ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。
定義.
 を0でない実数とする。正の実数 に対して指数 のヘルダー平均は次で定義される：
 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。
さらに、重み （正の数のセット。ただしformula_3）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：
重みを考えない平均は、すべての重みを としたものに相当する。
特別な場合.
いくつかの特定の の値に対しては、特別の名前が付けられている。
性質.
ヘルダー平均は次の性質をもつ：
異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式.
一般に ならば
である。また2つの平均が等しいのは のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 に対して
が成り立つためである。
特に の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均
を意味する。
応用.
信号処理.
ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい の場合には小さい信号値を強調し、大きい の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である codice_1 が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。
 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
一般化 "f"-平均.
ヘルダー平均はさらにに一般化できる。
この式は とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は とすることで得られる。