行列の定値性

線型代数学における行列の定値性（ていちせい、）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。
この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。
定義.
正定値行列は正定値対称双線型形式（複素の場合は対称半双線型形式）に、あるいはベクトル空間の内積に近しい関係を持つ。
表記法.
行列 A の定値性を次の記号を用いて表現することがある。（ただし同様の記号で正行列や非負行列を表すこともある。）
性質.
固有値との関係.
対称行列(またはエルミート行列) A の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、
逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符号」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどが以下のようにわかる。
正定値行列の特徴.
 エルミート行列 に対して、以下の条件は何れも が正定値であることと同値である。
同様の理由により、
定義について.
実の場合と複素の場合の定義の一貫性.
任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。
複素行列に対しては、「 が正定値であるとは、任意の非零複素列ベクトル に対して が必ず正の実数となること」と述べる定義が最も一般的であり、この条件から がエルミートである（つまり自身の転置が自身の共軛に等しい）ことが導かれる。それを見るために、行列 および を考えると、 かつ であり、行列 および はエルミートだから および はそれぞれが実数値である。ここで、 が実数となるならば は任意の に対して零とならねばならず、従て は零行列であり、 がエルミートであることが示される。
この定義の下で、正定値実行列 はエルミート、したがって対称であり、また二次形式 は任意の非零実ベクトル に対して正となる。しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみでは が正定値であるとするには十分ではない。たとえば、 
とすると、任意の実ベクトル に対して、 は が零でない限り常に正であるが、しかし複素ベクトル に対して は実数ではないから、従って は正定値ではない。
他方、対称実行列 に対してならば、条件「任意の非零実ベクトル に対して」から複素行列の意味での の正定値性が導かれる。
非対称行列への拡張.
幾つかの文献では、複素行列 が正定値であることを、任意の非零複素ベクトル に対して で定義しているものがある。ただし、 は複素数 の実部。この弱い条件での定義は非エルミートな複素行列の一部（これには formula_2 のような一部の非対称実行列も含む）も満たす。
実際にこの定義の下では、実行列が正定値であるための必要十分条件は任意の非零実ベクトル に対して となることであって、必ずしも の対称性は要求しない。
一般に、任意の非零複素ベクトル に対して となるための必要十分条件は、 のエルミート成分 が狭い意味での正定値となることである。同様に、任意の非零実ベクトル に対して となるための必要十分条件は、 の対称成分 が狭い意味での正定値となることである。
まとめると、実の場合と複素の場合とを分ける特徴は、複素ヒルベルト空間上の有界な正作用素はエルミートあるいは自己随伴でなければならないということである。この一般の主張は極化恒等式を用いて説明できる。このことは実の場合にはもはや正しくない。