主値

複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。
必要性.
複素対数関数 log "z" は、一つの複素数 "z" を以下を満たす複素数 "w" に移す関数である。
例えば、formula_2 の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として "w" を求めることになる。
オイラーの公式から、formula_4 が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点 formula_5 の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。formula_6 から反時計回りに formula_7 ラジアンだけ回転した点が formula_5 になるが、ここからさらに formula_9 回転すると、また formula_5 になる。したがってformula_11 も formula_2 の値であると考えることができ、また formula_9 だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。
しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり formula_2 の値は一意に定まらない、ということである。log "z" は、"k" を任意の整数として
と書ける。"k" の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。
ここで "k" = 0 に相当する分枝を、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。
一般化.
一般に "f"("z") が多価関数のとき、"f" の主値を
と書き表す。これは、"f" の定義域内の複素数 "z" について一価の関数となる。
主な関数の主値.
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。
対数関数.
対数関数の例は上述したが、その形は
である。ここで formula_18 が多価である。この偏角の取りうる範囲を formula_19 に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って formula_20 と書く。関数の定義に formula_18 の代わりに formula_20 を使うことで、対数関数が一価になり、
と書くことができるようになる。
指数関数.
formula_24 を複素数（formula_25）とするときの指数 formula_26 について考えるとき、一般には "z"α を "e"α log "z" として定義する。ここで Log でなく log を使うと、"e"α log "z" は多価関数となる。Log を使えば以下の形で "z"α の主値を取ることができる。
平方根.
複素数 formula_28 の平方根の主値は以下のようになる。
ここで偏角は formula_30 の範囲である。
複素数の偏角.
ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。