フリードバーグ・ナンバリング

フリードバーグ・ナンバリング（）は帰納的関数や帰納的可算集合の単射なナンバリング（枚挙）をいう。
このようなナンバリングの存在は1958年にリチャード・フリードバーグによって0'-優先法を用いて示された（Friedberg, 1958）。マルティン・クンマーは優先法を用いない構成法を与えた（Kummer, 1990）。
性質.
Padding lemma により アクセプタブル・ナンバリングは単射ではない。もっといえば任意の帰納的関数は可算無限個の指標を持つ。したがってフリードバーグ・ナンバリングはアクセプタブルでない。
Smn定理の成立するナンバリングはアクセプタブルである。したがってフリードバーグ・ナンバリングに対してはSmn定理が成立しない。クリーネの再帰定理も同様。このことを見るためにフリードバーグ・ナンバリング formula_1 に対して再帰定理が成立すると仮定しよう。そこで formula_2 なる全域帰納的関数を考える。すると再帰定理より formula_3 なる自然数 formula_4 が存在するはずである。ところが対応 formula_5 は単射であるから formula_6 でなければならない。すなわち formula_7 が成り立つ。これは不合理。
アクセプタブル・ナンバリングに対してはライスの定理が成立する。例えば2つの自然数が同じ関数の指標であるかは決定不能である。ところがフリードバーグ・ナンバリングは単射なので、2つの自然数が同じ関数の指標であるかは決定可能である。したがってフリードバーグ・ナンバリングに対してはライスの定理が成立しない。
ナンバリング（の同値類）の全体は還元可能性によって上半束の構造を持つ。これをロジャース半束（）という。いま formula_1 をフリードバーグ・ナンバリングとする。また formula_9 を formula_1 に還元可能なナンバリング、formula_11 をその還元関数とする。すなわち formula_12 である。そこで formula_13 なる帰納的関数を考える。 formula_1 は全単射であること、また formula_9 は全射であることより、formula_11 は全射でなければならない。ゆえに formula_17 は全域的である。 formula_18 であるから、 formula_1 は formula_9 に還元可能である。 したがって formula_1 は還元可能性に関して極小である。
標準的なナンバリングからフリードバーグの方法で得られるフリードバーグ・ナンバリングのほかに、還元可能性の意味で同値でない別のナンバリングが存在する（Pour-El, 1964）。したがってロジャース半束は束ではない。というのも、このことと上の結果とを考え合わせると、比較不能な2つの極小元が存在することになり、それらの交わり（下限）は存在しないからである。