ソボレフ共役

数学において、空間の次元を "n" とするとき、formula_1 を満たす "p" のソボレフ共役（ソボレフきょうやく、）は
で与えられる。このパラメータは特にソボレフ不等式において重要となる。
動機.
ある "q" >"p" に対し、ソボレフ空間 formula_3 の元 "u" が formula_4 に属するかという問題が考えられる。より具体的に、formula_5 が formula_6 を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の "q" に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。
コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数 formula_8 を考える。formula_9 とすると、次が成り立つ。
formula_12 に対する不等式 (*) の結果、formula_13 に対する次の不等式が得られる。
formula_15 なら、formula_16 をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は
に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。