Faits :
A.
A.a. Arguant souffrir de lésions au genou droit entravant totalement l'exercice de son activité de parqueteur indépendant depuis le 19 mars 2004, A._, né en 1965, a présenté une requête de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 6 octobre 2004.
Entre autres mesures d'instruction, l'administration a recueilli l'avis des médecins traitants, dont les docteurs B._ et C._, spécialistes en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, Tous deux ont diagnostiqué une gonarthrose et des status après méniscectomies et ont attesté une incapacité totale de travail en qualité de parqueteur dès le mois de mars 2004, le second retenant l'exigibilité d'une activité sédentaire (cf. leurs rapports respectifs des 31 octobre 2004 et 18 novembre 2005). L'assuré a également fait état d'une affection dorsale que le docteur D._, spécialiste en rhumatologie, avait déjà évoquée lors d'une expertise mise en oeuvre par l'assureur perte de gain en cas de maladie. Selon ce médecin, des lombo-sciatalgies interdisaient la pratique de l'activité habituelle et, dans un premier temps, d'une activité mieux adaptée (rapport du 18 mai 2006). L'administration a aussi réalisé une enquête économique pour activité indépendante (rapport du 28 novembre 2007).
Se fondant sur les informations récoltées pendant la procédure, l'office AI a rejeté la demande (décision du 8 février 2008). Sur recours de l'assuré, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a annulé la décision et renvoyé la cause à l'administration afin qu'elle complète l'instruction et rende une nouvelle décision (arrêt du 4 juin 2009).
A.b. L'office AI a mis en oeuvre une nouvelle enquête économique (rapport du 10 juin 2010) et mandaté le docteur D._ pour une expertise. Le médecin a mentionné les lombo-sciatalgies et les gonalgies connues et signalé l'apparition d'un conflit sous-acromial de l'épaule droite. Il a estimé que ces pathologies diminuaient de 50% la capacité à exercer une activité adaptée. Il a par ailleurs évoqué un possible état dépressif (rapport du 9 mai 2011). Pour éclaircir la situation psychiatrique, l'administration a soumis l'assuré à un examen auprès de la doctoresse E._, médecin de son Service médical régional (ci-après: le SMR) et spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin n'a observé aucun signe de troubles psychiatriques (rapport du 19 octobre 2011). La doctoresse F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie et médecin traitant, a en revanche attesté une incapacité totale de travail due à un trouble dépressif récurrent, dont l'épisode actuel était sévère (rapports des 4 décembre 2012 et 15 juin 2013). L'office AI a dès lors ordonné une expertise pluridisciplinaire. Le Centre d'Expertise Médicale (CEMed) a été désigné et le nom des experts communiqué à l'assuré le 3 février 2015. Les docteurs G._, spécialiste en médecine interne, H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et I._, spécialiste en rhumatologie, ont diagnostiqué une gonarthrose droite modérée et une synovite chronique du genou droit. Ils ont considéré que ces troubles n'avaient jamais été un obstacle à l'exercice d'une activité adaptée. Ils ont encore indiqué que les autres affections observées (notamment les lombalgies, les cervico-scapulalgies, le trouble dépressif ainsi que le trouble somatoforme douloureux) étaient sans effet sur la capacité de travail (rapport du 22 mai 2015 complété le 20 août 2015).
L'administration a informé A._ qu'elle entendait rejeter sa demande de prestations (projet de décision du 14 mars 2016). L'assuré s'est opposé au projet de décision. Faute de décision formelle jusqu'au 29 mai 2017, il a formé un recours pour déni de justice à cette date, qui a été admis par la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise (arrêt du 18 décembre 2017). Entre-temps, par décision du 14 décembre 2017, l'office AI a accordé à l'intéressé une demi-rente d'invalidité pour la période comprise entre le 1er mars 2005 et le 30 novembre 2008.
B.
A._ a interjeté un recours contre la décision administrative devant la Cour de justice genevoise. Il a produit les rapports de la doctoresse F._ du 22 mars 2018, ainsi que du docteur B._ des 29 mars 2018 et 9 novembre 2020. Le tribunal cantonal a encore annoncé à l'assuré le nom de deux autres médecins du CEMed ayant participé à l'élaboration du rapport d'expertise. L'intéressé a indiqué n'avoir aucun motif de récusation à faire valoir contre eux.
La juridiction cantonale a rejeté le recours (arrêt du 21 juin 2021).
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle en complète l'instruction (expertise judiciaire pluridisciplinaire et audition des docteurs F._ et B._). Subsidiairement, il demande l'allocation d'une rente entière à compter du 1er mars 2005 et, plus subsidiairement encore, le renvoi de la cause au tribunal cantonal pour qu'il rende un nouvel arrêt dans le sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'administration conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à s'exprimer. L'assuré s'est encore déterminé le 2 novembre 2021 et a produit une note d'honoraires.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente entière d'invalidité dès le 1er mars 2005 sans limitation dans le temps (au lieu de la demi-rente reconnue du 1er mars 2005 au 30 novembre 2008.
3.
3.1. Dans le cadre du "développement continu de l'AI", la LAI, le RAI et la LPGA - notamment - ont été modifiés avec effet au 1er janvier 2022 (RO 2021 705; FF 2017 2535). Compte tenu cependant du principe de droit intertemporel prescrivant l'application des dispositions légales qui étaient en vigueur lorsque les faits juridiquement déterminants se sont produits (à cet égard, cf. notamment ATF 129 V 354 consid. 1), le droit applicable reste, en l'occurrence, celui qui était en vigueur jusqu'au 31 décembre 2021, dans la mesure où la décision administrative litigieuse a été rendue avant cette date.
3.2. L'arrêt attaqué cite les normes et la jurisprudence nécessaires à la résolution du cas, notamment celles concernant les conditions de mise en oeuvre d'expertises médicales (cf. art. 44 LPGA; voir aussi ATF 146 V 9 consid. 4), le rôle des médecins en matière d'assurance-invalidité (ATF 125 V 256 consid. 4; voir aussi ATF 132 V 93 consid. 4), le principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA), l'appréciation du caractère invalidant des troubles somatoformes douloureux (ATF 141 V 181), la valeur probante des documents médicaux (ATF 125 V 351 consid. 3; voir aussi ATF 134 V 231 consid. 5.1), en particulier celle des expertises réalisées avant le changement de jurisprudence publié aux ATF 141 V 181 (consid. 8 de cet arrêt). Il expose encore la jurisprudence s'appliquant au choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité (ATF 137 V 334 consid. 3.2; arrêt 9C_82/2016 du 9 juin 2016 consid. 3.2), à la fixation des revenus (avec et sans invalidité) dans la méthode de comparaison des revenus (ATF 129 V 222 consid. 4.3.1; 126 V 75 consid. 3b et 5b), à la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité (ATF 128 V 29; arrêt 9C_731/2007 du 20 août 2008 consid. 5.1) et à l'obligation de l'assuré de diminuer le dommage (ATF 113 V 22; arrêt 9C_578/2009 du 29 décembre 2009 consid. 4.2). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Sur le plan médical d'abord, la juridiction cantonale est parvenue à la conclusion que le recourant avait toujours été capable d'exercer une activité adaptée, en se fondant sur le rapport des experts du CEMed, jugé probant et convaincant. Elle a notamment considéré à cet égard que la participation à la rédaction du rapport d'expertise de deux médecins dont les noms n'avaient pas été cités dans le mandat (en l'occurrence, les docteurs J._, spécialiste en médecine physique et réhabilitation, et K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie) ne violait pas les droits de participation de l'assuré (cf. art. 44 al. 2 LPGA), dans la mesure où, interpelé pendant la procédure cantonale, celui-ci n'avait fait valoir aucun motif de récusation envers les médecins prénommés. Elle a en outre rappelé la large autonomie de l'expert dans la conduite de son travail, en particulier en ce qui concerne l'intervention de tiers. Le tribunal cantonal a par ailleurs retenu que le fait que le rapport d'expertise avait été rendu antérieurement à l'introduction jurisprudentielle des indicateurs relatifs aux troubles somatoformes douloureux (cf. ATF 141 V 281) n'avait pas pour conséquence de lui ôter toute valeur. Un rapport complémentaire à ce propos avait en effet été produit et permettait une analyse des indicateurs conforme à la jurisprudence. Selon les premiers juges, il importait peu que ce complément fût signé seulement par l'expert psychiatre H._, dès lors que la jurisprudence n'exigeait pas forcément une synthèse se fondant sur une discussion consensuelle de tous les médecins ayant participé à la réalisation de l'expertise. Par ailleurs, pour différents motifs exposés, l'expertise n'était pas mise en doute par les autres rapports médicaux figurant au dossier, en particulier ceux des docteurs D._, B._, L._, spécialiste en chirurgie, et F._. La juridiction cantonale a finalement constaté qu'aucune aggravation de l'état de santé depuis la réalisation de l'expertise du CEMed n'avait été démontrée.
4.2.
4.2.1. Le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir fondé leur arrêt sur le rapport d'expertise du CEMed. Il en conteste la valeur probante. Il émet d'abord des critiques formelles justifiant d'après lui l'éviction de ce rapport. Il soutient que l'intervention des docteurs J._ et K._ concernait des tâches fondamentales (analyse du dossier et relecture du rapport pour juger de la clarté du texte et de la pertinence des conclusions), n'avait pas reçu l'approbation de l'assureur et laissait supposer que les experts déclarés n'avaient pas personnellement pris connaissance de la totalité des pièces du dossier. Il dénie par ailleurs toute pertinence au complément d'expertise dans la mesure où il n'a pas fait l'objet d'une appréciation consensuelle des experts, mais n'a été établi que par le docteur H._, qui n'aurait au demeurant pas procédé à une analyse des indicateurs déterminants pour apprécier le caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux.
4.2.2. Ces critiques ne sont pas fondées. Le but de l'art. 44 al. 2 LPGA - en particulier de la communication du nom des experts désignés afin de réaliser les tâches fondamentales de l'expertise - est de permettre, d'une part, à l'assuré d'invoquer d'éventuels motifs de récusation à l'encontre des experts et, d'autre part, à l'assureur de vérifier que le mandat d'expertise soit accompli par des personnes qui disposent des connaissances scientifiques et de l'indépendance requises en droit des assurances sociales (cf. ATF 146 V 9 consid. 4). La juridiction cantonale a demandé au CEMed d'indiquer le nom et le rôle des médecins ayant procédé à la synthèse du dossier médical et à la relecture du rapport, dont les noms n'avaient pas été communiqués à l'assuré au préalable. Elle a transmis la réponse du CEMed aux parties et invité le recourant à faire valoir d'éventuels motifs de récusation. Celui-ci a averti le tribunal cantonal qu'il n'en avait pas. Par cet échange d'écritures, les premiers juges ont reconnu que les docteurs J._ et K._ avaient joué un rôle fondamental dans l'élaboration du rapport d'expertise et ont guéri la violation du droit de participation de l'assuré, ce que celui-ci ne conteste pas. Bien que l'administration n'ait pas été explicitement invitée à se déterminer sur ce point, son absence de réaction face à la communication de la réponse du CEMed permet de conclure qu'elle a a posteriori approuvé implicitement la participation des docteurs J._ et K._ à la réalisation de l'expertise (sur le droit de réplique, cf. ATF 138 I 484 consid. 2), contrairement à ce que soutient le recourant. Dans la mesure où ces deux médecins doivent être considérés comme faisant partie des experts dont la participation a été requise pour certaines tâches liées à la réalisation de l'expertise et que leur rôle a été clarifié par la juridiction cantonale (cf. réponse du CEMed du 9 janvier 2020), celle-ci était en droit de laisser le rapport contesté au dossier. Le recourant ne fournit aucun élément qui laisserait penser que les experts n'auraient pas pris connaissance du dossier ou que la participation limitée à certains actes des docteurs J._ et K._ aurait faussé les conclusions de l'expertise. Que les experts aient pu ne pas avoir examiné certaines pièces judiciaires ou économiques ainsi que deux avis des docteurs C._ et B._ ne suffit pas non plus à écarter leurs conclusions, comme le voudrait le recourant. Leur tâche consiste en effet à procéder à une évaluation médicale de la situation (et non judiciaire ou économique). Par ailleurs, dans son rapport du 30 juillet 2017, le docteur C._ se contentait d'indiquer n'avoir pas revu l'assuré depuis le 19 mars 2004, tandis que dans son rapport du 6 août 2010, le docteur B._ attestait un état stationnaire de la problématique du genou.
S'agissant ensuite des griefs contre le complément d'expertise, on relèvera que comme l'a déjà mentionné la juridiction cantonale, une discussion consensuelle entre experts, si elle devrait idéalement avoir lieu dans tous les cas, n'est cependant pas indispensable chaque fois (ATF 143 V 124 consid. 2.2.4). En l'occurrence, comme ce complément portait sur le caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux, qui est un diagnostic psychiatrique relevant de la spécialité médicale exercée par le docteur H._ et non par les autres experts, le fait qu'il a été apporté seulement par ce médecin ne nuit pas à son caractère probant. On ajoutera que le rôle de l'expert ne consiste pas à analyser les indicateurs de manière schématique, mais à motiver ses diagnostics et à en décrire l'incidence sur la capacité de travail de l'intéressé de telle manière que les organes chargés de l'application du droit (soit l'administration ou le juge en cas de litige) soient en mesure d'apprécier définitivement cette capacité (ATF 140 V 193 consid. 3.2), au besoin en lien avec d'autres rapports médicaux figurant au dossier dans le cas d'une expertise relative à un trouble somatoforme douloureux réalisée d'après l'ancien standard de procédure (ATF 141 V 281 consid. 8). Or le tribunal cantonal a procédé à une telle appréciation en l'espèce.
4.3.
4.3.1. Le recourant soulève ensuite des griefs d'ordre matériel au sujet de l'appréciation médicale des premiers juges justifiant d'après lui que l'expertise soit écartée. Il relève à cet égard la tentative non convaincante - selon lui - de la juridiction cantonale de remédier à l'absence d'argumentation des médecins du CEMed sur l'éviction du trouble dépressif sévère diagnostiqué par la doctoresse F._ ou sur l'incapacité totale de travail attestée par le docteur D._. Il soutient également que le tribunal cantonal n'a pas pris position sur le fait que les experts n'avaient tiré aucune conclusion de l'incidence du désoeuvrement professionnel ou de l'importance des douleurs exprimées durant l'expertise. Il ajoute que les divergences conséquentes entre les conclusions de la doctoresse E._ et du CEMed, d'une part, et celles de la doctoresse F._, d'autre part, justifiaient à elles seules la réalisation d'une expertise judiciaire ou, du moins, l'audition de la psychiatre traitante. Il estime en outre que l'audition du docteur B._ aurait aussi été justifiée dans la mesure où dans son dernier rapport, celui-ci avait rendu vraisemblable une aggravation de la situation médicale. Il fait enfin valoir que le complément d'expertise établi par le docteur H._ ne contiendrait pas les éléments nécessaires à l'examen des indicateurs, alors que les autres rapports médicaux disponibles comprendraient des éléments justifiant le caractère invalidant de son trouble somatoforme douloureux dont les premiers juges n'auraient pas tenu compte.
4.3.2. Ces griefs ne sont pas fondés. Contrairement à ce que soutient l'assuré, l'existence de conclusions divergentes sur un point particulier ne saurait à elle seule justifier d'ordonner une expertise (judiciaire). Il appartient au contraire à l'autorité chargée de l'application du droit de déterminer si elle est en mesure de trancher les questions qui lui sont posées en fonction des documents disponibles (même contradictoires) et si elle a besoin d'autres informations ou non (sur l'appréciation anticipée des preuves, ATF 140 I 285 consid. 6.3.1). C'est en particulier en raison des avis contradictoires des doctoresses E._ et F._ que l'intimé a confié la réalisation d'une expertise au CEMed. Or les conclusions des médecins de ce centre quant à l'absence d'effet des troubles psychiques observés sur la capacité de travail rejoignent celles de la doctoresse E._. Il ressort par ailleurs de leurs observations que les symptômes relatifs à un état dépressif manifestés lors de l'examen psychiatrique justifiaient de retenir un diagnostic d'épisode dépressif léger, sans incidence sur la capacité de travail. Dans ces circonstances, il n'était pas arbitraire de la part de la juridiction cantonale de considérer que, compte tenu de leur caractère succinct, les rapports de la psychiatre traitante postérieurs à celui des experts du CEMed ne remettaient pas en cause les conclusions de ceux-ci et n'imposaient pas une audition de leur auteur.
Le même raisonnement peut ensuite s'appliquer à l'avis du docteur D._. Le rapport du CEMed constate l'absence de symptômes pouvant justifier une incapacité de travail dans une activité adaptée. Or le tribunal cantonal a expliqué pourquoi le rapport du docteur D._ n'était pas convaincant et pourquoi les avis établis par des médecins somaticiens, en particulier par le docteur B._, ne contredisaient pas valablement les conclusions des experts. Le recourant ne s'attaque pas à la motivation des premiers juges et il n'appartient pas au Tribunal fédéral de le faire à sa place. On relèvera pour le surplus que l'assuré se contente d'affirmer que le docteur B._ a rendu vraisemblable une détérioration de son état de santé, que les experts n'ont pas tenu compte de l'incidence des souffrances exprimées durant l'expertise, que le complément du docteur H._ ne contient pas les éléments nécessaires à l'examen des indicateurs ou que les premiers juges n'auraient pas pris en considération un certain nombre d'éléments (dont il dresse la liste) qui justifieraient le caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux dont il souffre. Cette façon d'argumenter est purement appellatoire de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'y attarder (cf. ATF 140 III 264 consid. 2.3). Elle ne démontre en particulier pas en quoi l'appréciation du caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux effectuée par la juridiction cantonale serait arbitraire ou contraire au droit.
5.
5.1. Sur le plan économique ensuite, le tribunal cantonal a confirmé le choix de la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité pour la période courant du 1er mars 2005 au 30 novembre 2008, la référence à des données statistiques en raison des difficultés pour fixer le revenu sans invalidité, ainsi que la pondération des champs d'activité déterminée par l'intimé en fonction de l'obligation de diminuer le dommage. Il a en revanche corrigé le calcul en tant qu'il se fondait sur un revenu qui ne correspondait pas à celui de l'année de la naissance du droit à la rente. Il est parvenu à la conclusion que le recourant avait droit à un quart de rente plutôt qu'à la demi-rente accordée pour le période en question mais a renoncé à procéder à une reformatio in peius. Compte tenu de la cessation d'activité survenue en septembre 2008, il a par ailleurs confirmé l'utilisation de la méthode générale de comparaison des revenus pour la période ultérieure au 30 novembre 2008, ainsi que le calcul qu'avait effectué l'administration. Il a dès lors entériné la suppression de la rente à compter du mois de décembre 2008. Il a en outre précisé que même un abattement maximal de 25% sur le revenu statistique ne conduisait pas à la reconnaissance du droit à une rente.
5.2.
5.2.1. En lien avec l'application de la méthode extraordinaire, l'assuré reproche aux premiers juges d'avoir procédé à un calcul introduisant une comparaison des revenus avant et après invalidité et expose son propre calcul. Il conteste en outre que, sous l'angle de l'obligation de diminuer le dommage, les autorités précédentes puissent lui imposer une réorganisation de son entreprise par une pondération différente des champs d'activité ou un changement d'activité.
5.2.2. Cette argumentation est infondée. On relèvera qu'au contraire de ce que semble soutenir le recourant, l'introduction d'une comparaison des revenus avant et après invalidité dans la méthode extraordinaire d'évaluation de l'invalidité ne constitue pas une violation du droit mais une particularité de cette méthode qui se déroule en deux étapes. Il s'agit d'abord de procéder à une comparaison des activités en s'inspirant de la méthode spécifique pour "non actifs" puis de déterminer le taux d'invalidité d'après les effets sur la capacité de rendement diminuée sur la situation économique dans le cas particulier (cf. ATF 104 V 35 consid. 2c). On ne saurait dès lors faire valablement grief à la juridiction cantonale d'avoir indûment introduit une comparaison des revenus dans la méthode extraordinaire. Le calcul que l'assuré effectue ne lui est ensuite d'aucune utilité dans la mesure où il s'écarte des chiffres retenus par le tribunal cantonal (aussi bien des revenus que de la pondération des champs d'activité) sans expliquer en quoi ceux-ci seraient manifestement inexacts. Il est enfin faux de prétendre qu'une réorganisation de son entreprise ou un changement d'activité lui auraient été indûment imposés. Les autorités précédentes se sont fondées sur la réorganisation effective décrite par le recourant (cf. rapport d'enquête pour activité professionnelle indépendante du 28 novembre 2007) pour procéder à la pondération des champs d'activité après la survenance de l'atteinte à la santé, ainsi que sur la cessation de l'activité indépendante survenue concrètement en septembre 2008 (en lien avec la capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée attestée médicalement) pour changer de méthode d'évaluation de l'invalidité.
6.
6.1. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Ce dernier a déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
6.2. L'avocat de l'assuré a produit un état de frais détaillé portant sur près de 24 heures d'activités de sa part et d'un stagiaire. Or les questions de droit sur le fond ont été amplement discutées dans le jugement cantonal. Compte tenu de la nature du litige et de l'absence de motifs particuliers allégués par l'avocat (en dehors d'un "réexamen complet du dossier" en raison de l'écoulement du temps), il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter du montant forfaitaire usuellement accordé par le Tribunal fédéral pour ce type de procédure (art. 68 al. 2 LTF; voir également le règlement sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral du 31 mars 2006 [RS 173.110.210.3]).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Me Yann Arnold est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton