特殊線型群

数学において、 体 上の次数 の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、）とは、 行列式が である 次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式
の核として得られる、一般線型群 の正規部分群である。
ここで は の乗法群（つまり、 から を除いた集合）を表す。
特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である（行列式は多項式であることに注意）。
幾何学的解釈.
特殊線型群 は、体積と向きを保つ における線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。
リー部分群.
 が (実数体)、または (複素数体) であるときには、 は の 次元のリー部分群である。 のリー代数 formula_2 は、トレースが である 上の 次正方行列からなる。リー括弧積は、交換子積によって与えられる。
位相.
すべての正則行列はユニタリ行列と正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。
ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、
特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。
よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が の正定値エルミート行列の積で書ける。
よって群 の位相は特殊ユニタリ群 と行列式が の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が の正定値エルミート行列はトレース のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は 次元のユークリッド空間と同じである。
また群 の位相は特殊直交群 と行列式が の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が の正定値対称行列はトレースが の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は 次元のユークリッド空間と同じである。
群 は、特殊ユニタリ群 のように、単連結である一方 は、特殊直交群 のように、単連結ではない。
 は あるいは と同じ基本群を持つ。
つまり のときは で のときは である。