লাইবনিজের সাধারণ নিয়ম

ক্যালকুলাসে, লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়ম, গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের নামানুসারে, গুণের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে (যা "লিবনিজের নিয়ম" নামেও পরিচিত)। এটা বলে যে যদি f {\displaystyle f} এবং g {\displaystyle g} হয় n {\displaystyle n} -বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন, তারপর পণ্য f g {\displaystyle fg} এছাড়াও হয় n {\displaystyle n} -সময় পার্থক্যযোগ্য এবং তার n {\displaystyle n} তম ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয় ( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k ) , {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},} যেখানে ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}} হয় দ্বিপদী সহগ এবং f ( j ) {\displaystyle f^{(j)}} নির্দেশ করে jএর ডেরিভেটিভ f (এবং বিশেষ করে f ( 0 ) = f {\displaystyle f^{(0)}=f} ). গুণের নিয়ম এবং গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে নিয়মটি প্রমাণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি, n = 2, নিয়ম দুটি ফাংশনের একটি পণ্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য একটি রাশি দেয়: ( f g ) ″ ( x ) = ∑ k = 0 2 ( 2 k ) f ( 2 − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) = f ″ ( x ) g ( x ) + 2 f ′ ( x ) g ′ ( x ) + f ( x ) g ″ ( x ) . {\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).} সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে m ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f1,...,fm. ( f g ) ″ ( x ) = ∑ k = 0 2 ( 2 k ) f ( 2 − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) = f ″ ( x ) g ( x ) + 2 f ′ ( x ) g ′ ( x ) + f ( x ) g ″ ( x ) . {\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).} যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত m -টুপল (k 1 ,..., k m) জুড়ে প্রসারিত হয় ∑ t = 1 m k t = n , {\displaystyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,} এবং ( f 1 f 2 ⋯ f m ) ( n ) = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) ∏ 1 ≤ t ≤ m f t ( k t ) , {\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,} বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ। লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক, f {\displaystyle f} এবং g {\displaystyle g} হতে n {\displaystyle n} - বার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন। বেস কেস যখন n = 1 {\displaystyle n=1} দাবি করে যে: ( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k ) . {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.} যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে n ≥ 1 , {\displaystyle n\geq 1,} যে, ( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k ) . {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.} Then, ( f g ) ( n + 1 ) = [ ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k ) ] ′ = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) + ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k + 1 ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) + ∑ k = 1 n + 1 ( n k − 1 ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) = ( n 0 ) f ( n + 1 ) g ( 0 ) + ∑ k = 1 n ( n k ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) + ∑ k = 1 n ( n k − 1 ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) + ( n n ) f ( 0 ) g ( n + 1 ) = ( n + 1 0 ) f ( n + 1 ) g ( 0 ) + ( ∑ k = 1 n [ ( n k − 1 ) + ( n k ) ] f ( n + 1 − k ) g ( k ) ) + ( n + 1 n + 1 ) f ( 0 ) g ( n + 1 ) = ( n + 1 0 ) f ( n + 1 ) g ( 0 ) + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) + ( n + 1 n + 1 ) f ( 0 ) g ( n + 1 ) = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) f ( n + 1 − k ) g ( k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}} এবং তাই প্রকাশটি n + 1 , {\displaystyle n+1,} এর জন্য সঠিক এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ। বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে: ∂ α ( f g ) = ∑ β : β ≤ α ( α β ) ( ∂ β f ) ( ∂ α − β g ) . {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).} এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, P এবং Q-কে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং R = P ∘ Q . {\displaystyle R=P\circ Q.} যেহেতু R একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই R- এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে: R ( x , ξ ) = e − ⟨ x , ξ ⟩ R ( e ⟨ x , ξ ⟩ ) . {\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).} একটি সরাসরি গণনা এখন দেয়: R ( x , ξ ) = ∑ α 1 α ! ( ∂ ∂ ξ ) α P ( x , ξ ) ( ∂ ∂ x ) α Q ( x , ξ ) . {\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).} এই সূত্রটি সাধারণত লাইবনিজ সূত্র নামে পরিচিত। এটি চিহ্নগুলোর স্থানের মধ্যে গঠনটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যার ফলে রিং কাঠামো প্ররোচিত হয়। Olver, Peter J. (২০০০)। Applications of Lie Groups to Differential Equations। Springer। পৃষ্ঠা 318–319। আইএসবিএন 9780387950006।  টেমপ্লেট:Calculus topics