Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1971) ist irakischer Staatsangehöriger. Er wurde Ende der 90er Jahre in der Schweiz vorläufig aufgenommen. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt ersuchte das Staatssekretariat für Migration (SEM) wiederholt darum, die vorläufige Aufnahme aufzuheben, was dieses abgelehnt hat.
1.2. A._ leidet an einer paranoïden Schizophrenie. Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt ordnete am 20. Februar 2009 seine stationäre psychiatrische Behandlung an, nachdem er am 4. April 2008 von der Anklage der versuchten vorsätzlichen Tötung sowie der einfachen Körperverletzung wegen Schuldunfähigkeit freigesprochen worden war und eine ambulante psychiatrische Behandlung wegen Aussichtslosigkeit im November 2008 abgebrochen werden musste. Am 12. Februar 2020 wurde A._ aus dem stationären Massnahmenvollzug entlassen.
1.3. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wies am 2. Oktober 2017 das Gesuch von A._ ab, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte dies kantonal letztinstanzlich am 16. März 2021. A._ beantragt vor Bundesgericht (sinngemäss), das entsprechende Urteil aufzuheben. Es wurden keine Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Nach Art. 84 Abs. 5 AIG werden Gesuche um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung von vorläufig aufgenommenen Ausländerinnen und Ausländern, die sich seit mehr als fünf Jahren in der Schweiz aufhalten, unter Berücksichtigung der Integration, der familiären Verhältnisse und der Zumutbarkeit einer Rückkehr in den Herkunftsstaat vertieft geprüft. Die Bestimmung verschafft keinen Rechtsanspruch auf die Erteilung einer Bewilligung (Urteile 2D_34/2019 vom 21. August 2019 E. 3.1; 2C_689/2017 vom 1. Februar 2018 E. 1.2.1 und 2C_766/2009 vom 26. Mai 2010 E. 4). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern anderweitig ein solcher bestehen würde, insbesondere beruft er sich in diesem Zusammenhang nicht auf den Schutz seines Privatlebens (vgl. hierzu das Urteil 2C_175/2020 vom 24. November 2020 E. 4 und 5, zur Publikation vorgesehen). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach ausgeschlossen.
2.2. Die Eingabe kann aber auch nicht im Rahmen einer subsidiäre Verfassungsbeschwerde behandelt werden: Bei der Erteilung der umstrittenen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid; ein Anspruch auf Aufenthalt lässt sich praxisgemäss weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten (vgl. BGE 137 II 305 E. 2; 134 I 153 E. 4; 133 I 185 E. 6.2; Urteile 2C_271/2021 vom 12. April 2021 E. 3.1 und 2C_585/2021 vom 22. März 2021 E. 1.2). Diesbezüglich wären ausschliesslich Rügen in verfahrensrechtlichen Punkten zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkäme und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt prüfen könnte ("Star"-Praxis; BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; 123 I 25 E. 1; 137 II 305 E. 2 und 4). Der Beschwerdeführer erhebt keine solchen Einwände. Er schildert seine schwierige Situation, legt aber nicht dar, dass und inwiefern die Vorinstanz bei ihrem Entscheid Verfahrensrechte verletzt hätte.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, aufgrund seiner gesundheitlichen Situation nicht in seine Heimat zurückkehren zu können, und insofern - wiederum sinngemäss - eine Verletzung von Art. 3 EMRK rügt, ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen: Wie bereits das Appellationsgericht festgehalten hat, bleibt seine (weitere) Behandlung im Rahmen der vorläufigen Aufnahme sichergestellt.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Dies kann durch den Präsidenten als Einzelrichter geschehen (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
3.2. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG) und keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG). Der Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar