অয়লারের সূত্র

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা x {\displaystyle x} এর জন্য, e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle {e}^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}} যেখানে e {\displaystyle e} হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, i {\displaystyle i} কাল্পনিক সংখ্যার একক, c o s , s i n {\displaystyle cos,sin} হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং x {\displaystyle x} রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। x {\displaystyle x} যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়। অয়লারে সূত্রে x = π {\displaystyle x=\pi } বসিয়ে পাই, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} , যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত। e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ( i x ) 5 5 ! + ( i x ) 6 6 ! + ( i x ) 7 7 ! + ( i x ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! − x 6 6 ! − i x 7 7 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! + ⋯ ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ) = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {{(ix)}^{2}}{2!}}+{\frac {{(ix)}^{3}}{3!}}+{\frac {{(ix)}^{4}}{4!}}+{\frac {{(ix)}^{5}}{5!}}+{\frac {{(ix)}^{6}}{6!}}+{\frac {{(ix)}^{7}}{7!}}+{\frac {{(ix)}^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {{x}^{2}}{2!}}-{\frac {{ix}^{3}}{3!}}+{\frac {{x}^{4}}{4!}}+{\frac {{ix}^{5}}{5!}}-{\frac {{x}^{6}}{6!}}-{\frac {{ix}^{7}}{7!}}+{\frac {{x}^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=(1-{\frac {{x}^{2}}{2!}}+{\frac {{x}^{4}}{4!}}-{\frac {{x}^{6}}{6!}}+{\frac {{x}^{8}}{8!}}+\cdots )+i(x-{\frac {{x}^{3}}{3!}}+{\frac {{x}^{5}}{5!}}-{\frac {{x}^{7}}{7!}}+\cdots )\\[8pt]&{}=\cos {x}+i\sin {x}\\[8pt]\end{aligned}}} ধরা যাক, f ( x ) = e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos {x}+i\sin {x})} f ( x ) {\displaystyle f(x)} কে x {\displaystyle x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, f ′ ( x ) = e − i x ( − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) − i e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=e^{-ix}(-\sin {x}+i\cos {x})-ie^{-ix}(\cos {x}+i\sin {x})=0} যেহেতু ফাংশন f {\displaystyle f} এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ, f ( x ) = e − x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = c {\displaystyle f(x)=e^{-x}(\cos {x}+i\sin {x})=c} , যেখানে c {\displaystyle c} একটি ধ্রুবক। x = 0 {\displaystyle x=0} বসিয়ে, f ( 0 ) = 1 = c {\displaystyle f(0)=1=c} সুতরাং, f ( x ) = e − x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = 1 {\displaystyle f(x)=e^{-x}(\cos {x}+i\sin {x})=1} অর্থাৎ e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}} (প্রমাণিত) ধরা যাক, z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x ∴ d z = ( − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) d x d z = ( i 2 sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) d x d z = i ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) d x d z = i z d x d z z = i d x ∫ d z z = i ∫ d x ln ⁡ z = i x + c {\displaystyle {\begin{aligned}z&{}=\cos {x}+i\sin {x}\\[8pt]\therefore dz&{}=(-\sin {x}+i\cos {x})dx\\[8pt]dz&{}=(i^{2}\sin {x}+i\cos {x})dx\\[8pt]dz&{}=i(\cos {x}+i\sin {x})dx\\[8pt]dz&{}=izdx\\[8pt]{\frac {dz}{z}}&{}=idx\\[8pt]\int {\frac {dz}{z}}&{}=i\int {dx}\\[8pt]\ln {z}&{}=ix+c\\\end{aligned}}} যেখানে c {\displaystyle c} সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে x = 0 {\displaystyle x=0} বসালে z = 1 {\displaystyle z=1} হয়। শেষ সমীকরণে x = 0 {\displaystyle x=0} এবং z = 1 {\displaystyle z=1} বসিয়ে c = 0 {\displaystyle c=0} পাওয়া যায়। সুতরাং, ln ⁡ z = i x {\displaystyle \ln {z}=ix} e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}} (প্রমাণিত)