一致の定理

一致の定理（いっちのていり、）は、実解析と複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの解析関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである。
定理.
次の2つの形式があり、どちらも一致の定理と呼ばれている (内容的にはほとんど言い換えに過ぎない)。
(1) 連結開領域 formula_1 で正則な複素関数 formula_2 の零点集合が formula_3 で集積点を持てば、formula_2 は formula_3 で恒等的に 0 である。
(2) 連結開領域 formula_1 で正則な複素関数 formula_7 が、formula_3 で集積点を持つ formula_3 の部分集合U上で一致すれば領域 formula_3 全体で一致する。ここでUとして例えば開集合を取ることができる。
証明.
(1) の形式について証明する。(2) の形式については、(1) の形式を formula_11 に対して適用すれば即時に出る。
証明を次の2段階に分ける。
第1段階
formula_12 を formula_2 の零点の集積点の1つとすれば、formula_12 を中心としたある正の半径 formula_15 の開円板上で formula_2 は恒等的に 0 である。
第2段階
第1段階で証明した formula_12 の近傍における formula_18 という結論を formula_3 全体に拡張する。なお、通常は解析接続の一意性の証明には一致の定理を用いるので、本定理の証明の中で解析接続の一意性を援用することは好ましくない(循環論法になる恐れがある)。
第1段階の証明.
formula_12 を formula_2 の零点の集積点の1つとする。 formula_2 は formula_3 で正則であるから、formula_12 を中心として次のようにテイラー展開が可能であり、その収束半径は 0 ではない。収束半径より小さな正数 formula_15 を適当に選んで、formula_12 を中心とした開円板 formula_27 が formula_3 に包含されるようにすることができる。この開円板を formula_29 と置く。
もし、formula_31 が存在するなら、その中で最も添字の値が小さなものをformula_32 とし、
と置けば、
となる。上記の formula_35 の formula_12 を中心とした テイラー展開の収束半径は formula_2 と同じであり、 formula_35 は formula_29 で正則で、formula_40 である。formula_41 であれば formula_42 であるから、 formula_12 以外の formula_2 の零点は formula_35 の零点であり、formula_12 は formula_35 の零点の集積点である。 formula_35 は formula_29 で連続であるから、formula_50 を十分に小さな正数とすれば、formula_51 であれば formula_52 であるが、formula_12 は formula_35 の零点の集積点であるから formula_55 を満たす formula_35 の零点 formula_57 が存在するはずであるから矛盾である。
従って全ての整数 formula_58 について formula_59 であり、開円板 formula_29 上では formula_2 は恒等的に 0 である。
第2段階の証明.
formula_3 に包含される formula_2 の零点だけから成る開集合は存在する(例えば上の証明の開円板 formula_29 はこの条件を満たす)。そのような開集合全ての合併集合を formula_65 と置く。当然、formula_66 であり、formula_65 は開集合族の公理から開集合である。(つまり、 formula_65 は、formula_3 に包含される formula_2 の零点だけから成る開集合の中で最大のものである)。
formula_71であることが証明できれば、formula_3 上でformula_18 が成立するので、定理が証明されたことになる。これを証明するために、formula_74と仮定し矛盾を導く。
formula_75 ( formula_76 は formula_65の閉包の補集合)と置けば、formula_78 も開集合である。当然 formula_79 (空集合)である。
formula_80 と置けば、formula_81 はformula_3に含まれるformula_65の境界である。
formula_84、formula_85、formula_86 が成り立つ。formula_74が成り立つためには、formula_88 または formula_89 でなければならない。
formula_89と仮定する。formula_57 を formula_81 の任意の点とすると、formula_57 は formula_2 の零点集合の集積点であり、証明の第1段階の結論からある正数 formula_15 が存在して、 formula_3 に含まれる開円板 formula_97 内では formula_2 は恒等的に 0 である。formula_57 はformula_65の境界点であるので、formula_101 は formula_65に内包されない(つまり、formula_101 は formula_65 以外の点を含む)。従って、 formula_105 は formula_2 の零点集合のみから成るformula_3に包含される開集合であり、formula_65を真に包含しているので、formula_65の最大性に反することになる。従って、formula_110でなければならない。
formula_110かつformula_88 と仮定すると、formula_113 が成り立つことになるが、formula_65、formula_78 は共に空集合ではない開集合であり、かつ formula_79 であるので、formula_3は連結であるという仮定に反する。
以上から、formula_110かつformula_119 でなければならない。従って、formula_71が成立し、formula_3 で formula_2 は恒等的に 0 である。