円分体

円分体 (えんぶんたい、) は、有理数体に、1 の formula_1 乗根 formula_2 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
以下において、特に断らない限り、formula_3 とする。
円分体の判別式.
"m" を 3 以上の整数として、円分体を formula_25 とする。
(1) "m" が素数のとき
"K" の判別式は、formula_26 である。
(2) formula_27 ("p" は素数、"h" は 2 以上の整数)のとき
"K" の判別式は、formula_28 である。但し、
(3) formula_8 (formula_31 は相異なる素数、formula_10 であるときには
円分体 formula_33 の判別式を formula_34 とすると、
"K" の判別式は、
である。
アーベル拡大体の埋め込み.
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
"K" が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 formula_36 が存在して、
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。
円分体と初等整数論.
フェルマーの最終定理.
素数 "p" に対して、
の左辺を、formula_20 上で分解すると、
となる。
ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、formula_41 のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、formula_41 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。
正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
クンマーの補題
素数 "p" が正則素数であれば、円分体 formula_20 の単数 ε を、formula_45 となる有理整数 "a" が存在するようにとると、 formula_20 の単数 formula_47 が存在して、formula_48 と表される。
正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
平方剰余の相互法則.
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、formula_49 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
円分体の類数.
円分体の類数の性質.
以下において、"p" を奇素数とする。
円分体 formula_4 の類数を formula_51、最大実部分体 formula_52 の類数を formula_53 とすると、
formula_54 (formula_55 は有理整数)と表すことができる。
このとき、formula_55 を第1因子または相対類数、formula_53 を第2因子または実類数という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
クンマーは、第1因子の増大度に対して、formula_64 と予想した。
但し、formula_65 。
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、"p" は formula_63 を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
円分体の類数公式.
円分体の類数を求めるには、formula_71 より、第1因子と第2因子を求めればよい。