双線型写像

数学において双線型写像（そうせんけいしゃぞう、）とは、二つのベクトル空間それぞれの元の対に対しての第三のベクトル空間の元を割り当てる写像であって、各引数に関して線型となるようなものを言う。その一つの例が、行列の積である。
定義.
"V"、"W" および "X" をある同一の基礎体 "F" 上のベクトル空間とする。写像
が双線型写像であるとは、"W" 内の任意の元 "w" に対して
が "V" から "X" への線型写像であり、かつ "V" 内の任意の元 "v" に対して
が "W" から "X" への線型写像であることを言う。これはすなわち、双線型写像の片方の成分を固定し、もう片方を変動させることで得られる写像がともに線型写像であることを意味する。
性質.
定義より直ちに証明されることとして、 または のときは必ず であることが挙げられる（これは零ベクトル "0" を 0·"0" と書いて、線型性によりそのスカラー倍 0 を「外側」、すなわち "B" の手前に移動することで分かる）。
全ての双線型写像の集合 "L"("V","W";"X") は、"V"×"W" から "X" への全ての写像からなる空間（すなわちベクトル空間や加群）の線型部分空間である。
"M" が、実双線型形式 によって、実数体への双線型写像を定義するとき、この双線型形式に付随する三種類の双線型形式が双対性およびによって与えられる。
"V"、"W" および "X" が有限次元であるなら、"L"("V","W";"X") もまた有限次元である。 のとき、（つまり双線型形式の成す）空間の次元は となる（一方、「線型」形式の空間 "L"("V"×"W";"F") の次元は である）。このことを確かめるために、"V" と "W" に対してそれぞれ基底 {"e""i"},{"f""j"} を取れば、双線型写像は行列 "B"("e""i","f""j") によって一意的に表現され、またこの逆も成立する。ここから "X" がもっと高次元の空間のとき、 が成立することは明らか。