リーマン＝スティルチェス積分

数学の微分積分学周辺分野におけるリーマン＝スティルチェス積分（リーマンスティルチェスせきぶん、）は、ベルンハルト・リーマンとトーマス・スティルチェスに名を因む、リーマン積分の一般化である。
定義.
実変数実数値の函数 "f" の、実函数 "g" に関するリーマン＝スティルチェス積分
は、有界閉区間 ["a", "b"] の分割
の目（大きさ） |"P"| を 0 に近づける極限での、リーマン（＝スティルチェス）和
の極限として定義される。函数 "f" および "g" をそれぞれこの積分の被積分函数 および積分函数 と呼ぶ。
ここでいう「極限」は（リーマン＝スティルチェス積分の値となるべき）数 "A" が存在して、任意の正数 ε > 0 に対して正数 δ > 0 をうまく取れば、|"P"| < δ なる任意の分割 "P" に対し、代表点 "c""i" ∈ ["x""i", "x""i"+1] の取り方に依らず 
とできるという意味である。
一般化リーマン＝スティルチェス積分.
上記を少し一般化したものがで導入され、現在の解析学ではそちらのほうが普通となっている。分割 "P" が別の分割 "P"ε の細分であるとは、単に "P" より目の細かい分割を考えるというだけではなく、"P" が "P"ε に分点を追加して得られることを意味するものとする。函数 "f" の "g" に関する一般化リーマン＝スティルチェス積分の値が "A" であるとは、任意の正数 ε > 0 に対して分割 "P"ε を適当に選べば、"P"ε の任意の細分 "P" に対して、代表点 "c""i" ∈ ["x""i", "x""i"+1] の選び方に依らず
が満たされるようにできることを言う。
この一般化は、一般化リーマンスティルチェス積分が閉区間 ["a", "b"] の分割全体の成す有向集合上のとして得られることを示すものになっている 。はこれを と呼んでいる。
ダルブー＝スティルチェス積分.
リーマン＝スティルチェス積分はの適当な一般化（ダルブー＝スティルチェス積分）としてもきちんと扱うことができる。分割 "P" に対して、函数 "f" の函数 "g" に関する上ダルブー（＝スティルチェス）和
および下ダルブー（＝スティルチェス）和
を考え、これらのそれぞれ下限および上限をそれぞれダルブー＝スティルチェス上積分および下積分と呼べば