スピン群

数学 において、 スピン群（スピンぐん、） Spin("n") は特殊直交群 SO("n") の二重被覆であり、従って、以下に記すリー群の短完全系列が存在する。
"n" > 2 に対し、Spin("n") は単連結であり、よって SO("n") の普遍被覆である。
従って、リー群 Spin("n") の次元は "n"("n" − 1)/2 と特殊直交群と同じであり、リー環も特殊直交群のものと同じである。
Spin("n") は、クリフォード多元環 "C"ℓ("n") の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。
"n" 次元実ユークリッド空間 R"n" の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 "C"ℓ("n")、"C"ℓ0("n") と書く。
"C"ℓ("n") の乗法可逆元全体 "C"ℓ("n")× は乗法群になり、"C"ℓ0("n") の乗法可逆元全体 "C"ℓ0("n")× はその部分群になる。
"X"∈"C"ℓ("n")× に対して、
は "C"ℓ("n") の内部自己同型である。
一般クリフォード群
は、"C"ℓ("n")× の部分群で、特殊クリフォード群
も部分群である。
"C"ℓ("n") の主逆自己同型を "J" と書くとき、"X"∈"Γ"("n") のノルム
は "C"ℓ("n") の中心の可逆元である。
準同型としてのノルム写像 "ν" の "Γ"0("n") への制限の核
Ker("ν"|"Γ"0("n"))
は、Spin("n") になる。
偶然的な同型.
低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。
例えば、低次元スピン群とある種の古典リー群の間に同型が存在する。
特に、
"n" = 7,8 においては、この様な同型の名残が見られるが、これより高次の "n" においては、この様な同型は完全になくなってしまう。