ヴィタリの収束定理

数学の実解析あるいは測度論の分野におけるヴィタリの収束定理（ヴィタリのしゅうそくていり、）とは、イタリアの数学者の名にちなむ定理で、アンリ・ルベーグの有名な優収束定理の一般化として知られる。一様可積分性に依存する強い結果であり、問題となる関数列に対して支配的な関数を見つけることが出来ないときに重宝する。そのような支配的な関数を見つけられるときは、ルベーグの定理がヴィタリの定理の特別な場合として従う。
定理の内容.
formula_1 を正の測度空間とする。もし
が満たされるなら、次が成立する:
証明の概略.
定理の1を証明するために、ファトゥの補題を用いる:formula_9
定理の2のために、不等式 formula_20 を用いる。ここで formula_21 であり formula_10 である。
定理の逆.
formula_1 を正の測度空間とする。もし
が満たされるなら、formula_3 は一様可積分である。