核 (群論)

数学の一分野、群論における群の核（かく、）は、群の特定の特別な種類の正規部分群である。最もよく用いられるのは、部分群の正規核と群の "p"-核の二種類である。
正規核.
定義.
群 "G" に対して、"G" の部分群 "H" の正規核 あるいは心 とは、"H" に含まれる "G" の最大の正規部分群（あるいは同じことだが、"H" の共軛すべての交わり）である。より一般に、"G" の部分集合 "S" に関する "H" の核とは、"S" の元による "H" の共軛全ての交わり、すなわち
をいう。この広い意味での定義での "S" = "G" に関する核が正規核である。正規閉包 "H" = 〈 "g""Hg" | "g" ∈ "G" 〉 との対比から正規核を "H" と表すこともある。任意の正規部分群に対してその正規核は、それ自身と一致する。
特徴.
正規核の概念は、群の集合への作用の文脈で重要である。各点における等方部分群の正規核は、その軌道の全体にわたって恒等変換として作用する。したがって、作用が推移的な場合、任意の等方部分群の正規核はちょうど作用の核に等しい。
無核部分群 は、その正規核が自明群であるような群である。すなわち、推移的かつ忠実な群作用の等方部分群として無核部分群が生じる。
アーベル群における隠れ部分群問題の解法を一般化して、任意の群の部分群における正規核を求めることができる。
"p"-核.
本節で "G" は有限群とするが、いくつかの点においては局所有限群や副有限群に一般化される。
定義.
素数 "p" に対して、有限群の "p"-核 は、その最大の正規"p"-部分群として定義される。これは、群の任意のシロー "p"-部分群の正規核、したがって formula_2 である。"G" の "p"-核はしばしば "O""p"("G") で表され、また特に、有限群のフィッティング部分群の定義などに用いられる。同様に、群 "G" の "p"′-核 は、その位数が "p" と互いに素であるような "G" の最大の正規部分群で、"O""p"′("G") で表される。有限単純群の分類理論等を含めた有限非可解群の文脈では、2′-核をしばしば単に核と呼んで "O"("G") と書く。このとき、「群の核」と「群の部分群の核」は別な意味ということになるので、少々紛らわしい。また、さらに "p"′,"p"-核 "O""p"′,"p"("G") は、剰余群
として定義される。有限群の場合、"p"′,"p"-核は、その唯一の正規 "p"-冪零部分群になる。
群の "p"-核を、その唯一の連正規 "p"-部分群として定義することもできる。"p"′-核は唯一の最大連正規 "p"′-部分群であり、"p"′,"p"-核は唯一の連正規 "p"-冪零部分群である。
群の "p"′-核および "p"′,"p"-核は昇 "p"-列 の初項になる。素数の集合 {π1, π2, ..., π"n"+1} に対して、部分群 "O"π1,π2,…,π"n"+1("G") を
で定義すると、π2"i"−1 = "p"′ および π2"i" = "p" と取ることにより昇 "p"-列が形成される。降 "p"-列も存在する。有限群が "p"-冪零 であるとは、それが自身の "p"′,"p"-核に等しいことをいう。また、有限群が "p"-可解 であるとは、それが自身の昇 "p"-列のいずれかの項と一致することをいう。なお、群 "G" の昇 "p"-列の長さを、"G" の "p"-長さ と呼ぶ。さらに、素数 "p" に対して、有限群 "G" が "p"-束縛 であるとは、
が成り立つことを言う。
任意の冪零群は "p"-冪零であり、任意の "p"-冪零群は "p"-可解である。任意の可解群は "p"-可解であり、任意の "p"-可解群は "p"-束縛である。群が "p"-冪零であるための必要十分条件は、それが正規 "p"-成分 でちょうど "p"′-核に一致するものを持つことである。
特徴.
正規核の場合と同様、集合に作用している場合が重要である。"p"-核および "p"′-核は、ベクトル空間の上への群の作用を研究するモジュラー表現論において重要である。有限群の "p"-核は、標数 "p" の任意の体上の既約表現の核 すべての交わりに一致する。一方、有限群の "p"′-核は、主 "p"-ブロックに属する通常（複素）既約表現の核すべての交わりに一致する。また、有限群の "p"′,"p"-核は標数 "p" の任意の体上の主 "p"-ブロックにおける既約表現全ての交わりである。有限群の "p"′,"p"-核は、位数が "p" で割り切れるアーベル主因子 (abelian chief factor) の中心化群全ての交わりとも一致する（アーベル主因子はどれも主ブロックに属する "p"-元体上の既約表現である）。有限群の場合、"p"-束縛群が主ブロックに属する標数 "p" の体上の既約表現となるための必要十分条件は、その群の "p"′-核が表現の核に含まれることである。
可解根基.
同様の概念として、可解根基 "O"∞("G") は最大の可解正規部分群として定義される。群の "p"′-核の定義にもいくつか違った種類のものを用いた文献がある。例えば、2′-核との類似性がよいという理由から、非可解群 "G" の "p"′-核を、その可解根基の "p"′-核として定義した文献がわずかに存在する（トンプソンの "N"-群に関する論文などはその例だが、以降の研究ではトンプソンはこの定義を採用していない）。