ド・ジッター空間

数学や物理学において、ド・ジッター空間 (de Sitter space) は、通常のユークリッド空間の球面の、ミンコフスキー空間あるいは時空における類似物である。"n" 次元ド・ジッター空間は dS"n" と書き、（標準のリーマン計量を持つ）"n" 次元球面のローレンツ多様体での類似である。この空間は、最大の対称性を持ち、正の定曲率を持ち、3 以上の "n" に対し、単連結である。
名称.
ド・ジッター空間は反ド・ジッター空間と同様に、ライデン大学の天文学の教授で、ライデン天文台の天文台長であったウィレム・ド・ジッター (Willem de Sitter) (1872–1934) の名前に因んでいる。
ウィレム・ド・ジッターとアルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) は、1920年代にライデンで、宇宙の時空の構造について研究を共にした。
概要.
一般相対論の言葉では、ド・ジッター空間は最大対称性を持ち、（正の真空エネルギー密度と負の圧力に対応する）正（反発力）の宇宙定数 formula_1 を持つアインシュタイン場の方程式の(vacuum solution)である。（ 3つの空間次元と 1つの時間次元）では、ド・ジッター空間は物理的な宇宙の天文学的なモデルである。ド・ジッター宇宙(de Sitter universe)を参照。
ド・ジッター空間はウィレム・ド・ジッターにより、また同時に、独立してトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ (Tullio Levi-Civita) により発見された。
さらに最近は、ド・ジッター空間がミンコフスキー空間を使うというよりも、特殊相対論の設定として考えられるようになった。その理由は、(group contraction)は、ド・ジッター空間の等長変換群をポアンカレ群へと還元し、(semi-simple group)というよりも単純群の中へ、時空変換部分群やポアンカレ群のローレンツ変換部分群を統一することを可能とする。この特殊相対論の定式化を(de Sitter relativity)と呼ぶ。
定義.
ド・ジッター空間は 1つ次元が高いミンコフスキー空間の部分多様体として定義することができる。標準的な計量
を持つミンコフスキー空間 R1,"n" をとると、ド・ジッター空間は一枚のシート
の双曲面により記述される部分多様体である。ここに formula_4 はある長さの次元を持つ正の定数である。ド・ジッター空間上の計量は、周囲の空間の計量から導かれる。導かれた計量はローレンツ符号を持ち非退化である。（上の定義に加えて、formula_5 を formula_6 と置き換えると、2枚のシートの双曲面を得る。この場合の導かれた計量は正定値であり、それぞれのシートは "n"-次元双曲空間のコピーである。
ド・ジッター空間は、2つの(indefinite orthogonal group)の商空間 としても定義される。このことは、この空間が非リーマン的な(symmetric space)であることを示している。
トポロジーとして、ド・ジッター空間は である（従って、 であれば、ド・ジッター空間は単連結である。
性質.
ド・ジッター空間の(isometry group)は、ローレンツ群 O(1,"n") である。従って、計量は "n"("n"+1)/2 個の独立なキリングベクトルを持ち、最大対称である。すべての最大対称空間は定曲率を持つ。ド・ジッター空間のリーマン曲率テンソルは、
により与えられる。
リッチテンソルは計量に比例する
ので、ド・ジッター空間はアインシュタイン多様体である。このことは、ド・ジッター空間は、
により与えられる宇宙定数を持つアインシュタイン方程式の真空解であることを意味する。ド・ジッター空間のスカラー曲率は、
により与えられる。"n" = 4 の場合、Λ = 3/α2 であり、"R" = 4Λ = 12/α2 である。
静的な座標.
ド・ジッター空間へは、(static coordinates) formula_11 を次のようにして導入することができる。
ここに、formula_15 は ("n"−2)-球面の R"n"−1 の中への標準的な埋め込みを与える。 これらの座標では、ド・ジッター計量は、
となる。formula_17 には(cosmological horizon)が存在することに注意する。
平坦なスライシング.
formula_18 として、
とすると、formula_22 座標では、計量は、
である。ここに formula_24 は formula_25 の上の平坦な計量である。
開いたスライシング.
標準計量 formula_26 を持つ formula_27 を形成する formula_28 を考え、
とすると、ド・ジッター空間の計量は、
である。ここに
はユークリッド的な双曲空間の計量である。
閉じたスライシング.
formula_15 で formula_35 を表すして、
とすると、計量は、
である。
formula_39 により時間変数を共形時間へ変えると、アインシュタインの静的宇宙に共形同値な計量
を得る。これはド・ジッター空間のペンローズダイアクラムを求めることができる。
ド・ジッタースライシング.
formula_15 で formula_42 を表し、
とすると、計量は、
である。ここに
は開いたスライシングでの曲率 formula_4 の半径を持つ formula_50 次元ド・ジッター空間の計量である。双曲計量は、
により与えられる。
これは、formula_52 の下での開いたスライシングの解析接続であり、時間ライクと空間ライクな性質を交換するので、formula_53 と formula_54 を交換する。