平坦射

平坦射（へいたんしゃ、）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキーム からスキーム への射
であって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、 のすべての点 に対して
が平坦写像になるもののことをいう。環の写像
formula_2
が平坦とは、準同型であってこれにより
が平坦 加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦という。
平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。
平坦射は色々な種類のやの定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。
例.
アフィンスキームの射
を考える。これは環の準同型
から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには
を計算すればよい。formula_6 を
と分解して、先のスキームに対応する加群をテンソルして、formula_8
加群の系列
を得る。 は零因子ではないのでこの核は自明である。したがってホモロジー群は消える。
奇跡的平坦性.
平坦射の例はからも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射
formula_10
は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つ
への射などがある。
ヒルベルトスキーム.
普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、
formula_11
を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、
射 formula_12 が存在して はこの射による普遍族の引き戻しになる。formula_13 は平坦なのでファイバー
formula_14
はすべて同じヒルベルト多項式
formula_15
を持つので、上記のヒルベルトスキームを
formula_16
で置き換えてもよい。
平坦射ではない例.
ブローアップ.
平坦射ではない射の例としてはブローアップ
がある。簡単な例として、formula_18
の1点でのブローアップを考える。
その1点を原点とすると、射は
で与えられる。点 formula_21 でのファイバーは
formula_6
のコピーである。つまり
ということであるが、これは
からしたがう。しかし原点 formula_25 に対しては同型
が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。
無限分解.
平坦射ではない簡単な例は
formula_27
である。このことを見るには
が無限複体であることを見ればよい。 の平坦分解
を取り、この分解に をテンソルして
であることが分かる。したがって平坦ではない。
平坦射の性質.
formula_10
をスキームの射とする。射
formula_32
に対して
formula_33、第2成分への射影を formula_34
と書くことにすると、射 が平坦であることと、すべての に対して引き戻し
formula_35
が準連接
formula_36
加群の圏から準連接
formula_37
加群の圏への完全関手になることは同値である。
formula_10
と
formula_39
をスキームの射とし、 は
 の点 で平坦とする。
このとき、 が
formula_40
で平坦であることと、 が
 で平坦であることは同値である。特に、 が忠実平坦なら、 が平坦または忠実平坦であることと
がそれぞれ平坦または忠実平坦であることは同値である。
基本的な性質.
formula_10
をスキームの平坦射とする。
formula_50
を平坦射とする。 と を
 スキーム、formula_51 と
formula_52
をこれらの
による基底変換とする。
位相的性質.
formula_10 が平坦とすると、次がすべて成り立つ。
 が平坦かつ局所的に有限表示であれば、 は普遍的開写像（絶対開ともいう）である。しかし、 が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮に
 と がともにネーターであったとしても、一般には は開写像にならない。またこれの逆も成り立たない。 を被約スキーム
 から への標準的な写像とするとき、 は普遍的同相写像となるが、 が被約ではなくネーターであれば は決して平坦にはならない。
formula_10
が忠実平坦であれば次が成り立つ。
 が平坦かつ局所的に有限表示とすると、次に挙げる各性質 P に対して
が P である点の集合は開集合である。
さらに が固有射だったとすると、次に挙げる各性質についても同じことが成り立つ。
平坦性と次元.
formula_64
と
formula_65
を局所ネータースキームとし、formula_10
を射とする。
降下する性質.
 を忠実平坦な射とする。
を 上の準連接層とし、 を
 の への引き戻しとする。このとき、 が
 上平坦であることと
 が
 上平坦であることは同値である。
 が忠実平坦かつ準コンパクトとする。 を
 上の準連接層、
 をこの
 への引き戻しとする。このとき、 が有限型、有限表示、階数 で局所自由となることと、
が対応する性質を持つことは同値である。
 を
 スキームの 射とする。
を忠実平坦かつ準コンパクトな射とし、,
 を
 による基底変換とする。このとき、次に挙げる各性質 P に対して、 が性質 P を持てば
 も性質 P を持つ。
さらに、次に挙げる各性質 P に対して、
が性質 P を持つことと
が性質 P を持つことは同値である。
忠実平坦射で降下しない性質もある。例えば、「局所同型」という性質は、 が局所同型写像であっても が局所埋入ですらないということはあり得るので、降下しない。
 が準コンパクト、 を 上の可逆層とする。このとき、 が
 豊富または 非常に豊富であることと、その引き戻し
がそれぞれ 豊富または 非常に豊富であることは同値である。しかし、「 が射影的であることと
 が射影的であることは同値」という主張は成り立たない。また、「
が固有かつ が射影的なら は準射影的」という主張も成り立たない。これは、
に降下しない 上の 豊富層が存在し得るからである。