Faits :
A.
Après un premier refus de prestations (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] du 20 juin 2016), A._, née en 1964, s'est annoncée auprès de l'assurance-invalidité pour une détection précoce en mars 2017. Elle a par la suite sollicité des prestations de l'assurance-invalidité, en présentant d'abord une requête d'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative, dans laquelle elle indiquait être représentée par M e Jean-Michel Duc (correspondance du 22 juin 2017), puis en déposant le formulaire officiel de demande de prestations le 12 décembre 2017.
Par décision du 13 décembre 2018, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande d'assistance juridique.
B.
Statuant le 5 août 2019 sur le recours formé par A._ contre la décision du 13 décembre 2018, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à l'octroi de l'assistance juridique pour la procédure administrative et à la désignation de M e Duc en qualité de défenseur d'office. A titre subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause à l'instance cantonale pour nouvelle décision. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement attaqué, en tant qu'il porte sur le refus de l'assistance juridique pour la procédure administrative en matière d'assurance sociale au sens de l'art. 37 al. 4 LPGA, constitue une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF (ATF 139 V 600 consid. 2.2 p. 602 s.). Le recours n'est dès lors recevable que si ladite décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF), la seconde hypothèse prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'entrant manifestement pas en considération.
1.2. En l'espèce, le jugement entrepris est susceptible de causer à la recourante un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, dans la mesure où la procédure administrative pour laquelle l'assistance juridique a été refusée n'est pas terminée (arrêts 9C_307/2018 du 21 décembre 2018 consid. 1.2 et 9C_516/2018 du 17 octobre 2018 consid. 2.1.2). Il convient dès lors d'entrer en matière sur le recours.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (art. 97 al. 1 LTF).
3.
3.1. Le litige a trait au droit de la recourante à l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure administrative conduite par l'office intimé. Il s'agit d'une question de droit que le Tribunal fédéral examine librement (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF; arrêt 9C_440/2018 du 22 octobre 2018 consid. 3 et les arrêts cités).
3.2. Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure administrative en matière d'assurances sociales (art. 37 al. 4 LPGA; ATF 132 V 200 consid. 4.1 p. 200 s. et les références; 130 I 180 consid. 2.2 p. 182; arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007). Il suffit d'y renvoyer.
4.
La juridiction cantonale a nié que les circonstances concrètes du cas d'espèce fussent particulières au point d'exiger l'assistance d'un avocat au stade déjà de l'instruction de la demande de prestations. Elle a considéré que les questions litigieuses, qui consistaient essentiellement à évaluer l'état de santé de la recourante et sa capacité de travail, étaient des questions qui se posaient communément dans la plupart des procédures ayant pour objet le droit à des prestations de l'assurance-invalidité, et qui ne comportaient intrinsèquement aucune difficulté particulière. Par ailleurs, le fait qu'il s'agissait d'une seconde demande de prestations n'impliquait pas des complications procédurales qu'un assistant social ou un représentant d'une association chargée de la défense des intérêts des assurés n'eût pu gérer. Aussi, l'instance précédente a-t-elle confirmé la décision rendue par l'office intimé le 13 décembre 2018.
5.
5.1. Dans un premier grief, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir commis un déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.) et violé l'art. 6 CEDH, en ce qu'elle aurait "totalement omis de prendre en considération, voire passé sciemment sous silence" certains griefs pourtant "circonstanciellement" motivés, notamment le fait que l'administration aurait adopté un comportement contraire à la bonne foi. A cet égard, l'assurée soutient que pour lui refuser le droit à l'assistance juridique gratuite, l'office AI se serait fondé sur des informations qu'elle avait confiées au responsable de la communication de cet office au cours d'un entretien "informel et qui aurait dû rester confidentiel".
5.2. Le Tribunal fédéral a déduit du droit d'être entendu, consacré par l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision. Une autorité judiciaire n'a effectivement pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, les moyens de preuve et les griefs invoqués par les parties mais, au contraire, peut se limiter à examiner les questions décisives pour l'issue du litige. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision. Une autorité judiciaire ne commet un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. que si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (ATF 143 III 65 consid. 5.2 p. 70; 142 II 154 consid. 4.2 p. 157; 141 V 557 consid. 3.2.1 p. 564).
5.3. En l'espèce, les griefs sur lesquels la recourante reproche à la juridiction cantonale de ne pas s'être prononcée ne sont pas décisifs pour l'issue du litige. En effet, la motivation de la décision de refus du droit à l'assistance juridique gratuite porte avant tout sur le fait qu'un tiers aurait pu assister utilement la recourante. Si l'office intimé s'est référé dans sa motivation à l'entretien que son responsable de la communication avait eu avec l'assurée en juillet 2018, il a seulement indiqué que la recourante n'avait pas présenté de désorganisation de la pensée ou du comportement qui aurait rendu compliqué l'entretien. Il n'a donc rien tiré de plus de cet entretien que la constatation d'un contact exempt de difficultés avec l'assurée au moment ponctuel de leur rencontre.
5.4. Par ailleurs, contrairement à ce que soutient la recourante, on ne saurait déduire de l'échange de courriels qu'elle a eu avec le responsable de la communication en juillet 2018 un accord ou une clause de confidentialité concernant leur rencontre que celui-ci aurait violé. Selon le compte-rendu du collaborateur de l'office AI, il s'agissait d'un entretien "à titre purement informatif", destiné à expliquer à l'assurée le fonctionnement des prestations de l'assurance-invalidité, et au cours duquel celle-ci a en particulier rappelé les divers éléments en lien avec ses problèmes de santé (note du 16 juillet 2018). A la suite de l'entretien, l'assurée a indiqué, par courriel du 25 juillet 2018, qu'elle s'engageait à garder l'entretien confidentiel, sans que le collaborateur ne réagisse sur ce point. De plus, le fait que le responsable de la communication de l'office intimé a établi une note concernant l'entretien correspond aux exigences en matière de procédure administrative. En relation avec l'art. 43 al. 1, 2e phrase, LPGA, selon lequel l'assureur est tenu de consigner par écrit les renseignements donnés oralement, on ne saurait reprocher à un collaborateur de l'assurance-invalidité d'avoir fait une note dans le cadre d'un échange informel, étant précisé que le secret de fonction à l'égard des tiers au sens de l'art. 33 LPGA s'appliquait sans restriction. Dans ces circonstances, on ne voit dès lors pas en quoi l'office intimé aurait adopté un comportement contraire à la bonne foi. En conséquence, l'absence de mention, par la juridiction cantonale, de l'entretien en cause et du grief y relatif de la recourante ne suffit pas pour retenir un déni de justice au regard de la motivation du jugement dans son ensemble.
6.
6.1. S'agissant du litige sur le fond, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir violé l'art. 37 al. 4 LPGA et établi les faits de manière inexacte (art. 97 et 105 LTF) pour nier son droit à l'assistance juridique gratuite. Elle fait valoir que les circonstances du cas d'espèce étaient "particulières et exceptionnelles" au point de rendre nécessaire l'assistance d'un avocat durant la procédure administrative.
6.2. Le recours à l'aide sociale et l'absence de formation juridique de la recourante ne sont pas des circonstances particulières qui permettent de considérer qu'elle ne serait pas en mesure de s'orienter dans une procédure administrative tendant à l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité. Quant au fait également invoqué par l'assurée qu'elle souffrirait de troubles psychiques, s'il n'est pas exclu qu'il s'agisse d'une circonstance qui peut justifier une assistance par un tiers, selon l'étendue des limitations provoquées par lesdits troubles, il ne suffit pas pour retenir que l'assistance d'un avocat est nécessaire. Il faut en effet encore déterminer, au regard de la difficulté du cas du point de vue objectif, si une assistance fournie par un assistant social ou un autre professionnel ou personne de confiance se serait révélée suffisante (cf. arrêt 9C_786/2017 du 21 février 2018 consid. 4.1).
6.3. A cet égard, c'est en vain que la recourante soutient que la cause était complexe au point d'exclure que l'assistance pût être fournie par une personne autre qu'un avocat. Il s'agissait en effet de déterminer le droit de l'assurée à une rente d'invalidité dans le cadre d'une seconde demande de prestations, ce qui impliquait, dans un premier temps, que l'assurée rendît plausible une aggravation de son état de santé, par la production de rapports médicaux récents attestant d'une telle évolution. L'office AI avait d'ailleurs informé la recourante des démarches à entreprendre et l'avait rendue attentive à la nécessité de celles-ci (correspondance du 24 avril 2017). Dans ce cadre, la collecte des rapports médicaux nécessaires et leur transmission à l'administration sont des tâches qui auraient pu être assumées par un assistant social ou un représentant d'une association chargée de la défense des intérêts des assurés. Quant à la suite de la procédure d'instruction, consistant à déterminer au moyen d'une appréciation des éléments médicaux rassemblés si une aggravation notable de l'état de santé est intervenue depuis le précédent refus de prestations, elle n'exige pas non plus l'assistance d'un avocat, à moins de circonstances particulières (arrêt 8C_760/2016 du 3 mars 2017 consid. 3.3), que l'assurée ne met pas en évidence. A cet égard, contrairement à ce qu'elle soutient, le fait que l'office AI se serait fondé sur les informations obtenues au cours de l'entretien qu'elle a eu avec le responsable de la communication de l'office intimé pour lui refuser le droit à l'assistance juridique gratuite, ne constitue pas une telle circonstance, vu l'absence de violation de la bonne foi (consid. 5.4 supra).
En outre, en ce que la recourante fait valoir que l'évaluation du caractère invalidant des troubles psychiques qu'elle présente constitue une problématique complexe, elle ne met pas non plus en évidence une question de droit qui aurait rendu nécessaire l'intervention d'un mandataire professionnel. La Cour de céans a certes déjà eu l'occasion de dire que la détermination du caractère invalidant de troubles psychiques peut dans certains cas soulever des questions de droit ou de fait susceptibles de rendre nécessaire l'intervention d'un mandataire professionnel (cf., p. ex., arrêt 9C_440/2018 précité consid. 5.2 relatif à une situation caractérisée par une intrication de problèmes de nature psychique, partiellement liés à la thématique de la dépendance, et de problèmes liés au contexte socioéconomique). On ne saurait toutefois en déduire que la nécessité du recours à un avocat doit être admise du seul fait que l'assuré présente des troubles psychiques. Or en soutenant que les médecins ont posé des diagnostics différents pour une même atteinte à la santé, la recourante ne met pas en évidence une question de droit d'une complexité suffisante pour rendre nécessaire l'assistance d'un avocat.
6.4. La recourante ne peut pas non plus être suivie lorsqu'elle allègue que sans l'assistance de son conseil, l'office intimé aurait vraisemblablement refusé d'entrer en matière sur sa seconde demande de prestations, avec pour conséquence, qu'à l'heure actuelle, celle-ci aurait sans doute été indûment rejetée. L'argumentation par laquelle l'assurée met en évidence toutes les démarches effectuées par son conseil durant la procédure administrative relève en effet d'une appréciation rétrospective, alors que la nécessité de la représentation par un avocat doit en principe être examinée de manière prospective au moment de la requête (arrêts 9C_246/2015 du 6 janvier 2016 consid. 3.2.1; 9C_993/2012 du 16 avril 2013 consid. 4.2.2 et les références).
De plus, si dans un premier temps, l'office AI a informé l'assurée qu'il ne comptait pas entrer en matière sur sa seconde demande de prestations (projet de décision du 8 mars 2018), il est ensuite revenu sur sa position et a considéré que des mesures d'instruction s'imposaient afin de clarifier le droit de la recourante à des prestations. Rien n'indique que les démarches effectuées par le conseil de l'assurée dans ce contexte n'auraient pas pu être accomplies par une tierce personne avisée. Dans ses objections à l'encontre du projet de décision de non-entrée en matière, l'avocat s'est pour l'essentiel référé à des rapports médicaux qu'il a joints à ses courriers pour rendre plausible une aggravation de l'état de santé de sa mandante, et a requis la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire (correspondances des 12 avril, 26 juillet, 30 octobre et 21 novembre 2018). Comme précédemment indiqué, on ne voit pas qu'un assistant social n'aurait pas été en mesure d'interpeler les médecins traitants de la recourante et s'opposer valablement au refus de l'office AI (consid. 6.3 supra).
6.5. A l'inverse de ce que prétend finalement la recourante, le Tribunal fédéral n'a pas admis de manière générale que lorsqu'un avocat est intervenu précédemment en faveur d'un assuré pour une demande de prestations auprès de la même assurance, l'octroi de l'assistance juridique gratuite se justifie au vu de la perte de temps et des frais supplémentaires inutiles qu'entraînerait le recours à un assistant social. Suivre un tel raisonnement reviendrait en effet à admettre le droit à l'assistance juridique gratuite dans une procédure administrative du seul fait que dans une procédure précédente l'assuré avait déjà été représenté par un avocat. Dans l'arrêt 9C_668/2009 du 25 mars 2010 (consid. 4.2) auquel se réfère la recourante, le Tribunal fédéral a considéré que le contexte particulier de l'affaire rendait nécessaire l'assistance d'un conseil juridique; à titre subsidiaire, il a ajouté qu'au vu de la longueur de la procédure déjà écoulée du fait notamment d'une procédure de recours ayant conduit au renvoi de la cause à l'office AI et à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise, il n'apparaissait pas critiquable de désigner le mandataire de l'assuré comme défenseur d'office. Les circonstances du cas d'espèce ne sont pas comparables, compte tenu déjà de l'absence de prolongement inhabituel de la procédure.
7.
Dans la mesure où l'assistance d'un avocat doit demeurer l'exception (ATF 132 V 200 consid. 4.1 p. 201 et les arrêts cités) et au vu de l'absence de complexité particulière de la cause sur les plans des faits et du droit, l'assistance d'un mandataire professionnel n'apparaissait pas nécessaire en l'espèce. Le recours est dès lors mal fondé.
8.
Dans les litiges concernant l'assistance juridique gratuite, le Tribunal fédéral peut renoncer à mettre des frais judiciaires à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 LTF; arrêt 9C_786/2017 précité consid. 6 et les arrêts cités). La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est dès lors sans objet sur ce point.
En ce qui concerne la demande d'assistance judiciaire visant à la désignation d'un avocat d'office, les conditions d'octroi en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF) et l'assistance judiciaire lui est accordée. La recourante est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise dans la mesure où elle n'est pas sans objet. Maître Jean-Michel Duc est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de 2800.- fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 janvier 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud