Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft See/Oberland vom 1. Juli 2019 Beschwerde. Die Verfahrensleitung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich forderte sie mit Verfügung vom 15. Juli 2019 auf, innert 30 Tagen eine Prozesskaution im Sinne von Art. 383 Abs. 1 StPO von Fr. 1'500.-- zu leisten, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Mit Eingabe vom 21. Juli 2019 erhob A._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der Verfahrensleitung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 25. Juli 2019 (Verfahren 1B_367/2019) trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein.
2.
Mit Eingabe vom 16. September 2019 erhob A._ Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, da sie seit der Verfügung vom 15. Juli 2019 nichts mehr von der III. Strafkammer gehört habe. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Bei Verfassungsrügen wie der geltend gemachten Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin macht keinerlei Ausführungen, weshalb die III. Strafkammer den Anspruch auf eine Beurteilung innert angemessener Frist im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV verletzt haben sollte. Ausserdem lässt sie ausser Acht, dass sie mit ihrer Beschwerde gegen die Auferlegung einer Prozesskaution selbst zu einer gewissen Verfahrensverzögerung beigetragen hat. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli