六角数

六角数（ろっかくすう、hexagonal number）とは多角数の一種で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に加えた数と定義してもよい。
"n"番目の六角数を H"n" とすると上図より
が導かれる。よって六角数の式は
これは "n" = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると
となる。
"n" 番目の六角数は 2"n" − 1 番目（すなわち奇数番目）の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。
また偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。この偶数の六角数は 2"n"(4"n" − 1) で表すことができる。この偶数の六角数は
六角数は1から順に奇数と偶数が交互に現れる。また1以外の六角数は全て合成数である。
全ての自然数は高々6つの六角数の和で表すことができる（→多角数定理）。
ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表すことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表すことができる。6つの六角数が必要な数は11と26の二つのみで次のような和の形で表される。
六角数の逆数の総和は以下のようになる。は自然対数とする。