オイラー積

オイラー積（オイラーせき、）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。
"a"("n") は "n" に関する乗法的関数、"p" は全ての素数にわたり、変数 "s" は複素数である。このような表示が成り立つためには "a"("n") が完全乗法的関数、すなわち、 "a"(1) = 1, "a"("mn") = "a"("m") "a"("n") を全ての自然数 "m", "n" について満たさなければならない。一般に複素数 "s" の実部 Re("s") に対して formula_2 ならば上記の級数（または無限積）が絶対収束するようなある実数の定数 "C" が存在することが知られている。
"a"("n") = 1 とおいたとき
となる。これがリーマンゼータ関数のオイラー積表示である。すなわち
これはRe("s") > 1 のとき収束する。
ゼータ関数に対するオイラー積.
リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 "ζ"("s") は "s" の実部が1より大きいとき、次のように定義される。
ここで両辺に最小の素数2の－"s"乗 1/2"s" をかけると
となり、辺々引くと
この両辺に今度は2の次の素数3の－"s"乗 1/3"s" をかけると
となり、再び辺々引くと
以下同様に次々と素数の－"s"乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の 1/1"s" 以外の項は（素因数分解の一意性によって）消えるので
したがってゼータ関数は以下の形で表現される。