オイラーの定理 (数論)

数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。
概要.
nが正の整数でaをnと互いに素な正の整数としたとき,
が成立する。
ここでformula_2はオイラーのφ関数である。
この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。
証明.
nと互いに素なn以下の正の整数の集合を
この要素のそれぞれにaを乗じた集合
を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。すなわちAの要素の積をPとすれば、
nとPは互いに素だから
使用例.
例えば7^2009の下二桁を求めたいときに、次のように考えることができる。
formula_7 なので,オイラーの定理から
formula_8.
よってformula_9
ゆえに下二桁は07になる。