偏相関

偏相関（へんそうかん、英: Partial correlation）は、別の交絡因子による影響を取り除いた関心のある2つの変数の間の相関を表す概念である。相関係数を使用すると、別の交絡因子がある場合に誤解を招く結果が得られる。この誤解を招く情報は、偏相関係数を計算し交絡変数を制御することによって回避できる。
偏相関係数は、相関係数と同様に、–1から1の範囲の値を取る。偏相関係数の値が–1のときは、別の交絡因子による影響を取り除いた完全な負の相関（線形関係）を表す。偏相関係数の値が1のときは完全な正の相関（線形関係）を表し、値が0のときは線形関係がないことを表す。
定義.
"n" 個の制御変数 Z = {"Z"1, "Z"2, ..., "Z""n"} が与えられた場合の "X" と "Y" の間の偏相関 "ρ""XY"·Z は、"e""X"（"X" を Z で線形回帰したときの残差）と "e""Y"（"Y" を Z で線形回帰したときの残差）の相関である。
計算.
関連する2つの線形回帰問題を解き、残差を取得し、残差間の相関を計算する。
線形回帰の使用.
例.
> X = c(2,4,15,20)
> Y = c(1,2,3,4)
> Z = c(0,0,1,1)
> mm1 = lm(X~Z)
> res1 = mm1$residuals
> mm2 = lm(Y~Z)
> res2 = mm2$residuals
> cor(res1,res2)
[1] 0.919145
> cor(X,Y)
[1] 0.9695016
> generalCorr::parcorMany(cbind(X,Y,Z))
 nami namj partij partji rijMrji 
[1,] "X" "Y" "0.8844" "1" "-0.1156"
[2,] "X" "Z" "0.1581" "1" "-0.8419"
再帰式の使用.
formula_1
formula_2
解釈.
条件付き独立性テストとして.
参照：フィッシャー変換
formula_4
formula_5
時系列分析で使用.
formula_6