スターリング数

スターリング数（スターリングすう、）は、上昇階乗冪 () や下降階乗冪 () を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者が1730年に彼の著書 "Methodus Differentialis" で導入した数である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。
第1種スターリング数.
第1種スターリング数 () formula_1 は、上昇階乗冪 formula_2 を formula_3 のべき級数：
で表現したときの展開係数として定義される。この定義では formula_5 である。また、便宜上 formula_6 と定義する。第1種スターリング数は、
なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、
が挙げられる。なお、formula_9 は二項係数（二項定理を参照）である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、formula_10 であることから導くこともできる。上に示した漸化式に従い、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。
下降階乗冪 formula_11 も第1種スターリング数を含む展開係数を伴い、formula_3 のべき級数で表現できる。具体的には、
と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 formula_14 を施した値である。この展開式は、
であることに注意すれば容易に証明できる。
第1種スターリング数の性質.
第1の関係式は、formula_17 から導かれる。第2の関係式は formula_18 から導かれる。第3の関係式は formula_19 に関して、formula_20 であることから導かれる。
第1種スターリング数はベルヌーイ数 formula_21 と次のような関係がある。
第1の関係式は、上昇階乗冪の和の公式：
から導くことができる。第2の関係式は、第1の関係式に第1種スターリング数の漸化式を適用すれば導かれる。
組み合わせ数学における意味.
第1種スターリング数 formula_1 は、組合せ数学において、formula_25 個の要素を formula_26 個の巡回列に分割する組み合わせの数を与える。巡回列は山手線の駅のように繰り返される要素を示したデータ列である。ここでは、巡回列を formula_27 のように書こう。この場合、0, 2, 1, 3の順に数値が繰り返される場合を意味する。巡回列の場合、順列ではあるが formula_27 と formula_29 のように要素を巡回置換した巡回列どうしは同一とみなす。したがって、formula_25 個の要素で構成される巡回列の組み合わせは formula_31 通りである。また、formula_32 は1個の要素で構成される巡回列であると考える。
例として4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせを考えよう そのような分割においては、構成要素が1個と3個の巡回列に分割する組み合わせと、構成要素が2個と2個の巡回列に分割する組み合わせがある。前者の分割法では、4個の要素から、単独で巡回列をなす要素1個を選び、残りの3個の要素で巡回列を作る組み合わせを考えればよい。要素4個から1個を選ぶ組み合わせは4通りであり、3個の要素から巡回列を作る組み合わせは2通りである。したがって、前者の分割法による組み合わせは全部で8通りとなる。後者については、4個の要素から巡回列をなす2個を選び、それぞれ2個の巡回列の組み合わせを考えればよい。要素4個から2個を選ぶのは6通りの組み合わせがあり、2個の要素が巡回列は1通りしかない。しかし、得られる2個の巡回列は同一構造の巡回列なので、6通りの組み合わせからその自由度を補正する必要がある。つまり、2分の1するということであり、後者の分割法による組み合わせは3通りである。つまり、4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせは全部で11通りとなる。この数値は formula_33 と一致する。そのような組み合わせをすべて列挙すると以下のようになる。
上で説明した直接的な順列の作り方のほかに、4個の要素から巡回列2個を作る方法として次の手順を考える。手順1として、3個の要素から巡回列1個を作り、4番目の要素を単独要素の巡回列として追加する。手順2として、3個の要素から巡回列2個を作り、4番目の要素を既に作られた巡回列に追加する。手順1では、3個の要素から巡回列を作る組み合わせとして2通りが可能である。手順2では、3個の要素から巡回列2個を作る組み合わせが3通りある。さらに、4番目の要素を既存の巡回列に挿入する組み合わせは3通りずつあるので、手順2による組み合わせは9通りとなる。よって、手順1と手順2による組み合わせの合計として11通りになる。
この考え方を一般化し、formula_25 個の要素から 巡回列 formula_26 個を作るには、手順1として、formula_37 個の要素から 巡回列 formula_38 個を作った後、formula_26 番目の巡回列として formula_25 番目の要素を単独で追加する。その組み合わせの数は、formula_37 個の要素から 巡回列 formula_38 個を作る組み合わせの数に等しい。手順2として、formula_37 個の要素から巡回列 formula_26 個を作った後、formula_25 番目の要素を既存の巡回列に挿入する。その組み合わせの数は、formula_37 個の要素から 巡回列 formula_26 個を作る組み合わせの数を formula_37 倍した値となる。手順1と手順2の組み合わせの和であることを考えると、formula_25 個の要素から 巡回列 formula_26 個を作る組み合わせの数は第1スターリング数の漸化式で与えられることがわかる。したがって、その組み合わせの数は第1スターリング数 formula_1 に等しい。
第2種スターリング数.
第2種スターリング数 () formula_52 は、formula_53 を下降階乗冪 formula_54 の級数：
で展開したときの展開係数として定義される。この定義では、formula_5 である。便宜上、formula_57 と定義する。第2種スターリング数は
で展開した場合も、第2種スターリング数を含む展開係数を伴う。その展開した結果は、
となり、展開係数は第2種スターリング数に符号補正 formula_14 を施した値である。この展開式は、formula_64 であることに注意すれば導出できる。
第2種スターリング数の性質.
 &\textstyle\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k(k-1)! \displaystyle\left\