完全不連結空間

位相空間論やそれに関わる分野において、完全不連結空間 (totally disconnected space) は非自明な連結部分集合を持たないという意味で最も不連結な位相空間である。すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれら"しか"連結部分集合がない。
完全不連結空間の重要な例の1つはカントール集合である。別の例は"p"-進数体 Q"p" で、代数的整数論において重要な役割を果たす。
定義.
位相空間 は、 の連結成分が一点集合であるときに、完全不連結 (totally disconnected) であるという。
例.
以下は完全不連結空間の例である。
不連結空間を構成.
 を任意の位相空間とする。関係 ～ を ⇔ によって定める。（ は を含む最大の連結部分集合を表す。）これは明らかに同値関係である。 に商位相、すなわち、写像 formula_2 が連続になる最も細かい位相を与える。少し考えれば が完全不連結であることが分かる。さらに次の普遍性が成り立つ。formula_3 が完全不連結空間への連続写像であれば、一意的な連続写像 formula_4 によって formula_5 と分解する。