Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1986, ist Mutter von zwei Kindern (geboren 2004 und 2008), verfügt über keine Berufsausbildung und war nie erwerbstätig. Sie steht seit September 2000 in psychotherapeutischer Behandlung. Vom 1. September 2002 bis 31. August 2003 - nach Verlängerung bis 30. September 2005 - bezog sie von der Invalidenversicherung ambulante Psychotherapie nach ärztlicher Verordnung als medizinische Massnahme (Verfügungen vom 25. März 2002 und 23. Februar 2004).
Nach erfolglosen Anmeldungen zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung reichte A._ am 11. Juli 2012 ein neues Leistungsgesuch ein. Basierend auf erwerblichen und medizinischen Abklärungen verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch (Verfügung vom 22. April 2016). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die hiegegen erhobene Beschwerde der A._ mit Urteil vom 17. August 2016 gut, hob die Verfügung vom 22. April 2016 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und Neuverfügung an die IV-Stelle zurück.
A.b. Gestützt auf das Gutachten der Psychiaterin Dr. med. B._ vom 30. November 2017 (nachfolgend: psychiatrisches Gutachten) sprach die IV-Stelle A._ ab 1. Januar 2018 bei einem Invaliditätsgrad von 46% eine Viertelsrente mit zwei entsprechenden Kinderrenten zu (Verfügung vom 17. September 2020).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde der A._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt teilweise gut, indem es die Verfügung vom 17. September 2020 dahingehend abänderte, dass es die IV-Stelle verpflichtete, der Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2018 eine Dreiviertelsrente zuzüglich zweier entsprechender Kinderrenten auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil vom 27. Juni 2021).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, ihr sei unter Aufhebung des angefochtenen Urteils ab 1. Januar 2013 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Bei Obsiegen sei "dem Unterzeichnenden" für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4250.- zu Lasten der Beschwerdegegnerin zuzusprechen; eventualiter sei das Verfahren zur Neuregelung der Kosten und Entschädigung des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Während die IV-Stelle und das kantonale Gericht auf Beschwerdeabweisung schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin reichte mit Eingabe vom 21. Dezember 2021 eine Honorarnote ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 141 V 234 E. 1 mit Hinweisen).
1.2. Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; zum Ganzen BGE 145 V 215 E. 1.1 f.).
1.3. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung; in diese greift das Bundesgericht auf Beschwerde hin nur bei Willkür (vgl. dazu BGE 146 IV 88 E. 1.3.1) ein, insbesondere wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (Art. 106 Abs. 2 BGG) klar und detailliert aufzuzeigen (vgl. BGE 144 V 50 E. 4.2).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdeführerin anstatt der beantragten ganzen Invalidenrente ab 1. Januar 2013 nur eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2018 zusprach.
2.2. Auch wenn im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens das Rentenverhältnis als Ganzes den Streitgegenstand bildete (BGE 125 V 413; vgl. ferner BGE 131 V 164 E. 2.2 und Urteil 9C_34/2009 vom 24. Februar 2010 E. 3.2, in: SVR 2010 IV Nr. 61 S. 186), bleibt das Bundesgericht an die Begehren der Parteien gebunden (Art. 107 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_50/2011 vom 25. Mai 2011 E. 2.2, in: SZS 2011 S. 511). Insofern sind hier nur noch der Rentenbeginn ab 1. Januar 2013 und ab 1. Januar 2018 die Höhe des Rentenanspruchs (eine ganze oder nur eine Dreiviertelsrente) zu prüfen, nicht jedoch der Anspruch auf eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2018 (vgl. Urteile 8C_678/2020 vom 10. Dezember 2020 E. 2.2 und 8C_419/2018 vom 11. Dezember 2018 E. 4.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das kantonale Gericht stellte nach einlässlicher Würdigung der Aktenlage insbesondere gestützt auf den Bericht zur Haushaltabklärung vom 3. April 2014 mit nachvollziehbarer und überzeugender Begründung fest, bei Eintritt des 2008 geborenen Sohnes in den Kindergarten im August 2013 hätte die Beschwerdeführerin angesichts der Kindergartenzeiten ohne gesundheitliche Beeinträchtigungen ein geschätztes Teilerwerbspensum im Umfang von 36% aufgenommen. Ab August 2014 hätte sie dieses Pensum angesichts des etwas geringeren Betreuungsaufwandes für ihren Sohn auf 50% erhöht. Nachdem sie im Frühjahr 2017 auch ihren Sohn (wie zuvor bereits die ältere Tochter) in einer Pflegefamilie habe fremdplatzieren lassen, hätte sie zur Finanzierung ihres Lebensunterhalts hypothetisch als Gesunde spätestens ab September 2017 - rentenwirksam ab 1. Januar 2018 - ihr Erwerbspensum auf 80% erhöht.
3.2. Hiegegen behauptet die Beschwerdeführerin pauschal und ohne zeitliche Differenzierung, mangels ausreichender Alimente wäre sie als gesunde Mutter zweier fremdplatzierter Kinder zu 100% erwerbstätig gewesen. Sie legt jedoch nicht dar, und es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz bei der konkreten Beweiswürdigung hinsichtlich der Klärung der Statusfrage im Einzelnen Bundesrecht - insbesondere das Willkürverbot (vgl. E. 1.3 hievor) - verletzt haben soll. Was die Beschwerdeführerin gegen die Feststellung des (Erwerbs-) Status gemäss angefochtenem Urteil vorbringt, ist demnach unbegründet.
4.
4.1. In Bezug auf die aktuellen Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit stellte das kantonale Gericht auf das beweiskräftige psychiatrische Gutachten ab. Demnach ist die Beschwerdeführerin mangels Berufsausbildung und ohne jegliche Erfahrung im ersten Arbeitsmarkt aufgrund ihrer Grundfertigkeiten angesichts ihrer psychischen Beeinträchtigungen nur in der Lage, eine leichte Hilfsarbeit - wie das Auffüllen von Regalen - in begrenztem Rahmen von 40% zu absolvieren. Die rezidivierenden Depressionen sind dabei berücksichtigt, da diese bei rechtzeitiger konsequenter Behandlung und Cannabisabstinenz nicht zu einer Erhöhung der Arbeitsunfähgkeit führen. Bei maximaler Entlastung durch die Fremdplatzierung beider Kinder ist die Beschwerdeführerin laut psychiatrischem Gutachten in der Lage, im Bereich Haushalt sämtliche Arbeiten ohne relevante Einschränkungen zu verrichten. Abweichend vom psychiatrischen Gutachten setzte die Vorinstanz den Beginn dieser massgebenden Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit nicht auf den 27. Mai 2015, sondern gestützt auf die Ausführungen vom 22. März 2018 des Psychiaters C._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) mit der Beschwerdegegnerin auf das Jahr 2012 fest.
4.2. Inwiefern diese für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG) das Willkürverbot verletzen sollen (vgl. E. 1.3 hievor), zeigt die Beschwerdeführerin nicht in einer dem strengen Rügeprinzip (vgl. E. 1.3 hievor) genügenden Weise auf und ist nicht ersichtlich.
5.
Nach dem Gesagten ist von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zum Status (vgl. E. 3.1 hievor) und zur Arbeitsfähigkeit (vgl. E. 4.1 hievor) auszugehen. Die Beschwerdeführerin macht jedoch geltend, die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit sei auf dem ersten Arbeitsmarkt nicht umsetzbar und die Eingliederungsfähigkeit werde aus medizinischer Sicht mehrheitlich bezweifelt. Das kantonale Gericht habe zur Frage der Integration in den ersten Arbeitsmarkt und zur Selbsteingliederung nicht Stellung genommen. Dadurch habe es ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, zumal die Selbsteingliederung nicht nur im Hinblick auf Eingliederungsmassnahmen, sondern auch vor der Rentenzusprache zu prüfen sei. Die Beschwerdeführerin rügt damit auch eine Verletzung des bundesrechtlichen Prinzips "Eingliederung vor Rente".
5.1. Nach dem Grundsatz "Eingliederung vor Rente" gehen Eingliederungsmassnahmen den Rentenleistungen vor. Diese werden nur erbracht, wenn die versicherte Person nicht oder bloss in ungenügendem Masse eingegliedert werden kann. Für die Abklärungspflicht der IV-Stelle bedeutet dies, dass sie nicht nur bei der erstmaligen Prüfung eines Leistungsgesuchs, sondern auch im Revisionsfall zuerst untersuchen muss, ob Eingliederungsmassnahmen angezeigt sind, bevor über den Rentenanspruch zu entscheiden ist (vgl. Urteil 8C_842/2016 vom 18. Mai 2017 E. 5.3.1 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 9C_689/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 3.1 und 9C_450/2019 vom 14. November 2019 E. 3.3.1, je mit Hinweisen). Eine Invalidenrente soll erst und nur dann gesprochen werden, wenn die Möglichkeiten ausgeschöpft sind, welche Eingliederungsmassnahmen zur Verbesserung der gesundheitsbedingt beeinträchtigten Erwerbsfähigkeit bieten. Denn die bestmögliche Verminderung der nachteiligen Auswirkungen eines Gesundheitsschadens auf die Erwerbsfähigkeit gestaltet sich bei der Eingliederung vor Rente in der Regel einfacher als die Wiedereingliederung von Rentenbeziehenden (vgl. BGE 145 V 2 E. 4.3.2 mit Hinweis). Falls ein Rentenanspruch indes durch allenfalls noch vorzunehmende berufliche Eingliederungsmassnahmen nicht mehr beeinflusst werden kann, etwa weil ein rentenbegründender Invaliditätsgrad bereits jetzt nicht gegeben ist, kann der Rentenentscheid unabhängig von allfälligen Eingliederungsmassnahmen gefällt werden (Urteile 8C_204/2021 vom 26. Mai 2021 E. 4.2.2 und 8C_691/2015 vom 11. Februar 2016 E. 4, je mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 9C_207/2018 vom 16. April 2018 E. 3.2.4 und 8C_187/2015 vom 20. Mai 2015 E. 3.2.1, je mit Hinweisen).
5.2. Die Beschwerdeführerin hält vor Bundesgericht an ihren bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhobenen Einwänden gegen die Eingliederungsfähigkeit auf dem ersten Arbeitsmarkt fest. Schon vor dem kantonalen Gericht machte die Beschwerdeführerin geltend, nach Einschätzung des RAD-Psychiaters C._ sei fraglich, ob die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit (vgl. E. 4.1 hievor) erwerblich verwertbar sei. Er habe ausdrücklich die Auffassung vertreten, mangels bisher veranlasster Eingliederungsmassnahmen müsse sie, die noch nie auf dem ersten Arbeitsmarkt erwerbstätig gewesen sei, durch ein Arbeitstraining an die erwerbliche Verwertung ihrer medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit heran geführt werden. Auch gemäss psychiatrischem Gutachten sei die Umsetzbarkeit von Eingliederungsmassnahmen im Rahmen der attestierten Arbeitsfähigkeit in Frage gestellt worden. Die Fachstelle "Eingliederung" der Beschwerdegegnerin habe das Potential von Eingliederungsmassnahmen als gering eingestuft.
5.3. Gemäss angefochtenem Urteil beantragte die Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren die Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung, weil an der Verfügung vom 17. September 2020 nicht festgehalten werden könne, da die IV-Stelle entgegen der ausdrücklichen Empfehlung des RAD-Psychiaters vom 28. Februar 2019 bisher Eingliederungsmassnahmen weder geprüft noch durchgeführt habe. Ungeachtet dieses Rückweisungsantrages der Beschwerdegegnerin und der auch seitens der Beschwerdeführerin bereits im vorinstanzlichen Verfahren gerügten fehlenden Prüfung des Anspruchs auf Eingliederungsmassnahmen (vgl. E. 5.2 hievor) liess das kantonale Gericht offen, ob der Beschwerdeführerin Eingliederungsmassnahmen zustünden, da dies "nicht abschliessend beurteilt werden" könne.
5.4. Unter Berufung auf das Urteil 9C_575/2012 vom 25. September 2012 E. 3 verneinte die Vorinstanz, dass Eingliederungsmassnahmen Teil des Streitgegenstandes bildeten. Abweichend von der Konstellation, welche dem genannten Urteil zu Grunde lag, steht hier jedoch nicht schon im Voraus fest, dass ein rentenbegründender beziehungsweise rentenerhöhender Invaliditätsgrad nicht gegeben ist und folglich ein Rentenentscheid unabhängig von allfälligen Eingliederungsmassnahmen bereits gefällt werden kann. Zu Recht beanstandet daher die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe zur Frage der Integration in den ersten Arbeitsmarkt und zur Selbsteingliederung nicht Stellung genommen. Bevor über den vorinstanzlich zugesprochenen Rentenanspruch hinaus (vgl. E. 2.2 hievor) über weitergehende Rentenleistungen zu befinden ist, wird daher die IV-Stelle im Mahn- und Bedenkzeitverfahren zu prüfen haben, wie weit die Beschwerdeführerin durch geeignete Eingliederungsmassnahmen unter ausdrücklichem Hinweis auf die Mitwirkungs- und Schadenminderungspflicht (vgl. Art. 21 Abs. 4 ATSG und Art. 7 f. IVG; vgl. dazu BGE 145 V 2 E. 4.2.2; 133 V 511 E. 4.2) zur erwerblichen Verwertung ihrer medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit gebracht werden kann. Laut psychiatrischem Gutachten sind der Beschwerdeführerin zwar Eingliederungsmassnahmen im Rahmen der attestierten Arbeitsfähigkeit zumutbar. Doch stellte die psychiatrische Gutachterin ihre entsprechende Einschätzung unter den Vorbehalt der "Umsetzbarkeit", indem sie auf die "krankheitsbedingt" instabile Kooperation der Beschwerdeführerin auch bei Eingliederungsbemühungen verwies. Wie es sich damit verhält, wird die Beschwerdegegnerin zu prüfen und hernach über die weitergehende Leistungspflicht im Rahmen des Streitgegenstandes (vgl. E. 2.2 hievor) zu befinden haben.
5.5. Die Beschwerde ist folglich insoweit begründet und teilweise gutzuheissen, als die Sache unter Aufhebung des angefochtenen Urteils und der Verfügung vom 17. September 2020 zur Abkärung des Anspruchs auf Eingliederungsmassnahmen und anschliessenden Neuverfügung über den Streitgegenstand (vgl. E. 2.2 hievor) an die IV-Stelle zurückzuweisen ist.
6.
Hinzuweisen bleibt auf den Umstand, dass im Verfahren vor Bundesgericht das Verbot der reformatio in peius gilt (Art. 107 Abs. 1 BGG), das im Fall einer Rückweisung auch die vorinstanzlichen Behörden bindet (Urteil 8C_798/2019 vom 16. Juli 2020 E. 7 mit Hinweisen; vgl. ferner JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 18 zu Art. 107 BGG).
7.
7.1. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung oder an die Vorinstanz zur Abklärung bzw. Durchführung von Eingliederungsmassnahmen gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (vgl. BGE 141 V 281 E. 11.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_798/2019 vom 16. Juli 2020 E. 8). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat diese der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung zu leisten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird damit gegenstandslos.
7.2. Mit Eingabe vom 21. Dezember 2021 machte der Rechtsvertreter bei einem Arbeitsaufwand von 21 Stunden ein Honorar von Fr. 5250.- geltend. Mit Blick darauf, dass der zu beurteilende Fall weder in sachverhaltlicher noch in rechtlicher Hinsicht besonders komplex war, erweist sich der Aufwand als unangemessen hoch (vgl. Urteil 9C_12/2021 vom 11. Oktober 2021 E. 7.2.2). Nach Art. 68 BGG und Art. 2 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 (SR 173.110.210.3) umfasst die Parteientschädigung die Anwaltskosten und die notwendigen Auslagen für die Prozessführung, wobei sich die Anwaltskosten aus dem Anwaltshonorar und dem Auslagenersatz zusammensetzen. Praxisgemäss wird für einen Normalfall Fr. 2800.- zugesprochen, einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer. Angesichts dieses Normalansatzes einerseits, der Wichtigkeit und Schwierigkeit der Streitsache sowie des Arbeitsaufwands andererseits erweist sich vorliegend ein Honorar von Fr. 3200.- als angemessen (vgl. Urteil 8C_398/2018 vom 5. Dezember 2018 E. 6.2).
7.3. Die Vorinstanz wird die Kosten des vorangegangenen Verfahrens unter Berücksichtigung der damals eingereichten unspezifizierten Honorarnote vom 22. Januar 2021 einerseits und der für das kantonale Verfahren vor Bundesgericht geltend gemachten Forderung von Fr. 4250.- andererseits neu zu verlegen haben (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. Juni 2021 und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 17. September 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Basel-Stadt zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3200.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Januar 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Hochuli