K関数

数学において、K関数とは、ハイパー階乗("hyperfactorial")の複素数への一般化である。
定義.
形式的には、K関数は
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
となる。ここで、ζ'("z")はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ("a","z")はフルヴィッツのゼータ関数で、
である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。
である。また、を使って、
とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。
K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。
K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、
のような関連がある。より明確に書けば、
が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。
K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。
倍角公式.
ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。
ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。
数値.
最初の数項の値は、
となる。また、formula_12は、
のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。
関係式.
K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。
ここで、formula_15
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。