ランベルトのW関数

ランベルトのW函数（ランベルトのWかんすう、）あるいはオメガ函数 ("ω function")、対数積（"product logarithm"; 乗積対数）は、函数 の逆関係の分枝として得られる函数 の総称である。ここで、 は指数函数、 は任意の複素数とする。すなわち、 は を満たす。
上記の方程式で、 と置きかえれば、任意の複素数 に対する 函数（一般には 関係）の定義方程式
を得る。
函数 は単射ではないから、関係 は（ を除いて）多価である。仮に実数値の に注意を制限するとすれば、複素変数 は実変数 に取り換えられ、関係の定義域は区間 に限られ、また開区間 上で二価の函数になる。さらに制約条件として を追加すれば一価函数 が定義されて、 および を得る。それと同時に、下側の枝は であって、 と書かれる。これは から まで単調減少する。
ランベルト 関係は初等函数では表すことができない。ランベルト は組合せ論において有用で、例えば木の数え上げに用いられる。指数函数を含む様々な方程式（例えばプランク分布、ボーズ–アインシュタイン分布、フェルミ–ディラック分布などの最大値）を解くのに用いられ、また のような の解としても生じる。生化学において、また特に酵素動力学において、ミカエリス–メンテン動力学の経時動力学解析に対する閉じた形の解はランベルト 函数によって記述される。
用語について.
ランベルト -函数はヨハン・ハインリヒ・ランベルトに因んで名づけられた。Digital Library of Mathematical Functions では主枝 を , 分枝 は と書いている。ここでの表記の規約（つまり ）はランベルト に関する標準的な参考文献に従った。
歴史.
ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した。これはレオンハルト・オイラーの1783年の の特別な場合を論じた論文に繋がる。
ランベルト -函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきた。1993年には、等電荷に対する量子力学的（物理学における基本問題）の厳密解をランベルト -函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システムMapleの開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した。
微分積分学.
導函数.
陰函数微分法により、 の任意の枝が常微分方程式
を満たすことが示せる（ では は微分できない）。従って、 の導函数は
を満たす。ここで恒等式 を用いるならば、
と書きなおすこともできる。
原始函数.
函数 （およびそれを含む多くの式）は、 と置いた置換積分によって
と積分できる。
したがって、（ であることも考慮して）等式
が得られる。
漸近展開.
 の を中心とするテイラー級数は、
ダランベールの収束判定法によると、収束半径は である。この級数の定める函数は、区間 に沿ってを入れれば、ガウス平面の全域で定義される正則函数に延長することができる。この正則函数をランベルト 函数の主値と定める。
 が十分大きければ、 は漸近的に
と展開される。ただし、 であり、[] は非負の第一種スターリング数である。
もう一つの、区間 上で定義される実函数な枝 は、 と書けば、 が十分 に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。
 なるとき、
という上下の評価が成り立つ。また もう一つの枝 の評価は に対して
となる。
整数冪・複素数冪の展開.
 の整数乗もまた において単純なテイラー級数（あるいはローラン級数）展開を持つ。例えば
より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、 に対して
となることが示せる（これは一般に、位数 のローラン級数になっている）。あるいは同じことだが、この式を の冪に関するテイラー級数として
と書くことができる。これは任意の と に対して成立する。
特殊値.
任意の非零代数的数 に対して は超越数になる。実際、 が零ならば も零でなければならず、また が非零代数的数ならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理により は超越的でなければならず、従って もまた超越的でなければならない。
等式.
いくつかの等式は定義から直ちに得られる:
ここで、 は単射でないから、 は常には成り立たないことに注意すべきである。 かつ なる を固定して、方程式 は に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん である。もう一方の解は、 の場合 に、 の場合 にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。 
 を反転すれば
を得る。
オイラーの反復指数函数 を用いれば
を得る。
 を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる:
\,dx = 2\sqrt{2\pi}.</math>
\,dx &=\int_{0}^{\infty} \frac{u}{ue^{u}\sqrt{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du \\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} \frac{u+1}{\sqrt{ue^{u}}}\,du \\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^{u}}}\,du\\[5pt]
&=\int_{0}^{\infty} u^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\,du+\int_{0}^{\infty} u^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\,du\\
&=2\int_{0}^{\infty} (2w)^{\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int_{0}^{\infty} (2w)^{-\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw && \quad (u =2w) \\
&=2\sqrt{2}\int_{0}^{\infty} w^{\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw+\sqrt{2}\int_{0}^{\infty} w^{-\frac{1}{2}}e^{-w}\,dw \\
&=2\sqrt{2} \cdot \Gamma(\tfrac{3}{2})+\sqrt{2} \cdot \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\
&=2\sqrt{2} (\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi})+\sqrt{2}(\sqrt{\pi}) \\
\end{align}</math>
は、二つ目の式で と置き換えることによって得られる。また一つ目の式はこの三つ目の式で と置くことでも得られる。
分岐切断 に沿う を除けば（そのような では以下の積分が確定しない）、ランベルト 函数の主枝は、以下の積分
によって計算できる。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。
応用.
指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺（あるいは右辺）に寄せ、W関数で解を表現できる formula_38の形にすることである。例えば、方程式 formula_39 を解くには、両辺に formula_40を掛け、formula_41を得る。
ここで、両辺のW関数をとれば、formula_42、即ち formula_43となる。
同様の方法で、"x""x" = "z"
の解は、
あるいは
となる。
複素数の無限回の累乗
が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。
ただし、log("z") は複素対数函数の主値とする。
一般化.
通常のランベルト は に関する
の形（ただし、 は実定数）の「超越代数」方程式の厳密解 を記述することができる。
ランベルト 函数の一般化として以下のようなものを挙げることができる:
"" 函数の基礎物理問題への応用は、 で表される通常の 函数の場合でさえも、近年のの分野に見られるように、尽くされてはいない。
数値的評価.
 函数はニュートン法を用いて近似することができて、（したがって ）に対する逐次近似は
として与えられる。また、 を用いた近似
を は の計算において与えている。
ソフトウェア実装.
 函数の実装は:
などがある。