時不変系

時不変系（じふへんけい、）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 formula_1 によって出力 formula_2 が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 formula_3 では出力も formula_4 となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。
形式的には、formula_5 をシフト作用素としたとき（formula_6）、次が成り立つ formula_7 を時不変作用素と呼ぶ。
この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。
単純な例.
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
系 A は formula_11 と formula_12 以外の部分で明示的に "t" に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に "t" に依存していないので、時不変である。
形式的な例.
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。
系 A:
系 B:
抽象的な例.
シフト作用素を formula_25 と表す。ここで、formula_26 はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系
は、ここでの抽象的記法では次のようになる。
ここで、formula_29 は次の式で与えられる関数である。
シフトされた出力となる系は次のようになる。
従って formula_32 は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。
ここで、系を作用素 formula_33 で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、
系の方程式が次のようであるとする。
この系が時不変であるとは、系の作用素 formula_33 を formula_29 に適用してからシフト作用素 formula_25 を適用した場合と、シフト作用素 formula_25 を適用してから系の作用素 formula_33 を適用した場合で、結果が等価となる場合である。
系の作用素を先に適用すると、次のようになる。
シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。
従って、系が時不変なら次が成り立つ。