多項係数

数学における多項係数（たこうけいすう、）は二項係数を一般化したものである。
定義.
非負整数列 および に対して、多項係数が定義される。
多項係数を直接表示すると
となる。ここに は の階乗を表す。
多項係数は帰納的に表すこともできる：
多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと -単体となる（パスカルの単体。 のときについてはを参照）。
多項係数は二項係数を用いて
と表すこともできる。
応用と解釈.
多項定理.
二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式
が成立する。特に と置くことにより
が得られる。
多項分布.
多項係数の応用として、多項分布
は離散確率変数に関する確率分布である。
組合せ論的解釈.
組み分け問題.
多項係数 は 個の対象を 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 番目の箱に 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。
重複置換の問題.
多項係数 は、 に対して各々ちょうど 個の区別不能な対象が含まれる 個の対象の置換の総数にも等しい。
この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が 個 (), 二種類目の文字 I が 個 (), 三種類目の文字 S が 個 (), 残りは P が 個 () であるから、多項係数
が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は とずっと多くなる。
パスカルの単体.
二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、パスカルの -単体と呼ばれる。 のときは特に、に対すると呼ばれる。