Sachverhalt:
A.
A.a. Am 1. September 2014 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt A._ zusammen mit weiteren Angeklagten wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung mit Bereicherungsabsicht, mehrfacher Urkundenfälschung sowie mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt zu einer bedingten Geldstrafe. Am 30. Oktober 2017 stellte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Berufungsgericht das Verfahren bezüglich der vor dem 1. Oktober 2002 begangenen Handlungen zufolge Verjährung ein. Im Übrigen bestätigte es die erstinstanzlichen Schuldsprüche, wobei es die bedingte Geldstrafe reduzierte.
A.b. Mit Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 hiess das Bundesgericht die von A._ gegen das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. Oktober 2017 erhobene Beschwerde in Strafsachen gut. Es kam zum Schluss, der Spruchkörper des Berufungsgerichts sei unrechtmässig besetzt worden, weshalb es den angefochtenen Entscheid aufhob. Nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wurde der Spruchkörper des Berufungsgerichts neu bestimmt und das Berufungsverfahren wieder aufgenommen (siehe auch die Urteile 1B_269/2019 vom 9. Dezember 2019 und 1B_381/ 2019 vom 20. Januar 2020).
B.
B.a. A._ erstattete am 20. März 2018 bei der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt Strafanzeige gegen B._ und C._ wegen Diebstahls, "Falschaussage" und "Prozessbetrugs". Die Staatsanwaltschaft erliess am 29. Mai 2018 zwei Nichtanhandnahmeverfügungen. Gegen diese erhob A._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte die Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügungen und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung gegen unbekannt, eventuell gegen B._ und C._, aufzunehmen. Ferner sei die Strafuntersuchung an einen unbefangenen Staatsanwalt abzugeben. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die Beschwerde am 7. August 2018 ab, soweit es darauf eintrat. Das Ausstandsgesuch wies es ebenfalls ab.
Am 7. Juni 2019 hiess das Bundesgericht die Beschwerde in Strafsachen von A._ gut und hob den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. August 2018 wegen ungenügender Begründung (Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG) und Verletzung des rechtlichen Gehörs auf (Verfahren 6B_1016/2018). Es wies die Sache zur neuen Entscheidung an dieses zurück.
B.b. Mit Entscheid vom 24. Juni 2019 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde von A._ erneut ab, soweit es darauf eintrat. Das Ausstandsgesuch wies es ebenfalls ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 24. Juni 2019. Er beantragt im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Verfahren sei zur neuen Beurteilung an ein unabhängiges Gericht zurückzuweisen. Es sei festzustellen, dass der vorinstanzliche Richter an diesem Verfahren nicht hätte mitwirken dürfen.
D.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf eine Stellungnahme. B._ liess sich innert Frist nicht vernehmen. A._ replizierte.
Erwägungen:
1.
Mit Schreiben vom 7. November 2019 teilte das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten mit, dass die Strafrechtliche Abteilung von der Ersten öffentlich-rechtlichen Abteilung das Verfahren 1B_369/2019 übernommen habe und es dieses neu unter der Geschäftsnummer 6B_1285/2019 führe (act. 14). Der Beschwerdeführer ersucht um Begründung (act. 15).
Die Geschäftsverteilung zwischen den verschiedenen Abteilungen des Bundesgerichts richtet sich gemäss Art. 22 BGG nach dem Reglement für das Bundesgericht vom 20. November 2006 (BGerR; SR 173.110.131). Die Erste öffentlich-rechtliche Abteilung ist zuständig für Beschwerden in Strafsachen gegen strafprozessuale Zwischenentscheide (vgl. Art. 29 Abs. 3 BGerR), während die Strafrechtliche Abteilung nach Art. 33 BGerR für die Beschwerden in Strafsachen sowie die Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerden in Strafsachen betreffend: (lit. a) materielles Strafrecht (einschliesslich Straf- und Massnahmenvollzug); (lit. b) Strafprozessrecht (ohne die Beschwerden gegen strafprozessuale Zwischenentscheide); (lit. c) strafprozessuale Beschwerden gegen Endentscheide (einschliesslich Nichtanhandnahmeverfügungen und Verfahrenseinstellungen) zuständig ist.
Zur Behandlung der vorliegenden Beschwerde gegen den Entscheid des Appellationsgerichts, der das Verfahren in der Hauptsache (Nichtanhandnahmeverfügungen) abschliesst, ist die Strafrechtliche Abteilung zuständig. Der Beschwerdeführer kann nicht wählen, welche Abteilung des Bundesgerichts seine Beschwerde behandelt (vgl. Urteil 4A_79/2014 vom 15. Oktober 2014 E. 1.1).
2.
2.1. Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 24. Juni 2019 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG).
Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (BGE 133 II 181 E. 3.3 S. 189 mit Hinweis); neue Begehren sind unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Auf ausserhalb des Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen des Beschwerdeführers kann daher von vornherein nicht eingetreten werden. Dies trifft zum Beispiel auf den (Eventual-) Antrag des Beschwerdeführers zu, die Vorinstanz sei anzuweisen, personell getrennte Beschwerde-, Revisions- und Strafkammern zu führen (Beschwerde S. 2 unten), oder auf sein pauschales Vorbringen, die generelle Kostenlosigkeit für die Kantone verletze Art. 3 StPO und die Grundsätze eines fairen Verfahrens (Beschwerde S. 3 oben). Soweit der Beschwerdeführer über den Streitgegenstand hinausgehend allgemein die Besetzung des Spruchkörpers am Appellationsgericht und an den übrigen Gerichten des Kantons Basel-Stadt beanstandet, kann auf seine Beschwerde ebenfalls nicht eingetreten werden.
2.2. Ebensowenig kann auf zusätzliche bzw. neue Vorbringen des Beschwerdeführers in späteren Rechtsschriften (z.B. act. 16 f. oder act. 20 f.) eingetreten werden, da hierzu nicht erst eine vorgängige Eingabe anderer Verfahrensbeteiligter Anlass gegeben hat (siehe BGE 135 I 19 E. 2.2 S. 21 mit Hinweisen).
2.3. Rechtsschriften haben die Begehren sowie deren Begründung mit Angabe der Beweismittel zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Um diesen Erfordernissen zu genügen, muss der Beschwerdeführer sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung von Grundrechten und die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids präzise vorgebracht und substanziiert begründet werden, anderenfalls darauf nicht eingetreten wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 146 IV 114 E. 2.1 S. 118; 145 I 26 E. 1.3 S. 30; 144 V 50 E. 4.2 S. 53; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht mehrere Rechtsverletzungen geltend. Er setzt sich dabei aber nicht mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinander. Mangels hinreichender Begründung ist deshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dies ist etwa der Fall, wenn er ausführt, der vorinstanzliche Richter sei weder zuständig, noch der gesetzmässige Richter im Beschwerdeverfahren (z.B. Beschwerde S. 2 f.), oder wenn er kritisiert, die Fallzuteilung durch den vorinstanzlichen Richter verletze § 19 Abs. 1 des Organisationsreglements vom 14. März 2017 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (SG 154.150; Beschwerde S. 7). Diesbezüglich kann im Übrigen auf die entsprechenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden (Urteil S. 4 f. E. 1.1.2 und E. 1.2), denen nichts beizufügen ist. Die Rüge des Beschwerdeführers, sein "Ausstandsantrag" gegen den vorinstanzlichen Richter sei nicht behandelt worden (Beschwerde S. 5 und S. 11 Mitte sowie Beschwerdebeilagen, act. 3), erweist sich damit als unbegründet.
2.4.
2.4.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Art. 81 Abs. 1 lit. a BGG) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG). Das Interesse muss ein aktuelles und praktisches sein (BGE 144 IV 81 E. 2.3.1 S. 84 f.; 140 IV 74 E. 1.3.1 S. 77; je mit Hinweisen). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach Art. 41 ff. OR (BGE 146 IV 76 E. 3.1 S. 82; 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f.; je mit Hinweisen). Richtet sich die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme oder die Einstellung eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilforderungen erhoben. In jedem Fall muss sie im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung des Beschwerderechts strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Ungeachtet der fehlenden Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (BGE 146 IV 76 E. 2 S. 79; 141 IV 1 E. 1.1 S. 5; je mit Hinweis).
2.4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei durch die Nichtanhandnahmen erheblich in seinen vermögensrechtlichen Interessen berührt, was ihn zur Beschwerde legitimiere. Betreffend den Beschwerdegegner 2 legt er dar, er habe ihn wegen Aktendiebstahls und anderen Delikten zivilrechtlich eingeklagt. Parallel zum strafrechtlichen sei ein zivilrechtliches Verfahren gegen den Beschwerdegegner 2 hängig. Der Entscheid im vorliegenden Verfahren werde Eingang in das Zivilverfahren finden und werde dort dann vom Zivilrichter gewürdigt. Zur Frage allfälliger Ansprüche gegen die Beschwerdegegnerin 3 äussert er sich mit keinem Wort (Beschwerde S. 2). Nach ständiger Rechtsprechung genügen diese Ausführungen nicht für die Begründung der Beschwerdelegitimation. Der Beschwerdeführer muss ein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde haben (BGE 140 IV 74 E. 1.3.1 S. 77 mit Hinweis). Ein Adhäsionsprozess setzt voraus, dass keine anderweitige Rechtshängigkeit vorliegt (vgl. BGE 145 IV 351 E. 4.3 S. 357 f. mit Hinweisen). Obwohl die Fragen der Rechtshängigkeit und der Klageidentität im Raum stehen, erörtert der Beschwerdeführer nicht, weshalb das seinen Angaben nach hängige Verfahren vor dem Zivilgericht den zivilrechtlichen Ansprüchen, die er adhäsionsweise im Strafverfahren geltend machen will, nicht entgegensteht und mithin ein Rechtsschutzinteresse gegeben sein soll. Entgegen seiner Meinung berechtigt die Verfolgung zivilrechtlicher Ansprüche in einem parallelen Zivilverfahren die Privatklägerschaft nicht zur Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG. Das Strafverfahren darf nicht nur als Vehikel zur Durchsetzung allfälliger zivilrechtlicher Ansprüche auf dem Zivilweg verwendet werden (BGE 137 IV 246 E. 1.3.1 S. 247 f.; Urteile 6B_137/ 2020 vom 15. Juli 2020 E. 1.1; 6B_1247/2019 vom 3. Juni 2020 E. 1.2; je mit Hinweisen). Ob und inwieweit sich ein rechtskräftiges Strafurteil auf die Zivilforderungen auswirken kann, ist für die Rechtsmittellegitimation nach Art. 81 BGG nicht relevant (vgl. Urteil 6B_1200/ 2018 vom 12. Februar 2019 E. 1.3). Weiter ist der Hinweis des Beschwerdeführers auf das ihn betreffende Urteil 6B_1016/2018 vom 7. Juni 2019 unbehelflich. Das Bundesgericht erwog, der Beschwerdeführer rüge unter anderem, die Besetzung des vorinstanzlichen Gerichts sei nicht gesetzeskonform und sein Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt worden. Es trat lediglich in diesem Umfang, d.h. auf diese Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können, auf seine Beschwerde ein (Urteil 6B_1016/2018 vom 7. Juni 2019 E. 1). Der Beschwerdeführer ist im vorliegenden Verfahren in der Sache nicht zur Beschwerde legitimiert. Er ist einzig berechtigt, die Verletzung der ihm zustehenden Verfahrensrechte zu rügen. Soweit er sich zu materiellen Fragen äussert, kann auf die Beschwerde somit nicht eingetreten werden. So zum Beispiel, wenn der Beschwerdeführer geltend macht, Hauptpunkt sei der Entscheid des vorinstanzlichen Richters, keine Strafuntersuchung betreffend dem Aktendiebstahl einzuleiten und die Nichtanhandnahme des Staatsanwalts zu schützen. Ebenfalls nicht zu behandeln sind allfällige formelle Rügen des Beschwerdeführers, die auf eine inhaltliche Prüfung der Sache abzielen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz habe ihren Entscheid nach der Rückweisung durch das Bundesgericht gefällt, ohne ihm zuvor Gelegenheit gegeben zu haben, sich zur neuen Ausgangslage zu äussern (Beschwerde S. 3).
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 3 Abs. 2 lit. c und Art. 107 StPO sowie Art. 29 Abs. 2 BV) umfasst u.a. das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern (BGE 143 V 71 E. 4.1 S. 72; 142 II 218 E. 2.3 S. 222 f.; 136 I 184 E. 2.2.1 S. 188; je mit Hinweis). Inwieweit nach der Gutheissung einer Beschwerde und der Rückweisung ein Äusserungsrecht besteht, richtet sich nach den noch zu entscheidenden Fragen (BGE 119 Ia 136 E. 2e S. 139; 103 Ia 137 E. 2d S. 139 ff.; Urteile 6B_629/2020 vom 24. August 2020 E. 1.1; 6B_207/2018 vom 15. Juni 2018 E. 2.1; 6B_1366/2016 vom 6. Juni 2017 E. 1.2; 1C_572/2010 vom 26. Mai 2011 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.3. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet. Mit Urteil 6B_1016/2018 vom 7. Juni 2019 hiess das Bundesgericht die Beschwerde zwar gut. Es hob den Entscheid der Vorinstanz vom 7. August 2018 jedoch ohne Beurteilung der Sache wegen ungenügender Begründung (Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG) auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung, d.h. zur Verbesserung der Begründung ihres Entscheids, an die Vorinstanz zurück. Diese musste somit lediglich ihren bereits getroffenen Entscheid (näher) begründen. Von einer neuen Ausgangslage kann deshalb nicht die Rede sein. Es bestand vorliegend kein Anlass, die Verfahrensbeteiligten noch einmal anzuhören. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Beschwerdegegnerin 3 habe ebenfalls keine Stellung beziehen können (Beschwerde S. 3), ist überdies nicht ersichtlich, inwiefern er diesbezüglich beschwert sein könnte.
4.
Der Beschwerdeführer moniert, ihm sei die Zusammensetzung des Spruchkörpers der kantonalen Instanzen jeweils nicht im Voraus mitgeteilt worden (Beschwerde S. 3).
Die Rüge ist unbegründet. Gemäss ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts besteht weder eine verfassungs- noch konventionsrechtliche oder gesetzliche Pflicht, den Verfahrensparteien die Zusammensetzung des Spruchkörpers des Gerichts im Voraus bekannt zu geben (BGE 144 I 37 E. 2.3.3 S. 43 mit Hinweisen; Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 E. 1.2.3 am Ende).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer beantragt unter anderem, die Vorinstanz sei anzuweisen, einen unabhängigen Richter zu ernennen, der nicht bereits Beschwerderichter im nämlichen Verfahren gewesen sei. Er rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. Der vorinstanzliche Richter sei insbesondere deshalb befangen, weil die Funktion als Haft- und Berufungsrichter mit derjenigen eines Beschwerderichters unvereinbar sei, und weil der betreffende Richter unzulässigerweise zweimal in derselben Sache als Beschwerderichter geamtet habe.
5.2.
5.2.1. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die verfassungs- bzw. konventionsrechtlichen Garantien werden unter anderem in der Strafprozessordnung konkretisiert (BGE 138 I 425 E. 4.2.1 S. 428 mit Hinweisen). Sie sind verletzt, wenn bei einer Gerichtsperson objektiv betrachtet Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 144 I 159 E. 4.3 S. 162; 142 III 732 E. 4.2.2 S. 736 f.; 141 IV 178 E. 3.2.1 S. 179; je mit Hinweisen). Mit früherem Mitwirken des Richters in Angelegenheiten einer Partei allein lässt sich dessen Befangenheit und damit eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht begründen. Entscheidendes Kriterium ist, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens als noch offen erscheint (BGE 142 III 732 E. 4.2.2 S. 737 mit Hinweisen).
5.2.2. Gemäss Art. 56 StPO tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person namentlich dann in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war (lit. b), oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Ist eine Gerichtsperson in derselben Stellung mit der gleichen Sache mehrfach befasst, liegt kein Fall der Vorbefassung gemäss Art. 56 lit. b StPO vor. Eine Mehrfachbefassung in diesem Sinn kann aber im Rahmen des Auffangtatbestands von Art. 56 lit. f StPO relevant werden (BGE 138 I 425 E. 4.2.1 S. 428 f.; 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f.; Urteile 1B_509/2019 vom 11. März 2020 E. 3.3; 1B_218/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 3.1; 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 1B_215/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Wenn eine Gerichtsperson, die an einem durch die Rechtsmittelinstanz aufgehobenen Entscheid beteiligt war, nach der Rückweisung der Sache an der Neubeurteilung mitwirkt, liegt darin noch keine unzulässige Mehrfachbefassung (BGE 114 Ia 50 E. 3d S. 58; 113 Ia 407 E. 2a S. 409 f.; Urteile 4A_524/2019 vom 4. März 2020 E. 3.2; 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4). Von den beteiligten Gerichtspersonen wird grundsätzlich erwartet, dass sie die Sache mit der nötigen Professionalität und Unvoreingenommenheit nochmals behandeln. Anders verhält es sich nur ausnahmsweise, etwa wenn ein Richter durch sein Verhalten oder durch Bemerkungen klar zum Ausdruck gebracht hat, dass er nicht willens oder fähig ist, von seiner im aufgehobenen Entscheid vertretenen Auffassung Abstand zu nehmen und die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen (siehe BGE 138 IV 142 E. 2.3 S. 146; Urteile 4A_524/2019 vom 4. März 2020 E. 3.2; 1B_269/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 4.1; 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4; je mit Hinweisen).
5.3. Der Antrag ist abzuweisen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet. Wie das Bundesgericht bereits in einem früheren, den Beschwerdeführer betreffenden Urteil festgehalten hat (vgl. Urteil 6B_247/2016 vom 1. April 2016 E. 4), ergibt sich aus dem Verbot der Vorbefassung nicht, dass ein Berufungsrichter (in einem Verfahren, das die Verurteilung des Beschwerdeführers betrifft) grundsätzlich nicht als Beschwerderichter in einem anderen Verfahren (nämlich das vorliegende Verfahren, das eine Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner 1 und die Beschwerdegegnerin 2 betrifft) und dieselbe Person im gleichen Verfahren nicht zweimal als Beschwerderichter amten kann. Eine unzulässige Mehrfachbefassung liegt nicht vor. Nicht anders verhält es sich, wenn der Beschwerderichter des vorliegenden Verfahrens auch als Haftrichter in dem Verfahren amtete, das die Verurteilung des Beschwerdeführers betrifft (Beschwerde S. 3). Ein Anschein der Befangenheit oder der Voreingenommenheit des vorinstanzlichen Richters ergibt sich auch nicht bei einer Gesamtbetrachtung der sonstigen Umstände, die der Beschwerdeführer vorbringt. So erscheinen die von ihm beanstandeten zeitlichen Abläufe im Rückweisungsverfahren nicht als ungewöhnlich (Beschwerde S. 3). Dass der vorinstanzliche Richter den angefochtenen Entscheid innerhalb weniger Tage verfassen konnte, ist bereits deshalb nicht bemerkenswert, weil dieser nach der Rückweisung durch das Bundesgericht lediglich den schon getroffenen Entscheid (näher) zu begründen hatte (vgl. E. 3.3). Auch die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers lassen jedenfalls nicht auf besonders krasse und wiederholt auftretende Rechtsfehler schliessen, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen würden. Im Umstand, dass der vorinstanzliche Richter zahlreiche Entscheide gefällt hat bzw. an etlichen Entscheiden mitwirkte, die möglicherweise nicht im Sinne des Beschwerdeführers waren bzw. seiner Meinung nach falsch sein sollen, liegt noch kein gesetzlicher Ausstandsgrund. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt hinreichend begründet, inwiefern der vorinstanzliche Richter zum Ausdruck gebracht haben sollte, dass er nicht dazu in der Lage ist, die Sache unbefangen zu behandeln, oder inwiefern er sonst einen Ausstandsgrund gemäss Art. 56 StPO erfüllen sollte, dringt er mit seiner Rüge nicht durch.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Staatsanwalt sei vorbefasst, was sich bereits aus seiner Parteistellung im Straf- und Berufungsprozess gegen ihn ergebe. Hinsichtlich der Beurteilung des von ihm zur Anzeige gebrachten Aktendiebstahls bestehe ein Interessenkonflikt. Der Staatsanwalt habe keinerlei Interesse an der Aufklärung des Diebstahls, weil danach nicht klar sei, ob die Akten in dem - vom gleichen Staatsanwalt - gegen ihn geführten Strafprozess verwendet werden durften bzw. dürfen. Die Verwertung gestohlener Akten sei nicht erlaubt. Hätte der Staatsanwalt somit im vorliegenden Verfahren eine Strafuntersuchung an die Hand genommen, hätte er die Konsequenz daraus sofort in dem Verfahren, das zu seiner Verurteilung geführt habe, umsetzen müssen und Letzteres einstellen müssen, da es auf gestohlenen Akten beruhe. Schliesslich übe der Staatsanwalt mit der Nichtanhandnahme richterliche Funktionen aus, weshalb seine Funktion als Staatsanwalt im Verfahren, das zu seiner Verurteilung geführt habe, zur Unvereinbarkeit im vorliegenden Verfahren führe.
6.2. Die Vorinstanz erwägt, Umstände, die bei objektiver Betrachtung den Anschein von Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken würden, würden vom Beschwerdeführer nicht vorgebracht und seien auch nicht erkennbar. Das Verhalten des Beschwerdegegners 1 und der Beschwerdegegnerin 2 habe das Verfahren gegen den Beschwerdeführer nicht präjudiziert. Selbst wenn man im Rahmen eines Strafverfahrens zum Schluss gelange, sie hätten die Akten unrechtmässig beschafft, habe dies keine Auswirkung auf die Beweisverwertung im Verfahren gegen den Beschwerdeführer. Das Bundesgericht erachte von Privaten rechtswidrig erlangte Beweismittel als verwertbar, wenn sie von den Strafbehörden hätten erlangt werden können und kumulativ dazu eine Interessenabwägung für die Verwertung spreche. Vorliegend seien diese Voraussetzungen gegeben: Die Staatsanwaltschaft hätte die Dokumente mittels einer Hausdurchsuchung, wie sie später tatsächlich durchgeführt worden sei, im Einklang mit der StPO beschaffen können. Hierfür könne eine plausible Strafanzeige auch ohne weitere Konkretisierung mit Beweismitteln genügen. Das Interesse des Staates an der Überprüfung der gewichtigen Anschuldigungen des Beschwerdegegners 1 würden den Geheimhaltungsinteressen des Beschwerdeführers an den Unterlagen überwiegen. Die eingereichten Aktenkopien seien demnach verwertbar, was nicht zuletzt aber der Sachrichter entscheiden müsse. Dass der Staatsanwalt nicht die gleiche Rechtsauffassung wie der Beschwerdeführer vertrete, stelle für sich alleine keinen Ausstandsgrund dar. Selbst wenn ein überwiegendes öffentliches Interesse an der Verwertung der allenfalls deliktisch erlangten Beweismittel verneint werde, vermöge dies vorliegend keine Befangenheit des Staatsanwaltes zu begründen. Die hierfür vorausgesetzten krassen und wiederholten Verfahrensfehler, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen müssen, liessen sich daraus nicht ableiten und seien auch sonst nicht ersichtlich. Dem in Bezug auf den Aktendiebstahl nicht zur Beschwerde legitimierten Beschwerdeführer sei auch die Begründung in der Nichtanhandnahmeverfügung entgegenzuhalten, wonach den Unterlagen kein Vermögenswert zukomme und keine Anhaltspunkte dafür vorliegen würden, dass die Person, welche sie sich beschafft und dem Beschwerdegegner 1 zur Verfügung gestellt habe, sich oder einen anderen habe damit unrechtmässig bereichern wollen. Diese Auffassung sei mehr als vertretbar und liege im Rahmen des staatsanwaltschaftlichen Beurteilungsspielraums. Die Beschaffung der vom Beschwerdegegner 1 bei der Staatsanwaltschaft eingereichten Unterlagen sei sodann bereits Gegenstand anderer rechtskräftig beurteilter Beschwerdeverfahren gewesen. Auch sonst sei nicht ersichtlich, welchen Einfluss der Ausgang des Verfahrens gegen den Beschwerdegegner 1 und die Beschwerdegegnerin 2 auf das Verfahren gegen den Beschwerdeführer haben sollte. Demnach sei der Staatsanwalt nicht vorbefasst (Entscheid S. 9 ff. E. 2.1.2).
6.3.
6.3.1. Zu den Strafbehörden i.S.v. Art. 56 StPO gehören neben den Gerichten (Art. 13 StPO) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (Art. 12 lit. b StPO). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt oder eine Staatsanwältin in den Ausstand, wenn diese Justizperson aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (Art. 56 lit. f StPO).
Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind bei der Ablehnung eines Staatsanwalts nur anwendbar, wenn er ausnahmsweise in richterlicher Funktion tätig wird, wie das bei Erlass eines Strafbefehls zutrifft. Amtet er jedoch als Strafuntersuchungsbehörde, beurteilt sich die Ausstandspflicht nach Art. 29 Abs. 1 BV. Wohl darf der Gehalt von Art. 30 Abs. 1 BV nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf Art. 29 Abs. 1 BV übertragen werden. Hinsichtlich der Unparteilichkeit des Staatsanwalts im Sinne von Unabhängigkeit und Unbefangenheit kommt Art. 29 Abs. 1 BV allerdings ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu. Auch ein Staatsanwalt kann abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die objektiv geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (BGE 141 IV 178 E. 3.2.2 S. 179 f.; 127 I 196 E. 2b S. 198 f. mit Hinweisen).
Das gilt allerdings nur für das Vorverfahren. Nach Art. 61 lit. a StPO leitet die Staatsanwaltschaft das Verfahren bis zur Einstellung oder Anklageerhebung. Die Staatsanwaltschaft gewährleistet insoweit eine gesetzmässige und geordnete Durchführung des Verfahrens (Art. 62 Abs. 1 StPO). Sie untersucht die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (Art. 6 Abs. 2 StPO). Zwar verfügt sie bei ihren Ermittlungen über eine gewisse Freiheit. Sie ist jedoch zu Zurückhaltung verpflichtet. Sie hat sich jeden unlauteren Vorgehens zu enthalten und sowohl die belastenden als auch die entlastenden Umstände zu untersuchen. Sie darf keine Partei zum Nachteil einer anderen bevorteilen (BGE 141 IV 178 E. 3.2.2 S. 180; 138 IV 142 E. 2.2.1 S. 145 mit Hinweisen).
Nach Erhebung der Anklage wird die Staatsanwaltschaft dagegen wie die beschuldigte Person und die Privatklägerschaft zur Partei (Art. 104 Abs. 1 StPO). In diesem Verfahrensstadium ist die Staatsanwaltschaft definitionsgemäss nicht mehr zur Unparteilichkeit verpflichtet und hat sie grundsätzlich die Anklage zu vertreten (Art. 16 Abs. 2 StPO).
6.3.2. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, die bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (BGE 143 IV 69 E. 3.2 S. 74 f.; 141 IV 178 E. 3.2.3 S. 180; 138 IV 142 E. 2.3 S. 146; 125 I 119 E. 3e S. 124; Urteile 1B_336/2020 vom 3. November 2020 E. 2.1; 1B_236/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.1; je mit Hinweisen). Diesbezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (BGE 143 IV 69 E. 3.2 S. 75; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweis).
6.3.3. Die Strafprozessordnung enthält Bestimmungen zu den verbotenen Beweiserhebungen (Art. 140 StPO) und zur Verwertbarkeit rechtswidrig erlangter Beweise durch die Strafbehörden (Art. 141 StPO). Gemäss Art. 141 Abs. 2 StPO dürfen Beweise, die Strafbehörden in strafbarer Weise oder unter Verletzung von Gültigkeitsvorschriften erhoben haben, nicht verwertet werden, es sei denn, ihre Verwertung sei zur Aufklärung schwerer Straftaten unerlässlich.
Von Privaten rechtswidrig erlangte Beweismittel sind nur verwertbar, wenn sie von den Strafverfolgungsbehörden rechtmässig hätten erlangt werden können und kumulativ dazu eine Interessenabwägung für deren Verwertung spricht. Bei der Interessenabwägung ist derselbe Massstab wie bei staatlich erhobenen Beweisen anzuwenden. Die Verwertung ist damit nur zulässig, wenn das Beweismittel zur Aufklärung einer schweren Straftat unerlässlich ist (Urteile 6B_1282/2019 vom 13. November 2020 E. 1.1, zur Publikation vorgesehen; 6B_1468/ 2019 vom 1. September 2020 E. 1.3.1, zur Publikation vorgesehen; BGE 146 IV 226 E. 2 S 228; je mit Hinweisen). Der Gesetzgeber verzichtete darauf, schwere Straftaten im Sinne von Art. 141 Abs. 2 StPO zu definieren. Zu berücksichtigen sind nicht generell gewisse Tatbestände und deren abstrakte Strafandrohungen, sondern die gesamten Umstände des konkreten Falles. Entscheidend ist deshalb nicht das abstrakt angedrohte Strafmass, sondern die Schwere der konkreten Tat. Dabei kann auf Kriterien wie das geschützte Rechtsgut, das Ausmass dessen Gefährdung resp. Verletzung, die Vorgehensweise und kriminelle Energie des Täters oder das Tatmotiv abgestellt werden (Urteil 6B_1468/2019 vom 1. September 2020 E. 1.4.2, zur Publikation vorgesehen).
6.4. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der Staatsanwalt sei vorbefasst, erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung liegt im Umstand, dass der Staatsanwalt neben dem vorliegenden Verfahren auch ein Verfahren gegen den Beschwerdeführer führt, keine unzulässige Vorbefassung (Art. 56 lit. b StPO e contrario) (vgl. BGE 143 IV 69 E. 3.1 S. 74; 133 I 89 E. 3.2 S. 91 f.; 122 IV 235 E. 2d S. 237 f.; je mit Hinweisen). Es handelt sich um formell verschiedene Verfahren. Ferner bezieht sich die dem vorliegenden Verfahren zugrunde liegende Anzeige des Beschwerdeführers nicht auf den gleichen Lebenssachverhalt wie das Strafverfahren gegen ihn. Dass der Staatsanwalt gemäss dem Einwand des Beschwerdeführers mit den Nichtanhandnahme-Entscheiden im vorliegenden Verfahren in richterlicher Funktion tätig wurde, vermag nichts daran zu ändern. Der Beschwerdeführer wendet weiter ein, es bestehe ein Interessenkonflikt, da die gestohlenen Akten unverwertbar seien, weshalb der Staatsanwalt befangen sei. Entgegen seiner Meinung sind die angeblich gestohlenen Akten oder Aktenkopien aber nicht automatisch strafprozessual unverwertbar, denn es handelt sich nicht um durch (absolut) verbotene Beweiserhebungsmethoden gewonnene Erkenntnisse oder Beweismittel im Sinne von Art. 140 StPO (E. 6.3.3; BGE 143 IV 387 E. 4.3 f. S. 393 ff.). Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts erweist sich bei durch Privaten rechtswidrig erlangten Beweisen - den mutmasslich gestohlenen Akten oder Aktenkopien - eine Prüfung bzw. Interessenabwägung als geboten (E. 6.3.3; BGE 143 IV 387 E. 4.4 S. 395). Der abschliessende Entscheid über die Verwertbarkeit der fraglichen Akten bzw. Aktenkopien ist dem Gericht im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer vorbehalten. Deren allfällige Unverwertbarkeit lag hier nicht bereits im Untersuchungsstadium klar auf der Hand (vgl. BGE 143 IV 387 E. 4.4 S. 395 mit Hinweis). Zusammenfassend ist daher festzuhalten, dass durch die vom Beschwerdeführer gerügten Umstände kein objektiver Anschein der Befangenheit des Staatsanwalts aufgezeigt wurde und ein solcher auch nicht erkennbar ist. Die gesamthafte Würdigung der vom Beschwerdeführer kritisierten Verhaltensweisen des Staatsanwalts lässt keine ausstandsbegründende Fehlleistung bzw. keine schwerwiegenden Verfahrensfehler erkennen. Insgesamt hält die Ansicht der Vorinstanz, es liege kein Ausstandsgrund vor, vor Bundesrecht stand.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die Vorinstanz trete hinsichtlich des Aktendiebstahls zu Unrecht nicht auf seine Beschwerde ein (Beschwerde S. 14).
7.2. Jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat, kann ein Rechtsmittel ergreifen (Art. 382 Abs. 1 StPO). Partei ist namentlich die Privatklägerschaft (Art. 104 Abs. 1 lit. b StPO). Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilkläger zu beteiligen (Art. 118 Abs. 1 StPO). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden ist (Art. 115 Abs. 1 StPO). In seinen Rechten unmittelbar verletzt ist, wer Träger des durch die missachtete Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsgutes ist (BGE 140 IV 155 E. 3.2 S. 157). Bei Vermögensdelikten zum Nachteil einer Aktiengesellschaft sind nach der Rechtsprechung weder die Aktionäre noch die Gesellschaftsgläubiger unmittelbar verletzt und somit geschädigt im Sinne von Art. 115 Abs. 1 StPO (siehe etwa BGE 140 IV 155 E. 3.3.1 S. 158; Urteile 6B_1315/2015 vom 9. August 2016 E. 1.2.1; 6B_187/2016 vom 17. Juni 2016 E. 1.3; je mit Hinweisen).
7.3. Die Vorinstanz verneint die Legitimation des Beschwerdeführers zur Erhebung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme betreffend den Diebstahl bzw. die Anstiftung zum Diebstahl zu Recht und tritt daher zutreffend diesbezüglich nicht auf dessen Beschwerde ein (Entscheid S. 5 f. E. 1.2.4 und E. 1.3). Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass die mutmasslich entwendeten Unterlagen, soweit es dabei tatsächlich um Originale und nicht etwa um Kopien handelte, der GTS Verlag AG und nicht ihm gehörten. Zudem wurde die GTS Verlag AG per 1. Juli 2015 durch Fusion von der Regio Nachrichten AG übernommen (Entscheid S. 5 f. E. 1.2.4.2). Rechtsnachfolger einer geschädigten natürlichen oder juristischen Person sind als mittelbar Geschädigte einzustufen, die sich grundsätzlich nicht als Privatkläger im Strafverfahren konstituieren können. Insbesondere führt die privatrechtliche Universalsukzession aufgrund von Art. 22 Abs. 1 FusG nicht (per se) zur Parteistellung der übernehmenden Gesellschaft im Strafprozess (BGE 140 IV 162 E. 4.4 S. 165 f. mit Hinweisen; Urteil 6B_549/2013 vom 24. Februar 2014 E. 3.2.2). Den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz ist nichts hinzuzufügen (Entscheid S. 5 f. E. 1.2.4 und E. 1.3).
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnern ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihnen im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini