ベズー整域

数学において、ベズー整域 (Bézout domain) は2つの主イデアルの和が再び主イデアルになるような整域である。このことが意味するのは、元の各組に対してベズーの等式 (Bézout identity) が成り立ち、すべての有限生成イデアルは単項であるということである。任意の単項イデアル整域 (PID) はベズー整域だが、ベズー整域はネーター環とは限らないので、有限生成でないイデアルをもつかもしれない（これは明らかに PID でない）。そうであれば、一意分解整域 (UFD) ではないが、なおGCD整域である。ベズー整域の理論は PID の性質の多くを、ネーター性を要求せずに、保つ。ベズー整域はフランス人数学者 Étienne Bézout にちなんで名づけられている。
性質.
環がベズー整域であることと整域であって任意の2つの元がそれらの線型結合である最大公約元をもつことは同値である。これは次のステートメントと同値である。2つの元で生成されたイデアルはただ1つの元でも生成できて、帰納法によってすべての有限生成イデアルは単項イデアルである。PID の2つの元の最大公約元の線型結合としての表現はしばしばベズーの等式と呼ばれるが、用語はそこから来ている。
上記の gcd 条件は単に gcd が存在するという条件よりも強いことに注意せよ。任意の 2 元に対して gcd が存在する整域はGCD整域と呼ばれ、したがってベズー整域は GCD 整域である。とくに、ベズー整域において、既約元は素元である（しかし代数的整数の例からわかるように、それらが存在する必要はない）。
ベズー整域 "R" に対して、以下の条件は全て同値である。
(1) と (2) の同値性は上で述べた。ベズー整域は GCD 整域であるから、ただちに (3), (4), (5) の同値性が従う。最後に、"R" がネーターでなければ、有限生成イデアルの無限昇鎖列が存在するので、ベズー整域において主イデアルの無限昇鎖が存在する。(4) と (2) はしたがって同値である。
ベズー整域はプリューファー整域である、すなわち整域であって各有限生成イデアルは可逆である、あるいは別の言い方をすれば、可換半遺伝整域である。
雑に言えば、「ベズー整域ならばプリューファー整域かつ GCD-整域である」という包含をもっとよく知られた「PID ならばデデキント整域かつ UFD である」という包含の非ネーターの類似物と見ることができる。類似は UFD（あるいは原子プリューファー整域）はネーターとは限らないという点で正確さに欠ける。
プリューファー整域はすべての素イデアル（同値だがすべての極大イデアル）における局所化が付値整域であるような整域として特徴づけられる。なのでベズー整域の素イデアルにおける局所化は付値整域である。局所環の可逆イデアルは単項なので、局所環がベズー整域であることと付値整域であることは同値である。さらに付値整域が非巡回（同値だが非離散）値群をもてばネーターでなく、すべての全順序アーベル群はある付値整域の値群である。これは非ネーターベズー整域のたくさんの例を与える。
非可換代数において、右ベズー整域 (right Bézout domain) は整域であって有限生成右イデアルが主右イデアルすなわちある "x" ∈ "R" に対して "xR" の形であるようなものである。1つの注目すべき結果は右ベズー整域は右ということだ。この事実は可換なケースでは面白くない、というのも"すべての"可換整域はオール整域であるからだ。右ベズー整域はまた右半遺伝環でもある。
ベズー整域上の加群.
PID 上の加群の事実のいくつかはベズー整域上の加群でも成り立つ。"R" をベズー整域とし "M" を "R" 上有限生成加群とする。このとき "M" が平坦であることとねじれなしであることは同値である。