剰余加群

抽象代数学において、加群と部分加群が与えられると、それらの剰余加群、商加群 (quotient module) を構成することができる。この構成は、以下で書かれるが、整数を整数 "n" を法として環を得る方法の類似である。合同式を見よ。剰余群や剰余環に用いられるのと同じ構成である。
環 "R" 上の加群 "A" と "A" の部分加群 "B" が与えられると、商空間 "A"/"B" は次の同値関係によって定義される。"A" の任意の元 "a" と "b" に対して
"A"/"B" の元は同値類 ["a"] = { "a" + "b" : "b" ∈ "B" } である。
"A"/"B" の加法の演算 は2つの同値類に対してこれらの類の2つの代表元の和の同値類として定義される。"R" の元による積についても同様である。このようにして "A"/"B" はそれ自身 "R" 上の加群となり、"商加群" や "剰余加群" (quotient module) と呼ばれる。記号で書けば、すべての "a", "b" ∈ "A" と "r" ∈ "R" に対して ["a"] + ["b"] = ["a"+"b"], "r"·["a"] = ["r"·"a"] である。
例.
実数の環 R と R-加群 "A" = R["X"]、実係数の多項式環を考えよう。"A" の部分加群
つまり、"X"2+1 で割り切れるすべての多項式からなる部分加群を考えよう。この加群によって決定される同値関係は
であることが従う。それゆえ、剰余加群 "A"/"B" において、"X"2 + 1 は 0 と同じである。なので "A"/"B" を R["X"] から "X"2 + 1 = 0 とすることによって得られると考えることができる。この剰余加群は複素数全体と、R上の加群として同型である。