লম্ব-ভর বৃত্ত

উইকিমিডিয়া কমন্সে লম্ব-ভর বৃত্ত সংক্রান্ত মিডিয়া রয়েছে। কোন বিষম বাহু ত্রিভুজের লম্ব-ভর বৃত্ত হল এমনই একটি বৃত্ত যেখানে ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র দুটি উক্ত বৃত্তের কোন একটি ব্যাসের দু'প্রান্তে অবস্থান করে। এছাড়াও ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রও উক্ত বৃত্তের বাইরে ঐ একই ব্যাসের বর্ধিতাংশের উপর থাকবে। অধিকন্তু ত্রিভুজটির নয়-বিন্দুর কেন্দ্র ঐ ব্যাসের উপর অবস্থান করে। লম্ব-ভর বৃত্তটির ব্যাস অয়লার রেখার একটি উপসেট। অস্ট্রেলিয়ার গণিতবিদ অ্যান্ড্রু গুইন্যান্ড (১৯১২-৮৭) ১৯৮৪ সালে দেখান যে, ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র অবশ্যই লম্ব-ভর বৃত্তের অভ্যন্তরে বিদ্যমান তবে এটি কখনোই নব-বিন্দুর কেন্দ্রের সাথে মিলিত হবে না। অধিকন্তু ফার্মাট বিন্দু, গর্গন বিন্দু এবং সীমেডিয়ান বিন্দু খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে যেখানে এটি তার নিজস্ব কেন্দ্রকে ভেদ করে। অপরদিকে মিটনপাঙক্ট কেন্দ্রটি অন্য কোন খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করে এবং একইভাবে দ্বিতীয় ফার্মাট বিন্দু লম্ব-ভর বৃত্তটির বাইরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে। উল্লেখ্য যে, ত্রিভুজটির বাহুগুলো পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও সীমেডিয়ান বিন্দুর উপর নির্ভর করে। এছাড়াও যেকোন বা যেকোন সংখ্যক ব্রোকার্ড বিন্দুর সম্ভাব্য অবস্থাসমূহের সেট খোলা লম্ব-ভর চাকতিটিকে নির্দেশ করে। সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজটি পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও ব্রোকার্ড বিন্দুসমূহের অবস্থানের দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং এ ক্ষেত্রে কখনো কখনো একটি মাত্র ব্রোকার্ড বিন্দুই যথেষ্ট। লম্ব-ভর বৃত্তের ব্যাসের বর্গ হল: D 2 − 4 9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) , {\displaystyle D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),} যেখানে a, b, এবং c হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য এবং D হল পরিবৃত্তের ব্যাস। কোন ত্রিভুজের Orthocentroidal circle ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্রের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্ক যুক্ত। তাই Orthocentroidal circle এর বাংলা হিসেবে লম্ব-ভর বৃত্ত শব্দগুচ্ছ চয়ন করা হল। Guinand, Andrew P. (১৯৮৪), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, জেস্টোর 2322671, ডিওআই:10.2307/2322671 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (২০০৬), "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum, 6: 57–70, ৪ মার্চ ২০১৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২৬ সেপ্টেম্বর ২০১৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Stern, Joseph (২০০৭), "Euler's triangle determination problem" (পিডিএফ), Forum Geometricorum, 7: 1–9, ২৬ অক্টোবর ২০২১ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২৬ সেপ্টেম্বর ২০১৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Franzsen, William N. (২০১১), "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum, 11: 231–236, ২২ অক্টোবর ২০২১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২৬ সেপ্টেম্বর ২০১৯ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . Leversha, Gerry; Smith, G. C. (নভেম্বর ২০০৭), "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, জেস্টোর 40378417 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) . The locations of triangle centers ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৪ মার্চ ২০১৬ তারিখে Christopher J. Bradley & Geoff C. Smith; Forum Geometricorum, 6 (2006): page: 57-70. The locations of triangle centers ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৪ মার্চ ২০১৬ তারিখে Christopher J. Bradley & Geoff C. Smith; Forum Geometricorum, 6 (2006): page: 71–77. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).