測度収束

数学の分野における測度収束（そくどしゅうそく、）とは、確率収束の概念を一般化する、二つの異なる数学の概念に対して用いられる語である。
定義.
formula_1 を、測度空間 ("X",Σ,"μ") 上の可測関数とする。関数列 ("f""n") が "f" へと大域的に測度収束するとは、すべての "ε" > 0 に対して
が成立することを言う。また、同様の関数列が "f" へと局所的に測度収束するとは、すべての "ε" > 0 および formula_3 であるようなすべての formula_4 に対して
が成立することを言う。
測度収束という語は、人によって、上述の大域的あるいは局所的のいずれかの場合に対して用いられる。
性質.
以下では、"f" と "f""n" ("n" formula_6 N) は "X" → R の可測関数とする。
反例.
formula_8 とし、"μ" をルベーグ測度とし、"f" を値がゼロであるような定数関数とする。
位相.
"X" からの可測関数の系（collection）で、局所的な測度収束が位相上の収束に対応するようなものについて、（局所）測度収束の位相と呼ばれる位相が存在する。この位相は、擬距離の族
によって定義される。ここで
とする。
この位相は擬距離の族によって生成されているため、一様化可能である。位相の代わりに一様構造を考えることで、コーシー性のようなを構成することが出来る。