二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。
例.
二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り :
二重メルセンヌ素数.
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 "M""p" は "p" が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 formula_6は "M""p" それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。"M""p" が素数となる"p"の最初の値において、"p" = 2, 3, 5, 7のときformula_7は素数となり、"p" = 13, 17, 19および31のときの formula_7の陽因数が見つかっている。
次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、formula_9= 22305843009213693951 − 1である。この数はおよそ1.695であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×1033より小さい素因数はない。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている。
formula_7（"p"は"n"番目の素数）の素因数は以下の通り
カタラン・メルセンヌ数の推論.
formula_11の代わりに formula_12と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。
これをカタラン・メルセンヌ数という。カタランは、1876年にされたリュカによる"M"(127)="M"("M"("M"("M"(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（"M"127未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、"M""M"127 が素数でない場合、小さい素数"p"をいくつか法にすることで"M""M"127 を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、"p"は"M""M"127 の因数であるため、その素数性を反証できる。"M""M"127 はメルセンヌ数であるため、その素因数"p"は、2·"k"·"M"127+1の形でなければならない）。