Faits :
A.
Le 6 avril 2020, A._ a déposé plainte contre B._, avocat, pour injure et diffamation. Dans le cadre d'un litige opposant C._ aux clients de Me B._ devant le Tribunal des baux et loyers genevois, A._ avait demandé à ce tribunal de pouvoir assister la prénommée en tant que mandataire professionnellement qualifié. Dans une écriture, déposée le 18 septembre 2019, Me B._ avait notamment écrit que "l'on ne sait s'il dispose de toutes ses capacités intellectuelles", A._ ayant, devant d'autres juridictions, prétendu avoir été victime d'un AVC. L'intéressé avait aussi écrit : "A._ ne s'interdit pas de me diffamer par le biais de C._".
Invité par le ministère public à lui transmettre toutes pièces susceptibles de démontrer le respect du délai de plainte au sens de l'art. 31 CP, A._ a précisé que, au mois de février 2020, C._ - qui était en litige avec Me B._ - lui avait demandé de rédiger des réquisitions de preuves et une liste de témoins dans le cadre d'une procédure pénale. Celle-ci lui avait ainsi envoyé le courrier litigieux le 27 février 2020. A._ a ajouté que, s'estimant soumis au secret professionnel et sachant que le ministère public avait accès aux documents que C._ avait déposés au mois de mars 2020 auprès du Tribunal de police et du Tribunal des baux et loyers genevois - lesquels pouvaient expliquer le retard de sa plainte -, il renonçait à produire ceux-ci.
B.
Par ordonnance du 14 mai 2020, le Ministère public de la République et canton de Genève a refusé d'entrer en matière sur la plainte du 6 avril 2020. Il a, en substance, considéré que cette plainte avait été déposée tardivement.
C.
Par arrêt du 17 juin 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 14 mai 2020 et a refusé d'accorder au prénommé le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 juin 2020, en concluant, avec suite de dépens, à sa réforme en ce sens que l'ordonnance de non-entrée en matière du 14 mai 2020 est annulée et que la cause est renvoyée au ministère public en vue de l'ouverture d'une instruction à l'encontre de Me B._. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire et demande qu'un "court délai" lui soit accordé pour "faire compléter" son écriture par un avocat, voire pour "produire de nouveau l'ensemble des pièces déjà produites".
Considérant en droit :
1.
La requête du recourant tendant à obtenir un délai supplémentaire pour produire des pièces ou compléter ses écritures doit être rejetée, dès lors que les délais fixés par la loi - dont fait partie le délai de recours au sens de l'art. 100 al. 1 LTF - ne peuvent être prolongés (cf. art. 47 al. 1 LTF).
2.
2.1. Conformément à l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO (ATF 141 IV 1 consid. 1.1 p. 4). En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même elle aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. art. 119 al. 2 let. b CPP), il n'en reste pas moins que le ministère public qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. art. 320 al. 3 CPP). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (ATF 141 IV 1 consid. 1.1 p. 4 s.).
Les mêmes exigences sont requises à l'égard de celui qui se plaint d'infractions attentatoires à l'honneur (cf. arrêt 6B_682/2020 du 2 juillet 2020 consid. 2.1 et les références citées).
2.2. En l'espèce, le recourant indique uniquement qu'il aurait qualité pour recourir, "en particulier pour faire valoir ses prétentions civiles" découlant de l'infraction de diffamation, voire de calomnie, dont il se plaint. Il n'explique cependant aucunement en quoi pourraient consister ses prétentions civiles. A défaut de motivation à cet égard, le recourant n'a pas qualité pour recourir sur le fond de la cause au regard de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF. Son argumentation est, dans cette mesure, irrecevable.
2.3. Indépendamment des conditions posées par l'art. 81 al. 1 LTF, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (ATF 141 IV 1 consid. 1.1. p. 5).
En l'espèce, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu en raison de la confirmation de l'ordonnance de non-entrée en matière du 14 mai 2020. Il ne présente cependant aucune argumentation recevable susceptible d'être séparée du fond de la cause.
2.4. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir considéré que sa plainte avait été déposée tardivement. Il a, conformément à l'art. 81 al. 1 let. b ch. 6 LTF, qualité pour recourir sur ce point.
3.
Le recourant conteste que sa plainte eût été déposée tardivement.
3.1. Aux termes de l'art. 178 al. 2 CP, l'art. 31 CP est applicable, en ce qui concerne la plainte, en matière de délits contre l'honneur.
Selon l'art. 31 CP, le droit de porter plainte se prescrit par trois mois. Le délai court du jour où l'ayant droit a connu l'auteur de l'infraction.
Selon la jurisprudence, il convient - en cas de doute concernant le respect du délai de plainte - d'admettre que celui-ci a été respecté lorsqu'aucun indice sérieux n'indique que le plaignant aurait pu avoir connaissance plus tôt de l'acte ou de l'auteur (ATF 97 I 769 consid. 3 p. 774 s.; arrêts 6B_431/2010 du 24 septembre 2010 consid. 2.3.3; 6B_867/2009 du 3 décembre 2009 consid. 2.5).
Déterminer ce qu'une personne a su, voulu, envisagé ou accepté relève du contenu de la pensée, à savoir de faits "internes" qui, en tant que tels, lient le Tribunal fédéral (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'ils aient été retenus de manière arbitraire (cf. ATF 141 IV 369 consid. 6.3 p. 375).
3.2. Selon l'autorité précédente, le recourant avait soutenu n'avoir eu connaissance du courrier litigieux de Me B._ que le 27 février 2020, lorsque C._ le lui aurait envoyé par " Whatsapp ". L'intéressé n'avait pourtant produit aucun document attestant d'un envoi à cette date. En outre, il n'était pas vraisemblable que C._ n'eût pas informé le recourant du contenu du courrier litigieux à réception de celui-ci, ou à tout le moins à réception de la décision du Tribunal des baux et loyers du 8 octobre 2019 déniant à l'intéressé la qualité de mandataire professionnellement qualifié. Le recourant n'avait donc aucunement démontré avoir eu connaissance du courrier litigieux le 27 février 2020 seulement.
3.3. Le recourant explique tout d'abord les difficultés techniques qu'il aurait rencontrées pour prouver la réception du prétendu envoi du 27 février 2020. On ne voit cependant pas ce qui l'aurait empêché de fournir une simple capture d'écran, voire une photographie de celui-ci, faisant apparaître la date en question. Par ailleurs, le recourant présente une argumentation purement appellatoire et, partant, irrecevable (cf. à cet égard ATF 145 IV 154 consid. 1.1 p. 156), par laquelle il conteste avoir eu connaissance du courrier litigieux au moment de sa réception par C._, ou à tout le moins lorsque la décision du Tribunal des baux et loyers du 8 octobre 2019 lui a été communiquée, en se bornant à affirmer que la prénommée aurait cru qu'il recevrait automatiquement copie des pièces de la procédure en question. Le recourant ne démontre aucunement que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en écartant sa version des événements selon laquelle il n'aurait eu connaissance du courrier litigieux que le 27 février 2020.
4.
On comprend enfin que le recourant reproche à l'autorité précédente de ne pas l'avoir mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intéressé se plaint essentiellement des décisions prétendument injustes et sévères qu'il obtiendrait de la justice depuis des années. Il n'a cependant pris aucune conclusion formelle concernant l'assistance judiciaire sur le plan cantonal ni ne présente une quelconque argumentation - recevable au regard des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF - propre à démontrer que l'autorité précédente aurait pu violer le droit à cet égard.
5.
Le recours doit donc être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 23 novembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa