ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、）問題は、（例えば乱流のような）流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。
ナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題を解の存在と滑らかさの問題という。
ナビエ–ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、（クレイ数学研究所）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した。
ナビエ-ストークス方程式.
数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型偏微分方程式系である。物理学や工学では、連続体力学を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体の運動のモデル化した方程式の系である。 方程式はニュートンの第二法則の主張であり、圧力や粘性ストレスや外の物体からの力の寄与の和として、粘性を持ったニュートン流体の中のこれらの場に沿ってモデル化された力を持っている。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の非圧縮で等質な液体に対してであり、以下で考える場合についてである。
formula_1 を流体の速度の 3次元のベクトル場とし、formula_2 を流体の圧力の場とする。 ナビエ-ストークス方程式は、
である。ここに formula_4 は力学的粘性、formula_5 は外の力、formula_6 は勾配(gradient)作用素であり、formula_7 はラプラス作用素で formula_8 とも書く。これは、ベクトル方程式、すなわち、3つのスカラー方程式である。速度と外力の座標を書き下すと、
となるので、各々の formula_10 に対し、対応するスカラーのナビエ-ストークス方程式
が存在する。
速度 formula_1 と圧力 formula_2 は未知数である。3次元では、3つの方程式と 4つの未知数（3つのスカラー速度と圧力）があるので、補助的な方程式が必要である。この余剰な方程式は、次の流体の非圧縮性を記述する連続の方程式
である。この性質のおかげで、ナビエ-ストークス方程式の解は、「発散のない」函数の集合の中に探し求めることができる。この等質な媒体の流れについて、密度と粘性は定数である。 
圧力 p は、ナビエ-ストークス方程式の両辺の rot 作用ととる（代わりに curl という記号もある）ことにより省略できる。この場合には、ナビエ-ストークス方程式は(vorticity-transport equation)へ還元できる。2次元(2D)の場合、これらの方程式は良く知られている [6, p. 321]。（渦度・流れ関数法も参照）
2つの設定：非有界空間と周期的な空間.
100万ドル賞であるナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、2つの異なった設定がある。もともとの問題は、formula_15 の空間全体の中（の問題）であり、これには初期値と解の増大性の振る舞いに余剰な条件を必要とする。無限遠点での問題を度外視するために、ナビエ-ストークス方程式は周期的なフレームワークでの設定が可能であり、このことはもはや formula_15 の空間全体ではなく、3次元トーラス formula_17 の中での問題である。別々にわけて取り扱うことにする。
全体の空間での問題.
前提条件と増大条件.
初期条件 formula_18 は滑らかであり、発散のない函数（滑らかな函数を参照）であり、任意の多重指数 formula_19（多重指数を参照）と formula_20 に対して、定数 formula_21 が存在して（すなわち、この「定数」は formula_19 と K に依存する）、
外力 formula_25 は同様に滑らかであることを前提とし、次の似たような不等式を満たす（ここでは、多重指数は同様に時間微分を意味する）。
物理的に合理的条件のため、期待される解のタイプは formula_28 ほどは増大度を持たない滑らかな函数とする。詳しくは、次の前提を設定する。
条件 1 は函数が滑らかで大域的定義されていることを意味し、条件 2 は解の運動エネルギーが大域的に有界であることを意味する。
空間全体での予想.
(A) formula_15 でのナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
formula_34 とする。上に述べた前提を満たす初期条件 formula_18 に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ-ストークス方程式の解が存在する。すなわち、速度ベクトル formula_36 と圧力 formula_37 が存在し、上の条件 1 と 2 を満たす。
(B) formula_15 でナビエ-ストークス方程式を解けないこと
上の条件 1 と 2 を満たす解 formula_36 と formula_37 が存在しないような初期条件 formula_18 と外力 formula_25 が存在する。
周期的条件の問題.
前提条件.
ここでは、問題の函数を周期 1 の空間変数の周期性を持っているとする。さらに詳しくは、次のように formula_43 を i-方向の単位ベクトルとする。
formula_36 は、全ての formula_10 に対して、次が成立する場合、周期的である。
座標を で考えることに注意する。これは空間全体 formula_15 ではうまくいかないが、3次元トーラスである次の商空間上ではうまくいく。
ここで初めて、前提条件を取り出して記述することができる。初期条件 formula_18 は滑らかで発散のない函数であることを前提とし、外力 formula_25 も同様に滑らかであることを前提とする。物理的に適切な解のタイプは、次の条件を満たす解である。
3. formula_53
4. ある定数 formula_30 が存在し、全ての formula_31 に対し、formula_56 となる。
前の場合と全く同様に、条件 3 は函数が滑らかで大域的に定義されていることを意味し、条件 4 は解の運動方程式が大域的に有界であることを意味する。
周期的な場合の問題.
(C) formula_57 でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
formula_34 とする。上でのべた前提条件を満たす初期条件 formula_18 に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する、つまり、速度ベクトル formula_36 と圧力 formula_37 が存在し、上の条件 3 と 4 を満たす。
(D) formula_57 でナビエ–ストークス方程式が解けないこと
上の条件 3 と 4 を満たす解 formula_36 と formula_37 が存在しないような初期条件 formula_18 と外力 formula_25 が存在する。