ジーゲル円板

数学、特に複素力学系に於けるジーゲル円板（ジーゲルえんばん、 ）は、ファトゥ集合の連結成分であって、その挙動が無理回転と解析的に共役であるものを言う。数学者カール・ジーゲルの名に因む。
解説.
リーマン面 formula_1 上のある正則な自己準同型写像 formula_2 が与えられるとき、formula_3 で表される formula_4 の反復適用によって生成される力学系を考える。このとき、formula_5 の前進反復よりなる集合を formula_5 の軌道 formula_7 と呼ぶ。ここでの興味は formula_1 内の軌道（通常は複素平面 formula_9 あるいはリーマン球面 formula_10 の中で考える）の漸近挙動にあり、formula_1 は相平面()あるいは「力学的平面」と呼ばれる。
ある点 formula_5 に対する漸近挙動としてあり得るものの一つは、不動点あるいはより一般に、周期点である。後者では、周期 formula_13 に対して formula_14 が成立し、特に formula_15 は formula_5 が不動点であることを意味する。すると軌道の「積」を formula_17 として定義することが出来、このことより周期軌道の分類が可能となる：formula_18 ならば「吸引的」（attracting）、formula_19 ならば「超吸引的」（superattracting）、formula_20 ならば「反発的」（repelling）、formula_21 ならば「中立的」（indifferent）と呼ばれる。中立的な周期軌道はさらに、ある formula_22 に対して formula_23 となるか、すべての formula_22 に対して formula_25 であるかに依存して、それぞれ「有理中立」（rationally indifferent）および「無理中立」（irrationally indifferent）と呼ばれる。
ジーゲル円板は、ファトゥ成分の分類によると、ファトゥ集合の連結成分の一つであり、無理中立な周期点の周りにおいて生じ得る。ジーゲル円板は、formula_4 の挙動が複素円板の無理回転と解析的に共役であるような点に対応する。
正式な定義.
formula_1 はリーマン面、formula_2 は正則な自己準同型写像とし、"U" はそのファトゥ集合 formula_29 の連結成分とする。"U" が点 "z"0 の周りでの "f" のジーゲル円板であるとは、単位円板 formula_30 に対する解析的な位相同型写像 formula_31 で、ある formula_32 に対して formula_33 であり、かつ formula_34 であるようなものが存在することを言う。
ジーゲルの定理では、ある「強無理性条件」（ディオファントス条件）を満たす無理数に対するジーゲル円板の存在が示された。これにより、ファトゥ成分の分類に関してピエール・ファトゥが提唱していた未解決問題が解かれた。
後日、はこの無理性に関する条件を改善し、ブルーノ数までその条件を弱めた。
これはファトゥ成分の分類による結果の一部である。