アポロニウスの定理

幾何学におけるアポロニウスの定理（アポロニウスのていり）は、三角形の中線の長さと辺の長さに関係する定理である。「三角形の任意の二辺の平方和は第三辺の半分の平方の2倍と第三辺を二分する中線の2倍の和に等しい」という。
すなわち、任意の三角形をformula_1として、中線をformula_2とすると
formula_3
この定理はスチュワートの定理の特殊な場合である。formula_4の二等辺三角形ならば、中線formula_2はformula_6と垂直となり、三角形formula_7（または三角形 formula_8）におけるピタゴラスの定理と一致する。また、平行四辺形の対角線が互いに二分するという事実から、平行四辺形の法則とも同値である。
この定理は古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられた。
証明.
スチュワートの定理の特殊な場合として、あるいはベクトルを用いて証明することができる。以下の証明は余弦定理を用いたものである。
任意の三角形の三辺の長さをformula_9として、formula_10の中線の長さをformula_11とする。また、中線に二分された線分の長さをformula_12とする（formula_12はformula_10の半分）。
さらに、formula_10とformula_11による角の大きさをformula_17とformula_18とし、formula_17はformula_20の対角、formula_18はformula_22の対角とする。すなわち、formula_18はformula_17の補角であり、 formula_25となる。
このとき、余弦定理より、
formula_26
第一式と第三式の辺々を加えると
formula_27
以上より、定理が証明された。