Sachverhalt:
A.
Im Rahmen der Erweiterung und Erneuerung des Hauses xx hat die C._ (nachfolgend: Vergabebehörde) am 24. Juli 2017 einen Bauauftrag für Bettenkanäle im offenen Verfahren ausgeschrieben. Der Beizug von Subunternehmerinnen sowie die Einreichung eines Angebots als Bietergemeinschaft waren ausdrücklich zugelassen. Die Einforderung weiterer Unterlagen nach dem Eingang der Angebote wurde vorbehalten. Es gingen je ein Angebot der "A._ AG" zum Preis von Fr. 221'644.99 und der B._ AG, St. Gallen, zum Preis von Fr. 454'680.-- ein.
A.a. Am 9. Oktober 2017 erteilte die Vergabebehörde der "A._ AG" den Zuschlag für die ausgeschriebenen Arbeiten. Dagegen gelangte die nicht berücksichtigte B._ AG, St. Gallen an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen (Verfahren B 2017/214). Das Verwaltungsgericht erteilte der Beschwerde mit Verfügung vom 30. Oktober 2017 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung mit der Begründung, die "A._ AG" sei am 27. Juni 2012 in A._ Immobilien und Dienstleistungs AG umfirmiert und das Vermögen der Gesellschaft auf die am 27. Juni 2012 neu im Handelsregister eingetragenen A._ Handels AG, A._ Produktions AG und A._ Engineering AG übertragen worden. Unter den konkreten Umständen sei nicht nachvollziehbar, auf welches Unternehmen sich die in der Offerte gemachten "Angaben zum Anbieter" bezögen. Mit welcher Firma der Vertrag abgeschlossen werde, sei nicht klar, sodass die Beschwerde bei summarischer Prüfung als ausreichend begründet erscheine.
A.b. Mit Verfügung vom 8. November 2017 erteilte die Vergabebehörde den Zuschlag daraufhin widerrufsweise der A._ Handels AG. Die B._ AG, St. Gallen erhob auch dagegen eine Beschwerde an das Verwaltungsgericht (Verfahren B 2017/234). Ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit der Begründung entsprochen, die Erteilung des Zuschlags an die A._ Handels AG vermöge nichts daran zu ändern, dass die Offerte ausdrücklich für und namens der nicht mehr existierenden "A._ AG" eingereicht worden sei und die A._ Handels AG ihrerseits gar nie ein rechtsverbindliches und rechtsgültiges Angebot eingereicht habe. Es müsse davon ausgegangen werden, dass die A._ Handels AG als Zuschlagsempfängerin nicht in Betracht falle.
B.
Mit Verfügung vom 11. Dezember 2017 hob die Vergabebehörde ihre Verfügung vom 8. November 2017 auf, schloss die A._ Handels AG vom Verfahren aus und erteilte den Zuschlag der B._ AG, St. Gallen.
B.a. Gegen die Verfügung vom 11. Dezember 2017 gelangte die A._ Handels AG ihrerseits mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht und ersuchte um Erteilung der aufschiebenden Wirkung (Verfahren B 2017/264). Mit Verfügung vom 9. Januar 2018 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
B.b. Gegen die Verfügung vom 9. Januar 2018 erhob die A._ Handels AG am 24. Januar 2018 Beschwerde beim Bundesgericht (Verfahren 2C_64/2018). Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 25. April 2018 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen und die am 26. Januar 2018 superprovisorisch angeordnete aufschiebende Wirkung aufgehoben. Die Vergabebehörde teilte dem Bundesgericht daraufhin mit Schreiben vom 3. Mai 2018 mit, dass am 2. Mai 2018 der Vertrag mit der Beschwerdegegnerin des kantonalen Beschwerdeverfahrens (nachfolgend: Zuschlagsempfängerin) abgeschlossen worden sei. Die A._ Handels AG vertrat in der Folge den Standpunkt, dass kein Vertragsschluss über den ausgeschriebenen Auftrag stattgefunden hätte, da die Vergabebehörde laut schriftlichem Vertrag mit einer "B._AG" kontraktiert und unter dieser Firma mangels Firmenzusatz "St. Gallen" keine juristische Person existiert hätte. Mit Verfügung 2C_64/2018 vom 3. August 2018 schrieb das Bundesgericht das Verfahren als gegenstandslos ab.
B.c. Seit dem 8. Juni 2018 firmierte die A._ Handels AG wieder als A._ AG. Mit Entscheid vom 8. September 2018 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde der A._ AG in der Sache ab. Im Wesentlichen erwog es, dass der Ausschluss vom 11. Dezember 2017 der A._ AG unter der damaligen Firma A._ Handels AG vom Vergabeverfahren zulässig gewesen sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Oktober 2018 gelangt die A._ AG an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei festzustellen, dass der am 2. Mai 2018 abgeschlossene Vertrag zwischen der Vergabebehörde und der Zuschlagsempfängerin rechtswidrig sei. Im Weiteren sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 8. September 2018 vollumfänglich aufzuheben und es sei die Vergabebehörde zu verpflichten, der A._ AG einen Schadenersatz in der Höhe von Fr. 14'327.69 zu bezahlen.
Während das Verwaltungsgericht die Abweisung der Beschwerde verlangt, verzichtet die Wettbewerbskommission auf eine Vernehmlassung. Die Vergabebehörde beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. Die Zuschlagsempfängerin verlangt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten wird. Die Beschwerdeführerin repliziert mit Eingabe vom 11. Januar 2019, worauf die Vergabebehörde und die Zuschlagsempfängerin nochmals Stellung nehmen.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (vgl. BGE 141 II 113 E. 1 S. 116; Urteil 2C_196/2017 vom 21. Februar 2019 E. 1, nicht publ. in: BGE 145 II 49).
1.1. Die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG) auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen (Art. 83 lit. f BGG) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), verfahrensabschliessende (Art. 90 BGG) Urteil eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG).
1.2. Auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (Beschaffungsgesetz, BöB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (BAöB; SR 0.172.052.68) erreicht und wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 83 lit. f BGG; vgl. BGE 143 II 425 E. 1.3 S. 427; 133 II 396 E. 2.1 S. 398).
Es kann offen bleiben, ob der im Zeitpunkt der Einreichung der Beschwerde beim Bundesgericht massgebende Schwellenwert durch den gesamten Bauauftrag oder durch den vorliegenden (Teil-) Auftrag erfüllt wird (Art. 83 lit. f Ziff. 1 BGG; vgl. Art. 6 Abs. 2 BöB i.V.m. Art. 1 der Verordnung des WBF vom 22. November 2017 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für die Jahre 2018 und 2019 [SR 172.056.12]), da das zweite kumulativ zu erfüllende Eintretenserfordernis der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nicht erfüllt ist.
1.2.1. Bei der Frage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln. Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft. Im Rahmen ihrer Begründungspflicht nach Art. 42 Abs. 2 BGG hat die Beschwerdeführerin darzutun, dass die Voraussetzung nach Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG erfüllt ist (vgl. BGE 143 II 425 E. 1.3.2 S. 428; 141 II 113 E. 1.2 S. 116 f.; 141 II 14 E. 1.2.2.1 S. 21; 138 I 143 E. 1.1.2 S. 147; 133 II 396 E. 2.1 f. S. 398). Zudem muss es sich bei den Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung um Fragen handeln, die für die Lösung des konkreten Falls erheblich sind (vgl. BGE 139 III 209 E. 1.2 S. 210; 139 III 182 E. 1.2 S. 185; 137 III 580 E. 1.1 S. 582 f.; 135 III 397 E. 1.2 S. 399).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht folgende Rechtsfrage:
"Ist ein Ausschluss aus einem kantonalen Vergabeverfahren wegen allfälliger Unklarheiten darüber, welcher konkreten Konzerngesellschaft das wirtschaftlich günstigste und fristgerecht eingereichte Angebot für eine vergaberechtliche Ausschreibung zuzurechnen ist, mit dem Bundesrecht vereinbar, auch wenn diese Unklarheiten durch geeignete Rückfragen bzw. durch Einholung zusätzlicher Detailnachweise ohne weiteres beseitigt werden könnten?"
Im Wesentlichen begründet die Beschwerdeführerin die grundsätzliche Bedeutung ihrer Rechtsfrage damit, dass die aufgeworfene Rechtsfrage von erheblicher praktischer Bedeutung sei. Angebote im Beschaffungswesen würden regelmässig von in Konzernstrukturen organisierten Unternehmen oder Bietergemeinschaften eingereicht. Regelmässig sei nicht auf den ersten Blick ersichtlich, welcher konkreten juristischen Person oder welchen konkreten juristischen Personen das betreffenden Angebot in erster Linie zuzurechnen sei.
1.2.3. Das Bundesgericht hat sich bereits mehrfach zur Abklärungspflicht der Vergabebehörde geäussert (vgl. BGE 143 II 425 E. 5.3 S. 440 f.; Urteile 2D_49/2011 vom 25. September 2012 E. 5.8; 2D_34/2010 vom 23. Februar 2011 E. 2.5). Daraus ergibt sich, dass die Vergabebehörde bei kleineren Unklarheiten eine Abklärungspflicht trifft. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung wäre sodann ein Ausschluss eines Angebots unverhältnismässig oder überspitzt formalistisch, wenn die Abweichung von den Anforderungen geringfügig oder im Ergebnis unbedeutend ist. Die Vergabebehörde kann deshalb eine nachträgliche Einreichung von Detailnachweisen insbesondere über technische Einzelheiten bis zum Zeitpunkt des Zuschlags zulassen (vgl. Urteil 2C_346/2013 vom 20. Januar 2014 E. 3.3).
Mit Blick auf die "Angaben zum Anbieter" hat das Bundesgericht indes dargelegt, dass ein Zuschlag nicht an eine andere Person erteilt werden kann, als jene, die in der Rubrik "Angaben zum Anbieter" angegeben wird. Dadurch werden keine formellen Vorschriften mit übertriebener Schärfe gehandhabt (vgl. Urteil 2P.66/2001 vom 2. Juli 2001 E. 2c). Der Grundsatz, wonach allgemein eine hinreichende Bestimmtheit des Angebots verlangt wird, findet auch in der neusten Rechtsprechung seine Bestätigung (vgl. Urteil 2D_6/2019 vom 11. Juli 2019 E. 4).
1.2.4. Insofern handelt es sich bei der von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen Frage, ob bei einer Unklarheit, welche (natürliche und juristische) Person ein Angebot eingereicht hat, die Vergabebehörde ebenfalls eine Abklärungspflicht trifft, um die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall. Nach dem Dargelegten liegt keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG vor.
1.3. Nach Art. 115 BGG ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens der Fall, wenn die nicht berücksichtigte Anbieterin eine reelle Chance hat, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (vgl. BGE 141 II 14 E. 4.1 S. 27; Urteile 2C_1086/2017 vom 15. März 2019 E. 1.3; 2D_21/2018 vom 19. Februar 2019 E. 2.2; zu den anderen Eintretensvoraussetzungen vgl. E. 1.1 hiervor i.V.m. Art. 114 BGG und Art. 117 BGG). Die Beschwerdeführerin ist am gesamten kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen. Als Erstplatzierte des Vergabeverfahrens wurde ihr mit Vergabeentscheid vom 9. Oktober 2017 respektive 8. November 2017 vormals der Zuschlag erteilt, bevor am 11. Dezember 2017 der Zuschlag widerrufen und sie vom Vergabeverfahren ausgeschlossen wurde. Damit besteht eine reelle Chance auf den erneuten Zuschlag und sie verfügt über das notwendige, rechtlich geschützte Interesse an der Beschwerdeführung im Sinne von Art. 115 BGG (vgl. auch Urteil 2C_916/2018 vom 11. Juni 2019 E. 1.3). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von einfachem Gesetzes- oder Konkordatsrecht wie der vorliegend anwendbaren Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 15. März 2001 (IVöB). Im Bereich des öffentlichen Beschaffungsrechts nicht selbständig gerügt werden kann damit die Verletzung des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbots (vgl. Art. 3 Abs. 1 lit. b IVöB), des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebots (vgl. Art. 1 Abs. 3 lit. c IVöB) und des Wirtschaftlichkeitsgrundsatzes (vgl. Art. 1 Abs. 3 lit. d IVöB). Diesen Grundsätzen kommt nicht der Rang selbständiger Verfassungsgarantien zu. Hingegen ist die Rüge einer willkürlichen Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung zulässig, da die Anbieterinnen im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. Urteile 2C_916/2018 vom 11. Juni 2019 E. 2.1; 2D_24/2018 vom 25. Juni 2018 E. 2.1; 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 2, nicht publ. in: BGE 144 II 177; 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.4, nicht publ. in: BGE 143 I 177). Ebenfalls nicht zu den verfassungsmässigen Rechten im Sinne von Art. 116 BGG zählt alsdann das Verhältnismässigkeitsprinzip gemäss Art. 5 Abs. 2 BV. Die Rüge einer unverhältnismässigen Rechtsanwendung geht im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde im Begriff der Willkür auf, soweit kein nach Art. 36 BV zu prüfender Grundrechtseingriff zur Diskussion steht (vgl. BGE 141 I 1 E. 5.3.2 S. 7 f.; 139 II 7 E. 7.3 S. 27 f.; 135 V 172 E. 7.3.2 S. 182; 134 I 153 E. 4.1 ff. S. 156 ff.; Urteil 2C_200/2017 vom 14. Juli 2017 E. 1.2.3; vgl. auch Urteil 2C_837/2018 vom 15. Februar 2019 E. 4).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dabei trifft die beschwerdeführende Partei eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (vgl. BGE 142 I 135 E. 1.5 S. 144; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und - soweit möglich - belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss die beschwerdeführende Partei anhand des angefochtenen Urteils im Einzelnen darlegen, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (vgl. BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286; 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts. Die Vorinstanz verkenne, dass das Angebot vom 4. September 2017 von ihr eingereicht worden sei. Dies ergebe sich unter anderem aus dem Briefkopf des Begleitschreibens zum Angebot vom 4. September 2017, der auf den Namen der Beschwerdeführerin laute. Sodann seien die Anmerkungen zum Formular 5 auf dem Briefkopf der Beschwerdeführerin abgefasst und von ihr unterzeichnet. Ferner entspreche der im Angebot angegebene Geschäftszweck demjenigen der Beschwerdeführerin im Handelsregister und sämtliche im Angebot bezeichneten Schlüsselpersonen seien Angestellte der Beschwerdeführerin. Eine damalige A._ AG könne kein Angebot eingereicht haben. Damit könne nur die A._ Handels AG als aktive Gesellschaft Anbieterin gewesen sein.
3.1. Seiner rechtlichen Beurteilung legt das Bundesgericht im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG). Rügt die beschwerdeführende Partei die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten bei der Ermittlung des Sachverhalts, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG zu genügen (vgl. BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255; zur qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht vgl. E. 2.2. hiervor).
3.2. Die Vorinstanz berücksichtigt sachverhaltlich, dass im Angebot, welches die Beschwerdeführerin sich zugerechnet wissen wolle, verschiedene Gesellschaften der A._-Gruppe erwähnt würden. Das Begleitschreiben zum Angebot vom 4. September 2017 sei auf Briefpapier der A._ Handels AG aufgesetzt, jedoch für die A._ AG unterzeichnet worden. Auf der ersten Seite des Angebots werde als Anbieterin die A._ AG genannt. Die Zusammenfassung des Angebots sei mit dem Stempel der A._ AG versehen. Auf dem Formular 1 (Angaben zum Anbieter) werde als Name der Unternehmung die A._ AG mit dem Gründungsjahr 1928 genannt. Auch das Formular 2 (Selbstdeklaration) sei mit dem Stempel der A._ AG versehen. Auf dem Formular 6 (Technischer Bericht) sei ebenso wie bei den Referenzen allgemein von A._ die Rede. Die Anmerkungen zum Formular 5 (Projektqualitätsmanagement) seien auf dem Briefpapier der A._ Handels AG festgehalten und auch von ihr verfasst worden. Die darin enthaltenen Aussagen bezögen sich auf das Unternehmen A._ mit ihren Tochtergesellschaften A._ Engineering AG, A._ Produktions AG und A._ Handels AG. Die Projektorganisation mit dem allgemeinen Logo A._ trage den Vermerk A._ AG. Die Bedingungen für das Angebot und die Ausführung trügen den Stempel der A._ AG. Die technischen Zeichnungen und Angaben seien auf Blättern mit dem Logo "a._" wiedergegeben (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteils).
3.3. Im Lichte des von der Vorinstanz ermittelten Sachverhalts erscheint die von der Beschwerdeführerin vorgebrachte Kritik als rein appellatorisch. Die Beschwerdeführerin bezeichnet gewisse Feststellungen als aktenwidrig, obwohl die Vorinstanz diesbezüglich vom gleichen Sachverhalt wie die Beschwerdeführerin ausgeht. Dies betrifft sowohl den Briefkopf des Begleitschreibens als auch die Anmerkungen zum Formular 5. Im vorinstanzlichen Urteil finden lediglich der im Angebot angegebene Geschäftszweck und die im Angebot bezeichneten Schlüsselpersonen keine eingehende Erwähnung. Weshalb aufgrund dieser zwei Sachverhaltselemente die von der Vorinstanz vorgenommene Beweiswürdigung unhaltbar sein soll, ergibt sich aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht schlüssig (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Vorinstanz würdigt die verschiedenen Formulare und Dokumente des vermeintlichen Angebots der Beschwerdeführerin umfassend. Dabei gelangt sie zur Feststellung, dass die Firma A._ AG auf allen wesentlichen Dokumenten als Anbieterin erscheint, währenddessen die A._ Handels AG lediglich zwei Mal genannt wird. Gestützt darauf kommt sie in tatsächlicher Hinsicht zum Schluss, dass das Angebot vom 4. September 2017 von einer A._ AG stammt. Selbst unter zusätzlicher Berücksichtigung der sachverhaltlichen Beanstandungen der Beschwerdeführerin (Geschäftszweck und Schlüsselpersonen) erscheint diese vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als unhaltbar.
3.4. Folglich hat die Vorinstanz den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig festgestellt. Ob die vorinstanzliche Feststellung, das Angebot vom 4. September 2017 sei von einer A._ AG eingereicht worden, ausreicht, um kein Unternehmen der A._-Gruppe als Anbieterin zu betrachten und die Beschwerdeführerin vom Vergabeverfahren auszuschliessen, ist eine Rechtsfrage und nachfolgend anhand ihrer weiteren Rügen zu beurteilen.
4.
In der Sache umstritten ist der Ausschluss der Beschwerdeführerin aus dem Vergabeverfahren. Nach Auffassung der Vorinstanz habe die Vergabebehörde den Zuschlag am 9. Oktober 2017 zunächst einer A._ AG erteilt, ohne zu klären, ob eine solche Gesellschaft im Handelsregister eingetragen sei. Diese Gesellschaft sei indes bereits am 27. Juni 2012 in A._ Immobilien und Dienstleistungs AG umfirmiert worden. Das Vermögen der Gesellschaft sei gleichentags auf die neu im Handelsregister eingetragenen A._ Handels AG, A._ Produktions AG und A._ Engineering AG übertragen worden. In diesem Lichte und alleine aus dem Umstand, dass im Angebot vom 4. September 2017 neben der A._ AG zweimal auch die A._ Handels AG genannt werde, könne das Angebot nicht Letzterer zugerechnet werden. Auf allen wesentlichen Dokumenten erscheine die A._ AG als Anbieterin. Obwohl die Bestimmungen des vorliegenden Vergabeverfahrens dies ausdrücklich zuliessen, hätte die A._-Gruppe ihr Angebot nicht als Bietergemeinschaft oder Konzernangebot eingereicht (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Urteils).
Die Vorinstanz erwägt weiter, die Erteilung eines Zuschlags an die A._ AG sei mangels Existenz einer derart firmierten Aktiengesellschaft rechtlich nicht möglich gewesen. Die Abklärung, wer nun als Anbieterin auftrete, sprenge den Rahmen, innerhalb dessen die Vergabebehörde gestützt auf das kantonale Recht zur Einholung von Erläuterungen verpflichtet und berechtigt gewesen sei. Der Verzicht der Vergabebehörde, weitere Angaben einzuholen und das Angebot gegebenenfalls hinsichtlich der Angaben zur Anbieterin anzupassen, sei nicht überspitzt formalistisch. Vielmehr hielte die Einräumung einer solchen Möglichkeit zur Anpassung des Angebots vor dem Grundsatz der Gleichbehandlung der Anbieterinnen nicht stand. Das kantonale Recht lasse einen Ausschluss aus dem Vergabeverfahren unter diesem Umständen zu (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils).
5.
Die Beschwerdeführerin sieht darin ein überspitzt formalistisches Vorgehen der Vorinstanz im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV (vgl. E. 6 hiernach). Es sei ausserdem willkürlich im Sinne von Art. 9 BV wegen eines Flüchtigkeitsfehlers durch die Verwendung der Firma A._ AG und des Begriffs A._ einen Verfahrensausschluss der Beschwerdeführerin zu verfügen. Damit wende die Vorinstanz Art. 12 Abs. 1 der Verordnung über das öffentliche Beschaffungswesen des Kantons St. Gallen vom 21. April 1998 (VöB SG; sGS 841.11), Art. 31 VöB SG und Art. 34 VöB SG in willkürlicher Weise an (vgl. E. 7 hiernach).
5.1. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt wird. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht mit Art. 29 Abs. 1 BV im Widerspruch (vgl. BGE 145 I 201 E. 4.2.1 S. 204; 142 IV 299 E. 1.3.2 S. 304 f.; 135 I 6 E. 2.1 S. 9; 132 I 249 E. 5 S. 253; 130 V 177 E. 5.4.1 S. 183 f.). Ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (vgl. BGE 144 II 184 E. 3.1 S. 192; 135 I 6 E. 2.1 S. 9; 128 II 139 E. 2a S. 142). Die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts untersucht es hingegen nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vgl. BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372; 138 I 143 E. 2 S. 149 f.). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. BGE 144 I 113 E. 7.1 S. 124; 142 II 369 E. 4.3 S. 380).
5.2. Gemäss Art. 12 Abs. 1 VöB SG kann der Auftraggeber eine Anbieterin vom Vergabeverfahren ausschliessen und aus dem Verzeichnis über die geeigneten Anbieterinnen streichen sowie den Zuschlag widerrufen, wenn die Anbieterin insbesondere die Eignungskriterien nicht erfüllt (lit. a), dem Auftraggeber falsche Auskünfte erteilt (lit. b) oder wesentliche Formvorschriften dieser Verordnung und des Vergabeverfahrens verletzt (lit. h). Sodann sieht Art. 31 VöB SG vor, dass der Auftraggeber die Angebote nach einheitlichen Kriterien prüft (Abs. 1) und offensichtliche Schreib- und Rechnungsfehler korrigiert (Abs. 2). Sind Angaben eines Angebots unklar, kann der Auftraggeber von der Anbieterin Erläuterungen verlangen, die schriftlich festgehalten werden (vgl. Art. 31 Abs. 3 VöB SG). Art. 34 Abs. 1 VöB SG bestimmt im Weiteren, dass das wirtschaftlich günstigste Angebot den Zuschlag erhält.
6.
Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV, da die Vorinstanz sie in einer überspitzt formalistischen Weise vom Vergabeverfahren ausgeschlossen habe. Sie habe in ihrem Angebot vom 4. September 2017 aus Unachtsamkeit nicht nur ihre damalige Firma A._ Handels AG, sondern auch die Firma A._ AG und den Begriff A._ verwendet. Die Vergabebehörde hätte sich bei ihr - wie das Art. 31 Abs. 3 VöB SG vorsehe - erkundigen müssen, welcher juristischen Person das Angebot zuzuordnen sei.
6.1. Die Frage, welche juristische Person vorliegend ein Angebot eingereicht hat, ist eine Tatfrage. Wie bereits dargelegt, hat die Vorinstanz in ihrer Beweiswürdigung nicht offensichtlich unrichtig festgestellt, das Angebot vom 4. September 2017 stamme von einer A._ AG (vgl. E. 3 hiervor). Ob das Angebot der A._ AG vom 4. September 2017 von der Vergabebehörde einer anderen juristischen Person zugeordnet hätte werden müssen, stellt eine Rechtsfrage dar.
Die Beschwerdeführerin vertritt die Auffassung, die Vorinstanz hätte ihr das Angebot vom 4. September 2017 zurechnen müssen. Der Beschwerdeführerin ist nicht zu folgen. Die Vorinstanz beurteilt die vorliegende Angelegenheit nicht überspitzt formalistisch, wenn sie kein Unternehmen der A._-Gruppe als Anbieterin betrachtet. Gelangt die Vorinstanz aufgrund des eingereichten Angebots in tatsächlicher Hinsicht zum Schluss, das Angebot stamme von einer A._ AG, verlangt das Verbot des überspitzten Formalismus nicht, dass sich die Vergabebehörde bei der Anbieterin danach erkundigt, ob das Angebot nicht von einer A._ Handels AG stammen könnte. Dies muss in der vorliegenden Angelegenheit umso mehr gelten, als dass die A._ AG sich am 27. Juni 2012 in A._ Immobilien und Dienstleistungs AG umfirmiert hat. Aus einem blossen Blick in den Handelsregistereintrag der ehemaligen A._ AG war entsprechend nicht ersichtlich, dass eine A._ Handels AG Anbieterin sein könnte. Es liegt mithin kein Sachverhalt vor, in dem lediglich die Firma einer Anbieterin geändert hätte, das anbietende Rechtssubjekt indes gleich geblieben wäre. Die Beschwerdeführerin verlangt vorliegend die Zurechnung des Angebots vom 4. September 2017 an sie als anderes Rechtssubjekt. In diesem Lichte kann es nicht als überspitzt formalistisch gelten, als Vergabebehörde ohne Abklärung wissen zu wollen, welchem Rechtssubjekt ein allfälliger Zuschlag erteilt und mit welchem Rechtssubjekt künftig ein Vertrag geschlossen werden soll. Eine solche Auffassung ist sachlich gerechtfertigt.
6.2. Es liegt folglich in der Verantwortung der Anbieterin, eindeutig zu bezeichnen, von wem ein Angebot stammt und welcher natürlichen oder juristischen Person ein allfälliger Zuschlag zu erteilen ist (vgl. auch Urteil 2P.66/2001 vom 2. Juli 2001 E. 2b f.). Im Lichte des beabsichtigten Vertragsschlusses muss grundsätzlich aus dem Angebot ersichtlich werden, wer künftige Vertragspartei der Vergabebehörde werden soll (Zuordnung des Angebots). Es ist nicht die Aufgabe der Vergabebehörde im Rahmen ihrer Angebotsbeurteilung zu prüfen, welcher juristischen Person ein Angebot zuzuordnen ist. Ist nicht klar, welches Rechtssubjekt oder welche Rechtssubjekte gemeinsam ein Angebot eingereicht haben, liegt weder ein offensichtlicher Schreibfehler noch eine unbedeutende Unklarheit vor. Ein Ausschluss eines Angebots ist lediglich unverhältnismässig oder überspitzt formalistisch, wenn die Abweichung von den Anforderungen geringfügig oder im Ergebnis unbedeutend ist (vgl. Urteil 2C_346/2013 vom 20. Januar 2014 E. 3.3). Die Kenntnis der künftigen Vertragspartei ist ein wesentlicher Vertragspunkt und muss zur Beurteilung eines Angebots daraus in eindeutiger Weise hervorgehen. In diesem Sinne verpflichtet das Verbot des überspitzten Formalismus die Vergabebehörden nicht, zu untersuchen, welches Rechtssubjekt ein Angebot eingereicht haben könnte.
6.3. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin erscheine ihr Ausschluss umso stossender, da die Vorinstanz den Vertragsschluss der Vergabebehörde mit der Zuschlagsempfängerin schützt, obwohl die Zuschlagsempfängerin im Vertrag vom 2. Mai 2018 ohne den Firmenzusatz "St. Gallen" genannt wird.
6.3.1. Die Beschwerdeführerin bringt erst vor Bundesgericht vor, dass ihr das Angebot der Zuschlagsempfängerin nicht vorliege, sodass sie nicht wisse, in wessen Namen dieses Angebot eingereicht worden sei. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur insoweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 BGG i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG). Aus dem vorinstanzlichen Urteil ergibt sich nicht, dass das Angebot der Zuschlagsempfängerin und insbesondere der Name der begünstigten Anbieterin im vorinstanzlichen Verfahren umstritten gewesen sein soll. Zumindest legt die Beschwerdeführerin ein ausser Acht lassen einer solchen im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachten Rüge nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise dar. Solches ist auch ansonsten nicht ersichtlich, da die in den vorinstanzlichen Akten befindliche Zuschlagsverfügung vom 11. Dezember 2017 sowohl im Betreff der Verfügung als auch im Abschnitt zum Entscheid eindeutig an die Zuschlagsempfängerin mit Firmenzusatz "St. Gallen" erteilt worden ist. Ausserdem ist nicht ersichtlich, wie sich in der vorliegenden Angelegenheit eine allfällige Unrechtmässigkeit aus dem Vertrag vom 2. Mai 2018 ergeben könnte, solange eine rechtmässige Zuschlagsverfügung vorliegt. Der Umstand, dass der Vertrag vom 2. Mai 2018 die Zuschlagsempfängerin ohne den Firmenzusatz "St. Gallen" aufführt, impliziert jedenfalls weder ein unrechtmässiges Vergabeverfahren noch einen nicht gültig abgeschlossenen Vertrag.
6.3.2. Sodann fehlt es auch an der Vergleichbarkeit der beiden formalen Aspekte. Während die Beschwerdeführerin unter der Firma A._ AG weder im Zeitpunkt der Offerteneinreichung noch im Zeitpunkt des Zuschlags als juristische Person existierte, war die Zuschlagsempfängerin während des Vergabeverfahrens unbestrittenermassen im Handelsregister eingetragen. Vor diesem Hintergrund besteht keine Veranlassung, einen Vertragsschluss mit der Zuschlagsempfängerin unter Vernachlässigung ihres Firmenzusatzes "St. Gallen" mit dem Ausschluss der Beschwerdeführerin aus dem Vergabeverfahren mangels Handelsregistereintrags zu vergleichen. Insoweit die Beschwerdeführerin in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise die Verletzung von verfassungsmässigen Gleichbehandlungsrechten rügt, stossen diese Beanstandungen mangels Vergleichbarkeit jedenfalls ins Leere.
6.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz das Verbot des überspitzten Formalismus nach Art. 29 Abs. 1 BV und das Gleichbehandlungsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV nicht verletzt hat. Das Verbot des überspitzten Formalismus verpflichtet die Vergabebehörden nicht dazu, zu untersuchen, welches Rechtssubjekt ein Angebot eingereicht haben könnte.
7.
Die Beschwerdeführerin macht sodann die willkürliche Anwendung der kantonalen Ausschluss- und Widerrufsvorschriften (vgl. E. 7.1 hiernach) sowie der kantonalen Zuschlagsvorschriften geltend (vgl. E. 7.2 hiernach).
7.1. Ein Ausschluss stelle die schwerstmögliche Sanktion im Beschaffungsrecht dar. Der Ausschlussgrund müsse daher eine gewisse Schwere aufweisen und der Ausschluss den Grundsätzen der Verhältnismässigkeit und der Gleichbehandlung Rechnung tragen. Die unsorgfältige Erwähnung der Firma A._ AG und des Begriffs A._ im Angebot vom 4. September 2017 stelle einen offensichtlichen Schreibfehler dar, der nach Art. 31 Abs. 2 VöB SG durch die Vergabebehörde von sich aus zu korrigieren sei. Eine Gesellschaft mit der Firma A._ AG sei zum Zeitpunkt der Einreichung des Angebots nicht im Handelsregister eingetragen gewesen, womit das Angebot vom 4. September 2017 auch nicht von dieser habe stammen können. Der ausgeschriebene Auftrag lasse den Beizug von Subunternehmerinnen sowie Bietergemeinschaften zu und sehe die Einforderung zusätzlicher Unterlagen als Vorbehalt vor. Anstatt nach Art. 31 Abs. 2 VöB SG vorzugehen, habe die Vergabebehörde Art. 12 VöB SG zur Anwendung gebracht und die Beschwerdeführerin vom Vergabeverfahren ausgeschlossen (zu den kantonalen Normen vgl. E. 5.2 hiervor). Einen sachlichen Grund für diese schwere Sanktion sei nicht ersichtlich. Ihr könne kein Fehlverhalten im Sinne von Art. 12 VöB SG, sondern bestenfalls eine Unvorsichtigkeit vorgeworfen werden. Deshalb bringe die Vorinstanz die kantonalen Normen in willkürlicher Weise zur Anwendung.
7.1.1. Gelangt die Vorinstanz in ihrer rechtlichen Würdigung zur Auffassung, dass das Angebot vom 4. September 2017 von einer Anbieterin ohne Handelsregistereintrag eingereicht worden und das Angebot deshalb vom Vergabeverfahren auszuschliessen sei, verfällt sie damit nicht in Willkür. Eine Person ohne Handlungsfähigkeit kann nach den Bestimmungen des Personen- und Gesellschaftsrechts (vgl. Art. 643 Abs. 1 OR i.V.m. Art. 54 ZGB) nicht rechtsgültig handeln. Entsprechend ist auch das Einreichen eines gültigen Angebots nicht möglich. Wenn die Vorinstanz die Beschwerdeführerin mangels rechtsgültigem Angebot unter Anwendung von Art. 12 Abs. 1 VöB SG aus dem Vergabeverfahren ausschliesst, liegt damit keine Willkür vor. Art. 12 Abs. 1 VöB SG führt zwar den Fall eines nicht rechtsgültigen Angebots nicht explizit auf. Dennoch ist es ohne Weiteres zulässig, darin das Fehlen eines Eignungskriteriums oder die Verletzung von wesentlichen Formvorschriften des Vergabeverfahrens zu sehen, da mit dieser Anbieterin mangels Handlungsfähigkeit nach einer allfälligen Zuschlagserteilung kein Vertragsabschluss möglich ist.
7.1.2. Nach dem Dargelegten ergibt sich, dass die Vorinstanz Art. 12 Abs. 1 VöB SG nicht in willkürlicher Weise anwendet, da der A._ AG mangels Handelsregistereintrag die Handlungsfähigkeit gefehlt hat, um ein rechtsgültiges Angebot einzureichen. Die Vorinstanz verzichtet willkürfrei auf die Anwendung von Art. 31 Abs. 2 und Abs. 3 VöB SG, da nicht ein offensichtlich fehlerhaftes oder unklares, sondern ein rechtsungültiges Angebot vorgelegen hat.
7.2. Insoweit die Beschwerdeführerin sodann beanstandet, die Vorinstanz verletze den Grundsatz von Art. 3 Abs. 1 IVöB, wonach der Zuschlag dem wirtschaftlich günstigsten Angebot zu erteilen ist, liegt eine unzulässige Rüge vor. Diesem beschaffungsrechtlichen Grundsatz kommt nicht der Rang einer selbständigen Verfassungsgarantie zu. Hingegen ist die Rüge einer willkürlichen Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung zulässig, da die Anbieterinnen im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. E. 2.1 hiervor). In diesem Sinne rügt die Beschwerdeführerin eine willkürliche Anwendung von Art. 34 VöB SG (zur kantonalen Norm vgl. E. 5.2 hiervor). Die Vorinstanz ermittle nicht das wirtschaftlich günstigste Angebot, da sie die Beschwerdeführerin aus dem Vergabeverfahren ausgeschlossen und damit ihr wirtschaftlich günstigeres Angebot in willkürlicher Weise nicht mehr berücksichtigt habe.
Eine willkürliche Anwendung von Art. 34 VöB SG kann aus der gleichen Erwägung ausgeschlossen werden wie jene von Art. 12 Abs. 1 VöB SG sowie Art. 31 Abs. 2 und Abs. 3 VöB SG (vgl. E. 7.1.1 f. hiervor). Ein Angebot, dass mangels Handlungsfähigkeit der Anbieterin nicht rechtsgültig ist, kann nicht als das wirtschaftlich günstigste Angebot im Sinne von Art. 34 VöB SG in Betracht kommen. Damit stösst die Rüge, die Vorinstanz wende Art. 34 VöB SG willkürlich an, ins Leere.
7.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz das kantonale Recht willkürfrei angewendet und die Beschwerdeführerin gestützt darauf in einer mit dem Willkürverbot vereinbarenden Weise aus dem Vergabeverfahren ausgeschlossen hat. Nach dem Dargelegten erübrigt sich, auf die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Schadenersatzforderung in der Höhe von Fr. 14'327.69 einzugehen.
8.
Im Ergebnis erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der Zuschlagsempfängerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG), nicht hingegen der Vergabebehörde, die die Abweisung der Beschwerde und eventualiter das Nichteintreten auf die Beschwerde in ihrem amtlichen Wirkungskreis beantragt hat (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat der Zuschlagsempfängerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, und der Wettbewerbskommission schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger