সিলভেস্টারের ক্রম

সংখ্যাতত্ত্বে সিলভেস্টারের ক্রম হচ্ছে পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রম যেখানে ক্রমের অন্তর্গত প্রত্যেকটি সংখ্যা ক্রমের আগের সবগুলি সংখ্যার গুণফলের সাথে এক যোগ করে পাওয়া যায়। এই ক্রমের প্রথম কিছু সংখ্যা হলঃ 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 ( OEIS এর A000058 ক্রম ) সিলভেস্টারের ক্রমের নামকরণ করা হয়েছে জেমস জোসেফ সিলভেস্টার ( ইংরেজিঃ James Joseph Sylvester ) এর নামানুসারে যে এই ক্রমটি উদ্ভাবন করে ১৮৮০ সালে। এই ক্রমের মান বাড়তে থাকে ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের মত করে এবং এই সংখ্যাক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলো একক ভগ্নাংশের ধারা গঠন করে যার একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ সংখ্যার যোগফল অন্য যেকোন ধারার চেয়ে দ্রুত ১ এর দিকে আগাতে থাকে। এই ক্রমের যেকোন সংখ্যা দ্রুত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় এই ক্রমটি যে রিকারেন্স দিয়ে নির্ধারিত সেজন্য। কিন্তু এই ক্রমের সংখ্যাগুলোর মান খুব দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়ায় খুব কম সংখ্যাকেই সম্পূর্ণরূপে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা গেছে। এই ক্রমের সংখ্যাগুলো ১ এর সসীম মিশরীয় ভগ্নাংশ তৈরি করা, সাসাকিয়ান আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ড এবং অনলাইন এলগোরিদম এর কঠিন নমুনার ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়। সিলভেস্টারের ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এই ফর্মূলা দিয়েঃ s n = 1 + ∏ i = 0 n − 1 s i . {\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.} যেহেতু শূন্য সংখ্যক সংখ্যার গুণফলের মান 1 সেহেতু s0 = 2. এই ক্রমকে এই রিকারেন্স দিয়ে অন্যভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়ঃ s i = s i − 1 ( s i − 1 − 1 ) + 1 , {\displaystyle \displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,} যেখানে s0 = 2. গাণিতিক আরোহ দিয়ে সহজেই দেখানো যায় যে দুইটি সংজ্ঞার একটা অন্যটার সমতুল্য। সিলভেস্টারের সংখ্যাগুলো n এর একটা ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন অনুসারে বৃদ্ধি পায়। নির্দিষ্টভাবে এটা দেখানো যায় যেঃ s n = ⌊ E 2 n + 1 + 1 2 ⌋ , {\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,} আনুমানিক 1.264084735305302 মানের একটা সংখ্যা E এর জন্য। নিম্নবর্ণিত অ্যালগোরিদমটি উপরের ফর্মূলাকে প্রভাবিত করেঃ s0, E2 এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; s1, E4 এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; s2, E8 এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; sn হবে E2 কে n বার বর্গ করে সবচেয়ে কাছের সংখ্যাটা। এটা কাজে লাগানোর মত একটা অ্যালগোরিদম তখনই হবে যখন আমরা sn এর মান বের করে বারবার তার বর্গমূল নেয়ার চেয়ে ভালভাবে প্রয়োজনীয় সংখ্যক বার E এর মান বের করতে পারব। সিলভেস্টার ক্রমের ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল বৃদ্ধি ফার্মা সংখ্যা Fn এর সাথে তুলনা করা বিস্ময়কর নয়; ফার্মা সংখ্যাগুলো সাধারণত একটা ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল ফর্মূলা 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিন্তু ফার্মা সংখ্যাকে সিলভেস্টার ক্রমের মতই একটা প্রোডাক্ট ফর্মূলা দিয়ে প্রকাশ করা যায়ঃ F n = 2 + ∏ i = 0 n − 1 F i . {\displaystyle F_{n}=2+\prod _{i=0}^{n-1}F_{i}.} সিলভেস্টার ক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলোর দ্বারা গঠিত একক ভগ্নাংশগুলো একটা অসীম ধারা গঠন করেঃ ∑ i = 0 ∞ 1 s i = 1 2 + 1 3 + 1 7 + 1 43 + 1 1807 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .} এই ধারার আংশিক ভগ্নাংশকে খুব সহজেই লেখা যায়, ∑ i = 0 j − 1 1 s i = 1 − 1 s j − 1 = s j − 2 s j − 1 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}.} গাণিতিক আরোহ দিয়ে এটা প্রমাণ করা যেতে পারে অথবা সরাসরি একটা রিকার্শন খেয়াল করে যে, 1 s i − 1 − 1 s i + 1 − 1 = 1 s i , {\displaystyle {\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}={\frac {1}{s_{i}}},} টেলিস্কোপ সিরিজ অনুসারে, যোগফল ∑ i = 0 j − 1 1 s i = ∑ i = 0 j − 1 ( 1 s i − 1 − 1 s i + 1 − 1 ) = 1 s 0 − 1 − 1 s j − 1 = 1 − 1 s j − 1 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=\sum _{i=0}^{j-1}\left({\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}\right)={\frac {1}{s_{0}-1}}-{\frac {1}{s_{j}-1}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}.} যেহেতু (sj-2)/(sj-1) আংশিক ভগ্নাংশের এই ক্রমটি এক এর দিকে অভিসৃত হয়, সম্পূর্ণ সিরিজটি এক এর একটি অসীম মিশরীয় ভগ্নাংশের রিপ্রেজেন্টেশন গঠন করে। 1 = 1 2 + 1 3 + 1 7 + 1 43 + 1 1807 + ⋯ . {\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .} এক এর মিশরীয় ভগ্নাংশ রিপ্রেজেন্টেশন যেকোন দৈর্ঘ্যের করা সম্ভব। উপরের সিরিজকে কেটে এবং শেষের হর থেকে এক বিয়োগ করেঃ 1 = 1 2 + 1 3 + 1 6 , 1 = 1 2 + 1 3 + 1 7 + 1 42 , 1 = 1 2 + 1 3 + 1 7 + 1 43 + 1 1806 , … . {\displaystyle 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{42}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{1806}},\quad \dots .} k পদের মিশরীয় ভগ্নাংশের এক এর রিপ্রেজেন্টেশনের সবচেয়ে কাছাকাছি কিন্তু ছোট মান দেয় অসীম সিরিজটির প্রথম k টি পদের যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম চারটি পদ যোগ করলে 1805/1806 হয় এবং সেজন্য (1805/1806,1) খোলা ব্যবধিতে যেকোন সংখ্যার মিশরীয় ভগ্নাংশের জন্য অন্তত পাঁচটি পদ দরকার। সিলভেস্টার ক্রমকে মিশরীয় ভগ্নাংশের একটা গ্রিডি অ্যালগোরিদম হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে যেটা প্রত্যেকটি স্টেপে সবচে ছোট হরকে নেয় যাতে আংশিক ভগ্নাংশ এক এর চেয়ে কম থাকে। অন্যভাবে, এই ক্রমের প্রথমটির পরের সবগুলো পদকে 1/2 এর অড-গ্রিডি এক্সপানশন এর হর হিসেবে দেখা যেতে পারে। সিলভেস্টার নিজেই খেয়াল করেন যে দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়া মানের দিক থেকে সিলভেস্টার ক্রম অনন্য যেখানে একইসাথে এই ক্রমের মানগুলোর বিপ্রতীপ গুলো একটি ধারা গঠন করে যা একটি মূলদ সংখ্যায় অভিসৃত হয়। ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ই যথেষ্ট নয় একটি পূর্ণসংখ্যার ধারাকে অমূলদ হতে - এই ক্রম তার একটি উদাহরণ। একে আরও যথাযথ ভাবে বলতে গেলে, Badea (১৯৯৩) এর উত্তরগুলো থেকে দেখা যায় যে, যদি একটি পূর্ণসংখ্যার ক্রম a n {\displaystyle a_{n}} দ্রুত বৃদ্ধি পায় যাতে a n ≥ a n − 1 2 − a n − 1 + 1 , {\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1,} এবং যদি ধারা A = ∑ 1 a i {\displaystyle A=\sum {\frac {1}{a_{i}}}} একটি মূলদ সংখ্যা A এর দিকে অভিসৃত হয়, তাহলে সব n এর জন্য, এই ক্রমটি এভাবেই সংজ্ঞায়িত করতে হবে a n = a n − 1 2 − a n − 1 + 1 {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1} যেটা দিয়ে সিলভেস্টার ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায়। Erdős & Graham (১৯৮০) অনুমান করেছিলেন যে, এধরনের উত্তরে, ক্রমের বৃদ্ধিহারের অসমতাকে একটা দুর্বল শর্ত দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়, lim n → ∞ a n a n − 1 2 = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1.} Badea (১৯৯৫) এই অনুমানের অগ্রগতি নিয়ে জরিপ করেছিলেন; এটিও দেখুনঃ Brown (১৯৭৯). যদি i < j হয় তবে সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় sj ≡ 1 (mod si). সুতরাং সিলভেস্টার ক্রমের যেকোন দুইটি সংখ্যা সহ-মৌলিক। এই ক্রম দিয়ে প্রমাণ করা যায় যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব আছে যেহেতু একটা মৌলিক সংখ্যা এই ধারার সর্বোচ্চ একটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। আরও জোর দিয়ে বলা যায়, এই ধারার কোন মৌলিক উৎপাদকই 5 (mod 6) এর সর্বসম হতে পারবে না। এবং এই ধারা দিয়ে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করা যেতে পারে যারা 7 (mod 12) এর সর্বসম। সিলভেস্টার ক্রমের সংখ্যাগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিয়ে অনেক কিছুই অজানা। উদহরণস্বরূপ, এটা এখনো জানা যায় নি সিলভেস্টার ক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যাই বর্গমুক্ত কি না যদিও জানা সংখ্যাগুলো বর্গমুক্ত। Vardi (১৯৯১) এর বর্ণনানুসারে, একটা মৌলিক সংখ্যা p কোন সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করবে ( যদি আদৌ করে ) তা খুব সহজেই জানা সম্ভব: সংখ্যাগুলোকে মডুলো p দিয়ে ডিফাইন করে রিকারেন্স চালাতে হবে যতক্ষণ পর্যন্ত না আরেকটা সংখ্যা পাওয়া যায় যা 0 (mod p) এর সর্বসম অথবা একই মডুলো পাওয়া যায়। এই উপায় অবলম্বন করে তিনি দেখতে পেলেন যে প্রথম তিন মিলিয়ন মৌলিক সংখ্যার ১১৬৬ টি সিলভেস্টার সংখ্যার উৎপাদক, এবং এই মৌলিক সংখ্যাগুলোর কোনটারই বর্গ সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করে না। সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করে এমন মৌলিক সংখ্যার সেট, সবগুলো মৌলিক সংখ্যার সেটে শূন্য ঘনত্বের: আসলেই, x এর চেয়ে ছোট এমন মৌলিক সংখ্যার সংখ্যাঃ O ( π ( x ) / log ⁡ log ⁡ log ⁡ x ) {\displaystyle O(\pi (x)/\log \log \log x)} . এই সংখ্যাগুলোর জানা উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের টেবিলে দেখান হল, (প্রথম চারটি বাদে যারা নিজেরাই মৌলিক সংখ্যা): Pn এবং Cn দিয়ে n অঙ্কের মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা বোঝানো হয়েছে। বিজোড় মাত্রার গোলক বা এক্সোটিক গোলক এর অন্তরীকরণযোগ্য টপোলজি বিশিষ্ট সাসাকিয়ান আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ড এর বড় বড় সংখ্যার সংজ্ঞা দিতে Boyer, Galicki & Kollár (২০০৫) সিলভেস্টার ক্রমের গুণাবলী ব্যবহার করেন। তারা দেখান‌ যে 2n − 1 মাত্রার একটা টপোলজিকাল গোলক এর উপর ভিন্ন ভিন্ন সাসাকিয়ান আইনস্টাইন মেট্রিকস অন্তত sn এর সমানুপাতিক এবং তাই n এর সাথে ডাবল এক্সপোনেনশিয়ালি বৃদ্ধি পায়। Galambos & Woeginger (১৯৯৫) বলেন যে, Brown (১৯৭৯) এবং Liang (১৯৮০) সিলভেস্টারের ক্রম থেকে উদ্ভূত মান ব্যবহার করে অনলাইন বিন প্যাকিং অ্যালগোরিদম এর জন্য লোয়ার-বাউন্ড উদাহরণ গঠন করেন। Seiden & Woeginger (২০০৫) একইভাবে এই ক্রম ব্যবহার করে দুই-মাত্রার কাটিং স্টক অ্যালগোরিদমের লোয়ার-বাউন্ড বের করেন। নাম-এর সমস্যা এমন সংখ্যার সেট নিয়ে আলোচনা করে যে সেটের প্রত্যেকটা সংখ্যাই অন্য সব সংখ্যাকে ভাগ করে কিন্তু অন্য সব সংখ্যার গুণফল + ১ এর সমান নয়। অসমতার বাধ্যবাধকতা ছাড়া, সিলভেস্টার ক্রমের সংখ্যাগুলো এই সমস্যা সমাধান করে দিত; বাধ্যবাধকতা সহ, সিলভেস্টার ক্রমের সংজ্ঞাদায়ী রিকারেন্সের মতই অন্য রিকারেন্স থেকে উদ্ভূত আরও সমাধান আছে এটার। Znám এর সমস্যা সমাধানের প্রয়োগ দেখা যায় সারফেস সিঙ্গুলারিটির ক্লাসিফিকেশনে (Brenton and Hill 1988) এবং নন-ডিটারমিনিস্টিক ফিনিট অটোমাটা এর তত্ত্বে। ডক্টর কার্টিস (১৯২২) এক এর জন্য একক ভগ্নাংশের k-পদের যোগফলের আসন্নতার একটি প্রয়োগ বর্ণনা করেন, নিখুঁত সংখ্যার উৎপাদকগুলোর লোয়ার-বাউন্ডিং এর ক্ষেত্রে। এবং Miller (১৯১৯) একই ধর্ম ব্যবহার করেন গ্রুপ এর আকারের আপার বাউন্ডে। Cahen's constant Primary pseudoperfect number Graham, Knuth & Patashnik (১৯৮৯) একটা অনুশীলনী হিসেবে দিয়েছিলেন; এটিও দেখুন Golomb (১৯৬৩). সাধারণত Curtiss (১৯২২) এর আরোপিত দাবী, কিন্তু দেখা যায় যে Miller (১৯১৯) আগের দিককার একটা পেপারে একই বিবৃতি দেন. এগুলোও দেখুন Rosenman & Underwood (১৯৩৩), Salzer (‍‍১৯৪৭), এবং Soundararajan (২০০৫). Guy (২০০৪). Guy & Nowakowski (১৯৭৫). সম্ভবত টাইপিং ভুল, যেহেতু Andersen 1167 টি মৌলিক উৎপাদক খুঁজে পান ঐ পরিসরে. Jones (২০০৬). Odoni (১৯৮৫). সিলভেস্টার সংখ্যা sn এর প্রত্যেকটি মৌলিক উৎপাদক p যেখানে p < 5×১০৭ এবং n ≤ 200, Vardi এর লিস্ট করা। Ken Takusagawa s9 পর্যন্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং s10 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ লিস্ট করেন। বাকিগুলো নেয়া হয়েছে Jens Kruse Andersen এর রাখা a list of factorizations of Sylvester's sequence। নেয়া 2014-06-13. Seiden এবং Woeginger তাদের কাজে সিলভেস্টার ক্রমকে "Salzer's sequence" বলে উল্লেখ করেন, Salzer (১৯৪৭) এর নামানুসারে, ক্লোজেস্ট অ্যাপ্রোক্সিমেশনের উপর তার কাজের জন্য. Domaratzki et al. (২০০৫). Badea, Catalin (১৯৯৩)। "A theorem on irrationality of infinite series and applications"। Acta Arithmetica। 63: 313–323। এমআর 1218459।  Badea, Catalin (১৯৯৫)। "On some criteria for irrationality for series of positive rationals: a survey" (পিডিএফ)। ১১ সেপ্টেম্বর ২০০৮ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১ মার্চ ২০১৮।  Boyer, Charles P.; Galicki, Krzysztof; Kollár, János (২০০৫)। "Einstein metrics on spheres"। Annals of Mathematics। 162 (1): 557–580। arXiv:math.DG/0309408 । এমআর 2178969। ডিওআই:10.4007/annals.2005.162.557।  Brenton, Lawrence; Hill, Richard (১৯৮৮)। "On the Diophantine equation 1=Σ1/ni + 1/Πni and a class of homologically trivial complex surface singularities"। Pacific Journal of Mathematics। 133 (1): 41–67। এমআর 0936356। ডিওআই:10.2140/pjm.1988.133.41।  Brown, D. J. (১৯৭৯)। "A lower bound for on-line one-dimensional bin packing algorithms"। Tech. Rep. R-864। Coordinated Science Lab., Univ. of Illinois, Urbana-Champaign।  Curtiss, D. R. (১৯২২)। "On Kellogg's diophantine problem"। American Mathematical Monthly। 29 (10): 380–387। জেস্টোর 2299023। ডিওআই:10.2307/2299023।  