極大イデアル

環 の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、）とは、 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル を真に含む左イデアルが しかないときに を の極大左イデアルという。極大右イデアルおよび極大両側イデアルも同様に定義される。これらのイデアルは（環が 0 でなく単位元をもつとき）ツォルンの補題によって存在が保証される。可換環においては、左・右・両側の区別はない。唯一の極大左イデアルをもつ環は局所環と呼ばれる。
極大部分加群.
環 "R" 上の加群 "M" の真の部分加群のうち極大なものを極大部分加群という。つまり、"M" の部分加群 "N" が極大部分加群であるとは、"M" ≠ "N" であり、かつ、formula_6 となる部分加群 "K" が存在しないことである。極大イデアルは正則加群 "R" の極大部分加群に他ならない。
極大部分加群は存在するとは限らないが、例えば0でない有限生成加群であれば存在する。