剰余類環

数学において、自然数 を法とする合同類環（ごうどうるいかん）あるいは剰余（類）環（じょうよ[るい]かん、, ）は、整数を で割った「剰余」を抽象的な類別として捉えたものである。
本項は剰余類環 の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。
定義.
 を自然数とする。 で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「 を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。したがって、ふたつの整数が同じ剰余類に属するのは、それらの差が で整除されるときであり、かつそのときに限る。 を法とする剰余類の全体は、以下に述べる加法と乗法に関して を法とする合同類環あるいは剰余類環と呼ばれる環を成す。剰余類環はしばしば などで表される。
剰余類に対する加法および乗法は、代表元 (, ) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは の属する剰余類を と表せば
と表せる。ここで、この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないこと、すなわち、 を かつ を満たす任意の整数とすれば、
が成り立つことから確認できる。
表記と慣例について.
 と書くと、素数 に対する-進整数全体の成す環 と混同の虞があり、剰余類環を で表すことを好む文脈では、-進整数の全体は formula_3 で表すこともある。 と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。また、 という表記もあるが稀であり、加えて