Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1972; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1967; Beschwerdeführer) heirateten 1999. Sie sind die Eltern der Tochter C.A._ (geb. 2004). Vor Bezirksgericht March hängig ist ein Verfahren betreffend die Vaterschaft über ein weiteres Kind von B.A._ (den Sohn D._; geb. 1995).
A.b. Am 14. Februar 2011 klagte B.A._ beim Bezirksgericht March auf Scheidung der Ehe. Mit Verfügung vom 19. August 2013 erklärte das Bezirksgericht A.A._ in Abänderung zuvor getroffener Eheschutzmassnahmen vorsorglich für berechtigt, die Tochter jedes zweite Wochenende und während gewisser Feiertage zu sich auf Besuch sowie während insgesamt fünf Wochen mit sich in die Ferien zu nehmen. Den bereits früher ernannten Beistand betraute das Bezirksgericht mit der Überwachung des Besuchs- und Ferienrechts. Am 22. Mai 2014 sistierte das Bezirksgericht dieses Recht von Amtes wegen, nachdem es beim Institut für Forensisch-Psychologische Begutachtung St. Gallen ein kinderpsychologisches Gutachten eingeholt hatte. Das Gutachten datiert vom 29. April 2014. Auf Berufung von A.A._ hin hob das Kantonsgericht Schwyz diese Anordnung wegen Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör auf und wies die Sache zum erneuten Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Dieses setzte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter mit superprovisorischer Verfügung vom 10. Dezember 2014 einstweilen und längstens für die Dauer des Scheidungsverfahrens erneut aus. Den Beistand beauftragte das Bezirksgericht damit, einen regelmässigen Briefkontakt zwischen Vater und Tochter aktiv zu fördern und dafür besorgt zu sein, dass A.A._ regelmässig, mindestens aber einmal monatlich, über aktuelle Ereignisse im Leben der Tochter informiert wird.
A.c. Mit Urteil vom 30. Dezember 2016 schied das Bezirksgericht die Ehe von B.A._ und A.A._, wobei es die Tochter unter die alleinige Sorge und Obhut der Mutter stellte, ohne dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen. Zudem ordnete es die Weiterführung der Beistandschaft für die Tochter an. Unterhalt sprach es weder dem Kind noch einem der Ehegatten zu. Der Scheidungspunkt wurde am 31. Mai 2017 rechtskräftig, bezüglich der Nebenfolgen der Ehescheidung ist beim Kantonsgericht ein Berufungsverfahren hängig.
A.d. Ebenfalls am 30. Dezember 2016 ordnete das Bezirksgericht an, dass das A.A._ am 19. August 2013 bezüglich der Tochter eingeräumte Besuchs- und Ferienrecht bis zum rechtskräftigen Abschluss des Scheidungsverfahrens "gänzlich ausgesetzt/sistiert" bleibe. Für die Dauer der Sistierung beauftragte es den Beistand damit, einen regelmässigen Informationsaustausch zwischen Vater und Tochter sicherzustellen. Die Gerichtskosten auferlegte es A.A._, dem es unter Abweisung eines Gesuchs um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses durch B.A._ die unentgeltliche Rechtspflege gewährte und einen Rechtsbeistand bestellte.
B.
Gegen diese Verfügung reichte A.A._ am 20. März 2017 Berufung beim Kantonsgericht ein. Dieses bestellte im Berufungsverfahren für die Tochter eine Prozessvertretung. Mit Beschluss vom 10. April 2018 (eröffnet am 17. April 2018) wies das Kantonsgericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Die Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte es A.A._. Es sprach diesem aber zulasten von B.A._ einen Prozesskostenvorschuss zu und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos geworden ab.
C.
Mit Beschwerde vom 17. Mai 2018 ist A.A._ ans Bundesgericht gelangt. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids des Kantonsgerichts vom 10. April 2018. Ausserdem ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und ihm selbst das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Am 23. Mai 2018 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Im Übrigen hat es die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über die Änderung der Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Tochter während des Scheidungsverfahrens (Art. 276 ZPO i.V.m Art. 176 Abs. 3, Art. 179 und 273 f. ZGB) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, welche er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Massnahmeentscheide, die gestützt auf Art. 276 ZPO ergehen, unterstehen Art. 98 BGG (Urteil 5A_948/2016 vom 22. Dezember 2017 E. 2; vgl. auch BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 140 III 264 E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach Art. 9 BV geltend gemacht (vgl. zu diesem BGE 142 II 433 E. 4.4; 140 III 167 E. 2.1), reicht es dabei nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 136 I 49 E. 1.4.1; 134 II 244 E. 2.2).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt (teilweise sinngemäss) Verletzungen des Rechts auf Familienleben (vgl. Art. 8 EMRK; Art. 14 BV) sowie des Anspruchs auf rechtliches Gehör (vgl. Art. 6 EMRK; Art. 29 Abs. 2 BV) : Er werde am persönlichen Kontakt mit seiner Tochter gehindert, ohne dass dies zum Schutz des Kindeswohls geeignet und nötig sei oder dass mildere Massnahmen geprüft worden wären. Die Vorinstanzen hätten sodann verschiedentlich seine Vorbringen nicht behandelt, insbesondere sich nicht mit den Einwendungen gegen das Gutachten vom 29. April 2014 auseinandergesetzt, und er habe nicht ausreichend zu den erhobenen Beweisen Stellung nehmen können. Der Beschwerdeführer begnügt sich in diesem Zusammenhang indessen damit, seine eigene Sicht der Dinge darzulegen und der Vorinstanz Verfassungsverletzungen vorzuwerfen, soweit sie in ihren Würdigungen von dieser Sichtweise abweicht. Auch nicht ansatzweise vermag er mit der nötigen Klarheit aufzuzeigen, inwiefern das Kantonsgericht verfassungsmässige Rechte verletzt haben sollte. In seinen Ausführungen bezieht sich der Beschwerdeführer sodann verschiedentlich auf Vorbringen oder Eingaben im kantonalen Verfahren, ohne diese näher zu bezeichnen. Es ist jedoch nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die Akten auf einzelne Dokumente oder Behauptungen hin zu durchsuchen (vgl. Urteil 5A_848/2010 vom 4. April 2011 E. 2.4.1, in: FamPra.ch 2011 S. 717). Die Beschwerde genügt damit in diesem Zusammenhang den Begründungsanforderungen nicht und auf sie ist insoweit nicht einzutreten.
2.3. Nach Ansicht des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz sodann den Sachverhalt über weite Strecken unrichtig festgestellt, insbesondere sei das Gutachten vom 29. April 2014 nicht korrekt erstellt worden (z.B. unwahre Angaben der Gutachter, "Notlügen" der Tochter) bzw. generell "nicht brauchbar", sei die Anhörung der Tochter fehlerhaft erfolgt (z.B. Stellen von Suggestivfragen) und seien Zeuginnen und Zeugen zu Unrecht nicht einvernommen worden. Diesbezüglich ist dem Beschwerdeführer entgegenzuhalten, dass er blosse Bundesrechtsverletzungen geltend macht, nicht jedoch die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, wie dies im vorliegenden Massnahmeverfahren allein zulässig ist. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
Verschiedentlich rügt der Beschwerdeführer die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz sodann als "aktenwidrig und willkürlich". Diese Rüge ist zwar zulässig. Der Beschwerdeführer beschränkt sich freilich darauf, in appellatorischer Art und Weise seine eigene Sicht der Geschehnisse darzustellen und die davon abweichenden Feststellungen der Vorinstanz als willkürlich zu bezeichnen. Hinreichend klar begründete Sachverhaltsrügen, welche in Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid und unter Bezeichnung entsprechender Beweismittel ein willkürliches Vorgehen der Vorinstanz aufzuzeigen vermöchten, erhebt er keine. Damit genügt die Beschwerde auch insoweit den Begründungsanforderungen nicht und ist nicht auf sie einzutreten.
2.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer (teilweise sinngemäss) die unrichtige Anwendung der Bestimmungen zur Regelung des persönlichen Verkehrs (Art. 273 f. ZGB) und eine mangelhafte Vertretung der Tochter im kantonalen Verfahren geltend. Auch hält er es für "falsch", dass die Vorinstanz auf die Berufung insoweit nicht eingetreten ist, als er eine Erhöhung des Honorars seines unentgeltlichen Rechtsvertreters im erstinstanzlichen Verfahren beantragte. Auch in diesem Umfang rügt der Beschwerdeführer nicht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, sodass auf die Beschwerde auch insoweit nicht einzutreten ist.
3.
Auf die Beschwerde ist folglich insgesamt nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen: Seine vor Bundesgericht gestellten Begehren müssen nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos qualifiziert werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit braucht nicht mehr auf die Frage eingegangen zu werden, ob der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses hätte stellen müssen (vgl. dazu BGE 138 III 672 E. 4.2.1). Mit Blick auf die aktenkundig schlechte finanzielle Lage des Beschwerdeführers ist jedoch nur eine reduzierte Gerichtsgebühr zu erheben (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, C.A._ und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber