チェビシェフ多項式

第一種チェビシェフ多項式（）は、以下の式で定義される:
これは三角多項式（）、直交多項式の一例である。
これはcos("kt")をコサインの加法定理を用いてcos("t")の多項式で表したものと見ることができる。
従って、以下の式を得る。
これらの多項式は次の漸化式に従うことがわかる。
第二種チェビシェフ多項式（）はformula_5によって定義される。
これは先ほどと同様の議論またはformula_6 の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。
従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。
"T" と同じ漸化式が "U" にも成りたち、
となる。
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性質.
多項式.
チェビシェフ多項式はゲーゲンバウアー多項式の特別な場合である。
特に、formula_13 は formula_14 次多項式であり、最高次の項の係数は formula_15 のとき formula_16 である。また偶奇性 
を持つ。
零点と極値.
第1種チェビシェフ多項式 formula_17 は区間 formula_18 に formula_14 個の零点を持つ。その座標は
である。これをと呼ぶ。
formula_17 (formula_15) は区間 formula_22 に formula_23 個の極値点を持ち（そのうちの二点は区間の両端）、その座標は
である。またその極点値は formula_24 を満たす。従ってチェビシェフ多項式の区間 formula_22 での一様ノルムは formula_26 である。
直交性.
第1種チェビシェフ多項式は区間 formula_27, 重み formula_28 に関する直交多項式である。すなわち、直交関係
を満足する。ただし formula_29, formula_30 (formula_15) である。同様に、第2種チェビシェフ多項式は区間 formula_27, 重み formula_33 に関する直交多項式であり、直交関係
を満足する。
また、第1種チェビシェフ多項式について離散的な直交関係が知られている。formula_34 を formula_17 (formula_15) の formula_14 個の零点とするとき, formula_38 に対して離散直交関係
が成立する。ただし formula_39, formula_40 (formula_41) である。この性質はチェビシェフ補間において有用である。
漸化式.
微分を含む漸化式
乗法関係
応用.
共役勾配法の誤差限界.
数値線形代数における共役勾配法の誤差限界はチェビシェフ多項式を用いて表されることが示されている。
ガウス-チェビシェフ公式.
ガウス-チェビシェフ公式はチェビシェフ多項式の零点を用いる数値積分公式であり、ガウス求積の一種である。
クレンショ―＝カーティス求積.
チェビシェフ多項式を用いる数値積分法の一種である。