Презентація на тему «Використання показникової функції»

content: Використання показникової функції

content: … природа формулює свої закони мовою математики.Галілео Галілей

content: у = у0ахПоказникова функція дуже часто реалізується в фізичних, біологічних та інших законах.В житті нерідко доводиться зустрічатися з такими фактами, коли швидкість зміни деякої величини пропорційна самій величині. В цьому випадку дана величина буде змінюватися по закону, що має вигляд:

content: Графіки спадної та зростаючої показникової функцій:За допомогою показникової функції описуються процеси природного зростання чи спадання.

content: Розмноження бактерійде a >1 – постійна величина, що характеризує швидкість росту даної колонії і залежить від біологічного виду організмів та від умов зовнішнього середовища.Колонія живих організмів (зокрема, бактерії) зростає в результаті розмноження. Якщо за рівні проміжки часу число живих організмів збільшується в одне й те саме число разів, то число N організмів по закінченні часу t після початку спостережень виражається формулоюN=na t

content: Радіоактивний розпадМ = М0(1/2)t/TКоли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується. Через деякий час залишиться половина початкової кількості речовини. Цей проміжок часу Т називається періодом напіврозпаду речовини. Через t років маса М речовини буде дорівнюватиде М 0 – початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина.Явище радіоактивного розпаду використовується для визначення віку археологічних знахідок, наприклад, визначено приблизний вік Землі, біля 5,5 млрд років.

content: Приріст капіталу в банкуде А — шукана величина, А0, — початковий вклад, Р — річний відсоток, t — розрахунковий термін.Приріст капіталу в банку здійснюється за законом природного зростання. Всім відома формула складних відсотків:А = А0(1+р/100)t

content: Ріст населенняде N0 – кількість людей при t = 0, N – кількість людей в момент часу t,а, e – постійні величини.Зміна кількості людей в країні за великий проміжок часу t описується формулою:N = N0eat

content: В природі і техніці часто можна спостерігати процеси, які проходять відповідно до законів вирівнювання, що описуються показниковою функцією.Наприклад, всі, напевно, помічали, якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко охолоджується, а потім зниження температури йде набагато повільніше.Справа в тому, що швидкість охолодження пропорційна різниці між температурою чайника і температурою навколишнього середовища. Чим меншою стає ця різниця, тим повільніше охолоджується чайник.

content: Т = (Т1 – Т0)е-kt + Т1Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т0, а температура повітря – Т1, то через t секунд температура чайника виразиться формулою:де k – число, що залежить форми чайника, матеріалу, з якого він зроблений та кількості води, що в ньому знаходиться.

content: Задача про парашутистаде m – маса парашутиста.Через деякий проміжок часу e-kt/m стане дуже маленьким числом і падіння стане майже рівномірним.При падінні тіл в безповітряному просторі їх швидкість неперервно зростає. При падінні тіл в повітрі швидкість падіння також зростає, але не може перевищити визначеної величини. Розглянемо задачу про падіння парашутиста. Якщо вважати, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння парашутиста, тобто F = kV, то через t секунд швидкість падіння буде дорівнювати:V = mg/k (1- e-kt/m)

content: Коливання маятникаОскільки множник e-kt зменшується з плином часу, то розмах коливань стає все меншим і меншимЯкщо при коливаннях маятника не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає все меншою, коливання затухають. Відхилення точки, що здійснює затухаючі коливання, виражається формулою:S = Ae-kt sin(ωt + φ0)

content: M = m(ev/v0 – 1)Багато складних математичних задач доводиться розв'язувати в теорії міжпланетних подорожей. Одною з них є задача про визначення маси палива, необхідної для надання ракеті потрібної швидкості V. Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і від швидкості V0, з якою продукти горіння витікають з ракетного двигуна. Якщо не враховувати опір повітря і земне тяжіння, то маса палива обчислюється за формулою:(формула К.Е. Ціолковського)

content: Барометрична формулаПри постійній температурі атмосферний тиск змінюється залежно від висоти над рівнем моря за законом:Р=Р0 а hде Р0 – атмосферний тиск над рівнем моря, Р – тиск на висоті h, а – деяка постійна (залежить від температури).

content: Ми  ще раз пере­коналися, що математика — це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточуючий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес. Як казав великий Ейнштейн : „Природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”.

content: Як бачите, в усіх наведених дослідженнях використовувалася показникова функція.Ось деякі з Нобелівських лауреатів, що отримали премію за дослідження в області фізики з використанням показникової функції:П'єр Кюрі – французький фізик, лауреат Нобелівської премії з фізики в 1903 році за дослідження явища радіації.Річардсон Оуен - англійський фізик, лауреат Нобелівської премії з фізики в 1928 році за роботи з вивчення терміонних явищ, і особливо за відкриття закону, що носить його ім'я.

content: Ігор Тамм — фізик-теоретик, начальник сектора конструкторського бюро № 11 (Арзамас-16), академік Академії наук СРСР, Нобелівська премія з фізики в 1958 році за дослідження теорії випромінювання Черенкова—Вавилова.Луїс Альварес - американський фізик та винахідник, дослідник ядерної фізики та космічного випромінювання. Лауреат Нобелівської премії з фізики в 1968 році.Ганнес Альфвен — шведський фізик і астроном, лауреат Нобелівської премії з фізики 1970 року за внесок у розвиток магнітогідродинаміки.Роберт Вудро Вільсон, Арно Аллан Пензіасом — американські фізики, лауреати Нобелівської премії з фізики 1978 року «за відкриття мікрохвильового реліктового випромінювання».