多変数多項式

代数学における適当な単位的可換環 に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、, , 多元多項式）は、不定元 に関する一変数多項式環 を一般化する -結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 は に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 の多項式環 に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 （無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元 に関する多項式環 は、 の任意の有限部分集合 に対する多項式環 を亙る「合併」として定義される。より精確には、 が有限でも無限でも、 はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元 からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式の -係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。
以下本項では、 は単位的可換環とし、-多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。
帰納的構成.
有限変数の帰納的構成.
 変数の -係数多項式環 は に関して帰納的に定義される :
定義により、（帰納的に）直ちにわかることは は
上記の帰納的定義をより具体的に書けば、 の元は formula_1 なる形の有限和に書けて、さらに各 は formula_2 なる有限和に書けるということになる。あるいは、 個の のを として、 および に属する係数のリストを適当に で埋めれば、formula_3 と多少簡単に書けて、最終的に 変数多項式は formula_4 なる形をしている。
無限変数への拡張.
上記の定義からわかることとして:
これらの事実により、任意の集合 （これは有限でなくても、さらに可算でさえなくてもよい）に対する多項式環 を定義することが可能であり、それは の有限部分集合 すべてに亘る の合併（厳密には帰納極限）として定まる。
いくつかの基本性質はこの定義から直ちに得られる:
モノイド環としての構成.
同じ構造を定義するという意味で同値な、別の構成法は、一変数多項式のときの構成を（不定元の冪の列ではなく冪積の族に対して）「模倣」することからなる。これにより、多項式環の普遍性を鮮やかに示すことができる。
モニック単項式のモノイド.
不定元の添字からなる（任意の）集合 に、 上の可換モノイドを対応付ける。
加法的記法を用いて、考えたい自由可換モノイドは、 から非負整数全体の成す集合 への、台が有限な写像（つまり、有限個の例外を除く全ての成分が となる非負整数の族 ）全体の成す集合 に成分ごとの和を入れたものとして書くことができる。各 に対し、このモノイドの元 を において , それ以外では となるような から への写像と定めれば、 はこの可換モノイドの「基底」となる。それはつまり の各元が の形の元の有限和（各 は何度も重複して用いてよい）として一意に書けるという意味である。具体的に は でない非負整数 全て（それは有限個しかない）に対する の和である。
モニック単項式全体の成すモノイド も同じく 上の自由可換モノイドであるが、記法は乗法的であり、標準基底は と書かれる。すなわち、任意のモニック単項式は の冪の有限積として一意に表される。
対応するモノイド環.
多項式環 は、モノイド の -係数モノイド環 として定義される。すなわち、各多項式 はモニック単項式の -係数形式線型結合である。これはまた から への有限台付き写像とも解釈でき、それは有限個の例外を除く全ての成分が となる各族 に対し、 における単項式 の係数を対応させる写像として表される。
したがって多項式環 は 上の -自由加群であり、モノイド における乗法を線型に拡張した -多元環の乗法を一意に備える。
記法.
 の多項式 の記法にはいくつかある:
性質.
普遍性.
簡単のため、 変数多項式環 を考える。すると、任意の可換 "A"-多元環 と の元の -組 に対し、評価準同型と呼ばれる から への一意的な -多元環準同型が存在して、各 は同じ添字の に写る。この性質と準同型定理を併せれば、 -可換多元環が適当な に対する多項式環 の剰余環に同型となることが示される。したがって、そのような多元環からほかの可換 -多元環への準同型の構成にそれは本質的である。
より一般に、多項式環は以下の普遍性によって特徴付けられる:
次数.
一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される:
他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。
整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。
 が可換体のとき、多項式環 はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環 は、 の生成するイデアル が主イデアルでないから、主環でない（したがってユークリッド環にはならない）。
したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「 がネーター環ならば多項式環 もそうである」を確立することを可能にする。 の帰納的定義から、直ちに以下を得る:
この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えば のイデアル列 () は真に増大するから、この環はネーターでない。
代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は有限型 -加群、、有限型可換 -多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性により の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として
函手性.
環 が一意分解環ならば もそうである。帰納的に有限または無限変数の多項式環もまた、一意分解環となる（一意分解環の項も参照）:
このように一意分解性が遺伝することはネーター性の場合と異なっている。不定元の数が有限個であることは必要でない。他方、この函手性は剰余環構成では保たれないから、数体には（二次体でさえ）その整数環が一意分解環とならないものが存在する。
代数的集合.
 を代数閉体とする。-係数多項式 のは を満たす の点 全体の成す集合を言う。 における代数的集合とは に属する多項式からなる族の零点集合の交わりを言う。多項式環 はネーターであるから、常に多項式の有限族に対して考えれば十分である。代数的集合は代数幾何学において基本的である。
重要な多項式のクラス.
斉次多項式.
次数 （零または正の整数）の斉次多項式は次数 の単項式の線型結合である。零多項式は任意の次数 に対する -次の斉次多項式と考える。例えば二変数多項式 は次数 の斉次多項式だが、 は斉次でない。全次数 の任意の多項式 は次数がそれぞれ の斉次多項式 の一意的な和に書ける。このとき各 を の次数 の斉次成分と言う。先ほどの非斉次の例では、次数 の斉次成分は , 次数 の斉次成分は でそのほかの斉次成分は である。斉次成分への分解を別の述べ方をすれば、 は の加群の直和に書ける。ただし は非負整数を亙り、また は次数 の斉次多項式全体の成す -部分加群とする。それぞれ次数 の二つの斉次多項式の積が次数 の斉次多項式であり、対して和がふたたび斉次となるのは のときに限ることに注意する。
対称多項式.
 変数の対称多項式とは、それが任意の二つの不定元の置換のもとで不変であるときに言う。例えば三変数で は対称であり、他方 はそうでない。対称性により任意の対称多項式は斉次だが、任意の斉次多項式の場合と異なり、多項式の和と積のもとでこの対称性は保たれるから、対称多項式の全体は多項式環の部分環となる。