分裂補題

数学、より具体的にはホモロジー代数学において、分裂補題 (splitting lemma) は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。
写像が "q" と "r" の短完全列
が与えられたとし、追加の矢印 "t" と "u" を存在しないかもしれない写像に対して書く。
このとき以下のステートメントは同値である。
短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば"分裂する" (split) という。
（「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。）
注意： 完全列 formula_3 は分裂するとは限らない。
この補題によって第一同型定理を精密化することができる。
それは線型代数学の（formula_6 の形での）階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。
証明.
まず、(3) から (1) と (2) が従うことを示すためには、(3) を仮定し "t" として直和から "A" への自然な射影をとり、"u" として "C" から直和への自然な入射をとる。
(1) ならば (3) を示すために、"B" の任意の元は集合 (ker "t" + im "q") に入っていることに注意する。これは "B" のすべての "b" に対して "b" = ("b" - "qt"("b")) + "qt"("b") であることから従う。"qt"("b") は明らかに im "q" の元であり ("b" - "qt"("b")) は 
だから ker "t" に入っている。
次に、im "q" と ker "t" の共通部分は 0 である、なぜならば "q"("a") = "b" なる "A" の元 "a" が存在して "t"("b") = 0 であれば、0 = "tq"("a") = "a" であるから "b" = 0 である。
このことより "B" は im "q" と ker "t" の直和である。したがってすべての "B" の元 "b" に対して "b" は一意的に "A" の元 "a" と ker "t" の元 "k" であって "b" = "q"("a") + "k" なるもので識別できる。
完全性から ker "r" = im "q" である。部分列 "B" → "C" → 0 から "r" は上への写像である。それゆえ任意の "C" の元 "c" に対して "b" = "q"("a") + "k" が存在して "c" = "r"("b") = "r"("q"("a") + "k") = "r"("k")。したがって任意の "C" の元 "c" に対して ker "t" の元 "k" が存在して "c" = "r"("k"), and "r"(ker "t") = "C"。
"r"("k") = 0 であれば "k" は im "q" に入る。im "q" と ker "t" の共通部分は 0 であるから、"k" = 0 である。したがって射の制限 "r" : ker "t" → "C" は同型射であり ker "t" は "C" に同型である。
最後に、im "q" は 0 → "A" → "B" の完全性により "A" と同型である。なので "B" は "A" と "C" の直和に同型であり (3) が証明される。
(2) ならば (3) を示すために、同様の議論をする。"B" の任意の元は集合 ker "r" + im "u" に入る。すべての "B" の元 "b" に対し "b" = ("b" - "ur"("b")) + "ur"("b") であってこれは ker "r" + im "u" に入っている。ker "r" と im "u" の共通部分は 0 である、なぜならば "r"("b") = 0 かつ "u"("c") = "b" であれば 0 = "ru"("c") = "c"。
完全性から im "q" = ker "r" で、"q" は単射だから、im "q" は "A" と同型で、"A" は ker "r" と同型である。"ru" は全単射だから、"u" は単射でありしたがって im "u" は "C" と同型である。なので "B" は再び "A" と "C" の直和である。
他の証明.
http://math.stackexchange.com/questions/748699/abstract-nonsense-proof-of-the-splitting-lemma/753182#753182
非可換群.
ここに述べられた形では、分裂補題はアーベル圏でない群の圏全体においては成り立たない。
部分的には正しい.
それは部分的には正しい。群の短完全列が左分裂あるいは直和であれば（条件1または3）、条件のすべてが成り立つ。直和に対してはこれは明らかである。直和成分から入射あるいはそれへ射影できるからだ。左分裂列に対しては、写像 formula_7 が同型を与えるので、"B" は直和（条件3）であり、したがって同型を逆にして自然な入射 formula_8 と合成すれば "r" を分裂させる入射 formula_9 を得る（条件2）。
しかしながら、群の短完全列が右分裂であっても（条件2）、左分裂あるいは直和である必要はない（条件1も3も従わない）。問題は右分裂の像が正規である必要はないことだ。この場合に正しいのは、"B" は、一般には直積ではないが、半直積ではあるということである。
反例.
反例を構成するために、最小の非アーベル群である3文字の対称群 formula_10 をとる。"A" で交代部分群を表し、formula_11 とする。"q" と "r" をそれぞれ包含写像と符号写像とすると、
は短完全列である。formula_13 はアーベルでないので、条件 (3) は成り立たない。しかし条件 (2) は成り立つ。"u": "C" → "B" を生成元を任意の2次の巡回置換に写すことで定義できる。完全にするために条件 (1) が成り立たないことに言及しよう。任意の写像 "t": "B" → "A" はすべての2-サイクルを単位元に写さなければならない、なぜならば写像は群準同型でなければならないが、2-サイクルの位数は2であり "A" の元の位数は単位元を除いて "A" は formula_13 の交代部分群すなわち位数3の巡回群なので3であるがそれで割り切れない。なので "t" は自明な写像で、それゆえ "tq": "A" → "A" も自明であり、恒等写像ではない。