連接層

数学では、特に代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
定義.
環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、次の性質をもつ場合をいう。
環 OX の層が連接層であるとは、それ自身を OX-加群の層とみなしたときに、連接であることとする。環の連接層の重要な例として、複素多様体の正則函数の芽の層やネタースキームの構造層がある。
連接層はいつも、有限表現可能な層である。言い換えると X の各々の点 x は開近傍 U を持ち、F の U 上への制限 F|U が、ある整数 n, m について射 OXn|U → OXm|U の余核と同型になることである。OX が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表現可能な OX 加群の層は連接層である。
formula_1-加群の層 formula_2 が準連接層とは、局所表現を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。
ここで、最初の 2つの項は、構造層のコピーの（無限個でもよい）直和である。
性質.
(X, OX) 上の連接層の圏は、アーベル圏であり、(X, OX) 上のすべての層のアーベル圏の充密な部分圏である。
（同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充密なアーベル部分圏である。）
R により、大域切断のなす環 Γ(X, OX) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で OX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つアフィンスキーム X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の圏同値を与える。とくに環 R がネーター環の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。
可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば、中山の補題は F が連接層であれば、点 x での F のファイバー Fx⊗OX,xk(x)（剰余体 k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である（と言い換えることができる）。このファイバーの k(x) ベクトル空間としての次元を x でのファイバー次元とよぶ。関連する事実として、連接層のファイバー次元は上半連続である。 すなわち、各自然数 n にたいし、ファイバー次元が n 以下になる点のなす集合は開集合になり、とくにある開集合の上では定数になり（したがってその開集合上のベクトルバンドルとみなせる）、その補集合の上ではファイバー次元はそれより大きくなる。
（アフィン的、もしくは射影的な）代数多様体 X （もしくはもっと一般的に準コンパクト(quasi-compact)かつ準分離的()なスキーム）が与えられると、X 上の準連接層の圏はとてもよい性質をもつアーベル圏（(Grothendieck category)とよばれる）となる。とくに、準連接層の圏は（連接層の圏とは異なり）(enough injectives)を持つ。したがって準連接層の圏を考えることによって層のコホモロジーの理論を機能させることができる。スキーム X は同型を除いて、X 上の準連接層のアーベル圏によって、決定される。
連接コホモロジー.
連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジー(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になるという性質を持っていることを証明した。
この結果は、ケーラー多様体上の局所自由層の特別な場合に、小平邦彦により以前に証明されていたものの拡張である。GAGA の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な（非常に簡単な）バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、グロタンディーク(Grothendieck)により代数的な場合に証明され、(Hans Grauert)と(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。例えば、グロタンディークの結果は、f をスキームの固有射としたときに、連接層 F のプッシュフォワード、函手 Rif*F が連接層になることを主張する。（この函手Ri f*は f* の右導来函手である。）セールの結果は相対的な結果を点への射に適用したものとみなすことができる。
セール双対性を拡張したスキーム理論の双対性は、(coherent duality)（もしくはグロタンディークの双対性）と呼ばれる。ある緩やかな有限性条件の下で、代数多様体上のケーラー微分の層 Ω1X は、連接層 である。多様体が滑らかなとき、Ω1X は局所自由層であり、対応するベクトルバンドルは X の余接バンドルである。セール双対性によれば、次元が n である滑らかな射影多様体 X に対し、もっとも次数の高い外積 ΩnX = ΛnΩ1X は、連接層コホモロジーに対し双対対象としてふるまう。