離散時間フーリエ変換

離散時間フーリエ変換（りさんじかんフーリエへんかん、英: Discrete-time Fourier transform、DTFT）はフーリエ変換の一種。したがって、通常時間領域の関数を周波数領域に変換する。ただし、DTFTでは元の関数は離散的でなければならない。そのような入力は連続関数の標本化によって生成される。
DTFTの周波数領域の表現は常に周期的関数である。したがって1つの周期に必要な情報が全て含まれるため、DTFTを「有限な」周波数領域への変換であるということもある。
定義.
実数または複素数の離散集合 formula_1（整数）が与えられたとき、formula_2 の離散時間フーリエ変換（DTFT）は次にように表される。
標本化との関係.
名称が暗に示している通り、{x[n]} は連続時間関数 formula_3 の値（標本）を表している。このときの標本化間隔を formula_4 としたとき、各標本の採取時刻は formula_5 であり、formula_6 がサンプリング周波数となる。DTFTは次の連続時間フーリエ変換の近似である。
標本化定理で示されるように、次のくし型関数の変調に formula_7 の値を使用すると見ることもできる。
その場合得られる関数のフーリエ変換は、formula_8 の間隔で重ね合わせられた formula_9 のコピーの総和である。
以下で示すように、これは周期関数のDTFTである。そして、ある明白な条件下で、k=0 の項はほとんど全く他の項からの歪み（折り返し雑音）が観測されない。変調されたくし型関数は次の通りである。
したがって、
このとき次が成り立つ。
つまり formula_10 は formula_11 と同じである。
ここで、formula_12 は通常の周波数（単位時間当たりの周期数）であり、formula_13 はサンプリング周波数（単位時間当たりの標本数）であるから、formula_14 は「標本当たりの周期数」を意味する。これを正規化周波数（normalized frequency）と呼ぶ。上で定義されている formula_15 も正規化周波数だが、こちらの単位は「標本当たりのラジアン」である。正規化周波数は、期間 formula_16 の周期を持つ関数 formula_17 で表されるという特徴がある。そのため、逆変換では formula_16 の期間のみを評価すればよい。
周期性.
formula_3 の標本化により、そのスペクトル（DTFT）は周期的になる。通常の周波数 formula_12（単位時間当たりの周期数）では、その周期はサンプリング周波数 formula_13 である。正規化周波数 formula_14（標本当たりの周期数）では、その周期は formula_23 である。formula_15（標本当たりのラジアン）では、その周期は formula_16 であり、formula_26 の周期性に直接従う。すなわち、
であり、ここで n と k は任意の整数である。したがって、
となる。DTFT formula_11 の別の表記 formula_28 は次の特徴がある。
ただし、実際に周波数領域の手法でDTFTを形成したとき、その類似性は不明瞭となる。したがって、下表でも使われている通り formula_11 の記法もよく使われている。
逆変換.
以下の逆変換は離散時間のシーケンスを回復させる。
積分区間はDTFTの一周期全体であり、これは {x[n]} の標本群がDTFTのフーリエ級数展開の係数でもあることを示している。無限区間の積分では、この変換が通常のフーリエ変換の逆変換となり、ディラックのインパルスも復元する。すなわち次のようになる。
有限長シーケンス.
DTFTの数値的評価では、有限長のシーケンスが明らかに必要とされる。実際、長いシーケンスは矩形窓関数で修正され、次のようになる。
これは、修正前のシーケンスのスペクトルの便利な近似として使われる。これによって解像度が悪くなるが、L を増やすことで改善される。
formula_17 を (2π) の一周期上に一様に分布する任意の formula_34 個の周波数で評価するのが一般的である。
これにより、次が得られる。
formula_35 であるとき、次のようにも表せる。
このように変形すると、formula_36 のシーケンスは離散フーリエ変換（DFT）となる。formula_37 はDTFTを標本化する際の解像度と定義され、formula_38 はDTFT自体の固有解像度である。したがって、通常これらはほぼ同じ値である。formula_39 を選択するのが一般的だが、値がゼロの項を総和に含める理由は、DFTを計算する高速フーリエ変換アルゴリズムを利用できるためである。そのことを強調する場合、「ゼロパディングDFT」あるいは「内挿DFT」と呼ぶ。しかし、値がゼロの項を使わずに単純に計算しても全く同じDFTが得られる。formula_40 の場合のDTFTも計算でき、その場合はDFTとは等価ではない。
formula_39 が一般的であることを示すため、次のシーケンスを考える。
下に示した2つの図は、ラベルで示される通り、異なるサイズのDFTを図示したものである。どちらの場合も支配的な周波数成分は formula_42 である。右の図に表れているパターンは、formula_43 の矩形窓関数のスペクトル漏れである。左側の図がこのようになっているのは、右の図のゼロと交差している点と標本化した点が重なっている結果である。これは、有限長シーケンスのDTFTというよりも、無限に続く正弦波のような印象を与える。このような図になる原因は、矩形窓関数の使用と、64個の標本あたり8個という整数個の周期になるような周波数を選択しているためである（formula_44）。
他のフーリエ変換との違い.
基本的にDTFTはフーリエ級数の逆であり、後者は継続的だが、周期的入力と離散スペクトルを持っている。これら2つの変換の応用は全く異なる。
DFT と DTFT は、標準の連続フーリエ変換を離散的データに適用しようとして自然に生まれたと見ることもできる。そういった観点では、単に入力形式が異なるだけで、変換そのものは同じである。
Z変換との関係.
DTFT はZ変換の特殊ケースである。両側Z変換は次のように定義される。
DTFT は formula_45 の場合である。このとき formula_46 なので、これは複素平面での単位円付近でのZ変換の評価である。
離散時間フーリエ変換表.
下表は典型的な変換を示したものである。
特性.
以下の表は、一般的な離散時間フーリエ変換を示したものである。以下のような記法を用いている。
最初の列は属性の説明、第二列は時間領域での関数表現、第三列は周波数領域でのスペクトル表現である。
対称性.
フーリエ変換は、実数成分と虚数成分に分離できる。
また、偶数成分と奇数成分に分離できる。