コンウェイの兵隊

コンウェイの兵隊、またはチェッカージャンピング問題は、ある行より手前にチェッカー駒を並べた状態から、その行からできるだけ奥に駒を届ける1人用の数学ゲーム・パズルである。チェッカージャンピング問題とも呼ばれるが、ペグ・ソリテールの変種と考えたほうがわかりやすい。無限に広いチェッカーボード上で行い、ある行より下にのみ好きなだけ駒（兵）を置いて良い。ペグ・ソリテールと同様に、駒は縦横に隣接する駒を飛び越え（ジャンプし）、その飛び越された駒を盤上から取り除く（斜めに飛び越えてはいけない）。 この「飛び越えて除去」の繰り返しのみを用い、可能な限り上に駒を届けるゲームである。
コンウェイは、いかなる戦略を用いても、（有限手数では）駒を5マス以上進められないことを証明した。コンウェイはマスに黄金比を用いた重み付けを行い、その重み付け和が増加しないことを用いて証明した。この議論は多くの数学書に掲載されている。
サイモン・タタムとガレス・テイラーは、無限の手数を用いれば5マス目に到達できることを示した。この結果はピーター・ブルーとステファン・ハートキの論文にも掲載されている。もし斜めに飛び越えていい場合には8マス目まで到達可能であるが9マス目には到達できない。また、"n"次元に拡張した場合、3"n"-2マス目まで到達でき、コンウェイの重み付けによって、3"n"-1マス目には到達できないことがわかる。3"n"-2マス目に到達する証明は非常に困難である（エリクソンとリンドストームの論文を参照）。
有限の駒では5マス目に到達できない証明.
表記及び定義.
目標とするマス（目的地）を formula_1とする。そして、他のマスはそのマスからのマンハッタン距離formula_2を用いてformula_3とする。すると、駒の初期配置に対してその合計値（例えば、 formula_4 等）を対応させることが出来る。これを、盤面の"得点"と呼ぶ。formula_5マスにいる駒が他の駒を飛び越える操作は、以下の3つの場合に分けられる。
formula_9の選択.
上記の3つの操作の全てにおいて、得点の変化が正とならないformula_9を選択する。 前飛びの条件より、formula_11を解くことによって formula_12を得る。横飛びの条件より正の値は取れないため、formula_13が適している。この値の絶対値は1よりも小さく、この性質は証明に重要である。ここで、formula_14を並び替えると
formula_15 （両辺にformula_16を乗ずる） 
formula_17
formula_18 
と出来る（以降同様）。
この右辺を足し合わせると1以外の項は打ち消し合うため、
formula_19
となる。一方で、左辺は等比級数であるため、
formula_20
である。
証明.
まず、目的地が1マス上にある場合を考える。初期配置の得点を最大化すると、全てのマスに駒がある状態に相当する。
まず、1行目だけを考える。1行目（最前行）の得点はformula_21となる。次の行以降では、各マスが1マスだけ距離を増すため、1行離れるたびに得点はformula_22倍になる。
そのため、全てのマスの得点を合計すると、
<math>