Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1966, lebte von August 1995 bis Februar 1996 in Rorschach und meldete sich dann nach D._ ab. Nachdem sie von April 1998 bis Oktober 2000 in E._ gelebt hatte, zog sie erneut nach Rorschach, wo sie bis April 2005 blieb. In der Folge hielt sie sich jeweils für kurze Zeit in D._ sowie F._ auf und liess sich dann in St. Gallen nieder. Im Oktober 2012 verlor sie ihre Wohnung in St. Gallen und verbrachte danach kurze Zeit in einer Herberge in St. Gallen. Per 1. Januar 2013 kam sie bei B._ in Rorschach unter. Am 24. September 2013 wollte sie sich bei der Gemeinde Rorschach anmelden, was ihr mit Verfügung vom 4. Dezember 2013 verweigert wurde. Am 14. Februar 2014 ersuchte sie erneut um Anmeldung in Rorschach. Ihre Aufsichtsbeschwerde vom 21. März 2014 beim Departement des Innern des Kantons St. Gallen überwies dieses zuständigkeitshalber an den Stadtrat Rorschach. Letzterer wies am 24. Juni 2014 das Gesuch um Eintragung ins Einwohnerregister ab.
A.b. Am 14. April 2014 ersuchte B._ um Erlass eines Hausverbots gegen A._, die daraufhin für kurze Zeit bei C._ in Rorschach unterkam. In der Folge bewarb sie sich erfolglos um ein Zimmer in einer Pension in Rorschach und hielt sich nach eigenen Angaben während zehn Tagen bei einem ehemaligen Freund in G._, daraufhin zwei Nächte im Spital und anschliessend bei verschiedenen Kolleginnen in Rorschach auf. Am 4. Juli 2015 bezog sie in Rorschach ein Zimmer und ersuchte erneut um Eintrag ins Einwohnerregister. Der Mietvertrag wurde kurz nach Bezug des Zimmers von der Vermieterin wieder aufgelöst. Die Sozialen Dienste Rorschach unterstützten A._ von März bis Juni 2014 im Umfang des Grundbedarfs resp. des Notbedarfs. Nach ihrem Umzug nach St. Gallen per 1. Dezember 2014 leisteten die Sozialen Diensten St. Gallen wirtschaftliche Sozialhilfe.
A.c. Am 25. Februar 2015 forderten die Sozialen Dienste St. Gallen von der Politischen Gemeinde Rorschach (nachfolgend: Stadt Rorschach) den Ersatz der Sozialhilfekosten für fünf Jahre (rückwirkend ab 1. Dezember 2014), da sie A._ abgeschoben habe. Die Stadt Rorschach erhob dagegen Einsprache, was die Sozialen Dienste der Stadt St. Gallen mit Entscheid vom 27. Mai 2015 abwiesen. Das dagegen erhobene Rechtsmittel hiess das Departement des Innern insofern gut, als es die Feststellungen zum zivilrechtlichen Wohnsitz und zur einwohneramtlichen Anmeldung mangels Zuständigkeit aufhob und im Übrigen den Rekurs am 26. August 2016 abwies.
B.
Die von der Stadt Rorschach dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 27. September 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Die Stadt Rorschach führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es seien der vorinstanzliche Entscheid, der Entscheid des Departement des Innern vom 26. August 2016 sowie der Entscheid der Sozialen Dienste St. Gallen vom 27. Mai 2015 aufzuheben. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Eröffnung eines Beweisverfahrens und neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Stadt Rorschach zu verpflichten, die der Politischen Gemeinde St. Gallen (nachfolgend: Stadt St. Gallen) angefallenen Kosten während längstens einem Jahr zu übernehmen. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde.
Die Vorinstanz schliesst unter Verweis auf ihren Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Die Stadt St. Gallen beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; zudem sei dem Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht stattzugeben.
D.
Mit Verfügung vom 6. Dezember 2018 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde ab.
E.
Am 15. Dezember 2018 reichte die Stadt Rorschach unaufgefordert eine Stellungnahme zur Vernehmlassung der Stadt St. Gallen ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 141 V 234 E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen).
1.3. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (BGE 141 I 70 E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz die Stadt Rorschach zu Recht wegen Abschiebung zur Übernahme der für A._ anfallenden Sozialhilfekosten während fünf Jahren verpflichtet hat.
3.
Die Vorinstanz erwog, Art. 3 Abs. 2 und Art. 24 des Sozialhilfegesetzes des Kantons St. Gallen vom 27. September 1998 (SHG; sGS 381.1) verwiesen hinsichtlich des Unterstützungswohnsitzes und der Kostentragungspflicht auf das Bundesgesetz vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1). Anerkenne ein Kanton den Anspruch auf Kostenersatz oder Richtigstellung nicht, habe er binnen 30 Tagen beim fordernden Kanton Einsprache zu erheben (Art. 33 Abs. 1 ZUG). Anerkenne letzterer die Einsprache nicht, habe er diese abzuweisen; dieser Beschluss werde rechtskräftig, sofern der einsprechende Kanton nicht innert 30 Tagen Beschwerde erhebe (Art. 34 ZUG). Diese Bestimmungen würden sachgemäss für das Verfahren zwischen den Gemeinden gelten (Art. 3 Abs. 2 SHG). Den Beschluss einer Gemeinde könne die ins Recht gefasste Gemeinde ans Departement des Innern weiterziehen (Art. 33 [recte: Art. 22] lit. c und h des Geschäftsreglements der Regierung und der Staatskanzlei des Kantons St. Gallen vom 7. Dezember 1951; GeschR; sGS 141.3). Kompetenzkonflikte seien demnach nicht nach Art. 3 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP; sGS 951.1) zu entscheiden. Gestützt auf die verfahrensrechtlichen Normen des SHG und des ZUG habe die fordernde Gemeinde die Kompetenz, ihren Anspruch mittels Verfügung durchzusetzen. Damit mache das Gesetz eine Ausnahme vom Grundsatz, wonach Gemeinwesen keine hoheitlichen Anordnungen gegenüber einem auf der gleichen Ebene stehenden Gemeinwesen erlassen könnten. Art. 1 Abs. 2 lit. a des Reglementes der Stadt St. Gallen vom 22. Mai 2007 über den Weiterzug von Verfügungen und Entscheiden unterer Instanzen (sRS 93.2) mache bei Verfügungen, für die das Gesetz ein Einspracheverfahren vorsehe, eine Ausnahme vom direkten Weiterzug an die kantonale Rekursinstanz nach Art. 40 Abs. 2 VRP. Nach Art. 26 des Geschäftsreglements des Stadtrats der Stadt St. Gallen vom 2. Dezember 2004 (sRS 173.1) seien die Direktionen und die Verwaltungsstellen befugt, Verfügungen zu erlassen, soweit die Erfüllung der ihnen zugewiesenen Aufgaben durch den Erlass von Verfügungen geschehe; nach dessen Art. 29 lit. f oblägen der Direktion für Soziales und Sicherheit die Aufgaben im Bereich der Sozialhilfe. Damit sei diese zum Erlass des Richtigstellungsbegehrens befugt gewesen. Da die Einsprache kein devolutives Rechtsmittel sei, sei es an ihr gelegen, den Einspracheentscheid zu erlassen (vorinstanzliche E. 2).
