はめ込み

数学において，はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことである．明示的には， がはめ込みであるとは，
が のすべての点 において単射関数であることをいう（ここで は多様体 の点 における接空間を表す）．同じことであるが， がはめ込みであるとは，その微分が の次元に等しい定数を持つことである：
関数 それ自身は単射である必要はない．
関連概念は埋め込みである．滑らかな埋め込みは位相的な埋め込みでもある単射はめ込み であり，したがって は におけるその像に微分同相である．はめ込みはちょうど局所的な埋め込みである――つまり，任意の点 に対して， のある近傍 が存在して， が埋め込みとなり，逆に局所的な埋め込みははめ込みである．無限次元多様体に対して，これははめ込みの定義として取られることもある．
 がコンパクトならば，単射なはめ込みは埋め込みであるが， がコンパクトでなければ，そうとは限らない；連続全単射と同相を比較せよ．
正則ホモトピー.
多様体 から への2つのはめ込み と の間のは次のような可微分関数 と定義される：すべての に対して，すべての に対して によって定義される関数 ははめ込みで，, である．正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである．
分類.
ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し， に対して 次元多様体から 次元多様体へのすべての写像 がはめ込みにホモトープであること，そして に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した．これらがとである．
スティーブン・スメールははめ込み の正則ホモトピー類をあるのホモトピー群として表した． は特に著しい結果であった．
 は Smale の表示を任意の 次元多様体 内の任意の 次元多様体 のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した．
はめ込みの Hirsch–Smale 分類は によって一般化された．
例と性質.
はめ込まれた平面曲線.
はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち，を で割ったものとして定義できる．これは により正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には，それはガウス写像の次数，あるいは同じことであるが，原点についての（消えない）unit tangent の回転数である．さらに，これはである――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである．
すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが，これは高次元では正しくない．追加の情報（どの紐が上にあるか）により，はめ込まれた平面曲線は を生じ，これは結び目理論において中心的に興味を持たれる．はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが，結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ．
一般化.
はめこみ理論の遠大な一般化はである：はめこみの条件（微分の階数がつねに ）は，関数の偏微分のことばで述べられるから， (partial differential relation, PDR) と考えることができる．すると Smale–Hirsch のはめ込み理論はこれがホモトピー論に帰着されるという結果であり，ホモトピー原理は PDR がホモトピー論に帰着する一般の条件や理由を与える．