| {"id": "AST mathematics - 109 - 2", "question": "有 $A, B$ 兩個箱子, 其中 $A$ 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球, $B$ 箱有 8 顆白球與 2 顆監球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）:\n(一) 先在 $A$ 箱中抽取一球, 若抽中紅球則停止, 若抽到白球則再從 $B$ 箱中抽取一球;\n(二) 先在 $B$ 箱中抽取一球, 若抽中藍球則停止, 若抽到白球則再從 $A$ 箱中抽取一球;\n(三) 同時分別在 $A, B$ 箱中各抽取一球。\n給獎方式為: 在紅、藍這兩種色球當中, 若只抽到紅球得 50 元獎金; 若只抽到藍球得 100 元獎金; 若兩種色球都抽到, 則仍只得 100 元獎金; 若都沒抽到, 則無獎金。將上列 (一)、(二)、(三) 這 3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為 $E_{1} 、 E_{2} 、 E_{3}$, 試選出正確的選項。", "correct_choices": ["$E_{2}=E_{3}>E_{1}$"], "incorrect_choices": ["$E_{1}>E_{2}>E_{3}$", "$E_{1}=E_{2}>E_{3}$", "$E_{1}=E_{3}>E_{2}$", "$E_{3}>E_{2}>E_{1}$"], "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113688", "source": "AST mathematics - 109"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}} | |
| {"id": "AST mathematics - 111 - 5", "question": "坐標平面上有一圖形 $\\Gamma$, 其方程式為 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=101$ 。試選出正確的選項。", "correct_choices": ["$\\Gamma$ 與 $x$ 軸負向、 $y$ 軸負向分別交於 $(-9,0)$ 、 $(0,-9)$", "$\\Gamma$ 上的點與原點距離的最大值為 $\\sqrt{2}+\\sqrt{101}$", "$\\Gamma$ 經旋轉線性變換後, 其圖形仍可用一個不含 $x y$ 項的二元二次方程式表示"], "incorrect_choices": ["$\\Gamma$ 上 $x$ 坐標最大的點是點 $(11,0)$", "$\\Gamma$ 在第三象限的點之極坐標可用 $[9, \\theta]$ 表示, 其中 $\\pi<\\theta<\\frac{3}{2} \\pi$"], "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.114738", "source": "AST mathematics - 111"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}} | |
| {"id": "AST mathematics - 112 - 3", "question": "試問極限\n$$\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n^{2}}\\left(\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times 1^{2}}+\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times 2^{2}}+\\cdots+\\sqrt{4 n^{2}+9 \\times(n-1)^{2}}\\right)\n$$\n的值可用下列哪一個定積分表示?", "correct_choices": ["$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4+x^{2}} d x$"], "incorrect_choices": ["$\\int_{0}^{3} \\sqrt{1+x^{2}} d x$", "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{1+9 x^{2}} d x$", "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4+9 x^{2}} d x$", "$\\int_{0}^{3} \\sqrt{4 x^{2}+9} d x$"], "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113942", "source": "AST mathematics - 112"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}} | |
| {"id": "AST mathematics - 107 - 7", "question": "設 $O$ 為複數平面上的原點, 並令點 $A, B$ 分別代表複數 $z_{1}, z_{2}$, 且滿足 $\\left|z_{1}\\right|=2,\\left|z_{2}\\right|=3$, $\\left|z_{2}-z_{1}\\right|=\\sqrt{5}$ 。若 $\\frac{z_{2}}{z_{1}}=a+b i$, 其中 $a, b$ 為實數, $i=\\sqrt{-1}$ 。試選出正確的選項。", "correct_choices": ["$\\cos \\angle A O B=\\frac{2}{3}$", "$a>0$"], "incorrect_choices": ["$\\left|z_{2}+z_{1}\\right|=\\sqrt{23}$", "$b>0$"], "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.114419", "source": "AST mathematics - 107"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}} | |
| {"id": "AST mathematics - 109補 - 4", "question": "設二階方陣 $M$ 為在坐標平面上定義的線性變換, $O$ 為原點。已知 $M$ 可將不共線的三點 $O 、 A 、 B$ 映射至不共線的三點 $O 、 A^{\\prime} 、 B^{\\prime}$, 試選出正確的選項。", "correct_choices": ["$M$ 為可逆矩陣", "若 $M$ 將點 $C$ 映射至點 $C^{\\prime}$ 且 $\\overrightarrow{O C}=2 \\overrightarrow{O A}+3 \\overrightarrow{O B}$, 則 $\\overrightarrow{O C^{\\prime}}=2 \\overrightarrow{O A^{\\prime}}+3 \\overrightarrow{O B^{\\prime}}$", "$\\triangle O A^{\\prime} B^{\\prime}$ 的面積 $=\\triangle O A B$ 的面積 $\\times|\\operatorname{det}(M)|$"], "incorrect_choices": ["$\\angle A O B=\\angle A^{\\prime} O B^{\\prime}$", "$\\overline{O A}: \\overline{O B}=\\overline{O A^{\\prime}}: \\overline{O B^{\\prime}}$"], "metadata": {"timestamp": "2024-01-09T01:16:58.113454", "source": "AST mathematics - 109補"}, "human_evaluation": {"quality": "", "comments": ""}} | |