コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数

数学の解析学、特に函数解析学の分野において、実数あるいは複素数に値を取るコンパクトハウスドルフ空間上の連続函数（コンパクトハウスドルフくうかんじょうのれんぞくかんすう、）の空間は基本的な役割を担う。"C"("X") と表記されるこの空間は、各点ごとの函数の和と定数によるスカラー倍によってベクトル空間となる。さらに、次で定義される一様ノルムによってノルム線型空間にもなる。
この一様ノルムは、"X" 上の函数の一様収束の位相を定義する。空間 "C"("X") はこのノルムに関してバナッハ環である。
一般化.
実数値あるいは複素数値連続函数の空間 "C"("X") は、任意の位相空間 "X" について定義される。しかしコンパクトでない場合、非有界函数を含むこともあるため、"C"("X") は一様ノルムについて一般にバナッハ空間であるとは限らない。したがって "X" 上の有界連続函数の空間 "C"B("X") がより多く扱われる。この空間は一様ノルムについてバナッハ空間（実際、恒等元を含む可換バナッハ環）である。
特に測度論では、"X" が局所コンパクトハウスドルフ空間であるような特別な場合を考えることによって更なる一般化が望まれることもしばしばある。この場合、次に述べる "C"B("X") の二つの部分空間が区別される：
"C"00("X") の閉包が "C"0("X") である。特に、後者はバナッハ空間である。