擬群のアイソトピー

数学の 抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、擬群 の代数的概念を分類するために使われる同値関係である。
擬群および準群のアイソトピーは、 によって導入された。 
準群のアイソトピー.
任意の準群は、ある擬群とアイソトピックである。
formula_1 と formula_2 を 準群 とする。
"Q" から "P" への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 "Q" から "P" への写像の三つ組み であって、以下の条件を満たす者である。
準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。
アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー は、行の置換 "α"、列の置換 "β"、 そして "γ" は、表内の "P" の要素集合の置換に相当する。
オートトピー (英: autotopy) は、 formula_1 からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、 。 
主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、"γ" が "Q" 上の恒等写像であること。
この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る 。
擬群のアイソトピー.
formula_5 と formula_6 をループとし、formula_7 をアイソトピーとする。
この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー formula_5 と formula_9 の formula_10 と、同型写像 formula_9 とformula_6 間の formula_13 を使って、それらの になっている
formula_5 と formula_15 をループとし、"e" を 単位元 of formula_5 とする。さらに formula_17 を formula_5 to formula_15 への主アイソトピーとする。この時 
擬群 "L" が G-loop であるとは、それがすべての擬群アイソトープ擬群と同型であることと定義される。
擬群の疑似自己同型.
"L" を擬群、"c" を "L" の元とする。 "L" の全単射 "α" は任意の "x", "y" に対して、下記の恒等式を満たすこ時、 と呼ばれる：
同様に、左疑似同型 () も定義される。
ユニバーサル性.
擬群についてのある性質 "P" が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、擬群 "L" においてある性質 "P" が成り立つか否かと、"L" のイソトープな擬群でも同様に性質 "P" が成り立つか否かが一致していることである。
実際、任意の群は、G-loop である 。
アイソトピーの幾何学的実行.
与えられた擬群 "L" に対して、3-net と呼ばれる 学的構造を定義することができる。
逆に、原点と直線クラスの を固定すると、3-net は擬群を発生させる。
別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標の擬群が発生する可能性もある 。 
しかしながら、 は常にアイソトピックである。
言い換えると、二つの擬群がアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る。
代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。