内部 (位相空間論)

数学において集合 "S" の内部（ないぶ、）あるいは開核（かいかく、）は、直観的には "S" の「縁にある点を除く」 "S" の点全てからなる。"S" の内部に属する点は "S" の内点（ないてん、）であるという。
また、集合の外部（がいぶ、）は、その集合の補集合の内部をいい、その集合にもその集合の境界にも含まれない点の全体からなる。
集合の内部という概念は位相的概念であって、任意の集合に対して定義されるものではないが、その集合がある位相空間の部分集合となっているならば定義される。内部はさまざまな意味で閉包の概念の双対概念であり、とくに圏論的な意味での双対になっている。
定義.
内点.
"S" がユークリッド空間の部分集合ならば、点 "x" が "S" の内点であるとは、"x" を中心とする開球で "S" に含まれるものが存在するときに言う。この定義は一般に "S" がある距離空間 "X" の部分集合であるときにそのまま通用する。きちんと述べれば、"X" が距離 "d" を持つ距離空間であるとき、点 "x" が "X" の部分集合 "S" の内点であるとは定数 "r" > 0 が存在して、"X" の点 "y" が "d"("x", "y") < "r" を満たす限りにおいて常に "y" ∈ "S" となるようにできることをいう。
さてこの定義は「開球」を「近傍」に置き換えることにより、一般の位相空間に対して一般化することができる。"S" が位相空間 "X" の部分集合であるとき、点 "x" が "X" の部分集合 "S" の内点であるとは点 "x" の近傍で "S" に含まれるものが存在するときにいう。この定義は近傍が開であることを要請するかどうかということに依存しないことに注意すべきである。開近傍であることを要請しない場合、"S" が "x" の近傍を含めば自動的に "S" 自身も "x" の近傍となる。
内部.
集合 "S" の内部とは、"S" の内点全体の成す集合のことをいい、int("S"), Int("S") あるいは "S"o などで表す。内部は以下のような性質を持つ。
しばしば上述の二番目や三番目の性質を内部の定義として採用することがある。
これらの性質において「内部」「部分集合」「合併」「に含まれる」「最大の」「開」をそれぞれ「閉包」「上位集合」「交わり」「を含む」「最小の」「閉」に置き換えたものもやはり成立する。より詳しくは後述の#開核作用素節を参照。
例.
実数全体の成す集合 R において、通常のユークリッド位相ではないほかの位相を入れることも考えることができ、その場合にはこれらの結果もまた変わってくる。
これらの例から判るように、集合の内部が何であるかということは、その台となる空間の位相がどのようなものであるかに依存している。上述最後の二つの例は以下のように一般に述べることができる。
開核作用素.
開核作用素 o は
および
の成り立つという意味で閉包作用素 — の双対である。ここで "X" は "S" を含む位相空間であり、バックスラッシュは差集合を表す。
それゆえ、閉包作用素とクラトフスキーの閉包公理による抽象理論は、集合をそれらの補集合で置き換えることにより、容易に開核作用素の言葉で翻訳することができる。 
外部.
位相空間 "X" の部分集合 "S" の外部 ext("S") または Ext("S") は "S" の補集合の内部 int("X" \ "S") である。あるいはこれは "S" の閉包の補集合 "X" \ "S"— であると言ってもよい。外部の持つ性質の多くは、内部の持つ性質から直接に得られる。たとえば
などを挙げることができる。なお、開核作用素とは異なり ext は冪等ではないが、
という性質ならば正しい。