力の平行四辺形

力の平行四辺形（ちからのへいこうしへんけい、）は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。
2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、 の始点が の終点と一致するように を移動させるのと、 の始点と の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル の合力の場合も同様に、 と のなす平行四辺形として作図できる（結果は和の順序に依存しない）。
ニュートンの証明.
準備: 速度の平行四辺形.
与えられた時間（例えば1秒）で粒子がAからBへの線（図2）に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである。
力の平行四辺形のニュートンの証明.
図1の原点（ベクトルの「尾」）にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である。
垂直なベクトルに対するベルヌーイの証明.
力をユークリッドベクトルもしくはformula_1の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力formula_2に対して、formula_3が存在する。
最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。formula_4を任意の回転（formula_5であるformula_1の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力formula_7に対しformula_8は
formula_9
を満たす。2つの力formula_10とformula_11は垂直で、formula_10の長さをformula_13、formula_11の長さをformula_15、およびformula_16の長さをformula_17と仮定する。
formula_18およびformula_19として、formula_20をformula_10とformula_16の間の回転とするとformula_23である。回転が不変の下では
formula_24
を得る。同様に、さらに2つの力formula_25を考える。formula_26をformula_10からformula_28への回転とするとformula_29であり、これによりformula_30となる。
formula_31
これら2つの方程式より
formula_32
を得る。formula_33とformula_34はどちらもformula_16に沿っているため、長さformula_36はformula_37に等しく、
formula_38
である。このことはformula_39が長さformula_40を持ち、これはformula_41の長さであることを示している。したがって、formula_10とformula_11が垂直である場合、formula_44である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、formula_45の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する
力の平行四辺形の代数的証明.
力をユークリッドベクトルもしくはformula_1の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力formula_2には、別の力formula_3が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、formula_49である。
写像
formula_50
を考える。
formula_45が結合的であるならば、この写像は線形である。formula_52をformula_52に、formula_54をformula_54に写すため、恒等写像である必要もある。よってformula_45は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。
論争.
力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され（主にDuchaylaとポアソンのもの）、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない。