オイラー予想

オイラー予想（オイラーよそう）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は偽である(正しくない)ことが証明されている。
予想の内容.
オイラーはフェルマーの最終定理の "n" = 3 のとき、すなわち
を満たす自然数の解 ("x", "y", "z") は存在しないことを証明した。
ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、
を満たす自然数の解 ("x", "y", "z", "w") は存在しない、と予想した。
同様に
を満たす自然数の解も存在しない、とした。
すなわち、"n" > 3 とすると、"n" − 1 個の "n" 乗数の和を1個の "n" 乗数で表すことはできないということを示唆した。
これが、オイラー予想である。
歴史.
オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。
しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって "n" = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 が成り立つことが確認された。
この発見から "n" = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に解決された。
また、2004年にはジム・フライによって"n"=5の場合の反例852825 + 289695 + 31835 + 555 = 853595が発見された。
例.
箇条書きされている式は、"n" − 1 個の "n" 乗数の和を1個の "n" 乗数で表すオイラー予想の反例である。
そうではない式は、"n" 個の "n" 乗数の和を1個の "n" 乗数で表すオイラー予想に従う例である。
（R. Norrie によって最小の解であることが示されている。）