次数付き環

数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じすうつきかん、; 次数付けられた環）あるいは次数環とは formula_1 を満たすアーベル群 formula_2 の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化（gradation）あるいは次数付け（grading）と呼ばれる。
次数（付き）加群（graded module）は同様に定義される（正確な定義は下を見よ）。これは次数付きベクトル空間の一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数（graded algebra）と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。
結合性は次数付き環の定義において重要でない（実は全く使われない）。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、を考えることができる。
基本的な性質.
formula_3 を次数付き環とする。
分解の任意の因子 formula_9 の元は次数 "i" の斉次元（homogeneous elements）と呼ばれる。 イデアルや他の部分集合 formula_16 ⊂ "A" が斉次（せいじ、homogeneous）であるとは次を満たすことである。任意の元 "a" ∈ formula_16 に対して、すべての "ai" を斉次元として "a=a1+a2+...+an" であるときに、すべての "ai" が formula_16 の元である。与えられた "a" に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、"a" の斉次部分（homogeneous parts）と呼ばれる。
"I" が "A" の斉次イデアルであれば、formula_19 も次数付き環であり、次の分解をもつ。
任意の（次数付きでない）環 "A" は "A"0 = "A" および "i" > 0 に対して "A""i" = 0 とすることによって次数付きにできる。これは "A" の自明な次数化（trivial gradation）と呼ばれる。
次数付き加群.
加群論において対応する概念は次数付き加群 (graded module) である。すなわち次数付き環 "A" 上の左加群 "M" であって
であり
でもあるようなものである。
次数付き加群の間の準同型 formula_23 は、次数付き準同型（graded morphism）と呼ばれるが、加群の準同型であって、次数付けを反映したもの、すなわち、formula_24 が成り立つようなものである。次数付き部分加群（graded submodule）は、それ自身次数付き加群であって集合論的包含が次数付き加群の射であるような部分加群である。明示的に書くと、次数付き加群 "N" が "M" の次数付き部分加群であることと、"M" の部分加群で formula_25 を満たすことは同値である。次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群である。
例：次数付き環はそれ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが斉次であることと次数付き部分加群であることは同値である。定義によって部分環が次数付き部分環であることと次数付き部分加群であることは同値である。次数付き加群の零化イデアルは斉次イデアルである。
例：次数付き環から次数付き環への像が中心に含まれるような次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じである。
次数付き加群 "M" が与えられたとき、the "l"-twist of formula_26 は formula_27 によって定義される次数付き加群である。（cf. 代数幾何の）
"M" と "N" を次数付き加群とする。formula_28 が加群の射であれば、formula_29 のときに "f" の次数は "d" であるという。微分幾何学における微分形式の外微分は負の次数をもつそのような射の例である。
次数付き加群の不変量.
次数付き可換環 "A" 上の次数付き加群 "M" が与えられたとき、形式的ベキ級数 formula_30 を関連付けることができる：
（formula_32 は有限であると仮定している。）これは "M" のヒルベルト–ポアンカレ級数と呼ばれる。
次数付き加群は加群として有限生成なときに有限生成という。生成元は（斉次部分におきかえることで）斉次にとることができる。
"k" を体、"A" を多項式環 formula_33、"M" を "A" 上有限生成な次数付き加群とする。このとき関数 formula_34 は "M" のヒルベルト関数と呼ばれる。この関数は十分大きい "n" に対して "M" のヒルベルト多項式と呼ばれると一致する。
次数付き多元環.
環 "R" 上の代数 "A" は環として次数付きのときに次数付き多元環（次数付き代数、graded algebra）である。
"R" が次数付きでないような一般の場合には（特に "R" が体であるとき）、自明な次数付けが与えられている（"R" のすべての元は次数 0 である）と考える。したがって "R" ⊆ "A"0 であり各 "A""i" は "R" 加群である。
環 "R" が次数付き環でもあるような場合には、次のことを要求する。
および
言い換えると、"A" が "R" 上左かつ右次数付き加群であることを要求する。
次数付き多元環の例は数学においてよく現れる。
次数付き代数は可換環論と代数幾何学、ホモロジー代数、そして代数トポロジーにおいてしばしば使われる。1つの例は斉次多項式と射影多様体の緊密な関係である。（cf. 斉次座標環。）
G-次数環と多元環.
上記の定義は添え字集合として任意のモノイド "G" を使った次数付き環に一般化できる。"G"-次数環（"G"-graded ring）"A" は直和分解
をもった環であって
が成り立つようなものである。
今や"次数環"の概念は N-次数環と同じものである。ただし N は非負整数が加法についてなすモノイドである。次数加群や代数についての定義もまた添え字集合 N を任意のモノイド "G" にとりかえることによって拡張できる。
注意：
例：
反可換性.
いくつかの次数付き環（または多元環）は構造をもつ。この概念は、次数化のモノイドの、2元からなる体 Z/2Z の加法的モノイドへの準同型を要求する。具体的には、signed monoid は対 (Γ, ε) からなる。ただし Γ はモノイドであり ε : Γ → Z/2Z は加法的モノイドの準同型である。反交換 Γ-次数環（anticommutative Γ-graded ring）は Γ によって次数付けされた環 "A" であって次を満たす。