バナッハ極限

解析学におけるバナッハ極限（）とは有界な実数列の成すバナッハ空間 formula_1 で定義された汎関数 formula_2 で、任意の数列 formula_3 と formula_4 に対して次の条件を満たすものをいう：
最後の条件より formula_12 は線形汎関数 formula_13 の延長であることが分かる。
言い換えれば、バナッハ極限は通常の極限の線形性を保った拡張であって、シフト不変かつ正なものである。しかしながら２つのバナッハ極限が一致しない数列が存在する。バナッハ極限はこの場合には一意に決まらないということができる。
バナッハ極限の存在は通常ハーン＝バナッハの定理（解析学的な方法）または超フィルター（この方法は集合論的な説明でより頻繁に見られる）を用いる。これらの証明は選択公理の使用が必要である（つまり実効的な証明ではない）。
超準的な存在証明.
無限大超自然数 formula_14 を固定する。formula_12 を次のように定める：
ただし formula_17 は超実数の標準部分、formula_18 は内的な有限和を表す。また formula_19 は formula_20 の自然延長である。
標準部分が存在することを示す。すなわち formula_21 の内部が有限超実数であることを示す。formula_22 は有界であるから、ある非負実数 formula_23 に対して formula_24 が成り立つ。より formula_25 が成り立つ。したがって formula_26 となるからよい。
formula_12 がバナッハ極限の条件のうち線形性と正値性を満たすことは移行原理によって明らかである。シフト作用素で不変であるのは