底に関する指数函数

実解析における底 の指数函数（しすうかんすう、） は、実数 を実数 へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された を へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、formula_1 と書くことができる。 を底とする指数函数を、 において値 をとり、和を積に変換する、 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。 に対し、底 の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。 のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、 において値 をとる唯一の 上の可微分函数である。
これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。
より一般に、適当なスカラー倍 も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。
冪乗から指数函数へ.
狭義正の実数 を考える。 以上の整数 に対して、 を をそれ自身 個掛けたもの formula_2 と定義するのは容易い。さらに formula_3 および formula_4 と定める。性質 formula_5 が成り立つことを見るのは容易い。
非整数 (有理数) の冪乗 (有理数乗冪) は、formula_6 および formula_7 という「穴埋め」を行えば任意の有理数に対しては定義できる。
実数 に対する の定義には連続性に関する議論を用いる。すなわち、 に限りなく近い有理数 をとって、 の値は の極限と定めるのである。
このような が何であるべきかという直観的アイデアの登場は非常に早く、冪記法の登場と同時期の17世紀には知られていたが、 が
などが認識されるには次の18世紀半ばを待たねばならなかった。
定義.
指数函数の定義の仕方には複数の観点が考えられ、和を積に写すという代数的性質によるもの、導函数に比例するという微分の性質に基づくもの、指数函数と対数函数の関係に基づくものなどが挙げられる。
代数的性質による.
を満足する任意の函数をいう。そのような函数 は至る所連続かつ狭義正値であって、任意の実数 に対して でただ一つ定まる は底 に対する指数函数 と呼ぶ。 
言い換えれば、これら函数は から への群準同型であり、また指数函数全体の成す集合は に を通じて全単射である。関係式 formula_9 は函数の正値性を保証する。函数方程式から、一点において函数が非零ならば任意の点で非零となることも保証される。
さて、前節で述べたような仕方で、任意の に対し、有理数上で定義された函数 で上記の函数方程式を満足し、 において値 をとる函数の存在と一意性が保証される。
連続性の証明 —と、 の における稠密性により— 上記の函数方程式を満足し、 において値 を取り、少なくとも一点で連続な函数の一意性が保証される。その存在性はから得られる:
ここで、定数函数 （これは に対応する）を除いたこれらすべての函数 が全単射であることに注意を与えることができる。したがってこれらは、 から への群同型を与える。
それにより、 が微分可能で微分方程式 formula_10 を満足することを示せる:
自然指数・対数函数による.
これら函数は連続で、和を積に写し、 において値 をとる。
微分方程式による.
このような函数に対して、 はその導函数の における値に等しいことに注意する。
 に対して解 (函数 ) が存在することのみ知れていれば、任意の に対する解は明らかに函数 で与えられる。それが唯一の解であることが示せる。さらに言えば、この解が和を積に写すこと、したがってそれが に対する代数的性質による定義と一致することが確かめられる。
対数函数の逆函数.
対数函数は、連続で、積を和に写し、 において値 をとるから、その逆函数は、連続で、和を積に写し、 において値 をとることが分かる。
性質.
函数の挙動.
底 の指数函数は 上であり、導函数は formula_17 を満たす。
指数函数は常に正値であるから、その導函数の符号は の符号のみによって決まる。したがって指数函数は、底 が より真に大きいとき狭義単調増大で、 より真に小さいときには狭義単調減少、 のとき定数函数 である。
底 の指数函数の極限は と との位置関係で決まる:
指数函数は冪函数に対して へ飛ばす極限で指数函数のほうが早く発散するという予測可能な挙動を示す: 
指数函数は（したがって凸）かつである。