体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 formula_1 と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 formula_2 の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。
導出および球面調和関数との関係.
空間ベクトル r の球面極座標として "r", θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。
ここで "l"2 は無次元化した角運動量演算子
の2乗である。
知られているように、球面調和関数 "Ylm" は演算子 "l"2 の固有関数である。
Φ(r) = "F"("r") "Ylm" をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。
ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数
であり、また一部が非正則な体球調和関数
である。
ラカーの正規化.
の正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに
とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。
加法定理.
正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。
ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。
類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。
ここで formula_15 とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。
参考文献.
加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。
実関数形式.
±"m" についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、"x", "y", "z" についての "l" 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値のに現れ、重要である。以下でその導出を行う。
線形結合.
先述と同じ定義で、 
ただし
ここで formula_19 は "l" 次のルジャンドル多項式である。
この "m" に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。
実の正則体球調和関数は次のように定義される。
また "m" = 0 に対しては
線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
"z"-依存因子.
"u" = cos"θ" と書くと、ルジャンドル多項式の "m" 階導関数は次のような "u" の多項式で書ける。
ここで
"z" = "r" cos"θ" だから、この導関数には適当な "r" の冪乗を掛ければ "z" のシンプルな多項式になる。
("x","y")-依存因子.
次に、"x" = "r" sin"θ"cos"φ" と "y" = "r" sin"θ"sin"φ" に注意すると
同様に
これらより、次のように定義する。
低次の関数のリスト.
"l = 5" 以下の関数の明示式を記す。ここで 
低次の formula_33 と formula_34 は次の通りである。