Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1973) ist türkischer Staatsangehöriger. Nach der Heirat einer Schweizerin (geb. 1972) am 15. Januar 2018 kam er am 14. September 2018 im Kanton Basel-Stadt in den Genuss einer Aufenthaltsbewilligung. Am 29. September 2020 bewilligte das Zivilgericht dem Ehepaar das seit dem 17. August 2020 bestehende Getrenntleben. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt sah seinerseits am 22. Februar 2021 davon ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern; gleichzeitig hielt es ihn an, das Land zu verlassen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies den hiergegen gerichteten Rekurs kantonal letztinstanzlich am 23. Dezember 2021 ab.
1.2. A._ gelangt hiergegen an das Bundesgericht. Er beantragt, auf seine "Einsprache einzutreten", ihm eine "Unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen", von einer "Abweisung abzusehen" und ihn "von jeglichen Kosten und Gebühren zu befreien".
Es wurden keine Instruktionsmassnahmen getroffen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2).
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (Art. 105 Abs. 2 BGG). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert begründet werden (BGE 144 V 50 E. 4.2). Auf lediglich appellatorische Vorbringen tritt das Bundesgericht nicht ein.
2.3.
2.3.1. Das Appellationsgericht ging in seinem Entscheid davon aus, dass der Ehewille der Gattin des Beschwerdeführers erloschen sei und die Rekursbegründung sich "lediglich auf die subjektiven, nicht weiter substantiierten Annahmen" des Beschwerdeführers stütze, der nicht belegen könne, dass die Ehegemeinschaft fortbestehe. Da die Ehe weniger als drei Jahre gedauert habe, liege kein Anspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AIG vor (Bewilligungsanspruch nach Auflösung der Familiengemeinschaft); der Beschwerdeführer mache schliesslich selber nicht geltend, dass wichtige persönliche Gründe seinen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden (Art. 50 Abs. 1 lit. b AIG).
2.3.2. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Begründung nicht auseinander. Er wiederholt seine Vorbringen aus dem kantonalen Verfahren und schildert die Vorkommnisse bzw. seine bisherigen Integrationsbemühungen; er möchte hier verbleiben können, da Basel "das Zentrum" seines Lebens geworden sei. Der Beschwerdeführer zeigt indessen - entgegen seiner Begründungspflicht - nicht auf, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen würde. Dies ist auch nicht ersichtlich: Das Urteil legt die rechtlichen Grundlagen und die bundesgerichtliche Rechtsprechung dazu zutreffend dar.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach Art. 108 (Abs. 1 lit. b) BGG nicht einzutreten.
3.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen, ist wegen Aussichtslosigkeit der Begehren abzuweisen (vgl. Art. 64 BGG). Er hat damit die Kosten des vorliegenden Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar