算術幾何数列

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、; ）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する。
定義.
ここでは任意の可換体 をひとつ固定する（例えば実数体 や複素数体 ）。 に値をとる数列 formula_1 が算術幾何数列であるとは、 の適当な元 が存在して、その数列が以下の漸化式 formula_2 を満足するときに言う。
一般項.
の場合.
 のとき、漸化式は、 
formula_7
となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は
formula_8
となる。
の場合.
formula_9 と置けば、一般項は formula_10 で与えられる（ のときは と約束する）。
定義節の注意に従えば、より一般に: formula_11 と書ける。
部分和.
 で、常に と書くことにすれば、最初の 項（第 -項から第 (-項まで）の和はformula_12で与えられる。
これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 として formula_13 となる。
収束性.
一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も の値（必要ならば の符号も）によって決定することができる（ のとき と置いたことに注意）。
 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。
応用.
算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に の流入と の流出があることを formula_14 と書ける。
算術幾何数列はにも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、 か月後に残った借金 の成す数列 は漸化式 formula_15 を満たし、算術幾何数列を成す。
算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。 を formula_16 とすると、関係式 formula_17 から formula_18 が得られ、一方 formula_19 であったから、代入して formula_20 を得る。