ヤコビ恒等式

数学におけるヤコビ恒等式（ヤコビこうとうしき、）とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。
定義.
集合 formula_1 に二項演算 formula_2 と可換かつ単位元 formula_3 を持つ二項演算 formula_4 が定義され、このformula_5 について、
が成立するとき、formula_5 はヤコビ恒等式を満たすという。
式の解釈.
formula_1 が formula_4 によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は
という形で書くことができる。左辺を "x" に対する "b" * "c" の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを "b" の作用と "c" の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。
例.
三次元のベクトル空間における外積（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。
リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。
括弧積を随伴作用と考えれば、環上の[[微分]]における[[ライプニッツ則]]として捉えることができる。すなわち、
と表せば、上述のヤコビ恒等式は
であり、ライプニッツ則として解釈できる。
[[解析力学]]における[[ポアソン括弧]]はヤコビ恒等式を満たす。
[[量子力学]]における[[交換関係 (量子力学)|交換子]]はヤコビ恒等式を満たす。
関連記事.
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