指数体

数学における指数体（しすうたい、）は、体であって、その元に対して通常の指数函数の概念を一般化した演算を追加で持つものを言う。
定義.
体 がさらに函数 で性質 formula_1 を満たすものを持つとき、 は指数体であると言い、函数 を 上の指数函数と呼ぶ。すなわち、体上の指数函数とは の加法群 から の乗法群 への群準同型を言う。
自明な指数函数.
任意の体上には自明な指数函数（具体的には、任意の元をその体の乗法単位元へ写す零準同型）が存在する。その意味では任意の体は（自明な）指数体でもあるから、数学的な興味は非自明な指数函数を持つ体に対してこそ持たれる。
指数体の定義にその標数が零であることを課す場合もある。というのも、正標数の体では指数函数は自明なものしかないからである。このことを見るには、まず標数 の体の任意の元 に対し formula_2 となることに注意する。したがって、フロベニウス自己準同型も勘案して formula_3 となるから、任意の に対して を得る。
指数環.
台となる集合 が体となるという仮定を、単に環 という仮定に置き換えて、それと同時に指数函数に対する仮定も の加法群から の単数群への群準同型に緩めれば、指数環 ("exponential ring") と呼ばれる対象が定まる。
非自明な指数函数を持つ指数環の例が、有理整数環 に函数 は偶数に , 奇数に を対応させるもの、つまり とすれば与えられる。 上で指数函数の条件を満足するものは、これと自明なもののみである。
未解決の問題.
指数体はモデル理論においてよく研究されており、 によるシャニュエル予想に関する仕事のように数論との間の結びつきがしばしば導かれる。1990年代には がであることが証明され、と呼ばれる。この結果とに関する Khovanskiĭ の定理を併せれば が でもあることが示される。他方、 はモデル完備でないことが知られている。決定可能性の問題は未解決である。アルフレッド・タルスキ―が の決定可能性の問題を提起したので、こんにちではそれをと呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば が決定可能であるということは知られている。