フーリエ級数の収束

フーリエ級数の収束（フーリエきゅうすうのしゅうそく）は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。
収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。
前提.
区間 で可積分な を考える。 のフーリエ係数 formula_1 は以下のように定められる。
関数 とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。
ここで は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、部分和を以下のように定義する：
このとき気になるであろう問題は次の事である：
この記事ではこれらの問に関する議論を主として扱う。
先を続ける前にディリクレ核 について説明しておく。フーリエ係数 formula_1 の公式を部分和 に対して適用すると、最終的に
という関係が得られる。ここで は巡回畳み込みを意味し、 は以下に示すディリクレ核である：
ディリクレ核は"正値ではなく" 、実際そのノルムは発散する。
この性質はフーリエ級数の収束に関する議論で極めて重要な役割を果たす。 上の のノルムは、 空間の周期的連続関数に作用する 畳み込み作用素のノルムと一致し、また 上の線型汎関数 のノルムに一致する。従って、この 上の線型汎関数の族は としたときに収束しない。
フーリエ係数の大きさ.
応用においてフーリエ係数の大きさを知ることがしばしば重要になる。
関数 が絶対連続であるなら、関数 のみに依存する定数 について、以下の関係が成り立つ。
 がであるなら、以下の関係が成り立つ。