直既約加群

抽象代数学において、加群が直既約（ちょくきやく、）であるとは、その加群が0でなく、2つの0でない部分加群の直和として書けないということである。直既約でない加群は直可約（ちょくかやく、）と言う。
直既約は単純（既約）よりも弱い概念である。加群 "M" が単純であるとは「真の部分加群 がない」ことを意味するが、直既約であるとは「 と非自明な方法で書けない」ことを意味する。
直既約加群の直和は完全直可約（かんぜんちょくかやく、）と呼ばれる。これは単純加群の直和である半単純加群（完全可約加群）よりも弱い概念である。
動機付け.
多くの状況において、興味の対象である加群は完全直可約である。したがってこのとき直既約加群は「構造の基本単位」であり研究する必要のある唯一の対象と考えられる（クルル・シュミットの定理）。体上の加群（ベクトル空間）や単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群はこの場合であり、線型作用素のジョルダン標準形の基礎となっている。
例.
体.
体上の加群はベクトル空間である。ベクトル空間が直既約であることと次元が であることは同値である。なのですべてのベクトル空間は完全直可約（実際半単純）であり、無限次元なら無限に多くの直和成分をもつ。
PID.
PID上の有限生成加群は PID上の有限生成加群の構造定理によって分類される。準素分解は直既約加群への分解であるので、PID上のすべての有限生成加群は完全直可約である。
明示的に書けば、素イデアル に対して の形の加群（ を含む、このとき になる）は直既約である。すべての有限生成 -加群はこれらの直和である。これが単純であることは （または ）であることと同値であることに注意せよ。例えば、位数4の巡回群 は直既約であるが単純でない。この群は位数 の部分群 しか非自明な部分群を持たないが、これは直和因子でない。
整数環 上の加群はアーベル群である。有限生成アーベル群が直既約であることとそれが か素数 と正整数 について の形の商群と同型であることは同値である。すべての有限生成アーベル群は（有限個の）直既約アーベル群の直和である。
しかしながら、有限生成でない直既約アーベル群が存在する。有理数 はその最も単純な例である。
また代数的閉体上の一変数多項式環 上の有限生成直既約加群はジョルダン標準形の理論により に限る。
固定した正整数 に対し、実数体（または任意の体 ）上の 次全行列環 を考える。このとき は（行列の積によるスカラー倍によって）左 -加群である。これは同型の違いを除いて唯一の直既約 -加群である。すべての左 -加群はこの加群 のコピーの（有限か無限の）直和である。
群環.
標数 の体上の群環はマシュケの定理により半単純なので、直既約加群と単純加群の概念は一致する。
一方、正標数の体上の群環に関しては両者が一致するとは限らない。たとえば を標数 の体とし、 を位数 の 巡回 -群とする。群 の生成元を とし、
とおく。このとき は有限次元直既約 -加群の同型類である。しかしながら、有限次元単純 -加群の同型類は自明な加群 のみである。