ヘヴィサイドの展開定理

ヘヴィサイドの展開定理（ヘヴィサイドのてんかいていり、）は、ある種の関数のラプラス逆変換を与える定理である。オリヴァー・ヘヴィサイドはイギリスの電気技師。有理関数に関するもののみを指す場合が多いが、より一般の有理型関数に対する主張へ拡張される。以下では、有理関数のみ扱うものとする。
概要.
"P"("s"), "Q"("s") は共通因子を持たない実数係数多項式で、次数は "P" の方が小さいとし、有理関数 "F"("s") = "P"("s") / "Q"("s") のラプラス変換による原像を求めたいものとする。代数学の基本定理より、分母 "Q"("s") は複素数の範囲で一次式の積に分解できて
となる。これを部分分数分解すれば
の形になる。ここに、各係数は
で与えられる。各部分分数の原像は
で与えられるので、"F"("s") の原像が求まる。
以上より、有理関数のラプラス逆変換は理論的には求まるが、計算しやすい公式の形で与えられたものを「展開定理」と称することが多い。その式の形は文献によって多少の差異があるが、本質的には同じものである。
"Q"("s") が虚根を持つ場合、一旦は虚数が現れるが、オイラーの公式を用いて三角関数に変形すれば、実関数の範囲で原像が求まる。計算上は、複素数の範囲で一次式に分解するのではなく、実数の範囲で高々二次式にまで分解しておき、
などを用いる方が実践的である場合もある。
分母が単根のみを持つ場合.
分母が単根のみを持つ有理関数
の原像は
で与えられる。"Q"′("a""i") は、より具体的には
として計算できる。
分母が重根を持つ場合.
分母が"n"重根 "a" を持つ有理関数
に対しては、
であるから、
が成り立つ。右辺第1項は
と同じものである。