環準同型

環論や抽象代数学において、環準同型（）は2つの環の間の構造を保つ関数である。
きちんと書くと、"R" と "S" が環であれば、環準同型は以下を満たす関数 である。
（加法の逆元と加法の単位元も構造の一部であるが、それらを明示的に要求する必要はない。というのもその条件は上記の条件から従うからである。一方、条件 "f"(1"R") = 1"S" を落とすと下記の性質のいくつかは成り立たなくなる。
　追記：「条件 "f"(1"R") = 1"S" を落とすと下記の性質のいくつかは成り立たなくなる」とあるが、環準同型は乗法において群準同型でもあるため、群準同型の性質から同様にして環準同型は加法・乗法両方においてformula_1をformula_2に対応させる。条件から省いたとしても"f"("ab") = "f"("a") "f"("b")より "b" に 1"R" を代入することにより単位元の定義から "f"(1"R") = 1"S". を導出することができる。加法における単位元も同様にして加法における群準同性から"f"("a" + "b") = "f"("a") + "f"("b") に同じように代入して求められる。）
追記
環は乗法に関して群であることは要請していないため、演算は保つが群準同型にはならない。従ってRの乗法単位元が必ずしもR'の乗法単位元に移ることは保証されない。
"R" と "S" がrng（擬環や非単位的環ともいう）であれば、自然な概念はrng 準同型であり、これは上記から3つ目の条件 "f"(1"R") = 1"S" を除いたものとして定義される。（単位的）環の間の環準同型でない rng 準同型を考えることができる。
2つの環準同型の合成は環準同型である。これによってすべての環からなるクラスは射を環準同型として圏をなす（cf. 環の圏）。とくに、環自己準同型、環同型、環自己同型の概念を得る。
性質.
"f" : "R" →"S" を環準同型とすると、その定義から直接次のことが出る。
さらに、
環の圏.
単射準同型と全射準同型.
単射環準同型は環の圏におけるモノ射 () と同じである。もし が単射でないモノ射であれば、ある "r"1 と "r"2 が "S" の同じ元に送られる。"x" を "r"1 と "r"2 にそれぞれ写すZ["x"] から "R" への2つの写像 "g"1 と "g"2 を考えよう。 と は同じであるが、"f" はモノ射なので、これは不可能である。
しかしながら、全射環準同型は環の圏におけるエピ射 () とは全く異なる。例えば、包含 は環のエピ射であるが、全射ではない。しかしながら、全射環準同型は strong epimorphism とちょうど全くおなじである。