収束半径

収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量（実数あるいは∞）である。
次の冪級数を考える。
ただし、中心 や係数 は複素数（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、 をこの級数の収束半径という。
であるとき、級数は収束し、
であるとき、級数は発散する。
もし、級数が全ての複素数 に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。
収束半径の値.
収束半径は、級数の各項にコーシーの冪根判定法を適用することで求めることができる。もし、
（formula_5は上極限を表す）であれば、収束半径は である。 であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に特異点は存在せず、 が整関数であることを意味する。
ただ、大抵の場合はダランベールの収束判定法で事足りる。ある自然数 が存在し、 となるすべての自然数 について となるとき、極限
が存在するならば、収束半径は である。この極限は、上記の より計算しやすい。しかし、代わりに に関する公式を使わねばならないような場合には、 は収束しない。
また、具体的に係数 が求まらない場合は優級数を用いて評価する方法もある。複素関数の場合には、複素数 を中心としたテイラー展開の収束半径は、その点から最も近い特異点（微分できない点）までの距離に等しいことが知られている。逆に複素数平面上に級数が収束する領域を円で表すと、その境界線上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。