ベイカーの定理

ベイカーの定理（ベイカーのていり、）とは、1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された、対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する一連の定理のことである。
下界の評価が計算可能であることから、数論の様々な分野で応用されている。
定理の主張.
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
formula_1 を 0 ではない代数的数とする。もし、formula_2 が有理数体上線形独立であるならば、formula_3 は、代数的数体上線形独立である。
定理2 (対数関数の一次形式の下界の評価)
formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。
また、formula_5 を、次数が "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数としたとき、
とおくと、formula_7 または、formula_8 である。
ここで、"C" は、"n"、 "d"、 "A"、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
定理からの派生的な結果.
定理1 から得られる系をいくつか挙げる。
系1　formula_1 を 0 ではない代数的数とする。また、formula_5 を formula_11 を満たす代数的数としたとき、
系2　formula_12 を 0 ではない代数的数としたとき、
は、超越数である。
系3　formula_1 を 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、formula_14 を、
formula_15 が、有理数上線形独立な代数的数としたとき、
は、超越数である。
系3で、formula_16 とすることにより、ゲルフォント＝シュナイダーの定理が導かれる。
定理2から得られる系をいくつか挙げる。
系4　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下の代数的数とし、高さに対して、formula_18 については、"A" 以下、formula_19 は、formula_20 以下とする。
formula_5 を、次数が "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数としたとき、
とおくと、formula_7 または、formula_24 である。
ここで、"C" は、"n"、 "d"、 formula_25、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
系5　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。
また、formula_14 を、絶対値が formula_6 以下の有理整数としたとき、
とおくと、formula_7 または、formula_30 である。
ここで、"C" は、"n"、 "d"、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
系6　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。
また、formula_32 を、絶対値が formula_6 以下の有理整数としたとき、任意の正数 ε に対して、
とおくと、formula_7 または、formula_35 である。
ここで、"C" は、"n"、 "d"、ε、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
超越数の例.
定理1および、その系から得られる例を挙げる
定理2 および、その系から得られる例を挙げる。
以下において、β を、次数 "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数とする。
応用例.
ベイカーの定理を用いることで得られた、超越数論以外の結果を挙げる。