Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Am 3. April 2018 erstattete der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen die Verantwortlichen einer Aktiengesellschaft u.a. wegen unwahren Angaben über kaufmännische Gewerbe. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eröffnete am 19. April 2018 kein Verfahren. Die Anzeige betreffe einen bereits im Jahr 2015 geprüften Sachverhalt. Es bestehe kein Raum für ein erneutes Strafverfahren.
Am 29. Mai 2018 wandte sich der Beschwerdeführer mit einer als "Rechtsverweigerungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe an die Behörden. Das Appellationsgericht wies die Beschwerde am 26. Juni 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer gelangt am 25. Juli 2018 mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht.
2.
Die Beschwerde in Strafsachen muss ein Begehren und eine Begründung enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG), wobei für die Anfechtung des Sachverhalts und die Rüge der Verletzung von Grundrechten qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.
Das Appellationsgericht erwägt, die in der Eingabe vom 29. Mai 2018 referenzierten Verfahren beträfen ein vom Beschwerdeführer mit Strafanzeige vom 30. April 2015 initiiertes Strafverfahren gegen die Verantwortlichen einer Aktiengesellschaft u.a. wegen unwahren Angaben über kaufmännische Gewerbe. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt habe das Strafverfahren am 21. Mai 2015 nicht an Hand genommen und die dagegen gerichteten Beschwerden an das Appellationsgericht und das Bundesgericht seien ohne Erfolg geblieben. Wenn der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 29. Mai 2018 Ausführungen zu Rechtsverweigerungen, Rechtsverzögerungen und Willkür bezüglich des erwähnten Strafverfahrens mache, sei darauf hinzuweisen, dass das fragliche Verfahren mit Urteil des Bundesgerichts 6B_1343/2015 am 14. Januar 2016 rechtskräftig abgeschlossen worden sei. Derselbe Sachverhalt könne den Strafverfolgungsbehörden nicht erneut unterbreitet werden. Die Rügen könnten deshalb nicht (mehr) gehört werden. Aus denselben Gründen wäre auf eine Beschwerde gegen das Schreiben bzw. den Entscheid der Staatsanwaltschaft vom 19. April 2018 nicht einzutreten bzw. wäre eine solche abzuweisen.
4.
Was an diesen Erwägungen des Appellationsgerichts gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, sagt der Beschwerdeführer nicht. Er setzt sich damit nicht auseinander. Stattdessen beklagt er sich vor Bundesgericht im Wesentlichen über eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Willkürverbots sowie über eine Beschneidung der Teilnahmerechte nach Art. 147 StPO. Er macht geltend, sowohl die Nichtanhandnahmeverfügung vom 21. Mai 2015 als auch diejenige vom 19. April 2018 würden an schwerwiegenden Mängeln leiden. Man hätte ihm (daher) zumindest die Gelegenheit geben müssen, sich zu den eingereichten Dokumenten zu äussern bzw. ihm die Möglichkeit einräumen müssen, die Beweismittel so einzureichen, dass der Sachverhalt rechtsgenüglich hätte erstellt werden können. Daraus sowie aus seinen weiteren Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern das Appellationsgericht die Grundsätze "res iudicata" (abgeurteilte Sache) und "ne bis in idem" (Verbot der doppelten Strafverfolgung) verfassungs- oder rechtswidrig angewendet und mit dem angefochtenen Entscheid Bundesrecht verletzt haben könnte. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen nicht (Art. 42 Abs. 2 BGG, Art. 106 Abs. 2 BGG). Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Dem Beschwerdeführer werden die Kosten von Fr. 800.-- auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill