オイラーの定理 (微分幾何学)

微分幾何学において、オイラーの定理とは、曲面上の曲線の曲率について、極大・極小を与える主曲率とそれに伴う主方向の存在を規定する定理。1760年にレオンハルト・オイラーにより証明が与えられた。
定理.
"M"を三次元ユークリッド空間上の曲面、"p"を"M"上の点とするとき、"p"を通り"M"の法ベクトルを含む平面を"p"を通る法平面といい、"p"における各単位接ベクトルについて、"M"上の曲線を切り取る法平面が存在する。この曲線は、"P""X"に含まれる曲線とみなしたときにある曲率κをもつが、すべてのκが等しくないと仮定したとき、κの極大値"k"1を与える単位接ベクトル "X"1及び極小値"k"2を与える単位接ベクトル"X"2が存在する。オイラーの定理は、"X"1と"X"2が直交し、さらに、ベクトル"X"を"X"1に対してθの角をなす任意のベクトルとしたとき、
が成り立つことを主張するものである。
"k"1と"k"2は主曲率と呼ばれ、"X"1と"X"2はそれぞれに随伴する主方向と呼ばれる。
応用.
地球楕円体面上の任意の点において、主方向は子午線方向及び卯酉線方向であり、両方向が直交していることは容易に確認できる。地理緯度 formula_1 における子午線曲率半径を formula_2、卯酉線曲率半径を formula_3 とするとき、極大曲率をもつ主方向（子午線方向）に対し任意方位角 formula_4 をなす垂直截線の曲率半径 formula_5 は、回転楕円体の幾何学的考察からも導出可能ではあるが、オイラーの定理を用いることにより、
のように直ちに求めることができる。