Sachverhalt:
A.
Der argentinische Staatsangehörige A._ (geb. 1984) hat eine leibliche Tochter, B._, geboren 2001. Er heiratete am 9. Ja nuar 2009 eine Schweizer Bürgerin, reiste am 18. Februar 2009 im Rahmen des Familiennachzugs ohne seine Tochter in die Schweiz ein und erhielt gestützt auf die Ehe eine Aufenthaltsbewilligung. Seit dem 3. Februar 2014 ist er im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Seine Tochter reiste am 29. September 2017 visumsfrei als Touristin in die Schweiz ein.
B.
Am 15. Januar 2018 stellte A._ für sie beim Migrationsamt des Kantons Thurgau ein Gesuch um Familiennachzug. Mit Verfügung vom 15. Oktober 2018 wies das Amt das Gesuch ab und wies B._ aus der Schweiz weg.
A._ erhob dagegen Rekurs an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau. Dieses entschied am 19. Oktober 2018, die von Gesetzes wegen entzogene aufschiebende Wirkung des Rekurses werde nicht wiederhergestellt. Eine hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 6. Februar 2019 in dem Sinne teilweise gut, als B._ während der Dauer des Verfahrens der Aufenthalt beim Vater gestattet wurde. In der Sache wiesen sowohl das Depar tement (Entscheid vom 7. August 2019) als auch das Verwaltungsgericht (Urteil vom 15. Januar 2020) die Rechtsmittel ab.
C.
Mit Eingabe vom 7. Mai 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbe schwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben, den Familiennachzug zu gewähren und B._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau bean tragen alle die Abweisung der Beschwerde. Das SEM hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Mit Verfügung vom 15. Mai 2020 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer ist Inhaber der Niederlassungsbewilligung. Ein Anspruch auf Familiennachzug wird in vertretbarer Weise vorgebracht (Art. 43 Abs. 1 AIG [SR 142.20]). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde verbleibt damit kein Raum (Art. 113 BGG).
2.
Die Sachverhalts- und Gehörsrügen brauchen mit Blick auf das Verfahrensergebnis nicht behandelt zu werden.
3.
Streitig ist der Familiennachzug für die Tochter des Beschwerdeführers.
3.1. Ein Anspruch auf Familiennachzug gestützt auf Art. 8 EMRK besteht nicht, da die Tochter inzwischen volljährig ist (vgl. BGE 145 I 227) und kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis geltend gemacht wird. Auch kann den Behörden keine Rechtsverzögerung vorgeworfen werden, die ausnahmsweise trotz inzwischen eingetretener Volljährigkeit die Berufung auf Art. 8 EMRK zuliesse (Urteil 2C_325/2019 vom 3. Februar 2020 E. 2.2).
3.2. Ein grundsätzlicher Anspruch auf Familiennachzug ergibt sich hingegen aus Art. 43 AIG: Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben unter den in Art. 43 Abs. 1-3 AIG genannten Voraussetzungen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Für die Altersgrenze von 18 Jahren ist der Zeitpunkt der Gesuchseinreichung massgebend (BGE 136 II 497 E. 3). Hier wurde das Gesuch am 15. Januar 2018 eingereicht, also zu einem Zeitpunkt, als die Tochter noch nicht 18-jährig war. Ein Anspruch nach Art. 43 AIG kommt somit in Betracht.
3.3. Die Voraussetzungen von Art. 43 AlG sind grundsätzlich erfüllt (angefochtener Entscheid E. 3.2). Streitig ist jedoch die Einhaltung der Fristen: Der Anspruch auf Familiennachzug muss innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden. Kinder über zwölf Jahre müssen innerhalb von zwölf Monaten nachgezogen werden (Art. 47 Abs. 1 AIG). Die Fristen beginnen mit der Erteilung der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses (Art. 47 Abs. 3 lit. b AIG). Ein nachträglicher Familiennachzug wird nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden (Art. 47 Abs. 4 AIG). Unbestritten ist die Frist von zwölf Monaten (Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 lit. b AIG) nicht eingehalten. Streitig ist, ob ein wichtiger familiärer Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AIG vorliegt.
3.4. Die Vorinstanz gibt die Rechtsprechung hierzu grundsätzlich zutreffend wieder: Wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AIG liegen vor, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei nicht ausschliesslich auf das Kindswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AIG (bzw. Art. 75 VZAE) praxisgemäss jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird. Der historische Gesetzgeber beabsichtigte beim Erlass von Art. 47 Abs. 4 AIG, die Integration durch einen möglichst frühen Nachzug der Familienmitglieder zu fördern, indessen nicht die Nachzugsgründe auf nicht vorhersehbare Ereignisse zu beschränken. Praxisgemäss geht das Bundesgericht davon aus, dass eine Familie, die freiwillig jahrelang getrennt gelebt hat, dadurch ihr beschränktes Interesse an einem ortsgebundenen (gemeinsamen) Familienleben zum Ausdruck bringt; in einer solchen Konstellation, in der die familiären Beziehungen während Jahren über die Grenzen hinweg besuchsweise und über die modernen Kommunikationsmittel gelebt wurden, überwiegt regelmässig das der ratio legis von Art. 47 Abs. 4 AIG zugrunde liegende legitime Interesse an der Einwanderungsbeschränkung, solange nicht objektive, nachvollziehbare Gründe, welche von den Betroffenen zu bezeichnen und zu rechtfertigen sind, etwas anderes nahelegen (Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2). Ein wichtiger Grund liegt hingegen vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder einer Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle andere Alternative in der Heimat gefunden werden kann. Für den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland bestehen umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm in der Schweiz drohen. Es obliegt im Rahmen ihrer Mitwirkungspflichten der nachzugswilligen Person, die entsprechenden Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (Urteil 2C_555/2019 vom 12. November 2019 E. 6.1; vgl. BGE 137 I 284 E. 2.2).
3.5. Die Vorinstanz geht übereinstimmend mit dem Beschwerdeführer und aufgrund der Akten davon aus, dass die Tochter als Kind minderjähriger, nicht verheirateter Eltern zur Welt kam, bei ihrer Mutter aufwuchs, die aber wechselnde Partner hatte und die Tochter psychisch und physisch misshandelte. Die Tochter wurde als Kind zweimal vergewaltigt. 2016 wurde das Sorgerecht auf die Grossmutter übertragen, welche das Kind bereits vorher gepflegt hatte. Diese wurde aber von der eigenen Tochter (d.h. der Mutter der Tochter des Beschwerdeführers) im Jahre 2016 getötet. Anschliessend lebte die Tochter bei ihrer Tante/Patin, die inzwischen aber die Betreuung nicht mehr wahrnehmen kann, worauf die Tochter im November 2017 als Touristin zu ihrem Vater in die Schweiz einreiste.
3.6. In dieser Situation liegt offensichtlich der Fall vor, dass eine adäquate alternative Betreuung in der Heimat nicht mehr besteht: Die leibliche Mutter ist nicht die geeignete Betreuungsperson. Die bisherige Betreuungsperson (Grossmutter) ist gestorben und die Tante/Patin kann die Betreuung nicht übernehmen. Es besteht keine konkrete Alternative zum Nachzug zu dem in der Schweiz lebenden Vater.
3.7. Die Vorinstanz argumentiert, sie müsse die Entwicklung des Sachverhalts bis zum Zeitpunkt ihres Entscheids berücksichtigen; da die Tochter inzwischen volljährig sei, bedürfe sie keiner Betreuung mehr (E. 4.4.3 des angefochtenen Urteils). Trotz der besonderen Lebensgeschichte der Tochter (E. 4.4.4) sei diese in guter psychischer Verfassung und bedürfe keiner besonderen Betreuung durch Fachpersonen; allenfalls wäre eine solche auch in Argentinien möglich (E. 4.4.5). Zudem sei auch die Beziehung zwischen Vater und Tochter bis vor kurzem (Tod der Grossmutter bzw. Einreise der Tochter in die Schweiz) nicht sehr eng gewesen sei (E. 4.4.6). Zudem seien auch Integrationsprobleme zu erwarten (E.4.4.7).
3.7.1. Zum Argument der Vorinstanz, dass die heute volljährige Tochter heute keiner Betreuuung mehr bedarf, ist grundsätzlich richtig, dass das kantonale Gericht den Sachverhalt bis zu seinem Urteil berücksichtigen muss. Streitthema ist aber, ob für das Familiennachzugsgesuch im Zeitpunkt, in dem es gestellt wurde, wichtige familiäre Gründe vorlagen (vorme E. 3.2). Würde die Betreuungsbedürftigkeit verneint mit dem Argument, dass die nachzuziehende Person in der Zwischenzeit volljährig geworden ist, würde der Grundsatz ausgehebelt, dass in zeitlicher Hinsicht der Gesuchszeitpunkt massgebend ist (BGE 136 II 497 E. 3). Im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung war die Tochter gut sechzehn ein halb Jahre alt. Sie war damit nicht mehr so betreuungsbedürftig wie ein kleines Kind, aber doch noch nicht volljährig, und es war ihr nicht zuzumuten, völlig allein zu leben, wenn - wie in casu - in der Heimat gar keine andere Betreuungsmöglichkeit besteht, wohl aber der in der Schweiz lebende Vater die Betreuung übernehmen kann und will. Dass die Tochter keine besondere psychologische Betreuung benötigt, ändert daran nichts.
3.7.2. Zwischen den Beteiligten bestehen unterschiedliche Auffassungen, wie eng die Beziehung zwischen Vater und Tochter vor deren Einreise in die Schweiz waren. Auch wenn man von den Feststellungen der Vorinstanz ausgeht, waren die Beziehungen zwar nicht eng, aber auch nicht inexistent: Jedenfalls seit dem Tod der Grossmutter (2016) kümmerte sich der Beschwerdeführer intensiv um die Tochter (E. 4.4.6 des angefochtenen Urteils). Unter dem Aspekt des Kindswohls ist für ein nicht volljähriges Mädchen jedenfalls die Betreuung durch den Vater grundsätzlich vorzuziehen gegenüber einer überhaupt fehlenden Betreuung, selbst wenn die Beziehung zum Vater vorher nicht besonders intensiv war.
3.7.3. Zu erwartende Integrationsprobleme kurz vor der Volljährigkeit können zwar Grund für eine zurückhaltende Annahme eines wichtigen familiären Grundes sein (vorne E. 3.4). Dies kann aber nicht gleichermassen gelten, wenn in der Heimat gar keine alternative Betreuungsmöglichkeit mehr besteht. Zudem argumentiert die Vorinstanz widersprüchlich: Einerseits befürchtet sie Integrationsprobleme (E.4.4.7). Andererseits geht sie selber davon aus, dass sich die Tochter gut integriert und schnell deutsch gelernt hat (E. 4.4.5). In der konkreten Situation bestehen offensichtlich keine ernsten Integrationsprobleme.
3.8. Insgesamt besteht somit keine Betreuungsalternative zum Vater, der in der Schweiz lebt. Daher liegt ein wichtiger familiärer Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AIG vor und der Familiennachzug ist zu bewilligen.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Thurgau anzuweisen, der Tochter des Beschwerdeführers eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Bei diesem Ausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Thurgau den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Sache ist an die Vorinstanz zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen im kantonalen Verfahren zurückzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 15. Januar 2020 wird aufgehoben. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau wird angewiesen, der Tochter des Beschwerdeführers eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache ist an die Vorinstanz zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen im kantonalen Verfahren zurückzuweisen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein