ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 () はすべての有限域が体であることを述べるものである。言い換えると、において、域、斜体、体の違いはない。
はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。
歴史.
最初の証明は によって1905年に与えられ、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、 に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。
後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって の帰結である。"D" を有限可除代数で中心を "k" とする。 とし "q" を "k" の濃度とする。"D" のすべての極大部分体は "qn" 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 "D" の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって である。
有限体の Brauer 群との関係.
定理は本質的に、有限体のBrauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。"k" を有限体とする。は有限性によって消えるから、formula_1 は formula_2 と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。
証明の概略.
"A" を有限域とする。"A" の各元 "x" ≠ 0 に対し、2 つの写像
は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論から"A" の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、"A" は斜体である。"A" の中心 "Z"("A") は体であるから、"A" は "Z"("A") 上有限 "n" 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は を示すことである。"q" を "Z"("A") の位数とすると、"A" の位数は "qn" である。中心に入っていない各 に対して、"x" のcentralizer "Zx" の位数は "qd" である。ここに "d" は "n" より小さい "n" の約数である。"Z"("A")*, "Z""x"*, "A"* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける
ただし和は "Z"("A") に入っていないすべての代表元 "x" を渡り、"d" は上で議論された数である。"qn"−1 と "qd"−1 はともに円分多項式 formula_5 のことばによって分解できる。
多項式の恒等式
から、 とおくと、
ことがわかるので、上の類等式によって formula_8 は "q"−1 を割らなければならず、したがって
これによって "n" が 1 でなければならないことを見るために、 に対して
であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式
ただし ζ は 1 の原始 "n" 乗根を渡る、において、"x" を "q" とし、絶対値を取ると
"n" > 1 に対して
であることが、複素平面での "q", 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって