Sachverhalt:
A.
C._, geb. 2013, ist das Kind von D._ und A._. Die Eltern leben getrennt und haben die gemeinsame elterliche Sorge über das Kind. Aufgrund des Streits zwischen den Eltern errichtete die zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Dübendorf eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Mit Entscheid vom 9. Juli 2018 hat die KESB den Wohnsitz des Kindes bei der Kindsmutter festgelegt sowie eine detaillierte Betreuungs-, Feiertags- und Ferienregelung getroffen. Als Beiständin wurde E._ eingesetzt. Mit E-Mail vom 11. November 2020 teilte B._ A._ mit, sie bereite in Stellvertretung von E._ den Besuchs- und Ferienkalender 2021 vor und bat um die Beantwortung zweier Fragen.
Nach diversem Schriftenwechsel erstattete A._ am 18. März 2021 Strafanzeige gegen B._ wegen Amtsanmassung, eventualiter Amtsmissbrauchs und Vorteilsannahme. Er machte unter anderem geltend, B._ habe sich als Beiständin ausgegeben, obschon sie von der KESB Rorschach nie als als solche ernannt worden sei. Sie habe zudem in rechtswidriger Absicht die im Entscheid der KESB Dübendorf vom 9. Juli 2018 festgelegten Betreuungsregeln abgeändert und seine Betreuungszeit für das Jahr 2021 um 360 Stunden bzw. 15 Tage reduziert. Das Untersuchungsamt St. Gallen überwies die Sache zum Entscheid über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Diese verweigerte am 2. Juni 2021 die Ermächtigung mit der Begründung, es sei nicht ersichtlich, inwiefern sich B._ strafbar gemacht haben könnte.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 20. Juli 2021 beantragt A._ sinngemäss, unter Aufhebung des Entscheids der Anklagekammer die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu erteilen und die Sache eventualiter zur erneuten Prüfung an die Anklagekammer zurückzuweisen.
Die Anklagekammer verzichtete auf Vernehmlassung. B._ sowie F._, Leiter der Berufsbeistandschaft, stellen keinen konkreten Antrag. Sie halten aber fest, B._ habe als rechtsgenügend eingesetzte Mutterschaftsvertretung in behördlich verfügter Kompetenz Beistandschaftshandlungen im Fokus des Kindeswohls ausgeführt und somit stünden jegliche strafbaren Handlungen ausser Frage. Das Untersuchungsamt beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid betreffend die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (BGE 137 IV 269 E. 1.3.1). Die Beschwerdegegnerin gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund gemäss Art. 83 lit. e BGG nicht zur Anwendung gelangt (vgl. BGE 137 IV 269 E. 1.3.2).
1.2. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen. Der Kanton St. Gallen hat von seiner gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO]; sGS 962.1; vgl. Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 1.2). Die hier angezeigte Beschwerdegegnerin fällt als Gemeindeangestellte und Berufsbeiständin in den Anwendungsbereich des Ermächtigungserfordernisses (vgl. BGE 137 IV 269 E. 2.7).
1.3. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Anklagekammer die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die angezeigte Person verweigert. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist somit ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.4. Der der Beschwerdegegnerin unter anderem vorgeworfene Straftatbestand des Amtsmissbrauchs gemäss Art. 312 StGB schützt sowohl den Staat als auch den betroffenen Bürger (Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 1.4 mit Hinweis), weshalb der Beschwerdeführer insoweit ein schutzwürdiges Interesse an einer allfälligen Strafverfolgung hat. Dasselbe gilt auch für den Straftatbestand der Amtsanmassung gemäss Art. 287 StGB, welcher neben der Staatsgewalt bzw. des Vertrauens in diese und damit einhergehend das Funktionieren des Staates, auch das generelle Vertrauen der Bürgerinnen und Bürger in die staatliche Autorität schützt (vgl. HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar Strafrecht II, 4. Aufl. 2019, N. 2 zu Art. 287 StGB; TRECHSEL/ VEST, Praxiskommentar Schweizerisches Strafgesetzbuch, N. 1 zu Art. 287 StGB). Da der Beschwerdeführer zudem am kantonalen Verfahren erfolglos teilgenommen hat und seine Strafanzeige nicht mehr weiter behandelt werden kann, ist er zur Erhebung der Beschwerde berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Nachdem die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen ebenfalls erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Im Ermächtigungsverfahren dürfen, ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (BGE 137 IV 269 E. 2.4). Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn die Anklagekammer vorher ihre Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der Staatsanwaltschaft (BGE 137 IV 269 E. 2.3; Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.1 mit Hinweisen).
2.2. Rechtsprechungsgemäss ist für die Erteilung der Ermächtigung ein Mindestmass an Hinweisen auf strafrechtlich relevantes Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Vielmehr muss eine Kompetenzüberschreitung oder eine gemessen an den Amtspflichten missbräuchliche Vorgehensweise oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheinen und es müssen genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen. Der Entscheid über die Ermächtigung zur Strafuntersuchung ist demjenigen über die Anhandnahme eines Strafverfahrens bzw. über die Einstellung eines eröffneten Strafverfahrens vorangestellt. Es ist daher zwangsläufig, dass die Ermächtigung bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden muss, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist. Im Zweifel ist nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" die Ermächtigung zu erteilen (vgl. Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.1 mit Hinweisen; zum Grundsatz "in dubio pro duriore" vgl. auch BGE 143 IV 241).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin vor, sie habe sich das Amt einer Beiständin angemasst. Die Ernennung einer Ersatzbeiständin bzw. einer Stellvertretung habe durch die KESB zu erfolgen und könne nicht "einfach freihändig vorgenommen" werden. Zudem habe sich die Beschwerdegegnerin, selbst wenn davon ausgegangen würde, die Stellvertretung sei rechtmässig, innerhalb der amtlichen Tätigkeit Befugnisse angemasst. Statt den Entscheid der KESB vom 9. Juli 2018 umzusetzen, habe sie der Kindsmutter systematisch zusätzliche Betreuungszeit eingeräumt und damit das seit sieben Jahren gelebte Modell der alternierenden Obhut in seiner Weiterexistenz gefährdet. Mit der von der Beschwerdegegnerin festgelegten Jahresplanung 2021 seien 15 Betreuungstage zu seinen Lasten vereitelt worden. Diese Reduktion entbehre jeder Grundlage.
3.2. Eine Amtsanmassung im Sinn von Art. 287 StGB begeht, wer sich in rechtswidriger Absicht die Ausübung eines Amtes oder militärische Befehlsgewalt anmasst. Die Ausübung eines Amtes entspricht der Tätigkeit eines Beamten im Sinne von Art. 110 Abs. 3 StGB. Es muss sich demgemäss um eine Handlung in Erfüllung einer öffentlich-rechtlichen Funktion handeln. Vorausgesetzt ist, dass die Person vorgibt, ein Amt inne zu haben, welches sie in Wirklichkeit gar nicht innehat. Der Tatbestand kann gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung aber auch dadurch erfüllt werden, dass einzelne Befugnisse eines anderen Amtes angemasst werden, ohne Anmassung des zugehörigen Amtes (vgl. BGE 128 IV 164 E. 3c/aa; Urteil 6B_389/2020 vom 24. Juni 2020 E. 2.1 mit Hinweisen). In subjektiver Hinsicht wird Vorsatz sowie eine rechtswidrige Absicht verlangt. Letztere liegt in der Verfolgung eines rechtswidrigen Handlungsziels (BGE 128 IV 164 E. 3c/bb). Eine solche liegt in der Absicht, einen ungerechtfertigten Vorteil zu erlangen oder jemandem einen ungerechtfertigten Nachteil zuzufügen. Sodann ist auch die Verfolgung eines an sich rechtmässigen Handlungsziels mit unnötigen Mitteln rechtswidrig, wenn dabei in unzulässiger Weise in Individualrechte anderer eingegriffen wird (vgl. BGE 128 IV 164 E. 3c/bb).
3.3. Die Anklagekammer erwog, die Beschwerdegegnerin habe aufgrund der durch den Arbeitgeber vorgesehenen organisatorischen Stellvertretungsregelung, welche von der zuständigen KESB in zustimmender Form zur Kenntnis genommen worden sei, von einer genügenden Grundlage für ihr Handeln ausgehen dürfen. Diese Auffassung ist nicht zu beanstanden. Von einer "einfach freihändig vorgenommenen Stellvertretung" kann nicht gesprochen werden. Die Mutterschaftsvertretung war durch eine andere Beiständin, wie dies bei einer Berufsbeistandschaft der Fall sein sollte, organisatorisch vorgesehen (vgl. auch RUTH E. REUSSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 12 zu Art. 403 ZGB). Gemäss der unbestrittenen Darstellung der Anklagekammer hat die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer überdies am 11. November 2020 per E-Mail darauf aufmerksam gemacht, dass sie die Mutterschaftsvertretung der von der KESB ordentlich eingesetzten Beiständin übernehme (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG). Es wäre dem Beschwerdeführer mithin offen gestanden, bei der Ankündigung der Mutterschaftsvertretung durch die Beschwerdegegnerin mitzuteilen, dass er damit nicht einverstanden sei. Dies hat er allerdings unterlassen, was er sich nun anrechnen lassen muss. Anhaltspunkte, dass die Beschwerdegegnerin aufgrund der von ihr übernommenen Stellvertretung folglich zu Unrecht vorgab, ein Amt innezuhaben, welches sie in Wirklichkeit gar nicht inne hatte, sind nach dem Gesagten nicht ersichtlich.
Dasselbe gilt auch für die vom Beschwerdeführer ebenfalls behauptete angebliche Anmassung der Beschwerdegegnerin von Befugnissen im Zusammenhang mit der von ihr vorgenommenen Jahresplanung 2021. Wie die Anklagekammer festgehalten hat, wurde der Beiständin mit dem aktenkundigen Entscheid des Kreisgerichts Rorschach vom 22. Februar 2019 die Kompetenz zugesprochen, die im Entscheid der KESB Dübendorf vom 9. Juli 2018 festgelegte Betreuungsregelung und deren Modalitäten verbindlich um- und festzusetzen bzw. anzupassen, wenn dies zum Wohle des Kindes angezeigt ist. Dabei ist der Anklagekammer zuzustimmen, dass die konkrete Umsetzung der Betreuungs-, Ferien- und Feiertagsregelung im aktenkundigen Entscheid vom 9. Juli 2018, welcher den Rahmen der Entscheidungsbefugnis bildet, interpretationsbedürftig ist. Es erscheint insbesondere auslegungsbedürftig, was im Einzelfall noch unter Modalitäten fällt (zeitlicher Antritt Besuchs- bzw. Ferienwochen), inwieweit diese (im Einzelfall) angepasst werden können und wo der Rahmen der Entscheidbefugnis im Einzelfall auszustecken ist. So lässt sich dem Entscheid vom 9. Juli 2018 jedenfalls nicht entnehmen, wann genau die Ferienübergabe stattzufinden hat (vgl. Dispositiv-Ziffer 3 ff.).
