Erwägungen:
1.
Mit Klage vom 15. Juni 2015 beantragte A._ (Beschwerdeführerin) beim Zivilgericht Basel-Stadt, die B._ AG sei zu verurteilen, ihr Fr. 645'601.-- nebst Zins zu bezahlen und ihr ein Arbeitszeugnis auszustellen. Mit Eingaben vom 6. und 11. Mai 2020 sowie vom 20. Juni 2020 stellte A._ Ausstandsgesuche gegen die verfahrensleitende Zivilgerichtspräsidentin Eva Senn sowie die Gerichtsschreiberin Eva Bachofner. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2020 wies das Zivilgericht die Ausstandsbegehren ab.
A._ reichte gegen diesen Entscheid Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt ein und beantragte die Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Ausserdem sei das Beschwerdeverfahren zu sistieren, bis sie wieder eine anwaltliche Vertretung gefunden habe.
Mit Verfügung vom 19. November 2020 wies der Präsident des Appellationsgerichts das Begehren um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und das Sistierungsgesuch ab.
A._ hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 31. Dezember 2020 (Postaufgabe am 4. Januar 2021) erklärt, diese Verfügung mit Beschwerde anzufechten, und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht.
Mit Präsidialverfügung vom 7. Januar 2021 wurde der Beschwerde mangels Erfolgsaussichten keine aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Mit Eingabe vom 13. Januar 2021 verlangte A._ den Ausstand der Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sowie von Bundesrichterin Christina Kiss. Beim Entscheid über dieses Ausstandsbegehren hätten die "Mitarbeitenden" der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ihrerseits in den Ausstand zu treten. Ferner habe eine Mitarbeiterin der Bundesgerichtskanzlei "wegen Überschreitung ihrer amtlichen Kompetenz und wegen Verletzung ihrer Amtspflichten zum Vorteil der Beklagten und weiterer Gegenparteien ihre Aufgaben im vorliegenden Verfahren abzugeben". Sämtliche Amtshandlungen, an welchen die Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung und die betreffende Mitarbeiterin der Bundesgerichtskanzlei mitgewirkt hätten, seien aufzuheben und zu wiederholen. Überdies sei diesen Ausstandsbegehren die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Zur Begründung ihrer Ausstandsbegehren stützt sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen auf die bundesgerichtliche Präsidialverfügung vom 7. Januar 2021, mit der ihr Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen wurde. So stört sie sich etwa daran, dass es sich um einen "1.5 Zeiler" gehandelt habe und die Verfügung einzig von einer Mitarbeiterin der Bundesgerichtskanzlei unterzeichnet worden sei. Dies sei ein "Trick", um die Veröffentlichung dieses "Urteils" zu verhindern und mit dem die "groben Rechtsverletzungen in diesem 'Urteil' [...] kaschiert" werden sollen. Insbesondere werde die Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung, in deren Auftrag die Verfügung ergangen sei, nicht namentlich erwähnt, wohl weil es ihr "zu heikel" sei und sie befürchten müsse, für das "Urteil" belangt zu werden. Überhaupt hätte der Verfügung - da damit "gegen frühere Entscheide des Bundesgerichts entschieden" werde - die "Vereinigung der betroffenen Abteilungen" des Bundesgerichts zustimmen müssen. Das "Urteil" sei der Kostenvorschussverfügung vom 7. Januar 2021 "in rechtswidriger Weise untergejubelt" worden und "nichtig". Das Bundesgericht versuche, sie (die Beschwerdeführerin) von der Bezahlung des Kostenvorschusses abzuhalten, damit auf die Beschwerde "im vereinfachten Verfahren" nicht eingetreten werden könne. Damit erledige das Bundesgericht "zwei weitere Fliegen mit derselben Klappe". Ein solches Vorgehen sei "unfair". Bereits im sie betreffenden Urteil 4A_63/2020 vom 3. März 2020 habe die (damalige) Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung "gravierende Rechtsverletzungen zum Vorteil der Beklagten und der weiteren Gegenparteien" begangen.
Soweit die Beschwerdeführerin den Ausstand einer Mitarbeiterin der Bundesgerichtskanzlei verlangt, ist darauf hinzuweisen, dass diese nicht Gerichtspersonen im Sinne von Art. 34 BGG sind und deshalb nicht abgelehnt werden können (siehe Urteil 5A_708/2018 vom 25. Oktober 2018 E. 2). Das gegen Bundesrichterin Christina Kiss gerichtete Ausstandsgesuch ist gegenstandslos, da sie beim vorliegenden Entscheid, mit dem das bundesgerichtliche Verfahren erledigt wird, nicht mitwirkt.
Im Übrigen macht die Beschwerdeführerin offensichtlich keine tauglichen Ausstandsgründe geltend. Unzulässig sind namentlich Ausstandsbegehren, die primär mit früheren, zuungunsten der Partei ausgefallenen Entscheiden oder sonstwie mit nicht nachvollziehbaren beziehungsweise untauglichen Motiven begründet werden (vgl. auch Art. 34 Abs. 2 BGG und Urteil 4A_546/2020 vom 29. Dezember 2020 mit Hinweisen). Der Umstand, dass das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung aufgrund einer vorläufigen Beurteilung wegen Aussichtslosigkeit der gestellten Begehren abgewiesen wurde, begründet offensichtlich keinen Ausstandsgrund. Ferner legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist nicht ersichtlich, inwiefern die angeblichen Mängel in der Verfügung vom 7. Januar 2021 derart krass sein sollen, dass daraus auf eine Absicht der Benachteiligung geschlossen werden könnte. Sie prangert vielmehr in allgemein gehaltener Kritik die "Methoden" und "illegalen Mittel[]" der Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung an.
Ein Vorgehen nach Art. 37 BGG erübrigt sich; auf das Ausstandsbegehren wird unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen nicht eingetreten (vgl. BGE 114 Ia 278 E. 1). Damit werden die Gesuche um Erteilung der aufschiebenden Wirkung (der Ausstandsbegehren) und "um Aufhebung und Wiederholung aller Amtshandlungen" gegenstandslos.
3.
3.1. Bei der angefochtenen Verfügung des Appellationsgerichts, mit dem über die aufschiebende Wirkung und die Sistierung des kantonalen Beschwerdeverfahrens entschieden wurde, handelt es sich um einen Vor- und Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (vgl. Urteil 4A_485/2010 vom 3. Februar 2011 E. 1.2). Dagegen ist die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (die Ausnahme von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG fällt von vornherein ausser Betracht). Es obliegt der beschwerdeführenden Partei, darzutun, dass die Voraussetzungen für eine ausnahmsweise Anfechtbarkeit eines Vor- und Zwischenentscheids erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (BGE 142 III 798 E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen).
3.2. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss ein Nachteil rechtlicher Natur sein, der auch durch einen späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigt werden kann, wogegen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht ausreichen (BGE 144 III 475 E. 1.2 S. 479; 142 III 798 E. 2.2 S. 801; 141 III 80 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Einen solchen Nachteil tut die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar. Sie unterbreitet dem Bundesgericht einlässlich ihre Sicht der Dinge in Bezug auf die bisherige Verfahrensgeschichte und beklagt zahlreiche Rechtsverletzungen, unter Hinweis auf verschiedene Gesetzes-, Verfassungs- und Konventionsbestimmungen. Daraus leitet sie zahlreiche "Nachteile" ab, die "sogar zu Unrecht zur Abweisung der Klage führen können". Inwiefern die behaupteten Nachteile rechtlicher Natur wären und überdies selbst durch einen - für die Beschwerdeführerin günstigen - Endentscheid nicht mehr behoben werden können, zeigt sie dagegen nicht in nachvollziehbarer Weise auf.
4.
Die Beschwerde erweist sich demnach als offensichtlich unzulässig, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG nicht auf sie einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle