デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、) は次のような式で定義される関数である。
ヤコビの三重積の公式により、
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
極と零点.
formula_3であればformula_4であるから、
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、formula_6が有理数であればformula_7であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
テータ関数との関係.
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて
である。また、
である。
モジュラー変換.
テータ関数の虚数変換式により
であるが、formula_11が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、
である。また、
であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。
実際、モジュラー判別式formula_15の定数倍と一致する。
関数等式.
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 formula_17 について関数等式
が成り立つ。formula_17は
により求められる。ここでformula_21は
をあらわす。