ディリクレ積分

ディリクレ積分（ディリクレせきぶん、）とは、広義積分
のことである。これは /2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分の意味では可積分でない。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
証明.
"f"("z") = "e""iz"/"z" の積分を考える。0 < "r" < "R" をとり、図のように経路 "C""r", "C""R" を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。"f" は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により
となる。
まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により
次にformula_4についての周回積分はformula_5でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)
置換 formula_6 により、
また、formula_8についての周回積分はformula_9でformula_10となることを示す。（留数定理）
formula_11 のとき、指数関数 formula_12 の定義により、
formula_14 とおくと、
ここで、置換 formula_16 により、
次に、 formula_18 を示そう。"g" は整関数、とくにコンパクト集合 formula_19 で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、
formula_21 を十分小さくとれば、経路 formula_22 （の像）は "K" に含まれるから、
以上より、(1) において formula_24 とすれば、(2)～(4)より
すなわち
が従う。