ジャイロベクトル空間

ジャイロベクトル空間（ジャイロベクトルくうかん、）はAbraham A. Ungarによって提案された数学的構造である。ユークリッド幾何学の研究にベクトル空間が用いられるのと同様に、ジャイロベクトル空間は双曲幾何学の研究に用いられる。Ungarは、通常のベクトルが加算に関して群を成す代わりに、加算に関してジャイロ群を成すものとしてジャイロベクトルを定式化した。Ungarは、特殊相対性理論における速度の合成を表すためのローレンツブーストに代わる手法としてジャイロベクトル空間を開発した。これは「ジャイロオペレータ」を導入することで達成されている。ジャイロオペレータは2つの3次元ベクトルから作られ、3次元ベクトルに対する作用素となる。
名称.
ジャイロ群（gyrogroup）は弱い結合性を持つ、群に似た構造である。Ungarはジャイロ可換性を持つジャイロ群をジャイロ可換ジャイロ群（gyrocommutative gyrogroup）と呼び、ジャイロ群という用語は必ずしもジャイロ可換ではないジャイロ群を指すように提案した。ジャイロ群はの一種である。ジャイロ可換ジャイロ群は"K-ループ"と一致する。"Bruckループ"や"dyadic symset"という用語も使用される。
ジャイロベクトル空間の数学.
ジャイロ群.
公理.
マグマformula_1は、二項演算formula_2が次の公理を満たすときジャイロ群であるという。
最初の2つの公理は群の公理と類似している。 最後の2つの公理はジャイレータに関するものであり、真ん中の公理がそれらを繋げるものである。
ジャイロ群は逆元と単位元を持つため、準群であり、かつでもある。
ジャイロ群は群の一般化である。実際、群はgyrが恒等写像であるようなジャイロ群と見なせる。
成り立つ性質.
以下の等式は任意のジャイロ群(G, formula_2)で成り立つ。
さらなる例は参考文献.の50ページを参照。
ジャイロ可換性.
ジャイロ群 formula_1 がジャイロ可換（gyrocommutative）であるとは、二項演算 formula_2 がジャイロ可換律 formula_25 を満たすことを言う。特殊相対性理論における速度の加算の観点からは、この性質は1914年にLudwik Silbersteinにより示されたformula_26とformula_27を関係づける回転を表すものになっている。
Coaddition.
ジャイロ群に対して、"coaddition"と呼ばれる別の演算を定義することができる。coadditionは formula_28 により定義される。ジャイロ可換ジャイロ群においてはcoadditionは可換性を持つ。
Beltrami–Kleinモデルとアインシュタイン可算.
相対論的速度は双曲幾何学におけるBeltrami–Kleinモデルの点とみなすことができ、Beltrami-Kleinモデルにおけるベクトルの加算はVelocity-addition formulaによって与えられる。 この公式を4次元以上の双曲空間におけるベクトルの加算に一般化するためには、クロス積の使用を避けてドット積で公式を記述する必要がある。
一般の場合、速度 formula_29, formula_30 のアインシュタイン加算を座標軸に依存しない形で書くと次のようになる。
ここで formula_32 はローレンツ因子であり、 formula_33とformula_34は次の等式で与えられる。
これはメビウス変換とローレンツ変換の関係に関係がある。
Gyrotrigonometry.
Gyrotrigonometryはジャイロの概念を双曲三角法（hyperbolic trigonometry）の研究に用いるものである。
通常研究される双曲三角法はcosh, sinhのような双曲線関数を用いる。一方、球面三角法はcos, sinのようなユークリッド三角関数を用いるが通常の三角形の合同の代わりに球面上の三角形の合同を用いる。Gyrotrigonometryは、普通のユークリッド三角関数を用いつつ、ジャイロ三角形の合同を用いるアプローチである。
三角形の中心.
三角形の中心は伝統的にはユークリッド幾何学において考慮される概念であるが、双曲幾何学においても研究の対象となりうる。 gyrotrigonometryを用いると、重心座標系をユークリッド幾何学と双曲幾何学に共通の表現で表すことができる。 表現が一致するためには、 三角形の角の和が180度になるという法則を表現が"含まない"必要がある。
ジャイロ平行四辺形の加算.
gyrotrigonometryを用いると、ジャイロ平行四辺形 （gyroparallelogram）の法則に従うジャイロベクトルの加法が得られる。 実はこれはジャイロ群のcoadditionになっている。ジャイロ平行四辺形の加算は可換である。
ジャイロ中線定理（gyroparallelogram law）は中線定理と似た定理である。普通の平行四辺形の2つの対角線が互いの中点で交わる（中線定理）のと同様に、ジャイロ平行四辺形は2つのジャイロ対角線（gyrodiagonals）が互いのジャイロ中点（gyromidpoints）で交わるような双曲的四角形である。
ブロッホベクトル.
ユークリッド3次元空間上の開単位球面に属するブロッホベクトルは、アインシュタイン加算 やメビウス加算を用いて調べられる。
書評.
初期のジャイロベクトルに関するある本に対する書評は次のように述べている。
長年、非ユークリッド幾何学的な手法を相対論や電磁気学の問題解決に応用する試みはわずかしか無かった。肯定的な結果も無く後続の研究には魅力も無いという状況では、似たような研究をしようとする人が躊躇ってしまうのは必然である。最近まで、1912年に登場した手法を改良することが誰もできなかったのだ。Ungarの新しい本で、彼は非ユークリッド的手法からこれまで致命的に欠如していた要素を与える。それは、アインシュタインの速度合成の構造を完全に保つエレガントな非結合的代数構造である。