複素解析空間

複素解析空間（ふくそかいせきくうかん、）とは、同型を除いて一意的な"解析空間の構造"と呼ばれる構造が定義されたハウスドルフ空間を言う。曖昧さがあったそれまでのリーマン面の概念を整理するためにアンリ・カルタンによって導入された。
定義.
X をハウスドルフ空間とし、X の開被覆を (Ui)i ∈ I とする。さらに、各 Ui 上の点に対し、複素平面 C の開集合 Ai (⊂ C) 上の点を対応させる位相同型な複素数値関数 zi : Ui → Ai が与えられているとする。次の連接条件を満たすとき、X に解析空間の構造が定義されると言う。
（連接条件）
ここで、ハウスドルフ空間 X とその上で定義された同型な解析空間の構造の類との組を解析空間（analytic space）と呼ぶ。
層を用いた定義.
formula_1 に値を持つ位相空間上の定数層をformula_2 で表す。formula_1-空間は、構造層が formula_2 の上の代数 (algebra) である局所環付き空間である。
複素アフィン空間 formula_5 の開集合 formula_6 を選び、formula_6 上の有限個の正則函数 formula_8 を固定し、formula_9 をこれらの正則函数の共通の零点集合とする、つまり、formula_10 とする。formula_11 上の環の層を formula_12 を formula_13 の formula_11 への制限とする、ただし formula_15 は formula_6 上の正則函数の層である。すると局所環付き formula_1-空間 formula_18 は局所モデル空間となる。
複素解析空間 (complex analytic space) は、有限個の正則函数の零点集合の開部分集合である局所モデル空間に局所同相な局所環付き formula_1-空間 formula_18 である。
複素解析空間の射は、局所環付き空間の射として定義される。射は正則函数とも呼ばれる。