直和 (位相空間論)

位相空間論および関連した数学の分野において、位相空間の族の非交和（ひこうわ、）または直和（ちょくわ、）とは、台集合の非交和（集合の直和）に非交和位相 (disjoint union topology) と呼ばれるを入れることによって形成される位相空間を言う。乱暴な言い方をすれば、2つ以上の空間をそれぞれ個々の空間と見なすと同時に、すべて一緒にした一つの空間としても考えるということである。
非交和空間は積空間の構成の圏論的双対となるため、余積 (coproduct) とも呼ばれる。そのほかにも、自由合併 (free union)、自由和 (free sum)、位相和 (topological sum) などの呼び名もある。
定義.
 で添字付けられた位相空間の族 が与えられたとき、それらの台集合たちの非交和 formula_1 において自然な入射 (canonical injection) formula_2 がどの に対しても定まることに注意する。
この非交和位相を位相空間の開集合の言葉で陽に書けば、
などと表せる。
性質.
非交和空間 は自然な入射とともに次の普遍性によって特徴づけることができる:
これは非交和が位相空間の圏における余積であることを示している。上の普遍性質から、写像 が連続であるためには、任意の に対して が連続であることが必要十分であることが従う。
連続であるだけでなく自然な入射 は開写像かつ閉写像である。ゆえに、入射が位相的埋め込みとなることから、各 は自然に の部分空間と見なすことができる。
例.
各 "X""i" が固定された空間 "A" に同相であれば、非交和 "X" は "I" に離散位相を与えて "A" × "I" と同相になる。