弱いゴールドバッハ予想

弱いゴールドバッハ予想（よわいゴールドバッハよそう、英語:Goldbach's weak conjecture）とはゴールドバッハの予想に類似した素数の和に関する数論の予想。次のように表現される。
3 個の素数は同じ数であってもよい。
ゴールドバッハ予想が証明できれば弱いゴールドバッハ予想も証明できる（後述）。しかし弱いゴールドバッハ予想が証明できても（それだけでは）ゴールドバッハ予想は証明できない。ゴールドバッハ予想からこの予想は導かれるが、その逆はないので「弱い」という語を冠している。
大きな奇数ほどその数よりも小さな素数がより多く存在し、それらの組み合わせもより多くなるので、この予想は多くの数学者によって正しいと考えられている。
2013年、ハラルド・ヘルフゴットは弱いゴールドバッハ予想を証明したとする論文を発表した。
概要.
小さな奇数を順に 3 個の素数の和で表すと以下のようになる。
3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。
「7 より大きい奇数は 3 個の奇素数の和で表せる」という予想もある。これはゴールドバッハ予想の「4 より大きい偶数は 2 個の奇素数の和で表せる」という命題と類似している。
3 個の素数のうち偶数の素数である 2 は 2 個か 0 個であり、残りの 1 個もしくは 3 個全てが奇素数である。
7 以上の奇数が n を 自然数、p を奇素数として
と 3 個の素数の和として表せるならば、その次の奇数も
と 3 個の素数の和として表せる。
「5より大きい奇数は 1 個の奇素数と 2 個の同じ素数の和で表せる」という予想（Lemoine予想）もある。つまり 7 = 3 + (2 × 2) , 9 = 3 + (2 × 3) , 11 = 5 + (2 × 3) などのように
と表せるという予想である。
ゴールドバッハ予想との関係.
ゴールドバッハ予想が正しいと仮定すると以下の命題が成り立つ。
したがって自然数を n とおくと、n 番目の正の偶数について
を満たす素数 p1 , p2 が必ず存在することになる。ここから n+2 番目の正の奇数は
と 3 個の素数の和で表せるので、弱いゴールドバッハ予想も正しい。
逆に弱いゴールドバッハ予想が正しいと仮定すると n 番目の正の奇数について
を満たす素数 p1 , p2 , p3 が必ず存在することになる。ここから n 番目の正の偶数は
と表せるが、 p2 + p3 + 1 は素数とは限らないので（p2 = 3 , p3 = 5 の場合など）"強い" ゴールドバッハ予想は証明できない。
これらのことから、弱いゴールドバッハ予想は"強い" ゴールドバッハ予想の系であるといえる。
ならば
であるので、この予想が正しければ 8 より大きい偶数は 4 個の素数の和で表せることになる。また、8 も 8 = 2 + 2 + 2 + 2 と 4 個の素数の和で表せるので、弱いゴールドバッハ予想が正しければ 7 以上の自然数は 3 個か 4 個の素数の和で表せる。これは「弱いゴールドバッハ予想が正しければ 4 以上の自然数は高々 4 個の素数の和で表せる」と言いかえることもできる。なお、ゴールドバッハ予想については同様に「ゴールドバッハ予想が正しければ 4 以上の自然数は高々 3 個の素数の和で表せる」といえる。