ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。
定義と証明.
定義.
ウォリス積分 formula_1（"m" は 0 以上の整数）は
で定義される。部分積分を2回行うと
すなわち漸化式
が得られる。これより "m" の偶奇に応じて formula_1 の値が求まる。
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"m" = 2"n" を代入すると先述の formula_7 の求値より
スターリングの公式との関係.
スターリングの公式：
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し formula_11 とおくと、
より
が得られる。
応用.
ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。
またカタラン数 formula_14 にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：