ケイシーの定理

数学におけるケイシーの定理（ケイシーのていり、）または一般化トレミーの定理は、アイルランドの数学者にちなむユークリッド幾何学の定理である。
主張.
formula_1 を半径 formula_2 の円とし、formula_3 をこの順に formula_1 に内接する、互いに交わらない4つの円とする。円 formula_5 に外側の共通接線を引いたときの2接点の距離を formula_6 とすると、次の等式が成り立つ。
4つの円がみな1点にまで退化した場合、これはちょうどトレミーの定理になることに注意。
証明.
以下の証明は Zacharias に帰せられる。円 formula_8 の半径を formula_9 と表し、円 formula_1 との内接点を formula_11 とする。各円の中心を同じ記号 formula_12 で表すことにする。
ピタゴラスの定理より、
この長さを点 formula_14を用いて表したい。余弦定理を三角形 formula_15 に用いると
が得られる。円 formula_17 が接していることから
formula_19 を円 formula_1 の周上の点とする。正弦定理を三角形 formula_21 に用いると
が得られる。これより、
以上を余弦定理の式に代入すると
formula_24
よって
が得られる。円に内接する四角形 formula_26 にトレミーの定理を用いて変形すると
さらなる一般化.
4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。
ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。
応用.
ケイシーの定理およびその逆は、ユークリッド幾何学の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものである。