Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1958) hatte in der Steuerperiode 2014 steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/AG. Am 29. April 2016 veranlagte ihn die örtliche Steuerkommission für die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2014, nach pflichtgemässem Ermessen zu einem steuerbaren Einkommen von Fr. 99'600.--, nachdem er trotz Mahnung keine Steuererklärung eingereicht hatte (wie schon hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Aargau, Steuerperiode 2014; dazu Urteil 2C_645/2017 vom 31. Oktober 2017).
1.2. Die gegen die Veranlagungsverfügung vom 29. April 2016 gerichtete Eingabe des Steuerpflichtigen vom 28. Oktober 2016 nahm die Steuerkommission als Revisionsgesuch entgegen und wies dieses mit Verfügung vom 11. November 2016 ab. Zum selben Ergebnis gelangte sie im Einspracheentscheid vom 27. April 2017. Das Spezialverwaltungsgericht des Kantons Aargau qualifizierte die Eingabe vom 28. Oktober 2016 indes als Fristwiederherstellungsgesuch. Es hob die Verfügungen vom 11. November 2016 bzw. 27. April 2017 auf und wies die Sache zur Durchführung eines ordentlichen Einspracheverfahrens an die örtliche Steuerkommission zurück (Entscheid vom 24. August 2017). Diese forderte den Steuerpflichtigen am 31. August 2017 auf, einen etwaigen Hinderungsgrund (bezüglich der durch die Veranlagungsverfügung vom 29. April 2016 in Gang gesetzten Einsprachefrist) darzutun. Der Steuerpflichtige reichte Unterlagen ein, welche die Steuerkommission als ungenügend erachtete, weshalb sie auf die Einsprache - zufolge verpasster Einsprachefrist und mangels Gründen für die Wiedereinsetzung in den früheren Stand - nicht eintrat (Entscheid vom 1. Dezember 2017). Das Spezialverwaltungsgericht wies die nunmehr erhobene Beschwerde des Steuerpflichtigen am 21. Juni 2018 ab.
1.3. Am 24. Juli 2018 erhob der Steuerpflichtige beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau fristgerecht Beschwerde gegen den Entscheid vom 21. Juni 2018. Mit Entscheid WBE.2018.217 vom 14. Februar 2019 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Dem "kurzen und unvollständigen" ärztlichen Attest der Hausärztin vom 13. Juli 2017 sei der Beweiswert von vornherein abzusprechen (mangels Fachausbildung der Hausärztin im Bereich Psychiatrie und Psychotherapie), und die Bescheinigung der Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie vom 10. Juli 2017 erschöpfe sich in der wenig ergiebigen Feststellung, dass der Steuerpflichtige "im Mai 2016" zu einem "längeren Therapiegespräch im Sinne einer Krisenintervention" erschienen sei. Dies sei zu unspezifisch. Insgesamt sei nicht nachgewiesen, dass der Steuerpflichtige im Zeitraum ab Ende April 2016 aus gesundheitlichen Gründen verhindert gewesen sein soll, rechtzeitig eine Einsprache zu verfassen oder dies an eine Drittperson zu delegieren.
1.4. Mit Eingabe vom 23. März 2019 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Wiedereinsetzung in den früheren Stand.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Mit Blick auf die offensichtliche Unbegründetheit der Beschwerde kann die Sache im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 1 lit. a BGG entschieden werden.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind grundsätzlich gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.121).
2.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 144 III 462 E. 3.2.3 S. 465) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 144 II 313 E. 5.1 S. 319).
2.3. Im Unterschied zum Bundesrecht geht das Bundesgericht der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) und des rein kantonalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; BGE 144 II 313 E. 5.1 S. 319). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 143 I 1 E. 1.4 S. 5).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 144 V 173 E. 1.2 S. 175). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 144 IV 35 E. 2.3.3 S. 42 f.). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (BGE 144 V 50 E. 4.1 S. 52 f.; vorne E. 2.3). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (unechte Noven; Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 144 IV 35 E. 2.1 S. 40).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz verfassungsrechtlich haltbar und bundesrechtskonform zum Ergebnis gelangte, es lägen keine Gründe vor, die zu einer Wiedereinsetzung in den früheren Stand führen könnten (Art. 133 Abs. 3 DBG). Die Wiedereinsetzung in den früheren Stand ist direktsteuerlich nur anzuordnen, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch erhebliche Gründe - namentlich Krankheit - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung; Art. 133 Abs. 3 DBG; Urteile 2C_609/2018 vom 8. August 2018 E. 3.1; 2C_987/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 3.2).
3.2. Wird eine Krankheit als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung derart erheblich ausfallen, dass die steuerpflichtige Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (BGE 119 II 86 E. 2 S. 87; 112 V 255 E. 2a S. 255 f.). Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt der freien Beweiswürdigung und damit keiner festen Beweisregel. In der Praxis kommt einem zeitnah erstellten, aussagekräftigen Arztzeugnis, dem zufolge das Fristversäumnis gar nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, indes ausschlaggebende Bedeutung zu. Die Beweislast hierfür trägt die zur Prozesshandlung verpflichtete Person, denn diese leitet aus dem unverschuldeten Hindernis Rechte ab (Art. 8 ZGB; Urteil 2C_925/2018 vom 15. November 2018 E. 2.2.3).
3.3. Der Steuerpflichtige legt im bundesgerichtlichen Verfahren zwei Austrittsberichte der Klinik D._ in U._/AG vom 3. Februar 2014 (handschriftlich korrigiert in 27. Februar 2012) und vom 21. Mai 2014 vor. Die Veranlagungsverfügung, welche die 30-tägige Einsprachefrist auslöste, erging indes erst am 29. April 2016 (vorne E. 1.1). Abgesehen davon, dass es sich bei den Austrittsberichten um unzulässige Noven handeln dürfte (vorne E. 2.4), was hier aber offenbleiben kann, vermögen die Berichte zum fraglichen Zeitraum (ab Anfang Mai 2016) ohnehin nichts zur Erhellung beizutragen. Der Einwand der Vorinstanz, dem der Steuerpflichtige scheinbar entgegentreten will, ging vielmehr dahin, dass der Steuerpflichtige zur psychotherapeutischen Beratung und Therapie im fraglichen Zeitraum nichts vorgelegt habe, wovon in der ärztlichen Bescheinigung vom 13. Juli 2017 die Rede ist. Die angebliche Hospitalisierung ist damit weder durch ein Arztzeugnis noch auf andere Weise nachgewiesen.
3.4. Mit der Vorinstanz ist damit auf die beiden Atteste vom 10. und 13. Juli 2017 abzustellen. Beide sind knapp gehalten und wurden mehr als ein Jahr nach Ablauf der Einsprachefrist erstellt. Die ärztliche Bescheinigung vom 10. Juli 2017, erstellt von med. pract. B._, umfasst gut drei Zeilen. Sie mündet darin, dass der Steuerpflichtige sich "im Mai 2016" "für ein längeres Therapiegespräch im Sinne einer Krisenintervention" gemeldet habe. Dabei seien "seine beruflich und privat sehr belastenden Lebensumstände deutlich" geworden. Wenn die Vorinstanz beweiswürdigend von einem unspezifischen Attest ausgeht, ist dies verfassungsrechtlich jedenfalls nicht unhaltbar.
3.5.
3.5.1. Aus dem Attest vom 13. Juli 2017 von Dr. med. C._ geht übersichtsartig hervor, dass der Steuerpflichtige "seit 2011" "teils internistisch-allgemeinmedizinisch, teils psychosomatisch" betreut worden sei. In den "Jahren 2014 bis 2016" habe der Steuerpflichtige "aufgrund schwieriger psychologischer, gesundheitlicher und beruflicher Konstellationen erhebliche Probleme in der Lebensgestaltung" erfahren, "teilweise auch bei der Bewältigung von Alltagsproblemen". In einer Krisensituation habe er sich "zum Beispiel [befunden], als er am 12. Januar 2016 meine Sprechstunde aufsuchte und wir ein langes Gespräch über seine Situation und seine Möglichkeiten hatten". Er habe sich "folgerichtig in psychotherapeutische Beratung und Therapie, einige Wochen stationär, dann auch in der Tagesklinik" begeben. "Phasenweise" sei es ihm "nicht möglich" gewesen, zu arbeiten.
3.5.2. Die Darlegungen der Ärztin erschöpfen sich weitgehend in Gemeinplätzen, die zur hier interessierenden Rechtsfrage nichts beitragen. Zum "Ob" und "Wann" der angeblich bestehenden krankheitsbedingten Verhinderung spricht sich die Hausärztin des Steuerpflichtigen in keiner Weise aus. Dies allein reicht aus, um verfassungsrechtlich haltbar zum Schluss zu gelangen, dass auch dem Zeugnis vom 13. Juli 2017 keinerlei Beweiswert zukommt.
3.6. Damit ist die Vorinstanz willkürfrei zum Ergebnis gelangt, ein hinreichender Hinderungsgrund im Sinne von Art. 133 Abs. 3 DBG sei unerwiesen geblieben. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens. Dem Kanton Aargau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher