Sachverhalt:
A.
A.a. Die C._ GmbH (Klägerin 1, Beschwerdegegnerin 1), wurde 1992 gegründet und bezweckt den "Vertrieb von Nahrungsergänzungsmitteln für Boden, Pflanzen, Tier und Mensch sowie von technischen Produkten zur Vitalisierung". Sie betreibt seit 2013 eine Zweigniederlassung in U._. D._ (Kläger 2, Beschwerdegegner 2), ist als Geschäftsführer der C._ GmbH eingetragen.
A.b. Die A._ GmbH (Beklagte, Beschwerdeführerin) bezweckt den "Vertrieb von marktgerechten Agrar-, Gebrauchs- und Verbrauchsprodukten, insbesondere Heimtierfutter und Nahrungsergänzungen für Boden, Pflanzen, Tier und Mensch sowie Erbringung von Dienstleistungen in diesen Bereichen, vorwiegend in der Schweiz". Sie wurde am 21. März 2007 gegründet und am 10. Mai 2007 unter der Firma "E._ GmbH" ins Handelsregister eingetragen. Die Stammanteile wurden zu 30 % von der C._ GmbH und zu 70 % von F._ gehalten. Im März 2009 übernahm die C._ GmbH alle Stammanteile, die Firma wurde in "B._ GmbH" umbenannt und sie verlegte ihren Sitz nach V._. Im Juni 2009 übernahm G._ 70 % der Stammanteile und wurde als Geschäftsführerin und Gesellschafterin mit Einzelunterschrift im Handelsregister eingetragen. Die Umfirmierung in A._ GmbH erfolgte während der Hängigkeit des Verfahrens vor der Vorinstanz am 2. April 2014.
A.c. Die A._ GmbH ist Inhaberin der CH-Wortmarke Nr. 629 410 "REICO" und der CH-Wort-/Bildmarke Nr. 629 989 "REICO", die beide am 1. Dezember 2011 hinterlegt wurden. Am 14. Dezember 2011 registrierte sie den Domainnamen "reico-vital-systeme.com". Die C._ GmbH ist Inhaberin der am 12. März 2007 registrierten deutschen Wort-/Bildmarke DE 30722813 "REICO VITAL-SYSTEME" sowie des Domainnamens "reico-schweiz.com". D._ ist Inhaber der Gemeinschaftswortmarke Nr. 008808842 "REICO" mit Priorität vom 13. Januar 2010 und hat am 19. Februar 2013 eine Gemeinschafts-Wort-/Bildmarke "REICO VITAL-SYSTEME" angemeldet.
A.d. Gegen die Hinterlegung der CH-Wortmarke Nr. 643 963 "REICO" (13. Mai 2013) und der CH-Wort-/Bildmarke Nr. 643 659 "REICO VITAL-SYSTEME" (3. Mai 2013) durch D._ hat die A._ GmbH Widerspruch erhoben. Sie veranlasste die zollrechtliche Zurückbehaltung einer Warensendung der C._ GmbH an deren Zweigniederlassung in U._ und ersuchte das Handelsgericht des Kantons St. Gallen mit Massnahmegesuch vom 30. Juli 2013 um vorläufige Beschlagnahmung dieser Ware. Der Handelsgerichtspräsident wies das Gesuch mit Entscheid vom 25. Oktober 2013 ab mit der Begründung, die Gesuchsgegnerin habe glaubhaft gemacht, dass sie im Sinne von Art. 4 MSchG im Verhältnis zur Gesuchstellerin als Inhaberin der Marken zu betrachten sei.
B.
B.a. Am 12. Dezember 2013 gelangten die Kläger an das Handelsgericht des Kantons St. Gallen mit den Begehren, es sei der Beklagten unter Strafandrohung zu verbieten, unter den (Wort- sowie Wortbild-) Zeichen "REICO", "REICO Schweiz", "Reico-Vital-Schweiz" und/oder "Reico Vital Systeme" Tierfutter, Nahrungsergänzungsmittel, Boden- und Pflanzenprodukte und/oder Körperhygieneprodukte zu bewerben, anzubieten, in Verkehr zu bringen etc. (Ziffer 1) und es sei ihr zu verbieten, diese Zeichen als Unternehmensbezeichnung im geschäftlichen Verkehr zu verwenden (Ziffer 2). Die Beklagte sei zudem zu verpflichten, ihr die CH-Marken Nr. 629 410 "REICO" und Nr. 629 989 "REICO" zu übertragen, eventuell seien diese nichtig zu erklären (Ziffer 3). Die Beklagte sei ausserdem zu verpflichten, sämtliche für die entschädigungslose Übertragung des Domainnamens "reico-vital-schweiz.com" erforderlichen Erklärungen abzugeben, eventuell sei die Nichtigkeit dieses Namens festzustellen und die US-Registrierungsbehörde anzuweisen, ihn zu löschen (Ziffer 4).
Mit Entscheid vom 5. Juli 2016 hiess das Handelsgericht des Kantons St. Gallen die Klage im Wesentlichen gut.
Mit Urteil 4A_489/2016 vom 27. Februar 2017 (BGE 143 III 216) hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Beklagten gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück.
B.b. Mit Entscheid vom 16. Mai 2017 hiess das Handelsgericht des Kantons St. Gallen die Klage wiederum gut und erliess dasselbe Dispositiv wie folgt:
1. Der A._ GmbH wird unter Androhung der Bestrafung ihrer verantwortlichen Organe und geschäftsführenden Personen wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung gemäss Art. 292 StGB mit Busse für den Zuwiderhandlungsfall untersagt, unter den Kennzeichen "REICO", "REICO Schweiz", "Reico-Vital-Schweiz" und/oder "Reico Vital Systeme", insbesondere in folgender Ausgestaltung
Tierfutter, Nahrungsergänzungsmittel, Boden- und Pflanzenprodukte und/oder Körperhygieneprodukte zu bewerben, anzubieten, in Verkehr zu bringen oder zu diesem Zwecke zu lagern, und/oder zu solchen Handlungen Dritter anzustiften, bei ihnen mitzuwirken oder ihre Begehung zu begünstigen oder zu erleichtern.
2. Der A._ GmbH wird unter Androhung der Bestrafung ihrer verantwortlichen Organe und geschäftsführenden Personen wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung gemäss Art. 292 StGB mit Busse für den Zuwiderhandlungsfall untersagt, die Kennzeichen "REICO", "REICO Schweiz" und/oder "B._ GmbH" als Unternehmensbezeichnung, insbesondere als Firma, im geschäftlichen Verkehr zu verwenden.
3. Die A._ GmbH wird unter Androhung der Bestrafung ihrer verantwortlichen Organe und geschäftsführenden Personen wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung gemäss Art. 292 StGB mit Busse für den Zuwiderhandlungsfall verpflichtet, die CH-Marken
Nr. 629 410 REICO und
Nr. 629 989
innert 30 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft des Urteils auf die Klägerin 1 zu übertragen.
4. Die A._ GmbH wird unter Androhung der Bestrafung ihrer verantwortlichen Organe und geschäftsführenden Personen wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung gemäss Art. 292 StGB mit Busse für den Zuwiderhandlungsfall verpflichtet, sämtliche Erklärungen abzugeben, welche erforderlich sind, um den Domainnamen "reico-vital-schweiz.com" entschädigungslos auf die C._ GmbH zu übertragen.
(Kosten) ".
Das Handelsgericht führte kein Beweisverfahren durch. Es ergänzte vielmehr den Sachverhalt aufgrund der bestehenden Akten und erwog, dass in Fällen, in denen wie hier die Marke nie ausdrücklich Gegenstand von Gesprächen gebildet habe, im Einzelfall zu entscheiden sei, ob sich die Parteien auf eine Treuepflicht berufen könnten bzw. sich diese entgegenhalten lassen müssten. Im vorliegenden Fall spreche die zugunsten der Beklagten bestehende Exklusivität für die Annahme der Interessenwahrungspflicht, da sie die Klägerin 1 während der Zusammenarbeit daran gehindert habe, aus dem Kennzeichen REICO in der Schweiz unmittelbaren wirtschaftlichen Nutzen zu ziehen. Verstärkt werde diese Interessenwahrungspflicht durch den Umstand, dass die Beklagte in das Marketingkonzept der Klägerin 1 einbezogen gewesen sei. Auch der Umstand, dass die Beklagte die Marke in dem Zeitpunkt eintragen liess, als sich das Verhältnis der Parteien verschlechterte, ist nach den Erwägungen des Handelsgerichts ein Indiz dafür, dass sich die Beklagte ihrer Stellung als Vertriebspartnerin der Klägerin 1 bewusst gewesen sei. Es möge sein, dass die Gesellschafterin der Beklagten davon überzeugt gewesen sei und auch entsprechend beraten wurde, dass sie mit der Eintragung die Interessen der Beklagten schütze. Es könne insofern auf die Einvernahme des beantragten Zeugen verzichtet werden, da dieser über die vertraglichen Beziehungen nichts aussagen könne. Dass die Beklagte bei der Eintragung der Marke überzeugt gewesen sei, ihre eigenen Interessen wahrzunehmen, ändere nichts daran, dass sie das Risiko habe erkennen müssen, bei einer Beendigung der vertraglichen Beziehung nicht mehr unter REICO auftreten zu können, und ihr ihre markenrechtliche Sonderstellung als Vertriebspartnerin der Klägerin 1 in der Schweiz bewusst gewesen sei.
B.c. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Beklagte die Rechtsbegehren:
"1. Es sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 2017 aufzuheben und die Klage abzuweisen.
2. Eventualiter sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 2017 aufzuheben und die Sache an das Handelsgericht des Kantons St. Gallen zur Neubeurteilung insbesondere mit der Anweisung zurückzuweisen, Herrn Dr. H._, Frau F._ (vormals Frau J._) und Herrn I._ als Zeugen einzuvernehmen und den Sachverhalt auf das Vorliegen eines Grundes zur Rechtfertigung des Verhaltens der Beschwerdeführerin im Rahmen von Art. 4 MSchG und Art. 6septies PVÜ frei (mithin nicht bloss unter dem Gesichtspunkt eines "offensichtlichen" Rechtsmissbrauchs) zu prüfen."
Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung ihres Rechts auf Beweis, die Verletzung von Art. 4 MSchG und in diesem Zusammenhang die Nichtbeachtung des Rückweisungsentscheids bzw. eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts, von Art. 4 MSchG in Verbindung mit Art. 6septies PVÜ, von Art. 2 und 3 Abs. 1 lit. d UWG und von Art. 29 Abs. 2 ZGB.
B.d. Das Handelsgericht des Kantons St. Gallen hat die Akten der vorinstanzlichen Haupt- und Massnahmeverfahren eingereicht und bemerkt, es sei der Vorgabe aus dem Rückweisungsentscheid insofern nachgekommen, als aufgrund der Akten festgestellt worden sei, dass im Zeitpunkt der "Eintragung der strittigen Marken am 1. Dezember 2011 zwischen den Parteien ein unbefristetes Vertriebsverhältnis mit der Verpflichtung der Klägerin 1 [bestanden habe], die Beklagte exklusiv für den Vertrieb in der Schweiz mit Produkten zu beliefern, und derjenigen der Beklagten, die von ihr im Rahmen des von der Klägerin 1 vorgegebenen Marketingplanes vertriebenen Produkte ausschliesslich bei der Klägerin 1 zu beziehen und der Klägerin 1 hierfür und für die Dienstleistungen die von der Klägerin 1 festgesetzten Preise zu bezahlen".
B.e. Die Beschwerdegegner beantragen in der Antwort, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
B.f. Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.
Erwägungen:
1.
Die formellen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Die Vorinstanz hat aufgrund der Rückweisung vom 27. Februar 2017 am 16. Mai 2017 neu entschieden.
2.1. Nach allgemeinen Grundsätzen des Bundesrechts bindet ein bundesgerichtlicher Rückweisungsentscheid sowohl das Bundesgericht selbst wie die Vorinstanz (BGE 143 IV 214 E. 5.3.3 S. 522; 135 III 334 E. 2.1 S. 335 mit Verweisen). Im Falle eines Rückweisungsentscheids hat die mit der Neubeurteilung befasste kantonale Instanz nach ständiger Rechtsprechung die rechtliche Beurteilung, mit der die Zurückweisung begründet wird, ihrer Entscheidung zugrunde zu legen. Wegen dieser Bindung der Gerichte ist es diesen wie auch den Parteien verwehrt, die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid ausdrücklich abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden sind (BGE 135 III 334 E. 2 und E. 2.1 S. 335 f. mit Hinweisen). Wird die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts zurückgewiesen, so bedeutet dies nicht, dass auf verbindliche Sachverhaltsfeststellungen zurückgekommen werden könnte (vgl. BGE 135 III 334 E. 2 und E. 2.1 S. 335 f. mit Hinweisen). Vielmehr beschränkt sich die Neubeurteilung auf den Rahmen und die Elemente des Sachverhalts, zu deren Klärung die Sache im Rückweisungsentscheid zurückgewiesen wurde (BGE 131 III 91 E. 5.2 S. 94 mit Hinweisen).
2.2. Die Rückweisung vom 27. Februar 2017 erfolgte in der Erwägung, dass dem damals angefochtenen Entscheid zu den konkreten vertraglichen Beziehungen der Parteien, insbesondere bei der Hinterlegung der Marken durch die Beschwerdeführerin im Dezember 2011, nichts zu entnehmen war. Die Vorinstanz stellte im damals angefochtenen Entscheid im Gegenteil fest, dass der Inhalt der Zusammenarbeit nach der Gründung der Beschwerdeführerin und namentlich nach der Übernahme der Mehrheitsbeteiligung an der Beschwerdeführerin durch deren heutige Geschäftsführerin strittig sei. Das Bundesgericht hielt fest, dass sich der Schluss auf eine enge Zusammenarbeit, die eine vertragliche Loyalitätsverpflichtung der Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin 1 begründen soll, für die Vorinstanz aus der Absicht der Beschwerdeführerin zur Zusammenarbeit (mit entsprechender Exklusivität, abgestimmtem Marketing) mit der Beschwerdegegnerin 1 sowie aus den Übereinstimmungen der kennzeichnenden Firmenbestandteile und Gesellschaftszwecke ergab. In dieser Hinsicht ist im Rückweisungsentscheid festgehalten, dass aus einer blossen Absichtserklärung gerade nicht auf eine vertragliche Vereinbarung geschlossen werden kann, die über eine blosse Lieferantenbeziehung hinausreichen und die erforderliche Treuepflicht der Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin 1 begründen würde. Als ungenügend erachtet wurden insbesondere folgende Feststellungen im Entscheid der Vorinstanz vom 5. Juli 2016:
" (...) dass nach der Übernahme der Mehrheitsbeteiligung durch [die heutige Geschäftsführerin der Beschwerdeführerin] die Absicht bestand, dass die [Beschwerdeführerin] die zu vertreibenden Produkte (mit Ausnahme des Produktes K._) "ausschliesslich" bei der [Beschwerdegegnerin] 1 beziehe, diese die Produkte und die Dienstleistungen zu "Einstandspreisen" verrechne und die [Beschwerdeführerin] den Marketingplan der [Beschwerdegegnerin] 1 übernehme sowie keine Kunden oder Berater ausserhalb der Schweiz beliefere (...). Zwar betraf diese Absicht die Zeitspanne ab Juni 2009. Umso mehr muss sie aber auf eine seit Gründung bestehende Verpflichtung schliessen lassen, als die [Beschwerdeführerin] gleichzeitig betonte, damals in die Unabhängigkeit entlassen worden zu sein (...). Gestützt auf diese Elemente - Übereinstimmung der vertriebenen Produkte und der Firma; Beteiligung; Exklusivität; Marketing - ist ungeachtet dessen, dass keine Rahmenvereinbarung bestand und auch keine Befristung vorgesehen war, eine weit über eine blosse Liefervereinbarung (im Einzelfall) hinausgehende Zusammenarbeit und mithin auch die von der Rechtsprechung geforderte Loyalitäts- bzw. Interessenwahrungspflicht der [Beschwerdeführerin] gegenüber der [Beschwerdegegnerin] 1 anzunehmen, zumal diese im Gegenzug die Produktehaftung übernehmen sollte".
2.3. Die Vorinstanz hat nun im angefochtenen Urteil aufgrund einer neuen Würdigung der Akten und ohne Beweisverfahren, namentlich ohne die von der Beschwerdeführerin beantragten Zeugen einzuvernehmen festgestellt, dass die von den Parteien nicht unterzeichnete Kooperationsvereinbarung konkludent abgeschlossen und gelebt worden sei. Sie entnimmt den Akten mehrere Sachverhaltselemente und würdigt diese zusammengefasst wie folgt:
-es fehlen Belege dafür, dass die Frage der Marken im Verhältnis der Parteien oder der Geschäftsführerin der Beschwerdeführerin thematisiert worden wäre;
- Konkrete Feststellungen zum Vertragsverhältnis zwischen den Parteien bis zur Übernahme der Mehrheitsbeteiligung durch die Geschäftsführerin der Beschwerdeführerin im Jahre 2009 lassen weder die Akten noch die allfälligen zum Beweis verstellten Ausführungen der Beschwerdegegner zu.
- Für die Zeit seit Übernahme der Mehrheitsbeteiligung an der Beschwerdeführerin durch deren heutige Geschäftsführerin (Mitte 2009) stellt die Vorinstanz fest, es habe ein Dauerverhältnis bestanden, das über eine Lieferbeziehung im Einzelfall hinausgereicht und das insbesondere in den Aspekten der Exklusivität und der Marketingstrategie inhaltlich der nicht unterzeichneten Kooperationsvereinbarung entsprochen habe. Die Vorinstanz begründet diesen Schluss damit, dass die Beschwerdeführerin nach der Kündigung der Geschäftsbeziehung durch die Beschwerdegegnerin 1 den Standpunkt vertreten habe, es handle sich um einen "langfristigen Vertrag" und dass sie im Massnahmeverfahren zugestanden habe, dass dem Inhalt der von den Parteien nicht unterzeichneten Kooperationsvereinbarung "im Wesentlichen nachgelebt" worden sei. Die Exklusivität der Lieferbeziehung bestand danach darin, dass nicht nur der Beschwerdeführerin der Alleinvertrieb derjenigen Produkte in der Schweiz übertragen wurde, die von der Beschwerdegegnerin 1 im Ausland vertrieben wurden und die sie der Beschwerdeführerin in die Schweiz lieferte, sondern dass sich auch die Beschwerdeführerin verpflichtet habe, ihre Produkte (mit Ausnahme eines Produktes "K._") ausschliesslich bei der Beschwerdegegnerin 1 zu beziehen. Diesen Schluss stützt die Vorinstanz mit der Reaktion der Beschwerdeführerin auf die Kündigung. Sie schliesst, diese Reaktion lasse zwar nur auf ein Alleinvertriebsrecht schliessen; aber sie führt dagegen aus, angesichts der langjährigen Zusammenarbeit und der Dokumente, auf welche die Beschwerdegegner ihren Standpunkt primär stützten, rechtfertige sich die Annahme, dass die Exklusivität gegenseitig gegolten habe, zumal die Fremdbezüge durch die Beschwerdeführerin nur für die Zeit nach der Hinterlegung der strittigen Marken im Dezember 2011 nachgewiesen seien und nur 3.75 % bzw. 1.25 % ihres Umsatzes ausgemacht hätten. Die Vorinstanz hält sodann fest, dass konkrete Angaben der Beschwerdegegner zu den einzelnen Massnahmen einer gemeinsamen Marketingstrategie fehlen. Es sei aber unbestritten geblieben, dass die Beschwerdegegnerin 1 ihre Dienstleistungen "zu [un]angemessenen Preisen" (zu tief) verrechnet habe, und dass Aspekte des Marketings (konkret: Werbevideos, Mehrsprachigkeit der Produkteauszeichnungen, Kalender 2012, Einsatz von Beratern) in der ordentlichen Gesellschafterversammlung der Beschwerdeführerin vom 2. Juli 2012 diskutiert worden seien.
2.4. Die Beschwerdeführerin rügt zu Recht, dass den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz im Verhältnis zu den entsprechenden Feststellungen im Entscheid vom 5. Juli 2016 nichts Erhebliches für eine Vertragsbeziehung im Sinne von Art. 4 MSchG zu entnehmen ist, soweit sich diese Feststellungen im Rahmen des Rückweisungsentscheids vom 27. Februar 2017 halten und nicht offensichtlich unrichtig sind (Art. 105 BGG).
2.4.1. Die Vorinstanz stellt zunächst fest, dass die Parteien in Bezug auf die streitigen Marken keine Vereinbarung getroffen haben. Sie stellt überdies fest, dass zum Vertragsinhalt bis zur Übernahme der Mehrheit der Beschwerdeführerin durch die heutige Geschäftsführerin Mitte 2009 nichts festgestellt werden kann. Das Bundesgericht hat sodann im Rückweisungsentscheid festgestellt, dass aus den von den Beschwerdegegnern formulierten Dokumenten, auf welche diese ihren Standpunkt im Prozess hauptsächlich stützen - namentlich aus der Absichtserklärung und der nicht unterzeichneten Kooperationsvereinbarung -, nichts abgeleitet werden kann. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz kann daher aus diesen Dokumenten ohne Willkür auch nicht abgeleitet werden, die darin konkret vorgeschlagenen oder beabsichtigten Bedingungen einer Zusammenarbeit könnten allgemein als Indiz für eine früher tatsächlich gelebte und von den Parteien so gewollte Zusammenarbeit herangezogen werden. Denn aus der Erklärung der Beschwerdeführerin in einem der Verfahren vor Vorinstanz, wonach die Parteien die Geschäftsbeziehung "im Wesentlichen" bzw. nach der Feststellung im vorinstanzlichen Entscheid vom 5. Juli 2016 in einzelnen Punkten (der Absichtserklärung) gelebt hätten, ergibt sich nicht konkret, mit welchem Inhalt die Beziehung gelebt worden sein soll, was die Vorinstanz übrigens selbst erkennt. Mangels ausdrücklichen Bezugs auf diese Dokumente in anderen Beweisen kann aus den nicht unterzeichneten Dokumenten zum hier massgebenden konkreten Vertragsinhalt nichts abgeleitet werden.
2.4.2. Die Vorinstanz schliesst, die Parteien hätten den nicht unterzeichneten Dokumenten namentlich im Punkt der Marketingstrategie nachgelebt. Dazu stellt die Vorinstanz in der Folge fest, dass konkrete Angaben der Beschwerdegegner zum Inhalt des Marketings bzw. zu den einzelnen Massnahmen fehlen. Festgestellt ist danach, dass Aspekte des Marketings - konkret: Werbevideos, Mehrsprachigkeit der Produkteauszeichnungen, Kalender 2012, Einsatz von Beratern - in der ordentlichen Gesellschafterversammlung (der Beschwerdeführerin) vom 2. Juli 2012 diskutiert wurden. Dieser Feststellung der Vorinstanz lässt sich freilich nicht entnehmen, inwiefern diese Aspekte des Marketings nicht nur in Bezug auf die Beschwerdeführerin selbst, sondern in Bezug auf eine Zusammenarbeit der Parteien diskutiert worden wären, die über eine blosse Lieferantenbeziehung hinaus gehen sollte. Entgegen der Behauptung der Beschwerdegegner in der Beschwerdeantwort hat die Vorinstanz denn auch nicht festgestellt, die Beschwerdeführerin habe nicht bestritten, dass sie den Marketingplan der Beschwerdegegner übernommen habe: An der von den Beschwerdegegnern angeführten Stelle werden ihre eigenen Parteibehauptungen wiedergegeben. Schliesslich stellt die Vorinstanz fest, dass sich zur Preisgestaltung (namentlich dazu, ob die Beschwerdegegnerin 1 der Beschwerdeführerin die Produkte zu Einstandspreisen überlassen habe) mangels entsprechender Dokumente, aber auch mangels tauglicher Beweisanträge keine Aussage machen lasse, weshalb die Vorinstanz auch auf Abnahme von Beweisen verzichtete. Unter diesen Umständen ist nicht nachvollziehbar, was die Vorinstanz für die angebliche Einbindung der Beschwerdeführerin in ein Marketingkonzept der Beschwerdegegner aus der Feststellung ableiten will, es sei unbestritten geblieben, dass die Beschwerdegegnerin 1 "ihre Dienstleistungen zu ([un]angemessenen) Preisen verrechnet hat". Es ist nicht vertretbar, aus den Feststellungen der Vorinstanz abzuleiten, die Beschwerdeführerin sei in ein Marketingkonzept der Beschwerdegegner einbezogen gewesen bzw. sie habe deren Marketingstrategie übernommen.
2.4.3. Zum Aspekt der Exklusivität stellt die Vorinstanz wesentlich darauf ab, dass die Beschwerdeführerin als Reaktion auf die Kündigung der Beschwerdegegnerin 1 festgehalten habe, dass die Parteien durch einen Vertriebsvertrag gebunden seien, wonach sie ausschliessliche Vertragspartnerin für die Schweiz sei. Die Vorinstanz stellt freilich auch fest, in ihrer Kündigung "bestreitet die [Beschwerdegegnerin] 1 eine Verpflichtung zur Belieferung der Beschwerdeführerin und hält dafür, dass es keinen schriftlichen Vertrag, keine Kooperationsvereinbarung, sondern lediglich eine Verfahrensvereinbarung aus dem Jahre 2009 gebe" (gegen welche die Beschwerdeführerin verstossen habe). Zum "Zugeständnis" der Beschwerdeführerin bemerkt die Vorinstanz zwar, dieses lasse allein auf ein Alleinvertriebsrecht der Beschwerdeführerin schliessen. Sie hält indes dafür, dass sich angesichts der langjährigen Zusammenarbeit in Übereinstimmung mit der Absichtserklärung und Ziffer 5 der Kooperationsvereinbarung die Annahme rechtfertige, dass es die Meinung der Parteien gewesen sei, die Exklusivität gelte umgekehrt auch in dem Sinne, dass die Beschwerdeführerin ausschliesslich Produkte der Beschwerdegegnerin 1 kaufe. Die von der Beschwerdeführerin eingereichten Unterlagen zu Bezügen von Dritten hält die Vorinstanz nicht für massgebend in der Erwägung, dass damit ausschliesslich Bezüge nach der Eintragung der strittigen Marke bewiesen würden, dass sie unter anderem ein Produkt betreffen würden, das sowohl nach der Absichtserklärung wie der Kooperationsvereinbarung einer Sonderregelung unterstehe und es sich um einen geringen Anteil von 3,5 % bzw. 1,25 % der Umsätze handle. Die Vorinstanz sprengt den Rahmen der Rückweisung, wenn sie unbesehen konkreter anderer Beweise wiederum auf die nicht unterzeichneten Dokumente abstellt. Es ist nicht vertretbar, aus der blossen Dauer einer Vertragsbeziehung (die mit "langjährig" nicht konkret umschrieben ist) auf deren Inhalt zu schliessen. Die Feststellung im angefochtenen Entscheid - auf welche die Vorinstanz nach der Bemerkung in der Vernehmlassung in rechtlicher Hinsicht wesentlich abstellte -, wonach die Beschwerdeführerin verpflichtet war, sämtliche Waren nur von der Beschwerdegegnerin 1 zu beziehen, erweist sich als offensichtlich unrichtig (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.4.4. Soweit die Feststellungen im angefochtenen Entscheid zum massgebenden Vertragsverhältnis unter den Parteien für das Bundesgericht verbindlich sind, ergibt sich daraus, dass die Beschwerdegegnerin 1 die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Hinterlegung der umstrittenen Marke (im Dezember 2011) während höchstens knapp fünf Jahren (frühestens ab März 2007) im Hinblick auf eine Zusammenarbeit mit Produkten belieferte, die sie ihrerseits auch im Ausland verkaufte. Die beabsichtigte Zusammenarbeit kam jedoch nicht zustande, denn die Beschwerdegegnerin 1 bestritt in ihrer Kündigung vom 3. Mai 2013 eine Verpflichtung zur Belieferung der Beschwerdeführerin, während die Beschwerdeführerin ihrerseits behauptete, es bestehe ein Vertriebsvertrag mit ihr. Da die beabsichtigte Zusammenarbeit gerade nicht zustande gekommen ist, kann aus der tatsächlichen Belieferung der Beschwerdeführerin mit Produkten der Beschwerdeführerin während knapp fünf Jahren entgegen der Ansicht der Vorinstanz ein rechtsgeschäftlicher Bindungswille der Parteien mit dem Inhalt der beabsichtigten Zusammenarbeit weder willkürfrei tatsächlich noch vertrauenstheoretisch abgeleitet werden.
3.
Im Rückweisungsentscheid vom 27. Februar 2017 wird unter Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung namentlich ausgeführt:
"Die vom Gesetzgeber anvisierte besondere Konstellation setzt einen Vertrag voraus, der zwischen dem wirklichen und dem angemassten Inhaber der Marke bestanden hat oder noch besteht und der die Wahrung der geschäftlichen Interessen des Geschäftsherrn sowie eine Ermächtigung zum Gebrauch einer fremden Marke zum Inhalt hat (BGE 131 III 581 E. 2.3 S. 584 f. mit Hinweisen, vgl. auch Urteil 4A_128/2013 vom 30. September 2013 E. 3.2.1, nicht publ. in: BGE 139 III 424)." Denn Art. 4 MSchG (Marginale "Eintragung zugunsten Nutzungsberechtigter" hat den folgenden Wortlaut:
"Keinen Schutz geniessen ferner Marken, die ohne Zustimmung des Inhabers auf den Namen von Agenten, Vertretern oder anderen zum Gebrauch Ermächtigten eingetragen werden oder die nach Wegfall der Zustimmung im Register eingetragen bleiben".
3.1. Es ist unbestritten, dass sich die Beschwerdeführerin nicht im Sinne von Art. 418a Abs. 1 OR vertraglich verpflichtet hat, als Agentin dauernd für die Beschwerdegegner Geschäfte zu vermitteln oder im Namen und auf Rechnung der Beschwerdegegner Geschäfte abzuschliessen. Sie hat die von der Beschwerdegegnerin 1 bezogenen Produkte auch nicht als deren Vertreterin verkauft, sondern auf eigene Rechnung und im eigenen Namen. Damit bleibt die Frage, ob die Beschwerdeführerin als "andere zum Gebrauch Ermächtigte" i.S.v. Art. 4 MSchG zu qualifizieren ist.
3.2. Der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden, wenn sie aus der tatsächlichen Belieferung der Beschwerdeführerin mit Produkten im Blick auf eine beabsichtigte Zusammenarbeit schliesst, die Beschwerdeführerin habe die umstrittenen Zeichen in der Schweiz für die Beschwerdegegner gebraucht. Die Beschwerdeführerin hat die strittige Marke in der Schweiz im Dezember 2011 nicht als Nutzungsberechtigte der Beschwerdegegner, sondern im eigenen Interesse auf den eigenen Namen hinterlegt. Dass sich die Zusammenarbeit zwischen den Parteien in den folgenden Monaten bis zur Vertragskündigung im Mai 2013 so verändert hätte, dass die Marken ausdrücklich oder sinngemäss auf die Beschwerdegegner übertragen worden wären, ist aufgrund der Feststellungen im angefochtenen Entscheid - soweit diese für das Bundesgericht verbindlich sind - auszuschliessen. Die Vorinstanz hat zudem ausdrücklich verneint, dass die Beschwerdegegner eine Gebrauchspriorität des Zeichens "REICO" in der Schweiz hätten beweisen können, was die Beschwerdegegner mit dem Hinweis auf eine Lieferung nach der Gründung der Beschwerdeführerin, aber vor deren Eintragung ins Handelsregister, nicht als willkürlich ausweisen. Aus dem festgestellten Sachverhalt ergibt sich damit nicht, dass die Beschwerdegegner am umstrittenen Zeichen in der Schweiz vor der Eintragung der Marken in irgendeiner Weise berechtigt gewesen wären, womit auch nicht ersichtlich ist, inwiefern sie als "Inhaber der Marke" bzw. als anderswie in der Schweiz am Zeichen REICO Berechtigte die Beschwerdeführerin zum Gebrauch dieses Zeichens in der Schweiz hätten ermächtigen können.
3.3. Die Vorinstanz hat eine vertragliche Grundlage des Inhalts, dass die Beschwerdeführerin die umstrittenen Zeichen entsprechend einer Agentin ("andere zum Gebrauch Ermächtigte") für die Beschwerdegegner und mit deren Ermächtigung in der Schweiz gebraucht hätte, zu Unrecht bejaht.
4.
Die Beschwerdegegner haben ihre Rechtsbegehren auch auf das Verbot unlauteren Wettbewerbs und auf Namensrecht gestützt.
4.1. Den Feststellungen des angefochtenen Entscheids sind zunächst keine Anhaltspunkte dafür zu entnehmen, dass die Eintragung der Marke im Sinne von Art. 2 UWG unlauter erfolgt wäre (BGE 127 III 160 E. 1a S. 164; Urteile 4A_292/2009 vom 10. Dezember 2009 E. 6.4; 4C.82/2007 vom 30. Mai 2008 E. 2.1.4; 4C.31/2003 vom 1. Mai 2003 E. 2.1, publ. in sic! 2004, S. 325). Die Beschwerdegegner haben sich auf unlauteren Wettbewerb berufen, um der Beschwerdeführerin wegen Verwechslungsgefahr die Verwendung des Zeichens REICO in der Schweiz zur Unternehmensbezeichnung und als Domainname zu verbieten. Die Vorinstanz hat (Dispositiv-Ziffern 2 und 4) die entsprechenden Klagebegehren geschützt mit der Begründung, den Beschwerdegegnern stehe das bessere Recht am Kennzeichen "REICO" zu, weil die Beschwerdeführerin in ihrer Stellung als "Vertriebspartnerin" das Zeichen in der Schweiz für die Beschwerdegegner gebraucht habe. Aus dem verbindlich festgestellten Sachverhalt ergibt sich, dass die Beschwerdegegner eine Gebrauchspriorität des Zeichens "REICO" in der Schweiz nicht beweisen konnten (vgl. soeben E. 3.2).
4.2. Da die Beschwerdeführerin an der Wort-Marke CH 629 410 "REICO" und der Wort-/Bildmarke CH 629 989 "REICO" berechtigt ist, können sich die Beschwerdegegner weder auf eine lauterkeitsrechtlich begründete Verwechslungsgefahr noch auf Namensrecht berufen, um der Beschwerdeführerin den Gebrauch des Zeichens REICO in der Schweiz zu verbieten. Die Klage erweist sich entgegen der Auffassung der Vorinstanz als unbegründet.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid vom 16. Mai 2017 ist aufzuheben und die Klage ist abzuweisen. Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdegegnern (solidarisch, intern zu gleichen Teilen) zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese haben der Beschwerdeführerin ausserdem die Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Handelsgerichts St. Gallen vom 16. Mai 2017wird aufgehoben und die Klage wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Beschwerdegegnern (solidarisch, intern zu gleichen Teilen) auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegner (solidarisch, intern zu gleichen Teilen) haben der Beschwerdeführerin deren Parteikosten für das Verfahren vor Bundesgericht mit Fr. 6'000.-- zu ersetzen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Januar 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier