ガロア拡大

数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、）は、体の代数拡大 "E"/"F" であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、"E"/"F" が代数拡大であって、自己同型群 Aut("E"/"F") によるがちょうど基礎体 "F" であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である。
エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。"E" が与えられた体で、"G" が "E" の自己同型からなるある有限群で固定体が "F" のとき、"E"/"F" はガロア拡大である。
ガロア拡大の特徴づけ.
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 "E"/"F" に対し、以下の各ステートメントは "E"/"F" がガロア拡大であるというステートメントと同値である：
他の同値なステートメントとして以下がある：
例.
ガロア拡大の例を構成する2つの基本的な方法がある。
有理数体に、2の平方根をとガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は "x"2 − 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない。実は、恒等写像の他に自己同型を持たない。なぜならば、それは実数体に含まれているが、"x"3 − 2 は実根を1つしか持たないからである。より詳細な例は、ガロア理論の基本定理のページを参照のこと。
体 "K" に対し、"K" の代数閉包 が "K" 上ガロア拡大であることと "K" が完全体であることは同値である。