非可換整域

数学の特に環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換）整域あるいは域（いき、）とは、右または左零因子を持たない（つまり ならば または が成り立つ、を満たすとも言われる）環のことを言う。しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定するが、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は と同値であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれる。
零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 が可換整域となるための必要十分条件は、 が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 上の環 は整域でない（ および の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 と の和となる）ことに対応する。
域の構成.
環が域であることを示す方法の一つは、特別な性質を持つフィルター付け（フィルトレーション）を提示することである。
この定理を利用するには、次数環 を調べる必要がある。
群環と零因子問題.
群 と体 に対して、群環 は域となるかを考える。恒等式
から有限な位数 を持つ元 から の零因子 が得られる。零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。 
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。は「 が捩れの無い群 (polycyclic-by-finite group) で が標数 の体ならば群環 は域を成す」ことを証明した。後に が体の標数に関する制限を取り除いている。 はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、 が -進整数環で が の -次である場合を扱っていた。