প্রতিঅন্তরজ

ক্যালকুলাসে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের প্রতিঅন্তরজ, বিপরীত অন্তরজ, প্রাথমিক ফাংশন বা অনির্দিষ্ট যোগজ f হচ্ছে F এর একটি অন্তরক ফাংশন যার অন্তরজ মূল ফাংশন f এর সমান। এটিকে প্রতীকীভাবে F' = f হিসাবে বলা যেতে পারে। প্রতিঅন্তরজ নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে প্রতিঅন্তরীকরণ (বা অনির্দিষ্ট যোগজীকরণ বা সমাকলন) বলা হয় এবং এর বিপরীত প্রক্রিয়াকে অন্তরীকরণ বা অবকলন বলা হয়, যা অন্তরজ নির্ণয় করার প্রক্রিয়া। প্রতিঅন্তরজকে প্রায়শই F এবং G এর মতো বড় হাতের রোমান অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়। প্রতিঅন্তরজসমূহ নির্দিষ্ট যোগজের সাথে ক্যালক্যুলাসের দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যের মাধ্যমে সম্পর্কিত: কোনো ফাংশনের একটি বদ্ধ ব্যবধির ভেতর নির্দিষ্ট যোগজ, যেখানে ফাংশনটি রিম্যান যোজ্যরাশি, ব্যবধির প্রান্তবিন্দুগুলিতে প্রাপ্ত প্রতিঅন্তরজের মানদ্বয়ের পার্থক্যের সমান। পদার্থবিজ্ঞানে, প্রতিঅন্তরজ সরলরৈখিক গতির প্রসঙ্গে আসে (যেমন, অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যাখ্যা করার ক্ষেত্রে)।প্রতিঅন্তরজের ধারণার বিচ্ছিন্ন সমতুল্য একটি ধারণা হল অ্যান্টিডিফারেন্স। ফাংশন F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}} হল f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} -এর একটি প্রতিঅন্তরজ, যেহেতু x 3 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}} -এর অন্তরজ হল x 2 {\displaystyle x^{2}} । যেহেতু একটি ধ্রুবক ফাংশন-এর অন্তরজ শূন্য, x 2 {\displaystyle x^{2}} -এর অসংখ্য প্রতিঅন্তরজ থাকবে, যেমন x 3 3 , x 3 3 + 1 , x 3 3 − 2 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2} , ইত্যাদি। সুতরাং, x 2 {\displaystyle x^{2}} -এর সকল প্রতিঅন্তরজ F ( x ) = x 3 3 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c} থেকে c {\displaystyle c} -এর মান পরিবর্তন করে পাওয়া যাবে, যেখানে c {\displaystyle c} হল একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক, যা সমাকলন ধ্রুবক নামে পরিচিত। প্রদত্ত ফাংশনের প্রতিঅন্তরজগুলির লেখচিত্র একে অপরের উল্লম্ব বিম্ব, যেখানে প্রতিটি লেখের উল্লম্ব অবস্থান c {\displaystyle c} -এর মানের উপর নির্ভর করে। সাধারণভাবে, ঘাত ফাংশন f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} এর প্রতিঅন্তরজ F ( x ) = x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c} যদি n ≠ −1 হয় এবং F ( x ) = ln ⁡ | x | + c {\displaystyle F(x)=\ln |x|+c} যদি n = −1 হয়। পদার্থবিজ্ঞানে, ত্বরণের সমাকলনে গতিবেগের সাথে একটি ধ্রুবক পাওয়া যায়। ধ্রুবকটি প্রাথমিক গতিবেগের পদ যা গতিবেগের অন্তরজ নির্ণয়ের সময় হারিয়ে যাবে, কারণ ধ্রুবক পদটির অন্তরজ শূন্য। একইরকমভাবে গতি (অবস্থান, গতিবেগ, ত্বরণ ইত্যাদি) এর পরবর্তী সমাকলন এবং অন্তরজের জন্যেও প্রযোজ্য। এভাবে, সমাকলন ত্বরণ, গতিবেগ এবং সরণের মধ্যকার সম্পর্ক সৃষ্টি করে: ∫ a d t = v + C ∫ v d t = s + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}} ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে, নির্দিষ্ট যোগজে প্রতিঅন্তরজ ব্যবহার করা যেতে পারে: যদি F ফাংশনটি [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ব্যবধির ভিতরে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f এর প্রতিঅন্তরজ হয়, তাহলে: ∫ a b f ( x ) , d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x),\mathrm {d} x=F(b)-F(a)} এ কারণে, একটি নির্দিষ্ট ফাংশন f এর অসংখ্য অন্তরজগুলির প্রত্যেকটিকে 'f' এর অনির্দিষ্ট যোগজ বলা যেতে পারে এবং সীমা ছাড়া সমাকল চিহ্ন ব্যবহার করে লেখা যেতে পারে: ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x.} যদি F f এর প্রতিঅন্তরজ হয় এবং ফাংশন f কোনও ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত হয়, তাহলে f এর অন্য যে কোনও প্রতিঅন্তরজ G F থেকে একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক: একটি সংখ্যা c থাকবে যেন G ( x ) = F ( x ) + c {\displaystyle G(x)=F(x)+c} সব x এর জন্য। c কে সমাকলন ধ্রুবক বলা হয়। যদি F এর ডোমেইন দুই বা তার বেশি (খোলা) ব্যবধির বিচ্ছিন্ন অন্বয় হয়, তাহলে প্রতি ব্যাবধিতে একটি ভিন্ন সমাকলনের ধ্রুবক নির্বাচন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ F ( x ) = { − 1 x + c 1 x < 0 − 1 x + c 2 x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}} হল স্বাভাবিক ডোমেন ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )} এর উপর f ( x ) = 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} এর সবচেয়ে সাধারণ অন্তরজ। প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f এর একটি প্রতিঅন্তরজ রয়েছে এবং একটি প্রতিঅন্তরজ F, চলকের উচ্চসীমাসহ f এর নির্দিষ্ট যোগজ দেওয়া হলো: F ( x ) = ∫ a x f ( t ) , d t   , {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t),\mathrm {d} t~,} f এর ডোমেনের যে কোনও a এর জন্য। নিম্ন সীমা পরিবর্তন করলে অন্যান্য প্রতিঅন্তরজ উৎপন্ন হয়, তবে সমস্ত সম্ভাব্য অন্তরজ পাওয়া যাবে এমনটা নয়। এটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের আরেকটি প্রতিরূপ। অনেক ফাংশন রয়েছে যাদের অন্তরজ, যদিও তারা বিদ্যমান, প্রাথমিক অপেক্ষক (যেমন বহুপদী সূচকীয় ফাংশন, লগারিদম, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের সংমিশ্রণ) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। এর উদাহরণগুলি হল এরর ফাংশন ∫ e − x 2 d x , {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x,} ফ্রেসনেল ফাংশন ∫ sin ⁡ x 2 d x , {\displaystyle \int \sin x^{2}\mathrm {d} x,} সাইন যোগজ ∫ sin ⁡ x x d x , {\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x,} লগারিদমিক যোগজ ফাংশন ∫ 1 log ⁡ x d x , {\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\mathrm {d} x,} এবং সফোমোরস ড্রিম ∫ x x d x {\displaystyle \int x^{x}\mathrm {d} x} আরও বিস্তারিত আলোচনার জন্য দেখুন অবকল গ্যালোয় তত্ত্ব। যদি d d x f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)} , তাহলে ∫ g ( x ) d x = f ( x ) + C {\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C} ∫ 1   d x = x + C {\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C} ∫ a   d x = a x + C {\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C} ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ;   n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1} ∫ sin ⁡ x   d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C} ∫ cos ⁡ x   d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C} ∫ sec 2 ⁡ x   d x = tan ⁡ x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C} ∫ csc 2 ⁡ x   d x = − cot ⁡ x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C} ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x   d x = sec ⁡ x + C {\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C} ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x   d x = − csc ⁡ x + C {\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C} ∫ 1 x   d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C} ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C ;   a > 0 ,   a ≠ 1 {\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1} ∫ 1 a 2 − x 2   d x = arcsin ⁡ ( x a ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C} ∫ 1 a 2 + x 2   d x = 1 a arctan ⁡ ( x a ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C} সাংখ্যিক সমাকলন ক্ষেত্রফল প্রতিঅন্তরজকে সাধারণত সাধারণ যোগজ বা সংক্ষেপে যোগজ বলা হয়। "যোগজ" বা "সমাকল" শব্দটি একটি সাধারণ পদ এবং এটি কেবল অনির্দিষ্ট যোগজ (প্রতিঅন্তরজ) কেই বোঝায় না, নির্দিষ্ট যোগজকেও বোঝাতে পারে। যখন "সমাকল" শব্দটি কোনো অতিরিক্ত বিবরণ ছাড়া ব্যবহৃত হয়, তখন পাঠককে প্রসঙ্গ থেকে বুঝতে হবে যে এটি নির্দিষ্ট যোগজকে না অনির্দিষ্ট যোগজকে বোঝাচ্ছে। কিছু লেখক কোনো ফাংশনের অনির্দিষ্ট সমাকলকে তার অসংখ্য সম্ভাব্য প্রতিঅন্তরজের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন। আবার অন্যরা একে সেই সেটের যে কোনো একটি দ্বৈবনির্বাচিত উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন। এই নিবন্ধে দ্বিতীয় পদ্ধতিটি অনুসরণ করা হয়েছে। ইংরেজি এ-লেভেল গণিতের পাঠ্যপুস্তকে "সম্পূর্ণ আদিম" শব্দটি পাওয়া যায়। এল. বস্টক এবং এস. চ্যান্ডলার (1978) এর "পিওর ম্যাথম্যাটিক্স 1" বইয়ে বলা হয়েছে, "যে কোনো একটি ধ্রুবক অন্তর্ভুক্ত করে একটি অন্তরক সমীকরণের সমাধানকে সাধারণ সমাধান (বা কখনও কমপ্লিট প্রিমিটিভও) বলা হয়"। Stewart, James (২০০৮)। Calculus: Early Transcendentals (6th সংস্করণ)। Brooks/Cole। আইএসবিএন 978-0-495-01166-8। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (২০০৯)। Calculus (9th সংস্করণ)। Brooks/Cole। আইএসবিএন 978-0-547-16702-2। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) "4.9: Antiderivatives"। Mathematics LibreTexts (ইংরেজি ভাষায়)। ২০১৭-০৪-২৭। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-১৮। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also) Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica Function Calculator from WIMS Integral at HyperPhysics Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy Integral calculator at Symbolab The Antiderivative at MIT Introduction to Integrals at SparkNotes Antiderivatives at Harvy Mudd College