Sachverhalt:
A.
A.a. Die Eheleute A._ und B._, Eltern von vier Kindern, leben seit Juni 2018 getrennt. Am 3. Juli 2018 machte die Ehefrau das Eheschutzverfahren anhängig, mit Entscheid vom 3. Dezember 2018 wurde das Getrenntleben unter Genehmigung der diesbezüglichen Teilvereinbarung der Parteien geregelt.
A.b. Am 22. Juni 2020 reichte der Ehemann beim Bezirksgericht Zürich die Scheidungsklage ein und beantragte als vorsorgliche Massnahme, den im Eheschutzentscheid festgesetzten Kinderunterhalt mangels Leistungsfähigkeit aufzuheben. Beide Parteien stellten ausserdem ein Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses durch den anderen Ehegatten und ersuchten eventualiter um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 12. März 2021 entsprach das Bezirksgericht dem Begehren betreffend die vorsorgliche Aufhebung der Kinderalimente. Die Gesuche um einen Prozesskostenvorschuss bzw. um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wies es ab. Gleichzeitig verpflichtete es den Ehemann zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses für den Scheidungsprozess.
A.c. A._ focht die Abweisung seiner Anträge und die Kostenvorschussverfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an und hielt daran fest, B._ für das erstinstanzliche Scheidungsverfahren zur Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 15'000.-- zu verpflichten und ihm eventualiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter ersuchte er für das Rechtsmittelverfahren um einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht wies die Berufung (betreffend Prozesskostenvorschuss) und die Beschwerde (betreffend unentgeltliche Rechtspflege) ab. Auch den entsprechenden Gesuchen für das Rechtsmittelverfahren war kein Erfolg beschieden. Beschluss und Urteil des Obergerichts datieren vom 15. Juli 2021 und wurden am 2. August 2021 an die Parteien versandt.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. September 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Beschluss und das Urteil des Obergerichts aufzuheben, und hält an den vor der Vorinstanz gestellten Anträgen (Bst. A.c) fest; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter seien B._ (Beschwerdegegnerin) und der Kanton Zürich (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihm für das zweitinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'088.25 zu bezahlen; im Falle einer Rückweisung an die Vorinstanz sei die Beschwerdegegnerin zu einem Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu verurteilen. Eventualiter dazu sei ihm für das zweitinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer darum, die Beschwerdegegnerin zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 5'000.-- zu verurteilen, verbunden mit einem Eventualbegehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dem Begehren, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 28. September 2021. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 145 II 168 E. 1; 144 II 184 E. 1).
1.1. Im Hauptbegehren wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die Abweisung seiner Anträge, seine Ehefrau für das vor erster Instanz hängige Scheidungsverfahren und für das kantonale Rechtsmittelverfahren zur Leistung je eines Prozesskostenvorschusses zu verurteilen. Das sind Zivilsachen (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_447/2012 vom 27. August 2012 E. 1.2). Vor dem Obergericht hielt der Beschwerdeführer an seinem Anspruch von Fr. 15'000.-- für das erstinstanzliche Verfahren fest und forderte für das Rechtsmittelverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.--. Die Summe (Art. 52 BGG) dieser vor der Vorinstanz streitig gebliebenen Begehren (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG) erreicht den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) nicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Der Beschwerdeführer macht geltend, dass sich eine solche Frage stellt. Ob dies zutrifft, braucht nicht geklärt zu werden, da die Kognition des Bundesgerichts zur Prüfung eines Entscheids über die Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Scheidungsverfahren im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen dieselbe ist wie bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (unten E. 2). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 und Art 114 BGG). Der selbständig eröffnete Entscheid über ein im Rahmen des Scheidungsverfahrens gestelltes Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses gilt nach der Rechtsprechung als Endentscheid (Art. 90 und Art. 117 BGG; Urteil 5A_422/2018 vom 26. September 2019 E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 und Art. 115 BGG), die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 117 BGG).
Unter den gleichen Voraussetzungen steht die Beschwerde gegen den Beschluss offen, mit dem das Obergericht das Begehren des Beschwerdeführers um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Rechtsmittelverfahren abweist. Dass das Obergericht über das fragliche Begehren nicht als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 2 BGG) entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen (vgl. BGE 143 III 140 E. 1.2).
1.2. Eventualiter ersucht der Beschwerdeführer für das Scheidungsverfahren vor dem Bezirksgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Das diesbezügliche Urteil des Obergerichts ist - im Verhältnis zum Scheidungsverfahren - ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gestützt auf Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG selbständig anfechtbar ist (vgl. BGE 129 I 129 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1; 133 III 645 E. 2.2). Dort geht es um die vom Beschwerdeführer angestrengte Scheidungsklage, mithin um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) nicht vermögensrechtlicher Natur, in der die Beschwerde in Zivilsachen ohne Streitwerterfordernis zulässig wäre (zit. Urteil 5A_447/2012 E. 1.3). Das gleiche Rechtsmittel steht daher auch gegen den angefochtenen Zwischenentscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege offen. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen sind gegeben. Bezüglich der Anfechtbarkeit des Beschlusses, mit dem das Obergericht dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren versagt, gelten die obigen Ausführungen sinngemäss (E. 1.1).
1.3. Nicht einzutreten ist auf das Begehren, mit dem der Beschwerdeführer von seiner Ehefrau einen Prozesskostenvorschuss für das bundesgerichtliche Verfahren verlangt. Dieses Gesuch beschlägt keine vorsorgliche Massnahme im Sinn von Art. 104 BGG, sondern einen materiellrechtlichen Anspruch, der in der familienrechtlichen Unterstützungspflicht gründet. Entsprechend ist er vor dem zuständigen Sachgericht im kantonalen Verfahren einzufordern (BGE 143 III 617 E. 7 mit Hinweisen). Mithin ist das Bundesgericht für die Beurteilung des Gesuchs um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses (funktionell) nicht zuständig.
2.
Wie der Anspruch gegenüber dem Gemeinwesen auf unentgeltliche Rechtspflege (Art. 117 ZPO) setzt auch derjenige gegenüber dem Ehegatten auf einen Prozesskostenvorschuss unter anderem die - hier umstrittene - tatsächliche Bedürftigkeit des ansprechenden Ehegatten voraus (s. BGE 138 III 672 E. 4.2.1). Die Streitsachen, die der Beschwerdeführer vor das Bundesgericht trägt, betreffen mithin einen im Wesentlichen gleichartigen Streitpunkt, der es rechtfertigt, sie im gleichen Verfahren zu beurteilen. Die vorgebrachten Rügen sind freilich bezogen auf den jeweiligen Anspruch nach den jeweils anwendbaren Verfahrensvorschriften zu prüfen. Dabei ist im Auge zu behalten, dass der Beschwerdeführer im Streit um den Prozesskostenvorschuss lediglich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen kann, weil der Entscheid über die Gutheissung oder Abweisung eines im Rahmen des Scheidungsverfahrens gestellten Gesuchs um Leistung eines Prozesskostenvorschusses eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG beschlägt (Urteile 5A_482/2019 vom 10. Oktober 2019 E. 2.1; 5A_422/2018 vom 26. September 2019 E. 2.1). Soweit der - im Verhältnis zum Prozesskostenanspruch subsidiäre (BGE 142 III 36 E. 2.3 mit Hinweisen) - Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zur Beurteilung gelangt, prüft das Bundesgericht demgegenüber mit freier Kognition, ob die Kriterien zur Bestimmung der zivilprozessualen Bedürftigkeit zutreffend angewendet wurden (BGE 135 I 221 E. 5.1). So oder anders ist das Bundesgericht an die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts hinsichtlich der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers gebunden (Art. 105 Abs. 1 und Art. 118 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, sie seien willkürlich (Art. 9 BV; vgl. BGE 134 I 12 E. 2.3 mit Hinweis). Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (BGE 135 I 19 E. 2.2.2) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, das heisst mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (BGE 146 IV 297 E. 2.2.5 mit Hinweisen).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Erkenntnis, dass der Beschwerdeführer, auch wenn er mit seinem laufenden Einkommen seinen monatlichen Bedarf nicht decken könne, doch über ausreichendes Vermögen verfüge, um seine Prozesskosten im Scheidungsverfahren selbst zu bezahlen.
Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden (BGE 141 III 369 E. 4.1). Dazu gehören nicht nur die Einkommens-, sondern auch die Vermögensverhältnisse (BGE 124 I 97 E. 3b). Die tatsächlichen finanziellen Mittel und die finanziellen Verpflichtungen sind gegeneinander aufzuwiegen (BGE 135 I 221 E. 5.1). Massgebend ist grundsätzlich der Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (a.a.O.). Entsprechend setzt auch die Berücksichtigung von allfälligem Vermögen voraus, dass dieses im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs tatsächlich vorhanden und verfügbar ist (Urteile 5A_863/2017 vom 3. August 2018 E. 3.2; 5A_546/2016 vom 25. Oktober 2016 E. 2; 4A_264/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.1; 5A_590/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.1.1). Grundsätzlich darf der gesuchstellenden Partei nicht entgegengehalten werden, ihre Mittellosigkeit selbst verschuldet zu haben (vgl. BGE 108 Ia 108 E. 5b; 104 Ia 31 E. 4; 99 Ia 437 E. 3c; 58 I 285 E. 5). Vorbehalten bleibt allerdings der Fall, dass die gesuchstellende Person gerade im Hinblick auf den zu führenden Prozess auf ein Einkommen verzichtet oder sich gewisser Vermögenswerte entäussert hat; ein solch rechtsmissbräuchliches Verhalten (Art. 2 Abs. 2 ZGB) verdient keinen Schutz (vgl. BGE 126 I 165 E. 3b; 104 Ia 31 E. 4; Urteile 5A_863/2017 vom 3. August 2018 E. 3.2; 4A_264/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.1).
Der Anspruch eines Ehegatten auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses, auch "provisio ad litem" genannt, wurzelt in der ehelichen Beistands- und Unterhaltspflicht (Art. 159 Abs. 3 und Art. 163 ZGB), ergibt sich also aus dem materiellen Zivilrecht (BGE 146 III 203 E. 6.3; 142 III 36 E. 2.3). Als vorläufige Leistung (s. dazu BGE 146 III 203 a.a.O.) stellt die provisio ad litem im vorliegenden Kontext eine vorsorgliche Massnahme für die Dauer (hier) des hängigen Scheidungsverfahrens dar (Art. 276 ZPO; DENISE WEINGART, provisio ad litem - Der Prozesskostenvorschuss für eherechtliche Verfahren, in: Zivilprozess und Vollstreckung national und international - Schnittstellen und Vergleiche, Festschrift für Jolanta Kren Kostkiewicz, 2018, S. 680). Die Anspruchsvoraussetzungen sind vom gesuchstellenden Ehegatten geltend zu machen; er trägt bezüglich der anspruchsbegründenden Tatsachen die Beweislast (WEINGART, a.a.O., S. 683). Das Beweismass ist im Verfahren betreffend den Erlass vorsorglicher Massnahmen auf das Glaubhaftmachen beschränkt (Urteil 5A_446/2019 vom 5. März 2020 E. 4.2.4; 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 3.2 mit Hinweisen). Im Übrigen stellt das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen fest (Art. 276 Abs. 1 i.V.m. Art. 272 ZPO). Im Rahmen dieser sozialen Untersuchungsmaxime trägt das Gericht nicht die Verantwortung für die Sachverhaltsermittlung. Es kann sich darauf beschränken, seine Fragepflicht auszuüben und die Parteien auf ihre Mitwirkungspflicht sowie das Beibringen von Beweisen hinzuweisen. Über die Vollständigkeit der Behauptungen und Beweise hat es sich jedoch zu versichern, wenn diesbezüglich ernsthafte Zweifel bestehen (BGE 141 III 569 E. 2.3.1 f.).
Auch im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege obliegt es dem Gesuchsteller, sowohl seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch alle seine finanziellen Verpflichtungen vollständig anzugeben und soweit möglich zu belegen. Insofern gilt ein durch diese umfassende Mitwirkungsobliegenheit eingeschränkter Untersuchungsgrundsatz (Urteile 4A_44/2018 vom 5. März 2018 E. 5.3; 5A_417/2017 vom 25. Oktober 2017 E. 2). Die mit dem Gesuch befasste Behörde ist weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen (Urteil 5A_62/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 5.3, nicht publ. in BGE 142 III 713). An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind (BGE 125 IV 161 E. 4a; 120 Ia 179 E. 3a). Das Gericht hat den Sachverhalt aber immerhin dort weiter abzuklären, wo Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, und es hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die es zur Beurteilung des Gesuchs benötigt. Bei einer anwaltlich vertretenen Partei ist das Gericht nach Art. 97 ZPO aber nicht verpflichtet, eine Nachfrist anzusetzen, um ein unvollständiges oder unklares Gesuch zu verbessern. Kommt der anwaltlich vertretene Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht (genügend) nach, so kann das Gesuch mangels ausreichender Substantiierung oder mangels Bedürftigkeitsnachweises abgewiesen werden (Urteile 5A_716/2018 vom 27. November 2018 E. 3.2; 5A_549/2018 vom 3. September 2018 E. 4.2; 4A_44/2018 vom 5. März 2018 E. 5.3 mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer bemängelt zunächst, dass die kantonalen Instanzen ihm ein vor über zwei Jahren vorhandenes Bankguthaben als hypothetisches Vermögen anrechnen.
4.1. Ausgangspunkt ist die im angefochtenen Entscheid wiedergegebene Erkenntnis des Bezirksgerichts, dass vom C._-Sparkonto, dessen Saldo Anfang 2018 rund Fr. 64'500.-- betragen habe und bis auf Fr. 80'000.-- angestiegen sei, vor allem im Juli und August 2018 erhebliche Barbezüge getätigt worden seien; dies nach der Wegweisung des Beschwerdeführers aus der ehelichen Wohnung im Juni 2018. Dem erstinstanzlichen Entscheid zufolge sei als Differenz zwischen verschiedenen Bezügen, Einzahlungen und belegten Ausgaben der Verbleib von Fr. 53'300.-- erklärungsbedürftig. Die Darstellung des Beschwerdeführers, wonach er im Sommer an einer schweren depressiven Episode mit psychotischen Symptomen gelitten und das Geld in diesem Zustand vermutlich in Bars und für Prostituierte ausgegeben habe, habe das Bezirksgericht aufgrund der Kontobewegungen und der eingereichten Arztzeugnisse nicht als glaubhaft erachtet. In diesem Zusammenhang führt das Obergericht aus, um sich ein umfassendes Bild von der finanziellen Gesamtsituation der gesuchstellenden Partei zu verschaffen, reiche es regelmässig nicht aus, einzig auf den aktuellen Vermögensstand abzustellen. Weise sich die gesuchstellende Partei nicht genügend über den Verbleib von bis vor kurzem noch vorhandenem Vermögen aus, müsse das Gericht davon ausgehen, dass Ersparnisse verheimlicht werden. In diesem Sinne, das heisst unter dem Blickwinkel des Rechtsmissbrauchsverbots, sind für das Obergericht daher auch die finanziellen Verhältnisse vor Rechtshängigkeit des Verfahrens relevant. Darüber werde hier nicht hinausgegangen, seien die fraglichen Bargeldbezüge doch rund um den Zeitpunkt der Trennung und Einleitung des Eheschutzverfahrens im Juni/Juli 2018 erfolgt.
4.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor zu übersehen, dass das Verfahren, für das er um Leistung eines Prozesskostenvorschusses und um unentgeltliche Rechtspflege ersuchte, nicht das Eheschutzverfahren im Juni/Juli 2018, sondern das im Juni 2020 eingeleitete Scheidungsverfahren war. Das Vermögen, das ihm die kantonalen Instanzen anrechnen, sei somit nicht kurz vor Einleitung des Scheidungsverfahrens noch vorhanden gewesen, sondern ganze zwei Jahre früher bei Einleitung des Eheschutzverfahrens. Das Obergericht gehe offensichtlich fehlerhaft davon aus, dass es Begehren um einen Prozesskostenvorschuss und unentgeltliche Rechtspflege für das im Jahr 2018 eingeleitete Eheschutzverfahren beurteilen müsse. Damit stelle es den Sachverhalt offensichtlich aktenwidrig und willkürlich fest. Der Beschwerdeführer argumentiert, dass das Obergericht nicht von einem rechtsmissbräuchlichen Verhalten hätte ausgehen und nicht auf die Vermögensverhältnisse im Jahr 2018 hätte abstellen können, wenn es richtig festgestellt hätte, dass im Eheschutzverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde und die heute zu beurteilenden Begehren das im Juni 2020 eingeleitete Scheidungsverfahren betreffen. Die vorinstanzliche Begründung, auch vor zwei Jahren vorhandenes Vermögen ohne Nachweis des Verbrauchs genüge dafür, um die Mittellosigkeit zu bejahen [recte: zu verneinen], verletze das verfassungsmässige Recht auf unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung (Art. 29 Abs. 3 BV). Ausserdem verletze der angefochtene Entscheid die staatlich gewährleistete Chancengleichheit - der Beschwerdeführer zitiert Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 1 Abs. 1 EMRK -, weil er dazu führe, dass immer weniger Anwälte unentgeltliche Mandate annehmen werden, da sie die Vermögenslage ihrer Mandanten nicht über Jahre hinweg prüfen können.
4.3.
4.3.1. Was die zuletzt erhobene Rüge angeht, scheitert der Beschwerdeführer schon am Erfordernis eines praktischen Interesses (Art. 76 Abs. 1 Bst. b und Art. 115 Bst. b BGG). Die rechtsuchende Partei muss eine im konkreten Fall eingetretene Verletzung ihrer Rechte geltend machen; sie kann sich nicht damit begnügen, Rechtsfragen aufzuwerfen, die ihre Rechtsstellung gar nicht berühren, mithin nur theoretischer Natur sind (zu Art. 76 BGG: Urteil 5A_735/2018 vom 15. Februar 2019 E. 3.1 mit Hinweis; zu Art. 115 BGG: Urteil 5A_272/2018 vom 3. August 2018 E. 2.3 mit Hinweis). Auf die abstrakte Befürchtung, der angefochtene Entscheid schmälere in der Anwaltschaft die Bereitschaft zur Vertretung von Mandanten, die auf einen Prozesskostenvorschuss ihres Ehegatten oder auf unentgeltliche Rechtspflege angewiesen sind, ist daher nicht weiter einzugehen.
4.3.2. Ebenso wenig vermag der Beschwerdeführer etwas auszurichten, soweit er reklamiert, dass sich das Obergericht in willkürlicher Feststellung des (Prozess-) Sachverhalts darüber irre, für welchen (Hauptsache-) Prozess er die Leistung eines Prozesskostenvorschusses und die unentgeltliche Rechtspflege verlangt. Der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass auch die finanziellen Verhältnisse vor Rechtshängigkeit des Verfahrens relevant seien, pflichtet der Beschwerdeführer ausdrücklich bei. Er vermag jedoch nicht zu erklären, warum das Obergericht den Ehescheidungs- und den Eheschutzprozess trotzdem miteinander verwechsle oder den Sachverhalt sonstwie willkürlich feststelle, wenn es zur Beurteilung der Mittellosigkeit Vermögensveränderungen rund zwei Jahre vor Einleitung des Scheidungsverfahrens unter die Lupe nimmt. Ob sich der Beschwerdeführer einen derartigen Blick in die Vergangenheit gefallen lassen muss, ist keine Frage der Sachverhaltsfeststellung, sondern eine solche der Rechtsanwendung.
4.3.3. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV. Er beklagt sich darüber, dass das Obergericht ihm Rechenschaft über ein vor rund zwei Jahren vorhandenes Vermögen abverlange und sein Verhalten demjenigen einer rechtsmissbräuchlich handelnden Partei gleichsetze (E. 4.2). Soweit der Beschwerdeführer Art. 29 Abs. 3 BV auch im Streit mit seiner Ehefrau um einen Prozesskostenvorschuss für anwendbar hält, verkennt er freilich, dass der Anspruch auf eine provisio ad litem im materiellen Zivilrecht gründet (E. 3). Zur Begründung des im Hauptbegehren geltend gemachten Anspruchs auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses ist die Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV somit von vornherein unbehelflich (Urteile 5A_482/2019 vom 10. Oktober 2019 E. 3.7; 5A_648/2017 vom 22. Januar 2018 E. 4.3.1), und zwar unabhängig davon, dass das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid diesbezüglich nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte überprüft (E. 1.1). Dass die Abweisung des Hauptantrags anderweitig seine verfassungsmässigen Rechte verletze, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Die Beschwerde ist insoweit unbegründet.
Verpasst es der Beschwerdeführer aber, seinen Hauptantrag gehörig zu begründen, so braucht das Bundesgericht auch nicht zu prüfen, ob die erwähnte Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV dem Beschwerdeführer im Streit um den eventualiter geltend gemachten Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege weiterhälfe. Der überkommene, im materiellen Recht wurzelnde Grundsatz, dass der eherechtliche Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss demjenigen auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht (s. oben E. 2), würde aus den Angeln gehoben, wenn das Bundesgericht die Beschwerde gegen die Abweisung des zu Recht nur im Eventualantrag gestellten Rechtspflegegesuchs gegebenenfalls gutheissen könnte, obwohl der Beschwerdeführer es mit einer entsprechenden Beschwerdebegründung in der Hand gehabt hätte, sich genauso erfolgreich gegen die Abweisung des vorrangigen, im Hauptbegehren geltend gemachten Anspruchs um Leistung eines Prozesskostenvorschusses zur Wehr zu setzen. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
In der Folge dreht sich der Streit um die Frage, ob der Beschwerdeführer den Nachweis erbracht hat, dass er die fraglichen Vermögenswerte (vgl. E. 4) verbraucht hat.
5.1. Die Vorinstanz verweist auf den Entscheid des Bezirksgerichts. Dieses habe unter Einbezug der Barbezüge sowie der Einzahlungen und der belegten Ausgaben im Sommer 2018 den Verbleib von rund Fr. 53'300.-- als erklärungsbedürftig erachtet. Das Obergericht führt aus, die eingereichten Belege würden nichts über die tatsächliche Verwendung dieses Geldes aussagen und der Beschwerdeführer stütze seine Darstellung im Wesentlichen auf die eingereichten Arztberichte. Diese würden für Oktober 2018 zwar eine depressive Episode mit psychotischen Symptomen belegen, gäben über den Gesundheitszustand im Sommer 2018 aber keinen Aufschluss und könnten den geltend gemachten Vermögensverzehr nicht belegen. In der Folge zitiert das Obergericht die erstinstanzlichen Erwägungen zu den weiteren Lebensumständen des Beschwerdeführers im fraglichen Zeitabschnitt, darunter die Feststellungen zu seinen Ausgaben und Zahlungen. Das Bezirksgericht habe den Akten keinerlei unvernünftige Handlungen entnehmen können; die Behauptung des Beschwerdeführers, einen Geldbetrag in der besagten Höhe in Bars und für Prostituierte verbraucht zu haben und sich an nichts mehr erinnern zu können, habe es als unglaubhaft erachtet.
Den Einwand des Beschwerdeführers, dass Barzahlungen in einem entsprechenden Milieu gebräuchlich seien, lässt die Vorinstanz nicht gelten. Wolle sich der Beschwerdeführer unmittelbar nach der Trennung und während laufender diesbezüglicher Gerichtsverfahren für Beträge in der Grössenordnung der getätigten Bezüge ausschliesslich des Barverkehrs bedient haben, so habe er es sich selbst zuzuschreiben, wenn ihm für eine Prozessfinanzierung durch den Ehegatten oder durch den Staat die notwendigen Belege fehlen bzw. er über die (angebliche) Verwendung seines Vermögens nicht nachvollziehbar Auskunft geben kann. Dass solche Unterlagen erforderlich sind, habe dem Beschwerdeführer schon durch das Eheschutzverfahren bekannt sein müssen; entsprechend könne auch erwartet werden, die Belege bis zum Scheidungsverfahren aufzubewahren. Sei ein Nachweis von Zahlungen aufgrund der Verwendung von Bargeld im Einzelfall erschwert, so müsste der Beschwerdeführer die Verwendung des Geldes angesichts seiner umfassenden Mitwirkungsobliegenheit zumindest so detailliert darlegen, dass der Verbrauch nachvollzogen werden kann. Seine vagen Aussagen, der pauschale Verweis auf Alkohol und Prostituierte sowie Erinnerungslücken würden dazu nicht genügen. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, dass er die abgehobenen Barbeträge für seinen Lebensunterhalt verwendet habe, sei ein im kantonalen Rechtsmittelverfahren unzulässiges Novum und überdies auch nicht glaubhaft, wie das Obergericht unter Berücksichtigung der im Sommer 2018 erzielten Einkünfte vorrechnet. Das Obergericht erklärt abschliessend, der Beschwerdeführer sei trotz expliziter Aufforderung eine schlüssige Erklärung schuldig geblieben, wie er bei eigentlich bescheidenen finanziellen Verhältnissen ein binnen weniger Monate bezogenes Vermögen von über Fr. 50'000.-- verbrauchen konnte. Die aufgrund der mangelhaften Mitwirkung verbleibenden Ungereimtheiten seien zu Ungunsten des Beschwerdeführers auszulegen; nachdem er den behaupteten Vermögensverzehr nicht glaubhaft habe darlegen können, sei das Bezirksgericht zu Recht davon ausgegangen, dass das Vermögen noch vorhanden ist. Komme der Beschwerdeführer seiner Mitwirkungsobliegenheit nicht nach, so könne die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werden, ohne dass der Effektivitätsgrundsatz oder die Chancengleichheit verletzt wären.
5.2. Der Beschwerdeführer rügt zunächst Willkür in der Sachverhaltsfeststellung. Das Obergericht übersehe, dass er zum Zeitpunkt der fraglichen Geldbezüge im Juni/Juli 2018 noch gar nicht über das laufende Eheschutzverfahren informiert war und damit auch keine Kenntnis davon hatte, allenfalls einen Vermögensverzehr nachweisen zu müssen. Die Vorladung zur Eheschutzverhandlung sei ihm am 6. August 2018 zugestellt worden; der Erstkontakt mit seinem damaligen Anwalt habe erst am 16. August 2018 stattgefunden, weshalb er (als juristischer Laie) frühestens am zuletzt genannten Tag und damit lange nach dem Bezug des Vermögens Kenntnis von seiner Aufbewahrungspflicht gehabt haben könne. Deshalb verletze die Vorinstanz Art. 9 BV, wenn sie ihm vorhalte, zum Zeitpunkt des Verbrauchs schon von seiner Aufbewahrungspflicht gewusst zu haben.
Als "schlicht lebensfremd und damit willkürlich" tadelt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Annahme, dass sich Freier für Dienstleistungen einer Prostituierten eine Quittung geben würden. Er besteht darauf, seiner Mitwirkungspflicht insofern nachgekommen zu sein, indem er seinen damaligen psychischen Zustand mittels Arztzeugnissen belegt habe. Zudem habe er alle ausländischen und von der Beschwerdegegnerin vorgebrachten Banken angeschrieben und aufgezeigt, dass die dortigen Konten saldiert worden waren. Auch das Obergericht nenne keine weiteren Möglichkeiten für den Nachweis, dass das Geld in entsprechenden Milieus und aufgrund sonstiger Mehrausgaben aufgrund der Trennung ausgegeben wurde. Trotzdem verlange es weitere Hinweise/Beweise für das Nichtvorhandensein von Vermögen, bürde ihm den unmöglich zu erbringenden Beweis einer negativen Tatsache auf und verletze damit Art. 8 ZGB sowie - mit der Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege - auch Art. 29 Abs. 3 BV.
5.3.
5.3.1. Was die Willkürrügen angeht, kann offenbleiben, wann genau der Beschwerdeführer wusste, dass seine Frau ein Eheschutzverfahren angestrengt hatte. Um die Sachverhaltsfeststellung der kantonalen Instanz als willkürlich auszuweisen, genügt es nämlich nicht, einzelne Elemente daraus anzugreifen und andere Punkte unangefochten stehen zu lassen (s. etwa Urteil 5A_1038/2020 vom 14. Dezember 2021 E. 5.3.7). Der Beschwerdeführer übersieht, dass ihm das Obergericht unter dem Blickwinkel seiner Sorgfalts- und Mitwirkungspflicht nicht nur die Kenntnis dieses Gerichtsverfahrens, sondern auch die Trennung entgegenhält, zu der es laut den unbestrittenen vorinstanzlichen Feststellungen im Juni 2018 kam. Warum auch die Trennung von seiner Frau kein Grund für ihn war, mit Blick auf ein allfälliges Verfahren um die Nachvollziehbarkeit seines Geldverbrauchs besorgt zu sein, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Insbesondere macht der Beschwerdeführer auch nicht geltend, dass er - trotz seiner polizeilichen Wegweisung aus der ehelichen Wohnung am 18. Juni 2018 - auf die Wiederaufnahme des Zusammenlebens habe vertrauen können und deswegen nicht mit eherechtlichen Verfahren bzw. entsprechenden Kosten habe rechnen müssen.
Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, fusst der angefochtene Entscheid auch nicht auf der Annahme, dass sich Kunden von Prostituierten ihre Zahlungen für empfangene Dienstleistungen quittieren lassen. Das Obergericht stellt lediglich klar, dass pauschale Verweise auf Alkohol und Prostituierte sowie auf Erinnerungslücken ungenügend sind und auch die Verwendung von Barmitteln so detailliert darzulegen ist, dass der Verbrauch nachvollzogen werden kann. Inwiefern die Vorinstanz mit dieser Einschätzung das Willkürverbot (Art. 9 BV) verletzt, tut der Beschwerdeführer nicht dar.
5.3.2. Ins Leere läuft schliesslich der Vorwurf des Beschwerdeführers, das Obergericht verlange von ihm den Nachweis fehlenden Vermögens und damit den Beweis einer negativen Tatsache. Was den Streit um den im Hauptantrag geltend gemachten Anspruch auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses angeht, versäumt es der Beschwerdeführer abermals, die Verletzung eines einschlägigen verfassungsmässigen Rechts zu rügen (vgl. E. 4.3.3). Als Norm eines (blossen) Bundesgesetzes verbürgt Art. 8 ZGB für sich allein genommen keine verfassungsmässigen Rechte. Dass das Obergericht diese Norm in verfassungswidriger, insbesondere willkürlicher Weise angewendet hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Auf eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV beruft sich der Beschwerdeführer ausdrücklich nur im Zusammenhang mit der eventualiter angefochtenen Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Dass das Bundesgericht auf diese Rüge angesichts der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege im Verhältnis zum Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss nicht eintritt, wurde bereits erläutert (vgl. E. 4.3.3).
5.3.3. Mit der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass der Beschwerdeführer in den Verfahren betreffend Leistung eines Prozesskostenvorschusses und unentgeltliche Rechtspflege seiner Mitwirkungsobliegenheit mit Bezug auf den angeblichen Verbrauch von rund Fr. 50'000.-- nicht nachkam, muss es nach dem Gesagten sein Bewenden haben. Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Erörterungen zum Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz übergehe in Verletzung seines rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) seine Rüge, wonach streitige Vermögenswerte bei der Beurteilung der Mittellosigkeit nach Massgabe des Effektivitätsgrundsatzes nicht berücksichtigt werden dürfen und nicht einmal die Beschwerdegegnerin behauptet habe, dass noch Geld vorhanden sei. Denn wie sich aus seinen Formulierungen ergibt, erhebt der Beschwerdeführer diese Gehörsrüge unter der Prämisse, dass er seine Mitwirkungsobliegenheit nicht verletzt hat.
6.
Anlass zur Beschwerde gibt schliesslich die Weigerung der kantonalen Instanzen, bei der Beurteilung der Mittellosigkeit die Schulden für die Alimentenbevorschussung und für Kosten aus einem Strafverfahren zu berücksichtigen.
6.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge sind unter dem Titel der Alimentenbevorschussung Schulden von Fr. 40'766.10 belegt. Aus den Akten ergäben sich dem Beschwerdeführer im Strafverfahren auferlegte Kosten von total Fr. 12'975.45; wie sich die knapp Fr. 10'000.-- zusätzlich geltend gemachten Kosten zusammensetzen, begründe der Beschwerdeführer nicht. Das Obergericht schützt den Entscheid des Bezirksgerichts, das die erwähnten Verbindlichkeiten nicht berücksichtigte, da der Beschwerdeführer nicht dargelegt habe, dass er diese auch tatsächlich abbezahle. Es sei nicht ersichtlich, weshalb für die Berücksichtigung von Schulden im Rahmen der Ermittlung des verfügbaren Vermögens andere Voraussetzungen gelten sollen als bei der Bedarfsberechnung. Nach dem Effektivitätsgrundsatz sei auf das Vermögen abzustellen, über das die gesuchstellende Person effektiv verfügt, weshalb einzig massgebend sei, ob zur Prozessfinanzierung genügende Aktiven vorhanden sind. Solange eine gesuchstellende Partei behauptete Schulden nicht begleiche, verfüge sie über genügende Mittel, um den Prozess finanzieren zu können; Überlegungen, die einen hypothetischen Sachverhalt betreffen, seien im Rahmen der Beurteilung eines Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu prüfen, so die Schlussfolgerung der Vorinstanz.
6.2. Der Beschwerdeführer tadelt die Argumentation der Vorinstanz als "absoluten Irrsinn". Er rügt abermals Willkür sowie eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV. Die Anwendung des Effektivitätsgrundsatzes in Bezug auf die Anrechnung nicht abbezahlter Schulden scheitere daran, dass das effektive Vorhandensein des Vermögens, mit dem die Schulden abbezahlt werden sollen, gerade umstritten sei. Aufgrund des Effektivitätsgrundsatzes hätte das Obergericht schon ein Vermögen verneinen müssen. Indem es von ihm verlange, die Abzahlung von Schulden mit Vermögen nachzuweisen, dessen Vorhandensein umstritten ist bzw. zu Unrecht vermutet wird, führe das Obergericht seine Argumentation "ad absurdum", müsse es doch davon ausgehen, dass die fraglichen Beträge nicht tatsächlich (effektiv) geschuldet seien, obwohl sie sogar zur Zahlung fällig sind. Der Beschwerdeführer klagt, der angefochtene Entscheid habe zur Folge, dass er nie mehr unentgeltliche Rechtspflege oder Rechtsverbeiständung erhalten werde. Er werde nämlich nie nachweisen können, dass er die ihm zur Verfügung stehenden Mittel für die Begleichung der bestehenden Schulden verwendet, da er gar keine Mittel habe. Die Busse aus dem Strafverfahren zahle er - trotz des Fehlbetrags in seinem Bedarf - nur deshalb ab, weil er sonst eine Freiheitsstrafe antreten müsste. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass die aufgelaufenen Schulden bei der Alimentenbevorschussung von unterdessen Fr. 42'766.10 sowie die Schulden aus dem Strafverfahren, die sich in Tat und Wahrheit auf Fr. 18'230.45 belaufen würden, von seinem angeblich vorhandenen Vermögen abzuziehen sind. Im Ergebnis schliesse das Obergericht also aus dem Vorliegen eines hypothetischen Vermögens bzw. einer hypothetischen Zahlungsmöglichkeit, dass die effektiven Schulden, da sie nicht bezahlt werden, auch nur hypothetische sein müssen.
6.3. Die Argumentation des Beschwerdeführers fusst auf der Annahme, dass das fragliche Vermögen von rund Fr. 50'000.-- umstritten bzw. lediglich hypothetischer Natur sei. Dies trifft nicht zu: Die Vorinstanz kommt in tatsächlicher Hinsicht zum Schluss, dass der Beschwerdeführer den behaupteten Vermögensverzehr nicht glaubhaft habe darlegen können, weshalb davon auszugehen sei, dass das Vermögen noch vorhanden ist (s. oben E. 5.1). Wie die vorigen Erwägungen zeigen, vermag der Beschwerdeführer dieses Beweisergebnis auch im hiesigen Verfahren nicht zu erschüttern (s. oben E. 5.3). Seine Beteuerungen, dass ihm gar keine Mittel zur Schuldentilgung zur Verfügung stehen, helfen ihm also nicht weiter. In der Folge ist auch dem Vorwurf der Boden entzogen, wonach die Vorinstanz von einem nur hypothetisch vorhandenen Vermögen darauf schliesse, dass auch die effektiven Schulden lediglich hypothetischer Natur seien.
Nichts gewonnen ist sodann mit dem Vorwurf, die Vorinstanz beharre im Widerspruch zum bundesgerichtlichen Urteil 5D_123/2012 vom 17. Oktober 2012 auf dem Nachweis, dass die zur Verfügung stehenden Mittel tatsächlich zur Begleichung der bestehenden Schulden verwendet werden. In Erwägung 4.2 des besagten Urteils stellte das Bundesgericht im Zusammenhang mit der Mittellosigkeit als Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtspflege klar, dass es nicht angehe, die tatsächlich bestehende Darlehensschuld von Fr. 18'000.-- als vermögensminderndes Element ausser Acht zu lassen, auch wenn die Rückzahlung erst auf Dezember 2016 vereinbart war. Die Passage war allerdings gar nicht entscheidwesentlich, zumal das Bundesgericht die Mittellosigkeit trotz des Abzugs der Darlehensschuld letztendlich verneinte. Im heute angefochtenen Entscheid verweist das Obergericht auf eine Lehrmeinung, wonach dem zitierten Urteil 5D_123/2012 insofern zuzustimmen sei, als ein Nachweis von nicht fälligen Darlehensrückzahlungen noch nicht erbracht werden kann (DANIEL WUFFLI, Die unentgeltliche Rechtspflege in der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2015, S. 65 f.). Mit Blick auf seine eigene Situation folgert der Beschwerdeführer aus dem erwähnten Urteil, dass seine fälligen Verbindlichkeiten aus der Alimentenbevorschussung und dem Strafverfahren bei der Beurteilung der Mittellosigkeit erst recht in Rechnung zu stellen seien. Allein damit missversteht er den angefochtenen Entscheid. Dieser beruht letztlich auf der Überlegung, dass die Antwort auf die Frage, ob vom Schuldner der Nachweis der tatsächlichen Abzahlung verlangt werden kann, eben gerade davon abhängt, ob die fragliche Schuld zur Zahlung fällig ist oder nicht: Da sich die Rückzahlung eines (noch) nicht fälligen Darlehens nicht nachweisen lasse, könne die Berücksichtigung der Darlehensschuld auch nicht vom Nachweis der Rückzahlung abhängig gemacht werden. Wer bei der Beurteilung seiner Mittellosigkeit hingegen eine fällige Verbindlichkeit in Rechnung stellen wolle, müsse nachweisen, dass er die zur Verfügung stehenden Mittel auch für die Begleichung der bestehenden Schulden verwendet. Inwiefern diese Lesart des Urteils 5D_123/2012 offensichtlich unhaltbar ist, tut der Beschwerdeführer nicht dar, noch äussert er sich dazu, weshalb das Obergericht gegen das Willkürverbot verstösst, wenn es die hier zu beurteilende Situation nicht mit derjenigen gleichsetzt, mit der das Bundesgericht im Urteil 5D_123/2021 befasst war.
7.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dies gilt insbesondere auch mit Bezug auf die Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das zweitinstanzliche Verfahren. Diesbezüglich enthält die Beschwerde keine separate Begründung, weshalb davon auszugehen ist, dass diese Anträge nicht unabhängig vom Schicksal der Hauptsache gestellt wurden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. In der Folge hätte er grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Den besonderen Umständen des Falls entsprechend verzichtet das Bundesgericht aber darauf, Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Den Beschwerdegegnern ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Wie bereits erwähnt, geht der eherechtliche Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss demjenigen auf unentgeltliche Rechtspflege vor (E. 1.3), weshalb eine Partei nicht als im Sinne von Art. 64 Abs. 1 BGG bedürftig gilt, solange Ungewissheit darüber besteht, ob sie von ihrem Ehegatten einen Prozesskostenvorschuss verlangen kann (BGE 143 III 617 E. 7).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf das Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das bundesgerichtliche Verfahren wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Zürich, 10. Abteilung, Einzelgericht, mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn