ラプラス＝スティルチェス変換

ラプラス＝スティルチェス変換（ラプラス＝スティルチェスへんかん）は、ラプラス変換に類似した変換である。ピエール＝シモン・ラプラスとトーマス・スティルチェスにちなんで命名された。関数解析、基礎および応用確率論を含む多くの数学分野で活用されている。
定義.
ある関数 "g": R→Rに対するラプラス＝スティルチェス変換formula_1は、
と定義される。ただし右辺のルベーグ＝スティルチェス積分が存在する必要がある。
しばしば"s"は実数であり、また正の半直線上でのみ定義される関数（すなわち"g": [0,∞) → R）のみ扱うような場合もある。このようなときは、上記の積分は0から∞の範囲となる。
性質.
ラプラス＝スティルチェス変換は、その性質の多くがラプラス変換と共通である。
たとえば畳み込みについては、2つの写像 "g" と "h" についてそれぞれラプラス＝スティルチェス変換が存在するとき、以下の性質が成り立つ。
応用.
ラプラス＝スティルチェス変換は基礎確率論および応用確率論において、しばしば有用である。たとえば、確率分布 "F" に従う確率変数 "X" に対して、ラプラス＝スティルチェス変換は期待値との関連で説明される。
具体的な応用例としては、マルコフ連鎖のような確率過程の初到達時刻()や、再生理論などが挙げられる。物理学においては、たとえば場の量子論での和をゼータ関数正則化の手法によって正則化する際に、ラプラス＝スティルチェス変換が用いられることがある。
他の変換との関連.
ラプラス＝スティルチェス変換は、他の積分変換（たとえばフーリエ変換やラプラス変換）と密接な関係がある。特に以下の点に注意する。
例.
指数分布に従う確率変数 "Y" に関するラプラス＝スティルチェス変換は以下の通り。
参考文献.
ラプラス＝スティルチェス変換に関する、よく知られた文献には以下のようなものがある。
確率論およびその応用との関連では、次の文献が参考になる。