যৌগিক সংখ্যা

যৌগিক সংখ্যা হলো একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যা দুটি ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল দ্বারা গঠিত হয়ে থাকে। একইসাথে এটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যার ১ এবং ওই সংখ্যাটি ছাড়া কমপক্ষে একটি বিভাজক বা উৎপাদক থাকে । প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই যৌগিক, মৌলিক বা ১ হয়। সুতরাং যৌগিক সংখ্যাগুলো অবশ্যই মৌলিক নয় এবং ১ (একক) নয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা ১৪ একটি যৌগিক সংখ্যা কারণ এটি দুটি ছোট পূর্ণসংখ্যা ২ × ৭ এর গুণফল। একইভাবে, পূর্ণসংখ্যা ২ এবং ৩ যৌগিক সংখ্যা নয় কারণ তাদের প্রতিটিকে শুধুমাত্র ১ এবং উক্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়। ১৫০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা হল: ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২, ১৪, ১৫, ১৬, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ৩০, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৮, ৩৯, ৪০, ৪২, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৬০, ৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৮, ৬৯, ৭০, ৭২, ৭৪, ৭৫, ৭৬, ৭৭, ৭৮, ৮০, ৮১, ৮২, ৮৪, ৮৫, ৮৬, ৮৭, ৮৮, ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৮, ৯৯, ১০০, ১০২, ১০৪, ১০৫, ১০৬, ১০৮, ১১০, ১১১, ১১২, ১১৪, ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯, ১২০, ১২১, ১২২, ১২৩, ১২৪, ১২৫, ১২৬, ১২৮, ১২৯, ১৩০, ১৩২, ১৩৩, ১৩৪, ১৩৫, ১৩৬, ১৩৮, ১৪০, ১৪১, ১৪২, ১৪৩, ১৪৪, ১৪৫, ১৪৬, ১৪৭, ১৪৮, ১৫০. (ওইআইএস-এ ক্রম A002808) প্রতিটি যৌগিক সংখ্যা দুই বা ততোধিক (স্বতন্ত্র হওয়ার প্রয়োজন নেই মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যৌগিক সংখ্যা ২৯৯ কে ১৩ × ২৩ হিসাবে লেখা যায় এবং ৩৬০ যৌগিক সংখ্যা ২৩ × ৩২ × ৫ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এছাড়া, এই উপস্থাপনাটি গুণনীয়কেরের ক্রম পর্যন্ত অনন্য। এই সত্যটিকে পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়। একটি যৌগিক সংখ্যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ না করেই একটি সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক কিনা তা নির্ধারণ করতে পারে এমন বেশ কয়েকটি পরিচিত প্রাথমিক পরীক্ষা রয়েছে। যৌগিক সংখ্যা শ্রেণীবদ্ধ করার একটি উপায় হলো মৌলিক গুণনীয়ক সংখ্যা গণনা করা। দুটি মৌলিক গুণনীয়ক সহ একটি যৌগিক সংখ্যা হলো একটি আধা-মৌলিক বা ২-প্রায় মৌলিক (গুণনীয়কেরগুলো আলাদা হওয়ার দরকার নেই, তাই মৌলিক সংখ্যা গুলোর বর্গগুলো অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে)। তিনটি স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়ক সহ একটি যৌগিক সংখ্যা একটি স্ফেনিক সংখ্যা । কিছু অ্যাপ্লিকেশনে, বিজোড় সংখ্যক স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়ক সহ যৌগিক সংখ্যা এবং স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়কগুলোর একটি জোড় সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য করা প্রয়োজন। পরেরটির জন্য μ ( n ) = ( − 1 ) 2 x = 1 {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1} (যেখানে μ হলো মুবিউস ফাংশন এবং x হলো মোট মৌলিক গুণনীয়কেরের অর্ধেক), যেখানে আগেরটির জন্য μ ( n ) = ( − 1 ) 2 x + 1 = − 1. {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.} যাইহোক, মৌলিক সংখ্যার জন্য, ফাংশনটি −১ এবং প্রদান করে μ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mu (1)=1} . এক বা একাধিক পুনরাবৃত্ত মৌলিক গুণনীয়ক সহ n সংখ্যার জন্য, μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} যদি কোনও সংখ্যার সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে তাকে একটি শক্তিশালী সংখ্যা বলা হয় (সমস্ত নিখুঁত শক্তি শক্তিশালী সংখ্যা)। যদি এর মৌলিক গুণনীয়কগুলোর কোনটিই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে একে বর্গমুক্ত বলা হয়। (সমস্ত মৌলিক সংখ্যা এবং ১ বর্গমুক্ত।) উদাহরণস্বরূপ, ৭২ = ২ ৩ × ৩ ২, সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক পুনরাবৃত্তি হয়, তাই ৭২ একটি শক্তিশালী সংখ্যা। ৪২ = ২ × ৩ × ৭, মৌলিক গুণনীয়কগুলোর একটিও পুনরাবৃত্তি হয় না, তাই ৪২ বর্গমুক্ত। যৌগিক সংখ্যা শ্রেণীবদ্ধ করার আরেকটি উপায় হলো ভাজকের সংখ্যা গণনা করা। সমস্ত যৌগিক সংখ্যার কমপক্ষে তিনটি ভাজক থাকে। মৌলিক সংখ্যা গুলোর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, সেই ভাজকগুলো হলো { 1 , p , p 2 } {\displaystyle \{1,p,p^{2}\}} . একটি সংখ্যা n যার যেকোনো x < n এর চেয়ে বেশি ভাজক রয়েছে একটি অত্যন্ত যৌগিক সংখ্যা (যদিও প্রথম দুটি সংখ্যা হলো ১ এবং ২)। যৌগিক সংখ্যাগুলোকে "আয়তক্ষেত্রাকার সংখ্যা"ও বলা হয়েছে, তবে সেই নামটি প্রনিক সংখ্যাগুলোকেও নির্দেশ করতে পারে, যে সংখ্যাগুলো পরপর দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল। যৌগিক সংখ্যাগুলোকে শ্রেণীবদ্ধ করার আরেকটি উপায় হলো সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলো কিছু নির্দিষ্ট (মৌলিক) সংখ্যার নীচে বা সমস্ত উপরে কিনা তা নির্ধারণ করা। এই জাতীয় সংখ্যাগুলোকে যথাক্রমে মসৃণ সংখ্যা এবং রুক্ষ সংখ্যা বলা হয়। গণিত প্রবেশদ্বার ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা পূর্ণসংখ্যার উৎপাদকে বিশ্লেষণ এরাটোস্থেনিসের চালনী মৌলিক উৎপাদকের সারণী A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.)। Addison-Wesley। ১৯৭৬। আইএসবিএন 0-201-01984-1।  Topics In Algebra। Blaisdell Publishing Company। ১৯৬৪। আইএসবিএন 978-1114541016।  Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.)। D. C. Heath and Company। ১৯৭২।  Introduction To Modern Algebra, Revised Edition। Boston: Allyn and Bacon। ১৯৬৮।  Long (1972, p. 16) Fraleigh (1976, p. 270) Long (1972, p. 44) McCoy (1968, p. 85) Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53) Fraleigh, John B. (১৯৭৬), A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, আইএসবিএন 0-201-01984-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Herstein, I. N. (১৯৬৪), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, আইএসবিএন 978-1114541016 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Long, Calvin T. (১৯৭২), Elementary Introduction to Number Theory (2nd সংস্করণ), Lexington: D. C. Heath and Company, এলসিসিএন 77-171950 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) McCoy, Neal H. (১৯৬৮), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, এলসিসিএন 68-15225 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (১৯৭০), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, এলসিসিএন 77-81766 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)