スツルムの定理

スツルムの定理（スツルムのていり、）とは、実係数一変数多項式の任意に指定された実区間に含まれる（重複を含めない）実零点の個数を決定する方法である（扱える区間としては無限区間、半無限区間も含む）。
代数学の基本定理によれば（一般には複素係数の）一変数多項式の重複を込めた複素零点の個数はその多項式の次数に等しいが、スツルムの定理では実係数多項式の実零点の個数を重複を考慮せずに扱っている。
スツルム列.
実区間formula_1が与えられたとき、次の4つの条件を満足する実係数をもつ多項式列
は区間formula_1においてスツルム列（スツルム関数列）をなすという。
ユークリッドの互除法によるスツルム列の生成.
上の条件を満足するスツルム列の一つとして、多項式formula_27とその微分formula_28について
とおき、これにユークリッドの互除法を適用することで得られる多項式列がある:
このときformula_32はformula_21とformula_34との最大公約数であり、さらにformula_35とformula_36が共通根をもたない、すなわちformula_35が単根のみをもつとき、formula_38定数formula_39を満足する。
また、3重対角化された対称行列formula_40からなる行列formula_41の主小行列式により構成される多項式列や、最高次の係数が正である直交多項式の列も区間formula_1においてスツルム列をなす。
スツルムの定理.
実係数多項式の列formula_43はformula_6でスツルム列をなし、formula_45であるとする。
このとき、formula_46を固定して関数値の列
を左から右に見ていったときの符号（正負）の変化の回数をformula_48とすると、方程式formula_49の区間formula_1内における解の個数は
で与えられる。
スツルムの方法.
スツルムの定理を用いることで、区間formula_1内に存在するformula_35の実根の個数を求めることができるが、これを利用して区間縮小法により実係数をもつ代数方程式の実数解を求めることができる。
たとえば区間formula_1を2等分してformula_55なる二つの区間に分け、各区間における根の個数をスツルムの定理によって求める、という手順を繰り返してしだいに区間を狭くしていく。そして、一つの根だけが存在する区間を十分に小さくすることで、根の近似値を得ることができる。（二分法）
また、区間formula_1においてformula_57を固定してformula_58をformula_59になるまで小さくし、それから二分法を用いてformula_60になるようにformula_61の値を近づけることで根の最小値を決定し、そして次に小さい根を決定する、といったように根の近似値を小さい根の方から、あるいは大きい方から得ることもできる。
このように二分法やニュートン法などの求根アルゴリズムを用いてスツルムの定理から根の近似値を求める手法をスツルムの方法という。
実対称行列あるいはエルミート行列の固有値問題においても、指定された実区間にある固有値の個数（重複度を含めた）を求めることにより区間縮小法により固有値の存在範囲の狭めて近似値を求めるスツルムの二分法として応用される。