冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。
ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：
ここで "P" は "A" の冪集合 formula_2 を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
帰結.
冪集合公理は、二つの集合 formula_5 と formula_6 に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：
ここで
であり、
であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
デカルト積の存在は、におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。