アインシュタインテンソル

微分幾何学において、アインシュタインテンソル(Einstein tensor)（アルベルト・アインシュタインの名前に因んでいて、逆トレースリッチテンソルとしても知られている）は、擬リーマン多様体の曲率を表現することに使われる。アインシュタインテンソルは一般相対論において基本的な物理量であり、その基礎方程式であるアインシュタイン方程式に現れる。これは、エネルギー・運動量の保存則と整合するように時空の曲率を用いて重力を記述するものである。
定義.
アインシュタインテンソル formula_1 は、擬リーマン多様体上に定義されたランク 2 のテンソルであり、添字のない記法では、
として定義される。ここに formula_3 はリッチテンソルであり、formula_4 は計量テンソルであり、formula_5 はスカラー曲率である。成分を持つ形で表すと、上記方程式は、
のようになる。
アインシュタインテンソルは、ストレス・エネルギーテンソルと同じ性質を持っている。つまり、
と対称テンソルであって、さらに
と共変な意味での発散がない。
明示的な形.
リッチテンソルは計量テンソルのみにより与えられるので、アインシュタインテンソルは計量テンソルから直接的に定義することができる。しかしながら、この表現は煩雑で、教科書でも具体的に与えられることは稀である。まずは、クリストッフェル記号を用いて表すと、
となる。ここで、formula_10 はクロネッカーのデルタでクリスとフェル記号 formula_11 は計量を用いて、
と定義される。
キャンセレーションの前に、この公式は、formula_13 個の個別な項となる。キャンセレーションはこの数をいくらかは小さくする。
一点の近くの局所慣性座標系の特殊な場合には、計量テンソルの一階微分が 0 となり、アインシュタインテンソルの成分による表示はかなり単純化される。
ここに、鍵括弧は伝統的に括弧付き添字上で反対称性を表す。つまり
である。
トレース.
アインシュタインテンソルのトレースは、計量テンソル formula_16 をその定義の中に持つ方程式を縮約(contract)することにより計算される。（任意符号の） formula_17 次元では、