Domaratzki, Michael; Ellul, Keith; Shallit, Jeffrey; Wang, Ming-Wei (২০০৫)। "Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs"। International Journal of Foundations of Computer Science। 16 (5): 883–896। এমআর 2174328। ডিওআই:10.1142/S0129054105003352।  Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (১৯৮০)। Old and new problems and results in combinatorial number theory। Monographies de L'Enseignement Mathématique, No. 28, Univ. de Genève। এমআর 0592420।  Galambos, Gábor; Woeginger, Gerhard J. (১৯৯৫)। "On-line bin packing — A restricted survey"। Mathematical Methods of Operations Research। 42 (1): 25। এমআর 1346486। ডিওআই:10.1007/BF01415672।  Golomb, Solomon W. (১৯৬৩)। "On certain nonlinear recurring sequences"। American Mathematical Monthly। 70 (4): 403–405। এমআর 0148605। জেস্টোর 2311857। ডিওআই:10.2307/2311857।  Graham, R.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (১৯৮৯)। Concrete Mathematics (2nd সংস্করণ)। Addison-Wesley। Exercise 4.37। আইএসবিএন 0-201-55802-5।  Guy, Richard K. (২০০৪)। "E24 Irrationality sequences"। Unsolved Problems in Number Theory (3rd সংস্করণ)। Springer-Verlag। পৃষ্ঠা 346। Zbl 1058.11001। আইএসবিএন 0-387-20860-7।  Guy, Richard; Nowakowski, Richard (১৯৭৫)। "Discovering primes with Euclid"। Delta (Waukesha)। 5 (2): 49–63। এমআর 0384675।  Jones, Rafe (২০০৬)। "The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials"। Journal of the London Mathematical Society। 78: 523–544। arXiv:math.NT/0612415 । ডিওআই:10.1112/jlms/jdn034।  Liang, Frank M. (১৯৮০)। "A lower bound for on-line bin packing"। Information Processing Letters। 10 (2): 76–79। এমআর 0564503। ডিওআই:10.1016/S0020-0190(80)90077-0।  Miller, G. A. (১৯১৯)। "Groups possessing a small number of sets of conjugate operators"। Transactions of the American Mathematical Society। 20 (3): 260–270। জেস্টোর 1988867। ডিওআই:10.2307/1988867।  Odoni, R. W. K. (১৯৮৫)। "On the prime divisors of the sequence wn+1 =1+w1⋯wn"। J. Lond. Math. Soc., II. Ser.। 32: 1–11। Zbl 0574.10020।  Rosenman, Martin; Underwood, F. (১৯৩৩)। "Problem 3536"। American Mathematical Monthly। 40 (3): 180–181। জেস্টোর 2301036। ডিওআই:10.2307/2301036।  Salzer, H. E. (১৯৪৭)। "The approximation of numbers as sums of reciprocals"। American Mathematical Monthly। 54 (3): 135–142। এমআর 0020339। জেস্টোর 2305906। ডিওআই:10.2307/2305906।  Seiden, Steven S.; Woeginger, Gerhard J. (২০০৫)। "The two-dimensional cutting stock problem revisited"। Mathematical Programming। 102 (3): 519–530। এমআর 2136225। ডিওআই:10.1007/s10107-004-0548-1।  Soundararajan, K. (২০০৫)। "Approximating 1 from below using n Egyptian fractions"। arXiv:math.CA/0502247 ।  Sylvester, J. J. (১৮৮০)। "On a point in the theory of vulgar fractions"। American Journal of Mathematics। 3 (4): 332–335। জেস্টোর 2369261। ডিওআই:10.2307/2369261।  Vardi, Ilan (১৯৯১)। Computational Recreations in Mathematica। Addison-Wesley। পৃষ্ঠা 82–89। আইএসবিএন 0-201-52989-0।  Irrationality of Quadratic Sums, K. S. Brown এর MathPages থেকে। এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Sylvester's Sequence"।