P進閉体

数学における -進閉体（pしんへいたい、）は、ちょうど形式的に実な体が実閉であることの -進的な対応物として、適当な拡大性質で閉じている。この概念は が導入した。
定義.
形式的 -進体は形式的実体の類似対応物と見なすことができる。
例えば, に （したがって で定まる付値 を入れたものは、形式的 -進である。有理数体の有限素点 (place) は、 が剰余体（これは五元体）上で分解されるから、ガウス数体の二つの有限素点に分裂し、 はそのうちの一つである。-進数体（これは有理数体を含み、またガウス数体を有限素点 で埋め込まれている）もまた形式的 -進である。他方、ガウス数体は如何なる付値に関しても形式的 -進には「ならない」。実際、-進付値の延長となるべき は で与えられる場合に限るが、その場合剰余体は九元とならねばならない。
例えば、任意の素数 に対して -進数体は -進閉であり、-進数体における有理数体の代数閉包（つまり代数的 -進数体）もまた -進閉となる。
 が -進閉ならば
が成り立つ。一つ目の主張は、実閉体を順序体とする順序関係がその代数的構造から一意に決定されるという事実に相当する類似の結果である。
上記の定義はより一般の文脈へ引き写すことが可能である。
が満たされるならば、形式的に -進（あるいは に対応するイデアルを formula_2 として formula_2-進）な体、および -進閉体について述べることができる。
 は付値 を持つ体で前段落にいう仮定を満足するものとし、記法も踏襲するものとして、コッヘン作用素は formula_4 で定義される。 が常に非負の付値を持つことを確かめるのは容易い。コッヘン作用素は、形式的に実の場合の平方函数の -進（あるいは -進）版と考えることができる。
これは形式実体となるための必要十分条件（あるいは定義）が が平方和に書けないことであるという事実に対応する。
一階の理論.
-進閉体に関する一階の理論はかつであり、また少し言語を豊かにすればが許される。したがって、 の一階理論と な一階理論を持つものとして -進閉体を定義することができる。