Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 4. August 2020 hiess der Einzelrichter am Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden eine vom Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegner eingereichte Klage bezüglich einer Forderung aus Mietrecht teilweise gut. Das Urteil wurde vom damaligen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers am 8. August 2020 in Empfang genommen. Ein Rechtsmittel wurde nicht ergriffen.
Am 20. Mai 2021 wandte sich der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden und ersuchte um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist bezüglich des kantonsgerichtlichen Urteils vom 4. August 2020. Mit Verfügung vom 14. Juni 2021 wies der Einzelrichter am Obergericht das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist ab.
Mit Eingabe vom 15. Juli 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, gegen die Verfügung des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 14. Juni 2021 (zugestellt am 17. Juni 2021) Beschwerde zu erheben und beantragte gleichzeitig eine Fristverlängerung zur Begründung derselben während des laufenden Monats.
Mit Schreiben vom 20. Juli 2021 teilte das Bundesgericht dem Beschwerdeführer mit, es handle sich bei der 30-tägigen Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) um eine gesetzlich bestimmte Frist im Sinne von Art. 47 Abs. 1 BGG, die nicht erstreckt werden könne. Zudem wies es den Beschwerdeführer darauf hin, dass die Frist nach Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG vom 15. Juli bis und mit dem 15. August stillstehe, weshalb sein Ersuchen um Erstreckung der Frist zur Begründung der Beschwerde bis Ende Juli 2021 als gegenstandslos zu betrachten sei. Gleichzeitig wurde der Beschwerdeführer auf die gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 42 und Art. 106 BGG) aufmerksam gemacht.
In der Folge ging keine weitere Eingabe des Beschwerdeführers ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 86 E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 143 II 283 E. 1.2.3; 140 III 115 E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (BGE 142 III 364 E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 143 IV 40 E. 3.4).
2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerdeeingabe vom 15. Juli 2021 nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 14. Juni 2021 auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid Bundesrecht verletzt hätte. Die Eingabe erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Den Beschwerdegegnern steht keine Parteientschädigung zu, da ihnen aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann