ファン・ホーベ特異点

ファン・ホーベ特異点とは結晶の状態密度（DOS）でみられる特異点（滑らかでない点）のこと。
ファン・ホーベ特異点が生じる波数ベクトルは、ブリルアンゾーンの臨界点と呼ばれる。
3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が微分可能でなくなる。
ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、光吸収スペクトルの解析である。
ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者レオン・ファン・ホーベがフォノンの状態密度について最初に取り扱った。
理論.
"N"粒子サイトからなる1次元格子を考える。
各粒子サイト間の距離は"a"で、全長はL = "Na"とする。
ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。
ここでformula_2は波長、"n"は整数である。
正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。
この格子中の波動の波長は最短で"2a"であり、このとき最大の波数formula_3となり、|n|は最大値formula_4となる。
状態密度"g(k)dk"を、波数ベクトルが"k"から"k+dk"である定在波の数として定義する。
3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、
ここでformula_7は"k"空間での体積要素である。
また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子２を掛ける必要がある。
連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。
ここでformula_9はk空間での勾配である。
"k"空間での位置の組（粒子エネルギー"E"に対応）は"k"空間で面を作り、"E"の勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。
このエネルギー"E"についての関数である状態密度は、
ここで積分は定数"E"の面formula_11にわたり行う。
formula_12が面に直交し、"E"の勾配に平行となるような新しい座標系formula_13を選ぶことができる。
この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、
"dE"は次のように書ける。
"g(E)"の式に代入すると、
ここでformula_17項は、定"E"面の面積要素である。
formula_18の式は、分散関係formula_19が極値となるformula_20点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。
ファン・ホーベ特異点はこれらのformula_20点でのDOS関数で起こる性質である。
詳細な解析によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。
3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。
関数g(E)は平方根特異性（図を参照）をもつ傾向にある。
自由電子のフェルミ面では、
2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSはformula_24がゼロとなるところで無限となる。
測定.
固体の光吸収スペクトルは、バンド構造からフェルミの黄金律を用いて計算される。
そこで評価される行列要素は双極子演算子formula_25である。
ここでformula_26はベクトルポテンシャル、formula_27は運動量演算子である。
フェルミの黄金律で現れる状態密度は結合状態密度（JDOS）で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。
光吸収は、双極子演算子の行列要素（振動子強度）とJDOSの積によるものである。
2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。
グラファイト（擬２次元）やBechgaard塩（擬1次元）のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。
ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ（SWNT）の光強度で重要となる。
グラフェンのディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。
ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示す。