ARCHモデル

ARCHモデル（アーチモデル、）とは、金融経済学、統計学、計量経済学などにおいて分散不均一性を示す時系列データに適用されるモデル。日本語では、「分散自己回帰モデル」「分散不均一モデル」等と称される。1982年にロバート・エングルによって提案された。特に金融時系列データへの適用事例が多い。
分散不均一性.
株式の収益率をプロットすると、ある時期(景気が安定して拡大している時期など)には変動の程度(ボラティリティ)が平均して小さく、別の時期(不況の直前など)にはボラティリティが平均して大きくなる傾向が観察される。このようなボラティリティが時期によって異なった水準を示すことをボラティリティ・クラスタリング()、または分散不均一性()と呼ぶ。分散不均一性は金融時系列データをはじめ幅広く見られる現象である。
ARCH(q)モデル.
時刻 formula_1 における時系列データ formula_2 の時刻 formula_3 までの情報による条件付き期待値を formula_4 とする。formula_2 と formula_4 の差を formula_7 とする。さらに
と分解できるとする。ただし formula_9 は平均が0、分散が1の確率変数で、formula_10 はボラティリティであり、時刻 formula_3 までの情報で確定していると考える。すなわち、時刻 formula_3 の時点で、時刻 formula_1 におけるこの時系列データのボラティリティは予測できる、と考えるのである。他方、formula_14 そのものは実際に時刻 formula_1 になり確率変数 formula_16 の値が確定するまでは確定しない。よって formula_2 自体は
と表せる。ARCH(q)モデルの下で条件付ボラティリティ formula_19 は以下の式で決定される。
つまりARCH(q)モデルでは、q 期前までの平均からの乖離部分 formula_21 の2乗が条件付きボラティリティに影響を与えている。仮定から formula_22 であるのでARCHモデルの決定式は
と書き直すことが出来る。さらに formula_24 は formula_25 であることも分かる。つまり formula_26 から見ると q 次の自己回帰モデルと見なせる。よって formula_27 について自己回帰()であり、条件付き()ボラティリティ formula_10 が分散不均一性()を示すことから頭文字を取りARCHモデルと名付けられている。formula_27 についての定常性条件から次の formula_30 についての方程式
の全ての解の絶対値が1より大きくなるように係数 formula_32 に条件が課される場合が多い。
GARCH(p,q)モデル.
1986年にロバート・エングルの弟子はARCHモデルを一般化したGARCHモデル（がーちモデル、）を提案した。GARCHモデルでは、条件付ボラティリティ formula_19 は以下のように決定される。
すなわち、現在の条件付ボラティリティは p 期前までの条件付ボラティリティと q 期前までの平均からの乖離部分の2乗により決定される。Bollerslev も当該論文中の実証分析の節で述べているが、ARCHモデルを金融時系列データに適用すると分散の長期記憶性を再現する為に次数 q が大きくなる傾向があったが、GARCHモデルは比較的小さい次数(p = 1, q = 1)でも十分に分散の長期記憶性が再現されるので、ARCHモデルに比べると倹約的なモデルとなる。GARCHモデルにおいては formula_27 は自己回帰移動平均モデルとして表され、その定常条件は
の全ての解の絶対値が1より大きくなることである。ただし formula_37 かつ formula_38 である。
GARCHモデルの拡張.
GARCHモデルは様々な拡張がなされている。以下で代表的なものを述べる。
EGARCHモデル.
Daniel B. Nelson が1991年に提案したExponential GARCH(p,q)モデル(EGRACH(p,q)モデル)は以下のようにボラティリティが決定する。
EGARCHモデルにおいては通常のGARCHモデルと異なり、formula_21 ではなく、それを formula_41 で割った formula_42 がボラティリティに影響を与える。条件付き分散の対数に対してモデル化が行われているため、通常のGARCHモデルに比べると非負性や定常性のための制約が緩くなるという利点がある。
GJR GARCHモデル.
Lawrence R. Glosten, , David E. Runkle によって1993年に提案されたGJR GARCHモデルは以下のようにボラティリティが決定する。
ただし、formula_44 は formula_45 が負ならば1、正ならば0を取る変数である。株価収益率などが持つ、下落局面でボラティリティがより増加するレバレッジ効果を捉えるためのモデルである。
Heston-Nandi GARCH モデル.
, Saikat Nandi により2000年に提案されたHeston-Nandi GARCH(p,q)モデルは以下のようにボラティリティが決定する。
Heston-Nandi GARCHモデルもEGARCHモデルと同様に formula_21 ではなく formula_42 がボラティリティに影響を与える。また、このモデルもGJR GARCHモデルと同様にレバレッジ効果を捉えることができる。さらにデリバティブのオプションと親和性が高く、Heston-Nandi GARCHモデルに従う株式のオプションについて、その無裁定価格が導出されている。しかし、Heston-Nandi GARCHモデルはモデルが過適合を起こしやすいという欠点もある。
多変数モデルへの拡張.
ここまで述べてきたGARCHモデルはいずれも単一変数の時系列データに対して適用されるものであったが、多変数の時系列データに対してその相関構造を内包しつつ適用可能なGARCHモデルも存在する。例としてBEKKモデルやCCC-GARCHモデル、DCC-GARCHモデルなどがある。