Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 2006) besuchte bis zum 13. März 2016 die dritte Klasse an ihrem Wohnort U._. Am 14. März 2016 wechselte sie in die Primarschule V._.
B.
B.a. Am 1. April 2016 stellte C.A._ beim Gemeinderat U._ ein Gesuch um Übernahme der Kosten für den Schulbesuch in V._. Dieses Gesuch wurde mit Beschluss vom 28. April 2016 abgewiesen.
B.b. Vertreten durch ihre Eltern B.A._ und C.A._ gelangte A.A._ mit Eingabe vom 10. Mai 2016 an das Departement Bildung, Kultur und Sport (BKS) des Kantons Aargau und beantragte sinngemäss, die Einwohnergemeinde U._ sei ab dem 14. März 2016 zu verpflichten, das Schulgeld in V._, die Transportkosten sowie die Kosten für die auswärtige Verpflegung zu übernehmen. Mit Entscheid vom 22. September 2016 wies das BKS dieses Gesuch ab, soweit es darauf eintrat.
B.c. Den dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmitteln an den Regierungsrat (Beschluss vom 5. Juli 2017) und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (Urteil vom 22. Mai 2018) war kein Erfolg beschieden.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. Juni 2018 gelangt A.A._ - handelnd durch ihre Eltern - an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2018; die Gemeinde U._ sei zu verpflichten, das Schulgeld für den Besuch der Schule in V._ zu übernehmen. Eventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 141 V 234 E. 2 S. 236). Die Anwendung von kantonalem Recht überprüft es insoweit, als - rechtsgenügend begründet (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106) - vorgebracht wird, die kantonale Vorinstanz habe bei dessen Anwendung verfassungsmässige Rechte bzw. Grundsätze der Bundesverfassung verkannt (BGE 137 V 143 E. 1.2 S. 145; 134 II 349 E. 3 S. 351) und insbesondere das Willkürverbot verletzt (BGE 138 I 225 E. 3.1 S. 227 f.; 136 I 241 E. 2.4 S. 249).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil jenen Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei gelten, wie bei den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96 mit Hinweis).
3.
Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens ist der lange schwelende Konflikt zwischen der Beschwerdeführerin und ihrer Klassenkameradin D._, der nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz auf Streitigkeiten zwischen den Eltern der beiden Mädchen zurückgeht. Es wird von keiner Seite in Frage gestellt, dass die Beschwerdeführerin unter dieser Situation litt und ihr psychischer Zustand zu Sorgen Anlass gab.
Keine Einigkeit besteht jedoch hinsichtlich der Frage, ob der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (Art. 19 BV) der Beschwerdeführerin in dieser Situation das Recht vermittelte, auf Kosten der Wohngemeinde an der öffentlichen Schule einer Nachbargemeinde beschult zu werden. Im Streit liegt insbesondere, inwiefern das eigenmächtige Handeln des Vaters, der seine Tochter ohne Rücksprache mit den zuständigen Behörden in die Schule der Nachbargemeinde V._ wechseln liess, in dieser Situation einer Übernahme des Schulgelds durch die Wohngemeinde entgegensteht. Angesprochen sind damit grundsätzliche verfassungsrechtliche Fragen zur Reichweite des Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht sowie zur Kooperationspflicht zwischen den Schulbehörden und den Eltern, die einer eingehenderen Untersuchung bedürfen.
3.1. Zuständig für das Schulwesen sind die Kantone (Art. 62 Abs. 1 BV). Sie stellen einen ausreichenden Grundschulunterricht sicher, der allen Kindern offen steht. Er ist obligatorisch und an öffentlichen Schulen unentgeltlich (Art. 62 Abs. 2 BV). Der ausreichende und unentgeltliche Grundschulunterricht ist nicht nur objektiv-rechtlich vorgeschrieben, sondern auch individualrechtlich verbürgt (Art. 19 BV). Die Grundrechtsgarantie von Art. 19 BV belässt den Kantonen einen erheblichen Gestaltungsspielraum in der Umsetzung (BGE 133 I 156 E. 3.1 S. 158). Vorausgesetzt wird im Sinne einer Minimalgarantie ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen (BGE 138 I 162 E. 3.2 S. 165). Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das limitierte staatliche Leistungsvermögen hingegen nicht eingefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch von Art. 19 BV verpflichtet den Kanton demnach nicht zur optimalen Schulung eines Kindes (BGE 141 I 9 E. 3.3 S. 13 mit zahlreichen Hinweisen).
3.2. Entsprechend dieser Ausgangslage sind die Kantone verfassungsrechtlich nicht verpflichtet, die freie Schulwahl zu ermöglichen (vgl. dazu REGULA KÄGI-DIENER, in: St. Galler Kommentar zur BV, 3. Aufl. 2014, N. 20 zu Art. 19 BV). Für die Zuteilung der schulpflichtigen Kinder zu den Schulhäusern sowie die Bildung der Schulklassen sind in der Praxis die Schulgemeinden zuständig. Als Grundsatz gilt dabei, dass die Schule an dem Ort besucht wird, an dem sich das Kind mit dem Willen seiner Eltern gewöhnlich aufhält (BGE 140 I 153 E. 2.3.3 S. 157; BGE 130 I 352 E. 3.2 S. 354; Urteil 2C_1063/2015 16. März 2017 E. 4.2; vgl. ferner HERBERT PLOTKE, Schulort, Schulgeld, Schülertransport, in: Gächter/Jaag [Hrsg.], Das neue Zürcher Volksschulrecht, 2007, S. 99 f., S. 100). Diese Konzeption verfolgt den Zweck, den Gemeinden als Trägern der Volksschule (vgl. beispielsweise § 52 des Schulgesetzes des Kantons Aargau vom 17. März 1981 [AGS 401.100; nachfolgend: SchulG]; vgl. für die Rechtslage in anderen Kantonen beispielhaft Art. 4 Abs. 1 des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 [sGS 213.1], Art. 56 de la Loi du 9 septembre 2014 sur la scolarité obligatoire du Canton de Fribourg [ROF 2014 068]) eine sinnvolle Schulplanung zu ermöglichen (BGE 122 I 236 E. 4d) S. 245).
Art. 19 Abs. 1 BV gewährleistet die Unentgeltlichkeit des Schulbesuchs deshalb auch nur in jenem Schulhaus, das dem Kind durch die Gemeinde des gewöhnlichen Aufenthalts zugewiesen wird (BGE 125 I 347 E. 6 S. 360); kein Anspruch auf die Übernahme des Schulgelds besteht hingegen, wenn das Kind auf Initiative der Eltern eine Privatschule bzw. eine öffentliche Schule in einer anderen Gemeinde besucht (Urteile 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 3.1.2; 2P.150/2003 vom 16. September 2003 E. 4.2; vgl. ferner JUDITH WYTTENBACH, in: Basler Kommentar zur BV, 2015, N. 20 und 27 zu Art. 19 BV). Eine Ausnahme von diesem Grundsatz besteht, wenn der weitere Besuch des Unterrichts im zugewiesenen Schulhaus eine Gefährdung des Kindswohls zur Folge hätte (Urteil 2P.150/2003 vom 16. September 2003 E. 4.3; vgl. ferner BEATRICE FRÜH, Die Uno-Kinderrechtskonvention - Ihre Umsetzung im schweizerischen Schulrecht, insbesondere im Kanton Aargau, 2007, S. 106) und dem Kind deshalb nicht weiter zugemutet werden kann. Ist die Entwicklung des Kindes am ordentlichen Schulort ernsthaft gefährdet und gelingt es den zuständigen Schulbehörden nicht, die Situation - beispielsweise durch Umteilung in eine andere Klasse - zu entschärfen, muss die zuständige Gemeinde den unentgeltlichen Schulbesuch diesfalls ausnahmsweise auch auswärts gewährleisten, wenn diese Massnahme geeignet ist, eine Besserung der Situation herbeizuführen (KÄGI-DIENER, a.a.O., N. 66 zu Art. 19 BV; PLOTKE, a.a.O., S. 107).
Ein solcher Umteilungsanspruch kann sich etwa daraus ergeben, dasseine objektive und unüberbrückbare Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses zwischen Eltern, Schulbehörde und Lehrer besteht, welche die Entwicklung des Kindes ernsthaft gefährdet. Denkbar ist auch, dass anhaltendes und nicht durch andere Mittel in den Griff zu bekommendes Mobbing den weiteren Schulbesuch am ordentlichen Schulort unzumutbar macht.
3.3. In schulischen Angelegenheiten sind die Eltern im Interesse ihres Kindes verpflichtet, mit den zuständigen Behörden zu kooperieren (vgl. HERBERT PLOTKE, Schweizerisches Schulrecht, 2. Aufl. 2003, S. 473 [zit. Schulrecht]). Diese Kooperationspflicht ergibt sich nicht nur aus dem Zivilrecht (Art. 302 Abs. 3 ZGB), sondern auch aus dem Gebot von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV), dem im schulischen Kontext im Interesse des Kindswohls besondere Bedeutung zukommt. Die Kooperationspflicht besteht auch - und gerade - dort, wo ein Kind schulische Schwierigkeiten hat, sei dies aufgrund von leistungsmässiger Über- oder Unterforderung, sei dies aufgrund von Konflikten mit anderen Schülern oder der Lehrperson. Schulbehörden und Eltern haben in einer solchen Situation in gegenseitiger Absprache eine auf die Bedürfnisse des Kindes zugeschnittene Lösung des Problems zu finden, wobei von Seiten der öffentlichen Schule - wie oben dargelegt (vgl. E. 3.1) - keine optimale, sondern "nur" eine ausreichende Beschulung sicherzustellen ist.
3.4. Aus diesen Grundsätzen ergibt sich, dass eine Gemeinde verfassungsrechtlich nicht zur rückwirkenden Übernahme des Schulgelds für den Besuch einer auswärtigen Schule verpflichtet werden kann, wenn Eltern ohne hinreichenden Grund vorpreschen und ihr Kind aufgrund von Problemen in der Schule am Wohnort eigenmächtig eine Privatschule oder die öffentliche Schule einer anderen Gemeinde besuchen lassen. Wohl steht es im Belieben der Eltern, diese Entscheidung im Einverständnis mit den Trägern der neuen Schule zu treffen; die aus Art. 19 BV fliessende Pflicht der Wohngemeinde zur Kostenübernahme fällt in einer solchen Konstellation jedoch zumindest mit Blick auf die bis zum Gesuch um Kostentragung angefallenen Schulgelder dahin, weil den zuständigen Schulbehörden der Wohnortgemeinde die Gelegenheit genommen wird, in Kooperation mit den Eltern eine für alle Beteiligten - und insbesondere für das Kind - tragbare Lösung zu finden.
Nur wo eine solche Lösung offensichtlich nicht möglich ist und den Eltern ein weiteres Zuwarten aufgrund der akuten Gefährdung des Wohls ihres Kindes und einer länger anhaltenden pflichtwidrigen Untätigkeit der Schulbehörden nicht weiter zugemutet werden kann, wäre die Befugnis zu einem eigenmächtigen Schulwechsel ausnahmsweise zu bejahen (vgl. sinngemäss HERBERT PLOTKE, Schulrecht, S. 485) und würde die Kostentragungspflicht auch rückwirkend greifen. Eine solche Notstandssituation darf jedoch nur mit grösster Zurückhaltung und bei Vorliegen einer schweren Pflichtverletzung der Schule angenommen werden, können die Eltern doch auch ein ordentliches Gesuch um Schulumteilung und Kostenübernahme stellen und den allenfalls negativen Entscheid der zuständigen Behörde auf dem Rechtsmittelweg anfechten. In einem solchen Verfahren bleibt es ihnen unbenommen, im Sinne einer vorsorglichen Massnahme auch die provisorische Beschulung ihres Kindes in einer anderen Schule zu beantragen. Damit ist ihren Interessen im Regelfall hinreichend Rechnung getragen (zu den Massstäben der Prüfung vorsorglicher Massnahmen in diesem Zusammenhang vgl. THOMAS FLEINER-GERSTER, Die Rechte der Eltern gegenüber der Schule, AJP 6/93, S. 666 ff., S. 671). Eine zurückhaltende Anwendung des "Notstandsrechts" auf eigenmächtigen Schulwechsel dient auch dem Zweck, die Schaffung vollendeter Tatsachen durch eine dafür nicht zuständige Privatperson zu verhindern; im Regelfall soll aufgrund eines eingehenden Beweisverfahrens durch staatliche Behörden geklärt werden, ob die Voraussetzungen für einen Schulwechsel gegeben sind.
3.5. Allein aufgrund unzulässiger Eigenmacht im eben dargestellten Sinne erlischt die aus Art. 19 BV abgeleitete Pflicht der Wohnortgemeinde zur Tragung der Kosten für den Besuch einer auswärtigen Schule freilich nicht. Es bleibt den Eltern deshalb auch nach einem eigenmächtig vorgenommenen Schulwechsel unbenommen, bei der Wohnortgemeinde ein Gesuch um zukünftige Übernahme der Kosten für den Besuch einer auswärtigen Schule zu stellen. In einem solchen Fall obliegt ihnen jedoch der Nachweis der Unzumutbarkeit des weiteren Schulbesuchs in der Wohnortgemeinde (vgl. soeben, E. 3.4). Auch wenn dabei für die Prüfung der Unzumutbarkeit auf den Zeitpunkt des Entscheids über die Kostentragung abgestellt werden muss, ist hierfür eine Rekonstruktion der Situation beim Schulwechsel erforderlich. Die Eltern müssen darlegen können, dass aufgrund der damaligen Situation ein weiterer Schulbesuch auch im massgeblichen Entscheidzeitpunkt unzumutbar ist und mildere Massnahmen (beispielsweise ein Klassenwechsel) keine Abhilfe schaffen können. Dieser Nachweis ist naturgemäss mit Schwierigkeiten verbunden.
3.6. Das vorliegend in der Sache anwendbare kantonale Recht setzt die dargelegten verfassungsrechtlichen Vorgaben auf Gesetzesebene wie folgt um: Zu erfüllen ist die Schulpflicht nach § 6 Abs. 1 SchulG in der Regel in den öffentlichen Schulen der Wohngemeinde oder des Schulkreises, zu dem die Wohngemeinde gehört. Unentgeltlich ist der Volksschulunterricht (§ 3 Abs. 3 SchulG) unter dem Vorbehalt wichtiger Gründe nur beim Besuch der durch die Wohnortgemeinde zugewiesenen Schule (§ 6 Abs. 2 SchulG). Über das Vorliegen wichtiger Gründe und die damit verbundene Übernahme der Kosten der auswärtigen Schule befindet - allenfalls auf förmliches Gesuch der Eltern hin - der Gemeinderat; kommt es zu keiner Einigung über die Tragung des Schulgelds, entscheidet in erster Instanz das Departement Bildung, Kultur und Sport; dessen Entscheid kann an den Regierungsrat weitergezogen werden (§ 6 der Verordnung des Regierungsrates des Kantons Aargau vom 16. Dezember 1985 über das Schulgeld [SAR 403.151]); letztes kantonales Rechtsmittel bildet die Beschwerde an das kantonale Verwaltungsgericht (§ 54 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 4. Dezember 2007 [SAR 271.200]).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass ihr Schulwechsel im März 2016 - wie von der Vorinstanz festgestellt - auf der Initiative ihrer Eltern beruhte und ohne Einbindung der kommunalen Schulpflege als Aufsichtsbehörde über die Volksschule stattfand. Der Schulwechsel ist insofern als eigenmächtig zu bezeichnen.
An dieser Feststellung ändert auch nichts, dass das Thema eines Schulwechsels in Gesprächen zwischen den Eltern der Beschwerdeführerin und den Schulbehörden schon vor dem Schulwechsel angeschnitten worden ist. Selbst wenn zuträfe, dass eine solche Diskussion - wie von der Beschwerdeführerin behauptet - stattgefunden hätte, bliebe es nämlich dabei, dass der Schulwechsel von allen involvierten Parteien immer nur als eine von mehreren Optionen angesehen wurde. Ausschlaggebend ist letztlich die von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellte Tatsache, dass anlässlich des Gesprächs der Eltern mit der Klassenlehrperson und der Schulleitung vom 16. Februar 2016 noch vereinbart wurde, vor einem definitiven Entscheid weitere Abklärungen durch die psychiatrischen Dienste Aargau abzuwarten. Indem die Eltern der Beschwerdeführerin schon am 22. Februar 2016 den Schulwechsel ihrer Tochter beschlossen, wichen sie von dem gemeinsam vereinbarten Vorgehen ab, was unter dem Gesichtspunkt ihrer Kooperationspflicht (vgl. oben, E. 3.4) auch deshalb als problematisch erscheint, weil den Schulbehörden von Seiten der Eltern jedenfalls bis zum Schulwechsel nie eine pflichtwidrige Untätigkeit vorgeworfen, sondern im Gegenteil ein "guter Job" bescheinigt wurde.
4.2. Vor diesem Hintergrund ist nachfolgend zunächst zu prüfen, ob bei der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Schulwechsels aufgrund des anhaltenden sozialen Konflikts insbesondere mit ihrer Mitschülerin D._ von einer akuten Gefährdung des Kindswohls bei gleichzeitig grob pflichtwidriger Untätigkeit der Schulbehörden auszugehen war, und ein Handeln der Eltern in Form eines eigenmächtig beschlossenen Schulwechsel insofern angezeigt erschien. Nur wenn dies zu bejahen wäre, hätte die Beschwerdeführerin ausnahmsweise rückwirkenden Anspruch auf Übernahme der Kosten für den Besuch der Schule in V._ (vgl. oben, E. 3.3).
4.2.1. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz, an welcher diese auch in ihrer Vernehmlassung festhält, kann der Bericht der psychiatrischen Dienste Aargau (PDAG) vom 5. April 2016 für die Beurteilung der psychischen Situation der Beschwerdeführerin zum Zeitpunkt des Schulwechsels nicht schlechterdings als unbeachtlich aus dem Recht gewiesen werden. Es ist nicht undenkbar, dass ein nachträglich erstellter Bericht einer Fachperson bei entsprechender Methode den Nachweis einer schweren psychischen Beeinträchtigung eines Kindes zu einem früheren Zeitpunkt erlaubt, insbesondere wenn das Gutachten - wie vorliegend - relativ schnell nach dem massgeblichen Zeitpunkt erstellt worden ist und die Nachträglichkeit der Begutachtung methodisch berücksichtigt wird. Beispielsweise im Strafrecht wird zur Feststellung der Schuld im Tatzeitpunkt oftmals auf psychiatrische Gutachten abgestellt, die naturgemäss erst nach der Tat erstellt werden können; auch im Sozialversicherungsrecht ist es - wie die Beschwerdeführerin zutreffend ausführt - gang und gäbe, dass medizinische Sachverhalte rückwirkend beurteilt werden. Es ist nicht ersichtlich, warum dies im vorliegenden Kontext zum vornherein ausgeschlossen wäre.
4.2.2. Nichtsdestotrotz ist eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) durch die Nichtberücksichtigung des Berichts der PDAG vom 5. April 2016 im angefochtenen Urteil zu verneinen. Aus dem Bericht, der vom Bundesgericht von Amtes wegen beigezogen worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG), ergibt sich nämlich nicht, dass eine psychische Ausnahmesituation der Beschwerdeführerin bestand, die im Vergleich zu früheren Beeinträchtigungen deutlich schwerer wog und deshalb ein sofortiges Handeln nahelegte. Vielmehr wird dort ausgeführt, dass davon ausgegangen werden könne, die Situation sei für die Beschwerdeführerin (im Zeitpunkt des Schulwechsels) sehr belastend gewesen, und sie sei dadurch, wenn auch nicht auf die schulischen Leistungen übertragen, doch stark in ihrem Alltag und psychischen Befinden beeinträchtigt gewesen.
4.2.3. Wie oben dargelegt, ist für die Annahme einer Kostentragungspflicht der Wohnortgemeinde bei eigenmächtig vorgenommenem Schulwechsel vorausgesetzt, dass den Eltern ein weiteres Zuwarten aufgrund einer länger anhaltenden und grob pflichtwidrigen Untätigkeit der zuständigen Schulbehörden nicht weiter zugemutet werden kann (vgl. oben, E. 3.4). Selbst wenn dabei der Begriff der Schulbehörden auch auf die schulpsychologischen und jugendpsychiatrischen Dienste erstreckt würde, wie dies die Beschwerdeführerin verlangt, ist die Voraussetzung vorliegend nicht erfüllt.
Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), bestand nämlich über eine lange Zeit eine vertrauensvolle Kooperation zwischen den Eltern und der Schule. Noch am 16. Februar 2016 bescheinigten die Eltern ihren schulischen Ansprechpersonen, sie würden "einen guten Job" machen, ihnen gegenüber werde das volle Vertrauen ausgesprochen, die Schule sei nie das Problem gewesen. Vor diesem Hintergrund erscheint es auch in Anbetracht der Kooperationspflichten zwischen Eltern und Schule (vgl. oben, E. 3.3) als widersprüchlich, nur rund eine Woche später die Planung für den Übertritt an die Schule einer Nachbargemeinde an die Hand zu nehmen und die bisherige Schule vor vollendete Tatsachen zu stellen. Zu einem solchen Schritt bot auch das Verhalten der Mitarbeiter des schulpsychologischen Dienstes SPD keinen Anlass. Beschlossen wurde anlässlich des Gesprächs vom 16. Februar 2016 nämlich eine Begutachtung durch die PDAG (bzw. durch dessen Zentrale Anmeldung für Kinder/Jugendliche [ZAKJ]). Dass eine solche Begutachtung nicht innert Wochenfrist vorliegen kann, liegt auf der Hand. Die PDAG haben durch die Fertigstellung des Gutachtens am 5. April 2016 vielmehr unter Beweis gestellt, dass sie nach der Kontaktierung durch die Eltern innert nützlicher Frist gehandelt haben.
Schliesslich ist von entscheidendem Gewicht, dass die Eltern die kommunale Schulpflege als verantwortliche Behörde für die Führung der Volksschule trotz der klaren Zuständigkeit nach § 71 des kantonalen Schulgesetzes nie kontaktiert und auch den Entscheid des Gemeinderats über die Kostenübernahme für die Beschulung an einer auswärtigen Schule ohne deren Einbeziehung erst nachträglich erwirkt haben. An der Zuständigkeit der Schulpflege ändern auch die nach Auffassung der Beschwerdeführerin unklaren Hinweise auf der Homepage der Schule U._ nichts. Insofern kann vorliegend nicht die Rede davon sein, dass die Eltern aufgrund einer anhaltenden pflichtwidrigen Untätigkeit der zuständigen Behörden keine andere Wahl mehr gehabt hätten, als einen eigenmächtigen Schulwechsel vorzunehmen. Es hätten ihnen vielmehr verschiedene gesetzliche Mittel zur Verfügung gestanden, um Abhilfe zu schaffen.
Ein Schulwechsel war ihnen damit zwar unbenommen; nur vermittelt Art. 19 BV in einem solchen Fall jedenfalls keinen rückwirkenden Anspruch auf Übernahme der mit dem Besuch der auswärtigen Schule verbundenen Kosten.
4.3. Zu prüfen bleibt, ob die Wohnortgemeinde die Schulkosten ab dem Zeitpunkt übernehmen muss, in dem die Eltern das Gesuch um Kostenübernahme gestellt haben. Hierfür müsste den Eltern der Nachweis gelingen, dass ein weiterer Schulbesuch der Beschwerdeführerin in der Wohnortgemeinde unzumutbar gewesen wäre (bzw. auch weiterhin ist).
4.3.1. In diesem Zusammenhang ist erneut auf den vom Bundesgericht von Amtes wegen beigezogenen Bericht der PDAG vom 5. April 2016 zu verweisen (Art. 105 Abs. 2 BGG). Aus diesem Bericht ergibt sich zwar, dass die Situation für die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Schulwechsels sehr belastend gewesen sei, und sie dadurch, wenn auch nicht auf die schulischen Leistungen übertragen, doch stark in ihrem Alltag und psychischen Befinden beeinträchtigt gewesen sei. Dass ein Schulwechsel in die andere Schulgemeinde und namentlich nicht etwa ein Klassenwechsel am Wohnort die einzig denkbare Lösung der Situation für die Zukunft darstellte, ergibt sich aus dem Bericht hingegen nicht. Daran vermögen auch die appellatorischen Sachverhaltsschilderungen in der Beschwerde nichts zu ändern.
4.3.2. Die Vorinstanz hat im Übrigen zu Recht erwogen, dass Eltern in Situationen, in denen ein schwelender Elternkonflikt zu Problemen in der Schule führt, vor einem Schulwechsel sämtliche zumutbaren Anstrengungen unternehmen müssen, um den Konflikt zu beseitigen. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zum Bestehen des Elternkonflikts als Hauptursache der Schulschwierigkeiten der Beschwerdeführerin und zur fehlenden Bereitschaft ihrer Eltern, diesen Konflikt aus dem Weg zu räumen, erweist sich jedenfalls nicht als willkürlich.
4.3.3. Insgesamt ist es der Beschwerdeführerin vor diesem Hintergrund nicht gelungen darzutun, dass ihr ein weiterer Besuch der Schule in der Wohnortgemeinde unzumutbar gewesen wäre. Diese Feststellung gilt freilich nur für den Sachverhalt, der schon der Vorinstanz vorgelegen hat (Art. 110 BGG), und aus dem sich der für das Bundesgericht verbindliche Streitgegenstand ergibt.
Der Beschwerdeführerin ist deshalb nicht verwehrt, bei ihrer Wohnortgemeinde für die Zukunft erneut ein Gesuch um Kostentragung zu stellen; für einen positiven Bescheid müsste sie jedoch nachweisen, dass ihr (im heutigen Zeitpunkt) ein weiterer Schulbesuch in der Wohnortgemeinde nicht zugemutet werden kann.
4.4. Eine willkürliche Anwendung von § 3 Abs. 3 und § 6 Abs. 2 SchulG ist insgesamt nicht hinreichend dargetan. Die Vorinstanz ist zu Recht davon ausgegangen, die Gemeinde U._ treffe unter dem Blickwinkel von Art. 19 BV keine Pflicht zur Übernahme der Kosten für den Besuch der Schule V._.
Soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz unter Anrufung von Art. 29 Abs. 2 BV vorwirft, zu Unrecht verschiedene Beweisanträge abgewiesen zu haben, verkennt sie, dass selbst die Abnahme dieser Beweise kein anderes Bild vermittelt hätte. Bezüglich des Antrags auf (vollständige) Edition einer angeblichen E-Mail vom 7. Februar 2016 sowie eines DAWBA-Fragebogens hat die Vorinstanz zu Recht erwogen, ein allfälliges Fehlverhalten des zuständigen Schulpsychologen sei nicht von entscheidendem Gewicht. Auch gelingt es der Beschwerdeführerin nicht darzutun, dass die Erstellung eines zusätzlichen Gutachtens zur Frage, wie sich ihr psychischer Zustand im Januar und Februar 2016 gestaltete, im Vergleich zum ersten Gutachten vom 5. April 2016 zusätzliche Erkenntnisse gebracht hätte. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
5.
Soweit die Beschwerdeführerin mit Blick auf Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 29a BV beanstandet, dass der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren eine Parteikostenentschädigung zugesprochen wurde, sind ihre Vorbringen als appellatorisch zu bezeichnen und damit nicht zu hören (Art. 106 Abs. 2 BGG). Auch eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts ist vor dem Hintergrund der im angefochtenen Entscheid referenzierten gefestigten und bundesgerichtlich bestätigten (vgl. Urteil 1C_380/2009 vom 20. April 2010 E. 4) kantonalen Rechtsprechung nicht ersichtlich.
Das Bundesgericht selbst hat erst mit der Inkraftsetzung des BGG von seiner früheren Praxis Abstand genommen, wonach mittleren und kleineren Gemeinwesen, die über keinen Rechtsdienst verfügten und daher auf einen Anwalt angewiesen waren, eine Parteikostenentschädigung zustand (vgl. noch BGE 125 I 182 E. 7; 132 I 140 E. 4); es hat in dem Entscheid ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Zusprechung der Parteikostenentschädigung sich nicht nach den Verfahrensgrundrechten der Bundesverfassung, sondern nach dem anwendbaren Prozessrecht - vor Bundesgericht nach Art. 68 Abs. 3 BGG - richte (BGE 134 II 117 E. 7 S. 117). Es bleibt den kantonalen Gesetzgebern vor diesem Hintergrund bundesverfassungsrechtlich unbenommen, eine andere Lösung zu treffen und in ihrer Verwaltungsverfahrensordnung nicht nur für Private, sondern auch für das Gemeinwesen im Falle des Obsiegens bei anwaltlicher Vertretung eine Parteikostenentschädigung vorzusehen.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in allen Punkten unbegründet und somit abzuweisen.
Die Kosten trägt die unterliegende Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegner obsiegen in ihrem amtlichen Wirkungskreis, weshalb ihnen - trotz anwaltlicher Vertretung im Falle der Gemeinde U._ - keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner