Презентація на тему «Пифагор Самосский и теорема Пифагора»

content: Презентация по геометрии8 класс

content: Пифагор Самосский и теорема Пифагора

content: Пифагор СамосскийПифагор Самосский ( 6 в. Д. н. э. ) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»

content: Пифагор СамосскийПифагор Самосский ( 6 в. Д. н. э. ) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»

content: Заслуги ПифагораВ современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов

content: Теорема ПифагораПребудет вечной истина, как скороЕё познает слабый человек!И ныне теорема ПифагораВерна, как и в его далёкий век.Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

content: Формулировка теоремы« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Во времена Пифагора теорема звучала так:

content: Современная формулировка« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

content: Доказательства теоремыСуществует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

content: Самое простое доказательствоРассмотрим квадрат, показанный на рисунке.Сторона квадрата равна a + c.ca

content: В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.acacВ другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.acТаким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

content: Доказательство ЕвклидаДано:ABC-прямоугольный треугольникДоказать:SABDE=SACFG+SBCHI

content: Доказательство:Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

content: Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательноSPQEA=2SACEТочно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGABОтсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

content: Алгебраическое доказательствоДано: ABC-прямоугольный треугольникДоказать: AB2=AC2+BC2                                          Доказательство:1) Проведем высоту CD из вершины угла С.2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следуетAB*AD=AC2.3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значитAB*BD=BC2.4) Сложив полученные равенства почленно, получим:AC2+BC2=АВ*(AD + DB)AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

content: Геометрическое доказательствоДано: ABC-прямоугольный треугольникДоказать: BC2=AB2+AC2Доказательство:1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:SABED=2*AB*AC/2+BC2/23) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:SABED= (DE+AB)*AD/2.4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC, BC2=AB2+AC2.

content: Значение теоремы ПифагораТеорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

content: Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его ослиный мост, или бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

content: Презентацию подготовила ученица 8-Б класса средней школы №21 Данильченко Владислава