アルクィン数

アルクィン数とは、: formula_1の冪級数の係数の数列であり、アルクィンにちなんでアルクィン数と呼ばれる。。
数列は
と続く。
"n" 番目のアルクィン数は、外周が "n" であるすべての辺が整数である三角形の数に対応する。外周が "n" +6 である、全ての辺の長さが互いに異なる整数である三角形でもある（それぞれの辺の長さに 1, 2, 3を足す）。代数的には、 1 ≤ "a" < "b" < "c" < "a" + "b", "a" + "b" + "c" = "n" + 6 となる("a", "b", "c") の組の数である。
最初の3つの0を除いた数列は、それぞれ "n" 個の空の樽、ワインが半分入った樽、そして満杯の樽を、樽とワインの量が等しくなるように3人に配ることができる方法の数である。この問題は、アルクィンの『Propositiones ad Acuendos Juvenes』（『Problem to Sharpen the Young 』）の問12の一般化である。
この本では、
という形で掲載され、アルクィン数の 10+3 個目に対応する。そのため、5通りの解が存在する（1*5+0*5, 1*5+0*5, 0.5*10）（1*5+0*5, 1*4+0.5*2+0*4, 1*1+0.5*8+0*1）（1*5+0*5, 1*3+0.5*4+0*3, 1*2+0.5*6+0*2）（1*4+0.5*2+0*4, 1*4+0.5*2+0*4, 1*2+0.5*6+0*2）（1*4+0.5*2+0*4, 1*3+0.5*4+0*3, 1*3+0.5*4+0*3）
アルクィン数列という言葉は、1993年に出版された、数学ゲームを扱ったD. Olivastro の本『Ancient Puzzle: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries』に遡る。
最初の3つの0を除いたアルクィン数列は、
の係数に一致する。この数列の方を単に「アルクィン数列」と呼ぶこともある。
また、閉形式では "n" 番目の（0を除かない場合 "n" + 3 番目）アルクィン数は
である。