半連続

解析学における半連続性（）とは、拡大実数値関数（値として ±∞ を取り得る）に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。概略的に言うと、拡大実数値関数 "f" が点 "x"0 で上（下）半連続であるとは、"x"0 の十分近くで函数の値が "f"("x"0) に近いかもしくは "f"("x"0) よりも小さい（大きい）ことを言う。
例.
"x" < 0 において "f"("x") = –1、"x" ≥ 0 において "f"("x") = 1 と区分的に定義された関数"f"を考える。この関数は"x"0 = 0において上半連続であるが、下半連続ではない。
閉集合の指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。与えられた実数"x"に対し、それ以下の最大の整数を返す床関数 formula_1 は、全ての点において上半連続である。同様に、天井関数 formula_2 は下半連続である。
関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。例えば、関数
は"x" = 1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。同様に、関数
は"x" = 0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。
厳密な定義.
"X"を位相空間、"x"0 を "X" 上の点とし、"f": "X" → R ∪ {−∞, +∞} は拡大実数値関数とする。任意の ε >0 に対して"x"0 の近傍 "U" が存在し、"U" に属するどの "x" に対しても "f"("x") ≤ "f"("x"0) + ε となるとき、あるいは同じことだが、
となるとき、"f" は "x"0 で上半連続であると言う。ここで lim sup は（"x"0 における関数 "f" の）上極限である。
函数 "f" が上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 "f" が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {"x" ∈ "X" : "f"("x") < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。
同様に、函数 "f" が点 "x"0 において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、"x"0 の近傍 "U" で "U" の各点 "x" において "f"("x") ≥ "f"("x"0) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、 
が成立することをいう。ここで lim inf は（点 "x"0 における函数 "f" の）下極限である。 
函数 "f" が下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 "f" が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {"x" ∈ "X" : "f"("x") > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。
性質.
関数は "x"0 において上半連続かつ下半連続であるとき、その点において連続であり、かつ連続となるのはそのときに限る。従って、半連続性を連続性の証明に利用できる。
2つの実数値関数 "f" と "g" が共に "x"0 で上半連続ならば、"f" + "g" もまた上半連続である。もしどちらの関数も非負であるなら、積関数 "fg" もまた "x"0 において上半連続である。
上半連続関数ｆに対し、−ｆは下半連続関数となる。また、正の上半連続関数ｆに対し、１/ｆは下半連続関数となる。
"C" がコンパクト空間（例えば有界閉区間 ["a", "b"]）で、"f": "C" → [−∞, ∞) が上半連続ならば、"f" は "C" 上で最大値をとる。(−∞, ∞]-値下半連続関数と最小値についても同様のことが言える（証明は最大値最小値定理を参照）。
空でない集合 "I" で添字付けられた函数の族 "f""i": "X" → [−∞, ∞] が全ての添字 "i" について下半連続関数であり、"f" が "f""i" たちの点ごとの上限、すなわち
で定義されるものとするとき、"f"は下半連続である。全ての "f""i" が連続であったとしても、"f" は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間（例えば距離空間）における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現れる。
あらゆる開集合の指示関数は下半連続である。閉集合の指示関数は上半連続である。
関数 "f": R"n" → R は、そのエピグラフ（グラフ上、またはグラフより上の点の集合）が閉集合である時にのみ下半連続となる。
位相空間 "X" について、関数 "f": "X" → R が下半連続函数となることと、"f" が R 上の に関して連続であることとは同値である。