ヴィヴィアーニの定理

ヴィヴィアーニの定理（ヴィヴィアーニのていり、Viviani's theorem）は正三角形に関する幾何学の定理である。名前はイタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニに由来している。
定理.
正三角形内部の点から3辺に下ろした垂線の長さの和は一定である。
図1では s+t+u がこれにあたる。
証明.
内部の点を P と置くと、面積に関して S(ABC)=S(ABP)+S(BCP)+S(CAP) が成り立つ。これを変形することで容易に証明できる。
拡張.
この定理は、任意の正多角形においても成り立つ。
正多角形だけでなく、条件を緩めた
においても成り立つ。