ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

ランダー・パーキン・セルフリッジ予想（ランダー・パーキン・セルフリッジよそう）とは、同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、k乗数の和がk乗数の和と等しい場合、項の数は少なくともk個であるという予想である。フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。
背景.
"a"2 + "b"2 = "c"2 の整数解を求めるディオファントス方程式は、ピタゴラスの定理以来何世紀も研究されてきた。この方程式を拡張し、フェルマーはフェルマーの最終定理として「2より大きい整数 k に対し、 "a""k" + "b""k" = "c""k" は整数解(a, b, c)を持たない」と書き記した。オイラーは項の数と次数を拡張し、整数nとkが1より大きい場合、n個のk乗数の和がk乗数であれば、nは少なくともk以上であると予想した。
式で表すと 1より大きい "n"と、自然数
formula_1
に対して
formula_2
が成立する場合、"n" ≥ "k "である。
1966年には、k = 5でのオイラー予想の反例がLeon J. Lander と Thomas R. Parkin によって示された。
その後、以下に示す k = 4 を含む多くの反例が見つかった。さらに次式は、より狭いオイラーの四次の予想「"a"4 + "b"4 + "c"4 = "d"4 は整数解を持たない」を反証した。
予想の内容.
1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想は、
formula_3
が自然数
"ai" ≠ "bj" （ 1 ≤ "i" ≤ "n" 、1 ≤ "j" ≤ "m"）に対して成立する時、 "m"+"n" ≥ "k"となる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, "m", "n")と略記される。
"m" = "n" = "k"/2 である比較的小さな例には、
や
この予想は "m" = 1 と言う特殊な場合において、
が成立するならば、"n" ≥ "k"−1であることを示す。
"m" = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた "n" ≤ "k "に対してはいくつも解が知られている。例えば、
予想の現状.
この予想が真であるか、また真である場合、 k < 4 に対して "a""k" + "b""k" = "c""k" + "d""k" が成立しうるかは未解決である。