ハッセ＝ダベンポートの関係式

数学において、 によって導入されたハッセ＝ダベンポートの関係式（ハッセ＝ダベンポートのかんけいしき、）とは、ガウス和に関する二つの関係式で、一つはハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式（Hasse-Davenport lifting relation）と呼ばれ、もう一つはハッセ＝ダベンポートの積の関係式（Hasse-Davenport product relation）と呼ばれる。ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は、数論における異なる体上のガウス和に関連するある等式である。ヴェイユ予想に動機付けられ、 はこの式をある有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するために用いた。
ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次のガウスの積公式の類似物である：
実際、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は、"p"-進ガンマ関数と のグロス＝コブリッツの公式に対する類似の乗法的公式から得られる。
ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式.
"F" を "q" 個の元を持つある有限体とし、"F"s を ["F"s:"F"] = "s" であるような体とする。すなわち "F" 上のベクトル空間 "F"s の次元は "s" である。
formula_2 を formula_3 のある元とする。
formula_4 を "F" から複素数への乗法的指標 (数学)とする。
formula_5 を、formula_3 から formula_7 へのノルムで、次で定められるものとする。
今 formula_9 を formula_3 上の乗法的指標で、formula_4 と、"F"s から "F" へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち
とする。
ψ をある非自明な "F" の加法的指標とし、formula_13 を formula_14 と、"F"s から "F" への跡の合成であるような formula_3 上の加法的指標とする。すなわち
とする。
今
を "F" 上のガウス和とし、formula_18 を formula_3 上のガウス和とする。
このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。
ハッセ＝ダベンポートの積の関係式.
ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次で与えられる。
ただし ρ は "q"–1 を割る exact 位数が "m" の乗法的指標であり、χ を任意の乗法的指標、ψ はある非自明な加法的指標である。