メルテンスの定理

メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年ににより証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。
素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
定理.
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をという。
第一定理の証明.
素数 p が n の階乗 formula_4 を割り切る回数を formula_5 とおくと
ルジャンドルの公式 より
であるから
が成り立つ。よって
となるから
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
が成り立ち、階乗の増大度について、
がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から
となる定数 formula_13が存在する。一方
となる定数 formula_15 が存在することは
が収束することからわかる。
第二定理の証明.
formula_17 とおく。第一定理より formula_18 である。よって積分
はformula_20のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より
となるので、第二定理は
について成り立つ。
第三定理の証明.
収束性は
および
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が formula_25 であることの証明は概略のみ述べる。
とおく（ "g" ("s") についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて
が得られる。ここで formula_28 とおくとオイラーの定数の積分表示から
となる。これと第二定理を用いて
が示せる。formula_31 より
つまり
である。再び第二定理を用いて
が得られ、第三定理が示される。