一意性 (数学)

一意性（いちいせい、）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。
これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。
たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。
また、一意的に存在することを記号「!」、もしくは「∃=1」のように書くことができ、たとえば 　
は、formula_2 を満たすような自然数 formula_3 は数学的に一意であるといえる。
一意性の証明.
ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例: formula_4 と formula_5）、それらが互いに等しいこと（すなわち formula_6）を示すことで得られる。
例えば、方程式: formula_7 満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち formula_8 を満たす解 formula_9 が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい:
解が一意性であることを示すために、formula_7 を満たす解が、"formula_4" と "formula_5" の2つ存在することを仮定して解く。 このとき、
両方の方程式から等号の推移律により、
両辺から 2 を引くと、
となり、formula_7 を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。
一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、存在性（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。
一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象 formula_4 が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が formula_4 と等しいことを証明する方法がある。