自己相関

自己相関（じこそうかん、）とは、信号処理において時間領域信号等の関数または数列を解析するためにしばしば用いられる数学的道具である。大雑把に言うと、自己相関とは、信号がそれ自身を時間シフトした信号とどれくらい一致するかを測る尺度であり、時間シフトの大きさの関数として表される。より正確に述べると、自己相関とは、ある信号のそれ自身との相互相関である。自己相関は、信号に含まれる繰り返しパターンを探すのに有用であり、例えば、ノイズに埋もれた周期的信号の存在を判定したり、
信号中の失われた基本周波数を倍音周波数による示唆に基づき同定するために用いられる。
定義.
自己相関は、学問領域によって定義が異なる。分野によっては自己共分散 (autocovariance) と同じ意味に使われる。
統計学.
統計学において、確率過程の自己相関関数 (autocorrelation function; ACF) は、時系列上の異なる点の間の相関である。時刻 における確率変数の値を とする。ここで、 は離散時間過程の整数でも連続時間過程の実数でもよい。 の平均を , 分散を formula_1 としたとき、自己相関関数は次のようになる。
ここで、formula_3 は期待値である。分散がゼロであるような場合や無限であるような場合には、この式は適用できない。適用可能な場合、この定義では値の範囲は formula_4 となり、 formula_5 は完全な相関を表し、formula_6 は完全な反相関を表す。
が定常過程ならば、自己相関関数は、 と の差formula_7にのみ依存する1変数の関数となる。そのような場合を表す形式として次の定義がある:
ここで は（タイム）ラグ（formula_9）を表す。formula_1 による正規化を行わない形式もよく使われ、これを「自己相関」とも「自己共分散」とも呼ぶ。長さ formula_11 の時系列標本 , ... について平均と分散が分かっているとき自己相関関数の近似が以下の式で与えられる。
ここで formula_13 である。
平均や分散が不明な場合、代わりに標本の平均や標本の分散を使うこともできるが、偏った近似になる。
信号処理.
信号処理においては、上述の正規化を行わない形式がよく使われる。すなわち、平均を引かず、分散で割らない形式である。平均と分散で正規化された自己相関関数は、自己相関係数と呼ばれることがある。
信号 "f"("t") について、連続自己相関 "Rff"(τ) は "f"("t") とそれ自身の連続相互相関の積分で表されることが多い。ここで "τ" はラグを表す。
formula_15 は共役複素数であり、formula_16が実関数ならば formula_17 となる。formula_18 は畳み込みである。
離散信号 "xn" でラグ "j" での離散自己相関は次のようになる。
これらの定義は二乗可積分あるいは二乗可加算な信号、つまりエネルギーが有限な場合に有効である。永遠に続く信号は確率過程として扱われ、期待値に基づいた別の定義が必要となる。広義定常確率過程での自己相関は次のように定義される:
定常的でない過程では、これらは "t" または "n" の関数となる。
エルゴード的でもある過程では、期待値の代わりに時間平均の極限値を使うことができる。エルゴード過程の自己相関は以下のようにも表される:
これらの定義は定常的かつエルゴード的でない過程であっても、周期関数に適用して意味のある結果を得られるという利点がある。
一方、永遠に続く信号について短期間の自己相関解析を行うという方法もある（類似の手法として短時間フーリエ変換がある）。
多次元の自己相関も同様に定義される。例えば、3次元での二乗可加算な離散信号の自己相関は次のように定義される。
信号から平均値を引いてから自己相関関数を求めた場合、その関数を自己共分散関数と呼ぶのが一般的である。
特性.
以下では、1次元自己相関の特性のみを扱う。2次元以上の特性は1次元の特性から容易に導くことができる。
回帰分析における自己相関.
時系列データによる回帰分析では、残差（residual）の自己相関が問題であり、t分布などで係数を推定する際の有意性の推定に偏りを生じさせる。一次自己相関の有無に関する古典的な検定としてダービン・ワトソン統計量がある。高次の自己相関もカバーするより柔軟な検定として Breusch-Godfrey 検定がある。これは補助回帰として、予測モデルとの残差を元の独立変数に回帰させるか、残差の "k" ラグに回帰させる（ここで "k" は検定の order）。この補助回帰の最も単純な検定統計量は "TR"2 となる。ここで、"T" は標本数、"R"2 は決定係数である。自己相関がないという仮定の下で、この統計量は自由度 "k" のカイ二乗分布に漸近的に近づく。