シングマスター予想

シングマスター予想 (シングマスターよそう、) は、「パスカルの三角形において1以外の数字の出現回数には上限が存在する」という組み合わせ数学の予想である。名前の由来は1971年にこの予想を提唱したイギリスの数学者に由来する。
1より大きい任意の整数 について、この数はパスカルの三角形において上から 行までにしか出現しないため、1より大きい数の出現が有限であることは明らかである。シングマスター予想は、この出現回数がある有限の数を越えないことを主張している。
なお、1は明らかにパスカルの三角形において無限回出現し、上記の事実から1はパスカルの三角形で無限回出現する唯一の数である。
主張.
整数 に対して、 をパスカルの三角形における の出現回数とする。 シングマスター予想の主張は、ある ( に依存しない) 有限の数 が存在して が成り立つことである。
ランダウのOを用いると、予想の主張は以下の通りになる。
既知の上限.
パスカルの三角形における出現数 について、以下のことがすでに知られている。
シングマスターの無限族.
シングマスターは、 と に関するディオファントス方程式formula_11について、これが無限に多くの解を持つことを証明した。この方程式の解は、非負整数 を用いて次のように表される。formula_12ここで は 番目のフィボナッチ数 () である。
このとき、等しくなる両辺の値を とおくと、formula_13となり、パスカルの三角形に (少なくとも) 6回登場する数の族を得る。これをシングマスターの無限族と呼ぶ。
未解決問題.
9回以上現れる数、3003以外の8回現れる数が存在するかどうかは知られていない。上限は8と予想できるが、シングマスターは10または12と予想していた。
また、5回または7回現れる数が存在するかどうかも未解決である。関連する数列 において等式"N"("a") = 5 をみたす "a"があるかどうかわからないことが言及されている。