ログランク検定

ログランク検定（ログランクけんてい、）は、2つの標本の生存分布を比較する仮説検定である。これはノンパラメトリック検定で、データが右に歪んで打ち切られている場合に使用するのに適している（技術的には、打ち切りは情報を与えないものでなければならない）。この検定は、臨床試験において、新しい治療法の有効性を対照群と比較して確立するため広く使用されており、測定する対象は事象発生までの時間（初回治療から心臓発作までの時間など）である。この検定は、とにちなんでマンテル＝コックス検定と呼ばれることもある。ログランク検定は、時間層別化されたコクラン＝マンテル＝ヘンツェル検定と見なすこともできる。
この検定は、ネイサン＝マンテルによって最初に提案され、リチャード・ピートとによってログランク検定と命名された。
定義.
ログランク検定統計量は、観察された各事象の時間における2つのグループのハザード関数の推定値を比較する。これは、観察された事象の時間ごとに、いずれかのグループでの事象の観測数と期待数を計算し、これらを加算して、事象があったすべての時点にわたる全体的な要約を得ることによって構築される。
患者の2つのグループ、たとえば治療群と対照群を考える。 どちらかのグループで観察された事象の明確な時間を formula_1とする。formula_2 および formula_3 を、それぞれのグループ内における、時間 formula_4 の開始時点での「リスクがある」（まだ事象が発生していない、または打ち切られていない）被験者の数とする。また、formula_5 および formula_6 を、時間 formula_4 における各群で観測された事象の数とする。最後に、 formula_8 と formula_9 を定義する。
帰無仮説は、2つのグループのハザード関数が同一であるというもので、formula_10 となる。したがって、formula_11 の下では、各グループ formula_12 に対して、formula_13 はパラメータ formula_14, formula_15, formula_16 を持つ超幾何分布に従う。この分布は、期待値が formula_17、分散が formula_18 である。
ログランク統計量は、すべての formula_19 について、formula_13 と formula_11 のもとでの期待値 formula_22 と比較するものである。これは formula_23      (formula_24 または formula_25 の場合) として定義されている。
中心極限定理により、formula_26 の分布は、formula_27 が無限に近づくにつれて標準正規分布の分布に収束するため、十分に大きな formula_27 に対しては標準正規分布で近似することができる。Peto and Petoの論文の付録Bで記述されているように、この量を、ピアソンの第1種ベータ分布または第2種ベータ分布（最初の4つのモーメントを一致させる）と等しくすることにより、より良い近似が得られる。
漸近分布.
2つのグループが同じ生存関数を持つ場合、ログランク統計量は近似的に標準正規分布となる。片側レベル formula_29 検定は、formula_30 ならば帰無仮説を棄却する。ここで formula_31 は、標準正規分布の上位 formula_29 分位点である。ハザード比を formula_33、被験者総数を formula_34 人、どちらかの群の被験者が最終的に事象を起こす確率を formula_35 （したがって、formula_36 は分析時の事象の期待数）、各群に無作為に割り振られた被験者の割合を50%とすると、ログランク統計量は平均 formula_37、分散 1 の近似正規分布となる。検出力 formula_38 の片側レベル formula_29 検定の場合、必要な標本サイズは formula_40 となり、ここに formula_31 と formula_42 は標準正規分布の分位数である。
同時分布.
formula_43 および formula_44 を、同じ検定の2つの異なる時点でのログランク統計量であるとする（formula_43 が先）。ここでも、2つのグループのハザード関数がハザード比 formula_33 に比例し、formula_47 と formula_48 は formula_49 の2つの時点で被験者が事象を起こす確率であると仮定する。formula_43 および formula_44 は、平均 formula_52 と formula_53 、相関 formula_54 を持つ近似二変量正規分布である。による1つの検査でデータが複数回が調査された場合、エラー率を正しく維持するためには、同時分布を含む計算が必要となる。
検定の仮定.
ログランク検定は、カプラン＝マイヤー生存曲線と同じ仮定に基づいている。すなわち、打ち切りは予後とは無関係であり、生存確率は研究の初期と後期に募集された被験者で同じであり、事象は指定された時間に起こったという仮定である。これらの仮定からの逸脱が問題となるのは、比較されるグループ間で充足の度合いが異なる場合である。たとえば、あるグループでは打ち切りが他のグループよりも起こりやすいなどである。