クレローの方程式

クレローの方程式（クレローのほうていしき、Clairaut's equation）とは、次の形の微分方程式である。
この方程式の名はアレクシス・クレローにちなんだものである。また、次の一階偏微分方程式もクレローの方程式と呼ばれる。
解法.
常微分方程式.
常微分方程式
を解くには、まず両辺を "x" について微分する。
整理して
を得る。これより、
であるか、または
である。前者の場合、ある定数 "C" があって "C" = "dy"/"dx" となる。これを元の方程式に代入すると、
という関数の族が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。
後者の場合、
という式からはただひとつの解 "y"("x") しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。
偏微分方程式.
クレローの一階偏微分方程式
は、シャルピの解法により解ける。
とおけば、同方程式は "F"("x","y","u","ux","uy")=0 である。
だから、補助方程式は、
である。
後二式は "dp" = "dq" = 0 の意味だから、"ux" = "a"、"uy" = "b" とおくと、
である。
よって、"a"、"b" を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。
完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。
実際、(1) を "a"、"b" で偏微分した関係式
と (1) から "a"、"b" を消去できる場合には、解が得られる。
また、任意関数 "g" により、完全解の平面族の積分定数に関係 "b" = "g"("a") を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。
実際、(1) に "b" = "g"("a") を代入した式を "a" で微分した関係式
と (1) から "a" を消去できる場合には、解が得られる。