中心 (代数学)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (, ) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。
群の中心.
formula_1 を群とすると、その中心は集合
である。
性質.
formula_1 の中心は部分群である。なぜならば、formula_4 と formula_5 を formula_6 の元とすると、任意の formula_7 に対して、
なので、formula_9 も中心に入る。同様にして、formula_10 も中心に入る。
群の単位元 formula_12 は常に中心に入る。formula_13.
中心はアーベル群で formula_1 の正規部分群である。formula_1 の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。formula_1 がアーベル群であることと formula_17 は同値である。
中心はちょうど、formula_18 による共役、すなわち formula_19 が恒等写像であるような、formula_1 の元 formula_18 からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。formula_22 である。
環の中心.
環 "R" の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。
中心 formula_31 は "R" の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。
結合多元環の中心.
結合多元環 "A" の中心は可換な部分多元環
である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。
リー代数の中心.
定義.
リー代数 formula_33 の中心は（可換な）イデアル
である。ただし formula_35 はブラケット積、つまり formula_33 の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。