カラテオドリの拡張定理

数学の測度論におけるカラテオドリの拡張定理（カラテオドリのかくちょうていり、）は「与えられた集合 Ω の部分集合族である集合環 上定義される任意の は、 が生成するσ-集合環上の測度へと一意に拡張できる」ということを述べた定理である。この定理の帰結として、実数からなる区間すべてを含む空間上で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 上のボレル集合族上の測度へと拡張することができる。これは測度論における非常に強力な結果であり、例えば、ルベーグ測度の存在の証明にも使用された。
定理の主張.
 を 上の集合環とし、 を 上の前測度とする。
ここで は が生成するσ-集合環とする。
 が ならば、その拡張 は一意（かつ σ-有限）である。
集合環と集合半環.
定義.
与えられた集合 Ω に対し、その冪集合 formula_1 の部分集合 "S" で、次に述べる性質を満たすものを集合半環と定義する：
同様な記号を用いて、Ω の冪集合の部分集合で次の性質を満たすものは集合環 "R" と呼ばれる：
したがって、Ω 上の任意の集合環は、集合半環でもある。
測度論に関する文献では、しばしば、次のような制限が追加される：
動機.
測度論においては、集合環や集合半環それら自体よりも、それらにより生成されるσ-代数に関心が注がれる。集合半環 "S" 上の前測度（例えば、スティルチェス測度）は、"R"("S") 上の前測度へと拡張することができるが、最終的にはカラテオドリの拡張定理を用いることにより、σ-代数上の測度へと拡張することができる。集合環および集合半環が生成する σ-代数が等しい場合には、（少なくとも測度論においては）実際問題としてこれらの間に差異は無い。実際には、カラテオドリの拡張定理は、環を半環に置き換えることにより、わずかに一般化することができる。
半環の定義は若干複雑なものであるようにも思われる。次の例は、なぜそれが有用なのかを示すものである。