函数体 (スキーム論)

スキーム "X" の有理函数体の層(sheaf of rational functions) "KX" は、古典的な代数幾何学での代数多様体の函数体の考え方のスキーム論への一般化である。多様体の場合には、そのような層が、各々の開集合 "U" へ開集合上の全ての有理函数の環を関連付ける、言い換えると、"KX"("U") は "U" 上の正則函数(regular function)の分数の集合である。この「函数体」という名前にもかかわらず、一般的なスキームの場合には、"KX" は、必ずしも体であるとは限らない。
単純な場合.
最も単純な場合は、"KX" の定義はストレートである。"X" を（既約な）アフィン代数多様体とし、"U" を "X" の開集合とすると、"KX"("U") は "U" 上の正則函数の環の商体となる。"X" はアフィンであるから、"U" 上の正則函数の環は、"X" の大域切断の局所化となり、結局、"KX" は "X" の大域切断の商体に値を持つとなる。
"X" がであるがアフィンでないとすると、任意の空ではないアフィン開集合は、"X" において稠密となる。このことは、正則函数が "U" の外側で何か面白いことをする余地が存在しないことを意味し、結局、"U" 上の有理函数の振る舞いは、"X" 上の有理函数の振る舞いを決定してしまう。実際、開集合上の正則函数の環の商体は、みな同じになり、従って、任意の "U" に対し "KX"("U") を "X" の任意のアフィン開部分集合の正則函数の環の（アフィン開部分集合の取り方によらない）商体として定義する。別な方法としては、この場合には、函数体をの局所環であると定義することができる。
一般的な場合.
問題は、"X" が整でなくなるときに起きる。正則函数の環は零因子を持つことができるようになり、そのため商体が存在しなくなってしまう。ナイーブな答えは、商体を全商環に置き換える、つまり、零因子でない全ての元を逆を取ることである。不幸にも、一般には、全商環は前層を生成せず、もちろん層も生成しない。参考文献に挙げてあるクライマンの有名な論文には、そのような例が記載されている。
正しい答は次のようになる。
さらなる結果.
一旦、"KX" が定義されると、"KX" のみに依存した "X" の性質を研究することができる。これが、双有理幾何学の主題である。
"X" を体 "k" 上の代数多様体とすると、各々の開集合 "U" に対して、"k" の体の拡大 "KX"("U") を得る。"U" の次元は、この体の拡大の超越次数に等しい。全ての "k" の有限次超越拡大は、ある多様体の有理函数体に対応する。
特に、代数曲線 "C" の場合は、つまり、次元 1 の場合、"C" 上の任意の定数でない 2つの函数 "F" と "G" は、多項式関係 "P"("F", "G") = 0 を満たすことが従う。