セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグ により導入された。有名なリーマンゼータ函数
の類似で、ここに formula_2 は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。formula_3 を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。
あるいは、
ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。
有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。
セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。
ゼロ点は次のような点である。
ゼータ函数は、formula_9 で極をもち、点 formula_10 で、極、もしくはゼロ点を持つ。
伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。
モジュラ群のセルバーグゼータ函数.
formula_11 をモジュラ群として、曲面が formula_12 である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。
この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。
特に、リーマンゼータ函数が formula_7 でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は formula_15 で極をもつので、セルバーグゼータ函数は formula_15 でゼロ点を持つ。