正則性公理

正則性公理（せいそくせいこうり、）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義.
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
formula_1
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない。
ここで、は集合論の宇宙を指し、は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。
ZF公理系内に限って話を進める。各順序数formula_4に対してformula_5を次のように定義する。
クラスはこれらを全て集めたものとして定義される。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常に内に含まれるため、の仮定は全ての集合をに通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えばのような集合やかつなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
性質.
証明.
超限帰納法による。formula_13 のときは明らかである。formula_14 に対して成り立っていると仮定する。formula_15 のとき、仮定より formula_16 は推移的であり、formula_17 も推移的になる。また、formula_18。formula_4 が極限順序数のとき、仮定よりformula_14に対してformula_16は推移的であり推移的集合の和集合が推移的になることにより
formula_22
も推移的になる。さらに
formula_23
も同様。
の定義より、のときformula_24を満たす最小の順序数formula_4は後続順序数になる。実際、formula_4を極限順序数としてformula_24及びformula_28が成り立っているとすると、
formula_29
となって矛盾する。
そこで、集合のランクを次のように定義する。
のとき、formula_30を満たす最小のformula_31を集合のランクといい、formula_32で表す。
よって、formula_33 ならば
formula_34
が成り立ち、formula_35かつformula_36となる。また、このランクの概念を用いてformula_5は次のように特徴付けられる。
及び、
ランクを計算するときに次の補題を使う。
formula_40のとき、
formula_41
かつ
formula_42
formula_43 とすると formula_44
formula_45 ならば formula_46だからformula_47