巡回行列

巡回行列（じゅんかいぎょうれつ）または循環行列（じゅんかんぎょうれつ、）は、テプリッツ行列の特殊なものであり、各行ベクトルが1つ前の行ベクトルの要素を1つずらして配置した形になっているものである。数値解析において、巡回行列は離散フーリエ変換によって対角化されるため、それを含む線型方程式系は高速フーリエ変換で高速に解くことができる。
定義.
次正方行列 で次の形のものを巡回行列と呼ぶ。
巡回行列は1つのベクトル で完全に表すことができる。そのベクトルは の最初の列で表されている。他の列はそれを回転させたものになっている。 の最後の行は を逆の順序にしたものであり、他の行はそれを回転させたものになっている。
性質.
固有ベクトルと固有値.
巡回行列の規格化された固有ベクトルは
で与えられ、これらは正規直交系を成す。ここでformula_3 は1のn 乗根で、formula_4 は虚数単位である。
対応する固有値は
で与えられる(以上の事実は実際に "Cvj" を計算してみればわかる)。
その他の性質.
次の巡回行列の集合は、次元ベクトル空間を形成する。
任意の2つの巡回行列 について、 も も巡回行列となり、 が成り立つ。従って、巡回行列は可換代数を形成する。
与えられたサイズの巡回行列の固有ベクトルは、同じサイズの離散フーリエ変換行列の列である。その結果、巡回行列の固有値は高速フーリエ変換 (FFT) で簡単に計算できる。
巡回行列の最初の行のFFTを行った場合、その巡回行列の行列式はスペクトル値の積となる。
ここで
最後の項 formula_10 は、スペクトル値の積と同じである。
巡回行列を使った線型方程式系の解法.
線型方程式系を行列で次のように表す。
ここで、formula_12 が大きさ formula_13 の巡回行列であれば、循環畳み込みとして次のように方程式を表せる。
ここで、formula_15 は formula_12 の最初の列であり、ベクトル formula_15、formula_18、formula_19 は双方向に循環的に拡張される。畳み込み定理を使うと、離散フーリエ変換を使って循環畳み込みを次のような形式にできる。
従って、次のようになる。
このアルゴリズムは通常のガウスの消去法よりも高速であり、特に高速フーリエ変換を使えば高速になる。
グラフ理論における応用.
グラフ理論において、隣接行列が巡回行列になっているグラフをcirculant graph（循環グラフ、巡回グラフ）と呼ぶ。グラフが circulant であるとは、その自己同型群（automorphism group）に全長サイクル（full-length cycle）が含まれる場合を指す。circulant graph の例としてメビウスの梯子がある。