開平法

開平法（かいへいほう、）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。
開平法の原理.
与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に 乗根を求めることも可能である。
問題の定式化.
与えられた に対し、 の位 を求める：
 の首位を とする。つまり、 は を満たす最小の とする。また便宜上 とする。
 の の位より上（かみ）の位 は分かっているとし、 の位 を求めるとする。すなわち
とおく。
 は 
を満たす最大の 、すなわち
を満たす最大の である。これを見つける。
 より
これにより が求まれば、
の値が分かるから、
を満たす最大の を見つければよい。
このようにして、帰納的に の値が求まる。
漸化式の簡略化.
不等式(1) を簡略化する。「」を基数 と合わせるため とする。そのため
とおくと、不等式(1) は
である。
(1') を満たす最大の を求めるために、 の整数部分 を、 から求める。
 とおくと、
 の整数部分は、 の の位を とすると、 に等しい。したがって、
(2), (3) から、(1') を満たす最大の を求めていく。
筆算による効率化.
 から不等式(1') を満たす最大の を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。
具体的な計算方法.
例として、ここでは の正の平方根 の小数表示を求める。初期値は、
漸化式による求値.
まずは を求める。
次に、 を求める。
 を求める。
同様の計算を繰り返すと、各項の値は次の表のようになる。
 の値から
である。
筆算による求値.
 の値は、先述の筆算による方法（開平法）によりさらに簡単に計算できる。
 の正の平方根 の小数表示を求める。
まず、 の値を、小数点から2桁ずつ「ブロック」に分けて書く。
左側に縦2つ等しい値を書き、積が左端のブロック (5) を超えない最大の値 (2) を見つける。ブロック (5) の上に見つけた値 (2) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (4) を書く。ブロック (5) の下に、左の筆算の、和でなく積の計算結果（この場合は和と同じ ）を書く。筆算を立て、差の計算結果 (1) をその下に書く。
差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。
同様の計算を（ まで）行うと、次のようになる。
これより
である。
検算してみると、
となり
が確かに成り立つ。
珠算による開平法.
珠算による開平法として次の方法がある。
根の定位.
根の定位の仕方は次のようになる。
倍根法.
例：
半九九法.
例：