プラクティカル数

数論において、プラクティカル数 (practical number; 実際数) もしくはパナリズミック数 (pan­arithmic number; 汎数的数) とは約数の和でその数より小さな正の整数すべてが表せる自然数である。例えば、12は約数1,2,3,4,6を持ち、1から11までの整数は、1,2,3,4,6の和として表せるため、12はプラクティカル数である。（5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, 11 = 6 + 3 + 2）
プラクティカル数の数列はに記載されており、
と続く。
1202年、フィボナッチは算盤の書で、エジプト式分数として有理数を表す問題にプラクティカル数を用いた。フィボナッチはプラクティカル数を正確に定義したわけではないが、フィボナッチはプラクティカル数を分母とする分数のエジプト式分数表現の表を与えた。
プラクティカル数という名前はに由来する。スリニヴァサンは「金・重さ・長さの単位は4, 12, 16, 20, 28のような数で細分化されており、10の累乗での細分化に置き換えるべき不便さである。」と述べた。スリニヴァサンはそのような数の数論的な性質を再発見し、とによってこのような数の分類が完了した。この特徴付けにより、素因数分解によって与えられた数がプラクティカル数であるかを判別できるようになった。偶数の完全数と2のべき乗は、すべてプラクティカル数である。
プラクティカル数は素数と様々な性質で関連付けられている。
プラクティカル数の特徴.
プラクティカル数の最初の特徴付けは、によって行われたもので、プラクティカル数は不足が2以上である不足数にはなりえないというものである。不足数とは(自身を除く)約数の和がそれ自身より小さい数であり、ここでは約数の和がそれ自身より2以上小さい数のみを指す。もし "n" の(1と自身を含む)約数の順序集合をformula_1 、 formula_2 、 formula_3とすると、スリニヴァサンの特徴付けは以下の不等式に対応する
言い換えると、プラクティカル数のすべての約数を小さい順に並べたformula_5はcomplete sub-sequenceである。
この部分的特徴付けは、 と により拡張され、素因数分解を用いてある数がプラクティカル数かどうかを判別できることが示された。
1より大きな正の整数を素因数分解し、formula_6と表す。ここで、素数は小さい順にformula_7と並んでいるものとする。このとき、formula_8がプラクティカル数であるのは、各素因数formula_9が十分小さく、formula_10がより小さな約数の和で表せるとき、かつそのときに限る。
これが真であるためには、（1以外の）プラクティカル数の最小の素因数formula_11は2であり、 "i" ( 2 〜 "k"） に対して、次の素数formula_9は以下の不等式に従わなければならない。
ここで、formula_14は"x"の約数の和である。
例えば、2 × 32 × 29 × 823 = 429606について考えると、
と不等式を満たすので、429606はプラクティカル数である。
この条件は自然数がプラクティカル数であるための必要十分条件である。formula_10を"n"の約数の和で表すためにはこの条件が必要であり、数学的帰納法によって十分条件であることもわかる。
より強い条件として、"n"の 素因数分解が上記の条件を満たすならば、任意のformula_16は以下のように "n" の約数の和で表現できる。
性質.
と続く。
ほかの数との関係.
有名な整数からなる集合は、プラクティカル数のみから構成できることがある。
プラクティカル数とエジプト式分数.
"n" がプラクティカル数であれば、任意の有理数 "m"/"n" ("m" < "n") は "n"の異なる約数を "di" としたときに、 ∑"di"/"n" で表せる。それぞれの項は単位分数に約分できるため、 "m"/"n" はエジプト式分数で表せる。例えば、
1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、有理数のエジプト式分数での表現を見つける手法を列挙した。このうち、最初の処理は、その数が単位分数であるかの判別であるが、2つめの処理は、上述のように分母の約数の合計として分子の表現を探索することに対応する。この手法はプラクティカル数である分母に対してのみ成功することが保証されている。フィボナッチは分母として、6, 8, 12, 20, 24, 60, 100を用い、これらについての表を与えた。.
は任意の数 "x"/"y" に対してたかだかformula_27 項でのエジプト式分数の表現が存在することを示した。この証明にはプラクティカル数の列"n""i"を見つける処理が含まれており、"n""i"以下のそれぞれの数に対してたかだかformula_28個の異なる"n""i"の約数が存在することを用いる。ここで、 "i" は "n""i" - 1<"y"≤"n""i"であり、 "xni" は "y"で割ったときに商 "q" とあまり "r" をもつ。これによりformula_29となる。それぞれの分子を展開することで、所望のエジプト式分数の表現が得られる。は異なるプラクティカル数の数列を含んだ似た手法を用い、任意の有理数 "x"/"y" がエジプト式分数の表現を持ち、その最大の分母が formula_30であることを示した。
孫智偉が2015年9月に出した予想によれば、すべての正の有理数は、分母がすべてプラクティカル数であるエジプト式分数の表現を持つ。そしてその証明はデビッド・エップシュタインのブログにある。
素数とのアナロジー.
プラクティカル数に興味が集まっている理由の一つに、素数との類似性がある。実際、ゴールドバッハの予想や双子素数の予想はプラクティカル数に対しては知られている（すべての偶数は2つのプラクティカル数の和で表せる。"x"-2, "x", "x"+2がすべてプラクティカル数である三つ組みが存在する）。ギウゼッペ・メルフィはプラクティカル数であるフィボナッチ数が無限に存在することを示した。フィボナッチ素数が無限に存在するかはまだ未解決問題である。は正の実数"x"に対して、["x"2,("x"+1)2]の範囲に少なくとも一つのプラクティカル数が存在することを示した。これは素数に対するルジャンドル予想（未解決）である。
"p"("x") を、"x"以下のプラクティカル数の数とする。
は、 "p"("x") は "cx"/log"x" に漸近すると予想した（ "c" は定数）。この形は素数定理の素数の個数と似ており、 がプラクティカル数の整数内での濃度が0であることのより強い主張である。
はその定数について、 "c"1 と "c"2を適切に設定することで
この定数 formula_32はによって与えられる。
ここで、 formula_34 はオイラー・マスケローニ定数であり、 formula_35 は素数である。この結果、formula_36であり、プラクティカル数は素数に比べて31.1% から 69.3% 多いことがわかる。