擬似逆行列

ムーア-ペンローズの擬似逆行列（ぎじぎゃくぎょうれつ、"pseudo-inverse matrix"）は線型代数学における逆行列の概念の一般化である。擬逆行列、一般化逆行列、一般逆行列（）ともいう。また擬は疑とも書かれる。
連立一次方程式の解を簡潔に表現するものとして逆行列の概念は重要であり、逆行列を持つ行列は、可逆あるいは正則であると言われる。正則でない行列の場合にも逆行列のような都合のよい行列として擬逆の概念を導入する。ロボット工学に関していうならば、動特性の同定や冗長ロボットの制御などで良く用いられている。
定義.
"m" × "n" 行列 "A" に対し、"A" の随伴行列（複素共軛かつ転置行列）を "A"* とするとき、以下の4条件を満足する "n" × "m" 行列 "A"+ はただ一つ定まる：
この行列 "A"+ を "A" の擬似逆行列と呼ぶ。"A" が正則でなくとも "A"+ は定まるが、"A" が正則ならば逆行列 "A"−1 はこの条件を満たす。ゆえに擬似逆行列の概念は逆行列の概念の一般化を与えていることがわかる。
性質.
擬似逆行列は以下のような性質を持つ。
が成立する。
（formula_11 の成分は formula_12、formula_13 の成分は formula_14 とすると、
formula_15 である。）
例.
スカラー.
スカラーの場合にも擬似逆行列を定義できる。スカラーを行列として扱うことになる。 が0ならば、その擬似逆行列は0であり、 がそれ以外の数ならば、 その擬似逆行列は の逆数になる:
ベクトル.
零ベクトルの擬似逆行列は転置された零ベクトルである。零ベクトルでないベクトルの擬似逆行列はそのベクトルの大きさの2乗で割られた、随伴ベクトルである:
列が線形独立である場合.
formula_17 の各列が線形独立（このとき formula_38 である）ならば、formula_39 は可逆である。この場合、擬似逆行列は次のようになる:
これから formula_41 が formula_17 の左逆元であることがわかる: つまり formula_43 
行が線形独立である場合.
formula_17 の各行が線形独立（このとき formula_45 である）ならば、formula_46 は可逆である。この場合、擬似逆行列は次のようになる:
これから formula_41 が formula_17 の右逆元であることがわかる: つまり formula_50 
2次正方行列.
2次正方行列
の擬似逆行列は formula_52 のとき、
である。 formula_54 のとき、 formula_55 のときは
となる。 formula_57 のときは
である。