正則関数の解析性

この記事では正則関数の解析性（）について述べる。複素解析において、複素変数 の複素数値関数 が
複素解析の最も重要な定理の1つは、正則関数は解析的であることである。この定理の系として以下のようなものがある。
証明.
コーシーが最初に与えた議論はコーシーの積分公式と
の冪級数展開を用いる。 を を中心とする開円板とし、 は の閉包を含むある開近傍のいたるところで微分可能であるとする。 を の境界である正の向き（すなわち反時計回り）の円とし、 を 内の点とする。コーシーの積分公式から、次が成り立つ：
積分と無限和の交換は以下のように正当化される。formula_4 は 上正数 によっておさえられ、一方、 内の任意の に対しても、ある正数 に対し
が成り立つ。したがって 上
が成り立ち、ワイエルシュトラスのM判定法によって級数は 上一様収束するので、 和と積分は交換できる。
因子 は積分の変数 に依らないから、くくりだすことができ、次の式を得る：
これは についての冪級数の求める形
であり、係数は
である。