約数関数

約数関数（やくすうかんすう、）は、自然数 "n" を変数とする関数で、"n" の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。
定義.
自然数 に対して、約数関数 とは、 の約数 の 乗和を値に取る関数である：
特に、 のとき は の約数の個数を表し、 や と表されることもある。 のとき は の約数の総和であり、単に省略して と表す場合もある。
また、約数関数 の階反復を
と書く。例えば formula_3 である。
"k" = 1 、"x" = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ("n") = σ("n")（k=x=1の場合）、σ("n")（k=2,x=1の場合）などと表記する場合もある。
概要.
 の値は、小さい順に次のようになる：
 の値は、小さい順に次のようになる：
 の値は、小さい順に次のようになる：
計算例.
例えば "n" = 15 では、
特徴.
 を素数とすると、 の約数は と の 2個のみであるから となる。また、 を自然数とすると、 の約数は の 個なので となる。
 および は のとき最小値 1 をとる。 の解は の 2 個のみであり、 の解や の解は のみである。 では が成り立つ。
約数関数 は乗法的関数（）であるが、ではない。
 を素因数分解して以下の式の形で表す。
ここで "r" は "n" の素因子の個数、"p" はその中で "i" 番目に小さい素因子、"a" は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから