並進演算子 (量子力学)

量子力学における並進演算子（）とは、ある方向にある大きさだけ粒子や場を移動させる演算子のこと。より具体的には、いかなる変位ベクトル においても対応する並進演算子 formula_1 が存在し、 の大きさによって粒子や場を移動させる。例えばもし formula_1 が位置 に位置する粒子に作用すると、その結果として粒子の位置は になる。
並進演算子は線形かつユニタリーである。並進演算子は運動量演算子と密接に関係している。たとえば、 方向に無限小だけ移動させる並進演算子は、運動量演算子の 成分と単純な関係性を持つ。このことにより並進演算子がハミルトニアンと可換、つまり物理法則が並進不変であるとき、運動量保存則が保たれる。これはネーターの定理の一つの例である。
位置の固有ケットと波動関数への作用.
並進演算子 formula_1 は粒子や場を だけ動かす。したがって、位置演算子の固有状態 （つまり粒子の位置が確実に の状態）に formula_1 を作用させると、その位置は に移る。
並進演算子の性質を記述する別の（等価な）方法は、位置空間の波動関数に基づくものである。粒子が位置空間の波動関数 formula_6 を持ち、formula_1 が粒子に作用したとき、新しい位置空間の波動関数 formula_8は formula_9で定義される。この関係はformula_10とするとより覚えやすく、「新しい位置での新しい波動関数の値は、元々の位置での元々の波動関数の値に等しい」。
これら２つの記述が等価であることの例を示す。状態 は、波動関数 formula_11 に対応する(ここで はディラックのデルタ関数)。一方で状態 formula_12は、波動関数 formula_13 に対応する。これらは formula_9を満足する。
一方で、並進演算子が状態に作用したとき、運動量の期待値は変わらない。このことは同じように証明できるが、並進演算子が運動量と交換することを用いる。この結果も予想と一致している。つまり並進によって粒子の速度や質量は変わらず、運動量も変わらない。
並進不変性.
量子力学ではハミルトニアンは系のエネルギーとダイナミクスを表す。以下で示すいくつかの状況では、系が並進してもハミルトニアンは不変となる。
この場合、対応する並進演算子は系について対称である。
数学的には、この状況は次のようなときに起こる。
(大雑把に言うと、系を並進させた後にエネルギーの測定をし、並進によって元に戻すと、結局エネルギーを直接測定したことと同じである)。このことは交換子を用いて formula_16と書ける。すなわちハミルトニアンが並進演算子と交換する。
連続並進対称性.
まず「全ての」並進演算子が系について対称である場合を考える。以下で見るように、この場合では運動量の保存が起こる。
たとえば宇宙全体の全ての粒子と場を記述するハミルトニアンを 、宇宙全体のすべての粒子と場を同時に同じだけシフトする並進演算子を formula_17 とすると、これは常に対称である。 は宇宙全体の完全な物理法則を記述し、場所に依存しない。その結果、運動量の保存が宇宙全体で成り立つ。
一方で、 と formula_17 はただ一つの粒子について言及すると考えられる。このとき並進演算子 formula_17 が厳密に対称であるのは、粒子が真空中で孤立しているときのみである。それに対応して、１粒子の運動量は通常は保存しない(粒子が他の物質に衝突したときに変化する）が、真空中で孤立しているときは保存する。
運動量保存則とのつながりは次のような考えによるものである。全ての並進演算子が系で対称である(つまり全て と交換する)と仮定する。
運動量演算子が無限小並進演算子の和で書けるため、このとき は運動量演算子とも交換しなければならない。
このことはエーレンフェストの定理から得られる(運動量演算子 formula_20 が時間に依存しないため）。
つまり系のハミルトニアンが連続並進に対して不変であれば、系は運動量保存則を持ち、運動量演算子の期待値は一定となる。これはネーターの定理の一つの例である。
離散並進対称性.
ハミルトニアンが並進不変である特別な場合がある。この並進対称性は、ポテンシャルが周期的であるときに見られる。
一般的に任意の formula_23 での並進 formula_24 によってハミルトニアンは不変ではない。ここで formula_24は次の性質を持つ。
また、
(ここで formula_28 は恒等演算子である。上述の証明を参照)。
しかし formula_23 がポテンシャルの周期 と一致したときは、
ハミルトニアンformula_31の運動エネルギー部分はformula_32についての関数で、任意の並進に対して不変であるため、全体のハミルトニアンは次式を満たす。
つまりハミルトニアンは並進演算子と交換する。すなわち同時対角化することができる。よってハミルトニアンはそのような（連続でない）並進について不変である
周期的ポテンシャルでの離散並進 : ブロッホの定理.
完全結晶中のイオンは、規則正しく周期的に配列している。よってすべてのブラベー格子ベクトル において
の周期性をもつポテンシャルformula_35中の電子の問題に行き着く。
しかし完全な周期性は、理想化している。実際の固体は完全に純粋ではなく、不純物原子の周辺の状態はその他の結晶部分の状態と同じではない。さらに実際にはイオンは静止しておらず、平衡位置付近で絶えず熱振動している。これらのことが、結晶の完全な並進対称性を崩している。この問題を扱うため、問題を(a)ポテンシャルが完全に周期的である仮想的な完全結晶と、 (b)小さな摂動として扱われる完全な周期性からのずれの効果という２つの部分に分ける。固体中の電子の問題は、原理的には多電子問題である。しかし独立電子近似では、それぞれの電子は周期ポテンシャル中の１電子シュレーディンガー方程式で記述され、ブロッホ電子と呼ばれる (ブロッホ電子は周期ポテンシャルがあらゆる点で０のときは自由電子となる)。
それぞれのブラベー格子ベクトル について、関数 に作用したとき だけ変数をシフトさせる並進演算子 formula_36 を定義する。
並進演算子全体はアーベル群を成すため、逐次的な２回並進はそれらが作用する順番に依存しない。つまり、
さらにハミルトニアンが周期的であるとして、
よって全てのブラベー格子ベクトル におけるformula_36とハミルトニアン は交換する演算子の集合を作る。よって の固有状態は全ての formula_36 の同時固有状態に選ぶことができる。
並進演算子の固有値 は、次の条件とつながっている。
つまり、
また、
よって次の関係が得られる。
ここで formula_48 をブラベー格子における３つの基本ベクトルとする。formula_49 をうまく選ぶと、formula_50を常に次のような形に書くことができる。
 が次のように一般的なブラベー格子ベクトルであるとする。
このとき、
formula_51を代入すると、
ここでformula_56 は逆格子ベクトル、formula_57 はその基底で formula_58 を満たす。
よって全てのブラベー格子ベクトル で、
となるようにハミルトニアンformula_31とformula_61の同時固有状態 formula_62 を選ぶことができる。よって以下が成り立つ。
この結果はブロッホの定理として知られる。