ゼータ函数 (作用素)

作用素 formula_1 のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。
の右辺が存在するような "s" に対してはこの式で、他の "s" の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。
ゼータ函数は、次の式で作用素 formula_3 の固有値 formula_4 によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function) としても表現できる。
これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは
で与えられる。
ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。
また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。
さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、の最も重要な動機の一つになっている。