চিরায়ত বলবিদ্যার সমীকরণসমূহের তালিকা

চিরায়ত বলবিদ্যা হলো পদার্থবিজ্ঞানের সেই শাখা যা স্থূল বা ম্যাক্রোস্কোপিক বস্তুসমূহের গতি বর্ণনা করতে ব্যবহার করা হয়। পদার্থবিজ্ঞানের তত্ত্বগুলোর মধ্যে এটি সবচেয়ে বেশি পরিচিত। ভর, ত্বরণ এবং বলের ন্যায় যেসব ধারণা এতে বিশদে আলোচনা করা হয়, সেগুলো সচরাচর বহুল ব্যবহৃত এবং অতি পরিচিত। পদার্থবিজ্ঞানের এই শাখাটি প্রসঙ্গ কাঠামো নামক একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে একটি ত্রি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানভিত্তিক। একটি নির্দিষ্ট স্থানের নির্দেশক প্রসঙ্গ কাঠামোর অক্ষ তিনটি যে বিন্দুতে সমবিন্দুগামী বা মিলিত হয় সেই বিন্দুটি ঐ স্থানের উৎস নামে পরিচিত। চিরায়ত বলবিদ্যায় অনেক সমীকরণের পাশাপাশি অন্যান্য গাণিতিক ধারণার প্রয়োগ করা হয়ে থাকে। এই সমীকরণ ও গাণিতিক ধারণাগুলো বিভিন্ন ভৌত রাশির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক গড়ে তোলে। এগুলোর মধ্যে রয়েছে ব্যবকলনীয় সমীকরণ, বহুভাঁজ, লী গ্রুপ এবং এরগডিক তত্ত্ব। এদের মধ্যে যেগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ তাদের একটি সারসংক্ষেপ হচ্ছে এই নিবন্ধটি। এই নিবন্ধে নিউটনীয় বলবিদ্যার সমীকরণসমূহ তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। চিরায়ত বলবিদ্যার আরও সাধারণ গাঠনিক বিবরণের জন্য বিশ্লেষণী বলবিদ্যা দেখুন, যেখানে ল্যাগ্রাঞ্জীয় বলবিদ্যা এবং হ্যামিল্টনীয় বলবিদ্যাও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। প্রতিটি সংরক্ষণশীল বলের একটি বিভব শক্তি রয়েছে। দুটি নীতি অনুসরণ করে ধাপে ধাপে U-এর জন্য একটি অনাপেক্ষিক মান নির্ধারণ করা যায়: Wherever the force is zero, its potential energy is defined to be zero as well. Whenever the force does work, potential energy is lost. ঘূর্ণন সংশ্লিষ্ট নিম্নোক্ত রাশিগুলোর সংজ্ঞাগুলোতে বর্ণিত কোণগুলো নির্দিষ্ট ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে যেকোনো কোণ হতে পারে। এর জন্য প্রথাগতভাবে θ ব্যবহার করা হয়। তবে, এটা যে পোলার স্থানাংক ব্যবস্থার মেরু কোণ নয়, সে বিষয়ে সতর্ক থাকতে হবে। ঘূর্ণন অক্ষকে একক অক্ষীয়-ভেক্টর n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: n ^ = e ^ r × e ^ θ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }} যেখানে, e ^ r {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}} = r-এর অভিমুখ বরাবর একক ভেক্টর এবং e ^ θ {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }} = কোণের স্পর্শক বরাবর একক ভেক্টর। লাটিম বা লাটিম-সদৃশ ঘূর্ণায়মান বস্তুর অয়নগতিজাত কৌণিক দ্রুতিকে নিম্নরূপভাবে লেখা যায়: Ω = w r I ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}} যেখানে, w হচ্ছে ঘূর্ণায়মান ফ্লাইহুইলের ওজন। একটি বাহ্যিক উৎস কর্তৃক কোনো সিস্টেমের ওপর সম্পাদিত যান্ত্রিক কাজ সিস্টেমটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান: সাধারণ কাজ-শক্তি উপপাদ্য (অনুবাদ ও ঘূর্ণন) কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বাহ্যিক বল F, বলের দিকে বস্তুর সরণ r এবং C বক্র পথ বরাবর প্রযুক্ত টর্ক τ হলে, ঐ বলের দরুন কৃত কাজ W হবে: W = Δ T = ∫ C ( F ⋅ d r + τ ⋅ n d θ ) {\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} {\mathrm {d} \theta }\right)} যেখানে, θ হলো n একক ভেক্টর দিয়ে সংজ্ঞায়িত কোনো একটি অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন কোণ। গতিশক্তি Δ E k = W = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) {\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})} স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি এক প্রান্ত আবদ্ধ রয়েছে এমন একটি স্প্রিংকে প্রসারিত করলে হুকের সূত্রানুসারে স্প্রিংটির সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি: Δ E p = 1 2 k ( r 2 − r 1 ) 2 {\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}} যেখানে, r2 এবং r1 হচ্ছে স্প্রিংটির প্রসারণ /সঙ্কোচনের দিকে এর মুক্ত প্রান্তের সমরৈখিক স্থানাঙ্ক, এবং k হচ্ছে স্প্রিং ধ্রুবক। গণিতবিদ অয়লারও নিউটনের অনুরূপ গতি-সূত্র নিয়ে কাজ করেছেন (অয়লারের গতিসূত্র দেখুন‌)। অয়লারের এই কাজগুলো দৃঢ় বস্তুসমূহে নিউটনের সূত্রগুলোর সুবিধা বৃদ্ধি করলেও এগুলো মূলত উপরের সূত্রগুলোর মতোই। অয়লার প্রণীত একটি নতুন সমীকরণ হলো: I ⋅ α + ω × ( I ⋅ ω ) = τ {\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}} যেখানে, I হচ্ছে জড়তার ভ্রামক টেন্সর। সমতলীয় গতির জন্য আলোচিত পূর্ববর্তী সমীকরণগুলোকে এখানে ব্যবহার করা যেতে পারে: ভরবেগ, কৌণিক ভরবেগ ইত্যাদির অনুসিদ্ধান্তসমূহ তাৎক্ষণিকভাবে ওপরের সংজ্ঞাগুলোর প্রয়োগের অনুগামী হতে পারে। সমতলের ওপর যেকোনো পথে ( r = r ( t ) = r e ^ r {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}} ) ভ্রমণশীল যেকোনো বস্তুর (কণার) ক্ষেত্রে, নিচের সাধারণ ফলাফলসমূহ কণার ওপর প্রযুক্ত হয় বা কাজ করে। যে কেন্দ্রীয় বিভব দুটি বস্তুর ভরকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার ব্যাসার্ধীয় পার্থক্যের ওপর নির্ভর করে, সেই কেন্দ্রীয় বিভবের মধ্যে চলমান কোনো ভারী বস্তুর ক্ষেত্রে গতির সমীকরণ হলো: d 2 d θ 2 ( 1 r ) + 1 r = − μ r 2 l 2 F ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )} ত্বরণ স্থির বা ধ্রুব থাকলেই কেবল এই সমীকরণগুলো ব্যবহার করা যাবে। যদি ত্বরণ ধ্রুব না হয় তবে উপরের সাধারণ ক্যালকুলাসের সমীকরণগুলো ব্যবহার করতে হবে, যেগুলো অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণের সংজ্ঞার সমাকলনের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত (উপরে দেখুন)। চিরায়ত (নিউটনীয়-গ্যালিলীও) বলবিদ্যায়, জড়তা-সম্পন্ন বা ত্বরণযুক্ত (ঘূর্ণনও বিদ্যমান থাকতে পারে) একটি প্রসঙ্গ-কাঠামো, যা স্থির রয়েছে (বেগ শূন্য) অথবা অন্য কোনো ধ্রুব বেগে ভ্রমণশীল রয়েছে, তাকে (কাঠামোটিকে) অন্য একটি কাঠামোয় রূপান্তরের নিয়মই হচ্ছে গ্যালিলীও রূপান্তর। প্রাইম চিহ্নহীন রাশিগুলো F প্রসঙ্গ কাঠামোয় অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণকে নির্দেশ করছে এবং প্রাইম চিহ্নযুক্ত রাশিগুলো অন্য একটি কাঠামো F'-এ অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণকে নির্দেশ করছে, যেখানে এই কাঠামোটি F কাঠামোর সাপেক্ষ V অনুবাদী বেগে অথবা Ω কৌণিক বেগে ভ্রমণ করছে। বিপরীতভাবে বলা যায়, F কাঠামোটি F'-এর সাপেক্ষে —V অথবা —Ω বেগে ভ্রমণ করছে। উদ্ভূত পরিস্থিতিটি আপেক্ষিক ত্বরণের ক্ষেত্রেও একই। এখানে সরল ছন্দিত গতি, দমিত ছন্দিত গতি, সরল ছন্দিত স্পন্দক এবং দমিত ছন্দিত স্পন্দককে যথাক্রমে SHM, DHM, SHO এবং DHO দ্বারা নির্দেশ করা হয়েছে। Mayer, Sussman এবং Wisdom 2001, পৃ. xiii Berkshire ও Kibble 2004, পৃ. 1 Berkshire ও Kibble 2004, পৃ. 2 Arnold 1989, পৃ. v "Section: Moments and center of mass"। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) [স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ] R.P. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands (১৯৬৪)। Feynman's Lectures on Physics (volume 2)। Addison-Wesley। পৃষ্ঠা 31–7। আইএসবিএন 978-0-201-02117-2। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "Relativity, J.R. Forshaw 2009" "Mechanics, D. Kleppner 2010" "Relativity, J.R. Forshaw 2009" "Relativity, J.R. Forshaw 2009" Arnold, Vladimir I. (১৯৮৯), Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd সংস্করণ), Springer, আইএসবিএন 978-0-387-96890-2 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B. (২০০৪), Classical Mechanics (5th সংস্করণ), Imperial College Press, আইএসবিএন 978-1-86094-435-2 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack (২০০১), Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, আইএসবিএন 978-0-262-19455-6 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)