ハールウェーブレット

ハールウェーブレット（）とは、ウェーブレットの一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した。Daubechiesウェーブレットの一つでもある。
ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、連続では無いため、微分可能では無い事。
定義.
ウェーブレット関数の定義は以下の通り。
対応するスケーリング関数は以下の通り。
ハール関数とハール系.
整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψn, k が定義できる。
下記の性質を持つ。δi, j はクロネッカーのデルタ。
ハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。
スケール formula_8 のハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。
スケーリング関数.
整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数 formula_10 が定義できる。
下記の性質を持つ。
同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
ウェーブレット関数とスケーリング関数の関係.
ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。
解像度を指定した場合は以下の通り。
ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。