固有振動

固有振動（こゆうしんどう、）とは対象とする振動系が自由振動を行う際、その振動系に働く特有の振動のことである。このときの振動数を固有振動数という。
用語.
振動数.
振動の速さは単位時間に起こる往復運動の回数で表され、この回数を振動数または周波数という。単位はHz(ヘルツ)である。
角振動数.
振動の1回の往復運動は円運動1周に対応していて、振動の速さは単位時間におこなわれる円運動の回転角で表される。これを角振動数という。角振動数は振動数に1周の角度2π(rad)をかけて定義される。単位はrad/sである。
代表的な振動系の固有振動.
ばね‐質量系の固有振動.
質量mの物体を一端を固定したばね定数"k"のばねの他端に取り付けて、摩擦の無い水平面上に置く。
右向きを正に"x"軸をとり、ばねが自然長の時の物体の位置を0とする。
物体を正の向きに移動させるとばねが伸び、負の向きに移動させるとばねは縮む。
いずれもばねはフックの法則に従うため、物体の変位を"x"、物体がばねから受ける力を"F"とすると
が成り立つ。また物体の加速度を"x"の時間"t"による2階微分で表すと、
ニュートンの運動方程式は
である。
(1-1)と(1-2)から
を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は
となる。ただしformula_1は定数でformula_2である。
このときの"ω"がばね-質量系の固有角振動数である。
単振り子の固有振動.
単振り子は微小振動をしているとき水平面内で単振動をしているとみなすことができる。おもり(質点とみなす)の質量をm、糸の長さをℓとする。糸が鉛直線となす角度θが十分小さいとき、水平方向にx軸をとると変位は
水平方向の力は
物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、ニュートンの運動方程式は
である。(2-1)、(2-2)、(2-3)から
を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は
となる。ただしformula_1は定数でformula_4である。このときの"ω"が単振り子の固有角振動数である。
弦の固有振動.
線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦に関して、formula_5とおくと