台 (測度論)

数学の分野で、ある可測な位相空間 ("X", Borel("X")) 上の測度 "μ" の台（だい、）とは、その空間 "X" のどこでその測度が「生きている」かということに関する厳密な概念である。しばしば位相的台（topological support）やスペクトル（spectrum）と呼ばれることもある。そのような台は、すべての点のすべての近傍が正の測度を持つような、"X" の最大の（閉）部分集合で定義される。
動機.
ある可測空間 ("X", Σ) 上の（非負の）測度 "μ" は実際、函数 "μ" : Σ → [0, +∞] と表すことが出来る。したがって、通常の台の定義に従えば、"μ" の台は次のような σ-代数 Σ の部分集合となる。
しかし、この定義にはいくらか不十分な点がある。実際、Σ 上の位相すら与えられていないのである。今我々が本当に知りたいことは、空間 "X" 内のどこにおいて測度 "μ" が非ゼロとなるかということである。次のような二つの例を考えよう。
以上の二つの例を考慮すれば、以下に述べる定義の候補はいずれも却下されることが分かり、次の節で述べる定義が採用される。
しかし、「局所狭義正」（local strict positivity）の概念は、測度の台の定義として丁度良いものであることが、次節で分かる。
定義.
("X", "T") をある位相空間とする。"X" 上のボレル σ-代数、すなわち、すべての開集合 "U" ∈ "T" を含む "X" 上の最小の σ-代数を Borel("X") で表す。"μ" を ("X", Borel("X")) 上の測度とする。このとき、"μ" の台（あるいはスペクトル）は、すべての開近傍 "N""x" が正測度を持つような、"X" 内のすべての点 "x" の集合で定義される。すなわち、
で定義される。人によっては、この集合の閉包で定義することもある。しかし、そのような必要は無い。実際、次の節を参照されたい。また、そのような台の同値な定義として、次を満たすような最小の閉集合 "C" ⊆ "X"、というものがある。
すなわち、そのような台との共通部分が空でないようなすべての開集合は、正測度を持つということである。
例.
ルベーグ測度.
実数直線 R 上のルベーグ測度 "λ" と、ある任意の点 "x" ∈ R を考える。このとき、"x" の任意の開近傍 "N""x" は、ある "ε" > 0 に対する開区間 ("x" − "ε", "x" + "ε") を含む。この区間はルベーグ測度 2"ε" > 0 となるため、"λ"("N""x") ≥ 2"ε" > 0 となる。"x" ∈ R は任意だったので、supp("λ") = R が成り立つ。
ディラック測度.
ディラック測度 "δ""p" の場合、"x" ∈ R とし、次の二つの場合を考える。
以上より、supp("δ""p") は単集合 {"p"} の閉包、すなわち {"p"} 自身であると結論付けられる。
実際、実数直線上のある測度 "μ" がある点 "p" に対するディラック測度 "δ""p" であるための必要十分条件は、"μ" の台が単集合 {"p"} であることである。したがって、実数直線上のディラック測度は、分散がゼロであるような唯一つの測度である。
一様分布.
次のように定義される、実数直線 R 上の測度 "μ" を考える。
これはすなわち、開区間 (0, 1) 上の一様測度である。ディラック測度に関する議論と同様に、supp("μ") = [0, 1] であることが分かる。ここで境界上の点 0 および 1 は台に含まれることに注意されたい。すなわち、0（あるいは 1）を含む任意の開集合は、(0, 1) と共通部分を持つような 0（あるいは 1）に関するある開区間を含むものであり、したがって正の "μ"-測度を持つ。
台が空であるような非ゼロの測度.
「開区間」によって生成される位相を伴うすべての可算順序からなる空間は、局所コンパクトハウスドルフ空間である。非有界な閉部分集合を含むボレル集合に対しては 1 となり、その他のボレル集合に対しては 0　となるような測度は、台が空であるようなボレル確率測度である。
あるコンパクトなハウスドルフ空間上では、非ゼロ測度の台は常に空ではないが、測度 0 となることがある。このような例の一つとして、前述の例に第一非可算順序 Ω を加えることが考えられる。このとき、測度の台は単一の点 Ω となり、その測度は 0 である。
符号付測度および複素測度.
"μ" : Σ → [−∞, +∞] をある符号付測度とする。ハーンの分解定理を用いることで、
と書ける。但し "μ"± はいずれも非負の測度である。このとき "μ" の台は
と定義される。同様に、"μ" : Σ → C が複素測度であるなら、その台はその実部および虚部のそれぞれの台の合併で定義される。