直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、）とは互いに直交する関数列の事である。
定義.
区間 上で定義された複素数値関数 , に対し
は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。
 上の複素値関数の列 が、この内積に対し、互いに直交し、
であるとき、直交関数列であるという。
特に直交関数列のうち、ノルムが 、すなわち
であるものものを正規直交関数列という。
また、実数値関数の列 とある関数 に対し、 が直交関数列をなし、
であるとき、この関数列を重み（荷重） の直交関数列という。
例.
三角関数形.
1と余弦関数による列{1, cos"x", cos2"x", cos3"x",…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
正弦関数による列 {sin"x", sin2"x", sin3"x",…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
直交多項式.
エルミート多項式.
関係式
で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み "e"−"x"2/2 の直交関数系であり、
を満たす。
ルジャンドル多項式.
関係式
で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、
を満たす。
ラゲール多項式.
関係式
で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み "e"−"x" の直交関数系を成し、
を満たす。
チェビシェフ多項式.
関係式
で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − "x"2)−1/2 の直交関数系を成し、
を満たす。
ゲーゲンバウアー多項式.
関係式
で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − "x"2)"α" − 1/2 の直交関数系を成し、
を満たす。
完備関数列.
直交関数列で、
となるもののことを言う。
例.
formula_24 （三角関数列）