閉測地線

数学の微分幾何学および力学系の分野において、あるリーマン多様体上の閉測地線（へいそくちせん、）とは、その多様体上の測地流の閉軌道の射影のことを言う。
定義.
リーマン多様体 ("M","g") において閉測地線は、計量 "g" についての測地線であり、周期的であるような曲線 formula_1 である。
閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。formula_2 を "M" 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 formula_3 の臨界点である。
formula_4
formula_5 が周期 "p" の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 formula_6 は周期 1 の閉測地線であり、したがって "E" の臨界点である。formula_5 が "E" の臨界点であるなら、各 formula_8 に対して formula_9 で定義される曲線 formula_10 も "E" の臨界点である。したがって、"M" 上のすべての閉測地線はエネルギー "E" の臨界点からなる無限列を生成する。
例.
通常の円形リーマン計量を伴う単位球面 formula_11 上のすべての大圏は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲曲面上で、閉測地線は、その曲面のの元の非自明な共役類と一対一対応を持つ。