原始元 (有限体)

体論において、有限体 GF("q") の原始元 (primitive element) とは、体の乗法群の生成元のことである。言い換えると、 が、GF("q") の1の原始 ("q" − 1)-乗根であるとき、原始元という。つまり零以外の GF("q") のすべての元は整数 "i" によって α"i" と表すことができる。
例えば、2 ∈ GF(5) は体 GF(5) の原始元であるが、2 ∈ GF(7) は体 GF(7) の原始元ではない。なぜなら、 は位数 3 の巡回部分群 しか生成しないからである。一方、 は GF(7) の原始元である。原始元の最小多項式は、原始多項式である。
性質.
原始元の数.
有限体 GF("q") の原始元の数はφ("q" − 1) である。ここに φ("m") はオイラーのトーシェント関数であり、1 以上 "m" 以下の "m" と互いに素な整数の個数を数える函数である。このことは、有限体 GF("q") の乗法群は位数 のであるという定理と、位数 "m" の巡回群の生成元は φ("m") 個あるという事実から証明できる。