アポロニウスの円

アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。
証明.
初等幾何による証明.
点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。
ベクトルによる証明（1）.
"m", "n" を互いに異なる正の実数とする。線分ABを "m" ： "n" に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
このとき、
したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
ベクトルによる証明（2）.
線分QRの中点をOとすると、
したがって、
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 formula_16 の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
アポロニウスの円の中心.
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
すなわち、点Oは線分ABを formula_18 に外分する点になる。
アポロニウスの円の半径.
アポロニウスの円の半径を "r" とする。ここで平方完成
定義より、
したがって、
アポロニウスの問題に対する解.
アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。