大局次元

環論とホモロジー代数において、環 "A" の左（右）大局次元あるいは大域次元（）（または大局ホモロジー次元（）、ときには単にホモロジー次元（）と呼ばれる）は、すべての左（右） "A"-加群の射影次元の集合の上限として定義される環のホモロジー的不変量である。それは非負の整数か無限大に値をとり l. gl. dim "A" （r. gl. dim "A" ）と書かれる。さらに両者が一致するときには単に大局次元と言い gl. dim "A" と書かれる。
一般の非可換環 "A" に対しては左と右の大局次元は異なるかもしれない。しかしながら、"A" が左かつ右ネーター環であれば、これらの大局次元は両方とも、定義が左右対称的な弱大局次元に等しいことがわかる。したがって、左かつ右ネーター環に対しては、両者は一致し、大局次元について話すことが正当化される。
大局次元は可換ネーター環の次元論で重要な技術的概念である。
例.
"A" = "k"["x"1, ..., "x""n"] を体 "k" 上の "n" 変数多項式環とする。このとき "A" の大局次元は "n" と等しい。このステートメントはダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的性質の基礎的な研究にさかのぼる。を参照。より一般的に、"R" が有限の大局次元 "d" のネーター環で "A" = "R"["x"] が "R" 上一変数の多項式環であれば、"A" の大局次元は "d" + 1 に等しい。
自然数 "n" が平方因子を持たないときには環 Z/"n"Z の大局次元は無限大である。
体 "k" の標数が有限群 "G" の位数を割り切るとき群環 "kG" の左大局次元は無限大である。
1次のワイル代数 "A"1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。
大局次元の特徴づけ.
環 "A" の右大局次元は次の数と等しい。
"A" の左大局次元は上記リストの「右」を「左」にとりかえることによって得られる同様の特徴づけをもつ。
大局次元による特徴づけ.
環の左または右大局次元が 0 であることと半単純であることは同値である。
環 "A" の左（右）大局次元が1以下であることと "A" が左（右）遺伝環であることは同値である。とくに、体でない可換単項イデアル整域は大局次元 1 をもつ。
ジャン＝ピエール・セールは次のことを証明した。可換ネーター局所環 "A" が正則であるのは大局次元が有限のとき、かつそのときに限る。さらにこのとき、大局次元は "A" のクルル次元と一致する。この定理によってホモロジー的手法を可換代数に応用する扉が開かれた。