曲率形式

微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。
定義.
G をリー代数 formula_1 をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上の(Ehresmann connection)を ω とする。（エーレスマン接続は、P 上の formula_1 に値を持つ 1-形式である。）
すると、曲率形式は P 上の formula_1 に値を持つ 2-形式であり、
により定義される。
ここで、formula_5 は外微分を表し、formula_6 は formula_7 により定義され、D は(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、
である。
ベクトルバンドルの曲率形式.
E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式
となる。ここに formula_10 はウェッジ積とする。さらに詳しくは、formula_11 と formula_12 で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の formula_11 は通常の 1-形式で、各々の formula_12 は通常の 2-形式である）、
となる。
例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、
formula_16
となる。
ビアンキ恒等式.
formula_17 が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式 formula_18 のトーション formula_19 は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。
ここに、上記のように、D は(exterior covariant derivative)である。
第一ビアンキ恒等式は、
であり、第二ビアンキ恒等式は、
で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。