Faits :
A.
Par décision du 9 novembre 2021, confirmée sur opposition le 13 décembre 2021, la Caisse cantonale de chômage a refusé d'allouer des indemnités de chômage à A._, au motif qu'il ne remplissait pas les conditions relatives à la période de cotisation.
B.
Par arrêt du 3 janvier 2022, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la cour cantonale) a rejeté le recours formé par l'intéressé contre la décision du 13 décembre 2021.
C.
Par acte du 17 janvier 2022 (timbre postal), A._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il a déposé une écriture complémentaire le 7 février 2022, dans laquelle il sollicite d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours portés devant lui (ATF 145 I 239 consid. 2).
1.2. Selon l'art. 108 al. 1 LTF, le président de la cour décide en procédure simplifiée de ne pas entrer en matière sur les recours manifestement irrecevables (let. a) ou sur les recours dont la motivation est manifestement insuffisante (let. b). Il peut confier cette tâche à un autre juge (art. 108 al. 2 LTF).
1.3. En vertu de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, en exposant en quoi l'acte attaqué est contraire au droit. Pour satisfaire à l'obligation de motiver, la partie recourante doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente aurait méconnu le droit, de telle sorte que l'on comprenne clairement, à la lecture de son exposé, quelles règles de droit auraient été, selon elle, transgressées par l'autorité précédente (ATF 142 I 99 consid. 1.7.1 et les références). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 145 IV 154 consid. 1.1; 142 III 364 consid. 2.4).
2.
2.1. En l'espèce, la cour cantonale a constaté qu'au vu de la date à partir de laquelle le recourant avait demandé des indemnités de chômage, un délai-cadre de cotisation, en principe de deux ans (art. 9 al. 3 LACI), courait du 1er novembre 2019 au 31 octobre 2021. Ce délai-cadre de cotisation avait été prolongé de six mois conformément à l'art. 8a al. 3, 2e phrase, de l'Ordonnance du 20 mars 2020 sur les mesures dans le domaine de l'assurance-chômage en lien avec le coronavirus (COVID-19; Ordonnance COVID-19 assurance-chômage, RS 837.033), de sorte qu'on pouvait admettre un délai-cadre de cotisation du 1er mai 2019 au 31 octobre 2021. L'intimé avait considéré que ce délai-cadre de cotisation avait été encore prolongé de trois mois supplémentaires, faisant implicitement référence à l'art. 17 al. 2 de la Loi fédérale du 25 septembre 2020 sur les bases légales des ordonnances du Conseil fédéral visant à surmonter l'épidémie de COVID-19 (Loi COVID-19; RS 818.102) et appliquant par analogie l'art. 8a al. 3, 2e phrase, de l'Ordonnance COVID-19 assurance-chômage. La cour cantonale a conclu que dans la mesure où le recourant n'était pas au chômage entre mars et mai 2021, il était douteux que ces trois mois de prolongation s'appliquaient, ce qui était toutefois sans influence sur les droits de celui-ci; il était en effet établi qu'il n'avait pas exercé une activité soumise à cotisation pendant douze mois pendant le délai-cadre de cotisation, que celui-ci ait couru du 1er mai 2019 au 31 octobre 2021 ou, comme l'avait retenu l'intimée, du 1er février 2019 au 31 octobre 2021.
2.2. Dans ses écritures, le recourant expose sa version des faits en faisant valoir que la période dans laquelle nous vivons n'est pas propice pour réinsérer professionnellement les personnes de plus de 55 ans, mais qu'il ne perd pas espoir d'offrir ses services à un nouvel employeur.
Par cette argumentation, le recourant ne discute pas les motifs de l'arrêt attaqué et n'entreprend aucunement de démontrer que la cour cantonale aurait établi les faits de manière manifestement inexacte ou qu'elle aurait mal appliqué le droit. Son recours ne répond donc manifestement pas aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF.
3.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 LTF.
4.
Au regard des circonstances, il convient de renoncer exceptionnellement à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF). La requête d'assistance judiciaire, portant sur la gratuité de la procédure, est ainsi sans objet.
Par ces motifs, le Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 2 mars 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique : Abrecht
La Greffière : Elmiger-Necipoglu