ロワの恒等式

ロワの恒等式（ロワのこうとうしき、, フランスの経済学者、にちなむ）は、理論およびに応用を持つミクロ経済学の主結果の一つである。この等式（補題）はとの偏導関数とを結びつける。特に、間接効用関数が formula_1 であるとき、財 formula_2 のマーシャル型需要関数は
と計算できる。ここで formula_4 は各財の価格ベクトルであり、formula_5 は所得を表す。
導出.
ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 (formula_2) についての需要関数を得るためにを書き直したものである。
まず、間接効用関数 formula_7 の変数である富ないし所得 formula_5 に、（expenditure function）を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用は formula_9 で表している：
この等式は、価格の一覧（価格ベクトル formula_4）と、その価格の下で効用 formula_9 を得るために必要な最小限の支出 formula_13 に対して、得られる効用（間接効用関数の返り値）は formula_9 である、という意味である。
（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格 formula_15 で偏微分すると
となる。これを変形すると
最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はの基本的な性質から従う。
（微分可能な場合の）別証明.
ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。
間接効用関数 formula_18 は、次のラグランジュの関数
で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、より、目的関数 formula_18 のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は
のように計算できる。この formula_23 が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式
が得られる。
応用.
この恒等式は、消費者の間接効用関数が与えられたとき、ある財に対するマーシャル型需要関数を導く一法を与えるものである。また、スルツキー方程式を導出する基礎にもなっている。