Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1982 geborenen A._, die an einer bipolaren affektiven Störung leidet, sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 10. Februar 2015 ab 1. Mai 2010 eine ganze Rente zu. Am 22. Mai 2015 meldete sich die Versicherte bei der EL-Durchführungsstelle der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (SVA) zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Zudem hatte die Beiständin des am 30. Juni 2012 geborenen Sohnes der Versicherten die SVA mit Brief vom 4. Mai 2015 ersucht, die behinderungsbedingten Kosten für die Fremdbetreuung des Kindes, namentlich die Kosten für die Kinderkrippe sowie die Aufenthalte in der Pflegefamilie bei den Ergänzungsleistungen anzurechnen. Mit Verfügung vom 20. Februar 2016 sprach die SVA A._ rückwirkend ab 1. August 2010 - mit Unterbrüchen wegen Einnahmenüberschüssen - (jährliche) Ergänzungsleistungen zu.
A.b. Am 6. Juni 2016 informierte die Versicherte die SVA, dass sie wegen den Betreuungskosten für ihr Kind einen finanziellen Engpass auf sich zukommen sehe und fragte, wer für diese Kosten aufkäme. Zudem stellte sie mit Schreiben vom 11. November 2016 ein "Anpassungsgesuch" zur Überprüfung, ob diese Aufwendungen als Behinderungskosten einzustufen seien. Mit Verfügung vom 30. Dezember 2016 bzw. Einspracheentscheid vom 20. März 2017 lehnte die SVA eine Kostenübernahme für die Betreuung des Sohnes der Versicherten unter Art. 10 ELG (jährliche Ergänzungsleistung) ab. Über die Krankheitskosten werde separat verfügt. Die SVA entschied alsdann betreffend die Krankheits- und Behinderungskosten, dass sie die Auslagen für die Kinderkrippe des Vereins X._, abzüglich der Verpflegungskosten, von Januar bis Mai 2017 übernehme (Verfügungen vom 11. April 2018 und 31. Mai 2018).
A.c. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen trat mit Entscheid vom 28. August 2018 auf die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 20. März 2017 nicht ein. Es wies aber in seinen Erwägungen darauf hin, das Gesuch der Versicherten um Übernahme der Kosten für die Kinderkrippe und Pflegefamilie rückwirkend ab Juni 2012 sei weiterhin unbehandelt.
A.d. Mit Verfügung vom 14. November 2018 lehnte die Verwaltung die Übernahme der Kosten des Vereins X._ von Juni 2012 bis Oktober 2018 ab, weil es sich bei den Betreuungskosten für ein Kind nicht um Krankheits- und Behinderungskosten handle. Daran hielt die SVA mit Einspracheentscheid vom 25. Februar 2019 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. Februar 2020 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei festzustellen, die Kosten für die Kinderkrippe von Juni 2012 bis Oktober 2018 müssten von der SVA im Rahmen der Ergänzungsleistungen übernommen werden. Der Begründung der Beschwerde ist zudem zu entnehmen, dass sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, Einsicht in die Akten der Verwaltung und Vorinstanz sowie um Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels ersucht.
Die SVA verweist in ihrer Vernehmlassung auf den Einspracheentscheid vom 25. Februar 2019 sowie ihre vorinstanzliche Beschwerdeantwort und lässt damit sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen lässt sich dahingehend vernehmen, dass es an den Schlussfolgerungen im angefochtenen Entscheid festhält. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet hingegen auf eine Stellungnahme.
A._ fordert mit Eingabe vom 15. Februar 2021 die Gutheissung der mit Beschwerde gestellten Anträge.
Erwägungen:
1.
1.1. Rechtsschriften haben eine Begründung zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 141 V 416 E. 4; 133 II 396 E. 3.1).
