Erwägungen:
1.
A._ befindet sich seit dem 19. Oktober 2013 im Verwahrungsvollzug. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen lehnte mit Verfügung vom 9. Oktober 2015 die bedingte Entlassung des Verurteilten aus der Verwahrung ab und sah gleichzeitig davon ab, einen Antrag auf Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme zuhanden des Gerichts zu stellen. Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 1. Dezember 2015 ab. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 25. Februar 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_149/2016).
A._ erhob am 22. Juli 2016 Strafanzeige gegen den damaligen Leiter des Amts für Justizvollzug des Kantons St. Gallen wegen Amtsmissbrauchs und Freiheitsberaubung. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 5. Oktober 2016 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 4. November 2016 nicht ein (Verfahren 1C_492/2016). Ein weiteres Ermächtigungsverfahren sowie ein Beschwerdeverfahren wegen Vollzuges blieben für A._ erfolglos.
2.
Mit Verfügung vom 4. März 2020 wurde die bedingte Entlassung von A._ aus der Verwahrung erneut abgelehnt und auf einen Antrag an das Gericht auf Anordnung einer stationären Massnahme abgesehen. Diese Verfügung blieb unangefochten.
3.
Am 29. Juli 2020 erhob A._ Strafanzeige gegen Regierungsrat Fredy Fässler und Beamte des Amts für Justizvollzug. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen überwies mit Entscheid vom 16. September 2020 die Strafanzeige gegen den Regierungsrat zuständigkeitshalber an den Kantonsrat. Im Weiteren erteilte die Anklagekammer keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen Mitarbeitende des Amts für Justizvollzug. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass keinerlei Anhaltspunkte für strafrechtlich auch nur ansatzweise relevantes Verhalten der Angezeigten ersichtlich seien. Im Übrigen sei die Anklagekammer für Haftentlassungsgesuche, sinngemäss gestellte Revisionsbegehren, Entschädigungsforderungen und die beantragte Versetzung in den offenen Vollzug nicht zuständig.
4.
A._ führt mit Eingabe vom 28. September 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
5.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich überhaupt nicht mit den Ausführungen der Anklagekammer auseinander. Er vermag mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
6.
Der Beschwerdeführer beantragt für das vorliegende Verfahren sinngemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Kantonales Untersuchungsamt, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli