二乗平均平方根誤差

二乗平均平方根誤差（にじょうへいきんへいほうこんごさ）は、モデルまたは推定量により予測された値（標本値または母集団値）と観測された値の間の差として頻繁に使用される尺度である。RMSE (root-mean-square errorの略)またはRMSD (root-mean-square deviationの略) などとも書かれる。RMSDは、予測値と観測値の差の2次の標本モーメントの平方根、すなわちこれらの差の二乗平均平方根を表している。これらの偏差は、推定に使用されたデータ標本で計算された場合は残差と呼ばれ標本でなく計算された場合は誤差（または予測誤差）と呼ばれる。RMSDは、様々なデータ点の予測における誤差の大きさを予測力の1つの尺度に集約する役割をする。RMSDは、スケールに依存するため、データセット間ではなく特定のデータセットに対する異なるモデルの予測誤差を比較するための正確度の尺度である。
RMSDは常に非負の値をとり、（ほとんど起こらないが）0はデータに完全にフィットしていることを示す。一般的にはRMSDが小さい方が良いとされている。しかし、この尺度は使用する数値の尺度に依存するため、異なる種類のデータ間での比較は意味を持たない。
RMSDは、平均二乗誤差の平方根である。各誤差がRMSDに与える影響は二乗誤差の大きさに比例するため、誤差が大きいほどRMSDへの影響も比例して大きくなる。そのため、誤差が大きいほどRMSDへの影響が大きく、結果として外れ値の影響を受けやすくなる。
式.
推定パラメータ formula_1 に対する推定量 formula_2 に対するRMSDは、平均二乗誤差 (MSE) の平方根として定義される。
不偏推定量の場合、RMSDは分散の平方根であり標準偏差と呼ばれる。
T回観測された変数を持つ回帰の従属変数 formula_4 の時間 "t" に対する予測値 formula_5 のRMSDは、T個の異なる予測に対して、偏差の二乗の平均の平方根として計算される。
（の回帰では、添え字の "t" を "i" に、"T" を "n" を置き換える）
分野によっては、RMSDは、変化する可能性がありどちらも「標準」として受け入れられない2つのものの間の差を比較するために使用される。例えば、2つの時系列 formula_7 と formula_8 の平均的な差を測定する場合、式は次のようになる。
正規化.
RMSDを正規化することで、スケールの異なるデータセットやモデル間での比較が容易になる。正規化の方法は文献により統一されていないが、一般的には測定データの平均値または範囲（最大値から最小を引いたもの）が選択される。
この値は一般的にNRMSD (normalized root-mean-square deviation) または NRMSE (normalized root-mean-square error) と呼ばれ、多くの場合パーセンテージで表され、値が低いほど残差分散が少ないことを示す。多くの場合、少ない標本では標本範囲が標本の大きさに影響され、比較の妨げになると思われる。
RMSDをより有用な比較尺度とするための別の方法として、RMSDを (IQR)で分けることが考えられる。RMSDをIQRで分けると、正規化された値は対照となる変数の極端な値に対する感度が低くなる。
formula_14 であり formula_15 である。CDF−1はである。
測定値の平均値で正規化する場合、曖昧さを避けるためにRMSDの変動係数("coefficient of variation of the RMSD, CV(RMSD)") という用語を使用することがある。これは、標準偏差の代わりにRMSDを用いた変動係数に類似する。
平均絶対誤差.
研究者の中にはRMSDの代わりに (MAE)を使用することを推奨している。MAEはRMSDよりも説明力があるという利点がある。MAEは、誤差の絶対値の平均値である。WAEは、二乗誤差の平均値の平方根よりも基本的に理解しやすい。さらに、各誤差は誤差の絶対値に比例してMAEに影響を与えるが、RMSDの場合はそうではない。