リアプノフ方程式

制御理論における離散的リアプノフ方程式（りさんてきリアプノフほうていしき、）は次の形の方程式である。
ここで formula_2 はエルミート行列、formula_3 は formula_4 の随伴行列。 
連続的リアプノフ方程式（continuous Lyapunov equation）は次の形の方程式である： formula_5
リアプノフ方程式は、安定性解析や最適制御といった、制御理論の多くの分野で現れる。本方程式や関連する方程式の名称はロシアの数学者アレクサンドル・リャプノフにちなんでいる。
安定性に対する応用.
以下の定理では formula_6 とし、また formula_7 と formula_2 は対称行列とする。記法 formula_9 は行列 formula_7 が正定値であることを表す。
定理 （連続時間版）： どのような formula_11 に対しても、formula_12 を満たす formula_9 が一意的に存在するための必要十分条件は、線形常微分方程式系 formula_14 が大域的に漸近安定（globally asymptotically stable）であることである。2次関数 formula_15 は安定性の保証に用いることができるリアプノフ関数である。
定理 （離散時間版）： どのような formula_11 に対しても、formula_17 を満たす formula_9 が一意的に存在するための必要十分条件は、写像の反復による系 formula_19 が大域的に漸近安定であることである。上述と同様に、formula_20 がリアプノフ関数となる。
計算理論的側面.
リアプノフ方程式を解くために特化した計算手法を用いることができる。離散型に対しては北川源四郎によるシューア法が頻用される。連続型に対してはBartels–Stewart法が利用できる。
解析解.
vec作用素 formula_21 を（行列 formula_4 から1列のベクトルへの）積み重ね作用素とし、formula_23 を formula_4 と formula_25 のクロネッカー積と定義すると、連続・離散時間のリアプノフ方程式を、ある行列方程式として表現できる。さらに、もし formula_4 が安定的であれば、解もまたある積分（連続時間の場合）または級数（離散時間の場合）で表現できる。
離散時間.
formula_27 という結果を使うと、次の方程式
が得られる。ここで恒等行列 formula_29 はである。逆行列によってこの線形方程式を解けば formula_30 が求められる。行列 formula_31 を得るには formula_32 を適切に配列し直せばよい。
さらに、formula_4 が安定的であれば、解 formula_31 は次のように書ける。
比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に formula_36 の解が formula_37 であると言っているのと同じことである。
連続時間.
再びクロネッカー積とvec作用素の記法を用いると、行列方程式
が得られる。ただし formula_39 は行列 formula_4 の各要素を複素共役で置き換えた行列である。
離散時間の場合と同様に、formula_4 が安定的であれば、解 formula_31 は
と書ける。
比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に formula_44 の解が formula_45 であると言っているのと同じことである。