モノイド環

抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。
実際、環 上の一変数多項式環 は と（ を含む）自然数全体の成す（加法的）モノイド （あるいは適当な不定元 を用いて乗法的に書いた可換モノイド ）から得られるモノイド環 であり、同様に（加法）モノイド は -変数の多項式環 を与える。
与えられたモノイドがさらに群を成すとき、得られるモノイド環は群環と呼ばれる。
定義.
 を環とし をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。
言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。
 に対して元ごとのスカラー倍
を定義して は 上の多元環になる。
普遍性.
環 とモノイド が与えられると、各 を （ は の単位元）に送る環準同型 と、各 を （ は の乗法単位元）に送る （ は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で と は に標準的に埋め込めて、任意の と に対して と は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。
圏論的に述べれば、モノイドの圏 と結合的 -多元環の圏 に対して、函手 を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み が普遍である。即ち -多元環 と任意のモノイド準同型 に対し となる が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は の左随伴である。
添加.
添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 である：
"η" の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 "R" 加群で、すべての 1 ≠ "g" ∈ "G" に対する 1 − "g" からなる基底を持つ。
一般化.
 は環、 は全順序群、すなわち を満たす群とするとき、
と置けば、 は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。 が体のとき は可除環になる。例えば を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 は -係数形式ローラン級数環である。