数演算子

量子力学において数演算子（すうえんざんし）、個数演算子（こすうえんざんし）あるいは粒子数演算子（りゅうしすうえんざんし、）とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。
定義.
生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。
数演算子は以下のように定義される。
性質.
エルミート性.
数演算子formula_3はエルミート演算子である。
生成消滅演算子との交換関係.
数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。
固有値は非負.
数演算子の固有値方程式は、
この固有値formula_7は非負である。
固有ベクトルへの消滅演算子の作用.
数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、
固有値は整数.
数演算子の固有値は整数である。
よって数演算子の固有値は非負の整数である。
固有ベクトルへの生成演算子の作用.
固有ベクトルに生成演算子が作用すると、
となる。真空状態formula_10に生成演算子N回作用させた場合は、
よって、
n粒子状態.
数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 は1粒子基底状態 から成る。
ここで数演算子を生成消滅演算子 , を用いて以下のように定義する。
数演算子は以下の性質を持つ。
ここで は状態 の粒子の数である。