カーレマン行列

数学におけるカーレマン行列（カーレマンぎょうれつ、）は、函数の合成を行列の積に読み替えるために用いられる行列である。反復理論において、パターン認識のみでは反復の出来ない連続な反復函数を見つけるために用いられる。その他、確率母函数やマルコフ連鎖の理論で用いられる。
定義.
函数 formula_1 のカーレマン行列は次のように定義される。
したがって、次の（テイラー級数の）方程式が満たされる。
例えば、formula_1 を計算すると
のように、formula_6 の第 1 行と列ベクトル formula_7 （⊤ は転置）のドット積で与えられる。
formula_8 の次の行の成分は、以下のような formula_1 の 2 次のベキを与える。
そして、formula_1 のゼロ次のベキを formula_8 に含めるように、行 0 は第一成分を除いてすべてゼロであるようにする。すなわち
が成り立つ。
したがって、formula_8 と列ベクトル formula_15 のドット積は、列ベクトル formula_16 を導く。すなわち、
ベル行列.
函数 formula_1 のベル行列（Bell matrix）は次のように定義される。
したがって次の方程式が満たされる。
これは上述のカーレマン行列の転置である。
ジャボチンスキー行列.
エリ・ジャボチンスキー（Eri Jabotinsky）は 1947 年、多項式の畳み込みを表現する目的で行列の概念を開発した。このため何人かの研究者はベル行列のことをジャボチンスキー行列と呼んでおり、今後この名がより正式なものになる可能性もある。
一般化.
函数のカーレマン行列の一般化は、任意の点の周りで次のように定義される。
あるいは formula_22 where formula_23。この定義より、行列のベキを次のように表現できる。
行列の性質.
これまでに紹介した行列は、次の基本的な関係式を満たす。
このことよりカーレマン行列 "M" は formula_1 の（順）表現であり、ベル行列 "B" は formula_1 の逆表現（anti-representation）である。ここで項 formula_29 は函数の合成 formula_30 を意味する。
その他の性質には、次のようなものがある。