Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1956) war ab Juni 2010 als Taxifahrer bei der B._ GmbH angestellt. Am 26. Februar 2011 erlitt er einen Verkehrsunfall und war hernach - mit Ausnahme eines Arbeitsversuchs von dreimal drei Stunden im Januar 2012 - nicht mehr arbeitstätig. Im August 2011 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an unter Verweis auf Hals- und Rückenschmerzen, "Nervenschock", Müdigkeit sowie Schmerzen im Bereich Gesäss und Oberschenkel. Die Suva richtete bis Ende Oktober 2012 Taggelder aus und kam für die Heilbehandlung auf. Das Arbeitsverhältnis wurde durch die B._ GmbH am 3. April 2013 aufgelöst. Die IV-Stelle Basel-Stadt (fortan: IV-Stelle) traf berufliche und medizinische Abklärungen und holte insbesondere ein bidisziplinäres Gutachten (Rheumatologie und Psychiatrie) bei den Dres. med. C._ und D._ ein (Expertise vom 19. Juni 2013). Gestützt darauf sprach sie ihrem Versicherten ab 1. Juli 2013 eine halbe Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad: 55 %, Verfügung vom 18. Dezember 2013). Diese wurde mit Mitteilung vom 29. Juli 2016 bestätigt.
A.b. Die B._ GmbH war für die berufliche Vorsorge zunächst der Tellco pkPRO (fortan: Tellco; vormals: pensionskasse pro), Schwyz, angeschlossen. Per 1. Januar 2012 schloss sie sich der Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (fortan: Bâloise), Basel, an (Anschlussvertrag vom 1. Februar 2012). Tellco und Bâloise lehnten je für sich eine Zuständigkeit für die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab (Schreiben der Tellco vom 16. November 2017 und der Bâloise vom 17. Dezember 2018).
B.
Mit Klage vom 22. April 2019 gegen die Bâloise beantragte A._ dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt materiell, es sei "in grundsätzlicher Weise" festzustellen, dass er über die B._ GmbH bei der Bâloise in der obligatorischen beruflichen Vorsorge ab 1. Januar 2012 versichert sei. Die Bâloise sei zu verpflichten, seine vertraglichen Ansprüche rückwirkend zu berechnen, wobei die ausstehenden monatlichen Rentenleistungen ab Einreichung der Klage mit einem Zinsfuss von 5 % zu verzinsen seien.
Das kantonale Gericht wies die Klage am 22. Juni 2020 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, es sei der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 22. Juni 2020 aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, seine vertraglichen Ansprüche (obligatorische berufliche Vorsorge) rückwirkend zu berechnen und auszurichten, wobei die ausstehenden monatlichen Rentenleistungen ab Klageeinreichung mit einem Zinsfuss von 5 % zu verzinsen seien. Eventualiter sei die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen und neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es ist dabei weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden und kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 145 V 57 E. 4 S. 61 f.).
2.
Strittig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin (Invalidenrente aus obligatorischer beruflicher Vorsorge).
3.
3.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; BGE 135 V 13 E. 2.6 S. 17). Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (BGE 134 V 20 E. 3.2 Ingress S. 22; zum Ganzen vgl. etwa Urteil 9C_515/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.1.1).
3.2. Löst der Arbeitgeber den Anschlussvertrag mit der Vorsorgeeinrichtung auf, so haben sich die bisherige und die neue Einrichtung über den Verbleib oder Wechsel der Rentenbezüger zu einigen, sofern der Anschlussvertrag für diesen Fall keine Regelung vorsieht. Fehlt eine Regelung im Anschlussvertrag oder kommt zwischen der bisherigen und der neuen Vorsorgeeinrichtung keine Vereinbarung zustande, so verbleiben die Rentenbezüger bei der bisherigen Vorsorgeeinrichtung (Art. 53e Abs. 4 BVG).
Auch bei latenten Invaliditätsfällen ist grundsätzlich nur eine Vorsorgeeinrichtung leistungspflichtig. Bei Fehlen einer anderslautenden Bestimmung im Übernahmevertrag ist dies die bisherige unter Weiterbestehen des bisherigen Anschlussvertrages (Art. 53e Abs. 6 BVG; HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 3. Aufl. 2019, Rz. 1081; UELI KIESER, in: Handkommentar zum BVG und FZG, 2019, N. 23 i.V.m. N. 34 zu Art. 53e BVG). Latente Invaliditätsfälle sind solche, bei denen die Arbeitsunfähigkeit vor, die damit zusammenhängende Invalidität hingegen erst nach Auflösung des Anschlussvertrages eingetreten ist (Art. 53e Abs. 6 i.f. BVG; STAUFFER, a.a.O., Rz. 1081 und dortige Fn. 131). Sie sind demnach im Zeitpunkt des Anschlusswechsels "nur" der Möglichkeit nach vorhanden, aber noch nicht in Erscheinung getreten (BGE 145 V 343 E. 3.1.2 S. 350).
4.
4.1. Das kantonale Gericht stellte nach einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten fest, die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers sei bereits im Zeitpunkt des Unfalls im Jahr 2011 aufgrund eines Wirbelsäulenleidens überwiegend wahrscheinlich zu mindestens 20 % eingeschränkt gewesen. Dieses Leiden habe sich in der Folge ohne massgeblichen Unterbruch stetig vergrössert und schliesslich zur Invalidität geführt. Es erwog im Wesentlichen, die Invalidität stehe demnach in zeitlichem und sachlichem Zusammenhang mit der 2011 eingetretenen Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit; zu beurteilen sei ein latenter Invaliditätsfall. Für diesen bleibe gemäss Art. 53e Abs. 6 BVG und mangels klarer abweichender Regelung im Anschlussvertrag vom 21. November 2011 die Tellco als bisherige Vorsorgeeinrichtung zuständig. Demnach treffe die Beklagte keine Leistungspflicht.
4.2. Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt hinsichtlich seiner Arbeitsfähigkeit vor dem 1. Januar 2012 unvollständig abgeklärt oder ihre konkrete Beweiswürdigung in Verletzung von Bundesrecht vorgenommen haben soll. Vielmehr erschöpfen sich seine diesbezüglichen Vorbringen in appellatorischer Kritik an der Beweiswürdigung des Sozialversicherungsgerichts, worauf nicht einzugehen ist (vgl. etwa BGE 145 I 26 E. 1.3 S. 30). Dessen Schluss auf eine bereits im Zeitpunkt des Anschlusswechsels bestehende massgebliche Arbeitsunfähigkeit erscheint auch mit Blick darauf keinesfalls unvertretbar, dass der Beschwerdeführer im fraglichen Zeitraum keiner Arbeitstätigkeit nachging, sondern ein Taggeld der Unfallversicherung bezog. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Beschwerdegegnerin nach den anzuwendenden Vereinbarungen und Bestimmungen die Leistungspflicht für latent Invalide nicht zu übernehmen hat. Das kantonale Gericht hat demnach weder willkürlich entschieden noch sonstwie Bundesrecht verletzt, indem es erwogen hat, er sei im Zeitpunkt des Wechsels des Anschlussvertrages als latent Invalider bei der bisherigen Vorsorgeeinrichtung versichert geblieben (oben E. 3.2). Die Beschwerde ist demnach unbegründet und der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis zu bestätigen.
4.3. Die Leistungspflicht der vormaligen Vorsorgeeinrichtung ist hier nicht Streitgegenstand, so dass sich Weiterungen insbesondere zur Frage danach erübrigen, inwiefern die bereits vor 2012 bestandene Arbeitsunfähigkeit den geforderten engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zur später eingetretenen Invalidität (E. 3.1 hiervor) aufweist.
4.4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und besteht im Rahmen des hier massgeblichen Streitgegenstands (oben E. 2) kein zusätzlicher Abklärungsbedarf im Sinne des Eventualbegehrens des Beschwerdeführers.
5.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn er später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Daniel Tschopp wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Tellco pkPRO, Schwyz, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald