Y-Δ রূপান্তর

'Y-Δ রূপান্তর' (যা ওয়াই-ডেল্টা রূপান্তর, Y -ডেল্টা, ওয়াই-ডেল্টা, ডেল্টা স্টার রূপান্তর, স্টার মেশ রূপান্তর বা টি-পাই রূপান্তর নামেও পরিচিত) হলো বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্কের বিশ্লেষণকে সহজবোধ্য করার এক ধরনেরর কৌশল।এই নামটা এসেছে আসলে বর্তনীর চিত্র থেকে যা ইংরেজি অক্ষর ওয়াইয়ের মতো দেখতে এবং গ্রিক অক্ষর ডেল্টা থেকে।ইংল্যান্ডে ওয়াই চিত্রকে আবার মাঝে মাঝে স্টার নামেও ডাকা হয়।আর্থার এডুইন কেন্নেলি এই বর্তনী রূপান্তরের তত্ত্ব প্রথম প্রকাশ করেন ১৮৯৯ সালে। তিনটি প্রান্তযুক্ত বর্তনীতে এই রূপান্তর ব্যবহৃত হয়ে থাকে সমমানে বর্তনীর জন্য।যেখানে ৩টি উপাদান ১টি সাধারণ নোডে শেষ হয় এবং কোন্টাই উৎস না।এই নোডকে সরানো যায় ইম্পিডেন্সকে রূপান্তর করে। সমমানের জন্য যে কোন জোড়ার প্রান্তগুলো একই হবে উভয় নেটওয়ার্কেই।প্রদত্ত সমীকরণগুলো জটিল ও বাস্তব ইম্পিডেন্সের জন্যও প্রযোজ্য। সাধারণ উপায় হলো ইম্পিডেন্সের মান বের করা R y {\displaystyle R_{y}} Y বর্তনীর প্রান্তীয় নোডে সাথে ইম্পিডেন্স R ′ {\displaystyle R'} , R ″ {\displaystyle R''} Δ বর্তনীর সন্নিহিত নোডের প্রতি R y = R ′ R ″ ∑ R Δ {\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}} যেখানে R Δ {\displaystyle R_{\Delta }} হলো ইম্পিডেন্স সমূহ Δ বর্তনীতে।নির্দিস্ট সূত্রঃ R 1 = R a R b R a + R b + R c , {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}},} R 2 = R b R c R a + R b + R c , {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}},} R 3 = R a R c R a + R b + R c . {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.} সাধারণ উপায় হলো ইম্পিডেন্স বের করা R Δ {\displaystyle R_{\Delta }} Δ বর্তনীতে R Δ = R P R o p p o s i t e {\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}} যেখানে R P = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 {\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} হলো Y বর্তনীর সব জোড়া ইম্পিডেন্সের গুণফলের যোগ এবং R o p p o s i t e {\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }} হলো Y বর্তনীর নোডের ইম্পিডেন্স যার বিপরীত প্রান্ত আছে R Δ {\displaystyle R_{\Delta }} একক প্রান্তের জন্য সূত্র হলো এরকমঃ R a = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2 , {\displaystyle R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}},} R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3 , {\displaystyle R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}},} R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 . {\displaystyle R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}.} গ্রাফ তত্ত্বে Y-Δ রূপান্তর মানে একটি Y উপগ্রাফকে প্রতিস্থাপন করা একটি গ্রাফের সাথে যা Δ উপগ্রাফের সমতুল্য।এই রূপান্তর প্রান্তের নাম্বারটাকে গ্রাফে উল্লেখ রাখে। কিন্তু শীর্ষ বিন্দুর সংখ্যাকে উল্লেখ করে না অথবা চক্রের সংখ্যাকে।২টি গ্রাফকে বলে Y-Δ সর্বসম যদি একটি আরেকটির মাধ্যমে পাওয়া যায় একটি সিরিজ Y-Δ রূপান্তরের মাধ্যমে একটি যে কোন নির্দিষ্ট দিকে।উদাহরণ স্বরূপঃ পিটারসেনের গ্রাফ হলো একটি Y-Δ সমমানের শ্রেণী। সম্পর্কীত করার জন্য { R a , R b , R c } {\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}} Δ থেকে { R 1 , R 2 , R 3 } {\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}} Y থেকে, ২টি সন্নিহিত নোডের মাঝের ইম্পিডেন্স তুলনীয়।ইম্পিডেন্স যেকোন অবস্থাতেই নির্ণয় যোগ্য যদি যেকোন একটি নোড বিচ্ছিন্ন থাকে বর্তনী থেকে N1 এবং N2 মধ্যকার ইম্পিডেন্স, সাথে N3 বিচ্ছিন্ন Δতে: R Δ ( N 1 , N 2 ) = R b ∥ ( R a + R c ) = 1 1 R b + 1 R a + R c = R b ( R a + R c ) R a + R b + R c . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}} সহজবোধ্য করার জন্য, ধরি R T {\displaystyle R_{T}} হলো যোগফল এদের { R a , R b , R c } {\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}} R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} এভাবে, R Δ ( N 1 , N 2 ) = R b ( R a + R c ) R T {\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}} অনুরূপ ইম্পিডেন্স N1 এবং N2 মধ্যে Yতে হলো সোজা : R Y ( N 1 , N 2 ) = R 1 + R 2 {\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}} থেকে: R 1 + R 2 = R b ( R a + R c ) R T {\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}}   (1) পুনরাবৃত্তি করা R ( N 2 , N 3 ) {\displaystyle R(N_{2},N_{3})} : R 2 + R 3 = R c ( R a + R b ) R T {\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}   (2) এবং R ( N 1 , N 3 ) {\displaystyle R(N_{1},N_{3})} জন্য: R 1 + R 3 = R a ( R b + R c ) R T . {\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}.}   (3) এখান থেকে { R 1 , R 2 , R 3 } {\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}} -এর মান নির্ণয় করা যেতে পারে লিনিয়ার কম্বিনেশনের মাধ্যমে, যোগ করে বা বিয়োগ করে। উদাহরণস্বরূপ (1) ও (3) যোগ করে, এরপর (2) বিয়োগ করে R 1 + R 2 + R 1 + R 3 − R 2 − R 3 = R b ( R a + R c ) R T + R a ( R b + R c ) R T − R c ( R a + R b ) R T {\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}} 2 R 1 = 2 R b R a R T {\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}} এভাবে, R 1 = R b R a R T . {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.} যেখানে R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} সম্পূর্ণতার জন্য: R 1 = R b R a R T {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}} (4) R 2 = R b R c R T {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}} (5) R 3 = R a R c R T {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}} (6) ধরি, R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} . আমরা লিখতে পারি Δ থেকে Y সমীকরণকে R 1 = R a R b R T {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}   (1) R 2 = R b R c R T {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}   (2) R 3 = R a R c R T . {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}.}   (3) জোড়া সমীকরণকে গুণ করে R 1 R 2 = R a R b 2 R c R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}   (4) R 1 R 3 = R a 2 R b R c R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}   (5) R 2 R 3 = R a R b R c 2 R T 2 {\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}   (6) এবং এসব সমীকরণের যোগফল হলো R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = R a R b 2 R c + R a 2 R b R c + R a R b R c 2 R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}+R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}   (7) R a R b R c {\displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}} ডান দিক থেকে, ত্যাগ করে R T {\displaystyle R_{T}} হরে, বাতিল করে R T {\displaystyle R_{T}} কে লব থেকে। R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = ( R a R b R c ) ( R a + R b + R c ) R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = R a R b R c R T {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}} (8) (8) এবং {(1),(2),(3) মধ্যে মিল লক্ষণীয়} (8)কে (1) দিয়ে ভাগ করে পাই R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 = R a R b R c R T R T R a R b , {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 = R c , {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},} যেটা হলো সমীকরণ R c {\displaystyle R_{c}} জন্য। (8)কে R 2 {\displaystyle R_{2}} দিয়ে ভাগ করে বা R 3 {\displaystyle R_{3}} দেয় অন্য সমীকরণগুলো। A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413–414, 1899. William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, আইএসবিএন ০-০৭-০৬১২৮৫-৪ স্টার-ত্রিভুজ রুপান্তর ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৩০ আগস্ট ২০০৯ তারিখে: রেজিস্টিভ নেটওয়ার্ক এবং রোধের উপর জ্ঞান