ハンケル変換

ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 () である。関数 "f"("r") に対する次数 formula_1 のハンケル変換は以下で定義される。
ここで "J"ν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 "F"ν("k") は以下となることが分かる。
ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。
定義域.
関数 "f"("r") のハンケル変換が定義されるのは、"f"("r") が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分
が有限であるときである。
しかしフーリエ変換と同様に、たとえば formula_5 のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。
基底関数の直交性.
ベッセル関数を使うことで、重み因子 "r" に関して直交基底 () を作ることができる。
ここで "k" と "k"' はどちらも 0 より大きい。
プランシュレルの定理とパーセバルの定理.
関数 "f"("r") と "g"("r") のハンケル変換 "F"ν("k") と "G"ν("k") が定義できるとき、プランシュレルの定理 () により以下が成り立つ。
プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。
これらのことは、基底の直交性から導かれる。
他の積分変換との関連.
フーリエ変換との関連.
零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。
動径ベクトル r の二次元関数 "f"(r) のフーリエ変換は以下のようになる。
ここで極座標系 ("r", θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。
ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 "f" が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 "f"("r") と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。
これが関数 "f"("r") の零次のハンケル変換である。
フーリエ変換、アーベル変換との関連.
ハンケル変換は、FHA サイクル () と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 ()、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 () の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。
つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。
変換表.
}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,</math>
formula_22 は第2種変形ベッセル関数である。表中の
formula_21
は、球対称な関数 formula_24 に極座標系 formula_25 におけるラプラス演算子 () を適用することを意味する。