Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 3. November 2021 wies das Handelsgericht des Kantons Zürich in einem vom Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegnerin angehobenen Forderungsprozess das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege mangels Nachweises der Bedürftigkeit ab und setzte ihm eine einmalige Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an.
Mit Urteil 4A_580/2021 vom 16. Dezember 2021 trat das Bundesgericht auf eine vom Beschwerdeführer gegen den handelsgerichtlichen Beschluss vom 3. November 2021 erhobene Beschwerde nicht ein.
Mit Beschluss vom 10. Januar 2022 trat das Handelsgericht auf die Klage des Beschwerdeführers infolge Nichtleistung des Kostenvorschusses nicht ein und auferlegt ihm die Gerichtskosten.
Mit Eingabe vom 27. Januar 2022 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, gegen den Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Januar 2022 Beschwerde zu erheben.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 143 II 283 E. 1.2.3; 140 III 115 E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 143 IV 40 E. 3.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2).
2.3. Das Handelsgericht erwog, nachdem der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss auch innert der ihm angesetzten Nachfrist nicht geleistet habe, sei androhungsgemäss auf die Klage nicht einzutreten. Daran vermöge auch die neue Eingabe des Beschwerdeführers vom 29. Dezember 2021 nichts zu ändern, in der dieser erneut um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuche; vielmehr hätten die Ausführungen im Beschluss vom 3. November 2021 nach wie vor uneingeschränkt Gültigkeit, weshalb sich Weiterungen erübrigten.
Der Beschwerdeführer zeigt mit seiner Beschwerdeeingabe vom 27. Januar 2022 nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit dem Entscheid vom 10. Januar 2022 Bundesrecht verletzt hätte. Stattdessen unterbreitet er dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge hinsichtlich seiner angeblichen Mittellosigkeit, was im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zulässig ist. Zudem erwähnt er losgelöst von den Erwägungen im angefochtenen Entscheid verschiedene Bestimmungen der Zivilprozessordnung (u.a. Art. 98, Art. 101 und Art. 118 f. ZPO) sowie der Bundesverfassung (u.a. Art. 9, Art. 26 und Art. 29 BV), womit er die gesetzlichen Begründungsanforderungen ebenfalls verfehlt.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann