円柱座標変換

円柱座標変換（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間 （数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。
円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。
定義.
定義.
円柱座標変換Φとは、
で表される、"r" -θ-ζ空間から"x" -"y" -"z" 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。
r-θ-ζ空間、x-y-z空間の正体.
数学的には、"r" -θ-ζ空間、"x" -"y" -"z" 空間は、共に3次元実数ベクトル空間（formula_2）である。"r" -θ-ζ空間においては、第一軸方向を"r" 方向（"r" 軸）、第二軸方向をθ方向（θ軸）、第三軸方向をζ方向（ζ軸）とする。"x" -"y" -"z" 空間においても同様に、第一軸方向を"x" 方向（"x" 軸）、第二軸方向を"y" 方向（"y" 軸）、第三軸を"z" 方向（"z"軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「"x" -"y" -"z" 空間の標準座標系」（"O-xyz" 系）という。
定義域.
式(1-1-1)の円柱座標変換"Φ" は"r" -"θ"-"ζ"空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、
のように、どのような ("r", "θ", "ζ") に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。
しかし、本記事では特段の断りがない限り、"Φ" の定義域は式(1-3-2) に定める領域 "V" に制限されているものとする。"V" は、"r" -"θ"-"ζ" の部分集合であり、閉集合である（開集合ではない）。
formula_4　　(1-3-2)
つまり、"Φ" に代入されるものは、
のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。
"Φ" の定義域を式(1-3-2) の "V" に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。
円柱座標系との関係.
"x" -"y" -"z" 空間に、標準座標系（"O-xyz" 系；「"r" -θ-ζ空間、"x" -"y" -"z" 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系"P" とは、
で表される、"x" -"y" -"z" から"r" -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ("x" , "y" , "z") は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ("x" , "y" , "z") の定義域は"x" -"y" -"z" 空間の原点以外である。その他の成分は、"x" -"y" -"z" 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系"P" の定義域は、"x" -"y" -"z" 空間の原点以外である。
円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。
また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。
微分.
微分.
円柱座標変換の偏導関数は、
である。これらの定義域は、"r" -θ-ζ空間全域である。
従って、円柱座標変換の点 ("r" , θ, ζ) におけるヤコビ行列"J" Φ("r" , θ, ζ) およびヤコビアン det("J" Φ("r" , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域は"r" -θ-ζ空間全域である。
従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、"r" = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全て"x" -"y" -"z" 空間上では"z" 軸に移る。
法線.
標準的な円柱座標変換Φに対し、Nr , Nθ , Nζ を以下のように定義し、それぞれ"r" 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、"r" -θ-ζ空間全域である。
ここで、“×”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。
円柱と円柱座標.
この節では、後述の説明のために記号を定義する。
円柱と円柱座標.
"M" を、formula_17空間で半径"r"0 、高さ"z"0のふたと底のある、中身のつまった円柱（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと
である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、この"M" に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、"M" のみについて考える。
次に、この"M" を、円柱座標変換Φと"r" -θ-ζ空間内の直方体（六面体）"L" を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。"r" -θ-ζ空間内の直方体"L" を
と定義する。"L" の3辺の長さはそれぞれ、"r"0 , θ0 , 2πである。"M" は、"L" のΦによる像集合である。すなわち
である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。
円柱表面.
式(3-1-1)のソリッド円柱"M" の表面をformula_21と書き、円柱表面、円筒面、"M" の表面、あるいは"M" の境界面と呼ぶ。表面∂"M" は、以下のΔ1 , Δ2 , Δ3 に分割することができる。
Δ1 , Δ2 , Δ3 をそれぞれ、下面、側面、上面という。
逆に言うと、Δ1 , Δ2 , Δ3 を貼り合わせたものが∂"M" である。集合演算を用いると、
のようになる。
次に、Δ1 , Δ2 , Δ3 を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。"D"1 , "D"2 , "D"3 を以下のように定める。
"D"1 , "D"2 , "D"3 は、それぞれ"r" -θ平面、θ-ζ平面、"r" -θ平面の部分集合となっている。また、"D"1 と"D"3 は集合として全く等しいものである。
また、"x" -"y" -"z" 空間に値を取るベクトル値関数I1 , I2 , I3 を以下のように定義する。I1 , I2 , I3 の定義域は、本来的にはそれぞれ"r" -θ平面、θ-ζ平面、"r" -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域を"D"1 , "D"2 , "D"3 に制限して考えることにする。これらI1 , I2 , I3 を、それぞれΔ1 , Δ2 , Δ3 のパラメータと呼ぶ。
Δ1 , Δ2 , Δ3 は、それぞれ"D"1 , "D"2 , "D"3 のI1 , I2 , I3 による像集合となっている：
ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ1 = I1("D"1) とは、Δ1 とI1 ("D"1) が集合として等しいことを意味している。
Δ1 , Δ2 , Δ3 それぞれの法線ベクトルを、NΔ1 , NΔ2 , NΔ3と書く：
NΔ1 , NΔ2 , NΔ3 の定義域は、それぞれ"D"1 , "D"2 , "D"3 である。ここで、Nθに平行なものがないことに注意されたい。
ベクトル場.
"x" -"y" -"z" 空間で定義されたベクトル場X を"x" -"y" -"z" 座標系について表示すると
となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数"Xr" ("r" , θ, ζ) , "X"θ ("r" , θ, ζ) , "X"ζ ("r" , θ, ζ) を、
と定義する。正確に書くと
である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域は"r" -θ-ζ空間全域（"r" = 0 となる点を含む）である。
ここで以下が成立する。”formula_39”は、合成関数の意味である。
となる。また、
を(4-1-5)の両辺に掛けあわせ（た後に、左辺と右辺を入れ替え）ると、
がわかり、従って、-->
またはこれを逆に解くと
が分かる。
また、次の等式が"r" = 0 となる点を含むすべての ("r" , θ, ζ) に対して成立する。
式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「"x" -"y" -"z" 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。
積分.
体積分.
ここでは"x" -"y" -"z" 空間で定義されたスカラー値関数"f" の、式(3-1-1)の円柱"M" 内部での積分
の計算方法を説明する。円柱"M" について
が成立することに注意すると、"f" の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。
また、式(3-1-2)の直方体"L" に対し"M" = Φ("L" )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の変数変換公式を用いると、
が分かる。
以上、まとめると、
がわかる。
面積分.
ここでは、ベクトル場の円柱表面∂"M" 上での面積分の計算方法を説明する。
"x" -"y" -"z" 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂"M" 上の面積分を
で定める。但し、右辺の各項は
である。ここで、
同様に、
なので、
である。従って、
formula_61　　　(5-2-11)
が分かる。
ガウスの発散定理.
"x" -"y" -"z" 空間で定義されたベクトル場X に対して、
が成立する。この事実を、円柱面におけるガウスの発散定理という。ここで、
はベクトル場X の発散である。以下、証明を行う。
証明の準備.
(5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、
を示せばよいことがわかる。
x,y成分についての証明.
まず、式(5-3-3)を示す。
"x" -"y" 平面上の曲線"c" ("t" ) を、
とする。また、変数"z" を固定して考えることで、"x" -"y" 平面上の二次元ベクトル場
を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理：
が成立することは、既知とする。
このとき
が成り立つ。従って、
z成分について.
次に、
を示す。
なので、
スカラー関数に作用する微分作用素.
x-y-z空間における偏微分.
"f" を、"x" -"y" -"z" 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、"r" ≠ 0 をみたす任意の ("r" , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する：
上記の3式は、しばしば略記的に以下のように表記される：
勾配作用素.
勾配 grad ：
を円柱座標変換すると
以下、証明を行う。(grad "f" )(Φ("r" , θ, ζ)) と、Nr ("r" , θ, ζ) の内積を取ると、
であり、同様に、Nθ("r" , θ, ζ) , Nζ("r" , θ, ζ) についても、
が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。
ラプラシアン.
ラプラシアンについても、"r" ≠ 0 をみたす任意の("r" , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。
ベクトル場に作用する微分作用素.
発散.
"X" を、"x" -"y" -"z" 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。
回転.
回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。
ただし
である。
曲線・運動.
運動.
"x" -"y" -"z" 空間における運動を表す曲線
が、"r" -θ-ζ空間に値を取る曲線
と、円柱座標変換&Phi:を用いて、
と表せるとき、γ("t" ) を「曲線"c" ("t" ) の円柱座標表示」、あるいは「運動"c" ("t" ) の円柱座標表示」と呼ぶ。
式(8-1-3)は、
の両辺を時刻"t" に関する関数と考えること、つまり、
と考えることと同じである。
速度ベクトル.
"x" -"y" -"z" 空間における運動を表す曲線"c" ("t" ) の速度ベクトルv("t" )：
について以下が成立する。
但し"vx" , "vy" , "vz" は、それぞれv("t" ) の"x" 成分、"y" 成分、"z" 成分を意味する。
また、
のように定義すると、
である。また、以下が成立する。
加速度ベクトル.
同様に曲線"c" ("t" ) の加速度ベクトルa("t" ) ：
については以下が成立する。
但し"ax" , "ay" , "az" は、それぞれ a("t" ) の"x" 成分、"y" 成分、"z" 成分を意味する。また、
である。
さらに、以下が成立する。
formula_102 (8-3-4)