イデアルの根基

数学の一分野である可換環論において、イデアル "I" の根基（）とは、イデアルであって、何乗かすれば "I" の元となるような元全体の集合である。根基イデアル（あるいは半素イデアル、被約イデアル）とは、自分自身の根基と等しいようなイデアルのことである（これは「根基化」と呼ばれるイデアルへの作用の固定点であるということもできる）。準素イデアルの根基は素イデアルである。
ここで定義された根基イデアルは、半素環の記事において非可換環に一般化される。
定義.
可換環 "R" のイデアル "I" の根基は、Rad("I") または formula_1 と表記され、
と定義される。
直感的には、"I" の根基は "I" の元のあらゆるベキ根を取ることで得られると考えられる。同じことだが、"I" の根基はベキ零元からなるイデアル（冪零イデアルと呼ばれる）の formula_3 における逆像である。後者は formula_1 はそれ自身イデアルであり、 "I" を含むことを示している。
"I" の根基が有限生成ならば、formula_1 を何乗かすると "I" に含まれる。とくに、"I" と "J" がネーター環のイデアルであれば、"I" と "J" が同じ根基をもつことと、"I" が "J" のあるベキを含み "J" が "I" のあるベキを含むことは同値である。
イデアル "I" が自分自身の根基と一致すれば、"I" は"根基イデアル"または"半素イデアル"と呼ばれる。
例.
整数環 Z を考える。
準素イデアルの根基は素イデアルである。イデアル "I" の根基が極大であれば、"I" は準素である。
"I" がイデアルであれば、formula_6 である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル "P" に対し formula_7 である。
"I", "J" を環 "R" のイデアルとする。formula_8 が であれば、formula_9 も comaximal である。
"M" をネーター環 "R" 上有限生成加群とする。このとき
が成り立つ。ただし formula_11 は "M" の台で、 formula_12 は "M" に伴う素イデアルの集合である。
性質.
この節において "I" は可換環 "R" のイデアルである。
応用.
"根基"を研究する主要な動機付けは可換環論で有名な"ヒルベルトの零点定理"である。この定理の簡単に理解できるバージョンは次のようなものである。代数的閉体 "k" と、体 "k" 上の "n" 個の不定元 formula_13 の任意の有限生成多項式イデアル "J" に対して、
が成り立つ。ただし、
であり
である。
これは次のようにも言える。環のイデアルの集合における合成 formula_17 は実はである。根基の定義から、根基をとる操作はベキ等であることは明らかである。