メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。
この変換の名はフィンランドの数学者の名にちなむ。
定義.
局所可積分な関数 "f" のメリン変換は
により定義される。
任意の小さな正の数 formula_2 に対して、 formula_3 のとき formula_4 、 formula_5 のとき formula_6 と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 formula_7 は formula_8
により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 "c" は formula_9
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
と表される。
メリン変換は、積分核 "x""s" を用いた、乗法的ハール測度 formula_11 についての積分と考えることが出来る。ここで formula_11 は拡張 formula_13 について不変であり、したがって formula_14 が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 formula_15 についての積分と考えられる。ここで formula_15 は移動不変であり、したがって formula_17 が成り立つ。
同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
が成立する。反対に
も成立する。メリン変換はまた、やを、の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。
例.
カヘン-メリン積分.
formula_20、formula_21 および上の formula_22 に対して、
が成立する。ここで formula_24 はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。
数論.
数論における重要な応用例として、単関数 formula_25
に対し 
が成立する、ということが挙げられる。
ゼータ関数.
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 formula_27 についての公式を得ることができる。formula_28としたときformula_29よって
formula_30
"L"2 上のユニタリ作用素として.
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。formula_31 （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に formula_32 を含む。そのため、線形作用素 formula_33 を
によって定義することが出来る。言い換えると、集合
を定義することが出来る。この作用素は通常 formula_36 とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために formula_33 を記号として用いる。このときにより、formula_33 は可逆であって、その逆は
と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち formula_40 がすべてのformula_41 に対して成立することが分かる（この性質のために係数 formula_42 が用いられている）。したがって、formula_33 はユニタリ作用素である。
確率論において.
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。"X" を確率変数とし、} をその正の部分、} をその負の部分としたとき、"X" のメリン変換は
として定義される。ここで "γ" は、 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 }（ただし）内のすべての "s" に対して存在する。
確率変数 "X" のメリン変換 formula_45 は、その分布関数 "FX" を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: "X" および "Y" を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、
が成立する。
応用.
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。
この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。