গুণোত্তর গড়

গণিতের ভাষায় একগুচ্ছ সংখ্যার গুণোত্তর গড় হলো এমন এক ধরনের গড়, যার মাধ্যমে ঐ সংখ্যাগুলোর কেন্দ্রীয় প্রবণতাকে অর্থাৎ সংখ্যাগুলোর সাধারণ মানকে (typical value) এদের গুণফলের মাধ্যমে নির্ধারণ করা হয়। আমাদের অতি পরিচিত সমান্তর বা সাধারণ গড়ে যেখানে সংখ্যাগুলোর মানের যোগফল ব্যবহার করা হয়, তার থেকে বিপরীত হলো এই গুণোত্তর গড়। সাধারণভাবে, গুণোত্তর গড়কে n-সংখ্যক সংখ্যার গুণফলের n-তম মূল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একগুচ্ছ সংখ্যা x1, x2, ..., xn-এর ক্ষেত্রে এদের গুণোত্তর গড়কে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ে থাকে: ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}} অথবা, সমান্তর গড়ের অনুরূপভাবে লগভিত্তিক স্কেলেও এদের গুণোত্তর গড়কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: exp ⁡ ( 1 n ∑ i = 1 n ln ⁡ a i ) {\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}} উদাহরণস্বরূপ, 2 ও 8 সংখ্যা দুটোর গুণফলের বর্গমূলই হচ্ছে এদের গুণোত্তর গড়, যা 2 ⋅ 8 = 16 = 4 {\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}={\sqrt {16}}=4} । অন্য আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক; 4, 1 ও 1/32 সংখ্যা তিনটির গুণোত্তর গড় হলো এদের গুণফলের ঘনমূল, যা 4 ⋅ 1 ⋅ 1 / 32 3 = 1 / 8 3 = 1 / 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}={\sqrt[{3}]{1/8}}=1/2} । গুণোত্তর গড় কেবল ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। কোনো এক উপাত্ত সেট { a 1 , a 2 , … , a n } {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}} -এর গুণোত্তর গড় হলো: ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n = a 1 a 2 ⋯ a n n {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}} উপর্যুক্ত সূত্রে বড় হাতের পাই অক্ষর ব্যবহার করা হয়েছে, যা দ্বারা গুণনের একটি ধারা (গুণোত্তর ধারা নয় কিন্তু) বোঝানো হয়েছে। কোনো সংখ্যাগুচ্ছের প্রতিটি সংখ্যাই যদি পরস্পরের সমান হয়, তবে এদের সমান্তর গড় ও গুণোত্তর গড় একই হবে। পক্ষান্তরে, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে ন্যূনতম একটিও যদি ভিন্ন হয়, তবে এদের গুণোত্তর গড়টি এদের সমান্তর গড়ের চেয়ে ছোট হবে। এটা থেকে সমান্তর-গুণোত্তর গড়, যা ঐ গড়দ্বয়েয় ছেদবিন্দু এবং যা ঐ গড়দ্বয়ের মধ্যে অবস্থান করে, তার সংজ্ঞা পাওয়া যায়। যদি f : [ a , b ] → ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )} ফাংশনটি বাস্তব মান যুক্ত একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়, তবে এই ব্যবধিতে এর গুণোত্তর গড় হবে: GM [ f ] = exp ⁡ ( 1 b − a ∫ a b ln ⁡ f ( x ) d x ) {\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)} উদাহরণস্বরূপ, একক ব্যবধিতে f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} অভেদ ফাংশনটি থেকে দেখা যায় যে, 0 ও 1 এর মধ্যবর্তী ধনাত্মক সংখ্যাগুলোর গুণোত্তর গড় 1 e {\displaystyle {\frac {1}{e}}} -এর সমান। Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong "On Compass and Straightedge Constructions: Means" (পিডিএফ)। UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS। ২০১৩। সংগ্রহের তারিখ ১৪ জুন ২০১৮। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "Euclid, Book VI, Proposition 13"। David E. Joyce, Clark University। ২০১৩। সংগ্রহের তারিখ ১৯ জুলাই ২০১৯। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) The geometric mean only applies to numbers of the same sign in order to avoid taking the root of a negative product, which would result in imaginary numbers, and also to satisfy certain properties about means, which is explained later in the article. The definition is unambiguous if one allows 0 (which yields a geometric mean of 0), but may be excluded, as one frequently wishes to take the logarithm of geometric means (to convert between multiplication and addition), and one cannot take the logarithm of 0. "2.5: Geometric Mean"। Statistics LibreTexts (ইংরেজি ভাষায়)। ২০১৯-০৪-২০। ২০২৩-০২-০৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-০৮-১৬। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Calculation of the geometric mean of two numbers in comparison to the arithmetic solution Arithmetic and geometric means When to use the geometric mean Practical solutions for calculating geometric mean with different kinds of data ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১০-১১-১২ তারিখে Geometric Mean on MathWorld Geometric Meaning of the Geometric Mean Geometric Mean Calculator for larger data sets Computing Congressional apportionment using Geometric Mean Non-Newtonian calculus website Geometric Mean Definition and Formula The Distribution of the Geometric Mean The geometric mean?