カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（) は、、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。
formula_2 は、時刻 formula_3 での formula_4 における界面の高さを表し、formula_5 は界面張力、formula_6 は非線形効果の強さ、formula_7 は確率的なノイズを表す。ノイズ項 formula_7 は、
を満たすホワイトノイズ、特にであるとする。ここで formula_10 は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、formula_11 はディラックのデルタを表す。また formula_12 はノイズの強さである。
界面の高さ formula_2 は、formula_4 に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。
方程式の構成.
右辺第2項の非線形項 formula_15 がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 になる。
界面の傾きを formula_16 とし、その方向に速度 formula_17 で界面が成長すると考えると、微小時間 formula_18 の間に、界面の高さは formula_19 だけ変化する。formula_20 と置き換えられることに注意すれば、
とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。
方程式の変形.
コール・ホップ変換.
高さの関数 formula_2 を関数 formula_23 を用いて、formula_24 と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。
これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。
この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。
上記の経路積分より、formula_23 は、formula_28 と formula_29 を結ぶ、formula_30 次元空間上の方向付きの高分子 のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
バーガース方程式への変換.
別の有用な変換として、ベクトル場 formula_31 を用いて、界面の高さ formula_2 を formula_33 で書き換えると、方程式は以下の形になる。
ここで formula_35 と置けば、これは formula_33 を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。
あるいは formula_37 を改めて formula_38 に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。
スケーリング.
KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、
ノイズ formula_7 について、formula_41 の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、
と変換されるので、バーガース方程式は、
となる。ここで formula_44 の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 formula_45, formula_46 について、formula_47 が成り立つことになる。