似非有理数

似非有理数 (えせゆうりすう, , ) は、一見規則性を持った有理数のように見える無理数。アメリカの数学作家の知人、ケビン・ブラウンが最初の例を考案した。
背景.
ピックオーバーは著書「ワンダーズ・オブ・ナンバーズ」の中で次のように説明している。
「ネットニュースのニュースグループsci.mathの中で『無作為に選ばれた無理数の最初の100桁に規則性があることはありえない』という主張があり、似非有理数はこの反例として考案された」。
ケビン・ブラウンによる例.
次のような数列を考える。
formula_1 、初期値はformula_2
つまり、formula_3、formula_4、formula_5となる。
このformula_6が奇数の時、formula_7の平方根は、解の最初のほうは規則的に見えるが、その後は無理数のように見える不思議な数となり、ピックオーバーとケビン・ブラウンは、これが最初の問いに対する反例になると主張した。
例えばformula_8の最初の500桁は次の通りである。
この数は、最初は規則的であるが、規則的な部分が徐々に短くなっていき、やがて完全にランダムとなる。nが大きいほど規則的な部分が多くなってくる。繰り返される数字は必ず1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, である。
formula_7をn=0から並べると次のような数列となる。
この数の平方根の整数部分をn=0から並べると次のような数列となる。
この数列を見て分かるように、nが偶数の場合は規則性が無いランダムな数となる。
n進数の場合.
上の例は、十進法の場合であるが、n進法でも似たような規則性がある数が得られる。
formula_10進法の場合、数列は次のように定義できる。
この場合も、十進法の場合と同様に、最初に規則的な部分と不規則な部分が繰り返される。例えば8進法の場合、formula_14は次の数となる（ただし「49」は十進法の数）。
同じ数字がまとめて並ぶのではなく、一定のパターンが繰り返されることもある。例えばformula_15の場合、
のように、「20」や「0012」などの数字が繰り返し現れる。
formula_10進法で似非有理数となる場合、formula_17進法でも似非有理数となる。例えば前述したようにformula_15は似非有利数なので、formula_19も似非有理数となる。