余接束

数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 () は、多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接層.
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接層の定義.
 を滑らかな多様体とし を の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 は の点 を の点 に送る。 の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。formula_1 を対角線上消える 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 formula_2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。余接層はこの層の へのである。
テイラーの定理によって、これは の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。
多様体における反変性.
多様体の滑らかな射 formula_4 は 上の formula_5 を誘導する。ベクトル束の formula_6 が存在する。
相空間としての余接束.
余接束 "X"="T"* はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。 の定義が底空間 の微分トポロジー () に関係づける方法のために、 は自然な 1-形式 （canonical one-form あるいは あるいは ）を有する。 の外微分は斜行 2-形式 () であり、そこから非退化体積形式 () が に対して構成できる。例えば、結果として は常に向き付け可能な多様体である（つまり の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 () と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 () と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
自然 1-形式.
余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) （"Poincaré" 1-形式あるいは "Liouville" 1-形式とも呼ばれる）をもっている。（この形式は、混乱を招くこともあるが、"canonical one-form" とも呼ばれる。）これが意味するのは、 をそれ自身多様体と見たときに、 上のベクトル束 ) の断面が存在するということである。
この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。 を基礎多様体 (base manifold) 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 が存在する： の特定の点における 1-形式は（アインシュタインの縮約記法を使って） の形をしている。なので多様体 はそれ自身局所座標 をもっている、ただし は基礎上の座標で はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において