集合値函数

集合値函数 (しゅうごうちかんすう、) または集合値写像 (しゅうごうちしゃぞう、) とは、数学において、通常の写像の拡張として、入力に対して複数の出力を対応させる操作である。multifunction、多価関数 () 、点対集合写像 () 、対応 () とも呼ばれる。
集合値写像の微分包含式や不動点定理は動的システムやゲーム理論などに応用される。
これと対照的に定義域（始域）が集合族であるような函数は集合函数と呼ばれる。
定義.
集合 から集合 への集合値写像 とは、 の各要素 に の部分集合 (空集合であってもよい) を対応付ける作用である。 と表すこともある。以下では特に と がともに距離空間の場合について、基本的な定義と性質について説明する。第一レベルの箇条書きが定義、第二レベルの箇条書きが性質である。
応用.
微分方程式を集合値写像に拡張した概念である微分包含式が動的システムに応用されているほか、ゲーム理論におけるナッシュ均衡の存在証明はブラウワーの不動点定理を集合値写像に拡張した角谷の不動点定理によって得られるものである。