エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。
定理の主張.
ポテンシャルformula_1の影響下にある質量formula_2の粒子Aの状態が、波動関数formula_3であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置formula_4を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれformula_5、formula_6、formula_7とする。このとき、
が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作formula_9は、通常量子力学で行われている方法どおりで
とする。他も同様である。
証明.
まず、期待値の定義より
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
これらを用いると
再度シュレーディンガー方程式を用いて
また部分積分を使うと、
加えて
を用いると、
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からformula_19の期待値であるから、
となる。