平面三項環

数学における代数構造 が空でない集合 とその上の三項演算 の組として与えられるとき、三項系と呼ぶ。 は平面三項環（へいめんさんこうかん、; PTR）または三項体 (; ) 特別な種類の三項系を座標として用いて射影平面を構成した。平面三項「環」は、加法と乗法の定められる環類似構造を持つが、厳密には必ずしも環ではない。
用語法には広くバリエーションがある。本項に言う平面三項環を文献によっては別の呼び方をするし、また本項の言うものの変種を平面三項環と呼ぶものもある。短く三項環と言うとき、平面三項環の意味で用いる場合もあれば、より一般の（あるいは別の）三項系の意味であるかもしれない。
定義.
 は少なくとも相異なる二点（それを と書くことにする）を含む集合とするとき、写像 との組 が（右）平面三項環とは、写像 が以下の条件
を満足するときに言う。同様に、左平面三項環は ("T" は右平面三項環の条件を満たす) によって定まる。
 が有限集合のとき、公理 3. と公理 5. は公理 4. の存在のもとで同値である
注意: に関する公理 1., 2. が対 に対して満たされているとき、対 を別の対 に取り換えた公理 1., 2. をも同時に満たすような は存在しない。その意味で と対 は一意に対応する。
三項環の代数構造.
以下に定められる「二項演算」は必ずしも結合的でない。そのことを強調する意味で演算子は丸囲みのものを用いてあることに注意（つまり、以下は直和やテンソル積などではない）。
加法.
 は単位元 を持つを成す。
乗法.
集合 はこの乗法に関して閉じている。 もまた単位元 を持つループになる。
線型三項環.
平面三項環 が線型とは、formula_9 と書けるときに言う。例えば、定義により、 (quasifield)（ヴェブレン–ウェダーバーン系）に対応する平面三項環は線型である。
関連する代数系.
平面三項環がさらに余分に特定の代数的条件を満足するとき、別の名が与えられる。ただし、その名称に関して必ずしも広く定まったものでなく文献によって揺れがあることに注意すべきである。以下は による:
さらに交代体は半体で、斜体は交代体
射影平面との関係.
平面三項環 が与えられたとき、点集合 と直線集合 を以下のように与えて射影平面を構成することができる: （ は に属さない余分の記号であることに注意）
直観的には、 は座標 を持つ点、 は傾き の原点 を出る直線（軸）上の無限遠直線上にある端点、 は無限遠直線上の端点の一方（もう一方は ）であり、また は と を結ぶ直線、 は傾き の軸、 は無限遠直線である。
射影平面の は以下のように与えられる:
任意の射影平面は適当な平面三項環からこの方法で構成することができる。ただし二つの同型でない平面三項環から同型な射影平面が導かれることもある。
逆に任意の射影平面 から、どの三点も同一直線上にない四点 を選び出して、 となるような座標を導入することができて、このとき三項演算は（ 以外の）座標の関係式として となるための必要十分条件を、点 が無限遠点 から へ結んだ直線上にあることと定めることで得られる。射影平面を定義する公理系はこれが平面三項環を与えることを示すのに用いられる。
平面三項系が線型であることは、この付随する射影平面が特定の幾何学的条件を満足することに同値である。また、
より一般に、任意の射影平面 は以下の何れかのレンツ図形をちょうど一つ持つ:
レンツ分類の細分化としてレンツ-バルロッティ分類が知られている。各射影平面 は以下の分類のどれかちょうど一つに当てはまる: