Erwägungen:
1.
Das Obergericht des Kantons Solothurn verurteilte den Beschwerdeführer am 27. Januar 2014 zweitinstanzlich wegen mehrfachen Mordes und qualifizierten Raubes sowie weiterer Delikte zu einer lebenslänglichen Freiheitsstrafe. Das Bundesgericht wies die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil 6B_648/2014 vom 28. Januar 2015 ab.
2.
Mit Verfügung vom 24. März 2021 ordnete das Amt für Justizvollzug des Kantons Solothurn die Versetzung des Beschwerdeführers von der Justizvollzugsanstalt Bostadel in das Untersuchungsgefängnis Solothurn rückwirkend per 25. Februar 2021 an. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. Das Departement des Inneren des Kantons Solothurn wies die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die Versetzung am 2. Juni 2021 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 6. September 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer gelangt gegen den Entscheid vom 6. September 2021 mit Beschwerde an das Bundesgericht.
3.
Der Beschwerde in Strafsachen unterliegen auch Entscheide über den Vollzug von Strafen und Massnahmen (Art. 78 Abs. 2 lit. b BGG). Die Beschwerde setzt ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus (Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG). Ein bloss faktisches Interesse genügt nicht (BGE 144 IV 81 E. 2.3.1; 133 IV 228 E. 2.3). Verlangt wird ein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde. Damit soll sichergestellt werden, dass dem Bundesgericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen zum Entscheid vorgelegt werden (BGE 144 IV 81 E. 2.3.1; 140 IV 74 E. 1.3.1; Urteil 6B_1456/2020 vom 10. März 2021 E. 1, nicht publ. in: BGE 147 IV 209). Von letzterem Erfordernis sieht das Bundesgericht ausnahmsweise ab, wenn sich die mit der Beschwerde aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 140 IV 74 E. 1.3.3; Urteil 6B_1456/2020 vom 10. März 2021 E. 1, nicht publ. in: BGE 147 IV 209).
Der Inhaftierte hat grundsätzlich kein Recht, den Ort des Strafvollzugs zu wählen (Urteile 6B_1483/2020 vom 15. September 2021 E. 1; 6B_735/2021 vom 8. September 2021 E. 1; 6B_832/2018 vom 22. Oktober 2018 E. 1; 6B_80/2014 vom 20. März 2014 E. 1.2; 6B_530/2012 vom 19. Dezember 2012 E. 1). Von einem rechtlich geschützten Interesse zur Beschwerde in Strafsachen ist jedoch auszugehen, wenn der Inhaftierte beispielsweise geltend macht, die Vollzugsgrundsätze von Art. 74 f. StGB seien verletzt oder der Vollzugsort verhindere eine Aus- oder Weiterbildung (vgl. Art. 82 StGB) oder eine im StGB vorgesehene Behandlung (Urteile 6B_1483/2020 vom 15. September 2021 E. 1; 6B_530/2012 vom 19. Dezember 2012 E. 1; vgl. auch Urteil 6B_735/2021 vom 8. September 2021 E. 1).
4.
Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, dass der Beschwerdeführer am 25. Februar 2021 von der Strafvollzugsanstalt Bostadel in das Untersuchungsgefängnis Solothurn versetzt wurde, weil er von der Justizvollzugsanstalt Bostadel zur Verfügung gestellt wurde. Eine direkte Platzierung in einer anderen konkordatlichen Strafanstalt auf diesen Zeitpunkt sei nicht möglich gewesen, weshalb der Beschwerdeführer im Rahmen einer Zwischenplatzierung in das Untersuchungsgefängnis Solothurn versetzt worden sei. Der Beschwerdeführer sei jedoch bei den Justizvollzugsanstalten Solothurn und Thorberg auf der Warteliste. Im Rahmen der Platzierung im Untersuchungsgefängnis Solothurn unterliege der Beschwerdeführer der Haftform des Normalvollzugs und nicht dem Regime der Untersuchungshaft, was bedeute, dass er gegenüber Untersuchungshäftlingen mehr Freiheiten und Privilegien geniesse. Von einer Haftverschärfung im eigentlichen Sinne könne hierbei nicht gesprochen werden (angefochtener Entscheid E. 5.3). Der Beschwerdeführer selbst weist in seiner Beschwerde darauf hin, dass er sich seit dem 21. Juli 2021 im sogenannten Vollzugstrakt des Untersuchungsgefängnisses Solothurn befinde und in der Wäscherei arbeiten müsse. Soweit dieser geltend macht, er sei in der Zeit vom 25. Februar bis am 16. April 2021 in Isolationshaft gehalten worden, seine Rechte seien massiv eingeschränkt gewesen und ihm sei nach dem Tod seines Vaters am 25. Februar 2021 kein psychologisches Gespräch angeboten worden, fehlt es dem Beschwerdeführer am erforderlichen aktuellen Rechtsschutzinteresse, da der vom Beschwerdeführer beschriebene Zustand nicht andauert. Auf seine Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten. Offenbleiben kann im vorliegenden Verfahren daher, ob die Behauptung des Beschwerdeführers, er sei grundlos in Isolationshaft gehalten worden, zutrifft, zumal sich die Vorinstanz dazu nicht äussert.
5.
Der Beschwerdeführer beanstandet, er müsse im Vollzugstrakt arbeiten und habe lediglich eine Stunde Hofgang sowie Zeit zum Duschen und Telefonieren. Dies sei kein Normalvollzug, sondern eher ein Arbeitslager ohne Freizeit und bedeute für ihn eine massive Haftverschärfung. Die Versetzung und Haftverschärfung sei grundlos erfolgt, ohne dass er sich etwas habe zu Schulden kommen lassen. Er sei in der Justizvollzugsanstalt Bostadel kein einziges Mal diszipliniert worden.
Darauf ist nicht einzutreten, da der Beschwerdeführer damit keine Rechtsverletzung geltend macht, sondern sich in allgemeiner Weise über die Vollzugsbedingungen beschwert. Gefangene sind gemäss Art. 81 Abs. 1 StGB zur Arbeit verpflichtet (vgl. dazu auch BGE 139 I 180 E. 1 ff.). Sie können den Vollzugsort, wie bereits dargelegt, nicht frei wählen. Die Justizvollzugsanstalt Bostadel beantragte gemäss dem angefochtenen Entscheid die Versetzung des Beschwerdeführers u.a. deshalb, weil kein tragfähiges Arbeitsbündnis habe aufgebaut werden können. Der Beschwerdeführer setzt sich damit zu Unrecht nicht auseinander. Entgegen seiner Kritik erfolgte die Versetzung damit nicht grundlos.
6.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da ihm das Schreiben vom 18. Februar 2021, in welchem seine Versetzung verlangt worden sei, nie ausgehändigt worden sei. Darauf kann ebenfalls nicht eingetreten werden, da der Beschwerdeführer ein entsprechendes Akteneinsichtsgesuch bereits im kantonalen Verfahren hätte stellen können und er nicht geltend macht, ihm sei die Einsicht in das Schreiben vom 18. Februar 2021 zu Unrecht verweigert worden. Im Übrigen geht aus dem angefochtenen Entscheid hervor, dass dem Beschwerdeführer und seinem Rechtsanwalt am 24. Februar 2021 in Bezug auf die Frage der Versetzung das rechtliche Gehör gewährt wurde und dass der Versetzungsantrag der Justizvollzugsanstalt Bostadel vom 12. Januar 2021 datiert (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.5).
7.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist bei der Kostenfestsetzung Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Unseld