有限射

代数幾何学において、2つのアフィン多様体 formula_1 の間の有限射（ゆうげんしゃ、）とは、稠密な正則写像であって、座標環に誘導される写像 formula_2 が単射準同型でこれにより formula_3 が formula_4 の整拡大になるもののことを言う。この定義はに対して次のように一般化できる。準射影多様体の間の正則写像 formula_5 が有限であるとは、任意の点 formula_6 に対してあるアフィン近傍系 V が存在し、formula_7 がアフィンかつ formula_8 が先ほどの意味で有限射になることを言う。
スキーム論での定義.
スキームの射 "f": "X" → "Y" が有限射であるとは、"Y" があるアフィン・スキーム
によるを持ち、各 "i" に対して
が開アフィン部分スキーム Spec "A""i" になり、"f" を "U""i" に制限した射から誘導される環準同型
により "A""i" が "B""i" 上の有限生成加群になることを言う。またこのとき、"X" は "Y" 上有限であると言う。
実際は、"f" が有限であることと、"Y" の全ての開アフィン部分スキーム "V" = Spec "B" に対して "X" における "V" の逆像がアフィンスキーム Spec "A" で、環 "A" が有限生成 "B" 加群となることは同値である。
例えば、任意の体 "k" に対して formula_12 は有限射である。これは、formula_13 加群としての同型 formula_14 があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による "A"1 − 0 から "A"1 への射は有限ではない。ローラン多項式環 "k"["y", "y"−1] は "k"["y"] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。
有限型の射.
可換環の準同型 "A" → "B" に対し、"B" が "A" 代数として有限生成であるとき、"B" は 有限型（finite type）の "A" 代数と呼ばれる。"B" が "A" 加群として有限生成であるとき、"B" は 有限（finite ）"A" 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 "A" と自然数 "n" に対して、多項式環 "A"["x"1, ..., "x""n"] は有限型の "A" 代数であるが、有限 "A" 加群となるのは "A" = 0 か "n" = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は formula_15 である。
スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 "f": "X" → "Y" が有限型（finite type）であるとは、"Y" のアフィン開部分スキームによる被覆 "V""i" = Spec "A""i" が存在して、"f"−1("V""i") が有限個のアフィン開部分スキーム "U""ij" = Spec "B""ij" によって被覆され、"B""ij" が "A""i" 代数として有限型であることを言う。またこのとき、"X" は "Y" 上有限型であると言う。
例えば、任意の自然数 "n" と体 "k" に対して、"k" 上の "n" 次元アフィン空間や "n" 次元射影空間は "k" 上（Spec "k" 上の意）有限型である。一方、"n" = 0 でない限り "k" 上有限ではない。より一般に、"k" 上の任意のは "k" 上有限型である。
ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 "k" 上有限型な全てのアフィン・スキーム "X" は、"X" と同じ次元 "n" を持つ "k" 上のアフィン空間 A"n" への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム "X" は、"X" と同じ次元 "n" の射影空間 P"n" への全射な有限射を持つ。