Erwägungen:
1.
1.1. Die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin) gelangte mit Schlichtungsgesuch vom 14. Mai 2020 an das Friedensrichteramt U._ und beantragte, A._ (Beschwerdeführer) sei zu verpflichten, ihr Fr. 318.30 (inkl. Mahnspesen und Betreibungskosten) zu bezahlen.
Am 2. Juli 2020 sagte das Friedensrichteramt eine auf den 6. Juli 2020 angesetzte Verhandlung ab, nachdem der Arzt des Beschwerdeführers attestiert hatte, dass der Beschwerdeführer nicht in der Lage sei, an der Verhandlung teilzunehmen.
Am 21. Mai 2021 stellte die Friedensrichterin der Beschwerdegegnerin die Klagebewilligung aus, wobei sie festhielt, dass der Beschwerdeführer nicht zur neu auf den 18. Januar 2021 angesetzten Verhandlung erschienen sei.
1.2. Der Beschwerdeführer reichte mit Eingabe vom 7. Juni 2021 beim Kantonsgericht des Kantons Luzern "Beschwerde gegen die Durchführung und den daraus folgenden Entscheid" ein, die mit der folgenden weiteren Überschrift versehen war: "Schlichtungsverfahren Fall-Nr. FRH 20 72 - Beschwerde Ansetzung der Schlichtungsverhandlung ohne mich darüber in Kenntnis zu setzen / Verweigerung Rechtliches Gehör / Missachtung Krankschreibung / Brief Einladung nie erhalten da nie eingeschrieben zugestellt".
Das Kantonsgericht trat auf die Beschwerde mit Entscheid vom 26. Juli 2021 nicht ein. Es führte dazu mit Hinweisen auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (BGE 139 III 273 E. 2.3; 140 III 227 E. 3.1; Urteil 4D_68/2013 vom 12. November 2013 E. 3) aus, dass es sich bei der Klagebewilligung (mit der hier nicht relevanten Ausnahme des in ihrem Rahmen ergangenen Spruchs über die Kosten des Schlichtungsverfahrens) nicht um einen anfechtbaren Entscheid handle. Leite eine Partei aus (angeblichen) Verfahrensfehlern im Schlichtungsverfahren die Ungültigkeit der Klagebewilligung ab, habe sie dies im nachfolgenden gerichtlichen Verfahren geltend zu machen. Auch soweit die (an das Kantonsgericht "z.Hd. Abt. Aufsichtsbehörde Friedensrichter" adressierte) Eingabe des Beschwerdeführers als Aufsichtsbeschwerde zu verstehen wäre, wäre diese dazu (d.h. zur Möglichkeit der Geltendmachung von Mängeln im nachfolgenden Gerichtsverfahren) subsidiär und könnte daher darauf nicht eingetreten werden.
1.3. Der Beschwerdeführer erhob mit Eingabe vom 14. August 2021 beim Bundesgericht "Beschwerde gegen die Durchführung dieser Verhandlung vor dem Friedensrichter und den daraus folgenden Entscheid vom Kantonsgericht". Gleichzeitig ersuchte er darum, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
In Zivilsachen, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, des Bundesverwaltungsgerichts und des Bundespatentgerichts zulässig (Art. 75 Abs. 1 BGG). Beim Friedensrichteramt U._ handelt es sich nicht um eine solche Instanz, weshalb auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, soweit der Beschwerdeführer darin seine Kritik direkt gegen dessen Verfahrensführung richtet (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
3.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Diesen Begründungsanforderungen genügt die Eingabe vom 14. August 2021 offensichtlich nicht. So legt der Beschwerdeführer darin nicht dar, welche Rechte das Kantonsgericht inwiefern verletzt haben soll, indem es auf seine Beschwerde vom 7. Juni 2021 mit der vorstehend (Erwägung 1.2) dargestellten Begründung nicht eintrat. Vielmehr unterbreitet er dem Bundesgericht bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge hinsichtlich der Verfahrensführung der Friedensrichterin, zu der sich die Vorinstanz indessen lediglich der Vollständigkeit halber bereits im angefochtenen Entscheid äusserte.
Auf die Beschwerde ist daher mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Entscheid des Kantonsgerichts richtet (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorliegende Verfahren gegenstandslos wird.
Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Widmer