楕円有理関数

楕円有理関数 ()とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路の一種である楕円フィルタの設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数があるので注意が必要。
楕円有理関数は正の次数"n"と選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数"n"で選択係数がformula_1で変数が"x"の楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数を用いた表示を持つ:
formula_2
多くの場合、特に"n"が = 2"a"3"b"、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。
楕円有理関数は、チェビシェフ多項式と密接な関係にあり、三角関数がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。
多項式の比としての表現.
偶数次楕円有理関数は2つの "n" 次多項式の比として表すことができる。
formula_23 は零点で formula_24 は極であり、 formula_25 は formula_26 となるように選んだ正規化定数である。この表記法は偶数次と同様に奇数次にも成り立つが、奇数次の場合は、極が x=∞ にあり、零点が x=0 に存在するので、次のように読み替える必要がある:
特徴.
The canonical properties.
上記の条件を満たす有理関数は、楕円有理関数しかない .
以下の特徴を導くことができる:
正規化.
楕円有理関数はx=1の時に1となる。
入れ子関係.
「入れ子関係」は次のように書き表せる:
これは極めて重要な特徴である:
極限値.
楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式 formula_46 と次の関連がある。
等リップル性.
formula_50 は formula_51 の区間で、等リップル性(極大極小値が formula_52)を持ち、
さらに逆数関係(下記参照)により、formula_53 が　formula_54 で等リップル性(極大極小値が formula_55) を持つ。
逆数関係.
次の逆数関係が成り立つ:
このことから、対応するi番目の零点formula_57と極formula_58の間には次の関係がある
全ての零点と極は実数であって重複がない。奇数次の場合には原点に零点があり、それに対応する極は無限遠にある。
極と零点.
n次の楕円有理関数の零点を、formula_60 あるいは formula_1が明らかな場合は単にformula_23 と書く。
また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。
以下の楕円有理関数の零点の導出はチェビシェフ多項式の零点の決定と類似のものである。
任意のzについて成り立つ次の等式を（formula_63の場合にも成り立つ）使う
すると零点formula_65は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。
したがって、零点の位置は（m=1,2...,nとして）次のように与えられる
上述の「逆数関係」により，極の位置はformula_68から簡単に計算できる。
一般的にはformula_69 と formula_37 の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが，それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに）表せるのであれば，上記の入れ子関係を使うことで、formula_71 の零点を代数的に表現できる。 特に、次数 formula_72 の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる 。たとえば、 formula_73 の零点は次のように表せる: 
と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで
最後の3つの式は逆に解くことができ、
formula_73 の零点を求めるには、 3番目の式で、formula_81 としたうえでformula_82の値2つを求め、求めたformula_82を用いることで、2番目の等式から4つのformula_84の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式からformula_73の8つの零点を求めることができる。. (formula_86 も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。
特定の値.
低次の楕円有理関数は次のようになる:
"n=5" やformula_96の形をしたより多くの楕円有理関数については を参照のこと。
対応する弁別係数は:
"n" を次数とすると、零点は全部で "n"個あり、"j" を零点の番号とすると対応する零点はformula_102と表せる。
「逆数関係」により、対応する極は formula_113と表すことができる。