六進法

六進法（ろくしんほう、、）とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。
記数法.
整数.
整数の表記.
六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。
倍数判定と素数.
十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10－1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5＋1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(＝13＝3)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。
倍数判定法.
六進法でも、十進法と同じように倍数判定ができる。2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5×3 と 5×3 が判定可能なのに対して、六進法では 3 や 3×5 が判定可能になる。また、2 と 2×5 の倍数は、十進法では 5 種類になるが、六進法では 3 種類になる。
個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。
小数と除算.
小数の位取り.
＜図＞六進小数の進み方（「六分の一」の位）
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 2.2…
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＜図＞六進小数の進み方（「三十六分の一」の位）
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.2 0.21 0.22 … 0.52 0.53 0.54 0.55 1 1.01…
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六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。小数でも、六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。
小数の数値も整数と同様になる。右に既約分数を表記する。
を、それぞれ意味する。
整数と小数の桁の移動も、(12) を例に挙げると：
となる。
整数の除算.
六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。
十進法の整数の除算では、「四分割（2）は百（100）まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割（3）もできない。しかし、六進法の整数の除算では、「四分割は三十六（100）まで待たねばならない」が、「九分割も三十六（100）まで待てばいい」。「100個の饅頭」が、六進法では以下のように分けることができる。
六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。従って、「1000人の1/3で200人」「1000人の1/2で43人」「1000人の1/3で12人」といった計算が可能になる。従って、単位分数以外でも2の冪数や3の冪数を分母にして「1000人の『(5×2)/3』で212人」「1000人の『5/2』で343人」といった計算も可能になる。
もし通貨を六進法にすると、「10000円」は十進法の「1296円」になり、「2000円」は十進法の「432円」になり、「10000円 ÷3 ＝ 2000円」「10000円を3人で分けて、1人2000円」といった三分割が可能になる。
通貨の列も、「100円硬貨」は十進法「36円硬貨」、「1000円硬貨」は十進法「216円硬貨」、「10000円札」は十進法「1296円札」、「100000円札」は十進法「7776円札」となり、どれも三分割・四分割・六分割・九分割が可能になる。
小数を含めた除算.
十進法は1/3が割り切れない、十六進法など「2の冪数」進法は1/3も1/5も割り切れないのに対して、六進法では十の冪数も2の冪数も三分割することができる。
十進法では 1/3 メートルが割り切れずに「100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル」「1/3 メートル = 333.3333… ミリメートル」になってしまうが、六進法では「100」センチメートルは「244」センチメートルと表記され、1/3 メートルは「244 ÷ 3 = 53.2 センチメートル」となる。
十進法で「100分率」を作ると「百分率」だが、六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になる。「三十六分率」になると、十進法の1/3の数量で、「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行することができる。
その他、「2の冪数」や「十の冪数」の九分割の例は以下の通りになる。
十進数では m/3 (= m/27) は割り切れず、37 (= 101) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/3 (= m/43)は割り切れて2＝12＝8の倍数になる。m/2 の小数も、十進数では 5 (= 125 = 325)の倍数だが、六進数では 3 (= 43 = 27)の倍数になる。<br>
従って、六進数では、2 (＝12＝8)で割ると被除数の3 (＝43＝27)倍の数が現れ、3 (＝43＝27)で割ると被除数の2 (＝12＝8)倍の数が現れる。
2/3 の小数は、十進法では割り切れずに 37×8 = 296 が循環するのに対して、六進法では割り切れて 12×12 = 144 が現れ、これを十進法で換算すると 8×8 = 64 になる。「十分の三」が割り切れない一方で、その概数である「二十七分の八」は「四六三分の六二」として計数され、割り切れる小数になる。<br>
このように、六進法は六分割で一桁下がるので、三分割、九分割、二十七分割など、3の冪数で分ける方法がかなり便利になる。
3/8の小数は、小数点を消すと十進法が 375 = 3×5 に対して、六進法は 213 = 3×3 = 81 が現れる。これらを分数化すると、十進法が (375/1000) に対して、六進法は (81/216) = (213/1000) になる。<br>
割分厘も、十進法は「千分率」だが、六進法は「二百十六分率」になる。3/8も、十進法の「打率0.375」「3割7分5厘」に対して、六進法だと「打率0.213」「2割1分3厘」という数え方になる。
その他、2、3、列びに5を伴う除算の例は、以下のようになる。
六進法は2と3の冪指数が同じなので、十六分割（2）と同じく八十一分割（3）も容易である。その他、2と3の冪指数が4以上の計算例は、以下のようになる。
除数が十五（15＝23）の倍数になる除算を割り切る条件は、被除数の因数に5が含まれていることが第一となる。
小数表.
分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2と3がそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。
分母が2
従って、1/2にするには0.3を掛ける、1/3にするには0.2を掛ける、2/3にするには0.4を掛ける、3/4にするには0.43を掛ける、(4/9)にするには0.24を掛ける、(5/8)にするには0.343を掛ける、(8/27)にするには0.144を掛ける、という方法でも算出できる。
単位分数と無理数.
割り切れない小数の循環節は下線で示す。六は三では割り切れるが五では割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。六進法の除算の特筆すべき点として、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は五だけである。六は二と三で割り切れる最小の数なので、三の累乗数である九（六進法では13）や二十七（六進法では43）でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。
又、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37＝101の倍数が現れる。これは、十の三乗と六の四乗が、37＝101の倍数の次に来るためである。実際に、十進法999 (= 1000－1) は六進法4343（十進換算で3×37＝999）、六進法5555 (= 10000－1) は十進法1295（六進換算で5×11×101＝5555、十進換算で5×7×37＝1295）である。6までの逆数を見ても、全体的に六進法と十進法は循環節が短い傾向が見られ、十進法で3の循環節が3桁に対して、六進法の5も循環節が5桁である。
※ 素因数分解は六進表記。
命数法.
六進命数法とは、6 を底とする命数法である。
命数法の基本構造.
六進命数法は、0（零）から「10」となる六までを一つの名詞として命名し、七から十一までを「6+1」「6+2」…「6+5」という形式で命名し、六の倍数は「2×6」「3×6」「4×6」「5×6」という形式で命名する。その次は、100となる三十六や、1000となる二百十六など六の冪数（6）で新しい数詞が付けられる。「m×6」となる数も、200となる七十二は「六の二乗の二倍」「二倍の三十六」、300となる百八は「六の二乗の三倍」、4000となる八百六十四は「六の三乗の四倍」「四倍の二百十六」、5000となる千八十は「六の三乗の五倍」として命名される。
数詞.
自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語 (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている。ンドム語では、 "mer" が 6、 "mer an thef" が 12 (二六：6 × 2) 、"tondor" が 18、"nif" が 36 (62)、"nif thef" が 72 (62 × 2) を意味しており、六の倍数では18（三六：3 × 6）だけが独立系の数詞になっている。
この他には、南ニューギニアのングコルンプ語(Ngkolmpu)、パプアニューギニアのヤム語（）やコムンゾ語が（）が六進法を使用しており、六の倍数や六の冪数にも個別の数詞が付けられている。これらの言語で六が底になった由来として、「もう片手は桁上がりで六の位」とする指数えが挙げられている。
語彙.
六が底になった由来は二つある。一つは、前述の「もう片手は六の位」とする指数えである。もう一つは、空間の基本的な方角が六つである事（2 面 × 3 次元 = 6。上下・左右・前後）も挙げられる。
日本語には、「十→百」という十進法が主流とされる中で、「六→三十六」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 61) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」、全ての方策を指して「三十六策」(= 62) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 61) や「三十六歌仙」(= 62) というように、六の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十指の二乗で百」に対して、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいている。
また、「二十四時間」ではなく「四六時中」(40＝24) といった六進命数法の語彙も用いられている。明治時代の新聞に「二六新報」が存在したが、「二六」とは「六の二倍」、すなわち、十進命数法の「十二」である。
単位系.
六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 間は 6 尺である。
指数え.
拳を0とすれば、0から5までの六種類の数字を片手で表現できる。六進法の指数えでは、片手(主に右手)を一の位、もう片手(主に左手)を六の位として、「五六五」すなわち、三十五（55＝35）まで数える。この方法では、右手で0から5まで数えて、「左手が1」すなわち六になったら桁上がりで右手を拳に戻す。
例えば、左手が「1」と右手が「5」なら「六五」すなわち十一（15＝11）、左手が「3」で右手が「2」なら「三六二」すなわち二十（32＝20）、左手が「4」で右手が「3」なら「四六三」すなわち二十七（43＝27）を表す。
二桁で数えるので、（1）「一の位」と「六の位」、（2）「一の位」と「六分の一の位」、（3）「六分の一の位」と「三十六分の一の位」、の三種類が計算可能になり、1.1以降の小数や仮分数も表現できる。小数は0.01（十進分数1/36）から5.5（5と5/6）までをカウントできる。<br>
前述の左手が「3」で右手が「2」なら、32で「20」の他に、3.2で「3と1/3」、それに0.32で「5/9」(＝十進分数20/36)を表現できる。<br>
「75パーセント」すなわち3/4も、3/4＝(27/36)＝(43/100)から、左手が「4」と右手が「3」で0.43 として表現できる。
両手で十進法の指数えは、「六五」すなわち十一以降の整数を表現できず、1.1以降の小数も仮分数も表現できず、十分率しか示せないので
二分割と五分割しかできず、三分割も四分割も九分割もできない。しかし、両手で六進法の指数えは、「五六五」すなわち三十五までをカウントできる上に、1.1以降の小数も仮分数も表現できて、二分割も三分割も可能になり、両手に拡大すれば四分割と九分割も可能になる。
乗算や除算では、2のp乗、3のp乗、6×mというように段階に分ける。