連結和

トポロジーでは、連結和（れんけつわ、connected sum）は、多様体の幾何学的変形の方法のひとつで、2つの多様体が与えられたとき、互いを選んだ点でつなぎ合わせる。この構成は、閉曲面の分類で重要な役割を果たす。
このことを一般化して、右図のように同一な部分多様体に沿って多様体を張り合わせることができる。この一般化はファイバー和とも呼ばれる。結び目和や結び目の合成と呼ばれる結び目の連結和の考え方とも密接に関係する。
点での連結和.
2つの m-次元多様体の連結和は、各々の多様体の中にある球を削除し、境界として現れる球面を互いに(gluing together)ことにより得ることができる。
多様体が双方とも向きつけられていれば、貼りあわせ写像を反対向きにとることにより、一意に連結和が定義される。構成は球の選び方にかかわらず、結果は同相の下に一意である。滑らかな圏ではこの操作は可能で、結果は微分同相の下に一意である。滑らかな圏での場合は、微妙な問題があり、球の境界の間のすべての微分同相が、たとえ向き付けを正しく選択したとしても、合成されたときに同じ多様体を与えるとは限らない。たとえば、ミルナー　(Milnor)　は、2つの 7-次元胞体がを境界に沿って貼りあわせると、結果は(exotic sphere)となり、7-球に同相ではあるが微分同相ではなくなることをしめした。しかしながら、張り合わせる標準的な方法が存在して、連結和を一意に定義することができる。この一意性は(disc theorem)に大きく依存していて、すべて明らかになっているわけではない。
連結和の操作は formula_1 により表す。たとえば、formula_2 は formula_3 と formula_4 の和を表す。
連結和の操作は、同一視する写像として球 formula_5 を持っている、すなわち、formula_6 は formula_7 と同相（もしくは、微分同相）である。
閉曲面の分類は、トポロジーの基本的で歴史的に重要で、任意の閉曲面は球面といくつかのトーラスといくつかのの連結和として表される。
部分多様体に沿った連結和.
formula_8 と formula_9 を 2つの等しい次元の滑らかな向きつけられた多様体とし、formula_10 を滑らかな向きつけられた閉多様体で、閉部分多様体として formula_8 と formula_9 の双方へ埋め込まれているとする。さらに、(normal bundle)の同型
で互いのファイバーで向き付けを保つものが存在すると仮定すると、写像 formula_14 は向きつけを保つ微分同相写像
を引き起こす。ここに各々の法バンドル formula_16 は、formula_10 の近傍 formula_18 で微分同相として同一視し、写像
は向きつけを保存する法バンドル上の微分同相の接合(involution)
である。formula_10 に沿った formula_8 と formula_9 の連結和は、向き付けを保つ微分同相により互いに近傍どうしを張り合わせることにより得られる
である。和はときどき、
と書かれることもある。この微分同相のタイプは、2つ formula_10 の埋め込みと formula_14 の選択に依存する。
大まかに言うと、各々の部分多様体 formula_10 の法線方向のファイバーは、formula_10 のひとつの点を含み、formula_10 に沿った連結和は次のセクションで述べるように、各々のファイバーにそって単連結な連結和である。このことにより、formula_10 に沿った連結和は、ファイバー和(fiber sum)とも呼ばれる。
formula_10 が点である場合は、前のセクションの点での連結和を再現する。
余次元 2 の部分多様体に沿った連結和.
もうひとつの得に重要な例として、formula_10 の次元が formula_34 の次元よりも 2 以下の多様体の場合がある。オイラー類が
という反対の場合であっても、法バンドルの同型写像 formula_14 が存在する。
さらに、この場合には、法バンドルの構造群は円群(circle group) formula_37 である。このことからは、埋め込みの選択は標準的に formula_10 から円への写像のホモトピークラスの群と同一視できることが帰結する。このことより直ちに、一次の整数係数コホモロジー群 formula_39 と同値であることが分かる。従って、和の微分同相のタイプは、formula_14 の選択と formula_39 の元の選択に依存する。
余次元 2 の formula_10 に沿った連結和は、シンプレクティック多様体の圏で考えることもでき、この和を(symplectic sum)と呼ぶ。
局所作用素.
連結和は、多様体の局所作用素であり、この意味は、formula_10 の近傍でのみ和に取って代わる。この意味は、formula_10 の共通部を持たない集合の 2つのコピー部分で張り合わせて、formula_7 とした多様体上で、和を作成することができることを言っている。また、2-球面を 2つの異なる点で張り合わせた連結和は、2-トーラスを生成する。
結び目の連結和.
2つの結び目の連結和は、密接に関係した考え方である。実際、結び目を単に 1-次元多様体とみなすと、2つの結び目の連結和は、まさに 1-次元多様体としての連結和となる。しかし、結び目の本質的な性質は、その多様体の構造にあるのではなく（すべての結び目は円と同値である）、むしろ(ambient space)への埋め込みにある。従って、結び目の連結和には、次のように、うまく定義される埋め込みを生成するようなより精密な定義がある。
この結果、新しいひとつの結び目が得られ、もとの 2つの結び目の連結和（あるいは、結び目和や合成）という。次に、結び目の連結和に対し、3-次元空間の中での向き付けを持つ結び目を考えねばならない。2つの結び目の連結和を定義するには、
この結果として生ずる結び目の連結和は、2つのもともとの結び目の向き付けと整合性を持っていて、結果として得られる周囲の向き付けのイソトピークラス(isotopy class)は、うまく定義でき、もとの 2つ結び目の周囲の向き付けのイソトピーに依存している。
この操作の下では、3-次元空間内の向きつけられた結び目は、一意は素因数分解を持つ可換なモノイドを形成し、そこでは(prime knot)の意味を定義することができる。可換性の証明は、連結和全体を縮め、片方の結び目を非常に小さくし他の結び目に沿って滑らせることができるようにして、示すことができる。自明な結び目は単元である。三葉結び目(trefoil)は（自明結び目を除くと）最も単純な素結び目である。高次元の結び目は、formula_46-球面をスライスすることにより得ることができる。
3-次元では、自明な結び目は、2つの非自明な結び目の和としては表すことができない。この事実は、結び目種数の加法性より得られる。(Mazur swindle)とも呼ばれることもある「無限の構成」を用いる別証明もある。高次元では（少なくとも余次元が 3）、2つの非自明な結び目の和が非自明となるものを作ることができる。
結び目の向きを考慮に入れないと、連結和の操作は（非向き付け）結び目のイソトピークラス上ではうまく定義することができない。このことを理解するために、2つの非可逆的な（向きつけられていない）非同値な結び目 K, L を考える。たとえば、2つプレッツェル結び目 formula_47 と formula_48 を取る。formula_49 と formula_50 を 2つの非同値な向きを持つ formula_51、formula_52 と formula_53 を 2つの非同値な向き付けをもつ formula_54 とする。4つの向き付けの連結和を得る方法が 4通りあることとなる。
これらの 4つの向き付けられた結び目は向きつけられた周囲のイソトピークラスがすべて異なっている。さらに、向き付けを考えない結び目の周囲のイソトピーを考えると、2つの異なる同値類 { A ~ B } と { C ~ D } を得る。A と B が向き付けのない同値であることを理解するには、単にそれらが双方とも同じ上記の共通部分をもたない結び目の射影から構成されていることに注意すると、唯一の細は結び目の向き付けとなってしまう。同様に、C と D が共通部分を持たない同じペアから構成されることもあることになってしまう。