Considérant en fait et en droit :
1.
Par arrêt du 29 juillet 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 30 avril 2020 par laquelle le Ministère public genevois a refusé d'entrer en matière sur la plainte déposée par la précitée le 27 mars 2020 contre B._, curatrice de sa fille.
En résumé, la cour cantonale a estimé que le ministère public n'avait pas violé le droit d'être entendue de la recourante, ni commis de déni de justice, dès lors qu'il n'avait pas à informer les parties, ni l'obligation de leur fixer un délai pour présenter d'éventuelles réquisitions de preuve, avant de rendre une ordonnance de non-entrée en matière. Pour le surplus, elle a estimé que les éléments constitutifs des infractions de violation du devoir d'assistance et d'éducation, d'abus de pouvoir, de calomnie et d'extorsion n'étaient pas réalisés.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 29 juillet 2020. En substance, elle conclut, avec suite de frais et dépens, à son annulation et à celle de la " décision de refus sur le déni de justice et sur la récusation du Premier procureur du Ministère public de Genève ", à ce qu'ordre soit donné au Ministère public genevois de reprendre l'instruction par un autre procureur, en particulier de procéder à l'audition de différentes personnes et à diverses mesures d'instruction qu'elle énumère. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert, par ailleurs, l'octroi de l'assistance judiciaire et la désignation de " Me C._ ou Me D._ " en qualité d'avocat d'office.
2.
2.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO.
En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. art. 119 al. 2 let. b CPP), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. art. 320 al. 3 CPP). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (ATF 141 IV 1 consid. 1.1 p. 4). Les mêmes exigences sont requises à l'égard de celui qui se plaint d'infractions attentatoires à l'honneur (parmi d'autres: arrêts 6B_682/2020 du 2 juillet 2020 consid. 2.1; 6B_709/2020 du 18 juin 2020 consid. 2.1; 6B_17/2020 du 7 avril 2020 consid. 1.1).
Lorsque la partie plaignante se plaint d'infractions distinctes, elle doit mentionner, par rapport à chacune d'elles, en quoi consiste son dommage (parmi d'autres: arrêts 6B_682/2020 précité consid. 2.1; 6B_624/2020 du 9 juin 2020 consid. 2.2; 6B_129/2020 du 18 mai 2020 consid. 1.1).
Indépendamment des conditions posées par l'art. 81 al. 1 LTF, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (cf. ATF 141 IV 1 consid. 1.1 p. 5).
2.2. Conformément à l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire de recours doit être motivé. Les motifs doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 88 ss et 115 consid. 2 p. 116 s.). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 142 III 364 consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
2.3. La recourante ne se détermine nullement sur un éventuel tort moral ou dommage, ni sur leur principe, ni sur leur quotité, la simple affirmation que sa fille et elle auraient subi un tort moral et des atteintes à la personne depuis sa séparation d'avec le père de sa fille étant insuffisante. Aucune prétention civile n'est de surcroît susceptible d'être émise contre la curatrice (cf. art. 454 al. 3 CC). L'absence d'explications sur la question des prétentions civiles exclut la qualité pour recourir de la recourante sur le fond de la cause.
La recourante prétend à une violation de son droit d'être entendue et à la commission d'un déni de justice. Elle ne consacre toutefois aucune motivation à cette critique qui permettrait de comprendre en quoi tel serait le cas. En outre, dans la mesure où ces principes sont invoqués en lien avec le fait que la recourante reproche à la cour cantonale de ne pas avoir donné suite à ses réquisitions de preuve, ses développements ne visent qu'à démontrer en quoi ces mesures seraient nécessaires afin d'établir ses accusations. Elle ne fait ainsi valoir aucun moyen qui peut être séparé du fond et ses griefs ne sauraient non plus fonder sa qualité pour recourir.
3.
La recourante semble se plaindre du refus de la désignation d'un avocat d'office dans le cadre de la procédure cantonale. Le refus de la cour cantonale d'octroyer l'assistance judiciaire se fonde sur l'absence de chance de succès de la cause. La recourante ne s'en prend pas à cette motivation. En particulier, elle n'expose pas en quoi la cour cantonale aurait violé le droit en estimant que son recours était dénué de chance de succès et ne formule donc pas de grief répondant aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF.
4.
La recourante émet différentes critiques quant au comportement du Premier procureur E._, de la Juge F._ et du Juge G._. On ignore si l'un ou l'autre de ces magistrats a été en charge du dossier en cause, cela ne ressortant ni de l'arrêt attaqué, ni des écritures de la recourante. Quoi qu'il en soit, l'art. 58 al. 1 CPP impose à la partie qui entend demander la récusation de présenter sa demande sans délai, dès qu'elle a connaissance du motif. Pour autant que les critiques de la recourante doivent être comprises comme une demande de récusation des magistrats précités, elle l'invoque pour la première fois devant le Tribunal fédéral. A tout le moins, ne prétend-elle pas l'avoir invoqué précédemment dans le dossier en cause, sans qu'il ne soit statué à cet égard. Outre que son grief est tardif et contraire au principe de la bonne foi en procédure (cf. ATF 140 I 271 consid. 8.4.3 p. 275; 138 I 1 consid. 2.2. p. 4), partant irrecevable, il est également irrecevable faute d'épuisement des instances cantonales (art. 80 al. 1 LTF).
5.
La recourante requiert la désignation d'un avocat. En application de l'art. 41 al. 1 LTF, l'attribution d'un avocat par le Tribunal fédéral suppose une incapacité totale de la partie de procéder elle-même, le principe étant qu'elle est tenue de veiller elle-même à ce que son écriture réponde aux exigences légales de motivation (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF) et de mandater, au besoin, un avocat de son choix qui sollicitera l'octroi de l'assistance judiciaire (cf. arrêts 6B_1204/2019 du 14 novembre 2019 consid. 3; 6B_983/2019 du 5 novembre 2019 consid. 3; 6B_13/2015 du 11 février 2015 consid. 3 et les références citées). En l'espèce, la recourante ne paraît pas manifestement incapable de procéder au vu de ses écritures, si bien qu'il n'y a pas lieu de lui attribuer un défenseur au titre de l'art. 41 al. 1 LTF. En outre, la désignation d'un avocat d'office au sens de l'art. 64 al. 2 LTF suppose la réalisation de deux conditions cumulatives, soit l'impécuniosité du requérant et que le recours ne soit pas dénué de chances de succès (cf. arrêts 6B_1204/2019 précité consid. 3; 6B_13/2015 précité consid. 3 et les références citées). Au vu du sort du recours, cette seconde condition n'est pas réalisée et il y a lieu de rejeter la demande de désignation d'un avocat et d'assistance judiciaire de la recourante.
6.
Faute de satisfaire aux conditions de recevabilité d'un recours en matière pénale au Tribunal fédéral (art. 42 al. 1 et 2 et 106 al. 2 LTF), le recours doit être écarté en application de l'art. 108 al. 1 let. a et b LTF. La recourante, qui succombe, supporte les frais judiciaires, qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable (cf. art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Président prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 2 novembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Livet