双直交系

数学において、双対性（双線型形式 〈,〉）を持つ位相線型空間の対 "E", "F" に関する双直交系（そうちょっこうけい、; 二重直交系）とは、
を満たす（"I" は適当な添字集合で、δ はクロネッカーのデルタ）ベクトルの族の対 ({"v""i" ∈ "E"}, {"u""i" ∈ "F"}) を言う。"E" = "F" かつ "v""i" = "u""i" (∀"i"∈ "I") なるときの双直交系は、すなわち正規直交系である。
formula_2 において、函数族 formula_3 および formula_4 は二重直交系を構成する。その他の例として、行列の、固有値によって添字付けられる左固有ベクトルの集合と右固有ベクトルの集合の対は双直交系である。
射影.
二重直交系に関して、射影
が得られる。この射影の像は formula_6 の線型包であり、その核は formula_7 である。
必ずしも双直交でないベクトルの集合の対 formula_8 および formula_9 が与えられたとき、それに関する射影は
で与えられる。ここで formula_11 は成分が formula_12 であるような行列である。