疎集合

数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、）とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
集合を扱う空間が問題となる。すなわち、ある集合 "A" はある位相空間 "X" の部分空間として考えられた場合には疎集合であるが、別の位相空間 "Y" の部分空間として考えられた場合にはそうはならない、ということが起こりうる。疎集合は、それ自身においては常に稠密である。
疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル（に関する適正な概念）を形成する。可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない（したがって、疎集合は必ずしもを形成しない）。そのような合併はやせた集合あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。
正測度を持つ疎集合.
疎集合はあらゆる意味において無視可能（negligible）である必要はない。例えば、"X" を単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合（有理数の集合など）を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。
（カントール集合の変形であるような）一例として、[0,1] からすべての（既約分数として "a"/2"n" の形を持つような分数。ただし "a" と "n" は正の整数）とその周りの区間 ("a"/2"n" − 1/22"n"+1, "a"/2"n" + 1/22"n"+1) を除いたような集合を考える。各 "n" に対し、多くとも合計 1/2"n"+1 の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度（実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値）を持ち、そのため、ある意味で全体の空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。
この方法を一般化することで、 1 未満の任意の値に対して、その値と等しい測度を持つような単位区間内の疎集合を構成することができる。ただし、測度をちょうど 1 にすることはできない(できたとすると、その集合の閉包の補集合は測度 0 の開集合となるが、これは不可能である)。
他のより単純な例として、有限のルベーグ測度をもつformula_2の稠密開集合formula_3が与えられたとき、formula_4が必ず非有限ルベーグ測度をもつformula_2の閉部分集合となり、formula_4はまたformula_2で疎集合となることが挙げられる。（なぜならば、formula_4の内部は空だから。）この有限測度を持つ稠密開集合formula_3は、有理数全体formula_10がルベーグ測度０であることを証明するときによく構成される。
次のようにしても疎集合を得られる。全単射写像formula_11（実際はformula_12は全射写像で十分である。）を選び、適当なformula_13に対してformula_14とする。(ここに、最後の式に用いられた記法はミンコフスキー和であり、記述を簡明にするためのものである。)開集合formula_15は、formula_2で稠密であり、formula_10を含み、そのルベーグ測度はformula_18を超えない。次の開集合ではなく、閉集合の和をとるとこれはFσ集合である。
formula_19
さらに、包含関係formula_20をみたす。formula_21が疎集合であることから、formula_22も疎集合である。また、formula_2がベール空間なことから、formula_24はformula_2で稠密である（これはformula_26がformula_10に似てformula_2で疎集合になれないかもしれないことを意味する。）。さらにルベーグ測度は0で、formula_2のnonmeagre subsetである（すなわち、formula_26はformula_2の第２類の集合。）。このことから、formula_32はformula_2のcomeagre subsetでその内部はまた空であることが従う。故にformula_34は疎集合であってその測度は無限大である。
formula_10はformula_2の可算稠密部分集合で置き換えることができる。さらに、適当なformula_37に対してformula_2をformula_39に置き換えることができる。