ハイネ・カントールの定理

ハイネ・カントールの定理（）とは、次のような定理である。
微分積分学における言明.
微分積分学では次のように表現される。
定理　有界閉区間 "I" 上の連続関数 "f" : "I" → R は一様連続である。
証明.
実数 formula_1 を任意に取る。連続性より、各 formula_2 に対して formula_3 は formula_4 を含む formula_5 の開集合である。ここで formula_6 は開球を表す。formula_7 となるような formula_8 たちの全体は formula_9 の開被覆を成す。formula_9 はコンパクトだから有限部分被覆 formula_11 が取れる。formula_12 と置く。いま formula_13 について formula_14 と仮定する。ある formula_15 に対して formula_16 である。よって三角不等式より formula_17 である。ここから formula_18 が分かる。すなわち formula_19 である。三角不等式から formula_20 が分かる。