行列多項式

数学における行列多項式（ぎょうれつたこうしき、）は、行列を変数とする（一変数または多変数の）「多項式」を言う。行列多項式の係数には、スカラーや行列など、変数行列との積が定義できる様々な対象が考えられる。変数 が決まったサイズの正方行列を亙るものとすれば、行列多項式 には と同じサイズの行列 を代入することができて—代入した値を と書けば—評価写像 や「多項式函数」 などが定まる。
例えば、変数 に関するスカラー係数の一変数行列多項式は formula_1 ( はスカラー) という形に書ける。 に行列 を代入した formula_2 は行列として定まるから、各 にこの を対応させる写像はとして定まる。
行列多項式方程式 ("matrix polynomial equation") は二つの行列多項式が相等しいことを記述する式で、考えている式を満足する行列が限られるものを言う。適当な行列環 全体に亙る全ての行列が方程式を満足するならば、その行列多項式方程式は行列多項式恒等式 ("matrix polynomial identity") と呼ばれる。
通常の多項式に対する汎函数計算.
通常の（スカラー値の）多項式函数 formula_3 に対して、行列 formula_4 を「多項式 の行列 における値」と言う。
特性多項式と最小多項式.
行列 の「特性多項式 はである」。ところでケイリー–ハミルトンの定理の述べるところは、この多項式を行列多項式として 自身において評価した値が零行列となることであった: . すなわちその意味において、 の「特性多項式は において消えるである」。
 において消える次数最小の単多項式は一意に存在して、 の最小多項式と呼ばれる。 において消える任意の多項式（例えば特性多項式）は必ず最小多項式で割り切れる。
したがって、与えられた二つの多項式 に対し行列多項式方程式 が成り立つための必要十分条件は、 の固有値を とすれば各 -階微分（導多項式）に関して formula_5 が成り立つことである。ただし は固有値 に対応する指数（対応するジョルダンブロックの最大サイズ）である。
行列の幾何級数.
行列の幾何級数は通常の幾何級数と同様の仕方で計算できる。すなわち、行列多項式として と書くとき、formula_6 は一般に成り立つから、 が正則となる における評価 formula_7 は通常の通り正当化できる。あるいは となる冪零行列 における値は である（これは無限幾何級数の和と対応すると考えることができる）。