尖点表現

数論における尖点表現（せんてんひょうげん、; カスプ表現）は "L"2-空間に離散的に現れる代数群の表現の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的なモジュラー形式論に関する尖点形式に関係することに由来する。保型表現の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、アデール代数群の表現を考えうる。
考えている群が一般線型群 "GL"2 のときの尖点表現は、尖点形式とマース形式に直接に関係する。尖点形式の場合については、各ヘッケ固有形式（アトキン＝レーナーの新形式）が尖点表現に対応する。
定式化.
"G" を数体 "K" 上の簡約代数群とし、A を "K" のアデール環とする。また、"Z" を "G" の中心、ω を "Z"("K")\Z(A)× から C× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 "G"(A) 上のハール測度を固定して、"G"(A) 上の複素数値可測函数 "f" で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間を formula_1 と書く。
この空間を "G"(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間に属する函数を尖点函数と呼ぶ。この空間は "g" ∈ "G"(A) の尖点函数 "f" への作用を
で与えることにより、アデール代数群 "G"(A) のユニタリ表現になる。中心指標 ω を持つ尖点形式の空間はヒルベルト空間の直和
に分解される。ここで和は "L"("G"("K")\"G"(A), ω) のすべての既約部分表現 に亘ってとるものとし、"m"π は正の整数とする（つまり、各既約表現は有限な重複度で現れる）。"G"(A) の尖点表現 は、表現 (π, "V") の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。
上記の分解に現れる重複度 "m"π が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。