多項式函数 (初等数学)

初等数学における多項式函数（たこうしきかんすう、）または整函数 (function defined by integral expression) とは
なる形の函数の和となっている函数を言う。この函数 は次数 のあるいは -次の単項式函数と呼ぶ。すなわち、多項式函数は単項式函数の和である。
一般に、初等数学で扱う多項式函数は実数全体 上で定義され に係数を持つが、場合によっては複素数全体 上で定義され に係数をとる多項式函数を考えてもよい。これらの多項式函数は、定義域や係数を や 以外に取る一般の多項式函数の特別の場合になっている。
用語の濫用で、しばしば多項式函数のことを単に多項式と呼ぶので、多項式函数と形式多項式とが混同されがちである。初等数学の枠組みではこの混同はさほど問題とはならないが、一般の抽象代数学では誤った理解につながりかねないので注意すべきである。
例.
記法の混乱を避けるため、以下で扱う多項式函数の定義域は常に formula_2または formula_3 とする。
多項式の根.
多項式 に対し、 を満たす定数 は多項式 の根と呼ばれる。このとき、 は一次二項式 で割り切れることが示せる（因数定理）。 
多項式の決定.
 または 上定義された 次多項式函数が、 より大きな回数 になることはないことが示せる。したがって、次数が高々 の二つの多項式が、 個より多くの点で一致しているならば、両者が恒等的に一致（次数が等しくかつすべての係数も等しい）していなければならない。これを「多項式の決定」(identification; 同定) あるいは係数比較という。
これは特定の式に対するより良い近似式を見つける方法を与える効果的な性質である。
対称性の要素.
多項式函数 のグラフが -軸 を対象の軸に持つための必要十分条件は、 に現れるすべての単項式の次数が偶数となることである。おそらくこの性質が、グラフが を対称の軸にもつ任意の函数を偶函数と呼ぶ由来である。
同様に、多項式函数 が原点 を対称の中心に持つための必要十分条件は、 に現れるすべての単項式の次数が奇数となることである。奇函数を参照。
初等解析学.
一次函数および二次函数の解析学的性質はよく知られている。より高次の多項式函数についても、いくつか知られた事実がある。
 上定義された多項式函数は の各点で微分可能である。正整数 に対し、単項式 の導函数は で与えられる。定数単項式の導函数は零函数である。
多項式函数の無限遠への極限は、そのもとも高い次数の単項式の極限に一致する。
いくつかの話題への導入.
初等数学の範疇には三次多項式の根を求めるカルダノの公式も四次方程式の根に対するそれも含まれていない。そのような方法の存在は五次より大きな多項式の求根に対する一般公式の存在をにおわせるが、実はそのようなものはないのである。
二次多項式に対する根の存在は「 に係数をとる -次の多項式が（重複度まで込めて） 個の根を に持つ」ことを述べた代数学の基本定理に対する最初の入り口である。