特異測度

数学の分野において、ある可測空間 (Ω, Σ) 上で定義される二つの正（あるいは符号付または複素）測度 "μ" および "ν" が特異（とくい、）であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 "A" と "B" で、その合併が Ω であり、"B" のすべての可測部分集合上で "μ" がゼロとなり、"A" のすべての可測部分集合上で "ν" がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は formula_1 と表される。
ルベーグの分解定理の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と離散測度に区分している。例としては下記を参照されたい。
R"n" 上の例.
特別な例として、ユークリッド空間 R"n" 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上のルベーグ測度に関して特異的であることを言う。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度である。
例 離散測度
実数直線上のヘヴィサイドの階段関数
は、その分布的導関数（distributional derivative）としてディラックのデルタ関数 formula_3 を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量（point mass）を持つ。しかし、ディラック測度 formula_3 はルベーグ測度 formula_5 に関して絶対連続ではなく、formula_5 も formula_3 に関して絶対連続では無い。すなわち、formula_8 であるが formula_9 であり、また formula_10 を任意の開集合で 0 を含まないものとするなら、formula_11 であるが formula_12 である。
例 特異連続測度
カントール分布は連続であるが絶対連続では無い累積分布関数であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。