拡散数

拡散数（かくさんすう、）とは、陽解法を用いた拡散方程式の数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数"d" は次式で定義される。
ここで
である。
導出.
1次元の拡散方程式：
ここで
を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。
この式を拡散数"d" を用いて書き直すと、時間ステップ"n" +1 における物理量"u""i""n" +1 を
と表すことができる。
拡散数による安定性の評価.
拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには
である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。
つまり時間間隔Δ"t" をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δ"x" を小さくする場合、Δ"t" はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。