フェンシェルの双対性定理

数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、）は、の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。
"ƒ" を R"n" 上の真凸函数とし、"g" を R"n" を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、
が成り立つ。ここで "ƒ" * は "ƒ" の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、"g" * は "g" の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。
数学的定理.
"X" と "Y" をバナッハ空間とし、formula_4 と formula_5 を凸函数とし、formula_6 を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは
が弱双対性を満たす、すなわち formula_9 が成立することを言う。ここで formula_10 はそれぞれ "f","g" の凸共役であり、formula_11 は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は formula_12 で与えられる。
"f","g" および "A" は次のいずれかを満たす。
このとき強双対性が成立する。すなわち formula_19 となる。formula_20 であるなら、順序集合が達成される。