ダランベールの微分方程式

ダランベールの微分方程式（ダランベールのびぶんほうていしき、）とは、
の形をしている一階常微分方程式である。
ここで、"f"、"g" はそれぞれ、微分可能実関数で、かつ "f"("p") ≠ "p" だとする。
"f" が恒等写像の場合、(1) はクレローの微分方程式となる。
この方程式は、ラグランジュの微分方程式（）とも呼ばれる。
解法.
formula_1 とおくと、(1) は、
となる。
(2) の両辺を "x" で微分すると、
である。
"p" を独立変数、"x" を "p" の関数とみなすと、"f"("p") ≠ "p" だから、
となる。
(3) は一階線型常微分方程式だから、定数変化法により一般解が
と求まる。
ここに、"C" は、積分定数である。
(1) の一般解は、"p" を助変数として、(2) と (4) により得られる。
なお、"α" = "f"("α") を満たす実数 "α" が存在する場合、"y" = "x f"("α") + "g"("α") が (1) の特異解を与えることがある。