Theorema Egregium

Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム。直訳：卓越した定理）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。
日本語では
などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳する事もある。
語源.
「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：
概要.
を3次元ユークリッド空間formula_1内の曲面とし、を上の点とする。点においての「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点におけるのガウス曲率という。（ただし図のようにが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。
ガウス曲率はその定義より、formula_1におけるの曲がり具合を利用して定義されている為、formula_1においてがどのような形になっているかが一見重要に見える。
しかし実はガウス曲率はの「外の空間」であるformula_1とは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率はの距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量）のみから計算できる。
したがって、formula_1内でを変形しても、その変形がの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えば（＝懸垂面）と（＝螺旋面）は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。
このように「外の空間」とは無関係にの情報だけを用いて計算できる量をに内在的な()量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がの内在的な量である事を意味している。
Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をとするとであり、平面のガウス曲率はである事が知られているので、これは矛盾である。
なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（）を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。
ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしの次元曲面、すなわち次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。
さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。
厳密な定式化.
古典的な定式化.
Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：
なお、第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量」と呼ばれる。
具体的には第一基本形式を
とするとき、ガウス曲率は
により記述できる。ここではの-偏微分を表す。
現代的な定式化.
リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。
formula_8をformula_1の級部分多様体とし、にformula_1の内積から誘導されるリーマン計量を入れ、が定めるレヴィ・チヴィタ接続（共変微分）をとし、リーマンの曲率テンソルを
により定義する。
各点formula_12に対し、のに関する正規直交基底formula_13を選び、におけるの断面曲率を
により定義する。断面曲率はformula_13の選び方によらずwell-definedである事が知られている。
このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：
断面曲率はに内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率はに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がに内在的である事を示している。