Faits :
A.
A.a. A._, né en 1964, a travaillé dès mai 2016 à temps plein en tant qu'aide-monteur pour l'entreprise B._ SA. Le 24 mai 2016, il s'est blessé à la main gauche en coupant une charpente avec une meuleuse sur un chantier à Morges. Les premiers soins lui ont été prodigués à l'Hôpital C._, puis il a été transféré le jour même à l'Hôpital D._, où on lui a diagnostiqué une plaie délabrante de la face dorso-radiale du poignet gauche avec section du long extenseur du pouce, section du long extenseur radial du carpe et section de la branche sensitive du nerf radial, ainsi qu'une arthrotomie radio-carpienne. Des plaies superficielles de la paume de la main droite et de la cuisse gauche ont également été observées. Le jour même, il a subi une intervention chirurgicale sous la forme d'une révision des plaies de la main gauche avec sutures ECRL et EPL, suture nerveuse de la branche sensitive du nerf radial gauche et sutures cutanées de la cuisse gauche et de la paume de la main droite. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle il était assuré obligatoirement contre le risque d'accidents, a pris en charge le cas, lui versant des indemnités journalières. En incapacité de travail à 100 %, il a suivi un traitement médicamenteux à base essentiellement d'antalgiques et a bénéficié d'une prise en charge par une ergothérapeute.
A.b. En raison de douleurs, l'assuré a été soumis en octobre et décembre 2016 à de nouveaux examens échographiques et radiologiques du poignet gauche, qui ont révélé des ruptures du long extenseur radial du carpe et du long extenseur du pouce. Le diagnostic de rupture secondaire du tendon du long extenseur du pouce gauche et d'adhérences tendineuses du long extenseur radial du carpe a été posé et l'intéressé a été opéré une nouvelle fois le 18 janvier 2017 par les médecins de l'Hôpital D._, qui ont pratiqué un transfert du tendon extenseur propre de l'index sur le long extenseur du pouce et une ténolyse du long extenseur radial du carpe.
Ensuite de cette seconde intervention chirurgicale, l'assuré, toujours suivi à l'Hôpital D._, a poursuivi son traitement médicamenteux et ergothérapique. A compter de mai 2017, il a bénéficié en sus d'un suivi psychologique au motif d'une péjoration de son état psychique depuis septembre 2016, due à la persistance de douleurs et à la perte importante des mouvements articulaires au niveau du poignet et de la main gauche. Un épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique et un trouble de l'adaptation ont été diagnostiqués.
A.c. Dans un rapport du 1 er mars 2018, la doctoresse E._, spécialiste en neurochirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA, a estimé que l'état de santé de l'assuré était stabilisé et que sa capacité de travail dans son emploi d'aide-monteur était nulle. En revanche, il disposait d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de sa main gauche, qui prohibaient le port de charges de plus de 3 ou 4 kilos, le travail nécessitant la motricité fine de la main gauche, les mouvements répétitifs de la main gauche ainsi que les travaux sur des escaliers ou des échafaudages. Par estimation du même jour, cette spécialiste a évalué le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) à 5 %. Le 2 mars 2018, la CNA a fait savoir à l'assuré que sa situation médicale était considérée comme stabilisée et qu'elle mettait fin au paiement des frais médicaux et de l'indemnité journalière au 30 avril 2018.
Dans une appréciation neurologique du 8 octobre 2018 - qui ne prenait pas en considération le volet psychiatrique -, la doctoresse F._, spécialiste en chirurgie, et le docteur G._, spécialiste en neurologie, tous deux du centre de compétences de la CNA, ont constaté que les avis médicaux au dossier convergeaient en ce qui concernait l'incapacité de travail de l'assuré dans son activité d'aide-monteur et sa capacité de travail dans une activité adaptée. En sus du taux de 5 % fixé par leur consoeur pour le trouble sensitif du nerf radial gauche, ils ont estimé le taux de l'IPAI à 40 % pour les seules limitations fonctionnelles de la main gauche, ce qui correspondait à la perte d'une main.
A.d. Par décision du 9 janvier 2019, confirmée sur opposition le 21 février 2019, la CNA a refusé de répondre des troubles psychiques de l'assuré au motif qu'ils n'étaient pas en relation de causalité adéquate avec l'accident, le lien de causalité naturelle n'étant pas contesté. Retenant que l'intéressé était en mesure d'exercer à plein temps une activité adaptée ne nécessitant pas l'utilisation de la main gauche, elle a refusé de lui allouer une rente d'invalidité pour ses troubles physiques, en fixant le revenu d'invalide sur la base des chiffres du niveau de compétence 1 de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) et en tenant compte d'un abattement de 20 % en raison des limitations fonctionnelles de l'assuré. En revanche, celui-ci s'est vu octroyer une IPAI correspondant à un taux de 45 %. La CNA a encore précisé, dans sa décision sur opposition, qu'aucune indemnité journalière n'était due au-delà du 30 avril 2018.
B.
Saisie d'un recours contre cette décision, la I re Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg l'a rejeté par jugement du 19 août 2020.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens que des indemnités journalières lui soient octroyées au-delà du 30 avril 2018 jusqu'à la stabilisation de son état de santé sur le plan psychique, avec délai supplémentaire de quatre mois pour se reconvertir dans une activité adaptée à partir de la communication de la CNA, que ses traitements médicaux sur les plans physique et psychique soient pris en charge par la CNA et qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité psychique soit réservée. A titre subsidiaire, il conclut à la réforme du jugement entrepris en ce sens que des indemnités journalières lui soient octroyées jusqu'au 30 juin 2018, qu'une rente d'invalidité fondée sur un taux de 34.13 % dès le 1 er juillet 2018 lui soit allouée, que ses traitements médicaux sur les plans physique et psychique soient pris en charge par la CNA et qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité psychique soit réservée.
L'intimée conclut au rejet du recours. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer. Le recourant a spontanément répliqué.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si l'autorité précédente a violé le droit fédéral en confirmant la décision sur opposition de l'intimée en tant que cette dernière a refusé de répondre des troubles psychiques du recourant, de lui allouer une rente d'invalidité pour ses troubles physiques, ainsi que de lui accorder des indemnités journalières et de prendre en charge son traitement médical au-delà du 30 avril 2018.
2.2. Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF); le recours peut alors porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (art. 97 al. 2 LTF). Lorsque le jugement entrepris porte à la fois sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets; en revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies aux art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêt 8C_416/2019 du 15 juillet 2020 consid. 2 et les références).
En l'espèce, l'admission éventuelle des conclusions du recourant peut ouvrir droit à des prestations aussi bien en espèces qu'en nature, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente, à tout le moins s'agissant des faits communs à ces deux objets.
3.
3.1. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. Du catalogue des prestations découlent notamment le droit au traitement médical (art. 10 LAA), le droit à une indemnité journalière (art. 16 et 17 LAA), le droit à une rente d'invalidité (art. 18 ss LAA) ainsi que le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité (art. 24 et 25 LAA).
3.2. Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou ne serait pas survenu de la même manière (ATF 142 V 435 consid. 1 p. 438; 129 V 177 consid. 3.1 p. 181). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de manière générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 précité consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 s. et les références).
3.3. En présence de troubles psychiques consécutifs à un accident, la jurisprudence a dégagé des critères objectifs qui permettent de juger du caractère adéquat du lien de causalité. Elle a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement: les accidents insignifiants ou de peu de gravité, les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants (cf. ATF 129 V 402 consid. 4.4.1 p. 407; 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140; 403 consid. 5c/aa p. 409) :
les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
la gravité ou la nature particulière des lésions physiques, compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
la durée anormalement longue du traitement médical;
les douleurs physiques persistantes;
les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise (ATF 129 V 402 consid. 4.4.1 précité p. 408; 115 V 133 précité consid. 6c/bb p. 140). De manière générale, lorsque l'on se trouve en présence d'un accident de gravité moyenne, il faut un cumul de trois critères sur les sept, ou au moins que l'un des critères retenus se soit manifesté de manière particulièrement marquante (arrêt 8C_663/2019 du 9 juin 2020 consid. 3.2 et les références). Par ailleurs, un seul critère peut être suffisant pour admettre l'existence d'une relation de causalité adéquate lorsque l'accident considéré apparaît comme l'un des plus graves de la catégorie intermédiaire, à la limite de la catégorie des accidents graves (ATF 115 V 133 consid. 6c/bb précité p. 140 s.).
3.4. La cour cantonale a considéré que l'intimée avait à bon droit refusé de prester pour les troubles psychiques du recourant, en l'absence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident du 24 mai 2016 et lesdits troubles. A ce titre, elle a retenu à l'instar de l'intimée que l'accident se situait dans la catégorie des accidents de gravité moyenne stricto sensu et non à la limite supérieure, et que seul était rempli le critère des douleurs physiques persistantes, lequel devait toutefois être relativisé dès lors que les affections somatiques présentées par le recourant demeuraient compatibles avec l'exercice d'une activité lucrative à plein temps. Les juges cantonaux ont en outre refusé d'octroyer au recourant un délai de trois à cinq mois, à compter de la date de stabilisation de son état de santé fixée par l'intimée (à savoir le 30 avril 2018), pour lui permettre de se réadapter à une nouvelle profession. Ils lui ont ainsi dénié le droit à des indemnités journalières et à la prise en charge de ses traitements médicaux au-delà du 30 avril 2018.
Se fondant sur les pièces médicales au dossier, ils ont par ailleurs retenu que le recourant était apte à exercer à plein temps une activité de substitution adaptée à ses limitations fonctionnelles. S'agissant du rendement exigible, ils se sont ralliés aux conclusions de la doctoresse E._, qui considérait que l'intéressé pouvait travailler avec un rendement entier et dont l'appréciation était partagée par d'autres médecins, notamment la doctoresse F._ et le docteur G._. La juridiction cantonale s'est en revanche écartée de la conclusion de la doctoresse H._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur ainsi qu'en chirurgie de la main au Service de chirurgie plastique et de la main de l'Hôpital D._, qui avait admis une diminution de rendement de 30 % sans toutefois motiver son appréciation. Les premiers juges ont encore retenu que la main dominante du recourant était la droite alors que celui-ci prétendait être gaucher. Ils ont confirmé que le recourant ne pouvait pas prétendre à l'octroi d'une rente d'invalidité, en considération d'un taux d'invalidité de 5,9 % qui prenait en compte un abattement de 20 % sur le revenu d'invalide issu des données de l'ESS. L'intimée était donc en droit de mettre un terme à ses prestations au 30 avril 2018.
4.
Le recourant se plaint d'une violation du droit et d'une constatation incomplète et inexacte des faits en tant que l'instance précédente a nié le lien de causalité adéquate entre l'accident du 24 mai 2016 et ses troubles psychiques.
4.1. Il critique tout d'abord la qualification de l'accident, soutenant que celui-ci devrait être classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne à la limite supérieure.
4.1.1. La cour cantonale a retenu que l'accident se situait dans la catégorie des accidents de gravité moyenne stricto sensu. Le recourant n'avait pas subi d'amputation et ne présentait pas d'amyotrophie ni de perte visible au niveau de son membre supérieur gauche. Il n'avait par ailleurs pas totalement perdu l'usage de sa main gauche mais pouvait exercer des activités professionnelles ne la sollicitant que légèrement.
4.1.2. Le recourant explique que sa main gauche aurait présenté des lésions nerveuses et que son état serait équivalent à celui d'une amputation, dès lors que les docteurs F._ et G._ auraient estimé que les atteintes constatées étaient telles qu'il s'agissait d'une situation mono-manuelle à droite, justifiant l'octroi d'une IPAI à un taux correspondant à une perte de la main. Il ne pourrait plus utiliser sa main gauche sur le plan professionnel ni effectuer les gestes de la vie courante de manière naturelle, sa main gauche étant quasiment inutilisable et uniquement passive.
4.1.3. Selon la jurisprudence, pour procéder à la classification de l'accident dans l'une des trois catégories prévues par la jurisprudence, il faut uniquement se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même. Sont déterminantes les forces générées par l'accident et non pas les conséquences qui en résultent. La gravité des lésions subies - qui constitue l'un des critères objectifs pour juger du caractère adéquat du lien de causalité - ne doit être prise en considération à ce stade de l'examen que dans la mesure où elle donne une indication sur les forces en jeu lors de l'accident (arrêts 8C_663/2019 du 9 juin 2020 consid. 4.3.2; 8C_567/2017 du 12 mars 2018 consid. 5.1 et les références).
4.1.4. Dans la pratique, ont été classés parmi les accidents de gravité moyenne à la limite supérieure les accidents ayant occasionné les lésions de la main suivantes: l'amputation totale du pouce, de l'index, du majeur et de l'auriculaire, et partielle de l'annulaire chez un menuisier dont la main droite s'était trouvée coincée dans une toupie (arrêt U 233/95 du 13 juin 1996 consid. 3), ainsi que l'amputation du petit doigt, de la moitié de l'annulaire et des deux-tiers de l'index chez un aide-scieur dont la main gauche avait été blessée par une fraiseuse (arrêt U 280/97 du 23 mars 1999 consid. 2b).
En revanche, n'ont pas été jugés comme étant de gravité moyenne à la limite supérieure l'accident subi par un scieur dont la main gauche avait été prise dans la chaîne d'une machine avec pour résultat une amputation de l'auriculaire, un annulaire douloureux et une atrophie des autres doigts (arrêt U 5/94 du 14 novembre 1996 consid. 2b), de même que celui dont a été victime un aide-serrurier avec une machine à scier entraînant l'amputation des extrémités de deux doigts à la main droite et de trois doigts à la main gauche (arrêt U 185/96 du 17 décembre 1996 consid. 2b) ou encore l'accident ayant causé un raccourcissement du pouce phalangien d'un demi-centimètre et un index hypoesthésique (arrêt U 25/99 du 22 novembre 2001 consid. 4c). Il en est allé de même de l'accident subi par un assuré dont la main droite avait été entraînée dans une ébavureuse avec pour résultat une mutilation de la face dorsale des doigts longs de la main droite (arrêt 8C_175/2010 du 14 février 2011 consid. 4.4), de celui dont a été victime un menuisier en se coupant avec une fraiseuse avec pour conséquence des blessures à certains doigts, en particulier une amputation partielle de l'un d'eux (arrêt 8C_77/2009 du 4 juin 2009 consid. 4.1), de celui ayant occasionné des sections des tendons fléchisseurs et des nerfs collatéraux de l'index et du majeur gauches à un travailleur blessé par une perceuse (arrêt 8C_566/2019 du 27 novembre 2020 consid. 7), ainsi que de celui subi par une employée de nettoyage qui avait reçu sur le poignet droit une meuleuse à disque qu'un ouvrier avait laissé échapper du deuxième étage, avec pour résultat un oedème face dorsale et une dermabrasion de la main droite (arrêt 8C_613/2019 du 17 septembre 2020 consid. 7).
4.1.5. En l'espèce, le recourant s'est blessé à la main gauche avec une meuleuse alors qu'il coupait une charpente, ce qui a entraîné une plaie délabrante de la face dorso-radiale du poignet gauche avec section du long extenseur du pouce, section du long extenseur radial du carpe et section de la branche sensitive du nerf radial, ainsi qu'une arthrotomie radio-carpienne. Malgré d'importantes limitations fonctionnelles, sa main demeure entière, de sorte que son accident n'est pas assimilable à un accident dont les forces qu'il génère aboutissent à une amputation. L'appréciation des docteurs F._ et G._ (cf. consid. 4.1.2 supra) n'apparaît pas pertinente à ce stade de l'examen, dès lors qu'elle ne donne pas d'indications sur les forces en jeu lors de l'accident mais se limite à évaluer la fonctionnalité de la main gauche indépendamment des circonstances de l'accident. Au vu de la casuistique présentée ci-dessus (cf. consid. 4.1.4 supra), on doit retenir que les forces mises sur la main gauche du recourant au moment de l'accident étaient d'importance moyenne. L'appréciation des premiers juges concernant la qualification de l'accident, à savoir de gravité moyenne stricto sensu, peut donc être confirmée. Il faut ainsi un cumul de trois critères sur les sept dégagés par la jurisprudence, ou que l'un des critères retenus se soit manifesté de manière particulièrement marquante, pour admettre le lien de causalité adéquate entre l'accident subi par le recourant et ses troubles psychiques (cf. consid. 3.3 supra).
4.2. Le recourant soutient que tous les critères seraient réunis, à l'exception de ceux de la durée anormalement longue du traitement et des erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident.
4.2.1. Le critère des douleurs physiques persistantes a été admis par l'intimée ainsi que par la cour cantonale, sans qu'il se soit pour autant manifesté de manière particulièrement marquante, et il n'y pas lieu de s'écarter de cette appréciation.
4.2.2. En ce qui concerne l'existence de difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes, il convient de préciser que ces deux aspects ne doivent pas être remplis de manière cumulative. Il doit toutefois exister des motifs particuliers ayant entravé la guérison, et ce même s'il n'a pas été possible de supprimer les douleurs de l'intéressé, ni même de rétablir une capacité de travail entière (arrêts 8C_613/2019 précité consid. 6.4.3; 8C_249/2018 du 12 mars 2019 consid. 5.2.5 et les références). La prise de nombreux médicaments et la poursuite de diverses thérapies ne suffisent pas à admettre le critère en cause (arrêt 8C_1020/2008 du 8 avril 2009 consid. 5.7 et les références).
En l'occurrence, le recourant a subi le jour même de son accident une première intervention chirurgicale, qui s'est déroulée sans complications. Une seconde opération s'est toutefois avérée nécessaire quelques mois plus tard, en raison d'une gêne et de douleurs en lien avec un diagnostic de rupture secondaire du tendon du long extenseur du pouce gauche et d'adhérences tendineuses du long extenseur radial du carpe. Cette seconde intervention s'est également bien déroulée, sans pour autant faire disparaître les douleurs ressenties par le recourant. Au vu de la complexité de ses blessures au membre supérieur gauche, le fait qu'il ait dû se soumettre à une seconde opération - laquelle s'est déroulée comme la première sans complications - n'apparaît pas suffisant pour admettre l'apparition de difficultés en cours de guérison ou de complications importantes. La persistance des douleurs et la poursuite de certaines thérapies, comme celle par blocs stellaires, ne suffisent pas non plus. A titre de comparaison, le critère litigieux a été nié dans un cas où la reconstruction du dos de la main d'un assuré avait nécessité cinq interventions chirurgicales (cf. arrêt 8C_175/2010 précité consid. 5.4 in fine). Le moment auquel le recourant était apte à reprendre une activité professionnelle adaptée à ses limitations fonctionnelles, qui serait selon lui litigieux, n'est pas non plus déterminant au vu de la jurisprudence précitée. Le critère en cause doit ainsi être nié.
4.2.3. S'agissant du critère des circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou du caractère particulièrement impressionnant de l'accident, la raison pour laquelle la jurisprudence a adopté ce critère repose sur l'idée que de telles circonstances sont propres à déclencher chez la personne qui les vit des processus psychiques pouvant conduire ultérieurement au développement d'une affection psychique. C'est le déroulement de l'accident dans son ensemble qu'il faut prendre en considération. L'examen se fait sur la base d'une appréciation objective des circonstances d'espèce et non en fonction du ressenti subjectif de l'assuré, en particulier de son sentiment d'angoisse. Il faut en effet observer qu'à tout accident de gravité moyenne est associé un certain caractère impressionnant, lequel ne suffit pas pour admettre l'existence du critère en question (arrêt 8C_613/2019 précité consid. 6.4.1 et les références).
Le caractère impressionnant de l'accident a été admis dans des cas de blessures à la main par des machines ayant occasionné des amputations ou des mutilations. Il en fut ainsi dans le cas d'un travailleur dont la main avait été entraînée dans une ébavureuse avec pour résultat une mutilation de la face dorsale des doigts longs de la main droite (arrêt 8C_175/2010 précité consid. 5.2), ainsi que dans celui d'un aide-scieur dont la main gauche avait été blessée par une fraiseuse avec comme conséquence l'amputation du petit doigt, de la moitié de l'annulaire et des deux-tiers de l'index (arrêt U 280/97 précité consid. 2b/bb). Tel a aussi été le cas s'agissant d'un menuisier dont la main droite s'était trouvée coincée dans une toupie et qui avait subi une amputation totale du pouce, de l'index, du majeur et de l'auriculaire, et partielle de l'annulaire (arrêt U 233/95 précité consid. 3c), ou encore d'un menuisier s'étant coupé avec une fraiseuse avec pour résultat des blessures à certains doigts, en particulier une amputation partielle de l'un d'eux (arrêt 8C_77/2009 précité consid. 4.2.1).
Le critère des circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou du caractère particulièrement impressionnant de l'accident n'a en revanche pas été retenu dans d'autres cas de blessures à la main par des machines ayant pour certaines entraîné des amputations. Il s'agissait notamment d'un scieur dont la main gauche avait été prise dans la chaîne d'une machine avec pour résultat une amputation de l'auriculaire, un annulaire douloureux et une atrophie des autres doigts (arrêt U 5/94 précité consid. 2b/aa et bb), ainsi que d'un aide-serrurier dont la blessure avec une machine à scier avait entraîné l'amputation des extrémités de deux doigts à la main droite et de trois doigts à la main gauche (arrêt U 185/96 du 17 décembre 1996 consid. 2b). Il en est allé de même dans le cas d'un travailleur victime de multiples lésions à une main après un accident avec une fraiseuse à bois (arrêt U 19/06 du 18 octobre 2006 consid. 4.1), et dans celui d'un machiniste dont la main gauche avait été sérieusement blessée après avoir été entraînée dans un appareil de laminage, l'intéressé ayant évité une atteinte à l'entier de son bras après avoir pu éteindre l'appareil de sa main droite (arrêt U 82/00 du 22 avril 2002 consid. 3.2.1).
En l'espèce, les blessures subies par le recourant n'ont entraîné aucune amputation, même si les limitations fonctionnelles de sa main gauche - décrite par les docteurs F._ et G._ comme une main auxiliaire passive - sont importantes. En outre, bien que l'on puisse reconnaître que l'accident ait eu un caractère impressionnant voire angoissant pour le recourant, il ne ressort pas du dossier que sa vie aurait été en danger. Les circonstances de l'accident, marqué selon lui par des saignements abondants, de vives douleurs et une hospitalisation immédiate en raison d'un délabrement important des plaies, ne permettent pas non plus de retenir la réalisation du critère litigieux, de telles manifestations ne sortant pas de l'ordinaire en cas d'accident du type de celui vécu par le recourant. Ce critère doit donc également être nié.
4.2.4. En ce qui concerne le critère du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques, il doit se rapporter aux seules lésions physiques et ne se mesure pas uniquement au regard de la profession antérieurement exercée par l'assuré. Ainsi, il n'est pas rempli lorsque l'assuré est apte, même après un certain laps de temps, à exercer à plein temps une activité adaptée aux séquelles accidentelles qu'il présente (arrêt 8C_209/2020 du 18 janvier 2021 consid. 5.2.2 et la référence). Ce critère est en principe admis en cas d'incapacité totale de travail de près de trois ans (arrêt 8C_547/2020 du 1 er mars 2021 consid. 5.1 et les références). En l'espèce, le recourant ne conteste pas avoir été apte, après un certain temps, à exercer une activité de substitution adaptée à ses limitations fonctionnelles. La durée de l'incapacité due aux lésions physiques dont il se prévaut, à savoir 21 mois, n'est pas suffisamment longue pour admettre le critère en cause.
4.2.5. Le point de savoir si le critère de la gravité ou de la nature particulière des lésions physiques est satisfait peut rester indécis, dès lors que son éventuelle admission ne conduirait qu'à la reconnaissance de deux critères sur sept, ce qui est insuffisant en l'espèce pour admettre le lien de causalité adéquate entre l'événement dommageable et les troubles psychiques (cf. consid. 4.1.5 in fine supra), étant entendu que le recourant ne prétend pas que le critère en question se serait manifesté de manière particulièrement marquante.
4.3. Par conséquent, c'est à bon droit que la cour cantonale a nié le lien de causalité adéquate entre l'accident du 24 mai 2016 et les troubles psychiques du recourant. Les griefs de ce dernier à ce propos s'avèrent mal fondés.
5.
5.1. Le recourant soutient ensuite que les juges cantonaux auraient refusé à tort de lui octroyer un délai de trois à cinq mois, à partir de la stabilisation de son état de santé fixée au 30 avril 2018, pour lui permettre de se réadapter à une nouvelle profession tout en continuant de bénéficier des prestations de l'intimée.
5.2. Pour dénier le droit du recourant à des indemnités journalières et à la prise en charge de ses traitements médicaux au-delà du 30 avril 2018, l'instance précédente s'est référée à juste titre à un arrêt récent du Tribunal fédéral, qui rappelle que la jurisprudence développée en relation avec l'obligation de diminuer le dommage en cas d'atteinte à la santé (exprimé à l'art. 6, deuxième phrase, LPGA [RS 830.1] par l'exigibilité d'une activité de substitution en cas d'incapacité de travail durable), ne concerne que l'indemnité journalière et n'est pas transposable au domaine des rentes, pour lesquelles le droit prend naissance selon d'autres conditions prévues par les lois spéciales, soit en assurance-accidents l'art. 19 LAA (arrêt 8C_310/2019 du 14 avril 2020 consid. 6.1.2 et les références). Le recourant - qui ne conteste pas que la stabilisation de son état de santé a été fixée en vertu de l'art. 19 al. 1 LAA - ne fournit pas d'arguments convaincants susceptibles de remettre en cause la jurisprudence du Tribunal fédéral encore récemment confirmée. En particulier, contrairement à ce qu'il avance, ladite jurisprudence n'entre pas en contradiction avec d'autres arrêts qu'il cite (8C_876/2013 et 8C_251/2012), lesquels ne concernaient pas le domaine des rentes, mais portaient uniquement sur le versement des indemnités journalières. Par ailleurs, il n'est pas contesté, contrairement à ce que semble croire le recourant, que l'art. 6, deuxième phrase, LPGA est applicable à l'assurance-accidents. Son grief tombe ainsi à faux.
6.
6.1. En lien avec l'octroi d'une rente d'invalidité en raison des atteintes à sa santé physique, le recourant prétend que contrairement à ce qui a été retenu par la juridiction cantonale, sa main dominante serait la gauche, à savoir celle touchée lors de l'accident du 24 mai 2016.
6.2. La cour cantonale a retenu que les chirurgiens ayant opéré le recourant avaient désigné son côté droit comme étant le côté dominant. Le docteur I._, spécialiste en anesthésiologie, avait été le premier à affirmer que l'assuré était gaucher. Les docteurs E._, G._ et F._ avaient exclu une atrophie au niveau des bras des deux côtés, ce qui parlait contre une exclusion de la main et du bras gauches. La déclaration écrite d'un ancien collègue de travail produite par le recourant ne suffisait pas à emporter la conviction des juges cantonaux. En tout état de cause, les considérations médicales émises par les docteurs E._, G._ et F._ valaient quelle que fût la main dominante de l'assuré, ces médecins ayant pris leurs conclusions en soulignant l'incertitude liée au côté dominant.
6.3. Le recourant soutient que la doctoresse J._, chirurgienne assistante lors de sa première opération à l'Hôpital D._, aurait commis une erreur dans l'établissement de la première feuille de suivi du patient en indiquant que la main dominante était la droite. Cette erreur initiale se serait logiquement répétée dans les feuilles de suivi établies postérieurement par la doctoresse H._, chirurgienne lors de la seconde opération, dès lors que les médecins les compléteraient dans un ordre chronologique. En outre, seule la doctoresse E._ aurait constaté qu'il n'y avait pas d'atrophie au niveau des bras des deux côtés. La déduction tirée de l'absence d'une telle atteinte par les premiers juges serait quoi qu'il en soit dépourvue de sens: le constat en défaveur d'une exclusion de la main gauche signifierait que l'assuré utilisait la main et le bras gauches en tant que membres dominants avant l'accident. La doctoresse E._ aurait constaté que les valeurs musculaires des bras droit et gauche étaient équivalentes deux ans après l'accident, ce qui parlerait en faveur d'un membre supérieur gauche dominant qui n'aurait plus été utilisé ensuite de l'accident. Il ressortirait du reste de plusieurs pièces du dossier ignorées par l'autorité précédente que le recourant serait gaucher. Enfin, les docteurs E._, G._ et F._ n'auraient pas souligné l'incertitude liée au côté dominant et n'auraient pas précisé que leurs conclusions étaient valables quelle que fût la main dominante. En cas de doute, une expertise aurait à tout le moins dû être mise en oeuvre pour déterminer le côté dominant.
6.4. Le rapport opératoire du 15 juillet 2016 relatif à la première opération du recourant, établi par la doctoresse J._, médecin assistante, indique que la main dominante est la droite. La feuille de suivi remplie par cette praticienne le 24 octobre 2016 mentionne la même main dominante. La doctoresse H._ a subséquemment (à quatre reprises entre le 1 er mars 2017 et le 30 novembre 2017) complété cette feuille de suivi qui portait toujours la même indication concernant la main dominante. D'autres rapports médicaux de cette spécialiste désignent également la main droite comme dominante. Cela étant, le docteur I._ a indiqué que l'assuré était gaucher dans une nouvelle feuille de suivi établie le 24 octobre 2017 dans le cadre d'une thérapie par blocs stellaires. La doctoresse E._ a pour sa part constaté des "incohérences" dans le dossier médical concernant le côté dominant. Le médecin traitant du recourant, la doctoresse K._, spécialiste en médecine interne générale, a pour sa part attesté que sa main droite n'était pas dominante, tandis que la doctoresse H._ est elle-même arrivée à la même conclusion dans un rapport du 23 avril 2018. Les docteurs G._ et F._ n'ont pas pris position à ce sujet dans leur appréciation du 8 octobre 2018.
6.5. Il résulte de ce qui précède que l'incertitude demeure quant au côté dominant du recourant et que les médecins s'étant déterminés sur sa capacité de travail dans une activité adaptée (à savoir la doctoresse E._ d'une part, et les docteurs G._ et F._ d'autre part) se sont prononcés sans que cette incertitude ait été levée. De surcroît, aucune investigation médicale n'a été menée pour éclaircir cette question, qui peut pourtant s'avérer pertinente pour l'examen du droit à une rente d'invalidité, en particulier sur la question du rendement exigible. Dans ces conditions, il apparaît nécessaire d'ordonner une expertise médicale en vue de trancher la question du côté dominant du recourant. Il s'agit d'un premier motif de renvoi de la cause à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision sur le droit à la rente d'invalidité.
7.
7.1. Le recourant se plaint en outre du fait que les premiers juges ont écarté une diminution de rendement de 30 % dans une activité adaptée, malgré l'appréciation en ce sens de la doctoresse H._. L'avis de la doctoresse E._, qui a retenu un rendement entier, ne serait pas partagé par les docteurs G._ et F._, lesquels ne se seraient pas déterminés sur la question du rendement, contrairement aux constatations de la juridiction cantonale. Au demeurant, ces derniers n'auraient pas rendu leur rapport en connaissance de cause, dès lors qu'ils n'auraient pas cherché à savoir si la main accidentée était ou non la main dominante. Les conclusions de la doctoresse H._ seraient par ailleurs motivées et convaincantes; elle aurait expliqué que la diminution de rendement de 30 % avait pour fondement le fait que la main encore valide était non dominante. Enfin et contrairement à ce qui a été retenu par l'autorité précédente, la doctoresse H._ ne serait pas le médecin traitant du recourant, mais une chirurgienne opérateur de l'Hôpital D._.
7.2. Force est de constater que les doctoresses E._ et H._ ont des avis divergents concernant le rendement exigible du recourant dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Comme relevé à juste titre par le recourant, les docteurs G._ et F._ ne se sont pas déterminés à ce propos dans leur rapport du 8 octobre 2018, pas plus que sur le côté dominant. La doctoresse E._ a conclu à un rendement entier sans que l'incertitude concernant la main dominante ait été levée et sans trancher cette question. Quant à la doctoresse H._, qui a participé à la seconde opération du 18 janvier 2017 en qualité d'opérateur, elle a effectivement motivé la diminution de rendement retenue de 30 % par le fait que la main droite valide serait non dominante. Au vu de ces avis divergents, émis de surcroît sans aucune certitude quant au côté dominant, une expertise médicale apparaît également nécessaire pour fixer le rendement exigible du recourant dans une activité de substitution. C'est un second motif de renvoi de la cause à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
8.
Il s'ensuit que le recours doit être partiellement admis au sens des considérants, avec pour conséquence l'annulation du jugement cantonal et de la décision sur opposition du 21 février 2019 en tant qu'elle porte sur le refus d'octroi d'une rente d'invalidité au recourant. La cause sera renvoyée à l'intimée pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale concernant la main dominante du recourant (cf. consid. 6.5 supra) et son rendement dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles (cf. consid. 7.2 supra). Après quoi, l'intimée rendra une nouvelle décision sur le droit du recourant à une rente d'invalidité.
9.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires seront répartis par moitié entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). En outre, le recourant a droit à des dépens réduits (art. 68 al. 1 LTF). La cause sera renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure précédente (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la I re Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg du 19 août 2020 est annulé. La décision sur opposition de la CNA du 21 février 2019 est annulée en tant qu'elle porte sur le refus d'octroi d'une rente d'invalidité au recourant. La cause est renvoyée à la CNA pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge du recourant et pour 400 fr. à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera au recourant la somme de 1400 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée à la I re Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la I re Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny