クラマース＝ワニア双対性

クラマース＝ワニア双対性(Kramers–Wannier duality)は、統計力学での対称性である。クラマース＝ワニア双対性は、低温での2次元の(square-lattice Ising model)の自由エネルギー(free energy)を、高温の別なイジングモデルの自由エネルギーとを関連付ける双対性である。この双対性はヘンリク・クラマース(Hendrik Kramers)と(Gregory Wannier)により1941年に発見された。この双対性を用いて、クラマースとワニアは、正方格子イジングモデルの臨界点の正確な位置を見つけた。
同様な双対性は、他の統計モデルの自由エネルギーの間の関係も確立している。例えば、3次元ではイジングモデルはあるゲージイジングモデルの双対である。
直感的な考え方.
2次元イジングモデルは格子（チェスボード状の正方形の集まり）上で定義される。有限格子では、辺はトーラスを形成するように結合できる。この種類の理論では、対合を構成することができる。例えば、ラルス・オンサーガー(Lars Onsager)は、Y-Δ変換が三角格子に使えるのではないかと提唱した。さて、離散的なトーラスの双対は自己自身である。さらに、非常に非秩序な（高温度）系の双対は、非常に秩序のある（低温度）系である。これは、フーリエ変換が大きな帯域幅をもつ（標準偏差が大きい）信号を帯域幅の小さな(標準偏差の小さい)信号にするためである。従って、逆温度を持つ本質的に同じ理論であることがわかる。
一方の理論の温度を上げると、もう一方の理論は温度が下る。相転移が一つしかない場合、相転移は交叉する点、すなわち双方の系の温度が等しくなる点で起こる。2次元イジングモデルは無秩序状態から秩序状態へ移るので、無秩序相と秩序相の間には 一対一写像に近い写像が存在する。
理論は一般化され、現在では、様々な考え方が融合している。例えば、四角形格子は円、ランダム格子、非等質トーラス、三角格子、
labyrinth、ツイストした境界を持つ格子、カイラルポッツモデルなど、様々なものに置き換えられる。
導出.
これらの変数を定義する。
formula_1 での低温展開は、
である。
により、
である。ここに、formula_6 であり、formula_7 である。このことから、高温展開との関係がわかる。関係はより対称性が明確となるように、
と記述することができる。サイトあたりの自由エネルギーの熱力学的極限(thermodynamic limit)
を用いると、クラマース＝ワニアの双対性は、
を与える。
formula_12 である等方的な場合は、formula_13 に臨界点があるとすれば、formula_14 にも別な臨界点がある。従って、唯一の臨界点がある場合は、formula_15 のみに臨界点があることとなり、これはformula_16 を意味し、 formula_17 を得る。