X線変換

数学において、X線変換（Xせんへんかん、）あるいはジョン変換と呼ばれるものは、1938年にによって導入されたある積分変換であり、近代のの基礎の一つとなっている。と非常に密接に関連しており、二次元ではそれらは一致する。より高次元において、函数のX線変換は、超平面について積分を行うラドン変換とは異なり、直線についての積分として定義される。ある函数 "ƒ" のX線変換は、密度が函数 "ƒ" で表される非均質媒質を通した断層撮影の散乱データを表すことから、X線変換の名はX線トモグラフィーに由来する。したがってX線変換の逆は、既知の散乱データから未知の密度 "ƒ" を再構成する上で用いることができるため、実践的に重要なものである。
より詳細に、"ƒ" がユークリッド空間 R"n" 上のコンパクト台を持つ連続函数であるなら、"ƒ" のX線変換は R"n" 内のすべての直線からなる集合上で定義される次の函数 "Xƒ" である：
ここに "x"0 は直線 "L" 上の初期点で、θ は直線 "L" の方向を与える単位ベクトルである。後者の積分は、向き付けを考えていない。すなわち、ユークリッド直線 "L" 上の 1 次元ルベーグ測度に関する積分である。
X線変換は、ジョンの方程式と呼ばれる超双曲型波動方程式を満たす。
ガウスの超幾何函数は、X線変換として記述することが出来る 。