カーン＝ヒリアード方程式

カーン＝ヒリアード方程式（カーン＝ヒリアードほうていしき、）とは、とジョン・E・ヒリアードの名にちなむ数理物理学の方程式で、二元流体の二成分を同時に分離し、各成分において純粋な領域を形成するような相分離のプロセスを表現するものである。formula_1 を流体の濃度とし、formula_2 で領域を表すとしたとき、カーン＝ヒリアード方程式は次のように記述される：
ここで formula_4 は単位が formula_5 であるような拡散係数で、formula_6 は領域の間の遷移領域の長さを表す。また formula_7 は時間についての偏微分で、formula_8 は formula_9 次元におけるラプラシアンを表す。さらに、量 formula_10 は化学ポテンシャルと解釈される。
カーン＝ヒリアード方程式はアレン＝カーン方程式と関連する。また同様に、確率カーン＝ヒリアード方程式は確率アレン＝カーン方程式と関連するものである。
特徴と応用.
カーン＝ヒリアード方程式に対する数学者の興味は、与えられた滑らかな初期データに対するその一意な解の存在、コホモロジー的な解釈、計算等にある。
一意性の証明は、本質的にはリャプノフ関数の存在に依るものである。具体的に、自由エネルギー関数として
を定めると、
が得られ、したがってその自由エネルギーはゼロへと減衰する。このことはまた、領域への分離が、方程式の発展の漸近的な結果であることを意味している。
実際の実験においても、初めに混合されていた二元流体の、領域への分離は観測されている。その分離は、次の事実により特徴付けられる。
カーン＝ヒリアード方程式は、様々な分野において応用されている。例えば、界面における流体の流れ、ポリマーサイエンス、産業的な応用、などである。二元混合に対するカーン＝ヒリアード方程式の解は、ステファン問題の解やトーマスとウィンドルのモデルの解とよく一致することがしめされている。
ポリマーサイエンスでは、線形項がついた
が用いられることが多い。ただしformula_22はformula_23の平均である。