有理根定理

有理根定理（ゆうりこんていり、）は整数係数の代数方程式
の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：
定数項 および最高次の係数 がゼロでないなら、有理数解 を互いに素（最大公約数が ）な整数 で表したとき、 は以下の条件を満たす。
有理根定理は、多項式の因数分解に関するの特別な場合に当たる。また、最高次の係数 が であるとき成り立つ整数根定理 は、有理根定理の特別な場合である。
証明.
直接的な証明.
 なる多項式を考える。互いに素な に対して を満たすことを仮定する：
 から定数項 を右辺へ移項し、両辺に を掛けることで以下の方程式を得る。
 と括弧内の整数の積は に等しく、従って は を割り切れることが分かる。しかしながら、 と は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に と も互いに素であるため、 は残る因数 を割り切ることが示される。
 から最高次の項 を右辺へ移項し両辺に を掛けることで次の式を得る。
 と の場合と同様の理由で、 は最高次の係数 を割り切ることが示される。
ガウスの補題による証明.
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。
ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 で因数分解できるなら、整係数の多項式 で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。
 の 1 次の多項式が有理根 を持つとき、 は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は となる。
 を因数とする整係数多項式 について、最高次の係数は で割り切れ、定数項は で割り切れるので、有理根定理が得られた。
この事はより一般に、多項式 の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する の係数を割り切れることを示す。
例.
例として、方程式
のいずれの有理根も
に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：
これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる。例えば は方程式を満たさず、方程式の左辺は になる。
 という置き換えをすると定数項を とし、 の係数は の係数に等しい の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、 として可能な根は
となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。
こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは に短縮される。
もし方程式の根の 1 つ が発見されたなら、ホーナー法によって 次の多項式の根が得られる。これらの根は、 とともに、元の多項式の正確な根になっている。
また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。
定数項 がゼロの方程式は有理根として を持つ。