ボホナー空間

数学の分野におけるボホナー空間（ボホナーくうかん、）とは、必ずしも実数の空間 R あるいは複素数の空間 C とは限らないバナッハ空間に値を取る関数への、Lp空間の概念の一般化である。
ボホナー空間 "Lp(X)" は、バナッハ空間 "X" に値を取るボホナー可測関数 "f" で、そのノルム "||f||X" が通常の "Lp" 空間に属するようなもの全ての同値類からなる。したがって、"X" が複素数の集合であるなら、ボホナー空間は通常のルベーグ空間 "Lp" となる。
"Lp" 空間に関するほとんど全ての結果は、ボホナー空間についても同様に得られる。特に、ボホナー空間 "Lp(X)" は formula_1 に対してバナッハ空間である。
背景.
ボホナー空間は、ポーランド系アメリカ人数学者のサロモン・ボホナーの名にちなむ。
応用.
ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 formula_2 が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、formula_3 と書くことで、"f" を時間についての関数とし、"f(t)" を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。
定義.
測度空間 ("T", Σ, "μ")、バナッハ空間 ("X", || · ||"X") および 1 ≤ "p" ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 "L""p"("T"; "X") は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 "u" : "T" → "X" の空間の（等号はほとんど至る所についてのものであるような）コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような "u" に対しては
が成立する。言い換えると、"L""p" 空間の研究においてよくあるように、"L""p"("T"; "X") は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、"T" の "μ"-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは（より技術的には正しい）同値類と言うよりは、"L""p"("T"; "X") の「関数」と言う記号の濫用がよく見受けられる。
偏微分方程式への応用.
空間 "T" は偏微分方程式を解こうとしている時間区間で、"μ" は一次元ルベーグ測度であるようなことが頻繁にある。ここでのアイデアは、時間および空間の関数を、空間の関数の集まりと見なし、その集まりが時間についてパラメータ付けられるものとすることである。例えば、R"n" 内の領域 Ω および時間区間 [0, "T"] 上の熱方程式の解としては、
および時間微分が
であるようなものを探すであろう。ここで formula_8 は、一回弱微分可能でその一回弱微分が "L"²(Ω) に属し、Ω の境界上で（トレースの意味で）消失するような関数からなるソボレフヒルベルト空間を表す。あるいはそのような関数は、Ω にコンパクトな台を持つような滑らかな関数の極限でもある。formula_9 は formula_8 の双対空間を表す。
（ボホナー空間を使うことで空間依存性は除かれるため、上記の時間 "t" についての偏微分は実際には全微分である。）