YBC 7289

YBC7289は60進数によって2の平方根の高精度の近似値が記録されている古代バビロニアの粘土板であり、単位正方形の対角線長を示している。
この数値の精度は60進四桁であり、10進六桁に相当する。そこから、「古代世界で得られた既知の値のうち、最高の計算精度に到達している」と評されてもいる[1] 。この粘土板は紀元前千八百年から紀元前千六百ごろに、メソポタミア南部の書記(あるいは書記見習い)によって書かれたと推定されている。
起源.
YBC 7289 の作成年代は不明だが、その形状と文体から、紀元前千八百年から紀元前千六百年の間にメソポタミア南部で作成されたと考えらている。[1][2]
内容.
YBC7289では、単位正方形の対角線の長さは2の平方根の60進四桁の数字 "1:24:51:10" で表されており、これは1 + 24/60 + 51/3,600 + 10/216,000 = 305,470/216,000(既約分数ではない。分母は 60 の冪乗である) を表す。この粘土板では、「30×30の正方形の対角線長は、305,470/216,000　に充分に一致する」ことが例として示されている。 この粘土板には、正方形と二本の対角線が描かれている。その一辺には60進数で 30 (10進数でも同じ)と書かれている。対角線には二つの60進数が書かれていて、ひとつは2 の平方根の近似値 1:24:51:10（10進数では前述のとおり 305,470/216,000 ≒ 1.41412176 に充分に近い）、もう一つは30×30の正方形の対角線長の近似値 42:25:35 である。[2] 当時のバビロニアでは小数点が使われていなかったため、どの数字が元の値のどの桁に対応するかは推測に依るしかない。"30"は30かもしれないし、1/2(すなわち0.5)であるかもしれない。また、(10進表記の)0.70711は2の平方根の1/2であるのと同時に、2の平方根の逆数でもあるので、YBC7289に記された値がどのように用いられたかも不明である。デイビッド・ファウラー(David Fowler)とエレノア・ロブソン() は「ここから、幾何学的に意味のある逆数の対が求められる」と述べている。彼らは「バビロニア数学における逆数の対の重要性がこの解釈を魅力的にしている一方で、懐疑的な理由もある」と指摘している。[2] また、粘土板の裏側は部分的に失われているが、ロブソンは辺長が3と4で対角線が5である長方形の対角線長に関して同様の問題が示されていると考えている。[3] YBC7289 は(しばしば写真で見られるように)正方形が斜めに配置された状態で示されることが多いが、アッカド語は数値を含めて横書きにされているようなので、辺を垂直・水平に配置しても不自然ではない。[4] YBC7289が円形であることと、上部に大きな文字が書かれていることから、書記が手で持ったまま作業を行なったことが示唆されている。[1][2] この書記は、おそらく別の粘土板から 2 の平方根の60進数値を転記したと思われる。この値を計算するための(現代では「フェルマー系列」と呼ばれる)漸化式による手順は、別のバビロニアの粘土板 BM96957 と VAT6598 にも記載されている。[2] この粘土板の数学的重要性は、1945 年にオットー・ノイゲバウアーとエイブラハム・サックスによって　YBC7289 は(しばしば写真で見られるように)正方形が斜めに配置された状態で示されることが多いが、アッカド語は数値を含めて横書きにされているようなので、辺を垂直・水平に配置しても不自然ではない。[4] YBC7289 が円形であることと、上部に大きな文字が書かれていることから、書記が手で持ったまま作業を行なったことが示唆されている。[1][2] 
この書記は、おそらく別の粘土板から 2 の平方根の60進数値を転記したと思われる。この値を計算するための(現代では「フェルマー系列」と呼ばれる)漸化式による手順は、別のバビロニアの粘土板 BM96957 と VAT6598 にも記載されている。[2]
　この粘土板の数学的重要性は、1945 年にオットー・ノイゲバウアーとエイブラハム・サックス()によって認識され、[2][5] 「古代世界で得られた既知の値のうち、最高の計算精度に到達」していると評価された。これは(10進数で小数点以下約 7 桁の精度に相当する。
2の平方根に対する同じ 60進法近似、1:24:51:10 は、後世のギリシャの数学者プトレマイオスの著書『アルマゲスト』にも記載された。[7][8] プトレマイオスはこの近似値をどこから得たのかを説明していないが、すでにハンムラビ王の治世において「長方形の長辺に接して、正方形を二つ配置する」ことで「長辺と短辺の長さの差が1である長方形を(間接的に)得る」という漸進的な方法が知られていたことが粘土板プリンプトン322 から推測されるため、当時のバビロニアの書記たちにとっては「学校で教わったこと」であったと考えられる。したがって、いわゆる「東方数学」における知見を引継いだものと、近年では解釈される。