ダフィング方程式

数学におけるダフィング方程式（ダフィングほうていしき、）あるいはダフィング振動子（Duffing oscillator）は、ある減衰的な駆動振動子をモデル化するために用いられる非線型の二階常微分方程式である。次の式で与えられる：
ここで（未知）函数 は時間 での位置、formula_2 は の時間に関する一階導函数、すなわち速度で、formula_3 は の時間に関する二階導函数、すなわち加速度である。数 formula_4 および formula_5 は与えられた定数である。
この式は、（formula_6 の場合に対応する）単振動よりも複雑なポテンシャルを持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの剛性がフックの法則に従わないのモデルと見なされる。
ダフィング方程式は、カオス的挙動を示す力学系の一例である。ジャパニーズ・アトラクタがダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。
解の方法.
一般に、ダフィング方程式の厳密な記号解が得られるとは限らない。しかし、以下のような多くの近似手法が利用できる：
非減衰（formula_15）かつ非駆動（formula_16）なダフィング方程式の特別な場合においては、を利用することで厳密解を得ることができる。
非減衰かつ非強制振動子の解の有界性.
非減衰かつ非強制（formula_17）なダフィング方程式に formula_2 を掛けると、次の式が得られる：
ここで は定数である。 の値は初期条件 formula_20 および formula_21 によって決まる。
 に formula_22 を代入することで、システムはであることが分かる：
formula_8 と formula_9 のいずれも正であるなら、解は有界である：
ここでハミルトニアン は正である。