এপোলোনিয়াসের সমস্যা

সমতলীয় ইউক্লীডিয় জ্যামিতিতে এপোলোনিয়াসের সমস্যাটি হলোঃ এমন বৃত্ত আঁকতে হবে যা সমতলে অবস্থিত প্রদত্ত তিনটি বৃত্তের ট্যানজেন্ট হবে (চিত্র ১) পেরগা'র এপোলোনিয়াস (খ্রীষ্ট পূর্ব ২৬২ থেকে খ্রীষ্ট পূর্ব ১৯০, অথবা এর কাছাকাছি) নিজে এই সমস্যা তৈরী করে নিজেই সমাধান করেন। তার সমাধান তার বই Ἐπαφαί (Epaphaí বা ট্যানজেন্সিস) এ উল্লেখ করেন; তার এই কর্ম হারিয়ে গিয়েছিল, কিন্তু খ্রীষ্টিয় ৪র্থ শতকের এক পাপ্পাস অব আলেক্সান্দ্রিয়াএর প্রতিবেদন অনুসারে বলা হয়েছে এপোলোনিয়াসের উক্ত কর্মটি টিকে আছে। প্রদত্ত তিনটি বৃত্তের আটটি ভিন্ন ভিন্ন বৃত্ত রয়েছে যারা বৃত্তগুলোর ট্যানজেন্ট (চিত্র ২) এবং প্রত্যেকটি সমাধানই প্রদত্ত তিনটি বৃত্ত ভিন্ন ভিন্ন পথ ঘেঁষে যায়ঃ প্রতিটি সমাধানে, একটি ভিন্ন উপসেট তিনটি বৃত্ত ঘিরে রাখে (এর পরিপূরক বাদে) এবং এখানে একটি সেটের আটটি করে উপসেট আছে যাদের সদস্য সংখ্যা হলো ৩, যখন ৮=২৩। ১৬ শতকে, আদ্রিয়ান ভ্যান রুমেন এই সমস্যাটি ছেদকৃত পরাবৃত্ত দিয়ে সমাধান করেন, কিন্তু এই সমাধানটি কেবল রুলার এবং কম্পাস ব্যবহার করে করা যায়না। ফ্রান্সিস ভিয়েত কিছু লিমিটিং কেইস কাজে লাগিয়ে একটি সমাধান তৈরী করেনঃ এখানে তিনটি বৃত্তের যেকোনো একটি বৃত্ত একেবারে সংকুচিত হয়ে যেতে পারে যার ব্যাসার্ধ হবে শূন্য (একটি বিন্দু) অথবা ব্যাসার্ধ বেড়ে একেবারে অসীমও হয়ে যেতে পারে (একটি রেখা)। ভিয়েতের এই সহজ পদ্ধতি অনেক কঠিন সমস্যা সমাধানেও ব্যবহৃত হয়, এবং একে এপোলোনিয়াসের পদ্ধতির যুক্তিযুক্ত পুনর্গঠন বলে বিবেচনা করা হয়। আইজ্যাক নিউটন ভ্যান রুমেনের পদ্ধতিটিকে আরো সহজ করে তুলেন, তিনি দেখিয়েছেন এপোলোনিয়াসের এই সমস্যা তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট স্থান খোঁজার সমতুল্য। এই ধারণাটি লোরান এর মত অনেক ন্যাভিগেশন এবং পজিশনিং সিস্টেমে ব্যবহার করা হয়। ( x s − x 1 ) 2 + ( y s − y 1 ) 2 = ( r s − s 1 r 1 ) 2 {\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}} ( x s − x 2 ) 2 + ( y s − y 2 ) 2 = ( r s − s 2 r 2 ) 2 {\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}} ( x s − x 3 ) 2 + ( y s − y 3 ) 2 = ( r s − s 3 r 3 ) 2 . {\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.} x s = M + N r s {\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}} y s = P + Q r s {\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}} ( X 1 | X 2 ) := v 1 w 2 + v 2 w 1 + c 1 ⋅ c 2 − s 1 s 2 r 1 r 2 . {\displaystyle \left(X_{1}|X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.} ( X 1 − X 2 | X 1 − X 2 ) = 2 ( v 1 − v 2 ) ( w 1 − w 2 ) + ( c 1 − c 2 ) ⋅ ( c 1 − c 2 ) − ( s 1 r 1 − s 2 r 2 ) 2 . {\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}|X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.} ( X 1 − X 2 | X 1 − X 2 ) = ( X 1 | X 1 ) − 2 ( X 1 | X 2 ) + ( X 2 | X 2 ) . {\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}|X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}|X_{1}\right)-2\left(X_{1}|X_{2}\right)+\left(X_{2}|X_{2}\right).} − 2 ( X 1 | X 2 ) = | c 1 − c 2 | 2 − ( s 1 r 1 − s 2 r 2 ) 2 . {\displaystyle -2\left(X_{1}|X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.} | c 1 − c 2 | 2 = ( r 1 − r 2 ) 2 . {\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.} | c 1 − c 2 | 2 = ( r 1 + r 2 ) 2 . {\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.} ( X s o l | X s o l ) = ( X s o l | X 1 ) = ( X s o l | X 2 ) = ( X s o l | X 3 ) = 0 {\displaystyle \left(X_{\mathrm {sol} }|X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{3}\right)=0} O P ¯ ⋅ O P ′ ¯ = R 2 . {\displaystyle {\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.} cos ⁡ θ = d s 2 + d n o n 2 − d T 2 2 d s d n o n ≡ C ± . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.} θ = ± 2   a t a n ( 1 − C 1 + C ) . {\displaystyle \theta =\pm 2\ \mathrm {atan} \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).} X 3 A 1 ¯ ⋅ X 3 A 2 ¯ = X 3 B 1 ¯ ⋅ X 3 B 2 ¯ {\displaystyle {\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}} { [ X : Y : Z ] ∈ P 2 : A X 2 + B X Y + C Y 2 + D X Z + E Y Z + F Z 2 = 0 } ↔ [ A : B : C : D : E : F ] ∈ P 5 . {\displaystyle \{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0\}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.} A + B i − C = 0 , {\displaystyle A+Bi-C=0,} A − B i − C = 0. {\displaystyle A-Bi-C=0.} A = C {\displaystyle A=C} and B = 0 {\displaystyle B=0} . ( X − a Z ) 2 + ( Y − b Z ) 2 = r 2 Z 2 , {\displaystyle (X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},} Φ = { ( r , C ) ∈ D × P 3 : C   is tangent to   D   at   r } . {\displaystyle \Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C\ {\text{is tangent to}}\ D\ {\text{at}}\ r\}.} Ψ = { ( D 1 , D 2 , D 3 , C ) ∈ ( P 3 ) 4 : C   is tangent to all   D i } . {\displaystyle \Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C\ {\text{is tangent to all}}\ D_{i}\}.} ( k 1 + k 2 + k 3 + k s ) 2 = 2 ( k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k s 2 ) {\displaystyle \left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s}\right)^{2}=2\,\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2}\right)} Callandreau, Édouard (১৯৪৯)। Célèbres problèmes mathématiques (ফরাসি ভাষায়)। Paris: Albin Michel। পৃষ্ঠা 219–226। ওসিএলসি 61042170।  Camerer JG (১৭৯৫)। Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (লাতিন ভাষায়)। Gothae: Ettinger।  Pappus, Alexandrinus (১৯৩৩)। Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique। Paris। ওসিএলসি 67245614।  Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke. (ফরাসি) Simon M (১৯০৬)। Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (জার্মান ভাষায়)। Berlin: Teubner। পৃষ্ঠা 97–105।  Wells D (১৯৯১)। The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry। New York: Penguin Books। পৃষ্ঠা 3–5। আইএসবিএন 0-14-011813-6।  "Ask Dr. Math solution"। Mathforum। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৫-০৫।  এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Apollonius' problem"। "Apollonius' Problem"। Cut The Knot। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৫-০৫।  Kunkel, Paul। "Tangent Circles"। Whistler Alley। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৫-০৫।  Austin, David (মার্চ ২০০৬)। "When kissing involves trigonometry"। Feature Column at the American Mathematical Society website। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৫-০৫।