三角多項式

数学の一分野である数値解析および解析学における三角多項式（さんかくたこうしき、）は、一つ以上の自然数 に対する函数 の有限線型結合である。実数値函数に対しては、結合の係数は実数に取ることができる。複素係数の場合には、三角多項式とはフーリエ多項式（有限フーリエ級数）の事に他ならない。
三角多項式は、例えば周期函数の補間に適用できるに利用されるなど、広く用いられる。離散フーリエ変換にも用いられる。
「三角多項式」という名称は、実数値の場合には「多項式の空間に対するの代わりに を用いたもの」というアナロジーによって理解することができる。複素係数の場合には、三角多項式全体の成す空間は の正負の整数冪によって張られる。
厳密な定義.
 に対して、複素数の定数 を用いて
の形に表される任意の函数 を、次数 (degree) の複素三角多項式 ("complex trigonometric polynomial") と総称する 。オイラーの公式を用いれば、このような多項式を
の形に書くことができる。同様に、 は実数で または であるものとして、
を次数 の実三角多項式 ("real trigonometric polynomial") と言う 。
性質.
三角多項式は、実数直線上で定義され の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。
基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと が挙げられる（これはストーン–ヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である）。より具体的に書けば、「任意の連続函数 および実数 に対して、適当な三角多項式 が存在して全ての に対して とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「 のフーリエ級数の部分和の算術平均は に一様に収束する」から、これに基づいて の近似三角多項式 を求める具体的な方法が得られる。
次数 の三角多項式は、それが零函数でない限りにおいて、 ( の形の任意の開区間に 個の根の最大値を持つ 。