等差×等比数列

数学において、算術数列と幾何数列の項ごとの積によって与えられる、算術–幾何数列 ("arithmetico–geometric sequence") は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 -項は、適当な算術数列の第 -項と幾何級数の第 -項の積で与えられる。算術幾何数列は、確率論における期待値の計算など様々な応用において生じる。例えば数列formula_1 は分子 () が算術数列を成す成分、分母 () が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。
一般項の様子.
初項 , 公差 の算術数列 () と初項 , 公比 の幾何数列 () を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項はformula_2
のようになっている。
簡単のため、本項ではこれ以降 と仮定して話を進める。
例.
例えば数列 formula_3 は の定める算術幾何数列である。
有限和.
算術幾何数列の初めの 項からなる第 -部分和formula_4 は formula_5 で表すことができる。
導出.
求める和formula_6 に公比 を掛けて formula_7 としてから、辺々引くことによりformula_8 を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を で割れば所期の式を得る。
無限級数.
前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何級数は なるとき、その値 は formula_9 で与えられる。
 がほかの範囲にあるときには:
例: 期待値の計算.
 で定まる算術幾何級数 formula_10 は収束して である。
この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。-回目のトスで初めてテイルを得る確率 は、formula_11で与えられる。したがってトス回数の期待値はformula_12 である。