複素数の偏角

数学において、複素数の偏角（へんかく、）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 の偏角は記号で で表す。偏角はラジアンで表す。
複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。
複素数に対する偏角は、 の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 などに制限する。
 の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：
定義.
複素数 の偏角は、 と書かれ、正の実軸から動径 までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。
複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間 に制限する。 にすることもある。
主値を にすると、逆正接関数 を用いて次のように表せる：
上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数 やヘヴィサイドの階段関数 を用いることで次のようにまとめることもできる：
 除算を含む式 と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：
あるいは、逆余弦関数 や逆正弦関数 を用いて次のように表すこともできる：
ここで、 は複素数の絶対値で、 である。
主値を にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては を加えることにすればよい。
偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。
主値をとる偏角.
主値 における偏角の値を、記号で （最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、 と が文献によって逆になることもあることに注意。
数値計算.
複素数 の偏角は逆正接関数 で表せる。
 のとき、すなわち のとき
が成り立つが、 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。 の場合はさらに と の場合に分ける。
上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：
 の主値を区間 とする変種では、値が負のときに値に を足すことで得られる。
正接の半角公式 を用いると、1つの計算式で表せる：
ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。
この表示は、 の近くでは 不定形 に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式 を用いて次の計算式が使われる：
主値 は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 codice_1 あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。 の主値は区間 である。
積・商の偏角.
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 の極形式表示を
とすると、
 で が整数のとき、