電信方程式

電信方程式（でんしんほうていしき、）とは、波動や信号の伝播を記述する2階の線形偏微分方程式のこと。分布定数回路における電流や電圧の分布、導体中の電磁場の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。
定義と性質.
空間変数"x" と時間変数"t" と実数値関数"u" ("x", "t" )に対し、
で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。
より一般的にn次元の空間変数x=("x"1,…,"x"n) と時間変数"t" の実数値関数"u" ("x", "t" )に対し、
で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇2はn次元におけるラプラス作用素
である。
電信方程式に従う物理現象.
分布定数回路における電圧、電流分布.
伝送線路などの分布定数回路において、位置"x"、時刻"t" における電圧をV("x", "t" )、電流をI("x", "t" )とすると以下を満たす。
ここで、"L" は伝送線路のインダクタンス、"R" は伝送線路の抵抗、"C" は伝送線路の容量、"G" は伝送線路の漏洩コンダクタンスである。狭義の意味では、電信方程式は分布定数回路における、この連立微分方程式そのものを指すことが多い。
上式から互いの変数を消去すれば、
を得る。
導体中の電磁場.
電気伝導率σ、誘電率ε、透磁率μの導体中において、電場E(x,"t" )と磁場H(x,"t" )は、次の形の電信方程式を満たす。
減衰のある弦の振動.
減衰ある弦の振動において、位置"x" と時刻"t" における弦の変位を"u" ("x", "t" )とすると、"u" ("x", "t" )は
で与えられる電信方程式を満たす。ここで、"T" は張力、ρは弦の線密度、κは減衰の効果を表す比例係数である。
クライン-ゴルドン方程式.
場の量子論において、クライン-ゴルドン場φ(x,"t" )の満たすクライン-ゴルドン方程式は、電信方程式と等価である以下の形で与えられる。
ここで"c" は光速度、"m" はクライン-ゴルドン場の粒子の質量である。