অসংকোচনীয় প্রবাহ

তরল বলবিজ্ঞানে বা আরো সাধারণভাবে কন্টিনাম বলবিজ্ঞানে, যে প্রবাহে প্রবাহীর ঘনত্ব কখনোই পরিবর্তিত হয় না তাকে অসংকোচনীয় প্রবাহ (ধ্রুবক আয়তন প্রবাহ) বলে। অপরভাবে বলা যায়, প্রবাহ বেগ এর ডাইভারজেন্স শূন্য হলে তাকে অসংকোচনীয়তা বলে। অসংকোচনীয় প্রবাহে প্রবাহী সংকোচনশীল বা অসংকোচনশীল যেকোনটিই হতে পারে। এটি নীচের ডেরাইভেশনে দেখানো হয়েছে যে, (সঠিক অবস্থার অধীনে) এমনকি সংকোচনশীল প্রবাহী ব্যবহার করেও - একটি ভাল অনুমান হিসাবে - অসংকোচনীয় প্রবাহ মডেল করা যায়। অসংকোচনীয় প্রবাহ নির্দেশ করে যে, প্রবাহের গতিবেগের সাথে প্রবাহিত তরলের একটি চালানের মধ্যে ঘনত্ব স্থির থাকে। অসংকোচনীয় প্রবাহের প্রাথমিক শর্ত হচ্ছে, u বেগে গতিশীল কোন প্রবাহের ক্ষুদ্র আয়তন dV এর মধ্যে প্রবাহীর ঘনত্ব ধ্রুবক( পরিবর্তন হয় না)। গাণিতিকভাবে, এই সীমাবদ্ধতাটি বোঝায় যে, অসংকোচনীয় প্রবাহ নিশ্চিত করতে ডেরাইভেটিভ (নীচে আলোচনা করা)-এ ঘনত্বের উপাদান থাকবে না। এই সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে জানার আগে আমাদের  ভরের সংরক্ষণশীলতা নীতি ব্যবহার করে কিছু দরকারি সম্পর্ক তৈরি করতে হবে।ঘনত্ব( ρ {\displaystyle \rho } )-কে আয়তন এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে ভর পাওয়া যায়: m = ∭ V ρ d V . {\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.} ভরের সংরক্ষণ এর জন্য,  একটি নির্দিষ্ট আয়তনের মধ্যে সময় সাপেক্ষে ভরের অন্তরীকরণ, আয়তনটির মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত   ভর-ফ্লাক্স(J) এর সমান হতে হবে। গাণিতিকভাবে এটাকে আমরা পৃষ্ঠতলের সাপেক্ষে যোগজীকরণ আকারে প্রকাশ করতে পারি : ∂ m ∂ t = − {\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-} S {\displaystyle S} J ⋅ d S {\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } উপরের সমীকরণ - চিহ্ন প্রকাশ করে যে, (পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ভেক্টরকে বাইরের দিকে ধনাত্মক নির্দেশ করে) কোন নির্দিষ্ট আয়তন থেকে বাইরের দিকে প্রবাহে  সময়ের সাথে  ভর হ্রাস পায়। এখন, বিচ্যুতি তত্ত্ব ব্যবহার করে আমরা প্রবাহ এবং সময়ের সাপেক্ষে ঘনত্বের আংশিক অন্তরীকরণ-এর মধ্যে সম্পর্ক বের করতে পারি: ∭ V ∂ ρ ∂ t d V = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V , {\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},} অতএব: ∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ J . {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .} অসংকোচনীয় প্রবাহ নিশ্চিত করতে সময়ের সাপেক্ষে ঘনত্বের আংশিক অন্তরীকরণের মান শূন্য হওয়া জরুরী নয়। যখন আমরা সময়ের সাপেক্ষে ঘনত্বের আংশিক অন্তরীকরণের কথা বলি, আমরা স্থির অবস্থানের একটি নির্দিষ্ট আয়তনের মধ্যে ঘনত্বের পরিবর্তনের হারকে বুঝাই। সময়ের সাপেক্ষে ঘনত্বের আংশিক অন্তরীকরণ-কে অশূন্য ধরার মাধ্যমে, আমরা প্রবাহকে শুধুমাত্র অসংকোচনীয় প্রবাহীর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখবো না। কারণ নির্দিষ্ট আয়তন এর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হওয়ার সময়  প্রবাহির ঘনত্ব পরিবর্তিত হতে পারে। এই পদ্ধতিটি সাধারণতা বজায় রেখেছে এবং এই পদ্ধতিতে সময়ের সাপেক্ষে ঘনত্বের আংশিক অন্তরীকরণের মান শূন্য হওয়া জরুরী নয়। এর দ্বারা বোঝা যায়, সংকোচনযোগ্য প্রবাহীর  মাধ্যমেও অসংকোচনীয় প্রবাহ সম্ভব। এখানে আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ হচ্ছে, প্রবাহ বেগ u এ গতিশীল  কোন নির্দিষ্ট আয়তনের মধ্যে ঘনত্বের পরিবর্তন। নিম্নলিখিত ফাংশনটির মাধ্যমে প্রবাহ বেগ ও ফ্লাক্স সম্পর্কিত: J = ρ u . {\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.} অতএব ভরের সংরক্ষণশীলতা নীতি বোঝায় যে: ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ u + ρ ( ∇ ⋅ u ) = 0. {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.} এই সম্পর্কটি-কে  বলা হয় কন্টিনিউটি ইকুয়েশন। ঘনত্বের মোট ডেরিভেটিভ (যেখানে আমরা চেইন বিধি প্রয়োগ করি)-এর জন্য  আমাদের নিম্নলিখিত সম্পর্কটি দরকার: d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + ∂ ρ ∂ x d x d t + ∂ ρ ∂ y d y d t + ∂ ρ ∂ z d z d t . {\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.} সুতরাং আমরা যদি কোন নির্দিষ্ট  আয়তনকে  প্রবাহির সমান বেগে পরিচালিত করি(যেমন (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = u), তাহলে সমীকরণটি সরলীকৃত রূপ হচ্ছে: D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ u . {\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.} সুতরাং উপরের উৎপন্ন কন্টিনিউটি ইকোয়েশনটি ব্যবহার করে দেখা যাচ্ছে যে: D ρ D t = − ρ ( ∇ ⋅ u ) . {\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.} সময়ের সাথে ঘনত্বের পরিবর্তন বোঝায় যে প্রবাহীটি সংকুচিত বা প্রসারিত হয়েছিল (বা আমাদের ধ্রুবক আয়তনে(dV) থাকা ভর পরিবর্তিত হয়েছিল), যা আমরা নিষিদ্ধ করেছি। অতএব অবশ্যই ঘনত্বের মেটারিয়াল ডিরাইভেটিভ শূন্য হয়ে যাবে  এবং পাশাপাশি অশূন্য ঘনত্বের জন্য প্রবাহ বেগ এর ডাইভারজেন্স: ∇ ⋅ u = 0. {\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.} এবং তাহলে  ভরের সংরক্ষণশীলতা ব্যবহার করে দেখা যায় যে, নির্দিষ্ট আয়তনের গতিশীল প্রবাহীর ঘনত্ব ধ্রুবক থাকে। সেই সাথে এটি দেখানো হয়েছে যে, অসংকোচনীয় প্রবাহের জন্য প্রয়োজনীয় একটি শর্ত হল: প্রবাহ বেগ এর ডাইভারজেন্স শূন্য হয়ে যাবে। কিছু ক্ষেত্রে বিভিন্ন চাপের জন্য ঘনত্বের পরিবর্তন পরিমাপ করে প্রবাহটি সংকোচনশীল কিনা বের করা হয় । চাপ ও ঘনত্বের সাথে সংকোচনশীলতার  সম্পর্ক হচ্ছে - β = 1 ρ d ρ d p . {\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.} যদি সংকোচনশীলতা মান খুবই কম হয়,  তাহলে প্রবাহটি কে অসংকোচনশীল প্রবাহ ধরা হয়। একটি   অসংকোচনীয় প্রবাহকে প্রবাহবেগ  ক্ষেত্রের সলিনয়েডাল  হিসেবে প্রকাশ করা হয় ।কিন্তু একটি  সলিনয়েডাল  ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হওয়ার পাশাপাশি অশূন্য  কার্ল (ঘূর্ণন উপাদান) থাকে। অন্যথায়, অসংকোচনীয়  প্রবাহের কার্ল শূন্য হওয়ার অর্থ প্রবাহে প্রবাহী ঘূর্ণায়মান নয়, অর্থাৎ প্রবাহটি  অঘূর্ণনশীল । তখন ক্ষেত্রটি  লাপ্লাসিয়ান  ক্ষেত্রে পরিণত হয় । যেমন পূর্বে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, একটি অবিস্মরণীয় (আইসোকোরিক) প্রবাহ হ'ল এটি ∇ ⋅ u = 0. {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,} একই ভাবে বলা যায়, D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + u ⋅ ∇ ρ = 0 {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0} অর্থাত্ ঘনত্বের উপাদান ডেরাইভেটিভ শূন্য। সুতরাং আমরা যদি কোনও উপাদান লক্ষ করি, তাহলে দেখব এর ভর ঘনত্ব স্থির থাকে । উপরের সমীকরণে লক্ষ্য করুন, উপাদান ডেরাইভেটিভ দুটি পদ নিয়ে গঠিত। প্রথম পদ ∂ ρ ∂ t {\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}} সময়ের সাথে কীভাবে উপাদানগুলির উপাদান ঘনত্ব পরিবর্তন হয় তা বর্ণনা করে। এই পদটি পরিবর্তনশীল পদ হিসাবেও পরিচিত। দ্বিতীয় পদ, u ⋅ ∇ ρ {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho } উপাদানটি এক বিন্দু থেকে অন্য স্থানে চলে আসায় ঘনত্বের পরিবর্তনগুলি বর্ণনা করে। এটিকে অ্যাডভেকশন টার্ম বলে। কোনও প্রবাহকে সংকোচনীয় হওয়ার জন্য এই পদগুলির যোগফল শূন্য হতে হবে। অন্যদিকে, একটি সমজাতীয়, সংকোচনীয় উপাদানের সব দিক বরাবর ঘনত্ব একই থাকে। যেমন একটি উপাদান জন্য ঘনত্ব, ρ = constant {\displaystyle \rho ={\text{constant}}} । এটা ব্যাখ্যা করে যে, ∂ ρ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0} এবং ∇ ρ = 0 {\displaystyle \nabla \rho =0} স্বাধীনভাবে । কন্টিনিউটি সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + u ⋅ ∇ ρ = 0   ⇒   ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0} সুতরাং অসংকোচনীয় পদার্থে সর্বদা অসংকোচনীয় প্রবাহ হয়। অপরদিকে, সংকোচযোগ্য পদার্থে সর্বদা সংকোচনীয় প্রবাহ নাও হতে পারে। তরল গতিবিদ্যায়, প্রবাহের গতিবেগের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে একটি প্রবাহকে অসংকোচনীয় প্রবাহ হিসেবে বিবেচনা করা হয় । তবে প্রবাহ সিস্টেমের মডেলিংয়ের উপর নির্ভর করে কখনও কখনও এর সাথে সম্পর্কিত সম্পর্কিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। কিছু সংস্করণ নীচে বর্ণিত: অসংকোচনীয় প্রবাহ : ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}} । এটিকে ধ্রুবক (কঠোর অসংকোচনীয়) বা পরিবর্তনশীল ঘনত্বের প্রবাহ হিসেবে  ধরে নেয়া যায়। ঘনত্ব, চাপ এবং / বা তাপমাত্রার মানের সামান্য এদিক ওদিক হলেও পরিবর্তনশীল ঘনত্ব সেট সমাধানগুলি গ্রহণ করে এবং ডোমেনে চাপ স্তরবিন্যাসের সুযোগ দেয় । অ্যানিলেস্টিক প্রবাহ : ∇ ⋅ ( ρ o u ) = 0 {\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}} । মূলত বায়ুমণ্ডলীয় বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, অ্যানিলেস্টিক সীমাবদ্ধতা স্তরিত ঘনত্ব এবং / বা তাপমাত্রার পাশাপাশি চাপের ক্ষেত্রে সংকোচনের প্রবাহ বৈধতা প্রসারিত করে। উদাহরণস্বরূপ, মেটিরিওলজির ক্ষেত্রে যখন ব্যবহৃত হয় তখন নীচের বায়ুমণ্ডলে দেখা যায় এমন একটি 'বায়ুমণ্ডলীয়' বেস স্টেটে থার্মোডাইনামিক ভেরিয়েবলগুলি শিথিল করতে দেয়। এই শর্তটি বিভিন্ন অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল সিস্টেমের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্ন ম্যাক-নাম্বার প্রবাহ বা ছদ্ম-অসংকোচনীয়তা: ∇ ⋅ ( α u ) = β {\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta } । মাত্রাবিহীন পরিমাণের স্কেল বিশ্লেষণ ব্যবহার করে সংকোচনেযোগ্য ইউলার সমীকরণগুলি থেকে অল্প   ম্যাক সংখ্যার সীমাবদ্ধতা বের করা যায়। এই সীমাবদ্ধতা ও,  পূর্বের সীমাবদ্ধতার মত শাব্দ তরঙ্গ অপসারণের অনুমতি দেয়, সেই সাথে ঘনত্ব এবং / বা তাপমাত্রার বৃহত্তর পরিবর্তনের অনুমতি দেয়। অল্প ম্যাক নাম্বার বিশিষ্ট (সাধারণত 0.3 এর চেয়ে কম) প্রবাহে এই পদ্ধতি ব্যবহার করে  প্রাপ্ত সমাধানকে সঠিক বলে বিবেচনা করা হয় । আবার, সমস্ত অসংকোচনীয় প্রবাহের সাথে সামঞ্জস্য রেখে চাপের বিচ্যুতি প্রাথমিক অবস্থায় যে চাপ ছিল তার তুলনায় ছোট হতে হবে। এই পদ্ধতিগুলি প্রবাহ সম্পর্কে পৃথক পৃথক ধারণা তৈরি করে ।তবে সমস্ত কিছুকে বিবেচনায় রেখে, প্রবাহ সীমাবদ্ধতার সাধারণ সমীকরণটি হচ্ছে, ∇ ⋅ ( α u ) = β {\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }  ; এখানে, ফাংশন  α {\displaystyle \alpha } এবং β {\displaystyle \beta } প্রবাহের উপর নির্ভরশীল। অসংকোচনীয় প্রবাহ সমীকরণের অপরিবর্তনীয় আচরণের অর্থ হচ্ছে,এগুলো সমাধানের নির্দিষ্ট গাণিতিক পদ্ধতি  বিদ্যমান।এর মধ্যে কয়েকটি পদ্ধতি হচ্ছে: অভিক্ষেপ পদ্ধতি (আনুমানিক এবং সঠিক উভয়) কৃত্রিম সংকোচনের কৌশল (আনুমানিক) সংকোচনের প্রাক-কন্ডিশনিং রুদ্ধতাপীয় প্রবাহে অসংকোচনীয় প্রবাহের জন্য নিম্ন ম্যাক নাম্বার প্রয়োজন । অপরপক্ষে, অসংকোচনীয় প্রবাহের জন্য রেনল্ডস নাম্বার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। রেনল্ডস নাম্বারের পরিবর্তনের সাথে প্রবাহের আচরণের পরিবর্তন হয়। বার্নোলির নীতি ইউলার সমীকরণ (তরল গতিবিদ্যা) নেভিয়ার – স্টোকস সমীকরণ Almgren, A.S.; Bell, J.B. (২০০৬)। "Low Mach Number Modeling of Type Ia Supernovae. I. Hydrodynamics" (পিডিএফ): 922–936। arXiv:astro-ph/0509892 । ডিওআই:10.1086/498426। ৩১ অক্টোবর ২০০৮ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৮ এপ্রিল ২০২১।  Chapter 10, Incompressible Flow (4th Edition) by Ronald L. Panton.