積分因子

積分因子 (せきぶんいんし、) とは微分方程式の解法に用いられる関数である。常微分方程式の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより不完全微分から完全微分（積分するとスカラー場を与える）を得ることができる。特に熱力学の分野で用いられ、そこではエントロピーを完全微分にするために温度が積分因子となる。
2変数の方程式の場合には積分因子は必ず存在する。
カラテオドリの定理.
formula_1 次元多様体 formula_2 の領域 formula_3 で定義された 1-形式 formula_4 について
が成立するような関数 formula_5, formula_6 (ただし formula_7) が存在するとき、formula_8 を formula_4 の積分因子と呼ぶ。1-形式 formula_4 の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する。
この定理は1909年にコンスタンティン・カラテオドリによって熱力学第二法則の定式化のために導入された。formula_4 が閉形式（すなわち formula_31 が成立するもの）であればポアンカレの補題により積分因子 formula_32 が存在する。また formula_33 のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される（これはによって最初に示された）。
積分因子を用いた常微分方程式の解法の例.
次のような1階の線形常微分方程式を考える。
この方程式に対し、適当な積分因子formula_35を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、
となるから、(3) 式を積分して
となり、これよりもとの微分方程式の解として
が得られる。
次に積分因子formula_35を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるようにformula_35をとっていることから、
となり、formula_35がつぎの微分方程式
を満たすことがわかる。この式を変形すると、
したがって
となる。