メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は formula_1次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。
メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。
面積.
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。
表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積はformula_2増加する。
穴を空ける回数をformula_3とすると、その表面積はformula_4と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。
体積.
メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。
実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積はformula_5ずつ減少するため、穴を空ける回数をformula_3とすると最終的に体積はformula_7となりformula_8に収束する。