GNS表現

作用素代数や数理物理学において、GNS表現（GNSひょうげん、）、またはGelfand-Naimark-Segal表現とは、C*-代数に対し、状態と呼ばれる正値線形汎関数が与えられたときに、ヒルベルト空間上の有界作用素による表現を構成する手法。GNSの名は、1940年代にGNS表現を導入した三人の数学者ゲルファント（Gelfand）、（Naimark）、（Segal）の頭文字に由来する。GNS表現では、巡回ベクトルと呼ばれる特別な元に有界作用素による表現を作用させることで、表現空間であるヒルベルト空間自体を生成することができるともに、状態に対する作用素の値は、巡回ベクトルとの内積による期待値として与えられる。このことから、作用素代数に基づく場の量子論や量子統計力学の代数的なアプローチでは、物理量である作用素のなす代数から理論を構築しても、GNS表現を用いることで、通常のヒルベルト空間論に基づく理論との対応づけが可能となる。
内容.
C*-代数formula_1において、formula_2を状態（state）、すなわち、以下の性質を満たす、formula_1から複素数体formula_4への規格化された正値線形汎関数とする。
(1) 線形性 formula_5
(2) 正値性 formula_6
(3) 規格化条件 formula_7
このとき、formula_1のヒルベルト空間formula_9上の表現、すなわち、formula_1からformula_9の有界作用素のなす代数formula_12への*-準同型写像 formula_13で、次の条件を満たすものを構成することができる。この表現をGNS表現と呼ぶ。
1.　ある元formula_14が存在し、
を満たす。但し、formula_16はformula_9上の内積である。
2.　formula_18は巡回ベクトル（cyclic vector）をなす。すなわち、
はノルムによる強位相について、formula_9で稠密である。
なお、1.のように内積の形式で与えられる状態をベクトル状態といい、2.のように巡回ベクトルをもつ表現を巡回表現という。
GNS表現により、状態formula_21から導入される組formula_22をGNS構成と呼ぶ。GNS構成はユニタリ同値を除いて、一意的である。したがって、formula_22とformula_24がともにGNS構成であるとき、ユニタリ作用素 formula_25が存在し、
が成り立つ。
既約表現と純粋状態.
GNS構成formula_22において、巡回ベクトルformula_18から表現空間の元formula_29が生成されることは、ちょうど場の量子論でフォック空間の元が真空から生成されることに対応している。但し、フォック空間の場合には二つの状態ベクトルは生成消滅演算子の作用により互いに移りわたれるため、任意の元が巡回ベクトルとなる。こうした性質は、表現の既約性と関連する。表現が既約表現であるとは、不変部分空間がformula_30と表現空間formula_31のみであるときのことをいう。C*-代数の表現が既約表現であるとき、表現空間のゼロベクトルを除く任意の元が巡回ベクトルとなる。
一方、状態の観点からは、既約表現となるGNS表現を導く状態は、純粋状態（pure state）と呼ばれる特別な状態となる。状態formula_21 が純粋状態であるとは、formula_21が異なる二つの状態formula_34、formula_35による凸結合formula_36の形に書き表せないときのことをいう。
GNS構成formula_22で、特に以下の3つの条件は同値となる。
1. formula_38は既約表現である。
2. 状態formula_21は純粋状態である。
3. 状態formula_21は、formula_1上の全ての状態のなす集合formula_42で端点(extreme point) である。
表現の構成方法.
GNS表現を構成する基本的なアイデアは、状態formula_21から内積を導入し、この内積から定まるノルムについての完備化により、ヒルベルト空間を構成することである。formula_44と定めると状態の線形性と正値性からは、formula_45は非退化条件 formula_46を除いて、内積の性質を満たす。ここで、部分集合formula_47を考えるとformula_48は左イデアルであり、同値類formula_49による商空間formula_50を考えることができる。このとき、formula_51 は非退化条件を満たし、内積となる。この内積空間であるformula_50を完備化することでヒルベルト空間formula_9が得られ、特にformula_50はformula_9で稠密である。ここでformula_56として、formula_57で定義すると代表元formula_58に依らず、well-definedな表現となる。議論を簡単にするため、formula_1が単位元formula_60を持つとすると、formula_61で定義される元は、formula_62を満たすともに、formula_63であり、巡回ベクトルとなる。
ゲルファント＝ナイマルクの定理.
GNS表現を応用することで、C*-代数の基本構造定理である「任意のC*-代数formula_1はあるヒルベルト空間formula_31上の有界作用素のなす具体的なC*-代数formula_66と等距離*-同型である」というゲルファント＝ナイマルクの定理を導くことができる。formula_42を状態全体からなる集合としたときに、GNS表現の族formula_68から直和表現
を構成すると、これはformula_70を満たす忠実な表現であり、formula_1はformula_66と等距離*-同型となる。