トゥシャール多項式

数学において、 によって研究されたトゥシャール多項式（トゥシャールたこうしき、）あるいは指数多項式（exponential polynomials） とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。
ただし "S"("n", "k") は第二種スターリング数、すなわちサイズが "n" の集合を "k" 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された）。"n"次トゥシャール多項式の 1 における値は "n" 番目のベル数、すなわち、サイズ "n" の集合を分割する組合せの数である。すなわち
である。
"X" を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その "n" 次モーメントは E("X""n") = "T""n"(λ) で、次が定義される。
この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。
トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。
トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。
トゥシャール多項式は、次の漸化式
および
を満たす。"x" = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。
陰記法 "T""n"("x")="T""n"("x") を用いることで、これらの公式は次のようになる。
トゥシャール多項式の母関数は
である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、 においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば
となる。トゥシャール多項式（そして関連するベル数）は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。