粗空間

数学の一分野である粗幾何学（）における粗空間（）とは、空間の大尺度の構造に関する情報を取り出した構造の一つである粗構造（）を備えた空間である。伝統的な位相空間論では近傍系や連続性などの小尺度構造を問題にしてきたのと対照的に、粗幾何学では（非）有界性や漸近挙動などの大尺度構造を問題にする。粗構造は距離構造の一般化の一つであり、位相構造ではなく一様構造の大尺度構造に関する類似物といえる（位相空間の類似物に当たるのは有界型空間といわれる）。
定義.
集合 formula_1 の直積 formula_2 の部分集合からなる族 formula_3 が、条件
を満足するとき、formula_25 を、formula_1 を台集合、 formula_3 を粗構造(又は近縁系())とする粗空間という。二番目及び四番目の条件より、粗構造は formula_28 上のイデアルとなっている）。
以下混乱の恐れがないときは粗空間 formula_25 を formula_1 と書く。粗構造 formula_3 の元を粗空間 formula_1 の制御集合()または近縁()という。
粗構造 formula_3 が同じ台集合上の別の粗構造 formula_34 よりも細かいとは、 formula_35 となることをいう。このとき formula_34 は formula_3 よりも粗いという。
粗空間 の近縁 formula_7 と部分集合 formula_39 に対し、formula_40 の formula_7-近傍 formula_42 は formula_43 と定義される。同様に一点 formula_44 の formula_7-近傍を formula_46 と定義する。
典型的な状況では、近縁は formula_2 上で対角線 formula_48 から一定の近さに存在し、近縁を formula_49 で垂直に切った断面として得られる近傍は、その集合が中心 formula_50 から有界な範囲に収まっていることを示している。
近縁 formula_7 が対称であるとは、formula_52 ならば必ず formula_53 であることをいう。
条件 1 は一点集合は有界であることを、条件 2 は中心を共有する有界集合の合併は再び有界であることを、条件 3 は有界集合から一定の範囲内は再び有界になることを、条件 4 は有界集合の部分集合は再び有界であることを、条件 5 は近縁は本質的に対称であることを、それぞれ表している。
粗構造のイデアル基を基本近縁系 () という。すなわちcoarse構造 formula_3 の部分集合 formula_55 が基本近縁系とは、formula_3 の各元に対してそれを含むような formula_55 の元がとれるようなものをいう。上述の条件 4 によって、基本近縁系 formula_55 が与えられれば粗構造 formula_3 は (formula_55 の元を含むような formula_2 の部分集合全体のなす集合族として) 一意的に定まる。任意の粗構造は、対称かつ対角線を含む近縁からなる基本近縁系を持つ。
代表的な粗構造として、距離空間 を考えよう。距離空間 formula_62 に対し、formula_63 からなる集合族 formula_64 は、formula_1 の標準的な粗構造(有界粗構造)に関する基本近縁系をなす。このとき、formula_66 の formula_67-近傍とは formula_68 を中心とした半径 formula_69 の閉球のことである。
一様有界.
集合族 formula_70 に対し formula_71 を formula_72 と定義する。粗空間 上の集合族 formula_70 に対し、formula_71 がその粗構造に関する近縁となるとき formula_70 は一様有界であるという。
集合族 formula_76 が集合族 formula_70 の細分であるとは、各 formula_78 に対して、ある formula_79 が存在して formula_80 となることをいう。
formula_81 を粗空間 formula_1 上の一様有界な集合族からなるクラスとする。この時 formula_81 は以下の条件を満たす。
この条件を満たす集合族のクラス formula_81 が与えられたとき formula_104 はある粗構造の基本近縁系となる。
簡単な例.
properな距離空間 上の有界coarse構造及び -coarse構造から定義される部分集合の有界性はどちらも距離から定義される有界性と一致する。二つのcoarse構造は漸近的な振る舞いが異なる。