生産関数

生産関数（せいさんかんすう、）とは、生産物の最大可能な産出量を生産要素の投入量に対応して表す関数である。
企業は資本、技術、人材、原材料などの生産要素を用いて生産活動を行う経済主体である。つまり、企業はそれら投入物の種類や量によって生産量が決まる。生産関数はこの関係を単純化させ、数学的モデルで表したものである。
マクロ経済学の分野では、一国の経済の生産プロセスや要素量の変動を動学的に示す役割をも果たしている。生産関数は、フランク・ラムゼイの最適成長モデルといったところでも見られるが、さらに新古典派経済学では、あらゆる経済学的現象を立証するのに用いられている。
数学的表現.
生産量"Y" を生産要素（"n" 種類あるとする）の投入量 "x"1 , ... "xn" の関数で表すと
となる。これが一般的な生産関数の数学的表現である。
これの単純化したケースとして、生産要素が 1 種類だけ（たとえば労働"L" ）あるいは 2 種類（労働"L" と資本"K" ）などといったものがよく考えられる。他に生産要素として、技術や減価償却などが考えられることがある。
例.
生産関数の例には以下のようなものがある。ただし生産要素は労働"L" と資本"K" の 2 種類であるとする。
限界生産力.
限界生産力MP とは、他の全ての生産要素投入量を一定に保ったまま、ある 1 種類の生産要素投入量を 1 単位だけ増やしたときの生産量"Y" の変化である。
性質.
生産関数は、通常、以下の性質を満たすと仮定される。
派生概念.
規模の経済.
全ての生産要素投入量を同じ率（"k" 倍とする）で増加させるとき、生産量"Y" の増加量がそれに比例するかどうかで 3 つのケースに分けられる。それぞれは
と呼ばれる。
前述のコブ＝ダグラス型生産関数の場合、
となる。
等生産量曲線.
生産関数の等値線を等生産量曲線と呼ぶ。
生産関数の性質より、等生産量曲線は以下の性質を持つ。ただし簡単化のため生産要素を 2 種類（労働"L" と資本"K" ）とするが、一般の場合も同様である。