楕円曲線のハッセの定理

楕円曲線のハッセの定理（）は、ハッセの境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線の持つ点の数の、上と下からの評価を与える。
位数 "q" の有限体上の楕円曲線 "E" の点の数が "N" であるとき、ヘルムート・ハッセ（Helmut Hasse）の結果は、その個数が
であることを示している。つまり、この解釈は、"N" が "q" + 1 （これは同じ体の上の射影直線（projective line）の点の数である）と異なっていれば、この差「エラー項」は、絶対値が formula_2 である2つの複素数の和である。
この結果は、エミール・アルティン（Emil Artin）により彼の論文で元々予想されたものである。これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された。 
ハッセの定理は、E の局所ゼータ函数の根の絶対値の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する函数体のリーマン予想との類似を理解することができる。
ハッセ・ヴェイユ境界.
ハッセ境界の高次種数の代数曲線への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の範囲をもたらす。位数が q の有限体 formula_3 上の種数 g の曲線 C の点の数を formula_4 とすると、
となる。
この結果は再び、曲線 C の局所ゼータ函数の決定と同値であり、この曲線に付随する函数体についてのリーマン予想の類似である。
ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。
ハッセ・ヴェイユ境界は、元々はアンドレ・ヴェイユ（André Weil）が1949年に提唱したヴェイユ予想の結果である。この予想は1974にピエール・ドリーニュ（Pierre Deligne）より証明された。