Sachverhalt:
A.
Der Gemeinderat Horgen setzte mit Beschluss vom 21. Oktober 2019 das Strassenprojekt "Moorschwandstrasse: Neuer Überlaufparkplatz neben der bestehenden Parkierungsanlage mit Fussgängerübergang Bergstrasse" fest. Die Einsprache von A._ wies er ab, soweit er auf diese eintrat.
B.
Auf den dagegen von A._ erhobenen Rekurs trat das Baurekursgericht des Kantons Zürich aufgrund fehlender Legitimation des Rekurrenten mit Urteil vom 12. Mai 2020 nicht ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid mit Urteil vom 22. Juli 2020 ab.
C.
Mit Eingabe vom 9. September 2020 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt sinngemäss die Aufhebung des Urteils vom 22. Juli 2020 des Verwaltungsgerichts. Er stellt ausserdem verschiedene weitere Rechtsbegehren.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, verzichtet jedoch auf eine Vernehmlassung. Die Gemeinde Horgen beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid im Bereich des Raumplanungs- und Baurechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen; ein Ausnahmetatbestand ist nicht gegeben (Art. 83 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist unabhängig von der Beschwerdeberechtigung in der Sache nach Art. 89 Abs. 1 BGG legitimiert, Beschwerde zu erheben, soweit er eine Rechtsverweigerung durch den Nichteintretensentscheid des Baurekursgerichts rügt (vgl. die Urteile 1C_491/2019 vom 5. Februar 2020 E. 1.2; 1C_69/2019 vom 20. August 2019 E. 1.2).
1.3. Da das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid seiner Vorinstanz geschützt hat, beschränkt sich das vorliegende Verfahren auf die Frage, ob es dies zu Recht getan hat. Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet somit einzig die Frage, ob das Baurekursgericht den Rekurs des Beschwerdeführers materiell hätte behandeln müssen. Ist dies zu bejahen, ist die Beschwerde gutzuheissen und das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen; insofern ist nur der sinngemässe Antrag des Beschwerdeführers auf Rückweisung zulässig. Seine übrigen Rechtsbegehren, die auf die Sache selbst abzielen, liegen ausserhalb des Streitgegenstands; auf sie kann nicht eingetreten werden.
1.4. Auf die form- und fristgerechte Beschwerde ist im Übrigen grundsätzlich einzutreten.
2.
Beschwerden an das Bundesgericht haben nebst den Begehren die Begründung zu enthalten; darin ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung braucht nicht zutreffend zu sein; verlangt wird aber, dass sich die Beschwerde mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt. Das Begründungserfordernis bezieht sich auf die gestellten Begehren. Enthält die Beschwerde mehrere unterschiedliche Rechtsbegehren, aber nur zu einigen davon eine hinreichende Begründung, so ist auf die begründeten Begehren einzutreten, aber auf die anderen nicht (vgl. BGE 143 II 283 E. 1.2.2 mit Hinweisen).
3.
Umstritten ist die Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers in der Sache.
3.1. Das kantonale Recht hat die Legitimation zur Anfechtung von raumplanungsrechtlichen Verfügungen mindestens im gleichen Umfang zu gewährleisten wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht (Art. 111 Abs. 1 BGG; BGE 144 I 43 E. 2.1). Es ist daher nach den Kriterien von Art. 89 Abs. 1 BGG zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht die Beschwerdebefugnis des Beschwerdeführers zu Recht verneinte.
3.2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Verlangt wird somit neben der formellen Beschwer, dass die beschwerdeführende Person über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss in Planungs- und Bausachen insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein (BGE 141 II 50 E. 2.1; 137 II 30 E. 2.2.2).
Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation der beschwerdeführenden Person durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann. Dies setzt eine eigene Betroffenheit voraus, d.h. die beschwerdeführende Person muss im eigenen und nicht im Interesse der Allgemeinheit Beschwerde führen. Der drohende Nachteil bzw. der durch die Beschwerde erstrebte Vorteil braucht nicht zwingend wirtschaftlicher oder materieller Art zu sein, sondern kann auch ideeller Natur sein (BGE 142 II 451 E. 3.4.1; Urteil 1C_608/2018 vom 2. Mai 2019 E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.3. Bei der Anordnung einer funktionellen Verkehrsbeschränkung bzw. bei der Anfechtung von Strassenprojekten steht die Beschwerdebefugnis nach der Praxis des Bundesgerichts all jenen Verkehrsteilnehmenden zu, welche die betreffende Strasse mehr oder weniger regelmässig benützen, wie das bei Anwohnerinnen und Anwohner "oder Pendlerinnen und Pendler" der Fall ist, während bloss gelegentliches Benützen der Strasse nicht genügt (vgl. BGE 136 II 539 E. 1.1; Urteile 1C_121/2017 vom 18. Juli 2017 E. 1.1.2 und 1C_43/2011 vom 8. April 2011 E. 3.3). Doch auch regelmässige Benützerinnen und Benützer einer vom Projekt betroffenen Strasse sind nur zur dessen Anfechtung legitimiert, wenn dieses für sie Beeinträchtigungen von einer gewissen Intensität zur Folge hat (Urteil 1C_43/2011 vom 8. April 2011 E. 7).
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht führte aus, der Beschwerdeführer wohne am U._weg xxx in Horgen und damit 2,9 km (Luftlinie) vom vorliegend strittigen Projektperimeter entfernt. Der Fussweg vom Wohnort des Beschwerdeführers zum Projektperimeter messe über 4 km. Er sei damit nicht in direkter Nähe des Parkplatzes Moorschwand wohnhaft und nicht als Anwohner zu qualifizieren. Sodann sei der Beschwerdeführer zwei- bis dreimal im Monat aus sportlichem und naturkundlichem Interesse zu Fuss im Horgenberg unterwegs; dies stelle keine regelmässige Nutzung im Sinne der Rechtsprechung dar und reiche zur Legitimationsbegründung nicht aus.
Selbst wenn jedoch eine regelmässige Nutzung des Projektperimeters angenommen würde, erreichten die behaupteten Nachteile gemäss Vorinstanz nicht die erforderliche Intensität. Es sei nicht ausgewiesen, dass der projektierte Überlaufparkplatz tatsächlich zu Mehrverkehr führen werde und es sei auch nicht damit zu rechnen, dass dieser zu einer für den Beschwerdeführer bemerkbaren Verschlechterung der Luftqualität führe. Durch eine allfällige Luftverschlechterung aufgrund von Mehrverkehr wäre der Beschwerdeführer ohnehin nicht stärker als die Allgemeinheit bzw. andere Personen seiner Altersgruppe betroffen.
4.2. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er 2,9 km vom strittigen Projektperimeter entfernt wohnt, der Fussweg dorthin über 4 km misst und er folglich nicht als Anwohner zu qualifizieren ist. Er macht jedoch geltend, er verfüge aus anderen Gründen über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache. Zunächst sei dies der Fall, weil er sich seit der Gemeindeversammlung 2007 mehrmals für den Horgenberg eingesetzt habe. Dieser Umstand begründet jedoch gemäss der bundesgerichtlichen Praxis keine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache.
Er macht weiter geltend, die Beziehungsnähe zur Streitsache ergebe sich aus dem Umstand, dass er zwei- bis dreimal im Monat mit sportlichem und naturkundlichem Interesse zu Fuss im Horgenberg unterwegs sei, wobei ihm gute Luft und eine intakte naturnahe Landschaft ein Anliegen seien. Die Vorinstanz hat dazu zutreffend ausgeführt, bei einer solchen nur gelegentlichen Nutzung der Strasse bzw. des Projektperimeters könne nicht von einer regelmässigen Benützung im Sinne der oben dargestellten Rechtsprechung ausgegangen werden. Der Beschwerdeführer führt im Übrigen nicht aus, inwiefern die Vorinstanz diese Rechtsprechung falsch angewendet hätte und dies ist auch nicht ersichtlich.
Schliesslich macht der Beschwerdeführer noch geltend, er sei als 68-jähriger am Anfang der Altersgruppe, die von den Hitzeperioden im Sommer - ausgelöst durch die Klimaerwärmung - besonders betroffen sei. Es mag zwar zutreffen, dass ältere Menschen tendenziell mehr unter den Hitzeperioden leiden als der Rest der Bevölkerung (vgl. dazu auch BGE 146 I 145). Der Beschwerdeführer substanziiert diesen Punkt jedoch nicht und führt insbesondere nicht aus, welche Altersgruppe (n) bei welchen Hitzeereignissen mit welcher Intensität getroffen würde (n) und inwiefern sich diese Betroffenheit von derjenigen anderer Bevölkerungsgruppen unterscheidet und er darum beschwerdelegitimiert sein sollte. Auf diese Rüge kann somit mangels hinreichender Substanziierung nicht eingetreten werden (vgl. oben E. 2).
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die anwaltlich vertretene Gemeinde hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren, da sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Horgen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni