Презентація на тему «Відстань між мимобіжними прямими»

content: Відстань між мимобіжними прямими

content: Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих, перпендикулярний до кожної з них.abABABa, ABb

content: Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.abABǁ, AB , AB

content: Означення: відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.abABǁ, AB , AB , (a,b)=(,)=AB

content: Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжину;2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини і обчислюють відстань між ними;3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину, паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї площини від паралельної до неї прямої;4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі. Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих прямих.

content: Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляраВ ході розв'язання відшукують або будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжинуЗадача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD1AA1BCDB1C1D1CDBC, CDDD1 як суміжні сторониквадратів – граней кубаCD – спільний перпендикулярдля прямих BC та DD1(BC, DD1)=DC=a

content: Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляраЗадача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA1 і CB1AA1BCDB1C1D1AA1A1B1 , BCBB1 , BB1A1B1як суміжні сторони квадратів –граней кубаЗа теоремою про три перпендикуляриCB1A1B1A1B1 – спільний перпендикулярдля прямих B1C та AA1(B1C, AA1)= A1B1 = a

content: abABa, b, ǁ, AB , AB, (a,b)=(,)=ABСпосіб 2. Побудова паралельних площинВ ході розв'язання проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини  і ; тоді шукана відстань дорівнює відстані між цими площинами.

content: Спосіб 2. Побудова паралельних площинЗадача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями несуміжних граней - прямими A1 В і DC1AA1BCDB1C1D1Діагоналі A1B та C1D лежать упаралельних площинах , а саме:A1B(AA1B), C1D (DD1C),(AA1B) ǁ (DD1C)AD – спільний перпендикулярдля даних гранейPKPK- спільний перпендикулярзаданих мимобіжних прямих(A1B, DC1)=AD=PK=a

content: abABb, aǁ, AB , AB a, (a,b)=(a,)=ABСпосіб 3. Побудова однієї паралельної площиниВ ході розв'язання проводять через одну з даних мимобіжних прямих b площину , паралельну другій прямій a; тоді шукана відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх площиною a1

content: Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площиниЗадача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A1С1 і DD1AA1BCDB1C1D1Проведемо через діагональ A1C1верхньої грані куба площину,паралельну до бічного ребра DD1-площину AA1C.AA1(AA1C), AA1ǁ DD1, томуDD1 ǁ (AA1C)Так як діагоналі квадрата взаємноперпендикулярні (A1C1  B1D1)а також взаємно перпендикулярніоснови та побудована діагональнаплощина, то КD1 – шуканийперпендикуляр і шукана відстань,де К – точка перетину діагоналейоснови(A1С1, DD1)=KD1=K

content: abABСпосіб 4. Побудова перпендикулярної площиниПроводять площину , перпендикулярну до однієї з даних прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї прямої з площиною  , проекцією прямої b – деяка пряма b1 площини , а шукана відстань дорівнює відстані від точки А до прямої b1b1ma , b  b1,b1 , a=A,b, m,ǁa, mǁaAB b1,(a,b)=(A,b1)=AB

content: Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площиниЗадача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС1AA1BCDB1C1D1Опустимо перпендикуляр ОК зточки О на пряму О1DОК – шукана відстаньТак як OKO1D=OO1 OD, маємо:О1ОКВикористаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ кубаПроведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС, - площину BB1D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC1 будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO1

content: Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площиниЗадача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо АВ=15 см, ВС=20 смC1АBCDD1HОскільки D1A і C1В – перпендикуляри допрямої перетину двох перпендикулярних площин, то D1A (АВС), С1В (АВС).Побудуємо ортогональні проекції прямих AD1 і С1D на площину АВС. Проекціями є відповідно точка А та пряма BD. Шукана відстань дорівнює висоті АН прямокутного трикутника ABD (A=900)

content: Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площиниЗадача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо АВ=15 см, ВС=20 смC1АBCDD1HОскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, тоВідповідь: 12 см