アーベル総和法

解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。
導入.
複素数値の数列 に対し、級数 が値 に収束するとは、部分和
が通常の数列の収束の意味で値 に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。
例えば、とするグランディ級数 は
となり、通常の意味では収束しない。ここで、 を を満たす複素数とし、 を各項 に収束因子として乗ずると、ベキ級数
は、 で
に一様収束する。このとき、左極限 は収束し、
となり、級数 に値 を対応させることができる。
定義.
複素数値の数列 に対し、ベキ級数
が で収束し、左極限が
と有限値 になるとき、値 にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、
もしくは
と記す。また、このように の級数を の左極限 で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。
なお、 は部分和
によって、
とも表すことができる。したがって、 は部分和の列 に
を満たす因子 を乗じて、和を取っていることになる。
性質.
アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に について、-総和可能であれば、アーベル総和可能である。
例.
で定義される数列 に対し、
は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数
は で収束し、
となることから1/4にアーベル総和可能である。
拡張.
(A, λn)-総和法.
 を
を満たす単調増加な数列とする。ここで級数
が任意の について収束し、かつ左極限 が存在し、
と有限値 になるとき、級数 は に -総和可能という。
特に の場合は、アーベル総和法に一致する。
(J, pn)-総和法.
アーベル総和法において、ベキ級数 は部分和の列 によって、
と表すことができる。より一般に、数列 が
を満たし、 によって定義されるベキ級数
が収束半径 を持つとする。このとき、
が で収束し、かつ
が成り立つとき、値 に -総和可能という。
タウバー型定理.
一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。
フーリエ級数の収束.
アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。を長さ の有界区間 で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ を満たす周期関数とする。このとき、 は次の形のフーリエ級数展開を持つ。
第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、 が連続となる点において に収束する。特に が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、
を導入すると、この級数は で収束し、かつ が連続となる点で左極限 は に一致する。この結果の議論はポアソン核
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の性質に基づく。 上で可積分な関数、に対して、畳み込み積分を
で定義すると、
であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。