単葉関数

単葉関数 (たんようかんすう、)は、複素解析における用語である。複素平面(ガウス平面)上のある開集合(領域)上で定義された複素関数が単射(1対1写像)である場合、その関数は単葉であると表現し、また、その関数を単葉関数と呼ぶ。正則である必要はないが通常は正則な単葉関数を考察の対象にする。このような正則かつ単葉な関数は、英語ではコンフォーマル(Conformal) であると表現するが、日本語では単に単葉正則であると表現する場合が多いようである。
基本的な性質.
定理 (単葉正則関数の基本定理).
formula_1 を複素平面のある連結領域 で定義された正則関数とし、その微分を formula_2 で表す。
証明.
(1) でformula_1が単葉正則であるが、formula_2 の零点が存在すると仮定して矛盾を導く。
まず、formula_2 の零点の内の一つを任意に選んで formula_5 とする。formula_5 の近傍 を、その閉包 formula_14 がコンパクトで formula_15 となるように選ぶ。 
この仮定の下では、formula_16 で formula_2 の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により formula_14 において全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から で formula_19 となり、formula_1 は単葉正則という仮定に反するからである。 
 で formula_5 以外に零点が存在する場合は、閉包がその零点を含まないようにを選び直す（このような操作は零点が有限個であるから可能である）。
formula_22 と置けば formula_23 である。従って formula_24 における formula_25 の位数は2以上で、これを formula_26 とすれば formula_27、formula_28 と置くことができる。
formula_25 は formula_30 上で零点を持たず、また formula_30 はコンパクトであるため、formula_32 を満たす複素数 formula_33 を任意に選べば、ルーシェの定理から における formula_34 とformula_35 の位数を含めた零点の個数はともに formula_26 となる。 
formula_37 について、formula_38 であり、formula_39 は で formula_5 以外に零点を持たないので、 における formula_37 の零点の位数は1である（重根を持たない）。したがって formula_37 はで位数1の相異なる零点を formula_43 個持つことになる。
以上から、formula_44 は で同じ値となる点を複数持つことになり、formula_1 が で単葉であるという仮定に反する。
(2) formula_22 と置き、(1) と同様にして、formula_5 の近傍 を、formula_14 がコンパクトで、その上では formula_5 のみが formula_34 の零点となるように選ぶ。
formula_51、formula_52 であるから formula_5 は formula_25 の1位の零点である。
formula_25 は formula_56 上で零点を持たず、また formula_56 はコンパクトであるため、formula_58 を満たす複素数 formula_33 を任意に選べば、ルーシェの定理から における formula_34 と formula_61 の零点の全位数は共に1である。
すなわち、formula_62 となる点が においてただ一つ存在する。formula_63 と置けば、 上で formula_34 および formula_65 は単葉である。
系.
formula_1 を複素平面のある領域 で定義された単葉正則関数とすれば、formula_1 は単葉正則な逆写像 formula_68 を持ち、連鎖律から、
となる。
関連する定理.
単葉関数と関連する重要な定理がいくつか知られているが、ここでは次の一例のみを紹介する(この定理はリーマンの写像定理を証明する際に必要となる)。
定理 (単葉正則関数の収束定理).
複素平面のある領域 で定義された単葉正則関数の列 { "fn"("z") } ( formula_70 ) が "f" ("z") に広義一様収束するのであれば、"f" ("z") は で単葉正則関数かまたは定数となる。
証明.
まず、 { "fn"("z") } が単葉正則関数であっても "f" ("z") が定数となる例として "fn"("z") = "z" / "n" がある。当然 "f" ("z") は定数 0 となる。
次に、 で "f" ("z") が定数でも単葉関数でもないと仮定する。この場合、少なくとも、"f" ("z") = "f" ("z") = "α" となる 内の異なる2点、"z"、 "z" が存在するはずである。
"gn"("z") = "fn"("z") − α、"g" ("z") = "f" ("z") − αと定義すれば、 { "gn"("z") } は で定義された単葉関数の列であり、"g" ("z") に広義一様収束する。
"z"、"z" を含み、その閉包 formula_71 が に含まれる有界な領域 formula_72 を選ぶことができる。 formula_71 は有界な閉集合としてコンパクトであり、 { "gn"("z") } はformula_71で "g" ("z") に一様収束する。
上の仮定の下では、formula_71で "g" ("z") の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、formula_71はコンパクトであるからボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理により全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から "g" ("z") は で 0 となるが、これは "f" ("z") が定数でないという仮定に反するからである。
formula_72の境界 formula_78上に "g" ("z") の零点があると都合が悪いので、そのような場合にはformula_71の内側に、"z"、"z" を含み、しかもその境界上に "g" ("z") の零点が来ないように領域を取り、これを改めて formula_72とする(このような操作は "g" ("z") の零点が有限個であるから可能である)。
"g" ("z") は formula_78に零点を持たず、また formula_78 はコンパクトであるから、 formula_78 上の|"g" ("z") | の最小値は正数である。これをεとする。
従って、 "n" が十分大きな自然数であれば、 formula_78 上で |"g" ("z") | > |"g" ("z") − "g" ("z") | とでき、ルーシェの定理によりformula_72 での "gn" ("z") と "g" ("z") の零点の個数は一致するはずであるが、"g" ("z") は単葉関数であるから零点の個数は高々1であり(上記基本定理から単葉正則関数の微分は 0 にならないのでその零点の位数は1である)、一方 "g" ("z") のそれは"z"、"z" を含めて2以上であるから矛盾である。従って、 で "g" ("z") は定数でなければ単葉関数であることになる。
例.
formula_88 である任意の複素数 に対して formula_89 と定義すると、 formula_90 は単位開円板 formula_91 をそれ自身に写像するが、これは単位開円板を定義域とする単葉関数となる(この関数もリーマンの写像定理を証明する際に何度も繰り返して使用され、重要な働きをする)。
実関数との比較.
複素解析関数 (正則関数に一致する) の場合と異なって、実解析関数の場合では、上記のような性質は成り立たない。例えば "ƒ"("x") = "x"3 を考えると、これは
であり、この定義域で明らかに単射であるが、その微分は"x" = 0 で 0 であり、その逆写像は区間 (−1, 1)に渡って解析的ではない。ただし逆写像は"x" = 0 を除いて区間 (−1, 1)に渡って微分可能である。