1.2. Die Beschwerde ist mit vollständiger Begründung gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG, Art. 42 Abs. 1 BGG). Die zur Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht notwendige Einsicht in die Vorakten ist deshalb grundsätzlich innert der Beschwerdefrist bei der Vorinstanz zu beantragen. Mithin kann die Beschwerde führende Partei - vorbehältlich der nicht vorliegenden Ausnahmekonstellation in Art. 43 BGG und des hier nicht gegebenen Falles, in welchem die Akteneinsicht zuvor verweigert wurde - nicht damit rechnen, wegen Beantragung der Akteneinsicht beim Bundesgericht Gelegenheit zur Ergänzung der Beschwerdeschrift nach Ablauf der Beschwerdefrist zu erhalten (vgl. LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar zum BGG, 3. Aufl. 2018, N. 41 zu 42 BGG; vgl. Urteil 9C_374/2015 vom 24. September 2015 E. 2). Weder das Replikrecht (vgl. Art. 29 Abs. 1 und 2 BV resp. Art. 6 Ziff. 1 EMRK; BGE 139 I 189 E. 3.2; 138 I 154 E. 2.3.3) noch ein gerichtlich angeordneter zweiter Schriftenwechsel (vgl. Art. 102 Abs. 3 BGG) oder das Recht auf Akteneinsicht (vgl. Art. 29 Abs. 2 BV; BGE 132 V 387 E. 3) gewährt einen Anspruch darauf, ausserhalb der Beschwerdefrist Aspekte vorzutragen, die bereits mit der Beschwerde hätten vorgebracht werden können (Urteil 8C_660/2018 vom 7. Mai 2019 E. 1, nicht publ. in: BGE 145 V 231, aber in: SVR 2019 IV Nr. 81 S. 265).
1.3. Nachdem die Beschwerdeführerin die Beschwerde erst einen Tag vor Ablauf der Beschwerdefrist der Post übergeben hat, bestand keine Möglichkeit, dass sie in diesem Verfahren weitere Vorbringen hätte fristgerecht einbringen können. Es wird daher darauf verzichtet, der Beschwerdeführerin die Akten zuzustellen. Im Übrigen konnte sie sich mit ihrer Eingabe vom 15. Februar 2021 zu den Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin und der Vorinstanz äussern. Damit ist dem Anspruch auf rechtliches Gehör Genüge getan.
1.4. Die Beschwerdeantwort der Beschwerdegegnerin mit Verweis auf den Einspracheentscheid und frühere Eingaben genügt den Begründungsanforderungen nicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2; 140 III 86 E. 2; Urteil 9C_617/2019 vom 25. September 2020 E. 1 mit Hinweisen). Darauf ist daher nicht weiter einzugehen.
2.
Rechtsbegehren sind nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (vgl. statt vieler Urteil 9C_300/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 1.2 mit Hinweis). Wiewohl im Antrag nicht ausdrücklich erwähnt, ergibt sich aus der Beschwerdebegründung offenkundig, dass das gestellte Feststellungsbegehren darauf abzielt, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die Kosten für die Kinderkrippe von Juni 2012 bis Oktober 2018 zu bezahlen. Zudem geht aus der Beschwerdebegründung hervor, dass die Beschwerdeführerin auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege beantragt. Auf die so verstandene Beschwerde ist einzutreten.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (BGE 145 V 380 E. 2; vgl. auch BGE 138 I 225 E. 3.1).
3.2. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 225 E. 3.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. Der streitige Leistungsanspruch betrifft den Zeitraum von Juni 2012 bis Oktober 2018. Die ab 1. Januar 2021 in Kraft getretenen Änderungen, insbesondere die neu eingeführten Bestimmungen in Art. 10 Abs. 3 lit. f ELG und Art. 16e ELV (SR 831.301) finden keine Anwendung (vgl. Übergangsbestimmung zur Änderung des ELG vom 22. März 2019 [EL-Reform] und Schlussbestimmung der Änderung des ELV vom 29. Januar 2020; Urteil 8C_579/2020 vom 6. November 2020 E. 3).
4.2. Die Ergänzungsleistungen bestehen aus der jährlichen Ergänzungsleistung sowie der Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten (Art. 3 Abs. 1 ELG).
4.3.
4.3.1. Art. 14 bis 16 ELG regeln die Vergütung der Krankheits- und Behinderungskosten durch die Kantone. Nach Art. 14 Abs. 1 lit. b ELG vergüten die Kantone den Bezügerinnen und Bezügern einer jährlichen Ergänzungsleistung ausgewiesene, im laufenden Jahr entstandene Kosten für die Hilfe, Pflege und Betreuung zu Hause sowie in Tagesstrukturen. Die Kantone bezeichnen die Kosten, die nach Absatz 1 vergütet werden können. Sie können die Vergütungen auf im Rahmen einer wirtschaftlichen und zweckmässigen Leistungserbringung erforderliche Ausgaben beschränken (Art. 14 Abs. 2 ELG). Diese dürfen jedoch bei zu Hause lebenden alleinstehenden Personen den Betrag von Fr. 25'000.- nicht unterschreiten (Art. 14 Abs. 3 lit. a Ziff. 1 ELG).
4.3.2. Nach Art. 4bis des st. gallischen Ergänzungsleistungsgesetzes vom 22. September 1991 (ELG/SG; sGS 351.5) beschränkt sich der Anspruch auf Vergütung der ausgewiesenen Krankheits- und Behinderungskosten nach Art. 14 Abs. 1 Bst. a bis g des Bundesgesetzes über Ergänzungsleistungen auf die im Rahmen einer wirtschaftlichen und zweckmässigen Leistungserbringung erforderlichen Ausgaben, soweit diese nicht Versicherer oder Dritte decken (Abs. 1). Pflichtleistungen, die von Versicherern der obligatorischen Sozialversicherung angerechnet wurden, gelten als wirtschaftlich und zweckmässig. Kosten, die den Leistungskatalog einer obligatorischen Sozialversicherung übersteigen, werden in der Regel nicht vergütet (Abs. 2). Kosten für Leistungen, die ausserhalb des Geltungsbereichs der obligatorischen Sozialversicherung erbracht wurden, werden ausnahmsweise vergütet, wenn die medizinische Notwendigkeit, die Wirtschaftlichkeit und Zweckmässigkeit nachgewiesen sind (Abs. 3). Als Höchstbetrag gelten die in Art. 14 Abs. 3 bis 5 des Bundesgesetzes über Ergänzungsleistungen festgelegten Ansätze (Abs. 4). Der Regierungsrat regelt die Einzelheiten durch Verordnung (Abs. 5).
4.3.3. Gemäss Art. 13 Abs. 1 der st. gallischen Verordnung über die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten bei Ergänzungsleistungen vom 11. Dezember 2007 (VKB/SG; sGS 351.53) werden Kosten für Hilfe und Betreuung in anerkannten Tagesstrukturen an Personen in einer Einrichtung mit Behinderung vergütet (lit. a) und an Personen in einer zugelassenen Tages- und Nachtstruktur nach dem Gesetz über die Pflegefinanzierung vom 13. Februar 2011 (lit. b).
Nach Art. 2 Abs. 1 lit. b des st. gallischen Gesetzes über die Pflegefinanzierung vom 13. Februar 2011 (PFG/SG; sGS 331.2) sind Leistungserbringer, Tages- und Nachtstrukturen, soweit sie nach Art. 38 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherungvom 18. März 1994 zugelassen sind. Art. 1 der st. gallischen Verordnung über die Zulassung von Tages- und Nachtstrukturen vom 14. Dezember 2010 (sGS 331.22) bestimmt zudem, dass Tages- und Nachtstrukturen als Leistungserbringer nach Art. 2 Abs. 1 Bst. b PFG/SG zugelassen werden, wenn sie die in Art. 39 Abs. 1 Bst. a bis c des Bundesgesetzes über die Krankenversicherungvom 18. März 1994 geltenden Voraussetzungen erfüllen. Mit anderen Worten ausgedrückt, müssen solche Einrichtungen dem Spitalbegriff im Sinne des KVG genügen.
5.
5.1. Die Vorinstanz hielt mit Verweis auf ihren (früheren) Entscheid vom 28. August 2018 fest, Art. 14 Abs. 1 lit. b ELG und die kantonale Ausführungsgesetzgebung sähen keine Vergütung von Kinderkrippenkosten vor. Der Gesetzgeber habe mit der aktuell gültigen Regelung in Kauf genommen, dass in Einzelfällen eine existenzgefährdende Leistungslücke im EL-Recht bestehe. Das müsse als qualifiziertes Schweigen des Gesetzgebers interpretiert werden, sodass keine ausfüllungsbedürftige Lücke vorliege.
5.2. Die Beschwerdeführerin stimmt der Vorinstanz zu, dass weder in der kantonalen Verordnung noch im Bundesgesetz allfällige Kosten für die familienergänzende Kinderbetreuung erwähnt seien. Dabei handle es sich aber um eine Lücke, die Raum für eine richterliche Ergänzung lasse. Die geltend gemachten Kosten seien mit Blick darauf unter Art. 14 Abs. 1 lit. b ELG zu subsumieren. Ansonsten bestehe eine krasse Ungleichbehandlung zwischen Kindern, die dauerhaft fremd platziert seien und bei denen die Kosten für das Kinderheim oder die Pflegefamilie in die Berechnung aufgenommen würden, und Kindern, die nur teilweise fremd betreut würden. Der Beschwerdeführerin drohe eine weitergehende Sozialhilfeabhängigkeit. Zudem verletze der vorinstanzliche Entscheid auch Art. 9 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107), untergrabe er doch das Recht des Kindes, nicht gegen den Willen der Eltern von diesen getrennt zu leben.
6.
6.1. Das Bundesgericht hat zu Art. 3d Abs. 1 aELG, der bis zum 31. Dezember 2007 gültig war, ausgeführt, der Gesetzgeber habe die Krankheits- und Behinderungskosten detailliert aufgezählt, die Bezügern einer Ergänzungsleistung vergütet würden. Der Konkretisierungsgrad lasse darauf schliessen, dass der Gesetzgeber die Kosten im Einzelnen bestimmen wollte. Die Aufzählung sei abschliessend. Zusätzliche, vom Gesetz nicht genannte Kosten könnten nicht übernommen werden (BGE 129 V 378 E. 3.1 S. 379). Die Aufzählung in Art. 14 Abs. 1 ELG, welche die bisherige Regelung weiterführt, ist somit ebenfalls abschliessend (vgl. Urteil 9C_84/2009 vom 10. August 2009 E. 4.4 in fine; vgl. auch Urteil 9C_125/2019 vom 11. Juni 2019 E. 4.1). Diese vom Gesetzgeber getroffene Entscheidung ist zu respektieren (Art. 190 BV). Es ist also nicht möglich, auf dem Weg der Interpretation eine Lücke im Katalog der zu vergütenden Leistungen zu "entdecken" und dadurch zu füllen, dass eine nicht aufgelistete Art von Krankheits- und Behinderungskosten als ebenfalls vergütungsfähig erklärt wird (JÖHL/USINGER-EGGER, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 1929 Rz. 244). Entgegen der Beschwerde ist somit das Vorliegen einer ausfüllungsbedürftigen Lücke betreffend Art. 14 Abs. 1 ELG zu verneinen. Die Beschwerdeführerin kann zudem nichts aus dem - hier nicht anwendbaren - ab 1. Januar 2021 gültigen Recht ableiten.
6.2. Der Kanton St. Gallen hat sich bei Erlass der st. gallischen Verordnung über die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten bei Ergänzungsleistungen (VKB/SG) an der vormalig gültigen Verordnung über die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten vom 29. Dezember 1997 (aELKV) orientiert (vgl. CARIGIET/KOCH, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 215 und 220). Der kantonale Verordnungsgeber hielt sich etwa bei der Bezeichnung der zu vergütenden Kosten relativ eng an die bisherige Struktur der aELKV (vgl. Art. 4 - 15 VKB/SG vs. Art. 8 - 16 aELKV). Die Pflege und Betreuung in Tagesstrukturen wird nun durch Art. 13 VKB/SG geregelt, welcher sich an Art. 14 aELKV anlehnt, diesen jedoch nicht eins zu eins übernimmt. Nicht verändert hat sich insbesondere, dass Art. 13 Abs. 1 VKB/SG gleich wie der früher geltende Art. 14 aELKV keine Übernahme von Kosten für die Betreuung eines gesunden Kindes in einer Tagesstruktur vorsieht. Diese kantonale Ausführungsbestimmung ist als gesetzeskonform einzustufen, da mit der Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (NFA) letzteren keine umfangreicheren Leistungspflichten als im bisherigen Rahmen auferlegt werden sollten (vgl. BGE 138 I 225 E. 3.3.2; Urteil 9C_125/2019 vom 11. Juni 2019 E. 4.1 in fine mit Hinweisen).
6.3. Die Beschwerdeführerin erblickt darin eine Verletzung der Rechtsgleichheit, weil bei Kindern, die dauerhaft fremd platziert seien, die Kosten für das Kinderheim oder die Pflegefamilie in die Berechnung der Ergänzungsleistungen aufgenommen würden.
6.3.1. Die Grundrechte richten sich in erster Linie als Abwehrrechte gegen den Staat und geben nur ausnahmsweise und punktuell verfassungsunmittelbare Leistungsansprüche. Namentlich liegt keine Verletzung von Grundrechten darin, dass die Sozialversicherung nicht alle durch die Behinderung verursachten Kosten übernimmt. Aus den Grundrechten kann in der Regel kein direkter Anspruch auf positive staatliche Leistungen abgeleitet werden. Bei der Auslegung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsnormen sowie bei der Ermessenshandhabung ist jedoch den Grundrechten und verfassungsmässigen Grundsätzen Rechnung zu tragen, soweit dies im Rahmen von Art. 190 BV, wonach Bundesgesetze und Völkerrecht für das Bundesgericht und die anderen rechtsanwendenden Behörden massgebend sind, möglich ist (BGE 138 I 225 E. 3.5 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 140 I 77 E. 5.3).
6.3.2. Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (Art. 8 Abs. 1 BV) ist verletzt, wenn ein Erlass hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit ist verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Dem Gesetzgeber bleibt im Rahmen dieser Grundsätze und des Willkürverbots ein weiter Spielraum der Gestaltung, den das Bundesgericht nicht durch eigene Gestaltungsvorstellungen schmälert (B GE 142 V 557 E. 4.2 mit Hinweisen).
6.3.3.
6.3.3.1. Bei Kindern, die dauerhaft fremd platziert sind, findet - auch wenn sie keinen eigenen EL-Anspruch haben (BGE 141 V 155 E. 3) - eine separate Berechnung statt (Art. 9 Abs. 5 lit. a ELG i.V.m. Art. 7 Abs. 1 lit. c ELV). Bei ihnen werden gemäss Art. 10 Abs. 2 Satz 1 ELG für das Heim die Tagestaxen als Ausgaben anerkannt. Diese Bestimmung verpflichtet die Kantone aber nicht, die Tagestaxen bei anderen Einrichtungen als Pflegeheimen nach Art. 39 Abs. 3 KVG so festzusetzen, dass die EL-Bezüger - in der Regel - keine Sozialhilfe beziehen müssen (BGE 143 V 9 E. 6.2 mit Hinweis auf BGE 138 II 191 E. 5.5.4). Das Ziel, eine durch einen Pflegeheimaufenthalt bewirkte Sozialhilfeabhängigkeit zu verhindern, kann somit nicht gleichgesetzt werden mit jenem, eine solche für alle invaliden Personen zu vermeiden (BGE 138 I 225 E. 3.6.2). Entsprechend gelten Taxen für Institutionen, die nicht unter Art. 39 Abs. 3 KVG fallen, erst dann nicht als existenzsichernd im EL-rechtlichen Sinne, wenn die Beträge für den allgemeinen Lebensbedarf nach Art. 10 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 ELG, für den höchstmöglichen Mietzins nach Art. 10 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 ELG und für die anerkannten Ausgaben von Art. 10 Abs. 3 ELG durch die anrechenbaren Einnahmen nicht gedeckt sind (Art. 13 Abs. 2 ELG; BGE 143 V 9 E. 6.1; vgl. auch Urteile 9C_237/2020 vom 6. November 2020 E. 3.3 und 9C_884/2018 vom 1. Mai 2019 E. 7.3).
6.3.3.2. Bei der Beschwerdeführerin wurden keine Ausgaben für die zeitweise Fremdbetreuung ihres Kindes berücksichtigt. Bei ihr und ihrem Sohn ist aber ebenfalls gewährleistet, dass die Kosten für den allgemeinen Lebensbedarf (Art. 10 Abs. 1 lit. a ELG), für den Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten (maximal bis zum Höchstbetrag; Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG) sowie die weiteren Ausgaben im Sinne von Art. 10 Abs. 3 ELG gedeckt sind. Zudem wird von Gesetzes wegen auch bei EL-Bezügern mit im Heim lebenden Kindern eine Sozialhilfeabhängigkeit nicht generell ausgeschlossen (vgl. E. 6.3.3.1 hiervor) und diesfalls werden die mit der jährlichen Ergänzungsleistung nicht gedeckten externen Kinderbetreuungskosten ebenfalls nicht als Krankheits- und Behinderungskosten nach Art. 14 Abs. 1 ELG sowie den Ausführungsbestimmungen des Kantons St. Gallen vergütet (vgl. Urteil 9C_237/2020 vom 6. November 2020 E. 3.2, den Kanton St. Gallen betreffend, mit Hinweisen). Es ist somit nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin in einer gegen Art. 8 Abs. 1 BV verstossenden Weise ungleich behandelt wird im Vergleich zu Ergänzungsleistungsbezügern mit in einem Heim lebendem Kind. Die Beschwerdeführerin kann daher keinen Leistungsanspruch aus dem Gleichbehandlungsgebot herleiten und es hat bei der vom Gesetzgeber angelegten Ordnung sein Bewenden, dass durch die Ergänzungsleistungen nicht in jedem Einzelfall alle zur Deckung des Existenzbedarfs unausweichlich nötigen Leistungen vergütet werden (vgl. JÖHL/USINGER-EGGER, a.a.O., S. 1930 Rz. 245).
6.4. Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin auf das Übereinkommen über die Rechte des Kindes.
6.4.1. Nach Art. 9 KRK stellen die Vertragsstaaten sicher, dass ein Kind nicht gegen den Willen seiner Eltern von diesen getrennt wird, es sei denn, dass die zuständigen Behörden in einer gerichtlich nachprüfbaren Entscheidung nach den anzuwendenden Rechtsvorschriften und Verfahren bestimmen, dass diese Trennung zum Wohl des Kindes notwendig ist. Eine solche Entscheidung kann im Einzelfall notwendig werden, wie etwa wenn das Kind durch die Eltern misshandelt oder vernachlässigt wird oder wenn bei getrennt lebenden Eltern eine Entscheidung über den Aufenthaltsort des Kindes zu treffen ist.
Das Recht auf Achtung des Familienlebens wird auch durch Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV geschützt.
6.4.2. Ein staatlicher Eingriff in das Familienleben ist wegen der finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin nicht erfolgt und auch der angefochtene Entscheid bewirkt keinen Zwang, den Sohn in institutionelle Pflege zu geben. Zudem ist nicht ersichtlich, inwiefern die Gefahr einer Trennung der Beschwerdeführerin von ihrem Sohn besteht, wenn ein Anspruch auf Ergänzungsleistungen für die hier strittigen Kinderbetreuungskosten abgelehnt wird. Dies legt die Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert dar. Es kann auf die Akten verwiesen werden, aus denen hervorgeht, dass die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit vom Sozialamt - zumindest bevorschussend - finanzielle Hilfe zur Bezahlung der Kinderkrippe erhalten hat, sofern sie dazu nicht in der Lage war. Im Umstand, dass die Beschwerdeführerin und ihr Sohn allenfalls Sozialhilfe beziehen und auf dem sozialrechtlichen Existenzminimum leben müssen, ist keine Verletzung von Grundrechten zu erblicken. Diese geben nämlich keinen Anspruch, dass sämtliche behinderungsbedingten Kosten von der Sozialversicherung gedeckt werden (BGE 138 I 225 E. 3.8.2).
6.4.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz mit der Verneinung der Vergütung von Betreuungskosten des nicht in einem Heim lebenden Kindes durch Ergänzungsleistungen kein Bundesrecht verletzte.
7.
7.1. Die Beschwerdegegnerin gewährte mit den Verfügungen vom 11. April und 31. Mai 2018 die Vergütung der Kosten für die Kinderkrippe, abzüglich der Verpflegungskosten, von Januar bis Mai 2017 unter dem Titel Krankheits- und Behinderungskosten. Mit der Verfügung vom 14. November 2018 bzw. dem Einspracheentscheid vom 25. Februar 2019 hat die Verwaltung die Übernahme für die Kosten der Kinderkrippe von Juni 2012 bis Oktober 2018 hingegen abgelehnt. Sie hat dabei nicht dargelegt, unter welchem Titel sie auf die Leistungszusprache zurückkam. Die Vorinstanz erwog dazu, das Vorgehen der Beschwerdegegnerin könne nur so interpretiert werden, dass es sich bei der Verfügung vom 14. November 2018 (bzw. dem angefochtenen Einspracheentscheid) um eine Wiedererwägungsverfügung im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG handle. Die verfügte Übernahme der Kosten für die Kinderkrippe sei zweifellos unrichtig gewesen.
Die Beschwerdeführerin bringt dagegen vor, dass die Verfügungen vom 11. April und 31. Mai 2018 nicht zweifellos unrichtig gewesen seien, habe doch zu diesem Zeitpunkt ein obiter dictum der Vorinstanz vorgelegen, gemäss welchem Art. 14 Abs. 1 lit. b ELG eine ausfüllungsbedürftige Lücke aufweise.
7.2. Nach Art. 53 Abs. 2 ATSG kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese nach damaliger Sach- und Rechtslage zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Die erstgenannte Voraussetzung meint, dass kein vernünftiger Zweifel an der (von Beginn weg bestehenden) Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also einzig dieser Schluss denkbar ist. Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgt war oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (BGE 140 V 77 E. 3.1; 138 V 324 E. 3.3). Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung einzelner Schritte bei der Feststellung solcher Anspruchsvoraussetzungen (Invaliditätsbemessung, Arbeitsunfähigkeitsschätzung, Beweiswürdigung, Zumutbarkeitsfragen) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darbot, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus. Zweifellos ist die Unrichtigkeit, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - denkbar (BGE 138 V 324 E. 3.3; SVR 2019 UV Nr. 11 S. 41, 8C_525/2017 E. 7.1 mit Hinweisen).
7.3. Mit den Verfügungen vom 11. April und 31. Mai 2018 sprach die Verwaltung der Versicherten die von Januar bis Mai 2017 aufgelaufenen Kinderbetreuungskosten als Krankheits- und Behindertenkosten zu. Wie aufgezeigt (E. 6 hiervor), war diese Leistungszusprache nicht bundesrechtskonform, ist die Aufzählung in Art. 14 Abs. 1 ELG doch abschliessend (vgl. Urteil 9C_84/2009 vom 10. August 2009 E. 4.4). Zudem ist nicht ersichtlich und wird von der Versicherten auch nicht geltend gemacht, dass die Leistungszusprache einer Praxis der Verwaltung, des kantonalen Gerichts oder des Bundesgerichts entsprochen haben soll. Dass der Vertrauensschutz (Art. 9 BV) einer Wiedererwägung entgegenstehen würde, ist ebenfalls nicht erkennbar. Die Beschwerdeführerin kann aus dem obiter dictum im kantonalen Entscheid vom 28. August 2018, welches keinen Einfluss auf die zuvor erlassenen Verfügungen der Beschwerdegegnerin vom 11. April und 31. Mai 2018 hatte, nichts zu ihren Gunsten ableiten. Vielmehr ist die verfügte Leistungszusprache, welche in unrichtiger Anwendung des Gesetzes erging, als zweifellos unrichtig zu qualifizieren. Der vorinstanzliche Entscheid verletzt somit kein Bundesrecht. Die Beschwerde ist unbegründet.
8.
Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 64 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Monica Frey wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Mai 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli