ミンコフスキー汎関数

数学の関数解析学の分野におけるミンコフスキー汎関数（ミンコフスキーはんかんすう、）とは、線型空間上に距離の概念をもたらすような関数のことである。
"K" を、線型空間 "V" に含まれる対称な凸体とする。"V" 上の関数 "p" を
によって定める（ただしこの右辺が well-defined である場合）。
動機.
例1.
ノルム線型空間 "X" を考える。そのノルムは ||·|| で表されるものとする。"K" を、"X" に含まれる単位球とする。関数 "p": "X" → R を
によって定める。このとき、formula_3 が成立するため、"p" はまさしく "X" 上のノルムということになる。この "p" はミンコフスキー汎関数の特別な例である。
例2.
"X" を、スカラーの体（基礎体）K による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ "X"′　を、"X" の代数的双対とする。すなわち、φ: "X" → K は "X" 上の線型汎関数である。"a" > 0 を固定し、集合 "K" を
によって定める。ふたたび、関数
を定める。すると、
が成立する。この関数 "p"("x") もミンコフスキー汎関数の特別な例である。これは次のような性質を備えている:
以上の性質から "p" は、誘導位相を備えた "X" 上の半ノルムということになる。これは「良い」集合を通して定義されたミンコフスキー汎関数の特性である。半ノルムと、そのような集合によって与えられたミンコフスキー汎関数との間には一対一の対応が存在する。ここで言う「良い」という語の正式な意味は、後述の節を参照されたい。
強い条件の要請されるノルムと比較して、半ノルムであるこの場合では "p(x) = 0" は必ずしも "x = 0" を意味しないことに注意されたい。上の例では、"φ" の核にはゼロでない "x" が含まれている。したがって、結果として導かれる位相は必ずしもハウスドルフではない。
定義.
上の例では、与えられた（複素あるいは実）線型空間 "X" およびその部分集合 "K" に対し、対応するミンコフスキー汎関数
を
によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば formula_9 の計測関数（gauge）と呼ばれる。
この定義では、非明示的に 0 ∈ "K" および、集合 {"r" > 0: "x" ∈ "r K"} が空でないことが仮定されている。"pK" が半ノルムの性質を備えるためには、"K" にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:
これらの条件を満たす集合 "K" は、絶対凸と呼ばれる。
"K" の凸性.
"K" の凸性は関数 "pK" の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に "pK"("x") = "pK"("y") = "r" を仮定する。すると、任意の "ε" > 0 に対して "x", "y" ∈ ("r + ε") "K" = "K"′ となる。"K" が凸であるという仮定により、" K' " もまた凸であることが分かる。したがって、½ "x" + ½ "y" は " K' " に含まれる。ミンコフスキー汎関数 "pK" の定義により、
が得られるが、この左辺は ½ "pK"("x" + "y") であるため、
が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の "pK"("x") > "pK"("y") の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。
注意 集合 {"r" > 0: "x" ∈ "r K"} が空でないという元々の仮定の下で "K" が凸であるということは、"K" が吸収的集合であることを意味する。
"K" の均衡性.
"K" が均衡であるということは
を意味することに注意されたい。したがって、
を得る。