Faits :
A.
Par jugement du 26 juillet 2019, le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a rejeté la demande formée par J.A._. Celle-ci tendait au paiement par B._ SA d'une somme qui, selon ses dernières conclusions, se montait à 52'188 fr. plus intérêts et 4'035 fr. à titre de frais et dépens pour la conciliation. Le Tribunal a également rejeté la demande reconventionnelle formée par la société défenderesse.
B.
Par arrêt du 12 juin 2020, la Cour d'appel civile du canton de Vaud a rejeté l'appel déposé par le demandeur.
C.
Par arrêt du 4 janvier 2021, le Tribunal fédéral a rejeté le recours interjeté par le demandeur.
D.
Le 8 mars 2021, le demandeur (ci-après également: le requérant) a formé une demande de révision de cet arrêt motivée par le fait que le Tribunal fédéral aurait omis certains faits importants (art. 121 let. d LTF). Il conclut à l'annulation de ce jugement et à ce qu'il soit statué à nouveau sur son recours du 28 juillet 2020.
Le 11 mai 2021, le requérant a déposé de nouvelles pièces.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer sur la demande.
Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 61 LTF, les arrêts du Tribunal fédéral entrent en force dès leur prononcé. Cela signifie qu'il n'existe pas de voie de recours ou d'opposition à leur encontre. Seule est envisageable une demande de révision pour les motifs énumérés aux art. 121 à 123 LTF. La demande de révision est soumise aux exigences de motivation découlant de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (arrêts F_14/25016 du 14 mars 2017 consid. 1.1; 2F_13/2014 du 14 août 2014 consid. 4; 2F_4/2014 du 20 mars 2014 consid. 2.1).
1.2. La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier (art. 121 let. d LTF). Fondée sur ce motif, elle doit être déposée dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète de l'arrêt (art. 124 al. 1 let. b LTF).
1.3. Ce motif de révision vise le cas où le Tribunal fédéral a statué en se fondant sur un état de fait incomplet ou en omettant de tenir compte de faits importants qui ressortent des pièces du dossier (FERRARI PIERRE, Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 17 ad art. 121 LTF). L'inadvertance implique une erreur et consiste soit à méconnaître soit à déformer un fait ou une pièce. Elle doit se rapporter au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à son appréciation juridique. Les faits doivent ressortir du dossier. L'inadvertance doit, en outre, porter sur un fait susceptible d'entraîner une décision différente, plus favorable à la partie requérante. Encore faut-il, pour que l'on puisse parler d'inadvertance, que le Tribunal fédéral ait pu prendre en considération le fait important dont on lui reproche de ne pas avoir tenu compte. Or, lorsqu'il connaît d'un recours, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que le recourant ne parvienne à lui démontrer qu'une constatation déterminante de l'autorité cantonale a été établie de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Dès lors, hormis ces exceptions, le Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours, ne peut pas revoir l'état de fait de la décision attaquée. Partant, lorsque l'une de ces exceptions n'a pas été invoquée dans la procédure de recours, il ne saurait se voir reprocher, dans la procédure de révision subséquente, de ne pas avoir rectifié par inadvertance une erreur affectant une constatation faite par les juges cantonaux (arrêt 4F_4/2015 du 2 avril 2015 consid. 2.1 et les précédents cités).
2.
Dans son arrêt 4A_406/2020 du 4 janvier 2021, le Tribunal fédéral s'est fondé exclusivement sur les faits établis par la cour cantonale. En effet, comme il l'a expliqué au consid. 2.2 de cet arrêt, le demandeur ne soulevait pas de grief recevable s'agissant de l'établissement des faits ou de l'appréciation des preuves. C'est dire que le requérant ne peut obtenir la révision de cet arrêt du Tribunal fédéral en brandissant des éléments de fait qui ne ressortent pas du jugement cantonal.
3.
3.1. Le requérant soutient tout d'abord que le témoignage du courtier H._ n'aurait pas été pris en compte correctement ni intégralement par le Tribunal fédéral.
3.1.1. Au chapitre des fissures que présente la villa du requérant, le Tribunal fédéral a évoqué le témoignage du courtier H._ dans le contexte suivant. Le jugement cantonal relevait que le prénommé avait indiqué lors de son audition qu'il n'était pas en mesure d'attester de l'état de la villa du demandeur après 2010, étant précisé que les travaux avaient commencé cinq ans plus tard, ce qui laissait suffisamment de temps pour que d'éventuelles fissures apparaissent (arrêt 4A_406/2020 du 4 janvier 2021 consid. 4.1). Le requérant soutient que ce témoin aurait également déclaré que, lors de la vente de la maison, celle-ci était en parfait état. Cette assertion est contredite par le jugement cantonal lequel souligne (p. 8) qu'entendu en qualité de témoin, le courtier H._ a indiqué que la maison était récente au moment de la vente, ce qui n'est pas identique.
3.1.2. Le requérant affirme ensuite que les déclarations de ce témoin sur le type de fissures susceptibles d'apparaître et leur origine probable ont été méconnues par le Tribunal fédéral.
Cela étant, à l'instar des juges cantonaux, le Tribunal fédéral n'a pas bâti son raisonnement sur les affirmations de ce témoin. Celui-ci n'a rien d'un expert indépendant. En outre, l'on ne sait même pas en quelle année la maison a été construite et quels travaux le requérant lui-même ou la personne précédemment propriétaire a pu entreprendre dans celle-ci. Ce n'est pas l'affirmation du requérant selon laquelle il n'aurait jamais fait " de gros travaux " qui suppléent à cette carence : rien de tel ne résulte du jugement cantonal qui fait foi.
