バナッハ・マズール・ゲーム

位相空間論、集合論 や ゲーム理論において、バナッハ・・ゲーム とは、二人で行うtopological gameの一種で、空間からピンとなる元を得られるかどうかを問題にするものである。バナッハ・マズール・ゲームのコンセプトはベール空間のコンセプトとも関連がある。完全情報な無限陣取りゲームで最初期に研究されたものである。
定義と性質.
一般的なバナッハ・マズール・ゲームの定義は次のようにする: 位相空間 formula_1, 固定された部分集合 formula_2, formula_1 の部分集合族 formula_4 が次の性質を満たしているとする。
ここで、ゲーム formula_8 を次のように定める。二人のプレイヤー formula_9 と formula_10 は交互に formula_4 の元 formula_12, formula_13, formula_14 を、formula_15 が成り立つように取っていく。formula_9 が勝つのは formula_17 であるときかつ、そのときのみである。
このとき、以下のことが成り立つ。
winning strategy に関する事実.
どんな集合 formula_24 が formula_10 を必勝にしうるかという問題はごく自然なものである。もちろん、formula_24 が空だったら formula_10 は明らかに必勝である。なので、formula_10 が winning strategy を持つことを保証するためにformula_24 はどれだけ"小さ"ければよいか、補集合がどれだけ"大き"ければよいかといった非公式的な概念を考えているものと捉えることができる。
winning strategiesに関する証明の例を挙げておく。
事実: formula_24 が可算で、formula_1 がT1で、formula_1 が孤立点を持たないなら、formula_10 がwinning strategyを持つ。
証明: formula_24 の要素を formula_40 と番号付けしておく。formula_13 が formula_9 に選ばれたとする。formula_43 を formula_13 の空でない内部とする。このとき、formula_45 は formula_1 の空でない開集合である。なので、formula_10 は formula_4 の元 formula_49 を、これに部分集合として含まれるように取ることができる。formula_9 はformula_51 を formula_49 の内側に取ることができる。formula_10 は先ほどと同様の理由で、formula_54 で formula_55 を持たないようにとれる。この方法により、各点 formula_56 はそれぞれ formula_57 には属さない、よって全ての formula_58 の共通部分は formula_24 のどの点も避けてしまう。Q.E.D
事実: formula_1 を位相空間とし、formula_4 をformula_1 の部分集合の族で最初に挙げてある、ゲームをするために必要な二つの性質を満たすものとし、formula_24 は formula_1 の部分集合とする。formula_10 がwinning strategyを持つのは formula_24 がmeagreであるとき、かつそのときのみである。
ただし、formula_24 がmeagreでないからといって、formula_9 がwinning strategyを持つと言えるわけではないことに注意。プレイヤーのいずれもwinning strategyを持っていないことだってありうる。: formula_1 が formula_70 であって、formula_4 が閉区間 formula_72 から成り立っているとする。このとき、target set formula_24 がBaire Propertyを持つなら、ゲームがdeterminedである。選択公理の下では、formula_70 の部分集合でバナッハ・マズール・ゲームをdeterminedにしないものがある。
参考文献.
[1957] Oxtoby, J.C. "The Banach–Mazur game and Banach category theorem", Contribution to the Theory of Games, Volume III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159–163
[1987] Telgársky, R. J. "Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach–Mazur Game", Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
[2003] Julian P. Revalski "The Banach-Mazur game: History and recent developments", Seminar notes, Pointe-a-Pitre, Guadeloupe, France, 2003-2004