Faits :
A.
A.a. A._ a été engagé dès le 1 er mars 2011 par la Commune de Chêne-Bougeries (ci-après: la Commune) en tant que responsable des agents de police municipale (ci-après: APM), adjoint à B._, laquelle était alors cheffe du service "prévention et sécurité". À la suite d'une réorganisation de l'administration communale à l'automne 2015, B._ a occupé le poste de coordinatrice jeunesse "prévention et sécurité", tandis que A._ occupait désormais celui de chef de poste des APM. Il n'était ainsi plus l'adjoint de B._, mais devait collaborer avec elle en sa qualité de coordinatrice. La communication s'est alors tendue entre les deux prénommés et des courriels démontrant une incompréhension mutuelle ont été échangés, avec copie à des conseillers administratifs de la Commune. Le 3 mars 2017, A._ a adressé à B._ un courriel qui se concluait par le post-scriptum suivant: "Je vous demande également, dans vos communications, de rester sur le concret et de cesser vos constantes insinuations d'adolescente attardée sur ce que je pense ou pas ou comment j'appréhende les choses car je n'ai que faire de votre avis et à mon niveau, je me garde bien de vous dire certaines vérités, ceci, dans le souci de rester professionnel. Et si vraiment, je suis à disposition pour en parler de vive voix et régler certains points".
A.b. Par courrier du 30 octobre 2017, B._ a déposé plainte pour harcèlement psychologique auprès de la Commune contre A._. Une enquête administrative a été ouverte. Dans son rapport d'enquête du 19 décembre 2018, l'enquêtrice a conclu qu'un harcèlement psychologique à l'encontre de la plaignante n'était pas établi, mais que celle-ci avait été subjectivement atteinte dans sa santé psychique. S'agissant du ton et des termes employés par A._ dans ses courriels, l'enquêtrice a relevé que s'il était inacceptable de traiter une collègue de travail "d'adolescente attardée", un tel débordement était toutefois resté isolé; par ailleurs, les réactions intempestives de A._ faisaient écho à celles de B._, qui ne l'étaient pas moins et qui procédaient notamment de l'absence de communication voulue par elle.
A.c. Par décision du 1 er avril 2019, la Commune a retenu qu'une atteinte à la personnalité de B._ avait été commise par A._ et a réservé le volet disciplinaire à l'encontre de ce dernier. Par jugement du 12 novembre 2019, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Chambre administrative) a admis le recours interjeté par A._ contre la décision du 1er avril 2019, qu'elle a annulée. Un recours au Tribunal fédéral contre cet arrêt est actuellement pendant (cause 8C_13/2020).
A.d. Dans le délai imparti au 12 avril 2019 pour faire valoir son droit d'être entendu sur le principe et les motifs de la sanction envisagée à son encontre - soit un blâme -, A._ a conclu à ce que la procédure soit classée sans suite. Par décision du 19 juin 2019, la Commune a prononcé un avertissement à l'encontre de A._ (cf. consid. 4.1 infra).
B.
Par jugement du 25 février 2020, la Chambre administrative a admis le recours interjeté par A._ contre la décision du 19 juin 2019, qu'elle a annulée.
C.
La Commune forme un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant principalement à son annulation et à la confirmation de sa décision du 19 juin 2019, et subsidiairement au renvoi de la cause à la Chambre administrative pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'intimé conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. L'autorité précédente se réfère à son jugement.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement attaqué concerne des rapports de travail de droit public au sens des art. 83 let. g LTF et 85 al. 1 let. b LTF. La décision, qui porte sur un avertissement, n'a pas d'incidence sur le traitement de l'intimé; il ne s'agit pas d'une contestation pécuniaire (ATF 142 II 259 consid. 3 p. 260 s.; arrêts 8D_2/2016 du 6 décembre 2016 consid. 1.3; 8C_767/2016 du 7 août 2017 consid. 5.1.1; 8D_4/2015 du 24 août 2016 consid. 2.2). L'exception prévue à l'art. 83 let. g LTF s'applique donc et seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire - choisie par la recourante - entre en considération (art. 113 LTF).
1.2.
1.2.1. D'après l'art. 115 LTF, a qualité pour former un recours constitutionnel quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). La notion d'intérêt juridiquement protégé au sens de l'art. 115 al. 1 let. b LTF est étroitement liée aux motifs de recours prévus par l'art. 116 LTF, en ce sens que la partie recourante doit être titulaire d'un droit constitutionnel dont elle invoque une violation (ATF 142 II 259 consid. 4.2 p. 261 s.; 140 I 285 consid. 1.2 p. 290; 135 I 265 consid. 1.3 p. 270). De tels droits ne sont reconnus en principe qu'aux citoyens, à l'exclusion des collectivités publiques, qui, en tant que détentrices de la puissance publique, ne sont pas titulaires des droits constitutionnels et ne peuvent donc pas attaquer, par la voie du recours constitutionnel, une décision qui les traite en tant qu'autorités (ATF 142 II 259 consid. 4.2 p. 262; 140 I 285 consid. 1.2 p. 290).
1.2.2. La jurisprudence admet toutefois qu'il y a lieu de faire une exception pour les communes et autres corporations de droit public, lorsqu'elles n'interviennent pas en tant que détentrices de la puissance publique, mais qu'elles agissent sur le plan du droit privé ou qu'elles sont atteintes dans leur sphère privée de façon identique ou analogue à un particulier, notamment en leur qualité de propriétaires de biens frappés d'impôts ou de taxes ou d'un patrimoine financier ou administratif. Une seconde exception est admise en faveur des communes et autres corporations publiques lorsque, par la voie du recours constitutionnel, elles se plaignent de la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonales ou fédérales telles que leur autonomie, l'atteinte à leur existence ou à l'intégrité de leur territoire (ATF 142 II 259 consid. 4.2 p. 262; 140 I 285 consid. 1.2 p. 290; 132 I 140 consid. 1.3.1 p. 143; 129 I 313 consid. 4.1 p. 318). Pour déterminer si ces conditions sont remplies, on n'examine pas d'abord le statut des parties, mais bien la nature juridique du rapport qui est à la base du litige (ATF 142 II 259 consid. 4.2 p. 262; 123 III 454 consid. 2 p. 456; 120 Ia 95 consid. 1a p. 96 et les références).
1.2.3. Le Tribunal fédéral a considéré qu'une collectivité publique n'est pas atteinte d'une manière analogue à celle dont le serait un employeur privé lorsqu'un blâme qu'elle a prononcé à l'égard d'un de ses employés est annulé par la juridiction cantonale; en effet, c'est en tant que détentrice de la puissance publique qu'elle intervient en prononçant une mesure disciplinaire spécifique au droit public, qui n'a pas d'équivalent en droit privé; la qualité pour interjeter un recours constitutionnel ne peut dès lors pas lui être reconnue sur cette base (ATF 142 II 259 consid. 4.4 p. 263). En revanche, la jurisprudence a admis qu'une commune genevoise peut invoquer l'autonomie qui lui est reconnue dans le domaine de la gestion du personnel pour recourir contre une décision qui la touche en tant qu'employeur public dans la mesure où elle se plaint d'une violation de son autonomie communale garantie par l'art. 50 al. 1 Cst. (arrêts 8C_472/2014 du 3 septembre 2015 consid. 7.1; 8C_78/2012 du 14 janvier 2013 consid. 2.1; 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 4.1; 8C_596/2009 du 4 novembre 2009 consid. 2.1). Tel est le cas ici de la recourante.
1.3. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF) prise par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et 114 LTF), le recours est donc recevable.
2.
2.1. Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut se plaindre tant d'un excès voire d'un abus du pouvoir d'appréciation que d'une fausse application par la juridiction cantonale des normes cantonales ou communales régissant le domaine en cause (ATF 143 II 120 consid. 7.2 p. 134; arrêts 8C_233/2019 du 28 mai 2020 consid. 4.4; 8C_681/2016 du 17 août 2017 consid. 4.4.1; 8C_141/2011 du 9 mars 2012 consid. 4; 8C_906/2010 du 8 juillet 2011 consid. 4.2; 8C_541/2010 du 20 juin 2011 consid. 2.2; 8C_596/2009 du 4 novembre 2009 consid. 2.1; 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 3.2).
2.2. Le Tribunal fédéral ne vérifie l'application des règles de rang inférieur à la constitution cantonale que sous l'angle restreint de l'arbitraire (ATF 136 I 316 consid. 2.2.1 p. 318; 131 I 91 consid. 1 p. 93; 129 I 410 consid. 2.3 p. 414, 290 consid. 2.3 p. 295; 128 I 3 consid. 2b p. 9 et les arrêts cités). Il n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions de droit cantonal ou communal applicables, mais doit uniquement examiner si l'interprétation qui en a été faite est défendable; par conséquent, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but des dispositions en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 144 I 318 consid. 5.4 p. 326 s., 170 consid. 7.3 p. 174 s.; 142 II 369 consid. 4.3 p. 380; 141 IV 305 consid. 1.2 p. 308 s.).
2.3. En revanche, dès lors qu'il en va de l'application du droit constitutionnel fédéral (art. 50 al. 1 Cst.), le Tribunal fédéral contrôle librement si l'autorité judiciaire cantonale a respecté la latitude de jugement découlant de l'autonomie communale (ATF 145 I 52 consid. 3.1 p. 56; 136 I 395 consid. 2 p. 397; arrêt 1C_265/2019 du 26 mai 2020 consid. 4.1.2 et les arrêts cités). Si elle substitue son pouvoir d'appréciation à celui de l'autorité communale compétente, l'autorité judiciaire juge en opportunité, ce qui est interdit en droit cantonal genevois par l'art. 61 al. 2 LPA/GE (loi cantonale genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985; RS/GE E 5 10) (ATF 143 II 120 consid. 7.2 p. 133 s.: cf. ATF 141 II 353 consid. 3 p. 362 s.). Dans la mesure où la décision communale repose sur une appréciation soutenable des circonstances pertinentes, la juridiction de recours doit la respecter; elle ne peut intervenir que si l'appréciation de l'autorité communale n'est objectivement pas soutenable ou contrevient au droit supérieur (voir en matière d'aménagement du territoire: arrêts 1C_298/2017 du 30 avril 2018 consid. 3.1.3; 1C_92/2015 du 18 novembre 2015 consid. 3.1.3; 1C_150/2014 du 6 janvier 2015 consid. 2.2; 1C_629/2013 du 5 mai 2014 consid. 7.1; en matière de marchés publics: ATF 143 II 120 consid. 7.2; 141 II 353 consid. 3 p. 363; 140 I 285 consid. 4.1 et 4.2 p. 292 s.; 138 I 143 consid. 3 p. 150). En matière de sanctions disciplinaires, la jurisprudence cantonale genevoise reconnaît que l'employeur public dispose d'un large pouvoir d'appréciation et que le pouvoir d'examen de la Chambre administrative se limite à l'excès ou à l'abus du pouvoir d'appréciation, conformément à l'art. 61 al. 2 LPA/GE (ATA/118/2016 du 9 février 2016 consid. 3a; ATA/452/2013 du 30 juillet 2013 consid. 7a; ATA/94/2013 du 19 février 2013 consid. 15 et les références citées).
3.
3.1. Il est constant qu'en tant qu'employé de la recourante, l'intimé est soumis au Règlement du personnel communal du 21 avril 2016 (RPers; LC 12 151). Selon l'art. 23 RPers, le collaborateur exécute en personne et avec soin les tâches qui lui sont confiées conformément au descriptif de son poste et dans le respect des règlements de l'administration (al. 1); en outre, il veille fidèlement à la sauvegarde des intérêts de la commune et au respect de l'environnement, entretient des relations dignes et respectueuses avec ses collègues, ses supérieurs et les administrés et renforce la considération et la confiance dont l'administration communale doit être l'objet (al. 2).
Aux termes de l'art. 53 al. 1 RPers, le collaborateur qui enfreint ses obligations, intentionnellement ou par négligence, est passible, selon la gravité de la violation, des sanctions disciplinaires suivantes prononcées par la ville: l'avertissement (let. a), le blâme (let. b), la mise à pied pendant deux jours au plus avec suppression du salaire (let. c) et la révocation (let. d). Préalablement au prononcé de la sanction, les motifs invoqués sont communiqués par écrit au collaborateur et celui-ci dispose de la faculté de se déterminer sur le principe et les motifs de la sanction (art. 53 al. 2 RPers).
3.2. Une mesure disciplinaire n'a pas en premier lieu pour but d'infliger une peine: elle tend au maintien de l'ordre, à l'exercice correct de l'activité en question et à l'intégrité de l'administration, qui doit appliquer les lois avec impartialité; vis-à-vis de l'extérieur, elle tend à la préservation de la confiance du public à l'égard de l'activité étatique; elle s'insère souvent dans un ordre croissant de sanctions en fonction de la gravité du manquement (ATF 142 II 259 consid. 4.4 p. 263 s. et les références). Lorsque l'autorité choisit la sanction disciplinaire qu'elle considère appropriée, elle dispose d'un large pouvoir d'appréciation, lequel est toutefois subordonné au respect du principe de la proportionnalité (cf. arrêt 8C_292/2011 du 9 décembre 2011 consid. 6.2). Son choix ne dépend pas seulement des circonstances subjectives de la violation incriminée ou de la prévention générale, mais aussi de l'intérêt objectif à la restauration, vis-à-vis du public, du rapport de confiance qui a été compromis par la violation du devoir de fonction (arrêts 8C_80/2012 du 14 janvier 2013 consid. 6.1; 5A_112/2009 du 7 mai 2009 consid. 2.2; 1P.273/1999 du 12 octobre 1999 consid. 3c; 2P.168/1997 du 10 février 1998 consid. 4c). Une mesure viole le principe de la proportionnalité si elle excède le but visé et qu'elle ne se trouve pas dans un rapport raisonnable avec celui-ci et les intérêts - en l'espèce publics - compromis (ATF 130 I 65 consid. 3.5.1 p. 69 et les arrêts cités; 128 II 292 consid. 5.1 p. 297 s.).
4.
4.1. La décision de la recourante du 19 juin 2019 de prononcer un avertissement à l'encontre de l'intimé se fonde sur les termes utilisés par celui-ci dans son courriel du 3 mars 2017 adressé à B._ "de cesser [ses] constantes insinuations d'adolescente attardée". La recourante a relevé que ces termes étaient inutilement blessants et totalement déplacés, en particulier du fait qu'ils s'adressaient à une collègue qui avait été pendant des années la supérieure hiérarchique de l'intimé, et constituaient une atteinte à la personnalité de celle-ci. De tels propos étaient contraires à l'entretien d'un climat de travail calme et apaisé. Par ailleurs, il ressortait des observations de l'intimé du 12 avril 2019 que celui-ci ne s'était pas amendé, puisqu'il se permettait de se prononcer sur la personnalité de B._. Cela étant, la recourante a exposé qu'au regard du climat délétère entretenu par les deux protagonistes, elle avait décidé d'atténuer la sanction de blâme en avertissement, qui était de nature à dissuader l'intéressé de récidiver.
4.2. La cour cantonale a relevé que les propos litigieux étaient indéniablement inadmissibles. Comme l'avait retenu la recourante, il s'agissait de termes blessants et parfaitement déplacés, qui n'étaient pas compatibles avec l'obligation de l'intimé d'entretenir des relations dignes et respectueuses avec ses collègues et supérieurs et de renforcer la considération et la confiance dont l'administration communale devait être l'objet. Toujours selon la cour cantonale, ces propos - en soi inadmissibles - devaient cependant être relativisés à l'aune de l'ensemble des circonstances. En effet, l'enquêtrice avait relevé l'incompréhension, le manque de coordination et l'absence de dialogue entre l'intimé et B._. Les réactions intempestives de l'un faisaient écho à celles de l'autre et procédaient notamment de l'absence de communication voulue par B._. Il convenait également de tenir compte du fait que les propos en question étaient demeurés isolés. Par ailleurs, l'intimé n'avait pas d'antécédents disciplinaires et ses prestations donnaient entière satisfaction. Considérant qu'au vu de l'ensemble de ces éléments, le prononcé d'une sanction ne respectait pas le principe de la proportionnalité, les juges cantonaux ont annulé l'avertissement prononcé à l'encontre de l'intimé.
4.3. La recourante reproche aux juges cantonaux une violation de son autonomie communale (art. 50 Cst.; art. 132 Cst./GE) en parallèle de la violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application des art. 23 et 53 RPers et 61 LPA/GE. Elle relève que les juges cantonaux ont eux-mêmes reconnu le caractère inadmissible des propos que l'intimé a tenus par écrit, ce qui aurait dû l'inciter à une certaine prudence dans la formulation, et qui étaient incompatibles avec son devoir d'entretenir des relations dignes et respectueuses avec ses collègues et supérieurs. Elle fait valoir qu'une sanction s'imposait afin de réprimer un tel comportement et qu'elle a précisément tenu compte des éléments en faveur de l'intimé en prononçant au lieu du blâme initialement prévu un simple avertissement. En annulant la sanction ainsi prononcée, alors que celle-ci était nécessaire pour préserver le bon fonctionnement de l'administration communale - laquelle aurait été profondément choquée par les propos litigieux et l'aurait d'autant plus été en cas d'impunité de leur auteur -, les juges cantonaux auraient violé la liberté d'appréciation reconnue à l'autorité communale en matière de sanctions disciplinaires et porté atteinte à son autonomie communale.
4.4. Les griefs de la recourante sont bien fondés. Comme l'autorité précédente l'a elle-même retenu, les propos litigieux - tenus par écrit et donc dans un mode d'expression permettant une certaine réflexion avant l'émission du message - sont inadmissibles, blessants et parfaitement déplacés. Ils sont clairement incompatibles avec l'obligation de l'intimé d'entretenir des relations dignes et respectueuses avec ses collègues et supérieurs et de renforcer la considération et la confiance dont l'administration communale devaient être l'objet (art. 23 al. 2 RPers). La recourante était fondée à considérer qu'une sanction disciplinaire était nécessaire pour maintenir l'ordre, garantir le bon fonctionnement et l'intégrité de l'administration et restaurer, vis-à-vis du public et des autres employés de l'administration, le rapport de confiance qui avait été compromis par la violation du devoir de fonction. Elle a en outre dûment tenu compte des éléments en faveur de l'intimé en prononçant finalement, au lieu du blâme initialement prévu, un simple avertissement, soit la sanction la plus légère prévue par l'art. 53 al. 1 RPers. En annulant néanmoins la sanction ainsi prononcée alors qu'elle était objectivement soutenable, les premiers juges ont substitué arbitrairement leur appréciation à celle de la recourante et ont violé l'autonomie dont celle-ci jouit (cf. consid. 2.3 et 3.2 supra; cf. arrêt 8C_80/2012 du 14 janvier 2013 consid. 5.3).
4.5. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être admis, le jugement entrepris annulé et la décision du 19 juin 2019 prononçant un avertissement à l'encontre de l'intimé confirmée.
5.
L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'elle obtienne gain de cause, la recourante n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6.2 et les références).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 25 février 2020 est annulé et la décision de la Commune de Chêne-Bougeries du 19 juin 2019 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 27 octobre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl