オメガ定数

オメガ定数(オメガていすう、) とは、
を満たす数学定数であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… である。
また、
とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。
オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは
が、
と同値であるということである。このことから、初期値 Ω0 から始めて、Ω が漸化式
を用いて反復計算できることがわかる。この数列は
に収束する。
無理性.
Ω が無理数であることは、「"e" がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。
Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 "p", "q" が存在する。
これをオメガ定数の定義式に代入すれば、
これは、"e" が "p" 次の代数的数であることを示しているが、"e" は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。
その他.
高さが無限大のテトレーション formula_1 の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。
また、formula_2の値は、"e" に等しい。