リースの拡張定理

数学におけるリースの拡張定理（リースのかくちょうていり、）は、の研究の際にリース・マルツェルによって証明された定理である。
定理の内容.
"E" を実ベクトル空間とし、"F" ⊂ "E" をその部分ベクトル空間とする。また "K" ⊂ "E" を凸錐とする。
線型汎函数 "φ": "F" → R が "K"-正（"K"-positive）であるとは、錐 "K" 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：
線型汎函数 "ψ": "E" → R が "φ" の "K"-正拡張（"K"-positive extension）であるとは、それが "φ" の定義域においては "φ" に等しく、錐 "K" 内のすべての点に対して 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：
一般に "F" 上の "K"-正線型汎函数は、"E" 上の "K"-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、"x"-軸の負の開区間を除いた上半平面として "K" を取る場合が挙げられる。このとき "F" が実軸であるなら、正の線型汎函数 "φ"("x", 0) = "x" はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。
しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する：すべての "y" ∈ "E" に対して、"y" − "x" ∈"K" を満たすある "x"∈"F" が存在する。すなわち、"E" = "K" + "F" である。
証明.
超限帰納法により、dim "E"/"F" = 1 の場合のみを考えれば十分である。
ある "y" ∈ "E"/"F" を選ぶ。汎函数
を定め、線型性によって "ψ" を "E" へ拡張する。"ψ" は "K"-正であることを示す。
"K" 内のすべての点 "z" は、"x" ∈ "F" に対し、"x" + "y" あるいは "x" − "y" のいずれかの正の線型倍である。一つ目の場合、"z" = "a"("y" + "x") となるので、"y"− "("−"x)" = "z"/"a"  は "K" に属するとともに −"x"  は  "F"  に属する。したがって
となり、"ψ"("z") ≥ 0 である。二つ目の場合、"z" = "a"("x" − "y") なので、"y" = "x" − "z"/"a" となる。今、"z"1 = "y" − "x"1 ∈ "K" および "ψ"("x"1) ≥ ψ("y") − "ε" を満たすものとして "x"1 ∈ "F" を定める。このとき
であり、したがって "ψ"("z") ≥ −"a" "ε" である。これは任意の "ε" > 0 に対して成立するため、"ψ"("z") ≥ 0 となる。
系：クレインの拡張定理.
"E" を実線型空間とし、"K" ⊂ "E" を凸錐とする。R "x" + "K" = "E" を満たすものとして "x" ∈ "E"/(−"K") を定める。このとき、ある "K"-正線型汎函数 "φ": "E" → R が存在して "φ"("x") > 0 となる。
ハーン＝バナッハの定理との関係.
ハーン＝バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。
"V" を線型空間とし、"N" を "V" 上の劣線型函数とする。"φ" は部分空間 "U" ⊂ "V" 上の汎函数で "N" によって支配されるもの、すなわち
が成立するものとする。ハーン＝バナッハの定理では、この "φ" が "N" によって支配される "V" 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。
この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 "K" ⊂ R×"V" を次のように定める。
R×"U" 上の汎函数 "φ"1 を次で定める。
"φ"1 は "K"-正であり、"K" + (R × "U") = R × "V" となることが分かる。したがって "φ"1 は R×"V" 上の "K"-正汎函数 "ψ"1 に拡張することが出来る。このとき
が求める "φ" の拡張である。実際、"ψ"("x") > "N"("x") であるなら ("N"("x"), "x") ∈ "K" が得られるが、これは
となり、矛盾が生じる。