Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wirft seiner Ex-Ehefrau und deren Bruder vor, ihn zu Unrecht als gewalttätig bezeichnet zu haben. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn nahm die Strafanzeige des Beschwerdeführers wegen übler Nachrede mit Verfügung vom 30. September 2019 nicht an die Hand. Die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn am 20. Februar 2020 ab. Der Beschwerdeführer gelangt dagegen mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Begründung ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 143 I 377 E. 1.2 und 1.3 S. 380). Die Begründung muss sachbezogen sein und erkennen lassen, dass und weshalb nach Auffassung des Beschwerdeführers Recht verletzt ist (BGE 142 I 99 E. 1.7.1 S. 106; 140 III 86 E. 2 S. 88 ff.; 139 I 306 E. 1.2 S. 308 f.). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegrün de. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.
Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht nicht dar, dass und weshalb ihm aufgrund der angezeigten Straftaten Zivilforderungen zustehen könnten. Solche Forderungen sind aufgrund der Natur der Vorwürfe auch nicht ohne Weiteres ersichtlich (vgl. etwa Urteile 6B_557/2020 vom 3. Juni 2020 E. 4; 6B_803/2019 vom 21. August 2019 E. 3.2). Der Beschwerdeführer ist in der Sache mangels Zivilforderungen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG daher nicht zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
Im Übrigen vermag die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen auch in der Sache nicht zu genügen. Die Vorinstanz erachtet den Gutglaubensbeweis im Sinne von Art. 173 Ziff. 2 StGB als erbracht, da der Beschwerdeführer eingestand, seine Ex-Ehefrau beim angesprochenen Vorfall geschubst zu haben. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen vorinstanzlichen Erwägungen nicht auseinander. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht, weshalb der angefochtene Entscheid gegen Bundesrecht verstossen soll. Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde zudem, soweit der Beschwerdeführer darin neue Vorwürfe gegenüber seiner Ex-Ehefrau erhebt, die nicht Gegenstand der ursprünglichen Strafanzeige waren, auf welche sich die angefochtene Nichtanhandnahme bezieht (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG).
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld