順序環

抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、 が順序環であるとき、任意の元 に対し、以下の二つが成り立つ。
例.
順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 formula_1、有理数全体の成す集合 formula_2、実数全体の成す集合 formula_3 はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合 formula_4 はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 "i" を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。 
正元.
実数の集合における概念のアナロジーとして、 である元 は正、 である元 を負の元と呼ぶ。 は正でも負でもないとする。
順序環 の正元全体の成す集合をしばしば と表記する。
絶対値.
順序環 の任意の元 に対し、以下のように絶対値 を定めることができる。
ここで は の加法逆元である。
離散順序環.
 と との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 などがその例であり、有理数全体の集合 や実数全体の集合 はそうではない。
性質.
の任意の元 に対し、
出典.
以下の出典にはIsarMathLibプロジェクトの証明を含む。