正則ベクトル束

数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，）とは，複素多様体 上の複素ベクトル束であって，全空間 が複素多様体であり射影 が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である．
セールの GAGA により，滑らかな複素射影多様体 （複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は， 上の（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である．
自明化を通した定義.
具体的には，局所自明化写像
は双正則であることを要求する．これは変換関数
が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される．
正則切断の層.
 を正則ベクトル束とする．"局所切断" が正則 (holomorphic) であるとは，それが の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう．
この条件は局所的である，つまり正則切断たちは 上の層をなす．この層は formula_3 と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である． が自明な直線束 formula_4 であるとき，この層は複素多様体 の構造層 formula_5 と一致する．
正則ベクトル束に値を持つ形式の層.
formula_6 で 型の 微分形式の層を表すと， に値を持つ 型形式の層はテンソル積
として定義できる．
これらの層は細層である，つまり1の分割を持つ．
滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者にはと呼ばれる標準的な微分作用素
が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる．
正則ベクトル束のコホモロジー.
 が正則ベクトル束であるとき， のコホモロジーは formula_3 の層係数コホモロジーと定義される．とくに，
 の大域正則切断の空間，となる．また，formula_11 は による の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の完全列 , の群をパラメトライズする．群構造については，やも参照．
ピカール群.
複素微分幾何の文脈では，複素多様体 のピカール群 は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 formula_12 として定義することもできる．
正則ベクトル束上のエルミート計量.
 を複素多様体 上の正則ベクトル束とし， 上にエルミート計量が存在するとする，つまり，ファイバー に滑らかに変化する内積 が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立する 上の接続 が一意的に存在する．つまり， が次のような接続である：
実際， が正則枠であるとき，formula_17 とし， を等式 formula_18 によって定義する．この等式をより単純に次のように書く：
 を基底の正則な変換 による別の枠とすると，
であり，したがって は確かに接続形式であって， によって を生じる．今，formula_21 であるから，
つまり， は計量構造と両立する．最後に， は 形式であるから，formula_15 の 成分は formula_24 である．
formula_25 を の曲率形式とする．formula_26 は二乗して零になるから， は 成分を持たず， は歪エルミートであることが容易に示せるから，それはまた 成分ももたない．したがって， は次で与えられる 形式である：
曲率 は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理，例えば小平の消滅定理や，において顕著に現れる．