バナッハ環

数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 または 複素数体 ）上の結合多元環 であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して
を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。
上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。
バナッハ環は、乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 は適当な単位的バナッハ環（つまり の「単位化」） にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、 を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。
実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。
-進数体 上のバナッハ代数（-進バナッハ代数）は、-進解析の一部として研究される。
例.
バナッハ環の原型となる例は、局所コンパクト（ハウスドルフ）空間上の（複素数値）連続関数で、無限大において消失するようなものからなる空間 である。 が単位的であるための必要十分条件は、 がコンパクトであることである。複素共役を対合として、 は実際には-環である。より一般に、すべての -環はバナッハ環である。
性質.
冪級数を介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定義されうる。そのような例として、指数関数や三角関数、さらに一般的な任意の整関数が挙げられる（特に、指数写像はを定義するために用いられる）。幾何級数の公式は、一般の単位的バナッハ環においても依然として有効である。二項定理もまた、バナッハ環の二つの可換な元に対して成立する。
任意の単位的バナッハ環 において可逆元全体の成す集合 は開集合であり、その集合上で反転 は連続（したがって位相同型）ゆえ、 は乗法に関して位相群を成す。（位相線型環#性質も参照）
バナッハ環が単位元 を持つなら、 は交換子にはなり得ない。すなわち、任意の に対して formula_2 となる。
上述の例に現れる様々な関数環は、実数環のような標準的な例とは大きく異なる性質を持つ。それは例えば、以下のようなものである：
スペクトル論.
複素数体上の単位的バナッハ環は、スペクトル論を構成するための一般的な舞台となる。各元 のスペクトル（spectrum） は、 が において可逆とならないようなすべての複素スカラー の集合である。任意の元 のスペクトルは、 内の を中心とする半径 の閉円板に含まれる閉部分集合であり、したがってコンパクトである。さらに、各元 のスペクトル は空ではなく、スペクトル半径公式
を満たす。
 が与えられたとき、によって、 の近傍で正則な任意の関数 に対し、 を定義することが出来る。さらに、スペクトル写像定理:
が成り立つ。
バナッハ環 が、複素バナッハ空間 の有界線型作用素環 （例えば、正方行列環）ならば、 におけるスペクトルの概念は、作用素論における通常の概念と一致する。コンパクトハウスドルフ空間 上で定義された に対して
が確かめられる。
-環の正規元 のノルムは、そのスペクトル半径と一致する。これは正規作用素に対する同様の事実の一般化である。
 を複素単位的バナッハ環で、すべての非ゼロ元 は可逆であるとする（すなわち、可除多元環）。どの に対しても、 が可逆でないような が存在する（これは のスペクトルが空ではないことによる）から、 となり、この環 は に自然同型である。これはゲルファント＝マズールの定理の複素数の場合である。
イデアルと指標.
 を 上の単位的「可換」バナッハ環とする。 は単位元を持つ可換環であるため、 の各非可逆元は の適当な極大イデアルに属す。 内の極大イデアル formula_6 は閉であるため、formula_7 は体であるようなバナッハ環であり、ゲルファント＝マズールの定理から、 のすべての極大イデアルの集合と から へのすべての非ゼロな準同型の集合 の間には全単射が存在することが分かる。集合 は のあるいは指標空間（character space）と呼ばれ、その元は指標（character）と呼ばれる。
指標 は 上の線型汎関数で、乗法的 かつ を満たす。指標の核は閉であるような極大イデアルであるため、すべての指標は自動的に から への連続写像となる。さらに、指標のノルム（すなわち作用素ノルム）は である。 上の各点収束の位相（すなわち、 の弱-∗ 位相より導かれる位相）が備えられることで、指標空間 はコンパクトなハウスドルフ空間となる。
任意の に対し
が成立する。ここで は の、すなわち で与えられる から への連続関数である。上述の式において、 のスペクトルは、コンパクト空間 上の複素連続関数の環 の元としてのスペクトルである。明らかに
が成立する。環として、単位的可換バナッハ環が半単純（すなわち、ジャコブソン根基がゼロ）であるための必要十分条件は、そのゲルファント表現が自明な核を持つことである。そのような環の重要な一例は、可換な -環である。実際、 が可換な単位的 -環であるなら、ゲルファント表現 と の間の等長 ∗-同型となる。