多重ガンマ関数

数学における多重ガンマ関数（たじゅうガンマかんすう、）formula_1 はオイラーのガンマ関数とバーンズのG函数の一般化である。二重ガンマ関数は において導入された。同論文の締めくくりにおいて多重ガンマ関数の存在性が示唆され、実際に においてさらなる研究が行われた。
二重ガンマ関数 formula_2 はと、三重ガンマ関数 formula_3 はとそれぞれ密接な関係がある。
定義.
formula_4 において、
として多重ガンマ関数を定める。ここで formula_6 はバーンズのゼータ函数である(バーンズによるオリジナルの定義からは定数倍のズレが有る)。
性質.
formula_7 の有理型関数として見たとき、 formula_8 は零点を持たず、 formula_9 に一位の極を持つ(ここで formula_10 は非負整数)。exp(多項式)という因子を除いて、formula_8 はこれら有限位数の零点と極を持つ唯一の有理型関数である。
N=0,1 での例を挙げる:
以下は多重ガンマ関数の周期性と呼ばれる性質であり、通常のガンマ関数における関係式 Γ(x+1)=xΓ(x) の一般化であるといえる。
無限積表示.
多重ガンマ関数はヴァイエルシュトラス型の無限積表示を持ち、有理型関数である様子がはっきりと見て取れる。また、この表示からは極のありかも一目瞭然である。 二重ガンマ関数の場合は以下のようになる: 
ここで、formula_16 は formula_7 と独立な係数
であり、 formula_20 は formula_21 における位数 formula_22 の留数である。
また、上記のものとは別に新谷型と呼ばれる無限積表示も において発見されている。
漸近表示.
通常のガンマ関数におけるスターリングの公式の類似として、多重ガンマ関数にも漸近表示が存在する:
この表示は において示された。
一般正規多重ガンマ関数.
多重ガンマ関数の定義は所謂ゼータ函数正規化の発想によるものである。ミルナーの深い正規積を用いて多重ガンマ関数を一般化したものを一般正規多重ガンマ関数という:
一般正規多重ガンマ関数に対しては、オイラー=ルジャンドルの倍角公式およびラーベの公式の一般化が発見されている。
二重ガンマ関数と共形場理論.
formula_25,formula_26 において、函数 
は変換 formula_28 のもとで不変であり、関係式
を満たす。また、formula_30 において積分表示
を満たす。formula_32 から二つの関数を構成する:
これは関係式
とこれらを formula_35 とした別の関係式を満たす。また、formula_36 における積分表示も存在する:
函数 formula_39 は二次元共形場理論の相関関数にあらわれ、パラメータ formula_40 はヴィラソロ代数の中心電荷と関係している。とくに、リウヴィル場理論 における3点相関関数は formula_41 で書ける。