多項式の展開

数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。
概要.
分配法則
を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が 個の項の和である場合の分配法則を得る。
第一因子も複数の項の和である場合、すなわち
については、次のように計算される。
この結果を記号 を用いて書くならば
である。言葉で表現するならば、
ということである。第一因子が 個の項の和、第二因子が 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは 通りであるから、展開した結果は 個の項の和になる。
3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、
ことがしたがう。 個の多項式の積であって、 番目の多項式が 個の項の和であれば、展開した結果は 個の項の和になる。
具体例.
 を展開すると、 となる。展開の様子は次の表のように表せる。
展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば を展開する場合の表は
であるが、 と が打ち消しあうため、 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。
右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。
冪級数への拡張.
多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数
についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は
と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。
例.
指数関数のテイラー展開
の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、
となるが、この右辺は すなわち のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、 にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、
であるが、 は の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 の解析接続は であり、これは のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。