分岐群 (数学)

数論、特ににおける分岐群（ぶんきぐん、）とは、局所体のガロア群のであり、体拡大における分岐の現象について詳細な情報を提供してくれるものである。
付値の分岐理論.
付値の分岐理論（ramification theory of valuations）は、体 "K" の付値 "v" の "K" の拡大体 "L" への延長の集合を研究する数学の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である
"L"/"K" がガロア拡大のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。
分解群と惰性群.
("K", "v") を付値体、"L" を "K" の有限次ガロア拡大とする。"Sv" を "v" の "L" への延長の同値類からなる集合とし、"G" を "L" の "K" 上のガロア群とする。このとき、"G" は "Sv" に σ["w"] = ["w" ∘ σ] で作用する。つまり、"w" を同値類 ["w"] ∈ "Sv" の代表元としたとき、["w"] の行き先を自己同型 と "w" の合成が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは ["w"] の代表元 "w" の取り方によらない。この作用は推移的である。
"v" の "L" への延長 "w" を１つとる。"w" の分解群（decomposition group of "w"）とは、["w"] の固定部分群 "Gw"（同値類 ["w"] ∈ "Sv" を固定する "G" の元全体からなる部分群）のことを言う。
"Rw" を "w" についての付値環、"mw" をその極大イデアルとする。"w" の惰性群（inertia group of "w"）とは、"Gw" の元 "σ" で "Rw" の全ての元 "x" に対して σ"x" ≡ "x" (mod "mw")が成り立つもの全体からなる部分群 "Iw" のことである。言い換えると、"Iw" は分解群の要素で "w" に関する剰余体に自明に作用するもの全体である。これは "Gw" の正規部分群である。
 "e"("w"/"v") は "w" によらないので、"e"("v") と表す。同様に、剰余次数（または相対次数、relative degree）"f"("w"/"v") も "w" によらないので、"f"("v") と表す。
下付き分岐群.
局所体の有限次ガロア拡大 formula_1 のガロア群 formula_2 の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。formula_3 の整数環を formula_4 と置き、formula_5 の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ formula_6 とする。ヘンゼルの補題により、ある formula_7 を使って formula_8 と書くことができる（これは原始元定理より強い主張である）。整数 formula_9 に対して、formula_10 を次の同値な条件を満たす formula_11 全体の集合として定義する。
この群 formula_10 のことを formula_18 次分岐群（formula_18-th ramification group）という。これらは減少
を定める。(i) より formula_10 は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな formula_18 に対して自明になることが分かる。formula_23 は、ガロア拡大での素イデアルの分解との関係に鑑み、慣例的に formula_2 のと呼ばれている。formula_25は formula_2 の（または暴分岐群、wild inertia subgroup）、商 formula_27 は（tame quotient）と呼ばれている。
ガロア群 formula_2 とその部分群 formula_10 はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。
formula_35 に対して formula_36 が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。
formula_2 上の関数 formula_38 を、formula_11 に対して formula_40 として定義する。先ほどの (ii) から formula_38 は formula_42 の取り方によらない。また、フィルトレーション formula_10 の研究は本質的に formula_38 の研究と同値である。formula_45 に対して、formula_38 は次を満たす。
formula_50 を formula_5 の素元とすると、formula_52 は単射 formula_53 を誘導する。ここで、formula_54 である。この写像は素元の取り方によらない。これを使うと次がわかる 。
特に、formula_25 は "p" 群で、formula_23 は可解群である。formula_61 は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって（局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた） formula_2 は可解群である。
分岐群を使って、体拡大 formula_1 やその部分拡大の formula_64 を計算することもできる。次が成り立つ
formula_66 を formula_2 の正規部分群とすると、formula_68 に対して formula_69 が成り立つ。
これと先ほどの式をあわせると、formula_66 に対応する部分拡大 formula_71 に対して
が成り立つ。
formula_73 とすると、formula_74 が成り立つ。の言葉を使うならば、これはリー代数 formula_75 がアーベルであるということになる。
例：円分拡大.
formula_76 を1の原始 formula_77乗根とする。円分拡大 formula_78 の分岐群は次のように具体的に計算できる。
ここで "e" は formula_80 となるものである。
例：4次拡大.
K を 上 formula_81 で生成される拡大体とする。x1 の共役は formula_82 と "x"3 = −"x"1 と "x"4 = −"x"2 である。
簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを と置く。formula_83 は 2 を生成し、(2)=4 である。
"x"1 − "x"3 = 2"x"1 で、これは 5 に入る。
formula_84 は 3 に入る。
計算方法は色々あるが、"K" のガロア群は位数 4 の巡回群 formula_85 であることが分かる。そして、
かつ formula_87 である。
formula_88 なので、共役差積は formula_89
となる。
"x"1 は "x"4 − 4"x"2 + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 211 である。
上付き分岐群.
formula_90 である実数 formula_91 に対して、formula_92 を formula_93 である最小の整数 "i" の formula_10 として定義する。formula_95 となるように定義する、と言ってもいい。
関数 formula_96 を
で定義する。ここで、formula_98 に対しては formula_99 は formula_100 とし、formula_101 に対しては formula_102 とする。定義により formula_103 に対して formula_104 が成り立つ。formula_96 が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 formula_106 であって formula_107 上定義されたものが存在する。formula_108 と定義する。formula_109 を第 "v" 上付き分岐群（"v"-th ramification group in upper numbering）という。言い換えれば formula_110 である。formula_111 が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており、formula_66 が formula_2 の正規部分群なら、全ての formula_114 に対し
が成り立つ。
（一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。）
エルブランの定理.
エルブランの定理は、下付き分岐群について formula_116 が成り立ち（formula_66 に対応する部分拡大を formula_118 とし、formula_119 とおいている）、上付き分岐群について formula_120 が成り立つという主張である。これから、局所体の絶対ガロア群をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。
アーベル拡大の上付き分岐群について、という定理が知られている。これは、formula_2 がアーベルならフィルトレーション formula_109 の跳躍は整数、つまり formula_123 が整数でなかったら formula_124 が成り立つという定理である。
上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群（norm residue group）のフィルトレーションと、アルティン同型写像のもとで両立する。すなわち、同型写像
による formula_126 の像は、ちょうど
になる。