完備測度

数学における完備測度（かんびそくど、）あるいはより正確に完備測度空間（かんびそくどくうかん、）とは、すべての零集合の部分集合が（測度ゼロとなって）可測であるような測度空間のことを言う。より形式的に言うと、("X", Σ, "μ") が完備であるための必要十分条件は、次が成立することである：
動機.
完備性の問題について考える必要性は、直積空間に関する問題を考える上で生じる。
すでに実数直線上のルベーグ測度は構成出来ているものとする。この測度空間を (R, "B", "λ") で表す。今、平面 R2 上のある二次元ルベーグ測度 "λ"2 を積測度として構成することを考える。単純に考えて、R2 上の"σ"-集合代数を、"A""i" ∈ "B" に対してすべての可測な「長方形領域」"A"1 × "A"2 を含む最小の "σ"-集合代数 "B" ⊗ "B" として取る。
この方法は測度空間を定義するが、欠点がある。すべての単元集合に対して一次元ルベーグ測度はゼロであるため、
が R の任意の部分集合 "A" に対して成立する。しかし、"A" をヴィタリ集合のような実数直線のとすると、{0} × "A" の "λ"2-測度は定義されないが、
およびこのより大きな集合は "λ"2-測度ゼロを持つ。したがって、今定義された「二次元ルベーグ測度」は完備ではなく、ある種の完備化の手順が要求されることになる。
完備測度という呼称.
測度空間 ("X", Σ, "μ")が完備であるための必要十分条件は、次が成立することである：
"X"上の実数値" Σ"-可測関数列が必ずしも可測とは限らない"X"上の実数値関数"f"に概収束するとき、"f"もまた" Σ"-可測関数である。
これは、"X"上の実数値" Σ"-可測関数の全体が成す集合"M(X)"が、概収束という位相において閉じている、つまり完備であることを意味している。
完備測度の構成.
（完備でないこともある）測度空間 ("X", Σ, "μ") が与えられたとき、この空間の拡張 ("X", Σ0, "μ"0) で完備であるようなものが存在する。そのような拡張の内で最小のもの（すなわち、最小の "σ"-集合代数 Σ0）のことを、元の測度空間の完備化（completion）と呼ぶ。
完備化は次のように行われる：
このとき、("X", Σ0, "μ"0) は完備測度空間であり、("X", Σ, "μ") の完備化である。
このような構成法において、Σ0 のすべての元は、ある "A" ∈ Σ および "B" ∈ "Z" に対して "A" ∪ "B" の形を取り、次が成立する。
性質.
マハラムの定理によると、すべての完備測度は連続体上の測度と、有限あるいは可算無限の数え上げ測度に分解可能である。