フロベニウス多元環

フロベニウス多元環（フロベニウスたげんかん、）、あるいはフロベニウス代数とは、数学の表現論や加群論において有限次元な単位的結合多元環のうち、良い双対理論を与える特別な双線型形式を持つものをいう。
フロベニウス多元環は1930年代に Brauer と Nesbitt によって有限群のモジュラー表現の一般化として研究され始め、Frobenius にちなんで名づけられた。中山は および特に において豊かな双対理論を初めて発見した。デュドネはこれを用いて においてフロベニウス多元環を特徴づけ、フロベニウス多元環のこの性質を "perfect duality" と呼んだ。フロベニウス多元環は準フロベニウス環（右正則表現が移入的なネーター環）へと一般化された。最近では、フロベニウス多元環への関心は、位相的場の理論との関連からも高まっている。
体上の有限次元多元環に対しては以下のようなクラスの階層がある。
定義.
体 上の有限次元な単位的結合多元環 がフロベニウス多元環であるとは、移入右 加群 が右正則表現 に同型であることである。これは非退化双線型形式 で
を満たすものが存在することと同値であり、したがってフロベニウス多元環は「左右対称な」概念である。他の同値な特徴づけとしては線型写像 で がゼロでない左イデアルを含まないものが存在することがある。この線型写像 はフロベニウス形式 () と呼ばれる。
フロベニウス多元環は を満たすフロベニウス形式 をもつとき、対称多元環 () と呼ばれる。（ベクトル空間の対称代数というほとんど関係ない異なる概念もある。）