シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、 の外接円上の点 から三角形の各辺 におろした垂線の足 がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。
証明.
初等幾何による証明.
A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。
∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。
∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.
∠PAC<90度とする。
点A,P,N,Mは同一円周上にある。
A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから
∠PAM=∠PAC…①
直線BAに対してPとMは反対側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線NAに対してPとMは反対側にあるから
NとAは四角形APNMの対角点となるから
∠PAM+∠MNP=180度…②
点P,L,B,Nは同一円周上にある。
B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠CBP>90度だから
直線BAに対してLとCは反対側にあるから
直線BAに対してLとPは同じ側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線BNに対してLとPは同じ側にあるから
BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから
∠PNL=∠PBL…③
∠CBP>90度だから
(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.
∠PAC+∠CBP=180度だから
∠PBL=∠PAC…④
①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.