モナド (超準解析)

超準解析におけるモナド（、フランス語圏ではしばしばhalo）とは、与えられた超実数に限りなく近い超実数の集合、あるいはそれを一般化した集合をいう。双対概念として銀河がある。
一般的定義.
formula_1 を内的集合、formula_2 を formula_1 上の（外的であってもよい）フィルターとする。このとき
で定まる formula_1 の部分集合を formula_2 のモナド、単子、ハロー（ヘイロー）などと呼ぶ。ここでハローは暈を意味する英語の借用であり、後述する例において点の周りに広がる無限小領域の様子を表している。formula_7 の代わりに formula_8 や formula_9 などの記号を用いることもある。
一般に超準的対象からなる集合がモナドとして書けるとき、その集合はモナディック(monadic)、ハリック(halic)、formula_10 などと言われる。
例.
モナドの重要な例を幾つか挙げる。
超実数.
超実数体 formula_11 の元 formula_12 のモナドとは
で定義される集合である。formula_12 が有限のとき、formula_12 のモナドは標準実数をただひとつだけ含み、これを formula_12 の標準部分（standard point）と呼ぶ。
位相空間.
位相空間 formula_1 の（標準）点 formula_12 のモナドとは