バーチの定理

数学において、バーチの定理（）とは、奇数次形式における 0 の表現可能性に関する定理である。定理の名前はブライアン・バーチにちなむ。
定理の主張.
"K" を代数体、"k", "l", "n" を自然数、"r"1, . . . ,"r""k" を奇数の自然数とし、"f"1, . . . ,"f""k" を "n" 変数で次数がそれぞれ "r"1, . . . ,"r""k" の "K" 係数斉次多項式とする。ここで、
を満たすならば、"K""n" の "l" 次元部分ベクトル空間 "V" が存在して
を満たすような、ある数 ψ("r"1, . . . ,"r""k","l","K") が存在する。
注意.
定理の証明は形式 "f"1, . . . ,"f""k" の最大次数についての帰納法による。証明に本質的なのは定理の次の特別な場合であり、これは を適用して証明できる： "n" が十分大きく "r" が奇数であれば、方程式
は「すべてが 0」ではない整数解 "x"1, . . . ,"x""n" を持つ。
"r" が奇数という制限は必要である。なぜならば正定値二次形式のように偶数次形式では、原点でしか 0 の値を取らないことがあるからである。