コーシー積

初等解析学におけるコーシー積（コーシーせき、）は、二つの無限級数に対する離散的な畳み込み積である。名称はフランス人数学者のオーギュスタン・ルイ・コーシーに因む。
コーシー積が適用できるのは、無限級数あるいは冪級数である。冪級数のコーシー積は冪級数を単に無限級数とみてとったコーシー積であるから、ことさら区別を強調することはないけれども収束性を考える上では分けておくことは便利である。
コーシー積は数列を添字集合上の離散的な函数と見たときの函数の畳み込みであり、また有限数列または有限級数を、台が有限（つまり、有限個を除くすべての項が零）な無限数列または無限級数と見てコーシー積をとることもできるけれども、その場合は離散畳み込みと呼ぶほうが普通であろう。
収束性.
実または複素数列 および を考える。級数 がともに絶対収束してその値がそれぞれ であるならばそれらのコーシー積 も収束して、その値 は積 に等しい。また、三者がすべて収束する場合にも である。しかし がともに収束するというだけでは、それらのコーシー積 が収束するためには十分でない。また、二つの級数 が発散する場合でも、それらのコーシー積 が絶対収束することもある
収束級数同士のコーシー積が収束することを保証する一つの十分条件を、ドイツ人数学者が与えた:
したがってメルテンスの定理は、定理の条件が満たされるならば一般化された形での分配法則が成り立つことを意味するものでもある。メルテンスの定理のある意味で逆となるものとして以下を挙げることができる:
さて、二つの級数が収束するが絶対収束でない（つまり条件収束する）ことを仮定した場合は、それらのコーシー積は発散しうる。しかしこの場合でも、そのコーシー積はまだチェザロ総和可能である。具体的に:
この命題は、二つの数列が収束しないがチェザロ総和は可能であるという場合に対しても一般化することができる:
同様にして、メルテンスの定理も対応するものに一般化できる
収束半径.
二つの冪級数 と のコーシー積はまた冪級数で、それを とする:
これら三つの冪級数の収束半径をそれぞれ とすれば、これらは不等式
を満足する。実際、右辺の最小値よりも真に小さい絶対値を持つ複素数を考えれば、その点において二つの冪級数は絶対収束で、したがってそれらの積も絶対収束して、その値は二つの級数それぞれの和の積に等しい。よって、一つの開集合上で冪級数展開可能な二つの函数の積もまた、同じ開集合上で冪級数展開できる。
上の不等式は非常に緩い評価となり得る。例えば、二つの冪級数をひとつは収束半径 の と、もうひとつは多項式（だから収束半径 ）の とした場合、これらのコーシー積は定数 に簡約されるから、収束半径 である。あるいは別の例で、 の冪級数展開の収束半径は だが、それ自身とのコーシー積は多項式 であって、その収束半径は である。
一般化.
多重コーシー積.
 を自然数（ただし、以下では の場合は自明な主張となるから ）とする。
証明は に関する帰納法による。（ のときはコーシー積に関する主張として既にみた。）
内積空間の場合.
既に述べたものはガウス平面 内の列であったが、コーシー積はユークリッド空間 内の点列に対しても（乗法を内積の意味でとれば）定義することができる。この場合、二つの点列が絶対収束するならば、そのコーシー積は収束先のベクトルの内積に一致することが示せる。
バナッハ代数の場合.
 をバナッハ代数とすれば、 に値をとる二つの級数のコーシー積を定義できる。さらに言えば、二つの絶対収束級数のコーシー積は収束して、一般化された分配法則が成り立つ。
例えば、複素変数の場合に有効であった二つの指数函数の積の計算を、この場合も恢復することができる。それを記述するために欠けている唯一の性質は、一般の二項定理を適用できることであり、そのためにたとえば と が可換であることなどを仮定しなければならないが、必要な仮定のもとで が成り立つ。例えば がスカラーならば であり、特に が成り立つ。