Презентація на тему «Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція»

content: Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція.

content: План лекціїВступРегресіяЛінійнаквадратичнаІнтерполяціяЗагальні відомостіПерша формула НьютонаДруга формула НьютонаЕкстраполяція

content: РегресіяЗадано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність.Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу.Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає.

content: РегресіяЗадано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність.Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу.Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає.

content: Види Регресії

content: Лінійна РегресіяНехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y (y = f(x))X1X2…Xn-1Xny1Y2…Yn-1YnПрипустимо, що невідома функція є лінійною, тоді y = ax+b ,де a і b невідомі параметри.

content: Лінійна Регресія (2)

content: Лінійна регресія (приклад)Значення XЗначення Y0,50,71,51,42,51,8Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y(y = ax + b)

content: Лінійна регресія (приклад) Значення XЗначення Yf(x)0,50,70,7441,51,41,32,51,81,856

content: Квадратична регресіяПрипустимо, що невідома функція є квадратичною, тодіy = a+bx+cx^2 ,де a, b і c невідомі параметри.

content: Квадратична регресія (приклад)Значення XЗначення Y0,71,71,52,92,11,82,80,7

content: Квадратична регресія (приклад)Значення XЗначення Y0,71,71,52,92,11,82,80,7

content: ІнтерполяціяПрипустимо відомо значення деякої функції f в n+1 різних точках x0,x1,…,xn які позначимо наступним способомfi = f(xi) i=0,1,..,nТакі дані зазвичай отримують з експериментів чи за допомогою складних обчислень. Зазвичай виникає задача наближеного встановлення функції f в будь-якій точці x.Наближене встановлення функції f називається інтерполяцією функції.Часто для розв'язування цієї задачі будують алгебраїчний многочлен Ln(x) степені n, який в точках xi приймає задані значення fi = Ln(xi).Ln(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an такий многочлен називається інтерполяційними многчленом.Точки xi i=0,1,..,n називаються вузлами інтерполяції.

content: Інтерполяція(2)

content: Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлівЧасто інтерполяція ведеться для функції, заданих таблицями з рівно віддаленими значеннями аргументів.Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул спрощується.

content: скінченні різниці

content: Перша Інтерполяційна формула НьютонаНехай будемо шукати інтерполяційний многочлен у виглядіPn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)Найдем значення коефіцієнтів a0, a1, a2, ...,an:Припустивши, що x=x0, знаходимо a0=P(x0)=y0;Далі подставляючи значення x1, x2, ...,xn отримуємо:a1=Δy0/h, де h= xi+1-xia2=Δ2y0/2!h2a3=Δ3y0/3!h3....................an=Δny0/n!hnВ кінцевому результаті отримуємо многочлен:Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1)Практично формула (1) застосовується в іншому вигляді:Візьмемо: t=(x-x0)/h, тоді x=x0+th и формула (1) перетворюється на:Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0 (2)Формула (2) називається інтерполяційной формулой Ньютона.

content: http://numericalmethods.eng.usf.edu18ПрикладШвидкість підйому ракети задана, як функція від часу в таблиці 1.Знайти швидкість підйому ракети в момент часу t=16 секунд використовуючи метод Ньютона квадратичної інтерполяції.tv(t)sm/s10227.0415362.7820517.3522.5602.9730901.67Таблиця 1. Швидкість, як функція від часуFigure 2: залежність швидкості від часу

content: Квадратична інтерполяція(2)

content: Квадратична інтерполяція(3)

content: Квадратична інтерполяція(4)Перепишемо

content: Друга інтерполяційна формула Ньютона

content: Дякую за увагу!