アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとによって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。
この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる。
補題の主張.
"I" をネーター環 "R" のイデアルとする。"M" を有限生成 "R"-加群とし "N" をその部分加群とする。このときある整数 "k" ≥ 1 が存在して、"n" ≥ "k" に対して
が成り立つ。
証明.
必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は "R" が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う。
任意の環 "R" および "R" のイデアル "I" に対して、formula_2 とおく（blow-up の"bl"）。部分加群の減少列 formula_3 が "I"-フィルター（"I"-filtration）であるとは、formula_4 が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい "n" に対して formula_5 であるときにいう。"M" に "I"-フィルターが与えられているとき、formula_6 とおく。これは formula_7 上の次数加群である。
さて、"M" を "R"-加群とし、有限生成 "R"-加群による "I"-フィルター formula_8 が与えられているとする。次のことを確認する。
実際、フィルターが "I"-安定であれば、formula_9 ははじめの formula_12 個の formula_13 によって生成され、これらは有限生成であるので、formula_9 も有限生成である。逆に、formula_9 が有限生成であれば、formula_16 として、formula_17 に対して、各 "f" ∈ "M"n は
と書ける。ただし formula_19 は formula_20 の生成元。つまり、formula_21 である。
これで "R" がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。formula_22 とする。すると formula_23 は "I"-安定なフィルターである。したがって、上記より、formula_9 は formula_7 上有限生成である。しかし formula_26 は "R" がネーター環なのでネーター環である。（環 formula_27 はと呼ばれる。）したがって、formula_9 はネーター加群であり任意の部分加群は formula_7 上有限生成である。とくに、"N" に induced filtration が与えられているとき、すなわち formula_30 であるとき、formula_31 は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により "I"-安定である。
クルルの交叉定理の証明.
環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)
の証明である。共通部分 "N" に補題を適用すれば、ある "k" が存在して
が成り立つ。すると formula_34 なので中山の補題によって formula_35 である。