移動平均モデル

時系列分析における移動平均モデル（、MAモデル）は現在・過去のホワイトノイズ線形和に定数を加えて単変量の現在値を表現するモデルである。移動平均過程（）とも呼ばれる。
移動平均モデルは自己回帰移動平均モデル (ARMA) および自己回帰和分移動平均モデル (ARIMA) の特別なケースにあたる。また移動平均の一般化にあたる。
定義.
formula_1 次の移動平均モデル formula_2 は以下のように定義される。
ここで formula_4 は定数、formula_5 はパラメータ (formula_6)、formula_7 は時刻 formula_8 におけるホワイトノイズである。すなわち各時刻でホワイトノイズがサンプリングされ、時刻 formula_8 における出力は formula_8 から formula_11 までのホワイトノイズ重み付き和に定数を足しこんでモデル化される。
この式は後退オペレーター（英語版） "B" を用いることで以下のような同値である表現で書き表すことが出来る。
したがって、移動平均モデルは、現在および過去の（観測された）ホワイトノイズの誤差項またはランダムなショックに対して、現在の値を線形回帰するものである。各ポイントでのランダムショックは相互に独立しており、同じ分布（通常は、平均を0とし一定のスケールを持つ正規分布）から来ていると仮定する。
解釈.
FIRフィルタ.
出力 formula_13 から定数 formula_4 を引いた値を formula_15 とし、ホワイトノイズ列を入力系列 formula_16、係数を formula_17 にリネームすると次の式になる。
formula_18
これはFIRフィルタである。すなわち formula_2 は「ホワイトノイズ列を入力として formula_1 次のフィードフォワードからなる線形システム」と解釈される。
一般化移動平均.
係数 formula_5 の和が1であれば formula_2 はホワイトノイズの加重移動平均に定数項を足したものとみなせる。これが「移動平均」モデルという名称の由来である。ただし移動平均モデルには係数に制約がないため移動平均でなく、むしろ移動平均の一般化といえる。
性質.
影響範囲.
移動平均モデルはFIRであるため、時刻 formula_8 のホワイトノイズは有限の期間のみ (formula_8 ~ formula_25) に影響を与える。これはIIRである自己回帰モデルと対照的である。
入出力関係.
ランダムショックの役割はMAモデルとARモデルで異なる。
MAモデルではランダムショックは時系列の将来の値に直接伝播される。たとえば、 formula_26はformula_27の方程式の右辺に直接現れる。
ARモデルではformula_26はformula_27の方程式の右辺には現れないがformula_30の方程式の右辺に現れ、formula_30はformula_27の方程式の右辺に現れるため、formula_33はformula_27に間接的な効果のみを与える 。
パラメーターの計算.
MAモデルの係数の推定は、ラグ付きの誤差項が観測できないためARモデルの場合よりも複雑である。そのため線形最小二乗法の代わりに、繰り返し計算による非線形カーブフィッティングが必要となる。
MA(q)プロセスの自己相関関数(ACF)は、ラグq + 1以上で0となる。したがって、サンプルの自己相関関数を調べ、それを超えるすべてのラグでゼロと有意に異なるようになるラグを確認することで、推定に適した最大ラグを決定する。
ACFと偏自己相関関数（PACF）から、MAモデルがより適切なモデルの選択であると示唆される場合もあり、ARとMAの両方の項を同じモデルで使用するよう示唆されることもある。