超弾性

超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。
構成則.
弾性とは、ある位置formula_1の応力がそこの変形勾配formula_2で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力formula_3を用いると、
と書ける。
特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期formula_5における状態とformula_6における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数formula_7が得られる。
formula_10と考えると、formula_11は
と書ける。
これを:formula_13と比較すると、formula_14は
と書ける。結局、
と表される。ここで、
formula_17より、formula_7をformula_19の関数として表す。
formula_21より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力formula_22について同様の式展開を行うと、
となる。
非圧縮性を有する場合.
まず、formula_19で表記したformula_26の式を次のように変形する。
非圧縮性を有することから、formula_28をformula_29に代入して、
を得る。二つの式を比較して、
を得る。今、formula_32は任意の係数を表す。微圧縮性の場合はformula_33のままの方が便利なので、formula_34を代入していない。変形すると、
ここで、formula_36と定義すると、
上の結果から、formula_32とformula_39は
のときにのみ一致する。これは、formula_41となるときに成立する。ここで、formula_42によって新たな関数formula_43を定義する。formula_44を用いると、formula_45となることが次のように示される。
ここで、
formula_47を用いた。
非圧縮性の場合、formula_48をformula_44で代替できるため、formula_22の式は次のように表される。
偏差成分formula_52は、
である。通常は、formula_48とformula_44は等しくないが、非圧縮性を有する場合、formula_56より成立する。