独立同分布

独立同分布（どくりつどうぶんぷ、）や独立同一分布（どくりつどういつぶんぷ）とは、確率論と統計学において、確率変数の列やその他の系が、それぞれの確率変数が他の確率変数と同じ確率分布を持ち、かつ、それぞれ互いに独立している場合をいう。「独立同分布」という確率分布があるわけではない。
IIDという注記は統計において特に一般的であり、推計統計学の目的のために、しばしば標本中の観測値が効果的にIIDであると仮定される。観測値がIIDであるという前提（または要件）により、多くの統計的方法の基礎となる数学が単純化される傾向がある（およびを参照）。しかし、統計モデルの実際の応用においては、この仮定が現実的である場合とそうでない場合がある。与えられたデータの集合上でこの仮定がどれほど現実的であるかをテストするために、を書いたりをすることで、自己相関を計算することができる。の一般化はしばしば十分であり、より容易に満たされる。
この仮定は、有限の分散を有するIIDな変数の和（または平均）の確率分布が正規分布に近づくという中心極限定理の古典的な形式において重要である。 
IIDは確率変数の列を参照することに注意が必要である。独立同分布とは、列内の要素が、その要素の前の確率変数とは独立していることを意味する。このように、IIDの列はマルコフ過程とは異なる。マルコフ過程では、"n" 番目の確率変数の確率分布は、列内の前の確率変数の関数である（1次マルコフ過程の場合）。IIDの列は、標本空間またはイベント空間の全ての要素の確率が同じでなければならないということを意味しない。例えば、いかさまサイコロを繰返し投げた場合、結果が偏っているにもかかわらず、IIDである列が生成される。
定義.
確率変数を formula_1 の値を取ると定義する。
formula_2 の時かつその時に限り、2つの確率変数 formula_3 と formula_4 は 同一分布に従う(identically distributed)という。
formula_5 の時かつその時に限り、2つの確率変数 formula_3 と formula_4 は独立(independent)であるという。独立 (確率論)#確率変数の独立も参照。
例.
モデリングでの使用.
以下に挙げるは、IID確率変数の例または適用例である。
一般化.
確率変数がIIDであるという仮定の下で証明された多くの結果は、より弱い分布仮定の下でも真であることが示されている。
交換可能な確率変数.
IID変数の主な特性を共有する最も一般的な概念は、ブルーノ・デ・フィネッティによって導入されたである。交換可能性とは、変数が独立していない可能性はあるが、将来のものは過去のものと同じように振る舞う（正式には、有限な列の値はそれらの値の順列と同じである）ことを意味する。同時分布は対称群の下で不変である。
これは有益な一般化を提供する。例えば、置換を伴わない標本化は独立ではなく、交換可能である。これは、ベイズ統計学で広く使用されている。
レヴィ過程.
確率解析では、IID変数はレヴィ過程と見なされる。各変数は、ある時刻から別の時刻の間にどれだけ変化するかを示す。例えば、ベルヌーイ試行の列は、ベルヌーイ過程と解釈される。これを一般化して、連続時間レヴィ過程を含めることができ、多くのレヴィ過程はIID変数の限界として見ることができる。例えば、ウィーナー過程はベルヌーイ過程の限界である。
ホワイトノイズ.
ホワイトノイズは、IIDの単純な例である。