最大絶対値の原理

最大絶対値の原理あるいは最大値の原理（）は、複素解析における正則関数の性質に関する基本的な定理である。複素関数が正則であるために満たすべき、強い制約条件の１つを示している。
定理.
複素関数 "f"("z") が(開)領域 "D" で正則で、しかも定数でないなら、"D" で |"f"("z")| が最大値を取ることはない。
証明.
背理法による。
"D" 内のある点 "z"0 で |"f"("z")| が最大値を取るものと仮定する。"r" を正の実数とし、"Dr" = {"z" : | "z" − "z"0 | < "r" } 、 "Cr" = {"z" : | "z" − "z"0 | = "r" } とする。つまり "Cr" は "z"0 を中心とする半径 "r" の円、"Dr" はその内側の領域である。"r" の値を適当に小さく選べば、 "Dr" + "Cr" ⊂ "D" とできる。
コーシーの積分公式により "Dr" 内の任意の点 "z" で、
が成り立つ。 "Cr" 上での |"f"("z")| の最大値を "M" とすれば、
仮定により "M" ≤ |"f"("z"0)| であるから、結局
が成立つ。すなわち、"Cr" 上の任意の点 "ζ" で |"f"("z"0)| = |"f"("ζ")| が成立つことになる。"r" を任意に小さくして考えても、同じ論法が成立つので、 "Dr" + "Cr" の任意の点 "z" で |"f"("z"0)| = |"f"("z")| が成立つことになる。 |"f"("z"0)| = 0 であれば、 "f"("z") は "Dr" で恒等的に 0 である。 |"f"("z"0)| が 0 でなければ "Dr" 内の任意の点で |"f"("z")| も 0 でないから
を考えることができる。"Dr" に含まれるある領域 "V" を適当に選ぶと、"V" 内で "h"("z") を一価正則にできる。
"V" 内で |"f"("z")| は定数であるから "h"("z") の実部 log |"f"("z")| も定数である。このためコーシー・リーマンの関係式から "V" 内で
となり、"h"("z") の虚部 arg "f" ("z") も "V" 内で定数となる。従って "V" 内で "f"("z") は定数である。一致の定理によって、結局 "D" 全体で "f"("z") は定数となり、定理の仮定に反する。