オイラーの分割恒等式

数論、組合せ論におけるオイラーの分割恒等式（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数（正の整数）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「奇数の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。
分割の例.
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法
と奇数の自然数に分割する方法
の個数は等しく 6 である。
自然数 "n" をこのように分割する方法の個数を "Q"("n") で表すと、
などと続く。
母関数による表現.
オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 "n" を互いに異なる自然数に分割する方法の数を "P""d"("n") とすると
である。また、自然数 "n" を奇数の自然数に分割する方法の数を "P""o"("n") とすると
である。従って、オイラーの分割恒等式は
と書き表される。
証明.
母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。
初等的な説明.
例として 8 を分割することを考える。ここで "P" を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、"U" を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると
このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 "I" で表した。