カプラン＝マイヤー推定量

カプラン=マイヤー推定量（カプラン マイヤー すいていりょう、）は、積極限推定量（せききょくげんすいていりょう、）とも呼ばれ、生存データから生存関数を推定するために用いられるノンパラメトリック統計量である。医学研究では、治療後に一定期間生存している患者の割合を測定するためによく使われる。他の分野では、カプラン=マイヤー推定量を用いて、失業後に人々が失業している期間の長さや、機械部品の故障までの時間や、に食べられてしまうまでの肉果の残存期間を測定することができる。この推定量は、とが米国統計学会誌（""）に別々に原稿を提出したことにちなんで命名された。ジャーナル編集者のジョン・テューキーは、彼らの研究を1つの論文にまとめるよう説得した。この論文は1958年に発表されて以来、約61,000回も引用されている。
その生存関数 formula_1 （寿命が formula_2 より長くなる確率）の推定量は次の式で与えられる。
ここに、 formula_4 は少なくとも1つのイベントが発生した時刻、formula_5 は時刻 formula_4 で発生したイベントの数（たとえば、死亡）、そして formula_7 は時刻 formula_4 まで生存していることが分かっている（まだイベントが発生していないか、打ち切られていない）個体の数である。
基本的な考え方.
カプラン=マイヤー推定量のプロットは、一連の減少する水平ステップの系列であり、十分に大きな標本サイズの時に、その母集団の真の生存関数に近づく。連続する別個のサンプリングされた観測値（カチッと音がする）間の生存関数の値は一定であると仮定される。
カプラン=マイヤー曲線の重要な利点は、この手法がいくつかのタイプの打ち切りデータ、特に患者が研究から離脱した場合、またはフォローアップに失敗した場合、またはイベントなしで生存している場合に発生する「右側打ち切り」（"right-censoring"）を考慮に入れることができることである。プロット上では、小さな縦の目盛りが、生存時間が右側打ち切りされた個々の患者を示している。切り捨てや打ち切りが行われない場合、カプラン=マイヤー曲線は、の補集合である。
では、一般的な応用例として、たとえば遺伝子Aプロファイルを持つ患者と遺伝子Bプロファイルを持つ患者のように、患者をカテゴリーに分類することがある。このグラフでは、遺伝子Bを持つ患者は、遺伝子Aを持つ患者よりも早く死亡する。2年後の生存率は、遺伝子Aの患者では約80%だが、遺伝子Bの患者では半分未満である。
カプラン=マイヤー推定量を作成するには、各患者（または各被験者）について、少なくとも2個のデータが必要である。それらは、最後の観察時の状態（イベント発生または右側打ち切り）と、イベント発生までの時間（または打ち切りまでの時間）の対からなる。2つ以上のグループ間の生存関数を比較する場合、3番目のデータが必要で、それは各被験者のグループ割り当てである。
問題の定義.
確率変数 formula_9（タウ）を、関心のあるイベントが起こるまでの時間と考えよう（ただし、formula_10 である）。上に示したように、目的は、formula_9 の潜在的な生存関数 formula_12 を推定することである。この関数は、
として定義され、formula_14 は時間であることを思い出そう。
formula_15 を独立した同一分布の確率変数とし、その一般分布は formula_9 で、formula_17 は、あるイベント formula_18 が発生した確率的な時間としよう。formula_12 を推定するために利用できるデータは、formula_20 ではなく、ペアのリスト formula_21 である。ここで、formula_22 について、formula_23 は固定の決定論的整数で、イベント formula_18 の打ち切り時間（censoring time）であり、formula_25 である。特に、イベント formula_18 のタイミングについて利用可能な情報は、イベントが固定時間 formula_27 の前に起こったかどうかであり、もし起こった場合は、イベントの実際の時間も利用可能となる。課題は、このデータをもとに formula_1 を推定することである。
カプラン=マイヤー推定量の導出.
ここでは、カプラン=マイヤー推定量の2つの導出方法を示す。どちらも生存関数を、ハザード（hazard）または死亡率（mortality rates）と呼ばれる観点で書き換えることに基づいている。ただし、これを行う前に、ナイーブ推定量を考える価値がある。
ナイーブ推定量.
カプラン=マイヤー推定量の能力を理解するために、まず、生存関数のナイーブ推定量（naive estimator）を説明する価値がある。
formula_29 とし、formula_30 とする。基本的な議論により、以下の命題が成立することがわかる。
formula_34 となるような formula_31 があるとしよう。上記の命題から、
が成り立つ。
formula_40 とし、formula_41 のものだけ、つまり時刻 formula_2 以前に結果が打ち切られなかった事象を考えよう。formula_43 を formula_44 の要素の数としよう。なお、集合 formula_45 は確率的ではないので、formula_46 も確率的ではないことに注意を要する。さらに、formula_47 は、共通パラメータ formula_48 を持つ独立同分布のベルヌーイ確率変数の列である。formula_49 と仮定すると、
を用いて formula_51 を推定することになる。ここで、formula_52 は formula_53 を意味するため、2番目の等式が続く。最後の等式は単に表記法の変更である。
この推定量の質は、formula_54 の大きさによって決まる。これは、formula_54 が小さい場合に問題となる、これは定義上、多くのイベントが打ち切られた場合に起こる。この推定量の特に不快な特性は、おそらくそれが「最良」の推定量ではないことを示唆しており、それは打ち切り時間が formula_2 より前のすべての観測を無視することである。直感的には、これらの観測はまだ formula_1 に関する情報を含んでいる。たとえば、formula_58 の多くのイベントで、formula_59 も成り立つ場合、イベントが早期に起こることが多いと推測できる。これは、formula_60 が大きいことを意味し、formula_61 を介して、formula_1 は小さくなければならないことを意味する。ただし、このナイーブ推定法では、この情報は無視される。そこで問題となるのは、すべてのデータをより有効に利用できる推定量が存在するかどうかである。これを実現したのが、カプラン=マイヤー推定量である。なお、打ち切りが行われていない場合には、ナイーブ推定量を改善することはできないので注意を要する。したがって、改善できるかどうかは打ち切りが行われているかどうかに決定的に依存する。
プラグインアプローチ.
基本的な計算によって、
となり、ここで最後の等式は formula_9 が整数値であることを利用し、最終行で
を導いた。
等式 formula_66 を再帰的に展開すると、
となる。
ここで、formula_68 となることに注意すること。
カプラン=マイヤー推定量は、各 formula_69 がデータに基づいて推定され、formula_70 の推定量はこれらの推定量の積として得られる「プラグイン推定量」（plug-in estimator）と見なすことができる。
あとは、formula_71 をどのように推定するかを指定するだけである。命題1により、formula_72 となるような任意の formula_73 に対して、formula_74 と formula_75 がともに成立する。したがって、formula_76 となるような任意の formula_77 に対して、
となる。
上記のナイーブ推定量の構築と同様の推論により、
という推定量が得られる（「ハザード率」formula_80 の定義において、分子と分母を別々に推定することを考えてみよ）。そして、カプラン=マイヤー推定量は、
で与えられる。
記事の冒頭で述べた推定量の形式は、さらにいくつかの代数を用いて得られる。そのためには、formula_82 と記述する。ここで、保険数理の用語を用いて、formula_83 は時刻 formula_84 における既知の死亡者数であり、formula_85 は時刻 formula_86 において生存している人の数とする。
なお、formula_87 であれば、formula_88 であることに注意を要する。このことは、formula_89 を定義する積から、formula_87 の項をすべて除外できることを意味する。そして、formula_91、formula_92、formula_93 の時、formula_94 を時間 formula_84 とすると、冒頭に述べたカプラン=マイヤー推定量の形、
になる。
この推定量は、ナイーブ推定量とは対照的に、利用可能な情報をより効果的に利用していることがわかる。前述の特殊なケースでは、多くの初期イベントが記録されている場合、推定量は1未満の値を持つ多くの項を乗算するため、その結果、生存確率が大きくならないことを考慮に入れよ。
最尤推定量としての導出.
カプラン=マイヤー推定量は、の最尤推定から導出できる。より具体的には、イベントの数を formula_5、時刻 formula_98 でのリスクのある個人の総数を formula_7 とすると、離散ハザード率 formula_100 は、時刻 formula_98 でイベントが発生した個人の確率として定義できる。この場合、生存率は次のように定義でき、
時刻 formula_98 までのハザード関数に対する尤度関数は、
となり、したがって対数尤度は次のようになる。
formula_100 に対する対数尤度の最大値は、
と求められる。ここでハット記号（formula_108）は最尤推定を表すのに用いられている。この結果から、次のように書くことができる。
利点と限界.
カプラン=マイヤー推定量は、生存分析で最も頻繁に使用される手法の1つである。この推定量は、回復率、死亡の確率、および治療の有効性を検討するのに有用である。そので調整された生存率を推定する能力には限界がある。共変量で調整された生存率を推定するには、パラメトリック生存モデルおよびCox比例ハザード検定が有用であろう。
統計学的考察.
カプラン=マイヤー推定量は統計量であり、その分散を近似するためにいくつかの推定量が使用される。最も一般的な推定量の1つはGreenwoodの式である。
ここで、formula_111 は症例数、formula_112 は観測の総数で、formula_113 である。