変分法における直接解法

数学の一トピックである変分法における直接解法（ちょくせつかいほう、）とは、与えられた汎函数に対する最小点の存在の証明を構築するための一般的な手法である。1900年頃に、ザレンバとダフィット・ヒルベルトによって導入された。この手法は、函数解析学とトポロジーの手法に依拠するものである。解の存在を証明するために用いられるのと同様に、直接解法は解を所望の精度で計算するために用いられることもある。
解法.
変分法では、ある函数空間 formula_1 と formula_2 に対する汎函数 formula_3 が扱われる。その主な興味は、そのような汎函数の最小点 (minimizer)、すなわち formula_4 が任意の に対して成り立つような函数 formula_5 を見つけることである。
函数が最小点であるための必要条件を得る上での標準的な道具は、オイラー＝ラグランジュ方程式である。しかし、それらを満たす函数の中から最小点を見つける方法は、前もって最小点の存在が示されていない場合には誤った結論を導くこともある。
汎函数 formula_6 が最小点を持つためには、下に有界である必要がある。すなわち
が成立する必要がある。この条件は、最小点が存在することを示す上で十分ではないが、最小化列 (minimizing sequence)、すなわち formula_8 を満たす formula_1 内の列 formula_10 の存在を示す。
直接解法は次の手順で行われる：
このことが最小点の存在を示すことを確かめる上で、次のような列的に下半連続な函数の特徴付けを行う。
結論は次より成り立つ：
これはすなわち、次を意味する。
詳細.
バナッハ空間.
直接解法はしばしば、可分かつ回帰的なバナッハ空間 formula_25 の部分集合として空間 formula_1 が与えられる場合に適用される。この場合、列的バナッハ＝アラオグルの定理は、formula_1 内の任意の有界列 formula_10 は、弱位相に関して formula_25 内のある formula_30 に収束する部分列を持つ。formula_1 が formula_25 内において列的に閉で、したがって formula_30 が formula_1 に属する場合は、直接解法は次を示すことによってある汎函数 formula_35 に対して適用される。
この二番目は、通常 formula_6 がある成長条件を許すことを示すことによって示される。その一例は次のようなものである。
この性質を持つ汎函数はしばしば強圧的（coercive）と呼ばれる。列的下半連続性は、直接解法を適用する上で通常最も難しい条件である。より一般の汎函数のクラスに対する定理は次節を参照されたい。
ソボレフ空間.
変分法における典型的な汎函数は、次の形式の積分である。
ここで formula_47 は formula_48 の部分集合であり、formula_49 は formula_50 上の実数値函数である。formula_6 の引数は微分可能な函数 formula_52 で、そのヤコビアン formula_53 は formula_54-ベクトルと結び付けて考えられる。
オイラー＝ラグランジェ方程式を導出する際の一般的なアプローチは、formula_47 の境界が formula_56 であり、formula_6 の定義域が formula_58 であるとするものである。この空間は上限ノルムが備えられるときにバナッハ空間となるが、回帰的ではない。直接解法が適用される場合、汎函数は通常 formula_59 であるようなソボレフ空間 formula_60 に対して定義される。そのような空間は回帰的なバナッハ空間である。このとき、formula_6 の式における formula_62 の微分は、弱微分として取られる。次節では、上述のタイプの汎函数の弱列的下半連続性に関する二つの定理を紹介する。
積分の列的下半連続性.
変分法における多くの汎函数は次の形式を取る：
ここに formula_64 は開である。したがって、formula_60 内において formula_6 が弱列的下半連続となるような函数 formula_49 の特徴付けが非常に重要となる。
一般に、次が成り立つ。
formula_87 あるいは formula_88 のとき、逆のような次の定理が成立する。
結論として、formula_88 あるいは formula_87 で、formula_49 について意義のある成長と有界性を仮定するとき、汎函数 formula_6 が弱列的下半連続であるための必要十分条件は、函数 formula_83 が凸であることである。formula_104 と formula_105 のいずれも 1 より大きいなら、凸性への必要性はより一般の凸性、すなわち多凸性や準凸性へと弱めることが出来る。