リー・トロッター積公式

数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられたリーの積公式 () は、任意の実あるいは複素正方行列 , に対して、
が成り立つという定理である。ここで は の行列指数関数を表す。リー・トロッターの積公式 (Lie–Trotter product formula) およびトロッター・加藤の定理 (Trotter–Kato theorem) はこれをある種の非有界線型作用素 , に拡張する。
定理.
 を同じ次数の任意の実または複素正方行列、 を自然数とするとき、次の式が成立する。 
ここで は行列指数関数による の像であり、次の式により定義される。
ただし、（単位行列）である。
また、行列 のノルムは次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。
ただし、 は の 成分の絶対値、 は の次元である。係数 formula_5 は 単位行列 のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。
リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。
この式は、 が任意の実数または複素数の場合に成立する。 を行列 で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に と が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、 と が可換でなくても一般に成立する。
この公式は、の自明な系である。
より一般的には、 を行列に限定せず、任意のノルム空間 上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間 上の線形作用素 のノルム に置き換えるものとする。
この定義では、ノルム空間 上の恒等写像 のノルムは 1 である。
証明.
特に複素正方行列の場合について証明する。以下の証明は による。次の補題を用いる。
 を同じ次数の任意の複素正方行列とすると、次の関係が成り立つ。
ただし、formula_9 はランダウの記号(ただし、行列値に拡張している)である。
補題の証明は省略する。
補題から を自然数として任意の行列 , に対して次の式が成り立つ。
従って、
となるから、
が成り立つ。
応用.
この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレーディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。