一様コーシー列

数学において、ある集合 "S" から距離空間 "M" への函数列 formula_1 が一様コーシー（いちようコーシー、）であるとは、次が成立することをいう：
また別の表現として、formula_7 に対して formula_8 というものがある。ここで formula_9 は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される：
収束条件.
"S" から "M" への函数列 {"f"n} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 "x" ∈ "S" に対して列 {"f"n("x")} が "M" 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。
一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 "M" が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、"S" から "M" へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。
一様コーシー性は、"S" が只の集合ではなく位相空間であり、"M" が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ：
一様空間への一般化.
ある集合 "S" から距離空間 "U" への函数列 formula_1 が一様コーシーであるとは、次が成り立つことをいう：