シュタイナーの内接楕円

幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円は Dörrieによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている
シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。
以下の解説で特に説明がない場合、’’a, b, c" は三角形の3辺の長さを表す。
三角形上の座標による表記.
シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される。
重心座標では以下のようになる。
性質.
シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。
シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の formula_3倍である 。
これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。
三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。
シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。
この式の　Z は以下の式で与えられる。
3つの頂点の座標を複素数で表して、その3つの値で0になる3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点はその3次式の導関数を0にする値が表す点となる。
長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある
"G", "F"+, "F"− を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠"F"+"GF"−の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |"GF"−| ± |"GF"+| という式で表される。
シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。この放物線は、3辺とオイラー線とも接する。
シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。
三角形ABCに内接する楕円の焦点を "P", "Q" とすると以下の式が成り立つ。