双曲型集合

数学のにおいて、ある滑らかな多様体 "M" の部分集合 Λ が、ある滑らかな写像 "f" に関する双曲型構造（そうきょくがたこうぞう、）を持つとは、その接束を二つの不変なに分解でき、"M" 上のあるリーマン計量に関して、その一方は "f" の下で縮小で、もう一方は拡大となることを言う。類似の定義はフローに対しても適用できる。
全多様体 "M" が双曲型であるような特別な場合は、写像 "f" はと呼ばれる。ある双曲型集合上での "f" の力学、あるいは双曲型力学と呼ばれるものは、局所的な構造安定性を示すもので、長い間多くの研究がなされている。例えばを参照。
定義.
"M" はコンパクトかつ滑らかな多様体、"f": "M" → "M" は微分同相、"Df": "TM" → "TM" は "f" のとする。"f"-不変な "M" の部分集合 Λ が双曲型である、あるいは双曲型構造を持つとは、"M" の接束の Λ への制限を、安定束 "E""s" および不安定束 "E""u" と呼ばれる二つの "Df"-不変な部分束に分解できることを言う。"M" 上のあるリーマン計量に関して、"Df" の "E""s" への制限は縮小であり、"E""u" への制限は拡大となる。したがって、ある定数 0<"λ"<1 および "c">0 が存在し、
および
が成り立つ。Λ が双曲型であるなら、"c" = 1 となるようなあるリーマン計量が存在し、そのような計量は適合（adapted）と呼ばれる。