Faits :
A.
A.a. La faillite de H._ SA a été prononcée le 24 février 1999. A._ était l'un des administrateurs de cette société. Par demande du 25 novembre 2002, la masse en faillite de H._SA a ouvert action contre le susnommé. Par jugement du 6 septembre 2011, le Juge IV du district de Sion a condamné A._ au paiement de 503'030 fr. plus intérêts; ce montant correspond au préjudice causé à la société ensuite de la violation de ses devoirs d'administrateur par le défendeur, qui a tardé à déposer le bilan (art. 754 al. 1 CO). Cette décision a été confirmée par le Tribunal cantonal valaisan le 8 janvier 2013, puis par le Tribunal fédéral le 7 août 2013 (arrêt 4A_84/2013).
A.b. Le 9 mai 2017, A._ a déposé plainte pénale pour escroquerie et faux dans les titres contre l'administration spéciale de la masse en faillite de H._ SA, dont I._ était membre. Le 19 octobre 2017, il indiquera que sa plainte est déposée contre inconnu et il l'étendra par la suite aux infractions d'abus d'autorité et de corruption. Par sa plainte, A._ entendait dénoncer le comportement pénalement répréhensible qui aurait consisté à admettre à l'état de collocation, publié une première fois le 2 mars 2000, des salaires prétendument fictifs à hauteur de 140'549 fr.52, puis à établir, le 27 août 2014, le tableau de distribution des deniers correspondant et, enfin, à répartir abusivement la somme susmentionnée lors de la distribution des deniers en 2015.
Le 27 février 2018, le Ministère public valaisan a rendu une ordonnance de non-entrée en matière. Par ordonnance du 14 mars 2019, la Chambre pénale du Tribunal cantonal du Valais, composée du juge B._ et d'un greffier, a rejeté le recours formé par A._. Elle a retenu un empêchement définitif de procéder au sens de l'art. 310 al. 1 let. b CPP, à savoir la prescription acquise de l'action pénale, et a conclu au caractère justifié du refus d'entrer en matière. Par arrêt du 14 janvier 2020 (6B_511/0219), le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours formé par A._ contre l'ordonnance de la Chambre pénale.
B.
B.a. Par demande du 4 octobre 2013, A._ a intenté contre la Banque D._, E._, F._ et G._ une action récursoire au sens de l'art. 759 al. 2 CO, tendant au paiement de 503'030 fr. plus intérêts.
Par jugement du 13 juin 2019 envoyé le 6 mai 2020, le Juge II du district de Sion a rejeté la demande.
A._ a interjeté appel. Agissant en qualité de juge instructeur pour la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan, le Juge C._ a adressé une demande d'avance à l'appelant.
B.b. Le 17 juin 2020, A._ a demandé la récusation de ce magistrat. La requête a été transmise au Juge B._, vice-Président du Tribunal cantonal, comme objet de sa compétence.
B.c. Le 22 juin 2020, A._ a demandé la récusation dudit juge, lequel a contesté les motifs de récusation invoqués à son encontre.
Par décision du 9 décembre 2020, le Président ad hoc du Tribunal cantonal valaisan a rejeté la requête de récusation dirigée contre le juge cantonal B._.
C.
A._ interjette un recours en matière civile. Il conclut à l'admission de la récusation du juge cantonal B._.
Aucune détermination n'a été requise.
Considérant en droit :
1.
La décision attaquée est une décision séparée relative à la récusation du juge cantonal saisi d'une demande de récusation du juge cantonal chargé d'instruire l'appel du recourant. Prononcée par le tribunal supérieur valaisan dans le cadre d'une procédure d'appel, cette décision incidente ne peut faire l'objet d'un recours au niveau cantonal; conformément à l'art. 92 LTF, elle peut être déférée au Tribunal fédéral (al. 1) et doit être attaquée immédiatement (al. 2) (cf. ATF 137 III 424 consid. 2.2; Message du 28 juin 2006 relatif au CPC, FF 2006 6984 ch. 5.23.2 Art. 316; DENIS TAPPY, in Commentaire romand, Code de procédure civile, 2e éd. 2019, nos 19 et 35 ad art. 50 CPC; PETER DIGGELMANN, in ZPO Schweizerische Zivilprozessordnung Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander éd., 2e éd. 2016, n° 3 ad art. 50 CPC).
Au surplus, la décision entreprise a été rendue dans le contexte d'une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Interjeté par le recourant, qui a succombé (art. 76 al. 1 LTF), dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 56 let. f CPP (sic) et de l'art. 30 al. 1 Cst. Il reproche au Président ad hoc du Tribunal cantonal une mauvaise appréciation des motifs de récusation du juge intimé.
Le motif de prévention dont le recourant se prévaut réside essentiellement dans les considérants de l'ordonnance du 14 mars 2019 par laquelle l'intimé, composant la Chambre pénale du Tribunal cantonal, a rejeté le recours contre le refus du Ministère public d'entrer en matière sur la plainte du recourant dénonçant diverses infractions commises dans le cadre de la faillite de H._ SA. A cette occasion, le juge a retenu un empêchement définitif de procéder en raison de la prescription de l'action pénale; il a considéré que les infractions pouvant entrer en ligne de compte n'auraient pu être commises qu'avant la publication du premier état de collocation, le 2 mars 2000, ou celle du second état de collocation, le 2 avril 2003, et que tant le délai de 10 ans selon l'ancien droit que celui de 15 ans selon le nouveau droit seraient dès lors échus.
Selon le recourant, en faisant partir le délai de prescription de l'état de collocation, et non du tableau de distribution des deniers du 27 août 2014 à l'origine de la plainte, le juge intimé se serait sciemment trompé afin de faire croire que l'action pénale était prescrite; ce faisant, il aurait volontairement protégé certaines personnes, dont I._, de poursuites pénales et empêché le recourant de demander la révision du jugement du Tribunal cantonal du 8 janvier 2013, ce qui démontrerait la partialité de ce magistrat. Le recourant ajoute qu'il a déposé auprès de la Commission de Justice du Grand Conseil valaisan (COJU) une plainte en relation avec un éventuel abus d'autorité du juge intimé pour avoir laissé prescrire une infraction; contrairement à ce que le Président ad hoc du Tribunal cantonal a admis, il ne s'agirait donc pas d'une plainte concernant, de manière générale, le fonctionnement du Tribunal cantonal.
Le recourant voit également une preuve de la partialité du juge intimé dans le fait qu'il ne s'est pas récusé spontanément, alors que ses collègues ayant siégé dans des procédures connexes à l'affaire pénale l'ont fait.
2.1. La garantie d'un juge indépendant et impartial telle qu'elle résulte de l'art. 30 al. 1 Cst. et de l'art. 6 ch. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure (en l'occurrence l'art. 47 CPC), de demander la récusation d'un magistrat dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation uniquement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de la part du juge ne peut être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat; cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en considération, les impressions purement individuelles n'étant pas décisives (ATF 144 I 159 consid. 4.3 et les arrêts cités).
L'art. 47 al. 1 CPC dresse une liste de motifs de récusation. Les magistrats et les fonctionnaires judiciaires sont récusables dans les situations décrites aux let. a à e, notamment s'ils ont agi dans la même cause à un autre titre, en particulier comme membre d'une autorité, comme conseil juridique d'une partie, comme expert, comme témoin ou comme médiateur (let. b); à cet égard, la notion de "même cause" s'entend de manière formelle, c'est-à-dire comme la procédure ayant conduit à la décision attaquée ou devant conduire à celle attendue, mais n'englobe pas une procédure distincte ou préalable se rapportant à la même affaire au sens large, soit au même ensemble de faits et de droits concernant les mêmes parties. Pour être récusable, le juge doit en plus être intervenu "à un autre titre", c'est-à-dire dans des fonctions différentes (cf. ATF 143 IV 69 consid. 3.1 et les arrêts cités). La garantie du juge impartial ne commande pas non plus la récusation d'un juge au seul motif qu'il a, dans une procédure antérieure - voire dans la même affaire - tranché en défaveur du requérant (ATF 143 IV 69 consid. 3.1; 129 III 445 consid. 4.2.2.2).
Par ailleurs, l'art. 47 al. 1 CPC comprend une clause générale, prescrivant la récusation des magistrats et fonctionnaires judiciaires qui pourraient être prévenus de toute autre manière, notamment en raison d'un rapport d'amitié ou d'inimitié avec une partie ou son représentant (let. f). Cette disposition doit être appliquée dans le respect des principes de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 30 al. 1 Cst. (ATF 140 III 221 consid. 4.2; 139 III 433 consid. 2.2). Des liens d'amitié ou une inimitié peuvent créer une apparence objective de partialité à condition qu'ils soient d'une certaine intensité. En principe, des rapports de voisinage, des études communes ou des contacts réguliers dans un cadre professionnel ne suffisent pas (ATF 144 I 159 consid. 4.3). Pour constituer un motif de récusation, la relation doit, par son intensité et sa qualité, être de nature à faire craindre objectivement que le juge soit influencé dans la conduite de la procédure et dans sa décision (cf. ATF 138 I 1 consid. 2.4).
2.2. Le juge intimé a rendu l'ordonnance de la Chambre pénale du 14 mars 2019 dans le cadre de la plainte déposée par le recourant et doit se prononcer à présent sur la récusation d'un juge d'appel dans le contexte de l'action récursoire de l'art. 759 al. 2 CO intentée par le recourant. Quand bien même la faillite de H._ SA constitue l'arrière-fond de ces procédures, il ne s'agit manifestement pas de la même cause au sens où la jurisprudence l'entend. Les conditions de l'art. 47 al. 1 let. b CPC ne sont pas réunies et la seule participation du juge intimé à la procédure pénale ne saurait conduire à sa récusation, comme le recourant le reconnaît du reste en précisant ne pas lui faire grief d'avoir siégé dans l'affaire pénale. Il importe dès lors peu que d'autres juges qui ont participé à des procédures connexes à la cause pénale se soient spontanément déportés en l'occurrence.
En réalité, la question soulevée par le recourant met en jeu l'art. 47 al. 1 let. f CPC et consiste à savoir si le raisonnement suivi par le juge intimé dans son ordonnance du 14 mars 2019 est une circonstance pouvant objectivement mettre en doute son impartialité. La réponse est là aussi manifestement négative. Quoiqu'en pense le recourant, le caractère juridiquement erroné du dies a quo du délai de la prescription pénale tel que fixé par le juge ne saute pas aux yeux. Partant, rien ne permet de déduire de l'ordonnance susmentionnée une apparence de prévention de l'intimé, dont le comportement pourrait se comprendre comme ayant pour but de protéger certaines personnes d'une procédure pénale au détriment des intérêts du recourant. Quant au fait que le recourant a saisi la COJU à propos d'un éventuel abus d'autorité du juge dans le même cadre, il n'est pas déterminant pour apprécier un motif de récusation dudit magistrat, car sinon, il suffirait à un justiciable de se plaindre d'un juge pour obtenir sa mise à l'écart. Au surplus, aucun élément ne ressort de la décision attaquée qui laisserait supposer une inimitié quelconque du juge intimé à l'égard du recourant, l'empêchant de traiter la demande de récusation du Juge C._ de manière impartiale.
Il s'ensuit qu'en rejetant la requête de récusation du juge intimé, l'autorité précédente n'a pas méconnu l'art. 47 CPC ni les principes en matière de garantie d'un juge indépendant et impartial.
3.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Juge cantonal C._ et aux mandataires des autres parties intéressées, ainsi qu'au Président ad hoc du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 26 août 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Godat Zimmermann