ディリクレの単数定理

数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ による代数的整数論の基本的な結果である。ディリクレの単数定理は、代数体 の代数的整数がなす環 formula_1 の単数群 formula_2 の階数を決定する。単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。
ディリクレの単数定理.
ディリクレの単数定理は、単数群が有限生成であり、階数（乗法的に独立な元の最大数）が
に等しいと主張する。ここに は、代数体 の実埋め込みの数で、 は虚埋め込みの共役ペアの数である。この と は、複素数体への の埋め込みが次数 と同じだけあるという考えの元に特徴付けられている。これらの埋め込みは、実数への埋め込みか、または、複素共役のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、
となる。
 が 上のガロア拡大であれば、 と のいずれかは 0 でないが、両方が同時に 0 にならないことに注意する。
 と を決定する他の方法は以下のとおりである。
例として を二次体とすると、実二次体ではランクは 1 であり、虚二次体ではランクは 0 である。実二次体の理論は本質的には、ペル方程式の理論である。
ランクが 0 の と虚二次体を例外として除くと、全ての数体に対するランクは正になる。単数の「サイズ」は一般に単数基準と呼ばれる行列式により測られる。原理上は、単数の基底は実効的に計算することができるが、実際の計算は が大きいときには非常に煩雑になる。
単数群の捩れは、 の 1 のすべての冪根の集合で、有限巡回群となる。少なくとも 1つの実埋め込みを持つ数体では、捩れは のみとなるはずである。虚二次体のように、単数群の捩れが であるような実埋め込みを持たない数体もある。
総実体は単数の観点からは特別に重要である。 を次数が 1 より大きな有限次拡大として、 と の整数体の単数群が同じランクとすると、 は総実で、 は総虚な二次拡大となり、逆もまた正しい。（例として、 が有理数体、 が虚二次体の場合、双方ともランク 0 である。）
ヘルムート・ハッセにより（後日、クロード・シュヴァレーにより）単数定理は一般化され、整数環の局所化での単数群の階数を決定する(S-unit)の群の構造が記述された。また、ガロア加群構造 formula_3 が決定された。
単数基準.
 を 1 のべき根を法とした単数群の生成元の集合とする。 が代数的数であれば、 を や への埋め込みとして、 をそれぞれ実埋め込み・虚埋め込みに対応して 1, 2 とすると、各要素が formula_4 である 行列は、どの行の和も 0 であるという性質をもつ（何故ならば、全ての単数はノルムが 1 であり、ノルムの log は、行の要素の和とであるからである）。このことは、任意の列を除去して作られる部分行列の行列式の絶対値 が除去した列に依存しないことを意味する。数値 は代数体の単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)と呼ばれる（この値は の選び方には依存しない）。この値は単数の「密度」を測るものであり、単数基準が小さければは単数が「多く」存在することを意味する。
単数基準は次のように幾何学的に解釈される。単数 を、要素 formula_5 からなるベクトルへ写す写像は、 の 次元部分空間の中に像を持ち、要素の和が 0 となる全てのベクトルからなり、ディリクレの単数定理により像はこの空間の中の格子となる。この格子の基本領域の体積は、 である。
次数が 2 以上の代数体の単数基準の計算は、普通は非常に難しいが、現在は多くの場合に計算可能なコンピュータ用の代数パッケージが存在する。普通は類数公式を使い類数 に単数基準をかけた積 の計算は容易であるので、代数体の類数の計算における困難な点は、主に単数基準を計算することにある。
高次単数基準.
高次単数基準とは、単数群に対する古典的な単数基準を、 における代数的K-群 上の函数として拡張したものである（古典的な単数基準は、群 の場合に相当する）。この理論は発展途上であり、アルマン・ボレルらが研究している。このような単数基準は、例えばベイリンソン予想で利用され、整数引数のL-函数の評価時に現れると期待されている。
スターク単数基準.
スターク予想の定式化により、ハロルド・スタークは、現在スターク単数基準(Stark regulator)と呼ばれているものを提唱した。これは古典的な単数基準の類似物として、任意のに対応する単数の log の行列式としたものである。
-進単数基準.
 を数体とし、 の各々の固定された有理素点上の素点 に対して、局所単数を で表し、 で の中での主単数の部分群を表すとする。さらに、
と置き、 で大域的単数 の集合を表すとする。ここで は の大域的単数の対角埋め込みを通して へ写す。
 は大域的単数の有限指数部分群であるので、 は階数 のアーベル群である。-進単数基準(-adic regulator)とは、この群の生成元の -進対数で作られた行列の行列式である。は、この行列式が 0 ではないと予想している。