Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführerin) und B._ (Beschwerdegegner) sind die verheirateten Eltern des Sohnes C._ (geb. 2012) und der Tochter D._ (geb. 2015). Seit dem 1. Mai 2018 leben sie getrennt.
Im Rahmen des Eheschutzverfahrens stellte das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost am 20. August 2018 die Kinder unter die Obhut der Mutter. Ausserdem verpflichtete es den Vater mit Verfügung vom 27. August 2018, dieser monatliche Kindesunterhaltsbeiträge von Fr. 996.-- (Barunterhalt Fr. 366.--; Betreuungsunterhalt Fr. 630.--) für den Sohn und von Fr. 993.-- (Barunterhalt Fr. 363.--; Betreuungsunterhalt Fr. 630.--) für die Tochter zu bezahlen (jeweils zzgl. Kinderzulagen). Am 22. Januar 2019 schrieb das Zivilkreisgericht das Eheschutzverfahren gestützt auf eine Vereinbarung der Ehegatten als erledigt ab. In der Vereinbarung wurde die Weitergeltung der Unterhaltszahlungen gemäss Verfügung vom 27. August 2018 vorgesehen.
A.b. Am 13. Dezember 2019 ersuchte B._ das Zivilkreisgericht darum, ihn in Abänderung der Verfügung vom 27. August 2018 bei der Bereitschaft zu behaften, der Ehefrau ab 1. Januar 2020 für die beiden Kinder monatlichen Barunterhalt von je Fr. 315.-- (zzgl. Kinderzulagen) zu bezahlen. Das Abänderungsbegehren sei als vorsorgliche Massnahme zu bewilligen. Mit Entscheid vom 5. März 2020 setzte das Gericht die Kindesunterhaltsbeiträge ab 1. Januar 2020 für die Dauer des Verfahrens vorläufig auf monatlich Fr. 211.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 200.-- je Kind fest. Die von der Ehefrau hiergegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Urteil 5A_536/2020 vom 23. November 2020). Im April 2020 anerkannte das Zivilkreisgericht die Einwohnergemeinde (EG) V._, in der die Ehefrau zwischenzeitlich wohnhaft war und welche die Kindesunterhaltsbeiträge teilweise bevorschusste, als Verfahrensbeteiligte.
A.c. Mit Klage vom 30. April 2020 beantragte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland die Scheidung der Ehe. Gleichzeitig ersuchte sie das Regionalgericht um Anpassung der ihr zu bezahlenden Kindesunterhaltsbeiträge für die Dauer des Scheidungsverfahrens und deren Festsetzung auf monatlich Fr. 1'065.-- für den Sohn und Fr. 1'033.-- für die Tochter.
A.d. Mit Urteil vom 7. Juli 2020 setzte das Zivilkreisgericht in Abänderung der Verfügung vom 27. August 2018 soweit hier interessierend die an die Ehefrau zu bezahlenden Kindesunterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 341.-- vom 1. Januar 2020 bis zum 31. Oktober 2020 und auf Fr. 578.-- ab dem 1. November 2020 je Kind fest (jeweils zzgl. Kinder- bzw. Ausbildungszulagen).
B.
Gegen diesen Entscheid erhoben beide Ehegatten Berufung beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, das die Verfahren vereinigte. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2020 (eröffnet am 11. Januar 2021) hiess das Kantonsgericht beide Berufungen teilweise gut. Es setzte die an die Ehefrau für die Kinder monatlich zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge in Abänderung der Verfügung vom 27. August 2018 wie folgt fest (zzgl. Kinderzulagen) :
- für Januar 2020: CHF 700.00 für C._ und CHF 710.00 für D._;
- für Februar 2020: CHF 535.00 für C._ und CHF 545.00 für D._;
- ab März 2020: CHF 315.00 für C._ und CHF 325.00 für D._;
- ab November 2020: CHF 525.00 für C._ und CHF 535.00 für D._."
Weiter hielt es fest, dass damit der Barbedarf der Kinder zwischen März und Oktober 2020 nicht gedeckt werden könne, bezifferte den Fehlbetrag und stellte die Grundlagen der Unterhaltsberechnung fest.
C.
Mit Beschwerde vom 10. Februar 2021 gelangt A._ ans Bundesgericht und stellt die folgenden Anträge:
"1. Es sei das Unterhaltsherabsetzungsgesuch [von B._] in Abänderung des Entscheides des Kantonsgerichts BL vom 22.12.20 abzuweisen und somit für den Zeitraum 1.1.20 bis 30.4.20 die mit Verfügung vom 27.8.18 festgesetzten Unterhaltsbeiträge [von B._] an [A._] von monatlich CHF 996 für D._ und von CHF 993 an C._ zu bestätigen.
Eventualiter sei [B._] in Abänderung des Entscheids des Kantonsgerichts BL vom 22.12.20 zu verurteilen, [an A._] für die beiden Kinder D._ und C._ folgende monatlichen Unterhaltsbeiträge zu bezahlen:
Ab Januar 2020 bis und mit April 2020, subeventualiter bis auf weiteres, für C._ CHF 950 monatlich, wovon CHF 832 Barunterhalt, mit verbleibendem Manko von CHF 134 beim Betreuungsunterhalt.
Ab Januar 2020 bis und mit April 2020, subeventualiter bis auf weiteres, für D._ CHF 955 monatlich, wovon CHF 837 Barunterhalt, mit verbleibendem Manko von CHF 134 beim Betreuungsunterhalt.
2. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für alle Instanzen.
3. Es sei [A._] der Kostenerlass mit der Unterzeichnenden als unentgeltlicher Rechtsbeiständin zu bewilligen."
Am 3. August 2021 verzichtet das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung. Mit Beschwerdeantwort vom 30. August 2021 beantragt B._ unter Kosten- und Entschädigungsfolge, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten und diese sei eventuell abzuweisen. Ausserdem sei die Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren vorläufig auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und sein Rechtsvertreter aus dieser zu entschädigen. Eventuell sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Die EG V._ hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Eingaben vom 13. September 2021 und vom 24. September 2021 haben die Parteien an ihren bisherigen Anträgen festgehalten.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (Art. 90 BGG; BGE 133 III 393 E. 4) einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über die Abänderung eines Eheschutzentscheids (Kindesunterhalt) entschieden hat (Art. 179 Abs. 1 und Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB). Dabei handelt es sich um eine vermögensrechtliche Zivilsache nach Art. 72 Abs. 1 BGG (Urteil 5A_594/2020 vom 10. Februar 2021 E. 1.2).
Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist nach Dafürhalten der Beschwerdeführerin erreicht, nicht aber nach Darstellung des Beschwerdegegners. Das Kantonsgericht hat dazu soweit ersichtlich entgegen Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG keine Feststellungen getroffen. Wie es sich hiermit verhält braucht freilich nicht geklärt zu werden: Entscheide betreffend die Abänderung von Eheschutzentscheiden gelten als vorsorgliche Massnahmen (vgl. hinten E. 2.1). Unbesehen darum, ob die Beschwerde in Zivilsachen oder die subsidiäre Verfassungsbeschwerde das zutreffende Rechtsmittel ist, kann damit nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 98 und 116 BGG). Anzumerken bleibt, dass das Bundesgericht, anders als der Beschwerdegegner zu glauben scheint, auch bei Nichterreichen des Streitwerts und wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nach Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG stellt mittels subsidiärer Verfassungsbeschwerde angerufen werden kann, wenn deren Voraussetzungen wie hier (siehe sogleich) gegebenen sind (Art. 113 BGG; Urteil 5A_2/2019 vom 1. Juli 2019 E. 1.2 und 1.3). Unschädlich bleibt die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels (BGE 138 I 367 E. 1.1; 137 IV 269 E. 1.6).
Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 bzw. Art. 115 BGG), die sie auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 BGG und Art. 117 BGG). Auf die Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten. Entgegen den Mutmassungen des Beschwerdegegners ist die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin gehörig bevollmächtigt (act. 24; Art. 40 Abs. 2 BGG).
1.2. Der Beschwerdegegner bezweifelt, dass die Beschwerdeführerin alleine ans Bundesgericht gelangen darf: Da die Unterhaltsbeiträge von der EG V._ bevorschusst worden seien (vgl. vorne Bst. A.b), sei auch diese Partei des Verfahrens und die Ehefrau sei nicht ohne Beteiligung der Einwohnergemeinde zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt.
Im jüngst ergangenen Urteil 5A_75/2020 vom 12. Januar 2022 E. 6 (zur Publikation vorgesehen) hat das Bundesgericht geklärt, dass ein Gemeinwesen, welches Kindesunterhaltsbeiträge bevorschusst (Art. 289 Abs. 2 ZGB), nicht in das Stammrecht subrogiert, sondern allein in die einzelnen bevorschussten Unterhaltsbeiträge. Gegenstand einer Abänderungsklage ist dagegen stets das Stammrecht, weshalb die Passivlegitimation im Abänderungsverfahren unabhängig von einer allfälligen Bevorschussung immer dem Kind oder dessen Vertreter zukommt (vgl. auch Urteil 5A_69/2020 vom 12. Januar 2022 E. 6 [zur Publikation vorgesehen]). Damit ist die EG V._ nicht Partei des vorliegenden Verfahrens und die Beschwerdeführerin als Vertreterin des Kindes ohne weiteres zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt. Der Einwand des Beschwerdegegners ist unbegründet. Da die EG V._ am kantonalen Verfahren beteiligt war, wurde ihr allerdings auch vom Bundesgericht Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben (vorne Bst. C).
1.3. Der Beschwerdegegner wirft dem Kantonsgericht verschiedentlich vor, zu seinen Ungunsten in Willkür verfallen zu sein. Insoweit ist zu bemerken, dass er selbst keine Beschwerde erhoben hat und im Verfahren vor Bundesgericht auch keine Anschlussbeschwerde möglich ist (BGE 134 III 332 E. 2.5). Mit seinen Vorbringen kann der Beschwerdegegner damit einzig erreichen, dass es beim Ergebnis des kantonalen Entscheids bleibt (BGE 135 III 334 E. 2 [einleitend] und 2.1; 116 II 220 E. 4a), nicht aber bewirken, dass der angefochtene Entscheid zu seinen Gunsten geändert wird (BGE 142 IV 129 E. 4.1). Letzteres würde gegen das Verschlechterungsverbot (Verbot der reformatio in peius) verstossen (Art. 107 Abs. 1 BGG; vgl. zum Verschlechterungsverbot im Allgemeinen BGE 129 III 417 E. 2.1.1; 110 II 113 E. 3a; zum Verschlechterungsverbot im Unterhaltskontext vgl. Urteil 5A_165/2018 vom 25. September 2018 E. 3.4; zum Ganzen vgl. Urteile 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 3.2; 5A_894/2017 vom 20. August 2018 E. 4.2). In diesem Rahmen sind die Vorbringen des Beschwerdegegners zulässig (BGE 140 III 456 E. 2.2.2; 134 III 332 E. 2.3) und bleiben entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht allein deshalb unbeachtlich, weil dieser nicht mit Beschwerde ans Bundesgericht gelangt ist.
2.
2.1. Eheschutzentscheide wie auch Entscheide betreffend Abänderung von Eheschutzentscheiden gelten als vorsorgliche Massnahmen nach Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.2). Mit Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nach dieser Bestimmung nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (BGE 137 III 193 E. 1.2). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt ebenfalls nur in Frage, wenn das kantonale Gericht solche Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss daher präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 144 II 313 E. 5.1; 142 II 369 E. 2.1; 140 III 264 E. 2.3).
2.2. Der Beschwerdegegner beantragt, es seien die Beschwerdebeilagen 2 und 3 aus dem Recht zu weisen. Bei der Beilage 3 handle es sich um ein nach dem angefochtenen Entscheid datierendes und demzufolge von vornherein unbeachtliches echtes Novum. Die als Beilage 2 eingereichten Mietverträge habe die Beschwerdeführerin bereits in das Berufungsverfahren eingebracht, wobei er, der Beschwerdegegner, beantragt habe, diese aus dem Recht zu weisen. Für eine erneute Einreichung bestehe kein Anlass und solcher biete auch der angefochtene Entscheid nicht.
Wie sich dem angefochtenen Entscheid entnehmen lässt, hat das Kantonsgericht die als Beschwerdebeilage 2 eingereichten Mietverträge entgegen dem Antrag des Beschwerdegegners im Berufungsverfahren nicht aus dem Recht gewiesen, was vor Bundesgericht nicht und jedenfalls nicht mit der nötigen Genauigkeit in Frage gestellt wird (vgl. E. 2.1 hiervor). Die (erneute) Einreichung von sich bereits bei den Akten befindlichen Urkunden im bundesgerichtlichen Verfahren ist indes zulässig (Urteil 5A_202/2021 vom 13. Oktober 2021 E. 1.5). Was sodann die Beschwerdebeilage 3 - ein Urteil des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 19. Januar 2021 - betrifft, handelt es sich dabei um ein prinzipiell unzulässiges echtes Novum (BGE 143 V 19 E. 1.2; 139 III 120 E. 3.1.2). Wie die Beschwerdeführerin aber richtig einwendet, sind im bundesgerichtlichen Verfahren auch solche Noven zulässig, soweit sie nicht die materielle Beurteilung der Beschwerde, sondern prozessuale Aspekte im Verfahren vor dem Bundesgericht betreffen (Urteile 5A_730/2019 vom 27. Oktober 2020 E. 1.7; 5A_929/2018 vom 6. Juni 2019 E. 1.4). Die Beschwerdeführerin thematisiert das Urteil des Strafgerichts im Zusammenhang mit ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, was nach dem Ausgeführten zulässig ist. Der Antrag des Beschwerdegegners wird daher abgewiesen.
3.
3.1. Umstritten ist die Abänderung der mit Verfügung vom 27. August 2018 festgesetzten und am 22. Januar 2019 bestätigten Kindesunterhaltsbeiträge.
Das Kantonsgericht bejahte seine Zuständigkeit zur Behandlung des fraglichen Gesuchs auch für die Zeit nach Einreichung der Scheidungsklage am 30. April 2020 (vgl. vorne Bst. A.c). Die Massnahmekompetenz des Eheschutzgerichts sei zeitlich nicht bis zur Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens beschränkt. Vielmehr habe das Eheschutzgericht den Massnahmeentscheid auch danach in zeitlich unbeschränkter Weise zu fällen, sofern und soweit das Scheidungsgericht nicht vorher über dieselben Massnahmen entschieden habe. Die angeordneten Eheschutzmassnahmen blieben alsdann so lange wirksam, bis das Scheidungsgericht etwas anderes anordne. Dies gelte auch dann, wenn - wie hier - unterschiedliche Gerichte über die Eheschutz- bzw. Scheidungsbegehren zu entscheiden hätten. Entsprechend sei der Antrag der Beschwerdeführerin abzuweisen, den Eheschutzentscheid auf die Zeit von Januar bis April 2020 zu beschränken. Jedoch könne das Eheschutzgericht einzig Tatsachen berücksichtigen, welche vor Anhängigmachung der Scheidungsklage entstanden seien. Später eingetretene Umstände seien gegebenenfalls durch das Scheidungsgericht zu beurteilen. Diese Beschränkung gelte auch in Verfahren betreffend Kinderbelange. Entsprechend wies das Kantonsgericht die von den Parteien eingereichten Beilagen aus den Akten, soweit diese sich auf die Zeit nach dem 30. April 2020 bezogen. In der Folge bejahte das Kantonsgericht das Vorliegen eines Abänderungsgrunds und berechnete den streitbetroffenen Unterhalt neu.
Der Beschwerdegegner teilt die Auffassung des Kantonsgerichts betreffend Zuständigkeit des Eheschutzgerichts zur Regelung des Getrenntlebens und der dabei zu berücksichtigenden Tatsachen und Beweismittel. Auch er erachtet die Voraussetzungen für eine Anpassung des von ihm geschuldeten Unterhalts als gegeben. Bei der Neufestsetzung des Unterhalts ist dem Kantonsgericht seiner Ansicht nach aber verschiedentlich Willkür vorzuwerfen. Dies veranlasste ihn zwar nicht zur Einreichung einer eigenen Beschwerde, verbiete aber eine Anpassung des angefochtenen Entscheids zu seinen Ungunsten (vgl. vorne E. 1.3).
3.2. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, das Eheschutzgericht sei zufolge der Einreichung der Scheidungsklage und des im Scheidungsverfahren gestellten Gesuchs um vorsorgliche Regelung des Kindesunterhalts einzig zu dessen Beurteilung in der Zeit davor berufen, mithin bis zum 30. April 2020. Entsprechend beantragt sie hauptsächlich, den Eheschutzentscheid in zeitlicher Hinsicht zu begrenzen. Allerdings liege bei willkürfreier Feststellung und Würdigung des Sachverhalts auch für diesen Zeitraum kein Abänderungsgrund vor, weshalb das Gesuch um Änderung der Unterhaltsbeiträge ohnehin abzuweisen sei. Insbesondere gehe es nicht an, den Unterhalt im Eheschutzverfahren zwar über den 30. April 2020 hinaus zu regeln, dabei aber nur Sachverhaltsmomente zu berücksichtigen, die bis zur Rechtshängigkeit der Scheidung eingetreten sind. Hierdurch werde eine vom Prozessrecht nicht vorgesehene Novenschranke eingeführt. Selbst wenn ein Abänderungsgrund vorliege, erweise sich die neue Unterhaltsberechnung des Kantonsgerichts aber als willkürlich und sei entsprechend dem Eventualbegehren der Beschwerdeführerin zu korrigieren. Subeventualiter seien die korrekt berechneten Beträge über April 2020 hinaus unbefristet bis auf weiteres festzusetzen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht vorab geltend, ab Rechtshängigkeit der Scheidungsklage am 30. April 2020 (vorne Bst. A.c) habe dem Eheschutzgericht die (sachliche) Zuständigkeit zum Entscheid über das Abänderungsgesuch gefehlt, womit das Kantonsgericht Art. 30 Abs. 1 BV verletzt habe.
Gemäss Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Zur Verhinderung von Missbrauch und Manipulation bzw. zum Ausschluss jeglichen entsprechenden Anscheins oder Verdachts sollen Gerichte und ihre Zuständigkeiten (in persönlicher, zeitlicher, örtlicher und sachlicher Hinsicht) durch generell-abstraktes Verfahrensrecht im Voraus bestimmt sein (BGE 134 I 125 E. 3.3 mit Hinweisen). Art. 30 Abs. 1 BV ist verletzt, wenn ein anderes als das im Gesetz vorgesehene Gericht entscheidet, das Gericht also seine Zuständigkeit in Missachtung des Gesetzes bejaht oder verneint (Urteile 1B_333/2021 vom 5. November 2021 E. 2.1 [zur Publikation bestimmt]; 1B_126/2012 und 1B_146/2012 vom 28. März 2012 E. 2.2.1; je mit Hinweis auf BGE 123 I 49 E. 3c).
4.2. Heben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt auf (Art. 175 ZGB) und ist die Aufhebung begründet, so regelt das Eheschutzgericht auf Begehren eines Ehegatten das Getrenntleben und legt unter anderem die Unterhaltsbeiträge an die Kinder fest (Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB). Ändern sich die Verhältnisse, so passt das Eheschutzgericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen an oder hebt sie auf (Art. 179 Abs. 1 ZGB). Nach Einleitung des Scheidungsverfahrens (Art. 274 ZPO) trifft das Scheidungsgericht die nötigen vorsorglichen Massnahmen (Art. 276 Abs. 1 ZPO). Massnahmen, die das Eheschutzgericht angeordnet hat, dauern weiter. Für die Aufhebung oder Änderung ist das Scheidungsgericht zuständig (Art. 276 Abs. 2 ZPO).
Das Bundesgericht hat sich mit Blick auf diese gesetzliche Regelung bereits mehrfach zur Abgrenzung der Zuständigkeiten und Kompetenzen zwischen dem Eheschutzgericht und dem Scheidungsgericht geäussert. Demnach bleiben Massnahmen, die das Eheschutzgericht erlässt, in Kraft, solange das Scheidungsgericht sie nicht abändert (vgl. Art. 276 Abs. 2 ZPO i.V.m. Art. 179 Abs. 1 ZGB). Die Einleitung des Scheidungsverfahrens führt weder zur Gegenstandslosigkeit des Eheschutzverfahrens noch zum Verlust der Zuständigkeit des Eheschutzgerichts. Vielmehr bleibt das zuständigkeitshalber (d.h. vor Eintritt der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens) angerufene Eheschutzgericht für die Regelung des Getrenntlebens zuständig, selbst wenn eine der Parteien während des noch laufenden Eheschutzverfahrens das Scheidungsgericht anruft. Es spielt mithin keine Rolle, ob das Eheschutzgericht vor oder erst nach Eintritt der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens entscheidet (zum Ganzen: Urteil 5A_294/2020 vom 7. Dezember 2021 E. 4.2 [zur Publikation bestimmt]; vgl. weiter BGE 138 III 646 E. 3.3.2; 137 III 614 E. 3.2.2; 129 III 60 E. 2 und 3 [zu aArt. 137 ZGB]; Urteil 5A_13/2019 und 5A_20/2019 vom 2. Juli 2019 E. 3.1, vgl. auch BGE 134 III 326 E. 3.2).
4.3. Nach dem Ausgeführten war das Eheschutzgericht zur Behandlung des vor Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens gestellten Gesuchs des Beschwerdegegners um Neuordnung des Getrenntlebens bzw. um Abänderung des früheren Eheschutzentscheids zuständig. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich sodann nicht, dass das Scheidungsgericht bereits vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens getroffen hätte (vgl. vorne Bst. A.c) und auch die Beschwerdeführerin macht solches nicht geltend. Sie gibt vielmehr selbst an, das Scheidungsgericht erst um die Festlegung vorsorglicher Unterhaltsbeiträge ersucht zu haben. Folglich konnte das Eheschutzgericht in zeitlicher Hinsicht eine Regelung für die gesamte Dauer des Getrenntlebens bzw. bis zu einer allfälligen späteren Änderung durch das Scheidungsgericht und nicht nur bis zum 30. April 2020 treffen und ist der angefochtene Entscheid in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden. Eine Verletzung der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung und damit von Art. 30 Abs. 1 BV kann nicht festgestellt werden und die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
Unzutreffend leitet die Beschwerdeführerin aus dem Urteil 5A_139/2010 vom 13. Juli 2010 E. 2.3 ab, die Zuständigkeit des Eheschutzgerichts erlösche, sobald im Scheidungsverfahren - wie hier - ein Massnahmebegehren gestellt sei. Zwar wird dies in jenem Urteil so festgehalten. Das Bundesgericht hat jedoch in BGE 138 III 646 klargestellt, dass diese Aussage auf einer irrigen Wiedergabe der Rechtsprechung beruht. Tatsächlich bleiben Eheschutzmassnahmen wie dargelegt über die Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens hinaus in Kraft, bis sie abgeändert werden (BGE, a.a.O., E. 3.3.2; vgl. auch Urteile 5A_455/2012 vom 5. Dezember 2012 E. 2.1; 5A_385/2012 und 5A_389/2012 vom 21. September 2012 E. 5.1; allgemein vgl. das vorerwähnte Urteil 5A_294/2020 vom 7. Dezember 2021 E. 4.2 [zur Publikation bestimmt]).
5.
5.1. Als willkürlich (Art. 9 BV) erachtet es die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz im Eheschutzverfahren einzig Umstände und Beweismittel berücksichtigte, die vor der Einreichung der Scheidungsklage am 30. April 2020 (vgl. vorne Bst. A.c) eingetreten bzw. wirksam geworden sind. Unbeachtet blieb das Vorbringen der Beschwerdeführerin, dass die Lebensgemeinschaft mit ihrem neuen Lebenspartner im Juni 2020 aufgelöst worden sei.
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offenbar unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 144 I 113 E. 7.1; 142 II 369 E. 4.3).
5.2. Mit dem Vorwurf der Willkür zufolge Nichtberücksichtigung von nach der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens eingetretenen bzw. wirksam gewordenen Tatsachen oder Beweismitteln im Eheschutzverfahren hat das Bundesgericht sich im jüngst ergangenen Urteil 5A_294/2020 vom 7. Dezember 2021 auseinandergesetzt. Im Zusammenhang mit dem Erlass von Eheschutzmassnahmen hielt es dabei fest, dass das Eheschutzgericht das bei ihm hängige Verfahren unter Einschluss sämtlicher nach der Zivilprozessordnung und damit nach Art. 229 und 317 ZPO zu berücksichtigenden Tatsachen und Beweismittel zu Ende zu führen hat. Nur auf diese Weise wird das Eheschutzverfahren ordnungsgemäss abgeschlossen und ist eine möglichst prozessökonomische Koordination von Eheschutz- und Scheidungsverfahren möglich. Die (schematische) Nichtberücksichtigung von nach Einleitung des Scheidungsverfahrens eingetretener oder wirksam gewordener Tatsachen und Beweismittel im Eheschutzverfahren ist demgegenüber offensichtlich unhaltbar (Urteil, a.a.O., E. 4 [zur Publikation bestimmt]). Diese Überlegungen erheischen aufgrund der insoweit identischen Problemstellung nicht nur bezüglich des erstmaligen Erlasses einer Eheschutzmassnahme Geltung, sondern auch hinsichtlich der hier in Frage stehenden Änderung der Regelung des Getrenntlebens. Nichts anderes ergibt sich sodann aus dem Umstand, dass im Scheidungsverfahren bereits ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen gestellt worden ist (vgl. vorne Bst. A.c) : Wie in E. 4 vorstehend dargelegt, bleibt das Eheschutzgericht für die Beurteilung des bei ihm hängigen Begehrens bis zu einem allfälligen späteren Entscheid des Scheidungsgerichts über das dortige Massnahmegesuch zuständig. Entsprechend führt das Eheschutzgericht das bei ihm hängige Verfahren ordnungsgemäss und folglich unter Einschluss sämtlicher nach der zivilprozessualen Novenregelung massgebenden Tatsachen und Beweismittel weiter.
Damit erweist sich die Nichtberücksichtigung der nach dem 30. April 2020 eingetretenen bzw. wirksam gewordenen Tatsachen und Beweismittel allein aufgrund der dannzumal eingetretenen Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens als nicht haltbar. Der Vorinstanz ist es m.a.W. verwehrt, die nach Massgabe von Art. 229 bzw. 317 ZPO noch im Eheschutzverfahren zu berücksichtigenden Tatsachen in das Scheidungsverfahren bzw. das dort durchzuführende Massnahmeverfahren zu verweisen (ähnlich bereits BGE 143 III 42 E. 5.4) Der angefochtene Entscheid ist allerdings nur dann aufzuheben, wenn der Fehler der Vorinstanz sich auch im Ergebnis auszuwirken vermag. Diesbezüglich ergibt sich Folgendes:
5.3. In der Sache ist die vom Beschwerdegegner begehrte Anpassung der Eheschutzmassnahme umstritten.
5.3.1. Eine Anpassung von Eheschutzmassnahmen setzt nach Art. 179 Abs. 1 ZGB voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist, dass die tatsächlichen Feststellungen, die dem Massnahmeentscheid zugrunde lagen, sich nachträglich als unrichtig erweisen oder nicht wie vorhergesehen verwirklichen oder dass sich der ursprüngliche Entscheid als nicht gerechtfertigt erweist, weil dem Massnahmengericht wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren (BGE 143 III 617 E. 3.1; Urteil 5A_800/2019 vom 9. Februar 2021 E. 3.1, nicht publiziert in: BGE 147 III 301). Für eine Abänderung kommen im Unterhaltskontext sämtliche Umstände in Betracht, die für die Berechnung des Unterhaltsbeitrags von Bedeutung sind (Urteil 5A_874/2019 vom 22. Juni 2020 E. 3.2). Angesprochen sind namentlich Änderungen in der Erwerbstätigkeit oder der Wohnsituation eines Ehegatten, so etwa wenn eine Anstellung gefunden oder beendet wird oder wenn einer der Ehegatten einen neuen Wohnpartner findet (BRÄM, in: Zürcher Kommentar, 1998, N. 11 ff. zu Art. 179 ZGB; DESCHENAUX/STEINAUER/BADDELEY, Les effets du mariage, 3. Aufl. 2017, Rz. 730 S. 472).
Gelangt das Gericht zum Schluss, dass eine wesentliche und dauerhafte Änderung in diesem Sinne vorliegt, hat es auf Basis der massgeblichen Kriterien von Art. 163 ZGB im Rahmen des ihm zustehenden Ermessens (Art. 4 ZGB) den Unterhaltsbeitrag neu festzulegen. Dabei sind sämtliche Berechnungselemente zu aktualisieren, und zwar unabhängig davon, ob diese sich derart verändert haben, dass sie ihrerseits Grund für die Abänderung des Unterhaltsbeitrags setzen könnten (BGE 138 III 289 E. 11.1.1 [zu Art. 129 ZGB]; 137 III 604 E. 4.1.2 [zu Art. 286 Abs. 2 ZGB]; Urteil 5A_185/2019 vom 26. September 2019 E. 3.1). Im Sinne einer "Neunerprobe" sind anschliessend die dem ersten Unterhaltsurteil zu Grunde liegenden Verhältnisse (je Einkommen und Bedarf) den aktualisierten Verhältnissen gegenüberzustellen. Aufgrund dieser Gegenüberstellung gilt es schliesslich zu beurteilen, ob eine hinreichend bedeutende Veränderung der Verhältnisse gegeben ist, um eine Neuverteilung der Unterhaltslasten zu rechtfertigen (Urteile 5A_461/2019 vom 6. März 2020 E. 5.1 mit Hinweisen; 5A_700/2016 vom 6. November 2017 E. 4.2 [zu Art. 129 ZGB]).
5.3.2. Nach Auffassung des Kantonsgerichts liegt ein Abänderungsgrund vor, weil die massgeblichen Verhältnisse der Ehegatten sich bei Einreichung des Abänderungsgesuchs, spätestens jedoch im Urteilszeitpunkt, wesentlich, d.h. in finanzieller Hinsicht um mehr als 20 %, sowie dauerhaft verändert hätten. Dabei verweist es zum einen auf den Verlust der Anstellung des Ehemanns. Ausserdem gehe die Ehefrau neu einer Erwerbstätigkeit nach und erziele nunmehr bei einem Arbeitspensum von 50 % ein monatliches Einkommen von Fr. 2'520.--. Sodann sei sie mit den Kindern nach V._ zu ihrem neuen Lebenspartner gezogen, mit dem sie eine kostensenkende Lebensgemeinschaft führe. Zuletzt komme dem Vater gemäss Vereinbarung vom 28. November 2019 ein erweitertes Besuchsrecht zu und übernehme er nun zusätzlich alle zwei Wochen während eines Freitagnachmittags die Kinderbetreuung.
Der Beschwerdegegner teilt im Wesentlichen die Ansicht der Vorinstanz.
5.3.3. Die Beschwerdeführerin anerkennt, dass sich ihre Situation durch den Umzug in die Region W._ zu ihrem (damaligen neuen) Lebensgefährten und die Aufnahme einer Teilzeiterwerbstätigkeit verändert hat. Hierin liege jedoch keine massgebliche und dauerhafte Veränderung ihrer wirtschaftlichen Verhältnisse, die eine Anpassung des Kindesunterhalts rechtfertigen würde: Der Bedarf von Ehefrau und Kindern sei aufgrund der Veränderungen bei willkürfreier Berechnung um monatlich Fr. 1'497.-- angestiegen, womit unter Berücksichtigung der vorbestehenden Unterdeckung von Fr. 1'268.-- im Monat das neu erzielte Einkommen aufgezehrt werde. Mangels Verbesserung der wirtschaftlichen Situation der Ehefrau gegenüber der Verfügung vom 27. August 2018 komme eine Abänderung daher nicht in Frage. Zudem habe die Beziehung der Beschwerdeführerin mit dem neuen Lebenspartner im Juni 2020 nach nicht ganz einjährigem Zusammenleben wieder geendet. Dies sei zu berücksichtigen, namentlich im Zusammenhang mit dem ihr anrechenbaren Grundbedarf und den Fremdbetreuungskosten.
5.3.4. Aufgrund der seit Festlegung der aktuell vom Beschwerdeführer zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge unbestritten eingetretenen Änderungen in den Lebensumständen der Parteien konnte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass eine wesentliche und dauerhafte Veränderung der Verhältnisse eingetreten ist. Zu prüfen ist, ob diese Veränderungen bei Durchführung der vorerwähnten "Neunerprobe" hinreichend bedeutend sind, um eine Neufestlegung der Unterhaltspflicht zu rechtfertigen. Notwendig wird eine Aktualisierung sämtlicher Berechnungselemente; entgegen der Vorinstanz allerdings nicht beschränkt auf den Zeitpunkt der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens. Dabei fällt auf, dass bereits die Nichtberücksichtigung des nach dem 30. April 2020 (angeblich) eingetretenen Endes der neuen Lebensgemeinschaft der Ehefrau potentiell geeignet ist, sich wesentlich auf die Berechnung von deren Bedarf auszuwirken, und die Änderungen in den Verhältnissen als bedeutend erscheinen zu lassen: Das Kantonsgericht ging aufgrund der wirtschaftlichen Gemeinschaft der Beschwerdeführerin mit dem neuen Lebenspartner von einem reduzierten Grundbedarf von Fr. 1'000.-- aus. (Zusätzliche) Kosten für die Fremdbetreuung berücksichtigte die Vorinstanz angesichts der durch den Lebenspartner erbrachten kostenlosen Betreuungsleistungen ebenfalls nicht. Allein aufgrund dieser beiden Positionen liegt der von der Beschwerdeführerin behauptete Bedarf um Fr. 590.-- im Monat über dem von der Vorinstanz berücksichtigten Betrag.
5.3.5. Unter diesen Umständen vermag der Fehler der Vorinstanz sich auch im Ergebnis auszuwirken und erweist der angefochtene Entscheid sich folglich als insgesamt nicht haltbar.
6.
6.1. Zusammenfassend ist das Kantonsgericht in Willkür verfallen, indem es die sich auf die Zeit nach dem 30. April 2020 beziehenden Tatsachen und Beweismittel allein mit dem Hinweis auf die Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens unbeachtet gelassen hat. Vielmehr hätte es prüfen müssen, ob die Vorbringen der Beschwerdeführerin nach Massgabe der Zivilprozessordnung, namentlich von Art. 229 und 317 ZPO, im Eheschutzverfahren zu berücksichtigen gewesen wären. Dies wird nunmehr nachzuholen und anschliessend wird neu über das Abänderungsgesuch des Beschwerdegegners zu befinden sein. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die entsprechende Prüfung erstmals vorzunehmen. Die Sache ist daher in teilweiser Gutheissung der Beschwerde und unter Aufhebung von Ziff. I des angefochtenen Urteils zu neuer Entscheidung ans Kantonsgericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Bei diesem Ergebnis braucht auf die weiteren Vorbringen der Parteien zur Neuberechnung des Kindesunterhalts nicht mehr eingegangen zu werden.
Das Obergericht wird auch neu über die Kosten des kantonalen Verfahrens zu entscheiden haben (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG), weshalb auch die Ziffern III und IV des angefochtenen Urteils aufzuheben sind.
6.2. Die Rückweisung der Angelegenheit zu neuer Entscheidung gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung unabhängig von den gestellten Anträgen als Obsiegen der Beschwerdeführerin (BGE 141 V 281 E. 11.1). Entsprechend rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten trotz nur teilweiser Gutheissung der Beschwerde vollumfänglich dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat dieser die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Festsetzung der Parteientschädigung richtet sich nach dem Reglement über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 (SR 173.110.210.3; vgl. Urteil 5F_37/2020 vom 1. März 2021 E. 2.2 [auch zur Berücksichtigung der von der Beschwerdeführerin eingereichten Kostennote]).
Beide Parteien ersuchen vor Bundesgericht jedoch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da die Beschwerdeführerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft. Hingegen ist es mit Blick auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht gegenstandslos geworden. Zwar wird der obsiegenden Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdegegners ist indessen nicht anzunehmen, dass sie die ihr zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können. Deshalb ist auch die Anwältin der Beschwerdeführerin direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Beide Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie dieser Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: BGE 143 III 113).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern I, III und IV des Entscheids des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 22. Dezember 2020 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Advokatin Christine Reinhardt als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Advokat Diego Stoll als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Beschwerdegegner hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokatin Christine Reinhardt wird aus dieser mit Fr. 4'000.-- entschädigt.
6.
Advokat Diego Stoll wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 4'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Einwohnergemeinde V._, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft und dem Regionalgericht Bern-Mittelland mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber