二体問題

二体問題（にたいもんだい、）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。
全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。
問題の記述.
formula_1とformula_2を2つの物体の位置、formula_3、formula_4を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間formula_5に対して軌跡formula_6及びformula_7を確定させることである。
最初の位置を
最初の速さを
と置くと、運動の第2法則により
と書ける。ここで、
この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトルformula_16の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡formula_6とformula_7が記述できる。
重心の動き.
式1と式2を足すと、
となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則formula_20を用いた。これを変形して
となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式
は、重心の速度formula_23と、
全運動量formula_24が一定であることを意味する。
つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。
変位ベクトルの動き.
上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、
が得られる。ここで、formula_26は、質量2から質量1への変位ベクトルである。
2つの物体に働く力はformula_26の関数となり、formula_1とformula_2の絶対値には関係しない。
この式は次のように書ける。
ここでformula_31は換算質量であり、
である。
formula_33とformula_34を使うと、軌跡の方程式は
と書ける。