デデキント環

デデキント環（デデキントかん、"Dedekind ring"）、あるいはデデキント整域（デデキントせいいき、"Dedekind domain"）とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。
定義.
体でない整域 "R" について、以下の条件は同値である。
デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。
加群の構造.
デデキント環 "R" 上の有限生成加群 "M" の構造は次の様になる。有限生成加群 "M" に対して、ある零でない整イデアルの列 "I"1 ⊆ … ⊆ "I""n" と階数有限の自由加群 "F"、可逆イデアル "I" が存在して同型
が成り立つ。また、このイデアル "I", "I"1, …, "I""n" と自由加群 "F" は有限生成加群 "M" により同型を除いて一意に定まる。