Sachverhalt:
A.
A._ war als Stiftungsrat einer liechtensteinischen Stiftung zeichnungsberechtigt für ein Konto dieser Stiftung bei der Bank B._ AG. Das Konto wurde im Februar 2009 saldiert. Der Stifter und die Begünstigten besassen einen amerikanischen Pass.
B.
Zu Gunsten der schweizerischen Banken, die unversteuerte Konten von in den USA steuerpflichtigen Personen führten, stellen die Vereinigten Staaten von Amerika ein Programm (sog. Bankenprogramm) zur Verfügung, das es den Banken ermöglichen soll, ihr Verhältnis zu regulieren. Im Rahmen dieses Programms erteilte das Eidgenössische Finanzdepartement (EFD) der Bank B._ AG am 28. März 2014 die Bewilligung nach Art. 271 StGB, ihre rechtliche Situation mit den USA zu bereinigen. Die auf ein Jahr befristete, aber verlängerbare Bewilligung (Ziff. 2) wurde für bestimmte Bereiche und unter näher beschriebenen Bedingungen gewährt (Ziff. 1). Insbesondere erstreckte sie sich nicht auf Kundendaten (Ziff. 1.2). Auch durften Personendaten von (ehemaligen und gegenwärtigen) Mitarbeitenden und Dritten nur herausgegeben werden, wenn die betroffenen Personen mindestens 20 Tage vor der geplanten Herausgabe an die US-Behörden über Umfang und Art der Daten sowie über den Zeitraum, aus dem die Daten stammten, informiert wurden (Ziff. 1.4.b). Sollten Daten entgegen dem Willen einer betroffenen Person herausgegeben werden, so hatte die Bank die Person auf ihr Klagerecht nach Artikel 15 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) hinzuweisen. Sie durfte Daten, welche diese Personen betrafen, frühestens zehn Tage nach erfolgter Mitteilung herausgeben, wenn keine Klage betreffend Verbot der Datenbekanntgabe anhängig gemacht wurde, oder nachdem die Klage rechtskräftig abgewiesen wurde (Ziff. 1.4.c).
Die Bewilligung konnte widerrufen werden, wenn Bedingungen nach Ziff. 1 nicht eingehalten wurden (Ziff. 2 in fine). Weiter sah die Verfügung in Ziff. 3 vor, dass die Bewilligung die Bank nicht von der Beachtung anderer nach Schweizer Recht auf den Sachverhalt anwendbarer Bestimmungen entbinde und die Missachtung der Bedingungen nach Ziff. 1 gestützt auf Art. 292 StGB mit Busse bestraft werden könne. In Ziff. 4 wurde festgestellt, dass die Übermittlung von Dokumenten und Informationen durch die Bank an die US-Behörden im Auftrag von Personen, welche einen zivilrechtlichen Anspruch auf Herausgabe der sie betreffenden Informationen und Dokumente (Kundendossiers) gegen die Bank hatten, nicht in den Anwendungsbereich von Art. 271 StGB falle.
C.
Am 24. Juli 2014 teilte die Bank A._ schriftlich mit, dass sie am Bankenprogramm teilnehme und beabsichtige, seinen Namen gegenüber den amerikanischen Behörden offenzulegen. Dagegen wehrte sich der Betroffene am 28. Juli 2014, was die Bank mit Schreiben vom 7. August 2014 zur Kenntnis nahm; darin begründete sie kurz, weshalb sie dennoch gedenke, seinen Namen offenzulegen, und wies ihn darauf hin, dass er beim zuständigen Gericht gemäss Artikel 15 DSG Klage erheben könne.
A._ erwirkte daraufhin beim Bezirksgericht Luzern ein Herausgabeverbot (superprovisorisch per Entscheid der Einzelrichterin vom 20. August 2014; vorsorgliche Massnahmen im gleichen Sinne vom 7. November 2014). Am 30. Dezember 2014 erhob er beim gleichen Gericht Klage gegen die Herausgabe seines Namens.
D.
Mit Verfügung vom 27. März 2015 verlängerte das EFD die der Bank gewährte Bewilligung bis zum 31. Dezember 2019. Wie A._ unwidersprochen geltend macht, stellte die Bank ihm diese Verfügung erst am 15. Februar 2016 zu. Am 15. März 2016 erhob er gegen die verlängerte Bewilligungsverfügung des Departements Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, das auf sein Rechtsmittel mit Urteil vom 9. November 2016 mangels Beschwerdelegitimation nicht eingetreten ist.
E.
Am 14. Dezember 2016 hat A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
F.
Die Bank und das EFD schliessen auf Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei). Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
G.
Mit Replik vom 7. März 2017 hat der Beschwerdeführer an seinem Rechtsstandpunkt festgehalten.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, der nicht unter den Ausnahmekatalog von Art. 83 BGG fällt (insbesondere auch nicht Art. 83 lit. a BGG, vgl. dazu hinten E. 2.1), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (Art. 82 lit. a BGG).
1.2. Das Bundesverwaltungsgericht ist mangels Legitimation auf die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht eingetreten. Der Beschwerdeführer ist befugt, diesen (Prozess-) Entscheid auf seine Vereinbarkeit mit Art. 48 VwVG hin überprüfen zu lassen (Art. 89 Abs. 1 BGG; BGE 131 II 497 E. 1 S. 500; Urteile 2C_1054/2012 vom 5. Juni 2013 E. 1.2, nicht publiziert in BGE 139 II 328, und 2C_658/2008 vom 18. März 2009 E. 1.2 nicht publiziert in BGE 135 II 172; mit Hinweisen). Dabei ist das Bundesgericht weder an die Begründung im angefochtenen Urteil noch an jene der Parteien gebunden (vgl. Art. 107 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Eingabe ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss Art. 271 Abs. 1 StGB wird mit Freiheitsstrafe bestraft, wer auf schweizerischem Gebiet ohne Bewilligung für einen fremden Staat Handlungen vornimmt, die einer Behörde oder einem Beamten zukommen. Gestützt auf diese Bestimmung hat das EFD der beschwerdegegnerischen Bank die Bewilligung erteilt, ihr Verhältnis mit den Vereinigten Staaten von Amerika zu regulieren und in diesem Zusammenhang bestimmte Informationen an die amerikanischen Behörden weiterzuleiten. Vorliegend hat das Bundesverwaltungsgericht seine sachliche Zuständigkeit zu Recht bejaht und sich zutreffend der Auffassung des EFD widersetzt, dessen Bewilligungsverfügung beziehe sich ausschliesslich bzw. vorrangig auf das Gebiet auswärtiger Angelegenheiten und sei somit einer richterlichen Überprüfung entzogen (vgl. dazu mit eingehender Begründung E. 2 des angefochtenen Urteils). Weiter hat sich die Vorinstanz auf Art. 48 VwVG gestützt und erwogen, dass der Beschwerdeführer gemäss dieser Bestimmung kein schutzwürdiges Interesse habe, weshalb auf sein Rechtsmittel nicht eingetreten werden könne.
2.2. Zur Beschwerde legitimiert ist gemäss Art. 48 Abs. 1 VwVG, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch die angefochtene Verfügung besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Wer in diesem Sinne zur Beschwerde legitimiert ist, hat auch Parteistellung im erstinstanzlichen Verfügungsverfahren samt den damit verbundenen Parteipflichten und -rechten (Art. 13, 18, 26 ff. VwVG; BGE 129 II 286 E. 4.3.1 S. 292 f.). Insbesondere kann er von der zuständigen Behörde den Erlass einer Verfügung verlangen (BGE 130 II 521 E. 2.5 S. 535 f.; 126 II 300 E. 2c S. 303 f.; vgl. zum Ganzen u.a. BGE 142 II 451 E. 2.1 mit weiteren Hinweisen).
2.2.1. Die Regelung von Art. 48 Abs. 1 VwVG entspricht derjenigen von Art. 89 Abs. 1 BGG und ist in Anlehnung an diese auszulegen; sie soll die Popularbeschwerde ausschliessen und den Charakter des allgemeinen Beschwerderechts als Instrument des Individualrechtsschutzes unterstreichen. Diese Anforderungen sind besonders bedeutend bei der Beschwerde eines Dritten, der nicht Verfügungsadressat ist (vgl. u.a. BGE 139 II 328 E. 3.2 S. 332 f.; 139 II 279 E. 2.2 S. 282; Urteil 2C_888/2015 vom 23. Mai 2016 E. 2.1 in: ZBl 117/2016 S. 616; je m.w.H.). Der Beschwerdeführer muss durch den angefochtenen bzw. den zu erlassenden Entscheid stärker als ein beliebiger Dritter betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehen (vgl. auch das Urteil 2C_73/2014 vom 28. Januar 2015 E. 2.1).
2.2.2. Neben der spezifischen Beziehungsnähe zur Streitsache muss der Beschwerdeführer einen praktischen Nutzen aus einer allfälligen Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen. Seine Situation muss durch den Ausgang des Verfahrens in relevanter Weise beeinflusst werden können, wenn der Beschwerdeführer mit seinem Anliegen obsiegt und dadurch seine tatsächliche oder rechtliche Situation unmittelbar beeinflusst werden kann. Das schutzwürdige Interesse besteht im Umstand, einen materiellen oder ideellen Nachteil zu vermeiden, den der angefochtene Entscheid mit sich bringen würde. Ein bloss mittelbares oder ausschliesslich allgemeines öffentliches Interesse begründet - ohne die erforderliche Beziehungsnähe zur Streitsache selber - keine Beschwerdebefugnis oder Parteistellung (vgl. BGE 141 II 14 E. 4.4 S. 29 f.; 140 II 214 E. 2.1 S. 218; 139 II 499 E. 2.2 S. 504; 139 II 279 E. 2.2 S. 282; Urteil 2C_888/2015 vom 23. Mai 2016 E. 2.1 in: ZBl 117/2016 S. 616).
2.3. Das Bundesgericht hat sich mit der Frage des schutzwürdigen Interesses (nach dem mit Art. 48 VwVG übereinstimmenden Art. 89 BGG) bisher noch nicht in Zusammenhang mit dem Bewilligungsverfahren von Art. 271 StGB auseinandersetzen müssen. In bestimmten Urteilen hat es sich aber mit Fragen befasst, die der im vorliegenden Verfahren massgeblichen Problemstellung zumindest (sehr) nahekommen.
2.3.1. Wie das Bundesgericht u.a. in BGE 139 II 404 zu seiner ständigen Rechtsprechung in der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und der internationalen Amtshilfe in Börsenangelegenheiten festgehalten hat, bejaht es die Legitimation des Inhabers eines Bankkontos, über das Auskünfte erteilt werden sollen, grundsätzlich aber nicht jene des wirtschaftlich Berechtigten an diesem, selbst wenn dadurch dessen Identität offengelegt wird (vgl. BGE 137 IV 134 E. 5.2.1 S. 137 f.; 127 II 323 E. 3b/cc S. 330; 125 II 65 E. 1 S. 69 f.). Ein schutzwürdiges Interesse liegt nicht schon dann vor, wenn jemand irgendeine Beziehung zum Streitobjekt zu haben behauptet. Vielmehr muss eine vom einschlägigen Bundesrecht erfasste spezifische Beziehungsnähe gegeben sein. Eine bloss mittelbare Betroffenheit genügt nicht (vgl. BGE 128 II 211 E. 2.3 S. 217; siehe zum Ganzen insb. BGE 139 II 404 E. 2.1.1 S. 411 f.).
Der erwähnte Grundsatz ist in der internationalen Amtshilfe in Steuerfragen allerdings dann zu nuancieren, wenn die ausländische Behörde um Herausgabe von Informationen über solche Steuerpflichtige ersucht, die eine Unterschrifts- oder eine andere Verfügungsberechtigung über Konten bei der betroffenen schweizerischen Bank hatten oder wirtschaftlich an solchen Konten berechtigt waren. Bezieht sich das Amtshilfegesuch ausdrücklich auf die an den Vermögenswerten wirtschaftlich berechtigten Personen, so sind diese im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, weshalb sie zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt sind (vgl. BGE 139 II 404 E. 2.1.3 S. 413 f.).
2.3.2. In BGE 143 II 506 ist einem Bankangestellten, dessen Name zu den Informationen gehörte, die von der Schweiz an die Vereinigten Staaten von Amerika übermittelt werden sollten, die Beschwerdelegitimation zuerkannt worden, um die Weiterleitung seines Namens noch vor der Datenherausgabe anzufechten. Im konkreten Fall konnte der Bankangestellte einen Verstoss gegen die Datenschutzgesetzgebung geltend machen und sich auf ein von einem Zivilrichter ausgesprochenes Verbot gegenüber der Bank berufen, die Identität des Betroffenen an die amerikanischen Behörden weiterzuleiten (vgl. dort insb. E. 5.2.3).
Als wesentliche mögliche Einschränkung dieser dem Angestellten eingeräumten Legitimation hat das Bundesgericht aber festgehalten, dass die so in der Schweiz aufgrund des internen Rechts gewährten Verfahrensrechte keine ungerechtfertigten oder übermässigen Hindernisse gegenüber der Informationsherausgabe nach sich ziehen dürfen, zu der die Schweiz sich aufgrund des internationalen Rechts verpflichtet hat (vgl. BGE 143 II 506 E. 5.2.1 S. 512 ff.; siehe auch BGE 144 II 29 E. 4.2.3 S. 36). Unter den gegeben Umständen lagen solche Hindernisse indessen nicht vor (vgl. BGE 143 II 506 E. 5.3 S. 515).
2.4. Ausserhalb des Teilbereichs der Herausgabe von persönlichen Daten im Bankensektor, sei es im Rahmen der internationalen Rechtshilfe oder sonstiger kontenbezogener Auseinandersetzungen, hat das Bundesgericht festgehalten: Für die Frage nach dem besonders schutzwürdigen Interesse bzw. nach der Parteistellung sind die konkreten Umstände des Einzelfalles von zentraler Bedeutung. Es gibt keine rechtslogisch stringente, begrifflich fassbare, sondern nur eine praktisch vernünftige Abgrenzung zur Popularbeschwerde. Wo diese Grenze verläuft, ist für jedes Rechtsgebiet gesondert zu beurteilen (BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 282 f.; 123 II 376 E. 5b/bb S. 383 mit Hinweisen).
2.4.1. Gegen das schutzwürdige Interesse bzw. die Parteistellung spricht insbesondere die Möglichkeit für die Interessierten, den angestrebten Erfolg auf anderem - z.B. zivil- oder strafrechtlichem - Weg zu erreichen (vgl. BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 282 f.; 132 II 250 E. 4.4 S. 255)
Aus diesem Grund wird die Parteistellung nicht den Konzernleitungsmitgliedern einer Versicherungsgesellschaft in einem Verfahren zugestanden, in welchem die Gesellschaft aufsichtsrechtlich verpflichtet wird, gegen die Konzernleitungsmitglieder Klage zu erheben. Diese Mitglieder können ihre Rechtsstellung im einzuleitenden Zivilprozess wahren; die rein faktische Beeinträchtigung, die sich dadurch ergibt, dass sie in einen Zivilprozess einbezogen werden, begründet noch kein selbständiges Rechtsschutzinteresse (BGE 131 II 587 E. 2 ff. S. 588 ff.). Desgleichen ist der einzelzeichnungsberechtigte Verwaltungsrat einer der Bankenaufsicht unterstehenden Gesellschaft nicht zur Anfechtung der an die Gesellschaft gerichteten aufsichtsrechtlichen Verfügungen legitimiert, weil und soweit er über die beherrschte Gesellschaft selber Beschwerde erheben könnte (BGE 131 II 306 E. 1.2.2 S. 311 f.; Urteil 2A.721/2006 vom 19. März 2007 E. 2.1).
Ebensowenig kann ein Anteilsinhaber von der Bankenaufsicht verlangen, dass sie ein Strafverfahren gegen Bankverantwortliche einleitet, zumal er auch selber eine Strafanzeige einreichen kann (BGE 120 Ib 351 E. 4 S. 356 ff.; vgl. dazu auch schon BGE 98 Ib 53 E. 2 und E. 4 S. 58 ff. sowie die Urteile 2C_762/2010 vom 2. Februar 2011 E. 4.3.4 und 2A.255/2002 vom 22. April 2003 E. 1.3).
2.4.2. Ausserdem soll der Kreis der Personen mit Parteistellung nicht so weit gezogen werden, dass dadurch die Verwaltungstätigkeit übermässig erschwert wird (vgl. vgl. BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 282 f.; siehe auch das Urteil 2C_762/2010 E. 4.4).
Das war mit ein Grund, den Mitgliedern der Konzernleitung die Befugnis abzusprechen, gegen die aufsichtsrechtliche Verpflichtung zur Einreichung einer Klage oder Strafanzeige Beschwerde zu führen (BGE 131 II 587 E. 4.1.3 S. 590 f.). Desgleichen ist für die Rechtsprechung, wonach Dritte gegen die Genehmigung von Unternehmenszusammenschlüssen nicht Beschwerde erheben können, auch die teleologische Überlegung massgebend, dass eine solche Beschwerdebefugnis bzw. die damit verbundene Wahrnehmung von Parteirechten die gesetzlich gewollte Beschleunigung des Verfahrens beeinträchtigen würde (BGE 131 II 497 E. 5.4 S. 511 ff.; vgl. auch das Urteil 2C_762/2010 vom 2. Februar 2011 E. 4.4; siehe dazu auch oben E. 2.3.2 der Gesichtspunkt, dass die in der Schweiz aufgrund des internen Rechts gewährten Verfahrensrechte keine ungerechtfertigten oder übermässigen Hindernisse gegenüber der Informationsherausgabe nach sich ziehen dürfen).
