シャッテンノルム

数学の、特に関数解析学の分野におけるシャッテンノルム（）あるいはシャッテン＝フォン・ノイマンノルムとは、トレースクラスノルムやヒルベルト＝シュミットノルムと同様に、"p"-可積分性の一般化として考え出されたノルムである。の名にちなむ。
定義.
formula_1 と formula_2 を可分なヒルベルト空間とし、formula_3 を formula_1 から formula_2 への（線型）コンパクト作用素とする。formula_6 に対して、作用素 formula_3 のシャッテン p-ノルムは次のように定義される：
ここで、formula_9 は formula_3 の特異値、すなわち、コンパクトエルミート作用素 formula_11 の固有値であるとする。正作用素 "T*T" に関する汎函数計算により、次式が従う：
シャッテンノルムが有限であるような作用素はシャッテンクラス作用素と呼ばれ、そのような作用素からなる空間は formula_13 と表される。シャッテンノルムについて、空間 formula_13 はバナッハ空間であり、"p=2" の場合はヒルベルト＝シュミット作用素からなるヒルベルト空間である。
性質.
シャッテンノルムはユニタリ不変である。すなわち、ユニタリ作用素 formula_15 と formula_16 に対して、
が成り立つ。
により、"p"-次シャッテンクラス作用素の空間は "B(H)" 内のイデアルであることが証明される。formula_18 はヒルベルト＝シュミットノルム（ヒルベルト＝シュミット作用素を参照）であり，また formula_19 はトレースクラスノルム（トレースクラスを参照）であることに注意されたい。
双対性.
"p", "q" を共役指数 (1/"p" + 1/"q" = 1) の対，"S" ∈ "S""p"，"T" ∈ "S""q"とするとき，対応するシャッテンノルムは次の形式のヘルダーの不等式を満たす：
"H" 上のコンパクト作用素からなる、作用素ノルムについてのバナッハ空間を formula_21 とすれば、上の形式のヘルダーの不等式は formula_22 に対しても成立することが分かる。このことから、formula_23, formula_24 は well-defined な縮小写像であることが従う（ここで、プライム記号 ' は（位相空間論的な）双対を表す）。