行列のスペクトル

数学の分野において、（有限次元）行列のスペクトル（ぎょうれつのスペクトル、）とは、その固有値の集合のことを言う。この概念は、無限次元の場合に作用素のスペクトルへと拡張される。行列の行列式は、その各固有値の積に等しい。同様に、行列の跡（トレース）は、その各固有値の和に等しい。この観点から、特異行列に対するを、そのゼロでない各固有値の積として定義することが出来る（多変量正規分布の密度と求める上で、この概念が必要となる）。
定義.
"V" を、ある体 "K" 上の有限次元ベクトル空間とし、"T": "V" → "V" をある線型写像とする。"T" の固有ベクトルとは、ある λ∈"K" に対して "Tx"λ"x" を満たすようなゼロでないベクトル "x" ∈ "V" のことを言い、このときの値 λ のことを "T" の固有値と言う。そのような固有値からなる集合のことを、"T" のスペクトルと言い、σ"T" と表す。
今、"K" 上の "V" の基底 "B" を固定し、"M"∈Mat"K"("V") をある行列とする。線型写像 "T": "V"→"V" を各点ごとに "Tx"="Mx" で定義する。但し、右辺の "x" は列ベクトルと解釈され、"M" は "x" に対する行列乗算である。今、 "x"∈"V" が "T" の固有ベクトルであるなら、それは "M" の固有ベクトルであると言うことにする。同様に、λ∈"K" が "T" の固有値であるなら、それは "M" の固有値であると言うことにし、σ"M" と書かれる "M" のスペクトルは、そのような固有値の集合のことを言う。