ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায়, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি অন্তরকলন/অন্তরীকরণ এবং যোগজীকরণ/সমাকলনের প্রক্রিয়া দুটি বিপরীত এই (প্রমাণিত) দাবি। এটি এমনই এক উপপাদ্য যা কোন ফাংশনের অন্তরীকরণের ধারণা ও সমাকলনের ধারণার মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে। উপপাদ্যটির প্রথম অংশকে কখনো কখনো ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়। কোন ফাংশন f {\displaystyle f} এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন f ′ {\displaystyle f'} হয়, তবে, ∫ a b f ′ ( u ) d u = f ( a ) − f ( b ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f'(u)\,du=f(a)-f(b)} আবার, কোন ফাংশন f {\displaystyle f} এর জন্য d d x ∫ a x f ( u ) d u = f ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\int _{a}^{x}f(u)\,du=f(x)} ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে: ∫ 2 5 x 2 d x . {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.} এখানে, f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} এবং আমরা F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}} কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং: ∫ 2 5 x 2 d x = F ( 5 ) − F ( 2 ) = 5 3 3 − 2 3 3 = 125 3 − 8 3 = 117 3 = 39. {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.} অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক, d d x ∫ 0 x t 3 d t {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt} কে গণনা করতে হবে। এখানে, f ( t ) = t 3 {\displaystyle f(t)=t^{3}} and F ( t ) = t 4 4 {\displaystyle F(t)={\frac {t^{4}}{4}}} কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং: d d x ∫ 0 x t 3 d t = d d x F ( x ) − d d x F ( 0 ) = d d x x 4 4 = x 3 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.} অথবা, সমতুল্যভাবে, d d x ∫ 0 x t 3 d t = f ( x ) d x d x − f ( 0 ) d 0 d x = x 3 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.} তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি, ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.} যেখানে, ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) , ∫ a c f ( x ) d x = F ( c ) − F ( a ) ,  and  ∫ c b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( c ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}} ফলাফল নির্ভর করবে F ( b ) − F ( a ) = F ( c ) − F ( a ) + F ( b ) − F ( c ) . {\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).} এর উপর। বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে। এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো div {\displaystyle {\mbox{div}}} , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন। ∫ R div v d V = ∫ R ∇ ⋅ v d V = ∫ ∂ R v ⋅ d A {\displaystyle \int _{R}{\mbox{div}}\,\mathbf {v} \,dV=\int _{R}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {A} } এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো curl {\displaystyle {\mbox{curl}}} , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন। ∫ R curl v ⋅ d A = ∫ R ∇ × v ⋅ d A = ∫ ∂ R v ⋅ d l {\displaystyle \int _{R}{\mbox{curl}}\,\mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{R}\nabla \times \mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {l} } এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ ∫ R d ω = ∫ ∂ R ω {\displaystyle \int _{R}d\omega =\int _{\partial R}\omega } গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়। Spivak, Michael (১৯৮০), Calculus (2nd সংস্করণ), Houston, Texas: Publish or Perish Inc. উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "Wikiwand - ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য"। Wikiwand (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-০৫-২৮।  "Fundamental theorem of calculus | Integral Calculus, Differential Calculus & Derivatives | Britannica"। www.britannica.com (ইংরেজি ভাষায়)। ২০২৪-০৫-২৩। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-০৫-২৮।  Apostol, Tom M. (১৯৬৭), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd সংস্করণ), New York: John Wiley & Sons, আইএসবিএন 978-0-471-00005-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Bartle, Robert (২০০১), A Modern Theory of Integration, AMS, আইএসবিএন 0-8218-0845-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Leithold, L. (১৯৯৬), The calculus of a single variable (6th সংস্করণ), New York: HarperCollins College Publishers উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Rudin, Walter (১৯৮৭), Real and Complex Analysis (third সংস্করণ), New York: McGraw-Hill Book Co., আইএসবিএন 0-07-054234-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)