チェビシェフの偏り

チェビシェフの偏りとは、ある"N"までの素数には、4"k" + 3 の形をした素数（非ピタゴラス素数）が 4"k" + 1 の形をした素数（ピタゴラス素数）より多い現象である。1853年にパフヌティ・チェビシェフによって最初に発見された。
詳細.
いま π("x"; 4, 1) を、"x" までの 4"k" + 1 形の素数の個数、 π("x"; 4, 3) を、"x" までの 4"k" + 3 形の素数の個数とする。そのとき算術級数の素数定理より、
であるから、素数の半分は 4"k" + 1 の形であり、残りの半分は 4"k" + 3 の形である。すると、π("x"; 4, 1) > π("x"; 4, 3) となる "x" も π("x"; 4, 1) < π("x"; 4, 3) となる "x" もそれぞれ50％ずつ存在するであろうと推測できるが、実際には π("x"; 4, 3) > π("x"; 4, 1) となる区間が(少なくとも小さな "x" に対しては)はるかに長く、"x" が5, 17, 41, 461において π("x"; 4, 3) = π("x"; 4, 1) となる4個を除いた26833未満の素数 "x" に対しては π("x"; 4, 3) > π("x"; 4, 1) が成立し続ける。
いま 0 < "a", "b" < "q" かつ ("a", "q") = ("b", "q") = 1 となる整数に対して、"a" が平方剰余、"b" が平方非剰余である場合には、π("x"; "q", "b") > π("x"; "q", "a") となる区間の方がより長いことが一般に言える。これは、強いリーマン仮説が成立する仮定の下では証明される。しかし、「π("x"; 4, 3) > π("x"; 4, 1) が成り立つ "x" の稠密度は1である」というKnapowskiとTuránの予想は否定された。一方、それらの対数密度（logarithmic density）は約0.9959である。