移流拡散方程式

移流拡散方程式とは、移流方程式と拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。
数学的表現.
物理量φ("t" , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数"D" で拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される：
解析解.
1次元で、係数"c" , "D" が定数の移流拡散方程式
については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する：
また、初期条件としては次を仮定する:
（実質的に"t" > 0, "x" > 0 の解にのみ興味がある。）
このとき、解は
となる。ここで、erfc("z" )は相補誤差関数である。
定常解.
上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる。このとき移流拡散方程式は
である。"x" の範囲は区間 [0, "L" ] 内とし、境界条件として
とする。この時の解析解は
ただし
と表される。ここで"Pe" はペクレ数（）といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。
この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。