ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 は を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、 が有理数であると仮定して矛盾を導く。 が無理数であることの証明は、円周率 が無理数であることの証明よりずっと易しい。 の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。
 を底とする指数関数 は以下のようにテイラー展開される。
 を代入すると
以下、これを の定義として無理数であることを証明する。
証明.
 を満たす自然数 が存在すると仮定すると は以下のように展開される。
左辺は formula_4 であるから自然数である。右辺は (　) 内の から までの項は全て自然数であるが、{　} 内の 以降の全ての項の和は、 が 以上であることから
と 1 未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。
ゆえに を満たす自然数 が存在するという仮定は誤りである。
ネイピア数の冪乗の無理性.
一般に、 を でない有理数とすると、 は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている。