タクシー数

"n" 番目のタクシー数（タクシーすう、、Ta("n")もしくはTaxicab("n")と表記される）とは、2つの立方数の和として "n" 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとが全ての正の整数 "n" に対し、Ta("n")が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として "n" 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta("n")であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。
なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。
概要.
与えられた正の整数 "N" に対し、不定方程式
の整数解 "y" ≥ "x" > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < "y"3 < "N" であるため）。これを "s"("N") とおく。Ta("n") は "s"("N") ≥ "n" となる最小の "N" である。
任意の "n" に対して "s"("N") ≥ "n" となる整数 "N" が存在することが知られており、したがって Ta("n") は存在する。実際 "m" を正の整数とすると
は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 formula_3 を選んで分母を払うことにより
が成り立つ。 formula_5 ととれば formula_6 が成り立つ。"m" = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから "s"("N") がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta("n") は確かに存在する。
一般に "F" が3次形式で
が階数 "r" の楕円曲線を与えているとき、
の解の個数が > "c"(log "m")"r"/("r"+2) となる "m" が無数に存在する（"c"> 0 は "F" と "m"0 のみに依存し "d" には依存しない）。
は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって
となる "N" が無数に存在する。したがって
が無数の "n" に対して成り立つ。
既知のタクシー数.
現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（参照）。
タクシー数の上限.
以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。
発見の歴史.
ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にによって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは
の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した：
ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。"t", "a", "b" が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は ("a", "b", "t") = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており "t", "a", "b" が整数であるものからは与えられない（もちろん "t", "a", "b" をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する "t", "a", "b" がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは
を発見している（"t" = 1 とおくとタクシー数を得る）。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば
ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には
の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている。
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。は1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された。
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 "T" が "T" = "x"3+"y"3と書かれるとき、全ての組 ("x", "y") に対して "x", "y" は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。
4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
（参照）
上記の通り制限のない場合には "s"("N") はいくらでも大きくできるが、"N" が立方因子をもたないとき、
の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を "r"("N") とすると
となる絶対定数 "c" が存在する。 "N" が大きいときは
が成り立つ。