二項級数

数学の特に初等解析学における二項級数（にこうきゅうすう、）は二項式ののマクローリン級数を言う。
定義.
具体的に、 を任意の複素数として、函数 が で与えられるとき、マクローリン展開
の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数
が用いられている。
なる形に書くことができるが、これは特に において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は において を代入して、二項係数の等式 formula_3 を適用すれば導出される。
収束性.
級数 の収束は冪指数 と変数 の値に依存する。より具体的に、
いま は非負整数ではないとし、 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える:
二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板 内で項別微分して式 を用いれば、この級数の和が常微分方程式 を初期値 のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は であり、それはつまり（少なくとも において）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を の連続性に基づいて適用した帰結である。
歴史.
自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を が有理数であるところの の形の式として利用して、ジョン・ウォリスは（現代的な記法で書けば）後続する の係数列 は先行する係数に（自然数冪のときと同様に） を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している
それゆえに、二項級数はニュートンの（一般）二項定理とも呼ばれる。のちにニールス・アーベルは1826年に『クレレ誌』に掲載された論文においてこの主題を取り上げ、特筆すべき収束問題として扱っている。