連接環

連接環（れんせつかん、、）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。
連接環.
定義.
これは formula_2 の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 formula_2 は formula_5 が有限型であれば"有限型" (type fini) であり、formula_5 と formula_4 が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。
性質.
formula_1 を環とする。
グロタンディーク圏における一般化.
グロタンディーク圏.
次のようなアーベル圏 formula_43 をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 formula_44 を持ち、次の条件 AB5) を満たす： formula_45 が formula_43 の対象であり formula_47 が formula_45 の部分対象でありそして formula_49 が formula_45 の部分対象の増大フィルター族であれば、
連接対象.
を formula_43 における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 formula_45 が有限型であるのは、完全列
ただし formula_85 は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、formula_45 が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 formula_87、ただし formula_85 は有限、に対して完全列
ただし formula_90 は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。
すべての連接対象からなる formula_43 の充満部分圏は、formula_92 と表記されるが、アーベルであり、入射 formula_93 は完全である。