フレヴィッツの定理

数学において、フレヴィッチの定理（）は、代数的位相幾何学の基本的結果であり、フレヴィッチ準同型と呼ばれる写像を通して、ホモトピー論とホモロジー論を結びつけるものである。定理の名前は、 (Witold Hurewicz) に因んでいて、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) による以前の結果を一般化した定理である。
定理の主張.
フレヴィッチの定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結びつける重要な定理である。
絶対的なバージョン.
任意の位相空間 "X" と正の整数 "k" に対し、"k" 次ホモトピー群から "k" 次（整数係数）ホモロジー群への、フレヴィッチ準同型 (Hurewicz homomorphism) と呼ばれる群準同型
が存在する。"k" = 1 と弧状連結な "X" に対して、フレヴィッツの定理は、標準的なアーベル化写像
と同値となる。
フレヴィッツの定理は、"X" が であれば、フレヴィッツ準同型写像は "n" ≥ 2 のときすべての "k" ≤ "n" に対し同型となり、"n" = 1 のときアーベル化となる、というものである。特に、フレヴィッツの定理は、第一ホモトピー群（基本群）のアーベル化が第一ホモロジー群
に同型であることを言っている。従って、"X" が弧状連結で、1("X") がであれば、第一ホモロジー群が 0 となる。
さらに、"n" ≥ 2 に対し、"X" が ("n" − 1)-連結のときはいつも、フレヴィッツ準同型写像は formula_4 から formula_5 への全射である。
群の準同型は、標準的な生成子 formula_6 を選び、写像 formula_7 のホモトピー類を formula_8 に写すことにより得られる。
相対的なバージョン.
位相空間対 ("X", "A") と整数 "k" > 1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型
が存在する。相対フレヴィッツの定理は、"X" と "A" が連結であり、対 ("X", "A") が ("n" − 1)-連結であれば、"k" < "n" に対し、"H""k"("X","A") = 0 であり、"H""n"("X", "A") は "n"("X", "A") から 1("A") への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、 では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。
この相対的フレヴィッツの定理は、において、射
に関するステートメントとして再定式化された。
このステートメントは、(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、"n" > "2" に対し誘導加群（ "n = 2" に対しては、接合加群(crossed module)）を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーの(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。
単体の集合のバージョン.
位相空間についてのフレヴィッツの定理は、"n"-連結なカンの条件を満す(simplicial set)についての成立するとする定理である。
有理フレヴィッツ定理.
有理フレヴィッツ定理(Rational Hurewicz theorem)： formula_11 に対し formula_12 であるような "X" を単連結な位相空間とすると、 フレヴィッツ写像
は、formula_14 に対して同型を、formula_15 に対しては全射を引き起す。