কোশি অনুক্রম

গণিতশাস্ত্রে কোশি অনুক্রম (ইংরেজি: Cauchy sequence) বলতে সেইসব অনুক্রমকে বোঝায় যেখানে অনুক্রমের অগ্রগতির সাথে সাথে পদ বা উপাদানগুলি একে অপরের সঙ্গে যতখুশি নিকটবর্তী হতে থাকে। আরও নির্দিষ্টভাবে বললে, যদি যেকোনো ধনাত্মক দূরত্ব-সীমা বেঁধে দেওয়া হয়, তাহলে সসীম সংখ্যক নির্দিষ্ট কয়েকটি পদকে বাদ দিলে বাকি প্রতিটি পদ একে অন্যের থেকে ঐ দূরত্ব-সীমার মধ্যে অবস্থান করবে। গণিতবিদ অগাস্টিন-লুইস কোশির নামে এই অনুক্রমগুলি নামাঙ্কিত। এদের কখনো কখনো মৌলিক অনুক্রম-ও বলা হয়। তার মানে কিন্তু এটা দাঁড়ায় না যে পরপর ক্রমিক পদগুলির পার্থক্য যতখুশি ছোট হতে থাকলেই অনুক্রমটি কোশি হবে। যেমন, স্বাভাবিক সংখ্যাদের বর্গমূলের অনুক্রমকে নিলে: a n = n {\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}} পরপর ক্রমিক পদগুলির পার্থক্য শূন্যের দিকে যেতে থাকে। a n + 1 − a n = n + 1 − n = 1 n + 1 + n < 1 2 n {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}} কিন্তু; n অসীমের দিকে অগ্রসর হতে থাকলে, a n = n {\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}} ও অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, মানে যত ইচ্ছে (সসীম সংখ্যক) পদই বাদ দেওয়া হোক না কেন, বাকি সমস্ত পদগুলি কখনোই পরস্পরের কোনও নির্দিষ্ট দূরত্বের মধ্যে আসতে পারে না। এক্ষেত্রে যে কোনও সূচক N {\displaystyle N} এবং দূরত্ব-সীমা d = 1 {\displaystyle d=1} নেওয়া হলে দুটি এমন সূচক m , n ≥ N {\displaystyle m,n\geq N} (উদাহরণ- m = ( N + 2 ) 2 , n = N 2 {\displaystyle m=(N+2)^{2},n=N^{2}} ) পাওয়া যাবেই যাতে সেই পদগুলির পার্থক্য অন্তত a m − a n = ( N + 2 ) 2 − N 2 = 2 ≥ 1 = d {\displaystyle a_{m}-a_{n}={\sqrt {(N+2)^{2}}}-{\sqrt {N^{2}}}=2\geq 1=d} হয়। সুতরাং এই অনুক্রমটি কোশি হতে পারে না। কোশি অনুক্রমের সুবিধে হল যে, সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেসে (যেসব মেট্রিক স্পেসে সব কোশি অনুক্রমের ক্রম-সীমা বা লিমিট বর্তমান অর্থাৎ তারা সবাই অভিসারী), একটি অনুক্রমের অভিসারিত্ব শুধুই সেটির পদগুলির ওপরেই নির্ভর করে, যেখানে অভিসারিত্বের সাধারণ লিমিট সংজ্ঞা অনুক্রমের পদগুলির সঙ্গে সঙ্গে লিমিটটির মানের ওপরেও নির্ভরশীল। এই বৈশিষ্ট্যটি অনেকসময় বিভিন্ন তাত্ত্বিক ও ফলিত অ্যালগরিদমে ব্যবহার করা হয়, কারণ কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির ফলাফলগুলির অনুক্রম যে কোশি ধর্ম মেনে চলবে সেটা দেখানো তুলনামূলক সহজ; ফলশ্রুতিতে পদ্ধতিটির সমাপ্তি বা অন্য যৌক্তিক শর্ত মেনে চলা দেখানো যেতে পারে। আরও বিমূর্ত ইউনিফর্ম স্পেসে কোশি অনুক্রমগুলির সাধারণিকরণ বিদ্যমান, যেমন কোশি ফিল্টার এবং কোশি নেটগুলির আকারে। বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম x 1 , x 2 , x 3 , … , x n , … {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n},\dots } -কে কোশি অনুক্রম বলা হয়, যদি প্রতিটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ( ε > 0 ) {\displaystyle (\varepsilon >0)} জন্য পাল্টা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ( N ∈ N ) {\displaystyle (N\in \mathbb {N} )} থাকে, যাতে করে তারপর থেকে সব স্বাভাবিক সংখ্যা- ( m , n > N ) {\displaystyle (m,n>N)} -এর জন্য | x m − x n | < ε {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon } সিদ্ধ হয়, যেখানে উল্লম্ব রেখাদুটি পরম মান চিহ্নিত করে। অনুরূপভাবে মূলদ বা জটিল সংখ্যার কোশি অনুক্রমের সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব। কোশি এই শর্তটিকে ব্যাখ্যা করেছিলেন এইভাবে-- m, n যেকোনো অসীম জোড়ের জন্য x m − x n {\displaystyle x_{m}-x_{n}} কে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র হতে হবে। যেকোনো বাস্তব সংখ্যা r-এর জন্য, সেটির n-দশমিক অঙ্ক পর্যন্ত নেওয়া আসন্ন মানগুলির অনুক্রম কোশি অনুক্রম হয়। যথা, π {\displaystyle \pi } এর জন্য অনুক্রমটি হবে (৩, ৩.১, ৩.১৪, ৩.১৪১, ...), এবং তার m-তম ও n-তম পদ দুটির পার্থক্য হয় বড়জোর 10 1 − m {\displaystyle 10^{1-m}} ( m < n {\displaystyle m<n} ধরে); m যত বড় হয় এই পার্থক্যের পরিমাণ যেকোনো পূর্বনির্দিষ্ট ধনাত্মক রাশির থেকে কম হয়ে যায়। যদি ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)} , X {\displaystyle X} সেটের অন্তর্গত একটি অনুক্রম হয়, তাহলে ঐ অনুক্রমের একটি কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক হবে স্বাভাবিক সংখ্যাদের সেট থেকে নিজেতে অঙ্কিত এমন একটি অপেক্ষক α {\displaystyle \alpha } , যাতে করে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা k {\displaystyle k} এবং স্বাভাবিক সংখ্যা m , n > α ( k ) {\displaystyle m,n>\alpha (k)} এর জন্য, | x m − x n | < 1 / k {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k} সিদ্ধ হয়। কোনো অনুক্রমের যদি কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক থাকে, তাহলে সেটি কোশি অনুক্রম হতে বাধ্য। যেকোনো কোশি অনুক্রমেরও একটি কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক থাকতেই হবে-- স্বাভাবিক সংখ্যাদের "ওয়েল-অর্ডার" ধর্ম থেকে এটা প্রতিষ্ঠা করা যায় (যেমন α ( k ) {\displaystyle \alpha (k)} কে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে-- ε {\displaystyle \varepsilon } কে 1 / k {\displaystyle 1/k} নিলে কোশি অনুক্রমের সংজ্ঞায় ক্ষুদ্রতম যে N {\displaystyle N} কাজ করে, সেই মান)। গণনাযোগ্য পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ থেকেও এই গুণাঙ্কের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যায়। কোনো অনুক্রমের যদি বিশেষ একটি গুণাঙ্ক থেকে থাকে (সাধারণত α ( k ) = k {\displaystyle \alpha (k)=k} or α ( k ) = 2 k {\displaystyle \alpha (k)=2^{k}} ), তাহলে অনুক্রমটিকে সুষম কোশি অনুক্রম বলা যায়। কোনোরকম পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার না করেই প্রমাণ করা যায়, যে কোনো কোশি অনুক্রম একটি সুষম কোশি অনুক্রমের তুল্যমূল্য। যেসব গঠনমূলক গণিতবিদরা কোনো রকম পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করতে চান না, তাঁরা কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্ক ব্যবহার করেন। কোশি অভিসারিত্ব গুণাঙ্কের ব্যবহার, গঠনমূলক গাণিতিক বিশ্লেষণে বিভিন্ন সংজ্ঞা ও উপপাদ্যকে সরলীকৃত করে। Bishop (2012) ও Bridges (1997) গঠনমূলক গাণিতিক বিশ্লেষণের পাঠ্যবইয়ে সুষম কোশি অনুক্রম ব্যবহার করেছিলেন। কোনও মেট্রিক স্পেস (X, d) -কে সম্পূর্ণ বলা হয়, যখন X এর মধ্যের প্রতিটি কোশি অনুক্রম X এর মধ্যে অভিসারী হয়, অর্থাৎ এরকম একটি অনুক্রম নিলে তা X এর কোনো একটি সংশ্লিষ্ট সদস্যে অভিসৃত হয়। দূরত্ব বা মেট্রিক হিসেবে পার্থক্যের পরম মান নিলে, বাস্তব সংখ্যা-দের সেটটি সম্পূর্ণ। আর বাস্তব সংখ্যার সেট-এর নির্মাণ করার একটি আদর্শ পদ্ধতি হল মূলদ সংখ্যা-দের কোশি অনুক্রমের মাধ্যমে। এই নির্মাণে, মূলদ কোশি অনুক্রমদের প্রতিটি তুল্যতা শ্রেণী এক একটি বাস্তব সংখ্যা, যে সম্পর্কে দুটি মূলদ কোশি অনুক্রমকে তুল্য বলে যদি তাদের মধ্যের দূরত্ব শূন্যের প্রতি যথেচ্ছভাবে অগ্রসর হতে থাকে। যেকোনো মেট্রিক স্পেস X -কে বিচ্ছিন্ন দূরত্ব মেট্রিক দিলে (যেখানে যেকোনো দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব ধরা হয় 1) একটা খুবই অন্য ধাঁচের উদাহরণ তৈরি হয়। X-এর যেকোনো কোশি অনুক্রমকে একটা নির্দিষ্ট ক্রমের পর বাধ্যতামূলকভাবে পরিবর্তনহীন হয়ে পড়তে হয়, এবং সেই অপরিবর্তনশীল মানটিই অনুক্রমের ক্রম-সীমা হয়। Q {\displaystyle \mathbb {Q} } অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা-দের সেটটি সম্পূর্ণ নয় (স্বাভাবিক দূরত্ব নিলে): এমন অনেক মূলদ অনুক্রম আছে যারা (বাস্তব বা R {\displaystyle \mathbb {R} } সংখ্যার অনুক্রম হিসেবে) অমূলদ সংখ্যায় অভিসৃত হয়; Q {\displaystyle \mathbb {Q} } এর মধ্যে এরা কোশি অনুক্রম হলেও Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -এর মধ্যে এদের কোনও ক্রমসীমা নেই। প্রকৃতপক্ষে, যদি x একটি অমূলদ বাস্তব সংখ্যা হয়, আর xn যদি তার n-দশমিক পর্যন্ত আসন্ন মান হয়, তাহলে (xn) একটি মূলদ কোশি অনুক্রম হবে যার ক্রমসীমা x অমূলদ। R {\displaystyle \mathbb {R} } -এ নিশ্চিতভাবেই অমূলদ সংখ্যারা বর্তমান, যেমন: x 0 = 1 , x n + 1 = x n + 2 / x n 2 {\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}} অনুক্রমটিতে সব পদই মূলদ (1, 3/2, 17/12,...), যা নির্মাণ থেকেই দেখা যায়। কিন্তু এটির ক্রমসীমা হল 2-এর বর্গমূল, যা অমূলদ। (দ্রষ্টব্য-বর্গমূল নির্ণয়ের ব্যাবিলনীয় পদ্ধতি।) পরপর ফিবোনাচ্চি সংখ্যা-দের অনুপাতদের অনুক্রম x n = F n / F n − 1 {\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}} নিলে, তা যদি একান্তই অভিসারী হয়, তাহলে ক্রমসীমা ϕ {\displaystyle \phi } -কে ϕ 2 = ϕ + 1 {\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1} সম্পর্কটি সিদ্ধ করতেই হয়। কিন্তু কোনও মূলদ সংখ্যার এই ধর্ম নেই। এটিকে বাস্তব অনুক্রম হিসেবে নিলে এটি বাস্তব অমূলদ সংখ্যা φ = ( 1 + 5 ) / 2 , {\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,} বা সোনালী অনুপাত -এ অভিসৃত হয়। প্রমাণ করা যায় যে যেকোনো অশূন্য মূলদ x এর জন্য, এক্সপোনেনশিয়াল বা ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক, exp(x), sin(x), cos(x), অমূলদ মান নেয়। কিন্তু এদের সবাইকেই এক একটি মূলদ কোশি অনুক্রমের ক্রমসীমা হিসেবে লেখা যায়, এদের ম্যাকলরিন বা টেলর ধারা ব্যবহার করে। বাস্তবদের সাবসেট হিসেবে মুক্ত ব্যবধান X = ( 0 , 2 ) {\displaystyle X=(0,2)} এবং স্বাভাবিক মেট্রিক নিলে সেটি সম্পূর্ণ হয় না। যেমন, এর