分位数

分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル () は、統計の代表値の1種である。
実数 formula_1 に対し、"q" 分位数 () は、分布を formula_2 に分割する値である。
ある種の正の整数 formula_3 に対し、分布を formula_3 等分する formula_5 個の値、つまり、formula_6 に対する formula_7 分位数を、"m" 分位数（ただし formula_3 は漢数字）という。formula_6 番目の "m" 分位数を第 "i" "m" 分位数といい、また、formula_3 等分された分布の formula_11 番目の部分を、第 "k" "m" 分位、または単に第 "k" 分位という。
ただし、英語のには、等分割する値（）の意味と、そのようにして分割された群（）の二つの意味がある。
定義.
変量統計における分位数.
formula_12 個のデータ formula_13 に対する "q" 分位数 formula_14 は、昇順にソートしたデータを formula_15 とすると、
と定義される。ここで、formula_17 は床関数、formula_18 は天井関数、formula_19 は自然数の集合である。
関数 formula_20 は、数列 formula_21 の線形補間による実数関数への拡張である。関数 formula_22 の引数 formula_23 は、範囲 formula_24 を formula_2 に内分している。
確率分布の分位数.
1次元確率分布 formula_26 に対する "q" 分位数 formula_27 は
を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 formula_29 または確率 formula_30 を使って、
または
とも表せる。
日本産業規格における分位点.
日本産業規格では、分位点を、「formula_33分位点とは，分布関数が formula_33 に一致するか，又はformula_33より小さな値から formula_33 より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率formula_33 を formula_38% で表すときは formula_38 パーセント点 () という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値formula_33となる場合は，その区間内の任意の値がformula_33分位点とされる。ただし，formula_42である。
2. formula_43に対応する確率変数の値をメディアン中央値 () という。3. formula_44およびformula_45に対応する確率変数の値を四分位点 () という。」と定義している。
特別な分位数.
いくつかの "q" に対する "q" 分位数には、特別な名称がある。
中央値.
1 / 2 分位数を、中央値、メディアン ()という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。
四分位数.
formula_46 分位数を、第 "q" 四分位数、第 "q" 四分位点、第 "q" 四分位値、第 "q" ヒンジ () という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう。
単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布のばらつきを表すのに使う。
第1・第3四分位数の差 formula_47 は、四分位範囲（）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。
formula_48 を四分位偏差、formula_49 を正規四分位範囲（）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、formula_50 は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。
四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる 。
三分位数・五分位数・十分位数.
formula_51 分位数を、第 "q" 三分位数、第 "q" 三分位点、第 "q" 三分位値 () という。
formula_52 分位数を、第 "q" 五分位数、第 "q" 五分位点、第 "q" 五分位値 () という。
formula_53 分位数を、第 "q" 十分位数、第 "q" 十分位点、第 "q" 十分位値 () という。
パーセンタイル.
formula_54 分位数を、"q" パーセンタイル、（第）"q" 百分位数、（第）"q" 百分位点、（第）"q" 百分位値、"q" パーセント点、"q" %点 () という。
formula_55 分位数を上側 "q" パーセント点という。これと対比するときには、formula_54 分位数は下側 "q" パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、formula_57 分位数を両側 "q" パーセント点という。このとき、絶対値が両側 "q" パーセント点以内に、分布の "q" %が含まれている。
最大値・最小値.
0分位数は最小値、1分位数は最大値である。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。
五数要約.
分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。