Erwägungen:
1.
Der Gesuchsteller (und damalige Beschwerdeführer) erhob mit Eingabe vom 26. Juni 2021 (Poststempel) Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 25. Mai 2021, das ihm gemäss Sendungsverfolgung am 26. Mai 2021 am Schalter persönlich zugestellt wurde.
Der Gesuchsteller machte von der ihm eingeräumten Möglichkeit, sich bis zum 14. Juli 2021 zur Rechtzeitigkeit seiner Beschwerde in Strafsachen zu äussern und diese allenfalls zurückzuziehen, keinen Gebrauch. Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 26. Juli 2021 auf die Beschwerde des Gesuchstellers infolge Fristversäumnis nicht ein (Verfahren 6B_772/2021).
2.
Der Gesuchsteller gelangt an das Bundesgericht und ersucht um "Revision/Wiedererwägung" des bundesgerichtlichen Urteils vom 26. Juli 2021.
3.
Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Das Bundesgericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den Art. 121 ff. BGG abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Allfällige Revisionsgründe sind in gedrängter Form darzulegen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 121-123 BGG) und müssen sich auf das zu revidierende Urteil beziehen (Urteil 6F_30/2020 vom 28. Oktober 2020 E. 2). Handelt es sich dabei um einen Nichteintretensentscheid, muss der Revisionsgrund die Nichteintretensmotive beschlagen (Urteil 6F_8/2019 vom 16. April 2019 E. 2 mit Hinweis).
4.
Das Revisionsgesuch genügt nicht den gesetzlichen Formvorschriften gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG i.V.m Art. 121 ff. BGG. Der Gesuchsteller macht weder sinngemäss einen der gesetzlich abschliessend aufgezählten Revisionsgründe geltend, noch setzt er sich mit den rechtlichen Erwägungen auseinander, mit denen das Bundesgericht das Nichteintreten auf seine damalige Beschwerde begründet hat. Soweit er - zum Teil widersprüchlich - darlegt, warum er die "Frist" nicht habe einhalten können, liegen die behaupteten "Hinderungsgründe" zeitlich alle nach dem Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist am 25. Juni 2021 und beziehen sich offensichtlich auf die dem Beschwerdeführer gewährte gerichtliche Frist, sich bis zum 14. Juli 2021 zur Rechtzeitigkeit seiner Beschwerde zu äussern. Dass und warum er die Möglichkeit zur Stellungnahme nicht wahrgenommen hat, ist jedoch im Hinblick auf den Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist ohne Belang. Da insofern auch keine Gründe für eine Fristwiederherstellung im Sinne von Art. 50 BGG vorgebracht werden, kann offenbleiben, ob die nicht belegten Behauptungen überhaupt hätten berücksichtigt werden können.
5.
Auf das Revisionsgesuch ist im Verfahren gemäss Art. 109 BGG nicht einzutreten. Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Es werde keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Held