線形力学系

線形力学系（せんけいりきがくけい、）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。
定義.
一般に における線形力学系は、ベクトル値関数 と、 次の正方行列 により、次のような微分方程式で表される。
ただしこれは、 が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、
で表される。
これが線形であるとは、 と が解ならば、任意のスカラー について、線形結合 も解である、ということを意味している。
線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 （連続系）、もしくは累乗 （離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 の固有値、固有ベクトルによって理解できる。
非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。
線形力学系の解.
初期値 が、行列 の固有ベクトル ならば、初期条件は
となる。ただし、 は、固有ベクトル に対応する固有値である。このとき、解は、
となる。
もし が対角化可能ならば、任意の初期値 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 が一意に存在する。
このとき解は、
となる。
対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて
と、解を導くことができる。
二次元の場合.
二次元の線形力学系は、
で表される。この系では、 は 次正方行列である。 の固有値は、行列式 と、トレース を用いて、
のように書くことができる。
また、formula_11 であり、formula_12 である。
もし、formula_13 ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 () となる。
formula_14 ならば、原点は孤立した平衡点ではない。
formula_15 ならば、固有値の符号が同じになり、formula_16 ならば(漸近)安定、formula_17 ならば中立安定、formula_18 ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 () となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 () となる。最後に複素数のときは、渦状点 () となる。