বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

আমরা দৈনন্দিন জীবনে একটি সম্পূর্ণ জিনিসের সাথে এর অংশও ব্যবহার করি। এই বিভিন্ন অংশ এক-একটি ভগ্নাংশ; যার প্রকৃত অর্থ– ‘ভাঙা অংশ’। বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ অনেকটাই পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশের মতো (লব এবং হর দ্বারা গঠিত কিন্তু বীজগণিতীয় চলক দ্বারা প্রকাশিত)। যদি m {\displaystyle m} ও n {\displaystyle n} দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হয়, তবে m n {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m}{n}}}} একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, যেখানে n ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle n\neq 0}} । এখানে m n {\displaystyle {\displaystyle {\frac {m}{n}}}} ভগ্নাংশটির m {\displaystyle m} কে লব (যা ভগ্নাংশের উপরে থাকে) এবং n {\displaystyle n} কে হর (যা ভগ্নাংশের নিচে থাকে) বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, a b {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}} , x + y y {\displaystyle {\displaystyle {\frac {x+y}{y}}}} , x 2 + a 2 x + a {\displaystyle {\displaystyle {\frac {x^{2}+a^{2}}{x+a}}}} , a + b a − b {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}} , x y {\displaystyle {\displaystyle {\frac {x}{y}}}} , x + b 2 a {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}} , ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}} , a × b × z a 2 b c {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a\times b\times z}{a^{2}bc}}}} , ( a + b ) ÷ c a 2 b c {\displaystyle {\frac {(a+b)\div c}{{\sqrt {a^{2}}}bc}}} ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ। সাধারণ ভগ্নাংশ তিন প্রকার, যথা– প্রকৃত ভগ্নাংশ অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ও মিশ্র ভগ্নাংশ 3 5 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {3}{5}}}} একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব 3 {\displaystyle 3} , হর 5 {\displaystyle 5} । এখানে লব, হর থেকে ছোট। এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ। 8 5 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {8}{5}}}} একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব 8 {\displaystyle 8} , হর 5 {\displaystyle 5} থেকে বড়। এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। যেমন: 1 2 3 {\displaystyle {\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}} সংখ্যাটিতে একটি পূর্ণ অংশ এবং অপর অংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশে আছে। 1 2 3 {\displaystyle {\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}} (বা 1 + 2 3 {\displaystyle {\displaystyle 1+{\frac {2}{3}}}} ) একটি মিশ্র ভগ্নাংশ। পূর্ণ অংশ + প্রকৃত ভগ্নাংশ = মিশ্র ভগ্নাংশ। মিশ্র ভগ্নাংশে একটি পূর্ণ অংশের সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত আকারে থাকে। মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ (বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) রূপান্তর করার নিয়ম:– যেমন: 1 2 3 = ( 1 × 3 ) + 2 3 = 5 3 {\displaystyle {\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {(1\times 3)+2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}}  ; 2 2 5 = ( 2 × 5 ) + 2 5 = 12 5 {\displaystyle {\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}} অথবা, 2 2 5 = 2 + 2 5 = 2 1 + 2 5 = 2 × 5 1 × 5 + 2 5 {\displaystyle {\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle 2+{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2}{1}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2\times 5}{1\times 5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}} = 2 × 5 5 + 2 5 = ( 2 × 5 ) + 2 5 = 12 5 {\displaystyle ={\displaystyle {\frac {2\times 5}{5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}} মিশ্র ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে (বা ভাঙলে) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। যেমন: 1 2 3 = 5 3 {\displaystyle {\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}} যা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। a ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle a\neq 0}} , b ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle b\neq 0}} , c ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle c\neq 0}} , x ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle x\neq 0}} , y ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle y\neq 0}} এবং z ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle z\neq 0}} হলে, a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} এবং z {\displaystyle z} এর যেকোনো মানের জন্য— যোগ ( + ) {\displaystyle (+)} বা বিয়োগ ( − ) {\displaystyle (-)} চিহ্নিত অংশ (বা সংখ্যা) তাদের স্ব স্ব চিহ্নসহ তাদের অবস্থান যেকোনো স্থানে পরিবর্তন করতে পারে। তবে, এদের মাঝে যদি গুণ ( × ) {\displaystyle (\times )} বা ভাগ ( ÷ ) {\displaystyle (\div )} বা 'এর' (চিহ্নিত অংশ) অথবা যেকোনোটি অথবা যেকোনো দু'টি অথবা সবগুলিই থাকে তবে তাদের [মধ্যে সর্বপ্রথম 'এর' -এর সমাধান, তারপর ভাগ ( ÷ ) {\displaystyle (\div )} এবং তারপর গুণ ( × ) {\displaystyle (\times )} -এর] সমাধান আগে করে নিতে হয়। যেমন: − 3 + 4 × 5 + 8 ÷ 4 + 1 − 9 × 2 {\displaystyle -3+4\times 5+8\div 4+1-9\times 2} = − 3 + 4 × 5 + 2 + 1 − 9 × 2 {\displaystyle =-3+4\times 5+2+1-9\times 2} ↑ প্রথমে ভাগের ( ÷ {\displaystyle \div } ) সমাধান করা হলো। [যেহেতু, এর (গুণের ( × {\displaystyle \times } ) আরেক রূপ) নেই।] = − 3 + 20 + 2 + 1 − 18 {\displaystyle =-3+20+2+1-18} ↑ তারপর গুণের ( × {\displaystyle \times } ) সমাধান করা হলো। = 20 + 2 + 1 − 18 − 3 {\displaystyle =20+2+1-18-3} ↑ স্ব স্ব চিহ্ন অনুযায়ী স্থান পরিবর্তন করা হলো। = 22 + 1 − 18 − 3 {\displaystyle =22+1-18-3} = 23 − 18 − 3 {\displaystyle =23-18-3} = 23 − ( 18 + 3 ) {\displaystyle =23-(18+3)} [নিয়ম ১০ অনুসারে।] = 23 − 21 {\displaystyle =23-21} = 2 {\displaystyle =2} a ÷ b = a b = a / b = {\displaystyle a\div b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}=a/b=} a⁄b = b )   a   ( {\displaystyle =b)~a~(} = b )   a   ¯ {\displaystyle =b{\overline {)~a~}}} আবার অনেক সময় অনুপাত দিয়েও ভগ্নাংশ প্রকাশ করা হয়। যেমন: a : b = a b {\displaystyle a:b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}} a × b = a . b = a b {\displaystyle a\times b=a.b=ab} বীজগণিতে দুইটি প্রতীক বা অঙ্ক কিংবা সংখ্যা পাশাপাশি লিখলে এদের মধ্যে (গুণ) ' × {\displaystyle \times } ' চিহ্ন ধরে নিতে হয়। যেমন: x × y = x y {\displaystyle x\times y=xy} , x . y = x y {\displaystyle x.y=xy} কিন্তু অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে a b {\displaystyle ab} নিয়মটি ব্যবহার করা হয় না (বীজগণিতে প্রকাশের সময় a b {\displaystyle ab} নিয়মটি ব্যবহার করা হয়), বরং অন্য দু'টি নিয়ম ব্যবহার করা হয়। তবে (অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে এ নিয়মটি) ব্যবহার করতে চাইলে প্রথম বন্ধনী ( ( ) {\displaystyle ()} ) ব্যবহার করতে হয়। যেমন: 3 × 4 {\displaystyle 3\times 4} = {\displaystyle =} 3.4 {\displaystyle 3.4} = {\displaystyle =} ( 3 ) ( 4 ) {\displaystyle (3)(4)} = {\displaystyle =} 12 গুণের a b {\displaystyle ab} নিয়মের ক্ষেত্রে– সঠিক : ( 3 ) ( 4 ) = 12 {\displaystyle (3)(4)=12} , ( 5 ) ( 2 ) = 10 {\displaystyle (5)(2)=10} , ( 10 ) ( 17 ) = 170 {\displaystyle (10)(17)=170} সঠিক নয় : 3   4 = 12 {\displaystyle 3~4=12} , 5   2 = 10 {\displaystyle 5~2=10} , 10   17 = 170 {\displaystyle 10~17=170} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০১: a b × x y = a × x b × y = a x b y {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {ax}{by}}}} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০২: a b × x = a b × x 1 = a × x b × 1 = a x b {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {ax}{b}}}} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০৩: a b × 1 y = a × 1 b × y = a b y {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {a}{by}}}} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০১: a b ÷ z x = a b × x z = a × x b × z = a x b z {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {z}{x}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{z}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times z}}}={\displaystyle {\frac {ax}{bz}}}} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০২: a b ÷ x = a b ÷ x 1 = a b × 1 x = a × 1 b × x = a b x {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times x}}}={\displaystyle {\frac {a}{bx}}}} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০৩: a b ÷ 1 z = a b × z 1 = a × z b × 1 = a z b {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {1}{z}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {z}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times z}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {az}{b}}}} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: একটি রাশির সাথে অন্য একটি রাশি ভাগ অবস্থায় থাকলে, দ্বিতীয় রাশির লব হরে এবং হর লবে পরিণত করে, সেটিকে প্রথম রাশির সাথে গুণ করতে হয়। x y = y x {\displaystyle xy=yx} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: গুণের ক্ষেত্রে সংখ্যার স্থান পরিবর্তন (বা অদল-বদল) করা যায়। যেমন: 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6} আবার, 3 × 2 = 6 {\displaystyle 3\times 2=6} সুতরাং, 3 × 2 = 2 × 3 = 6 {\displaystyle 3\times 2=2\times 3=6} a b x y = a b ÷ x y {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {a}{b}}}{\displaystyle {\frac {x}{y}}}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{y}}}} [নিয়ম ২ অনুসারে।] = a b × y x = a × y x × b {\displaystyle ={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {y}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times y}{x\times b}}}} [নিয়ম ৪ (ধরন ০১) অনুসারে।] = a y b x {\displaystyle ={\displaystyle {\frac {ay}{bx}}}} [নিয়ম ৩ অনুসারে।] a ( x + y ) = a × ( x + y ) = a x + a y {\displaystyle a(x+y)=a\times (x+y)=ax+ay} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: এখানে প্রথম বন্ধনীর ভেতর দু'টি পদ রয়েছে। আর তা a {\displaystyle a} -এর সাথে গুণ অবস্থায় আছে। যেহেতু এখানে গুণ্য a {\displaystyle a} -এর সাথে দু'টি পদ গুণ অবস্থায় আছে সেহেতু গুণ্য a {\displaystyle a} দ্বারা উভয় পদকেই (অর্থাৎ, গুণক ' ( x + y ) {\displaystyle (x+y)} ' কে) আলাদা আলাদা ভাবে গুণ করতে হবে। যেমন: 3 ( 2 + 3 ) = 3 × ( 2 + 3 ) = 6 + 9 = 15 {\displaystyle 3(2+3)=3\times (2+3)=6+9=15} অথবা, 3 ( 2 + 3 ) = 6 + 9 = 15 {\displaystyle 3(2+3)=6+9=15} (দ্রষ্টব্য: এটি প্রচলিত নিয়ম।) ( a + b ) ( y + z ) {\displaystyle (a+b)(y+z)} = a ( y + z )   +   b ( y + z ) {\displaystyle =a(y+z)~+~b(y+z)} = a y + a z   +   b y + b z {\displaystyle =ay+az~+~by+bz} [নিয়ম ৮ অনুসারে।] অথবা, ( a + b ) ( y + z ) {\displaystyle (a+b)(y+z)} = y ( a + b ) + z ( a + b ) {\displaystyle =y(a+b)+z(a+b)} = y a + y b + z a + z b {\displaystyle =ya+yb+za+zb} [নিয়ম ৮ অনুসারে।] = y a + z a + y b + z b {\displaystyle =ya+za+yb+zb} [নিয়ম ১ অনুসারে।] = a y + a z + b y + b z {\displaystyle =ay+az+by+bz} [নিয়ম ৬ অনুসারে।] যেমন: ( 2 + 3 ) ( 5 + 7 ) {\displaystyle (2+3)(5+7)} = 2 ( 5 + 7 )   +   3 ( 5 + 7 ) {\displaystyle =2(5+7)~+~3(5+7)} = { ( 2 × 5 ) + ( 2 × 7 ) }   +   { ( 3 × 5 ) + ( 3 × 7 ) } {\displaystyle =\{(2\times 5)+(2\times 7)\}~+~\{(3\times 5)+(3\times 7)\}} = ( 10 + 14 )   +   ( 15 + 21 ) {\displaystyle =(10+14)~+~(15+21)} = 24   +   36 {\displaystyle =24~+~36} = 60 {\displaystyle =60} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০১: − ( a − b + y − z ) {\displaystyle -(a-b+y-z)} = − a + b − y + z {\displaystyle =-a+b-y+z} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ধরন ০২: + ( a − b + y − z ) {\displaystyle +(a-b+y-z)} = a − b + y − z {\displaystyle =a-b+y-z} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: বন্ধনীর (Bracket) আগে বিয়োগ ( − {\displaystyle -} ) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে ভেতরের পদসূমহের প্রক্রিয়া চিহ্নসূমহ (গুণ ( × ) {\displaystyle (\times )} এবং ভাগ ( ÷ ) {\displaystyle (\div )} বাদে) তথা যোগ ( + ) {\displaystyle (+)} এবং বিয়োগ ( − ) {\displaystyle (-)} পরিবর্তিত হয় (ধরন ০১)। কিন্তু, (বন্ধনীর আগে) যোগ ( + {\displaystyle +} ) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে তা (ভেতরের পদসূমহের + {\displaystyle +} বা − {\displaystyle -} চিহ্ন পরিবর্তিত) হয় না (ধরন ০২)। যেমন: a {\displaystyle a} = + a {\displaystyle =+a} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: কোনো (বীজগণিতীয় বা পাটিগণিতীয়) রাশির পূর্বে কোনো (প্রক্রিয়া) চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ ( + ) {\displaystyle (+)} চিহ্ন ধরে নিতে হয়। কিন্তু এই যোগ ( + ) {\displaystyle (+)} চিহ্ন সাধারণত না লেখাই শ্রেয়। গুণের ক্ষেত্রে ( + ) {\displaystyle (+)} এবং ( − ) {\displaystyle (-)} চিহ্নের ব্যবহার: ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: একই চিহ্নযুক্ত [যথা– ( + , + ) {\displaystyle (+,+)} অথবা ( − , − ) {\displaystyle (-,-)} ] রাশির গুণের ক্ষেত্রে প্লাস ( + {\displaystyle +} ) হয়। আর বিপরীত চিহ্নযুক্ত [যথা– ( + , − ) {\displaystyle (+,-)} অথবা ( − , + ) {\displaystyle (-,+)} ] রাশির গুণের ক্ষেত্রে মাইনাস্ ( − {\displaystyle -} ) হয়। যোগের ক্ষেত্রে ( + ) {\displaystyle (+)} এবং ( − ) {\displaystyle (-)} চিহ্নের ব্যবহার: x = x 1 {\displaystyle x={\displaystyle {\frac {x}{1}}}} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: যেকোনো অখন্ডায়ীত ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে হর হিসেবে 1 {\displaystyle 1} যুক্ত থাকে। কিন্তু এই 1 {\displaystyle 1} না লেখাই শ্রেয়। যেমন: a = a 1 {\displaystyle a={\displaystyle {\frac {a}{1}}}} , y = y 1 {\displaystyle y={\displaystyle {\frac {y}{1}}}} , 2 = 2 1 {\displaystyle 2={\displaystyle {\frac {2}{1}}}} , 5 = 5 1 {\displaystyle 5={\displaystyle {\frac {5}{1}}}} , 10 = 10 1 {\displaystyle 10={\displaystyle {\frac {10}{1}}}} , 987 = 987 1 {\displaystyle 987={\displaystyle {\frac {987}{1}}}} বন্ধনীর (Brackets) আগে কিংবা পরে কোনো প্রক্রিয়া চিহ্ন না থাকলে সেখানে ' এর (গুণ) ' ধরে নিতে হয়। এ সময় সবার আগে 'এর' এর কাজ করে নিতে হয়। যেমন: 3 + 5 [ 7 − 6 + 3 + ( 8 ÷ 4 ) 10 ] {\displaystyle 3+5[7-6+3+(8\div 4)10]} = 3 + 5 [ 7 − 6 + 3 + ( 2 ) 10 ] {\displaystyle =3+5[7-6+3+(2)10]} = 3 + 5 [ 7 − 6 + 3 + 2 {\displaystyle =3+5[7-6+3+2} এর 10 ] {\displaystyle 10]} ( = 3 + 5 [ 7 − 6 + 3 + 2 × 10 ] {\displaystyle =3+5[7-6+3+2\times 10]} ) = 3 + 5 [ 7 − 6 + 3 + 20 ] {\displaystyle =3+5[7-6+3+20]} = 3 + 5 [ 7 + 3 + 20 − 6 ] {\displaystyle =3+5[7+3+20-6]} = 3 + 5 [ 30 − 6 ] {\displaystyle =3+5[30-6]} = 3 + 5 [ 24 ] {\displaystyle =3+5[24]} = 3 + 5 {\displaystyle =3+5} এর 24 {\displaystyle 24} ( = 3 + 5 × 24 {\displaystyle =3+5\times 24} ) = 3 + 120 {\displaystyle =3+120} = 123 {\displaystyle =123} a − b − c = a − ( b + c ) {\displaystyle a-b-c=a-(b+c)} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: (বেশি সংখ্যক বিয়োগ চিহ্নিত পদকে) বিয়োগ ( − {\displaystyle -} ) করার সুবিধার্থে এখানে মাইনাস কমন নেওয়া হয়েছে। যার কারণে ভেতরের পদসূমহের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়েছে। বন্ধনী তুলে দিলে আবার তা পূর্বাবস্থায় ( a − b − c {\displaystyle a-b-c} ) ফিরে যবে। যেমন: 14 + 2 − 2 + 5 + 1 − 5 − 3 − 8 − 1 {\displaystyle 14+2-2+5+1-5-3-8-1} = 14 + 2 − 2 + 5 + 1 − ( 5 + 3 + 8 + 1 ) {\displaystyle =14+2-2+5+1-(5+3+8+1)} = 14 + 2 − 2 + 5 + 1 − ( 17 ) {\displaystyle =14+2-2+5+1-(17)} = 14 + 2 − 2 + 5 + 1 − 17 {\displaystyle =14+2-2+5+1-17} = 14 + 5 + 1 − 17 {\displaystyle =14+5+1-17} = 19 + 1 − 17 {\displaystyle =19+1-17} = 20 − 17 {\displaystyle =20-17} = 3 {\displaystyle =3} x × 0 = 0 {\displaystyle x\times 0=0} ▸ {\displaystyle \blacktriangleright } ব্যাখ্যা: যেকোনো সংখ্যা বা পদের সাথে 0 {\displaystyle 0} (শূন্য) গুণ অবস্থায় থাকলে, তার মান সবসময় 0 {\displaystyle 0} (শূন্য) হয়। যেমন: ( 4 − 6 + 5 ) × 0 {\displaystyle (4-6+5)\times 0} [পদের সাথে।] = 0 {\displaystyle =0} অথবা, ( 4 − 6 + 5 ) × 0 {\displaystyle (4-6+5)\times 0} = ( − 2 + 5 ) × 0 {\displaystyle =(-2+5)\times 0} = ( 5 − 2 ) × 0 {\displaystyle =(5-2)\times 0} = 3 × 0 {\displaystyle =3\times 0} [সংখ্যার সাথে।] = 0 {\displaystyle =0} বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়। নানাবিধ গাণিতিক... "NCTB অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যপুস্তক"।  "NCTB ষষ্ঠ শ্রেণির গণিত পাঠ্যপুস্তক"।  চলক পদ [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] সূচক [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] সহগ [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] ভিত্তি [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] রাশি [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] সংখ্যা লব [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।] হর [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]