Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 29. Mai 2020 erteilte das Bezirksgericht Kulm dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Regionalen Betreibungsamtes Reinach die definitive Rechtsöffnung für Fr. 3'700.-- nebst Zins. Als Rechtsöffnungstitel diente der Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm vom 5. November 2018.
Das Departement Volkswirtschaft und Inneres übermittelte am 18. Juni 2020 eine Eingabe des Beschwerdeführers vom 5. Juni 2020 an die Kantonspolizei Aargau und an den Regierungsrat/Grossen Rat des Kantons Aargau, die sich auf diesen Entscheid bezog, an das Obergericht des Kantons Aargau. Weitere Eingaben des Beschwerdeführers folgten. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
Am 10. November 2020 (Postaufgabe) und am 24. November 2020 (Postaufgabe) gelangte der Beschwerdeführer wieder an das Obergericht. Am 27. November 2020 leitete das Obergericht die Eingaben samt den Akten an das Bundesgericht weiter. Am 3. Dezember 2020 leitete das Obergericht eine weitere Eingabe vom 30. November 2020 sowie sein Antwortschreiben an das Bundesgericht weiter. Mit Schreiben vom 3. Dezember 2020 forderte das Bundesgericht den Beschwerdeführer auf, mitzuteilen, ob seine Eingaben als Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts vom 22. Oktober 2020 behandelt werden sollen. Zugleich wies es darauf hin, dass die Beschwerdefrist entgegen einem entsprechenden Antrag nicht erstreckt werden kann, die Beschwerde aber innerhalb der noch laufenden Beschwerdefrist ergänzt werden könne. Falls dies nicht möglich sei, könne er um Fristwiederherstellung ersuchen. Am 10. Dezember 2020 (Postaufgabe) ist der Beschwerdeführer mit einem Antrag auf Fristwiederherstellung an das Bundesgericht gelangt. Mit einer auf den 13. Dezember 2020 datierten, aber erst am 28. Dezember 2020 der Post übergebenen Eingabe hat der Beschwerdeführer ordentliche Beschwerde und Verfassungsbeschwerde erhoben. Als Beilagen hat er weitere Eingaben, datierend vom 29. November 2020 und 14. Dezember 2020, eingereicht, die zwar an die Kantonspolizei Aargau adressiert sind, jedoch unter anderem auch als Beschwerde bzw. "Bundesverwaltungsbeschwerde" bezeichnet sind und sich teilweise auf den obergerichtlichen Entscheid beziehen.
2.
Der Beschwerdeführer spricht am Rande vom Ausstand des Bundesgerichts. Das Bundesgericht kann nicht als solches abgelehnt werden und ein begründetes Ausstandsgesuch gegen einzelne Gerichtspersonen stellt der Beschwerdeführer nicht. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Entscheid des Obergerichts am 9. November 2020 entgegengenommen. Die dreissigtägige Beschwerdefrist (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 BGG) lief demnach am 9. Dezember 2020 ab. In seiner Eingabe vom 10. Dezember 2020 hat der Beschwerdeführer einzig ein Fristwiederherstellungsgesuch gestellt, jedoch nicht ausdrücklich erklärt, dass bereits die früheren, noch an das Obergericht gerichteten Eingaben als Beschwerde an das Bundesgericht behandelt werden sollen. Sie sind demnach nicht als Beschwerde zu behandeln. Im Übrigen erfüllen sie auch die strengen Rügeanforderungen gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG offensichtlich nicht.
4.
Der Beschwerdeführer begründet das Fristwiederherstellungsgesuch mit Problemen mit seinem Sehvermögen. Die angekündigte Augenoperation habe am 8. Dezember 2020 stattgefunden und bis er wieder mit einer Brille und ohne Schmerzen arbeiten könne, vergingen gemäss seinem Augenarzt über eineinhalb Monate. Zudem seien für seine schwere Lungenkrankheit weitere Untersuchungen vorgesehen.
Die Fristwiederherstellung gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG setzt voraus, dass der Beschwerdeführer unverschuldet davon abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln. Eine Krankheit kann zwar ein unverschuldetes Hindernis darstellen. Der Beschwerdeführer belegt jedoch nicht, dass seine Sehprobleme und die Lungenkrankheit derart gravierend waren, dass sie ihn tatsächlich an der Abfassung einer Beschwerde gehindert hätten. Die während der Beschwerdefrist an das Obergericht gerichteten, teils handschriftlichen, teils am Computer verfassten Schreiben legen vielmehr nahe, dass die Erkrankungen ihn gerade nicht an der Abfassung von Eingaben hinderten. Die Augenoperationen sowie die Untersuchungen zu seiner Lungenerkrankung waren ausserdem geplant und der Beschwerdeführer musste mit fristauslösenden Zustellungen rechnen. Er hätte demnach entsprechende Vorkehrungen treffen müssen, etwa mit der Bitte an das Obergericht, während einer beschränkten Zeit auf solche Zustellungen zu verzichten, oder durch Bestellung einer Vertretung, welche die ausgelösten Fristen hätte wahren können. Dass ihm dies nicht möglich gewesen wäre, behauptet er nicht.
Das Gesuch um Fristwiederherstellung zur Anfechtung des Entscheids des Obergerichts vom 22. Oktober 2020 ist demnach abzuweisen. Soweit er zugleich aus denselben Gründen die "Einstellung" des Strafbefehls verlangt, ist darauf hinzuweisen, dass dieser nicht Thema des vorliegenden Rechtsöffnungsverfahrens ist und ein Strafbefehl ohnehin nicht direkt am Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 80 BGG).
5.
Die am 28. Dezember 2020 der Post übergebene Beschwerde und die als Beilagen miteingereichten und wohl als Beschwerdeergänzung zu verstehenden Eingaben sind damit verspätet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten. Zudem enthalten sie offensichtlich keine hinreichenden Rügen (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg