平方三角数

平方三角数（へいほうさんかくすう、）は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 62 であり、また8番目の三角数 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。
平方三角数を小さい順に列記すると
となる。
"k" 番目の平方三角数 N"k" は
で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している。
公式の導出.
ある自然数 "N" が "n" 番目の三角数かつ "m" 番目の四角数であるとすると、
である。両辺を8倍して平方完成することにより (2"n" + 1)2 = 8"m"2 + 1 となる。"x" = 2"n" + 1, "y" = 2"m" とおけば、ペル方程式 "x"2 - 2"y"2 = 1 を得る。その一般解 ("x""k", "y""k") は
で与えられ、よって
である。したがって、"k" 番目の平方三角数 "N""k" = ("y""k"/2)2 は冒頭の式で与えられる。
その他の性質.
"N""k" は漸化式
を満たす。その母関数は
で与えられる。