Faits :
A.
A._, née en 1973, a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 17 mai 2011, invoquant des séquelles post-opératoires de différentes fractures de la jambe droite subies le 20 juin 2010. Par la suite, elle a sollicité l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative le 20 février 2013. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté sa demande d'assistance par décision du 1er juillet 2013 et lui a octroyé une rente entière d'invalidité pour la période du 1er janvier au 30 novembre 2012 par décision du 10 novembre 2014. Saisi d'un recours de l'assurée contre la décision d'octroi de rente, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis par jugement du 14 février 2017. Il a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il complète l'instruction sur les plans médical et économique, puis rende une nouvelle décision.
L'intéressée a de nouveau demandé l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure en cours le 18 octobre 2017. Par courrier du 1er novembre 2017, l'office AI a fait référence à sa décision de refus d'assistance du 1er juillet 2013. Il a par la suite procédé au complément d'instruction requis par la juridiction cantonale, réalisant notamment deux expertises, dont une pluridisciplinaire. A._ a fait valoir une aggravation de son état de santé et a derechef sollicité l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative le 6 juin 2019. L'administration a rejeté sa demande par décision du 30 août 2019.
B.
L'assurée a déféré cette décision au tribunal cantonal. Elle a conclu à l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative. Elle a également requis l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
La juridiction cantonale a rejeté le recours et la demande d'assistance judiciaire par jugement du 27 janvier 2020.
C.
L'intéressée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en demande principalement la réforme, en ce sens que lui soient octroyées l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative et l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours. Elle requiert à titre subsidiaire l'annulation du jugement cantonal, concluant au renvoi de la cause aux premiers juges pour qu'ils rendent une nouvelle décision. Elle sollicite en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office AI conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé. A._ s'est exprimée sur la réponse de l'administration.
Considérant en droit :
1.
Le jugement cantonal du 27 janvier 2020 est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF dans la mesure où il porte seulement sur le refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour une procédure administrative concernant l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité limitée dans le temps (à cet égard, cf. ATF 139 V 600 consid. 2.2 p. 602 s.).
Le recours de l'assurée contre ce jugement est en outre recevable dès lors que ce dernier peut lui causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Contrairement à ce que soutient l'office intimé, la procédure administrative ne pouvait pas être considérée comme étant pratiquement terminée à la date du jugement attaqué puisque, dans le cadre des observations formulées contre un nouveau projet de décision du 15 mai 2019 (par lequel l'administration entendait octroyer à la recourante une rente entière pour la période limitée du 1er janvier 2012 au 30 septembre 2013), l'assurée a signalé une péjoration de son état de santé et produit des rapports médicaux récents devant encore faire l'objet d'une évaluation par le service médical de l'office intimé (mandat au service médical régional du 17 juillet 2019). La décision définitive afférente au droit aux prestations n'ayant pas été prononcée, la procédure suivait son cours et l'avocat de la recourante n'avait pas terminé son travail. Dans ces circonstances, l'assurée court le risque de ne pas pouvoir faire valoir correctement ses droits en cas de refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique (dans ce sens, voir arrêts 9C_13/2020 du 29 octobre 2020 consid. 1.2; 9C_577/2019 du 21 janvier 2020 consid. 1.2 et les références; a contrario, voir ATF 139 V 600 consid. 2.3 p. 603 s.; 133 V 645 consid. 2.2 p. 648).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
3.
Est en l'occurrence litigieux le point de savoir si la juridiction cantonale était en droit de confirmer le refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative et de rejeter la demande d'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours.
4.
4.1. Le jugement entrepris cite les dispositions légales et les principes jurisprudentiels concernant l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans les procédures administratives en matière d'assurances sociales (art. 37 al. 4 LPGA; ATF 132 V 200 consid. 4.1 p. 200 s.; 130 I 180 consid. 2.2 p. 182; arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007). Il suffit d'y renvoyer.
4.2.
4.2.1. Le tribunal cantonal a nié que les circonstances du cas d'espèce soient si particulières qu'elles exigent l'assistance d'un avocat, à l'exclusion de tout autre intervenant social, au stade de l'instruction de la demande de prestations déjà. Il a considéré que l'objet du litige (soit la question de la capacité de travail et du droit à la rente évaluée dans la plupart des cas relatifs au droit à des prestations de l'assurance-invalidité) et du renvoi pour instruction complémentaire ordonné par le jugement du 14 février 2017 (soit la récolte d'éléments factuels ciblés) ne conférait pas à la présente affaire un degré de complexité sortant de l'ordinaire. Il a aussi nié que la durée de la procédure et l'analyse des différents avis médicaux ne soient davantage source de complexité.
4.2.2. La recourante reproche aux premiers juges d'avoir violé l'art. 37 al. 4 LPGA. Elle soutient que les termes et l'étendue du renvoi de la cause à l'office intimé pour instruction complémentaire, le nombre et l'ampleur des documents médicaux à analyser, ainsi que leur caractère souvent divergent, ou les lacunes de l'instruction médicale, la nature de ses troubles, l'absence chez un assistant social de formation ou de connaissances juridiques suffisantes pour accomplir les démarches nécessitées par son cas, ainsi que la perte de temps et d'argent que représente le recours à une telle personne pour remplacer son avocat qui a déjà une connaissance approfondie de la procédure débutée en 2011 montrent la complexité des problématiques à traiter et justifient la nécessité de lui accorder l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative.
4.3. L'argumentation de l'assurée est fondée. Certes, le litige au fond porte sur l'évaluation de la capacité de travail de la recourante et sur l'influence de cette capacité sur son droit à une rente d'invalidité, ainsi que l'a retenu le tribunal cantonal, et cette problématique n'est en principe pas susceptible d'affecter de manière particulièrement grave la situation juridique de l'intéressé (arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007 consid. 3.1). Cette question n'est toutefois pas la seule que l'autorité administrative devra trancher en l'occurrence et ne saurait être considérée comme ne "comport[ant] intrinsèquement aucune difficulté particulière" au seul motif qu'elle "se pose communément dans la plupart des procédures ayant pour objet le droit à des prestations de l'assurance-invalidité". En effet, le complément d'instruction visé par le jugement de renvoi du 14 février 2017 concernait non seulement le volet médical mais aussi le volet économique de la cause. Il consistait concrètement à, d'une part, mettre en oeuvre une expertise médicale (comportant au moins un volet orthopédique et un volet neurologique) qui, au final, en raison notamment de l'intervention du mandataire de l'assurée - dont la pertinence avait été admise par les organes de l'assurance-invalidité - a nécessité la réalisation de deux expertises et regroupé des investigations dans les domaines de l'angiologie, la neurologie, la rhumatologie, la chirurgie orthopédique et la psychiatrie. D'autre part, il devait porter sur l'ampleur des revenus réalisés par la recourante ainsi que le véritable statut de cotisant de cette dernière et permettre ainsi de déterminer la méthode d'évaluation de l'invalidité. L'étendue des investigations médicales et la multiplicité des questions d'ordre économique, ainsi que leurs interactions dans l'évaluation de l'invalidité de l'assurée, ne sauraient dès lors être considérées comme ne posant intrinsèquement pas de difficultés particulières. Elles démontrent au contraire la complexité du cas d'espèce dont la compréhension nécessite des connaissances juridiques et médicales étendues que la recourante, musicienne, n'a à l'évidence pas.
On ajoutera que la complexité de la cause est en l'occurrence encore accentuée par la durée de la procédure (débutée en 2011) dès lors que cette durée a favorisé le dépôt de nombreux rapports médicaux, qu'il appartiendra à l'office intimé d'évaluer, en particulier si les conclusions en seraient contradictoires, et qu'elle a suscité un argument supplémentaire de l'assurée concernant l'apparition de nouvelles affections. Dans ces circonstances particulières, il est par ailleurs inopportun de confier provisoirement la défense des intérêts de la recourante à un tiers (même à une personne oeuvrant au sein d'une institution sociale) puisque le mandataire de cette dernière est actif depuis le début de la procédure et en a une connaissance approfondie (à cet égard, cf. p. ex. arrêts 9C_516/2018 du 17 octobre 2018 consid. 2.4; 9C_668/2009 du 25 mars 2010 consid. 4.2). La nécessité de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative est ainsi établie.
4.4. En conséquence de ce qui précède, il apparaît que les premiers juges ont indûment confirmé le refus par l'office intimé de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative. L'acte attaqué ainsi que la décision litigieuse doivent dès lors être annulés et la cause renvoyée à l'administration pour qu'elle examine les autres conditions de l'assistance requise, sur lesquelles cette autorité n'avait pas pris position, et se prononce à nouveau.
5.
Comme l'assurée obtient gain de cause sur la base de ce qui précède, il n'est pas nécessaire d'examiner son grief concernant la violation du principe de l'égalité des armes.
6.
Compte tenu de l'issue de la procédure, la juridiction cantonale ne pouvait pas retenir l'échec prévisible du recours qu'elle aurait dû partiellement admettre; il en découle en principe un droit de l'assuré à percevoir des dépens pour la procédure cantonale de recours, de sorte que sa demande d'assistance judiciaire devenait sans objet. Aussi, le tribunal cantonal est-il invité à rendre une nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
7.
Vu l'issue du litige, les frais et les dépens doivent être mis à la charge de l'office intimé (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 27 janvier 2020 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 30 août 2019 sont annulés. La cause est renvoyée à l'intimé pour nouvelle décision sur le droit à l'assistance judiciaire.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à l'avocat de la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 janvier 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton