Sachverhalt:
A.
Das Kriminalgericht des Kantons Luzern sprach A._ mit Urteil vom 21. Januar 2019 des mehrfachen Betrugs im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB schuldig und bestrafte sie mit einer bedingten Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu Fr. 20.-- sowie einer Busse von Fr. 300.--. Auf die Zivilforderung der Gemeinde Emmen trat es nicht ein.
B.
Das Kantonsgericht Luzern bestätigte am 14. August 2019 auf Berufung von A._ den erstinstanzlichen Schuldspruch. Es verurteilte A._ zur einer bedingten Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu Fr. 40.--.
Das Kantonsgericht hält folgenden Sachverhalt für erwiesen:
A._ bezog für sich und ihre vier Kinder von der Gemeinde Emmen wirtschaftliche Sozialhilfe. Im Jahr 2011 kürzte ihr die Gemeinde Emmen die Sozialhilfe, weil B._, ihr damaliger Lebenspartner, mehrheitlich bei ihr wohnhaft war. B._ wurde vom Sozialamt verpflichtet, ab November 2011 monatlich Fr. 870.-- an A._ zu zahlen. Mit Selbstdeklaration vom 30. April 2012 be stätigte A._, dass sie kein Einkommen erziele und nur mit ihren vier Kindern zusammenlebe. Am 1. Mai 2012 teilte sie der Gemeinde Emmen zudem mit, dass B._ nicht mehr mit ihr zusammen sei und sie keinen Kontakt mehr zu ihm habe. Gestützt darauf erhielt sie ab Mai 2012 wieder höhere Sozialleistungen. Tatsächlich war B._, abgesehen von vorübergehenden Trennungsphasen, weiter mehrheitlich bei A._ wohnhaft, und er kam weiterhin für die monatlichen Zahlungen von Fr. 870.-- auf. Die Trennung erfolgte erst wenige Wochen vor dem 30. September 2014. Auf Verlangen von A._ leistete B._ die Zahlungen von Fr. 870.-- ab Mai 2012 indes nicht mehr per Banküberweisung, sondern in bar, indem er den zu bezahlenden Betrag jeweils Ende Monat von seinem Bankkonto abhob.
Mit Selbstdeklarationen vom 2. Mai 2013 und 28. April 2014 gab A._ gegenüber der Gemeinde Emmen erneut wahrheitswidrig an, kein Einkommen zu erzielen und lediglich mit ihren vier Kindern im Haushalt zu wohnen. Zu einem unbekannten Zeitpunkt vor dem 30. August 2014 gelangte sie zudem an B._ und verlangte von diesem höhere monatliche Zahlungen von Fr. 1'170.--. Am 30. August 2014 bezahlte B._ ihr den vorgenannten Betrag. In der Folge wandte er sich aber an die Gemeinde Emmen, um sich über die angebliche Erhöhung seiner monatlichen Zahlungen zu informie ren. Dabei erfuhr er, dass A._ dem Sozialamt bereits im Jahr 2012 mitteilte, er sei nicht mehr bei ihr wohnhaft und leiste die vereinbarten Zahlungen von Fr. 870.-- nicht mehr.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, sie sei vom Vorwurf des Betrugs vollumfänglich freizusprechen. Sie stellt zudem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel. Die Vorinstanz gehe zu Unrecht davon aus, B._ habe die Zahlungen von Fr. 870.-- auch nach April 2012 geleistet. Dabei lasse sie unberücksichtigt, dass es von Mai 2012 bis April 2014 zu längeren Trennungsphasen gekommen sei. B._ habe nur bezahlen wollen bzw. bezahlt, wenn er auch tatsächlich mit ihr zusammengelebt habe. Die monatlichen Barabhebungen durch B._ von seinem Postkonto seien kein Beweis für die Verwendung des Geldes und damit die Zahlungen an sie.
Im Frühjahr 2014 sei es zu einer Versöhnung gekommen. Sie habe sich mit B._ im Sommer 2014 verlobt und wieder mit ihm zusammenleben wollen. In der Zeit von Mai bis August 2014 habe sie keine Selbstdeklaration unterschrieben. Es lägen daher keine Erklärungen ihrerseits zum Zusammenleben mit B._ und zu ihren Einkommensverhältnissen mehr vor, weshalb sie sich ab diesem Zeitpunkt nicht mehr habe strafbar machen können. Die Vorinstanz lasse weiter unberücksichtigt, dass sie im Sommer 2014 Rücksprache mit der Gemeinde Emmen genommen und von sich aus den erneuten Zusammenzug angesprochen habe, was gegen eine arglistige Täuschung spreche. Die Vorinstanz stelle für den Beweis der arglistigen Täuschung in der Zeit von Mai 2012 bis April 2014 zu Unrecht auf Indizien und Beweise (Chat-Verlauf, Quittung vom 30. August 2014, Aussagen betreffend die mögliche Verwendung des Geldes) ab, welche die Zeit nach April 2014 beträfen, in welcher die Lebensgemeinschaft wieder aufgenommen werden sollte. Die Quittung vom 30. August 2014 über Fr. 1'170.-- belege zudem einzig, dass über eine Erhöhung der monatlichen Zahlungen auf Fr. 1'170.-- gestritten worden sei. Die Echtheit ihrer Unterschrift auf der Quittung, deren Original nicht vorliege, sei nicht erstellt. Sie habe stets bestritten, die Q uittung unterschrieben zu haben. Mit seiner Aussage, er habe die Fr. 870.-- stets bezahlt, habe B._ sicherstellen wollen, dass er im Falle des abgesprochenen erneuten Zusammenzugs im Jahre 2014 nicht rückwirkend bezahlen müsse.
Die Beschwerdeführerin macht überdies eine Verletzung von Art. 6 Abs. 2 StPO sowie ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV geltend. Die Vorinstanz setze sich mit ihren Einwänden nicht auseinander. Auch sei nicht abgeklärt worden, ob B._ ab 2012 eine andere Freundin hatte, mit welcher er in der Zeit von Mai 2012 bis April 2014 in familienähnlicher Gemeinschaft zusammengewohnt habe. Die Vorinstanz hätte die Ex-Freundin von B._, C._, befragen müssen. Sie habe zu Unrecht auch ihren Beweisantrag auf Befragung der Tochter ihrer Freundin D._ abgewiesen, welche Angaben zum Zeitpunkt und der Dauer der Trennung von B._ sowie zum Trennungsgrund hätte machen können.
1.2.
1.2.1. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 143 IV 500 E. 1.1 S. 503, 241 E. 2.3.1 S. 244). Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung liegt nach ständiger Rechtsprechung vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht (BGE 143 IV 241 E. 2.3.1 S. 244; 141 IV 369 E. 6.3 S. 375; je mit Hinweisen). Die Willkürrüge muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 500 E. 1.1 S. 503). Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 145 I 26 E. 1.3 S. 30; 145 IV 154 E. 1.1 S. 156; 143 IV 347 E. 4.4 S. 354 f.; je mit Hinweisen).
Dem Grundsatz "in dubio pro reo" kommt in seiner Funktion als Beweiswürdigungsregel im Verfahren vor Bundesgericht keine über das Willkürverbot von Art. 9 BV hinausgehende Bedeutung zu (BGE 145 IV 154 E. 1.1 S. 156; 144 IV 345 E. 2.2.3.3 S. 352; 143 IV 500 E. 1.1 S. 503).
1.2.2. Über Tatsachen, die unerheblich, offenkundig, der Strafbehörde bekannt oder bereits rechtsgenügend erwiesen sind, wird nicht Beweis geführt (Art. 139 Abs. 2 StPO). Die Strafbehörden können in ständiger Rechtsprechung ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) auf die Abnahme weiterer Beweise verzichten, wenn sie in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen können, ihre Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (vgl. BGE 141 I 60 E. 3.3 S. 64; 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen). Die Rüge unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung prüft das Bundesgericht als Tatfrage nur unter dem Aspekt der Willkür (Urteile 6B_1367/2019 vom 17. April 2020 E. 3.2; 6B_213/2019 vom 26. August 2019 E. 2.3.3; 6B_224/2017 vom 17. November 2017 E. 2.2).
1.3.
1.3.1. Zur Frage, wo B._ in der Zeit von Mai 2012 bis August 2014 seinen Lebensmittelpunkt hatte, liegen widersprüchliche Aussagen vor. Die Beschwerdeführerin machte im kantonalen Verfahren geltend, sie habe mit B._ nur bis April 2012 zusammengewohnt und entsprechend von ihm nur bis zu diesem Datum Zahlungen erhalten. Danach hätten nur noch wenige Kontakte zwischen ihr und B._ stattgefunden. Dies wird von ihrer Freundin D._ und von ihren Kindern weitgehend bestätigt. Die Darstellung der Staatsanwaltschaft, wonach B._ bis August/September 2014 den Lebensmittelpunkt bei der Beschwerdeführerin hatte, welcher er monatlich Fr. 870.-- bezahlte, wird von B._, dessen Bruder, deren Mutter und der Schwester der Beschwerdeführerin (welche zugleich die Ehefrau des Bruders von B._ ist) bestätigt (angefochtenes Urteil E. 3.2 S. 7). Die Vorinstanz geht daher von einer Pattsituation aus, da alle aussagenden Personen entweder selber am Geschehen beteiligt seien oder den Beteiligten sehr nahe stünden (angefochtenes Urteil E. 3.3 S. 24). Dafür, dass B._ seinen Lebensmittelpunkt bis Sommer/Herbst 2014 bei der Beschwerdeführerin hatte, sprechen gemäss der Vorinstanz auch die Aussagen des früheren Vermieters von B._, was für sich genommen aber keinen Beweis dafür zu erbringen vermöge (angefochtenes Urteil E. 3.2.14 S. 24).
1.3.2. Die Vorinstanz stellt für die Frage, ob B._ der Beschwerdeführerin die Fr. 870.-- auch nach April 2012 bezahlte, daher auf die weiteren Beweise ab. Ihre Beweiswürdigung basiert massgeblich auf dem Schreiben von B._ vom 30. August 2014 an die Gemeinde Emmen, in welchem sich dieser danach erkundigt, warum er der Beschwerdeführerin - wie von dieser geltend gemacht - künftig monatlich Fr. 1'170.-- bezahlen müsse. Bloss nebenher und ohne aktuelle Relevanz führte B._ im erwähnten Schreiben auch aus, er habe über die Jahre hinweg lückenlos monatlich Fr. 870.-- und am 30. August 2014 Fr. 1'170.-- an die Beschwerdeführerin bezahlt. Dies spricht gemäss der Vorinstanz deutlich für die tatsächliche Leistung durchgehender Zahlungen an die Beschwerdeführerin, auch und insbesondere über den 1. Mai 2012 hinaus (angefochtenes Urteil S. 24). Weiter zieht die Vorinstanz die Chat-Protokolle zwischen der Beschwerdeführerin und B._ aus dem Jahre 2014 sowie dessen Kontoauszüge heran, welche belegen, dass B._ der Beschwerdeführerin monatlich Bargeld übergab (angefochtenes Urteil E. 3.2.11 S. 22 f. und S. 25). Den erwähnten Kontoauszügen lässt sich gemäss der Vorinstanz entnehmen, dass B._ von November 2011 bis März 2012 monatlich den Betrag von Fr. 889.-- an die Beschwerdeführerin überwies. Nach März 2012 hätten keine solchen Banküberweisungen mehr stattgefunden. B._ habe zwischen April 2012 und August 2014 meist um den Monatswechsel herum jedoch hohe Bargeldbezüge - in der Regel Fr. 800.-- oder mehr - getätigt (angefochtenes Urteil E. 3.2.10 S. 22). Gestützt auf eine (von der Beschwerdeführerin bestrittene) Quittung vom 30. August 2014 und einen Bargeldbezug von B._ in der Höhe von Fr. 1'000.-- vom gleichen Tag geht die Vorinstanz zudem davon aus, B._ habe der Beschwerdeführerin am 30. August 2014 - wie in seinem Schreiben vom 30. August 2014 an die Gemeinde Emmen erwähnt - Fr. 1'170 bezahlt, weil diese von ihm höhere Zahlungen gefordert habe (angefochtenes Urteil S. 25). Insgesamt hält die Vorinstanz für erstellt, dass die Beschwerdeführerin von B._ regelmässig finanzielle Beiträge an ihren Lebensunterhalt erhielt, welche sie - unabhängig von der jeweils momentanen Beziehungssituation - als Einkommen hätte melden müssen (angefochtenes Urteil S. 26).
1.3.3. Die Beschwerdeführerin vermag nicht aufzuzeigen, was an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung willkürlich sein könnte. Aufgrund der Chat-Protokolle und der erwähnten Kontoauszüge hat als bewiesen zu gelten, dass B._ der Beschwerdeführerin im Jahr 2014 hohe Geldbeträge in bar übergab und diese in Sachen Geld eine klare Anspruchshaltung an B._ hatte. Da B._ die gleichen Bargeldbezüge seit April 2012 tätigte, geht die Vorinstanz willkürfrei davon aus, die Bargeldzahlungen an die Beschwerdeführerin hätten auch in der Zeit vor 2014 stattgefunden. Die Vorinstanz stellt demnach nicht einzig auf die Kontoauszüge ab. Sie zieht vielmehr auch die Chat-Protokolle sowie die ihres Erachtens glaubhaften Aussagen von B._ heran.
Die Beschwerdeführerin versucht in ihrer Beschwerde offensichtlich, den sie belastenden Chat-Protokollen aus dem Jahr 2014 die Beweiskraft abzusprechen, indem sie für die Zeit nach der letzten Selbstdeklaration vom 28. April 2014 eine Neuversöhnung (mit Verlobung) konstruiert, welche nach einem rund zweijährigen Unterbruch der Beziehung stattgefunden haben soll. Die Vorinstanz verfällt nicht in Willkür, wenn sie darauf nicht abstellt und stattdessen die Aussagen von B._, von dessen Umfeld sowie von dessen ehemaligem Vermieter als glaubhafter einstuft. Die Vorinstanz anerkennt, dass es in der Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin und B._ in der Zeit von Mai 2012 bis zur definitiven Trennung wenige Wochen vor dem 30. September 2014 Höhen und Tiefen gab und B._ teilweise auch bei Drittpersonen übernachtete, was ihn jedoch nicht zum Abbruch der ihm von der Gemeinde Emmen aufgetragenen Zahlungen veranlasste. Gestützt auf die vorliegenden Beweise nimmt die Vorinstanz willkürfrei an, es habe trotz Schwierigkeiten und vor übergehenden Trennungen durchgehend eine Beziehung und ein beitragsauslösendes Zusammenleben bestanden (angefochtenes Urteil S. 25).
1.4. Eine Verletzung des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör ist ebenfalls nicht ersichtlich. Die Vorinstanz setzt sich mit sämtlichen Einwänden der Beschwerdeführerin auseinander. Ihr Entscheid genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen. Im Verlaufe des Strafverfahrens gegen die Beschwerdeführerin wurden zahlreiche Personen zum Zusammenleben der Beschwerdeführerin mit B._ befragt, wobei die Vorinstanz willkürfrei von einer Pattsituation ausgeht. Nicht ersichtlich ist daher, was die Aussagen von weiteren, der Beschwerdeführerin nahe stehenden Personen zur Klärung der Beweislage hätten beitragen können. Konkrete Anhaltspunkte, dass B._ in der Zeit zwischen Mai 2012 und April 2014 mit seiner Ex-Freundin oder allenfalls einer anderen Frau zusammenlebte, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf. Die Vorinstanz durfte daher in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Beweiserhebungen dazu verzichten.
1.5. Die Rügen der Beschwerdeführerin sind unbegründet, soweit sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen überhaupt zu genügen vermögen.
2.
Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die rechtliche Qualifikation ihres Verhaltens als Betrug im Sinne von Art. 146 StGB.
2.1.
2.1.1. Der Betrug nach Art. 146 Abs. 1 StGB setzt Vorsatz, d.h. ein Handeln mit Wissen und Willen voraus (Art. 12 Abs. 2 StGB). Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft sogenannte innere Tatsachen, welche das Bundesgericht nur auf Willkür überprüft (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375 mit Hinweisen).
2.1.2. Die Vorinstanz geht davon aus, die Beschwerdeführerin habe gegenüber der Gemeinde Emmen in den Selbstdeklarationen vom 30. April 2012, 2. Mai 2013 und 28. April 2014 wissentlich und willentlich falsche Angaben gemacht, um dadurch in den Genuss von höheren Sozialhilfeleistungen zu kommen, als ihr zustanden. Die Beschwerdeführerin rügt, es fehle am Vorsatz, die Gemeinde Emmen willentlich und wissentlich zu täuschen, da sie dieser gegenüber ansonsten nicht von sich aus im Sommer 2014 einen erneuten Zusammenzug angesprochen hätte. Darauf ist nicht einzutreten, da die Beschwerdeführerin nicht ansatzweise aufzeigt, dass und weshalb die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein könnte.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin argumentiert zudem, ihr Verhalten sei nicht arglistig gewesen. Der Sozialinspektor sei mit der Unterzeichnung der Selbstdeklarationen ermächtigt worden, Nachforschungen und Untersuchungen durchzuführen. Wenn B._ tatsächlich während Jahren ununterbrochen bei ihr gelebt und seinen Beitrag geleistet hätte, wäre dies ohne Weiteres überprüfbar gewesen.
2.2.2. Angriffsmittel beim Betrug ist die Täuschung des Opfers. Als Täuschung gilt jedes Verhalten, das darauf gerichtet ist, bei einem andern eine von der Wirklichkeit abweichende Vorstellung hervorzurufen (BGE 140 IV 11 E. 2.3.2 S. 14; 135 IV 76 E. 5.1 S. 78). Die Täuschung muss zudem arglistig sein. Arglist ist nach ständiger Rechtsprechung gegeben, wenn der Täter ein ganzes Lügengebäude errichtet oder sich besonderer Machenschaften oder Kniffe bedient. Bei einfachen falschen Angaben ist das Merkmal erfüllt, wenn deren Überprüfung nicht oder nur mit besonderer Mühe möglich oder nicht zumutbar ist, sowie dann, wenn der Täter den Getäuschten von der möglichen Überprüfung abhält oder nach den Umständen voraussieht, dass dieser die Überprüfung der Angaben aufgrund eines besonderen Vertrauensverhältnisses unterlassen werde. Arglist scheidet aus, wenn der Getäuschte den Irrtum mit einem Mindestmass an Aufmerksamkeit hätte vermeiden können. Auch unter dem Gesichtspunkt der Opfermitverantwortung erfordert die Erfüllung des Tatbestands indes nicht, dass das Täuschungsopfer die grösstmögliche Sorgfalt walten lässt und alle erdenklichen Vorkehrungen trifft. Arglist ist lediglich zu verneinen, wenn es die grundlegendsten Vorsichtsmassnahmen nicht beachtet (zum Ganzen: BGE 142 IV 153 E. 2.2.2 S. 154 f.; 135 IV 76 E. 5.2 S. 79 ff. mit Hinweisen).
Dies gilt nach der Rechtsprechung auch im Bereich der Sozialhilfe. Die Behörde handelt leichtfertig, wenn sie die eingereichten Belege nicht prüft oder es unterlässt, die um Sozialhilfe ersuchende Person aufzufordern, die für die Abklärung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse relevanten Unterlagen einzureichen. Hingegen kann ihr eine solche Unterlassung angesichts der grossen Zahl von Sozialhilfeersuchen nicht zum Vorwurf gemacht werden, wenn die erwähnten Unterlagen keine oder voraussichtlich keine Hinweise auf nicht deklarierte Einkommens- und Vermögenswerte enthalten (Urteile 6B_1323/2019 vom 13. Mai 2020 E. 3.3; 6B_152/2020 vom 1. April 2020 E. 3.2; 6B_1437/2017 vom 6. November 2018 E. 1.2; 6B_932/2015 vom 18. November 2015 E. 3.2; je mit Hinweisen).
2.2.3. Die Vorinstanz erwägt unter Hinweis auf das erstinstanzliche Urteil zutreffend, die Richtigkeit der Angaben der Beschwerdeführerin betreffend das Zusammenleben mit B._ und insbesondere den Erhalt von Bargeldzahlungen von diesem seien für die Gemeinde Emmen nicht oder nur mit besonderer Mühe überprüfbar gewesen. Den Mitarbeitern der Gemeinde Emmen kann nicht vorgeworfen werden, elementare Vorsichtsmassnahmen unbeachtet gelassen zu haben (angefochtenes Urteil E. 4.2 S. 27 und E. 4.3 S. 28). Eine die Arglist ausschliessende Opfermitverantwortung der Gemeinde Emmen liegt offensichtlich nicht vor.
2.3. Der Schuldspruch wegen Betrugs im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB verstösst nicht gegen Bundesrecht.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld