忠実加群

環 "A" 上の（左または右）加群 "M" は、その零化イデアル Ann"A" ("M") が {0} であるときに、忠実（）であるという。言い換えると、各 formula_1 の作用が自明でない（ある "x" ∈ "M" に対して α・"x" ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 formula_2 が単射である。
任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 formula_2 は、単射準同型 formula_4 によって分解する。ker ψ は Ann"A" ("M") に他ならないので、formula_5 によって "M" に "A" / Ann"A" ("M")-加群としての構造が入り、このとき formula_5 は単射なので "M" は忠実である。
性質.
"A"-加群 "M" の任意の元 "x" に対して "M""x" = "M" とおくと、写像
は "A"-準同型である。このとき ker φ = Ann"A" ("M") なので、準同型定理より
を得る。したがって "M" が忠実加群であれば、"A" は（自然に"A"-加群と見て）formula_9 の部分加群に同型である。