Sachverhalt:
A.
B._ (geb. 2010) und C._ (geb.2012) sind die Kinder von D._, die zur Zeit der Geburt beider Töchter mit E._ verheiratet war.
Der Ehemann focht die Vaterschaft erfolgreich an (Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 17. Mai 2013). Für den Anfechtungsprozess wurde den Kindern der Beistand F._ zur Seite gestellt.
B.
B.a. D._ und ihre beiden Töchter erhoben eine Vaterschafts- und Kindesunterhaltsklage gegen A._. Mit Teilurteil vom 3. Juni 2014 stellte das Bezirksgericht Meilen fest, dass A._ der Vater der beiden Mädchen ist. Die Kinder wurden in diesem Verfahren von Beistand F._ (substituiert durch G._) vertreten.
B.b. Auf Berufung von A._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 5. September 2014 das bezirksgerichtliche Urteil.
B.c. Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015). Ein von A._ am 6. April 2016 gegen dieses Urteil eingereichtes Revisionsbegehren blieb erfolglos (Urteil 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016), ebenso sein diese beiden Urteile betreffendes Wiedererwägungs- und Revisionsgesuch vom 26. Juli 2016 (Urteil 5F_13/2016 vom 15. Dezember 2016).
C.
C.a. Am 23. Juli 2014 erhob A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) der Stadt Zürich eine "Amtsbeschwerde" nach Art. 419 ZGB und ersuchte darum, die Beistandsperson der Kinder zur sorgfältigen Erledigung ihres Auftrages anzuhalten. Insbesondere solle die Beistandsperson ein Revisionsgesuch gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 17. Mai 2013 stellen. Am 24. April 2015 teilte die KESB A._ mit, er sei "zur Beschwerde gestützt auf Art. 419 ZGB" nicht berechtigt. Gleichwohl hatte sie als Aufsichtsbehörde die Amtsführung der Beistandsperson geprüft, indessen keine Verletzung der Kindesinteressen feststellen können.
C.b. Gegen diese Mitteilung der KESB erhob A._ Beschwerde beim Bezirksrat Zürich. Der Bezirksrat nahm die Eingabe als Rechtsverweigerungsbeschwerde entgegen und wies sie mit Urteil vom 7. Januar 2016 ab.
C.c. Das Obergericht wies die dagegen gerichtete Beschwerde mit Urteil vom 23. Juni 2016 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
C.d. Auch die hiergegen gerichtete Beschwerde an das Bundesgericht blieb erfolglos (Urteil 5A_562/2016 vom 15. Dezember 2016).
D.
D.a. Am 15. Juli 2015 beantragte A._ der KESB, es sei den Kindern ein Beistand zu ernennen mit dem Auftrag, den Anfechtungsprozess (vgl. vorstehend Bst. A) in Revision zu ziehen, um die Erfüllung der Voraussetzungen für die Anfechtungsklage des Ehemannes überprüfen zu lassen. Im Sinne von Art. 419 ZGB sei festzustellen, dass der Beistand F._ die Voraussetzungen der Anfechtung der Vaterschaft des Ehemannes nicht gehörig überprüft und/oder die SubstitutinG._ nicht gehörig überwacht und dadurch seine Amtspflichten verletzt habe. Die KESB trat auf die Aufsichtsbeschwerde am 23. Dezember 2015 nicht ein und wies den Antrag auf Errichtung einer Beistandschaft ab.
D.b. A._ erhob hiergegen Beschwerde an den Bezirksrat. Im Verlaufe des Verfahrens formulierte er seine Rechtsbegehren um, indem er die Ernennung eines Beistands neu auch zwecks Revision des Vaterschaftsprozesses (vgl. vorstehend Bst. B) verlangte. Der Bezirksrat wies die Beschwerde mit Urteil vom 20. April 2017 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
D.c. Das Obergericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 8. August 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
D.d. Mit Beschwerde vom 18. September 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Es sei auf das Aufsichtsverfahren einzutreten, die Aufsichtsbeschwerde gutzuheissen und die Beistandschaft anzuweisen, fristgerecht die Revision des Anfechtungs- sowie des Vaterschaftsprozesses zu beantragen. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, auf die Aufsichtsbeschwerde einzutreten, diese unverzüglich an die Hand zu nehmen und die Beistandschaft anzuweisen, fristgerecht die Revision des Anfechtungs- sowie des Vaterschaftsprozesses zu beantragen. In prozessualer Hinsicht sei von Zustellungen der Verfahrensakten an die Kindsmutter und deren Rechtsvertreter abzusehen. Dies alles unter Kostenfolge zulasten der Vorinstanzen. Der Beschwerdeführer verlangt zudem eine Entschädigung für das erstinstanzliche und alle weiteren Beschwerdeverfahren von je Fr. 5'000.-- (zzgl. MWSt).
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. Es hat auch die Akten der vergangenen vor Bundesgericht geführten Verfahren beigezogen (vgl. vorstehend Bst. B.c und C.d).
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über die Berechtigung des Beschwerdeführers zur Anrufung der KESB nach Art. 419 ZGB sowie über seinen Antrag auf Anordnung einer Beistandschaft entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 sowie Art. 90 BGG). Hierbei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Streitsache ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen grundsätzlich einzutreten. Für die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht kein Raum (Art. 113 BGG).
1.2. Das angefochtene Urteil wurde der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers am 18. August 2017 zugestellt. Die Beschwerde wurde rechtzeitig am 18. September 2017, dem letzten Tag der dreissigtägigen Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 Abs. 1 BGG), der Schweizerischen Post übergeben. Demgegenüber erfolgten die weiteren Eingaben vom 31. Januar und 3. April 2018, mit welchen der Beschwerdeführer neue Beweismittel einreicht, verspätet, da eine Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht möglich ist. Sie bleiben daher für das Beschwerdeverfahren unbeachtlich.
1.3. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren bildet zudem allein der vorinstanzliche Entscheid (BGE 142 I 155 E. 4.4.2 S. 156 mit Hinweis), mithin das Urteil des Obergerichts vom 8. August 2017. Soweit sich die Beschwerde gegen den Entscheid des Bezirksrats vom 7. Januar 2016 richtet, ist darauf nicht einzutreten. Dasselbe gilt für die Kritik am Urteil 5A_562/2016 des Bundesgerichts vom 15. Dezember 2016.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt (BGE 141 III 426 E. 2.4 S. 429 mit Hinweisen). Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: BGE 141 III 513). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116 mit Hinweis).
2.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Die Anwendung kantonalen Rechts kann - abgesehen von den hier nicht massgebenden Fällen von Art. 95 Bst. c-e BGG - nur auf die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten hin überprüft werden (Urteil 5A_164/2017 vom 29. Januar 2018 E. 1.3). Das Bundesgericht prüft zudem die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügeprinzip). Die Rüge muss klar und detailliert erhoben und soweit möglich belegt werden (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen).
2.3. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu zählen auch Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 268 mit Hinweis).
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Neu im Sinne dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (BGE 143 I 344 E. 3 S. 346).
Der Beschwerdeführer reicht mit seiner Beschwerde diverse Beilagen ein. Soweit es sich dabei um echte Noven handelt, sind diese von vornherein unzulässig (vgl. BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). Hinsichtlich der unechten Noven legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 BGG erfüllt sein sollen. Sie bleiben deshalb ebenfalls unberücksichtigt.
3.
In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer, es sei von Zustellungen der Verfahrensakten an die Kindsmutter und deren Rechtsvertreter abzusehen. Eine Begründung für diesen Antrag enthält die Beschwerde indessen nicht. Darauf ist deshalb nicht einzutreten, soweit das Begehren nicht ohnehin gegenstandslos ist. Die Kindsmutter ist nämlich im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht Verfahrenspartei und hat keine Einsicht in die Verfahrensakten verlangt. Gleichermassen nicht einzutreten ist auf den lediglich in der Beschwerdebegründung enthaltenen Verfahrensantrag, es seien die Akten des Anfechtungs-, Vaterschafts-, Straf- und Unterhaltsverfahrens beizuziehen. Für diesen enthält die Beschwerdeschrift ebenfalls keine Begründung.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt zunächst die Abweisung des Antrags auf Anordnung einer Beistandschaft für B._ und C._ mit dem Zweck, ein Revisionsbegehren gegen das Anfechtungsurteil zu stellen. Auch hier enthält die Beschwerdeschrift für das auf Gutheissung des Antrags lautende Rechtsbegehren keine Begründung. Auf die Beschwerde wird in diesem Umfang nicht eingetreten.
5.
Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass auf seine vor dem Bezirksrat gestellten Rechtsbegehren nicht eingetreten wurde, soweit sie umformuliert worden waren.
5.1. Gemäss den - vom Beschwerdeführer nicht bestrittenen - vorinstanzlichen Feststellungen zum Prozesssachverhalt lauteten die streitigen Rechtsbegehren in der Beschwerde an den Bezirksrat ursprünglich auf Anweisung der Beistandschaft, "fristgerecht die Revision des Anfechtungsprozesses zu beantragen". Mit den neu formulierten Rechtsbegehren wurde die Anweisung der Beistandschaft verlangt, "fristgerecht die Revision des Anfechtungsprozesses xxx vor BG Zürich sowie des Vaterschaftsprozesses yyy vor BG Meilen = BGE 5A_794/2014 zu beantragen". Die Vorinstanz führt in ihrem Entscheid aus, der Bezirksrat sei zu Recht nicht auf die erweiterten Begehren eingetreten, da Gegenstand des Beschwerdeverfahrens nur sein könne, was bereits Gegenstand im Verfahren vor der KESB war.
5.2. Der Beschwerdeführer bringt hierzu zunächst vor, die Änderung der Anträge vor dem Bezirksrat stelle materiell gar keine Erweiterung, sondern einzig eine Präzisierung, eine Anpassung der Formulierung dar. Folgerichtig müssten die geänderten Anträge also bereits aus seiner Aufsichtsbeschwerde an die KESB hervorgehen. Er zeigt indessen nicht auf, inwiefern die Vorinstanz aus der Begründung in der Aufsichtsbeschwerde hätte ableiten müssen, dass seine ursprünglichen Anträge die Revision des Vaterschaftsprozesses schon mitumfassten. Wo er in diesem Zusammenhang auf die Aufsichtsbeschwerde verweist - ohne jedoch konkrete Textstellen zu bezeichnen -, beschlagen seine Ausführungen nicht den Vaterschaftsprozess, sondern lediglich in allgemeiner Weise die Ausübung der Beistandschaft durch F._ und G._. Damit vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, dass die Vorinstanz mit ihrem Vorgehen Bundesrecht verletzt hätte. Seine Rüge ist in diesem Punkt unbegründet.
5.3. Weiter erblickt der Beschwerdeführer darin, dass auf seine umformulierten Rechtsbegehren nicht eingetreten wurde, eine Verletzung von Art. 317 Abs. 2 ZPO. Nach § 67 des Einführungsgesetzes des Kantons Zürich vom 25. Juni 2012 zum Kindes- und Erwachsenenschutzrecht (EG KESR; LS 232.3) sind neue Anträge im kantonalen Beschwerdeverfahren gemäss Art. 317 Abs. 2 ZPO zulässig. Letztere Bestimmung erlaubt eine Klageänderung, wenn die Voraussetzungen nach Art. 227 Abs. 1 ZPO gegeben sind (Bst. a) und sie auf neuen Tatsachen oder Beweismitteln beruht (Bst. b). Die Bestimmung stellt ergänzendes kantonales Recht dar (vgl. Urteil 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 6.2), weshalb die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts diesbezüglich beschränkt ist (vgl. vorstehend E. 2.2). Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern die Vorinstanz durch ihre Handhabung von Art. 317 Abs. 2 ZPO verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll. Seine Rüge genügt den erhöhten Begründungsanforderungen nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
5.4. Soweit der Beschwerdeführer seine umformulierten Rechtsbegehren, auf welche der Bezirksrat nicht eingetreten war, schliesslich auf Art. 99 BGG zu stützen versucht, zielt er ins Leere. Diese Bestimmung gilt nur für das bundesgerichtliche Verfahren, weshalb neue Anträge im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren nicht damit begründet werden können. In der Sache rügt der Beschwerdeführer aber auch hier eine Verletzung von Art. 317 Abs. 2 ZPO. Dies tut er jedoch, wie bereits ausgeführt, nicht genügend substantiiert. Der Verweis auf Ausführungen in seiner vorinstanzlichen Beschwerdeschrift ist überdies unzulässig (vgl. vorstehend E. 2.1).
6.
Schliesslich richtet sich die Beschwerde auch gegen die vorinstanzliche Erkenntnis, dem Beschwerdeführer fehle die Legitimation zur (erneuten) Aufsichtsbeschwerde nach Art. 419 ZGB.
6.1. Gemäss Art. 419 ZGB kann gegen Handlungen oder Unterlassungen des Beistands oder der Beiständin sowie einer Drittperson oder Stelle, der die Erwachsenenschutzbehörde einen Auftrag erteilt hat, die betroffene oder eine ihr nahestehende Person und jede Person, die ein rechtlich geschütztes Interesse hat, die Erwachsenenschutzbehörde anrufen. Diese Bestimmung ist auch in kindesschutzrechtlichen Verfahren anwendbar (Art. 314 Abs. 1 ZGB; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7083 Ziff. 2.3.3).
Eintretensvoraussetzung ist, dass der Beschwerdeführer ein aktuelles oder virtuelles Interesse an der Behandlung des Rechtsbehelfs hat. Aktuell ist sein Interesse, wenn die Handlungen der Beistandschaft noch korrigiert bzw. deren Unterlassungen wiedergutgemacht werden können. Demgegenüber hat er ein virtuelles Interesse an der Behandlung der Beschwerde, wenn sich die aufgeworfene Frage unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen könnte, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (Urteil 5A_562/2016 vom 15. Dezember 2016 E. 4.1 mit Hinweisen).
6.2. Die Vorinstanz führt in ihrem Entscheid aus, die Lebenssachverhalte des hier interessierenden und des früheren Aufsichtsbeschwerdeverfahrens (vgl. vorne Sachverhalt Bst. C) seien identisch und auch die in den beiden Verfahren gestellten Rechtsbegehren stimmten inhaltlich überein. Der Beschwerdeführer tue nicht dar, welche Handlungen nun dem Beistand F._ im Unterschied zu denjenigen der Substitutin G._ konkret angelastet würden. In der Beschwerde an den Bezirksrat habe er die fehlerhaften Amtshandlungen beider Beistände gesamthaft gerügt, ohne zwischen Handlungen der beiden Beistandspersonen zu unterscheiden. Zudem tue der Beschwerdeführer auch im neuen Verfahren nicht dar, weshalb die Prüfung allfälliger Fragen von grundsätzlicher Bedeutung kaum je möglich sein sollte. Er lege nicht dar, dass die zur Beschwerde legitimierten Beistandspersonen nachträglich erhebliche Tatsachen erfahren hätten, die allenfalls eine Revision bewirken könnten. Er mache einzig geltend, die Beistandspersonen hätten die neuen Tatsachen in Erfahrung gebracht, wenn sie ihr Amt korrekt ausgeführt hätten. Inwiefern namentlich das Wissen um die Zeugungsunfähigkeit von E._ eine Revision des Anfechtungsprozesses hätte bewirken können, zeige er indessen nicht auf. Damit verneint die Vorinstanz sowohl ein aktuelles als auch ein virtuelles Interesse des Beschwerdeführers an der Erhebung der Aufsichtsbeschwerde.
6.3. Der Nichteintretensentscheid der KESB wird im angefochtenen Entscheid somit mit zwei unterschiedlichen Begründungen bestätigt: einerseits mit der Identität der Sachverhalte und Rechtsbegehren in beiden Aufsichtsbeschwerdeverfahren, andererseits mit der fehlenden Beschwerdelegitimation. Beruht das angefochtene Urteil auf zwei oder mehreren voneinander unabhängigen, den Entscheid tragenden Begründungen, müssen unter Nichteintretensfolge alle Begründungslinien angefochten werden (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 in fine mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Beurteilung einer Rechtsfrage, die sich nicht auf das Ergebnis auswirkt; es fehlt diesfalls das schützenswerte Interesse an der Beschwerde (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG).
Vorliegend setzt sich der Beschwerdeführer mit beiden vorinstanzlichen Begründungen auseinander. Nachfolgend wird zunächst auf die zweite Alternativbegründung eingegangen, wonach der Beschwerdeführer mangels Rechtsschutzinteresses nicht zur Aufsichtsbeschwerde legitimiert sei.
6.4. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, ein rechtlich geschütztes Interesse an der Erhebung der Aufsichtsbeschwerde zu haben. In diesem Zusammenhang rügt er zunächst materielle Rechtsverweigerung. Im angefochtenen Entscheid wird auf das bundesgerichtliche Urteil 5A_562/2016 vom 15. Dezember 2016 verwiesen, mit welchem das Bundesgericht ein aktuelles und virtuelles Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers an der Erhebung der ersten Aufsichtsbeschwerde (vorne Sachverhalt Bst. C) verneinte. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, dieser Verweis sei rechtsverweigernd, da die Vorinstanz die Eintretensvoraussetzungen nicht noch einmal geprüft, sondern einzig mit dem Verweis auf Prüfung in anderer Sache eine res iudicata angenommen habe. Aus dem angefochtenen Entscheid geht jedoch hervor, dass die Vorinstanz zum Schluss kam, auch im zweiten Aufsichtsverfahren seien die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt (vgl. vorstehend E. 6.2; angefochtener Entscheid, E. 8.4 S. 11 zweiter Satz). Eine Prüfung fand folglich statt, weshalb die Rüge des Beschwerdeführers fehl geht.
6.5. Mit Bezug auf das aktuelle Rechtsschutzinteresse beanstandet der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, wonach er nicht darlege, dass die zur Beschwerde legitimierten Beistandspersonen nachträglich erhebliche Tatsachen erfahren hätten, die allenfalls eine Revision bewirken könnten. Dabei beschränkt er sich auf die Behauptung, diese Feststellung sei aktenwidrig, ohne konkrete Aktenstellen zu bezeichnen, welche die Vorinstanz missachtet oder offensichtlich falsch gewürdigt haben soll. Allein damit vermag er nichts auszurichten. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichtes, von sich aus Nachforschungen in den kantonalen Akten anzustellen und zu Gunsten des Beschwerdeführers nach Anhaltspunkten zu suchen (vgl. Urteil 5A_611/2017 vom 31. Januar 2018 E. 6.2). Die Kritik am von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ist damit appellatorischer Natur, weshalb darauf nicht eingetreten wird (vgl. vorstehend E. 2.3).
6.6.
6.6.1. Der Beschwerdeführer behauptet weiter das Vorliegen eines virtuellen Interesses. Die Vorinstanz habe in aktenwidriger Weise festgestellt, er vermöge nicht aufzuzeigen, dass sich die aufgeworfene Frage jederzeit wieder stellen könnte und eine Prüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre. Der Beschwerdeführer erklärt, er bezwecke mit der Amtsbeschwerde offenkundig, den unbestrittenermassen einzigen sozialen Vater E._ auch rechtlich wieder in die Vaterrolle zurückzuversetzen. Es stelle sich die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, inwiefern ein biologischer Vater, der - allenfalls kollusiv von der Kindsmutter und dem Ehemann - in seine Vaterschaft gezwungen werde, die Überprüfung der Erfüllung der Prozessvoraussetzungen im Anfechtungsprozess des Ehemannes erreichen könne. Da der biologische Vater nicht Partei im Anfechtungsverfahren sei, könne er die Prüfung der Voraussetzungen für die Anfechtungsklage nie selbst vornehmen und sei auf die sorgfältige Prozessführung der Beistandschaft angewiesen.
6.6.2. Es ist unklar, ob der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder falsche Rechtsanwendung rügen will. In beiden Punkten ist seiner Rüge kein Erfolg beschieden. Einerseits gelingt es ihm nicht, darzutun, weshalb die vorinstanzliche Feststellung über seine Vorbringen im kantonalen Verfahren offensichtlich unrichtig sein soll. Insbesondere zeigt er nicht auf, dass bereits seine Aufsichtsbeschwerde an die KESB Ausführungen zum virtuellen Interesse enthielten und die Vorinstanz diese willkürlich übergangen oder nicht richtig gewürdigt hätte. Entsprechende Aktenstellen, welche die Vorinstanz übergangen hätte, nennt er nicht. Andererseits legt der Beschwerdeführer nicht dar, warum die vorinstanzliche Rechtsfolgerung, es liege kein virtuelles Interesse vor, falsch sein soll. Er zeigt weder auf, weshalb die von ihm aufgeworfene Frage eine solche von grundsätzlicher Bedeutung sein soll, noch macht er ersichtlich, warum diese kaum je rechtzeitig überprüfbar sein sollte.
6.7. Schliesslich stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, die Vorinstanz hätte konsequenterweise seine Legitimation zur Aufsichtsbeschwerde ebenfalls bejahen müssen, wenn sie doch seine Beschwerdelegitimation für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren als gegeben erachtete. Die Beschwerdelegitimation zur Aufsichtsbeschwerde wurde mangels Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers verneint, weshalb die KESB einen Nichteintretensentscheid fällte. Die Eintretensvoraussetzungen für eine Beschwerde gegen diesen Nichteintretensentscheid sind nun aber nicht dieselben wie diejenigen, welche für die Aufsichtsbeschwerde galten. Der Beschwerdeführer war durch den Nichteintretensentscheid direkt betroffen, da ihm dadurch die materielle Prüfung seiner Aufsichtsbeschwerde verweigert wurde. Seine Beschwerdelegitimation als formelle Voraussetzung für das bezirksrätliche Rechtsmittelverfahren wurde deshalb zu Recht bejaht. Aus diesem Umstand kann der Beschwerdeführer aber für die materielle Prüfung der Beschwerde, nämlich der Frage, ob der Nichteintretensentscheid der KESB zu Recht erfolgte, nichts zu seinen Gunsten ableiten.
6.8. Im Übrigen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten rügt (Willkürverbot [Art. 9 BV], Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens [Art. 13 Abs. 1 BV], rechtliches Gehör [Art. 29 Abs. 2 BV]). Seine Rügen sind nicht gehörig begründet (vgl. vorstehend E. 2.2). Dasselbe gilt für die behauptete Verletzung von Art. 8 des Übereinkommens vom 25. Oktober 2016 über die Rechte des Kindes (SR 0.107) sowie der Gewährleistung des Zugangs zum Bundesgericht (Art. 191 Abs. 1 BV; vgl. vorstehend E. 2.1).
6.9. Wie sich aus dem Gesagten ergibt, hat die Vorinstanz dadurch, dass sie die Legitimation des Beschwerdeführers zur Erhebung der Aufsichtsbeschwerde verneinte, kein Bundesrecht verletzt. Der angefochtene Entscheid ist auch in diesem Punkt zu bestätigen. Es erübrigt sich demnach nachfolgend die Prüfung, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, die Lebenssachverhalte der beiden Aufsichtsverfahren sowie die im Rahmen dieser Verfahren gestellten Begehren seien identisch (vgl. vorstehend E. 6.3).
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde somit als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Den kantonalen Instanzen ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller