Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1974) ist Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina. Er heiratete am 23. März 2015 eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin (letztmals verlängert bis zum 14. Juli 2018). Ende Oktober 2017 trennte sich das Ehepaar. Mit Verfügung vom 23. Oktober 2018 verweigerte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (MIP; heute: Amt für Bevölkerungsdienste [ABEV]), Migrationsdienst (MIDI; nachfolgend: Migrationsdienst) die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn unter Ansetzung einer Ausreisepflicht aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (vgl. Urteil 2C_972/2020 vom 18. Februar 2021).
1.2. Am 28. Mai 2021 ersuchte A._ beim Migrationsdienst um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung "zufolge Vorliegen eines gesundheitlich bedingten, schwerwiegenden persönlichen Härtefalls". Das Gesuch wurde mit Verfügung vom 19. Juli 2021 abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 8. November 2021 ab, wobei sie namentlich erwog, bei der Verfügung vom 19. Juli 2021 handle es sich korrekterweise um einen Nichteintretensentscheid. Mit Urteil der Einzelrichterin vom 2. März 2022 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die gegen den Entscheid der Sicherheitsdirektion erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht bestätigte kantonal letztinstanzlich, dass auf das Bewilligungsgesuch zu Recht nicht eingetreten worden sei, da keine neuen rechtserheblichen Sachumstände vorliegen würden.
1.3. A._ gelangt mit Beschwerde vom 2. April 2022 (Postaufgabe) an das Bundesgericht und beantragt die vollumfängliche Aufhebung des entsprechenden Urteils.
Es wurden keine Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartun kann, dass ein potenzieller Anspruch auf die beantragte Bewilligung besteht; ob die jeweils erforderlichen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der inhaltlichen Beurteilung (vgl. BGE 137 I 305 E. 2.5; 136 II 177 E. 1.1). Ist die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, umfasst die Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen (vgl. BGE 134 II 45 E. 2.2.3; 133 II 249 E. 1.1; Urteil 2C_682/2021 vom 3. November 2021 E. 1.1).
2.2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf keine Norm des Bundes- oder des Völkerrechts, die ihm einen Bewilligungsanspruch verschaffen würde und eine solche ist auch nicht ersichtlich. So macht er namentlich nicht geltend, im Zusammenhang mit Art. 50 AIG (SR 142.20) um eine Bewilligung nachgesucht zu haben.
Sollte er sich mit seinem unbestimmten Hinweis auf die EMRK und seinen Ausführungen zu seiner guten Integration sinngemäss auf einen Anspruch gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Schutz des Privatlebens) berufen wollen, ist festzuhalten, dass er sich noch keine zehn Jahre hier aufhält und auch nicht substanziiert dartut (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2), inwiefern er als besonders gut integriert zu gelten hätte. Folglich könnte er aus seiner Anwesenheitsdauer in der Schweiz keinen Bewilligungsanspruch ableiten (vgl. hierzu BGE 144 I 266 E. 3.5 und 3.9).
2.3. Gestützt auf das angefochtene Urteil und die Beschwerdeschrift kommt somit nur eine Bewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls (Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG) infrage, auf deren Erteilung kein Anspruch besteht (vgl. Urteil 2C_682/2021 vom 3. November 2021 E. 1.2.3), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen ist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
2.4. Es steht einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) zur Verfügung. In diesem Rahmen sind ausschliesslich Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen kann ("Star"-Praxis; vgl. BGE 141 IV 1 E. 1.1; 137 II 305 E. 2). Solche bringt der Beschwerdeführer nicht vor; seine Darlegungen erschöpfen sich in Kritik an den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, die nicht von der Beurteilung in der Sache getrennt werden kann.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach Art. 108 BGG (Abs. 1 lit. a und lit. b) nicht einzutreten.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichterin, und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov