ピンホールカメラモデル

 
ピンホールカメラモデル（Pinhole_camera_model）では、 3次元空間内の点の座標と、理想的なピンホールカメラの画像平面への投影との間の数学的関係を記述する。
解説.
ここで、カメラの開口部は点として記述され、光を集束させるためのレンズは使用しない。モデルには、たとえば、レンズや有限サイズのアパーチャーによって引き起こされる歪曲収差やぼやけは含まれない。また、ほとんどの実用的なカメラには離散的な画像座標しかないことも考慮しない。つまり、ピンホールカメラモデルは、 3次元シーンから2次元画像への写像の一次近似としてのみ使用できる。その有効性はカメラの品質に依存し、一般にレンズの歪みの影響が大きくなるにつれ、画像の中心から端に向かって減少する。
ピンホールカメラモデルが考慮していない効果の一部は、例えば画像座標に適切な座標変換を適用することにより補正できる。高品質なカメラが使用する場合、他の効果は無視できるほど小さい。これは、ピンホールカメラモデルが、たとえばコンピュータビジョンやコンピュータグラフィックスなどで、カメラが3Dシーンをどのように描写するかを合理的に説明するために使用できることを意味する。
幾何学.
"注: 図のx1x2x3座標系は左手系です。つまり、OZ 軸の方向は、読者が慣れている座標系とは逆になっている。"
ピンホールカメラの写像に関連する幾何学を図に示す。この図には、次の基本的なオブジェクトが含まれている。
すべての射影線が通過しなければならないカメラの"ピンホール"開口は、無限に小さい点であると仮定される。文献では、3次元空間上のこの点は光学中心（またはレンズ中心またはカメラ中心）と呼ばれる。 
定式化.
次に、点Qの座標formula_7が、点Pの座標formula_5にどのように依存するかを理解したい。これは、前の図と同じシーンを真上から、X2 軸の負の方向を見下ろしている次の図を使用して行うことができる。
この図には、2つの相似な三角形があり、どちらも射影線（緑）の一部を斜辺として持っている。左の三角形の隣辺はformula_10 "formula_1"、右の三角形の隣辺はformula_12とformula_13である。2つの三角形は相似であるため、次のようになる。
同様に、X1軸の負の方向を見ると、次が得られる。
これは、点Pの3次元座標formula_18と画像平面上の点Qの画像座標formula_19との関係式、
として要約できる。
回転像と虚像面.
ピンホールカメラによって記述される3次元座標から2次元座標への変換は、透視投影とそれに続く画像平面での180°回転です。これは、実際のピンホールカメラの挙動（結果の画像が180°回転し、投影された物体の相対的なサイズは焦点までの距離に依存し、画像の全体的なサイズは画像平面と焦点の間の距離"formula_1"に依存する）に対応している。我々がカメラに期待する回転していない画像を生成するには、次の2つの方法がある。
どちらの場合でも、3次元座標から2次元画像座標への変換は以下のように、上記の式からマイナスを除いた式となる。
同次座標.
空間内の点の3次元座標から2次元画像座標への変換も、同次座標で表すことができる。formula_25を3次元点を表した同次座標（4次元ベクトル）とし、formula_26をその点をピンホールカメラで投影した点を表した同次座標（3次元ベクトル）とする。このとき、次の関係が成り立つ。
ここでformula_28はformula_29のカメラ行列であり、記号formula_30は、射影空間の要素が等しいことを意味する。これは、左辺と右辺が非ゼロのスカラー乗算に対して等しいことを意味します。この関係の帰結として、 formula_28もまた射影空間の元と見なせる（2つのカメラ行列は、スカラー倍まで等しい場合は等価）。このピンホールカメラによる変換の記述は、2つの一次式の分数としてではなく、線形変換formula_28として、3次元座標と2次元座標間の関係の多くの導出を単純化することができる。