ワイルの補題 (ラプラス方程式)

数学におけるワイルの補題（ワイルのほだい、）とは、ヘルマン・ワイルの名にちなむもので、ラプラス方程式のすべての弱解は滑らかであることを述べている。これは例えば、滑らかでない弱解を持つ波動方程式とは対称的である。ワイルの補題は楕円型あるいは準楕円型正則性の特別な場合である。
補題の内容.
formula_1 を formula_2-次元ユークリッド空間 formula_3 のある開部分集合とし、formula_4 は通常のラプラス作用素を表すものとする。ワイルの補題では、コンパクトな台を持つすべての滑らかなテスト函数 formula_5 に対して、次の式
を満たす意味でラプラス方程式の弱解となるある局所可積分函数 formula_7 が存在するなら、（測度 0 の集合上での定義の違いを除いて）formula_8 は滑らかであり、formula_1 内の各点で formula_10 を満たすことが示されている。
この結果は、formula_1 における調和函数の内部正則性（interior regularity）を意味するが、境界 formula_12 上での正則性については何も示されていない。
証明のアイデア.
ワイルの補題を証明するために、適切な軟化子 formula_13 との函数 formula_14 の畳み込みを考え、その軟化 formula_15 がラプラス方程式を満たすことを示す。これは formula_16 が平均値の性質を持つことを意味する。極限 formula_17 を取り、軟化子の性質を用いることで、formula_14 もまた平均値の性質を持つことが分かるが、このことはそれがラプラス方程式の滑らかな解であることを意味する。また別の証明では、ラプラシアンの基本解あるいは適切な楕円型のアプリオリ評価の滑らかさが利用される。
超函数への一般化.
より一般に、同様の結果はラプラス方程式のすべての超函数の解に対しても成り立つ。すなわち、formula_19 がすべての formula_20 に対して formula_21 を満たすなら、formula_22 はラプラス方程式の滑らかな解 formula_23 に関連する正則な超函数である。
準楕円性との関係.
ワイルの補題は、楕円型あるいは準楕円型作用素の正則性に関するより一般の結果より従う。滑らかな係数を持つある線型偏微分作用素 formula_24 が準楕円型であるなら、すべての超函数 formula_14 に対し、formula_26 の特異台は formula_14 のそれと一致する。ラプラス作用素は準楕円型であるため、formula_10 であるなら、formula_29 の特異台が空であることから formula_14 の特異台も空となるが、このことは formula_23 を意味する。実際、ラプラス作用素は楕円型なので、より強い結果が成り立ち、formula_10 の解は実解析的となる。