整拡大

可換環論において、可換環 "B" とその部分環 "A" について、"B" の元 "b" が "A" 係数のモニック多項式の根であるとき、"b" は "A" 上整である（integral over "A"）という。"B" のすべての元が "A" 上整であるとき、"B" は "A" 上整である、または、"B" は "A" の整拡大（integral extension）であるという。
本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。
定義.
"B" を環、"A" をその部分環とする。"b" ∈ "B" が "A" 上整であるとは、
を満たす自然数 "n" ≥ 1 と "A" の元 "a"0, …, "a""n"−1 が存在することである。"B" の元がすべて "A" 上整であるとき、"B" は "A" 上整である、または、"B" は "A" の整拡大であるという。
"B" の元で "A" 上整であるものすべてのなす集合は "B" の部分環となり、これを "B" における "A" の整閉包という。"B" における "A" の整閉包が "A" 自身であるとき、"A" は "B" において整閉であるという。
"A" と "B" が体のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大、代数的閉包と呼ばれる。
整元の特徴づけ.
"B" を環とし、"A" をその部分環とする。このとき "B" の元 "b" について次は同値。