Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1970) und B.A._ (geb. 1969) heirateten im Jahr 1994. Sie haben drei gemeinsame Kinder, wobei zwei davon bereits volljährig sind (C.A._, geb. 1994, und D.A._, geb. 1996). Das dritte Kind ist der Sohn E.A._ (geb. 2006). Im Jahr 2012 trennten sich die Parteien; die Folgen des Getrenntlebens wurden im Rahmen eines Eheschutzverfahrens geregelt.
A.b. Am 17. Februar 2015 gelangten die Parteien mit einem gemeinsamen Scheidungsbegehren an das Einzelgericht des Bezirksgerichts Andelfingen. Das Urteil erging am 18. März 2019. Soweit vor Bundesgericht relevant, genehmigte das Einzelgericht die von den Parteien vereinbarte gemeinsame Obhut über den Sohn mit gleichwertiger Betreuung. Sodann verpflichtete der Einzelrichter A.A._ zur Bezahlung von monatlichen Kindesunterhaltsbeiträgen für E.A._, zzgl. hälftiger Familienzulage, wie folgt: Fr. 768.-- ab Eintritt der Rechtskraft des Entscheids bis am 31. Juli 2019 (wobei Fr. 89.-- auf den Betreuungsunterhalt entfallen); Fr. 1'027.-- ab dem 1. August 2019 bis und mit 31. Dezember 2019 (wobei Fr. 89.-- auf den Betreuungsunterhalt entfallen); Fr. 982.-- (Barunterhalt) ab dem 1. Januar 2020 bis und mit 31. März 2022; Fr. 1'009.-- (Barunterhalt) ab dem 1. April 2022 bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung des Kindes, auch über die Volljährigkeit hinaus, zahlbar an die Kindsmutter, solange das Kind in deren Haushalt lebt oder keine eigenen Ansprüche stellt bzw. keinen anderen Zahlungsempfänger bezeichnet. Der Einzelrichter verpflichtete die Parteien sodann zur Übernahme der Kosten von E.A._ für die Zeit, in der er von ihnen jeweils betreut wird bzw. mit ihnen Ferien verbringt. Die Kindsmutter kommt für die Krankenkassenprämien von E.A._ auf; der Kindsvater übernimmt dessen Mobilitätskosten. Ausserordentliche Kosten übernehmen die Parteien je hälftig. Darüber hinaus verpflichtete der Einzelrichter A.A._ zur monatlichen Bezahlung von nachehelichem Unterhalt wie folgt: Fr. 653.-- ab Eintritt der Rechtskraft des Entscheids bis am 31. Juli 2019; Fr. 517.-- ab dem 1. August 2019 bis und mit 31. Dezember 2019; Fr. 455.-- ab dem 1. Januar 2020 bis und mit 31. März 2022; Fr. 508.-- ab dem 1. April 2022 bis und mit 31. März 2023. Der Einzelrichter legte sodann die Bemessungsfaktoren fest.
B.
Gegen dieses Urteil erhob A.A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 4. November 2019 wies das Obergericht die Berufung ab. Hinsichtlich des Kindes- und nachehelichen Unterhalts entfernte es die vom Einzelrichter vorgesehene erste Phase (Rechtskraft Urteil bis Ende Juli 2019), da die Rechtskraft betreffend die angefochtenen Punkte frühstens im November 2019 und damit erst nach Ablauf dieser Phase eintreten konnte. Darüber hinaus beliess das Obergericht die bezirksgerichtliche Unterhaltsregelung unverändert.
C.
Mit Beschwerde vom 15. Dezember 2019 (Postaufgabe: 16. Dezember 2019) gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Die Parteien seien betreffend den anfallenden " Kinder-Barunterhaltskosten" in ihrem eigenen Haushalt alleine unterhaltspflichtig, "zusätzlich zu einer Zahlungspflicht betreffend Gesundheitskosten in die Verantwortung der Kindsmutter und einer der Mobilitätskosten in die des Kindsvaters"; sowie mit einer hälftigen Ausgleichszahlung der "kantonalen Kinder- und Ausbildungszulage" zulasten des Zulagenempfängers. Weiter sei festzustellen, dass sich die Parteien gegenseitig keinen nachehelichen Unterhalt schulden. In Bezug auf die Bemessungsfaktoren beantragte der Beschwerdeführer was folgt: "In Anlehnung an die gerichtliche Offizialmaxime, konkludent zum Entscheid." Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über Zivilsachen entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2 und Art. 90 BGG). Vor Bundesgericht stehen unterhaltsrechtliche und damit vermögensrechtliche Fragen im Streit. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein; es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (BGE 143 II 283 E. 1.2.3 S. 286; 138 III 252 E. 3.2 S. 258; 133 II 396 E. 3.2 S. 399 f.). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen ebenfalls nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: BGE 141 III 513). Erhöhte Anforderungen gelten, wenn Grundrechte als verletzt gerügt werden; hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Auf eine nicht hinreichend begründete Beschwerde tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 142 III 364 E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
2.3. Die Beschwerde ist nach Art. 75 Abs. 1 BGG zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Entscheiden diese nach dem Grundsatz von Art. 75 Abs. 2 BGG als Rechtsmittelinstanzen, ist die Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs unerlässliche Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht. Der Begriff der Letztinstanzlichkeit bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug nicht nur formell durchlaufen werden soll, sondern dass die Rügen, die dem Bundesgericht unterbreitet werden, soweit möglich schon vor Vorinstanz vorgebracht werden müssen (BGE 143 III 290 E. 1.1 S. 292 f. mit Hinweisen).
2.4. Die Beschwerde erfüllt diese Vorgaben in weiten Teilen nicht. Mit Bezug auf die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens der Beschwerdegegnerin (Ziff. 7 S. 4 ff. der Beschwerde) setzt er sich nicht mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander (E. 2.1), schildert einen Sachverhalt, der vom für das Bundesgericht verbindlich festgestellten abweicht, ohne Willkür in der Sachverhaltsfeststellung zu rügen (E. 2.2) und trägt Einwendungen vor, die er im kantonalen Verfahren vorzutragen unterlassen und damit den Instanzenzug nicht ausgeschöpft hat (E. 2.3). Ebenso wenig setzt sich der Beschwerdeführer im Kontext der Beurteilung seiner eigenen Leistungsfähigkeit (Ziff. 7 S. 6 ff. der Beschwerde) mit den Erwägungen des Obergerichts auseinander (wonach er nicht dargelegt habe, inwiefern die Erwägungen des Bezirksgerichts falsch sein sollen und ausserdem nicht in Abrede stelle, dass er seit 2016 mit höherem Pensum ein höheres Einkommen hätte erzielen können). Nicht einzutreten ist ferner auf die Kritik des Beschwerdeführers am zuletzt gelebten ehelichen Lebensstandard (Ziff. 7 S. 3, 7 und 11 der Beschwerde), denn er begnügt sich damit, einen anderen als den vom Obergericht festgestellten Sachverhalt zu behaupten (E. 2.2) und auf seine Berufungseingabe zu verweisen (E. 2.1). Soweit der Beschwerdeführer sich allgemein zur Anwendung der Bestimmungen zum nachehelichen Unterhalt und Kindesunterhalt äussert (Ziff. 8-11 S. 17 ff. der Beschwerde), begnügt er sich mit einer Urteilsschelte, indem er den angefochtenen Unterhaltsentscheid aufgrund der seiner Ansicht nach zu seinem Nachteil einseitig vorgenommenen Lastenverteilung als unverständlich und nicht nachvollziehbar bezeichnet und auf Ausführungen in der Berufungsschrift verweist, die er in die vorliegende Eingabe hinein kopiert hat (E. 2.1). Eine Auseinandersetzung mit den einschlägigen Erwägungen des Obergerichts fehlt aber auch hier (E. 2.1). Denselben Vorwurf muss er sich auch im Zusammenhang mit seiner Beanstandung der vorinstanzlichen Kostenregelung (Antrag auf S. 16 der Beschwerde: die Kosten bzw. die Entschädigung seien zu hoch angesetzt) gefallen lassen. Schliesslich fällt die Eingabe allgemein durch einen polemischen Ton auf. Die Vorwürfe, die Vorinstanz rede "um den heissen Brei herum", betreibe "Willkürjustiz", sie "verschweige" womöglich etwas und weise eine "Doppelmoral" auf, dienen offensichtlich der Stimmungsmache, stellen aber keine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid dar. Aus den genannten Gründen wird nachfolgend nur auf jene Einwendungen eingegangen, welche die Begründungsanforderungen zumindest minimal erfüllen.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Leistung von Kindes- und nachehelichem Unterhalt.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, fälschlicherweise von einer lebensprägenden Ehe ausgegangen zu sein. Was der Beschwerdeführer jedoch hierzu im Einzelnen vorbringt, ist widersprüchlich. Zunächst führt er aus, die lebensprägende Ehe werde bei Ehepaaren angenommen, die über Jahre zusammengelebt und dazu noch Kinder hätten, was zutrifft und vorliegend offenkundig der Fall ist (vgl. zum Begriff der lebensprägenden Ehe: Urteil 5A_43/2016 vom 30. Januar 2017 E. 3.3, in: FamPra.ch 2017 S. 546, mit Hinweisen). Sodann fügt er jedoch hinzu, die Rollenteilung in der Ehe sei für diese Frage entscheidend, wobei er geltend macht, die kantonalen Instanzen seien in Bezug auf seine Ehe fälschlicherweise von einer klassischen Rollenteilung ausgegangen. Letztere Ausführungen treffen nicht zu. Vielmehr wird nach der zitierten Rechtsprechung grundsätzlich bereits dann die Lebensprägung der Ehe vermutet, wenn daraus Kinder hervorgegangen sind, soweit sie im Einzelfall nicht widerlegt wird. Die Ausführungen des Beschwerdeführers vermögen nicht, die Lebensprägung vorliegend in Frage zu stellen. Mithin ist die obergerichtliche Beurteilung der Ehe nicht zu beanstanden.
3.2. Ferner ist der Beschwerdeführer nicht einverstanden mit der bis Ende 2019 geltenden Übergangsfrist, während welcher der Beschwerdegegnerin nur ein Arbeitspensum von 75 % angerechnet wird. Diesbezüglich hatte das Bezirksgericht ausgeführt, dass die Parteien jahrelang die 10/16-Regel gelebt hätten, weshalb das Pensum während einer Übergangsphase nur in dieser Höhe angesetzt werde. Der Beschwerdeführer bringt demgegenüber vor, die geteilte Obhut habe spätestens ab März 2018 existiert, weshalb bei der Beschwerdegegnerin nichts gegen ein Arbeitspensum von 90 % ab "Urteilsbildung im März 2019" spreche. Überdies fusse die Anwendung der 10/16-Regel während der Übergangsfrist auf einer nicht mehr aktuellen Rechtsgrundlage. Vielmehr hätten die Gerichte die per 1. Januar 2017 geltenden Gesetze beachten müssen, welche auch der modernen Rollenverteilung in seiner Familie gerecht würden.
Der Beschwerdeführer übersieht, dass das Bezirksgericht bzw. das Obergericht, indem es ein Arbeitspensum von 75 % angesetzt hat, der hälftigen Betreuung des Sohnes bereits Rechnung getragen hat. Würde die Beschwerdegegnerin den Sohn voll betreuen, so hätte sie nach Massgabe der 10/16-Regel nur zu einem Pensum von 50 % verpflichtet werden können. Der Beschwerdeführer verkennt zudem, dass die Rechtskraft erst mit Eröffnung des obergerichtlichen Urteils eintreten und die Übergangsphase entsprechend frühstens im November 2019 (und nicht bereits im März 2019) zu laufen beginnen konnte. Im Übrigen vermag der Beschwerdeführer, indem er sich über die Übergangsfrist pauschal empört, nicht überzeugend darzulegen, weshalb eine kurze Übergangsfrist von nicht einmal zwei Monaten geradezu unhaltbar ist. Unbehelflich ist dabei die Aussage des Beschwerdeführers, es sei willkürlich, dass die Beschwerdegegnerin ab Januar 2020 "plötzlich" verpflichtet werde, ihr Pensum auf 90 % zu erhöhen, da sich ja nichts geändert habe. So wurde die Beschwerdegegnerin eben gerade nicht plötzlich zu einer Pensumserweiterung verpflichtet, sondern ihr eben eine Übergangszeit eingeräumt, um ihr zu ermöglichen, bis Januar 2020 eine angemessene Stelle zu finden (vgl. BGE 129 III 417 E. 2.2 S. 421). Anzufügen ist, dass die 10/16-Regel nicht nur einseitig bei der Beschwerdegegnerin angewendet wurde. Vielmehr wurde auch beim Beschwerdeführer während dieser Phase im Sinne besagter Regel nur ein Pensum von 75 % und dementsprechend ein tieferes Einkommen angerechnet. Eine Rechtsverletzung bzw. ein Verstoss gegen das Willkürverbot liegt nicht vor.
3.3. In Bezug auf die Altersvorsorge reklamiert der Beschwerdeführer, der Stichtag für die Teilung des Pensionskassenguthabens sei im Februar 2015 gewesen, weshalb sein Stellenwechsel im Jahr 2016 - entgegen den Ausführungen der kantonalen Instanzen und dem Gegenanwalt - in diesem Zusammenhang nicht relevant sei. Hierzu ist zunächst festzuhalten, dass der Beschwerdeführer die Teilung des Pensionskassenguthabens im Sinne von Art. 122 ff. ZGB mit dem Vorsorgeunterhalt nach Art. 125 Abs. 1 ZGB vermengt. Der Vorsorgeunterhalt, um den es hier geht, bezweckt den Ausgleich von zukünftigen nachehelichen Einbussen bei der Altersvorsorge und ist Teil des nachehelichen Unterhalts (vgl. Urteil 5A_632/2019 vom 5. Februar 2020 E. 2.5.1 mit zahlreichen Hinweisen), während die Teilung des Pensionskassenguthabens den Ausgleich von während der Ehe erworbenen Ansprüchen aus der beruflichen Vorsorge bezweckt (vgl. Art. 122 ZGB). Das Obergericht verweist in diesem Zusammenhang auf die erstinstanzliche Erwägung, wonach der Beschwerdeführer mit der eigenmächtigen, freiwilligen Reduktion seines Einkommens im Vorsorgebereich der Beschwerdegegnerin eine von dieser nicht verschuldete Lücke geschaffen habe, die es mittels nachehelichem Unterhalt auszugleichen gelte. Entsprechend geht es um die Ermittlung des nachehelichen Unterhalts, womit der Stellenwechsel des Beschwerdeführers bzw. sein Einkommen sehr wohl eine Rolle spielen. Insoweit sind die vorinstanzlichen Ausführungen nicht zu beanstanden.
4.
Ausserdem bringt der Beschwerdeführer vor, Art. 8 BV sei verletzt, da die Lasten unter den Eltern ungleich verteilt worden seien und er als Mann bzw. Vater diskriminiert werde.
Art. 8 BV hat keine unmittelbare Drittwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen. Indessen sind bei der Auslegung der Vorschriften des Zivilrechts die besonderen Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus den Grundrechten ergeben (BGE 137 III 59 E. 4.1 S. 61 f.). Allerdings setzt dies voraus, dass sich der Beschwerdeführer konkret mit den zivilrechtlichen Normen auseinandersetzt und nicht einfach abstrakt auf Grundrechte beruft (vgl. BGE 107 Ia 277 E. 3a S. 280 f.; 143 I 217 E. 5.2 S. 219; Urteile 5P.40/2003 vom 27. Mai 2003 E. 4; 5D_8/2016 vom 3. Juni 2016 E. 3; 5A_362/2016 vom 20. Februar 2017 E. 6.3; 5A_252/2017 vom 21. Juni 2017 E. 5; 5A_98/2016 vom 25. Juni 2018 E. 3.3). Die Frage der Ausgestaltung des Unterhaltsrechts wird in Art. 125 ZGB (nachehelicher Unterhalt) bzw. Art. 276 ff. ZGB (Kindesunterhalt) geregelt. Soweit der Beschwerdeführer pauschal eine Verletzung von Art. 8 BV geltend macht, zeigt er nicht auf, inwiefern die genannten Bestimmungen mit dem übergeordneten Verfassungsrecht unvereinbar wären bzw. sich aus diesen abstrakten Normen weitergehende Ansprüche als aus den konkretisierenden Gesetzesregelungen ableiten liessen. Auf die Verfassungsrüge ist nicht einzugehen.
5.
Schliesslich macht der Beschwerdeführer die "mutwillige Verschleppung des Prozesses" und damit Rechtsverzögerung geltend. Zögerliches Handeln wirft er dabei dem Bezirksgericht Andelfingen vor. Diese Rüge scheitert allerdings bereits daran, dass der Beschwerdeführer den Instanzenzug nicht materiell ausgeschöpft hat (vgl. E. 2.3). Sie wäre indessen ohnehin nicht erfolgversprechend, zumal es nach der Rechtsprechung an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse fehlt, wenn in der Zwischenzeit der angeblich verzögerte Entscheid ergangen ist (BGE 125 V 373 E. 1 S. 374), was vorliegend freilich der Fall ist. Im Übrigen legt er auch nicht dar, inwiefern er ein Feststellungsinteresse daran hätte, dass über die (behauptete) Verzögerung befunden wird. Auf die Rüge ist mithin nicht einzutreten.
6.
Soweit überhaupt auf die Beschwerde eingetreten werden kann, erweist sie sich als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist deshalb abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller