Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 2015) ist die gemeinsame Tochter von C._ (geb. 1976) und B._ (geb. 1979). Die Eltern sind nicht miteinander verheiratet.
A.b. Am 5./7. Februar 2016 schloss C._ mit (der von ihrer Mutter vertretenen) A._ eine Unterhaltsvereinbarung ab, wobei sich C._ zur Bezahlung eines monatlichen Kindesunterhaltsbeitrags von Fr. 500.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) bis zur Volljährigkeit der Tochter verpflichtete. Gestützt darauf schrieb das Bezirksgericht Rheinfelden das zwischen den Parteien hängige Unterhaltsklageverfahren ab, genehmigte die Vereinbarung und erklärte sie zum Bestandteil des Dispositivs.
A.c. Mit Klage vom 26. April 2017 verlangte A._ nach dem Inkrafttreten des neuen Kinderunterhaltsrechts am 1. Januar 2017 gestützt auf Art. 13c SchlT ZGB die Neufestsetzung des Unterhalts. Der Kindsvater beantragte die Abweisung der Klage, soweit ein höherer Unterhaltsbeitrag als der in der gerichtlich genehmigten Vereinbarung vorgesehene (Fr. 500.--) gefordert werde. Mit Widerklage verlangte er die Einräumung eines Besuchsrechts und Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft. Mit Entscheid vom 17. September 2018 hielt das Bezirksgericht Rheinfelden die Unterhaltsbeiträge (Disp.-Ziff. 1.1), das Manko bei A._ (Disp.-Ziff. 1.2), die Überweisung der Familienzulagen (Disp.-Ziff. 1.3-1.4), die Indexierung (Disp.-Ziff. 2) und die finanziellen Verhältnisse der Beteiligten (Disp.-Ziff. 3) fest. Ferner regelte es den persönlichen Verkehr zwischen Kindsvater und Tochter (Disp.-Ziff. 4).
B.
Dagegen legte A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Mit Entscheid vom 4. Juni 2020 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut und setzte die Unterhaltsbeiträge sowie die dazugehörigen Einkommens- und Vermögensverhältnisse neu fest. Unstrittig kann mit den neuen Alimenten der Bedarf von A._ nicht gedeckt werden.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 31. August 2020 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, die Unterhaltsbeiträge seien in Abänderung des Urteils des Obergerichts für die Zeit ab Mai 2017 bis Juli 2027 neu auf Fr. 750.-- (Barunterhalt) bzw. Fr. 2'900.-- (Betreuungsunterhalt) festzulegen. Eventualiter sei die Sache zur Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem stellt die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor dem Bundesgericht.
C.b. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Demgegenüber hat C._ (Beschwerdegegner) mit Eingabe vom 12. April 2021 Stellung genommen. Er beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei die Beschwerde vollständig abzuweisen. Ferner stellt auch er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die Eingabe wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. Sie hat von der Möglichkeit, sich zur Beschwerdeantwort zu äussern, keinen Gebrauch gemacht.
C.c. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) entschieden hat. Streitig ist der Kindesunterhalt (Art. 276 ff. ZGB). Das ist eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur, wobei der Streitwert über Fr. 30'000.-- liegt (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Auf die im Übrigen rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweis).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweis).
2.3. Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass das Sachgericht in vielerlei Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (vgl. BGE 135 III 59 E. 4.4). Ermessensentscheide unterliegen lediglich der Rechtskontrolle. Ein Rechtsfehler bei der Ermessensausübung liegt vor und das Bundesgericht greift ein, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen; ausserdem werden Ermessensentscheide aufgehoben, die sich als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 142 III 617 E. 3.2.5; 141 III 97 E. 11.2; je mit Hinweis).
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Soweit sie nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstanden sind, sind sie als echte Noven von vornherein unzulässig (BGE 139 III 120 E. 3.1.2 mit Hinweis). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (vgl. BGE 143 I 344 E. 3 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin beschwert sich zunächst über die Beurteilung des Obergerichts, wonach für die Kindsmutter ab Januar 2021 ein Erwerbspensum von 50 % möglich und zumutbar sei.
3.1. Das Obergericht weist diesbezüglich darauf hin, es sei im Zeitpunkt des erstinstanzlichen Entscheids hinsichtlich der Frage, in welchem Umfang dem hauptbetreuenden Elternteil wegen der Kinderbetreuung die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nicht zumutbar sei, die 10/16-Regel gemäss BGE 115 II 6 einschlägig gewesen. Die 10/16-Regel sei unterdessen vom Bundesgericht geprüft bzw. geändert worden: Gemäss BGE 144 III 481 werde neu dem hauptbetreuenden Elternteil ab der (je nach Kanton mit dem Kindergarten- oder mit dem eigentlichen Schuleintritt erfolgenden) obligatorischen Beschulung des jüngsten Kindes eine Erwerbstätigkeit von 50 %, ab dessen Eintritt in die Sekundarstufe I eine solche von 80 % und ab Vollendung des 16. Altersjahres ein Vollerwerb zugemutet (a.a.O., E. 4.7.6). Dabei handle es sich um eine Richtlinie, von der in pflichtgemässer Ermessensausübung im Einzelfall abgewichen werden könne. Eine erhöhte Betreuungslast könne sich etwa durch die Behinderung des Kindes ergeben (a.a.O., E. 4.7.9). Diese neue höchstrichterliche Rechtsprechung sei auch im vorliegenden Verfahren zu berücksichtigen (Urteil 5A_727/2018 vom 22. August 2019 E. 3.2), was unter den Parteien grundsätzlich auch nicht strittig sei.
Das Obergericht führt weiter aus, die im März 2015 geborene Beschwerdeführerin besuche seit August 2019 den obligatorischen Kindergarten. Demgemäss sei der Kindsmutter die (Wieder-) Aufnahme einer Erwerbstätigkeit in einem 50 %-Pensum zumutbar, wobei ihr - angesichts der aktuellen Situation auf dem Arbeitsmarkt - eine grosszügige Übergangsfrist von sechs Monaten (bis Ende 2020) zu gewähren sei. Auf August 2027 (Eintritt der Beschwerdeführerin in die Oberstufe) werde die Kindsmutter ihr Pensum zunächst auf 80 % und auf März 2031 (Monat, in dem die Beschwerdeführerin ihren 16. Geburtstag feiern werde) auf 100 % zu erhöhen haben. Im Berufungsverfahren stelle sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, dass es ihrer Mutter im angestammten Beruf als Kundendienstberaterin für PW kaum möglich sei, eine Teilzeitarbeit zu finden, bzw. es dort keine Teilzeitstellen in U._ und Umgebung gebe, weshalb ihr erst ab März 2031 ein Einkommen aus einer 100 %-igen und damit eine Betreuungsunterhalt ausschliessende Erwerbstätigkeit anzurechnen sei. Allerdings handle es sich gemäss Obergericht dabei um eine Behauptung, die nicht nachvollziehbar sei und auch nicht ansatzweise bewiesen werde. Damit bleibe es bei der vorerwähnten Abstufung. Dies zumal die Beschwerdeführerin keine Gründe für eine Abweichung von den Richtlinien gemäss neuer Rechtsprechung anführe.
Was die Höhe des von der Kindsmutter in der angestammten Tätigkeit ("Verkaufskraft in der Motorfahrzeughandelsbranche") erzielbaren Einkommens anbelange, so das Obergericht weiter, habe das erstinstanzliche Gericht unter Hinweis auf den Lohnrechner des Bundes (Salarium) ausgeführt, dass von einem Bruttoeinkommen von Fr. 2'700.-- (inkl. Anteil am 13. Monatslohn) bei einem Wochenpensum von 21 Stunden und einem Bruttoeinkommen von Fr. 5'250.-- bei einem vollen Pensum auszugehen sei. Diese Feststellungen würden als solche im Berufungsverfahren nicht beanstandet, weshalb diese Werte zu übernehmen seien. Demgegenüber würden die gestützt darauf ermittelten Nettoeinkommen etwas hoch erscheinen, würden sich diese doch auf 92.6 % bzw. 92.0 % des jeweiligen Bruttolohnes belaufen, was Sozialversicherungsbeiträgen von lediglich 7.5 % bzw. 8 % entspräche. Unter Berücksichtigung der Abzüge für die AHV, IV, EO und ALV (zusammen 6.225 %), für Nichtberufsunfälle, unter Umständen auch Krankentaggeldversicherung, vor allem aber der BVG-Prämie, sei für die Phase von Januar 2021 bis und mit Juli 2027 ein Abzug von insgesamt 10 % (der Jahreslohn von Fr. 32'400.-- [12 x Fr. 2'700.--] befinde sich noch in der Nähe des Koordinationsabzugs von Fr. 24'885.-- [vgl. Art. 8 BVG]) und für die Zeit ab August 2027 ein solcher von 13 % vorzunehmen.
Nach dem Gesagten seien der Kindsmutter gemäss Obergericht folgende Nettoeinkommen anzurechnen:
- Fr. 2'430.-- (= Fr. 2'700.-- x 0.9) bei einer 50 %-Erwerbstätigkeit in der Zeit von Januar 2021 bis und mit Juli 2027
- Fr. 3'760.-- (= Fr. 2'700.-- : 5 x 8 x 0.87) bei einer 80 %-Erwerbstätigkeit in der Zeit von August 2027 bis Februar 2031
- Fr. 4'570.-- (= Fr. 5'250.-- x 0.87) bei voller Erwerbstätigkeit ab März 2031
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, es handle sich beim Schulstufenmodell - wie das Obergericht richtig ausführe - lediglich um eine Leitlinie, von der in pflichtgemässer Ermessensausübung abgewichen werden könne, wenn dafür sachliche Gründe vorliegen würden. Gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts sei es erforderlich, dass nebst dem Vorhandensein und der konkreten Greifbarkeit von Drittbetreuungsangeboten (darunter auch schulergänzende Angebote wie Mittagstisch etc.), welche eine Erwerbstätigkeit faktisch zuliessen, immer auch die tatsächliche Erwerbsmöglichkeit anhand der üblichen Kriterien (Gesundheit, Ausbildung, Arbeitsmarktlage etc.; vgl. BGE 128 III 4 E. 4a; 137 III 102 E. 4.2.2.2; Urteil 5A_129/2015 vom 22. Juni 2016 E. 5.5.1 [ recte: E. 5.1.1]) gegeben sei. Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass ihrer Mutter bereits ab Ende 2020 eine Erwerbstätigkeit von 50 % möglich und zumutbar sei. Das Obergericht rechne der Kindsmutter ab Januar 2021 ein Einkommen als Verkaufskraft in der Motorfahrzeughandelsbranche mit einem Pensum von 50 % an. Tatsächlich verfüge sie jedoch über eine in Deutschland absolvierte Ausbildung als "Kundendienstberaterin PW" oder, wie dieser Beruf heute auch bezeichnet werde, als "Serviceberaterin PW", wobei sie hierfür auf die Website <www.agvs-upsa.ch/de/jobs> verweist. Sie sei also nicht im Verkauf tätig, sondern für die technische und administrative Betreuung von Fahrzeugen und Kunden zuständig gewesen. In diesem Bereich gebe es nachweislich kaum Teilzeitstellen, da die Kundenberater jeweils die Fahrzeuge am Morgen entgegennehmen müssten, diese den Tag durch betreuen und am Abend dem Kunden wieder übergeben würden. Denn die Übergabe der Informationen von Fahrzeugen in der Reparatur sei sehr umfangreich und zeitaufwändig, weshalb es aus betrieblichen Gründen notwendig sei, dass diejenige Angestellte, welche das Fahrzeug entgegennehme, dieses auch wieder dem Kunden zurückgebe. Die bisherigen Bemühungen der Kindsmutter, eine Teilzeitstelle zu finden, seien deshalb trotz regelmässiger Suchanstrengungen erfolglos geblieben. Dabei sei auch zu berücksichtigen, dass sie seit mittlerweile sechs Jahren nicht mehr im Arbeitsmarkt integriert sei, was eine sehr lange Zeit darstelle. Ausserdem seien die Aussichten, in der Automobilindustrie eine Stelle zu finden, aufgrund der Corona-Krise und des damit verbundenen massiven Umsatzeinbruches sehr schlecht. Zu berücksichtigen seien auch die Schulzeiten an ihrem Wohnort U._. Aktuell gehe die Beschwerdeführerin von 8.15 bis 11.45 Uhr und montags von 13.35 bis 15.05 Uhr in den Kindergarten. Kostenlose Betreuungsangebote über den Mittag existierten in ihrer Wohnsitzgemeinde nicht. Angesichts dieser Schul- bzw. Kindergartenzeiten erscheine es deshalb nicht möglich, dass die Kindsmutter einer Erwerbstätigkeit von 50 % nachgehen könne. Ins Gewicht falle ohnehin, dass es in der Gemeinde U._ keine unentgeltlichen Betreuungsangebote gebe und deshalb zu befürchten sei, dass der Kindsmutter von einem allfälligen Einkommen nach Deckung der Fremdbetreuungskosten kaum mehr etwas bleibe. Hinzu komme schliesslich, dass der Kindsvater seinen Betreuungspflichten nicht immer nachkomme, was ihre tatsächlichen Möglichkeiten, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, weiter einschränke. Der Beschwerdegegner habe mit seiner Weigerung, die Beschwerdeführerin gemäss der gerichtlichen Regelung zu betreuen, die Kindsmutter auch in die Situation gebracht, dass sie ihr BWL-Studium kurz vor dem Abschluss aus Zeitmangel habe abbrechen müssen. Hätte er seine Betreuungspflichten wahrgenommen, dann hätte sie ihr Studium abschliessen und damit ihre Aussichten, eine Stelle zu finden, deutlich verbessern können. Das Obergericht habe diese konkreten Umstände nicht berücksichtigt und es zu Unrecht als tatsächlich möglich und zumutbar erachtet, dass die Kindsmutter bereits ab Januar 2021 einer Erwerbstätigkeit mit einem Pensum von 50 % nachgehen könne. Die Würdigung aller relevanten Umstände liesse vielmehr nur den Schluss zu, dass die Voraussetzungen, um ihr ab diesem Zeitpunkt ein Einkommen anzurechnen, nicht erfüllt seien und ihr deshalb erst ab August 2027, mit dem Eintritt der Beschwerdeführerin in die Oberstufe, ein solches angerechnet werden könne.
3.3. Im Verhältnis zum unmündigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der eigenen Erwerbskraft zu stellen (BGE 137 III 118 E. 3.1 mit Hinweis). Schöpft ein Elternteil seine Erwerbskraft nicht voll aus, kann ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen ihm zumutbar und möglich ist. Welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, ist eine Rechtsfrage. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen tatsächlich erzielbar ist (BGE 144 III 481 E. 4.7.8; 143 III 233 E. 3.2 mit Hinweis; 137 III 102 E. 4.2.2.2 mit Hinweis).
3.4.
3.4.1. Was die Zumutbarkeit der (Wieder-) Aufnahme der Erwerbstätigkeit anbelangt, legt das Obergericht gestützt auf das Schulstufenmodell nachvollziehbar dar, ab August 2019 (Eintritt der Beschwerdeführerin in den obligatorischen Kindergarten) sei ein Pensum von 50 %, ab August 2027 (Eintritt der Beschwerdeführerin in die Oberstufe) ein Pensum von 80 % und ab März 2031 (16. Geburtstag der Beschwerdeführerin) ein 100 %-Pensum zumutbar. Begründete Einwände, die für eine Abweichung von dieser Abstufung sprechen würden (bspw. erhöhter Betreuungsaufwand infolge mehrerer Kinder; vgl. hierzu BGE 144 III 481 E. 4.7.9), bringt die Beschwerdeführerin nicht vor und sind auch nicht erkennbar. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich im Übrigen nicht, dass die Zumutbarkeit dieser Erwerbspensen vor Obergericht streitig gewesen wäre.
3.4.2. Hinsichtlich der Frage der tatsächlichen Möglichkeit der Erwerbsaufnahme trifft der Einwand der Beschwerdeführerin, wonach als Kundendienstberaterin PW kaum Teilzeitstellen verfügbar seien, ins Leere. Diesen bereits im Berufungsverfahren eingebrachten Einwand hat das Obergericht als nicht ansatzweise bewiesen erachtet (vgl. E. 3.1). Mit dieser vorinstanzlichen Erwägung setzt sich die Beschwerdeführerin mit keinem Wort auseinander. Insbesondere macht sie nicht geltend, ihre Behauptung im obergerichtlichen Verfahren belegt oder zumindest sachdienliche Hinweise hierzu vorgebracht zu haben. Vielmehr begnügt sie sich damit, vor Bundesgericht zu wiederholen, es gebe "nachweislich" kaum Teilzeitstellen in diesem Bereich. Diese pauschale Bemerkung genügt freilich nicht, um die obergerichtlichen Annahmen als offensichtlich unhaltbar auszuweisen. Bei den weiteren Tatsachenbehauptungen betreffend die Stelle als Kundendienstberaterin handelt es sich um Noven, zu deren Zulässigkeit die Beschwerdeführerin sich nicht äussert, weshalb sie unbeachtlich bleiben (vgl. E. 2.4). Nach dem Gesagten erweist sich die Rüge als unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
4.
Weiter kritisiert die Beschwerdeführerin für den Fall, dass der Kindsmutter eine Teilzeitarbeit zugemutet werde, die fehlende Anrechnung von Fremdbetreuungskosten.
4.1. Das Obergericht erwägt diesbezüglich, soweit die Beschwerdeführerin in der Berufung abweichend von der ersten Instanz Fremdbetreuungskosten von Fr. 50.-- geltend mache, fehle es an einer Begründung. Offensichtlich beziehe sich die Beschwerdeführerin auf ihre Klage. Dort werde ausgeführt, dass die Beschwerdeführerin den Dienstagmittag und Freitag bei einer Tagesmutter verbringe. Zum Beweis sei eine "Bestätigung der Kinderbetreuungskosten 2016" ins Recht gelegt worden, die für das ganze Jahr ein Gesamttotal von Fr. 491.80 ausweise. Die erste Instanz habe diese Position im angefochtenen Entscheid nicht behandelt. Diesbezüglich, so das Obergericht, sei vorab klarzustellen, dass Kosten einer Fremdbetreuung nicht (im Sinne von Gewinnungskosten) in den Bedarf des hauptbetreuenden Elternteils gehörten, sondern zum Bedarf des Kindes zu zählen seien. Sodann verstehe sich von selbst, dass Fremdbetreuungskosten nichts in der Berechnung des Existenzminimums des unmündigen Kindes zu suchen hätten, solange der hauptbetreuende Elternteil sich - wie vorliegend die Mutter der Beschwerdeführerin - auf den Standpunkt stelle, er müsse wegen der Kinderbetreuung keiner Erwerbstätigkeit nachgehen, und deswegen Betreuungsunterhalt verlangt werde. Damit seien im vorliegenden Fall keine Fremdbetreuungskosten zu berücksichtigen.
Für die Zeit ab Januar 2021, ab welcher das Obergericht der Kindsmutter gemäss dem Schulstufenmodell die Aufnahme einer Teilerwerbstätigkeit zumutet, hält es fest, es liege dieser Rechtsprechung nicht die Überlegung zugrunde, dass bei Erreichen der jeweils nächsten Stufe die bisherige Betreuung des Kindes durch den Elternteil durch Fremdbetreuung abgelöst werden solle. Vielmehr werde vom betreuenden Elternteil erwartet, dass er in der Zeit, während der sich das Kind im Kindergarten bzw. in der Schule aufhalte (und deshalb keiner - kostenpflichtigen - Fremdbetreuung bedürfe) einer Erwerbstätigkeit nachgehe.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, ihr müssten zumindest im Grundbedarf Fremdbetreuungskosten angerechnet werden. In Anbetracht der konkreten Schulzeiten in U._ (aktuell 8.15 Uhr bis 11.45 Uhr und montags von 13.35 Uhr bis 15.05 Uhr) erscheine es "völlig unrealistisch", dass die Mutter ohne Fremdbetreuung der Beschwerdeführerin einer Erwerbstätigkeit nachgehen könne. Das Bundesgericht habe in seinem Entscheid BGE 144 III 481 diesbezüglich zu Recht festgehalten, dass die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nur als zumutbar erscheine, soweit die Betreuung des Kindes in dieser Zeit sichergestellt sei. Gemäss Abklärungen der Mutter koste eine 100 %-Kinderbetreuung Fr. 2'500.--, wobei die Beschwerdeführerin hierfür auf die der Beschwerde beigelegten Tarife der Kindertagesstätte D._ in U._ verweist. Das Obergericht hätte konkret prüfen müssen, ob die Kindsmutter auf eine Fremdbetreuung angewiesen sei, wenn es ihr ab Januar 2021 ein Arbeitspensum von 50 % anrechne. Dies habe es jedoch unterlassen und damit Art. 296 ZPO verletzt.
4.3. Der Beschwerdegegner wendet zum einen ein, die Tarife der Kindertagesstätte seien unter dem Gesichtspunkt von Art. 99 BGG unzulässig, zumal sie bereits beim Obergericht hätten eingereicht werden können. Zum anderen räumt er ein, es sei je nach Anstellung der Kindsmutter eine zusätzliche Betreuung der Tochter über Mittag und Nachmittag erforderlich. Es gebe in U._ hierfür jedoch zahlreiche durch die Gemeinde finanzierte bzw. subventionierte Betreuungsangebote (Mittagstisch, Fahrdienst, Nachmittagsbetreuung).
4.4. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend einwendet, stellt das Obergericht nirgends ausdrücklich fest, dass es der Mutter tatsächlich möglich sei, das ihr zugemutete Arbeitspensum von 50 % während der Zeiten zu erfüllen, in denen die Beschwerdeführerin sich in der Schule befindet und insofern betreut wird (vgl. hierzu BGE 144 III 481 E. 4.7.8). Mit Blick auf die in der Beschwerdeschrift behaupteten Zeiten (8.15 Uhr bis 11.45 Uhr und montags von 13.35 Uhr bis 15.05 Uhr) liegt dies auch nicht geradezu auf der Hand. Im vorliegenden Berufungsverfahren betreffend Kindesunterhalt gilt der uneingeschränkte Untersuchungsgrundsatz (Art. 296 Abs. 1 ZPO; Urteile 5A_404/2019 vom 15. Juli 2019 E. 4; 5A_813/2013 vom 12. Mai 2014 E. 3.3). Demnach erforscht das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen. Es ist verpflichtet, von sich aus alle Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben (BGE 130 I 180 E. 3.2). Das Gericht hat alle rechtserheblichen Umstände zu berücksichtigen, die sich im Laufe des Verfahrens ergeben, auch wenn die Parteien nicht ausdrücklich darauf Bezug nehmen (BGE 144 III 349 E. 4.2.1 mit Hinweisen; 128 III 411 E. 3.2.1). Die Pflicht der Behörde, den Sachverhalt zu erforschen, entbindet die Beteiligten indessen nicht davon, durch Hinweise zum Sachverhalt oder Bezeichnung von Beweisen am Verfahren mitzuwirken (BGE 130 I 180 E. 3.2 mit Hinweis). Sie müssen das Gericht über den Sachverhalt orientieren und ihm die verfügbaren Beweismittel nennen (BGE 128 III 411 E. 3.2.1; Urteile 5A_1000/2018 vom 3. Mai 2019 E. 3.1.2; 5A_400/2018 vom 28. August 2018 E. 4.3.1).
Aufgrund der ihm bekannten Ausgangslage und der strengen Untersuchungsmaxime wäre das Obergericht verpflichtet gewesen, zu prüfen, ob die Kindergarten-/Schulzeiten die der Mutter zugemutete Erwerbstätigkeit zulassen, ohne dass diese auf Drittbetreuungsangebote oder einen Mittagstisch angewiesen ist (vgl. hierzu BGE 144 III 481 E. 4.7.8). Wäre es dabei zum Schluss gekommen, dass die Mutter die Beschwerdeführerin berufsbedingt über den Mittag nicht betreuen könnte, hätte es die Frage der im Bedarf der Beschwerdeführerin zu berücksichtigenden Fremdbetreuungskosten klären müssen. Die unterlassene Prüfung des rechtswesentlichen Sachverhalts von Amtes wegen beruht damit auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG. Insofern erweist sich die Rüge der Beschwerdeführerin als begründet. Daran ändern die Ausführungen des Beschwerdegegners nichts, da es sich um reine Behauptungen handelt. Die Sache ist an das Obergericht zurückzuweisen, damit es den Sachverhalt betreffend die Kindergarten-/Schulzeiten und allfällige Fremdbetreuungskosten neu abklärt und vervollständigt.
5.
Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann, dass ihrer Mutter keine Auslagen für ein Fahrzeug zugestanden wurden.
5.1. Vor Obergericht hatte sie geltend gemacht, die Mutter könne mit einem Kleinkind ihre Angelegenheiten nicht immer mit dem Fahrrad oder den ÖV erledigen und sei im Winter zudem sehr anfällig für Grippe; zudem sei sie auch für die Stellensuche auf ein Auto angewiesen; die Beschwerdeführerin schwimme ferner sehr gerne und fahre auch gerne Ski; für die Ausübung solcher Hobbys sei es bedeutend einfacher, wenn die Mutter über ein Auto verfüge. Das Obergericht erachtete diese Rüge als verfehlt, da bei der Bestimmung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums die Kosten für Mobilität gestützt auf Ziff. II.4 lit. d der Richtlinien der obergerichtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurskommission für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (Notbedarf) nach Art. 93 SchKG (KKS.2005.7) grundsätzlich nur als Berufsauslagen (Arbeitswegkosten) zu berücksichtigen seien. Es rechnete der Kindsmutter in der Folge lediglich Fr. 100.-- pro Monat für die Benützung des öffentlichen Verkehrs an.
5.2. Vor Bundesgericht begründet die Beschwerdeführerin die Anrechnung der Fahrzeugkosten in Höhe von monatlich Fr. 500.-- mit der Stellensuche und der späteren Erwerbstätigkeit, welche die Mutter, nachdem die Stellensuche in U._ gescheitert sei, ausserhalb des Umkreises U._ werde aufnehmen müssen. Dabei handelt es sich jedoch um reine Behauptungen, die im vom Obergericht festgestellten Sachverhalt keine Stütze finden. Inwiefern das Obergericht mit seiner Beurteilung der Mobilitätskosten Recht verletzt haben sollte, ist nicht ersichtlich. Die Rüge ist damit unbegründet.
6.
Schliesslich moniert die Beschwerdeführerin die Weigerung des Obergerichts, bei der Unterhaltsberechnung in das Existenzminimum des Beschwerdegegners einzugreifen, und plädiert in dieser Hinsicht, namentlich aus Gleichbehandlungsgründen der Elternteile, für die Änderung der einschlägigen Rechtsprechung des Bundesgerichts.
6.1. Das Obergericht erwog hierzu, abgesehen davon, dass dem Kindsvater bei dem von der Beschwerdeführerin in einer ersten Phase verlangten Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'650.-- (davon Fr. 2'900.-- Betreuungsunterhalt) auch mit einem wie von ihr in der Berufung behaupteten höheren Einkommen des Kindsvaters von Fr. 4'900.-- nur gerade ein Betrag von Fr. 1'250.-- verbliebe, sei das vorliegende Rechtsmittelverfahren nicht der Ort, um die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach nicht in das Existenzminimum eines Unterhaltsschuldners eingegriffen werden dürfe, in Frage zu stellen.
Gestützt auf die Unterhaltsberechnung des Obergerichts, welche dem Kindsvater das Existenzminimum belässt, ergibt sich bei der Beschwerdeführerin ein Manko von Fr. 2'325.-- (Mai 2017 bis 18. April 2018), Fr. 1'747.-- (August 2019 bis Oktober 2019) und Fr. 1'957.-- (November 2019 bis Dezember 2020).
6.2. Die Änderung einer Rechtsprechung muss sich auf ernsthafte, sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht; andernfalls ist die bisherige Praxis beizubehalten (BGE 132 III 770 E. 4; 127 II 289 E. 3a mit Hinweisen).
6.3. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend aufwirft, hat das Bundesgericht das letzte Mal in BGE 135 III 66 ausführlich die Frage, ob bei Mangelfällen das Manko auf den Unterhaltsgläubiger und -schuldner zu verteilen sei, in grundsätzlicher Weise diskutiert, dies aber weiterhin verworfen. Hinsichtlich der Frage der Geschlechterdiskriminierung führte das Bundesgericht aus, Art. 8 Abs. 3 BV stehe nicht im Vordergrund, da die Ehegatten von der Verteilung eines Mankos nicht in ihrer Funktion als Mann und Frau, sondern als unterhaltsverpflichteter und unterhaltsberechtigter Ehepartner betroffen seien; die finanzielle Leistungsfähigkeit im Zeitpunkt der Trennung und damit die "Rolle" als berechtigter oder verpflichteter Teil ergebe sich bei den Ehegatten aus der gemeinsam gewählten Aufgabenteilung, während sie im Verhältnis zu den Kindern naturgemäss vorgegeben sei (BGE 135 III 66 E. 5). Das Bundesgericht hielt weiter fest, das System der Mankoteilung würde zwar einem richtigen Verständnis der familienrechtlichen Bestimmungen zum Unterhaltsrecht entsprechen, ein Systemwechsel in der praktischen Handhabung würde aber auf zwei Ebenen zu Schwierigkeiten führen; zum einen beim Zusammenspiel mit den Sozialhilfebehörden für die allseitige Deckung des verteilten Mankos, zum anderen im Stadium der Zwangsvollstreckung für den Fall des teilweisen oder vollständigen Ausbleibens der Unterhaltsbeiträge. Das Bundesgericht verneinte schliesslich die Voraussetzungen für eine Änderung der Rechtsprechung, wies jedoch gleichzeitig darauf hin, es wäre am Gesetzgeber, hier eine Lösung zu schaffen (vgl. BGE 135 III 66 E. 10).
Der Gesetzgeber hat diese Frage anlässlich der Revision des Kindesunterhaltsrechts aufgegriffen, aber schliesslich bewusst von einer Mankoteilung abgesehen unter anderem mit der Begründung, zur Verbesserung der Situation des unterhaltsberechtigten Elternteils müsste das Sozialhilferecht, das nicht in die Zuständigkeit des Bundes, sondern der Kantone falle, revidiert werden (vgl. Erläuternder Bericht vom 11. Juli 2012 zum Vernehmlassungsentwurf zur Änderung des Zivilgesetzbuchs [Kindesunterhalt], der Zivilprozessordnung [Art. 296a] und des Zuständigkeitsgesetzes [Art. 7], S. 24 ff.; Botschaft vom 29. November 2013 zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Kindesunterhalt], BBl 2014 S. 543 ff. und S. 560 f.; vgl. auch BGE 144 III 502 E. 6.4).
6.4. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, die bundesgerichtliche Rechtsprechung verstosse gegen das in der BV, aber auch in der EMRK, in den UNO-Pakten I und II sowie im CEDAW (Übereinkommen vom 18. Dezember 1979 zur Beseitigung jeder Form von Diskriminierung der Frau [SR 0.108]) verankerte Gleichbehandlungsgebot. Mit der besagten Rechtsprechungspraxis würden überwiegend Frauen benachteiligt und damit indirekt diskriminiert. Dieser Umstand lasse sich durch fehlende Bundeskompetenzen und einen erhöhten Verwaltungsaufwand in der Sozialhilfe nicht rechtfertigen.
Mit diesen Überlegungen nennt die Beschwerdeführerin keine Gründe, welche das Bundesgericht zu einer Änderung seiner Rechtsprechung veranlassen könnten (vgl. E. 6.2). Vielmehr erschöpfen sich die Ausführungen in Argumenten, welche vom Bundesgericht bereits im genannten Leitentscheid eingehend behandelt wurden (namentlich die Gleichbehandlung der Eltern; vgl. E. 6.3). Insoweit bleibt die Beschwerde in diesem Punkt ohne Erfolg.
7.
7.1. Vor diesem Hintergrund ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und zur Neuberechnung des Kindesunterhalts im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Das Obergericht wird auch über die Kosten des Berufungsverfahrens neu zu befinden haben (Art. 67 BGG e contrario; Art. 68 Abs. 5 BGG).
7.2. Die Beschwerdeführerin unterliegt grösstenteils, sodass die Gerichtskosten zu zwei Dritteln der Beschwerdeführerin und zu einem Drittel dem Beschwerdegegner auferlegt werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
7.3. Die Beschwerdeführerin erwähnt, der Beschwerdegegner sei infolge der Unterhaltspflicht gehalten, einen Prozesskostenvorschuss für das vorliegende Beschwerdeverfahren zu leisten. Der Beschwerdegegner sei dazu jedoch offensichtlich nicht in der Lage, weshalb der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sei.
Soweit die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht einen Anspruch auf Bevorschussung von Prozesskosten hätte geltend machen wollen, wäre auf dieses Gesuch nicht einzutreten, zumal der fragliche Anspruch im materiellen Zivilrecht (als Teil der elterlichen Unterhaltspflicht; Art. 276 ZGB) begründet ist bzw. vor demjenigen Gericht geltend gemacht werden muss, das im Rahmen des Unterhaltsprozesses für den Erlass vorsorglicher Massnahmen zuständig ist. Ein Gesuch um Bevorschussung von Prozesskosten kann nicht im Kleid eines Gesuchs um Erlass einer vorsorglichen Massnahme im bundesgerichtlichen Verfahren (Art. 104 BGG) gestellt werden, zumal ein entsprechendes Gesuch nicht den Streitgegenstand des Hauptsacheverfahrens betrifft (vgl. hierzu Urteil 5A_362/2017 vom 24. Oktober 2017 E. 4 mit Hinweisen).
Wie die Beschwerdeführerin zutreffend ausführt, ist die Mittellosigkeit des Beschwerdegegners offenkundig, weshalb ein entsprechendes Gesuch erfolglos geblieben wäre. Entsprechend ist - subsidiär zur Prozesskostenvorschusspflicht - der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zu prüfen (Urteile 5A_362/2017 vom 24. Oktober 2017 E. 4; vgl. zur Rechtslage in eherechtlichen Prozessen BGE 142 III 36 E. 2.3).
7.4. Beide Parteien haben ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt, wobei die Voraussetzungen für deren Gewährung gegeben sind. Die entsprechenden Gesuche sind gutzuheissen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden sind, und es sind den Parteien ihre Rechtsvertreter als unentgeltliche Rechtsbeistände beizugeben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ihre jeweiligen Anteile an den Gerichtskosten sind vorläufig auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und die Rechtsvertreter sind aus dieser angemessen zu entschädigen. Die Gutheissung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege entbindet die Beschwerdeführerin nicht von der Leistung einer (aufgrund des nur teilweisen Obsiegens reduzierten) Parteientschädigung (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario). Ob diese einbringlich sein wird, ist angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse indessen ungewiss. Deshalb ist auch die Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Die Parteien haben der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 4. Juni 2020 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwalt Clemens Wymann als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
2.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Rechtsanwältin Rosa Renftle als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin zu Fr. 2'000.-- und dem Beschwerdegegner zu Fr. 1'000.-- auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
4.1. Rechtsanwalt Clemens Wymann wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
4.2. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Rosa Renftle wird aus dieser mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller