フロイデンタールのスペクトル定理

数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection property; 主射影性質）を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。
数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン＝ニコディムの定理やポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。
定理の主張.
 はリース空間 に属する任意の正元とする。 の正元 が の成分 (component) であるとは、 が成立することを言う。 が互いに素な の成分であるとき、 の任意の実線型結合を -単関数と呼ぶ。
ラドン＝ニコディムの定理との関係.
formula_1 を測度空間とし、formula_2 を formula_1 上の符号付 formula_4-加法的測度の実空間とする。formula_2 はを備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 formula_6 に対し、上述のように定義される formula_6-単関数は、formula_1 上の formula_6-可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、formula_6 によって生成される帯（band）内の任意の測度 formula_11 は formula_1 上の formula_6-可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、formula_11 はある formula_15 関数に対応し、formula_6 によって生成される帯とバナッハ束 formula_15 の間の等長束同型を構成することが示される。