Erwägungen:
1.
1.1. Die KSD, das Informatikunternehmen von Kanton und Stadt Schaffhausen, führte eine Submission betreffend Verwaltungssoftware im Bereich Sozialwesen für die Stadt Schaffhausen durch. Nachdem die A._ AG den entsprechenden Zuschlag nicht erhalten hatte, erhob sie Beschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen und verlangte am 26. August 2019 Einsicht in die Vergabeakten. Das Obergericht hiess das Akteneinsichtsgesuch am 13. September 2019 teilweise gut und gewährte die Akteneinsicht mit detailliert umschriebenen Einschränkungen zur Wahrung des Geschäftsgeheimnisses.
1.2. Mit Beschwerde vom 17. Oktober 2019 beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, ihr sei vollumfänglich Einsicht in die Vergabeakten zu gewähren. Das Verfahren vor Obergericht sei bis zur Akteneinsicht zu sistieren. Zudem sei festzustellen, dass das Obergericht die Frist für die Beschwerde an das Bundesgericht faktisch gekürzt habe. Das Bundesgericht hat weder die vorinstanzlichen Akten beigezogen noch andere Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Anfechtungsobjekt ist ein Zwischenentscheid des Obergerichts betreffend Akteneinsicht. Nach Art. 93 Abs. 1 BGG ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG liegen offensichtlich nicht vor. Zu prüfen ist deshalb, ob der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
2.2. Die Beschwerdeführerin begründet den nicht wieder gutzumachenden Nachteil damit, dass die eingeschränkte Akteneinsicht eine Beweisführung verunmögliche bzw. stark beeinträchtige. Die Folgen dieser Beeinträchtigung könnten im weiteren Verfahren nicht mehr geltend gemacht werden, weil vor Bundesgericht keine Sachverhaltsfragen mehr erörtert werden könnten.
2.2.1. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung bewirkt die Beschränkung der Akteneinsicht grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, da sie - wie die Ablehnung eines Beweisantrags oder jede andere Verweigerung des rechtlichen Gehörs - bei der Anfechtung des Endentscheids voll wirksam gerügt werden kann (vgl. Urteile 2C_313/2019 vom 3. April 2019 E. 2.3; 9C_1072/2009 vom 29. Januar 2010 E. 4). Anders verhält es sich indessen im umgekehrten Fall, weil eine bereits gewährte Akteneinsicht nicht wieder rückgängig gemacht werden kann (Urteil 2C_599/2007 vom 5. Dezember 2007 E. 2.2). Eine Ausnahme besteht nur im Strafprozessrecht, wo aufgrund der speziellen Verfahrensgarantie in Art. 101 Abs. 1 StPO ein nicht wieder gutzumachender Nachteil bejaht wird, wenn das Akteneinsichtsrecht nach erfolgter erster Einvernahme der beschuldigten Person verweigert wird (Urteil 1B_597/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.2).
2.2.2. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin ist im vorliegenden Fall kein nicht wieder gutzumachender Nachteil ersichtlich. Es spielt für die Kognition des Bundesgerichts keine Rolle, ob der Zwischenentscheid selbständig oder erst zusammen mit dem Endentscheid angefochten wird. Weist das Obergericht die Beschwerde ab, kann die Beschränkung der Akteneinsicht mit der Beschwerde gegen den Endentscheid gerügt werden (Art. 93 Abs. 3 BGG). Bejaht das Bundesgericht eine Verletzung des Akteneinsichtsrechts, so führt dies grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids und zur Rückweisung an die Vorinstanz, um nach Gewährung der Akteneinsicht neu zu entscheiden. Der Nachteil kann somit durch einen für die Beschwerdeführerin günstigen Entscheid des Bundesgerichts vollständig behoben werden. Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG liegen offensichtlich nicht vor.
2.3. Zusammenfassend kann die Verfügung des Obergerichts nicht beim Bundesgericht angefochten werden. Bei diesem Ergebnis ist auf den Sistierungs- bzw. Feststellungsantrag nicht näher einzugehen. Was schliesslich die gerügte Ungleichbehandlung bei der Fristansetzung zur Stellungnahme betrifft, so liegt diese Rüge ausserhalb des Streitgegenstandes, weil sich der angefochtene Entscheid lediglich zur Akteneinsicht äussert. Die Beschwerde erweist sich folglich als unzulässig; darauf ist im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger