シュール分解

数学の線型代数学の分野におけるシューア分解（シューアぶんかい、）あるいはシューア三角化 (Schur triangulation) とは、イサイ・シュールの名にちなむ行列の分解の一種である。
内容.
シュール分解とは、次のようなものである： "A" を成分が複素数であるような "n" × "n" 正方行列とする。このとき、"A" は次のように表現することが出来る。
ここで "Q" はあるユニタリ行列（したがって、その逆 "Q"−1 は "Q" の共役転置 "Q"* でもある）であり、"U" は "A" のシューア標準形 (Schur form) と呼ばれる上三角行列である。"U" は "A" と相似であるため、それらは等しい固有値の多重集合を持つ。また "U" は三角行列であるため、そのような固有値は "U" の対角成分で与えられる。
シュール分解は、"A"-不変部分空間からなる包含列 {0} = "V"0 ⊂ "V"1 ⊂ ... ⊂ "Vn" = C"n" が存在することを意味する。また各 "i" に対し、初めの "i" 個の基底ベクトルがその入れ子型の列の "V""i" を張るようなある順序付けられた（C"n" の標準的なエルミート形式に対する）正規直交基底が存在する。また違った言い方をすれば、初めの部分はある複素有限次元ベクトル空間上の線型作用素が、完全 ("V"1...,"Vn") を安定化することを意味する。
証明.
シュール分解の証明は次のようになる。複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素 "A" は固有値 "λ" と対応する固有空間 "Vλ" を持つ。"Vλ"⊥ をその固有空間の直交補空間とする。このとき、その直交分解に関して、"A" には次のような行列表現が存在することが明らかである（ここで "Vλ" および "Vλ"⊥ を張るような任意の正規直交基底 "Z1" および "Z2" をそれぞれ選ぶことが出来る）。
但し "Iλ" は "Vλ" 上の恒等作用素である。この行列は、ブロック行列 "A"22 を除いて上三角である。しかしその "A"22 も "Vλ"⊥ 上の作用素と見なすことで、同様の手順を行ってその部分行列を得ることが出来る。以下、空間 C"n" に対してこの方法を n 回繰り返せば、求める結果が得られる。
上述の内容はまた、次のように述べることも出来る。"λ" を "A" の固有値とし、対応する固有空間を "Vλ" とする。"A" は、"Vλ" を法とする商空間 C"n" 上のある作用素 "T" を導く。この作用素はまさしく上述のブロック行列 "A"22 である。上述と同様に、"T" は "Vλ" を法とするある固有空間 "Wμ" ⊂ C"n" を持つ。その商写像の下での "Wμ" の原像は、"Vλ" を含むような "A" の不変部分空間であることに注意されたい。この手順を、結果として得られる商空間の次元が 0 になるまで続ける。すると、各手順で見つけられる固有空間の原像の集まりが、"A" を安定化する旗を構成する。
計算例.
次の行列を三角化する。三角化の方法は一意ではないので、ここに示すものはあくまで一例である。
"A" の固有値を formula_4 とすると、固有方程式は formula_5。固有ベクトルをどれでもよいので1つとる。ここでは formula_6 に対応した
formula_7
を選ぶものとする。これ（のスカラー倍）を含むような正規直交基底を、どれでもよいので1つとる。ここでは、
と選ぶことにする。これらを横に並べて <math>Q_1 = \begin{bmatrix}\vec