弱微分

数学の分野における弱微分（じゃくびぶん、）とは、通常の意味での関数の微分（強微分）の概念を、微分可能とは限らないが積分可能である関数（ルベーグ空間に属する関数）に対して一般化したものである。より一般的な定義については、分布（）を参照されたい。
定義.
formula_1 をルベーグ空間 formula_2 に属する関数とする。formula_2 に属する関数 formula_4 は、formula_5 を満たす任意の無限回微分可能関数 formula_6 に対して
が成立するとき、formula_1 の弱微分と呼ばれる。この定義は部分積分の手法に基づくものである。
formula_9 次元への一般化を考える。ある開集合 formula_10 に対する局所可積分関数の空間 formula_11 に formula_1 と formula_4 が属するとし、formula_14 をある多重指数 とする。すべての formula_15、すなわち、formula_16 にコンパクトな台を持つすべての無限回微分可能関数 formula_17 に対して、
が成立するとき、formula_4 は formula_1 の formula_14-次の弱微分と呼ばれる。formula_1 に弱微分が存在するなら、それは（測度ゼロの集合に関する差異を除いて）一意であるため、formula_23 としばしば表記される。
性質.
二つの関数がある同じ関数の弱微分であるとき、それらはルベーグ測度ゼロの集合を除いて等しい。すなわち、それらはほとんど至る所で等しい。ほとんど至る所で等しい関数を同一視するような関数の同値類を考えるとき、弱微分は一意である。
また "u" が通常の意味で微分可能であるなら、その（強）微分と、その（上述の意味での）弱微分は一致する。したがって、弱微分は強微分の一般化ということになる。また、関数の和や積についての古典的な微分のルールは、弱微分に対しても適用される。
拡張.
弱微分の概念はソボレフ空間における弱解の定義につながる。それは、微分方程式や関数解析学の諸問題を解決する上で有用となる。