Faits :
A.
Par jugement du 17 août 2017, le Tribunal criminel des Montagnes et du Val-de-Ruz a condamné X._, pour actes d'ordre sexuel avec des enfants, contrainte sexuelle, viol, tentative de viol et inceste, à une peine privative de liberté de 3 ans et demi. Il a en outre condamné le prénommé à payer à A._ la somme de 10'000 fr., avec intérêts, à titre de réparation du tort moral.
B.
Par jugement du 18 avril 2018, la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et a réformé celui-ci en ce sens que le prénommé est acquitté et que A._ est renvoyée à agir par la voie civile pour faire valoir ses conclusions civiles. Elle a en outre dit que les indemnités dues à l'avocate B._ pour la défense des intérêts de A._, fixées à 3'385 fr. 80 pour la première instance et à 1'853 fr. 30 pour la deuxième instance, étaient entièrement remboursables à l'Etat aux conditions de l'art. 135 al. 4 CPP.
Il en ressort notamment ce qui suit.
Le 12 février 2015, A._, née en 1991, s'est présentée dans les locaux de la police neuchâteloise afin de déposer plainte pénale contre son père X._, concernant des abus qu'elle prétendait avoir subis de sa part entre 2001 et 2008, soit alors qu'elle avait entre 10 et 17 ans.
Au terme de son instruction, le ministère public a mis X._ en accusation. Il a en substance accusé ce dernier d'avoir, entre 2002 et 2008, contraint une première fois sa fille A._ à se laisser toucher avec les mains, après l'avoir attirée dans ses bras en lui demandant de lui faire un câlin. X._ aurait d'emblée tenté de la pénétrer avec son sexe, sans y parvenir. Agissant dans le salon familial à plusieurs reprises, dans la chambre de A._ ou tandis qu'il conduisait celle-ci au catéchisme, X._ aurait en outre obligé la prénommée à lui toucher le sexe et à le sucer. Il se serait aussi arrêté dans les bois, aurait contraint sa fille à se coucher sur le siège arrière, aurait tenté de pénétrer celle-ci sans y parvenir puis aurait éjaculé sur son ventre. X._ aurait par ailleurs contraint A._ à regarder un film pornographique en lui demandant d'imiter ce qu'elle voyait. Il aurait enfin réussi à pénétrer cette dernière, tandis qu'elle était âgée d'environ 15 ans, agissant de la sorte à plusieurs reprises.
C.
Le Ministère public de la République et canton de Neuchâtel forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 18 avril 2018 (6B_535/2018), en concluant, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens que X._ est condamné pour actes d'ordre sexuel avec des enfants, contrainte sexuelle, viol, tentative de viol et inceste, et que les indemnités dues à l'avocate B._ pour la défense des intérêts de A._ en première et en deuxième instances ne sont pas remboursables à l'Etat. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente, en vue de l'audition de X._ et de l'administration des "éléments probants estimés manquants avant nouveau jugement".
A._ forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 18 avril 2018 (6B_554/2018), en concluant, avec suite de frais et dépens, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin que celle-ci procède à l'audition de X._ et administre ou complète "tous moyens de preuve, cas échéant, utiles à la recherche de la vérité". Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Invités à se déterminer sur les recours du ministère public et de A._, la cour cantonale s'est référée à son jugement, tandis que X._ a conclu au rejet des recours et demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
Les deux recours en matière pénale au Tribunal fédéral sont dirigés contre la même décision. Ils concernent le même complexe de faits et posent des questions juridiques connexes. Il y a donc lieu de joindre les causes et de les traiter dans un seul arrêt (art. 24 al. 2 PCF et 71 LTF).
2.
2.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF, l'accusateur public a qualité pour former un recours en matière pénale.
Le recours formé et signé, comme en l'espèce, par un procureur du Ministère public neuchâtelois ayant pris part aux procédures de première et de deuxième instances cantonales, est recevable (cf. arrêt 6B_681/2018 du 7 août 2018 consid. 1.2).
2.2. A._ (recourante 2), partie plaignante, a pris des conclusions civiles durant la procédure cantonale. Après avoir obtenu une indemnité de 10'000 fr. à titre de réparation du tort moral au terme de la procédure de première instance, celle-ci a été renvoyée à agir devant le juge civil par la cour cantonale, compte tenu de l'acquittement de l'intimé. Elle dispose ainsi de la qualité pour recourir (cf. art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF).
3.
Les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir violé la maxime de l'instruction ainsi que les dispositions relatives à l'administration des preuves dans le cadre de la procédure d'appel, en s'abstenant d'administrer des preuves dont l'autorité précédente a indiqué qu'elles auraient pu se révéler nécessaires au traitement de l'appel.
3.1. Selon la maxime de l'instruction posée à l'art. 6 CPP, les autorités pénales doivent rechercher d'office tous les faits pertinents pour la qualification de l'acte et le jugement du prévenu (al. 1). Elles doivent instruire avec un soin égal les circonstances qui peuvent être à la charge et à la décharge du prévenu (al. 2). Celle-ci n'oblige cependant pas le juge à administrer d'office de nouvelles preuves lorsqu'il a déjà pu former son opinion sur la base du dossier et parvient à la conclusion que les preuves en question ne sont pas décisives pour la solution du litige ou qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (cf. ATF 141 I 60 consid. 3.3 p. 64; 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; arrêt 6B_317/2018 du 10 août 2018 consid. 3.2).
Selon l'art. 389 CPP, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance (al. 1). L'al. 2 de cette disposition prévoit que l'administration des preuves du tribunal de première instance n'est répétée que si les dispositions en matière de preuves ont été enfreintes (let. a), si l'administration des preuves était incomplète (let. b) ou si les pièces relatives à l'administration des preuves ne semblent pas fiables (let. c). Conformément à l'art. 389 al. 3 CPP, l'autorité de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours.
3.2. En l'espèce, l'autorité précédente, saisie d'un appel de l'intimé portant sur l'établissement des faits qui lui étaient reprochés, s'est livrée à une nouvelle appréciation des preuves en usant de son plein pouvoir d'examen (cf. art. 398 al. 2 CPP). Elle a indiqué, au terme de son appréciation des preuves, que l'accusation n'avait "pas apporté de preuves suffisantes de la culpabilité de [l'intimé]" alors que celle-ci "aurait pu apporter des éléments supplémentaires". On comprend du jugement attaqué que la cour cantonale faisait de la sorte référence à la question des déclarations faites par la recourante 2 à ses psychiatres successifs. A cet égard, l'autorité précédente a indiqué ce qui suit :
"Les renseignements médicaux figurant au dossier au sujet de la [recourante 2] sont très sommaires. En particulier, les médecins à qui la [recourante 2] avait dit avoir parlé des faits et qu'elle a déliés du secret médical n'ont pas été amenés à déposer des rapports. Le dossier ne contient que des rapports succincts d'une infirmière (au sujet d'éléments postérieurs au dépôt de la plainte, cf. D. 325) et d'un médecin du C._ (qui ne connaissait apparemment la plaignante que depuis peu, en 2015, cf. D. 327), rapports obtenus d'ailleurs par la [recourante 2] elle-même. Le ministère public n'a apparemment pas jugé utile de demander des compléments, par exemple par la production des éventuelles annotations - dans le dossier médical - du médecin-psychiatre qui avait recueilli les confidences de la [recourante 2] en 2012 (cf. D. 327)."
Il ressort de ce qui précède que la cour cantonale a reproché au ministère public de ne pas avoir mené une instruction plus complète, notamment en cherchant à obtenir des informations relatives aux déclarations faites par la recourante 2 à son psychiatre en 2012, soit plus de deux ans avant le dépôt de sa plainte contre l'intimé. Sur ce point, l'autorité précédente n'a pas signalé que l'administration d'une preuve - notamment celle évoquée concernant les annotations du dossier médical de la recourante 2 - aurait été superflue, par exemple au regard de l'art. 139 al. 2 CPP, ni n'a procédé à une administration anticipée de la preuve pour conclure à l'inutilité d'investigations en la matière. Elle a au contraire suggéré que des éléments supplémentaires auraient pu se révéler déterminants pour aboutir à une condamnation de l'intimé, en indiquant ce qui suit :
"Il est possible et peut-être même probable que [l'intimé] ait eu les comportements qui lui sont reprochés, mais cela ne suffit pas pour écarter un certain doute. En d'autres termes, la culpabilité [de l'intimé] n'est pas établie au-delà d'un doute raisonnable. En conséquence, [l'intimé] doit être acquitté. Cela ne signifie pas qu'à la vérité, [l'intimé] serait innocent, ni que la [recourante 2] aurait menti. Le principe de la présomption d'innocence vise à protéger les personnes innocentes contre des condamnations prononcées à tort et implique nécessairement que, parfois, des coupables échappent à la répression, du fait que leur culpabilité n'a pas pu être démontrée au-delà de tout doute raisonnable. La Cour pénale estime que, dans le cas d'espèce, l'application de ce principe doit avoir pour conséquence l'acquittement de [l'intimé], dans la mesure où la culpabilité éventuelle de celui-ci n'a pas été établie de manière suffisante."
On comprend de cette motivation que la cour cantonale n'a pas, au terme d'une administration complète des preuves à disposition, estimé qu'un doute insurmontable subsistait quant à la réalité des faits décrits par la recourante 2, avant d'acquitter l'intimé conformément au principe "in dubio pro reo" (cf. art. 10 CPP), mais qu'elle a - tout en laissant entendre que l'intimé était vraisemblablement coupable des faits litigieux - reproché au ministère public de ne pas avoir recueilli suffisamment de preuves pour justifier une condamnation. Or, si la cour cantonale estimait qu'une preuve pertinente - en l'occurrence la production du dossier psychiatrique de la recourante 2 ou l'audition des psychiatres auxquels celle-ci avait déclaré avoir subi des abus sexuels de la part de l'intimé - n'avait pas été administrée et qu'il ne lui était dès lors pas possible, en l'état, d'établir convenablement les faits, il lui incombait d'y remédier d'office (cf. art. 389 al. 3 CPP) conformément à son objectif de recherche de la vérité matérielle. Elle ne pouvait se contenter d'acquitter l'intimé - en le mettant au bénéfice du doute -, tout en soulignant, dans sa motivation, la vraisemblable culpabilité de ce dernier, ce qui s'avère précisément contraire à la présomption d'innocence.
Il découle de ce qui précède que les recours doivent être admis sur ce point, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin que celle-ci éclaircisse les circonstances dans lesquelles les psychiatres de la recourante 2 ont pu - en particulier en 2012 - être nantis de révélations concernant d'éventuels abus sexuels subis de la part de l'intimé. Il appartiendra ensuite à l'autorité cantonale de procéder - en tenant compte des éléments ainsi recueillis - à une nouvelle appréciation des preuves s'agissant de la réalité des accusations portées contre ce dernier.
4.
Les recourants reprochent par ailleurs à l'autorité précédente de ne pas avoir auditionné l'intimé au cours des débats d'appel, alors qu'il existerait une situation de "déclarations contre déclarations".
4.1. Aux termes de l'art. 343 al. 3 CPP - applicable aux débats d'appel par renvoi de l'art. 405 al. 1 CPP - le tribunal réitère l'administration des preuves qui, lors de la procédure préliminaire, ont été administrées en bonne et due forme, lorsque la connaissance directe du moyen de preuve apparaît nécessaire au prononcé du jugement (cf. ATF 143 IV 288 consid. 1.4.1 p. 290; arrêt 6B_1469/2017 du 18 juin 2018 consid. 1.3). La connaissance directe d'un moyen de preuve n'est nécessaire que lorsque celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la procédure, ce qui est le cas si la force du moyen de preuve dépend de manière décisive de l'impression suscitée au moment de sa présentation, notamment quand des déclarations constituent l'unique moyen de preuve - à défaut de tout autre indice - et qu'il existe une situation de "déclarations contre déclarations" (cf. ATF 140 IV 196 consid. 4.4.2 p. 199 s.; arrêts 6B_1469/2017 précité consid. 1.3; 6B_69/2018 du 11 juin 2018 consid. 1.1; 6B_886/2017 du 26 mars 2018 consid. 1.3.1).
4.2. Il ressort du jugement attaqué que, le jour précédent l'audience d'appel, l'intimé a demandé le renvoi des débats, en indiquant qu'il se trouvait au Portugal et n'avait pas la possibilité de rentrer en Suisse. La cour cantonale a refusé de reporter l'audience d'appel, tout en indiquant que l'intimé avait déjà été suffisamment interrogé - et même confronté à la recourante 2 -, de sorte qu'une nouvelle audition n'était pas nécessaire.
Dans son appréciation des preuves, la cour cantonale a écarté les divers éléments probatoires périphériques aux accusations portées par la recourante 2. Elle a en substance indiqué que la présence du frère de cette dernière au domicile familial durant les périodes où les abus sexuels auraient pu être commis n'était pas déterminante, non plus que les déclarations de D._ concernant les pratiques sexuelles et l'infidélité de l'intimé. La cour cantonale n'a pas davantage considéré comme décisifs la relation entretenue par l'intimé avec E._, les déclarations des soeurs E._ concernant les motivations supposées de la recourante 2 dans la procédure, le comportement de cette dernière à l'égard de la gent masculine, ou encore les antécédents médicaux de l'intéressée. L'essentiel de son appréciation a consisté à discuter la crédibilité des déclarations respectives de la recourante 2 et de l'intimé. La cour cantonale a d'ailleurs admis qu'il s'agissait, dans la présente cause, "d'apprécier la crédibilité des déclarations de la [recourante 2] et de celles [de l'intimé], en tenant compte de quelques éléments externes, peu nombreux et peu décisifs".
Il apparaît ainsi que d'éventuels abus sexuels commis par l'intimé ne pouvaient être établis que sur la base des déclarations de celui-ci et de la recourante 2, les autres éléments probatoires - y compris les renseignements relatifs aux déclarations faites par l'intéressée à ses psychiatres, que la cour cantonale a omis de recueillir (cf. consid. 3 supra) - ne pouvant en définitive qu'en renforcer ou en affaiblir la crédibilité. Partant, il s'agissait d'une situation de "déclarations contre déclarations", dans laquelle la connaissance directe d'un moyen de preuve - en l'occurrence l'audition de l'intimé - était nécessaire au sens de l'art. 343 al. 3 CPP, puisque susceptible d'influer sur le sort de la procédure, sa force dépendant de manière décisive de l'impression suscitée au moment de sa présentation.
L'autorité précédente a donc violé le droit fédéral en s'abstenant d'entendre directement l'intimé à propos des faits litigieux. Les recours doivent également être admis sur ce point et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin que celle-ci procède à l'audition de l'intimé avant de rendre une nouvelle décision.
5.
Dès lors qu'il appartiendra à l'autorité cantonale d'examiner à nouveau si l'intimé a pu se rendre coupable des faits qui lui sont reprochés par la recourante 2, le Tribunal fédéral peut, en l'état, se dispenser d'examiner si et dans quelle mesure la cour cantonale pouvait - eu égard à l'acquittement prononcé - exiger de l'intéressée le remboursement des indemnités allouées à son conseil juridique gratuit, sur la base de l'art. 135 al. 4 CPP.
6.
Les recours doivent être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision (cf. consid. 3.2 et 4.2 supra). Il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). La recourante 2 peut prétendre à de pleins dépens, à la charge du canton de Neuchâtel (art. 68 al. 1 LTF). Cela rend sans objet sa demande d'assistance judiciaire. Comme l'intimé est dans le besoin et que ses conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec, sa demande d'assistance judiciaire doit être admise (art. 64 al. 1 LTF). Par conséquent, il y a lieu d'allouer une indemnité à sa mandataire, désignée comme avocate d'office (art. 64 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 6B_535/2018 et 6B_554/2018 sont jointes.
2.
Les recours sont admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
3.
La demande d'assistance judiciaire de X._ est admise. Me Béatrice Haeny est désignée comme conseil d'office et une indemnité de 1'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le canton de Neuchâtel versera au conseil de A._ une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 15 novembre 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa