保存拡大

保存拡大（ほぞんかくだい、）は数理論理学において, 形式言語による理論同士の関係の一つであり、定理の証明を便利にするかもしれないが、決して元の理論が原理的に証明できる定理の範疇を超えないような、理論の拡張を指す。同様に、非保存拡大（ひほぞんかくだい、）あるいは「真の拡大」（）により拡張された理論は、元の理論より多くの定理を証明できる能力を持つ。
より形式的に言い直すと、 もし formula_1によるいかなる定理も formula_2による定理であり, formula_2によるいかなる定理の formula_1における表現も既に formula_1の定理であるのならば、理論 formula_2 は証明論的に理論 formula_1の保存拡大になっていると言える。
より一般的には, formula_8 をformula_1 and formula_2の共通言語における論理式の集合とした時、 formula_2で証明できる formula_8のいかなる論理式も formula_1で証明できるならば、formula_2 は formula_1 に対して formula_8保存 （）であると表現できる。
無矛盾な理論の保存拡大は無矛盾性を維持する。保存拡大が無矛盾性を維持しないと反実仮想すると、により formula_2 の言語で書き得るあらゆる論理式は真になる、つまり formula_2 の定理になり、それにより formula_1の言語で書き得るあらゆる論理式も formula_1の定理になるので formula_1が無矛盾でなくなってしまう（背理法）。このように保存拡大は矛盾をもちこむ危険性が無い。この手続きは大きな理論を記述し、構成する方法論とも捉えることができる。つまり、無矛盾であると知られて（もしくは仮定されて）いる理論 formula_22 から出発して、その保存拡大 formula_1, formula_2 …を構成していくことで、無矛盾な大きな理論を構成することができる。
近年、保存拡大はオントロジーのモジュールを定義する際に使われるようになってきている。形式論理としてのオントロジにおいて、その理論がある部分理論の保存拡大になっているとき、部分理論はモジュールとみなすことができる。