コンパクト化

コンパクト化（）は数学の一分野である位相空間論()の概念である。
概要.
位相空間"X" のコンパクト化（）とは、"X" をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。"X" を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、"X" の性質を調べやすくする事ができる。
厳密な定義は以下のとおりである。
埋め込み写像を強調して、組formula_1の事を"X" のコンパクト化という事もある。
また文脈からformula_2が自明な時はformula_2 を略してformula_4を"X" のコンパクト化という。
例えば"X" をformula_5上の縁を含まない単位円盤formula_6としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とする"X" のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤を"K" とすると、"X" は"K"の中で稠密ではないので、"K"は包含写像に対する"X" のコンパクト化ではない。
"X" はformula_2 によりそのコンパクト化"K" に埋め込まれているので、"K" はいわば"X"のに「点を付け加えて」コンパクト化したものとみなす事ができる。実応用上、こうした「付け加えた点」（すなわちformula_8の点）は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、formula_8 をコンパクト化 formula_1 の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。
"X" をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。したがって実用上は"X" の構造を保つなど、"X" の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある（例えば"X" が多様体であるときにコンパクト化"K" として多様体になるものを選ぶ等）。
位相空間 formula_11 のコンパクト化 formula_12 、formula_13 に対し、同相写像 formula_14 が存在し、 formula_15 となるとき formula_12 と formula_13 は同値であるという。
著名なコンパクト化の方法として、アレクサンドロフの一点コンパクト化とストーン・チェックのコンパクト化という両極端なものがある。前者はその名の通り、１点付け加えるだけで（コンパクトでない）任意の空間"X" をコンパクト化する方法である。これはいわば「最小の」コンパクト化で、"X" の任意のコンパクト化"K" に対し、アレクサンドロフの一点コンパクト化formula_18は必ず"K" の商空間になる。より直観的にいえば、"K" の無限遠境点を一点に潰したものがアレクサンドロフの一点コンパクト化に一致する。（ただしこの性質が成り立つにはformula_18も"K" もハウスドルフであることが必要）。
一方ストーン・チェックのコンパクト化は逆の極端で、"X" の任意のハウスドルフなコンパクト化"K" に対し、"K" はストーン・チェックのコンパクト化の商空間になる。すなわち"K" はストーン・チェックのコンパクト化の無限遠境点を適当な同値関係で割ったものとしてできあがる。したがってストーン・チェックのコンパクト化はいわばハウスドルフな中では「もっとも大きな」コンパクト化である。ストーン・チェックのコンパクト化は"X" がチコノフ空間であるときにその存在が証明されている。しかし"X" がT1空間でありさえすればその類似物（ウォールマンのコンパクト化）が作れる事が知られている。
アレクサンドロフの一点コンパクト化.
定義.
formula_11をコンパクトでない位相空間とし、formula_31 をformula_11 上に存在しない一点とし、formula_33 に以下の位相を入れたものを考える。
さらにformula_34 を包含写像とする。この時、formula_18 はコンパクトである事が示せ、しかもformula_22がformula_18 で稠密である事も示せるので、formula_38はコンパクト化の条件を満たす。formula_38の事を"X" の（アレクサンドロフの）一点コンパクト化という。
分離性.
アレクサンドロフの一点コンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている：
（有限次元の）多様体や単体的複体などの幾何学の代表的な研究対象はハウスドルフ性と局所コンパクト性を満たすので、その一点コンパクト化はハウスドルフ性を満たす。
しかし無限次元ヒルベルト空間をはじめ解析学の研究対象には局所コンパクトではないものも多く、一点コンパクトのハウスドルフ性が保証されない。この為このような研究分野では一点コンパクトの適応範囲は限定的になる。
普遍性.
コンパクトではない空間の一点コンパクト化formula_18がハウスドルフ空間であれば以下の性質（普遍性）を満たす事が知られている：
なお前述のように、formula_18 がハウスドルフになる必要十分条件は formula_11 が局所コンパクトなハウスドルフ空間である事である。 
ストーン・チェックのコンパクト化.
チコノフ空間 formula_11 には以下の性質を満たすコンパクト化formula_52が存在する事が知られており（具体的な構成方法は後述）、しかもそのようなコンパクト化は同値を除いて１つしかない事も知られている。この性質を満たすformula_52をformula_11のストーン・チェックのコンパクト化という
普遍性.
ストーン・チェックのコンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている。
なお、この性質を満たすコンパクト化は同値を除いてストーン・チェックのコンパクト化に限る事が知られているので、この性質はストーン・チェックのコンパクト化を特徴づける。
関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成.
チコノフ空間 formula_11 について formula_56 を formula_11 上の有界実関数全体とする。
このとき自然な埋め込み formula_58 を formula_59 と定義する。このとき（ formula_11 がチコノフ空間なので） formula_61 は同相写像となる。
さらに formula_62 がチコノフの定理からコンパクトとなることからその閉部分集合 formula_63 はコンパクトである。
以上から formula_64 はハウスドルフなコンパクト化になっている。
formula_65 を formula_11 のハウスドルフなコンパクト化とする。このとき formula_67 から自然な埋め込み formula_68 が誘導され、さらにそこから自然な射影 formula_69 が誘導される（ formula_4 がコンパクトなので formula_71 は連続関数全体と一致する）。
さらに formula_4 から formula_73 への自然な埋め込みを formula_74 とすると formula_75 が成り立ち、
写像の連続性や像の稠密性及び空間のコンパクト性やハウスドルフ性から formula_76 となる。
以上から formula_77 が同相写像であることに注意すると formula_78 が formula_79 を満たすことが分かる（一意性は formula_22 が formula_63 で稠密であることから従う）。
連続写像の拡張.
このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手であることを示している。
この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。
ウォールマンのコンパクト化.
T1空間には超フィルターを使ってストーン・チェックコンパクト化の類似物を構成することができる。これをウォールマンのコンパクト化といい、T1なコンパクト化になっている。
正規ハウスドルフ空間に対してはウォールマンのコンパクト化はストーン・チェックのコンパクト化と同値になる。数理論理学や周辺分野ではウォールマンのコンパクト化のことをストーン・チェックのコンパクト化といい、formula_82 のように表すことが多い。
ウォールマンのコンパクト化の構成.
T1空間 formula_11 に対しformula_84 を formula_11 上の空でない閉部分集合全体とし、包含関係で自然に順序を入れる。
このとき formula_86 を formula_84 上の超フィルター全体とする。
今 formula_11 の閉部分集合 formula_89 に対し、 formula_90 を formula_91 と定義し、 formula_92 とする。
このとき formula_93 からformula_94 が開基の公理を満たすので、そこから formula_86 に自然に位相が定まる。
相異なる formula_96 について、超フィルターの一般論から、ある formula_97 が存在して formula_98 。
このとき formula_99 とすると formula_100 かつ formula_101 となって、formula_86 はT1空間。
formula_103 を formula_86 上の有限交叉的な閉集合族とする。このとき formula_94 が閉基であることから、
formula_11 上の有限交叉的な閉集合族 formula_107 で formula_108 となるものが存在（ formula_109 に注意）。
ここで formula_110 を formula_111 を含む超フィルターとすると formula_112 の定義から formula_113 。
よって formula_86 はコンパクト。
写像 formula_115 を formula_116 と定義する。
このとき formula_117 から formula_2 は単射。
formula_119 から formula_120 （特に formula_121 ）及び formula_122 がいえ formula_61 は同相。
以上から formula_124 はT1なコンパクト化である。 formula_124 をウォールマンのコンパクト化という。
formula_11 がチコノフ空間のとき上記の formula_84 を閉集合ではなく（実連続関数の一点の逆像となる集合）全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。
連続写像の拡張.
これは formula_128 にたいし formula_129 と定義することで構成できる。
関数空間とコンパクト化.
チコノフ空間 formula_11 とそのハウスドルフなコンパクト化 formula_21 に対して formula_11 上の関数空間 formula_133 を考える。
このとき自然な写像 formula_134 は像への同相写像となる。
さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の議論により formula_135 はコンパクトでありしかも formula_4 と同相。
以上のことからハウスドルフなコンパクト化は関数空間を適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の方法で与えることが出来る。
この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。