Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1960 geborene A._ war seit 17. Januar 2011 als Näherin bei der B._ AG angestellt. Am 4. Mai 2011 meldete sie sich bei der IV-Stelle Luzern zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 14. November 2012 verneinte diese den Rentenanspruch. Auf Beschwerde der A._ wies das Kantonsgericht Luzern die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen gemäss den Erwägungen an die IV-Stelle zurück (Urteil vom 29. November 2013).
A.b. Die IV-Stelle holte u.a. ein polydisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (Medas) Zentralschweiz vom 19. August 2015 mit Ergänzung vom 14. Dezember 2015 ein. Weiter veranlasste sie ein polydisziplinäres Gutachten der estimed AG, Medas Zug, vom 3. September 2018. Mit Verfügung vom 15. November 2019 verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch erneut.
B.
Die Beschwerde der A._ gegen die letztgenannte Verfügung hiess das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 11. Januar 2021 teilweise gut. Es sprach ihr ab 1. September 2019 eine Viertelsrente zu. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, das kantonale Urteil sei insofern aufzuheben, als ihr erst ab 1. September 2019 ein Anspruch auf eine und zudem bloss Viertelsrente zuerkannt worden sei. Die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei ihr spätestens ab 1. Januar 2011 eine ganze und ab 1. Januar 2019 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Gründe für ein Nichteintreten auf die Beschwerde sind entgegen der Beschwerdegegnerin nicht ersichtlich und werden von ihr auch nicht dargetan (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 153 E. 1.1 S. 154).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Als Rechtsfrage gilt, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG beachtet wurden. Gleiches gilt für die Frage, ob den medizinischen Gutachten und Arztberichten im Lichte der rechtsprechungsgemässen Anforderungen Beweiswert zukommt (BGE 134 V 231 E. 5.1). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils BGE 141 V 585). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der Indikatoren nach BGE 141 V 281 auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (BGE 141 V 281 E. 7).
3.
Streitig ist, ob die vorinstanzliche Zusprache einer Viertelsrente ab 1. Januar 2019 bundesrechtskonform ist.
Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend den Rentenanspruch (Art. 28 IVG) und die Invaliditätsbemessung bei im Gesundheitsfall voll erwerbstätigen Versicherten nach dem Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt bezüglich der Beurteilung der Invalidität bei psychischen Erkrankungen (BGE 143 V 409, 418, 141 V 281) und des Beweiswerts von Arztberichten (vgl. E. 1 hiervor; BGE 125 V 351 E. 3a). Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz erwog in medizinischer Hinsicht im Wesentlichen, dem Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._, vom 17. Juli 2011 komme keine Relevanz zu. Das Medas-Gutachten vom 19. August 2015 erfülle nicht die Voraussetzungen für eine beweiskräftige medizinische Expertise. Beweiswertig sei hingegen das polydisziplinäre (allgemein-internistische, radiologische, neurochirurgische, neuropsychologische, neurologische, rheumatologische und psychiatrische) estimed-Gutachten vom 3. September 2018. Die Gutachter hätten in der Konsensbeurteilung zur Arbeitsfähigkeit festgehalten, aus interdisziplinärer Sicht bestehe in der angestammten Tätigkeit eine Arbeitsunfähigkeit von 70 % und in einer Verweistätigkeit von 50 %. Dabei gelte das im psychiatrischen und neurochirurgischen Teilgutachten beschriebene Fähigkeitsprofil. Obschon die Gutachter zum Schluss gelangten, dass sich keine additive Arbeitsunfähigkeit ergebe und daher die 50%ige Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Hinsicht in der Konsensbeurteilung enthalten ist, überprüfte die Vorinstanz die aus psychischen Gründen attestierte Arbeitsunfähigkeit anhand des strukturierten Beweisverfahrens. Dabei gelangte sie zum Schluss, dass diese sowohl im angestammten als auch in einem angepassten Bereich aus rechtlicher Sicht nicht berücksichtigt werden könne. In der Folge ging das kantonale Gericht in Übereinstimmung mit der Konsensbeurteilung der Gutachter aber dennoch davon aus, dass die Beschwerdeführerin ab 3. September 2018 (Datum des Gutachtens) 30 % in der angestammten Tätigkeit (Näherin) und 50 % in einer angepassten Tätigkeit arbeitsfähig sei. Vor dem 3. September 2018 sei aufgrund der medizinischen Akten keine Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin erstellt.
5.
5.1.
5.1.1. Die Vorinstanz erachtete das Medas-Gutachten vom 19. August 2015 u.a. deshalb als nicht beweiswertig, weil darin die mit ihrem Urteil vom 29. November 2013 als zwingend erachtete neurochirurgische Begutachtung der Beschwerdeführerin nicht stattgefunden habe. Im estimed-Gutachten vom 3. September 2018 sei eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus neurochirurgischer Sicht festgehalten worden. Zudem seien darin auch in den Disziplinen Neuropsychologie und Neurologie Einschränkungen attestiert worden. Da diese drei Disziplinen im MEDAS-Gutachten vom 19. August 2015 unerwähnt geblieben seien, sei es - so die Vorinstanz - nicht umfassend, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne.
5.1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, im vorinstanzlichen Urteil vom 29. November 2013 sei keine eigenständige neurochirurgische Begutachtung verlangt worden. Vielmehr sei einzig eine Klärung der Beschwerden an der HWS und LWS gefordert worden. Im Begutachtungsauftrag der IV-Stelle an die Medas vom 4. März 2015 sei auch keine neurochirurgische Begutachtung gefordert worden. In der Mitteilung an die Beschwerdeführerin vom 17. März 2015 betreffend die geplante Medas-Begutachtung habe die IV-Stelle die vorgesehenen Gutachterpersonen genannt. Dem Auftrag der IV-Stelle sei die Medas im Gutachten vom 19. August 2015 vollumfänglich nachgekommen. Zudem habe der rheumatologische Medas-Gutachter Dr. med. D._ auch zu den neurochirurgischen Einschränkungen der Beschwerdeführerin Stellung genommen. Somit genüge das Medas-Gutachten vom 19. August 2015 bereits in somatischer Hinsicht den gestellten Anforderungen.
5.2. im Urteil vom 29. November 2013 hatte die Vorinstanz die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie eine interdisziplinäre Begutachtung in Auftrag gebe, welche aus rheumatologischer/neurochirurgischer (in Bezug auf die Beschwerden an der HWS und LWS) sowie aus psychiatrischer Sicht zu erfolgen habe. Damit wurde klarerweise auch eine neurochirurgische Begutachtung gefordert, die im Rahmen des Medas-Gutachtens vom 19. August 2015 nicht durchgeführt worden war. Der rheumatologische Medas-Gutachter Dr. med. D._ konnte diese mangels Fachkompetenz nicht ersatzweise vornehmen. Folglich ist es nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz zum Schluss kam, dieses Gutachten sei in dieser Hinsicht nicht beweiswertig. Hieran ändert nichts, dass die IV-Stelle entgegen dem Auftrag der Vorinstanz von der Medas keine neurochirurgische Abklärung verlangte. Denn das Gericht hat zu prüfen, ob das Gutachten die Anforderungen an eine medizinische Beurteilungsgrundlage erfüllt (Urteil 8C_411/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 4).
6.
Umstritten ist weiter die psychische Problematik.
6.1. Die Beschwerdeführerin rügt im Wesentlichen, laut dem estimed-Gutachten vom 3. September 2018 betrage die psychisch begründete Arbeitsunfähigkeit mindestens 50 %. Diese Beurteilung sei anhand der Indikatorenprüfung fachgerecht vorgenommen worden. Im Zusammenspiel mit den somatischen Beschwerden sei auf eine gesamthafte Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit als Näherin von 70 % und in einer angepassten Verweisungstätigkeit von 50 % geschlossen worden. Hiervon sei ab 3. Oktober 2018 (Datum des Gutachtenseingangs) auszugehen. Deshalb sei die Berücksichtigung einer Arbeitsunfähigkeit bloss im somatischen Umfang rechtsfehlerhaft und zu gering.
6.2. Diese Einwände sind nicht stichhaltig. Denn im estimed-Gutachten vom 3. September 2018 wurde aus interdisziplinärer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit von 70 % und in einer Verweisungstätigkeit von 50 % festgestellt. Eine Addition der verschiedenen Teilarbeitsunfähigkeiten sei nicht vorzunehmen. Somit wurde die Arbeitsunfähigkeit von 50 % aus psychischen Gründen von den Gutachtern im Rahmen der Konsensbeurteilung mitberücksichtigt, was das kantonale Gericht zu übersehen scheint. Dieses ist aber bei der Prüfung der beruflich-erwerblichen Auswirkungen im Ergebnis dennoch von der von den Gutachtern festgestellten 50%igen Arbeitsunfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit ausgegangen. Da das angefochtenen Urteil aufgrund des Verbots der reformatio in peius (Art. 107 Abs. 1 BGG) ohnehin nicht zu Ungunsten der Beschwerdeführerin korrigiert werden kann, ist nicht weiter auf die Frage einzugehen, ob die Vorinstanz die im estimed-Gutachten aus psychischen Gründen attestierte Arbeitsunfähigkeit von 50 % zu Recht verneint hat.
7.
Umstritten ist weiter, ob in der Zeit vor dem estimed-Gutachten vom 3. September 2018 eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin bestand.
7.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf das psychiatrische Medas-Teilgutachten vom 23. Juni 2015. Sie macht geltend, entgegen der Vorinstanz sei es voll beweiswertig. Es werde durch das psychiatrische estimed-Teilgutachten vom 29. August 2018 nicht entwertet. Somit sei die Beschwerdeführerin gestützt auf das Medas-Teilgutachten vom 23. Juni 2015 spätestens seit Januar 2011 bis zum Zeitpunkt des estimed-Gutachtens vom 3. September 2018 aus psychischen Gründen vollständig arbeitsunfähig gewesen.
7.2. Praxisgemäss kann einem überzeugenden Teilkonsilium voller Beweiswert zuerkennt werden, auch wenn einem weiteren Teil des polydisziplinären Gutachtens die Beweiskraft fehlt (vgl. E. 5.2 hiervor; BGE 143 V 124 E. 2.2.4; Urteil 8C_54/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.2).
7.3.
7.3.1. Die Vorinstanz hat mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen wird - aufgezeigt, weshalb das psychiatrische Medas-Teilgutachten vom 23. Juni 2015 nicht beweiswertig sei und gestützt auf das estimed-Gutachten vom 3. September 2018 sowie die übrigen medizinischen Akten retrospektiv vor dem 3. September 2018 keine relevante Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin erstellt sei.
Festzuhalten ist insbesondere, dass der Psychiater Dr. med. univ. Dr. phil. E._, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, in den Stellungnahmen vom 18. November 2015 und 25. Januar 2016 das psychiatrische Medas-Teilgutachten vom 23. Juni 2015 aus versicherungspsychiatrischer Sicht als mangelhaft qualifizierte (zur Aufgabe des RAD, die funktionelle Leistungsfähigkeit der versicherten Person zu beurteilen vgl. Art. 59 Abs. 2 und 2bis IVG; Art. 49 IVV; BGE 137 V 210 E. 1.2.1 S. 219, 135 V 254 E. 3.3.2 S. 257).
7.3.2. Die Einwände der Beschwerdeführerin vermögen am vorinstanzlichen Ergebnis nichts zu ändern. Vielmehr handelt es sich bei ihren Vorbringen im Wesentlichen um eine unzulässige appellatorische Kritik, mit der sie ihre eigene Sicht der Dinge darstellt, ohne sich mit den eingehenden Erwägungen der Vorinstanz substanziert auseinanderzusetzen (vgl. BGE 146 IV 88 E. 1.3.1 S. 92). Insgesamt zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Verneinung einer Arbeitsunfähigkeit vor 3. September 2018 offensichtlich unrichtig oder anderweitig bundesrechtswidrig sein soll.
8.
Strittig ist weiter die beruflich-erwerbliche Seite der Invaliditätsbemessung (Art. 16 ATSG; zur bundesgerichtlichen Kognition siehe BGE 132 V 393 E. 3.3).
8.1. Die Vorinstanz erwog, da die Beschwerdeführerin seit 3. September 2018 in der angestammten Tätigkeit zu 70 % arbeitsunfähig sei, sei das Wartejahr nach Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG am 2. September 2019 abgelaufen. Zu diesem Zeitpunkt sei die sechsmonatige Karenzfrist nach Art. 29 Abs. 1 IVG im Lichte der Anmeldung vom 4. Mai 2011 längstens vorbei gewesen. Ein allfälliger Rentenanspruch sei somit frühestens ab 1. September 2019 zu prüfen (Art. 29 Abs. 3 IVG). Die Vorinstanz ermittelte anhand der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen wird - im Rahmen der 50%igen Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin in einer leidensangepassten Tätigkeit einen Invaliditätsgrad von gerundet 46 %, der zum Anspruch auf eine Viertelsrente führte.
8.2. Inwiefern das vorinstanzliche Ergebnis bundesrechtswidrig sein soll, ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert dargetan.
Unbehelflich ist ihr pauschaler Einwand, aufgrund ihrer generalisierten Angststörungen könne sie in einem leidensangepassten Umfeld zusätzlich zu ihrer reduzierten Arbeitsfähigkeit nur sehr schwer eingesetzt werden, weshalb beim trotz Gesundheitsschadens ermittelten Invalideneinkommen ein Leidensabzug von 25 % zu veranschlagen sei. Selbst wenn nämlich entsprechend dem estimed-Gutachten vom 3. September 2018 eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit bejaht würde, ist davon auszugehen, dass den entsprechenden Einschränkungen im Rahmen des 50%igen Belastungs- und Anforderungsprofils bereits Rechnung getragen wurde (vgl. E. 6.2 hiervor). Eine zusätzliche Berücksichtigung im Rahmen eine Abzugs wäre somit unzulässig (BGE 146 V 16 E. 4.1 S. 19 f.).
9.
Gegen die vorinstanzliche Ablehnung von Eingliederungsmassnahmen bringt die Beschwerdeführerin keine Einwände vor, weshalb es damit sein Bewenden hat.
10.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Viktor Estermann wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. August 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar