普遍係数定理

普遍係数定理（ふへんけいすうていり、）とは、単項イデアル整域上定義されたホモロジーやコホモロジーから、-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。
定理は-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。
準備.
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念である関手、関手を定義する。
ホモロジー.
を可換環とするとき、整数を添え字として持つ-加群formula_1と写像formula_2の組formula_3で、
となるもの上のチェイン複体といい、
をformula_6の次のホモロジー加群という。
コホモロジー.
可換環に対し、formula_7でformula_8が上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、
をformula_10の次のコホモロジー加群という。
関手.
を単項イデアル整域とし、、を-加群とする。さらに短完全系列
で、が自由-加群であるものを選び、
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
と定義する。formula_14の定義は、の取り方に依存しているが、実は、を別のものに取り替えて定義したformula_14と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
formula_16の事を関手という。
なお、が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもが定義できるが本項では割愛する。またformula_14の事をformula_18と表記し、より一般にformula_19（）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。
関手は以下の性質を満たす。
が単項イデアル整域であるので、、が有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、はと複数のの直和で書け、も同様である。上述の1., 2.からは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するを容易に計算できる。
関手.
のときと同様、を単項イデアル整域とし、、を-加群とし、さらに短完全系列
で、が自由-加群であるものを選ぶ。そして
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
と定義する。ここでは余核である。すなわち、formula_23に対し、formula_24である。
formula_25の定義は、の取り方に依存しているが、実は、を別のものに取り替えて定義したformula_25と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
formula_27の事を関手という。
またformula_25に関してもformula_14と同様、が一般の環の場合に対しても定義できるし、formula_30が定義できてformula_31であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。
関手は以下を満たす：
の場合と同様、が有限生成-加群であれば、これらの性質からを具体的に計算できる。
に関する普遍係数定理.
ホモロジーの場合.
次の定理が成立することが知られている：
</math>を上のチェイン複体で、各に対しformula_1が-加群として自由なものとする。このとき
が短完全系列となる、が存在する。
しかもこの短完全系列はformula_6およびに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する。
上記の定理ではformula_35と具体的に書ける。
なお、係数環 がformula_36でがformula_37の場合は、上記の定理はの特別な場合に相当する。
formula_38で各formula_39が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、formula_39は自由加群部分と素数に対するformula_41の和で書ける。（有限個の素数を除いてformula_42である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：
コホモロジーの場合.
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：
この短完全系列がformula_10、に関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。
またformula_38で各formula_45が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。
係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理.
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をを係数に持つコホモロジー（例えばを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。
定義.
これまで同様が単項イデアル整域とし、を-加群する。上のチェイン複体formula_3に対し、
と定義すると
であるのでformula_49はコチェイン複体である。formula_50をに関するformula_51の双対コチェイン複体（）という。
ホモロジーの場合.
に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理のformula_54、formula_39を単純に置き換える事で、以下の系が従う：
コホモロジーの場合.
一方、を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、formula_56としてやると、
であるが、formula_58の方は
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：
</math>を上のチェイン複体で各に対し、formula_1が-加群として自由なものとする。
このときが上有限生成であるかもしくは全てのに対してformula_62が上有限生成であれば、任意のに対して以下が完全系列になる、が存在する:
に関する普遍係数定理.
関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように、チェイン複体formula_51の双対コチェイン複体formula_49に対し、を係数に持つコホモロジー加群をformula_66により定義する。
このとき以下の定理がしたがう：
</math>を上のチェイン複体で各に対し、formula_1が-加群として自由なものする。このとき、
が短完全系列となる、が存在する。
しかもこの短完全系列はformula_6およびに関して自然である。さらにこの短完全系列は（に関して自然だがformula_6に関しては自然ではなく）分裂する。
上述の定理においてはformula_71に対し、formula_72というformula_73の元を対応させる写像である。
formula_38で各formula_39が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、formula_39は自由加群部分と捩れ部分群部分formula_77の和で書ける。この事実との性質を利用すると、以下がわかる：
上記によりformula_36-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
formula_39が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：
</math>を上のチェイン複体で各に対し、formula_1が-加群として自由で、しかもformula_39が有限生成-加群であるものとする。
このとき、
が短完全系列となる、が存在し、この短完全系列は分裂する。
上述の定理において、はformula_83に対し、formula_84というformula_85の元を対応させる写像である。
参考文献.
その他