বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য

বীজগণিতের ক্ষেত্রে, বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য বা বেজআউটের ক্ষুদ্র তও্ব(ইটিয়েন বেজাউটের নামে নামকরণ করা হয়েছে) যা বহুপদের ইউক্লিডিয়ান ভাগের একটি প্রয়োগ। এটিতে বলা হয়েছে যে, একটি বহুপদ f ( x ) {\displaystyle f(x)} কে একটি রৈখিক বহুপদ ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ সমান f ( r ) {\displaystyle f(r)} হবে। নির্দিষ্টভাবে, f ( x ) {\displaystyle f(x)} এর ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} একটি ভাজক যদি এবং কেবল যদি f ( r ) = 0 , {\displaystyle f(r)=0,} এটি উৎপাদক উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত একটি বৈশিষ্ট্য । ধরি, f ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42} । এর বহুপদী f ( x ) {\displaystyle f(x)} দ্বারা ( x − 3 ) {\displaystyle (x-3)} ভাগ করলে ভাগফল দেয় x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle x^{2}-9x-27} এবং ভাগশেষ − 123 {\displaystyle -123} । অতএব, f ( 3 ) = − 123 {\displaystyle f(3)=-123} । দেখাও যে,বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য একটি যেকোন দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুপদের জন্য সত্য। f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} বীজগণিত ম্যানিপুলেশন ব্যবহার করে: f ( x ) x − r = a x 2 + b x + c x − r = a x 2 − a r x + a r x + b x + c x − r = a x ( x − r ) + ( b + a r ) x + c x − r = a x + ( b + a r ) ( x − r ) + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + a r 2 + b r + c x − r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}} উভয় পক্ষকে ( x − r ) দ্বারা গুন করে। f ( x ) = a x 2 + b x + c = ( a x + b + a r ) ( x − r ) + a r 2 + b r + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}} যেহেতু R = a r 2 + b r + c {\displaystyle R=ar^{2}+br+c} ভাগশেষ, আমরা অবশ্যই তা দেখিয়েছি যে f ( r ) = R {\displaystyle f(r)=R} । বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্যটি ইউক্লিডিয়ান ভাগের উপপাদ্য অনুসরণ করে, যা দুটি বহুপদী f ( x ) (ভাজ্য) এবং g( x ) (ভাজক) , ভাগফল Q( x ) এর অস্তিত্ব (এবং স্বতন্ত্রতা) যুক্ত করে তোলে এবং একটি ভাগশেষ R ( x ) যেমন f ( x ) = Q ( x ) g ( x ) + R ( x ) and R ( x ) = 0    or  deg ⁡ ( R ) < deg ⁡ ( g ) . {\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).} g ( x ) = x − r , {\displaystyle g(x)=x-r,} ভাজক হলে,যেখানে r একটি ধ্রুবক হয় তবে R ( x ) = 0 বা এর ডিগ্রি শূন্য হয়; উভয় ক্ষেত্রেই, R(x) একটি ধ্রুবক যা x মুক্ত হয়ে থাকে  ; এটাই f ( x ) = Q ( x ) ( x − r ) + R . {\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R.} x = r {\displaystyle x=r} এই সূত্রে স্থাপন করে , আমরা পাই : f ( r ) = R . {\displaystyle f(r)=R.} কিছুটা আলাদা প্রমাণ, যা কিছু লোককে আরও প্রাথমিক দিককার হিসাবে প্রদর্শিত হতে পারে, এটি একটি পর্যবেক্ষণ দিয়ে শুরু হয় x k − r k {\displaystyle x^{k}-r^{k}} ফর্মের শর্তগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ f ( x ) − f ( r ) {\displaystyle f(x)-f(r)} যার প্রত্যেকটি x − r {\displaystyle x-r} দ্বারা ভাজ্য, অতএব x k − r k = ( x − r ) ( x k − 1 + x k − 2 r + ⋯ + x r k − 2 + r k − 1 ) {\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})} । বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্যটি f ( r ) {\displaystyle f(r)} মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত হতে পারে, ভাগশেষ R {\displaystyle R} গণনা করার মাধ্যমে। যদিও বহুপদীটির দীর্ঘ ভাগ ফাংশনটির নিজের মূল্যায়নের চেয়েও আরও কঠিন, কৃত্রিম ভাগ গণনাগতভাবে আরও সহজ। সুতরাং, ফাংশনটি কৃত্রিম ভাগ এবং বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে আরও "সহজভাবে" মূল্যায়ন করা যেতে পারে। উৎপাদক উপপাদ্যটি ভাগশেষ উপপাদ্যের আরেকটি প্রয়োগ: যদি ভাগশেষ শূন্য হয় তবে রৈখিক ভাজক একটি উৎপাদক । বহুপদী উৎপাদক নির্ণয় করতে উৎপাদক উপপাদ্যের বারবার প্রয়োগ করা যেতে পারে। Piotr Rudnicki (২০০৪)। "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (পিডিএফ): 49–58।  Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning