真性特異点

数学の複素解析の分野において、ある関数の真性特異点（しんせいとくいてん、）とは、その近くで関数が極端な挙動を取るような「悪い」特異点のことを言う。
真性特異点が分類されるカテゴリーは、「残り物」あるいは「特に取り扱いづらい」特異点の集団である。すなわち定義によると、ある方法で取り扱うことの出来る二つの特異点のカテゴリーである可除特異点と極に分類されないものが、真性特異点である。
定義.
複素平面 C のある開部分集合 "U" を考える。"a" を "U" の元とし、formula_1 を正則関数とする。点 "a" がその関数 "f" の真性特異点であるとは、可除特異点および極のいずれでもないことを言う。
例えば、関数 "f"("z") = "e"1/"z" に対して "z" = 0 は真性特異点である。
性質と特徴づけ.
"a" を複素数とし、"f"("z") は "a" で定義されないが複素平面内のある領域 "U" において解析的であるとする。また、"a" のすべての開近傍と "U" の交わりは空でないとする。
その他の真性特異点の特徴として、その点における "f" のローラン級数の負の次数の項が無限個存在する（すなわち、そのローラン級数の主要部が無限和）というものがある。それに関連する真性特異点の定義として、ある "a" に対して、formula_10 がどんな整数 "n" > 0 に対しても微分可能でないなら、"a" は "f" ("z") の真性特異点である、というものがある。
真性特異点の近くでの正則関数の挙動は、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理とピカールの大定理によって記述される。後者の定理は、"a" が関数 "f" の真性特異点 であれば、"a" のすべての近傍において、関数 "f" は高々 1 点を除いてすべての複素数値を無限回取る、というものである。