T1空間

数学の位相空間論周辺分野における T1-空間（T1-くうかん、）は、相異なる二点を選べば必ず、その各々の点がもう一方の点を含まない開近傍を持つ位相空間を言う。同じことが位相的に識別可能な二点についてのみ成り立つ場合は R0-空間と言う。条件 T1 および R0 は分離公理の例である。
定義.
"X" は位相空間で、"x" と "y" を "X" の点とする。いま、二点 "x", "y" が「分離」されるというのを、"x", "y" のそれぞれ一方が、他方を含まない開集合の少なくとも一つに含まれることを意味するものとすれば、
T1-空間は別名、（"accessible space"; 到達可能空間）あるいはフレシェ空間ともいい、R0-は別名、対称空間とも呼ばれる。
性質.
位相空間 "X" に対して、以下の条件はどれもたがいに同値である。
位相空間 "X" に対して、以下の条件はどれもたがいに同値である。
一般に位相空間における二点間の関係として
という含意が成り立つ。一つ目の矢印の逆が成り立つならば、その空間は R0 である。また二つ目の矢印の逆が成り立つ空間は T0 であり、両方の矢印の逆が成り立つときはそれは T1 になる。明らかに、空間が T1 となるのは R0 および T0 の双方を満たすときであり、かつそのときに限る。
有限 T1-空間は（任意の部分集合が閉になるから）必ず離散的となることに注意。
例.
ということがわかるから、先に述べた定義（と同値な条件）からこれは T1-空間である。これが T2 でないことは、任意の二つの開集合 "O""A", "O""B" の交わりは "O""A"∪"B" であり、これは空になり得ないことによる。あるいは、偶数全体の成す集合は、この空間のコンパクトだが閉でない部分集合となることからも、この空間がハウスドルフでないことがわかる。
一般化および関連概念.
"T1" や "R0" およびこれらと類する同様の呼称は、位相空間のみならず近い概念である一様空間やコーシー空間、収斂空間などに対しても用いられる。いま挙げたような概念全てに統一的に適用できる特徴付けは、単項超フィルター（あるいは定有向点族）の極限の一意性（T1 の場合。R0 の場合は、位相的識別不能性を除いた一意性）である。
実のところ、一様空間あるいはもっと一般のコーシー空間は必ず R0 になるので、これらに対する場合の T1-分離公理は T0-分離公理に帰せられる。しかしながら、それ以外の（前位相空間などの）収斂空間では R0 単独でも十分に意味のある条件になりうる。