Faits :
A.
A.a. A._, né en 1974, travaillait comme peintre en bâtiment au service de la société B._ AG et était à ce titre assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA). Le 25 septembre 2017, alors qu'il était en train de décharger un bidon de peinture d'une camionnette, l'assuré a ressenti une douleur dans son épaule gauche et est également tombé sur cette épaule. Une arthro-IRM (imagerie par résonance magnétique) réalisée le 27 septembre 2017 a mis en évidence une absence de rupture de la coiffe des rotateurs et du muscle trapézoïde gauche, une arthrose de l'articulation acromio-claviculaire et une tendinite du tendon du sus-épineux ainsi qu'une bursite discrète des bourses sous-deltoïdiennes et sous-acromiales. La CNA a pris en charge le cas.
A.b. En raison de la persistance des douleurs, l'assuré a consulté le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Ce médecin a constaté un déséquilibre scapulo-thoracique prononcé avec une scapula à ressaut et dyskinésie scapulaire de type 2 selon Kibler, ainsi qu'une arthrose de l'articulation acromio-claviculaire traumatisée par l'événement accidentel du 25 septembre 2017 (rapport du 25 janvier 2018).
La CNA a requis l'avis de son médecin d'arrondissement, le docteur D._, spécialiste en chirurgie, lequel a constaté une aggravation temporaire des lésions dégénératives de l'épaule qui pouvait être guérie sous 8 à 12 semaines (rapport du 8 février 2018).
Le docteur C._ a encore préconisé un scanner, lequel a permis d'exclure l'existence d'une exostose cartilagineuse (rapport du 22 février 2018).
A.c. Par décision du 14 février 2018, confirmée sur opposition le 16 août 2018, la CNA a mis un terme au versement de ses prestations au 14 février 2018, considérant que le statu quo sine vel ante avait été atteint entre 8 à 12 semaines après l'accident.
B.
A._ a déféré la décision sur opposition à la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne, en concluant à son annulation et à la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire, subsidiairement à sa réforme en ce sens qu'il soit ordonné à la CNA de lui verser des prestations au-delà du 14 février 2018.
Pendant la procédure cantonale, la CNA a produit un rapport du docteur E._, spécialiste en chirurgie de son centre de compétence (rapport du 7 novembre 2018).
Par jugement du 8 avril 2020, la juridiction cantonale a rejeté le recours de l'assuré.
C.
A._ interjette un recours contre ce jugement, en concluant principalement à son annulation et à la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire suivie du renvoi de la cause à la CNA pour nouvelle décision au sens des considérants. Subsidiairement, il conclut à sa réforme dans le sens d'une reconnaissance de son droit à des prestations au-delà du 14 février 2018. A l'appui de ses conclusions, le recourant produit un rapport du docteur F._, spécialiste en orthopédie et traumatologie, du 6 novembre 2019.
La CNA conclut au rejet du recours. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique renoncent à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (art. 82 ss. LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer. L 'allégation de faits qui sont survenus postérieurement au prononcé attaqué ou la production de moyens de preuve établis après ledit prononcé n'est pas admissible devant le Tribunal fédéral (ATF 143 V 19 consid. 1.2; arrêts 8C_301/2018 du 22 août 2019 consid. 2.2; 6B_342/2018 du 6 février 2019 consid. 1.1; 9C_737/2015 du 13 octobre 2016 consid. 3.2 non publié aux ATF 142 V 488 et les références).
En l'espèce, l'avis médical du 6 novembre 2019 établi par le docteur F._ et produit en instance fédérale seulement n'est dès lors pas admissible.
3.
3.1. Est litigieux le point de savoir si la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en confirmant la décision sur opposition du 16 août 2018, par laquelle la CNA a mis fin aux prestations d'assurance, avec effet au 14 février 2018, pour les suites de l'accident du 25 septembre 2017.
3.2. S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
4.
4.1. Dans la mesure où l'accident est survenu le 25 septembre 2017, la loi sur l'assurance-accidents (LAA) dans sa teneur en vigueur dès le 1 er janvier 2017 s'applique au cas d'espèce (cf. par. 1 des dispositions transitoires sur la modification de la LAA du 25 septembre 2015, RO 2016 4375, 4388).
4.2. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales régissant le droit aux prestations de l'assurance-accidents (art. 6 al. 1 LAA; art. 4 LPGA) ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la notion de causalité naturelle (ATF 142 V 435 consid. 1; 129 V 177 consid. 3.1; arrêt 8C_781/2017 du 21 septembre 2018 consid. 5.1, in SVR 2019 UV n° 18 p. 64) et à l'appréciation des preuves médicales (ATF 134 V 231 consid. 5.1; 125 V 351 consid. 3a). On peut y renvoyer.
5.
5.1. Examinant la valeur probante du rapport du 8 février 2018 du docteur D._, les premiers juges ont constaté qu'il avait été établi en pleine connaissance des avis médicaux précédents, de sorte qu'un examen personnel du recourant n'avait pas été nécessaire. Concernant le rapport du 22 février 2018 du docteur C._, le tribunal cantonal a retenu que le docteur D._ n'avait pas pu prendre position sur cet avis faute d'avoir été consulté par l'intimée à ce propos. Cela étant, les premiers juges ont estimé que cet avis n'avait fait qu'exclure l'exostose cartilagineuse suspectée. Aussi, les conclusions du docteur D._ ne pouvaient pas être remises en cause au seul motif que ce dernier ne s'était pas prononcé sur le deuxième rapport du docteur C._. Le tribunal cantonal a en outre constaté que le docteur E._ avait confirmé de manière convaincante l'appréciation du docteur D._. En conséquence, il a jugé que l'intimée avait à juste titre nié tout lien de causalité entre l'accident du 25 septembre 2017 et les troubles encore ressentis par le recourant après le 14 février 2018 et a confirmé la décision litigieuse de la CNA.
5.2. Le tribunal cantonal a encore examiné si l'intimée aurait dû se prononcer sous l'angle de l'art. 6 al. 2 LAA, qui régit les lésions corporelles assimilées à des accidents. Les premiers juges ont retenu que l'intimée avait démontré à suffisance de droit que l'accident ne se trouvait plus en lien de causalité avec les troubles présentés par le recourant au-delà du 14 février 2018. Aussi bien la juridiction cantonale a-t-elle conclu qu'il n'y avait plus de place pour une analyse fondée sur l'art. 6 al. 2 LAA car la part des facteurs étrangers à l'accident serait de toute manière supérieure à 50 %.
6.
6.1. Le recourant fait grief au tribunal cantonal d'avoir violé le droit fédéral (43 LPGA) en refusant de donner suite à sa requête de mise en oeuvre d'une expertise. Dans son argumentation, qui consiste en définitive à alléguer que la juridiction précédente aurait retenu à tort que le rapport du docteur D._ avait une pleine valeur probante, le recourant soutient que ce médecin ne l'a jamais examiné personnellement. Le recourant fait en outre valoir que le docteur D._ ne s'est pas prononcé sur le deuxième rapport du docteur C._ et que ses conclusions seraient contredites par celles des avis médicaux précédents.
6.2. En l'occurrence, le recourant se contente de répéter ses allégations avancées en procédure cantonale, sans critiquer le jugement entrepris ni démontrer en quoi les constatations du tribunal cantonal seraient erronées, de sorte qu'il suffit de renvoyer aux considérations pertinentes du jugement attaqué (cf. consid. 5.1 supra).
7.
7.1. Le recourant reproche ensuite au tribunal cantonal d'avoir violé le droit fédéral en retenant qu'il était établi au degré de la vraisemblance prépondérante que le statu quo sine vel ante avait été retrouvé le 14 février 2018.
7.2. En l'occurrence, sous l'angle formel, on relèvera que le recourant motive son grief en se référant à l'avis médical du 6 novembre 2019 établi par le docteur F._, lequel est inadmissible devant le Tribunal fédéral (cf. consid. 2 supra).
Cela dit, on ne voit pas en quoi la juridiction précédente aurait violé le droit fédéral. En effet, le docteur E._ a expliqué de manière convaincante que le scanner réalisé par le docteur C._ ne montrait aucune modification substantielle de la situation ou lésion structurelle de la scapula. Ce médecin-conseil s'est également prononcé de manière cohérente sur l'ensemble des troubles décrits le 25 janvier 2018 par le docteur C._, lequel avait d'ailleurs retenu que l'assuré avait retrouvé une bonne mobilité de l'épaule à ce moment-là. Les conclusions du docteur E._, qui confirment également le rapport du 8 février 2018 du docteur D._, apparaissent donc fondées et cohérentes.
Quant à l'argument du recourant selon lequel il serait toujours incapable de lever totalement son bras et que certains symptômes perdureraient, il ne remet pas en cause les conclusions des docteurs D._ et E._ selon lesquelles les lésions persistant après le 14 février 2018 résultent exclusivement de causes étrangères à l'accident du 25 septembre 2017.
8.
Vu ce qui précède, le tribunal cantonal était fondé à confirmer la suppression du droit du recourant aux prestations de l'assurance-accidents avec effet au 14 février 2018. Le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté.
9.
Le recours était d'emblée voué à l'échec, de sorte que la demande d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Conformément à l'art. 66 al. 1 LTF, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 21 juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin