モースポテンシャル

モースポテンシャル（）は、二原子分子の原子間相互作用を表現するのに便利なポテンシャルである。名称は物理学者にちなむ。このポテンシャルによる原子間振動のモデルは、切断の効果（非結合状態）を明示的に含むため（quantum harmonic oscillator、QHO）とみなすよりも良い近似となる。さらに振動の非調和性や（赤外分光における）倍音（overtone）、によるバンド（hot band）の存在をも説明できる。
モースポテンシャルは他の相互作用（例えば原子・界面間）の記述にも用いられる。その単純性（3つのパラメータしか含まない）から最新の分光学では用いられなくなっているが、その数学的形式はモース長距離ポテンシャル（Morse/Long-range, MLR）へと発展させられた。これは分光データに当てはめるのに最もよく利用されるポテンシャルである。
ポテンシャルエネルギー関数.
モースポテンシャルの関数形は
である。ここで formula_2 は原子間距離、formula_3 は平衡結合距離、formula_4 はポテンシャルの井戸の深さ（well depth, 解離状態の原子に基づいて定められる）、formula_5 はポテンシャルの幅を調整する定数である（ formula_5 が小さいほど井戸は広くなる）。結合解離エネルギーは井戸の深さ formula_4 から零点エネルギー formula_8 を引くことで計算できる。結合の強度を見るには formula_9 を formula_10 のまわりでのテイラー展開すればよい。2階導関数が formula_11 となるので、パラメータ formula_5 は
と表せる。ここで formula_14 は formula_10 付近で調和振動とみなしたときのばね定数である。
ポテンシャルエネルギーの基準点のとり方には任意性があるから、定数の加減によりモースポテンシャル関数形は何通りにも書くことができる。原子・界面相互作用の場合は、基準点を調節して
のように改良できる。これは
と書かれることが多い。この場合 formula_2 は界面から垂直に測った位置を表し、ポテンシャルは formula_2 が無限大のときゼロ、極小点（つまり formula_10 ）のとき formula_21 をとる。この形に書くと、モースポテンシャルによって与えられる力が短距離での斥力（第1項）と長距離での引力（第2項）との組み合わせであることが明瞭になる。この点はレナード-ジョーンズ・ポテンシャルと類似している。
振動状態とエネルギー.
量子的調和振動子のときと同様に、モースポテンシャルの固有エネルギーおよびエネルギー固有状態は演算子の代数的処理により求まる。その一法はハミルトニアンを因子分解するものである。
モースポテンシャルに対する定常状態を得るため、次のシュレーディンガー方程式：
を満たす formula_23 と formula_24 を求めたい。次のように新しい変数を導入すると：
シュレーディンガー方程式は次の簡単な形になる：
この固有エネルギーおよびエネルギー固有状態は次のように書ける。
ここで
formula_30 、また formula_31 は一般化ラゲール多項式である。
さらに、以下のような位置演算子の行列要素の解析的表現も重要である（ここで formula_33 とする）。
固有エネルギーを元々の変数で書くと：
となる。ここで formula_36 はプランク定数、formula_37 は振動状態を表す量子数、formula_38 は振動数の単位量であり、質量 formula_39 とポテンシャルのパラメータを使って次のように書ける。
量子的調和振動子の振動準位の間隔は一定値 formula_41 であったが、モースポテンシャルによる振動子の固有エネルギーの間隔は formula_37 の増加とともに減少してゆく。数学的には
と書ける。この傾向は現実的に観測される分子の非調和性とも一致する。しかし、この式はある値 formula_44 を超えたところで formula_45 がゼロまたは負になり破綻し、具体的には
である。これはモースポテンシャルの下では有限個の束縛状態しかとれないことに由来する。formula_44 を上回るところでは任意のエネルギーをとることが可能になり、上に掲げた formula_24 の式は成り立たなくなる。
formula_44 以下であれば、formula_24 は回転を考慮しない二原子分子の実際の振動構造をよく近似する。実際、現実の分子のスペクトルに対し次式を一般に当てはめ得る。
ここで定数 formula_52 と formula_53 はモースポテンシャルのパラメータと直接的に結び付けることができる。
次元解析から明らかなように、歴史的な理由からこの等式では formula_52 は formula_55 となる角周波数ではなく、formula_56 を満たすような波数を表している。
モース長距離ポテンシャル.
モースポテンシャルの重要な拡張がモース長距離ポテンシャルであり（これによってモース型の関数は現代的な分光学において非常に有用なものとなった）、二原子分子の分光データやビリアル係数等のデータを表現するのに標準的に用いられる。これまでに N2、Ca2、KLi、MgH、いくつかの電子状態に対してのLi2、Cs2、Sr2、ArXe、LiCa、LiNa、Br2、Mg2、HF、HCl、HBr、HI、MgD、Be2、BeH、NaHといった適用例がある。多原子分子に対してはさらに洗練されたポテンシャルが用いられる。