ワイエルシュトラスの因数分解定理

複素解析において、ワイエルシュトラスの因数分解定理（ワイエルシュトラスのいんすうぶんかいていり、）とは、整函数がその零点に関係する積で表すことができるという定理である。さらに、無限大へ向かう任意の数列に対し、ちょうどその数列の点を零点に持つ整函数が存在する。
この定理の名前はカール・ワイエルシュトラスに因んでいる。
混同の恐れのない限り、単にワイエルシュトラスの定理（ワイエルシュトラスのていり、）とも呼ばれる。
定理は有理型函数へ拡張され、与えられた有理型函数を 3つの要素の積として考えることが可能になる。3つの要素とは、函数の極、函数の零点に依存するものと、これらに付帯する 0 でない正則函数である。
動機.
代数学の基本定理から 2つのことが分かる。
上記の方法を整函数へ拡張する方法を考える。一般の整函数の場合、数列 formula_1 が有限でない場合が有り得る。つまり、零点が可算無限個存在する場合もあり得る(例えば、formula_7)。もし、無限数列 formula_8 が有界であれば、必ず集積点を持つ(ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理)ので、一致の定理によりformula_8を零点とする函数formula_10は、複素平面全体で恒等的に 0 である。
従って、函数formula_10が、formula_8 の要素を零点とし、かつ複素平面全体で恒等的に 0 ではないためには、formula_8は集積点を持ってならないことになる。これは任意の正数 formula_14 に対して自然数 formula_15 が決まり、formula_16 であれば formula_17 となるという条件と同値である。
この場合、formula_8 が有限集合の場合と同様に、函数formula_19を考えても、formula_20が一定値を超えれば、因子formula_21の絶対値は全て 1 を超えるので、この無限積は収束しない。
発想を変えて、函数formula_22とすればどうであろうか(formula_1は0を含まないものとする)。この無限積は、もし収束するのであれば、数列 formula_8 の全ての要素を零点として持つ。また、因子 formula_25 は formula_26 のとき 1 に漸近して行くので、収束する可能性はある。なお、無限積の収束の定義は「その対数値が定義域の各点の近傍で一様収束すること」
であり、無限積が z に関係なく恒等的に 0 に収束する場合(この場合は与えられた零点以外でも対数値が負の無限大に発散する)は、収束とはみなされないことに注意する必要がある。 
実は、単純にこの形では無限積の収束は保証できないが、各因子formula_27にある係数(zの函数)を掛けてから無限積を取ると収束することを示すのが、本定理「ワイエルシュトラスの因数分解定理」である。次に示す、ワイエルシュトラスの基本因子(elementary factors)formula_28 を使えば、formula_25と係数を掛けた因子はformula_30と表される。
基本因子.
主要因子(primary factors)とも呼ばれる。
formula_31 に対し、基本因子を次のように定義する。
formula_34 という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。 formula_35 の場合、
とテイラー展開可能である。この両辺を積分すると次のようになる。
これは formula_38 で "n" を無限大とした極限と考えられるので、 formula_39 と表すことにする。言い換えれば、formula_38 はformula_39 を有限項で打ち切った形になっている。
である。
また、formula_38 を微分すると、formula_45 となる。
と定義すれば、
従って、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。 formula_14 は任意に大きくできるので、任意のformula_52 に対して、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。従って、無限和 formula_53 は各零点 formula_54 で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
以上から 無限積 formula_55 は各零点 formula_54 でのみ 0 となり、複素平面のそれ以外の点では 0 以外の有限確定値を取る。つまり formula_10 は整函数である。
次の定理は単にワイエルシュトラスの定理 と呼ばれることがある。
定理： formula_8 を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列とする。整数の数列 formula_59 がすべての formula_60 に対して、
であるとすると、函数
は点 formula_54 にのみ零点を持つ整函数である。数 formula_64 が数列 formula_1 の中にちょうど "m" 回あれば、函数 "f" は formula_66 に多重度 "m" の零点を持つ。
ワイエルシュトラスの因数分解定理.
次の定理が一般にワイエルシュトラスの因数分解定理と呼ばれている完全形式である。ワイエルシュトラスの積/因子定理と呼ばれることもある。
定理(完全版)： "f" を整函数とし、formula_1 を "f" の 0 以外の零点とする（多重度だけ繰り返すものとする）。"f" が "z" = 0 で位数 "m" ≥ 0 である零点を持つとする（ "z" = 0 で位数 "m" = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する）と、整函数 "g" と整数の数列 formula_59 が存在し、
となる。
アダマールの因数分解定理.
"f" が有限の位数の整函数は、因数分解
を持つ。ここに "g"("z") は次数 "q" の多項式であり、"q" ≤ "ρ" で "p"=["ρ"] である。