点付き空間

数学における点付き空間（てんつきくうかん、; （基）点付き（位相）空間）は、基点 () と呼ばれる区別を受ける点を備えた位相空間を言う。基点というのは、その空間内から選び出された単に特定の一点ということに過ぎないのであるが、しかしいったん選び出されたならば一連の議論の間は基点を変えることはできないし、様々な操作においてその結果として基点がどうなるのかを追うことを免れ得ない。
点付き空間の間の点付き写像 () とは、基点を保つ連続写像のことを言う。すなわち、点付き空間 から への点付き写像とは、写像 が各空間の位相 に関して連続で、 を満たすときに言い、それをふつうは
のように書く。点付き空間は代数的位相幾何学、特にホモトピー論において重要であり、そこでは基本群などの様々な構成が、基点の選び方に依存して定まる。
点付き集合の概念は、点付き離散空間に他ならないから、重要性はやや落ちる。
点付き空間はしばしば、部分集合が一点集合であるような相対位相の特別の場合ととられる。そうすればホモトピー論の大部分は点付き空間上でふつうに展開でき、相対位相を代数的位相幾何学に持ち込むことができる。
点付き空間の圏.
すべての点付き空間のなす類 は基点を保つ連続写像（点付き写像）を射として圏を成す。この圏を得る別の方法として、コンマ圏 と考えてもよい（ただし、 は任意の一点空間で、 は位相空間の圏である）。これはまた でもある。この圏の対象は、連続写像 である（このような射は から基点を選び出すことと理解できる）。圏 における射は、 における射であって、以下の図式 を可換にするものになる。
この図式の可換性が が基点を保つという条件と同値であることを見るのは容易い。
点付き空間としての は点付き空間の圏 における零対象であるが、位相空間の圏 で考えれば終対象にしかならない。
どの点が基点であるかを「忘れる」ことにより、 が得られる。この函手は左随伴を持ち、それは各位相空間 に対して に形式的な基点となるべき一点からなる一点空間 を位相的直和によって付け加える函手になる。