মধ্যের একটি অনুক্রম x n = 1 / n {\displaystyle x_{n}=1/n} কোশি হলেও, এটি X {\displaystyle X} -এর মধ্যে অভিসারী নয় — এর বাস্তব "ক্রমসীমা" শূন্য, যা X {\displaystyle X} এর অন্তর্গত নয়। যেকোনো মেট্রিক স্পেসে, প্রতিটি অভিসারী অনুক্রমই (ধরা যাক ক্রমসীমা s) কোশি হতে বাধ্য, কারণ, যেকোনো ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} এর জন্য, একটি নির্দিষ্ট সূচকের পর, অনুক্রমের প্রতিটি পদ s-এর ε / 2 {\displaystyle \varepsilon /2} দূরত্বের মধ্যে থাকবেই, তাই ঐ নির্দিষ্ট সূচকের পর থেকে যেকোনো দুটি পদ একে অন্যের ε {\displaystyle \varepsilon } দূরত্বের মধ্যে থাকবে। যেকোনো মেট্রিক স্পেসে, কোশি অনুক্রমেরা ( x n {\displaystyle x_{n}} ) সীমাবদ্ধ হয়। এমন একটি N থাকবেই, যার পর থেকে প্রতিটি পদযুগল পরস্পরের 1 দূরত্বের মধ্যে। যদি x N + 1 {\displaystyle x_{N+1}} থেকে প্রথম N টি পদের দূরত্বদের মধ্যে বৃহত্তমটি M হয়, তাহলে অনুক্রমের সব পদ x N + 1 {\displaystyle x_{N+1}} থেকে বড়জোর M + 1 {\displaystyle M+1} দূরত্বের মধ্যে। যেকোনো মেট্রিক স্পেসে, একটি কোশি অনুক্রম যার একটি অভিসারী অনুক্রম রয়েছে (যার ক্রমসীমা s) তা নিজেই অভিসারী (একই ক্রমসীমার সাথে)। কারণ, যেকোন বাস্তব সংখ্যা r > 0 দেওয়া হলে, মূল অনুক্রমের কিছু নির্দিষ্ট সূচকের পর থেকে, পরবর্তী প্রতিটি পদ s থেকে r/2 দূরত্বের মধ্যে, এবং মূল অনুক্রমের যেকোনো দুটি পদ পরস্পরের r/2 দূরত্বের মধ্যে, তাই (পূর্বোক্ত নির্দিষ্ট সূচকের পর থেকে) মূল অনুক্রমের প্রতিটি পদ s এর দূরত্ব r এর মধ্যে। বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্যের সাথে এই শেষ দুটি ধর্ম যোগ করে বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতার একটি আদর্শ প্রমাণ পাওয়া সম্ভব, যা বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য এবং হেইন-বোরেল উপপাদ্য উভয়ের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি কোশি অনুক্রম সীমাবদ্ধ, তাই বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাসের একটি অভিসারী অনুক্রম রয়েছে, তাই পূর্বোক্ত অনুক্রমটি নিজেই অভিসারী। বাস্তব সংখ্যার সেটের সম্পূর্ণতার এই প্রমাণটি অন্তর্নিহিতভাবে ন্যূনতম ঊর্ধ্বসীমা স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে। বাস্তব সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যার সম্পূ‌র্ণায়ন হিসাবে গঠন করার পূর্বোল্লিখিত বিকল্প পদ্ধতি, বাস্তব সংখ্যাদের সম্পূর্ণতাকে স্বয়ংক্রিয় করে তোলে। কোশি অনুক্রমগুলির সাথে কাজ করার এবং সম্পূর্ণতা ব্যবহার করতে পারার যে সুবিধা, তার একটি গড়পড়তা উদাহরণ হল বাস্তব সংখ্যার একটি অসীম সিরিজের সমষ্টির বিশ্লেষণ (বা, আরও ব্যাপকভাবে, অসীম সিরিজটি কোনও সম্পূর্ণ স্বাভাবিক রৈখিক স্থান, বা বানাক স্থানের সদস্যদের নিয়ে হতে পারে)। এই ধরনের সিরিজ ∑ n = 1 ∞ x n {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}} কে অভিসারী বলে ধরা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আংশিক যোগফল ( s m ) {\displaystyle (s_{m})} এর অনুক্রম অভিসারী হয়, যেখানে s m = ∑ n = 1 m x n {\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}} । আংশিক রাশির অনুক্রম কোশি কিনা তা নির্ধারণ করা একটি গতেবাঁধা ব্যাপার, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা p > q {\displaystyle p>q} এর জন্য s p − s q = ∑ n = q + 1 p x n . {\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.} যদি f : M → N {\displaystyle f:M\to N} , M এবং N মেট্রিক স্পেসগুলির মধ্যে একটি সুষম সন্তত অপেক্ষক হয় এবং (xn), M -এ একটি কোশি অনুক্রম হয়, তাহলে ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} N -এ একটি কোশি অনুক্রম হবে। যদি ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} ও ( y n ) {\displaystyle (y_{n})} মূলদ, বাস্তব বা জটিল সংখ্যার দুটি কোশি অনুক্রম হয়, তাহলে তাদের যোগফল ( x n + y n ) {\displaystyle (x_{n}+y_{n})} এবং গুণফল ( x n y n ) {\displaystyle (x_{n}y_{n})} ও কোশি অনুক্রম হবে। কোনো টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেস X {\displaystyle X} এর জন্যও কোশি অনুক্রমের একটি ধারণা রয়েছে। 0-র সাপেক্ষে X {\displaystyle X} এর জন্য একটি স্থানীয় বেস B {\displaystyle B} চয়ন করলে; ( x k {\displaystyle x_{k}} )-কে কোশি অনুক্রম বলা হবে যদি B {\displaystyle B} -এর প্রতিটি সদস্যের জন্য ( V ∈ B {\displaystyle V\in B} ) একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা N {\displaystyle N} থাকে যাতে করে n , m > N {\displaystyle n,m>N} হলেই x n − x m {\displaystyle x_{n}-x_{m}} , V {\displaystyle V} -এর মধ্যে থাকে। যদি X {\displaystyle X} -এর টপোলজি একটি চলন-অপরিবর্তনশীল মেট্রিক d {\displaystyle d} -এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তাহলে এটি আগের সংজ্ঞার সঙ্গে মিলে যায়। যেহেতু কোশি অনুক্রমের টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস সংজ্ঞার জন্য শুধুমাত্র একটি সন্তত "বিয়োগ" প্রক্রিয়া থাকা প্রয়োজন, তাই এটি একটি টপোলজিকাল গ্রুপের প্রসঙ্গেও বলা যেতে পারে: টপোলজিক্যাল গ্রুপ G {\displaystyle G} -তে একটি অনুক্রম ( x k ) {\displaystyle (x_{k})} কোশি অনুক্রম হবে যদি G {\displaystyle G} -তে একক বা আইডেন্টিটি পদের প্রতিটি মুক্ত পরিপার্শ্ব U {\displaystyle U} -এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা N {\displaystyle N} থাকে যাতে করে n , m > N {\displaystyle n,m>N} হলে x n x m − 1 ∈ U {\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U} হয়। আগের সংজ্ঞার মতোই, G {\displaystyle G} -তে আইডেন্টিটি পদের যে কোনও স্থানীয় বেসে আশেপাশের পরিপার্শ্বগুলির জন্য এটি পরীক্ষা করাই যথেষ্ট। একটি মেট্রিক স্পেস সম্পূর্ণায়নের মতো, G {\displaystyle G} -তে কোশি অনুক্রমের পারস্পরিক সম্পর্ককে আরও সংজ্ঞায়িত করা যায় যে ( x k ) {\displaystyle (x_{k})} এবং ( y k ) {\displaystyle (y_{k})} সমতুল্য যদি G {\displaystyle G} -তে আইডেন্টিটি পদের প্রতিটি মুক্ত পরিপার্শ্ব U {\displaystyle U} -এর জন্য একটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যা N {\displaystyle N} থাকে যাতে করে n , m > N {\displaystyle n,m>N} হলে x n x m − 1 ∈ U {\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U} হয়। এই সম্পর্কটি একটি সমতুল্য সম্পর্ক। এটি প্রতিফলনশীল কারণ অনুক্রমগুলি কোশি অনুক্রম। এটি প্রতিসম যেহেতু y n x m − 1 = ( x m y n − 1 ) − 1 ∈ U − 1 {\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}} যা U ↦ U − 1 {\displaystyle U\mapsto U^{-1}} ম্যাপের সন্তততার দরুন আরেকটি মুক্ত পরিপার্শ্ব। এটি ট্রানজিটিভ যেহেতু x n z l − 1 = x n y m − 1 y m z l − 1 ∈ U ′ U ″ {\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''} যেখানে U ′ {\displaystyle U'} এবং U ″ {\displaystyle U''} আইডেন্টিটি পদের দুটি মুক্ত পরিপার্শ্ব যাতে U ′ U ″ ⊆ U {\displaystyle U'U''\subseteq U} ; গ্রুপ প্রক্রিয়ার সন্তততার জন্য এই ধরনের জোড়া সর্বদাই বিদ্যমান। কোনো গ্রুপ G {\displaystyle G} -তেও কোশি অনুক্রমের একটি ধারণা রয়েছে। ধরা যাক G {\displaystyle G} -এর ইন্ডেক্স সসীম, ও H = ( H r ) {\displaystyle H=(H_{r})} হল G {\displaystyle G} -এর কিছু নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপের একটি হ্রাসমান অনুক্রম। তাহলে G {\displaystyle G} -এর একটি অনুক্রম ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} কে কোশি ( H {\displaystyle H} -এর সাপেক্ষে) বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যেকোনো r {\displaystyle r} -এর জন্য একটি N {\displaystyle N} থাকে যাতে করে ∀ m , n > N , x n x m − 1 ∈ H r . {\displaystyle \forall \,m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.} সিদ্ধ হয়। চুলচেরা ভাবে, এটি G {\displaystyle G} -তে টপোলজির একটি নির্দিষ্ট পছন্দের জন্য (যেটির জন্য H {\displaystyle H} একটি স্থানীয় ভিত্তি) টপোলজিক্যাল গ্রুপ কোশি অনুক্রমের সমান। এই ধরনের কোশি অনুক্রমের সেট C {\displaystyle C} একটি গ্রুপ গঠন করে (উপাংশ অনুসারে গুণফলের জন্য), এবং "নাল" অনুক্রমের (যেসব অনুক্রমের জন্য ∀ r , ∃ N , ∀ n > N , x n ∈ H r {\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}} সিদ্ধ হয়) সেট C 0 {\displaystyle C_{0}} হল C {\displaystyle C} -এর একটি নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপ। ফ্যাক্টর গ্রুপ C / C 0 {\displaystyle C/C_{0}} কে বলা হয় H {\displaystyle H} -এর সাপেক্ষে G {\displaystyle G} -এর সম্পূর্ণা‌য়ন। দেখানো যায় যে এই সম্পূর্ণা‌য়নটি ( G / H r ) {\displaystyle (G/H_{r})} অনুক্রমের বিপরীত সীমার সঙ্গে আইসোমরফিক। সংখ্যাতত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে পরিচিত এই নির্মাণের একটি উদাহরণ হল একটি মৌলিক p {\displaystyle p} -এর সাপেক্ষে পূর্ণসংখ্যাগুলির p {\displaystyle p} -adic সম্পূর্ণায়নের নির্মাণ। এই ক্ষেত্রে, G {\displaystyle G} হল যোগ প্রক্রিয়ার অধীনে পূর্ণসংখ্যার সেট, এবং H r {\displaystyle H_{r}} হল অ্যাডিটিভ সাবগ্রুপ যা p r {\displaystyle p_{r}} -এর গুণিতকদের নিয়ে গঠিত। যদি H {\displaystyle H} একটি কোফাইনাল অনুক্রম হয় (অর্থাৎ, সসীম সূচকবিশিষ্ট যেকোনো নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপে কোনো H r {\displaystyle H_{r}} থাকে), তাহলে এই সম্পূর্ণা‌য়নটি এই অর্থে ক্যানোনিকাল যে এটি ( G / H ) H {\displaystyle (G/H)_{H}} এর বিপরীত সীমার সঙ্গে আইসোমরফিক, যেখানে H {\displaystyle H} সসীম সূচকের সমস্ত নর্ম্যা‌ল সাবগ্রুপের থেকে মান নেয়। আরও বিস্তারিত জানার জন্য, ল্যাং এর "Algebra" তে Ch. I.10 দ্রষ্টব্য। একটি বাস্তব অনুক্রম ⟨ u n : n ∈ N ⟩ {\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle } -এর একটি স্বাভাবিক হাইপাররিয়াল প্রসারণ রয়েছে, যা "সাধারণ" স্বাভাবিক সংখ্যা n ছাড়াও সূচক n-এর হাইপারন্যাচারাল মান H এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। অনুক্রমটি কোশি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি অসীম H এবং K এর জন্য, u H {\displaystyle u_{H}} এবং u K {\displaystyle u_{K}} -এদের মান যদৃচ্ছভাবে কাছাকাছি, বা অ্যাডইকুয়াল, অর্থাৎ, s t ( u H − u K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0} যেখানে "st" হল আদর্শ অংশ ফাংশন। ক্রউসে (Krause (2020)) কোনো ক্যাটেগরির কোশি সম্পূর্ণায়নের একটি ধারণা দিয়েছেন। Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -তে প্রয়োগ করলে (সেই ক্যাটেগরি যার অবজেক্ট বা বস্তুগুলি হল মূলদ সংখ্যারা, এবং x থেকে y-তে মরফিজম বর্তমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ), এই কোশি সম্পূর্ণায়নটি R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}} দেয় (একইভাবে, এর স্বাভাবিক ক্রম অনুসারে ক্যাটেগরি হিসেবে ধরলে)। Lang 1992। Ebbinghaus, Heinz-Dieter (১৯৯১)। Numbers। New York: Springer। পৃষ্ঠা 40। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bishop, Errett Albert (২০১২)। Foundations of Constructive Analysis। Ishi Press। আইএসবিএন 9784871877145। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bourbaki, Nicolas (১৯৭২)। Commutative Algebra (English translation সংস্করণ)। Addison-Wesley / Hermann। আইএসবিএন 0-201-00644-8। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bridges, Douglas Sutherland (১৯৯৭)। Foundations of Constructive Analysis। Springer। আইএসবিএন 978-0-387-98239-7। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Krause, Henning (২০২০)। "Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller"। Mathematische Zeitschrift। 296 (3–4): 1387–1427। arXiv:1805.10751 । ডিওআই:10.1007/s00209-020-02490-z । উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Lang, Serge (১৯৯২)। Algebra (3d সংস্করণ)। Reading, Mass.: Addison Wesley Publishing Company। Zbl 0848.13001। আইএসবিএন 978-0-201-55540-0। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Spivak, Michael (১৯৯৪)। Calculus (3rd সংস্করণ)। Berkeley, CA: Publish or Perish। আইএসবিএন 0-914098-89-6। ২০০৭-০৫-১৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-০৫-২৬। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Troelstra, A. S.; van Dalen, D.। Constructivism in Mathematics: An Introduction। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) (for uses in constructive mathematics) Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Cauchy sequence", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) টেমপ্লেট:Series (mathematics)