ランプ関数

ランプ関数（）とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。
この関数は工学において（DSPの理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路（）に似ていることに由来する。
定義.
ランプ関数 には幾つかの同値な定義が存在する。
解析的性質.
非負性.
ランプ関数は定義域全体で非負となる。
そのため、関数の値はその絶対値に等しい。
導関数.
ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。
二階導関数.
ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し はディラックのデルタ関数である。
これは、 が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 を持つ任意の関数 は、 のとき次の方程式を満たす。
フーリエ変換.
ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。
ここで は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。
ラプラス変換.
ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。
代数的性質.
冪等性.
ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。