対称減少再配分

数学においてある函数の対称減少再配分（たいしょうげんしょうさいはいぶん、）とは、等位集合の大きさがその函数のものと等しいような、対称かつ減少な函数のことをいう。
集合の定義.
R"n" 内のある可測集合 formula_1 が与えられたとき、その対称再配分 formula_2 は次で与えられる。
ここで formula_4 は単位球の体積で、formula_5 は formula_1 の体積である。これは、体積が集合 formula_7 と等しい原点中心の球を表すことに注意されたい。
函数の定義.
等位集合が有限測度を持つような非負の可測函数 formula_8 の再配分は、次で与えられる。
すなわち formula_10 の値は、formula_11 の対称再配分の半径が "x" と等しいような高さ "t" を与える。この定義には、次のような動機がある。任意の非負の函数 formula_12 に対して、等式
が成り立つため、上述の定義は等式 formula_14 が成り立つための唯一つの定義となる。
性質.
函数 formula_15 は、等位集合が formula_16 の等位集合と同じ測度を持つ、すなわち
が成り立つような対称かつ減少な函数である。formula_8 が formula_19 内の函数であるなら、次が成り立つ。
ハーディ＝リトルウッドの不等式が成り立つ。すなわち
となる。さらにが成り立つ。すなわち formula_22 かつ formula_23 なら、次が成り立つ。
対称減少再配分は、順序保存であり、formula_19 距離を減少させる。すなわち
および
が成り立つ。
応用.
ポーヤ＝セゲーの不等式より、極限においては formula_28 として等周不等式が成り立つ。また、レイリー＝フェイバー＝クラーンの不等式を証明するために調和函数との関係を利用することが出来る。