伴う素イデアル

抽象代数学において，環 上の加群 に伴う素イデアル（）あるいは の素因子とは， の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 と書かれる．
可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル が準素イデアルの有限交叉として分解されているとき，これらの準素イデアルの根基は素イデアルであり，素イデアルたちのこの集合は と一致する．またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは，孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である．
定義.
零でない 加群 が prime module であるとは， の任意の非零部分加群 に対して零化イデアル formula_1 となることである．prime module に対し，formula_2 は の素イデアルである．
 加群 に伴う素イデアル (associated prime) とは， を の prime submodule として の形のイデアルのことである．可換環論における通常の定義は異なるが同値である： が可換であるとき， に伴う素イデアル とは， の非零元 に対して formula_3 の形の素イデアル，あるいは同じことであるが， が のある部分加群に同型な素イデアルのことである．
可換環 において， における（集合論的包含に関する）極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ，残りの素因子（すなわちある素因子を真に含むもの）は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる．
加群が coprimary であるとは，ある に対して ならばある正の整数 に対して となることをいう．可換ネーター環上の零でない有限生成加群 が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である． の部分加群 が -primary とは， が で coprimary なことをいう．イデアル が -準素イデアルであることと は同値である；したがって概念は準素イデアルの一般化である．
性質.
これらの性質や主張のほとんどは の86ページ以降に与えられている．
以下の性質は全て可換ネーター環 に対するものである：