Faits :
A.
A._, née en 1971, a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 20 juillet 2017. Elle arguait souffrir de différents troubles somatiques et psychiques. Elle indiquait en outre appartenir à la communauté des gens du voyage et être femme au foyer.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis des médecins traitants, les docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale (cf. rapports des 21 décembre 2017 et 23 juillet 2018), et C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (cf. rapports des 2 février et 30 août 2018). La doctoresse D._, médecin du Service médical régional de l'office AI (SMR), a déduit de ces avis que l'assurée présentait essentiellement un trouble dépressif récurrent (épisode moyen), ainsi que des cervicobrachialgies et des lombosciatalgies permettant l'exercice d'une activité adaptée à mi-temps dès le 1er janvier 2017 (rapport du 15 octobre 2018). L'administration a aussi réalisé une enquête ménagère, qui a mis en évidence un taux d'empêchement dans l'accomplissement des travaux domestiques de 10 % (rapport du 17 décembre 2018).
Considérant que l'assurée consacrait l'entier de son temps aux tâches ménagères, l'office AI a rejeté sa demande de prestations sur la base du rapport d'enquête à domicile (décision du 4 mars 2019).
B.
L'intéressée a saisi la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève d'un recours. Avec son écriture, elle a notamment produit une carte de légitimation pour commerçants itinérants valable du 2 août 2016 au 1er août 2017. Les parties ont été auditionnées le 30 septembre 2019.
Le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision du 4 mars 2019 et reconnu le droit de A._ à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2018 (arrêt du 2 juin 2020).
C.
Agissant par la voie d'un recours en matière de droit public, l'office AI requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et conclut, principalement, à la confirmation de sa décision du 4 mars 2019 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle en complète l'instruction et rende une nouvelle décision.
L'assurée conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) conclut à son admission. L'intéressée s'est exprimée sur la détermination de l'OFAS.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit de l'intimée à une demi-rente de l'assurance-invalidité depuis le 1er janvier 2018. Compte tenu des motifs et des conclusions du recours, il s'agit avant tout de déterminer quel est le statut de l'assurée, les premiers juges ayant retenu le statut de personne active à 100 % alors que l'office recourant s'est fondé sur un statut de personne sans aucune activité lucrative.
Les parties ne contestent pas que l'intimée dispose d'une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée, y compris l'activité habituelle, dès le 1er janvier 2017, de sorte que cette question n'est pas litigieuse.
3.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du cas, notamment celles concernant la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI) et son évaluation selon les diverses méthodes (ordinaire, spécifique ou mixte) applicables au regard du statut de la personne assurée (active, ménagère ou mixte; art. 28a LAI et 27bis RAI; ATF 141 V 15 consid. 3.1; 137 V 334 consid. 3.2; 125 V 126 consid. 2c), l'échelonnement des rentes selon le degré d'invalidité (art. 28 al. 2 LAI), la naissance du droit à la rente (art. 29 al. 1 LAI), ainsi que la valeur probante des rapports d'enquête économique sur le ménage (ATF 130 V 97; 128 V 93) et l'aide exigible des membres de la famille dans la réalisation des tâches ménagères (ATF 133 V 504 consid. 4.2). Il cite encore la jurisprudence relative au rôle des médecins (ATF 125 V 256 consid. 4), au principe de libre appréciation des preuves, à la valeur probante des rapports médicaux, y compris ceux émanant des services médicaux régionaux de l'administration ou des médecins traitants (ATF 143 V 124 consid. 2.2.2; 142 V 58 consid. 134 V 231 consid. 5.1; 125 V 351 consid. 3) et au degré de vraisemblance auquel les faits doivent être établis dans le domaine des assurances sociales (ATF 126 V 253 consid. 5b), ainsi qu'au principe inquisitoire (ATF 137 V 210 consid. 4.4.1.3 et 4.4.1.4; 117 V 282 consid. 4c). Il suffit donc d'y renvoyer.
4.
Examinant la question du statut de l'intimée, le tribunal cantonal a constaté qu'elle n'avait fait l'objet d'aucune investigation de la part de l'office recourant, hormis la production d'une note succincte établie le 3 octobre 2018 (indiquant que l'assurée n'avait jamais travaillé en Suisse), ainsi que de l'extrait du compte individuel AVS (mentionnant des cotisations en tant que personne sans activité lucrative).
La juridiction cantonale a toutefois considéré que le dossier permettait de conclure au degré de la vraisemblance prépondérante à un statut de personne active. Elle a relevé à cet égard que les travaux de vannerie et d'aiguisage ainsi que le porte à porte évoqués dans le rapport d'enquête économique sur le ménage ressortaient également des déclarations faites par l'assurée lors de l'audience de comparution personnelle des parties et étaient corroborées par la carte de légitimation pour commerçants itinérants produite en cours d'instance. Elle a en outre constaté que les médecins traitants avaient indiqué que leur patiente faisait du porte à porte ou avait toujours travaillé dans le cadre de sa communauté. Elle a considéré que le fait que l'intimée se qualifiait elle-même de femme au foyer dans sa demande de prestations n'était pas déterminant dans la mesure où les activités professionnelles pratiquées par celle-ci étaient parfois assimilées à des activités ménagères. Elle a relevé cette ambiguïté dans le rapport de la doctoresse B._ ou de l'enquêtrice de l'administration qui évoquaient simultanément l'activité de ménagère ou l'absence d'activité lucrative et les travaux de vannerie, d'aiguisage et de porte à porte. Elle a ajouté que l'exercice d'une activité lucrative était d'autant plus plausible que, selon la jurisprudence (ATF 138 I 205), les gens du voyage travaillaient traditionnellement dans les domaines de la récupération, du commerce forain et de l'artisanat ambulant.
Considérant que l'assurée avait le statut d'une personne active à 100 %, les premiers juges lui ont reconnu le droit à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2018 dès lors qu'elle disposait d'une capacité résiduelle de travail de 50 % dans toute activité adaptée, y compris l'activité habituelle.
5.
5.1. L'office recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir apprécié les preuves de façon arbitraire. Il soutient en substance que les conclusions de l'autorité précédente reposent essentiellement sur les déclarations de l'intimée et que les éléments objectifs (tels que la carte de légitimation pour commerçants itinérants, l'extrait du compte individuel AVS ou les revenus annoncés en cours de procédure mais non déclarés officiellement) ne permettaient pas de conclure à un statut d'active à 100 %. Il relève en outre que l'assurée n'a pas contesté son statut durant la procédure administrative et a revendiqué l'application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité durant la procédure cantonale de recours. Il souligne enfin que l'allusion à l'ATF 138 I 205 n'est pas pertinente dans la mesure où la question litigieuse à trancher y était différente.
5.2. L'OFAS renvoie aux arguments avancés par l'administration dans son recours. Il précise que, vu les explications données par l'intimée lors de l'enquête ménagère à propos des nombreuses tâches qu'elle effectuait avant d'être atteinte dans sa santé, on pouvait retenir que celle-ci consacrait l'essentiel de son temps aux travaux habituels et exerçait très occasionnellement une activité lucrative ne permettant pas d'atteindre le revenu minimum pour être considérée comme une personne salariée ou de condition indépendante. Il rappelle aussi que l'assurée, soumise aux mêmes devoirs que la population sédentaire, en particulier envers les autorités compétentes pour la perception des impôts ou des cotisations sociales, était enregistrée comme personne sans activité lucrative depuis son arrivée en Suisse.
5.3. L'intimée se rallie aux considérations des premiers juges.
6.
6.1. Il ressort des éléments de fait constatés par le tribunal cantonal que les déclarations de l'assurée à propos de ses activités ont évolué au cours du temps. Dans sa demande de prestations, l'intimée a d'abord indiqué sous la rubrique "5.5 Activités non lucratives" être femme au foyer depuis 1994 et sous la rubrique "5.4 Personnes exerçant une activité lucrative ou accessoire" appartenir à la communauté des gens du voyage sans en retirer des revenus. Elle a en outre annoncé sous la rubrique "4.1 Domicile et activité lucrative" n'avoir jamais travaillé avant son arrivée en Suisse à l'époque de son mariage, célébré le 12 juin 1998. Par la suite, elle a signalé à la doctoresse B._ qu'elle était femme au foyer et faisait du porte à porte, au docteur C._ qu'elle avait toujours travaillé dans le cadre de sa communauté et à l'enquêtrice de l'administration qu'elle n'avait jamais eu d'activité lucrative mais qu'elle avait effectué des travaux de vannerie, d'aiguisage et du porte à porte pour un revenu allant de 120 à 150 fr. par jour. Plus tard encore, lors de l'audience de comparution personnelle des parties, elle a réaffirmé n'avoir jamais travaillé à l'étranger ou en Suisse en tant que salariée mais avoir fait du porte à porte afin d'aiguiser des couteaux et de vendre des paniers et des balais pour un revenu quotidien allant de 50 à 400 fr.
6.2. Ces déclarations successives sont ambiguës. Dans un premier temps, l'assurée semble affirmer se consacrer exclusivement à l'entretien de son ménage mais, dans un second temps, revenir sur son affirmation en prétendant avoir toujours exercé des activités pour un revenu dont le montant, approximatif, a évolué au fil de ses déclarations.
Quoi qu'il en soit, ces déclarations ne permettent pas à elles seules de trancher la question du statut de l'assurée dans le sens retenu par la juridiction cantonale dans son arrêt du 2 juin 2020 (statut de personne active à 100 %) ou celui retenu par l'office recourant dans sa décision du 4 mars 2019 (statut de ménagère à 100 %). On ne saurait toutefois affirmer que les premières déclarations de l'assurée (interprétées dans le sens où elle se consacrerait exclusivement à l'accomplissement de tâches ménagères) représentent une version plus exacte des faits - exempte de réflexions concernant leurs possibles conséquences juridiques (au sujet des déclarations de la première heure, cf. ATF 121 V 45 consid. 2a) - que les secondes (interprétées dans le sens où elle se consacrerait également à l'exercice d'une activité lucrative). En effet, ces deux versions ont été énoncées avant le prononcé du projet de décision du 8 janvier 2019, qui correspond concrètement au moment où le statut de ménagère à 100 % a été fixé et où les conséquences de ce statut sur le droit aux prestations ont été communiquées à l'assurée.
Ces déclarations rendent en revanche plus vraisemblable l'existence d'une personne qui consacre son temps à des travaux ménagers et exerce aussi une activité à caractère lucratif, ce que corrobore le fait que, dans son recours contre la décision administrative litigieuse, l'intimée revendiquait l'application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité. De plus, l'assurée a produit en procédure cantonale une carte de légitimation pour commerçants itinérants valable du 2 août 2016 au 1er août 2017 délivrée par le Service du commerce de la République et canton de Genève (décision du 28 juillet 2016). Contrairement à ce que suggère l'office recourant, cette carte de légitimation rend vraisemblable l'exercice des activités décrites par l'intimée durant l'année pour laquelle elle a été délivrée, même si elle ne permet pas de déterminer le taux auquel ces activités ont été exercées.
6.3. On ne saurait en revanche suivre les premiers juges en ce qui concerne le statut de personne active à 100 %, qu'ils ont retenu de manière arbitraire en se fondant sur les seules déclarations de l'intimée et de son mari lors de leur audition en instance cantonale. Ceux-ci ont indiqué que l'assurée avait travaillé "tous les jours" depuis 2010 et qu'"il s'agissait d'un travail sur toute la journée" qu'elle aurait continué à effectuer sans atteinte à la santé. Ces propos entrent cependant en contradiction avec les déclarations antérieures de l'intimée qui, jusque-là, avait mentionné l'activité au sein de sa communauté accessoirement à celle de femme au foyer, que ce soit au moment où elle a présenté sa demande de prestations, sans indiquer obtenir de revenu, ou au moment de s'entretenir avec l'enquêtrice, lorsqu'elle a mentionné effectuer un travail pour la communauté gitane tout en décrivant les tâches ménagères dont elle s'occupait avant l'atteinte à la santé.
6.4. Il reste à déterminer le taux auquel les travaux de vannerie et d'aiguisage ont été pratiqués. La carte de légitimation produite en instance cantonale ne fournit aucun renseignement à cet égard. On ne peut pas davantage inférer la répartition entre activités ménagères et activités lucratives des déclarations de l'intimée ou de son mari, selon lesquelles celle-ci avait travaillé tous les jours depuis 2010 et réalisé un revenu de 120 à 150 fr. ou de 50 à 400 fr. par jour. Outre le fait que ces déclarations sont contradictoires en ce qui concerne les montants indiqués à titre de revenus, elles ne sont corroborées par aucune inscription au compte individuel AVS de l'assurée. Depuis 1998, celle-ci est inscrite à titre de personne sans activité lucrative, aucun changement n'ayant manifestement été annoncé à partir de l'année 2010. Or, s'il peut être tenu compte en matière d'assurances sociales de revenus provenant d'activités aussi bien licites qu'illicites, en particulier d'un "travail au noir" (cf. p. ex. arrêts 8C_676/2007 du 11 mars 2008 consid. 3.3.4; I 402/91 du 3 juin 1992 consid. 3b et les références), encore faut-il que des indices concrets en attestent l'existence. Tel n'est pas le cas en l'occurrence. L'intimée n'a pas fourni le moindre élément objectif, comme des pièces comptables, de simples quittances de paiement ou même des décisions de taxation fiscale, susceptible de confirmer ses déclarations. Il est par ailleurs inutile d'en faire demander la production dès lors que pour prouver l'exercice de l'activité lucrative, elle s'est limitée en instance cantonale à fournir la décision du Service du commerce genevois du 28 juillet 2016, et que le mari de l'assurée a admis qu'il "[était] difficile [pour le couple] d'être en règle avec les affaires administratives".
Une instruction complémentaire à cet égard est d'autant moins nécessaire que l'application au cas particulier de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité, au sens de l'art. 27bis RAI, ne permettrait de toute évidence pas d'ouvrir le droit de l'intimée à une rente. En effet, compte tenu du taux d'empêchement dans l'accomplissement des activités habituelles, qui a été fixé à 10 % à l'occasion de l'enquête économique sur le ménage, dont la valeur probante n'a pas été contestée en instance fédérale, et du taux d'incapacité de travail de 50 % (cf. consid. 2 supra), il faudrait que l'assurée soit considérée comme une personne active à 75 % au minimum pour qu'elle ait droit à un quart de rente d'invalidité (une capacité résiduelle de travail de 50 % dans l'activité habituelle engendre une perte de gain et un taux d'invalidité de 37,5 % pour une personne active à 75 % et un taux d'empêchement de 10 % pour une ménagère à 25 % entraîne un taux d'invalidité de 2,5 %, de sorte que les deux taux cumulés donnent un taux global d'invalidité de 40 %). Or, ainsi que le soutient l'OFAS, il est vraisemblable que l'intimée a travaillé avec un taux d'occupation peu élevé - en tout cas inférieur à 75 % - si on tient compte de la description de ses activités ménagères avant l'atteinte à la santé lors de l'enquête à domicile et du fait qu'elle n'a jamais jugé utile de déclarer les revenus de son activité lucrative à la caisse de compensation AVS.
6.5. Dans ces circonstances, il convient d'annuler l'arrêt cantonal et de confirmer la décision administrative du 4 mars 2019 dans son résultat.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 2 juin 2020 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 4 mars 2019 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton