三角形の中心

三角形の心（さんかくけいのしん、）とは、任意の三角形から一意的に求めることができる点の総称である。音としては同じだが別字で芯、他に中心などとも。
例.
以下のような例がある（他にもいろいろある）。
上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。
歴史.
内心・外心・重心・垂心・傍心などは古くから知られており、ユークリッドの「原論」にも記述が見られる。
他の点の多くは、1678年のチェバの定理より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心にジェルゴンヌ点などがある。
モーレーの定理の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点にはブロカール点・ド・ロンシャン点などがある。
その後も新しい心が提示されており、エヴァンズビル大学内のサイト「」には2015年現在7500以上の心が登録されている。
名称.
心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。ナポレオン点のナポレオン・ボナパルトやソディ点のフレデリック・ソディのように、数学者以外の名前がつく例もある。
安島-マルファッティ点のように、日本人の名前が入っているものもある。
三線座標と重心座標.
平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。
三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから "h"A・辺CAから "h"B・辺ABから "h"C だけ離れているとき、Pの三線座標を ("h"A, "h"B, "h"C) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。
例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は ("r", "r", "r") である。ここで "r" は内接円の半径である。
は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が ("g"A, "g"B, "g"C) のとき、
が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に ("g"A, "g"B, "g"C) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。
三線座標と重心座標の間には、"g"A : "g"B : "g"C = "a h"A : "b h"B : "c h"C の関係が成り立つ。ここで、"a", "b", "c" は 3 辺の長さである。
3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。
主な心を三線座標・重心座標と共に示すと以下のようになる:
また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる: