ゾンマーフェルト展開

ゾンマーフェルト展開（ゾンマーフェルトてんかい、）は、アルノルト・ゾンマーフェルトにより開発された、物性物理学およびにおいて頻出する特定の種類の積分を近似する手法である。これらの積分は物理的には、フェルミ・ディラック分布を用いた統計平均を表わしている。
逆温度 formula_1 が大きいとき、これらの積分は formula_1 について以下のように展開できる 
ここで、formula_4 は formula_5 の導関数の formula_6 における値を表わし、 formula_7 は formula_8のオーダーの極限挙動を表わす。この展開は formula_5 が formula_10 において 0 に収束し、かつ formula_11 において "ε" の多項式よりも早く発散しないときにのみ有効である。この積分が 0 から無限の場合、この展開の第一項の積分は 0 から無限となり、第二項の積分は不変である。
自由電子モデルへの応用.
この種類の積分は、自由電子模型における固体のなど、電子の物性を算出する際に頻出する。これらの計算において、上述の展開は物理量 formula_5 の期待値を表わす。このとき、 formula_1 は逆温度、formula_14 は化学ポテンシャルに相当する。したがって、ゾンマーフェルト展開は逆温度 formula_1 の高い（温度の低い）系に有効である。
温度について二次の項までの導出.
温度について二次の項まで展開式を求めたい。ここで、 formula_16 を温度とボルツマン定数の積とする。まず、変数変換 formula_17 により次を得る。
積分範囲をわけて formula_19 とし、 formula_20 formula_21 を施すと次を得る。
次に、formula_20
すると、次を得る。
変数変換 formula_27 により formula_20 の第一項を元の変数に戻し、formula_19 により次を得る。
第二項の分子は、formula_31 が十分に小さく formula_5 が十分に滑らかなとき一次導関数を用いて次のように近似することができる。
これを代入し、次を得る。
この定積分の値は次のように得られることが知られている。
したがって、最終的に次を得る。
母関数.
フェルミ分布のモーメント母関数は以下のような形である。
ここで、 formula_37 であり、ヘヴィサイドの階段関数 formula_38 は発散的な絶対零度分布を引き去っている。これを formula_31 のべき乗で展開した結果の一部を以下に示す。
ボース分布関数の偶数次モーメントの母関数は、以下の形である。