Sachverhalt:
A.
Die Gesellschaft A._ ist Eigentümerin der Parzelle Nr. F2180 (Grundbuchkreis St. Fiden) in der Stadt St. Gallen und betreibt darauf seit 1904 die Schiessanlage Weiherweid (auch: Weierweid). Am 2. Februar 2017 fragte die kantonale Umweltfachstelle den Stadtrat St. Gallen - unter Hinweis auf die gesetzlichen Abgeltungsansprüche bei einer Sanierung von Schiessanlagen - an, ob die 300 m- sowie die 50 m- bzw. 25 m-Schiessanlagen Weiherweid bis zum 31. Dezember 2020 mit künstlichen Kugelfangsystemen ausgestattet oder stillgelegt würden. Die Anfrage wurde an die Gesellschaft A._ weitergeleitet. Letztere hielt mit Eingabe vom 24. März 2017 gegenüber der Stadtverwaltung fest, sie wolle derartige Kugelfangsysteme einbauen. Gleichzeitig verlangte sie eine Kostenbeteiligung der Stadt St. Gallen bei der Beschaffung dieser Kugelfangsysteme und beim Ersatz der elektronischen Trefferanzeige G300m. Dabei bezifferte sie die geforderten Beiträge mit Fr. 77'760.-- bezüglich Kugelfangsystemen (Antrag 1) und mit Fr. 113'356.-- bezüglich Trefferanzeige (Antrag 2). Für den Fall der Gesuchsablehnung ersuchte sie um eine anfechtbare Verfügung. Der Stadtrat wies die beiden Anträge mit Beschluss vom 7. November 2017 kostenfällig ab.
B.
Gegen den kommunalen Entscheid erhob die Gesellschaft A._ Rekurs an die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Sie ergänzte die erwähnten Anträge in der Sache mit Eventualbegehren, wonach eine angemessene Kostenbeteiligung der Stadt St. Gallen an die Schiessanlage festzulegen und die Stadt zu verpflichten sei, sich in die Schiessanlage anteilsmässig einzukaufen. Die Verwaltungsrekurskommission trat am 5. April 2018 auf den Rekurs nicht ein und übermittelte ihn an die Kantonsregierung zur Bestimmung der zuständigen Rekursbehörde. Das von der Regierung für zuständig erklärte kantonale Sicherheits- und Justizdepartement wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 16. September 2019 ab.
Das daraufhin angerufene Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. April 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Mai 2020 ans Bundesgericht beantragt die Gesellschaft A._ die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids und die Zusprechung der geforderten Beiträge. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Direktion Planung und Bau der Stadt St. Gallen ersucht namens des Stadtrats um Abweisung der Beschwerde. Das Sicherheits- und Justizdepartement und das Verwaltungsgericht schliessen ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. In der Replik vom 26. August 2020 hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen fest.
Der Armeestab äussert sich in der Vernehmlassung vom 29. Oktober 2020 namens des Eidgenössischen Departements für Verteidigung, Bevölkerungsschutz und Sport (VBS) zur Angelegenheit, ohne einen Antrag zu stellen. Das Sicherheits- und Justizdepartement erklärt am 23. November 2020 den Verzicht auf eine weitere Stellungnahme. Die Stadt St. Gallen nimmt am 24. November 2020 zur Replik und zur Vernehmlassung des VBS Stellung. Die Beschwerdeführerin reicht am 16. Dezember 2020 und 12. Januar 2021 Gegenbemerkungen ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über Geldleistungen einer Gemeinde an einen Verein im Sinne von Art. 60 ff. ZGB und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Gegen einen solchen Entscheid steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG).
1.2. Indessen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide betreffend Subventionen, auf die kein Anspruch besteht (Art. 83 lit. k BGG). Der Begriff der Subvention umfasst alle geldwerten Vorteile, welche Empfängern ausserhalb der Verwaltung gewährt werden, um die Erfüllung einer vom Empfänger gewählten Aufgabe zu fördern oder zu erhalten (vgl. BGE 140 I 153 E. 2.5.4; Urteil 2C_69/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 2.1). Im Rahmen von Art. 83 lit. k BGG entscheidend ist das Bestehen eines Rechtsanspruchs auf die Subvention. Ob ein solcher Anspruch (grundsätzlich) besteht, hängt davon ab, ob der einschlägige Erlass genügend konkret umschreibt, unter welchen Bedingungen die im Einzelfall beantragte Unterstützung zu gewähren ist, ohne dass es im Ermessen der Behörde läge, ob sie einen Beitrag gewähren will oder nicht (vgl. BGE 145 I 121 E. 1.2 mit Hinweis). Zwar prüft das Bundesgericht die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 153 E. 1.1 mit Hinweisen). Ist aber die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die der beschwerdeführenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen, namentlich im Hinblick auf die Legitimation (vgl. BGE 145 I 121 E. 1; 133 II 249 E. 1.1, 353 E. 1, 400 E. 2). Hängt die Zulässigkeit des Rechtsmittels vom Bestehen eines Rechtsanspruchs ab, so ist ein potenzieller Anspruch in vertretbarer Weise geltend zu machen (vgl. BGE 139 I 330 E. 1.1 zu dieser Obliegenheit bezüglich Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; Urteil 2C_229/2015 vom 31. März 2016 E. 1.2.1 betreffend Art. 83 lit. k BGG). Anhand dieser Grundsätze ist nachfolgend zu untersuchen, ob der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. k BGG greift.
1.3. In der Beschwerdeschrift ans Bundesgericht wird pauschal geltend gemacht, ein Ausnahmegrund nach Art. 83 BGG liege nicht vor. Eine Auseinandersetzung mit Art. 83 lit. k BGG erfolgt dabei nicht. Allerdings stützt die Beschwerdeführerin die geltend gemachten Ansprüche auf Art. 133 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 3. Februar 1995 über die Armee und die Militärverwaltung (MG; SR 510.10) und Art. 8 der Verordnung des VBS vom 15. November 2004 über die Schiessanlagen für das Schiesswesen ausser Dienst (SchAV; SR 510.512). Nach Art. 133 Abs. 1 MG sorgen die Gemeinden dafür, dass die Schiessanlagen, die für die ausserdienstlichen militärischen Schiessübungen sowie die entsprechende Tätigkeit der Schiessvereine benötigt werden, unentgeltlich zur Verfügung stehen. Art. 8 SchAV bestimmt, dass Gemeinden, die nicht Eigentümer einer 300 m-Schiessanlage sind und ihren schiessrechtlichen Pflichten nach Art. 133 Abs. 1 MG nicht innerhalb ihres Gemeindegebiets nachkommen, sich in die ihren Einwohnern zugewiesenen oder in die von diesen mitbenutzten Schiessanlagen anteilsmässig einzukaufen haben. Sie entrichten an den Unterhalt sowie die Erneuerung angemessene Beiträge. Für die Zuweisung von Schiessanlagen gilt Artikel 29 der Schiessverordnung vom 5. Dezember 2003 (SR 512.31). Die zuletzt genannte Bestimmung regelt zum einen das Vorgehen, wenn in einer Gemeinde keine Schiessanlage gebaut werden kann und kein Zusammenschluss mit einer anderen Gemeinde möglich ist (Abs. 1) und zum anderen die Zuweisung einer bisherigen Gemeindeschiessanlage an einen neu gegründeten Schiessverein (Abs. 2).
1.4. Das Schiesswesen ausser Dienst ergänzt und entlastet die Schiessausbildung an der persönlichen Waffe in den militärischen Kursen und Schulen; es fördert auch die Schiessfertigkeit der Armeeangehörigen ausser Dienst und das freiwillige Schiessen (vgl. Art. 2 Schiessverordnung). Zum Schiesswesen ausser Dienst gehören obligatorische und freiwillige Schiessübungen sowie Schiesskurse; sie werden mit Ordonnanzwaffen - den zur persönlichen Ausrüstung gehörenden Waffen Sturmgewehr und Pistole - durchgeführt (vgl. Art. 3 f. Schiessverordnung i.V.m. Art. 63 MG). Die Durchführung auf den anerkannten Schiessanlagen obliegt den anerkannten Schiessvereinen (vgl. Art. 3 i.V.m. Art. 19 Schiessverordnung). Die Kantone anerkennen die Schiessvereine, entscheiden über den Betrieb von Schiessanlagen für das Schiesswesen ausser Dienst und weisen Schiessvereine den Anlagen zu (Art. 125 Abs. 1 und 2 MG). Die angesprochenen ausserdienstlichen Übungen und Kurse erfolgen mit dem Sturmgewehr auf eine Distanz von 300 m und mit der Pistole auf eine Distanz von 50 m bzw. 25 m (vgl. Art. 1 der Verordnung des VBS vom 11. Dezember 2003 über das Schiesswesen ausser Dienst [SR 512.311]). Art. 133 Abs. 1 MG auferlegt den Gemeinden eine sog. Militärlast, indem sie die dafür benötigten Schiessanlagen unentgeltlich zur Verfügung zu stellen haben (vgl. CHRISTOPH IGNAZ LANG, Umweltschutzrecht und Militär, 1997, S. 55; CLAUDIO LAZZARINI, Die anerkannten militärischen Schiessvereine, 1985, S. 74). Dabei muss nicht jede Gemeinde eine Schiessanlage besitzen. Sie kann sich auch an einer Gemeinschaftsanlage mit anderen Gemeinden beteiligen (vgl. Art. 125 Abs. 2 Satz 2 MG und Art. 3 SchAV; Urteil 1C_162/2020 vom 16. April 2021 E. 6.6.1 mit weiteren Hinweisen, zur Publikation vorgesehen). Als weitere Alternative kommt in Betracht, dass die Gemeinde ihren Schützen ein Schiessrecht auf einer Anlage einer anderen Gemeinde oder auf einem privaten Schiessplatz sichert (vgl. LANG, a.a.O., S. 55; LAZZARINI, a.a.O., S. 75).
1.5. Die im Streit liegenden Beiträge lassen sich als geldwerte Vorteile, die eine private Vereinigung von einer Gemeinde für die Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe verlangt, unter den Begriff der Subvention im Sinne von Art. 83 lit. k BGG einordnen. Art. 133 Abs. 1 MG umschreibt aber nicht konkret, unter welchen Bedingungen eine Gemeinde einen privaten Schützenverein auf ihrem Gemeindegebiet finanziell zu unterstützen hat. Vielmehr belässt die Gesetzesbestimmung der Gemeinde ein Auswahlermessen, wie sie die Verpflichtung bezüglich Anlagen für das Schiesswesen ausser Dienst erfüllen will (vgl. oben E. 1.4). Aus Art. 133 Abs. 1 MG vermag die Beschwerdeführerin somit keinen Rechtsanspruch auf die umstrittenen Beiträge abzuleiten.
Art. 8 SchAV macht einen Beitrag der Gemeinde von den zwei Voraussetzungen abhängig, dass sie nicht Eigentümerin einer 300 m-Schiessanlage ist und ihren Pflichten nach Artikel 133 Abs. 1 MG nicht innerhalb ihres Gemeindegebiets nachkommt. Art. 8 SchAV ist daher auf Beiträge an eine Anlage ausserhalb des Gemeindegebiets zugeschnitten. Demgegenüber werden Beiträge für eine Schiessanlage innerhalb des Gemeindegebiets, worum es vorliegend nach den Vorbringen der Beschwerdeführerin geht, in Art. 8 SchAV nicht genügend konkret vorgesehen. Auch unter diesem Titel kann sich die Beschwerdeführerin demzufolge nicht auf einen Rechtsanspruch für eine Subvention berufen.
1.6. Zusammengefasst ist der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. k BGG gegeben. Deshalb ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig, so dass darauf nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Das Rechtsmittel kann aber als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) an die Hand genommen werden, wenn deren Voraussetzungen erfüllt sind. Ob dies hier zutrifft, ist im Folgenden näher zu prüfen: Die unzutreffende Bezeichnung schadet nicht (vgl. BGE 145 I 121 E. 1.2). Art. 115 lit. b BGG setzt für die Legitimation ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus. Zulässige Beschwerdegründe sind in diesem Rahmen verfassungsmässige Rechte (Art. 116 BGG). Ausgeschlossen ist die Rüge der Missachtung von einfachem Gesetzesrecht. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und genügend begründet worden ist (vgl. Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG; Rügeprinzip); hierfür gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (vgl. BGE 145 I 121 E. 2.1; 137 II 305 E. 3.3). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 i.V.m. Art. 117 BGG).
2.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, dass auf dem Gebiet der Stadt St. Gallen die zwei weiteren Schiessanlagen Ochsenweid und Schaugenbad in Betrieb stehen. Die Beschwerdegegnerin habe diese Anlagen mit Verträgen von 2000 bzw. 2002 je einem Schiessverein mittels Baurechtsdienstbarkeit kostenlos überlassen und auch auf die Erhebung eines Baurechtszinses verzichtet. Sie habe sich gegenüber jenen zwei Schiessvereinen verpflichtet, die Entsorgung der bisherigen Altlasten zu übernehmen, und leiste zusätzliche finanzielle Beiträge an jene Anlagen. Dadurch ermögliche die Beschwerdegegnerin ihren Schiesspflichtigen den Zugang zu Schiessanlagen und komme ihren Pflichten gemäss Art. 133 Abs. 1 MG innerhalb des Gemeindegebiets nach. Zwar sei die Beschwerdeführerin ein vom Kanton anerkannter Schiessverein und werde die Schiessanlage Weiherweid für die obligatorischen Schiessübungen ausser Dienst verwendet. Die Beschwerdegegnerin habe gegenüber dieser Anlage in der Vergangenheit eine gewisse Grundhaltung zum Ausdruck gebracht und insbesondere im Jahr 1937 einen Beitrag von Fr. 55'000.-- an Erneuerung und Umbau gewährt. Für das Schiesswesen ausser Dienst werde die Anlage Weiherweid jedoch nicht benötigt. Diese Anlage grenze unmittelbar an Wohnzonen an. Es sei davon auszugehen, dass sämtliche Pflichtigen aus dem Gemeindegebiet ihre Schiessübungen auf den nicht vollständig ausgelasteten Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad bei einem entsprechenden Bedarf durchführen könnten. Von der Beschwerdeführerin werde nicht behauptet, dass die Ansetzung zusätzlicher Schiesshalbtage dort von der zusätzlichen Lärmbelastung her unzulässig wäre. Die Beschwerdeführerin vermöge aus dem Gebot der staatlichen Wettbewerbsneutralität nichts für sich abzuleiten. Die Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführerin auch nicht Beiträge an den Unterhalt oder die Erneuerung der Anlage zugesichert.
Die Beschwerdeführerin erwidert, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die Wirtschaftsfreiheit, das Rechtsgleichheitsgebot und das Willkürverbot. Ausserdem erhebt sie Gehörsrügen wegen unvollständiger Sachverhaltsabklärung und mangelhafter Entscheidbegründung.
2.3. Gemäss der Vorinstanz liegen die Kostentragung für Massnahmen zur Sanierung der belasteten Standorte bei der Schiessanlage Weiherweid wie auch die Gewährung allfälliger Beiträge an die Durchführung der Bundesübungen ausserhalb des Streitgegenstands. In diesen beiden Punkten ist die Vorinstanz auf das Rechtsmittel nicht eingetreten. Da die Beschwerdeschrift in dieser Hinsicht nicht die qualifizierten Anforderungen an eine genügende Beschwerdebegründung erfüllt (vgl. oben E. 2.1), ist insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.4. Nach Art. 27 Abs. 1 BV ist die Wirtschaftsfreiheit gewährleistet. Sie umfasst insbesondere die freie Wahl des Berufes, den freien Zugang zu einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit und deren freie Ausübung (Art. 27 Abs. 2 BV). Die Wirtschaftsfreiheit steht natürlichen und juristischen Personen gleichermassen zu (BGE 142 I 162 E. 3.2.1 mit Hinweisen). Sie schützt die privatwirtschaftliche Erwerbstätigkeit (BGE 142 II 369 E. 6.2 mit Hinweisen); erfasst sind auch gewerbliche Tätigkeiten im Rahmen eines ideellen Zwecks (vgl. BGE 128 I 19 E. 4c/aa; Urteil 2C_70/2012 vom 10. Juli 2012 E. 4.1). Grundsätzlich vermittelt die Wirtschaftsfreiheit keinen Anspruch auf eine staatliche Leistung (vgl. BGE 138 II 191 E. 4.4.1 mit Hinweisen). Die Wirtschaftsfreiheit enthält den Grundsatz der Wettbewerbsneutralität bzw. der Gleichbehandlung der Gewerbegenossen. Dieser geht weiter als das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV und verbietet Massnahmen, die den Wettbewerb unter direkten Konkurrenten verzerren. Der angesprochene Grundsatz gilt aber nicht absolut und schliesst gewisse Differenzierungen, etwa aus Gründen der Sozialpolitik, des Umweltschutzes oder der Kulturpolitik nicht aus. Eine entsprechend begründete Ungleichbehandlung muss jedoch verhältnismässig sein und soll spürbare Wettbewerbsverzerrungen vermeiden. Erforderlich ist eine Interessenabwägung (vgl. BGE 143 II 598 E. 5.1; 142 I 162 E. 3.7.2; je mit Hinweisen). So hat die Rechtsprechung im Hinblick auf die Nichtzulassung von Ärztinnen und Ärzten als Leistungserbringer zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung einen Grundrechtseingriff bejaht, weil die wirtschaftliche Tätigkeit der Betroffenen dadurch in ähnlicher Weise erschwert wurde wie durch die Einschränkung einer rechtlichen Befugnis (BGE 130 I 26 E. 4.4; vgl. auch BGE 140 I 218 E. 6.4; 138 I 378 E. 6.2.2). Auf BGE 130 I 26 beruft sich die Beschwerdeführerin. Das weitere, von ihr angeführte Urteil 2C_1007/2015 vom 10. Mai 2016 ist von vornherein nicht einschlägig, weil die dort betroffene Tätigkeit dem Schutzbereich der Wirtschaftsfreiheit entzogen war (a.a.O. E. 4.4, in: ZBl 118/2017 S. 161). Im vorliegenden Fall kann offenbleiben, ob die Verweigerung der umstrittenen Beiträge in den Schutzbereich der Wirtschaftsfreiheit fällt, denn die diesbezüglichen Rügen erweisen sich ohnehin als unbegründet. Dies ist im Folgenden darzulegen. Dabei ist auch auf die Gehörsrügen einzugehen, welche die Beschwerdeführerin damit verbunden hat.
2.5.
2.5.1. Gemäss Angaben der Beschwerdeführerin wird jede der Anlagen Ochsenweid, Schaugenbad und Weiherweid sowohl für das ausserdienstliche Schiesswesen als auch für den privaten Schiesssport genutzt. Die Anerkennung der Beschwerdeführerin als Schiessverein durch den Kanton setzt voraus, dass die von ihr durchgeführten ausserdienstlichen Schiessübungen einem Bedürfnis entsprechen (vgl. Art. 19 Abs. 2 lit. c Schiessverordnung). Insoweit ist aus militärrechtlicher Sicht derzeit offenbar ein Bedürfnis an der Tätigkeit der Beschwerdeführerin im ausserdienstlichen Schiesswesen gegeben. Die als Verein konstituierte Beschwerdeführerin ist im Handelsregister eingetragen. Gemäss den öffentlich zugänglichen Einträgen im Handelsregister bezweckt sie nicht nur die Förderung der Schiessausbildung; das vorhandene Grundeigentum soll auch nach kaufmännischen Grundsätzen verwaltet werden. Es ist fraglich, inwiefern sie überhaupt eine Erwerbstätigkeit im privaten Schiesssport im Sinne der Wirtschaftsfreiheit betreibt. Letztere setzt eine gewerbsmässige, d.h. auf Erwerb ausgerichtete Tätigkeit im spezifischen Sachbereich voraus (vgl. BGE 145 I 183 E. 4.1.2; 143 I 395 E. 4.1; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, inwiefern ihre Vereinsaktivitäten im privaten Schiesssport diese Voraussetzung erfüllen. Ebenso bleibt aufgrund ihrer Vorbringen unklar, inwiefern die auf den beiden anderen Anlagen tätigen Schiessvereine einen privaten Gewerbebetrieb führen. Angesichts der insoweit mangelhaften Beschwerdebegründung (vgl. oben E. 2.1) fehlen stichhaltige Anhaltspunkte für die Behauptung, dass sich die Beschwerdeführerin in einer vergleichbaren Situation wie Ärztinnen und Ärzte bei einer Nichtzulassung im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung befinde. Die diesbezüglichen Fragen brauchen allerdings nicht geklärt zu werden.
2.5.2. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass die Vorinstanz einen Bedarf an der Anlage Weiherweid für das ausserdienstliche Schiesswesen aus einer übergeordneten Perspektive verneint hat. Die Beschwerdeführerin hat vor Bundesgericht nicht substanziiert die Feststellungen der Vorinstanz zur unterschiedlichen Situation der drei vorgenannten Schiessanlagen in Bezug auf die Lärmempfindlichkeit der Umgebung in Frage gestellt. Ebenso wenig hat sie in der Beschwerdeschrift der vorinstanzlichen Annahme widersprochen, dass vom Lärmrecht her zusätzliche Schiesshalbtage bei den Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad angesetzt werden könnten. Zwar hat die Beschwerdeführerin am 16. Dezember 2020 die Verfügung der Dienststelle Umwelt und Energie der Stadt St. Gallen vom 11. September 2020 über die lärmrechtliche Sanierung der Schiessanlage Weiherweid vorgelegt. In dieser Verfügung wird erwogen, eine Verlegung des Schiessbetriebs sei mangels Alternative keine Möglichkeit. Diese Verfügung erging jedoch nach dem angefochtenen Entscheid. Bei den darin enthaltenen Annahmen zu einer allfälligen Verlegbarkeit des Schiessbetriebs handelt es sich um echte Noven, die im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden können (vgl. BGE 143 V 19 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.5.3. Unter Zugrundelegung der Feststellungen der Vorinstanz ist es nachvollziehbar, dass ein Schiessbetrieb auf den Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad erhebliche Vorteile gegenüber der Anlage Weiherweid bezüglich Lärmimmissionen in der Umgebung aufweist. Ausgehend von der für das Bundesgericht verbindlichen Prognose im angefochtenen Entscheid ist auch anzunehmen, dass die Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad an sich über genügende Ausbaureserven verfügen, um den gesamten Bedarf der Stadt St. Gallen für das ausserdienstliche Schiesswesen sicherzustellen. Immerhin ist anzuerkennen, dass die Beschwerdeführerin in langer Tradition freiwillig Aufgaben im ausserdienstlichen Schiesswesen auf einer eigenen Anlage ausübt und dadurch einen Teil des kommunalen Bedarfs abdeckt. Die angesprochenen Vorteile betreffend Lärm- bzw. Umweltschutz bei den Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad im Vergleich zur Anlage Weiherweid sind indessen ein verfassungsrechtlich zulässiger Grund dafür, dass die Beschwerdegegnerin ihre finanzielle Beteiligung an der Infrastruktur auf die beiden erstgenannten Anlagen beschränkt. Denn das Gebot der Wettbewerbsneutralität ist Differenzierungen aus Gründen des Umweltschutzes zugänglich (vgl. oben E. 2.4). Die auf den Anlagen Ochsenweid und Schaugenbad tätigen Schiessvereine unterliegen der Einschränkung, dass das ausserdienstliche Schiesswesen den Aktivitäten im privaten Schiesssport vorgeht. Das ist bei der Beschwerdeführerin nicht in gleicher Weise der Fall. Wenn sie daran festhält, den Schiesssport und ausserdienstliche Schiessübungen weiterhin auf ihrer Anlage zu betreiben, ist es für sie zumutbar, dies ohne finanzielle Beiträge der Beschwerdegegnerin an die Investitionen bei dieser Anlage zu tun. Daher vermöchte der Vorwurf der Missachtung der Wirtschaftsfreiheit nicht durchzudringen, soweit diese tangiert ist.
2.5.4. Vor diesem Hintergrund gehen auch die Gehörsrügen, die im Zusammenhang mit der Wirtschaftsfreiheit erhoben worden sind, fehl. Vorliegend kommt es nicht auf den genauen Umfang der finanziellen Leistungen der Beschwerdegegnerin bei den drei Anlagen oder auf die Anzahl der aktuell betroffenen Schützen an. Insoweit durfte die Vorinstanz in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung ohne Gehörsverletzung auf weiteren Abklärungen verzichten (vgl. dazu BGE 144 II 427 E. 3.1.3 mit Hinweisen). Im Übrigen hat sich die Vorinstanz genügend mit dem von der Beschwerdeführerin ins Feld geführten Beschluss des Stadtrats St. Gallen vom 21. Januar 2003 auseinandergesetzt, mit dem die Baurechtsverträge betreffend die Schiessanlage Ochsenweid genehmigt wurden. Jener Beschluss enthält in den Erwägungen die Aussage, wonach mit der damals geplanten Sanierung der Anlage Weiherweid und den weiteren Anlagen auf Gemeindegebiet der Bedarf an Schiessanlagen für die Beschwerdegegnerin für längere Zeit gedeckt sei. Dieser Satz ist im angefochtenen Entscheid nicht zitiert worden. Die Vorinstanz hat jedoch auf die Grundhaltung der Beschwerdegegnerin zur Anlage Weiherweid in der Vergangenheit hingewiesen. Dabei wurde die Beschwerdeführerin in die Lage versetzt, den angefochtenen Entscheid auch in dieser Hinsicht sachgerecht anzufechten (vgl. BGE 142 II 49 E. 9.2 mit Hinweisen).
2.6. Darüber hinaus ist im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde auf die Rügen in der Sache, die das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV) und das Willkürverbot (Art. 9 BV) anrufen, nicht einzutreten. Wie dargelegt ist kein Rechtsanspruch auf Beiträge einer Gemeinde an eine private Schiessanlage auf dem eigenen Gemeindegebiet dargetan (vgl. oben E. 1.5). Bei fehlendem Rechtsanspruch ist die Überprüfung eines Ermessensentscheids in der Sache unter dem Blickwinkel des Willkürverbots und des allgemeinen Rechtsgleichheitsgebots im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde ausgeschlossen (vgl. BGE 138 I 305 E. 1.3).
Soweit die Beschwerdeführerin Sachverhalts- und Gehörsrügen ausserhalb des Schutzbereichs der Wirtschaftsfreiheit erhebt, sind diese Vorbringen ebenfalls nicht zu hören, denn sie lassen sich nicht von einer materiellen Prüfung unter Gleichheits- und Willkürgesichtspunkten trennen. Zwar kann im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde trotz fehlender Legitimation in der Sache eine Verletzung von Verfahrensrechten geltend gemacht werden, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (sog. "Star"-Praxis). Unzulässig sind aber Vorbringen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids hinauslaufen (vgl. BGE 137 I 128 E. 3.1.1; 137 II 305 E. 2; je mit Hinweisen).
2.7. Die Beschwerde richtet sich nicht nur gegen die Verweigerung von Beiträgen an eine Schiessanlage, sondern auch gegen die Auflage von Verfahrenskosten durch die erste Instanz. Die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde ist im Hinblick auf die Kostenauflage gegeben; die Rechtsprechung nimmt insoweit generell ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von Art. 115 lit. b BGG an. Dabei bleibt die verfassungsrechtliche Kontrolle allerdings auf den Kostenspruch beschränkt und kann nicht dazu führen, dass indirekt auch der Entscheid in der Sache überprüft wird (vgl. Urteile 2C_1088/2016 vom 2. Juni 2017 E. 1.4; 2C_700/2008 vom 18. Juni 2009 E. 1.5; vgl. auch BGE 129 II 295 E. 2). Ausserdem kann der in diesem Zusammenhang angerufene Grundsatz des Vorrangs des Bundesrechts (Art. 49 BV) als verfassungsmässiges Individualrecht angerufen werden (BGE 144 I 113 E. 6.2 mit Hinweisen). Er schliesst in Sachgebieten, welche die Bundesgesetzgebung abschliessend regelt, eine Rechtssetzung durch die Kantone aus. In Sachgebieten, die das Bundesrecht nicht abschliessend ordnet, dürfen die Kantone nur Vorschriften erlassen, die nicht gegen Sinn und Geist des Bundesrechts verstossen und dessen Zweck nicht beeinträchtigen oder vereiteln (vgl. BGE 146 I 20 E. 4.1 mit Hinweisen).
2.8. Die erstinstanzliche Auflage von Verfahrenskosten stützt sich auf Art. 94 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP; sGS 951.1). Wer eine Amtshandlung zum eigenen Vorteil oder durch sein Verhalten veranlasst, hat nach dieser Bestimmung die vorgeschriebene Gebühr zu entrichten und kann überdies zum Ersatz der Barauslagen der Behörde verpflichtet werden. Die Beschwerdeführerin hält dem Art. 43 Schiessverordnung entgegen. Danach dürfen keine Gebühren für Verfügungen, die das Schiesswesen ausser Dienst betreffen, erhoben werden. Die Vorinstanz ist der Ansicht, dass das Schiesswesen ausser Dienst im Sinne von Art. 43 Schiessverordnung vorliegend nicht Verfahrensgegenstand bilde. Die Beschwerdeführerin vertritt das Gegenteil. Ihre Vorbringen lassen sich nicht anders verstehen, als dass Art. 43 Schiessverordnung abschliessendes Bundesrecht darstellen soll, das in ihrem Fall der Kostenpflicht nach Art. 94 Abs. 1 VRP vorgehe. Im Rahmen dieser insoweit rechtsgenüglich vorgebrachten Verfassungsrüge ist dieser Punkt zu überprüfen.
2.9. Die Schiessverordnung stützt sich gemäss dem Ingress auf Art. 63 Abs. 3 und 4, Art. 125 Abs. 3 und Art. 150 MG. Die Regelungskompetenz des Bundesrats nach Art. 63 Abs. 3 und 4 MG betrifft Einzelheiten der Schiesspflicht der Angehörigen der Armee. Nach Art. 125 MG ernennen die Kantone die kantonalen Schiesskommissionen und anerkennen die Schiessvereine (Abs. 1). Sie entscheiden über den Betrieb von Schiessanlagen für das Schiesswesen ausser Dienst und weisen Schiessvereine den Anlagen zu (Abs. 2). Der Bundesrat regelt den Zuständigkeitsbereich und die Pflichten der Kantone (Abs. 3). Art. 150 MG sieht eine allgemeine Kompetenz des Bundesrats zum Erlass von Ausführungsrecht vor.
Der Streitgegenstand im vorliegenden Fall liegt nicht im Anwendungsbereich der Schiessverordnung oder der übergeordneten Art. 63 und 125 MG. Zwar haben die anerkannten Schiessvereine die ausserdienstlichen Schiessübungen zu organisieren und erhalten dafür finanzielle Unterstützung vom Bund (vgl. Art. 63 Abs. 2 und 6 i.V.m. Art. 125 Abs. 1 MG sowie Art. 9, 19, 23 ff. und 38 ff. Schiessverordnung). Im Streit liegen aber nicht Beiträge an den Schiessbetrieb, sondern Investitionsbeiträge, und zwar als an die Standortgemeinde gerichtetes Begehren. Im Übrigen führt die von der Beschwerdeführerin ins Feld geführte Schiessanlagen-Verordnung (SchAV) gemäss ihrem Ingress Art. 133 Abs. 3 MG aus, wonach das VBS Vorschriften über Lage, Bau und Betrieb von Schiessanlagen für das Schiesswesen ausser Dienst sowie über die zulasten der Schiessvereine gehenden Einrichtungen erlässt. Auch Art. 133 Abs. 1 MG über die Pflicht der Gemeinden zur Sicherstellung von Schiessanlagen für ausserdienstliche Schiessübungen dient einem von Art. 63 und 125 MG hinlänglich abgrenzbaren Regelungszweck. Angesichts dieser unterschiedlichen formell-gesetzlichen Grundlagen ist der Beschwerdeführerin nicht zu folgen, wenn sie eine Rangordnung unter den beiden Verordnungen aufgrund ihrer Erlassbehörden (Bundesrat bzw. VBS) zu konstruieren versucht und daraus einen Vorrang von Art. 43 Schiessverordnung ableitet. Inwiefern eine Kostenpflicht der Gesuchsteller bei erstinstanzlichen Verfahren über Beiträge nach Art. 8 SchAV gegeben ist, ist somit unabhängig von Art. 43 Schiessverordnung zu beurteilen. An diesem Ergebnis ändert der Umstand nichts, dass Art. 8 SchAV beim Kriterium der Zuweisung von Anlagen an Art. 29 Schiessverordnung anknüpft. Da Art. 43 Schiessverordnung vorliegend nicht anwendbar ist, hilft es der Beschwerdeführerin nicht weiter, wenn sie diese Bestimmung als abschliessend im Verhältnis zum kantonalen Verfahrensrecht hinstellt. Deshalb steht der Anwendbarkeit von Art. 94 VRP im vorliegenden Zusammenhang nichts entgegen. Die gerügte Verletzung der derogatorischen Kraft des Bundesrechts liegt nicht vor.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Politischen Gemeinde St. Gallen, dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, und dem Eidgenössischen Departement für Verteidigung, Bevölkerungsschutz und Sport (VBS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet