零因子

抽象代数学において、環の零因子（れいいんし、）とは、環の乗法において、
ような元のことである。
これは環の乗法における因子の特別な場合である。
定義.
環 formula_1 の元 formula_2 は、formula_3 となる formula_4 が存在するとき、すなわち
を満たすときに
左零因子（ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、）と呼ばれる。この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。
また、この定義は、"x" を "ax" に送る "R" から "R" への写像が単射でないことと同値である。同様に、環の元 "a" が右零因子とは、ある "y" ≠ 0 が存在して "ya"=0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 "a" は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（"ax" = 0 となる零でない "x" は "ya" = 0 となる零でない "y" とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。