箙 (数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。によって1972年に導入された。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。
定義.
集合 と写像 が与えられたとき、組 を箙という。このとき の元を頂点、 の元を辺あるいは矢という。また辺 に対して頂点 を始点、 を終点という。
 は や とも書かれ、, は , とも書かれる。
頂点集合 と辺集合 が共に有限集合のとき、箙 は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。
辺の列 が条件 を満たすとき、辺の列 を道という。このとき を道の長さ、頂点 を道の始点、 を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。
ここで、頂点 のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は と定める。上と同様にこれを と表す。
道代数.
箙 に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 上の自由線型空間を とおく。ここで道 と に対して以下のように積を定める。
この代数 を道代数（）という。
例.
頂点集合 を {\longleftarrow} n </math>
このとき、道代数 は 次下三角行列のなす代数と同型である。
また頂点集合 を一点集合 {1}、辺集合 を , , とおく。このとき、道代数
 は自由代数 と同型である。
箙の表現.
箙 の表現とは，-次数付きベクトル空間 と線型写像 )}} の組である．
この表現 が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル とは のことである。
2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。
とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。
有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。
有限次元代数の表現論との関係.
有限な箙 のすべての辺から生成される道代数 の両側イデアルを とおく。このとき、道代数 の両側イデアル が認容的（）であるとは、
となる自然数 が存在することをいう。
代数的閉体 上の任意の有限次元代数 に対して、有限な箙 とその道代数 の認容的イデアル が存在して、有限次元代数 は商代数 と森田同値である。
ガブリエルの定理.
ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける。