カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理（）は、解析関数の孤立した真性特異点の近傍の像が稠密であることを主張する定理である。具体的には、formula_1 において formula_2 が正則であって formula_3 が有界となる自然数 formula_4 が存在しないとき（すなわち formula_5 が formula_6 の真性特異点であるとき）に
であることを主張する。
具体例.
真性特異点を持つ関数の例として
を挙げる。任意の formula_9 について
とすれば、formula_11 で formula_12 となることが確かめられる。カゾラーティの定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。但し、カゾラーティの定理は全ての値について「それに限りなく近い値」を取るとしか主張していない。ピカールの定理は、「それに限りなく近い値」しか取らないという値が高々唯一の例外であることを主張する。
証明.
背理法を用いる。
であると仮定し、
と置けば、
となるので、 formula_16 は formula_17 で正則である。一方、 formula_5 は formula_6 の真性特異点であるから、formula_20 の接近経路により formula_21 はいろいろな値を取り得る。しかし、もし、ある formula_20 の経路上で formula_23 となると仮定すると、
その経路上で 
formula_24
が成り立ち、仮定に反する。従って、formula_25 の値は接近経路に依存するが、無限大となることはない。このため
は成立し、リーマンの定理により formula_5 は formula_16 の除去可能な特異点であることになる。従って、 formula_29 を満たし、 formula_5 で正則な関数 formula_31 が存在する。 formula_31 は formula_5 でテイラー展開可能であり、
となるが、これは formula_6 が formula_17 で有理型となることを意味する。すなわち、 formula_37 でformula_3 が有界となる自然数 "n" が存在することになり、定理の仮定に反する。