オイラー＝ロトカの方程式

オイラー＝ロトカの方程式（オイラー＝ロトカのほうていしき、）は、人口学、生態学、疫学等の分野において、世代間隔分布と指数成長率とを関連づける法則であり、年齢構造をもつ人口増加の研究分野では最も重要な関係式の1つである。ロトカ＝オイラーの方程式またはロトカの特性方程式と呼ばれることもある。
人口の増減やその年齢構成を統計的に扱う人口学の分野は、18世紀のレオンハルト・オイラーの初期の研究にその端緒を見ることができ、20世紀初頭に により大きく発展させられた。オイラー＝ロトカ方程式は、1760年に1つの離散時間形の式を導いたオイラー、
および、一般的に連続時間形の式を導いたロトカの研究にちなんでいる。その離散時間形の方程式は、（年を時間の単位として）次式で表される。
ここで、formula_2はその集団の個体数の1年間の成長率（人口の対前年比）、formula_3はformula_4歳まで生存する個体の生存率、formula_5はformula_4歳の個体が1年間で出生する子孫数を表す年齢別出生率である。formula_7はその集団の最高年齢であり、総和はその生体の全寿命にわたって行われるものとする。
導出.
ロトカのモデル.
A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する。
ある集団で年齢formula_4歳までの生存率をformula_3、formula_4歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率をformula_5とし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻formula_12年の集団全体での年間子孫（女性）出生数をformula_13とする。このとき、時刻formula_12で年齢formula_4の母親の数はformula_16であり、それにformula_5を掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数formula_13となる（ロトカの積分方程式または再生方程式）。
ただし、formula_7はその集団の最高年齢である。
次に、集団全体の人口は指数関数的に増加（または減少）しているとして、formula_21の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、
つまり、
となる（連続時間形のロトカ＝オイラーの方程式）。
連続変数としての年齢formula_4を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。
単位時間ステップ（1年）の成長率formula_26をformula_2 置き変えると、先に示した離散時間の方程式
が得られる。