বহুপদী বন্টন

ধরা যাক X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , . . . , X K {\displaystyle {X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},...,X_{K}}} , যেখানে k > 1, হল র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলের একটি সেট যাতে k সংখ্যক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল আছে । ধরি, X 1 , X 2 , . . . , X k {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{k}} এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলগুলোর প্রত্যেকটা 0,1,2,...,n থেকে যে কোন মান গ্রহণ করতে পারে । এবং ধরি, k সংখ্যক অঋণাত্মক সংখ্যা p 1 , p 2 , p 3 , . . . , p k {\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}} আছে যাদের যোগফল হল 1(সকল সম্ভাব্যতার যোগফল ১ হবে বলে অর্থাৎ ∑ i = 1 k p i = p 1 + p 2 + p 3 + . . . + p k = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{k}=1} )। আবার k সংখ্যক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা n 1 , n 2 , n 3 , . . . , n k {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}} চিন্তা করা যাক যাদের যোগফলও হচ্ছে 1 অর্থাৎ ∑ i = 1 k n i = n 1 + n 2 + n 3 + . . . + n k = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}=n} ,যেখানে প্রত্যেক n i ( i = 1 , 2 , . . . , k ) {\displaystyle n_{i}(i=1,2,...,k)} 1 থেকে n এর মধ্যে যে কোন পূর্ণ সংখ্যামান গ্রহণ করতে পারে । যে কোন { n 1 , n 2 , n 3 , . . . , n k } {\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}\}} সেট এর জন্য যদি X 1 = n 1 {\displaystyle X_{1}=n_{1}} এবং X 2 = n 2 {\displaystyle X_{2}=n_{2}} ,... এবং X k = n k {\displaystyle X_{k}=n_{k}} যৌথভাবে হওয়ার সম্ভাবনা P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , . . . , X k = n k ) = ( n n 1 ) ( n − n 1 n 2 ) ( n − n 1 − n 2 n 3 ) . . . ( n − n 1 − n 2 − . . . − n k − 2 n k − 1 ) p 1 n 1 p 2 n 2 . . . p k n k = n ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! . . . n k ! p 1 n 1 p 2 n 2 . . . p k n k {\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{1}=n_{1},X_{2}=n_{2},...,X_{k}=n_{k})&={\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}...{\binom {n-n_{1}-n_{2}-...-n_{k}-2}{n_{k}-1}}{p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}}...{p_{k}}^{n_{k}}\\&={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}}{p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}}...{p_{k}}^{n_{k}}\end{aligned}}} হয়,তাহলে বলা যায় প্যারামিটার n এবং p 1 , p 2 , p 3 , . . . , p k {\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}} বিশিষ্ট X 1 , X 2 , . . . , X k {\displaystyle {X_{1},X_{2},...,X_{k}}} এর একটি বহুপদী যৌথবণ্টন আছে । একটু অন্যভাবে বললে , X 1 , X 2 , . . . , X k {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{k}} কে k সংখ্যক ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করে n বার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট চালিয়ে এই n বারের মধ্যে X 1 {\displaystyle X_{1}} ঘটনাটি n 1 {\displaystyle n_{1}} বার, X 2 {\displaystyle X_{2}} ঘটনাটি n 2 {\displaystyle n_{2}} বার ,এভাবে ... X k {\displaystyle X_{k}} ঘটনাটি n k {\displaystyle n_{k}} বার ( ∑ i = 1 k n i = n 1 + n 2 + n 3 + . . . + n k = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}=n} ) একসাথে ঘটার সম্ভাবনাকে উপর্যুক্ত সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে । প্যারামিটার n হল যতবার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট করা হয়েছে তার মোট সংখ্যা আর প্যারামিটার p 1 , p 2 , p 3 , . . . , p k {\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}} হল k তম ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত থাকার সম্ভাবনা (1,2,3,...,k) এই k সংখ্যক ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে বিভক্ত বলে বিবেচনা করে ) ছক্কার গুটি দিয়ে উদাহরণ দেয়া যাক । ধরা যাক, একটা ছক্কার গুটি 5 (n = 5) বার ছুঁড়ে মেরে পরীক্ষা চালানো হচ্ছে । ছক্কার গুটিতে 1,2,3,4,5,6 ( k = 6) এর যে কোনটা উঠতে পারে । অর্থাৎ আমাদের আউটকামকে আমরা 6 টা ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে ভাগ করতে পারি । 1,2 থেকে 6 পর্যন্ত যে কোনটারই ওঠার সম্ভাবনা অর্থাৎ এই 6 টা শ্রেণীর যে কোন একটা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা হল 6 ভাগের 1 ভাগ (1/6) । p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = 1 / 6 {\displaystyle p_{1}=p_{2}=p_{3}=p_{4}=p_{5}=p_{6}=1/6} আমরা ধরতে পারি , X i ( i = 1 , 2 , . . . , k = 6 ) {\displaystyle X_{i}(i=1,2,...,k=6)} হল n=5 বারের মধ্যে কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) উঠেছে অর্থাৎ কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) তম শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত ছিল তার সংখ্যা ধারণকারী র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । তার মানে X 5 {\displaystyle X_{5}} হল 5 বারের মধ্যে কয়বার 5 উঠেছে তার সংখ্যা নির্দেশক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । 5 বারের এক্সপেরিমেন্টে একটা সম্ভাব্য আউটকাম হতে পারে ( X 1 = 2 , X 2 = 1 , X 3 = 1 , X 4 = 1 , X 5 = 0 , X 6 = 0 ) , {\displaystyle (X1=2,X2=1,X3=1,X4=1,X5=0,X6=0),} এখানে n 1 = 2 {\displaystyle n_{1}=2} , n 2 = 1 {\displaystyle n_{2}=1} , n 3 = 1 {\displaystyle n_{3}=1} , n 4 = 1 {\displaystyle n_{4}=1} , n 5 = 0 {\displaystyle n_{5}=0} , n 6 = 0 {\displaystyle n_{6}=0} । সবগুলো n i {\displaystyle n_{i}} কে যোগ করলে যোগফল নিঃসন্দেহে হবে n = 5 । P ( X 1 = 2 , X 2 = 1 , X 3 = 1 , X 4 = 1 , X 5 = 0 , X 6 = 0 ) = ( 5 2 ) ( 5 − 2 1 ) ( 5 − 2 − 1 1 ) ( 5 − 2 − 1 − 1 1 ) = 5 ! 2 ! .1 ! .1 ! .1 ! .0 ! .0 ! . 1 / 6 2 . 1 / 6 1 . 1 / 6 1 . 1 / 6 1 . 1 / 6 0 . 1 / 6 0 {\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{1}=2,X_{2}=1,X_{3}=1,X_{4}=1,X_{5}=0,X_{6}=0)&={\binom {5}{2}}{\binom {5-2}{1}}{\binom {5-2-1}{1}}{\binom {5-2-1-1}{1}}\\&={\frac {5!}{2!.1!.1!.1!.0!.0!}}.{1/6}^{2}.{1/6}^{1}.{1/6}^{1}.{1/6}^{1}.{1/6}^{0}.{1/6}^{0}\end{aligned}}}