同伴行列

線型代数学におけるフロベニウスの同伴行列（どうはんぎょうれつ）あるいはコンパニオン行列（）とは、"n" 次モニック多項式
に対して
と定義される"n" 次行列を言う。慣例的に、基底 "v"1, …, "v""n" は、"C" = "C"("p") が基底を巡回するようにとる。つまり、"Cv""i" = "C""i""v"1 = "v""i"+1 ("i" < "n") かつ "v"1 は "K"["C"]-加群として "V" を生成する。
文献によってはいま挙げた行列の転置（と双対巡回座標）を採用するものもある。これは線型漸化式に用いるなどの目的でより効果を発揮する。
特徴付け.
モニック多項式 "p" から定まる同伴行列 "C"("p") の固有多項式と最小多項式は "p" と一致する。このような意味でモニック多項式 "p" は正方行列 "C"("p") を〈同伴〉している。
行列 "A" が適当な体 "K" の元を成分にもつ "n" 次行列とすると、以下は同値：
一般には任意の正方行列 "A" が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 "C"("p"), …, "C"("p") の直和
に相似となる。モニック多項式の列 , …, は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは "A" により一意的に決まる。このようにして得られた区分行列 "R" を "A" の有理標準形と呼ぶ（代数閉体上における行列のジョルダン標準形の類似）。
対角化可能性.
"n" 次モニック多項式 "p" が "n" 個の相異なる根（つまり同伴行列 "C"("p") の固有値）"λ"1, …, "λ""n" を持つならば、同伴行列 "C"("p") は 
と対角化できる。ただし "V" は "λ""i" たちに対応するヴァンデルモンド行列である。
線型漸化式.
与えられた線型回帰数列の固有多項式が
であるとき、（転置）同伴行列
は、数列の項を一つ進めるという意味で、当該の数列を生成する。式で書けば
が成立する。
"c"0 = −1 かつ他の全ての "i" について "c""i" = 0 のとき、即ち "p"("t") = "t""n" − 1 のとき、行列はシルベスターの巡回時計ずらし行列 (cyclic clock shift matrix) になる。
ベクトル (1, "t", "t"2, …, "t""n"−1) は、"t" が上記固有多項式の根であるとき、固有値 "t" に属する固有ベクトルである。