কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব হচ্ছে আর্থার কেলি ও উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে। যদি A একটি প্রদত্ত n × n ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং In  যদি n × n ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে: p A ( λ ) = det ( λ I n − A ) {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)} । এখানে det হচ্ছে নির্ণায়ক এবং λ একটি চলক। যেহেতু ( λ I n − A ) {\displaystyle (\lambda I_{n}-A)} ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো λ এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে λ এর এক চলক বিশিষ্ট n-ঘাতী বহুপদী, p A ( λ ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0   {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda +c_{0}~} । A ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক λ-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী p A ( A ) {\displaystyle p_{A}(A)} তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় p A ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + c 0 I n   {\displaystyle p_{A}(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}~} । কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ p A ( A ) = 0 {\displaystyle p_{A}(A)=\mathbf {0} } । ১ × ১ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স A = (a) এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ − a, আর তাই p(A) = (a) − a(1) = 0 উদাহরণস্বরূপ, ধরি A = ( 1 2 3 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}} । এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p ( λ ) = det ( λ I 2 − A ) = det ( λ − 1 − 2 − 3 λ − 4 ) = ( λ − 1 ) ( λ − 4 ) − ( − 2 ) ( − 3 ) = λ 2 − 5 λ − 2 {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2} কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি সঙ্গায়িত করা হয় p ( X ) = X 2 − 5 X − 2 I 2 , {\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},} তখন p ( A ) = A 2 − 5 A − 2 I 2 = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}} । আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি, A 2 − 5 A − 2 I 2 = ( 7 10 15 22 ) − ( 5 10 15 20 ) − ( 2 0 0 2 ) = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}} সাধারণভাবে কোনো ২ × ২ ম্যাট্রিক্স, A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc)। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে p ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d − b c ) I 2 = ( 0 0 0 0 ) ; {\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}};} আটিয়া, এম. এফ.; ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. (১৯৬৯), Introduction to Commutative Algebra, ওয়েস্টভিউ প্রেস, আইএসবিএন 978-0-201-40751-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Cayley–Hamilton theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "Proof of Cayley-Hamilton theorem by formal substitutions"। প্ল্যানেটম্যাথ (ইংরেজি ভাষায়)।  "The Cayley–Hamilton theorem"। ম্যাথপেইজেস (ইংরেজি ভাষায়)।