三角形の内接円と傍接円

初等幾何学において三角形の内接円（ないせつえん、）とは、その三角形の内部にあり3辺に接する円である。三角形の内部にある円の中で最も面積が大きい円である。内接円の中心を内心（ないしん、）と呼ぶ。
傍接円（ぼうせつえん、）は、三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円である。傍接円の中心を傍心（ぼうしん、）と呼ぶ。全ての三角形は、各辺に接する合計3つの傍接円を持つ。
内心は、3つの角の二等分線上にある。傍心は、1つの角の二等分線と他の2つの角の外角の二等分線上にある。内心と傍心は「三角形の3つの頂点と垂心」という位置関係にある。
三角形の面積との関係.
内接円と傍接円の半径は、三角形の面積に関係している。
 を三角形の面積、 を3辺の長さ、 を半周長 () としたとき、ヘロンの公式から、
一方、内接円の半径 は、
頂点A に対する傍接円の半径 は、
となる。（他の2頂点B,Cに関する傍接円の半径も同様である）
これらの式から、三角形の面積は、内接円の半径と、各辺に対する傍接円の半径との積の平方根に等しいことが容易に導かれる。
また、傍接円は内接円より大きいことと最も長い辺に対応する傍接円が最も大きいことが分かる。
内接円に関連する点.
九点円とフォイエルバッハ点.
内接円と傍接円は、九点円と接する。この接点をフォイエルバッハ点という。
ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形.
頂点を "A", "B", "C" とし、内接円が各辺と接する点を "TA", "TB", "TC" とする（"TA" は "A" の対辺上にあるとする）。⊿"TATBTC" をジェルゴンヌ三角形という。元の三角形の内接円はこの三角形の外接円になる。3直線 "ATA", "BTB", "CTC" は1点で交わる。この点をジェルゴンヌ点という。
"ATA", "BTB", "CTC" が1点で交わることから、⊿ABC が不等辺三角形のとき「AB と TATB の交点」「CA と TCTA の交点」「BC と TBTC の交点」は同一直線上にある。この線をジェルゴンヌ線という。⊿ABC が二等辺三角形のときは上記の辺の組のうち1つが平行になるが、残りの2点を結ぶことで直線が定義できる。⊿ABC が正三角形の場合はこの直線は定義できない。
内心の座標.
座標平面における内心の座標は、3頂点の重み付き平均の値として求めることができる。
3頂点の座標を (x,y), (x,y), (x,y)、3辺の長さを a, b, c としたとき、
となる。
となる。
円の式.
x : y : z を三線座標で表したときの点の座標は、u = cos, v = cos, w = cos とすると、円上の点に対して以下の式が成り立つ。