有限変形理論

連続体力学において、有限変形理論(ゆうげんへんけいりろん;finite strain theory')は、物体（連続体）のひずみや回転が無限小ひずみ理論における前提では通用しないような deformationsである場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、エラストマー、塑性変形材料などの流体、生物学で見られるような軟組織ケースである。有限変形理論は、物体の変形の理論の一つで、微小変形理論と並立する。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が大変形解析であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる。
変形（Displacement）.
物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。
連続体の配置の変化は 変位場 によって記述することができる。変位場とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めたベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。
物質座標 (ラグランジュ表記).
変数でラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる；
変形前の配置formula_3と変形後の配置formula_4における粒子の位置を結ぶベクトルをdisplacement vectorと呼ぶことにする。
formula_3の代わりにformula_6を、formula_4の代わりにformula_8を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルのラグランジュ記述となる。即ち、
formula_9
ここで、formula_10は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。
物質座標で表すと（formula_11 を、formula_12の関数として表すと）、変位場は次のようになる；
formula_13
ここで、formula_14は剛体の並進を表す変位ベクトルである。
変位ベクトルの物質座標に対する偏微分から物質変形勾配テンソル（"material displacement gradient tensor"）formula_15、以下のように求まる;
formula_16
ここでformula_17は変形勾配テンソル（deformation gradient tensor）である。
空間座標（オイラー表記）.
オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子formula_18から変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル（displacement vector)と呼ぶ;
formula_19
ここで、formula_20は物質座標系（ボディフレーム）の基底を定める単位ベクトルの組である。
空間座標で表現すると（つまり、formula_21 を formula_22の関数として）変位場は次のようになる;
formula_23
変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、"空間変位勾配テンソル"formula_24が得られる。 
このようにして我々は、以下を得る。
formula_25
物質座標系と空間座標系の関係.
formula_26 は物質座標系の単位ベクトルformula_27と
空間座標系の単位ベクトルformula_28の間の方向余弦である。即ち、
formula_29
formula_30 と formula_31 の関係は以下で与えられる。
formula_32
以下を踏まえると、
formula_33
以下を得る。
formula_34
変形した座標系と未変形の座標系を組み合わせる.
変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果formula_35 となり、方向余弦はクロネッカーのデルタとなる、すなわち、
formula_36
したがって、物質座標（変形していない）では、変位は次のように表すことができる：
formula_36
また、空間座標（変形している）では、変位は次のように表すことができる：
formula_38
変形勾配テンソル(Deformation gradient tensor).
変形勾配テンソルは以下の式で表される。
formula_39 
これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル
（formula_40、formula_41）を含むことからもわかるように、この両方に関連している。
従って、"two-point tensor"である。
formula_42に対する連続性の仮定により、formula_43は、逆関数、即ちformula_44を持つ。このformula_45は " 空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor)" である。ここで、陰関数定理
よれば、ヤコビアン（即ち、
formula_46） は非退化(即ち、formula_47）とならねばならない。
"物質変形勾配テンソル"(Material deformation gradient tensor) formula_48は、２階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) 
formula_42の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。
物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトルformula_50で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。
即ち、マッピング関数formula_42に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換（線形変換）することによって、隣接する点での変形を行う。formula_52 and time formula_53と時間formula_53について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。
このようにして、我々は以下を得る。
formula_55