Erwägungen:
1.
1.1. A._ ist Halter der Malinois-Hündin "Mali" (Mikrochip-Nr. X). Anlässlich einer am 4. Juli 2020 durchgeführten Kontrolle in der Wohnung von A._ verfügte der Veterinärdienst des Kantons Aargau verschiedene Sofortmassnahmen, darunter die vorsorgliche Beschlagnahme der Hündin "Mali" sowie ein Obhuts- und Halteverbot von Hunden.
1.2. Mit Verfügung vom 27. Juli 2020 ordnete der Veterinärdienst unter anderem die definitive Beschlagnahme der Hündin "Mali" auf Kosten von A._ an. Zudem wurde ihm auf unbestimmte Zeit verboten, Hunde zu halten sowie Hunde von Drittpersonen in seinem Haushalt oder an einem anderen Ort in Obhut zu nehmen, wobei dieses Verbot auf Antrag frühestens nach Ablauf von fünf Jahren aufgehoben werden konnte.
Mit Entscheid vom 23. Februar 2021 hiess das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Aargau eine dagegen erhobene Beschwerde insoweit gut, als das Verbot, Hunde zu halten oder in Obhut zu nehmen, auf Antrag bereits nach Ablauf von drei Jahren aufgehoben werden könne. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, mit Urteil vom 27. Januar 2022 ab, soweit es darauf eintrat.
1.3. A._ gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. März 2022 (Postaufgabe) an das Bundesgericht.
2.
2.1. Nach Art. 42 BGG (Bundesgerichtsgesetz; SR 173.110) haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft die Anwendung kantonalen Rechts - von hier nicht zutreffenden Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) abgesehen - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür hin (BGE 143 I 321 E. 6.1; 141 IV 305 E. 1.2; 141 I 105 E. 3.3.1). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 142 I 99 E. 1.7.2; 139 I 229 E. 2.2).
Der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass und inwiefern die tatsächlichen Feststellungen qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden seien, was spezifisch geltend zu machen und zu begründen ist, sofern entsprechende Mängel nicht offensichtlich sind (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2; Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. auch BGE 140 III 115 E. 2; 137 I 58 E. 4.1.2 mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerde enthält kein konkretes Rechtsbegehren. Es ist jedoch aufgrund der Begründung sinngemäss davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Rückgabe seiner Hündin "Mali" bzw. die Aufhebung des Obhuts- und Halteverbots von Hunden beantragt.
2.3. Die Vorinstanz hat gestützt auf einen Bericht der Regionalpolizei U._ vom 14. Juli 2020 betreffend verschiedene Vorfälle vom 3. und 4. Juli 2020 in tatsächlicher Hinsicht festgehalten, dass sich der Beschwerdeführer gegenüber Dritten aggressiv verhalten und ihnen damit gedroht habe, dass er oder seine Hündin sie "kaputtmachen" werde. Als die Polizei am 4. Juli 2020 aufgrund einer Anzeige bei ihm eingetroffen sei, sei die Hündin "Mali" entwischt und davongelaufen, worauf der Beschwerdeführer gegen zwei Polizisten verbal und körperlich ausfällig geworden sei. Die Polizisten hätten die Hündin schliesslich mit einer Leine einfangen können. In der Folge hätten sie beim Veterinärdienst eine Meldung erstattet, woraufhin die leitende amtliche Tierärztin zwecks allfälliger Beschlagnahme und Unterbringung der Hündin vor Ort gekommen sei. Im Zeitpunkt der Kontrolle habe sich die Wohnung des Beschwerdeführers in einem unaufgeräumten und schmutzigen Zustand befunden. Zudem habe es nach Hundekot gerochen. Auf dem Clubtisch hätten diverse Packungen Ritalin und ein weisses Pulver gelegen. Die angetroffene Situation sei mit Fotos dokumentiert worden. Ferner hat die Vorinstanz festgehalten, dass der Beschwerdeführer mehrmals Termine für eine tierärztliche Untersuchung seiner Hündin storniert habe. Diese habe schliesslich operiert werden müssen, weil im Abdomen ein Fremdkörper (teil eines Hartgummispielzeugs) festgestellt worden sei. In der Folge habe der Beschwerdeführer verschiedene tierärztliche Empfehlungen abgelehnt.
Der Beschwerdeführer beschränkt sich im Wesentlichen darauf, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zu bestreiten und diesen seine eigene Sicht der Dinge gegenüberzustellen. So behauptet er, seine Hündin sei stubenrein und die Wohnung sei anlässlich der Kontrolle sauber gewesen, obwohl Unordnung geherrscht habe. Zudem habe er sich immer gut um die Gesundheit seiner Hündin gekümmert. Damit vermag er indessen nicht substanziiert darzutun, dass und inwiefern der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt willkürlich sein soll (E. 2.1 hiervor).
2.4. Das Verwaltungsgericht hat gestützt auf diese verbindlichen Feststellungen in rechtlicher Hinsicht erwogen, dass der Beschwerdeführer seine Aufsichtspflichten als Hundehalter verletzt und grundsätzliche Verhaltensgebote und -verbote der Tierschutzgesetzgebung missachtet habe (vgl. Art. 77 Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 [TSchV; 455.1], § 5 Abs. 1 lit. b des kantonalen Hundegesetzes vom 15. März 2011 [Hundegesetz, HuG/AG; SAR 393.400] sowie § 6 Abs. 1 und 2 und § 10 Abs. 1 lit. a der kantonalen Verordnung zum Hundegesetz vom 7. März 2012 [Hundeverordnung, HuV/AG; SAR 393.411]). Aufgrund der vorgefundenen Situation in der Wohnung des Beschwerdeführers und der Krankengeschichte der Hündin "Mali" ist die Vorinstanz sodann zum Schluss gelangt, dass das Tier in seinem Wohlergehen beeinträchtigt gewesen sei und keine angemessene Pflege erhalten habe, womit der Beschwerdeführer unter anderem gegen Art. 4 Abs. 1 und 2 des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) verstossen habe. Der Beschwerdeführer sei nicht in der Lage - so das Verwaltungsgericht weiter - Hunde auf Dauer artgerecht bzw. tierschutzkonform zu halten und ihnen die erforderliche Pflege, insbesondere im Krankheitsfall, zukommen zu lassen. Angesichts der konkreten Umstände erachtete die Vorinstanz sowohl das ausgesprochene Obhuts- und Halteverbot als auch die definitive Beschlagnahme der Hündin "Mali" als verhältnismässig.
Mit den entsprechenden Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und legt nicht ansatzweise dar, inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt (vgl. E. 2.1 hiervor).
2.5. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist darauf mit Entscheid der Abteilungspräsidentin als Einzelrichterin im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.
Der unterliegende Beschwerdeführer wird für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov