チャーン・ヴェイユ準同型

チャーン・ヴェイユ準同型（）とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 "M" に対して "M" のド・ラームコホモロジーと "M" の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。
formula_1 により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。"G" は実もしくは複素リー群でリー代数 formula_2 を持っているとする。
で、formula_2 の上の formula_1 に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。formula_6 を "G" の随伴作用の下で次の条件を満たす formula_7 の固定点のなす部分代数とする。すべての formula_8 に対して、
チャーン・ヴェイユ準同型は、formula_6 からコホモロジー代数（環） formula_11 への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての "M" 上の"G"-主バンドル "P" に対して一意的に決まる。もし "G" がコンパクトであれば、この準同型の下に "G"-バンドルの分類空間 "B""G" のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環）formula_6 に同型である。
SL("n",R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。
準同型の定義.
"P" の中の任意の接続形式 ω を選び、formula_14 を ω についての曲率 2-形式とする。formula_15 が次数 "k" の同次多項式として、formula_16 を
で与えられる "P" 上の 2"k"-形式とする。ここに formula_18 は 2"k" 個の対称群 formula_19 の置換の符号 formula_20 である。
すると次のことが示される。
は閉形式であり、
で、ド・ラームコホモロジー類 
は "P" の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。
このようにして f から得られるコホモロジー類
について、代数（環）準同型
を得る。