射有限群

数学において射有限群（しゃゆうげんぐん、）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
射有限完備化.
任意に与えられた群 "G" に対して、"G" の射有限完備化 と呼ばれる射有限群 "G"^ を考えることができる。これは、"N" が "G" の指数有限な正規部分群全体を亘るとき、剰余群 "G"/"N" が（正規部分群の包含関係で与えられる半順序構造を移行することにより導かれる剰余群の間の自然な準同型に関して）成す逆系の射影極限として定義される。このとき、自然な準同型 η: "G" → "G"^ が存在して、この準同型による "G" の像は "G"^ において稠密である。この準同型 η が単射となるのは、群 "G" が剰余有限である（"N" が指数有限なる正規部分群すべてを亘る共通部分が自明、つまり
が成立する）ときであり、かつそのときに限る。また、準同型 η は次のような普遍性によって特徴付けられる。すなわち、任意の射有限群 "H" と任意の群準同型 "f": "G" → "H" が与えられたとき、連続群準同型 "g": "G"^ → "H" で "f" = "g"η を満たすものが一意的に存在する。
入射有限群.
射有限群の圏論的な意味での双対として、入射有限群 の概念が有限群の成す帰納系（順系）の帰納極限（直極限）となる群として定められる。事実としてこの条件は、任意の有限生成部分群が有限であるという条件に同値であり、通常は入射有限とは言わず、局所有限であるという。
ポントリャーギン双対を用いれば、可換な射有限群は局所有限な離散可換群の双対になっていることが見てとれる。後者の群はちょうど可換なねじれ群（任意の元がねじれ元であるような群）である。