In Erwägungen:
1.
Vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich ist ein Prozess hängig, in dem die Beschwerdegegnerin als Klägerin gestützt auf russisches Gesellschaftsrecht eine Geldforderung gegenüber der Beschwerdeführerin als Beklagter geltend macht.
Mit Beschluss vom 20. August 2014 ordnete das Handelsgericht die Erhebung eines Rechtsgutachtens an und schlug den Parteien das Schweizerische Institut für Rechtsvergleichung (SIR) als Experteninstitution vor. Mit Urteil 4A_573/2014 vom 14. Oktober 2014 trat das Bundesgericht auf eine von der Beschwerdeführerin gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht ein.
Mit Beschluss vom 5. Februar 2015 trat das Handelsgericht auf ein Wiedererwägungsgesuch der Beschwerdeführerin vom 12. Januar 2015 nicht ein und ernannte gemäss Beschluss vom 20. August 2014 den Rechtsgutachter mit der Befugnis, weitere fachkundige Mitarbeiter des SIR beizuziehen. Mit Urteil 4A_165/2015 vom 20. März 2015 trat das Bundesgericht auf eine von der Beschwerdeführerin gegen den Beschluss vom 5. Februar 2015 erhobene Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht ein.
Nachdem das Gutachten des SIR am 29. November 2016 erstattet und den Parteien zugestellt worden war, beschloss das Handelsgericht am 7. Mai 2018 dessen Ergänzung. Mit Beschluss vom 7. November 2018 erfolgte eine Änderung der vorgesehenen Ergänzungsfragen. Das in der Folge erstellte Ergänzungsgutachten des SIR datiert vom 22. November 2019. Mit Beschluss vom 31. Mai 2021 wies das Handelsgericht den Antrag der Beschwerdeführerin ab, es sei das Rechtsgutachten des SIR zur Überarbeitung und Stellungnahme zu zwei eingereichten Privatgutachten zurückzuweisen.
Mit Eingabe vom 5. Juli 2021 erklärte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, den Beschluss des Handelsgerichts vom 31. Mai 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 I 121 E. 1; 143 III 140 E. 1; 141 III 395 E. 2.1).
2.1. Gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide, mit denen weder über die Zuständigkeit noch über Ausstandsbegehren entschieden wurde (vgl. Art. 92 BGG), ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss ein Nachteil rechtlicher Natur sein, der auch durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigt werden kann, wogegen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht ausreichen (BGE 144 III 475 E. 1.2 S. 479; 142 III 798 E. 2.2 S. 801; 141 III 80 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (BGE 144 III 475 E. 1.2 S. 479; 142 III 798 E. 2.2 S. 801; 141 III 80 E. 1.2 S. 81). Diese Ausnahme ist restriktiv zu handhaben (BGE 144 III 475 E. 1.2; 138 III 94 E. 2.2 S. 95). Dabei obliegt es der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass die Voraussetzungen für eine ausnahmsweise Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheids erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (BGE 142 III 798 E. 2.2 S. 801; 141 III 80 E. 1.2 S. 81; 138 III 46 E. 1.2 S. 47; 137 III 324 E. 1.1 S. 328 f.; 133 III 629 E. 2.3.1).
2.2. Beim angefochtenen Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Mai 2021 handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Beschwerdeführerin möchte einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zunächst damit begründen, dass die Vorinstanz ihren Antrag, das SIR-Gutachten vom 29. November 2016 wie auch das Ergänzungsgutachten vom 22. November 2019 seien nicht zu berücksichtigen, in Verletzung des rechtlichen Gehörs unbehandelt gelassen habe. Eine weitere Gehörsverletzung erblickt sie darin, dass zwei rechtskräftige Entscheide des Moskauer Handelsgerichts übergangen worden seien. Zudem bringt sie vor, indem die Vorinstanz das Gutachten des SIR samt Ergänzungsgutachten trotz angebliche Fehlerhaftigkeit ohne weitere Überarbeitung beim Endentscheid berücksichtigen wolle, werde das russische Recht in Verletzung von Art. 16 Abs. 1 IPRG nicht richtig ermittelt.
Damit zeigt die Beschwerdeführerin keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur auf, weil sie die entsprechenden Rügen später noch mit einer Beschwerde beim Bundesgericht vorbringen kann, falls der Endentscheid des Handelsgerichts zu ihren Ungunsten ausfallen sollte. Namentlich hilft ihr auch der Hinweis auf die gemäss Art. 96 lit. b BGG eingeschränkte Kognition des Bundesgerichts nicht weiter, weil es sich dabei um eine Einschränkung handelt, die unabhängig von der Art des kantonalen Entscheids (Zwischenentscheid oder Endentscheid) besteht (so bereits Urteile 4A_165/2015 vom 20. März 2015; 4A_573/2014 vom 14. Oktober 2014). Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sind demnach offensichtlich nicht gegeben. Die Beschwerdeführerin beruft sich im Übrigen auf Rechtsverweigerung (Art. 94 BGG), zeigt jedoch nicht hinreichend auf, inwiefern ihre Beschwerde das unrechtmässige Verweigern eines anfechtbaren Entscheids zum Gegenstand haben soll, zumal das Anfechtungsobjekt ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid des Handelsgerichts ist (vgl. bereits Urteil 4A_165/2015 vom 20. März 2015).
Auf die Beschwerde ist daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht einzutreten.
3.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos. Die Beschwerdeführerin wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann