超限数

超限数（ちょうげんすう、英: Transfinite number）とは数学において、すべての有限数よりも大きい数であり、"無限"ではあるが必ずしも""とは限らない。これらには、無限集合の濃度を表現するための超限基数（英: transfinite cardinals）と、無限集合の順序を表現するため使われる超限順序数（英: transfinite ordinals）が含まれる。"超限"という数学用語は、1895年ゲオルク・カントールによってつくられた。これらの対象に対し"無限"という意味の言葉等を避けたいと思った人々は存在したが、にも拘わらずこの数は有限ではなかった。現在この点を問題視する者はほとんどおらず、超限の基数と順序数は無限数とされている。にもかかわらず"超限"という用語も使われ続けている。
定義.
有限自然数は少なくとも2つの目的で使われている。基数と順序数としてである。基数はひと組の量（例えば、バッグの中のビー玉5個）を示すが、順序数は、組の中の順序を示す。（例えば、「左から3番目の男」「1月27日」） 。超限数に拡張すると、これら2つの概念の違いは明確になる。超限基数は無限集合のサイズの表現に使われ、超限順序数は、順序付けられた無限集合内の位置を示すためすために使われる。
最も重要な順序数と基数は次の2つである。
連続体仮説とは、自然数の濃度 formula_2 よりも大きい最小の濃度は連続体濃度（実数の集合の濃度）であり間に中間基数がない、また同等に formula_3 と連続体濃度が等しいかと云う命題である。ツェルメロ＝フレンケル集合論において連続体仮説は、証明も否定もできない。
P.Suppes や J.Rubin を含む一部の著者は、超限基数という用語を使用して、「無限基数」と同等ではない可能性がある状況でのデデキント無限集合の"基数"を指す。つまり可算選択公理が想定されていないか、成立することが知られていない状況においてこの定義を考えると、以下はすべて同等である。
超限順序数と無限基数はどちらも自然数のみを一般化するが、超実数や超現実数を含む他の数体系は、実数の一般化を規定する。
例.
In Cantor's theory of ordinal numbers, every integer number must have a successor. The next integer after all the regular ones, that is the first infinite integer, is named formula_1. In this context, formula_14 is larger than formula_1, and formula_16, formula_17 and formula_18 are larger still. Arithmetic expressions containing formula_1 specify an ordinal number, and can be thought of as the set of all integers up to that number. A given number generally has multiple expressions that represent it, however, there is a unique Cantor normal form that represents it, essentially a finite sequence of digits that give coefficients of descending powers of formula_1.
Not all infinite integers can be represented by a Cantor normal form however, and the first one that cannot is given by the limit formula_21 and is termed formula_22. formula_22 is the smallest solution to formula_24, and the following solutions formula_25 give larger ordinals still, and can be followed until one reaches the limit formula_26, which is the first solution to formula_27. This means that in order to be able to specify all transfinite integers, one must think up an infinite sequence of names: because if one were to specify a single largest integer, one would then always be able to mention its larger successor. But as noted by Cantor, even this only allows one to reach the lowest class of transfinite numbers: those whose size of sets correspond to the cardinal number formula_28.