方正積分

数学における方正積分（ほうせいせきぶん、; 統制積分）は方正函数（あるいは統制函数: 階段函数の一様極限として得られる函数）の積分法である。リーマン積分ではなく方正積分を用いることはブルバキ（ジャン・デュドネ）によって提唱されていた。
定義.
以下、実数直線 の有界閉区間 を固定する。
階段函数の積分.
実数値函数 が階段函数であるとは、区間 の適当な有限分割
が存在して、 の各開区間 上で が定数となることであった。この各区間上での値を と書くとき、階段函数 の積分は
として定義される。この定義が分割の取り方に依らないこと、すなわち が の別の分割であって の各開区間上 が定数となるならば、 の積分の値は に対するものと に対するものとで同じになることが証明できる。
方正函数への拡張.
函数 が方正函数であるとは、それが 上の階段函数列の一様極限となることである。これは以下のような（同値な）言い換えができる:
方正函数 の積分を、 を一様極限に持つ任意の階段函数列 により、
として定める。
ここで、極限が存在することおよびその極限が近似列の取り方に依らないことは確認すべき事項であるが、それは初等的な函数解析学における連続線型拡張定理
から直ちに得られる。
実数直線全体で定義された函数への拡張.
上記の階段函数、方正函数および方正積分は実数直線全体で定義された函数に対しても拡張することが可能だが、幾らかの技術的な点に注意を払う必要がある:
ベクトル値函数への拡張.
適当な修正のもと、ノルム空間 に値をとる函数の場合にも上記の定義は通用する。