In Erwägung,
dass das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts Zürich die Beschwerdeführerin mit Urteil vom 20. April 2020 verurteilte, den gepachteten Schrebergarten Nr. 109 auf dem Areal Althoos am Rebhüsliweg 32 in 8046 Zürich unverzüglich zu räumen und dem Beschwerdegegner ordnungsgemäss zu übergeben, wobei es auf die Anträge der Beschwerdeführerin gemäss act. 17a nicht eintrat;
dass das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 19. Mai 2020 auf eine von der Beschwerdeführerin gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid vom 20. April 2020 erhobene Beschwerde infolge unzureichender Begründung des Rechtsmittels nicht eintrat;
dass die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht mit Eingabe vom 1. Juni 2020 erklärte, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 19. Mai 2020 mit Beschwerde anfechten zu wollen;
dass die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht am 8., 16. und 22. Juni 2020 weitere Eingaben einreichte;
dass die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 ff. BGG angesichts des massgebenden Streitwerts von weniger als Fr. 30'000.-- nicht erhoben werden kann (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG);
dass deshalb die Beschwerde in Zivilsachen vorliegend nur zulässig ist, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG; BGE 136 II 489 E. 2.6; 133 III 439 E. 2.2.2.1, 645 E. 2.4);
dass die Beschwerdeführerin nicht darlegt und auch nicht ersichtlich ist, inwiefern sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen könnte;
dass die Eingaben der Beschwerdeführerin unter diesen Umständen als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113 ff. BGG zu behandeln sind;
dass mit einer solchen Beschwerde ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (Art. 116 BGG);
dass in den Rechtsmitteln an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des kantonalen Entscheids dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn entsprechende Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG);
dass sich die Beschwerdeführerin nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 19. Mai 2020 auseinandersetzt und aufzeigt, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte;
dass die Eingaben der Beschwerdeführerin die erwähnten Begründungsanforderungen daher offensichtlich nicht erfüllen, weshalb auf die Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht eingetreten werden kann;
dass mit dem Entscheid in der Sache das sinngemäss gestellte Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos wird;
dass die Beschwerdeführerin bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG);
dass dem Beschwerdegegner keine Parteientschädigung zuzusprechen ist, da ih m aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG);
erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann