তুরীয় সংখ্যা

গণিত-এ, তুরীয় সংখ্যা(ইংরেজি Transcendental number) এমন একটি সংখ্যা যা বীজগাণিতিক সংখ্যা নয়—অর্থাৎ, মূলদ সহগযুক্ত সসীম ঘাতের অশূন্য বহুপদীর মূল নয়। সবচেয়ে পরিচিত তুরীয় সংখ্যা হল π এবং e। যদিও তুরীয় সংখ্যার মাত্র কয়েকটি শ্রেণী সম্পর্কে জানা যায়(কারণ একটা সংখ্যা যে তুরীয় সংখ্যা তা প্রমাণ করা অত্যন্ত কঠিন) তবুও তুরীয় সংখ্যা দুর্লভ না। প্রকৃতপক্ষে, প্রায় সব বাস্তব এবং জটিল সংখ্যাগুলি তুরীয় সংখ্যা, যেহেতু বীজগণিতিক সংখ্যাগুলি একটি গণনাযোগ্য সেট গঠন করে, যখন বাস্তব সংখ্যার সেট এবং জটিল সংখ্যার সেট উভয়ই অগণনাযোগ্য সেট, এবং যে কোনও গণনাযোগ্য সেটের চেয়ে বড়। সমস্ত 'বাস্তব তুরীয় সংখ্যা' ('তুরীয় বাস্তব সংখ্যা' বা 'তুরীয় অমূলদ সংখ্যা' নামেও পরিচিত) হল অমূলদ সংখ্যা, যেহেতু সমস্ত মূলদ সংখ্যা বীজগণিতিক সংখ্যা। এর বিপরীতটা সত্য নয়: সব অমূলদ সংখ্যা তুরীয় সংখ্যা নয়। তাই, বাস্তব সংখ্যার সেটকে মূলদ সংখ্যা, বীজগাণিতিক অ-মূলদ সংখ্যা এবং তুরীয় বাস্তব সংখ্যার সেট অনাধিক্রান্তভাবে গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, 2 এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা, কিন্তু এটি তুরীয় সংখ্যা নয় কারণ এটি একটি বহুপদী সমীকরণ x2 − 2 = 0 এর একটি মূল। গোল্ডেন রেশিও ( φ {\displaystyle \varphi } বা ϕ {\displaystyle \phi } লেখা হয়) হল আরেকটি অমূলদ সংখ্যা যা তুরীয় সংখ্যা নয়, কারণ এটি বহুপদী সমীকরণ x2 −x − 1 = 0 এর মুল। একটি সংখ্যার তুরীয় সংখ্যা হওয়ার ধর্মকে 'ট্রান্সসেন্ডেন্স বলে। "ট্রান্সসেনডেন্টাল" নামটি ল্যাটিন transcendĕre শব্দটি থেকে এসেছে 'উপরে বা তার বাইরে আরোহণ করা বা অতিক্রম করা', এবং এই গাণিতিক ধারণার প্রথম ব্যবহার করা হয়েছিল লিবনিজের 1682 একটি গবেষণা পত্রে যেখানে তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে sin x, x এর একটি বীজগণিতিক ফাংশন নয়। অয়লার, 18 শতকে, সম্ভবত প্রথম ব্যক্তি যিনি আধুনিক অর্থে তুরীয় সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। জোহান হেনরিখ ল্যামবার্ট অনুমান করেছিলেন যে e এবং π উভয়ই তুরীয় সংখ্যা, তিনি 1768 সালে গবেষণা পত্রে প্রমাণ করেন {pi}} হল অমূলদ সংখ্যা, এবং π-এর অতিক্রমের প্রমাণের একটি অস্থায়ী স্কেচ প্রস্তাব করেছে। জোসেফ লিউভিল 1844 সালে সর্বপ্রথম তুরীয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করেন, এবং 1851 সালে প্রথম দশমিক উদাহরণ দেন যেমন লিউভিল ধ্রুবক L b = ∑ n = 1 ∞ 10 − n ! = 10 − 1 + 10 − 2 + 10 − 6 + 10 − 24 + 10 − 120 + 10 − 720 + 10 − 5040 + 10 − 40320 + … = 0. 1 1 000 1 00000000000000000 1 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 … {\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\\end{aligned}}} যেটিতে দশমিক বিন্দুর পরে nতম সংখ্যাটি 1 যদি n সমান k! (k factorial) হয় কিছু k এবং 0 ছাড়া। অন্য কথায়, এই সংখ্যার nতম সংখ্যাটি 1 হলে তবেই {{mvar|n} } হল একটি সংখ্যা 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ইত্যাদি। লিউভিল দেখিয়েছেন যে এই সংখ্যাটি তুরীয় সংখ্যার একটি শ্রেণীর অন্তর্গত যা যেকোনো অমূলদ বীজগাণিতিক সংখ্যার চেয়ে মূলদ সংখ্যা দ্বারা আনুমানিক কাছাকাছি হতে পারে এবং এই শ্রেণীর সংখ্যাকে লিউভিল' বলা হয় সংখ্যাs, তার সম্মানে নামকরণ করা হয়েছে। লিউভিল দেখিয়েছেন যে সমস্ত লিউভিল সংখ্যা তুরীয়। 1873 সালে চার্লস হারমাইট দ্বারা e তুরীয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণের উদ্দেশ্যে বিশেষভাবে নির্মিত না হয়েই প্রথম সংখ্যাটি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল প্রমাণিত হয়েছিল। 1874 সালে, জর্জ ক্যান্টর প্রমাণ করেন যে বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা গণনাযোগ্য এবং বাস্তব সংখ্যাগুলি অগণিত। তিনি তুরীয় সংখ্যা নির্মাণের জন্য একটি নতুন পদ্ধতি দিয়েছেন। যদিও এটি ইতিমধ্যেই বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যার গণনাযোগ্যতার প্রমাণ দ্বারা উহ্য ছিল, ক্যান্টর একটি নির্মাণও প্রকাশ করেছেন যা প্রমাণ করে যে বাস্তব সংখ্যার মতো বহু তুরীয় সংখ্যা রয়েছে।। ক্যান্টরের নির্মাণ তুরীয় সংখ্যার সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে একটি এক থেকে এক চিঠিপত্র তৈরি করে। এই নিবন্ধে, ক্যান্টর শুধুমাত্র অমূলদ সংখ্যার সেটে তার নির্মাণ প্রয়োগ করেছেন। 1882 সালে, ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডেমান π এর তুরীয় হওয়ার প্রথম সম্পূর্ণ প্রমাণ প্রকাশ করেন। তিনি প্রথম প্রমাণ করেন যে ea হল তুরীয়, যদি a একটি অ-শূন্য বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা হয়। তারপর, যেহেতু eiπ = −1 বীজগাণিতিক সংখ্যা (অয়লারের পরিচয় দেখুন), iπ অবশ্যই তুরীয় হতে হবে। কিন্তু যেহেতু i বীজগাণিতিক সংখ্যা, তাই π হতে হবে তুরীয়। এই পদ্ধতিটি কার্ল ওয়েইয়েরস্ট্রাস দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছিল যা বর্তমানে লিন্ডেম্যান-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য নামে পরিচিত। π-এর সীমা অতিক্রম করার ফলে কম্পাস এবং স্ট্রেইটেডজ জড়িত বেশ কিছু প্রাচীন জ্যামিতিক নির্মাণের অসম্ভবতার প্রমাণ দেওয়া হয়েছিল, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাতটি বৃত্তের বর্গকরণ রয়েছে। 1900 সালে, ডেভিড হিলবার্ট তুরীয় সংখ্যা সম্পর্কে একটি প্রভাবশালী প্রশ্ন উত্থাপন করেছিলেন, হিলবার্টের সপ্তম সমস্যা: যদি a একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা হয় যা শূন্য বা এক নয়, এবং b একটি অযৌক্তিক বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা, ab কি অগত্যা তুরীয়? 1934 সালে গেলফন্ড-শ্নেইডার উপপাদ্য দ্বারা ইতিবাচক উত্তর দেওয়া হয়েছিল। এই কাজটি অ্যালান বেকার দ্বারা 1960-এর দশকে যেকোন সংখ্যক লগারিদমের (বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যার) রৈখিক আকারের জন্য নিম্ন সীমার উপর তার কাজ দ্বারা প্রসারিত হয়েছিল। একটি তুরীয় সংখ্যা হল একটি (সম্ভবত জটিল) সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যা বহুপদীর মূল নয়। প্রতিটি বাস্তব তুরীয় সংখ্যা অবশ্যই অমূলদিত হতে হবে, যেহেতু একটি মূলদ সংখ্যা হল ডিগ্রী একটি পূর্ণসংখ্যা বহুপদীর মূল৷ তুরীয় সংখ্যার সেট হল uncountably infinite। যেহেতু মূলদ সহগ সহ বহুপদীগুলি গণনাযোগ্য, এবং যেহেতু এই জাতীয় প্রতিটি বহুপদীর একটি সসীম সংখ্যা শূন্য, বীজগণিতীয় সংখ্যাগুলিকেও গণনাযোগ্য হতে হবে। যাইহোক, ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি প্রমাণ করে যে বাস্তব সংখ্যা (এবং তাই জটিল সংখ্যা) অগণিত। যেহেতু বাস্তব সংখ্যা হল বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং তুরীয় সংখ্যার মিলন, তাই উভয়েরই উপসেট গণনাযোগ্য হওয়া অসম্ভব। এটি তুরীয় সংখ্যাকে অগণিত করে তোলে। কোন মূলদ সংখ্যা তুরীয় সংখ্যা নয় এবং সমস্ত বাস্তব ট্রান্সেন্ডেন্টাল সংখ্যাই অমূলদ। অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি সমস্ত বাস্তব তুরীয় সংখ্যা এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যাগুলির একটি উপসেট ধারণ করে, যার মধ্যে চতুর্মুখী অমূলদগুলি এবং বীজগণিতের অযৌক্তিকগুলির অন্যান্য রূপ রয়েছে। ট্রান্সসেন্ডেন্টাল আর্গুমেন্টে যেকোন অ-ধ্রুবক একক-ভেরিয়েবল বীজগাণিতিক সংখ্যা ফাংশন প্রয়োগ করলে একটি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল মান পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ, π তুরীয় সংখ্যা তা জানা থেকে অবিলম্বে অনুমান করা যায় যে সংখ্যা যেমন 5π, +π-৩/√২, (√π-√৩)8, এবং ৪√π৫+৭ও তুরীয় সংখ্যা। যাইহোক, বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি বীজগণিতিক ফাংশন একটি বীজগণিতিক সংখ্যা প্রদান করতে পারে যখন এই সংখ্যাগুলি বীজগাণিতিক সংখ্যাভাবে স্বাধীন না হলে তুরীয় সংখ্যাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, π এবং (1 − π) হল বট h তুরীয়, কিন্তু π + (1 −π) = 1 স্পষ্টতই নয়। এটি অজানা যে e + π, উদাহরণস্বরূপ, ট্রান্সেন্ডেন্টাল কিনা, যদিও অন্তত একটি e + π এবং eπ অবশ্যই তুরীয় হতে হবে। আরও সাধারণভাবে, যেকোনো দুটি তুরীয় সংখ্যা a এবং b, অন্তত একটি a + b এবং ab তুরীয় হতে হবে। এটি দেখতে, বহুপদ বিবেচনা করুন (x −a)(x − b) = x 2 − (a + b)x + ab। যদি (a + b) এবং ab উভয়ই বীজগাণিতিক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি বীজগাণিতিক সংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ হবে। যেহেতু বীজগণিতীয় সংখ্যাগুলি একটি বীজগণিতীয়ভাবে বন্ধ ক্ষেত্র গঠন করে, এর অর্থ হল বহুপদীর মূল, a এবং b, বীজগাণিতিক সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু এটি একটি দ্বন্দ্ব, এবং এইভাবে এটি অবশ্যই হওয়া উচিত যে সহগগুলির মধ্যে অন্তত একটি তুরীয়। অ-গণনাযোগ্য সংখ্যা হল তুরীয় সংখ্যার একটি কঠোর উপসেট। সমস্ত লিউভিল নম্বরগুলি তুরীয়, কিন্তু উল্টো নয়৷ যেকোন লিউভিল সংখ্যার অবশ্যই তার চলমান ভগ্নাংশ প্রসারণে সীমাহীন আংশিক ভাগফল থাকতে হবে। একটি গণনা যুক্তি ব্যবহার করে কেউ দেখাতে পারে যে এমন তুরীয় সংখ্যা রয়েছে যা আংশিক ভাগফলকে আবদ্ধ করেছে এবং তাই লিউভিল সংখ্যা নয়। e-এর সুস্পষ্ট ক্রমাগত ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে e একটি Liouville সংখ্যা নয় (যদিও এটির ক্রমাগত ভগ্নাংশের প্রসারণের আংশিক ভাগ সীমাহীন)। কার্ট মাহলার 1953 সালে দেখিয়েছিলেন যে πও একটি লিউভিল নম্বর নয়। এটি অনুমান করা হয় যে সমস্ত অসীম অবিরত ভগ্নাংশগুলি আবদ্ধ পদগুলির সাথে যেগুলি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক নয় সেগুলি তুরীয় (অবশেষে পর্যায়ক্রমিক অবিরত ভগ্নাংশগুলি দ্বিঘাত অযৌক্তিকের সাথে মিলে যায়)৷ তুরীয় সংখ্যা হিসাবে প্রমাণিত সংখ্যা: ea যদি a হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অশূন্য ( লিন্ডেম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য)। π (লিন্ডম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা)। eπ, গেলফন্ডের ধ্রুবক, পাশাপাশি e− π/2 = ii (গেলফন্ড–শ্নেইডার উপপাদ্য দ্বারা)। ab যেখানে a বীজগণিতীয় কিন্তু 0 বা 1 নয়, এবং b হল অমূলদ বীজগাণিতিক সংখ্যা (এর দ্বারা গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য), বিশেষ করে: 2√২, Gelfond–Schneider ধ্রুবক (বা হিলবার্ট সংখ্যা) sin a, cos a, tan a, csc a, সেকেন্ড a , এবং cot a, এবং তাদের হাইপারবোলিক কাউন্টারপার্টস, যেকোনো অশূন্য বীজগাণিতিক সংখ্যার জন্য a, [এ প্রকাশ করা হয়। [radian]]s (লিন্ডেম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা)। কোসাইন ফাংশনের স্থির বিন্দু (এটিকে ডটি নম্বর dও বলা হয়) – সমীকরণের অনন্য বাস্তব সমাধান cos x = x, যেখানে x রেডিয়ানে (লিন্ডেম্যান–ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা)। ln a যদি a বীজগাণিতিক সংখ্যা হয় এবং লগারিদম ফাংশনের যেকোনো শাখার জন্য 0 বা 1 এর সমান না হয় (লিন্ডেম্যান- দ্বারা উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য)। logb a যদি a এবং b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় একই পূর্ণসংখ্যার উভয় শক্তি নয় (গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য দ্বারা)। বেসেল ফাংশন Jν(x), এর প্রথম ডেরিভেটিভ, এবং ভাগফল +J'ν(x)/Jν( x) হয় ট্রান্সেন্ডেন্টাল যখন ν মুলদ হয় এবং x হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অশূন্য, এবং Jν(x) এবং J'ν(x)-এর সমস্ত অশূন্য মূল তুরীয় সংখ্যা হয়, যখন ν মুলদ হয়। W(a) যদি a হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অশূন্য, ল্যামবার্ট ডব্লিউ ফাংশনের যেকোনো শাখার জন্য (দ্বারা লিন্ডেম্যান–ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য), বিশেষ করে: Ω ওমেগা ধ্রুবক । Ω, চৈটিনের ধ্রুবক (যেহেতু এটি একটি অ-গণনাযোগ্য সংখ্যা)। তথাকথিত ফ্রেডহোম ধ্রুবক, যেমন ∑ n = 0 ∞ 10 − 2 n = 0. 1 1 0 1 000 1 0000000   t e x t b f 1 … {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000\ textbf{1}\ldots } যা 10 কে যেকোনো বীজগাণিতিক সংখ্যা b > 1 দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। গাউসের ধ্রুবক এবং লেমনিসকেট ধ্রুবক। যেকোন বীজগাণিতিক b ∈ (0, 1)-এর জন্য পূর্বোক্ত লিউভিল ধ্রুবক। প্রোহেত–থু–মোর্স ধ্রুবক। কোমোরনিক–লোরেটি ধ্রুবক। যে কোনো সংখ্যা যার জন্য কিছু নির্দিষ্ট ভিত্তির সাপেক্ষে অঙ্কগুলি একটি স্টুরমিয়ান শব্দ গঠন করে। β > 1 এর জন্য ∑ k = 0 ∞ 10 − ⌊ β k ⌋ ; {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };} যেখানে β ↦ ⌊ β ⌋ {\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor } হল ফ্লোর ফাংশন। 3.300330000000000330033... এবং এর পারস্পরিক 0.30300000303..., শুধুমাত্র দুটি ভিন্ন দশমিক সংখ্যা সহ দুটি সংখ্যা যার অশূন্য অঙ্কের অবস্থান Moser–de Bruijn ক্রম এবং এর দ্বিগুণ। সংখ্যা +π/২+Y০(২)/J০ (২)-γ, যেখানে Yα(x) এবং Jα(x) হল বেসেল ফাংশন এবং γ হল ইউলার–মাশ্চেরনি ধ্রুবক৷ নেস্টেরেনকো 1996 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে π , e π {\displaystyle \pi ,e^{\pi }} এবং Γ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \Gamma (1/4)} বীজগাণিতিক সংখ্যাভাবে স্বাধীন। যে সংখ্যাগুলি এখনও ট্রান্সসেন্ডেন্টাল বা বীজগাণিতিক বলে প্রমাণিত হয়েছে: সংখ্যা π এবং সংখ্যা e এর অধিকাংশ যোগফল, গুণফল, ক্ষমতা ইত্যাদি, যেমন eπ, e + π, π −e, π/e, ππ, ee >, πe, π√২ , eπ2 যৌক্তিক, বীজগাণিতিক সংখ্যা, অযৌক্তিক বা তুরীয় বলে পরিচিত নয়। একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম হল {{math|eπ√n} (যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য n) যা তুরীয় সংখ্যা প্রমাণিত হয়েছে। অয়লার–মাশ্চেরনি ধ্রুবক γ: 2010 সালে এম. রাম মূর্তি এবং এন. সারদা +γ সম্বলিত সংখ্যাগুলির একটি অসীম তালিকা খুঁজে পান /৪ এমন যে তাদের মধ্যে সর্বাধিক একটি ব্যতীত সবগুলিই তুরীয় সংখ্যা৷ Apéry's constant ζ(3) (যা Apéry অযৌক্তিক প্রমাণিত)। কাতালানের ধ্রুবক, এমনকি অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়। খিনচিনের ধ্রুবক, অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়। অন্যান্য বিজোড় পূর্ণসংখ্যাতে রিম্যান জেটা ফাংশন, ζ(5), ζ(7), ... (প্রমাণিত নয় অযৌক্তিক হতে)। Feigenbaum ধ্রুবক δ এবং α, এছাড়াও অযৌক্তিক প্রমাণিত নয়। মিলের ধ্রুবক, অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়। কোপল্যান্ড–এর্ডোস ধ্রুবক, মৌলিক সংখ্যাগুলির দশমিক উপস্থাপনাগুলিকে একত্রিত করে গঠিত। Γ ( 1 / 5 ) {\displaystyle \Gamma (1/5)} অযৌক্তিক বলে প্রমাণিত হয়নি। অনুমান: শানুয়েলের অনুমান, চারটি সূচক অনুমান। প্রথম প্রমাণ যে প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, e, 1873 সালের তুরীয় তারিখ। আমরা এখন ডেভিড হিলবার্ট (1862) এর কৌশল অনুসরণ করব -1943) যিনি চার্লস হারমাইট-এর মূল প্রমাণের সরলীকরণ দিয়েছেন। ধারণা নিম্নোক্ত: অনুমান করুন, একটি দ্বন্দ্ব খোঁজার উদ্দেশ্যে, যে e বীজগাণিতিক সংখ্যা। তারপরে পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির একটি সসীম সেট বিদ্যমান c0, c1, ..., cn sub> সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে: c 0 + c 1 e + c 2 e 2 + ⋯ + c n e n = 0 , c 0 , c n ≠ 0. {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.} এখন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য, আমরা নিম্নলিখিত বহুপদকে সংজ্ঞায়িত করি: f k ( x ) = x k [ ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 , {\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},} এবং উপরের সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন ∫ 0 ∞ f k e − x d x , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,} সমীকরণে পৌঁছাতে: c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) = 0. {\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.} ইন্টিগ্রেশনের সংশ্লিষ্ট ডোমেনগুলিকে বিভক্ত করে, এই সমীকরণটি আকারে লেখা যেতে পারে P + Q = 0 {\displaystyle P+Q=0} যেখানে P = c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 1 ∞ f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 2 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ n ∞ f k e − x d x ) Q = c 1 e ( ∫ 0 1 f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 0 2 f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 n f k e − x d x ) {\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)\end{aligned}}} লেমা 1।' k এর উপযুক্ত পছন্দের জন্য, P k ! {\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}} হল একটি অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যা। প্রুফ।' P-এর প্রতিটি পদ একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক গুণিতকগুলির সমষ্টি, যা সম্পর্কের ফলাফল ∫ 0 ∞ x j e − x d x = j ! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!} যেটি যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা j এর জন্য বৈধ ( গামা ফাংশন বিবেচনা করুন)। এটি অ-শূন্য কারণ প্রতিটি a সন্তোষজনক 0< a ≤ n এর জন্য ইন্টিগ্র্যান্ড c a e a ∫ a ∞ f k e − x d x {\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx} e−x হল একটি পদের যোগফল যার সর্বনিম্ন ক্ষমতা x এর জন্য x প্রতিস্থাপনের পর k+1 হয় অখণ্ডে +a। তারপর এটি ফর্মের অবিচ্ছেদ্য যোগফল হয়ে যায় A j − k ∫ 0 ∞ x j e − x d x {\displaystyle A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx} যেখানে Aj-k পূর্ণসংখ্যা। k+1 ≤ j সহ, এবং তাই এটি (k+1) দ্বারা বিভাজ্য একটি পূর্ণসংখ্যা! k! দ্বারা ভাগ করার পর, আমরা শূন্য মডুলো (k+1) পাব। যাইহোক, আমরা লিখতে পারি: ∫ 0 ∞ f k e − x d x = ∫ 0 ∞ ( [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 e − x x k + ⋯ ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx} এবং এগুলো 1 k ! c 0 ∫ 0 ∞ f k e − x d x ≡ c 0 [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 ≢ 0 ( mod k + 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.} সুতরাং P-এর প্রতিটি অখণ্ডকে k! দ্বারা ভাগ করার সময়, প্রাথমিকটি k+1 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে বাকিগুলি যতক্ষণ k+1 হবে ততক্ষণ। প্রাইম এবং n এবং |c0| থেকে বড়। এটি অনুসরণ করে যে P k ! {\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}} নিজেই মৌলিক k+1 দ্বারা বিভাজ্য নয় এবং তাই শূন্য হতে পারে না। লেমা 2। | Q k ! | < 1 {\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1} যথেষ্ট বড় k {\displaystyle k} এর জন্য। প্রুফ। নোট করুন f k e − x = x k [ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x = ( x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ) k ⋅ ( ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) e − x ) = u ( x ) k ⋅ v ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}} যেখানে u ( x ) {\displaystyle u(x)} এবং v ( x ) {\displaystyle v(x)} সব x {\displaystyle x} এর জন্য x {\displaystyle x} এর একটানা ফাংশন, তাই সীমাবদ্ধ। ব্যবধানে [ 0 , n ] {\displaystyle [0,n]} । অর্থাৎ, ধ্রুবক আছে G , H > 0 {\displaystyle G,H>0} এরকম | f k e − x | ≤ | u ( x ) | k ⋅ | v ( x ) | < G k H  for  0 ≤ x ≤ n . {\displaystyle \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n.} তাই Q {\displaystyle Q} কম্পোজ করা সেই অখণ্ডের প্রতিটিই আবদ্ধ, সবচেয়ে খারাপ অবস্থা | ∫ 0 n f k e − x d x | ≤ ∫ 0 n | f k e − x | d x ≤ ∫ 0 n G k H d x = n G k H . {\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\,dx\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,dx=nG^{k}H.} এখন Q {\displaystyle Q} যোগফলকেও আবদ্ধ করা সম্ভব: | ∫ 0 n f k e − x d x | ≤ ∫ 0 n | f k e − x | d x ≤ ∫ 0 n G k H d x = n G k H . {\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\,dx\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,dx=nG^{k}H.} যেখানে M {\displaystyle M} একটি ধ্রুবক যা k {\displaystyle k} এর উপর নির্ভর করে না। এটা যে অনুসরণ করে | Q k ! | < M ⋅ G k k ! → 0  as  k → ∞ , {\displaystyle \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty ,} এই লেমার প্রমাণ শেষ করছি। উভয় লেমাকে সন্তুষ্ট করে k {\displaystyle k} -এর মান নির্বাচন করা একটি অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যার দিকে নিয়ে যায় ( P / k ! {\displaystyle P/k!} ) একটি অদৃশ্য হয়ে যাওয়া ছোট পরিমাণে ( Q / k ! {\displaystyle Q/k!} ) শূন্যের সমান হওয়া, একটি অসম্ভবতা। এটি অনুসরণ করে যে মূল অনুমান, যে e পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদী সমীকরণ পূরণ করতে পারে, তাও অসম্ভব; অর্থাৎ, e হল তুরীয়। === π=== এর অতিক্রম একটি অনুরূপ কৌশল, লিন্ডেম্যান-এর মূল পদ্ধতির থেকে ভিন্ন, এটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে সংখ্যা π তুরীয়। গামা-ফাংশন এবং e-এর প্রমাণ হিসাবে কিছু অনুমান ছাড়াও, প্রতিসম বহুপদী সম্পর্কে তথ্য প্রমাণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। π এবং e-এর সীমা অতিক্রম করার প্রমাণ সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্যের জন্য, রেফারেন্স এবং বহিঃসংযোগগুলি দেখুন। গণিত প্রবেশদ্বার ট্রান্সসেন্ডেন্টাল নাম্বার থিওরি, ট্রান্সসেন্ডেন্টাল নাম্বার সম্পর্কিত প্রশ্নের অধ্যয়ন গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য ডিওফ্যান্টাইন আনুমানিক পিরিয়ডস, সংখ্যার একটি সেট (উভয় ট্রান্সসেন্ডেন্টাল এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা সহ) যা অখণ্ড সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। টেমপ্লেট:সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস "The 15 Most Famous Transcendental Numbers - Cliff Pickover"। sprott.physics.wisc.edu। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০১-২৩।  Shidlovskii, Andrei B. (জুন ২০১১)। Transcendental numbers। Walter de Gruyter। পৃষ্ঠা 1। আইএসবিএন 9783110889055।  Bunday, B. D.; Mulholland, H. (২০ মে ২০১৪)। Pure Mathematics for Advanced Level (ইংরেজি ভাষায়)। Butterworth-Heinemann। আইএসবিএন 978-1-4831-0613-7। সংগ্রহের তারিখ ২১ মার্চ ২০২১।  Baker, A. (১৯৬৪)। "On Mahler's classification of transcendental numbers"। Acta Mathematica। 111: 97–120। এসটুসিআইডি 122023355। ডিওআই:10.1007/bf02391010 ।  Heuer, Nicolaus; Loeh, Clara (১ নভেম্বর ২০১৯)। "Transcendental simplicial volumes"। arXiv:1911.06386  [math.GT]। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "Real number | mathematics"। Encyclopedia Britannica (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-১১।  Oxford English Dictionary, s.v. Leibniz, Gerhardt এবং Pertz 1858, পৃ. 97–98. Bourbaki 1994, পৃ. 74. Erdős ও Dudley 1983. Lambert 1768। Kempner 1916। "Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld"।  Liouville 1851। Cantor 1874. Gray 1994. J J O'Connor and E F Robertson: Alan Baker. The MacTutor History of Mathematics archive 1998. হার্ডি 2005। Adamczewski ও Bugeaud 2005৷ Weisstein, Eric W.। "Dottie Number"। Wolfram MathWorld। Wolfram Research, Inc.। সংগ্রহের তারিখ ২৩ জুলাই ২০১৬।  Siegel, Carl L. (২০১৪)। "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen"। On Some Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel's Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel's theorem after Siegel's proof by Clemens Fuchs and Umberto Zannier (জার্মান ভাষায়)। Scuola Normale Superiore। পৃষ্ঠা 81–138। আইএসবিএন 978-88-7642-520-2। ডিওআই:10.1007/978-88-7642-520-2_2।  Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (১৯৯৫)। "Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions"। International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences। 18 (3): 551–560। ডিওআই:10.1155/S0161171295000706 ।  Chudnovsky 1984 via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Mahler 1937. Mahler 1976, পৃ. 12. Calude 2002, পৃ. 239। Allouche ও Shallit 2003, পৃ. 385,403। 'ফ্রেডহোম নম্বর' নামটি ভুল স্থান পেয়েছে: কেম্পনার প্রথম প্রমাণ করেছিলেন যে এই সংখ্যাটি তুরীয় সংখ্যা, এবং 403 পৃষ্ঠার নোটে বলা হয়েছে যে ফ্রেডহোম কখনই এই সংখ্যাটি অধ্যয়ন করেননি। Shallit 1999 . Loxton 1988। টড, John (১৯৭৫)। "The lemniscate constants"। communications of the ACM। 18: 14–19। এসটুসিআইডি 85873। ডিওআই:10.1145/360569.360580।  Mahler 1929। Allouche ও Shallit 2003, পৃ. 387। Allouche, Jean-Paul; Cosnard, Michel (২০০০), "The Komornik–Loreti constant is transcendental", American Mathematical Monthly, 107 (5): 448–449, এমআর 1763399, জেস্টোর 2695302, ডিওআই:10.2307/2695302 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Pytheas Fogg 2002। Blanchard ও Mendès France 1982. {{সাইট জার্নাল|last1=Mahler|first1=Kurt|last2=Mordell|first2=Louis Joel|date=1968-06-04|title=A. B. Shidlovski দ্বারা একটি উপপাদ্যের প্রয়োগ /doi/10.1098/rspa.1968.0111|journal=লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির কার্যক্রম। সিরিজ A. গাণিতিক এবং ভৌত বিজ্ঞান >Lagarias, Jeffrey C. (২০১৩-০৭-১৯)। "Euler's constant: অয়লারের কাজ এবং আধুনিক উন্নয়ন"। Bulletin of the American Mathematical Society=volulu 50: 527–628। arXiv:1303.1856 । আইএসএসএন 0273-0979। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-2013-01423-X ।  অজানা প্যারামিটার |ইস্যু= উপেক্ষা করা হয়েছে (সাহায্য)উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; :0 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Irrational Number"। Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (১৯৬৮-০৬-০৪)। "Applications of a theorem by A. B. Shidlovski"। Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences। 305 (1481): 149–173। এসটুসিআইডি 123486171। ডিওআই:10.1098/rspa.1968.0111। বিবকোড:1968RSPSA.305..149M।  Lagarias, Jeffrey C. (২০১৩-০৭-১৯)। "Euler's constant: Euler's work and modern developments"। Bulletin of the American Mathematical Society। 50 (4): 527–628। arXiv:1303.1856 । আইএসএসএন 0273-0979। ডিওআই:10.1090/S0273-0979-2013-01423-X ।  Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (২০০৫)। "On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions"। Acta Mathematica। 195 (1): 1–20। arXiv:math/0511677 । এসটুসিআইডি 15521751। ডিওআই:10.1007/BF02588048। বিবকোড:2005math.....11677A।  Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (২০০৩)। Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations। Cambridge University Press। Zbl 1086.11015। আইএসবিএন 978-0-521-82332-6।  Baker, Alan (১৯৯০)। Transcendental Number Theory (paperback সংস্করণ)। Cambridge University Press। Zbl 0297.10013। আইএসবিএন 978-0-521-20461-3।  Blanchard, André; Mendès France, Michel (১৯৮২)। "Symétrie et transcendance"। Bulletin des Sciences Mathématiques। 106 (3): 325–335। এমআর 0680277।  Bourbaki, Nicolas (১৯৯৪)। Elements of the History of Mathematics। Springer। আইএসবিএন 9783540647676।  Bugeaud, Yann (২০১২)। Distribution modulo one and Diophantine approximation। Cambridge Tracts in Mathematics। 193। Cambridge University Press। Zbl 1260.11001। আইএসবিএন 978-0-521-11169-0।  Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (২০০৪)। Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory। Springer। Zbl 1092.11031। আইএসবিএন 978-0-387-21444-3।  Calude, Cristian S. (২০০২)। Information and Randomness: An Algorithmic Perspective। Texts in Theoretical Computer Science (2nd rev. and ext. সংস্করণ)। Springer। Zbl 1055.68058। আইএসবিএন 978-3-540-43466-5।  Cantor, Georg (১৮৭৪)। "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen"। J. Reine Angew. Math.। 77: 258–262।  Cantor, Georg (১৮৭৮)। "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre"। J. Reine Angew. Math.। 84: 242–258।  Chudnovsky, G. V. (১৯৮৪)। Contributions to the Theory of Transcendental Numbers। American Mathematical Society। আইএসবিএন 978-0-8218-1500-7।  Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (১৯৯১)। "Continued fractions for some alternating series"। Monatshefte für Mathematik। 111 (2): 119–126। এসটুসিআইডি 120003890। ডিওআই:10.1007/BF01332350।  Erdős, Paul; Dudley, Underwood (১৯৮৩)। "Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler" (পিডিএফ)। Mathematics Magazine। 56 (5): 292–298। জেস্টোর 2690369। ডিওআই:10.2307/2690369। সাইট সিয়ারX 10.1.1.210.6272 ।  Gelfond, Alexander (১৯৬০) [1956]। Transcendental and Algebraic Numbers। Dover।  Gray, Robert (১৯৯৪)। %5b%5bওয়েব্যাক মেশিন|ওয়েব্যাক মেশিনে%5d%5d %5bhttps://web.archive.org/web/20170407064803/http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers আর্কাইভকৃত%5d ৭ এপ্রিল ২০১৭ তারিখে%5b%5bবিষয়শ্রেণী:ওয়েব আর্কাইভ টেমপ্লেটে ওয়েব্যাক সংযোগ%5d%5d "Georg Cantor and transcendental numbers" |ইউআরএল= এর মান পরীক্ষা করুন (সাহায্য)। Amer. Math. Monthly। 101 (9): 819–832। Zbl 0827.01004। জেস্টোর 2975129। ডিওআই:10.2307/2975129।  Hardy, G. H. (১৯৭৯)। An introduction to the theory of numbers (5th সংস্করণ)। Oxford: Clarendon Press। পৃষ্ঠা 159। আইএসবিএন 0-19-853171-0।  Higgins, Peter M. (২০০৮)। Number Story। Copernicus Books। আইএসবিএন 978-1-84800-001-8।  Hilbert, David (১৮৯৩)। "Über die Transcendenz der Zahlen e und π {\displaystyle \pi } "। Mathematische Annalen। 43 (2–3): 216–219। এসটুসিআইডি 179177945। ডিওআই:10.1007/BF01443645।  Kempner, Aubrey J. (১৯১৬)। "On Transcendental Numbers"। Transactions of the American Mathematical Society। 17 (4): 476–482। জেস্টোর 1988833। ডিওআই:10.2307/1988833 ।  Lambert, Johann Heinrich (১৭৬৮)। "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques"। Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin: 265–322।  Leibniz, Gottfried Wilhelm; Gerhardt, Karl Immanuel; Pertz, Georg Heinrich (১৮৫৮)। Leibnizens mathematische Schriften। 5। A. Asher & Co.। পৃষ্ঠা 97–98।  Le Lionnais, François (১৯৭৯)। Les nombres remarquables। Hermann। আইএসবিএন 2-7056-1407-9।  LeVeque, William J. (২০০২) [1956]। Topics in Number Theory, Volumes I and II। Dover। আইএসবিএন 978-0-486-42539-9।  Liouville, Joseph (১৮৫১)। "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques" (পিডিএফ)। J. Math. Pures Appl.। 16: 133–142।  Loxton, J. H. (১৯৮৮)। "13. Automata and transcendence"। Baker, A.। New Advances in Transcendence Theory। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 215–228। Zbl 0656.10032। আইএসবিএন 978-0-521-33545-4।  Mahler, Kurt (১৯২৯)। "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen"। Math. Annalen। 101: 342–366। এসটুসিআইডি 120549929। জেএফএম 55.0115.01। ডিওআই:10.1007/bf01454845।  Mahler, Kurt (১৯৩৭)। "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen"। Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40): 421–428।  Mahler, Kurt (১৯৭৬)। Lectures on Transcendental Numbers। Lecture Notes in Mathematics। 546। Springer। Zbl 0332.10019। আইএসবিএন 978-3-540-07986-6।  Natarajan, Saradha; Thangadurai, Ravindranathan (২০২০)। Pillars of Transcendental Number Theory। Springer Verlag। আইএসবিএন 978-981-15-4154-4।  Pytheas Fogg, N. (২০০২)। Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A., সম্পাদকগণ। Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics। Lecture Notes in Mathematics। 1794। Springer। Zbl 1014.11015। আইএসবিএন 978-3-540-44141-0।  Shallit, Jeffrey (১৯৯৯)। "Number theory and formal languages"। Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; Odlyzko, Andrew M.। Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15-26, 1996। The IMA volumes in mathematics and its applications। 109। Springer। পৃষ্ঠা 547–570। আইএসবিএন 978-0-387-98824-5।  ইংরেজি ভাষার উইকিসংকলনে এই নিবন্ধ বা অনুচ্ছেদ সম্পর্কিত মৌলিক রচনা রয়েছে: Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (in German) 602440|Transcendental number (mathematics)} এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Transcendental Number"। এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Liouville Number"। এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Liouville's Constant"। (ইংরেজি ভাষায়) Proof that e is transcendental (ইংরেজি ভাষায়) Proof that the Liouville Constant is transcendental ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৯ আগস্ট ২০২২ তারিখে (জার্মান ভাষায়) Proof that e is transcendental (PDF) ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১১-০৭-১৬ তারিখে (জার্মান ভাষায়) http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১১-০৭-১৬ তারিখে সংখ্যার তালিকা – অমূলদ সংখ্যা γ – ζ(3) – √২ – √৩ – √৫ – φ – α – e – π – δ টেমপ্লেট:সংখ্যা পদ্ধতি টেমপ্লেট:সংখ্যা তত্ত্ব বিভাগ:প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