非整数ブラウン運動

非整数ブラウン運動（ひせいすうブラウンうんどう、）は、自己相似性と長期依存(long range dependence)を特徴とするガウス過程。1940年にコルモゴロフによりコルモゴロフ理論(K41)のなかで自己相似過程が導入され、1968年にマンデルブロとVanNessによりガウス過程のケースに関してFractional Brownian Motionの呼称が与えられた。ハースト(Harold Edwin Hurst)により初めてナイル川流域の貯水量に関するモデルに応用されるなど、経済時系列や通信トラフィック量のモデル化にも使用されている。
特性.
非整数ブラウン運動は次の特性をもつ確率過程である。
以上から共分散関数は次式で与えられる。
なお分散はσ2=1の標準ケースを扱うことが多い。
これらは、ウィーナー過程において、増分 formula_9 が正規分布 formula_10 に従うように拡張したのと同じである。ただし、平均 μ ＝ 0　また 0 ≦ "H" ＜ 1 。
自己相似性.
以下のように統計的な自己相似性をもつ。
長期依存.
長期依存についてはいくつかの定義があるが、ここでは増分( "Xi" )間の自己共分散"γH(k)" を用いて示す。
ここで、
また、増分 formula_17 で構成される離散増分過程を非整数ガウスノイズ（）という。
過去と未来の相関.
過去の増分と未来の増分との相関関数は次のように計算される。
すなわち、時間 "t" に依存せず、ハースト定数 "H" によってのみ決定される。
マルチンゲール性.
これは、半マルチンゲールを前提とする伊藤の公式(Ito's caluclus)はそのまま適用できないことを意味する。また、無裁定価格理論にもとづくブラック・ショールズ方程式を H≠1/2 の幾何ブラウン運動にて拡張すると裁定可能になってしまう問題がおこる。
フラクタル次元.
fBnのハウスドルフ次元は、 DH = 2 - H である。