超距離空間

数学において超距離空間（ちょうきょりくうかん、）とは、三角不等式が
で置き換えられるような特殊な距離空間のことをいう。対応する距離函数はしばしば非アルキメデス距離や super-metric などとも呼ばれる。超距離空間に対するいくつかの定理は、第一印象では奇妙に感じられるかも知れないが、多くの応用の場面において自然に現れるものである。
定義.
厳密に言えば、超距離空間とは点集合 と以下の性質を満たす函数（距離函数あるいは計量） との組 を言う（紛れの虞の無い場合は、単に台集合 のみで以て、超距離空間 などと書く）。 を実数全体の成す集合として、
は、 を任意として
を満たす。
性質.
上述の定義により、超距離のもつ典型的な性質をいくつか導くことができる。以下、中心 , 半径 の（開）球体を
と書く（距離空間の項目を参照）。また、閉球体は右辺の を で置き換えたものである。
例えば、超距離空間 において以下が成り立つ:
 および は任意として、
これらの内容を証明するのはよい勉強になる。それらはすべて、超距離不等式から導かれる。第二の内容より、球は距離が非ゼロであるようないくつかの中心点を持ちうることに注意されたい。そのような奇妙に思われる結果を直感的に説明する鍵は、強三角不等式により、超距離における距離は足し上げられることがないという事実である。
応用.
収縮写像は、計算の最後の結果を近似する方法として知られている（バナッハの不動点定理によってそのような結果の存在は保証される）。同様の考えは、領域理論でも用いられる。-進解析では、-進距離が超距離の性質を持つことが重きを以って用いられる（例えば、-進の解析函数は、複素解析における振る舞いとは異なり、解析接続によって定義域を真に延長することができない）。
応用例は、固体物理学、すなわちジョルジョ・パリージと共同研究者によるレプリカ理論におけるスピングラスの扱いや、非周期的な固体の理論においても見られる。
超距離はまた、UPGMAやWPGMAを使った系統樹の構成や分類学において利用されている。