正則領域

数学の多変数複素函数の理論において、正則領域（せいそくりょういき、）とは、その集合よりも大きい集合に拡張出来ないような正則函数がその集合上に存在するという意味において「極大」であるような集合である。
正式に言うと、n 次元複素空間 formula_1 内のある開集合 formula_2 が正則領域であるとは、formula_2 上のすべての正則函数 formula_4 に対して formula_5 を formula_6 上で満たす formula_7 上の正則函数 formula_8 が存在するような、空でない開集合 formula_9 および空でない連結開集合 formula_10 で formula_11 および formula_12 を満たすものが存在しないことを言う。
formula_13 の場合、すべての開集合は正則領域である。すなわち、その領域の境界上の至る所で集積する零点を持つような正則函数を定義することが出来る。そのような境界はしたがって、逆函数の定義域に対する自然境界でなければならない。formula_14 に対しては、ハルトークスの補題によって、上述の主張は真にはならない。
同値な条件.
領域 formula_2 に対して、以下の条件は同値である：
関係 formula_32 は標準的な結果である。formula_33 については岡の補題を参照されたい。formula_34 の証明、すなわち局所的にのみ定義される拡張不可能な函数から、拡張を許さないような大域的正則函数を構成するという作業は、他のものと比べて困難である。この問題は、（(Eugenio Elia Levi)に因み）レヴィの問題と呼ばれ、岡潔によって初めて解かれた。その後、ラース・ヘルマンダーは函数解析と偏微分方程式の手法を使ってその問題を解いた（formula_35-問題の帰結である）。