無限論理

無限論理 (むげんろんり、) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。
概要.
いくつかの無限論理は標準的な一階述語論理とは異なる性質を持つ。特に、無限論理はコンパクト性や完全性を満たさないことが多い。コンパクト性や完全性の概念は、有限論理においては等価であることもあるが、無限論理においてはそうではない。無限論理においては強いコンパクト性や強い完全性の概念が定義される。この記事では、ヒルベルト型無限論理について主に述べる。この型はかなり研究されてきており、有限論理の最も直接的な拡張を構成している。しかしながら、これらは形式化されているまたは研究対象となっている唯一の無限論理ではない。
という無限論理が完全かどうかを考察することは連続体仮説の解明につながる。
表記法に関する語および選択公理.
無限に長い式・句を伴う言語が存在すると、全ての式を書き下すことは不可能である。この問題を避けるには、多くの都合の良い表記法が使われる。これらの表記法自体は厳密に言うと形式言語の一部ではない。formula_1は無限に長い式を表すために用いられる。それが明確ではないところでは、式の列の長さが後で記される。この表記法は曖昧で紛らわしいので、濃度formula_2の式の集合の無限の論理和を示すために、formula_3のような添字が用いられる。同じ表記法が、例えばformula_4のような量化子に応用されることもある。これは各formula_5に対する量化子の無限列を表すことを意味する。ここでformula_6である。
添字およびformula_1の使用法は全て形式無限言語の一部ではない。選択公理は（無限論理が議論されたときによくなされるのだが）実用的なを持つために必須であるとして仮定される。
ヒルベルト型無限論理の定義.
一階無限論理"L"α,β、ここでαは、β = 0 または ω ≤ β ≤ α、は有限論理と同じ記号の集合を持っており、有限論理の式の形成についての全ての規則といくつかの追加規則を用いる：
束縛変数の概念は、同様の方法で無限文にも適用される。これらの式における括弧の数は常に有限であることに注意。有限論理と同じように、全ての変数が束縛されている式は""と呼ばれる。
無限論理formula_17における理論Tは、その論理における言明の集合である。理論Tからの無限論理における証明は以下の条件に従う長さformula_18の文の列である：各文は論理的な公理Tの要素であるか、または推論規則を用いて過去の言明から推論（演繹）される。前述のものと同様に、無限論理における全ての推論規則と追加規則を用いることができる：
無限論理に特徴的な論理的公理型を以下に与える。formula_21のような各formula_2およびformula_18について、以下の論理的公理を持つ：
特定の集合は整列可能でなくてはならないので、最後の二つの公理型は選択公理を必要とする。 Changのが暗示するように最後の公理型は厳密に言うと不要である。しかしながら、それは自然な論理の弱化を許す自然な方法として含まれる。
完全性、コンパクト性、そして強い完全性.
ある理論は言明のあらゆる集合である。モデルにおける言明の真理は再帰によって定義され、両方が定義されるところの有限論理に対する定義と一致する。理論Tが仮定されると、ある言明はTの全てのモデルにおいて真ならば理論Tに対して妥当（恒真）であると言われる。
論理formula_17は、全てのモデルにおいて妥当な全ての文SについてSの証明が存在するならば完全である。Tにおいて妥当な全ての文Sに関するどんな理論Tについても、TからのSの証明が存在するならば、それは強く完全である。無限論理は強く完全でなくても完全であり得る。
濃度formula_36の全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理はコンパクトである。全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理は強くコンパクトである。 ここで、Sは濃度formula_37を持つ。もし論理が強くコンパクトかつ完全であるなら、強く完全である。
formula_38がコンパクトであるなら、濃度 formula_39 は弱くコンパクトである。また、formula_38が強くコンパクトなら、formula_41はである。
無限論理における概念表現可能性.
集合論の言語において、以下の言明は正則性公理（基礎の公理）を表現する：
基礎の公理と違って、この言明は非標準の解釈を認めない。整礎性の概念は、個別の言明に無限に多くの量化子を許す論理においてのみ表現できる。その結果、有限論理においては適切に公理化できないペアノ算術を含む多くの理論は適切な無限論理において存在することができる。他の例はおよびの理論を含む。これら三つの群は無限の量化子なしで定義することができる。ここではただ無限の連結が必要となる。
完全無限論理.
二つの無限論理は特に完全性が際立っている。それらは、formula_43とformula_44である。前者は標準的な有限一階論理で、後者は可算サイズの言明だけを許す無限論理である。
formula_43もまた強く完全、コンパクト、そして強くコンパクトである。