球冠

球冠（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。
体積と表面積.
球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。
formula_5 が地理座標における緯度を示す場合、formula_6である。
formula_3 と formula_1 の関係はformula_9であれば問題ない。例えば、図の赤い部分はformula_10の球冠である。
formula_1 と formula_3 を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いてformula_1の代わりに球冠の底面の半径formula_2を用いる式に書き換えることができる。
つまり
となる。
これを式に代入すると
となる。
球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する.
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 formula_19 から導出することができる。
直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式formula_21（formula_22は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、formula_23 は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各formula_23は定数であり、球の半径formula_1と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。
計算を用いた体積と表面積の導出.
体積と表面積の式は次の関数
を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。
表面積は
である。formula_30の導関数は
であるから
となる。よって表面積の式は
となる。体積は
となる。
応用.
2つの交差する球の和集合と交差部の体積.
半径formula_35 と formula_36の球が交差したときの和集合の体積は、
ここで
は2つの独立した球の体積の合計で
は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。formula_40 が2つの球の中心間の距離であるとき、変数formula_41 と formula_42を消すと
となる。
平行な平板で囲まれた部分の表面積.
2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径formula_1で高さがformula_41 と formula_42の球冠の場合、表面積は
であり、地理座標である緯度formula_48 と formula_49を用いると
となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北）の表面積は、2·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km2で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。
この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。
一般化.
他の立体の部分.
回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。
超球冠.
一般的に、formula_51次元ユークリッド空間における高さformula_3 で半径 formula_1の超球冠のformula_51次元の体積は
で与えられる。ここでformula_56（ガンマ関数）はformula_57で与えられる。
formula_58の式は、n次元球体単位の体積formula_59や超幾何関数 formula_60 、正規化不完全ベータ関数 formula_61 を用いて
表面積の式formula_63は、n次元球体単位の表面積formula_64を用いて
と表すことができる。ここでformula_66である。
それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。
formula_67, where 
formula_68,
formula_69.
奇数formula_70に対しては
formula_71.
漸近性.
formula_72およびformula_73である場合、formula_74（formula_75は標準正規分布の積分）であることが示されている。
より定量的な方法でこれを書くと、境界formula_76が与えられる。
大きな球冠（formula_77でformula_78）の場合、境界はformula_79と簡単にすることができる。