余代数

 
余代数（よだいすう、）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。
定義.
formula_1 を体、formula_2 を formula_1 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 formula_4、formula_5 が存在して、これらが
を満たすとき、即ち図式
が可換であるとき、組 formula_8 を余代数という。また、formula_9 を余積、formula_10 を余単位という。
諸概念.
余代数射.
formula_8、formula_12 を formula_1-余代数とする。formula_1-線型写像 formula_15 が
を満たすとき formula_18 を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:
部分余代数.
formula_8 を余代数、formula_20 とする。formula_21 が部分余代数であるとは、formula_22 を満たすことをいう。このとき、 formula_23 は余代数の構造を持つ。
余イデアル.
formula_24 を余代数 formula_8 の部分ベクトル空間とする。formula_24 が余イデアル（coideal）であるとは
を満たすことをいう。このとき商 formula_29 は余代数の構造を持つ。
余可換余代数と逆余代数.
写像 formula_30 を formula_31 で定める。余代数 formula_8 が余可換であるとは、 formula_33 が成り立つことをいう。ここで新しい余積を formula_34 によって定めると、formula_35 は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと formula_36 となることは同値である。
SweedlerのΣ-記法.
formula_8 を余代数とする。formula_38 とすると、余積は
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
K-代数とK-余代数の双対空間.
formula_2 を formula_1-余代数、formula_79 を formula_1-代数、とする。ここでformula_81 の積をformula_82、即ち任意の formula_38に対して
で定める。formula_9 が余結合的であることから積 formula_86 は結合的であることがわかる。この積によって formula_87 は formula_1-代数となり、formula_2 の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は
で与えられる。またformula_2 が余可換であることと、全ての可換な formula_79 に対して formula_93 が可換であることは同値である。
逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。formula_79 を有限 formula_1-次元代数とすると、準同型写像
が存在して formula_97 となる。積と単位の双対
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に formula_79 が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。