অবস্থানের চতুর্থ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ অন্তরজ

পদার্থবিজ্ঞানে অবস্থানের চতুর্থ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ অন্তরজকে সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের ডেরিভেটিভ অর্থাৎ অন্তরজরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় অন্তরজকে যথাক্রমে বেগ, ত্বরণ ও জার্ক নামে অভিহিত করা হয়। প্রথম তিনটি অন্তরজ যতটা দৃষ্টিগোচর হয়, উচ্চতর-ক্রমের অন্তরজগুলো ততটা দেখা মেলে না এবং এগুলোর খুব কমই ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে। এই কারণে এদের জন্য যে নামগুলো ব্যবহার করা হচ্ছে সেগুলো আদর্শ পরিভাষা হিসেবে স্বীকৃতি পায়নি। তা সত্ত্বেও, সর্বনিম্ন স্ন্যাপ গতিপথের একটি ধারণা রোবোটিকসে ব্যবহার করা হয়েছে এবং একে ম্যাটল্যাবে বাস্তবে রূপান্তর করা হয়েছে। চতুর্থ অন্তরজকে সচরাচর স্ন্যাপ বা জাউন্স নাম দিয়ে নির্দেশ কর হয়। চতুর্থ অন্তরজের জন্য স্ন্যাপ নামের পর আসে ক্র্যাকল ও পপ নাম দুটি যথাক্রমে পঞ্চম ও ষষ্ঠ অন্তরজের জন্যে। স্ন্যাপ, ক্র্যাকল ও পপ‍ নামগুলোর অনুপ্রেরণা নেওয়া হয়েছে স্ন্যাপ, ক্র্যাকল ও পপ নামের এক একটি বিজ্ঞাপনী মাসকট থেকে। এই পরিভাষাগুলো মাঝে মধ্যে ক্ষেত্রবিশেষে ব্যবহার করা হয়, যদিও সেটা করা হয় "কখনো কখনো কিছুটা হাস্যরসাত্মকভাবেই"। স্ন্যাপ বা জাউন্স হলো সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের চতুর্থ অন্তরজ, অর্থাৎ সময়ের সাপেক্ষে জার্ক-এর পরিবর্তনের হার। একইভাবে, এটি হচ্ছে ত্বরণের দ্বিতীয় অন্তরজ অথবা বেগের তৃতীয় অন্তরজ। আর একে সংজ্ঞায়িত করা হয় নিচের যেকোনো রাশিমালা দিয়ে, যেখানে এই রাশিমালাগুলো পরস্পরের সমতূল্য। s → = d ȷ → d t = d 2 a → d t 2 = d 3 v → d t 3 = d 4 r → d t 4 . {\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.} নিচের সমীকরণগুলো ধ্রুব স্ন্যাপের জন্য ব্যবহার করা হয়: ȷ → = ȷ → 0 + s → t , {\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,} a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → t 2 , {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},} v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → t 3 , {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → t 4 , {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},} এখানে s → {\displaystyle {\vec {s}}} হলো ধ্রুব স্ন্যাপ, ȷ → 0 {\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}} হলো আদি জার্ক, ȷ → {\displaystyle {\vec {\jmath }}} হলো শেষ জার্ক, a → 0 {\displaystyle {\vec {a}}_{0}} হলো আদি ত্বরণ, a → {\displaystyle {\vec {a}}} হলো শেষ ত্বরণ, v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} হলো আদি বেগ, v → {\displaystyle {\vec {v}}} হলো শেষ বেগ, r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} হলো আদি অবস্থান, r → {\displaystyle {\vec {r}}} হলো শেষ অবস্থান এবং t {\displaystyle t} হলো আদি ও শেষ অবস্থার মধ্যে সময় ব্যবধান। s → {\displaystyle {\vec {s}}} সংকেতটিকে সরণ ভেক্টরের সাথে গুলিয়ে ফেলা যাবে না; সরণের জন্য সচরাচর এই সংকেতই ব্যবহার করা হয়। স্ন্যাপের জন্য s → {\displaystyle {\vec {s}}} -এর ব্যবহার করেছিলেন ম্যাট ভিসার। স্ন্যাপের মাত্রা হলো দূরত্ব / সময়ের চতুর্ঘাত (LT−4)। এর এসআই একক হলো "মিটার প্রতি চতুর্ঘাতীসেকেন্ড" m/s4 বা m⋅s−4 এবং সিজিএস একক হলো 100 গ্যাল প্রতি বর্গসেকেন্ড (100 gal.s−2)। সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের পঞ্চম অন্তরজকে কখনো কখনো ক্র্যাকল নামটি দিয়ে নির্দেশ করা হয়। ক্র্যাকল হচ্ছে সময়ের সাপেক্ষে স্ন্যাপের পরিবর্তনের হার। নিচে দেওয়া পরস্পরের সমতূল্য রাশিমালাগুলোর যেকোনো একটি দিয়ে ক্র্যাকলকে সংজ্ঞায়িত করা যায়: c → = d s → d t = d 2 ȷ → d t 2 = d 3 a → d t 3 = d 4 v → d t 4 = d 5 r → d t 5 {\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}} ধ্রুব ক্র্যাকলের জন্য নিচের সমীকরণগুলো ব্যবহার করা হয়: s → = s → 0 + c → t {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t} ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 t + 1 2 c → t 2 {\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}} a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 c → t 3 {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}} v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → t 4 {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → t 5 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}} এখানে, c → {\displaystyle {\vec {c}}} হলো ধ্রুব ক্র্যাকল, s → 0 {\displaystyle {\vec {s}}_{0}} হলো আদি স্ন্যাপ, s → {\displaystyle {\vec {s}}} হলো শেষ স্ন্যাপ, ȷ → 0 {\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}} হলো আদি জার্ক, ȷ → {\displaystyle {\vec {\jmath }}} হলো শেষ জার্ক, a → 0 {\displaystyle {\vec {a}}_{0}} হলো আদি ত্বরণ, a → {\displaystyle {\vec {a}}} হলো শেষ ত্বরণ, v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} হলো আদি বেগ, v → {\displaystyle {\vec {v}}} হলো শেষ বেগ, r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} হলো আদি অবস্থান, r → {\displaystyle {\vec {r}}} শেষ অবস্থান এবং t {\displaystyle t} হলো আদি ও শেষ অবস্থার মধ্যে সময় ব্যবধান। ক্র্যাকলের মাত্রা হলো LT−5। এসআই একক হলো m/s5 বা m.s–5 এবং সিজিএস একক হলো 100 গ্যাল প্রতি ঘনসেকেন্ড বা 100 gal.s–3। সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরের ষষ্ঠ অন্তরজকে পপ নামটি দিয়ে নির্দেশ করা হয়। পপ হলো সময়ের সাপেক্ষে ক্র্যাকলের পরিবর্তনের হার। পরস্পরের সমতূল্য নিচের রাশিমালাগুলোর যেকোনোটি দিয়ে পপকে সংজ্ঞায়িত করা যায়: p → = d c → d t = d 2 s → d t 2 = d 3 ȷ → d t 3 = d 4 a → d t 4 = d 5 v → d t 5 = d 6 r → d t 6 {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}} পপ ধ্রুব থাকলে নিচের সমীকরণগুলো ব্যবহার করা যায়: c → = c → 0 + p → t {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t} s → = s → 0 + c → 0 t + 1 2 p → t 2 {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}} ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 t + 1 2 c → 0 t 2 + 1 6 p → t 3 {\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}} a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 c → 0 t 3 + 1 24 p → t 4 {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}} v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → 0 t 4 + 1 120 p → t 5 {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → 0 t 5 + 1 720 p → t 6 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}} এখানে, p → {\displaystyle {\vec {p}}} হলো ধ্রুব পপ c → 0 {\displaystyle {\vec {c}}_{0}} হলো আদি ক্র্যাকল, c → {\displaystyle {\vec {c}}} হলো শেষ ক্র্যাকল, s → 0 {\displaystyle {\vec {s}}_{0}} হলো আদি স্ন্যাপ, s → {\displaystyle {\vec {s}}} হলো শেষ স্ন্যাপ, ȷ → 0 {\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}} হলো আদি জার্ক, ȷ → {\displaystyle {\vec {\jmath }}} হলো শেষ জার্ক, a → 0 {\displaystyle {\vec {a}}_{0}} হলো আদি ত্বরণ, a → {\displaystyle {\vec {a}}} হলো শেষ ত্বরণ, v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} হলো আদি বেগ, v → {\displaystyle {\vec {v}}} হলো শেষ বেগ, r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} হলো আদি অবস্থান, r → {\displaystyle {\vec {r}}} হলো শেষ অবস্থান আর t {\displaystyle t} হলো আদি ও শেষ অবস্থা দুটির সময় ব্যবধান। পপের মাত্রাকে LT−6 আকারে লেখা যায়, এসআই এককে যা হবে m/s6 বা m.s–6 এবং সিজিএস-এ হবে 100 গ্যাল প্রতি চতুর্ঘাতীসেকেন্ড বা 100 gal.s–4। "MATLAB Documentation: minsnappolytraj"। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (২০১১)। "Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors"। 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation। পৃষ্ঠা 2520–2525। আইএসবিএন 978-1-61284-386-5। ডিওআই:10.1109/ICRA.2011.5980409। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Visser, Matt (৩১ মার্চ ২০০৪)। "Jerk, snap and the cosmological equation of state"। Classical and Quantum Gravity। 21 (11): 2603–2616। arXiv:gr-qc/0309109 । আইএসএসএন 0264-9381। ডিওআই:10.1088/0264-9381/21/11/006। বিবকোড:2004CQGra..21.2603V। Snap [the fourth time derivative] is also sometimes called jounce. The fifth and sixth time derivatives are sometimes somewhat facetiously referred to as crackle and pop. উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (নভেম্বর ১৯৯৮)। "What is the term used for the third derivative of position?"। Usenet Physics and Relativity FAQ। Math Dept., University of California, Riverside। সংগ্রহের তারিখ ২০১৫-১০-২৪। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Thompson, Peter M. (৫ মে ২০১১)। "Snap, Crackle, and Pop" (পিডিএফ)। AIAA Info। Hawthorne, California: Systems Technology। পৃষ্ঠা 1। Archived from the original on ২৬ জুন ২০১৮। সংগ্রহের তারিখ ৩ মার্চ ২০১৭। The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop. উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: ইউআরএল ফিট নয় (link) দে স সৃতিবিদ্যা ← সমাকলন ... ব্যবকলন → দূরত্ব · বেগ (দ্রুতি) · ত্বরণ · Jerk · Snap