ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。
楕円関数の虚数変換.
ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期をformula_2とすると
テータ関数の虚数変換式により
となり、楕円関数の虚数変数を得る。
証明.
formula_11の虚数変換式の両辺の比をformula_12して恒等的にformula_13であることを証明する。テータ関数の二重周期性により
分子のformula_16が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数のformula_16をformula_18に改める。
先に示したようにformula_12はformula_21に依存しないので
であり、formula_12はformula_24にも依存しない定数である。その値は
である。