深さ (環論)

可換およびホモロジー代数において、深さ、深度 (depth) は環と加群の重要な不変量である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換ネーター局所環上の加群のケースである。この場合、加群の深さはによってその射影次元と関係する。深さのより初等的な性質は不等式
である、ただし dim "M" は加群 "M" のクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。
定義.
"R" を可換ネーター環、"I" を "R" のイデアル、"M" を "IM" が "M" に真に含まれるという性質をもつ有限 "R"-加群とする。このとき "M" の "I"-深度 ("I"-depth) は、 "M" の grade とも呼ばれるが、
と定義される。定義によって、環 "R" の深度は自身の上の加群としてのその深度である。
 による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。
定理 (Rees).
"R" を可換ネーター局所環でその極大イデアルを formula_3 とし、"M" を有限生成 "R"-加群とする。このとき "M" のすべての極大正則列 "x""1"..., "x""n"、ただし各 "x""i" は formula_3 に属する、は "M" の formula_3-深度と同じ長さ "n" をもつ。
深さと射影次元.
可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。"R" を可換ネーター局所環でその極大イデアルを formula_3 とし、"M" を有限生成 "R"-加群とする。"M" の射影次元が有限であれば、が述べているのは
深さ0の環.
可換ネーター局所環 "R" が深さ 0 をもつこととその極大イデアル formula_3 が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、"R" の 0 でない元 "x" が存在して formula_9 （すなわち "x" は formula_3 を零化する）。これが意味するのは、本質的に、閉点がであるということだ。
例えば、環 formula_11 （ただし "k" は体）は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 (formula_12) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。