Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 2016; Beschwerdegegnerin) ist die Tochter von C._ (geb. 1984) und A._ (geb. 1982; Beschwerdeführer). Die Kindseltern waren und sind nicht miteinander verheiratet. Die Tochter steht unter der gemeinsamen elterlichen Sorge und wohnt bei der Kindsmutter.
A.b. Nach erfolglosen Vergleichsbemühungen vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Gossau erhob B._ am 24. November 2017 beim Kreisgericht Wil Klage gegen ihren Vater und beantragte die Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen sowie die Regelung der persönlichen Kontakte zwischen ihr und dem Vater, wobei sich die Parteien bezüglich letzterem Punkt einigen konnten. Mit Entscheid vom 13. Juli 2018 genehmigte der Einzelrichter die Teilvereinbarung betreffend die Betreuungs- und Obhutsregelung und verpflichtete den Kindsvater zur Leistung von Kindesunterhalt.
B.
Dagegen erhob A._ beim Kantonsgericht St. Gallen Berufung. Mit Entscheid vom 20. Mai 2020 legte das Kantonsgericht die monatlich zu leistenden Kindesunterhaltsbeiträge in Dispositivziffer 2 wie folgt fest:
a) Fr. 1'015.-- vom 1. August 2017 bis 30. April 2020 (davon Fr. 255.-- Betreuungsunterhalt)
b) Fr. 1'055.-- vom 1. Mai 2020 bis 31. Juli 2020 (davon Fr. 255.-- Betreuungsunterhalt)
c) Fr. 1'185.-- vom 1. August 2020 bis 30. November 2020 (davon Fr. 240.-- Betreuungsunterhalt)
d) Fr. 1'185.-- vom 1. Dezember 2020 bis 31. Juli 2021 (davon Fr. 130.-- Betreuungsunterhalt)
e) Fr. 1'110.-- vom 1. August 2021 bis 31. Juli 2028 (davon Fr. 140.-- Betreuungsunterhalt)
f) Fr. 1'155.-- vom 1. August 2028 bis 31. Juli 2032 (nur Barunterhalt)
g) Fr. 610.-- vom 1. August 2032 bis zur Volljährigkeit bzw. bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung (nur Barunterhalt)
h) Die Unterhaltsansprüche von B._ für die Monate August 2017 bis und mit August 2018 gelten im Umfang von Fr. 11'622.65 als getilgt.
Das Kantonsgericht ermittelte in den ersten beiden Phasen (1. August 2017 bis 30. April 2020 bzw. 1. Mai 2020 bis 31. Juli 2020) sowie in zwei weiteren Phasen (1. August 2021 bis 31. Juli 2028 und 1. August 2032 bis zur Volljährigkeit bzw. Abschluss angemessener Erstausbildung) bei A._ einen Überschuss, den es unter dem Vater und dem Kind nach grossen (2/3) und kleinen (1/3) Köpfen aufteilte. In der letzten Phase ist das Kantonsgericht bei beiden Elternteilen von einem Überschuss ausgegangen und teilte diesen ebenfalls nach grossen (2/5) und kleinen Köpfen (1/5) auf, wobei es den Überschussanteil von B._ auf Fr. 300.-- begrenzte und ihren Unterhaltsbedarf hälftig unter den Eltern aufteilte. In den übrigen Phasen sprach es infolge Geringfügigkeit des Überschusses oder Mankos keinen Überschuss zu. Bei der Kindsmutter stellte das Kantonsgericht bis 31. Juli 2028 eine Unterdeckung fest, weshalb es bis dahin einen Betreuungsunterhalt festsetzte.
Darüber hinaus hielt das Kantonsgericht fest, dass A._ die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- trägt, er aber von der Bezahlung vorläufig befreit sei (Dispositivziffer 3). Weiter habe A._ B._ für ihre Parteikosten mit Fr. 4'480.30 zu entschädigen (Dispositivziffer 4). Schliesslich entschädige der Staat die unentgeltliche Vertreterin von A._ für das Berufungsverfahren mit Fr. 3'360.--.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 19. Juni 2020 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Dispositivziffern 2 bis 4 des kantonsgerichtlichen Urteils, und er sei maximal zu folgenden monatlichen Unterhaltszahlungen (zzgl. allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen) an seine Tochter zu verpflichten:
a) Fr. 937.-- vom 1. August 2017 bis 31. Juli 2020 (Barunterhalt Fr. 688.--; Betreuungsunterhalt Fr. 249.--; Manko Fr. 0.--)
b) Fr. 795.-- vom 1. August 2020 bis 31. Juli 2021 (Barunterhalt Fr. 795.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
c) Fr. 756.-- vom 1. August 2021 bis 31. Juli 2022 (Barunterhalt Fr. 756.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
d) Fr. 888.-- vom 1. August 2022 bis 31. Juli 2028 (Barunterhalt Fr. 888.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
e) Fr. 1'065.-- vom 1. August 2028 bis 31. Juli 2032 (Barunterhalt Fr. 1'065.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
f) Fr. 610.-- vom 1. August 2032 bis 31. Juli 2034 (Barunterhalt Fr. 610.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
g) Fr. 550.-- ab dem 1. August 2034 (Mündigenunterhalt) bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung (Barunterhalt Fr. 550.--; Betreuungsunterhalt Fr. 0.--; Manko Fr. 0.--)
Sodann sei die Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen für das zweitinstanzliche Verfahren neu festzulegen, wobei der Ausgang des vorliegenden Beschwerdeverfahrens zu berücksichtigen sei. Eventualiter sei das Urteil des Kantonsgerichts (Dispositivziffern 2 bis 4) aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung und Neufestsetzung der Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter seien nur die Dispositivziffern 3 und 4 aufzuheben, und es sei die Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen für das zweitinstanzliche Verfahren insoweit neu festzulegen, als die Gerichtskosten hälftig zu teilen und die Parteientschädigungen wettzuschlagen seien. Der Beschwerdeführer sei für das zweitinstanzliche Verfahren maximal dazu zu verpflichten, Fr. 1'000.-- der Gerichtskosten zu tragen, und es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin für das zweitinstanzliche Verfahren keine Parteientschädigung schulde. Sub-subeventualiter sei die Sache unter Aufhebung von Dispositivziffern 3 und 4 zwecks Neufestsetzung der Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen für das zweitinstanzliche Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.b. In prozessualer Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer die aufschiebende Wirkung der Beschwerde, welche mit Verfügung vom 24. Juli 2020 erteilt wurde. Daneben verlangt er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung der ihn vertretenden Rechtsanwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin.
C.c. Das Kantonsgericht wie auch die Beschwerdegegnerin verzichten auf eine Vernehmlassung in der Sache, beantragen jedoch die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die betreffenden Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zugestellt.
C.d. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, welche auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) über den Unterhalt betreffend ein Kind nicht verheirateter Eltern und damit über eine vermögensrechtliche Streitigkeit geurteilt hat. Der Streitwert liegt laut den Angaben der Vorinstanz über Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG) und hat sie rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: BGE 141 III 513). Erhöhte Anforderungen gelten, wenn Grundrechte als verletzt gerügt werden; hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Auf eine nicht hinreichend begründete Beschwerde tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
3.
3.1. In prozessualer Hinsicht rügt der Beschwerdeführer einerseits eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV infolge einer überlangen Verfahrensdauer. Die Verfassungsbestimmung räumt einen allgemeinen Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist ein (vgl. BGE 133 I 270 E. 1.2.2 S. 274 mit Hinweisen auf weitere Verfassungsbestimmungen mit spezifischen Beschleunigungsgeboten). Es kann offen bleiben, ob die Dauer angesichts der massgeblichen Kriterien (dazu Urteil 5A_207/2018 vom 26. Juni 2018 E. 2.1.2 mit Hinweisen; BGE 135 I 265 E. 4.4 S. 277 mit Hinweisen) als angemessen zu bezeichnen wäre. Macht eine Partei eine behauptete Rechtsverzögerung nicht während laufendem, sondern erst nach abgeschlossenem Verfahren geltend, kann diese nicht mehr rückgängig gemacht werden. Diesfalls fällt als Sanktion die blosse Feststellung als Wiedergutmachung in Betracht und allenfalls die Berücksichtigung bei der Kostenregelung (BGE 138 II 513 E. 6.5 S. 519; Urteil 4A_271/2015 vom 29. September 2015 E. 4 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 142 I 93). Vorliegend beantragt der Beschwerdeführer weder eine Feststellung der Rechtsverzögerung noch deren Berücksichtigung bei den Kosten. Vielmehr zielt er auf eine Rückgängigmachung des Verfahrens hin. Da dies wie aufgezeigt keine mögliche Sanktion darstellt, kann auf die Rüge nicht weiter eingegangen werden.
3.2. Andererseits rügt der Beschwerdeführer die Verletzung von Art. 30 BV, ohne jedoch aufzuzeigen, inwiefern das Kantonsgericht gegen diese Bestimmung verstossen hat. Weiterungen erübrigen sich daher (vgl. E. 2.1).
4.
4.1. Zentraler Streitpunkt bildet die Höhe des Kindesunterhalts, den der Beschwerdeführer zu bezahlen hat.
4.2. Beim Entscheid über Fragen des Unterhalts ist das Sachgericht verschiedentlich auf sein Ermessen verwiesen (Art. 4 ZGB; Urteil 5A_727/2018 22. August 2019 E. 1.5; vgl. zum Kindesunterhalt: Urteile 5A_20/2017 vom 29. November 2017 E. 4.2, in: FamPra.ch 2018 S. 592; 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 3.3). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es schreitet allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 142 III 617 E. 3.2.5 S. 622; 141 III 97 E. 11.2 S. 98).
5.
Der Beschwerdeführer kritisiert zunächst die Höhe des Einkommens der Kindsmutter in verschiedener Hinsicht.
5.1. Zum einen ist der Beschwerdeführer der Auffassung, das Kantonsgericht sei bei der Feststellung des Einkommens der Kindsmutter in Willkür (Art. 9 BV) verfallen.
5.1.1. Das Kantonsgericht stellte diesbezüglich fest, dass die Kindsmutter als Sachbearbeiterin bei der D._ AG (U._) in einem 40 %-Pensum arbeite und dabei - gestützt auf die Steuerveranlagungen für die Jahre 2017 und 2018 - gemittet ein monatliches Nettoeinkommen von rund Fr. 2'220.-- (inkl. Anteil 13. Monatslohn) erziele.
5.1.2. Laut Beschwerdeführer ist bei der Feststellung des Einkommens der Kindsmutter auf die Verhältnisse aus dem Jahre 2018 abzustellen und nicht "irgendeine Mischrechnung" mit früheren Jahren vorzunehmen. Wie das Kantonsgericht zutreffend festhalte, ergebe sich gestützt auf die Steuerveranlagung 2018 ein monatliches Einkommen von Fr. 2'226.--. Die Differenz möge auf den ersten Blick klein erscheinen, wirke sich aber für den Beschwerdeführer in Bezug auf den Betreuungsunterhalt bei der Hochrechnung auf mehrere Jahre dennoch merkbar aus.
Der Beschwerdeführer übersieht, dass die erste Phase der Unterhaltspflicht bereits im August 2017 beginnt. Insoweit erweist es sich - auch unter Berücksichtigung der Geringfügigkeit des Differenzbetrages - nicht als willkürlich, wenn das Kantonsgericht bei der Einkommensberechnung neben der Steuerveranlagung aus dem Jahr 2018 auch diejenige vom Jahr 2017 berücksichtigt. Die Rüge trifft somit ins Leere.
5.2. Zum anderen moniert der Beschwerdeführer, dass das Kantonsgericht der Kindsmutter als Einkommen bei einer Pensumserhöhung auf 50 % lediglich Fr. 2'600.-- statt Fr. 2'780.-- pro Monat anrechnet.
5.2.1. Das Kantonsgericht führt in diesem Zusammenhang aus, die Kindsmutter verfüge über eine abgeschlossene kaufmännische Ausbildung. Seit der Geburt der Tochter arbeite sie mit einem Stellenpensum von 40 % als Sachbearbeiterin bei der D._ AG, wobei sie als Unterstützung für das ganze Team fungiere. Zuvor sei sie während acht Jahren bei derselben Firma zu 100 % tätig gewesen. Dabei hätte sie ihren eigenen Aufgabenbereich und Kundenstamm gehabt, welchen sie vollumfänglich betreut habe. Aufgrund ihres beruflichen Werdegangs sowie der beträchtlichen Unternehmensgrösse ihrer Arbeitgeberin dürfe davon ausgegangen werden, dass die Kindsmutter entweder ihr Arbeitspensum bei der D._ AG innert angemessener Frist um 10 % erhöhe oder alternativ eine neue Arbeitsstelle mit einem 50 %-Pensum finden könnte. Die von der Kindsmutter eingereichte Bestätigung der D._ AG betreffe lediglich die Verteilung des 40 %-Pensums auf die Arbeitstage. Dass eine Erhöhung des Arbeitspensums innerhalb der Unternehmung nicht möglich wäre, sei ihr nicht zu entnehmen. Ausgehend vom aktuellen Lohn würde die Kindsmutter bei ihrer jetzigen Arbeitsstelle mit einem 50 %-Pensum ein monatliches Nettoeinkommen von rund Fr. 2'780.-- verdienen. Würden die bekannten Eckdaten im statistischen Lohnrechner (des Bundesamtes für Statistik) eingegeben, resultiere ein etwas tieferes Einkommen von rund Fr. 2'490.--. Sachgerecht erscheine bei dieser Ausgangslage, das Nettoeinkommen der Kindsmutter bei einem halben Arbeitspensum mit Fr. 2'600.-- zu beziffern.
5.2.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, der Verweis des Kantonsgerichts auf den Lohnrechner sei vorliegend "völlig sachfremd" und widersprüchlich, nachdem das Kantonsgericht zunächst doch nachvollziehbar und lebensnah davon ausgehe, dass die Kindsmutter ihr Arbeitspensum bei ihrer angestammten Arbeitgeberin um 10 % erhöhen könne. Alles andere wäre bei der vorliegenden Ausgangslage auch "vollkommen sach- und lebensfremd". Ergänzend sei darauf hingewiesen, dass insbesondere grössere Firmen seit der Corona-Pandemie auch bezüglich Home-Office-Lösungen für Sachbearbeiterinnen und Sachbearbeiter noch flexibler geworden seien. Die Lohnfestsetzung des Kantonsgerichts stehe somit mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch. Das Kantonsgericht habe demnach gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) verstossen und verletze mit dem entsprechend nicht sachgerecht festgelegten Betreuungsunterhalt auch Art. 276 Abs. 2 und Art. 285 Abs. 1 ZGB.
5.2.3. Gemäss dem vom Kantonsgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt (vgl. E. 2.2) ist die Erhöhung des Arbeitspensums bei der aktuellen Arbeitgeberin unter Berücksichtigung der eingereichten Unterlagen nicht ausgeschlossen (vgl. E. 5.2.1). Hinweise dafür, dass die Pensumserweiterung mit Sicherheit möglich ist, bestehen jedoch keine. Bei der Berechnung von Unterhaltsbeiträgen ist grundsätzlich von den tatsächlichen (d.h. effektiven) Einkommen und Ausgaben auszugehen (zum Einkommen vgl. BGE 137 III 118 E. 2.3 S. 120, zu den Bedarfspositionen vgl. BGE 137 III 59 E. 4.2.2 S. 63). Indessen entfalten Unterhaltsurteile ihre Wirkungen (auch) für die Zukunft. Zukünftige Tatsachen sind einem Beweis aber nicht zugänglich. Letztlich geht das Gericht von Annahmen aus; es handelt sich um Prognosen. Die materielle Rechtskraft eines Unterhaltsurteils schliesst denn auch zukünftige Tatsachen ein, aber nur insofern, als sich die Prognosen verwirklichen. Um dieser Unsicherheit entgegenzuwirken, sieht das Gesetz vor, dass Unterhaltsurteile abgeändert werden können und sollen, wenn sich Verhältnisse wesentlich ändern (Art. 129 Abs. 1 ZGB; Art. 179 Abs. 1, Art. 298d Abs. 3 ZGB). Als Änderungsgrund gilt auch, wenn sich eine Prognose, von welcher das Gericht ausgegangen und die für die Bestimmung des Unterhaltsbeitrags wesentlich ist, nicht wie erwartet verwirklicht (Urteile 5A_782/2016 vom 31. Mai 2017 E. 5.3; 5A_96/2016 vom 18. November 2016 E. 3.1; 5A_129/2015 vom 22. Juni 2016 E. 5.4.3). Lassen sich zur zukünftigen Entwicklung der Einkommen oder Ausgaben keine klare Aussagen machen, und kommen - wie hier - realistischerweise mehrere Varianten infrage, hat das Gericht seine Berechnungen auf eine von mehreren Möglichkeiten zu stützen. Es hat genau anzugeben, mit welcher Tätigkeit welches Einkommen erzielt werden kann. Die Ermittlung eines Durchschnittswerts aus zwei möglichen Alternativen (hier: Einkommen von Fr. 2'780.--, wenn die Mutter ihr Arbeitspensum beim gegenwärtigen Arbeitgeber erhöhen kann, vs. Fr. 2'490.--, wenn sie eine neue Stelle bei einem anderen Arbeitgeber antreten müsste; 'gemittet' Fr. 2'600.--) ist unzulässig und führt zu einem offensichtlich unrichtigen und damit willkürlich festgestellten Einkommen. Hinzu kommt, dass ein von den Parteien nicht angefochtenes hypothetisches Einkommen als anerkannt gilt und diese anerkannte Unsicherheit nicht mehr Gegenstand eines Abänderungsverfahrens sein kann. Die Beschwerde erweist sich in diesen Punkten als begründet. Die Sache ist an das Kantonsgericht zurückzuweisen, damit es das Einkommen der Kindsmutter neu ermittle.
