レイチャウデューリ方程式

一般相対性理論において、レイチャウデューリ方程式 （Raychaudhuri equation) もしくはランダウ・レイチャウデューリ方程式 (Landau–Raychaudhuri equation) は物質近傍の運動を記述する、基礎的方程式である。
この方程式はペンローズ・ホーキングの特異点定理の基礎的な補題として、およびの研究において重要であるが、重力がニュートンの重力法則のとおり万有引力であり、どんな質量・エネルギーの間にも働く引力であるという直感を単純かつ一般に示すことができるという点で独立した価値がある。
この方程式はインド人物理学者のとソビエトの物理学者レフ・ランダウが独立に発見した。
数学的言明.
ある時間的単位ベクトル場 formula_1 が（積分曲線を通じて交わらない世界線のとして解釈できるが、測地線とは限らないものとして）与えられたとき、レイチャウデューリ方程式は以下のように書ける。
ここで、
は、それぞれ剪断応力テンソル
および渦度テンソル
の（非負の）二次不変量である。また、
は膨張テンソル、 formula_7 はそのトレースで膨張スカラーと呼ばれるもの、そして 
は formula_1 に直交する超平面への射影テンソルである。また、ドットは合同内の世界線の固有時による微分を表わす。最後に、 formula_10 のトレースは次のようにも書ける。
この量はときに「レイチャウデューリスカラー」と呼ばれることもある。
直感的意味.
膨張スカラーは物質の小さなボールの体積が、中心と共動する観測者から測った時間についてどのような分率速度で変化するかを意味する（そして、負値も取り得る）。換言すれば、上記の方程式は時間的合同の膨張の時間発展を記述している。もしこの量の（固有時による）微分がどれかの世界線に沿って負であるならば、（重心が問題の世界線に沿って運動する）物質の小さなボールは再収縮しなければならない。そうでないならば、継続的に膨張することが可能である。
剪断応力テンソルは最小は球形だった物質のボールが楕円状に歪む傾向にどれくらいあるかを測る量である。渦度テンソルは近傍の世界線が互いに巻き付く傾向にどれくらいあるかを測る量である（もしその傾向にあるならば物体の小塊は回転し、通常液体フロー内の液体要素は非零を示す）。
レイチャウデューリ方程式の右辺は二つのタイプの項からなる。
通常、一つの項が勝ち抜く。しかし、釣り合いが成立するような状況もありうる。このつりあいは、二つの場合に分けられる。
収束定理.
ある時空領域で強いが成り立つとし、formula_1 を渦度の無い測地単位ベクトル場であり hypersurface orthogonal とする。例えば、この状況は宇宙論的モデルにおけるアインシュタイン方程式の厳密解のひとつ、ちり解でちりの世界線を研究する際に現われる（ただし、渦度をゼロとするため世界線が互いに巻き付くことはないものとする）。
この場合、レイチャウデューリ方程式は以下のようになる。
ここで、右辺は必ず負であるから、膨張テンソルが初期値は正であったとしても（最初はちりのボールが体積を増していたとしても）、やがては負にならなければならない（ちりのボールは潰れなければならない）。
実際、この状況では次の不等式が成り立つ。
これを固有時 formula_17について積分すると、以下を得る。
もし、膨張スカラーの初期値 formula_19 が負ならば、遅くとも固有時 formula_20 の後に膨張スカラーは負の無限大に発散し、測地線はに収束する。これは必ずしも曲率特異点が生じることを意味するわけではないが、ちりの運動の数学的説明が破綻することは意味する。
光学方程式.
ヌル測地合同を記述する、光学的（もしくはヌル）版レイチャウデューリ方程式もある。
ここで、ハットは横方向のみの膨張、剪断応力、渦度であることを示す。渦度がゼロの場合、を仮定するとコースティックはアフィンパラメータが formula_22 にに到達する前に生じる。
応用.
事象の地平面はヌル無限遠のの境界線として定義される。このような境界はヌル測地線により生成される。アフィンパラメータはヌル無限遠に到達すると無限大に発散し、コースティックはそれまで生成しない。よって、事象の地平面の膨張は非負でなければならない。膨張は面積密度の対数変化率を与えるので、これは、少なくとも古典的には、ヌルエネルギー条件を仮定すると事象の地平面の面積は決して減らないことを意味する。