オイラーの四辺形定理

オイラーの四辺形定理（オイラーのしへんけいていり）は、凸四角形における辺と対角線の長さの関係を示す定理である。
この定理は系として中線定理とピタゴラスの定理を含む。
定理と系.
四角形の4辺の長さを formula_1、対角線の長さを formula_2、2つの対角線の中点間の距離を formula_3 と置くと以下の式が成り立つ。
四角形が平行四辺形のとき、対角線は中点で交わるため formula_3 は0になる。また、対辺の長さは等しいためまとめると以下の式になる。
これを変形すると中線定理が得られる。
四角形が長方形の場合対角線の長さも同じになるため以下のようになる。
両辺を2で割ればピタゴラスの定理が得られる。
言い換えると、長方形の辺の長さと対角線の長さの関係はピタゴラスの定理であらわすことができる。
拡張.
オイラーはもともと他の定理からこの関係を導いたが、それは簡単な考察ではない。
与えられた四角形 formula_8 に対して formula_9 が平行四辺形になるような点formula_10 を取ると以下の式が成り立つ。
formula_12 は平行四辺形を構成する点formula_10 と構成しない点formula_14 との距離である。formula_15 は元の四角形が平行四辺形とどれだけ乖離しているかを示す値であり、平行四辺形定理（平行四辺形の辺と対角線の長さの関係を示す定理）に対する補正項である。
formula_16 は formula_17 の中点である。また formula_18 は formula_19 の中点であり、formula_20 と formula_19 が平行四辺形formula_9の対角線であることから formula_18 は formula_20 の中点でもある。よって中点連結定理から formula_25 と formula_26 は平行で formula_27 を満たすことがわかる。最初の式に代入するとこの定理が得られる。
この定理は凸でない四角形や4点が同一平面上にない四辺形にも拡張できる。