減衰振動

減衰振動（げんすいしんどう、damped oscillation、damped vibration）とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなるような振動現象である。単振動などは永久に動き続ける運動であるが、実際にそのような実験を行うと、空気抵抗や摩擦力などの抵抗力を受け、いずれは停止してしまう。そのような運動を減衰振動と呼ぶ。
運動方程式.
減衰振動のもっとも単純なモデルは、壁と質点をばねでつないだ調和振動子モデルに、速度に比例する抵抗力を発生する減衰要素を加えたものである。時間を"t"、質点の質量を"m"、ダンパの減衰係数を"c"、ばね定数を"k"、質点の位置を"x" ("t") （垂直方向のみ動けるとする）とすると、このモデルの運動方程式は次の線形微分方程式となる：
さらに初期条件として次を与える：
ここで上付きドットは時間微分である。この式のように、減衰力が速度に比例して発生するモデルにおける係数"c"のことを粘性減衰係数(viscous damping coefficient)と呼ぶ。
このモデルでは質点の垂直方向位置"x"のみを自由度としているので線形1自由度振動系などと呼ぶ。このような系は減衰を考慮した振動の最も単純な系の1つだが、この系の解析から減衰振動の重要な基礎概念を得ることができる。
簡略表現.
運動方程式の簡略表現として、上式を変形した次式がよく用いられる：
ここで、
無次元形式.
さらに初期条件も含めて無次元数で表すと、
となる。ここで
上式から分かるように、この運動を支配するパラメータは本質的に減衰比"ζ"と初期速度"σ"の2つしかない。このことは次元解析をすることによっても分かる。
解.
この運動の解は減衰比ζの大きさによって4つに分類される。
不減衰振動.
ζ = 0のとき
ただし
減衰振動.
0 < ζ < 1のとき
ただし
この解は正弦波の振幅が指数関数的に小さくなるような運動であり、狭義にはこの解のみを指して減衰振動と呼ぶ。このような条件を不足減衰(under damping)と呼ぶ。
関数の角振動数に注目すると、この系の固有角振動数はformula_20で与えられ、0 < ζ < 1なので減衰が無い場合の"ω"0よりも小さくなる。この減衰がある系の固有振動数を減衰固有角振動数(damped natural angular frequency)"ω"d、減衰固有振動数(damped natural frequency)"f"dと呼ぶ。
臨界減衰.
ζ = 1のとき
このような条件を臨界減衰(critical damping)と呼ぶ。
過減衰.
ζ > 1のとき
このような条件を過減衰(over damping)と呼ぶ。臨界減衰および過減衰のときは、減衰係数が大きすぎるために振動するような解ではなくなっている。
指数関数を使った表現.
減衰比ζが1でないときの解は、オイラーの公式などを用いて三角関数や双曲線関数を指数関数に直すことによって統一的に書き下すことができる。
エネルギーの散逸.
減衰振動の運動方程式のエネルギー積分を考えると、系の力学的エネルギーがダンパの減衰力によって小さくなっていくことを見ることができる。エネルギー"W" を
とすると、その時間変化は
となり、減衰係数"c"に比例した大きさで減少することが分かる。
Q値は
となる。
減衰の種類.
上記のモデルでは減衰力が減衰要素に対する相対速度に比例する単純なモデルとしたが、実際には減衰要素は非線形である場合が多い。代表的には以下のような減衰モデルの種類がある。
解析力学による表現.
減衰振動の運動方程式を与えるラグランジアンは次式で与えられる：
ただし 。このとき一般化運動量 およびハミルトニアン は
となる。
さらにこの系に を母関数とする正準変換を施す。ここで変換後の位置を 、運動量を と表す。すると変換前後の変数の関係及び変換後のハミルトニアン は
と表され、ハミルトニアン が時間 を含まないことからこの系は時間変化しない保存量 をもつ保存系であることが分かる。
正準変換前の変数 で表すと
ただし は減衰振動系のエネルギーを表さないことに注意が必要である。