非圧縮性

連続体力学における非圧縮性()とは、連続体の密度が変形の前後で変化しないような性質を表す。連続体力学では質量保存則を考えるため、密度が一定であるならば体積も一定となる。非圧縮性を有する材料として、流体では河川を流れる水や音速を超えない範囲で運動している空気が挙げられる。これらを総称して、非圧縮性流体と呼んでいる。一方で、固体の場合は、ゴムに代表される超弾性体や降伏した金属などのような塑性体が挙げられる。
非圧縮性の定式化.
連続体力学では、次に示す変形勾配テンソルformula_1を用いて連続体の変形を考える。以後、使用する文字は図1に合わせた。
ここで、formula_2は変形形状formula_3内の位置を表し、formula_4は基準形状（変形なし形状）formula_5内のもとの位置を表す。
さらに体積変化率formula_6と変形勾配テンソルformula_7に次の関係があることを利用する。
ここで、formula_8は変形形状formula_3内の微小六面体要素の体積を表し、formula_10は基準形状(変形なし形状)formula_5内の微小六面体要素の体積を表す。非圧縮性とは上記の体積変化率formula_6が1であることに等しい、すなわち次のように定式化できる。
流体力学との関連性.
非圧縮性流体の基礎方程式のひとつに、次に示す連続の式がある。
これは、質量保存則および密度が一定であることを利用して導き出されるが、次のように体積変化率formula_6の物質微分（物質時間導関数）を考えることでも導き出される。
上式にformula_14とformula_15を代入することで、連続の式が得られる。
なお、流体が非圧縮性であるか否かは流体の物性ではなく、流れの性質、具体的にはマッハ数による。
固体力学との関連性.
固体力学において、体積ひずみという概念がある。ここでは、体積ひずみformula_16と体積変化率formula_6との関連性について述べ、非圧縮性のもとで体積ひずみが0となることを示す。
変形勾配テンソルformula_7は、変位勾配テンソルformula_19と恒等テンソルformula_20を用いると次のように表される。
ここで、変形勾配テンソルformula_19は
である。formula_22は変位を表す。
変形勾配テンソルformula_7の各要素は変位勾配テンソル（の成分）formula_24を用いると、以下の様に表される。
よって、体積変化率formula_6を変位勾配テンソルformula_24で表すと、下の式を得る。
ここで、formula_27 および formula_28は変位勾配の2次の項と3次の項を表す。非圧縮性であることから、formula_14とすると、結局次の式を得る。
微小変形を考えると、formula_27とformula_28が無視でき、
となるため、次の式を得る。
上記のように、非圧縮性から体積ひずみが0となることが示された。