リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のは複数変数へと一般化される。
0 < α < "n" であるとき、R"n" 上の局所可積分函数 "f" のリースポテンシャル "I"α"f" は、次式で定義される。
ただしこの定数は次で与えられる。
このは、"f" が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ "p" < "n"/α に対して "f" ∈ L"p"(R"n")であるときに、well-defined となる。"p" > 1 であるなら、"f" の減衰率と "I"α"f" の減衰率は不等式（）
によって関連付けられる。より一般に作用素 "I"α は、0 < Re α < "n" を満たす複素数 α に対して well-defined である。
リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：
ここで "K"α は局所可積分函数
である。したがってリースポテンシャルは、"f" がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、"I"αμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、R"n" 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。
フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはであることが分かる。実際、
であるので、畳み込み定理より
が得られる。
リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす：
ただし
が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <"n" であるなら
が成立する。また、この函数のクラスに対しては
が成立する。