ジェネリックフィルター

数学の集合論における、ジェネリックフィルター
とは、強制法の理論で使われる対象の一種で、
そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の
ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。
例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば
連続体仮説(実数全体の集合の濃度が formula_1 である)
を証明することができないということを示すのに使った。
コーエンの証明は、formula_1 の値を変えることなしに、
formula_1 より多くの実数を生成する
ジェネリックフィルターを構成することによって為された。
形式的には、"P" を半順序として、"F" を "P" 上のフィルターとする。
すなわち、"F" は "P" の部分集合で、
を満たす。
"D" を "P" の稠密部分集合の族とする。
フィルター"F" が "D"-ジェネリック であるとは、"F" が "D"の要素の全てと交わりを持つこと、
すなわち、
となることである。
同様に、"M" がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、
"P" が "M" の要素であるとき、"F" が "M"上ジェネリックであるとは、
"D" を "P" の稠密開部分集合とすると、
となることである。