দৈব প্রক্রিয়া

দৈব প্রক্রিয়া (Stochastic process বা Random Process) বলতে সম্ভাবনা তত্ত্বে একটি দৈব ফাংশন বোঝানো হয়ে থাকে, অধিকাংশ ক্ষেত্রে যা সময় ব্যবধি (time interval) (ব্যবহারিক ক্ষেত্রে এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে সময় ধারা (time series) বলে) অথবা কোন ক্ষেত্র-অঞ্চল (region of space) ডোমেইনে (এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে দৈব ক্ষেত্র (random field) বলে) সংজ্ঞায়িত হয়ে থাকে। সময় ধারার উদাহরণ হিসেবে স্টক বাজার (stock market), বিনিময় হারের (exchange rate) উত্থান পতন, বাক-সংকেত (speech signal), অডিও ও ভিডিও সংকেত, রোগীর ইকেজি, ইইজি, রক্তচাপ, তাপমাত্রা, ইত্যাদি তথ্য; এবং দৈব চলাচলসমূহ, যেমন ব্রাউনীয় গতি (Brownian motion), দৈব চলন (random walk), ইত্যাদি উল্লেখযোগ্য। এছাড়া ব্যাকটিরিয়ার জনসংখ্যার বৃদ্ধি, তাপীয় বিশৃংখলা, বা একটি গ্যাস অণু এর চলাফেরাও এর মধ্যে পরে। দৈব প্রক্রিয়াগুলি গাণিতিক মডেল হিসাবে সিস্টেম এবং এলোমেলোভাবে পরিবর্তিত হয় বলে মনে হয় এমন দৈব ঘটনাগুলির হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। বিজ্ঞানের অনেকগুলি শাখায় এর প্রয়োগ রয়েছে যেমন জীববিজ্ঞান,রসায়ন, বাস্তুতন্ত্র, স্নায়ুবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান পাশাপাশি প্রযুক্তি এবং প্রকৌশল ক্ষেত্র যেমন চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণ, তথ্য তত্ত্ব, কম্পিউটার বিজ্ঞান, তথ্যগুপ্তিবিদ্যা এবং টেলিযোগাযোগ। দৈব ফাংশন শব্দটি দৈব প্রক্রিয়া বা এলোমেলো প্রক্রিয়া বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়,কারণ একটি দৈব প্রক্রিয়াকে কোনও ফাংশন স্পেসের এলোমেলো উপাদান হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে দৈব প্রক্রিয়াগুলি বিভিন্ন বিভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার মধ্যে এলোমেলো পদচারণা( random walks), মার্টিংএলস ( martingales), মার্কভ প্রক্রিয়া ( Markov processes), ল্যাভি প্রক্রিয়া (Lévy processes), গাউসীয় প্রক্রিয়া, (Gaussian processes) এলোমেলো ক্ষেত্র (random fields), পুনর্নবীকরণ প্রক্রিয়া (renewal processes), এবং ব্র্যঞ্চিং প্রক্রিয়া (branching processes)। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নটি সম্ভাবনা, ক্যালকুলাস, লিনিয়ার বীজগণিত, সেট তত্ত্ব এবং টপোলজির গাণিতিক জ্ঞান এবং কৌশলগুলি ব্যবহার করে পাশাপাশি গাণিতিক বিশ্লেষণের শাখা যেমন বাস্তব বিশ্লেষণ, পরিমাপ তত্ত্ব, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং কার্যকরী বিশ্লেষণও (functional analysis) ব্যবহার করে। দৈব প্রক্রিয়া হলো দৈব চলক (random variable) {Xi} এর সূচিত সংগ্রহ (indexed collection)। এর সূচক i সাধারণত বাস্তব সংখ্যার সেট R থেকে মান নেয়। বিশেষক্ষেত্রে এই সূচকের মান বিচ্ছিন্ন হয়ে থাকে, সেক্ষেত্রে সাধারণত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট {০, ১, ২, ৩, ...}। অবিচ্ছিন্ন দৈব প্রক্রিয়ায় এই সূচক অবিচ্ছিন্ন (সাধারণত স্থানাংক বা সময় বোঝাতে) হয় ও অগণন অসীম (uncountably infinite) সংখ্যক দৈব চলক পাওয়া যায়। Doob, Joseph L. (১৯৯০)। Stochastic processes (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley। পৃষ্ঠা 46, 47।  Rogers, L. C. G.; Williams, David (২০০০-০৪-১৩)। Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-107-71749-7।  Steele, J. Michael. (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications। New York, NY: Springer New York। আইএসবিএন 978-1-4684-9305-4। ওসিএলসি 853267693।  Steele, J. Michael (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-95016-7।  Marek Musiela; Marek Rutkowski (২০০৬)। Martingale Methods in Financial Modelling। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-540-26653-2।  Steven E. Shreve (২০০৪)। Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-40101-0।  Parzen, Emanuel (২০১৫-০৬-১৭)। Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Courier Dover Publications। পৃষ্ঠা ৭–৮। আইএসবিএন 978-0-486-79688-8।  Gikhman, I. I. (Iosif Ilʹich), 1918-1985. (১৯৯৬)। Introduction to the theory of random processes। Skorokhod, A. V. (Anatoliĭ Vladimirovich), 1930-2011. (Dover ed সংস্করণ)। Mineola, N.Y.: Dover Publications। আইএসবিএন 0-486-69387-2। ওসিএলসি 35262440। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (link) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অতিরিক্ত লেখা (link) Gagniuc, Paul A.,। Markov chains : from theory to implementation and experimentation। Hoboken, NJ। আইএসবিএন 978-1-119-38757-2। ওসিএলসি 982373850। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (link) Bressloff, Paul C. (২০১৪-০৮-২২)। Stochastic Processes in Cell Biology (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন 978-3-319-08488-6।  Kampen, N. G. Van (২০১১-০৮-৩০)। Stochastic Processes in Physics and Chemistry (ইংরেজি ভাষায়)। Elsevier। আইএসবিএন 978-0-08-047536-3।  Lande, Russell; Engen, Professor of Biostatistics Steinar; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik; Saether, Professor of Population Ecology Bernt-Erik (২০০৩)। Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation (ইংরেজি ভাষায়)। Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-852525-7।  Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (২০১০)। Stochastic Methods in Neuroscience (ইংরেজি ভাষায়)। OUP Oxford। আইএসবিএন 978-0-19-923507-0।  Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (২০১৩-০৭-১১)। Stochastic Processes: From Physics to Finance (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-319-00327-6।  Dougherty, Edward R. (১৯৯৯)। Random processes for image and signal processing (ইংরেজি ভাষায়)। SPIE Optical Engineering Press। আইএসবিএন 978-0-8194-2513-3।  Cover, T. M., 1938-2012,। Elements of information theory। Thomas, Joy A., (Second edition সংস্করণ)। Hoboken, N.J.। আইএসবিএন 978-0-471-74881-6। ওসিএলসি 70862892। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (link) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অতিরিক্ত লেখা (link) Baron, Michael (২০১৩-০৮-০৫)। Probability and Statistics for Computer Scientists (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন 978-1-4987-6060-7।  Katz, Jonathan; Lindell, Yehuda (২০০৭-০৮-৩১)। Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন 978-1-58488-586-3।  Baccelli, François; Błaszczyszyn, Bartłomiej (২০১০)। Stochastic Geometry and Wireless Networks (ইংরেজি ভাষায়)। Now Publishers Inc। আইএসবিএন 978-1-60198-264-3।  Theory of stochastic processes : with applications to financial mathematics and risk theory। Gusak, D. V. (Dmitriĭ Vasilʹevich)। New York: Springer। ২০১০। পৃষ্ঠা ২১। আইএসবিএন 978-0-387-87862-1। ওসিএলসি 663094112।  Skorokhod, Valeriy (২০০৫-১২-০৫)। Basic Principles and Applications of Probability Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-540-26312-8।  Lamperti, John (১৯৭৭)। Stochastic Processes: A Survey of the Mathematical Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-3-540-90275-1।  Kallenberg, Olav (২০০২-০১-০৮)। Foundations of Modern Probability (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা ২৪–২৫। আইএসবিএন 978-0-387-95313-7।  Lawler, Gregory F.; Limic, Vlada (২০১০-০৬-২৪)। Random Walk: A Modern Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-139-48876-1।  Williams, David (১৯৯১-০২-১৪)। Probability with Martingales (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-40605-5।  Applebaum, David (২০০৪-০৭-০৫)। Lévy Processes and Stochastic Calculus (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-83263-2।  Lifshits, Mikhail (২০১২-০১-১১)। Lectures on Gaussian Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-642-24939-6।  Adler, Robert J. (২০১০-০১-২৮)। The Geometry of Random Fields (ইংরেজি ভাষায়)। SIAM। আইএসবিএন 978-0-89871-693-1।  Karlin, Samuel; Taylor, Howard E. (২০১২-১২-০২)। A First Course in Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Academic Press। আইএসবিএন 978-0-08-057041-9।  Latouche, G. (Guy) (১৯৯৯)। Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling। Ramaswami, V.। Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics। আইএসবিএন 0-89871-425-7। ওসিএলসি 40163561।  Daley, D. J.; Vere-Jones, David (২০০৭-১১-১২)। An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-21337-8।  Hajek, Bruce (২০১৫-০৩-১২)। Random Processes for Engineers (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-316-24124-0।  Billingsley, Patrick (২০০৮-০৮-০৪)। PROBABILITY AND MEASURE, 3RD ED (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley India Pvt. Limited। আইএসবিএন 978-81-265-1771-8।  Brémaud, Pierre (২০১৪-০৯-১৬)। Fourier Analysis and Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন 978-3-319-09590-5।  Bobrowski, Adam (২০০৫-০৮-১১)। Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-83166-6।