外測度

数学、とくに測度論における外測度（がいそくど, ）は、与えられた集合の全ての部分集合に対して定義され、補完数直線に値をとる集合函数で、特定の技術的条件を満足するものを言う。この概念はコンスタンティン・カラテオドリによって加算加法的測度の理論の基礎を与えるため導入された。その後のカラテオドリの研究によるカラテオドリの拡張定理や、フェリックス・ハウスドルフによる距離空間のハウスドルフ次元などに関する多くの応用が見つかった。
カラテオドリの外測度は任意の部分集合に対して値が定まるが、それらの中には望ましい性質を持つ「可測集合」とそうでないとが混じっていることに注意すべきである。外測度の構成の目的は、そうして可測集合のクラスだけを取り出せば、それが完全加法族でありかつその上に定義域を制限した外測度が完全加法性を満たし実際にひとつの測度を与えるという点にある。
定義.
集合 上の外測度 とは、 の冪集合 上で定義された集合函数 formula_1（つまり、非負値であって正の無限大となることも許す）であって次の性質を満たすもののことである：
外測度の構成.
集合上の外測度の構成法はいくつか存在する。古典的な文献 では二通りの有用な方法が区別して記載されており、以下の I, II はそれに従った。
構成法 I.
集合 を固定する。
構成法 II.
いま一つの構成法は距離空間上の外測度の構成により適しており、計量外測度が得られる。距離空間 において前節の如く の部分集合族 は空集合を含み、 上の非負拡張実数値集合函数 は空集合において消えているとす。任意の に対し、formula_8 および formula_9 と置けば、明らかに のとき が成り立つ（これは が小さくなれば、下限をとる集合の範囲も小さくなることによる）。したがって formula_10 が存在する（ただし、値が無限大となる場合を許すという意味で言う）。
この構成法は距離空間に対するの構成に用いられる。