ゲルフォント＝シュナイダーの定理

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、とによって、それぞれ独立に証明された。
定理の主張.
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、formula_1 は、超越数である。
例.
ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。
歴史.
ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「"a" が 0 でも 1 でもない代数的数で、"b" が代数的無理数であるとき、"a""b" は超越数であるか」を提出した。
その後、1929年に、アレクサンドル・ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、formula_1 が超越数であることを証明し、例えば、formula_22 が超越数であることを示した。
その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年（1930年）、は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。
1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。
この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。
ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが（系2）、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された（ベイカーの定理を参照）。