ヴェイユコホモロジー

代数幾何学において、ヴェイユコホモロジー (Weil cohomology) あるいは ヴェイユコホモロジー論 (Weil cohomology theory) とは、代数的サイクルとコホモロジー群の関係性についてのある公理系を満たすコホモロジーのことを言う。名前はアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。周モチーフを通してヴェィユコホモロジーが分解するという意味で、周モチーフの圏が普遍ヴェイユコホモロジー論である限りは、ヴェィユコホモロジー論がモチーフの理論で重要な役割を演じる。しかしながら、周モチーフの圏はアーベル圏ではないので、ヴェィユコホモロジー論をもたらさないことにも注意する必要がある。
定義.
ヴェイユコホモロジー(Weil cohomology)は、反変函手
で、以下の公理に従う。体 "K" は "k" とは異なっているので混乱しないでほしい。体 "K" は標数 0 であり、係数体と言われるのに対し、基礎体 "k" は任意である。"X" を次元 "n" の滑らかな射影代数多様体とすると、次数付き (K-algebra) formula_1 は次の条件を満たす。
例.
4つの古典的ヴェイユコホモロジー論がある。
ベッチコホモロジーとド・ラームコホモロジーの場合の公理の証明は、比較的容易で古典的であるのに対し、"l"-進コホモロジーの上記の性質は深い定理となっている。
複素次元が "n" の（複素）多様体は実次元が 2"n" であるという事実より、ベッチコホモロジー群の次数が次元の 2 倍を超えると 0 となることは明らかであるので、これらの高次コホモロジー群は消える（例えば(simplicial (co)homology)と比較することによって）。サイクル写像についても理解し易い説明がある。複素次元 "n" の（コンパクト）多様体 "X" の任意の（複素） "i" 次元の部分多様体が与えられると、この部分多様体にそって (2"n"−"i")-形式を積分することができる。ポアンカレ双対の古典的なステートメントは、これが非退化なペアリングを与えることである。
したがって（ド・ラームコホモロジーとベッチコホモロジーとの比較を通して）同型
を得る。