マーティンの公理

数学の集合論におけるマーティンの公理（マーティンのこうり、Martin's axiom, MA）とは、マーティン () とソロヴェイ () によって1970年に提唱された、ZFCと独立な命題である。
この命題は連続体仮説(CH)から導かれるが、ZFC + ¬ CHとも矛盾しない。すなわち、MAを仮定するかどうかに興味があるのはCHを仮定しないときのみである。
この公理は非形式的には「連続体濃度formula_1未満の任意の基数がformula_2と似たような振る舞いをする」と述べるものである。この主張の背景となる直観を知るには、ラショーヴァ＝シコルスキの補題を研究するとよい。この公理はある種の強制法論法を制御する上で使われる原理である。
概要.
マーティンの公理のいくつかの表現は概して二部に分かれている。
MA(k)は、「任意の可算鎖条件(以下、cccと略記)を満たす半順序formula_3とformula_3の中で稠密な集合の任意の族formula_5(ただしformula_6は高々k)に対して、 formula_3 上のフィルター formula_8 で、いかなる formula_5 の要素 formula_10 に対してもformula_8 が formula_10 と交わりを持つというものが存在する」という命題で、MAは「連続体濃度 formula_1 未満の任意の基数kに対してMA(k)が成り立つ」という命題である。( MA( formula_1 )が偽であることはZFCの定理である。)
cccを語る際の注意として、ここで反鎖とは formula_3 の部分集合formula_16 で、その互いに異なる任意の二元が両立しないものことである。（二元が両立するとは、その半順序の意味で共通下界が存在することである。）これは、例えば木における反鎖とは定義が異なるので注意が必要である。
MA(formula_2)は真である。これはラショーヴァ＝シコルスキの補題として知られている。
MA(formula_18)は偽である。:[0,1]はコンパクトハウスドルフ空間であり、可分なのでcccを満たす。[0,1]は孤立点を含まず、[0,1]内の点による一元集合は疎(至る所非稠密)である。しかし、[0,1]はformula_18個の点による単集合の和であり、formula_18個は多すぎる。
MA("k")と同値な命題.
以下の命題はMA("k")と同値である。
MA(k)からの帰結.
マーティンの公理からいくつかの組み合わせ論的、解析的、位相的な性質に関する興味深い帰結が得られる。
MA(formula_30)は特に興味深い。以下のような命題を導く：
MA+￢CHからは以下の命題が導かれる。