局所凸位相ベクトル空間

関数解析学および関連する数学の分野において、局所凸位相ベクトル空間（きょくしょとついそうベクトルくうかん、）あるいは局所凸空間（locally convex space）は、ノルム空間を一般化する位相ベクトル空間（TVS）の例である。それらは、均衡かつ併呑な凸集合の平行移動によって位相が生成されるような位相ベクトル空間として定義される。または代わりに、それらは半ノルムの族を伴うベクトル空間として定義され、その族に関して位相を定義することが出来る。一般にこのような空間は必ずしもノルム化可能ではないが、零ベクトルに対する凸局所基の存在はハーン＝バナッハの定理の成立を保証する上で十分に強く、その結果として連続線型汎函数に関する豊富な理論がもたらされた。
フレシェ空間は、距離化可能かつその距離に関して完備であるような局所凸空間である。それらは、ノルムに関する完備ベクトル空間であるようなバナッハ空間の一般化である。
定義.
 を、複素数の部分体 （通常は 自身か、実数体 ）上のベクトル空間とする。局所凸空間は、凸集合あるいは半ノルムに関して定義される。
凸集合による定義.
 内のある部分集合 について、以下が成り立つ：
より簡潔に、 のある部分集合が絶対凸であるとは、係数の絶対和が であるような線型結合の下で閉じていることを言う。そのような集合は、 全体を張るとき、併呑と呼ばれる。
局所凸位相ベクトル空間とは、原点が絶対凸併呑集合の局所基を持つような位相ベクトル空間のことを言う。平行移動は（位相ベクトル空間の定義より）連続であるため、すべての平行移動は位相同型であり、したがって原点の近傍のすべての基は与えられた任意のベクトルの近傍に対する基へと平行移動することが出来る。
半ノルムによる定義.
 上の半ノルムとは、次を満たす写像 のことを言う：
 が正定値であるなら、すなわち のとき であるなら、 はノルムである。一般に半ノルムは必ずしもノルムではないが、半ノルムの族に対する類似の性質である分離性（separatedness）が後述のように定義される。
局所凸空間は、半ノルムの族 に沿ったあるベクトル空間 として定義される。その空間は自然な位相である、半ノルムのをもたらす。言い換えると、それはすべての写像
が連続であるような位相である。この位相に対する の近傍の基は、次の方法で定義することが出来る： のすべての有限部分集合 と、すべての に対して、
を定める。次に注意されたい。
この位相においてベクトル空間の演算が連続であることは、前述の性質 2 および 3 より従う。結果として得られる位相ベクトル空間は、各 が絶対凸かつ併呑であるため（特に後者の性質は平行移動に対して保存されるため）、局所凸である。
二つの定義の同値性.
近傍基に関する定義はより良い幾何的な表現を与えるものであるが、半ノルムに関する定義は実際に扱う上でより簡単なものとなる。それら二つの定義の同値性は、ミンコフスキー汎函数あるいはミンコフスキーゲージとして知られる構成法によって従う。-球の凸性を保証する半ノルムのキーとなる性質は、三角不等式である。
 内の に対し、 ならば も 内にあるような併呑集合 を考える。 のミンコフスキー汎函数を次で定義する。
この定義より、 が均衡かつ凸（また仮定より併呑）であるなら、 は半ノルムとなる。逆に、半ノルムの族が与えられたとき、集合
は凸併呑均衡集合の基を形成する。
例と反例.
局所凸性を持たない空間の例.
位相ベクトル空間の多くは局所凸である。局所凸性を持たない空間の例には、以下のようなものがある：
上の例はいずれも、実数への任意の連続線型写像は であるという性質を持つ。特にそれらの双対空間は自明、すなわち、ゼロ汎函数のみを含む。
連続線型写像.
局所凸空間はベクトル空間であるとともに位相空間であるので、二つの局所凸空間の間で考えられる自然な函数は連続線型写像である。半ノルムを用いることで、線型写像の連続性に対する必要十分条件は、バナッハ空間に対して知られているより有名な有界性の条件と非常に似たものとして与えられる。
それぞれ半ノルムの族 および を備える局所凸空間 および が与えられたとき、ある線型写像 が連続であるための必要十分条件は、すべての に対して、 内のすべての が
を満たすような および が存在することである。これを言い換えると、 の値域の各半ノルムが定義域内の半ノルムのある有限和によって上から評価される、となる。族 が有向族で、上述のように向き付けられるように常に選ばれるなら、上の式はより簡単かつ有名な次の形になる：
すべての局所凸位相ベクトル空間の類は、射としての連続線型写像を伴う圏を形成する。