素数が無数に存在することの証明

素数が無数に存在することの証明（そすうがむすうにそんざいすることのしょうめい）は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（ユークリッドのていり、）と呼ばれる。
ユークリッド.
『原論』第9巻命題20で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである。
この証明は、しばしば次のような背理法の形で表現される。
この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない。『原論』の証明は背理法ではなく、であるによるものである。また、最後の主張は「 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30,031 」という反例により、歴史的にのみならず数学的にも誤りである。
1878年、クンマーは、 の代わりに を考えても、同様に証明できることを注意した。
ゴールドバッハ.
ゴールドバッハは、1730年7月にオイラーに宛てた手紙の中で、フェルマー数
を利用して、素数が無数にあることを証明している。
フェルマー数たちが互いに素であることが示されれば、無数にあるフェルマー数の素因子を考えることにより、無数に素数を得る。実際、 に関する数学的帰納法により、簡単に
が得られるので、ある素数 が2つのフェルマー数を割り切るとすると、 は も割り切ることになって不合理である。
オイラー.
オイラーによる証明は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。
素数は有限個の からなると仮定する。各素数 に対し、等比級数の公式により