一様空間

一様空間（いちようくうかん、）とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。
また擬距離空間のみならず位相群（とくに位相ベクトル空間）に関しても自然な一様構造が定まる事が知られている為、一様空間の概念は関数解析学において有益である。
位相空間との違いは、位相空間が収束性、すなわち点に「近づく」事を定義可能な概念であるのに対し、一様空間ではある点が別の点に「近い」事が定義できる。しかしこの「近さ」は擬距離構造のように実数値で全順序づけされておらず、近縁と呼ばれる部分集合に属するかどうかで判断する半順序的なものである。
定義と基本的な性質.
一様空間は、集合と、一様構造と呼ばれるの部分集合の族formula_1の組として定義される。formula_1の元は近縁と呼ばれ、直観的にはとなる事はとが（に入る程度には）「近い」事を意味する。例えば擬距離空間の場合には2点間の距離が以下になるの部分集合を
と定義し、
を満たすを近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている（詳細後述）。
一様空間の定義.
一様空間やそれに関係する概念を定義するために、まず記号を定義する。
一様空間は厳密には、近縁全体の集合formula_1が下記の抽象的な公理を満たす事をもって定義される。前述した擬距離空間における近縁が下記の公理を満たす事を容易に確かめられる：
一様構造を一般化した概念として以下のものがある：
条件2,3はformula_1がフィルターである事を要求しており、前一様構造はフィルター基になっている。この事から前一様構造の事を（）ともいう。なお前述した擬距離空間における例では
が前一様構造になっている事を容易に確かめられる。
一方、準一様構造は一様構造の別の側面から一般化しており、擬距離から近縁を定義すれば一様構造が定まるのに対し、（）から近縁を定義すれば準一様構造が定まる。
一様構造から定まる位相.
距離構造が定める位相の定義を自然な一般化する事で、一様構造が定める位相を定義できる：
位相空間の一様化可能性.
上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである：ここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる：完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。
一様連続性、一様同型.
一様空間では一様連続性が定義可能である：後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。
一様連続な関数は必ず連続である：
一様空間の生成.
一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。
ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、とformula_11の選び方によってはformula_12となる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかしformula_11が前一様構造であればこうした問題は起こらない：
前一様構造は以下の定理を満たす：以上の事実の系として次が従う：上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる：
一様被覆による一様空間の定義.
定義.
我々は近縁の概念を用いて一様空間を定義したが、被覆という概念を用いても一様空間を特徴づける事ができる。まずこの定義を行うために必要な概念を定義する。A =X</math>
を満たすものの事をいう。
さらにformula_14をの２つの被覆とするとき、formula_15が
formula_16の細分（）であるとは、formula_16の任意の元に対し、formula_15の元が存在し、formula_19を満たす事をいう。
formula_14をの２つの被覆とするとき、
formula_15が
formula_16の（）であるとは、formula_23に対し、
と定義するとき、任意のformula_23に対し、あるformula_26が存在し、
同値性.
被覆による一様構造の定義と区別するため、本項でこれまで扱ってきた一様構造の定義を対角線による一様構造の定義と呼ぶ事にすると、この２つの一様構造の定義はいわば「同値」であり、対角線による定義から被覆による定義を導け、その逆も導ける。
を集合とし、formula_1を対角線による上の一様構造とするとき、
とし、
とすると、formula_34は被覆による一様構造になる。
逆にformula_34を被覆による上の一様構造とするとき、
とし、
とすると、formula_1は対角線による上の一様構造になる。
具体例.
本項ではすでに一様構造の具体例として擬距離から定まる一様構造を見たが、本節ではさらに以下の具体例を見る：
位相群から定まる一様構造については、特に重要なのは位相ベクトル空間を加法に関して位相群とみなした場合である。任意の位相群に一様構造が定まるので、特に位相ベクトル空間に対して一様構造が定まる事になる。後述するように一様空間上では完備性のような解析学で必須となる性質が定義できるので、有益である。
残りの２つは位相構造における密着位相、離散位相にそれぞれ対応するもので、これらの一様構造が定める位相はそれぞれ密着位相、離散位相に一致する。
もっと重要な例として（１つの擬距離ではなく）複数の擬距離の集合から定まる一様構造が具体例として挙げられる。後述するように、擬距離の集合から一様構造が定まるだけでなく、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができる。この具体例については節を改めて詳しく調べる。
位相群.
本節では位相群に一様構造が入る事を見る。
これら３つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する：
特別な名称はないもののformula_39によって生成される一様構造も考える事ができる。
formula_40、formula_41はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。
密着一様構造と離散一様構造.
本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。
密着一様構造は上恒等的にになる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離
から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、上に離散位相を定める距離であっても、から定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する：
擬距離の集合から定まる一様構造.
集合上の1つの擬距離から一様構造が定まる事をすでに見たが、本節ではより一般に上の複数の擬距離の集合から一様構造を定める事ができる事を見る。後述するように、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができるので、この一般化は非常に重要であり、本節の後半でその性質を詳しく調べる。
定義.
以上で定義された一様構造はより具体的に書き表す事ができる。、formula_43に対し、
とすると、formula_45は上の前一様構造となっている。前一様構造の和集合は前一様構造だったので、formula_46も前一様構造であり、formula_11が生成する一様構造はが定める一様構造と一致する。
なお、集合上の擬距離の集合formula_48の事をゲージ（）と呼び、とゲージの組の事をゲージ空間（）と呼ぶことがあるが、書籍によってこの言葉の意味が異なるので注意が必要である。Schechterでは上述したように集合上の任意の擬距離の集合をゲージと呼んでいるが、Kellyではより狭い意味で用いており、Kellyにおけるゲージとは上の何らかの一様構造formula_1で一様連続となる全ての擬距離の集合の事である。
一様構造を定める擬距離の集合.
なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合上の任意の準一様構造formula_52に対し、準擬距離（）の集合が存在し、formula_52はから定まる準一様構造に一致する。
上述の定理の系として、以下の事実も従う：与えられた擬距離がformula_51に属するか否かは以下のように判別できる：
擬距離の集合が同一の一様構造を定める為の条件.
以上で示したように、集合上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる２つの擬距離の集合、が同一の一様構造formula_1を定める事もある。しかしこうした集合、は必ず最大の擬距離の集合formula_51の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う：</math>をformula_1に関して一様連続な擬距離全体の集合とする。
より直接的に、擬距離の集合、が同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する：上の記号において、収束の速度が毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちあるに対してはformula_60であっても別のに対してはformula_61となる事も起こりうる。よって特にformula_62は（仮にが有限値であっても）に収束するとは限らない。擬距離の集合、が同一の一様構造を定めるとき、、は一様同値（）であるといういう。
擬距離の任意の集合は一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる：
擬距離化可能性・距離化可能性.
これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの（擬）距離から定まる条件を特徴づける事もできる：
なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある。
\subset B_k</math>
を満たすformula_63が存在する。
定義からは非可算集合なので、
可算個の元formula_64のいずれよりも大きい順序数formula_65が存在する。
定義から任意のformula_66に対しformula_67であるが、formula_68である。
可算個の擬距離により定まる場合.
可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である：2^{-i}\arctan(d_i(x,y))</math>
と定義すると、formula_72はにより定まる一様構造と一致する}}上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積formula_73には直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、上の擬距離とへの射影の合成により上の擬距離formula_74を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離を定めると、上の直積一様構造がの定める一様構造と一致することがわかる。
一様連続性の擬距離による特徴づけ.
一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。
位相群上の一様構造の擬距離による特徴づけ.
位相群上の左一様構造formula_40および右一様構造formula_41は以下のようにも特徴づけられる：上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。位相ベクトル空間formula_77の位相formula_78がセミノルムから定まっていれば、formula_77の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。
完備性と完備化.
本節ではまず、位相空間における点列概念の２つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。
完備性.
上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、formula_1が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列（＝点列でコーシーなもの）は少なくとも１つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。)</math>と単射formula_81が存在し、単射formula_82によりをformula_83の部分集合とみなすと、formula_1がformula_85の部分一様構造になっているものが存在する。このformula_83（とformula_82の組）をの完備化（）という。
さらにformula_88をformula_83上の擬距離の集合でformula_88が定める一様構造がformula_85と一致するものとするとし、をformula_88に属する擬距離をに制限したものの集合とするとき、の定める一様構造はformula_1に一致する。|note=一様空間の完備化}}上記の定理の条件を満たすformula_83は必ずしも一意ではない。しかしが定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される。
一様収束性.
本節では集合から一様空間formula_95への写像全体の集合に一様構造が入る事を見る。この一様構造がに定める位相におけるネットの収束をネットの一様収束という。本節では一様収束のいくつかの関連概念をまとめて扱うため、の部分集合の集合formula_11を考え、「formula_11の元に関する一様収束」という概念を導入する。具体的にはformula_11として以下の３種類を考える：
最後のものに関してはに位相構造が入っている事を仮定している。通常の一様収束は最初のものであり、２番目は各点収束、３番目はコンパクト収束である。特に、formula_11の元に関する一様収束（の一様構造、位相構造）において、
formula_11の元に関する一様収束の一様構造は以下のように擬距離により特徴づける事が可能である。よって特に擬距離空間においては我々の考えている一様収束音概念が通常の一様収束の概念と一致する事がわかる：
コンパクト収束に関しては以下が成立する：
一様収束の一様構造は以下の性質を満たす： 
同程度連続性とアスコリ＝アルツェラの定理.
上の2における一様連続性は、にはに一様収束の一様構造を入れたものをに制限した一様構造を入れ、にはからへの写像全体の集合に入る一様収束に関する一様構造を入れたときのものである。
コンパクト性と全有界性.
コンパクトな位相空間上の一様構造.
コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は必ず一様連続になる事が知られているが、この事実は一様空間に一般化できる：上の定理から以下の重要な帰結が従う：なお（位相空間formula_111がコンパクトであっても）formula_78を定める一様構造は常に存在するとは限らない。前述のようにそのような一様構造が存在する必要十分条件はformula_111が完全正則である事である。しかしformula_111がコンパクトな場合は正則ハウスドルフ性を満たせば完全正則である（）ので、formula_111が正則ハウスドルフかつコンパクトであればformula_78を定める一様構造が存在する。
全有界性とコンパクト.
距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事が知られているが、これは一様空間においても成立する。
これを見るためにまず一様空間における全有界性を定義する：全有界を使うとコンパクト性は以下のように特徴づけられる。
歴史.
アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『"Topologie Générale"』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。