ゴレイ符号

ゴレイ符号（）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者。
2元ゴレイ符号.
2元ゴレイ符号（）は、デジタル通信に用いられる誤り訂正符号の一種である。
2元ゴレイ符号は2種類存在する。拡張2元ゴレイ符号（extended-）は12ビットのデータを24ビットの符号語に符号化し、任意の3ビットの誤りを訂正可能で、4ビットの誤りを検出可能である。完全2元ゴレイ符号（perfect-）は符号語長23ビットで、拡張2元ゴレイ符号から特定の1ビットを除いたものである（逆に完全2元ゴレイ符号にパリティビットを追加したのが拡張2元ゴレイ符号である）。これらを標準的な符号パラメータで表すと、[24, 12, 8] と [23, 12, 7] である。
数学的定義.
数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 "V"=F224 の12次部分空間 "W" からなり、"W" の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に "W" の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。
完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。
完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 formula_1 である。拡張2元ゴレイ符号の自己同型群はマシュー群 formula_2 である。他のマシュー群は、"W" の1つ以上の元の不変部分群として得られる。
ハミング重み 8 のゴレイ符号の符号語は、シュタイナー系 S(5,8,24) の元である。
3元ゴレイ符号.
3元ゴレイ符号（英: Ternary Golay code）には、相互に関連する2種類の誤り訂正符号が存在する。通常3元ゴレイ符号と言えば、完全 (11, 6, 5) 3元線型符号を指す。拡張3元ゴレイ符号（extended-）は (12, 6, 6) 線型符号であり、(11, 6, 5) の符号にゼロサムのチェックディジットを追加したものである。
拡張3元ゴレイ符号の重み多項式は次の通り。
完全3元ゴレイ符号は、有限体 F3 上の長さ11の平方剰余符号として構築できる。
拡張3元ゴレイ符号の自己同型群は 2."M"12 であり、"M"12 はマシュー群である。
拡張3元ゴレイ符号は、体 F3 上の12次アダマール行列の行のスパンから構築可能である。
ゼロでない6つの桁を持つ拡張3元ゴレイ符号の全ての符号語を考えたとき、そのゼロでない桁の位置の集合は、シュタイナー系 S(5, 6, 12) から得られる。
ゴレイ符号の応用例.
NASAの宇宙探査.
ボイジャー計画では、木星と土星のフライバイの際に多数のカラー画像を転送する必要があったが、当時の通信帯域幅は技術的に限られていた。
短波帯データ通信.
短波帯の自動リンク確立(ALE)についてのアメリカ政府の新たな規格では、拡張 (24,12) ゴレイ符号を前方誤り訂正（FEC）に指定している。
任意の2つの符号語の最小ハミング距離は8であり、最大7ビットまでの誤りを検出できるか（この場合訂正できない）、最大4ビットまで誤りを検出できて3ビットまで訂正できるか、あるいはこの中間を選択可能である。