一般化線形混合モデル

一般化線形混合モデル（いっぱんかせんけいこんごうモデル、）とは、統計学において一般化線形モデルを拡張した統計解析モデルである。さらにこの一般化線形混合モデルを拡張し、事前分布に含まれる母数の事前分布を導入する場合には、階層ベイズモデルとみなされる。
モデル.
一般化線形混合モデルは、一般に、ランダム効果 formula_1 を条件とする従属変数 formula_2 が指数型分布族に従って分布し、その期待値がリンク関数 formula_3 を介して線形予測子 formula_4 に関連する、として定義される。
ここで、formula_6 は固定効果 formula_7 のデザイン行列、formula_8 はランダム効果 formula_1 のデザイン行列である。
この簡潔な定義を理解するためには、一般化線形モデルと混合モデルについての説明を参照のこと。
一般化線形混合モデルは、階層型一般化線形モデルのうち、ランダム効果の正規分布を仮定したものと考えることもできる。
完全尤度 formula_10 は次式で表され、多くの場合、膨大な計算量が必要になる。
Gauss-Hermite 求積法などによる数値積分のほか、ラプラス近似を用いた方法も提案されている
罰則つき疑似尤度法（penalized quasi-likelihood method）は、重み付き正規混合モデルを作業変数で繰り返しフィッティングするものであり、多くの商用ないしオープンソースの統計プログラムで実装されている。
モデルのフィッティング.
最尤法による一般化線形混合モデルのフィッティングにはランダム効果の積分が必要だが、一般的に、解析的な形では表現できない。様々な近似法が開発されたが、どんなモデルとデータセットにも上手く適用できるような方法はない。このため、計算能力の向上と手法の進歩により、数値積分やマルコフ連鎖モンテカルロ法が広く用いられるようになった。
モデル選択の基準としては、赤池情報量規準（AIC）が一般的である。最近、ある指数型分布族の分布に基づく、一般化線形混合モデルの AIC の推定値が得られた