Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Auftraggeber, Beschwerdeführer, Gesuchsteller) war seit 1996 Arbeitnehmer der C._ AG. Diese hatte für ihre Angestellten eine kollektive Krankentaggeldversicherung bei der Da._ AG abgeschlossen. Im Juni 2004 wurde der Auftraggeber zufolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig. Er meldete seine Arbeitsunfähigkeit im Oktober 2004 der Versicherung und ersuchte um Auszahlung von Taggeldern. In der Folge kam es zu einer jahrelangen Korrespondenz betreffend die geltend gemachten Taggeldansprüche. Im Jahr 2006 mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. E._ zur Wahrung seiner Interessen. Im Jahr 2007 zog er Rechtsanwalt F._ bei. In der Folge kam es in diesen Mandatsverhältnissen zu Differenzen betreffend das geschuldete Honorar. Am 2. September 2010 erhob Rechtsanwalt F._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen den Auftraggeber betreffend offene Honorarforderungen. Letzterer liess sich in diesem Prozess durch Rechtsanwältin B._ (Beauftragte, Beschwerdegegnerin, Gesuchsgegnerin) vertreten. Mit Urteil vom 7. Mai 2012 wies das Bezirksgericht die Klage von Rechtsanwalt F._ ab und hiess die Widerklage des Auftraggebers auf Rückerstattung eines Teils des Honorars gut.
A.b. In der Folge mandatierte der Auftraggeber die Beauftragte mit einer Klage gegen Rechtsanwalt Dr. iur. G._, den Büropartner des inzwischen verstorbenen Rechtsanwalts E._, weil Letzterer es pflichtwidrig unterlassen habe, die zur Unterbrechung der Verjährung der Forderungen aus der Krankentaggeldversicherung gebotenen Massnahmen zu ergreifen. Die Beauftragte bereitete daraufhin eine Klage vor und stellte dafür Rechnungen, welche der Auftraggeber bezahlte.
A.c. Mitte 2013 empfahl die Beauftragte dem Auftraggeber, gestützt auf den zwischenzeitlich ergangenen BGE 139 III 418 betreffend die Verjährung der Ansprüche auf Taggeldleistungen, zunächst gegen die "D._ Versicherung" auf Leistung von Taggeldern zu klagen. In der Folge unterschrieb der Auftraggeber am 14. Dezember 2013 eine Vollmacht für eine Klage gegen die Db._ AG. Diese wurde am 18. Dezember 2013 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eingereicht (nachfolgend auch: Erstprozess). Es wurde eine Forderung in Höhe von Fr. 313'858.60 nebst 5 % Zins seit 24. Januar 2007 geltend gemacht. Die Db._ AG bestritt in der Duplik erstmals ihre Passivlegitimation und machte geltend, die Versicherungspolice laute auf die Da._ AG. In der Folge führte das Sozialversicherungsgericht einen weiteren Schriftenwechsel durch und wies die Klage hernach mit Urteil vom 24. Februar 2016 mangels Passivlegitimation der Db._ AG ab. Es verwarf die Einwendungen des Auftraggebers bzw. der Beauftragten, wonach das Verhalten der Db._ AG rechtsmissbräuchlich sei und diese solidarisch mit der Da._ AG hafte. Einem Parteiwechsel habe keine der Gesellschaften zugestimmt. Der Auftraggeber wurde zu einer Parteientschädigung von Fr. 7'931.-- verpflichtet. Die Beauftragte stellte dem Auftraggeber für ihre Arbeiten in diesem Verfahren ein Honorar in Höhe von Fr. 69'656.80 in Rechnung, welches er bezahlte.
A.d. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts wurde von der Db._ AG beim Bundesgericht wegen der als zu niedrig erachteten Parteientschädigung angefochten (Urteil 4A_220/2016 vom 27. Juli 2016). Es wies die Beschwerde ab und sprach dem Auftraggeber eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2'500.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu. Diese Entschädigung deckte seine Anwaltskosten im Betrag von Fr. 2'268.-- nicht.
A.e. Die Beauftragte empfahl dem Auftraggeber die Prüfung einer Strafanzeige gegen die Db._ AG - namentlich wegen möglicher Verstösse gegen das Datenschutzgesetz und unbefugter Beschaffung besonders schützenswerter Personendaten - und schlug ihm für das strafrechtliche Verfahren Rechtsanwalt Dr. iur. H._ vor. In der Folge mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. I._ mit der Prüfung, welcher für seine Tätigkeit Rechnung in Höhe von Fr. 2'592.-- stellte.
A.f. Die Beauftragte bot dem Auftraggeber zudem an, eine neue Klage gegen die Da._ AG unter Zugrundelegung der bisherigen Rechtsschriften kostenlos einzureichen, wollte aber alle weiteren Tätigkeiten ab der Klageantwort nochmals neu verrechnen. Der Auftraggeber forderte hingegen die vollständig kostenlose Führung des neuen Prozesses. Überdies verlangte er die Übernahme der Parteientschädigung, welche er im Prozess gegen die Db._ AG zu entrichten hatte (vgl. hiervor lit. A.d). Weil die Parteien sich nicht einig wurden, betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt J._ mit der Vertretung seiner Interessen im Prozess gegen die Da._ AG. Dieser reichte die Klage am 26. September 2016 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein (nachfolgend auch: Zweitprozess). Mit der Replik betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt K._. Mit Urteil vom 16. Oktober 2018 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage im Umfang von Fr. 188'308.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 24. Januar 2007 gut und wies sie im Übrigen ab.
B.
B.a. Am 30. Oktober 2017 reichte der Auftraggeber beim Bezirksgericht Hinwil gegen die Beauftragte Klage ein, wobei er von dieser die Rückerstattung des ihr für das Verfahren gegen die Db._ AG bezahlten Honorars von Fr. 69'656.80 sowie jenes für ihre Tätigkeiten in Sachen Rechtsanwalt G._ in Höhe von Fr. 11'754.95 begehrte. Weiter verlangte er die Leistung von Schadenersatz für das angeblich pflichtwidrige Verhalten der Beauftragten. Dieses habe sich in der im Verfahren gegen die Db._ AG zu leistenden Prozessentschädigung von Fr. 7'391.-- sowie im nicht gedeckten Teil seiner Anwaltskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 2'268.--, den Honorarkosten von Rechtsanwalt I._ von Fr. 2'592.-- sowie den Kosten der Betreibungen gegen Rechtsanwalt F._, der L._ AG und gegen die Beauftragte selbst niedergeschlagen. Schliesslich forderte er überdies Schadenersatz von Fr. 216.45, da der Beauftragten in der Widerklage gegen Rechtsanwalt F._ ein Rechenfehler unterlaufen sei, was zu einem tieferen Prozessgewinn geführt habe.
B.b. Das Bezirksgericht hiess die Klage mit Entscheid vom 19. Dezember 2019 teilweise gut und verpflichtete die Beauftragte, dem Auftraggeber aufgrund sorgfaltswidriger Auftragsausführung die im Verfahren gegen die Db._ AG zu leistende Prozessentschädigung (Fr. 7'391.--), die nicht gedeckten Anwaltskosten für das bundesgerichtliche Verfahren (Fr. 2'268.--), die Hälfte des Honorars von Rechtsanwalt I._ (Fr. 1'296.--) sowie den entgangenen Betrag im Prozess gegen Rechtsanwalt F._ (Fr. 216.45) zu erstatten. Im Übrigen wies es die Klage ab.
Es hielt fest, die Beauftragte habe eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen, indem sie es unterlassen habe, vor Einleitung der Klage gegen die Db._ AG deren Passivlegitimation zu prüfen. Eine Rückerstattung des auf die mit dieser Klage zusammenhängenden Tätigkeiten der Beauftragten entfallenden Honorars verneinte das Bezirksgericht jedoch mit der Begründung, diese Aufwendungen seien nicht nutzlos gewesen. Diese seien - abgesehen von den Aufwendungen im Zusammenhang mit der Bestreitung der Einrede der fehlenden Passivlegitimation - im Zweitprozess gegen die Da._ AG von identischem Wert gewesen und hätten sich im Honorar der später beigezogenen Anwälte niederschlagen müssen. Demgegenüber erachtete es die vom Auftraggeber zu leistende Parteientschädigung im Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht sowie seine ungedeckten Anwaltskosten im bundesgerichtlichen Verfahren als völlig unnütz.
Des Weiteren qualifizierte das Bezirksgericht die dem Auftraggeber entstandenen Honorarkosten für die Tätigkeiten von Rechtsanwalt I._ ebenfalls als Folge der Sorgfaltswidrigkeit der Beauftragten. Es reduzierte jedoch den geltend gemachten Schadenersatz um die Hälfte, da dem Auftraggeber habe klar sein müssen, dass durch die Konsultation eines weiteren Anwalts wiederum Kosten entstünden und das Risiko bestehe, dass ein spezialisierter Anwalt ihm von einer Strafanzeige abraten würde. Ebenfalls eine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte es im Rechenfehler der Beauftragten im gegen Rechtsanwalt F._ geführten Prozess.
B.c. Gegen diesen Entscheid erhob der Auftraggeber am 13. Februar 2019 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte - mit Ausnahme der Kosten für die Betreibung gegen die Beauftragte - die Bezahlung der vom Bezirksgericht nicht zugesprochenen Beträge. Mit Urteil vom 20. Mai 2020 wies das Obergericht die Berufung ab.
Es hielt im Wesentlichen fest, die Beauftragte habe im Verfahren gegen die Db._ AG zwar eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen, doch hätten die Anwälte des Auftraggebers im Zweitprozess gegen die Da._ AG die Arbeiten der Beauftragten vollumfänglich verwenden können. Demgegenüber fehle es beim in Sachen Rechtsanwalt G._ getätigten Aufwand bereits an einer Sorgfaltspflichtverletzung, da die Beauftragte angesichts des Urteils des Bezirksgerichts Zürich vom 7. Mai 2012 noch im Dezember 2012 davon habe ausgehen dürfen, eine Klage gegen Rechtsanwalt G._ habe Aussicht auf Erfolg, weil die Verjährung der Taggeldansprüche - wie vom Bezirksgericht angenommen - eingetreten sei und Rechtsanwalt E._ sorgfaltswidrig die Unterbrechung der Verjährung unterlassen habe. Ebenfalls keine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte das Obergericht im Rat der Beauftragten, einen auf Strafrecht spezialisierten Anwalt beizuziehen. Im Gegenteil sei dies geradezu geboten gewesen, wenn sich die Beauftragte als nicht kompetent genug erachtet habe. Die dem Auftraggeber entstandenen Kosten für die Betreibungen gegen Rechtsanwalt F._ sowie gegen die L._ AG habe er selbst zu verantworten, da er sich aus eigenen Stücken und ohne Rücksprache mit der Beauftragten zu diesen Betreibungen entschlossen habe.
B.d. Die dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht mit dem Urteil 4A_353/2020 vom 19. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 23. März 2021 ersucht der Gesuchsteller um Revision dieses Urteils. Er beantragt, es kostenfällig aufzuheben und die Gesuchsgegnerin zur Zahlung von Fr. 53'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 17. Dezember 2015 zu verurteilen; eventualiter verlangt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht hätte eine in den Akten liegende erhebliche Tatsache aus Versehen nicht berücksichtigt.
1.1. Der Revisionsgrund von Art. 121 lit. d BGG ist gegeben, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat, nicht dagegen, wenn die Tatsache oder das Aktenstück in der äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen wurde und allenfalls bloss eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung vorgenommen worden ist (BGE 122 II 17 E. 3; 115 II 399 E. 2a; Urteile 2F_3/2020 vom 24. Juni 2020 E. 2.2; 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1; je mit Hinweisen). Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen " unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen, wären sie berücksichtigt worden (zit. Urteil 2F_3/2020 E. 2.2). Die Revision dient nicht dazu, angebliche Rechtsfehler zu korrigieren (BGE 122 II 17 E. 3; zit. Urteil 2F_20/2012 E. 2.1; Urteil 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3) oder in der ursprünglichen Rechtsschrift Verpasstes nachzuholen (zit. Urteil 2F_20/2012 E. 2.1; vgl. Urteil 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.2).
1.2. Der Gesuchsteller führt aus, das Bundesgericht anerkenne in Erwägung 2.2, dass die Gesuchsgegnerin durch das Einklagen der falschen Partei eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen habe. Weiter schreibe es, der Gesuchsteller habe weitere Pflichtverletzungen geltend gemacht, welche die Vorinstanz jedoch allesamt verneint habe. Nach Ansicht des Bundesgericht habe er nicht aufzuzeigen vermocht, inwiefern die Bejahung einer oder mehrerer Sorgfaltspflichtverletzungen etwas am Ergebnis der Vorinstanz ändern würde. Deshalb müsse, so das Bundesgericht, auf diese Rügen nicht eingegangen werden.
Mit dieser Argumentation übersehe das Bundesgericht offensichtlich die vom Gesuchsteller unter Ziffer 4 seiner Beschwerde vorgetragenen Ausführungen zur Verjährung des von der Gesuchsgegnerin eingeklagten Rechtsbegehrens. Dort habe er nachgewiesen, dass die Gesuchsgegnerin nicht nur die falsche Partei eingeklagt, sondern dass - selbst wenn die eingeklagte Partei passivlegitimiert gewesen wäre - die geltend gemachte Forderung bereits verjährt gewesen sei. Das Bundesgericht äussere sich in keiner Weise zu der nachweislich bereits zum Zeitpunkt der Klageeinreichung eingetretenen Verjährung gegenüber der Db._ AG. Hätte die Gesuchsgegnerin die Verjährung geprüft, wären die Honorare seit der Klage (Replik, Triplik sowie weitere Schriftenwechsel) in der Höhe von Fr. 53'533.-- nicht angefallen. Es handle sich folglich um eine erhebliche Tatsache, die bei Berücksichtigung zu einer anderen Entscheidung geführt hätte. Überdies wäre die Argumentation des Bundesgerichts hinsichtlich der Fortführung des Prozesses nach der Duplik, in welcher die Db._ AG die Einrede der fehlenden Passivlegitimation vorgebracht habe, zwingend anders ausgefallen. Wäre er darüber aufgeklärt worden, dass die Weiterführung des Prozesses schon deshalb aussichtslos ist, weil die Verjährung gegenüber der Db._ AG bereits eingetreten war, hätte er einer Fortführung nicht zugestimmt.
1.3. Mit dieser Rüge dringt der Gesuchsteller nicht durch. Er monierte vor Bundesgericht unter anderem, die Vorinstanz habe zu Unrecht verkannt, dass die Gesuchsgegnerin es unterlassen habe zu prüfen, ob die eingeklagte Forderung überhaupt durchsetzbar sei. Dieses Vorbringen übersah das Bundesgericht nicht. Wie der Erwägung 2.2 zu entnehmen ist, hielt es fest, der Gesuchsteller vermöge - selbst wenn eine oder mehrere, von der Vorinstanz nicht berücksichtigte, behauptete Sorgfaltspflichtverletzungen erstellt wären - nicht aufzuzeigen, inwiefern die Bejahung dieser etwas am Ergebnis der Vorinstanz zu ändern vermöchte. Die vom Gesuchsteller erwähnte unterlassene Prüfung, ob die eingeklagte Forderung bereits verjährt war, zählt zu diesen behaupteten Sorgfaltspflichtverletzungen. Mithin übersah das Bundesgericht keineswegs die Tatsache, dass der Gesuchsteller eine unterlassene Prüfung vorgebracht hatte. Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob es sich bei der angeblich übersehenen Tatsache um eine "erhebliche" im Sinne von Art. 124 lit. d BGG handelt.
2.
Nach dem Ausgeführten ist das Revisionsgesuch abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Gesuchsgegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem Revisionsverfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Revision des Urteils 4A_353/2020 wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel