আয়তাকার ফাংশন

আয়তাকার ফাংশন বা আয়তক্ষেত্রাকার ফাংশন বা আয়তক্ষেত্র ফাংশন (ইংরেজি: Rectangular function, উচ্চারণ: রেকট্যাঙ্গুলার ফাংশন), যা রেক্ট ফাংশন, পাই ফাংশন, গেট ফাংশন, ইউনিট পালস, বা নরমালাইজড বক্সকার ফাংশন নামেও পরিচিত, নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত হয়ে থাকে: rect ⁡ ( t ) = Π ( t ) = { 0 , if  | t | > 1 2 1 2 , if  | t | = 1 2 1 , if  | t | < 1 2 . {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{array}}\right.} এ ফাংশনের বিকল্প সংজ্ঞা হিসেবে rect ⁡ ( ± 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)} কে ০, ১, বা অনির্ধারিত রূপে প্রকাশ করা হয়। আয়তাকার ফাংশনটি আরও অধিকতর সাধারণ বক্সকার ফাংশনের একটি বিশেষ রূপ: rect ⁡ ( t − X Y ) = u ( t − ( X − Y / 2 ) ) − u ( t − ( X + Y / 2 ) ) = u ( t − X + Y / 2 ) − u ( t − X − Y / 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=u(t-(X-Y/2))-u(t-(X+Y/2))=u(t-X+Y/2)-u(t-X-Y/2)} যেখানে u {\displaystyle u} একটি হেভিসাইড স্টেপ ফাংশন; ফাংশনটি X {\displaystyle X} -কে কেন্দ্র করে আছে এবং এর সময়কাল Y {\displaystyle Y} , যা X − Y / 2 {\displaystyle X-Y/2} থেকে X + Y / 2 {\displaystyle X+Y/2} পর্যন্ত বিস্তৃত। আয়তাকার ফাংশনের একক ফুরিয়ার রূপান্তর হলো: ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t = sin ⁡ ( π f ) π f = s i n c ( π f ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} {(\pi f)},\,} যা পাওয়া যায় সাধারণ কম্পাঙ্ক f ব্যবহার করে, এবং 1 2 π ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i ω t d t = 1 2 π ⋅ s i n ( ω / 2 ) ω / 2 = 1 2 π s i n c ( ω / 2 ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {sinc} \left(\omega /2\right),\,} যা পাওয়া যায় কৌণিক কম্পাঙ্ক ω ব্যবহার করে, যেখানে s i n c {\displaystyle \mathrm {sinc} } হলো সিঙ্ক ফাংশনের নরমালাইজ করা হয়নি এমন রূপ। উল্লেখ্য, যতক্ষণ পালস ফাংশনের কার্যকারিতার সংজ্ঞা শুধুমাত্র সময়ক্ষেত্রে (টাইম ডোমেইনে) ভিত্তিতে রচিত হয়, ততক্ষণ দোলনভিত্তিক ব্যাখ্যাটি (অর্থাৎ ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ফাংশন দ্বারা) স্বজ্ঞাত হয় না বা মানুষ সরাসরি বুঝতে পারেনা। তবে, তাত্ত্বিক ফলাফলের কিছু দিক স্বজ্ঞাতভাবে বোঝা যেতে পারে, কারণ সময়ক্ষেত্রে সীমিত থাকার অর্থ হচ্ছে কম্পাঙ্কের ক্ষেত্রে অসীম প্রতিক্রিয়া (তদ্বিপরীত, একটি সীমিত ফুরিয়ার রূপান্তর সময়ক্ষেত্রে অসীম প্রতিক্রিয়া দেখাবে।) আমরা ত্রিভুজাকার ফাংশনকে দুটি আয়তাকার ফাংশনের কনভোলিউশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি: t r i = r e c t ∗ r e c t . {\displaystyle \mathrm {tri} =\mathrm {rect} *\mathrm {rect} .\,} আয়তক্ষেত্রাকার ফাংশনটিকে একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে দেখা যায়। এটি একটি অবিচ্ছিন্ন সুষম বণ্টনের বিশেষ ক্ষেত্র, যেখানে a = − 1 / 2 , b = 1 / 2 {\displaystyle a=-1/2,b=1/2} । বৈশিষ্ট্যবাহী ফাংশনটি হল: φ ( k ) = sin ⁡ ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},} এবং এর মোমেন্ট-সৃষ্টিকারী ফাংশনটি হলো: M ( k ) = sinh ⁡ ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},} যেখানে sinh ⁡ ( t ) {\displaystyle \sinh(t)} একটি হাইপারবোলিক সাইন ফাংশন। পালস ফাংশনকে একটি মূলদীয় ফাংশনের সীমা হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে এভাবে: Π ( t ) = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 {\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}} প্রথমত, আমরা বিবেচনা করি | t | < 1 2 {\displaystyle |t|<{\frac {1}{2}}} এর ক্ষেত্রে কী ঘটে। লক্ষ্য করা যায় যে ( 2 t ) 2 n {\displaystyle (2t)^{2n}} রাশিটি পূর্ণসংখ্যার n {\displaystyle n} -এর জন্য সবসময় ধনাত্মক। তবে, 2 t < 1 {\displaystyle 2t<1} এবং অতঃপর ( 2 t ) 2 n {\displaystyle (2t)^{2n}} বড় n {\displaystyle n} -এর জন্য শূন্যের কাছে পৌঁছায়। lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = 1 0 + 1 = 1 , | t | < 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}} দ্বিতীয়ত, আমরা বিবেচনা করি | t | > 1 2 {\displaystyle |t|>{\frac {1}{2}}} এর ক্ষেত্রে কী ঘটে। লক্ষ্য করা যায় যে ( 2 t ) 2 n {\displaystyle (2t)^{2n}} রাশিটি পূর্ণসংখ্যা n {\displaystyle n} এর জন্য সবসময় ধনাত্মক। তবে, 2 t > 1 {\displaystyle 2t>1} এবং তাই বড় n {\displaystyle n} এর জন্য ( 2 t ) 2 n {\displaystyle (2t)^{2n}} এর মান অনেক বড় হয়। এর মাধ্যমে বলা যায় যে: lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = 1 + ∞ + 1 = 0 , | t | > 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}} তৃতীয়ত, আমরা বিবেচনা করি | t | = 1 2 {\displaystyle |t|={\frac {1}{2}}} এর ক্ষেত্রে কী ঘটে। সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে দেখা যায় যে: lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 1 2 n + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}} আমরা দেখি যে এটি পালস ফাংশনের সংজ্ঞার শর্ত পূরণ করে। ∴ r e c t ( t ) = Π ( t ) = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = { 0 if  | t | > 1 2 1 2 if  | t | = 1 2 1 if  | t | < 1 2 . {\displaystyle \therefore \mathrm {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}} ফুরিয়ার রুপান্তর বর্গ তরঙ্গ ধাপ ফাংশন এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Rectangle Function"। Wang, Ruye (২০১২)। Introduction to Orthogonal Transforms: With Applications in Data Processing and Analysis। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 135–136। আইএসবিএন 9780521516884।  Tang, K. T. (২০০৭)। Mathematical Methods for Engineers and Scientists: Fourier analysis, partial differential equations and variational models। Springer। পৃষ্ঠা 85। আইএসবিএন 9783540446958।  Kumar, A. Anand (২০১১)। Signals and Systems। PHI Learning Pvt. Ltd.। পৃষ্ঠা 258–260। আইএসবিএন 9788120343108।