Erwägungen:
1.
Das Untersuchungsamt St. Gallen führt wegen übler Nachrede bzw. Verleumdung ein Strafverfahren gegen die Kommunikationsbeauftragte des Bistums St. Gallen. In diesem Strafverfahren wurde A._ in seiner Stellung als Privatkläger mit Urteil vom 8. Mai 2019 der Anklagekammer des Kantons St. Gallen die unentgeltliche Rechtspflege gewährt (Art. 136 Abs. 2 lit. a und b StPO), nicht aber die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (Art. 136 Abs. 2 lit.c StPO). Das Bundesgericht ist am 19. Juni 2019 auf eine von A._ gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung eingereichte Beschwerde nicht eingetreten, da sie den gesetzlichen Formerfordernissen nicht genügte (Urteil 1B_299/2019). Am 8. Juli 2019 sowie am 4. Oktober 2019 reichte A._ beim Untersuchungsamt St. Gallen erneut Gesuche um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung ein. Diese Gesuche wurden vom Untersuchungsamt mit Verfügungen vom 9. Juli 2019 und 9. Oktober 2019 mangels Nachweises einer eingetretenen rechtserheblichen Änderung der Verhältnisse abgewiesen. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wies die Anklagekammer mit Urteilen vom 15. August 2019 und 25. August 2020 ab, wobei sie A._ in letzterem Urteil darauf hinwies, dass sie Eingaben der gleichen Art und im gleichen Sachzusammenhang inskünftig ohne förmliche Erledigung ablegen werde. Das Bundesgericht schützte die zweimalige Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung durch die kantonalen Instanzen mit Urteilen vom 23. Juni 2020 (Urteil 1B_473/2019) und 14. Dezember 2020 (Urteil 1B_543/2020).
2.
Mit Eingaben vom 23. Juli 2020 und 21. August 2020 stellte A._ beim Untersuchungsamt zwei weitere Gesuche um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung. Dieses wies die Gesuche mit Verfügungen vom 3. August 2020 und 7. September 2020 ab. Gegen letztere Verfügung erhob A._ erneut Beschwerde bei der Anklagekammer. Wie in ihrem Entscheid vom 25. August 2020 angekündigt, legte die Anklagekammer die Beschwerde mit Schreiben vom 1. Oktober 2020 ohne förmliche Erledigung ab. Gegen diese formlose Erledigung führt A._ mit Eingabe vom 9. November 2020 Beschwerde in Strafsachen. Die Eingabe ist als Rechtsverweigerungsbeschwerde zu behandeln.
3.
Eine formelle Rechtsverweigerung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt oder eine solche ausdrücklich bzw. stillschweigend nicht an die Hand nimmt und nicht behandelt, obschon sie darüber befinden müsste. Das Gleiche gilt, wenn einzelne Anträge oder Teile davon nicht behandelt werden (BGE 144 II 184 E. 3.1 S. 192; 135 I 6 E. 2.1 S. 9; 134 I 229 E. 2.3 S. 232). Eine Rechtsverweigerung kann auch darin liegen, dass sich eine Behörde mit rechtsgenügend vorgebrachten Rügen der rechtsuchenden Partei gar nicht auseinandersetzt, wobei sich in einem solchen Fall das Verbot der Rechtsverweigerung mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV berührt (vgl. Urteil 1D_8/2018 vom 3. April 2019 E. 4.1). Ob eine solche formelle Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (vgl. BGE 135 I 6 E. 2.1 S. 9 f. mit Hinweisen).
4.
Entgegen den über weite Teile schwer verständlichen Vorbringen des Beschwerdeführers kann der Vorinstanz keine Rechtsverweigerung im genannten Sinne vorgeworfen werden. In der vorliegenden Streitigkeit geht es im Kern um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nach Art. 136 Abs. 2 lit. c StPO. Die Vorinstanz hat die Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung des Beschwerdeführers zur Wahrung seiner Interessen in ihren Entscheiden vom 8. Mai 2019, 15. August 2019 sowie 25. August 2020 verneint. Diese Entscheide wurden durch das Bundesgericht geschützt (vorne E. 1). Die Vorinstanz hat sich somit innert kurzer Zeit dreimal mit der Frage der Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung des Beschwerdeführers im Strafverfahren gegen die Kommunikationsbeauftragte des Bistums St. Gallen auseinandergesetzt. Es kann ihr schon deshalb nicht vorgeworfen werden, sie sei auf die Sache nicht eingetreten bzw. habe sie nicht behandelt.
5.
Nun hat der Beschwerdeführer noch vor dem letztmaligen Sachurteil der Vorinstanz vom 25. August 2020 beim Untersuchungsamt erneut zwei Gesuche um unentgeltliche Rechtsverbeiständung eingereicht. Dieses Vorgehen des Beschwerdeführers bewegt sich am Rande des Rechtsmissbrauchs und des Querulatorischen, da er sinngemäss die Auffassung zu vertreten scheint, jedes neue Gesuch und jede damit verbundene behördliche Entscheidung sei geeignet, eine rechtserhebliche Veränderung der Sachlage zu begründen. Dies trifft jedoch nicht zu, was die in der vorliegenden Streitigkeit ergangenen Bundesgerichtsurteile belegen (vorne E. 1). Überdies ist eine rechtserhebliche Veränderung der Verhältnisse innert kürzester Zeit, nachdem die Vorinstanz bzw. das Bundesgericht in der gleichen Sache bereits mehrmals entschieden haben, ohnehin nur schwer vorstellbar. Wie der vorliegenden Eingabe entnommen werden kann, ist dies auch nicht der Fall, denn der Beschwerdeführer begründet die veränderte Ausgangssituation - soweit nachvollziehbar - im Wesentlichen erneut mit der durch die abweisenden Entscheide verursachten Verschärfung seiner Notlage. Er verkennt damit, dass ihm im eigentlichen Strafverfahren, welches entgegen seiner Auffassung noch nicht abgeschlossen ist, die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde. Eine Verschlechterung seiner finanziellen Situation kann damit gar keine rechtserhebliche Veränderung begründen. Die Vorinstanz durfte deshalb die erneute und gleichlautende Eingabe des Beschwerdeführers, nachdem sie diese geprüft hatte, formlos erledigen. Zu beachten bleibt, dass diese Beurteilung des Vorwurfs der Rechtsverweigerung keine Wirkung für künftige Eingaben des Beschwerdeführers hat. Die Vorinstanz ist somit gehalten, allfällige weitere Beschwerden in dieser Sache sorgfältig zu prüfen und bei gegebenenfalls veränderten Verhältnissen einen Sachentscheid zu treffen.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf mangels Erfüllung der Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 BGG) überhaupt eingetreten werden kann. Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gemäss Art. 64 BGG nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn