Презентація на тему «Пирамида»

content: Пирамида

content: Что такое пирамида?Пирамида  — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

content: История развития пирамиды в геометрии.Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды:Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.ДемокритЕвдокс КнидскийЕвклид

content: Элементы пирамидыапофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;боковые грани (1) — треугольники сходящиеся в вершинебоковые ребра (2)вершина пирамиды (3) — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;высота (4)— отрезок перпендикуляра, проведённогочерез вершину пирамиды к плоскости её основания(концами этого отрезка являются вершинапирамиды и основание перпендикуляра);диагональное сечение пирамиды — сечениепирамиды, проходящее через вершину идиагональ основания;основание (5) — многоугольник, которому непринадлежит вершина пирамиды;

content: Простейшая пирамидаПростейшей, правильной пирамидой, являетсяпирамида, основанием и гранями которой служат4 равных между собой равностороннихтреугольника. Основанием такой пирамидыможет служить её любая грань, и пирамиданезависимо будет считаться - правильной. ТакаяПирамида называется Тетраэдр.Двадцать таких пирамид спримыкающими гранями и сходящимисявершинами в одной точке, служатсоставляющими Икосаэдра, основаниямиобразуя его грани.

content: Углы пирамидыУглы простейшей пирамиды - Тетраэдра, все равны 60°, как в треугольнике лежащем в основании, так и в треугольниках образующих граней.Углы прямоугольной пирамиды, угол в основании, между сторонами квадрата 90°, а в треугольниках образующих граней - 60°. В диагональном сечении, в треугольнике, угол в вершине пирамиды 90°, и два угла у основания 45°.

content: Развёртка пирамидыРазверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью. Если отсек фигуры поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.Разверткой Тетраэдра, будет равносторонний как основание, и такие же равносторонние присоединенные обшей стороной к сторонам основания.Разверткой правильной прямоугольной пирамиды, будет основание, и четыре равносторонних (грани), имеющие с основанием общую сторону с основанием.Разверткой правильной пятигранной пирамиды, будет правильный пятиугольник в основании, и 5 равнобедренных , имеющих общую сторону с основанием.

content: Свойства пирамидыЕсли все боковые ребра равны, то:около основания пирамиды можно описать окружность,вершина пирамиды проецируется в её центр;боковые ребра образуют с плоскостью основания равныеуглы.также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуютс плоскостью основания равные углы или если около основанияпирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируетсяв её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:около основания пирамиды можно описать окружность, вершина пирамиды проецируется в её центр;боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

content: Формулы, связанные с пирамидойОбъём пирамиды может быть вычислен по формуле:где S — площадь основания и  h — высота;Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле:где a1,a2— скрещивающиеся рёбра, d — расстояние между a1 и a2 , — угол между a1 и a2; Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

content: Формулы, связанные с пирамидойПолная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:где  a — апофема, P — периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро,  — плоский угол при вершине пирамиды.

content: Особые случаи пирамидыПравильная пирамидаПирамида называется правильной, еслиоснованием её является правильный многоугольник, а вершинапроецируется в центр основания.Тогда она обладает такими свойствами:боковые ребра правильной пирамиды равны;в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

content: Прямоугольная пирамидаПирамида называется прямоугольной, если одно из боковыхрёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данномслучае, это ребро и является высотой пирамиды.Особые случаи пирамиды

content: Усечённая пирамидаУсечённой пирамидой называется многогранник,заключённый между основанием пирамиды и секущейплоскостью, параллельной её основанию.

content: Интересные фактыФормула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

content: Пирамиды в жизни

content: СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!