シャピロの不等式

数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、）、またはシャピロの巡回不等式とは、によって1954年に提案された不等式である。
内容.
formula_1 を自然数、 formula_2 を非負の実数で、
であるとする。ただし、 formula_4 とする。このとき、
のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。
より大きな formula_1 に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 formula_11 が存在する。ここで formula_12 。
重要なケース formula_13 の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の formula_14 の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は formula_13 のときの解析的な証明を発表した。
formula_16 の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる formula_16 が formula_18 で与えられることを示した。ここで formula_19 は関数 formula_20 と formula_21 の関数的凸包である。(つまり、 formula_19 のグラフの上側の部分は、 formula_23 と formula_24 のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。
左辺の、内部での極小値は常に formula_25 となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。
より大きな n に対する反例.
最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 formula_26 に対するものである：
このとき不等式の左辺は formula_29 となり、 formula_28 が十分小さければ 10 より小さくなる。
次の反例は formula_31 に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：
また、 formula_33 に対して次の反例がある：