Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer holte den Strafbefehl vom 13. Dezember 2019, mit welchem er wegen mehrfacher Verleumdung, evtl. mehrfacher Beschimpfung zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt wurde, am 20. Dezember 2019 auf der Poststelle ab. Am 9. Januar 2020 ersuchte er um Wiederherstellung der Einsprachefrist gegen den Strafbefehl vom 13. Dezember 2019, was die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn ablehnte. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Beschluss vom 26. März 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Anfechtungsobjekt ist ausschliesslich der letztinstanzliche kantonale Entscheid (Art. 80 Abs. 1 BGG). Somit kann auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer sich darin umfangreich zum Verfahren betreffend Berufsprüfung Elektro-Sicherheitsberater (vgl. Urteil 2C_173/2018 vom 20. Februar 2018) äussert, die Anerkennung seiner Prüfung sowie die Erteilung seines Diploms fordert und Schmerzensgeld im Umfang von Fr. 500'000.-- verlangt.
3.
Die Beschwerde hat eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG), was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116). Für die Rüge der Verletzung von Grundrechten und die Anfechtung des Sachverhalts bestehen qualifizierte Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.
Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander. Er äussert sich insbesondere nicht substantiiert dazu, warum die Vorinstanz die Voraussetzungen zur Wiederherstellung der Frist gemäss Art. 94 StPO zu Unrecht verneint haben soll. Warum es ihm nicht möglich gewesen sein sollte, eine Drittperson mit der Prozesshandlung zu betrauen, ergibt sich weder aus seinen Ausführungen im kantonalen noch im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren. Der blosse Hinweis auf seinen Gesundheitszustand (Depressionen) und auf die von der Vorinstanz gewürdigten Arztzeugnisse genügt nicht. Soweit er den Staatsanwalt, welcher das Wiederherstellungsgesuch ablehnte, und die am angefochtenen Beschluss mitwirkenden Richter als korrupt und wegen eines Interessenkonfliktes als befangen bezeichnet, bleiben seine Vorwürfe pauschal und unsubstantiiert. Auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu seinem Ausstandsgesuch betreffend die am vorliegenden Beschluss beteiligten Richter nimmt er keinen Bezug. Aus der Beschwerde geht mithin nicht hervor, inwiefern der angefochtene Beschluss gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte. Der Begründungsmangel ist offensichtlich. Auf die Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill