ヒッチン汎函数

ヒッチン汎函数（）は、イギリスの数学者のが導入した概念で、弦理論にも応用を持つ。 と がヒッチン汎函数の元々の論文である。
ヒッチンの導入した一般化された複素構造は、有用に数理物理へ応用される。そのときに中心となる考え方が、ヒッチン汎函数である。
定義.
6次元多様体に対しての定義は、以下の通りである。ヒッチンの論文の定義はより抽象的で、より一般的である。
formula_1 を自明な標準バンドルを持つコンパクトな向き付けられたな 6次元多様体とすると、ヒッチン汎函数 は、次の式の3-形式上の汎函数と定義する。
ここに formula_3 は 3-形式であり、 * はホッジスター作用素を表す。
安定な（微分）形式.
作用汎函数は、しばしば formula_1 の上の幾何学構造を決定し、幾何学構造はある可積分条件に従う formula_1 上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。 
もし m-形式 formula_18 が局所座標で記述されるとし、
さらに
とすると、formula_18 はシンプレクティック構造を決定する。
p-形式 formula_22 が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所 formula_23 作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動 formula_24 は、局所 formula_23 作用により元に戻せる場合を言う。従って、任意の 1-形式は、（定数なので）どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。
では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、formula_26, formula_27, の次元の増加の仕方が、formula_23, formula_29 の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり formula_30 の場合で、その場合は dim formula_31 であり、dim formula_32 である。次元 6 での安定な実 3-形式を formula_33 とすると、formula_33 の formula_35 の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、 formula_36 もしくは formula_37 のいずれかになる。 
formula_37 の場合に焦点を絞り、formula_33 がformula_37 内にスタビライザーを持つとすると、局所座標では次のように書くことができる：
ここに、formula_42 であり、formula_43 は formula_44 の基底である。従って、formula_45 は formula_1 上の概複素構造を決定する。さらに局所座標 formula_47 が存在して formula_48 と満たすとすると、formula_45 は、さいわいにも formula_1 上の複素構造を決定する。
安定な形式 formula_51が与えられると：
と取ることができ、もうひとつ別な実 3-形式
を取ることができる。
そうすると formula_54 は formula_33 により決定される概複素構造の中の正則な 3-形式となる。さらに、複素構造となるためには、ちょうど formula_56、すなわち、formula_57 であり、かつ、formula_58 の場合である. この formula_3 はヒッチン汎函数の定義での 3-形式 formula_3 に一致する。これらの考えは、一般化された複素構造を導くこととなった。
弦理論での使用.
ヒッチン汎函数は弦理論の多くの分野で用いられる。例えば、対合 formula_61を使った結果できる射影 formula_62 を持つ10-次元弦理論のコンパクト化である。この場合には、formula_1 は内部の 6 (実)次元カラビ-ヤウ空間である。 この複素化されたケーラー多様体の計量は
で与えられる。ポテンシャル函数は汎函数 formula_65 で、ここに J は概複素構造を決定する. 両方ともヒッチンの汎函数である。
弦理論への応用として、有名な OSV 予想 では、ヒッチン汎函数を位相的弦と 4-次元ブラックホールのエントロピーを関連付けるために使用された。同じようなテクニックを formula_66 ホロノミーの中で使い、 では、位相的なM-理論が議論されているし、formula_67 ホロノミーでは、位相的 F-理論が議論できるかもしれない。
さらに最近、エドワード・ウィッテンは、6次元 (2,0)-超共形場理論と呼ばれる 6次元の中にミステリアスな超共形場理論があることを主張している。 ヒッチン汎函数は、それへひとつの基礎を与えている。