真理関数

真理関数（しんりかんすう、英：Truth function） とは、数理論理学において、真理値の各変数の変域と終集合とがそれぞれ『「真な命題」と「偽な命題」のみから成る集合』に等しいような写像である。真理関数は命題関数でもある。
定義.
真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
"L" を formula_1 と formula_2 とだけから成る集合とし、"n" を自然数とする。そのとき、"n" 個の "L" の直積 formula_5 から "L" への写像を "n" 変数の真理関数という。
主な真理関数.
1 変数の真理関数 ￢ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、"A" 、"B" は "L" の元の変数である。
￢"A" 、"A∨B" 、"A∧B" をそれぞれ、"A" の否定、"A" と "B" との論理和、"A" と "B" との論理積という。"n" 変数の真理関数は全部で formula_6 個ある。
真理値表.
真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。
真理値表は次のように見る。￢ の真理値表の第 1 行は 「 "A" = formula_1 であるとき、￢"A" = formula_2 である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 "A" = formula_1 、"B" = formula_2 であるとき、"A∨B" = formula_1 である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 "A" = formula_2 、"B" = formula_1 であるとき、"A∧B" = formula_2 である 」 を意味する。
真理集合.
"F" を "n" 変数の真理関数とするとき、"F(X)" = formula_1 を満たす formula_5 の元 "X" 全体から成る集合を "F" の真理集合といい、"[F]" で表わす。
例
2 つの真理関数 "F" と "G" とが等しいことは、"F" の真理集合と "G" の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。