ローレンツ空間

数学の解析学の分野におけるローレンツ空間（ローレンツくうかん、）は、1950年代にジョージ・ローレンツによって導入された概念で、よく知られた formula_1 空間の一般化である。
ローレンツ空間は formula_2 と表される。formula_1 空間のように、それは函数の「大きさ」に関する情報を表すノルム（正確には準ノルム）によって特徴づけられる。そのような函数の大きさに関する基本的な定性的概念として次の二つがある：その函数のグラフの高さがどの程度か、またそれがどの程度広がっているか、である。ローレンツノルムは、値域 (formula_4) と定義域 (formula_5) の両方について測度を指数的にリスケールすることで、それら二つのいずれについても formula_1 ノルムより強い制御を与える。ローレンツノルムは、しかし formula_1 ノルムのように函数の値の任意の再配分の下で不変である。
定義.
測度空間 formula_8 上のローレンツ空間は、次の準ノルムが有限であるような "X" 上の複素数値可測函数 formula_9 の空間である：
ここで formula_11 および formula_12 である。したがって、formula_13 のとき、
であり、formula_15 のときは
となる。また慣習的に formula_17 とすることとなっている。
減少再配分.
ローレンツ空間の準ノルムは、その定義により、函数 formula_9 の値の再配分（rearranging）の下で不変である。特に、ある測度空間 formula_8 上で定義される複素数値可測函数 formula_9 が与えられたとき、その減少再配分（decreasing rearrangement）函数 formula_21 は次で定義される：
但し formula_23 は、次のような formula_9 のいわゆる分布函数（distribution function）である：
ここで記号の都合上、formula_26 は formula_27 と定義する。
二つの函数 formula_28 と formula_29 が同程度可測（equimeasurable）であるとは、次が成り立つことをいう。
ここで formula_31 は実数直線上のルベーグ測度である。関連する対称減少再配分函数は、formula_9 と同程度可測であり、実数直線上で次のように定義される。
これらの定義の下で、formula_11 および formula_12 に対し、ローレンツ準ノルムは次で与えられる。
性質.
ローレンツ空間は、カヴァリエリの原理より任意の formula_4 に対して formula_38 が成立する意味で、formula_1 空間の真の一般化である。さらに formula_40 は弱 formula_1 空間と一致する。それらは準バナッハ空間（すなわち、完備な準ノルム空間）であり、formula_42 および formula_43 に対してノルム付け可能（normable）である。formula_44 のとき、formula_45 はノルムを備えるが、弱 formula_46 空間である formula_47 の準ノルムと同値なノルムを定義することは不可能である。formula_47 において三角不等式が成立しない具体例として、次を考える。
これらの formula_47 準ノルムの値は 1 であるが、それらの和 formula_51 の準ノルムの値は 4 である。
空間 formula_2 は、formula_53 ならばいつでも formula_54 に含まれる。ローレンツ空間は、formula_46 と formula_56 の間の実である。