ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。
内容.
"L" を R" n" 上の格子とし、 "d" ("L") を "L" に対応する行列の行列式とする。
R"n" 内の、原点に関して対称で体積が formula_1 より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる "L" 上の点を有する。
特に体積が 2"n" より大きい、原点に関して対称な R"n" 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。
証明.
R" n" の部分集合 "S" に対して "V" ("S") を "S" の体積とする。
まず、次のから証明する。
Blichfeldt の定理.
"S" を体積が "d" ("L") より大きな凸集合とすると、"S" は "L" を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
となる formula_3 がとれる。これは次のように証明できる。
"L" の基底 formula_4 をとり
をこの基底に対する "L" の基本領域とすると
が成り立つ。
に対して
を対応させる。
"f" は R" n" から "F" への写像で、
が成り立つ。さらに "f" は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
"f" が "S" 上で単射ならば formula_10 となるはずである。しかし
"f" の像は "F" に含まれるから
となる。よって "f" は "S" 上単射ではないので
となる点 formula_3 がとれる。
だから
である。
ミンコフスキーの定理の証明.
"S" を R"n" 内の、原点に関して対称で体積が formula_1 より大きい凸集合とする。
とおく。formula_18 だから formula_19 なので
Blichfeldtの定理より
となる2点 formula_21 がとれる。
formula_22 が成り立ち、
"S" は原点に関して対称だから formula_23 も成り立つ。
"S" は凸集合なので formula_24 である。一方で
であるから "S" は原点とは異なる "L" 上の点 formula_26 を有する。
系.
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。
を "n" ="r" +2"s" 個の一次形式とし、そのうち "l"1, "l"2, ..., "l""r" は実係数を持ち、 "l" "r" +"j" と "l" "r" +"s" +"j" ( "j" = 1, 2, ..., "s" ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。
ここで "k"1, "k"2, ..., "k""r" +"s" が実数で
を満たすならば、
となる整数 "x"1, "x"2, ..., "x""n" が存在する。
また "k"1, "k"2, ..., "k""r" +"s" が実数で
を満たすならば、
となる整数 "x"1, "x"2, ..., "x""n" が存在する。
応用.
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。
ミンコフスキーの定理の系から、"r" 個の実共役と 2"s" 個の（つまり "s" 対の共役対からなる）複素共役をもつ "n" ="r" +2"s" 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが
を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。
二平方定理の証明.
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。
実際 "p" を formula_33 の形の素数とすると
となる "t" がとれる（"p" を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。
となる点 formula_36 全体は
formula_37 を基底とする格子 "L" と一致し、formula_38 が成り立つ。
原点を中心とする半径 formula_39 の開円盤は面積 formula_40 の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる "L" の格子点 formula_41 を含む。
であるから
である。一方 formula_41 は原点ではなく、かつ原点からの距離は formula_39 より小さいから
が成り立ち、 "p" は2つの平方数の和であらわされる。