Презентація на тему «Інтеграл та його застосування»

content: Інтеграл та його застосування

content: Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчисленняІсторія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов'язана з потребою в обчисленні площ фігур, а також поверхонь і об'ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).

content: Короткі історичні відомостіПоняття інтеграла та інтегральне обчислення виникло через необхідність обчислювати площі будь-яких фігур і поверхонь та об'ємів довільних тіл.Символ увів Лейбніц у 1686 році.Отож, інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.

content: 4Диференціювання функції f(x) – операція знаходження її похідної .Наприклад. Знайти похідну функції:а) ; б) .Розв'язанняа) ;б) .Знаходження функції f(x) за даною її похідною називається операцією інтегрування.Операція інтегрування обернена до операції диференціювання.Наприклад.а) Якщо , то , оскільки .б) Якщо , то ,оскільки .Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжкуНаприклад.Функція -первісна для функції напроміжку , оскільки при

content: Основна властивість первіснихЯкщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а С – довільна стала, то функція F(x)+С також є первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+С, де С– довільна стала.Вираз F(x)+С - загальний вигляд первісної для функції f(x).Наприклад.Якщо - первісна для функціїна проміжку , топервісною для функції напроміжку є функція , де С – довільна стала, оскількиГеометричний зміст основної властивості первіснихГрафіки всіх первісних для даної функції f(x) одержується з будь-якого з них шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу.Сукупність усіх первісних даної функції f(x) називається невизначеним інтегралом.Позначається: ; тобто, де F(x) – одна з первісних для функції f(x), С – довільна стала.- знак інтеграла, f(x) підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз.Наприклад.а) , оскільки - первісна функціїб) , оскільки - первісна для функції

content: 6Таблиця первісних (невизначених інтегралів)Функція f(x)Загальний вигляд первісних F(x)+С, де С - сталаЗапис за допомогою невизначеного інтегралаС1х+С

content: Правила знаходження первісних (правила інтегрування)1. Якщо F - первісна функції , а G – первісна функції , то F+ G – первісна функціїНаприклад.Знайти первісну для функції:а) ; б) .Розв'язанняа) ;б) .Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від доданків, тобтоНаприклад.Обчислити:а) ; б) .Розв'язанняа)б)

content: Правила знаходження первісних (правила інтегрування)2. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі, то kF – первісна для функції .Наприклад.Знайти первісну для функції:а) ; б)Розв'язанняа) ;б)Сталий множник виноситься за знак інтеграла, тобто , де k – стала.Наприклад. Обчислити:а) ; б) .Розв'язанняа)б)

content: 3. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі , то - первісна для функції .Наприклад. Знайти первісну для функції:а) ; б) .Розв'язанняа) ;б) .Наприклад. Обчислити:а) ; б) .Розв'язанняа)б)Правила знаходження первісних (правила інтегрування)

content: Криволінійна трапеція та її площаКриволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід'ємної на відрізку функції, віссю Ох і прямими x=a і x=b.Наприклад.Теорема. Нехай - непарна і невід'ємна на відрізку функція, а S – площа відповідної криволінійної трапеції.Якщо - первісна для на інтервалі, що містить відрізок , то .Наприклад. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: , , x=0, .Розв'язання- синусоїда; - вісь Ox; x=0 – вісь Оу; - пряма, що проходить черезточку паралельно осі Оу.Для функції первісною є a=0, b = .Нехай S - шукана площа, тоді .(кв. од.)Відповідь: 2 кв. од.

content: Визначений інтеграл- неперервна на проміжку І;- первісна для на проміжку І;- приріст первісної.Число називається визначеним інтегралом від a до b від функції , ,Позначається:

content: Формула Ньютона - Лейбніца- підінтегральна функція;- підінтегральний вираз;a - нижня межа інтегрування;b - верхня межа інтегрування;x – змінна інтегрування.Основні властивості визначених інтегралів2), (k – стала);1)

content: Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком функції , яка неперервна і невід'ємна на відрізку , віссю Ох і прямими x=a і x=b.Внаслідок обертання цієї криволінійної трапеції навколо осі Ох утворилося тіло, об'єм якого можна обчислити за формулою:Наприклад. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями: , , , .Розв'язання- вісь Ох;- пряма, що проходить черезточку (1;0) паралельно осі Оу;- пряма, що проходить черезточку (2;0) паралельно осі Оу;- парабола.а =1, b=2 – межі інтегрування.(куб. од.)Відповідь: куб. од.Обчислення об'ємів за допомогою визначеного інтегралах-2-112у4114

content: ЗастосуваннявизначеногоінтегралаОбчисленняплощплоскихфігурЗастосуванняв економіцій техніціОбчисленняоб'ємів тілОбчисленнявідстаніза відомимзаконом змінишвидкостіОбчисленняроботизмінноїсили тапотужностіОбчисленнякількостіелектрикита кількостітеплоти

content: Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.

content: Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

content: Застосуванняінтеграла у фізці

content: 1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості.

content: Розв'яжемо задачу:Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t 1 =1c, до t2 =3c.

content: 2. Обчислення роботи змінної сили.

content: Розв'яжемо задачу:Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м, що має квадратний переріз із стороною 2м. Густина води ρ=103 кг/м3 .

content: 3. Обчислення маси неоднорідного стержня.

content: Розв'яжемо задачу:Знайти масу стержня завдовжки 35см, якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(l)=(4l+3)(кг/м)

content: 4. Обчислення кількості електрики.

content: Розв'яжемо задачу:Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1)(A)

content: ІНТЕГРАЛ В ЕКОНОМІЦІЗагальний прибуток за час t1 можна знайти за формулою:

content: ІНТЕГРАЛ В БІОЛОГІЇСередня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за формулою:

content: ІНТЕГРАЛ В ПОБУТІЩоб каша була смачною, потрібно таке відношення води і круп:

content: Приклад 1 Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулоюf(t)= -0.0033t2 - 0.089t + 20.96, де t — робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі — 62.Розв'язання. Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці.Тому.Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:=62(-0.001∙512 -2.848 + 167.68) = 62∙164.27≈  10185 (од.).

content: Приклад 2Експериментальне встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q = 18 - 0,3v +0,003v2, де 30 ≤ v ≤110. Визначити середню витрату бензину, якщо швидкість руху 50 - 60 км/год.Розв'язання. Середня витрата бензину становить= 1/10(18∙60-0.3∙1800+0.003∙72000-18∙50-0.3∙1250-0.003∙41667) == 1/10(1080-540 + 216-900 + 375- 125) = 10,6 (л).Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50 - 60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину.

content: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

content: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

content: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

content: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

content: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

content: Дякую за увагу!