傾き (数学)

数学における平面上の直線の傾き（かたむき、）あるいは勾配（こうばい、）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。
傾きは普通、直線上の2点間の変化の割合、すなわち "x" の増加量に対する "y" の増加量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き "m" は傾斜角を "θ" として
と書くことができる。
曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数）が、傾きの考え方により定義できる。
傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。
定義.
"xy"平面上の直線の傾きは、"x"座標の増加量に対する "y"座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き "m" は
で記述される。ここで、ギリシャ文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。
増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを ("x", "y"), ("x", "y") とする。このとき、"m" は
で求められる。
これらの等式から分かるように、鉛直線（"y"軸に平行な直線）の傾きは、零除算となり、定義されない。
（例）
直線が2点 formula_4, formula_5 を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。
傾き "m" とは、"y"座標の増加量 "Δx" に対する "y"座標の増加量 "Δy" の比率のことなので、
である。
直線が2点 formula_7, formula_8 を通るならば、傾きは
である。
傾斜角による記述.
傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。
傾斜角とは、直線と "x"軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ "θ" < 180° または −90° < "θ" ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。
直線の傾きを "m"、傾斜角を "θ" とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて
の関係がある。
1次関数における傾き.
傾き・切片.
"y" は "x" の1次関数であるとする。このとき、"x" と "y" には "y" = "ax" + "b" と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは "a" に等しい。
1次関数 "y" = "ax" + "b" において、"a" を傾きと呼ぶのに対して、"b" を "y"切片と呼ぶ。1次関数の "y"切片は、グラフ（直線）が "y" 軸と交わる点の "y" 座標に等しい。したがって、"y" = "ax" + "b" の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。
1次関数 "y" = "ax" + "b" のグラフは、"y"軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。
1次関数の決定.
1次関数の傾き "m" と直線上の1点 ("x", "y") が既知ならば、1次関数の方程式は
で与えられる（これを1点・傾き標準形と呼ぶことがある）。
（例）
1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き "m" は 
だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
と求まる。これはつまり
である。
直線の一般形.
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形
は全ての直線を表す。"b" ≠ 0 ならば、傾きが存在し、formula_18 である。
直線の切片形.
formula_19 の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき "y" は "x" の1次関数で、
となる。この直線の傾きは formula_20 である。
方向ベクトルとの関係.
直線の傾きが "m" であることは、その直線の方向ベクトルが (1, "m") であることと同値である。
微分係数.
曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。
"Δx" と "Δy" を曲線上の2点間のそれぞれ "x"座標、"y"座標の増加量とすると、その2点を通る直線（割線という）の傾き "m" は
である。この2点間を狭めたときの "m" の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 "x" を変数とした
を、曲線の導関数と呼ぶ。
微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。