Folglich sind auch keine Hinweise einer Kompetenzüberschreitung ersichtlich, wenn die Beschwerdegegnerin ihrerseits den zeitlichen Antritt der Ferienwochen verbindlich festgelegt und den ihr im Rahmen des KESB-Entscheids zustehenden Ermessensspielraum ausgenützt hat. Sie hat nachvollziehbar dargelegt, was ihre Beweggründe bei der Planung waren und dass sie einzig zum Wohl des Kindes gehandelt hat, damit dieses unter anderem in Ruhe in die Ferien starten kann. Wenn dabei zu Lasten des Beschwerdeführers einzelne Tage abgetauscht bzw. Übergabezeiten festgelegt worden sind, lässt dies, wie von der Anklagekammer festgehalten, weder auf eine rechtswidrige Anmassung von Befugnissen noch auf eine ungerechtfertigte Nachteilsabsicht der Beschwerdegegnerin schliessen. Konkrete Anhaltspunkte, die Beschwerdegegnerin hätte sich diesbezüglich vorsätzlich und in rechtswidriger Art und Weise Befugnisse angemasst, um dem Beschwerdeführer zu schaden, sind jedenfalls nicht erkennbar. Stattdessen hat sie in ihrem Tätigkeitsbereich gehandelt, nämlich die Besuchs- und Ferienregelung zwischen den Eltern zu regeln, und dabei das Wohl des Kindes fokussiert. Daran, mithin an den wohlverstandenen Interessen und Bedürfnissen des Kindes und nicht an einer exakten 50:50 Aufteilung der Betreuungszeit, hat sich denn auch die Amtsführung, die ohnehin einen gewissen Ermessensspielraum beinhaltet, auszurichten. Unter den genannten Umständen ist nicht ersichtlich, inwiefern das Verhalten der Beschwerdegegnerin den Tatbestand von Art. 287 StGB erfüllen könnte.
Schliesslich ist es auch nicht die (primäre) Aufgabe der Strafverfolgungsbehörden, die richtige Ausführung eines kindesschutzrechtlichen Auftrags zu überprüfen. Dafür stehen vielmehr die entsprechenden Rechtsbehelfe im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht zur Verfügung (vgl. Art. 419 ZGB i.V.m. Art. 314 Abs. 1 ZGB sowie Art. 450 ZGB). Es ist Sache der KESB oder allenfalls des zuständigen Gerichts, die Frage abschliessend zu beurteilen, ob die Beschwerdegegnerin den ihr übertragenen Auftrag korrekt, angemessen und nach den im Bereich des Kindesschutzrechts geltenden gesetzlichen Normen umgesetzt hat. Vorliegend besteht in strafrechtlicher Hinsicht jedenfalls kein Anfangsverdacht gegenüber der Beschwerdegegnerin, welcher die Eröffnung einer Strafuntersuchung wegen Amtsanmassung rechtfertigen könnte.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer ist weiter der Auffassung, die Beschwerdegegnerin habe ihr Amt missbraucht, indem sie betreffend Ferienanspruch und Ferienbeginn nicht die Regeln des klaren und eindeutigen KESB-Entscheids umgesetzt, sondern diesen eigenmächtig abgeändert habe. Ihre Anordnungen, durch welche seiner Tochter 15 Betreuungstage mit ihrem Vater weggenommen worden seien, seien sachfremd, zwecklos und würden ihre Kompetenzen überschreiten. Dadurch sei "das Tatbestandsmerkmal und erst recht ein Anfangsverdacht" für Amtsmissbrauch gegeben.
4.2. Gemäss Art. 312 StGB machen sich Mitglieder einer Behörde oder Beamte strafbar, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen. Rechtsprechungsgemäss ist der hinsichtlich der Tathandlung sehr allgemein umschriebene Straftatbestand einschränkend dahin auszulegen, dass nur derjenige die Amtsgewalt missbraucht, welcher die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, d.h. kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo es nicht geschehen dürfte. Amtsmissbrauch ist der zweckentfremdete Einsatz staatlicher Macht (BGE 127 IV 209 E. 1a/aa und 1b; Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.3 mit Hinweisen). Gemäss Literatur sind Fälle der vorsätzlichen Rechtsbeugung in Form der Entscheidung einer Rechtssache durch einen Amtsträger zum Nachteil einer Partei unter Missachtung des Rechts gegebenenfalls als Amtsmissbrauch zu qualifizieren (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 17 zu Art. 312 StGB mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat sich dazu noch nicht (abschliessend) geäussert (vgl. Urteil 1C_23/ 2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.3 mit Hinweisen).
Strafbar ist der Amtsmissbrauch im Sinne von Art. 312 StGB nur bei vorsätzlicher Tatbegehung (vgl. Art. 12 Abs. 1 StGB). Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt bzw. wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (Art. 12 Abs. 2 StGB). Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus. Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.1 mit Hinweisen).
4.3. Die Anklagekammer hat einen Amtsmissbrauch der Beschwerdegegnerin ausgeschlossen und die Ermächtigung zur Eröffnung einer diesbezüglichen Strafuntersuchung deshalb abgelehnt. Sie führte aus, es sei insbesondere nicht ersichtlich, dass und inwiefern die Beschwerdegegnerin einen unrechtmässigen Zwang angewandt haben soll, wenn sie mit der Festlegung des Zeitpunkts der Ferienübergabe dem Kind habe ermöglichen wollen, sich nach einem längeren Schulblock die Zeit nehmen zu können, um in Ruhe in die Ferien zu starten. Die Beschwerdegegnerin habe, entsprechend ihrem Auftrag, die Betreuungsregelung, die gemäss dem Entscheid des Kreisgerichts Rorschach vom 30. September 2020 wie jede andere Betreuungsregelung Interpretationsspielraum enthalte, umgesetzt und die Betreuungszeiten der Eltern verbindlich festgelegt. Anhaltspunkte für sachfremde Zwecke sowie für eine Vorteils- bzw. Nachteilsabsicht würden fehlen (vgl. E. 4c des angefochtenen Entscheids). Darauf kann grundsätzlich verwiesen werden.
Die gegenteiligen Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen keine genügenden Anhaltspunkte für ein im Sinne von Art. 312 StGB strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegnerin darzutun. Nicht gefolgt werden kann jedenfalls seiner Behauptung, "es sei notorisch, dass die Beistandschaft Rorschach persönliche Aversionen gegen ihn hege und kein anderer Grund zu erkennen sei, als der, dass er sich als Vater für seine Tochter engagiere und sich dagegen zur Wehr setze, wenn das wohl eingeführte Betreuungsmodell der alternierenden Obhut von den Rorschacher Beiständinnen laufend torpediert werde - aus welchen Beweggründen auch immer". Dass die Beschwerdegegnerin ihre Machtbefugnisse bei der Festlegung der Übergabezeiten unrechtmässig angewendet haben soll, ist ebenso wenig erkennbar, wie dass sie explizit zum Nachteil des Vaters gehandelt haben soll. Wie bereits erwähnt, hat die Beschwerdegegnerin nachvollziehbar aufgezeigt, dass sie bei der von ihr getroffenen Regelung der Betreuungs- bzw. Übergabezeiten das Wohle des Kindes im Fokus hatte. Einzig der Umstand, dass dem Beschwerdeführer dadurch angeblich 15 Betreuungstage verloren gingen, lässt die Regelung der Beschwerdegegnerin nicht geradezu als missbräuchlich erscheinen. Ebenfalls nicht ersichtlich ist schliesslich, inwiefern die Anklagekammer willkürlich gehandelt haben soll, weil sie keine Nachteilsabsicht erkannt hat. Eine solche ist tatsächlich weder ersichtlich noch vom Beschwerdeführer substanziiert dargetan. Seine Willkürrüge stösst ebenso ins Leere wie auch die angebliche Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch die Anklagekammer, da sie nicht begründet habe, weshalb keine Nachteilsabsicht vorliege. Dies trifft nicht zu (vgl. E. 4c des angefochtenen Entscheids). Nach dem Gesagten fehlt es an hinreichend konkreten Anhaltspunkten eines Amtsmissbrauchs durch die Beschwerdegegnerin.
Die Anklagekammer hat unter diesen Umständen kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Ermächtigung zur Verfolgung der Beschwerdegegnerin nicht erteilte. Darin liegt, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers auch keine Verletzung des Diskriminierungsverbots bzw. des Willkürverbots. Diese Rügen sind ebenfalls unbegründet.
5.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin hat praxisgemäss keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier