ゲルマン行列

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, ）とは、3次特殊ユニタリ群 の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組。 に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、対称性に基づくを提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された。
定義と基本的な性質.
次式で定義される8個の複素行列の組をゲルマン行列という。
ここで、 は部分空間に作用するパウリ行列 を
の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている。
ゲルマン行列 はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。
また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす。
但し、はクロネッカーのデルタである。
交換関係・反交換関係.
ゲルマン行列の交換関係 は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。
ここで、 は添え字 について、完全反対称な実係数である。 のうち、ゼロでないものは、 を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。
一方、反交換関係 は次の形をとる。
ここで、 は添え字 について、完全対称な実係数である。 のうち、ゼロでないものを を満たすもので代表させて表すと、
SU(3)の生成子.
3次特殊ユニタリ群 は行列式が１となるユニタリ行列から構成される。 は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 の元ではなく、ゲルマン行列に を乗じたものが の元となる。通常、の生成子としては、 の代わりに を乗じた が用いられる。
コンパクトで連結なリー群の任意の元はリー環の指数写像によって
の形で与えられる。
ゲルマン行列 、 または の線形結合で張られる線形空間は交換子積
により、リー代数となり、その構造は
で定まる構造定数 で規定される。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、 は添え字 について、完全反対称である。
の組は、
と交換子積について閉じており、に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はに対応する部分リー代数をなす。
このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は
で与えられる。