Erwägungen:
1.
1.1. A._ ersuchte im Rahmen des Verfahrens über den Widerruf ihrer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA am 19. August 2019 das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau darum, ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Gericht setzte ihr ein Frist bis zum 2. September 2019 an, um das Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ausgefüllt und mit allen notwendigen sowie aktuellen Belegen versehen einzureichen; im Unterlassensfall werde über das Gesuch gestützt auf die Akten entschieden.
1.2. A._ brachte die entsprechenden Unterlagen nicht rechtzeitig bei, weshalb das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau ihr am 5. September 2019 in Aussicht stellte, ihr Gesuch abzuweisen. A._ beantragte tags darauf, ihr die Frist zur Einreichung des mit Beilagen versehenen Formulars betreffend die unentgeltliche Rechtspflege wiederherzustellen. Am 23. Oktober 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowohl das Gesuch um Fristwiederherstellung als auch jenes um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab. Es setzte A._ eine Frist von 20 Tagen ab Rechtskraft seines Zwischenentscheids, um einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu leisten, andernfalls auf ihre Beschwerde nicht eingetreten werde. Hiergegen führte A._ erfolglos Beschwerde an das Bundesgericht (Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020).
1.3.
1.3.1. Mit Entscheid vom 8. Juli 2020 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau auf die Beschwerde von A._ androhungsgemäss nicht ein. Das bundesgerichtliche Urteil sei mit seiner Ausfällung rechtskräftig geworden (Art. 61 BGG), innert den 20 Tagen sei der Kostenvorschuss indessen nicht eingegangen.
1.3.2. A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau aufzuheben und die Sache zur Beurteilung des Widerrufs der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie verlangt den Ausstand der am Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020 beteiligten Richter (Präsident Seiler und die Bundesrichter Donzallaz und Beusch) sowie des zuständigen Schreibers (Gerichtsschreiber König). Für den Fall des Unterliegens ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Es sind keine Vernehmlassungen oder Akten eingeholt worden.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin stellt gegen die am Urteil vom 14. April 2020 beteiligten Personen ein Ausstandsgesuch und beantragt die Beschwerde einer anderen Abteilung als der II. öffentlich-rechtlichen zur Behandlung zu übertragen. Die Beschwerdeführerin beruft sich für ihr Ausstandsbegehren auf die Vorbefassung der am Urteil vom 14. April 2020 beteiligten Gerichtspersonen. Zudem leide der entsprechende Entscheid an "erheblichen" Mängeln, was das Vertrauen zu den entsprechenden Personen infrage stelle.
2.2. Ihre Ausführungen überzeugen nicht: Die Vorbefassung für sich allein bildet keinen Ausstandsgrund (so ausdrücklich Art. 34 Abs. 2 BGG; vgl. auch: ISABELLE HÄNER, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 19 zu Art. 34 BGG; ANDREAS GÜNGERICH, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 9 ff. zu Art. 34 BGG); die insofern von einem Ausstandsbegehren betroffenen Gerichtspersonen können an einem späteren Verfahren mitwirken, ohne dass gemäss Art. 37 BGG vorzugehen wäre (BGE 114 Ia 278 E. 1 S. 278 f.; GÜNGERICH, a.a.O., N. 11 zu Art. 34 BGG). Dass ein früherer Entscheid angeblich mangelhaft ist bzw. der betroffene Richter bereits einmal gegen die gesuchstellende Partei entschieden hat, bildet praxisgemäss keinen Ausstandsgrund (BGE 114 Ia 278 E. 1 S. 279); nur eine qualifizierte inhaltliche Fehlerhaftigkeit könnte den Ausstand eines am umstrittenen Entscheid beteiligten Richters rechtfertigen (vgl. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 39 zu Art. 34 BGG mit Hinweisen auf die Rechtsprechung).
2.3. Wie es sich im vorliegenden Fall damit verhält, braucht nicht weiter abgeklärt zu werden: Am vorliegenden Entscheid ist keine Gerichtsperson beteiligt, die am Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020 mitgewirkt hat. Eine Zuweisung des Dossiers an eine andere Kammer ist nicht erforderlich: Für ausländerrechtliche Entscheide ist die II. öffentlich-rechtliche Abteilung zuständig (Art. 30 Abs. 1 lit. a BGerR [SR 173.110.131]). Diese besteht aus sechs Mitglieder, was es erlaubt, Fälle der Abteilung auch dann zu beurteilen, wenn das Ausstandsgesuch - wie hier - kaum Aussichten auf Erfolg hat, die Frage aber offengelassen wird.
3.
3.1. Der Rechtsweg folgt jenem in der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382). Vorliegend geht es um den Widerruf einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA, wogegen mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangt werden kann, da ein Rechtsanspruch auf die Bewilligung besteht (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario BGG). Die Beschwerde gegen den angefochtenen Nichteintretensentscheid der Vorinstanz ist als solche entgegenzunehmen. Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind (Art. 82 lit. a; Art. 86 Abs. 1 lit. d, Abs. 2 und Art. 90 BGG), ist auf diese grundsätzlich einzutreten (vgl. BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 601 ff.; Urteile 2D_65/2019 vom 14. April 2020 E.1.1 und 2C_1020/2019 vom 31. März 2020 E. 1.2).
3.2.
3.2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und ihre Begründung zu enthalten. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substantiierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 136 II 304 E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht geht im Folgenden nur auf die von der Beschwerdeführerin diesen Vorgaben entsprechend erhobenen Rügen ein.
3.2.2. Soweit die Beschwerdeführerin pauschal auf ihre Vorbringen vor der Vorinstanz, nämlich die Beschwerdeschrift vom 19. August 2019, das Fristerstreckungsgesuch vom 6. September 2019 sowie das neue Gesuch um unentgeltliche Prozessführung vom 4. November 2019 verweist, ist auf ihre Ausführungen nicht weiter einzugehen: Die Beschwerdebegründung muss in der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht selber enthalten sein (Art. 42 Abs. 1 BGG); blosse pauschale Verweise auf kantonale Akten oder Rechtsschriften sind vor Bundesgericht unbeachtlich (vgl. BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 134 I 303 E. 1.3 S. 306; 133 II 396 E. 3.2).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Bundesgericht habe in seinem Entscheid vom 14. April 2020 übersehen, dass sie geltend gemacht habe, die kantonalen Praxis zu § 81 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 verlange keinen strikten Beweis der Mittellosigkeit; es dürfe ein "Gesuch nicht wegen fehlender Belege einfach abgewiesen werden" (TVR 2004 Nr. 14). Sie erhebe deshalb - diesbezüglich und in weiteren Punkten - (noch einmal) dieselbe Rüge wie gegen den Zwischenentscheid.
4.2. Das Bundesgericht ist auf den entsprechenden Einwand im Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020 - entgegen der Kritik der Beschwerdeführerin - eingegangen; es hat dort ausdrücklich festgehalten (E. 6.3) :
"An diesem Schluss nichts ändern kann der Hinweis der Beschwerdeführerin auf den in TVR 2004 Nr. 14 veröffentlichten Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau. Aus diesem Entscheid lässt sich schon deshalb nichts zugunsten der Beschwerdeführerin ableiten, weil der Gesuchsteller im betreffenden Fall - anders als die Beschwerdeführerin - das Formular zur unentgeltlichen Rechtspflege (wenn auch ohne hinreichende Beilagen) fristgerecht ausgefüllt und eingereicht hatte. Der angerufene frühere Entscheid aus dem Kanton Thurgau bezog sich damit auf einen rechtswesentlich anders gelagerten Sachverhalt".
4.3. Die Beschwerdeführerin übersieht zudem, dass das Bundesgericht die Handhabung des kantonalen Rechts nur auf Willkür hin prüfen kann (vgl. BGE 131 I 113 E. 3.2 S. 115). Sie wiederholt die jeweiligen Textstellen ihrer damaligen Beschwerdeschrift; daraus ergibt sich, dass sie - damals wie heute - diesbezüglich ihrer qualifizierten Begründungspflicht nicht nachgekommen ist und nicht dargelegt hat, inwiefern der Entscheid vom 23. Oktober 2019 mit dem zitierten Entscheid aus dem Jahr 2004 in einem offensichtlichen Widerspruch stehen würde (vgl. die vorstehende E. 3.2.1).
4.4. Dies ist auch nicht ersichtlich: Die Vorinstanz hat festgehalten, dass es Sache der gesuchstellenden Partei sei, im Rahmen eines Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ihre finanzielle Bedürftigkeit rechtzeitig nachzuweisen oder zumindest glaubhaft zu machen; komme die gesuchstellende Person ihren Obliegenheiten nicht nach, könne das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen werden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau nahm in seinem Entscheid vom 23. Oktober 2019 seinerseits ausdrücklich auf den von der Beschwerdeführerin angerufenen Entscheid TVR 2004 Nr. 14 Bezug.
4.5. Das Verwaltungsgericht setzte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin ein Frist bis zum 2. September 2019, um das Formular betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ausgefüllt und mit allen notwendigen sowie aktuellen Belegen versehen einzureichen. Wenn sie dies nicht getan hat, kann nicht gesagt werden, dass das Gesuch - entgegen der Praxis in TVR 2004 Nr. 14 - wegen fehlender Belege "einfach" abgewiesen worden sei. Ihr Vertreter hatte Gelegenheit, die Bedürftigkeit seiner Mandantin zu belegen; es musste ihm als Fachmann bewusst sein, dass er innerhalb der Frist unter Einreichung der erforderlichen Unterlagen die Bedürftigkeit zumindest glaubhaft zu machen hatte.
4.6. Von einer unzulässigen "Formularpflicht" - welche die Beschwerdeführerin rügt - kann keine Rede sein: Das Formular sollte - wie etwa jenes, welches auch das Bundesgericht benutzt - die Überprüfung der Bedürftigkeit vereinfachen; die Vorinstanz ist in ihrem Beschluss vom 23. Oktober 2019 ausdrücklich davon ausgegangen, dass die Bedürftigkeit auch anderweitig belegt werden kann als mit dem Formular; die Beschwerdeführerin bzw. ihr Vertreter haben dies nicht rechtsgenüglich getan. Der Entscheid erfolgte deshalb androhungsgemäss gestützt auf die Akten im Zeitpunkt des Einreichens des Gesuchs.
5.
Für alles Weitere kann auf die Ausführungen im in Rechtskraft erwachsenen Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020 verwiesen werden (vgl. Art. 61 BGG), da die Beschwerdeführerin selber einräumt, dass sie den Nichteintretensentscheid aus den gleichen Gründen wie im Verfahren 2D_65/2019 anfechte:
5.1. Es liegt im weiten Ermessen des Gerichts, welche Unterlagen es zum Nachweis der Mittellosigkeit als relevant erachtet und von der Gesuchstellerin einverlangen will (E. 3.2 des Urteils 2D_65/2019 mit Hinweisen). Die Wiederherstellung einer Frist ist nur bei klarer Schuldlosigkeit der Gesuchstellerin und ihres Vertreters zu gewähren (E. 3.3 des Urteils 2D_65/2019 mit Hinweisen). Ein ohne Verschulden eingetretener Fristwiederherstellungsgrund ist nicht auszumachen (E. 5.1 des Urteils 2D_65/2019 mit Hinweisen).
5.2. Im Hinblick auf das durch das Bundesgericht nur auf Willkür hin prüfbaren Verhältnismässigkeitsgebot war es nicht verfassungswidrig, der Beschwerdeführerin die Fristversäumnis entgegenzuhalten (E. 5.2 des Urteils 2D_65/2019). Das Verhältnismässigkeitsprinzip gebietet es - jedenfalls bei einer auf Willkür beschränkten Überprüfung - nicht, trotz verschuldeter Säumnis allein deshalb eine Fristwiederherstellung zu gewähren, weil der ohne Fristwiederherstellung eintretende Rechtsverlust für den Betroffenen gewichtig erscheint (E. 5.2 des Urteils 2D_65/2019 mit Hinweisen). Aufgrund der sich in den Akten befindenden Unterlagen und der geltend gemachten Sozialhilfeabhängigkeit musste das Verwaltungsgericht - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - nicht ohne Weiteres auf die Mittellosigkeit im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung schliessen (E. 6.2.2 des Urteils 2D_65/2019).
5.3. Eine Behörde ist unter keinem Titel verpflichtet, auf ein Rechtsmittel einzutreten, wenn eine Verfahrensvoraussetzung, wie sie die Leistung des Kostenvorschusses darstellt, nicht erfüllt wird, selbst wenn dies für die Partei schwerwiegende Folgen hat (Urteil 2C_450/ 2008 vom 1. Juli 2008 E. 2.3.4). Das Verwaltungsgericht hat das angefochtene Urteil - entgegen der Kritik der Beschwerdeführerin hinreichend begründet; praxisgemäss genügt, dass die Begründung eines Entscheids die wesentlichen Überlegungen nennt, von denen die Behörde sich hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt; es ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten ausführlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen widerlegt (vgl. BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236, 184 E. 2.2.1 je mit weiteren Hinweisen). Die Vorinstanz war insbesondere nicht gehalten, erneut auf die Rügen im Zusammenhang mit dem durch das Bundesgericht bestätigten Beschluss vom 23. Oktober 2019 einzugehen.
6.
6.1. Der angefochtene Endentscheid, in dem die Vorinstanz androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht eingetreten ist, nachdem die Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss nicht fristgerecht geleistet hat, verletzt weder Art. 29 Abs. 1 BV, noch Art. 36 BV in Verbindung mit Art. 29 Abs. 3 BV, Art. 13 BV oder Art. 8 EMRK bzw. Art. 2 FZA, soweit die Beschwerdeführerin diese Punkte überhaupt sachbezogen begründet infrage stellt (vgl. vorstehende E. 3.2). Soweit die Beschwerdeführerin im Kanton ein neues Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung eingereicht hat, bildet dieses nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
6.2. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird; dies kann im Verfahren nach Art. 109 BGG geschehen. Das Ausstandsgesuch ist wie das Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist seinerseits abzuweisen: Gestützt auf das Urteil 2D_65/2019 vom 14. April 2020 hatte die vorliegende Beschwerde keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg. Bereits im Entscheid vom 14. April 2020 war das Bundesgericht davon ausgegangen, dass die damalige Beschwerde "von Anfang an kein Erfolg beschieden sein konnte und sie somit aussichtslos war". Die Beschwerdeführerin wird für das bundesgerichtliche Verfahren somit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Ausstandsgesuch und das Gesuch um aufschiebende Wirkung werden als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
3.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar