadre de son grief relatif à une violation de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, le recourant mentionne l'art. 97 LTF et se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits. La lecture de son grief, qui au demeurant ne répond pas aux exigences de motivation en la matière (cf. ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358; 139 II 373 consid. 1.6 p. 377), démontre qu'il ne critique pas, en réalité, l'établissement des faits par les juges précédents, mais il leur reproche d'avoir jugé qu'il n'est pas intégré professionnellement au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr sur la base des faits établis. Il s'en prend dès lors à l'appréciation juridique de ceux-ci et soulève ainsi une question de droit qui sera examinée ci-dessous.
3.
Le litige porte sur le droit à la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant après la dissolution de son union conjugale, étant précisé que celle-ci a duré plus de trois ans.
4.
Selon le recourant, les juges précédents ont violé l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, en tant qu'ils ont estimé que son intégration en Suisse n'était pas réussie.
4.1. L'autorité précédente a correctement exposé le droit applicable relatif à l'intégration de l'étranger (art. 50 al. 1 let. a LEtr dans sa teneur jusqu'au 31 décembre 2018 [cf. art. 126 LEI]) et la jurisprudence y relative (arrêts 2C_301/2018 du 24 septembre 2018 consid. 3.1-3.2; 2C_1066/2016 du 31 mars 2017 consid. 3.1-3.3), de sorte qu'il y est renvoyé.
4.2. En ce qui concerne l'intégration professionnelle, il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant a travaillé sur appel, de mars (cf. arrêt attaqué "Faits" let. E) à septembre 2014, pour l'entreprise D._. Il n'exerce plus d'activité depuis lors. Il a, par la suite, suivi des cours et effectué des stages. Il est à la recherche d'un emploi. Il bénéficie, depuis le 1er juin 2014, du revenu d'insertion et dépend encore actuellement de ces prestations. Il découle de ces constatations que l'intéressé, qui est arrivé en Suisse en 2009 et a obtenu une autorisation de séjour en 2010, a été inactif professionnellement durant la quasi-totalité de son séjour en Suisse, sous réserve de quelques mois en 2014 et qu'il n'est toujours pas en mesure de s'assumer financièrement. Sa situation économique demeure ainsi précaire. Il fait d'ailleurs l'objet d'actes de défaut de biens pour un montant de 2'420 fr. Dans ces circonstances, force est de constater que le recourant n'est pas intégré professionnellement. Qu'il est difficile de trouver un travail dans sa situation actuelle, c'est-à-dire au regard de l'absence de titre de séjour, ne saurait modifier cette conclusion.
A cela s'ajoute que le recourant n'a pas toujours eu un comportement entièrement respectueux de l'ordre juridique suisse, ayant fait l'objet de deux condamnations pénales (amendes), à savoir une pour contravention à la loi sur les stupéfiants et l'autre pour voies de fait qualifiées. La prise en compte de ces éléments ne permet pas de conclure à une intégration sociale réussie.
4.3. Compte tenu de ce qui précède, le recourant ne remplit pas la condition relative à l'intégration de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
5.
L'intéressé reproche également à l'autorité précédente d'avoir nié l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI (dont la teneur est identique à celle de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr).
5.1. Le Tribunal administratif fédéral a correctement exposé le droit applicable (art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI; art. 9 par. 3 de la convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE, RS 0.107]) et la jurisprudence y relative qui établit la pratique en matière de raisons personnelles majeures, notamment lorsqu'il est question d'une relation avec un enfant qui a le droit de séjourner en Suisse (ATF 143 I 21 consid. 4.1 p. 24; 139 I 315 consid. 2.1 p. 318 s.), en particulier au regard de l'art. 8 CEDH (ATF 144 I 91 consid. 5 p. 96 ss), de sorte qu'il y est également renvoyé.
5.2. Selon l'arrêt attaqué, le droit de visite attribué au recourant d'après la convention passée avec son épouse et ratifiée le 9 février 2018 par l'autorité compétente est d'un dimanche sur deux de 12h00 à 18h00, ce qui ne saurait être qualifié de droit de visite usuel au sens de la jurisprudence susmentionnée. L'intéressé conteste ce point, mais se contente d'affirmer qu'il "voit autant que possible sa fille", sans donner plus de détails. De surcroît, selon les propos tenus par son épouse en octobre 2014, celui-ci ne s'occupait pas de sa fille lorsque les conjoints vivaient ensemble. Même si le recourant lui porte plus d'intérêt depuis la séparation du couple, la relation affective les unissant ne peut pas être qualifiée de forte dans ces conditions. Le lien économique n'est pas plus étroit, puisque l'intéressé ne respecte pas la convention du 9 février 2018 susmentionnée qui prévoit "le versement régulier d'une pension mensuelle de 100 fr... payable d'avance le premier jour de chaque mois...". Si le recourant semble avoir versé la totalité des montants dus, il ne paie les pensions que de façon irrégulière, sans respecter le moment fixé dans la convention. Plus particulièrement, comme le relève les juges précédents, en ne s'étant acquitté d'une somme due, à savoir 500 fr., que le jour de l'échéance du délai que l'autorité compétente lui avait imparti pour démontrer le versement des pensions, l'intéressé laisse penser qu'il n'est prêt à assumer ses responsabilités financières que pour les besoins de sa cause, c'est-à-dire son intérêt personnel à la poursuite de son séjour en Suisse, et non par respect pour sa fille. Il est, en revanche, exact que le retour du recourant en Gambie aura des effets préjudiciables sur sa relation avec sa fille. En effet, si les intéressés pourront se voir lors de visites, celles-ci ne pourront être effectuées que par le bais de voyages en avion, ce qui les rendra onéreuses et, par conséquent, moins fréquentes. Néanmoins, des contacts pourront tout de même être maintenus grâce aux moyens de communication modernes. Quoi qu'il en soit ce point ne suffit pas pour reconnaître l'existence d'une raison personnelle majeure découlant de la relation entre le père et sa fille.
En conclusion, le recourant ne remplit pas la condition du lien particulièrement étroit et effectif dans sa relation avec C._, de sorte qu'il ne peut tirer de droit au séjour ni de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI, ni de l'art. 8 CEDH.
5.3. Le recourant allègue que sa réintégration en Gambie serait fortement comprise. Le seul argument, à cet égard, constitue à avancer qu'il a quitté son pays à la fin de l'adolescence pour se rendre en Grande-Bretagne et qu'il n'a donc plus vécu dans son pays depuis 2006. A n'en pas douter, cette seule raison ne saurait constituer une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI.
6.
L'intéressé se plaint d'une violation du principe de proportionnalité (art. 96 LEtr). Dès lors que, comme constaté ci-dessus, il n'a pas de droit à une autorisation de séjour, cette disposition ne s'applique pas.
7.
Le recourant invoque encore l'art. 30 al. 1 let. b LEI. Cet article, compte tenu de sa formulation potestative, ne confère aucun droit au recourant. Le grief tombe dès lors à faux.
8.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Le recours se révélant d'emblée dénué de chances de succès (ATF 135 I 1 consid. 7.1 p. 2), l'intéressé ne saurait bénéficier de l'assistance judiciaire (art. 64 LTF). Les frais seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, ainsi qu'au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 août 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon