Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des C._ (geb. 2013). In Abänderung des Entscheids der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ vom 30. September 2015 regelte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde T._ (fortan: KESB) am 15. Dezember 2016 den persönlichen Verkehr zwischen C._ und B._ neu. In der Folge kam es wiederholt zu Problemen bei der Umsetzung des dem Vater eingeräumten Besuchs- und Ferienrechts. Namentlich strebte die Mutter unnachgiebig danach, die Ausübung des persönlichen Verkehrs des Vaters mit C._ zu beschränken.
A.b. Am 9. Februar 2018 beauftragte die KESB lic. phil. D._ von der E._ mit der Begutachtung der Erziehungsfähigkeit von Mutter und Vater. Das am 22. Mai 2018 erstellte Gutachten ging am 24. Mai 2018 bei der KESB ein. Der Gutachter erachtet die Erziehungsfähigkeit der Mutter mit Bezug auf C._ als eingeschränkt und förderungsbedürftig, jene des Vaters als ausreichend gegeben. Ein vermehrter Einbezug des Vaters in die Betreuung und Erziehung von C._ werde vor dem Hintergrund der anhaltenden zwischenelterlichen Konflikte, den unterschiedlichen Erziehungsvorstellungen sowie der Distanz der Wohnorte des Vaters (W._) und C._ bzw. der Mutter (X._) nicht als erfolgversprechend beurteilt. Das Gutachten empfahl, dem Vater ein regelmässiges Besuchsrecht für C._ einzuräumen und dieses schrittweise zu erweitern, sodass C._ die Beziehung zu seinem Vater aufbauen, pflegen und aufrechterhalten könne. Schliesslich wurde empfohlen, die Obhut für C._ bei der Mutter zu belassen, zugleich aber unterstützende Massnahmen anzuordnen, wie Kitabesuche nach dem Kindergarten, eine sozialpädagogische Familienbegleitung oder die Einsetzung eines Triple P Beraters zur Förderung der mütterlichen Erziehungsfähigkeit sowie eine psychologische/psychiatrische Behandlung der Mutter. Nachdem die Mutter und die (am 13. Februar 2018 eingesetzte) Kindesvertreterin zum Gutachten Stellung nehmen konnten, traf die KESB am 10. Juli 2018 wiederum vorsorgliche Regelungen bezüglich des persönlichen Verkehrs und der Betreuung von C._. Dem Vater wurde ab Juli 2018 ein eintägiges wöchentliches Besuchsrecht eingeräumt.
A.c. Am 26. September 2018 erteilte die KESB dem Vater und der Mutter die Weisung, sich aktiv an einer Familientherapie mit D._ der E._ zu beteiligen. Der Therapeut wurde insbesondere beauftragt, der KESB einen Bericht mit Empfehlungen zur weiteren Ausgestaltung des Kontakts zwischen Vater und Sohn einzureichen, sobald die Grundlagen hierzu erarbeitet seien bzw. die Therapie abgeschlossen worden sei. Ausserdem wies die KESB die Mutter an, am nächsten "Triple P Gruppentraining Kids" teilzunehmen. Schliesslich hielt die KESB an der vorsorglichen Regelung des persönlichen Verkehrs gemäss Entscheid vom 10. Juli 2018 fest. In ihrem Bericht vom 10. April 2019 empfahl die E._, aufgrund des Widerstands der Mutter das Besuchsrecht bis Schulbeginn auf einen Tag alle zwei Wochen zu reduzieren und dann auf ein zweiwöchentliches Besuchsrecht von Freitag nach der Schule bis Sonntagabend zu erweitern. Die Parteien sowie die Kindesvertreterin konnten zum Bericht Stellung nehmen. Der Vater, der zwischenzeitlich nach X._ gezogen war, beantragte, ihm die Obhut über C._ zu erteilen. Nach einer Anhörung aller Betroffenen am 28. August 2019 entschied die KESB gleichentags, ein neues Verfahren zur Klärung der vom Vater beantragten Obhutsumteilung zu eröffnen, ein Gutachten über die Erziehungsfähigkeit der Eltern in Auftrag zu geben, das mit Entscheid vom 15. Dezember 2016 angeordnete Besuchsrecht zu sistieren, den Vater in Abänderung der vorsorglichen Regelung des Besuchsrechts gemäss Entscheid vom 10. Juli 2018 bzw. 26. September 2018 für die Dauer des Abklärungsverfahrens zu berechtigen, C._ jedes zweite Wochenende jeweils an einem Tag von 9.00 Uhr bis 19.30 Uhr zu sich auf Besuch zu nehmen und den Antrag der Mutter auf Übernahme der Kosten des Triple P Kurses durch die KESB abzuweisen; schliesslich entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
A.d. Am 29. August 2019 fragte die KESB Dr. F._ telefonisch an, ob diese den Gutachterauftrag übernehmen würde. Mit E-Mail vom 30. August 2019 und Schreiben vom 13. September 2019 erklärte sich Dr. F._ bereit, den Auftrag anzunehmen.
A.e. Die KESB integrierte die Beauftragung von Dr. F._ in das Dispositiv des am 6. September 2019 versandten Entscheids vom 28. August 2019.
B.
Gegen den Entscheid der KESB vom 28. August 2019 erhob A._ am 17. September 2019 Beschwerde an das Kantonsgericht Graubünden (Verfahren ZK1 19 153). Sie beantragte, den angefochtenen Entscheid mit Bezug auf die Begutachtung der Eltern aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die KESB zurückzuweisen. Sodann sei ihr das rechtliche Gehör bei der Auswahl des Gutachters zu gewähren. In ihrer Beschwerde machte sie geltend, die Gutachterin sei weder unabhängig noch neutral. In einer weiteren Beschwerde vom 25. September 2019 (Verfahren ZK1 19 163) beantragte A._ den angefochtenen Entscheid auch bezüglich der Tragung der Kosten für den Triple P Kurs aufzuheben und zur Neubeurteilung an die KESB zurückzuweisen, eventualiter habe die KESB die Kosten zu tragen.
Mit Entscheid vom 26. März 2020vereinigte das Kantonsgericht die beiden Beschwerdeverfahren, stellte im Zusammenhang mit der Ernennung der Gutachterin eine Gehörsverletzung durch die KESB fest, erachtete diese aber als geheilt, und wies beide Beschwerden als unbegründet ab; die Kosten des Verfahrens ZK1 19 153 auferlegte es dem Kanton und verpflichtete diesen, die Kindesvertreterin wie auch die Parteien zu entschädigen; ausserdem wies der Vorsitzende der I. Zivilkammer des Kantonsgerichts das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren ZK1 19 163 ab (ZK1 19 162) und das Kantonsgericht auferlegte dieser die darauf entfallenden Gerichtskosten.
C.
Mit Beschwerde vom 19. Mai 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 26. März 2020 aufzuheben, das Kantonsgericht bzw. die KESB anzuweisen, ihr bei der Ernennung des Gutachters für die Beurteilung ihrer Erziehungsfähigkeit das rechtliche Gehör zu gewähren, festzustellen, dass die im vorinstanzlichen Verfahren bei der Ernennung von Dr. F._ als Gutachterin begangene Gehörsverletzung nicht ausnahmsweise habe geheilt werden können, die Vorinstanz anzuweisen, bei der Festsetzung der Parteientschädigung im vorinstanzlichen Verfahren auf den effektiven Aufwand abzustellen, eventualiter die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren auf Fr. 12'632.40 an Honorar und Fr. 37.80 an Auslagen (jeweils zzgl. 7.7 % MWSt) festzusetzen und die Kosten für den Triple P Kurs der KESB aufzuerlegen, jedenfalls nicht der Beschwerdeführerin zu überbinden. Ausserdem verlangt die Beschwerdeführerin für das kantons- und bundesgerichtliche Verfahren die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie die Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Der Präsident der urteilenden Abteilung hat das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 16. Juni 2020 abgewiesen. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsmittelentscheid betreffend die Ernennung einer Gutachterin und die Pflicht zur Tragung der Kosten von Kindesschutzmassnahmen. Mit Bezug auf den Streit um die Ernennung einer Gutachterin handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der vorliegend den Ausstand betrifft, sodass dagegen die Beschwerde offensteht (Art. 92 BGG; BGE 138 V 271 E. 2.2.1). Hinsichtlich der Kostentragung von Kindesschutzmassnahmen liegt ein Teilentscheid im Sinn von Art. 91 BGG vor, der ebenfalls selbständig anfechtbar ist. In der Hauptsache geht es um die Regelung der Obhut und des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und ihrem Kind, mithin um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG) und sie hat die Beschwerdefrist gewahrt (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 1 Abs. 1 der Verordnung des Bundesrates vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19]; AS 2020 849).
Mitangefochten ist die Verfügung des Vorsitzenden der I. Zivilkammer des Kantonsgerichts vom 26. März 2020, mit welchem dieser das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren ZK1 19 163 abgewiesen hat (ZK1 19 162).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (BGE 141 IV 317 E. 5.4, 249 E. 1.3.1; 140 III 264 E. 2.3; je mit Hinweisen). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt ebenfalls der qualifizierten Begründungspflicht (Urteil 5A_438/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 1.3 mit Hinweis). Dieselben Begründungsvoraussetzungen gelten für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 II 283 E. 1.2.2 mit Hinweisen).
Im ersten Teil ihrer Beschwerde äussert sich die Beschwerdeführerin ausführlich zu Tatsachen, ohne eine Sachverhaltsrüge zu erheben. Soweit diese Ausführungen Tatsachenbehauptungen enthalten, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, bleiben sie unbeachtlich.
1.3. In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), mithin prüft es behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 142 III 364 E. 2.4; 140 III 86 E. 2; je mit Hinweisen) mit freier Kognition. In der Beschwerde ist in gedrängter Form und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Nicht ausreichend ist es, bloss die Rechtsstandpunkte des kantonalen Verfahrens erneut zu bekräftigen (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2 mit Hinweis). Die Auslegung und Anwendung kantonalen (und kommunalen) Gesetzes- oder Verordnungsrechts kann das Bundesgericht nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 Bst. a, b und e BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1), insbesondere das Willkürverbot (Art. 9 BV; BGE 142 V 513 E. 4.2). Dabei gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist deshalb klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 145 I 121 E. 2.1; 142 V 577 E. 3.2; 141 I 36 E. 1.3 mit Hinweisen). Soweit kraft Verweises in Art. 450f ZGB subsidiär die Bestimmungen der ZPO zur Anwendung kommen, gelten diese als ergänzendes kantonales Recht und unterliegen dementsprechend nur beschränkter Prüfung (BGE 140 III 385 E. 2.3 in fine mit Hinweisen).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Neu im Sinn dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 mit Hinweis). Echte Noven, das heisst Tatsachen, die nach dem Zeitpunkt eingetreten sind, in welchem zuletzt Noven vor der Vorinstanz vorgebracht werden konnten, sind unzulässig, zumal sie nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst worden sein können (vgl. BGE 143 V 19 E. 1.2; 139 III 120 E. 3.1.2; 133 IV 342 E. 2.1; Urteil 5A_524/2017 vom 9. Oktober 2017 E. 2.3; je mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (BGE 143 I 344 E. 3 mit Hinweisen).
Mit ihrer Beschwerdeschrift reicht die Beschwerdeführerin neue Beweismittel ein. Soweit diese nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstanden sind, sind sie als echte Noven von vornherein unzulässig. Hinsichtlich der unechten Noven legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 BGG erfüllt sein sollen.
2.
Das Kantonsgericht kam zum Schluss, die KESB habe das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt, indem sie diese nicht zur Person, die das Gutachten erstellen soll, angehört habe (E. 4.1.3 des angefochtenen Entscheids). Indes könne dieser Mangel im oberinstanzlichen Verfahren geheilt werden. Die Beschwerdeführerin ist demgegenüber der Meinung, das Kantonsgericht habe die Gehörsverletzung nicht heilen können.
Das Kantonsgericht erwog, es liege keine schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs vor. Zudem verfüge es im Beschwerdeverfahren über eine umfassende Kognition, d.h. hinsichtlich der Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, der Rechtsanwendung und der Ausübung des Ermessens. Nachdem sich die Beschwerdeführerin im Beschwerdeverfahren umfassend zur Geeignetheit und Neutralität der eingesetzten Gutachterperson habe äussern können, gelte die Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt (E. 4.2.3 des angefochtenen Entscheids).
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen - zutreffenden (vgl. BGE 142 II 218 E. 2.8.1 mit Hinweisen) - Erwägungen nicht auseinander. Insofern kommt sie ihrer Begründungspflicht nicht nach und ist auf die Rüge, das Kantonsgericht habe die Gehörsverletzung nicht heilen können, nicht weiter einzugehen. Vielmehr bestreitet sie (weiterhin) die Geeignetheit und Neutralität von Dr. F._. Dieser Einwand ist nachfolgend zu prüfen (E. 4).
3.
Unter zwei Titeln rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs in seinem Teilgehalt des Äusserungsrechts.
3.1. Das Kantonsgericht verweise auf eine "schriftliche Auskunft", welche es bei lic. iur. G._ eingeholt habe. Dass das Kantonsgericht diesen schriftlich befragt habe, lese die Beschwerdeführerin im angefochtenen Entscheid zum ersten Mal.
Die Beschwerdeführerin irrt. Es war nicht das Kantonsgericht, das bei lic. iur. G._ eine schriftliche Auskunft eingeholt hat. Vielmehr bezog es sich auf eine Beilage zur Vernehmlassung der Kindesvertreterin vom 3. Oktober 2019, worauf es mit seinem Verweis auf "ZK1 19 153 act. C.1" hingewiesen hat (E. 4.3.3 in fine des angefochtenen Entscheids). Die Beschwerdeführerin hat diese Vernehmlassung zur Kenntnis zugestellt erhalten und dazu Stellung nehmen können (vgl. Sachverhalt Bst. J.g des angefochtenen Entscheids). Wenn sie den Inhalt des fraglichen E-Mails im angefochtenen Entscheid zum ersten Mal liest, hat sie sich dies selber zuzuschreiben. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
Damit ist dem ebenfalls erhobenen Einwand, das Kantonsgericht habe keine Auskunft von Dritten einholen dürfen, weil das Verfahren summarisch geführt werde und im summarischen Verfahren eine Beweismittelbeschränkung gelte, die Grundlage entzogen. Ohnehin irrt die Beschwerdeführerin in ihrer Rechtsauffassung, denn bezüglich Kinderbelange in familienrechtlichen Angelegenheiten haben die KESB und auch die kantonale Rechtsmittelinstanz den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen (Art. 446 Abs. 1 ZGB; Urteil 5A_770/2018 vom 6. März 2019 E. 3.2 mit Hinweisen), weswegen der Freibeweis gilt (Art. 450f ZGB und Art. 56 Abs. 1 sowie Art. 60 Abs. 2 des bündnerischen Einführungsgesetzes vom 12. Juni 1994 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch [EGzZGB; BR 210.00] i.V.m. Art. 168 Abs. 2 ZPO) und das Gericht nicht an die in Art. 168 Abs. 1 ZPO abschliessend aufgezählten Beweismittel gebunden ist (Urteil 5A_503/2017 vom 14. Mai 2018 E. 3.2); es kann zur Klärung des Sachverhalts von sich aus auch mit Beweismitteln operieren, die nicht den klassischen Formen entsprechen (Urteil 5A_991/2015 vom 29. September 2016 E. 6.2, nicht publ. in: BGE 142 III 612; s.a. BGE 122 I 53 E. 4a).
3.2. Ferner macht die Beschwerdeführerin geltend, ihr sei keine Gelegenheit eingeräumt worden, sich zu den an die Gutachterin gestellten Fragen zu äussern und Änderungs- bzw. Ergänzungsfragen zu stellen. Es ist allerdings nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin diese Rüge bereits vor dem Kantonsgericht erhoben hätte. Mangels Ausschöpfung des Instanzenzuges ist darauf nicht einzutreten (zur materiellen Ausschöpfung des Instanzenzuges: BGE 143 III 290 E. 1.1). Ausserdem wird die Beschwerdeführerin nach Erstattung des Gutachtens Gelegenheit haben, sich zu den unterbreiteten Fragen zu äussern und Ergänzungsfragen zu stellen.
4.
4.1. Im kantonsgerichtlichen Verfahren machte die Beschwerdeführerin geltend, Dr. F._ sei befangen, denn sie und D._ prägten eine berufliche Vergangenheit. So hätten die beiden zusammen mit anderen Autoren einen Leitfaden zur Erstellung psychologisch-psychiatrischer Gutachten bei Fragen zum Kindeswohl publiziert. Die beiden würden sich sicherlich sehr gut kennen und eine gemeinsame berufliche Vergangenheit haben. Es bestehe deshalb eine ernsthafte Gefahr, dass die Thesen und Feststellungen von D._ zu wenig hinterfragt und überprüft würden. Es sei auch nicht verwunderlich, wenn D._ der KESB empfohlen habe, Dr. F._ für die neue Begutachtung ins Boot zu holen. Sodann brachte die Beschwerdeführerin vor, D._ und Dr. F._ teilten nebst einer beruflichen Vergangenheit auch eine berufliche Zukunft. So würden sie zusammen den Kongress in Y._ zum Thema "xxx" moderieren. Auch das lasse den Schluss zu, dass sie die gleichen Ansichten und Meinungen teilten (E. 4.3.3 des angefochtenen Entscheids).
4.2. Dazu erwog das Kantonsgericht, die Tatsache, dass Dr. F._ und D._ einen beruflichen Austausch pflegten, begründe für sich alleine noch keinen Ausstandsgrund. Solange keine so intensive freundschaftliche Beziehung bestehe, dass an der Unabhängigkeit der Gutachterin gezweifelt werden müsse, oder andere Elemente wie ein gemeinsamer Arbeitsort hinzukämen, sei dies hinsichtlich einer Befangenheit bei einer späteren Gutachtertätigkeit unbedenklich. Die Beschwerdeführerin behaupte nicht, die gemeinsame Tätigkeit habe eine besondere, dauerhafte Nähe der beiden Berufskollegen begründet. Hinzu komme, dass es sich beim Gutachten von Dr. F._ nicht um eine Oberexpertise über das von D_ erstellte Gutachten handle, wie dies die Beschwerdeführerin behaupte. Vielmehr gehe es um eine Erstbegutachtung im Zusammenhang mit dem Antrag des Vaters um Obhutsumteilung. Sodann sei auf den Einwand der Beschwerdeführerin, weder D._ noch Dr. F._ seien auf der Gutachterliste der Schweizerischen Gesellschaft für Rechtspsychologie aufgeführt, nicht einzugehen, zumal die Mitgliedschaft in dieser Gesellschaft kein Kriterium für die Geeignetheit oder Unabhängigkeit eines Gutachters sei. Soweit die Beschwerdeführerin ferner geltend mache, die Berufsethikkommission habe ein Beschwerdeverfahren gegen D._ eröffnet, so erschliesse sich dem Kantonsgericht nicht, inwiefern dieser Umstand für die Frage der Unabhängigkeit und Geeignetheit von Dr. F._ relevant sei. Sodann müsse die Behauptung der Beschwerdeführerin, lic. iur. G._ habe sich auf ihre telefonische Anfrage kritisch über Dr. F._ geäussert, nach schriftlicher Auskunft von lic. iur. G._ als widerlegt gelten, zumal dieser angegeben habe, er masse sich nicht an, Befangenheitsfragen betreffend ihm unbekannte Personen zu beurteilen (E. 4.3.3 des angefochtenen Entscheids). Schliesslich gehe die Kritik der Beschwerdeführerin am Gutachten der KJP vom 22. Mai 2018 an der Sache vorbei, denn die KESB wolle für die Beurteilung des Obhutsrechts gerade nicht auf das fragliche Gutachten abstellen, sondern hierfür ein Gutachten von Dr. F._ einholen (E. 4.4 des angefochtenen Entscheids). Insgesamt sei die Rüge der Beschwerdeführerin, Dr. F._ sei nicht neutral und unabhängig, offensichtlich unbegründet (E. 4.5 des angefochtenen Entscheids).
4.3. Die Beschwerdeführerin wendet ein, wie sie im kantonsgerichtlichen Verfahren nachgewiesen habe, arbeite Dr. F._ in fachlicher Hinsicht sehr eng mit D._ zusammen. Sie, die Beschwerdeführerin, befürchte zu Recht, dass die Expertin es an der nötigen Distanz zu D._ fehlen lasse und sie ihren Auftrag dahingehend verstehen könnte, das Gutachten von D._ zu rechtfertigen und zu bestätigen. Jedenfalls sei von ihr nicht zu erwarten, dass sie in ihrem Gutachten eine andere Auffassung als ihr Berufskollege vertreten werde. Unstreitig sei, dass für gerichtlich bestellte Experten die gleichen Ausstandsgründe gelten wie für Gerichtspersonen. Zu den anderen Gründen, aus denen eine sachverständige Person befangen sein könnte, seien in erster Linie Verhältnisse der Freundschaft und Feindschaft zu einer Person oder ihrer Vertretung zu nennen. Lose Kontakte oder Berührungspunkte reichten zwar nicht für die Annahme einer Befangenheit aus. Hingegen dürfe und müsse eine Befangenheit angenommen werden, wenn eine Freundschaft durch regelmässige Kontakte aktiv gelebt werde und noch aktuell sei. Darunter fielen auch die regelmässigen Tätigkeiten und Aktivitäten unter Berufskollegen. Ähnlich wie bei Gerichtspersonen sei bei Expertinnen und Experten Befangenheit anzunehmen, wenn Umstände dargetan seien, welche Misstrauen in die Neutralität der sachverständigen Person erwecken können. Dabei müsse nicht nachgewiesen werden, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen sei, vielmehr genüge schon der Nachweis von Umständen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit objektiv zu begründen vermöchten. Die Befangenheit könne auch sachliche Gründe haben. Nahe geschäftliche Beziehungen zu einer Prozesspartei würden die Annahme einer Befangenheit nahelegen. Eine Person, von der bekannt sei, dass sie die Position der einen oder anderen Prozesspartei unterstützen werde, dürfe nicht mit der Erstattung eines Gutachtens betraut werden. Aufgrund der nachgewiesenen sehr engen beruflichen Zusammenarbeit zwischen Dr. F._ und D._ sei es naheliegend, dass Dr. F._ zu keinen anderen Schlüssen gelangen werde als D._, der eine eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin diagnostiziert haben wolle. Vor dem besonderen Kontext des neuen Gutachtens, das die Beurteilung der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin im Hinblick auf die Obhutszuteilung von C._ an den Beschwerdegegner zum Gegenstand habe, sei das Misstrauen gegen Dr. F._gegeben und begründet, insbesondere auch deswegen, weil befürchtet werden müsse, dass sich Dr. F._ auf das Gutachten von D._ stützen werde. Das Kantonsgericht habe die kollegialen beruflichen Verbindungen zwischen Dr. F._ und D._ nicht untersucht und es sei den substanziiert vorgetragenen Einwendungen nicht nachgegangen. Tatsache sei aber, dass sie beide beruflich gemeinsam in den gleichen Themen zusammenarbeiteten, forschten, publizierten und Veranstaltungen moderierten. So habe D._ gemeinsam mit Dr. F._, H._und I._ bereits 2015 einen Fachartikel "yyy" publiziert. I._ sei, bevor er Oberarzt an der E._ in V._ geworden sei, Oberarzt an der E._ in Z._ gewesen, wo D._ seit 2013 als Leitender Psychologe tätig sei. Sodann hätten Dr. F._, I_ und D._ im November 2019 den Kongress in Y._ moderiert, was zeige, dass die Zusammenarbeit weiter gedeihlich sei. Dr. F._ sei einerseits Leiterin der E._ in Y._ und habe andererseits eine private Praxisgemeinschaft mit Frau H._. Die engen beruflichen Verflechtungen seien offensichtlich. So könne von Dr. F._, die offensichtlich zusammen mit D._ an Vorträgen und in Publikationen die gleichen Ansichten vertrete und nicht nur mit diesem, sondern auch mit vielen weiteren, gemeinsamen Fachkollegen und Fachkolleginnen in regem Austausch stehe, nicht die nötige Distanz und Objektivität erwartet werden und dass sie eine andere Auffassung über die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin vertreten werde als D._. Es müsse befürchtet werden, dass sie dieses Gutachten stützen und rechtfertigen werde. Das Misstrauen ihr gegenüber sei begründet und ihre Befangenheit im konkreten Fall nachgewiesen.
4.4. Nach der Rechtsprechung gelten für Sachverständige grundsätzlich die gleichen Ausstands- und Ablehnungsgründe, wie sie für Richter vorgesehen sind (Urteil 8C_896/2017 vom 27. April 2018 E. 4.2). Danach ist Befangenheit anzunehmen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Gegebenheiten Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise als begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen ist (BGE 140 III 221 E. 4.1 mit Hinweisen).
4.5. Die Beschwerdeführerin sieht die Befangenheit von Dr. F._ weder in der Beziehung mit einer der Parteien noch mit einer Gerichtsperson begründet, sondern in der Freundschaft und kollegialen Zusammenarbeit mit D._, der in einer früheren Phase des elterlichen Streits um die Ausübung des Besuchsrechts mit der Begutachtung der Erziehungsfähigkeit der Eltern beauftragt worden ist. Sie befürchtet, Dr. F._ könnte das negative Ergebnis, zu welchem D._ in seinem Gutachten gelangt ist, gleichsam unkritisch übernehmen.
Wie die in E. 4.3 ausführlich wiedergegebenen Einwendungen aufzeigen, beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, ihre Sicht der Dinge darzulegen. Ihre Ausführungen gehen nicht über eine Beschreibung ihres subjektiven Empfindens hinaus. Unter objektiven Gesichtspunkten erscheint das Misstrauen nicht begründet. Mit den Feststellungen des Kantonsgerichts, zwischen Dr. F._ und D._ bestehe keine intensive freundschaftliche Beziehung, sie hätten keinen gemeinsamen Arbeitsort und es gehe nicht um eine Oberexpertise über das von D._ verfasste Gutachten, denn im ersten Gutachten sei es um die Regelung eines Besuchsrechts gegangen, während das zweite Gutachten im Kontext der beantragten Obhutsumteilung stehe, setzt sie sich gar nicht erst auseinander. Ebenso wenig ist erstellt, dass die KESB Dr. F._ das Gutachten von D._ überhaupt zur Kenntnis bringen will. Sollte sich hingegen die Befürchtung der Beschwerdeführerin einstellen, dass Dr. F._ sich darauf beschränkt, das Gutachten von D._ zu rechtfertigen und zu bestätigen, beschlägt dies die Qualität des Gutachtens, welche alsdann beanstandet werden kann. Insgesamt erweist sich der Vorwurf der Befangenheit von Dr. F._ als unbegründet.
5.
Sodann beschwert sich die Beschwerdeführerin darüber, dass das Kantonsgericht die ihr zufolge Obsiegens mit der Gehörsrüge zustehende Parteientschädigung ohne Einholung einer Kostennote festgelegt habe.
Das Kantonsgericht erwog, mangels Einreichung einer Honorarnote sei die Parteientschädigung nach Ermessen festzusetzen. Es verwies dabei auf Art. 2 Abs. 1 der kantonalen Verordnung vom 17. März 2009 über die Bemessung des Honorars der Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte (HV; BR 310.250), wonach die urteilende Instanz die Parteientschädigung der obsiegenden Partei nach Ermessen festsetzt.
Die Beschwerdeführerin nimmt auf diese Bestimmung keinen Bezug. Deren willkürliche Anwendung durch das Kantonsgericht macht sie nicht geltend (vgl. E. 1.3). Vielmehr führt sie allgemein aus, Art. 29 BV sei verletzt. Inwiefern diese Bestimmung ihren Standpunkt zu tragen vermöchte, legt sie aber nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Die Berufung auf Art. 106 ZPO (als subsidiäres kantonales Recht) dient ihr ebenso wenig, da diese Norm die Verteilungsgrundsätze regelt, nicht aber die Grundsätze für die Bemessung der Höhe der Parteientschädigung. Soweit die Vorbringen der Beschwerdeführerin überhaupt deren Begründungs- und Rügepflicht genügen, vermögen sie nicht aufzuzeigen, weshalb der angefochtene Entscheid hier zu beanstanden wäre.
6.
Ausserdem macht die Beschwerdeführerin geltend, ihr seien zu Unrecht die Kosten des Triple P Kurses überbunden worden.
6.1. Das Kantonsgericht erwog, die KESB habe die Beschwerdeführerin in ihrem Entscheid vom 26. September 2018 im Sinn von Art. 307 Abs. 3 ZGB angewiesen, am "Triple P Gruppentraining Kids" teilzunehmen. Diesen Entscheid habe die Beschwerdeführerin nicht angefochten und sie habe den Kurs besucht. Die Anordnung sei somit in Rechtskraft erwachsen und die Beschwerdeführerin könne nicht nach Ablauf der Beschwerdefrist verlangen, die Kosten seien von der KESB zu übernehmen, weil die Anordnung gar nicht nötig gewesen sei. Diese Vorbringen seien verspätet, sodass darauf nicht einzutreten sei. Überhaupt könne auf die zutreffende Begründung der KESB, Erwägung 11, verwiesen werden. Daher sei die Beschwerde ZK1 19 163 ohne Weiteres abzuweisen.
Die KESB hatte ihrerseits in der verwiesenen Erwägung 11 ausgeführt, die Anweisung, den Triple P Kurs zu besuchen, sei gestützt auf die Empfehlung im Gutachten der E._ vom 22. Mai 2018 erfolgt. Ziel der Massnahme sei es gewesen, die gutachterlich festgestellte eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin zu fördern. Ihre Behauptung, die Weisung sei ohne sachlichen Grund angeordnet worden, treffe nicht zu. Wie die Beschwerdeführerin richtigerweise feststelle, handle es sich bei den Kosten des Triple P Kurses um Massnahmekosten, die als Teil des Kindesunterhalts gälten und von den Eltern zu tragen seien. Da die eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin diese Massnahme notwendig gemacht habe, rechtfertige es sich, dass sie die Kosten alleine zu tragen habe. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin stellten Massnahmekosten keine Verfahrenskosten dar. Diese seien in Art. 63 EGzZGB und die Massnahmekosten in Art. 63a EGzZGB geregelt. Danach seien die Kosten für Massnahmen vom Inhaber der elterlichen Sorge zu tragen, soweit nicht Dritte zahlungspflichtig seien. Subsidiär seien sie vom Gemeinwesen zu tragen, welches für die öffentlich-rechtliche Unterstützung zuständig sei.
6.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, das sei unfair (Art. 29 BV). Von ihr werde verlangt, dass sie sich an einem Kurs beteilige. Hätte sie sich dagegen gewehrt, würde es heissen, sie würde querulieren. Im Gegenteil habe sie kooperiert und jetzt, wo das Ergebnis - dass sie nämlich eine ausgezeichnete und erziehungsfähige Mutter sei - auf dem Tisch liege, wolle die KESB das, was sie angeordnet und verursacht habe, nicht bezahlen, und stattdessen diese Kosten der arbeitslosen und auf dem Existenzminimum lebenden Beschwerdeführerin anhängen. Die Erwägung des Kantonsgerichts verstosse gegen Treu und Glauben (Art. 5 BV). Von der Beschwerdeführerin könne nicht erwartet werden, dass sie sich als Verhinderungsmutter hinstelle und die Anordnung verweigere, den Triple P Kurs zu absolvieren, nur weil sie die Kosten nicht tragen könne und auch nicht müsse. Eine gesetzliche Grundlage für die Überbindung der Kosten in diesem Fall habe keine der Vorinstanzen genannt.
6.3. Der Einwand, der Entscheid des Kantonsgerichts sei unfair (Art. 29 BV) und verstosse gegen Treu und Glauben (Art. 5 BV), zielt an der Sache vorbei. Vielmehr müsste sich die Beschwerdeführerin namentlich mit der Erwägung der KESB, auf welche das Kantonsgericht verweist und damit - zulässigerweise - zum Inhalt seines Entscheids gemacht hat (vgl. BGE 123 I 31 E. 2c; 103 Ia 407 E. 3a; Urteil 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 4.3), auseinandersetzen, wonach für die Massnahmekosten Art. 63a EGzZGB anwendbar sei. Dieser Bestimmung zufolge sind die Kosten für Massnahmen, soweit die Beschwerdeführerin mittellos ist, subsidiär von jenem Gemeinwesen zu tragen, welches für die öffentlich-rechtliche Unterstützung zuständig ist. Dass diese Bestimmung des kantonalen Rechts willkürlich angewendet worden wäre (vgl. E. 1.3), behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Soweit die Ausführungen der Beschwerdeführerin als Forderung aus Staatshaftung verstanden werden könnten (Art. 454 ZGB), legt sie nicht dar, gestützt auf welche (kantonale) Norm die KESB für die Beurteilung einer solchen Forderung zuständig sein sollte. Aus den genannten Gründen ist auf diese Rüge nicht weiter einzugehen.
7.
Schliesslich geht es der Beschwerdeführerin noch um die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren ZK1 19 163.
7.1. Das Kantonsgericht erwog, gemäss ständiger Praxis betreffe das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nur die Kosten für die Rechtsvertretung, da über die Befreiung von den Gerichtskosten gemäss Art. 63 Abs. 3 EGzZGB entschieden werde. Danach könne bei Vorliegen besonderer Umstände auf die Erhebung von Verfahrenskosten verzichtet werden, sofern das Verfahren nicht mutwillig oder trölerisch eingeleitet worden sei. Besondere Umstände, die den teilweisen oder ganzen Verzicht auf die Erhebung von Verfahrenskosten rechtfertigten, könnten insbesondere bei Kindesschutzmassnahmen vorliegen, sofern das Einkommen der Eltern, des sorgeberechtigten oder des unterhaltspflichtigen Elternteils nur knapp ausreiche, um den Verpflichtungen nachzukommen und den Lebensunterhalt zu bestreiten, und sofern das Vermögen unter dem Freibetrag von Fr. 10'000.-- liege. Wie sich aus den Akten ergebe, betrage das Reinvermögen der Beschwerdeführerin aus Wertschriften und Guthaben gemäss definitiver Steuerveranlagung 2018 per 31. Dezember 2018 Fr. 26'751.--. Damit lägen keine besonderen Umstände im Sinn von Art. 63 Abs. 3 EGzZGB vor, so dass es bei der Kostentragung durch die Beschwerdeführerin bleibe.
Seinerseits erwog der Vorsitzende der I. Zivilkammer des Kantonsgerichts (ZK1 19 162), dass die Beschwerdeführerin per 31. Dezember 2018 über ein Reinvermögen von Fr. 26'751.-- verfüge, es ihr deshalb unabhängig von ihren monatlichen Einkünften möglich sei, die anfallenden Kosten für die Rechtsvertretung zu bezahlen, und dass das Gesuch auch infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen wäre, weil die Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach die Kosten für den Besuch des Triple P Kurses der KESB aufzuerlegen wären, auch für diese objektiv erkennbar verspätet seien und folglich bereits bei Einreichung ihrer Beschwerde erkennbar gewesen sei, dass die Erfolgschancen wesentlich geringer gewesen seien als die Verlustgefahren.
7.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, der Vermögensstand vom 31. Dezember 2018 könne für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege keine Rolle spielen. Ob dieses Guthaben im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs noch vorhanden gewesen sei, habe das Kantonsgericht nicht geprüft. Überhaupt sei dieses Vermögen im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung verbraucht gewesen, da die Beschwerdeführerin von Januar bis Juni 2019 arbeitslos gewesen sei und keinen Anspruch auf Arbeitslosengelder habe geltend machen können. Sie lebe auf dem Existenzminimum und müsse sich laufend verschulden. Im Dezember 2019 habe die Beschwerdeführerin zwar die Rahmenfrist für das RAV erfüllt; sie habe sich aber aus gesundheitlichen Gründen nicht anmelden können. Ausserdem habe die "an sich selbst erlittene und am eigenen Sohn bezeugte Behördengewalt" eine posttraumatische Belastungsstörung ausgelöst. Seither befinde sie sich in Therapie und sei vorübergehend arbeitsunfähig. Schliesslich verweist die Beschwerdeführerin auf ein SKOS-Budget der Stadt X._ vom 31. März 2020 und einen Leistungsentscheid der Sozialen Dienste X._, ebenfalls vom 31. März 2020. Daraus ergebe sich, dass sie wirtschaftliche Sozialhilfe erhalte und noch über eine Liquidität von Fr. 3'002.-- verfüge.
7.3. Die Beschwerdeführerin befasst sich mithin nur mit einer der beiden Voraussetzungen, welche für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erfüllt sein müssen, nämlich mit der Bedürftigkeit. Hingegen erklärt sie nicht und legt nicht dar, inwiefern die Beurteilung des Vorsitzenden der I. Zivilkammer des Kantonsgerichts, wonach ihre Beschwerde gegen die Auferlegung der Kosten für den Triple P Kurs von vornherein aussichtslos erscheine, bundesrechtswidrig sein soll. Da dieses Argument den angefochtenen Entscheid zu tragen vermag, zielen die Einwendungen der Beschwerdeführerin von vornherein ins Leere (vgl. zur Pflicht, jede der den Entscheid tragenden Erwägungen zu beanstanden: BGE 142 III 364 E. 2.4; 139 II 233 E. 3.2; 138 III 728 E. 3.4; je mit Hinweisen).
Ohnehin wären die Ausführungen zur Bedürftigkeit, soweit sie auf unzulässige Noven abstellen (E. 1.4), unbeachtlich. Schliesslich hätte es der Beschwerdeführerin im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht (vgl. Urteil 5A_565/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 2.5.2) obgelegen, das Kantonsgericht über die aktuelle finanzielle Situation, namentlich den (behaupteten) Verbrauch der Ersparnisse, zu unterrichten, was sie offensichtlich nicht getan hat.
8.
Zusammengefasst erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Hingegen schuldet sie keine Parteientschädigung, zumal der Beschwerdegegner nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG). Angesichts der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. In diesem Umfang wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos. Soweit nicht gegenstandslos, ist das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen. Wie die vorstehenden Erwägung zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde T._, C._ und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Die Gerichtsschreiberin:
von Werdt Gutzwiller