Sachverhalt:
A.
A.a. Am 24. März 2017 erhob C._ (Klägerin), vertreten durch A._ (Beschwerdeführer), beim Bezirksgericht Zürich eine negative Feststellungsklage gegen die B._ GmbH (Beklagte, Beschwerdegegnerin 2) betreffend eine von der Beklagten in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 1'701.--. Für dieses Verfahren war ihr zuvor die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und A._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt worden.
A.b. An der Hauptverhandlung vor dem Bezirksgericht am 6. Juli 2017 anerkannte die Beklagte die Klage. Gleichentags reichte A._ seine Kostennote ein. Mit einer Stellungnahme vom 28. August 2017 machte er ein Honorar von mindestens Fr. 5'598.-- sowie Fr. 227.40 Auslagenersatz geltend.
A.c. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2017 schrieb das Bezirksgericht Zürich das Verfahren als durch Anerkennung erledigt ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es auferlegte die Gerichtskosten der Beklagten (Dispositiv-Ziff. 3) und regelte die Entschädigungsfolgen wie folgt:
"4. Die Beklagte wird verpflichtet, dem unentgeltlichen Rechtsbeistand der Klägerin, MLaw A._, eine Parteientschädigung von Fr. 612.35 zu bezahlen.
5. Rechtsanwalt MLaw A._ wird für seine Bemühungen als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Klägerin mit Fr. 1'007.65 (inkl. Mehrwertsteuer und Barauslagen) aus der Gerichtskasse entschädigt. Die Klägerin wird... [auf] die Nachzahlungspflicht gemäss Art. 123 ZPO hingewiesen."
B.
B.a. Gegen diese Verfügung erhoben sowohl die Klägerin als auch A._ (in einem separaten Verfahren; vgl. das konnexe bundesgerichtliche Verfahren 4A_112/2018) Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Die Klägerin stellte das folgende Rechtsbegehren:
"1. "Es sei die Ziffer 5 des Dispositivs der Verfügung der Vorinstanz vom 5. Oktober 2017 (...) aufzuheben und es sei die Beschwerdeführerin von der Nachzahlungspflicht der Entschädigung für die unentgeltliche Rechtspflege in Höhe von CHF 1'007.65 gemäss Art. 123 ZPO zu befreien;
2.es sei der Beschwerdeführerin rückwirkend ab dem 1. November 2017 die unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 118 Abs. 1 lit. a/b ZPO zu gewähren und es sei ihr in der Person der Unterzeichnenden [Rechtsanwältin MLaw D._] eine unentgeltliche Rechtsbeiständin zu bestellen (...).
3. (Kosten- und Entschädigungsfolgen)."
In der Beschwerde gab die Klägerin als Gegenparteien die B._ GmbH und den Kanton Zürich an.
B.b. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2017 wurde das Rubrum des Beschwerdeverfahrens geändert und dem neu als (einzige) Gegenpartei aufgenommenen A._ Frist zur Beantwortung der Beschwerde angesetzt.
B.c. Das Obergericht des Kantons Zürich beschloss und erkannte am 13. Februar 2018 was folgt:
"Es wird beschlossen:
1. Die Gesuche des Beschwerdegegners um Vereinigung des vorliegenden Beschwerdeverfahrens mit dem [von ihm angehobenen] Beschwerdeverfahren (...) und um Vormerknahme vom [von ihm angehobenen] Verfahren (...) werden abgeschrieben.
2. Die Eventualgesuche des Beschwerdegegners um Aufnahme der Beklagten ins Rubrum und um Beschränkung des vorliegenden Beschwerdeverfahrens auf die Frage der rechtmässigen Verteilung der Prozesskosten werden abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3. Der Beschwerdeführerin wird für das Beschwerdeverfahren in der Person von Rechtsanwältin MLaw D._ eine unentgeltliche Rechtsbeiständin bestellt. Im Übrigen wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Beschwerdeverfahren abgeschrieben.
4. (Mitteilung und Rechtsmittelbelehrung).
Es wird erkannt:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird Dispositiv-Ziffer 5 der Verfügung des Einzelgerichts im vereinfachten Verfahren am Bezirksgericht Zürich, 1. Abteilung, vom 5. Oktober 2017 aufgehoben.
2. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr wird auf Fr. 350.-- festgesetzt.
3. Die Kosten für das zweitinstanzliche Verfahren werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, der unentgeltlichen Rechtsbeiständin der Beschwerdeführerin, Rechtsanwältin MLaw D._, für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 800.-- zu bezahlen.
5. (Mitteilung, Akten).
6. (Rechtsmittelbelehrung)."
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Februar 2018 beantragt A._ dem Bundesgericht, Dispositiv-Ziffer 2 des Beschlusses der Vorinstanz vom 13. Februar 2018 und Dispositiv-Ziffern 2, 3 und 4 des Urteils der Vorinstanz vom 13. Februar 2018 seien aufzuheben; der Beschwerdeführer sei von der Pflicht zur Zahlung der Entscheidgebühr von Fr. 350.-- zu befreien und diese Kosten seien dem Kanton Zürich, eventualiter der Beklagten aufzuerlegen; der Beschwerdeführer sei zudem von der Pflicht zu befreien, der Klägerin bzw. ihrer unentgeltlichen Rechtsbeiständin eine Parteientschädigung von Fr. 800.-- auszurichten.
In seiner Beschwerde führt der Beschwerdeführer als Gegenparteien den Kanton Zürich und die B._ GmbH auf, als Verfahrensbeteiligte die Klägerin. Da die Parteientschädigung durch die Vorinstanz der unentgeltlichen Rechtsvertreterin direkt zugesprochen wurde, ist im Rubrum auch diese mindestens als Verfahrensbeteiligte aufzuführen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Streitwert erreicht die Grenze von Fr. 30'000.-- gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Dies ist der Fall, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 141 III 159 E. 1.2; 139 III 209 E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4 mit weiteren Hinweisen). Wenn geltend gemacht wird, dass von den unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden, muss die zu beurteilende Streitsache überdies geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären (BGE 139 II 340 E. 4 S. 343).
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich folgende Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung: "Ist es zulässig, einen unentgeltlichen Rechtsbeistand, dem ein direktes Forderungsrecht zuerkannt worden ist, als Partei im Zivilverfahren anzusehen mit der Folge, dass er in einem Beschwerdeverfahren gegen den zivilrechtlichen Kostenentscheid zum Beschwerdegegner wird?" Der Beschwerdeführer bringt dazu vor, er sei als unentgeltlicher Vertreter nicht in das zivilrechtliche Verhältnis der Parteien involviert. Er stehe hingegen in einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis, in das die unentgeltlich vertretene Partei wiederum nicht involviert sei. Fraglich sei nun, ob diese grundsätzliche Unterscheidung der verschiedenen Rechtsverhältnisse durchbrochen werden könne, indem ein Gericht einem unentgeltlichen Rechtsbeistand zu Lasten einer der Parteien im Zivilverfahren direkt eine (Partei-) Entschädigung zuspreche.
1.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann eine Parteientschädigung direkt dem unentgeltlichen Rechtsbeistand der obsiegenden Partei zugesprochen werden (Urteile 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 1.1; 5A_389/2014 vom 9. September 2014 E. 4; 5A_754/2013 vom 4. Februar 2014 E. 5). Das Bundesgericht hat zudem bereits entschieden, dass der unentgeltliche Rechtsbeistand für die Parteikostenersatzforderung ein eigenes und persönliches Forderungsrecht hat (Urteile 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 1.1; 5A_754/2013 vom 4. Februar 2014 E. 5). Er ist in diesem Punkt zur Beschwerde legitimiert (Urteile 5A_34/2018 vom 21. März 2018 E. 2; 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 1.1). Aus dieser Rechtsprechung ergibt sich, dass der unentgeltliche Rechtsbeistand Partei im Beschwerdeverfahren und damit auch Beschwerdegegner sein kann, wenn eine ihm direkt zugesprochene Parteientschädigung gekürzt werden soll. Es liegt somit keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vor, die der Klärung bedürfte. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten.
1.4. Offen steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG), die der Beschwerdeführer eventualiter erhebt. Da die diesbezüglichen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde - unter Vorbehalt einer gehörigen Begründung (Art. 42 Abs. 2, Art. 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe ihm willkürlich Kosten auferlegt. Er sei als unentgeltlicher Rechtsvertreter nicht persönlich in das Zivilverfahren involviert gewesen. Der erstinstanzliche Kostenentscheid sei als regelrechte Justizpanne zu bezeichnen. Daher wäre das Bezirksgericht Zürich als Gegenpartei anzusehen gewesen. Er sei mit seiner damaligen Mandantin der Ansicht gewesen, die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 5. Oktober 2017 sei falsch und es dürfe sie keine Nachzahlungspflicht treffen; er habe ihr sogar selbst zur Anfechtung der Verfügung geraten. Entsprechend habe er auch nicht die Abweisung der Beschwerde beantragt. Die Klägerin habe keine Kürzung seiner Gesamtentschädigung bewirken wollen. Die Auferlegung der Kosten verletze die Eigentumsgarantie.
2.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die Klägerin habe in ihrer Beschwerde nur die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 5 der angefochtenen Verfügung und die Befreiung von der Nachzahlungspflicht beantragt. Dieses (durch eine Rechtsanwältin) an sich klar formulierte Begehren sei so zu verstehen, dass sie damit die ersatzlose Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 5 beantrage, d.h. den Verzicht auf Zusprechung einer zusätzlichen, über die Parteientschädigung gemäss Dispositiv-Ziffer 4 hinausgehenden Entschädigung an ihren unentgeltlichen Rechtsvertreter im erstinstanzlichen Verfahren. Entgegen dessen Ausführungen in der Beschwerdeantwort böten die gestellten Beschwerdeanträge auch unter Mitberücksichtigung der Beschwerdebegründung und des angefochtenen Entscheids keine rechtsgenügenden Anhaltspunkte dafür, dass sich die Beschwerde "einzig gegen die Verteilung der Prozesskosten" richte, d.h. dass die Klägerin die vorinstanzliche Dispositiv-Ziffer 4 mitanfechten und auch deren Abänderung (und gegebenenfalls mit welchem konkreten Inhalt) verlangen würde. Allein ihr Vorbringen, es sei Sache der unterlegenen Beklagten, "für die volle Parteientschädigung" bzw. "vollumfänglich für die Parteientschädigung auf[zu]kommen", lasse angesichts der unterschiedlichen Rechtsnatur von Parteientschädigung und Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht auf einen entsprechenden Anfechtungswillen schliessen. Zudem erschiene fraglich, ob die Klägerin zur Anfechtung von Dispositiv-Ziffer 4 (zwecks Erhöhung der dem Beschwerdegegner zugesprochenen Parteientschädigung) überhaupt legitimiert wäre. Jedenfalls widerspräche eine allfällige Erhöhung der Parteientschädigung angesichts der Nachzahlungspflicht (Art. 123 ZPO), welche auch die vom Staat ausgerichtete Entschädigung nach Art. 122 Abs. 2 ZPO erfasse, ihren eigenen Interessen.
2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Klägerin habe entgegen der Ansicht der Vorinstanz nicht eine Kürzung seiner Gesamtentschädigung erreichen wollen. Die Klägerin habe ihre Beschwerde ausdrücklich gegen die Beklagte und das Bezirksgericht Zürich gerichtet. Zudem habe sie in Rz. 5 der Beschwerdeschrift an die Vorinstanz ausgeführt, dass "sich die vorliegende Beschwerde in Bezug auf die Zuteilung der Entschädigung für die unentgeltliche Rechtspflege zur einstweiligen Bezahlung durch die Gerichtskasse mit einer Nachzahlungspflicht nach Art. 123 ZPO zu Lasten der [Klägerin] gegen die [Beklagte richtet]. Es ist Sache der unterlegenen [Beklagten], für die volle Parteientschädigung aufzukommen". Sie habe weiter unmissverständlich klargestellt, dass sich ihre Beschwerde einzig dagegen richte, dass ihr überhaupt Prozesskosten auferlegt worden seien. Sie habe in diesem Zusammenhang ausdrücklich festgehalten, dass es ihrer Meinung nach nicht angehe, dem Beschwerdeführer seine Entschädigung von insgesamt Fr. 1'620.-- (Fr. 612.35 + Fr. 1'007.65) zu kürzen. Konkret habe sie in Rz. 18 ihrer Beschwerdeschrift ausgeführt, dass "die von der Vorinstanz festgelegte angemessene Entschädigung von CHF 1'620.-- als untere Grenze der vollen Parteientschädigung (§ 23 AnwGebV) gelten" müsse.
2.3. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 140 III 16 E. 2.1, 167 E. 2.1; 139 III 334 E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen).
2.4. Die Vorinstanz kam bei ihrer Auslegung zum Schluss, die Klägerin beantrage die ersatzlose Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 5 der Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 5. Oktober 2017 und damit die ersatzlose Streichung der dem Beschwerdeführer darin zugesprochenen Entschädigung. Entsprechend teilte sie dem Beschwerdeführer angesichts des drohenden Eingriffs in seine Rechtsstellung die Rolle des Beschwerdegegners zu. Dies ist aus den folgenden Gründen nicht willkürlich: Die Klägerin wehrte sich mit ihrer Beschwerde dagegen, dass das Bezirksgericht dem Kanton die Zahlung einer Entschädigung an den Beschwerdeführer auferlegt und sie zur Nachzahlung verpflichtet hatte. Das Bezirksgericht hatte die von der Beklagten geschuldete Parteientschädigung nach Massgabe der Verordnung des Obergerichts vom 8. September 2010 über die Anwaltsgebühren (AnwGebV; LS 215.3) festgelegt. Angesichts des Streitwerts von Fr. 1'701.-- ergab dies eine Grundgebühr von Fr. 425.25. Das Bezirksgericht hat die Gebühr sogar noch um einen Drittel erhöht, wofür die AnwGebV Raum lässt. Es sah jedoch keine gesetzliche Grundlage dafür, der Beklagten eine noch höhere Entschädigung aufzuerlegen. Wenn nun die Klägerin die zusätzlich dem Kanton auferlegte Entschädigung anficht und gleichzeitig keine gesetzliche Grundlage dartut, um dem Beschwerdeführer zu Lasten der Beklagten eine höhere als die bereits zugesprochene Parteientschädigung zuzusprechen, so geht die Aufhebung der dem Kanton auferlegten Entschädigung zwingend zu Lasten des Beschwerdeführers. Die Vorinstanz hat nicht willkürlich gehandelt, indem sie dieser Situation Rechnung getragen, den Beschwerdeführer als Gegenpartei in das Verfahren aufgenommen und ihn nach dem Obsiegen der Klägerin konsequenterweise für kosten- und entschädigungspflichtig erklärt hat. Es kann daher auch keine Rede sein von einer Verletzung der Eigentumsgarantie durch Auferlegung der Kosten. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind damit dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist den Beschwerdegegnern und den Verfahrensbeteiligten mangels Aufwand keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier