フレドホルム行列式

数学の分野におけるフレドホルム行列式（フレドホルムぎょうれつしき、）とは、行列の行列式の一般化であるような、ある複素数値関数のことを言う。によって、ヒルベルト空間上の恒等作用素ではない有界作用素に対して定義される。数学者エリック・イヴァル・フレドホルムの名にちなむ。
フレドホルム行列式は、数理物理学の分野において多く応用されており、その最も有名な例には、イジング模型のについてのラルス・オンサーガーと楊振寧の問題に対する解答として証明された、セゲー・ガーボルの極限公式が挙げられる。
定義.
"H" をヒルベルト空間とし、"G" を "H" 上の有界可逆作用素で "I" + "T" と書き表されるようなもの（ここで "T" はとする）とする。"G" は、
が成立するために、群である。
トレースクラスノルムを || · ||1 と表すとき、"G" には "d"("X", "Y") = ||"X" - "Y"||1 で定義される自然な計量が存在する。
"H" を、内積 formula_2 を備えるヒルベルト空間としたとき、"k"次の外積冪 formula_3 も、内積
によりヒルベルト空間となる。
特に、"H" の正規直交基底を ("e""i") としたとき、
は formula_3 の正規直交基底となる。
"A" を "H" 上の有界作用素とするなら、"A" は formula_3 上の有界作用素 formula_8 を 
として functorially に定義する。
"A" がトレースクラスであるなら、 
によって formula_11("A") もトレースクラスとなる。このことから、
として定義されるフレドホルム行列式には、意味があることが分かる。