Faits :
A.
A.a. B._ est décédé le 10 mars 2011. Son épouse A._ est son unique héritière instituée (art. 105 al. 2 LTF; certificat d'héritier).
A la suite du décès de l'époux, le 5 juin 2012, la C._ a adressé à l'épouse un courrier, lui faisant part de ce qui suit :
" Pour faire suite à votre entretien téléphonique de ce jour avec D._, nous avons le plaisir de vous confirmer que l'ensemble de vos portefeuilles représente à ce jour un solde évalué en CHF de 500'010.80 ".
Par courrier du 3 décembre 2012, la banque a indiqué à l'épouse avoir fait une erreur sur la titularité d'un compte numérique intitulé " E._ ", n° xxx, dont ni celle-ci, ni feu son mari n'avaient en réalité jamais été titulaires.
Le 7 avril 2014, soit après la fusion par absorption de la C._ par la F._ SA le 29 novembre 2013, la société G._SA, organe de révision de cette dernière banque, a établi un " Rapport sur les constatations effectives " au sujet de ce compte, duquel il ressort que " ni feu B._ ni A._ ne sont ou n'ont été titulaires, ayants droit économiques ou fondés de procuration sur la relation xxx " E " et qu' "un tiers sans aucun lien apparent avec les époux est et a toujours été le titulaire et ayant droit économique de la relation xxx " E " ".
La procédure de mainlevée, qui a fait suite à la réquisition de poursuite de l'épouse, a abouti au rejet de la requête de mainlevée provisoire de l'épouse, la banque ayant vraisemblablement commis une erreur essentielle dans son courrier du 5 juin 2012 et aucun élément ne permettant de douter de la valeur probante du rapport de G._.
A.b. Par requête de conciliation du 21 novembre 2018, l'épouse a formé une action en paiement pour le montant de 500'010 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an dès le 5 juin 2012, accompagnée d'une action en reddition de compte fondée sur l'art. 400 al. 1 CO.
B.
Le 14 mars 2019, elle a déposé une requête d'assistance judiciaire anticipée pour la demande en paiement avec reddition de compte.
Sa requête a été rejetée, faute de chances de succès, par décision du 13 mai 2019.
La requérante a déposé sa demande en justice devant le Tribunal de première instance de Genève le 16 mai 2019.
Statuant sur recours de l'épouse contre la décision de refus de l'assistance judiciaire, la Cour de justice l'a rejeté par décision du 29 juillet 2019. Les motifs en seront exposés dans les considérants ci-dessous.
C.
Contre cette décision, l'épouse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à sa réforme en ce sens que l'assistance judiciaire lui est accordée pour son action en paiement avec effet au 21 novembre 2018, Me Aba Neemann lui étant désigné comme avocat d'office; subsidiairement, elle conclut à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La partie adverse a été informée de l'existence du recours, mais n'a pas été invitée à se déterminer.
La cour cantonale se réfère à sa décision.
La requête d'effet suspensif a été accordée.
Considérant en droit :
1.
La décision cantonale de refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente de nature à causer un préjudice irréparable au plaideur requérant (art. 93 al. 1 let. a LTF; arrêts 4D_91/2017 du 8 mars 2018 consid. 4; 4A_665/2015 du 21 avril 2016 consid. 1; 4A_572/2013 du 11 février 2014 consid. 1; cf. ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 129 consid. 1.1). Cette décision est donc susceptible d'un recours séparé selon l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF), par la partie qui a été déboutée (art. 76 al. 1 LTF) contre une décision prise sur recours par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse dépasse le montant de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable.
L'adverse partie, dans le procès civil, n'a pas annoncé de demande de sûretés en garantie des dépens; elle n'est donc pas partie aux procédures incidentes puis de recours relatives à l'assistance judiciaire (arrêt 4A_366/2013 du 20 décembre 2013, consid. 3).
2.
Selon l'art. 117 CPC, une pe rsonne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas des ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
2.1. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre; il n'est en revanche pas dénué de chances de succès lorsque celles-ci et les risques d'échec sont à peu près égaux, ou lorsque les premières ne sont guère inférieures aux seconds. Est déterminante la question de savoir si une partie disposant des ressources financières nécessaires se lancerait ou non dans le procès après une analyse raisonnable. Il s'agit d'éviter qu'une partie mène un procès qu'elle ne conduirait pas à ses propres frais, uniquement parce qu'il ne lui coûte rien (ATF 138 III 217 consid. 2.2.4; 133 III 614 consid. 5; 129 I 129 consid. 2.3.1). Les conditions de l'assistance judiciaire selon l'art. 117 CPC ne sont pas différentes de celles prévues, en tant que garantie minimale, par l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêts 4A_589/2013 du 16 janvier 2014 consid. 3.2, non publié aux ATF 140 III 12; 5A_574/2011 du 6 janvier 2012 consid. 3; arrêt 4A_494/2011 du 1er novembre 2011 consid. 2.1).
2.2. En tant que l'action en reddition de compte ( i.e. le droit matériel aux renseignements et aux pièces) est basée sur l'art. 400 al. 1 CO, elle est de nature contractuelle. Selon la jurisprudence, les héritiers ont le droit d'obtenir de la banque toutes les informations sur les avoirs du défunt au jour du décès (arrêt 4A_522/2018 du 18 juillet 2019 consid. 4.2.1). Ils n'ont le droit d'obtenir de la banque des renseignements sur les versements et virements effectués correctement sur ordre du défunt antérieurement à son décès en faveur de tiers que s'ils sont lésés par ces opérations, soit parce que leur réserve héréditaire est lésée et que leur action en réduction n'est pas périmée, soit parce qu'ils sont héritiers légaux et disposent d'un droit au rapport et au partage (arrêt précité consid. 4.5.2). En ce qui concerne les comptes dont le défunt était l'ayant droit économique, les héritiers ne disposent pas d'un droit contractuel à l'information de l'art. 400 al. 1 CO (arrêt précité consid. 4.2.2.2 in fine; en ce qui concerne le droit successoral des art. 607 al. 3 et 610 al. 2 CC, cf. l'arrêt précité consid. 4.3).
2.3. Le critère des chances de succès doit être examiné au moment du dépôt de la requête d'assistance judiciaire (ATF 142 III 138 consid. 5.1; 133 III 614 consid. 5 et les arrêts cités).
Le juge cantonal peut se limiter à un examen sommaire de la question (ATF 142 III 138 consid. 5.1; 138 III 217 consid. 2.2.4; 133 III 614 consid. 5 et les arrêts cités).
3.
Saisi d'un recours contre une décision refusant l'octroi de l'assistance judiciaire pour défaut de chances de succès, le Tribunal fédéral n'a pas à se substituer au juge cantonal pour décider si la requête présentée en instance cantonale doit être admise ou non. Le juge cantonal dispose d'un large pouvoir d'appréciation dans l'examen des chances de succès. Le Tribunal fédéral ne revoit sa décision qu'avec retenue : il doit uniquement vérifier que le juge cantonal ne s'est pas écarté des principes juridiques reconnus en la matière, qu'il n'a pas tenu compte de circonstances qui ne jouent pas de rôle pour le pronostic dans le cas particulier ou inversement qu'il n'a pas méconnu des circonstances pertinentes dont il aurait dû tenir compte (arrêts 4A_375/2016 du 8 février 2017 consid. 3.2; 4A_484/2015 du 1 er avril 2016 consid. 3; 4A_576/2014 du 25 mars 2015 consid. 3; cf. aussi ATF 119 III 113 consid. 3a).
3.1. Le premier juge a dénié toute chance de succès à l'action en paiement de la demanderesse, en considérant que la banque s'est prévalue d'une erreur essentielle en lien avec son courrier du 5 juin 2012, qu'elle a produit un rapport de G._ permettant de démontrer que ni l'épouse, ni feu son époux n'étaient titulaires du compte en question et que la production des autres documents requis par la demanderesse ne permettrait pas d'apporter la preuve du contraire.
Traitant le grief soulevé par la recourante, la cour cantonale a considéré que les éléments fournis par la requérante à l'appui de sa requête d'assistance judiciaire, ne permettaient pas, examinés sommairement, de parvenir à la conclusion que la requérante avait rendu suffisamment vraisemblable que l'invalidation pour cause d'erreur n'était pas valable.
Premièrement, elle a considéré que le rapport de G._, organe de révision indépendant, relève que ni l'époux, ni l'épouse n'ont jamais été titulaires du compte bancaire litigieux, de sorte qu'il paraît peu probable que la recourante parvienne à démontrer, même au moyen des documents dont elle réclame la production, que la banque lui doit le montant réclamé. Même s'il s'agit d'un rapport d'audit, il émane d'un organe de révision indépendant et sa valeur probante peut être librement examinée par le juge auquel il est soumis. Or, au premier abord, aucun élément ne permet de mettre en doute la véracité des informations contenues dans ce document.
Deuxièmement, la cour cantonale a relevé que la requérante réclame le montant de 500'010 fr. 80 alors qu'elle affirme en avoir prélevé une partie, dont elle ne précise pas le montant et qu'elle n'allègue pas avoir dû restituer, de sorte que ses allégués paraissent invraisemblables.
La cour cantonale en a conclu que, hormis le courrier de la banque du 5 juin 2012, la requérante n'a fourni aucun élément susceptible de rendre plausible qu'elle détient des droits sur le compte litigieux, et qu'un plaideur raisonnable de condition aisée n'engagerait pas les frais d'une telle procédure alors que son issue paraît, selon toute vraisemblance, vouée à l'échec.
