完全微分

多変数微分積分学における微分が完全 ("exact", "perfect") あるいは完全微分（かんぜんびぶん、）とは、それが適当な可微分函数 の微分 となるときに言い、そうでないときと呼ぶ。
完全微分はしばしば「全微分」('total differential', 'full differential') あるいは微分幾何学において完全形式などとも呼ばれる
概観.
定義.
ここでは三次元（三変数函数）で考えるが、同様の定義は任意の次元で容易に考えられる。三次元において formula_1 の形の式を微分形式（あるいは微分形）と呼ぶ。この形式が領域 上の完全微分とは、 上で定義されたスカラー函数 が存在して、 の全微分formula_2 に対して 上で formula_3 が成り立つときに言う。これはベクトル場 が対応するポテンシャル に関するであると言ってもよい。
一次元の場合.
一次元の場合に、微分形 が完全とは、 が原始函数（これは別に初等函数でなくてよい）を持つことに他ならない。すなわち、 が原始函数を持つとしてその原始函数を と書けば、 は上記の完全性の定義条件を満たす。一方、 が原始函数を「持たない」なら、 の形に書くことはできず、この微分形は不完全である。
二次元あるいは三次元.
二階微分の対称性とは、大抵の素性の良い函数 が formula_4 を満たすことを言うものである。これを用いれば、-平面上の単連結領域 において、微分形 が完全微分となるための必要十分条件は formula_5 を満足することである。
同様に三次元の場合、微分形 が -座標空間の領域 において完全微分となるのは、 が関係式 formula_6 を満足するときである。
これらの条件は以下のように述べることもできる。対応するベクトル値函数のグラフを とすれば、「曲面」 の任意の接ベクトル に対して斜交形式 を以って が成り立つ。
二階微分の計算において微分する順番は問わないのだったから、これらの条件を一般化するのは容易である。例えば、四変数函数に関する完全微分 を得るには、六つの条件を満足するべきことがわかる。
簡単にまとめると、与えられた微分形が完全微分 となるのは
ときである。
偏微分関係式.
三つの変数 が適当な可微分函数 に関する条件 によって束縛されているとすれば、全微分 formula_8 が存在する。最初の式に二つ目の式を入れて並べ替えれば formula_9 を得る。 は独立な変数であるから、 は制限なく選べる。最後の式が一般に成り立つためには、括弧で括った項が零とならねばならない。以下それが成立することを見よう:
代わりに に対する相反関係式を用い、並べ替えれば陰函数の微分法則 formula_14 が得られる。
いくつか有用な等式.
主変数 は副変数 の函数かつ は の函数とし、各々に関する微分は完全微分とする。連鎖律により、
となるが、やはり連鎖律により
および
により
となり、さらに
を導く。 と置けば
および と置けば
あるいは、 と置いて
また相反関係式により三重積の微分法則
を得る。