Sachverhalt:
A.
Mit Eingaben vom 16. Februar 2015 erhoben A.A._ und B.A._ vor dem Bezirksgericht Zürich je eine Aberkennungsklage gegen die Personalvorsorgestiftung der Firma C._ AG ("Personalvorsorgestiftung"). Sie beantragen festzustellen, dass die mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 3 vom 3. Februar 2014 in Betreibung gesetzte Forderung in der Höhe von Fr. 7.5 Mio. im Zeitpunkt der Zustellung des Zahlungsbefehls nicht bestand, eventualiter nicht fällig war. Die Personalvorsorgestiftung hatte die Kläger gestützt auf einen Schuldbrief als Drittpfandeigentümer betrieben und gegen sie vor dem Obergericht des Kantons Zürich im Betrag von Fr. 5'610'450.04 nebst Zins sowie für das Pfandrecht die provisorische Rechtsöffnung erstritten.
B.
Nachdem es die Aberkennungsprozesse zwischenzeitlich sistiert hatte, setzte das Bezirksgericht den Klägern mit Beschlüssen vom 29. Januar 2016 Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von je Fr. 95'750.-- an. Die Kläger ersuchten darauf um das Armenrecht. Das Bezirksgericht vereinigte beide Verfahren, wies die Armenrechtsgesuche ab und setzte den Klägern Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 95'750.-- (Beschluss vom 2. September 2016). Die dagegen erhobenen Beschwerden wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteilen vom 7. bzw. 8. November 2016 ab.
C.
C.a. Mit Verfügung vom 3. Januar 2017 setzte das Bezirksgericht Zürich den beiden Klägern eine nicht erstreckbare Nachfrist von fünf Tagen zur Leistung des mit Beschluss vom 2. September 2016 auferlegten Kostenvorschusses an. Am 12. Januar 2017 stellten die Kläger erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege "im Umfang" von Art. 118 Abs. 1 Bst. a und b ZPO. Mit Eingabe vom 26. Januar 2017 beantragte die Personalvorsorgestiftung die Abweisung des Gesuchs. Zugleich stellte sie das Begehren, die Kläger zur Sicherstellung der Parteientschädigung zu verpflichten. Das Bezirksgericht wies das Armenrechtsgesuch der Kläger ab und setzte ihnen eine nicht erstreckbare fünftägige Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses von Fr. 95'750.-- sowie eine Frist von zehn Tagen an, um für die Parteientschädigung der Personalvorsorgestiftung eine Sicherheit in der Höhe von Fr. 87'650.-- zu leisten (Beschluss vom 26. April 2017).
C.b. A.A._ und B.A._ legten beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Sie verlangten, den Beschluss vom 26. April 2017 aufzuheben, und hielten an ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Aberkennungsverfahren fest. Ausserdem ersuchten sie auch für das Beschwerdeverfahren um das Armenrecht. Das Obergericht hiess die Beschwerde teilweise gut und hob den Beschluss vom 26. April 2017 auf, "soweit den Klägern die unentgeltliche Rechtspflege mit Ausnahme der Befreiung von der Leistung des Gerichtskostenvorschusses verweigert wurde". Das Obergericht wies die Sache in diesem Umfang an das Bezirksgericht zurück. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und den Klägern eine nicht erstreckbare Frist von zehn Tagen angesetzt, um für die erstinstanzlichen Gerichtskosten den Vorschuss von Fr. 95'750.-- zu leisten. Das Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren hiess das Obergericht gut (Beschluss vom 9. Oktober 2017).
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 28. Oktober 2017 (Datum der Postaufgabe) wenden sich A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie beantragen, den Beschluss vom 9. Oktober 2017 aufzuheben und ihnen für das Aberkennungsverfahren am Bezirksgericht Zürich (s. Bst. A) "vollumfänglich die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren"; eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchen die Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Ihrem weiteren Begehren, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 22. November 2017.
D.b. Das Bundesgericht hat das Bezirksgericht Zürich und das Obergericht eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Obergericht teilte mit Schreiben vom 19. April 2018 mit, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Das Bezirksgericht hat sich nicht geäussert. Die Eingabe des Obergerichts wurde den Beschwerdeführern zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid, mit dem das Obergericht die erstinstanzliche Abweisung des Armenrechtsgesuchs für den Aberkennungsprozess vor dem Bezirksgericht bestätigt, soweit die Beschwerdeführer um Befreiung von der Leistung des Gerichtskostenvorschusses von Fr. 95'750.-- ersuchen (vgl. Sachverhalt Bst. A). Das ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Der selbständig eröffnete Beschluss des Bezirksgerichts ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (vgl. BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um eine Aberkennungsklage nach Art. 83 Abs. 2 SchKG, also um eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG. Der Streitwert übersteigt den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die rechtzeitig eingereichte (Art. 100 Abs. 1 BGG) Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben.
2.
Der Streit dreht sich zunächst um die Frage, ob die Beschwerdeführer im kantonalen Beschwerdeverfahren bestimmte Noven ins Verfahren einführen durften.
2.1. Das Obergericht verweist auf die Feststellung des Bezirksgerichts, wonach die Beschwerdeführer nach der Einleitung des Verfahrens Fr. 3 Mio. aufzubringen vermocht, diese Mittel in Kenntnis der Kostenvorschusspflicht aber anderweitig investiert hätten. Daraus habe das Bezirksgericht gefolgert, dass die Beschwerdeführer ungeachtet dessen, ob sich ihre finanzielle Situation mittlerweile verschlechtert hätte, nicht als bedürftig gelten könnten. Mit dieser Begründung habe das Bezirksgericht das Armenrechtsgesuch abgewiesen, soweit es sich auf die Befreiung von der Leistung eines Gerichtskostenvorschusses bezog. In der Folge äussert sich das Obergericht zu den Vorbringen der Beschwerdeführer im kantonalen Beschwerdeverfahren. Dort hätten die Beschwerdeführer vorgebracht, mit einem Gläubiger der C._ AG am 22. Februar 2016 einen Vergleich über Fr. 3 Mio. abgeschlossen zu haben, um den Konkurs der C._ AG abzuwenden bzw. die Aufhebung der Nachlassstundung zu ermöglichen. Die Beschwerdeführer hätten erklärt, dass die Fr. 3 Mio. "bereits seit dem 25. August 2014 als Sicherheit für ein Darlehen dieses Gläubigers in der Höhe von Fr. 3'115'666.70 gedient und daher nicht zur Bezahlung der auferlegten Gerichtskostenvorschüsse zur Verfügung gestanden" hätten. Überdies hätten sie darauf bestanden, dass die Fr. 3 Mio. nicht "anderweitig", sondern zur Rettung der Arbeitsplätze der Destinatäre der Personalvorsorgestiftung bei der C._ AG verwendet worden seien, und dass vorgesehen gewesen sei, nach der erwarteten Aufhebung der Nachlassstundung den Gerichtskostenvorschuss aus dem klägerischen Guthaben bei der C._ AG in der Höhe von Fr. 1'110'488.-- zu leisten. Dem angefochtenen Entscheid zufolge haben die Beschwerdeführer eingeräumt, dass sich dieses Vorhaben als nicht zielführend erwiesen habe. Sie hätten jedoch bestritten, dass ihnen dies vorgeworfen werden könne.
Das Obergericht stellt fest, dass die Behauptung, wonach die Fr. 3 Mio. bereits vor Erlass der Kostenvorschussbeschlüsse vom 29. Januar 2016 (s. Sachverhalt Bst. B) nicht mehr zur Verfügung gestanden hätten, und die als Beweismittel angeführte Vergleichsvereinbarung vom 22. Februar 2016 erstmals im kantonalen Beschwerdeverfahren vorgebracht worden und daher aufgrund des geltenden Novenverbots (Art. 326 Abs. 1 ZPO) unbeachtlich seien. Infolgedessen habe es bei den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz sein Bewenden, wonach die Kläger die aufgebrachten Fr. 3 Mio. in Kenntnis der Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses anderweitig investierten. Gestützt darauf sei das Bezirksgericht zu Recht zum Schluss gekommen, dass die Kläger insofern nicht als mittellos gelten können.
2.2. Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, dass sie die besagte Behauptung im vorinstanzlichen Rechtsmittelverfahren zum ersten Mal vortrugen. Sie stellen auch die vorinstanzliche Erkenntnis nicht in Abrede, wonach die Vergleichsvereinbarung erstmals vor Obergericht vorgebracht worden sei. Zur Rechtfertigung ihrer Vorgehensweise berufen sich die Beschwerdeführer auf ihre "Darlegungen" vor dem Bezirksgericht, die sie auch in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht abdrucken. Ihrer Meinung nach hätte das Bezirksgericht erkennen sollen, "dass die Situation eine Vorgeschichte haben und auf einer Vereinbarung basieren muss". Der Beschluss vom 26. April 2017 (s. Sachverhalt Bst. C.a) gehe aber nicht auf ihre Darlegungen ein, sondern zitiere bloss die Erwägungen des Beschlusses vom 2. September 2016 (s. Sachverhalt Bst. B), wonach es ihnen, den Beschwerdeführern, gelungen sei, Fr. 3 Mio. ihres Vermögens zu verflüssigen und anderweitig zu investieren. Die Beschwerdeführer erklären, sie seien in dieser Situation berechtigt gewesen, die Zahlung an den Gläubiger "in extenso darzulegen", mit Beilage der Vergleichsvereinbarung vom 22. Februar 2016. Sie werfen dem Obergericht in diesem Zusammenhang eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vor und beharren auf ihrem Recht, "ihre bei der ersten Instanz unbeachteten Darlegungen bei der Vorinstanz vorzubringen". Zu Unrecht qualifiziere die Vorinstanz ihre Darlegungen aufgrund des Novenverbots als unbeachtlich. Die Beschwerdeführer berufen sich darauf, als juristische Laien und unerfahrene Rechtsuchende nicht gewusst zu haben, "dass die entsprechende Vereinbarung ins Recht zu legen wäre". Gemäss Art. 29 Abs. 1 BV habe jede Person in Verfahren vor Gericht das Recht auf gleiche Behandlung. Dazu gehöre, dass die Beweismittel beider Parteien Beachtung finden. Daraus folgern die Beschwerdeführer, dass es in der Pflicht eines Gerichts liege, Laien auf das Fehlen eines Beweismittels aufmerksam zu machen. Im Weiteren sei zu beachten, dass in Verfahren um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege der beschränkte Untersuchungsgrundsatz gelte. Das erstinstanzliche Gericht habe den Sachverhalt jedoch nicht von Amtes wegen festgestellt, da es ohne Nachfragen und weitere Abklärungen im Zusammenhang mit der Zahlung der Fr. 3 Mio. einfach davon ausgegangen sei, dass es sich dabei um eine rechtsmissbräuchliche Vermögensentäusserung zur Umgehung der Sicherstellungspflicht für Gerichtskosten handelte.
2.3. Hinsichtlich der Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei, ob die Kriterien zu deren Bestimmung im Sinne von Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 117 Bst. a ZPO zutreffend gewählt worden sind. Die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörden kann es dagegen nur nach Massgabe von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG, das heisst auf Willkür hin überprüfen (BGE 135 I 221 E. 5.1 S. 223 mit Hinweis). Dies gilt gleichermassen für die Feststellungen über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (s. BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.), zu denen auch die Feststellungen über die Parteivorbringen gehören (Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1).
Entscheide über die Verweigerung oder den Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege unterliegen der Beschwerde nach Art. 319 ff. ZPO (Art. 121 ZPO). Mit der Beschwerde kann nebst der unrichtigen Rechtsanwendung nur die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend gemacht werden (Art. 320 ZPO). Neue Tatsachenbehauptungen und neue Beweismittel sind in diesem Beschwerdeverfahren im Prinzip ausgeschlossen (Art. 326 Abs. 1 ZPO). Immerhin müssen Noven in der Beschwerde zumindest so weit vorgebracht werden können, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (BGE 139 III 466 E. 3.4 S. 471). Der grundsätzliche Ausschluss von Noven gilt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auch für Verfahren, die - wie das Verfahren betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, wenn auch eingeschränkt durch die umfassende Mitwirkungsobliegenheit (BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.) - der Untersuchungsmaxime unterstehen (Urteile 5D_16/2016 vom 13. Mai 2016 E. 4.3; 5A_14/2015 vom 16. Juli 2015 E. 3.2; 5A_405/2011 vom 27. September 2011 E. 4.5.3, nicht publ. in: BGE 137 III 470).
2.4. Sinngemäss berufen sich die Beschwerdeführer darauf, dass die vom Obergericht als unzulässige Noven qualifizierten Vorbringen gar nicht im Sinne von Art. 326 Abs. 1 ZPO neu gewesen seien, weil das Bezirksgericht gestützt auf ihre Ausführungen in der Stellungnahme vom 17. Februar 2017 hätte erkennen müssen, dass ihnen der erwähnte Betrag von Fr. 3 Mio. zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses nicht zur Verfügung stand, als sie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellten. Der an die Vorinstanz gerichtete Vorwurf der falschen Handhabung des Novenrechts fusst mit anderen Worten auf der Rüge, dass schon das Bezirksgericht den Sachverhalt hinsichtlich der wirtschaftlichen Situation der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einreichung des Armenrechtsgesuchs offensichtlich unrichtig festgestellt bzw. ihre diesbezüglichen Vorbringen falsch gewürdigt oder gar nicht zur Kenntnis genommen habe. Um mit dieser Argumentation vor Bundesgericht durchzudringen, müssten die Beschwerdeführer zunächst nachweisen, dass sie die angeblich fehlerhafte Sachverhaltsfeststellung des Bezirksgerichts schon vor Obergericht beanstandeten, mit dieser Rüge dort aber nicht gehört wurden. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren vor Bundesgericht - wie diese Sachverhaltsrüge (Urteile 5A_378/2015 vom 15. März 2016 E. 3; 5A_564/2012 vom 21. November 2012 E. 2.2) - dem Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG), so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (Art. 75 Abs. 1 BGG), dass die rechtsuchende Partei die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (BGE 143 III 290 E. 1.1 S. 292 f.; 133 III 638 E. 2 S. 640 mit Hinweisen). Hier ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen, dass die Beschwerdeführer die erstinstanzliche Sachverhaltsfeststellung bzw. -würdigung im kantonalen Rechtsmittelverfahren im beschriebenen Sinn beanstandet hätten (vgl. E. 2.1). Inwiefern dies trotzdem der Fall wäre und das Obergericht entsprechende Rügen pflichtwidrig übersehen hätte, tun die Beschwerdeführer nicht dar. Anstatt sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen, beklagen sie sich darüber, dass das Bezirksgericht gestützt auf ihre Darlegungen die "Vorgeschichte" der Situation nicht erkannt habe. Im Übrigen rekapitulieren sie die Tatsachen, die sie vor Obergericht vortrugen (E. 2.2). Bezüglich der hier entscheidenden Frage, ob die Vorinstanz mit der besagten Sachverhaltsrüge befasst war, ist damit nichts gewonnen. Dementsprechend ist auch dem Vorwurf der Boden entzogen, dass sich der angefochtene Entscheid nicht mit Art. 326 Abs. 1 ZPO vertrage. Die Beschwerde ist in dieser Hinsicht unbegründet.
Weiter erinnern die Beschwerdeführer daran, dass in Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege der beschränkte Untersuchungsgrundsatz gelte. Sie beklagen sich darüber, dass das Bezirksgericht den Sachverhalt nicht von Amtes wegen ermittelt und ihnen als unerfahrenen Laien insbesondere auch keine Fragen gestellt habe. Weil die Sachverhaltsermittlung der ersten Instanz in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes erfolgt sei, könne das Obergericht die im Beschwerdeverfahren vorgebrachten Behauptungen nicht als unzulässige Noven aus dem Recht weisen (s. E. 2.2). Die Beschwerdeführer täuschen sich in der Rechtslage. Mit dem Vorwurf, dass im erstinstanzlichen Verfahren der Untersuchungsgrundsatz verletzt worden sei, lässt sich das Novenverbot im kantonalen Beschwerdeverfahren (Art. 326 Abs. 1 ZPO) nicht aus den Angeln heben. Wer sich auf die Untersuchungsmaxime beruft bzw. eine Verletzung derselben geltend macht, muss zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich festgestellt hat. Ausserdem sind die Tatsachen zu behaupten, die das Gericht festzustellen bzw. abzuklären unterlassen hat, und schliesslich ist darzutun, inwiefern diese behaupteten Tatsachen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind (Urteile 5A_513/2014 vom 1. Oktober 2015 E. 4.1; 5A_574/2012 vom 17. Dezember 2012 E. 2.2.1). Hier rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime im erstinstanzlichen Verfahren. Entsprechend steht die Sachverhaltsermittlung durch das Bezirksgericht zur Diskussion. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, scheitern die Beschwerdeführer mit dem Nachweis, dass sich das Obergericht mit entsprechenden Sachverhaltsrügen pflichtwidrig nicht auseinandersetzte. Mit der erstinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung hat es mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges also sein Bewenden. Infolgedessen sind die Beschwerdeführer auch nicht mit dem Vorwurf zu hören, dass das Bezirksgericht die Untersuchungsmaxime verletzt habe.
2.5. Schliesslich erinnert das Obergericht daran, dass es nach der Rechtsprechung grundsätzlich unzulässig sei, der teilweise mittellosen Partei die unentgeltliche Rechtspflege für die Sicherstellung der Parteientschädigung zu gewähren, hingegen auf der Leistung des Vorschusses für die Gerichtskosten zu bestehen (BGE 141 III 369 E. 4.3 S. 372 ff.). In den Augen des Obergerichts ist im vorliegenden Fall jedoch zu berücksichtigen, dass der Antrag auf Sicherstellung der Parteientschädigung erst ein Jahr nach der Verpflichtung der Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses für die Gerichtskosten gestellt worden sei und dass die Beschwerdeführer in der Zwischenzeit mittellos geworden seien. Unter diesen Umständen komme in Betracht, den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege mit Ausnahme der Befreiung von der Leistung des Gerichtskostenvorschusses zu gewähren. Aus diesem Grund und da die Beschwerdeführer in Bezug auf den auferlegten Gerichtskostenvorschuss zu Recht als nicht mittellos gelten könnten, sei die Beschwerde abzuweisen, soweit sie sich gegen die Verweigerung der Befreiung von der Leistung des auferlegten Kostenvorschusses richte.
Die Beschwerdeführer begnügen sich mit der Rüge, dass die Vorinstanz "entgegen Lehre und Rechtsprechung nur eine teilweise unentgeltliche Rechtspflege gesprochen" habe. Sie beteuern, sie seien "unverändert mittellos", seit der C._ AG am 11. November 2016 die provisorische Nachlassstundung gewährt wurde. Damit aber halten sie dem angefochtenen Entscheid, der ihre Mittellosigkeit hinsichtlich der Gerichtskostenvorschusspflicht gerade verneint (s. E. 2.4), lediglich ihre eigene Sichtweise entgegen. Mit den zwei verschiedenen Be-gründungen der Vorinstanz, weshalb sich eine teilweise Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im konkreten Fall rechtfertige und auch mit der Rechtsprechung vereinbaren lasse, setzen sie sich nicht auseinander. In dieser Situation besteht für das Bundesgericht kein Anlass, von sich aus sich allenfalls stellende Rechtsfragen zu untersuchen (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 367; 140 III 86 E. 2 S. 88 f.; 137 III 580 1.3 S. 584). Im Übrigen ist im zitierten Bundesgerichtsentscheid zwar davon die Rede, dass es nicht sachgerecht schiene, wenn die Vorschusszahlung einer teilweise unentgeltlich prozessführenden Partei trotz Vorliegens eines Kautionsgrundes bzw. eines darauf gestützten Sicherstellungsbegehrens nur für die Gerichtskosten, nicht aber auch für die Parteientschädigung der Gegenpartei verwendet würde (BGE 141 III 369 E. 4.3.3 S. 374). Im konkreten Fall hatte das Bundesgericht damals aber zu beurteilen, ob es sich mit der ZPO vertrug, die fragliche Partei im Sinne der teilweisen Gewährung des Armenrechts sowohl von der Vorschuss- als auch von der Kautionspflicht zu befreien, ihr hingegen (aufgrund des monatlich verfügbaren Einkommensüberschusses) die unentgeltliche Verbeiständung zu versagen. Insofern erscheint fraglich, ob der zitierte Passus für den hier zu beurteilenden Sachverhalt überhaupt als Präjudiz gelten könnte.
3.
3.1. Auch wenn es dabei bleibt, dass sie den Betrag von Fr. 3 Mio. in Kenntnis der Aufforderung zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses anderweitig investierten, halten die Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid für bundesrechtswidrig. Das Obergericht stelle darauf ab, dass sie ihre prozessuale Bedürftigkeit selbst verschuldet haben, und folgere daraus, dass sie nicht als mittellos gelten könnten. Dies stehe "klarerweise" im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach einer Partei das Armenrecht nicht deshalb verweigert werden darf, weil sie die Armut selbst verschuldet habe. Die Beschwerdeführer bestreiten vehement, dass es ihnen mit der Zahlung in der Höhe von Fr. 3 Mio. darum gegangen sei, das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege in missbräuchlicher Art in Anspruch zu nehmen. Sie beteuern, dass sie mit ihrer Vorgehensweise beabsichtigt hätten, zahlreiche Arbeitsplätze bei der C._ AG zu retten.
3.2. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (BGE 141 III 369 E. 4.1 S. 371; 135 I 221 E. 5.1 S. 223 f.). Dazu gehören nicht nur die Einkommens-, sondern auch die Vermögensverhältnisse (BGE 124 I 97 E. 3b S. 98 mit Hinweis). Bei der Bestimmung der Bedürftigkeit ist nicht von hypothetischen, sondern von den tatsächlichen finanziellen Verhältnissen auszugehen. Die Berücksichtigung von allfälligem Vermögen setzt voraus, dass dieses im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs tatsächlich vorhanden und verfügbar ist (Urteil 5A_590/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.1.1 mit Hinweisen). Die unentgeltliche Rechtspflege darf nicht deshalb verweigert werden, weil die gesuchstellende Person ihre Mittellosigkeit selbst verschuldet hat (BGE 108 Ia 108 E. 5b S. 109 f.; 104 Ia 31 E. 4 S. 34; 99 IA 437 E. 3c S. 442; 58 I 285 E. 5 S. 292). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege steht indessen unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs (Art. 2 Abs. 2 ZGB). Die unentgeltliche Rechtspflege ist zu verweigern, wo die gesuchstellende Person gerade im Hinblick auf den zu führenden Prozess auf ein Einkommen verzichtet oder sich gewisser Vermögenswerte entäussert hat, nur um auf Staatskosten zu prozessieren (BGE 126 I 165 E. 3b S. 166; 104 Ia 31 E. 4 S. 34; Urteile 5A_86/2012 vom 22. März 2012 E. 4.1 und 5A_590/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.3.1).
3.3. In seiner Begründung, weshalb der bezirksgerichtliche Beschluss zu schützen sei (E. 2.1), verweist das Obergericht auf die jeweiligen Erwägungen 3c seiner Urteile vom 7. und 8. November 2016, in denen es die Beschwerden der Beschwerdeführer gegen die ersten Armenrechtsentscheide des Bezirksgerichts beurteilte (vgl. Sachverhalt Bst. B). Soweit sich das Obergericht die dort festgehaltenen Erwägungen auch im hier zu beurteilenden Verfahren zu eigen macht, erweckt der angefochtene Entscheid in der Tat Bedenken. Den damaligen Erwägungen zufolge soll eine um das Armenrecht ersuchende Partei "eben nicht mittellos im Sinne des Gesetzes" sein, wenn sie "über die nötigen Mittel zur Prozessfinanzierung verfügt, diese Mittel aber anderweitig - nach ihrer Ansicht: sinnvoller - einsetzen will". Entsprechend sei die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer zu verneinen, nachdem sie im April 2016 - mithin zeitlich nach der am 29. Januar 2016 erfolgten Auferlegung eines Gerichtskostenvorschusses und sogar nach der Stellung des Armenrechtsgesuchs im März 2016 - über ausreichende Mittel verfügt hatten, mit denen sie die von ihnen angestrengten Prozesse hätten finanzieren können.
Sinngemäss weist die Vorinstanz auch das neuerliche Armenrechtsgesuch vom 12. Januar 2017 mit der Begründung ab, die Beschwerdeführer hätten mit der erwähnten Vermögensentäusserung im April 2016 hingenommen, ihren Prozess nicht mehr aus eigenen Kräften finanzieren zu können. Allein damit unterstellt das Obergericht den Beschwersdeführern aber keinen bösen Willen in dem Sinne, dass sie die Zahlung von Fr. 3 Mio. an den Gläubiger nur und gerade in der Absicht geleistet hätten, den hängigen Aberkennungsprozess auf Staatskosten zu führen. Davon, dass die Beschwerdeführer nachgerade rechtsmissbräuchlich im Sinne von Art. 2 Abs. 2 ZGB und der dazu ergangenen Rechtsprechung (s. E. 3.2) gehandelt hätten, ist denn auch weder im angefochtenen Entscheid noch an den verwiesenen Stellen der früheren Entscheide die Rede. Mithin beklagen sich die Beschwerdeführer zu Recht darüber, dass der angefochtene Entscheid Art. 117 ZPO und Art. 29 Abs. 3 BV verletze. Allein aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführer vorhandene Mittel im Wissen um ihre Vorschusspflicht im April 2016 "anderweitig investierten", kann jedenfalls mit Bezug auf das Gesuch vom 12. Januar 2017 nicht auf einen offenbaren Missbrauch des Armenrechts im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung geschlossen werden. Im Übrigen ist daran zu erinnern, dass die prozessuale Bedürftigkeit grundsätzlich anhand der wirtschaftlichen Situation im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu beurteilen ist (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181; s. auch Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.3.1 f.).
4.
Gestützt auf die vorigen Erwägungen ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Zur weiteren Behandlung des Armenrechtsgesuchs ist die Sache direkt an das Bezirksgericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 Satz 2 BGG). Über die neue Regelung der Prozesskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens wird im Übrigen das Obergericht zu befinden haben. Bei diesem Verfahrensausgang unterliegt der Kanton Zürich. Gerichtskosten werden dem Gemeinwesen nicht auferlegt (Art. 66 Abs. 4 BGG). Eine Entschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG) ist nicht geschuldet. Dass ihnen persönlich für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren konkrete notwendige Kosten entstanden sind, machen die Beschwerdeführer, die vor Bundesgericht ohne anwaltliche Vertretung auftreten, nicht geltend. Damit ist ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 9. Oktober 2017 wird aufgehoben.
1.1. Zur weiteren Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vom 12. Januar 2017 wird die Sache an das Bezirksgericht Zürich, 4. Abteilung, zurückgewiesen.
1.2. Zur Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigung des kantonalen Rechtsmittelverfahrens wird die Sache an das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bezirksgericht Zürich, 4. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn