ケイリー＝アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー＝アロンホルトの微分作用素（ケイリー＝アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者に因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。
定義.
formula_1 を不定元とし、標数0の体 "K" を係数とする多項式に対し、
で定義される、多項式環 formula_5 上の微分 formula_6 をケイリー＝アロンホルトの微分作用素という。
単項式 formula_7 に対し、その次数 formula_8、重さ formula_9 は、
で定義される。
formula_6 の作用で次数 formula_8 は不変であるが、重さ formula_9 については、
が成り立つ。
全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 formula_18 に対し、その指数 formula_19 を
で定めると
が成り立つ。
二次特殊線形リー環の表現.
交換子積をformula_22で定めると、formula_6同士の交換子は、
の関係を満たす。
これは二次特殊線形リー環formula_25 の基底
が満たす関係
に対応している。
そこで、formula_28を対応関係
で与えれば、formula_30はformula_5を表現空間とするformula_25のリー代数の表現となる。