算術級数定理

算術級数定理（さんじゅつきゅうすうていり、theorem on arithmetic progressions）は、初項と公差が互いに素である算術級数(等差数列)には無限に素数が存在する、という定理である。ペーター・グスタフ・ディリクレが1837年にディリクレのL関数を用いて初めて証明した。そのため、定理はしばしばディリクレの算術級数定理と呼ばれる。
概要.
定理の言い換えとして、formula_1 である自然数 "a", "b" に対し、formula_2 (n は自然数)と書ける素数が無限に存在する、としてもよい。さらに、そのような素数の逆数和は発散し、 "x"以下の該当する素数の逆数の和はformula_3を満たす。
この定理はガウスが予想したとされるが、証明は1837年にディリクレがL関数を導入して行った。
ユークリッドによる素数が無限に存在するという定理を越えて、近代の数学が大きく進歩したことを示した。
算術級数の素数定理.
公差が "a" である等差数列は初項を 1 から formula_4 の間に取るときその初項が "a" と互いに素であるものが formula_5 通りある。ここで formula_5 はオイラーのφ関数である。これら formula_5 個の等差数列に素数はそれぞれほぼ均等に分布している。素数定理の拡張として、次のように書ける。
ディリクレが算術級数定理を証明した当時、素数定理もまだ証明されていなかったためこの形は予想に過ぎなかったが、後に素数定理と同様にによって証明された。この定理を算術級数の素数定理と呼ぶ。
証明.
素数が無数に存在するということは古代から知られてきた事実であるが、ゼータ関数のオイラー乗積表示にも端的に顕われている。
この左辺のゼータ関数はformula_11に極を持つから、右辺も発散しなければならず、そのためには無限個の素数が存在しなければならない。これに倣い、任意の算術級数に含まれる素数で構成された総和が発散することをもってディリクレの算術級数定理が証明される。
記号.
以下の記号を用いる。
ディリクレ指標.
整数から複素数への写像formula_23で下記の性質を満たすものを法formula_13のディリクレ指標という。
特に、formula_28ならばformula_29となるformula_30を自明な指標と呼ぶ。
正の整数formula_13につきformula_15個のディリクレ指標があり、それらは群を成す。ディリクレ指標には直交性がある。
ディリクレ級数.
次式の形の級数をディリクレ級数という。
ディリクレ級数は、
であるから、formula_37が有界であればformula_38で絶対収束し、formula_38のコンパクトな部分領域で絶対一様収束する。更に、
であるから、formula_42が有界であればformula_43で収束し、formula_43のコンパクトな部分領域で一様収束する。
ディリクレのエル関数.
ディリクレ指標formula_16によるディリクレ級数で定義される関数をディリクレのエル関数という。
右辺のディリクレ級数はformula_38で絶対収束する。また、formula_48であれば、指標の直交性によりformula_49であるから、formula_50はformula_43で一様収束して正則である。formula_52については、法formula_13と素な素数formula_54を任意に選び、
とするとformula_57であるから、formula_58はformula_43で一様収束して正則である。従って、
はformula_61に高々位数1の極を持つことを除きformula_43で正則である。整数の素因数分解の一意性とformula_26により
と表され、これをエル関数のオイラー乗積表示という。
補題.
formula_65である。この補題は算術級数定理の証明の要である。この補題については複数の証明が知られているが、ここでは全面的に複素関数論に頼りながら比較的簡潔な証明を示す。複素関数論の中でも次に挙げる事実が特に重要となる。
既に示したように、formula_52がformula_11に高々位数1の極を持つことを除きformula_50は正の実軸上で正則である。従って、
はformula_11に高々位数1の極を持つことを除き正の実軸上で正則である。対数を取ると
となるが、formula_73が有界であるから右辺はformula_38で絶対収束する。
は少なくともformula_76
が得られる。テイラー級数は収束円内で絶対収束するから、その収束円の半径をformula_77とすると、和の順序を交換した左辺のディリクレ級数もformula_78で収束する。しかし、formula_79を代入すると、
となって発散する。従って、formula_81である。formula_82となる特異点formula_83があり、
は発散する。仮りにformula_85であるとすれば、
であるから、formula_87が発散するためにはformula_88が発散しなければならない。しかし、formula_89は収束円の内部にあるからformula_88は収束する。従って、formula_91である。formula_92であるから、級数が収束するかぎり、実軸上ではformula_93であり、formula_94である。従って、formula_95は極でなければならず、そのためにはformula_96であり、formula_97であり、且つ、他は全てformula_65でなければならない。
算術級数定理の証明.
formula_99を互いに素な整数とするとき、算術級数formula_100が無数の素数を含むことを示す。エル函数のオイラー乗積表示の対数を取り、
である。formula_102を乗して総和を取り、ディリクレ指標の直交性により、
である。但し、formula_102はformula_105の複素共役を表す。補題により、formula_52はformula_11に極を持ち、他のformula_50はformula_11で正則であり、且つ、formula_65であるから、左辺はformula_11で有界ではない。従って、右辺もformula_112で発散しなければならず、そのためにはformula_113となる素数が無数に存在しなければならない。