Faits :
A.
A.a. A._ souffre d'un trouble de la personnalité schizotypique depuis 1989. Il a travaillé pour le compte de la Poste, du 26 mai 1999 au 30 juin 2003, d'abord comme auxiliaire, à un taux d'activité variant entre 50 % et 70 %, puis en tant qu'employé d'exploitation à 50 % dès le 1 er janvier 2002. Dès mars 2003, il a exercé une activité lucrative pour le compte de B._ SA avant d'être licencié pour le 30 novembre 2009. A ce titre, il a été successivement assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pensions Poste (ci-après: la Caisse de pensions), puis de la Caisse de Prévoyance des Associations Techniques (CPAT - PTV). Il a également été affilié à la Fondation institution supplétive LPP, à partir de février 2010, dans le cadre de l'assurance-chômage.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (ci-après: l'office AI) a reconnu le droit de A._ à une rente d'invalidité du 1 er novembre 1992 au 30 avril 1993 (rente entière; décision du 24 février 1994), du 1 er décembre 2000 au 28 février 2007 (un quart de rente, puis une demi-rente dès le 1 er janvier 2001, puis un quart de rente dès le 1 er mai 2005; décisions des 22 septembre 2003, 18 mars 2005 et 22 janvier 2007), puis dès le 1 er avril 2011 (rente entière; décision du 26 mars 2012). Le droit à la rente entière d'invalidité a été confirmé par communications des 24 avril 2013 et 15 septembre 2016.
A.b. A deux reprises, les 5 avril 2012 et 28 avril 2017, A._ s'est adressé à la Caisse de pensions en vue d'obtenir des prestations de la prévoyance professionnelle. L'institution de prévoyance a chaque fois nié toute obligation de prester, au motif que l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité était apparue antérieurement à son affiliation auprès d'elle comme assuré (courriers des 30 octobre 2012 et 4 mai 2017).
B.
Le 23 novembre 2017, A._ a ouvert action contre la Caisse de pensions devant le Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales. Il a conclu à l'octroi d'une rente d'invalidité à déterminer pour la période du 24 septembre 2000 au 28 février 2007 et d'une rente entière à compter du 1 er avril 2011, et à ce que la juridiction cantonale ou la Caisse de pensions procède au calcul du montant des rentes. Par jugement du 12 août 2019, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du Valais a rejeté la demande.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à ce que la Caisse de pensions soit "reconnue compétente pour verser des rentes [d'] invalidité complète à compter du 1 er avril 2011 jusqu'à ce jour, respectivement du 23 novembre 2012 jusqu'à ce jour" et à ce qu'elle soit condamnée à les verser après calcul. Il requiert subsidiairement le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
La Caisse de pensions conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. A._ a déposé des observations le 18 novembre 2019.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
En instance fédérale, le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité entière de la prévoyance professionnelle dès le 1 er avril 2011. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il s'agit uniquement de déterminer s'il existe un rapport de connexité temporelle entre l'incapacité de travail survenue à l'époque où l'intéressé était affilié auprès de la Caisse de pensions intimée et l'invalidité pour laquelle un droit à une rente entière de l'assurance-invalidité a été reconnu à compter du 1 er avril 2011 (cf. art. 23 let. a LPP).
3.
Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité (art. 23 let. a LPP) ainsi qu'au début et à la fin de ce droit (art. 26 LPP), à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (ATF 138 V 409 consid. 6.2 et 6.3 p. 419 s.; ATF 134 V 20 consid. 3.2.1 et 5.3 p. 22 s. et 27 et les références). Il rappelle en particulier les principes sur la diminution de la capacité fonctionnelle déterminante (d'au moins 20 %), dans l'hypothèse où l'assuré a perçu un (plein) salaire durant la période en question, et à l'absence de recouvrement d'une capacité de travail de plus de 80 % dans une activité lucrative adaptée durant plus de trois mois après la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (ATF 144 V 58 consid. 4.4 et 4.5 p. 62 s.; 134 V 20 consid. 3.2.2 p. 23). Il mentionne également la jurisprudence relative aux conditions dans lesquelles les décisions de l'assurance-invalidité lient l'institution de prévoyance compétente (ATF 144 V 72 consid. 4.1 p. 75; 138 V 409 consid. 3.1 p. 414; arrêt 9C_122/2017 du 20 décembre 2017 consid. 2.3 et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. La juridiction cantonale a constaté que le recourant, pendant son activité à la Poste, avait été incapable de travailler pour cause de maladie du 10 juillet au 9 octobre 2000, du 23 au 27 décembre 2000 et à partir du 1er janvier 2002. Elle a considéré qu'il existait un lien de connexité matérielle et temporelle entre les troubles psychiques ayant conduit à la reconnaissance du droit à une rente entière d'invalidité du 1er novembre 1992 au 30 avril 1993 et ces incapacités de travail. L'origine de ces incapacités de travail étant antérieure à l'affiliation de l'assuré à la Caisse intimée, celle-ci n'était pas tenue de prester. En outre, même si on pouvait admettre que des atteintes à la santé d'origine somatique étaient survenues pendant la période d'affiliation à la Caisse intimée (notamment des lombosciatalgies sur hernie discale), ces prestations étaient désormais prescrites. Pour ce qui est de la période postérieure à l'engagement à la Poste, les premiers juges ont considéré que les troubles psychiques dont souffrait le recourant avaient connu une période significative de rémission, dans une mesure propre à lui permettre de reprendre durablement l'exercice d'une profession adaptée. En effet, l'intéressé avait exercé une activité, dès mars 2003, pour le compte de B._ SA, à un taux d'occupation supérieur à 80 % de 2005 jusqu'à son licenciement avec effet au 30 novembre 2009. Cette activité lui avait permis de réaliser un revenu excluant le droit à une rente de l'assurance-invalidité dès le 1 er mars 2007. L'assuré s'était par ailleurs inscrit au chômage en qualité de demandeur d'emploi pleinement apte au placement dès le 1 er février 2010. Faute de lien de connexité temporelle, la juridiction cantonale a partant nié l'obligation de la Caisse de pensions intimée de verser les prestations dès le 1 er août 2010, début de l'incapacité de travail à la base du droit à la rente entière d'invalidité versée depuis le 1 er avril 2011.
4.2. Le recourant reproche en substance à la juridiction de première instance d'avoir établi les faits de manière inexacte. S'agissant de la période antérieure à son engagement à la Poste, il fait valoir qu'il avait recouvré une capacité de travail à plus de 80 % durant une période largement supérieure à trois mois. En effet, après le 30 avril 1993, il n'avait plus présenté d'incapacité de travail significative pour cause de maladie. On ne pouvait dès lors pas affirmer, comme l'ont constaté les premiers juges, que l'origine des incapacités de travail présentes pendant son activité à la Poste était déjà antérieure. La Caisse intimée était donc en principe compétente pour verser des prestations de prévoyance professionnelle pour les incapacités de travail survenues pendant le service à la Poste. Pour ce qui est de son activité postérieure à son engagement à la Poste, il fait valoir qu'il n'a plus jamais retrouvé une pleine capacité de travail avec pour conséquence que la Caisse intimée restait redevable des prestations de prévoyance professionnelle. Par ailleurs, la Caisse intimée ne pouvait pas opposer l'exception de prescription pour les prestations postérieures au 1 er avril 2011, ou, à titre subsidiaire, pour celles postérieures au 23 novembre 2012, soit 5 ans avant le dépôt de l'action.
5.
5.1. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_131/2017 du 30 août 2017 consid. 2.2 et les références).
5.2. Dans la mesure où le recourant conclut à l'octroi de prestations de prévoyance professionnelle dès le 1 er avril 2011 et qu'il ne conteste pas que l'exception de prescription puisse s'opposer aux prétentions antérieures, le Tribunal fédéral n'a pas à vérifier si le lien de connexité temporelle s'est interrompu entre l'incapacité de travail survenue en novembre 1991 (à l'origine de l'octroi de la première rente d'invalidité) et l'invalidité survenue en novembre 1999 (à l'origine de la rente de l'assurance-invalidité versée dès le 1 er décembre 2000). De toute façon, cette question peut rester ouverte parce que, comme l'ont constaté les premiers juges, le lien de connexité temporelle s'est interrompu entre l'incapacité de travail survenue en novembre 1999 - lorsqu'il travaillait encore à la Poste - et l'invalidité qui s'est manifestée à partir du 1 er août 2010.
En effet, selon les constatations de la juridiction cantonale, après avoir quitté la Poste, le recourant a disposé d'une capacité de travail de plus de 80 % dans une activité adaptée pendant plusieurs années chez B._ SA, qui lui a permis de réaliser un revenu excluant le droit à une rente. En se limitant à indiquer qu'il "n'a jamais retrouvé une pleine capacité de travail même lorsqu'il était employé chez B._ SA de 2003 à 2009 puisqu'il travaillait à 75 %", le recourant ne démontre pas que les constatations des premiers juges quant au recouvrement d'une capacité de travail de plus de 80 % de 2005 à fin novembre 2009, pour laquelle il a perçu un revenu excluant le droit à une rente d'invalidité, sont manifestement inexactes. Les affirmations de l'assuré sont au demeurant infirmées par les informations figurant dans la demande par laquelle il a requis le versement d'indemnités de chômage à compter du 1 er février 2010. A la lecture de ce document, on constate que le recourant a indiqué avoir travaillé à plein temps pour le compte de B._ SA; il y a également mentionné être pleinement apte au placement et a certifié disposer d'une capacité de travail équivalente (cf. réponses aux questions 3 et 4 et informations données quant au dernier rapport de travail, sous les ch. 15 ss de la demande).
5.3. En conséquence de ce qui précède, le recourant n'a pas démontré ni même rendu vraisemblable que les premiers juges auraient établi les faits de façon manifestement inexacte en constatant l'absence d'incapacité de travail d'au moins 20 % durant sa période d'emploi auprès de B._ SA, à tout le moins de 2005 à 2009. A défaut d'un lien de connexité temporelle (cf. art. 23 let. a LPP), le droit aux prestations d'invalidité litigieuses a donc été nié à juste titre. Le recours est mal fondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 mars 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud