Discusión:Límite de una función

message: Contenido en traducción	
== Definición formal ==
La imagen de ejemplo tiene pinta de estar dibujada con Paint. Alguien puede editar otra con Matlab, Maple, Derive...?
====Límite de una función en un punto====
  
Algunas veces, el límite también se define considerando valores de x distintos de p (lo que sería un límite relativo usando la definición dada -i.e., un límite considerando una restricción del dominio-). Para esta definición se tiene que:
:\lim_{x \to p}f(x) = L \Leftrightarrow \forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0}\forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0<|x-p|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
esto es un caso particular de funciones en espacios métricos en los que tanto M como N son números reales.
O escribimos:
: \lim_{x \to p}f(x) = \infty
sí y sólo si
:para cada R > 0 existe un δ > 0 tal que para todos los números reales x con 0 < |x-p| < δ, se obtiene que f(x) > R;
O escribimos:
: \lim_{x \to p}f(x) = -\infty
sí y sólo si
:para cada R < 0 existe un δ > 0 tal que para cualquier número real x with 0 < |x-p| < δ, se obtiene que f(x) < R.
Esta definición se puede simplificar usando el concepto de Proximidad, que también permite expresiones como  \lim_{x \to +\infty}f(x) = L. Escribimos:
: \lim_{x \to p}f(x) = L  
   donde: x\in\overline{\mathbb{D}} y p;L\in\tilde{\mathbb{R}}
   sí y sólo si
   \forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in\mathbb{D}}\ x\in B_{\delta}(p)\Rightarrow f(x)\in B_{\varepsilon}(L)
Si, en las definiciones se utiliza x-p en lugar de |x-p|, entonces tenemos el límite lateral por la derecha, cuya notación es limx→p+.  Si se utiliza p-x, entonces se tiene el límite lateral por la izquierda, cuya notación es limx→p-. Consultar la entrada principal one-sided limit.  
...
Sometimes, the limit is also defined considering for x values different from p. (which would be a relative limit - that is, a limit considering a restriction to the domain - using the already given definition). For such definition we have:
:\lim_{x \to p}f(x) = L \Leftrightarrow \forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0}\forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0<|x-p|< \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
It is just a particular case of functions on metric spaces, with both M and N are the real numbers.
Or we write
: \lim_{x \to p}f(x) = \infty
if and only if
:for every R > 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < |x-p| < δ, we have f(x) > R;
or we write
: \lim_{x \to p}f(x) = -\infty
if and only if
:for every R < 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < |x-p| < δ, we have f(x) < R.
This definition can be condensed by using the concept of Neighbourhood, which also allows expressions such as  \lim_{x \to +\infty}f(x) = L. We write
: \lim_{x \to p}f(x) = L  (where x\in\overline{\mathbb{D}}
and p;L\in\tilde{\mathbb{R}})
if and only if
:\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in\mathbb{D}}\ x\in B_{\delta}(p) \Rightarrow f(x)\in B_{\varepsilon}(L)
If, in the definitions, x-p is used instead of |x-p|, then we get a right-handed limit, denoted by limx→p+.  If p-x is used, we get a left-handed limit, denoted by limx→p-. See main article one-sided limit.
====Limit of function at infinity====
Suppose f(x) is a real-valued function.  We can also consider the limit of function when x increases or decreases indefinitely.
We write
: \lim_{x \to \infty}f(x) = L
if and only if
:for every ε > 0 there exists S >0 such that for all real numbers x>S, we have |f(x)-L|<ε
or we write
: \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty
:for every R > 0 there exists S >0 such that for all real numbers x>S, we have f(x)>R.
Similarly, we can define the expressions
: \lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty, \lim_{x \to -\infty}f(x) = L, \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty.
There are three basic rules for evaluating limits at infinity for a rational function f(x) = p(x)/q(x):
* If the degree of p is greater than the degree of q, then the limit is positive or negative infinity depending on the signs of the leading coefficients
* If the degree of p and q are equal, the limit is the leading coefficient of p divided by the leading coefficient of q
* If the degree of p is less than the degree of q, the limit is 0
If the limit at infinity exists, it represents a horizontal asymptote at x = L. Polynomials do not have horizontal asymptotes; they may occur with rational functions.
===Complex-valued functions===
The complex plane with metric d(x, y) := |x-y| is also a metric space.  There are two different types of limits when we consider complex-valued functions.
====Limit of a function at a point====
Suppose f is a complex-valued function, then we write
: \lim_{x \to p}f(x) = L 
if and only if
:for every ε > 0 there exists a δ >0 such that for all real numbers x with 0<|x-p|<δ, we have |f(x)-L|<ε
It is just a particular case of functions over metric spaces with both M and N are the complex plane.
====Limit of a function at infinity====
We write
: \lim_{x \to \infty}f(x) = L
if and only if
:for every ε > 0 there exists S >0 such that for all complex numbers |x|>S, we have |f(x)-L|<ε
test
===Limit of a function of more than one variable===
By noting that |x-p| represents a distance, the definition of a limit can be extended to functions of more than one variable.
: \lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = L  
if and only if
:for every ε > 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 <	(x,y)-(p,q)
== Definiciones complejas ==
La definicion del tema se puede notar que esta muy complejo para un niño. Falta como menos teoria y mas ejemplos sencillos. — El comentario anterior es obra de , quien olvidó firmarlo. Farisori » 04:46 20 may 2009 (UTC)
replies: text: Ciertamente no es un concepto accesible a un niño cualquiera, es un concepto muy profundo y con muchas sutilezas. Se puede dar una idea informal, pero rebajar el nivel general de la entrada haría que ésta contuviera ambigüedades y errores, además de que dejaría de cumplir su cometido de proporcionar la información a quienes ya están estudiando estos temas. --Usuario:drini 01:27 20 feb 2010 (UTC)
thread_title: EN TRADUCCIÓN

message: La definicion del tema se puede notar que esta muy complejo para un niño. Falta como menos teoria y mas ejemplos sencillos. — El comentario anterior es obra de , quien olvidó firmarlo. Farisori » 04:46 20 may 2009 (UTC)
replies: text: Ciertamente no es un concepto accesible a un niño cualquiera, es un concepto muy profundo y con muchas sutilezas. Se puede dar una idea informal, pero rebajar el nivel general de la entrada haría que ésta contuviera ambigüedades y errores, además de que dejaría de cumplir su cometido de proporcionar la información a quienes ya están estudiando estos temas. --Usuario:drini 01:27 20 feb 2010 (UTC)
thread_title:  Definiciones complejas 

message: ¡Entonces quedamos así! No creo que haga falta consultar bibliografía sobre análisis complejo ya que la definición de límite que estábamos discutiendo era sobre funciones reales, o eso supuse. De otro modo, no sé si es válido este «truco» o artificio del logaritmo, ya que cuando se considera variable compleja, el logaritmo tiene infinitas «ramas».... para más información, el que quiera, chequear Logaritmo complejo.
Gracias por ocuparte del artículo, creo que, entre todos, podemos mejorarlo y convertirlo en una buena guía de consulta, veraz y confiable.
Cordialmente,
FedeBosio (discusión) 21:48 9 ene 2015 (UTC)
thread_title:  Respuesta de respuesta 

message: la otra definición formal de límite de una función, en un punto de acumulación, debida al matemático alemán Heine, utilizando sucesiones convergentes. A ver si alguien la redacta, thanks.--X2y3 (discusión) 17:03 26 jul 2015 (UTC)
thread_title: Falta

message: Incluí un apartado con la definición de límite en términos de sucesiones... por supuesto que está abierta a correcciones. No la incluí como «definición de Heine» porque en realidad se atribuye a Heine la definición de continuidad de una función por sucesiones,que si bien está relacionado con el límite, no es lo mismo. Ante la duda consultar Sharma, J. N., Advanced Differential Calculus p. 150.
Queda además generalizar estas definiciones de límite a funciones reales de varias variables reales y funciones complejas, lo cual implicaría un cambio también en la introducción del artículo
Si estamos todos de acuerdo, agregamos las definiciones de límite para funciones escalares f: Rn→R y complejas, y generalizamos la introducción del artículo para cubrir todos los casos.
Feliz navidad y año nuevo para todos.
--fedeBosio. Pág. de discusión, mis contribuciones. 13:07 26 dic 2015 (UTC)
thread_title: Hecho