カップ積

数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積（）は次数 "p", "q" の2つのから次数 "p" + "q" の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 "X" のコホモロジーは次数付き環 "H"∗("X") となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年に、、の研究によって導入され、1944年に Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。
定義.
特異コホモロジーにおいて、カップ積 (cup product) は位相空間 "X" の次数付きコホモロジー環 "H"∗("X") 上の積を与える構成である。
構成はまずの積から考える。"c""p" が "p"-コチェインで "d""q" が "q"-コチェインのとき、
とする。ここで σ は特異 ("p" + "q") -単体で、formula_2 は頂点が formula_3 によって添え字付けられている formula_4-単体の中への "S" によって張られた単体の標準的な埋め込みである。
インフォーマルには、formula_5 は σ の "p" 番目の前面であり、formula_6 は "q" 番目の後面である。
コサイクル c"p" および d"q" のカップ積のコバウンダリは
によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
を誘導する。
性質.
コホモロジーのカップ積は恒等式
を満たすので対応する積は (graded-commutative) である。
カップ積は次の意味で関手的である。
が連続写像であり、
がコホモロジーに誘導された準同型であれば、
が全ての類 α, β ∈ "H" *("Y") に対して成り立つ。言い換えると、"f" * は（次数付き）環準同型である。
他の定義.
カップ積と微分形式.
ド・ラームコホモロジーにおいて、微分形式のカップ積はウェッジ積によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。
カップ積と幾何学的交叉.
滑らかな多様体の2つの部分多様体が横断的に交わるとき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。
同様に、絡み数は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。
Massey積.
カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次のであり、部分的にしか定義されない（ある三つ組に対してしか定義されない）。