キャプスタン方程式

キャプスタン方程式（キャプスタンほうていしき、）、別称ベルト摩擦方程式（）、アイテルワインの公式（）は、しなやかなロープがボラード、ウインチ、キャプスタン等の円筒に巻き付けられているときに、荷重による張力（load-force）と巻き取りの張力（hold-force）とを結びつける等式である
張力と摩擦力が作用しあうため、キャプスタンに巻かれたロープにかかる張力は両端で異なっていると考えられ、小さな張力を他端においてより大きな力に変えることができる。これがキャプスタン型の器械の原理である。
手動キャプスタンはラチェット型の機構で、一方向にしか回転しない。一旦その方向へ動き出せば、ぐっと小さな力で引っ張ることができる。パワードキャプスタン（ウインチとも呼ばれる）は回転によってロープとキャプスタンの間の摩擦を増大させるものである。トールシップでは手動キャプスタンとパワードキャプスタンが併せて用いられる。小さい力で重い帆が揚げられるようにし、またパワードキャプスタンからのロープの取り外し、ロープ解きが簡単にできるようになっている。
トップロープクライミングと呼ばれるロッククライミングで、体重の軽い人間がより重い人間を支える（ビレイする）ことができるのはこの効果のためである。
公式は次の通り。
ここで formula_2 はロープに加わる張力、formula_3 はそれによりキャプスタンの反対側で生じる力である。formula_4 はロープとキャプスタンの間の摩擦係数、formula_5 はロープが巻かれたトータルの角度（単位はラジアン、つまりちょうど1周ならば formula_6 ）。
この公式が成り立つにはいくつかの仮定が必要である：
式から、得られる力は摩擦係数、円筒のまわりの巻き数、接触角度とともに指数関数的に増大することがわかる。「円筒の半径は得られる力に何ら関係しない」ことに注意する。
次の表は巻き数と摩擦係数 "μ" に対する formula_9 の値を示す。
この表から、シート（sheet, ヨット等の帆船で、セイルを調節できる側のロープを指す）が3回より多くウインチに巻き付けられているのを見ることがほとんどないのは何故か、はっきりと分かる。得られる力は急激に大きくはなるが、他方で副産物が伴う。というのも、巻き付けによって絡まりやコブができ、（テールでたゆみを作って）力を緩めてもロープが送り出されなくなるリスクがあるからである。
導出.
最初のステップは、キャプスタンに巻き付くロープの任意の点での、半径方向の力（垂直抗力） formula_10（ニュートン毎ラジアン） を図に示すような張力 formula_11（ニュートン）と結び付けることである。キャプスタンがロープに与える y 軸上向きの力 formula_10 は、ロープの張力の y 軸下向き成分 formula_13 と等しい。
formula_15 を0に近づけるとき（微小角度近似）、formula_16 となり、
よって角度 formula_19 の間にはたらく摩擦力は
となる。角度 formula_19 の間の張力の増し高 formula_23 はこの区間にはたらく摩擦力に等しいから
両辺を積分して
両辺の指数をとって
最終的に次式が得られる。
キャプスタン方程式のVベルトへの一般化.
Vベルトに対するベルト摩擦方程式は
ここで formula_31 はVベルトが相対するプーリーを挟む2枚のベルトがなす角（ラジアン）である。formula_32 のところで効果的になる。
Vベルトや複数のVベルトが組み合わさったサーペンタインベルトでは、負荷が増すにつれてベルトがプーリーの溝に食い込んでいき（wedge into, くさびのようになり）、これがトルクの伝動効率を高めている。
同じ力を伝動をするのに、Vベルトは平ベルトと比べて張力がより小さくて済み、軸受の寿命を長くすることができる。