フィッシャーの方程式

数学におけるフィッシャーの方程式（フィッシャーのほうていしき、）あるいはフィッシャー＝コルモゴロフ方程式またはフィッシャー＝KPP方程式として知られる方程式は、ロナルド・フィッシャー（およびアンドレイ・コルモゴロフ）の名にちなむ、次の偏微分方程式のことを言う：
フィッシャーはこの方程式を、優性アレルの空間伝播を表現するために提唱し、その進行波解を発見した。任意の波速度 "c" ≥ 2 に対し、フィッシャーの方程式には次の形式で記述される進行波解が存在する：
ここで formula_3 は増加函数であり、
が成立する。すなわち、この解は平衡状態 "u" = 0 からもう一つの平衡状態 "u" = 1 へと移るものである。但し、"c" < 2 に対してはそのような解は存在しない。与えられた波速度に対し、その波形は一意に定まる。
特別な波速度 formula_5 に対して、すべての解は閉形式
で記述される。ここで formula_7 は任意であり、上述の極限についての条件は formula_8 に対して成立する。
フィッシャーの方程式は、ことによると、半線型反応拡散方程式
の最も簡単な例かも知れない。ここでその方程式は、formula_10 で与えられる平衡状態の間を移る進行波解を見せるものである。そのような方程式は、例えば、生態学、生理学、燃焼、結晶化、プラズマ物理、および一般的な相転移の問題において現れる。
進行波解の存在の証明や、それらの性質の解析は、しばしば位相空間法によって行われる。