モノイド圏

数学におけるモノイド圏（モノイドけん、; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、）は、（自然同型の違いを除いて結合的な と、 について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 を備えた圏 である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証した（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。
ベクトル空間、アーベル群、-加群、-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。
圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。
モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、は場の量子論やひも理論に応用をもつ。
形式的定義.
モノイド圏 は、以下に挙げる構造を備える圏 を言う:
ここで、これらの自然変換に対する整合性条件とは次のようなものである。
自然変換 が恒等変換である（すなわち結合律、単位律が同型でなく等号で成立する）ようなモノイド圏は、強モノイド圏、狭義モノイド圏、厳密モノイド圏 などと呼ぶ。任意のモノイド圏は、ある強モノイド圏にモノイド同値である。
性質と関連概念.
自由強モノイド圏.
任意の圏 に対して、 を含む自由強モノイド圏 が次のように構成される。
 を に写す作用素 は 上の強 2-モナドまで拡張することができる。