Sachverhalt:
A.
Dr. E.A._, geboren am 9. Januar 1968, verstarb durch Suizid zwischen dem 16. und dem 18. Juli 2016. Zuletzt war sie in St. Gallen wohnhaft. Vom 27. Mai 2016 bis zu ihrem Tod befand sie sich in stationärer psychiatrisch-psychotherapeutischer Behandlung in der Psychiatrischen Klinik U._. Der Suizid geschah während eines Urlaubs. Betreut wurde sie unter anderem vom Chefarzt der Klinik, Dr. med. D._. Die Verstorbene hinterliess zwei minderjährige Töchter, B.A._ und C.A._, sowie ihren Ehemann, Dr. med. A.A._, von welchem sie getrennt lebte.
Am 25. August 2016 ersuchte Dr. med. D._ auf Begehren von Dr. med. A.A._ das Gesundheitsdepartement um Entbindung vom Berufsgeheimnis hinsichtlich seiner verstorbenen Patientin, Dr. E.A._. Das Departement wies das Gesuch mit Verfügung vom 25. Oktober 2016 ab.
B.
Gegen diese Verfügung erhoben Dr. med. A.A._ und seine Töchter B.A._ und C.A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2017 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut und hob die angefochtene Verfügung auf (Dispositiv Ziff. 1). Dr. D._ wurde vom ärztlichen Berufsgeheimnis insoweit entbunden, als er den - durch die Beschwerdeführer zu bestimmenden - behandelnden Ärzten und Psychologen der Beschwerdeführerinnen B.A._ und C.A._ Einsicht in die Krankenunterlagen der Verstorbenen zu gewähren habe (Dispositiv Ziff. 2). Dabei darf die Einsicht in den Inhalt der Krankengeschichte nur insoweit gewährt werden, als es für den Erfolg der Behandlung der Beschwerdeführerinnen B.A._ und C.A._ erforderlich sein könnte (Dispositiv Ziff. 2.2). Die Kostenfolgen regelte das Verwaltungsgericht in Ziff. 3 und 4 seines Entscheids.
C.
Mit Eingabe vom 17. Januar 2018 reichen Dr. med. A.A._ (nachfolgend: Beschwerdeführer 1), B.A._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin 2) und C.A._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin 3) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Sie beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 14. Dezember 2017 sei aufzuheben und der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, den Beschwerdeführern, eventuell einem Arzt ihres Vertrauens, Einsicht in die vollständige Krankengeschichte der Psychiatrischen Klinik U._ über die verstorbene Dr. E.A._ zu gewähren. Eventualiter seien Ziff. 1, 3 und 4 des angefochtenen Urteils aufzuheben, Ziff. 2.2 insofern ebenfalls, als der Beschwerdegegner zu verpflichten sei, den behandelnden Ärzten und Psychologen vollständig Einsicht in den Inhalt der Krankengeschichte der Verstorbenen zu geben.
Das Verwaltungsgericht und D._ schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit BAG verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen lässt sich nicht vernehmen.
Erwägungen:
1.
Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet die Frage, ob den Beschwerdeführern oder einem Arzt ihres Vertrauens, eventualiter den behandelnden Ärzten und Psychologen der Beschwerdeführerinnen 2 und 3, Einsicht in die vollständige Krankengeschichte ihrer verstorbenen Ehefrau bzw. Mutter zu gewähren sei. Nicht angefochten wird Ziff. 2 in Verbindung mit Ziff. 2.1 und 2.2 des vorinstanzlichen Urteils insofern, als der Beschwerdegegner verpflichtet wurde, den Ärzten und Psychologen, in deren Behandlung die Beschwerdeführerinnen 2 und 3 stehen, Einsicht in den Inhalt der Krankengeschichte der Verstorbenen zu geben, soweit dies für ihre Behandlung erforderlich sein sollte (vgl. Beschwerdeschrift, Rechtsbegehren 2 und 4). Diesbezüglich ist das angefochtene Urteil rechtskräftig.
