位相共役性

数学において、二つの函数が互いに位相共役（いそうきょうやく、）であるとは、一方を他方へ結びつける同相写像が存在することを言う。位相共役性は、反復函数の研究やより一般に力学系において重要となる。なぜなら、ある反復函数のダイナミクスが明らかにされれば、位相共役な任意の函数のそれも明らかになるからである。
この事実を直接的に表現すると次の様になる： と は反復函数とし、
を満たすある が存在するとする。すなわち、 と は位相共役である。このとき、当然
が成り立つので、反復函数同士も同様に位相共役となる。ここで formula_3 は函数の合成を表す。
定義.
 と は位相空間とし、formula_4 と formula_5 は連続函数とする。 が と位相半共役（topologically semiconjugate）であるとは、formula_6 を満たすある連続な全射 formula_7 が存在することを言う。
この が同相写像であるなら、 と は位相共役（topologically conjugate）と呼ばれ、その は と の間の位相共役写像（topological conjugation）と呼ばれる。
同様に、 上のあるフロー formula_8 が、 上のフロー formula_9 と位相半共役であるとは、各 , に対して formula_10 を満たす連続な全射 formula_7 が存在することを言う。 が同相写像であるなら、formula_9 と formula_8 は位相共役と呼ばれる。
議論.
位相共役写像は、位相半共役写像とは異なり、ある位相空間からそれ自身へのすべての連続な全射の空間における同値関係を定義する。すなわち、 と が位相共役であるなら、それらは同値関係を持つとされる。この同値関係は力学系の理論において非常に有用である。なぜならば、位相的な観点から同じダイナミクスを示すすべての関数が各クラスに含まれるように出来るからである。例えば、 の軌道は共役写像を通じて の位相同型な軌道に写される。この事実は formula_14 と書く事で明白になる。このとき formula_15 となる。インフォーマルな言い方をすれば、位相共役写像はトポロジカルな意味での「座標変換」を意味する。
しかしながら、同様の定義をフローに対して行う上ではいささか制限が必要となる。実際、単純に formula_8 の軌道が formula_9 の軌道に位相同型的に写されるだけでなく、各 に対して写像 formula_18 と formula_19 が位相共役であることが要求される。このことは、 内のすべてのフローの集合を、再び位相的な観点から同じダイナミクスを示すフローのクラスに分ける位相同値性（topological equivalence）の定義が生まれる動機となった。
位相同値性.
二つのフロー formula_9 と formula_8 が位相同値（topologically equivalent）であるとは、formula_9 の軌道を formula_8 の軌道に位相同型的に写し、またその軌道の向きを保存するような同相写像 formula_7 が存在することを言う。言い換えると、formula_25 をある軌道としたとき、各 formula_26 に対し、
が成り立つことを言う。さらに、時間のフローを確保する必要がある：すなわち、各 formula_26 に対し、ある formula_29 が存在して、formula_30 かつ が formula_31 を満たすものであるなら、formula_32 となる。
総体的に、位相同値性は位相共役性よりも弱い同値条件である。なぜならば、位相同値性では時間期間が軌道とその向きに沿って写されることが要求されないからである。位相同値であるが位相共役でないシステムの例として、閉軌道を持つ微分方程式の二次元系の非双曲的なクラスが挙げられることがある。その軌道は空間的な意味でお互い重なるように変換されることもあるが、そのようなシステムの周期は相似的に一致することはなく、したがって位相共役性の条件は満たされないが、位相同値性の条件は満たされる。
滑らかさと軌道同値性.
フロー formula_9 および formula_8 が微分方程式から生じる場合は、さらなる同値性の基準が研究されている。
微分方程式 formula_35 および formula_36 で定義される二つの力学系が「滑らかに同値」（smoothly equivalent）であるとは、ある微分同相写像 formula_37 が存在して、
が成立することを言う。この場合、力学系は互いに座標変換 formula_39 によって変換される。
同一の状態空間において formula_35 および formula_41 で定義される二つの力学系が「軌道同値」（orbitally equivalent）であるとは、ある正の函数 formula_42 が存在して formula_43 が成立することを言う。軌道同値な系は、時間のパラメータ設定においてのみ差異がある。
滑らかに同値あるいは軌道同値な系は、位相同値でもある。しかしこの逆は成り立たない。例えば、formula_44 という形状の二次元の線型系を考える。行列 formula_45 が二つの正の実固有値を持つなら、系は不安定なノードを持つ。二つの実部が正の複素固有値を持つなら、系は不安定なフォーカス（あるいはスパイラル）を持つ。ノードとフォーカスは位相同値であるが、滑らかに同値あるいは軌道同値ではない。
力学系的位相共役性の一般化.
力学系的位相共役性の概念に関して、次の二つの拡張が発見されている：