シルベスター方程式

数学、制御理論におけるシルベスター方程式（シルベスターほうていしき、）とは、次の形式の行列方程式である。
ここで行列 "A","B","C" は与えられており、等式を満たすような行列 "X" が求めるべき解である。全ての行列の成分は複素数であるとする。方程式が意味を持つために、行列は適当なサイズでなければならない。例えば、全ての行列が同一サイズの正方行列である等である。より一般には、"A" と "B" がそれぞれサイズ "n" , "m" の正方行列であれば、"X" と "C" はいずれも "n" 行 "m" 列の行列でなければいけない。
シルベスター方程式が一意的な解 "X" を持つのは、行列 "A" と −"B" が共通する固有値を持たないとき、またそのときに限る。
より一般的には、方程式 "AX" + "XB" = "C" は（次元が有限とは限らない）バナッハ空間上の有界作用素間の等式であるとして考察されてきた。この場合も解についての条件はほとんど同じである：方程式が一意的な解 "X" を持つのは、"A" と −"B" のスペクトルが交わりを持たないとき、またそのときに限る。
解の存在と一意性.
クロネッカー積および vec作用素 formula_2 の記法を用いると、シルベスター方程式は次のように書き直せる。
ここで formula_4 は formula_5 行列、formula_6 は formula_7 行列、formula_8 は formula_9 行列、formula_10 は formula_11 の単位行列である。この形に書くと、方程式は formula_12 係数行列による線型方程式系と見ることができる。
命題 複素数成分の formula_13 行列 formula_4 と formula_6 が与えられたとき、シルベスター方程式が任意の formula_16 に対して一意的な解 formula_8 を持つための必要十分条件は formula_4 と formula_19 が共通の固有値を持たないことである。
証明 formula_20 で定まる線型写像 formula_21 を考える。
(i) formula_4 と formula_19 が共通の固有値を持たないとする。このときそれらの固有多項式 formula_24 と formula_25 の最大公約数は定数 formula_26 である。よって複素係数多項式 formula_27 と formula_28 を、formula_29 が成り立つようにとることができる（ベズーの補題）。ケイリー・ハミルトンの定理より、行列多項式としてformula_30 であるので、formula_31。
formula_8 を formula_33 の任意の解とする。このとき formula_34 であり、この等式を formula_35 の右辺に繰り返し適用して formula_36。よって写像 formula_37 の核の次元は0であり、階数・退化次数の定理より formula_37 は可逆となるから、任意の formula_16 に対し一意的な解 formula_8 が存在する。
(ii) 逆に、formula_41 が行列 formula_4 と formula_19 の共通の固有値であるとする。formula_41 は転置行列 formula_45 の固有値でもあることに注意すると、零ベクトルでないベクトル formula_46 , formula_47 で formula_48 , formula_49 を満たすものが存在する。行列 formula_16 を formula_51 となるよう選ぶ。右辺は formula_47 の複素共役である。
このとき formula_53 には解 formula_8 が存在しない。なぜなら、複素数体上の双線型形式（半双線型形式ではない）を formula_55 と定めて formula_56 を考えると、この最左辺は
となって矛盾するからである。
ロスの除去法則.
複素数成分行列 formula_58（サイズはそれぞれ formula_59）が与えられたとき、次の2つの "n" + "m" 次正方行列 
が互いに相似なのはどのようなときか問うことができる。この必要十分条件は "AX" − "XB" = "C" を満たす行列 "X"、言い換えるとシルベスター方程式の解が存在することである。これはロスの除去法則（Roth's removal rule）として知られている。
次のことは簡単に確認できる：もし "AX" − "XB" = "C" であれば、 
ロスの除去法則はバナッハ空間上の無限階有界作用素へ一般化することはできない。
数値計算.
シルベスター方程式の解を求める古典的なアルゴリズムにがある。これは formula_4 と formula_6 をQR法によってシューア標準形に変形し、三角行列に対する後退代入によって解を得るものである。このアルゴリズムの算術処理には formula_65（ランダウのO-記法）の計算量が必要であり、GNU OctaveにおけるLAPACKの codice_1 関数でも計算量は同じである（この言語での codice_2 関数も参照のこと）。いくつかの特殊な画像処理への応用においては、導出されるシルベスター方程式は閉じた形で解が書ける。