ルジャンドル予想

ルジャンドル予想（）とは、任意の自然数 について、 と の間には必ず素数が存在するという予想である。フランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより提起された。2022年現在、未解決問題となっている。
概要.
ルジャンドル予想は素数の間隔に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数 と次に大きい素数までの間隔は、高々 のオーダーになる。スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数の間隔がより小さく のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きな に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。
素数定理より、 と の間に含まれる素数の個数（）は、formula_1 に漸近する。これは が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。
進展.
1975年に陳景潤が、任意の自然数 に対し と の間には必ず素数か半素数が存在することを示した。
また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、 が十分大きければ と の間には必ず素数が存在することを示している。
他にも、十分大きな について、区間 formula_2 は必ず素数を含むということが証明されている。ここで はランダウのO-記法である。
計算により、 までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている。もし の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。