球面波

球面波（きゅうめんは、）とは、3次元の等方的な媒質中に存在する点波源から発生、もしくは一点に向かって収束する球状の波動のことである。同位相の波面は全て点波源を中心とする同心球面を形成するため、この波動は波源に関して球対称となる。3次元波動方程式の球対称解として記述される。
球面波を表す式.
球面波を記述する式には次の2通りのものが存在する。
ただしここで"r" は波源からの距離、"t" は時刻、"v" は位相速度（ただし"v" > 0）である。
導出.
上式は次のようにして導き出せる。
3次元の波動方程式は以下である：
ただしここでは波源を原点、すなわちformula_3としている。まずこれを球座標に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる（ラプラス作用素#三次元を参照）。
 （球座標への変換導出過程）
 次の関係が成り立つ。
 formula_5
 このとき
 formula_6
 したがって
 formula_7
 同様に
 formula_8
 したがって
 formula_9
ここで
となるので、以上を波動方程式(3)の左辺に代入して
を得る。両辺に"r" をかけると
となるが、これは"r" ψについての1次元波動方程式であり、簡単に解くことができる：
または
したがって式(1)、(2)を得る。
調和球面波.
球面波の特別な場合として、調和球面波が存在する。これは以下の式によって表されるものである。
ここでformula_17は波源強度とよばれる定数であり、"k" は波数、ωは角振動数、δは初期位相である。
調和球面波のエネルギー.
点波源を中心とする球面の単位面積あたりに単位時間運ばれるエネルギー、すなわち波の強度formula_18は以下のようになる。
ただしformula_20は媒質の密度、formula_21は振動数である。
この式より調和球面波の強度に関して逆2乗の法則が成り立っていることがわかる。