階段関数

階段関数（かいだんかんすう、または）とは、おおまかに言って、グラフが階段状になる実関数のことである。より正確には、区間上の指示関数が有限個あって、それらの線型結合で表される関数である。有限個のみの区分を持った、区分的に定数関数である関数とも表現できる。
定義.
関数 "f" : R → R が階段関数であるとは、ある正整数 "n" が存在して、"n" 個の実数 "α"1..., "αn" と "n" 個の区間 "A"1..., "A""n" 上の指示関数 "χ"1..., "χn" によって、
と表されることをいう。ここに、集合 "A" 上の指示関数 "χA" とは、次で定義されるものであった。
この定義において、区間 "A""i" たちは、次の2条件を満たすとしてもよい。
例えば、この条件を満たさずに階段関数
が与えられたならば、条件を満たすように
と表現することもできる。
性質.
階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 "A""i" たちを互いに素な R の分割にとっておけば、"A""i" の任意の元 "x" に対して "f"("x") = "αi" となる。
階段関数
のルベーグ積分は、区間 "A""i" の長さ "L" ("A""i") が全て有限である場合、
で与えられる。
2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。