CW複体

位相幾何学において、CW複体とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広義の概念であり、いくつかの優れた圏論的特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。
構成.
CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)を表し、Wは「弱い位相」(weak topology)を表す。
formula_1 次元の閉胞体とは、formula_1 次元ユークリッド空間上の閉球体 formula_3 に同相な空間を指す。一例として、formula_1 次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、formula_1 次元の開胞体は、 formula_3 の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開（および閉）胞体は、一点空間と定める。
CW複体は、ハウスドルフ空間 formula_7 と"、"次の2つの性質を満たす開胞体への分割 formula_8 を指す。
正則CW複体.
とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。
相対CW複体.
CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。