ランデン変換

ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。
楕円積分のランデン変換とガウス変換.
第一種楕円積分
につき、次の恒等式をランデン変換という。
同じく、次の恒等式をガウス変換という。
ランデン変換の導出.
ランデン変換は
</math>
の置換により導かれる。
&=\int_{\phi=0}^{\alpha}\frac{\cos\phi{d\phi}}{\sqrt{1-\sin^2\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\\
&=\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{\frac{\frac{2}{1+k}\left(1-\frac{2}{1+k}\sin^2\theta\right)\left(1-\frac{2k}{1+k}\sin^2\theta\right)}{\left(\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\right)^3}}{\sqrt{1-\frac{\frac{4}{(1+k)^2}\sin^2\theta\cos^2\theta}{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}\sqrt{1-k^2\frac{\frac{4}{(1+k)^2}\sin^2\theta\cos^2\theta}{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}}{d\theta}\\
&=\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{\frac{\frac{2}{1+k}\left(1-\frac{2}{1+k}\sin^2\theta\right)\left(1-\frac{2k}{1+k}\sin^2\theta\right)}{\left(\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\right)^3}}{\frac{1-\frac{2}{1+k}\sin^2\theta}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}\;\frac{1-\frac{2k}{1+k}\sin^2\theta}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}}{d\theta}\\
&=\frac{2}{1+k}\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}\\
&=\frac{2}{1+k}F\left(\sin\beta,\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
formula_2を陽にすると
</math>
formula_3
formula_4
formula_5
formula_6
}}である。
ガウス変換の導出.
ガウス変換は
</math>
の置換により導かれる。
&=\int_{\phi=0}^{\alpha}\frac{\cos\phi{d\phi}}{\sqrt{1-\sin^2\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\\
&=\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{\frac{\frac{2}{1+k}\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\left(1+\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\right)}}{\frac{\sqrt{2+2\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}-\frac{4}{1+k}\sin^2\theta}}{1+\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}\;\frac{\sqrt{2+2\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}-\frac{4k}{1+k}\sin^2\theta}}{1+\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}}{d\theta}\\
&=\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{\frac{\frac{2}{1+k}\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\left(1+\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\right)}}{\frac{2\sqrt{1-\sin^2\theta}\sqrt{2+2\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}{\left(1+\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}\right)^2}}{d\theta}\\
&=\frac{1}{1+k}\int_{\theta=0}^{\beta}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4k}{(1+k)^2}\sin^2\theta}}\\
&=\frac{1}{1+k}F\left(\beta,\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)
formula_2を陽にすると
</math>
formula_9
formula_10
formula_11
formula_12
formula_13
}}である。
楕円関数のランデン変換.
次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。
formula_14
次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。
\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}{1+\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}</math>
formula_16
formula_17
当初の母数がformula_18であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。
導出.
楕円積分のランデン変換により
のときに
formula_19
であるから
formula_21
である。楕円積分のガウス変換により
のときに
formula_19
であるから
であるが、formula_25をformula_26に改め、formula_27をformula_28に改めれば
\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}{1+\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}</math>
formula_29
formula_30
}}となる。
虚数変換.
上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。
上昇ランデン変換により
&=\frac
虚数変換により
&=\frac{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}\operatorname{cn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}\\
&=\frac{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{\tfrac{2k}{1+k}+\tfrac{2k(1-k)}{(1+k)^2}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}\\
&=\frac{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}{1+\tfrac{1-k}{1+k}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}iu,\tfrac{1-k}{1+k}\right)}\\
formula_31をformula_25と書き、formula_33をformula_27と書けば
となるが、これは下降ランデン変換である。