バナッハ＝アラオグルの定理

バナッハ＝アラオグルの定理（バナッハ＝アラオグルのていり、）あるいはアラオグルの定理として知られる定理は、ノルム空間の共役空間の閉単位球が＊弱位相関してコンパクトになるという定理である。
この定理の背景を簡単に述べると、関数解析学では無限次元のノルム空間を多用し、やその共役空間の元は何らかの集合上の実数値ないし複素数値の関数のなすベクトル空間である事が多い。しかしが無限次元の場合、やの閉単位球はノルム位相に関してはコンパクトにならない事が知られており、これが原因で有限次元とは異なり、や上の有界な点列が（ノルム位相に関して）収束部分列を持つことが保証されない。これは例えば微分方程式をノルムに関して近似する解を求めた上でとした場合、その極限（すなわち微分方程式の解そのもの）が存在する事が保証されない事を意味する。微分方程式の振る舞いの記述を主たる適用先とする関数解析学において、これは致命的である。
しかしバナッハ＝アラオグルの定理は閉単位球が＊弱位相に関してコンパクトである事を保証しているので、弱位相の意味での近似解を求めれば、formula_1が収束部分列を持つ事が保証され、その収束部分列の極限が微分方程式の解になっている事を証明する道が開かれる。
この定理は、オブザーバブルの代数の状態の集合を表現するときに物理学的に応用される。すなわち、任意の状態はいわゆる純粋状態の凸線型結合として表現される。
この定理は可分な場合に対して1932年にステファン・バナフによって示され、一般の場合は1940年ににより示された。
定理.
以下、ベクトル空間の係数体はformula_2もしくはformula_3であるとする。
準備.
本節ではバナッハ＝アラオグルの定理の記述に必要な概念を定義する。
</math>
によりノルムが入る。
なお、上の作用素ノルムformula_4はにノルム位相（=ノルムが定める距離から定まる位相）を定めるが、バナッハ＝アラオグルの定理はノルム位相ではなく以下で述べる＊弱位相に関する定理である：
最後に位相空間のコンパクト性は以下のように定義される：)_{\gamma\in\Gamma}</math>とが存在し、formula_7はに収束する
ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：
したがって無限次元の場合、の閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。
定理の記述.
これに対し、の閉単位球は＊弱位相に関してはコンパクトになるというのがバナッハ・アラオグルの定理の主張である：この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間が（ノルム位相に関して）可分な場合には、可分なノルム空間の共役空間の閉単位球が＊弱位相に関して距離化可能である事を利用してより直接的にに証明可能である。
なので、作用素ノルムformula_4の定義より、
が従う。よってが閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族formula_17に対し、その極限がを満たす事を示せばよい。そこで、を任意に取ると、
が成立する。ここで
よってが示され、定理が証明された。
\subset B^*</math>を選んで固定し、formula_24が内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。
は可分なので、の稠密部分集合formula_25が存在する。今、
が成立するので、各に対し、数列formula_27は上有界であり、したがって収束部分列を持つ。
よって各に対して順にformula_24の部分列を取っていくことで任意のに対してformula_29がに関して収束するようなformula_30を選ぶ事ができる。
次に我々は、formula_25がで稠密な事を利用して、任意のに対しformula_32がコーシー列である事を示す。は（が完備であるかどうかによらず）必ず完備なので、これによりformula_32の収束性が従う。
そこでとを任意に固定すると、formula_34はの稠密性より、
を満たすが存在する。よって任意の、formula_36に対し、
が成立する。最後の不等式はformula_38とformula_39を用いた。
各固定されたに対しformula_29は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、
が成立する。よっての任意性より、
が任意のに対して成立する。よって任意のに対しformula_32はコーシー列であり、したがっての完備性より収束列である。
最後に、
を、にformula_32の収束先を対応させる写像とする。この写像がの元であり、しかもformula_30の収束先である事を示せば、定理が証明される。
がの元である事を示すため、の条件を順に示す。まずformula_47の線形性よりformula_48の線形性が従う。しかも任意のと任意のに対し、あるformula_49以上のに対して
がformula_51から従うので、の任意性から formula_52、すなわちformula_53が従う。
の定義より、formula_54が任意のに対して従い、これはformula_30がに＊弱収束する事を意味する。
バナッハ＝アラオグルの定理は半径1の閉球に対するものだが、任意の半径の閉球もコンパクトになる事が容易に示せる。また＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：なお、が回帰的（すなわちが成立する空間）であれば上の＊弱位相と弱位相は同一になるので、下記の系が従う：に対しLp空間やℓp空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えばに収束する複素数列全体にℓ∞ノルムを入れた空間の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。
注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたが局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
一般化：ブルバキ＝アラオグルの定理.
ブルバキ＝アラオグルの定理（Bourbaki-Alaoglu theorem）は、ニコラ・ブルバキによる局所凸位相ベクトル空間上の双対位相へのバナッハ＝アラオグルの定理の一般化である。
ノルム線型空間の場合、近傍の極はその双対空間において閉かつノルム有界である。例えば、単位球の極はその双対において閉単位球である。したがって、ノルム位相空間（したがってバナッハ空間）に対して、ブルバキ＝アラオグルの定理はバナッハ＝アラオグルの定理と同値である。
帰結.
たない。