ナルシシスト数

ナルシシスト数（ナルシシストすう、）とは、"n" 桁の自然数であって、その各桁の数の "n" 乗の和が、元の自然数に等しくなるような数をいう。例えば、13 + 53 + 33 = 153 であるから、153 はナルシシスト数である。
定義より明らかに、1桁の自然数は全てナルシシスト数である。2桁のナルシシスト数は存在しない。ハーディは、著書『ある数学者の生涯と弁明』において、3桁のナルシシスト数は、153, 370, 371, 407 のみであることに言及している。ナルシシスト数を小さな方から列挙すると、
となる。
ナルシシスト数が有限個しか存在しないことは、簡単に証明できる。"n" 桁の自然数のうち、各桁の "n" 乗和が最大になるのは、10"n" − 1 に対する "n" × 9"n" である。一方、"n" 桁の自然数のうち、最小のものは 10"n"−1 である。十分大きな "n" に対して "n" × 9"n" < 10"n"−1 となる（実際、"n" > 60 でこの不等式は成り立つ）が、そのような "n" に対しては、"n" 桁のナルシシスト数は存在しない。
ナルシシスト数は(0を含めないならば)全部で88個存在し、その最大のものは39桁の数
二番目に最大のものは
である。
十進法に限らず、他の基数においても同様にナルシシスト数を定義できる。