Discusión:Doble producto vectorial

message: No se que se intenta representar por a^b^c en la imagen, si lo que se intenta representar es el volumen dctores es el producto mixto de esos 3 vectores  que es el producto escalar de un vector por el vector producto vectorial de los otros dos.
--Manuel 91 (discusión) 12:06 13 ene 2010 (UTC)

message: Si a y b no son perpendiculares, se puede descomponer a b en una componente paralela y otra perpendicular a a:
:\vec{b}=\vec{b}'+k\vec{a}\quad k\in\mathbb{R}\land\vec{b}'\bot\vec{a} (ver Descomposiciones de un vector)
Reemplazo b en el primer miembro de (*) y obtengo:
:(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=[\vec{a}\times(\vec{b}'+k\vec{a})]\times\vec{c}=[\vec{a}\times\vec{b}'+\vec{a}\times k\vec{a}]\times\vec{c}=(\vec{a}\times\vec{b}')\times\vec{c}
que es de la misma forma que (*), entonces puedo desarrollarlo así:
:(\vec{a}\times\vec{b}')\times\vec{c}=(-\vec{b}'\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}'
A su vez, como \vec{b}=\vec{b}'+k\vec{a} entonces \vec{b}'=\vec{b}-k\vec{a} y queda:
:(-\vec{b}'\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}'=[-(\vec{b}-k\vec{a})\cdot\vec{c}]\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{b}) (\vec{b}-k\vec{a})
El producto escalar es distributivo, por lo tanto:
:[-(\vec{b}-k\vec{a})\cdot\vec{c}]\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{b}) (\vec{b}-k\vec{a})=[-\vec{b}\cdot\vec{c}-k\vec{a}\cdot\vec{c}]\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{c})k\vec{a}=
=(-\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}+(k\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{c})k\vec{a}=(-\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} (ver el apartado II)
:\therefore(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(-\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}
Que es la fórmula general y vale para cualquiera sean los vectores a, b y c.--186.108.79.126 (discusión) 20:11 24 may 2013 (UTC)
thread_title:  Fórmula general 

message: I) Sean u, v y w vectores en el espacio, se cumple que: (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}
Demostración
Desarrollemos el determinante correspondiente en el segundo miembro:
:(\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}=\begin{vmatrix}
w_x & w_y & w_z \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z
\end{vmatrix}
Si se efectúan dos permutaciones entre filas, podemos llegar al determinante del primer miembro fácilmente:
:\begin{vmatrix}
w_x & w_y & w_z \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
u_x & u_y & u_z \\
w_x & w_y & w_z \\
v_x & v_y & v_z
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
w_x & w_y & w_z
\end{vmatrix}=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}
Q.E.D.
II) Sean u y v dos vectores en el espacio y k una constante real, se cumple que: (k\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{v})k\vec{u}
Demostración
Desarrollaré el segundo miembro de la igualdad para demostrar que es idéntico al primero. Basta expresar a los vectores con sus componentes genéricas y efectuar los productos:
:(\vec{u}\cdot\vec{v})k\vec{u}=[(u_x,u_y,u_z)\cdot(v_x,v_y,v_z)]k(u_x,u_y,u_z)=(u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z )k(u_x,u_y,u_z)
k y la suma dentro del primer paréntesis son números reales y pueden multiplicarse de la siguiente manera:
:(u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z )k(u_x,u_y,u_z)=(ku_x v_x+ku_y v_y+ku_z v_z )(u_x,u_y,u_z)
Expresión que, agrupada de manera conveniente, queda:
:(ku_x v_x+ku_y v_y+ku_z v_z )(u_x,u_y,u_z)=[(ku_x)v_x+(ku_y)v_y+(ku_z)v_z ](u_x,u_y,u_z)
Esta última expresión entre corchetes es equivalente al producto escalar entre los vectores ku y v:
:[(ku_x)v_x+(ku_y)v_y+(ku_z)v_z ](u_x,u_y,u_z)=[(ku_x,ku_y,ku_z)\cdot(v_x,v_y,v_z)](u_x,u_y,u_z)=
=[k(u_x,u_y,u_z)\cdot(v_x,v_y,v_z)](u_x,u_y,u_z)=(k\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}
Q.E.D.
--186.108.79.126 (discusión) 20:12 24 may 2013 (UTC)
thread_title:  Algunas aclaraciones 

message: Este artículo debería ser enlazado en uno solo que diga Triple producto junto con Triple producto escalar. Ceancata (discusión) 13:31 11 jun 2013 (UTC)
thread_title:  Triple producto