বহুপদী সমীকরণ

a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 , {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,} আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। উল্লেখ্য এখানেও n একটি ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা এবং a 0 , a 1 , a 2 . . . . . . . . . a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}.........a_{n}} সহগ গুলো x বর্জিত সংখ্যা এবং a n {\displaystyle a_{n}} অবশ্যই শূন্য নয় কারণ তা সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ। x এর যে মান গুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয় ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল বলা হয়। বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত n হলে এবং n=1,2,3.....n এর জন্য বহুপদী সমীকরণকে যথাক্রমে সরল বা একঘাত সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, ত্রিঘাত সমীকরণ এবং বহুঘাত সমীকরণ বলা হয়। প্রতিটি বহুপদী সমীকরণে কমপক্ষে একটি বাস্তব বা জটিল মূল থাকে। n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে নির্দিষ্টভাবে n সংখ্যক মূল থাকবে। দুই বা ততোধিক বা সবকয়টি মূল এর মান একই হতে পারে। যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ হবে f(a) এটি ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত। যদি কোন বহুপদী রাশি f(x) এর একটি মূল a হয় তবে x-a, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে। এটি উৎপাদক উপপাদ্য নামে পরিচিত। a+ib যদি কোন বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হয় তবে সমীকরণে নিশ্চিত ভাবে অপর একটি মূল থাকবে যার মান a-ib । a+ib এবং a-ib কে পরষ্পরের অনূবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। অবার a + b {\displaystyle a+{\sqrt {b}}} যেখানে b {\displaystyle {\sqrt {b}}} অমূলদ সংখ্যা, বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি হবে a − b {\displaystyle a-{\sqrt {b}}} এরা পরষ্পরের অনূবন্ধী অমূলদ সংখ্যা। কোন বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যদি দুই হয় তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী বলা হয়ে থাকে। a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} একটি দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ। বহুপদী সমীকরণের স্বীকার্য মতে এতে দুইটি মূল থাকবে। একটি মূলকে α {\displaystyle \alpha } এবং অপর মূলকে β {\displaystyle \beta } ধরা হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক হবে- α + β = − b / a {\displaystyle \alpha +\beta =-b/a} α β = c / a {\displaystyle \alpha \beta =c/a} আবার সমীকরণকে লিখা যায়- ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0} অথবা x 2 − ( α + β ) x + α β = 0 {\displaystyle x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0} a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} একটি দ্বিঘাত সমীকরণ(a≠0) হলে b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} এর মানকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলা হয়। নিশ্চায়কের মানের উপর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে। b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle b^{2}-4ac>0} হলে মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle b^{2}-4ac>0} এর মান পূর্ণ বর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ এবং b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle b^{2}-4ac>0} এর মান পূর্ণ বর্গ না হলে মূলদ্বয় অমূলদ এবং অমূলদ মূলদ্বয় পরষ্পরের অনুবন্ধী। b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle b^{2}-4ac<0} হলে মূলদ্বয় জটিল এবং পরষ্পরের অনুবন্ধী। b 2 − 4 a c = 0 {\displaystyle b^{2}-4ac=0} মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। এবং দ্বিপদী রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ। a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} সমীকরণে দুটি মূল পরস্পরের সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি b=0 হয়। কমপক্ষে একটি মূল শূণ্য হওয়ার শর্ত c=0 মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত হওয়ার শর্ত a=c মূলদ্বয় পরষ্পরের বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত a=-c অর্থাৎ a+c=0। a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} আকারের সমীকরণকে ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য অনুযায়ী এতে তিনটি মূল রয়েছে। মূলগুলোকে α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } ও γ {\displaystyle \gamma } দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ত্রিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ- α + β + γ = − b / a {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-b/a} α β + β γ + γ α = c / a {\displaystyle \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =c/a} α β γ = − d / a {\displaystyle \alpha \beta \gamma =-d/a} a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x n − 2 + a 3 x n − 3 + . . . . . . . + a n − 1 x + a n = 0 , {\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+.......+a_{n-1}x+a_{n}=0,} একটি বহুপদী সমীকরণ এবং এর মূল গূলো α 1 , α 2 , α 3 , . . . . . α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},.....\alpha _{n}} হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক- মূলের যোগফল α 1 + α 2 + α 3 + . . . . . . + α n = − a 1 / a 0 {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+......+\alpha _{n}=-a_{1}/a_{0}} দুটি করে মূলের গুনফলের যোগফল α 1 α 2 + α 2 α 3 + . . . . . . + α n α 1 = a 1 / a 0 {\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+......+\alpha _{n}\alpha _{1}=a_{1}/a_{0}} তিনটি করে মূলের গুনফলের যোগফল α 1 α 2 α 3 + α 2 α 3 α 4 + . . . . . . . = − a 2 / a 0 {\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4}+.......=-a_{2}/a_{0}} সবগুলো মূলের গুনফল α 1 α 2 α 3 . . . . . α n = ( − 1 ) n a n / a 0 {\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}.....\alpha _{n}=(-1)^{n}a_{n}/a_{0}} উচ্চমাধ্যমিক বীজগণিত ও ত্রিকোনমিতি। আফসারুজ্জামান।  Authors list-এ |প্রথমাংশ1= এর |শেষাংশ1= নেই (সাহায্য); এখানে তারিখের মান পরীক্ষা করুন: |সংগ্রহের-তারিখ= (সাহায্য); |সংগ্রহের-তারিখ= এর |ইউআরএল= প্রয়োজন (সাহায্য) "বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)"। edpdbd.org। ১০ মার্চ ২০১৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০ জুন ২০১৫।