Презентація на тему «Системи рівнянь з параметрами»

content: Проектна робота з теми:“ Системи рівнянь з параметрами ”Виконала учениця 11 х/б класу Педан ПолінаКерівник проекту: Вчитель математики вищої категорії Шкаран Ніна Іванівна

content: Мета проекту:Сформувати вміння та навички розв'язувати системи двох рівнянь з двома змінними з параметрами; розвивати інтерес, творчі здібності та інтуїцію учнів, вміння застосовувати набуті знання в нових ситуаціях, виховувати зібраність, працьовитість, охайність, організованість, графічну та математичну культуру.Завдання з параметрами вважаються важними для розуміння і засвоєння учнями.Але Задачі з параметрами традиційно входять до завдань ДПА та ЗНО з математики.Проектна робота пропонує системи рівнянь з параметрами, і має за мету допомогти учням 9 класу чітко і логічно застосовувати математичні твердження, знаходити неординарні методи їх розв'язування.

content: ...у1) х+у=6 - прямах ²+ у ² = а - колоВідповідь:1) якщо r кола <18, то розв'язків немає;2) якщо r кола=18, то розв'язок 1;3) якщо r кола>18, то розв'язків 2;.66FОАВх111. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість розв'язків системи рівняньІ. Будуємо графік першого рівняння:Отримуємо прямокутній рівнобедрений трикутник з катетами по 6;ІІ. Розглянемо розміщення кола відносно його радіуса - √а;Якщо коло дотикається до прямої, то його радіус при цьому дорівнює висоті, а за даними цей трикутник прямокутній, то за його властивостями медіана дорівнює половині гіпотенузи => за теоремою Піфагора - АВ²=6²+6², АВ=6√2 і √а=OF=1/2АВ=6√2/2=3√2,√а=√18, а=18, тобто радіус кола дорівнює 18, звідси:

content: Задача 2х – у = 4,х ²+ у ² =аЯкщо а≤0, то система розв'язків не має . Розглянемо випадок, коли а>0. Графік першого рівняння – пряма, графік другого – коло з центром у початку координат і радіусом √а.Якщо коло дотикається до прямої, система має єдиний розв'язок. Радіус кола при цьому – висота рівнобедреного прямокутного трикутника АОВ з катетом 4. Отже, √а = АВ/2= 2√2, а=8.Відповідь: при а<8 система розв'язків не має;при а=8 система має один розв'язок;при а>8 система має два розв'язки.А4-4ВОух

content: При яких значеннях параметра а система має три розв'язки:х² +(у-2)²= 1У =х + аРозглянемо рівняння:Графік першого рівняння - коло з радіусом 1 з центром у точці (0;2).Графік другого рівняння - прямий кут, бісектрисою якого є вісь ординат, вершиною якого зміщується вгору або вниз, залежно від параметра а.Три точки перетину можливі лише у випадку якщо а=1.Відповідь: при а=1 система має три точки перетину....2.11ух

content: У = а + √х2х+у-1=0Розв'язання:Графік другого рівняння буде пряма, першого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а.Отже, побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат.Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то:якщо а є(-∞; 1], то система має один корінь;якщо а є(1; +∞),то система коренів не має.Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 1], то система має один корінь,2) якщо а є(1; +∞),то системакоренів не має.....1у.1х2.52.Визначте кількість розв'язків системи

content: Визначте кількість розв'язків системи3х+у-20=у =а+√хРозв'язання:Графік першого рівняння буде пряма, другого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а.Отже побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат.Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то:якщо а є(-∞; 2], то система має один корінь;якщо а є(2; +∞),то система коренів не має.Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 2], то система маєодин корінь,2) якщо а є(2; +∞),то системакоренів не має.....11у.2х2.6.

content: Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь не має розв'язку:.....B׀х ׀ + ׀у ׀= 1х² + у²=аРозв'язанняЯкщо а≤0, то система розв'язків не має. Розглянемо випадок, коли а>0:Графік першого рівняння буде квадрат ABCD довжиною сторони √2 і діагоналлю 2.Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом √а, а>0.Система не має розв'язків, якщо коло і квадрат не мають спільних точок (див. рисунок).У першому випадку √а>1, а>1, у другому - √а< 1/√2 , а<1/2.Відповідь: при а<1/2 або а>1.CADух1

content: ...у=ау=׀х²-6 ׀х׀+8 ׀Графіком першого рівняння буде пряма паралельна осі х;Графіком другого рівняння буде парабола,зміщена на три одиниці вправо по осі х та на одиницю вниз по осі у, і відображена відносно осі у та х по модулю. Тобто:у= |x²-6х+8->у=(x-2)(x-4)->y=(x-3)²-1Отжепри а<0, розв'язків немає;при а=0, 4 розв'язки;при 0<а<1, 8 розв'язків;при а=1, 6 розв'язків;при 1<а<8, 4 розв'язки;при а=8, 3 розв'язки;при а>8, 2 розв'язки.1Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має розв'язки:у=аy=(x-3)²-1...1.8.3.ух.3..

content: Знайдіть кількість розв'язків відносно параметра а:.....׀х ׀ + ׀у ׀= 1х²+у²=а²Якщо а≤0, то система розв'язків не має. Розглянемо випадок, коли а>0:Графік першого рівняння буде квадрат ABCD з довжиною сторони √2, і при перетині його з осями координат утвориться 4 прямокутних рівнобедрених трикутника, висота кожного з них дорівнює радіусу вписаного кола ( якщо б коло дотикалось до сторони квадрата ), то знайдемо довжину радіуса кола, при дотику, або висоту трикутника:х²+у²=а²=> х²+у²=r²=> r²=а²=> √r²=√а² => r=|a|.1. АВ²=1²+1², АВ= √2;2. Висота і медіана у прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнює половині гіпотенузи, тому висота і медіана дорівнюють √2/2 або 1/√2 ;Оскільки висота і медіана в прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнюють радіусу кола при дотику, то r=a=1/√2;Тому маємо 5 випадків:1) a< 1/√2, немає розв'язків;2) а= 1/√2, 4 розв'язки;3) 1/√24) a=1, 4 розв'язки;5) a>1, немає розв'язків.х1CADBу

content: ..   Тобто якщо а<1,розв'язків немає;якщо 1якщо а=2, 3 розв'язки;якщо а>2, 4 розв'язки.1Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має розв'язки:1...2хy1

content: Скільки розв'язків має система відносно параметра а:...х²+у²+4х=0х²+у²-2х=а²-2аПеретворимо дані рівняння системи: Тому маємо 5 випадків:1) a>3, немає розв'язків;2) а=3, 1 розв'язок;3) 14) a=1, 1 розв'язок;5) a<1, немає розв'язків.ух12

content: При якому найменшому цілому додатному значенні параметра а система рівняньх²+у²=36 у - а²х² = а не має розв'язку?Перше рівняння задає коло радіусом 6 з центром в початку координат; друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору (а²≥0) і з вершиною в точці (0;а)Щоб система рівнянь не мала розв'язку, необхідно, щоб ці два графіка були розміщенні так, як показано на рис., а найменше ціле додатне значення а=7.УХ66-6-6

content: При якому найменшому додатному значенні параметра а система х²+у²=49у = х² + амає єдиний розв'язок?Перше рівняння задає коло радіусом 7 з центром у початку координат, друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору.Щоб система рівнянь мала єдиний розв'язок при найменшому додатному значенні а, необхідно, щоб графіки були розміщені так5, як на рис. і а=7.Відповідь: а=7.77-7-7ХУ

content: При якому найбільшому значенні параметра а система|x|+|y|=4х² + у²= а²має чотири розв'язки?Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 8.Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом а.Система має чотири розв'язки, якщо коло описане навколо квадрату або вписане у квадрат.У першому випадку а=4, а у другому – а=r=½AB=½√4²+4²=½√32=2√2УХ44-4-4АВ

content: При якому найменшому значенні параметра а система |x|+|y|=7 х²+ (у-а)²=49має єдиний розв'язок?Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 14.Графік другого рівняння - коло з центром 7.Система рівнянь має єдиний розв'язок при найменшому значенні параметра а, якщо графіки розташовані так, як на рис. і тоді а= -14.Ух77-7-7-14