剰余体

数学において、剰余体（じょうよたい、）は可換環論における基本的な構成である。"R" を可換環、"m" を極大イデアルとしたとき、剰余体は剰余環 "k" = "R"/"m" のことを言う（これは体である）。しばしば "R" は局所環で、このとき "m" はその唯一の極大イデアルである。
この構成は代数幾何学へ応用される。スキーム "X" の各点 "x" に "x" の剰余体 "k"("x") が関連付けられる。少し大まかに言うと、抽象代数多様体の点の剰余体は、点の座標の「自然な領域」である。
定義.
"R" を極大イデアル "m" をもつ可換局所環とすると、剰余体は、商環 "R"/"m" である。
さて、"X" をスキームとし、"x" を "X" の点とする。スキームの定義により、"A" をある可換環としてアフィン近傍 "U" = Spec("A") がある。近傍 "U" の中で考えると、点 "x" は素イデアル "p" ⊂ "A" と対応する（ザリスキー位相を参照）。"x" における "X" の局所環は、定義により局所化 "R" = "Ap" であり、これは極大イデアル "m" = "p·Ap" を持つ。上の構成を適用して、点 "x" の剰余体を得る。
この定義はアフィン近傍 "U" の取り方に依らないことが証明できる。
ある体 "K" に対し、"k"("x") ⊂ "K" であるときに、点 "x" を"K"-有理点であると言う。
例.
体 "k" 上の A1("k") = Spec("k"["t"]) を考える。"k" が代数的閉体であれば、素イデアルにはちょうど2つの種類
が存在する。
剰余体は、
である。
"k" が代数的閉体でなければ、さらに種類が発生する。例えば、"k" = R であれば、素イデアル ("x"2 + 1) は C と同型な剰余体を持つ。