チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。
標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の 倍以上離れた値は全体の 以下である。
歴史.
この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったである。
この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明がない状態で定式化され、後の1867年にチェビシェフによって証明された 。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた。
一般的表現.
この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。
測度論的表現.
 を測度空間、 を 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 に対して
となる。より一般的には、 が非負実数値可測関数で、 の範囲で減少しないとすれば、
となる。最初の式は、ここで を
で定義し、 の代わりに を用いれば導かれる。
確率論的表現.
 を、期待値が , 有限の分散が である確率変数とすると、任意の実数 に対して
ただし の場合にだけ意味がある。
余事象について、こうなる。
例として、 を使えば、少なくとも半数の値は区間   内に存在することが分かる。
チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。
例.
分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 () が 1000 文字であって、標準偏差 () が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。
もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次行がいえる。
証明.
測度論的な証明.
 を } で定義すると
がすべてのformula_7に対して成り立つことより、
となる。上の不等式を で割れば、目的の不等式が得られる。
確率論的な証明.
任意の実数確率変数 と任意の正の実数 に対して、マルコフの不等式から が得られる。この不等式に , を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。
また直接証明する方法もある。事象 に対し が の指示関数に従う確率変数である（つまり は が起これば 、そうでなければ ）とする。すると
formula_10
と証明される。