ヒルベルトの定理90

数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。
ステートメント.
"K"/"k" を "n" 次巡回拡大で、そのガロワ群を "G" とし、σ が "G" を生成するとする。このとき、β∈"K" に対して、ノルム "N""K"/"k"(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈"K" が存在して β=α/σα となることは同値である。
加法版.
"K"/"k" を "n" 次巡回拡大で、そのガロワ群を "G" とし、σ が "G" を生成するとする。このとき、β∈"K" に対して、トレース Tr"K"/"k"(β) が 0 であることと、ある α∈"K" が存在して β=α−σα となることは同値である。
群コホモロジーを用いた表現.
"K"/"k" を有限次ガロワ拡大、"G" をそのガロワ群とする。このとき
が成り立つ。
例.
"K"/"k" を2次拡大 formula_3とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
"K" の元 formula_5 はノルム formula_6 を持つ。 ノルムが1の元は formula_7 の有理数解，もしくは単位円上の有理数点に対応する。
ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 "y" は整数 "c" と "d" で次のように表すことができる。
formula_8
これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。
単位円formula_9上の有理数点formula_10はformula_11を満たすピタゴラス数formula_12を表す。