Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Beauftragte, Klägerin, Beschwerdegegnerin) vertrat in einem von der Staatsanwaltschaft U._ im Dezember 2012 eingeleiteten Strafverfahren A._ (Auftraggeber, Beklagter, Beschwerdeführer). Die Parteien vereinbarten ein Honorar in Stundenansätzen (Fr. 510.-- für den Partner, Fr. 400.-- für die Senior Associate und Fr. 340.-- für den Associate); für andere als die im Vertrag genannten Personen kam ein der individuellen Qualifikation und Seniorität entsprechender Stundenansatz zur Anwendung. Die Beauftragte sicherte zu, in der Regel jeden Monat eine Zwischenrechnung zu erstellen. Der Auftraggeber verpflichtete sich, die Rechnungen jeweils innert 30 Tagen zu bezahlen und einen Kostenvorschuss von Fr. 10'000.-- zu leisten. Der Kostenvorschuss sollte entweder erst bei der Schlussrechnung angerechnet oder nach jeder Zwischenrechnung erneut eingefordert werden dürfen. Zwischen April 2013 und Mai 2015 leistete der Auftraggeber insgesamt 26 Kostenvorschüsse in unterschiedlicher Höhe, insgesamt Fr. 96'788.40. Die Beauftragte stellte für ihre Dienste 15 Mal Rechnung und verrechnete dabei jeweils die geleisteten Kostenvorschüsse. Nachdem der Auftraggeber mit Urteil des Strafgerichts U._ vom 19. Dezember 2014 wegen Betrugs zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten verurteilt worden war, entzog er der Beauftragten am 2. Juni 2015 das Mandat. Daraufhin verlangte diese vom Auftraggeber die Zahlung von Fr. 94'252.75 aus Honorar. Dem kam der Auftraggeber nicht nach.
B.
Am 12. September 2016 reichte die Beauftragte beim erstinstanzlichen Gericht U._ Klage ein und beantragte, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr Fr. 94'252.75 nebst Zins zu bezahlen. Sie machte geltend, ab Oktober 2014 sei der Beklagte mit der Bezahlung der Rechnungen in Verzug gewesen. Der eingeklagte Betrag setze sich zusammen aus sechs (teilweise) unbeglichenen Rechnungen, datierend vom 8. September 2014, 24. Oktober 2014, 9. Dezember 2014, 19. Januar 2015, 20. Mai 2015 und 25. Juni 2015. In der Replik reduzierte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 91'637.50, da sie anerkannte, dass an die sechs teilweise noch offenen Rechnungen bereits ein Betrag von Fr. 21'500.-- (und nicht erst von Fr. 18'884.75) geleistet worden war.
Mit Urteil vom 29. November 2017 verpflichtete das erstinstanzliche Gericht den Beklagten, der Klägerin Fr. 91'637.50 nebst Zins zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 11. Dezember 2018 wies die Vorinstanz die Berufung des Beklagten kostenfällig ab. Am Entscheid wirkten mit: Die beiden Richter C._ und D._, die Richterin E._ sowie der Gerichtsschreiber F._.
Mit Urteil 4A_17/2009 vom 6. September 2019 hiess das Bundesgericht eine vom Beklagten hiergegen erhobene Beschwerde gut, mit welcher dieser den Ausstand der mitwirkenden Richterin verlangt hatte. Es hob den Entscheid der Vorinstanz auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an dieses zurück.
Am 26. November 2019 entschied die Vorinstanz erneut und wies die Berufung des Beklagten ab. An diesem Entscheid wirkten mit: C._, G._ und D._ sowie der Gerichtsschreiber F._. Der Entscheid wurde auf dem Zirkulationsweg gefällt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Januar 2020 beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, gestützt auf Art. 47 i.V.m. Art. 51 ZPO sei das Urteil der Vorinstanz vom 26. November 2019 kostenfällig aufzuheben, und es sei das Verfahren zu wiederholen mit einem ordnungsgemäss besetzten Gericht (Ziff. 1). Eventualiter sei die Klage in Gutheissung der Beschwerde abzuweisen (Ziff. 2). Subeventualiter sei das Urteil aufzuheben und die Sache zurückzuweisen zwecks Präzisierung, dass der Beschwerdeführer keinen Verzugszins für die Zeit vom 11. Dezember 2018 bis zum 26. November 2019 (d.h. bis zum angefochtenen Urteil der Vorinstanz) schulde (Ziff. 3).
Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an. Die Vorinstanz beantragt ebenfalls die Abweisung.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f., 115 E. 2 S. 116).
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
3.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Ziffer 1 seiner Beschwerdeanträge den Ausstand der Richter C._ und D._ sowie des Gerichtsschreibers F._.
3.1. Er macht geltend, das angefochtene Urteil sei wiederum ergangen, ohne dass die Besetzung des Gerichts den Parteien vorab bekannt gegeben worden sei. Erst mit Zustellung des Entscheids habe er deshalb erfahren, dass das Richtergremium mit Ausnahme von Richter G._, der die sich im Ausstand befindende Richterin ersetzte, dasselbe war wie beim ersten Entscheid. Da sich die Richter C._ und D._ sowie der Gerichtsschreiber F._ bereits mit dem Streitfall auseinandergesetzt hätten, seien sie unzulässig vorbefasst. Es könne nicht ernsthaft davon ausgegangen werden, dass die bereits involvierten Richter ihre Meinung überprüfen würden, zumal der Entscheid wiederum auf dem Zirkulationsweg ergangen sei.
3.2. Wird ein Ablehnungsgrund gegen einen bei einem kantonalen Entscheid mitwirkenden Richter erst nach Abschluss des Verfahrens entdeckt, kann dies mit Beschwerde in Zivilsachen gerügt werden (BGE 139 III 120 E. 3.1.1 S. 122 f.; Urteil 4A_62/2014 vom 20. Mai 2014 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 140 III 221). Das vorinstanzliche Urteil wurde auf dem Zirkulationsweg gefällt, ohne dass vorher dabei die personelle Zusammensetzung des Spruchkörpers genannt worden war. Der Beschwerdeführer kann somit mit der Beschwerde in Zivilsachen vor dem Bundesgericht die Befangenheit rügen.
3.3. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (BGE 144 I 159 E. 4.3 S. 162; 142 III 732 E. 4.2.2 S. 736; 140 III 221 E. 4.1 S. 221 f.; 139 III 120 E. 3.2.1 S. 124, 433 E. 2.1.2 S. 435 f.).
3.4. Das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers beruht letztlich einzig darauf, dass das Gericht nach der Rückweisung ein zweites Mal gleich entschieden hat. Der Beschwerdeführer verkennt die Bedeutung des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids und damit im Zusammenhang das Wesen der Vorbefassung. Die Rückweisung erfolgte wegen des Anscheins der Befangenheit der mitwirkenden Richterin zu neuer Entscheidung durch einen verfassungs- und gesetzmässig zusammengesetzten Spruchkörper (zit. Urteil 4A_17/2019 E. 4.2.4). Inhaltlich befasste sich das Bundesgericht nicht mit dem Entscheid der Vorinstanz. Die beiden bereits am ersten Entscheid beteiligten Richter und der Gerichtsschreiber befanden sich somit am gleichen Punkt wie damals, als sie zum ersten Mal ihr Urteil fällten. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist die Mitwirkung der an einem aufgehobenen Entscheid beteiligten Gerichtspersonen bei der Neubeurteilung einer Sache für sich allein kein Fall unzulässiger Vorbefassung, mithin kein Ausstandsgrund. Somit gelten unter Vorbehalt besonderer Umstände die an einem aufgehobenen Urteil beteiligten Gerichtspersonen im neuen unterinstanzlichen Verfahren nicht als befangen (BGE 143 IV 69 E. 3.1 S. 74; 138 IV 142 E. 2.3 S. 146; 116 Ia 28 E. 2a S. 30; 114 Ia 50 E. 3d S. 58; 113 Ia 407 E. 2b S. 410; Urteil 2C_543/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 3.3) Ebenso entschied auch der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) zu Art. 6 Ziff. 1 EMRK (OLIVIER BIGLER, in: Gonin/Bigler (Hrsg.), Convention européenne des droits de l'homme [CEDH], 2018, N. 161 zu Art. 6 EMRK [volet civil]; Urteile des EGMR Ringeisen gegen Österreich vom 16. Juli 1971, Serie A Bd. 13 § 97; Diennet gegen Frankreich vom 26. September 1995, Serie A Bd. 325 § 38; Vaillant gegen Frankreich vom 18. Dezember 2008, § 29 ff.; Ilnseher gegen Deutschland vom 4. Dezember 2018, § 287).
Wenn überhaupt würde aber bei einer Rückweisung wegen materieller Mängel eines angefochtenen Urteils eher Anlass bestehen für eine mögliche Befangenheit; immerhin haben die vorinstanzlichen Richter ihren ersten Entscheid als überzeugend erachtet und sind nun zufolge des Rückweisungsentscheids gehalten, ihre Beurteilung zu überdenken und allenfalls anders zu entscheiden. Wenn auch in dieser Situation von einem professionell handelnden Gericht erwartet wird, in Kenntnis der Überlegungen des Rückweisungsentscheids seine Haltung unvoreingenommen zu überdenken, besteht im vorliegenden Fall kein Ansatzpunkt, allein wegen der Rückweisung und dem nochmaligen Sich-befassen-müssen mit der Sache, Befangenheit anzunehmen (anderer Meinung: REGULA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 370). Die weitere Mitwirkung der übrigen Gerichtspersonen nach Aufhebung eines Urteils wegen Mitwirkung einer befangenen Gerichtsperson bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund. Es besteht grundsätzlich keine Reflexwirkung der Ausstandspflicht auf die übrigen Gerichtspersonen (so bereits Urteil 2C_130/2014/ 2C_131/2014 vom 26. August 2014 E. 4.4 und 4.5 [Ausstand der übrigen Gerichtspersonen nur falls "circonstances exceptionnelles"]; vgl. auch Urteil 1C_413/2012 vom 14. Juni 2013 E.5.3 und 5.3.2 betreffend eine kommunale Baukommission [Reflexwirkung nur falls hinwegsehen über eine offensichtliche Ausstandspflicht]). Vorliegend haben die beiden vorinstanzlichen Richter im ersten Verfahren nicht über eine offensichtliche Ausstandspflicht von Richterin E._ hinweggesehen. Auch macht der Beschwerdeführer keine "circonstances exceptionnelles" geltend, welche vorliegend eine derartige Reflexwirkung der Ausstandspflicht rechtfertigen würden. Dass ein Richter sich eine Meinung gebildet hat und - nach erneuter Prüfung - daran festhält, ist kein Ausstandsgrund.
Weitere Ausstandsgründe rügt der Beschwerdeführer nicht. Eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK liegt nicht vor.
4.
4.1. In der Sache erwog die Vorinstanz, entgegen der Erstinstanz könne nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer die ersten neun Zwischenrechnungen genehmigt habe. So habe das Bundesgericht in einem Fall, wo die Klienten Rechnungen vorbehaltlos entgegengenommen und erst Jahre später bestritten hätten, keine stillschweigende Genehmigung angenommen (Urteil 4A_380/2016 vom 1. November 2016). Im vorliegenden Fall habe der Beschwerdeführer regelmässig detaillierte Zwischenrechnungen erhalten und vorbehaltlos Kostenvorschüsse bezahlt. Damit habe er aber diese Zwischenrechnungen kaum stillschweigend genehmigt. Dagegen spreche, dass er nach Erhalt der Zwischenrechnungen zwar jeweils vorbehaltlos Kostenvorschüsse geleistet, in der Regel aber nur einen Teil des in Rechnung gestellten Betrages überwiesen habe. Damit habe er bei der Beschwerdegegnerin nicht die Erwartung geweckt, dass er die Rechnungen in vollem Umfang genehmige.
4.2. Die Frage der Genehmigung könne aber letztlich offenbleiben, denn auch eine Prüfung der Rechnungen ergebe, dass diese ausgewiesen seien. Entgegen dem Beschwerdeführer seien die von der Beschwerdegegnerin gestellten Rechnungen genügend detailliert. Die erbrachten Bemühungen würden nach Datum, Art der Bemühung und Stundenaufwand ausgewiesen. Es sei zudem klar ersichtlich, welcher Anwalt jeweils mit welchem Stundenansatz tätig geworden sei. Zudem erscheine es als treuwidrig, den Detaillierungsgrad der Rechnungen während der gut zweijährigen Mandatsdauer nicht zu beanstanden und diesen Einwand erst im Prozess zu erheben.
Die Vorinstanz erwog sodann, komme der Anwalt seiner Rechenschaftspflicht (Art. 400 OR) nach und nehme der Klient die Leistungen vorbehaltlos entgegen, werde die Beweislast umgekehrt: Fortan liege es am Klienten, den ihm seiner Ansicht nach zu Unrecht in Rechnung gestellten Aufwand detailliert zu bezeichnen und zu bestreiten. Zur Substanziierung der Bestreitung gehöre es, dass der Klient den seiner Meinung nach korrekten Zeitaufwand angebe, soweit er sich in einem Schriftstück niederschlage. Bei Tätigkeiten, die nicht in ein Schriftstück mündeten, müsse das Gericht den Aufwand in analoger Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR schätzen (unter Hinweis auf die Urteile 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 5.2.2 und 4A_238/2016 vom 26. Juli 2016 E. 2.3.2). Der Beschwerdeführer habe den Stundenaufwand in Bezug auf sechs Tätigkeitspositionen kritisiert, nämlich betreffend: (1) Eingaben an die Staatsanwaltschaft, (2) Vorbereitung der Konfrontation, (3) Beweisanträge, (4) Plädoyer, (5) Vorbereitung der und Teilnahme an der Hauptverhandlung und (6) Frage der Gewähr ("Gewährsträger"). Der Beschwerdeführer mache geltend, der für diese sechs Tätigkeitspositionen angemessene Aufwand sei rund 196,1 Stunden tiefer als der in Rechnung gestellte, was 40 % des Gesamtaufwands ausmache. Die Kritik an diesen Positionen sei aber bloss allgemeiner Natur, da nicht präzis angegeben werde, inwiefern die Beschwerdegegnerin zu viel Aufwand betrieben habe. Im Übrigen sei nicht ersichtlich, inwiefern die Betrauung eines Anwaltsteams mit der Mandatsführung effektiv zu Doppelspurigkeiten geführt habe.
5.
Unter dem Titel der unrichtigen Feststellung des Sachverhalts beanstandet der Beschwerdeführer die Ausführungen der Vorinstanz unter Erwägung 4.5 zur Beauftragung einer Anwalts-AG. Soweit er sich dabei nicht nur pauschal zu den Überlegungen bei der Beauftragung einer Anwalts-AG äussert - was von vornherein nicht genügt - und eine konkrete Rüge erhebt, ist nicht ersichtlich, dass er sich dabei auf tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz bezieht. So wenn er rügt, es sei eine unzutreffende Feststellung des Sachverhalts, dass "von Anfang [an] 3 Anwälte in das Mandat involviert gewesen" seien. An der angegebenen Stelle bezog sich die Vorinstanz auf die Ausführungen der Erstinstanz, welche die vom Beschwerdeführer beanstandete Formulierung auf den Inhalt des Auftrags bezog ("aus dem Auftrag vom 9./20. April 2013 ergebe sich dabei klar, dass von Anfang mindestens drei Anwälte in das Mandat involviert gewesen seien"). Dabei handelt es sich nicht um eine Sachverhaltsfeststellung, sondern um die Würdigung des Inhalts des der Beschwerdegegnerin erteilten Auftrags.
Hinsichtlich der rechtlichen Würdigung des Auftrags rügt der Beschwerdeführer, der schriftliche Auftrag halte mit keinem Wort fest, dass die Mandatierung an alle drei dort genannten Personen sowie allenfalls weitere Mitarbeitende der Anwalts-AG erteilt werde. Beauftragte sei lediglich die Aktiengesellschaft gewesen, die einen Anwalt stellen sollte. Dieser Einwand ist trölerisch. Wenn der Auftrag drei Personen namentlich erwähnt und für diese die Stundenansätze definiert, sowie die Möglichkeit des Beizugs weiterer Personen erwähnt, ist offensichtlich, dass die Ausführung des der Anwalts-AG erteilten Auftrags durch diese Personen dem Vertrag entspricht. Bei dieser Art der Mandatierung ist auch klar, dass die Beauftragte ihre Angestellten je nach Bedarf im Team arbeiten lassen bzw. je nach Art der Arbeiten stufengerecht einsetzen wird. Eine andere Frage ist, ob die Beschwerdegegnerin im Rahmen der konkreten Ausführung unangemessenen Aufwand betrieben und dadurch die auftragsrechtliche Sorgfaltspflicht verletzt hat.
6.
Gemäss Art. 400 Abs. 1 OR ist der Beauftragte verpflichtet, auf Verlangen jederzeit über seine Geschäftstätigkeit Rechenschaft abzulegen. Aus dieser Bestimmung wird abgeleitet, dass er bei der Rechnungsstellung nach Zeitaufwand gemäss seiner Rechenschaftspflicht Angaben über die erbrachten Bemühungen machen muss. Die erbrachten Leistungen müssen so detailliert umschrieben sein, dass sie überprüfbar sind. Dem Gericht steht hinsichtlich der Anforderungen an die Detaillierung einer Rechnung ein Ermessensspielraum zu (Urteile 4A_238/2016 vom 26. Juli 2016 E. 2.2.2 und 4A_147/2014 vom 19. November 2014 E. 5.2.1 mit Hinweisen). Im Rahmen der Überprüfung der materiellen Rechnungslegungspflicht erachtete das Bundesgericht eine Beurteilung des kantonalen Gerichts, welches Tätigkeitsrapporte mit Angabe des Datums, der geleisteten Arbeiten in Stichworten und des jeweiligen Zeitaufwands als genügend einstufte, obwohl die Rapporte keine Aufteilung nach einzelnen Tätigkeiten (in einem umfassenden Mandat) enthielten, als nicht willkürlich, da sie eine gewisse Überprüfung der geleisteten Arbeit ermöglichten (zit. Urteil 4A_238/2016 E. 2.2.2; Urteil 4P.28/1996 vom 1. Juli 1997 E. 4b/bb). Im Sinne dieser Grundsätze beurteilte es eine Rechnung als ausreichend substanziiert, die das Führen von Telefonaten sowie den Empfang, das Studium und das Verfassen von verschiedenen Schreiben in einem bestimmten Zeitraum sowie die Barauslagen angab, wobei die einzelnen Arbeiten durch Angabe des Datums, der Art der Tätigkeit (z.B. Telefonat), der Dauer und der Adressaten (z.B. Telefon mit welcher Person) umschrieben wurden (Urteil 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 5.2.1 und 5.2.2; vgl. auch zit. Urteile 4A_238/2016 E. 2.2.2 und 4A_147/2014 E. 5.2.1 und 5.2.2).
Die Rechnungsdetails, die den Rechnungen beigelegt waren, weisen die erbrachten Bemühungen nach Datum, Art der Tätigkeit (z.B. "Eingabe an Staatsanwaltschaft ", "Entwurf Eingabe an Staatsanwaltschaft ", "Finalisierung/Versand Eingabe an Staatsanwaltschaft") und Stundenaufwand aus. Es ist zudem klar ersichtlich, welcher Anwalt jeweils mit welchem Stundenansatz tätig wurde. Angesichts dessen ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine genügende prozessuale Substanziierung durch die Beschwerdegegnerin bejaht hat. Zutreffend ist auch die ergänzende Begründung der Vorinstanz, wonach es treuwidrig sei, den Detaillierungsgrad der Rechnungen während der gut zweijährigen Mandatsdauer nicht zu beanstanden und den Einwand erst im Prozess zu erheben. In der Tat verunmöglicht dieses Vorgehen einem Anwalt, der sich darauf verlassen hat, dass die Art und Detaillierung seiner Abrechnung nicht beanstandet wird, dass er überhaupt im Hinblick auf den späteren Nachweis seiner Bemühungen detailliertere "Aufschriebe" macht (i.d.S. auch Urteil 4A_144/2012 vom 11. September 2012 E. 3.2.3). Entgegen dem Beschwerdeführer ist diese Begründung der Vorinstanz nicht widersprüchlich. Denn die Vorinstanz verneinte eine Genehmigung der Rechnungen. Hier geht es aber darum, dass nicht im Nachhinein die Art der Rechnungsstellung als ungenügend beanstandet werden kann. Dies bedeutet keine Anerkennung der Forderung. Denn die genügend detaillierte Rechnung kann vom Klienten immer noch bestritten werden.
7.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Beschwerdegegnerin die in Rechnung gestellten Stunden tatsächlich erbracht hat; er bestreitet aber deren Angemessenheit (zur Abgrenzung vgl. zit. Urteile 4A_238/2016 E. 2.3.1 und 4A_380/2016 E. 3.3.3).
7.1. Nachdem - wie dargelegt - die Beschwerdegegnerin ihren Aufwand in der Klageschrift genügend behauptet hatte, mussten die kantonalen Gerichte prüfen, ob der Beschwerdeführer diese Behauptungen substanziiert bestritten hat. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer angegeben, der für die sechs von ihm gerügten Tätigkeitspositionen angemessene Aufwand sei rund 196,1 Stunden tiefer als der in Rechnung gestellte, was 40 % des Gesamtaufwands ausmache. Er habe für jede dieser sechs Tätigkeitspositionen den tatsächlich in Rechnung gestellten Stundenaufwand aufgelistet und den seiner Ansicht nach angemessenen Stundenaufwand genannt. Die Vorinstanz erwog, unter Hinweis auf die Ausführungen der Erstinstanz unter deren Erwägungen 4.3 und 4.4, die sie sich zu eigen machte, die Kritik des Beschwerdeführers an den in Rechnung gestellten Leistungen sei bloss allgemeiner Natur, da nicht präzis dargelegt werde, inwiefern die Beschwerdegegnerin zu viel Aufwand betrieben habe. Hinzu komme, dass der Beschwerdeführer es unterlassen habe, die Schriftstücke zu bezeichnen, in welchen sich dieser Stundenaufwand niedergeschlagen habe. Es sei nicht Sache des Gerichts oder der Gegenpartei, aus den Beilagen die Sachdarstellung zusammensuchen zu müssen.
7.2.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 8 ZGB vor. Der angefochtene Entscheid beruhe auf einer gesetzwidrigen Umkehr der Beweislast.
Es trifft zu, dass die Vorinstanz von einer Beweislastumkehr ausging, wenn der Anwalt - wie hier - seiner Rechenschaftspflicht nachkomme und der Klient die Leistungen vorbehaltlos annehme. Fortan liege es am Klienten, den ihm seiner Ansicht nach zu Unrecht in Rechnung gestellten Aufwand detailliert zu bezeichnen und zu bestreiten. Die vorbehaltlose Annahme der Leistungen sei dabei bereits bei längerem Schweigen des Klienten zu bejahen. Diese Beweislastverteilung stehe im Einklang mit der auch vom Bundesgericht (Urteil 5P.347/2004 vom 11. Januar 2005 E. 2.1) anerkannten Vermutung, dass Berufsangehörige mit staatlichem Fähigkeitszeugnis und staatlicher Zulassung ihre beruflichen Sorgfaltspflichten erfüllen.
Die Vorinstanz spricht zwar von einer Beweislastumkehr; tatsächlich stützt sich ihre Begründung aber nicht darauf, dass sie dem Beschwerdegegner - unzulässigerweise (zit. Urteil 4A_147/2014 E. 5.2.3) - eine Beweislast auferlegt hätte, welcher dieser nicht nachgekommen wäre, sodass seine Klage am mangelnden Beweis gescheitert wäre. Die Begründung der Vorinstanz beruht vielmehr auf der - zutreffenden - Zuordnung der Behauptungs- und Bestreitungslast. Die Rüge einer Verletzung von Art. 8 ZGB ist unbegründet (vgl. auch E. 7.3 hiernach).
