自由代数

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。
定義.
可換環 に対し、 不定元 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由 加群である。この 加群は積を以下のように定義して 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合
であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば 代数における積は 双線型でなければならないからである）。この 代数は と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 に対して、 上の自由（結合的単位的）-代数は
に語の積が結合となる -双線型な積が入ったものである、ただし は 上の自由モノイド（すなわちアルファベット 上の語すべてからなるモノイド）を表し、formula_3 は外部直和を表し、 は1元、語 上の自由 加群を表す。
例えば、 において、スカラー に対して、2元の積の具体例は formula_4 である。
自由 -代数 は自由モノイド の 上のモノイド環 と同一視できる。
多項式との対照.
アルファベット 上の語全体は の基底をなすから、 の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：
ただし formula_6 は の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ の元が「変数」（あるいは「不定元」 の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元 formula_7 はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、 代数 は「 上の 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば は と等しくない。
より一般に、任意の生成元の集合 上の自由代数 を構成することができる。環は 代数と見なすことができるから、 上の自由環 (free ring) は自由代数 として定義できる。
体上では 不定元の自由代数は 次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。
 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は 代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。
可除環上の自由代数はである。