デデキントの補題

デデキントの補題またはデデキントの独立性定理（）は、数学者リヒャルト・デーデキントに帰せられる代数学の命題で、半群から可換体の単元群への準同型写像族があるとき、それらの線型独立性について述べるものである。ガロア理論の基本的な構成定理に用いられる。
定式化.
 による定式化は以下の通りである。
（乗法的に書かれた）半群 formula_1 と可換体 formula_2、および formula_3 から formula_4（formula_2 の単元群）への準同型 formula_6 が与えられたとき、以下は同値。
証明.
エミール・アルティン または Kurt Meyberg に従い、以下のように証明することができる。
A1 → A2.
準同型の個数に関する数学的帰納法を用いる。
formula_14 の場合、formula_15 で formula_16 であるとする。
このとき formula_17 だが、formula_1 だから formula_19 となる formula_20 がとれる。formula_21 および formula_2 が零因子を持たないことから、formula_23 である。
次に formula_24 とし、formula_25 個以下の準同型に対しては命題が成り立っているものとする。
formula_26 が、formula_11 の等式
を満たすならば
であることを示せばよい。
まず、formula_30 であるから formula_31 となる formula_32 が存在する。この formula_32 を固定しておく。
(a) から
が成り立つ。
半群の定義から formula_35 ならば formula_36 であるので、(c) より
が得られる。一方、
である。
等式 (d) から等式 (e) を引くと、次式が得られる。
これが任意の formula_35 に対して成り立つので、formula_11 の元として
である。数学的帰納法の仮定より formula_43 は formula_2 上線型独立な formula_45 の元なので、(g) より
であり、特に
である。
formula_48 であることと (i) より、
が得られ、(j) を (a) に代入すると、formula_11 の元として
が分かる。ここで再び数学的帰納法の仮定（線型独立性）から、ただちに
が従う。(j) と (l) から (b) が得られる。
A2 → A1.
明らかである（線型独立であるベクトルの組に同一の2元は存在し得ない）。