Erwägungen:
1.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies mit Verfügung vom 25. Juni 2021 ein neuerliches Gesuch um Akteneinsicht von A._ ab. A._ reichte mit Eingabe vom 1. Juli 2021 eine "Beschwerdemeldung gegen die Verfügung des Appellationsgerichts vom 25.06.2021" beim Bundesgericht ein. Eine Beschwerdebegründung werde innerhalb der laufenden Beschwerdefrist nachgereicht. Innerhalb der Beschwerdefrist ging indessen keine Beschwerdebegründung ein.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Wie der Beschwerdeführer in seiner "Beschwerdemeldung" selbst ausführt, enthält diese keine Auseinandersetzung mit der Begründung der angefochtenen Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt. Eine Begründung wurde, wie ausgeführt, innert Frist nicht nachgereicht. Somit ergibt sich aus der Beschwerde nicht, inwiefern die angefochtene Verfügung des Appellationsgerichts rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
3.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli