パラコンパクト空間

数学において、パラコンパクト空間 (paracompact space) はすべての開被覆がな開細分を持つような位相空間である。これらの空間は によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規であり、ハウスドルフ空間がパラコンパクトであることと、任意の開被覆に対しそれに従属するの分割を持つことは同値である。パラコンパクト空間の定義にハウスドルフであることを含める場合もある。
パラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は常に閉であるが、これはパラコンパクト部分集合に対しては正しくない。そのすべての部分空間がパラコンパクト空間であるような空間は遺伝的パラコンパクト ("hereditarily paracompact") と呼ばれる。これはすべての開部分空間がパラコンパクトであると要求することと同値である。
チコノフの定理（コンパクト位相空間の任意の集まりの積はコンパクトである）はパラコンパクト空間には一般化されない、つまり、パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らない。しかしながら、パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はつねにパラコンパクトである。
すべての距離空間はパラコンパクトである。位相空間が距離化可能であることとパラコンパクトかつ局所距離化可能なハウスドルフ空間であることは同値である。
パラコンパクト性.
集合 "X" の被覆は "X" の部分集合の集まりであってその和集合が "X" を含むようなものである。記号で書けば、U = {"U"α : α in "A"} が "X" の部分集合の添え字づけられた族であれば、U が "X" の被覆であるとは、
のことである。
位相空間 "X" の被覆が開であるとは、すべてのその元が開集合であるということである。
空間 "X" の被覆の"細分と"は同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の部分集合であるようなものである。記号で書けば、被覆 V = {"V"β : β in "B"} が被覆 U = {"U"α : α in "A"} の細分であることと V の任意の "V"β に対して U のある "U"α が存在して "V"β が "U"α に含まれることが同値である。
空間 "X" の開被覆が"局所有限"であるとは、空間の全ての点が被覆の有限個の集合としか交わらない近傍を持つということである。記号で書けば、U = {"U"α : α in "A"} が局所有限であることと、任意の "x" ∈ "X" に対して "x" のある近傍 "V"("x") が存在して集合
が有限であることが同値である。それで位相空間 "X" はすべての開被覆が局所有限な開細分を持つときにパラコンパクトであると言われる。
例.
パラコンパクトでない空間の例には次のようなものがある。
性質.
パラコンパクト性は弱遺伝的 (weakly hereditary) である、すなわちパラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。これは Fσ-部分空間にも同様に拡張できる。
パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らないが、次のことは正しい：
これらの結果は両方とも"有限個の"コンパクト空間の積がコンパクトであることの証明に使われる によって証明できる。
パラコンパクトハウスドルフ空間.
パラコンパクト空間はハウスドルフであることも要求されることがあり、性質が拡大する。
1の分割.
パラコンパクトハウスドルフ空間の最も重要な性質は正規であり任意の開被覆に従属な1の分割を持つことである。これは次を意味する： "X" がある与えられた開被覆を持つパラコンパクトハウスドルフ空間であれば、次を満たす単位区間 [0, 1] に値を持つ "X" 上の連続関数の集まりが存在する：
実は、T1 空間がハウスドルフかつパラコンパクトであることと任意の開被覆に従属な 1 の分割を持つことは同値である（下記参照）。この性質は（少なくともハウスドルフの場合において）パラコンパクト空間を定義するのに使われることがある。
1 の分割は有用である、なぜならばそれによってしばしば局所構造を全空間に拡張できるからである。例えば、パラコンパクト多様体上の微分形式の積分はまず（多様体がユークリッド空間のように見え積分が良く知られている）局所的に定義され、そしてこの定義が 1 の分割を経由して全空間に拡張される。
パラコンパクトハウスドルフ空間は 1 の分割を持つことの証明.
ハウスドルフ空間 "X" がパラコンパクトであることとすべての開被覆が従属な 1 の分割を持つことは同値である。"右から左"の方向は直截である。今"左から右"を示すのは、いくつかの段階に分けて行う。
\subseteq U\,</math> と formula_3 は局所有限細分である。
f_{U}\,</math> は常に非零で有限な連続関数である。
\subseteq U\,</math>; for otherwise: suppose there is formula_4. We will show that there is closed set formula_5 such that formula_6 (this means simply formula_7 by definition of closure). Since we chose formula_8 to be locally finite there is neighbourhood formula_9 of formula_10 such that only finitely many sets formula_11 have non-empty intersection with formula_9. We take their closures formula_13 and then formula_14 is an open set (since sum is finite) such that formula_15. Moreover formula_16, because formula_17 we have formula_18 and we know that formula_19. Then formula_20 is closed set without formula_10 which conatins formula_22. So formula_23 and we've reached contradiction. And it easy to see that formula_3 is an open refinement of formula_25.
最後に、この被覆が局所有限であることを確認するために、 を固定し、 を の近傍とする。各 に対し formula_26 であることを知っている。 は局所有限であるから、
there are only finitely many sets formula_27 having non-empty intersection with formula_28. Then only sets formula_29 have non-empty intersection with formula_28, because for every other formula_31 we have formula_32
f_{U}\,</math> が常に有限で非零であることを示すために、formula_33 をとり formula_34 を formula_35 の近傍で formula_25 の有限個の集合としか交わらないものとする； したがって formula_35 は formula_25 の有限個の集合にしか属さない； ゆえに有限個を除くすべての formula_39 に対して formula_40 である； さらにある formula_39 に対して formula_42 であり、したがって formula_43； なので formula_44 は有限であり formula_45。連続性を証明するために、formula_46 を前のようにとり formula_47 とする。これは有限である。すると formula_48 であり、これは連続関数である； したがって formula_44 の近傍の formula_50 のもとでの原像は formula_35 の近傍になる。
)\bar{V}\subseteq U\}\,</math> の局所有限部分被覆とする。補題 2 を適用して連続写像 formula_52 で formula_53 なるものを得る（従って普通の閉バージョンの台は各 formula_54 に対してある formula_55 に含まれる； これに対しそれらの和は常に有限で 0 でない"連続"関数を構成する（したがって formula_56 は連続正有限値である）。なので各 formula_57 を formula_58 で置き換えると、今 — すべてのものが同じままで — それらの和がいたるところ formula_59 である。最後に formula_33 に対して formula_34 を formula_35 の近傍で formula_63 の有限個の集合としか交わらないものとすると、有限個を除くすべての formula_54 に対して formula_65 が成り立つ、なぜならば各 formula_53。したがってもとの開被覆に従属な 1 の分割がある。
コンパクト性との関係.
コンパクト性とパラコンパクト性の定義には類似がある：
パラコンパクト性に対して、"部分被覆"は"開細分"で置き換えられ、"有限"は"局所有限"で置き換えられる。これらの変化は両方とも重要である：もしパラコンパクトの定義を取り"開細分"を"部分被覆"に、あるいは"局所有限"を"有限"に戻したら、どちらの場合にも結局コンパクト空間になる。
パラコンパクト性はコンパクト性の概念とほとんど関係がないが、位相空間の構成要素を扱いやすいピースに解体することにむしろもっと関係がある。
コンパクト性との性質の比較.
パラコンパクト性は次の点でコンパクト性に似ている：
それは次の点で異なる：
バリエーション.
パラコンパクト性の概念のいくつかのバリエーションがある。それらを定義するために、まず上の用語のリストを拡張する必要がある。
位相空間が：
副詞「可算」 (countably) を形容詞「パラコンパクト」、「メタコンパクト」、"fully normal" の任意に付け足すことができ、このとき要求は可算開被覆に対してのみ適用する。
すべてのパラコンパクト空間はメタコンパクトであり、すべてのメタコンパクト空間はオルソコンパクトである。
バリエーションに関係する定義.
名前が暗に意味しているように、fully normal 空間は正規である。すべての fully T4 空間はパラコンパクトである。実は、ハウスドルフ空間に対して、パラコンパクト性と full normality は同値である。したがって、fully T4 空間はパラコンパクトハウスドルフ空間と同じものである。
歴史的注釈： fully normal 空間はパラコンパクト空間よりも前に定義された。すべての距離化可能空間は fully normal であることの証明は易しい。A.H. Stone によってハウスドルフ空間に対して fully normal とパラコンパクトが同値であることが証明されたとき、彼はすべての距離化可能空間はパラコンパクトであることを暗に証明していたのである。後に M.E. Rudin は後者の事実の直接証明を与えた。