ポントリャーギン類

数学において、レフ・ポントリャーギン(Lev Pontryagin)の名前のついたポントリャーギン類(Pontryagin classes)は特性類のひとつで、4 の倍数の次数を持つコホモロジー群の中にある。ポントリャーギン類は、実ベクトルバンドルへ適用される。
定義.
"M" 上の実ベクトルバンドル "E" が与えられると、その "k"-次ポントリャーギン類(Pontryagin class) "pk"("E") は、
として定義される。ここに
有理ポントリャーギン類 "pk"("E", Q) は、"H"4"k"("M", Q) の中の "pk"("E") の像、有理係数の "M" 上の 4"k"-次コホモロジー群として定義される。
性質.
全ポントリャーギン類(total Pontryagin class) 
は、ベクトルバンドルの(Whitney sum)の観点から modulo 2-torsion で乗法的である。ホイットニー和とは、"M" の 2つのベクトルバンドル "E" と "F" に対し、
となることである。個々のポントリャーギン類 "pk" の項では、
などとなる。
ベクトルバンドルのポントリャーギン類やスティーフェル・ホイットニー類が 0 となることは、ベクトルバンドルが自明であることを保証するものではない。たとえば、ベクトルバンドルの同型を同一視すると、一意な非自明なランク 10 のベクトルバンドル "E"10 が 9-球面上に存在する。（"E"10 の(clutching function)は、(stable homotopy group) π8(O(10)) = Z/2Z から来る。）ポントリャーギン類とスティーフェル・ホイットニー類はすべて 0 となる。ポントリャーギン類は次数 9 には存在しないので、"E"10 のスティーフェル・ホイットニー類 "w"9 は、ウーの公式 "w"9 = "w"1"w"8 + Sq1("w"8) により 0 となる。さらに、このベクトルバンドルは安定で非自明、つまり、すべての自明バンドルを持つ "E"10 のホイットニー和は、非自明のままである。
2"k"-次元ベクトルバンドル "E" があたえられると、
を得る。ここに "e"("E") は "E" のオイラー類を表し、formula_6 はコホモロジー類のカップ積(cup product)を表す。
ポントリャーギン類と曲率.
陳省身(Shiing-Shen Chern)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により 1948年頃に示されたように、有理ポントリャーギン類
は、ベクトルバンドルの曲率形式に多項式を通して依存した微分形式として表現することができる。このチャーン・ヴェイユ理論は、代数トポロジーと大域微分幾何学の間に大きな関係があることを明らかにした。
接続形式を持つ "n"-次元微分可能多様体(differentiable manifold) "M" 上のベクトルバンドル "E" に対し、全ポントリャーギン類は、