アーベルの総和公式

アーベルの総和公式（アーベルのそうわこうしき、）は、級数の変形に関する公式の一つである。
部分和分の一種で、級数の大きさの評価に用いられる（この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある）。
定理.
数列 formula_1 と実数 formula_2 に対し、
その総和を formula_3 と定める。
また関数 formula_4 が formula_5 において微分可能とする。このとき
が成り立つ。
より一般に、formula_4 が formula_8 において微分可能なとき
が成り立つ。
解説.
この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。
また、リーマン＝スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン＝スティルチェス積分を使って
とも表される。
証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。
例.
調和級数 formula_11 について、formula_12 とおくと formula_13 より
が成り立つ。このことから
となる定数 が存在することが分かる。この定数 はオイラーの定数といわれる。