カルタン部分環

数学において，カルタン部分環（カルタンぶぶんかん，，しばしば CSA と略される）とは，リー環 formula_1 の冪零部分環 formula_2 であって，なもの（すべての formula_3 に対して formula_4 であるならば，formula_5 であるもの）のことである．エリ・カルタンによって彼の博士論文において導入された．
存在と一意性.
カルタン部分環は基礎体が無限体のときにはいつでも有限次元リー環に対して存在する．体が標数 0 の代数閉体でリー環が有限次元のとき，すべてのカルタン部分環はリー環の自己同型のもとで共役であり，とくにすべて同型である．その次元はリー環の階数（ランク）と呼ばれる．
カッツ・ムーディ・リー環や一般カッツ・ムーディ・リー環もカルタン部分環をもつ．
性質.
標数 0 の代数閉体上の有限次元半単純リー環のカルタン部分環は可換であり，その随伴表現の以下の性質も持つ：formula_1 のを formula_2 にしたものは表現を対角化し，0 ウェイトベクトルの固有空間は formula_2 である．（なので formula_2 の中心化リー環は formula_2 と一致する．）非零ウェイトはルートと呼ばれ，対応する固有空間はルート空間と呼ばれ，すべて1次元である．
formula_1 が代数閉体上の線型リー環（有限次元ベクトル空間 の自己準同型全体のなすリー環の部分リー環）であるとき，formula_1 の任意のカルタン部分環は formula_1 の極大の中心化リー環である，つまり， の自己準同型として対角化可能な元のみからなる部分環であって，他のそのような部分環に真に含まれないという意味で極大なものである．formula_1 が半単純で体が標数 0 ならば，極大トーラス部分環は self-normalizing であり，したがってカルタン部分環である．さらに formula_15 が半単純であれば，は formula_15 を線型リー環として表すので，formula_15 の部分環がカルタンであることと極大トーラス部分環であることは同値である．このアプローチの利点はそのような部分環の存在を示すことが明らかであることである．実際，formula_15 が冪零元しかもたなければ，冪零リー環である（エンゲルの定理）が，するとキリング形式が恒等的に 0 になってしまい，半単純性に矛盾する．したがって，formula_15 は 0 でない半単純元をもたなければならない．
分裂型カルタン部分環.
代数閉でない体上，すべてのカルタン部分環が共役なわけではない．重要なクラスはである：リー環が分裂カルタン部分環 formula_2 をもつとき，"分裂可能" (splittable) と呼ばれ，対 formula_24 はと呼ばれる；代数閉体上，すべての半単純リー環は分裂可能である．任意の2つの分裂型カルタン環は共役であり，それらは代数閉体上の半単純リー環におけるカルタン環に類似の機能を果たし，したがって分裂型半単純リー環は（実は分裂型簡約リー環は）代数閉体上の半単純リー環と多くの性質を共有する．
しかしながら，代数閉でない体上，すべての半単純リー環が分裂可能なわけではない．