中心化群と正規化群

数学、とくに群論において、群 の部分集合 の中心化群 () とは、 の各元と可換な の元全体からなる集合であり、 の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」 と可換な の元全体からなる集合である。 の中心化群と正規化群は の部分群であり、 の構造について知る手掛かりを得られる。
定義.
群 の部分集合 の中心化群 (centralizer) は次で定義される。
文脈から群 が明らかなときには、表記 から を省くことがある。また が単集合 } のときには中心化群 は と略記される。この中心化群の別の表記として もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 の中心 と元 の"中心化群" とを混同しないよう注意しなければならない。
群 における の正規化群 (normalizer) は次で定義される。
中心化群の定義と似ているが同じではない。 が の中心化群の元で が の元であれば、 でなければならないが、 が正規化群の元であれば、 とは異なってもよい に対して である。中心化群のときに述べた、 を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。 の正規化群を の (normal closure) すなわち、 の生成する正規部分群 と混同してはならない。
性質.
下記の性質は による。