完全トーティエント数

完全トーティエント数（かんぜんトーティエントすう、）、完全トーシェント数は、自然数のうち、以下の等式を満たす数 "n" である。
ここで "φ" はオイラーのφ関数である。例えば 327 は 
と 1 になるまで次々と "φ" 関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。
一般に完全トーティエント数 "n" は以下の式を満たす。
完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は 3 である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると
性質.
ほとんどの完全トーティエント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の累乗数 (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …) は全て完全トーティエント数である。これは 3 の累乗数 3"k" が
を満たすことから証明できる。
Venkataraman は1975年に素数 "p" が "p" = 4×3"k" + 1 の形で表されるとき、3"p" が完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数 "p" > 3 に対して 3"p" が完全トーティエント数であるとき、"p"≡1 (mod 4) である (Mohan, Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした 3"p" の全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えば "p" = 17 の場合 "p"≡1 (mod 4) を満たし、3"p" = 51 となるが、51 は完全トーティエント数ではない。