ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題（ジグザグほだい、）は、鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏で通用する。
補題の主張.
任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、formula_1 が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする：
この系列は以下の可換図式の略記であるとする：
ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。
ジグザグ補題は、境界写像（族）
が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する：
formula_4 と formula_5 は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像 formula_6 は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。
境界写像の構成.
写像 formula_6 は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。formula_8 を、 formula_9 に属すある同値類の代表元とする。よって formula_10 。行方向の完全性より formula_11 は全射なので、formula_12 となる formula_13 が存在しなければならない。図式の可換性より、 
再び行方向の完全性より、 
formula_16 は単射だから、formula_17 を満たす formula_18 が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら formula_19 は単射で、かつ formula_20 より
が従うからである（つまり formula_22 ）。formula_23 は輪体なので、formula_24 に属すある同値類の代表元になる。ここで、
と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が "c" と "b" の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。