ハートレー変換

数学の分野におけるハートレー変換（ハートレーへんかん、）は、フーリエ変換と非常に関係の深い、実数値関数を実数値関数へと写す積分変換である。1942年、ラルフ・ハートレーによりフーリエ変換の代替的なものとして提唱され、多くの知られているの内の一つとなった。フーリエ変換と比較して、ハートレー変換には実関数を実関数へと変換し、逆変換がそれ自身となるという長所がある。
1983年、によりこの変換の離散版であるが考案された。
二次元のハートレー変換は、と同様なあるアナログ光学処理によって計算される。その利点として、複素フェーズよりも振幅と符号のみが必要とされる、ということが提唱されている。しかし、光学ハートレー変換は未だ広く利用されてはいないようである。
定義.
実数値関数 "f"("t") のハートレー変換は
により定義される。ここで、応用の場面での formula_2 の意味は角周波数であり、
は「余弦正弦（cosine-and-sine）」あるいは「ハートレー核」と呼ばれるものである。工学において、この変換は信号（関数）を時間領域からハートレースペクトル領域（周波数領域）へと写す。
逆変換.
ハートレー変換は、それ自身が逆変換（対合）であるという便利な性質を持つ。すなわち
が成立する。
慣例.
上述の定義はハートレーによる元々の定義と一致するものである。しかし、様々な些細な点が慣例上の問題となっており、それらは本質的な性質を脅かすことなく変更することも出来る:
フーリエ変換との関係.
この変換は、積分核の選び方において従来のフーリエ変換 formula_11 とは異なるものである。フーリエ変換においては、指数関数核:
formula_12
が用いられていた。ここで "i" は虚数単位である。
それら二つの変換は密接に関連している。特に、フーリエ変換は（正規化の系数として formula_13 を用いる時）、
によって、ハートレー変換から得ることが出来る。つまり、フーリエ変換の実部と虚部は、それぞれハートレー変換の偶部分（even part）と奇部分（odd part）によって与えられることになる。
逆に、実数値関数 "f"("t") に対して、ハートレー変換はフーリエ変換の実部と虚部を用いることで
として得られる。ここで formula_16 および formula_17 は複素フーリエ変換の実部と虚部をそれぞれ表す。
性質.
ハートレー変換は実線形作用素であり、対称である（そしてエルミートである）。その対称性および自己反転性により、ハートレー変換はユニタリ作用素であることが分かる（実際、直交である）。
ハートレー変換について、重畳積分定理と類似な次のような議論がある。もし二つの関数 formula_18 および formula_19 にそれぞれハートレー変換 formula_20 および formula_21 が存在するなら、それらの関数の畳み込み formula_22 にも同様にハートレー変換が存在し、次のように与えられる:
フーリエ変換と同様に、偶関数あるいは奇関数のハートレー変換はそれぞれ偶関数あるいは奇関数となる。
余弦正弦（cas）.
余弦正弦（cas）関数の性質は、三角法およびその位相変換三角関数 formula_24 としての定義により従う。例えば、
および
などが得られ、微分は
となる。