スツルム＝リウヴィル型微分方程式

スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、）とは、 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式
 \right]
 + q(x) y 
 = \lambda w(x) y
</math>|
のことである。ここで "y" は関数であり、"x" は実数変数である。実数係数関数 "p" ("x" ) > 0, "q" ("x" ), "w" ("x" ) > 0 は予め与えられていて、
"w" は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。
"y" = 0 (for ∀"x" )は任意のλに対して()の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。
予め決められた境界条件のもとで、自明でない()の解 "y" が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、"y" を固有関数と呼ぶ。
例.
微分方程式()の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式
は以下のように、
Sturm–Liouville 形式に変形することができる。
たとえば
ベッセル方程式
は
とSturm–Liouville 形式に変形できる。
その他の例としては、
ルジャンドルの微分方程式
エルミートの微分方程式
ラゲールの微分方程式
がある。
Sturm–Liouville 理論.
"p" ("x" ) > 0, "w" ("x" ) > 0 が成り立ち、かつ、"p" ("x" ), "p"' ("x" ), "q" ("x" ), "w" ("x" ) が有限閉区間 ["a", "b"]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件
を持つとき、この境界値問題をスツルム＝リウヴィル型の境界値問題という。
スツルム＝リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):
なお、"p" ("x" ), "p"' ("x" ), "q" ("x" ), "w" ("x" ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ（弱解）と考えなければいけない。