CM-タイプのアーベル多様体

数学において体 "K" 上定義されたアーベル多様体 "A" がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End("A") の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 "d" > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
フォーマルな定義は、有理数体 Q と End("A") のテンソル積
は Z 上、次元 2"d" の可換部分環を含んでいることである。"d" = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End("A") は虚二次体の(order)である。"d" > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。"A" が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。
"K" が複素数体であれば、任意のCM-タイプの "A" は、実は、数体である(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、C"d" の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における "A" の正則接空間上の、EndQ("A") の（極大）可換部分環 "L" の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、"L" が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、"L" は "A" の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。"L" 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは "L" の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2"d" 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、"A" のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合の(Max Deuring)の結果を一般化する。