遺伝的有限集合

数学および集合論において遺伝的有限集合（いでんてきゆうげんしゅうごう、）は有限個の遺伝的有限集合からなる有限集合と定義される。この定義は帰納的である。遺伝的という名称は遺伝的有限という性質がその元に遺伝することによる。
形式的な定義.
整礎的な遺伝的有限集合の帰納的定義は次のようにされる：
以上によって遺伝的有限集合とわかるものだけが遺伝的有限集合である。
全ての整礎的な遺伝的有限集合からなる集合を formula_3 と書く。いま formula_4 で formula_5 の冪集合を表すことにすれば、 formula_3 は空集合から始めて次のように再帰的に定義できる：
議論.
遺伝的有限集合のクラスはフォン・ノイマン宇宙の部分クラスである。これはツェルメロ=フレンケル集合論において無限公理をその否定に置き換えた理論のモデルを成す。したがって無限公理はその他の公理からは証明できない。
formula_10 の濃度は formula_11（テトレーションを見よ）であるから遺伝的有限集合はちょうど可算無限個ある。
同じことであるが、集合が遺伝的有限であることと、その推移閉包が有限であることは同値である。 formula_3 は formula_13 とも書かれる。その意味するところは遺伝的に濃度が formula_14 未満ということである。
アッカーマンの全単射.
は次のような自然な全単射 formula_15 を与えている。これはアッカーマン符号化として知られる。これは遺伝的集合の階数に関する帰納法によって
と定義される。ただし formula_17 は相異なるものとする。このとき formula_18 であることと、 formula_19 の2進展開の第 formula_20 位が formula_21 であることとは同値である。
ラドーグラフ.
遺伝的有限集合を頂点とするグラフであって、一方が他方を含むときに限り、それらの頂点を辺で結んで得られるグラフをラドーグラフあるいはランダムグラフという。