Erwägungen:
1.
B._ beantragte mit Schreiben vom 8. September 2016 die Bestrafung von A._ wegen Ehrverletzung anlässlich eines am 12. Juni 2016 ausgestrahlten Radiointerviews. A._ ist Kulturdirektor der Stadt Zürich. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat überwies die Sache dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung und beantragte, die Ermächtigung sei zu verweigern. Am 13. Dezember 2016 beschloss das Obergericht, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung nicht zu erteilen. Dagegen erhob B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, welche das Bundesgericht mit Urteil 1C_63/2017 vom 22. Mai 2017 guthiess, den Beschluss des Obergerichts vom 13. Dezember 2016 aufhob und die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen A._ erteilte.
2.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat erliess am 6. September 2017 eine Nichtanhandnahmeverfügung. Dagegen erhob B._ Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 22. Mai 2018 in Bezug auf die Aussage von A._, B._ habe sich "im Laufe ihres Lebens mit sehr vielen Leuten leider ein bisschen verkracht", guthiess und die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat insoweit aufhob und zur neuen Entscheidung an die Staatsanwaltschaft zurückwies; im Übrigen wies sie die Beschwerde ab.
3.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich führt mit Eingabe vom 27. Juni 2018 (Postaufgabe 28. Juni 2018) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Mai 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Der angefochtene Beschluss schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der, von hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss Art. 92 BGG abgesehen, nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann. Die Beschwerde gegen den vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheid ist nur zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten; dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen (BGE 137 IV 237 E. 1.1; 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht keine Ausführungen zu Art. 93 BGG. Es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern ihr ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG entstehen sollte. Ein Rückweisungsentscheid, mit dem eine Nichtanhandnahmeverfügung aufgehoben und die Sache zur Fortsetzung des Strafverfahrens an die Staatsanwaltschaft zurückgewiesen wird, bewirkt grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur. Ausserdem ist Art. 93 Abs. 1 lit b BGG im Strafrecht im Allgemeinen nicht anwendbar (BGE 141 IV 289 E. 1.1 S. 291). Da die Beschwerdevoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG offensichtlich weder dargetan noch ersichtlich sind, ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli