Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führte ein Strafverfahren gegen A._ wegen des Verdachts des Landfriedensbruchs, der Gewalt und Drohung gegen Beamte sowie der Sachbeschädigung. Am 26. April 2016 nahm ihn die Polizei fest. Gleichentags gab ihm die Staatsanwaltschaft von der Pikettliste Rechtsanwalt Christian Stöbi für die polizeiliche Befragung vom folgenden Tag als Anwalt der ersten Stunde bei. Am 10. Mai 2016 bestellte die Staatsanwaltschaft Rechtsanwalt Stöbi auf dessen Antrag hin zum amtlichen Verteidiger.
Am 13. Mai 2016 ersuchte Advokat Andreas Noll um Einsetzung als amtlicher Verteidiger. Mit Verfügung vom 18. Mai 2016 wies die Staatsanwaltschaft das Gesuch ab, da A._ nach Auskunft von Rechtsanwalt Stöbi weiterhin durch diesen vertreten werden wolle. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde schrieb die Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 24. Juni 2016 als gegenstandslos geworden ab, da die Staatsanwaltschaft ihr Strafverfahren inzwischen an den Kanton Basel-Landschaft abgetreten hatte, wo bereits ein anderes Verfahren gegen A._ hängig war, in welchem dieser durch Advokat Noll amtlich verteidigt wurde.
B.
Mit Schreiben vom 24. Januar 2017 an die Staatsanwaltschaft beantragte Advokat Noll die Entschädigung seines Aufwandes im Verfahren des Kantons Basel-Stadt seit dem 13. Mai 2016 bis zum Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin vom 24. Juni 2016. Er verlangte die Überweisung eines Betrags von insgesamt Fr. 2'855.70.
Mit Verfügung vom 30. Januar 2017 wies die Staatsanwaltschaft den Antrag ab.
Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies die Appellationsgerichtspräsidentin am 30. August 2019 ab. Sie kam zum Schluss, Advokat Noll sei im Verfahren des Kantons Basel-Stadt zu Recht nicht als amtlicher Verteidiger eingesetzt worden. Damit sei sein insoweit gemachter Aufwand nicht vom Staat zu entschädigen.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin vom 30. August 2019 aufzuheben und die Sache an diese zur Festsetzung des amtlichen Verteidigerhonorars zurückzuweisen.
D.
Die Appellationsgerichtspräsidentin hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Sie beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist daher nach Art. 80 BGG zulässig. Aufgrund des angefochtenen Entscheids muss der Beschwerdeführer Advokat Noll für dessen Bemühungen im Strafverfahren des Kantons Basel-Stadt selber entschädigen, bei Gutheissung der Beschwerde obläge dies dem Staat (Art. 135 Abs. 1 StPO). Der Beschwerdeführer hat somit ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er ist deshalb gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Die im Kanton Basel-Stadt gegen den Beschwerdeführer geführte Strafuntersuchung wurde am 7. Juni 2016 an den Kanton Basel-Landschaft abgetreten. Der angefochtene Entscheid schliesst für den Beschwerdeführer das Verfahren im Kanton Basel-Stadt ab, weshalb er als Endentscheid gemäss Art. 90 BGG zu betrachten ist. Die Sachurteilsvoraussetzungen sind insoweit erfüllt.
Der Beschwerdeführer stellt lediglich einen kassatorischen Antrag. Das ist im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (BGE 137 II 313 E. 1.3 S. 317 mit Hinweisen; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 17 zu Art. 42 BGG). Ob der Antrag unter den gegebenen Umständen ausnahmsweise zulässig sei, kann dahingestellt bleiben. Wäre auf die Beschwerde einzutreten, wäre sie aus folgenden Erwägungen abzuweisen.
2.
Die Vorinstanz nimmt Bezug auf ein Schreiben vom 20. Mai 2016 des Beschwerdeführers an Advokat Noll (Beschwerdebeilage 19). Sie erwägt dazu unter anderem, es sei nicht klar, wann und unter welchen Umständen das Schreiben erstellt worden sei. Es trage keinen Eingangsstempel und sei auf dem gleichen Papier geschrieben wie die handschriftliche Notiz vom 25. Mai 2016, welche der Beschwerdeführer im Beisein von Advokat Noll anlässlich dessen Besuchs (gemeint: im Untersuchungsgefängnis) vom 24. Mai 2016 verfasst haben soll (angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 7 f.).
