ファクトリオン

数学において、ファクトリオン()とは、 各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。
十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585()の4つのみである。
ファクトリオン、という名称は、が彼の著書、"Keys to Infinity" の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。 
上限.
"n"を"d"桁の自然数であるファクトリオンとすると、10"d" − 1 ≤ "n" ≤ 9!"d"(ただし9!"d"は9!と"d"の積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、"d" ≥ 8に対し成り立たず、"n"は最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。
他の基数.
十進法以外にも定義が拡張されている場合、ファクトリオンは無限に存在する。これの例として、任意の"n" > 3 である自然数に対し、"n"! + 1 と "n"! + 2は(n-1)!進法でファクトリオンであり、2桁で""n"1"、""n"2"と書かれる。例えば、25と26は六進法でファクトリオンであり、"41"、"42"と書かれる。また、121と122は二十四進法でファクトリオンであり、"51"、"52"と書かれる。
"n" > 2に対し、"n"! + 1はさらに("n"! - "n" + 1)進法でもファクトリオンであり、2桁で"1"n""と書かれる。例えば、25は二十一進法でファクトリオンであり、"14"とかかれる。また、121は百十六進法でファクトリオンであり、"15"と書かれる。
全ての自然数は一進法でファクトリオンであり、1と2は全ての記数法でファクトリオンである。
次の表は、三十進法までのファクトリオンの一覧である。