Erwägungen:
1.
A._ reichte am 26. April 2021 eine Strafanzeige gegen Staatsanwältin B._, Staatsanwalt C._, Staatsanwältin D._ und Oberrichterin Katinka Eichenberger ein. Die Oberstaatsanwaltschaft Zürich überwies die Angelegenheit dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung. Mit Beschluss vom 30. November 2021 verweigerte das Obergericht die Ermächtigung. A._ auferlegte es die Verfahrenskosten wegen mutwilliger Erhebung der Strafanzeige, was ihm in einem früheren Ermächtigungsverfahren angedroht worden sei (s. dazu Urteil 1C_451/2021 vom 10. August 2021; das Bundesgericht hat sich zudem in folgenden weiteren Urteilen bereits mit dem vorliegenden Sachverhaltskomplex befasst: Urteile 1B_3/2020 vom 7. Januar 2020; 6B_858/2020 vom 8. Oktober 2020; 1C_453/2021 vom 10. August 2021 und 1F_32/2021 vom 11. November 2021).
2.
Gegen den Beschluss des Obergerichts erhebt A._ mit Eingabe vom 20. Dezember 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben auf eine Stellungnahme verzichtet oder sich nicht vernehmen lassen. A._ hat unaufgefordert verschiedene weitere Eingaben eingereicht.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Bei der Rüge der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht - gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 mit Hinweisen). Bestehen mehrere voneinander unabhängige Begründungen für den angefochtenen Entscheid, so darf sich der Beschwerdeführer nicht damit begnügen, die eine oder andere als fehlerhaft zu rügen. Vielmehr hat er sich in seiner Beschwerdeschrift substanziiert mit jeder einzelnen auseinanderzusetzen, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten wird (BGE 142 III 364 E. 2.4; 136 III 534 E. 2; 133 IV 119 E. 6.3; je mit Hinweisen).
4.
Das Obergericht hat dargelegt, weshalb die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht zu erteilen sei. In Bezug auf den Beschwerdegegner 2 führte es sogar drei voneinander unabhängige Begründungen an.
5.
Eine Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid fehlt in der Beschwerdeschrift über weite Strecken gänzlich. Hinsichtlich der vorinstanzlichen Erwägungen zum Beschwerdegegner 2 geht der Beschwerdeführer zwar teilweise auf den angefochtenen Entscheid ein, setzt sich aber mit den Alternativbegründungen nicht in hinreichender Weise auseinander. Schliesslich ist die Kritik, das Obergericht habe "in eigener Sache" entschieden, nicht nachvollziehbar. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG offensichtlich nicht. Damit ist nach Art. 108 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 BGG die Einzelrichterin zum Entscheid befugt und beschränkt sich die Begründung auf eine kurze Angabe des Unzulässigkeitsgrundes (Art. 108 Abs. 3 BGG).
6.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).
Demnach erkennt die Einzelrichterin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Dold