群の中心

代数学における群 の核心または中心（ちゅうしん、） は の全ての元と可換となるような元全体の成す集合
である。 の中心は の部分群であり、定義からアーベル群（可換群）である。部分群としては、常に正規であり、特性的であるが必ずしも完全特性的 ではない。剰余群 は の内部自己同型群に同型である。
群 がアーベル群となることと となることとは同値である。これと正反対に、 が自明（つまり単位元のみからなる）ならば群 は中心を持たない という。
中心に属する元はしばしば中心的 であるといわれる。
部分群となること.
 の中心はつねに の部分群となる。実際、
共軛.
群 から の自己同型群 への写像 を で定める。ここで は
で与えられる の自己同型とする。写像 は群準同型を与え、その核はちょうど "G" の中心 である。また、 の像は の内部自己同型群と呼ばれ、 と書かれる。第一同型定理により
なる同型を得る。写像 の余核 は外部自己同型群とよばれる群 で、これらの群は完全列
を成す。
高次の中心.
群をその中心で割るという操作から、昇核心列あるいは昇中心列 と呼ばれる群の系列
が得られる。全射準同型 の核は の -次の中心（二次の中心、三次の中心、など）と呼ばれ、"Z""i"("G") で表される。具体的に、-次の中心は -次の中心の元を掛ける違いを除いて全ての元と可換となるような元の全体である。この定義の下では、-次の中心というのを自明な部分群として定めることができる。また、この定義は超限帰納法を用いて超限順序数にまで続けることができて、高次の中心全ての結びは超中心 と呼ばれる。
部分群の昇鎖
が で停止する（つまり となる）必要十分条件は が中心を持たないことである。