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe insoweit den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Was er dazu vorbringt, erschöpft sich in unzulässiger appellatorischer Kritik (dazu BGE 144 V 50 E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen). Im Übrigen legt er auch nicht substanziiert dar, inwiefern die von ihm als willkürlich gerügte Sachverhaltsfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll. Auf die Beschwerde kann daher im vorliegenden Punkt nicht eingetreten werden.
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, dem Beschuldigten komme bei der Bestellung des amtlichen Verteidigers ein Vorschlagsrecht zu (Art. 133 Abs. 2 StPO). Dieses habe er mangels hinreichender Aufklärung über seine Rechte nicht wahrnehmen können.
Der Einwand ist unbeheflich. Im Strafverfahren, das der Kanton Basel-Landschaft führt, vertrat ursprünglich Rechtsanwalt Matthias Aeberli den Beschwerdeführer als amtlicher Verteidiger. Der Beschwerdeführer äusserte den Wunsch, neu von Advokat Noll amtlich verteidigt zu werden. Dem kam die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft mit Verfügung vom 6. Juli 2015 nach (Beschwerdebeilage 7). Sie bewilligte den Wechsel des amtlichen Verteidigers und setzte per 1. Juli 2015 Advokat Noll als amtlichen Verteidiger ein. Dabei verwies sie ausdrücklich auf Art. 133 Abs. 2 StPO, wonach die Verfahrensleitung bei der Bestellung der amtlichen Verteidigung nach Möglichkeit die Wünsche der beschuldigten Person berücksichtigt. Der Beschwerdeführer wusste somit bereits aufgrund des Verfahrens im Kanton Basel-Landschaft, dass er bezüglich der Person seines amtlichen Verteidigers ein Vorschlagsrecht hat. Falls ihn die Behörden des Kantons Basel-Stadt, wie er geltend macht, nicht eigens auf dieses Recht hingewiesen hätten, hätte ihm dies deshalb nicht geschadet.
4.
Der Beschwerdeführer bringt vor, der Staatsanwaltschaft sei sein Wunsch, auch im Kanton Basel-Stadt von Advokat Noll amtlich verteidigt zu werden, bekannt gewesen. In Verletzung seines Vorschlagsrechts habe sie sich darüber hinweggesetzt.
Die Vorinstanz kommt in Würdigung der Beweise zum Schluss, dass der Beschwerdeführer, nachdem er darauf aufmerksam gemacht worden war, er müsse das Gesuch um Einsetzung von Advokat Noll als amtlicher Verteidiger schriftlich einreichen, davon abgesehen und den Wunsch geäussert hat, Rechtsanwalt Stöbi als seinen amtlichen Vertreter beizubehalten (angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 7). Diese Feststellung ist für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Ausgehend davon verletzt es offensichtlich kein Bundesrecht, wenn die Staatsanwaltschaft Rechtsanwalt Stöbi zum amtlichen Verteidiger bestellt hat. Dass ein Grund nach Art. 134 Abs. 2 StPO dafür bestanden hätte, Rechtsanwalt Stöbi als amtlichen Verteidiger zu entlassen und statt diesem Advokat Noll als solchen einzusetzen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Im Gegenteil ergibt sich aus seinem Schreiben vom 20. Mai 2016 an Advokat Noll (Beschwerdebeilage 19), dass Rechtsanwalt Stöbi den Beschwerdeführer nach dessen Einschätzung wirksam vertreten hat ("Die [gemeint: die Verteidigung] sich Herr Stöbi gut angenommen hat").
Hat die Staatsanwaltschaft demnach Advokat Noll zu Recht nicht als amtlichen Verteidiger eingesetzt, ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz dessen Entschädigung für seine Bemühungen im Kanton Basel-Stadt aus der Staatskasse abgelehnt hat.
5.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und der Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri