超過剰数

超過剰数（ちょうかじょうすう、）は自然数 "n" であって、"m" < "n" である全ての自然数 "m" に対して
を満たすようなものである。ただし "σ" は約数関数である。例えば 12 は
であり、11 以下の "m" で "σ"("m")/"m" > 7/3 を満たす数はないので、12 は超過剰数である。超過剰数は無数にあり、そのうち最小の数である1から小さい順に列記すると次のようになる：
超過剰数のうち 1, 2, 4 は不足数、6 は完全数であり、12 以上の超過剰数は全て過剰数である。超過剰数は高度合成数と関係が深く、特に最初の19個までの超過剰数と高度合成数は同じ数であるが、すべての超過剰数が高度合成数であるわけではない（7560は超過剰数ではない最小の高度合成数である。その反対に高度合成数ではない最小の超過剰数は1163962800である。を参照）。
性質.
ポール・エルデシュとLeonidas Alaogluは "n" が超過剰数ならば
を満たすことを証明した。"n" が 4 と 36 のときを除けば "ap" = 1 である。つまり超過剰数のうち平方数は 4 と 36 のみである。
拡張.
一般化された "k" 次の超過剰数（英: "generalized k-super abundant number"）とは、"m" < "n" である全ての自然数 "m" に対し
であるような自然数 "n" である（formula_2は，"n" のすべての約数の "k" 乗の総和）。一般化された1次の超過剰数は、通常の超過剰数である。また、0次の超過剰数は高度合成数である。
例．2次の超過剰数: