振動積分作用素

数学の調和解析の分野における振動積分作用素（しんどうせきぶんさようそ、）とは、次の形式で記述される積分作用素のことを言う：
ここで、函数 "S(x,y)" は作用素のフェーズ（phase）と呼ばれ、函数 "a(x,y)" は作用素のと呼ばれる。λ はパラメータである。しばしば、"S(x,y)" は滑らかな実数値函数で、"a(x,y)" は滑らかかつコンパクトな台を持つ函数であると仮定される。通常、大きな値を取る λ に対する作用素 "T"λ の挙動に、研究の興味は注がれる。
振動積分作用素は、数学の多くの分野（解析学、偏微分方程式論、、数論など）や、物理学の分野において、たびたび扱われる。振動積分作用素の性質は、エリアス・スタインとその学派によって研究されている。
ヘルマンダーの定理.
振動積分作用素の "L"2 → "L"2 作用（あるいは、"L"2 → "L"2作用素ノルム）に対する上界についての次に述べる結果は、フーリエ積分作用素に関するラース・ヘルマンダーの論文において得られたものである。
"x,y" ∈ R"n", "n" ≥ 1 について考える。"S(x,y)" を実数値の滑らかな函数とし、"a(x,y)" を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。"a(x,y)" の台の上の至る所で formula_2 が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される "T"λ を "L"2(R"n") から "L"2(R"n") への連続作用素へと拡張し、そのノルムが任意の λ ≥ 1 に対して formula_3 で評価されるようなある定数 "C" が存在する。すなわち、
が成立するような、ある定数 "C" が存在する。