オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（オルンシュタイン＝ウーレンベックかてい、）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{"r""t"}である。
ここで、"θ", "μ", "σ" はパラメータであり、"W""t" はウィーナー過程を表す。 
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。
解.
この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数formula_1に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。
これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。
これを変形し、以下のように解が求められる。
formula_5が定数であると仮定するとき、formula_6の1次モーメントは以下のように計算できる。
formula_8とおくと、伊藤積分の等長性
を用いて次のような共分散関数が得られる。
別表現1.
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である（そして、しばしばその方が便利である）。初期値条件の無い場合、
となり、またformula_5が与えられた場合は以下のようになる。
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。
この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。
別表現2.
"B" をブラウン運動とすると、
はオルンシュタイン＝ウーレンベック過程である。"U""t"は以下の微分方程式の解である。
一般化.
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。
正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。