Q-類似

-類似（きゅーるいじ、）とは、理論に の極限で、元の理論に一致するように径数 を導入するような拡張のことをいう。-拡張（）などとも呼ばれる。
概要.
-数.
最も基本的な -数 とは、自然数 の -類似であって、 の極限で となるように
と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、formula_2 で不変な
あるいは
と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の -階乗や-二項係数は -数を用いて同様に定義される。
-階乗.
また-階乗 は、-数によって
と定義される。ただし は-ポッホハマー記号を表す。
このとき を 次の対称群、 を置換 の転倒数として、
が成り立つ。これは formula_7 の極限で、通常の階乗 formula_8 が formula_9 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。
また有限体 上の一般線型群 の位数は
と表せる。
-二項係数.
-二項係数は、二項係数の -類似で、
によって定義される。 が素数のべきのとき、-二項係数は有限体 上の 次元線型空間内における 次元部分空間の数に等しい。
より一般に -多項係数は のとき
によって定義される。
このとき
のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。
-微分.
-微分は微分の -類似で、任意の関数 について -微分を
によって定義する。さらに導関数の -類似である -導関数は
によって定義される。