ベート数

数学において、無限基数はヘブライ文字 formula_1（）の右下に順序数の添え字をつけて表される（アレフ数参照）。2番目のヘブライ文字 ב（）は関連した方法で使われるが、formula_1 によって表されるすべての数を表しているとは限らない。
定義.
ベート数 (beth number) を定義するために、
を任意の可算無限集合の濃度とすることで始める。具体的にするために、典型的な自然数全体の集合 formula_4 をとる。"P"("A") によって "A" のベキ集合、すなわち "A" のすべての部分集合からなる集合を表す。そして
と定義する。これは formula_6 が "A" の濃度であれば "A" のベキ集合の濃度である。
この定義が与えられると、
はそれぞれ
の濃度であって、2番目のベート数 formula_9 は連続体濃度 formula_10 に等しく、3番目のベート数 formula_11 は連続体濃度をもつ集合のベキ集合の濃度である。
カントールの定理によって上の列の各集合は前の集合よりも真に大きい濃度をもつ。無限極限順序数 λ に対して、対応するベート数は λ よりも真に小さいすべての順序数に対するベート数の上限として定義される。
フォン・ノイマン宇宙 formula_13 は濃度 formula_14 をもつことも証明できる。
アレフ数との関係.
選択公理を仮定すると、無限濃度は全順序であり、任意の2つの濃度は常に比較可能である。したがって、定義により、formula_15 と formula_16 の間に無限濃度は存在せず、
であることが従う。この議論を繰り返すことによって（超限帰納法参照）すべての順序数 formula_18 に対して
formula_19 
である。
連続体仮説は次と同値である。
一般連続体仮説が言っているのはこのように定義されたベート数の列はアレフ数の列と同じである、すなわちすべての順序数 formula_18 に対して
formula_22 
であるということである。
具体例.
ベート・ヌル.
これは formula_15、アレフ・ヌルと定義されるから、濃度が formula_24 の集合には次のものがある。
ベート・ワン.
濃度が formula_9 の集合には次のものがある。
ベート・ツー.
formula_11（（英語では）"beth two" と読む）は 2"c"（2 の c 乗、"two to the power of c"）とも呼ばれる。
濃度が formula_11 の集合には次のものがある。
ベート・オメガ.
formula_28（"beth omega"）は最小の非可算である。
一般化.
より一般的な記号 formula_29、ここで α は順序数で κ は基数、が時折用いられる。それは次のように定義される。
なので
ZF において、任意の濃度 κ と μ に対して、ある順序数 α が存在して、
そして ZF において、任意の濃度 κ と順序数 α、β に対して
したがって、のないZermelo–Fraenkel 集合論において、選択公理はあってもなくても、任意の濃度 κ と μ に対して、等式
がすべての十分大きい順序数 β に対して成り立つ（つまり、ある順序数 α が存在して、すべての順序数 β ≥ α に対して等式が成り立つ）。
これは ur-element をもつ Zermelo–Fraenkel 集合論においても選択公理はあってもなくても、ur-element が （推移閉包が ur-element を全く含まないような集合）と等濃な集合をなすと仮定すれば、成り立つ。選択公理を仮定すれば、ur-element からなる任意の集合はある pure set と等濃である。