冪剰余記号

代数的整数論では、 "n"乗剰余記号（整数"n" > 2の場合）は、（2次の場合の）ルジャンドル記号を"n"乗に一般化したものである。これらの記号は、 3次、 4次、および関連するより高い次数での相互法則の文脈と証明で使用される。 
背景と表記.
"k"を整数環を持つ代数体とし、formula_1をその整数環とする。formula_1には1の原始n乗根formula_3が含まれているとする。
formula_4をformula_5である素イデアルであるとし、 "n"とformula_4は互いに素（すなわちformula_7 ）。
formula_4のノルムは、剰余環の位数として定義される（ formula_4は素イデアルであるため、剰余環は有限体）。：
formula_1でのフェルマーの小定理の類似物はformula_12ならば
が成り立つという主張であり、そのまま成立する。
そして、 formula_14のとき、上記を利用した
はwell-definedであり、formula_16がformula_17で1の冪根formula_18と合同であることを意味する。
定義.
上の右辺に出現した1の冪根は、formula_1"におけるformula_20"乗剰余記号と呼ばれ、以下の記号で示される。
性質.
"formula_20"乗剰余記号は、古典的な（2次の）ルジャンドル記号と非常に類似した特性を持っている。（以下、 formula_23を1の原始"n"乗根として固定する）：
すべての場合（記号の値がゼロおよび非ゼロのいずれの場合でも）において
ヒルベルト記号との関係.
formula_20次の冪乗剰余記号は、ヒルベルト記号とも関連している。 formula_29を素イデアルformula_4に対して
formula_4 はformula_20と互いに素、ここでformula_34は局所体formula_35の素元とする。 
一般化.
formula_36 次のヤコビ記号はヤコビ記号がルジャンドル記号を拡張するのと同じ方法で、素イデアルまたはゼロ以外の元を「分母」として使用するように、冪乗剰余記号を拡張できる。
任意のイデアルformula_37は素イデアルの積に表され、その方法は一意的である。
formula_36 次のヤコビ記号はこれを利用して乗法的に定義される：
formula_41に対しては、
ここで、formula_43はformula_44によって生成された主イデアルである。
2次のヤコビ記号と同様に、この記号は上部と下部それぞれのパラメーターについて乗法的である。
記号の値は常に1の原始"n"乗根。その乗法性のため、一方のパラメーターがformula_20乗剰余である場合は常に1に等しくなる。 逆は真ではない。
n乗剰余の相互法則.
平方剰余の法則の類似物であるformula_20"乗剰余の相互法則"は、ヒルベルト記号を利用して以下として定式化できる。
ただし、formula_51とformula_44は互いに素である。