余因子行列

数学の線形代数学において、次正方行列 の余因子行列（よいんしぎょうれつ、）あるいは古典随伴行列（こてんずいはんぎょうれつ、）とは、成分が 余因子である行列の転置行列のことであり、記号で formula_1, formula_2, formula_3 などで表す。これは次正方行列になる。
単に 成分が 余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。
余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。
定義.
可換環 上の 次正方行列 の余因子行列とは、成分が 余因子である 次正方行列のことであり、記号で formula_1, formula_3 などで表す。
 の 小行列式を で表すことにする。これは、 の第行、第列を除いてできる 次小正方行列の行列式である：
 の 余因子を で表すと、
 を余因子展開は、 の余因子行列 により、次のように表せる：
ここで は単位行列である。
 が特に正則行列のとき、 の逆行列は余因子行列 で表せる：
例.
1次.
次正方行列 の余因子行列は、 が零行列でないときは、次単位行列
である。formula_12 は慣習上 とする。
2次.
次正方行列
の余因子行列は
なお、この 次の場合は formula_15 が成り立つ。
3次.
次正方行列
の余因子行列を考える。成分に 余因子を並べたものは、
ここで
である。余因子行列はこれの転置行列であるから、
数値計算.
例えば、実3次正方行列
の余因子行列は、
となる。実際、余因子行列の 成分は 余因子であり、それは 小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：
性質.
 を 次正方行列とする。
複素数体上では、
 をもう1つの 次正方行列とする。
この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 に余因子展開の等式を利用する方法である：
両辺を多項式として　 で割ると を得る。（証明終）
これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
列の置き換えとクラメルの公式.
 の列ベクトル表示を
とし、 を 次列ベクトルとする。固定された に対し、 の第 列を で置き換えた行列を次の記号で定義する：
この行列の行列式を第列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 に等しくなる：
この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系
を考える。 を正則と仮定する。この方程式に左から を掛け、 で割ると
ここでクラメルの公式を適用すると、
ここで は の第成分である。
固有多項式.
 の固有多項式を
とすると、
 の第一差商は、次対称式になる：
 の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 より、
特に、 の レゾルベントは次の式で定義される：
さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：
ヤコビの公式.
行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。 は連続的微分可能なら、
これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：
ケイリー・ハミルトンの定理.
 を線形変換 の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、 を に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：
定数項を分離し両辺に を掛けることで、余因子行列は と の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数は の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：
ここで は の次数、総和 の , 数列 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：
特に 次の場合は、次のようになる：
次の場合は
次の場合は
上記の表示式は、 の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。
外積代数との関係.
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。 を 次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：
ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：
明示すると、この対は、 を formula_59 に写す：
 を線形変換とする。 の次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき の余因子変換は次の合成で定義される：
 に 基底 が与えられていて、 のこの基底に関する表現行列は であるとき、 の余因子変換は の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、formula_62 の基底を取る：
 の基底元 を固定する。 の formula_64 による像は、formula_62 の基底ベクトルの移る先を決定する：
この基底で、 の 次外冪 formula_67 は次のように表せる：
これらのそれぞれの項の formula_69 による像は、 の項を除いて になる。それ故、formula_69 の引き戻しは次の線形写像になる：
これは次に等しくなる：
formula_64 の逆写像を適用することより、 の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：
故に、その表現行列は の余因子行列である。
 に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 はさらに分解される。この場合、 はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、 が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：
これは同型写像を引き起こす：
 は次の線型汎函数に一致する：
ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は と双対である。つまり、 は と見なせる。
高階余因子行列.
 を 次正方行列とし、 を固定する。 の 階余因子行列とは、formula_78次正方行列であり、 で表す。その成分は の 個元からなる部分集合 から番号を取るものとする。 はそれぞれ の補集合を表すものとする。formula_79 は、行番号、列番号がそれぞれ から取られる、 の小行列を表すとする。 の 成分は次の式で定義される：
ここで はそれぞれ の元の総和を表すとする。
高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。formula_82, formula_83 をそれぞれ formula_84, formula_85 に置き換えることでできる。
余因子行列の反復合成.
正則行列 について、余因子行列の反復合成を取ることにより、次余因子行列を考えることができる：
例えば、