双球座標系

双球座標系（）は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。
定義.
formula_1（formula_2）を焦点とする双球座標 formula_3 は以下のように定義される：
逆変換は
で、formula_6、formula_7 である。座標 formula_8 は焦点 formula_9 で、formula_10 は "z" 軸上で不定となる。
各座標の範囲は
である。
等値面.
formula_8 の等値面は
で表される。formula_14 のときはリンゴ（極がへこむ）、formula_15 のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、formula_16 のときは球である。なお、formula_17 はそれぞれ "z" 軸の formula_18、formula_19 に対応する。
formula_20 の等値面は
で、formula_22 のときは交差しない2つの球である。なお、formula_23 は "xy" 平面、formula_24 は焦点 formula_9 に対応する。
formula_10 の等値面は半平面
である。
微分.
双球座標系のヤコビ行列は
である。したがって計量テンソルは
である。
これより、微小体積要素は
となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：
応用.
双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。