Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4A_361/2019 vom 27. August 2019 trat das Bundesgericht auf eine von A._ (Gesuchsteller) gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 13. Juni 2019 erhobene Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht ein.
Mit Eingabe vom 6. Oktober 2019 hat A._ um die Revision dieses bundesgerichtlichen Urteils ersucht. Er verlangt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und "die zivilrechtliche Beschwerde 4A_361/2019" sei "in Fünferbesetzung, eventualiter als Verfassungsbeschwerde in Dreierbesetzung, neu zu beurteilen". Ausserdem hat er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Revisionsverfahren ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Revision eines Entscheides des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121-123 BGG abschliessend aufgezählten Gründen verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
In einem Revisionsgesuch ist dementsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines Revisionsgrundes einfach zu behaupten; vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (so etwa Urteile des Bundesgerichts 4F_19/2014 vom 20. November 2014; 4F_14/2012 vom 11. Oktober 2012; 8F_10/2008 vom 11. August 2008).
3.
Der Gesuchsteller beruft sich auf Art. 121 BGG, zeigt jedoch über weite Strecken nicht das Vorliegen eines Revisionsgrundes auf, sondern übt frei gehaltene Kritik am angefochtenen Urteil des Bundesgerichts und erörtert, weshalb das Bundesgericht aus seiner Sicht auf die Beschwerde hätte eintreten müssen. Insoweit ist sein Revisionsgesuch von vornherein unzulässig.
Sodann nimmt der Gesuchsteller Anstoss daran, dass das Bundesgericht im Verfahren 4A_361/2019 nicht in Fünferbesetzung entschieden hat, vermag damit jedoch keinen Revisionsgrund nach Art. 121 lit. a BGG zu belegen: Hängt die Besetzung des Spruchkörpers davon ab, ob die Voraussetzungen für das vereinfachte Verfahren nach Art. 108 BGG gegeben sind oder ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 20 Abs. 2 BGG), kann diese Beurteilung im Revisionsverfahren nicht mit dem Vorbringen in Frage gestellt werden, es liege eine unrichtige Besetzung vor (Urteil 4F_16/2018 vom 31. August 2018 E. 2.2).
Weiter kann aus Ziffer 1 des Urteilsdispositivs ("Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.") entgegen dem Gesuchsteller nicht geschlossen werden, dass das Bundesgericht entweder die Beschwerde in Zivilsachen oder die vom Gesuchsteller kumulativ erhobene Verfassungsbeschwerde unbeurteilt gelassen hätte. Vielmehr erübrigte es sich im Verfahren 4A_361/2019, zu beurteilen, ob gegen den Entscheid des Obergerichts gemäss Art. 74 BGG die Beschwerde in Zivilsachen oder nach Art. 113 BGG die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offenstand, da die Eingaben des Gesuchstellers die - für beide Beschwerdearten geltenden - Anforderungen gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG verfehlte. Im Übrigen hat das Bundesgericht auch den Antrag des Gesuchstellers auf Rückweisung der Sache an die erste Instanz nicht übersehen, sondern musste sich ausgangsgemäss nicht näher mit den Folgen einer allfälligen Gutheissung der Beschwerde (Art. 107 Abs. 2 BGG) auseinandersetzen. Der Revisionsgrund von Art. 121 lit. c BGG liegt nicht vor.
4.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausnahmsweise wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Damit wird das Gesuch des Gesuchstellers um Befreiung von diesen Kosten gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz