距離空間の圏

数学の一分野としての圏論において距離空間の圏（きょりくうかんのけん、） は、すべての距離空間を対象とし、すべての（計量写像, short map）を射とする圏である。二つの非拡大写像の合成は再び非拡大であるから、確かにこれは圏を定めている。この圏を初めて考察したのは である。
ここに、射として連続写像をとらないのは、構造としての距離函数との整合を考えてのことである。非拡大写像は任意の二点間の距離を増加させない連続写像である。
他の圏との関係.
各距離空間を距離構造を忘れてその台となる点集合と見なし、かつ非拡大写像を単に写像と見なすことにより、集合の圏への が得られる。この函手 は忠実函手となり、したがって はである。
さて本項にいう距離空間の圏 は単にすべての距離空間を対象とする圏というだけのものではない。すべての距離空間を対象とする圏には、連続写像を射とする圏（これは位相空間の圏の充満部分圏）や一様連続写像を射とする圏（これはの充満部分圏）あるいはリプシッツ連続写像や準リプシッツ写像 (quasi-Lipschitz mapping) を射とする圏などが挙げられる。非拡大写像は一様連続かつ（リプシッツ定数高々 の）リプシッツ連続である。