Презентація на тему «Степенные функции»

content: Степенные функцииПодготовили

content: Эпиграфом нашего урока являются слова А. Эйнштейна:“Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению,что природа является осуществлением того,что математически проще всего представить”.

content: План:1.Введение (определение)1.1 Область определения1.2 Рациональный показатель степени1.3 Свойства2 Комплексная функцияЛитератураПримечания

content: Нам знакомы функцииу = ххуу = х2хуу = х3хухуПрямаяПараболаКубическаяпараболаГипербола

content: Степенными функциями называются функции вида у = хr, где r – заданное рациональное числоВведение

content: 1.1. Область определенияЕсли показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x > 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе нуль является её особой точкой.

content: 1.2. Рациональный показатель степениГрафики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При a = 1 получается функция y = kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.Графики функций вида y = x − n, где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a = − 1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.Если , то функция есть арифметический корень степени n.Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: T = kA3 / 2 (полукубическая парабола).Гиперболы порядка n:n = − 1n = − 2n = − 3Параболы порядка n:n = 0n = 1n = 2n = 3n = 4Гиперболы порядка n:n = − 1n = − 2n = − 3

content: 1.3. СвойстваФункция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду, где она определена.В интервале , функция монотонно возрастает при a > 0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны.Производная функции:

content: Алгоритм решенияРассмотрим степенные функции с натуральным показателем а, принадлежащим ко множеству всех натуральных чисел. Если а≠0, то в степень а можно возвести любое действительное число. Поэтому областью определения функции у =xа является множество всех действительных чисел. С некоторыми такими степенными функциями с натуральным показателем мы уже знакомы.

content: Если а=0, то степень х0 определена для любого числа х≠0.При этом х0=1 функция у=х0 определена на множестве Х=(-∞; 0) и (0;∞) и её графиком является параллельная оси Ох прямая у=1 с одной «выколотой» точкой (0;1).

content: Если а=1, то получим функцию у = х, её графиком является прямая.

content: yx-1 0 1 2у = х2у = х6у = х4Показатель r = 2n – чётное натуральное число

content: Показатель r = 2n – чётное натуральное числохуу = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …у = х2nФункция у=х2n чётная,т.к. (–х)2n = х2nФункция убывает напромежуткеФункция возрастаетна промежуткеГрафик чётной функциисимметричен относительнооси Оу.

content: yx-1 0 1 2у = х3у = х7у = х5Показатель r = 2n-1 нечётное натуральное число

content: Показатель r = 2n-1 – нечётное натуральное числохуу = х3, у = х5, у = х7, у = х9, …у = х2n-1Функция у=х2n-1 нечётная,т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1Функция возрастает на промежуткеГрафик нечётной функции симметричен относительно начала координат – точки О.

content: yx-1 0 1 2у = х-1у = х-3у = х-5Показатель r - целое отрицательное нечётное число

content: Функция убываетна промежуткеПоказатель r = – (2n-1), где n – натуральное число1хуу = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …Функция у=х-(2n-1) нечётная,т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)Функция убывает напромежутке

content: yx-1 0 1 2у = х-4у = х-2у = х-6Показатель r –целое отрицательноечётное число

content: Показатель r = – 2n, где n – натуральное число1хуу = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …Функция у=х2n чётная,т.к. (–х)-2n = х-2nФункция возрастает напромежуткеФункция убываетна промежутке

content: yx-1 0 1 2у = х0,5у = х0,84у = х0,7Показатель r – положительное дробное число, 0 < r < 1

content: Показатель r – положительное дробное число, 0 < r < 11хуу = х0,3, у = х0,7, у = х0,12, …Функция возрастает напромежутке

content: yx-1 0 1 2у = х1,5у = х2,5у = х3,1Показатель r – положительное дробное число, r >1Функция возрастает напромежутке

content: yx-1 0 1 2у = х-1,3у = х-0,3у = х-2,3у = х-3,8Показатель r – отрицательноедробное число, r < 0

content: Показатель r – отрицательное дробное число1хуу = х-1,3, у = х-0,7, у = х-2,12, …Функция убывает напромежутке

content: Примеры решения степенных функцийФункцияГрафик функции- кубическая парабола.1) Д(f)=R;2) E(f)=R;3) Нули функции: x=04) Знакопостоянство, если x (0;+ ),, если x (- ;0)5) монотонность:Функция возрастает, если x R6)Начало отсчета- центр симметрии

content: Число a- отвечает за перемещение вдоль оси ОХ;если а 0,то влево на а единиц от 0;если а 0,то вправо на а единиц от 0.Число b-отвечает за перемещение вдоль оси OY;если b 0,то вверх на b единиц от 0 ;если b 0,то вниз на b единиц от 0.

content: График функции- гипербола.1) Д(y)=R, кроме х=02) E(y)=R, кроме y=03) Нули функции: нет4) Знакопостоянство:, если ,, если5) монотонность:Функция убывает на всей области определения6)Начало отсчета- центр симметрии.

content: Число а- отвечает за перемещение вдоль оси OX;если ,то влево на a единиц от 0;если ,то вправо на а единиц от 0.Число b- отвечает за перемещение вдоль оси OY;если ,то вверх на b единиц от 0;если ,то вниз на b единиц от 0.

content: Функция1) Д(y)=2)E(y)=3) Нули функции x=04) Знакопостоянство: ,если5) монотонность:Функция возрастает,если

content: Сегодня на урокемы расширили знанияо степенных функциях, их свойствах и графиках