補群

 とは、数学（特に群論として知られる代数学の分野) において、部分群に対して定義される補集合のような概念である。
定義.
群 "G" に於ける部分群 "H" の補群とは、
"G" の部分群 "K" で以下の二条件を満たすものをいう
ここで "HK" は部分集合 { "hk" | "h" ∈ "H", "k" ∈ "K" } を、また "e" は単位元を表す。
なお、同じことであるが、
「任意の formula_3 が、formula_4 を使って formula_5 と
一意的
に表すことができる。」
と言い換えることができる。
この関係は対称性がある。すなわち、"K" が "H" の補群ならば、"H" は "K" の補群である
ここで、"H" および "K" については、必ずしも "G" の正規部分群である必要はない。
性質.
補足.
三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。
最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 "G = H K" より明らか。
二番目の条件は、もし formula_6 ならば、ある
formula_3 に対して、formula_8 が存在して、
formula_9 と二通りに表すことができる。
これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性 に矛盾する。
この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。
他の積との関係.
補群は、直積 および 半直積 の一般化である。
一般の補群に対応する積を と呼ぶ。
"H" と "K" が非自明な場合
存在性.
上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。
"p"-補群（）は、シロー "p"-部分群の補群である。
Frobenius の定理や Thompson の定理によって、
群がを持つ条件が示される。 
 は、有限群の中で可解群 を任意の素数 "p" に対して、"p"-補群を持つものとして特徴付けた。シロー系の構成にも "p"-補群は利用される。
に於けるの補群はと呼ばれる。
 とは、任意の部分群が補群を持つ群である。