シンクホーンの定理

シンクホーンの定理（シンクホーンのていり、Sinkhorn's theorem）では、正の成分からなるすべての正方行列は特定の標準形式で記述できることが述べられている。
定理.
formula_1 が真に正の（0 は含まない）成分からなる正方行列である場合、formula_2 が二重確率行列であるような、真に正の成分からなる対角行列 formula_3、formula_4 が存在する。formula_3 と formula_4 は、定数倍の不定性を除いて一意である。 
Sinkhorn-Knopp アルゴリズム.
二重確率行列に接近する簡単な逐次法は、formula_1 のすべての行とすべての列を交互に再スケーリングして合計を 1 にすることである。 Sinkhorn と Knopp はこのアルゴリズムを提示し、その収束性を分析した。 
類似物と拡張.
ユニタリ行列を対象とした次の類似点も正である。すなわち、
すべてのユニタリ行列 "formula_8" に対して、2つの対角ユニタリ行列 formula_9 と formula_10 が存在し、formula_11 の列と行の合計は 1 になる。 
行列間のマップに対する次の拡張も当てはまる（定理5 および定理 4.7 も参照）。すなわち、
密度行列を別の行列にマッピングする量子操作 formula_12 を表すクラウス演算子に対し、
それはトレース保存であり
さらに、その範囲が正定値錐の内部（真に正）にある場合、再スケールされたKraus演算子
が二重確率であるような正定値であるスケール因子 formula_16 が存在する。言い換えれば、それは次の 2 つの式を満たす。
ここで、formula_19 は恒等演算子を示す。