Faits :
A.
A._ est né en 1975. Il travaillait comme plongeur/casserolier pour le compte d'un établissement médico-social (EMS). Invoquant les séquelles incapacitantes de divers troubles physiques et psychiques, il a requis l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité le 25 avril 2018.
En cours de procédure, le 6 mai 2019, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a informé l'assuré qu'il allait réaliser une expertise psychiatrique et en confier le mandat au docteur B._. L'intéressé a récusé ce médecin et proposé de mandater à sa place le docteur C._ ou la doctoresse D._. L'administration n'a pas donné suite à ces propositions et, le 25 juillet 2019, a informé A._ de son intention de désigner le docteur E._. L'assuré s'y est derechef opposé. Dès lors, l'office AI a écarté les motifs de récusation puis a confirmé la nomination du docteur E._ en qualité d'expert par décision du 21 août 2019.
B.
Sur recours de l'intéressé, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à l'administration pour qu'elle procède au sens des considérants (jugement du 9 mars 2020).
C.
L'office AI a interjeté un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Il en demande l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 21 août 2019.
A._ ne s'est pas déterminé. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) partage l'opinion de l'administration.
Considérant en droit :
1.
1.1.
1.1.1. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), les décisions partielles (art. 91 LTF) ainsi que les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Sous réserve du cas prévu à l'art. 93 al. 2 première phrase LTF - sans portée en l'espèce -, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
1.1.2. Selon la jurisprudence, les jugements cantonaux et du Tribunal administratif fédéral rendus sur recours contre des décisions incidentes de l'assurance-invalidité ou de l'assureur-accidents concernant la mise en oeuvre d'expertises peuvent être déférés au Tribunal fédéral à condition qu'il ait été statué sur des motifs formels de récusation (art. 92 al. 1 LTF; ATF 138 V 318 consid. 6.2 p. 323; cf. aussi ATF 138 V 271 en ce qui concerne les décisions des offices AI). Sont de nature formelle les motifs de récusation qui sont énoncés dans la loi (cf. art. 10 PA [RS 172.021] et 36 al. 1 LPGA [RS 830.1]) parce qu'ils sont propres à éveiller la méfiance à l'égard de l'impartialité de l'expert. Sont en revanche irrecevables les motifs de nature matérielle dirigés contre l'expertise elle-même (par exemple parce qu'il s'agit d'une "second opinion") ou le type et l'étendue de l'expertise (par exemple concernant le choix des disciplines) ou encore contre la personne de l'expert (par exemple ses compétences professionnelles). La récusation d'un expert ne peut pas non plus être justifiée par les conditions-cadres d'une expertise réalisée dans un centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI) (motifs structurels; arrêt 9C_207/2012 du 3 juillet 2013 consid. 1.2.1, non publié in ATF 139 V 349). De tels motifs matériels ou structurels doivent en principe être examinés avec la décision sur le fond dans le cadre de l'appréciation des preuves.
1.2.
1.2.1. Par décision du 21 août 2019, l'office recourant a formellement entériné la nomination du docteur E._ comme expert. Il a rappelé que ce choix était intervenu au terme d'un processus consensuel qui n'avait pas abouti (proposition de désigner le docteur E._ refusée à la suite de la récusation du docteur B._ et du refus de la doctoresse D._ de réaliser l'expertise psychiatrique). Il a par ailleurs écarté les motifs (formels) de récusation invoqués par l'intimé (expert déjà désavoué par les premiers juges dans d'autres affaires, refus de l'expert de comparaître à une audience publique dans une autre affaire) dès lors qu'ils n'étaient pas susceptibles de jeter un doute sur l'impartialité de l'expert.
1.2.2. Par jugement du 9 mars 2020, le tribunal cantonal a annulé la décision du 21 août 2019 et a renvoyé la cause à l'administration. Il a d'abord rejeté la requête d'information relative au nombre de mandats confiés au docteur E._ par l'office recourant ainsi qu'au montant des honoraires et à la dépendance économique en résultant. Il a en outre confirmé que les motifs (formels) de récusation invoqués par l'assuré pendant la procédure administrative ne jetaient pas valablement le doute sur l'impartialité de l'expert. Il a néanmoins considéré que la procédure de désignation consensuelle de l'expert n'avait pas été correctement menée lors de la nomination de l'expert de sorte que l'administration devait y remédier.
1.3.
1.3.1. L'acte attaqué annule une décision relative à la désignation d'un expert et renvoie la cause à l'office recourant pour qu'il procède conformément aux considérants. Il ne met donc pas fin à la procédure au sens de l'art. 90 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.1.1 p. 480) mais constitue une décision incidente (ATF 133 V 477 consid. 4.1.3 et 4.2 p. 481 s.).
1.3.2. Le jugement entrepris n'est pas une décision incidente au sens de l'art. 92 al. 1 LTF mais au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. La juridiction cantonale a effectivement nié le bien-fondé des soupçons de partialité ou de prévention de l'expert allégué par l'intimé, confirmant ainsi l'opinion de l'office recourant à cet égard et le privant dans le même temps de tout intérêt à recourir sur ce point (cf. art. 89 al. 1 let. c LTF), mais a malgré tout annulé la décision du 21 août 2019 et renvoyé la cause à l'administration au seul motif que le processus de désignation consensuelle de l'expert n'avait pas été correctement mis en oeuvre.
1.3.3. Dans la mesure où l'office recourant est tenu de se conformer aux considérations des premiers juges selon lesquelles celui-ci devra recommencer la procédure de désignation d'un expert en excluant le docteur E._ des choix possibles, l'acte attaqué contient des instructions impératives destinées à l'autorité précédente qui ne lui laissent plus aucune latitude de jugement pour la suite de la procédure. En cela, l'administration subit un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur son recours (cf. ATF 144 V 280 consid. 1.2 p. 283).
2.
S'agissant de la procédure de désignation consensuelle d'un expert, l'office recourant soutient avoir mené le processus à son terme, sans succès, raison pour laquelle il avait pris une décision sujette à recours. Il rappelle à cet égard qu'il avait désigné le docteur B._, que celui-ci avait été récusé, qu'il avait alors pris contact avec l'un des experts proposés par l'intimé, que celui-ci lui avait indiqué qu'il n'était plus disponible pour réaliser des expertises et qu'il avait alors proposé le docteur E._ qui avait à son tour été récusé. Il reproche aux premiers juges d'avoir violé le droit fédéral en niant que la procédure eût été conduite correctement et en lui imposant de la recommencer sans le docteur E._. L'OFAS soutient ce point de vue.
3.
Le recours est manifestement bien fondé. Il doit par conséquent être admis selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. b LTF. En effet, selon la jurisprudence, l'assureur doit s'efforcer de parvenir à un consensus sur l'expertise et ce n'est qu'en cas d'échec qu'il doit l'ordonner par une décision formelle sujette à recours (cf. ATF 138 V 271 consid. 1.1 p. 275). Or tel a bien été le cas en l'occurrence, la désignation du docteur B._ puis sa récusation, l'indisponibilité de la doctoresse D._ et la désignation du docteur E._ puis sa récusation démontrent qu'une tentative de désignation consensuelle de l'expert a été tentée sans succès. L'office recourant était dès lors en droit de rendre une décision formelle par laquelle il confirmait non seulement le choix de l'expert mais écartait aussi les motifs de récusation. La juridiction cantonale a dès lors violé le droit fédéral en imposant à l'administration de recommencer le processus au risque que, selon sa conception du consensus, aucune décision ne puisse jamais être rendue. Il convient dès lors d'annuler le jugement entrepris et de confirmer la décision litigieuse.
4.
Il est exceptionnellement renoncé à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 9 mars 2020 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 21 août 2019 confirmée.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La cause est renvoyée à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton