楕円型偏微分方程式

数学の分野における楕円型偏微分方程式（だえんがたへんびぶんほうていしき、）とは、一般的な二階の偏微分方程式
で次の条件を満たすもののことを言う：
（ここで、暗に formula_3 を意味している）。
円錐断面や二次形式を分類する際に判別式 formula_4 を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式はformula_5 となる（詳細については「」を参照されたい）。前述の形式は、平面上の楕円の方程式
と同様のものである。この方程式は（formula_7 である場合には）
および formula_9 へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 formula_10 に類似している。
一般的に、"n" 個の独立変数 "x"1, "x"2 , ..., "x""n" が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される：
ここで、L は楕円型作用素である。
例えば、三次元 (x,y,z) においては
が得られる。ここで、u が（すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z)）である場合には、
が得られる。
これは、楕円体の方程式 formula_14 と対応している。
いちばん簡単な例は,
のようなラプラス方程式である。