ペロン＝フロベニウスの定理

数学の線型代数学の分野におけるペロン＝フロベニウスの定理（ペロン＝フロベニウスのていり、）とは、とゲオルク・フロベニウスによって証明された定理で、成分が正である実正方行列には唯一つの最大実固有値が存在し、それに対応する固有ベクトルの各成分は厳密に正である、という主張が述べられている。また、あるクラスの非負行列に対しても、同様の主張が述べられている。この定理は様々な方面へと応用され、確率論（やマルコフ連鎖）や、力学系の理論（）、数値解析 (特に数値線形代数)、経済学（置塩の定理、レオンチェフの産業連関表）、人口学（）や、インターネット検索エンジンからフットボールチームのランキングに至るまで、その応用範囲は幅広い。
ペロン＝フロベニウスの定理の内容.
全ての成分が正の実数であるような行列をここでは正行列と呼び、それらが非負の実数であるような行列をここでは非負行列と呼ぶ。"A" をある実正方行列としたとき、その固有値は複素数で、その行列のスペクトルを形成する。行列ベキ "A""k" の "k" → ∞ としたときの指数関数的成長率は、絶対値が最大であるような "A" の固有値によって決定される。ペロン＝フロベニウスの定理は、"A" を非負の実正方行列としたときのそのような支配的な固有値と、それに対応する固有ベクトルの性質について述べたものである。初期の結果は によるもので、正行列を対象としていた。のちに、その結果のある非負行列のクラスへの拡張を、 が発見した。既約非負行列に対するペロン＝フロベニウスの定理はAlexandroff-Hopf(1935)とHerstein(1953)によって示された（証明にはブラウワーの不動点定理が使われた）。
正行列.
"A" = ("a""ij") を "n" × "n" の正行列とする。すなわち、1 ≤ "i", "j" ≤ "n" に対して "a""ij" > 0 が成立しているものとする。このとき、以下の性質が成立する。
これらの主張はメイヤー（）による次の参考文献に見られる： chapter 8 claims 8.2.11-15 page 667 and exercises 8.2.5,7,9 pages 668-669.
この定理の多くの応用において、右および左固有ベクトル "v" および "w" は、それぞれ成分の和を 1 に正規化して、（右および左の）確率固有ベクトル（）と呼ばれる。
非負行列.
ペロン＝フロベニウスの定理は各成分が非負であるような非負行列に対して拡張できる。正行列と非負行列の二つの場合の共通点と相違点をまとめる上で、次の点に注意されたい：全ての非負行列は、正行列の極限として得ることが出来る。したがって、非負の成分の固有ベクトルの存在が分かる。それに対応する固有値は、明らかに、全ての他の固有値の絶対値よりも大きいか等しい。しかしながら、簡単な例
により、非負行列に対しては固有値の絶対値の最大が等しい複数の固有値（上の例の最初の行列に対しては、1 と -1）が存在し得ることが分かる。さらに、絶対値最大の固有値が特性多項式の単純根ではない場合もあり得る。例えば上の例の二番目の行列に対しては、固有値0に対応する唯一の固有ベクトル (1,0) は狭義正では無い（最大固有値0は二重であって単純ではない）。したがって、正行列に対する定理の性質は、非負行列に対してはほとんど成立しないように思えるが、フロベニウスはその解決策となる概念を発見したのである。
非負行列の理論においてカギとなる概念として、既約行列（）と呼ばれる、ある特別な非負行列の類が存在する。それにより、自明では無い一般化が可能になる。すなわち、絶対値が最大である固有値が複数存在する場合にも、最大固有値の構造を理解することができるのである：それらは、"h" をある整数（行列の周期）とし、"r" を正の実固有値とし、"k" = 0, 1, ..., "h" − 1 とすれば、"r" "e""formula_4" という式で表せる。そうして "r" に対応する固有ベクトルは、狭義正の成分を持つ（これは一般的な非負行列において、成分が非負であるだけという場合と対照的である）。またそのような固有値は全て、特性多項式の単純根である。その他の性質については、以下で述べる。
行列の分類.
正方行列 "A" （必ずしも正あるいは実でなくてもよい） が既約（）であるとは、以下の（互いに同値な）定義で述べられている性質が成立することを言う。
定義 1："A" は非自明な不変座標部分空間を持たない。ここで、非自明な座標部分空間とは、任意の基底ベクトルの真部分集合によって張られる線型部分空間を意味する。より明確に言うと、基底ベクトル "e""i"1 , ..., 
"e""i"k, "n" > "k" > 0 によって張られる任意の線型部分空間に対し、作用 "A" を施した像は同じ部分空間には含まれない、ということを意味する。
定義 2："A" は置換行列 "P" によって上三角ブロック行列に相似変換されることはない：
ここで "E" と "G" は非自明な（すなわち、行列次数がゼロではない）正方行列である。
"A" が非負行列である場合には、次の異なる定義が存在する：
定義 3：添字 "i" と "j" の全てのペアに対し、("A""m")"ij" が 0 とならないようなある自然数 "m" が存在する。
定義 4：行列 "A" に関連する有向グラフ "G""A" を考える。そのグラフは "A" のサイズ "n" と等しい数の頂点を持ち、"A""ij" > 0 である場合に頂点 "i" から頂点 "j" への辺が存在するものとする。このとき、行列 "A" が既約であるための必要十分条件は、その対応するグラフ "G""A" が強連結であることである。
既約でない行列は、可約（）と呼ばれる。
"A" を非負行列とする。添字 "i" を固定したとき、その添字の周期（）を、("A""m")"ii" > 0 が成立するような全ての自然数 "m" の最大公約数として定義する。"A" が既約であるとき、全ての添字の周期は等しく、それは "A" の周期と呼ばれる。実際、"A" が既約であるとき、その周期は、グラフ "G""A" に含まれる全ての有向閉路の長さの最大公約数として定義される（Kitchens の 16 ページを参照）。
その周期はまた、非原始性の添字（）、または周期性の位数（）などと呼ばれる。
周期が 1 であるとき、行列 "A" は非振動的（）と呼ばれる。
行列 "A" は、非負かつ "m" 次のべきが正となるようなある自然数 "m" が存在するとき、原始的（）であると呼ばれる。行列が原始的であることと、非負既約かつ非振動的であること、は同値であることは証明されている。
正の正方行列は原始的であり、原始的な行列は既約である。正行列に対するペロン＝フロベニウスの定理の全ての内容は、原始的な行列に対してもやはり真である。しかし、一般的な非負既約行列 "A" については、（その周期が1でなければ）"A" のスペクトル半径に等しい絶対値を持つ固有値が複数個存在する場合がある。したがって正行列に対する定理は非負既約行列に対しては、絶対値が最大である固有値の数は行列の周期に等しい、と修正する必用がある。
非負既約行列に対するこの結果は、1912年、フロベニウスによって初めて与えられた。
既約行列に対するペロン＝フロベニウスの定理(のまとめ）.
いま　"A" を、非負かつ既約な "n" × "n" 行列とし、その周期は "h" で、スペクトル半径は "ρ"("A") = "r" でそれぞれ表されるものとする。このとき、次の主張が成立する。
さらなる性質.
"A" を既約な非負行列とする。このとき、以下が成立する：
formula_11
ここで "Ai" は同じ最大固有値を持つ既約行列である。これらの行列の数 "d" は、"q" と "h" の最大公約数である。ただし "h" は行列 "A" の周期である。
また、次も成立する。
行列の原始性の定義の一つによれば、原始的な行列 "A" は非負であり、"Am" が正となるようなある "m" が存在する。"A" のサイズに依存してこの "m" がどれほど大きい値となるのか、疑問に思うこともあるかも知れない。次の主張は、その疑問に対する解答となっている：
応用.
非負行列を主題とした著書は数多く存在し、それらにおいてペロン＝フロベニウスの理論は常に中心的な題材となっている。以下に述べる例は、その理論の広大な応用範囲の中から、部分的にピックアップしてきたものに過ぎない。
非負行列.
ペロン＝フロベニウスの定理は、一般的な非負行列に対して直接適用することは出来ない。しかし、任意の可約行列 "A" は、次のような上三角ブロック行列の形式で記述されうる（この形式は可約行列の標準形として知られる）
ここで "P" は置換行列であり、各 "Bi" は既約かゼロのいずれかであるような正方行列である。もし "A" が非負であるなら、各 "Bi" もすべて非負であり、"A" のスペクトルはそれらのスペクトルの合併で与えられる。したがって、"A" のスペクトルに関する性質の多くは、既約な "Bi" に対してペロン＝フロベニウスの定理を適用することにより、得ることが出来る。
例えば、上の行列のペロン根は ρ("Bi") の最大値で与えられる。固有ベクトルの成分は依然として非負であるが、それらのどれかは正でない場合が起こり得る。
確率行列.
行（あるいは、列）確率行列とは、各行（あるいは、列）の成分が非負の実数で、その行（あるいは、列）毎の和が 1 となるようなもののことを言う。このような行列は必ずしも既約ではないため、ペロン＝フロベニウスの定理を直接的に適用することは出来ない。
"A" を行確率行列とすると、各成分が 1 であるような列ベクトルは、その行列の固有値 1 に対応する固有ベクトルであることが分かる。ここで固有値 1 は、上述の議論により ρ("A") である。しかし、それは単位円上の唯一つの固有値では無いこともあり、対応する固有空間が多次元となることもあり得る。"A" が既約な行確率行列であるなら、ペロン射影も同様に行確率的で、そのすべての行は等しい。
代数的グラフ理論.
ペロン＝フロベニウスの定理は、特に代数的グラフ理論においてよく用いられる。ある非負の "n"-正方行列の基礎グラフ（underlying graph）とは、1, ..., "n" で番号付けられた頂点と、頂点iから頂点jに向かう辺を "Aij" ≠ 0 の場合に限り持つグラフのことを言う。そのような行列の基礎グラフが強連結であるなら、その行列は既約であり、したがってペロン＝フロベニウスの定理を適用することが出来る。特に、強連結グラフの隣接行列は、既約である。
有限マルコフ連鎖.
ペロン＝フロベニウスの定理は、有限マルコフ連鎖の理論においても自然に利用されている（その理論においては、連鎖の遷移行列に関して形成される定常分布への、既約な有限マルコフ連鎖の収束についての行列理論的な同値性が見られる。例えば、を参照されたい）。
コンパクト作用素.
より一般的に、有限次元の行列と類似性が多く見られるような、非負コンパクト作用素へと定理を拡張することが出来る。それらの作用素は、物理学において、転送作用素やルエール＝ペロン＝フロベニウス作用素（ダヴィッド・ルエールの名にちなむ）の名前で知られ、広く研究されている。そのような場合、上述の意味で代表となる固有値は力学系の熱力学的平衡に対応し、それ以外の固有値は平衡状態に無い系の崩壊モードに対応する。したがってこの理論は、点集合位相の観点から考察すると可逆的で、決定論的な力学過程であるように思われるかも知れないが、時間の矢を発見するための一つのすじ道を提供するものであった。