অসীম ধারা

যেই ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই। যেমন : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , . . . , n , . . . {\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,...,n,...} 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , 50 , . . . , n 2 + 1 , . . . {\displaystyle 2,5,10,17,26,37,50,...,n^{2}+1,...} ইত্যাদি অসীম ধারা দুই প্রকার : সমান্তর অসীম ধারা এবং গুণোত্তর অসীম ধারা । ঘ যেসব অসীম ধারায় পরপর দুইটি পদের অন্তর বা বিয়োগফল সমান, সেসব ধারাকে সমান্তর অসীম ধারা বলে। যেমন: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , . . . , 2 n − 1 , . . . {\displaystyle 1,3,5,7,9,11,...,2n-1,...} 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . , n 2 , . . . {\displaystyle 1,4,9,16,25,36,...,n^{2},...} সমান্তর অসীম ধারাটি যদি a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , a + 4 d , . . . {\displaystyle a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...} হয় তাহলে এর প্রথম পদ = a {\displaystyle =a} সাধারণ অন্তর = ( a + d ) − a = a + d − a = d {\displaystyle =(a+d)-a=a+d-a=d} সুতরাং,n তম পদ = a+(n-1)d সমান্তর অসীম ধারাটি যদি a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , a + 4 d , . . . {\displaystyle a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...} হয় তাহলে এর প্রথম পদ = a {\displaystyle =a} সাধারণ অন্তর = ( a + d ) − a = a + d − a = d {\displaystyle =(a+d)-a=a+d-a=d} সুতরাং, প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle {\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} সমান্তর অসীম ধারার একটি চমকপ্রদ বৈশিষ্ট্য হচ্ছে প্রতিটি পদকেই সূচকীকরণ করা যায়।যেমন প্রতিটি পদের মধ্যে 1 সূচক নিলে তা আগের মতোই থাকে,2 সূচক নিলে প্রতিটি পদ বর্গ হয়,3 সূচক নিলে প্রতিটি পদ ঘন হয়। যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1 + 2 + 3 + 4 + . . . {\displaystyle 1+2+3+4+...} হয়, তাহলে 1 সূচক নিয়ে আমরা পাই, 1 + 2 + 3 + 4 + . . . {\displaystyle 1+2+3+4+...} অর্থাৎ ধারার কোনো পরিবর্তন হয়নি। এই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি হবে, n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1 + 2 + 3 + 4 + . . . {\displaystyle 1+2+3+4+...} হয়,তাহলে 2 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...} এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ বর্গাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি= n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1+2+3+4+...হয়,তাহলে 3 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . . . {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...} এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ ঘনাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি= [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 {\displaystyle [{\frac {n(n+1)}{2}}]^{2}} গুণোত্তর ধারা (Geometric Series): কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (ভাগফল) সমান হলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়। যেমন: 1 + 3 + 9 + 27 + . . . {\displaystyle 1+3+9+27+...} এই ধারাটির যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে সমান মান পাওয়া যায় অর্থাৎ 3 1 = 3 , 9 3 = 3 , 27 9 = 3 {\displaystyle {\frac {3}{1}}=3,{\frac {9}{3}}=3,{\frac {27}{9}}=3} এভাবে পরবর্তী মানের ক্ষেত্রেও সমান মান পাওয়া যাবে। গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ: যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে ধারাটির সাধারণ পদ বা n তম পদ=a{r^{n - 1}} উদাহরণ: 3 + 9 + 27 + . . . {\displaystyle 3+9+27+...} .ধারাটির 5তম পদ কত? সমাধান: ধারাটির প্রথম পদ a = 3 {\displaystyle a=3} , সাধারণ অনুপাত, r = 9 3 = 3 , 27 9 = 3 {\displaystyle r={\frac {9}{3}}=3,{\frac {27}{9}}=3} ∴ {\displaystyle \therefore } ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a r n − 1 {\displaystyle =a{r^{n-1}}} ∴ {\displaystyle \therefore } ধারাটির 5তম পদ = 3.3 5 − 1 = 3.3 5 − 1 = 3.3 4 = 3.81 = 243 {\displaystyle ={3.3^{5-1}}={3.3^{5-1}}={3.3^{4}}=3.81=243} গুণোত্তর ধারার সমষ্টি: মনেকরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n. যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি S n {\displaystyle {S_{n}}} হয় অর্থাৎ S n = a + a r + a r 2 + a r 3 + . . . . . . . + a r n − 2 + a r n − 1 {\displaystyle {S_{n}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+.......+ar^{n-2}+ar^{n-1}} হলে, S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle {S_{n}}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} যখন r < 1 {\displaystyle r<1} অথবা, S n = a ( r n − 1 ) r − 1 {\displaystyle {S_{n}}={\frac {a({r^{n}}-1)}{r-1}}} যখন r > 1 {\displaystyle r>1} উদাহরণ: 8 + 16 + 32 + ........ + 512 ধারাটির সমষ্টি কত? সমাধান: প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a =8, সাধারণ অনুপাত, r = 16 8 = 2 > 1 {\displaystyle r={\frac {16}{8}}=2>1} ∴ {\displaystyle \therefore } ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা মনেকরি, ধারাটির n তম পদ=512 আমরা জানি, ধারার nতম পদ = a r n − 1 {\displaystyle =a{r^{n-1}}} ∴ {\displaystyle \therefore } a r n − 1 = 512 {\displaystyle ar^{n-1}=512} বা, 8.2 n − 1 = 512 {\displaystyle {8.2^{n-1}}=512} বা, 2 n − 1 = 512 8 {\displaystyle {2^{n-1}}={\frac {512}{8}}} বা, 2 n − 1 = 64 {\displaystyle {2^{n-1}}=64} বা, 2 n − 1 = 2 6 {\displaystyle {2^{n-1}}={2^{6}}} বা, n − 1 = 6 {\displaystyle n-1=6} বা, n = 6 + 1 {\displaystyle n=6+1} ∴ n = 7 {\displaystyle \therefore n=7} সুতরাং ধারাটির সমষ্টি = a ( r n − 1 ) r − 1 {\displaystyle ={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}} যখন r > 1 {\displaystyle r>1} = 8 ( 2 7 − 1 ) 2 − 1 = 8 ( 128 − 1 ) 1 = 8 × 127 = 1016 {\displaystyle ={\frac {8({2^{7}}-1)}{2-1}}={\frac {8(128-1)}{1}}=8\times 127=1016} কনভার্জেন্ট সিরিজ: যেসব অসীম ধারার সকল পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নির্দেশ করে,তাকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে। ডাইভার্জেন্ট সিরিজ: যেসব অসীম ধারার বিভিন্ন পদের সমষ্টি বিভিন্ন সময় বিভিন্ন সংখ্যা হয়,তাকে ডাইভার্জেন্ট সিরিজ বলে। গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি: কোনো গুণোত্তর ধারার অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টিকে অসীমতক সমষ্টি বলে। মূলত, যেসব গুণোত্তর ধারা কনভার্জেন্ট সিরিজ এর মধ্যে পড়ে তাদেরই অসীমতক সমষ্টি থাকে। যদি নিম্নোক্ত শর্তটি কোনো গুণোত্তর ধারা মেনে চলে তবে তার অসীমতক সমষ্টি থাকবে, |r| < 1 অথবা, -1 < r < 1 এবং অসীমতক সমষ্টিটি হবে, S∞= a/(1-r)