Sachverhalt:
A.
A._ führt in U._ (Gemeinde V._) einen Landwirtschaftsbetrieb, auf dem er unter anderem Rinder in Mutterkuhhaltung hält. Anfang Februar 2016 wurde bei einer Kuh aus seinem Bestand (CH xxx) Paratuberkulose diagnostiziert, worauf das Tier euthanasiert werden musste. Die anschliessende Vollsektion bestätigte die Diagnose.
Mit Verfügung vom 15. Februar 2016 stellte das Veterinäramt des Kantons Zürich fest, dass auf dem Betrieb von A._ in U._ ein Seuchenfall im Sinn von Art. 238a der Tierseuchenverordnung vom 27. Juni 1995 (TSV; SR 916.401) vorliege, und verhängte über seinen gesamten dortigen Rindvieh- und Ziegenbestand eine einfache Sperre 1. Grades mit Geltung bis zur schriftlichen Aufhebung durch das Amt. Gleichzeitig ordnete es eine Bestandsuntersuchung der Mutterkuhherde und der Ziegen durch das Tierspital Zürich an. Sollten im Rahmen dieser Untersuchung klinisch verdächtige Tiere festgestellt werden, seien diese sowie ihre saugenden Nachkommen von der Herde abzusondern und ihre Milch zu entsorgen. Weitere verseuchte Tiere und deren saugende Nachkommen seien - ebenso wie das Kalb der initial verseuchten Kuh - zu töten und zu entsorgen. Nach der Ausmerzung sei die Stallung, in welcher sich die verseuchten Tiere aufgehalten hätten, gemäss Anordnung zu reinigen und zu desinfizieren. Handle es sich bei den wegen Paratuberkulose ausgemerzten Tieren um klinisch gesunde Tiere, würde der Halter für diese nach Massgabe der eidgenössischen und kantonalen Tierseuchengesetzgebung entschädigt. Für den Fall einer Zuwiderhandlung drohte das Veterinäramt A._ die in Art. 47 des Tierseuchengesetzes vom 1. Juli 1966 (TSG; SR 916.40) vorgesehenen Strafen an.
Am 2. März 2016 führte die Abteilung Ambulanz und Bestandsmedizin des Tierspitals Zürich eine klinische Untersuchung des Rindvieh- und Ziegenbestands von A._ durch. Dabei wurden sechs Tiere (eine Ziege und fünf Rinder) als seuchenverdächtig eingestuft. Bei der Ziege und drei Rindern fiel auch die nachfolgende molekularbiologische Laboranalyse der Kotproben positiv aus. Das Veterinäramt forderte A._ deshalb am 14. März 2016 auf, die verseuchten Tiere und deren aktuell saugende Nachkommen (drei Kälber und zwei Gitzi) gemäss Dispositivziffer V der Verfügung vom 15. Februar 2016 zu töten und zu entsorgen.
B.
Gegen die Verfügung vom 15. Februar 2016 erhob A._ Rekurs an die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich. Während laufendem Schriftenwechsel kam das Veterinäramt mit Verfügung vom 4. Mai 2016 teilweise auf die Verfügung vom 15. Februar 2016 zurück und lockerte die angeordnete einfache Sperre insofern, als es gestattete, die im Zeitpunkt des Verfügungserlasses auf der Weide und im linken Stallteil des Betriebs gehaltenen Mutterkühe, Jungtiere und Kälber zum Zweck der Sömmerung zu verstellen. Das Veterinäramt präzisierte, die Absonderung und die weiteren Massnahmen gemäss Dispositivziffer IV und die Tötung und Entsorgung gemäss Dispositivziffer V der Verfügung vom 15. Februar 2016 gelte für die Tiere CH yyy, CH zzz, deren Kälber CH uuu, CH vvv und CH www sowie eine Ziege und deren zwei Gitzi. Hinsichtlich der angeordneten Reinigung und Desinfektion hob es seine Verfügung auf. Weiter stellte das Veterinäramt fest, eines der drei verseuchten Rinder sei zwischenzeitlich gestorben. Die Gesundheitsdirektion wies den Rekurs mit Entscheid vom 9. März 2017 ab, soweit sie darauf eintrat und das Rechtsmittel nicht gegenstandslos geworden war.
