単射的対象

数学，特に圏論において，単射的対象（たんしゃてきたいしょう，, あるいは移入的対象，入射的対象）の概念は単射的加群の概念の一般化である．この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である．双対概念は射影的対象である．
定義.
formula_1 を圏とし formula_2 を formula_1 の射のあるクラスとする．
formula_1 の対象 が formula_2-単射的とは，formula_2 の任意の射 と任意の射 に対して，ある射 が存在して （の始域）を拡張する，すなわち formula_7 となることをいう．
上の定義における射 は と によって一意的に決定されることは要求されない．
局所的に小さい圏では，それはhom関手 formula_8 が formula_2-射を全射に送ることと同値である．
formula_2 の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる．
アーベル圏の場合.
アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）．formula_1 がアーベル圏のとき，formula_1 の対象 が単射的であるとは，hom関手 が完全であることをいう．
を formula_1 における完全列であって が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し， が単射的であることと が単射的であることは同値である．
充分単射的対象をもつ.
formula_1 を圏とし， を formula_1 の射のあるクラスとする；圏 formula_1 が"充分 単射的対象をもつ" (have enough injectives) とは，formula_1 のすべての対象 に対して， からある -単射的対象へのある 射が存在することをいう．
単射的包絡.
formula_1 における 射 が 本質的 (-essential) であるとは，任意の射 に対して，合成 が に属するのは が に属するときに限ることをいう． が単射全体のクラスであるとき， はと呼ばれる．
 が 本質的 射であって，始域が , 余域が 単射的な であるとき， は の 単射的包絡 (-injective hull) と呼ばれる．するとこの 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．