カラテオドリ計量

数学の分野におけるカラテオドリ計量とは、複素バナッハ空間の開単位球上に定義される計量で、双曲幾何学におけるポアンカレ計量と類似の性質を多く持つ。ギリシャの数学者であるコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。
定義.
("X", ǁ ǁ) を複素バナッハ空間とし、"B" を "X" 内の単位開球とする。Δ を複素平面 C 内の開単位円板とすると、それは二次元実/一次元複素の双曲幾何のポアンカレ円板モデルと見なされる。Δ 上のポアンカレ計量 "ρ" を
で与える（したがって、曲率は −4 に固定される）。このとき、"B" 上のカラテオドリ計量 "d" は
と定義される。ここで、バナッハ空間上の関数が正則（holomorphic）であるということの意味については、記事を参照されたい。
接ベクトルのカラテオドリ長.
球 "B" への接ベクトルに対するカラテオドリ長（Carathéodory length）という概念がある。"x" を "B" の点とし、"v" を "x" における "B" への接ベクトルとする。"B" はベクトル空間 "X" 内の開単位球であるため、接空間 T"x""B" は自然な方法によって "X" と関連付けられ、"v" は "X" の元と見なされる。このとき、"x" における "v" のカラテオドリ長 "α"("x", "v") は
と定義される。"α"("x", "v") ≥ ǁ"v"ǁ であり、等号は "x" = 0 であるときに成り立つことが示される。