実験数学

実験数学（じっけんすうがく、）は、数学的対象を調査し、特質や規則を発見するために計算を使用する数学へのアプローチである。それは、「数学の一分野で、実験的（ガリレオ的、ベーコン的、アリストテレス的、あるいはカント的）な方法で、予想やよりくだけた信念を探求し、その過程で得られたデータを慎重に解析することによって、究極的には数学界に洞察を成文化し発表することに関心を持つもの。」であると定義されている。
ポール・ハルモスは次のように述べている。「数学は演繹的な科学ではない-それは決まり文句だ。定理を証明しようとするとき、ただ仮定を並べ推理するのではない。試行錯誤、実験、推測をするのだ。その点では、実験技師の仕事と似ている。」
歴史.
数学者は常に実験数学を実践してきた。バビロニア数学のような初期の数学の記録は、代数的恒等式を説明する数値例のリストで構成されているのが一般的である。しかし、17世紀に始まる近代数学では、結果を最終的に形式的かつ抽象的に発表する伝統が発達した。そのため、数学者が一般的な定理を導き出したと思われる数値例は発表されず、忘れ去られてしまった。
20世紀になって、電子計算機が発明され、それ以前の数学者たちとは比較にならないほどの速さと精度で、実現可能な計算の幅が大きく広がったため、実験数学は独立した研究分野として再浮上してきたのである。実験数学の重要な節目と成果は、1995年に発見された の二進数に対するベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式である。この公式は、形式推論ではなく、コンピュータ上での数値探索によって発見され、その後、厳密な証明がなされた。
目的および用途.
実験数学の目的は、「理解と洞察を生み出すこと、予想を生み出し確認または比較すること、そして一般的に、専門の研究者と初心者の両方にとって数学をより具体的に、活発に、楽しくすること」である。
実験数学の用途は以下のように定義されている。
道具と技術.
実験数学では、積分や無限級数の近似値を計算するために数値解析を用いる。これらの値を高精度（通常100桁以上の有効数字）に設定するために、任意精度演算がしばしば用いられる。そして、これらの値と数学定数との関係を探索するために、が使用される。高精度の値を用いることで、数学的な偶然の一致を真の関係と見誤る可能性を低くすることができる。予想される関係の形式がわかれば、形式的な証明は容易に見つかることが多い。
反例を求める場合、あるいは大規模な網羅的証明を試みる場合には、分散コンピューティング技術を利用して複数のコンピュータで計算を分担することもある。
一般的な数学ソフトウェアや、高効率が要求される問題の攻略のために書かれた特定分野のソフトウェアが頻繁に使用される。実験用数学ソフトウェアには通常、ハードウェアやソフトウェアのエラーによって結果が無効になる可能性を最小限に抑えるために設計された誤り検出訂正メカニズム、完全性チェック、冗長計算が含まれている。
応用と例.
実験数学の応用や例としては、以下のようなものが存在する。
もっともらしいが真でない例.
いくつかのもっともらしい（plausible）関係の中には時に非常に高い精度をもち、それでもなお真ではないものもある。その一例が次に示す式である。
この式の両辺は、実際には小数点以下42桁目以降で一致しない。
もう1つの例は、"x""n" − 1 のすべての因子の高さの最大値（係数の絶対値の最大値）が、n番目の円分多項式の高さと同じように見えるということである。これは、n < 10000の場合は正しいことがコンピュータによって示され、すべてのnについて正しいと予想された。しかしながら、より大規模なコンピュータ検索により、n = 14235では、n番目の円分多項式の高さが2であるが、因子の最大の高さは3であり、この予想は成立しないことが示された。
研究者.
以下の数学者およびコンピュータ科学者は、実験数学の分野で顕著な貢献をしている。