Erwägungen:
1.
1.1. Der kosovarische Staatsbürger A._ (geb. 1990) heiratete am 11. Dezember 2012 eine österreichische Staatsbürgerin mit Wohnsitz im Kanton St. Gallen und erhielt gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit Gültigkeit bis zum 16. De-zember 2017. Nachdem das Ehepaar eheschutzrichterlich am 12. Februar 2014 getrennt worden war, widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen am 8. August 2014 die Aufenthaltsbewilligung. Dagegen ergriff A._ die kantonalen Rechtsmittel. Während der Rechtshängigkeit des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht wurde die Ehe mit der österreichischen Staatsbürgerin am 6. Dezember 2016 geschieden. Am 13. Februar 2017 heiratete A._ eine schweizerische Staatsangehörige mit Wohnsitz im Kanton Luzern, mit der er zwei vorehelich geborene Kinder hat.
1.2. Im kantonalen Beschwerdeverfahren betreffend den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung von A._ traf das Verwaltungsgericht St. Gallen am 16. Januar 2018 folgenden Zirkulationsentscheid: Teilweise Gutheissung der Beschwerde und Aufhebung des Rekursentscheids vom 9. Mai 2016 mit Ausnahme der Kostenverlegung; Rückweisung der Angelegenheit an das Migrationsamt zur Überprüfung beziehungsweise Ergänzung des Sachverhalts im Sinne der Erwägungen (Abklärung des tatsächlichen Wohnsitzes) und zu neuer Entscheidung; Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege (wegen fehlenden Bedürftigkeitsnachweises) und Kostenauflage an A._. Gegen diesen, das Verfahren nicht abschliessenden, Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts St. Gallen führte A._ Beschwerde beim Bundesgericht, welches auf das Rechtsmittel, mangels Vorliegens eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), mit Urteil vom 22. Februar 2018 nicht eintrat (Urteil 2C_161/2018).
1.3. In der Folge verneinte das Migrationsamt des Kantons St. Gallen seine Zuständigkeit, wogegen A._ Rekurs an das Justiz- und Sicherheitsdepartement erhob. In der Zwischenzeit erteilte das Mi-grationsamt des Kantons Luzern A._ aufgrund seiner Ehe mit einer schweizerischen Staatsangehörigen eine Aufenthaltsbewil-ligung. Infolgedessen zog er den vor dem Sicherheits- und Justiz-departement St. Gallen hängigen Rekurs zurück. Das Sicherheits- und Justizdepartement St. Gallen schrieb das Rekursverfahren mit Verfügung vom 6. Juni 2019 vom Geschäftsverzeichnis ab.
1.4. Aufgrund des nun rechtskräftigen Abschlusses des Rekurs-verfahrens erhebt A._ mit Eingabe vom 8. Juli 2019 erneut Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Kostenverlegung im Zirkulationsentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Januar 2018. Er beantragt, dass der angefochtene Entscheid betreffend die Kostenverlegung aufzuheben sei; die gesamten Verfahrenskosten der kantonalen Instanzen seien dem Kanton St. Gallen aufzuerlegen und dieser habe den jeweiligen Rechtsvertretern eine volle Parteientschädigung gemäss Kostennote zuzusprechen; die Vorinstanz sei anzuweisen, die Kostennote des früheren Rechtsvertreters zu prüfen; dem Beschwerdeführer sei für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltliche Rechtsvertretung ab dem 13. September 2016 (Datum der entsprechenden Gesuchsein-reichung) zu gewähren und es sei ihm für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen.
1.5. Der Abteilungspräsident zog als Instruktionsrichter die kantonalen Vorakten bei.
2.
2.1. Angefochten ist, entgegen den Ausführungen des Beschwerde-führers, nicht die Abschreibungsverfügung des Sicherheits- und Justizdepartements vom 6. Juni 2019 (dagegen wäre zuerst Beschwerde vor dem kantonalen Verwaltungsgericht zu erheben gewesen), sondern die Kostenregelung im Urteil des Verwaltungs-gerichts St. Gallen vom 16. Januar 2018. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG), da auch in der Hauptsache die Beschwerde zulässig wäre, weil in vertretbarer Weise ein Bewilligungsanspruch geltend gemacht wird (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario).
2.2. Der angefochtene Entscheid ist als Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG zu qualifizieren und bewirkt weder einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), noch würde die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG; Urteil 2C_161/2018 vom 22. Februar 2018 E. 2.1). Aufgrund dessen kann der angefochtene Entscheid grundsätzlich noch zusammen mit dem Endentscheid an-gefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG). Wird die von der unteren Instanz aufgrund des Rückweisungsentscheids erlassene neue Ver-fügung oder der neue Entscheid in der Sache nicht mehr angefochten, kann direkt im Anschluss daran die Kostenregelung im Rück-weisungsentscheid innert der Beschwerdefrist von Art. 100 BGG direkt beim Bundesgericht angefochten werden (BGE 142 II 363 E. 1.1 S. 366). Diese Situation ergibt sich vorliegend aufgrund der Ab-schreibeverfügung des Sicherheits- und Justizdepartements St. Gallen vom 6. Juni 2019. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen An-gelegenheiten ist deshalb einzutreten.
2.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art 106 Abs. 1 BGG; BGE 145 IV 228 E. 2.1 S. 231). In Bezug auf verfassungsmässige Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 145 II 32 E. 5.1 S. 41). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Ent-scheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Indi-vidualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 145 II 32 E. 5.1 S. 41).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 26 E. 1.5 S. 31). Der Beschwerdeführer er-hebt keine Sachverhaltsrügen, weshalb der vorinstanzliche Sachver-halt für das Bundesgericht verbindlich ist.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die Kostenverlegung im Zir-kulationsentscheid vom 16. Januar 2018. Es sei willkürlich (Art. 9 BV), wenn seine Beschwerde teilweise gutgeheissen werde und zur Sach-verhaltsergänzung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, ihm aber gleichzeitig sämtliche Verfahrenskosten auferlegt worden seien.
3.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Ge-rechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (BGE 144 I 113 E. 7.1 S. 124; 144 II 281 E. 3.6.2 S. 287; 144 III 145 E. 2 S. 146).
3.3. Streitgegenstand vor der Vorinstanz war primär der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers. Aufgrund der Tat-sache, dass der Beschwerdeführer während des laufenden Beschwer-deverfahrens mehrmals seinen Aufenthaltsort gewechselt haben soll, war für die Vorinstanz unklar, ob er seinen Wohnsitz im Kanton St. Gallen oder im Kanton Luzern hat. Zwecks Wohnsitzabklärung wies es die Sache deshalb an die Unterinstanz zurück und hiess die Beschwerde teilweise gut. Die Verfahrenskosten auferlegte es dennoch dem Beschwerdeführer, weil dessen materiellrechtliche Rechtsbegehren mehrheitlich abgewiesen worden seien und die er-forderlichen weiteren Sachverhaltsabklärungen einzig seinen wider-sprüchlichen Angaben betreffend seinen Wohnsitz geschuldet seien.
3.4. Der Beschwerdeführer beanstandet diese Argumentation der Vorinstanz nicht hinreichend substanziiert. Seine Rügen erschöpfen sich vielmehr darin, seine eigene Interpretation der Rechtslage wiederzugeben und die Ausführungen der Vorinstanz zu kritisieren. Er beanstandet dabei aber weder die Argumentation, dass seine ma-teriellrechtlichen Rechtsbegehren mehrheitlich abgewiesen worden seien, noch dass er durch seine widersprüchlichen Angaben zu sei-nem Wohnsitz die Rückweisung überhaupt erst verursacht habe. Er unterlässt es mithin, anhand der Erwägungen des angefochtenen Ent-scheids aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Argumentation und Schlussfolgerung willkürlich und damit verfassungsrechtlich unhaltbar sein soll. Dies genügt den Anforderungen der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit nicht (vorne E. 2.3), weshalb diese Bean-standung nicht zu hören ist.
3.5. Bei diesem vorinstanzlichen Verfahrensausgang hatte somit der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen und es waren keine Parteikosten zu sprechen. Vor diesem Hintergrund bestand für die Vorinstanz deshalb kein Grund, die Kostennote des früheren Rechts-vertreters zu prüfen. Die Nichtüberprüfung der Kostennote erweist sich deshalb als sachlogisch und stellt, entgegen der Auffassung des Be-schwerdeführers, keine Rechtsverweigerung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV dar. Die entsprechende Rüge erweist sich somit als unbe-gründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass die Vorinstanz sein Gesuch um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ins-besondere die eingereichten Unterlagen zum Nachweis der Prozess-armut, nicht ordentlich geprüft habe und das Gesuch deshalb zu Un-recht abgewiesen worden sei.
4.2. Dem angefochtenen Zirkulationsentscheid vom 16. Januar 2018 lässt sich entnehmen, dass die Vorinstanz das Gesuch um die Ge-währung der unentgeltlichen Rechtspflege aus mehreren Gründen abgewiesen hat. Die Vorinstanz weist zunächst darauf hin, dass der frühere Rechtsvertreter des Beschwerdeführers weder im Verfahren vor der Vorinstanz, noch vor den weiteren kantonalen Instanzen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt habe und dass der Beschwerdeführer die verlangten Kostenvorschüsse offenbar problem-los habe bezahlen können. Andernfalls hätte er wohl um die Ge-währung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Darüber hinaus sei seine Bedürftigkeit aufgrund der eingereichten Unterlagen nicht hin-reichend nachgewiesen (E. 4.1 des angefochtenen Entscheids).
4.3. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt eine rechtsgenügliche Rüge von Art. 29 Abs. 3 BV erhebt (vorne E. 2.3), was hier offen-bleiben kann, ist diese vorinstanzliche Argumentation jedenfalls nicht verfassungsrechtlich unhaltbar und verletzt somit weder das Willkür-verbot (Art. 9 BV; vorne E. 3.2) noch Art. 29 Abs. 3 BV. Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 29 Abs. 3 BV soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen und es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit möglich sein (BGE 140 III 12 E. 3.3.1 S. 13). Aufgrund der Tatsache, dass der Beschwerdeführer instanzenübergreifend sämtliche Kostenvorschüsse vorbehaltlos bezahlen konnte, was er nicht bestreitet, war sein Zugang zum Gericht auch ohne die Gewährung der unentgeltlichen Rechts-pflege offensichtlich sichergestellt. Bereits dieser Umstand genügt, damit die Vorinstanz das entsprechende Gesuch des Beschwerde-führers willkürfrei und verfassungsrechtlich haltbar verweigern durfte.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als offensichtlich unbegründet. Sie kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abgewiesen werden.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG grundsätzlich kostenpflichtig; er hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Dem Gesuch kann nicht entsprochen wer-den. Der Beschwerdeführer vermag dem einlässlich begründeten vorinstanzlichen Urteil nichts Substanzielles entgegenzusetzen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher infolge Aus-sichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG) und die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem unterliegenden Beschwerde-führer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Partei-entschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungs-gericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hahn