Sachverhalt:
A.
B._ reichte am 19. Januar 2017 Strafanzeige gegen A._ ein. Sie warf die Frage auf, ob sich A._ im Zusammenhang mit der Erlangung ihrer Unterschrift auf einer Grundbuchanmeldung zur Löschung der Vormerkung eines Rückkaufsrechts strafbar gemacht habe. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen eröffnete gestützt darauf am 15. Februar 2017 eine Strafuntersuchung unter anderem wegen Betrugs und eventuell Urkundenfälschung.
Am 13. Juni 2017 erhob A._ gegen B._ Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung und Ehrverletzung. Er bezog sich dabei auf ihre Äusserungen in der Strafanzeige vom 19. Januar 2017. Am 29. September 2017 erhob er eine weitere Strafanzeige wegen Ehrverletzung im Zusammenhang mit den Ausführungen von B._ in einer Eingabe an die kantonale Schlichtungsstelle für Mietsachen. In beiden Strafanzeigen erklärte er, sich als Straf- und Zivilkläger zu konstituieren, wobei die Konkretisierung des Schadens für das weitere Verfahren vorbehalten bleibe.
Die Staatsanwaltschaft eröffnete in der Folge eine Strafuntersuchung gegen B._ wegen falscher Anschuldigung und Verleumdung. Sie sistierte allerdings am 2. Februar 2018 die Untersuchung bis zur rechtskräftigen Erledigung des Strafverfahrens gegen A._.
Eine von A._ gegen die Sistierungsverfügung vom 2. Februar 2018 erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 18. Oktober 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 18. November 2019 beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sowie die Sistierungsverfügung der Staatsanwaltschaft seien aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, das Verfahren gegen B._ ohne Verzug anhand zu nehmen.
Die Beschwerdegegnerin und die Staatsanwaltschaft schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verweist in seiner Vernehmlassung auf seine Ausführungen im angefochtenen Entscheid. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen fest.
Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid bestätigt die Sistierung einer Strafuntersuchung. Dagegen ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach Art. 80 BGG zulässig. Der Beschwerdeführer weist auf die Gefahr der Verjährung der in seiner Strafanzeige geltend gemachten Straftatbestände und rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf einen Entscheid in angemessener Frist (Art. 29 Abs. 1 BV). Bestünde die ernsthafte Gefahr, dass dieser Anspruch verletzt werden könnte, läge darin ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG begründet und wäre damit von einem anfechtbaren Zwischenentscheid auszugehen (BGE 143 IV 175 E. 2.3 S. 177 f. mit Hinweisen). Wie es sich mit dieser Frage verhält, braucht jedoch nicht vertieft zu werden, da die Beschwerde aus den folgenden Erwägungen ohnehin unbegründet ist. Dasselbe gilt für die Frage, ob der Beschwerdeführer zur Begründung seines Beschwerderechts gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG in hinreichender Weise dargelegt hat, welche Zivilansprüche er gegen die beschuldigte Person stellen möchte (BGE 137 IV 219 E. 2.4 S. 222 f. mit Hinweisen).
1.2. Unzulässig ist der Antrag des Beschwerdeführers, auch die Sistierungsverfügung der Staatsanwaltschaft sei aufzuheben. Diese ist durch den Entscheid des Obergerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (BGE 136 II 539 E. 1.2 S. 543; 134 II 142 E. 1.4 S. 144; je mit Hinweis).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Sistierung der Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegnerin sei bundesrechtswidrig. Er weist in diesem Zusammenhang darauf hin, dass die Verfolgungsverjährungsfrist für Vergehen gegen die Ehre gemäss Art. 178 StGB vier Jahre betrage. Es sei nicht ersichtlich, weshalb die Staatsanwaltschaft die beiden Verfahren nicht gleichzeitig solle führen können.
2.2. Gemäss Art. 314 Abs. 1 lit. b StPO kann die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung sistieren, wenn der Ausgang des Strafverfahrens von einem anderen Verfahren abhängt und es angebracht erscheint, dessen Ausgang abzuwarten. Wie sich auch aus dem Passus "angebracht erscheint" ergibt, räumt die Bestimmung der Staatsanwaltschaft einen Ermessensspielraum ein. Die Sistierung des Strafverfahrens mit Blick auf ein anderes Verfahren rechtfertigt sich jedoch nur, wenn sich das Ergebnis jenes Verfahrens tatsächlich auf das Ergebnis des Strafverfahrens auswirken kann und wenn jenes Verfahren die Beweiswürdigung im Strafverfahren erheblich erleichtert. Zudem setzen der Anspruch auf Beurteilung in angemessener Frist bzw. das Beschleunigungsgebot (Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 5 StPO) der Sistierung des Strafverfahrens Grenzen. Sie hängt von einer Abwägung der Interessen ab und ist mit Zurückhaltung anzuordnen (zum Ganzen: Urteile 1B_238/2018 vom 5. September 2018 E. 2.1; 1B_21/2015 vom 1. Juli 2015 E. 2.1 f.; je mit Hinweisen).
2.3. Das Obergericht hält zu Recht fest, dass zwischen den beiden Strafverfahren ein enger Zusammenhang bestehe: Käme es zu einer Verurteilung des Beschwerdeführers, entfiele die Grundlage für die mit seiner Gegenanzeige geltend gemachte falsche Anschuldigung und Verleumdung. Vor diesem Hintergrund ist kaum denkbar, das Verfahren gegen die Beschwerdegegnerin vor demjenigen gegen den Beschwerdeführer abzuschliessen (vgl. STÉPHANE GRODECKI/PIERRE CORNU, in: Commentaire Romand, Code de procédure pénale suisse, 2. Aufl. 2019, N. 14a zu Art. 314 StPO).
Hinzu kommt, dass die Strafverfolgung für falsche Anschuldigung (Art. 303 StGB) erst nach 15 Jahren verjährt (Art. 97 Abs. 1 lit. b StGB) und dieser Tatbestand hier im Vordergrund steht. Er konsumiert die Ehrverletzungsdelikte, denn die Äusserung, jemand habe ein Verbrechen oder Vergehen begangen, ist zugleich auch ehrverletzend. Wenn der Täter nicht wider besseres Wissen handelt, dann ist weder der Tatbestand von Art. 303 StGB noch derjenige von Art. 174 StGB erfüllt und fällt, sofern der Täter immerhin mit Eventualvorsatz handelt, bloss eine Verurteilung wegen übler Nachrede im Sinne von Art. 173 StGB in Betracht (BGE 115 IV 1 E. 2a S. 3; Urteil 6S.263/1993 vom 14. Juli 1993 E. 3b mit Hinweisen). Der Tatbestand der üblen Nachrede sieht die Möglichkeit des Wahrheitsbeweises vor (Art. 173 Ziff. 2 StGB) und das Obergericht hält - wiederum zu Recht - fest, dass dieser Beweis mit der Verurteilung des Beschwerdeführers erbracht werden könnte.
Daraus ergibt sich, dass der Ausgang des Strafverfahrens gegen den Beschwerdeführer den Ausgang des Strafverfahrens gegen die Beschwerdegegnerin in jeder Hinsicht bedingt. Dies ist zusammengefasst darauf zurückzuführen, dass mit der am Beginn des zweiten Strafverfahrens stehenden Strafanzeige geltend gemacht wurde, die im ersten Strafverfahren erhobenen Vorwürfe seien unberechtigt. In dieser besonderen Situation erscheint eine Sistierung ohne Weiteres als angebracht. Würde das Verfahren gegen die Beschwerdegegnerin stattdessen weitergeführt, würde dies im Wesentlichen zu einer Untersuchung desselben Sachverhalts in zwei getrennten Verfahren führen, da im Verfahren gegen die Beschwerdegegnerin entscheidend ist, ob die strafrechtlichen Vorwürfe gegen den Beschwerdeführer zutreffen. Das Obergericht hat die Sistierung deshalb zu Recht als mit Art. 314 Abs. 1 lit. b StPO vereinbar erachtet.
Ist der Beschwerdeführer der Auffassung, das gegen ihn hängige Strafverfahren werde nicht mit der gebotenen Dringlichkeit vorangetrieben, hat er die Möglichkeit, in jenem Verfahren eine Verletzung des Beschleunigungsgebots (Art. 5 StPO) geltend zu machen.
3.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold