アルティン・シュライアー理論

数学において、アルティン・シュライアー理論 (– theory) は、標数 "p" の体の "p" 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。
アルティン・シュライアー拡大.
"K" を標数 "p" の体とし、"a" をこの体のある元とする。多項式 の分解体への "K" の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。"b" がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から までの "i" に対して がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。
実際 2 つ目の場合には、 の分解体は "K" 上 "b" で拡大され、多項式の "p" 個の根 は "K"["b"] に属しており相異なる。すると "K" のこの拡大は分離拡大であり従ってガロワ拡大である。ガロワ群が "p" 個の射からなり に対して formula_2 によって定義されることを証明するには、多項式が既約であること、従って "K"["b"] がその根体であることを示せば十分である。
もし "K"["X"] の次数 の多項式が を割れば、それは "K"["b"] において単項式 の積であり、 の係数は、"K" の元で、従って で の形で、"d" は "K" において 0 でなく、これは "b" が "K" に属していないから不可能である。よって多項式は既約である。
例えば、2 つの元を持った有限体は 4 つの元からなる有限体をアルティン・シュライアー拡大として持ち、これは多項式 = によって拡大されたものである。
アルティン・シュライアー理論.
アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。標数 "p" の体の "p" 次巡回拡大はすべてアルティン・シュライアー拡大である。これは例えばヒルベルトの定理90の加法版を使って証明される。
"p" 次非ガロワ拡大はこの理論によって記述することはできない。例えば、"p" 個の元を持った素体上の一変数関数体 F"p"("T") において不定元 "T" の "p" 乗根（つまり不定元 "X" の多項式 の根、これは非分離である）を添加して得られる拡大。
従って冪根による分解の理論の標数 "p" の類似理論はアルティン・シュライアー拡大を認めなければならない。拡大次数が標数の冪の拡大を得るにはの理論を使う。
歴史的コメント.
アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された の "Cours d'algèbre supérieure" の第三版の有限体についての章において既に見つかる。セレは整数 "g" が素数 "p" で割れなければ多項式 は mod "p" で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての に対して は既約であること、を証明している。この結果は上のことから標数 "p" の体を F"p" として証明できる。