বর্গমূল

গণিতে সাধারণত কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তা ঐ সংখ্যার বর্গ এবং সংখ্যাটি গুণফলের বর্গমূল। যেমন: 3 {\displaystyle 3} -এর বর্গ 3 {\displaystyle 3} ( 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} ) এবং 9 {\displaystyle 9} -এর বর্গমূল 3 {\displaystyle 3} ( 9 = 3 × 3 = 3 {\displaystyle {\sqrt {9}}={\sqrt {3\times 3}}=3} ) । অর্থাৎ বর্গমূল হলো সেই সংখ্যা যাকে ঐ একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে প্রথমোক্ত সংখ্যাটি পাওয়া যায়। সুতরাং, কোন সংখ্যা a-এর বর্গমূল b বলতে এমন কোনো সংখ্যাকে বোঝায়, যেন b২ = a হয়। উদাহরণস্বরূপ বলা যেতে পারে ৯-এর বর্গমূল হচ্ছে ৩। অর্থাৎ, a = ৯ হলে এর বর্গমূল b = ৩। উল্টোভাবে বলা যায়, ৩-এর বর্গ হচ্ছে ৯। বর্গমূল প্রকাশের জন্য দুইটি প্রতীকচিহ্ন ব্যবহৃত হয়। যথা: “     {\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}} ” এবং “ 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ” । উদাহরণস্বরূপ: 25 এর বর্গমূল বোঝাতে লেখা হয় 25     {\displaystyle {\sqrt {25~^{~}}}} বা 25+১/২ । তবে সাধারণত বর্গমূলের চিহ্ন হিসেবে     {\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}} অধিক ব্যবহৃত হয়। 25-এর বর্গমূল নির্ণয়: বর্গ একটি আয়ত, যার বাহুগুলাে পরস্পর সমান। বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ‘ক’ একক হলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে (ক × ক) বর্গ একক বা ক বর্গ একক। বিপরীতভাবে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক বর্গ একক হলে, এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ‘ক’ একক। যদি ৯টি মার্বেলকে বর্গাকারে সাজানাে হয় তবে সমান দূরত্বে প্রতিটি সারিতে ৩টি করে ৩টি সারিতে মার্বেল সাজানাে হবে এবং মােট মার্বেলের সংখ্যা ৩ × ৩ = ৩২ = ৯। এখানে, প্রত্যেক সারিতে মার্বেলের সংখ্যা এবং সারির সংখ্যা সমান। তাই, চিত্রটি বর্গাকৃতির হয়েছে। ফলে ৩ এর বর্গ ৯ এবং ৯ এর বর্গমূল ৩। কোনাে সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায় তা ঐ সংখ্যার বর্গ এবং সংখ্যাটি গুণফলের বর্গমূল। যেমন: ৪ = ২ × ২ = ২ ২ = ৪ (২ এর বর্গ ৪) ৪ এর বর্গমূল ২। নিচের সারণিটি লক্ষ করি:– ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫ সংখ্যাগুলাের বৈশিষ্ট্য হলাে যে, এগুলােকে অন্য কোন পূর্ণসংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫ সংখ্যাগুলাে পূর্ণ বর্গসংখ্যা। পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যেমন: ২১ এর বর্গ ২১২ বা ২১×২১ বা ৪৪১ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং ৪৪১ এর বর্গমূল ২১ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। সাধারণভাবে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা m {\displaystyle m} কে যদি অন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা n {\displaystyle n} এর বর্গ ( n 2 {\displaystyle n^{2}} ) আকারে প্রকাশ করা যায় তবে m {\displaystyle m} বর্গসংখ্যা। m {\displaystyle m} সংখ্যাগুলােকে পূর্ণবর্গসংখ্যা বলা হয়। নিচের সারণিতে ১ থেকে ২০ সংখ্যার বর্গসংখ্যা দেয়া হয়েছে । খালি ঘরগুলাে পূরণ কর । সংখ্যা বর্গসংখ্যা সংখ্যা বর্গসংখ্যা সংখ্যা বর্গসংখ্যা সংখ্যা বর্গসংখ্যা ১ ১ ৩৬ ১১ ১২১ ১৬ ২৫৬ ৭ ১৭ ২৮৯ ১৩ ১৬৯ ১৮ ৩২৪ 8 ১৪ ১৯৬ ৩৬১ ১৫ ২০ ৬ ৩ ৬৪ ১০ সারণিভুক্ত বর্গসংখ্যাগুলাের এককের ঘরের অঙ্কগুলাে ভালােভাবে পর্যবেক্ষণ করি । লক্ষ করি যে , এ সংখ্যাগুলাের একক স্থানীয় অঙ্ক ০ , ১,৪,৫,৬ বা ৯। কোনাে বর্গসংখ্যার একক স্থানে ২ , ৩ , ৭ , বা ৮ অঙ্কটি নেই । কাজ ১। কোনাে সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ , ১ , ৪ , ৫ , ৬ , ৯ হলেই কি সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হবে ? ২। নিচের সংখ্যাগুলাের কোনগুলাে পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় কর । ২০৬২ , ১০৫৭ , ২৩৪৫৩ , ৩৩৩৩৩ , ১০৬৮ ৩। পাঁচটি সংখ্যা লেখ যার একক স্থানের অঙ্ক দেখেই তা বর্গসংখ্যা নয় বলে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় । গণিত ত এবার সারণি থেকে একক স্থানে ১ রয়েছে এমন বর্গসংখ্যা নিই । বর্গসংখ্যা সংখ্যা ১ কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ১ ৯ হলে, এর বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় ৮১ অঙ্ক [ ? ] হবে ১২১ ১১ ৩৬১ একইভাবে বর্গসংখ্যা সংখ্যা কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৩ বা ৭ হলে এর বর্গসংখ্যার একক ৯ U ৪৯ ১৬৯ ১৩ বর্গসংখ্যা সংখ্যা ১৬ 8 ৩৬ কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ বা ৬ হলে , এর বর্গসংখ্যার একক স্থানে [ ? ] থাকবে। ১৯৬ ১৪ ২৫৬ ১৬ যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয়। যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়। একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা। আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা। সারণি থেকে বর্গসংখ্যার একক স্থানে ৪ রয়েছে এরূপ সংখ্যার জন্য নিয়ম তৈরি কর। নিচের সংখ্যাগুলাের বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি কত হবে? ১২৭৩, ১৪২৬, ১৩৬৪৫, ৯৮৭৬৪৭৪, ৯৯৫৮০ ০২০৫ ২০২০ 8 গণিত নিচে বর্গমূলসহ কয়েকটি পূর্ণ বর্গসংখ্যার তালিকা দেওয়া হল: বর্গসংখ্যা | বর্গমূল বর্গসংখ্যা বর্গমূল | বর্গসংখ্যা | বর্গমূল ২২৫ ১৫ ১ ১ ৬৪ b 8 ২ ৮১ S ২৫৬ ১০০ ১০ ২৮৯ ১৭ ১৬ 8 ১২১ ১১ ৩২৪ ১৮ ২৫ ১৪৪ ১২ ১৯ ১৬৯ ১৩ 800 ২০ ৪৯ ৭ ১৯৬ ১৪ ৪৪১ বর্গমূলের চিহ্ন বর্গমূল প্রকাশের জন্য / চিহ্ন ব্যবহৃত হয় । ২৫ এর বর্গমূল বােঝাতে লেখা হয় ২৫ । আমরা জানি , ৫x ৫ = ২৫ , কাজেই ২৫ এর বর্গমূল ৫ । কাজ : কয়েকটি বর্গসংখ্যার বর্গমূলের তালিকা তৈরি কর । মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় ১৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই ১৬ = ২ x ২ x ২ x ২ = ( ২ x ২ ) x ( ২ x ২ ) প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই ২ x ২ = ৪ ... ১৬ এর বর্গমূল = ১৬ = ৪ আবার , ৩৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই , ৩৬ = ২ x ২ x ৩ x ৩ = ( ২ x ২ ) x ( ৩ X ৩ ) প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই ২ x ৩ = ৬ ৩৬ এর বর্গমূল লক্ষ করি : মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে কোনাে পূর্ণ বর্গসংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার সময় – প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করতে হবে। প্রতি জোড়া একই গুণনীয়ককে একসাথে পাশাপাশি লিখতে হবে। প্রতি জোড়া এক জাতীয় গুণনীয়কের পরিবর্তে একটি গুণনীয়ক নিয়ে লিখতে হবে । প্রাপ্ত গুণনীয়কগুলাের ধারাবাহিক গুণফল হবে নির্ণেয় বর্গমূল। এ গণিত উদাহরণ ১। ৩১৩৬ এর বর্গমূল নির্ণয় কর । সমাধান : ২ ] ৩১৩৬ ১৫৬৮ ২ ২ ৭৮৪ ২৩৯২ ২ ] ১৯৬ ২ ৯৮ ৭ ৪৯ 9 এখানে , ৩১৩৬ = ২ x ২ x ২ x ২ x ২ x ২ X ৭ X ৭ = ( ২ x ২ ) x ( ২ x ২ ) x ( ২ x ২ ) x ( ৭ x ৭ ) ৩১৩৬ এর বর্গমূল = ৩১৩৬ = ২x২x২x৭ = ৫৬ কাজ : গুণনীয়কের সাহায্যে ১০২৪ এবং ১৮৪৯ এর বর্গমূল নির্ণয় কর । ১.৩ ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় একটি উদাহরণ দিয়ে ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানাে হলাে : উদাহরণ ২। ভাগের সাহায্যে ২৩০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় কর : সমাধান ( ১ ) ২৩০৪ সংখ্যাটি লিখি । ২৩ ০৪ ২৩ ০৪ ( ২ ) ডানদিক থেকে দুইটি করে অঙ্ক নিয়ে জোড়া করি । প্রত্যেক জোড়ার উপর রেখাচিহ্ন দিই । ২৩ ০৪ ( ৩ ) ভাগের সময় যেমন খাড়া দাগ দেওয়া হয় , ডানপাশে দ্রুপ একটি খাড়া দাগ দিই : ( ৪ ) প্রথম জোড়াটি ২৩। এর পূর্ববর্তী বর্গসংখ্যাটি ১৬ , যার বর্গমূল ১৬ বা ৪ ; খাড়া দাগের ডানপাশে ৪ লিখি । এখন ২৩ এর ঠিক নিচে ১৬ লিখি ; ২৩ ০৪ | ৪ ১৬ 8 ( ৫ ) এখন ২৩ থেকে ১৬ বিয়ােগ করি । ২৩ ০৪ ১৬ ৭ ২৩ ০৪ | ৪ ( ৬ ) বিয়ােগফল ৭ এর ডানে পরবর্তী জোড়া ০৪ বসাই । ৭০৪ এর বামদিকে খাড়া দাগ ( ভাগের চিহ্ন ) দিই । ৭ ০৪ ২০২০ ৬ মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা ( ৭ ) ভাগফলের ঘরের সংখ্যা ৪ এর দ্বিগুণ ৪ x ২ বা ৮ নিচের খাড়া দাগের বামপাশে বসাই । ৮ এবং খাড়া দাগের মধ্যে একটি অঙ্ক বসানাের মতাে স্থান রাখি : ২৩ ০৪ ] ৪ b ৭ ০৪ ( ৮ ) এখন একটি এক অঙ্কের সংখ্যা খুঁজে বের করি যাকে ৮ এর ডানপাশে বসিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাকে ঐ সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করে ৭০৪ এর সমান বা অনূর্ধ্ব ৭০৪ পাওয়া যায়। এক্ষেত্রে ৮ হবে। ৮ সংখ্যাটি ভাগফলেও ৪ এর ডানপাশে বসাই। ২৩ ০৪ | ৪৮ ১৬ ৮৮ ৭ ০৪ ৭ ০৪ o ( ৯ ) ভাগফলের স্থানে পাওয়া গেল ৪৮। এটিই নির্ণেয় বর্গমূল। . : . v২৩০৪ = ৪৮ লক্ষণীয় যে ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করার সময় সংখ্যার ডান দিক থেকে জোড় করতে গিয়ে শেষ অঙ্কের জোড় না থাকলে একে জোড়া ছাড়াই গণ্য করতে হবে। উদাহরণ ৩। ভাগের সাহায্যে ৩১৬৮৪ এর বর্গমূল নির্ণয় কর । সমাধান : ৩ ১৬ ৮৪ | ১৭৮ > ২৭ ২১৬ ১৮৯ ২৭৮৪ ২৭৮৪ ৩৪৮ o : ৩১৬৮৪ এর বর্গমূল = ৩১৬৮৪ = ১৭৮ নির্ণেয় বর্গমূল ১৭৮ । কাজ : ১। ভাগের সাহায্যে ১৪৪৪ এবং ১০৪০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় কর । ২। ৫২৯ , ৩৯২৫ , ৫০৪১ এবং ৪৪৮৯ সংখ্যাগুলাের বর্গমূল সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় কর । বর্গসংখ্যা ও বর্গমূল সম্বন্ধে উল্লেখ্য বিষয় কোনাে সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক থেকে শুরু করে বামদিকে এক অঙ্ক পরপর যতটি ফোঁটা দেওয়া যায় , এর বর্গমূলের সংখ্যাটি তত অঙ্কবিশিষ্ট । গণিত ৭ লক্ষণীয় যে , Vos = ৯ ( এক অঙ্কবিশিষ্ট , এখানে ফোটার সংখ্যা ১ কারণ , ৮১ ) ম / ১০০ = ১০ ( দুই অঙ্কবিশিষ্ট , এখানে ফোটার সংখ্যা ২ কারণ , ১০৪ ) 0 0 0 ৪৭০৮৯ = ২১৭ ( তিন অঙ্কবিশিষ্ট , এখানে ফোটার সংখ্যা ৩ কারণ , ৪৭০৮৯ ) কাজ : ৩১৩৬ , ১২৩৪৩২১ এবং ৫২৯০০ সংখ্যাগুলাের বর্গমূল কত অঙ্কবিশিষ্ট তা নির্ণয় কর । বর্গ ও বর্গমূল সংশ্লিষ্ট সমস্যা উদাহরণ ৪। ৮৬৫৫ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ? সমাধান : ৮৬ ৫৫ ১৮৩ ৫ ৪৯ এখানে , ৮৬৫৫ এর বর্গমূল ভাগের সাহায্যে নির্ণয় করতে গিয়ে ৬ অবশিষ্ট থাকে । সুতরাং প্রদত্ত সংখ্যা থেকে ৬ বাদ দিলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে । নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৬ উদাহরণ ৫। ৬৫১২০১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যােগ করলে যােগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ? সমাধান : ৬৫১২ ০১ ] ৮০৬ ৬৪ ১৬০৬ ১১২ ০১ ১৫ ৬৫ যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৫৬৫ আছে । কাজেই প্রদত্ত সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয় । ৬৫১২০১ এর সাথে কোনাে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যােগ করলে যােগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে ৮০৬ +১ = ৮০৭ ৮০৭ এর বর্গ = ৮০৭ x ৮০৭ = ৬৫১২৪৯ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬৫১২৪৯ – ৬৫১২০১ = 8b ২০২০ গণিত (নবম-দশম শ্রেণি)। জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড। ২০১৮। পৃষ্ঠা ০৪।