リース函数

数学においてリース函数（リースかんすう、）とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う：
formula_2 とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
であるなら、"F" は次で定義される。
ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を formula_5 に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また "F" は
で定義されることもある。
formula_7 はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、"B""n" はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は "x" が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の "x" についてはより興味深く、繊細な問題となる。
リース指標.
1/2 より大きい任意の冪乗 "e" に対して、次が成立する。
ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の "e" について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «"Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse"»。
リース函数のメリン変換.
リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今
とすれば、formula_10 のときに
は収束し、一方 formula_12 であれば成長条件により
は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 formula_14 の上で定義されることが分かる。この領域上では、formula_15 が成り立つ。
するとメリン逆変換により、リース函数を式
で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。
J. garcia（脚注を参照）は、を使うことで formula_17 に関する次の積分表現を得た。
ここで formula_19 は 'x' の小数部分である。
リース函数の計算.
"F" のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、formula_20 に対する formula_21 の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。
その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今
である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は
に近付く。実際、リースは次の式を示していた：formula_24。
収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された
が得られる。
この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る：
ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、
と表すことが出来る。この項は終局的には、"n" の 1/4 乗によって減少となる。
上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる：
この式は次のように整理できる：
マレク・ウォルフは において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している：
ここで formula_32 はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また formula_33 および formula_34 である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された リース函数のゼロ点と一致する。