単拡大

数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 の拡大 は、 のある元 が存在して が と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。
単拡大 が有限拡大であることと が 上代数的であることは同値である。 の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 である。
原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。
準備的注意.
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
定義.
"L" を "K" の体拡大とする。
性質と定理.
"L" = "K" (α) を単拡大とする。
単拡大の表現多項式.
体論の基本的な定理の1つは、"P"("X") が "K" 上の既約多項式であれば、商環 "A=K"["X"]/("P")、ただし ("P") は "K"["X"] において "P" で生成されるイデアル、は体であるというものである。さらに、"P" が "K" の拡大 "L" で根 α をもてば、体 "K"(α) は "A" に同型である。この実際的意味は次のようである。"n = "deg("P") としてせいぜい次数 "n" - 1 の多項式で単拡大 "K" (α) の元を表すことが常にできる。"K" (α) の二元の和は対応する多項式の和に、積は多項式の積 mod "P" （これはユークリッド除法によって多項式の積を "P" で割りその余りをとることを意味する）に翻訳される。
例えば、"P"("X") = "X"2 + 1 であれば、虚数 "i" が C において "P" の根であることを知っている。今見たことから、C は "a + b X" の形の多項式の集合に同型である。この写像による "i" の像は "X" であり、"a + ib" の像は "a + bX" である。複素数の計算のルールはこの表現と同じであることを確かめよう。
まず "a+ib + a'+ib' = "("a+a' ") "+ i" ("b+b' ") であり同時に "a+bX + a'+b'X =" ("a+a' ") "+" ("b+b' ")"X" である。さらに、 ("a+ib")("a'+ib' ") "=" ("aa'-bb' ") "+ i"("ab'+ba' ") であり同時に ("a+bX")("a'+b'X") = ("aa'+bb'X2") "+" ("ab'+ba' ")"X" である。しかし "P"("X") = "X2+1" であるので、"X2" を "P" で割った余りは "-1" である。("a+bX")("a'+b'X") を "P" で割った余りは ("aa'-bb' ")+("ab'+ba' ")"X" であることが従い、これはちょうど上記複素数の積と対応している。
単拡大の行列表現.
すべての単拡大 "K"("α")"/K" は "K" に成分をもつ行列環の部分体によって表現することができる。"R" が α の "K" 上の最小多項式で "M" が "R" の同伴行列であれば、"M" で生成される部分行列環 "K"("M") は体であり、写像 formula_6 ; formula_7 はすべての多項式 "f" に対して体同型である。
行列 "M" はこの性質を満たす唯一のものではないことに注意しよう。 の形のすべての行列もまた明らかにそれを満たす、なぜならば = だからだ。
"K" が環 "A" の分数体であり α が "A" 上整であれば、 "R"、したがって "M" は、"A" に成分をもつことにも注意しよう。環 は行列環 によって表現されることが従う。
行列環による単拡大の行列表現は実際的計算の計算機的代数において有用である、なぜならば演算が行列の演算に翻訳されるからだ。とくに、元のトレースは対応する行列のトレースであり、"K" 上のノルムは行列の行列式に等しい。さらに、構成のこの手順を繰り返して、多項式表現でできるように多項式の分解体の構成的表現を得ることができる。このためには多項式の既約因子の積への分解のアルゴリズム、例えば基礎体が有理数体の代数拡大であればクロネッカーのアルゴリズム、を準備すれば十分である。
"Kn" における明示的な表現.
複素数体が対 ("a", "b") によって、積は = によって"明示的に"与えて、通常表現されるのと同じ方法で、"K" 上次数 "n" の元 α によって生成された体 "K" 上のすべての単拡大は集合 "Kn" によって、和は成分ごとに、積は変数の明示的なある式によって定義されたものが与えられて、表現される。
より正確には、
この双線型写像と伴う斉次多項式を得るために、1つの単純な方法は前の節で議論された行列表現を使うことにある。良い例は長い話よりも価値がある。黄金比で生成された単拡大の例を見よう。
formula_12       と     formula_14の形の2つの行列の積はformula_15     である。
求める双線型写像は行列の積の最初の列を「読む」：
 "f"(("a,b"),("a',b' ")) = ("aa' + bb', a'b + b' "("a+b")).
したがって、明示的な積は
容易にわかるようにこの手法は非常に一般的である。
次のことを強調することは重要である。ここで問題となっている問題は代数的ではなく、"Kn" におけるこの表現は明らかな方法で以前議論された多項式表現と同一視されることなしに、計算機的、アルゴリズム的である。しかしながら、積の"効率的な"計算は、α の最小多項式を法としたリダクションを利用するなら、明示的な積と行列の表現の単純な実行をさらに要求する。代償はもちろん双線型写像 "f" の決定であるが、たった一度だけ実行されればいいので、一般にそうであるように大量の演算が必要な計算にとってこの選択は有利である。