ポアンカレ双対

数学において，ポアンカレ双対性定理は，多様体のホモロジー群とコホモロジー群の構造に関する基本的な結果である．名前はアンリ・ポアンカレにちなむ．定理の主張は以下のようである． を 次元の向き付けられた閉多様体（コンパクトかつ境界を持たない）とすると， の 次コホモロジー群はすべての整数 に対して 次ホモロジー群と同型である： 
ポアンカレ双対性は，係数環に関して向きを取る限り，任意の係数環に対して成り立つ．特に，すべての多様体は 2 を法として一意的な向き付けを持つので，ポアンカレ双対性は向きの仮定なしに 2 を法として成り立つ．
歴史.
ポアンカレ双対の形式は、1893年にアンリ・ポアンカレによって提唱された。（ただし、証明は無かった。）そのポアンカレ双対はベッチ数の観点で与えられた。つまり、閉（コンパクトかつ境界を持たない）向き付け可能なn次元多様体のk次と(n-k)次のベッチ数は等しいということである。その当時、コホモロジーの概念が明快化されるまで約４０年あった。1895年に出版した論文、'で、ポアンカレは、自身が生み出した位相的交叉理論"' (topological intersection theory)によって、定理を証明しようと試みた。ポウル・ヘーガードの批判によって、ポアンカレは自身の証明に致命的な誤りがあることに気がついた。"Analysis Situs" の最初の２編に、双対三角形分割による新たな証明を与えた。
ポアンカレ双対は1930年代のコホモロジーの誕生まで、現代の形をとらなかった。1930年代に、とハスラー・ホイットニーが導入したキャップ積とカップ積により、ポアンカレ双対は現代の形に定式化された。