積閉集合

抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、）は、（有限）積に関して閉じている集合を言う。
積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。
定義.
単位的環 の部分集合 が積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件
を満たすときに言う。別な言葉で言えば、積閉集合 は環 の乗法モノイドのである。空積は に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「 は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。
同様に、環 の部分集合 が飽和 ("saturated") であるとは、それが「をとる操作に関して閉じている」() ときに言う。
例.
よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる: