ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
 に関しては#同値類による指数を参照。
定義.
部分群による同値関係.
群 の要素 に関して、群 の部分群 の要素 を用いて、 となるとき、 と定義する。 の単位元を とすると、 は部分群だから であり、 となるので、 である。 のとき、 は部分群だから となるので、 のとき、 となり である。 に関して、 ならば だから となる。 は部分群なので、 となるから である。したがって、 は同値関係になる。
同値関係による同値類.
部分群 に関して、同値関係 による同値類 は になるから、 に等しくなる。これを の による左剰余類（left coset）という。同値関係 による同値類 の集合 を と書く。
部分群 が有限群の場合は と表すことができて、左剰余類 は となる。
同値類の間の同型写像.
部分群 から同値類 への写像 を と定義するとき、 とすると、 となるから、左から を掛けて となるので、写像 は単射になる。写像 による部分群 の像が だから写像 は全射になり、全単射になる。したがって、写像 の逆写像 は となる。これより、同値類 から同値類 への写像 を と定義すると写像 は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 と は同型となり、 となる。
同値類による指数.
左剰余類の集合 の要素の個数（濃度）である を における の指数（index of a subgroup in a group ）と呼び、 または または と書く。
 が有限集合の場合は、 と表すことができて、 となる。
 が有限群の場合は、以下のように書ける：
証明.
有限群 の部分群 を とすると、
左剰余類 は に等しくなるので、
このとき、 の要素 に を対応させる写像を とすると、 のとき、左から を掛けて、 となるので、写像 は単射になる。
写像 は を に写すから は全射となるので、全単射になる。したがって、 と とは同じ個数の要素を待つから、 となる。
したがって、 の による類別を考えると、以下のようになる。
このとき、 となるので、 となる。 となるので、
Q.E.D.
拡張.
ラグランジュの定理は群 における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。
以下では、 が群 の部分群であるとき、 または と表し、 が群 の部分群であり、かつ が群 の部分群であるとき、 または と表す。
 のとき （ は群 の単位元）とおくと および が成り立つ。したがって、元々の等式 を得る。
応用.
系(1).
ラグランジュの定理には、次のような系がある。
フェルマーの小定理.
より一般に、合成数 についても乗法群 を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。
逆.
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 の有限群 と を割り切る自然数 が与えられたとき「位数が である の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 が位数6である部分群をもたないので、（群 の位数が最小の）反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数 を割り切る素数 のべきで最大のもの を考えると、位数 の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に が を割り切るならば、位数 の部分群が存在することもわかる。（コーシーの定理も参照のこと。）
歴史.
ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。