弦 (数学)

初等幾何学における円の弦（げん、）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。
円の弦.
円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:
楕円の弦.
楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある。
弦をもとにした三角法.
三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂したで、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）。
弦函数 は幾何学的には（図のように）中心角 の見込む弦の長さが （ は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 は、中心角 によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 の範囲に入るものと考えている。この元函数 をより現代的な正弦函数 と関連付けることができる。それには、一点 ともう一つの点 を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると formula_1 を得る。最後の等号は半角公式による。
現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:
弦函数 の逆函数 もまた存在して、逆正弦函数とは formula_2 の関係にある。