ツェラーの公式

ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー () が考案した。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。
公式.
formula_1 年 formula_2 月 formula_3 日の曜日を求める。
ただし、1月と2月は、前年のそれぞれ13月・14月として扱う。たとえば、年1月1日・2月1日は、年13月1日・14月1日とする。また、紀元前 formula_4 年は西暦 formula_5 年として扱う。たとえば、紀元前1年・前2年・前3年は、0年・－1年・－2年となる（天文学的紀年法）。
曜日 formula_6（formula_6は、0～6で土曜日～金曜日を表す。） は次の式で求められる：
formula_9 はグレゴリオ暦 () かユリウス暦 () かで変わる項で、
ただし
formula_13はxを超えない（x以下）の最大の整数（床関数）であり、formula_14 は formula_15 を formula_16 で割った剰余である。formula_17 と formula_18 は、（西暦が4桁の場合）西暦の上2桁と下2桁を表す中間変数で、たとえば年なら、それぞれとになる。
日付の国際規格である ISO 8601が定める formula_19（1～7で月曜日～日曜日）を求めるには、次の式
を使う。
以上の2つの計算式は、それぞれの暦を過去または未来に単純に延長して使うのであれば、年数の有効範囲の限界はない。しかし歴史上の実際の年月日についての曜日を知るには、グレゴリオ暦に切り替わった日付に注意が必要である（グレゴリオ暦#各国・各地域における導入を参照）。さらに西暦4年3月1日以前の実際の年月日についての曜日を知るには、閏年の規則そのものが異なるので、上記の計算式におけるユリウス暦の公式も適用できない。
コンピュータでの計算.
コンピュータの多くの環境では負数の剰余を保証しないので、整数の合同関係を使って
と変形する。
西暦0年（紀元前1年）3月1日以前に対する場合、formula_17 と formula_18 を求める式にも修正が必要である。適度に大きい100の倍数を formula_1 に足して、負にならないようにする。
ツェラーの公式の導出.
ツェラーの公式はフェアフィールド () の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。
フェアフィールドの公式.
1年1月1日（0年13月1日） ～ y 年 m 月 d の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y － 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 ～ 14月28日（閏年は29日）と再定義する。
1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。
　1年1月1日（0年13月1日） ～ 1年2月28日（0年14月28日）
　　・・・　　31 + 28 （日）
　1年3月1日 ～ ( y － 1 ) 年14月末日（この時点では閏年は考慮しない）
　　・・・　　365 ( y － 1 ) （日）
　1年1月1日（0年13月1日） ～ ( y － 1 ) 年14月末日の閏年の回数
　　・・・　　[ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 400 ) ] 
　　　　　　= [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日）
　y年3月1日 ～ y 年 ( m － 1 ) 月末日
　　・・・　　[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 （日）　（以下表を参照）
　y 年 m 月1日 ～ y 年 m 月 d 日
　　・・・　　d （日）
　　※3月1日 ～ ( m － 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 の値は完全に一致している。
従って、1年1月1日 ～ y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、
　　31 + 28 + 365 ( y － 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 + d 
formula_25
　　・・・　　【※】／ Fairfield の公式
となる。
曜日は７日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、
formula_26
　　・・・　　【I】
である。
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す
（現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日に、この日を金曜日であるとして施行されたがこの日を起点に、遡ってグレゴリオ暦を適用すると、1年1月1日は月曜日となるため h の値が表す曜日がこのような並びになる）
ツェラーの公式への変形.
【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。
　　h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7
　　　= (　　　　　　　　　　y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7
ここで、[ ] （ガウス記号）の性質（ [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数）を利用すると、 
　　h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d )　mod　7
　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d )　mod　7
　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d )　mod　7
　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 35 ( 4 m + 5 ) + 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 7 ( 4 m + 5 ) + ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、
formula_27
　　・・・　　【II】
が導き出される。
ツェラーの公式の変形.
y = 100 C + Y ( 0 ≦ Y ≦ 99, C, Y は整数)と置くと、（II）式は以下の通り変形される。
　　h = ( 100 C + Y + [ ( 100 C + Y ) / 4 ] - [ ( 100 C + Y ) / 100 ] + [ ( 100 C + Y ) / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
　　　= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 － 1 ] + d )　mod　7
　　　= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] － 1 + d )　mod　7
　　　= ( 100 C + Y + 25 C + [ Y / 4 ] - C - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
　　　= ( 124 C + Y 　　　　 + [ Y / 4 ] 　 　 - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
　　　= ( ( 7 * 17 ) C + 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
h が 7 の剰余であることを利用して、
　　h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
ここで、0 ≦ Y ≦ 99より、0 ≦ Y / 100 ≦ 0.99, 0 ≦ Y / 400 ≦ 0.2475 であり、
　　[ Y / 100 ] = 0
また、C / 4 の小数部分は、0, 0.25, 0.5, 0.75 の何れかの値を取る為、C / 4 + Y / 400 の小数部分は、高々 0.75 + 0.2475 = 0.9975 であり、
　　[ C / 4 + Y / 400 ] = [ C / 4 ]
としてよい。よって、
　　h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] + [ C / 4 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す（【I】式の場合と同様）。
演算（項）数を減らすためこの式の被除数に 1 加算すると
formula_28
　　・・・　　【III】
となる。
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に土曜日、日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日を表す（被除数に 1 加算しているため【I】式の場合と比べ、１日分のずれが生じた）。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【証明終】