ピン群

特殊直交群 SO("n") が二重被覆としてスピノル群 Spin("n") を持つ様に、
直交群 O("n") は 2 つの同型でない被覆群 Pin+("n") と Pin−("n") を有する。
この両者は、ピン群（ピンぐん、英：Pin group）と呼ばれる。
（この名前は、セールの「spin が SO("n") に対応するように、pin は O("n") に対応する」という「冗談」に由来する。）
この様な奇妙な状況は、O("n") が（SO("n") と異なり）連結でないことによる
（その 2 つの連結成分は、行列式がそれぞれ +1 と −1 の行列の集合である）。
O("n") と SO("n") では、2π の回転は恒等写像だが、
ピン群では、Spin("n")　と同様、4π の回転が恒等写像になるものの、
2π の回転では恒等写像にならない。
Pin+("n") においては、折り返しを 2 度繰り返すと、恒等写像になる。
Pin−("n") においては、折り返しを 2 度繰り返すと、2π の回転になる。
"p" ≠ "q" のとき、Spin("p","q") には 8 個もの異なる二重被覆がある。
このうち 2 つのみがピン群として取り上げられるが、これはクリフォード多元環を表現とすることができることに由来する。
これらは夫々、Pin("p","q")、 Pin("q","p") と呼ばれる。