Презентація на тему «Практичне застосування інтегралів в економіці. Прикладні задачі.»

content: Практичне застосування інтегралів в економіці. Прикладні задачі.Підготувалаучениця 11-а класуКошина Анна

content: Традиційно практичний додаток інтеграла ілюструється обчисленням площ різних фігур, знаходженням обсягів геометричних тіл і деяких додатків у фізиці й техніці. Однак роль інтеграла в моделюванні економічних процесів не розглядається. Разом з тим, інтегральне вирахування має багатий математичний апарат для моделювання й дослідження процесів, що відбуваються в економіці.Практичний додаток інтеграла

content: Попит на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й обсягом його покупки.Попит та пропозиціяПропозиція на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й кількістю товару, пропонованого до продажу.Чим більша ціна, тим менший попит.Чим більша ціна, тим більша пропозиція.Відзначимо, що економісти порахували зручним зображувати аргумент (ціну) по осі ординат, а залежна змінну (кількість товару) по осі абсцис. Тому графіки функцій попиту та пропозиції виглядають у такий спосіб .

content: І, нарешті, уведемо ще одне поняття, що грає більшу роль у мо-делюванні економічних процесів - ринкова рівновага. Стан рівноваги характеризують такі ціна й кількість, при яких обсяг попиту збігається з величиною пропозиції, а графічно ринкова рівновага зображується точкою перетинання кривих попиту та пропозиції.Ринкова рівновагаP(ціна)Q (к-ть)P*Q*E*SDD – пропозиціяS – попитP* – рівноважна цінаQ* – рівноважна кількістьE*(P*;Q*) – точка рівновагиНадалі для зручності аналізу ми будемо розглядати не залеж-ність Q = f(P), а зворотні функції попиту та пропозиції, що характеризу-ють залежність P = f(Q), тоді аргумент і значення функції графічно будуть зображуватися звичним для нас образом.

content: Кожен споживач визначає для себе граничну максимальну суму грошей, яку він міг би заплатити за товар згідно зі своєю оцінкою його граничної корисності. Ця готовність платити є показником сприйняття цінності товару споживачем.Споживчий надлишок – це різниця між максимальною сумою, яку споживач був готовий заплатити за кількість товару, на яку він пред'являє попит, і фактично заплаченою сумою. Споживчий надлишокЦіна, грн. К-ть покупцівОбсяг попиту, од. Більше 100 0 0 Від 80 до 1001 1 Від 70 до 80 2 2 Від 50 до 70 3 3 Нижче 50 4 4

content: Перейдемо тепер до розгляду додатків інтегрального аналізу для визначення споживчого надлишку. Для цього зобразимо на графіку зворотну функцію попиту P = f(Q). Допустимо, що ринкова рівновага встановилася в точці E*(q*; p*) (крива пропозиції на графіку відсутній для зручності подальшого аналізу).Якщо покупець здобуває товар у кількості Q* за рівноважною ціною P*, то очевидно, що загальні витрати на покупку такого товару складуть P*Q*, що дорівнює площі заштрихованої фігури A.Визначення споживчого надлишкуPQP*Q*E*(Q*; P*)DA

content: Але припустимо тепер, що товар у кількості Q* продається продавцями не відразу, а надходить на ринок невеликими партіями Q. Саме таке допущення разом із припущенням про безперервність функції попиту та пропозиції є основним при висновку формули для розрахунку споживчого надлишку. Відзначимо, що дане допущення цілком виправдане, тому що така схема реалізації товару досить поширена на практиці й випливає з мети продавця підтримувати ціну на товар якнайвище.Визначення споживчого надлишку

content: Тоді одержимо, що спочатку пропонується товар у кількості Q1=Q, що продається за ціною P1 = f(Q1). Тому що по припущенню величина Q мала, то можна вважати, що вся перша партія товару реалізується за ціною P1, при цьому витрати покупця на покупку такої кількості товару складуть P1 Q, що відповідає площі заштрихованого прямокутника S1.Q1Qn-1Qn=Q*PQPn=P*Q2P1P2∆Q∆Q∆Qf(Q1)f(Q2)f(Qn) f(Q*)=P*S1S2SnВизначення споживчого надлишку

content: Далі на ринок надходить друга партія товару в тій же кількості, що продається за ціноюP2 = f(Q2), де Q2 = Q1+Q– загальна кількість реалізованої продукції, а витрати покупця на покупку другої партії складуть P2Q, що відповідає площі прямокутника S2.Продовжимо процес доти, поки не дійдемо до рівноважної кількості товару Q* = Qn. Тоді стає ясно, якою повинна бути величина Q для того, щоб процес продажу товару закінчився в крапці Q*:У результаті одержимо, що ціна n-й партії товару Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а витрати споживачів на покупку цієї останньої партії товару складуть PnQ, або площа прямокутника Sn.Визначення споживчого надлишку

content: Таким чином, ми одержимо, що сумарні витрати споживачів при покупці товару дрібними партіями Q рівні Q.P1∆Q + P2∆Q + …+ Pn∆Q == f(Q1)∆Q + f(Q2)∆Q +…+ f(Qn)∆Q == S1 + S2 +…+ SnТому що величина Q дуже мала, а функція f(Q) безперервна, тих містимо, що   S1 + S2 +…+ Sn приблизно дорівнює площі фігури B, що, як відомо, при малих збільшеннях аргументу Q дорівнює певному інтегралу від зворотної функції попиту при зміні аргументу від 0 до Q*, тобто в підсумку одержимо, щоPQP*Q*E*(Q*; P*)DBВизначення споживчого надлишку

content: Згадавши, що кожна точка на кривій попиту показує, яку суму споживач готовий заплатити за покупку додаткової одиниці продукту, одержимо, що площа фігури B відповідає загальній грошовій сумі, що споживач готовий витратити на покупку Q* одиниць товару. ТодіSВ - SА = SCS– споживчий надлишок при покупці даного товару - перевищення загальної вартості, що споживач готовий сплатити за всі одиниці товару, над його реальними витратами на їхнє придбання.PQP*Q*E*(Q*; P*)DCSВизначення споживчого надлишкуPQP*Q*E*(Q*; P*)DBPQP*Q*E*(Q*; P*)DA

content: Таким чином, споживчий надлишок можна порахувати за наступною формулоюВизначення споживчого надлишкуCS – споживчий надлишокf(Q) – функція попитуP* – рівноважна цінаQ* – рівноважна кількість

content: Відомо, що попит на деякий товар задається функцією P = 4 - Q2, де q - кількість товару (у шт.), p - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару досягається при P* = Q* = 1. Визначите споживчий надлишок.Дано:PD = 4 - Q2P* = Q* = 1(Q - кількість товару (у шт.),P - ціна одиниці товару)Знайти:CS (споживчий надлишок)ЗадачаПопитРинкова рівновагаP*Q*= 1PD = 4 - Q2Споживчий надлишок - ?

content: За виведеною формулою визначення споживчого надлишку маємо:Розв'язанняОтже, за даний товар споживачі готові заплатити на грн. більше за реальні витрати на його придбання.Відповідь: CS = грн.

content: Дякую за увагу!