数論的関数

数論的関数（すうろんてきかんすう、）とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。
複素数の無限数列 formula_1 は formula_2 という対応で、数論的関数とみなすことができる。
素因数分解に関連する関数.
正整数 に対して
formula_3
と素因数分解する。
この項では、formula_4 が formula_5 によって得られる数論的関数について述べる。 
加法的関数.
互いに素である正整数 と に対して、formula_6 が成立するとき、加法的関数（）という。
つまり、
formula_7
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 と に対して、formula_8 が成立するとき、完全加法的関数（）という。つまり完全加法的関数とは
formula_9
が成立する数論的関数である。
乗法的関数.
互いに素である正整数 "m" と "n" に対して、formula_16 が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。
つまり、
 a(p^{\nu_p(n)})
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 "m" と "n" に対して、formula_16 が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
が成立する数論的関数である。
q進展開に関連する関数.
"q" を 2以上の正整数とする。
このとき、任意の正整数 "n" に対して
と "q" 進展開する。
この項では、formula_4 が formula_19 によって得られる数論的関数について述べる。
q加法的関数.
formula_20 を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。
特に、"q"加法的関数 formula_4 が formula_22 formula_23 を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。
q乗法的関数.
formula_27 を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。
特に、"q"乗法的関数 formula_4 が formula_22 formula_23 を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。
その他の数論的関数.
(1) 素数に関係する関数
(2) 数の表現・分割
性質.
代数的性質.
数論的関数 formula_42 に対して、ディリクレ積 formula_43 を
と定めると、formula_43 は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。
乗法的関数 formula_42 に対して、ディリクレ積 formula_43 で得られた数論的関数は乗法的関数となる。
数論的関数 formula_47 が、ある正数 "C" と、数論的関数 formula_48 が存在して、formula_49 と表されるとする。すると、formula_47 が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、formula_48 は(完全)加法的関数である。
位数.
(1) 最大位数
数論的関数 formula_4 に対して、ある単純な形をした "n" の関数 formula_53 が存在して
が成立するとき、formula_4 の最大位数は formula_53 であるという。
(2) 平均位数
数論的関数 formula_4 に対して、ある単純な形をした "n" の関数 formula_53 が存在して
が成立するとき、formula_4 の平均位数は formula_53 であるという。
従って、formula_4 は、だいたい formula_53 であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、formula_4 がほぼ formula_53 である様な "n" は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。
(3) 正規位数
任意の正数 &varepsilon; とほとんど全ての正整数 "n" に対して
が成立するとき、formula_4 の正規位数は formula_53 であるという。
平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。
例.
(1) 約数関数 formula_66
最大位数は、
であり、平均位数は formula_10 である。
さらに formula_68 の正規位数は formula_69 である。
従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 "n" に対して
が成立する。
つまり、ほとんど全ての正整数に対して、formula_66 の値は、平均位数よりも小さい。
(2) 約数和関数 formula_71
最大位数は
であり、平均位数は formula_72 である。
(3) オイラー関数 formula_73
最大位数は formula_74 であり、平均位数は formula_75 である。
(4) "n" の相異なる素因数の個数を表す関数 formula_11
平均位数および正規位数は共に formula_77 である。
(5) "n" の重複を込めた素因数の個数を表す関数 formula_13
平均位数および正規位数は共に formula_77 である。
(6) 素数の個数を表す formula_33
正規位数は、formula_81 である。