推移的集合

数学の集合論（必ずしもZFCではない一般の集合論）において、集合 "A" が推移的（）であるとは、
もしくは、同じ意味であるが
であることをいう。同様にクラス "M" が推移的であるとは、"M" の要素が全て "M" の部分集合であることをいう。
例.
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
フォン・ノイマン宇宙 "V"や 構成可能宇宙 "L" の構成の際に現れる
"V"α や "L""α"といった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 "L" と "V" もそれ自体推移的クラスである。
性質.
集合 "X" が推移的であることはformula_1であることと同値である。
ここでformula_2は、"X"の全ての要素(のうち集合であるもの)の和、すなわち
formula_3のことである。
"X" が推移的であるなら、formula_2も推移的である。
"X" と "Y" が推移的なら、"X"∪"Y"∪{"X","Y"}も推移的である。
一般的に、"X"が全ての要素が推移的集合であるクラスならば、formula_5も推移的である。
urelementsを持たない集合"X"が推移的であることはそれが自身の冪集合の部分集合となること、
すなわちformula_6となることと同値である。
urelementsを持たない推移的集合の冪集合は推移的である.
推移閉包.
集合"X"の推移閉包は"X"を含む推移的集合の中で(包含関係の意味で)最小のもののことである。
集合"X"が与えられたとして、"X"の推移閉包は
である。つまり、これは"X"上の所属関係に関する推移閉包で関係づけられる全ての対象のによる集合である。
集合論における推移的モデル.
有界な式によって定義された性質が推移的クラスに対して絶対的である
ということから、推移的クラスは集合論の中におけるsの構成のためにしばしば用いられる。
これはいわゆる内部モデルと言われるものである。
推移的集合(クラス)が集合論ののモデルであることを
その理論の推移的モデルと言い表す。
推移性は式の絶対性を決定するのに重要な要因である。