ハンセン–ジャガナサン境界

ハンセン–ジャガナサン境界（ハンセン–ジャガナサンきょうかい、）とは、金融経済学とマクロ経済学において金融資産の資産価格モデルにおける確率的割引ファクター（）の分散の下限を決定する理論である。1991年にラース・ハンセンとにより発表された。一般的な資産価格モデルのほとんどに適用可能なため、資産価格モデルの妥当性を確かめるために用いられる。
概要.
金融資産 formula_1 の時点 formula_2 における価格 formula_3 が次の方程式で決定されるとする。
ただし、formula_5 は時点 formula_6 において金融資産 formula_1 を保持していることによる利益（インカム・ゲインのことで、例えば株式なら配当、債券ならクーポンなど）で、formula_8 は時点 formula_2 までの情報による条件付き期待値である。formula_10 は時点 formula_6 における、全ての金融資産に共通の確率的割引ファクターである。
ここで、金融市場に存在する全てのリスクのある金融資産のグロスのトータルリターン formula_12 を並べたベクトルを formula_13 とする。すると次の不等式が成り立つ。
ここで、formula_15 は確率的割引ファクター formula_10 の条件付き分散、formula_17 はリターンベクトルの条件付き分散共分散行列、formula_18 は全ての要素が1であるベクトルであり、formula_19 はベクトルの転置を表す。この不等式の右辺を指してハンセン–ジャガナサン境界と呼ぶ。
ここで formula_20 が0ではないと仮定すると、安全資産のグロスの利子率を formula_21 とした時、
であるので、ハンセン–ジャガナサン境界の両辺を formula_23 で割ることで次の表現が得られる。
金融資産の超過リターンベクトルを formula_25 とすれば、formula_26 かつ formula_27 なので結局、
という表現も可能になる。
またハンセン–ジャガナサン境界は無条件の期待値と分散についても成立する。ここで、formula_29 は接点ポートフォリオのシャープ・レシオの2乗であり、接点ポートフォリオはシャープ・レシオを最大化するポートフォリオでもあるので、
とも書ける。ただし、formula_31 はポートフォリオ formula_32 のシャープ・レシオである。等号成立は確率的割引ファクターが何らかのポートフォリオのリターンの線形結合として表現できる時のみであり、CAPMなどがそれにあたる。
ハンセン–ジャガナサン距離.
ハンセン–ジャガナサン距離（）とは、確率的割引ファクターの特定化の誤りの程度を表す一つの指標である。次の確率変数を定義する。
また、想定しているモデルの確率的割引ファクターをパラメーター formula_34 に依存するものとして formula_35 と表す。さらに次を定義する。
この時、ハンセン–ジャガナサン距離 formula_37 は以下のように定まる。
もし、あるパラメーター formula_39 において formula_40 となるのであれば、つまり、formula_41 が真の確率的割引ファクターであるのならば、formula_42 であるので、formula_43 が成り立つ。
ハンセン–ジャガナサン距離は
という形で表現でき、formula_46 を満たす formula_10 の中で formula_48 と最も近いものと formula_48 との距離を表している。
歴史と応用.
ハンセン–ジャガナサン境界の原型となる不等式はロバート・シラーによって1982年にもたらされている。ハンセンとジャガナサンはそれを一般化した形で1991年にハンセン–ジャガナサン境界を提示した。ハンセンとジャガナサンは、経済学で通常用いられる時間について加法分離的な相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数を想定した場合の確率的割引ファクターはハンセン–ジャガナサン境界の不等式を満たしていないことを実際のデータを使って実証した。この実証結果はエクイティプレミアムパズルの結果と整合的であると彼らは結論付けている。
ハンセン–ジャガナサン境界の導出.
リスク資産が一つである場合.
リスク資産が一つであるならば、そのグロスのトータルリターンを formula_13 として
となる。よって相関係数 formula_53 が-1以上1以下であることに注意すれば、
となる。特に両辺を formula_55 の2乗で割り、平方根を取れば、formula_10 が非負の時、
となる。右辺はシャープ・レシオの絶対値である。
リスク資産が複数である場合.
確率的割引ファクター formula_10 の定数とリターンベクトル formula_13 に対する直交射影を考えると、
が成立する。ただし formula_61 かつ formula_62 である。ここで
とすれば
である。さらに formula_65 なので結局
となる。よって
が得られる。