ベクトル測度

数学の分野におけるベクトル測度（ベクトルそくど、）とは、ある集合族上で定義される、ある特定の性質を備えたベクトル値関数である。非負実数値のみを取る測度の概念の一般化である。
定義と第一の帰結.
集合体 formula_1 とバナッハ空間 formula_2 が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、formula_3 内の任意の互いに素な集合 formula_4 と formula_5 に対して
が成り立つような関数 formula_7 のことを言う。
ベクトル測度 formula_8 が可算加法的であるとは、formula_9 内の任意の互いに素な集合の列 formula_10 でその合併が　formula_9 に含まれるようなものに対して、
が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 formula_2 のノルムについて収束するものとする。
加法的ベクトル測度 formula_8 が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 formula_10 に対して
が成り立つことである。ここで formula_17 は formula_2 のノルムである。
σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 formula_19、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。
例.
区間 formula_20 およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 formula_9 から成る集合体を考える。そのような任意の集合 formula_4 に対して
を定義する。ここで formula_24 は formula_4 の指示関数である。この formula_8 がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。
これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。
ベクトル測度の変分.
ベクトル測度 formula_33 に対し、その変分（variation）formula_34 は
によって定義される。ここで右辺の上限は、formula_3 内のすべての formula_4 に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割
に対して取られる。また formula_17 は formula_2 上のノルムである。formula_8 の変分は formula_19 に値を取る有限加法的関数である。formula_3 内の任意の formula_4 に対して
が成立する。formula_46 が有限であるなら、測度 formula_8 は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。formula_8 が有界変分のベクトル測度であるなら、formula_8 が可算加法的であることと formula_34 が可算加法的であることは同値である。
リャプノフの定理.
ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、（な）ベクトル測度の値域は閉かつ凸である 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合）である。この定理は、数理経済学や、ビッグバン制御理論、およびにおいて用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるを用いることによって証明される