Sachverhalt:
A.
A._ war seit 17. April 2001 Sachbearbeiterin und Praxisbildnerin der Lernenden und seit 1. November 2011 Kanzleileiterin und Praxisbildnerin der Lernenden bei der Behörde X._. Seit 1. September 2014 hat sie das 30%ige Pensum der Lehrlingsbetreuung abgegeben und dafür zu 30 % die Fachbearbeitung in........ übernommen. Mit Schreiben vom 24. Februar 2017 kündigte die Behörde X._, handelnd durch ihren Präsidenten, das Arbeitsverhältnis mit A._ fristlos. Dieses Schreiben wurde A._ am 27. Februar 2017 ausgehändigt. Mit als Verfügung bezeichnetem Schreiben vom 13. März 2017 bestätigte die Behörde X._ diese Kündigung. In teilweiser Gutheissung der hiergegen erhobenen Beschwerde stellte das Kantonsgericht Luzern fest, die fristlose Entlassung der A._ sei formell rechtswidrig. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab und stellte fest, in materieller Hinsicht sei die Kündigung gerechtfertigt (Entscheid vom 12. Dezember 2017). Auf die Beschwerde der A._ trat das Bundesgericht mit Urteil 8C_130/2018 vom 31. August 2018 nicht ein, da der angefochtene Entscheid ein Zwischenentscheid nach Art. 93 BBG sei und die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt seien.
B.
Mit Entscheid vom 3. Juni 2020 hiess das Kantonsgericht Luzern die Klage der A._ vom 20. Februar 2019 teilweise gut. Es hielt im Dispositiv folgendes fest:
"Der Kanton Luzern hat A._ als Ersatz für entgangenen Lohn Fr. 4168.80 brutto zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab Urteilsdatum zu bezahlen. Vom entgangenen Lohn sind im Sinne der Erwägungen die Sozialversicherungsbeiträge der A._ in Abzug zu bringen und zusammen mit den Arbeitgeberbeiträgen an die entsprechenden Versicherungsträger zu überweisen. Ebenfalls vom entgangenen Lohn abzuziehen sind im Sinne der Erwägungen die Vorsorgebeiträge der A._, welche an die neue Vorsorgeeinrichtung oder auf ein Freizügigkeitskonto der A._ zu überweisen sind. Weiter hat der Kanton Luzern den vorsorgerechtlichen Arbeitgeberbeitrag im Sinne der Erwägungen zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab Urteilsdatum an die neue Vorsorgeeinrichtung oder auf ein Freizügigkeitskonto der A._ zu überweisen."
Das Arbeitszeugnis vom 17. Oktober 2018 sei vom Kanton Luzern wie folgt zu ändern:
Absatz sechs: "Die Ausbildung der Lernenden hat Frau A._ zu unserer vollsten Zufriedenheit wahrgenommen. Sie hat die jungen Menschen in jeder Situation begleitet und unterstützt, sie gut zum erfolgreichen Abschluss der Lehre motiviert. Ihr engagiertes Verhalten wurde durch die Lernenden immer sehr geschätzt."
Absatz sieben, letzter Satz: "Dabei erfüllte sie sowohl in quantitativer als auch in qualitativer Hinsicht ihre Arbeit stets zu unserer vollsten Zufriedenheit."
Absatz acht, letzter Satz: "Sie hat diese verantwortungsvollen Aufgaben vertrauensvoll und zur vollsten Zufriedenheit ausgeführt."
Absatz neun, zweiter, dritter und letzter Satz: "Sie hat ein sicheres Auftreten und sehr angenehme Umgangsformen. Für ihre guten Leistungen und teamfähige Persönlichkeit wurde Frau A._ sehr geschätzt. Durch ihre offene und direkte Kommunikation gewährleistete Frau A._ einen guten Informationsfluss innerhalb des Teams/der Behörde."
Absatz zehn, erster Satz: "Die Behörde X._ hat das Arbeitsverhältnis mit Frau A._ wegen eines ihr vorgeworfenen Vertrauensmissbrauchs per 28. Februar 2017 beendet. Frau A._ hat gegen die Kündigung Beschwerde erhoben. Es liegt noch kein rechtskräftiges Urteil vor."
Im Übrigen wies das kantonale Gericht die Klage der A._ ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt A._ folgende Anträge: 1. in Aufhebung von Dispositiv Ziff. 1.1 des kantonalen Entscheides sei der Kanton Luzern zur Zahlung von Fr. 43'204.- (sechs Monate Lohnersatz) zzgl. 5 % Zins seit 27. Februar 2017 und Fr. 21'602.- (drei Monate Entschädigung) zzgl. 5 % Zins seit 27. Februar 2017 zu verpflichten. 2. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, die Sache unter Berücksichtigung der E. 5.2 des bundesgerichtlichen Urteils 8C_130/2018 vom 31. August 2018 zu entscheiden. 3. Der kantonale Entscheid sei in Ziff. 1.2 bis auf Abs. 9 und 10 zu bestätigen. 4. Der Kanton Luzern sei zu verpflichten, Absatz neun des Zeugnisses gemäss Anhang 1 mit folgendem Wortlaut auszustellen: "Ihr Verhalten gegenüber Vorgesetzten und Arbeitskolleginnen war stets zuvorkommend, freundlich, kooperativ und jederzeit vorbildlich. Sie hat ein sicheres Auftreten und sehr angenehme Umgangsformen. Für ihre guten Leistungen und teamfähige Persönlichkeit wurde Frau A._ sehr geschätzt. Durch ihre offene und direkte Kommunikation gewährleistete Frau A._ einen guten Informationsfluss innerhalb des Teams/der Behörde." 5. Der Kanton Luzern sei zu verpflichten, Absatz 10 des Zeugnisses gemäss Anhang 1 mit folgendem Wortlaut auszustellen: "Das Arbeitsverhältnis mit Frau A._ wurde per 31. August 2017 beendet. Wir danken Frau A._ für ihre wertvollen Dienste und wünschen ihr für die Zukunft alles Gute und weiterhin viel Erfolg. Luzern, 31. Oktober 2017". Im Rahmen der Beschwerdebegründung verlangt A._ zusätzlich eine Änderung des achten Absatzes des Zeugnisses gemäss Anhang 1, ohne aber eine eigene Formulierung vorzuschlagen.
Der Kanton Luzern schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht Luzern beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 26. Oktober 2020 hält A._ an ihren Rechtsbegehren fest. Mit Duplik vom 9. November 2020 hält der Kanton Luzern an seinen Anträgen fest. Am 16. November 2020 reicht A._ eine weitere Stellungnahme ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin macht mit Eingabe vom 26. Oktober 2020 geltend, gemäss § 14 Abs. 1 lit. d des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 (VRG) befinde sich eine Person im Ausstand, wenn sie in einer Vorinstanz in der gleichen Sache entschieden habe. Am vorinstanzlichen Entscheid vom 12. Dezember 2017 betreffend Rechtmässigkeit der Kündigung vom 24. Februar 2017 hätten die gleichen Richter mitgewirkt wie am vorliegend angefochtenen Entscheid vom 3. Juni 2020 betreffend Schadenersatz. Es sei somit abzuklären, ob nicht ein Ausstandsgrund vorliege.
1.2. Verfahrensrechtliche Einwendungen sind praxisgemäss so früh wie möglich, das heisst nach Kenntnisnahme eines Mangels bei erster Gelegenheit, vorzubringen. Es verstösst gegen Treu und Glauben, Mängel dieser Art erst in einem späteren Verfahrensstadium oder sogar erst in einem nachfolgenden Verfahren geltend zu machen, wenn der Einwand schon vorher hätte festgestellt und gerügt werden können. Wer sich auf das Verfahren einlässt, ohne einen Verfahrensmangel bei erster Gelegenheit vorzubringen, verwirkt in der Regel den Anspruch auf spätere Anrufung der vermeintlich verletzten Verfahrensvorschrift. So sind etwa verspätet vorgebrachte Ausstandsgründe nicht zu berücksichtigen resp. verwirkt (BGE 143 V 66 E. 4.3 S. 69 mit Hinweisen).
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. August 2020 brachte die Beschwerdeführerin keinen Ausstandsgrund gegen die kantonalen Richter vor. Ihr Ausstandsbegehren vom 26. Oktober 2020 ist somit verspätet und damit verwirkt.
2.
Streitig ist, ob die von der Vorinstanz gemäss Sachverhalt lit. B hiervor vorgenommene Regelung der Entschädigungsfolgen der fristlosen Kündigung vom 24. Februar 2017 und die Abänderung diverser Passagen des von der Behörde X._ ausgestellten Arbeitszeugnisses willkürlich ist (vgl. E. 3.2 hiernach).
Der angefochtene Entscheid betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a BGG). Aufgrund der geltend gemachten Entschädigungsansprüche handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Dies gilt auch bezüglich der Streitigkeit um die Ausstellung oder Formulierung des Arbeitszeugnisses aus dem öffentlichen Personalrecht (Urteil 8C_366/2017 vom 24. Juli 2017 E. 2.1). Es liegt somit kein Ausschlussgrund nach Art. 83 lit. g BGG vor. Die verlangte Entschädigung gegenüber dem Kanton Luzern übersteigt die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde ist somit zulässig. Gründe für ein Nichteintreten darauf sind entgegen dem Beschwerdegegner nicht ersichtlich (vgl. auch 5.2 hiernach).
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; nicht publ. E. 2.1 des Urteils BGE 144 I 181; Urteil 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 2.1).
3.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie kommunalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und kommunales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Da keine gesetzliche Ausnahme besteht (Art. 95 lit. c-e BGG), ist die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts gegenüber kantonalem Recht auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere auf Willkür, beschränkt (Art. 9 BV; Urteil 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 2.2).
3.3. Gemäss Rechtsprechung ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 145 II 32 E. 5.1 S. 41; 144 I 170 E. 7.3 S. 174; 142 V 513 E. 4.2 S. 516, je mit Hinweisen; Urteil 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 2.3).
4.
4.1. Der angefochtene Entscheid stützt sich auf das Gesetz über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis (Personalgesetz, PG) des Kantons Luzern vom 26. Juni 2001 (SRL 51). § 19 PG regelt die Voraussetzungen und Rechtsfolgen der fristlosen Kündigung. Das Arbeitsverhältnis kann aus wichtigen Gründen beiderseits ohne Einhaltung von Fristen jederzeit aufgelöst werden. Die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses ist zu begründen (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt namentlich jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nach Treu und Glauben nicht mehr zugemutet werden darf (Abs. 2). Tatbestand und Rechtsfolgen der fristlosen Auflösung richten sich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts. Eine Abfindung nach § 25 bleibt vorbehalten (Abs. 4).
Der Anspruch auf ein Arbeitszeugnis ist in § 49 Abs. 1 PG festgelegt. Danach erhält die oder der Angestellte bei Beendigung des Arbeitsverhältnisses von der zuständigen Behörde ein Zeugnis, das sich über die Art und die Dauer des Arbeitsverhältnisses sowie über die Leistung und das Verhalten der oder des Angestellten ausspricht.
4.2. Art. 337 ff. OR regeln die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses, wobei Art. 337 Abs. 2 OR als wichtigen Grund ebenfalls namentlich jeden Umstand vorsieht, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf. Die Regelung des OR gelangt gestützt auf § 19 Abs. 4 PG als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung. Sie gilt nicht als Bundesprivatrecht, sondern als subsidiäres Recht des Kantons, dies mit den bereits dargelegten kognitionsrechtlichen Regeln (E. 3.2 hiervor; vgl. Urteil 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 3.3). Diese Regeln gelten auch hinsichtlich der Überprüfung des Arbeitszeugnisses nach § 49 Abs. 1 PG.
5.
5.1.
5.1.1. Mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 stellte das kantonale Gericht fest, die fristlose Entlassung der Beschwerdeführerin vom 24. Februar 2017 sei formell rechtswidrig, in materieller Hinsicht aber gerechtfertigt.
Im hier angefochtenen Entscheid führte die Vorinstanz aus, die von ihr am 12. Dezember 2017 festgestellte formelle Rechtswidrigkeit der fristlosen Entlassung der Beschwerdeführerin vom 24. Februar 2017 bleibe für die Beurteilung der vorliegenden Klage massgebend. Eine erneute Beurteilung der Rechtmässigkeit der ausgesprochenen Kündigung sei nicht möglich. Auf die Rügen hinsichtlich der materiellen Rechtswidrigkeit der Kündigung und damit allfällige nicht beurteilte Verfehlungen der Beschwerdeführerin sei somit nicht einzugehen.
5.1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, gestützt auf das Bundesgerichtsurteil 8C_130/2018 vom 31. August 2018 sei sie im Rahmen der Festlegung der Entschädigung berechtigt, sämtliche Einwände betreffend die Rechtmässigkeit der Entlassung, namentlich auch bezüglich der materiellen Rechtmässigkeit, vorzubringen. Die Vorinstanz ignoriere die materielle Rechtswidrigkeit völlig. Durch dieses Vorgehen sei es der Beschwerdeführerin verwehrt worden, eine angemessene Entschädigungs- und Schadenersatzforderung geltend zu machen. Es sei höchstrichterlich über die Rechtmässigkeit der Kündigung zu entscheiden. Zu diesem Zweck habe sie das Eventualbegehren auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gestellt, damit auch im Rahmen des Schadenersatzes über die materielle Rechtmässigkeit der Kündigung befunden werde.
5.2. Mit Urteil 8C_130/2018 vom 31. August 2018 E. 5.2 kam das Bundesgericht zum Schluss, die Beschwerdeführerin könne den vorinstanzlichen Entscheid vom 12. Dezember 2017 über die Rechtmässigkeit der Kündigung - bei dem es sich um einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG handle (E. 4.3) - später zusammen mit demjenigen über einen allfälligen Schadenersatzanspruch vor Bundesgericht anfechten, in diesem Verfahren sämtliche Beschwerdegründe, namentlich auch bezüglich der geltend gemachten materiellen Rechtswidrigkeit der Kündigung, nochmals vorbringen und auf diesem Weg ein allenfalls günstigeres Urteil erwirken. Daher drohe ihr im jetzigen Zeitpunkt in Anbetracht der Besonderheit des Verfahrens im Kanton Luzern bezüglich des vorliegend angefochtenen Entscheids kein nicht wieder gutzumachender Nachteil.
Folglich war die Vorinstanz nicht gehalten, nochmals über die Rechtmässigkeit der Kündigung vom 24. Februar 2017 zu urteilen. Diesbezüglich bleibt ihr Entscheid vom 12. Dezember 2017 massgebend. Die vorliegend erhobenen Einwände der Beschwerdeführerin gegen diesen Entscheid sind indessen vom Bundesgericht zu beurteilen, ohne dass dieser im bundesgerichtlichen Verfahren präjudizierende Wirkung entfaltet (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 133 V 477 E. 5.2.3 f. S. 484 f.; sowie statt vieler Urteile 8C_95/2020 vom 14. Mai 2020 E. 1.4, 5A_370/2019 vom 28. Mai 2019 E. 3.1 und 4A_79/2014 vom 15. Oktober 2014 E. 2.4.2.2).
6.
Mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 stellte die Vorinstanz fest, die fristlose Kündigung vom 24. Februar 2017 sei mit einer Begründung versehen und damit rechtswirksam ausgesprochen worden. Sie sei nicht nichtig, sondern bloss anfechtbar. Das Schreiben der Behörde X._ vom 13. März 2017 sei demgegenüber nicht als selbstständig anfechtbare Kündigung zu qualifizieren, da es auf die beigelegte Kündigung vom 24. Februar 2017 verweise und diese bestätige. Zu prüfen sei somit die Rechtmässigkeit dieser Kündigung. Laut der Behörde X._ sei der Beschwerdeführerin am 27. Februar 2017 anlässlich der mündlichen Eröffnung und Übergabe des Kündigungsschreibens vom 24. Februar 2017 das rechtliche Gehör gewährt worden. Es sei sei nicht ersichtlich, dass sie vorgängig über das Gespräch vom 27. Februar 2017 schriftlich orientiert worden sei. Dieses Gespräch könne somit nicht als Gewährung des rechtlichen Gehörs dienen. Im Übrigen sei darauf hinzuweisen, dass die entscheidende Behörde erst nach Kenntnisnahme der gesamten entscheidwesentlichen Sachlage - und mithin nach Anhörung der betroffenen Person - zu einem Schluss gelangen dürfe. Dies sei hier nicht erfolgt, sei doch die Kündigung bereits am 24. Februar 2017 nach Überprüfung der Vorkommnisse versandt worden. Indem die Behörde X._ der Beschwerdeführerin vor der Kündigung keine Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt habe, habe sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör nach § 65 Abs. 2 PG verletzt. Die Kündigung sei somit formell rechtswidrig. Es sei somit zu prüfen, wie es sich mit der materiellen Rechtmässigkeit der Kündigung verhalte.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Behörde X._ habe seit 17. Februar 2017 von ihrer Abwesenheit gewusst. Dem Präsidenten der Behörde X._ sei spätestens seit 19. Februar 2017 bekannt gewesen, dass sie in Haft gewesen sei. Trotzdem sei die Kündigung erst am 24. Februar 2017 erfolgt und ihr erst am 27. Februar 2017 eröffnet worden. Der Präsident der Behörde X._ habe diese Zeit nicht genutzt, um ihr das rechtliche Gehör zu gewähren. Abklärungen habe er auch keine machen müssen. Schliesslich sei die Kündigung mit ihrer Untersuchungshaft begründet worden und das Personalamt sei eben gerade nicht involviert gewesen. Der Behörde Präsident der Behörde X._ habe im Alleingang gehandelt. Die Vorinstanz habe nicht erwähnt, welche angeblichen Abklärungen hätten vorgenommen werden müssen, um die Länge der Reaktionszeit zu rechtfertigen. Somit sei die Frist zur Erklärung der fristlosen Kündigung längst verstrichen gewesen und die Kündigung folglich unrechtmässig erfolgt.
7.2.
7.2.1. Die fristlose Entlassung ist im öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnis für die kündigende Partei mit höheren Risiken verbunden als im Privatrecht, und zwar einerseits wegen den formellen Anforderungen an eine rechtmässige fristlose Entlassung und anderseits wegen den Folgen einer formell oder materiell widerrechtlichen fristlosen Entlassung für den Arbeitgeber und damit die öffentliche Hand. Daraus folgt, dass dem öffentlich-rechtlichen Arbeitgeber eine längere Reaktionszeit zuzubilligen ist, damit er die Verfahrensvorschriften einhalten und den die Kündigung begründenden Sachverhalt abklären und nachweisen kann, bevor er die Kündigung ausspricht. Hingegen kann auch dem öffentlich-rechtlichen Arbeitgeber nicht zugestanden werden, das Verfahren längere Zeit ruhen zu lassen, bzw. den Arbeitnehmer nicht über die Überprüfung des Arbeitsverhältnisses zu informieren. Während im Zivilrecht eine fristlose Kündigung in der Regel innert weniger Arbeitstage auszusprechen ist und eine längere Frist nur zugestanden wird, sofern praktische Erfordernisse des Alltags- und Wirtschaftslebens dies als berechtigt erscheinen lassen, vermögen im öffentlichen Personalrecht weitere sachliche Gründe (z.B. rechtliches Gehör, Verfahrensvorschriften) ein längeres Zuwarten zu rechtfertigen (BGE 138 I 113 E. 6.5 S. 120).
7.2.2. Die Vorinstanz stellte mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 fest, die Behörde X._ habe am 19. Februar 2017 (ein Sonntag) Kenntnis von der Untersuchungshaft der Beschwerdeführerin bekommen. Am 22. Februar 2017 habe sich die Behörde X._ von ihren Mitarbeitenden über die Vorfälle und Verhaltensweisen der Beschwerdeführerin informieren lassen. Zudem habe auch die vorgängige Information der Geschäftsleitung des Kantonsgerichts Zeit gebraucht. Die am 24. Februar 2017 versandte fristlose Kündigung sei somit rechtzeitig erfolgt.
Diesbezüglich ist ergänzend festzuhalten, dass das Y._ die Aufsicht über die Behörde X._ ausübt (vgl. §........). Die Behörde X._ hatte vor der fristlosen Kündigung der Beschwerdeführerin vom 24. Februar 2017 auch diese Aufsichtsbehörde informiert. Insgesamt ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert dargelegt, inwiefern der vorinstanzliche Schluss auf Rechtzeitigkeit der Kündigung willkürlich sein soll. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin die fristlose Kündigung vom 24. Februar 2017 erst am 27. Februar 2017 erhalten hat, womit sie erst dann rechtswirksam wurde (BGE 113 II 259 E. 2a S. 261; Urteil 4A_559/2012 vom 18. März 2013 E. 5.1.2).
8.
8.1. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, es stelle sich die Frage, ob überhaupt eine Unterscheidung zwischen der formellen und materiellen Rechtswidrigkeit vorgenommen werden könne, da sich gemäss § 19 Abs. 4 PG der Tatbestand und die Rechtsfolgen der fristlosen Kündigung nach den Bestimmungen des OR richteten. Gemäss Art. 337 ff. OR gebe es keine solche Unterscheidung. Da ihr das rechtliche Gehör nicht gewährt worden sei, sei die Kündigung formell rechtswidrig erfolgt. Der Präsident der Behörde X._ sei Anwalt. Die Gehörsverletzung sei massiv, da sie von einer rechtskundigen Person begangen worden sei. Die Gehörsverletzung wiege somit nicht leicht. Zudem seien mit der Gehörsverletzung das Personalgesetz und die internen Reglemente des Beschwerdegegners verletzt worden. Unter diesen Umständen könne nicht gesagt werden, die Gehörsverletzung sei nicht so wichtig. Dies käme einer massiven Aushöhlung des Gehörsanspruchs gleich. Die Kündigung vom 24. Februar 2017 sei somit nichtig. Eine formell rechtswidrige Verfügung sei grundsätzlich nichtig und entfalte somit keine Rechtskraft. Der Mangel des verpassten rechtlichen Gehörs könne nicht mehr geheilt werden. Somit bleibe die Kündigung nichtig. Folglich erübrige sich eigentlich auch die Prüfung der materiellen Gründe für die Entlassung. Die Kündigung gelte als nicht ausgesprochen mit den Folgen gemäss Art. 337c Abs. 1 OR.
8.2.
8.2.1. Verwaltungsakte sind in der Regel nicht nichtig, sondern nur anfechtbar, und sie werden durch Nichtanfechtung rechtsgültig. Nichtigkeit, d.h. absolute Unwirksamkeit, einer Verfügung wird (ausdrückliche gesetzliche Anordnung vorbehalten [vgl. BGE 130 II 249 E. 2.4 S. 257]) nur angenommen, wenn sie mit einem tiefgreifenden und wesentlichen Mangel behaftet ist, wenn dieser schwerwiegende Mangel offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Fehlt einer Verfügung in diesem Sinne jegliche Rechtsverbindlichkeit, so ist das durch jede Behörde, die mit der Sache befasst ist, jederzeit und von Amtes wegen zu beachten (vgl. u.a. BGE 137 I 273 E. 3.1 S. 275 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. ferner BGE 139 II 243 E. 11.2 S. 260; Urteile 8C_7/2020 vom 3. November 2020 E. 6.2.3.2 und 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 6.2, je mit weiteren Hinweisen). Verfahrensmängel, wie nachträglich heilbare Gehörsverletzungen, führen in der Regel nur zur Anfechtbarkeit des fehlerhaften Entscheids (vgl. BGE 129 I 361 E. 2.1 S. 363; Urteil 1C_348/2019 vom 27. April 2020 E. 6.3).
8.2.2. Im vorliegenden Fall hatten die kantonalen Behörden hinsichtlich der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Verletzung des Gehörsanspruchs § 65 Abs. 2 PG und damit kantonales Recht anzuwenden. Insofern beschlägt die Frage der Nichtigkeit kantonales Recht. Zwar statuiert auch Art. 29 Abs. 2 BV den Anspruch auf Gewährung des rechtlichen Gehörs. Es ist aber nicht ersichtlich, dass sich die Nichtigkeit mitsamt der Umschreibung ihrer Voraussetzungen ausserhalb des Geltungsbereichs bundesrechtlicher Normen zu einem selbstständig anrufbaren allgemeinen Grundsatz des Bundesrechts verdichtet hätte. Damit hat in Bezug auf die Nichtigkeitsfrage lediglich eine Überprüfung auf Willkür hin zu erfolgen (vgl. Urteil 8C_7/2020 vom 3. November 2020 E. 6.2.3.3).
8.2.3. Mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 erachtete die Vorinstanz die Kündigung vom 24. Februar 2017 wegen der Verletzung des Gehörsanspruchs zwar als formell rechtswidrig, aber als gültig (vgl. E. 6 hiervor). Dieser Schluss ist im Ergebnis nicht willkürlich. Denn selbst eine schwerwiegende Verletzung des Gehörsanspruchs kann als geheilt gelten und es ist von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann und die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wäre (BGE 137 I 195 E. 2.3.2 S. 197). Diese Voraussetzungen waren vorliegend erfüllt, zumal das kantonale Gericht über eine volle Kognition verfügte (§ 37 Abs. 2 und § 53 VRG). Es ist somit festzustellen, dass die fristlose Kündigung vom 24. Februar 2017 nicht nichtig ist. Entgegen der Beschwerdeführerin erübrigt sich somit die Prüfung der Frage, ob sie materiell gerechtfertigt war, nicht.
8.3. Die Beschwerdeführerin macht mit Blick auf die Gehörsverletzung weiter geltend, sie sei am 28. Februar 2017 - mithin einen Tag nach Empfang der Kündigung vom 24. Februar 2017 - erkrankt. Diese Erkrankung habe bis 7. Mai 2017 gedauert. Sie beruft sich auf ein Arztzeugnis vom 1. Mai 2017. In dieser Zeit habe sie sich nicht mit dem Arbeitgeber auseinandersetzen müssen. Aufgrund der Krankschreibung hätte das rechtliche Gehör somit ohnehin nicht vor dem 1. Mai 2017, als sie wieder teilweise arbeitsfähig gewesen sei, erfolgen können. Infolge ihrer Krankheit sei auch eine anwaltliche Instruktion lange Zeit nicht möglich gewesen, weshalb auch die erste vorinstanzliche Beschwerde gegen die Kündigung vom 24. Februar 2017 erst am 5. April 2017 eingereicht worden sei. Da das Arbeitsverhältnis erst nach Gewährung des rechtlichen Gehörs hätte beendet werden können, sei dies frühestens ab 5. April 2017 möglich gewesen.
Dem kann nicht beigepflichtet werden, da die fristlose Kündigung vom 24. Februar 2017 nicht nichtig ist (vgl. E. 8.2.3 hiervor), womit es bei der sofortigen Beendigung des Arbeitsvertrages bleibt. Unter diesen Umständen kann offen bleiben, ob der Einwand des Beschwerdegegners berechtigt ist, dass das von der Beschwerdeführerin aufgelegte Arztzeugnis vom 1. Mai 2017 ein unzulässiges unechtes Novum nach Art. 99 Abs. 1 BBG sei.
