ত্রিকোণ সংখ্যা

একটি ত্রিকোণীয় সংখ্যা অথবা ত্রিকোণ সংখ্যা গণনা করে লক্ষ্যবস্তুগুলিকে যা একটি সমবাহু ত্রিভুজে সাজানো আছে, ডানপাশের চিত্রটির মত করে। nতম ত্রিভুজীয় সংখ্যাটি হচ্ছে ত্রিভুজীয় শৃঙ্খলটিতে একটি দিকের বিন্দুর সংখ্যা n, এবং ১ থেকে n অবধি n সংখ্যার প্রত্যেকটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সমান। ত্রিকোণীয় সংখ্যাগুলির ক্রমটি (ওইআইএস-পূর্ণসংখ্যা ক্রমের অন-লাইন বিশ্বকোষে এ০০২১৭ ক্রম), ০তম ত্রিকোণীয় সংখ্যা থেকে যা শুরু হয়, হচ্ছে ০, ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬, ৪৫, ৫৫, ৬৬, ৭৮, ৯১, ১০৫, ১২০, ১৩৬, ১৫৩, ১৭১, ১৯০, ২১০, ২৩১, ২৫৩, ২৭৬, ৩০০, ৩২৫, ৩৫১, ৩৭৮, ৪০৬, ৪৩৫, ৪৬৫, ৪৯৬, ৫২৮, ৫৬১, ৫৯৫, ৬৩০, ৬৬৬... ত্রিকোণ সংখ্যাগুলি তাদের স্পষ্ট সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে: T n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 = ( n + 1 2 ) , {\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},} যেখানে ( n + 1 2 ) {\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}} হচ্ছে একটি দ্বিপদ গুণাঙ্ক। এটি দেখায় বিচ্ছিন্ন জুড়ির একটি সংখ্যা যা n + 1 লক্ষ্যবস্তুগুলি থেকে চয়ন করা যায়, এবং এটি পড়া হয় "n যোগ এক চুজ় দুই"। প্রথম সমীকরণটি দৃশ্যমান প্রমাণ ব্যবহার করে চিত্রিত করা যাবে। প্রত্যেকটি ত্রিকোণ সংখ্যা T n {\displaystyle T_{n}} -এর জন্য, কল্পনা করুন একটি "অর্ধ বর্গক্ষেত্র" শৃঙ্খল লক্ষ্যবস্তুগুলির সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণীয় সংখ্যার, নিচের চিত্রটির মত। এই সরঞ্জামটিকে অনুলিপি করা ও ঘোরানো একটি বর্গক্ষেত্রীয় চিত্র বানানোর জন্য সংখ্যাটি দ্বিগুণ হয়ে যায়, যা তৈরী করে n × ( n + 1 ) {\displaystyle n\times (n+1)} মাত্রার একটি বর্গক্ষেত্র, এবং বর্গক্ষেত্রটির ভেতরের লক্ষ্যবস্তুগুলির সংখ্যাও। স্পষ্টভাবে, ত্রিকোণীয় সংখ্যাটি নিজেই সর্বদা এই ধরনের বর্গক্ষেত্রের ভেতরের লক্ষ্যবস্তুগুলির সংখ্যার অর্ধেক, অথবা: T n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}} । T 4 {\displaystyle T_{4}} উদাহরণ হচ্ছে: প্রথম সমীকরণটি গাণিতিক আরোহ বিধি দ্বারা প্রমাণিত করা যাবে। যেহেতু প্রথম (এক) স্বাভাবিক সংখ্যা(গুলি) -র যোগফল স্পষ্টভাবে একের সমান, একটি বেসিস কেস উপস্থাপিত করা হয়। অনুমান করলে আরোহিক হাইপোথিসিসের কোনও একটি n {\displaystyle n} এর অনুমান এবং n + 1 {\displaystyle n+1} যোগ করলে উভয় পক্ষই অবিলম্বে দেয় ∑ k = 1 n k + ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) → ∑ k = 1 n + 1 k = ( n + 1 ) ( ( n + 1 ) + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)\rightarrow \sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2}}} সহজ কথায়, যেহেতু প্রোপোজিশন P ( n ) {\displaystyle P(n)} (সেটা হচ্ছে, প্রথম সমীকরণটি, অথবা আরোহী হাইপোথিসিস নিজেই) সত্যি যখন n = 1 {\displaystyle n=1} , এবং যেহেতু P ( n ) {\displaystyle P(n)} সত্যি হয়ে বোঝায় যে P ( n + 1 ) {\displaystyle P(n+1)} -ও সত্যি, তখন প্রথম সমীকরণটি সত্য সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষেত্রে। উপরের তর্কটি সহজভাবে পরিবর্তন করা যাবে শুরু হতে, ও অন্তর্ভুক্ত করতে, শূন্য। বলা হয় যে কার্ল ফ্রিডরিশ গাউস এই সম্পর্কটি খুঁজে বের করেন তার প্রারম্ভিক যৌবনে, +n/২ জুড়ির সংখ্যাগুলিকে গুণ করে প্রত্যেকটি n + 1 জুড়ির মূল্যের যোগফলের সাথে। যদিও, এই কথার নির্বিশেষে, গাউস এই সূত্রটির প্রথম আবিষ্কর্তা ছিলেন না, এবং কেউ বিশ্বাস করে যে এটি সম্ভবত পিথাগোরিয়ানদের দ্বারা ৫ম শতাব্দী খ্রিষ্টাব্দে আবিষ্কৃত হয়। সূত্র দুইটি আইরিশ সন্ন্যাসী ডিক্যুইল কর্তৃক বর্ণিত হয় তার কম্পিউটাস-এ, আনুঃ ৮১৬ সালে। ত্রিকোণীয় সংখ্যা Tn সমাধান করে হ্যান্ডশেক বা করমর্দন সমস্যাটি যা গণনা করমর্দনের যদি একটি ঘরের n + 1 জনসংখ্যার প্রত্যেকজন একবার করে করমর্দন করে পরস্পরের সাথে। সহজ কথায়, n জনসংখ্যার করমর্দন সমস্যার সমাধান হবে Tn−1। T ক্রিয়াটি হচ্ছে ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশানের যোজনীয় এ্যানালগ, যা হচ্ছে ১ থেকে n অবধি পূর্ণসংখ্যার গুণফল। ত্রিভুজে নিকটতম বিন্দুর মধ্যে লাইনের অংশগুলির সংখ্যা বিন্দুর সংখ্যা বা পুনরাবৃত্তি সম্বন্ধ দ্বারা দেখানো যাবে: L n = 3 T n − 1 = 3 ( n 2 ) ;       L n = L n − 1 + 3 ( n − 1 ) ,   L 1 = 0. {\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.} সীমার মধ্যে, দুইটি সংখ্যা, বিন্দু এবং লাইনের অংশের মধ্যে অনুপাত হচ্ছে: lim n → ∞ T n L n = 1 3 . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.} x-এর বর্গমূল-এর সাথে উপমা দ্বারা, একজন বর্ণিত করতে পারে x-এর (ধনাত্মক) ত্রিকোণীয় মূলটি n সংখ্যা হিসাবে এমন ভাবে যে Tn = x: n = 8 x + 1 − 1 2 {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}} যা অবিলম্বে অনুসরণ করে দ্বিঘাত সূত্র থেকে। সুতরাং একটি পূর্ণসংখ্যা xত্রিকোণীয় হয় শুধুমাত্র যদি 8x + 1 একটি বর্গসংখ্যা হয়। সমান্তরালভাবে, যদি x-এর ধনাত্মক ত্রিকোণ সংখ্যা nএকটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে xহচ্ছে nতম ত্রিকোণ সংখ্যা। "Triangular Number Sequence"। Math Is Fun।  Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4. Hayes, Brian। "Gauss's Day of Reckoning"। American Scientist। Computing Science। ২০১৫-০৪-০২ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-০৪-১৬।  Eves, Howard। "Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS"। Mathcentral। ৮ জানুয়ারি ২০১৫ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৮ মার্চ ২০১৫।  Esposito,M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446. "সংরক্ষণাগারভুক্ত অনুলিপি"। ২৪ নভেম্বর ২০১৫ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৭ মার্চ ২০১৮।  Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (১৮১০), Elements of Algebra, 1 (2nd সংস্করণ), J. Johnson and Co., পৃষ্ঠা 332–335 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)