群の直積

数学、特に群論において、与えられたいくつかの群の直積（ちょくせき、）は、それらを正規部分群として含むような新しい群を作る構成法である。
定義.
2つの群の直積.
群 formula_1、formula_2が与えられたとき、その集合としての直積 formula_3 に、
として演算を定義すると、 formula_3 は群になる。これを formula_1 と formula_2 の直積という。
有限個の群の直積.
同様に、有限個の群 formula_8 が与えられたとき、その直積集合の元
に対して
と定義すると、formula_11 は群になり、これを formula_8の直積と言う。
任意個の群の直積.
一般に、群の族 formula_13 が与えられると、その直積集合の元 formula_14，formula_15 に対して、formula_16によって演算を定義したものが群 formula_17 の直積である。
性質.
直積因子.
群 formula_18 と formula_19 の直積 formula_20 は、formula_21 と formula_22 を正規部分群として含む（ただし formula_23 はそれぞれの単位元）。これらはそれぞれ "G", "H" と同型である。
証明.
formula_24 とすると，次の等式が成り立つ。formula_25formula_26 についても同様である。よって，主張が従う．
可換性.
群の直積 formula_20 において群 formula_18 の任意の元と群 formula_19 との任意の元は可換である。
証明.
formula_30 とすると，次が成り立つ。formula_31したがって，主張が従う．