円板

各種幾何学における円板（えんばん、 と綴ることもある）は、平面上で円で囲まれた有界領域である。
円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「閉円板」または「開円板」という。
初等幾何学.
直交座標系では、点 ("a", "b") ∈ R2 を中心とする半径 "R" > 0 の開円板は
で、同じ中心と半径を持つ閉円板は
で表される。
ユークリッド幾何学における円板は、回転対称である。
半径 "R" の（開または閉）円板の面積は、"R"2 である。
定義.
前節で述べたものは、ユークリッド平面 (R2, "d") の通常の（ユークリッド）距離 "d" に関する開円板
と閉円板
であり、これは R2 を任意の距離空間 ("X", "d") で置き換えてもそのまま通用する。
一般の距離空間における距離に関して円板を考えたものは、一般に球体 ("ball") と呼ばれるものを定める（たとえば、三次元ユークリッド空間 (R3, "d") における円板は通常の意味における（狭義の）球体である）。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。
位相的円板.
位相空間としての開円板と閉円板は同相でない（後者はコンパクトだが、前者はそうでない）。
しかし、代数的位相幾何学的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも可縮であり、ゆえ一点にホモトピー同値である。
従って、さらに、これらの基本群は自明であり、Z と同型な零次を除いて、全てのホモロジー群が自明である。一点のオイラー標数は であるから、開および閉円板のそれもやはりともに であることがわかる。
閉円板からそれ自身への任意の連続写像（全単射でなくてもよく、また全射であることすら仮定しない）は少なくとも一つの不動点を持つ。
この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。
例えば
は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。