E.ホップの拡張定理

数学の測度論におけるの拡張定理（）とは、有限加法的測度が完全加法族上の（完全加法的）測度に拡張できるための条件を述べた定理である。
 を集合、formula_1 を 上の有限加法族とする。formula_1 上の有限加法的測度 が、 が生成する完全加法族 formula_3 上の測度へと拡張されるための必要十分条件は、 が formula_1 上完全加法的であることである。さらに、可算個の formula_5 で なるものが存在すれば、拡張は一意的である。
カラテオドリの拡張定理は、ジョルダン測度がルベーグ測度に一意に拡張できることを示したものだが、E.ホップは、より一般の有限加法的測度が（完全加法的）測度に拡張できるための必要十分条件を示した。ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。
定理の内容.
formula_6 を集合 formula_7 の部分集合の有限加法族とする。関数
は有限加法的であるとする。すなわち
が formula_6 内の任意の有限個の互いに素な集合 formula_11 に対して成り立つものとする。
また、この関数はより強いσ-加法性も満たすものとする。すなわち、
が、formula_13 を満たす formula_6 内の任意の互いに素な集合列 formula_15 に対して成り立つものとする（これらの2つの性質を満たす関数 formula_16 は前測度として知られている）。このとき formula_16 は、formula_6 により生成されるσ-代数 formula_19 上で定義されるある測度へと拡張される。すなわち、formula_6 への制限が formula_16 と一致するようなある測度
が存在する。
formula_16 が σ-有限であるなら、この拡張は一意である。
拡張の非一意性.
formula_16 が formula_25-有限でないなら、上述のような拡張は必ずしも一意ではない。たとえその拡張自身が formula_25-有限であっても、その一意性は保証されない。
そのような一例を挙げる： 
formula_27 に対し、formula_28 の形で表される任意の formula_29 の部分集合を有理閉開区間と呼ぶことにする。
formula_7 を formula_31 とし、formula_6 を、formula_31 に含まれるすべての有理閉開区間の有限な合併からなる代数とする。実際そのような formula_6 が代数であることは簡単に証明することができる。また、formula_6 に含まれるすべての空でない集合は無限大であることも、簡単に分かる。
formula_16 を、formula_6 に定義される集合計数関数 (formula_38) とする。formula_16 が formula_6 内において有限加法的かつ formula_25-加法的であることは明らかである。formula_6 に含まれるすべての空でない集合は無限大であるため、すべての空でない集合 formula_43 に対して formula_44 が成り立つ。
今 formula_19 を、formula_6 によって生成される formula_25-代数とする。formula_19 が formula_7 の部分集合のボレル formula_25-代数であり、formula_38 と formula_52 は formula_19 上定義される測度で、それらはいずれも formula_16 の拡張であることが分かる。
解説.
この定理は、完全加法性が簡単に確かめられる小さい有限加法族上で測度を定義してから、それが生成する完全加法族への測度の拡張を行うことが常に可能である点において、優れている。この定理は自明ではない。なぜならばこの定理では、formula_16 を有限加法族からより大きい完全加法族へと拡張し、しかも（formula_16 が formula_25-有限であるなら）その拡張は一意であり、また拡張した関数の完全加法性も満たされている必要があるためである。