収束級数

数学において、収束級数 とは、その部分和の成す数列が収束するような級数である。
ここで、級数とは数列の項の総和のことであり、与えられた数列 の第 -部分和とは最初の -項の有限和
のことを指す。
ある級数が収束級数であることは、「（有限な）和を持つ」とか「和が有限確定である」などと言い表される。
定義.
厳密に言えば、級数が「通常の意味で」収束するとは、定数 "l" が存在して、任意の正の数 ε > 0 に対して十分大きな整数 "N" = "N"ε をうまくとれば、"n" ≥ "N" なる任意の整数 "n" に対して
を満たすことをいう。収束しない級数は発散するという。
収束判定法.
与えられた級数が収束または発散することの判定法はさまざまなものが知られる。
条件収束と絶対収束.
任意の数列 ("a"1, "a"2, ...) に対して、"a""n" ≤ |"a""n"| が任意の "n" について成立するから、
がわかる。これはつまり、右辺が収束するならば、もとの級数も収束することを示している（逆は成り立たない）。
無限級数 ∑|"a""n"| が収束するならば、無限級数 ∑ "a""n" は絶対収束 するという。絶対収束級数の部分和の成す増大列から各値を結んで得られる折れ線は有限の長さを持つ。指数関数のテイラー級数は至る所絶対収束する。
無限級数 ∑ "a""n" が収束して、無限級数 ∑|"a""n"| は発散するならば、無限級数 ∑ "a""n" は条件収束 するという。条件収束級数の部分和の値をつないで得られる線分は長さが無限大となる。対数関数のテイラー級数は収束域の各点で条件収束する。
は「条件収束級数はその項を並べ替えることにより任意の値に収束させ、あるいは発散させることができる」ということを述べるものである。
条件収束という代わりに半収束 ということもある。逆に絶対収束の代わりに無条件収束 ともいう。
一様収束.
("f"1, "f"2, ...) を関数列とする。関数項級数
が、関数 "f" に一様収束する とは
で定義される部分和関数列 ("s""n") が "f" に一様収束することを言う。
比較判定法の関数項無限級数における対応物が存在して、ワイエルシュトラスのM判定法と呼ばれる。
コーシーの判定法.
実数列に関するコーシーの判定法によれば、実数を項とする級数
が収束する必要十分条件はその部分和の列がコーシー列を成すことである。すなわち、任意の正数 ε > 0 に対し正整数 "N" が存在して、"n" ≥ "m" ≥ "N" なる全ての "m", "n" について
が成り立つということであり、またこれを
という形に述べることもできる。