টালিকরণ

কোন সমতলের টালিকরণ (ইংরেজি: tessellation টেসেলেশন) বলতে এক বা একাধিক জ্যামিতিক আকৃতির টালি দ্বারা তলটিকে এমনভাবে আবৃত করা বোঝায় যাতে টালিগুলির মাঝে কোন ফাকঁ বা উপরিপাতন না হয়। গাণিতিকভাবে টালিকরণ আরও উচ্চতর মাত্রার এবং নানা প্রকারের জ্যামিতিক আকৃতির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। পর্যায়ক্রমিক টালিকরনের পুনরাবৃত্তমুলক বিন্যাস থাকে। কিছু বিশেষ ধরনের গুলোতে একই জ্যামিতিক আকৃতির নিয়মিতরুপে ব্যবহার করা হয় এবং অর্ধনিয়মিত টালিকরনে একাধিক জ্যামিতিক আকৃতির মাধ্যমে নিয়মিত টালিসমুহ থাকে যাতে ধার সমুহ অভিন্যভাবে বিন্যাস্ত থাকে। পর্যায়ক্রমিক টালিকরনের যে সাম্ভাব্য বিন্যাস সমূহ আছে তাকে ১৭ টি ভিন্ন ওয়ালপেপার গ্রুপে (wallpaper group) শ্রেণীভুক্ত করা যায়। কোন টালিকরণ এ নিয়মিত বিন্যাস না থাকলে তাকে "অ-পর্যায়ক্রমিক" বা "অ-পর্যাবৃত্ত" বলা হয়। "অ-পর্যায়ক্রমিক" বা "অ-পর্যাবৃত্ত" কিছু ছোট আকারের টালি ব্যবহার করে গঠিত হয় যা পুনরাবৃত্তমুলক বিন্যাস তৈরি করতে পারে না। উচ্চমাত্রার জ্যামিতিতে স্পেস ফিলিং (স্থান-ভরাটকারী, space-filling) অথবা মৌচাক (honeycomb) কে স্থানের টেসেলেশন বলা হয়। একটি প্রকিত বাস্তব টেসেলেশন চৌকা / চতুর্ভুজ বা ষড়ভুজ আকৃতির সিরামিকের (চীনামাটি) টুকরো সিমেন্টের (চূণামাটি) মাধ্যমে টালি করে গঠন করা যায়। এরকম টালির দৃষ্টিনন্দন বিন্যাস থাকে বা এগুলো টেকসই ও পানি / জল রোধী পথ, মেঝে বা দেয়ালের অংশবিশেষ তৈরিতে সহায়ক। ঐতিহাসিকভাবে, টেসেলেশন প্রাচিন রোম ও ইসলামিক শিল্পকলা যেমন আহমেদাবাদের প্রাসাদের সাজসজ্জায় ব্যবহারিত জ্যামিতিক টালিতে ব্যবহারিত হয়েছে। বিংশ শতাব্দীতে, এম. সি. এশ্যর (M. C. Escher) তার কাজসমুহে প্রায়শই ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি এবং পরাবৃত্তীয় (হাইপারবলিক, hyperbolic) জ্যামিতি উভয় উপায়ে টেসেলেশন এর ব্যবহার করেছেন শৈল্পিকতা দেবার জন্য। টেসেলেশন অনেক ক্ষেত্রে তোশককে (quilting) আকর্ষণীয় করতে ব্যবহার করা হয়। টেসেলেশন প্রাকিতিতে বিভিন্য বর্গের বিন্যাসে দেখা যায়, উদাহরণ স্বরূপ মৌচাকের প্রতিটি ষড়ভুজ আকৃতির কোষের বিন্যাস। সুমেরীয়গন খ্রীষ্টজন্মের পূর্বে ৪০০০ সনে দেয়াল সজ্জার জন্য টালিকরণ পদ্ধতিতে মাটির টালির ব্যবহার করেন। পুরাকালের নিদর্শন সমুহে নান্দনিক মোজাইক টালির কাজে tessera নামে ছোট চৌকা / চারকোণা / চতুর্ভুজাকার টুকরোর ব্যবহার প্রায়শই লক্ষণীয়, যা কোন কোন সময় জ্যামিতিক বিন্যাস প্রকাশ করে। ১৬১৯ সালে জোহানেস কেপলার (Johannes Kepler) প্রাথমিকভাবে একটি নথিভুক্ত অধ্যয়ন করেন, তিনি তার বই Harmonices Mundi এ নিয়মিত ও আধা নিয়মিত টালিকরণের ব্যাপারে লেখেন। তিনি সম্ভবত প্রথম তুষারকণা (snowflake) ও মৌচাকের ষড়ভূজ কাঠামো আবিষ্কার ও ব্যাখ্যা করেন। প্রায় ২০০ বছর পর রাশিয়ান স্ফটিকবিদ ইয়েভগ্রাফ ফুডোরভ (Yevgraf Fyodorov) প্রমাণ করেন কোন তলের যে কোন পর্যায়ক্রমিক টালিকরণে ১৭টি ভিন্য আইসোমেট্রিক গ্রুপের একটি বিদ্যমান থাকে। তার কাজ অস্বীকৃতিভাবে টালিকরণের গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা চিহ্নিত করে। অন্যান্য বিশিষ্ট অবদানকারীদের মধ্যে রয়েছেন Shubnikov and Belov (1964), এবং Heinrich Heesch এবং Otto Kienzle (1963). ল্যাটিন ভাষায়, মোজাইক তৈরিরে ব্যবহারিত ছোট আকারের ঘনক এর ন্যায় কাদামাটি, পাথর অথবা কাঁচের টুকরোকে টেসলা (tessella) বলে। "tessella" শব্দের অর্থ ছোট চৌকোণ ( যা tessera হতে এসেছে, যা পুনরায় গ্রিক শব্দ τέσσερα হতে এসেছে এর অর্থ চার)। এটি দৈনন্দিন ব্যবহারিত শব্দ টালিস্থাপন এর অনুরুপ, যা টালিকরণ-এর ব্যবহারিক প্রয়োগ নির্দেশ করে এবং চীনামাটি দ্বারা প্রস্তুত করা হয়। পুরাকালহতে স্থাপত্যশিল্পে টালিকরণ নান্দনিক নকশা তৈরিতে ব্যবহারিতো হচ্ছে। মোজাইকে কাজে প্রায়শ জ্যামিতিক সজ্জা থাকে। পরবর্তী সভ্যতা সমূহে অপেক্ষাকৃত বৃহৎ আকারের এক রঙের অথবা নকশা করা টালি ব্যবহারিত হয়েছে। মরিস এর ইসলামী স্থাপত্য কলায় ব্যবহারিত দেয়ালের টালির কাজ সবচেয়ে সুসজ্জিত এর মাঝে অন্যতম। এতে Girih and Zellige ধরনের টালিকরণ ব্যবহারিত হয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ Alhambra এবং La Mezquita. ভবনে টালির কাজ সমূহ। M. C. Escher এর শিল্পকর্মে প্রায়শ টালিকরণের প্রয়োগ দেখা যায়; তিনি Spain এ 1936 সালে অবস্থানকালে মরিস এর Alhambra এর প্রতিসম কাজ সমূহ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন। পরাবৃত্তীয় জ্যামিতির মাধ্যমে Escher চারটি "Circle Limit" শিরোনামে টালিকৃত অঙ্কন করেছিলেন। Escher তার কাঠ খোদাই এর কাজ "Circle Limit IV" (1960) এর জন্য প্রস্তুতিমূলকভাবে কালি ও পেন্সিলের চর্চা করেছিলেন যা একাজে প্রয়োজনীয় জ্যামিতির মাধ্যমে প্রকাশ পায়। বুনন ফোঁড় অথবা ছাপা আকারে বস্ত্রশিল্পে প্রায়শ টালিকরণের কাজ দেখা যায়। quilt বা কাঁথায় করা নক্সায় ব্যবহারিত পরস্পর যুক্ত হতে পারে এরুপ নানান আকৃতি মোটিফ তৈরিতে টালিকরণ ব্যবহারিত হয়েছে। টালিকরণ অরিগামি (origami) (কাগজ ভাজ করে করা কাজ) এর মূল উপায়, যেখানে পাতা সমূহ পুনরাবৃত্তভাবে পেচানো ভাঁজ একত্রে রাখবার জন্য ব্যবহারিত হয়। উৎপাদনমুখী শিল্পে টালিকরণ কাচামালের অপচয় রোধে (খরচ কমায়) যেমনঃ ধাতুর পাত কেটে পানীয় ক্যান অথবা গাড়ির দরজা তৈরির ক্ষেত্রে ব্যবহারিতো হয়। পাতলা পর্দা (থিন ফিল্ম, Thin Film) এ মাটির ফাটলের ন্যায় টালিকরণ হতে দেখা যায় - মাইক্রো (ক্ষুদ্র) এবং ন্যানো প্রযুক্তি (ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র) এর মাধ্যমে এর কিছু স্ব-সংগঠিতো রুপ ও লক্ষ করা যায়। মৌচাক প্রাকিতিতে বিদ্যমান ষড়ভুজাকার কোষের মাধ্যমে টালিকরণের একটি উৎকৃষ্ট উদাহরণ. উদ্ভিদবিদ্যায় "tessellate" শব্দটি ছককাটা বা চৌখুপী বিন্যাস নির্দেশ করে, যেমন ফুলের পাপড়ি, গাছের অথবা ফলের ছাল. fritillary এবং কিছু প্রজাতির Colchicum বৈশিষ্ট্যগতভাবে টালিকৃত হয়. অনেক প্রাকিতির নকশা এর গাঠনিক তলের ফাটলের ফলে তৈরি হয়. এরুপ নকশা সমূহ Gilbert tessellations এর মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়, একে এলোমেলো চিড়ের জাল ও বলা হয় (random crack networks). Gilbert এর টালিকরণ মাটির ফাটল, সূচের ন্যায় স্ফটিকের গঠন এবং অনুরুপ কাঠামো সমুহের জন্য একটি গাণিতিক কাঠামো। Edgar Gilbert নামে নামকরণ করা এ কাঠামো কোন তলের ফাটলকে এলোমেলো ভাবে বিস্তার লাভ করতে দেয়; প্রতিটি ফাটল এর প্রাথমিক অবস্থা হতে কোন দিকে দুটি ভিন্ন বিপরীত পথে বিস্তার লাভ করে, এর বাঁক এলোমেলো ভাবে নির্বাচন করা হয়, যা অনিয়মিত উত্তলপৃষ্ঠীয় বহুভুজ এর মাধ্যমে টালিকরণ ঘটায়। টালিকরণ অনেক ধরনের টালিকৃত ধাধার খেলার উৎপত্তি ঘটিয়েছে, যেমন চিরাচরিত জিগ-স খেলা ( jigsaw puzzle) (যাতে অনিয়মিত আকৃতির কাঠের বা কার্ডবোর্ডের ব্যবহার হয়) এবং টাংগ্রাম (tangram) থেকে শুরু করে আধুনিক পাজল খেলা যা গাণিতিক যুক্তির উপর নির্ভর করে। উদাহরণ স্বরূপ, polyiamonds এবং polyominoes যা নিয়মিত চতুর্ভুজ বা ত্রিভুজ আকৃতির হয়, প্রায়শই টালির পাজল খেলায় ব্যবহারিত হয়। বিনোদনমুলক গণিতে বিভিন্য লেখক যেমন Henry Dudeney and Martin Gardner টালিকরণের অনেক প্রয়োগ করেছেন। উদাহরণ স্বরূপ, Dudeney আবিষ্কৃত hinged dissection, Gardner এর rep-tile এর উপর লেখা, যা এমন একটি আকৃতি যাকে একই আকৃতির ছোট আকারে (জ্যামিতিকভাবে) ভাঙ্গা যায়। Scientific American প্রকাশিত Gardner's এর লেখা নিবন্ধের মাধ্যমে অনুপ্রাণিত হয়ে তরুণ গণিতজ্ঞ Marjorie Rice চারটি নতুন পঞ্চভুজ আকৃতির টালিকরণের খোঁজ পেয়েছেন। বর্গক্ষেত্রকে বর্গক্ষেত্রে মাধ্যমে টালিকরণ এমন একটি সমস্যা যাতে একটি পূর্ণ বর্গক্ষেত্রকে (যার বাহুসমূহ পূর্ণ সংখায় আছে) একাধিক পূর্ণ বর্গ দ্বারা টালিকরণ করা হয়। এর একটি বর্ধিত রুপ হিসেবে একটি তলকে এরুপ বর্গক্ষেত্র দ্বারা টালিকরণ করা হয় যার আকার স্বাভাবিক সংখ্যায় বিদ্যমান এবং যা পুনরাবৃত্তি করা হয় না; James এবং Frederick Henle প্রমাণ করেছেন এটা করা সম্ভব। ত্রিকোণাকার টালিকরণ, সমতলের নিয়মিতরুপে টালিকরণ এর তিনটি উপায়ের একটি। স্নাব ষড়ভুজ আকৃতির টালিকরণ, এটি সমতলের অর্ধনিয়মিতরুপে টালিকরণ। পুষ্পিকার ন্যায় পঞ্ছভুজাকার টালিকরণ, এটি দ্বি হতে অর্ধনিয়মিত সাম্ভাব্য ১৫ টির মধ্য একটি একতলীয় পঞ্চভুজাকার টালিকরণ। মৌচাক একটি প্রাকিতিক টালিকরণ করা কাঠাম। ভোডারবার্জ টালিকরণ, একটি সর্পিলাকার, একতলীয় টালিকরণ যা নবভুজ দ্বারা গঠিত। পরাবৃত্তিও তল এর একটি অভিন্নপর্যায়ান্বিত অষ্টভুজ অথবা ত্রি-চতুর্ভুজ টালিকরণ। Pickover, Clifford A. (২০০৯)। The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics। Sterling। পৃষ্ঠা 372। আইএসবিএন 9781402757969।  Dunbabin, Katherine M. D. (২০০৬)। Mosaics of the Greek and Roman world। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 280।  "The Brantingham Geometric Mosaics"। Hull City Council। ২০০৮। সংগ্রহের তারিখ ২৬ মে ২০১৫।  Field, Robert (১৯৮৮)। Geometric Patterns from Roman Mosaics। Tarquin। আইএসবিএন 978-0-906-21263-9।  Kepler, Johannes (১৬১৯)। Harmonices Mundi [Harmony of the Worlds]।  Gullberg 1997, পৃ. 395। Stewart 2001, পৃ. 13। Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich; Belov, Nikolaĭ Vasilʹevich (১৯৬৪)। Colored Symmetry। Macmillan।  Heesch, H.; Kienzle, O. (১৯৬৩)। Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (German ভাষায়)। Springer। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অচেনা ভাষা (link) "Mathematics in Art and Architecture"। National University of Singapore। ৭ মে ২০১৫ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১৭ মে ২০১৫।  Whittaker, Andrew (২০০৮)। Speak the Culture: Spain। Thorogood Publishing। পৃষ্ঠা 153। আইএসবিএন 978-1-85418-605-8।  Escher 1974, পৃ. 5, 17। Gersten, S. M.। "Introduction to Hyperbolic and Automatic Groups" (পিডিএফ)। University of Utah। সংগ্রহের তারিখ ২৭ মে ২০১৫। Figure 1 is part of a tiling of the Euclidean plane, which we imagine as continued in all directions, and Figure 2 [Circle Limit IV] is a beautiful tesselation of the Poincaré unit disc model of the hyperbolic plane by white tiles representing angels and black tiles representing devils. An important feature of the second is that all white tiles are mutually congruent as are all black tiles; of course this is not true for the Euclidean metric, but holds for the Poincaré metric  Leys, Jos (২০১৫)। "Hyperbolic Escher"। সংগ্রহের তারিখ ২৭ মে ২০১৫।  Escher 1974, পৃ. 142–143। Porter, Christine (২০০৬)। Tessellation Quilts: Sensational Designs From Interlocking Patterns। F+W Media। পৃষ্ঠা 4–8। আইএসবিএন 9780715319413।  Beyer, Jinny (১৯৯৯)। Designing tessellations: the secrets of interlocking patterns। Contemporary Book। পৃষ্ঠা Ch. 7। আইএসবিএন 9780809228669।  Gjerde, Eric (২০০৮)। Origami Tessellations। Taylor and Francis। আইএসবিএন 978-1-568-81451-3।  "Reducing yield losses: using less metal to make the same thing"। UIT Cambridge। ২৯ মে ২০১৫ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৯ মে ২০১৫।  Thouless, M. D. (১৯৯০)। "Crack Spacing in Brittle Films on Elastic Substrates"। J. Am. Chem. Soc.। 73: 2144। ডিওআই:10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x।  Z. C. Xia, J. W. Hutchinson "Crack patterns in thin films" J. Mech. Phys. Solids 48, 1107 (2000). ডিওআই:10.1016/S0022-5096(99)00081-2 Seghir, R.; Arscott, S. (২০১৫)। "Controlled mud-crack patterning and self-organized cracking of polydimethylsiloxane elastomer surfaces"। Sci. Rep.। 5: 14787। ডিওআই:10.1038/srep14787।  Ball, Philip। "How honeycombs can build themselves"। Nature.com। Nature। সংগ্রহের তারিখ ৭ নভেম্বর ২০১৪।  Shorter Oxford English dictionary (6th সংস্করণ)। United Kingdom: Oxford University Press। ২০০৭। পৃষ্ঠা 3804। আইএসবিএন 0199206872।  Purdy, Kathy (২০০৭)। "Colchicums: autumn's best-kept secret"। American Gardener (September/October): 18–22।  Schreiber, Tomasz; Soja, Natalia (২০১০)। "Limit theory for planar Gilbert tessellations"। arXiv:1005.0023  [math.PR]। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Gray, N. H.; Anderson, J. B.; Devine, J. D.; Kwasnik, J. M. (১৯৭৬)। "Topological properties of random crack networks"। Mathematical Geology। 8 (6): 617–626। ডিওআই:10.1007/BF01031092।  Gilbert, E. N. (১৯৬৭)। "Random plane networks and needle-shaped crystals"। Noble, B.। Applications of Undergraduate Mathematics in Engineering। New York: Macmillan।  McAdam, Daniel। "History of Jigsaw Puzzles"। American Jigsaw Puzzle Society। ১১ ফেব্রুয়ারি ২০১৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৮ মে ২০১৫।  Slocum, Jerry (২০০১)। The Tao of Tangram। Barnes & Noble। পৃষ্ঠা 9। আইএসবিএন 978-1-4351-0156-2।  Golomb, Solomon W. (১৯৯৪)। Polyominoes (2nd সংস্করণ)। Princeton University Press। আইএসবিএন 0-691-02444-8।  Martin, George E. (১৯৯১)। Polyominoes: A guide to puzzles and problems in tiling। Mathematical Association of America।  Frederickson, Greg N. (২০০২)। Hinged Dissections: Swinging and Twisting। Cambridge University Press। আইএসবিএন 0521811929।  Gardner, Martin (মে ১৯৬৩)। "On 'Rep-tiles,' Polygons that can make larger and smaller copies of themselves"। Scientific American। খণ্ড 208 নং May। পৃষ্ঠা 154–164। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Gardner, Martin (১৪ ডিসেম্বর ২০০৬)। Aha! A Two Volume Collection: Aha! Gotcha Aha! Insight। MAA। পৃষ্ঠা 48। আইএসবিএন 978-0-88385-551-5।  Suri, Mani (১২ অক্টোবর ২০১৫)। "The Importance of Recreational Math"। New York Times।  Schattschneider, Doris (১৯৭৮)। "Tiling the Plane with Congruent Pentagons" (পিডিএফ)। Mathematics Magazine। MAA। 51 (1): 29–44। ডিওআই:10.2307/2689644।  Tutte, W. T.। "Squaring the Square"। Squaring.net। সংগ্রহের তারিখ ২৯ মে ২০১৫।  Gardner, Martin; Tutte, William T. (নভেম্বর ১৯৫৮)। "Mathematical Games"। Scientific American। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Henle, Frederick V.; Henle, James M. (২০০৮)। "Squaring the plane" (পিডিএফ)। American Mathematical Monthly। 115: 3–12। জেস্টোর 27642387। ২০ জুন ২০০৬ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৭ মার্চ ২০১৮।  Coxeter, H.S.M. (১৯৭৩)। Regular Polytopes, Section IV : Tessellations and Honeycombs। Dover। আইএসবিএন 0-486-61480-8।  Escher, M. C. (১৯৭৪)। J. L. Locher, সম্পাদক। The World of M. C. Escher (New Concise NAL সংস্করণ)। Abrams। আইএসবিএন 0-451-79961-5।  Gardner, Martin (১৯৮৯)। Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-88385-521-8।  Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (১৯৮৭)। Tilings and Patterns। W. H. Freeman। আইএসবিএন 0-7167-1193-1।  Gullberg, Jan (১৯৯৭)। Mathematics From the Birth of Numbers। Norton। আইএসবিএন 0-393-04002-X।  Magnus, Wilhelm (১৯৭৪)। Noneuclidean Tesselations and Their Groups। Academic Press। আইএসবিএন 978-0-12-465450-1।  Stewart, Ian (২০০১)। What Shape is a Snowflake?। Weidenfeld and Nicolson। আইএসবিএন 0-297-60723-5।  উইকিমিডিয়া কমন্সে টালিকরণ সংক্রান্ত মিডিয়া রয়েছে। Wolfram MathWorld: Tessellation (good bibliography, drawings of regular, semiregular and demiregular tessellations) Tilings Encyclopedia (extensive information on substitution tilings, including drawings, people, and references) Tessellations.org (how-to guides, Escher tessellation gallery, galleries of tessellations by other artists, lesson plans, history) Eppstein, David। "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling"।  (list of web resources including articles and galleries) টেমপ্লেট:গাণিতিক শিল্পকলা টেমপ্লেট:টালিকরণ টেমপ্লেট:প্রাকিতিক নকশাসমূহ