Club集合

club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。
 という名前は、 (閉) と (非有界) の合成語である。
正式な定義.
正式には、formula_1 を極限順序数として、formula_2 が formula_1 の中で閉であるということは、任意の formula_4 に対して、「 formula_5 ならば formula_6」となることである。従って、formula_7 の中の点列の極限が formula_1 未満であればそれは formula_7 に属する。
formula_1 を極限順序数として、formula_2 が formula_1 の中で非有界であるということは、任意の formula_4 に対して、formula_14 なる formula_15 が存在するということである。
閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。
例として、可算極限順序数全てによる集合は formula_16 の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 formula_1 に対して、formula_1 未満の極限順序数全てによる集合は formula_1 内でclubである。
clubフィルター.
formula_20 を共終数 formula_21 の極限順序数とする。ある formula_22 に対して、列 formula_23 が formula_20 のclub集合の列であったとする。このとき、formula_25 もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。
formula_26 を任意にとる。ある formula_27 に対して formula_28 が存在するとき、formula_29 から formula_30 となるように、formula_31 をとる。これは各 formula_29 が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 formula_21 未満の長さであり、この集合の上限は formula_20 未満である。そこで、これを formula_35 と定める。この方法により、可算列 formula_36 を得る。
この列の極限は formula_37 の極限でもある。そして各 formula_29 は閉で formula_21 が非可算なので、この極限は各 formula_29 の元であるべきで、これは formula_41 より真に大きい formula_25 の元である。これで formula_25 が非有界であることが示された。このことから、formula_20 が正則基数であるとき formula_45 は非自明な formula_20 上の formula_20 -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、formula_48 と表す。clubフィルターは対角線共通部分 () について閉じている。
これがフィルターであることを見る。
まず、formula_49 である( formula_1 自身は formula_1 のclub集合である)。formula_52 ならば、formula_53 を部分集合としてもつ formula_1 の部分集合はやはり formula_48 の元である。
formula_1 -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。
formula_48 が対角線共通部分について閉じていることを確認する。formula_58 をclub集合の列とする。formula_7 をその対角線共通部分すなわち formula_60 とする。 formula_7 が閉であることを示す。formula_62 かつ formula_63 かつ formula_64 とする。このとき、formula_65 とすると、各 formula_66 に対して、formula_67 である。各 formula_68 について、formula_69 である。従って、formula_6 である。よって、閉集合であることは示された。formula_7 が非有界であることを示す。formula_4 として、可算列 formula_73 を以下のように定義する: formula_74 とし、 formula_75 を、formula_76 なるうちでの formula_77 の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして formula_78 かつ formula_79 である。それは、全ての formula_80 について、その要素が formula_81 の元だからである。よって、formula_7 は非有界である。
formula_20 が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、formula_20 が正則で formula_85 を formula_86 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて formula_87 (ただし formula_88 )の形の集合を全て要素に持つとすると formula_85 は全てのclub集合を要素に持つ。