ঢাল

গণিতে রেখার ঢাল বা গ্রেডিয়েন্ট একটি সংখ্যা যা সমতলে রেখার দিক নির্দেশ করে। সাধারণত m {\displaystyle m} দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ঢাল দুটি ভিন্ন বিন্দুর মধ্যে উল্লম্ব পরিবর্তনের সঙ্গে অনুভূমিক পরিবর্তনের অনুপাত হিসাবে গণনা করা হয়, যাকে "ওঠা/হাঁটা" (rise over run) বলা হয়। রেখার যেকোনো দুটি বিন্দু নির্বাচন করলেই একই সংখ্যা পাওয়া যায়। রেখাটি ভৌত হতে পারে - যেমন একটি রাস্তার জরিপকারীর দ্বারা নির্ধারিত হয়, বা চিত্রের আকারে যেমন একটি রাস্তা বা ছাদের ডায়াগ্রামে দেখা যায়, অথবা বিমূর্ত হতে পারে। গণিতের এই ধারণার একটি প্রয়োগ ভূগোল এবং সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে "গ্রেড" বা "গ্রেডিয়েন্ট" হিসাবে পাওয়া যায়। রেখার খাড়া অবস্থান, ঢাল বা গ্রেড হল তার ঢালের মানের পরম মান: বেশি পরম মান মানে বেশি খাড়া রেখা। রেখার প্রবণতা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: একটি "বাড়মান" বা "উচ্চগামী" রেখা বাম থেকে ডানে উঠে যায় এবং এর ঢাল ধনাত্মক হয়: m > 0 {\displaystyle m>0} "কমমান" বা "অবতরণকারী" রেখা বাম থেকে ডানে নিচে নামে এবং এর ঢাল ঋণাত্মক হয়: m < 0 {\displaystyle m<0} বিশেষ দিকগুলো হলো: একটি "(বর্গাকার) তির্যক" রেখার ঢাল একক: m = 1 {\displaystyle m=1} একটি "অনুভূমিক" রেখার (একটি ধ্রুব ফাংশনের গ্রাফ) ঢাল শূন্য: m = 0 {\displaystyle m=0} একটি "উল্লম্ব" রেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত বা অসীম হয়। যদি একটি রাস্তায় দুটি বিন্দুর উচ্চতা y1 এবং y2 হয়, তাহলে ওঠা (rise) হবে উচ্চতার পার্থক্য (y2 − y1) = Δy। পৃথিবীর বক্রতা উপেক্ষা করে একটি স্থির বিন্দু থেকে, যদি দুটি বিন্দুর অনুভূমিক দূরত্ব x1 এবং x2 হয়, তাহলে ঝোঁক (run) হবে (x₂ − x₁) = Δx। এই দুই বিন্দুর মধ্যে ঢাল হবে পার্থক্যের অনুপাত: m = Δ y Δ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} ত্রিকোণমিতির মাধ্যমে, একটি রেখার ঢাল m তার ঝোঁক θ এর সঙ্গে ট্যানজেন্ট ফাংশনের দ্বারা সম্পর্কিত: m = tan ⁡ ( θ ) {\displaystyle m=\tan(\theta )} ফলে, একটি ৪৫° উচ্চগামী রেখার ঢাল m = +1, এবং একটি ৪৫° নিম্নগামী রেখার ঢাল m = −1 হয়। এই ধারণাকে সাধারণীকরণ করে, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস একটি বক্ররেখার কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে তার স্পর্শক রেখার ঢালকে বক্ররেখার ঢাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। যখন বক্ররেখাটি ধারাবাহিক বিন্দু দিয়ে প্রকাশ করা হয়, তখন এই ঢালটি দুটি কাছাকাছি বিন্দুর মধ্যে সেক্যান্ট রেখার ঢাল দ্বারা প্রায় অনুমান করা যায়। অক্ষর' m {\displaystyle m} ঢাল বোঝাতে কেন ব্যবহার করা হয় তার কোনও স্পষ্ট উত্তর নেই, তবে এটি প্রথম ইংরেজিতে ও'ব্রায়েন (১৮৪৪)-এ পাওয়া যায়, যিনি সরল রেখার সমীকরণ "y = mx + b" হিসাবে পরিচয় করিয়ে দেন। এছাড়াও এটি টডহান্টার (১৮৮৮)-এও পাওয়া যায়[3], যেখানে তিনি "y = mx + c" লিখেছিলেন। একই সমতলে x {\displaystyle x} এবং y {\displaystyle y} অক্ষের একটি রেখার ঢাল সাধারণত m {\displaystyle m} অক্ষর দ্বারা উপস্থাপন করা হয়, এবং এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় y {\displaystyle y} স্থানাঙ্কের পরিবর্তনকে x {\displaystyle x} স্থানাঙ্কের পরিবর্তন দ্বারা ভাগ করার মাধ্যমে। এটি নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়: m = Δ y Δ x = উল্লম্ব পরিবর্তন অনুভূমিক পরিবর্তন = ওঠা হাঁটা {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\text{উল্লম্ব পরিবর্তন}}{\text{অনুভূমিক পরিবর্তন}}}={\frac {\text{ওঠা}}{\text{হাঁটা}}}} (গ্রীক বর্ণমালা ডেল্টা, Δ, সাধারণত গণিতে "পার্থক্য" বা "পরিবর্তন" বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।) ধরা যাক দুটি বিন্দু ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} এবং ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} , তাহলে x {\displaystyle x} স্থানাঙ্কের পরিবর্তন (হাঁটা) হবে x 2 − x 1 {\displaystyle x_{2}-x_{1}} এবং y {\displaystyle y} স্থানাঙ্কের পরিবর্তন (ওঠা) হবে y 2 − y 1 {\displaystyle y_{2}-y_{1}} । এই মানগুলো উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে সূত্রটি হবে: m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} এই সূত্রটি একটি উল্লম্ব রেখার জন্য কাজ করে না, যা y অক্ষের সমান্তরাল (শূন্য দিয়ে ভাগ করতে ব্যর্থ), তাই ঢালকে অসীম ধরা হয়, ফলে একটি উল্লম্ব রেখার ঢাল সংজ্ঞায়িত করা যায় না। ধরা যাক একটি সরলরেখা দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করছে: P = (1, 2) এবং Q = (13, 8)। y {\displaystyle y} স্থানাঙ্কর পার্থক্যকে x {\displaystyle x} স্থানাঙ্কর পার্থক্য দিয়ে ভাগ করে সরলরেখার ঢাল পাওয়া যায়: m = Δ y Δ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 8 − 2 13 − 1 = 6 12 = 1 2 {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}} যেহেতু ঢাল ধনাত্মক, সরলরেখাটির দিক উপরের দিকে। যেহেতু | m | < 1 {\displaystyle |m|<1} , এই ঢালটি খুব বেশি খাড়া নয় (ঢাল > 45°)। আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, ধরা যাক একটি রেখা বিন্দু (4, 15) এবং (3, 21) এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। সেক্ষেত্রে, রেখার ঢাল হবে: m = 21 − 15 3 − 4 = 6 − 1 = − 6 {\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6} যেহেতু ঢাল ঋণাত্মক, রেখার দিক নিচের দিকে। যেহেতু | m | > 1 {\displaystyle |m|>1} , এই ঢালটি বেশ খাড়া (ঢাল > 45°)। নতিকে এভাবেও প্রকাশ করা যায়: m = d y d x {\displaystyle m={\frac {dy}{dx}}} কোন বক্ররেখার কোন বিন্দুতে নতি নির্ণয় করতে হলে, ওই বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করা হয়। তারপর নতি নির্ণয় করা হয়। y = m x + c {\displaystyle y=mx+c} সমীকরণটি সরলরেখার অন্যতম প্রধান সমীকরণ। এতে ব্যবহৃত m {\displaystyle m} পদটি নতি নির্দেশ করে। কোনো সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হলে, যদি তার নতি ১ এর সমান হয়, তাকে ৪৫° রেখা বলে। এটি y = m x + c {\displaystyle y=mx+c} সমীকরণটি মেনে চলে। এক্ষেত্রে c = 0 {\displaystyle c=0} (যেহেতু y {\displaystyle y} -অক্ষকে ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} বিন্দুতে ছেদ করে।) মূলবিন্দুগামী যে কোনও সরলেখার সমীকরণ তাই y = m x {\displaystyle y=mx} । ৪৫° রেখায় m = 1 {\displaystyle m=1} হবার জন্য, এটির সমীকরণ হয়:- y = x {\displaystyle y=x} এখানে আবার নতিকোণ ( θ {\displaystyle \theta } )=৪৫° বা π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} হবার জন্যই, m = t a n π 4 = 1 {\displaystyle m=tan{\frac {\pi }{4}}=1} সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ:- a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} এখান থেকে নতি পাওয়া যায়, m = − a b {\displaystyle m={\frac {-a}{b}}} রেখা স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অবকলন O'Brien, M. (১৮৪৪), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Todhunter, I. (১৮৮৮), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Weisstein, Eric W.। "Slope"। mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-০৯-২১।  ঢাল কি? ঢাল অঙ্কন করণ - ইউটিউব ভিডিও।