Erwägungen:
1.
Nachdem der über die Beschwerdegegnerin 1 eröffnete Konkurs mangels Aktiven eingestellt und ihre Eintragung am 9. Januar 2017 im Handelsregister des Kantons Zürich gelöscht worden war, ersuchte der Beschwerdeführer als ehemaliger Verwaltungsrat der gelöschten Gesellschaft das Bezirksgericht Meilen am 28. Januar 2020 um deren Wiedereintragung. Dieses hiess das Gesuch mit Urteil vom 21. April 2020 gut und wies das Handelsregisteramt an, die gelöschte Gesellschaft wieder ins Register einzutragen. Das Urteil blieb unangefochten.
Mit Eingabe vom 11. Juni 2020 stellte die Beschwerdegegnerin 2 zusammen mit weiteren mutmasslichen Gläubigerinnen beim Bezirksgericht Meilen ein Gesuch um Akteneinsicht. Das Bezirksgericht Meilen hiess das Akteneinsichtsgesuch mit Verfügung vom 28. August 2020 gut, woraufhin am 1. Oktober 2020 die Akteneinsicht gewährt wurde.
Am 25. November 2020 beantragte der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Meilen die Absetzung der bisherigen Liquidatorin der Beschwerdegegnerin 1 und die Einsetzung seiner Person als Liquidator. Dieses Ersuchen wies das Bezirksgericht mit Urteil vom 4. Dezember 2020 ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht mit Urteil vom 23. Februar 2021 ebenfalls ab.
Kurz zuvor, am 11. Februar 2021, wandte sich der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin 2 und weiterer potentieller Gläubigerinnen an das Obergericht des Kantons Zürich und erklärte, das Bezirksgericht Meilen habe ihnen mit Verfügung vom 28. August 2020 Akteneinsicht betreffend Wiedereintragung einer gelöschten Rechtseinheit gewährt. Gemäss Auskunft des Bezirksgerichts befänden sich die Akten nun am Obergericht, weshalb er dieses ersuche, ihm ins Rechtsmittelverfahren ebenfalls Einsicht zu gewähren. Am 23. Februar 2021 orientierte die II. Zivilkammer des Obergerichts den Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin 2 darüber, dass sich die Akten des Wiedereintragungsverfahrens nicht aufgrund eines Rechtsmittelverfahrens gegen einen in diesem Verfahren ergangenen Entscheid am Obergericht befänden, sondern im Sinne von Beizugsakten in einem Rechtsmittelverfahren gegen ein am Bezirksgericht Meilen durchgeführtes Drittverfahren betreffend Abberufung der Liquidatorin. Das schutzwürdige Interesse an der Einsicht müsse daher neu begründet werden.
Mit Eingabe vom 9. März 2021 kam der besagte Rechtsvertreter dieser Aufforderung nach und begründete sein Ersuchen. Der Beschwerdeführer liess die Abweisung des Gesuchs um Akteneinsicht beantragen. Mit Verfügung vom 9. April 2021 hiess die II. Zivilkammer des Obergerichts das Gesuch gut.
Mit Beschluss vom 28. September 2021 hiess die Verwaltungskommission des Obergerichts einen von der Beschwerdegegnerin 1 gegen die Verfügung vom 9. April 2021 erhobenen Rekurs gut und wies das Gesuch um Akteneinsicht ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es setzte die Gerichtsgebühr auf Fr. 1'200.-- fest (Dispositiv-Ziffer 2) und auferlegte die Kosten des Verfahrens zur Hälfte der Beschwerdegegnerin 1 sowie je zu einem Sechstel der Beschwerdegegnerin 2 und dem Beschwerdeführer; zu einem Sechstel wurden die Kosten des Verfahrens auf die Gerichtskasse genommen (Dispositiv-Ziffer 3).
Mit Eingabe vom 7. Oktober 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Kostenentscheid (Dispositiv-Ziffer 3) des Beschlusses vom 28. September 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
3.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 7. Oktober 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. September 2021 auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Abgesehen davon ist hinsichtlich seiner Behauptung, er habe mit dem fraglichen Rechtsstreit nichts zu tun und habe nie Anträge gestellt, darauf hinzuweisen, dass er im Verfahren vor der II. Zivilkammer des Obergerichts die Abweisung des Akteneinsichtsgesuchs beantragt hatte.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnern steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann