位相的場の理論

位相的場の理論（いそうてきばのりろん）もしくは位相場理論（いそうばりろん）あるいはは、位相不変量を計算する場の量子論である。
TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している。サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている。
物性物理学では、位相的場の理論は、分数量子ホール効果や、凝縮状態や他の状態のような、の低エネルギー有効理論である。
概要.
位相的場の理論では、相関関数が時空の計量に依存しない。このことは、（トポロジーを変えない範囲で）時空の形が変わっても理論自体は不変であることを意味する。もし時空が曲がったり、収縮したりした場合でも、相関関数は変化しない。結局、それらは位相不変量となる。
位相的場の理論は素粒子物理学で使われるミンコフスキー時空にはさほど興味はない。ミンコフスキー空間は、であるから、その上の TQFT は自明な位相不変量のみの計算結果となる。結局、TQFTは普通、例えばリーマン面のような、曲がった時空上で研究される。知られている位相的場の理論の大半は、5次元未満のされている。いくらか高い次元の理論も存在しそうであるが、あまりよく知られてはいない。
量子重力は（ある適当な意味で）背景独立であると信じられていて、TQFT は背景独立な場の量子論の例を提供する。これはこのクラスのモデルの理論的な研究を前進させるという証である。
(注意事項： TQFT は有限の自由度しか持たないと言われることがある。これは基本的な性質ではない。物理学者や数学者が研究している例の大半は、これが有限の自由度を持つこということがあるが、しかし、必ずしも有限の自由度を持つ必要はない。もし無限次元の射影空間をターゲット空間とする位相的シグマモデルが定義されたとすれば、それは可算無限個の自由度を持つ位相的場の理論である。
位相的場の理論のタイプ.
知られている位相的場の理論は、2つの一般的なクラスへ分けられる。ひとつはシュワルツタイプの TQFT であり、もうひとつはウィッテンタイプの TQFT である。ウィッテンタイプの TQFT はコホモロジカルな場の理論としても知られている。 を参照。
シュワルツタイプ TQFT.
シュワルツタイプ TQFTでは、系の相関函数あるいは分配函数は、計量独立な作用汎関数の経路積分として与えられる。例えば、BFモデル(BF model)では、時空は2次元多様体 "M" であり、観測量は2-形式 "F" と補助スカラー場 "B" とそれらの微分から構成される。（経路積分を決定する）作用は、
である。時空の計量はこの理論には全く現れないので、理論は明らかに位相的な不変である。位相場理論の最初の例はシュワルツによる1977年に提出された例であり、作用汎関数は
である。もうひとつ、さらに有名な例がチャーン・サイモンズ理論であり、この理論は結び目不変量を計算することができる。一般には、分配関数は計量に依存するが、上記の例では計量とは独立であることが示されている。
ウィッテンタイプ TQFT.
ウィッテンタイプの位相理論の最初の例は、1988年のウィッテンの論文に現れ、それでは4次元の位相的なヤン＝ミルズ理論である。その作用汎関数は時空の計量 formula_3 を含んでいるが、位相的ツイストした後では、計量独立となることが分かる。系のエネルギー・運動量テンソル formula_4 の計量独立性は、が閉じているか否かにかかっている。ウィッテンの例の後に、位相的弦理論で多くの例が発見されている。
ウィッテンタイプの位相場理論は、次の条件を満す場合に成立する。
例として、formula_14 を満すような外微分（リー微分）を持つ 2-形式の場 formula_15 がある。この場合には、
であるので、作用 formula_17 は対称性を持っている。さらに、（formula_6 が formula_15 と独立であり、汎函数微分へ同じように作用するという条件の下で）
を満す。formula_21 という表現は、別な 2-形式 formula_22 を持つような formula_23 に比例することを意味する。
ここで、対応するハール測度に対する観測可能量 formula_24 の平均は、幾何学的な場 formula_15 に対し独立であるので、位相的である。
第三の同号は、formula_27 と対称性変換の下ではハール測度は不変であるという事実を使った。formula_28 は数値でしかないので、リー微分はこれへ適用すると 0 となる。
数学的定式化.
元来のアティヤ-セーガルの公理化.
マイケル・アティヤは、の提案した共形場理論の公理（後日、セーガルは、 にまとめた)や、ウィッテンの超対称性の幾何学的な意味についての考え方に動機付けられて、一連の位相的場の理論の公理を示唆した。アティヤの公理系は、微分可能写像（位相同型写像、もしくは、連続写像）で境界を張り合わせることで構成されるが、一方、セーガルの公理系は、共形写像で構成されている。シュワルツタイプは、ウィッテンタイプの全体をとらえていることが明らかではないにもかかわらず、これらの公理ではシュワルツタイプのほうが、数学的にはうまく取り扱われた。基本的なアイデアは、TQFT とは、あるコボルディズムの圏からベクトル空間の圏への函手であるということである。
実際、Atiyahの公理と呼ばれて当然である公理系には、2つの異なったセットがあり、基本的には、TQFTを研究するときに一つの固定した n 次元リーマン／ローレンツ時空 M を考えるのか、それとも全ての n 次元の時空を同時に考えるのかの違いがある。
formula_29 を単位元 1 を持つ可換環とする。（現実には、ほとんどの場合、Λ として Z, R もしくは C としている。）元々、アティヤは以下に見るように基礎となる環 formula_29 の上で定義された d 次元の位相的場の理論の公理を提案している。
この提案は、に似ている。
これらのデータは次のような公理となる。
さらに、アティヤは2つの公理(4)と(5)をこれらに加えた。
もしも閉じた多様体 formula_34 対し formula_48 を formula_34 の数値的不変量とみなすと、境界を持つ多様体に対し formula_35 を｢相対的｣不変量と考えることができる。formula_51 を微分同相を保つ向きづけで、formula_52 の端を formula_53 により同一視する。これが多様体 formula_54 を与え、この公理は
ということを意味している。ここに formula_56 は formula_33 の引き起こされた自己同型である。
境界 formula_31 を持つ多様体 formula_34 に対し、共通部分 formula_63 が常に常に閉じた多様体とできることに注意すると、(5) は、
であることを示している。この右辺はエルミートな（不定値でもよいが）計量でのノルムとなっている。
物理との関係.
物理的には (2)+(4) は相対論的な不変性に関連していて、一方 (3)+(5) は理論の量子的性質を示している。
formula_31 は物理的な空間を表していることを意図していて (標準的な物理では d = 3 )、formula_52 の中の余剰次元は｢虚｣時間である。空間 formula_48 は量子論のヒルベルト空間であり、ハミルトニアン formula_68 を持つ物理的理論は、時間発展作用素　formula_69 、もしくは｢虚時間｣作用素　formula_70を持っている。｢位相的｣量子場理論は formula_71 の時であり、このことはシリンダー formula_52 に沿った実際の力や（波の）伝播はないことを意味している。しかしながら、境界 formula_73 を持ち、formula_74 から formula_75 の間に介在する多様体 formula_34 を通して、非自明な｢伝播｣（もしくはトンネル振幅）がありうる。これは formula_34 のトポロジーを反映している。
もし formula_78 であれば、ヒルベルト空間 formula_33 の中のベクトル formula_48 は、formula_34 により定義された 真空期待値 と考えることができる。閉じた多様体 formula_34 に対して、数値 formula_48 は真空期待値である。統計力学とのアナロジーでは、分配関数と呼ばれる。
ゼロハミルトニアンを持つ理論がなぜうまく定式化されるかの理由は、場の量子論(QFT)への経路積分のアプローチにある。これは相対論的な不変性 (これが (d+1) 次元の｢時空｣を提供するのあるが) とあいまって、理論が形式的に適当なラグランジアン -つまり理論の古典場の汎関数を書き下すことにより定義される。時間に関しての形式的な第一微分を意味するラグランジアンは、ゼロハミルトニアンを導出するが、ラグランジアン自体は formula_34 のトポロジーにハミルトニアンを関連付ける非自明な様子を呈するかもしれない。
アティヤの例.
1988年、アティヤは当時考えられていた位相的量子場の新しい例を書いた論文を提出した。 この中には、いくつかの新しいと新しい考え方がのべられている。それらは、キャッソン不変量やドナルドソン不変量や、フレアーホモロジーやジョーンズ-ウィッテン理論である。
さて、固定した次元で考えるのではなく、同時に全ての次元を考えると、位相的場の理論は函手とみなすことができる。
固定した時空の場合.
formula_117 を、射(morphism)が M の n 次元部分多様体であり、対象がそのような部分多様体の境界の連結な成分であるようなカテゴリとする。M の部分多様体を通してホモトピックであれば、2つの射は同値とみなし、そのことにより商カテゴリを formula_118 とすると、formula_118 の対象(object)は formula_117 の対象となり、formula_118 の射は formula_117 の射のホモトピー同値類である。M の位相的場の理論とは、formula_118 からベクトル空間のカテゴリへのである。
もし、境界が一致するのであれば、コボルディズムは互いに縫い合わせて、新しいボルディズムを生成することに注意すると、コボルディズムのカテゴリの射の合成律であることが分かる。合成律を保持することが函手には要求されるので、互いに縫い合わせた射に対応する線型写像は、まさに各々の部品の線型写像の合成に他ならない。
2次元の位相的場の理論のカテゴリと可換なフロベニウス代数のカテゴリの間にはがある。
同時に全ての n 次元時空を考える.
全ての時空を同時に考える、formula_118 をより大きなカテゴリで置き換える必要がある。formula_125 をボルディズムのカテゴリとする。すなわち、射が境界を持った "n"-次元多様体であり、対象(object)が "n" 次元多様体の境界の連結成分であるようなカテゴリとする。(任意の formula_126-次元多様体が formula_125 対象(object)として現れるかもしれない) 上のように、2つの射が formula_125 の中で同値とは、それらがホモトピックであり、商カテゴリ formula_129 を形成する場合をいう。formula_125 はそれらの直和から作られるボルディズムへ2つのボルディズムを持っていく操作の下にである。すると "n"-次元多様体上の位相的場の理論は、formula_129 からベクトル空間のカテゴリへの函手である。そのときは、ベクトル空間のテンソル積をボルディズムの直和とすることで構成される。 
例えば、"(1+1)" 次元ボルディズム (1次元多様体の間の2次元ボルディズム)に対して、に結び付く写像は、積もしくは余積をもたらし、境界の成分がどのようにグループ化されるかとは独立である – 可換もしくは余可換である。一方、ディスクに結び付いた写像は、コユニット (トレース) もしくはユニット (スカラー)をもたらし、境界のグループ化とは独立であるので、"(1+1)" 次元の位相的場の理論は、フロベニウス代数に対応する。
さらに最近、上記のボルディズムで関係づけられた4次元、3次元、2次元の多様体を同時に考えることで、豊富で重要な例が得られている。
その後の発展.
位相的場の理論の発展をみると、それが非常に多くの応用を持っていることが分かる。応用先は、や位相的弦理論、結び目理論と量子論との関係や量子結び目不変量である。さらに、数学と物理の双方の非常に興味深い対象を提供している。
最近の非常に興味をもたれていることとして、位相的場の理論の非局所作用素がある。()　弦理論を基本的なものとすると、非局所的な位相場理論を計算可能な局所弦理論で充分な近似することができる非物理的モデルと見なすことができる。