ウィグナーの定理

1931年にユージン・ウィグナー (Eugene Wigner)により証明されたウィグナーの定理(Wigner's theorem)は、量子力学の数学的定式化()の標識的な定理である。定理は、どのようにして回転、移動のような物理的対称性があるか、また、CPTが状態のヒルベルト空間上に作用するかを決定する。
定理に従うと、ヒルベルト空間の中ではユニタリ変換もしくは変換として作用する。さらに詳しくは、複素ヒルベルト空間 formula_1 のすべて formula_2 に対して次の式を満たす写像 formula_3 が全射で（必ずしも線型である必要はない）あり、すべての formula_4 に対して、 formula_5 の形をしていることを言っている。
ここに formula_7 は絶対値で割ったものをさしていて、formula_8 は考えている系の対称性に依存して、ユニタリかもしくは反ユニタリである。
量子力学の対称性.
量子力学と量子場理論では、一つの粒子、複数の粒子、場の量子状態は、複素ヒルベルト空間の中のベクトル（ケット)で表される。任意の、例えば、｢すべての粒子や場を5秒間時間を前へ進める」とか「ローレンツ変換すべての粒子と場を x 方向へ 5 m/sで移動する」とかは、ヒルベルト空間の上の演算子 T に対応する。この演算子 T は全単射である必要がある。何故ならば、すべての量子状態は互いに変換された対応する状態がユニークである必要があるからである。また、初期状態が formula_9 系が状態 formula_10 である確率は、formula_11 で与えられる．T は対称演算子なので、初期状態が formula_12 の系が状態 formula_13 である確率は等しいはずである。従って、formula_14 である。このことから T はウィグナーの定理の仮定に従う。
このようにして、ウィグナーの定理に従い、T はユニタリかもしくは反ユニタリである。上の2つの例(時間の移動とローレンツ変換）では、T はユニタリ演算子に対応する。時間反転対称性演算子は、反ユニタリ対称演算子の有名な例である。