কৌণিক দূরত্ব

কৌণিক দূরত্ব বা কৌণিক বিচ্ছেদ হল দুটি সরলরেখা এর অরিয়েন্টেশন এর মধ্যকার কোণ পরিমাপ। রশ্মিs, অথবা ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থান, অথবা কেন্দ্রীয় কোণ ব্যাসার্ধ দ্বারা উপস্থাপিত একটি গোলক দুটি বিন্দুর মাধ্যমে। যখন রশ্মিগুলি পর্যবেক্ষক থেকে মহাকাশের দুটি বিন্দুতে দৃষ্টির রেখা থাকে, তখন এটি আপাত দূরত্ব' বা আপাত বিচ্ছেদ নামে পরিচিত। কৌণিক দূরত্ব গণিত (বিশেষ করে জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি) এবং সমস্ত প্রাকৃতিক বিজ্ঞান (যেমন, গতিবিদ্যা, জ্যোতির্বিদ্যা, এবং জিওফিজিক্স))। ঘূর্ণায়মান বস্তুর শাস্ত্রীয় বলবিদ্যা-এ এটি কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ, কৌণিক ভরবেগ, জড়তার মুহূর্ত এবং টর্ক এর পাশাপাশি উপস্থিত হয়। "কৌণিক দূরত্ব" (বা "বিচ্ছেদ") শব্দটি প্রযুক্তিগতভাবে "কোণ" এরই সমার্থক, কিন্তু বস্তুর মধ্যে রৈখিক দূরত্ব বোঝানোর জন্য (উদাহরণস্বরূপ, কয়েকটি তারাগুলি পৃথিবী থেকে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যেহেতু কৌণিক দূরত্ব (বা বিচ্ছেদ) ধারণাগতভাবে একটি কোণের সাথে অভিন্ন, তাই এটি একই ইউনিট, যেমন ডিগ্রী বা রেডিয়ানসেকে পরিমাপ করা হয় , যন্ত্র ব্যবহার করে যেমন গোনিওমিটার বা অপটিক্যাল যন্ত্র বিশেষভাবে সু-সংজ্ঞায়িত দিক নির্দেশ করার জন্য এবং সংশ্লিষ্ট কোণগুলি (যেমন টেলিস্কোপগুলি) রেকর্ড করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। To derive the equation that describes the angular separation of two points located on the surface of a sphere as seen from the center of the sphere, we use the example of two astronomical objects A {\displaystyle A} and B {\displaystyle B} observed from the Earth. The objects A {\displaystyle A} and B {\displaystyle B} are defined by their celestial coordinates, namely their right ascensions (RA), ( α A , α B ) ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]} ; and declinations (dec), ( δ A , δ B ) ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]} . Let O {\displaystyle O} indicate the observer on Earth, assumed to be located at the center of the celestial sphere. The dot product of the vectors O A {\displaystyle \mathbf {OA} } and O B {\displaystyle \mathbf {OB} } is equal to: O A ⋅ O B = R 2 cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta } which is equivalent to: n A ⋅ n B = cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta } In the ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} frame, the two unitary vectors are decomposed into: n A = ( cos ⁡ δ A cos ⁡ α A cos ⁡ δ A sin ⁡ α A sin ⁡ δ A ) a n d n B = ( cos ⁡ δ B cos ⁡ α B cos ⁡ δ B sin ⁡ α B sin ⁡ δ B ) . {\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.} Therefore, n A ⋅ n B = cos ⁡ δ A cos ⁡ α A cos ⁡ δ B cos ⁡ α B + cos ⁡ δ A sin ⁡ α A cos ⁡ δ B sin ⁡ α B + sin ⁡ δ A sin ⁡ δ B ≡ cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta } then: θ = cos − 1 ⁡ [ sin ⁡ δ A sin ⁡ δ B + cos ⁡ δ A cos ⁡ δ B cos ⁡ ( α A − α B ) ] {\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]} The above expression is valid for any position of A and B on the sphere. In astronomy, it often happens that the considered objects are really close in the sky: stars in a telescope field of view, binary stars, the satellites of the giant planets of the solar system, etc. In the case where θ ≪ 1 {\displaystyle \theta \ll 1} radian, implying α A − α B ≪ 1 {\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1} and δ A − δ B ≪ 1 {\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1} , we can develop the above expression and simplify it. In the small-angle approximation, at second order, the above expression becomes: cos ⁡ θ ≈ 1 − θ 2 2 ≈ sin ⁡ δ A sin ⁡ δ B + cos ⁡ δ A cos ⁡ δ B [ 1 − ( α A − α B ) 2 2 ] {\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]} meaning 1 − θ 2 2 ≈ cos ⁡ ( δ A − δ B ) − cos ⁡ δ A cos ⁡ δ B ( α A − α B ) 2 2 {\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}} hence 1 − θ 2 2 ≈ 1 − ( δ A − δ B ) 2 2 − cos ⁡ δ A cos ⁡ δ B ( α A − α B ) 2 2 {\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}} . Given that δ A − δ B ≪ 1 {\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1} and α A − α B ≪ 1 {\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1} , at a second-order development it turns that cos ⁡ δ A cos ⁡ δ B ( α A − α B ) 2 2 ≈ cos 2 ⁡ δ A ( α A − α B ) 2 2 {\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}} , so that θ ≈ [ ( α A − α B ) cos ⁡ δ A ] 2 + ( δ A − δ B ) 2 {\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}} যদি আমরা বিবেচনা করি একটি ডিটেক্টর ইমেজিং একটি ছোট আকাশ ক্ষেত্র (একটি রেডিয়ানের চেয়ে অনেক কম মাত্রা) সাথে y {\displaystyle y} -অক্ষ নির্দেশ করে, ডান অ্যাসেনশন α {\displaystyle \alpha } এর মেরিডিয়ানের সমান্তরাল, এবং x {\displaystyle x} -অক্ষ অবনতির সমান্তরাল বরাবর δ {\displaystyle \delta } , কৌণিক বিচ্ছেদ এভাবে লেখা যেতে পারে: θ ≈ δ x 2 + δ y 2 {\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}} where δ x = ( α A − α B ) cos ⁡ δ A {\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}} and δ y = δ A − δ B {\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}} . Note that the y {\displaystyle y} -axis is equal to the declination, whereas the x {\displaystyle x} -axis is the right ascension modulated by cos ⁡ δ A {\displaystyle \cos \delta _{A}} because the section of a sphere of radius R {\displaystyle R} at declination (latitude) δ {\displaystyle \delta } is R ′ = R cos ⁡ δ A {\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}} (see Figure). মিলিরাডিয়ান গ্রেডিয়ান ঘন্টা কোণ কেন্দ্রীয় কোণ ঘূর্ণনের কোণ কৌণিক ব্যাস কৌণিক স্থানচ্যুতি মহান-বৃত্ত দূরত্ব কোসাইন সাদৃশ্য § কৌণিক দূরত্ব এবং সাদৃশ্য CASTOR, author Michael A. Earl. "The Spherical Trigonometry vs. Vector Analysis". এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Angular Distance"।