弧 (射影幾何学)

有限射影幾何学における弧（こ、) とは 次元の有限射影空間上の、どのような 個の点も決して同一超平面（、つまり 次元の部分空間）上にない点の集合である。
 をさらに小さくすることはできない。 次元空間において、どのような 個の点をとってきても、そのうちの 個の点が同一の 次元の部分空間に属さない限り、それらの 個の点を通る 次元超平面が一意に定まる。
有限射影平面における弧.
特に、有限射影平面における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのような 個の点の集合を特に -弧という。
-弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。
位数 の有限射影平面において弧の点の個数は 以下である。というのは、弧の任意の1点 をとると、 を通る 本の直線のそれぞれについて、弧に属する点は の他にあっても1点しか存在しないからである。
位数 の有限射影平面における -弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ formula_1 本である。
-弧が存在するとき は偶数でなければならない。というのは -弧 の任意の1点 をとると、上と同様にして、 を通る 本の直線のそれぞれについて、 と交わる点が 以外にちょうど1つずつ存在する。したがって の1点を通る直線は とちょうど2点で交わる。次に に属さない点 を1つとる。 を通る直線で と交わるもの を考える。上記の理由から、各 と の交点はちょうど2つである。 上の各点について、その点と を通る直線はただ1つ存在する。よって、 が成り立つので、 は偶数でなければならない。
位数 の有限射影平面において -弧をオーバル、 ("n" + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。 が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。
位数 （ は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（、）。