マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された。弾性体上に2種類の荷重群formula_1をかけることを考える。一つ目の荷重群formula_2のみをかけたときにもう一方の荷重群formula_3の作用点の作用方向変位成分をformula_4とする。また、荷重群formula_3のみをかけたときのformula_2の作用点の作用方向変位成分をformula_7とする。このときベティの相反定理：
が成り立つ。
特にとすると、マクスウェルの相反定理：
が成り立つ。
証明.
簡単な証明としてとし、弾性体に力"P"Aと"P"Bの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。
弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって
が成り立つ。