ベッセルの不等式

数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 formula_1 の係数に関する不等式である・
formula_2 をヒルベルト空間とし、formula_3 を formula_2 内の正規直交列とする。このとき、formula_2 内の任意の formula_1 に対し
が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 formula_2 の内積を表す。
formula_9 方向のベクトル formula_1 の無限和
を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 formula_3 によって表現される formula_13 が存在するものと考えることが出来る。
完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって formula_14 は formula_15 となる）。
ベッセルの不等式は、任意の自然数 "n" に対して成り立つ次の関係式より従う：