ランド指数

ランド指数（ランドしすう、）またはランド測度（ランドそくど、）は、統計、特にデータ・クラスタリングにおいて、2つのクラスタリングの類似性を図る尺度である。William M. Randにちなんで名付けられた。要素の偶然のグループ化を調整した形で定義したものが調整ランド指数である。数学的には、ランド指数は accuracy に関連しているが、クラスラベルを使用しない場合にも適用できる。
ランド指数.
定義.
formula_1 個の要素からなる所与の集合formula_2および formula_3 の分割formula_4およびformula_5 を考え、以下のように定義する。
ランド指数 formula_22 は 
直感的には、 formula_24 は formula_8 と formula_9 の間の合意の数、formula_27 は formula_8 と formula_9 の間の意見の相違の数と考えることができる 。
分母はペアの総数なので、ランド指数はペアの総数に対する合意の発生頻度、つまり無作為に選ばれたペアにおいて formula_8 と formula_9 が合意する確率を表している。
formula_32は、formula_33 として計算される。
同様に、次式のように、ランド指数 RI をアルゴリズムによる正しい判断の割合を示す指標として捉えることもできる。
性質.
ランド指数は0〜1の値を持ち、0は2つのデータ・クラスタリングがどのペアでも一致しないことを、1はデータクラスタリングが全く同じであることを示す。
数学的には、a、b、c、dは次のように定義される。
（任意のformula_47に対して）
分類精度との関係.
ランドインデックスは、formula_3 の要素のペアを対象とした二項分類精度を通して見ることもできる。 2つのクラスラベルは「formula_49 と formula_50 が formula_8 と formula_9 の同じサブセットにある」 と「formula_49 と formula_50 が formula_8 と formula_9 の異なるサブセットにある」である。
その設定では、 formula_6 は同じサブセットに属すると正しくラベル付けされたペアの数（真陽性）、formula_10 は異なるサブセットに属すると正しくラベル付けされたペアの数（真陰性）である。
調整ランド指数.
調整ランド指数は、ランド指数を偶然性に基づいて補正したものである。このような偶然性の補正は、ランダムに指定されたクラスタリング間のすべてのペアワイズ比較の類似度の期待値を使用して、ベースラインを確立します。従来、ランド指数は、クラスタリングのための順列モデル（クラスタリング内のクラスターの数とサイズは固定されており、すべてのランダムクラスタリングは、固定されたクラスター間で要素をシャッフルすることによって生成される）を用いて補正されていた。
しかし、順列モデルの前提は頻繁に破られる。多くのクラスタリングのシナリオでは、クラスターの数またはクラスターのサイズ分布が大幅に異なる。例えば、K平均法では、クラスターの数は実務者によって固定されているが、それらのクラスターのサイズはデータから推測されるものとする。調整ランド指数のバリエーションは、ランダムなクラスタリングのさまざまなモデルを説明する。
ランド指数は0から1の間の値しか得られないが、調整ランド指数は、当てはまりが期待値よりも悪い場合、負の値を取り得る。
分割表.
formula_1 個の要素からなる集合 formula_3 に対し、2つのグループ化または分割（クラスタリングなど）formula_61 と formula_62 を考える。
formula_8 と formula_9 の重なりは、次のような分割表 formula_65 にまとめることができる。ここで、formula_66 のそれぞれは、formula_67とformula_68 が共有するオブジェクトの数を表す 。すなわち、formula_69 。
ここで、formula_71 は分割表の値を表す。