漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。
漸近級数.
関数 formula_1 を定義域が実数の領域で定義された関数とし、formula_2 を formula_1 の定義域内の点とする。
関数列 formula_4 が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
実数列 formula_6 が存在して、任意の正整数 "n" に対し
が成立するとき、
を formula_1 の漸近級数といい、
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。
漸近関数列が formula_10 formula_11 または formula_12 formula_13 の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、formula_1 の漸近級数を得ることを漸近展開といい、
formula_1 の漸近級数 formula_16 が存在する場合、
formula_1 は漸近展開
を持つという。
性質.
一意性.
任意の関数 formula_1 に対して、formula_1 に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。 
さらに、漸近級数の各係数は
で与えられる。
和と積.
点 formula_2 の近傍で定義された関数 formula_23 は、漸近関数列 formula_4 に対する漸近展開
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
が成立する。
さらに、漸近関数列が formula_25 formula_26 である場合、 
が成立する。
項別微分.
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列 formula_4 は各 "n" に対して、formula_2 の近傍で微分可能であり、関数列 formula_29 が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 
formula_1 は、formula_2 の近傍で微分可能であり、
となる漸近展開を持ち、formula_32 が漸近関数列 formula_29 を用いて漸近展開することができるのであれば 
が成立する。
項別積分.
formula_34 とし、formula_1 の漸近展開を
とする。定積分
が各 "n" に対して存在するならば、
が存在して、
が成立する。
formula_36 のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
\ \ \ (x\to\infty)
を持つ場合、
\ \ \ (x\to\infty)
とする必要がある。
例.
スターリングの公式の一般化.
ガンマ関数は
という漸近展開を持つ。特に、"x" が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。
合流型超幾何関数.
合流型超幾何関数 ():
は次の漸近展開を持つ。
formula_39は複素数の偏角であり、formula_40はポッホハマー記号である。
誤差関数.
誤差関数
\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt
は、以下の様な漸近展開を持つ。
指数積分.
指数積分
の漸近展開は、
\ \ \ \ (x\to\infty)
で与えられる。
ラプラス変換.
formula_1 を何回でも微分可能な関数としたとき、formula_1 のラプラス変換 
の漸近展開は、
\ \ \ \ (x\to\infty)
で与えられる。
微分方程式の解.
微分方程式
の解は
で与えられ、
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の formula_43 で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
調和級数.
調和級数は
という漸近展開を持つ。ここで、formula_44はオイラー・マスケローニ定数、formula_45はベルヌーイ数である。