ブーケ (数学)

数学における（円の）ブーケ（; 花束）は円の集まり（無限個でもよい）を一点で貼り合わせて得られる位相空間である。円のブーケのことをバラ ともいう。ブーケは自由群に近しい関係をもち、代数的位相幾何学において重要である。
円を束ねたブーケ の一般化として、円 "S"1 の代わりに任意次元の球面 "S""n" を束ねて得られるブーケを球面のブーケ という。
定義.
円のブーケは複数の円周の一点和（ウェッジ和）として得られる。つまり、円周 "S"1 の "p"-個の複写 "S"11, "S"12, ..., "S"1"p" とそれらのおのおのから選んだ一点 "x""i" ∈ "S"1"i" からなる基点付き円周の集合 {("S"1"i", "x""i") | "i" = 1, 2, ..., "p"} が与えられたとき、これら "p"-個の円周の非交和（集合論的直和）を各基点 "x""i" を全て一点に同一視して得られる商位相空間
を "p"-弁 のブーケと呼ぶ（この右辺の同相類が基点の選び方に依らないことに注意）。胞体複体としてブーケはただ一つの頂点と各円に対応する辺をもつ。これは位相グラフの簡単な例を与える。
"n"-弁のブーケは一つの円周上の "n"-点を同一視することでも得られる。二弁のブーケは「8の字」 としても知られる。
自由群との関係.
"n"-弁のブーケの基本群は各弁に対応する "n"-個の生成元をもつ自由群であり、ブーケの普遍被覆はこの自由群のケイリーグラフと同一視することのできる無限木である（これは任意の群の表示に対応するの特別の場合である）。
ブーケの中間被覆は、対応する自由群の部分群に対応する。ブーケの任意の被覆がグラフであることに着目すれば「自由群の任意の部分群は自由である」というニールセン-シュライヤーの定理の簡単な証明が得られる。
ブーケの普遍被覆は可縮であるから、ブーケは実質的に対応する自由群 "F" に対するである。これは、"n" ≥ 2 に対するコホモロジー群 "H""n"("F") が自明であることを意味している。
球面のブーケ.
"n"-次元球面 "S""n" の "k"-個の複写の一点和
を "k"-弁の球面ブーケという。
ホモトピーにおけるよくある構成は "n"-次元球面 "S""n" の赤道に属する点をすべて同一視することである。こうして得られるものは、二つの球面の複写を（もともとの赤道であった）一点でつないで得られる
である。写像 Ψ を赤道を一点に同一視する写像 Ψ: "S""n" → "S""n" ∨ "S""n" とすれば、基点 "x"0 ∈ "X" 付き位相空間 ("X", "x"0) の "n"-次元ホモトピー群 π"n"("X", "x"0) の二つの元 "f", "g" の和を、"f" および "g" の Ψ との合成
として理解することができる。ここで、"f" および "g" は "f", "g": "S""n" → "X" なる写像で、基点 "s"0 ∈ "S""n" を基点 "x"0 ∈ "X" に写すようなものとして考えるものとする。上で与えた二つの写像のウェッジ和は、台空間となるウェッジ和の中で同一視される基点において "f"("s"0) = "g"("s"0) = "x"0 となることから定義可能であるということに注意。