フレシェ分布

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フレシェ分布（) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。
フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する。
研究の発展.
モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた。
定義と性質.
フレシェ分布の累積分布関数は
である (Alves & Neves 2011) 。ここで、"α" > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は
となる。
フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。
ここで、formula_13はガンマ関数であり、
である。
ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる。
一般化フレシェ分布.
位置パラメータ "m"（最小値）と尺度パラメータ"s" > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる。
一般化フレシェ分布の累積分布関数は
である。
一般化フレシェ分布の確率密度関数は
となる。