積率母関数

確率論や統計学において、確率変数 "X" の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。
積率母関数がそのように呼ばれるのは、"t" = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。
積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。
積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
より一般化すると、"n"-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) formula_3 の場合、formula_4 の代わりに formula_5 を使い、次のように定義する。
計算.
積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。
ここで "F" は累積分布関数である。
"X" が連続な確率密度関数 "f"("X") を持つ場合、formula_8 は "f"("x") の両側ラプラス変換である。
ここで、formula_10 は "i"番目のモーメントである。
2つの独立確率変数の和.
2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。
独立確率変数の総和(一般化).
"X"1, "X"2, ..., "X""n" が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、
としたとき（"a""i" は定数）、"S""n" の確率密度関数はそれぞれの "X""i" の確率密度関数の畳み込みとなり、"S""n" の積率母関数は次のようになる。
他の関数との関係.
積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。