主イデアル

主イデアル（）、あるいは単項イデアルとは、環 の単一の元 により生成された のイデアル のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。）
定義.
 が可換環であれば、上の3つの定義はみな同じになる。この場合は、 で生成されるイデアルを と記すのが一般的である。
主イデアルでないイデアルの例.
全てのイデアルが、主イデアルというわけではない。
例えば、2つの変数 の、複素数を係数とする全ての多項式からなる環 を考える。 と で生成されたイデアル は、定数項が 0 となるような の多項式全てから構成されるが、主イデアルではない。このことを見るために、 が の生成元であると仮定すると、 と は両方とも により割り切れることになるが、このことは が 0 でない定数でない限り不可能である。しかし 0 は の中の唯一の定数であり、従って矛盾する。
関連する定義.
全てのイデアルが主イデアルであるような環を、主イデアル環 (principal ideal ring) と言う。主イデアル整域 (PID) とは、全てのイデアルが主イデアルとなるような整域を言う。任意の主イデアル整域は一意分解整域 (UFD) であり、整数における一意分解（いわゆる、算術の基本定理）の普通の証明が任意の主イデアル整域で成り立つ。
性質.
任意のユークリッド整域は主イデアル整域であり、最大公約数の計算に使われるアルゴリズムを、任意のイデアルの生成子を見つけることに使うことができる。さらに一般的には、可換環のどの2つの主イデアルも、イデアルの乗法の意味で最大公約数を持っている。そのため、主イデアル整域では、環の元の最大公約数を、単元による積を除いて、定義できる。すなわち、 をイデアル の任意の生成子として定義する。
デデキント整域 に対し、 の 主イデアルではないイデアル が与えられたとき、 の拡大 であって、 により生成される のイデアルが主イデアルとなる（大ざっぱにいえば、 は で"主イデアルとなる"）ようなものが存在するかと問うこともできる。この問題は、数論で代数的整数の環の研究の関連で発生し、高木貞治、エミール・アルティン (Emil Artin)、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) やその他多くの数学者による類体論の発展を導いた。
は、任意の整数環 （つまり、ある代数体の整数環）に対し、それを含むような整数環 であって、 の全てのイデアルが の主イデアルとなるようなものが存在すると言う定理である。この定理において、 を のヒルベルト類体の整数環とすることができる。ヒルベルト類体は、 の分数体の最大の不分岐アーベル拡大（つまりガロア群が可換なガロア拡大）であり、これは によって一意的に決定される。
クルルの主イデアル定理は、 がネーター環で、 が の真の主イデアルであれば、 の高さは高々 1 であるという定理である。