Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1966 geborene A._ war im Rahmen ihrer Arbeitslosigkeit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 24./25. April 2019 meldete sie der Suva einen am 2. April 2019 entdeckten Zeckenbiss, der zu einer Frühsommer-Meningoenzephalitis (FSME) geführt habe. Die Unfallversicherung richtete die gesetzlichen Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld aus. Mit Verfügung vom 13. Februar 2020 teilte sie A._ mit, die Taggeldzahlungen für den Zeitraum vom 5. April bis 31. Oktober 2019 seien wegen des Vorbestehens einer krankheitsbedingten 100%igen Arbeitsunfähigkeit zu Unrecht erfolgt und würden beim Krankentaggeldversicherer zurückgefordert. Die dagegen erhobene Einsprache wies die Suva mit Entscheid vom 25. Mai 2020 ab, soweit sie darauf eintrat.
A.b. Bereits zuvor hatte die Suva ihre wegen eines Sturzes vom 9. September 2018 an A._ erbrachten Leistungen mangels natürlicher Kausalität für die anhaltenden Beschwerden an der linken Schulter per 18. Februar 2019 eingestellt (Verfügung vom 5. August 2019 und Einspracheentscheid vom 27. Februar 2020). Die dagegen erhobene Beschwerde an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau blieb ohne Erfolg (Entscheid vom 11. August 2020).
B.
Die gegen den Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 25. November 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, die Sache sei in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese nach Abschluss des ordentlichen Schriftenverkehrs mit Replik und Duplik neu entscheide; eventualiter sei die Suva zu verpflichten, ihr aufgrund des Zeckenbisses spätestens ab 1. Mai 2020 Unfalltaggelder auszurichten.
Das Bundesgericht holte die vorinstanzlichen Akten ein. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 145 V 57 E. 4.2 mit Hinweis).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (BGE 133 III 393 E. 3). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinn von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder Urkunden, die erst nach diesem entstanden sind, können als echte Noven vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden (BGE 143 V 19 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 25. Mai 2020 einen Anspruch auf Taggelder infolge des am 24./25. April 2019 gemeldeten und als Unfallereignis anerkannten Zeckenbisses verneinte. Zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildet dabei der Erlass des Einspracheentscheids vom 25. Mai 2020 (BGE 143 V 409 E. 2.1; 134 V 392 E. 6; je mit Hinweis).
2.2. Das kantonale Gericht legte die massgebenden Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf ein Taggeld (Art. 16 UVG) zutreffend dar. Richtig wiedergegeben wurde auch die Regelung bezüglich des Zusammentreffens verschiedener Schadensursachen (Art. 36 UVG). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst in formeller Hinsicht eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 Abs. 1 EMRK, da die Vorinstanz den Anspruch auf das unbedingte Replikrecht verletzt habe.
3.2. Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet einen Teilgehalt des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Diese Garantie umfasst das Recht, von allen beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Das Gericht muss vor Erlass seines Urteils eingegangene Vernehmlassungen den Beteiligten zustellen, damit diese sich darüber schlüssig werden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht (zum Ganzen: BGE 146 III 97 E. 3.4.1; 139 I 189 E. 3.2; 138 I 484 E. 2.1; 137 I 195 E. 2.3.1; je mit Hinweisen).
Es obliegt dem Gericht, in jedem Einzelfall den Parteien ein effektives Replikrecht zu gewähren. Es kann der betroffenen Person hierfür eine Frist setzen, doch genügt zur Wahrung des Replikrechts grundsätzlich, dass den Parteien die Eingaben zur Information (Kenntnisnahme, Orientierung) zugestellt werden, wenn von ihnen, namentlich von anwaltlich Vertretenen oder Rechtskundigen, erwartet werden kann, dass sie unaufgefordert Stellung nehmen (BGE 142 III 48 E. 4.1.1; 138 I 484 E. 2.4; Urteil des EGMR Joos gegen Schweiz vom 15. November 2012, Nr. 43245/07, Ziff. 29-33). Nach der Zustellung zur Kenntnisnahme ist das Gericht gehalten, eine angemessene Zeitspanne mit dem Entscheid zuzuwarten. Die Rechtsprechung bejaht in aller Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht "nur wenige Tage" nach der Mitteilung entscheidet (vgl. BGE 137 I 195 E. 2.6). In einer allgemeinen Formulierung hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach zwanzig Tagen von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (vgl. Urteile 1C_338/2020 vom 19. Januar 2021 E. 2.3; 1B_376/2020 vom 11. September 2020 E. 2.2; 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2.2; je mit Hinweisen). Diese Wartefrist für das Gericht schliesst die Zeit, welche die Partei zur Übermittlung ihrer (Replik-) Eingabe benötigt, bereits ein (Urteile 1C_338/2020 vom 19. Januar 2021 E. 2.3; 2C_441/2019 vom 27. September 2019 E. 2.1; je mit Hinweisen). Entsprechend obliegt es einer Partei, die eine Stellungnahme zu einer ihr zur Kenntnisnahme zugestellten Vernehmlassung für erforderlich hält, diese grundsätzlich unverzüglich einzureichen oder zu beantragen (BGE 138 I 484 E. 2.2; 133 I 100 E. 4.8; zum Ganzen: Urteil 1C_338/2020 vom 19. Januar 2021 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.3. Aktenkundig und unbestritten ist, dass die Beschwerdeantwort der Suva vom 30. Oktober 2020 dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 5. November 2020 zur Kenntnisnahme zugestellt worden war. Der angefochtene Entscheid erging am 25. November 2020, mithin nach einer Wartefrist von 20 Tagen. Diese Zeitspanne genügt gemäss der dargelegten Rechtsprechung (E. 3.2 hievor), um - gerade bei einer anwaltlich vertretenen Partei - bei Untätigkeit einen Verzicht auf das Replikrecht annehmen zu dürfen. Soweit die Beschwerdeführerin eine ihr zustehende Replikfrist von 30 Tagen geltend macht, vermag sie sich denn auch nicht auf eine entsprechende Praxis des kantonalen Gerichts zu berufen, was allenfalls nach dem Grundsatz von Treu und Glauben zu berücksichtigen gewesen wäre. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehörs liegt mithin nicht vor.
4.
4.1. In der Sache stellte die Vorinstanz in umfassender Würdigung der Aktenlage fest, gestützt auf ihren unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Entscheid vom 11. August 2020 seien die linksseitigen Schulterbeschwerden nicht mehr auf den Sturz vom 9. September 2018 und damit nicht mehr auf einen Unfall zurückzuführen. Ein ursächlicher Zusammenhang zwischen dem am 2. April 2019 entdeckten Zeckenbiss und den Schulterbeschwerden sei nicht anzunehmen. Gestützt auf die Berichte des behandelnden Arztes PD Dr. med. B._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Klinik C._, vom 7. Juni, 5. September und 1. November 2019 sowie dessen telefonische Auskunft vom 9. Dezember 2019 sei sodann erstellt, dass die Beschwerdeführerin wegen des Schulterleidens seit dem 26. Februar 2019 und somit bereits zum Zeitpunkt des Zeckenbisses dauernd vollumfänglich arbeitsunfähig gewesen sei. Ein ursächlicher Zusammenhang zwischen den als Folge des Zeckenbisses aktenkundigen psychischen Beschwerden und dem Schulterleiden, so das kantonale Gericht, sei schliesslich nicht erstellt, weshalb kein Anwendungsfall von Art. 36 UVG vorliege und die Suva zu Recht einen Taggeldanspruch hinsichtlich des Zeckenbisses verneint habe.
4.2. Beschwerdeweise wird im Wesentlichen geltend gemacht, das kantonale Gericht habe willkürlich festgestellt, dass aufgrund des linksseitigen Schulterleidens eine dauernde vollumfängliche Arbeitsunfähigkeit vorliege. Spätestens ab 1. Mai 2020 sei die Beschwerdeführerin aufgrund der Schulterbeschwerden wieder zu 50 % und ab 1. November 2020 zu 100 % arbeitsfähig.
4.2.1. Soweit sich die Beschwerdeführerin diesbezüglich auf Berichte der Klinik D._, wo sie ab 8. Juni 2020 eine mehrmonatige stationäre Rehabilitation absolviert hatte, sowie auf die neurologische Beurteilung des PD Dr. med. E._ vom 2. Dezember 2020 und einen Sprechstundenbericht des PD Dr. med. B._ vom 9. Dezember 2020 beruft, handelt es sich um unzulässige Noven (vgl. E. 1.3 hievor). Da die Arbeitsfähigkeit bereits vor Vorinstanz ein zentrales Thema war, hat nicht erst der angefochtene Entscheid zum Vorbringen der neuen Beweismittel Anlass gegeben. Bezüglich der Berichte der Klinik D._, die vor dem kantonalen Entscheid entstanden sind und damit unechte Noven darstellen, legt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dar, weshalb diese nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren aufgelegt worden waren. Sie sind daher nicht zu beachten. Daran vermag die gerügte Verweigerung des Replikrechts, wie in E. 3 hievor dargelegt, nichts zu ändern. Die erst nach dem angefochtenen Entscheid verfassten Berichte des PD Dr. med. E._ vom 2. Dezember 2020, des PD Dr. med. B._ vom 9. Dezember 2020 sowie der Klinik D._ vom 29. Dezember 2020 haben sodann als unzulässige echte Noven ohnehin unbeachtlich zu bleiben.
4.2.2. Auch mit der Berufung auf die Stellungnahme der Kreisärztin Dr. med. F._ vom 12. November 2019 vermag die Beschwerdeführerin keine unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz zu begründen. Wohl erwähnte Dr. med. F._ eine aufgrund des Schulterleidens bestehende Arbeitsunfähigkeit von drei bis sechs Monaten nach der Operation vom 24. September 2019, doch traf die Suva gestützt darauf weitere Abklärungen bei PD Dr. med. B._, die sie dann der Verfügung vom 13. Februar 2020 und dem Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 zu Grunde legte. Das kantonale Gericht stellte im angefochtenen Entscheid fest, die Suva sei gestützt auf die Berichte des PD Dr. med. B._ zutreffenderweise davon ausgegangen, dass aufgrund der linksseitigen Schulterbeschwerden bereits zum Zeitpunkt des Zeckenbisses und seither anhaltend eine volle Arbeitsunfähigkeit vorgelegen habe. Eine Bundesrechtswidrigkeit, namentlich eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, ist darin ebenso wenig zu sehen wie eine in medizinischer Hinsicht unrichtige Sachverhaltsfeststellung.
4.3. Zusammenfassend hält der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht stand, weshalb die Beschwerde abzuweisen ist.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. April 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch