斜交座標系

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、"oblique coordinate system"）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。
2次元平面における斜交座標系.
2本の数直線 が共通の原点をもち、なす角 （ただし ）で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、 と一意に表すことができる。
逆に座標 が与えられれば、Pの位置は一意に決定される。
なお、2本の軸のなす角 のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。
直交座標系との座標変換.
x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ とする。
斜交座標系で と表されている点を直交座標 に座標変換する公式は以下である：
直交座標系はこの表記では の場合である．
内積.
直交座標系の場合は、2つのベクトルformula_2の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：
あるいは次のようにも表現できる：
このとき、添字が上についている量（ など）を反変成分、下についている量（ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）をformula_5 とすれば、反変成分を用いて
と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして
とすれば、共変成分を用いて
と書くことができる。
上記の議論はformula_12 を入れ替えても同様に成り立つ。
計量テンソル.
式(1)の右辺に表れた行列
は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。
斜交座標系では計量テンソル"g" は
となる。また反変成分と共変成分の変換は
とシンプルに表すことができる．
多次元の場合.
以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。