トリリウムの定理

トリリウムの定理 (トリリウムのていり、、）とは幾何学の定理である。
定理.
△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。
このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。
証明.
半直線ABと傍接円との接点をHとする。
まず ∠BAP=∠CAP より PB=PC である。
次に
つまり ∠IBP=∠BIP
よって△PBIは二等辺三角形であり PB=PI である。
以上から PB=PI=PC である。
また
つまり ∠JBI=90°
いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB=PI が分かっている。このとき
より△PBJは二等辺三角形であり PB=PJ である。
以上から PB=PI=PC=PJ である。
これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。