微分環

数学において、微分環（びぶんかん、）、微分体（びぶんたい、）、微分多元環（びぶんたげんかん、）は、それぞれ有限個の（加法的または線型な単項演算で積の微分法則（ライプニッツ則）を満足する）を備えた環、体、多元環である。微分環の微分はしばしば 等の記号を用いて表される。微分体の自然な例として、複素数体上の一変数有理関数体 に微分として普通の意味での微分 をとったものを挙げることができる。
そのような代数系自身の研究およびそれら代数系の微分方程式の代数的研究に対する応用を研究する分野を微分代数学 (Differntial Algebra) と呼ぶ。微分環はが導入した。
微分環.
環 とその上の写像 の組 が微分環であるとは、二つの条件 formula_1 を満たす、すなわち が の加法群の間の準同型（加法的写像）で積に関してライプニッツ則を満足するものであるときに言う。注意すべきは、ここで環は非可換となる場合もありうるから、通常よく用いられる微分を後ろに書くある種の標準形 は積の可換性が保証されない場面では適切でないことである。
作用素のレベルで見れば、環の乗法を として formula_2 なる等式として積の法則を書くこともできる。ただし、 は写像の直積で、各対 を対 へ写す。
微分体.
微分体は、微分を備える可換体 を言う。ここで、微分は体の構造と両立する（つまり除法と整合する）ようなものをとるべきであるが、よく知られた商の微分法則 formula_3 は積の法則から導かれる。実際に formula_4 が成り立つべきところ、左辺に積の法則を適用して formula_5 となるから、 で整理すれば所期の式を得る。
微分体 に対してその定数体 () は で与えられる。
微分多元環.
体 上の微分多元環は、スカラー乗法と両立する微分を備えた -多元環 を言う。すなわち、各微分 は係数体と元ごとに可換: formula_6 である。これは作用素のレベルでは、スカラー乗法を定義する環準同型 を用いて formula_7 と書ける
リー環の内部微分を、その普遍包絡環へ延長して、普遍包絡環を微分多元環とすることができる。
例.
微分体 は微分方程式 の解を持たないが、指数関数 を含むより大きい微分体に拡大して、この微分方程式がそこで解を持つようにすることができる。任意の微分方程式系に対する解を有する微分体をという。自然な代数的もしくは幾何学的対象としては現れないが、このような微分体は存在する。（濃度を適当に上から抑えるとき）すべての微分体は、単一の大きな微分的閉体の中に埋め込める。微分体は、微分ガロア理論の研究対象である。
擬微分作用素の環.
微分環および微分多元環 は、しばしばそれらの上の擬微分作用素の環 formula_14 を通じて研究される。この環の上に乗法は、formula_15 で定義される。formula_16 は二項係数である。
ここで、恒等式 formula_17 には恒等式 formula_18 および formula_19 が用いられていることに注意。