形式的冪級数

数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として）
は（多項式ではない）冪級数である。
定義.
 を可換とは限らない環とする。 に係数をもち を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 () を の元として、
の形をしたものである。ある が存在して のとき となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
より形式的な定義.
 を非負整数全体の集合とし、配置集合 すなわち から への関数（ に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
によって演算を定めると、 は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 である。
ここでの は上の と対応する。
合成.
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、formula_5 とすると、 は 次以下の項をもたないので、合成
が意味をもつ。例えば
は形式的冪級数としても正しい等式である。
性質.
以下では を単位元をもつ可換環とし、formula_8 とする。
形式微分.
formula_9 に対し、formula_10 を "f" の形式微分という。, に対し、, などが成り立つ。
これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。
一般化.
形式的ローラン級数.
有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。 を自然数、各 を可換環 の元として、
このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、 と表記する。とくに が体 であるとき、 も体であり、これは の商体でもある。
多変数の形式的冪級数.
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。 が添え字集合であり を に対し不定元 全体の集合とすれば、単項式 は の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 にもつ の形式的冪級数は単項式 の集合から対応する係数 への任意の写像によって決定され、formula_12 と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を と表記し、以下のように環の構造を与える。
および
一変数の場合と同様に、 である。
 の場合には、 とも書かれる。 である。