Erwägungen:
1.
Am 4. Januar 2018 teilte das Betreibungsamt Zürich 2 dem A._ mit, dem von ihm gestellten Betreibungsbegehren (Tagebuch xxx) könne einstweilen nicht entsprochen werden. Es setzte ihm Nachfrist zur Ergänzung des Betreibungsbegehrens hinsichtlich der Gläubigerdaten.
Dagegen erhob B._ im Namen des A._ am 14. Januar 2018 Beschwerde an das Bezirksgericht Zürich. Am 24. Januar 2018 setzte das Bezirksgericht dem A._ Frist, um die Beschwerde mit Originalunterschrift einzureichen, seine Rechts-, Partei-, Beschwerde- und Postulationsfähigkeit nachzuweisen, seine Adresse bekannt zu geben und die Zeichnungsberechtigung des Unterzeichners zu belegen. Nachdem der A._ dem nicht nachgekommen war, schrieb das Bezirksgericht das Verfahren mit Zirkulationsbeschluss vom 1. März 2018 ab. Dieser Beschluss wurde dem A._ am 6. März 2018 zugestellt. Am 16. März 2018 wandte sich B._ im Namen des A._ an das Bezirksgericht. Am 20. März 2018 retournierte das Bezirksgericht ihm diese Eingabe mit dem Hinweis, das Verfahren sei mit dem Zirkulationsbeschluss vom 1. März 2018 abgeschlossen worden und eine allfällige Beschwerde sei beim Obergericht des Kantons Zürich einzureichen.
Mit als "Strafantrag" bezeichneter Eingabe vom 11. Mai 2018 gelangte B._ im Namen des A._ an das Obergericht. Er verlangte, das eingereichte Betreibungsbegehren entgegenzunehmen und den Zahlungsbefehl auszustellen. Zudem seien die Verantwortlichen wegen Beweismittelunterdrückung strafrechtlich zur Verantwortung zu ziehen. Mit Beschluss vom 25. Mai 2018 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. Die Beschwerdefrist gegen den Zirkulationsbeschluss vom 1. März 2018 habe am 16. März 2018 geendet, womit die Beschwerde vom 11. Mai 2018 verspätet sei. Für die Entgegennahme oder Weiterleitung von Strafanzeigen sei das Obergericht sodann nicht zuständig und ein konkreter, anzufechtender Entscheid einer Strafbehörde werde nicht bezeichnet, womit die Eingabe auch nicht an eine Strafkammer weiterzuleiten sei.
Am 15. Juni 2018 hat der A._ (Beschwerdeführer), vertreten durch B._, dem Bundesgericht "Beschwerde/Strafantrag" eingereicht. Er verlangt, das eingereichte Betreibungsbegehren entgegenzunehmen und den Zahlungsbefehl auszustellen. Am 18. Juni 2018 und am 25. Juni 2018 hat der Beschwerdeführer die Beschwerde ergänzt bzw. eine verbesserte Fassung eingereicht.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Soweit die Eingabe des Beschwerdeführers gegen den Beschluss des Obergerichts vom 25. Mai 2018 gerichtet ist, ist sie als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c, Art. 75, Art. 90 BGG). Die zehntägige Beschwerdefrist ist am 15. Juni 2018 abgelaufen (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG). Nicht einzugehen ist auf die danach eingereichten Ergänzungen bzw. Verbesserungen der Beschwerde.
Der Beschwerdeführer wendet sich in seiner Eingabe ausserdem gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 22. Mai 2018 hinsichtlich einer Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen das Bezirksgericht Zürich und das Betreibungsamt Zürich 2. Dem Beschwerdeführer ist aus der dem vorliegenden Verfahren vorangegangenen Korrespondenz (Schreiben des Bundesgerichts vom 23. April 2018) bekannt, dass das Bundesgericht grundsätzlich nur Beschwerden gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (z.B. Obergericht des Kantons Zürich) behandelt. Die Rechtsmittelbelehrung der Nichtanhandnahmeverfügung hält sodann unmissverständlich fest, dass eine Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich zu richten ist. Hinsichtlich der Nichtanhandnahmeverfügung ist demnach am Bundesgericht weder ein Verfahren zu eröffnen noch besteht Anlass, die Eingabe an die zuständige Instanz zur allfälligen Behandlung als Beschwerde weiterzuleiten (vgl. BGE 140 III 636E. 3.5 S. 641 f.).
2.2. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.; 140 III 115 E. 2 S. 116).
3.
Der Beschwerdeführer schildert, weshalb das Betreibungsamt die Betreibungsbegehren hätte an die Hand nehmen müssen, und er kritisiert das Vorgehen des Bezirksgerichts. Mit diesen Themen (Gläubigerangaben auf dem Betreibungsbegehren, Rechts- und Parteifähigkeit etc. des Beschwerdeführers, Adresse, Unterschriftsberechtigung) hat sich das Obergericht jedoch gar nicht befasst, da es die Beschwerde als verspätet beurteilt hat. Vor Bundesgericht müsste der Beschwerdeführer demnach darlegen, inwiefern das Obergericht bei dieser Beurteilung Recht verletzt hat, d.h. inwiefern die kantonale Beschwerde an das Obergericht rechtzeitig erhoben worden sein soll. Wenn der Beschwerdeführer stattdessen kritisiert, dass sich das Obergericht nicht mit dem von ihm angeblich erbrachten Beweis der Rechtsgültigkeit der Betreibungsbegehren befasst habe, so geht dies am Verfahrensthema vorbei. Sofern die obergerichtliche Beurteilung zutrifft, dass die kantonale Beschwerde verspätet eingereicht wurde, musste sich das Obergericht nämlich nicht mit diesem Thema befassen. Auf die Frage der Rechtzeitigkeit der kantonalen Beschwerde geht der Beschwerdeführer jedoch nicht ein. Insbesondere macht er nicht geltend, seine Beschwerde vom 11. Mai 2018 sei rechtzeitig gewesen. Am Rande erwähnt der Beschwerdeführer zwar seine Eingabe vom 16. März 2018 an das Bezirksgericht. Er leitet daraus jedoch nichts Konkretes ab. Insbesondere macht er nicht geltend, diese Eingabe vom 16. März 2018 sei als Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Bezirksgerichts vom 1. März 2018 gedacht gewesen und hätte vom Bezirksgericht an das Obergericht weitergeleitet werden müssen. Ebenso wenig macht er geltend, dass das Obergericht die in den Akten liegende Eingabe vom 16. März 2018 hätte als Beschwerde behandeln müssen.
Die Beschwerde enthält demnach keine Auseinandersetzung mit den obergerichtlichen Erwägungen. Dies genügt den Begründungsanforderungen für eine Beschwerde an das Bundesgericht nicht (oben E. 2.2). Auf die Beschwerde kann folglich nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Partei- bzw. Umtriebsentschädigung kommt dementsprechend nicht in Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich II. Zivilkammer als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg