Faits :
A.
A.a. X._ (ci-après: l'intéressée ou la demanderesse), née en 1948, a travaillé auprès du Centre A._ (ci-après: A._) du 1er mars 1982 au 31 octobre 1992 puis, à 40%, auprès de l'institution B._ du 1er septembre 1993 au 30 septembre 1995. Pendant les périodes en question, elle a été affiliée au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse C._ (ci-après: C._), respectivement auprès du Fonds de prévoyance U._ (ci-après: fonds U._).
Par décision du 26 août 1996 de l'Office AI, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité avec effet rétroactif au 1er octobre 1993. A teneur du dossier AI, l'incapacité de travail a débuté le 1er novembre 1992 et le besoin d'un traitement médical s'est manifesté le 22 avril 1993.
A.b. Le 22 janvier 1997, l'intéressée a requis du fonds U._, soit le fonds de pension de son dernier employeur, des prestations d'invalidité. Celui-ci a cependant refusé de prester, au motif que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité était antérieure à l'affiliation. L'intéressée a alors saisi le Tribunal des assurances du canton de Vaud d'une demande tendant au paiement de prestations d'invalidité par le fonds U._.
A un moment où cette procédure était pendante, le 30 juin 1999, l'intéressée a donné un mandat privé à Z._ (ci-après: l'avocat ou le défendeur), mandat dont l'étendue exacte n'a pas été établie. Le 11 janvier 2000, Z._ lui a été désigné comme avocat d'office dans la procédure ouverte contre le fonds U._, succédant à deux précédents avocats d'office. Cette procédure s'est terminée avec l'entrée en force du jugement du 19 février 2001, par lequel le Tribunal a débouté l'intéressée de sa demande. Dans ce jugement, le Tribunal a retenu que l'incapacité de travail invalidante de l'intéressée remontait à la fin des rapports de travail avec son précédent employeur, soit A._, de sorte que le fonds U._ n'était pas débiteur de prestations d'invalidité.
Le jugement du 19 février 2001 a été notifié à Z._ le 30 avril 2001 et transmis par ce dernier à l'intéressée le 1er mai 2001. Dans le cadre de la présente procédure, l'avocat a allégué avoir rencontré l'intéressée lors d'un entretien le 4 mai 2001. Il l'aurait alors informée de ses droits à l'encontre du fonds de son premier employeur et aurait vérifié que la prescription n'était pas acquise. L'intéressée a nié avoir participé à cet entretien.
Faute d'avoir été remis en cause, le jugement du 19 février 2001 rendu dans la procédure opposant l'intéressée au fonds U._ est entré en force le 31 mai 2001. Selon les éléments retenus dans l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral (arrêt 4A_234/2016 du 19 décembre 2016 consid. 2.1, en partie publié à l'ATF 143 III 10), le mandat d'office de l'avocat a pris fin à ce moment-là, sans que l'intéressée n'apporte la preuve qu'elle lui aurait confié un mandat privé par la suite.
A.c. Le 21 avril 2008, l'intéressée s'est adressée à C._ afin d'obtenir des prestations d'invalidité. Ce fonds de pension a reconnu une invalidité définitive à 100% remontant au 1er novembre 1992, mais s'est prévalu de la prescription des prestations.
Le 23 octobre 2009, l'intéressée a introduit une demande tendant au paiement de prestations d'invalidité par C._. Celle-ci a été rejetée par jugement du 20 septembre 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud retenant que la prescription des prétentions à l'égard de C._ a été atteinte en octobre 2003 au plus tard. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé contre ce jugement par arrêt du 4 juillet 2012 (cause 9C_94/2012).
B.
B.a. Le 22 décembre 2011, à la demande de X._, Z._ a renoncé à se prévaloir de la prescription jusqu'au 31 décembre 2013, pour autant que celle-ci ne soit pas déjà acquise. Le 19 juillet 2013, X._ a saisi la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud d'une action contre Z._, en concluant au paiement de dommages-intérêts s'élevant en dernier lieu à 1'508'954 fr. 55 plus intérêts, montant représentant essentiellement les prestations d'invalidité en faveur d'elle-même et de trois enfants. Elle reproche à l'avocat une mauvaise exécution du mandat, dans la mesure où il ne l'aurait pas informée de ses droits à l'obtention de prestations d'invalidité de la part de C._ et n'aurait pas entrepris les démarches nécessaires pour interrompre la prescription. Par jugement du 25 septembre 2015, la demande a été rejetée, principalement pour défaut de légitimation passive, subsidiairement parce que d'éventuelles prétentions en dommages-intérêts seraient de toute façon prescrites.
Dans son arrêt du 19 février 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a également nié la légitimation passive du défendeur. Elle a retenu que la demanderesse n'avait pas prouvé avoir conclu un mandat privé avec le défendeur après la communication du jugement du 19 février 2001, intervenue le 30 avril 2001, pas plus qu'elle n'avait prouvé que celui-ci aurait continué à l'assister ou à la représenter après cette date. Z._ avait donc uniquement agi dans l'exécution d'un mandat d'office et ne répondait donc pas personnellement d'une éventuelle négligence dans l'exécution de ce mandat.
Dans son arrêt de renvoi, le Tribunal fédéral a admis la légitimation passive du défendeur, considérant que l'avocat d'office, même s'il exerce une tâche d'intérêt public au sens de l'art. 61 al. 1 CO, répond personnellement envers la personne qu'il assiste d'un éventuel défaut de diligence sur la base du droit privé. Il a ainsi renvoyé la cause à la cour cantonale pour examen des autres conditions de la prétention en dommages-intérêts de la demanderesse.
B.b. Reprenant la cause, la Cour d'appel civile a instruit la question de l'exception de prescription soulevée par l'avocat défendeur. Statuant à nouveau le 20 septembre 2017, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a rejeté l'appel de la demanderesse et confirmé le jugement attaqué, tenant l'action en dommages-intérêts contre l'avocat pour prescrite. En substance, elle a considéré que le mandat d'office de l'avocat s'est terminé lorsque le jugement du tribunal des assurances vaudois du 19 février 2001 est entré en force, soit le 31 mai 2001, de sorte que toute action à son encontre était déjà prescrite au moment où il a renoncé à se prévaloir de la prescription le 22 décembre 2011.
C.
Contre cet arrêt, la demanderesse a interjeté un recours en matière civile le 24 octobre 2017, concluant à sa réforme en ce sens que le défendeur est condamné à lui verser le montant de 1'585'022 fr. 85 avec intérêts à 5% l'an dès le 27 novembre 2014; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. Elle se plaint d'établissement inexact des faits (art. 9 Cst.), relativement à l'étendue et la fin du mandat qu'elle a confié à son mandataire, et de violation de l'art. 8 CC, faute pour l'exception de prescription d'avoir été prouvée par le défendeur. Elle requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La partie adverse et l'autorité précédente n'ont pas été invitées à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF), prise sur appel par le tribunal supérieur du canton de Vaud (art. 75 LTF), dans une affaire relative à la responsabilité civile d'un avocat (cf. art. 72 al. 1 LTF), dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 137 II 353 consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.).
2.2. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est toutefois lié ni par les motifs invoqués par les parties, ni par l'argumentation juridique retenue par l'autorité cantonale; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité).
3.
3.1. L'autorité cantonale à laquelle une affaire est renvoyée est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est liée par les points qui ont été définitivement tranchés par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été critiquées devant lui. Des faits nouveaux ne peuvent être pris en considération que s'ils se rapportent aux points qui font l'objet du renvoi, lesquels ne peuvent pas être étendus ni fixés sur une base juridique nouvelle. Il s'agit du principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi, autrefois ancré à l'art. 66 al. 1 OJ et qui demeure applicable sous l'empire de la LTF. Ce principe s'impose au Tribunal fédéral lui-même lorsqu'il est saisi d'un nouveau recours contre la décision cantonale (ATF 135 III 334 consid. 2; 131 III 91 consid. 5.2; arrêt 5A_263/2017 du 6 février 2018 consid. 2).
3.2. Dans son arrêt de renvoi, le Tribunal fédéral a définitivement tranché certaines questions. Outre l'admission de la légitimation passive de l'avocat intimé (consid. 3), le Tribunal fédéral a retenu que le mandat d'office de celui-ci se rapportait à la défense des intérêts de la recourante dans la procédure judiciaire ouverte contre le fonds U._, qui s'est terminée avec l'entrée en force du jugement du 19 février 2001, intervenue le 31 mai 2001. Il a en outre retenu que la recourante n'avait pas prouvé avoir confié à l'intimé un mandat privé après la fin du mandat d'office en 2001 (consid. 2.1) et que la portée du mandat privé octroyé en 1999 n'était pas connue, de sorte qu'il n'y avait pas de place pour une responsabilité de l'intimé sur cette base (consid. 2.2).
La cour cantonale s'est conformée à cet arrêt de renvoi, en examinant la question de la prescription sous l'angle de la violation par l'intimé de ses obligations d'avocat d'office uniquement. La cour de céans est tenue de s'y conformer également.
4.
En ce qui concerne l'étendue du mandat confié à l'intimé et le moment auquel ce mandat a pris fin, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits (art. 9 Cst.).
4.1. S'agissant de l'étendue du mandat, la recourante soutient que le mandat confié à l'intimé consistait à demander des prestations d'invalidité auprès de l'institution compétente. Il ne se limitait donc pas strictement à la procédure contre le fonds U._, mais s'étendait à une action contre C._.
S'agissant du moment auquel le mandat confié a pris fin, la recourante soutient que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant que le mandat a pris fin à l'entrée en force du jugement du 19 février 2001, soit le 31 mai 2001. L'intimé ne lui aurait jamais communiqué la fin du mandat et n'aurait jamais entrepris de démarches en vue de son indemnisation, preuve qu'à ses yeux le mandat n'était pas terminé. Au demeurant, il ne serait pas crédible que l'intimé l'ait laissée se charger seule de demander des prestations à C._ ou qu'elle n'ait pas instruit l'intimé d'agir à l'encontre de C._, alors qu'elle aurait été informée de ses droits.
4.2. Ce faisant, la recourante entend revenir sur des éléments définitivement tranchés par l'arrêt de renvoi. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral avait précisément retenu que le mandat d'office de l'intimé était seul pertinent pour décider de la responsabilité de l'intimé, qu'il concernait uniquement la procédure ouverte contre le fonds U._ et qu'il avait pris fin avec l'entrée en force du jugement rendu dans le cadre de cette procédure. L'on ne saurait dès lors considérer que la cour cantonale, qui s'est conformée aux éléments figurant dans l'arrêt de renvoi, aurait versé dans l'arbitraire sur la question de l'étendue du mandat ou la fin de celui-ci.
5.
En ce qui concerne la prescription de son action, la recourante se plaint de violation de l'art. 8 CC, dans la mesure où l'intimé n'aurait pas apporté la preuve des faits fondant l'exception de prescription qu'il a soulevée.
5.1. Relevant qu'aucune des parties ne conteste l'applicabilité d'un délai de prescription de dix ans, la cour cantonale a fixé le début de ce délai à l'éventuelle violation contractuelle par l'intimé, indépendamment de la survenance du dommage subi par l'intéressée le 1er octobre 2003, date à laquelle ses prétentions contre C._ se sont prescrites. Cette éventuelle violation contractuelle ne pouvait avoir eu lieu après la fin du mandat d'office, soit après l'entrée en force du jugement le 31 mai 2001, l'obligation de l'avocat d'informer et d'orienter son client sur les suites à donner à un jugement n'existant que tant qu'un recours est encore possible. La cour cantonale a encore précisé qu'il n'y avait pas une situation de péril en la demeure, qui aurait contraint l'avocat d'agir au-delà du 31 mai 2001, puisque la prescription du droit à une rente de la recourante n'est survenue que le 1er octobre 2003.
5.2. La recourante soutient que l'intimé n'a pas été en mesure de prouver la date à laquelle son mandat a pris fin, de sorte que c'est en violation de l'art. 8 CC que la cour cantonale a retenu l'exception de prescription. Outre que ledit mandat avait un caractère général et s'étendait à une procédure initiée à l'encontre de C._, l'intimé n'aurait pas établi avoir communiqué le jugement du 19 février 2001 à la recourante ni n'aurait établi l'avoir informée sur les éventuelles actions encore possibles ensuite du rejet de la demande contre le fonds U._. La preuve que le mandat aurait pris fin plus de dix ans avant la renonciation à invoquer la prescription de l'intimé du 22 décembre 2011 n'aurait donc pas été apportée.
5.3.
5.3.1. Les actions fondées sur des obligations contractuelles se prescrivent, sauf disposition spéciale, par dix ans (art. 127 CO), dès que la créance est devenue exigible (art. 130 al. 1 CO). La prétention en dommages-intérêts découlant de la violation positive du contrat naît et devient exigible au moment de la violation du devoir contractuel, et non pas seulement lorsque le lésé peut reconnaître et constater les conséquences de cette violation. En d'autres termes, elle commence à se prescrire avec la violation du contrat, indépendamment de la survenance du dommage (ATF 137 III 16 consid. 2.3, 2.4.1 et 2.4.3; 106 II 134 consid. 2; 87 II 155 consid. 3a p. 159 ss; arrêt 4A_148/2017 du 20 décembre 2017 consid. 4.2.2). En cas d'omission continue d'exécuter une obligation pendant la période contractuelle, la prescription décennale de l'art. 127 CO commence en principe à courir au plus tard depuis la fin du contrat (ATF 106 II 134 consid. 2d).
Est en l'occurrence inapplicable la jurisprudence rendue en matière de lésions corporelles, selon laquelle il peut ne pas être tenu compte de la prescription si, au vu des circonstances exceptionnelles d'un cas d'espèce, il appert que son application limite l'accès des ayants droits à un tribunal à tel point que ce droit se trouverait atteint dans sa substance même (arrêt rendu par la Cour européenne des droits de l'homme dans l'affaire Howald Moor et autres c. Suisse, du 11 mars 2014, nos 52067/10 et 41072/11, § 77-80, in JdT 2014 II 165; arrêt 4F_15/2014 du 11 novembre 2015 consid. 2.3, publié à l'ATF 142 I 42, et consid. 3; arrêt 4A_148/2017 du 20 décembre 2017 consid. 4.2.4).
5.3.2. En sa qualité de mandataire, l'avocat est tenu à la bonne et fidèle exécution du mandat (art. 398 al. 2 CO). Il répond à l'endroit de son mandant s'il lui cause un dommage en violant ses obligations de diligence et de fidélité (ATF 134 III 534 consid. 3.2.2; 127 III 357 consid. 1b et les références). Savoir si la manière d'agir d'un avocat doit être qualifiée de conforme ou non à son devoir de diligence résulte d'une pesée appréciative entre, d'une part, le risque engendré par le métier d'avocat et, d'autre part, l'autorité renforcée dont il est revêtu à l'égard de son mandant (ATF 134 III 534 consid. 3.2.2; 127 III 357 consid. 1c).
L'avocat doit informer son mandant sans délai des décisions qui lui ont été notifiées et lui faire part des diverses solutions envisageables. Dans l'hypothèse où la décision est défavorable au mandant, il doit également, dans le délai de recours, s'assurer de la volonté de celui-ci de ne pas recourir (ATF 110 Ib 94 consid. 2, p. 95; 106 II 173, p. 174). S'il y a péril en la demeure, par exemple pour interrompre une prescription ou requérir des mesures provisoires, l'avocat doit en principe entreprendre les démarches nécessaires, même s'il n'a pu obtenir préalablement l'aval de son mandant (François Bohnet/Vincent Martenet, Droit de la profession d'avocat, 2009, p. 1093 s. n. 2739).
L'avocat est tenu d'accepter les défenses d'office et les mandats d'assistance judiciaire dans le canton au registre duquel il est inscrit (art. 12 let. g LLCA). Lorsqu'il est mandaté d'office, il doit accomplir sa mission jusqu'à son terme, sauf circonstances exceptionnelles, faute de pouvoir mettre librement fin au mandat (cf. art. 404 CO; Benoît Chappuis, La profession d'avocat, tome I, 2ème éd., 2016, p. 84). L'avocat d'office est en outre tenu d'apporter aux affaires pour lesquelles il a été mandaté d'office le même soin que pour ses autres mandats (arrêt 2P.248/2001 du 20 décembre 2001 consid. 2b; Walter Fellmann, Anwaltsrecht, 2ème éd., 2017, p. 209 § 476).
5.3.3. En soutenant que l'intimé n'a pas été en mesure de prouver la date à laquelle son mandat a pris fin, la recourante revient sur des éléments définitivement tranchés par l'arrêt de renvoi, de sorte que sa critique est irrecevable. Le Tribunal fédéral a limité l'éventuelle responsabilité de l'intimé au mandat pour lequel il a été désigné d'office, dont le seul objet était la procédure initiée contre le fonds U._. Ce mandat d'office, comme l'obligation correspondante de l'intimé d'informer et d'orienter sa mandante, ont pris fin au plus tard au moment où le jugement rendu au terme de cette procédure est devenu définitif, soit le 31 mai 2001. La responsabilité de l'intimé, auquel aucun autre mandat d'office ou privé n'a été confié, ne saurait s'étendre indéfiniment après la fin de la procédure pour laquelle il a été mandaté. Elle ne saurait pas plus s'étendre à une procédure pour laquelle il n'a pas été mandaté, ce d'autant qu'aucune action immédiate n'était requise. Dans ces circonstances, une éventuelle violation contractuelle, dans le sens d'une omission d'interrompre la prescription, n'a pu être commise par l'intimé que jusqu'au 31 mai 2001 au plus tard.
Partant, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en retenant que l'action de la recourante à l'encontre de l'intimé était déjà prescrite le 22 décembre 2011, soit au moment où ce dernier a renoncé à se prévaloir de la prescription.
6.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Concernant la demande d'assistance judiciaire, celle-ci est subordonnée à la double condition que la partie requérante ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). En l'occurrence, l'on ne saurait retenir qu'au moment du dépôt de la requête, les chances de succès du recours n'étaient que légèrement inférieures aux risques de rejet (cf. ATF 139 III 396 consid. 1.2; 138 III 217 consid. 2.2.4), alors que ledit recours revient pour l'essentiel sur des questions définitivement tranchées dans l'arrêt de renvoi rendu précédemment par l'autorité de céans. La seconde exigence cumulative n'étant pas réalisée, la recourante ne peut prétendre à l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite, quelle que soit sa situation financière (arrêt 4A_618/2017 du 11 janvier 2018 consid. 6). Néanmoins, à titre exceptionnel et pour tenir compte de la situation économique défavorable de la recourante, le Tribunal fédéral renonce à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 i.f. LTF).
Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 29 mai 2018
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Schmidt