コーシーの冪根判定法

コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。
（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、"C" < 1 であれば級数は収束し、"C" > 1 であれば発散する。"C" = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が "c" を中心とする冪級数
の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/"C" である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。
証明.
証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての formula_3 に対し formula_4 ならば、formula_5 が成立する。比較判定法より、幾何級数 formula_6 が収束すれば、formula_7 もまた収束する。
もし、formula_8 ならば、formula_9 と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、formula_10 を用いれば同様にして証明できる。