Faits :
A.
A._, né en 1978, a perçu des indemnités de chômage du 18 octobre 2017 au 4 janvier 2018, date à partir de laquelle la caisse cantonale de chômage du canton de Vaud a considéré que le chômage n'était plus indemnisable, au motif que le prénommé était en incapacité totale de travail depuis le 6 décembre 2017. A compter du 5 janvier 2018, le Service de l'emploi a octroyé à l'intéressé des prestations de l'assurance perte de gain maladie (APGM).
Par décision du 27 juillet 2018, le Service de l'emploi a annulé une précédente décision, par laquelle il était à tort revenu sur le montant de l'indemnisation pour tenir compte d'une incapacité partielle de travail. Le 30 juillet 2018, il a rendu une nouvelle décision, confirmée sur réclamation le 30 octobre suivant, supprimant le droit aux prestations APGM au 1 er juin 2018, au motif que l'incapacité de travail de l'intéressé ne pouvait plus être qualifiée de provisoire.
B.
L'assuré a recouru contre la décision sur réclamation du 30 octobre 2018 devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant au renvoi de la cause au Service de l'emploi pour qu'il rende une nouvelle décision au sens des considérants. Subsidiairement, il demandait la réforme de la décision entreprise en concluant à l'octroi de pleines prestations APGM du 1 er juin au 9 octobre 2018 (date à laquelle le Service de l'emploi avait reconnu son aptitude au placement en raison d'une capacité résiduelle de travail de 50 %).
Par jugement du 5 juin 2019, la cour cantonale a rejeté le recours.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public, en concluant à la réforme du jugement cantonal dans le sens des conclusions prises devant l'instance précédente. Subsidiairement, il conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Le Service de l'emploi s'en remet à justice, tandis que la cour cantonale a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 145 IV 154 consid. 1.1 p. 155 s.) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (ATF 140 V 213 consid. 2 p. 215; 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
2.2. D'autre part, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. ATF 142 V 577 consid. 3.2 p. 579). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat. Si l'interprétation défendue par l'autorité précédente ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 142 II 369 consid. 4.3 p. 380 et les arrêts cités).
3.
Le litige porte sur le droit du recourant aux prestations APGM au-delà du 1 er juin 2018, singulièrement sur le point de savoir si son incapacité de travail a encore un caractère provisoire au sens de la législation cantonale applicable.
4.
L'APGM, instituée par les art. 19a à 19s de la loi [du canton de Vaud] sur l'emploi du 5 juillet 2005 (LEmp; RS/VD 822.11), est une assurance de droit cantonal. Elle a pour but le versement de prestations complémentaires aux chômeurs en incapacité provisoire de travail, totale ou partielle, pour des raisons de maladie ou de grossesse, et qui ont épuisé leur droit aux indemnités de chômage, conformément à l'art. 28 LACI (art. 19a LEmp). Aux termes de l'art. 19e LEmp, peut demander les prestations de l'APGM l'assuré qui, cumulativement: se trouve en incapacité provisoire de travail, totale ou partielle, au sens de l'art. 28 LACI (let. a); a satisfait aux obligations de contrôle prévues par la LACI pendant un mois au moins, avant de solliciter les prestations de l'APGM (let. b); séjourne dans son lieu de domicile. Le Conseil d'Etat peut prévoir des exceptions à cette exigence, lorsque la situation particulière de l'assuré le justifie (let. c).
5.
Se référant aux travaux préparatoires de la LEmp et au but poursuivi par l'APGM, les juges cantonaux ont retenu que la notion d'incapacité de travail provisoire de l'art. 19e LEmp était synonyme de l'incapacité passagère au sens de l'art. 28 LACI. Cela dit, l'incapacité de travail ne pouvait pas être qualifiée de manière purement schématique en se basant uniquement sur sa durée. C'était bien plus l'ensemble des circonstances du cas d'espèce qui devaient être appréciées afin de déterminer si l'incapacité de travail était provisoire ou durable, voire définitive. En l'espèce, la cour cantonale a constaté que le recourant avait été en incapacité totale de travail pour la même affection depuis le 3 octobre 2016 et qu'il n'avait recouvré une entière capacité de travail que pour la période du 15 octobre au 6 décembre 2017. Au 1 er juin 2018, il était alors question d'une incapacité totale de travail de près de 18 mois. Si le médecin généraliste du recourant (le docteur B._) lui avait reconnu une capacité de travail de 50 % dès le 17 septembre 2018, les derniers certificats médicaux émanant de ce médecin n'émettaient pas de pronostic quant à l'évolution future. Quant au médecin spécialiste (le docteur C._, neurochirurgien) qui avait vu le recourant le 30 août 2018, il recommandait uniquement de passer une nouvelle IRM huit mois plus tard, sans se prononcer sur la durée prévisible de l'incapacité de travail. En outre, malgré la capacité de travail partielle recouvrée en septembre 2018, le recourant demeurait en incapacité de travail partielle ou totale depuis maintenant plus de deux ans. Enfin, le recourant avait entrepris des démarches auprès de l'assurance-invalidité en mars 2017 et il apparaissait déjà à ce moment-là que son incapacité de travail pourrait durer, ce qui s'est confirmé par la suite. Aussi la juridiction cantonale a-t-elle considéré que l'incapacité de travail était de longue durée, en précisant que la question de son caractère définitif pouvait rester indécise.
6.
6.1. Par un premier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 1 Cst.), en refusant d'ordonner la mise en oeuvre d'une expertise destinée à établir le caractère provisoire de son incapacité de travail. De l'avis du recourant, les rapports médicaux versés au dossier ne permettaient pas de statuer en connaissance de cause. En effet, certains avis médicaux reconnaîtraient une capacité de travail de 50 % alors que d'autres une incapacité totale de travail, ce qui aurait d'ailleurs conduit l'intimé à rendre des décisions contradictoires. En outre, les médecins consultés ne se seraient pas prononcés sur le caractère provisoire ou non de l'incapacité de travail.
6.2. Le grief est mal fondé. En effet, le droit d'être entendu ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (ATF 141 I 60 consid. 3.3 p. 64; 136 I 229 consid. 5.3 p. 236 s.). En l'espèce, le recourant ne démontre pas en quoi une expertise était indispensable à la résolution du litige. En particulier, on ne voit pas que des différences dans les taux d'incapacité de travail retenus par les médecins empêchaient les premiers juges de se prononcer sur le caractère provisoire ou durable de l'incapacité de travail, qu'elle soit partielle ou totale. Il appartenait en outre à l'autorité précédente et non aux professionnels de la santé de déterminer si l'incapacité de travail du recourant pouvait être considérée comme provisoire au sens de l'art. 19e LEmp. Pour le reste, comme la cour cantonale l'a relevé (cf. consid. 2b du jugement attaqué), le recourant était libre de produire des attestations médicales plus complètes que celles figurant au dossier.
7.
7.1. Se plaignant ensuite de la violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) en rapport avec l'interprétation et l'application du droit cantonal, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir nié le caractère provisoire de son incapacité de travail en méconnaissance des circonstances du cas d'espèce. Il soutient en particulier que le caractère provisoire de son incapacité de travail résulte du rapport du docteur C._ relatif à la consultation du 30 août 2018. Il se prévaut également du fait qu'il a recouvré une capacité partielle de travail dès le 17 septembre 2018 et qu'il a été reconnu pleinement apte au placement dès le 9 octobre 2018. Enfin, le recourant fait valoir que les mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité dont il a bénéficié ont pris fin le 21 décembre 2017, sans qu'une rente AI lui ait ensuite été octroyée, et déduit de "l'absence de décision de rente" que son incapacité de travail ne présente pas les caractéristiques d'une incapacité permanente ou de longue durée.
7.2. En l'occurrence, le moyen est bien plus dirigé contre l'établissement des faits et l'appréciation des preuves que contre l'interprétation du droit cantonal. Le recourant admet d'ailleurs, avec les premiers juges, que le caractère provisoire ne se détermine pas uniquement sur la durée de l'incapacité de travail mais sur l'ensemble des circonstances du cas d'espèce. Cela étant, force est de constater que les arguments du recourant ne sont pas susceptibles de démontrer en quoi la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en qualifiant de longue durée une incapacité de travail qui, au 1 er juin 2018, avait duré près de 18 mois depuis la survenance de l'affection en octobre 2016. Contrairement à ce que laisse entendre le recourant à cet égard, les juges cantonaux n'ont pas pour autant qualifié l'incapacité de travail de définitive. Partant, l'amélioration de la symptomatologie et l'éventualité d'une intervention chirurgicale évoquées par le docteur C._ n'apparaissent pas déterminante. Quant à l'augmentation du taux de capacité de travail en septembre 2018 et l'aptitude au placement reconnue consécutivement au recourant, elles ne remettent nullement en cause la constatation des premiers juges, selon laquelle il demeurait en incapacité de travail à tout le moins partielle depuis plus de deux ans. Enfin, on peine à saisir la portée de l'argumentation relative à la procédure AI, dont on ignore les tenants et aboutissants. On ne peut en tout cas rien déduire de l'absence de décision sur le droit éventuel du recourant à une rente AI. En conclusion, l'argumentation ne permet pas de retenir que les premiers juges ont apprécié les avis médicaux de façon insoutenable ou qu'ils auraient appliqué le droit cantonal de manière arbitraire.
8.
Il s'ensuit que le recours est en tous points mal fondé et doit être rejeté.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 14 janvier 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella