多重線型交代写像

数学のより具体的には多重線型代数における多重線型交代写像（たじゅうせんけいこうたいしゃぞう、）または交代多重線型写像 ("alternating multilinear map") あるいは短く交代写像 ("alternating map") とは、その引数がすべて同一の空間に属する多重線型写像であって、その任意の（相隣る）引数が等しいとき必ず零となるようなものを言う。終域が係数体（あるいは係数環）であるときには、多重線型交代形式や交代多重線型形式などと呼ぶ。
交代化の概念は、引数がすべて同一の空間に属する任意の多重線型写像から多重線型交代写像を得ることに利用できる。
定義.
formula_1 の形の多重線型写像が交代的であるとは、以下の同値な条件の何れか一つ（したがって全部）を満足するときにいう:
性質.
体 上のベクトル空間 を 上 -次元として、 の（順序付けられた）基底 formula_10 をとる。 の任意のベクトルを formula_11 の形に書くとき、これらベクトルの -組 formula_12 における -重交代写像 formula_1 の値は、多重線型性と交代性（反対称性）により formula_14 と展開して計算できる（formula_15 は -次対称群、 は置換の符号、函数 は順序基底 に関する表現行列 の行列式である）。したがって、ベクトル formula_16（これは の任意の元をとりうる）が分かれば、 の決定には十分である: また のときを考えれば、函数 formula_17 は formula_18 を満たす唯一の -重線型交代形式 として特徴づけられる。
ふたたび の次元を とするとき、 と仮定して -重線型交代写像を考える（ の場合には -重線型交代写像は零写像しかない）。前の段落で見たことはこの場合に対しても拡張することができる。同じ引数が二度出てきた場合にはその項は無視できるから、重線型性による展開 formula_19 において、右辺の和をとる添字集合 は集合 の相異なる元からなる -組 全体の成す集合としてよい。さらに言えば、反対称性により の引数を並べ替えれば、右辺は formula_20 の形の項の線型結合に書けることがわかる。このように並べ替えた -組の総数は二項係数 formula_21 であり、-重線型交代写像はそのような -組における値で特徴づけられる。よって
より具体的に、上記の展開公式は行列式の概念を用いて書くことができる: formula_22 ここで、各係数はベクトル の族の基底 に関する表現行列の小行列式である。
交代化.
多重線型写像 formula_1 が与えられれば、それに対して多重線型交代写像 formula_24 を formula_25 で定めることができ、これを の交代化 ("alternatization") と言う。