取り尽くし法

取り尽くし法（とりつくしほう、、）は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収束させる方法である。積尽法、搾出法ともいう。また古代人の方法（）とも呼ばれる。
概要.
列を正しく構築すれば、"n"角形の面積と元の図形の面積の差は "n" が大きくなるにつれて小さくなっていく。この差を恣意的に小さくすれば、その図形の面積は一連の数列で得られる面積によって「取り尽くされ」、とりうる値の下限が体系的に定まる。この方法はアンティポンが起源だが、彼がどこまで明確に理解していたのかは不明である。厳密な理論付けをしたのはエウドクソスである。「取り尽くし法」という用語を最初に使ったのは、 の "Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni"（1647年）である。
取り尽くし法には一般に背理法の一種を必要とする。これは、ある領域の面積を第2の領域の面積と比較することによって求めることに相当し、それを「取り尽くす」ことで真の面積に恣意的に近づけていく。第2の面積より真の面積が大きいことを前提とし、その前提が偽であることを証明する。次に、真の面積が第2の面積より小さいことを前提として、その前提も偽であることを証明する。
取り尽くし法は微分積分学の先駆けと言える。17世紀から19世紀に解析幾何学と厳密な微分積分学が発展し（特に極限に厳密な定義が与えられ）、取り尽くし法は問題の解法としては使われなくなった。
エウクレイデスの使用結果.
エウクレイデスは『原論』第12巻で取り尽くし法を用いて以下の6個の命題を証明している。
アルキメデスの使用結果.
アルキメデスは、取り尽くし法を使って円の面積を計算した。円に正多角形を内接させ、その正多角形の辺の数を増やしていったのである。この正多角形の面積を円の半径を1辺とする正方形の面積で割ると、その商は辺の数を増やすにつれてπに近づく。このことから半径 r の円の面積が πr2 であることを証明し、πは円周と直径の比率と定義した。付随して、円周の長さと正96角形の内接正多角形と外接正多角形の外周の長さから、3+10/71 < π < 3 + 1/7 という式を導き出した。
アルキメデスは取り尽くし法を使い、他にも以下のような結果を得ている。
定積分の計算.
取り尽くし法の新たな形式を使い、任意の連続関数の定積分を次のように定式化できる。
この式は、基本的な不定積分がない場合に便利である。また、積分法を教える際にも役立つ。