図式 (圏論)

集合論における添え字付き集合族に類似した概念が、圏論における図式である。一番の違いは、圏論では射にも添え字を付ける必要があることである。添え字付き集合族は、ある固定した集合で添え字付けた集合の集まりのことであり、これは、固定した添え字"集合"から"集合全体"のクラスへの"関数"のことであると言っているのと同じである。これに対して、図式は、ある固定した圏で添え字付けた対象と射の集まりのことであり、固定した添え字"圏"からある"圏"への"関手"のことであると言うこともできる。
図式は極限と余極限の定義において中心となる概念であり、とも関連している。
定義.
圏 上の -型 (-type) の図式とは、共変関手
のことをいう。この圏 のことをこの図式の添字圏 (index category) やシェーマ（schema; scheme, スキーム）と呼ぶ。逆に関手のことを -型の図式と呼ぶこともある。 の対象や射自体にはたいした意味はなく、それらがどのように繋がっているかが重要となる。図式 は をパターンとして、 の対象と射の集まりに添え字付けていると考えることもできる。
形式上は、"図式"と"関手"、"スキーム"と"圏"の間にはなんの違いもない。集合論の場合と同様に、用語を使い分けることでものの見方を変えているだけである。つまり、添え字の圏を固定して、関手(とその余ドメイン)を変化させようとしているときに図式と呼ぶのである。
よく使われる図式では、添え字圏 は小さい圏や有限である。このとき、図式は小さいとか有限であるという。
圏 上の -型図式の射とは、これら関手の間の自然変換をいう。これは 上の -型図式の圏というものを関手圏 として、したがって図式をこの圏の対象として解釈するというふうに言うこともできる。
錐と極限.
図式 に関する頂点 を持つ錐とは、定図式 から への射を言う。この定図式は、 の対象をすべて の対象 にうつし、射は全て の恒等射にうつす。
図式 の極限とは、 への普遍錐のことである。これは錐が他のどの錐についても、この錐を経由して一意に分解されることをいう。任意の -型図式が 内に極限を持つとき、図式を極限にうつす関手
が得られる。
双対として、図式 の余極限は からの普遍錐である。任意の -型図式が余極限を持つとき、図式を余極限にうつす関手
が得られる。
可換図式.
図式や関手圏を可換図式の形で可視化することがよくあり、とくに、添え字圏がほとんど要素のない有限な半順序の場合に行われる。次の手順で可換図式を描く。添え字圏の各対象に対して節点を書く。各射については矢印を書くが、恒等射や他の射の合成で表せるものは省略する。可換性は圏が半順序であり、2つの対象の間の射が一意であることと対応している。逆にすべての可換図式はこの方法で図式(半順序である添え字圏からの関手)によって表現できる。
全ての添え字圏が半順序ではないことから、全ての図式も可換ではない。もっとも簡単な例として、1つの対象と1つの自己射 formula_2 からなる図式や、2つの平行射(formula_3; formula_4)を持つ図式は必ずしも可換ではない。さらに、無限の場合は描くことは不可能であるし、対象や射が多すぎる場合は非常に面倒になる。この場合でも、可換図式のパターンを(添え字圏の部分圏や「…」などを利用して)描くことによって複雑な図式を理解しやすくすることができる。