Zur Begründung eines Wohnsitzes müssten das objektive äussere Merkmal des Aufenthalts und das subjektive innere der Absicht des dauernden Verbleibens erfüllt sein. Dabei komme es nicht auf den inneren Willen, sondern auf die objektiv erkennbare Absicht an. Der Unterstützungswohnsitz beginne mit der tatsächlichen Niederlassung, wobei weder an die Absicht noch an die Dauer des Verbleibens hohe Anforderungen gestellt werden dürften. Ein Indiz für die Wohnsitzbegründung von unsteten Personen sei der länger andauernde Aufenthalt. In der Praxis werde oft eine Dauer von sechs oder mehr Monaten verlangt. Es reiche eine kürzere Dauer, wenn andere Elemente auf Stabilität hinweisen würden. Im Gegensatz zum zivilrechtlichen Wohnsitz bleibe der Unterstützungswohnsitz nicht bis zur Begründung eines neuen bestehen, wohl aber wenn die Person nur vorübergehend woanders Unterschlupf suche. A._ sei unmittelbar nach dem Wegzug aus St. Gallen am 1. Januar 2013 in die Wohnung in Rorschach, gezogen, wo sie bis zum amtlichen Hausverbot vom 17. April 2014, mithin 15 Monate verblieben sei. Dies könne nicht als vorübergehend bezeichnet werden, so dass der Unterstützungswohnsitz in St. Gallen mit dem Wegzug beendet gewesen sei. Nicht ausschlaggebend sei, ob sie in Rorschach Miete bezahlt und B._ diesen Aufenthalt als Dauerlösung betrachtet habe. Mit ihrer Beharrlichkeit, die Wohnung nicht zu verlassen, habe sie gezeigt, dass sie in Rorschach verbleiben wolle. Es treffe nicht zu, dass sie sich nur sporadisch in Rorschach aufgehalten habe; denn das Hausverbot würde diesfalls keinen Sinn ergeben. Auch habe sie mit der Anmeldung vom 24. September 2013 beim Einwohneramt ihre Absicht, den Lebensmittelpunkt in Rorschach zu begründen, bekräftigt. Die daraufhin erfolgten Versuche, in Rorschach eine geeignete Unterkunft zu finden, sowie ihre erneute Anmeldung bestätigten diese Absicht. Per 1. Mai 2014 sei sie bei C._ in Rorschach, untergekommen; dabei sei unerheblich, ob das schriftliche Einverständnis des Vermieters zur Untermiete vorgelegen habe. A._ habe ihren Unterstützungswohnsitz in Rorschach durch das kurzfristige Unterkommen bei nicht in Rorschach wohnhaften Personen nicht verloren. Das stetige Zurückkommen sei vielmehr als Indiz für den Lebensmittelpunkt in Rorschach zu werten. Der Vertragsabschluss für das Zimmer in Rorschach bekräftige die Absicht, sich weiterhin in Rorschach aufhalten zu wollen. Nach dem Gesagten sei nicht zu beanstanden, dass das Departement des Innern auf die Befragung von C._ und B._ verzichtet habe. Da sich A._ ab 1. Januar 2013 mit der Absicht des dauernden Verbleibens in Rorschach aufgehalten habe, habe sich ihr Unterstützungswohnsitz seit diesem Zeitpunkt in Rorschach befunden (vorinstanzliche E. 3.1).
Nach Art. 25 SHG dürfe eine Gemeinde eine Person, die um Sozialhilfe nachsuche oder beziehe, nicht veranlassen, aus der Gemeinde wegzuziehen, wenn dies nicht im Interesse der Person liege; bei Widerhandlungen bleibe der Unterstützungswohnsitz am bisherigen Ort so lange bestehen, als die Person ihn ohne behördlichen Einfluss nicht verlassen hätte, längstens jedoch während fünf Jahren. Diese Regelung entspreche jener von Art. 10 ZUG. Somit sei es verboten, eine bedürftige Person auszuweisen oder sie durch behördliche Schikanen zum Wegzug zu veranlassen. Auch behördliche Interventionen bei Arbeitgebern oder Vermietern mit dem Zweck, sie zur Auflösung eines Arbeits- oder Mietvertrages zu veranlassen, seien unzulässig. Nach Sinn und Zweck von Art. 10 ZUG und Art. 25 SHG sei unter "Abschieben" ein behördliches Verhalten zu verstehen, das darauf ausgerichtet sei, den Wegzug der Person zu bewirken, obschon dieser nicht in deren Interesse liege. Dieses bestehe in der Regel darin, dass die Behörde im eigenen Interesse auf unfaire Weise aktiv werde, indem sie Einfluss auf Vermieter oder Arbeitgeber nehme oder der Person für den Fall des Wegzugs finanzielle oder andere Vorteile in Aussicht stelle. Gestützt auf die Bestätigung von B._, wonach A._ seit einiger Zeit vertragsfrei in seiner Wohnung in Rorschach wohnen könne, habe die Stadt Rorschach am 26. November 2013 ein Gespräch mit ihm geführt und A._ am 4. Dezember 2013 die Eintragung ins Einwohnerregister verweigert mit der Begründung, sie könne keinen Mietvertrag vorweisen und gemäss B._ bestehe auch keiner. Zwar sei das Einwohneramt berechtigt, die tatsächlichen Verhältnisse abzuklären, und das Vorliegen eines Mietvertrages könne als Indiz für die Absicht des dauernden Verbleibens gewertet werden, doch das Fehlen eines solchen sage bei sozialhilfebedürftigen Menschen wenig aus, da bei knappen finanziellen Verhältnissen die Wahrscheinlichkeit des unentgeltlichen Unterkommens gross sei. Da A._ sich bei der ersten Anmeldung bereits zehn Monate in derselben Wohnung aufgehalten habe, sei nicht nachvollziehbar, weshalb weitere Abklärungen über einen Mietvertrag getätigt worden seien. Der Stadtpräsident habe eingestanden, B._ gefragt zu haben, ob er wisse, was für Leute er nach Rorschach hole und mit welchen Konsequenzen. Nachdem A._ bei C._ untergekommen sei, aber infolge übermässigen Alkoholkonsums ins Spital habe eingeliefert werden müssen, habe sie sich mit Hilfe des Sozialdienstes des Spitals um ein Zimmer in einer Pension in Rorschach beworben. Gemäss Aktenvermerk vom 2. Juli 2014 hätten die Sozialen Dienste der Stadt Rorschach der Vermieterin mitgeteilt, diese könne zwar machen, was ihr beliebe, nur solle sie sich bei allen Vormietern über A._ erkundigen. Diese Aussage sei geeignet, bei einer Vermieterin genügend Misstrauen zu wecken, um von einem Vertragsschluss abzusehen. Ein solches Verhalten einer Sozialbehörde, die gestützt auf Art. 8 lit. b SHG verpflichtet sei, Hilfe bei der Suche nach Wohnung und Arbeit zu leisten, sei unredlich. Obwohl A._ einen Mietvertrag für ein Zimmer in Rorschach habe vorlegen können, habe ihr das Einwohneramt die Anmeldung verweigert. Der Stadtpräsident habe auch diese Vermieterin kontaktiert. Es sei nicht ersichtlich, was er damit habe bezwecken wollen, ausser erneut seinen Unmut über die geplante Zimmervermietung zu äussern. Kurze Zeit später sei das Mietverhältnis denn auch aufgelöst worden. In der Vorgehensweise der Stadt Rorschach sei eine systematische Weigerung ersichtlich, A._ ins Einwohnerregister einzutragen und ihr mangels Eintrag die ordentliche Sozialhilfe auszurichten. Diese Gesamtschau mache deutlich, dass die Stadt Rorschach im eigenen Interesse auf unredliche Weise aktiv geworden sei. Damit habe sie gegen das Verbot der Abschiebung nach Art. 10 ZUG bzw. Art. 25 SHG verstossen (vorinstanzliche E. 3.2).
Bei Widerhandlung gegen das Abschiebeverbot bleibe der Unterstützungswohnsitz am bisherigen Wohnort so lange bestehen, als die Person ihn ohne behördlichen Einfluss nicht verlassen hätte, längstens aber während fünf Jahren (Art. 25 Abs. 2 SHG). Bei einer seit vielen Jahren am gleichen Ort wohnhaften und im gleichen Betrieb arbeitenden Person sei ein Wegzug in der Regel unwahrscheinlich. Wer schon häufig Arbeitsplatz und Wohnort gewechselt und nie lange im gleichen Ort gewohnt habe, würde vermutlich bei Gelegenheit wegziehen. Bei der Bemessung der Straffrist sei zudem das Mass des behördlichen Verschuldens zu berücksichtigen. Es falle auf, dass die Aufenthaltsdauer an den verschiedenen Orten immer länger geworden sei und zuletzt fünf resp. sieben Jahre betragen habe sowie dass A._ immer wieder nach Rorschach zurückgekehrt sei, so auch per 1. Januar 2013. Zu berücksichtigen sei weiter, dass das Verschulden der Stadt Rorschach als nicht mehr leicht bezeichnet werden könne. Damit sei die Dauer der Unterstützungspflicht nicht zu beanstanden. Die Stadt St. Gallen sei folglich so zu stellen, als wäre A._ nicht per 1. Dezember 2014 nach St. Gallen gezogen. Die Stadt Rorschach sei zu verpflichten, ihr die seit 1. Dezember 2014 entstandenen und bis maximal 30. November 2019 noch entstehenden Sozialhilfekosten zu vergüten (vorinstanzliche E. 3.3).
4.
Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag zu keinem anderen Ergebnis führen.
4.1. Die Stadt Rorschach rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV, da zwar nicht das einzelne Behördenmitglied, aber die verfügende Behörde infolge ihres finanziellen Eigeninteresses am Ausgang des Verfahrens nicht unabhängig sei. Daher seien der Beschluss der Beschwerdegegnerin vom 27. Mai 2015 und damit auch die darauf beruhenden Rechtsmittelentscheide nichtig.
Nach der Rechtsprechung können sich Körperschaften des öffentlichen Rechts nicht auf Grundrechte berufen. Etwas anderes gilt in jenen Fällen, in welchen sie sich auf dem Boden des Privatrechts bewegen und gleich wie Privatpersonen betroffen sind oder sich auf die Gemeindeautonomie oder eine andere garantierte Autonomie berufen können (Art. 189 Abs. 1 lit. e BV). Bezüglich der Verfahrensgrundrechte sind Körperschaften des öffentlichen Rechts Grundrechtsträger, wenn sie als Partei eines Verfahrens auftreten und durch den umstrittenen Hoheitsakt in eigenen verfassungsrechtlich geschützten Rechten betroffen sind; auch können sie sich im Rahmen einer Behördenbeschwerde (vgl. Art. 89 Abs. 2 BGG) darauf berufen (vgl. Kiener/Kälin/Wyttenbach, Grundrechte, 3. Aufl. 2018, § 5 Rz. 23 f. und § 40 Rz. 14 f., Bernhard Waldmann, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, N. 10 f. zu Art. 29 BV oder Gerold Steinmann, in: St. Galler Kommentar, Die schweizerische Bundesverfassung, 3. Aufl. 2014, N. 15 zu Art. 29 BV, je mit Hinweisen auf die Rechtsprechung). Ob die Beschwerdeführerin, welche dazu keine Ausführungen macht, diese Voraussetzungen erfüllt, kann letztlich offenbleiben, da - wie nachfolgend gezeigt wird - keine Verletzung der angerufenen Verfassungsnormen vorliegt.
Die Vorinstanz hat in zutreffender Weise dargelegt, weshalb die Sozialen Dienste der Stadt St. Gallen zum Erlass des Entscheids über die Einsprache als nicht devolutivem Rechtsmittel legitimiert waren. Weder aus Art. 29 Abs. 1 noch Art. 30 Abs. 1 BV ergibt sich der Anspruch, dass eine von der verfügenden Behörde unabhängige Instanz über eine Einsprache entscheidet. Dass dieselbe Instanz zuständig ist, ist vielmehr systembedingt. Einsprachen beruhen auf spezialgesetzlicher Grundlage und gelangen in der Regel im Rahmen der Massenverwaltung zur Anwendung. Ihr Sinn und Zweck ist es, dem Adressaten der Verfügung im Nachhinein das rechtliche Gehör zu gewähren und der verfügenden Behörde die Gelegenheit zu geben, in Kenntnis der Einwände des Verfügungsadressaten erneut über die Sache zu befinden. Folglich ist es zwingend, dass dieses Rechtsmittel keinen devolutiven Effekt hat sowie dass die verfügende Behörde und nicht eine ihr übergeordnete Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde den Einspracheentscheid fällt. Insofern handelt es sich beim Einspracheverfahren nicht um ein Gerichtsverfahren, so dass Art. 30 Abs. 1 BV nicht direkt anwendbar ist (BGE 132 V 368 E. 6 S. 374; 131 V 407 E. 2.1.2 S. 411; vgl. auch BGE 140 I 326 E. 5.2 S. 329; vgl. zum Ganzen zudem Häfelin/Müller/Uhlmann, Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, Rz. 1194 ff., Kiener/Rütsche/Kuhn, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, Rz. 1968 ff., Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N. 4 ff. zu Art. 52 ATSG, Tschannen/Zimmerli/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 30 Rz. 49 ff. sowie Rhinow/Koller/Kiss/Thurnherr/Brühl-Moser, Öffentliches Prozessrecht, 3. Aufl. 2014, Rz. 1301 ff.). Gestützt auf diese systembedingte und demnach vom Gesetzgeber gewollte erneute Befassung derselben Behörde mit der Sache liegt keine unzulässige Vorbefassung bzw. fehlende (finanzielle) Unabhängigkeit im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV resp. Art. 30 Abs. 1 BV vor (so explizit Kiener/Rütsche/Kuhn, a.a.O., Rz. 1975; vgl. auch BGE 140 I 326 E. 5.2 S. 329).
Was den Einwand der fehlenden finanziellen Unabhängigkeit im Besonderen betrifft, bleibt anzufügen, dass der Staat zu einem haushälterischen Umgang mit den ihm zur Verfügung gestellten Mitteln verpflichtet ist. Dazu gehört auch, dass er zu Unrecht geleistete Zahlungen zurückzufordern bzw. beim leistungspflichtigen Dritten geltend zu machen hat, so wie dies vorliegend geschehen ist.
4.2. Die Beschwerdeführerin bemängelt eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. So habe sie entgegen der vorinstanzlichen Feststellung nicht bloss pauschal auf ihre früheren Rechtsschriften verwiesen, sondern die entsprechenden Passagen genau angegeben. Aus diesen ergebe sich, dass A._ nicht mit der Absicht des dauernden Verbleibens nach Rorschach gekommen sei, sondern nur zum Zweck einer vorübergehenden Absteige. Sie habe auch nie über eine Postadresse in Rorschach verfügt und den ersten ablehnenden Entscheid des Einwohneramtes nicht angefochten. Die Befragung von C._ und B._ sei geeignet, um nähere Angaben zum tatsächlichen Aufenthalt von A._ zu erhalten. Indem die Vorinstanz die beantragten Beweise nicht abgenommen habe, habe sie gegen die Pflicht von Art. 12 VRP, den relevanten Sachverhalt zu erstellen, verstossen und das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verletzt.
Es ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht dargelegt, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung, der blosse Verweis auf frühere Rechtsschriften genüge nicht den formellen Anforderungen an eine Beschwerdebegründung, gegen Bundesrecht verstossen soll (vgl. dazu die damit übereinstimmende Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 42 BGG: BGE 134 I 303 E. 1.3 S. 306; 134 II 244 E. 2.1 S. 245; in BGE 143 II 366 nicht publizierte E. 1.3.2). Die von der Beschwerdeführerin erwähnten Umstände vermögen weiter nicht aufzuzeigen, inwiefern der vorinstanzliche Sachverhalt willkürlich oder unter Verletzung von Bundesrecht erstellt worden sein soll (vgl. E. 1.2). Namentlich reicht die bloss abweichende Darlegung eines anderen Sachverhalts nicht aus, um Willkür nachzuweisen (BGE 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f.). Auch die grundsätzlich zulässige antizipierte Beweiswürdigung ist nicht zu beanstanden. Denn die Vorinstanz begründet in sachlicher und nachvollziehbarer Weise, weshalb sie auf die beantragten Befragungen von C._ und B._ verzichtete. Warum dies willkürlich sein soll, ist den Ausführungen der Stadt Rorschach nicht zu entnehmen. Damit ist der Vorinstanz keine offensichtlich unhaltbare bzw. willkürliche Anwendung der grundsätzlich zulässigen antizipierten Beweiswürdigung (BGE 136 II 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; vgl. auch Urteil 8C_649/2017 vom 4. Januar 2018 E. 7.6.2) zur Last zu legen, so dass auch hier offen bleiben kann, ob sich die Beschwerdeführerin als öffentlich-rechtliche Körperschaft überhaupt auf das Verfahrensgrundrecht nach Art. 29 Abs. 2 BV berufen kann (vgl. E. 4.1).
4.3. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, es liege keine Abschiebung im Sinne von Art. 10 Abs. 1 ZUG vor, ist ihren Ausführungen nicht ansatzweise zu entnehmen, inwiefern die Vorinstanz Art. 25 Abs. 1 SHG resp. den im innerkantonalen Verhältnis als bloss kantonales Recht zur Anwendung gelangenden Art. 10 Abs. 1 ZUG (BGE 143 V 451 E. 8.2 S. 456; 140 I 320 E. 3.3 S. 322) in willkürlicher Weise gehandhabt haben soll. Entsprechendes ist auch nicht ersichtlich. Eine bloss abweichende Auffassung oder der alleinige Umstand, dass auch eine andere Auslegung möglich oder allenfalls überzeugender wäre, genügt nicht zum Nachweis von Willkür (vgl. E. 1.3).
4.4. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin, die Dauer der Übernahme der anfallenden Kosten sei in willkürlicher Weise unangemessen lang.
Die Vorinstanz bestätigte die maximale Dauer (die Vorinstanz und die Beschwerdeführerin sprechen dabei wohl gestützt auf Werner Thomet [Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedrüftiger, 2. Aufl. 1994, N. 161 zu Art. 10 ZUG] aus heutiger Sicht unzutreffend von einer Straffrist) von fünf Jahren zur Übernahme der anfallenden Sozialhilfeko sten. Sie begründete dies damit, dass A._ einerseits immer wieder nach Rorschach zurückgekehrt sei und andererseits sich die Dauer des Verweilens am jeweiligen Ort zunehmend verlängert habe, so dass davon ausgegangen werden könne, ohne Eingreifen seitens der Stadt Rorschach würde sie immer noch dort wohnen; zudem könne das Verschulden der Beschwerdeführerin nicht mehr als leicht qualifiziert werden. Die Stadt Rorschach vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern mit dieser sachlichen und nachvollziehbaren Begründung eine willkürliche Handhabung des kantonalen Rechts vorliegen soll (vgl. E. 1.3). Auch hat die Vorinstanz für den Beginn der fünfjährigen Dauer zutreffend auf den Zuzug von A._ nach St. Gallen am 1. Dezember 2014 und damit auf den Zeitpunkt abgestellt, ab welchem die Beschwerdegegnerin Sozialhilfeleistungen erbracht hat.
4.5. Nach dem Gesagten ist der vorinstanzliche Entscheid bundesrechtskonform. Die Beschwerde der Stadt Rorschach ist somit abzuweisen.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende Stadt Rorschach hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Stadt St. Gallen hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da sie im Rahmen ihres amtlichen Wirkungskreises tätig war (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und dem Departement des Innern des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Riedi Hunold