算術の超準モデル

算術の超準モデル () とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない元（超準数）を含むようなモデルのことである。それに対し、通常の自然数 formula_1 は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、formula_1 と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。
存在.
算術の超準モデルの存在を証明する方法はいくつか存在する。
コンパクト性定理による方法.
コンパクト性定理を用いて超準モデルの存在を示すことができる。証明の概略は、formula_3 を新たな定数として、ペアノの公理系 formula_4 に formula_5 という形の無限個の公理を付け加えた公理系 formula_6 を考え、コンパクト性定理により formula_6 を満たすモデル formula_8 の存在を示すというものである。formula_6 はペアノの公理系を拡張したものであるため、当然ペアノの公理を満たしている。また通常の自然数では定数 formula_3 をいかように解釈しても formula_6 を満たすようにはできないため、formula_3 は超準数であり、formula_8 は超準モデルとなる。
formula_6 にコンパクト性定理を適用するには、その任意の有限部分 formula_15 がモデルを持つことを示せばよい。formula_15 は formula_4 の部分集合に formula_18（formula_19）という有限個の公理を付け加えた形をしているため、formula_3 の解釈を formula_21 と定めれば、自然数 formula_1 が formula_15 のモデルになっていることが言える。
ゲーデルの不完全性定理による方法.
不完全性定理により、標準モデルでは真であるがペアノの公理系においては決定不能であるような文（ゲーデル文）formula_24 が存在する。このとき、完全性定理より、ペアノの公理系 formula_4 に formula_26 を加えた公理系にモデルが存在する。標準モデルで formula_24 は真なので、このモデルは超準モデルでなければいけない。このように、formula_26 を満たすことは、そのモデルが超準的である為の十分条件となる。しかし、これは必要条件ではない。いかなるゲーデル文 formula_24 に対しても、formula_24 が真であるようなあらゆる濃度のモデルが存在する。
算術が無矛盾であると仮定すれば、算術に formula_26 を付け加えたものもまた無矛盾である。しかし、formula_26 は算術が矛盾していることを意味するのだから、結果得られた算術の体系は ω-無矛盾にはならない（なぜなら、formula_26 は偽であり、したがって ω-無矛盾性に反する）。
超積による方法.
算術の超準モデルを構成するもうひとつの方法は超積に基づくものである。典型的な構成では自然数列全体の成す集合 formula_34 を用いる。2つの列が同一視されるのは、それらがある固定された非単項超フィルターに属す添字集合の上で一致するときである。このようにして得られた半環は算術の超準モデルとなる。これは超自然数と同一視出来る。
可算超準モデルの構造.
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見るには formula_1 の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、算術の可算な超準モデルが存在しなければならない。構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。
・定理
算術の超準モデルの順序構造は、ある端点を持たない稠密全順序集合 formula_36 を用いて、formula_37 と表せる。
特に、可算超準モデルの場合、上の表示において、formula_36 は可算となるので、端点を持たない稠密全順序の理論（DLO）の可算範疇性より、formula_36 は formula_40 と同型となる。したがって可算超準モデルの順序構造は formula_41 と表せる。
・証明
いま formula_42 を算術の超準モデルとする。formula_42 は formula_1 を含んでいるものと見做せる。ペアノ算術では、各自然数 formula_45 に対して、
が証明可能である。したがって formula_42 に於いて真である。このことから formula_42 は formula_49 の後ろに無限大元からなる部分を繋げたような順序構造をしていることが分かる。すなわち、順序集合としてformula_50 が成り立つ。
次に formula_51 の順序構造を調べる。いま formula_52 上の二項関係
を考える。これは同値関係となる。各々の同値類は
の形をしていることが分かる。商集合 formula_58 上の二項関係を
で定めると、これはwell-definedであって、全順序となることが分かる。このとき、formula_52 の2元 formula_61 について、formula_62 であることと、次の条件は同値である：
したがって formula_52 の順序は formula_68 上の逆辞書式順序となっている。
最後に formula_36 の順序構造を調べる。任意の formula_70 に対して formula_71 が成り立つ。任意の元は偶数または奇数であることはペアノ算術で証明できる。よって formula_72 はある formula_73 によって formula_74 のいずれかの形に表せる。またこのとき formula_75 であり、formula_76 が成り立つ。したがって formula_36 は端点（最大元と最小元）を持たない。次に formula_78 について formula_79 と仮定する。formula_80 は偶数または奇数だから、ある formula_81 によって formula_82 のいずれかの形に表せる。いずれにしても formula_83 であり、formula_84 が成り立つ。すなわち formula_36 は稠密である。
以上より、formula_86 であり、formula_36 は端点を持たない稠密全順序集合である。