ヴィノグラードフの定理

ヴィノグラードフの定理（）とは、「十分大きな任意の奇数がつの素数の和として表すことができる」ことを含意する加法的整数論における結果である。これは「より大きな任意の奇数がつの素数の和として表すことができる」という弱いゴールドバッハ予想の弱い形である。定理の名前は、1930年代にこれを証明した(Ivan Matveyevich Vinogradov, Иван Матвеевич Виноградов)にちなむ。ヴィノグラードフの定理の完全な主張は、奇数の3つの素数の和による表し方の数の(asymptotic bounds)を与える。
定理の主張.
 を正の実数とすると、
が成り立つ。ここで、formula_2 をフォン・マンゴルト関数とすると
であり、
である。
帰結.
 が奇数であれば、 はおよそ であり、したがって十分大きな に対して formula_5 である。ある特定の素数による への寄与は formula_6 であることを示すことにより、
であることが分かる。特にこれは十分大きな任意の奇数はつの素数の和により表されることを意味し、有限個の例外を除いて弱いゴルドバッハ予想が成立することを意味している。
証明の戦略.
定理の証明は、ハーディ-リトルウッドの(Hardy–Littlewood circle method)を使う。を
とすると、
を得る。ここで formula_10 は formula_11 以下である素数のべきに限定した表現の数を表す。すると、
となる。formula_13 が有理数 formula_14 であれば、formula_15 は formula_16 を法とした剰余類の中の素数の分布によって与えられる。従って、ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、小さな分母の有理数の近傍で、上記の整数の分布を計算することができる。そのような有理数に近い実数の集合は、通常、優弧(major arcs)と呼ばれる複数の区間を形成し、その補集合は劣弧(minor arcs)と呼ばれる。優弧区間は整数を支配することがわかるので、定理を証明するためには、劣弧に含まれる formula_13 に対する formula_15 の上限を求める必要がある。この見積もりが証明の最も難しいところである。
一般化されたリーマン予想を前提とすると、優弧で使った議論を劣弧へ拡張することができる。これは1923年にハーディとリトルウッドによってなされた。1937年、ヴィノグラードフは、 formula_19 の無条件での上限を与えた。彼の主張は、結果の項が複雑な方法で簡約整理されて得られる、単純なふるい法から始まる。1977年、(R. C. Vaughan)は、後日、(Vaughan's identity)として知られる恒等式に基づく、非常に簡素化された結果を発見した。彼は、formula_20 であれば、
となることを証明した。ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、 formula_22 のべきの違いを区別せず formula_16 を扱うことができ、ディリクレの近似定理を使うと、劣弧上で formula_24 を得ることができる。したがって、劣弧の区間の境界は、
により制限され、これが定理の誤差項（補助項）を与える。