隣接代数 (順序理論)

数学の順序集合論において隣接代数（りんせつだいすう、）または接合環（せつごうかん）とは、任意の局所有限な半順序集合と単位元を持つ可換環に対して定義される結合多元環である。局所有界半順序集合の接続代数は、1964年のジャン・カルロ・ロタ(Gian-Carlo Rota)による論文に始まり、多くの組合せ論研究者により発展した。
定義.
局所有限半順序とは、すべての閉区間
が有限集合であるような半順序集合である。
隣接代数の元は、空でない各区間 に対して（係数環とする単位的可換環に値を取る）スカラー を対応させる関数である。この台集合上で、元ごとの和とスカラー倍が定義でき、また隣接代数の「積」は以下の畳み込みで定義する。
隣接代数が有限次元であることと、それを定める半順序集合が有限であることは同値である。
関連する概念.
隣接代数は群代数に類する概念である。実際、（群および半順序集合を特別な種類の圏と見做すというのと同じ意味で）群代数および隣接代数はの特別の場合になっている。
オイラー標数.
半順序集合が有界とは、それが最大元 と最小元 を持つときに言う（いま は単に記号としてそう書くのであって係数環の と混同してはならない）。有界有限半順序集合のオイラー標数とは、メビウス函数の値 のことを言う。このように言う理由は、 が最大元 と最小元 を持つとき、} に面を持つ単体的複体の被約オイラー標数が に一致するからである。
被約接合代数.
ふたつの区間が半順序集合として同型となるならば必ず同じ値が割り当てられるような接合代数の任意の元は被約接合代数 ("reduced incidence algebra") の元である。被約接合代数は接合代数の部分代数であって、明らかにもとの接合代数の単位元とゼータ函数を含む。被約接合代数の任意の元は、それが適当な接合代数の拡大において可逆ならば被約接合代数自身の中に逆元を持つ。従ってメビウス函数は常に被約接合代数の元として取れる。先に自然数と通常の大小関係の例で触れたように、被約接合代数は母函数の理論に光を当てるものである。