無限公理

無限公理（むげんこうり、）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。
定義.
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
解釈と帰結.
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 formula_2 は以下の性質を満たすことを確認できる。
各手続きで得られた集合を要素とする集合を formula_11 とおくと、 formula_12 は formula_2 の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 formula_12 は有限集合であり、formula_15である。なぜならば定義により formula_16 であるが、formula_17 となるからである。一方 formula_2 が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで formula_12 が formula_2 よりも多くの要素をもつことができてしまう。 
従って formula_2 は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
独立性.
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。