Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1962) ist kosovarischer Staatsbürger. Er heiratete am 2. Februar 1989 in der Heimat seine Landsfrau B._ (geb. 1967). A._ hielt sich ab 1990 während Jahren als Saisonnier, Asylsuchender und illegal anwesende Person in der Schweiz auf. Nachdem er im Februar 2014 einen Schlaganfall erlitten hatte, reichte er am 15. August 2014 ein Gesuch um die Erteilung einer Härtefallbewilligung ein, dem die Basler Behörden entsprachen.
1.2. Am 7. September 2016 ersuchte A._ das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt darum, seine Gattin in die Schweiz nachziehen zu können. Im Hinblick auf eine akute Herzoperation von A._ gestattete das Amt B._ am 11. Mai 2017, in die Schweiz einzureisen und sich während drei Monaten hier als Touristin aufzuhalten. Am 4. Dezember 2017 wies das Migrationsamt das Gesuch um Familiennachzug ab und hielt B._ gestützt auf Art. 64 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 5 AuG (SR 142.20; Dahinfallen der Einreisevoraussetzungen) an, die Schweiz und den Schengenraum zu verlassen; ihr Visum sei seit dem 10. August 2017 abgelaufen; ein prozeduraler Aufenthalt nach Art. 17 AuG komme nicht infrage.
1.3. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt trat am 5. Januar 2018 auf den gegen den Wegweisungsentscheid gerichteten Rekurs nicht ein, da die 5-tägige Beschwerdefrist (Art. 64 Abs. 3 AuG) nicht eingehalten bzw. die Eingabe nicht rechtzeitig begründet worden sei. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid am 23. März 2018.
1.4. A._ beantragt vor Bundesgericht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und seiner Ehefrau eine ordentliche Aufenthaltsbewilligung zu gewähren. Die Wegweisungsverfügung sei im Hinblick auf die Kernbereichsgarantien des Anspruchs auf Recht auf Leben und des Schutzes der persönlichen Freiheit nichtig, da er der Pflege und Betreuung durch seine Gattin bedürfe.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht, seiner Gattin die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Der Antrag ist unzulässig: Das Justiz- und Sicherheitsdepartement trat auf den Rekurs des Beschwerdeführers nicht ein, weil die Beschwerde gegen den Wegweisungsentscheid nicht innerhalb von fünf Tagen (vgl. Art. 64 Abs. 3 AuG) eingereicht bzw. begründet worden war. Einzig diese Problematik (anwendbare Frist, Fristwiederherstellung bzw. eine allfällige Nichtigkeit des Wegweisungsentscheids) bildete Verfahrensgegenstand vor dem Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt und damit auch des vorliegenden Verfahrens.
2.2.
2.2.1. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt im Übrigen eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 143 II 283 E. 1.2.2 S. 286; 139 I 229 E. 2.2 S. 232) : Die beschwerdeführende Partei kann in der Beschwerdeschrift nicht bloss den Rechtsstandpunkt bekräftigen, den sie bereits im kantonalen Verfahren eingenommen hat, sondern sie muss verfassungsbezogen darlegen, warum und inwiefern die Überlegungen der Vorinstanz qualifiziert rechtsfehlerhaft sind (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1).
2.2.2. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufzuzeigen (Art. 116 BGG; Urteil 8C_409/2017 vom 21. März 2018 E. 4.2; BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 262). Insbesondere ist im Einzelnen darzulegen, dass und weshalb die im angefochtenen Entscheid vorgenommene Beweiswürdigung offensichtlich nicht zutreffen kann. Es genügt nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders hätten gewichtet werden können, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Beweiswürdigung vorzutragen (vgl. das Urteil 2C_317/2015 vom 1. Oktober 2015 E. 1.2; BGE 116 Ia 85 E. 2b S. 88).
2.2.3. Zum eigentlichen Streitgegenstand, nämlich der Rechtzeitigkeit des Rekurses an das Justiz- und Sicherheitsdepartement, lässt sich der Beschwerde nichts entnehmen, so dass darauf nicht weiter einzugehen ist.
2.3. Die Vorinstanz prüfte zudem, ob der Wegweisungsentscheid als nichtig zu gelten hatte oder gegen ein unverzichtbares und unverjährbares Recht bzw. den Kerngehalt spezifischer verfassungsmässiger Rechte verstiess (E. 3 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer geht auf die diesbezüglichen Darlegungen im angefochtenen Entscheid nicht weiter ein. Hinsichtlich des Sachverhalts bzw. der Beweiswürdigung seitens der Vorinstanz kritisiert er den angefochtenen Entscheid rein appellatorisch, was sich etwa aus seiner Feststellung ergibt, dass "gesamthaft gesehen (...) der Entscheid des Appellationsgerichts aus den genannten Gründen falsch" sei. Der Entscheid muss im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht falsch, sondern verfassungswidrig sein. Es muss praxisgemäss dargetan werden, dass und inwiefern die Vorinstanz ein bestimmtes verfassungsmässiges Recht verletzt hat.
2.4. In der Sache selber hat sich das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) - trotz rechtskräftiger Wegweisungsverfügung - detailliert und umfassend mit den verschiedenen ärztlichen Zeugnissen und dem physischen wie dem psychischen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers beschäftigt (Schlaganfall, Herzinfarkt, Depressionen, Todesängste usw.). Wenn es zum Schluss gekommen ist, dass im Hinblick auf die Spitex-Leistungen bzw. auf die ambulanten oder stationären Betreuungsmöglichkeiten der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers hinreichend stabilisiert erscheine und sich die Anwesenheit seiner Gattin nicht als "unentbehrlich" erweise, weshalb die Wegweisung nicht als nichtig gelten könne, ist dies nicht verfassungswidrig. Es ist dem Beschwerdeführer und seiner Gattin - wie die Vorinstanz festgestellt hat - zumutbar, ihre Beziehung besuchsweise und per Telefon bzw. Internet aufrecht zu erhalten, wie sie dies bereits bisher (während Jahren) freiwillig getan haben. Ein Grossteil der gesundheitlichen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers besteht seit Dezember 2015, dennoch kam seine Gattin erst am 13. Mai 2017 mit einem Touristenvisum in die Schweiz. Seine Betreuung war bereits zuvor sichergestellt. Auch hinsichtlich des Kerngehalts von Art. 8 EMRK ist die Wegweisung, wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, somit nicht nichtig.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit sie überhaupt den gesetzlichen Rüge- und Begründungsanforderungen genügt. Sie kann im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt werden. In der Sache selber wird ergänzend auf die zutreffenden und detaillierten Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG).
3.2. Da die Verfassungsbeschwerde in der vorliegenden Form keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg hatte, ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Er hat die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG); bei der Festsetzung von deren Höhe wird seiner finanziellen Situation Rechnung getragen (vgl. Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar