Faits :
A.
A.a. A._, née en 1955, travaillait comme concierge et se consacrait à l'entretien de son ménage. Elle a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) le 25 mars 2002. Elle invoquait des troubles vertébraux et cardiaques. Se fondant sur les informations communiquées par le médecin traitant ainsi que sur les conclusions d'une enquête économique sur le ménage, l'office AI a retenu un statut mixte (10 % active et 90 % ménagère) ainsi que des taux d'incapacité de travail de 75 % et d'empêchement dans la réalisation des travaux domestiques de 38 % justifiant l'octroi d'un quart de rente dès le 1er juin 2001 (décision du 17 octobre 2003).
A.b. Sur requête de l'assurée, l'administration a réexaminé le cas. Sur la base de l'appréciation par son Service médical régional (ci-après: le SMR) d'un nouvel avis du médecin traitant et des observations réalisées lors d'une nouvelle enquête économique sur le ménage, elle a considéré que l'accroissement du taux d'empêchement à accomplir les diverses tâches ménagères (désormais de 45 %) engendrait un taux global d'invalidité de 48 % ne justifiant pas une modification du droit à un quart de rente (décision du 15 juin 2006 confirmée sur opposition le 11 octobre 2007). La Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel) a confirmé cette décision (jugement du 9 septembre 2009).
A.c. L'évolution des anciennes pathologies et l'apparition de nouvelles atteintes annoncées par le médecin traitant n'ayant pas d'impact sur la capacité de travail de l'intéressée selon le SMR, le droit à un quart de rente a été confirmé au terme d'une deuxième procédure de révision (communication du 20 novembre 2012).
A.d. A._ a annoncé une aggravation de son état de santé en novembre 2014. Sa situation médicale a fait l'objet d'investigations auprès de différents médecins et d'une nouvelle enquête économique sur le ménage (rapport signé les 20 et 25 janvier 2016). Le SMR a inféré de ces informations une incapacité totale de travail dans toutes activités depuis le 18 juillet 2013 et le Service juridique de l'office AI une fluctuation du taux d'empêchement dans l'accomplissement des tâches ménagères et, par conséquent, du taux d'invalidité entre les mois de juillet 2013 et juillet 2015. Sur cette base, l'administration a informé l'assurée qu'elle entendait augmenter sa rente à une rente entière à partir du 1er novembre 2014, laquelle devait ensuite être diminuée à une demi-rente à partir du 1er juillet 2015 (projet de décision du 29 juin 2016). Les objections de l'intéressée et l'avis du médecin traitant n'ont pas infléchi la position de l'office AI. Ce dernier a entériné l'octroi d'une rente entière pour la période allant du 1er novembre 2014 au 30 juin 2015 et d'une demi-rente depuis le 1er juillet 2015 (décision du 14 décembre 2016).
B.
Saisi d'un recours de A._, qui concluait au renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire (expertise neutre, enquête économique sur le ménage) et nouvelle décision, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois l'a admis partiellement. Elle a réformé la décision entreprise en ce sens que l'assurée avait droit à une rente entière du 1er novembre 2014 au 30 septembre 2015 puis à une demi-rente à compter du 1er octobre 2015 (jugement du 12 décembre 2017).
C.
L'office AI a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 14 décembre 2016. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'intéressée conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales se rallie à l'argumentation de l'administration.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Etant donné les griefs de l'office recourant contre le jugement cantonal (à propos du devoir d'allégation et de motivation, voir ATF 138 I 274 consid.1.6 p. 280; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 24 ad art. 42), est seul litigieux le point de savoir si la réduction - par voie de révision au sens de l'art. 17 al. 1 LPGA - de la rente entière allouée à l'intimée dès le 1er novembre 2014 à une demi-rente doit prendre effet le 1er juillet 2015 ou seulement le 1er octobre 2015.
3.
La juridiction cantonale a considéré qu'en application de l'art. 88a al. 1 RAI, la réduction de la rente ne pouvait intervenir qu'à compter du 1er octobre 2015, soit trois mois après la constatation de l'amélioration de la capacité de l'assurée à accomplir ses tâches ménagères survenue le 1er juillet 2015.
Pour sa part, l'administration soutient que la disposition réglementaire mentionnée impose de réduire la rente dès le 1er juillet 2015, soit immédiatement au moment de la constatation de l'amélioration de la capacité de l'intimée à réaliser ses travaux domestiques.
4.
4.1. Selon l'art. 88a al. 1 RAI, si la capacité de gain ou la capacité d'accomplir les travaux habituels de l'assuré s'améliore ou que son impotence ou encore le besoin de soins ou le besoin d'aide découlant de son invalidité s'atténue, ce changement n'est déterminant pour la suppression de tout ou partie du droit aux prestations qu'à partir du moment où on peut s'attendre à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période. Il en va de même lorsqu'un tel changement déterminant a duré trois mois déjà, sans interruption notable et sans qu'une complication prochaine soit à craindre.
Selon la jurisprudence, le sens et le but de l'art. 88a al. 1 RAI est notamment de donner au bénéficiaire de la rente une certaine assurance en ce qui concerne le versement régulier de ses prestations. Des modifications temporaires des facteurs qui fondent le droit à la rente ne doivent pas conduire à une adaptation par la voie de la révision; au regard de la sécurité du droit, l'octroi d'une rente entré en force se doit d'avoir une certaine stabilité (arrêt 9C_1022/2012 du 16 mai 2013 consid. 3.2). En cas de modification de la capacité de gain, la rente doit être supprimée ou réduite avec effet immédiat si la modification paraît durable et par conséquent stable (première phrase de l'art. 88a al. 1 RAI); on attendra en revanche trois mois au cas où le caractère évolutif de l'atteinte à la santé, notamment la possibilité d'une aggravation, ne permettrait pas un jugement immédiat (deuxième phrase de la disposition; arrêt I 666/81 du 30 mars 1983 consid. 3, in RCC 1984 p. 137 s.). En règle générale, pour examiner s'il y a lieu de réduire ou de supprimer la rente immédiatement ou après trois mois, il faut examiner pour le futur si l'amélioration de la capacité de gain peut être considérée comme durable (arrêts 9C_32/20105 du 10 septembre 2015 consid. 4.1; 9C_1022/2012 cité, consid. 3.3.1).
4.2. Comme l'a relevé le tribunal cantonal, l'enquête économique sur le ménage sur laquelle repose essentiellement la décision litigieuse a été réalisée le 14 janvier 2016 et le rapport correspondant signé par l'enquêtrice le 20 janvier 2016. Celle-ci s'est attachée à analyser l'incidence des différents troubles diagnostiqués sur la capacité de l'intimée à accomplir ses travaux habituels pour les périodes allant de juillet 2013 à février 2014, de mars à mai 2014, de juin 2014 à juin 2015 et dès juillet 2015. L'assurée a exprimé son accord avec les conclusions dudit rapport en y apposant sa signature le 25 janvier 2016; selon celles-ci, l'intimée avait à nouveau été en mesure de s'occuper partiellement des tâches ménagères dès juillet 2015, date à partir de laquelle ses douleurs avaient été moins intenses. Les premiers juges ont en outre constaté la valeur probante de ce rapport et la pertinence de ses conclusions. Dès lors que ces derniers points ne sont pas contestés céans et compte tenu des indications de l'assurée, rien ne laissait douter de la stabilité de l'amélioration de la capacité d'accomplir les travaux habituels qu'elle a elle-même fixée à juillet 2015. Ce caractère stable n'est pas valablement remis en cause par l'intimée, lorsqu'elle se réfère à deux rapports médicaux des 27 décembre 2016 et 16 janvier 2017 selon lesquels les douleurs de l'assurée auraient augmenté depuis l'arrêt d'un traitement à base de cortisone en février 2016. Ces pièces ont trait à une situation postérieure au moment ici déterminant.
Par conséquent, conformément à l'art. 88a al. 1 première phrase RAI, la diminution de la rente entière à une demi-rente devait intervenir le 1er juillet 2015 et non le 1er octobre suivant. Le jugement doit donc être annulé et la décision administrative du 14 décembre 2016 confirmée.
Le présent arrêt rend par ailleurs la demande d'effet suspensif sans objet.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 12 décembre 2017 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel du 14 décembre 2016 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 juin 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton