ハミング限界

ハミング限界（ハミングげんかい、）は、符号（線型符号とは限らない）のパラメータの限界値を指す。球充填の限界を情報理論の観点で言い直したものと言える。ハミング限界に従った符号を「完全符号; perfect code」と呼ぶ。
定義.
q進数の符号 formula_1 が長さ formula_2 で最小ハミング距離 formula_3 であるとき、その可能な最大サイズ（符号語の総数）を formula_4 とする。なお、q進数の符号は、formula_5 個の要素の体 formula_6 上の線型符号である。
すると、次が成り立つ。
ここで、
証明.
formula_3 の定義から、符号語の転送において最大で formula_10 の誤りが発生したとすると、最小距離復号によって正しく復号できる（すなわち、符号化された符号語を正しく復号できる）。つまり、この符号は formula_11 個の誤りを訂正可能である。
formula_12 であるようなある符号語について、formula_13 を中心とする半径 formula_11 の球を考える。このような球の範囲内なら誤り訂正が正しく行われる。符号語を構成する formula_2 個の要素のうち formula_11 個まで誤りがあっても正しく復号できるため、それぞれの球には以下の符号語が含まれる（つまり、中心にある真の符号語の一部を変更した符号語群の数）。符号語の一桁は q進数であるから、とりうる値は formula_17 種類になる。
formula_1 に存在する符号語の総数を formula_20 とする。全ての符号語から球の和集合をとると、結果として得られる符号語の総数は formula_6 以内となる。それぞれの球は重ならないので、それぞれの要素数の総和をとると、次が成り立つといえる。
従って、次が導かれる。