マーラー測度

数学では、複素数係数の多項式 formula_1 のマーラー測度(Mahler measure) formula_2 は、
と定義する。 
ここに
は、 formula_5 の"L"τノルムである（これは formula_6 の値の本来のノルムではないのであるが）。
イエンセンの公式により、
であれば、
であることを示すことができる。
代数的数 formula_9 のマーラー測度は、formula_10 上の formula_9 の最小多項式のマーラー測度として定義される。
マーラー測度は、(Kurt Mahler)にちなんで命名されている。
高次元マーラー測度.
多変数の多項式 formula_21 のマーラー測度 formula_2 は、次の公式により同じように定義される。
多変数のマーラー測度は、一変数のマーラー測度の上記 3つの性質を持っている。（formula_24 もマーラー測度と呼ぶ。）
ある場合には、多変数のマーラー測度はゼータ函数やL-函数の特殊値と関係を持つことが示されている。たとえば、1981年、クリス・スミス(Chris Smyth)は、次の式を証明した。
ここに、formula_26 はディリクレのL-函数であり、また
ここに、formula_28 はリーマンゼータ函数である。この公式では、2変数、および 3変数の多項式のマーラー測度が、それぞれ、(dilogarithm)や三重対数函数 (trilogarithm) と関連付けられる。ここで、これらの式を他の導手へ一般化することができるかと問うことができる。つまり、各々の負の判別式 formula_29 に対し、多項式 formula_30 と 0 でない formula_31 が存在し、
とすることができるであろうか。ここに formula_33 とする。さらに一般的に、ある場合には、複素埋め込みをペアで持つ二次体 formula_34 が与えられたとき、マーラー測度は、一般化された formula_34 の判別式、ゼータ函数 formula_36 の特殊値、有理数の積として表すことができるであろうか？
いくつかの結果(Lawton and Boyd).
定義よりマーラー測度は、トーラスの上の多項式の積分値とみなすことができる（レーマーの予想を参照）。formula_5 がトーラス formula_38 上で 0 となるとすると、マーラー測度 formula_2 を定義する積分の収束は明白とはいえないが、ロートン(Lawton)は formula_2 が一変数マーラー測度の極限に等しくなることを証明した。この予想は(David William Boyd)により予想されていた。
この定式化は次のようになる。formula_41 で整数全体の集合を表し、すべての formula_42 に対し、formula_43 と定義する。formula_44 を formula_45 変数の多項式とし、formula_46 に対し、一変数の多項式 formula_47 を
と定義し、formula_49 を
と定義する。ここに formula_51 である。すると
Theorem (Lawton) : formula_44 を複素数係数の "N" 変数の多項式とすると、極限
を定義できる（たとえ条件 formula_54 を緩めても成立する）。
ボイドの提示.
ボイドは上の定理よりも一般的なステートメントを提示していて、現在も完全に証明されてはいない。彼は次のことを指摘した。すべての根を単位円板の中にあるような整数係数のモニック多項式を特徴付ける古典的なクロネッカーの定理は、マーラー測度がちょうど 1 であるような一変数多項式を特徴づけていると見なすことができ、この結果は多変数の多項式にも適用できる。
Theorem (Boyd) : formula_55 を整数係数の多項式とすると、formula_56 であることと、formula_34 が formula_58 の元であることとは同値である。この formula_58 の元は「拡張された円分多項式」と呼ばれ、次の形で定義される。
ここに、formula_61 は "m" 次既約多項式でり、formula_62 は整数、formula_63 は formula_64 が formula_65 の多項式となるような最小な整数として選択される。各々の formula_66 に対し、formula_58 は積 formula_68 として選択され、拡張円分多項式である。
このことより、多項式 formula_69 に対し、
が定義され、集合 formula_71 をその極限とする。また彼は、集合 formula_72 が閉であることも予想した。このことは、レーマーの予想の単純な証明を与えるのではあるが、なんら下界が明白ではない。上記、スミス(Smyth)の結果は formula_73 であることを示唆していて、彼は
であることも予想しているが、知られる限りでは、現在、この予想は未解決である。（ロートンの極限定理は、レーマー予想の肯定的な条件付き証明の中では、最も一般的である。）