Презентація на тему «Теорія Ігор»

content: Теорія Ігор

content: Коротко з історіїМатематична теорія ігор бере свій початок з неокласичної економіки. Вперше математичні аспекти та застосування теорії були викладені у класичній книзі 1944 Джона фон Неймана і Оскара Моргенштерна "Теорія ігор і економічна поведінка".

content: Поняття теорії ігорЛогічною основою теорії ігор є формалізація трьох понять, які входять в її визначення і є фундаментальними для всієї теорії:КонфліктПрийняття рішення в конфліктіОптимальність прийнятого рішення

content: Подання ігорІгри являють собою строго певні математичні об'єкти. Гра утворюється гравцями, набором стратегій для кожного гравця і вказівки виграшів, або платежів, гравців для кожної комбінації стратегій.

content: Ознаки гриХарактеризують ознаки гри як математичної моделі ситуації:наявність кількох учасників;невизначеність поведінки учасників, пов'язана з наявністю у кожного з них кількох варіантів дій;відмінність (розбіжність) інтересів учасників;взаємопов'язаність поведінки учасників, оскільки результат, що отримується кожним з них, залежить від поведінки всіх учасників;наявність правил поведінки, відомих всім учасникам.

content: Кооперативні та некооперативні ігриГра називається кооперативною, якщо гравці можуть об'єднуватися в групи, беручи на себе деякі зобов'язання перед іншими гравцями і координуючи свої дії.В некооперативних іграх учасник зобов'язаний грати за себе.З двох типів ігор, некооперативних описують ситуації в найдрібніших деталях і видають більш точні результати. Кооперативні розглядають процес гри в цілому.

content: Симетричні і несиметричні ігриГра буде симетричною тоді, коли відповідні стратегії у гравців будуть рівні, тобто матимуть однакові платежі.У прикладі праворуч гра на перший погляд може здатися симетричною через схожі стратегії, але це не так - адже виграш другого гравця при профілях стратегій (А, А) і (Б, Б) буде більше, ніж у першого.АБА1, 20, 0Б0, 01 ,2

content: Математика в іграх двох осібІгри двох осіб – це конкретні інтелектуальні ігри. Вони характеризуються такими основними рисами:у кожній грі беруть участь двоє гравців;суть гри в тому, що суперники по черзі виконують певні дії – «ходи»; кількість ходів скінченна (хоча, можливо, і як завгодно велика);умовою (правилами) гри обумовлено, в чому полягає заключна виграшна позиція; виграє той з гравців, хто першим досягне виграшної позиції;гра є відкритою для обох гравців, тобто в будь-який момент гри кожен із гравців має повну інформацію про її перебіг.

content: Приклади ігорПриклад 1Правила гри такі. На купці лежать 53 камінці. Кожен із двох гравців за один хід може взяти будь-яку кількість камінців від 1 до 4. Виграє той, хто забере останній камінець. У кого з гравців – того, який робить перший хід (назвемо його першим), чи його суперника (назвемо його другим), - є виграшна стратегія і в чому вона полягає?

content: Розв'язанняРозмістимо умовно ці камінці в ряд, пронумерувавши їх числами від 1 до 53 у порядку, зворотному до того, в якому їх братимуть з купки (тобто вважатимемо, що першим братиметься камінець з номером 53, а останнім – з номером 1. Для того щоб останнім ходом (нехай під номером n) забрати камінець з номером 1 (і таким чином виграти гру), першому гравцеві після попереднього n-1 ходу суперника повинна залишитися будь-яка кількість камінців від 1 до 4. Для того щоб примусити другого гравця залишити саме таку кількість камінців, а не, скажімо, 6 чи 7 (що для першого гравця було б «катастрофою»), першому гравцеві після n-2 ходу потрібно залишити рівно 5 камінців. Тоді яку б кількість – 1, 2, 3 чи 4 не взяв другий гравець, перший останнім своїм ходом зможе забрати залишок.53 52 51 50 49… …3 2 1

content: Відповідно, після n-4 ходу першого гравця повинно залишитися 10 камінців, після n-6 ходу – 15 камінців і т.д.Отже, «вихід» на номери, кратні, 5, забезпечує першому гравцю можливість гарантовано здобути перемогу в грі. А для цього йому потрібно першим своїм ходом взяти 3 камінці з даних 53-х. Далі після кожного ходу суперника слід брати таку кількість камінців, щоб залишилося число, кратне 5. Це і є виграшна стратегія, причому існує вона для першого гравця.

content: Приклад 2Альоша Попович і Добриня Микитич воюють з дев'ятиглавим змієм. По черзі богатирі ходять до його печери й відрубують 1, 2 чи 3 голови. Як Альоша, який почав бій першим, зможе одержати славу переможця змія (тобто відрубає останню голову)?

content: Розв'язанняАльоша відрубує 1 голову.Якщо Добриня відрубує 1 голову,Альоша відрубує 3 голови.Добриня – 2 голови,Альоша - 2 голови.абоДобриня – 3 голови,Альоша – 1 голову.У будь-якому випадку у змія залишається 4 голови. Далі скільки голів не відрубав Добриня, Альоша відрубує решту голів одним ударом.VS

content: Приклад 3У грі «Хто першим назве число 100» беруть участь двоє. Один називає будь-яке натуральне число від 1 до 9 включно. Другий додає до названого числа будь-яке натуральне число від 1 до 9, і називає нову суму. До цієї суми перший також додає будь-яке натуральне число від 1 до 9, і називає суму. Виграє той, хто першим називає число 100. Який найкращий початок цієї гри?

content: Розв'язанняЯк почати гру, не має значення. Другий гравець виграє, називаючи числа, які діляться на 10.

content: ВисновкиПід час написання наукової роботи я опрацювала теоретичний матеріал з теми “Теорія ігор”. Також я опрацювала літературу з данної тематики, розібралася із розв'язаними прикладами та на їх основі за допомогою вказівок до задач самостійно розв'язала деякі приклади.

content: ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!