Q二項定理

数学において、q二項定理（）は二項定理のq-類似である。超幾何級数 formula_1の和は通常の二項定理
で与えられる。これに倣い、q超幾何級数formula_3の和を与える公式
をq二項定理と呼ぶ。ただし、formula_5はポッホハマー記号、formula_6はqポッホハマー記号である。
証明.
右辺をformula_7として関数方程式を導く。
これにより、左辺を得る。
別証明.
左辺をformula_10として関数方程式を導く。
formula_12をテイラー級数に展開してformula_13の係数を比較すると
となり、formula_15であるから
となる。これにより、右辺を得る。
コーシーの二項定理.
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である。
ただし、
はq二項係数である。q二項定理にformula_20を代入すると
となるが、左辺はformula_22でformula_23となり、右辺はformula_24の分子がformula_25の分母を打ち消す。従って、
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式formula_27により、
となる。