リプシッツ連続

解析学におけるリプシッツ連続性（リプシッツれんぞくせい、）は、ルドルフ・リプシッツに名を因む、函数のより強い形の一様連続性である。直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいは）と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである。
微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール–リンデレフの定理の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている:
また、
も成り立つ。
定義.
 は集合 上の距離函数、 は集合 上の距離函数として二つの距離空間 と が与えられたとき（例えば、 を実数全体の成す集合 に距離函数 を入れたもの、および を の部分集合とすることができる）。このとき、写像 がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 が存在して
を満たすときに言う。このような , あるいはそのうち最小のものを、関数 のリプシッツ定数と呼ぶ。 ととることができるとき、その関数はと呼ばれ、 なら縮小写像と呼ばれる。
この不等式は のとき（自明な意味で）成り立つ。これを除けば、写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 が存在して、
を満たすこととすることもできる。実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
写像 が局所リプシッツ連続であるとは、任意の に対して の近傍 を適当に選べば の への制限 がリプシッツ連続であるときに言う。あるいは同じことだが、 が局所コンパクト距離空間ならば、 が局所リプシッツであるための必要十分条件は の任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続となることである。局所コンパクトでないときには、これは必要だが十分でない。
より一般に、 上で定義された関数 がヘルダー連続である、または 上で次数 のヘルダー条件を満足するとは、定数 が存在して
が成立するときにいう。次数 のヘルダー条件を次数 の一様リプシッツ条件とも呼ぶ。
 が存在して
が成り立つならば、 は双リプシッツ連続あるいは単に双リプシッツ (bilipshitz) であると言う。双リプシッツ連続写像は単射であり、また実はその像の上への同相写像である。双リプシッツ連続であることは、その（像の上で定義される）逆写像もリプシッツであるような単射リプシッツ連続写像であることと同じである。全射な双リプシッツ連続写像は、ちょうど距離空間の間の同型写像になる。
リプシッツ多様体.
 は の二つの開集合とする。写像 が双リプシッツ ("bi-Lipschitz") とは、それが像の上へのリプシッツ同相写像であり、かつその逆写像もまたリプシッツとなるときにいう。
双リプシッツ写像を用いると、双リプシッツ同相写像に関する (pseudogroup) 構造が存在するから、の上にリプシッツ構造を定義することができる。この構造はと滑らかな多様体の構造の中間である。実はPL構造は一意的なリプシッツ構造を生じるから、その意味でリプシッツ構造は可微分構造のほうに「近い」。
片側リプシッツ連続.
 は変数 に関する上半連続写像で、は閉凸集合とする。このとき、適当な定数 に対して
を満たすならば、 は片側リプシッツ (one-sided Lipschitz) である。
このような写像 が、非常に大きなリプシッツ定数 を持つが片側リプシッツ定数 は穏当な大きさあるいは負にさえなる、というようなことも起こり得る。そのような函数の例として
はリプシッツ定数 および片側リプシッツ定数 を持つ。片側リプシッツだがリプシッツでないような例は ( で与えられる。