ケプラー三角形

ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 formula_1 の平方根formula_2であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比はformula_3 、おおよそ1 ：1.272 ：1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。
このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー（1571–1630）にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した：
また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。
導出.
黄金比 formula_1 は次の二次方程式
の解である。したがって
であるため、次の等式が成立する：
これをピタゴラスの定理の形に書き換えると
算術平均、幾何平均、調和平均との関係.
正の実数"a"および"b"に対し、それらの算術平均、幾何平均、および調和平均が直角三角形の各辺の長さとなることは、直角三角形がケプラー三角形であることに同値である。
ケプラー三角形の作図.
ケプラー三角形は初めに黄金三角形を作ることで、定規とコンパスによる作図により作図することが可能である：
ケプラー自身は上述の方法とは違う方法でケプラー三角形を作図しており、実際、彼の前指導教官であったミヒャエル・メストリンへの手紙の中で「外中比（黄金比）で分割された直線上に直角三角形を作ると、その直角が区間点に置かれた垂直上にある場合、小さい方の脚は分割された直線の大きい方と等しくなる。」と書いている。
数学的性質.
三辺がformula_9であるケプラー三角形において次の円と正方形を考える：
このとき、円周（ formula_11 ）と正方形の周長（ formula_12 ）は0.1％以下の誤差の範囲で一致する。
したがって近似的に formula_13 が成り立つがこれはであり、正方形と円の周囲長を完全に一致させることは不可能である（仮に一致できた場合、円積問題における古典的な（不可能な）問題を解決できてしまうため）。言い換えると、円周率 formula_14 が超越数であるためformula_15である。
ケプラー三角形はエジプトのピラミッドのデザインに現れている。ギザの大ピラミッドにある部屋の床面の対角線に部屋の幅を加えたものを部屋の奥行で割ると、黄金比に非常に近くなる。ただし、この関係を調査したさまざまな学者によると、古代エジプト人はおそらく円周率 formula_14 と黄金比 formula_1 の間の数学的一致を知らなかったと考えられている。
脚注.
脚注引用