線型連続体

数学の順序理論の分野において、線型連続体(せんけいれんぞくたい、)とは実数直線を一般化したものである。ここでの「連続体」という語は連続体 (位相空間論)とは異なる。
正確には、線型連続体とは、上に有界な非空部分集合が上限をもつという意味で“ギャップ”を欠いており、稠密順序づけられた-つまり任意の二元の間に元が存在するような-空でない全順序集合"S" のことである。
さらに記号的にいうと
上限性質とは、いかなる空でない上に有界な部分集合は上限を持つということである。順序位相が与えられた順序集合が連結であるか否かを確かめるために使われる点で、線型連続体は特にトポロジーの分野で重要である。
例.
実数の例の他にも
位相的性質.
線型連続体は順序集合論の研究において重要であるが、トポロジーの分野においての応用が存在する。実際、順序集合が線型連続体であるとき、かつそのときに限り、順序位相の入った順序集合が連結であることを証明しよう(“であるとき、かつそのときに限り”に注意せよ)。一つを暗に証明し、もう一つは練習としておこう。参考文献ではその証明が書かれている。
"X" を順序位相の入った順序集合とする。そのとき、"X" が連結であれば"X" は線型連続体である。
x<yなる"X" の元x,yをとる。x<z<yなる"X" の元zが存在しないと仮定し、次の集合を考える。
これらの集合は
これは"X" が連結であることに反する。よって、"X" はb)を満たす。
次に上限性質を持つことを証明しよう。Cを"X" の上に有界な部分集合で上限を持たないとし、DをbをCの上界として(b,+∞)の形のすべての半直線(open ray)の和であるとする。
そうすると、Dは
を満たす。このDとその補集合はX上の分離(separation())を形成する。これはXが連結であることに反する。よって、上限性質を満たす。
参考文献.
Munkres, James (1999). Topology, 2nd ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.