ラウスの定理

幾何学におけるラウスの定理（ラウスのていり）とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。
この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた "Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples" の82ページに登場する。
定理.
三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。
formula_1, formula_2, formula_3 としたとき、三角形 ABC の面積に対する AD, BE, CF の3本の線で囲まれる三角形の面積は以下の式で表される。
一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形()が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これはチェバの定理の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。
証明.
三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対しメネラウスの定理を適用すると以下の式が得られる。
これを変形する。
三角形 ARC の面積は以下のように求まる。
同様に formula_8、formula_9 が得られる。
以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。