চতুর্ঘাত অপেক্ষক

চতুর্ঘাত ফাংশন বলতে গণিতে নিম্নোক্ত ধরনের ফাংশনকে বোঝানো হয়: f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e , {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,} যেখানে a শূন্য নয় এবং ডানপক্ষের চারঘাতী বহুপদীকে বলা হয় চতুর্ঘাতী বহুপদী। চতুর্ঘাত ফাংশনের মান শূন্য হলে তখন উক্ত সমীকরণকে চতুর্ঘাতী সমীকরণ বলা হয়ে থাকে। a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,} যেখানে a ≠ 0. একটি চতুর্ঘাত ফাংশনের অন্তরক হচ্ছে একটি ঘন ফাংশন। যেহেতু চতুর্ঘাত ফাংশনে সর্বোচ্চ ঘাত একটি জোড় সংখ্যা, তাই এর চলকের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যে দিকেই অসীম পর্যন্ত বাড়ানো হোক না কেন এই ফাংশনের একই চিহ্নযুক্ত অসীম সীমা পাওয়া যাবে। ১৫৪০ খ্রিষ্টাব্দে লুদভিকো ফেরারি চতুর্ঘাত সমীকরণের সমাধান আবিষ্কার করেন কিন্তু এই সমাধানে ঘন সমীকরণের সমাধান লাগে, যা তখনও আবিষ্কৃত হয়নি, সেই কারণে তাই লুদভিকোর সমাধান সেই সময় প্রকাশ করা সম্ভব হয়নি। পরে এই সমাধান ঘন সমীকরণের সমাধানের সাথে একত্রে গেরোলামো কার্ডানোর লেখা আর্স ম্যাগ্না গ্রন্থে প্রকাশিত হয়। ১৮২৪ সালে আবেল-রুফিনি উপপাদ্য থেকে প্রথম প্রমাণিত হয় যে কোন সমীকরণের ঘাত চারের বেশি হলে তার সাধারণ সমাধান বের করা যাবে না। আবার ১৮৩২ সালে তরুণ গণিতবিদ এভারিস্তে গ্যালোয়ার মৃত্যুর পূর্বরাত্রে লেখা কিছু নোট থেকে পরে বহুপদীর বীজ সংক্রান্ত যে বিস্ময়কর গ্যালোয়ার তত্ত্বের উদ্ভব হয়, তার একটি অনুসিদ্ধান্তও ছিল এই উপপাদ্যটি। একটি সাধারণ চতুর্ঘাত a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0} যার সহগগুলো বাস্তব এবং a ≠ 0 , {\displaystyle a\neq 0,} , তার বীজের প্রকৃতি মূলত নির্ধারিত হয় নিশ্চায়কের চিহ্ন দ্বারা। Δ   =   256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \ =\ &256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}} চতুর্ঘাতের বীজের সম্ভাব্য অবস্থাগুলো নিম্নরূপ: যখন Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} , দুটি বীজ বাস্তব, দুটি অবাস্তব জটিল ও একে অপরের অনুবন্ধী। যখন Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} সব বীজ বাস্তব অথবা সব বীজ অবাস্তব। যখন Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} হয় multiple বীজ বিদ্যমান, নয়তো এটা কোন দ্বিঘাত সমীকরণ-এর বর্গ। রৈখিক ফাংশন দ্বিঘাত ফাংশন ঘন ফাংশন পঞ্চঘাতী ফাংশন বহুপদী নিউটনের পদ্ধতি ও'কনর, জন জে.; রবার্টসন, এডমুন্ড এফ., "Lodovico Ferrari", ম্যাকটিউটর গণিতের ইতিহাস আর্কাইভ, সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয় উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) । Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) Rees, E. L. (১৯২২)। "Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation"। The American Mathematical Monthly। 29 (2): 51–55। ডিওআই:10.2307/2972804।  http://planetmath.org/QuarticFormula, PlanetMath, quartic formula, 21st October 2012 Cardano, Gerolamo (১৫৪৫), Ars magna or The Rules of Algebra, Dover (প্রকাশিত হয় ১৯৯৩), আইএসবিএন 0-486-67811-3 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Faucette, William Mark (১৯৯৬), "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", The American Mathematical Monthly, 103 (1): 51–57, ডিওআই:10.2307/2975214, টেমপ্লেট:Citeseerx উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Nickalls, R. W. D. (২০০৯)। "The quartic equation: invariants and Euler's solution revealed" (পিডিএফ)। Mathematical Gazette। 93: 66–75।  Carpenter, W. (১৯৬৬)। "On the solution of the real quartic"। Mathematics Magazine। 39: 28–30। ডিওআই:10.2307/2688990।  Shmakov, S.L. (২০১১)। "A Universal Method of Solving Quartic Equations" (পিডিএফ)। International Journal of Pure and Applied Mathematics। 71: 251–259।  Quartic formula as four single equations at PlanetMath Ferrari's achievement Calculator for solving Quartics (also solves Cubics and Quadratics) টেমপ্লেট:Polynomials