Erwägungen:
1.
Der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt trat mit Präsidialentscheid vom 22. November 2018 auf die Abstimmungsbeschwerde von Michel Cavin betreffend kantonale Volksabstimmung vom 25. November 2018 nicht ein. Dagegen erhob Michel Cavin am 26. November 2018 Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt und ersuchte dabei um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt erkannte der Beschwerde mit Verfügung vom 29. November 2018 keine aufschiebende Wirkung zu und forderte Michel Cavin auf, bis 27. Dezember 2018 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
2.
Michel Cavin führt mit Eingabe vom 31. Dezember 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Gegen Entscheide über vorsorglichen Massnahmen (wie vorliegend das Gesuch um aufschiebende Wirkung) kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG).
Der Beschwerdeführer geht offenbar davon aus, dass mit der angefochtenen Verfügung bereits über seine Beschwerde entschieden worden ist. Das Appellationsgericht hat jedoch erst über die beantragte aufschiebende Wirkung entschieden. Der Entscheid in der Sache selbst steht noch aus. Inwiefern das Appellationsgericht beim Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung verfassungsmässige Rechte verletzt haben sollte, vermag der Beschwerdeführer nicht ansatzweise aufzuzeigen. Er legt auch nicht dar, dass die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos, weshalb dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG). Indessen kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli