接続 (微分幾何学)

微分幾何学において、接続（せつぞく、）の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動の考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変な微分形式として与えられ、ベクトル場の方向微分、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。
現代の幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考え方のいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所の理論と無限小の理論である。局所理論は、やの考え方に最初から関係する。無限小の理論は、幾何学的なデータの微分と関係する。このように、共変微分は多様体上のベクトル場を他のベクトル場に沿った微分として特定することである。は、微分形式やリー群を使い接続の理論をある側面から定式化する方法である。は、許される場の運動方向を特定することによるファイバーバンドル、あるいは主バンドルでの接続のことを言う。は、ベクトルバンドルへ一般化したときの接続である。（本記事では、ベクトルバンドルについて接続を考えるとき、「Koszul接続」という単語を用いることとする．） 
さらに接続は、曲率や捩れテンソルような、幾何学的不変量をうまく定式化することにも使われる（曲率テンソルや曲率形式も参照）。
本記事では、接続の概念を考察する動機について述べ、そのさまざまな定式化について簡潔に触れる。各々の定式化の詳細については個別記事に譲る。
動機：座標の不適切さ.
次の問題を考えてみよう。球面 S の接ベクトルが球面の北極で与えられたときに、このベクトルを球面の他の点へ整合性を持って移動、平行移動の意味での移動を定義することである。ナイーブに考えると、これは平行座標系を使ってできそうに見える。しかしながら、特別な注意を払わない限り、ある座標系で定義された平行移動は他の座標系で定義されたものとは一致しない。より適切な平行移動系は、球面の回転対称性を利用する。北極点であるベクトルが与えられると、回転軸方向を持たない曲線に沿って北極が移動するような方法で球面を回転させることで、このベクトルを曲線に沿って移動させることができる。これの平行移動の意味は、球面上のレヴィ・チヴィタ接続である。2つの異なる曲線の始点と終点が一致していて、ベクトル v が正確に回転より作られる第一の曲線に沿っているとすると、終点での結果として現れるベクトルは、第二の曲線に沿って正確に移動した v の結果として現れるベクトルとは異っている。この現象は、球面の曲率を反映している。平行移動を可視化することに使える単純な力学的な装置が、指南車である。
例えば、S に立体射影による座標を入れたとし、S を R3 の中の単位ベクトルからなると仮定すると、S は座標の対を持つことになる。一つは北極の近傍を覆い、もうひとつは南極を覆う。写像
は、北極の近傍 U0 と南極の近傍 U1 をそれぞれ覆う。X, Y, Z を R3 に付属する周りの座標とすると、φ0 と φ1 は、逆写像
を持つので、座標変換の函数は円に関する反転
となる。
ここで、ベクトル場を導き出された座標系に対する成分として表現しよう。P が U0 ⊂ S の点であれば、ベクトル場は、次のプッシュフォワードで表現される。
ここに、formula_5 は φ0 のヤコビ行列を表し、v0 = v0(x, y) は、vにより一意的に決定される R2 上のベクトル場である。さらに、座標系の交叉である U0 ∩ U1 の上では、φ1 に関して同じベクトルを表現することができる。
成分 v0 と v1 を関係づけるためには、連鎖律を等式 φ1 = φ0 o φ01 に適用して
を得る。これの行列の等式の両辺を v1(φ1−1(P)) へ適用し、(1) と (2) を使うと、
を得る。
ここで、曲線に沿って平行にベクトル場をどのように平行に移動するのかという主要な問題へ至る。P(t) を S の中の曲線と仮定する。ナイーブには、曲線に沿ってベクトル場の座標成分が定数であれば、ベクトル場は平行であると考えることが可能である。しかしながら、直ちに曖昧さがでてくる。どの座標系に対して、これらの成分を定数とすべきなのか？
例えば、v(P(t)) が座標系 U1 で定数である、すなわち、函数 v1(φ1−1(P(t))) は定数であるあったと仮定する。しかし、積の微分法則を (3) へ適用し、dv1/dt = 0 を使うと次式を得る。
しかし、formula_10 はいつも非特異行列であるので（曲線 P(t) は定常でなくなり）、v1 と v0 は曲線に沿って同時には決して定数ではありえない。
問題の解決策.
上に現れた問題は、通常のベクトル解析の方向微分は、ベクトル場の成分へ適用すると、座標系の変換の下ではうまく振る舞わないという問題である。これは、実際にベクトル解析のような考え方が全く意味を持たないとすると、ベクトル場の平行な変換をどのように記述するかは非常に困難な問題となるということである。この問題の解決には、2つの基本的に異なった方法がある。
第一のアプローチは、方向微分を一般化して座標変換の下で「うまく振る舞わせる」には何が必要かを試すことである。このアプローチは接続に共変微分という戦術を使うことである。うまく振る舞うことは、共変性に同じである。ここで、線型作用素の成分はクリストッフェル記号と呼ばれる、ベクトル場自体の上の微分を意味しないある線型作用素による方向微分の変形を考える。座標系 φ での方向 u のベクトル v 成分の方向微分 Duv は、共変微分