マッカラーの公式

マッカラーの公式（マッカラーのこうしき、）は、球状でない物体が、物体から十分に離れてはいるが、物体の径と比べれば極端には離れていない点で作る万有引力の場を記述するのに重要な公式である。万有引力ポテンシャルの基本的な定義が基になっているが、ポテンシャルの一般的なラプラス展開をするのではなく、2次近似までで切ることで得られる。測地学の理論や地球物理学で広く用いられる。
万有引力ポテンシャルの一般表示.
球面座標系で、ポテンシャルが作られる点 formula_1（位置 formula_2）、ポテンシャルを作る点 formula_3（位置 formula_4）の動径成分をそれぞれ formula_5 、formula_6 とする。座標の原点 formula_7 は当面は任意としておく。ベクトル formula_2 と formula_4 が成す角を formula_10 、formula_3 での体積要素を formula_12 、物体Bの全質量を formula_13 と書く。このとき、物体Bによって作られる万有引力ポテンシャルは一般的に
と書ける。ここで 
で、formula_16 はニュートンの万有引力定数である。
formula_17 のとき formula_18 だから、formula_19 とおくと 
よって、
が得られる 
。これより formula_1 での万有引力ポテンシャルは次のようになる。
マッカラーの定理.
このように万有引力ポテンシャルの2次までの近似 formula_24 は、formula_25, formula_26, formula_27, formula_28 の4つの項に分解できることがわかる。つまり
第1項
は球対称な質量分布のポテンシャルに対応する。これは物体の全質量が1点に集められている場合と同じである。減少の度合 1/r が他の項と比べ緩やかであるため、非常に遠距離ではこの項が支配的となる。これは惑星のケプラー軌道を確立するのに用いられた、古典的なニュートンポテンシャルである。単極子（monopôle）、または単極子的質量分布（distribution de masse monopolaire）と呼ばれる。
第2項
は双極子（dipôle）、または双極子的質量分布（distribution de masse dipolaire）に対応する。座標の原点を物体の質量中心に一致させると、この項は消える。実際、右の図を参照すると次のように書くことができる。
ここで formula_33 は物体の質量中心の Ox-軸成分。
第3項と第4項、formula_34, formula_35 は四極子（quadrupôle）、または四極子的質量分布（distribution de masse quadrupolaire）である。formula_34 の計算を続けると 
となる。ここで formula_38, formula_39, formula_40 はそれぞれOx, Oy, Oz-軸のまわりの慣性モーメントを表す。慣性モーメントの平均 formula_41 を 
とおくと、
となる。formula_35 に対しては、
ここで formula_46 は formula_47-軸のまわりの慣性モーメントである。これより、次のマッカラーの公式（マッカラーの定理とも）が得られる。
この公式は、地球や他の惑星等の球状に近い物体に適用するのに非常に便利である。物体に何らかの対称性があれば、近似は十分遠距離でも有効である。明らかに、2次までの近似であることから有効な適用範囲には限界があり、外部重力場をさらに正確に表すためにはより高次の調和関数が必要になる。
対称性のある物体に対するマッカラーの公式.
質量中心を通る軸 formula_47 のまわりの慣性モーメントは、慣性テンソルを表す 3×3行列を対角化することで得られる主慣性モーメント formula_38, formula_39, formula_40 を使って
と書くことができる。ここで formula_54, formula_55, formula_56 は formula_47 （単位ベクトル）の慣性主軸 Ox, Oy, Oz への方向余弦を表す。
物体が Oz-軸を中心に回転する（Oz について軸対称である）と仮定する。このとき formula_58 である。formula_59 を formula_47 が Oxy-平面となす角とする。このとき formula_61 であり、formula_62 だから方向余弦は
である。formula_58 としているので、マッカラーの公式は
となる。慣性モーメント I は
となるから、回転体に対するマッカラーの公式は最終的に次の形になる
地球の力学的形状係数.
軸対称性があるとき、万有引力ポテンシャルの多重極展開を2次まで行ったものは常に次の一般式で書ける。 
ここで 
は2次のルジャンドル多項式である。地球の場合、2次の帯調和重力係数 formula_70 はしばしば地球の力学的形状係数（facteur de forme géodynamique）と呼ばれる。この式をマッカラーの公式と等しいと置くと、
この最後の関係式もマッカラーの公式と呼ばれることがある。