ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、)とは、および オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式
のことである。ここで、formula_3 は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。
 かつ 
とすれば、実数に対するが得られる。これはユークリッド空間 formula_4 におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。
証明.
右辺第2項を展開すると
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)
ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積.
"n" = 3, formula_6 のとき
すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式
が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）
この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば
とベクトル三重積の公式が得られる。
また、 とおくと、
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
一般化.
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：
 を自然数とし、集合 を と表記する。 を非負整数として、 を 行列、 を 行列とする。
 を から 個を選んだ部分集合とし、 を の 個の列から に含まれる添字の列を取り出して得られた 行列、 を の 個の行から に含まれる添字の行を取り出して得られた 行列とする。
行列である積 の行列式は
となる。ただし、和において、 は、 の部分集合で要素数が のものすべてを取るとする。
特別な場合として、 として
を適用すれば
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。