デルタ作用素

数学におけるデルタ作用素（デルタさようそ、）とは、体 formula_1 上のある変数 formula_2 に関する、多項式のベクトル空間上のシフト同変な線形作用素 "formula_3" で、次数を 1 下げるものである。
ここで formula_4 がシフト同変（shift-equivariant）であるとは、formula_5 なら
が成立することを言う。言い換えると、"formula_7" が "formula_8" のシフトであるなら、"formula_9" も "formula_10" のシフトであり、シフトベクトル "formula_11" を共通のものとして持つことを言う。
また、作用素 formula_4 が次数を 1 下げるとは、次数 "formula_13" の多項式 "formula_7" に対し、"formula_9" の次数が formula_16 であるか、または 0（formula_17 の場合）であることを言う。
デルタ作用素はしばしば、"formula_2" についての多項式上のシフト同変な線形変換で、"formula_2" を非ゼロの定数に写すものとして定義される。これは上述の定義よりも弱いように思われるが、シフト同変は十分強い条件なので、上述の定義と同値であることが示される。
基本多項式.
すべてのデルタ作用素 "formula_4" には、以下の三つの条件を満たす多項式列として定義される基本多項式（basic polynomials）の一意な列が存在する。
このような基本多項式の列は常に二項型多項式列であり、この他の二項型の列は存在しないことが示される。この初めの二つの条件が満たされない場合、三つ目の条件によって多項式はシェファー列であると言われる。これはより一般的な概念である。