ガウス曲率

微分幾何学において、曲面上のある点でのガウス曲率（ガウスきょくりつ、又は）とは、与えられた点での主曲率"κ"1 と "κ"2 の積である。曲面上の距離だけに依存する量で、空間への等長的な埋め込み方法にはよらない。1827年に驚異の定理 () を発表したカール・フリードリッヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauss) の名前に因んで名付けられた。
定義.
曲面の任意の点で、曲面に対して垂直である法線ベクトル(normal vector)を見つけることができる。法線ベクトルを含む平面を(normal plane)と呼ぶ。法平面と曲面の交差は、(normal section)と呼ばれる曲線を形成し、この曲線の曲率が(normal curvature)である。ほとんどの曲面上のほとんどの点に対し、ことなる切断ごとに異る曲率となる。これらの最大値と最小値を主曲率といい、κ1, κ2 と表す。ガウス曲率(Gaussian curvature)は 2つの主曲率の積 Κ = κ1 κ2 である。
ガウス曲率の符号は、曲面を特徴付けることに使うことができる。
殆どの曲面は、正のガウス曲率（楕円点）の領域を持ち、負のガウス曲率の領域は放物線と呼ばれるガウス曲率が 0 となる点の曲線により分離される。
議論.
微分幾何学において、曲面上の与えられて点での 2つの主曲率は、その点での(shape operator)の固有値である。これらの固有値は、与えられた点で異る方向に曲面がどれくらい折れ曲がっているかを測る。陰函数定理により、2変数の函数 "f" のグラフとして曲面が表現される。そこでは、点 "p" は臨界点、すなわち "f" の勾配が 0 となる。（このことは、常に適切な厳密な運動によって可能となる。）従って、"p" での曲面のガウス曲率は、（ヘッセ行列の固有値の積である） "f" のヘッセ行列の行列式である。（ヘッセ行列は、二階微分の 2 × 2 行列であることを思い起こしてほしい。）この定義からは、ただちに、cup型／cap型 と 鞍点(saddle point)の違いを理解することができる。
別な定義.
であることも分る。ここに formula_2
である。
である。
である。
と表すことができる。