モナド (圏論)

数学の一分野である圏論において、モナド（）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はである。
歴史的に、この構造は「双対標準構成（）」「トリプル（）」「モノイド（）」「トライアド（）」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している。「モナド」という語彙はライプニッツ（モナド (哲学) を参照）からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくともの1967年の論文に使用例が存在しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことをが明かしている。
定義.
formula_1 が圏のとき、formula_1上のモナドは関手 formula_3 と2つの自然変換 formula_4 (formula_5 は formula_1 上の恒等関手) と formula_7 (formula_8 は関手 formula_9) から成り、これらは以下の条件をみたす( と呼ばれることもある)：
これらの条件は以下の可換図式によって書き直すことができる：
formula_16 や formula_17 という表記を展開し以下の可換図式で表すと以下のようになる：
自己関手の圏上のモノイドとして.
圏 formula_1 上の自己関手（ から への関手）を対象として、それらの間の自然変換を射とする圏を formula_19 で表す。このとき、自己関手の合成演算 formula_20 は formula_19 にモノイダル圏の構造を与える。formula_19 において formula_1 上のモナド formula_24 は、formula_19 の対象 formula_15 と射 formula_27, formula_28 の組であって、
（ここで・は formula_19 の射の合成を表す）を満たすものと書ける。すなわち、これは formula_19 のモノイドである。
具体例.
閉包作用素.
完備束 上の写像 が以下の条件を満たすとき、 をと言う：
 と順序関係 ≦ のなす構造を圏とみなしたとき、条件1と順序関係の性質から を関手と思うことができる。さらに、順序集合を圏とみなしたとき、各対象の間の射は高々1つである。このことと条件2,3を用いると、 は 上のモナドである条件を満たす。半順序上のモナドが閉包作用素であることは でも示されている。
自由モノイド.
集合の圏 上の関手 をformula_33で定める。すなわち、 は の要素の有限長のリスト すべてからなる集合である。このとき、 を として、 をリストの結合で定めると、 は 上のモナドとなる。これを自由モノイドモナド、あるいはリストモナドと呼ぶ。
モナドと随伴関手.
関手 formula_34 と formula_35 は随伴、すなわち自然な同型 formula_36 が存在するとき、関手 formula_37 はモナドとなる。ここでモナドを構成する は随伴の単位射、 は随伴の余単位 を用いて で定まる。
随伴関手はモナドを伴う一方、全てのモナドは随伴関手の合成として表すことができる。圏 上のモナド formula_24 に伴う特別な随伴として、formula_39とクライスリ圏 formula_40 への随伴が知られている。
アイレンベルグ-ムーア圏.
圏 上のモナド formula_24 に対して、 の対象 と射 の組を"T"-代数という。また、-代数 と の間のモルフィズム を、formula_42 を満たす の射 で定める。 のアイレンベルグ-ムーア圏 formula_39 とは、-代数とその間のモルフィズムからなる圏である。
-代数の圏に対して、随伴となる関手 formula_44 と formula_45 は次のように定められる：
定義から formula_50 であり、従って formula_15 は formula_52 と formula_53 に伴うモナドである。
アイレンベルグ-ムーア圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 formula_54 に対して formula_55 と formula_56 を満たす関手 formula_57がただ1つ存在するという性質を持つ。
クライスリ圏.
圏 上のモナド formula_24 に対して、 のクライスリ圏 formula_40 は formula_60 と同一の対象を持ち、formula_61 によって定まる射を持つ圏である。このとき、formula_40 における射の合成は、formula_63 と formula_64 に対して formula_65 で定まる。また、恒等射は formula_66 となる。
クライスリ圏 formula_40 に対して、随伴となる関手 formula_68 と formula_69 は次のように定められる：
定義から formula_74 であり、従って formula_15 は formula_76 と formula_77 に伴うモナドである。
クライスリ圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 formula_54 に対して formula_79 と formula_80 を満たす関手 formula_81がただ1つ存在するという性質を持つ。