近接空間

トポロジーにおいて近接空間（、a.k.a. nearness space）は集合と集合の間の「近さ」の概念を公理化したものである。これは位相空間を特徴付ける、よく知られた点と集合の間の近さの概念と対照的である。
この概念は、で述べられているが、当時は無視されていた。1934年にV. A. Efremovičによって無限小空間（infinitesimal space）の名で再発見・公理化されたが、これは1951年まで出版されなかった。その間に、は分離空間（separation space）の名前で同じ概念の或るバージョンを見出した。
定義.
近接空間 formula_1 は集合 formula_2 に次の性質を持つ formula_2 の部分集合間の関係 formula_4 を備えたものである：
formula_2 の全ての部分集合 formula_6 に対して
最初の公理を除いた近接性は擬近接性（quasi-proximity）と呼ばれる。（ただし公理2と4は対称的な形で述べ直されなければならない。）
formula_15 のとき formula_16 は formula_17 に近い、あるいは formula_16 と formula_17 は近接していると言われる。そうでないときには、formula_16 と formula_17 は離れていると言われる。formula_17 が formula_16 の近接あるいは formula_24-近傍である（formula_25 と書かれる）とは、formula_16 と formula_27 が離れていることをいう。
この集合近傍関係の主要な性質を以下に列挙した。これは近接空間の別の公理的な特徴付けを与える。
formula_2 の全ての部分集合 formula_29 に対して
近接空間が分離的（separated）とは、formula_38 が formula_39 を含意することをいう。
近接写像.
近接写像（proximal map）とは近さを保つ写像である。つまり、formula_40 が与えられたときに、formula_2 において formula_15 ならば、formula_43 において formula_44 が成り立つということである。同値であるが、写像が近接（proximal）とは、逆像が近接近傍性を保つことをいう。同じ表記のもとで、これは formula_45 が formula_43 で成り立つなら、formula_47 が formula_2 で成り立つことを意味する。
他の位相的構造との関係.
近接空間が与えられると、そこから formula_49 をとすることで位相を定義できる。もし近接空間が分離的なら、こうして得られた位相はハウスドルフである。近接写像は誘導位相の間の連続写像となる。
このようにして得られた位相は常に完全正則である。ウリゾーンの補題の通常の証明を模倣することによって証明される。補題の証明に用いる（集合の）無限増加列を構成する際、近接近傍の最後の性質が用いられる。
コンパクトハウスドルフ空間が与えられると、対応する位相がちょうど所与の位相と一致するような近接性が一意的に存在する：formula_16 が formula_17 に近いのは、それらの閉包が一致するとき、かつそのときに限られる。より一般には、近接性は完全正則ハウスドルフ空間のコンパクト化を分類する。
一様空間 formula_2 は次のようにして近接関係を誘導する：formula_16 が formula_17 に近いのは、formula_55 がどの近縁とも空でない交わりを持つとき、かつそのときに限る。一様連続写像はこのとき近接写像となる。