ミンコフスキー距離

ミンコフスキー距離とは、ノルム線型空間における距離計量で、ユークリッド距離およびマンハッタン距離を一般化したものと言える。ドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられた。
定義.
ミンコフスキー距離の次数を「formula_1 (ただし、formula_1は整数)」とした時、点formula_3と点formula_4（ただし、formula_5およびformula_6）の距離は、以下のように定義される。
formula_8の場合においては、ミンコフスキー距離はミンコフスキーの不等式の結果を満たす距離計量となる。もしformula_9だった場合、点(0,0)と点(1,1)の間の距離はformula_10となるが、双方の点と点(0,1)との間の距離は1となる。これは三角不等式に反するので、formula_9の時は距離計量にはならない。しかし、このような距離計量は、単にformula_12という冪指数を除去するだけで得られる。この距離計量は同時にF-ノルムでもある。
ミンコフスキー距離は通常、formula_1が1または2の場合が用いられ、これはそれぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応する。特殊な場合であるが、formula_1が無限に発散する場合はチェビシェフ距離が得られる。
同様に、formula_1が負の無限大に発散する場合は、このような式になる。:
ミンコフスキー距離は、点Pと点Qの間の成分ごとの差の累乗平均の倍数と見なすこともできる。
以下の図は、formula_1の値を様々に変化させた時の単位円（中心から等しい距離にある全ての点の集合）を示している。
External links.
Simple IEEE 754 implementation in C++
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