次元論 (代数学)

数学において、次元論（じげんろん、）は可換環論の一分野であり、可換環の次元の概念や、より一般にスキームのそれを研究する分野である。
理論はアフィン環、すなわち体上有限生成多元環である整域に対しては、はるかに単純である。により、そのような環のクルル次元は基礎体上の超越次数であり、理論は代数幾何学と並行して進む。を参照。一般的な理論は幾何学的でなくなる傾向がある。特に、ネーター的でない環に対して知られていることはほとんどない。（Kaplansky の commutative rings は非ネーターのケースに詳しい。）今日、標準的なアプローチは本質的にブルバキとEGAのアプローチである。これは次数付き加群を本質的に使い、他のものの中で射影多様体の次数の一般化である重複度の役割を強調する。このアプローチでは、クルルの単項イデアル定理は系として現れる。
この記事を通して、formula_1 は環のクルル次元を表し、formula_2 は素イデアルのクルル次元（すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元）を表す。
基本的な結果.
"R" をネーター環または付値環とする。すると
である。"R" がネーター環であるときは、これは下記の基本定理（特に、クルルの単項イデアル定理）から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。"R" の任意の素イデアル formula_4 に対して以下が成り立つ。
これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。formula_10 の各ファイバーにおいて、長さ formula_11 の素イデアルの列は存在しえない。
アルティン環（例えば体）の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 "R" に対して
基本定理.
formula_13 をネーター局所環とし、"I" を formula_14-準素イデアル（すなわち formula_14 のあるベキと formula_14 の間にある）とする。formula_17 を formula_18 のポワンカレ級数とする。つまり、
ただし formula_20 は（アルティン環 formula_21 上の）加群の長さを意味する。formula_22 が "I" を生成するとすれば、それらの formula_23 における像は次数 1 をもち formula_24 を formula_25-多元環として生成する。ヒルベルト・セールの定理によって、"F" は位数 formula_26 の極を formula_27 にちょうど1つもつ有理関数である。
であるので、formula_29 における formula_30 の係数は
の形であることがわかる。つまり、formula_32 は "n" の次数 formula_33 の多項式 formula_34 である。"P" は formula_24 のヒルベルト多項式と呼ばれる。
formula_36 とおく。また、formula_37 を "R" の formula_14-準素イデアルを生成できる、"R" の元の最小個数とする。我々の目標は次の基本定理を証明することである。
"s" を formula_37 であるようにとることができるから、既に上記から formula_41 である。次に formula_42 を formula_43 についての帰納法で証明する。formula_44 を "R" の素イデアルの列とする。formula_45 とし、"x" を 0 でも単元でもない "D" の元とする。"x" は零因子でないので、完全列
がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって formula_47 である。（これは本質的にアルティン・リースの補題から従う。ステートメントと証明はヒルベルト・サミュエル関数を参照。）formula_48 において、列 formula_49 は長さ formula_50 の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、
である。主張が従う。formula_52 を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。
（注意：このとき formula_56 は formula_14-準素である。）証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは を使うことだ。
基本定理から得られる結果.
formula_13 をネーター局所環とし、formula_59 とおく。すると、
formula_68 がネーター局所環の射であれば、
である。等号は formula_68 が平坦であれば、あるいはもっと一般的に上昇定理が成り立てば、成り立つ。（ここで、formula_71 はと考える。）
証明： formula_72 が formula_73-準素イデアルを生成するとし、formula_74 をそれらの像が formula_75-準素イデアルを生成するようなものとする。するとある "s" について formula_76 である。両辺を何乗かすることにより、formula_77 のあるベキが formula_78 に含まれることがわかる。すなわち、後者のイデアルは formula_77-準素である。したがって、formula_80 である。等号については going-down property から直ちに従う。
"R" がネーター局所環であれば、
証明： formula_82 が "R" の素イデアルの鎖であれば、formula_83 は formula_7 の素イデアルの鎖であるが、formula_85 は極大イデアルではない。したがって、formula_86 である。逆向きの不等号を言うために、formula_87 を formula_7 の極大イデアルとし、formula_89 とする。formula_90 は単項イデアル整域であるので、前の不等式によって formula_91 を得る。formula_87 は任意だったので、このことより formula_93 である。
正則環.
"R" をネーター環とする。有限 "R"-加群 "M" の射影次元は "R" の射影分解の最短の長さ（無限でもよい）であり、formula_94 と表記される。formula_95 とおく。これは "R" の大域次元と呼ばれる。
"R" は局所環で、その剰余体を "k" とする。
証明： 次のことを主張する。任意の有限 "R"-加群 "M" に対して、
dimension shifting （cf. 下記のセールの定理の証明）によって、formula_97 に対してこれを証明すれば十分である。するとしかし、平坦性の局所的判定法によって、formula_98 である。今、 
であるので、証明が完了する。
証明： formula_100 であれば、"M" は "R"-自由でありしたがって formula_101 は formula_102-自由である。次に formula_103 と仮定する。すると、"K" がある自由加群から "M" への全射の核であるとき、formula_104 である。したがって、帰納法により、formula_105 の場合を考えれば十分である。このとき射影分解
が存在して、これより
しかし、formula_108 を "M" でテンソルすることで、最初の項が消えることがわかる。それゆえ、formula_109 は高々 1 である。
証明： "R" が正則であれば、formula_110 と書ける、ただし formula_111 はパラメータの正則系である。有限加群の完全列 formula_112、 "f" は極大イデアルのある元、formula_113 によって、
しかしここで "f" は "k" を殺すので 0 である。したがって、formula_115 でありその結果 formula_116 である。これを使って、次を得る。
逆の証明は formula_118 についての帰納法による。inductive step を先にやる。formula_119 をパラメータ系の元として formula_120 とおく。"R" が正則であることを示すためには、formula_102 が正則であることを示せば十分である。しかし、formula_122 であるので、帰納法の仮定と前の補題で formula_123 としたものによって、
basic step が残っている。formula_125 とする。formula_126 が有限であれば 0 であると主張する。（このことは "R" が半単純環、すなわち体であることを意味している。）もしそうでないと仮定すると、ある有限加群 formula_127 が存在して formula_128 であり、したがって実は formula_105 であるような "M" が存在する。中山の補題によって、全射 formula_130 であって formula_131 が同型であるようなものが存在する。"K" でその核を表記すれば、
formula_133 であるので、"K" は自由である。formula_125 であるので、極大イデアル formula_14 は "R" の素因子である。すなわち、ある "s" ∈ "R" に対して formula_136 である。formula_137 であるので、formula_138 である。"K" は 0 でないので、このことは formula_139 を意味し、矛盾である。証明が完了した。
深さ.
"R" を環とし "M" をその上の加群とする。"R" の元の列 formula_72 は次のとき正則列と呼ばれる。formula_141 は formula_127 の零因子でなく、formula_143 は各 formula_144 について formula_145 の零因子でない。
"R" を局所環とし、その極大イデアルを "m" とする。すると、"M" の深さは "m" における任意の極大正則列 formula_143 の長さの上限である。formula_147 であることを（例えば帰納法によって）示すのは容易である。"R" の深さが次元に等しいとき、"R" はコーエン・マコーレー環と呼ばれる。
 は深さと射影次元を関係づける。