倍積完全数

倍積完全数（ばいせきかんぜんすう、）とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである。約数関数 σ を用いて定義すると σ("n") = "kn" （"k" は自然数）を満たす自然数 "n" が倍積完全数であり、これを "k"倍完全数ともいう。
"k" = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ。なお、"k" = 1 の場合は σ("n") = "n" を満たす "n" が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。
例えば、120 の約数の総和は
であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。
具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, …（）
"p" が "n" を割り切らない素数とすると、"n" が "p"倍完全数であることと、"pn" が ("p" + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 "m" が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち "m" が単偶数である場合）、"m"/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。
"k"倍完全数の表.
以下にそれぞれの "k"倍完全数 ("k" ≤ 11) のうち、現在見つかっている中で最小の数を挙げる。"k"=7 まではこれが最小であることが確認され、OEISに掲載されている（）。"k"=8 以降は Flammenkamp のページに拠った。
2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。
性質.
"k" = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。