シュタイン多様体

数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体（シュタインたようたい、）とは、複素 "n" 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。考案者の の名にちなむ。同様の概念にシュタイン空間（Stein space）があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。
定義.
複素次元 formula_1 の複素多様体 formula_2 は、次の条件を満たすときシュタイン多様体と呼ばれる：
非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体.
"X" を連結かつ非コンパクトなリーマン面とする。ベーンケとシュタインの 1948 年の重要な定理では、このとき "X" はシュタイン多様体であることが主張されている。
とによる 1956 年の別の結果ではさらに、"X" 上のすべての正則ベクトル束は自明であることが主張された。
特に、すべての直線束は自明であるため、formula_14 が成立する。指数層系列は次の完全系列を導く：
今、カルタンの定理 B により、formula_16 であるため、formula_17 である。
これはクザン問題の、特に第二クザン問題の解と関連している。
シュタイン多様体の性質と例.
これらの事実よりシュタイン多様体は、（埋め込みが双正則であるために）複素構造がのものと等しい、複素空間の閉複素部分多様体であることが分かる。
このような多様体の更なる特徴付けは多く存在し、特に複素数に値を取る多くの正則函数を持つという性質が挙げられる。例えば層コホモロジーに関連するカルタンの定理 A, Bを参照されたい。第一の動機は、解析函数の（極大）解析接続の定義域の性質を表現することであった。
類似の概念が多く存在する GAGA において、シュタイン多様体はアフィン多様体に対応する。
シュタイン多様体はある意味において、複素数からそれ自身への「多くの」正則函数を許すような複素解析学における楕円多様体（elliptic manifold）の対となるものである。シュタイン多様体が楕円型であるための必要十分条件は、それがいわゆる正則ホモトピー論（holomorphic homotopy theory）の意味での fibrant であることであることが知られている。
滑らかな多様体との関係.
次元が 2n で、指数が n 以下のハンドルのみを持つすべてのコンパクトかつ滑らかな多様体は、n>2 ならばシュタイン構造を持ち、n=2 ならば 2-ハンドルにある枠（Thurston-Bennequin 枠より小さい枠）が付いている場合に限り、同様の性質が成り立つ。すべての閉かつ滑らかな 4-多様体は、共通の境界に沿って接着される二つの 4次元シュタイン多様体の合併である。