異時点間CAPM

異時点間CAPM（いじてんかんキャップエム、）とは、金融資産の期待収益率のクロスセクション構造を記述するための理論。ICAPMとも言う。ロバート・マートンにより1973年に発表された。静学的なモデルであった資本資産価格モデルに動学的な構造を取り入れたモデルであり、資産価格モデルの類型の一つであるマルチファクターモデルの理論的基礎と見なされ、資産価格理論においては基本的な理論モデルの一つである。
概要.
ICAPMの下では任意の金融資産 formula_1 の(瞬間的な)期待収益率 formula_2 は次の式により決定する。
ここで formula_4 は債券金利、つまり安全利子率で、formula_5 は市場ポートフォリオの(瞬間的な)期待収益率である。また formula_6 は各金融資産 formula_1 に個別の係数であり、formula_8 も同様に各金融資産 formula_1 ごとに異なる項である。
ICAPMの重要な仮定として金融資産の収益率の平均と分散が時間によって変動するということがある。その平均と分散の時間的変動は状態変数と呼ばれる変数の変動により決定される。収益率の平均と分散が定数ならば任意の金融資産についてそのヘッジ項は常に0であり、その場合は資本資産価格モデルと同様の式で金融資産の期待収益率のクロスセクション構造が決定する。ヘッジ項は将来の収益率の平均と分散の変動という不確実性に対する投資家の反応を表している。そのような反応を投資機会集合（）の変動に対する反応と言う。
また状態変数の総数が formula_10 個であり、それらの変動をある formula_10 個のポートフォリオの収益率で複製可能である時、ポートフォリオ formula_12 の(瞬間的な)期待収益率を formula_13 とすると、任意の formula_1 についてのヘッジ項 formula_15 は次のように書ける。
ここで formula_17 は各資産 formula_1 で異なる係数である。よってこの仮定が満たされる時、ICAPMは以下のようなマルチファクターモデル（）としての表現を持つ。
このようなポートフォリオ formula_20 を状態変数模倣ポートフォリオ（）と呼ぶ。
特に状態変数の数が一つで、その状態変数とある金融資産 formula_21 の収益率が完全に相関するならば、任意の formula_21 を除く金融資産 formula_1 の瞬間的な期待収益率について次が成立する。
ここで formula_25 はそれぞれ資産 formula_26 と市場ポートフォリオの収益率の瞬間的な標準偏差であり、formula_27 は収益率の瞬間的な相関係数を表している。
歴史と影響.
ICAPMはCAPMの発展形の一つである。大きなCAPMとの違いは投資家が動学的に効用最大化を行い、また金融資産収益率の分布パラメーターも時間によって変わるということである。静学的なモデルであったCAPMを動学的に拡張したものがICAPMである。ICAPMは同時期に登場した裁定価格理論と共にマルチファクターモデルの理論的基礎として見なされるようになった。ICAPMの最も著名な応用例の一つがファーマ＝フレンチの3ファクターモデルである。ユージン・ファーマとは当該論文中でファーマ＝フレンチの3ファクターモデルにおける追加ファクター、時価総額ファクターと簿価時価比率ファクターはICAPMにおける状態変数模倣ポートフォリオと見なせると述べている。
裁定価格理論との違いと共通点.
ICAPMと同様にマルチファクターモデルの理論的基礎となっている裁定価格理論だが、その最も大きな違いは金融資産の価格付けの方法にある。ICAPMでは一般均衡による、経済学で標準的に用いられている方法により絶対的に価格が決定するが、裁定価格理論では無裁定価格理論というファイナンス的な方法論で相対的に価格が決定される。ただ裁定価格理論で金融資産の収益率を決定するファクターは仮定として決まることと同様に、ICAPMにおいても金融資産の収益率に影響をもたらす状態変数は仮定として置かれ、なぜその状態変数が金融資産の収益率に影響を与えるかの経済学的メカニズムは明示されない。
理論.
以下ではに基づき、ICAPMの導出を簡略に記す。
投資家の期待効用最大化問題.
金融市場は完全市場で金融資産は連続的に取引可能であると仮定する。金融市場では一つの安全資産と formula_21 個のリスク資産が取引されているとする。以下では表記の簡略化のために時間に関する添字を省略するが、基本的にすべての変数は時間によって変動しうる。リスク資産 formula_1 の価格を formula_30 とすると、formula_30 は以下の確率微分方程式に従う。
ここで formula_33 はブラウン運動である。ただし、異なる formula_34 について formula_33 と formula_36 が相関することを許す。異なる資産 formula_34 の収益率の瞬間的な共分散は、formula_33 と formula_36 の瞬間的な相関係数を formula_40 とすれば、
であり、資産 formula_1 の瞬間的な期待収益率は formula_2 となる。また安全資産の価格 formula_44 は次の常微分方程式に従う。
ここで、formula_46 と formula_4 は、formula_10 個の状態変数 formula_49 の変動によってその値が変動する。状態変数 formula_50 は次の確率微分方程式に従う。
ここで formula_52 はブラウン運動で異なる formula_12 や formula_54 と相関することを許容する。つまり、状態変数 formula_50 と資産 formula_1 のリターンの瞬間的な共分散は、formula_52 と formula_33 の瞬間的な相関係数を formula_59 とすると
となる。同様にして状態変数 formula_50 と formula_62 の瞬間的な共分散は formula_63 となる。ただし、formula_64 は formula_52 と formula_66 の瞬間的な相関係数である。さらにここで重要な仮定として、formula_67 と formula_49 は斉時的（）なマルコフ過程であるとする。
投資家 formula_69 の資産への投資比率を表すポートフォリオを formula_70 とし、投資家の総資産 formula_71 は以下の確率微分方程式に従うものとする。
ここで formula_73 は投資家 formula_69 の消費額を表す。
投資家 formula_69 は次の時点 formula_76 から formula_77 までの期待効用最大化問題に直面しているとする。
ただし、formula_82 は formula_12 時点における formula_73 の値を指す。formula_85 も同様である。formula_86 と formula_87 はそれぞれ効用関数である。これはマートンのポートフォリオ問題にあたるが、状態変数が最大化問題に含まれるのでハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式は標準的なマートンのポートフォリオ問題とは異なる形状になる。ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式からこの期待効用最大化問題の解となる最適投資比率は次の連立方程式の解となる。
ただし、formula_89 である。ここで行列表記を導入して
とすれば、最適投資比率は以下を満たすことが分かる。
この式は投資家 formula_69 の金額ベースでの需要関数を表している。
一般均衡とICAPM.
金融市場には formula_94 人の投資家がいるとして、市場におけるリスク資産に対する総需要関数ベクトルは
となる。ただし、formula_96 である。ここで formula_97 を市場ポートフォリオとすると、市場ポートフォリオの収益率は
となる。よって市場ポートフォリオの瞬間的なリスクプレミアムは formula_99 であり、瞬間的な分散は formula_100 で表される。ただし、formula_101 はベクトル formula_102 の転置を指す。ここで一般均衡における市場清算条件から、市場全体のリスク資産に対する時価総額を formula_103 とすれば、
が成り立つ。さらにリスク資産と市場ポートフォリオの共分散ベクトルより、
となる。よって formula_106 である。加えて、formula_107 となる。ただし、formula_108 は市場ポートフォリオと状態変数の共分散ベクトルである。よって formula_109 となる。これを formula_110 に代入すると、
となる。右辺第二項をヘッジ項と見なせば、以下が成り立つ。
状態変数模倣ポートフォリオ.
次に状態模倣ポートフォリオが存在すると仮定する。つまり、任意の formula_20 について、あるポートフォリオ formula_114 が存在して、
を満たすとする。ここで行列 formula_116 を
とすると、状態模倣ポートフォリオの瞬間的な収益率の分散共分散行列は formula_118 となる。また瞬間的な期待収益率は formula_119 となる。よって
となる。つまり、formula_121 である。以上から
となり、マルチファクターモデルとして表現可能である。
共分散についての方程式.
投資家の数が一人に集約できる代表的個人モデルを考える。また状態変数は一つしか存在しないとする。この時、最適な投資比率は
で表される。よって
となる。ただし、formula_126 である。また formula_127 は formula_128 と formula_129 の瞬間的な共分散を表す。よって上のベクトルについての方程式を要素ごとに見れば、
という共分散についての式としてICAPMを解釈することが出来る。