随伴公式 (代数幾何学)

数学、特に代数幾何学や複素多様体論では、随伴公式(adjunction formula)は多様体の標準バンドルとその多様体の内側の超曲面を関係付ける。射影多様体のようなうまく振る舞いの定義できる空間の中へ埋め込まれた多様体についての事実を引き出したり、帰納的に定理を証明したりすることに良く使われる。
滑らかな部分多様体に対する公式.
X を(smooth)代数多様体、あるいは、滑らかな複素多様体とし、Y を X の部分多様体とする。埋め込み写像 を i と書き、X の中の Y の(ideal sheaf)を formula_1 と書く。i に対する(conormal exact sequence)は、
であり、ここに Ω は余接束を表す。この完全系列の行列式は、自然な同型
を導く。ここに formula_4 はラインバンドルの双対を表す。
滑らかな因子の特別な場合.
D を X 上の滑らかな因子とすると、D の(normal bundle)は X 上のラインバンドル formula_5 へ拡張され、D のイデアル層はその双対 formula_6 に対応する。余法バンドル formula_7 は formula_8 であり、上の式と組み合わせると、次の式を得る。
標準類のことばでは、このことは、
であることを意味している。これらの 2つの式を随伴公式(adjunction formula)と呼ぶ。
ポアンカレの留数.
制限写像 formula_11 はポアンカレの留数(Poincaré residue)と呼ばれる。X が複素多様体の場合は、切断上で、ポアンカレの留数は次のように表現できる。函数 f が零点集合 D 上の開集合を固定すると、U 上のformula_5 の任意の切断が s/f として書くことができる。ここに s は U 上の正則函数である。η を formula_13 の U 上の切断とすると、ポアンカレの留数は、写像
であり、すなわち、体積形式 η へベクトル場 ∂/∂f を適用することで構成され、従って、正則函数 s による掛け算となる。ある i に対し、∂f/∂zi ≠ 0 となるような U の局所座標 z1, ..., zn が存在すると、この式は
とも表すことができる。
ポアンカレの留数の見方としてもう一つの方法は、同型
として、随伴公式を解釈する方法である。前述のように、開集合 U 上では、formula_8 の切断は、正則函数 s と微分形式 の積である。ポアンカレの留数は、formula_18 の切断と formula_8 の切断とのウェッジ積を取る写像である。
随伴公式の逆.
余法(conormal)な完全系列が短完全系列ではない場合には、随伴公式は成立しない。しかしながら、これが成立しないことを D の特異点を持った X の特異性と関連付けることができる。この種類の定理は、随伴公式の逆(inversion of adjunction)と呼ばれる。これらは現代の双有理幾何学での重要なツールである。
関連項目.
対数的微分形式