ペンローズ図

ペンローズ図（ペンローズず, Penrose diagram）は一般相対性理論において時空のを表現する図式のこと。ロジャー・ペンローズにちなんでペンローズ図と呼ばれるが、の名をも冠するペンローズ・カーター図や、共形図式 (conformal diagram) という呼び方がされることもある。
ミンコフスキ時空.
定義.
時間1次元、空間3次元の4次元ミンコフスキ時空の点（事象）は、時刻 formula_1、空間座標 formula_2 の組 formula_3 により表現される。その計量は
である。あるいは、球座標 formula_5 を用いるときには
である。時刻 formula_1 と動径座標 formula_8 はそれぞれ formula_9, formula_10 という範囲の値を取るため、この座標系ではミンコフスキ時空は formula_11-平面上の非有界な領域として図示される。時空の因果構造の議論においては次の座標変換 formula_12 によりヌル座標 formula_13 を導入するのが便利である。
この新しい座標 formula_13 では計量は
と表現される。ただし、やはりどちらも formula_17 から formula_18 までの値を取る非有界な表現である。
ここで、座標 formula_13 に対してさらに次の変換 formula_20 を施す。
この座標は formula_23, formula_24 を満足する。それ故に、共形変換 formula_25 により座標 formula_26 の表す時空領域は平坦な2次元ミンコフスキ時空の有界な領域へと埋め込む（共形埋め込み）ことができる。こうして得られるもとのミンコフスキ時空の有界な表現がペンローズ図である。
特徴.
共形変換は時空の因果構造を保つため、ペンローズ図はもとの時空の因果構造を正しく再現している。埋め込み先のミンコフスキ時空の時間座標および空間座標をそれぞれ formula_27, formula_28 と表現するとき、これは座標 formula_26 と
という関係にある。
時空の因果構造を有界な領域として表現する結果、ペンローズ図はもとの時空の無限遠の構造を可視化することができる。
ブラックホール時空.
ブラックホール時空とは時間的無限遠点 formula_41 から因果的に到達不可能な領域が存在する時空のことであり、そのような領域の境界（これは時間的無限遠点 formula_41 を通るヌル曲面となる）のことを事象の地平面と呼ぶ。
シュワルツシルト時空.
最も単純なブラックホール時空であるシュワルツシルト解は、質量 formula_43 の質点がつくる重力場を表すアインシュタイン方程式の厳密解であり、シュワルツシルト座標 formula_44 を用いるときその計量は
と表示される。この座標系には formula_46 で計量の特異性があることを注意しておく。シュワルツシルト時空におけるヌル座標 formula_13 
を通じて、クルスカル座標 formula_26 は
により定義される。この座標系では formula_46 での特異性が解消し、この超曲面を超えて解を拡張することができる。
最大限拡張されたシュワルツシルト時空について、そのペンローズ図はミンコフスキ時空の場合と同様に
により導入できる。このペンローズ図からわかるように、シュワルツシルト時空には時間的無限遠 formula_41 と因果的に連結していない時空領域が存在し、ブラックホールと呼ばれる。その境界 formula_46 が事象の地平面である。また、最大拡張したシュワルツシルト時空には、ふたつの漸近的に平坦な領域が存在し、「喉」状の領域（ブラックホールとホワイトホール）を介して繋がっている。
球対称重力崩壊.
シュワルツシルト時空は質点 formula_43 による静的な重力場を表すが、現実的にはブラックホールは物質の重力崩壊によって形成される。この場合、時空は漸近的に平坦な外部領域とブラックホール内部のふたつの領域からなる。