商位相空間

 
位相空間論およびそれに関連する数学の各分野において、等化空間（とうかくうかん、）または商位相空間（しょういそうくうかん、）あるいは単に商空間 とは、直観的には与えられた空間のある種の点の集まりを「貼合せ」("gluing together") あるいは同一視してしまうことによって得られる新しい空間である。ただし、ここで貼合わせられるべき点の集まりというのは、何らかの同値関係によって決定される。
このような商空間構成は、与えられた位相空間から新たな空間を構成する方法の一つとして広く用いられる。
定義.
 を位相空間とし、"" を 上の同値関係とする。~ に関する同値類全体の成す商集合 上に位相を以下のように定める。つまり、 に属する同値類からなる の部分集合が開集合であることを、（それら同値類を の部分集合と見ての）その和集合が における開集合となることとして定義する。これを商集合 上の商位相 と呼ぶ。
おなじことだが、商集合上の商位相を以下のように特徴付けることもできる。 を の各元をそれが属する同値類へ写す標準射影とすれば、商集合 上の商位相とは を連続にする（最も細かい位相）である。
位相空間 から集合 への全射 が与えられたとき、 の上に "f" を連続にする最強の位相（ に関する）として商位相を定義することができる。これは、 の部分集合 が開であることを による逆像 が の開集合となることによって定めるといっても同じである。写像 は と置くことによって 上の同値関係を一意的に誘導するが、このときの商空間 は に（それぞれの商位相を考えれば）同相である。この対応は の属する同値類 を像 に写すことで得られる。
一般に、連続な全射 は、 の位相が の定める商位相となっているとき、商写像 と呼ばれる。従って、標準射影 は商写像である。
性質.
商写像 は数多ある全射の中で、次のような性質によって特徴付けられるものである。
特に商空間 と自然な全射 は以下の普遍性によって特徴付けられる。
このように写像 を得ることを、 を「商に落とす」 とか、 が を誘導 するなどという。したがって商空間 上で定義される連続写像はちょうど、その同値関係に関して（つまり同値な元はおなじ像に写るものとして） 上の写像から得られる。このような方法は商空間を調べる上での定石である。
連続な全射 が与えられたとき、それが商写像であるかを決定する判定法で有用なものが存在する。それは が開写像または閉写像であるとき は商写像であるというものだが、これが十分条件だが必要条件でないということには注意が必要である。開でも閉でもない商写像の例を構成するのはそう難しくない。