Erwägungen:
1.
1.1. Dr. iur. Dr. phil. A._ (geb. 1944) habilitierte im Jahr 1981 an der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich und wurde noch im selben Jahr zum Privatdozenten für "Sinologie, besonders rechtliche und politische Institutionen Chinas" ernannt. 1989 wurde er als Professor für Sinologie an die Universität B._ in U._ berufen, war aber weiterhin auch als Privatdozent an der Universität Zürich tätig. Nach Vollendung des 65. Altersjahrs richtete die Philosophische Fakultät A._ keine Privatdozentenentschädigung mehr aus.
Am 5. April 2017 ersuchte A._ bei der Prodekanin Laufbahn der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich um Ernennung zum Titularprofessor. Gestützt auf einen entsprechenden Antrag der Laufbahnkommission der Fakultät und eine ablehnende Stellungnahme des Asien-Orient-Instituts beschloss die Fakultätsversammlung am 19. Mai 2017, A._s Gesuch nicht zu unterstützen, und beantragte der Erweiterten Universitätsleitung dessen Ablehnung. Hierüber wurde A._ am 21. Juni 2017 in Kenntnis gesetzt und es wurde ihm die Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt.
Am 29. September 2017 beschloss die Fakultätsversammlung der Philosophischen Fakultät, an ihrem Entscheid vom 19. Mai 2017 festzuhalten. Dies wurde A._ am 20. Oktober 2017 eröffnet; gleichzeitig wurde ihm mitgeteilt, dass der Antrag der Fakultät inzwischen an die Erweiterte Universitätsleitung übermittelt worden sei.
1.2. Am 22. März 2018 teilte der Rechtsdienst der Universität Zürich der Philosophischen Fakultät mit, dass die Prüfung der Voraussetzungen für eine Ernennung A._s zum Titularprofessor sowie der (abschlägige) Entscheid über dessen Gesuch allein in der Zuständigkeit der Philosophischen Fakultät liege. In der Folge wies der Dekan der Philosophischen Fakultät das Gesuch mit Verfügung vom 28. Juni 2018 ab.
Einen dagegen erhobenen Rekurs von A._ wies die Rekurskommission der Zürcher Hochschulen mit Beschluss vom 14. März 2019 ab.
Mit Urteil vom 12. September 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, eine gegen den Entscheid der Rekurskommission gerichtete Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
1.3. Mit Eingabe vom 2. November 2019 (Postaufgabe) erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht, mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 12. September 2019 sei wegen gravierender formaler und sachlicher Fehler zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Philosophische Fakultät der Universität Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
2.
2.1. Ob gegen das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter dem Gesichtswinkel von Art. 83 lit. t BGG offensteht oder ob allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben ist, kann offen bleiben. Der angefochtene Entscheid beruht auf kantonalem Recht, dessen Verletzung nicht unmittelbar gerügt werden kann (Art. 95 BGG e contrario). Die Zulässigkeit des ordentlichen Rechtsmittels würde nichts daran ändern, dass im Wesentlichen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (vgl. auch E. 2.3 hiernach).
2.2. Es stellt sich die Frage, ob der Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) bzw. ein rechtlich geschütztes Interesse (Art. 115 lit. b BGG für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde) an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Das Verwaltungsgericht hat die Frage angesichts des Umstandes, dass durch die Verleihung des Titels eines Titularprofessors die akademische und personalrechtliche Stellung eines Privatdozenten keine Änderung erfahre, offen gelassen. Dies rechtfertigt sich angesichts von dessen Ausgang auch für das bundesgerichtliche Verfahren.
2.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen oder Rechtsgrundsätze die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid wie vorliegend auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG (der gemäss Art. 117 BGG auch im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde zur Anwendung kommt) besonderer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 I 36 E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
2.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, der Dekan der Philosophischen Fakultät sei zum Erlass der strittigen Verfügung vom 28. Juni 2018 nicht zuständig gewesen. Das Verwaltungsgericht hat in E. 4.2 des angefochtenen Urteils ausgeführt, der Dekan hätte die strittige Verfügung korrekterweise im Namen der Fakultätsversammlung erlassen müssen. Dadurch, dass er im Nachgang an den Beschlüssen der Fakultätsversammlung eine separate Verfügung im eigenen Namen erlassen habe, sei dem Beschwerdeführer jedoch kein Nachteil erwachsen.
Der Beschwerdeführer äussert sich zwar, teils ausführlich, zu den vorinstanzlichen Erwägungen. Dabei zeigt er jedoch nicht auf, inwieweit die Vorinstanz mit dieser Beurteilung verfassungsmässige Rechte, insbesondere das Willkürverbot, verletzt haben soll. Die Beschwerde genügt in dieser Hinsicht den Begründungsanforderungen gemäss Art. 106 Abs. 2 bzw. Art. 42 Abs. 2 BGG nicht und das Bundesgericht kann sie nicht materiell behandeln.
2.5. In materieller Hinsicht hat die Vorinstanz im Wesentlichen festgehalten, für die Verleihung des Titels eines Titularprofessors stelle die Förderung des jeweiligen Fachgebiets ein massgebendes Kriterium dar (vgl. a§ 14 Abs. 1 der Universitätsordnung der Universität Zürich vom 15. März 1998 [LS 415.111], in der vorliegend massgebenden Fassung, in Kraft bis 31. Juli 2017). Dieses Kriterium sei in dem Sinne auszulegen, dass die Förderung des Fachgebiets an der den Titel verleihenden Fakultät zu erfolgen habe. Der Beschwerdeführer, der ab 2012 keine Lehre mehr an der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich angeboten und seit seiner Habilitation im Jahr 1981 keine einzige Qualifikationsarbeit an dieser Fakultät betreut habe, erfülle dieses Kriterium nicht. Grundsätzlich nicht ausschlaggebend seien Lehr- und Forschungsleistungen des Beschwerdeführers ausserhalb der Philosophischen Fakultät der Universität Zürich (vgl. E. 4.3 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer bestreitet zwar die vorinstanzlichen Ausführungen, legt jedoch nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht das massgebende Recht willkürlich angewendet hat bzw. nennt kein verfassungsmässiges Recht, welches durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein soll. Seine Eingabe genügt auch in dieser Hinsicht den Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 bzw. Art. 42 Abs. 2 BGG nicht, sodass das Bundesgericht die Beschwerde nicht materiell behandeln kann.
3.
Im Ergebnis entbehrt die Beschwerde einer hinreichenden Begründung (Art. 106 Abs. 2 und Art. 42 Abs. 2 BGG), sodass darauf nicht eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov