正則基数

集合論において、正則基数（せいそくきすう、）とは、その共終数がそれ自身である基数のこと。
簡単に言えば、正則基数は小さいパーツの少ない集まりに分割できないものである。
選択公理を仮定するときは、いかなる濃度も基数になり、無限基数 formula_1 が正則であることは formula_1 未満の基数の formula_1 未満個の和では表せないことと同値になる。
また、無限順序数 formula_4 が正則順序数と呼ばれるのは、それが極限順序数でより小さい順序数の順序型が formula_4 未満の集合の極限にならないことである。
正則な順序数は始順序数 () である。しかし、始順序数だからといって正則であるとは限らない。
正則でない整列無限集合の濃度は特異基数と呼ばれる。
有限順序数に対しては普通、正則や特異と言った呼び方はしない。
例.
formula_6 未満の順序数は有限順序数である。有限順序数の有限列は最大元をもつ。だから formula_6 は formula_6 未満の順序数による順序型 formula_6 未満の列の極限にはならない。なので、 formula_6 は正則順序数である。
アレフ数formula_11 は正則濃度である。そのinitial ordinalである formula_6 が正則だからである。
直接に正則性を示すこともできる。有限基数の有限個の和はそれ自身有限だからである。
formula_13 は formula_6の次の順序数で極限順序数でないから特異順序数である。
formula_15 は formula_6 の次の極限順序数である。これは formula_6, formula_13, formula_19, formula_20,…といった順序型 formula_6 の列の極限であり、特異順序数となる。
formula_22 はformula_11の次の濃度である。
formula_22 未満の基数は高々可算な基数である。選択公理を仮定すると、可算集合の可算和は可算集合である。ゆえに、formula_22 は可算集合の可算和で書けないので正則である。
formula_26 は formula_11,formula_22,formula_29, formula_30, … の列の次にくる濃度である。これの始順序数は formula_31 で列 formula_6,formula_33, formula_34, formula_35,…
の極限である。この列の順序型は formula_6 だから formula_31,formula_26 は特異である。
選択公理を仮定すると、 formula_26 は最初の無限特異濃度である (最初の無限特異順序数は formula_13 であった)。
特異基数の存在を証明するには置換公理が必要である。ツェルメロの集合論では formula_26 の存在性は証明できない。
性質.
非可算な正則な極限基数は弱到達不能基数として知られていて、この存在性はZFCの下では証明できないし、その存在性がZFCと矛盾するかどうかも知られていない。
弱到達不能基数の存在性はしばしば追加的な公理として採られることがある。
到達不能基数はアレフ関数の不動点である必要がある。しかし、その不動点は正則とは限らない。例えば、最初の不動点は formula_42 の formula_6-列の極限で、これは特異基数である。
選択公理の下では、後続型基数は正則である。なので、ほとんどのアレフ数濃度の正則性、特異性は後続型基数か極限基数かで確かめられる。
濃度の中には、どのアレフ数と等しいか証明できないものもある。連続体濃度がその例で、ZFCの下では非可算な共終数をもついかなる非可算基数と等しいと考えても矛盾に至らない (イーストンの定理を参照)。連続体仮説は連続体濃度が正則な formula_22 であるという仮説である。
選択公理を仮定しないとき、整列可能でない集合の濃度が存在しうる。さらに、濃度の和も全ての集合に定義できるわけではない。だから、正則性、特異性が意味をもつのはアレフ数のみである。
さらには、可算濃度の次の濃度が正則とも限らない。例えば、可算集合の可算和が可算とは限らず、実数全体の集合が可算集合の可算和であるという主張と同様に formula_33 が可算順序数の可算列の極限であるというのはZFと矛盾しない。
さらには、formula_11 より大きい全てのアレフ数が特異基数であるというのもZFと矛盾しない (ギティック () により証明された)。