ルジャンドルの公式

初等整数論におけるルジャンドルの公式（ルジャンドルのこうしき、）は、任意の素数 に対して階乗 を割り切る の最大冪の冪指数を与える式である。アドリアン＝マリ・ルジャンドルにちなんで名付けられた。ルジャンドルの定理、に因んでドポリニャクの公式とも呼ばれる。
概要.
任意の素数 と任意の非負整数 に対して、 は を割り切る最大 -冪の冪指数（すなわち、 の -進付値）とすれば、
である。但しここで、formula_2は床関数である。式の右辺に見かけ上の無限和が現れているけれども、 および が固定されれば現れる非零項は有限個しかない: 実際、 を十分大きく なるようにとれば formula_3 が成り立つ。
例.
"n" =6のとき、formula_4である。したがってそれぞれの次数よりformula_5である。これらは以下のようにルジャンドル式で計算できる。
証明.
"n"!は1から"n"までの積である。"n"!を割り切る"p"の次数を調べるために、まず"n"!の約数である"p"の倍数の個数を数える。"p"の倍数は"n"までにformula_7個存在する。また、"p"2の倍数は"n"!にさらに1個の約数として"p"を持たせ、"p"3以降も同様である。これを全て加えることによって、無限和でformula_8を表すことが可能である。
他の形式.
 を底とする -進展開の観点からルジャンドルの公式を定式化し直すこともできる。formula_9を"n"の"p"進表記での各桁の合計とすると以下の数式が成り立つ。
例えば、"n" =6を二進法で表記すると610 =1102であり、formula_11である。したがって
同様に、"n"=6を三進法で表記すると610 =203であり、formula_13である。したがって
である。
証明.
"n"は"p"進法で
formula_15と書ける。したがって、
formula_16であり、
応用.
ルジャンドルの公式はの証明に使われる。特別な場合の一つとして、 が正の整数である場合には、formula_18 が で割り切れるための必要十分条件は、 が の冪でないことである。 
これはルジャンドルの公式により が収束半径 formula_19 を持つことから導ける。