CES型関数

CES型関数（しーいーえすがたかんすう、英: Constant elasticity of substitution function）は、生産要素間あるいは財のバラエティ間の代替の弾力性が定数である生産関数や効用関数のこと。英語をそのまま読んでコンスタント・イラスティシティ・オブ・サブスティチューション関数と呼ばれることもある。
概要.
この関数形の下では、複数の財のバラエティから効用を得るような効用関数、あるいは複数の生産要素から財を生産する生産関数があるときに、バラエティ間あるいは生産要素間の代替の程度が定数となる。トム・マッケンジー、ジョン・ヒックス、ジョーン・ロビンソンなどがこの概念の確立に貢献した。
CES型生産関数.
CES型生産関数（英: Constant elasticity of substitution production function）を仮定すると、生産要素間の代替の弾力性が定数になる。代替の弾力性は「生産要素の比率の変化」の「生産の限界代替率の変化」に対する比で定義され、CES型生産関数の場合はそれが定数になる。資本と労働を生産要素とするCES型生産関数がロバート・ソローによって導入され、その後ケネス・アローや、らの貢献によってさらに普及した。
2生産要素のケース.
CES型生産関数は、例えば以下のように書ける。
ただしformula_2は生産量、formula_3とformula_4は要素分配率（ただしformula_5）、formula_6は資本の投入量、formula_7は労働の投入量である。このとき、formula_8 = formula_9は生産要素間の代替の程度を測るパラメーターで、
が代替の弾力性となる。レオンチェフ型生産関数、線形生産関数、コブ＝ダグラス型生産関数はすべてCES型生産関数の特別なケースと解釈できる。つまり、 
複数生産要素のケース.
生産要素の数がn個である一般的なCES型生産関数は以下のように書ける。
ただしformula_2は生産量、formula_20は生産要素formula_21の分配率（ただしformula_22）、formula_23は生産要素formula_21の投入量である。このとき、2生産要素のケースと同様、formula_8 = formula_9は生産要素間の代替の程度を測るパラメーターで、
が代替の弾力性となる。
宇沢弘文は、生産要素が2つ以上あるとき、定数的代替の弾力性を持つには全ての生産要素のペアの間の代替の弾力性が等しくなければならないこと、生産要素間のペアの間で代替の弾力性が異なることを許容するには、一部の代替の弾力性が同じで、その他の代替の弾力性は1でなければならないことを示した。
CES型関数が入れ子構造になっている生産関数も部分均衡分析モデルや一般均衡分析モデルで用いられることがある。入れ子構造を導入することで、異なった代替の弾力性を許容することができる。
CES型効用関数.
消費者理論でもCES型効用関数（英: Constant elasticity of substitution utility function）を仮定することがある。
複数バラエティのケース.
formula_28個の財のバラエティが存在するとき、効用関数は以下のように書ける。 
ただし、formula_30は効用水準、formula_31はバラエティformula_21の消費量、formula_10は代替の弾力性である。生産関数のときと同様、
が代替の弾力性となる。
これはCESアグリゲーターとも呼ばれ、ポール・アーミングトンによって最初に議論された。CES効用関数はホモセティックな選好の特別なケースと解釈できる。
効用最大化問題の解.
2つの財formula_40とformula_41があるとする。
このとき、効用最大化問題を解くと以下のような関数を導くことができる。支出関数は
となり、間接効用関数は
となり、需要関数は
となる。ただしformula_47は所得水準、formula_48は財formula_40の価格、formula_50は財formula_41の価格である。
応用.
アビナッシュ・ディキシットとジョセフ・E・スティグリッツは、独占的競争市場において最適な財のダイバーシティを考える際にCES型効用関数を用いている。これはと呼ばれる。
国際貿易の文脈でも、ポール・クルーグマンがCES型効用関数を用いて多くのバラエティを消費すると効用が上昇する消費者が存在する経済をモデル化し、を考えた。そして、消費者の選好と企業レベルの規模の経済から国際貿易を説明する新貿易理論を提示した。
CES型効用関数との違いは、CES型効用関数はで、等弾力的効用関数はであるということである。CES間接双対効用関数（英: The CES indirect dual utility function）を用いると、バラエティの各カテゴリーへの需要構造が内生的に決まる選好を表現することができる。