ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、）またはディラックの記法（ディラックのきほう、）は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。
ブラケット（）という呼称は、量子状態をブラ（） とケット（） と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 が括弧（）を成すことに由来する。
ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文で提案された。ディラックの教科書 では1947年の第3版からブラケット記法を採用している。
ブラ・ケット.
ブラ はケット のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を formula_1 で表し、ケットに対する適用を formula_2 と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。
通常、上記の内積は括弧を外して formula_4 と表される。
また特に任意のケット に作用してケット を与える作用素は と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で と表される。
性質.
ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。
また、ある状態 formula_6 において、観測可能量 formula_1 の期待値はブラ とケット の内積 formula_8 として表される。
初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。
利点と欠点.
この記法の利点として
などがある。
無限次元での取り扱い.
ディラックの説明によればケット の空間においてブラ は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。
正規直交基底とブラケット記法.
正規直交基底のうち2つのラベルを として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて
連続基底ではデルタ関数を用いて
となる。
また正規直交基底の完全性は離散基底について、
連続基底について、
と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 formula_13 があるかのように書いている（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。
第二量子化とブラケット記法.
第二量子化された粒子生成演算子 を用いて2粒子状態を
と定義する。この時 がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 を満たすので、
となり、反対称化されている。
また がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 を満たすので、
となり、対称化されている。
波動関数との関係.
ケット と、（位置表示の）波動関数 の関係は以下のように表される。
ただし、位置を表す演算子 formula_18 の固有値を 、対応する固有ケットを とする；formula_19。