一般型曲面

代数幾何学では、一般型曲面(surface of general type)とは、小平次元が 2 である代数曲面を言う。周の定理により、任意のコンパクトな次元 2 の複素多様体で小平次元が 2 のものは実際に代数曲面であり、ある意味でたいていの曲面はこのクラスに入っている。
分類.
ギーセカ(Gieseker)は、一般型曲面には(coarse moduli scheme)が存在することを示した。このことは、任意に固定したチャーン数 c12 と c2 の値に対し、そのようなチャーン数を持つ一般型の曲面を分類する(quasi-projective scheme)が存在することを意味する。これらのスキームを明示的に記述することは非常に難しい問題で、（スキームが空の場合を除き）これが完成されたチャーン数のペアは少ししかない。一般にはそれらのスキームが複雑すぎて具体的に書き下すことができないことを示す証拠がいくつかある：知られている既約成分の個数の上界が非常に大きいこと、いたるところ被約でない()成分が存在しうること、成分の次元がいくつもの異なる値をとりうること、すでに具体的に調べられているいくつかの例も非常に複雑に見えることである。
一般型の曲面となるようなチャーン類のペアの研究は、「チャーン数の地理学」として知られていて、この疑問へはほぼ完ぺきな答えがある。一般型の(minimal)な複素曲面のチャーン数が満たさねばならない条件がいくつかある。
これらの条件を満たす多くの（全ての、かもしれない）整数のペアは、ある一般型の複素曲面のチャーン数である。一方、概複素曲面に対しては、唯一の拘束条件は、
であり、この条件を満たすようなチャーン数のペアは常に、ある概複素曲面のチャーン数として実現できる。
例.
今までに見つかっている多くの一般型曲線から、いくつかを選んで紹介する。これまでに研究されている一般型曲面の多くは、チャーン数として取りうる値からなる領域の縁の部分、もしくはその近辺にある。特に、堀川曲面は「ネター直線」の近く、または上にある。以下に一覧化する曲面の多くは、直線 c2 + c12 = 12χ = 12 の上にある（12というのは、一般型曲面に対して c2 + c12 の取りうる最小の値である）。また、直線 3c2 = c12 上にある曲面は全てC2 の単位球の商である（それらを見つけ出すことは非常に難しい）。
χ=1 を持つ曲面.
図の左下の境界にあるこれらの曲面は、詳しく研究されている。これらの曲面では、持ちうる第二チャーン類は、3 から 11 までの任意の整数である。これらの値全てについて、そのチャーン数を持つ曲面が知られている。研究されている多くの例のうちのいくつかを挙げる。
標準モデル.
 は、n≥5 のときは常に、一般型複素曲面に対し、多重標準写像 φ"nK" がその像と双有理同型となることを示し、 は、正の標数でもこれらの結果が成立することを示した。n が 4 のときに双有理同型とはならない例が存在する。これらの結果は(Reider's theorem)に従う。