クラスター代数

団代数（クラスター代数）はによって導入された可換環のクラスである。"ランクnの"クラスター代数は、整域"A"であって、サイズ"n"の複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団（クラスター）と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数"A"を生成し、さまざまな条件を満たす。
定義.
"F"が整域であると仮定する。たとえば、有理数Q上の"n"個の変数の有理関数の可換体Q ("x"1...,"xn")などがその例である。
ランク"n"の団（クラスター）は、"F"の"n"個の要素{"x", "y", ...}のセットで構成される。それらのセットは、通常、体拡大"F"の代数的に独立した生成セットであるとみなされる。
シード（種）は、 "F"の団（クラスター）{"x", "y", ...}とBとからなる。ただし、交換行列Bの要素bx,yは整数であり、団（クラスター）の"要素の"ペア"x","y"によってインデックス付けされたものである。交換行列を交代行列（または歪対称行列）であると限定することもあり、その場合は、すべての"x"および"yに対してbx","y" = –"by","x"である。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素"bx","y"が、団（クラスター）の要素に関連付けられた正の整数のセット{"dx",d...}を用いて、"dxbx","y" = –"dyby","x"と、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである"。"シード（種）は箙として視覚的に表現されることもよくある。箙は有向グラフであり、"団（クラスター）"{"x", "y", ...}を頂点とし、交換行列の"bx","y"が正の場合、"x"から"y"に"bx","y"本の有向辺（矢印）を引いたものである。 "交換行列"が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持たない。
シード（種）には変異と呼ばれる変化があり異なるシード（種）に変わる。この変異は、団（クラスター）の要素（箙で言えば頂点）の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード（種）は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での"交換行列Bの要素の"変化と団（クラスター）{"x", "y", ...}との変化からなる。変異を定める団（クラスター）の要素（箙の頂点）を"y"とする。交換行列"B"の変化は次の通り。団（クラスター）内のすべての"xについて、bx","y"および"by","x"の値を交換する。"y"以外の団（クラスター）の要素"x,z"について、 "bx","y" > 0 かつ "by","z" > 0である場合には、"bx","z" を "bx","y""by","z" + "bx","z"に置き換える。"bx","y" < 0かつ"by","z" < 0である場合には、"bx","z" を -"bx","y""by","z" + "bx","z"に置き換える。それ以外の場合（"bx","y" "by","z" ≤ 0の場合）には、"bx","z" は変えない。最後に、団（クラスター）{"x", "y", ...}の変化を説明する。 "y"を新しい生成要素"w"に、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。
この式の右辺は、シード（種）の団（クラスター）の要素"t"を"y"との関係（"bt,y"の正負）で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となる"n"変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード（種）"A"がシード（種）"B"の変異である場合、 "BはAの"突然変異である。
団代数（クラスター代数）は、初期シードから、次のように構築される。あるシードの変異は、団（クラスター）の要素ごとに定まるから、そのすべての変異を行うこととし、それを繰り返す。シード（種）をグラフの頂点とし、１回の変異で移りあうシード（種）のペアを両端点とする辺を引くことにすると、可能なすべての変異の繰り返しにより、グラフが生成される。このグラフは有限グラフの場合と無限グラフの場合とがある。団代数（クラスター代数）の基礎となる代数は、このグラフのすべてのシード（種）に付随する団（クラスター）のすべての要素によって生成された代数である。シード（種）には、上記で述べていないその他の構造も付随しており、それに対応する団代数（クラスター代数）も存在する。
団代数（クラスター代数）は、シード（種）の数が有限である場合、有限型であると言われる。 は、有限型の団代数（クラスター代数）が、有限次元の単純リー代数のディンキン図の観点から分類できることを示した。