3.2. La recourante reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. sous son aspect de droit à une décision motivée : celle-ci aurait retenu que ses allégations étaient invraisemblables, mais sans se prononcer sur ses offres de preuves, à savoir le témoignage de D._, la production des documents bancaires en relation avec les avoirs des époux et une expertise neutre et indépendante.
Ce grief est infondé. En effet, dans sa requête d'assistance judiciaire du 14 mars 2019, déterminante pour statuer sur l'octroi de l'assistance judiciaire, la requérante invoque uniquement l'invalidité de l'erreur dont se prévaut la banque. Elle y expose uniquement que la banque lui a adressé un courrier confirmant qu'elle disposait d'un montant de 500'010 fr. 80 en sa faveur, tout en refusant de lui fournir un relevé bancaire ou autre document en relation avec les avoirs déposés par elle auprès de la banque. La requérante n'a ainsi invoqué aucun moyen de preuve autre que le courrier du 5 juin 2012. Elle ne saurait donc reprocher à la cour cantonale de n'avoir pas motivé un refus de prétendus moyens de preuve qu'elle n'avait pas sollicités. La recourante méconnaît qu'il ne suffit pas de simplement renvoyer à des annexes, en l'occurrence une requête de conciliation dont il résulterait qu'elle entend solliciter au fond de nombreux moyens de preuve pour démontrer une violation de son droit d'être entendue.
3.3. La recourante reproche encore à la cour cantonale d'avoir commis l'arbitraire en ne tenant pas compte de ses offres de preuves, indépendamment du fait qu'elle n'en donne pas les raisons.
Ce faisant, la recourante méconnaît que le grief d'arbitraire ne peut pas être dirigé contre une décision non motivée, car dans un tel cas, l'autorité de recours n'est pas en mesure de contrôler si la motivation est arbitraire ou non et, de surcroît, si son résultat l'est également.
3.4. Invoquant encore l'arbitraire à l'encontre de la première motivation de la cour cantonale, la recourante soutient que le rapport de G._ ne suffit pas pour rejeter d'emblée ses prétentions. Elle soutient que cette société a été mandatée par la banque, ce qui peut faire douter de son impartialité, et qu'elle-même n'a pas pu vérifier les informations communiquées à cette société par la banque pour l'établissement de ce rapport. Elle soutient aussi que puisque le courrier du 5 juin 2012 fait état de l'ensemble des portefeuilles des époux, il n'y aurait pas qu'un seul compte.
Par cette critique de nature appellatoire, la recourante ne parvient pas à démontrer l'arbitraire de la motivation de la cour cantonale.
Il sied d'ailleurs de relever que cette société n'a pas seulement constaté que les époux n'ont jamais été titulaires du compte litigieux, comme la cour cantonale le retient dans sa motivation, mais qu'ils n'en ont jamais été non plus ayants droit économiques ou fondés de procuration et qu'un tiers en a toujours été le titulaire et ayant droit économique.
3.5. Invoquant également l'arbitraire à l'encontre de la deuxième motivation cantonale, la recourante se limite à affirmer qu'elle pourra reformuler ses conclusions après l'administration des preuves en en déduisant les montants reçus. Certes, mais le fait qu'elle n'ait fourni et ne fournisse toujours aucune indication sur le montant qu'elle aurait retiré ou aurait dû restituer ne fait pas apparaître arbitraire l'appréciation de la cour cantonale, qui, on le rappelle, se limite à un examen sommaire.
3.6. Lorsqu'elle invoque en vrac qu'elle est cliente de la banque, que c'est l'employé de la banque qui a pris contact avec elle et l'a informée des relations professionnelles que la banque entretenait avec son mari, que la banque n'a jamais nié détenir un compte au nom de feu son mari, que son mari devait disposer de plusieurs comptes auprès de la banque, qu'elle-même a jeté tous les papiers bancaires au décès de son époux, la recourante n'apporte aucun élément susceptible de faire apparaître arbitraire la motivation de la cour cantonale, qui, on le rappelle, procède à un examen sommaire des chances de succès et non à un procès au fond à titre préjudiciel. La banque a précisément invoqué son erreur essentielle et elle a produit un rapport de G._ dont la recourante ne parvient pas à faire douter ni de l'impartialité, ni de l'inexactitude de ses constatations.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme ce recours était d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale ne peut qu'être rejetée (art. 64 al. 1 LTF).
Compte tenu de l'issue du litige, la recourante qui succombe doit acquitter l'émolument judiciaire (art. 66 al. 1 LTF) fixé à 2'000 fr.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à Me Jean-Noël Jaton, avocat, Lausanne.
Lausanne, le 30 mars 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Thélin