逆関係

数学における二項関係の逆関係（ぎゃくかんけい、）は、関係（のグラフ）に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「～の子である」という関係の逆関係は「～の親である」という関係である。
定義.
厳密に言えば、"L" ⊆ "X" × "Y" を "X" から "Y" への関係とするとき、その逆関係 "L"−1 は 
によって定まる関係をいう 。これは
とも書ける。逆関係 "L"−1 などと書く記法は逆写像の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。
ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は関係の合成の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には
であることに注意しなければならない。
逆関係は反対関係 や（ダガー圏のよく知られた例として、転置行列と同様のものとして見て）(もとの関係の-)転置 とも呼ばれ、"L"c, "L"T, "L"∼, "L"˘ などとも書かれる。
例.
通常の順序関係（狭義の順序でも半順序でもよい）の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば
などとなる（ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない）。
裏.
恒等関係をformula_4とおいた時、関係formula_5に対して、関係の合成にて formula_6 ならばformula_7を右側裏関係といい、 formula_8 ならばformula_9を左側裏関係という。また、formula_5に右(左)側裏関係が存在するときformula_5は右(左)に可逆な関係であるという。右に可逆かつ左に可逆であれば単に可逆あるいは両側可逆という。左に可逆ならば左全域的でなければならないし、右に可逆ならば右一意的でなければならない。ただしここでは関係の合成を、写像の合成の慣例に従った順で定義しているものとする。
写像の逆関係.
写像が（写像として）可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。この逆関係こそが逆写像である。
写像 "f": "X" → "Y" の逆関係 "f"−1: "Y" → "X" は
で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、"f" が単射であることを課さなければ "f"−1 は多価になってしまう。この条件は "f"−1 が部分写像であるためには十分であり、さらにこのとき "f"−1 が（全域）写像となるための必要十分条件が "f" が全射（したがって全単射）となることであるのは明らかである。"f" が全単射であるとき、"f"−1 は "f" の逆写像と呼ばれる。
当然、formula_13の逆写像は formula_13 との合成で恒等写像すなわち恒等関係を導くので、 formula_13 を関係とみなせばformula_16はその裏関係である。