トモグラフィー

トモグラフィー（）は、物理探査、医療診断等で用いられる逆解析技術の一つ。日本語訳は、断層映像法または断層影像法である。コンピュータを用いて処理することで、画像を構成する技術はコンピュータ断層撮影と呼ばれる。
その多くは、対象領域を取り囲む形で、走査線（線源と検出器）を配置し、内部の物性（音速、比抵抗、音響インピーダンス、密度など）の分布を調べる技術である。評価したい対象物によって、X線CT、地震波トモグラフィー、海洋音響トモグラフィーなどと呼ばれている。
概要.
本記事では、トモグラフ像の撮影と、復元について、原理と装置構成を説明する。トモグラフ像の撮影方法には、主に、平行ビーム光学系を用いる方法（図2参照）と、扇形ビーム（ファンビーム）光学系（図3参照）と円錐ビーム(コーンビーム)を用いる方法がある。
画像再構成アルゴリズム.
CT画像再構成法は解析的再構成法、代数的再構成法、統計的再構成法に大別され、逆投影法は解析的再構成法に分類され、逐次近似画像再構成法は代数的再構成法と統計的再構成法に分類される。
これまでCT画像再構成法の主流はフィルタ補正逆投影法（filtered back projection：FBP法）であったが、近年では画像ノイズ低減効果やアーチファクト低減効果が期待される逐次近似画像再構成法（iterative reconstruction：IR法）が増えつつある。
平行ビーム光学系を用いたトモグラフ像の撮影と復元.
トモグラフィーの数学的な基礎はラドン変換と、ラドン逆変換である。ラドン変換は、トモグラフィーの基本原理であるばかりでなく、例えば、ハフ変換等にも応用される。応用範囲の広い数学的手法であるが、ここでは、トモグラフィーのモデル化という観点に重きをおいて説明する。
関数formula_1のラドン変換は、以下の式で与えられる。
即ち、
「formula_1のラドン変換の
formula_4での値
formula_5」は、
「関数formula_1の直線formula_7に沿う線積分の値」である。但し、formula_7は、
で定まる直線（tについての直線）である。ここで、上式をtについての直線とみなす際には、
formula_10,sは、固定されているものと考えるが、その際、formula_10は前記の直線の傾き角を表し、sは、前記の曲線と原点との間の距離を表すことに注意されたい。
本節では、座標(x,y)における被写体の吸収係数をformula_1とおく。そのうえで、
を説明する。
平行ビーム光学系によるトモグラフ像撮影のモデル化.
被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。
ラドン変換を考える際、光線は幾何光学的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、吸収はされるが、回折や散乱をしないと考え、さらに反射もしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線formula_16で表される場合について考える。
吸光が、ランベルト・ベールの法則に従うとすると、
前記光線の入射強度をformula_17、透過後の強度をformula_18表記したとき、
が成り立つ。従って、光線lに沿った吸光度をformula_20と表すと、
次に、x-y平面に対し、角度θをなす光束を考える。この光束の像について考察しよう。新たにformula_22座標系を、
により定義する。即ち、s-t座標系は、x-y座標系を角度θだけ回転した座標系である。このとき、回転行列の性質から、
となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。
のように書くと、より直線らしく見えるであろう。
即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下のformula_7で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。
さらに、光線formula_7による吸光量を、formula_5と書くと、
が成り立つ。
以上から、x軸に対し、角度θをなす平行光束による透過像（一次元透過像）のプロファイルが、ラドン変換によって与えられることが判った。この、formula_5が、CT撮影により測定される測定データである。
平行ビーム光学系によるトモグラフ像の復元.
二次元フーリエ変換についての補足.
ラドン逆変換とは、実測されたformula_5から、formula_1を復元する作業のことを指すが、これを説明するためには2変数関数のフーリエ変換について知っておく必要があるので、簡単に復習する。
まず、formula_1のフーリエ変換とは、
である。formula_36のことを、
formula_37と書く場合もある。
ここで、"formula_38"は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。
先のformula_36と、formula_1に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。
即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。
ここで、"formula_38"は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。
ラドン逆変換.
実測されたformula_5から、今度はformula_1を復元することを考える。この復元操作は、数学的に、
以下の2ステップで行われる。
を計算する。
を計算する。
上記2ステップの計算を実施することを、ラドン逆変換という。以下、上記ステップにて、μ(x,y)が復元されることを示す。
証明第一段階.
（1）formula_47
の証明
formula_5を、変数sについてフーリエ変換（一変数関数としてフーリエ変換）したものを、formula_49とする。即ち、
とする。これは、上記ステップ（1）の変換に他ならない。
当たり前のことだが、このformula_49は、formula_52とは別物である。そもそも定義が異なる。
今、formula_5の定義式、即ち、
を、上式に代入すると、
第一段階の結論、すなわち、
より、以下の等式が、任意の(x,y)に対して成り立つ。
上式の右辺に、以下の変数変換:formula_60
を施すと、
積分の変数変換の公式から、
一方、二次元のフーリエ逆変換を考えると、
であるため、
を得る。
扇形ビーム光学系によるトモグラフ像の測定と復元.
特に医療機器の場合には、図3のような扇形ビームを用いる場合が多い。
円錐形ビーム光学系によるトモグラフ像の測定と復元.
円錐状のビームをフラットパネルディテクタのような2次元に配置された検出素子で検出する。1998年にソニーがコーンビームCT の先駆けとなる大視野3次元X線CTの開発に成功した。その後、コーンビームCTやマルチスライスCTで使用される。