ベルグマン計量

ベルグマン計量 (ベルグマンけいりょう、Bergman metric) は、微分幾何学において、ある種の複素多様体上に定義できるエルミート計量である。ベルグマン核から導かれるのでそのように呼ばれる。名称は (Stefan Bergman) にちなむ。
定義.
formula_1 を領域とし、formula_2 を "G" 上のベルグマン核とする。接束 formula_3 上のエルミート計量を、"z" ∈ "G" に対し
と定義する。すると接ベクトル formula_5 の長さは
によって与えられる。この計量が "G" 上のベルグマン計量と呼ばれる。
（区分）"C"1 曲線 formula_7 の長さは
と計算される。すると2点 "p", "q" ∈ "G" の距離 formula_9 は
と定義される。距離 "dG" は"ベルグマン距離"と呼ばれる。
"G" が有界領域であればベルグマン計量は実は各点において正定値行列である。より重要なことには、距離 "dG" は "G" から別の領域 "G"′ への双正則写像のもとで不変である。つまり、"f": "G" → "G"′ が双正則であれば、formula_11 が成り立つ。