置換公理

置換公理（）または置換の公理型は、公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つである。この公理は、任意の任意の集合間のすべての写像は、また集合であることを主張していて、ZF公理系での無限集合の構成に必要である。この公理は「あるクラスが集合かどうかは、階数ではなく濃度に依存する」という要請から動機付けされる。つまり、「集合になれるだけ小さい濃度を持つ」集合AからクラスBに全射があるとき、クラスBは集合であることを主張している。しかしながら、ZF公理系ではクラスに関して厳密な言及がないため、置換公理の主張の対象は論理式によって定義可能な写像に対してのみである。
定義.
"P"はクラスAに関する二項関係であり、すべての"x"に対してformula_1なる"y"がただ一つ存在しているとする。これに対してformula_2を満たす構成可能な関数formula_3を考える。ここで、クラス（かもしれない）Bを、formula_4として定義する。またformula_5であり、BはA上のformula_6による値域と呼び、formula_7と書く。
置換公理の主張は、ここでformula_6が定義可能でAが集合ならば、Bもまた集合であることである。
より厳密には、すべての式を一階述語論理によって量化することはできないので、として式formula_9、及びその変数formula_10を用いて、
とする。formula_12はただ一つ存在することを表す。
応用.
置換公理は、通常の数学におけるほとんどの定理の証明に必ずしも必要ではない。実際、 (Z) ではすでにと多くの有限型の型理論を扱うことができ、数学の大部分を定式化するには十分である。置換公理はこんにちの集合論の標準的な公理であるものの、型理論のシステムやトポス理論における基礎的システムでは省略されることも多い。
多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理（たとえば集合の存在証明）や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。
他の公理との関係.
集まりの公理.
集まりの公理型（axiom schema of collection）は置換公理と密接に関連し、かつよく混同される。
他のZF公理系のもとでは、置換公理と等価である。集まりの公理は冪集合公理やそのZFの構成可能な部分が不要である分、置換公理よりも強いが、排中律がない IZF の枠組みにおいては弱い。
置換公理は関数の像が集合であると読めるが、集まりの公理は関係の像に関するもので、単に関係の像の上位クラスに集合であるものがあることを主張するのみである。 
言い換えれば、集合 formula_21 は最小性を要せず、 formula_9 における唯一性も必要ない。
つまり、 formula_9 で定義される関係が関数である必要はない（formula_24 の中には、 formula_21 に属する複数の formula_26 と対応するものがありうる）この場合、存在を主張する像集合 formula_21 には、もとの集合の元 formula_28 それぞれに対して少なくとも1つ（必ず1つとは限らない）対応する formula_26 が含まれる。
formula_9 の自由変数が formula_31 上にあるとする。ただし、 formula_18 も formula_21 も formula_9 の自由変数ではない。すると集まりの公理は以下のようになる。
集まりの公理は上記の述語に関する制限なしで表現されることもあり（formula_21 以外に formula_9 に自由変数がない）、formula_9 は以下のようになる：
この場合、formula_9 で他の集合と対応付けられない formula_18 の元 formula_28 が存在しうる。しかし、集まりの公理は前述の通り 「formula_18 の元 formula_28 が少なくとも1つの集合 formula_26 と対応付けられれば、像集合 formula_21 は少なくとも1つそのような formula_26 を含む」ことを要請する。結果として、集まりの公理は境界性の公理型（axiom schema of boundedness）とも呼ばれる。
分出公理.
ZFCのほかの公理型である分出公理は置換公理と空集合の公理から導かれる。分出公理が集合論の言語における各論理式 formula_48 に対して以下を含むことを思い出そう（formula_21 は自由変数でない）。
証明は以下のとおりである。まず formula_21 に関して言及しない論理式 formula_52 と集合 formula_18 から始める。もし formula_54 を満たす formula_18 の元 formula_56 がなければ、分出公理に必要な集合 formula_21 は空集合である。そうでない場合、 formula_54 が成り立つ formula_18 の元 formula_56 を選ぶ。次にクラス関数 formula_61 を以下のように定義する：任意の元 formula_62 に対して formula_63 が成り立つ場合は formula_64 、成り立たない場合は formula_65。すると formula_61 による formula_18 の像、すなわち集合 formula_68 が存在し（置換公理による）、まさしく分出公理に必要な集合 formula_21 となる。
この結果から、ZFCが一つの無限の公理型で公理化可能であることがわかる。少なくとも１つはそのような無限の公理型が必要であるので（ZFCは有限公理か可能でない）、必要であれば置換公理はZFCにおける唯一の無限の公理型とできることがわかる。分出公理は独立でないため、ZF公理系の現代的な定義からはよく省略される。
しかし、歴史的経緯によるZFCの一要素としての扱いや、他の集合論との比較において、 分出公理は重要である。置換公理を含まない集合論の定式化では、そのモデルに十分に多くの集合の集まりが含まれることを保証するため、よく分出公理が用いられる。集合論のモデルの研究において、フォン・ノイマン階層におけるモデル formula_70 のように、置換公理を含まないZFCのモデルを考えると有用であることがある。
上記の証明では、formula_18 が空集合でないなら元を含むという仮定において、排中律を用いている（直観論理において、集合が元を含まなければその集合は「空集合」であり、「空集合でない」というのは、この形式的な否定である。これは「元を含まない」という命題よりも弱い）。
分出公理は直観集合論に含められる。
歴史.
置換公理はエルンスト・ツェルメロの1908年の集合論公理（Z）には含まれていなかった。非公式な類例はカントールの未発表の仕事や、（1917）の仕事に見られる。
1922年のアドルフ・フレンケルの置換公理の発表は、現代的な集合論であるツェルメロ-"フレンケル"集合論 (ZFC) をなすものであった。置換公理は同年、トアルフ・スコーレムによって独立に発見・発表された（そして1923年に出版された）。ツェルメロはフレンケルの公理を自身の公理の改訂版に組み込み、1930年に発表した。この改訂版では新しい公理としてフォン・ノイマンの正則性公理が取り入れられた。 今日使われているのはスコーレムによる一階述語版の公理だが、各公理はツェルメロかフレンケルによるものとされるため、スコーレムの仕事とみなされることは少ない。「ツェルメロ・フレンケル集合論」という用語は、フォン・ノイマンが1928年に書面で初めて用いたものである。
1921年、ツェルメロとフレンケルは密に連絡を取り合っており、置換公理はその主要なトピックであった。 フレンケルはツェルメロと1921年3月に連絡を取り始めた。しかし1921年6月までの彼の手紙はなくなっている。ツェルメロは1921年5月9日のフレンケルへの返信の中で、まず自身の公理系のギャップを認めた。1921年7月10日には、フレンケルは任意の置換を許容する公理を記した論文を完成させ、投稿した（1922年に出版）。公理の内容は以下の通り：「"M" が集合であり、"M" の各元が[集合かアトム]で置換されるならば、"M" はまた集合である（括弧内はによる）」。フレンケルの1922年の出版では、ツェルメロの助言に謝意を示している。この出版に先立って、フレンケルは自身の新しい公理を1921年9月22日、イェーナで開かれたドイツ数学会の会合で発表した。ツェルメロもこの会合に同席し、フレンケルの公演後の議論で置換公理を大筋認めたが、その程度については表明を留保した。
トアルフ・スコーレムは、1922年7月6日にヘルシンキで開催された the 5th Congress of Scandinavian Mathematicians において、ツェルメロ集合論の（フレンケルが見つけたものと同じ）ギャップの発見を公表した。この会議の抄録は1923年に発行されている。スコーレムは一階述語で定義可能な置換公理に関する解決策を発表した：「"U" をドメイン "B" 内の特定の部分 ("a", "b") で明確に定義できる命題とする。さらに、すべての "a" について、"U" が真であるような "b" が高々1つ存在するとする。すると、"a" の値域は集合 "Ma" の元となるため、"b" の値域は集合 "Mb" のすべての元にわたる。」同年、フレンケルはスコーレムの論文のレビューを執筆し、そこではフレンケルはスコーレムの考察は自身の理論に対応していると簡潔に述べている。
ツェルメロ自身はスコーレムによる置換公理の定式化を決して認めなかった。 彼は一時期スコーレムの方法を「貧弱な集合論」と表現していた。巨大基数を許容するシステムを想定していたのである。 彼はまた、スコーレムの一階述語公理化から導かれる、の哲学的含意にも強く異議を唱えていた。 エビングハウスによるツェルメロの伝記によれば、ツェルメロのスコーレムに対する非難は、集合論や論理学の発展におけるツェルメロの大きな影響力を特徴づけるものであったという。