一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列 formula_1 に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：
ただし母関数あるいは核と呼ばれる formula_3 は、次の級数によって構成される：
および
および
上述のように、formula_10 が次数 formula_11 の多項式であることを示すことは難しくない。
より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。
陽的表現.
一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。
この定数は
で与えられる。ただしこの和は formula_11 を formula_19 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての formula_20 に対して取られる。
アペル多項式に対し、これは次の公式となる。
漸化式.
核 formula_3 が formula_24 に対し formula_25 と書くことが出来るための必要十分条件は
が成り立つことである。ただし formula_27 および formula_28 にはべき級数表現
および
が存在する。今
を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。
ブレンケ多項式の特別な場合として、formula_12 が得られ、したがって formula_34 が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。