ルベーグの密度定理

数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 "A" に対して、"A" のほとんど至るところにおいて "A" の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、"A" の「境界」（つまり、"A" の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。
μ を R"n" 上のルベーグ測度とし、 "A" を R"n" のルベーグ可測な部分集合とする。R"n"の点 "x" の ε-近傍における "A" の近似密度を次のように定める。
ここで、"B"εは "x" を中心とする半径 ε の閉球体である。
ルベーグの密度定理は "A" の殆ど全ての点 "x" に対して密度
が存在してそれが 1 に等しいと主張する。
言い換えると、いかなる可測集合 "A" に対しても、R"n" のほとんど至るところで "A" の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ("A") > 0 かつ ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような R"n" の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。
密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。
ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。