ルベーグ測度

数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 の測度を で表す。
性質.
-次元ユークリッド空間 の -次元ルベーグ測度 あるいは簡単に は次のような性質を持つ。
ルベーグ測度の構成.
ルベーグ測度の現代的な構成はカラテオドリの拡張定理を用いた以下のものである。
いま自然数 を固定する。 内の（-次元）区間あるいは超矩形 とは、（一次元）区間の直積
の形（但し、 であるものとする）で書かれた の部分集合の総称である。この区間 "B" の容積 は
で与えられる。 の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、 の区間塊という。
 の任意の部分集合 に対して、 の区間塊を とするとき、 のルベーグ外測度 を
で定める。ただしここでの下限は、集合 を被覆する区間塊 の選び方すべてに亘ってとるものとする（そのような被覆が存在しない場合の下限は と決めておく）。
さらに、 の部分集合 がルベーグ可測であるとは、 の任意の部分集合 に対して、カラテオドリの条件：
を満たすこととする。
ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を為す。そうしてルベーグ可測集合 に対するルベーグ測度 を で定義する。
ヴィタリの定理によれば、実数全体 の部分集合でルベーグ可測ではないものが存在する。
さらに一般に、 の任意の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。
その他.
ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスが挙げられる。
歴史.
アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「」に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。