Презентація на тему «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

content: Презентация по алгебре на тему: «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»Над проектом работали

content: Содержание1. Применение производной к исследованию функцииа) Теорема 1б) Теорема 22. Правило нахождения интервалов монотонностиа) Пример №1б) Пример №23. Экстремумы функцииа) Теоремаб) Пример №3в) Пример №44. Викторина по пройденной теме :«Верно ли?»5. Ответы

content: Применение производной к исследованию функции1) промежутки возрастания,убывания3) наибольшее и наименьшеезначение функции2) точки экстремума и значениефункции в этих точках4) построение графика функции

content: Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.убывающаявозрастающая

content: Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.Теорема 1.

content: Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).Теорема 2.

content: Находим область определения функции f(x).Вычисляем производную f'(x) данной функции.Находим точки, в которых f'(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.Исследуем знак f'(x) на каждом интервале. Если f'(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f'(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.Правило нахождения интервалов монотонности

content: Область определения: R. Функция непрерывна.Вычисляем производную : y'=6x²-6x-36.Находим критические точки: y'=0.x²-x-6=0Д=1-4×(-6)×1=1+24=25Делим область определения на интервалы:Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5++--23

content: Область определения: R. Функция непрерывна.Вычисляем производную : y'=3x²-6x.Находим критические точки: y'=0.x²-2x=0x(x-2)=0x1=0 и x2=2Делим область определения на интервалы:Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²--+2

content: Экстремум функции.Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума.Точками экстремума функции могут быть только её критические точки (внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками  этой функции).

content: Достаточное условие существования экстремума функции:Теорема. Если производная f'(x) при переходе через критическую точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x).Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума функции f(x).Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума функции f(x).3) Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.11

content: Область определения: R. Функция непрерывна.Вычисляем производную : y'=-6x²-6x+12.Находим критические точки: y'=0.-x²-x+2=0Д=1-4*(-1)*2=1+8=9x1=1; x2=-2Делим область определения на интервалы:x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4--+-21

content: Пример №4. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.Решение:Находим область определения функции: D(y)=R.Находим производную: y'=(x2+2)'=2x.Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.+-

content: Верно ли?1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит она возрастает на [-7; 8]. Верно ли?2. Производная функции в точке х0 равна 0, значит х0 - критическая точка. Верно ли?3. Производная функции не существует в точке х0, значит х0 - критическая точка. Верно ли?4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?

content: ОтветыНе верноВерноВерноНе верноВерно