ヤコビ和

数学におけるヤコビ和（ヤコビわ、）とは、ディリクレ指標によって形成されるある種ののことを言う。簡単な例として、ある素数 "p" を法とする二つのディリクレ指標 formula_1、formula_2 に対するヤコビ和 formula_3 は、次のように定義される。
ここで和は "p" を法とする全ての剰余 "a" = 2, 3, ..., "p" − 1 についてなされる（したがって "a" と 1 − "a" のいずれも 0 とならない）。ヤコビ和はベータ関数の有限体における類似物である。このような和は円分の理論との関連で19世紀初頭にヤコビによって導入された。ヤコビ和は一般に、ガウス和 formula_5 の冪乗の積へと分解できる。例えば、指標 formula_6 が非自明であるとき、formula_7 となるが、これはガンマ関数についてのベータ関数の公式と似たものである。非自明なガウス和 formula_5 の絶対値は "p"1/2 であるため、指標 formula_9 が非自明であるなら、formula_3 の絶対値もまた "p"1/2 となる。ヤコビ和 "J" は、非自明なガウス和 formula_5 が属する円分体よりも小さい円分体に属する。例えば formula_3 の被加数には 1の "p" 乗根は含まれないが、1 の ("p" − 1)-乗根の円分体に属する値が含まれる。ガウス和のように、ヤコビ和は円分体における素イデアル分解がわかっている。このことについてはを参照されたい。
formula_1 がルジャンドル記号である時は、formula_14 となる。一般にヤコビ和の値は、の局所ゼータ関数との関連で現れる。ルジャンドル記号に関するヤコビ和の結果は、"p" 個の元からなる有限体上の射影直線である円錐断面上の点の数 "p" + 1 に対する公式を導く。1949年のアンドレ・ヴェイユの論文は、この議論に再び多くの注目を集めるものであった。実際、20世紀後半のハッセ＝ダベンポートの関係により、ガウス和の冪の性質は再び現代的な話題となっている。
一般のヤコビ和による対角超曲面に対して局所ゼータ関数を記述できる可能性を指摘するとともに、Weil (1952) はヤコビ和のヘッケ指標としての性質を示した。
これはアーベル多様体の虚数乗法が確立されるとともに、重要な概念となった。問題におけるヘッケ指標は、例えばのハッセ・ヴェイユのゼータ函数を表現する際に必要となるものであった。それらの指標の導手については、Weil によって未解決問題とされていたが、後の研究によってそれらは決定された。