9.
9.1. Die Vorinstanz erwog weiter, mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 habe sie festgestellt, dass ein wichtiger Grund für die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses bestanden habe und diese somit gerechtfertigt gewesen sei. Einzig in formeller Hinsicht sei die Entlassung mangelhaft gewesen. Hiervon sei auszugehen, weshalb für die Festlegung der vermögensrechtlichen Folgen Art. 337b OR als kantonales öffentliches Recht heranzuziehen sei (vgl. auch E. 3.2 und E. 4.2 hiervor). Nach dem engen Wortlaut des Gesetzes habe allein die Beschwerdeführerin den Grund für die fristlose Auflösung des Arbeitsvertrags gesetzt. Diese Auslegung von Art. 337b OR greife hier jedoch zu kurz. Bei seiner Anwendung als kantonales öffentliches Recht müssten dessen Besonderheiten berücksichtigt werden. Indem die SMB den Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin verletzt habe, sei ihr im Zusammenhang mit der fristlosen Kündigung ebenfalls ein pflichtwidriges Verhalten vorzuwerfen. Dieses müsse im Rahmen der Auslegung des als kantonales öffentliches Recht anwendbaren Art. 337b OR berücksichtigt werden. Liege ein beidseitiges pflichtwidriges Verhalten vor, sei deshalb von einem anderen Fall im Sinne von Art. 337b Abs. 2 OR auszugehen, weshalb die vermögensrechtlichen Folgen unter Würdigung aller Umstände nach Ermessen des Gerichts zu bestimmen seien.
9.2. Gegen die Berücksichtigung der Gehörsverletzung der Behörde X._ als pflichtwidriges Verhalten bei der Beurteilung der vermögensrechtlichen Folgen der fristlosen Kündigung vom 24. Februar 2017 ist nichts einzuwenden. Dies entspricht grundsätzlich auch der Auffassung der Beschwerdeführerin (vgl. E. 8.1 hiervor). Hingegen bleibt strittig und zu prüfen, ob die Vorinstanz die Kündigung zu Recht nicht als materiell ungerechtfertigt im Sinne von Art. 337c OR taxierte.
10.
10.1.
10.1.1. Mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 erwog die Vorinstanz, die Behörde X._ habe am 24. Februar 2017 mit der Begründung gekündigt, die Beschwerdeführerin sei wegen Verdachts auf Drogenhandel in Untersuchungshaft. Dies sei unvereinbar mit ihrer zentralen Vertrauensposition als Kanzleileiterin. Daneben habe sie im letzten Jahr häufig ohne Information oder Mitteilung an ihre Stellvertreterin oder Mitarbeitenden bzw. unter Angabe unzutreffender Gründe kurzfristig Ferientage bezogen bzw. Mehrstunden kompensiert. Sodann habe ihr Ehemann im letzten Jahr die bei der Behörde X._ lernende Person wiederholt telefonisch kontaktiert; die Beschwerdeführerin habe dies gewusst, aber ihren Vorgesetzten nicht informiert. Weiter habe sie sich für eine vom Arbeitgeber finanzierte Weiterbildung angemeldet, aber sie nicht besucht. Dennoch sei sie an diesem Tag nicht zur Arbeit erschienen und habe vorgegeben, den Anlass besucht zu haben.
10.1.2. Weiter führte die Vorinstanz am 12. Dezember 2017 aus, es sei auf die von der Behörde X._ in der vorinstanzlichen Vernehmlassung vom 28. April 2017 neu geltend gemachten Manipulationen des Zeiterfassungssystems durch die Beschwerdeführerin einzugehen. Diesbezüglich habe die Behörde X._ angegeben, die Auswertung ihrer Time-Tool-Einträge von Januar 2016 bis Februar 2017 habe gezeigt, dass die Beschwerdeführerin 272 Handeinträge vorgenommen habe. In 144 Fällen hätten diese Handeinträge jeweils ihren morgendlichen Arbeitsbeginn betroffen, wobei sie den Posteingang-Code verwendet habe, auch wenn der Arbeitsbeginn vor 07.00 Uhr gelegen habe. Da die Post nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abgeholt werden könne, müsse davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin in einer Vielzahl von Fällen das Zeiterfassungssystem zu ihren Gunsten manipuliert habe. Auf diesen nachgeschobenen Kündigungsgrund könne sich die Behörde X._ - so die Vorinstanz weiter - nur berufen, wenn er ihr im Kündigungszeitpunkt am 24. Februar 2017 weder bekannt gewesen sei noch habe bekannt sein können. Die von der Behörde X._ bemängelten Handeinträge zur Zeiterfassung beträfen die Zeit von Januar 2016 bis 15. Februar 2017 und seien somit vor der fristlosen Kündigung vom 24. Februar 2017 erfolgt. Zwar sei der Beschwerdeführerin zuzustimmen, dass es Aufgabe ihres Vorgesetzten gewesen wäre, ihre Arbeitszeiterfassungen zumindest im Hinblick auf das jährliche Beurteilungs- und Fördergespräch zu kontrollieren. Diesfalls hätte ihm auffallen müssen, dass sie häufig Handeinträge vorgenommen und dabei morgens regelmässig den Postgang-Code verwendet habe. Dass die Post nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abgeholt werden könne, habe ihm jedoch nicht bekannt sein müssen. Die allgemeine Sachbearbeitung und Verfahrensadministration, worunter auch der Postverkehr falle, habe zu den Aufgaben der Beschwerdeführerin gehört. Ihr Vorgesetzter habe erst aufgrund seiner Abklärungen im Nachgang an die Auswertung der Time-Tool-Einträge davon Kenntnis gehabt, dass die Post erst ab 07.10 Uhr abgeholt werden könne. Dies bestreite die Beschwerdeführerin nicht substanziiert. Für das Nachschieben von Kündigungsgründen werde sodann vorausgesetzt, dass der nachgeschobene Kündigungsgrund zu einem Vertrauensbruch hätte führen können und damit zur fristlosen Kündigung berechtigt hätte. Gemäss der Stellenbeschreibung sei die Beschwerdeführerin für die Time-Tool-Bewirtschaftung zuständig gewesen, habe also die Aufgabe gehabt, die Einträge der Mitarbeiter der Behörde X._ zu kontrollieren und für die korrekte Abwicklung zu sorgen. Hiermit habe ihr der Vorgesetzte hinsichtlich der Zeiterfassung ein besonderes Vertrauen entgegengebracht. Ihr unkorrektes Verhalten in diesem Bereich wiege somit besonders schwer. Hinzu komme ihre Vertrauensstellung als Kanzleileiterin. Hinsichtlich der Stempeluhrmanipulationen wiege der Treuebruch der Beschwerdeführerin somit besonders schwer (vgl. Urteil 4A_395/2015 vom 2. November 2015 E. 3.6, publ. in JdT 2016 II S. 123). Diese seien bereits für sich allein ein wichtiger Grund für eine fristlose Kündigung, weshalb auf die im Kündigungsschreiben vom 24. Februar 2017 enthaltenen zusätzlichen Gründe nicht weiter einzugehen sei. Somit sei die fristlose Kündigung gerechtfertigt gewesen, weshalb die Beschwerde im Hauptpunkt unbegründet sei.
10.2.
10.2.1. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, sie bestreite, dass die Post nicht vor 07.10 Uhr abgeholt werden könne und sie die Stempeluhr unzulässigerweise manipuliert habe. Zudem sei darauf hinzuweisen, dass über den Zeitraum ihrer Anstellung mehrere Mitarbeiter- und Qualifikationsgespräche stattgefunden hätten. Selbst wenn also solche Stempeluhrmanipulationen stattgefunden hätten, was bestritten werde, habe der Präsident der Behörde X._ nicht reagiert, obwohl es für ihn nach eigener Aussage in der vorinstanzlichen Vernehmlassung vom 28. April 2017 und im vorliegenden Verfahren eine "verwaltungsinterne notorische Tatsache" gewesen sei, wann die Post habe abgeholt werden können. Die behaupteten Stempeluhrmanipulationen hätten dem Präsidenten der Behörde X._ somit schon viel früher auffallen müssen. Die Vorinstanz habe somit fälschlicherweise festgehalten, er habe nicht wissen müssen, dass die Post nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abgeholt werden könne. Die Ausführungen des Beschwerdegegners, die Beschwerdeführerin habe eine besondere Vertrauensposition gehabt, weshalb sie der Vorgesetzte nicht habe kontrollieren müssen, würden bestritten. Es wäre Aufgabe des Präsidenten der Behörde X._ gewesen, ihre Arbeitszeiterfassung zu kontrollieren. Dies habe er aber über Jahre hinweg nicht gemacht. Im Jahre 2016 habe er ihr im Rahmen der Mitarbeiterbeurteilung noch ein einwandfreies Verhalten attestiert. Dem Präsidenten der Behörde X._ hätte im Rahmen seiner Personalführung auffallen müssen, dass sie die Arbeitszeit angeblich gegen die "verwaltungsinterne notorische Tatsache" erfasse. Wenn er dies versäumt habe, könne ihr dies nicht zum Nachteil gereichen. Mit dem Arbeitspensum von 30 % habe er hierfür genügend Zeit gehabt, zumal die Arbeitszeitkontrolle nicht immer, sondern stichpunktartig im Rahmen der Personalführung erfolgen müsse. Daraus folge, dass der bestrittene Kündigungsgrund der "Stempeluhrmanipulation" nicht habe nachgeschoben werden können.
10.2.2. Der Beschwerdegegner wendet zur Hauptsache ein, die Vorinstanz habe zu Recht festgehalten, dass die Post nicht vor 07.10 Uhr abgeholt werden könne. Bei dieser Postabholzeit handle es sich um eine "verwaltungsinterne notorische Tatsache", weshalb darüber kein Beweis zu erheben sei. Der Präsident der Behörde X._ übe sein Amt nebenamtlich in einem 30%-Pensum aus. In der Regel sei er an zwei Halbtagen in der Geschäftsstelle der Behörde X._ anwesend zwecks Führung von Verhandlungen. Allein schon daraus ergebe sich, dass eine Kontrolle der Arbeitszeiterfassung der Beschwerdeführerin mangels seiner permanenten Anwesenheit gar nicht möglich gewesen wäre bzw. keinen Sinn gemacht hätte. Er hätte nämlich gar nicht beurteilen können, ob die eingetragenen Arbeitszeiten den effektiven Anwesenheiten der Mitarbeitenden entsprächen. Diese besondere Konstellation habe die Vorinstanz zwar verkannt, was letztlich aber keine Rolle spielen könne. Es sei gemäss Pflichtenheft die Aufgabe der vollzeitlich eingesetzten Beschwerdeführerin als Kanzleileiterin gewesen, in Vertretung des Präsidenten die Zeiterfassung für alle Mitarbeitenden der Behörde X._ zu verwalten. Deshalb sei es ausschliesslich ihre Aufgabe gewesen, die Arbeitszeiterfassung zu kontrollieren und zu verwalten. Sie habe denn auch als Einzige über das Login für die Time-Tool-Verwaltung aller Mitarbeiter verfügt, weshalb eine Kontrolle durch die Behörde X._ gar nicht möglich gewesen wäre. Dies alles ändere nichts daran, dass von der Beschwerdeführerin als Kadermitarbeiterin mit besonderer Vertrauensstellung habe erwartet werden dürfen, ihre Arbeitszeiterfassung korrekt zu führen. Damit liege es auf der Hand, dass in den periodischen Qualifikationsgesprächen ihre Arbeitszeiten kein Thema gewesen seien, zumal sie die Manipulationen ihrer eigenen Arbeitszeiterfassung aus naheliegenden Gründen nicht angesprochen habe und diese auch nicht zu vermuten gewesen seien. Sie habe ihre arbeitsvertraglichen Pflichten einzuhalten, egal ob sie kontrolliert würden oder nicht. Sie hätte ihm ihre Verfehlungen bei den Mitarbeiterbeurteilungen wohl nicht gestanden. Somit sei klar, dass ihre Verfehlungen im Zeitpunkt der Kündigung bzw. in deren Vorfeld noch nicht hätten bekannt sein können. Folglich habe die Vorinstanz mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 zu Recht erkannt, dass der Kündigungsgrund der Stempeluhrmanipulationen berechtigterweise nachgeschoben worden sei.
11.
Strittig ist somit, ob die Vorinstanz in Willkür verfiel, indem sie das Nachschieben des Kündigungsgrundes der Stempeluhrmanipulationen als zulässig erachtete (vgl. E. 10.1.2 hiervor; zum Begriff der Willkür siehe E. 3.3 hiervor).
11.1. Als wichtiger Grund kommt nur ein Ereignis in Frage, das sich vor der fristlosen Kündigung abgespielt hat. Nachträglich kann sich der Kündigende darauf aber nur berufen, wenn ihm dieser Umstand im Zeitpunkt der Kündigung weder bekannt war noch bekannt sein konnte. Diesfalls ist zu fragen, ob dieser Umstand derart ist, dass er - wenn der Kündigende ihn gekannt hätte - zu einem Vertrauensbruch hätte führen können und damit zur fristlosen Kündigung berechtigt hätte. Insofern ist das Nachschieben von Kündigungsgründen zulässig (BGE 142 III 579 E. 4.3 S. 580).
