ハール測度

解析学におけるハール測度（ハールそくど、）は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールにその名を因む。
定義.
"G" を局所コンパクト群、B を "G" のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値完全加法的集合関数 μ: B → R+ ∪ {∞} で、以下の条件
を全て満たすものを測度空間 ("G", B) 上の左ハール測度と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は正則 であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、右ハール測度やハール測度が定義される。
局所コンパクト群上に左（あるいは右）ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる（二つの左ハール測度 μ, μ′ があれば μ = "c" μ′ となる正の定数 "c" が取れ、また右不変なものに関しても同様である）。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。
不変汎関数.
局所コンパクト群 "G" 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を "C""c"("G") とし、その連続的双対空間を "M"("G") とする。不変ハール測度は不変正値汎関数（ハール汎関数とも呼ばれる）と一対一に対応するので、しばしば不変ハール測度と不変ハール汎関数とを同一視して扱われる。
実際に、局所コンパクト群 "G" とその上の左ハール測度 μ に対して "C""c"("G") の元 "f" の μ に関する積分を対応させる汎関数
は左不変ハール汎関数であり、逆に左不変ハール汎関数 Φ が与えられたとき、左ハール測度 μ で Φ の各 "f" ∈ "C""c"("G") ので値 Φ("f") を "f" の μ に関する積分として実現するものが取れる。ただし、複素数値汎関数が正値あるいは非負値であるとは、"G" 上の関数 "f"("x") が正値（恒等的に非負）ならば
となることを言う。また、汎関数が左不変であるとは、"G" の元 "g" の "G" における左移動作用の構造移行
によって汎関数の空間 "M"("G") への左移動作用を定めるとき "L""g"μ = μ が "G" の任意の元 "g" でなりたつことをいう。左不変性を右不変性、両側不変性に取り替えたものも同様に定める。
例.
通常の位相と加法に関する位相群 R"n" における通常のルベーグ測度 "dx" や通常の位相と乗法に関する位相群 R の乗法的なルベーグ測度 "dx"/"x" はハール測度である。
有限群 "G" の平均化作用素
を積分の形で
と書いたときの "d"μ はハール測度である。もう少し一般に、離散位相を持つ位相群上の数え上げ測度はハール測度を与える。
モジュラー函数.
局所コンパクト群 "G" とその上の左ハール測度 μ および "G" の元 "g" に対し、"g" による右移動 "R""g" で μ を移した "R""g"μ はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
となる "G" 上の正値函数 Δ"G" が存在する。これを "群 "G" 上のモジュラー函数 と呼ぶ。モジュールは絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群 "T"1 を表現加群とする "G" の表現（群の指標）を与え、その意味でモジュラー指標 と呼ばれることもある。また、
は右ハール測度であり、この式はハール測度 μ の取り方には依らないから、この意味でモジュール Δ"G" は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に Δ"G" が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 "G" は両側不変なハール測度を持ちユニモジュラー であるといわれる。
局所コンパクト群 "G" 上の左ハール測度 μ と自己同型 φ があれば、φ−1(μ) (φ−1("d"μ(x)) := "d"μ(φ("x"))) はやはり左不変測度であり φ−1(μ) = "a"μ なる正定数がある。このとき、mod(φ) = "a" と記して "自己同型 φ の" 母数、モジュールなどと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる）ことが確かめられる。
"K" が局所コンパクト体ならば、"K" の左正則表現の作用素、つまり乗法群 "K"×の元 "s" による加法群 "K" への左移動作用
は加法群 "K" 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを mod"K"("s") と記す：
さらに、mod"K"(0"K") = 0"K" と置いて "K" 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への連続函数となる。
この局所コンパクト体上のモジュールは絶対値の概念の自然な一般化である。実際、実数体 R 上のルベーグ測度 "dx" に対して任意の区間 ("a", "b") 上の関数 "f"("x") を与えるとき
となるので、"a" → −∞, "b" → ∞ とすれば
となり、"d"("sx") = |"s"| "dx" すなわち、modR("s") = |"s"| が得られる。また、体の拡大あるいは有限階数の多元環の拡大 "L"/"K" が与えられるとき、"N""L"/"K" を拡大の被約ノルムとして
が成り立つ。特に、C を複素数体、H を四元数体とすると、それぞれの標準的な絶対値 |•| に対して
などとなる。とくに、局所コンパクト体はモジュールを付値として局所体の構造を持つ。