MKdV方程式

mKdV方程式（えむけぃでいびぃほうていしき、）または変形KdV方程式（へんけいけぃでいびぃほうていしき、）とは非線形波動を記述する非線形偏微分方程式。可積分系の方程式の一つであり、無限個の保存量が存在する。日系3世である数学者によって導出された。
概要.
定義.
時間変数"t" と空間変数"x" の関数で"v" ("x", "t" )についての非線形偏微分方程式
をmKdV方程式または、変形KdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、
等のソリトン的な解を有する。
KdV方程式との関係.
"v" が第2項の符号を変えたmKdV方程式
の解とすると、Miura変換と呼ばれる関係式
で結ばれる"u" はKdV方程式
の解となる。このことは、関係式
から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ（R. Miura）によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における逆散乱法の発展の契機となった。
逆散乱法との関係.
"u"を与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、リッカチの微分方程式であり、変数変換
により、
と線形化される。元のKdV方程式が、ガリレイ変換
のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換"u"→"u"-λで、上記の線形化された方程式は、
となる。これは、"u"をポテンシャル関数、λを固有値とするシュレディンガー方程式である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める逆問題を解くことと等価である。