Hom関手

圏論において、対象の間の射の集合（ともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
定義.
 を、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。 の中のすべての対象 と に対し、次のように集合の圏 への関手を定義する。
関手 は、 の（）とも呼ばれる。関手のペア と は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア と に対して、次の図式が可換となる。
2つの経路は を に写す。
上の図式の可換性は、 が から への、第1変数について反変で第2変数について共変であるであることを示している。すなわち、 は双関手formula_1である。 は の逆圏である。関手が圏 からのものであることを強調するために、 という記号が使われることもある。
米田の補題.
上の可換図式を見ると、すべての射 は自然変換formula_2を与え、すべての射 は自然変換formula_3を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 から関手圏 への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。
内部Hom関手.
圏 上の関手が、 ではなく圏 自身に値を持ち、 のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば
と書かれたり、formula_5と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
と書かれることもある。例としてはなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、と呼ばれる。
閉圏の単位対象を とする。このとき、次の同型が成り立つ。formula_7閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、
である。ここで formula_9 はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は と の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 formula_10 を内部Homと呼ぶ。formula_9 がデカルト積 formula_12 であるとき、対象 formula_10 を指数対象と呼び、formula_14 と書くこともある。
内部Homは、圏のと呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語であるがある。