定常集合

数学、特に集合論やモデル理論において定常集合（ていじょうしゅうごう、）という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:
古典的な意味付け.
formula_1を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合formula_2がformula_1の
いかなるclub集合とも交わるならば、formula_4をformula_1内の定常集合という。
定常でない集合は非定常集合という。
formula_4が定常でformula_7がclubなら、その共通部分formula_8はまた定常である。
それは、formula_9をclub集合とするとformula_10はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、
formula_11は空でない集合となる。
ゆえに、formula_12は定常である。
非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。formula_13の共終数が可算であったとして、
formula_14がformula_13内で定常であるのはformula_16が
formula_13内で有界であることと同値である。
特に、formula_13の共終数が
formula_19であるなら任意の二つのformula_13の定常集合の共通部分は定常である。
これはformula_13の共終数が非可算なときは起こらない。
実際、formula_13を正則基数でformula_14をその中の定常集合とすると、formula_24はformula_13個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はによるもので、formula_13が後続型基数のとき、
このことはスタニスワフ・ウラムによって、
いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。
イェフによる意味付け.
formula_27の部分集合にも定常集合の概念は定義される。
ここで、formula_27はformula_29のことである。
formula_30が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。
formula_27の部分集合がclubであるとは、formula_32の下で非有界かつ、
formula_33以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。
この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、formula_34とすると
formula_35が定常であることと、
formula_36がformula_37の中で定常であることは一致する。
フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。
一般化された意味付け.
三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。
この概念は, , サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。
formula_38Xを空でない集合とする。formula_39がclubであるとは、
関数formula_40でformula_41を満たすものが存在することを言う。
ここでformula_42はformula_43の有限部分集合全体による集合のことである。
formula_44がformula_45で定常であるとは、Sがformula_45の全てのclub集合と交わることを言う。
モデル理論との関連を見る。formula_47を対象領域をformula_38とする可算な言語上のストラクチャー、
formula_49がformula_47への[[スコーレム関数]]であるとすると、定常集合formula_24は
formula_47の初等部分構造をもつ。
実際、formula_44が定常であることは、任意のこのようなストラクチャーformula_47に対して、formula_47の初等部分構造がformula_24に属することと同値である。
参考文献.
Matthew Foreman, "Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory", in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS 
Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 
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外部リンク.
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