ディガンマ関数

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、）あるいはプサイ関数（ぷさいかんすう、）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。
定義.
ガンマ関数 formula_1 に対し、その対数微分
をディガンマ関数と呼ぶ。
ディガンマ関数は、formula_3 で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。
基本的性質.
ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
を対数微分することで、ディガンマ関数における
という表示を得る。特に formula_6とすれば、次の特殊値
を得る。但し、formula_8 はオイラーの定数である。
また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。
この関係式から、一般に
であり、特に formula_6とすれば、特殊値
が得られる。
級数表示.
ディガンマ関数とその導関数は formula_13 で次の級数表示を持つ。
これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
の対数微分から導かれるものである、
また、formula_17 でのテイラー展開により、formula_18 の領域で次のように級数表示される。
ただし、formula_20 はリーマンゼータ関数を表す。
積分表示.
formula_21 のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。
但し、formula_26 は双曲線余接関数を表す。
また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。
相反公式.
ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。
但し、formula_29 は余接関数を表す。
漸近展開.
formula_30 のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。
但し、formula_32 はベルヌーイ数である。
特殊値.
ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。
但し、formula_35は調和数を表す。
また、正の半整数において、次の値をとる。