二次体

二次体 (にじたい、) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 "d" を用いて、formula_1 と表現される。もし、"d" > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、"d" < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
性質.
二次体の判別式.
従って、"d" ≡ 1 (mod 4) のときは、formula_11、それ以外のときは、formula_12 が、formula_1 の整基底となる。
二次体の単数.
formula_17 に対する基本単数
二次体と初等整数論.
二次体と初等整数論との関係を述べる。
平方剰余の相互法則.
formula_22 をルジャンドル記号とすると、次が成立する。
二次形式.
有理整数係数の二元二次形式の類数を "H"("D") ("D" は、二次形式の判別式) とし、
二次体 formula_27 の(代数体としての)類数を、"hK" とすると、"H"("D") = "hK" である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。
二次体の類数.
ディリクレの類数公式.
二次体 "K" の判別式を "D" とし、"χ" を formula_28 に対するクロネッカーの指標とする。"K" に対する ディリクレの L 関数を用いて、"K" の類数 "hK" は
で与えられる。但し、κ は、
で与えられる 0 でない実数である。ここで、"w" は、"K" に含まれる 1 のベキ根の数、"ε0" は、"K" の基本単数とする。
さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。
但し、ε0 は、"K" の基本単数、"d" = |"D"|、"w" は、"K" に含まれる 1 のベキ根の数とする。
これらの式を総称してディリクレの類数公式という。
類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の formula_33 での留数で表現するものも知られている。
formula_34 を、二次体 "K" のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。
但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。
類数に関するガウスの予想.
ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。
ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。
予想 1 について。
予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。
予想 2 について。
現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。
予想 3 について。
1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。
予想 4 について。
この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)
その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。