体積積分

体積積分(たいせきせきぶん、英: volume integral)とは、数学、特に多変数解析における用語で、3次元領域上の積分を指す。すなわち、多重積分の特殊な例である。積分の記号として∰が用いられる。
体積積分は特に物理学において多くの応用がなされており、例えば流束密度を求めることに利用される。
座標系ごとの表示.
体積積分は直交座標系における関数formula_1を領域formula_2で三重積分することと見なせるから、一般には以下のように表せる。
また円筒座標系では、以下のようになる。
球面座標系(ISOの表記法に従い、formula_5を方位角、 formula_6を極角とする。)では以下のようになる。
例.
3変数関数formula_8を上で積分すると以下のようになる。
単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の密度分布を表すスカラー密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の質量を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。
このような密度関数を持つ単位立方体の質量は以下で得られる。