閉作用素

数学の、特に関数解析学の分野における閉作用素（へいさようそ、）は、バナッハ空間上の線形作用素のある重要な類である。有界作用素よりも一般的であるため、必ずしも連続ではないが、スペクトルや（いくつかの仮定の下で）作用素の関数を定義出来るという十分に良い性質を備えている。導関数や微分作用素の広い類など、多くの重要な線形作用素で有界でないようなものが、閉作用素であるということが分かっている。
formula_1 を二つのバナッハ空間とする。線形作用素
が閉であるとは、formula_3 に収束するような formula_4 内の任意の列 formula_5 で formula_6 （ formula_7 ）であるようなものに対して、formula_8 および formula_9 が成立することを言う。あるいは、formula_10 が閉であるとは、そのグラフが直和 formula_11 において閉であることを言う。
必ずしも閉でない、与えられたある線形作用素 formula_10 に対し、もしその formula_11 内のグラフの閉包がある作用素のグラフとなるのであれば、そのような作用素は formula_10 の閉包と呼ばれ、formula_10 は可閉（closable）と呼ばれる。formula_10 の閉包は formula_17 と表記される。作用素 formula_10 が閉包 formula_17 の formula_4 への制限であることは、すぐに分かる。
可閉作用素 formula_10 の核（core）とは、formula_4 の部分集合 formula_23 で、formula_10 の formula_23 への制限の閉包が formula_17 であるようなもののことを言う。
基本的な性質.
次の性質が簡単に確かめられる: 
例.
次のような微分作用素
を考える。ただしバナッハ空間 "X"="Y" を、区間 ["a", "b"] 上のすべての連続関数からなる空間 "C"["a", "b"] であるとする。その定義域 formula_4 が formula_46 であるとした時、"A" は有界ではないが閉作用素となる。（formula_4 を、不連続な導関数も含むようなすべての微分可能関数からなる集合とすることも出来ることに注意されたい。このとき作用素 "A" は閉ではない）。
もし代わりに formula_4 をすべての無限回微分可能関数からなる集合であるとしたら、"A" はもはや閉ではなく、しかし可閉である。その場合、閉包は formula_49 上定義される "A" の拡張となる。