完全関手

ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその"不完全さ"を制御できる関手を扱うためのものである。
定義.
"P"と"Q"をアーベル圏とし、"F": "P"→"Q"を共変加法的関手(すなわち、とくに、"F(0)=0"である)とする。
を"P"の対象からなる短完全列とする。
このとき、"F"は
"G"が"P"から"Q"への反変加法的関手であるときも同様の定義が可能であり、"G"は
完全列が保存されるためには、"0"→"A"→"B"→"C"→"0" が短完全列であること全てを考える必要はなくて、一部が完全であることだけが必要である。以下は全て上の定義と同値となる。
例.
アーベル圏の全ての同値や双対は完全である。
もっとも基本的な例として、Hom関手は左完全である。すなわち、Aをアーベル圏とし、"A"をその対象とするとき、"F""A"("X") = HomA("A","X") はAからアーベル群の圏Abへの共変左完全関手を定める。この関手"F""A"は"A"が射影的対象であるとき、またそのときに限り完全関手となる。関手"G""A"("X") = HomA("X","A") は反変左完全関手であり、"A"が入射的対象であるとき、またそのときに限り完全関手となる。
"k"を体、"V"を"k"上の線形空間とし、"V"* = Hom"k"("V","k") と書く。これは"k"線形空間の圏からそれ自身への反変完全関手となる。(完全性は"k"が入射的"k"加群であることと上のことから分かる。他の方法として、すべての"k"線形空間の短完全列は分裂し、加法的関手は分裂系列を分裂系列にうつすことからも分かる)
"X"を位相空間とし、"X"上のアーベル群の層を考える。各層"F"に大域切断 "F"("X") を対応させる関手は左完全である。
"R"を環とし、"T"を右"R"加群とする。全ての"R"加群からなるアーベル圏から"Ab"への関手"H""T"を"R"上のテンソル積で定める。すなわち、"H""T"("X") = "T" ⊗ "X" とする。これは共変右完全関手であり、"T"が平坦であるとき、またそのときのみ完全関手である。
AとBをアーベル圏とし、AからBへの関手を対象とする関手圏BAを考える。Aの対象"A"が与えられたとき、"A"における評価関手"E""A" は BA から B への関手であり、完全関手である。
性質と定理.
共変関手(加法的である必要はない)が左完全であるのは、有限極限を有限極限にうつすときであり、またそのときに限る。同様に右完全であるのは、有限余極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。反変関手が左完全であるのは、有限余極限を有限極限にうつすときであり、そのときに限る。同様に右完全であるのは、有限極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。関手が完全であるのは左完全かつ右完全のときであり、そのときに限る。
左完全関手の完全関手にならなさの度合いは右導来関手で測ることができる。同様に右完全関手の場合は左導来関手で測ることができる。
次の事実があるため、左完全関手と右完全関手はありふれた概念である。関手"F"が関手"G"の左随伴であるならば、"F"は右完全であり、"G"は左完全である。
一般化.
SGA4, tome I, section 1 では左(右)完全関手の概念は、アーベル圏だけではなく一般の圏において定義されている。その定義は
抽象的であるにもかかわらず、この一般の定義は役に立つ結果を与える。例えば、1.8章で、Grothendieckは圏"C"がある簡単な条件を満たすとき、関手がpro-representableであることと、左完全であることが同値であることを示している。