ムーファン・ループ

数学において、とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、 によって導入された。 ムーファン・ループは、関連する代数である がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。
定義.
ムーファン・ループ はループ formula_1 で、任意の formula_2, formula_3, formula_4 に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである (formula_1 の二項演算はで記述する)：
以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。
性質.
結合性.
ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない 。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。
ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：
ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 formula_13 に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。 。
ムーファン準群.
このセクションでは、擬群ではなく準群の場合にどうなるか考察する。
準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される。
以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。
formula_1 を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。
任意のformula_15を固定する。準群の定義によって、formula_16を満たすformula_17がただ一つ存在する。
この時、任意のformula_18に対して、formula_19が成り立つ。よって、準群の定義 (消去律) によってformula_20が成り立つ。従って、formula_21は左単位元である。
次に、再び準群の定義により、formula_22を満たすformula_23がただ一つ存在する。この時、
formula_24が成り立つ。再び準群の簡約律より、formula_25が成り立つ。従って、formula_26は右単位元である。
さらに、formula_27 であるから、formula_21 は(両側)単位元である。
(M2) formula_29だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。
この場合はformula_15に対して、formula_31を満たすformula_21を取ると、formula_33、つまり formula_21は右単位元であることが言える。
先ほどと逆にformula_35 を満たすformula_26 を取って、同じことをすれば、formula_37 が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。