ヒルベルト多項式

可換環論における次数環あるいは次数加群のヒルベルト多項式（ヒルベルトたこうしき、）は、その（次数環あるいは次数加群の）斉次成分の次元の増加率を測る一変数多項式である。次数付き可換環 "S" のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、射影代数多様体 Proj "S" の次数および次元に関係がある。
定義.
体 "K" 上の有限次元空間 "S"1 から生成される次数付き多元環 
のヒルベルト多項式とは、すべての（しかし有限個の）正の整数 "n" に対して 
を満たす、ただひとつの有理係数多項式 "H""S"("t") のことである。つまり、すべての（しかし有限個の）自然数 "n" に対する値が（ふつうはそういう風には言わないが、多項式補間という形で）多項式によって与えられるような場合の「ヒルベルト函数」という意味で、これを「ヒルベルト多項式」と呼ぶ。
次元の値は整数であるから、ヒルベルト多項式は整数値多項式 である。しかし、ヒルベルト多項式が整係数多項式となるのは極めて稀である 。
同様に有限生成次数加群 "M" のヒルベルト多項式 "H""M" も（少なくとも "M" が正の次数付けを持つならば）定義することができる。
P"n" 内の射影多様体 "V" のヒルベルト多項式は、"V" の斉次座標環のヒルベルト多項式として定義される。
一般化.
環 "S" が次数 1 の成分で生成されない場合にも、"S" 上の有限生成加群 "M" のヒルベルト函数はまだ定義可能だが、もはや多項式であるとは限らない。"M" のヒルベルト–ポアンカレ級数は "M" の次数付き成分の次元の母函数として定義される。"M" がよい性質を持つならば、ヒルベルト-ポアンカレ級数は有理函数となる 。