楕円型作用素

数学の偏微分方程式の理論において、楕円型作用素（だえんがたさようそ、）とは、ラプラス作用素を一般化した微分作用素のことを言う。最高次の微分の係数が正であるという条件によって定義され、このことは主表象が可逆であるか、または同値であるが、実の特性方向が存在しないという重要な性質を意味する。
楕円型作用素は、ポテンシャル論において典型的に現れるものであり、静電気学や連続体力学において頻繁に用いられる。楕円型正則性は、解が（作用素の係数が滑らかであれば）滑らかな函数になる傾向にあることを意味する。双曲型偏微分方程式や放物型偏微分方程式の定常解は一般に楕円型方程式によって解かれる。
定義.
R"d" 内のある領域 formula_1 上の次数 "m" の線型微分作用素 "L" で、次で与えられるもの
（ここに formula_3 は多重指数）が楕円型（elliptic）であるとは、formula_1 内のすべての "x" と、R"d" 内のゼロでないすべての formula_5 に対して
が成り立つことを言う。多くの応用において、この条件は十分に強いものではなく、したがって代わりに次数 "m = 2k" の作用素に対しては次の一様楕円性条件（uniform ellipticity condition）が課されることもある：
ここに "C" はある正定数である。楕円性は最高次の項にのみ依存することに注意されたい。
非線形作用素
が楕円型であるとは、その "u" に関する一次テイラー展開と、任意の点についての導函数がいずれも線型楕円型作用素であることを言う。
楕円型正則性定理.
"L" を次数 "2k" の楕円型作用素で、係数が "2k" 階連続的微分可能であるようなものとする。ある関数 "f" と適当な境界値が与えられたとき、"L" に対するディリクレ問題を解くことは、"Lu = f" を満たし適切な境界値と法線微分を持つ函数 "u" を見つけることである。楕円型作用素に対するその存在理論は、ガーディングの不等式とラックス＝ミルグラムの補題を用いることで考えられるが、そこではソボレフ空間 "H""k" 内のある弱解 "u" の存在のみが保証される。
弱解 "u" は、表現 "Lu" が意味をなさないほど十分な微分を持たないこともあり得るので、この状況は全く不十分である。
楕円型正則性定理（elliptic regularity theorem）では、"f" が二乗可積分であるならば、"u" は実際に "2k" 個の二乗可積分な弱微分を持つことが示されている。特に、"f" が無限階微分可能であるならば、"u" もそのようになる。
この性質を示す任意の微分作用素は準楕円型作用素と呼ばれる。したがって、すべての楕円型作用素は準楕円型である。この性質はまた、ある楕円型作用素のすべての基本解は、0 を含まない任意の近傍において無限階微分可能であることも意味する。
応用として、コーシー・リーマンの方程式を満たすある函数 formula_15 を考える。コーシー・リーマンの方程式は楕円型作用素を形成するため、formula_15 は滑らかとなる。
一般の定義.
formula_17 を、任意の階数のベクトル束の間の（非線型であることもある）微分作用素とする。一次形式 formula_5 に関するその主表彰 formula_19 を取る（基本的に、今行っていることは最高次の共変微分 formula_20 をベクトル場 formula_5 で置き換える作業である）。
formula_17 が弱楕円型（weakly elliptic）であるとは、すべてのゼロでない formula_5 に対して formula_19 が線型の同型写像であることを言う。
formula_17 が（一様）強楕円型（strongly elliptic）であるとは、ある定数 formula_26 が存在して
がすべての formula_28 と formula_29 に対して成り立つことを言う。本記事の前部での楕円性の定義は「強楕円性」であることに注意するのは重要である。ここに formula_30 は内積である。formula_5 はコベクトル場あるいは一次形式であるが、formula_29 は formula_17 が作用するベクトル束の成分であることに注意されたい。
強楕円型作用素の典型的な例は、ラプラシアン（あるいはその -1 倍。これは慣習によって異なる）である。formula_17 は強楕円性のためには偶数次である必要があり、オプションですらある必要があることは容易に分かる。そうでない場合は、formula_5 とその -1 倍を同時に考慮すればよい。一方、のような一階の弱楕円型作用素が、ラプラシアンのような強楕円型作用素となるためには、自乗をすればよい。弱楕円型作用素の合成は、弱楕円型である。
弱楕円性はフレドホルムの交代定理や、アティヤ＝シンガーの指数定理に対しては十分強いものである。一方、最大値原理に対しては強楕円性が必要となり、その固有値が離散的であるためには、極限点が ∞ のみである必要がある。