Dasselbe gilt hinsichtlich der vom Kantonsgericht vorgenommenen Mischrechung bezüglich der Berufsauslagen, die offenbar nur anfallen, wenn die Mutter ihr Pensum nicht beim gegenwärtigen Arbeitgeber aufstocken kann.
5.3. Schliesslich stösst sich der Beschwerdeführer an der Übergangsfrist, welche das Kantonsgericht der Kindsmutter für die Erhöhung ihres Pensums auf 50 % eingeräumt hat.
5.3.1. Gemäss Kantonsgericht soll die Einräumung einer grosszügig bemessenen Übergangsfrist der Kindsmutter erlauben, eine Stelle zu finden und die mit dem Kindergarteneintritt für die Tochter verbundenen grossen Veränderungen möglichst kindgerecht zu gestalten. Sachgerecht erscheine somit, der Kindsmutter das hypothetische Einkommen von Fr. 2'600.-- (50 %-Pensum) ab 1. Dezember 2020 anzurechnen.
5.3.2. Der Beschwerdeführer erachtet die Übergangsfrist von sechs Monaten aus mehreren Gründen als weder sachgerecht noch angemessen. Es sei davon auszugehen, dass die Kindsmutter ihr Pensum bei ihrer aktuellen Arbeitgeberin um 10 % erhöhen könne. Ausserdem steige sie nicht neu ins Berufsleben ein, sondern erhöhe lediglich das bestehende Pensum um 10 %. Im Weiteren sei die Übergangsfrist auch unangemessen lang, da die Kindsmutter spätestens seit November 2018 (Zustellung der Berufungsreplik vom 5. November 2018 mit Verweis auf die neue Rechtsprechung des Bundesgerichts und Antrag auf Anrechnung eines 50 %-Pensums bereits ab 1. Juli 2020), d.h. schon seit eineinhalb Jahren, damit habe rechnen müssen, ihr Pensum entsprechend der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ab Kindergarteneintritt der Tochter erhöhen zu müssen. Es könne im Übrigen auch nicht angehen, dass der Beschwerdeführer für eine Übergangsfrist aufzukommen habe, weil das Kantonsgericht seit Abschluss des Schriftenwechsels im Dezember 2018 eineinhalb Jahre zugewartet hätte, um das vorliegend angefochtene Urteil zu erlassen. Es sei "höchst unbillig", wenn der Beschwerdeführer aufgrund des nicht fristgerechten Erlasses des Urteils auch noch finanzielle Rechtsnachteile tragen müsse. Die Übergangsfrist erweise sich als offensichtlich unangemessen und unbillig. Es liege ein Ermessensmissbrauch und ein Verstoss gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) sowie gegen Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV vor. Die Übergangsfrist sei nach dem Gesagten aufzuheben bzw. auf maximal zwei Monate zu reduzieren und ab dem 1. August 2020 ein Einkommen von 50 % anzurechnen.
5.3.3. Die Rüge ist unbegründet. Zunächst behauptet der Beschwerdeführer fälschlicherweise, es liege eine sechsmonatige Übergangsfrist vor, obwohl sie lediglich vier Monate beträgt (1. August 2020 bis 30. November 2020). Sodann übergeht der Beschwerdeführer, dass das Kantonsgericht die Übergangsfrist auch damit begründet, dass die Kindsmutter - neben der Stellensuche - genügend Zeit haben soll, den Übertritt der Tochter in den Kindergarten möglichst kindgerecht zu gestalten. Wieso der Gesichtspunkt des Eintritts der Tochter in den Kindergarten für den vorliegenden Ermessensentscheid keine Rolle hätten spielen dürfen, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
Soweit sich der Beschwerdeführer auch noch auf Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV beruft, unterlässt er jegliche Begründung, weshalb auf diese Rügen nicht einzutreten ist (vgl. E. 2.1).
6.
Hinsichtlich des Bedarfs der Tochter beanstandet der Beschwerdeführer die kantonsgerichtliche Berechnung der Fremdbetreuungskosten.
6.1. In diesem Zusammenhang erwog das Kantonsgericht, es sei von der dargelegten Arbeitssituation der Kindsmutter auszugehen, wonach diese bis Ende Oktober 2020 zu 40 % erwerbstätig sei und ihr Arbeitspensum per 1. Dezember 2020 auf 50 % resp. ab August 2028 auf 80 % zu erhöhen habe. Des Weiteren sei von Bedeutung, dass die Tochter gemäss Betreuungsvereinbarung seit 9. März 2018 unter der Woche allein von der Mutter betreut werde. Die Besuchszeiten beim Vater fielen hingegen, abgesehen von den drei Wochen Ferien, auf die arbeitsfreien Wochenenden und Feiertage. Schliesslich würden die Vorbringen der Mutter in Bezug auf die Betreuung durch die Grosseltern nachvollziehbar erscheinen. Es könne und dürfe nicht als üblich gelten, dass Grosseltern ihre zunächst freiwillige, regelmässige und unentgeltliche Betreuung des Enkelkindes für unbestimmte Zeit weiterführen. Die Tochter werde daher ab Eintritt in den Kindergarten auf ausserfamiliäre und mit Kosten verbundene Betreuung angewiesen sein.
Nach Einschätzung des Kantonsgerichts sei es dabei sachgerecht, vom Betreuungsangebot der Gemeinde U._ auszugehen, welches auch während eines Grossteils der Ferien zur Verfügung stehe. Gemäss den im Internet abrufbaren Informationen der Schule U._ würden die Kosten für einen ganzen Tag samt Mittagessen mit rund Fr. 23.--, für einen halben Tag samt Mittagessen mit rund Fr. 14.-- (Vormittag) bzw. rund Fr. 20.-- (Nachmittag) zu Buche schlagen. Ein ganzer Ferientag koste samt Mittagessen rund Fr. 33.--, ein halber Ferientag samt Mittagessen rund Fr. 20.--. Als feststehend zu betrachten sei, dass die Mutter ihr 40 %-Pensum bei der D._ AG während zwei vollen Arbeitstagen leiste. Von August 2020 bis und mit November 2020 seien die monatlichen Fremdbetreuungskosten mithin auf Fr. 210.-- zu schätzen (Fr. 46.-- x 4.3 Wochen plus Ferienzuschlag). Mit der Erhöhung des Arbeitspensums der Kindsmutter sei nicht mehr bekannt, wie sie dieses auf die Wochentage verteilen werde. Bei einem halben Arbeitspensum erscheine es naheliegend, dass sie die Arbeitszeit entweder auf zwei ganze und einen halben Tag oder auf einen ganzen und drei halbe Tage verteile. Werde zudem berücksichtigt, dass die Tochter im ersten Kindergartenjahr von Montag bis Freitag jeden Vormittag und anschliessend bis zum Abschluss der Primarschulzeit zusätzlich mindestens zwei Nachmittage in der Schule verbringe (gerichtsnotorisch) sowie dass die Betreuung in den Ferien teurer sei, erscheine es gerechtfertigt, die monatlichen Fremdbetreuungskosten während des ersten Kindergartenjahrs ab November 2020 mit Fr. 320.-- und ab dem zweiten Kindergartenjahr bis zum Übertritt in die Sekundarstufe mit Fr. 200.-- zu veranschlagen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers entspreche es nicht den Gegebenheiten auf dem Arbeitsmarkt, dass die Kindsmutter die fünf halben Arbeitstage beliebig auf diejenigen Zeiten legen könnte, während welchen sich ihre Tochter im Kindergarten oder in der Schule befinde.
Ab dem Übertritt der Tochter in die Oberstufe sei hingegen davon auszugehen, dass die Nachmittagsbetreuung dahinfalle und an den Arbeitstagen der Mutter lediglich eine Betreuung und Verpflegung über Mittag notwendig werde. Da von der Mutter dann eine 80 %-Tätigkeit erwartet werde, beliefen sich die Kosten dafür auf rund Fr. 180.-- pro Monat (Fr. 42.-- x 4.3 Wochen).
6.2. Der Beschwerdeführer wehrt sich zunächst gegen die kantonsgerichtliche Anrechnung der vollen Kosten für das Mittagessen in der Tagesstruktur. Seiner Ansicht nach sind die Verpflegungskosten bereits im Grundbetrag enthalten; für die auswärtige Verpflegung dürften lediglich Mehrkosten angerechnet werden. Vorliegend sei der Betrag von Fr. 7.50 für das Mittagessen daher zu halbieren bzw. auf maximal Fr. 4.-- zu reduzieren. Ansonsten müsse der Beschwerdeführer die Verpflegung doppelt bezahlen, was nicht zulässig und willkürlich sei.
Die Rüge des Beschwerdeführers überzeugt nicht. Bei seinen Ausführungen zur auswärtigen Verpflegung bzw. Mehrauslagen übersieht er, dass es sich hier um einen Bedarfsposten handelt, der bei berufstätigen Personen zur Anwendung gelangt. Diese Grundsätze können nicht unbesehen zur Berechnung des Kindesbedarfs herangezogen werden. Vielmehr darf bei der Anrechnung der Fremdbetreuungskosten auf die vollen Beträge abgestützt werden (vgl. Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 7.2, zur Publikation vorgesehen). Im Übrigen liegt die Mittagspauschale (Fr. 7.50) unter dem Betrag, der gemäss den "Richtlinien der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums" für die auswärtige Verpflegung von berufstätigen Personen angerechnet werden darf (zwischen Fr. 9.-- und Fr. 11.-- pro Mahlzeit; vgl. BlSchK 2009, S. 193 ff.), weshalb auch unter diesem Blickwinkel nichts gegen die Anrechnung der vollen Mittagspauschale einzuwenden ist. Der Vorwurf der Willkür ist damit unbegründet.
6.3. Sodann beanstandet der Beschwerdeführer die Anrechnung der Fremdbetreuungskosten für die Zeit zwischen 7.00 und 8.00 Uhr. Die Arbeitsstelle der Kindsmutter befinde sich in unmittelbarer Gehdistanz von ihrem Zuhause sowie vom Kindergarten und der Tagesstruktur, womit die Betreuung vor 8.00 Uhr obsolet sei. Das Kantonsgericht habe den Sachverhalt diesbezüglich offensichtlich unrichtig und willkürlich festgestellt.
Der Beschwerdeführer übersieht, dass B._, nach der jetzigen Regelung an den Arbeitstagen der Kindsmutter zwischen 7.00 Uhr und 17.00 Uhr fremdbetreut wird. Entsprechend hat die Kindsmutter genügend Zeit, um einen vollen Arbeitstag samt Mittagessen und Pausen bei ihrer Arbeitgeberin zu verbringen und darüber hinaus genügend Zeit, um B._ in die Tagesstruktur zu bringen und wieder abzuholen. Würde B._ erst um 8.00 Uhr in den Kindergarten gebracht, so würde die Zeit entsprechend knapp für die Kindsmutter, um das geforderte Pensum abzudecken. Vor diesem Hintergrund erscheint die vom Kantonsgericht vorgesehene Fremdbetreuung zwischen 7.00 Uhr und 8.00 Uhr - selbst unter Berücksichtigung der gegenwärtigen kurzen Wege - nicht willkürlich.
6.4. Für die weiteren Zeiträume (Dezember 2020 bis und mit Juli 2021 [Übertritt in den Kindergarten, 50 %-Pensum] sowie August 2021 bis und mit Juli 2028 [zweites Kindergartenjahr und Primarschule]) ist es gemäss Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar, wie das Kantonsgericht bei den Fremdbetreuungskosten auf die Beträge von Fr. 320.-- bzw. Fr. 200.-- komme. Er sei damit willkürlich und verletze auch Art. 276 Abs. 2 und Art. 285 Abs. 2 ZGB.
Vorliegend ist in der Tat nicht nachvollziehbar, wie das Kantonsgericht auf die genannten Beträge kommt bzw. von welchen Annahmen und Überlegungen es sich dabei konkret hat leiten lassen. Wie bei der Festlegung des Einkommens (vgl. E. 5.2.3) hat das Kantonsgericht bei der Ermittlung der Bedarfszahlen bzw. Fremdbetreuungskosten konkrete Annahmen zu treffen, damit im Falle des Nichteintreffens dieser Annahmen die Abänderung des Unterhalts (vgl. Art. 286 Abs. 2 ZGB) möglich ist. Insoweit erweist sich die Rüge auch hier als begründet. Die Sache ist an die Vorinstanz zur Neufestsetzung der Fremdbetreuungskosten zurückzuweisen.
6.5. Weiter bezeichnet der Beschwerdeführer die vom Kantonsgericht angerechneten Fremdbetreuungskosten für die Zeit ab dem Übertritt von B._ in die Sekundarstufe ebenfalls als willkürlich. Das Kantonsgericht berechne wiederum die Verpflegungskosten doppelt, was unzulässig bzw. willkürlich sei. Die Kosten würden sich tatsächlich auf Fr. 120.-- belaufen (Fr. 3.-- für Mittagsbetreuung + Fr. 4.-- Anteil Mittagessen x 4 Tage x 4.3 Wochen). Für den Zeitraum August 2028 bis Juli 2032 seien daher Fr. 120.-- einzusetzen.
Die Kritik des Beschwerdeführer erschöpft sich für diesen Zeitraum darin, dass die Mittagspauschale zu hoch sei. Wie jedoch bereits erwähnt, durfte das Kantonsgericht willkürfrei die volle Mittagspauschale, d.h. Fr. 7.50, einsetzen (vgl. E. 6.2). Damit betragen die Kosten für einen Mittag Fr. 10.50 (Fr. 7.50 + Betreuungspauschale Fr. 3.--). Der vom Kantonsgericht eingesetzte Betrag von Fr. 180.-- (Fr. 10.50 x 4 Tage x 4.3 Wochen) ist mithin nicht willkürlich.
7.
7.1. In Bezug auf die Unterhaltsberechnung beschwert sich der Beschwerdeführer über die Methodenwahl. Im Wesentlichen macht er geltend, die vom Kantonsgericht herangezogene zweistufige Methode mit Überschussverteilung stehe im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach besagte Methode nur bei mittleren Einkommensverhältnissen von Fr. 8'000.-- bis Fr. 9'000.-- zur Anwendung gelange.
7.2. In langjähriger Rechtsprechung hat das Bundesgericht im gesamten Unterhaltsbereich einen Methodenpluralismus zugelassen und einzig bei Vermischung verschiedener Methoden korrigierend eingegriffen (vgl. BGE 128 III 411 E. 3.2.2 S. 414 f.; 140 III 337 E. 4.2.2 S. 339; 140 III 485 E. 3.3 S. 488). Mit dem zur amtlichen Publikation bestimmten Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 6.6 und 7 hat es jedoch die Unterhaltsmethodik dahingehend vereinheitlicht, dass - unter Vorbehalt hier nicht gegebener Ausnahmen - im Bereich des Kindesunterhalts (Bar- und Betreuungsunterhalt) die zweistufige Methode anzuwenden ist. Dieses Urteil zielt auf eine Umsetzung der in BGE 144 III 481 E. 4.1 S. 485 im Zusammenhang mit dem Betreuungsunterhalt angekündigten schweizweit verbindlichen Vereinheitlichung der Methodik zur Bestimmung des familienrechtlichen Unterhalts. Vor diesem Hintergrund ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn das Kantonsgericht der zweistufigen Methode gefolgt ist.
7.3. Gestützt auf die hiervor genannte Rechtsprechung sind bei der Ermittlung des Kindesunterhalts folgende Grundsätze zu beachten.
7.3.1. Bei der Bedarfsermittlung bzw. der Ermittlung des gebührenden Unterhalts bilden die "Richtlinien der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums" (vgl. BlSchK 2009, S. 193 ff.) den Ausgangspunkt, wobei in Abweichung davon für jedes Kind ein (bei den Wohnkosten des Obhutsinhabers abzuziehender) Wohnkostenanteil einzusetzen ist und im Übrigen auch die Fremdbetreuungskosten zu berücksichtigen sind. Diese beiden Positionen sowie die in den Richtlinien genannten Zuschläge (relevant für das Kind: Krankenkassenprämien, Schulkosten, besondere Gesundheitskosten) sind zum Grundbetrag hinzuzurechnen.
Soweit es die finanziellen Mittel zulassen, ist der gebührende Unterhalt zwingend auf das sog. familienrechtliche Existenzminimum zu erweitern. Bei den Elternteilen gehören hierzu typischerweise die Steuern, ferner eine Kommunikations- und Versicherungspauschale, unumgängliche Weiterbildungskosten, den finanziellen Verhältnissen entsprechende statt am betreibungsrechtlichen Existenzminimum orientierte Wohnkosten, Kosten zur Ausübung des Besuchsrechts und allenfalls angemessene Schuldentilgung.
Beim Barbedarf des Kindes gehören zum familienrechtlichen Existenzminimum namentlich die Ausscheidung eines Steueranteils, ein den konkreten finanziellen Verhältnissen entsprechender Wohnkostenanteil und gegebenenfalls über die obligatorische Grundversicherung hinausgehende Krankenkassenprämien (zum Ganzen das erwähnte Urteil 5A_311/2019, a.a.O., E. 7.2).
7.3.2.
7.3.2.1. Im vorliegenden Fall ermittelt das Kantonsgericht den Bedarf des Beschwerdeführers für den Zeitraum vom 1. August 2017 bis 30. April 2020 auf Fr. 3'200.-- (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 1'040.--; Krankenkasse Fr. 330.--; Versicherungen Fr. 50.--; Berufsauslagen Fr. 310.--; Steuern Fr. 240.--) und für die Zeit danach auf Fr. 3'180.-- (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 1'040.--; Krankenkasse Fr. 330.--; Versicherungen Fr. 50.--; Berufsauslagen Fr. 310.--; Steuern Fr. 220.--).
Bei der Kindsmutter wird für den Zeitraum vom 1. August 2017 bis 30. November 2020 ein Betrag von Fr. 2'475.-- eingesetzt (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 880.--; Krankenkasse Fr. 145.--; Versicherungen Fr. 50.--; Steuern Fr. 170.--); ab 1. Dezember 2020 bis 31. Juli 2028 Fr. 2'740.-- (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 880.--; Krankenkasse Fr. 220.--; Versicherungen Fr. 50.--; Berufsauslagen Fr. 170.--; Steuern Fr. 190.--); ab 1. August 2028 bis 31. Juli 2032 Fr. 3'010.-- (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 880.--; Krankenkasse Fr. 220.--; Versicherungen Fr. 50.--; Berufsauslagen Fr. 250.--; Steuern Fr. 380.--) und für die Zeit danach Fr. 3'270.-- (Grundbetrag Fr. 1'230.--; Wohnen Fr. 880.--; Krankenkasse Fr. 220.--; Versicherungen Fr. 50.--; Berufsauslagen Fr. 310.--; Steuern Fr. 600.--).
Die Berechnungen stehen insofern im Widerspruch zur neuen Rechtsprechung, als der Grundbetrag nicht den massgebenden Richtlinien (Fr. 1'200.-- für alleinstehenden bzw. Fr. 1'350.-- für alleinerziehender Elternteil; vgl. E. 7.3.1) entspricht. Da das Kantonsgericht beiden Eltern einen Grundbetrag von Fr. 1'230.-- angerechnet hat, lag es beim Beschwerdeführer um Fr. 30.-- zu hoch und bei der Mutter um Fr. 120.-- zu tief. Beide Fehler wirken sich zu Gunsten des Beschwerdeführers aus, weshalb diese Positionen mangels Beanstandung durch die Beschwerdegegnerin nicht zu korrigieren sind.
7.3.2.2. Den Bedarf von B._ ermittelt das Kantonsgericht ebenfalls gestaffelt nach Zeiträumen: vom 1. August 2017 bis 30. April 2020 auf Fr. 890.-- (Grundbetrag Fr. 350.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 75.-- und Gesundheitskosten Fr. 25.--); vom 1. Mai 2020 bis 31. Juli 2020 auf Fr. 965.-- (Grundbetrag Fr. 480.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--); vom 1. August 2020 bis 30. November 2020 auf Fr. 1'175.-- (Grundbetrag Fr. 480.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--; Fremdbetreuung Fr. 210.--); vom 1. Dezember 2020 bis 31. Juli 2021 auf Fr. 1'285.-- (Grundbetrag Fr. 480.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--; Fremdbetreuung Fr. 320.--); vom 1. August 2021 bis 31. Juli 2028 auf Fr. 1'165.-- (Grundbetrag Fr. 480.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--; Fremdbetreuung Fr. 200.--); vom 1. August 2028 bis 31. Juli 2032 auf Fr. 1'385.-- (Grundbetrag Fr. 720.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--; Fremdbetreuung Fr. 180.--); und ab 1. August 2032 auf Fr. 1'205.-- (Grundbetrag Fr. 720.--; Wohnen Fr. 440.--; Krankenkasse Fr. 45.--).
Nach den Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums nach Art. 93 SchKG vom 1. Juli 2009 der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz steht Kindern bis zum Alter von 10 Jahren ein Grundbetrag von Fr. 400.-- und danach von Fr. 600.-- zu. Das Kantonsgericht ist erstens von jeweils um 20 % erhöhten Grundbeträgen und zweitens von einer anderen zeitlichen Staffelung ausgegangen. Es wird im Rahmen der Neuberechnung von den korrekten Zahlen ausgehen müssen.
7.4.
7.4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, der gebührende Unterhalt knüpfe gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung am zuletzt gelebten Standard an, auf dessen Fortführung bei genügenden Mitteln beide Teile Anspruch hätten. Die Eltern hätten sich vorliegend im April 2017 getrennt, d.h. als B._ neun Monate alt gewesen sei. Es sei nicht ersichtlich, inwiefern die Tochter vor der Trennung einen anderen bzw. höheren Standard gelebt haben sollte als nach der Trennung, an welchen jetzt bei der Festlegung des gebührenden Unterhalts anzuknüpfen wäre, zumal die zuletzt gelebten Verhältnisse schon vor der Trennung sehr bescheiden gewesen seien und sich am gelebten Standard von B._ nichts geändert habe. Demnach sei auch nicht ersichtlich, weshalb B._ vorliegend nicht nur Anrecht auf die Deckung ihres anhand des Existenzminimums festgelegten Bedarfs, sondern einen erweiterten Anspruch haben sollte. Das Kantonsgericht äussere sich hierzu denn auch nicht und verletze seine Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV. Vorliegend bei der Tochter von einem "erhöhten" gebührenden Unterhalt auszugehen, stehe zudem in klarem Widerspruch mit der tatsächlichen Situation und verstosse somit gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV). Ausserdem verletze das Kantonsgericht mit der entsprechend nicht korrekten Festlegung des Barunterhalts auch Art. 276 Abs. 2 und Art. 285 Abs. 1 ZGB. Korrekterweise bestehe der gebührende Unterhalt der Beschwerdegegnerin in der Deckung des Existenzminimums, weshalb die Überschussverteilung aufzuheben sei.
7.4.2. Der Unterhalt eines Kindes wird durch Pflege, Erziehung und Geldzahlung geleistet (Art. 276 Abs. 1 ZGB). Für diese drei Unterhaltskomponenten sorgen die Eltern gemeinsam, ein jeder nach seinen Kräften, wobei das Kind Anspruch auf gebührenden Unterhalt hat (vgl. Art. 276 Abs. 2 ZGB). Der Umfang des gebührenden Unterhalts richtet sich nach mehreren Kriterien. Gemäss Art. 285 Abs. 1 ZGB soll der Geldunterhalt zum einen den Bedürfnissen des Kindes und zum anderen der Lebensstellung sowie der Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen (vgl. zum Ganzen Urteil 5A_311/2019, a.a.O., E. 5.1 und E. 5.4).
7.4.3. Das Kantonsgericht erwog unter Hinweis auf mehrere Literaturstellen und einen Bundesgerichtsentscheid, der Überschuss sei unter Berücksichtigung der finanziellen und persönlichen Verhältnisse unter dem Vater und dem Kind nach grossen und kleinen Köpfen aufzuteilen. Ein Verbleib des Überschusses allein beim Unterhaltsschuldner wäre nicht mit dem gebührenden Unterhalt im Sinne von (Art. 176 und) Art. 285 ZGB vereinbar.
7.4.4. Die Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass das Gericht die Überlegungen nennt, von denen es sich hat leiten lassen, damit der Entscheid sachgerecht angefochten werden kann (vgl. BGE 138 IV 81 E. 2.2 S. 84; 136 I 229 E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen). Diese Grundsätze hat das Kantonsgericht eingehalten. Es hat zwar kurz, aber mit Verweis auf Literatur und Rechtsprechung begründet, weshalb es bei der Unterhaltsberechnung auch den Überschuss verteilt. Dass der Beschwerdeführer mit der Begründung inhaltlich nicht einverstanden ist, ändert an dieser Beurteilung freilich nichts.
7.4.5. In inhaltlicher Hinsicht verkennt der Beschwerdeführer, dass der gebührende Unterhalt nicht auf das "nackte" Existenzminimum begrenzt ist, sondern dass das Kind berechtigt ist, an der elterlichen Lebensstellung bzw. Leistungsfähigkeit teilzuhaben (vgl. E. 7.4.2). Insoweit ist nichts gegen die kantonsgerichtliche Unterhaltsberechnung einzuwenden, welche der Tochter auch einen Anteil am Überschuss anrechnet, zumal vorliegend genügend finanzielle Ressourcen vorhanden sind, welche die Ausscheidung eines solchen Überschussanteils erlauben. Das Vorliegen einer Sparquote, welche vom Überschuss abzuziehen wäre, oder anderer Gründe, welche für die Limitierung des Überschussanteils sprechen (vgl. Urteil 5A_311/2019, a.a.O., E. 7.3), werden nicht geltend gemacht und sind auch nicht ersichtlich. Vielmehr betont der Beschwerdeführer, wie knapp die finanziellen Verhältnisse seien. Entsprechend hat das Kantonsgericht mit der Überschussverteilung kein Recht verletzt.
7.5.
7.5.1. Im Übrigen wehrt sich der Beschwerdeführer gegen den vom Kantonsgericht festgelegten Volljährigenunterhalt. Dabei trägt er im Wesentlichen unter Verweis auf BGE 118 II 97 E. 4b S. 99 ff. vor, die Leistung von Volljährigenunterhalt sei nur zumutbar, wenn ihm ein um 20 % erweiterter Notbedarf verbleibe, was bei der kantonsgerichtlichen Unterhaltsberechnung nicht der Fall sei. Die zitierte Rechtsprechung wird durch das neue Urteil 5A_311/2019, a.a.O., E. 7.3 allerdings dahingehend präzisiert, als es sich neu um das familienrechtliche Existenzminimum handelt, welches dem unterhaltspflichtigen Elternteil zu belassen ist (vgl. E. 7.3.1). Das Kantonsgericht hat bei beiden Eltern auf das familienrechtliche Existenzminimum abgestellt. Methodisch kann ihm folglich nichts vorgeworfen werden. Insofern ist der Rüge des Beschwerdeführers der Boden entzogen. Hingegen wird das Kantonsgericht den Volljährigenunterhalt gestützt auf die neu zu ermittelnden Zahlen festzulegen haben.
7.5.2. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang einen Verstoss gegen Art. 29 Abs. 2 BV bzw. die daraus fliessende Begründungspflicht geltend macht, verkennt er erneut dessen Bedeutung. So bemängelt er nicht die fehlende, sondern die - seiner Ansicht nach - widersprüchliche Begründung des Kantonsgerichts. Damit ist jedoch keine Verletzung der Begründungspflicht dargetan (vgl. E. 7.4.4).
8.
Umstritten sind schliesslich die vom Kantonsgericht für das Berufungsverfahren festgesetzten Gerichtskosten und die Parteientschädigung. Infolge Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids zwecks Neufestsetzung des Kindesunterhalts wird das Kantonsgericht ohnehin neu über die Prozesskosten zu befinden haben, weshalb es sich erübrigt, auf die betreffenden Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Einzig hinzuweisen ist auf die offensichtliche Fehlbeurteilung des Kantonsgerichts betreffend die Feststellung bereits bezahlter Unterhaltsbeiträge (Urteil Ziff. II.10). Diesbezüglich gibt der Beschwerdeführer zu Recht an, das Kantonsgericht habe seinen Berufungsantrag (Ziff. 3) gutgeheissen, ihn aber bei den Kostenfolgen als unterliegend bezeichnet. Diesen Fehler wird das Kantonsgericht im Rahmen des neuen Entscheids zu beheben haben.
9.
9.1. Gestützt auf die vorstehenden Ausführungen erweist sich die Beschwerde teilweise als begründet. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und zur Neuberechnung des Kindesunterhalts im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Das Kantonsgericht wird auch über die Kosten des Berufungsverfahrens neu zu befinden haben (Art. 67 BGG e contrario; Art. 68 Abs. 5 BGG).
9.2. Der Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es, die Gerichtskosten den Parteien hälftig aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sind beim Beschwerdeführer gegeben. Das entsprechende Gesuch ist gutzuheissen, soweit es infolge teilweisen Obsiegens nicht gegenstandslos geworden ist, und es ist ihm seine Rechtsvertreterin beizugeben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der hälftige Anteil des Beschwerdeführers an den Gerichtskosten ist vorläufig auf die Gerichtskasse zu nehmen und die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers ist aus dieser angemessen zu entschädigen. Der Beschwerdeführer hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 20. Mai 2020 wird aufgehoben und die Sache z ur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwältin Anja Stolz, Opfikon, wird als Rechtsbeiständin des Beschwerdeführers bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers von Fr. 1'500.-- wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
5.
Rechtsanwältin Anja Stolz, Opfikon, wird aus der Bundesgerichtskasse für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller