素イデアル

素イデアル（）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般に）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。
可換環に対して.
定義.
可換環 のイデアル が素イデアルであるとは、
を満たすことを言う。
環 の素イデアルのなす集合は と表される。
局所化.
formula_1 を環、formula_2 をその素イデアルとすると、集合 formula_3 は積閉集合となる。formula_4 による formula_1 の局所化 formula_6 を formula_7 と書く。これは formula_8 を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 formula_9 を formula_10 などと書くこともある。
素因子.
素イデアル が 加群 のある元 の零化イデアル と一致するとき、 を の素因子 () または伴う素イデアル（）という。 の随伴素因子がなす集合を あるいは と表す。 の（包含関係について）極小な素イデアルを孤立素因子といい、これら以外の素因子を非孤立あるいは埋め込まれた素因子という。 がネーター環のとき、随伴素因子は非正則元や加群の台とも関連があり、準素分解で重要な概念である。
可換とは限らない環に対して.
定義.
単位的環 のイデアル が素イデアルであるとは、
を満たすことを言う。
性質.
イデアル に対して以下の条件は同値である。
特に単純環は素環なので極大イデアルは素イデアルである。