クザンの定理

クザンの定理（）は次のような実解析学における定理である:
この結果はアンリ・ポアンカレの学生であるピエール・クザンによって1895年に確立・証明されたものである。それはコンパクト性に関するハイネ・ボレルの被覆定理の原型（formula_1 のコンパクト部分集合の任意の被覆に対するそれ）の拡張になっている。「クザンの定理」は一般にはアンリ・ルベーグに帰着でき、「ボレル＝ルベーグの定理」と呼び替えられた。ルベーグは1898年にこの結果を思いつき、1903年に彼の学位論文において証明した。
現在では、これは次のように述べられる:
さらに、「クザンの定理」（という言葉）は主としてヘンストック＝クルツヴァイル積分においてのみ用いられ、しばしば Fineness Theorem あるいはクザンの補題と呼ばれる。これは次のように述べられる：
証明.
有界閉区間 formula_21 の点付き分割とは、次を満たす点列 formula_22 と formula_23 からなる：
また formula_9 上のゲージ formula_17 とは formula_9 上定義された正の実数値を取る関数をいう。点付き分割が formula_17-細であるとは、任意の formula_30 に対して formula_31 が成り立つことをいう。
いま有界閉区間 formula_9 とその上のゲージ formula_17 が与えられたものとする。このとき formula_9 の formula_17-細な点付き分割が存在することを示そう。
各 formula_36 を中心とし長さ formula_37 の開区間を formula_38 と書く。すると formula_39 は formula_9 の開被覆を成す。ハイネ・ボレルの被覆定理より formula_9 はコンパクトであるから、先の被覆から有限部分被覆 formula_42 を取ることができる。ここで formula_43 は有限である。そこで点列 formula_44 を次のように再帰的に定義する：
各 formula_48 に対し、formula_49 であって、formula_50 は開集合であるから、formula_51 と formula_50 はformula_53 のどこかで交わる。そこで formula_54 を formula_55 かつ formula_56 となるように選択する。また formula_57 とおく。すると formula_58 は formula_9 の点付き分割を成す。また、各 formula_60 に対して、formula_61 ゆえ、formula_62 が成り立つ。すなわち formula_58 は formula_17-細である。