ブロッホ群

数学において、ブロッホ群（）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前は () と () に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。 
ブロッホ・ウィグナーの関数.
は に対して次の冪級数で定義される。
この冪級数から二重対数関数の積分表示
が得られる。ただし二重対数関数は2点 で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から への積分路は formula_3 の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると に分岐はないように見えるが、実は を周回したシート上に の分岐が現れる。）この積分表示によって は formula_3 の普遍被覆空間に正則に解析接続される。
ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。
 には次のような著しい性質がある。
最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である 。
ブロッホ群の定義.
 を体とし、formula_9 を formula_10 の元 に対する により Z 上生成された自由加群とする。また formula_11 を
の形の元の生成する の部分加群とし、formula_13 と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を に線形に拡張し、 に対して と定める。すると の 5項関係式は
と言い換えられ、従って は formula_15 上定義される。さて、
を、formula_17 に対しては と定め、これを に線形に拡張したものとする。（ が formula_18 上 well-defined であることをみるには formula_19 をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 formula_20 を
と定義する 。松本の定理により formula_22 を 2次の代数的K群として formula_23 が知られている。formula_24 は の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。
K3 とブロッホ群の関係.
 を無限体とする。このとき formula_26 は の取り方に依らない。 を無限次単項行列のなす の部分群、 をキレンのプラス構成とすると、
が成り立つ 。ここで formula_28 は 3次の代数的K群である。
さらに、ミルナーのK群を formula_29 として、formula_30　formula_31 を formula_32 のただ一つの非自明な 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。
3次元双曲幾何学との関係.
ブロッホ・ウィグナー関数 formula_34 は formula_35 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。formula_36 を実3次元の双曲空間とし、formula_37 と半空間表示する。formula_36 の無限遠点の全体 formula_39 は formula_40 とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、formula_41 を無限遠点上の頂点として formula_42 で表す。四面体の(符号付き)体積を formula_43 と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、
であり、特に formula_45 である。formula_34 の5項関係式は、退化した理想的 4単体 formula_47 の境界の体積が 0 であることと
とは同値である。
加えて、3次元双曲多様体 formula_49 が与えられると、
と分解する。ここに formula_51 は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて formula_52 上の無限遠点にある。ここに formula_53 は formula_54 となるある複素数である。各々の理想四面体は、formula_55 となる複素数 formula_56 （四面体の頂点の複比となるが、）に対し formula_57 を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ formula_56 にのみ依存する。 は、理想四面体 formula_59 に対し formula_60 ただし formula_34 はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、
を得る。モストウの剛性定理は、formula_63 であるすべての formula_64 に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。
一般化.
二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は と により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 formula_65 が、代数的K理論やと関係するということが、広く予想されている。また、により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。