リーマン・ジーゲルの公式

数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対するである。この公式は、 が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くすると組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はに対する公式となり、しばしば有用である。
 を非負整数とするとき、ゼータ函数は formula_1 に等しい（近似函数等式）。ただし、formula_2 は函数等式 に現れる乗因子で、周回積分 formula_3 の積分路は を基点（始点および終点）とし、絶対値高々 の特異点をすべて囲む。
この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える および では、この誤差項 の に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分にを適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、 はふつう臨界帯上にとり、正整数 は の近くに取る。 はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。
リーマンの積分公式.
リーマンは
を示した。ここで積分路は、 と の間を通過する傾き の直線である 。
彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。