Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer führte als Facharzt für Chirurgie am 2. Oktober 2014 zusammen mit seinem Assistenten eine Operation an einer Patientin durch. Dabei kam es zu einer Verletzung des Dünndarms, was zu mehreren Folgeoperationen resp. -behandlungen und schliesslich zum Tod der Patientin führte. Am 16. August 2017 wurde im Auftrag der Beschwerdegegnerin ein Gutachten erstellt, um haftpflichtrechtliche Ansprüche der Angehörigen der verstorbenen Patientin gegenüber dem Beschwerdeführer zu klären. Das Gutachterteam kam zum Schluss, dass die Verletzung des Dünndarms auf eine Sorgfaltspflichtverletzung des Beschwerdeführers oder einer unter seiner Verantwortung stehenden Person zurückzuführen sei. Der Tod der Patientin sei sicher auf die Verletzung während der primären Operation zurückzuführen.
Aufgrund des Vorfalls leitete der Kantonsarzt des Kantons Neuenburg eine Untersuchung gegen den Beschwerdeführer ein. Am 18. Dezember 2018 wurde diesem nach seiner Darstellung "das Recht die Medizin zu praktizieren" weggenommen.
1.2. Mit Klage vom 27. Mai 2020 belangte der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin beim Regionalgericht Bern-Mittelland auf Annullierung des Gutachtens und auf Zahlung von Schadenersatz bis zu Fr. 548'640.35, im Laufe der Verfahrens auf Fr. 1'224'640.35 erhöht. Nach seiner Auffassung trägt die Beschwerdegegnerin in hohem Masse die Verantwortung für das fehlerhafte Gutachten vom 16. August 2017 resp. für den daraus resultierenden Schaden. Das Gutachten enthalte mehrere gravierende Fehler, wofür die Beschwerdegegnerin hafte.
Der Gerichtspräsident des Regionalgerichts wies die Klage mit Entscheid vom 26. März/10. Mai 2021 ab und verurteilte den Beschwerdeführer zur Tragung von Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 20'000.-- und zur Leistung einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin von Fr. 25'890.--. Er verneinte einen Anspruch des Beschwerdeführers auf Aufhebung des Gutachtens vom 16. August 2017. Ferner verneinte er einen natürlichen und einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Verhalten der Beschwerdegegnerin und dem Entzug der Berufsausübungsbewilligung des Beschwerdeführers. Sodann fehle es auch am Nachweis der Widerrechtlichkeit des Vorgehens der Beschwerdegegnerin.
Am 31. August 2021 wies das Obergericht des Kantons Bern eine vom Beschwerdeführer gegen den Entscheid des Regionalgerichts erhobene Berufung ab, bestätigte den angefochtenen Entscheid und verpflichtete den Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren zur Zahlung von Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 12'400.-- und einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin von Fr. 5'160.50.
1.3. Der Beschwerdeführer erhob beim Bundesgericht mit in französischer Sprache verfasster Eingabe vom 16. September 2021 Beschwerde gegen den auf Deutsch redigierten Entscheid des Obergerichts vom 31. August 2021.
Nachdem dem Beschwerdeführer die Eingangsanzeige in deutscher Sprache zugestellt worden war, stellte er ein Gesuch auf Änderung der Verfahrenssprache in Französisch. Dieses Gesuch wurde mit Verfügung vom 30. September 2021 abgewiesen. Mit Schreiben vom 26. Oktober 2021 wurde ein Antrag des Beschwerdeführers um Wiedererwägung dieser Verfügung abgelehnt.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
Nach Art. 54 Abs. 1 BGG wird das Verfahren in einer der Amtssprachen, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids, geführt. Wie bereits in der Verfügung vom 30. September 2021 festgehalten wurde, bestehen vorliegend keine hinreichenden Gründe, um von dieser Regel abzuweichen. Das vorliegende Urteil wird demgemäss in deutscher Sprache verfasst.
3.
Im vorliegenden Beschwerdeverfahren stellen sich keine sachverhaltlichen oder rechtlichen Fragen, die nicht aufgrund der vorliegenden Akten entschieden werden könnten, weshalb der sinngemässe Antrag des Beschwerdeführers, vor Bundesgericht eine Verhandlung durchzuführen, in der er angehört wird, abzuweisen ist (Art. 57 BGG; BGE 125 V 37 E. 3).
4.
In Zivilsachen, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, des Bundesverwaltungsgerichts und des Bundespatentgerichts zulässig (Art. 75 Abs. 1 BGG). Beim Regionalgericht Bern-Mittelland handelt es sich nicht um eine solche Instanz. Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer darin in umfangreichen Ausführungen seine Kritik direkt gegen dessen Entscheid vom 26. März/10. Mai 2021 und dessen Verfahrensführung richtet.
Ebensowenig kann auf die Beschwerde eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer darin angebliche Rechtsverletzungen im Verfahren behauptet, in dem ihm die Berufsausübungsbewilligung entzogen wurde, weil der Entzug der Bewilligung, als Arzt zu praktizieren, nicht Gegenstand des Klageverfahrens vor dem Regionalgericht bzw. des Rechtsmittelverfahrens vor dem Obergericht war.
5.
5.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 II 244 E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (BGE 140 III 86 E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
5.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, mithin willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (Sachverhaltsrüge im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
6.
Die vorliegende Beschwerdeschrift vermag diesen Anforderungen an die Begründung offensichtlich nicht zu genügen, soweit sie sich überhaupt gegen den Entscheid des Obergerichts richtet und auf den Streitgegenstand des kantonalen Verfahrens bezieht (vgl. vorstehende Erwägung 4). Dazu kann folgendes festgehalten werden:
Der Beschwerdeführer handelt zwar die Erwägungen des obergerichtlichen Entscheids formell, d.h. nach Erwägungsnummern geordnet, eine um die andere ab. Er kritisiert dabei allerdings die Verfahrensführung und den Entscheid der Erstinstanz (dazu Erwägung 4 vorne) sowie die vorinstanzliche Entscheidfindung bloss in frei gehaltenen, weitschweifigen Ausführungen, in denen er insbesondere seine sprachliche Diskriminierung (einschliesslich der Auferlegung von Kosten für einen Dolmetscher in der Verhandlung vor dem Regionalgericht) und die Nichtberücksichtigung bzw. das Verschwindenlassen von Dokumenten in französischer Sprache und von verschiedenen durch ihn angeblich anerbotenen bzw. eingereichten Beweismitteln rügt. Dabei setzt er sich nicht hinreichend - soweit er es überhaupt tut - mit den entsprechenden umfangreichen und einlässlichen Erwägungen der Vorinstanz auseinander und legt nicht rechtsgenügend dar, welche Rechte die Vorinstanz inwiefern verletzt haben soll, indem sie gestützt darauf seine Berufung gegen den erstinstanzlichen Entscheid abwies. Dies namentlich auch, soweit er die angebliche Verletzung von Normen der Strafprozessordnung rügt und trotz gegenteiliger Erklärungen der Vorinstanz fälschlicherweise davon ausgeht, der Zivilprozess vor den Vorinstanzen wäre auch hinsichtlich ihn entlastender Elemente wie ein Strafprozess zu instruieren gewesen und die entsprechenden Normen der Strafprozessordnung und der EMRK seien anwendbar. In seinen Ausführungen ergänzt der Beschwerdeführer überdies den von der Vorinstanz verbindlich festgestellten Sachverhalt nach Belieben, ohne indessen dazu Sachverhaltsrügen im vorstehend (Erwägung 5.2) umschriebenen Sinn zu erheben, die es dem Bundesgericht erlauben könnten, den Sachverhalt zu ergänzen oder zu berichtigen. Darauf kann nicht eingetreten werden.
Letzteres ist namentlich auch der Fall, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, an der Hauptverhandlung vor dem Regionalgericht sei Schweizerdeutsch statt Hochdeutsch gesprochen worden, wogegen der verfahrensleitende erstinstanzliche Richter nicht eingeschritten sei, weshalb der Beschwerdeführer den Verhandlungen nicht habe folgen können. So ist dem angefochtenen Urteil nicht zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz entsprechende Rügen erhoben hätte und der vorinstanzliche Entscheid enthält keine diesbezüglichen tatsächlichen Feststellungen (abgesehen davon, dass darin erwähnt wird, dass vor dem Regional- und dem Obergericht die Thematik der Sprache bereits in einem Ausstandsverfahren gegen den verfahrensleitenden Richter der Erstinstanz abgehandelt wurde). Diesbezüglich erhebt der Beschwerdeführer keinerlei taugliche Sachverhaltsrügen.
Insbesondere verfehlt der Beschwerdeführer die Begründungsanforderungen, soweit er eine ganze Reihe von Konventions-, Verfassungs- und Gesetzesverletzungen durch das Regionalgericht rügt, gegen welche die Vorinstanz nicht eingeschritten sei, ohne sich indessen hinreichend mit den diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern sie damit die angerufenen Rechte verletzt haben soll.
Der Beschwerdeführer verlangt u.a. die Aufhebung der für das erst- und das zweitinstanzliche Verfahren gesprochenen Gerichtskostenauflagen in der Höhe von Fr. 20'000.-- bzw. Fr. 12'000.-- sowie der zugunsten der Beschwerdegegnerin zugesprochenen Parteientschädigungen von Fr. 25'890.-- bzw. Fr. 5'160.50. Dies sinngemäss weil das durchgeführte Gerichtsverfahren nicht seinen ursprünglichen Klageanträgen entsprochen habe, mit denen er lediglich die Abänderung des Gutachtens vom 16. August 2017 habe erreichen wollen bzw. mit denen er schlicht ein Verfahren ("une procédure") verlangt habe. Er weicht damit von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab, wonach er mit seiner Klage die Annullierung des Gutachtens und die Zahlung von Schadenersatz in der Höhe bis zu Fr. 548'640.35 verlangt habe, welchen Betrag er im Laufe der Verfahrens auf Fr. 1'224'640.35 erhöht habe, und wonach der Streitwert von Fr. 1,2 Mio. unbestritten geblieben sei. Auch insoweit unterlässt er es indessen, eine taugliche Sachverhaltsrüge im vorstehend umschriebenen Sinne zu erheben. Auch auf die entsprechenden Vorbringen bzw. Anträge kann daher nicht eingetreten werden.
7.
Zusammenfassend enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind diesem Ausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Widmer