マッカイグラフ

マッカイグラフ（）とは、有限群 と有限次元複素線型表現 から定まる箙であり、 のの構造に関連する情報を表している。箙の各頂点は の既約指標 , …, に対応し、 次元表現 の指標 とのテンソル積 が
と分解されるとき、頂点 から へ 本の矢を描く。
一般線型群 の有限部分群 に対して、 のマッカイグラフとは の自然表現のマッカイグラフを指す。
表現 のカルタン行列 は と定義される。ここで は 次単位行列であり、 は隣接行列 である。 が の元ならベクトル はカルタン行列 の固有値 に対応する固有ベクトルである。
（）に由来するマッカイ対応（）とは、特殊線型群 の有限部分群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純リー代数の に現れる。
定義.
"G"を有限群とし、"V"を"G"の表現とする。formula_2 をその指標とする。formula_3を"G"の既約表現とする。
であるとき、"G"のマッカイグラフformula_5を次のように定義する:
"nij"は内積を考えることにより計算できる。以下の式が成り立つ: 
ここで、formula_13は指標たちの内積 である。
GL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは、そのカノニカルな表現のマッカイグラフとして定義される。 
SL(2, C)の有限部分群については、カノニカルな表現は自己双対であり、従って"nij" = "nji"が任意の"i","j"について成り立つ。故に、SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは無向グラフとなる。 
実は、マッカイ対応により、SL(2, C)の有限部分群と拡張コクセター・ディンキン図形の間にA-D-E型の一対一対応関係がある。 
"V"のカルタン行列"C"を次のように定義する: 
ここでformula_15はクロネッカーのデルタである。