内測度

数学、特に測度論における内測度（ないそくど、）は、与えられた集合の任意の部分集合に対して定義される集合函数で、補完数直線に値を取り（つまり、実数値以外に正の無限大となることも許す）、適当な条件を満足するものを言う。直観的には、各集合を内側から測った「大きさ」にあたる。
定義.
集合 を固定する。 上の内測度とは、 の冪集合 上定義された函数 formula_1 で以下の条件を満足するものを言う。
測度の誘導する内測度.
集合 上の完全加法族 と 上の測度 に対し、 が誘導する内測度 は formula_6 で定義される。
本質的に は、集合をその -可測部分集合の -測度で測ることで保証できる、各集合の大きさの下限を与えるものである。この集合函数 は測度にならない場合がふつうであるけれども、以下のような性質は測度と共通している:
測度の完備化.
測度が誘導する内測度は、同じく測度が誘導する外測度と組み合わせることで、測度が定義される集合をより大きな完全加法族に取り換えることにしばしば利用される。
集合 上の「有限」測度 が完全加法族 上定義されているとし、それぞれ対応する外測度および内測度を および とすれば、 を満たす の全体は完全加法族 を成し、明らかに である。このとき formula_7 と置いて得られる測度 を の完備化と呼ぶ。
有限でない測度であっても、条件 は「両辺とも となる」という意味で成り立っていても構わないから、同様の完備化を考えることができる。特に の完備化は応用上重要である。