リアプノフ関数

リアプノフ関数 ()は、ロシアの数学者であるアレクサンドル・リアプノフにちなんで命名された関数であり、数学において、力学系や自励系を成す常微分方程式系 (以下、単に自励系と呼ぶ) における不動点の安定性を証明するために用いられる。や制御理論において非常に重要な数学的ツールとなっている。なお、リアプノフ関数は前もって一般的な定義が定められているわけではなく、対象となる常微分方程式系と平衡点が与えられた場合に、後述するようなある性質を満たす関数をその系および平衡点のリアプノフ関数と呼ぶのである。これと同様の概念がマルコフ連鎖における一般状態空間でも現れ、この場合は通常リアプノフ-フォスター関数と呼ばれる。
リアプノフ関数の意味.
ある平衡点の安定性を証明できる可能性のある関数をリアプノフ候補関数と呼ぶ。リアプノフ候補関数を構成する、あるいは見出す一般的な方法は存在しない。また、リアプノフ(候補)関数を見つけることができないという事実が安定性の欠如を確定するものでもない。つまり、リアプノフ関数を見つけることができないということは、そのシステムが不安定ということを意味しない。力学系においては、保存則がリアプノフ候補関数を構成する上で多用される。
リアプノフ(候補)関数に直接関係している、自励系に関するリアプノフの基礎定理は、自励系の平衡点の安定性を証明する上で有用なツールである。
ただし、自励系に関するリアプノフの基礎定理は平衡点の安定性を証明するための十分条件を与えるツールであるが、必要条件を与えるものではないことに十分注意する必要がある。ある平衡点に対してリアプノフ関数を見出すことは運によると言える。ある平衡点に対するリアプノフ候補関数のテストは、試行錯誤によることになる。同程度に安定な領域は、たいてい2次元平面上で曲線をたどるので、コンピューターによって描かれるリアプノフ指数のイメージは視覚的に魅力的で非常にポピュラーである。
自励系の平衡点の定義.
を任意の自励系とする。
となる点 formula_4を平衡点 (equilibrium) と呼ぶ。
なお、ここで座標変換 formula_5 を行えば、
となり、新しい座標系では formula_8 は原点に平衡点を持つとできるので、以降論議を簡単にするために、平衡点は原点にあるものとする。
リアプノフ(候補)関数の定義.
を連続微分可能な実数値関数とする。<br>
formula_10 が、原点 formula_11 において局所的にである場合、リアプノフ候補関数と呼ぶ。ここで、formula_12 が原点において局所的に正値関数であるとは、 formula_11 のある近傍 formula_14 において、
が成り立つこととする。formula_10 が正値関数であるという条件は、
ということを保証する。なぜならば、この値が負になるためには、formula_14 内に formula_20 となる点 formula_21 が存在しなければ不可能だからである。一方、 formula_22 とおけば確かに formula_23 は原点において局所的に正値関数であるが、formula_24 となるので、上式の値が formula_11 の場合もあり得ることが分かる。
また、
を原点に平衡点を持つ自励系とし、formula_12 をその自励系の原点についてのリアプノフ候補関数とすると、自励系の任意の解 formula_28 に沿って(以降、パラメーター formula_29 を時刻と見なすこととする) formula_30 の時間微分は次のようになる。
自励系であれば formula_32 の値は formula_33 に無関係に formula_34 だけで決まるので、 formula_32 を formula_34 の関数と見なして良いことを注意しておく。
リアプノフ候補関数がさらに下記に述べるような諸条件を満たす場合、リアプノフ関数と呼ぶ。
自励系に関するリアプノフの基礎定理.
リアプノフ安定な平衡点、漸近的に安定な平衡点についての定義はリアプノフ安定の項を参照のこと。
を原点に平衡点を持つ自励系とし、formula_12 を原点についてのリアプノフ候補関数とする。
リアプノフ安定な平衡点.
もし、formula_11 のある近傍 formula_14 で formula_12 が 局所的に正値関数であり、さらに formula_42 が局所的に準負値関数であれば、つまり
であれば、その平衡点はリアプノフ安定である。
漸近安定な平衡点.
もし、formula_11 のある近傍 formula_14 で formula_12 が 局所的に正値関数であり、さらに formula_42 が局所的に負値関数であれば、つまり
であれば、その平衡点は漸近安定である。
大域的に漸近的に安定な平衡点.
もし、formula_12 が (定義域に渡って) 大域的に正値関数であり、動径方向に極限値を持たず、さらに formula_42 が大域的に負値関数であれば、つまり
であれば、その平衡点は大域的に漸近安定である。
ここで、正値関数 formula_12 が動径方向に極限値を持たない () とは、
が成り立つことを言う (これは norm-coercivity とも呼ばれる)。この対偶を取ると、
となるので、自励系の任意の解 formula_28 に沿って formula_30 が任意の時刻 formula_29 で有限値を取ることが言えれば、formula_61 も有限値を取ることが言える。
また、平衡点が大域的に漸近安定であるとは、自励系の任意の解 formula_28 が平衡点に収束することを言う。
例.
formula_63 における次のような常微分方程式を考える。
この場合、速度ベクトルは常に原点の方向を向く。従って原点からの距離は、時刻と共に減少することになるので、これはリアプノフ関数の自然な候補となる。formula_65 上で formula_66 と置けば、
これは確かに原点が漸近的に安定でことを示している。