位相線型空間の圏

数学の一分野、圏論における位相線型空間の圏（いそうせんけいくうかんのけん、）（あるいは などとも書く）は、すべての位相線型空間を対象とし、すべての連続線型写像を射とする圏である。これが圏を成すのは、二つの連続線型写像の合成がふたたび連続線型となることによる。
位相体 を一つ固定して、 上の位相線型空間が連続 -線型写像を射としてなす（部分）圏 を考えることもできる。
具体圏として.
御多分に漏れず、位相線型空間の圏 は である。それはつまり、対象は集合に追加の構造（いまの場合、線型構造と位相）を入れたものであり、射はそれら構造を保つ写像であるということを意味する。すると明らかに、 から位相空間の圏 , 線型空間の圏 , 集合の圏 のそれぞれへのがあることがわかる。
位相圏として.
位相線型空間の圏は位相的である。それはつまり、大雑把いえば、位相空間の圏 とその台としての集合の圏 の関係性とまったく同じ意味で、 の台として線型空間の圏 があるということを意味している。より精確に述べれば、
上記の内容において、「線型空間」としているところを「集合」に、「線型写像」としているところを「写像」に全て一斉に置き換えれば、通常の における始位相の特徴付けが得られる。これがこの性質を満たす圏を「位相的」と呼ぶことの理由である。
この性質からいくらか帰結が得られる。例えば: