多項式の根

数学における多項式 の根（こん、）は、 を満たす値 を言う。すなわち、根は未知数 の多項式方程式 の解であり、また対応する多項式函数の零点である。例えば、多項式 の根は および となる。
ある体に係数を持つ非零多項式は、「より大きい」体の中にしか根を持たないこともあるが、根の数はその多項式の次数より多くなることはない。例えば は次数 で有理数係数だが、有理根を持たず、二つの根を実数体 に（したがって 複素数体 の中に）おいて持つ。ダランベール–ガウスの定理は次数 の任意の複素係数多項式が（必ずしも異ならない） 個の根を持つことを述べるものである。
多項式の根の概念は、多変数多項式の零点の概念に一般化される。
定義.
以下、不定元 に関する多項式 は適当な体あるいはより一般に可換環 に係数を持つものとする（実際に現れる係数はしたがってその適当な部分環に属している）。
したがって、多項式 は、有理数体 に（また または に）係数を持ち、有理数体 における根は持たないが に（したがって に）二つの根（つまり、と）を持つ。実際、この多項式の不定元 に または を代入すれば になる。
上と同じ例では等式 formula_1 が実際 がこの意味での二根であることを示す式になっている。
この二種類の定義の同値性は因数定理によって正当化できるが、次の節の帰結としても出る。
関連する定義.
多項式 がモニック であるという単純な事実により— が整域でなくとも—以下の概念が定義できる:
多項式 は分離多項式（つまり重根を持たない）であり、以下に述べる意味で において分解する:
このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「 において が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は の における根の反数に等しく、またその根の位数が ならその一次因子は 回繰り返し現れる。したがって、それら因子の数は の次数に等しい。
根の存在.
以下、 は可換体、 は に係数を持つ一不定元多項式とする。体 の拡大体とは を部分体として含む体をいう（例えば および は の拡大である）。
さて および が を分解する の二つの拡大であるとき、 の元としての の根と の元としての の根は「同じ」ものなのかという問いが自然に生じてくる。これには以下のような同値性が存在する: の根をすべて含む の部分拡大（ の（最小）分解体と呼ばれる）および の同様の部分拡大が存在して、これら二つの の部分拡大は一致する。例として、 とすれば、 の分解体は ( は有理数) なる形の数全体の成す集合である。この集合は（一意でない体の同型により）実数体 および代数的数体 の一意な部分体として同一視できる。したがって、根の対 を に埋め込んだものは に埋め込んだものと同じものと考えることができる。
多項式 を分解する体 に対し、ほかの -係数多項式が において分解するとは限らないし、より強く -係数多項式は において分解するとは限らない。体 が代数閉とは、任意の -係数多項式が において分解するときに言う。
体 は代数閉である（これをダランベール–ガウスの定理という）。 の代数閉包は であり、また の代数閉包は の部分体 である。
根の重複度の微分による判定.
特に:
正標数 の場合には、この最後の判定法は適用できない。実際、例えば の導多項式は零多項式となる。
根の計算.
多項式の根の計算にが利用できる。多項式 をラグランジュ補間により二次多項式 formula_2 で補間する。 の補間式の係数を、三点 で評価して求めれば:
となる。ただし、formula_6 は差商である。
しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する に対する formula_7 の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、 を複素数として、各係数は
で与えられる。この方法は自己収束的、すなわち根の計算は徐々に精度を上げる。そこで , を初期値とすると、考えてる多項式が で消えていない限り、 回目の反復で
となる。最終的に は零点に到達する。