বিচ্ছিন্ন গণিত

বিচ্ছিন্ন গণিত (ইংরেজি Discrete mathematics বা finite mathematics) গণিতের সেই শাখা যে শাখায় অধীত গাণিতিক সংগঠনগুলো মৌলিকভাবে বিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ অবিচ্ছিন্নতার ধারণা (the notion of continuity) এগুলোর ওপর খাটে না। অবিচ্ছিন্নতার সূত্র গুলো এর ওপর খাটে না। এ জন্যই নাম হয়েছে হচ্ছে বিচ্ছিন্ন গণিত। বিচ্ছিন্ন গণিতে অধীত বেশির ভাগ বা সব বস্তুই গণনাযোগ্য সেট, যেমন পূর্ণসংখ্যা, সসীম গ্রাফ, ও বিধিবদ্ধ ভাষাসমূহ। তাছাড়া কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যাপক ভাবে এর ব্যবহার রয়েছে। কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয় বলে গণিতের শাখা হিসেবে বিচ্ছিন্ন গণিত ইদানীং জনপ্রিয়তা পেয়েছে। কম্পিউটার অ্যালগোরিদম ও প্রোগ্রামিং ভাষা বর্ণনা করতে বিছিন্ন গণিতের বিভিন্ন ধারণা ও প্রতীকচিহ্নাদি কাজে লাগে। বিচ্ছিন্ন গণিতের ইতিহাসজুড়ে বেশ কয়েকটি চ্যালেঞ্জিং সমস্যা ছিল যেগুলো বিভিন্ন সময় এই বিষয়ের অন্তর্গত ক্ষেত্রগুলির মনোযোগ আকর্ষণ করেছে। গ্রাফ তত্ত্বে, ১৮৫২ সালে বর্ণিত চার বর্ণের উপপাদ্যকে প্রমাণের জন্য অনেক গবেষণা পরিচালিত হয়েছিল, তবে ১৯৭৬ সাল পর্যন্ত এটি প্রমাণিত হয়নি (এটি প্রমাণ করেন কেনেথ অ্যাপেল এবং ওল্ফগ্যাং হ্যাকেন, কম্পিউটার বেশ অনেকটা সহায়তা নিয়ে)। যুক্তিবিজ্ঞানে, ডাভিড হিলবের্টের ১৯০০ সালে উপস্থাপিত উন্মুক্ত সমস্যার তালিকার দ্বিতীয় সমস্যাটি ছিল পাটিগণিতের অক্ষগুলি সুসংগত প্রমাণ করা। ১৯৩১ সালে প্রমাণিত "গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য" প্রমাণ করেছিল যে এটি সম্ভব ছিল না - কমপক্ষে পাটিগণিতে নয়। হিলবার্টের দশম সমস্যাটি ছিল প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যার সহগযুক্ত কোন বহুপদী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধান রয়েছে কি না তা নির্ধারণ করা। ১৯৭০ সালে, ইউরি মাতিয়াসিভিচ প্রমাণ করেন যে এটি করা যায় না। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধে জার্মান কোড বিশ্লেষণের প্রয়োজনীয়তা, ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের অগ্রগতির সঙ্গে এলান টুরিংয়ের নেতৃত্বে এবং গণনাযোগ্য সংখ্যার উপর তার যুগান্তকারী কাজের ভিত্তিতে ইংল্যান্ডের ব্লেচলি পার্কে প্রথম প্রোগ্রামযোগ্য ডিজিটাল ইলেকট্রনিক কম্পিউটার বিকশিত হওয়ার ক্ষেত্রে মূল অবদান রাখে। একই সাথে সামরিক প্রয়োজনীয়তা "অপারেশন গবেষণা"য় অগ্রগতি ঘটায়। স্নায়ুযুদ্ধে দেখা যায় ক্রিপ্টোগ্রাফিও গুরুত্বপূর্ণ ছিল, ফলে পরবর্তী দশকগুলিতে পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফির মতো মৌলিক অগ্রগতি সাধিত হয়। ১৯৫০-এর দশকে সমালোচনামূলক পথ পদ্ধতি বিকশিত হওয়া নির্দেশ করে ব্যবসা-বাণিজ্য ও প্রকল্প পরিচালনার একটি সরঞ্জাম হিসাবে অপারেশন গবেষণাও তখন গুরুত্বপূর্ণ ছিল। টেলিযোগাযোগ শিল্পও বিচ্ছিন্ন গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, বিশেষত গ্রাফ তত্ত্ব এবং তথ্য তত্ত্বের ক্ষেত্রে অগ্রগতি সাধন করেছে। সুরক্ষা-সমালোচনামূলক পদ্ধতির সফটওয়্যার বিকাশের জন্য যুক্তিবিজ্ঞানের বিবৃতিগুলির আনুষ্ঠানিক যাচাইকরণের প্রয়োজনীয়তা ছিল এবংস্বয়ংক্রিয় তাত্ত্বিক প্রমাণে অগ্রগতি হয়েছে এই প্রয়োজনের কারণেই। গাণিতিক জ্যামিতি আধুনিক ভিডিও গেমস এবং কম্পিউটার-সহায়ক নকশার সরঞ্জামগুলিতে যুক্ত কম্পিউটার গ্রাফিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ হয়ে উঠেছে। বিচ্ছিন্ন গণিতের বেশ কয়েকটি ক্ষেত্র, বিশেষত তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান, গ্রাফ তত্ত্ব এবং গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব, বায়োইনফরমেটিক্সের ট্রি অফ লাইফ বোঝার সাথে জড়িত চ্যালেঞ্জিং সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ। বর্তমানে, তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের অন্যতম বিখ্যাত মুক্ত সমস্যা হল P = NP সমস্যা, যার মধ্যে জটিলতা শ্রেণির P এবং NP-র মধ্যকার সম্পর্ক বিশ্লেষণের প্রয়োজন রয়েছে। ক্লে গণিত ইনস্টিটিউট প্রথম সঠিক প্রমাণের জন্য এক মিলিয়ন ডলার পুরস্কারের পাশাপাশি অন্য ছয়টি গাণিতিক সমস্যার জন্য পুরস্কার প্রদানের অঙ্গীকার করেছে। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের মধ্যে গণনা সম্পর্কিত বিচ্ছিন্ন গণিতের ক্ষেত্রগুলি অন্তর্ভুক্ত। এটি গ্রাফ তত্ত্ব এবং গাণিতিক যুক্তির উপর অনেকখানি নির্ভরশীল। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত হল অ্যালগরিদম এবং ডেটা স্ট্রাকচারের অধ্যয়ন। কম্পিউট্যাবিলিটিতে প্রধানভাবে গবেষণা করা হয় কী গণনা করা যায় তা নিয়ে এবং যুক্তিবিজ্ঞানের সাথে এটির ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে, যেখানে জটিলতা (কপ্লেক্সিটি, একটি সাবজেক্ট) গণনা দ্বারা পরিমাপকৃত সময়, স্থান এবং অন্যান্য বিষয়গুলি নিয়ে গবেষণা করা হয়। অটোমাটা তত্ত্ব এবং আনুষ্ঠানিক ভাষা তত্ত্ব গণনার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। পেট্রি নেট এবং প্রক্রিয়া বীজগণিত কম্পিউটার সিস্টেমের মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয় এবং ভিএলএসআই ইলেকট্রনিক সার্কিট বিশ্লেষণে বিচ্ছিন্ন গণিতের বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। গণনামূলক জ্যামিতি জ্যামিতিক সমস্যাগুলিতে অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে, অন্যদিকে কম্পিউটার চিত্র বিশ্লেষণ চিত্রগুলির উপস্থাপনায় সেগুলো প্রয়োগ করে। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের সাথে বিভিন্ন চলমান গণনার বিষয়গুলিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তথ্য তত্ত্ব তথ্য পরিমাপকরণের সাথে সম্পর্কিত। ঘনিষ্ঠভাবে কোডিং তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত যেটি দক্ষভাবে এবং নির্ভরযোগ্য ডেটা ট্রান্সমিশন এবং সংরক্ষণ পদ্ধতিসমূহ ডিজাইন করতে ব্যবহৃত হয়। তথ্য তত্ত্বে অবিচ্ছিন্ন বিষয়গুলিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যেমন: এনালগ সংকেত, অ্যানালগ কোডিং, অ্যানালগ এনক্রিপশন। লজিক মূলত বৈধ যুক্তির নীতিমালা এবং অনুমানমূলক-সিদ্ধান্ত নিয়ে গবেষণা করার পাশাপাশি ধারাবাহিকতা, সুস্থতা এবং সম্পূর্ণতা নিয়ে আলোচনা করে। উদাহরণস্বরূপ, যুক্তিবিদ্যার বেশিরভাগ সিস্টেমে (তবে অন্তর্দৃষ্টি সংক্রান্ত যুক্তিতে নয়) পিয়ার্সের আইন (((P→Q)→P)→P) একটি উপপাদ্য। শাস্ত্রীয় যুক্তিতে এটি সহজে যেকোন সত্যক সারণি দিয়ে যাচাই করা যেতে পারে। গাণিতিক প্রমাণ বিষয়ক পড়াশুনা যুক্তিবিদ্যায় বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ এবং সফটওয়্যারে স্বয়ংক্রিয় উপপাদ্য প্রমাণ এবং আনুষ্ঠানিক যাচাইকরণে এর ব্যবহার রয়েছে। লজিক্যাল সূত্র হলো বিচ্ছিন্ন কাঠামো, যেমনঃ প্রমাণ তত্ত্ব, যা থেকে সসীম গাছ গঠন করে, আরও সহজভাবে বললে নির্দেশিত অ্যাসাইলিক গ্রাফ কাঠামো গঠন করে। (এর সাথে প্রতিটি অনুমান পদক্ষেপ ব্যবহার করে এক বা একাধিক শাখার মিশ্রণে একটি ফলাফল অনুমান করে)। লজিকাল সূত্রগুলির সিদ্ধ মানসমূহ সাধারণত একটি সীমাবদ্ধ সেট গঠন করে, সাধারণত এই সেট দুটি মানের মধ্যে সীমাবদ্ধ: সত্য এবং মিথ্যা, তবে যুক্তিটি অবিচ্ছিন্ন-মানযুক্তও হতে পারে, যেমন, ফাজি লজিক । এতে ইনফিনিট প্রুফ ট্রি বা ইনফিনিট ডিরাইভেশন ট্রির মতো তত্ত্বগুলিও অধ্যয়ন করা হয়, যেমন ইনফিনিটারি লজিক । কম্বিনেটরিকস বা সংযুক্তিবিদ্যা পৃথক কাঠামোগুলিকে কীভাবে একত্রিত বা সজ্জিত করা যায় সে বিষয়ে অধ্যয়ন করা হয়। ইনিউমিরেটিভ কম্বিনেটরিকস কিছু সংযুক্তিকরণের বস্তুর সংখ্যা গণনা করায় গুরুত্বারোপ করে। যেমন - দ্য টুয়েল্ভফোল্ড ওয়ে - এর মাধ্যমে বিন্যাস, সমাবেশ এবং সেট বিভাজন গণনা জন্য একটি একীভূত কাঠামো প্রদান করে। Wilson, Robin (২০০২)। Four Colors Suffice। Penguin Books। আইএসবিএন 978-0-691-11533-7।  Wilson, Robin (২০০২)। Four Colors Suffice। Penguin Books। আইএসবিএন 978-0-691-11533-7।  Hodges, Andrew (১৯৯২)। Alan Turing: The Enigma। Random House।  Trevor R. Hodkinson; John A. N. Parnell (২০০৭)। Reconstruction the Tree of Life: Taxonomy And Systematics of Large And Species Rich Taxa। CRC PressINC। পৃষ্ঠা 97। আইএসবিএন 978-0-8493-9579-6।  "Millennium Prize Problems"। ২০০০-০৫-২৪। ২০০৮-০১-০৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০১-১২।  A. S. Troelstra; H. Schwichtenberg (২০০০-০৭-২৭)। Basic Proof Theory। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 186। আইএসবিএন 978-0-521-77911-1।  Samuel R. Buss (১৯৯৮)। Handbook of Proof Theory। Elsevier। পৃষ্ঠা 13। আইএসবিএন 978-0-444-89840-1।  Franz Baader; Gerhard Brewka (২০০১-১০-১৬)। KI 2001: Advances in Artificial Intelligence: Joint German/Austrian Conference on AI, Vienna, Austria, September 19-21, 2001. Proceedings। Springer। পৃষ্ঠা 325। আইএসবিএন 978-3-540-42612-7।  Brotherston, J.; Bornat, R. (জানুয়ারি ২০০৮)। "Cyclic proofs of program termination in separation logic"। ডিওআই:10.1145/1328897.1328453। সাইট সিয়ারX 10.1.1.111.1105 ।  উইকিবইয়ে এই বিষয়ের উপরে একটি বই রয়েছে: Discrete Mathematics উইকিমিডিয়া কমন্সে বিচ্ছিন্ন গণিত সম্পর্কিত মিডিয়া দেখুন।