因子 (代数幾何学)

因子（いんし; divisor）とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体（または複素解析空間）の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる（概説参照）。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体（または複素解析空間）の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。
概説.
因子が代数幾何（あるいは複素幾何）で演じる役割については、代数曲線（あるいは、コンパクトなリーマン面）の場合を見ればおおよそ理解する事が出来る。"C" を代数関数 "f"("z"1 , "z"2) = 0 から定まるコンパクトリーマン面（あるいは、"f"("z"1 , "z"2) = 0 で定まる平面曲線の特異点解消）とするとき、"C" 上の有理型関数全体（あるいは、代数関数全体）"M"("C") は、1変数有理関数体 "K" = C("z"1) の "f" による拡大 "K"["z"2] / (f) と同型である事がわかる。特に、"C" 上の有理型関数全体 "M"("C") は C 上のベクトル空間として無限次元である。"M"("C") は体論的に明確な形で既述される体であるとはいえ、コンパクトリーマン面の幾何的な性質を調べるには不十分である。
例えば、ひとつの重要な問題としては、任意にコンパクトリーマン面 "C" を与えたときに、"M"("C") に複素定数でない元が含まれるか、すなわち "C" 上に自明でない有理型関数が存在するか、という問題がある（コンパクトリーマン面の代数性、GAGA参照）。この問題は、より強く、"C" 上のある 1点 "P" に極を許し、その他の点では正則な有理型関数が存在できるか、という問題と同値である。"C" 上 "P" のみに極を持つ有理型関数の全体を "R"("P") とすると、これは "M"("C") の部分環になるが、結論から言うとこれも C 上有限次元にはならない。ところが、"P"に高々 "n" 位の極をもち、他の点では正則な有理型関数全体を "L"("nP") で表すと formula_1 であるが、"L"("nP") は "C" 上有限次元のベクトル空間になる。0 でない有理型関数 "f" に対して、点 "P" での位数 "v""P"("f") を、"f" が点 "P" で "n" 位の零点を持つとき "n" 、"n" 位の極を持つとき -"n" と定める（ "f" = 0 の時は、全ての "P" に対して "v""P"("f") = +∞ と約束する）。"D" を"C" 上の有限個の点の整数係数の型式和 "n"1"P"1 + ... + "n""m""P""m" に対しても、同語反復的に "v"P("D") を "P" = "Pi" のとき "ni" 、"P" がどの "Pi" とも一致しないときは 0 と定める。そして、
とおくと、これは "L"("nP") の一般化になっており、このベクトル空間はいつでも C 上有限次元になる。ここに現れた "D" が "C" 上の因子である。
リーマン・ロッホの定理によれば、ある種の場合 "L"("D") の次元は明示的に計算可能である。"C" の種数 が 0 の時には、空間 "L"("nP") の次元は "n" が非負のとき "n" + 1 次元になる事が分かり、特に "n" =1 のときを見ると "C" には1位の極をひとつだけもった有理型関数（すなわちリーマン球面 formula_3 への正則写像）が存在する事になるので、"C" は常に formula_3 と同型になる事がわかる。種数が 1 の時には、 "L"("nP") の次元が "n" が正の時 "n" になることがわかる。従って、種数が 1 のコンパクトリーマン面上にはある 1 点に極を持つ定数でない有理型関数はその極の位数が 2 の時に初めて現れる（これを "f" とおく）ことがわかり、これとは1次独立なもの "g" が位数が 3 の時にもひとつ存在することもわかる。すなわち、"L"(3"P") は 1 , "f" , "g" の 3つで C 上張られるベクトル空間である。対応
は正則写像 "C" → formula_6 を定める。さらに、"L"(6"P") をみれば 、これら2つの有理型関数はある2変数の3次式 "F"("z"1 , "z"2) に対して "F"("f" , "g")=0 となる、つまり、上記正則写像の像が3次曲線 "F" = 0 に含まれている事もわかる。このようにして、種数 1 のコンパクトリーマン面は、平面上の3次曲線に対応していることがわかり、ここで現れた位数が 2 の極を持つ有理型関数 "f" はワイエルシュトラスのペー関数に他ならない。
このように、与えられた多様体に対して、その上の因子 "D" と、それから定まる有理型関数の空間 "L"("D") （特にその次元）は多くの幾何学的情報を含んでいるのであり、特に、射影多様体の射影空間への正則写像（一般には有理写像）を考える事と "L"("D") を考える事は同値である。コンパクトな（固有な）代数多様体上では空間 "L"("D") が有限次元のベクトル空間になる事から、正則写像を調べる問題を有限次元のベクトル空間のマニピュレーションに帰着できるのである。
ヴェイユ因子.
"X" を既約かつ被約で分離的な正規ネータースキームとする（分離的な代数多様体は既約かつ被約なネーター的スキームであるから、正規で分離的代数多様体を考えていると思って差し支えない）。"Z" を dim "Z" = dim "X" - 1 、つまり余次元が 1 の既約で被約な閉部分スキーム（既約な閉部分代数多様体）とする。このような閉部分スキームを素因子 (prime divisor) とよぶ。X 上のヴェイユ因子 (Weil divisor) とは、 有限個の素因子 "Zi" の有限型式和
の事を言う。単にヴェイユ因子といった場合は通常、係数 "ai" は整数である。このとき "D" の次数 (degree) をformula_8 により定める。係数 "ai" が有理数のときは、Q-ヴェイユ因子、 実数の時には R-ヴェイユ因子と呼ぶ。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子を単に因子、Q-因子、R-因子と呼ぶ事も多い。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、あるいはR-ヴェイユ因子 "D" のすべての係数 "ai" が非負のとき、"D" は有効 (effective) であるといい、"D" ≥ 0 と書く。ヴェイユ因子（または、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子）の全体は 自由Z-加群（Q-ベクトル空間、R-ベクトル空間）の構造を持つ。これを Div ("X")（または DivQ ("X") , DivR ("X") ）で表す。また次数0のヴェイユ因子全体はこの群の部分群をなす。これを Div0 ("X") で表す。
"X" 上の素因子 "Z" をひとつ取ったとき、"Z" と交わりが空でないアフィン開部分スキーム "U" = Spec ("A") を取ると、"Z" は環 "A" の高さが1の素イデアル "P" に対応する （つまり、"Z" の高さ 1 の生成点 "P" をとり、"U" = Spec ("A") として "P" を含むアフィン開部分スキームを取った）。この素イデアル "P" での "A" の局所化 "AP" は1次元正規ネーター局所環であるので、関数体 "k"("X") の離散付値環になる。対応する離散付値を "vZ" で表す。"AP" の極大イデアルも "P" で表すとき、有理関数 "f" に対して "vZ"("f") は、"f" ∈ "P""d" であるが "f" ∉ "P""d"+1 となる "d" に等しい。すなわち、"f" が "Z" に沿ってどのぐらいの重複度を持っているか（正の時には零、負の時には極）、もっと砕けた言い方をすれば「"f" が "P" で何回割り切れるか」に対応する値である。"f" を "A" の元 "g" , "h" を用いて "f" = "g" / "h" と表したとき、"vZ"("f") > 0 ならば "g" ∈ "P" でなくてはならないし、"vZ"("f") > 0 ならば "h" ∈ "P" でなくてはならない。"A" の元 "g" に対して "g" ∈ "P" となる "P" は有限である（付随素因子の有限性、準素分解参照）。同様に "h" ∈ "P" となる"P"も有限。したがって、"f" に対して "vZ"("f")　≠ 0 となる "Z" で "Z" ∩ "U" ≠ ∅ となるものは有限である。"X" はネーター的と仮定したから、"X" は有限個のアフィンスキームで覆われるので、結局 "vZ"("f") ≠ 0 となる素因子 "Z" は有限である。そこで、"f" に対して
は有限和になるので因子になる。これを "f" で定まる主因子 (principal divisor) と呼ぶ。主因子は常に次数0をもつ。("fg")=("f")+("g"), -("f")=(1/"f") より主因子の全体は群（特に Div0 ("X") の部分群）をなす。2つの因子 "D" , "E" が線形同値 (linearly equivalent) であるとは、"D" - "E" が主因子となることと定義し、"D" 〜 "E" で表す。因子 "D" 自身の係数がすべて非負でなくても、"D" がある有効因子と線形同値になるとき、簡単のため言葉の濫用によって「"D" は有効である」と言うことがある（下記#線形型と有理写像参照）。
ヴェイユ因子の線形同値類からなる群をピカール群 Pic ("X") という。主因子の全体は Div0 ("X") の部分群であるから、Div0 ("X") の線形同値類からなる群も定義され、この群を Pic0 ("X") であらわす。Pic0 ("X") をピカール群という場合もある。
カルティエ因子.
ヴェイユ因子は、代数多様体の付値論的な観点から見て自然な因子の取り扱いであり、その直感的な意味もとらえやすいが、正規スキームの上でしか上手く働かないこと、また、スキーム（代数多様体）の射に関する引き戻しが一般に定義できないなど不満足な点もある。これら欠点を補うのがカルティエ因子の概念である。
"X" を既約で被約な分離的スキームとする。"X" が既約かつ被約であることによりその関数体 "k"("X") が定義される。"X" のアフィン有限開被覆 "X" = ∪ "Ui" および 関数体の元 "gi" が与えられたとき、組 formula_10 がカルティエ因子 (Cartier divisor) であるとは "gi" / "gj" が "Ui" ∩ "Uj" 上零点も極も持たない、すなわち、"Ui" ∩ "Uj" = Spec "Aij" と書いたとき、"gi" / "gj" が "Aij" の可逆元になることである。2つのカルティエ因子 {("Ui" , "gi")} , {("Vi" , "hi")} は "Ui" ∩ "Vj" 上 "gi" / "hj" が極も零点も持たないとき、これを同一視する。カルティエ因子 formula_10 において、"gi" が正則であるとき、すなわち、"gi" ∈ "Ai" （ただし、"Ui" = Spec "Ai"）となるとき、有効 (effective) であるという。ある有理関数 "g" に対して {("Ui" , "g")} で定まるカルティエ因子を主因子 (principal divisor) といい、("g") で表す。カルティエ因子 formula_12 に対してその和や差 formula_13 を formula_14 で定義すれば、"X" 上のカルティエ因子全体 CDiv ("X") は主因子 (1) を零元とするアーベル群になる。 2つのカルティエ因子 formula_15 はその差 formula_16 が主因子になるとき線形同値 (linearly equivalent) であるといい、formula_17 で表す。有効なカルティエ因子 formula_10 に対して、formula_19（"gi"を含む素イデアル全体のなす閉集合）で定まる "X" の閉部分集合 "V" を formula_20 の台 (support) といい、formula_21 で表す。任意のカルティエ因子 formula_20 は2つの有効なカルティエ因子 formula_23 の差 formula_24として一通りにかけるので、その台を formula_25 で定める。
"f" : "Y" → "X" をスキームの射とし、formula_20 を "X" 上のカルティエ因子で、その台が "f" の像の閉包に含まれないものとするとき、"Y" 上の開被覆 {"f" -1("Ui")} の細分になるアフィン有限被覆 {"Vj" } を取るとき、"Vj ⊂ "f"-1("Ui") なら formula_27は単射である。条件 2. によって、この単射はより強く埋め込みになる。</ref>。
ヴェイユ因子（あるいは、Q-ヴェイユ因子）"D" はその正整数倍 "nD" が非常に豊富になるとき、豊富 (ample) であるという。非常に豊富なカルティエ因子は、多様体 "X" の射影空間への埋め込みを考えることと同値で、非常に幾何学的な概念であり、ある因子が非常に豊富であるかどうかを判定する事は一般には難しい。しかし、豊富性はコホモロジー的あるいは、数値的な特徴づけを持つためより扱いやすく、本質的な概念である。例えば、
更に、クライマンの数値的豊富性判定は豊富性の問題を因子と曲線（の極限でかける実数係数有効1サイクル）の交点数が正である事として特徴づける。このような数値的な特徴づけは、上記の非常に豊富な因子の特徴づけ （
点の分離と接ベクトルの分離）に比べて扱いやすい。また、コンパクトケーラー多様体の上の直線束に対しては、その上にいたるところ正な曲率を持つエルミート計量が入るならば、この直線束は豊富である（小平埋め込み定理）。因子の豊富性はこのように、因子の何らかの 正値性（positivity）と関連付けてとらえる事が出来る（詳細は直線束の数値的性質などを参照）。
因子が非常に豊富である、あるいは豊富であるという概念は、任意のスキーム "S" 上固有なスキーム "X" 上の可逆層 formula_28に対して定義できる。すなわち、"S" 上の射影空間束への埋め込み formula_32 によって formula_33 と書かれるとき、formula_28 は "S" 上非常に豊富であるといい、可逆層の正整数の自己テンソル積 formula_35 が "S" 上非常に豊富になるとき、formula_28 は "S" 上豊富であるという。セールのコホモロジー的豊富性判定は、コホモロジー群を構造射 "f" : "X" → "S" による高次順像 formula_37 で置き換えればそのまま成り立つ。
複素解析空間上の因子.
正規な複素解析空間 "X" においても、その素因子 "Z" および素因子に沿った有理型関数の位数 "v""Z"( - ) が定まり、ヴェイユ因子の概念が定義できる。また、カルティエ因子も有理関数を有理型関数に置き換える事によって定義できる。しかし、#直線束と因子で述べた、直線束とカルティエ因子の線形同値類の1対1の対応は一般にはなく、単射準同型
があるのみである。
例えば、"X" を非常に一般の複素トーラスとする。このとき、複素トーラスの周期の理論により、"X" 上には因子が全く存在しない。しかし、数値的に自明な "X" の上の直線束全体は "X" の双対トーラスと同一視できる。つまり、"X" にはたくさん直線束があるが、それに対応する因子は全く存在しない事になる。これは、非常に一般の複素トーラスの代数次元 (algebraic dimension) が 0 である事を意味する