プリンキピア・マテマティカ

『プリンキピア・マテマティカ』(Principia Mathematica: 数学原理)は、数学の基礎に関する著作である。
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、全3巻からなるそれは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から、数学的真理すべてを得る試みである。
『数学原理』のための主要な霊感と動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事である。それがラッセルのパラドックスをもたらすことをラッセルが発見したのは本書が成立する以前のことである。プリンキピアは、哲学と数学と論理学において、アリストテレスの『オルガノン』以来もっとも重要で独創的な仕事の一つと、著者の一人であるホワイトヘッドを含めた多くの専門家に考えられている。
モダン・ライブラリーは、この本を20世紀のノンフィクション書籍上位100のリスト()の23位に位置づけた。
築かれた基礎の範囲.
プリンキピアは、集合論、基数、序数および実数だけをカバーした。実数解析からのより深い定理は含まれていなかったが、知られていた数学の多数が、適用された形式主義で原理的には展開できることが、第3巻の終りまでに明確になった。そのような展開がどんなに長くなるかも同様に明確になった。幾何学についての第4巻が計画されていたが、第3巻が完成した後で、著者たちは知的に枯渇したことを認めた。 
無矛盾性と完全性.
残された当時の関心は以下の2件であった。
命題論理自体は無矛盾で完全であると知られていたが、同じことはプリンキピアの集合論の公理に関しては確立されていなかった。(ヒルベルトの第2問題を参照)
ゲーデルの不完全性定理は、これら2つの関連する問題に予期せぬ光を投げかけた。
ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22とよばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。
ゲーデルの第2不完全性定理は、基本算術を展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性を証明することはできない、と言う。
したがって、「プリンキピアの体系は無矛盾である」という言明は、体系内に矛盾がある場合のみで、プリンキピアの体系内で証明することはできない。
批判.
ウィトゲンシュタインは、(たとえば、数学の基礎に関する1939年ケンブリッジでの講義で)さまざまな論拠でプリンキピアを批判した。たとえば、
ただし、ウィトゲンシュタインはプリンキピアがそれにもかかわらず、日々の算術のある面をより明確にするかもしれないと認めた。
記号.
プリンキピアで使用される主な記号
引用.
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参考文献.
原著
2次文献
日本語訳