クロネッカーの定理

数学では、クロネッカーの定理（クロネッカーのていり、）は、レオポルト・クロネッカーの名前に因んだ 2つの定理である。
拡大体の存在.
この定理は、ある体 "F" の元を係数に持つ定数ではない多項式 "p"("x") ∈ "F"["x"] が、拡大体 formula_1 に根を持つことを主張する。
たとえば、"x"2 + 1 = 0 のような実数係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。
クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている。また、この定理によって多くの集合に対する有用な(construction)が与えられる。
ディオファントス近似での結果.
クロネッカーの定理は、ディオファントス近似を 1 ≤ "i" ≤ "N" とした複数の実数 "x""i" へ適用した結果としても表現され、これはディリクレの近似定理を多変数へと一般化した定理である。
古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 formula_2 と formula_3 が与えられると、すべての小さな formula_4 に対し、整数 formula_5 と formula_6 が存在し、
formula_7
が成り立つことと、
formula_8
であるすべての formula_9 に対し、数 formula_10 が再び整数となることとは同値である。
クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりにレオポルト・クロネッカーにより最初に証明された。20世紀後半以降、n次元トーラスやマーラー測度の考え方と関係していることが明らかとなっている。
力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に（互いの間の引力相互作用による）依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。
n次元トーラスとの関係.
"N" を自然数として、トーラス "T" を
と定義すると、トーラス上の点 "P" により生成される部分群 <"P"> の閉包は有限群か、あるいは、"T" の中に含まれるあるトーラス "T′" である。元々のクロネッカーの定理 (クロネッカー, 1884) の主張は、
のための必要条件は、数 "x""i" と 1 が有理数体上で線型独立であることであり、これは同時に十分条件でもあるというものである。ここで、"x""i" と 1 の非ゼロな有理数係数での線型結合 formula_11 が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 "T" の(trivial character)以外の指標 χ が "P" 上で値 1 をとることが容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、"T′" を χ の核の部分集合とすることができ、故に "T" 全体には等しくない。
実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、
となる χ の核の交叉として、<"P"> の閉包を記述するものとなる。
このことは、"T" の(monogenic)な閉部分群の間の（単調な）ガロア接続と（位相的な意味で、単一の生成子を持つ）、与えられた点を含む核を持つ指標の集合を与える。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。
定理において、どのようにうまく（統一的に）"P" の多重化 "mP" が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は(equidistribution theorem)により一様である。