リッカチの微分方程式

リッカチの微分方程式（リッカチのびぶんほうていしき、）は、
非線形1階常微分方程式の1つである。ヤコポ・リッカチが考察した微分方程式である。
リッカチ微分方程式ということもある。リッカチの微分方程式は解が動く真性特異点を持たない1階の常微分方程式として
理論上重要である。
定義.
リッカチの微分方程式は、狭義の意味では、次のような形の非線形1階常微分方程式である。
リッカチが議論したのは、この形の微分方程式である。
現在はより一般化された
の形をした微分方程式もリッカチの微分方程式と呼んでいる
ただし、formula_3 は与えられた formula_4 の関数を表す。
2階線形常微分方程式との関係.
リッカチの微分方程式は、formula_5 が恒等的に 0 でなければ、変数変換
によって、formula_7に関する2階線形常微分方程式
へ変換できる。
また逆に、この formula_7 に関する常微分方程式の独立な2解をそれぞれ formula_10 とする時、
それらの比 formula_11 はリッカチの微分方程式を満足する。
解法.
リッカチの微分方程式の一般解を初等関数によって代数的に求積法で解く事は一般にできないことが、リウヴィルによって証明されている。
しかし、何らかの方法で特解を求めることができた場合は、一般解を以下のようにして
構成できる。今、特解を formula_12 としたとき、formula_13 によって新たな従属変数
formula_14 を導入すると、formula_14 は次の方程式に従う。
これはベルヌーイの微分方程式であるので、常法に従って formula_17 と変数変換すると formula_7 に関する
1階の線形微分方程式
へ変換できる。この微分方程式はすぐに解けて、
を得る。ただし、formula_21 は積分定数である。よって、元のリッカチの微分方程式の一般解は、
として得られる。なお、リウヴィルによる証明はたとえば文献の中で解説されている。
初等関数によって代数的に求積法で解けるための条件.
狭義のリッカチの微分方程式が初等関数によって代数的に求積法で解けるのは、以下の場合に限られることがリウヴィルによって証明されている。
KdV方程式の初期値問題に現れるリッカチの微分方程式.
変形KdV方程式
は、Miura変換
によって、KdV方程式と
の関係で結ばれる。したがって、変形KdV方程式の解はKdV方程式の解である。Miura変換において、formula_7 を既知関数、
formula_31 を未知関数と見なせば、これはリッカチの微分方程式である。上述のように、リッカチの微分方程式は
formula_32 によって2階の線形常微分方程式へ変換でき、
さらに、KdV方程式がガリレイ変換
の下で不変であることを用いると、定常シュレディンガー方程式
を得る。この式を出発点として、逆散乱法(固有値 formula_36 は時間に依存しないと仮定し、formula_37 について散乱データ(formula_38 での入力波と formula_39 での透過係数、formula_40 での反射係数)を与えて、そこからポテンシャル formula_41 の形を決定する問題を解く。)によってKdV方程式の初期値問題の解を求めることができる。