代数的閉包

数学、特に抽象代数学において、体 "K" の代数的閉包（だいすうてきへいほう、）は、代数的に閉じている "K" の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。
ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつことと、体 "K" の代数的閉包は "K" のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、"an" algebraic closure of "K" よりむしろ "the" algebraic closure of "K" と呼ばれることが多い。
体 "K" の代数的閉包は "K" の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。"L" を "K" の任意の代数拡大とすると、"L" の代数的閉包は "K" の代数的閉包でもあり、したがって "L" は "K" の代数的閉包に含まれる。"K" の代数的閉包はまた "K" を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、"M" が "K" を含む任意の代数的閉体であれば、"K" 上代数的な "M" の元全体は "K" の代数的閉包をなすからだ。
体 "K" の代数的閉包の濃度は、"K" が無限体ならば "K" と同じで、"K" が有限体ならば可算無限である。
分離閉包.
"K" の代数的閉包 "Kalg" は、"K" の "Kalg" におけるすべての（代数的）分離拡大 を含むような "K" の唯一の分離拡大 "Ksep" を含む。この部分拡大は "K" の分離閉包（separable closure）と呼ばれる。分離拡大の分離拡大は再び分離拡大であるので、"Ksep" の2次以上の有限次分離拡大は存在しない。別の言い方をすれば、"K" は「分離的に閉じている」代数拡大体に含まれている。これは（同型を除いて）本質的にただひとつである。
分離閉包が代数閉包全体であることと "K" が完全体であることは同値である。例えば、 "K" が標数 "p" ≠ 0 の体で "X" が "K" 上超越的であれば、formula_1 は非分離的代数拡大である。
一般に、"K" のは "Ksep" の "K" 上のガロワ群である。