極大トーラス

コンパクトリー群の数学的理論において特別な役割はトーラス部分群によって、とくに極大トーラス (maximal torus) 部分群によって果たされる。
コンパクトリー群 "G" のトーラス (torus) とは "G" のコンパクト連結可換部分リー群（したがって標準的なトーラス T"n" に同型）である。極大トーラス (maximal torus) はそのような部分群の中で極大なものである。すなわち、"T" を含む任意のトーラス "T"′ に対して "T" = "T"′ が成り立つとき "T" は極大トーラスである。どんなトーラスもある極大トーラスに含まれている。これは単純に次元を考えることによってわかる。非コンパクトリー群は非自明なトーラスを持つとは限らない（例えば R"n" は持たない）。
"G" の極大トーラスの次元を "G" の階数 (rank) と呼ぶ。すべての極大トーラスは共役であることが分かるから階数は well-defined である。半単純群に対しては階数は付随するディンキン図形のノードの個数に等しい。
例.
ユニタリ群 U("n") は極大トーラスとしてすべての対角行列からなる部分群を持つ。つまり、
"T" は明らかに "n" 個の円の直積に同型であり、ユニタリ群 U("n") は階数 "n" を持つ。特殊ユニタリ群 SU("n") ⊂ U("n") の極大トーラスはちょうど "T" と SU("n") の共通部分であり、次元 "n" − 1 のトーラスである。
 SO(2"n") の極大トーラス（の1つ）はどの2つも互いに直交する2次元平面 "n" 個の同時的回転すべてからなる集合によって与えられる。これは作用は余った方向を固定するとして群 SO(2"n"+1) の極大トーラスでもある。したがって SO(2"n") と SO(2"n"+1) はどちらも階数 "n" を持つ。例えば、 において、極大トーラスはある固定した軸のまわりの回転たちによって与えられる。
シンプレクティック群 Sp("n") は階数 "n" を持つ。極大トーラスは成分がすべて "H" のある固定された複素部分代数にあるようなすべての対角行列からなる集合によって与えられる。
性質.
"G" をコンパクト連結リー群とし、formula_2 を "G" のリー代数とする。
ワイル群.
（極大とは限らない）トーラス "T" が与えられると、"T" に関する "G" のワイル群を "T" の中心化群を法とした "T" の正規化群として定義できる。すなわち、formula_4 "G" の極大トーラス formula_5 を1つ固定する。すると、対応するワイル群は "G" のワイル群と呼ばれる（同型の違いを除いて "T" の取り方には依らない）。"G" の表現論は本質的に "T" と "W" によって決定される。