ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は
で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。
具体例.
例えば、
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
証明.
テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、
formula_5とformula_6は共に楕円関数である。且つ、
であるから、formula_8となるところにおいて悉くformula_9となり、リウヴィルの定理によってformula_10は定数である。formula_11として
により、formula_13を得る。従って、
である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、formula_15を代入し、formula_16
となり、ヤコビの三重積の公式により
となる。一方、
であるから
であり、テータ関数の対数微分の公式により
である。以上により、
が得られ、formula_22の係数を比較することにより、
が得られる。