Iのi乗

数学において、虚数単位 の 乗（ の じょう）すなわち とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 と円周率 を用いて、
と書ける（ は任意の整数）。 としたとき、 は主値
を取る（）。
計算の方法.
まず の偏角は（ラジアンで） （ は任意の整数）であることに注意する。
ただし は複素対数函数（多価関数）であり、 は
そして指数関数 は、冪級数
等により定義され、虚数乗も計算できる。
ここで は実数値関数の自然対数であり
と計算される。　とおくと
となる。主値は冒頭の通り のときの である。
数学的性質.
 の取る値はどれも正の実数であるが、 の整数 を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって には最大値も最小値も存在しない。
 の主値 は
であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の の値も超越数である。
なお も 
なので、 である。
テトレーション formula_10 の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。
ただし、 はランベルトのW関数である。