Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt gegen A._ ein Strafverfahren unter anderem wegen gewerbsmässigen Betrugs. Im Zuge der Durchsuchung des Mobiltelefons des Angeschuldigten wiesen Umstände darauf hin, dass dieser mehrfach im Internet nach pornografischen Filmen mit Bezug zu Kindern bzw. Jugendlichen gesucht hatte. Anlässlich der Einvernahme vom 29. März 2019 sprach der zuständige Detektiv-Wachmeister den Angeschuldigten auf diesen Fund an, sodass die entsprechenden Fragen und Antworten Eingang in das Einvernahmeprotokoll fanden. Noch am gleichen Tag beantragte A._, die entsprechenden Passagen des Einvernahmeprotokolls seien zu streichen und aus den Akten zu entfernen. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt wies das Gesuch mit Verfügung vom 2. April 2019 ab. A._ erhob dagegen am 8. April 2019 Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 25. April 2019 abwies.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 1. Juni 2019 (Postaufgabe 4. Juni 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit dem das Appellationsgericht eine Beschwerde gegen eine Nichtentfernung von Akten abwies. Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, der, von hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss Art. 92 BGG abgesehen, nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann. Die Beschwerde gegen den vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheid ist nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 IV 139 E. 4) bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn, was vorliegend von vornherein nicht zutrifft, die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten; dieses soll sich wenn möglich nur einmal mit einer Sache befassen (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34). Gegen einstweilen nicht anfechtbare Zwischenentscheide steht die Beschwerde daher erst im Anschluss an den Endentscheid offen (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG).
4.
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht hiezu überhaupt keine Ausführungen. Es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern ihm ein irreversibler Nachteil rechtlicher Natur, der auch durch einen günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden könnte, drohen sollte. Das Bundesgericht verneint denn auch bei Zwischenentscheiden, welche die Verwertung von Beweisen zulassen, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (BGE 141 IV 284 E. 2 S. 286). Da die Beschwerdevoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG weder dargetan noch ersichtlich sind, ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und Rechtsanwalt Christoph Dumartheray schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli