正単体

正単体（せいたんたい、regular simplex）は、2次元の正三角形、3次元の正四面体、4次元の正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は点、1次元正単体は線分である。
また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。
formula_1体（アルファたい）ともいい、"n" ("n" ≥ 0) 次元正単体を formula_2 と書く。
超立方体（正測体）、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
作図.
"n" 次元正単体は、"n" + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。formula_3 の巡回
を頂点として、互いを辺で結べばよい。この図形は、原点を中心とする"n" + 1 次元正軸体の "n" 次元面の一つである。例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする正三角形（2次元正単体）は (0, 0, 0)を中心とする正八面体（3次元正軸体）の面の一つであるが、この場合は (1, 1, 1)を4番目の頂点とする正四面体の構成面でもあり、2種類の正多面体で空間充填が可能である。
"n" 次元空間内で作図するには、
などがある。
性質.
特にことわらない限り、辺の長さが "a" の "n" 次元正単体について述べる。
超体積は、
超表面積は
である。
ファセット ("n" - 1 次元面) は "n" - 1 次元正単体である。したがって一般に、"m" (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 次元面は "m" 次元正単体である。たとえば、正五胞体（4次元正単体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。
"m" 次元面の個数は
である。これはパスカルの三角形の第 "n" + 2 段の "m + 2 番目の数字である。特に、頂点とファセットはそれぞれ formula_8 個である。
"m" (0 ≤ m ≤ "n" - 2) 次元面に集まる"l" ("m" + 1 ≤ l ≤ "n" - 1) 次元面の個数は
である。これはパスカルの三角形の第 "n" - "m" + 1 段の "l" - "m" + 1 番目の数字であり、"n" - "m" - 1 次元単体の "l" - "m" - 1 次元面の個数である。
自らと双対である。
ペトリー多胞体は "n" - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体のペトリー多角形は正方形である。