Kan拡張

圏論においてカン拡張とは普遍性を持つ構成の一種である。 カン拡張は随伴関手と近い関係を持つばかりでなく、圏における極限概念やエンドとも関係している。カン拡張の名は1960年に極限を用いてこの拡張を構成した ダニエル・カンの名に由来している。黎明期のカン拡張はホモロジー代数で導来関手を求める際に使われていた。
"圏論の基礎"（ ソーンダース・マックレーン 著）においてMac Laneは「すべての概念はカン拡張である」と述べ、さらには「カン拡張には圏論における基本的な概念がすべて含まれている」とまで述べている。
ある部分集合上で定義された関数を全体集合にまで拡張する操作を一般化したものがカン拡張である。カン拡張の定義は、当然のように高度に抽象化されている。特別な場合として、半順序集合の場合には、カン拡張は'constrained optimization'の問題となり比較的馴染み深いものになる。
定義.
3つの圏
および二つの関手
が与えられたとき、formula_3に沿ったformula_4のカン拡張は「左」カン拡張と「右」カン拡張の2種類がある。
どちらも、次の図式の破線で書かれた関手と2-セルformula_5を見つけることに相当する。
形式的には、"formula_4のformula_3に沿った右カン拡張"とは関手formula_8と自然変換formula_9で余普遍性をもつもののことをいう。これは、任意の関手formula_10と自然変換 formula_11に対して、自然変換formula_12が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。
関手"R"はしばしばformula_16と書かれる。
圏論におけるほかの普遍的構成と同じようにして、「左」カン拡張は右カン拡張の双対概念として得られる。すなわち上記の自然変換たちの向きを単に逆にするだけである。(関手formula_17の間の自然変換 formula_18は、formula_19の任意の対象formula_20に対して、「自然な」性質を満たす射 formula_21で定まっていることに注意する。双対圏に変えるとき、formula_22のドメインと余ドメインが取り替えられて、formula_18は逆の方向に働くのである)。
つまり右カン拡張と同様にして次のように述べられる:
"formula_4のformula_3に沿った左カン拡張"とは関手 formula_26 と自然変換formula_27で普遍性をもつもののことをいう。これは、任意の関手formula_10と自然変換 formula_29に対して、自然変換formula_30が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。
そして関手"L"はしばしばformula_34と書かれる。すべての普遍的構成と同様に、カン拡張も同型を除いて一意に定まる。左カン拡張の場合に関して言えば、もしformula_35のふたつがformula_4のformula_3に沿った左カン拡張で、formula_38が上記の自然変換だとするとき、図式を可換にするような関手の同型formula_30が一意に存在するのである。右カン拡張の場合も同様である。
性質.
（余）極限としてのカン拡張.
formula_40とformula_41を関手とする。Aが小さい圏でCは余完備である場合は、formula_4のformula_3に沿った左カン拡張formula_44が存在して、Bの各対象bに対して
により定義される。ただし余極限はコンマ圏 formula_46の上で取られるとする。
双対的にAが小さい圏で Cが完備ならば、 formula_4のformula_3に沿った右カン拡張が存在し、極限として求められる。
（余）エンドとしてのカン拡張.
2つの関手
は、Mの任意の対象"m"と"m' "およびCの任意の対象"c"に対して、A上の余冪formula_51を持つとする。さらに以下の余エンドが任意のCの対象"c"に対して存在すれば、関手"T"は"K"に沿った左カン拡張"L"を持ち、Cの任意の対象"c"に対し、
が成立する。
双対的に、右カン拡張も次の公式で計算できる。
カン拡張としての（余）極限.
関手formula_54の極限はカン拡張で表現できる。
ここで、formula_56はformula_57から1（1つの対象と1つの射からなる圏、formula_58の終対象）への一意的な関手とする。
formula_3の余極限も同様に
で表される。