孤立点

位相空間論において、位相空間 の点 が の部分集合 の孤立点（こりつてん、）であるとは、 が に属し、かつ、 の近傍であって 以外の の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。
特に がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、 が の孤立点であるとは、 を中心とする開球体のうち 以外の の点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点 が において孤立するための必要十分な条件は、 が の集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合 という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合 が実数全体のなす集合 において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 に差の絶対値を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
孤立点を持たない集合はであるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。
「孤立点の数」というのは位相的性質（位相不変量）の一種である。すなわち、位相空間 と が互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。
例.
以下に示す位相空間は実数直線 の部分位相空間と見なす。
直観に反する例.
実数直線内の開区間 に属する点 であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を とする。 
これは感覚的に言えば、 の二進小数展開の各位の数で に等しいものはどれも連続した の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。
さて は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である一方で、 はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ。
同様の性質を持つ集合 の別な例は、単位閉区間 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、 の閉包は とカントール集合との合併であり、可算でない。