ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、"p", "q", "r", "s" をそれぞれの辺の長さ、"T" を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は
に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。
証明.
四角形の面積を "S" とすると、
より
を得る。また、余弦定理より、
であるから
を得る。4"S" についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos("A" + "C") = cos "A" cos "C" − sin "A" sin "C" を用いると、
となる。倍角の公式 formula_8 を用いて変形すると、
となる。この式は、半周長
を用いて
となり、ブレートシュナイダーの公式を得る。
関連する公式.
円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式
が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、 であることから
が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、
となる。また、上記の証明は として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式
を得る。