平均次元

平均次元（へいきんじげん、）とは、「無限次元空間の次元」であり、従順群が連続に作用するコンパクト距離化可能位相空間の位相不変量として、ミハイル・グロモフが1999年に導入した。
最も基本的な例とその直観的意味.
formula_1次元ユークリッド空間の単位閉球をformula_2とする。
formula_3をformula_2の両側無限直積として、直積位相を与える。
このとき、formula_3はコンパクトかつ距離化可能であるが、その被覆次元は無限大である。
また、添字のずらしとして、無限巡回群formula_6はformula_3に連続に作用する。
従って、formula_3は無限巡回群が連続に作用するコンパクト距離化可能位相空間であり、その平均次元formula_10を考えることができる。
このとき、
である。
formula_3の被覆次元は無限大だが、その無限の「大きさ」をformula_2の次元と無限巡回群の「個数」との積だとしても、直観的には妥当であろう。
そして、平均次元とは群作用によるformula_3の次元の平均化であり、直観的には
ということである。
定義.
ここでは平均次元の厳密な定義を与える。
それは位相的エントロピーの定義に似ている。
formula_16をコンパクト距離空間とせよ。
まずは準備として、定義を二つ与える。
すなわち、formula_17程度の誤差を許容すれば、formula_21は埋め込みになるということである。
また、formula_31のとき、formula_17-埋め込みとは普通の埋め込みのことである。
すなわち、幅次元とはformula_17以下の細かいものを無視して見たときのformula_3の巨視的な次元である。
また、formula_3はコンパクトだったので、たとえ被覆次元が無限大でも、幅次元は常に有限である。
formula_17がformula_46に収束するとき、幅次元は単調増大であり、被覆次元に収束する。
例えば、formula_48に対して、formula_3を閉区間formula_50とformula_51の直積として、formula_52 をユークリッド距離とする。
このとき、formula_3からformula_50への自然な射影はformula_17-埋め込みである。
さらに、formula_46次元多面体(= 点)へのformula_3からのformula_17-埋め込みが存在しないことは定義からすぐに従うので、結局、
を得る。
さて、ここからは群作用を考える。
ただし、簡単のために、無限巡回群formula_6が作用している場合だけを扱うことにする。
無限巡回群formula_6がformula_3に連続に作用しているとせよ。
各自然数formula_1に対して、formula_3上の新しい距離formula_66を
と定める。
formula_3はコンパクトだったので、formula_16とformula_70とは同相になる。
特に、formula_70はコンパクトである。
ここで重要な観点は、群作用によるくりこみで距離空間の無限系列を系統的に作り出せるということである。
いわゆるOrnstein-Weissの補題により、極限
は有限確定値として常に存在する。
これまでの準備のもとで、平均次元は次で定義される。
幅次元などは距離に依存しているが、平均次元はformula_3の位相と両立する距離の取り方とは独立である。
これはformula_3のコンパクト性により恒等写像が一様連続になることに由来する。
一般に、無限次元位相空間は、たとえ距離化可能であったとしても、その位相と両立する距離を標準的に選び出す方法がないことが多い。
従って、この性質は重要である。