リース変換

数学の調和解析の分野におけるリース変換（リースへんかん、）とは、次元 "d" > 1 のユークリッド空間へのヒルベルト変換の一般化の族である。ある函数と、原点に特異性を持つ別の函数の畳み込みであることから、ある種のと見なすことが出来る。より正確に言うと、R"d" 上の複素数値函数 ƒ のリース変換は、"j" = 1,2...,"d" に対して次式で定義される。
ここで定数 "c""d" は次元の正規化
であり、ω"d"−1 は ("d" − 1)-次元球の体積を表す。上式の極限は様々な方法で書き表すことが出来、しばしば主値や、緩増加超函数（tempered distribution）
（ここでフーリエ変換の正規化に依存するすべての正定数の違いは除く）。この形式により、リース変換はヒルベルト変換の一般化と見なすことが出来る。この核は、次数ゼロの斉次な超函数である。このことから、特に重要な帰結として、リース変換は "L"2(R"d") からそれ自身への有界線型作用素を定義することが分かる。
この斉次性はフーリエ変換に頼らずともより直接的に述べることが出来る。σ"s" を、スカラー "s" による R"d" 上の、すなわち σ"s""x" = "sx" を満たすものとするとき、その σ"s" はを介した函数上の次の作用を定義する：
リース変換は、この σ"s" と可換である。すなわち
となる。同様に、リース変換は平行移動と可換となる。今 τ"a" をベクトル "a" に沿った R"d" 上の平行移動とする。すなわち、τ"a"("x") = "x" + "a" が満たされるものとする。このとき
となる。
最後の性質を述べる上で、リース変換を単独のベクトル成分 "R"ƒ = ("R"1ƒ,…,"R""d"ƒ) として見なすことが有用となる。R"d" 内の回転 ρ を考える。この回転は空間変数の上で作用するため、引き戻しを介した函数の上で作用する。しかしそれはまた、空間ベクトル "R"ƒ の上でも作用する。最後の性質は、リース変換はそれら二つの作用に関してであるということである。すなわち
が成立する。
以上の三つの性質は、実際次の意味でリース変換を特徴付けるものである。"T"=("T""1",…,"T""d") を "L"2(R"d") から "L"2(R"d") への有界線型作用素の "d"-タプルで、次を満たすものとする。
このとき、ある定数 "c" に対して "T" = "cR" が成り立つ。
ラプラシアンとの関係.
幾分不正確な点も含むが、ƒ のリース変換は次の方程式の解の第一偏導函数を与える。
ここで Δ はラプラシアンである。したがって ƒ のリース変換は次のように書くことが出来る：
特に
であるため、リース変換はそのラプラシアンのみによって、函数の全ヘッセ行列に関する情報を再び得ることを可能にする。
これをより正確に述べる。"u" はシュワルツ函数とする。このとき実際、フーリエ乗数の陽形式によって、次が得られる。
この等式は一般に、超函数の意味で真ではない。例えば、"u" が Δ"u" ∈ "L"2(R"d") であるような緩増加超函数であるなら、ある多項式 "P""ij" に対して
と結論付けることが出来る。