ব্যাপন সমীকরণ

ব্যাপন সমীকরণ একটি প্যারাবোলিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। পদার্থবিজ্ঞানে এটি ব্রাউনিয়ান গতিতে অনেক অণু-কণার ম্যাক্রোস্কোপিক আচরণ বর্ণনা করে, যার মধ্যে রয়েছে এলোমেলো আন্দোলন এবং কণার সংঘর্ষ (ফিকের বিচ্ছুরণের বিধিগুলি দেখুন)। গণিতে এটি মার্কভ প্রক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত, যেমন এলোমেলো পদচারণা এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে যেমন বস্তু বিজ্ঞান, তথ্য তত্ত্ব এবং বায়ো ফিজিক্সে প্রয়োগ করা যায়। বিস্তৃতি সমীকরণটি প্রকৃতপক্ষে সংবহন-প্রসারণ সমীকরণের একটি বিশেষ অবস্থা, যখন বাল্ক বেগ শূন্য। সমীকরণটি সাধারণত: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∇ ⋅ [ D ( ϕ , r )   ∇ ϕ ( r , t ) ] , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},} যেখানে ϕ ( r , t ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)} হল r {\displaystyle \mathbf {r} } অবস্থানে বিচ্ছিন্ন উপাদানের ঘনত্ব ও সময় t {\displaystyle {\mathit {t}}} এবং D ( ϕ , r ) {\displaystyle {\mathsf {D}}(\mathbf {\phi } ,\mathbf {r} )} হল r {\displaystyle \mathbf {r} } অবস্থানে ϕ {\displaystyle \phi } ঘনত্বের জন্য সমষ্টিগত বিস্তরণ সহগ এবং ∇ {\displaystyle \nabla } হল ভেক্টর ডিফারেন্সিয়াল অপারেটর ডেল। যদি ব্যাপন সহগ ঘনত্বের উপর নির্ভর করে তবে সমীকরণটি ননলাইনার, অন্যথায় সমীকরণটি লিনিয়ার। উপরের সমীকরণটি প্রযোজ্য যখন ব্যাপন সহগ আইসোট্রপিক হয়; অআইসোট্রপিক প্রসারণের ক্ষেত্রে, D {\displaystyle {\boldsymbol {D}}} একটি প্রতিসম নির্দিষ্ট ধনাত্মক ম্যাট্রিক্স এবং সমীকরণটি (ত্রিমাত্রিক বিস্তারের জন্য) লিখা হয়: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j ( ϕ , r ) ∂ ϕ ( r , t ) ∂ x j ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]} যদি D {\displaystyle {\boldsymbol {D}}} ধ্রুব থাকে, তবে সমীকরণটি নীচের লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রকাশ করা যায়: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),} যা তাপ সমীকরণের অনুরূপ। কণা ব্যাপন সমীকরণটি মূলত ১৮৫৫ সালে অ্যাডলফ ফিক দ্বারা প্রতিপাদ হয়েছিল। ধারাবাহিকতা সমীকরণ থেকে ব্যাপন সমীকরণ খুব সহজে প্রতিপাদন করা যায়, যা উল্লেখ করে যে সিস্টেমের যে কোনও অংশে ঘনত্বের পরিবর্তন সিস্টেমের সেই অংশের ভিতরে এবং বাইরে উপাদানের প্রবাহের কারণেই ঘটে। কার্যকরভাবে, কোনও উপাদান তৈরি বা ধ্বংস হয় না: ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,} যেখানে j {\displaystyle \mathbf {j} } হচ্ছে বিচ্ছিন্ন উপাদানের প্রবাহ। ঘটনামূলক ফিকের প্রথম সুত্রেরর সাথে একত্রিত হয়ে ব্যাপন সমীকরণটি সহজেই এখানে থেকে প্রতিপাদ করা যায়, যেখানে বলা হয় যে সিস্টেমের কোনও অংশে বিচ্ছিন্ন উপাদানের প্রবাহ সেখানকার ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্টের সমানুপাতিক: j = − D ( ϕ , r ) ∇ ϕ ( r , t ) . {\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).} যদি প্রবাহকে বিবেচনায় নেওয়া হয় তাহলে স্মোলুচোস্কি সমীকরণ একটি উপযুক্ত সাধারণীকরণ সমীকরণ দেয়। স্থান এবং সময় উভয় ক্ষেত্রেই ব্যাপন সমীকরণ অবিচ্ছিন্ন। প্রয়োজনে স্থান, সময় বা উভয়ই আলাদা করতে পারে। শুধুমাত্র সময়কে অবিচ্ছিন্ন করলে তা ধারাবাহিক ব্যবস্থার সময়ের আংশকের প্রতিরুপ হয় এবং কোনুরুপ নতুন ঘটনাকেও ইঙ্গিত করে না। স্থানকে একা বিচ্ছিন্ন করলে গ্রিনের ফাংশন অবিচ্ছিন্ন গসিয়ান কার্নেল না হয়ে বরং বিযুক্ত গসিয়ান কার্নেলে পরিণত হয়। সময় এবং স্থান উভয় বিচ্ছিন্ন করলে এলোমেলো হাঁটা পাওয়া যায়। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্ছিন্নতা স্কিমগুলিতে অআইসোট্রপিক টেনসর প্রসারণ সমীকরণ পুনরায় লেখার জন্য প্রোডাক্ট বিধি ব্যবহৃত হয়, কারণ কেবলমাত্র প্রথম অর্ডের স্থানিক কেন্দ্রীয় পার্থক্যগুলির সাথে ব্যাপন সমীকরণের সরাসরি বিচ্ছিন্নতা চেকবোর্ড শৈল্পিকতা বাড়ায়। চিত্র ছাঁকানিতে পুনলিখিত ব্যাপন সমীকরণ: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∇ ⋅ [ D ( ϕ , r ) ] ∇ ϕ ( r , t ) + t r [ D ( ϕ , r ) ( ∇ ∇ T ϕ ( r , t ) ) ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}} যেখানে t r {\displaystyle {\rm {tr}}} ২য়‌ র‍্যাংক টেনসরের ট্রেসকে বোঝায় এবং উপরের (সুপারস্ক্রিপ্ট) ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∇ ⋅ [ D ( ϕ , r ) ] ∇ ϕ ( r , t ) + t r [ D ( ϕ , r ) ( ∇ ∇ T ϕ ( r , t ) ) ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}} ট্রান্সপোজকে বোঝায়, যেখানে চিত্র ফিল্টারিং D ( ϕ , r ) {\displaystyle {\mathsf {D}}(\phi ,\mathbf {r} )} ইমেজ স্ট্রাকচার টেনারের আইজেনভেক্টর থেকে নির্মিত প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। দুটি প্রথম ক্রম এবং একটি দ্বিতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় সসীম পার্থক্য দ্বারা স্থানিক ডেরিভেটিভগুলি অনুমান করা যায়। ২ডি (2D) আকারে ৩ × ৩ এবং ত্রিমাত্রিক (3D) ৩ × ৩ × ৩ আকারের বিভিন্ন ধরনের কার্নেল (স্টেনসিল) দিয়ে একটি চিত্র রূপান্তর হিসাবে ছড়িয়ে পড়া অ্যালগরিদম রচনা করা যেতে পারে। ধারাবাহিক সমীকরণ তাপ সমীকরণ ফোকার – প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ ফিক এর বিস্তারের আইন ম্যাক্সওয়েল – স্টেফান সমীকরণ জৈবিক টিস্যুতে ফোটন পরিবহনের জন্য রেডিয়েটিভ ট্রান্সফার সমীকরণ এবং প্রসার তত্ত্ব স্ট্রিমলাইন প্রসার সংশ্লেষের সংখ্যাগত দ্রবণ। ব্যাপন সমীকরণ Fick, Adolf (১৮৫৫)। "Ueber Diffusion": 59–86। আইএসএসএন 0003-3804। ডিওআই:10.1002/andp.18551700105।  ব্যাপন কারসলাও, এইচ.এস. এবং জাগার, জে.সি. (১৯৫৯), সলিডসে তাপ সঞ্চালন, অক্সফোর্ড: ক্লেরেডন প্রেস ক্র্যাঙ্ক, জে. (১৯৫৬) ডিফিউশন এর গণিত, অক্সফোর্ড: ক্লেরেডন প্রেস ম্যাথিউস, জোন; ওয়াকার, রবার্ট এল. (১৯৭০), পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক পদ্ধতি (২ য় সংস্করণ) , নিউ ইয়র্ক: ডব্লিউএ বেনজমিন, আইএসবিএন ০-৮০৫৩-৭০০২-১ থম্বিনায়াগম, আরকে এম (২০১১), ডিফিউশন হ্যান্ডবুক: ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য ব্যবহারিক সমাধান, ম্যাকগ্রা-হিল সিলিকনে অমেধ্য এবং ডোপেন্টের জন্য ডিফিউশন ক্যালকুলেটর ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২ মে ২০০৯ তারিখে ব্যাপন সমীকরণের পিছনে তত্ত্ব এবং সমাধানের একটি টিউটোরিয়াল। চিরায়ত এবং ন্যানোস্কেলের বিস্তৃতি (চিত্র ও অ্যানিমেশন সহ)