集合函数

数学における集合函数（しゅうごうかんすう、）は集合を変数（入力、引数）とする函数である。集合函数は出力としてふつうは数を返すが、しばしば出力として無限大を許す（すなわち補完数直線に値をとる函数も考える）。入力は、普通は適当な集合の部分集合族の元となっているような集合であり、しばしば実数からなる集合、ユークリッド空間内の点集合、適当な測度空間内の点集合などから取られる。
これと対照的に、入力が点である（通常の意味の）函数を点函数とよぶ。また、集合を値として出力する写像はしばしば集合値函数と呼ばれる（集合値函数と多価函数は同じような意味で用いられることがあるが、必ずしも同義語でない）。
集合函数は測度論の基礎を成すもので、測度および有限加法的測度は特定の性質を満足する集合函数として定められる。
定義.
空でない集合 とその部分集合族 に対し、写像 
を（-値の）集合函数と呼ぶ（ なるときはしばしば を仮定する）。ただし、終域 はふつう非負アフィン拡張実数の全体 と取って非負拡張実数値集合函数を考え、これをしばしば単に集合函数と呼ぶ。他によく用いられるのは
などがある。
例.
集合函数の例には以下のようなものが挙げられる。ただし、「集合」は適当な集合族からとるものとする。
集合函数の分類.
集合函数 に対して以下のような性質を考えることができる。以下、各集合は全体集合 の適当な部分集合族 から取るものとする。