固有値分解

線型代数学において固有値分解 () とは、固有値に着目した行列の分解である。
概要.
行列 formula_1 ( は適当な体) に対して、ある正則行列 formula_2 と対角行列 formula_3 が存在してformula_4と書けて、さらに formula_3 の対角成分が formula_6 の固有値 formula_7 である (すなわち、formula_8 である) ようなものを formula_6 の固有値分解という。また、このとき formula_6 は対角化可能であるという。
一般に行列 formula_6 は固有値を持つとは限らず、また固有値を持っていたとしてもそれによって固有値分解ができるとは限らない。例えば、行列 formula_12 は複素数の固有値 formula_13 しか持たないため、実行列として考えている場合は固有値を持たない。また、行列 formula_14 は固有値を持つが対角化不可能なものの例である。
formula_15 次行列 formula_1 が対角化可能である必要十分条件は、formula_6 の固有ベクトルが formula_18 の基底をなすこと、すなわち一次独立な formula_6 の固有ベクトルの formula_15 個組 formula_21 が存在することである。
利点・応用.
線型代数学において、固有値分解は次のような利点がある：
行列の冪計算.
行列 formula_6 が固有値分解 formula_23 を持つとする。このとき、自然数 formula_24 に対して formula_6 の冪 formula_26 は
formula_27
で表される。formula_3 は対角行列であったので、formula_8 に対して formula_30 と計算できる。従って、特に formula_6 に対して formula_2 が既知である場合に formula_6 の冪を簡単に求めることができる。
行列の指数.
冪計算の応用として、行列の指数関数
formula_34
の計算もまた、formula_6 の固有値分解が既知であれば容易になる。固有値分解 formula_23 に対して冪計算が formula_37であることと、行列の指数関数の各種性質から、
formula_38
と計算できる。
他にも、様々な工学的応用がある。