ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。
つまり、選択公理を仮定すると、球面 "K" の分割 "K" = "Q" ∪ "A" ∪ "B" ∪ "C" であって、"A", "B", "C", "B" ∪ "C" は互いに合同であり、"Q" は可算集合となるようなものが存在する。
いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、"K" の有限加法的測度が 1 であるとすると、"A" の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。
この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』("Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。
また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。
証明の概略.
球面の回転群の構成.
formula_1をある軸の180度の回転、"z"軸の周りの120度の回転をformula_2とする。
これらによって生成された群を"G"とする。
回転軸を適当に選べば、formula_3は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。
formula_4の2つ以上からなる積は、以下のformula_5のタイプに分類される。ただし， formula_6は1または2である． 
formula_7
formula_8であることが示されれば、formula_9であることが分かる。
formula_10
とすると、
formula_11
であり、formula_12は、formula_13の式のformula_14を formula_15で置き換えたものである。
formula_12またはformula_13の"n"個の積を formula_18 に作用させると、
formula_19
であることが分かる．
formula_20による formula_18 の変換結果の"z"座標は
formula_22
である。右辺はformula_23の多項式であり、係数は代数的数である。formula_24を選んで、formula_23が超越数なるようにすれば、任意の "n" > 0 に対して、"z" ≠ 1 とすることができる。
群"G"の分割.
回転 "(G)" を3つの集合"A", "B", "C"に分割することができる。
手続き (1).
"1"は、"A"に属するものとする。formula_3は"B"に属するものとする。formula_31は"C"に属するものとする。
手続き (2).
formula_32を先頭がformula_2又はformula_31であるような、formula_4の"n"個の積とする。
formula_36を先頭がformula_1であるような、formula_4の"n"個の積とする。
formula_32が"A", "B", "C"に属するならば、formula_40は"B", "A", "A"に属するようにする。
formula_36が"A", "B", "C"に属するならば、formula_42は"B", "C", "A"に属するようにする。formula_43は"C", "A", "B"に属するようにする。
このような手続きにより、"G"は3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。
formula_44
選択公理の適用.
1と異なる"G"の要素の"K"での固定点を"Q"とする。"Q"は可算集合である。"P" = "K" - "Q"と置く。"x"の軌道をformula_45とすると、formula_46か、formula_47のいずれか1つが成り立つ。
そしてformula_48
である．
選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これを"M"とする。
このとき
formula_49
formula_50を"A", "B", "C"と書き直すとformula_51であり、 
formula_52
であるから、formula_53は合同となる。よって定理は証明された。