クレイン＝ミルマンの定理

数学の函数解析学の分野において、クレイン＝ミルマンの定理（クレイン＝ミルマンのていり、）とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。
正式には、formula_1 を（ハウスドルフと仮定される）局所凸位相ベクトル空間とし、formula_2 を formula_1 のコンパクトな凸部分集合とするとき、formula_2 はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。
上述の閉凸包は、formula_2 を含むすべての formula_1 の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。
マルク・クレインとによって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。
その定理より以前に、ヘルマン・ミンコフスキーは、formula_1 が有限次元であるなら formula_2 はその極点の集合の凸包と等しいことを示していた。クレイン＝ミルマンの定理は、その結果を任意の局所凸空間 formula_1 に対して一般化するものであったが、閉包が必要となり得るという注意も付されていた。
選択公理との関係.
においてこの定理を証明する上では、選択公理や、その弱いヴァージョンが必要とされる。逆にこの定理とによって、選択公理を証明することが出来る。
関連する結果.
formula_2 に関する以前の仮定の下で、formula_11 が formula_2 の部分集合であり、formula_11 の閉凸包が formula_2 全体であるなら、formula_2 のすべての極点は formula_11 の閉包に属する。この結果はクレイン＝ミルマンの定理に対する、ミルマンの（部分的）逆（Milman's partial converse）として知られている。
によると、formula_2 内のすべての点は、formula_2 の極点の集合上に台を持つ確率測度の重心であることが示されている。
テオ・ビューラーは2006年に、クレイン＝ミルマンの定理は CAT(0) 空間に対しても成立することを証明した。