二重交換団

数学の代数学の分野において、ある（多元環や群のような）半群の部分集合 "S" の二重可換子環（にじゅうかかんしかん、）とは、その部分集合の可換子環の可換子環のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、formula_1 と表記される。
二重可換子環は、作用素環の代数的構造と解析的構造
とを関連付けるの存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、"M" をあるヒルベルト空間 "H" に対するC*-環 "B(H)" 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、"M" の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、"B(H)" のある単位的なC*-部分環 "M" がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、formula_2 であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が formula_3 を生成する。
"S" の二重可換子環は常に "S" を含む。したがって formula_4 が成立する。一方、formula_5 も成立する。したがって formula_6 が成り立ち、"S" の二重可換子環の可換子環は、"S" の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。
および
ただし "n" > 1 とする。
"S"1 および "S"2 をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。
また formula_10 および formula_11 を仮定すると（これは例えばフォン・ノイマン環に対して成り立つ）、上の等式より次式が得られる。