アレクサンドロフ拡大

数学の一分野位相空間論におけるアレクサンドロフ拡大（アレクサンドロフかくだい、）は、一点を追加することにより非コンパクト位相空間を拡大してコンパクト空間を得る方法である。名称はロシア人数学者パヴェル・アレクサンドロフに因む。
より精確に、位相空間 に対し、 のアレクサンドロフ拡大とは、適当なコンパクト空間 と開埋め込み の組で、埋め込まれた の における補集合が一点（それをふつう と書く）となるようなものを言う。埋め込み写像 がハウスドルフ埋め込みとなるための必要十分条件は、 がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間であることである。そのような空間に対するアレクサンドロフ拡大は一点コンパクト化（いってんコンパクトか、）あるいはアレクサンドロフコンパクト化 ("Alexandroff compactification") と呼ぶ。アレクサンドロフコンパクト化を考えることの優位な点は、それが単純な操作であること、大抵幾何学的に意味のある構造となること、および任意のコンパクト化の中で極小であるという事実にある。不利な点は、それがハウスドルフコンパクト化を与えるのがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間のクラスに限られることであり、この点は任意の位相空間というより広範なクラスにおいて存在するとは異なる特徴ということになる。
動機付け.
この例はすでに一般の場合の鍵となる考え方を含んでいる。
位相空間 からコンパクトハウスドルフ空間 への埋め込み で稠密な像を持ち、埋め込み像の補集合 (remainder) が一点: となるならば、 はコンパクトハウスドルフ空間において開、したがって局所コンパクトハウスドルフであるから、それに同相な原像 も局所コンパクトである。さらに言えば、 がコンパクトならば は において閉であり、したがって稠密でない。よって、一点コンパクト化ができる空間は、コンパクトでなく、局所コンパクトかつハウスルドルフであることが必要十分である。さらに言えば、そのような一点コンパクト化において各 の基本近傍系の像は の基本近傍系を与え、また（コンパクトハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトとなるための必要十分条件はそれが閉であることだから） の開近傍はちょうど の補コンパクト部分集合の による像に を添加して得られる集合でなければならない。
定義.
既にみたように、以下のような性質が満たされる:
上で述べたように、一点を付け加える任意のコンパクト化はアレクサンドロフコンパクト化（に同型）でなければならない。また、 がコンパクトでない任意のチホノフ空間とするとき、その任意のコンパクト化の同値類全体の成す集合 上の自然な半順序のもと、任意の極小元はアレクサンドロフ拡大と同値になる。したがって、コンパクトでないチホノフ空間が極小コンパクト化を持つための必要十分条件が、それが局所コンパクトであることである。
例.
函手として.
アレクサンドロフ拡大を、位相空間の圏（固有連続写像を射とする）から連続写像 を対象とする圏への函手と見ることができる。
後者の圏において から への射とは、 を満たす連続写像の対 : formula_1 を言う。
特に、同相写像全体の成す空間はアレクサンドロフ拡大の空間に同型である。