反傾表現

formula_1 が群で、formula_2 がベクトル空間 formula_3 上の formula_1 の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、）あるいは双対表現（そうついひょうげん、）formula_5 は以下のようにして双対ベクトル空間 formula_6 上定義される：
formula_11 がリー環で formula_12 がベクトル空間 formula_3 上のその表現であれば、反傾表現 formula_14 は以下のようにして双対ベクトル空間 formula_6 上定義される：
いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。
ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。
動機付け.
表現論において、formula_3 のベクトルと formula_6 の線型汎関数はいずれも"列ベクトル"と考え、したがって表現は"左"から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 formula_20 の formula_21 への作用 formula_22 は行列の乗法
によって表現できる。ただし上付きの formula_24 は行列の転置を表す。群formula_1の作用と整合的であるためには
が要求される。反傾表現の定義から、
となり、整合性を持つことが確かめられる。
リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、formula_28 がリー群の表現であれば、
によって与えられる formula_12 はそのリー環の表現である。formula_31 が formula_28 に双対であれば、その対応するリー環の表現 formula_14 は、
で与えられる。