7.3. Auch die inhaltlichen Rügen des Beschwerdeführers gehen fehl:
7.3.1. Er macht geltend, er habe bereits in der Klageantwort dargelegt, dass Akten (von den mehreren involvierten Anwälten) mehrfach gelesen worden seien und dieses Argument unter dem Titel Doppelspurigkeiten vertieft. Es ist nicht ersichtlich, dass er hier substanziiertere Ausführungen gemacht hätte als das, was er bereits unter dem Titel der Beauftragung einer Anwaltskanzlei vorgebracht hat. Es kann auf die obigen Ausführungen (vgl. hiervor E. 5) verwiesen werden.
7.3.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer, es sei ihm entgegen der Vorinstanz gar nicht möglich, genauer zu bestreiten. Wenn die Beschwerdegegnerin nur allgemeine Umschreibungen ihrer Tätigkeit, wie "Arbeit am Plädoyer", "Vorbereitung der Hauptverhandlung" oder "Arbeit an Beweisanträgen", anführe, könne er nicht wissen, was sie genau gemacht habe, zumal die Beschwerdegegnerin keine Dokumente für die einzelnen Tätigkeiten eingereicht habe. Es sei überspitzter Formalismus, wenn die Vorinstanz ausführe, der Beschwerdegegnerin und dem Gericht sei es nicht zuzumuten, die mit Farben differenziert markierten und damit leicht auffindbaren Beilagen für die Sachdarstellung zusammenzusuchen. Mit Letzterem verkennt er, dass wie erwähnt überall dort, wo der Aufwand in ein Schriftstück mündete, dieses Schriftstück ein Hilfsmittel ist, um die Angemessenheit des Aufwands zu beurteilen. Es handelt sich also nicht um Beweismittel. Vielmehr kann das Gericht z.B. betreffend Tätigkeitsposition (3) Beweisanträge anhand des Umfangs und der Komplexität der Beweisanträge abschätzen, wie viel Aufwand diese verursachten. Zur substanziierten Bestreitung des Klienten gehört deshalb, dass er seine Einwände konkret bezogen auf solche Unterlagen vorbringt. Nachdem gemäss den Feststellungen der Vorinstanz die Strafakten beigezogen wurden - und überdies ohnehin davon ausgegangen werden kann, dass der Beschwerdeführer eine Klientenkopie von allen Eingaben etc. erhielt -, ist es kein überspitzter Formalismus, wenn die Vorinstanz von ihm die Bezeichnung der betreffenden Akten aus dem Strafverfahren verlangte. Der Vorwurf der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe es unterlassen, die entsprechenden Schriftstücke zu bezeichnen, ist vor diesem Hintergrund keine selbständige Begründung. Vielmehr zeigt eben gerade diese fehlende Bezeichnung, dass der Beschwerdeführer nicht konkret - bei Eingaben etc. bezogen auf das betreffende Arbeitsresultat - den Aufwand bestritt, sondern es bei ungenügenden Allgemeinplätzen beliess ("masslos übertrieben"; "bloss ein gewöhnlicher Straffall" etc.).
7.3.3. Schliesslich weist der Beschwerdeführer darauf hin, er habe bereits in der Klageantwort dargelegt und belegt, dass die "Bemühungen rund um die Hauptverhandlung und dann auch danach überhaupt nicht mehr plausibel erklärt werden (könnten) (...) ". Es trifft zu, dass er an der angegebenen Stelle insbesondere den Aufwand für die Beweisanträge und das Plädoyer konkreter bestritten hat. Diese Bestreitungen erachtete offensichtlich auch die Erstinstanz als nicht nur pauschal und entsprechend hat sie sich damit auch auseinandergesetzt. Namentlich legte sie dar, dass angesichts der weiteren Erklärungen der Beschwerdegegnerin in der Replik, zu denen sich der Beschwerdeführer in der Duplik nicht mehr geäussert habe, der Aufwand für das Plädoyer plausibel erscheine. Und hinsichtlich der Beweisanträge fehle es an einer Auseinandersetzung mit den erarbeiteten Schriftstücken. Die Vorinstanz erwähnte diese Ausführungen der Erstinstanz, ging aber nicht weiter darauf ein. Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer die angegebenen erstinstanzlichen Erwägungen vor Vorinstanz hinreichend gerügt hätte. Diese setzte sich unter Erwägung 4.5 mit der Kritik des Beschwerdeführers an verschiedenen Erwägungen der Erstinstanz auseinander; die betreffende erstinstanzliche Begründung zum Aufwand rund um die Hauptverhandlung erwähnt sie aber nicht. Der Beschwerdeführer behauptet denn auch selber nicht, dass er diesen Punkt im Berufungsverfahren gerügt hätte. Ein Argument kann aber nicht vor Bundesgericht vorgebracht werden, ohne dass es den kantonalen Instanzenzug durchlaufen hat (materielle Erschöpfung des Instanzenzugs: BGE 143 III 290 E. 1.1 S. 292 f. mit Hinweisen; Urteil 4A_13/2019 vom 9. August 2019 E. 8). Darauf ist nicht weiter einzugehen.
7.3.4. Ist somit die Beschwerde hinsichtlich der Honorarforderung (zum Verzugszins sogleich) bereits aus den dargelegten Gründen abzuweisen, muss nicht mehr auf die Frage der Genehmigung der ersten neun Zwischenrechnungen eingegangen werden.
8.
Den Subeventualantrag gemäss Ziffer 3 seiner Rechtsbegehren begründet der Beschwerdeführer damit, dass er im ersten Beschwerdeverfahren betreffend Ausstand (zit. Urteil 4A_17/2019) obsiegt habe. Dadurch sei das Verfahren insgesamt um ein Jahr verlängert worden. Die während dieser Zeit laufenden Verzugszinsen dürften nicht ihm auferlegt werden.
Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer sich bereits vor Vorinstanz auf diese Argumentation berufen hätte. Er behauptet dies auch nicht. Auch diesbezüglich fehlt es an der materiellen Erschöpfung des Instanzenzugs. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, weshalb er im laufenden Verfahren die Rechnungen nicht unter Vorbehalt hätte bezahlen können. Der Verzug wurde durch das Obsiegen im ersten bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren jedenfalls nicht hinausgeschoben.
9.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird entsprechend kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Gemäss Art. 68 Abs. 2 BGG wird die unterliegende Partei in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen. Nach bundesgerichtlicher Praxis haben obsiegende Parteien grundsätzlich nur dann Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie durch einen externen Anwalt vertreten sind, und deshalb tatsächlich Anwaltskosten anfallen. Vorliegend wurde die Beschwerdegegnerin durch einen Rechtsanwalt vertreten, welcher Partner bei ihr ist. Es liegt damit im Grundsatz ein Fall von Prozessführung in eigener Sache vor, bei welchem nur in Ausnahmefällen eine Parteientschädigung zugesprochen wird (BGE 129 II 297 E. 5 S. 304; 129 V 113 E. 4.1 S. 116; 128 V 236 E. 5 S. 242; Urteile 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009 E. 4.3; 4A_76/2014 vom 19. Juni 2014 E. 5; je mit Hinweisen). Vorliegend wurde eine umfangreiche Beschwerdeschrift eingereicht und der Streitwert beträgt Fr. 91'637.50; daher hat die Interessenwahrung einen Arbeitsaufwand notwendig gemacht, der den Rahmen dessen überschreitet, was der Einzelne üblicher- und zumutbarerweise nebenbei zur Besorgung der persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat (vgl. BGE 125 II 518 E. 5b S. 519 f.; zit. Urteil 2C_807/2008 E. 4.3) Deshalb ist der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Entschädigung für die durch das bundesgerichtliche Verfahren verursachten Umtriebe zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Vorinstanz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross