合成作用素

数学において、記号 との合成作用素（ごうせいさようそ、） とは、
という決まりによって定義される線型作用素のことを言う。ここで は合成写像を意味する。圏論の用語を用いると、合成作用素とは、可測函数の空間上の引き戻しである。したがって引き戻しがの随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素はである。
合成作用素の研究は AMS category 47B33 によりカバーされている。
作用素論.
合成作用素の定義域は適当なバナッハ空間（これは、しばしば正則函数からなる）に取るのが普通である。例えば、ハーディ空間やベルグマン空間がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素のスペクトル性質が函数空間にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、 がコンパクトであるかあるいはトレースクラスであるか、というものがある。その答えは通常、函数 がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。
応用.
数学において、合成作用素はしばしば、例えばやなどのシフト作用素の研究に現れる。シフト作用素は一次元スピン格子として研究できる。合成作用素はまたの理論にも現れる。
合成作用素の固有方程式はシュレーダーの方程式であり、その主固有函数 "f(x)" はしばしばシュレーダー函数やと呼ばれる。
物理学の、特に力学系の分野において、合成作用素はしばしば、数学者の名にちなんで、コープマン作用素（Koopman operator）と呼ばれる。この作用素はフロベニウス＝ペロン作用素あるいは転送作用素の左随伴である。