Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Gebührenpflichtige) bedarf seit einer Kehlkopfoperation einer Tracheostomaversorgung. In anderem Zusammenhang erlitt er einen Unfall, aufgrund dessen er vom 25. Mai 2016 bis zum 8. Juni 2016 im Stadtspital B._ in U._ hospitalisiert war. Eine Thrombose im rechten Bein erforderte anschliessend die Einweisung in die stationäre Pflege. Vor Austritt aus dem Spital äusserte der Gebührenpflichtige sich dahingehend, dass er in das Pflegezentrum C._ verlegt werden möchte. Dementgegen wies die zentrale Bettendisposition der öffentlich-rechtlichen Pflegezentren der Stadt Zürich ihn dem Pflegezentrum D._ zu, wo er sich dann vom 8. Juni 2016 bis zum 18. Juni 2016 zwecks Übergangspflege aufhielt.
1.2. Für die nicht der Grundversicherung unterliegenden Hotellerie- und Betreuungsleistungen sowie eine Nebenleistung (Krankentransport) stellte das Pflegezentrum D._ dem Gebührenpflichtigen den Betrag von Fr. 2'121.-- in Rechnung. Davon beglich dieser eine Teilsumme von Fr. 1'121.--. Der Restbetrag von Fr. 1'000.-- blieb offen, weil der Gebührenpflichtige die ihm erwiesene Leistung als mangelhaft empfand (Zuweisung ins Pflegezentrum D._, Unterbringung in einem Mehrbettenzimmer, fehlende kostenlose Internetversorgung, Verlust eines Hemdes). Darauf leitete die Stadt Zürich die Schuldbetreibung ein. Mit Verfügung vom 12. Mai 2017 bestätigte die Stadt Zürich die Restforderung von Fr. 1'000.-- und hob sie den Rechtsvorschlag, mit welchem der Gebührenpflichtige auf den Zahlungsbefehl reagiert hatte, auf.
1.3.
1.3.1. Die Einsprache an den Stadtrat Zürich und der Rekurs an den Bezirksrat Zürich blieben erfolglos (Beschlüsse vom 20. September 2017 und 7. Februar 2018). Dagegen gelangte der Gebührenpflichtige an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, dessen 3. Abteilung die Beschwerde mit einzelrichterlichem Entscheid VB.2019.00166 vom 3. September 2019 abwies, soweit darauf einzutreten war.
1.3.2. Das Verwaltungsgericht erwog, bei der Anmeldung könnten die Patienten zwar ein Wunsch-Pflegezentrum benennen, die Anmeldung erfolge aber in allgemeiner Weise. Das kantonale Recht vermittle keinen Rechtsanspruch auf Eintritt in ein bestimmtes Pflegezentrum. Dabei handle es sich um einen Realakt, zu welchem - bei gegebenen Voraussetzungen - eine Verfügung verlangt werden könne. Die Zuweisung in ein bestimmtes Pflegezentrum sei nicht vom Streitgegenstand erfasst. Streitig sei daher einzig die Höhe der Benützungsgebühr. Die öffentlich-rechtlichen Pflegezentren der Stadt Zürich wandten einheitliche Benützungsgebühren an, von welchen der Gebührenpflichtige vorgängig Kenntnis genommen und dies unterschriftlich bestätigt habe. Mit seiner Unterschrift habe er auch zum Ausdruck gegeben, Pflegeleistungen beanspruchen zu wollen. Für die "fehlende Pflege" seien jedenfalls keine Kosten verrechnet worden, weshalb auch kein Missverhältnis zwischen Benützungsgebühr und erbrachter Leistung bestehe.
1.3.3. Bei Eintritt in das Pflegezentrum habe er bekundet, die Pflege des Tracheostomas, soweit eine solche erforderlich sei, selbständig bewältigen zu können. Der angebliche Verlust eines Hemdes wäre im Rahmen der Staatshaftung geltend zu machen und vermöge zu keiner Ermässigung der Benützungsgebühr zu führen. Schliesslich sei festzustellen, dass das massgebende (kantonale) Recht keine Rechtsansprüche auf ein Einzelbettzimmer und auf einen kostenlosen Internetzugang verleihe. Auf den Eventualantrag (Feststellung, dass die Zuweisung in das Pflegezentrum D._ ein rechtswidriges Ersatzangebot dargestellt habe), sei - da ausserhalb des Streitgegenstandes liegen - nicht einzutreten.
