カイ二乗分布

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され、ピアソンにより命名された。
独立に標準正規分布に従う 個の確率変数 をとる。このとき、統計量
の従う分布のことを自由度 のカイ二乗分布と呼ぶ。
普通はこれを
と書く。カイ二乗分布は という1個の母数をもつ。これは の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。
カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、などにも利用される。
性質.
カイ二乗分布の確率密度関数は に対し
また に対し という形をとる。ここで はガンマ関数である。
分布関数は
（ただし は不完全ガンマ関数）である。
formula_10（ただし formula_11 と formula_12 はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、formula_13、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。
formula_14（自由度2）ならば、 は期待値 の指数分布に従う。
自由度 のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値は で、分散は である。中央値は近似的に
となる。
カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、formula_16 ならば、formula_17 となる。
正規分布による近似.
formula_18 として、 が無限大に近づくと の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 formula_19、尖度 ）ため、 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。