摂動函数

数学の数理最適化の分野において、摂動函数（せつどうかんすう、）とは、主問題と双対問題を関連づける任意の函数である。そのような任意の函数は元の問題の摂動を定義する事実から、その名が付けられた。多くの場合、この函数は制約条件をシフトする形状を取る。
文献によっては、が摂動函数と呼ばれ、摂動函数は二重函数（bifunction）と呼ばれることもある。
定義.
分離的な局所凸空間の二つの双対組 formula_1 と formula_2 が与えられるとする。このとき、与えられた函数 formula_3 に対する主問題を次で定義する。
制約条件が存在するならば、それら制約条件を formula_5 として函数 formula_6 に含めてしまうこともできる。ここで formula_7 はである。このとき formula_8 が摂動函数であるための必要十分条件は、formula_9 である。
双対性.
は、次の不等式の右辺と左辺の差で与えられる。
ここで formula_11 は両変数についての凸共役である。
摂動函数 "F" をどのように選んでも弱双対性は成立する。また強双対性が成立するための条件は数多く存在する。例えば、"F" が真結合凸函数で、下半連続かつ formula_12 であり（ここで formula_13 は代数的内部を表し、formula_14 は formula_15 で定義される "Y" の上への射影である）、"X" と "Y" がフレシェ空間であるなら、強双対性は成立する。
例.
ラグランジアン.
formula_16 と formula_17 を双対組とする。（"f(x)" を最小化する）主問題と、関連する摂動函数 ("F(x,y)") が与えられたとき、ラグランジアン formula_18 は、"F" の "y" に関する負の共役（すなわち、凹共役）である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。
特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。
主問題が、formula_21 に対し
で与えられるとする。このとき、摂動が
で与えられるなら、摂動函数は
となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、"L" が明らかに次で与えられることから分かる。
フェンシェル双対性.
formula_16 と formula_17 を双対組とする。ある線型作用素 formula_28 とその随伴作用素 formula_29 の存在を仮定する。また主（指示函数による制限も含む）は、formula_30 に対して formula_31 と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。
特に、主目的函数が formula_33 であるなら、摂動函数は formula_34 で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である。