クッタ・ジュコーフスキーの定理

流体力学におけるクッタ・ジュコーフスキーの定理（クッタ・ジュコーフスキーのていり、）とは、物体まわりの循環値と揚力の関係を示す式である。飛行機の翼など形状による揚力と変化球などのマグヌス効果による揚力が統一して説明される。
マルティン・ヴィルヘルム・クッタ (Martin Wilhelm Kutta 1867-1944）が1902年に、ニコライ・ジュコーフスキー (Nikolai Zhukovsky 1847-1921、またはJoukowski) が 1906年に、それぞれ独立に導いた。
概要.
平行流中に置かれた翼体を考えるとき、翼体の上流側よどみ点で分かれた流体が下流で合流するまでの間、揚力が上向きの場合に物体の上面側の流れが下面側より速い。非粘性とみなせる場合に断面で見た翼体形状の線の上で循環が見積もられる。
この循環の効果として翼体に作用する揚力を解釈できる。
完全流体の二次元流について、流れにさらされた柱状物体に働く単位長あたりの揚力 L は、流体の密度 ρ、流速 U、物体形状線上で見積もられる循環 Γ の積で表される。
この定理は、二次元流れを対象とする。球のような三次元的形状についても定性的に利用できる。また、マグヌス効果の解析的な解である。
揚力係数との対応.
翼の移動速度と揚力の関係式として、次の式が知られている。
一方で本項の定理について、翼周り循環 Γ を翼断面線の長さを 2S’ とし、線上の平均速度 u' で置き換えると次の式が得られる。
formula_4 
翼断面が薄板状に近いときなどは formula_5 であり formula_6 となる。
これは翼面表面を周りこむ流動の規模と揚力との量関係を示している。
導出.
ここでは2つの導出を記す。 1つめはヒューリスティクス である。 2つ目はベクトル解析と複素解析を用いる厳密な導出である。
Heuristic argument.
コード長 formula_7 スパン長無限の薄い翼体が、密度 formula_8 の空気中を移動する。このとき翼体を傾けて2つの翼面の一方の速度が formula_9 もう一方の面の速度が formula_10 となったとき、
循環はつぎのように表される。
翼体上下の圧力差 formula_12 は ベルヌーイ式によりつぎのように導かれる。
単位スパン長あたりの揚力は
となる。
この式の 微分形 を平板の要素に当て嵌めたものが thin-airfoil theory　の基礎となる。
厳密な導出.
先に要点をまとめると、
以上は、特定の条件下について複素解析により証明可能である。