反復積分に関するコーシーの公式

フランスの数学者、コーシーの名にちなむ反復積分に関するコーシーの公式（）は、"n"回の不定積分を一度の積分にまとめる公式である。：
formula_1
実数の場合.
"f" を実軸上の連続関数とする。このとき、"a"を基点とする"f" の"n"回繰り返し積分
は、次の単一の積分にまとめられる。
証明は数学的帰納法による。"f" は連続なので、"n=1"のときは微分積分学の基本定理より、
ここで、
今、"n"のとき主張が正しいと仮定し、"n+1"のときも主張が成立することを示そう。帰納法の仮定を適用し、積分の順序を入れ替えて、
よって、主張は示された。
応用.
分数階微積分学において、この公式を用いることで、微分または積分を実数回繰り返すことができるので、の概念を構築することができる。実際、実数回だけ積分をするためには、この公式の("n"-1)!をΓ("n")と入れ替えれば良い。(ガンマ関数も参照)。