双曲型平衡点

数学の力学系の研究において、双曲型平衡点（そうきょくがたへいこうてん、）あるいは双曲型不動点（そうきょくがたふどうてん、）とは、を持たない不動点のことを言う。双曲点の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる：
写像.
"T" : R"n" → R"n" は "C"1 写像で、"p" はその不動点とする。ヤコビ行列 "DT"("p") が単位円上に固有値を持たないとき、"p" は双曲型不動点と呼ばれる。
唯一つの不動点が双曲型であるような写像の一例として、次のアーノルドの猫写像が挙げられる：
実際、固有値は次のようになる。
フロー.
"F" : R"n" → R"n" を、臨界点 "p" を持つ "C"1 ベクトル場とする。すなわち "F(p) = 0" が成立するものとする。また "J" を "F" の "p" におけるヤコビ行列とする。行列 "J" に実部がゼロとなる固有値が存在しないとき、"p" は双曲型と呼ばれる。双曲型平衡点はまた、双曲型臨界点（hyperbolic critical point）あるいは初等的臨界点（elementary critical point）とも呼ばれる。
ハートマン＝グロブマンの定理によると、双曲型平衡点のある近傍における力学系の軌道構造は、線型化力学系の軌道構造と位相共役となる。
例.
次の非線型系を考える。
この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は
となる。この行列の固有値は formula_7 である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。
注意.
無限次元系 - 例えば時間遅れを含む系 - の場合、「スペクトルの双曲部」（hyperbolic part of the spectrum）の概念が、上述の性質のことを指す。