ヘーグナー数

数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体 formula_1 の類数が formula_2 となる平方因子を持たない正の整数 formula_3 のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。 
このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。 
（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。 
この結果はガウスによって予想され、1952年にによって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとは1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。 
オイラーの素数生成多項式.
"n" = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの
は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。 
オイラーの式において formula_6 が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 formula_6 が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 
 は 
について、判別式 formula_10 が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、formula_11 に対して素数を与えることを証明した。 
（なお formula_12 を代入すると formula_13 となるため、formula_14 が "n" の最大値となる。） 
formula_15 を満たす "p" が存在しないため、機能するヘーグナー数は formula_16 であり、これらはオイラーの形の素数生成式における formula_17 にそれぞれ対応する。特にこれらの "p" は、によってと呼ばれている。 
ほとんど整数とラマヌジャンの定数.
ラマヌジャンの定数とは超越数 formula_18 のことであり、整数にという点でほとんど整数である。 
この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。 
この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量の"q-"展開によって説明できる。 
詳細.
簡単に言えば、ヘーグナー数 "d" に対して formula_21 は整数であり、formula_22 が "q" -展開によって示される。 
もし formula_23 が二次無理数とすると、"j-"不変量は次数 formula_24 の代数的整数であり、formula_25 の類数とformula_25 が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 formula_25 の類数が 1 であれば（つまり "d" はヘーグナー数）、 "j-"不変量は整数となる。 
フーリエ級数展開を formula_28 のローラン級数として表した "j" の "q"-展開は、最初の3項は以下のとおりである： 
ローラン級数の係数 formula_30 は漸近的に formula_31 のように増大し、また低次の係数の増大が formula_32 よりも遅いため、 formula_33 において、 "j" は最初の2つの項で非常によく近似される。formula_34 とすると formula_35 つまり formula_36 となる。ここで formula_37 とすると、以下の式が得られる。 
これはすなわち 
であり、誤差の線形項は 
となるため、formula_18 が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。
円周率の式.
1987年、は以下の式を発見した。 
これは、 formula_43 という事実を用いている。同様の式については、を参照せよ。
その他のヘーグナー数.
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。 
あるいは、 
ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。formula_46 のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 formula_47 さえ注目に値しない。整数の "j-"不変量は細かく因数分解可能であるが、これは formula_48 ということに従う。素因数は以下のとおりである。 
これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。 
3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 "η"("τ")の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。 
括弧内の式を formula_52 とおくと（例： formula_53 ）、formula_52 はそれぞれ四次方程式を満たす。 
整数 formula_56 の再出現と、以下の事実に注意せよ。 
これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。 
同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。 
ここで、"x" はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。 
ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 formula_60 の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 formula_34 とすると、 
ここで、イータ商は上記の代数的数である。
類数 2 の数値.
類数 formula_63 を持つ虚二次体 formula_1 を与える3つの数字 formula_65 は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、 
そして 
連続素数.
"p" を奇素数として、formula_68 に対して formula_69 を計算すると（formula_70 なので、"k" の範囲はこれで十分である）、 "p" がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる。 
詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。