自己準同型

数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。例えば、あるベクトル空間 "V" の自己準同型は、線型写像 ƒ: "V" → "V" であり、ある群 "G" の自己準同型は、群準同型 ƒ: "G" → "G" である。一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏において、自己準同型はある集合 "S" からそれ自身への函数である。
任意の圏において、"X" の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び "X" の自己準同型である。"X" のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End("X") と表記される（あるいは、圏 "C" を強調するために End"C"("X") と表記される）。
自己同型.
"X" の可逆な自己準同型は、自己同型と呼ばれる。すべての自己同型の集合は、群構造を備える End("X") の部分集合であり、"X" の自己同型群と呼ばれ、Aut("X") と表記される。次の図で、矢印は包含関係を表す：
自己準同型環.
あるアーベル群 "A" の自己準同型写像は、次のルールに従って足し合わされる：(ƒ + "g")("a") = ƒ("a") + "g"("a")。この加法の下で、アーベル群の自己準同型写像は環（自己準同型環）を構成する。例えば、Z"n" の自己準同型写像の集合は、成分が整数であるような全ての "n" × "n" 行列からなる環である。ベクトル空間あるいは環上の加群の自己準同型写像もまた、前加法圏内の任意の対象の自己準同型写像と同様に、環を構成する。非アーベル群の自己準同型写像は、として知られる代数的構造を生成する。乗法単位元をもつすべての環は、その正則加群の自己準同型環であり、したがってあるアーベル群の自己準同型環の部分環である。しかし、どんなアーベル群の自己準同型環でもないような環も存在する。
作用素論.
特にベクトル空間のような任意のにおいて、自己準同型はある集合からそれ自身への写像であり、その集合上の単項演算子として解釈されることもある。それは元に対して作用し、元の軌道の概念の定義を許すものである。
手近な圏に対して定義される追加構造（トポロジー、距離など）に依存して、そのような作用素は連続性や有界性などの性質を持つこともある。その点に関する詳細は作用素論に関係する記事を参照されたい。
自己函数.
自己函数（endofunction）とは、その定義域が余域と等しい函数のことを言う。準同型な自己函数は、自己準同型である。
"S" を任意の集合とする。"S" 上の自己函数の中に、"S" と、各 formula_1 に関連する与えられた定数 formula_2 の置換が存在する。"S" のすべての置換は、その定義域と等しい余域を持ち、それは可逆な双射である。"S" が 1 より多い元を持つなら、"S" 上の定数函数は、その定義域の真部分集合であるような余域を持ち、双射ではない（また可逆でもない）。各自然数 "n" に対する "n"/2 の床函数に対応する函数は、余域と定義が等しいが、可逆ではない。
有限の自己函数は、有向と等しい。大きさ "n" の集合に対し、その集合上には "n""n" 個の自己函数が存在する。
特定の双射自己函数は、対合、すなわちその逆と一致する函数である。