線型近似

数学における線型近似（せんけいきんじ、）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。
例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の "n" = 1 の場合により、
と表せる。"R"2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした
となる。この近似は "x" が "a" に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の "f" のグラフの ("a", "f"("a")) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。
をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。
線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。
右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。
さらに一般に、バナッハ空間においては
と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。
例.
線型近似を用いて formula_6 の近似値を求めてみよう。