芽 (数学)

数学において、位相空間の中あるいは上の対象の芽（め、が、）とは、その対象に同種の対象を加えて作られた同値類のうち、局所的な性質が共通するように集めてきたものを呼ぶ概念である。特に、問題の対象として関数（あるいは写像）や部分集合を考えることが多い。このアイデアの特定の実行において、問題の集合あるいは写像は解析的あるいは滑らかのようないくつかの性質をもつが、一般にはこれは必要とされない（問題の写像や関数は連続である必要さえない）。しかしながら、対象の定義されている空間は、"局所的"という言葉がなんらかの意味をもつために位相空間である必要がある。
名前は層 (「穂束」) のメタファーの続きで ""（胚芽） に由来している。穀物にとってそうであるように芽は（局所的に）関数の「心臓 (heart)」であるからだ。
正式な定義.
基本的な定義.
位相空間 の点 と、2つの写像 （ここで は任意の集合）が与えられると、 と は、 のある近傍 が存在して に制限したときに と が等しいときに、つまりすべての に対して であるときに、 で同じ芽 (germ) を定義する。同様に、 と が の任意の2つの部分集合であれば、再び のある近傍 が存在して であるときに、それらは で同じ芽を定義する。
 で"同じ芽を定義すること"が（写像や集合の上で）同値関係であることを確かめることは直截であり、その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常
と書かれる。 上の写像 が与えられると、その での芽は通常 と表記される。同様に、集合 の における芽は と書かれる。したがって、
である。
 の点 と の点 に写す の における写像の芽は
と表記される。この表記を用いるとき、 は任意の代表写像と同じ文字 を使って写像の同値類全体として意図されている。
2つの集合が おいて芽同値であることと、それらの特性関数が において芽同値であることは同値である
ことに注意する。
より一般に.
写像は 全体で定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要もない。しかしながら、 と を の部分集合として が定義域 をもち が定義域 をもてば、 と は次のとき の点 において同値な芽である。まず と は において同値な芽である。 としよう。そしてさらに、 が なるよりより小さいある近傍 に対して成り立つ。これは特に2つの設定において意味がある：
基本的な性質.
 と が において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所的な性質を共有し、したがって"可微分あるいは解析的芽"などについて話すことは意味をなす： 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも のある近傍上で解析的である。
さらに、終域 がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： を定義するために、まず近傍 と 上でそれぞれ定義された代表元 と を取ると、 は写像 （ここで は 上定義されている）の における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。）
 から への写像の における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、 と が多様体であれば、の空間 （写像（-芽）の における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。
層との関係.
芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 上のアーベル群の前層 formula_6 はアーベル群 formula_7 を の各開集合 に割り当てる。アーベル群の典型的な例は： 上の実数値関数、 上の微分形式、 上のベクトル場、 上の正則函数（ が複素平面のとき）、 上の定数関数、 上の微分作用素。
 であれば、ある種の協調性条件を満たす制限写像 formula_8 が存在する。固定された に対して、元 formula_9 と formula_10 が において同値であるとは、 の近傍 が存在して （どちらも formula_11 の元）ということである。同値類は前層 formula_6 の における formula_13 をなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。
例.
 と が付加的な構造を持っていれば、 から へのすべての写像の集合の部分集合を、あるいはより一般に与えられた前層 formula_14 の部分前層と対応する芽を定義することができる： "いくつかの顕著な例が続く"：
表記.
位相空間 の点 における 上の層 formula_6 のは一般に formula_20 と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる：
集合と多様体の芽に対して、表記はそれほどよく確立されていない：文献で見つかる表記には例えば次のものがある：
点 が固定されていて知られているとき（例えば が位相ベクトル空間で のとき）、それは上の記号のそれぞれにおいて落とすことができる：また、 のとき、記号の前のサブスクリプトを付け足すことができる。例として
応用.
応用におけるキーワードは局所性 (locality) である： "点における関数のすべてのはその芽を解析することで研究できる"。それらはテイラー級数の一般化であり、実際（微分可能な関数の）芽のテイラー級数が定義される：導関数を計算するのに局所的な情報しか必要ない。
芽は相空間の選ばれた点の近くのの性質を決定する際に有用である： それらはとカタストロフィー理論において主要なツールの1つである。
考えられている位相空間がリーマン面あるいはより一般にのとき、それらの上の正則関数の芽を冪級数と見ることができ、したがって芽の集合を解析関数の解析接続と考えることができる。