Презентація на тему «Двугранный и трехгранный угол»

content: ПодготовилУченик 11-А классаЭМЛПотоскуев ВалерийДвугранный и трехгранный угол

content: Двугранный угол

content: ОпределениеДвугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

content: Двугранный уголГрадусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.Величина двугранного угла находится в пределах от 0° до 180°.

content: Линейный угол двугранного углаВыбираем произвольную точку О на ребре а ;Проводим перпендикуляры к каждому ребру(ОВ и ОА);Образовавшийся угол АОВ и есть линейный угол двугранного угла;

content: Все линейные углы двугранного угла равныДоказательство :Имеем двугранный угол, т.е. полуплоскости a, b и ребро.Берем точку О и произвольную точку О1. Строим линейный угол соответствующий точке О, т.е. проводим два перпендикуляра в плоскостях к ребру. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.Из точки О1 проводим два перпендикуляра к ребру в плоскостях a, b соответственно и получаем второй линейный угол А1О1В1.Замечаем, что лучи О1А1 и ОА сонаправлены (т.к. Они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой, как два перпендикуляра к одной и той же прямой.)Вторые лучи О1В1 и ОВ тоже сонаправлены, значит,ÐАОВ=ÐА1О1В1, как углы с сонаправленными сторонами.

content: Одно из важнейших свойствЕго плоскость перпендикулярна ребру двугранного угла.

content: Двугранный уголОстрый (0;90)Прямой = 90Тупой (90;180)

content: Трехгранный угол

content: ОпределениеТрехгранный угол SABC – это фигура, составленная из трех лучей SA, SB, SC, исходящих из одной точки S пространства и не лежащих в одной плоскости.

content: ОпределениеПлоские углы ASB,BSC, CSA называются гранями трехгранного угла, их стороны – ребрами. Общая вершина Sплоских углов называется вершинойтрехгранного угла.

content: Трехгранный уголТеорема1. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.Доказательство:Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенстваASB ASC < ASC + BSC;BSC ASC < ASC + ASB.Таким образом, остается доказать неравенство ASС < ASB + BSC.     Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD (рис. 3). Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, DSC < BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный ASB, получим требуемое неравенство ASС < ASB + BSC.

content: Трехгранный угол  Теорема2. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место неравенство BAС < BAS + CAS. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС < ABS + CBS, ACB < ACS + BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем 180°< BAS +CAS + ABS +  CBS +BCS + ACS = 180° - ASB + 180° - BSC + 180° - ASC. Следовательно, ASB + BSC + ASC < 360° .

content: Теорема 3Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

content: Теорема косинусов для трехгранного углаcos α =  cos β cos γ + sin β sin γ cos Aгде α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

content: Теорема синусов для трехгранного угла.где α, β, γ – плоские углы трехгранного угла; A, B, C – противолежащие им двугранные углы

content: Измерение трехгранного углаОпишем около его вершины S единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой  A, B, C Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360°  плюс учетверенная величина трехгранного угла, илиуголSAB +уголSB + уголSC = 180° + 2ÐSABC.

content: Спасибо за внимание!

content: Источникиhttp://school-collection.edu.ru/catalog/res/AFA328E0-1FC2-4471-9A20-9598EDB55FDF/view/http://www.mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter4/section/paragraph4/theory.html#.VHTkt4usXLlhttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D1%91%D1%85%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BBhttp://geometry2006.narod.ru/Lecture/MnogUgly/MnogUgly.htm