双極定理

数学において、双極定理（そうきょくていり、）とは、錐がその双極と等しいための必要十分条件を与える凸解析の一定理である。双極定理は、フェンシェル＝モローの定理の特別な場合と見なすことが出来る。
定理の内容.
ある線型空間 formula_1 内の任意の空でない集合 formula_2 に対し、双極錐 formula_3 は次で与えられる。
ここで formula_5 は凸包を表す。
特別な場合.
formula_2 が空でない閉凸錐であるための必要十分条件は、formula_7 であるときに formula_8 であることである。ここで formula_9 は正の双対錐を表す。
あるいはより一般に、formula_10 が凸錐であるなら双極錐は次で与えられる。
フェンシェル＝モローの定理との関係.
formula_12 はある錐 formula_10 に対する指示函数とする。このとき、凸共役 formula_14 は formula_10 に対するであり、formula_16 である。したがって、formula_17 であるための必要十分条件は、formula_18 である。