鎖状環

数学の鎖状環（さじょうかん、）とは、可換環 であって、その素イデアルの任意の組 を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖
が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう。鎖の長さ を幾何学的にいうと、素イデアルに対応するは素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。
環が強鎖状環（きょうさじょうかん、）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。
"catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の "catena" から来ている。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
次元公式.
 をネーター整域、 を 上有限生成な整域とする。 を の素イデアル、 をこれと の共通部分とするとき、
が成り立つ。 が強鎖状環であれば等式が成り立ち、これを強鎖状環の次元公式という。
ここで、 は の剰余体で、 は（商体の）超越次数である。
なお、 が強鎖状ではなくとも、formula_2 であれば、等式はやはり成り立つ。
例.
代数幾何学に現れるほとんどすべてのネーター環は強鎖状である。例えば次の環は全て強鎖状である。
鎖状だが強鎖状ではない環.
強鎖状ではないネーター環の例を作るのは簡単ではない。最初の例は永田雅宜が見つけた、鎖状だが強鎖状ではない2次元ネーター局所整域である。
永田の例は次のようなものである。 を体、 を 上の形式的ベキ級数環とし、その不定元を とする。形式的ベキ級数 を と が代数的独立になるものとする。
, と置く。
 を と全ての で生成される（非ネーター）環とする。
 をイデアル 、 を と全ての で生成されるイデアルとする。どちらも の極大イデアルで、剰余体は と同型である。局所環 は1次元の正則局所環で、局所環 は2次元のネーター正則局所環である（このことの証明には と が代数的独立であることを使う）。
 を か に入らない要素全体についての の局所化とする。 は、2つの極大イデアル （高さ1）と （高さ2）を持つ2次元のネーター半局所環になる。
 を のジャコブソン根基とし、 と置く。環 は、 を極大イデアルとする2次元の局所整域になっていて、2次元の局所整域は全て鎖状なので、鎖状である。環 は、 がネーターかつ有限 加群なので、ネーターである。しかし は強鎖状ではない。もし強鎖状であれば、強鎖状環についての次元公式から のイデアル は と同じ高さを持つはずであるが、後者のイデアルの高さは と等しいからである。
永田の例はにもなっているので、優秀環ではない準優秀環の例にもなっている。