群上の加群

数学において、与えられた群 "G" 上の加群（かぐん、）または "G"-加群 とは、アーベル群 "M" であって "M" の群構造と両立する "G" の作用を持つものをいう。これは"G" の表現に広く一般に用いることのできる概念である。群コホモロジーは "G"-加群の一般論の研究において重要な道具をいくつも提供する。
"G"-加群という用語はもっといっぱんに、"G" が線型に（つまり "R"-加群の自己同型からなる群として）作用する"R"-加群に対しても用いられる。
定義と基本事項.
"G" を群とする。左 "G"-加群あるいは "G"-左加群は、アーベル群 "M" に左からの群作用 ρ: "G" × "M" → "M" で
となるものをあわせて考えたものである。右 "G"-加群、"G"-右加群 も右からの作用を考えて同様に定義される。左 "G"-加群 "M" が与えられたとき、"G" の右からの作用を
で定義することにより、"M" を右 "G"-加群にすることができる。
"G"-加群 "M", "N" の間の写像 "f": "M" → "N" が "G"-加群の準同型あるいは "G"-線型写像、"G"-準同型であるとは、"f" が "G"-同変な群準同型であるときにいう。
左 "G"-加群と "G"-準同型全体のあつまりはアーベル圏 "G"-Mod を成し、"G"-Mod は群環 Z["G"] 上の左加群の圏と同一視することができる。作用を右からに変えて得られる圏 Mod-"G" についても同様である。
"G"-加群 "M" の部分 "G"-加群あるいは"G"-部分加群 または単に（"G"-加群としての、"G" の作用まで込めた）部分加群とは、（抽象群としての）部分加群 "A" ⊆ "M" であって "G" の作用に関して不変、つまり任意の "g" ∈ "G" に対して、
となるものをいう。"M" とその部分加群 "A" が与えられたとき、商 "G"-加群あるいは "G"-商加群または剰余 "G"-加群あるいは "G"-剰余加群 "M"/"A" が、作用を考えない抽象群としての剰余群 "M"/"A" に "G" の作用を
とさだめることによって定まる。
位相群上の加群.
"G" が位相群で、"M" が位相アーベル群のとき、"M" が位相 "G"-加群であるとは "M" は "G"-加群であって、（"G" × "M" に直積位相を入れるとき）作用 "G" × "M" → "M" が連続であるときにいう。