区分行列

区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。
区分け.
例えば、4つの行列
を並べてできる 4 × 5 行列
を、"A", "B", "C", "D" をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。
一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。"A""ij" たちをブロックとする区分行列
が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。"A""i j" が "m""i" × "n""j" 行列である場合、この形の区分けを ("m"1, …, "m""q"; "n"1, …, "n""r") 型と呼ぶ。
区分行列の積.
ふたつの区分行列
の区分けがそれぞれ ("l"1, …, "l""p"; "m"1, …, "m""q") 型、("m"1, …, "m""q"; "n"1, …, "n""r") 型であるとき、その積 "AB" の ("l"1, …, "l""p"; "n"1, …, "n""r") 型の区分け
の各ブロックは
で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。
対称区分け.
正方行列 "P" の区分け
において、主対角線上のブロック "A"1 1, "A"2 2, … "A""r r" がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について
が成り立つ。よって、そのような "P" が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。
2 × 2 の区分行列の逆行列.
本節では、"A" は正則行列、"D" は正方行列とし、区分行列
の逆行列を与える。
まず、行列式について、
が成り立つ。よって、"P" が正則であるための必要十分条件は、"D" − "CA"−1"B" も正則であることであり、このとき逆行列は
で与えられる。"D" も正則な場合は
と表される。さらに "C" が零行列 "O" に等しい場合は
となる。