モーメント (確率論)

確率論や統計学におけるモーメント（）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。
定義と性質.
 を確率変数、 を定数としたときに、 に関する次モーメント (-th order moment) は次で定義される。
ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。
 が離散型の場合は、
ここで は確率変数 の実現値である。
 が連続型の場合は、
ここで は確率変数 の確率密度関数である。
特に の場合に、モーメントは と記される。
期待値 は 1次のモーメント に等しい。分散 は これと2次のモーメント、つまり を用いて表すことができる。すなわち、
 に関する 次モーメントを で表し、 次の中心モーメント (-th order center moment)、または 次の中心化モーメントという。
ここで、2次の中心モーメント は分散と一致する。
一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布
において、モーメントは全て無限大に発散する。
積率母関数による表示.
確率変数 の積率母関数を次の式で定義する：
その級数表示
においては、 の 次の項の係数部分に 次のモーメント が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。
特性関数による表示.
確率変数"X"に対する特性関数を次のように定義する：
特性関数についても、その級数表示において、 次のモーメントは の 次の項の係数に現れる。
この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。
キュムラントとの関係.
 次のキュムラントは、 次以下のモーメントで表すことができる。
逆に、 次のモーメントは、 次以下のキュムラントで表すことができる。
例.
ポアソン分布.
確率質量関数が
で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。
正規分布.
確率密度関数が
で与えられる正規分布において、 次の中心モーメントは が奇数のときは で、偶数のときのみ でない値をとる。
 は二重階乗。