八元数環

数学における体 "F" 上の八元数代数または八元数環（はちげんすうかん、）とは、"F" 上 8-次元の合成代数、すなわち "F" 上 8-次元の単位的非結合多元環でノルム（ノルム形式）と呼ばれる非退化二次形式 "N" を備えたものをいう。ノルム "N" は、条件
を "A" の各元 "x", "y" について満たす。
最もよく知られた八元数環は、実数体 R 上の八元数環である古典的なケーリーの八元数全体の成す多元体 O である。分解型八元数の全体もやはり R 上の八元数環を成す。R-代数の同型の違いを除いて R 上の八元数環はこの二つのみである。
分解型八元数環はその二次形式 "N" が等方的である（つまり、"N"("x") = 0 となる非零ベクトルをもつ）ような八元数環をいう。体 "F" 上の分解型八元数環は "F"-代数の同型を除いて一意的に存在する。"F" が代数閉体または有限体のとき、それは "F" 上の唯一の八元数環である（「通常型」の八元数環は存在しない）。
八元数環は必ず非結合的になるが、より弱い形の結合性条件を満たす交代代数になる。さらに、任意の八元数環がムーファン恒等式を満足する。したがって、任意の八元数環において可逆元全体の成す集合は（ノルムが 1 の元全体と同様に）ムーファン・ループ（単位的ムーファン擬群）を成す。
分類.
フルヴィッツの定理は「ノルム形式の "F"-同型類は "F"-八元数環の同型類と一対一に対応する」というものである。さらに、ノルム形式として可能なものは、ちょうど "F" 上のフィスター 3-形式になっている。
"F" の代数閉体上の "F"-八元数環はどの二つも同型となるから、ここに非可換ガロワコホモロジーの概念を適用することができる。特に、分解型八元数環の自己同型群は分解型代数群 "G"2 であるという事実を用いれば、"F"-八元数環の同型類と "F" 上の "G"2-主等質空間（トルソー）の同型類との対応を見ることができる。これらの同型類は非可換ガロワコホモロジー集合 formula_2 を成す。