CIE 1931 色空間

CIE1931色空間（シーアイイー 1931 いろくうかん) あるいはCIE1931表色系（シーアイイー 1931 ひょうしょくけい) は、電磁波の可視スペクトル域における物理的な色（複数の波長から構成される) と、心理学的な人間の色覚における知覚色との間の関係を初めて定量的に定義した色空間である。これら色空間により定義される数学的な関係式は、カラーマネージメントに欠かせないツールであり、印刷用インキ・トナーやディスプレイ、デジタルカメラなどの記録装置を扱う場合において非常に重要な情報になっている。
CIE 1931 RGB色空間、及びCIE 1931 XYZ色空間の2つの色空間が、1931年に国際照明委員会 (CIE)により定義された。 これらの色空間は、1920年代後半に行われたウィリアム・デビッド-ライト とジョン・ギルド の複数の実験結果から導き出された。この実験結果を統合してCIE RGB色空間が定義され、そこからCIE XYZ色空間が派生して定義された。
CIE 1931 色空間は、1976年にCIE LUV色空間が定義された現在でも広く使用され続けている。
三刺激値.
正常なヒトの目には3種類の錐体細胞があり、波長のピークの感度において、それぞれ短波長 ("S", –)、中波長 ("M", –)、長波長 ("L", –) を感知する錐体細胞に分類される。これらの錐体細胞によって、ヒトの中～高輝度の条件下に於ける色覚が知覚されている（非常に弱い光のもとでは色覚は感じられなくなり、替わって桿体細胞が働くことで、色は感じなくてもモノクロの視覚を感知できる）。この三刺激値はそれぞれ、3種類の異なる刺激レベルをもつ錐体細胞と対応し、原理的にはすべての色を感知することができる。 3種の錐体細胞スペクトル感度におけるスペクトルごとの総和をもとめることで、三刺激値が得られ、この三刺激値で物体の色のスペクトルを表現することができる。このS、M、L三つのパラメータによりLMS色空間と呼ばれる3次元空間を表現できる。LMS色空間はヒトの色覚を表現するために考案された複数の色空間の一つである。
色空間は、物理的に生成された色（混合光、顔料など）を、特に三刺激値のような、目の色覚を表す客観的な表現に置き換えるものである。LMS色空間のように常に錐体細胞のスペクトル感度を直接定義するようなものではない。三刺激値に基づく色空間は、3色による加法混色モデルにおける三原色の総和を概念化したものと関連づけられている。LMS色空間やXYZ色空間のような一部の色空間においては、各々の原色は現実の色としては存在せず、どんなスペクトルの光をつかっても実現させることはできない。
CIE XYZ色空間は、平均的なヒトが知覚することができるすべての色を包含している。 このため三刺激値によるCIE XYZ色空間はデバイス非依存の色表現である 。CIE XYZ色空間を標準として用いて、他の多くの色空間が定義されている。LMS色空間のスペクトル感度曲線のような等色関数を用いて（負の値を持つか持たないかに限らず）、物理的に生成された光のスペクトルを特定の三刺激値に関連付けている。
様々な異なる波長が混合された二つの光源について考える。そのような光源は同じ色として認識されることがある。これを（メタメリズム) という。そのような同じ色と知覚される光源同士においては、光源がそれぞれどんなスペクトル分布であっても、二つの光源ともに同じ三刺激値を持っている。
殆どの波長においては、錐体細胞のスペクトル感度においてS, M, Lそれぞれのカーブが相互に重なっているため、二種類あるいは三種類の錐体細胞が刺激される。このため、一つの三刺激値のみを表すことは物理的に不可能である（例として、LMS三刺激値におけるM成分がゼロでない時、L成分もS成分もゼロにはなり得ない）。さらには、LMS三刺激値において、三原色の加法混色の色空間（例えばRGB色空間）では、単波長の色は少なくとも三色のうち一色は負の値になる。これは、三原色により定義される三角形の外側に色度が位置しているためである。このような負の値をもつRGB値を避けるため、および一つの成分が知覚的明度と一致するために、このような仮想上の原色が定義され、対応する等色関数が定義されている。CIE 1931色空間において、この三刺激値がそれぞれX, Y および ZとしてXYZ色空間上に定義されている。XYZすべての組み合わせにおいては、正の値のみを持つ。X, Y, Zの単色に相当する位置である[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0,0,1]に対応するのは、LMS表色系に於いて表現できる色の外側に位置する架空の色であり、これら架空の単色はどの波長分布の色とも一致せず、物理的には存在しない色である。
の意味.
CIE 1931モデルにおいて、成分は輝度、成分は近似的に（CIE RGBの）青の成分、成分はCIE RGBの3成分を混合したものであって、負の値にならないように選択されている（を参照）。成分を輝度とすることにより、任意のの値に対し、からなる平面はその輝度において表現可能な全ての色度を確認することができる。
 およびの三刺激値の成分の単位はしばしば任意に選択されるため、あるいはがカラーディスプレイが表現できる最も明るい白となる。この場合、の値は相対輝度となる。に対する白色点の値は標準光源から特定することができる。
1950年台に錐体細胞の特性が解明されるよりも遥か以前に、の値が定義されたため、その生理学的な意味が解明されるのも20年以上後になってからであった。1980年台に定義されたHunt-Pointer-Estevez行列により、 とLMSが関係づけられた。
異なる定義としては、Zの値はS錐体の反応から定義されており、Yの値はLおよびM錐体の反応を混合したもので、Xの値はLMSの３つの錐体全ての混合であると言える。すなわち、XYZの値はヒトのLMS錐体細胞の感度に類似するよう定義されているが、LMS錐体細胞の感度と完全一致するものではない。
CIE測色標準観察者.
三刺激値は、目の中の錐体細胞の分布状況により、観察者の視野に依存し変動してしまう。この依存性を排除するため、CIEは測色標準観察者を定義し、中心窩から2度の視野角で得られるヒトの標準的な色覚を定義した。この2度という角度は、中心窩から2度以内の場所に、色を知覚する錐体細胞が分布していると考えられていることから定義されている。この"CIE 1931 測色標準観察者"は"CIE 1931 2°測色標準観察者"とも呼ばれている。また、より新しい測色標準観察者として、"CIE 1964 10°測色標準観察者"が、スタイルス、バーチ およびスペランスカヤ により定義されている。
この10°視野角での実験では、観察者は中央から2°の範囲内は無視することにより実験が行われた。このCIE 1964 測色補助標準観測者は、4度以上の視野角での利用に推奨される。これらの測色標準観察者は両方とも、380 nm ～ 780 nm の波長域で  の離散化で行った上でCIEから配布されている 。全て実験から得られたデータは補間されて計算されている。測色標準観察者は三つの"等色関数により特徴づけられている"。
等色関数.
CIE等色関数 formula_2, formula_3 および formula_4  は、観察者（上記)の色覚応答を数値で表したものである。これはCIE X, Y, Zの三刺激値のスペクトル感度とも考えることが出来る。あわせて、これら三つの関数はCIE測色標準観察者機能として知られている。
解析的な近似.
ルックアップテーブルを用いた出力値の特定は、時にテーブルが巨大になり、実装が難しくなる。このためCIE XYZ等色関数はガウス関数による下記のような近似が可能である。
"g"("x") を区分ガウス関数とすると、
ここで、"g"("x") は頂点がのガウス分布曲線を近似しており、標準偏差"σ"が頂点から左側の曲線の広がりを表し、"σ"が右側の広がりを表す。ナノメートル単位で計測された波長"λ"を用いて、CIE 1931等色関数は下記のように近似できる。
頂点から左右に分割を行わず、一つのガウス関数で近似をすることも可能である。実際CIE 1964では一つのガウス関数を用いている。
CIE XYZ等色関数では正の値のみが使われ、全ての色は正のXYZ座標で表現される。その他の、例えばCIE RGB色空間やその他のRGB色空間のような測色標準観察者は、異なる三つの等色関数により定義され、それぞれの値は負の値も含む。よってそれぞれの色空間では負の座標を含む。
スペクトルからの計算.
色光の場合.
この三刺激値は、測色標準観察者における色の分光放射輝度 "L"e,Ω,λ を用いて:
ここで、formula_8は単色光 (単位: ナノメートル）である。通例的に、積分区間はformula_9である。
X, Y, Zの値は、分光放射輝度"L"e,Ω,λ で囲まれる域内に分布される。
色料の場合.
色料の場合も色光と非常に似ているが、分光放射輝度"L"e,Ω,λは色料の反射率または透過率"S(λ)"と光源の分光分布"I(λ)"との積に置き換えられる。
ここで、 
"K"は換算係数であり、通常1から100の値を取る。formula_8は単色光相当の光の波長 (単位: ナノメートル）である。 積分区間はformula_9である。
CIE xy色度図とCIE xyY色空間.
ヒトの目には、三種類の色を感知するセンサーがあり、異なる領域の波長を感知するため、視覚可能な色をプロットしていくと三次元の図となる。一方で色の概念は、輝度と色度に分類される。例えば、白色は明るい色として定義され、灰色は白色の輝度が低い色ということが出来る。言い換えれば、白色の色度と、灰色の色度は同じであるが、輝度のみが異なる、といえる。
CIE XYZ色空間は、意図的にY成分が輝度となるよう設計されている。色度はxおよびzで表され、三つのうちの二つの、三刺激値X, Y, Zを用いて正規化した値:
x, yとYを用いて定義されるのがCIE xyY色空間で、これも広く用いられている。
三刺激値のうちXおよびZは、色度値xおよびy,Yから下記のように計算される:
色度図を右に示す。 外側の曲線の境界線は、"スペクトル軌跡と呼ばれ、"ナノメートルで定義される波長が併記されている。色度図は、あるスペクトルの光がヒトの目にどのように見えるかを表すために使われる。よって、物体（あるいは印刷インキ）の色度は光源に依存するため、これを色度図でを用いることは出来ない。
数学的には、色度図の色は射影平面の領域と一致する。
色度図には、CIE XYZ色空間において下記の注目すべき点が挙げられる:
CIE XYZ色空間の定義.
CIE RGB色空間.
CIE RGB色空間は、RGB色空間の一つであり、原色がそれぞれ単波長光である特徴を有する。
1920年代、ウィリアム・デイヴィッド・ライト とジョン・ギルド がそれぞれ別々に行った、ヒトの視覚に関する複数の実験結果を基にして、CIE XYZ色空間は定義されている。ライトの実験では、3色による等色実験が10人の被験者により行われ、ギルドの実験では7人の被験者により行われた。
これらの実験は、円形状のスクリーンを、ヒトの中心窩の角度と同じ角度である2度で分割したものを用いた。片側には試験色が投影され、もう一方には被験者が調整することの可能な色が投影できる。この調整可能な色は、3原色の混合色であり、3原色それぞれの色度は固定されていたが、輝度は調整する事ができるようになっている。
被験者は、双方の色が一致するまで、三原色の輝度を調節していく。しかしながらこの方式では、すべて試験色を混合色と一致させることができなかった。このような一致できないケース（主に緑）において、試験色側に単色光のうちの一つ（赤）を混色させることで、残り2つの単色光と一致させることができた。このように試験色側に単色光を混色させる場合は、負の値の単色光が混色されることとして扱われる。このように負の値を混色していくことで、ヒトの色覚できる範囲のすべての色を包含することが可能となった。試験色側が単波長光の場合、波長を横軸として、各々の単色光の光量をプロットすることができる。このようにして定義される、特定の実験における3つの関係式を"等色関数"と呼ぶ。
ライトとギルドの等色実験においては、複数の種類の原色が用いられ、複数の被験者により行われたが、これら実験結果はすべて、700 nm（赤)、 546.1& nm（緑）および 435.8 nm（青)の原色により得られたCIE RGB 等色関数 formula_19, formula_20, および formula_21 (CIE 1931)　により正しく定義される。ここで、 formula_19 および formula_20 は  でゼロ、 formula_19 および formula_21 は でゼロ、 formula_20 および formula_21 は でゼロとなる。これは、これらの波長の点では、原色光が定義されているため、混色されないためである。単色光  と は、水銀蒸気の放電現象により容易に再現させることができたため、選択された。 の単色光は、1931年時点では容易に再現させることは難しかったが、ヒトの目の色覚において差異を殆ど知覚できず、波長の少しの差異が全体に及ぼす影響が少ないため、選択された。
この等色関数および単色光は、審議を経てCIEの特別委員会により承認された 。単波長光および長波長光の限界の値は、ヒトの目の色覚が 810 nm 程度までしか知覚できず、緑の光に比べればその感度は1000分の1程度しか無いため、ある意味適当に選択された。これら等色関数は、"1931 CIE測色標準観察者"としても定義されている。 各々の単色光の輝度を定義するのではなく、それら単色光の結果得られる不変の領域を表す曲線を定義している。この領域は、下記で与えられた特定の値になる
この標準化された等色関数は、光源の輝度においてr:g:bの比が1:4.5907:0.0601、真の等色関数を再現する放射輝度において 72.0962:1.3791:1となる。このように単色光を提案することで、CIEは客観色の表記法を確立した。
このような数値化された等色関数により、ある色のRGBの三刺激値は、スペクトル分布 formula_29 を用いて下記のように求められる:
これらはすべて内積であり、無限の次元のスペクトルを三次元色に投影していると考えることが出来る。
グラスマンの法則.
ではなぜライトとギルドの実験結果が、異なる意図に基づく異なる原色光においても成立するのか？また、試験色が単波長光と一致しない場合はどうなる？という疑問が生じる。これら疑問への回答は、ヒトの色覚の線形性（近似的にほぼ線形性）に関係している。この線形性を表すのがグラスマンの法則である。
CIE RGB色空間は通常、色度を表すのに利用される。ここで色度座標における"r", "g"および "b" は:
ライトとギルドの実験結果からCIE XYZ 色空間へ.
CIE RGB等色関数を使ったヒトの視覚のRGBモデルの確立の過程で、CIE特別委員会のメンバーはCIE RGB色空間と関連しつつも異なる別の色空間を定義しようと考えた。その色空間はグラスマンの法則を踏襲しつつ、CIE RGB色空間を線形変換することが検討された。この新たな色空間は、上記記載の3つの新たな等色関数
formula_2, formula_3, および formula_4 を導入することになった。この新たな色空間は下記の必要条件を考慮に検討が重ねられた:
幾何学的観点においては、この新たな色空間を定義することは、"rg"色度座標上に新たな三角形の領域を定義することと等価である。右上の図で、"rg"色度座標はCIE 1931測色標準観察者の色域にそった2つの黒線の軸で描かれている。赤色の線はCIE "xy" 色度軸であり、上記必要条件を満たすように決められた。上記必要条件のXYZ座標値が負の値を取らないという条件については、Cr, Cg, Cbが標準観察者の色域すべてを包含することと等価である。Cr と Cb を結ぶ直線は、formula_3が輝度と一致するという条件を満たす。この直線は輝度がゼロの直線であり、無輝面と呼ばれる。formula_4が以上においてゼロであるという条件の意味は、Cg と Crを結ぶ直線が、 色域内のKrの領域と接していることを表す。これは Cr の位置を表す。すべての光の強さが等しい点で となる条件は、Cb とCgの交差する点を制限する。最後に、条件の一つである色域が三角形領域に内包されるについては、緑色の領域の色域に近接するCg と Cbを結ぶ直線に第二の制限を与える。
これらの変換は、CIE RGB色空間からXYZ色空間への線形変換として定義できる。こうしてCIE特別委員会で定義された変換式は下記である:
変換行列内の数値および小数点の数については、CIE の標準が定義する数値そのものである。
上記行列の逆行列はCIEでは定義されていないものの、以下のように近似できる:
上記条件3から、XYZ等色関数の積分値はすべて等しくなり、条件2の比視感度の積分値からこれらの値が設定される。このため感応曲線はある程度の恣意的な値が見込まれる。X, Y, Zの感応曲線の形状は十分な精度で測定することができる。しかしながら、被験者は2つの光源が、仮に全く異なる色度であっても等しい明るさを持つかを判断しなければならないため、全体の明度曲線（実際にはこれら3曲線により重みづけの影響をうける）は主観的データである。同じ直線上において、X, Y, Zの曲線の相対的大きさは恣意的に選択されたデータである。さらには、Xの感応曲線は2倍の強さをもつものでさえ、有効な色空間として定義できてしまう。この新たな色空間は、異なる形状をもつことになる。このCIE 1931および1964 XYZ色空間の感応曲線は、これら感応曲線により同じ領域に線形写像することができる。