写像12相

組合せ論において、写像12相（しゃぞうじゅうにそう、）とは、有限集合の間の写像の数え上げ問題を、12種に、体系的に分類したものである。
順列、組合せ、多重集合、集合の分割、自然数の分割の数を求める古典的な数え上げ問題を含む。
12種類に分類するというアイデアは、数学者・哲学者であるジャン・カルロ・ロタによって与えられた。
概要.
有限集合 と 、それらの濃度 formula_1 と formula_2 を定める。
ここで考えたい一般的な問題は、写像 formula_3 の同値類の数え上げである。
写像 に、次の3つの条件のいずれかを適用する：
（条件2. かつ 3. の場合は「 は全単射である」となる。これは の場合のみ成立可能である。）
写像 に、4種類の同値関係が定義される：
結局、写像 に適用する条件は、上記の3条件と4つの同値関係の、通りがある。
写像の同値類を数え上げる12種の問題は、各々は同じ難易度ではなく、また、これらを統一的に解く方法は知られていない。12種の問題のうち、2つの問題は自明（同値類の数は0または1）であり、5つの問題は解が の乗法的な公式で与えられる。残る5つの問題は、組合せに関わりのある関数（スターリング数、分割数など）によって解が与えられる。
観点.
写像12相における問題を考えるにあたり、集合と写像による現代数学の記法を身近で具体的な例（またはいくつかの同様の視覚化）に置き換えて説明し理解することができる。
球と箱.
伝統的に、写像12相での問題の多くは、「有限個の球全てを有限個の箱にどのように入れるか」といったモデルで説明されてきた。集合 "N" を有限個の球からなる集合、集合 "X" を有限個の箱からなる集合とし、写像 は、それぞれの球 "a" を箱 "ƒ"("a") に入れる操作に置き換えて考えることができる。
"f" が単射であることは、「箱に入る球は1個だけ」、"f" が全射であることは「箱には必ず球を入れる」に対応する。
"N" の置換による違いを同一視するのは「球を区別しない」、"X" の置換による違いを同一視するのは「箱を区別しない」に対応する。
公式.
!写像の同値類
!条件なし
!単射
!全射
! 
! 
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