ウィルティンガーの微分

一変数および多変数の複素解析において、ウィルティンガーの微分（, ときに とも）は、複素多変数関数論に関する研究において1927年に導入した (Wilhelm Wirtinger) の名前にちなんでおり、正則関数、、あるいは単に複素領域上の微分可能な関数に適用したときに、1つのに関して通常の微分と非常によく似た振る舞いをする、一階の偏微分作用素である。これらの作用素によって、そのような関数に対する微分学の、に対する通常の微分学と完全に類似した、構成ができる。
導入.
複素数 を実部と虚部に分解して と書き、 の適当な領域 上の実可微分関数 に対し、偏微分
を考えることができる。座標関数として ではなく を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。 
可微分関数 の全微分 を偏微分を用いて
と書くとき、 とすれば微分小に関して
であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に 
と書けば、各係数
がヴィルティンガー微分と呼ばれるものである。しばしば および をそれぞれ および とも書き、また作用素 はコーシー–リーマン作用素とも呼ばれる。
定義.
一変数の場合.
 複素平面 formula_6 を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される：
明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 formula_8 上の formula_9 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。
多変数の場合.
 複素数体上のユークリッド空間 formula_10 を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される：
一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 formula_12 ⊆ ℝ"2n" 上の formula_9 級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。
基本的な性質.
この節以降 formula_14 は複素ベクトルであり formula_15 ただし formula_16, formula_17 は実ベクトルで "n" ≥ 1 とする。また、部分集合 formula_12 は ℝ2"n" あるいは ℂ"n" の領域とする。証明は全て、、そして（常あるいは偏）微分の対応する性質の容易な結果である。
線型性.
 formula_19 とし、formula_20 を複素数とすると、formula_21 に対して、以下の等式が成り立つ
積の法則.
 formula_19 であれば、formula_24 に対して、積の微分法則が成り立つ
この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学的視点の微分であることに注意。
チェインルール.
これは一変数と多変数とで異なる："n" > 1 に対して完全な一般性でチェインルールを表現するには2つの領域 formula_26 および formula_27 と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数 formula_28 および formula_29 を考える必要がある。
一変数の場合.
 formula_19 および formula_31 であれば、チェインルールが成り立つ
多変数の場合.
 formula_34 および formula_35 であれば、formula_36 に対し、以下の形のチェインルールが成り立つ
共役.
 formula_39 であれば、formula_21 に対して、以下の等式が成り立つ