P進周期環

数学の とは、進数体に関係するある一群の環の総称である。進ホッジ理論や 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われる。によって導入された。
性質.
 を素数、 を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 は完全体かつ標数が であるものとする。例えば 進数体 の有限次拡大などがこのような体の例である。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためである。
 から 進周期環と呼ばれる環 , 
, が構成される（#構成参照）。 は 進周期の体、
は "crystalline period ring"（） と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。
記号 整数環が定義できる体 に対してその整数環を で表す。また体 に対してその代数的閉包を 、絶対ガロア群を で表す。 を の完備化とする。 を に係数を持つの環 とし、その商体を とする。 は 上の有限次完全分岐拡大になる。 を に係数を持つヴィット・ベクトルの環 の商体とする。 を0以上の整数の集合とする。整数 に対して で が円分指標の 乗で作用する 上の1次元ベクトル空間を表す。 も同様。
構成.
 進周期環は次のように構成される。
環 を射影系
の逆極限
として定義する。つまり、 は集合としては
の元の無限列
であって
を満たすもの全体である。また、環の加法や乗法は成分ごとに定義されたものである。
を を係数とするヴィット・ベクトルのなす環とする。 から の完備化 の整数環 への写像 を
で定義する。ここで、
は、
の元
に対しその第 成分
の第 成分
を
に持ち上げたものである。 は全射の環準同型である。また、その核は単項イデアルである。
 は自然に 代数になるので
は自然に
代数になる。 を
線型に延長した写像
を
とし、 を
で定義する。その商体を とする。
記号は前節と同じとする。 を準同型 の核の生成元とし、 の部分環
を
で定義する。 の 進完備化を とし、 を
で定義する。 は に埋め込める。 を自然な単射 による0ではない元の像とする。 を
で定義する。
記号は前節と同じとする。 を の素元として、
を
 の における べき乗根の系、つまり
を満たすような の元の列とする。と置くと、これは の元を定める。 の元
を
のとし、 の元
を
で定義する。右辺の級数は
 であることにより
が成り立つので
で収束する。
 を
 上
で生成される環として定義する。