冪零群

群論における冪零群（べきれいぐん、）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらにでさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者の業績に帰せられる。
冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。
冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。
定義.
考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う: 
冪零群 に対して、 が長さ の中心列を持つとき（定義により、長さ を持つとは中心列に自明群と 自身を含めて 個の部分群が並ぶときに言う）、そのような の最小値を の冪零度 ("nilpotency class"; 冪零性の等級) と呼び、また は冪零度 の冪零群であるという。 の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。
冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる
用語の説明.
冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 の冪零群に対して、その元 の定める作用 formula_4 が に依らず 回反復合成で自明となる（ここで、 は の交換子である）。
これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度 の）随伴作用素 全体の成す群は -次と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。
アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（-次エンゲル群）になっている。
性質.
昇中心列の連続する部分群による各剰余群 はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。
冪零度 の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 である。加えて、 が冪零度 の冪零群上の準同型ならば、 の像は冪零度高々 の冪零群になる。
有限群に対して以下は同値であり、冪零性の有効性が顕わになる:
最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:
冪零群の性質の多くはと共通している。