連続線型拡張

数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、）とは、次に述べる手順のことを指す：
完備なノルム線型空間 formula_1 上にある線型変換を定義する時、初めに formula_1 内の稠密な部分集合上に線型変換 formula_3 を定義し、その後、後述の定理によって、formula_3 を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。
定理.
以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。
定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。
応用.
一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 formula_5 上の階段関数は、次の形式で記述される：
formula_6
ここで formula_7 は実数であり、formula_8 とし、formula_9 は集合 formula_10 の指示関数を表す。formula_5 上のすべての階段関数からなる空間に formula_12 ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを formula_13 と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：
formula_14 
このとき、関数としての formula_15 は、formula_13 から formula_17 への有界線型変換である。
formula_12 ノルムについて右側連続であるような、formula_5 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、formula_20 で表す。上述の空間 formula_13 は、formula_20 において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 formula_15 は、formula_20 から formula_17 への有界線型変換 formula_26 へと拡張される。これにより、formula_20 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての formula_28 に対して、そのリーマン積分は
formula_29
で定義される。
ハーン＝バナッハの定理.
上述の定理によって、有界線型変換 formula_30 を、「formula_10 が formula_1 において稠密であるなら」、formula_33 から formula_34 へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。formula_10 が formula_1 において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。