ベール関数

数学において、ベール関数（ベールかんすう、）とは、以下に記すある種の性質を有する関数を指し、実解析、位相幾何学等様々な数学の分野で研究されている。
定義.
距離空間 で定義された実数値関数 が連続のとき、これをベールの 0 階級の関数（）という。
超限帰納法により、任意の順序数 に対して を より小さい順序数とし、高々 階級の関数列 の各点収束の極限として表される関数を、高々 階級（）の関数と言う。
高々 階級であって、 より小さい任意の順序数 に関し、高々 階級でない関数を、 階級の関数と言う。
これらを総称して、ベール関数（）と言う。
ただし、実際には、可算な順序より大きい順序数に対する階級の関数は存在しない。
従って、階級は常に自然数（非負整数）であるとして良い。
性質.
アンリ・ルベーグは、 がユークリッド空間の完全集合
ならば、全ての高々可算な順序数を階級とする関数が存在することを示した。
以下、特に断らない限り、この場合だけを考える。
例.
有理数体の特性関数 formula_1 を、ディリクレ関数という。
ディリクレ関数は、至る所で不連続で、formula_2 と表せることから、2 階級の関数である。
一般に、 が増加すればする程、 階級の関数は連続性を失う。