可分空間

数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {"x""n"} で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
他の可算公理と同様に、可分性は空間の「大きさの制限」を与えるものである。これは必ずしも濃度に関するものではなく、より微妙な位相的な意味での「大きさ」である。（ただしハウスドルフ空間の場合は濃度に関する制限にもなっている。下記参照。）特に、可分空間上の連続写像でその像がハウスドルフ空間の部分集合であるようなものは全て、その可算稠密部分集合上の値によって決定される。
一般に、可分性は極めて有用で（幾何学や古典的な解析学で研究されるような空間のクラスに対しては）きわめて緩やかなものと一般に考えられる、空間への技術的仮定である。可分性とそれに関連のある第二可算性の概念の比較は重要である（第二可算のほうが一般には強い条件だが、距離化可能な空間のクラスでは同値になる。
簡単な例.
位相空間が、それ自身有限または可算無限集合となるようなものは、全体集合がそれ自体可算稠密集合となるから、全て可分である。非可算な可分空間の重要な例として、実数直線が挙げられる（この場合、有理数全体の成す部分集合が可算稠密部部分集合を与える）。同様に、R"n" の全ての成分が有理数であるようなベクトル ("r"1, …, "r""n") 全体の成す集合は R"n" の可算稠密部分集合となるから、任意の "n" に対する "n"-次元ユークリッド空間は可分である。
可分でない空間の単純な例は、非可算濃度を持つ離散空間である。
より複雑な例は後述する。
可分性と第二可算性.
任意の第二可算空間は可分である。すなわち、{"U""n"} を可算基とするとき、各 "n" について "x""n" ∈ "U""n" を選べば可算稠密集合が与えられる。逆に、距離付け可能空間が可分であるための必要十分条件は、それが第二可算公理を満足することである（このとき、それはリンデレーフ空間となることと同値である）。
可分性と第二可算性とをさらに比較すると、以下のようなことが言える。
濃度.
可分性は、その一部あるいはそれ自身が、位相空間の濃度に対する制約となることはない。実際、任意の集合は密着位相を入れて可分空間（かつ第二可算、準コンパクト、連結）となる。密着位相が「困る」のは分離性が乏しすぎることである（密着空間のコルモゴロフ商は一点空間になる）。
第一可算可分ハウスドルフ空間（特に可分距離空間）の濃度は、高々連続体濃度 "c" である。このような空間においては、閉包は点列の極限のみによって定まり、また任意の点列は高々一つしか極限を持たない。従って、可算稠密部分集合に値を持つ収斂点列全体の成す集合から "X" の点全体への全射が存在する。
可分ハウスドルフ空間の濃度は高々 2"c" である（"c" は連続体濃度）。この場合の閉包はフィルターの極限の言葉で特徴付けられる。"Y" を "X" の部分集合で "z" が "X" の点ならば、"z" が "Y" の閉包に属する必要十分条件は "Y" の部分集合から成るフィルター基 "B" で "z" に収斂するものが存在することである。そのようなフィルター基全体の成す集合 "S"("Y") の濃度は高々 22|"Y"| である。さらに、ハウスドルフ空間においては任意のフィルター基に極限は高々一つであるから、"Y" = "X" のとき、全射 "S"("Y") → "X" が存在する。
同じ論法でもっと一般の結果を構築することができる。すなわち、ハウスドルフ空間 "X" が濃度 κ の稠密部分集合をもつとすれば、"X" の濃度は高々 22κ であり、それが第一可算ならば高々 2κ である。
可分空間の高々連続体濃度個の直積はやはり可分である 。特に実変数実数値函数全体の成す空間 RR は直積位相に関して、濃度 2"c" の可分ハウスドルフ空間になる。より一般に、任意濃度 κ に対し、高々 κ の濃度の稠密部分集合を持つ空間の高々 2κ 個の直積をとった空間はそれ自身高々 κ の濃度の稠密部分集合を持つ（ヒューイット＝マルツェフスキ＝ポンディツェリの定理）。
構成的数学.
非可分空間に対しても証明することができる定理において構成的証明が可分空間に対してのみ存在するという場合も多いため、可分性は数値解析や構成的数学において特に重要である。そのような構成的証明は数値解析にも利用されるアルゴリズムと見なすことができ、またそれらは構成的解析において唯一受容できる証明の種類である。この手の定理の有名な例にハーン＝バナッハの定理がある。