パーマネント (数学)

線型代数学における正方行列のパーマネント（）は、行列式 (determinant) によく似たである。パーマネントは、行列式と同様に、行列の成分を変数とする多項式である。Permutation（置換）と determinant（行列式）を合成したカバン語をもじったものである。英単語の「Permanent」から永久式または恒久式と訳されたこともある。中国語の名称は積和式。
パーマネントと行列式はともに、より一般の行列函数イマナントの特別の場合である。
定義.
次正方行列 のパーマネントは
で与えられる。右辺の和は、対称群 の任意の元 （つまり、番号 の置換）に亙ってとるものとする。
例えば、二次正方行列に対しては
であり、三次正方行列に対しては
となる。
 のパーマネントの定義において、 の行列式のそれと異なる点は、各置換（に対応する項）に対して行列式が置換の符号を考慮するのに対してパーマネントは考慮しないことである。
行列 のパーマネントは記号で などと書く（引数をパーレンで括ることもある）。 は が矩形行列の場合に , 正方行列には と使い分けている。 は formula_4 と書ける。
パーマネントの計算は行列式の場合に比べて複雑になると信じられている（例えば、行列式はガウスの消去法を用いて多項式時間で計算できるが、パーマネントはガウス消去では計算できない）。もっと言えば、-行列のパーマネントの計算はである。したがって、何らかの方法でパーマネントが多項式時間で計算できたと仮定すると、 となるが、これは よりもいっそう強い主張である。しかし、 の成分が全て非負の場合、パーマネントは確率的多項式時間で近似的に計算することができる（その誤差は、パーマネントの値 と任意の に対する に関するオーダーでとる）。半正定値行列のある種の集合上ではパーマネントが確率的多項式時間で近似的に計算できる（この近似で達成可能な最良の誤差は である。 はやはりパーマネントの値とする）。
マクマホンの基本定理.
パーマネントを多変数母函数を通じて解釈する視点もある。次正方行列 に対して、多変数母函数
を考えると、 における formula_6 の係数は に等しい。
このことの一般化として、
パーマネント函数の定義域を正方行列でない矩形行列も含むように拡張することができる。実際いくつかの文献では、そのようにパーマネントを定義して、正方行列に制限したものを特別の場合と見るものがある。具体的には、 行列 で とするとき、
と定める。ただし、 は 元-集合 から 元選ぶ部分置換（順列）全体の成す集合である。
パーマネントに対するRyserの計算論的結果も一般化できる。 が 行列 () のとき、 から 個の列を取り除いて が得られるとすると、 の行和の積を , 可能な全ての に対する の総和を と書けば、
が成り立つ。
完全代表系.
矩形行列に対してパーマネントの定義を一般化することで、いくつかの応用においてはより自然な方法でこれを用いることができるようになる。例えば: