捩れ (代数学)

抽象代数学において、捩れ（ねじれ、）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。捩れという言葉は、捩れた図形のホモロジー群に有限位数の元が現れることに由来する。
定義.
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
群に対して.
群 "G" の元 "g" は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、"g""m" = "e" となるようなとき、群の捩れ元 と呼ぶ。ここで "e" は群の単位元を、 "g""m" は "m" 個の "g" のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 、あるいは周期群 といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 という。アーベル群 "A" の捩れ元全体 "T" は部分群をなし、捩れ部分群 と呼ばれる。このとき "A"/"T" は捩れのない群である。
加群に対して.
環 "R" 上の加群 "M" の元 "m" は、環の正則元 "r" が存在して、"m" を零化する、すなわち となるとき、加群の捩れ元 という。加群 "M" の捩れ元すべてからなる集合を "t"("M") と表す。
環 "R" 上の加群 "M" は、"t"("M") = "M" であるとき、捩れ加群 と呼ばれ、"t"("M") = 0 であるとき、捩れがない と言う。"t"("M") が "M" の部分加群をなすとき、"t"("M") を捩れ部分加群 という。環 "R" が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、"t"("M") は捩れ部分加群である。"R" が非可換であれば "t"("M") は部分加群になるとは限らない。"R" が右であることと、"t"("M") がすべての右 "R" 加群に対して "M" の部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、"R" が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、"M" を環 "R" 上の加群とし、"S" を "R" の積閉集合とする。このとき標準的な写像 "M" → "M""S" の核を "t""S"("M") と表す。"t""S"("M") = "M" のとき、つまり "M" のすべての元 "m" は、"S" のある元 "s" によって零化されるとき、"M" は S"-捩れ と呼ばれる。また "t""S"("M") = 0 のとき、"M" はS"-捻れなし という。特に、"S" を環 "R" の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
主イデアル整域の場合.
"R" を（可換）主イデアル整域とし、"M" を有限生成 "R"-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 "M" の詳細な記述を与える。特に、この定理は、
であることを言っている。ここに "F" は（"M" のみに依存する）有限な階数の自由 "R"-加群であり、 "t"("M") は "M" の捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない "R" 上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては"成り立たず"、2変数多項式環 "R" = K["x", "y"] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。
捩れと局所化.
"R" を可換な整域で、"M" を "R"-加群と仮定する。また、"Q" を環 "R" の分数体とする。すると、"M" からにより与えられる "Q"-加群 
を考えることができる。"Q" は体であるから、"Q" 上の加群はベクトル空間である（無限次元かもしれない）。"M" から "M""Q" へのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 "t"("M") である。より一般に、"S" を環 "R" の積閉部分集合とすると、"R" 加群 "M" の局所化
を考えることができる。これは、局所化 "R""S" 上の加群である。"M" から "M""S" への標準的な準同型が存在し、その核がちょうど "M" の "S"-捩れ部分加群となる。したがって、"M" の捩れ部分加群は、「局所化したときに消える」元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、 "S" と右 "R"-加群 "M" に対して、成り立つ。
ホモロジー代数における捩れ.
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。"M" と "N" を可換環 "R" 上の加群とすると、Tor函手は "R"-加群 Tor("M", "N") の族を与える。"R"-加群 "M" の "S"-捩れ "t""S"("M") は、標準的に Tor("M", "R""S"/"R") と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも "S" がである限りは、同じ結果が成り立つ。
アーベル多様体.
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は(division polynomials)の項として計算される。