11.2. In diesem Punkt ist der vorinstanzliche Entscheid vom 12. Dezember 2017 nicht unhaltbar, auch wenn dem Präsidenten der Behörde X._ die von ihm als "vewaltungsinterne notorische Tatsache" bezeichnete morgendliche Postabholzeit bekannt gewesen sein mag und die gegenteilige vorinstanzliche Begründung diesbezüglich somit nicht zutrifft (vgl. E. 10.1.2 hiervor). Gestützt auf die in E. 7.3.5 des vorinstanzlichen Entscheides vom 12. Dezember 2017 umschriebene besondere Vertrauensstellung der Beschwerdeführerin (Bewirtschaftung des Time-Tools, Funktion als Kanzleileiterin; E. 10.1.2 hiervor) musste von ihrem Vorgesetzten aber nicht verlangt werden, dass er ihre Arbeitszeiterfassung kontrollierte, wie dies vom Beschwerdegegner in der Beschwerdeantwort zu Recht geltend gemacht wird. Nach dem Gesagten erachtete die Vorinstanz das Nachschieben des Kündigungsgrundes der Stempeluhrmanipulationen zu Recht als zulässig.
12.
Umstritten ist weiter, ob die Vorinstanz willkürlich davon ausging, die Beschwerdeführerin habe die Post nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abholen können.
12.1. Die Beschwerdeführerin bringt im Wesentlichen vor, die Vorinstanz habe fälschlicherweise festgehalten, dass die Post nicht vor 07.10 Uhr habe abgeholt werden können. Sie habe bei jeder Poststempelung vor 07.00 Uhr auch jedesmal die Post abgeholt. Die angebliche Stempeluhrmanipulation liege somit nicht vor. Der Beweis für die Möglichkeit der Postabholung vor 07.00 Uhr könne mit der von der Beschwerdegegnerin selbst in der Vernehmlassung vom 28. April 2017 offerierten Beweisauskunft der Kantonalen Poststelle belegt werden. Auch B._, Leiter interner Postdienst, Kantonale Verwaltung, habe in der schriftlichen Aussage vom 2. Februar 2018 dargelegt, dass die Post durchaus vor 07.00 Uhr abgeholt werden könne. Die Vorinstanz habe der gegenteiligen Behauptung des Beschwerdegegners geglaubt ohne diese von der Beschwerdeführerin mit Replik vom 14. Juni 2017 bestrittene Aussage mit dem vom Beschwerdegegner selbst offerierten Beweis abzuklären. Dies obwohl der Beschwerdegegner hinsichtlich der behaupteten Stempeluhrmanipulation beweisbelastet gewesen sei. Die Vorinstanz habe auch keine Beweisverfügung erlassen. Damit habe sie den auch im öffentlichen Recht geltenden Art. 8 ZGB verletzt. Die Beschwerdeführerin habe darauf vertrauen dürfen, dass die Vorinstanz auch die von ihr offerierten Beweise abnehme. Hinzu komme, dass der vorinstanzliche Entscheid vom 12. Dezember 2017 auf dem neuen rechtlichen Grund der Stempeluhrmanipulation beruhe, der in der Kündigung vom 27. Februar 2017 nicht enthalten gewesen sei. Wenn aber der Entscheid auf neuen Tatsachen beruhe, mit dem die Parteien vorher nicht konfrontiert worden seien, seien vor Bundesgericht neue Tatsachenvorbringen zulässig. Weiter habe die Beschwerdeführerin nicht mit einer tatsachenwidrigen Aussage des Beschwerdegegners und damit einem Verstoss gegen Art. 9 BV rechnen müssen. Auch dies berechtige zur Vorbringung neuer Tatsachen. Insgesamt habe die Vorinstanz nicht alle relevanten Tatsachen festgestellt und die elementarsten Beweisregeln verletzt. Sie habe den Sachverhalt entgegen dem Untersuchungsgrundsatz offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich festgestellt und gestützt darauf zu Unrecht eine materiell gerechtfertigte Kündigung bejaht.
12.2. Der Beschwerdegegner bringt vor, die Vorinstanz habe richtig festgestellt, dass die Post nicht vor 07.10 Uhr abgeholt werden könne. Dies sei eine "verwaltungsintern notorische Tatsache", die sie aus eigener Erfahrung kenne. Er macht - wie auch die Vorinstanz - geltend, bei der von der Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren 8C_130/2018 und vorliegend aufgelegten Bestätigung des Leiters des internen Postdienstes des Kantons Luzern vom 2. Februar 2018 und bei ihrem Antrag auf dessen Einvernahme als Zeuge handle es sich um ein unzulässiges Novum nach Art. 99 Abs. 1 BBG. Denn der Beschwerdegegner habe in der Vernehmlassung vom 28. April 2017 den Sachverhalt betreffend Postabholung einlässlich dargelegt. Unter diesen Umständen hätte die Beschwerdeführerin diese Beweisurkunde und den Antrag auf Zeugeneinvernahme von B._ ohne weiteres bereits im Verfahren, das zum vorinstanzlichen Entscheid vom 12. Dezember 2017 geführt habe, einreichen können und müssen. Dazu hätte sie im Rahmen ihrer Replik vom 14. Juni 2017 hinreichend Gelegenheit gehabt. Dies habe sie nicht getan, sondern bloss darauf hingewiesen, dies sei nicht Kündigungsgegenstand. Zudem sei die Bestätigung des B._ vom 2. Februar 2018 kein offizielles Dokument der Staatskanzlei, welcher der interne kantonale Postdienst unterstellt sei, sondern sei von ihm privat ausgestellt und bloss mit seinem persönlichen Stempel versehen worden. Weiter gehöre die Behörde X._ zum Postfach........, bei dem die Postverteilung bis 3. Juli 2016 Sache der schweizerischen Post gewesen sei. Es erstaune, wie die Beschwerdeführerin wissen wolle, wie lange die Verteilung bei der schweizerischen Post gedauert habe. Aus der Bestätigung des B._ ergebe sich nichts Derartiges. Die verwaltungsinterne notorische Tatsache betreffend den Zeitpunkt der morgendlichen Postabholung sei von der Vorinstanz korrekt bestätigt worden.
13.
13.1.
13.1.1. Gemäss § 53 Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 stellt die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen fest. Laut § 139 VRG klärt die Rechtsmittelinstanz, soweit erforderlich, den erheblichen Sachverhalt ab (Abs. 1). Neue Beweismittel sind zulässig, soweit sie den für die Rechtsmittelinstanz erheblichen Sachverhalt betreffen (Abs. 2).
Gemäss Art. 8 ZGB hat derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Ein Beweis gilt als erbracht, wenn das Gericht nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit einer Sachbehauptung überzeugt ist. Absolute Gewissheit kann dabei nicht verlangt werden. Es genügt, wenn das Gericht am Vorliegen der behaupteten Tatsache keine ernsthaften Zweifel mehr hat oder allenfalls verbleibende Zweifel als leicht erscheinen (BGE 130 III 321 E. 3.2 S. 324). Art. 8 ZGB ist daher verletzt, wenn das kantonale Gericht unbewiesene Behauptungen einer Partei unbekümmert darum, dass sie von der Gegenpartei bestritten sind, als richtig hinnimmt, oder über rechtserhebliche Tatsachen überhaupt nicht Beweis führen lässt (BGE 130 III 591 E. 5.4 S. 601 f. mit Hinweisen; Urteil 8C_705/2019 vom 25. August 2020 E. 5.1).
Der allgemeine Grundsatz von Art. 8 ZGB, der auch im öffentlichen Recht gilt (BGE 138 II 465 E. 6.8.2 S. 486; 138 V 218 E. 6 S. 222; Urteil 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 3.6), wonach im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte, greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (BGE 138 V 218 E. 6 S. 221 f.; Urteil 8C_831/2019 vom 13. Februar 2020 E. 3.2.2).
13.1.2. Der durch Art. 29 Abs. 2 BV garantierte Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst insbesondere das Recht der betroffenen Person, erhebliche Beweise beizubringen und mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden, wenn dies geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (BGE 143 III 297 E. 9.3.2 S. 332, 140 I 285 E. 6.3.1 S. 298). Ein Verzicht auf die Abnahme von weiteren Beweisen ist zulässig, wenn sich das Gericht aufgrund der bereits erhobenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass die abgelehnten Beweisanträge nichts an seiner Überzeugung zu ändern vermögen (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; nicht publ. E. 6.4.2 des Urteils BGE 144 I 11).
13.2.
13.2.1. Erstmals mit vorinstanzlicher Vernehmlassung vom 28. April 2017 machte der Beschwerdegegner den nachgeschobenen Kündigungsgrund der Stempeluhrmanipulation durch die Beschwerdeführerin geltend. Zur Begründung führte er aus, von Januar 2016 bis Februar 2017 habe sie den Posteingang-Code verwendet, auch wenn der Arbeitsbeginn vor 07.00 Uhr gelegen habe. Da die Post nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abgeholt werden könne, müsse davon ausgegangen werden, dass sie das Zeiterfassungssystem zu ihren Gunsten manipuliert habe (vgl. E. 10.1.2 hiervor). Als Beweis hierfür verlangte der Beschwerdegegner die Einholung schriftlicher Amtsberichte/Beweisauskünfte bei diversen Personen und bei der kantonalen Poststelle.
13.2.2. Entgegen dem Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin mit Replik vom 14. Juni 2017 nicht bloss darauf hingewiesen, ihre Zeiterfassung bzw. der Zeitpunkt der Postabholung sei nicht Kündigungsgegenstand (vgl. E. 12.2 hiervor). Vielmehr machte sie auch geltend, die Ausführungen des Beschwerdegegners würden bestritten. Sie habe entgegen der Behauptung des Präsidenten der Behörde X._ keine unlauteren Manipulationen an der Zeiterfassung vorgenommen. Vielmehr habe sie die Zeit wie alle anderen erfasst. Sämtliche Mitarbeiter und auch ihr Vorgesetzter hätten die Zeit so verbucht und die "Handeinträge" rege genutzt. Zum Beweis verlangte sie die Edition der Arbeitszeiterfassung (Time-Tool) des Präsidenten der Behörde X._ und aller anderen Mitarbeiter der Behörde X._ von Januar 2013 bis März 2017.
13.2.3. Die Vorinstanz ging im Entscheid vom 12. Dezember 2017 nicht davon aus, die Beschwerdeführerin habe mit ihrer replikweisen Negierung von unlauteren Manipulationen an der Zeiterfassung die vom Beschwerdegegner behauptete Postabholzeit nicht rechtsgenüglich bestritten.
Dennoch setzte die Vorzinstanz ohne Begründung und ohne weitere Abklärungen voraus, die Post habe nicht vor 07.10 Uhr morgens bei der kantonalen Poststelle abgeholt werden können (vgl. E. 10.1.2 hiervor). Sie begründete insbesondere nicht, weshalb sie auf die Abnahme der von den Parteien zur Frage der Stempeluhrmanipulation offerierten Beweise - insbesondere auf die vom Beschwerdegegner selber in der Vernehmlassung vom 28. April 2017 verlangten Amtsberichte/Beweisauskünfte, u.a. bei der kantonalen Poststelle - verzichtete. Damit hat die Vorinstanz unbewiesene Behauptungen des Beschwerdegegners unbekümmert darum, dass sie von der Gegenpartei mit Replik vom 14. Juni 2017 bestritten wurden, als richtig hingenommen bzw. über rechtserhebliche Tatsachen überhaupt nicht Beweis geführt. Folglich hat sie - wie die Beschwerdeführerin vorbringt - willkürlich Art. 8 ZGB und den Untersuchungsgrundsatz verletzt (vgl. E. 13.1.1 hiervor). Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die offene Frage der morgendlichen Postabholzeit kläre und hernach über die Rechtmässigkeit des Kündigungsgrundes der Stempeluhrmanipulationen neu entscheide.
13.3. Bei diesem Ergebnis kann offen bleiben, ob die von der Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren 8C_130/2018, mit vorinstanzlicher Klage vom 20. Februar 2019 und vorliegend erneut aufgelegte Bestätigung des Leiters des internen Postdienstes des Kantons Luzern vom 2. Februar 2018 betreffend das Postwesen im Regierungsratsgebäude des Kantons Luzern ein unzulässiges Novum nach Art. 99 Abs. 1 BBG ist.
14.
Sollte sich der Kündigungsgrund der Stempeluhrmanipulationen als unbewiesen erweisen, wird die Vorinstanz über die bisher unbeantwortete Frage zu entscheiden haben, ob die im Kündigungsschreiben vom 24. Februar 2017 angeführten Gründe (E. 10.1.1 hiervor) die Behörde X._ zur fristlosen Kündigung des Arbeitsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin berechtigten.
15.
Erst nach Beurteilung der materiellen Rechtsmässigkeit der fristlosen Kündigung vom 24. Februar 2017 kann über deren Entschädigungsfolgen befunden werden. Gleiches gilt betreffend die von der Beschwerdeführerin beanstandeten Punkte des vom Präsidenten der Behörde X._ erstellten Arbeitszeugnisses vom 17. Oktober 2018 (vgl. Sachverhalt lit. C.a hiervor). Dies umso mehr, als er in dem von ihm als Verfügung bezeichneten Schreiben vom 13. März 2017 ausführte, die Frage, ob die fristlose Kündigung zu Recht oder zu Unrecht ausgesprochen worden sei, habe entscheidenden Einfluss auf den Inhalt des zu erstellenden Arbeitszeugnisses.
16.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdegegner auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat er der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 141 V 281 E. 11.1 S. 312).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 4. Abteilung, vom 3. Juni 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Februar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar