コンツェビッチ不変量

数学の結び目理論においてコンツェビッチ不変量("Kontsevich invariant")又はコンツェビッチ積分（"Kontsevich integral"）とは、反復積分によって定義される結び目または絡み目の不変量である。全ての有限型不変量、特に量子不変量はコンツェビッチ不変量から復元されるため、普遍量子不変量と呼ばれることもある。
1990年代初頭にマキシム・コンツェビッチが定義した。
この項では関連する概念としてヤコビ図についても述べる。
ヤコビ図とコード図.
定義.
"X" を円（ 1次元多様体の例）とする。オーダー "n" のヤコビ図(Jacobi diagram) "G" とは、右の図の例のような "2n" 個の頂点を持ち、部分グラフとして円(external circle)をひとつ持ち、それ以外の円の内部にもグラフ(inner graph)を持ち、次の条件を満たすグラフのことをいう。
"G" の辺を"コード(chord)"と呼ぶ。このヤコビ図全体から生成される可換群を以下の関係式で割った空間を formula_1 と書く。
図中で、実線の矢印は外部の円 "X" の一部を表し、破線はコードを表す。
3 の値を持つ頂点を持たないヤコビ図を、特にコード図("chord diagram")と呼ぶ。グラフ "G" の各連結成分が 3 の頂点を持つとき、STU 関係式を繰り返し適用してヤコビ図をコード図に変形することができる。コード図だけを考えるときには、上記の四種類の関係式は次の二つの関係式として表される。
ウェイトシステム.
ヤコビ図に数を対応させる写像をウェイトシステムと呼ぶ。この対応をヤコビ図の空間 formula_1 上に拡張したものも同じ名前で呼ぶ。
歴史.
ヤコビ図は 1990年代前半にコンツェビッチが反復積分による結び目の不変量を定義したときにファインマン図の類似として導入された。その際、特異結び目の特異点の引き戻しを弦(chord)で表し、即ちコード図のみを扱っていた。その後バル-ナタンが 1-3-価グラフとして定式化し、代数的な性質を調べた。彼の論文では「漢字図」(chinese character diagram)と呼ばれている箇所がある。その後コード図、ウェブ図、ファインマン図などと複数の呼称が用いられたが 2000年頃からヤコビ図(Jacobi diagram)という呼称が一般的になっている。これは、IHX 関係式がリー代数のヤコビ恒等式に相当することに由来する。
1990年代後半にグサロフと葉廣和夫が独立に定義したクラスパーによって更に一般的な見地から解釈されている。
コンツェビッチ不変量.
定義.
"K" を三次元空間 C× R に埋め込まれたモース結び目とする。つまり、"K" を "S"1 から C× R への写像 "s" → ("z" ("s"), "h" ("s")) と書いたとき、"h" の臨界点は全て孤立しているとする。更に、"h" の一つの臨界値に対して、その逆像は一点から成るとする。
積分による定義.
次の式で定義される無限級数 "Z" ("K") を結び目 "K" のコンツェビッチ積分、あるいはコンツェビッチ不変量という。
右辺に現れる微分形式は KZ方程式に由来するものである。KZ方程式は配置空間に平坦な接続を定め、配置空間内のループ(=組み紐)に沿った積分はループの微小変形で値を変えない。このことがコンツェビッチ積分が不変量であることに寄与している。
組み合わせ的な定義.
"K" を幾つかの水平面 C×{"t""i" } で分割する。このとき、切断面において "K" の切り口は実軸上に並んでいるとして構わない。すると、"K" はタングルに対する合成とテンソル積を繰り返してできていると考えることができる。
"K" を構成する基本的要素に対しては、以下のようにコンツェビッチ不変量 "Z" を定める。
そして、合成とテンソル積に対しては以下のようにコンツェビッチ不変量を定める。
通常のタングルとは異なり、隣り合う端点との距離が等しいことを仮定しないことに注意すべきである(これにより、ここで扱うようなタングルを非結合的タングル、準タングルと呼ぶこともある)。準タングルはモノイド圏を成すが、モノイド積に関して ("a" ⊗ "b")⊗ "c" = "a" ⊗ ("b" ⊗ "c") は成立しない。Φ はこの両辺の間の同型を与え、五角関係式(モノイド圏のコヒーレンス条件)をみたす。Φ(またはリー代数由来のウェイトシステムによる像)をドリンフェルト・アソシエータ と呼ぶこともある。上記の "U" や Φ は無限級数であり、一般の結び目に対する "Z" の値を求めることは低次の項を除いて非常に難しい。
有限型不変量に対する普遍性.
次数 "m" の有限型不変量 "v" から "m" 次のヤコビ図に対するウェイトシステム "W""v" を構成することができ、一方ウェイトシステム "W" に対して、 "W"·"Z" の "m" 次の係数は "m" 次の有限型不変量である。コンツェビッチ不変量は "m" 次の有限型不変量の空間と "m" 次のヤコビ図に対するウェイトシステムの空間の間の同型対応を与える(実際には商空間の間の同型となる。)。
歴史.
コンツェビッチ不変量はまずコンツェビッチによって反復積分の形で定義された。しかしその定義から、結び目を水平線で幾つかの部分に分割し、部分ごとに不変量の値を求めてもよいことが容易にわかる。実際、レ(Le) と村上順は、結び目の生成系であるタングルを準タングルに拡張し、生成元ごとにコンツェビッチ不変量の値を計算することで組み合わせ的な定義を得た。同時に彼らは紐のねじれ(framing)に対応するコンツェビッチ不変量の値も定式化し、三次元多様体に対する普遍量子不変量への道を開いた(技術的な要請から、反復積分による定義ではヤコビ図(正確にはコード図)に FI 関係式が必要で、紐のねじれの情報は値に反映されなかった)。
コンツェビッチ不変量は本質的に無限級数であるため、その値を決定することは非常に難しい。実際自明な結び目に対する値が決定されたのはにおいてである。