Fatti:
A.
A._, nata nel 1980, al beneficio di una rendita ordinaria per vedova dal 2010 e di prestazioni complementari all'AVS (PC), ha presentato il 13/26 novembre 2019 una richiesta di rendita AI all'Ufficio assicurazione invalidità del Cantone Ticino (UAI). Il 24 settembre 2020 l'UAI ha respinto la richiesta di prestazioni, poiché l'amministrazione ha accertato che l'assicurata avrebbe continuato a essere casalinga anche in assenza di un danno alla salute e che non avendo impedimento nelle attività abituali il grado di invalidità era pari allo zero.
B.
Con sentenza dell'8 febbraio 2021 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso di A._ contro la decisione amministrativa.
C.
A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede, previo riconoscimento del gratuito patrocinio, l'annullamento della sentenza cantonale e della decisione amministrativa e il riconoscimento di una rendita AI intera con grado AI al 100% dal 1° maggio 2020. Allega un certificato del Servizio psico-sociale del 19 febbraio 2021.
Diritto:
1.
1.1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per quanto attiene invece all'accertamento dei fatti operato dal giudice precedente, esso può essere censurato unicamente se è avvenuto in modo manifestamente inesatto oppure in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 LTF; DTF 142 I 135 consid. 1.6).
1.2. Prove emerse soltanto successivamente all'emanazione della sentenza cantonale dell'8 febbraio 2021 sono irrilevanti dinanzi al Tribunale federale (art. 99 cpv. 1 LTF; DTF 143 V 19 consid. 1.2). La valutazione del Servizio psico-sociale del 19 febbraio 2021, posteriore alla sentenza cantonale, non può quindi essere considerata.
2.
2.1. Oggetto del contendere è sapere se l'applicazione del metodo di calcolo del grado di invalidità sia lesiva del diritto federale. La ricorrente non contesta l'incapacità al lavoro stabilita dalla Corte cantonale né per l'attività lavorativa né come casalinga.
2.2. Nei considerandi della sentenza impugnata, il Tribunale cantonale ha già esposto in modo dettagliato le norme legali e la prassi applicabili, rammentando in particolare la nozione d'invalidità (art. 4 cpv. 1 LAI in relazione con gli art. 4-8 LPGA) e la sua determinazione (art. 28a LAI e art. 16 LPGA). In modo particolare, la Corte cantonale ha illustrato compiutamente la normativa del metodo specifico di calcolo del grado di invalidità per gli assicurati maggiorenni che non esercitano un'attività lavorativa (cfr. art. 8 cpv. 3 LPGA). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha richiamato diversi atti al fascicolo e ha concluso che a giusta ragione l'UAI ha ritenuto la ricorrente casalinga prima dell'insorgenza del danno alla salute. La Corte cantonale ha stabilito l'inizio dell'incapacità lavorativa il 15 novembre 2019, quando il Dr. med. B._ ha attestato l'incapacità a svolgere un lavoro. La Corte cantonale ha illustrato anche le dichiarazioni della ricorrente (dando più peso a quelle rese inizialmente), la quale ha a più riprese dichiarato di non aver mai svolto un'attività lavorativa e di essere casalinga sin da quando si è sposata nel 2002. Poco dopo il matrimonio, alla nascita del figlio, la ricorrente è rimasta casalinga come da volontà del marito. Al momento del decesso di quest'ultimo nel 2009, la ricorrente non ha intrapreso alcuna occupazione. Dal 2011 sono iniziati i ricoveri in struttura psichiatrica specializzata (dal profilo medico si aggiungeva una problematica alla caviglia destra). Solo il 5 febbraio 2020 la ricorrente ha dichiarato in una lettera indirizzata all'UAI che il suo stato di salute di allora non le permetteva la ripresa di un'attività lavorativa, ma che molto probabilmente avrebbe ripreso il lavoro al 100%. I giudici cantonali hanno quindi concluso che alla luce del quadro clinico la ricorrente non era impedita dai suoi disturbi psichici di cercare un lavoro e ciò, se non era esigibile nei primi anni dopo la morte del marito, vista l'età del figlio, lo era però in seguito e, soprattutto, negli ultimi cinque anni durante i quali il figlio, oltre a essere cresciuto, viveva in internato, tornando al domicilio solo nel fine settimana. L'assicurata aveva quindi la disponibilità temporale per attivarsi nella ricerca di un'attività lucrativa. La sottoscrizione di un contratto di lavoro tra il 15 luglio 2019 e il 17 settembre 2019 e una domanda di disoccupazione presentata il 2 luglio 2020 non sono state ritenute sufficienti per ammettere il contrario.
3.2. La ricorrente sottolinea che dai rapporti del Servizio Medico Regionale del 16 gennaio 2020 e del 19 agosto 2020 risulta un'incapacità al lavoro indubbia e completa, mentre risulta integralmente abile nelle mansioni quale casalinga. La presunzione pretesa dall'amministrazione e confermata dalla Corte cantonale secondo cui anche oggi la ricorrente sarebbe casalinga si baserebbe su accertamenti e presupposti manifestamente inesatti. I primi sintomi della malattia psichiatrica sarebbero da ricondurre al decesso del marito il 23 dicembre 2009, quando il figlio in comune era ancora piccolo. Ricordando anche la prassi in materia di divorzio sulla ripresa dell'attività lucrativa, in condizioni normali la ricorrente avrebbe ripreso l'attività lavorativa al momento del decesso del marito. Sarebbe arbitrario far risalire l'insorgenza del danno alla salute al 15 novembre 2019, poiché l'incapacità lavorativa sarebbe anteriore. La ricorrente critica anche la circostanza che il Tribunale cantonale delle assicurazioni si sia fondato sulle dichiarazioni della prima ora, senza mai che all'assicurata fossero poste le domande corrette. Sarebbe in contrasto con l'esperienza generale della vita che le donne oggigiorno mantengano un ruolo di casalinga anche dopo il superamento dei 10 anni di età dei figli.
4.
4.1. Per la scelta del metodo di calcolo del grado d'invalidità (raffronto dei redditi, metodo misto, metodo specifico) è decisivo lo statuto del beneficiario potenziale della rendita d'invalidità, segnatamente se l'assicurato esercitava un'attività lucrativa a tempo pieno o a tempo parziale o nessuna. Fondandosi sull'insieme delle circostanze, occorre in particolare determinare quale attività egli avrebbe svolto in circostanze immutate, se non fosse sopraggiunto il danno alla salute (cfr. DTF 144 I 28 consid. 2.3 con riferimenti).
4.2. La valutazione del corso ipotetico degli eventi è una questione di fatto, nella misura in cui si fonda su un apprezzamento delle prove, anche se comprende conclusioni dedotte dall'esperienza generale della vita. Allo stesso modo, le affermazioni sulla volontà ipotetica dell'assicurato (fatti interni o psichici) sono questioni di fatto, come per esempio quanto qualcuno volesse o sapesse. L'accertamento fondato sull'apprezzamento delle circostanze concrete dell'estensione ipotetica dell'attività lavorativa rimane pertanto vincolante per il Tribunale federale, salvo nell'ipotesi che sia manifestamente errato o si fondi su una violazione del diritto (sentenza 9C_161/2019 del 28 giugno 2019 consid. 5.2 in fine).
4.3. L'apprezzamento dei fatti operato dalla Corte cantonale non è arbitrario. Pur considerando la problematiche di salute della ricorrente e lo stato fisico del figlio non si può ritenere insostenibile l'assunto secondo cui la ricorrente non abbia mai ricercato un'attività lucrativa nemmeno a tempo parziale, fatta eccezione del tentativo non andato in porto nell'estate del 2019. La deduzione tratta dalla recente prassi in caso di divorzio (DTF 144 III 481) rimane unicamente un indizio, ma non è di soccorso in assenza di altri elementi oggettivi, che nella fattispecie si circoscrivono soltanto a un contratto di lavoro di pochi mesi e all'inoltro di una domanda di disoccupazione (respinta per assenza del periodo contributivo). A diverse riprese, la ricorrente si è dichiarata casalinga, rimettendo in discussione tale conclusione solo il 5 febbraio 2020. Per quanto attiene alle dichiarazioni della prima ora è un principio generale del diritto delle assicurazioni sociali secondo cui il giudice deve dare più peso alle prime dichiarazioni, le quali sono espresse in generale in un momento in cui le persone interessate non sono ancora coscienti delle conseguenze giuridiche del loro dire (DTF 142 V 590 consid. 5.2). Non si può nemmeno oggettivamente sostenere che alla ricorrente siano state poste domande suggestive o capziose al riguardo. In definitiva, le tesi ricorsuali sono quindi infondate.
5.
Ne discende che il ricorso deve essere respinto. La ricorrente presenta una domanda di assistenza giudiziaria. La richiesta può essere accolta, siccome le conclusioni del ricorso a un esame sommario non possono essere ritenute prive di probabilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Le spese giudiziarie sono pertanto sopportate provvisoriamente dalla Cassa del Tribunale federale. La patrocinatrice della ricorrente ha diritto a un'indennità adeguata all'ampiezza del ricorso. La ricorrente è già avvertita sin d'ora che, se in seguito è in grado di farlo, è tenuta a risarcire la Cassa del Tribunale federale delle spese giudiziarie e dell'onorario del suo patrocinatore (art. 64 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è accolta. L'Avv. Rosemarie Weibel è incaricata del gratuito patrocino della ricorrente.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico della ricorrente, ma sopportate provvisoriamente dalla Cassa del Tribunale federale.
4.
La Cassa del Tribunale federale verserà alla patrocinatrice della ricorrente un'indennità di fr. 2800.-.
5.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.