バナッハ関数環

数学の関数解析学の分野において、あるコンパクトハウスドルフ空間 "X" 上のバナッハ関数環（バナッハかんすうかん、）とは、"X" を定義域とするすべての連続な複素数値関数からなる可換なC*-環の単位的部分環 "A" のことを言う。あるノルムが備えられることで、バナッハ環となる。
バナッハ関数環は、すべての formula_1 に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する（vanish）と言われる。関数環は、異なる各点のペア formula_2 に対して formula_3 となるような関数 formula_1 を含むとき、各点を分離する（separate）と言われる。
各 formula_5 に対して、formula_6 を定める。このとき formula_7 は formula_8 上の非ゼロな準同型である。
定理 バナッハ関数環は半単純（すなわちそのジャコブソン根基が 0 に等しい）で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は（を通じて）その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、"A" から複素数への環準同型で相対弱*位相が与えられるものからなる空間である。
formula_8 上のノルムが formula_10 上の一様ノルム（あるいは上限ノルム）であるなら、formula_8 は一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。