フォン・ノイマンの不等式

数学の作用素論の分野において、ジョン・フォン・ノイマンの名にちなむフォン・ノイマンの不等式（フォン・ノイマンのふとうしき、）とは、"T" をあるヒルベルト空間上のとし、"p" をある多項式としたとき、"p"("T") のノルムは単位円板内の "z" に対する |"p"("z")| の上限によって上から評価されることを表す不等式である。言い換えると、固定された縮小写像 "T" に対するは、それ自身が縮小写像となる。この不等式は "T" のユニタリ伸張を考えることで直ちに証明することが出来る。
この不等式は、次に述べるマツエフの予想の特別な場合である：任意の多項式 "P" と、formula_1 上の任意の縮小写像 "T" に対して
が成立する（という予想）。ここで "S" は右シフト作用素である。フォン・ノイマンの不等式によれば formula_3 の場合にこの予想が正しいことが分かる。また formula_4 と formula_5 の場合も、直接的な計算により分かる。しかし近年、ドルリーによってこの予想は一般の場合には成立しないことが示された。