正軸体

正軸体（せいじくたい、cross-polytope）は、2次元の正方形、3次元の正八面体、4次元の正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体。
なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。
formula_1体（ベータたい）ともいい、"n" 次元正軸体を formula_2 と書く。
正単体、超立方体（正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
作図.
正軸体を作図するには、座標 formula_3 の巡回
を頂点とし、最も近い（距離 formula_4 の）2点ずつを辺で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、"m" + 1 (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 点ずつが "m" 次元面を構成する。
なおこの作図は、超立方体
の双対の作図と等価である。
またこうして作図された正軸体は、"n" 次元ユークリッド空間を formula_5 で表して
でも定義できる。
性質.
特にことわらない限り、辺の長さが "a" の "n" (≥ 2) 次元正軸体について述べる。
超体積は
超表面積は
である。
ファセット（"n" - 1 次元面）は "n" - 1 次元正単体である。したがって一般に、 "m" (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 次元面は "m" 次元正単体である。例えば正十六胞体（4次元正軸体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。また "m" 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、
である。
対角線の長さは、作図法より 
で、全て直交する。
"m" (0 ≤ "m" ≤ "n" - 1) 次元面の個数は
である。これはの第 "n" + 1 段の三角形の第 "m" + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、formula_6 を二項展開し、formula_7 を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は formula_8 個、ファセットは formula_9 個である。formula_10 はパスカルの三角形の第 "n" + 1 段の "m" + 2 番目の数字であり、"n" - 1 次元単体の "m" 次元面の個数である。
"m" (0 ≤ m ≤ "n" - 2) 次元面に集まる"l" ("m" + 1 ≤ l ≤ "n" - 1) 次元面の個数は
である。これはパスカルのピラミッドの第 "n" - "m" 段の三角形の第 "l" - "m" + 1 段の数字の総和に等しく、 "n" - "m" - 1 次元正軸体の "l" - "m" - 1 次元面の個数である。
双対は超立方体（正測体）である。