Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1963 geborene A._ war vom 1. August 1998 bis 31. Oktober 2005 bei der D._ als Mitarbeiterin im Reinigungsdienst angestellt und in dieser Eigenschaft bei der B._ Sammelstiftung, (nachfolgend: B._), für die berufliche Vorsorge versichert.
Per 1. November 2005 meldete sie sich zum Bezug von Leistungen der Arbeitslosenversicherung an und war als Arbeitslose bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG vorsorgeversichert.
Vom 3. Mai 2006 bis am 30. November 2012 arbeitete sie mit einem Teilpensum bei der C._, als Betriebsmitarbeiterin. Während dieser Anstellung war sie ab Mai 2006 bei der BVG-Stiftung der C._ und ab 1. Oktober 2006 zusätzlich bei der Personalvorsorgestiftung der C._ berufsvorsorgeversichert.
A.b. Am 27. September 2005 hatte sich A._ erstmals bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Nach Abklärungen, insbesondere einer bidisziplinären Begutachtung der Versicherten durch die Dres. med. E._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie und F._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin sowie Rheumatologie, (Expertisen vom 13. Juli 2006) verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 29. November 2006 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Dies wurde mit Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 29. August 2007 (IV 2007 21) bestätigt.
Am 16. Januar 2007 hatte die Versicherte eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes geltend gemacht. Nach erneuten Abklärungen, insbesondere einer Begutachtung inklusive Verlaufsbegutachtung durch die Dres. med. G._, Facharzt für Physikalische Medizin und Rehabilitation sowie Rheumatologie, und H._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, (Expertisen vom 20. August 2008 und 5. September 2008 sowie vom 13. und 23. November 2009) sprach die IV-Stelle A._ mit Verfügung vom 9. Juli 2010 rückwirkend ab 1. Oktober 2007 eine Viertelsrente zu (Invaliditätsgrad: 42 %). Ein Gesuch vom Februar 2011 um Rentenerhöhung wurde mit Verfügung vom 9. Januar 2013, bestätigt durch das Urteil des Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 15. Juli 2013 (IV.2013.29), abgewiesen.
Ein infolge Wohnsitzwechsels der Versicherten 2016 seitens der neu zuständigen IV-Stelle Tessin eingeleitetes Revisionsverfahren führte insbesondere nach erneuter Begutachtung mit Verfügung vom 3. Juli 2017 zur Zusprache einer ganzen Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 75 %) ab 1. Februar 2016.
A.c. Die von der Versicherten gegenüber der B._ sowie der BVG-Stiftung der C._ und der Personalvorsorgestiftung der C._ geltend gemachten Leistungsansprüche aus beruflicher Vorsorge lehnten die Vorsorgeeinrichtungen ab (Schreiben der Personalvorsorge-Stiftungen der C._ vom 13. August 2010, 14. Juni 2016 und 27. Dezember 2017, Schreiben der B._ AG, vom 1. Oktober 2010 und 23. August 2016). Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG anerkannte dagegen eine Leistungspflicht ab 1. Oktober 2007 (Schreiben vom 16. April 2019).
B.
Mit Eingaben beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 27. November 2020 machte die Versicherte sinngemäss Leistungen aus der beruflichen Vorsorge gegenüber der B._ sowie der "C._" respektive der Personalvorsorgestiftung der C._ geltend.
Mit verbesserter Klage vom 15. April 2021 gegen die B._ liess sie beantragen, es sei die Beklagte zu verurteilen, der Klägerin mit Wirkung ab dem 7. Februar 2007 eine Invalidenrente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von mindestens 42 % und ab dem 1. Februar 2016 auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 75 % nebst Verzugszins von 5 % ab dem 30. November 2020 zu leisten. Am 13. Juli 2021 liess sie replicando an der Klage gegen die BVG-Stiftung der C._ und die Personalvorsorgestiftung der C._ festhalten.
Mit Urteil vom 22. September 2021 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Klage ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei - unter Aufhebung des angefochtenen Urteils - die B._, eventualiter die BVG-Stiftung der C._ und die Personalvorsorgestiftung der C._, zu verpflichten, ihr mit Wirkung ab dem 7. Februar 2007 eine Invalidenrente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von mindestens 42 % und ab dem 1. Februar 2016 auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 75 % nebst Verzuzgszins von 5 % ab dem 30. November 2020 zu leisten.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 V 57 E. 1; 141 V 206 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.2. Ein Rechtsmittel hat gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist konkret auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen, welche Vorschriften und weshalb sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (BGE 140 III 264 E. 2.3; 134 V 53 E. 3.3 und 133 IV 286 E. 1.4). Soweit die Beschwerdeführerin im Eventualpunkt eine Leistungspflicht gegenüber der BVG-Stiftung der C._ und der Personalvorsorgestiftung der C._ geltend macht, begründet sie dies nicht. Auf diesen Antrag ist daher nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob Bundesrecht verletzt wurde, indem die Vorinstanz eine Leistungspflicht der B._ verneint hat.
3.2.
3.2.1. Die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen rechtlichen Grundlagen wurden im angefochtenen Entscheid zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen (Art. 109 Abs. 3 Satz 2 BGG).
3.2.2. Zu ergänzen ist Folgendes: Als Tatfrage ist die konkrete Beweiswürdigung eines kantonalen Gerichts vor Bundesgericht lediglich einer eingeschränkten Überprüfung zugänglich (vgl. Urteil 9C_463/2020 vom 17. Dezember 2020 E. 2.2). Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (zum Begriff der Willkür: BGE 144 II 281 E. 3.6.2), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid - im Ergebnis - offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 144 V 50 E. 4.2; 141 V 385 E. 4.1).
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat eine Leistungspflicht der B._ mit der Begründung verneint, der Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache schliesslich zur Invalidität mit Berentung ab 1. Oktober 2007 geführt habe, sei auf Oktober 2006 zu legen. Somit sei die Arbeitsunfähigkeit zu einem Zeitpunkt eingetreten, als die Beschwerdeführerin nicht mehr bei der B._ versichert gewesen sei. Mit Blick hierauf könne die B._ auch für die nachträgliche "Erhöhung der Invalidität" gemäss Verfügung der IV vom 14. Juni 2016 (recte: 3. Juli 2017) nicht belangt werden.
4.2. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin lassen - soweit sie nicht ohnehin unzulässiger rein appellatorischer Natur sind (vgl. BGE 144 V 50 E. 4.2 mit Hinweisen) - die Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts und die diesbezüglichen Feststellungen weder offensichtlich unrichtig noch als Ergebnis einer Rechtsverletzung erscheinen (vgl. E. 2 und 3.2.2 hiervor) :
Vorweg ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin aus der Anmeldung zum Leistungsbezug im September 2005 nichts hinsichtlich einer relevanten Arbeitsunfähigkeit ableiten kann. Dass sich die ab 2004 geltend gemachte Inkontinenz vor Oktober 2006 im Arbeitsverhältnis konkret nachteilig bemerkbar gemacht hätte, wird sodann nicht substanziiert, weshalb sich Weiterungen erübrigen.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin hat das kantonale Gericht weiter in freier Würdigung der medizinischen Aktenlage geprüft, wann die relevante Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG eingetreten ist. Daran ändert nichts, dass es hinsichtlich der Beweiskraft des Gutachtens der Dres. med. E._ und F._ vom 13. Juli 2006 und der Zweifel an den Einschätzungen von Dr. med. I._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin, seiner im Rahmen des IV-Verfahrens vorgenommenen Würdigung im Urteil vom 29. August 2007 (IV 2007 21) gefolgt ist. So hat es zur Begründung erwogen, man habe damals den Einschätzungen der Gutachter gegenüber den abweichenden Bewertungen der behandelnden Ärzte in Nachachtung der für die Beweiswürdigung massgeblichen Praxis den Vorzug gegeben. Dies wird nicht bestritten. Soweit sich die Beschwerdeführerin dennoch auf die Einschätzung von Dr. med. I._ beruft, verkennt sie, dass eine mit Zweifeln behaftete medizinische Bewertung keine geeignete Grundlage für einen Leistungsanspruch bilden kann. Sollte die Beschwerdeführerin schliesslich geltend machen wollen, dass Dr. med. H._ in seiner Expertise vom 13. November 2009 von einer am 7. Februar 2005 eingetretenen, mindestens 20%igen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen ist, ist dies aktenwidrig (psychiatrisches Gutachten S. 12).
Schliesslich dürfen neue Tatsachen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Beim Vorbringen, wonach die Beschwerdeführerin ab dem 7. Februar 2005 Krankentaggelder der Krankentaggeldversicherung im Umfang von mindestens 50 % erhalten haben soll, handelt es sich um eine neue Tatsache. Dass erst der vorinstanzliche Entscheid Anlass dazu gegeben hat, diese Tatsache vorzubringen, wird weder substanziiert, noch ist dies ersichtlich. Darauf ist daher nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid (Art. 109 Abs. 3 BGG) erledigt wird.
5.2. Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Stadelmann
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist