ゴレンシュタイン環

可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 "R" であって、"R"-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。
Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは によって研究されていた。 と は Gorenstein 環の概念を公表した。
0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
定義.
Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。
古典的な定義は：
局所コーエン・マコーレー環 "R" は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大"R"-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。
クルル次元 "n" のネーター可換局所環 formula_1 に対して、以下は同値である。
（可換とは限らない）環 "R" は左 "R"-加群としても右 "R"-加群としても "R" の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。"R" が局所環であれば、"R" を局所 Gorenstein 環という。
性質.
ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその完備化が Gorenstein であることは同値である。
次数付き Gorenstein 環 "R" の は "R" を何次かずらしたものに同型である。