サルとココナッツ

サルとココナッツ（）は、無人島に流れ着いた5人の水夫と1匹のサルがココナッツの山を分け合うという設定の数学パズルで、ディオファントス方程式に関連した問題である。
歴史.
この問題は、アメリカの長編・短編作家が古くからあった問題を改作してサタデー・イブニング・ポストの1926年10月9日の号に掲載したことで悪名高く知られるようになった。ここにウィリアムズ自身が記した形で問題を述べる：
サタデー・イブニング・ポストには問題の答えを知りたいという2000通以上の手紙が殺到した。編集長のはいみじくも即座にウィリアムズに打電してこう伝えた："FOR THE LOVE OF MIKE, HOW MANY COCONUTS? HELL POPPING AROUND HERE（後生だから、ココナッツはいくつか教えてくれ。こっちはすごいことになっている）." ウィリアムズには続く20年、答を尋ねる手紙が届き続けることになる。
ウィリアムズはより混乱を誘うため、古くからあった問題を改作していた。古い版では、最後の分配のときもまずサルに1個やってからちょうど5等分することになっている。ウィリアムズ版では最後に残る山はそのままで5等分できる。
マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン1958年4月号上の彼のコラムの中でこの問題を特集している。彼はこの問題がお気に入りだと息子のジムにかつて言っており、後にコラムのベスト集 " "The Colossal Book of Mathematics" "で第1章にしているほどである。彼は、サルとココナッツの問題は「おそらく、最も多く挑戦され、最も正解者が少ない」代数のパズルだと言っている。以来、ウィリアムズ版の問題はの定番になっている。この問題を含んだ元の物語は1962年のの選集、" """ （"magpie"とはカササギのことだが、「何でも集めたがり屋」の意味もある）に全文が載るかたちで再版されることとなった。この本はの、大学学部生向け数学図書室への推薦図書となっている。
解.
ガードナーは彼のコラムの中で、オリジナル版、ウィリアムズ版の双方に完全な解析を与えた。彼はまず、比較的ややこしくないオリジナル版から着手した。"N" を最初にあったココナッツの数、"F" を翌朝の最後の5等分でそれぞれの水夫が受け取ったココナッツの数とする。このとき、次のディオファントス方程式が成り立つ：
ガードナーの指摘では、この方程式は試行錯誤で解くには複雑すぎる。さらにこの方程式には無数の解が存在する。実際、もし"(N, F)" が解なら、任意の整数 "t" に対して "(N + 15625 t, F + 1024 t)" も解である。このことから、解には負の整数も現れることがわかる。絶対値の大きくない負数をいくつか試してみると、"N = -4, F = -1" が解になっていることがわかる。これではココナッツの数がマイナスとなって不合理なので、-4に15625を、-1に1024をそれぞれ加えることで、最小の正整数解 "(15621, 1023)" が得られる。ガードナーはこのケースを一般化した問題を解き、さらにウィリアムズ版の解を "N =" と求めている。