デカルトの符号法則

デカルトの符号法則とは、実数係数の一変数多項式の根の数の上限を定める法則である。ルネ・デカルトの方法序説の付録 w:La Géométrie において最初に用いられ、後にカール・フリードリヒ・ガウスにより精密化された。あくまで上限であり、正確な根の数を与えるものではないことに注意。
なお、デカルトの符号法則は Budan–Fourier theorem の特別な場合と見ることができる。
概要.
一変数多項式を冪乗の降順に並べたときの係数の符号の変化に着目する（係数が 0 のときはその項を無視する）。たとえば
において、符号は (++) → (+−) → (−−) と変化する。つまり、符号の変化は1回（(+−) の部分）だけ起こる。
以下、根の個数は重根の重複度を含めて数える。
デカルトの符号法則.
以下、実数係数の一変数多項式 formula_2 の実数根のうち formula_3 であるものを「正の根」、formula_4 であるものを「負の根」と呼ぶ。
また、formula_2 の係数の符号が変化する回数を formula_6 とする。
正の根.
ガウスが formula_6 と実際の根の個数の偶奇が一致することを示したため、より精密な表現として
と言える。
なお、ここで "n" は formula_2 を実数の範囲で因数分解したときに二次の冪が残る項の数と等しい。
負の根.
formula_2 でなく formula_13 であることに注意。
複素根.
代数学の基本定理より、実数係数の "n" 次一変数多項式 formula_2 は重複度を含めてちょうど "n" 個の複素根を有する。一方で0でない実数根の個数は最大で formula_21 個である。したがって、formula_2 が 0 を実数根としてもたなければ、非実数根の個数の最小値は formula_23 で与えられる。
特別な場合.
根の数の可能性が 2 ずつ増減するのは、実数係数の多項式において複素根が存在したとき、その複素根が常にペアとして現れるためである。したがって多項式が複素根を有さないことが分かっていれば、根の数を厳密に決めることができる。
発展.
無限級数や多変数多項式への応用が存在する。