1.3.4. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2019 erhebt der Gebührenpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die "Streitsache gemäss den in der Eingabe vom 1. November 2017 im Rekurs gestellten Anträgen zu entscheiden". Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen - insbesondere einem Schriftenwechsel - abgesehen.
1.5. Das Bundesgericht hat die Akten eingeholt.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 252 E. 4.2 S. 255) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 145 I 239 E. 2 S. 241).
2.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 145 V 304 E. 1.1 S. 305 f.). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 145 I 121 E. 2.1 S. 133).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 145 V 215 E. 1.2 S. 217).
3.
3.1. Die Vorinstanz wandte verfassungsrechtlich haltbar kantonales Recht an, insbesondere die Verordnung Pflegezentren der Stadt Zürich vom 20. Mai 2015 (nachfolgend: PZV; 813.141). Der hier interessierende Art. 3 Abs. 2 PZV lautet: "Wünsche bezüglich Wahl des Pflegezentrums und der Zimmerkategorie werden so weit als möglich und unter betrieblichen Gesichtspunkten vertretbar berücksichtigt." Die Norm spricht damit ausdrücklich von "Wünschen", denen "so weit als möglich" und auch nur, falls "unter betrieblichen Gesichtspunkten vertretbar", entsprochen werde bzw. werden soll. Mit Blick auf den Wortlaut durfte die kantonalen Instanzen willkürfrei (Art. 9 BV) erwägen, bei Art. 3 Abs. 2 PZV handle es sich um keine Anspruchsnorm.
3.2. Ob in der Frage der Zuteilung eine Verfügung zu verlangen wäre, wie die Vorinstanz darlegt (vorne E. 1.3.2), und ob zwischen der nicht wunschgemässen Zuteilung und der Höhe der Benützungsgebühr tatsächlich kein Zusammenhang besteht, darf vor diesem Hintergrund offenbleiben. Von einem "gebundenen Zulassungsanspruch" kann, entgegen der Annahme des Gebührenpflichtigen, jedenfalls nicht gesprochen werden, weshalb auch kein "Recht auf freie Auswahl des Pflegeheimes" angerufen werden kann und es auch keiner Verletzung des "Rechts auf Selbstbestimmung aus der persönlichen Freiheit" und der Menschenwürde (Art. 10 und 7 BV; ferner Art. 8 EMRK) gleichkommt, wenn eine antragswidrige Zuweisung vollzogen wird. Die vorinstanzlichen Erwägungen halten insofern einer Verfassungsprüfung stand.
3.3. Dem Gebührenpflichtigen ist insofern zuzustimmen, als er vorbringt, eine rechtsfehlerhafte Leistungserbringung könne im Rahmen der Beschwerde gegen die Gebührenverfügung gerügt werden. Weshalb der Restbetrag von Fr. 1'000.-- verfassungswidrig verfügt worden sein soll, bleibt indes unklar. Gemäss Art. 6 Abs. 2 PVZ bemessen die Hotellerietaxen sich nach den erbrachten Dienstleistungen und der vorhandenen Infrastruktur, die Betreuungstaxen nach dem Betreuungsaufwand, wobei eine Pauschale zulässig ist. Entsprechend wäre detailliert und unter spezifischen Verfassungsgesichtspunkten anhand des angefochtenen Entscheids vorzubringen gewesen, inwiefern die Hotellerieleistungen nicht erbracht worden und der verrechnete Betreuungsaufwand ausgeblieben sein soll. Diesen Nachweis kann der Gebührenpflichtige mit seiner allgemein gehaltenen Kritik nicht erbringen, insbesondere auch nicht in einer Weise, die der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit genügen könnte (Art. 106 Abs. 2 BGG; vorne E. 2.3).
3.4. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Die Sache kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG entschieden werden, wobei für alles Weitere auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden darf (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Stadt Zürich, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher