べき乗法

べき乗法とはあるformula_1行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。
典型的には、与えられたformula_1行列formula_3に対して、適当な初期ベクトルformula_4から始めて、逐次
を計算することで、formula_6がformula_3の絶対値最大の固有値formula_8に属する固有ベクトルの方向に漸近していくことを利用し、
により絶対値最大の固有値を得る。ただしベクトル列formula_10が定ベクトルに収束していくわけではないことに注意する。
また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。
収束の証明.
簡単のため、formula_1行列formula_3の固有値formula_13がすべて互いに異なり
であるとする。ここで、formula_15に属するformula_3の固有ベクトルをformula_17とすると、formula_17は
をみたす。また、formula_17は互いに1次独立なので、初期ベクトルformula_4はこれらの1次結合により
と表すことができる。ここで、formula_23とすれば、formula_6は以下のように表される。
仮定よりformula_26なので、formula_27のときformula_6は絶対値最大の固有値formula_8に属する固有ベクトルformula_30と同じ方向formula_31に近づいていく。
絶対値最大の固有値formula_8を求めるときは、
より、
となることを利用する。
行列formula_3の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。
欠点.
最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。