ハルトークス数

数学の、特に公理的集合論におけるハルトークス数（ハルトークスすう、）とは、ある種の基数のことを言う。1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって、ある整列順序付けられた基数が与えられたとき、それよりも大きい最小の整列順序付けられた基数が存在することが示されたが、これには ZF-公理系のみが用いられ、したがって選択公理は用いられなかった。
ある集合のハルトークス数を定義する上で、その集合が整列可能である必要はない。すなわち、任意の集合 "X" のハルトークス数は、α から "X" への単射が存在しないような最小の順序数 α で定義される。"X" が整列可能でないなら、その α が "X" の基数よりも「大きい」最小の整列順序付けられた基数であると言う必要はなく、「小さくも等しくもない」と言えばよい。"X" から α への写像はしばしばハルトークスの函数（Hartogs' function）と呼ばれる。
証明.
集合論のいくつかの基本定理の下で、証明は簡単に出来る。今 formula_1 を定める（ただし今 formula_2は順序数全体のクラスを表す）。はじめに、この α は集合であることを確かめる。
この最後に現れた集合は、α である。
順序数の推移的集合はまた順序数であるため、α は順序数である。さらに α から "X" への単射が存在するなら、α ∈ α という矛盾を得ることが出来る。したがって α は "X" への単射が存在しないような最小の順序数であると言える。実際、β < α に対して β ∈ α であるため β から "X" への単射が存在する。