一般化多角形

数学の一分野、組合せ論における一般化された多角形（いっぱんかされたたかっけい、）は、ジャック・ティッツによって導入されたある種の接続構造である。一般化された多角形は、その特別の場合として、射影平面（"n" = 3; 一般化三角形）、一般化四角形 ("n" = 4) の概念を含む（これらは、公理的な射影空間および極空間の中でもっとも複雑な種類のものである）。一般化多角形の多くはリー型の群から生じるが、そのような方法からは得られない異種 (exotic) の一般化多角形も存在する。一般化多角形はムーファン性（ルース・ムーファンに因む）と呼ばれる技巧的な条件を満足し、ティッツとワイスによる完全な分類が知られている 。
定義.
一般化多角形とは、点の集合 "P", 直線の集合 "L" と接続関係 "I" (⊂ "P" × "L") の三つ組（接続構造）("P","L","I") で、以下に述べる正則性条件を満足するものを言う。一般化多角形の表示には、接続グラフと呼ばれる二部グラフ（頂点集合が "P" ∪ "L" で、辺集合は点と直線の接続関係を含む）を考える。
フェイト-ヒグマンの定理.
 は、有限一般化 "n"-角形で
"s" ≥ 2, "t" ≥ 2 であるものが存在するのは、"n" が
のいづれかであるときに限ることを示した。さらに
などが成り立つ。
"s" と "t" の双方が無限大であるとき、2 以上の各 "n" に対して一般化された多角形が存在する。一方が有限で他方が無限であるとき（この場合を半有限という）は、一般化多角形の存在の有無は知られていない。