ত্রিকোণমিতিক অভেদসমূহের তালিকা

ত্রিকনমিতিতে, ত্রিকোণমিতিক সুত্রসমূহ হল এমন সমীকরণ যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে জড়িত করে এবং যেগুলির জন্য সমতার উভয় দিককে সংজ্ঞায়িত করা হয় সেই চলকগুলির প্রতিটি মানের জন্য সত্য ৷ জ্যামিতিকভাবে, এগুলি এক বা একাধিক কোণের নির্দিষ্ট ফাংশন জড়িত অভেদ। এগুলি ত্রিভুজের অভেদ থেকে আলাদা, যেগুলি সম্ভাব্য কোণ জড়িত কিন্তু পার্শ্ব দৈর্ঘ্য বা ত্রিভুজের অন্যান্য দৈর্ঘ্যও জড়িত। যখনই ত্রিকোণমিতিক ফাংশন জড়িত রাশিকে সরলীকরণের প্রয়োজন হয় তখন এই সূত্রগুলি কার্যকর। একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল অ-ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির যোগজীকরণ, একটি সাধারণ কৌশলের মধ্যে প্রথমে ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে এবং তারপর ত্রিকোণমিতিক সূত্রের সাথে প্রাপ্ত অবিচ্ছেদ্যকে সরল করা হয়। সাইন এবং কোসাইন-এর মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক নিম্ন পিথাগোরীয় অভেদ দ্বারা দেওয়া হয়েছে: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,} যেখানে sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta } মানে ( sin ⁡ θ ) 2 {\displaystyle (\sin \theta )^{2}} এবং cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } মানে ( cos ⁡ θ ) 2 {\displaystyle (\cos \theta )^{2}} । এটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সংস্করণ হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং নিম্ন সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} একক বৃত্তের জন্য । এই সমীকরণটি সাইন বা কোসাইনের জন্য সমাধান করা যেতে পারে: sin ⁡ θ = ± 1 − cos 2 ⁡ θ , cos ⁡ θ = ± 1 − sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}} যেখানে চিহ্নটি θ {\displaystyle \theta } এর বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ এর উপর নির্ভর করে। এই অভেদকে sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta } , cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } , বা উভয় দ্বারা ভাগ করলে নিম্নলিখিত অভেদগুলো পাওয়া যায়: 1 + cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ csc 2 ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}} এই অভেদগুলি ব্যবহার করে যেকোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অন্য যেকোনো পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা সম্ভব । একক বৃত্ত পরীক্ষা করে, কেউ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি স্থাপন করতে পারে। যখন একটি ইউক্লিডীয় ভেক্টরের দিক একটি কোণ θ , {\displaystyle \theta ,} দ্বারা উপস্থাপিত হয় তখন এটি মুক্ত ভেক্টর (উৎপত্তি থেকে শুরু করে) এবং ধনাত্মক x {\displaystyle x} -একক ভেক্টর দ্বারা নির্ধারিত কোণ। একই ধারণা ইউক্লিডীয় স্থানের রেখার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেখানে কোণটি উৎপত্তি এবং ধনাত্মক x-অক্ষের মাধ্যমে প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল দ্বারা নির্ধারিত হয় । যদি θ {\displaystyle \theta } দিকনির্দেশ সহ একটি রেখা (ভেক্টর) α , {\displaystyle \alpha ,} দিক সহ একটি রেখা সম্পর্কে প্রতিফলিত হয় তবে দিক কোণ θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} এই প্রতিফলিত লাইনের (ভেক্টর) মান হচ্ছে θ ′ = 2 α − θ . {\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .} । এই কোণগুলির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান θ , θ ′ {\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }} নির্দিষ্ট কোণগুলির জন্য α {\displaystyle \alpha } সরল পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে: হয় তারা সমান, অথবা বিপরীত চিহ্ন আছে, বা পরিপূরক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নিয়োগ. এগুলি হ্রাস সূত্র নামেও পরিচিত৷ । ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্ন কোণের চতুর্ভুজের উপর নির্ভর করে । যদি − π < θ ≤ π {\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi } এবং sgn হয় চিহ্ন ফাংশন, তাহলে: sgn ⁡ ( sin ⁡ θ ) = sgn ⁡ ( csc ⁡ θ ) = { + 1 if     0 < θ < π − 1 if     − π < θ < 0 0 if     θ ∈ { 0 , π } sgn ⁡ ( cos ⁡ θ ) = sgn ⁡ ( sec ⁡ θ ) = { + 1 if     − 1 2 π < θ < 1 2 π − 1 if     − π < θ < − 1 2 π     or     1 2 π < θ < π 0 if     θ ∈ { − 1 2 π , 1 2 π } sgn ⁡ ( tan ⁡ θ ) = sgn ⁡ ( cot ⁡ θ ) = { + 1 if     − π < θ < − 1 2 π     or     0 < θ < 1 2 π − 1 if     − 1 2 π < θ < 0     or     1 2 π < θ < π 0 if     θ ∈ { − 1 2 π , 0 , 1 2 π , π } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}} ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সাধারণ সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয় 2 π , {\displaystyle 2\pi ,} তাই ব্যবধানের বাইরে θ এর মানের জন্য ( − π , π ] , {\displaystyle ({-\pi },\pi ],} > তারা পুনরাবৃত্তির মান নেয় (উপরে § Shifts এবং পর্যায়ক্রম দেখুন)। এগুলি কোণ যোগ এবং বিয়োগ উপপাদ্য (বা সূত্র) নামেও পরিচিত। sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}} sin ⁡ ( α − β ) {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} এবং cos ⁡ ( α − β ) {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} -এর কোণ পার্থক্য অভেদগুলি β {\displaystyle \beta } এর জন্য >-\beta</math> এবং sin ⁡ ( − β ) = − sin ⁡ ( β ) {\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )} এবং   c o s ( − β ) = cos ⁡ ( β ) {\displaystyle \ cos(-\beta )=\cos(\beta )} . কোণ সমষ্টি অভেদের জন্য চিত্রের একটি সামান্য পরিবর্তিত সংস্করণ ব্যবহার করেও সেগুলি বের করা যেতে পারে, উভয়ই এখানে দেখানো হয়েছে। এই অভেদগুলি নিম্নলিখিত সারণীর প্রথম দুটি সারিতে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে, এতে অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। দ্বিগুণ কোণের জন্য সূত্র। sin ⁡ ( 2 θ ) = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ) 2 − 1 = 2 tan ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} cos ⁡ ( 2 θ ) = cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ θ = 1 − tan 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} tan ⁡ ( 2 θ ) = 2 tan ⁡ θ 1 − tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} cot ⁡ ( 2 θ ) = cot 2 ⁡ θ − 1 2 cot ⁡ θ = 1 − tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ {\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}} sec ⁡ ( 2 θ ) = sec 2 ⁡ θ 2 − sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ 1 − tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} csc ⁡ ( 2 θ ) = sec ⁡ θ csc ⁡ θ 2 = 1 + tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ {\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}} ট্রিপল অ্যাঙ্গেলের সূত্র। sin ⁡ ( 3 θ ) = 3 sin ⁡ θ − 4 sin 3 ⁡ θ = 4 sin ⁡ θ sin ⁡ ( π 3 − θ ) sin ⁡ ( π 3 + θ ) {\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} cos ⁡ ( 3 θ ) = 4 cos 3 ⁡ θ − 3 cos ⁡ θ = 4 cos ⁡ θ cos ⁡ ( π 3 − θ ) cos ⁡ ( π 3 + θ ) {\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} tan ⁡ ( 3 θ ) = 3 tan ⁡ θ − tan 3 ⁡ θ 1 − 3 tan 2 ⁡ θ = tan ⁡ θ tan ⁡ ( π 3 − θ ) tan ⁡ ( π 3 + θ ) {\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)} cot ⁡ ( 3 θ ) = 3 cot ⁡ θ − cot 3 ⁡ θ 1 − 3 cot 2 ⁡ θ {\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}} sec ⁡ ( 3 θ ) = sec 3 ⁡ θ 4 − 3 sec 2 ⁡ θ {\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}} csc ⁡ ( 3 θ ) = csc 3 ⁡ θ 3 csc 2 ⁡ θ − 4 {\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}} sin ⁡ ( n θ ) = ∑ k  odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k ⁡ θ sin k ⁡ θ = sin ⁡ θ ∑ i = 0 ( n + 1 ) / 2 ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i + 1 ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) − 1 ⁡ θ = 2 ( n − 1 ) ∏ k = 0 n − 1 sin ⁡ ( k π / n + θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}} cos ⁡ ( n θ ) = ∑ k  even ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k ⁡ θ sin k ⁡ θ = ∑ i = 0 n / 2 ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) ⁡ θ {\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta } cos ⁡ ( ( 2 n + 1 ) θ ) = ( − 1 ) n 2 2 n ∏ k = 0 2 n cos ⁡ ( k π / ( 2 n + 1 ) − θ ) {\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )} cos ⁡ ( 2 n θ ) = ( − 1 ) n 2 2 n − 1 ∏ k = 0 2 n − 1 cos ⁡ ( ( 1 + 2 k ) π / ( 4 n ) − θ ) {\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )} tan ⁡ ( n θ ) = ∑ k  odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) tan k ⁡ θ ∑ k  even ( − 1 ) k 2 ( n k ) tan k ⁡ θ {\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}} টেমপ্লেট:AS ref সেল্বি ১৯৭০, p. 188 Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9 Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Trigonometric Addition Formulas"। Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 "Angle Sum and Difference Identities"। www.milefoot.com। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১০-১২।  Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19 Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32 Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33 Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34 এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Multiple-Angle Formulas"। Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48 Selby 1970, pg. 190