রাম্ব রেখা

নেভিগেশন সিস্টেমে, একটি রাম্ব রেখা বা লাক্সড্রোম হল একটি চাপ যা দ্রাঘিমাংশের সমস্ত দ্রাঘিমাকে একই কোণে অতিক্রম করে, যা প্রকৃত বা চৌম্বকীয় উত্তরের তুলনায় পরিমাপযুক্ত ধ্রুবক সহনশীল একটি পথ। একটি পৃথিবীপৃষ্ঠে একটি রম্ব লাইন কোর্সের অনুসরণের প্রভাবটি পর্তুগিজ গণিতবিদ পেদ্রো নুনেস ১৫৩৭ সালে তার মেরিন চার্টের প্রতিরক্ষা বিষয়ক ট্রিটিস বইয়ে প্রথম আলোচনা করা হয় যেখানে থমাস হ্যারিয়টের এর গাণিতিক বিকাশ করেন। একটি রাম্ব লাইন একটি গুরুবৃত্তের বিপরীত, যেটি একটি গোলকের পৃষ্ঠের দুটি বিন্দুর মধ্যে স্বল্পতম দূরত্বের পথ। অন্যদিকে একটি গুরুবৃত্তে গন্তব্য বিন্দুর বাহন স্থির থাকে না। যদি কেউ একটি গুরুবৃত্তে গাড়ি চালায় তবে স্টিয়ারিং হুইলকে এক জায়গায় স্থির করে রাখতে হবে, তবে একটি রাম্ব লাইন অনুসরণ করতে স্টিয়ারিং হুইলকে ঘোরাতে হবে। আবার মেরুর কাছে যাওয়ার সাথে সাথে আরও দ্রুত তাকে স্টিয়ারিং হুইলকে ঘুরিয়ে নিতে হবে। অন্য কথায় একটি গুরুবৃত্ত স্থানীয়ভাবে "সোজা" অর্থাৎ এর জিওডেসিক বক্রতা শূন্য, যেখানে একটি রাম্ব লাইনের শূন্য-জিওডেসিক বক্রতা থাকে না। দ্রাঘিমাংশ এবং অক্ষাংশের সমান্তরাল দ্রাঘিমাগুলি বিশেষ ধরনের রাম্ব রেখা সরবরাহ করে, যেখানে তাদের ছেদাংশগুলোর কোণ যথাক্রমে 0° এবং 90° হয়। উত্তর-দক্ষিণের উত্তরণে রাম্ব লাইন কোর্সটি একটি গুরুবৃত্তের সাথে মিলে যায়, যেমন এটি নিরক্ষরেখা বরাবর একটি পূর্ব-পশ্চিম উত্তরণের মতো হয়। একটি মার্কেটর প্রক্ষেপণ মানচিত্রে কোনও রাম্ব লাইন একটি সরলরেখা; পৃথিবীর যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে মানচিত্রের প্রান্তে না গিয়ে এই জাতীয় মানচিত্রে একটি রাম্ব লাইন আঁকা যায়। তবে তাত্ত্বিকভাবে একটি লাক্সড্রোম মানচিত্রের ডান প্রান্ত অতিক্রম করে প্রসারিত করতে পারে, যেখানে এটি একই ঢাল দিয়ে বাম প্রান্তেও প্রসারিত হয় (ধরে নেওয়া যায় যে মানচিত্রটি ঠিক দ্রাঘিমাংশের 360 ডিগ্রি জুড়ে থাকে)। তির্যক কোণে দ্রাঘিমাকে ভাগ করা রাম্ব লাইনগুলি লাক্সড্রোমিক বক্ররেখা যা মেরুগুলোর দিকে সর্পিলা হয়। একটি মার্কেটর প্রক্ষেপকে উত্তর এবং দক্ষিণ মেরু অসীম হয় এবং তাই কখনও তাদের দেখা যায় না। তবে অসীম উঁচু মানচিত্রে পূর্ণ লাক্সড্রোম দুটি প্রান্তের মধ্যে অসীম সংখ্যক রেখাংশ নিয়ে গঠিত। একটি স্টেরিওগ্রাফিক প্রক্ষেপণ মানচিত্রে একটি ল্যাক্সোড্রোম একটি ভারসাম্যহীন সর্পিল যার কেন্দ্র উত্তর অথবা দক্ষিণ মেরু। সব লাক্সড্রোমগুলোই একটি মেরু থেকে অন্য মেরুতে সর্পিল। মেরুগুলোর কাছে তারা লগারিদমিক সর্পিল হওয়ার পর্যায়ে থাকে (যা তারা ঠিক একটি স্টেরিওগ্রাফিক প্রক্ষেপণের উপরে রয়েছে, নীচে দেখুন) সুতরাং তারা প্রতিটি মেরুর চারপাশে অসীম সংখ্যক বার ঘুরছে কিন্তু একটি মেরুতে সীমিত দূরত্বে পৌঁছায়। একটি লাক্সড্রোমের মেরু থেকে মেরু দৈর্ঘ্য (নিখুঁত গোলকটি ধরে নেওয়া) দ্রাঘিমার দৈর্ঘ্যকে প্রকৃত উত্তর মেরু থেকে বহনের দুরত্বের কোসাইন দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। লক্সড্রোমগুলিকে মেরুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। একটি মেরু থেকে মেরু ল্যাক্সোড্রোমের তিনটি চিত্র loxodrome শব্দটি প্রাচীন গ্রিক λοξός loxós: "তির্যক" + δρόμος drómos: "চলমান" (δραμεῖν, drameîn থেকে : "চালানোর জন্য") থেকে আসে। রাম্ব শব্দটি স্প্যানিশ বা পর্তুগিজ রম্বো বা রমো ("গতিপথ" বা "দিকনির্দেশ") এবং গ্রীক ῥόμβος rhómbos rhémbein থেকে এসেছে। দ্য গ্লোব এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইউনিভার্সাল ইনফরমেশন-এর ১৮৭৮ সংস্করণে একটি লাক্সড্রোম রেখা বর্ণনা করে: ল্যাক্সোড্রোমিক লাইনটি একটি বক্ররেখা যা প্রদত্ত পৃষ্ঠের বক্ররেখার রেখাগুলির ব্যবস্থার প্রতিটি অংশকে একই কোণে ভাগ করে। কম্পাসের একই দিকে অগ্রসরমান একটি জাহাজ এরকম একটি রেখা বর্ণনা করে যা সমস্ত দ্রাঘিমাকে একই কোণে কেটে দেয়। মার্কেটরের প্রজেকশনে (কিউভি-তে) ল্যাক্সোড্রোমিক লাইনগুলি স্পষ্টতই সোজা। একটি ভুল বোঝার কারণ হতে পারে যে, "রাম্ব" শব্দটি ব্যবহারের সময় এটি কোনও সুনির্দিষ্ট অর্থে ব্যবহৃত হয় নি। এটি উইন্ড্রোজ লাইনের ক্ষেত্রেও সমানভাবে কার্যকর যেমন এটি লাক্সড্রোমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয়েছিল কারণ এই শব্দটি কেবলমাত্র "স্থানীয়ভাবে" প্রয়োগ করা হয়েছিল অর্থাৎ এর দ্বারা বোঝানো সমস্ত অপ্রচলতার সাথে ধ্রুবক সহ্য করার জন্য নাবিক যা কিছু করেছিলেন তা বোঝাতে। সুতরাং, পোর্টোল্যানগুলি যখন ব্যবহার করা হত, তখন পোর্টোল্যানগুলিতে সরাসরি "রাম্ব" প্রযোজ্য ছিল এবং সর্বদা মার্কেটর চার্টে সোজা রেখাগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। সংক্ষিপ্ত দূরত্বে পোর্টোল্যান "রাম্ব" মার্কেটে রাম্ব থেকে অর্থপূর্ণভাবে পৃথক হয় না, তবে বর্তমানে "রাম্ব" গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট "লাক্সড্রোম" এর সমার্থক কারণ এটি পূর্ববর্তী প্রতিশব্দ হিসাবে তৈরি করা হয়েছে। লিও ব্যাগ্রো যেমন বলেছে: "..এই শব্দ ('রাম্বরেখা') ভুলভাবে এই সময়ের সমুদ্রের চার্টগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, যেহেতু একটি লাক্সড্রোম তখনই একটি যথাযথ পাঠ্যক্রম দেয় যখন একটি উপযুক্ত প্রক্ষেপণের উপর আঁকা হয়। কার্টোমেট্রিক তদন্তে জানা যায় যে প্রারম্ভিক চার্টগুলিতে কোনও প্রক্ষেপণ ব্যবহৃত হয়নি, যার জন্য আমরা 'পোর্টোল্যান' নামটি ধরে রেখেছি।" ১ ব্যাসার্ধ একটি গোলকের জন্য, আজিমুথাল এবং মেরু কোণ λ ও −+π/২ ≤ φ ≤ +π/২ এবং (অক্ষাংশ মিল রাখার জন্য এখানে সংজ্ঞায়িত) ব্যাসার্ধ ভেক্টর r লিখতে কার্টিজিয়ান ইউনিট ভেক্টর i, j, এবং k নিম্নরুপে ব্যবহার করা যেতে পারে, r ( λ , φ ) = ( cos ⁡ λ ⋅ cos ⁡ φ ) i + ( sin ⁡ λ ⋅ cos ⁡ φ ) j + ( sin ⁡ φ ) k . {\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.} গোলকের অজিমুথাল এবং মেরু দিকগুলিতে অর্থোগোনাল ইউনিট ভেক্টরগুলি লেখা যেতে পারে λ ^ ( λ , φ ) = sec ⁡ φ ∂ r ∂ λ = ( − sin ⁡ λ ) i + ( cos ⁡ λ ) j , φ ^ ( λ , φ ) = ∂ r ∂ φ = ( − cos ⁡ λ ⋅ sin ⁡ φ ) i + ( − sin ⁡ λ ⋅ sin ⁡ φ ) j + ( cos ⁡ φ ) k , {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}} যার স্কেলারের প্রোডাক্ট (ভেক্টর ডট গুনন) রয়েছে, λ ^ ⋅ φ ^ = λ ^ ⋅ r = φ ^ ⋅ r = 0 . {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.} φ ধ্রুবক হলে λ̂ অক্ষাংশের একটি সমান্তরাল খুঁজে বের করে, যখন λ ধ্রুবক তখন φ̂ দ্রাঘিমাংশের একটি দ্রাঘিমা খুঁজে বের করে এবং তারা একসঙ্গে গোলকের একটি সমতল স্পর্শক উৎপন্ন করে। ইউনিট ভেক্টরটি, β ^ ( λ , φ ) = ( sin ⁡ β ) λ ^ + ( cos ⁡ β ) φ ^ {\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} এর একক ভেক্টর φ̂ পাশাপাশি λ এবং φ এর যেকোন মানের জন্য একটি ধ্রুবক কোণ β রয়েছে। যেখানে তাদের স্কেলার গুনণ, β ^ ⋅ φ ^ = cos ⁡ β . {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.} একটি লাক্সড্রোম গোলকের উপর একটি বক্ররেখা যার দ্রাঘিমাংশের সমস্ত দ্রাঘিমাতে এর কোণ β ধ্রুব থাকে, এবং সেইজন্যই একক ভেক্টর β̂ এর সমান্তরাল হতে হবে। ফলস্বরূপ, লাক্সড্রোম বরাবর একটি ডিফারেনশিয়াল দৈর্ঘ্য ds একটি ডিফারেনশিয়াল দুরত্ব তৈরি করবে d r = β ^ d s ∂ r ∂ λ d λ + ∂ r ∂ φ d φ = ( ( sin ⁡ β ) λ ^ + ( cos ⁡ β ) φ ^ ) d s ( cos ⁡ φ ) d λ λ ^ + d φ φ ^ = ( sin ⁡ β ) d s λ ^ + ( cos ⁡ β ) d s φ ^ d s = cos ⁡ φ sin ⁡ β d λ = d φ cos ⁡ β d λ d φ = tan ⁡ β ⋅ sec ⁡ φ λ ( φ | β , λ 0 , φ 0 ) = tan ⁡ β ⋅ ( artanh ⁡ ( sin ⁡ φ ) − artanh ⁡ ( sin ⁡ φ 0 ) ) + λ 0 φ ( λ | β , λ 0 , φ 0 ) = arcsin ⁡ ( tanh ⁡ ( ( λ − λ 0 ) cot ⁡ β + artanh ⁡ ( sin ⁡ φ 0 ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &=((\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}})ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {artanh} (\sin \varphi )-\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\arcsin {\Big (}\tanh {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}{\Big )}\end{aligned}}} λ এবং φ মধ্যে এই সম্পর্কের ফলে, ব্যাসার্ধ ভেক্টরটি একটি ভেরিয়েবলের প্যারাম্যাট্রিক ফাংশনে পরিণত হয় এবং গোলকটিতে লাক্সড্রোম খুঁজে বের করে: r ( λ | β , λ 0 , φ 0 ) = ( cos ⁡ λ ⋅ sech ⁡ ψ ) i + ( sin ⁡ λ ⋅ sech ⁡ ψ ) j + ( tanh ⁡ ψ ) k , {\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\Big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {i} +{\Big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {j} +{\Big (}\tanh \psi {\Big )}\mathbf {k} \,,} যেখানে ψ ≡ ( λ − λ 0 ) cot ⁡ β + artanh ⁡ ( sin ⁡ φ 0 ) = artanh ⁡ ( sin ⁡ φ ) {\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0})=\operatorname {artanh} (\sin \varphi )} সমমান অক্ষাংশ। জিওসেন্ট্রিক এবং সমমান অক্ষাংশ গুডারম্যানিয়ান ফাংশনের মাধ্যমে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, φ = gd ⁡ ( ψ ) . {\displaystyle \varphi =\operatorname {gd} (\psi )\,.} রাম্ব রেখায়, মেরুর জিওসেন্ট্রক অক্ষাংশ হিসেবে φ → ±+π/২, sin φ → ±1, সমমান অক্ষাংশ artanh(sin φ) → ± ∞, এবং এবং মেরু দিকে সর্পিলাকারে খুব দ্রুত গোলকটি প্রদক্ষিণ করে দ্রাঘিমাংশ λ বাধা ছাড়াই বেড়ে যায়, যখন একটি সীমিত মোট চাপের দৈর্ঘ্য Δs এর দিকে ঝুকে যাওয়ার প্রবণতাকে লেখা হয়, Δ s = | ( ± π / 2 − φ 0 ) ⋅ sec ⁡ β | {\displaystyle \Delta s={\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}} ধরা যাক, গোলক উপর একটি বিন্দুর দ্রাঘিমাংশ λ এবং অক্ষাংশ φ। তাহলে আমরা যদি মার্কেটর প্রক্ষেপণের মানচিত্রের স্থানাঙ্কগুলি নিম্নরুপে সংজ্ঞায়িত করি, x = λ − λ 0 , y = arctanh ⁡ ( sin ⁡ φ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {arctanh} (\sin \varphi )\,,\end{aligned}}} প্রকৃত উত্তর মেরু থেকে ধ্রুব বাহন β এর সাথে একটি লাক্সড্রোম একটি সরল রেখা হবে, যেখানে (পূর্ববর্তী সেকশনের সুত্র ব্যবহার করে) y = m x {\displaystyle y=mx} যেখানে ঢাল, m = cot ⁡ β . {\displaystyle m=\cot \beta \,.} মার্কেটর মানচিত্রে গ্রাফিক্যালি দুটি প্রদত্ত পয়েন্টের মধ্যে লাক্সড্রোমগুলি সন্ধান করা যেতে পারে, বা দুটি অজানা m = cot β এবং λ0 এ দুটি সমীকরণের একটি অরৈখিক ব্যবস্থা সমাধান করে। যার অসীম সংখ্যক সমাধান আছে; ক্ষুদ্রতমটি হল প্রকৃত দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য, অর্থাৎ অতিরিক্ত আবর্তন করে না এবং "ভুল পথে" যায় না। একটি লাক্সড্রোম বরাবর দুই বিন্দুর মাপা মধ্যে দূরত্ব Δs, সেক্যান্ট বাহনের (দিগ্বলয়) স্বভাবতই প্রকৃত মান যা উত্তর থেকে দক্ষিণের দূরত্বের গুণক (দূরত্ব অসীম হওয়া অক্ষাংশের বৃত্ত ছাড়া): Δ s = R | ( φ − φ 0 ) ⋅ sec ⁡ β | {\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}} যেখানে R পৃথিবী গড় ব্যাসার্ধের একটি। নেভিগেশনে এর ব্যবহার সরাসরি স্টাইল বা নির্দিষ্ট নেভিগেশন মানচিত্রের অভিক্ষেপের সাথে যুক্ত। একটি রাম্ব রেখা একটি মার্কেটর প্রক্ষেপণ মানচিত্রে একটি সরল রেখা হিসাবে প্রকাশিত হয়। নামটি যথাক্রমে প্রাচীন ফরাসী বা স্প্যানিশ থেকে নেওয়া: "রম্ব" বা "রম্বো", যার অর্থ চার্টের একটি লাইন যা সমস্ত মেরিডিয়ানকে একই কোণে ছেদ করে। একটি সমতল পৃষ্ঠে এটি দুই বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে কম দূরত্ব হবে। স্বল্প অক্ষাংশে বা স্বল্প দূরত্বে পৃথিবীর পৃষ্ঠের ওপরে এটি কোনও যানবাহন, বিমান বা জাহাজের গতিপথ তৈরির জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। দীর্ঘতর দূরত্ব এবং বা অথবা উচ্চতর অক্ষাংশে গুরুবৃত্তের পথটি একই দুটি পয়েন্টের মধ্যে রিম্ব লাইনের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট। তবে গুরুবৃত্তের রাস্তায় ভ্রমণের সময় অবিচ্ছিন্নভাবে বহন পরিবর্তন করার অসুবিধাটি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে রাম্ব রেখা নেভিগেশনকে আবেদন করে। বিন্দুটি নিরক্ষীয় অঞ্চলে ৯০ ডিগ্রি দ্রাঘিমাংশের পূর্ব-পশ্চিম প্যাসেজ সহ চিত্রিত করা যেতে পারে, যার জন্য গুরুবৃত্ত এবং রাম্ব রেখার দূরত্ব ৫,৪০০ নটিক্যাল মাইল (১০,০০০ কিমি)। ২০ডিগ্রি উত্তরে গুরুবৃত্তের দূরত্ব ৪,৯৯৭ মাইল (৮,০৪২ কিমি) যখন রাম্ব লাইন দূরত্ব ৫,০৭৪ মাইল (৮,১৬৬ কিমি), প্রায় ১+১⁄২ শতাংশ আরও দুরে। তবে ৬০ ডিগ্রি উত্তরে গুরুবৃত্তের দূরত্ব ২,৪৮৫ মাইল (৩,৯৯৯ কিমি) যখন রাম্ব রেখা ২,৭০০ মাইল (৪,৩০০ কিমি) এবং পার্থক্য ৮+১⁄২ শতাংশ। আরও চরম ঘটনাটি ঘটে নিউ ইয়র্ক সিটি এবং হংকংয়ের মধ্যে বিমান পথে, যার জন্য রাম্ব রেখার দুরত্ব ৯,৭০০ নটিক্যাল মাইল (১৮,০০০ কিমি)। উত্তর মেরুতে গুরুবৃত্তের পথ ৭,০০০ নটিক্যাল মাইল (১৩,০০০ কিমি) অথবা একটি সাধারণ ক্রুজ গতিতে ৫+১⁄২ ঘণ্টার কম উড়ানোর সময়। মার্কেটর প্রক্ষেপণে কিছু পুরানো মানচিত্রতে অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশের রেখার সমন্বয়ে গ্রিড রয়েছে তবে এটি সরাসরি উত্তর দিকে, উত্তর থেকে সমকোণে বা উত্তর থেকে যেকোনও কোণে যা সমকোণের কিছু ভগ্নাংশ মাত্র। এই রাম্বক্সস লাইনগুলি অঙ্কন করা হয় যাতে সেগুলো মানচিত্রের নির্দিষ্ট বিন্দুতে একত্রিত হয়: প্রত্যেক দিকে যাওয়া এই বিন্দুর প্রতিটিতে একত্রিত হয়। (কম্পাস রোজ দেখুন) এই জাতীয় মানচিত্র অগত্যা মরকেটর প্রক্ষেপণে থাকত তাই সমস্ত পুরানো মানচিত্রই রাম্ব লাইন চিহ্নগুলি প্রদর্শন করতে সক্ষম হত না। একটি কম্পাস রোজ রেডিয়াল রেখাগুলিকেও রাম্ব বলা হয়। "একটি রাম্বের উপর নৌযান" অভিব্যক্তিটি একটি নির্দিষ্ট কম্পাস শিরোনাম নির্দেশ করতে ১৬–১৯ শতকে ব্যবহৃত হত। সামুদ্রিক ক্রোনোমিটারের আবিষ্কারের শুরুর দিকে প্রারম্ভিক নাবিকরা দীর্ঘ সমুদ্রের প্যাসেজগুলিতে রাম্ব লাইন কোর্স ব্যবহার করত, কারণ জাহাজের অক্ষাংশ সূর্য বা তারার দর্শন দ্বারা সঠিকভাবে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে তবে দ্রাঘিমাংশ নির্ধারণের সঠিক কোনও উপায় ছিল না। গন্তব্যের অক্ষাংশ পৌঁছানো অবধি জাহাজটি উত্তর বা দক্ষিণে যাত্রা করত এবং তারপর জাহাজটি তখন পূর্ব বা পশ্চিমে রাম্ব রেখা ধরে চলত (আসলে একটি সমান্তরাল, যা এক বিশেষ ধরনের রাম্ব রেখা) যা স্থির অক্ষাংশ বজায় রাখত এবং গন্তব্যস্থল দৃষ্টিগোচরে না আসা পর্যন্ত দূরত্বের নিয়মিত গণনা রেকর্ড করত। পৃথিবীর উপরিভাগকে গাণিতিকভাবে বোঝা যায় রেইমান গোলক হিসাবে অর্থাৎ যেটা জটিল সমতলে গোলকের একটি অভিক্ষেপ হিসাবে। এক্ষেত্রে, ল্যাক্সোড্রোমগুলিকে মবিয়াস রূপান্তরের নির্দিষ্ট শ্রেণি হিসাবে বোঝা যায়। উপরের সূত্রটি সহজেই একটি উপগোলকের জন্য বিবর্ধিত করা যায়। রাম্ব রেখা অবশ্যই উপবৃত্তাকার সমমান অক্ষাংশ ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া যায়। একইভাবে দিগ্বলয়ের সেক্যান্ট দ্বারা উপবৃত্তাকার দ্রাঘিমা চাপের দৈর্ঘ্যকে গুণ করে দূরত্বগুলি পাওয়া যায়। মহাবৃত্ত একটি এলিপসয়েডে জিওডেসিক্স মহাউপবৃত্ত আইসোয়াজিমুথাল রাম্বলাইন নেটওয়ার্ক ছোট বৃত্ত Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009. Rhumb at TheFreeDictionary Ross, J.M. (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information, Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from Google Books 2009-03-18; Leo Bagrow (২০১০)। History of Cartography। Transaction Publishers। পৃষ্ঠা 65। আইএসবিএন 978-1-4128-2518-4।  James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8. Smart, W. M. (১৯৪৬)। "On a Problem in Navigation": 124–127। ডিওআই:10.1093/mnras/106.2.124 ।  Williams, J. E. D. (১৯৫০)। "Loxodromic Distances on the Terrestrial Spheroid": 133–140। ডিওআই:10.1017/S0373463300045549।  Carlton-Wippern, K. C. (১৯৯২)। "On Loxodromic Navigation": 292–297। ডিওআই:10.1017/S0373463300010791।  Bennett, G. G. (১৯৯৬)। "Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid": 112–119। ডিওআই:10.1017/S0373463300013151।  Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (২০১৪)। Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью (পিডিএফ) (Russian ভাষায়) (198): 49–58। উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অচেনা ভাষা (link) দ্রষ্টব্য: এই নিবন্ধটি পাবলিক ডোমেনের একটি কাজ, দ্য গ্লোব এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইউনিভার্সাল ইনফরমেশন-এর ১৮৭৮ সংস্করণ থেকে পাঠকে অন্তর্ভুক্ত করেছে। Monmonier, Mark (২০০৪)। Rhumb lines and map wars. A social history of the Mercator projection। Chicago: University of Chicago Press। আইএসবিএন 9780226534329।  ম্যাথপেজস-এ ধ্রুবক শিরোনাম এবং রাম্ব রেখা উপবৃত্তাকার রাম্ব লাইন গণনার (জিওগ্রাফিকলিবের একটি উপাদান ) একটি ইউটিলিটি রাম্বসলভ(১); পরিপূরক ডকুমেন্টেশন । রাম্বসলভের একটি অনলাইন সংস্করণ । নেভিগেশনাল অ্যালগরিদমস ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৬ অক্টোবর ২০১৮ তারিখে পেপার: সেলিংস। চার্ট ওয়ার্ক - নেভিগেশনাল অ্যালগরিদমস চার্ট ওয়ার্ক ফ্রি সফটওয়্যার: রাম্ব রেখা, মহাবৃত্ত, কমপোজিট সেলিং, মেরিডিয়োনাল পার্টস। পজিশনের লাইনের প্লটিং - স্রোত এবং উপকূলীয় ফিক্স। ম্যাথওয়ার্ল্ডে ল্যাক্সোড্রোম।