ロホリンの定理

数学の一分野である 4次元の位相幾何学（トポロジー)において、ロホリンの定理とは滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M がスピン構造を持つならば(同値だが、第2スティーフェル・ホイットニー類 w2(M) = 0 であれば)、多様体の交叉形式の(signature)、第2コホモロジー群の二次形式 H2(M)は、16 で割り切れるという定理である。この定理は、1952年に(Vladimir Rokhlin)が証明した。
証明.
ロホリンの定理は、3-(stable homotopy group of spheres) πS3 が位数 24 の巡回群であるという事実から導くことができる。これがロホリンの元々の証明方法である。
ロホリンの定理はアティヤ＝シンガーの指数定理から導くこともできる。Â 種数とロホリンの定理を参照。
 では、幾何学的証明が与えられている。
ロホリン不変量.
ロホリンの定理は、滑らかなスピン多様体の符号は 16 で割り切れるという定理であるので、ロホリン不変量(Rokhlin invariant)の定義は次のようになる。
N が 3次元スピン多様体であれば、4次元スピン多様体 M の境界である。M の符号が 8 で割れるので、ロホリンの定理を容易に応用して、mod 16 の値が N に依存し M の選択には依存しないことを示すことができる。ホモロジー 3-球面は、ただひとつスピン構造を持つので、ホモロジー 3-球面のロホリン不変量を、M をホモロジー球面を境界とするスピン 4次元多様体としたときの Z/2Z の符号 (M)/8 であると定義することができる。
例えば、(Poincaré homology sphere)は、交叉形式 E8 を持つ 4次元スピン多様体の境界であるので、ロホリン不変量は 1 である。この結果は、いくつかの基本的結果を持っている。ポアンカレホモロジー球面は滑らかな formula_8 への埋め込みを持たなく、(Mazur manifold)の境界となる。
さらに一般的に、N が 3次元スピン多様体であれば（例えば、任意の Z/2Z ホモロジー球面）、N を境界とする任意の 4次元スピン多様体 M は、mod 16 でうまく定義できて、N のロホリン不変量と呼ばれる。位相 3次元多様体 N 上では一般ロホリン不変量(generalized Rokhlin invariant)は、定義域が N 上のスピン構造であり、s を N 上のスピン構造としてペア formula_9 のロホリン不変量として値を取る函数である。
M のロホリン不変量は、キャッソン不変量の mod 2 の半分の値に等しい。キャッソン不変量は、整数係数ホモとジー 3-球面のロホリン不変量の Z に値を持つリフトであるとみることもできる。
一般化.
ケルベア・ミルナーの定理(Kervaire–Milnor theorem) は、Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性球面であれば、
であるという定理である。特性球面は、ホモロジークラスがスティーフェル・ホイットニー類 w2(M) を表現するような埋め込まれた 2-球である。w2(M) が 0 であれば、Σ を任意の小さな球としてとることができ、自己交叉数が 0 であるので、このことはロホリンの定理から従う。
フリードマン・カービーの定理(Freedman–Kirby theorem) は Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性曲面であれば、
であるという定理である。ここに Arf(M,Σ) は H1(Σ, Z/2Z) 上のある二次系式の(Arf invariant)である。アルフ不変量は、Σ が球面であれば、ケルベア・ミルナーの定理の特別な場合となる。
フリードマン・カービーの定理の（滑らかな多様体以外の）位相多様体への一般化は、
となる。ここに ks(M) は M のカービー・ジーベンマン不変量である。M が滑らかであれば、M のカービー・ジーベンマン不変量は 0 である。
アルマン・ボレル(Armand Borel)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)は、次の定理を証明した。X を滑らかでコンパクトな次元が 4 で割れるようなスピン多様体であれば、(Â genus)は整数であり、X の次元が 4 mod 8 であれば偶数である。このことはアティヤ＝シンガーの指数定理から導き出すことができる。マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とイサドール・シンガー(Isadore Singer)は、Â 種数がアティヤ・シンガー作用素の指数であり、常に整数であり、次元が 4 mod 8 のときは偶数であるを示した。4-次元多様体に対しヒルツェブルフの符号定理は、符号は −8 に Â 種数をかけた値であるので、アティヤ＝シンガーの指数定理は、4次元の場合はロホリンの定理を含んでいる。
 は X がコンパクトな向き付け可能な滑らかでコンパクトな次元 4 mod 8 の多様体であれば、不当は 16 で割り切れることを証明した。