ビアンキ分類

数学では、(Luigi Bianchi)の名前に因んだ、ビアンキ分類(Bianchi classification)は、リー代数の分類である。
3-次元実リー代数は、11個のクラスに分類され、その中の 9個は単独のグループで、残る 2つは同型類で繋がるという性質を持っている。（2つのグループは、無限個の族をなし、11個のグループの中に含まれることがあり、9個のグループをなることがある。）
次元 0.
唯一のリー代数は、可換リー代数 R0 である。
次元 1.
唯一のリー代数は、可換リー代数 R1 で非零の実数からなる群で外部自己同型群を持っている。
次元 2.
2つのリー代数が存在する。
次数 3.
VIII 型と IX 型を除くすべての 3-次元リー代数は、R2 と R との半直積として構成することができる。ここに R は 2 × 2 の正方行列 M により R2 上へ作用する。リー代数の分類の型の違いは、行列 M の種類の違いであり、これらの型別の違いを以下にあげる。
3-次元複素リー代数の分類は、VIII型を除き同様であり、IX型は同型となり、VI型と VII型は双方ともリー代数の単純な族の部分となる。
連結な 3-次元リー群は、次のように分類することができる。中心の離散部分群で割った単連結リー群の商である。従って、上の表から読み取ることができる。
このグループ分けは、サーストン(Thurston)の幾何化予想の 8つの幾何学に関連している。さらに詳しくは、8つの幾何学の内の 7つは、単連結群上の左不変計量として実現することができる（もうひとつの方法も、ときには関連することがある。）サーストンの型が S2×R の幾何学はこの方法では実現することができない。
構造定数.
3-次元ビアンキ空間はそれぞれ、次の性質を満たす 3つのキリングベクトル formula_1 の集合をもつ。
ここに、formula_3 は群の「構造定数」で、低い 2つのインデックスで定数のオーダー 3のテンソル反対称テンソルである。3-次元ビアンキ空間 formula_3 は、関係式
で与えられ、ここに formula_6 はレヴィ・チビタ記号であり、formula_7 はクロネッカーのデルタで、ベクトル formula_8 と 対角テンソル formula_9 は次の表により記述される。formula_10 は formula_9 の i-番目の固有値を与え、パラメータ a はすべての正の実数を渡る。
ビアンキ空間の曲率.
ビアンキ空間は、リッチテンソルが空間と座標に依存しない(basis vector)の積へ(separated)することが可能であるいう性質を持っている。
計量
が与えられると、リッチ曲率テンソルは、formula_14 は、
により与えられる。ここに構造定数のインデックスは、formula_17 の函数ではない formula_18 の足を上げ下げする。
天文学への応用.
天文学では、この分類は次元 3 + 1 の次元の等質時空に対して使われる。フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量は等長で、I型、V型 の特別な場合である VII}h型と IX型である。ビアンキ I型モデルは、特別な場合として(Kasner metric)を持っている。ビアンキ IX型宇宙は(Taub metric)である。しかしながら、特異点の近くの力学は、一連のカスナー（ビアンキI型）周期により漸近的に統制される。完全な力学は、カオス的な振る舞いをしており、双曲空間の一部では本質的に非常に大量な運動が観測され、(Mixmaster)と命名され、ベリンスキー(Belinskii)、カラトニコフ(Khalatnikov)やリフシッツ(Lifshitz)に従うと、(BKL singularity)として解析される。さらに最近の仕事では、ローレンツ的なカッツ・ムーディ代数やワイル群(Weyl group)や双曲的コクセター群を空間的(spacelike)な特異点（BKL-極限）の近くの（超）重力理論の関係式が確立されている。さらに、カスナー写像の離散的性質と連続的な一般化と関係している別な仕事もある。