素数階乗素数

素数階乗素数（そすうかいじょうそすう、）とは、 を素数として、 の形で表される素数である。ここで、 は素数階乗（ 以下の素数の総乗）である。素数階乗素数は、 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2022年12月現在、42個が知られている。
ユークリッド数.
素数に限らず、 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによる。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。
このうち、素数であるもののみを抜き出すと、
であり、この次の数は154桁になる。 が素数となるような素数 は、2017年8月現在で
の22個が知られている。このうち最大のもの は169,966桁の数で、2001年9月にダニエル・ホイヤー (Daniel Heuer) により発見された。
クンマー数.
 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、
第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。小さい順に以下の通りである。
このうち、素数であるもののみを抜き出すと、
である。 が素数となるような素数 は、2017年8月現在で
の20個が知られている。このうち最大のもの は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された。
素数探索.
 の形の素数が無数にあるのかも、合成数が無数にあるのかも分かっていない。ポーヤ・ジェルジは、 が素数になる頻度はどのくらいか、と質問した学生に、「愚者が問うことができるが、賢者が答えることができない質問はたくさんある」と答えたという。
コールドウェルとギャロットは、2002年までに、 以下の全ての素数 に対して が素数であるかどうか検査した。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の "p" に対して、"p"# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである。