キャッソン不変量

数学の一分野である幾何学的トポロジーの(3-dimensional topology)では、キャッソン不変量(Casson invariant)は、(Andrew Casson)により導入された向き付け可能な整数(homology 3-sphere)の整数値不変量である。
ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、1992年に、キャッソン・ウォーカー不変量(Casson-Walker invariant)と呼ばれる(rational homology 3-sphere)の拡張を発見し、クリスティーヌ・レスコップは、1995年にすべての閉じたな向きつけられた(3-manifold)へ拡張した。
定義.
キャッソン不変量は、向き付けられた整数ホモロジー 3-球面から Z への写像で次の性質を満たす全射写像 λ である。
キャッソン不変量は（上記の性質に関して）すべての定数による積を除き、一意である。
表現の数としてのキャッソン不変量.
非公式には、キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の基本群の群 SU(2) への表現の共役類の数の半分である。このことは次のように詳細に記述することができる。
コンパクトな向き付けられた 3-多様体 M の表現空間は、formula_13 として定義される。ここに formula_14 は formula_15 の既約 SU(2) 表現の空間を表す。formula_16 の(Heegaard splitting) formula_17 に対し、キャッソン不変量は formula_18 と formula_19 と formula_20 との代数的交叉の積に等しい。
一般化.
有理ホモロジー 3-球面.
ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、キャッソン不変量の(rational homology 3-sphere)への拡張を発見した。キャッソン・ウォーカー不変量は、向き付けられた有理ホモロジー 3-球面の Q への全射写像 λCW であり、次の性質を満たしている。
1. λ(S3) = 0.
2. 向き付けられた有理ホモロジー球面 M の中の向き付けられた有理ホモロジー球面 M' のすべての 1-成分(Dehn surgery)の提示に対し、
である。ここに、
整数ホモロジー球面に対し、ウォーカーの正規化は、キャッソンの正規化 formula_26 の 2 倍となっていることに注意する。
コンパクトな向き付けられた 3-次元多様体.
クリスティーヌ・レスコップ(Christine Lescop)は、キャッソン・ウォーカー不変量の向き付けられたコンパクト 3-次元多様体への拡張 λCWL を定義した。この定義は、次の性質をもつことで一意に特徴付けられる。
キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は次の性質を持つ。
SU(N).
1990年、(Clifford Taubes)は、ホモロジー 3-球面 M の SU(2) キャッソン不変量が、formula_38 のオイラー特性類として、ゲージ理論的な解釈を持つ。ここに、formula_39 は M 上の SU(2) 接続の空間であり、formula_40 はゲージ変換の群である。彼はチャーン・サイモンズ不変量を formula_38 上の formula_42 に値を持つモース函数として導き、SU(3) キャッソン不変量が摂動と独立であることにとって重要であることを指摘した。()
ボーデン(Boden)とヘラルド(Herald) (1998) は SU(3) キャッソン不変量を定義した。