指標理論

数学、特に群論において、群の表現の指標（しひょう、）は、群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である。指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている。ゲオルク・フロベニウスは最初に、指標のみに基づいて、表現の明示的な行列表示は用いずに、を発展させた。これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合には、状況はより繊細であるが、はこの場合にも指標の強力な理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる。
応用.
既約表現の指標には群の多くの重要な性質が反映されており、したがってその構造の研究に用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において本質的な道具である。の半分近くは指標の値の入り組んだ計算を伴う。指標理論を使う、より容易だがなお本質的な結果は、バーンサイドの定理（純粋に群論的な証明は見つかっているが、バーンサイドのもともとの証明のあと半世紀以上経ってからである）や、有限単純群はシロー -部分群として一般四元数群を持つことはできないというブラウアー・鈴木の定理である。
定義.
 を体 上の有限次元ベクトル空間とし、 を群 の 上の表現とする。 の指標 (character) とは関数
である、ただし はトレースである。
指標 が既約 (irreducible) あるいは単純 (simple) とは、 が既約表現であることをいう。指標 の次数 (degree) は の次元である；標数 0 ではこれは値 に等しい。次数 1 の指標は線型 (linear) と呼ばれる。 が有限で が標数 0 のとき、指標 の核 (kernel) は正規部分群
であり、これはちょうど表現 の核である。
性質.
算術的性質.
 と を の表現とする。このとき以下の等式が成り立つ：