Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1973) und A.A._ (geb. 1984) sind rumänische Staatsangehörige. Nach einer ersten Einreise in die Schweiz sprach B.A._ in einer Kirche in Altdorf unter Verwendung des Namens "Juliana" einen 71-jährigen Mann an und liess sich von ihm in der Folge mehrmals grössere Geldbeträge für eine Operation ihres angeblich kranken Kindes auszahlen. A.A._ unterstützte sie bei diesem Vorgehen.
Mit Strafbefehl vom 28. Oktober 2016 wurden B.A._ und A.A._ von der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug wegen Betrugs und versuchten Betrugs bzw. wegen Gehilfenschaft zu Betrug verurteilt. Gegen B.A._ wurden eine bedingt vollziehbare Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und eine Busse von Fr. 600.-- verhängt; A.A._ erhielt eine bedingt vollziehbare Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 30.-- sowie eine Busse von Fr. 300.-- auferlegt.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) verfügte in der Folge ein Einreiseverbot für die Zeit vom 28. Oktober 2016 bis zum 27. Oktober 2019 gegen B.A._ und A.A._.
A.b. Am 28. November 2019 reisten B.A._ und A.A._ erneut in die Schweiz ein. Am 20. Dezember 2019 reichte eine 78-jährige Frau bei der Luzerner Polizei Strafanzeige ein. Sie sei von einer Frau namens "Elena" anlässlich eines Gottesdiensts in der Kirche angesprochen und um Geld gebeten worden; daraufhin sei es zu mehreren Geldzahlungen gekommen. Noch gleichentags nahm die Luzerner Kantonspolizei B.A._ und A.A._ wegen Betrugsverdachts vorläufig fest.
B.
B.a. Mit Verfügungen vom 22. Dezember 2019 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: das kantonale Migrationsamt) B.A._ und A.A._ aus der Schweiz weg und ordnete an, dass sie die Schweiz bis zum 23. Dezember 2019, 24.00 Uhr, zu verlassen hätten. Zwecks Nachweises der Ausreise erhielten B.A._ und A.A._ eine Ausreisemeldekarte zur Abgabe an einem schweizerischen Grenzwachposten oder der nächsten schweizerischen Botschaft. Das Zollamt Basel West Lysbüchel bestätigte ihre Ausreise mit Stempel vom 23. Dezember 2019.
B.b. Am 24. Dezember 2019 verfügte das SEM gegen B.A._ und A.A._ Einreiseverbote für die Zeit ab 24. Dezember 2019 bis zum 23. Dezember 2022. Diese Einreiseverbote sind unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
B.c. Am 8. Januar 2020 stellten B.A._ und A.A._ beim Migrationsdienst des Kantons Bern ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zur Stellensuche sowie - nach Einreichung der Arbeitsverträge - einer Arbeits- und Aufenthaltsbewilligung.
B.d. Mit Eingabe vom 10. Januar 2020 gelangten B.A._ und A.A._ gegen die Wegweisungsverfügungen vom 22. Dezember 2019 (vgl. Bst. B.a hiervor) mit Verwaltungsbeschwerde an das kantonale Migrationsamt. Gleichzeitig "deponierten sie das im Kanton Bern gestellte Gesuch mit den entsprechenden Anträgen auch im Kanton Luzern". Am 16. Januar 2020 beantragten sie zudem beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (JSD) die Erteilung der aufschiebenden Wirkung, die Wiederherstellung der Beschwerdefrist, die Aufhebung der Wegweisungsverfügungen vom 22. Dezember 2019, eventualiter die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen und subeventualiter die Feststellung ihrer Berechtigung, in der Schweiz Arbeit zu suchen und eine Arbeitsstelle anzunehmen. Gleichzeitig ersuchten sie um unentgeltliche Rechtspflege.
B.e. Mit Entscheid vom 19. Februar 2020 verweigerte das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern die Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist und trat auf die Verwaltungsbeschwerde nicht ein. Auf das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung trat es ebenfalls nicht ein. Unter Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege überband es B.A._ und A.A._ die Verfahrenskosten.
B.f. Gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern vom 19. Februar 2020 gelangten B.A._ und A.A._ mit folgenden Anträgen an das Kantonsgericht Luzern:
"1. Der Beschwerde sei unverzüglich die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu erteilen, dass sich die Beschwerdeführer weiterhin in der Schweiz aufhalten, hier Arbeit suchen und eine Arbeitsstelle antreten können. Eventualiter sei unverzüglich eine entsprechende vorsorgliche Massnahme zu treffen.
2. Die Frist zur Beschwerde sei wiederherzustellen und die Wegweisungsverfügungen der Vorinstanz vom 22.12.2019 seien vollumfänglich aufzuheben.
3. Eventualiter, d.h. für den Fall der Zuständigkeit des Kantons Luzern, sei den Beschwerdeführern eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
4. Subeventualiter, d.h. für den Fall der Zuständigkeit des Kantons Luzern ohne zureichende Zusicherung einer Arbeitsstelle sei festzustellen, dass die Beschwerdeführer berechtigt sind, in der Schweiz Arbeit zu suchen und eine Arbeitsstelle anzunehmen.
5. Den Beschwerdeführern sei für das vorinstanzliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihnen der Unterzeichnende als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben.
6. Den Beschwerdeführern sei für das Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die unentgeltliche Rechtspflege für die Gerichtskosten zu erteilen.
7. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Kantons bzw. des Staates."
Mit Urteil vom 29. April 2020 wies das Kantonsgericht Luzern die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde nicht entsprochen. B.A._ und A.A._ wurden die Gerichtskosten auferlegt.
C.
C.a. Mit "subsidiärer Verfassungsbeschwerde, evtl. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" vom 4. Juni 2020 gelangen B.A._ und A.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts Luzern vom 29. April 2020 (Beschwerdeantrag 1) und die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (Beschwerdeantrag 2). Eventualiter sei festzustellen oder in den Erwägungen festzuhalten, dass sie berechtigt seien, in der Schweiz eine Stelle zu suchen und gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung zu erhalten (Beschwerdeantrag 3). Subeventualiter sei die Sache zur vollständigen Neubeurteilung an das Kantonsgericht Luzern zurückzuweisen (Beschwerdeantrag 4). Zudem ersuchen sie darum, ihnen für das Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement die unentgeltliche Rechtspflege (inkl. Verbeiständung) und für das Verfahren vor dem Kantonsgericht die unentgeltliche Rechtspflege für die amtlichen Kosten zu gewähren (Beschwerdeantrag 6).
Prozessual ersuchen B.A._ und A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um Erteilung der aufschiebenden Wirkung in dem Sinne, dass ihnen bis zum Abschluss des Beschwerdeverfahrens gestattet werde, in der Schweiz zu bleiben und eine Stelle zu suchen beziehungsweise anzutreten. Ihnen sei überdies für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege für die amtlichen Kosten zu gewähren.
C.b. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das SEM, das kantonale Migrationsamt und das Justiz- und Sicherheitsdepartement lassen sich nicht vernehmen.
C.c. Mit Präsidialverfügung vom 10. Juni 2020 hat das Bundesgericht das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Auf die Erhebung eines Kostenvorschusses hat es nach Eingang des Erhebungsbogens für die unentgeltliche Rechtspflege einstweilen verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bilden die Wegweisungsverfügungen des kantonalen Migrationsamts vom 22. Dezember 2019. Gegen diese Verfügungen erhoben die Beschwerdeführer mit Eingaben vom 10. bzw. 16. Januar 2020 (vgl. Bst. B.d hiervor) Verwaltungsbeschwerde. Die für die Behandlung dieses Rechtsmittels zuständige kantonale Instanz kam in rechtlicher Hinsicht zum Ergebnis, dass vorliegend die verkürzte Rechtsmittelfrist von fünf Arbeitstagen gemäss Art. 64 Abs. 3 AIG zur Anwendung gelange. Entsprechend qualifizierte sie die Eingaben der Beschwerdeführer als verspätet und trat auf ihr Rechtsmittel nicht ein. Dieser Nichteintretensentscheid wurde von der Vorinstanz geschützt (vgl. Bst. B.f hiervor).
Dem Bundesgericht kann mit Blick auf den derart umrissenen Streitgegenstand des vorangegangenen Verfahrens nur die Frage unterbreitet werden, ob der Nichteintretensentscheid des Justiz- und Polizeidepartements von der Vorinstanz zu Recht geschützt worden ist (vgl. auch Urteil 2D_27/2018 vom 23. Juli 2018 E. 2.1). Die Beschwerdean-träge 2 und 3 bewegen sich ausserhalb dieses Rahmens; darauf ist nicht einzutreten.
1.2. Nach Art. 83 lit. c Ziff. 4 ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend die Wegweisung. Der Unzulässigkeitsgrund gilt auch für Prozessentscheide, die auf diesem Gebiet ergehen (Urteile 2D_9/2017 E. 1.3; 2D_45/2013 vom 3. Februar 2014 E. 1.1). Weil in der Sache Wegweisungsverfügungen in Frage stehen (vgl. E. 1.1 hiervor), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vorliegend unzulässig.
1.3. Zu prüfen ist damit, ob und inwieweit die verbleibenden Anträge der Beschwerdeführer als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 83 lit. c Ziff. 4 i.V.m. Art. 113 BGG) entgegengenommen werden können.
1.3.1. Mit dem Urteil eines letztinstanzlichen kantonalen Gerichts liegt ein taugliches Anfechtungsobjekt vor (Art. 113 und 114 BGG). Zur Verfassungsbeschwerde ist nach Art. 115 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Die erste Voraussetzung ist hier offensichtlich erfüllt. Hingegen bedarf die zweite Voraussetzung mit Blick auf die einzelnen Anträge einer näheren Prüfung.
1.3.2. Die Beschwerdeführer erblicken eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs und des Willkürverbots in dem Umstand, dass die Vorinstanz ihr Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung erst mit dem Endentscheid behandelt und dieses sodann als gegenstandslos betrachtet habe; damit sei die Behandlungsfrist von Art. 64 Abs. 3 (dritter Satz) AIG überschritten worden. Ebenso stören sie sich daran, dass die Vorinstanz das entsprechende Vorgehen des Justiz- und Sicherheitsdepartements geschützt hat.
Es ist indessen nicht ersichtlich, inwiefern eine Aufhebung oder Abänderung des angefochtenen Entscheids den Beschwerdeführern in diesem Punkt von Nutzen sein könnte. Auch erscheint unklar, welcher Beschwerdeantrag durch die entsprechenden Passagen in der Beschwerdeschrift eigentlich begründet werden soll. Auf die entsprechenden Beschwerdepassagen ist nicht weiter einzugehen.
1.3.3. Mit Blick auf die Beschwerdeanträge 1 und 4 vertreten die Beschwerdeführer die Auffassung, die Vorinstanz sei in willkürlicher Art und Weise davon ausgegangen, dass im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement die verkürzte Rechtsmittelfrist von Art. 64 Abs. 3 AIG zur Anwendung gelangt sei. Überdies sei dem Beschwerdeführer bei der Eröffnung der Wegweisungsverfügung die Rechtsmittelbelehrung nicht übersetzt worden, was auch daraus hervorgehe, dass die Dolmetscherin auf der ihn betreffenden Verfügung nicht unterzeichnet habe. Er sei daher unverschuldet davon abgehalten worden, rechtzeitig Beschwerde zu führen. Selbst wenn daher von der Anwendbarkeit der verkürzten Frist auszugehen sei, sei die Vorinstanz bei der Anwendung von § 36 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL 40) in Willkür verfallen, weil sie das Vorgehen des kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartements geschützt habe, die Beschwerdefrist nicht wiederherzustellen.
Zu bemerken ist bezüglich dieser Rügen zunächst, dass das Willkürverbot (Art. 9 BV) für sich genommen kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG vermittelt (BGE 138 I 305 E. 1.3 S. 308; 137 II 305 E. 2 S. 308; 134 I 153 E. 4 S. 156 ff.; 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.). Zur Willkürrüge wären die Beschwerdeführer vielmehr nur dann legitimiert, wenn sie sich auf eine gesetzliche Norm berufen könnten, die ihnen im Bereich der betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt oder zumindest den Schutz ihrer Interessen bezweckt (Urteil 2D_9/2017 vom 3. Oktober 2017 E. 1.4). Soweit vorliegend in Frage steht, ob die Rechtsmittelfrist (Art. 64 Abs. 3 AIG) eingehalten worden ist bzw. wiederhergestellt werden müsste, ist dieses Erfordernis zweifellos gegeben. Anders liegen die Dinge, soweit die Beschwerdeführer geltend machen, für EU-Angehörige könne die Rechtsmittelfrist von fünf Arbeitstagen prinzipiell nicht zur Anwendung gelangen. An sich geeignet, in diesem Zusammenhang einen Rechtsanspruch einzuräumen, wäre die von den Beschwerdeführern beiläufig angerufene Bestimmung von Art. 11 Abs. 3 FZA. Allerdings hatten die Beschwerdeführer bis zu ihrer Verhaftung am 22. Dezember 2019 kein Gesuch um Aufenthaltsbewilligung gestellt und liess ihr aktenkundiges Verhalten auch sonst nicht erkennen, dass sie bis zu diesem Zeitpunkt in der Schweiz jemals (legale) Erwerbsabsichten verfolgt hätten. Vor diesem Hintergrund erscheint die Berufung auf das FZA als missbräuchlich (vgl. Urteil des EuGH vom 21. Juli 2011 C-186/10 Oguz Randnr. 25 mit Hinweisen). In der Sache sind die Willkürrügen der Beschwerdeführer ohnehin ohne Grundlage (vgl. E. 3 und 4 hiernach).
Mangels hinreichender Substanziierung (Art. 116 sowie Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht weiter einzugehen ist im Folgenden auf die ebenfalls in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Beschwerdeführer, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sei verletzt worden: Allein der Umstand, dass die Vorinstanz in der Sache anders entschieden hat, als die Beschwerdeführer sich wünschten, lässt noch nicht auf eine Verletzung der Begründungspflicht oder gar eine Rechtsverweigerung schliessen (vgl. Ziff. 23.2 und 24.2 der Beschwerde). Auch eine Verletzung des Gehörsanspruchs in Form einer zu Unrecht erfolgten antizipierten Beweiswürdigung (vgl. Ziff. 25 der Beschwerde) ist nicht einmal ansatzweise dargetan.
1.3.4. Mit Blick auf den Beschwerdeantrag 6 machen die Beschwerdeführer eine Verletzung ihres Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Art. 29 Abs. 3 BV) geltend. Ungeachtet einer allfällig fehlenden Betroffenheit in rechtlich geschützten Interessen in der Sache selbst (vgl. E. 1.3.3 hiervor), steht bezüglich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen, weil ein eigenständiges Parteirecht zur Debatte steht (BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes vgl. BGE 138 IV 78 E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; Urteil 2C_978/2015 vom 3. November 2015 E. 2.4). Die angebliche Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV wird in der Beschwerdeschrift hinreichend substanziiert (Art. 116 sowie Art. 117 i.V.m. 106 Abs. 2 BGG; vgl. zu den Rügeanforderungen bzgl. verweigerter unentgeltlicher Rechtspflege im kantonalen Verfahren Urteil 2C_747/2013 vom 12. März 2013 E. 2.3).
1.3.5. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 BGG, Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) geben nicht zu Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerdeanträge 1, 4 und 6 ist - unter obigem Vorbehalt (E. 1.3.3 hiervor) - im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde einzutreten.
2.
2.1. Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde sind die Beschwerdeführer nur befugt, verfassungsmässige Rechte geltend zu machen (Art. 116 BGG). Deren Verletzung prüft das Bundesgericht nur auf klar und detailliert begründete Rüge hin (vgl. Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 und Art. 118 Abs. 1 BGG). Von den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz weicht es nur ab, wenn sie offensichtlich unrichtig sind (Art. 105 Abs. 2 und Art. 118 Abs. 2 i.V.m. Art. 116 BGG, vgl. BGE 136 I 332 E. 2.2 S. 334; Urteil 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.7).
3.
Zu prüfen ist in materieller Hinsicht, ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid des kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartements zu Recht geschützt hat.
3.1. Strittig ist in diesem Zusammenhang zunächst, ob die Vorinstanz in Willkür verfallen ist, als sie annahm, im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement sei die verkürzte Beschwerdefrist von fünf Arbeitstagen (Art. 64 Abs. 3 AIG) zur Anwendung gelangt.
3.1.1. Nach Art. 64 Abs. 3 AIG ist eine Beschwerde gegen Verfügungen nach Absatz 1 Buchstaben a und b innerhalb von fünf Arbeitstagen nach deren Eröffnung einzureichen. Bezug genommen wird damit auf die ordentlichen Wegweisungsverfügungen, die gemäss Art. 64 Abs. 1 AIG erlassen werden, wenn eine Ausländerin oder ein Ausländer eine erforderliche Bewilligung nicht besitzt (lit. a) oder wenn eine Ausländerin oder ein Ausländer die Einreisevoraussetzungen (Art. 5) nicht oder nicht mehr erfüllt (lit. b).
3.1.2. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführer seien als EU/ EFTA-Bürger grundsätzlich berechtigt, visumsbefreit in die Schweiz einzureisen und sich während drei Monaten bewilligungsfrei hier aufzuhalten, sofern sie hier nicht arbeiteten, sondern sich lediglich auf Stellensuche befänden. Das kantonale Migrationsamt habe jedoch angenommen, dass von ihnen eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung sowie die internationalen Beziehungen der Schweiz ausgehe, weshalb es die Einreisevoraussetzung von Art. 5 Abs. 1 lit. c AIG als nicht mehr erfüllt betrachtet habe. Insofern sei das Justiz- und Sicherheitsdepartement zutreffend zum Schluss gelangt, dass das kantonale Migrationsamt vorliegend eine Wegweisung gemäss Art. 64 Abs. 1 lit. b AIG verfügt habe. Zutreffend seien auch die Erwägungen des Justiz- und Sicherheitsdepartements dazu, warum kein Anwendungsfall von Art. 64 Abs. 1 lit. c AIG vorliege; den Beschwerdeführern sei nie eine Bewilligung verweigert bzw. eine Bewilligung widerrufen oder nicht verlängert worden; sie hätten in der Schweiz nie über eine Bewilligung verfügt und vor Erlass der Wegweisungsverfügung auch nicht um eine solche ersucht.
3.1.3. Diese Erwägungen der Vorinstanz sind unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Entscheidend erscheint, dass die Beschwerdeführer zum Zeitpunkt der Wegweisungsverfügung vom 22. Dezember 2020 in der Schweiz nie um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersucht hatten, womit jedenfalls kein Anwendungsfall von Art. 64 Abs. 1 lit. c AIG vorlag. Soweit die Beschwerdeführer mit der vom kantonalen Migrationsamt auf das Wegfallen der Einreisevoraussetzungen (Art. 5 AIG) gestützten Wegweisung nicht einverstanden gewesen wären, hätte es ihnen offengestanden, dies mit einer bei der zuständigen Behörde rechtzeitig eingereichten Beschwerde zu rügen. Dabei hätten sie auch geltend machen können, eine Wegweisung nach Art. 64 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 5 AIG sei bei stellensuchenden EU-Bürgern generell unzulässig. Allerdings wäre bei der Prüfung dieser Rüge zu beachten gewesen, dass die Beschwerdeführer bis zum 22. Dezember 2019 und - jedenfalls im hier zuständigen Kanton Luzern - auch bis zum Ablauf der Rechtsmittelfrist nie Anzeichen erkennen liessen, in der Schweiz Arbeit zu suchen. Allein der Umstand, dass sie nachträglich geltend machen, nun auf Arbeitssuche zu sein, und zu diesem Zweck um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ersucht haben (vgl. Bst. B.c und B.d hiervor), lässt die Rechtsmittelfrist von fünf Arbeitstagen nicht zu einer längeren Rechtsmittelfrist mutieren.
3.1.4. Die Beschwerdeführer stellen im Übrigen nicht in Frage, dass sie die Rechtsmittelfrist von fünf Arbeitstagen mit ihren Eingaben vom 10. bzw. 16. Januar 2020 verpasst haben. Die Vorinstanz ist daher zu Recht davon ausgegangen, die Eingaben der Beschwerdeführer vom 10. bzw. 16. Januar 2020 im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement seien verspätet erfolgt.
3.2. Zu prüfen ist damit die Frage der Fristwiederherstellung.
3.2.1. Diese Frage war im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement nach Massgabe von § 36 Abs. 1 VRG/LU zu beurteilen. Nach dieser Bestimmung kann die Behörde versäumte Fristen wiederherstellen, wenn die Partei oder ihr Vertreter unverschuldet abgehalten worden ist, rechtzeitig zu handeln (lit. a) und innert 10 Tagen seit Wegfall des Hindernisses ein begründetes Gesuch einreicht und gleichzeitig das Versäumnis nachholt (lit. b).
3.2.2. Die Vorinstanz stellte diesbezüglich fest, auf der Wegweisungsverfügung des Beschwerdeführers fehle - anders als auf der Wegweisungsverfügung der Beschwerdeführerin - die Unterschrift der Dolmetscherin. Es könne jedoch davon ausgegangen werden, dass es sich dabei um ein blosses Versehen handle, habe der Beschwerdeführer doch unterschriftlich bestätigt, dass ihm die Verfügung eröffnet, in rumänische Sprache übersetzt und ausgehändigt worden sei. Zudem falle auf, dass er die angeblich fehlende Übersetzung in seinen Rechtsmitteln sehr zurückhaltend angesprochen habe und in der Eingabe an das Justiz- und Sicherheitsdepartement vom 16. Januar 2020 gar explizit offen gelassen habe, ob übersetzt worden sei. Im Übrigen sei durch die Unterschrift der Dolmetscherin erstellt, dass diese bei der Eröffnung der Verfügung an die Beschwerdeführerin anwesend gewesen sei und übersetzt habe. Dass sich dies beim Beschwerdeführer anders zugetragen haben solle, erscheine sehr unwahrscheinlich. Damit sei von einer rechtskonformen (Art. 64f Abs. 1 AIG) Übersetzung beider Wegweisungsverfügungen inklusive der Rechtsmittelbelehrungen auszugehen. Dies werde dadurch bestätigt, dass die Beschwerdeführer den Verpflichtungen der Wegweisungsverfügung durch die Abgabe der Ausreisemeldekarte beim Zollamt Basel West Lysbüchel (vorgeblich) Folge geleistet hätten; auch dadurch sei erstellt, dass sie die Wegweisungsverfügungen einschliesslich der Rechtsmittelbelehrungen verstanden hätten.
3.2.3. Die Beschwerdeführer vermögen diese nachvollziehbaren und wohlbegründeten Feststellungen der Vorinstanz durch ihre weitgehend appellatorischen Vorbringen nicht in Frage zu stellen. Zwar verweisen sie zu Recht darauf, dass die Feststellungen der Vorinstanz sich nicht allein darauf hätten abstützen können, dass in den Rechtsschriften diesbezüglich nur zurückhaltende Aussagen gemacht worden sind; ebenso wenig hätte aufgrund des Umstands, dass die Beschwerdeführer ihre Ausreisemeldekarten beim Zollamt abgegeben haben, willkürfrei geschlossen werden dürfen, dass die Beschwerdeführer auch die Rechtsmittelbelehrung verstanden hätten. Mit den weiteren aussagekräftigen Indizien, welche die Vorinstanz festgestellt hat, setzen sich die Beschwerdeführer jedoch nicht einmal ansatzweise auseinander. Im Gesamtkontext der festgestellten Umstände können die Schlüsse der Vorinstanz nicht als unhaltbar bezeichnet werden. Es ist folglich von dem Sachverhalt auszugehen, den bereits die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
3.2.4. In rechtlicher Hinsicht bestreiten die Beschwerdeführer nicht, dass es unter diesen Umständen (vgl. E. 3.2.3 hiervor) an einem Grund zur Wiederherstellung der Frist mangelt.
3.3. Es ist damit nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid der Vorinstanz bestätigt hat. Die auf die Beseitigung des Nichteintretensentscheids abzielenden Beschwerdeanträge 1 und 4 sind abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Zu prüfen bleibt damit, ob die Vorinstanz den Beschwerdeführern zu Recht die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement und in ihrem eigenen Verfahren verwehrt hat.
4.1. Nach Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Als aussichtslos gelten Begehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Keine Aussichtslosigkeit liegt vor, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder die Gewinnaussichten nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren.
Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil sie dies - zumindest vorläufig - nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (BGE 142 III 138 E. 5.1 S. 139 f.; 139 III 475 E. 2.2 S. 476 f.; 138 III 217 E. 2.2.4 S. 218 mit Hinweisen; Urteile 2C_1130/2018 vom 1. Februar 2019 E. 2.1; 2C_128+129/2017 vom 10. Februar 2017 E. 4.1, mit zahlreichen Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz begründete die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege (einschliesslicher amtlicher Verbeiständung) für das Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement damit, die auf die Wegweisungsverfügungen vom 22. Dezember 2019 anwendbaren Rechtsmittelfristen ergäben sich eindeutig aus dem Gesetz. In der Eingabe an das Justiz- und Sicherheitsdepartement seien auch keine überzeugenden Gründe für eine Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist vorgebracht worden. Daher habe das Justiz- und Sicherheitsdepartement die Verlustgefahren zu Recht als deutlich höher eingeschätzt, als die Gewinnaussichten.
Dieselben Erwägungen führten die Vorinstanz dazu, die unentgeltliche Rechtspflege auch für ihr eigenes Verfahren zu verweigern.
4.3. Was die Beschwerdeführer gegen diese Würdigung einwenden, überzeugt nicht.
Soweit sie darlegen, vorliegend gehe es um die Frage, ob die Frist von Art. 64 Abs. 3 AIG auch bei stellensuchenden EU-Bürgern zur Anwendung gelangen könne, verkennen sie, dass zum hier allein massgebenden Zeitpunkt des Wegweisungsentscheids vom 22. Dezember 2019 kein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung hängig war und auch keine Bestrebungen der Beschwerdeführer zur Aufnahme einer legalen Erwerbstätigkeit in der Schweiz zu erkennen waren (vgl. E. 1.3.3 und 3.1.3 hiervor). Es ist offensichtlich, dass in einer solchen Konstellation nicht die (kantonalrechtlich zu bestimmende) Rechtsmittelfrist für Wegweisungsentscheide nach Art. 64 Abs. 1 lit. c AIG zur Anwendung gelangt. Nicht zu klären war im vorliegenden Verfahren unter diesen Umständen auch die Frage, ob und unter welchen Umständen stellensuchende EU-Bürger überhaupt weggewiesen werden dürfen bzw. unter welchen Umständen ihnen ein Anspruch auf prozeduralen Aufenthalt zukommt.
Inwiefern sodann der Umstand, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement nicht innert 10 Tagen in einem Zwischenentscheid über die aufschiebende Wirkung entschieden hat, die Gewinnaussichten des Rechtsmittels an die Vorinstanz gesteigert hätten, wird in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht erläutert und ist auch nicht ersichtlich (vgl. analog E. 1.3.2 hiervor).
4.4. Damit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Beschwerdeführern die unentgeltliche Prozessführung sowohl für das Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement als auch für ihr eigenes Verfahren verweigert hat. Der Beschwerdeantrag 6 ist abzuweisen.
5.
5.1. Zusammengefasst ist damit auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten (vgl. E. 1.2 hiervor). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 1.3, E. 3 und E. 4 hiervor).
5.2. Schon im kantonalen Verfahren bestand aufgrund der Aussichtslosigkeit der Rechtsmittel kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (E. 4.3 und 4.4 hiervor). Dies gilt umso mehr für das bundesgerichtliche Verfahren, in dem die von den Beschwerdeführern aufgeworfenen Fragen nur noch unter eingeschränktem Blickwinkel geprüft werden konnten (vgl. E. 2.1 und 2.2 hiervor). Dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann daher nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführer werden mithin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner