輪積

数学の群論における輪積（りんせき、; リース積）は、半直積をもとにして定義される二つの群の特殊化された積である。置換群の分類においてリース積は重要な道具であり、またリース積から群の興味深い例がさまざまに構成される。
二つの群 "A" および "H" が与えられたとき、それら輪積には非制限輪積 (あるいは ) と制限輪積 の二種類が考えられる。さらに"H"-作用を持つ集合 Ω が与えられれば、 あるいは で表されるそれぞれの輪積の一般化が存在する。
定義.
二つの群 "A", "H" と集合 Ω で、"H" は Ω の上に作用するものとし、"K" は集合 Ω を添字集合とする "A" のコピー "A"ω := "A" の直積 
と定義する。"K" の元を Ω で添字付けられた "A" の任意の列 ("a"ω) と見做して、成分ごとの積入れれば、"H" の Ω への作用は
と置くことにより、自然な仕方で "H" の群 "K" への作用に拡張される。このとき、"A" の "H" による非制限輪積 とは、半直積 のことを言う。輪積 の部分群としての "K" を、この輪積の底と呼ぶ。
制限輪積 は非制限輪積と同様の仕方で 
を輪積の底として構成される。この場合の底 "K" の元は Ω で添字付けられた "A" の元の列 ("a"ω) で有限個の例外を除く全ての成分が "A" の単位元となるものである。
群 "H" は左からの積を考えることによって自然な仕方で自分自身の上に作用するから、 と取ることもできる。この特別な（しかし非常に汎用な）場合の非制限輪積および制限輪積はそれぞれ および で表され、正則 ("regular") であるという。
記法と慣習.
"A" の "H" による輪積の構造は "H"-集合 Ω に依存して決まり、Ω が無限集合のときは制限か非制限かにも関わるが、記法は文献によって必ずしも一貫しておらず文脈に注意を要する。
輪積の標準作用.
群 "A" が集合 Λ に作用しているならば、集合 Ω と Λ から輪積 の（したがって も）作用することのできる集合を二種類の標準的な仕方で構成することができる。