三角関数の無限乗積展開

数学において、三角関数と双曲線関数について無限乗積を用いた以下の恒等式が成立する。
初等的な考察.
formula_5は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。formula_5の零点はformula_7であるから、formula_8を定数として
微分して
formula_11を代入すればformula_12を得る。同様に
formula_11を代入すればformula_15を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならばformula_16を考慮していないからである。同じ方法でformula_17の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般にはワイエルシュトラスの因数分解定理が必要になる。
証明.
正弦関数の乗積展開を証明するには
として、恒等的にformula_19であることを示せば良い。そのためにformula_20の対数微分
を考える。余接関数の部分分数展開
を用いてformula_23となるからformula_20は定数であり、formula_25が得られる。
フーリエ級数を用いた証明.
formula_26 とし、区間 formula_27 で定義された関数 formula_28 を考える。
これを周期 formula_29 で延長した関数のフーリエ級数は区間 formula_27 において formula_31 に各点収束する。
formula_32
formula_33 を代入すると
formula_34 
ここで formula_35 をとる。formula_36であるとき、formula_37であり、また formula_38 は収束することから、
ワイエルシュトラスのM判定法より上式は formula_36 において一様収束する。よって上式は区間 formula_40 において積分できる。
formula_41
これより formula_42 が得られる。
ウォリス積.
正弦関数の乗積展開
にformula_44を代入すると
が得られる。これはウォリス積と呼ばれるものである。