レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理（レイノルズのゆそうていり）は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状formula_1上の積分で表される物理量formula_2の物質時間導関数（物質時間微分）について成立する次の式のことである：
概要.
物質点に付随する物理量formula_2の変形形状formula_1における総量は、以下に示す体積積分で求められる：
ここで、formula_7は、時刻formula_8における注目する物質点formula_9の物質量である。formula_2は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。
今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分）formula_11を用いて次のように表される：
上の式では被積分関数であるformula_13に加えて、積分領域formula_1も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度formula_15を用いてformula_1の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。
導出.
基準形状(変形なし形状)formula_17における座標formula_18と写像formula_19によって、変形形状における座標formula_20を表す。
上記の変換に伴って、積分領域を変形形状formula_1から基準形状(変形なし形状)formula_17に、積分変数をformula_24からformula_25に変換する。
ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積d"V" と、変形形状κ"t" における微小体積d"v" には体積変化率"J" を用いて次の関係が成り立つことを利用した。
新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率"J" が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。
この式は
であることを利用すると、次のように整理される：
今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κ"t" に、積分変数をd"V" からd"v" に変換する。
結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。
例.
連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。