コーエン・マコーレー環

数学において、コーエン・マコーレー環 () は局所のような非特異多様体の代数幾何的な性質のいくつかをもった可換環のタイプである。
名称は純性定理を多項式環に対して証明したと、純性定理を形式的冪級数環に対して証明したによる。すべての Cohen–Macaulay 環は純性定理が成り立つ。
可換ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
定義.
 を可換ネーター環とする。以下ではに従って定義を述べる。
 がさらに局所環であるとする。有限生成 -加群 が を満たすとき、 はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに が成り立つとき、 は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 がコーエン・マコーレー加群のとき、 はコーエン・マコーレー環であるという。
-加群 はすべての極大イデアル に対して局所化 がコーエン・マコーレー加群のとき、 はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに極大イデアル に対して が極大コーエン・マコーレー加群のとき、 は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 がコーエン・マコーレー加群のとき、 はコーエン・マコーレー環であるという。
例.
以下の環は Cohen–Macaulay である。
は Cohen–Macaulay だが Gorenstein とは限らない。
条件の帰結.
Cohen–Macaulay の条件の1つの意味は theory において見られる。ここで条件は"アプリオリ" に導来圏にある "dualizing object" がただ1つの加群（連接層）によって表現されるケースに対応する。するとより良い "Gorenstein" の条件は射影的なこの加群（可逆層）によって表現される。非特異性（正則性）はなお強い条件である。これは幾何学的な対象のある点における滑らかさの概念に対応する。したがって、幾何学的な意味で、Gorenstein と Cohen–Macaulay の概念は滑らかな点よりも広い範囲の点、滑らかとは限らないが多くの意味で滑らかな点のように振る舞う点、を捕らえる。
純性定理.
ネーター環 "A" のイデアル "I" は、"A"/"I" の任意の素因子 "P" に対して ht("I") = ht("P") であるときに純 (unmixed) と呼ばれる。環 "A" に対して純性定理 (unmixedness theorem) が成り立つとは、イデアル "I" であって ht("I") 個の元で生成されるものがすべて純であることをいう。ネーター環が Cohen–Macaulay であることと純性定理が成り立つことは同値である。