レンズの公式

レンズの公式（レンズのこうしき）は幾何光学における公式であり、
の関係が理想的にはformula_1と表されるというものである。ただし、焦点距離 "F" は凹レンズなどの発散系では負とし、像面までの距離 "B" は虚像では負とする。物が無限遠にある場合は左辺第1項を0、像が無限遠方の虚像である場合は左辺第2項を0として成立する。
この公式は単レンズだけでなく凹面鏡・凸面鏡や、複数のレンズ・鏡を組み合わせた光学系にも（主点・焦点が定義できるならば）適用できる。
レンズメーカーの公式.
この式はレンズメーカーの公式と呼ばれる。曲率半径は、曲率中心が光源から遠い方にある場合を正とする。
証明.
以下の説明図ではレンズの中で光が曲がっているが、実際にはレンズに光が入るときと出るときの2回、屈折する。
また、式中の記号はすべて図中の点または長さをさす。
凸レンズに関する証明.
焦点の外側に物体がある場合.
（証明）
formula_7 と formula_8 が相似であることより
formula_9
と言え、また formula_10 と formula_11 が相似であることより
formula_12
と言える。 formula_13 であるから
formula_14
となり、これを formula_15 で割ると
formula_16
焦点の内側に物体がある場合.
（証明）
formula_17 と formula_18 が相似であることより、
formula_19
と言え、また formula_20 とformula_10 （注を参照のこと） が相似であることより、
formula_22
と言える。 formula_23 であるから、
formula_24
となり、これを formula_15 で割ると、
formula_26
像が虚像であるため" B "を負の数で表し" B' = -B "とおくと、上式は
formula_27
となる。
（注）図中には、ｆが2点あるが、右側のｆをさす。
凹レンズに関する証明.
（証明）
formula_7 と formula_8 が相似であることより、
formula_30
と言え、また formula_10 と formula_11 が相似であることより、
formula_33
と言える。ところで、 formula_13 であるから、
formula_35
となり、これを formula_15 で割ると、
formula_37
凹レンズによる虚像であるため" B, F "を負の数で表し" F' = -F; B' = -B "とおくと、上式は
formula_38
となる。
レンズフレアの公式.
レンズに入射した光の一部はレンズ内面で一回もしくは複数回反射する。これがレンズフレアの原因のひとつである。凸レンズ内を formula_39 回反射したときの焦点距離は
で与えられる。
ここで負の焦点距離は焦点がレンズ前方にあることを意味する。
典型的な formula_43 と formula_44 の場合を計算すれば、一回反射の焦点距離公式
及び二回反射の焦点距離公式
が得られる。
熊本県立宇土高等学校科学部は、このレンズ内反射による結像の現象を再発見し、前述の両凸レンズ、平凸レンズ、凸平レンズに対する一回反射と二回反射による結像距離の公式を与えた。例えば、両凸レンズの場合には、上記の焦点距離公式から
及び
が得られる。同研究ではレンズ内反射による実像は「副実像」と呼ばれている。同研究は国内メディアで報道され、高校物理の教科書にも採用された。