মেরুকরণের ঘনত্ব

চিরায়ত তড়িৎচৌম্বকীয় বিদ্যায়, মেরুকরণের ঘনত্ব (বা তড়িৎমেরুকরণ, বা কেবল মেরুকরণ) হলো, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র যা অস্তরক পদার্থগুলিতে স্থায়ী বা প্ররোচিত তড়িৎ দ্বিমেরু ভরবেগগুলির ঘনত্বকে প্রকাশ করে। যখন কোন অস্তরককে বাইরের তড়িৎ ক্ষেত্রে স্থাপন করা হয় তখন এর অণুগুলি তড়িৎ দ্বিমেরু ভরবেগ লাভ করে একে অস্তরকের মেরুকরণ বলে। অস্তরক পদার্থের প্রতি একক আয়তনে উৎপন্ন তড়িৎ দ্বিমেরু ভরবেগকে অস্তরকের তড়িৎ মেরুকরণ বলে। মেরুকরণ ঘনত্ব এটাও বর্ণনা করে যে, বাইরের তড়িৎ ক্ষেত্রের সাথে কোনও পদার্থ কি প্রতিক্রিয়া করে, কীভাবে তড়িৎ ক্ষেত্রকে পরিবর্তন করে এবং এর ফলে কি পরিমাণ বল উৎপন্ন হতে পারে। একই ভাবে চৌম্বকক্ষেত্রের সাথে কোনও পদার্থ কি প্রতিক্রিয়া করে তার পরিমাপ। প্রতি বর্গমিটারে এই পরিমাপের এসআই একক হলো কুলম্ব। এই মেরুকরণ ঘনত্ব একটি ভেক্টর, যাকে P দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অস্তরক পদার্থে বাইরে থেকে কোন তড়িৎ ক্ষেত্র প্রয়োগের ফলে এর আধানযুক্ত পদার্থগুলির স্থানচ্যুতি ঘটে। এগুলি এমন পদার্থ যা অণুতেই আবদ্ধ থাকে, পুরো পদার্থে মুক্ত থাকে না। ধনাত্মক আধানযুক্ত পদার্থগুলি ক্ষেত্রের সাথে একই দিকে এবং ঋণাত্মক আধানগুলি ক্ষেত্রের দিকের বিপরীত দিকে অবস্থান নেয়।ঈর ফলে সম্পূর্ণ অণু নিরপেক্ষ হলেও আধানের অবস্থানের কারণে এক প্রকার তড়িৎ দ্বিমেরু ভরবেগ উৎপন্ন হয়। কোন পদার্থের নির্দিষ্ট পরিমাণ আয়তন Δ V {\displaystyle \Delta V} যার দ্বিমেরু ভরবেগ Δ p {\displaystyle \Delta \mathbf {p} } হলে মেরুকরন ঘনত্ব P হবেঃ P = Δ p Δ V {\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}} সাধারণভাবে, দ্বিমেরু ভরবেগ Δ p {\displaystyle \Delta \mathbf {p} } অস্তরকের মধ্যে বিন্দু থেকে বিন্দুতে পরিবর্তিত হয়। অতএব, অসীম পরিসীমার আয়তনে dV এবং অসীম পরিসীমার দ্বিমেরু ভরবেগ dp হলে, একটি অস্তরকের মেরুকরণের ঘনত্ব P হলোঃ P = d p d V ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} V}\qquad (1)} মেরুকরণের ফলে উৎপন্ন মোট আধানটিকে আবদ্ধ আধান বলা হয় একে Q b {\displaystyle Q_{b}} দ্বারা প্রকাশ করা হয়। "প্রতি একক আয়তনে দ্বিমেরু ভরবেগ" মেরুকরণের এই সংজ্ঞাটি ব্যাপকভাবে গৃহীত হয়েছে, যদিও কিছু ক্ষেত্রে এটি অস্পষ্ট বা বিপরীত হতে পারে। ধরা যাক, অস্তরকের অভ্যান্তরে নিরবচ্ছিন্ন আয়তনে dV, মেরুকরণের ফলে আবদ্ধ ধনাত্মক আধান d q b + {\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}} যা d {\displaystyle \mathbf {d} } পরিমাণ দূরত্বে স্থানচ্যুত হয়। এদের আপেক্ষিক ঋণাত্মক আধান d q b − {\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}} এর ফলে দ্বিমেরু ভরবেগ d p = d q b d {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} } বৃদ্ধি পায়। ফলে সমীকরন (১) হবে, P = d q b d V d {\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} } যেহেতু ρ b d V {\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V} এর মধ্যে dV আয়তনে আবদ্ধ আধান d q b {\displaystyle \mathrm {d} q_{b}} , কাজেই সমীকরণ P হবেঃ P = ρ b d ( 2 ) {\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} \qquad (2)} যেখানে ρ b {\displaystyle \rho _{b}} হলো প্রদত্ত আয়তনে আবদ্ধ আধানের ঘনত্ব। উপরের সংজ্ঞা থেকে এটি স্পষ্ট যে দ্বিমেরুগুলি সামগ্রিকভাবে নিরপেক্ষ, যা ঘনত্বে পুরো আয়তন জুড়ে সমান সংখ্যক বিপরীত আধান দ্বারা ভারসাম্যপূর্ণ। আধানগুলি যেগুলো ভারসাম্যহীন তারা মুক্ত আধানের অংশ, নিচে আলোচনা করা হলো, প্রদত্ত আয়তন V যার পৃষ্ঠ S, আবদ্ধ আধান Q b {\displaystyle Q_{b}} , S এর মধ্য দিয়ে যা P এর প্রবাহ ঘনত্বের ঋণাত্মক মানের সমান। অর্থাৎ, − Q b = {\displaystyle -Q_{b}=} S {\displaystyle {\scriptstyle S}} P ⋅ d A ( 3 ) {\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \qquad (3)} ডাইভারজেন্স মতবাদ অনুসারে, গাউসের সূত্রকে P এর ক্ষেত্রের জন্য ডিফারেনশিয়াল রুপে এভাবে লেখা যেতে পারে, − ρ b = ∇ ⋅ P {\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} } , যেখানে ∇ · P হলো প্রদত্ত পৃষ্ঠের জন্য P এর ক্ষেত্রের জন্য ডাইভারজেন্স এবং ρ b {\displaystyle \rho _{b}} হলো, আবদ্ধ আধানের ঘনত্ব। কোন সমগোত্রীয় সরলরৈখিক সর্বসম অস্তরক মাধ্যমে মেরুকরণ তড়িৎক্ষেত্র E এর দিকের সাথে সমানুপাতিক হয়ে থাকে, P = χ ε 0 E , {\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,} এখানে ε0 হলো অস্তরক ধ্রুবক এবং χ হলো মাধ্যমের তড়িৎ সংবেদনশীলতা। লক্ষনীয়, এখানে χ হলো স্কেলার, যা প্রকৃতপক্ষে একটি কর্ণ। এটি একটি ব্যাতিক্রম যা সর্বসম অস্তরকের কারণে হয়ে থাকে। P এবং E এর এই সম্পর্কটি সমীকরণ (3) এ প্রয়োগ করলে, − Q b = χ ε 0   {\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ } S {\displaystyle \scriptstyle {S}} E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} } মুক্ত ( Q f ) {\displaystyle (Q_{f})} এবং আবদ্ধ ( Q b ) {\displaystyle (Q_{b})} সহ মোট আধানের জন্য V আয়তনে S পৃষ্ঠে E ক্ষেত্রের জন্য সমীকরণের এই রুপটিকে গাউসের সূত্র বলে। অতএব, − Q b = χ Q total = χ ( Q f + Q b ) ⇒ Q b = − χ 1 + χ Q f , {\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}} যাকে মুক্ত এবং আবদ্ধ আধান ঘনত্ব (এদের মাঝের সম্পর্ক, তাদের আয়তনিক আধান ঘনত্ব এবং প্রদত্ত আয়তন) এর সাপেক্ষে লেখা যায়, ρ b = − χ 1 + χ ρ f {\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}} যেহেতু সমগোত্রীয় অস্তরকের ক্ষেত্রে সেখানে কোন মুক্ত আধান নাও থাকতে পারে ( ρ f = 0 ) {\displaystyle (\rho _{f}=0)} , সর্বশেষ সমীকরণ অনুসারে সেখানে পদার্থের শুন্য মুক্ত আধান নেই ( ρ b = 0 ) {\displaystyle (\rho _{b}=0)} এবং যেহেতু মুক্ত আধান অস্তরকের সবচেয়ে নিকটবর্তী পৃষ্ঠে থাকে, এটা বোঝায় যে মেরুকরণ কেবলমাত্র পৃষ্ঠের মুক্ত আধান ঘনত্বই (আয়তনিক ঘনত্ব ρ b {\displaystyle \rho _{b}} এর সাথে পার্থক্য রাখতে σ b {\displaystyle \sigma _{b}} দিয়ে প্রকাশ করা হয়) বৃদ্ধি করে। P এর সাথে σ b {\displaystyle \sigma _{b}} এর সম্পর্ক হতে পারে এই সমীকরণটি, σ b = n ^ out ⋅ P {\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} } যেখানে n ^ out {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}} হলো পৃষ্ঠ S এর বাইরের দিকে লম্ব ভেক্টর (বিস্তারিত প্রমাণ আধান ঘণত্বে দেখুন) তড়িৎক্ষেত্র এবং মেরুকরন ঘনত্বের দিক এক নয়, এমন অস্তরকদের অসর্বসম অস্তরক পদার্থ বলে। এমন পদার্থগুলিতে মেরুকরণের iতম অংশ এবং তড়িৎক্ষেত্রের jতম অংশের সম্পর্কঃ P i = ∑ j ϵ 0 χ i j E j , {\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},} এই সম্পর্কটা দেখায়, যেমন কোন পদার্থকে z অক্ষের দিকে তড়িৎক্ষেত্র প্রয়োগ করে x অক্ষের দিকে মেরুকরণ করা যেতে পারে। অসর্বসম অস্তরক মাধ্যমকে আলোক স্ফটিকের ক্ষেত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়। বেশিরভাগ তড়িৎচুম্বকবিদ্যায়, এই সম্পর্কটি ক্ষেত্রগুলির ম্যাক্রোস্কোপিক গড় এবং ডাইপোল ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত, যাতে অস্তরক মাধ্যমে কোনটির আসন্ন মান পারমাণবিক-স্কেলের আচরণ না করে। স্বতন্ত্র কণাগুলোর মেরুকরণযোগ্যতার সাথে মাধ্যমের গড় সংবেদনশীলতা এবং মেরুকরণের ঘনত্বের সম্পর্ক ক্লসিয়াস – মসোটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। সাধারণভাবে, সংবেদনশীলতা প্রয়োগকৃত ক্ষেত্রের ফ্রিকোয়েন্সি ω এর একটি ফাংশন। যখন ক্ষেত্রটি t সময়ের অবাধ ফাংশন হয়, তখন মেরুকরণ হলো E (t) এর সাথে χ (ω) এর ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের (কনভোলিউশন)রূপান্তর। এটা বোঝায় যে, প্রয়োগকৃত ক্ষেত্রের ফলে পদার্থে দ্বিমেরুগুলো তাৎক্ষণিকভাবে প্রতিক্রিয়া জানাতে পারে না এবং এই কারণতা(causality) একে ক্রেমার্স-ক্রনিং সম্পর্কের দিকে নিয়ে যায়। যদি মেরুকরণ P রৈখিকভাবে তড়িৎক্ষেত্র E এর সমানুপাতিক না হয়, তাহলে সে মাধ্যমকে অরৈখিক মাধ্যম বলে; একে অরৈখিক আলোক ক্ষেত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়। P এর একটা ভালো আসন্ন মান( কোন স্থায়ী দ্বিমেরু ভরবেগ নেই ধরে নিয়ে দূর্বল তড়িৎক্ষেত্র হলে) এর জন্য E (এর সহগগুলো অরৈখিক সংবেদনশীলতা বুঝায়) এর টেইলর ধারা করা হয়ঃ P i ϵ 0 = ∑ j χ i j ( 1 ) E j + ∑ j k χ i j k ( 2 ) E j E k + ∑ j k ℓ χ i j k ℓ ( 3 ) E j E k E ℓ + ⋯ {\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots } যেখানে χ ( 1 ) {\displaystyle \chi ^{(1)}} হলো অরৈখিক সংবেদনশীলতা, χ ( 2 ) {\displaystyle \chi ^{(2)}} হলো দ্বিতীয় ক্রমের সংবেদনশীলতা (পকেল ক্রিয়া(Pockels effect), আলোক সংশোধন(optical rectification) বা দ্বিতীয় হারমোনিক উৎপাদন(second-harmonic generation) সকল ক্ষেত্রে প্রজোয্য), এবং χ ( 3 ) {\displaystyle \chi ^{(3)}} হলো তৃতীয় ক্রমের সংবেদনশীলতা ('কার' ক্রিয়া(Kerr effect) এবং তড়িৎক্ষেত্র প্রণোদিত আলোক সংশোধনের ক্ষেত্রে প্রজোয্য). ফেরোবৈদ্যুতিক পদার্থের ক্ষেত্রে হিস্টেরেসিসের জন্য P এবং E এর মাঝে কোন এক-এক সাদৃশ্য নেই। তড়িৎক্ষেত্র (E এবং D), চুম্বকক্ষেত্র (B, H), আধান ঘণত্ব (ρ) এবং প্রবাহ ঘণত্ব (J), এগুলো পদার্থে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ এ ব্যাখ্যা করা হয়েছে। আয়তন আধান ঘণত্ব এর মুক্ত আধান ঘণত্ব ρ f {\displaystyle \rho _{f}} হলো, ρ f = ρ − ρ b {\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}} যেখানে ρ {\displaystyle \rho } হলো মোট আধান ঘণত্ব। উপরের সমীকরনটির উপাদানগুলি তাদের স্ব স্ব ক্ষেত্র(এখানে তড়িৎ বিচ্যুত ক্ষেত্র D, E এবং P) এর ডাইভারজেন্স হলে লেখা যায়, D = ε 0 E + P . {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .} একে তড়িৎক্ষেত্রের মৌলিক সমীকরণও বলে। এখানে ε0 হলো শুন্যস্থানে তড়িৎ ভেদ্যতা। এই সমীকরণে P হলো উৎপন্ন (ঋণাত্মক)ক্ষেত্র যখন "অনড়" আধান, দ্বিমেরু অন্তর্নিহিত মোট তড়িৎক্ষেত্র E এর কারণে বিচ্যুত হয়। যেখানে D হলো অবশিষ্ট আধানের ক্ষেত্র, একে "মুক্ত" আধান বলে। সাধারনভাবে, মাধ্যমের মধ্যে E এর সাপেক্ষে P পরিবর্তিত হয়; এই অনুচ্ছেদে পরে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে। বেশিরভাগ গাণিতিক সমস্যায় E এবং মোট আধান হিসেব করার চেয়ে D এবং মুক্ত আধান নিয়ে কাজ করাটাই সহজ হয়ে থাকে। কাজেই, একটি মেরুকৃত মাধ্যমকে গ্রীন তত্ত্ব(Green's Theorem) অনুসারে চারটি উপাদানে ভাগ করা যায়, আবদ্ধ আয়তনিক আধান ঘণত্বঃ ρ b = − ∇ ⋅ P {\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} } আবদ্ধ পৃষ্ঠ আধান ঘণত্বঃ σ b = n ^ out ⋅ P {\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} } মুক্ত আয়তনিক আধান ঘণত্বঃ ρ f = ∇ ⋅ D {\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} } মুক্ত পৃষ্ঠ আধান ঘণত্বঃ σ f = n ^ out ⋅ D {\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} } যখন মেরুকরন ঘণত্ব সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, তখন সময়ের সাথে অপরিবর্তনশীল আবদ্ধ আধান ঘণত্ব এক প্রকার মেরুকৃত প্রবাহ ঘণত্ব তৈরি করে, J p = ∂ P ∂ t {\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} সুতরাং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরনে মোট প্রবেশ করা প্রবাহ ঘণত্ব হবে, J = J f + ∇ × M + ∂ P ∂ t {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} এখানে Jf হলো মুক্ত-আধান প্রবাহ ঘণত্ব আর পরের অংশটি হলো, চুম্বকীয় প্রবাহ ঘণত্ব(আবদ্ধ প্রবাহ ঘণত্বও বলে) যা আণবিক স্কেলের চুম্বক দ্বিমেরু(উপস্থিত থাকলে) এর ফলে প্রজোয্য হয়। সাধারনভাবে, কঠিন পদার্থের অভ্যান্তরে মেরুকরণ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না: এটি নির্ভর করে কোন ইলেক্ট্রনটি কোন নিউক্লিয়াসের সাথে জোড়া তৈরি করে যুক্ত হয়।(চিত্র দেখুন) অন্য কথায়, দুজন মানুষ, অ্যালিস এবং বব একই কঠিন পদার্থের থেকে P এর ভিন্ন মান গণনা করতে পারেন এবং তাদের কারোই ভুল হবে না। অ্যালিস এবং বব কঠিনটিতে পারমাণবিক তড়িৎক্ষেত্র E এর সাথে একমত হবেন, তবে স্থানচ্যুতি ক্ষেত্রের মান D = ε 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } সম্পর্কে একমত হবেন না। তারা উভয়ই দেখবেন যে গাউসের সূত্র সঠিক ( ∇ ⋅ D = ρ f {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}} ), তবে তারা স্ফটিক পৃষ্ঠে ρ f {\displaystyle \rho _{f}} এর মানটির সাথে একমত হবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি অ্যালিস ধরে নেন যে, দ্বিমেরুর সমন্বয়ে গঠিত নিরেট কঠিনে উপরেরগুলি ধনাত্মক আয়ন এবং নিচেরগুলি ঋণাত্মক আয়ন, যদিও প্রকৃত স্ফটিকপৃষ্ঠে ঋণাত্মক আয়ন উপরে থাকে, তবে অ্যালিস বলবেন স্ফটিক এর উপরের পৃষ্ঠে ঋণাত্মক মুক্ত আধান রয়েছে। (তিনি এটিকে এক প্রকার পৃষ্ঠ পুর্নগঠন হিসাবে দেখতে পাবেন) অন্যদিকে, যদিও নিরেট কঠিনের জন্য P এর মান আলাদাভাবে নির্ধারন করা হয় না, P এর প্রকারগুলো নির্ধারন করা হয়। যদি স্ফটিকটি ধীরে ধীরে এক কাঠামো থেকে অন্য কাঠামোতে পরিবর্তিত হয় তবে নিউক্লিয়াস এবং ইলেক্ট্রনগুলির গতির কারণে প্রতি একক কোষের অভ্যন্তরে একটি তড়িৎপ্রবাহ হবে। এই তড়িৎপ্রবাহের ফলে স্ফটিকের একপাশ থেকে অন্য পাশে আধানের এক প্রকার ম্যাক্রোস্কোপিক স্থানান্তর হবে এবং এটি এমনকি অন্য যেকোন তড়িৎপ্রবাহের মতোই এমেটার দিয়ে পরিমাপ করা যাবে, যখন তারগুলো স্ফটিকের দু'প্রান্তে লাগানো থাকবে। সময়ের সাথে এই তড়িৎপ্রবাহের ইন্টিগ্রাল P এর পরিবর্তনের সমানুপাতিক হবে। এই তড়িৎপ্রবাহের মান কম্পিউটারে সিমুলেশন (যেমন density functional theory) করেও পাওয়া যেতে পারে; এই তড়িৎপ্রবাহকে ইন্টেগ্রেশন করার সুত্র বেরি'র দশা(Berry's phase) এর মত হবে। P এর স্বতন্ত্রতা প্রকৃতপক্ষে কোন সমস্যা নয়, কারণ P এর প্রতিটি পরিমাপযোগ্য ফলাফল আসলে এতে ক্রমাগত পরিবর্তনেরই ফল। উদাহরণস্বরূপ, যখন কোনও পদার্থকে একটি তড়িৎক্ষেত্র E তে স্থাপন করা হয়, যার মান শূন্য থেকে একটি সীমিত মানে উন্নীত হয়, তখন পদার্থের তড়িৎ এবং আয়নিক অবস্থানের সামান্য পরিবর্তন ঘটে। এটি P কেও পরিবর্তন করে যার ফলে তড়িৎ সংবেদনশীলতা(এবং একইভাবে তড়িৎ ভেদ্যতাও) পরিবর্তিত হয়। এর আরেক উদাহরণ হলো, যখন কোন স্ফটিক উত্তপ্ত হয়, তখনও তাদের তড়িৎ এবং আয়নিক অবস্থানের সামান্য পরিবর্তন ঘটে, যার ফল হলো পাইরোইলেক্ট্রিসিটি(pyroelectricity)। এসকল ক্ষেত্রেই, এগুলো সব P এর পরিবর্তনের সাথেই সম্পর্কযুক্ত। যদিও মেরুকরণ তত্ত্বীয়ভাবে অনন্য নয়, বাস্তবে প্রায়ই (সর্বদা নয়) এটিকে একটি নির্দিষ্ট ও অনন্য হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি পুরোপুরি সমকেন্দ্রিক স্ফটিকে সাধারণ রীতি অনুযায়ী P পুরোপুরি শূন্য ধরে নেয়া হয়। এর আরেক উদাহরণ হলো, ফেরোইলেকট্রিক স্ফটিকগুলিতে, সাধারণত কুরি তাপমাত্রার উপরে সমকেন্দ্রিক কনফিগারেশন থাকে এবং সেখানে সাধারণ রীতি অনুযায়ী P পুরোপুরি শূন্য ধরে নেয়া হয়। স্ফটিকটি আস্তে আস্তে কুরি তাপমাত্রার নিচে ঠাণ্ডা হতে থাকলে ক্রমান্বয়ে এটি অ-সমকেন্দ্রিক স্ফটিক কনফিগারেশনে স্থানান্তরিত হয়। যেহেতু P এর সামান্য পরিবর্তনও পুরপুরি সংজ্ঞায়িত, তাই এই প্রকৃয়াটি ফেরোইলেকট্রিক স্ফটিকের জন্য P এর একটি অনন্য মান দেয়, এমনকি কুরি তাপমাত্রার নিচেও হতে পারে। P এর সংজ্ঞায়নের আরেকটি সমস্যা হলো এর "একক আয়তন" এর যথেচ্ছ নির্বাচন বা আরও সঠিকভাবে বললে সিস্টেমের স্কেলের সাথে এর সম্পর্ক। উদাহরণস্বরূপ, মাইক্রোস্কোপিক স্কেলে একটি প্লাজমাকে মুক্ত আধানের গ্যাস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, সুতরাং P এর মান শূন্য হবে। অপরদিকে, একই প্লাজমাকে একটি ম্যাক্রোস্কোপিক স্কেলে এটিকে একটি ধারাবাহিক(continuous) মাধ্যম হিসাবে বর্ণনা করা যায়, যার ফলে ভেদনযোগ্যতা ε ( ω ) ≠ 1 {\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1} অতএব, মোট মেরুকরণ P ≠ 0 স্ফটিকের গঠন (Crystal structure) ইলেক্ট্রেট (Electret) মেরুকরণ (অনিশ্চয়তা) - (Polarization (disambiguation)) Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, আইএসবিএন ৮১-৭৭৫৮-২৯৩-৩ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, আইএসবিএন ০-০৭-০৫১৪০০-৩ Irodov, I.E. (1986). Basic Laws of Electromagnetism. Mir Publishers, CBS Publishers & Distributors. আইএসবিএন ৮১-২৩৯-০৩০৬-৫ Matveev. A. N. (1986). Electricity and Magnetism. Mir Publishers. C.A. Gonano; R.E. Zich; M. Mussetta (২০১৫)। "Definition for Polarization P and Magnetization M Fully Consistent with Maxwell's Equations" (পিডিএফ)। Progress In Electromagnetics Research B। 64: 83–101। ১৭ অক্টোবর ২০২০ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১১ আগস্ট ২০১৯।  Based upon equations from Gray, Andrew (১৮৮৮)। The theory and practice of absolute measurements in electricity and magnetism। Macmillan & Co.। পৃষ্ঠা 126–127। , which refers to papers by Sir W. Thomson. Feynman, R.P.; Leighton, R.B. and Sands, M. (1964) Feynman Lectures on Physics: Volume 2, Addison-Wesley, আইএসবিএন ০-২০১-০২১১৭-X Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৭১-৯২৭১২-৯ Saleh, B.E.A.; Teich, M.C. (২০০৭)। Fundamentals of Photonics। Hoboken, NJ: Wiley। পৃষ্ঠা 154। আইএসবিএন 978-0-471-35832-9।  A. Herczynski (২০১৩)। "Bound charges and currents" (পিডিএফ)। American Journal of Physics। 81 (3): 202–205। ডিওআই:10.1119/1.4773441। বিবকোড:2013AmJPh..81..202H। ২০ সেপ্টেম্বর ২০২০ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৫ আগস্ট ২০১৯।  Resta, Raffaele (১৯৯৪)। "Macroscopic polarization in crystalline dielectrics: the geometric phase approach" (পিডিএফ)। Rev. Mod. Phys.। 66: 899। ডিওআই:10.1103/RevModPhys.66.899। বিবকোড:1994RvMP...66..899R। ২৯ মার্চ ২০১৭ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৫ আগস্ট ২০১৯।  See also: D Vanderbilt, Berry phases and Curvatures in Electronic Structure Theory ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৮ মার্চ ২০১৮ তারিখে, an introductory-level powerpoint.