イェンセンの不等式

イェンセンの不等式（いぇんせんのふとうしき、）は、凸関数を使った不等式である。
"f"("x") を実数上の凸関数とする。
離散の場合：
formula_1 を、formula_2 を満たす正の実数の列とする。また、formula_3 を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。
連続値の場合：
formula_5 を、formula_6 を満たす実数上の可積分関数とする。また、formula_7 を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。
ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。
証明は、"f" のformula_9における接線を "g" とおいて、常に "g"("x") が "f"("x") よりも小さいことを使えばよい。
統計学において、式の下限を評価する際に、一定の役割を担っている。例えば、カルバック・ライブラー・ダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。"p"("x") が確率密度関数の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。
なお、イェンセンの不等式から、相加相乗平均の不等式などを導くこともできる。