リー環のコホモロジー

数学において、リー環のコホモロジー（）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。
動機付け.
 がコンパクト単連結リー群のとき、 はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これはの複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。
定義.
formula_1 を可換環 上のリー環、formula_2 をその普遍包絡環とし、 を formula_1 の表現とする（同じことだが formula_2-加群とする）。 を formula_1 の自明表現と考え、コホモロジー群
を定義する（ の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手
の右導来関手である。
同様に、リー環のホモロジーを
と定義でき（ の定義は Tor関手を参照）、これは右完全関手
の左導来関手と同値である。
リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中には、、定理がある。
シュバレー・アイレンバーグ複体.
体 上のLie環 formula_10 の左 formula_10-加群 に値を持つリー環コホモロジーは"シュバレー・アイレンバーグ複体" formula_12 を用いて計算できる。この複体の -コチェインは に値を持つ 変数の交代 -多重線型関数 formula_13 である。 コチェインのコバウンダリは次で与えられる -コチェイン である：
ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。
小さい次元のコホモロジー.
0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：
1次コホモロジー群は内部微分の空間 を法とした微分の空間 である：
ただし微分はリー環から への写像 で
なるもので、それが内部微分とはそれがある で
で与えられることをいう。
2次コホモロジー群
はリー環の加群 によるリー環の拡大
の同値類の空間である。
より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。