多変数の微分

多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。
数ベクトル空間についての補足.
数ベクトル空間.
"n" 次元実数ベクトル空間 formula_1 とは、集合としては
である。つまり "n" 個の実数 formula_3 を用いて
の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる formula_5 を、第 "i" 標準ベクトルという。
である。
標準座標系.
次に formula_1, formula_8 の標準座標系を定義する。formula_1 に対し、
とし、これを formula_1 の第 "j" 座標関数という。ここで formula_12 は内積を表す。つまり、
である。
formula_1 標準座標系とは、formula_15 の組 formula_16 のことである。当然、
が成立する。formula_8 にも、同様に、formula_19 や、標準座標系 formula_20 が定まっている。
さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (formula_1) の標準座標系を formula_22 と表記し、値域側 (formula_8) の標準座標系も formula_20 と表記していては紛らわしいので、formula_1 の標準座標系を formula_26と書くことにする。つまり、
とする。
以降、「formula_1 に、標準座標系 formula_29 が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。
多変数ベクトル値関数.
formula_1 に標準座標系 formula_31 が定まっているとし、formula_8 に標準座標系 formula_33が定まっているとする。
formula_34 を formula_1 の部分集合とし、
を、formula_34 上で定義された formula_8 に値を取る多変数ベクトル値関数という。
以降 formula_39 は formula_40 の第 "i" 成分を表す。formula_39 は以下の性質を満たす。
偏微分.
設定.
formula_1 に、標準座標系 formula_31 が定まっているとし、formula_8 に、標準座標系 formula_33 が定まっているとする。
formula_34 を、formula_1 の開集合とし、
を、formula_34 上で定義された formula_52 に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで formula_53 は formula_40 の第 "i" 成分を表す。
偏微分の定義.
formula_55 を formula_34 内の点とし、formula_57 を formula_1 のベクトルとする（formula_55 は formula_60 でなければならないが formula_57 は formula_62であってよい）。
formula_55, formula_57 は固定されているものとする。
このとき、formula_40 が formula_55 で formula_57 について偏微分可能であるとは、以下の極限値
が存在することを意味する。
このとき formula_40のformula_55における、formula_57 について偏微分商、
formula_72
を、以下のように定義する。
成分関数の微分可能性.
formula_40 の第 "i" 成分 formula_75 は以下の等式を満たす。
上式において formula_77 は内積を意味する。
式 (1-10), (1-11) を用いて、formula_75 を（(1-5) の定義式通りに）formula_55 で formula_57 について偏微分することを考える。
formula_40 が formula_55 で formula_57 について偏微分可能ならば、formula_39 は formula_55 で formula_57 について偏微分可能で、
が成立する。
逆に、式(1-1)より、
なので、formula_89 すべてが formula_55 で formula_57 について偏微分可能であれば、formula_40 も微分可能で、
が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。
一変数関数の微分への帰着.
(1-6) の各成分、つまり formula_94 は、それぞれ、(1-15) に示す "t" についての一変数スカラー値関数
を、"t" = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、
である。但し、formula_97 は、
で定まる formula_1 の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
記号「∂f/∂xj」について.
formula_40 の点 formula_101 における「（formula_1の）
ベクトル formula_103」に対する偏微分商、即ち formula_104 を、
formula_105 
と書く。 即ち、
と表記する。
また、formula_40 の第 "i" 成分、つまり formula_53 の点 formula_101 における「（formula_1 の）ベクトル formula_103」に対する偏微分商 formula_112 を、formula_113 と表記する。
ここで、formula_114 は、それぞれ formula_1 標準基底であり、formula_116 は、第 "j" 標準ベクトルを意味する。
ヤコビ行列の導入.
formula_40 が formula_55 において、formula_119 全てに対して偏微分可能であるとき、
formula_120　　　　(1-20)
を formula_40 の formula_101 におけるヤコビ行列という。
微分.
設定.
formula_123 を formula_1 の開集合とし、
を、formula_34 上で定義された formula_8 に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
微分の定義.
formula_55 を formula_34 内の点とする（つまり formula_60）。このとき、formula_40 が formula_55 で微分可能であるとは、
を充たす formula_134 行列 formula_135 が存在することを意味する。この formula_135 を、formula_40 の formula_55 における微分という。
formula_139 とおくと、次のようにも表せる。
formula_140
微分の一意性.
formula_40 が formula_55 で微分可能であるとき、(2-2) を満たす formula_134 行列はひとつしか存在しない。つまり、formula_134 行列 formula_145 が、
を満たすとすると、
が成立する。
微分可能性と偏微分可能性.
formula_40 が formula_55 で微分可能であるとき、formula_40 は formula_55 で任意のベクトル formula_57 に対して偏微分可能である。実際、
ここで、
は、(2-2) に formula_155 を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の formula_156 極限は 0 となる。従って、
となる。以上より formula_40 が formula_55 で微分可能であるとき、formula_40 は formula_55 で formula_1 の任意のベクトル formula_57 に対して偏微分可能であることが示された。
式 (1-5), (2-6) から、formula_40 が formula_55 で微分可能ならば
であることが分かる。
ヤコビ行列の導入.
式 (1-2-8) に formula_119 を代入すると、
である。従って formula_40の formula_55 での微分 formula_135 の第 "j" 列は、
第 "i" , "j" 成分は
となる。従って、
となる。
誤差項の導入.
「誤差項」の導入を行う。
formula_40 と formula_55 に対し、formula_40 の formula_55 における誤差項（ランダウの記号）formula_179 を
formula_180　　　　(2-13)
によって定める。
formula_181　　　　(2-14)
formula_182 が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。
(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は formula_40 の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点 formula_55 の近傍で formula_40 は
formula_186　　　　(2-17)
とみなせることが分かる。
微分に関するいくつかの公式.
偏微分の「方向」に関する公式.
式 (2-8) から、formula_40 が formula_55 で微分可能であるとき、formula_40 は formula_55 において formula_1 の任意のベクトル formula_57, formula_193 と、任意の実数 formula_194 に対して、
formula_195　　　　(3-1)
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、
formula_196
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)
である。
また、(2-8) から、formula_40 が formula_55 で微分可能であるとき、formula_40 は formula_55 で formula_201 の任意のベクトル formula_57 に対して、
formula_203
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
アフィン写像の微分.
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な "m×n" 行列 A と、"n" 次元代数数ベクトル b を用いて
formula_204　　(3-4)
の形で具体的な数式として書ける、formula_201からformula_206への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（formula_207の点）formula_55で微分可能で、任意の点（formula_207の点）formula_55において、
formula_211　　(3-5)
である。逆に、任意の点formula_55において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
合成写像の微分.
次に、合成写像の微分について説明する。formula_213をformula_206の開集合とし、formula_213は、formula_40の値域を含む（つまり、formula_217、特にformula_218とする）とする。多変数ベクトル値関数
formula_219　　　　(3-6)
は、formula_213で定義され、formula_221に値をとるとする。このとき、formula_222とformula_40との合成写像formula_224は、formula_123で定義され、formula_221に値をとる多変数ベクトル値関数である。
formula_40が点formula_55で微分可能で、formula_222が、点formula_230で微分可能であるとき、formula_224もformula_55で微分可能で、
formula_53=formula_53formula_235　　　　(3-7)
ここで“formula_236”とは、行列としての積である。
■証明<br>
formula_40を点formula_55で一次展開し、
formula_239を点formula_230で(2-16)同様に一次展開すると、
formula_241formula_242　　　　(3-8)
formula_243formula_244　　　　(3-9)
となるので、
formula_245
formula_246
formula_247
formula_248
formula_249
formula_250formula_249
formula_252
formula_253
　　　　(3-10)
である。従って
formula_254　　　　(3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
formula_255
formula_256
formula_257
　　　　(3-12)
より、
formula_258formula_259　　　　(3-13)
一方、
formula_260=formula_261　　　　(3-14)
は、
formula_262　　　　(3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
formula_263　　　　(3-16)
さらに、
formula_264　　　　(3-17)
は有限の値であることから、
formula_265　　　　(3-18)
また、
formula_266　　　(3-19)
は、
formula_267formula_268
　　　　(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
(3-7)を行列として具体的に表記すると
formula_53=formula_270
formula_270(3-21)
となる。これから、
formula_272(3-22)
が分かる。
合成写像の偏微分.
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。
formula_273formula_53
　　　　　　(3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
formula_273
formula_276
formula_277
formula_278　　　(3-24)
以上より、
formula_273formula_280　　　　　　(3-25)
逆写像の微分.
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。formula_213をformula_206の開集合とし、formula_213は、formula_40の値域を含む（つまり、formula_217、特にformula_218とする）とする。多変数ベクトル値関数
formula_287　(3-26)
は、formula_213で定義され、formula_289に値をとるとする。さらに、formula_239がformula_40の逆写像、つまり
formula_292formula_293　(3-27)
とする。このとき、
formula_294　(3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
導関数の導入.
これまでの議論では、一点formula_55を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。
formula_34を、formula_201の開集合とし、
formula_298　　　　(4-1)
を、formula_34上で定義され、formula_206に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
formula_57を、formula_201の固定されたベクトルとする。（formula_62でもよい。）このとき、「formula_40がformula_34で、formula_57について偏微分可能である」とはformula_34内の全ての点において、(4-1)の意味でformula_40がformula_57について偏微分可能であることを意味する。このとき「formula_40のformula_57についての偏導関数formula_312」とは、「formula_34の点formula_314とformula_314における偏微分商formula_316を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
formula_317
formula_316　　　　(4-2)
である。特に
formula_317formula_320　　　　(4-3)
とする。
「formula_40がformula_34で、微分可能である」とは、「formula_34内の全ての点において、(2-2)の意味でformula_40が微分可能」であることを意味する。
このとき「formula_40のformula_34における導関数formula_327」とは、「formula_34の点formula_314とformula_314における微分formula_53を対応させる行列値の関数」である。つまり、
formula_332formula_53　　　　(4-4)
である。formula_334のことをformula_335や、formula_336と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、formula_337は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。
また、(4-5)から、直ちに「formula_40がformula_34で、微分可能」ならば、「formula_40がformula_34で、任意のformula_57について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「formula_40がformula_34で、任意のformula_57について偏微分可能」であっても、「formula_40がformula_34で、微分可能」とは限らない。
「formula_40がformula_34で、連続微分可能である」とは、「formula_40がformula_34で、formula_352全てについて偏微分可能であり、かつformula_352についての偏導関数がすべてformula_34で、連続であること」を意味する。
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「formula_40がformula_34で、連続微分可能」ならば「formula_40がformula_34で、微分可能」であるものの、「formula_40がformula_34で、微分可能」であっても、「formula_40がformula_34で、連続微分可能」とは限らない。
但し、「formula_40がformula_34で微分可能であり、導関数がformula_34で、連続」ならば、「formula_40はformula_34で、連続微分可能」である。
全微分.
formula_1 に formula_369 座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の formula_370 は全て formula_1 から formula_372 への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
formula_373　　　　(5-1)
である。ここで formula_374 は転置を意味する。すなわち formula_375 とは、第 "i" 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 "n" 列の行列（横ベクトル）である。
式 (4-4) より formula_376 は、
formula_377
　　　　(5-2)
で定まる行列値関数であるため、
formula_378　　　　(5-3)
であり、
formula_379　　　　(5-4)
がわかる。ここで、formula_380 を formula_381、formula_382 を formula_383 と書くと、
formula_384　　　　(5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
formula_385　　　　(5-6)
となる。
微分の“逆問題”.
スカラーポテンシャルの定義.
formula_34を、formula_201の開集合とし、
formula_388　　(6-1-1)
を、formula_34上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)のformula_390に対し、
formula_391　　(6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数formula_392を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、formula_390のスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数formula_390があたえられたとき、formula_390のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。
偏導関数に関する「微積分学の基本定理」.
formula_34を、formula_201の開集合とし、formula_398をformula_34上で定義された多変数スカラー値関数とする。
formula_55を、formula_34内の点とする。（つまり、formula_60）formula_57を、formula_201のベクトルとする。（formula_62でもよい。）
このとき、
formula_406=formula_407　　(6-2-1)
が成立する。但し、formula_408を充たす全てのformula_409に対して、
formula_410　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
formula_411　　　　　　(6-2-3)
で、
formula_412formula_413　　　　　　(6-2-4)
である。但し、formula_53は、(1-9)同様、
formula_415　　(6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、
formula_416=
formula_417　　(6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。
ポアンカレの補助定理の準備.
(6-1-1)のformula_390に対し、作用積分formula_53を定義する。
formula_420　　(6-3-1)
をformula_201の点とする。また、formula_34を、formula_201の開集合とし、さらにformula_34がformula_55を中心に星型とする。
formula_34がformula_55を中心に星型とは、任意のformula_34の点formula_314と、任意のformula_430に対し、
formula_431　　(6-3-2)
であることを意味する。
formula_55は固定されているものとする。また、
formula_314formula_434　　(6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、formula_34上で定義された1行n列の行列値関数formula_390に対し、formula_316を
formula_316=formula_439　　(6-3-4 )
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
formula_440　　(6-3-5)
は、formula_409についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　formula_53を、点formula_314と、
実数formula_316を対応させる多変数スカラー値関数
formula_445formula_316　　(6-3-6)
とする。以降、点formula_314は、変数とみなす。