有理点

数論において有理点（ゆうりてん、）とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点のことである。
例えば、点 (3, −67/4) は 3 も −67/4 も有理数であるため、2次元空間内の有理点である。有理点の特別な場合として(integer point)があり、これは座標値が全て整数の点である。例えば、(1, −5, 0) は 3次元空間内の整数点である。より一般に "K" を任意の体とするとき、"K"-有理点は点の各々の座標値が体 "K" に属するような点と定義される。同様に、特別な場合である "K"-整数点は、各座標値が数体 "K" 内の代数的整数の環の元である点と定義される。
代数多様体上の有理点や K-有理点.
"V" を体 "K" 上の代数多様体とする。"V" がアフィン多様体、つまり "V" を係数が "K" に属する多項式方程式系 "fj"("x"1, ..., "x"n) = 0, "j" = 1, ..., "m" の零点集合であるとすると、"V" の "K"-有理点 "P" は、体 "K" に属する数の順序付きの "n"-個の組 ("x"1, ..., "xn") であり、同時にすべての方程式の共通解となる。一般に "V" の "K"-有理点は、"V" のアフィン開部分集合の "K"-有理点である。
"V" が射影空間 formula_1 の中の斉次多項式 formula_2 （係数は "K" に属する）で定義される射影的な代数多様体の場合は、"V" の "K"-有理点は射影空間内の formula_3 の点のうち、すべての座標が "K" に属し、すべての方程式 formula_4 の共通解となっているものである。
混乱がない場合、あるいは体 "K" が有理数体の場合には、"K"-有理点を単に有理点と呼ぶことがある。
"K"-有理点と同様に、楕円曲線のような代数多様体の有理点は、現在の研究の主要な分野となっている。アーベル多様体 A に対し、"K"-有理点は群を形成する。"K" が数体のとき、モーデル・ヴェイユの定理は "K" 上のアーベル多様体の有理点のなす群は有限生成群であると主張する。
ヴェイユ予想は、有限体上の多様体上の有理点の分布に関連していて、多様体が定義される最も小さな部分体が存在し、それへ属する点から有理点が構成されることを意味している。
例1.
点 (3, −67/4) は、方程式 "y" + 67/4 = 2 ("x" − 3) で与えられる直線上の有理点の無限集合のひとつの元である。この有理点の集合は、群演算 ("a", "b") + ("r", "s") = ("a" + "r", "b" + "s" + 91/4) と単位元 (0, −91/4) を持つ可換群を形成する。この直線上に整数点は存在しないことを示すことができる。この直線は単純なタイプの代数曲線であり、代数多様体である。有理点を有限個しかもたない、もしくは有理点をまったくもたない代数曲線（たとえば、円錐曲線 "x"2 + "y"2 + 1 = 0）も存在する。
例2.
点 "P" = (√2, 3) は、方程式 3"x"2−2"y" = 0 により定義される代数多様体（この場合は放物線）上の点である。座標値 √2 は有理数でないので、"P" は有理点ではない。しかし、"F" を "a" と "b" を任意の有理数として "a" + "b"√2 という形の数がなす体とすると、"P" は "F"-有理点となる。これは座標値が √2 = 0 + 1√2 と 3 = 3 + 0√2 であり、数 0, 1, 3 が有理数だからである。
例3.
上の点 ("a", "b", "c") は、"za", "zb", "zc" がすべて実数となるような複素数 "z" が存在するとき、R-有理点（通常は、実有理点と呼ぶ）である。そうでなければ、複素数の点と呼ぶ。この記述は高次元の複素射影空間へ一般化される。
スキームの有理点s.
スキーム論の用語では、スキーム "X" の "K"-有理点は、まさに射 Spec "K" → "X" のことである。"K"-有理点の集合を通常、"X"("K") で表す。
体 "k" 上に定義されたスキームや多様体 "X" に対し、剰余体 "k"("x") が "k" に同型であれば、点 "x" ∈ "X" も有理点と呼ばれる。