ফুরিয়ার ধারা

গণিতে ফুরিয়ার ধারা (Fourier series) এমন এক অসীম ধারা যা f পর্যায়ভুক্ত যেকোনো পর্যাবৃত্ত অপেক্ষককে (periodic function) f, 2f, 3f, ইত্যাদি পর্যায়ভুক্ত জ্যা ও সহ-জ্যা অপেক্ষকের যোগরূপে তৈরি করে। এর প্রয়োগ সর্বপ্রথম জোসেফ ফুরিয়ার (১৭৬৮ - ১৮৩০) ধাতুর প্লেটে তাপপ্রবাহ এবং তাপমাত্রার গণনার জন্য করেছিলেন। কিন্তু পরে এর ব্যবহার অনেক ক্ষেত্রে ঘটে এবং এটি বিশ্লেষণের একটি বৈপ্লবিক সামগ্রী প্রমাণিত হয়। এর সহায়তায় অত্যধিক কঠিন অপেক্ষকও জ্যা ও সহ-জ্যা অপেক্ষকের যোগরূপে তৈরি করা হয় যা থেকে এ সম্পর্কিত গাণিতিক বিশ্লেষণ অত্যন্ত সরল হয়ে যায়। তড়িৎ প্রকৌশলে - তড়িৎ তড়িৎক্ষেত্রে প্রবাহিত ধারা এবং বিভব ইত্যাদি গণনায় কম্পনের বিশ্লেষণে (যান্ত্রিক, শব্দ বা তড়িচ্চুম্বকীয় কম্পন) শব্দ, আলোর অধ্যয়ন এবং বিশ্লেষণে সঙ্কেত প্রক্রিয়াকরণে (signal processing) ছবি প্রক্রিয়াকরণে (image processing) ধরা হল, f(x), বাস্তব চল x এর একটি পর্যাবৃত্ত অপেক্ষক যার আবর্তন কাল হল 2π অর্থাৎ f(x+2π) = f(x) হলে, f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]} এই ধারাকে ফুরিয়ার ধারা বলা হয়। a 0 , a 1 , . . . {\displaystyle a_{0},a_{1},...} ও b 1 , b 2 , . . . {\displaystyle b_{1},b_{2},...} কে ফুরিয়ার গুণাঙ্ক বলা হয়। এই গুণাঙ্ক বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যা হতে পারে। a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x , {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,} a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x , {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,} b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x , {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,} ধরা হল, প্রদত্ত অপেক্ষক করাতদাঁতী অপেক্ষক (sawtooth function) যাকে নিম্নলিখিত গাণিতিক পদ হিসাবে লেখা যায়: f ( x ) = x , f o r − π < x < π , {\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {for} \quad -\pi <x<\pi ,} f ( x + 2 π ) = f ( x ) , f o r − ∞ < x < ∞ . {\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {for} \quad -\infty <x<\infty .} এই অপেক্ষকের জন্য ফুরিয়ার গুণাঙ্ক এইধরনের: a n = 1 π ∫ − π π x cos ⁡ ( n x ) d x = 0. b n = 1 π ∫ − π π x sin ⁡ ( n x ) d x = 2 ( − 1 ) n + 1 n . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=2{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.\end{aligned}}} তাহলে f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ⁡ ( n x ) , f o r − ∞ < x < ∞ . ( ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad -\infty <x<\infty .\;\;\;(*)\end{aligned}}} জোসেফ ফুরিয়ার ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ফুরিয়ার রূপান্তর (Fourier transform) মূল পর্যায় Phasor Phactory Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms Java applet shows Fourier series expansion of an arbitrary function Example problems ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১০ এপ্রিল ২০০৮ তারিখে - Examples of computing Fourier Series Fourier series explanation[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ] - A simple, non-mathematical approach Fourier Series Module by John H. Mathews Joseph Fourier - A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article