ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理()は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は
で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。formula_2ならばformula_3であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。
ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である。
具体例.
例えば、
であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は
であり、符号と順序を区別すれば96個になる。