セール双対性

代数幾何学という数学の分野において，セール双対性（セールそうついせい、Serre duality）は， 次元の非特異射影代数多様体 （あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層）に関する双対性である．それはコホモロジー群 が別のもの の双対空間である述べている．
滑らかなコンパクト複素多様体 上の正則ベクトル束 に対する場合は，主張は
であり， は射影的である必要はない．
代数曲線.
代数曲線の場合は既にリーマン・ロッホの定理に含まれている．曲線 に対して coherent 群 は に対して消える；しかし は一般には非自明である．実際，定理の基本関係式は と に関わり，ここで は因子であり は標準類の因子である．セール以降我々は を の次元と認識している，ただし今 は因子 によって決定される直線束を意味する．つまり，この場合のセール双対性は群 と を関係づけ，次元の関係が分かる（表記： は標準直線束， は双対直線束，並置は直線束のテンソル積）．
この定式化において，リーマン・ロッホの定理は
を曲線の種数
と の次数のことばで計算したものと見ることができる．高次元に一般化できるのはこの形である．
したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが，興味深い観点を持っている．例えば，リーマン面の理論において，複素構造のは古典的に （すなわち の切断）を用いて研究される．小平邦彦と の変形理論は を通した変形を同一視する，ここで は接束層 である．双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す．
起源と一般化.
理論の起源は多変数複素関数論に関するセールの先の研究にある．アレクサンドル・グロタンディークの一般化において，セール双対性ははるかに広い設定における の一部となる． が多様体のとき上の の役割は一般のセール双対性では余接束の行列式束によってなされ，完全に一般には は の非特異性のなんらかの仮定なしではただ1つの層ではありえない．完全に一般的な定式化は導来圏と Ext 関手を使うことで， が層の鎖複体，すなわち によって表されることが可能となる．それにもかかわらず，定理の主張は recognisably セールのものである．