代数的な元

体論において、可換体 "K" の拡大体 "L" の元は、"K" 係数の 0 でない多項式 が存在してその根となっているときに、"K" 上代数的であると言う。"K" 上代数的でない元は "K" 上超越的であると言う。
これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 Q の拡大体 C の元であって、Q 上代数的な複素数である。したがって formula_1 は Q 上代数的な実数であって、自然対数の底 "e" や円周率πは Q 上超越的な実数である。Q 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 "a"+"b"i は実数体 R 上代数的である。なぜなら ("X" - "a")2+"b"2 の根だからである。
特徴づけ.
"K" のすべての元 "a" は明らかに "K" 上代数的である、なぜならば "X" - "a" の根だからだ。より一般に、
実際、"K" の有限次（"n" 次としよう）拡大は "K" 上有限次元のベクトル空間である。したがって 1, "a", "a"2, ..., "a""n" の間には線型従属な関係があり、"a" を根に持つ多項式が得られる。
代数的あるいは超越的な元という概念を、"K" と "a" を含む "L" の最小の部分環である "K"["a"] を使って特徴づけることができる。環 "K"["a"] の元は "a" の多項式として書ける "L" の元である。すなわち "K"["a"] は多項式環 "K"["X"] の "X" を "a" に写す環準同型 φ による像である。この準同型が単射でないことと多項式が "a" で消えることは同値である。また、"a" が "K"["X"] の多項式の根であれば、"a" は "K"["a"] が根体であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると
"K"("a") を、"a" を含む "L" の最小の部分体とする（"K"("a") の元は "a" の有理式として書けるような "L" の元である）。これによって再び定式化することができる。
（したがって1つ目の性質から、"K" 上代数的な任意の元は "K" の有限次拡大の元である）。
安定性.
この特徴づけによって次のことが証明できる。"K" 上代数的な2つの元の和と積は "K" 上代数的である。実際、"a" と "b" が "K" 上代数的であれば、"a" + "b" と "ab" は "K"("a", "b") に属する。これは "K"("a") の "b" による拡大が "K" 上したがって "K"("a") 上代数的であることからわかる。よって拡大 "K"("a", "b") は "K"("a") の、したがって "K" の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元は "K" 上代数的である。
さらに、"K" 上代数的な元 "a" は 0 でなければその逆元は"a" を根にもつ多項式の相反多項式の根であり "K" 上代数的である。結論：
"n" についての帰納法で次のことも言える。
すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事代数拡大を参照）。
次数と最小多項式.
"K" 上代数的な元の "次数" は拡大 "K"("a") / "K" の次数である。"a" は代数的なので、それは "K"-ベクトル空間 "K"["a"] の次元である。したがってそれはまた "a" の最小多項式（"a" が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。
結合多元環.
"K" の拡大 "L" は体 "K" 上の結合多元環であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 "K" 上の単位的結合多元環 "E" の元が "K" 上代数的であるとは、それを根にもつ "K" 係数の 0 でない多項式が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環 "E" が "K" 上有限次元のとき、"E" のすべての元は "K" 上代数的である。