ম্যাট্রিক্স

গণিতে ম্যাট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন সংখ্যার এক ধরনের আয়তাকার বিন্যাসকে বুঝায়। যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক প্রয়োজনীয় : কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায়: আয়তাকারে সারি ও স্তম্ভ–এ বা শুধু সারিতে বা শুধু স্তম্ভ–এ সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠী একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে। একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি এবং স্তম্ভ সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 a m , 2 ⋯ a m , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}} উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a1,1, a1,2 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে A=[am,n] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে। একে কলাম ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন : [ 1 2 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}} যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে। একে সারি ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন : [ 1 2 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}} যে ম্যাট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [aij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন : [ 1 3 2 1 0 0 1 5 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&5&2\end{bmatrix}}} , যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলোর মুখ্য (a11 উপাদান দিয়ে) কর্ণ ব্যতীত সকল উপাদানের মান শূন্য (০) হয় তবে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্স [aij] এর উপদান এমন হয় যে aij=0, যখন i ≠   j {\displaystyle i\neq \ j} তখন তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। [ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}} একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শূন্য (০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক (১) হয় তবে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স বলে॥ সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সই কর্ণ ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [aij]-এর উপাদান এমন হয় যে aij=0 যখন i ≠   j {\displaystyle i\neq \ j} এবং aij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে। [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} একক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয় I দিয়ে।একক ম্যাট্রিক্স (I) সাথে একক ম্যাট্রিক্স (I) কে যতবার গুন করা হোক না কেন আমারা একক ম্যাট্রিক্স পাবো, একক ম্যাট্রিক্স (I) পাবো I × I=I আবার কয়টা সারি কয়টা কলাম বুঝায় I নিচে In যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শূন্য হয় তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স যখন aij=0। যেমন: [ 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}} এটিকে 03×2 চিহ্নরূপে প্রকাশ করা হয় ৷ যে অশূন্য বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন: [ 1 3 2 3 0 6 2 6 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\3&0&6\\2&6&2\end{bmatrix}}} যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যখন aij= −aji। উদাহরণ: [ 0 − 3 2 3 0 − 6 − 2 6 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-3&2\\3&0&-6\\-2&6&0\end{bmatrix}}} কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মান কে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ করলে আবার সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে। [ 1 3 + 2 i 2 3 − 2 i 0 − 6 2 − 6 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3+2i&2\\3-2i&0&-6\\2&-6&2\end{bmatrix}}} কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ (সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত) করলে আবার বিপরীত মানের সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে, তাকে বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে। দুইটি m×n ম্যাট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি m×n ম্যাট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)i, j = Ai, j + Bi, j)। উদাহরণঃ [ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ম্যাট্রিক্স গুনন বলতে মুলত দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণনকে বুঝায়। এক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি দিয়ে এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলামকে গুণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ বলা যায় যদি- A = [ a b c ] , B = [ p q r ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}\,,} যদি দুটি ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে এদের গুনফল ম্যাট্রিক্স AB হবে A ম্যট্রিক্সের সারি এবং B ম্যাট্রিক্সের কলামের ডট গুনফলের সমান অর্থাৎ A B = ( a , b , c ) ⋅ ( p , q , r ) = a p + b q + c r {\displaystyle AB=(a,b,c)\cdot (p,q,r)=ap+bq+cr} গুণ করার নিয়ম ধরা যাক A এবং B দুইটি ম্যাট্রিক্স। এদের মান যথাক্রমে- A = [ 6 4 2 5 ] , B = [ 4 8 2 7 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&4\\2&5\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}4&8\\2&7\end{bmatrix}}} ১ম ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে ২য় ম্যাট্রিক্সের ১ম কলামের অনুরুপ ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে এবং গুণফলগুলোকে সমষ্টিবদ্ধ আকারে লিখতে হবে। গুণফলগুলোর সমষ্টি হলো AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ১ম ভুক্তি। ( A B ) 1 , 1 = 32 {\displaystyle (AB)_{1,1}=32} এভাবে ১ম ম্যাট্রিক্সের ২য় ৩য় সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের ১ম কলামের ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে। গুনফলগুলো হবে AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির যথাক্রমে ২য় ও ৩য় ভুক্তি। যদি Am×n একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং Bp×q একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্স দুটি গুননের যোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি n=p হয়। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্স গুননের যোগ্যতা তখনই অর্জন করে যখন প্রথম ম্যাট্রিক্স এর কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়। যদি A(m×n) একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং B(p×q) একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্সটি গুনন যোগ্য হবে যদি যদি n=p হয় এবং গুনের পর ম্যাট্রিক্স AB পাওয়া গেলে এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম থাকবে। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্সের গুনফল ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হবে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান এবং গুনফল ম্যট্রিক্সের কলাম সংখ্যা হবে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যার সমান। AB ম্যাট্রিক্সের আকার হবে (m×q) অর্থাৎ এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম থাকবে। A = [ a b c p q r u v w ] , B = [ α β γ λ μ ν ρ σ τ ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}\,,} ম্যাট্রিক্স দুটির গুনফল A B = [ a b c p q r u v w ] [ α β γ λ μ ν ρ σ τ ] = [ a α + b λ + c ρ a β + b μ + c σ a γ + b ν + c τ p α + q λ + r ρ p β + q μ + r σ p γ + q ν + r τ u α + v λ + w ρ u β + v μ + w σ u γ + v ν + w τ ] , {\displaystyle AB={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{bmatrix}}\,,} এবং B A = [ α β γ λ μ ν ρ σ τ ] [ a b c p q r u v w ] = [ α a + β p + γ u α b + β q + γ v α c + β r + γ w λ a + μ p + ν u λ b + μ q + ν v λ c + μ r + ν w ρ a + σ p + τ u ρ b + σ q + τ v ρ c + σ r + τ w ] . {\displaystyle BA={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{bmatrix}}\,.} দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করার পাশাপাশি ম্যাট্রিক্সের সাথে অন্য কোন স্কেলার রাশিকেও গুন করা যায়। কোন ম্যাট্রিক্সকে যদি একটি স্কেলার রাশি দিয়ে গুন করা হয় তবে তা ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের সাথে গুন হয়ে যাবে। অর্থাৎ একটি ৩ টি সারি এবং ৩টি কলাম বিশিষ্ট A ম্যাট্রিক্স কে যদি x {\displaystyle x} দ্বারা গুন করা হয় তবে তা A ম্যাট্রিক্সের ৯ টি উপাদান বা ভুক্তির(উল্লেখ্য আধুনিক গণিতে উপাদানগুলোকে ভুক্তি নামে নামকরণ করা হয়েছে) সবার সাথে আলাদা আলাদা ভাবে গুন হয়ে যাবে। 2 A = 2 [ a b c d ] = [ 2 ⋅ a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 ⋅ d ] = [ a ⋅ 2 b ⋅ 2 c ⋅ 2 d ⋅ 2 ] = [ a b c d ] 2 = A 2. {\displaystyle 2A=2{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot a&2\cdot b\\2\cdot c&2\cdot d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot 2&b\cdot 2\\c\cdot 2&d\cdot 2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}2=A2.} Anton (1987, p. 23) Beauregard & Fraleigh (1973, p. 56) http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php Anton, Howard (১৯৮৭), Elementary Linear Algebra (5th সংস্করণ), New York: Wiley, আইএসবিএন 0-471-84819-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (১৯৯২), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-3-540-54813-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Artin, Michael (১৯৯১), Algebra, Prentice Hall, আইএসবিএন 978-0-89871-510-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Association for Computing Machinery (১৯৭৯), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-059376-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Baker, Andrew J. (২০০৩), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-1-85233-470-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (১৯৯৭), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন 978-0-89871-361-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (১৯৭৩), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., আইএসবিএন 0-395-14017-X উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bretscher, Otto (২০০৫), Linear Algebra with Applications (3rd সংস্করণ), Prentice Hall উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bronson, Richard (১৯৮৯), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-007978-6 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Brown, William C. (১৯৯১), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, আইএসবিএন 978-0-8247-8419-5 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Coburn, Nathaniel (১৯৫৫), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, ওসিএলসি 1029828 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Conrey, J. Brian (২০০৭), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-0-521-69964-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Fraleigh, John B. (১৯৭৬), A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, আইএসবিএন 0-201-01984-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (১৯৮৩), Game Theory, MIT Press উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (২০০১), Elliptic partial differential equations of second order (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-3-540-41160-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Godsil, Chris; Royle, Gordon (২০০৪), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-95220-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (১৯৯৬), Matrix Computations (3rd সংস্করণ), Johns Hopkins, আইএসবিএন 978-0-8018-5414-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Greub, Werner Hildbert (১৯৭৫), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-90110-7 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Halmos, Paul Richard (১৯৮২), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-90685-0, এমআর 0675952 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (১৯৮৫), Matrix Analysis, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-0-521-38632-6 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Householder, Alston S. (১৯৭৫), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, এমআর 0378371 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Krzanowski, Wojtek J. (১৯৮৮), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, আইএসবিএন 978-0-19-852211-9, এমআর 0969370 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Itõ, Kiyosi, সম্পাদক (১৯৮৭), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd সংস্করণ), MIT Press, আইএসবিএন 978-0-262-09026-1, এমআর 0901762 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Lang, Serge (১৯৬৯), Analysis II, Addison-Wesley উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Lang, Serge (১৯৮৭a), Calculus of several variables (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96405-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Lang, Serge (১৯৮৭b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96412-6 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) টেমপ্লেট:Lang Algebra Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (১৯৯৯), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st সংস্করণ), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন 978-0-89871-425-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (১৯৯৯), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, আইএসবিএন 978-0-262-13360-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (১৯৭৮), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-096612-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Mirsky, Leonid (১৯৯০), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, আইএসবিএন 978-0-486-66434-7 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Nering, Evar D. (১৯৭০), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd সংস্করণ), New York: Wiley, এলসিসিএন 76-91646 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (২০০৬), Numerical Optimization (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, পৃষ্ঠা 449, আইএসবিএন 978-0-387-30303-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Oualline, Steve (২০০৩), Practical C++ programming, O'Reilly, আইএসবিএন 978-0-596-00419-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (১৯৯২), "LU Decomposition and Its Applications", Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (পিডিএফ) (2nd সংস্করণ), Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 34–42, ৬ সেপ্টেম্বর ২০০৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ১০ অক্টোবর ২০১৪ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (২০০২), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, আইএসবিএন 978-1-4020-0664-7 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Reichl, Linda E. (২০০৪), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-98788-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Rowen, Louis Halle (২০০৮), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, আইএসবিএন 978-0-8218-4153-2 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Šolin, Pavel (২০০৫), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, আইএসবিএন 978-0-471-76409-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Stinson, Douglas R. (২০০৫), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, আইএসবিএন 978-1-58488-508-5 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (২০০২), Introduction to Numerical Analysis (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-95452-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Ward, J. P. (১৯৯৭), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, আইএসবিএন 978-0-7923-4513-8, এমআর 1458894 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Wolfram, Stephen (২০০৩), The Mathematica Book (5th সংস্করণ), Champaign, IL: Wolfram Media, আইএসবিএন 978-1-57955-022-6 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Bohm, Arno (২০০১), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, আইএসবিএন 0-387-95330-2 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Burgess, Cliff; Moore, Guy (২০০৭), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-86036-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Guenther, Robert D. (১৯৯০), Modern Optics, John Wiley, আইএসবিএন 0-471-60538-7 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (১৯৮০), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, আইএসবিএন 0-07-032071-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (১৯৯৭), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-55506-X উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Schiff, Leonard I. (১৯৬৮), Quantum Mechanics (3rd সংস্করণ), McGraw–Hill উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Weinberg, Steven (১৯৯৫), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-55001-7 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Wherrett, Brian S. (১৯৮৭), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, আইএসবিএন 0-13-365461-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (২০০৬), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-1-4020-4530-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496 Bôcher, Maxime (২০০৪), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, আইএসবিএন 978-0-486-49570-5 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) , reprint of the 1907 original edition Cayley, Arthur (১৮৮৯), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 123–126 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Dieudonné, Jean, সম্পাদক (১৯৭৮), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Hawkins, Thomas (১৯৭৫), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica, 2: 1–29, আইএসএসএন 0315-0860, এমআর 0469635, ডিওআই:10.1016/0315-0860(75)90032-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Knobloch, Eberhard (১৯৯৪), "From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations", The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, পৃষ্ঠা 51–66, এমআর 1308079 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Kronecker, Leopold (১৮৯৭), Hensel, Kurt, সম্পাদক, Leopold Kronecker's Werke, Teubner উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (১৯৮৭), The Historical Development of Quantum Theory (1st সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96284-9 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (১৯৯৯), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd সংস্করণ), Oxford University Press, আইএসবিএন 978-0-19-853936-0 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Weierstrass, Karl (১৯১৫), Collected works, 3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) উইকিবইয়ে Linear Algebra বিষয়ের উপরে একটি পাতা রয়েছে: মেট্রিক্স উইকিবিশ্ববিদ্যালয়ে ম্যাট্রিক্স at Linear algebra#Matrices সম্পর্কে শেখার উপকরণ রয়েছে Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) MacTutor: Matrices and determinants ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৮ মার্চ ২০১৫ তারিখে Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, আইএসবিএন 978-0-615-25126-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) The Matrix Cookbook (PDF), সংগ্রহের তারিখ ২৪ মার্চ ২০১৪ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Brookes, Mike (২০০৫), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসে ২০০৮ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) SimplyMath (Matrix Calculator) উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Matrix Calculator (DotNumerics), ৪ সেপ্টেম্বর ২০১৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ১০ অক্টোবর ২০১৪ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Xiao, Gang, Matrix calculator, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসে ২০০৮ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Online matrix calculator, ১২ ডিসেম্বর ২০০৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসে ২০০৮ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Online matrix calculator (ZK framework), ১২ মে ২০১৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২৬ নভে ২০০৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসে ২০০৮ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) , a freeware package for matrix algebra and statistics Online matrix calculator, সংগ্রহের তারিখ ১৪ ডিসে ২০০৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) টেমপ্লেট:Linear algebra