シフラー点

平面幾何学における三角形のシフラー点（シフラーてん・）は、任意の三角形から一意的に定義できる点である。名称は1985年にこの点を定義したKurt Schiffler()に由来する。
定義.
三角形ABCの内心を I とする。3つの三角形 IAB,IBC,ICA のオイラー線は ABC のオイラー線上の一点で交わる。この交点をシフラー点とする。
証明.
3本のオイラー線が1点で交わることは以下のように証明できる。
三角形 ABC の内心を I、外心を O、垂心を H とする。三角形 IBC の内心を O'、垂心をH' とし、O'H' が OH と交わる点を P、AH と交わる点を A' とする。ABC の外接円の半径を R とする。
O' は ABC の外接円の弧BC の中点である。よって OO'=R。BC の中点を M とすると、2MO'=IH'。IH' と AH は平行なので IH':AA'=O'I:O'A。これらを整理すると HA'=AH+BH+CH となる。
OP:PH=OO':HA' は、A,B,C の取り方によらず一定である。よって3本のオイラー線は1点で交わる。
座標.
三角形の3辺の長さを "a", "b", "c" としたとき、シフラー点の三線座標は以下のようになる。
重心座標では以下のとおりである。
歴史.
Kurt Schiffler は、1985年にカナダの雑誌 "Crux Mathematicorum"()に問題を発表した。1986年に2人のオランダの数学者 G.R.Veldkamp と W.A.van der Spek によって証明が与えられている。この証明の掲載時にこの点を「シフラー点」と命名している。
4本のオイラー線が1点に交わる条件はこの問題が発表されるより50年以上前に研究されており、フランク・モーリー()と Frank Vigor Morley によって「点P が外接円上かノイベルグ三次曲線上にある場合に4本のオイラー線が1点で交わる」と結論付けられている。