Die von A._ erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wurde mit Urteil vom 23. November 2017 abgewiesen.
C.
Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 23. Januar 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. November 2017 "und der Erstinstanz vom 9. März 2017" (recte: der Erstinstanz vom 15. Februar 2016 bzw. der Gesundheitsdirektion vom 9. März 2017) sei aufzuheben. Eventualiter sei die Sache für zusätzliche Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es seien die Dispositivziffern I, II zweiter und dritter Satz, IV, V, VII und X Abs. 2 der Verfügung des Veterinäramts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2016 aufzuheben. Subeventualiter seien die Verfügung des Veterinäramts (recte: der Gesundheitsdirektion) vom 9. März 2017 sowie die Dispositivziffern I, II zweiter und dritter Satz, IV, V, VII und X Abs. 2 der Verfügung des Veterinäramts vom 15. Februar 2016 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Veterinäramt zurückzuweisen. Subsubeventualiter seien die Tiere, die im Herbst 2016 zur Sömmerung auf die Alp hätten verbracht werden dürfen, sowie alle anderen Tiere, bei welchen der Erreger nicht nachgewiesen worden sei und die keine klinischen Anzeichen aufweisen würden, aus der Sperre zu entlassen.
Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde und verzichtet unter Verweis auf ihren Rekursentscheid und das angefochtene Urteil auf eine Stellungnahme. Das Veterinäramt des Kantons Zürich nimmt zur Beschwerde Stellung und beantragt deren Abweisung in allen Punkten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt die Beschwerdeabweisung, soweit darauf einzutreten sei, und verzichtet im Übrigen auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen (BLV) verweist auf seine Ausführungen in der im Rekursverfahren vor der Gesundheitsdirektion eingereichten Stellungnahme vom 22. August 2016, welche nach wie vor gültig seien. A._ hält replikweise vollumfänglich an seiner Beschwerde fest.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat mit Verfügung vom 23. Februar 2018 das Gesuch um aufschiebende Wirkung in Bezug auf die einfache Sperre 1. Grades abgewiesen. Im Übrigen hat er das Gesuch gutgeheissen.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen der Ausschlussgründe gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit dem ordentlichen Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerdeerhebung legitimiert; auf die form- und fristgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, auch die Verfügung des Veterinäramts vom 15. Februar 2016 und die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 9. März 2017 seien aufzuheben, ist hierauf nicht einzutreten; diese bilden nicht Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht (Art. 86 Abs. 1 BGG). Sie gelten jedoch aufgrund des Devolutiveffekts als inhaltlich mitangefochten (BGE 139 II 404 E. 2.5 S. 415; Urteil 2C_503/2016 vom 8. Dezember 2016 E. 1.1).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372).
In der Beschwerde findet sich keine Begründung des Subsubeventualantrags, die Tiere, die im Herbst 2016 zur Sömmerung auf die Alp hätten verbracht werden dürfen, sowie alle anderen Tiere, bei welchen der Erreger nicht nachgewiesen worden sei und die keine klinischen Anzeichen aufweisen würden, seien aus der Sperre zu entlassen. Diesbezüglich kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei gelten, wie bei den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96 mit Hinweis).
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unvollständig und unrichtig festgestellt.
Bei den in der Verfügung vom 4. Mai 2016 als verseucht bezeichneten Tieren sei zu Unrecht von klinischen Anzeichen einer Infektion ausgegangen worden. Eine leicht magere Erscheinung sei im Gegensatz zu einer chronischen Abmagerung noch kein klinisches Anzeichen einer Paratuberkulose-Infektion. Zudem sei keine Abklärung erfolgt, ob die Kühe CH yyy ("B._") und CH zzz ("C._") den Erreger tatsächlich auch in hohem Masse ausscheiden würden und es sich somit um auszumerzende "high shedders" handle oder nicht. Die beiden Tiere seien noch heute am Leben und gesund. Dies spreche dafür, dass der erste positive Erregernachweis falsch gewesen sei.
2.2. In Übereinstimmung mit dem Beschwerdeführer ging auch die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid davon aus, dass bei den fraglichen Kühen "B._" (CH yyy) und "C._" (CH zzz) eine leichte Abmagerung diagnostiziert worden war und sie offenbar anlässlich der zweiten amtlichen Untersuchung des Viehbestands keine klinischen Anzeichen mehr aufwiesen. Der positive Erregernachweis im Kot der Tiere sowie das Auftreten erster Anzeichen einer Abmagerung deuteten darauf hin, dass sie sich bereits im Übergangsstadium befunden und den Erreger somit bereits in hohem Masse (intermittierend) ausgeschieden hätten. Dass der Erreger anlässlich der zweiten Bestandsuntersuchung im Juli 2016 nicht mehr habe nachgewiesen werden können und eine weitere molekularbiologische Untersuchung der beiden Tiere negativ ausgefallen sei, vermöge am Ergebnis nichts zu ändern, da der Erregernachweis bei Kühen, die das Endstadium der Paratuberkuloseekrankung noch nicht erreicht hätten, nicht jederzeit möglich sei.
2.3. Nach dem Gesagten wurden die vom Beschwerdeführer gerügten Umstände im angefochtenen Urteil sehr wohl erwähnt und der entsprechende Sachverhalt abgeklärt. Eine offensichtlich unvollständige oder unrichtige Sachverhaltsfeststellung liegt nicht vor.
3.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Vorinstanz habe sich mit seinen Argumenten nicht hinreichend auseinandergesetzt. Sie habe die Gründe, welche gegen das Vorliegen von klinischen Anzeichen einer Infektion sprechen würden, nicht näher erörtert und die Testergebnisse, welche den positiven Laborbefund vom 7. März 2016 widerlegen würden, nicht beachtet. Mit dem Umstand, dass die angeblich verseuchten Tiere noch immer kerngesund und am Leben seien, habe sie sich überhaupt nicht auseinandergesetzt.
3.1. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes und stellt anderseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht der Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (BGE 140 I 99 E. 3.4 S. 102; 135 II 286 E. 5.1 S. 293; je mit Hinweisen).
Dem Gehörsanspruch entspricht die Pflicht der Behörden, die Vorbringen tatsächlich zu hören, ernsthaft zu prüfen und in ihrer Entscheidfindung angemessen zu berücksichtigen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Sie muss die wesentlichen Überlegungen enthalten, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Vorinstanz in ihrer Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE 142 II 49 E. 9.2 S. 65; 137 II 226 E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen).
3.2. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt hätte: Sie setzte sich mit seinen Einwänden auseinander und legte nachvollziehbar dar, weshalb sie das Vorliegen eines Seuchenfalls gemäss Art. 237 Abs. 1 TSV bejahte, obwohl der Erreger anlässlich der zweiten Bestandsuntersuchung im Juli 2016 beziehungsweise einer molekularbiologischen Untersuchung der betroffenen Tiere nicht mehr nachgewiesen werden konnte. Ebenso äusserte sie sich zur Frage des Vorliegens von klinischen Anzeichen einer Infektion. Eine sachgerechte Anfechtung war für den Beschwerdeführer angesichts der Begründung des angefochtenen Entscheids ohne Weiteres möglich. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
4.
4.1. Bei der Paratuberkulose handelt es sich um eine infektiöse, chronische, unheilbare Enteritis bei Wiederkäuern, die zu Abmagerung, Milchrückgang und unstillbarem Durchfall führt. Gemäss Art. 4 lit. g TSV i.V.m. Art. 1 und Art. 1a Abs. 2 lit. b TSG gilt Paratuberkulose als zu bekämpfende Seuche. Paratuberkulose liegt vor, wenn klinische Anzeichen einer Infektion oder pathologisch-anatomische Veränderungen vorhanden sind und der Erreger nachgewiesen wurde (Art. 237 Abs. 1 TSV). Hat ein Tierarzt oder ein amtlicher Tierarzt bei der klinischen Untersuchung, der Sektion oder der Fleischuntersuchung den Verdacht, ein Tier sei an Paratuberkulose erkrankt, so veranlasst er nach Absprache mit dem Kantonstierarzt eine Untersuchung zum Nachweis des Erregers; besteht aufgrund eines Laborbefundes der Verdacht auf Paratuberkulose, so ordnet der Kantonstierarzt unverzüglich die klinische Untersuchung des verdächtigen Tieres an (Art. 238 Abs. 1 f. TSV). Bei jedem Verdachtsfall ordnet der Kantonstierarzt zusätzlich gemäss Art. 238 Abs. 3 TSV weitere Massnahmen an (Aussonderung der verdächtigen Tiere, Verbringungssperre, Entsorgung der Milch). Der Kantonstierarzt verhängt gemäss Art. 238a TSV bei Feststellung der Paratuberkulose die einfache Sperre 1. Grades über alle Bestände der verseuchten Tierhaltung. Ausserdem ordnet er an, dass die verseuchten Tiere und ihre saugenden Jungtiere abgesondert, getötet und entsorgt werden (lit. a), die Tiere der empfänglichen Arten des Bestandes klinisch untersucht werden (lit. b), die Milch der verdächtigen und verseuchten Tiere entsorgt wird (lit. c) und die Stallungen gereinigt und desinfiziert werden (lit. d). Wenn die klinische Untersuchung abgeschlossen ist und dabei keine verdächtigen Tiere entdeckt wurden und die verseuchten Tiere und ihre saugenden Jungtiere getötet und entsorgt sowie die Stallungen gereinigt und desinfiziert worden sind, hebt der Kantonstierarzt die Sperre auf (Art. 238a Abs. 2 TSV).
4.2. Was klinische Anzeichen einer Infektion sind, legen weder das Tierseuchengesetz noch die Tierseuchenverordnung fest. Das BLV nennt in der Fachinformation zu Paratuberkulose unter "Klinik/Pathologie" als Leitsymptome die chronische Abmagerung und den Milchrückgang. Bei Einzeltieren könne ein profuser, therapieresistenter Durchfall mit übelriechendem, blasenhaltigem Kot beobachtet werden. Hinsichtlich der Diagnose hält die Fachinformation zu Paratuberkulose des BLV fest, ein (klinischer) Verdacht bestehe bei chronischer Abmagerung mit oder ohne Durchfall. Die Bestätigung erfolge durch Laboruntersuchungen (vgl. BLV, Fachinformation zu Paratuberkulose vom 2. Mai 2017). Die Vorinstanzen folgten bezüglich der Definition der klinischen Anzeichen für eine Paratuberkulose der Fachinformation des BLV. Dies ist nicht zu beanstanden und wird von keiner Seite infrage gestellt.
4.3. Ein Seuchenfall ist somit gemäss Art. 237 TSV unter zwei kumulativen Voraussetzungen gegeben: Einerseits muss das betroffene Tier klinische Anzeichen oder pathologisch-anatomische Veränderungen aufweisen und anderseits muss der Erreger labordiagnostisch nachgewiesen werden. Ist nur eine der Voraussetzungen erfüllt, handelt es sich um einen Verdachtsfall (vgl. Art. 238 TSV). Der Verdacht gilt als widerlegt, wenn sich herausstellt, dass die zweite Voraussetzung nicht gegeben ist (Art. 238 Abs. 4 TSV).
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz sei betreffend die Kühe "B._" (CH yyy) und "C._" (CH zzz) fälschlicherweise vom Vorliegen klinischer Anzeichen ausgegangen respektive habe trotz des Fehlens klinischer Anzeichen auf einen Seuchenfall geschlossen. Weiter bestreitet er die Richtigkeit des betreffend Paratuberkulose-Erreger positiven Laborresultats.
5.1. Zunächst ist hinsichtlich der Behauptung, das Laborresultat müsse falsch sein, da der Erreger in späteren Tests bei den Kühen "B._" und "C._" nicht mehr habe nachgewiesen werden können, auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu verweisen. Danach wird der Erreger bereits nach der ersten präklinischen Phase der Infektion, aber vor dem Auftreten eigentlicher klinischer Symptome intermittierend ausgeschieden (vgl. angefochtenes Urteil E. 4.2 S. 12 und E. 4.4 S. 16). In der sogenannten subklinischen Phase der Erkrankung kann die Ausscheidung des Erregers also zeitweise aussetzen (intermittieren). Ein späteres negatives Resultat lässt folglich nicht darauf schliessen, das vorangegangene positive Resultat sei falsch gewesen. Indes ist angesichts der späteren negativen Laborergebnisse davon auszugehen, dass die Erkrankung bei den beiden Kühen das klinische Stadium, in dem ständig massenhaft Erreger ausgeschieden werden, noch nicht erreicht hatte: Wenn, wie die Vorinstanz ausführt, der positive Erregernachweis im Kot darauf hindeutet, dass sich die Tiere im Übergangsstadium vom subklinischen in das klinische Stadium befanden und den Erreger bereits in hohem Masse ausschieden, ist anderseits festzuhalten, dass die intermittierende Erregerausscheidung darauf hindeutet, dass das klinische Stadium, in welchem der Erreger ständig und in hohem Masse ausgeschieden wird, noch nicht erreicht ist.
5.2. Die Vorinstanz erwog, es sei bei den Kühen "B._" und "C._" jeweils eine leichte Abmagerung und kein Durchfall festgestellt worden. Der Beschwerdeführer bringt vor, diese Abmagerung sei mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit auf andere Faktoren als eine Infektion mit Paratuberkulose zurückzuführen gewesen. Auch die Vorinstanz habe sinngemäss festgehalten, dass die festgestellte Abmagerung durchaus mit dem kurz zuvor erfolgten Abkalben zusammenhängen könne. Es wäre viel naheliegender gewesen, den abgemagerten Zustand auf das Säugen von zwei Kälbern zurückzuführen. Das Vorliegen von klinischen Anzeichen einer Infektion hätte deshalb von der Vorinstanz verneint werden müssen.
Die Vorinstanz bezeichnete es zwar unter Hinweis auf den Umstand, dass beide Tiere kurz zuvor gekalbt hätten, als problematisch, dass jeweils bloss eine leichte Abmagerung festgestellt worden sei und die genannten Tiere offenbar anlässlich der zweiten amtlichen Untersuchung des Viehbestands keine klinischen Anzeichen mehr aufwiesen. Es seien aber im Rahmen der zweiten Untersuchung nur noch Tiere als paratuberkuloseverdächtig eingestuft worden, welche starke Abmagerung, starken Durchfall oder leichten Durchfall kombiniert mit blosser Abmagerung gezeigt hätten. Damit seien die Voraussetzungen für die Annahme klinischer Symptome angehoben worden. Dies lasse die erste tierärztliche Einschätzung der betroffenen Tiere nicht im Nachhinein hinfällig werden. Nachdem der spätere labordiagnostische Erregernachweis positiv ausgefallen sei, sei die Infektion in jedem Fall bereits über das präklinische Stadium hinaus gediehen gewesen. Ausserdem trete eine klinisch manifeste Paratuberkulose häufig im Anschluss an eine Stresssituation wie ei ne Kalbung auf.
5.3. Dieser Argumentation ist entgegenzuhalten, dass gemäss BLV erst eine chronische Abmagerung als klinisches Anzeichen zu werten ist. Eine Abmagerung kann jedoch nicht als chronisch bezeichnet werden, wenn sie bloss vorübergehend festgestellt werden konnte und zudem als leicht eingestuft wurde. Auch die Vorinstanz begrüsste es angesichts des Zwecks von Art. 237 ff. TSV, dass die Tiere anlässlich der zweiten Untersuchung nur dann als paratuberkuloseverdächtig eingestuft wurden, wenn sie eine starke Abmagerung, starken Durchfall oder leichten Durchfall kombiniert mit einer Abmagerung aufwiesen. Vor dem Hintergrund, dass eine bloss leichte Abmagerung nicht ausreicht, um von klinischen Anzeichen auszugehen, scheint die Einstufung anlässlich der zweiten Untersuchung zutreffend. Hingegen ist zu bezweifeln, dass anhand der in der ersten Untersuchung festgestellten leichten Abmagerung der Tiere von klinischen Anzeichen ausgegangen werden durfte. Nachdem bei der zweiten Untersuchung keine Abmagerung mehr festgestellt werden konnte, kann vorliegend jedenfalls nicht von einem chronischen Verlauf der Abmagerung gesprochen werden. Damit fehlt es, wie der Beschwerdeführer berechtigterweise ausführt, an den erforderlichen klinischen Anzeichen für eine Infektion im Sinne der Fachinformation zu Paratuberkulose des BLV.
5.4. Die Vorinstanz erwog, je näher infizierte Tiere an das Stadium der klinischen Erkrankung kommen würden, desto höhere Erregermengen könnten sie in der Regel ausscheiden. Solche Tiere würden neben klinisch auffälligen Tieren, die ständig massenhaft Erreger über den Kot ausscheiden, als "high shedders" bezeichnet. Mit Zunahme der Erregerdosis nehme die Wahrscheinlichkeit einer Infektion weiterer Tiere zu, wobei die aufgenommene Menge den weiteren Verlauf der Neuinfektion beeinflusse. Nach dem Willen des Gesetzgebers seien folglich nicht sämtliche infizierten Tiere zu entfernen, sondern ausschliesslich diejenigen, die den Erreger in hohen Mengen ausscheiden würden. Auf diese Weise solle die Prävalenz von Paratuberkulose in der Schweiz auf einem stabilen niedrigen Niveau gehalten werden (vgl. hierzu Erläuterungen zur Änderung der Tierseuchenverordnung und der Verordnung über die Entsorgung von tierischen Nebenprodukten vom 28. Oktober 2015, Ziff. II, 1.1 S. 1).
Die vorinstanzlichen Erwägungen deuten darauf hin, dass davon ausgegangen wurde, bei den Kühen "B._" und "C._" handle es sich um "high shedders": Der positive Erregernachweis im Kot sowie die ersten Anzeichen von Abmagerung würden darauf hindeuten, dass sich die Tiere bereits im Übergangsstadium zum klinischen Stadium befunden und den Erreger somit bereits in hohem Masse (intermittierend) ausgeschieden hätten. Die Vorinstanz verweist unter anderem auf die Stellungnahme des BLV vom 22. August 2016, wonach jedes Tier mit klinischen Anzeichen und positivem Erregernachweis den Erreger übermässig ausscheide und damit als Seuchenfall im Sinne der TSV gelte, sowie auf den Steckbrief Paratuberkulose des Friedrich-Loeffler-Instituts, wonach der Erregernachweis bei Tieren, die den Erreger in grossen Mengen ausscheiden, auch in Kotproben möglich sei (vgl. Friedrich-Loeffler-Institut, Bundesforschungsinstitut für Tiergesundheit, Steckbrief Tuberkulose, Stand 20. Januar 2016). Soweit sie daraus zu schliessen scheint, dass die Tiere angesichts des Erregernachweises im Kot als "high shedders" zu bezeichnen und gemäss dem Willen des Verordnungsgebers auszumerzen seien, kann der Vorinstanz indes nicht gefolgt werden. Die Regelung gemäss Art. 237 ff. TSV lässt keinen Spielraum für eine solche Erweiterung der Definition von Seuchenfällen. Wie die Gesundheitsdirektion in ihrem Rekursentscheid vom 9. März 2017 ausführte, hat der Verordnungsgeber dem Ziel, klinisch kranke Tiere zu entfernen, die den Erreger in hohen Mengen ausscheiden, dadurch Rechnung getragen, dass für die Diagnosestellung nebst dem Erregernachweis zusätzlich auch klinische Anzeichen einer Infektion oder pathologisch-anatomische Veränderungen vorliegen müssen. Die Eliminierung von Tieren, die den Erreger in hohen Mengen ausscheiden, stehe im Fokus. Letztlich sei die konkret ausgeschiedene Erregermenge für die Diagnose eines Seuchenfalls jedoch nicht weiter relevant, weswegen Art. 237 Abs. 1 TSV keine differenzierten Vorgaben bezüglich der Erregerdichte statuiere (vgl. Rekursentscheid der Gesundheitsdirektion vom 9. März 2017, E. 5e S. 16).
5.5. Nach dem Gesagten handelte es sich bei den Kühen "B._" und "C._" um Verdachtsfälle für Paratuberkulose gemäss Art. 238 Abs. 2 TSV (positiver Laborbefund), die sich mangels klinischer Anzeichen oder Befunde nicht bestätigen liessen (vgl. Art. 238 Abs. 4 lit. b TSV). Gemäss Art. 238 Abs. 3 TSV waren infolge der Verdachtsfälle die Absonderung der Tiere und ihrer saugenden Jungtiere, die Erstellung einer Verbringungssperre und die Entsorgung der Milch anzuordnen. Da die beiden Tiere indes nicht als verseucht gelten, fallen sie nicht unter die infolge des Anfang Februar 2016 festgestellten ursprünglichen Seuchenfalls mit Verfügung vom 15. Februar 2016 angeordnete Tötung und Entsorgung gemäss Art. 238a Abs. 1 lit. a TSV (vgl. Dispositivziffer V der Verfügung des Veterinätamts vom 15. Februar 2016). Dasselbe gilt für die saugenden Jungtiere dieser Kühe.
An dieser Stelle ist daran zu erinnern, dass für die Annahme eines Seuchenfalls zwei kumulative Voraussetzungen gelten: einerseits das Vorliegen von klinischen Anzeichen oder pathologisch-anatomischen Veränderungen und anderseits der Nachweis des Erregers (vgl. Art. 237 TSV). Fehlt es an einer dieser Voraussetzungen, handelt es sich lediglich um einen Verdachtsfall gemäss Art. 238 TSV. Bei einem solchen werden ebenfalls Massnahmen ergriffen, die jedoch weniger weit gehen als diejenigen gemäss Art. 238a Abs. 1 TSV. Der vorinstanzlichen Argumentation, dass sich die Ergreifung der strengeren - über die in Verdachtsfällen (Art. 238 TSV) vorgesehenen Massnahmen hinausgehenden - seuchenpolizeilichen Massnahmen gemäss Art. 238a Abs. 1 i.V.m. Art. 237 Abs. 1 TSV auch rechtfertige, wenn die Tiere (wie "B._" und "C._") noch nicht in die klinische Phase übergetreten seien, sondern bislang einzig subklinisch intermittierend Erreger ausschieden, kann nicht gefolgt werden. Insbesondere kann die Zielsetzung der Tierseuchenverordnung, die Prävalenz von Paratuberkulose auf einem gleichbleibend niedrigen Stand zu halten und den betroffenen Betrieben zu helfen, nicht dazu führen, dass die in der Verordnung aufgestellten Regeln nicht mehr zu beachten wären. Hingegen war die Anordnung von Massnahmen gemäss Art. 238a Abs. 1 TSV - insbesondere das Verhängen einer Sperre 1. Grades und die Anordnung der klinischen Untersuchung der Mutterkuhherde und der Ziegen des Betriebs des Beschwerdeführers - vorliegend gerechtfertigt, da Anfang Februar 2016 unbestrittenermassen ein Seuchenfall aufgetreten war und eine erkrankte Kuh (CH xxx) hatte euthanasiert werden müssen.
5.6. Schliesslich führt der Umstand, dass es sich bei den Kühen "B._" und "C._" nicht um Seuchenfälle, sondern um Verdachtsfälle handelte, nicht automatisch dazu, dass die über den Rindvieh- und Ziegenbestand des Beschwerdeführers verhängte einfache Sperre 1. Grades aufzuheben wäre. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz wurde im Viehbestand des Beschwerdeführers im Frühjahr 2017 erneut ein Seuchenfall gemäss Art. 238a Abs. 1 i.V.m. Art. 237 Abs. 1 TSV festgestellt. Ein Rind (CH rrr) sei im Februar 2017 wegen Durchfall und Abmagerung aufgefallen. Der Beschwerdeführer habe es im März 2017 getötet und zur Entsorgung abholen lassen, worauf das Veterinäramt insbesondere eine pathologisch-anatomische Untersuchung veranlasst habe, welche die Diagnose Paratuberkulose bestätigt habe. Das Veterinäramt habe den Beschwerdeführer hierüber informiert und ihn gleichzeitig darauf hingewiesen, dass auf die Anordnung einer erneuten Sperre verzichtet werde, da die am 15. Februar 2016 verfügte Sperre 1. Grades weiterhin gültig sei.
In seiner Replik bestreitet der Beschwerdeführer die vom Veterinäramt in dessen Vernehmlassung gemachte Bemerkung, er habe diesen weiteren Todesfall eines an Paratuberkulose erkrankten Rindes vom März 2017 verschwiegen. Er äussert sich indes nicht näher zu diesem erneuten Seuchenfall, sondern bestätigt hinsichtlich der im Februar 2016 erkrankten Kuh (CH xxx), diese euthanasiert und zu einer Kadaversammelstelle gebracht zu haben.
Die vom Veterinäramt mit Verfügung vom 15. Februar 2016 verhängte einfache Sperre 1. Grades wird gemäss Art. 238a Abs. 2 TSV aufgehoben, nachdem die klinische Untersuchung abgeschlossen ist und dabei keine verdächtigen Tiere entdeckt wurden (lit. a) und die verseuchten Tiere und ihre saugenden Jungtiere getötet und entsorgt sowie die Stallungen gereinigt und desinfiziert worden sind (lit. b). Angesichts des erneuten Seuchenfalles scheint die Sperre grundsätzlich weiterhin begründet. Sie ist unter den genannten Voraussetzungen von Art. 238a Abs. 2 TSV zu gegebener Zeit aufzuheben.
6.
Aufgrund dieser Erwägungen ergibt sich, dass die Kühe "B._" (CH yyy) und "C._" (CH zzz) als Verdachtsfälle (Art. 238 TSV), nicht aber als Seuchenfälle (Art. 237 Abs. 1 i.V.m. Art. 238a TSV) einzustufen waren. Die angeordnete, für Seuchenfälle vorbehaltene Tötung und Entsorgung gemäss Art. 238a Abs. 1 lit. a TSV betrifft diese beiden Kühe und ihre saugenden Nachkommen daher nicht. Die einfache Sperre 1. Grades dagegen ist angesichts des im Frühjahr 2017 aufgetretenen erneuten Seuchenfalls weiterhin gerechtfertigt. Auf die in der Beschwerde weiter behauptete Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) und des Gleichbehandlungsgebots (Art. 8 Abs. 1 BV) durch die zu Unrecht erfolgte Annahme eines Seuchenfalles ist bei diesem Ergebnis nicht weiter einzugehen.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit sie die Qualifizierung der Kühe "B._" (CH yyy) und "C._" (CH zzz) als Seuchenfälle und die Tötung und Entsorgung von diesen Kühen und deren saugenden Nachkommen betrifft. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang obsiegt der Beschwerdeführer teilweise. Es sind ihm die hälftigen Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und es ist ihm im Umfang seines Obsiegens eine Parteientschädigung zulasten des Kantons Zürich zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Kanton Zürich hat keine Gerichtskosten zu tragen (vgl. 66 Abs. 3 BGG); es ist ihm keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. November 2017 aufgehoben, soweit es die Qualifizierung der Kühe "B._" (CH yyy) und "C._" (CH zzz) als Seuchenfälle und die Tötung und Entsorgung von diesen Kühen und deren saugenden Nachkommen bestätigt. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
2.1. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'250.- dem Beschwerdeführer auferlegt.
2.2. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'250.- zu entschädigen.
2.3. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub