アーベル方程式

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、）とは、
あるいは
の形式で記述され、 の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。
同値性.
上述の二つの方程式は同値である。実際、 を可逆函数とすると、二番目の方程式は
のように書くことが出来る。すると とすることで、この方程式は
のように書くことが出来る。既知とされる函数 に対して、問題は函数 についての函数方程式を解くこととなる。また のような追加条件も必要となる可能性がある。
実パラメータ に対して変数変換 を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 に書き換えることが出来る。
さらに変換 を施すことで、ボッチャーの方程式 が得られる。
歴史.
はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた
。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた。
線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる。
特別な場合.
テトレーションの方程式は、 であるようなアーベル方程式の特別な場合である。
整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば
や
などのようになる。
ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである。