固有写像

数学において、位相空間の間のある函数が固有写像（こゆうしゃぞう、）であるとは、コンパクト部分集合に対するその逆像がコンパクトであることをいう。代数幾何学において、類似の概念は固有射と呼ばれる。
定義.
二つの位相空間の間の函数 "f" : "X" → "Y" が固有（proper）であるとは、"Y" 内のすべてのコンパクト集合の原像が "X" においてコンパクトであることをいう。
この他にもいくつかの異なる定義がある。例えば、連続写像 "f" が固有であるとは、それが閉写像であり、"Y" 内のすべての点の原像がコンパクトであることをいう。"Y" が局所コンパクトかつハウスドルフであるなら、それらの定義は同値となる。この事実の証明についてはこの節の最後を参照されたい。より抽象的に、"f" が固有であるとは "f" が普遍的に閉（universally closed）であること、すなわち任意の位相空間 "Z" に対して、写像
が閉であることをいう。これらの定義は、"X" がハウスドルフであり、"Y" が局所コンパクトハウスドルフであるときには一致する。
"X" と "Y" が距離空間であるときの、より直感的な定義は次のものである：ある位相空間 "X" の無限点列 {"p""i"} が無限大に逃げる（escapses to infinity）とは、すべてのコンパクト集合 "S" ⊂ "X" に対して高々有限個の点 "p""i" のみが "S" に含まれることをいう。連続写像 "f" : "X" → "Y" が固有であるとは、"X" において無限大に逃げるすべての点列 {"p""i"} に対して、{"f"("p""i")} が "Y" において無限大に逃げることをいう。
この最後の点列のアイデアは、列固有（sequentially proper）の概念と関連するように思われる。この点については参考文献を見られたい。
証明.
formula_1 を、すべての formula_2 に対して formula_3 が（X において）コンパクトであるような連続閉写像とする。formula_4 を formula_5 のコンパクト部分集合とする。このとき formula_6 がコンパクトであることを示す。
formula_7 を formula_6 の開被覆とする。するとすべての formula_9 に対して、これは formula_10 の開被覆でもある。後者はコンパクトであると仮定されているので、有限の部分被覆を持つ。言い換えると、すべての formula_9 に対して、formula_12 を満たすような有限の集合 formula_13 が存在する。集合 formula_14 は閉である。f は閉写像であるため、その像は Y において閉である。したがって、集合 formula_15 は Y において開である。formula_16 が点 formula_17 を含むことを確かめることは容易である。今 formula_18 であり、K はコンパクトと仮定されているため、formula_19 であるような高々有限個の点 formula_20 が存在する。さらに、集合 formula_21 は有限集合の有限の合併であるため、formula_22 は有限である。
今 formula_23 が従い、formula_6 の有限部分被覆を見つけることが出来るため、証明は完成される。
一般化.
位相空間の固有写像の概念は、 やトポスへ一般化することが可能である。 を参照されたい。