2.4.3. Dazu kommen Aspekte der Praktikabilität. Zwar ist der blosse Umstand, dass allenfalls zahlreiche Personen besonders berührt sein können, für sich allein kein Grund, diesen die Parteistellung abzusprechen (vgl. BGE 129 II 286 E. 4.3.3 S. 293 ff.; 121 II 176 E. 2b S. 178 ff.; 120 Ib 379 E. 4c S. 387). Trotzdem ist es primär die Aufgabe der Behörden, das öffentliche Interesse zu wahren und das objektive Recht durchzusetzen (BGE 135 II 145 E. 6.1 S. 150 f.; 133 II 249 E. 1.3.2 S. 253).
Damit übereinstimmend hat die Rechtsprechung die Beschwerdelegitimation in zahlreichen Fällen auch bei Personen verneint, welche in der betreffenden Konstellation unbestreitbar stärker als die Allgemeinheit berührt waren: So sind Konkurrenten zur Anfechtung einer allenfalls zu Unrecht erteilten Bewilligung an einen Mitkonkurrenten nicht legitimiert, ausser wenn eine einschlägige gesetzliche Ordnung eine spezifische Beziehungsnähe unter den Konkurrenten schafft oder wenn sie geltend machen, Mitkonkurrenten würden privilegiert behandelt (BGE 127 II 264 E. 2c S. 269; 125 I 7 E. 3d ff. S. 9 ff. mit Hinweisen). Auch Aktionäre sind als bloss mittelbar Betroffene selbst dann nicht befugt, eine gegen die Aktiengesellschaft ergehende Verfügung anzufechten, wenn sie Allein- oder Hauptaktionär sind (BGE 131 II 306 E. 1.2.2 S. 311 f.; 125 II 65 E. 1 S. 69 f.; 120 Ib 351 E. 3 S. 354 ff.; 116 Ib 331 E. 1c S. 335 f.).
Im Rahmen der Banken- und Finanzmarktaufsicht reicht es nicht, dass der Anzeiger Anleger oder Kunde bei der betreffenden Bank ist; er muss vielmehr glaubhaft nachweisen, dass und inwiefern seine Rechte als Anleger konkret gefährdet oder verletzt sind und er deshalb ein eigenes, unmittelbares schutzwürdiges Interesse an einer aufsichtsrechtlichen Untersuchung oder an einer bestimmten Massnahme hat (BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 282 f.; 132 II 250 E. 4.3.1 S. 254 120 Ib 351 E. 3b S. 355; Urteil 2A.218/1992 vom 14. August 1995 E. 5a; Urteile 2C_762/2010 E. 4.5; vgl. BGE). (vgl.).
3.
Das Bundesverwaltungsgericht hat geurteilt, hier könne mangels eines schutzwürdigen Interesses auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers nicht eingetreten werden. Diese Einschätzung vermag zu überzeugen.
3.1. Vorab hat sich das Gericht auf einen Gesichtspunkt gestützt, bei dem fraglich ist, ob er für sich allein die Verweigerung der Beschwerdelegitimation zu rechtfertigen vermag: Art. 271 StGB solle in erster Linie die Souveränität der Eidgenossenschaft und nicht den Beschwerdeführer als Individuum schützen; die Bewilligung verhindere lediglich eine strafrechtliche Verurteilung der Bank bzw. ihrer Organe (vgl. E. 4.3.2 u. 4.3.5 des angefochtenen Urteils).
3.1.1. Es trifft zu, dass es bei der Bewilligung gemäss Art. 271 StGB primär um die Beziehung zwischen der Eidgenossenschaft und der beschwerdegegnerischen Bank geht. Diese wird aufgrund der Bewilligung ermächtigt, am amerikanischen Bankenprogramm teilzunehmen, ohne sich durch das strafbar zu machen, was an sich eine rechtswidrige Einschränkung der schweizerischen Souveränität in aussenpolitischen Belangen darstellen würde.
Unter dem Gesichtspunkt von Art. 271 StGB ist festzuhalten: Strafrechtlich gilt als Geschädigter in einem Strafprozess nur, wer in seinen Rechten unmittelbar verletzt ist (Art. 115 Abs. 1 StPO), d.h. wer Träger des geschützten oder mitgeschützten Rechtsgutes ist (BGE 141 IV 454 E. 2.3.1 S. 457). Da Art. 271 StGB keine Individualschutzgüter schützt, hätte der Beschwerdeführer in einem Strafverfahren keine prozessualen Rechte, um sich gegen eine Verletzung dieser Bestimmung zur Wehr zu setzen, da er höchstens indirekt betroffen wäre. Insbesondere könnte er sich auch nicht gegen einen Freispruch oder eine Verfahrenseinstellung wenden (vgl. das Urteil 8G.125/2003 vom 9. Dezember 2003 E. 1.3 in: SJ 2004 I S. 229).
Nun stellt sich die Frage der Beschwerdelegitimation bzw. des schutzwürdigen Interesses hier jedoch nicht im Strafprozess, sondern im Verwaltungsverfahren. Diesbezüglich muss der Beschwerdeführer nicht über ein rechtlich geschütztes Interesse verfügen, aber durch den angefochtenen bzw. den zu erlassenden Entscheid stärker als ein beliebiger Dritter betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehen (vgl. oben E. 2.2.1). Daneben muss er einen praktischen Nutzen aus einer allfälligen Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen. Seine Situation muss durch den Ausgang des Verfahrens in relevanter Weise beeinflusst werden können, z.B. durch das Vermeiden eines materiellen oder ideellen Nachteils, den der angefochtene Entscheid mit sich bringen würde (vgl. oben E. 2.2.2).
Somit kann aus dem Umstand, dass der Straftatbestand der verbotenen Handlungen für einen fremden Staat nicht ein Individualrechtsgut schützt, nicht bereits abgeleitet werden, es fehle im Verwaltungs (rechtsmittel) verfahren am schutzwürdigen Interesse. Für dieses kann es an sich gerade ausreichend sein, dass es nur faktischer Natur ist und der strafrechtliche Tatbestand private Interessen lediglich mittelbar zu schützen vermag.
3.1.2. Zum Vergleich kann auf das Ermächtigungsverfahren im Verantwortlichkeitsrecht verwiesen werden. Die Strafverfolgung eines Beamten bedarf nach Art. 15 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz; VG; SR 170.32) der Ermächtigung. Gegen die Verweigerung derselben ist die Beschwerde zulässig (Art. 15 Abs. 5 VG). Nach früherem Recht stand dieses Beschwerderecht explizit dem "Verletzten" zu (AS 1958 S. 1417). Das Bundesgericht hatte in BGE 106 Ib 173 argumentiert, dass der Begriff des Verletzten nach Verantwortlichkeitsrecht korreliert mit dem entsprechenden strafrechtlichen Begriff (vgl. dort E. 1a S. 174 ff.). Das Bundesgericht hat nun allerdings in BGE 112 Ib 350 diese Rechtsprechung explizit geändert. Es hat ausgeführt, für die Beschwerdeführung bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde genüge auch ein bloss faktisches Interesse, eines rechtlich geschützten Interesses bedürfe es nicht mehr (vgl. ebenda insb. E. 2c S. 351 f.). Der Begriff des Verletzten findet sich im heutigen Art. 15 VG nicht mehr, der Gesetzgeber hat der bundesgerichtlichen Rechtsprechung folgend den Begriff gestrichen.
3.1.3. Nun besteht aber zwischem dem Ermächtigungsverfahren im Verantwortlichkeitsrecht und der hier massgeblichen Fragestellung ein wesentlicher Unterschied. Im einen wie im anderen Fall handelt es sich zwar übereinstimmend um Drittbeschwerden durch Personen, die nicht selbst Adressaten der Verfügung bzw. Bewilligung sind. Unterschiedlich ist, dass die der beschwerdegegnerischen Bank gewährte Bewilligung, am US-Bankenprogramm teilzunehmen, insofern allgemeiner und weitreichender Natur ist, als sie nebst dem Beschwerdeführer noch eine grosse Vielzahl von anderen Einzelfällen betrifft. In Bezug auf deren Regelung hat er - sowie generell in Bezug auf die Bewilligung als solche und im Gegensatz zur Herausgabe seiner persönlichen Daten - kein schutzwürdiges Interesse, und sei es auch nur einen rein faktischen, praktischen Nutzen (vgl. dazu auch unten E. 3.3.3).
Aus diesem Unterschied ergibt sich auch, dass es für das Bundesverwaltungsgericht oder das Bundesgericht nicht angehen kann, die hier massgebliche Bewilligung gesamthaft als rechtswidrig oder wirkunslos zu erklären, nur um die Herausgabe der Daten des Beschwerdeführers zu verhindern. Gerade das wäre jedoch die zwingende Folge, wenn das vorliegende Rechtsmittel gutzuheissen (gewesen) wäre. Es besteht aber kein Grund, der beschwerdegegnerischen Bank allgemein die Teilnahme am US-Bankenprogramm zu untersagen, nur weil die in einem einzigen Anwendungsfall gegebenenfalls erfolgte Mitteilung von Informationen mit einem Rechtsverstoss verbunden wäre.
3.1.4. In diesem spezifischen Punkt liegt auch der entscheidende Unterschied gegenüber den dargestellten Bundesgerichtsurteilen (vgl. oben E. 2.3.1. u. 2.3.2) zur Herausgabe persönlicher Daten im Bankenbereich.
Aus diesen Urteilen ergibt sich ein schutzwürdiges Interesse, um sich gegen die ungerechtfertigte Herausgabe seines Namens zur Wehr zu setzen, nicht nur für Kontoinhaber, sondern für wirtschaftlich Berechtigte und Bankangestellte sowie allfällige andere Personenkategorien, soweit die Weiterleitung ihrer Daten spezifischer Gegenstand der geplanten Herausgabe sein soll (vgl. zum Begriff der "betroffenen Person" bzw. der betroffenen Drittperson gemäss der hier nicht anwendbaren Gesetzgebung zur internationalen Amtshilfe in Steuerangelegenheiten, vgl. u.a. E. 4 u. 6 des Urteils 2C_963/2014 vom 24. September 2015, teilweise publiziert in BGE 141 II 436). Vorbehalten sind die Verpflichtungen, welche die Schweiz gegenüber dem jeweiligen anderen Staat aufgrund des internationalen (und internen) Rechts eingegangen ist.
Aber keines der besagten Urteile stand im Zusammenhang mit einer Bewilligung gemäss Art. 271 StGB. Immer ging es nur um ein schutzwürdiges Interesse zur Anfechtung der Herausgabe persönlicher Daten, ohne dass gleichzeitig oder sogar primär darüber hätte befunden werden müssen, ob die Bewilligung im Allgemeinen zu Recht gewährt bzw. verlängert worden ist. Ein ausreichendes Interesse, das Eine anzufechten, bedeutet noch keine genügende Legitimation, das Andere in Frage zu stellen.
3.2. Das Bundesverwaltungsgericht hat zudem ausgeführt: Die Position des Beschwerdeführers werde durch die Gewährung bzw. Verlängerung der Bewilligung weder in Bezug auf Rechte noch auf Verpflichtungen direkt betroffen (E. 4.3.2 u. 4.3.6). Er sei erst dann beschwert, wenn sein Name den amerikanischen Behörden mitgeteilt sein sollte, nicht aber bereits zuvor (E. 4.3.5). Somit könne auch nicht, wie von ihm beantragt, festgestellt werden, dass die Übermittlung seiner Daten aufgrund der Verfügung nicht zulässig sei (E. 4.4).
3.2.1. Es ist zu prüfen, ob der Beschwerdeführer, der nicht Adressat der massgeblichen Verfügung ist, vor der Herausgabe seiner Daten überhaupt ein aktuelles Interesse hat, statt einem bloss virtuellen.
Von einem solchen aktuellen Interesse ist schon deshalb auszugehen, weil die Bank dem Beschwerdeführer bereits unmissverständlich angekündigt hatte, dass die ihn betreffende Datenherausgabe bevorstehe und sie daran, trotz des seitens des Betroffenen ebenso deutlich kundgetanen Widerstandes, an der geplanten Mitteilung festgehalten hat (vgl. oben Sachverhalt/C.).
3.2.2. Aussagekräftig ist weiter eine Einwendung der beschwerdegegnerischen Bank: Sie bestreitet, dass die hier massgebliche Datenherausgabe (erst) aufgrund der Verfügung des Departements vorgesehen sei; es sei unklar, ob die geplante Herausgabe überhaupt einer Bewilligung gemäss Art. 271 StGB bedürfe.
Das bestätigt nicht nur das aktuelle Interesse des Beschwerdeführers. Wesentlich ist weiter, dass die Bank um die besagte Bewilligung ersucht und sie erhalten hat. Das ist namentlich unter Bestimmungen, Einschränkungen und Bedingungen geschehen, die sich konkret auf die Personenkategorie des Beschwerdeführers beziehen (vgl. oben Sachverhalt/B.). Unter den gegebenen Umständen hat er ein aktuelles Interesse sowie einen praktischen Nutzen und ein zumindest tatsächliches Interesse gehabt, um sich gegen die Herausgabe seines Namens zu wehren. Das besagt aber noch nicht, dass sein aktuelles und schutzwürdiges Interesse so weit gehen würde, sich auch allgemein gegen die der Bank gewährte Bewilligung zur Wehr zu setzen.
3.3. Der entscheidende Punkt liegt im Folgenden: Die Vorinstanz hat weiter festgehalten, ein schutzwürdiges Interesse sei solange zu verneinen, als dem Beschwerdeführer die sich aus dem Zivilrecht und namentlich der Gesetzgebung zum Datenschutz ergebenden Rechtsmittel zur Verfügung gestellt würden und er diese auch ergriffen habe.
3.3.1. Das entspricht der dargestellten Rechtsprechung (vgl. oben E. 2.4.1). So spricht es allgemein gegen das schutzwürdige Interesse bzw. die Parteistellung, wenn die Interessierten die Möglichkeit haben, den angestrebten Erfolg auf anderem - z.B. zivil- oder strafrechtlichem - Weg zu erreichen.
Im konkreten Fall ist weder ersichtlich noch dargetan, dass das durch die Bewilligung selbst vorgesehene und bereits konkret zur Anwendung gekommene zivilrechtliche Verfahren die Rechte des Beschwerdeführers in irgendeiner Weise weniger wirkungsvoll schützen würde, als das in einem Verwaltungsverfahren der Fall sein könnte. Vielmehr scheint unbestritten, dass der gegen die Herausgabe der Daten zugestandene Rechtsschutz in nichts hinter dem zurücksteht, wie er in den oben dargestellten Bundesgerichtsurteilen (vgl. oben E. 2.3.1 u. 2.3.2) zum Tragen gekommen ist (vgl. dazu auch das Bundesgerichtsurteil 4A_83/2016 vom 22. September 2016 E. 3 in: RDAF 2017 II S. 124).
3.3.2. Das steht im Einklang mit der weiteren Notwendigkeit, dass der Kreis der Personen mit Parteistellung bzw. Beschwerdelegitimation nicht so weit gezogen werden soll, dass dadurch die Verwaltungstätigkeit übermässig erschwert wird, insbesondere dann, wenn die fragliche Beschwerdebefugnis bzw. die damit verbundene Wahrnehmung von Parteirechten die gesetzlich gewollte Beschleunigung des Verfahrens beeinträchtigen würde (vgl. oben E. 2.4.2).
Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer wohl unbestreitbar ein schutzwürdiges Interesse, um die Herausgabe seiner Daten zu verhindern, was er zur Genüge durch das vorgesehene und ergriffene Zivilverfahren erreichen kann. Eine Legitimation, um allgemein gegen die gewährte Bewilligung vorzugehen, hat er nicht. Sie würde auch die behördliche Tätigkeit bzw. die gesamte Teilnahme der beschwerdegegnerischen Bank am US-Bankenprogramm unnötig und übermässig erschweren.
3.3.3. Nun trifft zwar zu, dass der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht Argumente geltend gemacht hat, die über sein persönliches Problem der Datenherausgabe hinausgehen. Namentlich hat er vorgebracht, Art. 271 StGB müsse sich aus einer spezifischen rechtlichen Grundlage (Legalitätsprinzip) ergeben, die hier nicht erfüllt sei. Oder es wird unter Berufung auf einen früheren Entscheid des Bundesrates geltend gemacht, Bewilligungen nach Art. 271 StGB seien nur zulässig, wenn der Rechtshilfeweg ausgeschlossen sei.
Solchen Argumenten sind jedoch u.a. die genannten Aspekte der Praktikabilität (vgl. oben E. 2.4.3) entgegenzuhalten. Für die genannten Probleme, die weit über den Bereich des schutzwürdigen Eigeninteresses des Beschwerdeführers hinausgehen (vgl. oben E. 3.1.3 u. 3.1.4), liegt nichts vor, was über das Allgemeininteresse an der richtigen Rechtsanwendung hinausgeht. Das gilt umso mehr, als die Umsetzung dieses Allgemeininteresses den Ablauf des Bankenprogramms übermässig erschweren würde und sich in keiner Weise als notwendig erweist.
4.
Bei dieser Einschätzung kann mit der Vorinstanz offen gelassen werden, ob der Beschwerdeführer die verlängerte Bewilligung rechtzeitig angefochten hat.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und wird der Beschwerdeführer kosten- sowie entschädigungspflichtig (vgl. Art. 65 f. u. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter