Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (serbischer Staatsangehöriger; geb. 1965) reiste am 31. Januar 1992 in die Schweiz ein, wo er am 1. Mai 1992 B._ heiratete und eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die kinderlose Ehe wurde am 23. März 2001 geschieden. Am 10. Dezember 2001 erhielt A.A._ die Niederlassungsbewilligung. B.A._ (Staatsangehörige von Nordmazedonien, geb. 1978) reiste am 1. April 2000 in die Schweiz ein und heiratete am 16. Oktober 2001 A.A._; in der Folge erhielt sie eine Aufenthaltsbewilligung. Die beiden haben zusammen vier Kinder (geb. 2002, 2005, 2007, 2010). Während seines Aufenthalts in der Schweiz wurde A.A._ mehrfach straffällig und deshalb 2003 und 2005 ausländerrechtlich verwarnt. B.A._ erhielt im Jahr 2000 eine Busse wegen illegalen Aufenthalts; ihr wurde 2007 zudem die Niederlassungsbewilligung wegen ehelicher Schulden und des Fürsorgerisikos verweigert. Am 27. Februar 2008 stellte die Migrationsbehörde fest, dass sich die ehelichen Schulden massiv erhöht hätten; gleichzeitig wurde ihnen eine letzte Chance eingeräumt, die finanzielle Situation zu verbessern. Am 20. Oktober 2011 wurden A.A._ der Widerruf der Niederlassungsbewilligung, B.A._ die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der ganzen Familie die Wegweisung angedroht. Die Schulden beliefen sich damals auf Fr. 391'299.80 und die Sozialhilfebezüge auf Fr. 145'851.75. Nachdem sich die Situation weiter verschlechtert hatte (Sozialhilfebezug im Mai 2015: Fr. 313'317.30), widerrief das Migrationsamt des Kantons Solothurn am 7. Juli 2015 die Niederlassungsbewilligung von A.A._, verlängerte die Aufenthaltsbewilligung von B.A._ nicht mehr und wies die Familie aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen Beschwerden wiesen das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 17. August 2015 und das Bundesgericht mit Urteil 2C_865/2015 vom 1. Oktober 2015 ab.
1.2. Im Nachgang zum bundesgerichtlichen Urteil ersuchte die Familie zuerst um eine Verlängerung der Ausreisefrist, die ihr formlos bis Ende 2015 gewährt wurde. Am 18. Dezember 2015 stellte der neue Rechtsvertreter der Familie ein Wiedererwägungsgesuch. Das Migrationsamt teilte ihm mit Schreiben vom 21. Dezember 2015 mit, dass keine neuen Umstände ersichtlich seien und es an der Ausreisefrist bis spätestens 4. Januar 2016 festhalte. Am 8. Januar 2016 machte der Rechtsvertreter geltend, es bestünden Wegweisungshindernisse wegen der gesundheitlichen Situation der Ehefrau und weil die Familie nicht als Einheit ausgeschafft werden könne. Er machte am 18. Januar 2016, 24. Juni 2016, 27. Oktober 2016, 11. Januar 2017, 10. Februar 2017, 14. Februar 2017, 4. Mai 2017, 25. Juni 2018, 4. September 2018 und 22. Juli 2019 ähnliche Eingaben. Sodann stellte er mit Eingaben vom 24. Mai 2019, 29. Mai 2019, 4. Juli 2019, 26. Juli 2019 und 29. Juli 2019 ein Härtefallgesuch für die älteste Tochter. Am 31. Juli 2019 teilte ihm das Migrationsamt mit, dass es wegen seiner Eingaben unpräjudiziell mit dem zwangsweisen Wegweisungsvollzug zugewartet habe. Unterdessen hätten die nordmazedonischen Behörden zugesagt, die ganze Familie zurückzunehmen. In der Folge trat es am 17. Februar 2021 auf das Wiedererwägungsgesuch vom 18. Dezember 2015 nicht ein, wies das sinngemässe Gesuch um (Neu-) Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ab, soweit darauf einzutreten sei, wies das Gesuch der ältesten Tochter um Erteilung einer Härtefallbewilligung ab und setzte der Familie eine neue Ausreisefrist bis 17. März 2021 an. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 6. Oktober 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. November 2021 beantragt die Familie dem Bundesgericht, das Migrationsamt sei zu verpflichten, auf das Wiedererwägungsgesuch einzutreten, eventualiter sei es zu verpflichten, ihnen - subeventualiter nur der ältesten Tochter - eine Aufenthaltsbewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls zu erteilen. Weiter sei ihnen für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren und der Beschwerde in Bezug auf die Wegweisung die aufschiebende Wirkung zukommen zu lassen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Vorab ist darauf hinzuweisen, dass es im Verfahren 2C_865/2015 um die Wegweisung der gesamten Familie aus der Schweiz ging und das Bundesgericht diese mit Urteil vom 1. Oktober 2015 bestätigt hat. Dabei war unbestritten, dass die damals minderjährigen Kinder das ausländerrechtliche Schicksal ihrer Eltern teilen (BGE 143 I 21 E. 5.4 m.H.); ein eigenständiger Aufenthalt der Kinder in der Schweiz war kein Thema. Deshalb kann offensichtlich alleine aus dem Umstand, dass sich die Familie seit mittlerweile rund sechs Jahren ihrer Ausreisepflicht widersetzt, nicht geschlossen werden, die Kinder verfügten nach wie vor über eine gültige Niederlassungsbewilligung und dürften sich unabhängig von ihren Eltern in der Schweiz aufhalten. Die Berufung der Beschwerdeführer auf die Rechtsprechung, wonach die Niederlassungsbewilligung von Kindern vom Widerruf der elterlichen Bewilligung unberührt bleibt und erst mit der Abmeldung bzw. Ausreise ins Ausland erlischt (Urteil 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3.2), ist rechtsmissbräuchlich. Die Beschwerdeführer können offensichtlich keine Rechte daraus ableiten, dass sie ihrer Ausreisepflicht jahrelang nicht nachgekommen sind, anstatt die Schweiz weisungsgemäss per Ende 2015 zu verlassen. Folglich verfügen auch die Kinder über keinen Aufenthaltstitel mehr, wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat.
2.2. Weiter ist anzumerken, dass das Urteil 2C_865/2015 vom 1. Oktober 2015 am Tag seiner Ausfällung in Rechtskraft erwachsen ist (Art. 61 BGG) und nicht in Wiedererwägung gezogen, sondern nur mittels Revision nach Art. 121 ff. BGG abgeändert werden kann (vgl. BGE 147 III 238 E. 1.1). Die Beschwerdeführer vertreten selber die Auffassung, dass die Voraussetzungen einer Revision nicht gegeben seien (vgl. S. 6 f. der Beschwerde). Folglich geht es bei den Gesuchen der Beschwerdeführer nicht um die Abänderung des bundesgerichtlichen Urteils, sondern um eine neue Bewilligung, die voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (Urteil 2C_141/2021 vom 13. April 2021 E. 1.2 m.H.).
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 83 lit. c BGG unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), sowie betreffend die Wegweisung (Ziff. 4).
3.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK, weil sie sich seit Jahren in der Schweiz aufhalten. Dabei verkennen sie, dass die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach nach einer rechtmässigen Anwesenheit von zehn Jahren die Beendigung des Aufenthalts besonderer Gründe bedarf (BGE 144 I 266), auf Fallkonstellationen anwendbar ist, bei denen es um die Beendigung bzw. Nichtverlängerung eines Aufenthaltsrechts geht, nicht aber - wie im vorliegenden Fall - um dessen (neue) Begründung nach rechtskräftiger Beendigung der früheren Aufenthaltsberechtigung (Urteile 2C_141/2021 vom 13. April 2021 E. 2.4; 2C_123/2020 vom 25. Juni 2020 E. 2.4.2; 2C_221/2020 vom 19. Juni 2020 E. 1.2). Der Aufenthaltsdauer ist im Widerrufsverfahren Rechnung getragen worden; ein allfälliger Anspruch aus Art. 8 EMRK ist mit dem Urteil 2C_865/2015 vom 1. Oktober 2015 rechtskräftig erloschen und offensichtlich nicht neu entstanden, nur weil die Beschwerdeführer seit Jahren ihrer Ausreiseverpflichtung nicht nachkommen. Folglich können sich die Beschwerdeführer nicht in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch berufen und steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zur Verfügung.
3.2. Dasselbe gilt, soweit die Beschwerdeführer 1 und 2 vorbringen, die Wegweisung verstosse wegen ihrer gesundheitlichen Situation gegen Art. 3 EMRK. Dabei handelt es sich um Vollzugshindernisse, die ausschliesslich die Wegweisung tangieren und im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht geprüft werden können (Urteil 2C_182/2020 vom 13. Juli 2021 E. 2.2). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann damit nicht eingetreten werden.
4.
4.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden muss (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sind (BGE 142 II 369 E. 2.1).
4.2. Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Da kein Bewilligungsanspruch besteht, sind die Beschwerdeführer durch das Nichteintreten auf ihr Gesuch bzw. die Abweisung desselben nicht in ihren rechtlich geschützten Interessen betroffen, sodass sie hinsichtlich der Bewilligungsfrage nicht zur Verfassungsbeschwerde legitimiert sind (vgl. BGE 133 I 185 E. 3 ff.). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst sind sie allerdings zur Rüge berechtigt, ihnen zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen (BGE 137 II 305 E. 2). Solche zulässigen Rügen lassen sich der Beschwerde in Bezug auf die beantragten Bewilligungen allerdings nicht entnehmen.
4.3. Weiter sind die geltend gemachten Wegweisungshindernisse zu prüfen.
4.3.1. Vorab ist darauf hinzuweisen, dass die Möglichkeit, eine Lehrstelle anzutreten oder die Kantonsschule zu besuchen, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer (vgl. S. 7 der Beschwerde) offensichtlich kein Wegweisungshindernis darstellt und die Wegweisung weder als unzumutbar noch unzulässig erscheinen lässt.
4.3.2. Was die von den Beschwerdeführern 1 und 2 geltend gemachten psychischen Probleme betrifft, die wegen der Wegweisung entstanden sein sollen, so stellen diese selbst bei einem Suizidrisiko grundsätzlich keinen Grund für einen weiteren Verbleib im Land dar. Die Behörden sind gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsweise sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der Betroffenen nicht beeinträchtigt werden (BGE 139 II 393 E. 5.2.2). Dass die psychische Belastung der Beschwerdeführer 1 und 2 derart stark sein sollte, dass ihr Leben trotz dieser Massnahmen und den medizinischen Angeboten im Herkunftsstaat konkret gefährdet wäre, wird in der Beschwerde nicht substanziiert behauptet, geschweige denn belegt. Dasselbe gilt, soweit die Beschwerdeführerin 2 auf ihre Darmerkrankung verweist, die im Übrigen bereits im Widerrufsverfahren berücksichtigt worden war. Selbst wenn sich die Situation verschlechtert haben sollte, weist die Beschwerdeführerin 2 nicht einmal im Ansatz nach, dass ihr Leben im Herkunftsstaat trotz der dortigen medizinischen Möglichkeiten konkret gefährdet wäre. Es genügt nicht, dass ihr im August 2021 eine Reiseunfähigkeit ärztlich bescheinigt worden sein soll. Eine Verletzung von Art. 3 EMRK ist damit nicht dargetan.
4.3.3. Schliesslich vermögen auch die Überlegungen in der Beschwerde zur Wegweisung des Vaters (S. 14 f.) kein Vollzugshindernis aufzuzeigen. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgehalten (Art. 105 Abs. 1 BGG), dass sich die nordmazedonischen Behörden bereit erklärt hätten, die Familie als Einheit zurück- und aufzunehmen, und diese Zustimmung weiterhin gelte (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils). Inwieweit diese Feststellung gegen verfassungsmässige Rechte verstösst (Art. 118 Abs. 2 BGG), ergibt sich nicht aus der Beschwerde.
4.4. Zuletzt wenden sich die Beschwerdeführer gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren. Ihre Rüge, sie seien bedürftig, geht an der Sache vorbei, nachdem die Vorinstanz von einer offensichtlichen Bedürftigkeit ausgegangen ist (vgl. E. 4.2 des angefochtenen Urteils). In Bezug auf die Aussichtslosigkeit der Beschwerde hat die Vorinstanz auf ihre ausführlichen Erwägungen verwiesen, wonach weder ein erheblich veränderter Sachverhalt noch ein Härtefall vorliege. Mit dem pauschalen Verweis der Beschwerdeführer auf den zweifachen Schriftenwechsel vor Verwaltungsgericht sowie ihre Theorie, wonach die Kinder noch über ein Aufenthaltsrecht verfügen, gelingt es ihnen nicht, die Beurteilung ihrer Beschwerde als aussichtslos infrage zu stellen und dadurch eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV substanziiert zu rügen.
4.5. Zusammenfassend genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht, soweit sie überhaupt zulässig ist. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
5.
Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern 1 bis 3 aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG e contrario).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern 1 bis 3 unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger