Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1969, war seit 5. Mai 2014 als Betriebsmitarbeiter (Ferienaushilfe, befristet bis 31. Oktober 2014) bei der B._ AG angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) für die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 24. Mai 2014 zog er sich bei einem Fussballmatch (Sturz nach Zusammenstoss) Verletzungen an der Schulter und am Handgelenk rechts zu. Der erstbehandelnde Hausarzt veranlasste eine bildgebende Abklärung der Schulter (MR-Arthrographie vom 20. Juni 2014) und überwies A._ an Dr. med. C._, Orthopädische Chirurgie und Traumatologie, der anlässlich seiner Konsultation vom 11. Juli 2014 eine Frozen Shoulder diagnostizierte (Bericht vom 14. Juli 2014). Nach seiner kreisärztlichen Untersuchung vom 3. Februar 2015 bescheinigte Dr. med. D._, Facharzt für Orthopädie und Unfallchirurgie, eine ganztägige Arbeitsfähigkeit für mittelschwere Tätigkeiten. Am 17. September 2015 operierte Dr. med. C._ die Schulter (Biceps-Tenotomie, subacromiale Dekompression und Supraspinatussehnennaht). A._ wurde am 7. April 2016 erneut kreisärztlich untersucht und hielt sich anschliessend vom 27. April bis 1. Juni 2016 in der Rehaklinik E._ auf (Bericht vom 10. Juni 2016). Es folgten weitere Konsultationen in der Klinik F._. Am 13. Februar 2017 bescheinigte Dr. med. D._ nach erneuter kreisärztlicher Untersuchung bei anhaltend eingeschränkter Beweglichkeit der rechten Schulter und Schmerzen eine ganztägige Arbeitsfähigkeit bei Ausübung leichter bis mittelschwerer Tätigkeiten. Die Suva gewährte Taggeldleistungen bis zum 31. März 2017. Einen Anspruch auf Invalidenrente lehnte sie mit Verfügung vom 24. April 2017 und Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2018 ab (Invaliditätsgrad: 7,63 %), sprach A._ indessen eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 10 % zu.
B.
A._ erhob dagegen Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt stellte ihm eine Schlechterstellung (reformatio in peius) in Aussicht und gab ihm mit Blick auf eine allfällige Neubeurteilung der Integritätseinbusse durch die Suva zu seinen Ungunsten die Möglichkeit, seine Beschwerde zurückzuziehen. Mit Entscheid vom 7. Januar 2020 hob es den Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2018 auf und verpflichtete die Suva zur weiteren Übernahme von Heilkosten, insbesondere in Form einer Abklärung des Verdachts auf einen Low grade-Infekt durch diagnostische Arthroskopie mit Biopsie-Entnahme.
C.
Die Suva führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Sache zur Neubeurteilung unter Bestätigung des Fallabschlusses an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 f. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Steht aber - wie vorliegend - keine Geldleistung, sondern einzig eine Heilbehandlung und damit eine Sachleistung (vgl. Art. 14 ATSG) zur Diskussion, so gelangt die Ausnahmeregelung in Art. 105 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2 BGG nicht zur Anwendung. Bezüglich Sachverhaltsfeststellungen gilt deshalb hier die eingeschränkte Kognition (BGE 135 V 412). Das Bundesgericht kann demnach eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) - Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder aber auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteile 8C_281/2018 vom 25. Juni 2018 E. 1.2; 8C_637/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 2; 8C_832/2007 vom 10. März 2008 E. 1.2; je mit Hinweisen).
2.
Streitig ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es die Suva verpflichtete, über den 31. März 2017 hinaus Heilbehandlung für die rechte Schulter zu gewähren.
2.1. Die Vorinstanz hat die Bestimmung von Art. 19 Abs. 1 UVG und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Danach hat der Unfallversicherer den Fall unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 113). Richtig wiedergegeben werden auch die Regeln über den Beweiswert von ärztlichen Berichten oder Gutachten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352). Es wird darauf verwiesen.
2.2. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen war gestützt auf die Berichte der behandelnden Ärzte der Klinik F._ vom 21. März und 6. Dezember 2017 sowie der Klinik G._, Dr. med. H._, vom 13. August 2018 eine diagnostische Arthroskopie mit Biopsie-Entnahme erforderlich zum Ausschluss eines Low grade-Infekts als Ursache für die weiterhin anhaltenden Schmerzen. Ob ein solcher Infekt vorliege, habe die Beschwerdeführerin zu Unrecht nicht abklären lassen, insbesondere habe der Suva-Kreisarzt dazu nicht Stellung genommen. Die Beschwerdeführerin habe unter diesen Umständen nicht vom Erreichen des Endzustandes ausgehen dürfen. Der Fallabschluss sei somit verfrüht erfolgt, zumal eine weitere Verbesserung auch der Arbeitsfähigkeit nach entsprechender weiterer Behandlung der Schulter nicht auszuschliessen sei. Sofern der Beschwerdegegner die von Dr. med. H._ empfohlene Arthroskopie nicht ablehne, habe die Beschwerdeführerin die entsprechend anfallenden Heilkosten zu übernehmen. Auf die abschliessende Beurteilung der Ansprüche auf eine Integritätsentschädigung, die die Suva auf 10 % festgesetzt hatte, sowie auf die vom Beschwerdegegner anbegehrte Invalidenrente verzichtete das kantonale Gericht bei diesem Ergebnis.
2.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass der Beschwerdegegner zum Zeitpunkt des von ihr verfügten Fallabschlusses in einer leidensangepassten Tätigkeit voll arbeitsfähig gewesen sei. Die diesbezügliche versicherungsinterne Bescheinigung sei voll beweiskräftig, nachdem sie von den behandelnden Ärzten nicht in Zweifel gezogen worden sei. Von der vorgeschlagenen operativen Intervention habe daher von vornherein keine entsprechende Verbesserung erwartet werden können. Die vorinstanzliche Zusprechung weiterer Heilbehandlung sei somit nicht gerechtfertigt.
2.4. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihrer Argumentation nicht durchzudringen. Rechtsprechungsgemäss bestimmt sich die für den Anspruch auf weitere Heilbehandlung erforderliche Besserung des Gesundheitszustandes zwar namentlich nach der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit. Indessen handelt es sich dabei nicht um ein exklusives Beurteilungskriterium. Selbst eine ärztlich bescheinigte vollständige Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit vermag einen Anspruch auf Fortsetzung der ärztlichen Behandlung nicht auszuschliessen (SVR 2020 UV Nr. 24 S. 95, Urteil 8C_614/2019 E. 5.3 mit Hinweisen, insbesondere auf BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115; Urteil 8C_183/2020 vom 22. April 2020 E. 4.3.2). Inwiefern die Vorinstanz diese bundesrechtlichen Grundsätze mit der Zusprechung weiterer Heilbehandlung trotz festgestellter ganztägiger Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit verletzt haben sollte, ist nicht erkennbar. Dass sie hinsichtlich der Therapieempfehlung des behandelnden Arztes Dr. med. H._ im jüngsten, dem Kreisarzt nicht vorgelegten Bericht vom 13. August 2018 beziehungsweise der dadurch zu erwartenden namhaften Verbesserung des Gesundheitszustandes offensichtlich unrichtige sachverhaltliche Feststellungen getroffen hätte, wird beschwerdeweise nicht geltend gemacht. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht die Voraussetzungen für einen Fallabschluss per 31. März 2017 als nicht erfüllt erachtete und die Beschwerdeführerin zur Übernahme der Kosten für die gemäss Dr. med. H._ zur Abklärung und weiteren Behandlung beziehungsweise zum Ausschluss eines Infekts indizierte Schulterarthroskopie verpflichtete.
3.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 BGG). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Des Weiteren hat sie dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Februar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Durizzo