ノイマン級数

関数解析学において、ノイマン級数（ノイマンきゅうすう、）とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
定義.
"A" をバナッハ空間 "X" での有界な線形作用素とする（"A" ∈ B("X")）。このとき、"A" の作用素ノルム ||"A"|| が ||"A"||<1 を満たすならば、恒等作用素 "I" との差で与えられる "I-A" は1対1で ("I-A")-1が有界作用素として存在するとともに、
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
と評価される。
これは、|"x"|<1 なる "x" ∈ C についての無限級数
の作用素への拡張になっている。
特に "z" ∈ C と有界作用素 "A" について、|"z"|>||"A"||であれば、レゾルベント作用素 ("zI"-"A")-1が存在し、
及び
が成り立つ。
逐次近似との関係.
バナッハ空間 "X" の元"u"、"v" と線形作用素 "A" で与えられる方程式
を考える。ここで、"v" は既知の変数とし、"u" を未知の変数とする。この方程式は
と変形できることから、逆作用素 ("I"-"A")-1が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
となる。従って、"A"n+1"u" の項が無視できるとすると
で定義される "u"n が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解 "u"n が真の解となり、
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 "u"n の誤差評価を行うこともでき、
である。
積分方程式への応用.
バナッハ空間"X" を有限区間["a","b"]上の連続関数からなる関数空間C(["a","b"])とし、
"K" ("x","y")を["a","b"]×["a","b"]で定義された連続関数、"f"("x")を["a","b"]上の連続関数（"f" ∈ C(["a","b"])）とする。このとき、C(["a","b"])において、フレドホルム型積分方程式
を考える。ここで、
としたときに、|λ|・||"K"|| < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 "u" が一意的に存在し、ノイマン級数によって、
と表すことができる。