ドリンフェルト加群

数学のドリンフェルト加群（ドリンフェルトかぐん、）とは、有限体上の曲線上の関数からなる環上のある特殊な加群のことである。カーリッツ加群の一般化であり、楕円加群ともいう。これを使うと、虚数乗法論の類似理論を関数体上で構築することができる。ドリンフェルト加群の一種の一般化がシトゥーカ（, ）であり、これはおおまかに言うと曲線上のベクトル束にその束の"フロベニウスねじり"と"改造"を結びつける付加構造を付与したものである。F 層、シュトゥカともいう。
ドリンフェルト加群はウラジーミル・ドリンフェルトによって考え出され、代数関数体の GL2 ついてのラングランズ予想をある特別な場合に証明するために使われた。関数体の場合、志村多様体のようなものは存在しなかったので、このようなことが可能であろうとは誰も想像していなかった。彼は後にシトゥーカを創案し、階数が2のシトゥーカを使って GL2 についてのラングランズ予想を完全に証明した。ローラン・ラフォルグは、階数 "n" のシトゥーカのを調べることにより、関数体の GL"n" についてのラングランズ予想を証明した。
シトゥーカは、「1つのコピー」を意味するロシア語の штука をカナ転写したものである。このロシア語は、「一切れ、もの、ひとかたまり」を意味するドイツ語の Stück に由来している。シトゥーカは、話者にとってよく知っているけど名前のないもの（あれ）を指すロシア語のスラングでもある。
ドリンフェルト加群.
加法的多項式の環.
formula_1 を標数 formula_2 の体とする。環 formula_3 を、formula_1 上の非可換（捻じれた、ともいう） formula_5 の環として定義する。この環の乗法は
で定義する。formula_7 は一種のフロベニウス元と思える。実際、formula_7 を formula_1 にフロベニウス自己準同型として作用させ、formula_1 の要素を乗法で formula_1 に作用させることで、formula_1 は formula_3 上の左加群になる。環 formula_3 は formula_15 の（絶対）加法的多項式
全体からなる環と考えることもできる。多項式 formula_17 は formula_18 が（formula_19 の要素として）成り立つとき加法的という。加法的多項式の環は、多項式 formula_20 で formula_1 上生成される。加法的多項式の環における乗法は、可換多項式の乗法によってではなく多項式の合成によって定義する。これは非可換である。
ドリンフェルト加群の定義.
"F" を有限体を定数体とする代数関数体とし、"F" の素点 formula_22 を1つ固定する。"F" の元で formula_22 を除く全ての素点で正則なもの全体からなる環を "A" と置く。"A" はデデキント環で、"F" の中で（formula_22 から誘導される位相で）離散である。例えば、多項式環 formula_25 が "A" の例である。"L" を体、formula_26 を環準同型とする。
"A" の像が "L" に入らないという条件は自明な場合を除くための非退化条件であり、条件 formula_31 はドリンフェルト加群とは単に写像 formula_32 の変形であるという意味の条件である。
"L"{τ} は "L" の加法群の自己準同型からなると考えられるので、ドリンフェルト "A" 加群とは加法群 "L" への "A" の作用とみなすことができる。言い換えると、ドリンフェルト "A" 加群とは、"A" 加群であって加法群としては加法群 "L" であるもののことである。
シトゥーカ.
"X" を有限体 F"p" 上の曲線とする。スキーム（もしくはスタック）"U" 上の階数 "r" の（右）シトゥーカとは、次のデータ
で、余核はある "U" から "X" への射（シトゥーカの零と極という。普通 0 と ∞ と書く）のグラフに台を持ち、台の上で階数 1 で局所自由になっているもののことをいう。ここで、(Fr×1)*"E" は "U" のフロベニウス自己準同型による "E" の引き戻しである。
左シトゥーカも、射の向きを逆にしたものとして同じように定義される。シトゥーカの極と零が交わっていなければ、左シトゥーカと右シトゥーカ本質的に同じものである。
"U" を動かすことにより、階数 "r" のシトゥーカ全体の代数的スタック "Shtukar" と、"Shtukar"×"X" 上の"普遍"シトゥーカと、"Shtukar" から "X"×"X" への滑らかで相対次元 2"r" − 2 の射 (∞,0) が得られる。スタック "Shtukar" は "r" > 1 のときは有限型ではない。
定義からはすぐには分からないが、ドリンフェルト加群からシトゥーカを作る方法があるので、ドリンフェルト加群はある意味で特殊なシトゥーカになっている。このことはドリンフェルトによる の論文で示された。
応用.
関数体に対するラングランズ予想とは、（かなり単純化して言うと）"GL""n" の尖点的保型表現全体とある種のガロア表現全体の間に全単射があるであろうという予想である。ドリンフェルトはドリンフェルト加群を使って特殊な場合にラングランズ予想を証明し、その後にドリンフェルト加群をシトゥーカに一般化することで "GL""2" の場合のラングランズ予想を完全に証明した。この予想を証明するにあたって難しいのはある性質を持つガロア表現を構築することであるが、ドリンフェルトは必要なガロア表現を階数2のシトゥーカのモジュライ空間の "l" 進コホモロジーの中に見つけることで構築した。
ドリンフェルトは階数 "r" のシトゥーカのモジュライ空間を使って "GL""r" のラングランズ予想も同じように証明できるだろうと示唆した。これを実行するには膨大な量の技術的課題を克服せねばならない。何年もの努力のあとに、これはラフォルグによってなされた。