半微分可能性

数学の一分野である微分積分学における、半微分可能性（はんびぶんかのうせい、）あるいは片側微分可能性（かたがわびぶんかのうせい、）とは、実数を変数とする実数値関数 "f" についての微分可能性よりも弱い概念である。
一次元の場合.
定義.
"f" を、実数空間内のある部分集合 "I" 上で定義される、ある実数値関数とする。
"a" ∈ "I" を "I" ∩ ["a",∞) のある極限点としたとき、片側極限
が実数として存在するなら、"f" は "a" において右微分可能（right differentiable）と呼ばれ、その極限 ∂+"f"("a") は "f" の "a" における右微分（right derivative）と呼ばれる。
"a" ∈ "I" が "I" ∩ (–∞,"a"] の極限点であり、片側極限
が実数として存在するなら、"f" は "a" において左微分可能（left differentiable）と呼ばれ、その極限 ∂–"f"("a") は "f" の "a" における左微分（left derivative）と呼ばれる。
"a" ∈ "I" が "I" ∩ ["a",∞) および "I" ∩ (–∞,"a"] の極限点であり、"f" が "a" において左および右微分可能であるなら、"f" は "a" において半微分可能（はんびぶんかのう、）と呼ばれる。
応用.
実数直線内のある区間 "I" 上で定義される、微分可能な実数値関数 "f" の微分が至る所でゼロであるなら、平均値の定理を適用することにより、その関数は定数であることが示される。その "f" の微分可能性の仮定は、連続性と片側微分可能性の仮定へと弱めることが出来る。以下では、右微分可能関数の場合を示すが、左微分可能関数についても同様の議論が成立する。
定理： "f" を、実数直線内の任意の区間上で定義される、実数値連続関数とする。"f" が、その区間内の上限でないようなすべての点 "a" ∈ "I" において右微分可能であり、その右微分が常にゼロであるなら、"f" は定数関数である。
証明： 背理法を用いる。"f"("a") ≠ "f"("b") を満たすような "a" < "b" が区間 "I" 内に存在すると仮定する。すると、
が成立する。"c" を、"f" の差分商の絶対値が "ε" より大であるような、区間 ("a","b"] 内のすべての "x" の下限とする。すなわち、
とする。"f" の連続性より、"c" < "b" および |"f"("c") – "f"("a")| = "ε"("c" – "a") が成立する。"c" において、仮定より "f" の右微分はゼロである。したがって、区間 ("c","b"] の中には、("c","d"] 内のすべての "x" に対して |"f"("x") – "f"("c")| ≤ "ε"("x" – "c") が成立するような、ある "d" が存在する。すると、三角不等式より、
が、["c","d"] 内のすべての "x" に対して成立する。しかしこれは、"c" の定義に矛盾する。
高次元の場合.
上述の定義は、R"n" の部分集合上で定義される実数値関数 "f" に対して一般化される。"a" を、"f" の定義域のある内点とする。このとき、"f" が点 "a" において半微分可能であるとは、すべての方向 "u" ∈ R"n" に対して、極限
が実数として存在することを言う。
したがって半微分可能性は、上の極限 "h" → 0 での "h" を正の数に限定している点において、ガトー微分可能性よりも弱い概念である。
（この一般化では、片側極限点がより強い内点の概念に置き換えられているため、"n = 1" においては元の定義と同値ではないことに注意されたい）
一般化.
実数値関数の代わりに、R"n" あるいはバナッハ空間に値を取る関数を考えることも出来る。