Erwägungen:
1.
Die Regionale Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland wies mit Verfügung vom 13. Februar 2019 diverse Anträge von A._ auf Entschädigung ab. Dagegen erhob A._ am 16. Mai 2019 Beschwerde und ersuchte gleichzeitig um Fristwiederherstellung. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern wies mit Beschluss vom 24. Mai 2019 das Wiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, zugunsten des Beschwerdeführers sei davon auszugehen, dass er von der Verfügung vom 13. Februar 2019 (spätestens) am 29. April 2019 Kenntnis genommen hatte. Die 10-tägige Beschwerdefrist sei somit am 9. Mai 2019 abgelaufen, weshalb die Beschwerde vom 16. Mai 2019 verspätet erhoben worden sei. Den Beschwerdeführer treffe ein Verschulden an der verspäteten Beschwerdeerhebung. Daran vermöge auch das eingereichte Arztzeugnis nichts zu ändern, das dem Beschwerdeführer (bloss) eine Arbeitsunfähigkeit bis am 30. April 2019 attestierte. Dem Beschwerdeführer wäre es möglich gewesen, die 10-Tagesfrist zu wahren oder mit der Fristwahrung einen Dritten zu betrauen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 27. Juni 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerde kurz vor Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG eingereicht. Da gesetzlich bestimmte Fristen nicht erstreckt werden können (Art. 47 Abs. 1 BGG), kann seinem Gesuch um angemessene Erstreckung der Beschwerdefrist, damit ein noch zu ernennender unentgeltlicher Rechtsbeistand eine Beschwerdeergänzung einreichen könne, nicht entsprochen werden.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass die Beschwerdekammer in Strafsachen bei der Behandlung der Beschwerde und des Fristwiederherstellungsgesuchs Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte. Der Beschwerdeführer legt nicht im Einzelnen und nachvollziehbar dar, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer in Strafsachen bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist auf eine Kostenauflage zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli