一意分解環

数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 とも呼ばれる。
環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。
一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる。
定義.
厳密には、整域 の零元でも単元でもない元 が何れも 
のように の有限個の既約元の積として書くことができて、その表示が一意であるとき は一意分解環であるという。ここで表示が一意であるとは、 が の既約元 によって再び 
のようにも表せたとするならば、 であって、番号の適当な並べ替えを行う全単射 } を与えると、 と とが のそれぞれについて同伴 となるようにできるということを意味する。
一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である： 整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が の素元の積の形に書けるときである。
一意分解環の例.
初等的な数学で目にする環の多くが UFD である：
もう少し一般に、以下のような例を与えることができる：
性質.
整数に対して定義される幾つかの概念が UFD に対しても一般化して定義される。
UFD となる条件の言い換え.
ネーター整域が UFD となる必要十分条件は、その高さ の素イデアルがすべて単項イデアルとなることである。同様に、デデキント環が UFD となる必要十分条件は、そのイデアル類群が自明であることである。この場合は実際には主イデアル環となる。
ネーター的ではない整域についても、それが UFD となることに同値な条件の言いかえができる。 を整域として、以下の条件は互いに同値である。
実用上は、2. と 3. の条件が UFD の確認にはもっとも有用である。たとえば PID において任意の素イデアルは素元によって生成されるから、2. から直ちに PID が UFD となることが従う。
他の例としては、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるようなネーター整域が考えられる。実際、任意の素イデアルが高さ有限だから、それは（高さに関する帰納法で）高さ 1 の素イデアルを含み、それは主イデアルと仮定したから、2. によりその環は UFD になる。