環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、) に合併することができる。これは次のようにされる： "I" がある添え字集合で "Ri" が "I" のすべての "i" に対して環であれば、カルテジアン積 は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。
得られる環は環 "R""i" の直積 () と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和と一致する。
例.
重要な例は整数の "n" を法とした環 Z/"n"Z である。"n" が素数のベキの積
formula_1
ただし "pi" は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/"n"Z は自然に直積環
formula_2
と同型である。これは中国剰余定理から従う。
性質.
 が環の積であれば、すべての "i" ∈ "I" に対して、"i" 番目の座標に積を射影する全射環準同型 がある。射影 "pi" とともに積 "R" は、以下の普遍性をもっている：
これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、"I" が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、"I" が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 は環準同型ではない、なぜならばそれは "Ri" の単位元を "R" の単位元に写さないからだ。
各 "i" ∈ "I" に対して "Ai" が "Ri" のイデアルであれば、 は "R" のイデアルである。"I" が有限であれば、逆が正しい、すなわち "R" のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、"I" が無限で環 "Ri" が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は "Ri" たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。"Ai" の1つを除くすべてが "Ri" に等しく残りの "Ai" が "Ri" の素イデアルであれば、イデアル "A" は "R" の素イデアルである。しかしながら、"I" が無限のとき逆は正しくない。例えば、"Ri" の直和はどんなそのような "A" にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、 に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
"R" の元 "x" が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち がすべての "i" ∈ "I" に対して "Ri" の単元であることは同値である。"R" の単元群は "Ri" の単元群の直積である。
1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： "x" が を除いて座標がすべて 0 の積の元で "y" が を除いて座標がすべて 0 の積の元 () であれば、積環において である。