Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 20. Juni 2019 (Postaufgabe am 25. Juni 2019) hat die A._, Ltd liab. Co. (Beschwerdeführerin) erklärt, gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Mai 2019 "subsidiäre Verfassungsbeschwerde" zu erheben, und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht.
Mit Verfügung vom 28. Juni 2019 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen und die Beschwerdeführerin aufgefordert, spätestens am 16. August 2019 einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- einzuzahlen. Da der Kostenvorschuss innerhalb dieser Frist nicht einging, wurde der Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 2. September 2019 eine nicht erstreckbare Nachfrist zur Vorschussleistung bis zum 17. September 2019 angesetzt, unter Hinweis darauf, dass das Bundesgericht bei Säumnis auf das Rechtsmittel nicht eintreten werde (Art. 62 Abs. 3 BGG). Mit vom 15. September 2019 datierter Eingabe, aber Postaufgabe am 17. September 2019, stellte die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Zur Begründung verwies sie einzig auf Art. 64 Abs. 3 BGG und darauf, dass die Beschwerde "nicht [] aussichtslos" sei. Indessen hätte beim Ablauf der nicht mehr erstreckbaren Nachfrist nur ein tauglich sowie korrekt begründetes und mit ausreichenden Belegen zur wirtschaftlichen Situation versehenes Gesuch zur Fristwahrung genügen können (siehe Urteil 4D_35/2019 vom 5. September 2019 E. 3 mit Hinweisen). Diesen Anforderungen entspricht die Eingabe vom 17. September 2019 offensichtlich nicht.
Da der Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht bezahlt wurde, ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG gestützt auf Art. 62 Abs. 3 BGG androhungsgemäss nicht einzutreten.
Im Übrigen wäre auf die Beschwerde auch deshalb nicht einzutreten, weil sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht genügt.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle