トムソン問題

トムソン問題（トムソンもんだい、） は、静電エネルギーが最小になるよう単位球面上に "N" 個の電子を配置する問題である（電子間力はクーロンの法則に従うものとする）。1904年、物理学者J. J. トムソンが、後年ブドウパンモデルと呼ばれる原子模型の発表後、「（電気的な）中性原子中には、負に帯電した電子が存在している」という知見を基に提出した。
この問題に関連して、最小エネルギー配置の幾何の研究や、"N" を大きくしたときの最小エネルギーの研究がある。
数学的定式化.
トムソン問題は、数学者スティーヴン・スメイルによる18個の未解決問題の1つ — "2次元球面上の点の分布" — の特別な場合である。冒頭述べたように単位球面（ formula_1 ）の場合だけ考えればよい。
電気量 formula_2 （ formula_3 は電気素量）の電子ペアがもつ静電エネルギーは、クーロンの法則より
ここで formula_5 はクーロン定数、 formula_6 は位置ベクトル formula_7、formula_8 で表した電子間距離。
formula_9、formula_10 であるとしても一般性は失わない。このとき、
"N"-電子配置のエネルギーの総和は、ペアごとの値を合算して次のように書ける。
大局的な formula_13 の最小化配置は、大体において数値計算で得られる。
例.
電子2個の場合のトムソン問題の解は、電子が原点を挟んで最も遠ざかったときが解となる： formula_14 
既知の解.
最小エネルギー配置が厳密に分かっているのはほんの限られた場合だけである。
注目すべきことに、 "N" =4,6,12のときのトムソン問題の解は、全ての面が合同な正三角形であるプラトンの立体を形作っている。 "N" =8,20のときの数値計算による解は残り2つのプラトンの立体（面が正方形、正五角形）にはなっていない。
一般化.
粒子間のポテンシャルが任意の形で与えられているときの基底状態を考えることもできる。数学的に正式に述べると、 "f" を実数値減少関数とし、全エネルギーを formula_15 とする。
伝統的に formula_16 （リースの formula_17-カーネル）を考えることが多い。可積分なリースカーネルについては文献を参照のこと。また可積分でないリースカーネルについてはが成り立っている。
有名なケースは
高次元空間での "N" 個の点の配置を考えることもできる。を参照。
他の自然科学の問題との関係.
トムソン問題は、トムソンのブドウパンモデルにおいて一様に広がる正電荷がないものとすれば自然に導かれる。
実験によってトムソンのブドウパンモデルは原子の完全なモデルにはなり得ないことがわかったが、数値計算によるトムソン問題の変則的な解の中には、周期表上の一連の元素における自然な殻内電子配置と対応が見つかっているものもある。
トムソン問題はまた、や、四重極イオントラップ内の金属液滴の表面配向といった他の物理モデルの研究でも有用である。
一般化されたトムソン問題は、例えばウイルスの球状殻を構成するタンパク質のサブユニット配置を決定するときに現れる。この場合の「粒子」とは殻上のサブユニットのことである。他の具体例として、コロイドソーム（colloidosome；薬物、栄養物、生細胞等、活性成分のカプセル封じとして提案されている）におけるコロイド粒子の均整な配置、炭素原子のフラーレン構造、原子価殻電子対反発則の理論等が挙げられる。低温状態で、巨大単極子を中心としたシェル構造超伝導金属が形成するとされるアブリコソフ-ボルテックスは、対数ポテンシャルによる長距離相互作用の例である。
現在までに知られている最良の結果.
下記の表で、formula_19 は点（電荷）の個数、 formula_20 はエネルギー、対称性の記述はシェーンフリース記号（三次元の点群を参照）によるもの、また formula_21 は点電荷の位置を表す。ほとんどの対称性のタイプにおいてベクトルの総和はゼロになり、従って電気双極子モーメントもゼロになる。
点集合の凸包による多面体も併せて考えることが慣習となっている。ここで、formula_22 は添字に等しい辺が集まる頂点の数、formula_3 は辺の数、formula_24 は三角形の面の数、formula_25 は四角形の面の数、formula_26 は隣接する2辺が成す角の最小値である。辺の長さは一定とは限らないことに注意。このため（ "N" =4, 6, 12, 24を除いて） 凸包は表の最終列に記した一様多面体またはジョンソンの立体とはグラフ同型であるにとどまる。