代数体

数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 "K" の有理数体上の拡大次数 formula_1 を、"K" の次数といい、次数が "n" である代数体を、"n" 次の代数体という。
特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
"K" を "n" 次の代数体とすると、"K" は単拡大である。つまり、"K" の元 "θ" が存在して、"K" の任意の元 "α" は、以下の様に表される。
このとき "θ" は "n" 次の代数的数であるので、"K" を formula_2 上のベクトル空間とみたとき、formula_3 は基底となる。
整数環.
"n" 次の代数体 "K" に含まれる代数的整数全体の集合を formula_4 とすると、以下のことが成立する。
特別な代数体の整数環については、その数論的性質が詳しく研究されており、特別な名称が付けられている。
基本的な概念.
以下において、代数体 "K" の元 "α" に対して、formula_24 を、"α" の共役数とする。
共役体.
"K" を "n" 次の代数体とし、formula_25 とする。θ の共役数 formula_26 に対して、
formula_27 (formula_28) を、"K" の共役体 (conjugate field)という。もし "K" の共役体が全て "K" と等しいとき、"K" はガロア体 (Galois field)または有理数体上のガロア拡大体という。
共役体 formula_29 が実数の部分体すなわち formula_30 が実数であるとき、 formula_29 を実共役体 (real conjugate field)という。そうでない場合、虚共役体 (imaginary conjugate field)という。
"K" の共役体のうち、実共役体の個数を formula_32、虚共役体の個数を formula_33 とすると、formula_34 であり、formula_33 は偶数である。
"K" の全ての共役体が実共役体であるとき、"K" を総実体 (totally real field) または総実代数体という。また、全ての共役体が虚共役体であるとき、"K" を総虚体 (totally imaginary field) または総虚代数体という。
判別式.
"K" の整基底 formula_13 に対して、以下の形の行列式を考える。
すると、formula_37 は整基底の取り方によらず一定の値である。
formula_37 を "K" の (discriminant)といい、formula_39 で表す。
イデアル.
ここでは、代数体上のイデアルに特化した内容を述べる。
分数イデアル.
以下の3条件を満たす formula_67 の部分集合 formula_47 を、"K" の分数イデアル (fractional ideal)という。
formula_4 上の通常のイデアルは、明らかに分数イデアルである。通常のイデアルと分数イデアルとを区別する必要があるとき、通常のイデアルのことを、整イデアル (integral ideal) という。
formula_47 を "n" 次代数体 "K" の分数イデアルとすると、formula_79 が存在して、formula_47 の元は、formula_79 の有理整数を係数とする1次結合で一意的に表現される。このとき、formula_82 を、formula_47 の基底という。
代数体 "K" の分数イデアルは、イデアルの乗法で、可換な乗法群をなす。単位元は、formula_84 であり、formula_47 の逆元は、
である。
これを、イデアル群 (ideal group)という。
任意の分数イデアル formula_47 は、一意的に、
と素イデアルの積で表される。
分数イデアルのノルム.
formula_47 を、"n"次代数体 "K" の分数イデアルとし、formula_79 を、formula_47 の基底とする。また、formula_90 を、代数体 "K" の整基底としたとき、formula_91 は、基底の取り方に依存しない。そこで、formula_91 を、分数イデアル formula_47 のノルムといい、formula_51 と書く。
イデアル類群.
代数体 "K" のイデアル群を formula_99 とし、formula_99 に含まれる単項イデアル全体を、formula_101 とおくと、formula_101 は、 formula_99 の部分群となる。剰余群 formula_104 を "K" のイデアル類群 (ideal class group) という。
単数.
代数体 "K" に対し、"K" の元 "ε" で生成される単項イデアル (ε) が formula_4 と等しいとき、"ε" は、"K" の単数 (unit)であるという。同値な定義として、 "ε" および formula_106 が共に formula_4 の元であるとき、"ε" は単数である。
単数群.
代数体 "K" に対し、"K" の単数からなる集合は、可換な乗法群である。これを "K" の単数群 (unit group) という。
ディリクレの単数定理.
ディリクレの単数定理 (Dirichlet's unit theorem)。代数体 "K" の次数を "n" とし、formula_108 を、"K" の実共役体、虚共役体の個数とする。このとき、"K" の単数群 formula_109 は 以下の性質を持つ formula_110 個の生成元 formula_111 を持つ。
基本単数系.
ディリクレの単数定理で与えられる formula_113 を基本単数系 (fundamental units system) といい、それぞれを、基本単数 (fundamental unit) という。
注意：基本単数系は、"K" に対して1組しか存在しないわけではない。以下のことにより、一般に、基本単数系は無限に存在する。
単数基準.
代数体 "K" の基本単数を formula_125 とし、
としたとき
とおくと、先に述べた基本単数系になる条件から、formula_126 は基本単数系によらず一定の値である。この値を "K" の単数基準 (regulator) またはレギュレータという。
類数.
代数体 "K" のイデアル類群 formula_127 は有限群であるが、イデアル類群の位数のことを類数 (class number) という。
類数公式.
一般の代数体に対して、類数を求める公式があり、それを一般に類数公式 (class number formula)という。
しかし、与えられた代数体の類数を求めることは大変難しい。二次体の類数公式や円分体の類数公式を見れば、類数を求めることがいかに難しいかがわかるであろう。
素点.
無限素点.
"n"次代数体 formula_25 に対して、θ の共役数を以下の様に並べる：
formula_134 は実数で、formula_135 に対して、formula_136 は複素共役とする。但し、formula_137 とする。
formula_138 に対して、"K" 上のアルキメデス付値 formula_139 を
とおく。但し、formula_140 は、実数または複素数の絶対値を "K" に制限したものである。
すると、これら formula_110 個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。
formula_138 に対して、正規付値 formula_139 に同値な "K" の乗法付値全体の集合を formula_144 とおいたとき、 formula_145 を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、 formula_146 を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、formula_147 を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
有限素点.
formula_58 を代数体 "K" の素イデアルとする。"K" の 0 でない元 "α" に対して
但し、formula_149 を formula_58 と互いに素な分数イデアル、"μ" を有理整数と表したとき、
によって、"K" 上の非アルキメデス付値を定める。
すると、formula_58 と formula_152 が相異なる素イデアルとすれば、formula_153 と formula_154 は同値ではない。
この乗法付値を formula_58 に対する正規付値という。
formula_153 と同値な "K" の乗法付値全体の集合を formula_157 としたとき、これを有限素点 (finite prime/finite place)または有限素因子という。
素点.
無限素点と有限素点を合わせて素点 (prime/place)または素因子という。 　
積公式.
formula_158 を素点の1つとし、formula_159 を formula_158 に含まれる正規付値とする。
このとき、"K" の 0 でない任意の元 "α" に対して
が成立する。但し、積は "K" の素点全てを動くものとする。
つまり、任意の代数体に対して、付値の集合を正規付値全体の集合とすれば、積公式が成立する。