ピカールの定理

ピカールの定理（）は、複素解析における定理。大定理と小定理があり、エミール・ピカールによって1878年に小定理が、1886年に大定理が証明された。
ピカールの定理.
ピカールの大定理（）は、孤立した真性特異点の近傍の像が高々唯一の点を除き複素平面全体を覆うことを主張する複素解析の定理である。具体的には、formula_1がformula_2で正則であり、formula_3が有界となる有限な自然数formula_4が存在しないときに
であることを主張する。
ピカールの小定理（）は、大定理の系であり、定数以外の整関数の値域が高々唯一の点を除く複素平面全体に広がることを主張する。言い換えれば、複素平面から二点以上を欠く値域を持つ整関数は定数に限ることを主張する。ピカールの定理はカゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理やリウヴィルの定理を強化したものである。
具体例.
真性特異点を持つ関数の例として
を挙げる。任意のformula_7について
とすればformula_9でformula_10となることが確かめられる。ピカールの大定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。
大定理の証明.
背理法による。formula_11でformula_12であればformula_13で
である。
とする。
formula_16はformula_17で正則であり、formula_18が根を持たないformula_19が存在する。
これを微分すると
となる。formula_21である。formula_22 の最大値は、最大値の原理により
である。
formula_24であるから、シュワルツの補題により formula_25 であり、積分すると
となる。任意の formula_27 について
とすれば formula_29の上でformula_30であるから、ルーシェの定理によりformula_31とformula_32はformula_33の中に同数の根を持つが、formula_32 が根を持つからformula_31も根を持たなければならない。そのためには
でなければならない。formula_37とすればformula_38となり、formula_39によりformula_40であるから
となり
でなければならない。故に逆の仮定は矛盾を孕む。
小定理の証明.
小定理は大定理の系である。formula_1が整関数であればformula_45はformula_46以外に特異点を持たない。formula_46が真性特異点であれば、大定理によりformula_48は高々唯一の例外を除く全ての複素数値を取る。formula_49が極(若しくは除去可能な特異点)であれば、その主要部を除去したものformula_50は他に特異点を持たず有界であるからリウヴィルの定理により定数である。従って、formula_48はformula_52の多項式であり、それが定数でないかぎり、代数学の基本定理により全ての複素数値を取る。何れにせよ、formula_45は、それ定数でないかぎり、高々唯一の例外を除く全ての複素数値を取ることになる。