作用・角変数

作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。
定義.
可積分系.
formula_1自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、formula_1個の関数的に独立な孤立積分 formula_3 (formula_4) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち
を満足することである。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 formula_3 が値 formula_7 を取る超曲面 formula_8 が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス formula_9 と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 formula_10 が存在しハミルトニアン formula_11 が formula_12 だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 formula_10 が作用・角変数である。
変数分離系.
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 formula_14 を用いると、ハミルトンの特性関数 formula_15 を formula_16 という形に書くことができる。積分定数 formula_17 の値が特定されると、各座標 formula_18 が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。
このとき、定数 formula_19 により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分
により作用変数 (action variable) formula_21 が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は formula_22 という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 formula_23 により角変数 (angle variable) 
が導入される。角変数 formula_25 は運動の一周期の間に formula_26 変化する。
性質.
Kronecker軌道.
作用・角変数 formula_10 を用いるとき、系のハミルトニアンは formula_28 であるため、正準方程式は
となる。従ってその解はただちに
と求まる (formula_31 は定数)。従って formula_32 は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。
振動数 formula_33 がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 formula_34 はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。
正準摂動論.
可積分ハミルトニアン formula_35 に摂動 formula_36 が加わったハミルトニアン
を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン formula_35 に関する作用・角変数 formula_10 から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 formula_40 への正準変換 formula_41 を摂動的に決定するというアイデアに基づいている。
断熱不変量.
作用変数 formula_42 は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する断熱不変量になる。
具体例.
調和振動子.
1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。
この系はエネルギー formula_44 が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 formula_45 はエネルギーを積分定数とする
という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は formula_47, formula_48 と計算できる。
ケプラー問題.
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 formula_51 を用いるとき変数分離系となる。
対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。
系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 formula_54 は次のように求められる。
ここに formula_57 は軌道長半径、formula_58 は軌道離心率、formula_59 は軌道傾斜角、formula_60 は平均近点離角、formula_61 は近点引数、formula_62 は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは formula_63 と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。