Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1978) ist nigerianischer Staatsbürger. Er lebte in der Schweiz mit B.B._ zusammen. Aus der Beziehung mit dieser gingen die gemeinsamen Kinder C.B._ (geb. 2013), D.B._ (geb. 2015) und E.B._ (geb. 2019) hervor. Am 25. Mai 2018 lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt es ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern (Verschuldung, Sozialhilfebezüge, Nichteinhaltung der Integrationsvereinbarung); es hielt ihn gleichzeitig an, die Schweiz zu verlassen. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 22. Mai 2019 ab.
1.2. Auf das hiergegen gerichtete Rechtsmittel vom 26. August 2019 trat die Regierungspräsidentin am 9. September 2019 nicht ein, wogegen A._ am 17. September 2019 beim Appellationsgericht Basel-Stadt (Verwaltungsgericht) Rekurs anmeldete und diesen am 12. Oktober 2019 begründete. Der Präsident des Appellationsgerichts wies am 28. Oktober 2019 das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren ab. A._ hätte den Rekurs gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements - so das Appellationsgericht - bis zum 3. Juni 2019 anmelden müssen; dies habe er aber erst am 26. August 2019 und damit verspätet getan. Eine Wiedereinsetzung in den vorigen Stand sei nicht möglich, da A._ kein unverschuldetes Hindernis für seine verspätete Anmeldung dartun könne; er habe "eindeutig nicht glaubhaft gemacht, dass er durch ein unverschuldetes Hindernis von der Einhaltung der Frist für die Anmeldung des Rekurses gegen den Entscheid der Justiz- und Sicherheitsdirektion vom 22. Mai 2019 abgehalten worden" sei. Ein allfälliges Hindernis wäre zudem spätestens am 5. Juli 2019 entfallen, als A._ einen Einsatzvertrag abschloss. Das Wiedereinsetzungsgesuch vom 26. August 2019 sei jedenfalls verspätet.
1.3. A._ beantragt vor Bundesgericht den angefochtenen Entscheid vom 28. Oktober 2019 aufzuheben; ihm sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und seiner Eingabe aufschiebende Wirkung beizulegen. Das Gericht habe dem Verhältnismässigkeitsprinzip Rechnung zu tragen und den privaten Interessen den öffentlichen Interessen gegenüber den Vorrang einzuräumen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid (wie vorliegend) auf kantonalem (Verfahrens-) Recht, kann im Wesentlichen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich die willkürliche Anwendung der einschlägigen Bestimmung, gerügt werden; die entsprechenden Vorbringen müssen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG detailliert begründet werden (BGE 141 I 36 E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
2.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt diesen Vorgaben nicht: Verfahrensgegenstand des angefochtenen Zwischenentscheids (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) bildet die Frage, ob die Regierungspräsidentin zu Recht auf den Rekurs des Beschwerdeführers nicht eingetreten ist, da die Rekursanmeldung bei ihr zu spät erfolgte, und ob der Beschwerdeführer als säumige Person durch ein unverschuldetes Hindernis von der Einhaltung der verpassten Frist abgehalten wurde. Der Beschwerdeführer kritisiert in seiner Eingabe den Widerruf seiner Bewilligung in der Sache; er setzt sich jedoch mit der einzig Verfahrensgegenstand bildenden Problematik der Beurteilung der Chancen für eine Wiedereinsetzung in den vorigen Stand im Rahmen der Beurteilung der Aussichtslosigkeit des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht weiter auseinander. Seine Ausführungen nehmen keinerlei Bezug auf die detaillierten Ausführungen im angefochtenen Zwischenentscheid.
2.3. Die Eingabe enthält damit offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung; es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten, nachdem die Beschwerdefrist an das Bundesgericht inzwischen abgelaufen und eine Verbesserung der Eingabe nicht mehr möglich ist (vgl. Art. 47 Abs. 1 BGG). Es kann davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht (vgl. Art. 64 BGG) gegenstandslos. Das Gesuch wäre im Übrigen - im Hinblick auf die fehlende sachbezogene Begründung - wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen gewesen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident des Verwaltungsgerichts, sowie dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar