CM体

数学において、CM体 (CM-field) は特別なタイプの代数体 "K" であり、虚数乗法 (complex multiplication) 論との密接な関係からこの名前がついた。J-体 (J-field) と呼ばれることもある。
省略形 "CM" は によって導入された。
定義.
数体 "K" が CM 体であるとは、総実な基礎体 "F" の二次拡大で、"K" が総虚なことをいう。すなわち、"F" の C への埋め込みは全て、完全に R に含まれるが、"K" から R への埋め込みは存在しない。
言い換えると、"K" の部分体 "F" が存在して、"K" は "F" 上次のようなある 1 つの元の平方根 formula_1 によって生成される。β の有理数体 Q 上の最小多項式のすべての根は実数でない複素数である。このため α は「総負」に選ばれなければならない、つまり "K" の実数体への各埋め込み σ に対して、σ(α) < 0 である。
性質.
CM体の1つの性質は、C 上の複素共役が C へのその体の埋め込み方によらないその体上の自己同型を引き起こすことである。この自己同型は上の記号で β の符号を変えなければならない。
数体 "K" が CM 体であることと "K" が "units defect" を持つこと、すなわち "K" の真の部分体 "F" であってその単数群が "K" の単数群と同じ Z-ランクを持つものが存在することが同値である 。実は、"F" は上で述べた "K" の総実部分体である。これはディリクレの単数定理から従う。