Презентація на тему «Линейная и квадратичная функции в приблизительных вычислениях»

content: Министерство образования и науки, молодежи и спорта УкраиныЗапорожское территориальное отделениеМалой академии наукпрофиль - физико-математическийсекция – математикаЛинейная и квадратичная функции в приблизительных вычисленияхНаучно-исследовательская работаученика 10-А классакоммунального заведенияДнепрорудненская гимназия «София»Шевченко Павла Юрьевичанаучный руководитель - учитель математикиПатрушева Маргарита Полиевктовна

content: ВступлениеПочему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Наш ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность — только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.Цель работы - рассмотреть примеры применения линейной регрессии и интерполяции при решении исследовательских задач, в прогнозировании реальных процессов.

content: Пример использованиялинейной регрессииНекая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предыдущие годы были собраны следующие данные:Расходы на рекламу (тыс. $) (xi)Объем продаж(млн. $) (yi) 7128  3114  5019  6021  3516

content: РешениеНайдем линейную теоретическую функцию регрессии y = a + bx и параметры линейной регрессии (коэффициенты регрессии) a и b, используя метод наименьших квадратов. Для этого надо решить следующую систему уравнений:В этом случае n = 5 - число наблюдений и:Подставив эти значения в вышеуказанные уравнения:Решив эту систему относительно a и b, получим a = 4,2 и b = 0,31. Таким образом, ожидаемые продажи составит 4,2 плюс 0,31 умножить на рекламный бюджет миллионов долларов.y = 4,2 + 0,31x – искомая функция линейной регрессии.

content: На графике наблюдения и функция регрессии выглядят следующим образом:рекламапродажа

content: Применение регрессиив прогнозированииЗадача 1

content: Укр. языкУкр. ЛитАнгл. Яз.Франц/ НемецРус. Яз.Литер.Истор. Укр.Всем. Истор.ПравоАлгебрГеометр.Биологгеограф.физикахимияхуд. Культ.трудыинформ.черчен.О.Б.Ж.Анпилов910991011101010881288889989Бабич54445565844456558746Бирюкова85510888884456548109810Бородина99810101110101010109989121181210Воропай5647677864466637107510Гаврилов784878886766765779610Герда43556444543443358948Иваников787697987878987891079Клименко53455654344443258645Команчи43435456333433238813Кононенко745678777445654610947Коржова778789998987107891110710Короткова99881099108888879891189Кретинин52344455533443247559Кулиш64446567645554459856Куприн7978898871010871087810810Лашина86678888744666679769Мартиросян99971010897101097910991079Мишин978899999987876899410Овчаренко768676887897798791079Приймак7797888910766865891069Ревуцкий87579877744685479959Савина633576795544456610859Семенько111110101111101010101010109101010111011Сенюк886679889646756910879Тарасенко53456466344434348844Хлопов44546454433443248764Шевченко А.73387876544565479938Шевченко П.1112101210111010101212101010111011111011Якуба42436456544642338855

content: №Учебный предметУравнение регрессииR21.Украинский язык-0,056427Х+0,4607540,0171922.Украинская литература0,410689Х-3,6745090,3616943.Иностранный язык0,018284Х-1,0702150,0009854.Иностранный язык (2)-0,011133Х-0,1655610,0003145.Русский язык-0,131005Х+1,5649190,0990266.Литература0,138371Х-0,4161910,0711317.История Украины0,132193Х-0,3719580,0735618.Всемирная История-0,137436Х+1,6436890,0782219.Правоведение-0,049057Х+0,3051990,00629910.Алгебра0,301833Х-2,8515950,19764911.Геометрия0,265489Х-2,8496420,13576312.Биология0,003642Х-0,6180850,00004913.География0,015582Х-0,559930,00123814.Физика0,061598Х-1,439930,01289715.Химия0,3185131Х-3,5727110,24736616.Художественная культура0,0470855Х-0,31964680,01036217.Трудовое обучение-0,665022Х+6,7386020,70087118.Информатика-0,463331Х+5,0342620,43532319.Черчение-0,028611Х-0,6760690,00162320.О.Б.Ж.-0,12703Х+2,3061560,028974Последовательно проведенные вычисления и построены регрессионные зависимости для всех предметов. Результаты данного численного эксперимента приведены в сводной таблице:

content: Пример по алгебре№хіуіхі2хіуіуі р(уі р – у)2(уі – у)219,2-1,284,83-11,15-0,0720,4878190,1925,3-1,327,70-6,65-1,2630,2430510,2437,2-3,251,99-23,15-0,6750,0089835,9649,70,394,812,560,0870,7349621,0756,3-2,339,89-14,63-0,9450,0307242,3967,00,049,000,00-0,7390,0009760,5974,8-0,822,94-3,78-1,4060,4044640,0087,90,162,330,83-0,4690,0907780,7794,5-0,520,01-2,12-1,5010,5347850,09103,9-0,915,58-3,74-1,6600,7923650,03116,2-2,238,57-13,73-0,9770,0428722,08128,40,670,035,29-0,3260,1973731,96138,7-0,775,42-5,94-0,2300,2911480,01144,4-1,419,08-5,98-1,5330,5822630,36155,5-1,529,96-8,07-1,1990,1844340,50168,31,768,2814,35-0,3580,1701526,28176,9-2,948,27-20,48-0,7550,0002364,74188,81,277,2510,64-0,1990,3264453,92198,10,964,847,63-0,4210,1217672,95207,60,458,242,81-0,5480,0492241,30217,7-0,759,05-5,26-0,5320,0565250,01226,9-2,947,54-19,96-0,7714,51235,9-0,934,75-5,27-1,0720,0914280,022410,3-0,3105,33-2,700,2461,0325780,26257,4-1,454,29-10,08-0,6280,0202880,36264,6-0,621,45-2,93-1,4540,4673530,02274,5-1,520,01-6,59-1,5010,5347850,50286,0-2,036,00-12,00-1,0410,0732241,512910,61,4113,0314,550,3571,270944,57304,6-0,620,97-2,65-1,4700,4893260,04207,1-23,11531,5-128,19____9,3347,21

content: Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:Найдем коэффициент детерминации по формуле:iinn

content: Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel. Работа с программой представлена ​​на следующих рисунках:

content: Сгенерируем нужны результаты по регрессионной статистике и представим их в таблице:Регресійна статистикаR-квадрат0,1976Спостереження30КоэффициентыY-пересечение-2,851595Переменная X0,301833Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом:;.

content: Далее, построим график регрессии, и нанесем диаграмму рассеяния для интерпретации выставленных оценок учителем, относительно среднего балла учеников.

content: №хіуіхі2хіуіуі р(уі р – у)2(уі – у)219,2-0,283,87-1,4512,8292,56515,8025,12,925,5314,8910,0991,27350,4936,93,147,5421,4111,3240,00930,7349,71,393,7812,7413,1793,80880,8756,04,036,0024,0010,7290,24853,0667,00,049,000,0011,3940,02775,0674,63,420,9715,669,7842,08371,3787,81,261,509,0811,9540,52791,1994,33,718,1715,939,5742,73412,21103,74,313,5715,909,1894,15564,27115,94,134,7524,2010,6590,32323,44128,32,768,2822,6112,2341,01320,24138,60,474,503,1812,4791,56653,54144,22,817,2911,829,5042,97050,35155,23,827,1519,7510,2041,04752,37168,4-0,470,03-3,0812,3041,15906,86176,72,344,6815,4811,1840,00190,00188,80,278,181,4012,6191,93654,38198,10,964,847,6312,0940,75101,70207,61,457,4410,7711,7790,30420,69217,61,457,4410,7711,7790,30420,69226,62,443,9815,7111,1490,00620,01235,64,431,7124,6010,4840,55284,492410,3-0,3105,33-2,7013,5645,45986,32257,22,851,2420,3411,4990,07370,35264,43,619,5515,829,6792,39791,77274,23,817,7315,969,5392,85112,37285,73,332,9118,7210,5540,45361,032910,70,3114,153,3713,8446,84683,74304,43,619,0815,869,6442,50751,91____Пример по трудовому обучению

content: Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:Найдем коэффициент детерминации по формуле:iinn

content: Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel для подтверждения расчетных данных.Регрессионная статистикаR-квадрат0,700865Наблюдения30КоэффициентыY-пересечение6,738609Переменная X-0,665023Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом:;.

content: №НазначениеРасстояние(км)Время(мин.)1ДОС «Слон» – с. Орлянское м. «Близнецы»8,89,272ДОС «Слон» – с. Тополиное м. «Тополь»14,516,083ДОС «Слон» – с. Видножино м. «Ирина»9,111,884ДОС «Слон» – г. Днепрорудный к. «Легенда»1,72,515ДОС «Слон» – г. Днепрорудный м. «Шахтер»2,13,826ДОС «Слон» – г. Днепрорудный кафе «Нива»3,66,787ДОС «Слон» – с. Балки м. «Центр»7,411,978ДОС «Слон» – г. Днепрорудный м. «Демпинг»2,95,229ДОС «Слон» – с. Златополь м. «Витязь»6,48,0210ДОС «Слон» – с. Скельки м. «Придорожный»14,210,05Задача 2

content: №хіуіхі2хіуіуі р(уі р – у)2(уі – у)218,89,2777,4481,5769,8981,79010,50214,516,08210,25233,1614,30633,018456,5539,111,8882,81108,1110,1302,464711,0241,72,512,894,2674,40717,247636,6052,13,824,418,0224,71614,773822,4763,66,7812,9624,4085,8767,20183,1777,411,9754,7688,5788,8150,065111,6382,95,228,4115,1385,33510,400411,1696,48,0240,9651,3288,0420,26850,291014,210,05201,64142,7114,07430,40592,2270,785,6696,53757,3117,6364155,61

content: Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:Найдем коэффициент детерминации по формуле:iinnРегрессионная статистикаR-квадрат0,755916Наблюдения10КоэффициентыY-пересечение3,092425Переменная X0,773349;.

content: Рассчитаем приблизительное время движения до районного центра г. Васильевка (21,7 км) по найденным уравнением регрессии:

content: Зависимость уровня тревожности человека от количества времени,затрачиваемого им на компьютерные игры.Задача 3

content: Главная задача этого раздела подтвердить или опровергнуть следующую гипотезу: уровень тревожности игрока находится в прямой зависимости от количества времени, затрачиваемого им на компьютерные игры.№Фамилия, имя, класс, возрастКол-во часов (в неделю) (ч.)Уровень тревожности1Анпилов Александр, 10-А, 15 лет25,532,2752Гайдаш Катерина, 10-А, 15 лет16,31,5253Іваніков Віталій, 10-А, 16 лет32,33,1254Клименко Дмитро, 10-А, 14 лет22,322,0755Команчи Дмитро, 10-А, 15 лет29,872,756Короткова Лілія, 10-А, 15 лет21,781,6757Куприн Кирило, 10-А, 15 лет33,73,0258Мартіросян Арам, 10-А, 15 лет21,621,8759Хлопов Артем, 10-А, 14 лет26,852,2510Якуба Олександр, 10-А, 15 років37,433,05№хіуіхі2хіуіуі р(уі р – у)2(уі – у)2125,532,275651,7858,082,2550,01110,01229,872,75892,2282,142,6320,07410,15332,33,1251043,29100,942,8440,23380,59422,322,075498,1846,311,9750,14790,08521,781,675474,3736,481,9280,18630,47616,31,525265,6924,861,4520,82510,70721,621,875467,4240,541,9140,19850,24833,73,0251135,69101,942,9650,36640,44926,852,25720,9260,412,3690,00010,011037,433,051401,00114,163,2900,86460,48267,723,6257550,57665,872,913,16

content: Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:Найдем коэффициент детерминации по формуле:iinnРегрессионная статистикаR-квадрат0,920855Наблюдения10КоэффициентыY-пересечение0,033684Переменная X0,086993;

content: Тогда, легко подсчитать, что до первого интервала будут принадлежать следующие значения:Аналогично, рассчитаем для других интервалов:Второй :Третий:Четвертый:Пятый:

content: Нахождение оптимального объема производства сырана ЗАО «Днепрорудненский сыродельный комбинат»

content: Важнейшей составляющей конкурентоспособности продукции является её стоимость. Поэтому чрезвычайно важно определить оптимальный объем производства, обеспечивающий минимум совокупных издержек. Под оптимальным объемом производства продукции понимается такой объем, который обеспечивает выполнение заключенных договоров и обязательств по производству продукции в установленные сроки с минимумом затрат и максимально возможной эффективностью.Версия о том, что постоянное увеличение производства ведет к снижению себестоимости единицы, справедлива лишь в теории. Практический опыт показывает отсутствие линейной зависимости между объемом выпуска и совокупными затратами.

content: Добиться оптимального объема производства можно, в данном случае, применяя методику построения интерполяционного полинома. Полином - это многочлен. Интерполяция - это метод нахождения числа, что находится внутри какого-то интервала, путем приближения. В книге Иванова Ю.Б. «Конкурентоспособность предприятия» предлагается следующая схема построения интерполяционного полинома:1. Группировка опытных данных по объему производства таким образом, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию. Сразу же определяем шаг этой прогрессии.2. На основании теоремы Вейерштрасса (конечная разность n-го порядка является конечная разность конечной разности (n-1) порядка) вычисляем конечные разности по совокупным затратам для каждого исследуемого периода.3. Рассчитываются параметры полинома по формуле:где– конечная разность n-го порядка;n – уровень полинома;4. Полученный полином рассмотрим, як функцию от х. Обозначим его у=f(x).

content: Ниже представлены данные по наращиванию выпуска сыра в 2011году с 1000 до 1800кг и динамика совокупных затрат при этом.Объем производствасыра т. (х)11,11,21,31,41,51,61,71,8Совокупныезатратысто тыс. грн.(у)0,3550,4040,44580,48050,50850,53050,54750,56080,572Построим конечные разности и посмотрим, каков предельный уровень полинома:

content: Полином достиг предельного уровня – четвертого. Схема полинома имеет следующий вид:ХУУУУУ10,3550,0491,10,404-0,00720,04180,00011,20,4458-0,00710,00030,03470,00041,30,4805-0,00670,00030,0280,00071,40,5085-0,0060,00030,0220,0011,50,5305-0,0050,00030,0170,00131,60,5475-0,00370,00030,01330,00161,70,5608-0,00210,01121,80,572

content: Поскольку четвёртые разности постоянные, искомая функция выразится, как полином четвертой степени:+(х-1,3)Искомый полином имеет следующий вид:При вычислении параметров a1, a2, a3, a4 учтем, что h = 0,1, тогда:Найдем минимум функции затрат f(x):Ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы.Поскольку фактический выпуск в 1,8 тонн превзошел оптимальный в 1,638 тонн, то можно говорить о перепроизводстве размером 162 кг.

content: ВыводРаботая над работой пришли к следующим выводам: разные причины побуждают людей прибегать к помощи функций. Функции раскрывают понимание этого мира. Но более точный результат мы получим, если воспользуемся статистической зависимостью, которая наглядным способом описывает реальные процессы. Поэтому приблизительные расчеты являются одной из актуальных частей математики. Например, многие аспекты в прогнозировании базируется на нахождении линейной регрессии.Относительно квадратичной функции, то еще с древних времен люди пытались пользоваться свойствами этой функции. Сейчас, многое побуждает людей не останавливаться, а продолжать познания этого раздела в математике. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости и т.д.) или понести наименьшие потери (времени, материала, энергии) - желание вполне понятно и естественно. Поэтому рассмотрены примеры исследовательских задач играют большую роль в экономике, технике, прогнозировании.