マルコフ確率場

物理学や統計学において、 マルコフ確率場 (Markov Random Field; MRF)、マルコフネットワーク、無向グラフィカルモデルとは、無向グラフで表現されるようなマルコフ性のある確率変数の集合を指す。言い換えると、がマルコフ性を満たす場合にマルコフ確率場と呼ばれる。
マルコフ確率場は、従属性の表現の仕方においてはベイジアンネットワークに似ている。違いは、ベイジアンネットワークでは従属性は有向非巡回であるのに対し、マルコフ確率場では無向で巡回していても構わないことである。このように、マルコフ確率場はベイジアンネットワークで表現できない種類の従属性を表現できる（たとえば、従属性が巡回するもの）。他方、マルコフ確率場で表現できないが、ベイジアンネットワークで表現できる従属性もある（例えば、因果関係）。マルコフ確率場のグラフは、有限・無限どちらもありうる。
確率変数同士の同時確率が狭義正測度であるとき、マルコフ確率場はギブス確率場とも呼ばれる。これは、により、確率変数同士の同時確率が真に正なマルコフ確率場は、適切な（局所的な）エネルギー関数を持つで表現できるからである。初期のマルコフ確率場としてはイジング模型がある。それどころか、マルコフ確率場はイジング模型を一般化する形で導出された。
定義.
無向グラフ formula_1 、および変数の集合formula_2 が与えられ、それらが以下のマルコフ性の仮定を満たすとき、マルコフ確率場を成す。
上記の三つのマルコフ性は等価ではない。大域マルコフ性は局所マルコフ性より強い仮定であり、局所マルコフ性はペアワイズマルコフ性より強い仮定である。ただし、同時分布が狭義正測度であれば、交差律より上記の三つのマルコフ性は同値になる。
クリーク分解.
確率変数の集合 formula_11 が与えられたとすると、 formula_12 は集合なので、 formula_12 がある値 formula_14 を取る確率は、 formula_15 の同時確率と解釈できる。
もしこの同時確率が、次のようにグラフformula_16のクリークに分解可能であったとする:
ここで、formula_18はformula_16におけるクリークの集合である。クリーク分解可能であるとき、大域マルコフ性が成り立ち、formula_12 はグラフformula_16に対してマルコフ確率場を成す。
関連項目.
ボルツマンマシン