拡大体における双対基底

数学の線型代数学における双対基底の概念は、体のトレースを用いることで有限次拡大 "L"/"K" へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる Tr"L"/"K"("xy") が、"K" 上の非退化な二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。したがって、"K" が完全体のとき、とくに "K" が有限体や標数ゼロである時に、自動的に満たされる。
双対基底（dual basis）は多項式基底や正規基底のような。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。
"L"/"K" を有限次分離拡大とする。
を "L" の "K"-基底とすると、
を満たす基底
が存在する。これをトレース Tr"L"/"K" に関する "B"1 の双対基底と言う。
"L" を有限体 GF("q""m")、"K" をGF("q") とすると、体の拡大 "L"/"K" の元のトレースは、
と計算される。
"L" = "K" (α) を分離拡大とし、"f" をαの最小多項式、
とする。このとき 1, α, ..., α"n"−1 と双対な基底は
である。
双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元（通常は 1）の乗算によって達成される。