লব্ধি

গণিতে, দুটি বহুপদীর লব্ধি হল তাদের সহগের একটি বহুপদী প্রকাশ যা শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি বহুপদীগুলির একটি সাধারণ মূল (সম্ভবত একটি ক্ষেত্র প্রসারণে), অথবা সমতুল্যভাবে, একটি সাধারণ উৎপাদক (তাদের ক্ষেত্র সহগের উপর) থাকে। কিছু পুরাতন পাঠ্যে, লব্ধিকে এলিমিনান্টও বলা হয়। লব্ধি সংখ্যাতত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, হয় সরাসরি অথবা নিশ্চায়কের মাধ্যমে, যা মূলত একটি বহুপদী এবং বহুপদীজাত কোনো কিছুর লব্ধি। মূলদ সংখ্যা বা বহুপদী সহগসহ দুটি বহুপদীর লব্ধি কম্পিউটারে নির্ভূলতার সাথে হিসাব করা যেতে পারে। এটি কম্পিউটার বীজগণিতের একটি মৌলিক সরঞ্জাম এবং বেশিরভাগ কম্পিউটার বীজগাণিতিক সিস্টেমের একটি অন্তর্নির্মিত ফাংশন। এটি অন্যদের মধ্যে সিলিন্ড্রিক বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ, মূলদ ফাংশনের সমাকলন এবং দ্বিপদী বহুপদী সমীকরণ দ্বারা আবদ্ধ বক্ররেখা আঁকতে ব্যবহৃত হয়। "n"টি চলকের "n"টি সমঘাতি বহুপদী সমীকরণের লব্ধিকে (যাকে সাধারণত "বহুচলক লব্ধি" বা "ম্যাকাউলির লব্ধি" বলা হয়) ম্যাকাউলি প্রথম প্রবর্তন করেন। এটি সাধারণ ফলাফলের একটি বিস্তৃত রূপ। এটি এবং গ্রোবনার বেসিস নির্মূলন তত্ত্বের(Elimination Theory) প্রধানতম সূত্রগুলির মধ্যে একটি। দুইটি একচলকবিশিষ্ট বহুপদী A এবং B-এর লব্ধি সাধারণত res ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)} অথবা Res ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Res} (A,B)} আকারে প্রকাশ করা হয়। লব্ধির অনেক প্রয়োগে বহুপদীগুলো একাধিক চলক নির্ভর হয় এবং সেগুলোকে তাদের কোনো এক চলকের উপর একচলকবিশিষ্ট বহুপদী হিসেবে বিবেচনা করা হয়, যেখানে অন্যান্য চলকগুলোকে সহগ হিসেবে ধরা হয়। এ ক্ষেত্রে, যে চলকটিকে লব্ধি নির্ধারণ এবং গণনার জন্য নির্বাচিত করা হয়, তাকে একটি সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে দেখানো হয়: res x ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)} বা Res x ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(A,B)} । এখানে, x {\displaystyle x} হলো যে চলকের উপর ফলাফল নির্ণয় করা হচ্ছে। লব্ধির সংজ্ঞায়নে বহুপদীগুলোর ঘাত ব্যবহৃত হয়। তবে, একটি d মাত্রিক বহুপদীকে প্রয়োজনে উচ্চতর ঘাতের বহুপদী হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার উচ্চঘাতী চলকগুলোর সহগ শূন্য। যদি লব্ধি নির্ণয়ের জন্য এই ধরনের উচ্চতর ঘাত ব্যবহৃত হয়, তবে তা সাধারণত একটি সাবস্ক্রিপ্ট বা সুপারস্ক্রিপ্ট হিসেবে দেখানো হয়, যেমন res d , e ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} _{d,e}(A,B)} বা res x d , e ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B)} । ক্ষেত্র বা ক্রমবিন্যাসী বিন্যাসের উপর দুটি একচলকবিশিষ্ট বহুপদীর লব্ধিকে তাদের সিলভেস্টার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ধরি, A = a 0 x d + a 1 x d − 1 + ⋯ + a d {\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}} এবং B = b 0 x e + b 1 x e − 1 + ⋯ + b e {\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}} যথাক্রমে d এবং e ঘাতের অশূন্য বহুপদী। আমরা P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} দ্বারা ভেক্টর ক্ষেত্র চিহ্নিত করি, যার মাত্রা i এবং যার উপাদানগুলো i থেকে নিম্নঘাতী বহুপদী। নিম্নোক্ত ফাংশনটি φ : P e × P d → P d + e {\displaystyle \varphi :{\mathcal {P}}{e}\times {\mathcal {P}}{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}} এইভাবে প্রকাশ করা হয়: φ ( P , Q ) = A P + B Q {\displaystyle \varphi (P,Q)=AP+BQ} একই মাত্রার দুটি ক্ষেত্রের মধ্যে একটি রৈখিক ফাংশন। x এর ঘাতের ভিত্তির উপর (যা অবরোহীক্রমে তালিকাভুক্ত), এই ফাংশনটিকে একটি d + e মাত্রার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা হয়, যাকে A এবং B-এর সিলভেস্টার ম্যাট্রিক্স বলা হয় (বহু লেখক , সিলভেস্টার ম্যাট্রিক্সকে এই ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছেন; তবে এখানে এটি ব্যবহার করা হয়নি, কারণ এটি রৈখিক ফাংশনের ম্যাট্রিক্স লেখার প্রচলিত রীতি ভঙ্গ করে)। A এবং B-এর লব্ধিকে তাই এর নির্ণায়ক হিসেবে প্রকাশ করা হয়: | a 0 0 ⋯ 0 b 0 0 ⋯ 0 a 1 a 0 ⋯ 0 b 1 b 0 ⋯ 0 a 2 a 1 ⋱ 0 b 2 b 1 ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋱ a 0 ⋮ ⋮ ⋱ b 0 a d a d − 1 ⋯ ⋮ b e b e − 1 ⋯ ⋮ 0 a d ⋱ ⋮ 0 b e ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ a d − 1 ⋮ ⋮ ⋱ b e − 1 0 0 ⋯ a d 0 0 ⋯ b e | , {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}&0&\cdots &0\\a_{1}&a_{0}&\cdots &0&b_{1}&b_{0}&\cdots &0\\a_{2}&a_{1}&\ddots &0&b_{2}&b_{1}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}\\a_{d}&a_{d-1}&\cdots &\vdots &b_{e}&b_{e-1}&\cdots &\vdots \\0&a_{d}&\ddots &\vdots &0&b_{e}&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d}&0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix}},} যেখানে ai এর eটি কলাম এবং bj এর dটি কলাম রয়েছে (এখানে a এবং b-এর প্রথম কলামের একই দৈর্ঘ্য রাখা হয়েছে, অর্থাৎ d = e, শুধুমাত্র নির্ণায়কের প্রকাশকে সহজ করার জন্য)। যেমন, যদি d = 3 এবং e = 2 ধরা হয়, আমরা পাই: | a 0 0 b 0 0 0 a 1 a 0 b 1 b 0 0 a 2 a 1 b 2 b 1 b 0 a 3 a 2 0 b 2 b 1 0 a 3 0 0 b 2 | . {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}.} যদি পলিনোমিয়ালের সহগগুলো অখণ্ড ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয়, তাহলে res ⁡ ( A , B ) = a 0 e b 0 d ∏ 1 ≤ i ≤ d 1 ≤ j ≤ e ( λ i − μ j ) = a 0 e ∏ i = 1 d B ( λ i ) = ( − 1 ) d e b 0 d ∏ j = 1 e A ( μ j ) , {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),} যেখানে λ 1 , … , λ d {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}} এবং μ 1 , … , μ e {\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{e}} যথাক্রমে A এবং B-এর মূল, যেগুলো তাদের গুণকের ক্রমানুসারে হিসাব করা হয়েছে, এবং একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের অন্তর্ভুক্ত, যা এই অখণ্ড ক্ষেত্রকে ধারণ করে। এটি লব্ধির স্বভাবজাত বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সরাসরি লব্ধি, যা নিচে আলোচনা করা হয়েছে। সাধারণ ক্ষেত্রে, যেখানে পূর্ণসংখ্যার সহগ ব্যবহার করা হয়, বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রটি সাধারণত জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র হয়। এই অংশটি ও এর উপ-অংশগুলিতে, A এবং B কে x চলরাশির উপর নির্ভরশীল এবং যথাক্রমে d ও e ঘাতবিশিষ্ট দুটি বহুপদী হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে এবং তাদের লব্ধিকে res ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)} দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি কম্যুটেটিভ রিং R। যদি R একটি ক্ষেত্র বা সাধারণভাবে একটি অখণ্ড ক্ষেত্র হয়, তাহলে লব্ধি হলো দুটি বহুপদীর সহগের উপর নির্ভরশীল একমাত্র ফাংশন যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলো পূরণ করে। যদি R অন্য একটি রিং S-এর একটি উপ-রিং হয়, তাহলে res R ⁡ ( A , B ) = res S ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B)} অর্থাৎ, A এবং B বহুপদীসমূহের R বা S এর উপর ভিত্তি করে লব্ধি একই হয়। যদি d = 0 হয় (অর্থাৎ যদি A = a 0 {\displaystyle A=a_{0}} একটি অশূন্য ধ্রুবক হয়), তবে res ⁡ ( A , B ) = a 0 e {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}} । অনুরূপভাবে, যদি e = 0 হয়, তবে res ⁡ ( A , B ) = b 0 d {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}} । res ⁡ ( x + a 1 , x + b 1 ) = b 1 − a 1 {\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}} res ⁡ ( B , A ) = ( − 1 ) d e res ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)} res ⁡ ( A B , C ) = res ⁡ ( A , C ) res ⁡ ( B , C ) {\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)} দুটি বহুপদীর লব্ধি, যাদের সহগগুলো একটি অখণ্ড ক্ষেত্রের অন্তর্গত, তখনই শূন্য হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি তাদের একটি ধনাত্মক মাত্রার গসাগু থাকে। দুটি বহুপদীর লব্ধি, যাদের সহগগুলো একটি অখণ্ড ক্ষেত্রের অন্তর্গত, তখনই শূন্য হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রে তাদের একটি সাধারণ মূল থাকে, যেটি সহগগুলোকে ধারণ করে। P নামে একটি বহুপদী বিদ্যমান, যার মাত্রা e-এর চেয়ে কম, এবং Q নামে একটি বহুপদী, যার মাত্রা d-এর চেয়ে কম, যাদের জন্য res ⁡ ( A , B ) = A P + B Q {\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ} । এটি বেজুটের অভেদক (Bézout's identity)র একটি সরলীকরণ, যেখানে বহুপদীগুলো একটি যেকোনো কম্যুটেটিভ রিং-এর উপর রয়েছে। অন্য কথায়, দুটি বহুপদীর লব্ধি তাদের দ্বারা উৎপন্ন আইডিয়ালের অন্তর্গত। নির্মূলন তত্ত্ব রৈখিক বীজগণিত Salmon, George (১৮৮৫) [1859], Lessons introductory to the modern higher algebra (4th সংস্করণ), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., lesson VIII, p. 66, আইএসবিএন 978-0-8284-0150-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Macaulay, F. S. (১৯০২), "Some Formulæ in Elimination", Proc. London Math. Soc., 35: 3–27, ডিওআই:10.1112/plms/s1-35.1.3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (১৯৯৪), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Boston: Birkhäuser, আইএসবিএন 978-0-8176-3660-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Macaulay, F. S. (১৯১৬), The Algebraic Theory of Modular Systems, The Cornell Library of Historical Mathematical Monographs, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-1275570412 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "লব্ধি"।