十分統計量

十分統計量（じゅうぶんとうけいりょう）とは、十分性を持つ統計量を指す。統計量が十分性を持つ、また十分であるとは、その統計量が下記の性質を満たすことを指す。
直感的にいうと、「母数"θ"（直接は求められず、推定しかできない）に対する十分統計量は、"θ" の統計学的推定に関する限り、データから得られる情報を漏らさず含んでいる」ということになる。
十分統計量はロナルド・フィッシャーによって導入された、統計学的推定において基本的な概念である。
定義.
確率変数"X" に対する統計量"T"("X") の値が与えられた条件下で、データ"x" の従う条件付き確率分布が母数 "θ" と独立である場合、かつその場合に限り、「"T"("X")は"θ" に対して十分である」という。すなわち：
簡単に書けば formula_2 である。従って
である。
フィッシャーの因子分解定理.
十分統計量を決定する基準として、フィッシャーの因子分解定理がある。これは、
というものである。これは次のように考えるとわかりやすい。"T"("X") の値を一定に保ちながらデータ "x" の値を変え、このような変化が "θ" に関する推定に影響するかどうかを考えてみる。上の式が成り立つならば、尤度関数 "f" の"θ" に対する依存性は変化しないから、影響はないのである。
例.
ベルヌーイ分布.
formula_5 をベルヌーイ分布に従う独立な確率変数、その期待値をformula_6とすると、和formula_7 が、formula_6に対する十分統計量となる（ここで「成功」は formula_9 に、「失敗」はformula_10 に当たる。従って formula_11 は総成功回数である）。
これは次の同時確率分布をみればわかる：
各観察は独立だから、次のように書き換えられる：
そして"p" と 1 − "p" の累乗を集めて、
これは因子分解基準に合致し、"h"("x")=1 となる。
特に注目すべきは、不明の母数"p" が、統計量 "T"("x") = Σ "x""i" を通じてのみ、観察値 "x" に関係することである。
一様分布.
"X"1, ..., "X""n" を、一様分布に従う独立な確率変数（[0,θ]の値をとる）とすると、"T"("X") = max("X"1, ..., "X""n" )が、θ に対する十分統計量である。
これは次の同時確率分布をみればわかる：
観察値は互いに独立だから、次のように書き換えられる：
ここで H("x") はヘヴィサイドの階段関数である。さらに書き換えて：
これは"θ" だけの関数と見なすことができ、maxi("X"i) = "T"("X") となる。これから因子分解条件が成り立ち、今回も "h"("x") = 1 となる。
ポアソン分布.
"X"1, ..., "X""n" を、母数"λ" のポアソン分布に従う独立な確率変数とする。和 "T"("X") = "X"1 + ... + "X""n" が "λ" に対する十分統計量である。同時確率は：
観察は独立であるから、次のように書き換えられる：
さらに
これから因子分解条件が成り立ち、"h"("x") は全変数の階乗の積の逆数である。
ラオ・ブラックウェルの定理.
十分統計量 "T"("X") が与えられれば"X" の条件付き分布は"θ" によらないので、"T"("X") が与えられた条件での任意の関数（ただし条件付き期待値が定義できるとする）"g"("X") の条件付き期待値も母数"θ" にはよらない。従ってこのような条件付き期待値も統計量であり、推定に用いることができる。 
十分性に関して重要な定理に、ラオ・ブラックウェルの定理がある。この定理は、「"g"("X") を"θ" の推定量（どんな種類の推定量でもよい）とすれば、十分統計量"T"("X") のもとでの"g"("X") の条件付き期待値は"θ" のよい推定量（他の推定量より悪くなることはない）である」というものである。
これを利用して、大雑把な推定量 "g"("X") が得られたら、これから条件付き期待値を求めることで、最適な推定量が得られる。