タウバーの定理

解析学において、タウバーの定理（タウバーのていり、）は無限級数の収束に関する定理。ある一定の条件の下、無限級数におけるアーベルの定理の逆が成り立つことを述べる。オーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが1897年に示した。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。
導入.
はを満たす実数の級数とする。このとき、アーベルの定理によれば、を収束半径1のベキ級数とすると、はでを満たす。また、クロネッカーによる定理によれば、で が成り立つ。
一方でアーベルの定理の逆は必ずしも成り立たない。すなわち、を収束半径1のベキ級数としたときに、がでという条件を満たす、言い換えればアーベル総和可能であっても、はに収束するとは限らない。例えば、 とすると、はであるが、は収束しない。また、クロネッカーによる定理の逆についても同様であり、でという条件が満たされても、は収束するとは限らない。しかしながら、タウバーの定理はアーベルの定理とクロネッカーによる定理の結果が同時に満たされているならば、逆にが成り立つことを保証する。
定理の内容.
級数はアーベル総和可能、すなわち、収束半径1のベキ級数がでを満たすとする。このとき、条件
が満たされるならば、
が成り立つ。この定理をタウバーの定理という。条件は、
に置き換えてもよい。
タウバー型定理.
タウバーの定理における条件またははアーベル総和可能でアーベル総和の値がとなる級数が通常の意味でに収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値に総和可能な級数がやのようにに収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。
タウバーの定理における条件はランダウの記号を用いると、
と表すことができる。1911年にJ. E. リトルウッドはこれをさらに弱い条件
と置き換えることができることを示した。
さらにG. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはこの条件を弱め、定数が存在し
とすることができることを示した。