従属選択公理

数学において、従属選択公理(; formula_1と略される)とは、選択公理(formula_2)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。
形式的な言明.
formula_3 on formula_4 上の二項関係 formula_3 が全域関係であるとは任意の formula_6 に対してある formula_7 が存在して formula_8 が成り立つことである。
従属選択公理とは、次の言明である:
任意の空でない集合 formula_4 とその上の全域二項関係 formula_3 に対して、列 formula_11 を全ての formula_12 に対して formula_13 であるように取れる。
実のところ、"x"0 は "X" の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、"x"0 から始められる formula_3 の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
上での集合 formula_4 を実数全体の集合に制限したものを formula_16 で表す。
使用例.
このような公理が無いとしても、各 formula_17 について普通の帰納法によって最初の formula_17 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 formula_1 は formula_2 の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
同値な命題.
ツェルメロ＝フレンケル集合論 formula_21 において、formula_1 は完備距離空間のベールのカテゴリー定理と同値である。
また、formula_21 上でレーヴェンハイム–スコーレムの定理と同値でもある。
formula_1 は formula_21 上で高さ formula_26 の pruned tree には枝があるということとも同値である。
さらに、formula_1 はツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には formula_1 は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。
他の公理との関連.
完全な formula_2 と違って、formula_1 は(formula_21 の下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては formula_32 が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより厳密に強い公理である。
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。