準フロベニウス環

数学、とくに環論において、フロベニウス環 (Frobenius ring) のクラスとその一般化は、フロベニウス多元環についてなされた研究の拡張である。おそらく最も重要な一般化は準フロベニウス環 (quasi-Frobenius ring, QF ring) のそれであろう。これはさらに右擬フロベニウス環 (pseudo-Frobenius ring, PF ring) と右有限擬フロベニウス環 (finitely pseudo-Frobenius ring, FPF ring) に一般化される。準フロベニウス環の他の種々の一般化には QF-1, QF-2, QF-3 環がある。
これらのタイプの環はゲオルク・フロベニウスによって考察された多元環の子孫と見ることができる。準フロベニウス環のパイオニアたちを部分的に挙げれば、、森田紀一、中山正、, 。
定義.
説明のためにはまず準フロベニウス環を定義するのが易しいだろう。各タイプの環の以下の特徴づけにおいて、環の多くの性質が明らかにされる。
環 "R" が準フロベニウス (quasi-Frobenius) であるとは、"R" が以下の同値な条件のうちの1つを満たすことをいう：
フロベニウス環 (Frobenius ring) "R" とは以下の同値な条件のうちの1つを満たす環のことである。"J" = J("R") を "R" のジャコブソン根基とする。
可換環 "R" に対して、以下は同値である：
環 "R" が右擬フロベニウス (right pseudo-Frobenius) とは、以下の同値な条件の1つを満たすことである：
環 "R" が右有限擬フロベニウス (right finitely pseudo-Frobenius) とは、すべての有限生成忠実右 "R" 加群が Mod-"R" の生成加群であることをいう。
Thrall の QF-1,2,3 の一般化.
大きな影響を与えた論文 で R. M. Thrall は（有限次元）QF 代数の3つの特定の性質に焦点を当て個別に研究した。追加の仮定をしてこれらの定義は QF 環を一般化するために使うこともできる。これらの一般化を開拓した少しの他の数学者には 森田紀一と太刀川弘幸が含まれる。
 に従って、"R" を左または右アルティン環とする：
番号は階層を表しているわけではない。より緩い条件のもとで、環のこれら3つのクラスは互いを含まない。しかしながら、"R" が左または右アルティンという仮定の下では、QF-2 環は QF-3 である。QF-1 かつ QF-3 だが QF-2 でない例すらある。
Notes.
QF, PF, FPF の定義は圏論的な性質であることが容易にわかり、したがって森田同値によって保存されるのであるが、フロベニウス環であることは保存"されない"。
片側ネーター環に対して左または右 PF の条件はともに QF と一致するが、FPF 環はなお異なる。
体 "k" 上の有限次元代数 "R" がフロベニウス "k"-代数であることと "R" がフロベニウス環であることは同値である。
QF 環は加群のすべてを自由 "R" 加群に埋め込めるという性質を持つ。これは次のようにしてわかる。加群 "M" は移入包絡その "E"("M") に埋め込まれ、"E"("M") は今射影的でもある。射影加群として "E"("M") は自由加群 "F" の直和成分であるから "E"("M") は包含写像によって "F" に埋め込まれる。この2つの写像を合成して "M" は "F" に埋め込まれる。
References.
For QF-1, QF-2, QF-3 rings: