円の面積

円の面積（えんのめんせき）formula_1は、円周率を formula_2、円の半径を formula_3 としたとき、
で表される。
歴史.
古代エジプト.
古代エジプトにおいては、リンド・パピルスの問題50に円の面積を求める方法が記録されている。
リンド・パピルスでは、円の直径 formula_4からその formula_5 を引いた数の2乗、
として円の面積を求めている。これは半径 formula_3 を用いて書き直せば、
となる。したがって、現代の視点ではリンド・パピルスにおける計算は円周率を
と近似したものと見なせる。ただしこのことは、古代エジプト人が円周率を知っていたことや円周率の近似値を種々の計算に利用していたことを直ちに意味しない。
古代バビロニア.
バビロニア数学では、円周の長さを formula_7 としたとき、
で求めていた。また、円周率に相当する数値は、円に内接する正6角形によって近似した 3 や、内接および外接する正12角形で円の面積を近似して求まる 3.125 であったといわれている。
ヘブライ.
ヘブライ語最古とされる幾何学書『』によれば、円の直径 formula_4 の自乗からその formula_9 と formula_10 を取り去ると円の面積 formula_1 が得られる。これは、
である。したがって、半径 formula_3 で整理すれば、
となり、円周率に相当する数値は formula_13 と求まる。
古代ギリシャ.
エウクレイデスは『原論』において、直径 formula_4 の円の面積が1辺を formula_4 とする
正方形の面積に比例することを証明した。しかし、円周率の値には言及していなかった。
アルキメデスは『円の計測』において、
を、取り尽くし法を用いて証明した。命題1は、円に内接および外接する正方形（正4角形）から辺数を増やしていき、円の面積が円周の長さを底辺、半径を高さとする直角三角形の面積よりも「大きくなく」「小さくない」ことで等しいことを証明した。命題3は、円に内接する正多角形の辺長と外接する正多角形の辺長の間に円周の長さがあることを用いて、円に内接および外接する正6角形から出発して正96角形で証明した。
古代中国.
『九章算術』に註釈をつけた魏の劉徽は、円の内接する正6角形から正12角形、正24角形と辺数を増やしていくと、やがて内接多角形の面積は円の面積に差は無くなる、としている。
具体的には、円に内接する正n多角形のうち1つの三角形（△OAB）に対し、三角形の底辺とそのの二等分線と円周上の交点を高さとする長方形で囲まれる面積（□AA'B'B）を考えると、内接する正n角形の面積とその面積に長方形の面積を加えたものの間に円の面積がある、ということを利用している（右図）。
正n角形の面積をformula_18、円の面積をformula_1としたとき、
となり、半径10の円に対する正192角形までを評価して、
formula_20を得た。
さらに内接多角形の辺を増やしていくことによって、formula_21を得ている。
日本.
江戸時代初期に発行された算術書である吉田光由の『塵劫記』において、直径 formula_4 の円の面積は、直径の自乗に「まるき法」を掛けて求める。ここで、まるき法はformula_23に相当する値で、0.79 である。面積 formula_1 で表せば、
である。
また、円周の長さ formula_7 の円の面積は、円周の長さを「円きめくり法」で割り、直径 formula_4 を求めてから上記の方法を使って円の面積を求める。ここで、円きめくり法は円周率に相当する値で、3.16 である。面積 formula_1 で表せば、
である。
円の面積の公式の導出.
アルキメデスによる証明から、命題1における円周の長さを formula_7 、半径を formula_3 とすると、円の面積 formula_1 は底辺が formula_7 、高さが formula_3 の直角三角形の面積なので、
となる。
命題3における円周の長さ formula_7 と直径の比を formula_2 とすれば、直径は半径の2倍の formula_35 なので、
であり、
formula_7をformula_1に代入すると、
となり、円の面積の公式が得られる。
円の面積を求める他の方法.
幾何学的変形.
半径rの円を中心から扇形に細かく等分し、右図のように半分を互いに櫛形に合わさるように組み合わせる。非常に細かく等分していけば、底辺は円周の長さの半分、高さは半径とみなせるので、それぞれ formula_38、formula_3 の平行四辺形の面積になる。したがって、
となる。
半径rの円を中心から扇形に細かく等分し、円周を直線に延ばすと、直線上には切断した扇形（三角形）が並び、その高さは全て半径rに等しい。円の中心にあった頂点を平行移動して一点に集めても面積は変わらないので、底辺が円周に等しい formula_40、高さが半径 formula_3 に等しい三角形の面積であり、
が得られる。
円に内接または外接する正多角形の面積の極限.
円に内接または外接する正多角形（正n角形）の辺数nを増やしていくと円の面積に等しくなる。
内接正多角形.
半径rの円に内接する正n角形において、1区画の三角形の面積を考える（右図(a)）。
三角形の高さは formula_42、底辺は formula_43 となるので、1区画の面積は formula_44 であり、全区画の合計は formula_45 である。
したがって、formula_46 とすれば、
ここで、formula_47 とおけば、
さらに、formula_48 なので、
である。
外接正多角形.
内接正多角形と同様に1区画の三角形の面積を考える（右図(b)）
三角形の高さは formula_3、底辺は formula_50 となるので、1区画の面積は formula_51 であり、全区画の合計は formula_52 である。
formula_46 とすれば、formula_54 であるから、
これは内接正多角形の場合と同様の式であり、上式は formula_55 に等しくなる。
積分.
デカルト座標の原点における半径 r の円の方程式 formula_56 に対し、四分円 formula_57 formula_58 の面積 formula_59 を考え、結果を4倍すれば円の面積が求まる。
部分積分による計算.
において、formula_60、formula_61 とおけば、formula_62 の原始関数はformula_63、formula_64 であるから、部分積分の公式formula_65を用いて、
が得られるので、四分円の定積分は、
である。したがって、全円の面積 S は formula_66 なので、
になる。
三角関数による置換積分.
四分円の定積分は、
ここで、formula_67 とおけば、formula_68、積分範囲は formula_69 から formula_70 となる。また、formula_71 となるので、 
r^2 \cos^2 t\,dt\\
&=r^2 \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+ \cos 2 t}{2}\,dt\\
&=\frac{r^2}{2} \left [ t+\frac{\sin 2 t}{2}\right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
である。全円の面積 S は formula_66 なので、
になる。
リーマン和による求積（区分求積法）.
関数 formula_73 を考えたとき、この関数は formula_58 において連続であるからリーマン和による面積の計算が可能であり、それは上記の定積分と等しくなる。
formula_73 において、区間 formula_76 を n分割する formula_77、formula_78、formula_79 をとり、区間 formula_80 における任意の点を formula_81 とすれば、四分円のリーマン和は、
である。
ここで、分割方法をn等分とすれば、formula_82 であり、formula_83とおくと、
さらに、
であるから、
となって、formula_84 を得る。
円環の積分による求積.
原点を中心として、半径 formula_85 の円周 (formula_86 ) に対して、高さ formula_87 の円環を考える。
このとき、formula_87 が小さければ、半径 formula_85 の円周と高さ formula_87 でできる面積は長方形とみなせ、その面積は formula_91 である。したがって、半径 formula_3 の円の面積は formula_85 を 0 から formula_3 まで積分したものに等しい。
日本の算数数学教育における循環論法.
小学校において円の面積の公式が導入された後、高校の数学Ⅲの課程において「いろいろな曲線で囲まれた図形の面積」を積分法によって導出することが可能になるが、この一連の流れは循環論法をなしていることが指摘されている。
循環論法の流れ (に基づく)