代数のテンソル積

数学において、二つの -代数（多元環）のテンソル積には再び -代数の構造を入れることができ、代数のテンソル積 (tensor product of algebras) あるいはテンソル積多元環と呼ばれる対象が得られる。任意の環は -代数と見ることができるから、 と取った特別の場合として環のテンソル積 (tensor product of rings) が定まる。
定義.
 を可換環とし と を -代数とする。 と はどちらも -加群と見なせるから、それらのテンソル積
を作れて、これは再び -加群である。このテンソル積に次のように積を定義して代数の構造を与えることができる。すなわち、生成系となる の形の単純テンソルの間の積を
と定義し、これを線型性により の全体に拡張する。この積は -双線型かつ結合的で、 によって与えられる単位元を持つことが容易にわかる。ここで と はそれぞれ と の単位元である。 と がともに可換であればそのテンソル積も可換である。
このテンソル積によりすべての -代数の圏 - はになる。
さらなる性質.
 や から への次で与えられる自然な準同型が存在する：
これらの写像によりテンソル積は可換 -代数の圏 - における余積となる。しかしテンソル積はすべての -代数の圏 - においては余積ではなく、この圏における余積はより一般的な代数の自由積によって与えられる。それにも関わらず非可換代数のテンソル積は余積に似た普遍性により記述できる：
すなわち、式で書けば、自然な同型
が成立する（右辺の は交換子）。
応用.
代数のテンソル積は代数幾何学において常時使用される。可換 -代数の圏の逆圏 （アフィンスキームの圏 の部分圏と見なせる）においてアフィンスキームの引き戻し（ファイバー積とも呼ばれる）を提供する。