ラングランズ・シャヒーディの方法

数学では、ラングランズ・シャヒーディの方法(Langlands–Shahidi method)は、数体の上の連結簡約群から発生する多くの場合、発生する保型形式のL-函数を定義することの意味を与える。このラングランズ・シャヒーディの方法は、一般線型群のカスプ形式のもつ保型表現がランキン・セルバーグの積を意味していることにある。ラングランズ・シャヒーディの方法は、局所係数の理論を開発し、このことがアイゼンシュタイン級数を通して大域理論へ繋がっていて、結果として得られるの L-函数は、重要な函数等式を含む多くの解析的性質を満たす。
局所係数.
設定は、局所体 F 上に定義された連結で準分岐的簡約群 G と、レヴィ部分群(Levi subgroup)を持っていることを考える。例えば、G = Gl はランク l の(classical group)で、最大レヴィ部分群は GL(m) × Gn の形をしているものを考える。ここに Gn はランクが n の古典群で、Gl, l = m + n と同じ形をしているとする。(F. Shahidi)は、M(F) の既約表現の局所係数の理論を開発した。 表現から放物的に得られる表現の相互作用の理論とペアとなっている(Whittaker model)の一意性のおかげで、局所係数は定義される。
アイゼンシュタイン級数におけるロバート・ラングランズ(Robert Langlands)の理論の汎函数方程式に現れる大域相互作用素は、局所相互作用の積として分解することができる。M が最大レヴィ部分群のとき、局所係数は適切に選択されたアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数から出てきて、部分的なL-函数の積を意味する汎函数方程式を満たす。
局所因子と函数等式.
まず最初は、大域的カスプ表現の粗い函数等式 formula_1 を、部分的なL-函数とγ-因子の個別の函数等式へと精密化することである。
詳細はテクニカルであり、s を複素変数、S を S 以外の v では不分岐で値 formula_3 となる（基礎となる大域体の）座(place)の有限集合とし、formula_4 を G のラングランズ双対群の行列式が 1 の部分群の複素リー代数で、M 上の随伴作用とする。G が特殊線型群 SL(2) であり、M = T が対角行列の最大トーラスのとき、π はヘッケ量指標(Größencharakter)で、対応する γ-因子は、テイト論文の局所因子である。
γ-因子は函数等式での役割と局所性質の中での役割により、双曲的な導出の観点(parabolic induction)からは多重度として一意に特徴付けられる。それらは、v をアルキメデス的局所体を与える、もしくは、非アルキメデス的で formula_3 が M(F) の不分岐主系列表現の成分であるとき、アルティンのL-函数とアルティンの根との関係を意味する。従って、局所 L-函数と根 εformula_6 は、どこでも定義でき、p-進群のラングランズの分類より formula_7 を意味する。函数等式は、
の形をしている。ここに formula_9 と formula_10 は完備化された大域的L-函数と根である。
保型L-函数の例.
ラングランズ・シャヒーディのL-函数(Langlands–Shahidi L-functions)の全リスト は、準分解群 G や最大レヴィ部分群 M には依存しない。特に、随伴作用 formula_4 の分解はディンキン図形(Dynkin diagram)を使い分類される。アイゼンシュタイン級数の理論を使った最初の保型L-函数の研究は、ラングランズのオイラー積(Euler Products、論文のタイトル) で、保型表現がどこでも不分岐であるという前提を設けている。ラングランズ・シャヒーディの方法がもたらしたことは、ウィタッカーモデルの存在を要求すること以外には M の表現について他の条件なしで、L-函数と根を定義したことである。
L-函数の解析的性質.
大域的L-函数は、素晴らしい性質を持っていると言われている。 もし、条件
を満たすと、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は函数等式を満たす。垂直な帯状領域での境界の研究の前進は、ゲルバート(S. S. Gelbart)とシャヒーディ(F. Shahidi)によりもたらされた。 さらに、高次で分岐する指標によるツイストを考慮して、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は、完全函数となる。
他の結果としては、L-函数が 0 にならないことである。一般線型群のランキン・セルバーグの積により、formula_20 が任意の実数 t に対して 0 にはならない。