固有射

固有射（こゆうしゃ、）とは、スキームの射で、
複素解析空間の固有写像の代数幾何学における類似物である。
体 "k" 上固有な 代数多様体はとも呼ばれる。例えば、体 "k" 上の任意の射影多様体は "k" 上固有である。複素数体 C 上のスキーム "X"（例えば代数多様体）が C 上固有であるためには、その複素数値点の空間 "X"(C) が古典的な（ユークリッド）位相のもとでコンパクトかつハウスドルフになることが必要十分である。
（closed immersion）は固有射である。スキームの射が有限射（finite morphism）であることと、固有射かつ準有限射（quasi-finite morphism）であることは同値である。
定義.
スキームの射 "f": "X" → "Y" が絶対閉（universally closed）とは、任意のスキーム "Z" と射 "Z" → "Y" に対してからの射影
が位相空間の写像として閉写像となっていることを言う。スキームの射が固有であるとは、かつかつ絶対閉であることを言う。またこのとき、"X" は "Y" 上固有と言われ、体 "k" 上の代数多様体 "X" の構造射 "X" → Spec("k") が固有であるときは "k" 上固有と言われる。
絶対閉の概念を用いた代数幾何学における固有性の定義はシュヴァレーによる
例.
"n" を自然数 、P"n" を可換環 "R" 上の射影空間とすると、これは "R" 上固有である。は固有であるが、全ての固有射が射影的とは限らない。例えば、固有かつな3次元複素代数多様体であって、C 上非射影的なものの存在が知られている。体 "k" 上の次元が正なアフィン多様体は決して "k" 上固有にならない。より一般に、固有なは必ず有限射である。例えば、簡単に分かることだが、体 "k" 上のアフィン直線 "A"1 は射 "A"1 → Spec("k") が絶対閉ではないので "k" 上固有ではない。実際、この射の "A"1 のファイバー積への引き戻し
は ("x","y") ↦ "y" によって与えられるが、これによる "A"1 × "A"1 = "A"2 の閉部分集合 "xy" = 1 の像が "A"1 − 0 となり、これは "A"1 の閉集合ではないので、閉ではない。
性質と特徴付け.
以下では "f": "X" → "Y" をスキームの射とする。
固有性の付値判定法.
シュヴァレーに遡る、固有性の付値判定法と呼ばれる非常に直感的な固有性の判定法がある。"f": "X" → "Y" をネータースキーム間の有限型射とする。このとき、"f" が固有であるための必要十分条件は、"R" を任意の離散付値環、"K" をその商体、"x" ∈ "X"("K") を "K" 値点とするとき、像 "f"("x") が "R" 上定義されるならば一意的な持上げ formula_8 が存在することである。より一般に、任意のスキーム "X" と "Y" の間の有限型の準分離射 "f": "X" → "Y"（有限型なら準コンパクトであることに注意）が固有であるための必要十分条件は、"R" を任意の付値環、"K" をその商体、"x" ∈ "X"("K") を "K" 値点とするとき、像 "f"("x") が "R" 上定義されるならば一意的な持上げ formula_8 が存在することである。離散付値環とは1次元の正則局所環に他ならず、"Spec K" は "Spec R" のであることに注意すると、この判定法を次のように言い換えることができる。"Y" 上の正則な曲線（射 "s": Spec "R" → "Y" に対応）とこの曲線の生成点の "X" への持上げが与えられたとき、"f" が固有であるための必要十分条件はこの曲線を完成（complete）させる方法がただ１つ存在することである。
同様に、"f" が分離的であることと、全てのこのような図式に置いて持上げ formula_8 が多くとも1つしかないこととは同値である。
この判定法を用いると、例えば射影空間 P"n" が体（Z でもよい）上固有であることが簡単に示せる。"R" を離散付値環、"K" をその商体とし、射影空間の任意の "K" 点 ["x"0...,"x""n"] を取る。これは定数倍することで座標が全て "R" に入り、かつ少なくとも１つが "R" の単数になるようにできるので、"R" 点から来ており、判定法の条件が満たされている。
円板を使った幾何的解釈.
固有性の付値判定法を直感的に理解するために、複素数体上の形式的冪級数環（これは離散付値環）のスペクトル formula_11 を考える。幾何学的には、これは無限小の円板、もしくは複素解析的に円板 formula_12 と解釈することができる。原点まわりの半径 formula_13 の円板で収束する任意の冪級数
は、定数倍の座標変換をすると単位円板上の冪級数として表すことができるからである。この冪級数環の商体は、formula_15 の逆元を加えた、原点で極を持ってもよい冪級数からなる環 formula_16 である。幾何学的には、これは原点を除いた開円板 formula_17 を表している。formula_18 上のスキームの射に対して、離散付値環として上記のものを取って固有性の付値判定法の状況にあてはめると、次の可換図式になる。
固有性の付値判定法は、formula_20 から formula_21 への射を点 formula_22 で埋めて formula_23 から formula_21 への射にできることが、固有であることの必要十分条件だと主張している。
例.
閉じたコンパクト多様体の類似物でなぜ固有性の付値判定法が成り立つのか直感的に理解するために、反例を見てみよう。formula_25、formula_26 として、formula_27 を formula_21 の formula_29 まわりのアフィン・チャートとする。自然に定義される次の図式
の上部の射から、右上はformula_21 のアフィン・チャートなので、射 formula_32 が定義できる。この図式に対応する可換環の可換図式は次のようになっている。
スキームの図式で持上げ formula_34 が存在したとすると、可換環の可換図式で formula_35 となる射 formula_36 が存在することになるが、これはもちろん起こり得ないので、formula_21 は formula_38 上固有ではない。
曲線を使った幾何的解釈.
固有性の付値判定法がなぜ成り立つのかを直感的に教えてくれる同様の例がもう１つある。曲線 formula_39 と、それから1点を除いた formula_40 を考える。そのとき、固有性の付値判定法は、次の図式
で持上げ formula_42 があることと固有であることは同値だと言っている。幾何学的には、持上げが存在するとはスキーム formula_21 に含まれる任意の曲線は欠けている点を埋めてコンパクトな曲線に完成させることができるということである。位相空間の間の連続写像のファイバーがコンパクトであれば、そのファイバーの中の点列は必ず収束する。上記はこれのスキーム理論での類似物と解釈できる。この幾何的な状況で、問題は局所的であるから、図式において 局所環 formula_44（これは離散付値環）とその商体 formula_45 に置き換える。すると、持上げの問題は次の可換図式
の持上げの問題になるが、これが固有性の付値判定法における状況であった。スキーム formula_47 は formula_48 のまわりの閉点 formula_48 を除いた局所円板と思える。
形式スキームの固有射.
formula_50 を（locally noetherian formal scheme）間の射とする。"f" が固有、または formula_51 は formula_52 上固有とは、(i) "f" が（adic morphism）（つまり、定義イデアル（the ideal of definition）を定義イデアルに写す）であって、(ii) 誘導される写像 formula_53 が固有であることを言う。ここで、formula_54, formula_55, formula_56 で、"K" は formula_52 の定義イデアルである。この定義は "K" の取り方によらない。
例えば、"g": "Y" → "Z" を局所ネータースキームの固有射、"Z"0 を "Z" の閉部分集合、"Y"0 を "Y" の "g"("Y"0) ⊂ "Z"0 となるような閉部分集合とすると、形式的完備化上の射 formula_58 は形式スキームの固有射である。
グロタンディークはこの状況での連接定理（coherence theorem）を証明した。すなわち、formula_50 を局所ネーター形式スキームの固有射とし、"F" を formula_51 上の連接層とすると、高次順像 formula_7 は連接層である。