リーマン和

リーマン和（リーマンわ、）とは、
実数区間 formula_1 上で、 formula_2 なる数列があるとし、
代表点 formula_3 と数列の有限差分 formula_4 が
formula_5を満たし、
区間 formula_1 上で定義された実数値連続函数 formula_7 があるとき、
のことである。
この formula_9 での極限が、リーマン積分
である。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
しかし、
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， formula_11 を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．"
リーマン和はコーシーの左和 formula_12 と右和 formula_13 を源流とする。
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。
リーマン和の具体例.
被積分函数が単項式のとき.
例えば、formula_14 で formula_15 のとき
等差数列.
等差数列 formula_16 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
となる。
等比数列.
等比数列 formula_19 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
となる。
等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、
formula_9 での極限ではいずれも。
積分の結果が対数となるとき.
formula_14 で formula_25 のとき
等比数列 formula_19 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
となるが、 
formula_9 での極限をとると、
となる。
他方、
逆微分より
であるから、
が得られる。