概マシュー作用素

数理物理学の分野における概マシュー作用素（がいマシューさようそ、）とは、量子ホール効果の研究に現れる、次のような作用素のことを言う。
この作用素はヒルベルト空間 formula_2 上で自己共役作用素として働く。ここで formula_3 はパラメータである。純粋数学の分野では、この作用素の重要性は、なシュレーディンガー作用素のよく知られた例であるという事実に起因する。例えば、（今ではすべて解かれた）シュレーディンガー作用素に関するバリー・サイモンの「21世紀のための」15の問題は、概マシュー作用素を取り上げたものであった。
formula_4 に対して、概マシュー作用素はしばしばハーパーの方程式（Harper's equation）と呼ばれる。
スペクトルのタイプ.
formula_5 が有理数であるなら、formula_6 は周期作用素であり、したがってフロケ理論によりそのスペクトルは純粋に絶対連続である。
formula_5 が無理数である場合を考える。変換 formula_8 は極小であるので、formula_6 のスペクトルは formula_10 には依存しない。一方、エルゴード性より、そのスペクトルの絶対連続な部分、特異連続な部分および純点部分はほとんど確実にx formula_10 に独立である。今、次の関係が知られている。
formula_18 の時は、スペクトル測度が特異となることが従う（ラストとサイモンの業績による）。これは、
で与えられるリアプノフ指数 formula_20 の下界より従う。
この下界は、Aubry と André のほとんど厳密な早期の議論の後に、Avron、サイモンおよび によって示された。実際、formula_21 がスペクトルに属する時、この不等式は等式（Aubry-André の公式）になるが、これは と Svetlana Jitomirskaya によって示された。
スペクトルの構造.
概マシュー作用素のその他の目立った特徴として、すべての無理数 formula_5 および formula_23 に対してスペクトルがカントール集合となることが挙げられる。この事実は および Jitomirskaya によって、有名な "Ten Martini Problem" を解く際に示された。この問題はサイモンの問題の一つでもあり、（パラメータに関する一般性およびほとんど確からしさを含む）いくつかの先行結果ののちに解決された。
また、概マシュー作用素のスペクトルの測度は、すべての formula_23 に対して
で与えられることが知られている。formula_26 に対して、スペクトルは測度ゼロを意味する（これはダグラス・ホフスタッターによって初めて提唱され、のちのサイモンの問題の一つとなった）。formula_27 に対する式は、Aubry および André によって数値的に発見され、Jitomirskaya と Krasovsky によって解かれた。
formula_28 に対するスペクトルの研究は、ホフスタッターの蝶を導くものである。このときそのスペクトルは集合として表される。