平坦加群

数学において、平坦加群（へいたんかぐん、）とは、テンソル積をとる関手 が完全となる加群 のことである。
ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された。
定義.
 を環、 を右 加群とする。
 加群からなる任意の短完全系列
に対して、 とのテンソル積をとった系列
が完全になるとき、 は 上平坦である、または は平坦 加群であるという。
 が左 加群のときも同様に定義される。
なお一般の加群 に対しては、関手 は右完全ゆえ
は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。
 代数 が平坦であるとは、 が 加群として平坦であることをいう。
忠実平坦性.
 は平坦な 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき は忠実平坦な 加群であるという。
 代数 に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。
概型論.
スキームの射 が平坦であるとは、 のすべての点 に対し、局所環の射 が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。
平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。
平坦分解と平坦次元.
環 上の加群 に対し、各 -加群 が平坦加群であるような次の完全列
を の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての に対し であるような平坦分解を長さ の平坦分解という。そのような が存在する場合その最小値を の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は という。平坦次元は と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 -加群 と整数 に対して以下は同値。