位相空間の圏

数学の一分野である圏論における位相空間の圏（いそうくうかんのけん、） あるいは formula_1 は、位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏を言う。ただし、しばしば対象や射を特定のものに制限したり適当なものに取り換えたりするので注意が必要である（例えば、対象はしばしばと仮定する）。これが圏を成すことは、二つの連続写像の合成がふたたび連続となることによる。圏 および位相的性質を圏論の手法を用いて研究する分野を圏論的位相空間論 ("categorical topology") と言う。
注意: 記号 を位相多様体と連続写像の圏の意味で用いる文献があるので注意が必要である。必要ならば や などと書けば混乱は避けられる。
具体圏として.
よく知られた圏の御多分に漏れず、位相空間の圏 はである（すなわち、対象が集合に構造（今の場合位相）を入れたものによって与えられ、なおかつ射はその構造を保つ写像となっている）。従って、集合の圏への自然な が、各位相空間にその台集合を対応させ、各連続写像に台となる写像を対応させるものとして存在する。
この忘却函手 は左随伴 として各集合に離散位相を入れる（このとき任意の写像は離散空間上定義されることから自動的に連続になる）函手を持ち、また右随伴 は各集合の密着位相を入れる（このとき密着空間値の写像は必ず連続になる）函手で与えられる。実は両函手とも の右逆である（すなわち と はともに の恒等函手に等しい）。さらに言えば、離散空間の間の写像あるいは密着空間の間の写像は必ず連続となるから、両函手とも から へのを与える。
具体圏としての はファイバー完備、すなわち与えられた集合 上に可能な（ の上にある のファイバーと呼ぶ）は包含関係を順序として完備束を成す。このファイバーの最大元は 上の離散位相であり、最小元は密着位相である。
具体圏としての はと呼ばれるところのもののモデルである。位相圏は任意の構造化された始域 (structured source) が一意な始持ち上げ (initial lift) を持つという事実によって特徴づけられる。 において始持ち上げは、始域にを入れることで得られる。位相圏は多くの性質（例えばファイバー完備、離散函手および密着函手、極限の一意な持ち上げなど）を と共有している。
極限と余極限.
位相空間の圏 は完備かつ余完備、すなわち任意の小さい極限と余極限がともに 内に存在する。実は忘却函手 は極限および余極限の何れにも一意に持ち上げられ、それらを保つ。従って における（余）極限は における（余）極限に適当な位相を入れることによって得られる。
具体的には、 は における図式として、 が に落とした図式 の極限であるとき、 において対応する の極限は に を入れることで得られる。これと双対的に、 における余極限を得るには、それに対応する の余極限にを入れればよい。
多くの代数学的な圏と異なり、忘却函手 は極限を創出したり反映したりしない。これは典型的には における普遍を被覆する の非普遍錐があることによる。
 における極限および余極限の例を挙げる: