ヤコビの三重積

ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。
但し、formula_2とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、
formula_3と置くことにより
或いは、formula_5と置くことにより
となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書で示した。
証明.
直接の証明.
左辺をformula_7、右辺をformula_8と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。
formula_2によりformula_12であるから、右辺の零点は
に限られる。一方、左辺は
であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、
はformula_20に依存しない。
分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。
formula_24はformula_20に依存しないから
であり、formula_24はformula_28にも依存しない定数である。formula_29としてformula_30を得る。結局、両辺は等しい。
ラマヌジャンの和公式による証明.
ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式
はq二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式にformula_32を代入すると
となり、formula_34をformula_35と書き、formula_36をformula_37と書けば
となる。qポッホハマー記号の変換式
により、左辺は
であるから、formula_41の極限を取れば
となり、qポッホハマー記号を展開して
を得る。
ヤコビの原証明.
の原証明は冪級数の操作のみを用いている。まず
とおく。ヤコビの三重積は formula_45 であらわされる。
まず formula_46 について、
より
が成り立つ。そこで
とおくと
より
つまり
が成り立つ。この漸化式を解くと
が得られる。
次に formula_54 について、
が成り立つ。そこで
とおくと
であるが
より
つまり
が成り立つ。この漸化式を解くと
が得られる。
さて、ヤコビの三重積の冪級数展開を得たいが、代わりに formula_62 の冪級数展開について考える。
より
formula_62 を冪級数展開したときの formula_65 および formula_66 の係数は共に
に一致するが、これは、上記の formula_54 の展開より
に一致する。よって
が成り立つ。