0の0乗

 の 乗（れいのれいじょう）は、累乗あるいは指数関数において、底を 、指数を としたものである。その値は、代数学、組合せ論などの文脈では通常 と定義される一方で、解析学の文脈では二変数関数 が原点 において連続とならないため定義されない場合もある。
背景.
実数 の正整数 乗は、素朴には、 個の を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。
 を定義する場合には、関係式 formula_2 が でも成立するように定義を拡張するのが自然である。
そこで、formula_2 に無理やり を代入すれば、 すなわち となり、が でなければ両辺を で割って を得る。すなわち、 の場合は、 と定めることで、関係式 formula_2 が formula_5 に対して成り立つように定義を拡張できる。さらに負の整数 に対しても と定義すれば formula_2 が満たされ、 の整数乗がうまく定義されて、指数法則 や が任意の整数 に対して成立する。
次に、指数が実数の場合を考えよう。底が の場合は、上述のように整数乗が定まるのであった。
している。
コンピュータにおける扱い.
いくつかのプログラミング言語は を定義しており、その多くは としている。 と定義しているプログラミング言語は、APL、Common Lisp、Haskell、J、Java、JavaScript、Julia、MATLAB、ML、Perl、Python、R、Ruby、Scheme であり、電卓では、Microsoft WindowsおよびGoogleの電卓機能などである。Microsoft Excel では、ワークシート上で codice_1 という数式を入力すると codice_2 というエラーを返すが、同ソフトウェアに搭載されている VBA では1と定義されている。 Mathematica は、"a" が変数または 0 でない数のときは "a"0 を 1 と計算するが、00 は Indeterminate（不定）と返す。Maple やMuPADはこれらを共に 1 と計算する。Wolfram Alpha ではundefinedと表示される。