ブロカールの問題

ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、) とは、
を満たす整数の組 ("n", "m") がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。
ブラウン数.
上式を満たす ("n", "m") の組はブラウン数 () と呼ばれる。ブラウン数の組は
の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。 は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。 は109までの "n" について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。
一般化.
はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 "A" に対し
を満たす解は有限組しか存在しないこと、"A" が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 "A" が "p" を法として平方剰余ではないような最小の素数 "p" をとると formula_3 は "p" で決して割り切れないので "n" < "p" でなければならない）を示した。その後、京都大学の望月新一（日本）によってABC予想が証明され（2020）、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。はこれをさらに一般化し、 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式"P"("x")に対して
を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。
指数が2より大きい場合、および formula_5 の形の方程式については が既に
は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および
は "m" が 4 以外のときには解を持たず "m" =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また
の解は有限個であることも示している。その後 が
は解を持たないことを示している。