テューキーの補題

テューキーの補題（あるいは）とは、ある性質を満たす集合族が包含関係に関する極大元を持つことを保証する命題である。ジョン・テューキーが初めに使用したことからその名前がついた。選択公理やツォルンの補題と同値であることが知られている。
定義.
テューキーの補題は、空でない集合族formula_1が有限性（）を満たすならば、formula_1は包含関係に関する極大元を持つという命題である。
集合族formula_1がFinite characterを満たすとは、次の性質を満たすことを言う。
応用.
選択公理から「任意のベクトル空間は基底を持つ」が従うことが知られているが、これはテューキーの補題を経由して以下のように証明される。まず、formula_1を線形独立なベクトルの集合からなる集合族とすると、これはFinite characterを持つ。なぜなら、formula_4を線形独立なベクトルの集合とすると、当然その部分集合も線形独立であり、逆にもし集合formula_4の任意の有限部分が線形独立なら、（線形独立性は有限個のベクトル間の関係だから）formula_4も線形独立な集合となるからである。よって、テューキーの補題より、包含関係に関して極大である線形独立なベクトルの集合formula_13が存在する。formula_13が基底であることは、もしformula_13の元の線形結合で表せないベクトルが存在したとすると、それをBに加えればBより大きい線形独立なベクトルの集合が得られてしまうことからわかる。
選択公理との同値性.
テューキーの補題から選択公理を導くことができる。formula_1を空でない集合の集合族とし、formula_17をformula_1の部分集合上の選択関数になっているような関数全体の集合とする。選択関数の部分集合は元の選択関数の定義域を制限した選択関数であることなどから、formula_17はFinite characterを満たす。よってテューキーの補題よりformula_17には包含関係による極大元が存在する。極大性より、その定義域がformula_1全体になっていることがわかる。
逆に選択公理からテューキーの補題を導くには、ツォルンの補題を経由する。formula_1を空でない集合族でFinite characterを満たすものとする。formula_17をformula_1の包含関係に関する任意の鎖とする。formula_25の任意の有限部分集合formula_26を考えると、formula_26の各要素は何らかのformula_28に含まれている。formula_29が包含関係について全順序で、Sの要素は有限であることから、formula_26の要素を全て含むformula_31が存在する。formula_26はformula_33の有限部分集合であるから、Finite characterよりformula_26はformula_1に含まれる。したがって、再びFinite characterよりformula_4もformula_1に含まれる。formula_4は鎖formula_13の上界となっているから、ツォルンの補題よりformula_1には極大元が存在する。