射影被覆

数学において、射影被覆（しゃえいひふく、）とは、射影加群 と加群 へ全射準同型写像 の組のうちで、核が‘最小’になるもののことをいう（#定義）。
動機.
任意の加群 はある射影加群 の全射準同型像である。
したがって準同型定理より
である。
そこで加群 を が‘最小’になるように選んで、射影加群 で‘近似’したものを射影被覆という。
より正確には のすべての部分加群 に対して
が成り立つとき、 は射影被覆であるという。
定義.
 を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 加群、射はすべて左 加群の準同型を指すことにする。
加群 の部分加群 が の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての の部分加群 に対して
が成り立つことをいう。また全射 の核 が の余剰部分加群であるとき、 は余剰全射（superfluous epimorphism）であるという。
射影加群 と加群 への全射
の組 が 射影被覆 であるとは、 が余剰全射であることをいう。このことを が射影被覆であるといったり、 が射影被覆であるといったりすることもある。
性質.
一意性.
一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する。）
もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。
直和.
 が射影被覆ならば、
 も射影被覆である。
既約加群の射影被覆.
 をゼロでない射影加群とする。
射影加群 がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 のゼロでないすべての商加群が直既約であることである。