Презентація на тему «Комбінації геометричних тіл» (варіант 1)

content: Комбінації геометричних тіл

content: Приклади комбінації фігур

content: Можливі типи комбінацій геометричних тіл1. Многогранник і многогранник (призма вписана в піраміду,або піраміда вписана в призму, та інші)2. Многогранник і тіло обертання(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші.)3. Тіло обертання і тіло обертання(конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра,та інші.)

content: Описані навколо многогранників (призм) кулі1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.ОАВСС1В1А12. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.О1О23. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.H= О1О2 -висота призми,R- радіус кулі,r- радіус кола описаного навколооснови призми:Rкуліr

content: Описані навколо многогранників (призм) кулі(продовження)DACBA1C1D1B11. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло.О2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежитьв точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.АС1=dкулі=2RКулю можна описати навколо призмиякщо в основі лежить прямокутник,квадрат.

content: Завдання:Розв`язання:АВСС1В1А1RкуліrО1О2О3.Якщо n=6,то в основі призмиправильний шестикутник.ВО1= а - як радіус описаного кола.4.Якщо n=3,тоЯкщо n=4,тоЯкщо n=6,тоВідповідь:1. Якщо n=3, то трикутник в основі призми рівносторонній.ВО1= - як радіус описаного навколорівностороннього трикутника кола2. Якщо n=4,то в основі призми квадрат.ВО1= - як радіус описаного навколоквадрата кола.Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n=3, 2) n=4,3) n=6.

content: С1В1А1АВС1.Кулю можна вписати в пряму призму,якщо її основи є многокутниками,описаними навколо кола, а висотапризми дорівнює діаметру кулі ідіаметру цього кола.Вписані в многогранники (призми) куліО1О2О2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,лежить на середині відрізка, якийз'єднує центри кіл, вписаних в основипризми.Rr3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,вписаного в основу призми, а діаметркулі дорівнює висоті призми.4. R-радіус кулі,r- радіус кола,вписаного в основупризми,H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.

content: Завдання:Знайдіть радіус кулі,вписаної в кубз ребром 6см.Розв`язання:6смО1О2ОDACB1. Будуємо переріз куба.DACB6смО1О2ОR2. Радіус вписаної кулі дорівнюєрадіусу вписаного в квадрат АВСD кола: R=О1О2:2 = 6:2 = =3(см)Відповідь: R=3см.

content: Описані навколо пірамід куліSABC1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.О1О2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.Rкулі3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.МОО1 ┴ (АВС); М - середина SA;α ┴ SA(М α );α перетинає ОО1 в точці О1.4. Центр кулі може знаходитись:в середині піраміди;в площині основи;поза пірамідою.

content: Описані навколо пірамід кулі (продовження)SABCD1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.О1ОrRMSO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;М-середина ребра SА,МО1∩SА=О1-центр описаної куліS1┐2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр.

content: Завдання:Доведіть, що центр кулі, описаної навколо правильної піраміди,лежить на її осі.Розв`язання:АО1. Точка О-центр описаної кулі Опустимо перпендикуляр ОА з центра кулі на площину основи піраміди.2. Нехай Х - довільна вершина основи піраміди.Х3. За теоремою Піфагора АХ2=ОХ2-ОА2=R2-OA2.Таким чином, АХ одне і те саме для будь-якої вершини основи піраміди. А це означає, що точка А є центром кола,описаного навколо основи піраміди. Отже центр кулі лежить на осі піраміди, що і потрібно було довести.R

content: Вписана в піраміду куля1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.О1КВАСSО1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС);О1К=r (радіус кулі), О1К ┴(SАС).2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.ОSО - висота піраміди, О - центр кола,вписаного в основу піраміди, О1О=r.M┐┐МО1 - бісектриса SМО.SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі .ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.

content: Завдання:Висота правильної чотирикутної піраміди 3см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°.З найдіть радіус кулі вписаної в піраміду.Розв`язання:M┐┐О1SО60º3. Із прямокутного трикутникаОSM ОM=SOctg60°= (cм).4. Із прямокутного трикутникаОО1M ОО1=МOtg30°= 1(cм).Відповідь: r = 1см.1. SO=H=6см - висота піраміди;О1- центр вписаної кулі; О1О = r -радіус вписаної кулі; SМО=60º.2. МО1 - бісектриса SМО, томуО1МО=30º.

content: Циліндр, вписаний у кулю2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.О2О1О3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра.4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.АВСD5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.ОАСD6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі.B1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5H)2 + r2AD= R-радіус куліDE=r-радіус циліндраH-висота циліндраErR

content: Завдання:У кулю вписано рівностороннійциліндр(висота циліндра дорівнює його діаметру). У скільки разів площа великого круга кулі більша за площу основи циліндра?О1О2ОАВРозв`язання:2. S осн.ц.=π rц21. АВ=О1О2=Нц=2rц3. Із прямокутного рівнобедреного трикутникаОО1В ОВ=Rк=rц4. Sк=π (rц ) 2 = 2π rц25. Sк: Sос.ц.=( 2π rц2):( π rц2)=2Відповідь: у 2 рази.

content: Циліндр, описаний навколо куліОО1О22. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла.5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1О2= dкулі4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.rцОRABCDDCBAHRкКуля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.

content: RКонус, вписаний в кулю1. Вершина конуса S лежить на сфері.S2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.АВОS4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі.O15. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса.O1C3.Трикутник АОS-рівнобедренийКут АСО-прямийАС=СS, R-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса,R2=(H-R)2+r2rH

content: Завдання:У рівносторонній циліндр вписано кулю радіуса R,а в неї вписано рівносторонній конус(осьовий переріз конуса – правильний трикутник). Знайдіть відношення площ бічних поверхонь циліндра і конуса.Розв`язання:О1О2О3ОВАС1. Будуємо осьовий переріз циліндра.2rконусаrконусаR2. R- радіус описаного навколо рівностороннього трикутника із стороною 2rконусаR =3. Sц =2πRH=4πR2= πr24. Sк=πrl=2πr25. Sц: Sк=8:3Відповідь: 8:3.

content: Куля , вписана в конусSO2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло.SABO14. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB.R1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,що лежить в площині, паралельній основі конуса.HrOR-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса

content: Завдання:Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити радіус, висоту і твірну конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі r. Обчислити, якщо r = 6см, α=60 °.SOABРозв`язання:1. Будуємо осьовий переріз конуса.ABО1О1SOαr┐┐4. Із АSО( О=90°):Hц=SO=AO tgα = r tgα ctg 6( )2=18(cм);SA=AO: cosα = rctg : cosα = 6 : = 12 (см) - твірна.Відповідь:Rц =6 см,Hц=18см,SA=12 .2. У рівнобедреному ASBЦентр О1 вписаного колалежить на висоті SO. ОскількиО1О АВ, то О - точка дотикувписаної кулі до основи конуса.за умовою, О1О=r. Центромкола,вписаного в трикутник,єточка перетину його бісектрис.Тому, О1АО == rctg = 6ctg30° =6 (cм)3. Із АО1О( О=90°):Rц= ОА = О1Оctg

content: Циліндр описаний навколо призми1. Циліндр називається описаним навколопризми,якщо його основи - круги, описанінавколо основ призми,а твірні збігаються з ребрами призми.2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.HцR3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола описаного навколо основи призми.Завдання:У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані і віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.Розв`язання:1. Бічні грані призми - квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного у коло, дорівнює радіусу.RRR2. Бічні ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані і віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю і бічним ребром.Оскільки грані – квадрати, то цей кут дорівнює 45º.Відповідь: 45°.

content: Циліндр вписаний в призму2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого -круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми.3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.Hцr4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми.1. Дотичною площиною до циліндра називається площина,яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.α ┴ β.О1О2αβ

content: Піраміда вписана в конусS1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а твірні збігаються з ребрами піраміди.НО2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині.R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола.RЗавдання:Усі бічні ребра піраміди рівні Доведіть,що вона вписана у деякий конус.Розв`язання:1. SO- перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи;SA- довжина бічного ребра.А2. Вершини основи віддалені від точки О на одну й ту ж відстань3. Звідси випливає,що наша піраміда вписана в конус, вершина якого є вершиною піраміди, а основа - круг з центром О і радіусом R, що і потрібно було довести.

content: 2. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи.Конус вписаний в пірамідуS1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.Дотичною площиною до конуса називається площина,яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.НОr┐

content: Конус вписаний у циліндрО1О1. Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, вершина конуса – центр верхньої основи циліндра.2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються.RЗавдання:Знайти висоту описаного навколо конуса циліндра, якщо твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 30º і дорівнює 8 см.Розв`язання:А30º1. В прямокутному трикутнику ∆ АОО1: кут О1АО дорівнює 30º, як кут між похилою та площиною основи.8 см2. Катет, який лежить проти кута в 30º вдвічі менше гіпотенузи. Тому висота циліндра дорівнює 8:2=4(см).Відповідь: 4 см.

content: Об'єми тілДля простих тіл об'єм(V) - це додатна величина,числове значення якої має такі властивості:V1V2=1. Рівні тіла мають рівні об'єми.VV1V2=+2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами,то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.3. Об'єм куба,ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.1(мм,см,м..)V=1 (мм3,см3,м3..)

content: Об'єм призми1. Об'єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.Vпр=SоснH.SоснH2. Для прямокутного паралелепіпедаV=abc, де a, b, c- його виміри.abc3. Для куба V=а3, де а- довжина ребра.a4.Для похилої призми об'єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного та довжини бічного ребра.V=Ql.┐lQ

content: Об'єм пірамідиSНО1. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площіїї основи та висоти: V= SоснH.2.Об'єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.Sосна1а2V1V2V1:V2=(a1)3:(a2)3

content: Об'єми круглих тіл1.Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.Vц= SоснHVц= πR2H.2.Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.Vц= SоснHVц= πR2H.НSосн3.Об'єм куліVк= πR3.НRVкульового сегмента=πH2(R- )Vкульового сектора= πR2H

content: Тестові завдання1.Навколо кулі, радіусом 2см, описано куб. Знайти об`єм куба.а) 8см3 б)16см3 г) 128см3в) 64см32. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 6см і 4см. Більша сторона прямокутника є твірною циліндра.Знайти об`єм циліндра.б) 12πсм3 tв) 48πсм3 tг)12см3а) 24πсм33. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 5см і 8см.Знайти об`єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10см.а) 400см3 tв) 130см3 t г) 390см3б) 200см34. Прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см обертається навколо більшого катета. Знайти об`єм тіла обертання.а) 48πсм3 tв) 36πсм3 tг) 15πсм3б) 12πсм35. Основою піраміди є ромб зі стороною 5см і висотою 4см.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9см.а) 90см3 t б) 180см3 t в) 54см3г) 60см3

content: Тестові завдання6. Об'єм кулі дорівнює πсм3. Знайти її діаметр.а) 4см б) 1см г) смв) 2см7. Прямокутник із стороною а і діагоналлю d обертається навколо даної сторони. Визначити об`єм тіла обертання.б) π(d2+a2)a в) πa2d г) πa2 см3а) π(d2-a2)a8. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник зі стороною а Визначити об`єм конуса.а) в) г)б)9. Сторона основи правильної трикутної призми а, а бічне ребро . Визначити об`єм призми.а) в) г)б)10. Основою піраміди є ромб з діагоналями d1 і d2.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює h.а) б) в)г)

content: ЛітератураПрограма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи-К.Ірпінь,2005.Г.П. Бевз, В.П. Бевз, Математика 11клас для загальноосвітніх закладів, рівень стандарт,Київ,”Генеза”,2011.Г.В. Апостолова, Геометрія 11, підручник для загальноосвітніх закладів, академічний, профільний рівень,Київ,”Генеза”,2011.М.Я.Забелишевська, Математика ЗНО 2009,Київ,”Літера” ЛТД,2009.-320стр.А.М. Чекова, Геометрія в таблицях. 7-11 класи. Навч. посібник, Харків:Науково-методичний центр, 2003.-168 с.Л.С. Сухарева, Геометрія. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести,Харків, “Основа”,2008.