オイラーのコマ

力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。
概要.
無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動
など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。
外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、
で与えられる。
但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。
ここで、定数"I"1、"I"2、"I"3 は主慣性モーメントである。
オイラーのコマでは、運動エネルギー"E" と全角運動量の大きさL2が系の保存量となる。
運動エネルギー"E" と全角運動量の大きさL2を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、("ω1", "ω2", "ω3")空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。
一般解.
オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる。
慣性モーメントに"I"1<"I"2<"I"3 の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、
と表される。ここで、λは
で与えられる定数であり、時間"t"は"t"=0で"ω2"=0となるように取り直している。
これらは次の周期"T" を持つ周期運動である。
但し、"K"="K"("k")は第一種完全楕円積分である。
慣性モーメントに"I"1="I"2<"I"3 の関係が成り立つとき、運動の解は
となる。