グロモフ・ハウスドルフ収束

数学においてグロモフ・ハウスドルフ距離（）とは、デビット・エドワードによって1970年代によって導入された形状に関する差だけ取り出し、距離空間の間の差を測る距離である。後にミハイル・グロモフによって再発見された。
グロモフ・ハウスドルフ距離によって定義される収束がグロモフ・ハウスドルフ収束である。
グロモフ・ハウスドルフ距離.
定義.
（空でない）距離空間 、 にたいし、 と の間のグロモフ・ハウスドルフ距離と呼ばれる非負の実数（または無限大） を2つの方法で定義する。 
関係 が
を満たすとき全域的なε-関係という。これを使うと、 を以下のように定義できる。
このふたつの は一致する。グロモフ・ハウスドルフ距離は距離空間の間の拡張擬距離になる。
さらに を距離空間 の完備化としたとき、 が成り立つのでグロモフ・ハウスドルフ距離は有界な完備距離空間の間の距離となる。
以下空間は完備距離空間のみ考える。
性質.
有界な距離空間への収束については基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束はグロモフ・ハウスドルフ収束より強い条件に成っている。
更に測度距離空間に関する（基点付き）グロモフ・ハウスドルフ収束も定義され可発に研究されている。
グロモフの（プレ）コンパクト性定理（幾何学）.
グロモフ・ハウスドルフ収束に関する最も基本的な結果がグロモフ・ハウスドルフ空間のある部分集合が全有界（プレコンパクト）であることを主張する下記のグロモフのコンパクト性条件（）である。
定理を述べる前に空間の列に関する概念を一つ定義しておく。
コンパクト距離空間の族 が一様にコンパクトとは２つの条件
が共に満たされるときに言う。
コンパクト距離空間の列 が一様にコンパクトのとき、ある部分列が存在し、コンパクト距離空間にグロモフ・ハウスドルフ収束する。
このことから直ちに基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束についても同様のことが言えることが分かる。
これの応用である次の定理やその類型がグロモフのプレコンパクト性定理（）と呼ばれている。
 を直径が高々"D" でリッチ曲率が下から"c" で抑えられるような"m" 次元完備リーマン多様体（の同型類）全体とする。このとき はグロモフハウスドルフ空間の中で全有界（言い換えると閉包がコンパクト）。
応用.
グロモフ・ハウスドルフ収束はグロモフによる多項式増大度を持つ有限生成群は概冪零（指数有限な冪零群を持つ
）ことを主張する の証明の中で最初に現れた。グロモフの証明で鍵となったのは、多項式増大群の（距離を調整した）ケーリーグラフの基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束に関するコンパクト性定理であった。
グロモフのコンパクト性定理はリーマン多様体の収束理論という一大分野の基本定理をなし、測度距離空間に関する一般化やその類型が盛んに研究されている。
グロモフ・ハウスドルフ距離はコンピュータグラフィックスや計算幾何学において、異なる図形の間に対応を付けるのに使われている。
特別な場合としてグロモフ・ハウスドルフ収束に非常に類似した概念が で使われている。