リュカ数

リュカ数（リュカすう、）とは、フランスの数学者エドゥアール・リュカに因んで名付けられた数であり、"n" 番目のリュカ数を "L" で表すと
で定義される数列にある項のことである。つまり、初項（最初のリュカ数）を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。
最初の50項.
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.（）
負の番号への拡張.
漸化式 "L" = "L" + "L" を全ての整数 "n" に対して適用すると、"n" が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ "n" ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。
さらに、一般には "L" = (-1)"L" となる。
数学的性質.
リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 "F" との間に多くの関係式があり、例として
などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 "L"/"F" は、"n" が大きくなるにつれて に収束する。
フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 "L"/"L" は "n" が大きくなるにつれて黄金比 formula_6 = 1.61803398… に近づく。
"n" 番目のリュカ数は以下の式で表される。
ここで formula_8 は黄金比である。
リュカ素数.
リュカ素数（リュカそすう、）とは、リュカ数である素数である。
リュカ素数 "L" の最初のいくつかの項は以下の通りである。
"L" の "n" は以下の通りである。
"n" = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、"L" が素数ならば "n" も素数である。しかし、"n" が素数でも、"L" が素数になるとは限らない。