配列表記

配列表記（はいれつひょうき、Array Notation）は、が2002年に考案した巨大数の表記法の一つである。クヌースの矢印表記の拡張によるが、クヌースの矢印表記はおろか、コンウェイのチェーン表記やその拡張表記（ピーター・ハーフォードによる拡張チェーン表記・回転矢印表記）よりも効率的に数の大きさを爆発させることができるため、海外の巨大数論者の間ではチェーン表記レベルを超える巨大数の表記法の主流となっている。
配列表記では、波括弧の中に数字をコンマで区切り入れていく。すなわち、formula_1という形式である。
定義.
配列表記の規則は次の通りである。
ここまではチェーン表記と同じだが、ここからが異なり、これが効率良く爆発させることができる要因となっている。
性質.
3つ組の配列表記は、3つ組チェーンと一致し、したがってクヌースの矢印表記とも一致するという性質がある。すなわち式で書くとformula_8となる。
4つ組以上の配列表記によって巨大数を記述する場合は、先頭の要素は3以上とする必要がある。なぜなら、先頭が1であれば、その値は1となり、4つ組以上の配列表記で先頭の要素が2であれば、その値は2番目の要素が1でない限り必ず4になってしまうからである。後者の詳細は次の通りである：
＝{2,X,1,d,…,z} (Xはある数)
＝{2,2,Y,d-1,…,z} (内側の配列をYと置く)
＝4
つまり、3番目の要素が1まで落ちた直後に2番目の要素が2になってしまい、そうすると3番目の要素が減っても値が変わらないため3番目の要素が1にまで落ちる。更に4番目、5番目の要素と1まで落ちていき、最終的には4となる。
非拡張配列表記では、数の大きさを評価するための重要度は、最も重要なのが変数の数であり、その次に重要なのが最も右側の変数の値で、左側に行くほど重要度が下がっていく。
非拡張配列表記は、多変数アッカーマン関数と同じくらいの強さである。配列表記と多変数アッカーマン関数の間の近似関係、及びその両者の特徴の比較についてはアッカーマン関数#多変数アッカーマン関数を参照。
この配列表記にも拡張表記が考案されており、その最終形態には2種類あり、1つはBEAF(ただし2021年現在、定義が数学的に意味を持つように定式化されているのはテトレーション配列まで)、もう1つはクリス・バードが開発したバードの配列表記と呼ばれるものである。
この配列表記は急増加関数でformula_9と近似できる。
チェーン表記との比較.
4つ組の配列表記による巨大数は、コンウェイのチェーン表記レベルの巨大数となり、5つ組の配列表記による巨大数は、ピーター・ハーフォードによる拡張チェーン表記（あるいは回転矢印表記）レベルの巨大数となり、6つ組以上になるとそのレベルを超える。
4つ組配列表記と非拡張チェーン表記.
a→b→c→2については、配列表記で次の近似・大小関係が成り立つ。
次に{a,b,2,2}とa→b→c→3であるが、配列表記では最後の2が3になるのではなく、3番目の1が2になることによってチェーンの…→3相当となる。
そして、4つ組配列表記の末尾の数が、チェーンの長さに対応する。
5つ組配列表記と拡張チェーン系表記.
ここでは、ピーター・ハーフォードによる拡張チェーン表記を示す。回転矢印表記との比較については回転矢印表記#他表記との比較を参照。
巨大数の近似の例.
この表記法では、巨大数の近似の例は次のようになる。
また非拡張配列表記で定義され、名前が付けられた数としては、テトラトリ、スーパーテット、ジェネラル、ペンタトリ、スーパーペント、ヘキサトリ、クワドリーゴル、イテラルなどがある。