真性半導体

真性半導体（しんせいはんどうたい、）とは、添加物を混ぜていない純粋な半導体のことを指す。しかし、実際には不純物などの欠陥は固体中に必ず存在するため、欠陥の影響を無視できるような半導体を真性半導体と見なすことになる。価電子帯の電子が熱や光によって伝導帯に励起することで、伝導帯には伝導電子が、価電子帯には正孔が生じ、この２種類が真性半導体のキャリアを担う。
バンド間遷移.
価電子帯にある電子がエネルギーを得て伝導帯へ遷移すること、あるいは伝導帯にある電子がエネルギーを放出して価電子帯に遷移することをバンド間遷移（inter-band transition）という。価電子帯の頂上と伝導帯の底の波数ベクトルが（ほぼ）一致するバンド間遷移を直接遷移、異なるバンド間遷移を間接遷移という。
直接遷移.
光吸収によってバンド間遷移が起こるとき、価電子帯にある電子の波数ベクトルを '、伝導帯に遷移した電子の波数ベクトルを '、光の波数ベクトルを とすると、
formula_1
が成立しなければならない。' は逆格子ベクトルである。' と ' がブリュアンゾーン内にあり、光の波数ベクトルの大きさ ' が に比べて十分小さければ、formula_2 がブリュアンゾーンの外に位置することはないため、formula_3 としてもかまわない。よって、
formula_4
となる。この式は電子と光（光子）の運動量保存則に相当する。光の波長 が単位胞の辺の長さ に対して十分に長いとき、光の波数ベクトルの大きさ formula_5 はブリュアンゾーンの大きさ（formula_6）に比べて十分小さく無視できる。したがって、
formula_7
と近似できる。このように遷移前後で電子の波数ベクトルがほとんど変わらないバンド間遷移を直接遷移という。
間接遷移.
間接遷移の場合、価電子帯の頂上と伝導帯の底の波数ベクトルが異なるため、光だけでは運動量保存則が成り立たず、バンド間遷移にフォノンの吸収・放出も関わることになる。光の角振動数を 、フォノンの角振動数と波数ベクトルを と とし、価電子帯および伝導帯の電子のエネルギーを および とすると、間接遷移のエネルギー保存則と運動量保存則は、フォノン吸収を伴う場合、
formula_8
formula_9
フォノン放出を伴う場合、
formula_10
formula_11
を満たす。フォノンのエネルギーは 程度であるのに対し、バンドギャップ は 程度であるため、エネルギー保存則は光子のエネルギーが主に関わっている。フォノンの波数ベクトルはブリュアンゾーン全域に渡るため、価電子帯と伝導帯の電子の波数ベクトルが一致する必要はない。
真性キャリア密度.
本節では、真性半導体のキャリア密度を導出する。
エネルギー分散.
真性半導体におけるキャリア密度を導出するために、価電子帯と伝導帯のエネルギー分散を単純化する。価電子帯も伝導帯も１つのバンドから成り、それぞれの有効質量に異方性がないものとする。つまり、放物線近似を適用したエネルギー分散を考える。
伝導帯：
formula_12
価電子帯：
formula_13
ここで は伝導帯の底のエネルギー、 は価電子帯の頂上のエネルギー、 は伝導帯における電子の有効質量、 は価電子帯における正孔の有効質量である。
状態密度.
それぞれのバンドの状態密度は、自由電子モデルの状態密度における電子の質量をそれぞれの有効質量に置き換え、エネルギーの原点を と にシフトさせたものになる。
伝導帯：
formula_14
価電子帯：
formula_15
分布関数.
温度 のとき、電子がエネルギー の状態を占有する確率はフェルミ分布関数 で与えられる。それに対して、正孔がエネルギー の状態を占有する確率は、電子がその状態を占有しない確率に等しい。よって、伝導帯の電子の分布関数 と価電子帯の正孔の分布関数 はそれぞれ
formula_16
formula_17
となる。 はフェルミ準位である。電子の分布関数において、formula_18 であれば、フェルミ分布関数はボルツマン分布に近似できる。正孔の分布関数においても同様であり、その近似条件は formula_19 である。
電子密度・正孔密度.
半導体の電気伝導を担うキャリアは、伝導帯にある伝導電子と価電子帯に生じた正孔である。電子密度 と正孔密度 は、それぞれの状態密度と分布関数の積を適切な積分範囲で積分し、占有体積で割ることで得られる。
formula_20
formula_21
これらを実際に計算すると、
formula_22
formula_23
となる。 は伝導帯の有効状態密度、 は価電子帯の有効状態密度である。
真性キャリア密度.
半導体のキャリア密度の2乗は電子密度 と正孔密度 の積に等しいことから
formula_24
となる。ここで はバンドギャップエネルギーである。真性半導体では、電荷を持つのは電子と正孔だけなので、電気的中性条件より が成り立つ。よって、真性半導体のキャリア密度は
formula_25
となり、 を真性キャリア密度（intrinsic carrier concentration または intrinsic carrier density）という。
その他の特徴.
フェルミ準位.
真性半導体のフェルミ準位は、 であることから以下の形で表記される。
<math display="block">E_f=