和分差分学

数学の一部門としての差分法（さぶんほう、）あるいは和分差分学（わぶんさぶんがく、）は、（微分法および積分法を柱とする）微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が（極限の概念を定式化し得る）連続的な空間上の函数（特に実数直線上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 上で定義された函数（すなわち数列）に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。
差分および和分.
よく知られた連続的な微分法は
で定義される微分作用素 に基づくのに対し、離散的な差分法は
で定義される差分作用素 に基づく。
逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 が差分作用素に対して
を満足するものとして定義される。ただし、 は連続的な微分積分学における に対する と同様の意味で（ここでは） に対する符牒である。また は整数 に対して定数となるような任意の函数 () とする。
定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和 を用いれば
なる関係にある。
性質.
固有函数.
微分作用素の作用の下で不変な函数が を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下ではを底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。
階乗冪函数.
下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 に対して
と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを
のように表すことができる。ここに は -番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる。formula_9 なることも用いた。
積の差分法則と部分和分.
連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が
なる形で成り立つ。シフト作用素 を で定めれば、短く
と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式
が得られる。