連続の方法

バナッハ空間の数学では、連続の方法(method of continuity)は、他の関係している作用素を変換して有界線型作用素を導く充分条件をもたらす。
定式化.
B をバナッハ空間、V をノルム付きベクトル空間とし、formula_1　を B から V への有界線型作用素の(norm)をもつ連続な族とする。ある定数 C が存在し、すべての formula_2 とすべての formula_3 に対し、
が成り立つとすると、formula_5 が全射であることと、formula_6 が全射であることとは同値である。
応用.
連続の方法は、楕円型偏微分方程式の適切な正規解の存在を証明するために、(a priori estimate)と一緒に使う。
証明.
formula_5 が全射であれば、formula_6 が同様に全射であることを示す。
区間 [0,1] を分割し、formula_9 であることを仮定し、さらに、formula_5 は V が B に同型であることを意味するので、V はバナッハ空間である。仮定は、formula_11 が閉空間であることを意味する。
formula_11 が固有な部分であると仮定する。ハーン-バナッハの定理により、formula_13 であり、formula_14 であるような点 formula_15 が存在する。ここである formula_3 に対し formula_17 とし、仮定より formula_3 であり formula_19 であるので、
となる。これは、formula_21 であるので矛盾が起きる。