3.1.3. Le requérant soutient que le témoin H._ n'aurait jamais dit que cinq années étaient suffisantes pour faire apparaître des fissures structurelles sans cause externe. Rien de tel ne figure toutefois dans l'arrêt du Tribunal fédéral.
Il n'y a donc pas là matière à révision.
3.2.
3.2.1. Le requérant estime que le Tribunal fédéral n'a pas tenu compte des relevés sismographiques qu'il a produits. L'état de fait serait donc, à l'en croire, incomplet. A tort car le Tribunal fédéral a fait mention des relevés du sismographe que ce soit dans la partie en faits de son arrêt (let. A.f., 2ème §) ou dans la partie en droit, au chapitre des immissions excessives (consid. 5.1).
3.2.2. Le requérant estime qu'un fait déterminant aurait été écarté par le Tribunal fédéral, à savoir la destruction en deux étapes de la maison voisine. Il poursuit: " En effet, les travaux du chantier (de l'intimé) se sont déroulés en trois étapes; il y a d'abord eu la destruction, elle-même subdivisée en deux étapes (destruction et agrandissement du fond de fouilles), puis la construction. La pose du sismographe n'a eu lieu qu'à la deuxième étape de la destruction, soit l'agrandissement du fond de fouille ce qui a pour conséquence que les chocs sont atténués. Pourtant, le seuil d'alarme a été dépassé à tout le moins une fois ". Il soutient que l'on " devait dès lors raisonnablement admettre que lors de la première étape de démolition, soit la destruction à proprement parler de la villa du chantier, c'est-à-dire le fractionnement sur place de la villa, les chocs aient été notablement plus élevés selon l'expérience courante et ont par conséquent provoqué les fissures à l'intérieur de la villa, aucune autre thèse n'ayant pu être avancée pour expliquer d'autres causes possibles. ". Il a déjà été répondu à cet argument - bâti sur l'hypothèse que le sismographe aurait été posé " après les gros travaux " - au consid. 5.1 de l'arrêt du Tribunal fédéral. C'est dire que le fait sur lequel le requérant fonde sa demande de révision n'est pas déterminant.
3.3.
3.3.1. Le requérant soutient que le Tribunal fédéral a méconnu le fait que la villa voisine qui a été démolie contenait de l'amiante. Tel n'est pas le cas puisqu'une pleine page est consacrée en faits à la problématique du désamiantage de cette villa.
3.3.2. Autre est la question de savoir si la poussière dégagée par le chantier et dont le requérant s'est plaint au titre d'immissions excessives a contenu de l'amiante, comme il l'affirme. La cour cantonale a constaté souverainement que rien ne permettait de le retenir. Le requérant reproche au Tribunal fédéral de s'être fondé sur les faits retenus à cet égard par la cour cantonale. Toutefois, il ne pouvait en être autrement puisque, comme déjà souligné dans l'arrêt du 4 janvier 2021 et au consid. 2 supra, le requérant n'avait pas soulevé de grief recevable sur ce point.
3.3.3. Le requérant prétend que M. L._ de l'entreprise F._ ne s'est à aucun moment rendu sur le chantier et ne l'aurait donc pas supervisé. Il se serait fondé sur les dires des employés d'une société de maçonnerie qui aurait procédé au désamiantage sans respecter les normes, à savoir un désamiantage hydraulique. Le Tribunal fédéral aurait dû, à son sens, tenir compte des déclarations de M. I._ à cet égard. Il s'agit toutefois de pures assertions lesquelles s'inscrivent en faux contre le jugement cantonal qui, à nouveau, fait foi. Il n'y a pas là motif à révision de l'arrêt du Tribunal fédéral.
3.3.4. Finalement, le Tribunal fédéral aurait dû, selon le requérant, constater qu'avant l'intervention de la SUVA, la destruction de la maison voisine avait déjà commencé, sans que les mesures de protection n'aient été prises et sans qu'une entreprise spécialisée n'ait été mandatée.
Le jugement cantonal a retenu, en faits, en se référant au premier jugement, qu'il ressortait du rapport de F._ que la maison préexistante au chantier de l'intimée contenait de l'amiante, que les travaux avaient été interrompus le 4 novembre 2015 par la Municipalité, mais que cette interruption n'avait duré qu'une douzaine de jours et que la reprise avait été ordonnée aussitôt que l'entreprise générale C._ SA avait pu faire part à la SUVA des mesures qui avaient été, respectivement seraient prises pour désamianter la maison préexistante. Les travaux de désamiantage avaient ainsi repris et un rapport du 23 novembre 2015 attestant que tout avait été assaini avait été délivré par F._. Par ailleurs comme l'indiquait la Municipalité de... dans son courrier du 13 novembre 2015, le désamiantage ne présentait pas de danger en l'espèce. Le Tribunal fédéral pouvait dès lors légitimement se fonder sur ces éléments. Rien dans ceux-ci n'accrédite la thèse soutenue par le requérant. Sur ce point également, aucun motif n'ouvre la voie à une révision de l'arrêt du 4 janvier 2021.
4.
Partant, la demande de révision doit être rejetée, dans la mesure où elle est recevable. Le requérant supportera les frais liés à la procédure de révision (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas dû de dépens en faveur de l'intimée qui n'a pas été invitée à déposer de réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée, dans la mesure où elle est recevable.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 2'500 fr. sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Botteron