リーマン・ルベーグの補題

数学において，リーマン・ルベーグの補題（）は、調和解析とにおいて重要な定理である．ベルンハルト・リーマンとアンリ・ルベーグにちなんで名づけられた。
補題は 関数のフーリエ変換あるいはラプラス変換が無限遠において消えることを述べている．
主張.
 が 上可積分，つまり のルベーグ積分が有限のとき， のフーリエ変換は次を満たす：
他のバージョン.
リーマン・ルベーグの補題は他のいろいろな状況において成り立つ．
応用.
リーマン・ルベーグの補題は積分の漸近近似の有効性を証明するのに使うことができる．やなどの厳密な取り扱いは，リーマン・ルベーグの補題に基づいている．
証明.
1次元の場合に示す．高次元の場合の証明も同様である．まず がコンパクト台を持つ滑らかな関数であるとする．すると部分積分により
 が任意の可積分関数のときは，コンパクト台を持つ滑らかな関数 によって ノルムで近似できる． となるように をとる．すると
となり，これは任意の に対して成り立つから，定理が従う．