Sachverhalt:
A.
Gegen A._ wurde am Richteramt Bucheggberg-Wasseramt ein Strafverfahren wegen Beschimpfung durchgeführt. Am 14. Juni 2019 erliess der Amtsgerichtspräsident B._ eine Beweisverfügung, mit der er sämtliche Beweisanträge von A._ abwies. Am 1. September 2019 stellte diese ein Ausstandsgesuch gegen ihn, das sie im Wesentlichen mit der Abweisung ihrer Beweisanträge begründete. Mit Verfügung vom 2. September 2019 leitete B._ das Gesuch an die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn weiter. In seiner Stellungnahme vom gleichen Datum beantragte er die Abweisung des Gesuchs, soweit darauf eingetreten werden könne. Am 6. September 2019 führte er die Hauptverhandlung im Strafverfahren durch und verurteilte A._ wegen Beschimpfung zu einer bedingten Geldstrafe. Mit Beschluss vom 2. Oktober 2019 wies die Beschwerdekammer des Obergerichts das Ausstandsgesuch ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 9. November 2019 beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an dieses zurückzuweisen. B._ hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. A._ hat am 3. Dezember 2019 und 17. Januar 2020 weitere Eingaben gemacht.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über ein Ausstandsbegehren in einem Strafverfahren. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (Art. 92 Abs. 1 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 StPO und Art. 78 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Auch sonst steht einem Eintreten auf ihr Rechtsmittel nichts entgegen.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin bringt zur Begründung ihrer Beschwerde einzig vor, die Vorinstanz habe sie nicht aufgefordert, sich zur Stellungnahme des Amtsgerichtspräsidenten vom 2. September 2019 zu ihrem Ausstandsgesuch vom 1. September 2019 zu äussern. Damit habe sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und ihr Recht auf ein faires Verfahren verletzt. Die Vorinstanz hält dem entgegen, sie habe der Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 3. September 2019 eine Kopie der Stellungnahme des Amtsgerichtspräsidenten zugestellt und ihr Gelegenheit gegeben, sich bis zum 20. September 2019 zu äussern. Da die Beschwerdeführerin innert Frist nicht reagiert habe, habe sie am 2. Oktober 2019 über das Ausstandsgesuch entschieden.
2.2. Die Vorinstanz hat dem Bundesgericht zwar das Aktenexemplar einer vom 3. September 2019 datierten Verfügung eingereicht, mit der sie der Beschwerdeführerin die Eingabe des Amtsgerichtspräsidenten zur Kenntnis und allfälligen Stellungnahme bis 20. September 2019 zustellte. Diese Verfügung wurde gemäss Verteiler jedoch mit A-Post an die Beschwerdeführerin geschickt und diese bestreitet, sie erhalten zu haben. Einen Beleg, dass sie ihr zugestellt wurde, reichte die Vorinstanz nicht ein. Damit ist in Bezug auf diese Frage auf die Darstellung der Beschwerdeführerin abzustellen (BGE 142 IV 125 E. 4.3 S. 128; 136 V 295 E. 5.9 S. 309; je mit Hinweisen). Entsprechend ist davon auszugehen, ihr sei im vorinstanzlichen Verfahren nicht Gelegenheit gegeben worden, sich zur Stellungnahme des Amtsgerichtspräsidenten zu äussern. Da dem Gesuchsteller im Ausstandsverfahren das Replikrecht (als Teilgehalt des Gehörsanspruchs) auch zu sämtlichen Stellungnahmen der Personen zusteht, deren Ausstand er beantragt hat (Urteile 1B_212/2016 vom 14. Oktober 2016; 1B_459/2012 vom 16. November 2012 E. 2.1; je mit Hinweisen), hätte dies aber geschehen sollen.
Die Beschwerdeführerin macht nun allerdings nicht geltend, sie hätte bei Gewährung des Replikrechts Massgebliches (oder überhaupt etwas) zur Stellungnahme des Amtsgerichtspräsidenten zu ihrem Ausstandsgesuch vom 1. September 2019 vorgebracht. Vielmehr führt sie aus, sie hätte weitere Ausstandsgründe genannt, die sich erst an der Hauptverhandlung vom 6. September 2019 ergeben hätten. Ihre Berufung auf die Verletzung des Replikrechts bezüglich der Stellungnahme des Amtsgerichtspräsidenten dient somit gar nicht dazu, dieses Recht nachträglich wahrnehmen zu können. Vielmehr soll sie ihr ermöglichen, neue (angebliche) Ausstandsgründe gegen diesen vorzubringen, obschon sie solche ohne Verzug von sich aus hätte vorbringen sollen (vgl. Art. 58 Abs. 1 StPO) und in ihrer Berufung gegen das Strafurteil vom 6. September 2019 allenfalls auch vorgebracht hat. Diese zweckwidrige Berufung auf die Verletzung des Replikrechts bzw. des Anspruchs auf rechtliches Gehör verdient keinen Rechtsschutz, sondern ist rechtsmissbräuchlich (vgl. auch Urteile 9C_815/2015 vom 8. August 2016 E. 2.2; 8C_478/2016 vom 7. Oktober 2016 E. 5.2.2.2; je mit Hinweisen). Entsprechend geht auch die Berufung der Beschwerdeführerin auf das Recht auf ein faires Verfahren fehl. Weitere Rügen bringt sie nicht vor. Damit erweist sich ihre Beschwerde - ungeachtet der Frage, welche Bedeutung dem (unstrittigen) Umstand zukommt, dass ihr der Amtsgerichtspräsident eine Kopie seiner Stellungnahme zum Ausstandsgesuch zustellte und ihr diese somit bekannt war - als offensichtlich unbegründet.
3.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Unter den gegebenen Umständen kann von der Erhebung von Gerichtskosten abgesehen werden (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 3. Dezember 2019 sinngemäss auch um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur