Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1968 geborene A._ meldete sich im Sommer 1998 unter Verweis auf Allergien, Rückenschmerzen sowie depressive Verstimmungen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen (fortan: IV-Stelle) traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie ein polydisziplinäres Gutachten des Zentrums für medizinische Begutachtung (ZMB), Basel, ein in den Disziplinen Allgemeine Innere Medizin, Orthopädie und Psychiatrie (Expertise vom 29. August 2000). Gestützt darauf gewährte sie der Versicherten ab 1. August 1999 eine halbe Härtefallrente (Invaliditätsgrad: 48 %; Verfügungen vom 20. Dezember 2001 und 10. Januar 2002). Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hob diese Verfügungen mit Entscheid vom 27. März 2003 auf und sprach A._ eine halbe Rente zu (Invaliditätsgrad: 55 %). Mit Mitteilungen vom 9. Dezember 2005 bzw. vom 5. Juni 2009 bestätigte die IV-Stelle die unveränderte Invalidenrente.
A.b. Im Rahmen einer Überprüfung des Rentenanspruchs gestützt auf die per 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket [AS 2011 5659]; nachfolgend: SchlB IVG) holte die IV-Stelle Auskünfte bei der Versicherten, ihrem Hausarzt und dem behandelnden Psychiater ein. Gestützt darauf sowie auf eine Stellungnahme ihres regionalen ärztlichen Dienstes (RAD), gemäss dem ein pathogenetisch-ätiologisch unklares syndromales Beschwerdebild ohne nachweisbare organische Genese ("Päusbonog") im Sinne der Schlussbestimmung zur IVG-Revision 6a vorliege, hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 26. November 2012 die laufende Rente auf den ersten Tag des zweiten Monats nach Zustellung der Verfügung auf. Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht mit Entscheid vom 15. Januar 2014 insofern gut, als es die Verwaltung verpflichtete, vor Aufhebung der Rente gemäss SchlB IVG den aktuellen Gesundheitszustand der Versicherten rechtsgenüglich abzuklären. Infolgedessen holte die Verwaltung ein polydisziplinäres Gutachten der Stiftung Medas Ostschweiz, St. Gallen, ein in den Disziplinen Allgemeine Innere Medizin, Psychiatrie und Psychotherapie sowie Orthopädie (Expertise vom 3. November 2014), wozu der RAD am 10. November 2014 Stellung nahm. Gestützt auf die gutachterlich attestierte Arbeitsfähigkeit von 80 % in leidensangepasster Tätigkeit bestätigte die IV-Stelle mit Verfügung vom 12. März 2015 ihre Rentenaufhebung vom 26. November 2012. Mit Entscheid vom 22. Juni 2016 hob das kantonale Gericht diese Verfügung wiederum auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie die Arbeitsunfähigkeit der Versicherten nicht gemäss bisheriger "Überwindbarkeitsrechtsprechung", sondern mit Blick auf die nunmehr relevanten Ressourcen abklären lasse. Die IV-Stelle liess in der Folge A._ zwischen dem 13. Dezember 2016 und dem 15. Februar 2017 observieren (Abklärungsbericht vom 20. Februar 2017). Nach mehrmaliger Korrespondenz mit dem Rechtsvertreter der Versicherten teilte die Verwaltung am 4. September 2018 mit, dass sie eine psychiatrisch-rheumatologische Begutachtung in Auftrag geben werde. A._ habe hierbei mitzuwirken, Auskunft zu erteilen und sich den notwendigen Untersuchungen zu unterziehen. Komme sie diesen Pflichten in unentschuldbarer Weise nicht nach, könnten (unter anderem) die Leistungen gekürzt oder verweigert werden. Eine zusätzliche dermatologische Begutachtung lehnte die IV-Stelle am 1. Oktober 2018 sowie am 10. Januar 2019 ab.
Das bidisziplinäre Gutachten der Dres. med. B._ (Rheumatologie) und C._ (Psychiatrie) wurde am 2. September 2019 erstattet. Aus psychiatrischer Sicht konnte der Sachverständige - auch unter Berücksichtigung einer zusätzlichen neuropsychologischen Untersuchung - aufgrund von Diskrepanzen, Widersprüchen, inkonsistenter und unplausibler Symptomproduktion und eingeschränkter Mitwirkung der Explorandin weder eine zuverlässige Diagnose nennen noch Stellung zur Arbeitsfähigkeit der Versicherten nehmen. Die rheumatologische Gutachterin attestierte eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit. Mit Verfügung vom 31. Januar 2020 hob die IV-Stelle die Rente rückwirkend auf das Ende des der Zustellung der Verfügung vom 26. November 2012 folgenden Monats auf.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 11. Mai 2021 insoweit gut, als es die Verfügung vom 31. Januar 2020 aufhob und die Sache "zur Fortsetzung des Verwaltungsverfahrens im Sinne der Erwägungen" an die IV-Stelle zurückwies.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei der vorinstanzliche Entscheid vom 11. Mai 2021 aufzuheben und ihre Verfügung vom 31. Januar 2020 zu bestätigen.
Die Versicherte beantragt die Abweisung der Beschwerde und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nimmt mit Eingabe vom 6. September 2021 Stellung, ohne einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen lässt sich nicht vernehmen.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide (Art. 90 BGG), Teilentscheide (Art. 91 BGG), selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und den Ausstand (Art. 92 BGG) sowie gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG).
1.2. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid, mit dem der Entscheidungsspielraum der Verwaltung zwar wesentlich, aber nicht gänzlich eingeschränkt wird, und damit um einen Zwischenentscheid. Das kantonale Gericht hat der Verwaltung darin in zweierlei Hinsicht materielle Anweisungen erteilt. Zum einen hat es ihr vorgeschrieben, das Abklärungsverfahren wieder aufzunehmen und im Rahmen dessen das Mahn- und Bedenkzeitverfahren nicht im Vorfeld der Begutachtung "präventiv" durchzuführen, sondern erst als Reaktion auf eine Verletzung der Mitwirkungspflicht. Dabei habe sie der Versicherten genau zu erklären, wie sie sich in einer neuerlichen Begutachtung verhalten müsse. Verletze diese ihre Mitwirkungspflicht, könne dies einzig zu einem Auszahlungsstopp führen, nicht aber zu einer Aufhebung der Rente (mit Verweis auf BGE 139 V 585). Zum andern hat die Vorinstanz die IV-Stelle verbindlich angewiesen, nach Vornahme der weiteren Abklärungen über eine allfällige Aufhebung der Rente erneut zu verfügen, wobei eine allfällige Rentenaufhebung erst mit Wirkung ab Datum der neuen Verfügung erfolgen dürfe. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, entsteht ihr durch diese materiellrechtlichen Vorgaben ein nicht wieder gutzumachender Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da sie gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen, die sie in der Folge nicht mehr anfechten könnte (etwa: Urteil 9C_236/2021 vom 3. September 2021 E. 1.3.2 ff.). Infolgedessen ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann ihre Sachverhaltsfeststellungen von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen BGE 145 V 57 E. 4).
3.
Letztinstanzlich nicht mehr bestritten ist, dass die ursprüngliche Rentenzusprache auf einem pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebild ohne nachweisbare organische Grundlage beruhte, ein invalidisierender Gesundheitsschaden im Rahmen der Revision nach SchlB IVG aus orthopädischer Sicht verneint und aus psychiatrischer Sicht nicht erhoben werden konnte. Strittig und zu prüfen ist hingegen, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es der Verwaltung vorgeworfen hat, am 26. November 2012 rechtsmissbräuchlich und in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes einen möglichst frühen Verfügungszeitpunkt provoziert zu haben (vgl. zu dieser Konstellation BGE 129 V 370 E. 3.2; SVR 2011 IV Nr. 33 S.96, 8C_451/2010 vom 11. November 2010 E. 2). Von der Antwort auf diese Frage hängt ab, ob eine allfällige Rentenaufhebung auf den Zeitpunkt des ersten Tages des zweiten Monats nach Zustellung der Verfügung vom 26. November 2012 zurück bezogen werden kann.
3.1. Das Versicherungsgericht stellte fest, die Sachverhaltsabklärung der IV-Stelle im Vorfeld der Verfügung vom 26. November 2012 habe sich im Wesentlichen auf eine Rückfrage an den zuständigen RAD-Arzt beschränkt, ob die Rente wegen eines "Päusbonog" zugesprochen worden sei. Nach Bejahen dieser Frage durch den RAD habe die Verwaltung die Rente ohne weitere Sachverhaltsermittlung bezüglich des aktuellen Gesundheitszustandes der Versicherten aufgehoben. Damit habe sie den Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 ATSG) verletzt, was als rechtsmissbräuchliche Provozierung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes zu betrachten sei.
3.2. Die IV-Stelle rügt die Feststellungen des kantonalen Gerichts zum Abklärungsverfahren im Rahmen der 2012 eingeleiteten Revision zu Recht als offensichtlich unrichtig. Es ist aktenkundig, dass sie vor Verfügungserlass sowohl die Versicherte selber zu ihrem Gesundheitszustand befragt als auch Berichte der behandelnden Ärzte eingeholt hat und ausserdem den Fall zweimalig ihrem RAD vorlegte (Stellungnahmen des RAD vom 27. August 2012 und vom 26. November 2012). Dabei haben sowohl die Versicherte als auch der behandelnde Psychiater den Gesundheitszustand als unverändert eingeschätzt (letzterer explizit seit dem Jahr 2000). Einzig der Hausarzt der Versicherten verwies - als Allgemeinmediziner grundsätzlich fachfremd, und in Widerspruch zum behandelnden Facharzt - auf "zunehmende Depression und LWS-Schmerzsyndrom". Auch er hielt indes ergänzende medizinische Abklärungen explizit für nicht angezeigt. Da demnach keine Hinweise auf neue invalidisierende gesundheitliche Beeinträchtigungen bestanden, verzichtete die Verwaltung auf die Vornahme weiterer Abklärungen.
Angesichts dessen ist - als frei überprüfbare Rechtsfrage - jedenfalls ein rechtsmissbräuchliches möglichst frühes Fixieren des Revisionszeitpunktes durch die IV-Stelle entgegen der Vorinstanz zu verneinen. Mithin kommt eine Rentenaufhebung auf den Zeitpunkt des ersten Tages des zweiten Monats nach Zustellung der Verfügung vom 26. November 2012 grundsätzlich in Frage.
4.
Sodann ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Verwaltung verpflichtete, vor einem allfälligen Leistungsstopp - als gemäss Vorinstanz einzig zulässiger Sanktion der verweigerten Mitwirkung - die Versicherte erneut neuropsychologisch und psychiatrisch begutachten zu lassen, wobei ihr zuvor im Sinne des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens detailliert aufzuzeigen sei, wie sie sich in der Begutachtung zu verhalten habe.
4.1. Das Versicherungsgericht erwog, eine "Abmahnung" im Sinne des Art. 43 Abs. 3 ATSG könne erst als Reaktion auf eine Verletzung der Mitwirkungspflicht der versicherten Person erfolgen, nicht im Vorfeld einer Begutachtung gleichsam "auf Vorrat" bzw. präventiv. Da demnach kein rechtskonformes Mahn- und Bedenkzeitverfahren durchgeführt worden sei, habe die Verletzung der Mitwirkungspflicht auch nicht sanktioniert werden dürfen. So oder anders komme im Falle bereits laufender Rente auch bei Verletzung der Mitwirkungspflicht trotz korrekt durchgeführten Mahn- und Bedenkzeitverfahrens einzig ein Rentenauszahlungsstopp in Frage, nicht jedoch eine Aufhebung der Rente.
4.2. Wie die Vorinstanz - nicht offensichtlich unrichtig, und für das Bundesgericht deshalb verbindlich (oben E. 2) - feststellte, hat die IV-Stelle der Versicherten mit Schreiben vom 4. September 2018 mitgeteilt, dass eine Begutachtung notwendig sei und dass sie sich dieser zu unterziehen habe, ansonsten auf Grund der Akten verfügt, die Erhebungen eingestellt oder Nichteintreten beschlossen werden könne. Damit hat sie das Mahn- und Bedenkzeitverfahren korrekt durchgeführt: Die Erfüllung des in Art. 43 Abs. 3 ATSG umschriebenen Sachverhalts der Missachtung der Mitwirkungspflichten setzt insbesondere nicht voraus, dass die Verwaltung eine konkrete Verweigerungshandlung der versicherten Person abwartet und dieser alsdann mit Blick auf eine neuerliche Begutachtung in allen Einzelheiten vorschreibt, wie sie sich zu verhalten hat (vgl. etwa Urteil 9C_244/2016 vom 16. Januar 2017 E. 3.2). Schliesslich weist die IV-Stelle zu Recht darauf hin, dass bei verweigerter Mitwirkung der versicherten Person aufgrund der Akten die Leistungen eingestellt werden können (zit. Urteil 9C_244/2016 E. 3.1 f.). Der fehlende Nachweis eines invalidisierenden Gesundheitsschadens wirkt sich dabei zulasten der versicherten Person aus, der diesfalls nicht nur die materielle Beweislast, sondern auch die Beweisführungslast auferlegt wird (vgl. Urteil 8C_283/2020 vom 4. August 2020 E. 3.2). Die Rückweisung zur Durchführung weiterer Begutachtungen erübrigt sich.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und die Verfügung der IV-Stelle vom 31. Januar 2020 zu bestätigen.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. Mai 2021 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 31. Januar 2020 bestätigt.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Kreso Glavas wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. November 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald