幾何学的フロー

幾何学的フロー (Geometric flow) とは、数学とりわけ微分幾何学では、通常はいくつかの外在・内在的曲率に関連付けられた幾何学的解釈を持つ多様体上の汎関数に関連付けられた勾配フローである。 
モジュライ空間（固有フローの場合）またはパラメーター空間（外在フローの場合）のフローとして解釈できる。 
これらは、変分法の計算において本質的に重要であり、いくつかの有名な問題と理論が含まれる。特に興味深いのは、その特異点である。 
幾何学的フローは、幾何学的発展方程式とも呼ばれる。 
例.
外在性.
外在的幾何学的フローは、埋め込まれた部分多様体、またはより一般的にはめ込まれた部分多様体上のフローである。一般に、それらはリーマン計量とはめ込みの両方を変換する。 
内在性.
内在的幾何学的フローは、埋め込みやはめ込みにかかわらず、リーマン計量上のフローとなる。 
フローのクラス.
フローの重要なクラスは、曲率フロー 、 変分フロー（いくらか関数の極限化）、および放物型偏微分方程式の解として生じるフロー。特殊なフローは、以下のように、頻繁に現れる。
楕円演算子"L" が与えられると、放物型PDE formula_1はフローを生成し、フローの定常状態は楕円偏微分方程式 formula_2 の解となる。 
方程式formula_2は、ある汎関数"F"のオイラー・ラグランジュ方程式であり、フローは"F"の勾配フローの変分として解釈され、流れの定常状態は汎関数の臨界点に対応する。 
幾何学的フローの文脈では、汎関数は多くの場合、ある曲率の"L" 2ノルムとなる。 
曲率フローは、 "体積を保存"する場合と"保存し"ない場合がある（カラビフローは"保存され"るが、リッチフローは"保存され"ない）。したがって、たとえば体積を固定することによって、フローを正規化することができる。