モールの定理

モールの定理（モールのていり、）は、構造力学における定理の一つ。はり部材のたわみを図を用いて簡易に導出するのに利用される。
モールの定理自体は、共役ばり（きょうやくばり、）と呼ばれる仮想的に設定するはりに、弾性荷重（だんせいかじゅう、）と呼ばれる元のはりに作用している曲げモーメントから生成される仮想的な荷重を加えると、その曲げモーメントとせん断力がそれぞれ元のはりのたわみとたわみ角に一致するという定理のことを指す。
このモールの定理を用いると、微分方程式を直接解いたりエネルギー保存則を利用することなくはりのたわみを求めることが出来る。このようにして、はりの変形を求める方法を弾性荷重法（だんせいかじゅうほう、）、あるいはモールが考えた方法や共役ばり法と呼ぶ。
概要.
ある分布荷重formula_1が載荷されているはり部材のたわみformula_2は、4階の微分方程式（弾性曲線方程式）formula_3で表される。
ゆえに、この微分方程式を直接的に解けば、はりのたわみは求まる。
しかし、以下のように考えれば、この微分方程式を直接解くことなくたわみを求めることができる。
まず、たわみformula_2、たわみ角formula_5、曲げモーメントformula_6、せん断力formula_7は、それぞれ、formula_8、formula_9、formula_10、formula_11という関係があることを確認しておく。
すると、弾性曲線方程式を(1)formula_12と(2)formula_13の2段階に分けることができる。
この時、(1)は与系の曲げモーメントを力の釣り合いなどによって求めて簡易に解決できる。
一方、(2)において、formula_14とすると、formula_15と記号が違うだけで(1)と同じ形に変形できる。
ゆえにzを新しい荷重（弾性荷重もしくはz荷重と呼ばれる）としてはりに作用させ、(1)と同様に力の釣り合いなどから曲げモーメントに相当する量formula_16を求めると、これがそのままたわみと等しくなる。また、たわみ角formula_17であり、せん断力formula_18であることを考慮すると、弾性荷重に対するせん断力に相当する量formula_19が、たわみ角と等しくなる。
これらの関係を整理すると表1のようになる。
この定理は、1868年に の会報である"『ハノーファー建築家・技術者連合誌』" ("") にて、により発表されたもので、モール自身はこの方法を変断面はりのたわみを求めるのに有効であると述べている。
また、この発見について、ステパーン・ティモシェンコは、モールの応力円と共に、モールの材料力学に対する大きな功績として挙げている。
現代においては、はりのたわみなどを求める構造計算は、計算機を用いることが主流であり、弾性曲線方程式を数値的に解いたり、有限要素法などを用いてはり部材の仮定を用いず直接に構造物の変形を計算することが多い。
そのため、現代において、実務でモールの定理（弾性荷重法）が用いられることは殆どないが、構造力学の基礎として大学学部・高等専門学校・工業高校などで学ばれている。
共役ばり.
モールの定理により、弾性荷重を作用させたはりの、曲げモーメント相当量formula_16とせん断力相当量formula_19を求めることが出来れば、与系のたわみとたわみ角が求まる。
しかし、元の弾性曲線方程式には、支点などによって設定されたたわみとたわみ角の境界条件があることを考えれば、弾性荷重を作用させるはりも、同等の境界条件を曲げモーメント相当量とせん断力相当量が満たしていなければならない。
このように境界条件を満たすために仮想的に考えられたはりを、共役ばりといい、与系のはりと共役ばりの変位と断面力を対応させて変換することで作ることができる。
代表的な与系の条件に対する共役ばりの条件は表2のようになり、この変換表を代表的なはりに適用すると表3のようになる。
このように、単純ばりは同じ単純ばりのままだが、片持ちばりでは左右が逆になり、ゲルバーばりはヒンジの位置が変わるなど、与系のはりと共役ばりでは異なるはりとなる。
弾性荷重法.
モールの定理を利用して、たわみやたわみ角を求める方法を弾性荷重法と呼ぶがこれは以下のように整理される。
このように、弾性荷重法を使うと、微分方程式を直接解くことなく、はりのたわみやたわみ角を求めることができるが、以下のような長所と短所がある。