解析半群

数学、特に関数解析学の分野における解析半群（かいせきはんぐん、）とは、強連続半群の一種である。解析半群は、偏微分方程式の解において用いられる。強連続半群と比較して解析半群は、初期値問題の解のより良い正則性や、無限小生成作用素の摂動に関するより良い結果や、その半群と、無限小生成作用素のスペクトルとの関係などを与える。
定義.
Γ("t") = exp("At") を、無限小生成作用素 "A" を備えた、バナッハ空間 ("X", ||·||) 上の強連続一パラメータ半群とする。Γ は次を満たすとき、解析半群と呼ばれる:
特徴.
解析半群の無限小生成作用素は、次に述べる特徴を持つ:
バナッハ空間 "X" 上で稠密に定義された閉線型作用素 "A" が解析半群の生成素であるための必要十分条件は、半平面 Re("λ") > "ω" が "A" のレゾルベント集合に含まれ、
が Re("λ") > "ω" に対して成立する定数 "C" が存在するような、ある "ω" ∈ R が存在することである。このとき、そのようなレゾルベント集合は実際には、ある "δ" > 0 に対して、扇状の領域
を含んでいる。そして、上と同様の不等式がこの領域において成立する。このとき、半群は
と表される。ここで "γ" は、扇状の領域
に含まれるような、"e"−"iθ"∞ から "e"+"iθ"∞ への任意の曲線である。ただし "π" ⁄ 2 < "θ" < "π" ⁄ 2 + "δ" とする。