キャロル数

キャロル数(Carol number)とは、formula_1の形をした整数である。formula_2とも表せる。小さい方から、キャロル数は
と続く。キャロル数はCletus Emmanuelによって研究され、その友人のCarol G. Kirnonにちなんでキャロル数と名付けられた。
二進表現.
"n" > 2 において、"n" 番目のキャロル数の二進表現は、"n" − 2 個の連続する 1 と 0 と、"n" + 1 個の 1 で表される。より数学的には、
と書ける。
したがって、例えば3番目のキャロル数である47は101111、4番目のキャロル数である223は11011111などとなる。2"n" 番目のメルセンヌ数と "n" 番目のキャロル数の差は formula_4 である。この性質は、キャロル数を formula_5 と表現するとわかりやすい。また、"n" 番目のKynea数と "n" 番目のキャロル数の差は 2"n"+2 である。
キャロル素数.
7を始めとして、キャロル数は3個おきに7の倍数が並ぶ。したがって、キャロル数は "x" > 0 において 3"x" + 2 番目以外で素数になりうる。キャロル数で素数であるもの（キャロル素数）には、7, 47, 223, 3967, 16127 （）がある。
7番目のキャロル数は5番目のキャロル素数で、16127である。また、逆から数字を読んだ72161も素数であり、16127は最小のキャロルエマープである。
12番目のキャロル数は7番目のキャロル素数で、16769023である。これもまたエマープである。
知られている最大のキャロル素数は "n" = 695631番目のキャロル数であり、418812桁であるこの素数は2016年7月にCKSieve と PrimeFormGWのプログラムを使い、Mark Rodenkirchが発見した。44番目のキャロル素数である。
一般化.
"b"進キャロル数を、("b""n" − 1)2 − 2 ("n" > 0)と定義できる。"b"進キャロル数は "b" が偶数のときのみ素数になりうる。もし"b" が奇数であれば、"b" 進キャロル数は偶数となり、素数ではない。"b""n"進キャロル数は、"b" 進キャロル数の一部である。
"n" ≥ 1 において {(2"b")"n"−1}2 − 2 が素数となるのは、それぞれの "b" において
番目である。
一般化した"b"進キャロル素数で知られている最大のものは (2695631 − 1)2 − 2 である。