キリングベクトル場

キリングベクトル場（Killing vector field、別名：キリング場、Killing field）は、(Wilhelm Killing)の名前に因む。キリング場は、リーマン多様体や擬リーマン多様体上のベクトル場であって計量を保存するものを指す。キリング場は、等長変換群(isometry)の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成されるフロー (幾何学)は、多様体上の等長写像の連続群を為す。より平易に表現すると、対象の上の各点をキリング場の方向に同じ距離だけ移動したときに点の間の距離の関係が保たれるという意味での対称性がキリング場により生成される。
定義.
特に、計量 g の X に関するリー微分が 0 となる、つまり、
であるとき、ベクトル場 X をキリングベクトル場という。
レヴィ・チヴィタ接続の言葉で書けば、これは任意のベクトル場 X と Y について、
が成り立つことに対応する。局所座標では、キリング方程式
で書かれる。この条件は共変形式で書かれているので、一つの座標系で確かめれば任意の座標系で満たされることが分かる。
性質.
キリング場は、ある点でのベクトルとその勾配（つまり、点における場のすべての共変微分により決定される。
2つのキリング場のリーブラケットもまたキリング場であるので、多様体 M 上のキリング場は、M 上のベクトル場のリー代数を形成する。M が完備であれば、この代数は多様体の(isometry group)のリー代数となる。
コンパクトな多様体に対し、
すべてのキリングベクトル場の発散は 0 となる。
formula_16 がキリングベクトル場で formula_17 が調和ベクトル場であれば、formula_18 は調和函数である。
formula_16 がキリングベクトル場で formula_20 が調和 p-形式であれば、formula_21 である。
測地線.
各々のキリングベクトルは、(geodesics)に沿って保存される量に対応する。この保存量はキリングベクトルと測地線の接ベクトルとの間の計量積である。すなわち、同じアフィンパラメータ formula_22 の測地線に沿って、方程式 formula_23 が成立する。これは、対称性をもつ時空の運動を解析的に研究する目的を持っている。