パンシェルル微分

数学におけるパンシェルル微分（パンシェルルびぶん、）は多項式環上の線型作用素に対し、それと不定元による乗算作用素との交換子をとることによって与えられる新たな線型作用素である。この概念はイタリアの数学者（1853–1936）の名にちなむ。
定義.
 は体 上の変数 に関する多項式全体の成すベクトル空間とし、
は による掛け算を行う作用素とする。
 上の線形作用素 のパンシェルル微分 は、自己準同型環 における の乗算作用素と "T" との交換子
すなわち任意の に対し
を満たす線型自己準同型作用素である。
性質.
任意の交換子がそうであるように、パンシェルル微分 は自己準同型環 上の（導分）である。すなわち、自己準同型環 に属する任意の二つの線形作用素 に対し、
を満たす（ただし、積 は写像の合成によって定める）。また を通常のリーブラケットとして、ヤコビ恒等式より 
が成立する。
通常の微分 は多項式に対する作用素と見なせる。直接的な計算により、そのパンシェルル微分は （右辺の は 倍する乗算作用素）となり、数学的帰納法により
に一般化できる。このことから、微分作用素 のパンシュレル微分
もまた微分作用素であることが分かり、したがってパンシェルル微分は微分作用素全体の成す環 上の微分子になる。
シフト作用素 はテイラー展開