普遍包絡代数

（普遍）包絡代数（ふへんほうらくだいすう、, ）あるいは（普遍）展開代数とは、任意のリー代数 formula_1 から構成される、ある性質を満たす単位的結合代数 formula_2 と準同型写像 formula_3 の組 formula_4 のことをいう。
定義.
formula_1 を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 "A" とリー代数の準同型写像 formula_6 の組 formula_7 が存在する（"A" は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 formula_8 とリー代数準同型写像 formula_9 に対し、結合代数の準同型写像 formula_10 で、formula_11 を満たすものが唯一つ存在する。このような formula_7 は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、"A" を formula_2 で表す:
構成.
formula_1 をリー代数、formula_15 をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、formula_16 を formula_17 が生成する両側イデアルとする。これによって
とする。自然な写像 formula_19 を formula_1 に制限して formula_21 が定まり、formula_4 は普遍包絡代数になる。