線型包

数学の特に線型代数学あるいはより一般の函数解析学において、ベクトル空間内の与えられたベクトルからなる集合の（線型に）張る部分空間 ("linear span") あるいは線型包（せんけいほう、; 線型苞）もしくは生成する (generated, spanned) 部分空間は、その集合を含む線型部分空間すべての交わりである。したがって、その集合を含む最小の部分空間である。また、それはその集合に属するベクトルのすべての線型結合からなる集合として実現される。
定義.
体 K 上のベクトル空間 "V" が与えられたとき、"V" の（必ずしも有限でない）部分集合 "S" に対して、以下は同値である。
このとき "W" を "S" の線型包 ("linear span"), "S" の生成する部分空間 ("generated subspace"), "S" の（あるいは "S" に属するベクトルたちの）張る部分空間 ("spanned subspace") などと呼び、逆に "S" を "W" を生成する集合 ("generating set")、張る集合 ("spanning set") 、生成系などと呼ぶ。"S" の線型包は 〈"S"〉, span("S"), lin("S"), "L"("S") などで表され、また "S" が "V" の有限集合のとき "S" = {"v"1, …, "v""r"} とおけば、その線型包 span("S") は
などとも表される。
線型結合の全体であるという性質を具体的に書けば、"S" の線型包は
で与えられることがわかる。特に "S" が "V" の有限集合のとき "S" = {"v"1, …, "v""r"} とおけば、
と簡略化できる。
性質.
K-線型空間 "V" の二つの部分集合 "A", "B" が任意に与えられたとき、
の三性質が成り立つ、つまり線型包を取る操作は閉包作用素である。
他の重要な性質としては：
基底.
以上から、基底は "V" の最小生成系と言ってもよいことがわかる。
位相的線型包.
函数解析学において、ベクトルの集合の張る閉部分空間（閉線型包）もしくは位相的に生成する部分空間（位相的線型包）とは、その集合を含む最小の閉部分空間を言う。"X" がノルム線型空間で "E" を "X" の空でない部分空間のとき、"E" が位相的に張る部分空間 （あるいは ）は、"X" の閉部分空間で "E" を含むもの全ての交わりに等しい。一つの定式化としては
がある。
閉線型包は閉部分空間を扱う上で重要である（閉部分空間自体、リースの補題を考えれば、非常に重要である）。
ゆえに、閉線型包を求める方法として、まず線型包を求めてからその閉包を取るのが普通である。