ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান

ত্রিকোণমিতিতে ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান (ইংরেজি: Small angle approximation) হল একটি পদ্ধতি যার সাহায্যে কোনো ছোট মানে, কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকগুলির মান অনুমান করা যায়, যেখানে কোণের মান রেডিয়ান এককে। sin ⁡ θ ≈ θ cos ⁡ θ ≈ 1 − θ 2 2 ≈ 1 tan ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}} বলবিজ্ঞান, তড়িৎচুম্বকত্ব, আলোকবিজ্ঞান, কার্টোগ্রাফি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান সহ পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশল শাখায় এই অনুমানগুলির বিস্তৃত পরিসর রয়েছে। এর একটি কারণ হল যে তারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করতে পারে যার উত্তর পরম নির্ভুলতার সাথে দেওয়ার প্রয়োজন নেই। চিত্র ১.θ এর সাথে মৌলিক odd ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের তুলনা। এটি দেখা যায় যে কোণ ০ এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে অনুমানগুলি আরও ভাল হয়ে যায়। চিত্র ২. cos θ এর সাথে 1 − +θ২/২ এর তুলনা। এটি দেখা যায় যে কোণ ০ এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে অনুমান আরও ভাল হয়। এখানে H ও A প্রায় সমান হবার জন্য, cos ⁡ θ ≈ 1 − θ 2 2 {\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} sin ⁡ θ = O H ≈ O A = tan ⁡ θ = O A ≈ s A = A θ A = θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta } sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ ≈ θ . {\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .} স্যান্ডুইচ উপপাদ্য প্রয়োগে দেখা যায়, lim θ → 0 sin ⁡ ( θ ) θ = 1 {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1} lim θ → 0 tan ⁡ ( θ ) θ = 1 {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1} লা'হোপিটাল নিয়ম থেকে জানা যায়, lim θ → 0 cos ⁡ ( θ ) − 1 θ 2 = lim θ → 0 − sin ⁡ ( θ ) 2 θ = − 1 2 , {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},} বা, cos ⁡ ( θ ) ≈ 1 − θ 2 2 {\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} টেলর ধারা থেকে জানা যায়, sin ⁡ θ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}} যেখানে θ রেডিয়ানে। পরিষ্কারভাবে, sin ⁡ θ = θ − θ 3 6 + θ 5 120 − θ 7 5040 + ⋯ {\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots } এখন θ খুবই ছোট হলে, অনুমান করাই যায় যে, sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } আবার cos ⁡ θ ≈ 1 {\displaystyle \cos \theta \approx 1} , সেই জন্য tan ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \tan \theta \approx \theta } cos θ ≈ 1 at about 0.1408 radians (8.07°) tan θ ≈ θ at about 0.1730 radians (9.91°) sin θ ≈ θ at about 0.2441 radians (13.99°) cos θ ≈ 1 − +θ২/২ at about 0.6620 radians (37.93°) জ্যোতির্বিজ্ঞানে, দূরবর্তী বস্তুর চিত্র দ্বারা কৌণিক আকার বা কোণটি প্রায়শই মাত্র কয়েক আর্কসেকেন্ডের হয়, তাই এটি ছোট কোণের আনুমানিকতার জন্য উপযুক্ত। সরল সূত্র দ্বারা রৈখিক আকার (D) কৌণিক আকার (X) এবং পর্যবেক্ষক (d) থেকে দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত: D = X d 206 265 {\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}} যেখানে X আর্কসেকেন্ডে মাপা হয়। 206265 সংখ্যাটি একটি বৃত্তের আর্কসেকেন্ড সংখ্যার প্রায় সমান (1296000), 2π দ্বারা বিভক্ত, বা, 1 রেডিয়ানে আর্কসেকেন্ডের সংখ্যা। দ্বিতীয়-ক্রমের কোসাইন আনুমানিকতা একটি পেন্ডুলামের সম্ভাব্য শক্তি গণনা করার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর, যা গতির পরোক্ষ (শক্তি) সমীকরণ খুঁজে পেতে একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। একটি সাধারণ পেন্ডুলামের সময়কাল গণনা করার সময়, সাইনের জন্য ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান ব্যবহার করা হয় যাতে সরল দোলগতি বর্ণনাকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে তুলনা করে ফলস্বরূপ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সহজে সমাধান করা যায়। উপাক্ষীয় আলোকরশ্মি সংক্রান্ত গণনার কাজে এটি উপযোগী। Boas, Mary L. (২০০৬)। Mathematical Methods in the Physical Sciences। Wiley। পৃষ্ঠা 26। আইএসবিএন 978-0-471-19826-0। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)