エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、、、）とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。
一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源（）としての意味を持つ。
エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は formula_1 で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、formula_2 とすればよい。
エネルギー・運動量テンソル formula_1 は、定義から明らかに対称テンソルである。
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号はformula_4とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。
共変微分をもちいて
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
定義.
エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。
作用積分が
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。
従って、場は
と変換される。
エネルギー・運動量テンソルは
となる。この定義には任意性があり、formula_9 により
で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。
別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。
一般相対性理論においては時空の計量 が力学変数となる。作用汎関数が
で書かれているとき、計量 による作用の汎関数微分は
 +\frac{1}{c} \mathcal{L}\, \frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial g_{\mu\nu}} \\
 +\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \mathcal{L} \right] \sqrt{-g} \\
 &=\frac{1}{2c} T^{\mu\nu}(x)\sqrt{-g} \\
\end{aligned}</math>
である。従って、エネルギー運動量テンソルは
で与えられる。
相対論的粒子.
相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は
と導かれる。補助変数 から導かれる拘束条件 formula_16 を用いれば
 \sum_i m_ic \int u_i^\mu u_i^\nu \delta^4(X_i -x)\, \mathrm{d}\tau_i</math>
となる。
完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル.
物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
formula_18 は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、
formula_19 は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、formula_20、流体速度をformula_21 と観測する場合にはformula_22）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。
非相対論的な場合、formula_23となるから、行列形式で成分を書くと
となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル
と一致する。
電磁場のエネルギー・運動量テンソル.
電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 である。時空の計量 を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は
である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは
となる。
 は電磁場のエネルギー密度、 はポインティング・ベクトル、 はマクスウェルの応力テンソルである。