バーンサイドの定理

数学におけるバーンサイドの定理（バーンサイドのていり、）は、位数が素数 "p" , "q" と非負整数 "a" , "b" により
と書ける有限群 "G" は必ず可解群になることを主張する群論の定理である。この定理は位数が "p" と書ける有限群（"p" 群）は必ず（冪零群であるから）可解群になる、というよく知られた主張の拡張と見做せる。これより、任意の非可換な有限単純群の位数は少なくとも3個以上の素因数を持たねばならない。
バーンサイドの定理は次のフィリップ・ホールによる名高い可解群の特徴づけの特別な場合である。
歴史.
この定理はウィリアム・バーンサイドにより有限群の表現論を使って証明された。いくつかの特別な場合は既にバーンサイド、ジョルダン、フロベニウスといった数学者によって証明が与えられていた。ジョン・G・トンプソンは自身のN群の理論によって表現論を使わない証明が得られると指摘し、実際に位数が奇数の場合の証明、位数が偶数の場合の証明が与えられた。 は証明を簡単にした。
証明.
背理法による。
"p" ,"q" を固定する。位数がこの形で書けるような非可解群がもし存在するなら、その中で位数が最小となるものがあるから、はじめから "G" がそのような位数最小の群であるとしてよい。
"G" が自明でない正規部分群 "H" を持てば、位数の最小性より "H" と商群 "G"/"H" はともに可解群になるから、"G" も可解群となって矛盾する。よって "G" は単純群である。
"G" の中心 "Z"("G") は "G" の正規部分群だが、"G" は可換群ではあり得ないので "G" 自身とは一致せず、よって単位元のみになるしかない。
"a" または "b" が0だとすると、"G" は有限 q-群（または有限 p-群）であり、よって冪零群となり、従って可解群になって矛盾する。
シローの定理より、"G" には位数 "pa" の部分群 "S" が存在する。"S" は非自明な "p"-群だから、その中心 "Z"("S") は非自明である。そこで単位元でない formula_2 がとれる。
"g" と共役な元の個数は共役作用についての固定部分群 "Gg" の指数 ["G" : "Gg"] に等しく、それは "S" の指数 "qb" を割り切る。なぜなら "S" は "Gg" の部分群だからである。
よって共役な元の個数は "qd" の形に書ける。さらに "g" は単位元でなかったから "G" において中心的でなく、整数 "d" は正である。
以下、群 "G" の複素数体 C 上の一般線型群における表現を考察する。
(χi)1≤"i≤h" を "G" の C 上の既約指標全体（ χ1 は自明指標）とする。"g" は単位元 1G と共役でないから、群の指標表における直交関係より
formula_3
ここで χi("g") は正則行列 ρ("g") の固有値の和に等しいが、ρ("g") の最小多項式は formula_4 を割り切るので、固有値はみな1の冪根である。よって χi("g") は代数的整数である。
もし、χ("g") が0にならないような全ての非自明な既約指標について χ(1G) が "q" で割り切れるならば
formula_5
となる。ところが左辺は有理整数でない有理数だから代数的整数ではなく、右辺は代数的整数の有理整数倍の和だから代数的整数であり、矛盾する。よって望んでいた条件を満たす既約指標の存在が言えた。
"G" 上の任意の有理整数値類関数 "u" に対し、群環の一般論より
formula_6
は有理整数環 Z 上整であり、特に "g" の共役類上で1、それ以外で0をとるような類関数 "u" を選んだときの
formula_7
は代数的整数である。
"q" と "n" は互いに素だから、ベズーの補題より有理整数 "x" , "y" で
formula_8
を満たすものが存在する。この左辺は代数的整数の有理整数倍の和だから、代数的整数になる。
複素数 ζ := χ(g)/n は代数的整数だから、そのノルム "N"(ζ) （ ζ の Q上の最小多項式の根全体（共役数）を掛け合わせたもの）は0でない有理整数になる。
ζ およびその共役数はいずれも1の冪根（ρ("g") の固有値）の算術平均なので、絶対値は1以下である。一方それらの積 "N"(ζ) は1以上だから、絶対値はちょうど1でなければならない。
特に ζ の絶対値は1であり、これは ρ("g") の固有値が全て等しいことを意味する。よって ρ("g") の対角化を考えると、 ρ("g") 自身が単位行列の複素数倍であることがわかる。
"N" を ρ の核とする。ρ("g") は像 Im(ρ) において中心的であるが、 "g" は "G" において中心的ではない。"G/N" と Im(ρ) が標準的に同型である（ formula_9 ）ことを考えると、"N" は単位元以外の元を含む。ここで "G" は単純群だから、"N" は "G" と一致する。ところがこれは、 ρ は自明表現でないとしていた仮定と矛盾する。
以上よりバーンサイドの定理は証明された。Q.E.D.