エントロピー最大化モデル

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、）は、により導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。
モデル式.
発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。
ただしformula_1 formula_2
ただしformula_3
ただしformula_4
導出.
発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。
発地をformula_5個、着地をformula_6個、流動数の総和をformula_7、地域formula_8から地域formula_9への流動をformula_10とする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただしformula_11は総移動費用）。
ここではformula_7をformula_10に分配する、場合の数formula_14の最大値の決定を行えばよい。このとき、
 \binom{T-T_{11}}{T_{12}} \binom{T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}} \cdots \binom{T-T_{11}-T_{12}-\cdots-T_{m n-1}}{T_{mn}}\\
& = \frac{T!}{T_{11}!(T-T_{11})!} \cdot \frac{(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!} \cdots \frac{(T-T_{11}-T_{12}-\cdots-T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}\\
が成立する。ここで、最大値の導出のために、式()の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。
ここで、スターリング近似により、formula_7が十分に大きいときformula_16が成り立つため
が導かれる。よって、formula_17の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。formula_18は式()、formula_19は式()、formula_20は式()のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数formula_21は
となる。ここで、formula_21の最大値を与えるformula_10は、偏微分方程式formula_24を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。
式変形すると、以下の式が得られる。
さらに式変形すると、以下の式が得られる。
が得られる。このとき、
とおくと、式()は
と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。
この他、発生制約モデルの場合は式()・式()を、吸収制約モデルの場合は式()・式()を、無制約モデルの場合は式()を制約条件として使用することで導出できる。