多重劣調和函数

数学において多重劣調和函数（たじゅうれつちょうわかんすう、）は、複素解析において用いられるある重要な函数のクラスを形成する。しばしば psh、plsh あるいは plush 函数と略される。ケーラー多様体上で、多重劣調和函数は劣調和函数の部分集合を形成する。しかし、（リーマン多様体上で定義される）劣調和函数とは異なり、多重劣調和函数は複素解析空間上で完全な一般性をもって定義される。
正式な定義.
定義域が formula_1 であるような函数
が多重劣調和的（plurisubharmonic）であるとは、それが上半連続であり、すべての複素直線
に対して函数 formula_5 が次の集合上で劣調和的であることを言う：
完全な一般性をもって、この概念は任意の複素多様体や複素解析空間 formula_7 でも次のように定義できる。ある上半連続函数
が多重劣調和的であるための必要十分条件は、任意の正則写像 formula_9 に対して函数
が劣調和的であることを言う。ここで formula_11 は単位円板を表す。
可微分多重劣調和函数.
formula_12 が（微分可能性の）クラス formula_13 に属するとき、formula_12 が多重劣調和的であるための必要十分条件は、成分が
で与えられる、formula_12 のレヴィ行列としてよく知られている半正定値なエルミート行列である。同値ではあるが、formula_13-函数 "f" が多重劣調和的であるための必要十分条件は、formula_18 が正 (1,1)-形式であることである。
例.
ケーラー多様体との関係: n-次元複素ユークリッド空間 formula_19 上で formula_20 は多重劣調和函数である。実際、formula_21 は、定数倍を除き formula_19 の上の標準ケーラー形式に等しい。さらに一般的には、formula_23 が、あるケーラー形式 formula_24 に対し、
を満たすと、formula_23 は多重劣調和函数であり、これはケーラーポテンシャルと呼ばれる。
ディラックのデルタとの関係: 1-次元複素ユークリッド空間 formula_27 上で、formula_28 は多重劣調和函数である。formula_12 がコンパクトな台を持つ C∞-級函数とすると、コーシーの積分公式 からは、
であることが分かり、これを次の形に変形することができる。
これは、ほかならぬ、原点 0　でのディラック測度である。
歴史.
多重劣調和函数は、1942年に岡潔 と によって定義された。
性質.
が成立するなら、formula_12 は定数である。
応用.
複素解析において、多重劣調和函数は擬凸領域や正則領域、シュタイン多様体を表現するために用いられる。
岡の定理.
多重劣調和函数の理論の主要な幾何的応用は、1942年に岡潔によって証明された有名な定理に見られる。
連続函数 formula_53 は、原像 formula_54 がすべての formula_55 に対してコンパクトであるとき、階位函数 (exhaustion function) と呼ばれる。多重劣調和函数 "f" が強多重劣調和的（strongly plurisubharmonic）であるとは、"M" 上のあるケーラー形式 formula_24 に対して、formula_57 が正形式であることを言う。
岡の定理： "M" は、滑らかな強多重劣調和階位函数を持つ複素多様体とする。このとき、"M" はシュタイン多様体である。逆に、任意のシュタイン多様体はそのような函数を持つ。