BEAF

BEAF (Bowers Exploding Array Function) とは、Jonathan Bowersによって考案された、巨大数を表すための表記法の一つである。クヌースの矢印表記を拡張して配列表記を作り、更にその配列表記を拡張して作られている。
のかなりの範囲をカバーできる巨大数表記法であることが想定されている。ただし2021年現在、BEAFの定義が数学的に意味を持つように定式化されているのはテトレーション配列のレベルまでであり、テトレーション配列を超えるレベルを表すことが想定されている記号や表記法も考案されているが、これは定義が未完成である。
クヌースの矢印表記.
まず、BEAFの元になった、クヌースの矢印表記について記す。詳細はクヌースの矢印表記を参照。
指数表記.
乗算は、加算の反復によって定義できる。
同様に、冪乗は、乗算の反復によって定義できる。
ドナルド・クヌースは、冪乗を上向き矢印「↑」を使って次のように表した。
拡張.
クヌースは、二本の上向き矢印を、冪乗の繰り返しを表す演算子として再帰的に定義した。
ここで、formula_5である。これを、テトレーション、またはその見た目からタワー（power tower）とも呼ぶ。同様に、三本の上向き矢印も次のように定義できる。
ここで、formula_7である。さらに、n本の上向き矢印に対して再帰的に定義すると、次のようになる。
ここで、"a", "b", "n" は整数であり、"a" ≥ 1,　"b" ≥ 0,　"n" ≥ 1である。ただし、formula_9は、n本のformula_10を意味する。
計算例.
formula_11
formula_12
formula_13
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18
このように、矢印の本数を増やすと、値が爆発的に増加することがわかる。これにより、非常に大きな自然数を表現する事が可能である。
注意点.
formula_19
からもわかるように、複数の演算子が並んでいるときは、右から順に計算していく。すなわち、
formula_20
であって、
formula_21
ではない。
括弧を使った演算子表記.
Jonathan Bowersは、まず矢印表記を一般化した、括弧を使った演算子表記を開発した。
formula_22
例えば、formula_23である。この表記法は、単に矢印表記を書き換えたに過ぎないが、Bowersは{}を1重から2重に増やすことで、更に拡張した。
formula_24
ここで、bは一番内側から外側までのaの個数である。Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。
の中を増やしていくと、次のようになる。
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30
formula_31
formula_32
と書いて圧縮することができる。すなわち、
formula_33
である。
線形配列表記.
formula_34
と書き換えることが可能である。この表記を多変数へ一般化したものは配列表記と呼ばれ、クヌースの矢印表記やコンウェイのチェーン表記や拡張チェーン表記や回転矢印表記よりも強力な表記である。
線形配列表記は以下のように定義される。