シンプソンの公式

シンプソンの公式（シンプソンのこうしき、) とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分
の近似値を、関数 formula_2 を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。
基本.
シンプソンの公式は、formula_2 を二次関数 formula_4 で近似することによって導かれる。ここで、formula_4 は formula_2 の "a", "b", "m" における値をそれぞれとる［"m" は“中点”、すなわち ]。formula_4 は、ラグランジュ補間によって、次の多項式（formula_8 の二次式）になることが分かる。
この多項式を範囲 ["a", "b"] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。
シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、"a" と "b" の間にある "ξ" によって、次式で見積もれる（"h" の5次式）。
ただし、"h" = ("b" − "a")/2。さらに formula_2 が2回微分可能で formula_13 が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。
合成シンプソン公式.
シンプソンの公式は、積分範囲 ["a", "b"] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。
ただし、"n" は ["a", "b"] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、 は各部分区間の長さ、formula_16 formula_17、特に、formula_18 formula_19。この式は、次のようにも書ける。
合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。