正規拡大

抽象代数学において、体の代数拡大 "L"/"K" は、"L" が "K"["X"] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
同値な性質、および例.
"L"/"K" の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。"K""a" を "K" の "L" を含む代数的閉包とする。
"L" が "K" の有限次分離拡大（例えば、これは "K" が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。
例えば、formula_1 は formula_2 の正規拡大である。なぜならば、"x"2 − 2 の分解体だからである。一方、formula_3 は formula_2 の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 "x"3 − 2 はその中に1つの根（すなわち formula_5）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。
formula_3 は formula_2 の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体 formula_8 は formula_2 の代数的閉包であって formula_3 を含む。一方、
であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像
は formula_3 の formula_8 への埋め込みであって、formula_2 への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は formula_3 の同型写像ではない。
任意の素数 "p" に対して、拡大 formula_17 は次数 "p"("p" − 1) の正規拡大である。これは "xp" − 2 の分解体である。ここで formula_18 は任意の 1 の原始 "p" 乗根を表す。体 formula_19 は formula_3 の正規閉包（下記参照）である。
他の性質.
"L" を体 "K" の拡大とすると、
正規閉包.
"K" が体で "L" が "K" の代数拡大であれば、"L" の代数拡大 "M" が存在して "M" は "K" の正規拡大となる。しかも、同型を除いて、極小な、つまり、"L" を含み "K" の正規拡大であるような "M" の唯一の部分体は "M" 自身であるような、そのような拡大は唯一である。この拡大は "K" の拡大 "L" の正規閉包 (normal closure) と呼ばれる。
"L" が "K" の有限次拡大であれば、その正規閉包もまた有限次拡大である。