Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 27. September 2021 erhob A._ Stimmrechtsbeschwerde im Zusammenhang mit der eidgenössischen Volksabstimmung vom 26. September 2021. Er machte dabei sinngemäss geltend, er habe die Abstimmungsunterlagen nie erhalten. Das Bundesgericht trat mit Urteil 1C_576/2021 vom 29. September 2021 auf die Beschwerde nicht ein und überwies sie zuständigkeitshalber an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Dieser trat mit Verfügung vom 14. Oktober 2021 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte der Regierungsrat zusammenfassend aus, dass die Stimmberechtigten die nötigen Unterlagen gemäss Art. 11 Abs. 3 des Bundesgesetzes über die politischen Rechte (BPR) mindestens drei und frühestens vier Wochen vor dem Abstimmungstag erhalten würden. Abstimmungsvorlage und Erläuterungen dürften auch früher abgegeben werden. Die Zustellung sei im Kanton Zürich innerhalb der gesetzlichen Frist erfolgt. Nach Treu und Glauben habe der Beschwerdeführer mehrere Tage oder gar Wochen vor dem Abstimmungstag Kenntnis vom Mangel gehabt. Seine Stimmrechtsbeschwerde sei deshalb verspätet erfolgt (Art. 77 Abs. 2 BPR).
2.
A._ führt mit Eingabe vom 18. Oktober 2021 (Postaufgabe 19. Oktober 2021) Beschwerde gegen die Verfügung des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 14. Oktober 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, dass der Regierungsrat seine Beschwerde in rechtswidriger Weise behandelt hätte. Er legt nicht im Einzelnen und verständlich dar, inwiefern die Begründung des Regierungsrats, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, bzw. die Verfügung des Regierungsrats selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen kann ausnahmsweise auf eine Kostenauflage verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Zürich und der Bundeskanzlei schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli