Erwägungen:
1.
1.1. A._ (Jahrgang 1970) stellte am 29. September 2017 bei der Gemeinde Wiesendangen ein Gesuch um Erteilung eines Waffenerwerbsscheins für ein Gewehr "Winchester", ein Gewehr "Winchester mit Prägung" sowie einen Revolver zu Sammlerzwecken und weil er "Wild-West-Fan" sei. Mit Hinweis darauf, dass über ihn diverse Einträge im Polizei-Informationssystem POLIS bestehen würden, wies der Gemeinderat Wiesendangen das Gesuch von A._ um Erteilung eines Waffenerwerbsscheins mit Verfügung vom 24. November 2017 ab. Das von A._ dagegen erhobene Rechtsmittel vom 28. Dezember 2017 wies das Statthalteramt des Bezirks Winterthur mit Verfügung vom 15. Oktober 2018 ab, soweit es darauf eintrat. Es wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und auferlegte ihm eine Gebühr von Fr. 757.30. Mit Urteil vom 22. August 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die von A._ gegen die Verfügung vom 15. Oktober 2018 erhobene Beschwerde ab. Zugleich wies es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und auferlegte A._ Kosten von Fr. 3'100.--.
1.2. A._ gelangt mit Eingabe vom 14. November 2019 an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 22. August 2019 sei aufzuheben und es sei der "abweichenden Meinung des Kammergerichts" zu folgen. Alsdann sei das Geschäft an den Statthalter zurückzuweisen und es sei alternativ ein Unbedenklichkeitsgutachten einzuholen oder der Waffenschein auszustellen. Für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtsvertretung und Verbeiständung zu erteilen. Unabhängig davon seien die für das vorinstanzliche Verfahren festgesetzten Gerichtskosten herabzusetzen.
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde und verzichtet im Übrigen auf eine Vernehmlassung. Der Gemeinderat Wiesendangen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer repliziert.
2.
2.1. Angefochten ist ein Endurteil eines oberen kantonalen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, in der die ordentliche Beschwerde an das Bundesgericht offen steht (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und mit seinen Anträgen unterlegen ist, ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung und Abänderung (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf das im Übrigen frist- und grundsätzlich formgerecht eingereichte Rechtsmittel (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) ist einzutreten.
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es aber nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 139 I 229 S. 232 E. 2.2, mit zahlreichen Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62). Die Bewertung der vorgelegten Beweismittel beschlägt die Frage der Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur unter dem eingeschränkten Gesichtspunkt der Willkür (Art. 9 BV) geprüft wird (statt vieler Urteile 9C_721/2015 vom 8. August 2016 E. 3.3; 8C_315/2016 vom 20. Juni 2016 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.4. Von Willkür in der Sachverhaltsfeststellung ist auszugehen, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder solche willkürlich ausser Acht gelassen hat (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 120 Ia 31 E. 4b S. 40). Die dem Bundesgericht durch Art. 105 Abs. 2 BGG eingeräumte Befugnis, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz zu berichtigen oder zu ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung von Art. 95 BGG beruht, entbindet den Beschwerdeführer nicht von seiner Rüge- und Substanziierungspflicht (BGE 133 IV 286 E. 6.2 S. 288). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG); rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375; 139 II 404 E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
3.
3.1. Wer eine Waffe oder einen wesentlichen Waffenbestandteil erwerben will, benötigt einen Waffenerwerbsschein (Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. Juni 1997 über Waffen, Waffenzubehör und Munition [Waffengesetz, WG; SR 514.54]). Keinen Waffenerwerbsschein erhalten nach Art. 8 Abs. 2 WG Personen, die
a) das 18. Altersjahr noch nicht vollendet haben;
b) unter umfassender Beistandschaft stehen oder durch eine vorsorgebeauftragte Person vertreten werden;
c) zur Annahme Anlass geben, dass sie sich selbst oder Dritte mit der Waffe gefährden;
d) wegen einer Handlung, die eine gewalttätige oder gemeingefährliche Gesinnung bekundet, oder wegen wiederholt begangener Verbrechen oder Vergehen im Strafregister eingetragen sind, solange der Eintrag nicht gelöscht ist.
Art. 8 Abs. 2 WG ist im Lichte von Art. 1 Abs. 1 WG auszulegen. Demnach hat das Waffengesetz entsprechend Art. 107 Abs. 1 BV zum Zweck, die missbräuchliche Verwendung von Waffen zu bekämpfen (vgl. Urteile 2C_15/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.4; 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_158/2011 vom 29. September 2011 E. 3.1). Personen, die Waffen besitzen wollen, müssen mit Blick auf die erhöhten Gefahren, die von diesen Gegenständen ausgehen, besonders zuverlässig sein (vgl. Urteile 2C_15/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.4; 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_1271/2012 vom 6. Mai 2013 E. 3.2; 2C_158/2011 vom 29. September 2011 E. 3.5; 2C_125/2009 vom 4. August 2009 E. 3.4). Das ist namentlich nicht der Fall bei Personen, die an einer psychischen oder geistigen Erkrankung leiden, alkoholabhängig sind oder suizidale Tendenzen aufweisen (vgl. Urteile 2C_15/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.4; 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_1163/2014 vom 18. Mai 2015 E. 3.3; 2C_469/2010 vom 11. Oktober 2010 E. 3.6). Ob Anlass zur Annahme einer Selbst- oder Drittgefährdung im Sinne von Art. 8 Abs. 2 lit. c WG besteht, ist entscheidend nach dem Verhalten der betroffenen Person insgesamt und unter Würdigung aller relevanter Umstände zu beurteilen (vgl. Urteile 2C_15/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.5; 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_1163/2014 vom 18. Mai 2015 E. 3.3; 2C_469/2010 vom 11. Oktober 2010 E. 3.6; 2A.546/2004 vom 4. Februar 2005 E. 3.1). Dabei hat die zuständige Behörde wie bei der Beschlagnahme und Einziehung gemäss Art. 31 Abs. 1 lit. b und Abs. 3 WG eine Prognose zum Risiko einer missbräuchlichen Verwendung der Waffe zu treffen (vgl. Urteile 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_15/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.5; 2C_1163/2014 vom 18. Mai 2015 E. 3.3; 2C_469/2010 vom 11. Oktober 2010 E. 3.6; 2A.546/2004 vom 4. Februar 2005 E. 3.2.2). Weil die Verweigerung eines Waffenerwerbsscheins gestützt auf Art. 8 Abs. 2 WG präventiven Charakter hat, sind an die von der ersuchenden Person ausgehenden Gefahren keine allzu hohen Anforderungen zu stellen. Gestützt auf konkrete Gegebenheiten muss jedoch eine sachlich begründbare, überwiegende Wahrscheinlichkeit für eine Selbst- oder Drittgefährdung unter Verwendung einer Waffe vorliegen (vgl. MICHAEL BOPP, in: Nicolas Facincani/Reto Sutter [Hrsg.], Kommentar Waffengesetz, 2017, N. 16 zu Art. 8 WG; Urteile 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.1; 2C_93/2007 vom 3. September 2007 E. 5.2).
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, der Beschwerdeführer sei weder im Strafregister noch in der den kantonalen Polizeibehörden zugänglichen Waffeninformationsplattform ARMADA verzeichnet. Unter diesen Umständen komme eine Verweigerung des beantragten Waffenerwerbsscheins gemäss Art. 8 Abs. 2 lit. d WG nicht in Frage; eine Verweigerung sei nur nach Art. 8 Abs. 2 lit. c WG in Verbindung mit Art. 52 Abs. 1 lit. c der Verordnung vom 2. Juli 2008 über Waffen, Waffenzubehör und Munition (Waffenverordnung, WV; SR 514.541) möglich. Die Vorinstanz hat in diesem Zusammenhang erwogen, aus den POLIS-Einträgen (Bestellungsbetrug im Jahr 2016, kein unterzeichneter Strafantrag; wiederholte Tätlichkeiten gegenüber seinen Söhnen im Jahr 2015, Einstellungsverfügung vom 30. September 2016; Familiendifferenzen zwischen vorpubertierendem Sohn und Ex-Eheleuten; Nötigung/Stalking [der Ex-Ehefrau] durch den getrenntlebenden Ehemann in den Jahren 2010 bis 2012, Einstellungsverfügung vom 20. November 2012) über den Beschwerdeführer könnten bei zutreffender Betrachtungsweise keine Rückschlüsse auf die missbräuchliche Verwendung einer Waffe gezogen werden. Für die Annahme einer narzisstischen Störung beim Beschwerdeführer bestehe keine substanzielle Grundlage.
3.2.2. Als für die Bewilligungsverweigerung massgeblich hat die Vorinstanz jedoch erachtet, dass der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Errichtung einer Beistandschaft über seine Kinder als Gefährder eingestuft und am 3. November 2017 als solcher von der Polizei angesprochen worden war. Als Gefährder gelten Personen, bei welchen Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie in absehbarer Zeit eine Gewalttat gegen Dritte begehen könnten oder bei denen von einer Eigengefährdung ausgegangen werden muss. Dabei stand beim Beschwerdeführer Gewalt gegen Behördenvertreter im Vordergrund, deren Wahrscheinlichkeit im Rahmen einer Risikoabschätzung näher zu untersuchen war. Die Vorinstanz bestätigte im angefochtenen Urteil den auf den forensischen Abklärungsbericht der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich vom 18. Dezember 2017 gezogenen Schluss des Statthalters, dass beim Beschwerdeführer mehr als nur ein vager Verdacht auf eine Drittgefährdung im Sinne von Art. 8 Abs. 2 lit. c WG bestehe.
3.3. Mit dieser für die Bewilligungsverweigerung zentralen Begründung der Vorinstanz - beim Beschwerdeführer bestehe gestützt auf den Abklärungsbericht vom 18. Dezember 2017 mehr als nur ein vager Verdacht auf eine Drittgefährdung im Sinne von Art. 8 Abs. 2 lit. c WG - setzt sich der Beschwerdeführer in seiner dem Bundesgericht eingereichten Eingabe nicht rechtsgenügend auseinander.
Ob eine Vorinstanz den Rechtsbegriff eines Verdachts auf Selbst- oder Drittgefährdung verkannt hat, ist eine durch das Bundesgericht grundsätzlich frei überprüfbare Rechtsfrage (vgl. dazu 2C_444/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2.2). Art und Wahrscheinlichkeit möglicher Selbst- oder Drittgefährdung beschlagen hingegen tatsächliche Voraussetzungen der Bewilligungsverweigerung, welche einer gutachterlichen Abklärung zugänglich sind (zu Gutachten im Massnahmerecht siehe Urteil 6B_237/2019 vom 21. Mai 2019 E. 2.4). Ob ein Gericht die in einem Gutachten oder Fachbericht enthaltenen Erörterungen für überzeugend hält oder nicht und ob es dementsprechend den Schlussfolgerungen der Experten folgen soll, ist eine Frage der Beweiswürdigung, die mit Beschwerde an das Bundesgericht wegen Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) gerügt werden kann (oben, E. 2.4). Die Vorinstanz konnte willkürfrei in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 131 I 153 E. 3 S. 157; Urteil 2C_111/2014 vom 25. September 2014 E. 2.2) auf den Abklärungsbericht vom 18. Dezember 2017 abstellen und war nicht gehalten, von Amtes wegen auf Staatskosten eine zusätzliche Unbedenklichkeitserklärung erstellen zu lassen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
3.4. Mit seiner Ansicht über die bei ihm angeblich fehlende Selbst- oder Fremdgefährdung vermag der Beschwerdeführer keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz, die sich zulässigerweise auf den zitierten Abklärungsbericht gestützt hat, aufzuzeigen (vgl. zu den Anforderungen oben, E. 2.4). Dasselbe gilt für die seiner Darstellung nach unzufriedenstellend verlaufende Arbeit der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB im Zusammenhang mit der Ausübung seines Besuchsrechts seiner Söhne, den geschilderten schwierigen Lebensumständen, die Gründe für eine fehlende Fortsetzung seiner Gespräche mit der Polizei, die Äusserungen seiner Kinder gegenüber den Behörden bzw. gegenüber dem Beschwerdeführer und dem angeblich langen Zeitraum, welcher seit dem Konflikt verstrichen sein soll. Der für den Waffenerwerbsschein zentrale Punkt ist nicht, ob der Beschwerdeführer mit Entscheid des Obergerichts vom 29. Juni 2017 hinsichtlich seines Konflikts mit der KESB teilweise Recht erhielt, sondern wie er sich während des Konflikts gegenüber der Behörde verhalten hat. Dazu lässt sich der Eingabe des Beschwerdeführers nichts Substanzielles entnehmen.
4.
4.1. Hinsichtlich der im vorinstanzlichen Verfahren verweigerten unentgeltlichen Rechtspflege ist darauf abzustellen, dass eine Minderheit des vorinstanzlichen Spruchkörpers der Ansicht gewesen war, die im vorinstanzlichen Verfahren erhobene Beschwerde sei teilweise gutzuheissen, der im vorinstanzlichen Verfahren angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die untere Instanz zurückzuweisen. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann von einer aussichtslosen Beschwerde zumindest dann nicht gesprochen werden, wenn - wie im vorliegenden Fall - gemäss dem angefochtenen Urteil innerhalb des vorinstanzlichen Spruchkörpers offensichtlich Uneinigkeit geherrscht hatte (Urteile 2C_192/2017 vom 9. Januar 2018 E. 4.2; 2C_644/2014 vom 9. Februar 2015 E. 2.4).
4.2. Gemäss dem angefochtenen Urteil hatte der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren seine finanziellen Verhältnisse nicht offen gelegt. Zwar erwähnt die Vorinstanz einerseits Unterhaltsverpflichtungen von monatlich Fr. 3'700.-- für die vormalige Ehefrau und die Kinder und geht von monatlichen Einkommen von Fr. 4'682.-- bis Fr. 6'600.-- aus. Indessen wirft die Vorinstanz ihm vor, keine Angaben über den Wert seiner Liegenschaft und die Möglichkeit einer höheren Belehnung gemacht zu haben. Aus der publizierten abweichenden Meinung der Kammerminderheit geht hingegen hervor, dass der Beschwerdeführer gemäss den eingereichten Unterlagen seit Juni 2018 zu 80 % arbeitete, ihm seine Stelle auf Ende November 2018 gekündigt worden war, er von Darlehen lebt, sich seine finanzielle Situation nicht wesentlich geändert hat und er zu Unterhaltsbeiträgen für seine Ex-Ehefrau und die Kinder von Fr. 3'700.-- monatlich verpflichtet ist.
4.3. Angesichts dessen, dass (unbeholfene) Rechtsuchende darauf hinzuweisen sind, welche Unterlagen das Gericht zur Beurteilung ihres Gesuchs benötigt (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181), wäre die Vorinstanz angesichts der vom Beschwerdeführer gelieferten Unterlagen gehalten gewesen, weitere Abklärungen zu den Möglichkeiten einer weiteren Aufstockung seiner Hypothek zu treffen, und hätte sein Gesuch nicht unter Hinweis auf die fehlenden Unterlagen abweisen dürfen. Aus dem durch das vorinstanzliche Verfahren veranlassten und somit im bundesgerichtlichen Verfahren zulässigen neuen Beweismittel (Art. 99 Abs. 1 BGG) eines e-mails der Hausbank des Beschwerdeführers geht hervor, dass sich nach Auffassung der Hausbank die kalkulatorischen Kosten einer Finanzierung einer weiteren Hypothek auf Fr. 41'750.-- belaufen würden und diese Kosten einen Drittel der Nettoeinkünfte nach finanziellen Verpflichtungen nicht übersteigen dürfen, weshalb eine Aufstockung der Hypothek gestützt auf die vorinstanzlich festgestellten finanziellen Verhältnisse als nicht realistisch erscheint. Damit hat der Beschwerdeführer als mittellos zu gelten und war seine im vorinstanzlichen Verfahren eingereichte Beschwerde nicht aussichtslos, weshalb die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege nicht hätte verweigern dürfen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet. Dispositivziffern 3 und 4 des angefochtenen Urteils sind aufzuheben und dahingehend abzuändern, dass dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wird und die Gerichtskosten unter Vorbehalt einer Nachzahlungspflicht auf die Staatskasse genommen werden.
4.4. Das Gesagte gilt nicht für das Verfahren vor dem Statthalteramt, bringt doch der Beschwerdeführer nicht hinreichend vor, er habe auch dort genügende Unterlagen vorgelegt oder hätte dazu aufgefordert werden müssen. In Bezug auf das Verfahren vor dem Statthalteramt bleibt es somit bei der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer nach Massgabe seines Unterliegens grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Nach der bundesgerichtlichen Praxis ist für mittellose Beschwerdeführer in Konstellationen, in welchen gemäss dem angefochtenen Urteil sich eine Minderheit des vorinstanzlichen Spruchkörpers für eine Gutheissung der Beschwerde ausgesprochen hatte, die unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren zu gewähren (Urteile 2C_847/2017 vom 25. Mai 2018 E. 4; 2C_914/2014 vom 18. Mai 2015 E. 5). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird somit gutgeheissen (Art. 64 BGG) und es werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben.
Der Antrag auf Erteilung der unentgeltlichen Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist schon deshalb abzuweisen, weil dieser Antrag erst unmittelbar vor Ablauf der Beschwerdefrist gestellt wurde und auch ein beigestellter Anwalt deshalb die Beschwerde nicht innert der gesetzlichen Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) hätte begründen können, wie das Gesetz dies vorschreibt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositivziffern 3 und 4 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. August 2019 werden aufgehoben und wie folgt abgeändert: "Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Die Gerichtskosten werden unter Vorbehalt einer Nachzahlungspflicht auf die Gerichtskasse genommen." Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen, das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall