楕円曲面

数学では、楕円曲面（だえんきょくめん、）は楕円ファイバーを持つ曲面であり、言い換えると、曲面からの代数曲線への連結な固有射が、ほとんどの点上のファイバーを楕円曲線とするような曲面である。
ファイバーが楕円曲線とならない点を特異ファイバー (singular fibers) と呼び、小平邦彦により分類された。弦理論の脈絡では、楕円ファイバーも特異ファイバーも (F-theory) を使う記述にとっても重要である。
楕円曲面は、曲面の興味深い例の多くを含む、曲面の大きなクラスで、複素幾何学の観点からも滑らかな(smooth) 4次元多様体の理論の観点からも、比較的良く理解されている。楕円曲面は代数体上の楕円曲線に似ている（つまり、類似している）。
特異ファイバーの小平による表.
楕円ファイバーのファイバーの大半は（非特異）楕円曲線である。残ったファイバーを特異ファイバーと言う。特異ファイバーは有限個しかなく、特異点を持つかもしれなくまたは0でない多重度ももつかもしれない有理曲線の合併により構成される。小平とネロンは独立に可能なファイバーを分類し、 (Tate's algorithm) は、数体の楕円曲線の上のファイバーのタイプを探すことに使うことができる。
次の表は、極小な楕円ファイバー構造の可能な限りのファイバーを一覧化した（「極小」は、大まかには、それよりも「小さな」ファイバーには分解することができないファイバーを言う。曲面の場合には、特異ファイバーは極小な曲線は含まないことを意味する）。
エンリケス・小平の分類.
この表は、次のようにして見つけ出すことができる。幾何学的議論により、ファイバーの構成要素の交叉行列は、負の半定置で、連結対称で、（最小性により）−1に等しい対角要素を持たない行列である必要がある。そのような行列は0かまたは、タイプのアフィンディンキン図形のカルタン行列の積である必要がある。
交叉行列は3つの例外としてファイバーのタイプを決定する。
対数変換.
楕円曲面、もしくは楕円ファイバーの（位数m中心pの）対数変換は、ベース空間の点pでの多重度1のファイバーを多重度mのファイバーへ変換する。逆も可能なので、高い多重度のファイバーは多重度1へ全て変換することができ、全ての多重なファイバーを省くことができる。
対数変換は非常に荒々しく使うことができ、小平次元を変えたり、代数曲面を非代数曲面へ変換することもできる。
例:
L を C の格子 Z+iZ とし、E を楕円曲線 C/L とすると、E×C から C への射影写像は、楕円ファイバーである。0 上のファイバーを多重度 2 のファイバーへどのように置き換えるかを示す。
(c,s) を (c+1/2, −s) へ写す位数 2 の E×C 上の自己同型が存在する。この群作用による E×C の商空間を X とする。(c,s) から s2 と写すことで X を C 上のファイバー空間とする。X から 0 上のファイバーを引いた空間から E×C から 0 上のファイバーを引いた空間へのファイバー構造を、(c,s) から (c-log(s)/2πi,s2) により定義する。（0 上の 2つのファイバーは楕円曲線には同型ではないので、ファイバー空間 X は確かに C 上の全てでファイバー空間 E×C と同型ではない。
ファイバー空間 X は 0 上で多重度 2 のファイバーを持っていて、そうでないところでは E×C のように見える。このことを、X は 0 を中心とした E×C への位数 2 の対数変換を適用することによって得ることができるという。