弱作用素位相

数学の関数解析学の分野における弱作用素位相（じゃくさようそいそう、; WOT）とは、ヒルベルト空間 "H" 上の有界作用素全体の成す集合上の位相で、各作用素 "T" を複素数 に写す汎函数が任意のベクトル "x", "y" ∈ "H" に関して連続となるようなものの中で最弱のものである。 
有界作用素のネット "Ti" ⊂ "B"("H") が WOT に関して "T" ∈ "B"("H") に収束するとは、"H*" 内の任意の "y*" および "H" 内の任意の "x" に対して、ネット "y*"("Tix") が "y*"("Tx") へと収束するときにいう。
"B"("H") 上の他の位相との関係.
WOT は、一般的な"B"("H") 上の位相の中では最も弱いものである。ここで "B"("H") はヒルベルト空間 "H" 上の有界作用素すべてからなる集合を表す。
強作用素位相.
"B"("H") 上の強作用素位相（あるいは、SOT）は、各点収束の位相である。内積が連続関数であることから、SOT は WOT よりも強いことが分かる。次の例は、この包含関係が厳密なものであることを示すものである: "H" = "ℓ" 2(N) とし、片側シフト "T" の列 {"Tn"} を考える。コーシー-シュワルツを応用することにより、WOT において "Tn" → 0 となることが示される。しかし、明らかに "Tn" は SOT においては 0 には収束しない。
強作用素位相において連続であるような、ヒルベルト空間上の有界作用素からなる集合上の線型汎函数は、WOT においても連続である。このことから、WOT における作用素の凸集合の閉包は、SOT におけるそのような集合の閉包と等しいことが分かる。
により、SOT においてネット "Tα" → 0 が成立するための必要十分条件は、WOT において "Tα*Tα" → 0 が成立することであることが分かる。
弱スター作用素位相.
"B"("H") の前双対は、トレース級作用素の集合 C1("H") であり、それはあるいは σ-弱位相と呼ばれる、"B"("H") 上の w*-位相を生成する。そのような弱作用素位相と σ-弱位相は、"B"("H") 内のノルム有界集合上で一致する。
WOT において、ネット {"Tα"} ⊂ "B"("H") が "T" へと収束するための必要十分条件は、Tr("TαF") がすべての有限ランク作用素 "F" に対して Tr("TF") へと収束することである。すべての有限ランク作用素はトレース級であるため、このことは WOT が σ-弱位相よりも弱いことを意味する。この主張がなぜ正しいのか理解するためには、すべての有限ランク作用素 "F" は有限和 "F" = ∑ "λi uivi*" であることを思い出す必要がある。すなわち、WOT において {"Tα"} が "T" へと収束するということは、Tr("TαF") = ∑ "λi vi*"("Tαui") が ∑ "λi vi*"("T ui") = Tr("TF") へと収束することを意味する。
わずかに拡張することで、弱作用素位相と σ-弱位相は "B"("H") 内のノルム有界集合上で一致するということを示すことが出来る: すべてのトレース級作用素は "S" = ∑ "λi uivi*" という形で表される。ここで正の数からなる級数 ∑"λi" は収束するものとする。sup"α" ||"Tα"|| = "k" < ∞ および、WOT において "Tα" は "T" へと収束することを仮定する。すべてのトレース級 "S" に対して、Tr ("Tα"S) = ∑"λi vi*"("Tαui") は∑ "λi vi*"("T ui") = Tr("TS") へと収束することが、例えば優収束定理が用いられることで、示される。
以上から、バナッハ-アラオグルの定理によって、すべてのノルム有界集合は WOT においてコンパクトであることが分かる。
他の性質.
定義よりただちに、共役作用 "T" → "T*" は WOT において連続であることが分かる。
積（multiplication）は、WOT において共同で連続（jointly continuous）ではない: 再び、"T" を片側シフトとする。コーシー-シュワルツより、"Tn" および "T*n" のいずれも WOT において 0 に収束することが分かる。しかし、"T*nTn" はすべての "n" に対して恒等作用素である（有界集合上では WOT は σ-弱位相と一致するため、σ-弱位相においても積は共同で連続ではない）。
しかしながら、一つの弱い主張は成立する: 積は WOT においてそれぞれに連続（separately continuous）である。もし WOT においてネット "Ti" → "T" が成立するなら、"STi" → "ST" および "TiS" → "TS" が WOT において成立する。