Erwägungen:
1.
A._ reichte am 26. Mai 2020 beim Friedensrichteramt der Stadt Zürich, Kreis 1 und 2, ein Schlichtungsgesuch im Zusammenhang mit einer Staatshaftungsklage gegen den Kanton Zürich im Umfang von Fr. 260 Mio. ein. Mit Verfügung vom 6. Juli 2020 trat das Amt auf seine Eingabe bzw. die Klage nicht ein. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 12. August 2020 ab. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und es zu ermöglichen "nach dem Rechtsvorschlag des Kantons Zürich, den Zahlungsbefehl gerichtlich zu bearbeiten". Das Bundesgericht hat weder Akten eingeholt noch Vernehmlassungen einverlangt.
2.
2.1. Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 II 86 E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Begründungsanforderungen nicht: Der Beschwerdeführer erhebt vor Bundesgericht die gleichen Rügen wie vor dem Obergericht des Kantons Zürich. Mit dessen rechtlichen Erwägungen setzt er sich nicht auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid, welcher die Nichteintretensverfügung des Friedensrichteramtes der Stadt Zürich, Kreis 1 und 2 schützte, Recht verletzen würde, nachdem das Bezirksgericht Zürich am 5. Juni 2020 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hatte und auf die Eingabe in der Folge mangels Leistens des Kostenvorschusses nicht eingetreten wurde.
2.3.
2.3.1. Weil die Beschwerde offensichtlich keine sachbezogene Begründung enthält, ist durch den Präsidenten als Instruktionsrichter darauf im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege hätte wegen der Aussichtslosigkeit seiner Eingabe abgewiesen werden müssen (vgl. Art. 64 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar