ツァイゼル数

ツァイゼル数（ツァイゼルすう、）とは、3個以上の相異なる（正の）素数 "p"1, …, "p""k" の積であって、ある整数 "A", "B" に対して
を満たすようなものである。ただし、便宜上 "p"0 = 1 とする。最小のツァイゼル数は 105 = 3 × 5 × 7 である。この数は、"A" = 1, "B" = 2 とおけば条件を満たす。(例．"p"1 = 1 × 1 + 2 = 3 、"p"2 = 1 × 3 + 2 = 5 、"p"3 = 1 × 5 + 2 = 7)
小さい方からツァイゼル数を並べると
である。定義より、"A" は正でなければならないが、"B" は負でも構わない。例えば、1419 = 3 × 11 × 43 は "A" = 4, "B" = −1 に対して条件を満たす。
ツァイゼル数の中に、有名なハーディ・ラマヌジャン数 1729 があることが一際目に付く。1729 はカーマイケル数でもある。実際、6"m" + 1, 12"m" + 1, 18"m" + 1 が全て素数であるならば、その積 (6"m" + 1)(12"m" + 1)(18"m" + 1) はカーマイケル数であることが知られている。1729 = 7 × 13 × 19 は、この式において "m" = 1 として得られる。そして、この式で与えられる数は "A" = 1, "B" = 6"m" に対して条件を満たすので、ツァイゼル数でもある。この種の、ツァイゼル数でもありカーマイケル数でもある数は、小さい方から
である。
ツァイゼル数の名は、ヘルムート・ツァイゼル (Helmut Zeisel) に由来する。ウェブページ上で MathPages を公開しているケヴィン・ブラウン (Kevin Brown) が、2"k"−1 + "k" が素数となる "k" は 1, 3, 7, 237 の他にあるかと問い、1994年2月25日にツァイゼルが "k" = 1885 に対して素数であると答えた。この数を調べたブラウンは、素因子の間に成り立つ性質を見付け（"A" = 2, "B" = 3 に対して条件を満たす）、同じ性質を持つ数をツァイゼル数と名付けた。ただし、ツァイゼル数に対して常に 2"k"−1 + "k" が素数となるわけではない。2"k"−1 + "k" が素数となる "k" は、2012年現在で
が知られているのみであり、30万以下ではこれだけである。(具体数は参照)