ポアソン二項分布

ポアソン二項分布 () とは、統計学および確率論における独立なベルヌーイ試行の和として定義される離散確率分布である。
別の言い方をすれば、これは成功確率がそれぞれ でありそれぞれ独立な 回の試行を行ったときの成功回数の離散確率分布である。
特に、成功確率が全て等しい () ときは、ポアソン二項分布は普通の二項分布になる。すなわち二項分布はポアソン二項分布の特別な場合である。
確率質量関数.
 個の確率変数 () は、それぞれ独立で成功確率がそれぞれ であるベルヌーイ試行とする。すなわち、
とする。確率変数 formula_2 は、このような 回の試行のうちで成功した回数を表す確率変数である。 回成功する確率は次のような和で表現される。
ただし、 は から選べる全ての 要素部分集合の族である。例えば なら、 である。また は の補集合。すなわち formula_4 である。
これが、定義から直接導かれるポアソン二項分布の確率質量関数である。 は formula_5 要素を含み、この数は とともに急速に増大するため、試行回数 が小さい場合以外は実際にこの和を計算することは困難である。（例えば のとき は もの要素を含む）。
幸いにも、formula_6 を計算する非常に効果的な方法がある。1回も成功しない確率が分かれば、 回成功の確率は次のようにして再帰的に計算できる。
ただし、formula_8。
他にも離散フーリエ変換を使う次のような計算も可能である。
ただし、formula_10である。
さらに他の方法も提案されている。
平均と分散.
ポアソン二項分布は独立なベルヌーイ分布に従う 個の確率変数の和だから、その平均と分散は各ベルヌーイ分布における平均および分散の和となる。
レ・カムの定理.
次の定理がルーシェン・レ・カム () によって示された。
次のように仮定する。
このとき、
換言すれば、この和はポアソン分布で近似できる。
各分布がすべて同じ値 formula_17 とすれば、右辺は <math>2\frac