ফ্রিদমান সমীকরণ

এই সমীকরণগুলো রাশিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী আলেক্সান্দ্র্‌ আলেক্সান্দ্রোভিচ ফ্রিদমান প্রবর্তন করেন। সূত্রগুলো হলো: H 2 ≡ ( a ˙ a ) 2 = 8 π G ρ + Λ 3 − K c 2 a 2 {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}} 3 a ¨ a = Λ − 4 π G ( ρ + 3 p c 2 ) {\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})} where ρ {\displaystyle \rho } and p {\displaystyle p} are the density and pressure of the fluid, Λ {\displaystyle \Lambda } আরও সরল রূপ হলো: ρ → ρ − Λ 8 π G {\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}} p → p + Λ c 2 8 π G {\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}} যা থেকে আমরা পাই: H 2 ≡ ( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − K c 2 a 2 {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}} 3 a ¨ a = − 4 π G ( ρ + 3 p c 2 ) {\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})} মহাবিশ্বের সম্প্রসারণ শেষমেশ থেমে গিয়ে, সংকোচন শুরু হওয়ার জন্য মহাজাগতিক ভর-ঘনত্বকে সর্বনিম্ন যে মানবিশিষ্ট হতে হবে তাকে সংকট ঘনত্ব (critical density) বলা হয়। মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব যদি সংকট ঘনত্বের চেয়ে বেশি হয় তাহলে মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে(spatially) সসীম হবে। একে ρc দ্বারা সূচিত করা হয়। ধরা যাক, R ব্যাসার্ধের একটি সুষম গোলকের মধ্যে রয়েছে অনেকগুলি ছায়াপথ। (হিসাবের সুবিধার্থে ধরে নিচ্ছি যে, যেকোন দুইটি ছায়াপথগুচ্ছের মধ্যকার দূরত্বের তুলনায় বড় হলেও মহাবিশ্বের সামগ্রিক আকৃতির তুলনায় R ক্ষুদ্রতর।) এই সুষম গোলকটির ভর(M) হবে এর আয়তন ও মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব(ρ) এর গুণফলের সমান: M = 4 π R 3 3 ρ {\displaystyle M={\frac {4\pi R^{3}}{3}}\rho } এই গোলকটির পৃষ্ঠদেশে অবস্থিত যেকোন ছায়াপথের বিভব শক্তি নিউটনের মহাকর্ষতত্ত্ব থেকে পাওয়া যায়: P . E . = − m M G R = − 4 π m R 2 ρ G 3 {\displaystyle P.E.=-{\frac {mMG}{R}}=-{\frac {4\pi mR^{2}\rho G}{3}}} যেখানে, m হলো ছায়াপথটির ভর, এবং G হলো সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G = 6.673 ∗ 10 − 11 N m 2 k g − 2 {\displaystyle \,G=6.673*10^{-11}Nm^{2}kg^{-2}} হাবলের নীতি অনুসারে ছায়াপথটির দ্রুতি V হবে, V = H R {\displaystyle \,V=HR} যেখানে H হলো হাবলের ধ্রুবক। সুতরাং গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত ছায়াপথটির গতিশক্তি হবে, K . E . = 1 2 m V 2 = 1 2 m H 2 R 2 {\displaystyle \,K.E.={\frac {1}{2}}mV^{2}={\frac {1}{2}}mH^{2}R^{2}} এখন ছায়াপথটির বিভব শক্তি এবং গতিশক্তির সমষ্টি নিলে পাওয়া যাবে এর মোট শক্তি, E = P . E . + K . E . = m R 2 [ 1 2 H 2 − 4 3 π ρ G ] {\displaystyle \,E=P.E.+K.E.=mR^{2}[{\frac {1}{2}}H^{2}-{\frac {4}{3}}\pi \rho G]} শক্তির নিত্যতার নীতি অনুযায়ী মহাবিশ্ব সম্প্রসারিত হলেও মোট শক্তি(E) এর মান সদা অপরিবর্তীত থাকবে। যদি E এর মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে মহাবিশ্ব কখনোই অসীম পরিমাণে সম্প্রসারিত হতে পারবে না, কারণ অসীম দূরত্বে বিভবশক্তির মান নগণ্য হওয়ায় মোট শক্তির সিংহভাগ থাকে গতিশক্তি, যা কিনা সবসময়ই ধনাত্মক। অন্যদিকে, E এর মান ধনাত্মক হলে অসীম দূরত্বেও কিছু গতিশক্তি অবশিষ্ট থাকায় মহাবিশ্বের পক্ষে অসীম পরিমাণ সম্প্রসারণ সম্ভবপর হয়। সুতরাং, ছায়াপথটি কাঁটায় কাঁটায় মুক্তিবেগ প্রাপ্ত হওয়ার শর্ত হবে, 1 2 H 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}H^{2}} = 4 3 π ρ G {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \rho G} অন্যভাবে বলতে গেলে, এ অবস্থার জন্য ঘনত্বের মান হতে হবে, ρ {\displaystyle \,\rho } c = 3 H 2 8 π G {\displaystyle {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}} এটাই হলো সংকট ঘনত্বের সমীকরণ। (এখানে নিউটনীয় পদার্থবিদ্যা ব্যবহৃত হলেও মহাবিশ্বের অন্তর্গত বস্তুসমূহ দারুনরকম আপেক্ষিক হলে সেক্ষেত্রেও এই সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে- কেবল ρ {\displaystyle \,\rho } কে মোট শক্তি-ঘনত্ব এবং c2 এর অনুপাত হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।) উদাহরণস্বরপ, যদি H এর অধুনা জনপ্রিয় মান ১৫ কিলোমিটার প্রতি সেকেন্ড প্রতি মিলিয়ন আলোকবর্ষ(১ আলোকবর্ষ = ৯.৪৬ x ১০১২ কিলোমিটার) ব্যবহার করা হয় তবে: ρ {\displaystyle \,\rho } c = 3 8 π ( 6.67 ∗ 10 8 c m 3 / g m s e c 2 ) ( 15 k m / s e c / 10 6 l t y r s 9.46 ∗ 10 12 k m / l t y r ) 2 = 4.5 ∗ 10 − 30 g m / c m 2 {\displaystyle {\frac {3}{8\pi (6.67*10^{8}cm^{3}/gmsec^{2})}}({\frac {15km/sec/10^{6}ltyrs}{9.46*10{12}km/ltyr}})^{2}=4.5*10^{-30}gm/cm^{2}} প্রতি গ্রামে নিউক্লীয় কণা আছে ৬.০২ X ১০২৩ টি। সুতরাং সংকট ঘনত্বের এই মান নির্দেশ করে যে, প্রতি ঘনসেন্টিমিটারে ২.৭ X ১০−৬ টি তথা প্রতি লিটারে ০.০০২৭ টি নিউক্লীয় কণা রয়েছে।