リース平均

数学におけるリース平均（リースへいきん、）とは、ある級数に関する項の平均のことを言う。1911年、リース・マルツェルによってチェザロ平均を改善するものとして導入された。や強リース平均（strong-Riesz mean）とは異なる。
定義.
級数 formula_1 に対するリース平均は、次で定義される。
しばしば次の一般化リース平均も用いられる。
ここで formula_4 は、formula_5 に対して formula_6 と formula_7 を満たす数列である。それ以外の性質に関しては formula_4 は任意に選ばれる。
リース平均はしばしば、数列の総和可能性を調べるために用いられる。総和可能性に関する典型的な定理では、ある列 formula_9 に対して formula_10 となる場合が扱われる。通常、列が総和可能であるための十分条件は、極限 formula_11 あるいは formula_12 が存在することである。ただし厳密には追加条件が課されることもしばしばある。
特別な場合.
すべての formula_13 に対して formula_14 の場合を考える。このとき
となる。ここで formula_16 であり、formula_17 はガンマ函数、formula_18 はリーマンゼータ函数である。冪級数
は、formula_20 に対して収束することが示される。この形式の積分はメリン逆変換であることに注意されたい。
その他、数論と関連する興味深いケースは、 formula_21 に対して formula_22 とすることで得られる。このとき
となる。ここで再び "c" > 1 であり、"ρ" についての和はリーマンゼータ函数の零点についての和を意味し、
は "λ" > 1 に対して収束する。
ここで現れる積分はネアルン＝ライス積分に似たものである。非常に大雑把に言うと、それらはペロンの公式によって関連付けられる。