真凸函数

数学の解析学（特に、凸解析）と数理最適化の分野において、真凸函数（しんとつかんすう、）とは、拡大実数に値を取る凸函数 "f" で、少なくとも一つの "x" に対して
が成立し、すべての "x" に対して
が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として formula_3 を取ることがないことを言う。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる。
真凹函数とは、formula_4 が真凸函数であるような任意の函数 "g" のことを言う。
性質.
Rn 上のすべての真凸函数 "f" に対し、ある Rn 内の "b" と R 内の β が存在して
がすべての "x" について成立する。
二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 formula_6 と formula_7 がベクトル空間 "X" 内の空でない凸集合であるなら、 formula_8 と formula_9 は真凸函数であるが、formula_10 であるなら formula_11 は恒等的に formula_12 に等しい。
二つの真凸函数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも真凸ではない。