重調和方程式

数学における重調和方程式（）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：
ここで は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 の自乗で、重調和作用素 として知られている。
例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。
重調和方程式の解は重調和関数 と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。
重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。
2次元空間.
2次元の場合の一般解は
ここで formula_4 は調和関数で formula_5 は formula_6 の調和共役である。
2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：
ここで formula_8 と formula_9 は解析関数である。
2次元の極座標系では、重調和方程式は
となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はと呼ばれる。
例.
 次元ユークリッド空間において、
ただし
は、 のときのみ、重調和方程式となる。