レーマーの予想

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 formula_1 が存在して、すべての整数係数の多項式 formula_2 は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。
マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 formula_3 を formula_11 上分解して
とし、
と定義するものがある。
知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式
のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)
である。
この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の formula_16 であると広く信じられている。
動機.
一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、formula_12 であれば、
であることを示している。（このパラグラフを通して、formula_19 と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）
このことは、formula_20 が整数係数の多項式であれば、formula_21 が 1 以上の代数的数であり、従って、formula_22 は代数的整数の対数であることを示している。また、もし formula_23 であれば、formula_20 は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、formula_7 の単項式、つまり、ある formula_26 に対してべき formula_27 の積となることも示している。
レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 formula_20 に対する整数列 formula_29 の研究の中で、formula_23 が重要な数値であることに気づいた。もし formula_20 が円の上で 0 とならない場合は formula_32 であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。
あるいは、
以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。
部分的結果.
formula_2 を次数 formula_40 の既約モニック多項式とする。スミス は、自己相反多項式でない、つまり、
であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。
ブランクスビー(Blanksby)と(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数 formula_42 が存在し、formula_8 かまたは、:formula_44 を満たすことを証明した。
ドブロウォルスキー(Dobrowolski) はこの結果を改善し
とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている。
楕円の類似.
formula_46 を数体 formula_47 で定義された楕円曲線とし、formula_48 を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 formula_49 の楕円曲線の類似である。この高さについては、formula_50 であることと、formula_51 が formula_52 の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 formula_53 が存在し、すべての捩れのない点 formula_54 に対して、
となるという予想である。ここに formula_56 とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、
となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、(David Masser)による
という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)と(Joseph H. Silverman)による
という結果がある。
制限付きの結果.
より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。
P(x) が相反ではないとき、
となり、これは明らかに最良の場合である。さらに、"P" の係数がすべて奇数であれば、
となる。
αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ。