トレース (体論)

体論において、トレース (trace) は、有限次体拡大 "L"/"K" に付随して現れる写像で、"L" から "K" への "K"-線型写像である。
定義.
"L"/"K" を有限拡大とする。分離次数を ["L" : "K"]"s" = "r" とする。σ1, ..., σ"r" を "L" の "K" の代数閉包 "K"a への相異なる埋め込み全部とする。"L" の元αに対し、トレースを
で定義する。ここで ["L" : "K"]"i" は非分離次数である。
分離拡大でなければ、トレースは 0 である。分離拡大（特にガロワ拡大）であれば、トレースは
である。
"L" を "K"-ベクトル空間と見る。α∈"L" に対し "L" の元をα倍する写像 "L" → "L" は "K"-線型写像であるので、適当な基底を取ると行列で表すことができる。この行列のトレースは Tr"L"/"K"(α) と一致する。（基底の取り方には依らない。）
性質.
トレース写像は、"L" から "K" への "K"-線型写像である。また、体の拡大の列 "L" ⊃ "M" ⊃ "K" に対し
が成り立つ。
"L" = "K"(α) のとき、αの "K" 上の最小多項式を
とすると、
である。
"L"/"K" を有限次分離拡大とする。"e"1, ..., "e""r" を "L" の "K"-ベクトル空間としての基底とする。このとき次を満たすある基底 "e"'1, ..., "e"'"r" が存在する：