2.
Der kantonal letztinstanzliche Entscheid über die Entbindung vom Berufsgeheimnis ist ein Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen haben (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), sind durch den angefochtenen Entscheid direkt berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2, Art. 100 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (Art. 95 BGG; BGE 141 V 234 E. 2 S. 236).
Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gab (Art. 99 Abs. 1 BGG).
4.
Die Beschwerdeführer bieten im bundesgerichtlichen Verfahren ihr Parteiverhör im Sinne eines Novums an, zu dem erst der angefochtene Entscheid Anlass gegeben habe (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Die Parteibefragung bzw. das Parteiverhör ist ein Beweismittel (Art. 55 BGG in Verbindung mit Art. 62-65 BZP; NICOLAS VON WERDT, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 10 und 15 zu Art. 55 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG sind solche, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364 f.). Tatsachen und Beweismittel, die sich in den Akten befinden oder vor der Vorinstanz vorgebracht bzw. beantragt wurden, aber von dieser nicht gewürdigt oder nicht als Beweismittel zugelassen wurden, sind nicht neu und können vor Bundesgericht berücksichtigt werden (HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 12 zu Art. 99 BGG).
Aus den Akten ergibt sich, dass die Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren verschiedene Beweisanträge gestellt haben, unter anderem, sie seien persönlich zu befragen (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils). Folglich fällt das von den Beschwerdeführern beantragte Parteiverhör nicht unter das Novenverbot gemäss Art. 99 BGG. Das Bundesgericht kann aber angebotene Beweismittel ablehnen, wenn es sie von vornherein nicht für geeignet hält, behauptete Tatsachen zu beweisen (antizipierte Beweiswürdigung; vgl. auch E. 5.4 und 5.5 hiernach) oder, wenn eine Partei ein Beweismittel für eine Tatsache anbietet, die nicht entscheidrelevant ist (VON WERDT, a.a.O., N. 8 zu Art. 55 BGG).
Vorliegend ist nicht ersichtlich und wird auch in der Beschwerde nicht überzeugend begründet, weshalb von einem Parteiverhör im letztinstanzlichen Verfahren entscheidrelevante neue Erkenntnisse zu erwarten wären, so dass von einem Parteiverhör abzusehen ist.
5.
5.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und ihres Rechts auf Beweis (Art. 8 ZGB) im Zusammenhang mit der Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Durch die Formulierung "selbst wenn" in E. 5.1 des angefochtenen Urteils habe das Verwaltungsgericht die enge Verbundenheit der Beschwerdeführer mit der Verstorbenen in Frage gestellt. Ferner sei es ihnen mangels Kenntnis der vollständigen Akten nicht möglich, zu beurteilen, ob die Verstorbene es zugelassen hätte, dass die Beschwerdeführer uneingeschränkten Zugang zu ihrer Krankenakte erhalten.
5.2. Gemäss Art. 97 Abs. 1 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (BGE 143 I 310 E. 2.2 S. 313). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44; Urteil 8C_416/2015 vom 30. September 2015 E. 1.2).
5.3. Das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236). Ferner gewährt es den Parteien das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 129 II 497 E. 2.2 S. 505), wobei kein absoluter Anspruch auf Abnahme eines Beweismittels besteht (vgl. Urteil 5A_510/2016 vom 31. August 2017 E. 4.2). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2). Auch das Recht auf Beweis (Art. 8 ZGB) steht einer bloss beschränkten Beweisabnahme nicht entgegen, wenn das Gericht im Rahmen der freien Beweiswürdigung zur Überzeugung gelangt, die zusätzlich beantragten Beweise würden zur Klärung des Sachverhalts nichts beitragen (BGE 122 III 219 E. 3c S. 223; 119 II 114 E. 4c S. 117).
5.4. Die Beschwerdeführer haben im vorinstanzlichen Verfahren verschiedene Beweisanträge gestellt, um insbesondere ihre Verbundenheit zur Verstorbenen darzulegen. Die Vorinstanz hat - in antizipierter Beweiswürdigung - auf die beantragten prozessualen Vorkehren verzichtet, da sie zum Schluss gekommen ist, die entscheidrelevanten tatsächlichen Verhältnisse würden sich aus den Verfahrensakten ergeben (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils). Bezüglich der Frage einer allfälligen engen Verbundenheit der Beschwerdeführer mit der Verstorbenen hat das Verwaltungsgericht ausgeführt, dass selbst wenn eine solche zu bejahen wäre, dieser Umstand allein nicht ausreichen würde, um anzunehmen, die Betroffene hätte es zugelassen, dass ihre Krankenakte den Beschwerdeführern uneingeschränkt zugänglich gemacht würde (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils).
Die Beschwerdeführer zeigen nicht auf, inwiefern die Auffassung der Vorinstanz willkürlich sein soll (vgl. E. 5.2 hiervor), sondern beschränken sich darauf, diese zu bestreiten (vgl. Ziff. 8c der Beschwerdeschrift). Aus den Akten ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht die Frage einer allfälligen Einwilligung der Verstorbenen aufgrund eines hinreichend erhobenen Sachverhalts und einer materiellen Prüfung der umstrittenen Fragen beantwortet hat (vgl. auch E. 6.3.2 hiernach). Zusätzliche Abklärungen zur Verbundenheit der Beschwerdeführer zur Verstorbenen drängten sich aus der Sicht der Vorinstanz nicht auf, so dass diese ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung darauf verzichten durfte. Die Gewährung vollständiger Einsicht in die Krankenakte der Verstorbenen - wie von den Beschwerdeführern beantragt - um erst herauszufinden, ob dieser eine allfällige Einwilligung entnommen werden könnte, würde das Berufsgeheimnis gemäss Art. 321 StGB (vgl. E. 6.2 hiernach) in sein Gegenteil verkehren. Schliesslich betreffen die weiteren durch die Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Feststellung des Sachverhalts erhobenen Rügen die im Rahmen der Rechtsanwendung vorzunehmende Interessenabwägung (vgl. E. 6.4 hiernach).
5.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz weder das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) noch das Recht auf Beweis der Beschwerdeführer (Art. 8 ZGB) im Zusammenhang mit der Sachverhaltsfeststellung und der Beweiswürdigung verletzt hat.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer werfen der Vorinstanz vor, sie habe ihre Interessen und die mutmasslichen Interessen der Verstorbenen in einer nicht sachgerechten Weise und somit unter Verletzung von Art. 28 Abs. 2 ZGB, Art. 13 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) und Art. 9 BV gewürdigt. Sie machen insbesondere geltend, das Verwaltungsgericht habe ihr Interesse an der Einsichtnahme in die Krankengeschichte, um abklären zu können, ob die Verstorbene in der Psychiatrischen Klinik richtig behandelt worden sei, nicht berücksichtigt. Ferner habe die Vorinstanz nicht hinreichend begründet, weshalb sie das Interesse der Beschwerdeführer dem strafrechtlichen Schutz des Arztgeheimnisses unterordnet.
6.2.
6.2.1. Gemäss Art. 40 lit. f des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz; MedBG; SR 811.11) wahren Personen, die einen universitären Medizinalberuf ausüben, das Berufsgeheimnis nach Massgabe der einschlägigen Vorschriften. Diese Bestimmung enthält selber keine materiellen Vorschriften über das Berufsgeheimnis, sondern verweist auf andere massgebende Vorschriften, so insbesondere auf Art. 321 StGB. Gemäss der Lehre soll sie einen dynamischen Verweis auf die jeweils geltende Schweizer Rechtsordnung darstellen (vgl. BORIS ETTER, Handkommentar zum Medizinalberufegesetz MedBG, 2006, N. 38 zu Art. 40 MedBG; SPRUMONT/GUINCHARD/SCHORNO, in: Ayer/Kieser/Poledna/Sprumont [Hrsg.], Kommentar zum Medizinalberufegesetz, 2009, N. 77 zu Art. 40 MedBG).
6.2.2. Nach Art. 321 Ziff. 1 StGB werden Ärzte und ihre Hilfspersonen auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wenn sie ein Geheimnis offenbaren, das ihnen infolge ihres Berufs anvertraut worden ist oder das sie in dessen Ausübung wahrgenommen haben. Der Täter ist nicht strafbar, wenn er das Geheimnis auf Grund einer Einwilligung des Berechtigten oder einer auf Gesuch des Täters erteilten schriftlichen Bewilligung der vorgesetzten Behörde oder Aufsichtsbehörde offenbart hat (Art. 321 Ziff. 2 StGB). Vorbehalten bleiben die eidgenössischen und kantonalen Bestimmungen über die Zeugnispflicht und über die Auskunftspflicht gegenüber einer Behörde (Art. 321 Ziff. 3 StGB; BGE 142 II 256, nicht publ. E. 3; Urteil 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017 E. 4.2).
6.2.3. Das Arztgeheimnis fliesst aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf Privatsphäre (Art. 13 BV, Art. 8 EMRK) und dient dem Schutz der Geheimsphäre des Patienten (vgl. BRIGITTE TAG, Die Verschwiegenheit des Arztes im Spiegel des Strafgesetzbuches und der Strafprozessordnung des Kantons Zürich, ZStrR 122/2004 S. 5; REGINA E. AEBI-MÜLLER ET AL., Arztrecht, 2016, S. 459; KARIN KELLER, Das ärztliche Berufsgeheimnis gemäss Art. 321 StGB, 1993, S. 61 f.). Darüber hinaus schützt das Arztgeheimnis auch die öffentliche Gesundheit, indem es ermöglicht, dass sich der Patient ohne Vorbehalt dem Arzt anvertrauen kann und zweckmässig behandelt wird (vgl. TAG, a.a.O., S. 6 f.; KELLER, a.a.O., S. 59 ff.; BENOÎT CHAPPUI s, in: Commentaire romand, Code pénal, Bd. II, 2017, N. 7 und 14 zu Art. 321 StGB; vgl. auch BGE 141 IV 77 E. 4.4 S. 82 mit Hinweisen).
Gemäss Lehre und Rechtsprechung endet die Verschwiegenheitspflicht des Arztes grundsätzlich nicht mit dem Tod des Patienten. Das Arztgeheimnis ist somit auch gegenüber den Erben und den Angehörigen zu wahren (vgl. AEBI-MÜLLER ET AL., a.a.O., S. 486 ff.; TRECHSEL/VEST, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, Trechsel/Pieth [Hrsg.], 3. Aufl. 2018, N. 28 zu Art. 321 StGB; FRÉDÉRIC ERARD/OLIVIER GUILLOD, Levée générale du secret médical et assistance au suicide, in: Jusletter vom 29. Januar 2018, Rz. 52; mit Bezug auf das Anwaltsgeheimnis vgl. BGE 135 III 597 E. 3.2 S. 599 f.). Dadurch soll gewährleistet werden, dass der Patient zu Lebzeiten vorbehaltlos mit seinem Arzt über Themen kommunizieren kann, von denen er nicht will, dass seine Angehörigen nach seinem Tod erfahren (AEBI-MÜLLER ET AL., a.a.O., S. 486). Vorliegend besteht kein Anlass - wie von den Beschwerdeführern beantragt - von diesen Grundsätzen abzuweichen. Unbehelflich ist - bei dem unter Schweizer Recht fallenden Sachverhalt - der Hinweis der Beschwerdeführer auf die deutsche Rechtslage (vgl. Ziff. 6 der Beschwerdeschrift). Eine Offenbarung von Gesundheitsdaten kann aber ausnahmsweise durch ein überwiegendes privates Interesse der Angehörigen und Erben geboten sein (vgl. BGE 142 II 256 nicht publ. E. 5.1; AEBI-MÜLLER ET AL., a.a.O., S. 488).
6.3.
6.3.1. Nach der ausdrücklichen Bestimmung von Art. 321 Ziff. 2 StGB entfällt die Strafbarkeit des Geheimnisträgers, wenn eine Einwilligung des Berechtigten vorliegt. Erforderlich ist, dass der Geheimnisherr urteilsfähig ist und die Einwilligung im Voraus in Kenntnis aller wesentlichen Umstände und freiwillig geäussert wird. Eine besondere Form der Einwilligung ist demgegenüber nicht erforderlich; sie kann auch durch konkludentes Verhalten erfolgen (NIKLAUS OBERHOLZER, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Bd. II., 3. Aufl. 2013, N. 22 zu Art. 321 StGB; CHAPPUIS, a.a.O., N. 144 zu Art. 321 StGB). Gemäss der Lehre ist eine stillschweigende Einwilligung des Patienten nicht leichtfertig anzunehmen, um den Geheimnisschutz nicht illusorisch zu machen. Daher müsse auch in einem solchen Fall der klare Wille des Geheimnisherrn zum Ausdruck kommen, auf die Geheimhaltung verzichten zu wollen (vgl. KELLER, a.a.O., S. 144; JÜRG BOLL, Die Entbindung vom Arzt- und Anwaltsgeheimnis, 1983, S. 46 f.; TRECHSEL/VEST, a.a.O., N. 28 zu Art. 321 StGB; CHAPPUIS, a.a.O., N. 144 zu Art. 321 StGB).
6.3.2. Die Vorinstanz ist aufgrund der gesamten Umstände zum Schluss gekommen, dass die Verstorbene zu Lebzeiten weder ausdrücklich noch stillschweigend den Arzt von der ihn treffenden Geheimhaltungspflicht entbunden habe. Die durch die Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemachten Kontakte zwischen ihnen und dem Klinikpersonal sowie mit der Verstorbenen könnten nicht als (konkludente) Einwilligung angesehen werden (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
Die Auffassung der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden. Den Akten kann keine ausdrückliche Einwilligung der Verstorbenen zu Lebzeiten entnommen werden. Ferner hatte die Verstorbene bei ihrem Eintritt in die Psychiatrische Klinik den (vorläufigen) Wunsch geäussert, dass das Klinikpersonal keinen Kontakt mit ihren Angehörigen aufnimmt (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils). Unbestritten ist zudem, dass sie von ihrem Ehemann getrennt lebte. Konkrete Anhaltspunkte, dass die Verstorbene - zumindest konkludent - auf die Wahrung des Arztgeheimnisses klar verzichten wollte, liegen im Übrigen nicht vor. Insbesondere kann den Akten nicht entnommen werden, dass sie ihre Angehörigen in die Behandlung einbezogen hätte. Einzig daraus, dass die Beschwerdeführer und die Verstorbene möglicherweise noch eng verbunden waren und den Kontakt pflegten, kann nicht ohne Weiteres auf eine solche Einwilligung geschlossen werden (vgl. Urteil 1P.359/2001 vom 1. Oktober 2001 E. 2d; vgl. auch das von den Beschwerdeführern zitierte Urteil 2P.339/1994 vom 26. April 1995 E. 3a, in: Pra 85 [1996] Nr. 94).
6.3.3. Im Ergebnis durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass weder eine ausdrückliche noch eine stillschweigende Einwilligung der Verstorbenen vorliegt, den Beschwerdeführern Einsicht in ihre Krankenakte zu gewähren.
6.4. Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht die vollständige Entbindung vom Arztgeheimnis verweigert hat.
6.4.1. Die Beschwerdeführer begründen ihren Antrag auf vollständige Einsicht in die Krankenunterlagen der Verstorbenen zunächst mit der Trauerbewältigung. Diesem Interesse habe die Vorinstanz zu wenig Rechnung getragen. Zudem werfen sie der Vorinstanz vor, sie habe ihr Interesse an der Abklärung, ob die Verstorbene in der Psychiatrischen Klinik richtig behandelt wurde, nicht berücksichtigt, weil sie angenommen habe, sie wollten keine Haftungsansprüche geltend machen. Dieser Schluss sei falsch und aktenwidrig.
6.4.2. Gemäss Art. 321 Ziff. 2 StGB ist eine Entbindung des Geheimnisträgers von der Geheimnispflicht mit Bewilligung der zuständigen Behörde zulässig. Diese Bestimmung nennt selber keine Kriterien, nach denen die Bewilligung erteilt oder verweigert werden soll. Es ist dafür eine Rechtsgüter- und Interessenabwägung vorzunehmen, wobei die Entbindung nur zu bewilligen ist, wenn dies zur Wahrung überwiegender privater oder öffentlicher Interessen notwendig ist. Dabei vermag nur ein deutlich höherwertiges öffentliches oder privates Interesse die Entbindung zu rechtfertigen (BGE 142 II 256, nicht publ. E. 5.1; Urteil 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017 E. 4.2.2; vgl. auch BGE 142 II 307 E. 4.3.3 S. 311 in Bezug auf das Anwaltsgeheimnis; vgl. OBERHOLZER, a.a.O., N. 23 zu Art. 321 StGB; TRECHSEL/VEST, a.a.O., N. 34 zu Art. 321 StGB; KELLER, a.a.O., S. 154). Im Rahmen der Interessenabwägung ist insbesondere zu berücksichtigen, dass das Berufsgeheimnis an sich ein gewichtiges Rechtsgut ist (BGE 142 II 256, nicht publ. E. 5.1; KELLER, a.a.O., S. 154 f.; BOLL, a.a.O., S. 57). Das Interesse an der Ermittlung der materiellen Wahrheit ist nicht per se ein überwiegendes Interesse (TRECHSEL/VEST, a.a.O., N. 34 zu Art. 321 StPO; OBERHOLZER, a.a.O., N. 23 zu Art. 321 StGB; BGE 142 II 256, nicht publ. E. 5.1). Inwieweit und wem Auskunft gegeben werden soll, wird durch die zuständige Behörde bestimmt. Dabei soll eine Befreiung grundsätzlich nur soweit gehen, als es im konkreten Fall, unter Berücksichtigung der Geheimsphäre des Geheimnisherrn, notwendig ist (vgl. KELLER, a.a.O., S. 156 und 189).
Das Bundesgericht hat - unter Beizug der Rechtsprechung zum Anwaltsgeheimnis - beispielsweise festgehalten, dass eine Entbindung des Arztes bewilligt werden könnte, wenn es darum geht, seine eigenen Forderungen gegenüber Patienten durchzusetzen oder umgekehrt Schadenersatzforderungen von Patienten abzuwehren (BGE 142 II 256, nicht publ. E. 5.2). Abgelehnt hat das Bundesgericht die Entbindung vom Arztgeheimnis im Falle von zwei Erben, die Einsicht in die Krankengeschichte ihrer verstorbenen Eltern nehmen wollten, ohne dass ein unmittelbarer Zusammenhang zu einem hängigen zivilrechtlichen Verfahren bestanden hätte (Urteil 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017). Die Lehre bejaht ein überwiegendes privates Interesse der Angehörigen an der Offenbarung einzelner Gesundheitsdaten beispielsweise im Zusammenhang mit einer genetischen Prädisposition oder einer möglichen Ansteckung bei einer lebensbedrohlichen Erkrankung (vgl. AEBI-MÜLLER ET AL., a.a.O., S. 488).
6.4.3. Die Vorinstanz hat anerkannt, dass die Beschwerdeführer ein berechtigtes Interesse an der Trauerbewältigung, der Abklärung allfälliger Behandlungsfehler sowie an der Information über die Motive des Freitods haben. Entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer hat sie die Prüfung des Interesses der Beschwerdeführer an der Einsichtnahme zwecks Abklärung der Richtigkeit der Behandlung nicht unterlassen; sie ist jedoch zum Schluss gekommen, dass diesem Interesse ein abgeschwächtes Gewicht zukomme, weil die Beschwerdeführer keine Haftungsansprüche wegen allfälliger Behandlungsfehler geltend machen wollten (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Im Ergebnis hat sie den Schutz der Geheimnissphäre der Verstorbenen - mit Blick auf die höchstpersönliche Natur der in der Krankenakte enthaltenen Informationen sowie die Bedeutung des Arztgeheimnisses - höher gewertet als die Interessen der Angehörigen an einer vollständigen Einsichtnahme in die medizinischen Unterlagen.
6.4.4. Die durch das Verwaltungsgericht vorgenommene Interessenabwägung ist nicht willkürlich und verletzt auch sonst kein Bundesrecht. Wie bereits ausgeführt, reicht ein berechtigtes privates oder öffentliches Interesse nicht aus, um eine Entbindung vom Berufsgeheimnis zu rechtfertigen. Vielmehr müsste dieses Interesse jenes an der Geheimhaltung deutlich überwiegen (vgl. E. 6.4.2 hiervor). Die in den Krankenakte enthaltenen Informationen betreffen die Intim- und Privatsphäre der Verstorbenen und sind höchstpersönlicher Natur. Anhaltspunkte dafür, dass die Betroffene an eine Weiterleitung dieser Informationen an ihre Angehörigen eingewilligt hätte, liegen, wie bereits ausgeführt, nicht vor (vgl. E. 6.3.2 hiervor). Der Wunsch der Angehörigen, Zugriff darauf zu erhalten, um ihre Trauer zu bewältigen, ist verständlich; dieses Interesse vermag jedoch die entgegen stehenden Interessen, insbesondere das Interesse an der Wahrung des Berufsgeheimnisses über den Tod des Geheimnisherrn hinaus sowie das öffentliche Interesse an einer funktionierenden Gesundheitspflege (vgl. E. 6.2.3 hiervor), nicht zu überwiegen. Ebenfalls nachvollziehbar ist das Interesse der Angehörigen abzuklären, ob die Behandlung korrekt war. Diesbezüglich ist allerdings festzuhalten, dass die Beschwerdeführer nicht behaupten, dass sie ein Verfahren gegen die Psychiatrische Klinik eingeleitet hätten oder demnächst einleiten würden. Ebensowenig legen sie dar, dass sie konkrete Gründe zur Annahme hätten, der Klinik sei ein Kunst- oder Behandlungsfehler unterlaufen. Vielmehr wollen sie zunächst Einsicht in die Krankenakte erhalten, um anschliessend entscheiden zu können, ob sie allenfalls Haftungsansprüche geltend machen wollen. Ein solches Vorgehen würde allerdings das Arztgeheimnis in sein Gegenteil verkehren. Wie auch die Vorinstanz festhält, wäre in derartigen Fällen die Geheimsphäre Verstorbener gegenüber Angehörigen praktisch immer schutzlos (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Diese Grundsätze finden sich im Übrigen auch in dem von den Beschwerdeführern zitierten Urteil des Obergerichts Schaffhausen (Urteil [des Obergerichts des Kantons Schaffhausen] vom 22. Dezember 1989, in: ZBl 91/1990 S. 364 ff., 370 f.]). Darin wird ausgeführt, das Einsichtsinteresse müsse durch eine ernsthafte Befürchtung begründet sein und eine solche dürfe nicht leichthin angenommen werden. Vielmehr müssten triftige Gründe vorliegen, damit eine ernsthafte Befürchtung anerkannt werden dürfe. Derartige Gründe machen die Beschwerdeführer vorliegend nicht geltend.
Den berechtigten Interessen der Beschwerdeführerinnen 2 und 3 wurde dadurch Rechnung getragen, dass ihren behandelnden Ärzten und Psychologen insoweit Einsicht gewährt wird, als dies für den Behandlungserfolg ihrer psychischen Auffälligkeiten erforderlich sein könnte. Diese Lösung erscheint - mit Rücksicht auf die gesamten Umstände - als ausgewogen. Wie bereits ausgeführt (vgl. E. 6.4.2 hiervor), hängen die Modalitäten der Einsicht von den Umständen des Einzelfalls ab und werden ebenfalls im Rahmen der Interessenabwägung festgelegt. Entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer (vgl. Ziff. 6 und 10 der Beschwerdeschrift) kann aus dem zitierten Urteil des Bundesgerichts 2P.339/1994 vom 26. April 1995 (in: Pra 85 [1996] Nr. 94), der einen konkreten Einzelfall betraf, nicht allgemein der Schluss gezogen werden, die Einsicht müsse generell nur über einen Arzt des Vertrauens ausgeübt werden. Ebensowenig kann aus dem erwähnten Entscheid geschlossen werden, dem Vertrauensarzt sei immer eine vollständige und uneingeschränkte Einsicht in die jeweilige Krankenakte zu gewähren. Im Ergebnis besteht kein Anlass, von der durch die Vorinstanz vorgenommenen Interessenabwägung abzuweichen.
7.
Soweit die Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 13 DSG geltend machen, ist festzuhalten, dass das Datenschutzgesetz gemäss seinem Geltungsbereich auf das Bearbeiten von Daten natürlicher und juristischer Personen durch private Personen und Bundesorgane anwendbar ist (Art. 2 Abs. 1 DSG). Die Psychiatrische Klinik U._ bildet Teil der Psychiatrie V._, die eine selbständige, öffentlich-rechtliche Anstalt des Kantons St.Gallen ist. Folglich ist das Datenschutzgesetz vorliegend nicht anwendbar.
8.
Ebenfalls nichts zu ihren Gunsten können die Beschwerdeführer aus Art. 28 Abs. 2 ZGB ableiten. Diese Bestimmung kann nicht gegenüber dem Staat oder anderen Körperschaften des öffentlichen Rechts, die im Rahmen ihrer Befugnisse handeln, angerufen werden (BGE 134 I 229 E. 3.1 S. 233; REGINA E. AEBI-MÜLLER, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 9 zu Art. 28 ZGB). Im Übrigen schützt Art. 28 ZGB natürliche und juristische Personen vor persönlichkeitsverletzenden Beeinträchtigungen durch Dritte. Wegen ihrer Bindung an eine bestimmte Person sind Persönlichkeitsrechte weder übertragbar noch vererblich. Sie enden mit dem Tod ihres Trägers, mit welchem sie untrennbar verbunden sind (AEBI-MÜLLER, a.a.O., N. 1 und 8 zu Art. 28 ZGB). Angehörige müssten sich somit auf ihr eigenes Persönlichkeitsrecht stützen können. Vorliegend legen die Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern durch das angefochtene Urteil ihre eigenen Persönlichkeitsrechte verletzt sein sollten. Schliesslich könnte der strafrechtliche Schutz des Berufsgeheimnisses ohnehin nicht über den Umweg von Art. 28 ZGB aufgehoben werden. Art. 28 ZGB könnte allenfalls dann selbständig zur Anwendung gelangen, wenn die Voraussetzungen von Art. 321 StGB nicht erfüllt wären (vgl. CHAPPUI s, a.a.O., N. 23 zu Art. 321 StGB).
9.
Nach dem Gesagten verletzt die durch die Vorinstanz vorgenommene Interessenabwägung kein Bundesrecht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich im Ergebnis als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die unterliegenden Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Departement des Innern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov