命題関数

命題関数（めいだいかんすう、英：Propositional function） とは、数理論理学において、各変数の変域と終集合とがそれぞれ「真な命題」と「偽な命題」のみから成る、集合に等しいような写像である。命題関数は真理関数でもある。
定義.
命題関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
"L0" を formula_1 と formula_2 とだけから成る集合とし、"D" を固定された空でない 1 つの集合とする。そのとき、"n" 個の "D" の直積 formula_5 から "L0" への写像を "n" 変数の命題関数という。命題関数をまた述語、性質、条件ともいう。"n" 変数の命題関数をまた "n" 項関係ともいう。集合 "D" を議論領域といい、"D" の各元を対象という。
例.
議論領域 "D" は自然数全体から成る集合に等しいとする。また、集合 "L0" において、真理関数 ￢、∨ が定義されているとする。
"D" から "L0" への写像 "F" を次の等式で定義すれば、"F" は 1 変数の命題関数となる。
"D×D" から "L0" への写像 "G" を次の等式で定義すれば、"G" は 2 変数の命題関数となる。
2 項関係 "R(n，m)" をしばしば "nRm" と書く。従って、上の "G(n，m)" を "nGm" と書いても良い。
"D×D" の各元 "(n，m)" に対して "L0" の元 "(￢G(n，m))∨G(n，m)" を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。
限定作用素.
"F(x)" を 1 変数の命題関数とするとき、命題 "∀xF(x)" と "∃xF(x)" とは以下の等式で定義される。
"∀x" 、"∃x" をそれぞれ全称作用素、存在作用素といい、それらをまとめて限定作用素という。∀、∃ をそれぞれ全称記号、存在記号という。命題 "∀xF(x)" は 「 全ての対象 "x" に対して "F(x)" が成り立つ 」 を意味し、命題 "∃xF(x)" は 「 "F(x)" を満たす対象 "x" が ( 少なくとも 1 つ ) 存在する 」 を意味する。
例.
議論領域 "D" は整数全体から成る集合に等しいとする。
1 変数の命題関数 "F(n)" を次の等式で定義する。
"F(1)" = formula_1 は正しくないので、"F(n)" = formula_1 は恒等式でない。よって、"∀nF(n)" = formula_2 である。また、"F(2)" = formula_2 は正しくないので、"F(n)" = formula_2 は恒等式でない。よって、"∃nF(n)" = formula_1 である。