3人の子供の年齢のパズル

3人の子供の年齢のパズル（3にんのこどものねんれいのパズル、）はロジックパズルの一つ。一見すると解くための情報が不足しているように見えるが、じっくり考えてみることで解答に行きつくことができる。
問題.
ある国勢調査員が、自宅の門のところにもたれている女性に近づいて、彼女の子供について尋ねる。女性は「私には子供が3人います。子供たちの年齢の積は72で、和はこの門に書いてある番号と同じです」と返す。調査員は少しの計算をしてから、それだけでは情報が足りないと言う。すると女性は、「年が一番上の子がはしかで寝ているから、見に行かないと」と門の閉じぎわに調査員に伝えて家の中に入っていく。調査員は満足してその家を後にする。子供たちの年齢はいくつだろうか。
この問題はいろいろな形で述べられるが、与えられる基本的な情報は同じである。
年齢の積が36である別のバージョンもある。このときは結果が違ってくる。
解.
72の場合.
72の素因数は2, 2, 2, 3, 3である。言い換えると となる。
これより、次の表のような解の候補となる三つ組が得られる。
国勢調査員は和を知っていながら、答を出すのに十分な情報が足りないと言った。よって和がその値であるような組が複数なければいけない。そのような唯一の三つ組のペアは、
A. 
B. 
ケースAのとき「最年長の子」は存在しないから（6歳の子の片方は、数分早く生まれているかもしれないし、9から12か月ほど早く生まれているかもしれないが）、最年長の子がいると知った調査員は正しい解がケースBであると結論付けられたのだとわかる。
36の場合.
36の素因数は2, 2, 3, 3なので、可能な三つ組は
同じ論法で、門の番号は13、子供の年齢は9歳、2歳、2歳であることがわかる。
一般化.
ここでは積 formula_1 が72と36の場合について述べたが、他の自然数であっても問題を成り立たせる（一意的な解が存在するようにする）ことはできる。例えば、formula_2 を積とするような自然数の三つ組は48通りあるが、それらのうち和も一致するようなものは (13,63,63)と(21,27,91)、(7,63,117)と(13,27,147)、(1,189,273)と(9,13,441) の3ペアである。よって問題の解は (21歳,27歳,91歳) と定まる。
このような formula_1 を小さいほうから並べると 36,72,225,288,… となり、この数列は無限に続く。なぜなら、formula_4 を既知の項とするとき、 formula_5 となる任意の素数に対し formula_6 もまたこの数列に並ぶからである。これは、formula_4 を積とする自然数の三つ組に素因数 formula_8 を割り振るあらゆる方法（三つ組のうち1つに formula_9 を掛ける、1つに formula_10 を掛けもう1つに formula_11 を掛ける、等）をリストアップしたとき、和も一致するのは「元々和が等しかったものどうしに formula_12 を掛け合わせたもの」に限られる（素因数に着目した比較を行えばよい）ことからわかる。