কার্শফের সমীকরণসমূহ

প্রবাহী গতিবিজ্ঞানে, গুস্টাফ কিরশফের নামে নামকরণ করা কার্শফের সমীকরণগুলো একটি আদর্শ তরলে একটি অনমনীয় দেহের গতি বর্ণনা করে। d d t ∂ T ∂ ω → = ∂ T ∂ ω → × ω → + ∂ T ∂ v → × v → + Q → h + Q → , d d t ∂ T ∂ v → = ∂ T ∂ v → × ω → + F → h + F → , T = 1 2 ( ω → T I ~ ω → + m v 2 ) Q → h = − ∫ p x → × n ^ d σ , F → h = − ∫ p n ^ d σ {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}} যেখানে ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} এবং v → {\displaystyle {\vec {v}}} বিন্দুতে কৌণিক এবং রৈখিক বেগ ভেক্টর x → {\displaystyle {\vec {x}}} , যথাক্রমে; I ~ {\displaystyle {\tilde {I}}} জড়তা টেনসরের মুহূর্ত, m {\displaystyle m} শরীরের ভর হয়; n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} বিন্দুতে শরীরের পৃষ্ঠের স্বাভাবিক একটি ইউনিট x → {\displaystyle {\vec {x}}}  ; p {\displaystyle p} এই সময়ে একটি চাপ; Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} এবং F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} হাইড্রোডাইনামিক টর্ক এবং বল শরীরের উপর কাজ করে, যথাক্রমে; Q → {\displaystyle {\vec {Q}}} এবং F → {\displaystyle {\vec {F}}} একইভাবে শরীরের উপর কাজ করে এমন অন্যান্য সমস্ত টর্ক এবং শক্তিকে বোঝায়। ইন্টিগ্রেশন শরীরের পৃষ্ঠের তরল-উন্মুক্ত অংশের উপর সঞ্চালিত হয়। যদি শরীর সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত হয় একটি অসীম বিশাল আয়তনের অঘূর্ণাত্মক, অসংকোচনীয়, অসান্দ্র তরল, যা অসীমে বিশ্রামে থাকে, তাহলে ভেক্টরগুলি Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} এবং F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} সুস্পষ্ট একীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে, এবং শরীরের গতিবিদ্যা কিরশফ - ক্লেবশ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে: d d t ∂ L ∂ ω → = ∂ L ∂ ω → × ω → + ∂ L ∂ v → × v → , d d t ∂ L ∂ v → = ∂ L ∂ v → × ω → , {\displaystyle {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},} L ( ω → , v → ) = 1 2 ( A ω → , ω → ) + ( B ω → , v → ) + 1 2 ( C v → , v → ) + ( k → , ω → ) + ( l → , v → ) . {\displaystyle L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).} তাদের প্রথম সমাকলন J 0 = ( ∂ L ∂ ω → , ω → ) + ( ∂ L ∂ v → , v → ) − L , J 1 = ( ∂ L ∂ ω → , ∂ L ∂ v → ) , J 2 = ( ∂ L ∂ v → , ∂ L ∂ v → ) . {\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).} আরও একীকরণ অবস্থান এবং বেগের জন্য সুস্পষ্ট অভিব্যক্তি তৈরি করে। Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877. Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.