熱的残存粒子

 
熱的残存粒子 (ねつてきざんぞんりゅうし, thermal relic) とは、現代宇宙論において、初期宇宙においては熱平衡にあったものの、宇宙の歴史のある時点において相互作用が実効的に無視できるようになり、それ以降自由粒子として振る舞うような粒子の総称である。「残存物」ともいう。相互作用が無視できるようになった時点でその粒子が相対論的であるか非相対論的であるかに応じて「熱い」残存粒子または「冷たい」残存粒子と呼ばれる。例えば宇宙ニュートリノ背景は熱い残存粒子であり、暗黒物質の候補であるWIMPは冷たい残存粒子モデルに基づくものである。
概要.
ある粒子 formula_1 が自身の反粒子 formula_2 との対消滅チャンネルを持つ場合を考える。この対消滅反応の反応率は反粒子の数密度 formula_3、対消滅断面積 formula_4、粒子速度 formula_5 の積
である。高温高密度状態にある初期宇宙においてはこの反応が頻繁に起き、粒子 formula_1 はこの反応を通じて熱平衡にある。やがて宇宙が膨張し温度と数密度が下がると、反応率 formula_8 が減少し宇宙の膨張率（ハッブルパラメータ）formula_9 を下回る。これにより対生成・対消滅反応が実効的に停止し（これを「脱結合 (decoupling)」と呼ぶ）、粒子 formula_1 の存在量が変化しなくなる。その後この粒子が別の過程により崩壊しない限り、このようにして初期に熱平衡にあった粒子は現在の宇宙にも一定量が存在することになる。これが熱的残存粒子である。
例えばニュートリノは弱い相互作用により初期宇宙においてはレプトン（特に電子・陽電子）と相互作用し熱平衡にあるが、およそ温度 1.5 MeV で脱結合し、その後は自由粒子として振る舞う。このように初期宇宙において熱的に生成されたニュートリノは現在の宇宙でも宇宙ニュートリノ背景として存在し続けていると考えられており、間接的な証拠はあるものの、その数密度は一世代あたり112個/cm3と小さく、またエネルギーが小さいため、2016年現在それを実験的に検出することはできていない。
あるいは、熱的残存粒子は暗黒物質を生成するシナリオのひとつとして有力視されている。特に相互作用断面積や質量として電弱相互作用から予想される値を仮定するとき、冷たい残存粒子シナリオはその粒子の現在の量として暗黒物質の存在量を再現するため、この種の粒子（WIMPとして知られる）は特に有力な暗黒物質の候補となっている。
熱的残存粒子の存在量.
本節では脱結合後の熱的残存粒子の存在量がどのように決定されるのかを述べる。なお通常の熱的残存粒子シナリオでは問題の粒子 formula_1 とその反粒子 formula_2 の性質は同じであると仮定する。本記事もこれを仮定するが、バリオン数生成の理論に動機づけられて粒子・反粒子間に非対称性を導入するモデルもあり、これはAsymmetric dark matterとして知られている。
ボルツマン方程式.
問題の粒子 formula_1 はその反粒子 formula_2 との対生成・対消滅チャンネルを持つものと仮定する。
ただしここではすべてのチャンネルで反応先の粒子 formula_16, formula_17 は輻射温度 formula_18 に等しい熱平衡にあるものとする。
この系は一般相対論的なボルツマン方程式によって記述されるが、それを積分することにより粒子数密度 formula_19 の時間変化を記述する次の方程式が導かれる。
左辺第2項は宇宙膨張による希釈を、右辺は対生成・対消滅による粒子数密度の変化を表す。なお右辺の formula_21 は対消滅断面積と速度の積を熱平均したものであり、formula_22 は熱平衡時の数密度
である。後者は粒子 formula_1 が相対論的であるときには formula_25, 非相対論的であるときには formula_26 と書ける。ここに formula_27 はリーマンゼータ関数（formula_28 はアペリーの定数）、formula_29 は粒子 χ がボース粒子であるときその内部自由度 formula_30、フェルミ粒子であるとき formula_31 である。
独立変数として時刻 formula_32 の代わりに温度 formula_18 を用いる。ただし温度は宇宙膨張とともに減少するため、粒子 χ の質量 formula_34 で無次元化した変数
を導入する。このとき、formula_36 のとき粒子 formula_1 は相対論的であり、formula_38 のとき非相対論的である。さらに、宇宙膨張による希釈の効果には興味がないため、（あらゆる粒子の寄与を考慮した）エントロピー密度 formula_39 で規格化した、単位エントロピーあたりの粒子数
を用いる。このとき、上の数密度に関する方程式は次のように書き直せる。
ここに formula_42, formula_43 は相対論的な粒子の有効自由度である。
熱い残存粒子.
時刻 formula_44 にこの粒子が脱結合したとすると、それ以降 formula_45 は近似的に保存する（これを「凍結 (freeze out)」と表現する）。そこで現在の宇宙での値と脱結合の瞬間での値を等置する。
相対論的な粒子の数密度の表式 formula_25 およびエントロピー密度の表式 formula_48 を代入すると、左辺の値は formula_49 と評価される。
現在の宇宙では粒子 formula_1 は非相対論的であると仮定すると、その現在のエネルギー密度は
と書ける。従って、粒子 formula_1 の密度パラメータ formula_53 は
により与えられる。なお係数 2 は反粒子 formula_2 の寄与を考慮することを表す。CMB温度 formula_56 およびハッブル定数 formula_57 の観測値を代入すると
という結論を得る。
冷たい残存粒子.
粒子 formula_1 が温度 formula_18 の熱平衡にあるとき、それが非相対論的である (formula_61) ならば、その数密度 formula_19 は
と書ける。従って熱平衡にあるときの formula_64 の値は
と表示できる。この場合の最終的な粒子 formula_1 の存在量は formula_64 に関する方程式を数値的に解くことによって求められる。
しばしば formula_21 が温度のべき乗の依存性を持つと仮定される: formula_69。この場合、定数 formula_70 を
により定義すると、formula_64 に関する方程式は
と書き直せる。いくつかの formula_70 に対する数値解を図に示す。ここからわかるように、初期には解 formula_75 は熱平衡の場合の値 formula_76 に一致するが、ある時刻 formula_77 でそこから逸脱する。この時刻はガモフの基準により方程式
を満足する値 formula_77 として概算できる。その後、対生成・対消滅反応が停止し、formula_64 は最終的な値 formula_81 に「凍結」する。その値は
である。
現在の宇宙における冷たい残存粒子の密度パラメータ formula_53 は次のように求まる。
観測的制限.
熱い残存粒子.
熱い残存粒子が現在の宇宙に非相対論的な粒子として存在するならば、それはホットダークマターとして知られるタイプの暗黒物質として振る舞うが、その存在は宇宙論的観測によって棄却されている。そのため、熱い残存粒子の密度パラメータは現在の暗黒物質の量 formula_85 に比べて十分小さい必要があり、このことから熱い残存粒子の質量 formula_34 に上限が与えられる。例えばニュートリノの場合、この考察から formula_87 という制限が得られる。ただしこの種の制限は formula_88 の値を通じて断面積の大きさに依存し、断面積が小さく formula_89 で凍結する場合には熱い残存粒子の質量の上限は formula_90 程度まで緩和される。
冷たい残存粒子.
冷たい残存粒子はコールドダークマターと呼ばれるタイプの暗黒物質となる。冷たい残存粒子の存在量は強く対消滅断面積に依存するため、質量に関する制限もまたその相互作用モデルに強く依存するが、宇宙論的に意味のある量の残存粒子が生成されるためには断面積は極めて小さい必要がある。一般論としては、理論のユニタリー性により相互作用断面積は粒子質量と
という関係にあるため、formula_92 は formula_93 を要求する。
具体的に相互作用断面積およびその質量として電弱相互作用から示唆される値を用いるとき、冷たい残存粒子シナリオが予測する暗黒物質量は現在の観測値を「奇跡的」に再現する。この事実は「WIMPの奇跡 (WIMP miracle)」として知られており、暗黒物質が weakly interacting massive particle (WIMP) と呼ばれる種類の素粒子であると考える根拠のひとつとなっている。