余接定理

余接定理（よせつていり）は、三角形の辺の長さと3つの角の半分の余接の関係を表す三角法の定理である。余接法則とも呼ばれる。
定理.
図のように, , を3辺の長さ、, , を各頂点とし、, , を各頂点に対応する角、半周長を、を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。
また、について、
証明.
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
ここで、
三角形の成立条件よりformula_5だからformula_6
他の角においても同様に示される。
また、式（2）については、以下の式を適用する。
formula_9, formula_10, formula_11とすると、より、
よって、式（*1）より
辺々にをかけて整理すれば、式（2）が示される。
他の公式の証明.
余接定理により正接定理が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
ヘロンの公式.
辺と同様に三角形が3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点付近の2個の三角形はともに底辺が、高さであり、面積はであり、和はとなる（他も同様）。
よって、三角形の面積は、formula_14
モルワイデの公式.
和の公式と余接定理より、
formula_16
和の公式と余接定理より、
formula_18
和積公式を適用して整理すれば、