階数因数分解

階数因数分解（かいすういんすうぶんかい、）あるいは階数分解（rank decomposition）とは、数学の線型代数学の分野において、階数が formula_1 のある与えられた formula_2 行列 formula_3 のある formula_4 行列 formula_5 と formula_6 行列 formula_7 の積としての表示 formula_8 のことを言う。
全ての有限次元行列には階数因数分解が存在する：formula_3 を、列階数が formula_1 であるような formula_11 行列とする。すなわち、formula_3 には formula_1 個の線型独立な列が含まれる。あるいは同じ意味であるが、formula_3 の列空間の次元は formula_1 である。formula_16 を、formula_3 の列空間の任意の基底とし、それらを列ベクトルとして formula_18 行列 formula_19 を構成する。したがって、formula_3 の全ての列ベクトルは、formula_5 の列の線型結合である。正確に言うと、formula_22 を第 formula_23 列が formula_24 であるような formula_11 行列とすれば、
となる。ただし formula_27 は、基底 formula_16 に関する formula_24 のスカラー係数である。このことは、formula_27 を formula_31-成分とする行列 formula_7 によって formula_33 が得られることを意味する。
rank(A) = rank(AT).
階数因数分解から直ちに従う帰結として、formula_3 の階数はその転置行列 formula_35 の階数と等しい、というものがある。すると formula_3 の列は formula_35 の行であることから、formula_3 の列階数と行階数は等しいことが分かる。
証明：これが真であることを示すために、はじめに行列の「階数」とはその「列階数」を意味するものであると定義しておく。formula_33 より、formula_40 が従う。の定義から、この等式は formula_35 の各列が formula_42 の列の線型結合であることを意味する。したがって、formula_35 の列空間は formula_42 の列空間に含まれるものであることが分かり、したがって rank(formula_35) ≤ rank(formula_42) が成立する。今 formula_42 は formula_48×formula_1 行列であるので、formula_42 には formula_1 個の列が存在し、したがって rank(formula_35) ≤ formula_1 = rank(formula_3) が成立する。これより rank(formula_55 ≤ rank(formula_3) が示された。続いて、その逆の不等式が成立することを示すために、formula_35 に対して上述の結果を適用する。formula_58 = formula_3 なので、rank(formula_3) = rank(formula_61 ≤ rank(formula_35) と書くことが出来る。このことから rank(formula_63 ≤ rank(formula_35) が示される。したがって、rank(formula_55 ≤ rank(formula_3) かつ rank(formula_3) ≤ rank(formula_35) であることから、rank(formula_3) = rank(formula_35) が示された。
行階段形からの階数因数分解.
実際、特定の階数因数分解を次の手順で構成することが出来る：formula_3 の行既約階段形 formula_72 は計算することで得られる。このとき、上述の行列 formula_5 は formula_3 から全ての非ピボット列を除くことで得られ、formula_7 は formula_72 から全てのゼロ行を除くことで得られる。
例.
行列
を考える。formula_72 は既約階段形である。このとき、formula_5 は、formula_3 の唯一つの非ピボット列である第三列を除くことで得られ、formula_7 は最後のゼロ行を除くことで得られる。すなわち、
が得られる。次の関係式が、直ちに確かめられる：
証明.
formula_84 を、ブロック区分けの形式で formula_85 が成立するような formula_86 置換行列とする。ただし formula_5 はその列が formula_3 の formula_1 個のピボット列であるものとする。formula_90 の全ての列は formula_5 の列の線形結合であり、したがって formula_92 が成立するような行列 formula_93 が存在する。ただし formula_93 の列は、それら各線形結合の係数を含むものである。すると、formula_95 単位行列 formula_96 によって formula_97 と書くことが出来る。続いて、formula_98 を証明する。
formula_99 を、基本行列の積であるような行列 formula_100 を左から掛けることによって、行既約階段形へと変換する。すなわち、formula_101 が得られる。ただし formula_102 である。すると、formula_103 と書くことが出来、したがって formula_98 ということが分かる。これはすなわち、formula_3 に対して行ったものと同様の置換を列に対して行うことで得られる、行既約階段形に含まれる非ゼロの formula_1 個の行である。したがって、formula_107 が得られ、formula_84 が可逆であることから formula_8 が得られる。以上で証明は完成された。