ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう, ）とは, 特殊関数のひとつである. ベータ関数は, 第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお, ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は, 第二種オイラー積分と呼ばれる）.
一般化された関数として, セルバーグ積分がある.
定義.
formula_1, formula_2 を満たす複素数 formula_3, formula_4 に対して, ベータ関数は次式で定義される:
性質.
対称性.
ベータ関数は次のような対称性を持つ.
証明.
置換積分による計算を行う. formula_7 とおくと, formula_8 であり, また積分区間は formula_9 から formula_10 へと変化するから,
したがって, formula_12 が示された.
関数等式.
ベータ関数は次の関係式を満たす.
積分表示.
変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は formula_1, formula_2 である。
ポッホハマーの表示.
formula_23 のリーマン面上の積分路として, 実軸上の formula_24 内の点から出発し, formula_25 を正の向きに, formula_26 を正の向きに, formula_25 を負の向きに, formula_26 を負の向きの順で回って, 元の点に戻るを取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ.
ガンマ関数との関係.
ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く.
級数表示.
ただし, formula_32 は下降階乗冪:
である.
評価.
スターリングの公式より, 複素数formula_3, formula_4 の実部が十分大きな正の値であるとき,
一方, formula_3 が十分大きく formula_4 が固定されているとき,
特殊値.
複素数 formula_3 に対して, 以下が成り立つ.
特に, formula_45
非負の整数 formula_46, formula_47 に対して, 以下が成り立つ.