ヤコビ法

ヤコビ法（ヤコビほう）とはformula_1元の連立一次方程式formula_2を反復法で解く手法の1つである。ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの名前にちなむ。
formula_1次正方行列formula_4は、上三角行列formula_5、下三角行列formula_6、対角行列をformula_7とすると、"formula_8"と書ける。このようにすると、まず以下のような変形ができる。
formula_9
この式を満たす"formula_10"を求める。初期値formula_11に対して、
formula_12回目の反復で得られたformula_13の値をformula_14と書くと、
以下のような反復法の漸化式ができる。
formula_15
この式は以下のように変形できる。
formula_16
もし、解が収束した場合、その場合はformula_17とformula_14は共通の値formula_19を持つことになる。このとき、
formula_20
となり、変形していくと元の連立方程式の形に戻る。
したがって、ヤコビ法で解が収束した場合、その解は連立方程式の解となる。
また、その収束の十分条件は、係数行列の対角要素の絶対値が非対角要素の絶対値よりも相対的に大きい場合、すなわち対角優位な行列である場合に収束する。これはガウス＝ザイデル法も同様である。
ヤコビ法の式はベクトルformula_21の各成分ごとに次のような式で書くことができ、数値解析ではこの式が用いられる。
formula_22
ガウス＝ザイデル法とヤコビ法を加速する方法としてはSOR法が知られている。
具体例.
3元の連立一次方程式、すなわち、
formula_23
を解くことを考える。formula_24回目の反復で得られたformula_13の値をformula_14と書く。
初期値formula_11は、適当な値、例えばゼロベクトルでもかまわない。
formula_28
formula_29
formula_30
という反復を繰り返していく。
ヤコビ法は、直列計算ではガウス＝ザイデル法よりも遅いが、ガウス＝ザイデル法と異なり各式が他の式に依存せず並列性があるため並列計算でも用いられる。
固有値問題.
実対称行列の固有値および固有ベクトルを求める繰り返し計算手法においてもヤコビ法と呼ばれる解法がある（紛らわしさを避けるためにはヤコビ対角化法という）。
formula_31次の実対称行列formula_32について次のように formula_33 による相似変換、すなわちギブンス回転を実行することにより、非対角要素 formula_34 の最大値 formula_35 が0となるようにする。
これによって行列 formula_37 の各要素は次のようになる。但し、 formula_38 である。
ここで、formula_40 のとき formula_41 となる formula_42 は上式より
から求められることがわかる。
ギブンス回転をすべての非対角要素がほぼ0になるまで繰り返せば、実対称行列 formula_44 が対角化された形となるから、その対角要素が formula_44 の固有値となる。また、 formula_44 がk回変換された行列を formula_47 、k回目のギブンス回転を表す直交行列を formula_48 と表せば、
となる。 formula_47 のすべての非対角要素がほぼ0となったとき、 formula_52 は固有ベクトルを並べた行列となっている。
なお、ギブンス回転の繰り返し過程において、一度は0になった要素がその後の変換により0でなくなることもあるが、変換の繰り返しによって非対角項は0に近づいてゆく。
なお上記のように、ヤコビの対角化法は実対称（あるいは複素エルミート）の場合が最も良く知られておりその場合だけしか適用できないものと考えられるかもしれない。しかし非対称な行列に対するヤコビ法もあって研究もされプログラムも公開されていたがQR法が登場した後では行列が非対称な場合にはほとんどQR法だけが使われているため今日では非対称な場合についてはほとんど認知されていないようである（複素エルミートの場合についてもその具体的な実装に言及している文献は稀であり，もっぱら実対称行列の場合だけがよく知られている）。