関手圏

圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：
定義.
 を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、 を任意の圏とする。 から への関手全体のなす圏は、, , , などと書かれ、対象として から への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意： が関手 から関手 への自然変換で、 が関手 から関手 への自然変換であるとき、集まり は から への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、 は圏の公理を満たす。
全く同様に、 から への"反変"関手全体の圏を考えることもできる；これは と書かれる。
 と がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、 から への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、 と書かれる。
事実.
 において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、 の各対象に対してバラバラに実行することで、 においても実行できる。例えば、 の任意の2つの対象 と が積 を持つとき、 の任意の2つの関手 と は次で定義される積 を持つ： の任意の対象 に対して 同様に、 が自然変換で各 が圏 において核 をもつとき、関手圏 における の核は、 のすべての に対して なる関手 である。
結果として、関手圏 は のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 がある：
また次も成り立つ：
なので上の例から、有向グラフ、 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、 の表現、環 上の加群、位相空間 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。
先に述べた圏 の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。 の任意の対象 に対して、 を から への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
が圏 の圏 への充満埋め込みであると言っている。したがって は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 に対して実行できる：すると米田は の関手圏 への充満埋め込みを生む。したがって は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感（ で実行できる構成は に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 は（ との合成により）関手 を誘導する。 と が随伴関手の対であるとき、 と もまた随伴関手の対である。
関手圏 は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち は から への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 はしたがってデカルト閉圏である。