রৈখিক সমীকরণ

গণিতশাস্ত্রে কোন রৈখিক সমীকরণ হচ্ছে এমন একটি সমীকরণ যা, a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + b = 0 , {\displaystyle {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}} আকারে লেখা যায়, যেখানে x 1 , … , x n {\displaystyle {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}} হচ্ছে চলক (অজ্ঞাত বা অনির্ণীত), এবং b , a 1 , … , a n {\displaystyle {\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}} হচ্ছে তাদের সহগ, যেগুলো প্রায়শই বাস্তব সংখ্যা হয়ে থাকে। সহগগুলোকে সমীকরণের পরামিতি বলে বিবেচনা করা হয়, এবং এরা চলক-বিহীন যেকোন রাশি হতে পারে। b {\displaystyle {\displaystyle b}} এর অশূন্য মানসমূহের জন্য অর্থপূর্ণ সমীকরণ পাওয়ার জন্য, অন্তত একটি সহগ অশূন্য হতে হবে। বীজগণিতের ভাষায়, কোন বীজগাণিতিক ক্ষেত্রে একটি রৈখিক বহুপদী হতে, চলক (অনির্ণীত) রাশিমুক্ত সহগসমূহ নিয়ে, শূন্যের সাথে সমীকৃত করার মাধ্যমে একটি রৈখিক সমীকরণ পাওয়া যায়। এমন কোন সমীকরণের সমাধান হবে ঐ মানসমূহ, যাদেরকে ঐ সমীকরণে চলকসমূহের স্থানে প্রতিস্থাপিত করলে, সমতাটি সত্য হয়। এক চলকের ক্ষেত্রটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, এবং হরহামেশাই রৈখিক সমীকরণ বলতে অব্যক্তভাবে এই বিশেষ ক্ষেত্রটি বোঝায়, যেখানে চলকের জন্য অজ্ঞাত নামটি অর্থবহভাবে ব্যবহৃত হয়। দ্বি-চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান, এমন সকল সংখ্যা-জোড় ইউক্লিডীয় সমতলে একটি রেখা গঠন করে, এবং উল্লম্ব নয় এমন প্রতিটি রেখাকে, কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান বলে সংজ্ঞায়িত করা যায়। এ ধরনের সমীকরণকে রৈখিক হিসেবে অভিহিত করা ব্যুৎপত্তি এটাই। আরও সাধারণভাবে, n-মাত্রিক কোন ইউক্লিডীয় স্থানে, n-চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান একটি অধিসমতল (hyperplane) গঠন করে (n-1 মাত্রাবিশিষ্ট একটি উপস্থান (subspace))। গণিতের সকল শাখায় এবং পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে রৈখিক সমীকরণের অনেক প্রয়োগ দেখা যায়, এর একটা কারণ হচ্ছে অনেক সময়ই কোন অ-রৈখিক ব্যবস্থাকে রৈখিক সমীকরণ দ্বারা প্রায়-নির্ভুলভাবে নির্ণয় করা যায়। এই নিবন্ধে, বাস্তব সংখ্যার সহগের জন্য একটিমাত্র সমীকরণের ক্ষেত্রে, বাস্তব সমাধান বিবেচনা করা হয়েছে। এর সকল বিষয়বস্তু জটিল সমাধান, এবং আরও সাধারণভাবে, যেকোন ক্ষেত্রের সহগ ও সমাধানের জন্যই প্রযোজ্য। কতিপয় যুগপৎ রৈখিক সমীকরণের ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণজোট দেখুন। রৈখিক সমীকরণ বলতে প্রায়শই অব্যক্তভাবে কেবল একটি চলকের ক্ষেত্রটি বোঝানো হয়। এক্ষেত্রে, যেখানে চলকের নাম হিসেবে অজ্ঞাত শব্দটি অর্থপূর্ণভাবে ব্যবহৃত হয়, তা বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি থেকে সমীকরণের সমাধান হিসেবে একটি অনন্য মান পাওয়া যায়। ওপরের সংজ্ঞা অনুসারে, এমন কোন সমীকরণের আকার নিম্নরূপ: a x + b = 0 , {\displaystyle {\displaystyle ax+b=0,}} এবং a ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle a\neq 0}} এর জন্য, সমাধানের অনন্য মান হবে: x = − b a {\displaystyle {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}} । a = 0 {\displaystyle {\displaystyle a=0}} হলে, দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রের উদ্ভব ঘটে: b = 0 : {\displaystyle {\displaystyle b=0:}} x {\displaystyle {\displaystyle x}} এর প্রতিটি মানই প্রদত্ত সমীকরণ 0 ⋅ x + 0 = 0 , {\displaystyle {\displaystyle 0\cdot x+0=0,}} এর একটি সমাধান, এবং b ≠ 0 : {\displaystyle {\displaystyle b\neq 0:}} সমীকরণ 0 ⋅ x + b = 0 , {\displaystyle {\displaystyle 0\cdot x+b=0,}} এর কোন সমাধান নেই; এমন সমীকরণকে অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণ বলা হয়। দুই চলকের ক্ষেত্রে, যে কোন রৈখিক সমীকরণকে নিম্নোক্ত আকারে লেখা যায়: a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\displaystyle ax+by+c=0}} যেখানে x {\displaystyle {\displaystyle x}} ও y {\displaystyle {\displaystyle y}} হচ্ছে চলক, এবং a , b , c {\displaystyle {\displaystyle a,b,c}} হচ্ছে সহগ। এর একটি সমতুল্য সমীকরণ (তার মানে, একই সমাধানবিশিষ্ট সমীকরণ) হচ্ছে, A x + B y = C {\displaystyle {\displaystyle Ax+By=C}} যেখানে A = a {\displaystyle {\displaystyle A=a}} , B = b {\displaystyle {\displaystyle B=b}} , C = − c {\displaystyle {\displaystyle C=-c}} । এসব সমতুল্য আকারগুলোকে কখনো কখনো সর্বজনীন একটি নাম দেওয়া হয়, যেমন- সাধারণ আকার অথবা প্রমিত আকার। রৈখিক সমীকরণের অন্য আরও রূপ রয়েছে (নিম্নে দ্রষ্টব্য), যার সবগুলোকেই সরল বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অবলম্বন করে প্রমিত আকারে রূপান্তর করা যায়, যেমন- সমীকরণের উভয় পক্ষে একই রাশি যোগ করা, অথবা উভয় পক্ষকে একই অশূন্য ধ্রুবসংখ্যা দ্বারা গুণ করা। মূল নিবন্ধ: রৈখিক ফাংশন (ক্যালকুলাস) যদি b ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle b\neq 0}} হয়, তাহলে a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\displaystyle ax+by+c=0}} সমীকরণটি x {\displaystyle {\displaystyle x}} এর প্রতিটি মানের জন্য একক চলক y {\displaystyle {\displaystyle y}} এর একটি রৈখিক সমীকরণ। অতএব, y {\displaystyle {\displaystyle y}} এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যা পাওয়া যায় y = − a b x − c b {\displaystyle {\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}}} থেকে। এটি একটি ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। এই ফাংশনের লেখচিত্র হচ্ছে একটি সরলরেখা যার ঢাল − a b {\displaystyle {\displaystyle -{\frac {a}{b}}}} , এবং y {\displaystyle {\displaystyle y}} -খণ্ডিতাংশ − c b {\displaystyle {\displaystyle -{\frac {c}{b}}}} । যেসব ফাংশনের লেখচিত্র একটি সরলরেখা, ক্যালকুলাসের প্রসঙ্গে তাদের সাধারণভাবে রৈখিক ফাংশন বলা হয়। তবে, রৈখিক বীজগণিতে কোন ফাংশনকে রৈখিক ফাংশন বলা হয় যদি তা কোন সমষ্টিকে, যোজ্য রাশিগুলোর বিম্বের সমষ্টিতে রূপান্তরিত করে। সুতরাং, এই সংজ্ঞার কারণে, ওপরের ফাংশনটি রৈখিক হবে কেবল যদি c = 0 {\displaystyle {\displaystyle c=0}} হয়, অর্থাৎ যখন রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বিভান্তি এড়ানোর জন্য, যেসব ফাংশনের লেখচিত্র যে কোন একটি রেখা, তাদের affine ফাংশন বলা হয়। কোন রৈখিক সমীকরণ, a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\displaystyle ax+by+c=0}} এর প্রতিটি সমাধান ( x , y ) {\displaystyle {\displaystyle (x,y)}} -কে কোন ইউক্লিডীয় সমতলে একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক হিসেবে দেখা যেতে পারে। এই ব্যাখ্যার মাধ্যমে, a {\displaystyle {\displaystyle a}} ও b {\displaystyle {\displaystyle b}} উভয়ই শূন্য নয়- এই শর্তসাপেক্ষে, সকল সমাধান মিলে একটি সরলরেখা গঠন করে। বিপরিতক্রমে, প্রতিটি রেখাই কোন একটি রৈখিক সমীকরণের সকল সমাধানের সেট। "রৈখিক সমীকরণ" কথাটির উৎপত্তি রেখা ও সমীকরণের মধ্যে সংগতি থেকে: দুই চলকের একটি রৈখিক সমীকরণ এমন একটি সমীকরণ যার সমাধান একটি রেখা গঠন করে। যদি b ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle b\neq 0}} হয়, তাহলে রেখাটি হবে x {\displaystyle {\displaystyle x}} এর ফাংশনের একটি লেখচিত্র, ওপরের অংশে যার সংজ্ঞায়ন করা হয়েছে। যদি b = 0 {\displaystyle {\displaystyle b=0}} হয়, তাহলে রেখাটিকে একটি উল্লম্ব রেখা বলা হয় ( y {\displaystyle {\displaystyle y}} -অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা), যার সমীকরণ x = − c a {\displaystyle {\displaystyle x=-{\frac {c}{a}}}} , যা x {\displaystyle {\displaystyle x}} এর কোন ফাংশন নয়। অনুরূপভাবে, যদি a ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle a\neq 0}} হয়, রেখাটি y {\displaystyle {\displaystyle y}} এর ফাংশনের একটি লেখচিত্র, এবং যদি a = 0 {\displaystyle {\displaystyle a=0}} হয়, তাহলে অনুভূমিক রেখা পাওয়া যায়, যার সমীকরণ y = − c b {\displaystyle {\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}}} । একটি সরলরেখাকে বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়। নিচের অংশগুলোতে প্রতিটি ক্ষেত্রে, একটি রেখার জন্য রৈখিক সমীকরণ নির্ণয় করা হয়েছে। উল্লম্ব নয় এমন একটি রেখাকে তার ঢাল m {\displaystyle {\displaystyle m}} , এবং y {\displaystyle {\displaystyle y}} -খণ্ডিতাংশ y 0 {\displaystyle {\displaystyle y_{0}}} ( y {\displaystyle {\displaystyle y}} -অক্ষের সাথে রেখাটির ছেদবিন্দুর y {\displaystyle {\displaystyle y}} স্থানাংক) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায়। এক্ষেত্রে তার রৈখিক সমীকরণ হবে- y = m x + y 0 {\displaystyle {\displaystyle y=mx+y_{0}}} । এছাড়াও, যদি রেখাটি অনুভূমিক না হয়, তাহলে তার ঢাল m {\displaystyle {\displaystyle m}} এবং x {\displaystyle {\displaystyle x}} -খণ্ডিতাংশ x 0 {\displaystyle {\displaystyle x_{0}}} দ্বারাও এর সংজ্ঞায়ন করা যায়। এক্ষেত্রে, সমীকরণটি হবে- y = m ( x − x 0 ) {\displaystyle {\displaystyle y=m(x-x_{0})}} । অথবা, সমতুল্যভাবে, y = m x − m x 0 {\displaystyle {\displaystyle y=mx-mx_{0}}} । এই আকারগুলো কোন ফাংশনের লেখচিত্র হিসেবে, উল্লম্ব নয় এমন রেখা বিবেচনার ওপর নির্ভরশীল। কোন রেখার সমীকরণ a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\displaystyle ax+by+c=0}} হলে, এই আকারগুলি নিম্নোক্ত সম্পর্কগুলো থেকে সহজেই পাওয়া যায়: m = − a b , x 0 = − c a , y 0 = − c b {\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}\end{aligned}}}} উল্লম্ব নয় এমন যে কোন রেখাকে তার ঢাল m {\displaystyle {\displaystyle m}} , এবং রেখাটির ওপর যে কোন বিন্দুর স্থানাংক ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle {\displaystyle (x_{1},y_{1})}} দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায়। এক্ষেত্রে রেখাটির রৈখিক সমীকরণটি হবে- y = y 1 + m ( x − x 1 ) , {\displaystyle {\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}} অথবা y = m x + ( y 1 − m x 1 ) {\displaystyle {\displaystyle y=mx+(y_{1}-mx_{1})}} কোন রেখার ঢাল ঐ রেখাটির যে কোন দুটি বিন্দুর স্থানাংক থেকে নির্ণয় করা যায়, এটা স্পষ্ট বোঝানোর জন্য, এই সমীকরণটিকে এভাবেও লেখা যায়: y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}} । কোন সরলরেখা যা কোন অক্ষেরই সমান্তরাল নয়, এবং মূলবিন্দুগামী নয়, তা অক্ষদ্বয়কে দুটি পৃথক বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দুদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের মান x 0 {\displaystyle {\displaystyle x_{0}}} ও y 0 {\displaystyle {\displaystyle y_{0}}} -উভয়ই অশূন্য, এবং এরূপ রেখার সমীকরণ হচ্ছে: x x 0 + y y 0 = 1 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}} (এটা সহজেই যাচাই করা যায় যে, এই সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখার খণ্ডিতাংশের মান x 0 {\displaystyle {\displaystyle x_{0}}} ও y 0 {\displaystyle {\displaystyle y_{0}}} )। দুটি ভিন্ন বিন্দু ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle {\displaystyle (x_{1},y_{1})}} ও ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle {\displaystyle (x_{2},y_{2})}} দেওয়া থাকলে, এদের মধ্য দিয়ে কেবলমাত্র একটি অনন্য রেখা পাওয়া যায়। এই ধরনের রেখার রৈখিক সমীকরণ লেখার কতিপয় পন্থা বিদ্যমান। যদি x 1 ≠ x 2 {\displaystyle {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}} হয়, রেখাটির ঢাল হচ্ছে y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}} । অতএব, বিন্দু-ঢাল আকৃতি হচ্ছে- y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})}} । হরমুক্ত করলে সমীকরণটি দাঁড়ায়- ( x 2 − x 1 ) ( y − y 1 ) − ( y 2 − y 1 ) ( x − x 1 ) = 0 , {\displaystyle {\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}} x 1 = x 2 {\displaystyle {\displaystyle x_{1}=x_{2}}} হলেও তা বৈধ (প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে, এটা যাচাই করাই যথেষ্ট)। এই আকারটি প্রদত্ত বিন্দু দুটির জন্য প্রতিসম নয়, কিন্তু ধ্রুবপদগুলো পুনর্বিন্যস্ত করে এর প্রতিসম আকৃতি পাওয়া যায়: ( y 1 − y 2 ) x + ( x 2 − x 1 ) y + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = 0 {\displaystyle {\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}} (বিন্দুদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সমীকরণের বামপক্ষে চিহ্নের পরিবর্তন ঘটবে)। কোন রেখার সমীকরণের দ্বি-বিন্দু আকৃতিকে সরলভাবে নির্ণায়কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এর দুটি সাধারণ উপায় রয়েছে। | x − x 1 y − y 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 | = 0 {\displaystyle {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0}} , ওপরের নির্ণায়কটির বিস্তার করলে সমীকরণ ( x 2 − x 1 ) ( y − y 1 ) − ( y 2 − y 1 ) ( x − x 1 ) = 0 {\displaystyle {\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}} পাওয়া যায়। | x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 {\displaystyle {\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}} , এই নির্ণায়কটিকে প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করলে সমীকরণ ( y 1 − y 2 ) x + ( x 2 − x 1 ) y + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = 0 {\displaystyle {\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}} পাওয়া যায়। সহজ ও স্মৃতিসহায়ক হওয়া ছাড়াও, এই আকারের আরেকটি সুবিধা হচ্ছে, এটি ( n − 1 ) {\displaystyle {\displaystyle (n-1)}} -মাত্রার কোন স্থানে n {\displaystyle {\displaystyle n}} -সংখ্যক বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী কোন অধি-সমতলের (hyperplane) সাধারণ সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র। এই সমীকরণগুলো কোন প্রক্ষেপণশীল (projective) স্থানের বিন্দুসমূহের রৈখিক অধীনতার শর্তের ওপর নির্ভরশীল। দুই এর অধিক চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণকে সর্বদা নিম্নোক্ত রূপে ধরে নেওয়া যায়: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + b = 0 {\displaystyle {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0}} । সহগ b {\displaystyle {\displaystyle b}} , যাকে অনেক সময় a 0 {\displaystyle {\displaystyle a_{0}}} হিসেবে লেখা হয়, তাকে ধ্রুবপদ বা কখনো কখনো পরম পদ [তথ্যসূত্র প্রয়োজন] বলা হয়। প্রসঙ্গের ওপর নির্ভর করে, সহগ কথাটি a i {\displaystyle {\displaystyle a_{i}}} যেখানে i > 0 {\displaystyle {\displaystyle i>0}} , তার জন্য সংরক্ষিত রাখা যায়। যখন চলকের সংখ্যা n = 3 {\displaystyle {\displaystyle n=3}} , সূচকবিশিষ্ট চলকের পরিবর্তে x , y , z {\displaystyle {\displaystyle x,\;y,\;z}} এর ব্যবহার প্রচলিত রয়েছে। এমন কোন সমীকরণের সমাধান একটি n {\displaystyle {\displaystyle n}} -টুপল যেন প্রতিটি উপাদানকে তার অনুষঙ্গী চলকের জন্য প্রতিস্থাপিত করলে সমীকরণটি একটি সত্য সমতায় রূপান্তরিত হয়। কোন সমীকরণ অর্থবহ হতে হলে, অন্তত একটি চলকের সহগ অশূন্য হতে হয়। প্রকৃতপক্ষে, প্রত্যেক চলকের সহগ যদি শূন্য হয়, তাহলে এক চলকের ক্ষেত্রে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, সমীকরণটি হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ ( b ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle b\neq 0}} এর জন্য) বা সমাধানবিহীন, অথবা সকল n {\displaystyle {\displaystyle n}} -টুপলই তার সমাধান। যে সকল n {\displaystyle {\displaystyle n}} -টুপল, n {\displaystyle {\displaystyle n}} -সংখ্যক চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান, সেগুলো n {\displaystyle {\displaystyle n}} -মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে, ( n − 1 ) {\displaystyle {\displaystyle (n-1)}} -মাত্রিক কোন অধি-সমতলের বিন্দুসমূহের কার্তেসীয় স্থানাংক (অথবা অ্যাফিন স্থান, যদি সহগসমূহ জটিল সংখ্যা বা কোন ক্ষেত্রের অন্তর্ভুক্ত হয়ে থাকে)। তিন চলকের ক্ষেত্রে, অধি-সমতলটি একটি সমতল। যদি কোন রৈখিক সমীকরণে a j ≠ 0 {\displaystyle {\displaystyle a_{j}\neq 0}} হয়, তাহলে সমীকরণটি x j {\displaystyle {\displaystyle x_{j}}} এর জন্য সমাধান করা যায়, x j = − b a j − ∑ i ∈ { 1 , … , n } , i ≠ j a i a j x i {\displaystyle {\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}}} । যদি সহগসমূহ বাস্তব সংখ্যা হয়, তা একটি n {\displaystyle {\displaystyle n}} -সংখ্যক চলকের একটি বাস্তব-মানবিশিষ্ট ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। চক্রের রৈখিক সমীকরণ বীজগাণিতিক সমীকরণ রৈখিক অসমতা Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Barnett, Raymond A. (২০০৮)। College mathematics for business, economics, life sciences and social sciences.। Ziegler, Michael R., Byleen, Karl. (১১শ সংস্করণ)। Upper Saddle River, N.J.: Pearson/Prentice Hall। পৃষ্ঠা ১৫। আইএসবিএন 0131572253। ওসিএলসি 122715484।  Larson, Ron (২০০৭)। Precalculus : A Concise Course। Hostetler, Robert P., Houghton Mifflin Company.। Boston: Houghton Mifflin। পৃষ্ঠা ২৫। আইএসবিএন 0618627197। ওসিএলসি 71232152।  Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (১৯২৫)। Analytic Geometry (revised ed.)। D.C. Heath। পৃষ্ঠা ৫২–৫৩।