Erwägungen:
1.
Am 21. Dezember 2017 erstattete der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen seine Schwiegereltern AX._ und BX._. Diese sollen im Rahmen der Erstellung eines Berichts zu Handen des Eheschutzrichters gegenüber dem Sozialarbeiter ehrverletzende Äusserungen über ihn gemacht haben.
Mit Verfügung vom 4. Januar 2018 nahm die Staatsanwaltschaft die Strafanzeige nicht an die Hand.
Der Beschwerdeführer erhob beim Obergericht des Kantons Solothurn Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung. Das Obergericht wies die Beschwerde am 5. April 2018 ab.
Der Beschwerdeführer führt Beschwerde in Strafsachen vor Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 5. April 2018 sei aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, ein Strafverfahren gegen AX._ und BX._ wegen Ehrverletzungsdelikten zu eröffnen. Ihm sei für das vorinstanzliche Verfahren sowie für das vorliegende Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen und die Verfahrenskosten seien dem Kanton Solothurn aufzuerlegen.
2.
Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
2.1. Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (Art. 320 Abs. 3 StPO). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 6B_1358/2016 vom 1. Juni 2017 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 143 IV 241).
2.2. Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Eingabe vor Bundesgericht zu seiner Legitimation und insbesondere zur Frage einer allfälligen Schadenersatz- oder Genugtuungsforderung nicht. Um welchen konkreten Anspruch es gehen könnte, ist gestützt auf die Natur des angezeigten Vorwurfs auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Mangels einer auch nur rudimentären Begründung der Beschwerdelegitimation muss davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer zum vorliegenden Rechtsmittel nicht legitimiert ist.
2.3. Indessen ist der Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung der ihm zustehenden Verfahrensrechte zu rügen. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (BGE 141 IV 1 E. 1.1; 138 IV 248 E. 2; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beschränkt sich im Übrigen darauf, die vorinstanzliche Beweiswürdigung sowie die rechtliche Würdigung zu kritisieren und zu behaupten, AX._ und BX._ hätten vorsätzlich gehandelt. Zudem müssten die Strafverfolgungsbehörden weitere Beweise erheben und Einvernahmen durchführen. Diese Einwände zielen auf eine materielle Überprüfung des Entscheides ab und sind einer bundesgerichtlichen Überprüfung mangels Legitimation nicht zugänglich.
3.
Die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren begründet der Beschwerdeführer einzig mit der Gutheissung der Beschwerde. Es bleibt jedoch beim vorinstanzlichen Entscheid, weshalb auf den Antrag nicht eingetreten werden kann.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG mangels einer tauglichen Begründung nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Einzelrichterin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Jametti
Die Gerichtsschreiberin: Schär